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6.4

Titre :

Modélisation du contact

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04/11/03
Auteur(s) :
S. LAMARCHE Clé
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Manuel d'Utilisation
Fascicule U2.04 : Mécanique non linéaire
Document : U2.04.04




Modélisation du contact



Résumé :

On décrit dans ce document les méthodes disponibles dans Code_Aster pour traiter les problèmes de contact
avec ou sans frottement, en petits ou en grands déplacements.
On traitera en détails les charges de contact, utilisées par les opérateurs STAT_NON_LINE et
DYNA_NON_LINE. Et on abordera la modélisation du contact ponctuel sur DYNA_TRAN_MODAL ou avec les
éléments DIS_CONTACT.

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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Définitions ..............................................................................................................................................5
3 Opérateurs du contact .........................................................................................................................10
3.1 AFFE_CHAR_MECA.........................................................................................................................10
3.2 STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE .........................................................................................11
4 Modélisation.........................................................................................................................................12
4.1 Le Maillage.....................................................................................................................................12
4.1.1 Finesse du maillage..............................................................................................................12
4.1.2 Choix des éléments finis.......................................................................................................12
4.1.3 Cas des poutres ...................................................................................................................13
4.1.4 Epaisseur matériau...............................................................................................................13

4.1.5 VECT_Y.................................................................................................................................14
4.2 Les normales .................................................................................................................................15
4.3 L'appariement ................................................................................................................................15

4.3.1 Méthode `nodal' ...............................................................................................................15
4.3.2 Méthode `maitre-esclave'............................................................................................16
4.3.3 Les difficultés........................................................................................................................16
4.3.4 Des solutions possibles ........................................................................................................17
4.3.5 Un cas particulier..................................................................................................................17

4.4 Conditions aux limites....................................................................................................................17
4.5 Surfaces rigides .............................................................................................................................18
4.5.1 Extraits d'un fichier de commande comportant une surface rigide ......................................18
4.6 Le frottement..................................................................................................................................19
5 Calculs .................................................................................................................................................19
5.1 Prise en compte du contact ­ frottement.......................................................................................19
5.1.1 `CONTRAINTE'....................................................................................................................19
5.1.2 `LAGRANGE' ........................................................................................................................20
5.1.3 `PENALISATION' ...............................................................................................................20
5.1.3.1 Choix des coefficients de pénalisation.....................................................................20
5.1.3.2 Avantages et inconvénients .....................................................................................20

5.1.4 Remarques ...........................................................................................................................20
5.2 Frottement......................................................................................................................................20
5.3 Interpénétration..............................................................................................................................21
5.3.1 Calcul pénalisé .....................................................................................................................21
5.3.2 Dissymétrie maître / esclave ................................................................................................21
5.3.3 Visualisation .........................................................................................................................21

5.4 Le calcul.........................................................................................................................................21
5.5 Grands déplacements....................................................................................................................22
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5.5.1 Recherche ............................................................................................................................22
5.5.2 Réactualisation de la géométrie...........................................................................................22

5.6 Le cas dynamique .........................................................................................................................22
6 Autres méthodes .................................................................................................................................23
6.1 DYNA_TRAN_MODAL ......................................................................................................................23
6.1.1 Présentation .........................................................................................................................23
6.1.2 Traitement du contact ..........................................................................................................23
6.1.3 Modélisation .........................................................................................................................23

6.1.3.1 Epaisseur matériau..................................................................................................23
6.1.3.2 Obstacles non maillés..............................................................................................23

6.1.4 Conseils d'utilisation.............................................................................................................24
6.1.5 Post-traitement.....................................................................................................................24
6.1.6 Bilan .................................................................................................................................24
6.1.7 Un exemple ..........................................................................................................................24

6.2 DIS_CONTACT...............................................................................................................................25
6.2.1 Exemple de fichier de commande........................................................................................25
7 Bibliographie........................................................................................................................................27

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1 Introduction

On parle d'étude de contact dès qu'il peut y avoir interaction de contact au cours du calcul.
Il est possible de modéliser les problèmes de contact-impact et de contact-frottement avec
Code_Aster, en petits ou en grands déplacements.
Ce document passe en revue les différentes méthodes disponibles, souligne les difficultés rencontrées
et donne des conseils d'utilisation. On privilégiera le traitement du contact par les charges de contact. Il
existe d'autres méthodes, elles ne concernent que le contact ponctuel et elles sont présentées dans le
chapitre 6.

Démarche générale

Le contact est déclaré dans AFFE_CHAR_MECA, comme une charge. Toutes les conditions de contact
doivent être déclarées dans le même AFFE_CHAR_MECA (chacune dans une occurrence du mot clef
CONTACT).

Dans un premier temps, on indique les surfaces entre lesquelles on veut traiter le contact.
On choisit ensuite de traiter le contact avec ou sans frottement. Dans le cas du contact avec
frottement, il faut donner le coefficient de frottement.
On indique également les méthodes de calcul à utiliser et la méthode d'appariement.
C'est à travers ces étapes que l'on définit tous les paramètres du contact.
Elles ont lieu dans l'opérateur AFFE_CHAR_MECA.
Les conditions de contact sont donc déclarées comme une charge. Elles sont utilisées comme telles
(mot clé EXCIT) dans les opérateurs mécanique STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE.
Une fois le calcul achevé, on peut faire un post-traitement des efforts de contact.

Les lectures utiles

La documentation ici présente a pour vocation de guider l'utilisateur lors d'une modélisation en contact
frottement. Elle reprend les indications essentielles et donne des conseils d'utilisation.
Elle ne remplace pas la lecture des documentations U4 de chaque opérateur. L'utilisateur trouvera
dans ces documentations la syntaxe de l'opérateur, ainsi que la signification de chaque paramètre.
Par ailleurs, l'utilisateur qui souhaite avoir une approche plus détaillée et des commentaires sur les
algorithmes ou les équations du contact, se réfèrera aux documentations de référence R5 : [R5.03.50]
et [R5.03.51].
Des exemples sont fournis ici pour illustrer certains points. On pourra par ailleurs se référer aux cas
test (documentation V6) et s'en inspirer.

