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Version
6.4

Titre :

Contraintes, efforts, forces et déformations


Date :
24/06/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON Clé
:
U2.01.05-B Page
: 1/16

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, MMC
















Manuel d'Utilisation
Fascicule U2.01 : Notions générales
Document : U2.01.05




Contraintes, efforts, forces et déformations





Résumé :

Ce document définit les grandeurs caractérisant les contraintes, les forces et les déformations à l'intérieur d'une
structure dans un calcul par éléments finis en déplacement et comment cela se traduit dans le Code_Aster.
L'expression de ces grandeurs est donnée pour les éléments finis de mécanique : milieu continu 2D ou 3D,
coques et poutres.

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1 