Plan

Dans une deuxième partie, nous donnerons quelques définitions élémentaires spécifiques à la
modélisation du contact.
En partie 3, on trouve une brève description des opérateurs Code_Aster concernés.
Dans les parties 4 et 5, on abordera les difficultés de la modélisation et du calcul. On trouvera dans
ces parties les conseils pour utiliser le contact dans Code_Aster.
La partie 6 est consacrée aux autres modélisations du contact dans Code_Aster. Elle est réservée au
contact ponctuel.

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2 Définitions

Contact

La prise en compte du contact par Code_Aster ne va pas de soi. Sans déclaration spécifique, deux
éléments peuvent occuper la même place de l'espace.
Si on prévoit que deux surfaces peuvent entrer en contact au cours du calcul, il faut faire une
déclaration de contact. Les surfaces en questions sont appelées surfaces de contact.

La surface de contact est 2D pour une structure 3D, 1D pour une structure 2D.


Maître / Esclave

Quand on déclare que deux surfaces S1 et S2 risquent d'entrer en contact, Code_Aster écrit les
relations appropriées. Ces relations ne sont pas symétriques. C'est pourquoi on est amené à
distinguer les deux surfaces, à la première on donne le nom de maître, à la seconde le nom d'esclave.
Le traitement du contact consiste à empêcher les noeuds esclaves de pénétrer la surface maître.

Remarque :

Pour les méthodes LAGRANGE et CONTRAINTE, Code_Aster traite le contact en appliquant
des multiplicateurs de Lagrange portés par les noeuds esclaves.



On comprend dans ce cas que le choix de la surface maître et de la surface esclave peut avoir une
influence sur le résultat du calcul. On trouvera par la suite des conseils pour faire ce choix.


Appariement

L'appariement est la phase du calcul où Code_Aster calcule entre quel point esclave et quel point
maître (ou quelle maille maître) vont s'écrire les relations de contact.
On appelle appariement `NODAL' l'appariement entre un noeud esclave et un noeud maître.
On appelle appariement `MAITRE-ESCLAVE' l'appariement entre un noeud esclave et sa projection
sur la surface maître.



Figure 2-a : Appariement `MAITRE-ESCLAVE' et appariement `NODAL'

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Normale

Les normales aux surfaces ont un rôle très important au moment de l'appariement et de l'écriture de la
relation du contact.
Leur direction permet la projection des points esclaves sur les surfaces maître, mais elles sont aussi
utilisées pour l'écriture des équations de contact. Leur sens permet de distinguer l'intérieur de
l'extérieur de la structure. Les normales doivent toujours être sortantes.
C'est pourquoi il est indispensable de toujours définir et orienter correctement les normales des
surfaces en contact.

n

Figure 2-b : La normale doit être sortante


Conditions de Signorini

Les conditions de Signorini sont les conditions de non interpénétration.


Force

normale





dn





Figure 1-c : Condition de Signorini

Elles disent que la force normale de contact est nulle lorsqu'il n'y a pas contact (dn > 0), et que
l'interpénétration (c'est-à-dire dn 0) est impossible. Dans le cas où il y a contact, la réaction normale
peut prendre n'importe quelle valeur positive (effort de répulsion) qui répond au problème mécanique
et qui empêche l'interpénétration.


Force de contact

Au cours du contact, les deux surfaces en contact génèrent des forces l'une sur l'autre. Ces forces
permettent aux deux surfaces de ne pas s'interpénétrer. Elles respectent le principe d'action et
réaction. On a accès à ces forces lors du post-traitement.
Ces forces sont toujours des forces de répulsion (pour éloigner les surfaces en contact).
Elles n'agissent pas à distance, c'est-à-dire qu'elles sont nulles quand les deux surfaces ne se
touchent pas.
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Coefficient de frottement µ

Le frottement est pris en compte par la loi de Coulomb.



Figure 2-d : Loi de Coulomb

Cette loi fait intervenir un coefficient µ, appelé coefficient de Coulomb. Pendant la phase d'adhérence,
le point ne bouge pas (vitesse nulle). Pendant la phase de glissement, le point a une vitesse non
nulle, il est soumis à une réaction tangente égale à µ fois la réaction normale.
Le coefficient de Coulomb dépend des surfaces en contact.
Si le coefficient de frottement est nul (c'est-à-dire, s'il n'y a pas de frottement), il n'y a pas de réaction
tangentielle.


Pénalisation

On peut traiter le contact de façon pénalisée.

Pour la direction normale, cela revient à dire qu'une fois en contact, les structure sont repoussées par
une raideur. Cette raideur exerce un effort répulsif entre les structures. Pendant cette phase, il y a
interpénétration des structures.
On fixe cette raideur avec le coefficient de pénalisation normal E_N.












F

N




Figure 2-e : Coefficient de pénalisation normale
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Cette pénalisation correspond à une régularisation de la courbe de Signorini :



Force normale



f = -E_N.dn



dn




Figure 2-f : Condition de Signorini pénalisée

Pour le frottement, la pénalisation apparaît sur la courbe de Coulomb.
Dans ce cas, il n'y a pas de phase d'adhérence, la pente infinie est remplacée par une pente finie de
valeur le coefficient de pénalisation tangent E_T.

RT

µ.|RN|
E_T
-vT


-µ.|RN|


Figure 2-g : Loi de Coulomb pénalisée

Il ne faut pas confondre le coefficient de pénalisation tangent E_T avec le coefficient de frottement µ.
Sur la courbe précédente, le premier fixe la pente à l'origine, le deuxième fixe la valeur du palier.


Charges de contact

Dans Code_Aster, on parle de charges de contact. Toutes les déclarations du contact se font comme
une déclaration de charge. On définit les paramètres dans AFFE_CHAR_MECA et on les utilise dans le
mot clef EXCIT de l'opérateur de calcul.


Interpénétration

On parle d'interpénétration lorsqu'une structure pénètre à l'intérieur de l'autre et réciproquement.
L'interpénétration n'est pas un phénomène physique. Un objet physique peut venir s'écraser sur un
autre mais ne pénètre pas dans la matière de l'autre.
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Solution exacte

On utilisera l'expression "solution exacte" pour désigner une solution qui suit exactement les lois du
contact (conditions de Signorini et loi de Coulomb).
En particulier, une solution exacte ne permet pas l'interpénétration.
La solution exacte est obtenue sans le recours à des coefficients de pénalisation choisis par
l'utilisateur, et dont dépend fortement la solution.
Evidemment, une solution « exacte » n'est pas forcément physiquement acceptable, et elle dépend
toujours des autres paramètres du calcul et de la modélisation.


Contact ponctuel

On parle de contact ponctuel lorsque les deux "surfaces" potentiellement en contact sont réduites à
des points. Par exemple, sur des modèles filaires, on peut être amené à utiliser le contact ponctuel.

On peut utiliser le contact ponctuel en 2D ou en 3D.
Il ne faut pas le confondre avec l'appariement nodal où les relations s'écrivent entre deux noeuds mais
où le contact peut se faire entre deux surfaces (ou segments), et les appariements peuvent évoluer au
cours du calcul.
On peut traiter le contact ponctuel avec les méthodes présentées ici. D'autres méthodes sont aussi
disponibles. Elles sont présentées au chapitre 6.

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3
Opérateurs du contact

Lors de la modélisation du contact, on sera amené à utiliser deux opérateurs Code_Aster :
AFFE_CHAR_MECA qui permet de régler tous les paramètres du contact et de déclarer les surfaces de
contact.
STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE qui effectuent le calcul statique ou dynamique avec contact.
Pour chacun des opérateurs, on se reportera aux documentations U4. Elles contiennent la syntaxe
des opérateurs, ainsi que la signification de chacun des mots-clefs.

3.1
AFFE_CHAR_MECA

[U4.44.01]
AFFE_CHAR_MECA, mot clef CONTACT

C'est dans AFFE_CHAR_MECA que l'on définit les paramètres des charges de contact, sous le mot clef
CONTACT.

C'est ici que l'on choisit les surfaces de contact.

· Le contact se fera entre le GROUP_MA_1 (ou MAILLE_1) et le GROUP_MA_2 (ou MAILLE_2).
la déclaration de ces deux éléments est indispensable.


Figure 3.1-a : Déclaration des surfaces de contact

Seuls les couples de surfaces déclarés ici seront pris en compte. Si jamais le contact devait se faire
ailleurs, Code_Aster n'en tiendra pas compte.

· Toutes les charges de contact doivent être déclarées dans le même AFFE_CHAR_MECA, et
dans le même mot clé contact. On ajoutera autant d'occurrences de ce mot clé qu'il y a de
zones à déclarer.

Exemple :

CHA = AFFE_CHAR_MECA ( MODELE=MO,
DDL_IMPO=_F(GROUP_MA='SOCLE',
DX=0.0,
DY=0.0,),


CONTACT=(_F( GROUP_MA_1 = 'COTE_AB',
GROUP_MA_2
=
'COTE_EF',
METHODE
=
'LAGRANGIEN',
APPARIEMENT
=
'MAIT_ESCL',),



_F(
GROUP_MA_1
=
'COTE_MP',
GROUP_MA_2
=
'COTE_RS',
METHODE
=
'LAGRANGIEN',
APPARIEMENT
=
'MAIT_ESCL',
FROTTEMENT
=
'COULOMB',
COULOMB
=
2.0,),),);
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3.2

STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE

[U4.51.03] et [U4.53.01]
STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE, mot clef EXCIT

La déclaration de la charge est très simple, puisqu'il suffit de donner le nom de la charge construite par
AFFE_CHAR_MECA.

Il faut bien entendu, régler les paramètres de pas de temps ... propres à toute étude mécanique, sans
oublier que le problème de contact est non linéaire.

Remarque importante :

On ne peut pas utiliser le pilotage dans un problème de contact, ni la recherche linéaire.


Exemple :

RESU = STAT_NON_LINE ( MODELE=MO,
CHAM_MATER=CHMAT,
EXCIT=
(_F(CHARGE=CHA1,
FONC_MULT=F,),

_F(CHARGE=CONTACT,),),

COMP_INCR=_F(RELATION='ELAS',

TOUT='OUI',),
INCREMENT=_F(
LIST_INST=L_INST,
INST_FIN=1.5,
SUBD_PAS=2,
SUBD_PAS_MINI=1.E-3,),
NEWTON=_F(MATRICE='TANGENTE',
REAC_ITER=1,),
CONVERGENCE=_F(RESI_GLOB_MAXI=1.E-8,
ITER_GLOB_MAXI=20,
ARRET='OUI',),
ARCHIVAGE=_F(LIST_INST=L_INST,),);

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4 Modélisation

La prise en compte du contact intervient dès la création du maillage.
On abordera dans cette partie les questions utiles à se poser lors des étapes de modélisation.
Cette réflexion concerne le maillage, mais aussi les conditions aux limites, la définition des surfaces de
contact et la prise en compte du frottement.

4.1 Le
Maillage

4.1.1 Finesse du maillage

Dans la plupart des cas, il est préférable de raffiner le maillage dans les zones de contact.
En particulier dans les courbes, un maillage fin permet une meilleure définition de la normale.
Si la structure présente des angles, un maillage raffiné permettra de les arrondir légèrement.


Figure 4.1.1-a : Maillage d'une structure anguleuse

Par contre, sur des plans rigides, le traitement du contact se contente d'un maillage grossier.



Figure 4.1.1-b : Maillage d'un plan rigide

4.1.2 Choix des éléments finis

Tous les éléments finis sont compatibles avec les calculs de contact.
Les mailles des surfaces de contact sont surfaciques en dimension 3, linéiques en dimension 2. Elles
doivent être définies dans le maillage, elles ne sont pas automatiquement extraites des mailles
volumiques par Code_Aster.
Cas des mailles quadratiques HEXA20 en 3D, et QUAD9 en coques :



Figure 4.1.2-a : Maille quadratique avec ses noeuds sommet (x) et ses noeuds milieu (o)
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Dans le cas des éléments quadratiques, Code_Aster impose des relations cinématiques entre les
noeuds milieux et les noeuds sommets. Des multiplicateurs de Lagrange sont appliqués sur les noeuds
milieux.
La première conséquence est que la structure est plus rigide.
De plus, si des conditions aux limites (ou de symétrie) sont imposées sur ces éléments, il faut les
imposer aux noeuds sommets, mais pas aux noeuds milieux pour ne pas créer de redondances (deux
multiplicateurs de Lagrange sur le même noeud).
Par ailleurs, les multiplicateur de Lagrange impliquent l'utilisation de matrices plus grandes, et peuvent
donc nuire aux performances, et poser des problèmes de mémoire dans le cas de très gros modèles.


4.1.3 Cas des poutres

Il existe un problème spécifique à la poutre, elle n'a pas de vecteur normal unique. L'utilisateur doit
fixer la direction de la normale avec le mot clef VECT_Y.
Les conditions de contact ne seront correctement prises en compte que si le contact se fait selon cette
normale.
Si ces restrictions sont incompatibles avec les restrictions du problème, on peut toujours mailler la
poutre en 3D.


4.1.4 Epaisseur

matériau

Les mots clés DIST_1 et DIST_2 permettent de simuler des défauts de surface qui ne sont pas
représentés dans le maillage. On ajoute sur GROUP_MA_1 (ou MAILLE_1) pour DIST_1 et sur
GROUP_MA_2 (ou MAILLE_2) pour DIST_2 une épaisseur dans le sens de la normale.
Ainsi, DIST_1 > 0 correspond à une épaisseur plus grande, DIST_1 < 0 à une épaisseur plus petite.



Figure 4.1.4-a : Utilisation de dist_1


Remarque :

Cette option remplace le maillage de défauts de surface, mais ne simule pas l'ajout de
matière (inertie, bras de levier...).

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On peut s'en servir pour le contact entre coques dont seule la surface moyenne a été maillée. On peut
aussi s'en servir pour représenter une surface accidentée.
Lors de la visualisation, on ne voit pas DIST_1 et DIST_2. On peut alors voir de l'interpénétration alors
qu'il n'y en a pas (DIST_1 + DIST_2 <0) ou ne pas voir du contact alors qu'il y en a (DIST_1 + DIST_2
> 0).

dist_2
surfaces
de contact

interpénétration
dist_1

Figure 4.1.4-b : Visualisation d'une interpénétration


4.1.5 VECT_Y

VECT_Y, mot clef de AFFE_CHAR_MECA/CONTACT permet de définir un repère local sur une surface
de contact. Dans ce cas, le repère local est construit de la manière suivante : le premier vecteur V1 est
obtenu par projection orthogonale de VECT_Y sur la surface de l'élément considéré, le second V2 est
obtenu par produit vectoriel de V1 avec le vecteur normal N.

On l'utilise aussi pour donner une normale aux poutres.
Dans ce cas, VECT_Y est le vecteur, qui, par produit vectoriel avec le vecteur tangent à la poutre,
donne la normale à utiliser.
N
T
VECT_Y

Figure 4.1.5-a : Utilisation de VECT_Y pour définir la normale à une poutre

Pour d'autres usages de VECT_Y, on peut se reporter à la documentation U4 de AFFE_CHAR_MECA.
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4.2 Les
normales

Il est impératif que les mailles de contact soient définies de façon à ce que les normales soient
sortantes.
Pour avoir des normales sortantes, on utilise l'opérateur MODI_MAILLAGE, avec les mots_clef
ORIE_PEAU_2D, ORIE_PEAU_3D ou ORIE_NORM_COQUE, selon la modélisation [U4.23.04].

n

Figure 4.2-a : La normale doit être sortante

Exemple :

MA = MODI_MAILLAGE ( reuse=MA,
MAILLAGE=MA,
ORIE_PEAU_3D=(_F(GROUP_MA='SURF_1',),


_F(GROUP_MA='SURF_2',),),
MODELE=MO,);


4.3 L'appariement

Deux méthodes d'appariement sont disponibles : `NODAL' ou `MAITRE-ESCLAVE'.

4.3.1 Méthode
`nodal'

L'appariement se fait entre un noeud de la surface esclave et un noeud de la surface maître.

A chaque noeud esclave, on apparie le noeud maître le plus proche.
La relation de non interpénétration utilise par défaut la normale à la maille esclave. La direction
d'approche est soit la normale à la maille maître, soit une direction arbitraire fixe (VECT_NORM_2).

Normale
maître

Vect_norm_2
Esclave
Maître

Figure 4.3.1-a : Exemple d'utilisation de VECT_NORM_2
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La surface maître est celle qui comporte le plus de noeuds (ou si égalité MAILLE_2 ou GROUP_MA_2).
En effet, il est préférable que chaque noeud maître ne soit apparié qu'à un seul noeud esclave.
Conseils d'utilisation :
Il est conseillé d'avoir les maillages compatibles et qui restent compatibles au cours du calcul.
La méthode `NODAL' ne permet pas de prendre correctement en compte les grands déplacements.
On conseille d'utiliser la méthode `MAITRE-ESCLAVE'.

4.3.2 Méthode
`maitre-esclave'

C'est la méthode d'appariement conseillée.
C'est un appariement noeud-facette. Il se fait entre un noeud esclave et une facette maître.
La condition de contact est que les noeuds esclaves ne doivent pas entrer dans les mailles maîtres.
On remarque que l'inverse est possible.
La relation de non interpénétration utilise par défaut la normale à la maille maître. On peut aussi utiliser
la moyenne entre la normale à la maille maître et la normale à la maille esclave.

Normale
Normale
esclave
maître
Moyenne des
deux directions

Esclave
Maître

Figure 4.3.2-a : Exemple d'utilisation de la moyenne entre la direction
de la normale maître et celle de la normale esclave

La surface maître est celle définie par GROUP_MA_1 (ou MAILLE_1), la maille esclave est celle définie
par GROUP_MA_2 (ou MAILLE_2).
Cette méthode d'appariement peut être utilisée en grands déplacements.

Choix des surfaces maître et esclaves :

Si une surface est maillée beaucoup plus finement que l'autre, il vaut mieux que ce soit l'esclave pour
limiter l'interpénétration.
Si une des surfaces est rigide, il vaut mieux que ce soit la surface maître.
Une surface maître peut être appariée à plusieurs surfaces esclaves mais une surface esclave ne peut
correspondre qu'à une seule surface maître.

4.3.3 Les
difficultés

Pour les méthodes CONTRAINTE et LAGRANGE, les conditions de contact sont imposées au moyen de
multiplicateurs de Lagrange sur les noeuds esclaves (pour les méthodes CONTRAINTE et LAGRANGE).
Or on ne peut mettre qu'un multiplicateur de Lagrange par noeud et par direction.
Les conséquences immédiates de cette remarque sont :

· un point ne doit pas appartenir à plusieurs surfaces esclaves,
· les points des surfaces esclaves ne doivent pas porter de conditions de Dirichlet (DDL_IMPO,
FACE_IMPO, LIAISON_...).
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4.3.4 Des solutions possibles

On peut regrouper différentes surfaces de contact en une seule. Les surfaces de contact peuvent être
anguleuses. Elles peuvent aussi être composées de surfaces de maillage disjointes.

surface esclave
surface maître

Figure 4.3.4-a : Exemple de surfaces de contact anguleuses

On peut exclure certains points des surfaces esclaves. On utilise pour cela les mots-clés SANS_NO et
SANS_GROUP_NO. Cette méthode est utilisée par exemple pour exclure d'une surface esclave les
noeuds d'une arête sur laquelle on a imposé une condition aux limites.

4.3.5 Un cas particulier

Il est possible que la surface esclave entre en contact avec un prolongement de la surface maître.

surface esclave
surface maître

Figure 4.3.5-a : Exemple de contact avec le prolongement de la surface maître

Il existe deux solutions à ce problème.
La première consiste à choisir pour surface maître la plus étendue.
La deuxième consiste à élargir la surface maître et prendre en compte les autres côtés. (voir
[Figure 4.3.4-a]).
Ce comportement peut également perturber des problèmes de géométrie plus compliquée.

4.4
Conditions aux limites

On rappelle qu'un noeud esclave ne doit pas porter de condition aux limites (voir paragraphe
précédent).

Le calcul doit pouvoir se faire même quand on supprime le contact. En dynamique, cela n'impose pas
de contrainte particulière. En statique, il faut que la structure ne tienne pas que par le contact. On fera
donc attention à bloquer tous les modes de corps rigides.
Pour bloquer un mode de corps rigide, il suffit d'appliquer à la structure un déplacement imposé (nul ou
non) dans la direction à bloquer. Une autre méthode est de bloquer le mode de corps rigide avec un
ressort de faible raideur qui ne va pas trop perturber le résultat du calcul. Cette solution n'est pas
anodine et il est conseillé de vérifier les résultats du calcul en faisant une étude paramétrique sur la
raideur du ressort.
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4.5 Surfaces
rigides

Il se peut qu'une des surfaces du modèle soit infiniment rigide.
On conseillera même, dans un souci de simplification du problème, de considérer comme infiniment
rigide toute surface beaucoup plus rigide que les autres.

La modélisation d'une surface rigide se fait en bloquant ses degrés de liberté avec des conditions
cinématiques.
On peut aussi augmenter son module d'Young pour le placer à au moins un ordre de grandeur au
dessus des modules d'Young des autres surfaces. Mais cette dernière méthode est largement
déconseillée car elle peut introduire des difficultés numériques.

Dans le cas d'un problème de contact, la surface rigide sera de préférence la surface maître.
Les parties planes de la surface rigide peuvent être modélisées très grossièrement. Par contre, pour
une meilleure définition des normales, il est conseillé de mailler finement les zones courbes.

Si la surface rigide est la surface esclave, on ne pourra pas traiter le problème en posant des
conditions cinématiques....


4.5.1 Extraits d'un fichier de commande comportant une surface rigide



...
MODE=AFFE_MODELE( MAILLAGE=MA,
VERIF='MAILLE',
AFFE=(_F( TOUT='OUI',
PHENOMENE = 'MECANIQUE',
MODELISATION = 'D_PLAN'),),);

MA=MODI_MAILLAGE( REUSE=MA,
MAILLAGE=MA,
MODELE=MODE,
ORIE_PEAU_2D=_F(GROUP_MA= ('CONTACT','SURFACE')),
INFO=2);
...
CH=AFFE_CHAR_MECA( MODELE=MODE,
DDL_IMPO=(_F( GROUP_MA = 'SURFACE',DX = 0.,DY = 0. ),),
CONTACT=_F(REAC_GEOM='CONTROLE',
NB_REAC_GEOM=2,
GROUP_MA_1='SURFACE',
GROUP_MA_2='CONTACT',
METHODE='LAGRANGIEN',
FROTTEMENT = 'COULOMB',
PESANTEUR=(9.8,0.,-1.,0.),);
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RESU=DYNA_NON_LINE(
MODELE=MODE,
CHAM_MATER=CHMAT,
EXCIT=_F(CHARGE=CH,),
ETAT_INIT=_F(VITE = VIT_0),
COMP_INCR=_F(RELATION='ELAS',
DEFORMATION='SIMO_MIEHE',
TOUT='OUI',),
INCREMENT=_F(LIST_INST=L_INST,
SUBD_PAS=4,
SUBD_PAS_MINI=1.E-17,
COEF_SUBD_PAS_1=1.0,),
HHT=_F( ALPHA=-0.05 ),
NEWTON=_F( REAC_ITER=1,
MATRICE='TANGENTE',),
CONVERGENCE=_F(RESI_GLOB_RELA=1.E-06,
ITER_GLOB_MAXI=25,
ARRET='OUI',),
ARCHIVAGE=_F(ARCH_ETAT_INIT='OUI',
PAS_ARCH=100,),);

4.6 Le
frottement

La modélisation du frottement en 3D est une chose assez délicate. Aussi, si dans une étude 3D le
coefficient de frottement est très faible, il est conseillé de négliger les frottements.

Pour une étude avec frottement, il est conseillé de la traiter dans un premier temps sans frottement afin
de donner un ordre de grandeur de la réponse et dans le souci d'introduire les difficultés les unes
après les autres.


5 Calculs

Il est fortement conseillé de lire les documentations U4 de AFFE_CHAR_MECA et de STAT_NON_LINE
ou DYNA_NON_LINE.
Le contact est traité comme une charge dans l'équation de la dynamique.
Les difficultés rencontrées au cours du calcul ne sont pas obligatoirement dues au contact.
Le traitement du contact est une des non linéarités du problème. Le problème peut comporter d'autres
non linéarités.

5.1
Prise en compte du contact ­ frottement

Dans l'opérateur AFFE_CHAR_MECA, on est amené à choisir la méthode de calcul du contact. Trois
méthodes sont possibles : `CONTRAINTE', `LAGRANGE' et `PENALISATION'.

5.1.1 `CONTRAINTE'

Elle est basée sur l'algorithme des contraintes actives (voir les documentations R de référence pour
plus de détails).
C'est une méthode exacte. Elle utilise les multiplicateurs de lagrange. Il n'y a pas interpénétration entre
les structures.
On ne peut pas l'utiliser avec du frottement.
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5.1.2 `LAGRANGE'

C'est une méthode exacte.
Elle utilise les multiplicateurs de Lagrange et un algorithme équivalent à celui de la méthode
CONTRAINTE.
Cette méthode permet l'utilisation du frottement.

5.1.3 `PENALISATION'

Cette méthode traite le frottement pénalisé (coefficient ET), mais le contact est soit pénalisé
(coefficient EN) soit traité par multiplicateur de lagrange. C'est l'utilisateur qui décide (s'il fournit EN le
contact est pénalisé, s'il ne le fournit pas le contact est traité par multiplicateur de Lagrange).

5.1.3.1 Choix des coefficients de pénalisation

Le choix des coefficients de pénalisation est un choix délicat. D'autant plus que le résultat obtenu est
très dépendant de ce coefficient.

Plus le coefficient de pénalisation sera élevé, plus le résultat sera proche du résultat exact. Mais un
coefficient de pénalisation trop élevé (par rapport aux autres raideurs du problème) peut induire des
problèmes numériques.

En pratique, on peut commencer par un coefficient du même ordre de grandeur que le plus petit
module d'Young du problème. Ensuite, on l'augmente petit à petit (d'un facteur 10 par exemple) jusqu'à
la stabilisation des résultats.

Remarque :

Pour le coefficient EN, on peut valider le résultat du calcul en vérifiant que l'interpénétration n'est
pas trop grande. On peut parfois l'augmenter jusqu'à 107 à 108 fois le plus petit module d'Young.


5.1.3.2 Avantages et inconvénients

La pénalisation n'induit pas de discontinuité des champs de vitesse. Ce qui peut être un avantage dans
un calcul en dynamique.
Cependant elle n'est pas exacte car elle autorise l'interpénétration, et les résultats sont très
dépendants des coefficients de pénalisation.

5.1.4 Remarques

Voici une liste de remarques pour aider au choix de la méthode.
Pour un calcul élastique, la méthode `LAGRANGE' (ou des contraintes actives s'il n'y a pas de
frottement) est plus rapide.
La pénalisation donne des résultats très dépendants des coefficients de pénalisation.
Dans le cas d'un calcul avec frottement pénalisé, on peut vérifier ses résultats en essayant avec une
autre méthode.
Dans le cas d'un contact normal pénalisé, une vérification peut être la profondeur d'interpénétration.
Elle ne doit pas être trop grande.
On rappelle qu'on ne peut utiliser qu'une seule méthode pour les conditions de contact d'un même
calcul.
En 2D, on utilisera plutôt `LAGRANGE' ou `CONTRAINTE'.

5.2 Frottement

Lorsqu'on active le frottement, il faut fournir un coefficient de frottement Coulomb dans tous les cas. En
3D en contact surfacique (mailles 2D), il faut aussi fixer le COEFFICIENT_MATR_FROT (voir la
documentation U4). Et dans le cas d'un calcul avec pénalisation, il faut donner ET (voir § pénalisation).
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5.3 Interpénétration

A l'issue du calcul, on peut observer une interpénétration des structures. Elle peut être due à plusieurs
raisons.

5.3.1 Calcul
pénalisé

Dans le cas d'un calcul pénalisé, il y a toujours interpénétration au moment du contact, puisque les
forces de contact deviennent actives quand le jeu est négatif.
Cette interpénétration est plus faible si les coefficients de pénalisation normaux (EN) sont plus élevés.

5.3.2 Dissymétrie maître / esclave

On peut avoir une interpénétration des noeuds maîtres dans les surfaces esclaves. Pour certaines
géométries, ce phénomène peut devenir gênant (interpénétration trop profonde, ou pénétration
complète d'un relief de la maille maître dans une surface esclave). Il suffit de mailler plus finement les
surfaces esclaves dans les régions concernées.

surface esclave
surface
maître


Figure 5.3.2-a : Exemple d'interpénétration due à la dissymétrie maître / esclave

5.3.3 Visualisation

On fera bien sûr attention aux artefacts de visualisation.
Comme on a vu dans le § Epaisseur matériau, si on utilise les mots clefs DIST_1 et DIST_2, on peut
alors voir de l'interpénétration alors qu'il n'y en a pas (DIST_1 + DIST_2 <0) ou ne pas voir du contact
alors qu'il y en a (DIST_1 + DIST_2 > 0).

Lors d'une visualisation, on est amené à choisir un facteur d'échelle. Ce facteur multiplie les
déplacements et permet à l'utilisateur de mieux les observer. Dans le cas d'une étude avec contact, il
faut mettre ce facteur d'échelle à 1.
Si ce facteur est supérieur à 1, on peut observer beaucoup d'interpénétration là où il n'y en a pas du
tout.


5.4 Le
calcul

Le calcul se fait avec STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE. Il est conseillé de lire les documentations
U4 associées à ses opérateurs. On pourra aussi se reporter aux documents de la formation Aster.
Au moment de faire les choix des différentes options, on n'oubliera pas que le problème de contact est
non linéaire.
On se posera la question de savoir si on travaille en petits ou en grands déplacements.
On rappelle que les options de recherche linéaire et celle de pilotage ne sont pas possibles avec le
contact.
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5.5 Grands
déplacements

On considère dans ce paragraphe, les problèmes en grands déplacements.
La détection du contact se fait d'après la géométrie de la structure et les relations de non
interpénétration s'appuient sur les directions des normales. En cas de grands déplacements, on a donc
besoin de travailler sur une géométrie réactualisée.
On ne parle pas ici de grandes déformations. La possibilité ou non de traiter les grandes déformations
ne dépend pas du contact.
Par ailleurs, on choisira des paramètres de calcul dans l'opérateur STAT_NON_LINE ou
DYNA_NON_LINE compatibles avec un calcul en grands déplacements.

5.5.1 Recherche

La recherche de l'appariement se fait soit dans le voisinage direct du noeud de contact précédent, soit
sur toute la structure. En cas de grands déplacements, on utilise la recherche sur toute la structure.

5.5.2 Réactualisation
de la géométrie

Suivant si l'on travaille en grands ou en petits déplacements, on choisira une réactualisation de la
géométrie différente.
REAC_GEOM='SANS'. Dans ce cas, on travaille sur la géométrie initiale. On n'utilise ce choix que pour
des études en petits déplacements.
Pour les grands déplacements, on utilise un des deux autres choix.
Le choix par défaut est :
REAC_GEOM='AUTO'. La réactualisation de la géométrie est automatique. Elle se fait jusqu'à satisfaire
un critère de convergence géométrique.
On peut aussi imposer le nombre d'itérations avec : REAC_GEOM='CONTROLE'. On précise ce nombre
avec NB_REAC_GEOM=n.
· La valeur 1 indique qu'à convergence, on réactualise la géométrie et on passe au pas de
charge suivant.
· La valeur 2 indique qu'à convergence, on ne passe pas au pas de charge suivant.
On réactualise la géométrie et on réitère jusqu'à convergence.
· La valeur n>2 indique que l'on fait n cycles réactualisation géométrique-itérations jusqu'à
convergence.


5.6
Le cas dynamique

Les remarques précédentes sont valables en statique (STAT_NON_LINE) et en dynamique
(DYNA_NON_LINE).
On attirera l'attention sur quelques points particuliers aux calculs dynamiques.
Dans un problème traité avec multiplicateurs de Lagrange, au moment de l'impact la vitesse est
discontinue. L'accélération n'est donc pas définie à cet instant.
Cette remarque peut être à l'origine de fortes oscillations de la réponse, ou d'une forte sensibilité au
schéma de calcul utilisé et au pas de temps. On conseille fortement de commencer par le pas de
temps qui respecte la condition de courant (temps mis par l'onde pour traverser un élément) puis de
tester plusieurs pas de temps plus petits ou plus grands.
On peut atténuer les oscillations en utilisant un schéma qui génère de l'amortissement numérique.
Dans le cas d'un calcul pénalisé, il n'y a pas de saut de vitesse. Cette méthode est peut être plus
correcte sur un plan mathématique, mais elle génère elle aussi des oscillations de la réponse au
moment du contact.

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6 Autres
méthodes

Dans cette partie, on présente deux autres méthodes disponibles dans Code_Aster pour traiter le
contact. Leur domaine d'application est plus restreint (calcul pénalisé et contact ponctuel) mais elles
possèdent quelques particularités qui peuvent être utiles et qui sont exposées ci dessous.

6.1
DYNA_TRAN_MODAL

Pour l'utilisation de cet opérateur, on conseille la lecture de la documentation U4.
Pour le post-traitement, on lira en particulier la documentation U4 de POST_DYNA_MODA_T.

6.1.1 Présentation

DYNA_TRAN_MODAL calcule une réponse dynamique transitoire sur base modale tronquée. Il permet la
prise en compte du contact-frottement.
L'utilisation de cet opérateur suppose que le calcul modal est déjà fait.
DYNA_TRAN_MODAL propose plusieurs méthodes de calcul. On utilisera les méthodes explicites
(`EULER', `DEVOGE', `ADAPT') pour traiter le contact.
On entre les données relatives au contact-frottement sous le mot clef `CHOC'.

6.1.2 Traitement du contact

Il s'agit d'un contact ponctuel, pénalisé, en petits déplacements.
On peut prendre en compte l'amortissement de choc. (On rappelle que l'effet de cet amortissement
dépend du pas de temps.).
L'utilisateur fournit les couples de noeuds potentiellement en contact, ainsi que les coefficients de
pénalisation (EN et ET) et d'amortissement.

6.1.3 Modélisation

6.1.3.1 Epaisseur
matériau

Elle correspond à l'épaisseur matériau des charges de contact.
On remarque qu'un jeu initial négatif équivaut à une précontrainte.

6.1.3.2 Obstacles non maillés

Il est possible de tenir compte de surfaces rigides non modélisées. Elles sont définies par
DEFI_OBSTACLE. Elles bloquent le déplacement d'un point à l'intérieur d'une courbe pré définie, ou
entre deux plans.
obstacle
Structure
défini par
étudiée
DEFI_OBSTACLE

Figure 6.1.3.2-a : Exemple d'utilisation de DEFI_OBSTACLE

Ces surfaces sont infiniment rigides, mais on peut leur affecter une souplesse par le biais des
coefficients de pénalisation.

Remarque :

On peut faire évoluer ces obstacles au cours du calcul selon des profils déterminés avec les
opérateurs POST_USURE et MODI_OBSTACLE. Sur ce point, il est conseillé de consulter les
documentations U4 de POST_USURE et de MODI_OBSTACLE, pour voir sur quels types
d'étude ces calculs sont applicables.

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6.1.4 Conseils
d'utilisation

Le choix des coefficients de pénalisations se fait de la même façon que pour la méthode pénalisée des
charges de contact.
On élabore la base modale et on la garde dans une base Aster. On gagne alors beaucoup de temps
sur les calculs transitoires.
Si le problème comprend des surfaces rigides, ou des surfaces de contact qui ne se déplacent pas, on
peut les modéliser avec DEFI_OBSTACLE.

6.1.5 Post-traitement

Les composantes des résultats sont directement accessibles par RECU_FONCTION.
DYNA_TRAN_MODAL possède des post-traitement spécifiques. Ils permettent de faire des études
d'impact ou des études d'usure. Ils sont accessibles à partir de POST_DYNA_MODA_T et ses options
`IMPACT' ou `USURE'. On se reportera à la documentation U4 de POST_DYNA_MODA_T pour la liste
des post-traitement compris dans ces deux options.

6.1.6 Bilan

Cette méthode du traitement du contact est limitée aux études de contact ponctuels, pénalisé, en petits
déplacements.
Mis à part les non linéarités locales prévues par l'opérateur (comme les chocs ponctuels), le problème
doit être linéaire, puisque le calcul est fait à partir de la base modale.
Dans son domaine d'utilisation, elle a l'avantage de prendre en compte l'amortissement et de disposer
d'un post-traitement riche.
La troncature de la base modale permet de faire des calculs transitoires rapides. On fera cependant
attention de bien choisir la taille de la base utilisée. Dans le cas d'une étude avec choc, on peut être
amené à monter assez haut en fréquence.
La création d'obstacles hors maillage peut représenter un gain de taille important pour le modèle.

6.1.7 Un
exemple

TRANGENE = DYNA_TRAN_MODAL (
METHODE = `euler',
MASS_GENE
=
MASSEGEN,
RIGI_GENE
=
RIGIGEN,
EXCIT
=
(_F(VECT_GENE
=
FORC1,
FONC_MULT
=
FONC1,),
_F(VECT_GENE = FORC2,
FONC_MULT
=
FONC2,),),
INCREMENT
=
_F(INST_INIT
=0.,


INST_FIN
=
2.5,


PAS
=
4.E-5,),
CHOC
=
(_F(
GROUP_NO_1
=
'A',
GROUP_NO_2
=
'AA',
OBSTACLE
=
OBST1,
NORM_OBST
=
(0.,1.,0.,),







JEU = 0.1,
RIGI_NOR
=
1.E11,
RIGI_TAN
=
1.5E8,
COULOMB
=
0.6,),


_F(
GROUP_NO_1
=
'B',
OBSTACLE
=
OBST2,
NORM_OBST
=
(0.,1.,0.,),
JEU
=
0.05,
RIGI_NOR
=
2.E9,
RIGI_TAN
=
2.E7,
COULOMB
=
0.5,),),);
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6.2
DIS_CONTACT

Les éléments DIS_CONTACT permettent de modéliser un contact ponctuel, pénalisé, en petits
déplacements. Ce sont des éléments discrets.
Contrairement au chapitre précédent, le calcul est alors direct (opérateurs STAT_NON_LINE ou
DYNA_NON_LINE).
Les éléments DIS_CONTACT sont généralement des éléments à deux noeuds, présents dans le
maillage. Ils relient les deux points qui seront potentiellement en contact au cours du calcul. Il y a aussi
des éléments à un noeud, auxquels il faut affecter un jeu dans la direction normale de choc (confondue
avec l'axe local x).

Ces éléments possèdent de nombreuses caractéristiques que l'on déclare dans DEFI_MATERIAU.
On conseille la lecture de la doc U4 de DEFI_MATERIAU pour obtenir la liste exhaustive de ces
paramètres et leur définition.
L'intérêt de ces éléments est leur grande richesse de comportement. On peut leur donner des lois de
comportement particulière (élasto-plastique, dépendantes du temps...).
Bien entendu, avant de multiplier l'utilisation de ces paramètres, il faudra se poser la question de
savoir lesquels ont un sens pertinent pour l'étude.
Dans le fichier de commande suivant, on les utilise pour calculer le contact entre deux poutres
modélisées en 3D.

6.2.1 Exemple de fichier de commande


POU1
POU2
Eléments de contact
ACHOC 1 à 4

Figure 6.2.1-a : Maillage de l'étude

# Construction du maillage

MAIL=LIRE_MAILLAGE();
MAIL=DEFI_GROUP(reuse =MAIL,
MAILLAGE=MAIL,
CREA_GROUP_MA=_F(NOM='ACHOC',
UNION=('ACHOC1','ACHOC2','ACHOC3','ACHOC4',),),
CREA_GROUP_NO=_F(TOUT_GROUP_MA='OUI',),);

# Les poutres POU1 et POU2 sont en 3D, alors que les éléments de choc sont des discrets. On leur
attribue des caractéristiques grâce à l'opérateur DEFI_MATERIAU. Dans cette étude, on a choisi de
tenir compte d'un amortissement (qui agit qu'il y ait contact ou non). On indique aussi le coefficient de
pénalisation du choc.
(On rappelle que l'effet de l'amortissement dépend du pas de temps.)
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MODELE=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MAIL,
AFFE=(_F(GROUP_MA=('POU1','POU2',),
PHENOMENE='MECANIQUE',
MODELISATION='3D',),
_F(GROUP_MA=('ACHOC1','ACHOC2','ACHOC3','ACHOC4',),
PHENOMENE='MECANIQUE',
MODELISATION='DIS_T',),),);

ACIER=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E=200000000000.0,
NU=0.3,
RHO=7800.0,),);
AMOR=DEFI_MATERIAU(DIS_CONTACT=_F(RIGI_NOR=1000000000.0,
AMOR_NOR=5.0,),);

CHMAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,
AFFE=(_F(GROUP_MA='POU1',
MATER=ACIER,),
_F(GROUP_MA='POU2',
MATER=ACIER,),
_F(GROUP_MA=('ACHOC1','ACHOC2','ACHOC3','ACHOC4',),
MATER=AMOR,),),);

# Pour le bon fonctionnement de l'opérateur DYNA_NON_LINE, on doit indiquer une matrice de raideur
pour les éléments discrets. On choisit des coefficients nuls pour ne pas perturber la suite du calcul.

CARELEM=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=MODELE,
DISCRET=_F(GROUP_MA=('ACHOC1','ACHOC2','ACHOC3','ACHOC4',),
CARA='K_T_D_L',
VALE=(0.0,0.0,0.0,),),);

. . .

# Les éléments dis_contact ont une relation de comportement 'DIS_CHOC' que l'on renseigne dans
COMP_INCR. Alors que les poutres ont un comportement élastique.

U0=DYNA_NON_LINE(MODELE=MODELE,
CHAM_MATER=CHMAT,
CARA_ELEM=CARELEM,
EXCIT=(_F(CHARGE=CONDLIM,),),
COMP_INCR=(_F(RELATION='ELAS',
DEFORMATION='PETIT',
GROUP_MA=('POU1','POU2',),),
_F(RELATION='DIS_CHOC',
GROUP_MA=('ACHOC1','ACHOC2','ACHOC3','ACHOC4',),),),
ETAT_INIT=_F(VITE=VITINI,),
INCREMENT=_F(LIST_INST=L_INST,
SUBD_PAS=3,
SUBD_PAS_MINI=1e-08,),
NEWMARK=_F(ALPHA=0.25,
DELTA=0.5,),
NEWTON=_F(MATRICE='TANGENTE',
REAC_ITER=1,),
SOLVEUR=_F(METHODE='MULT_FRONT',),
CONVERGENCE=_F(RESI_GLOB_RELA=1e-05,
ITER_GLOB_MAXI=60,
ARRET='OUI',),
ARCHIVAGE=_F(LIST_INST=L_ARCH,),);
Manuel d'Utilisation
Fascicule U2.04 : Mécanique non linéaire
HT-66/03/002/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Modélisation du contact

Date
:

04/11/03
Auteur(s) :
S. LAMARCHE Clé
:
U2.04.04-A Page
: 27/28


7 Bibliographie

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N. TARDIEU : Code_Aster, documentation Référence, [R5.03.50], 2001
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J.P. LEFEBVRE : Code_Aster, documentation Utilisation, [U4.43.01], 2003

Manuel d'Utilisation
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HT-66/03/002/A

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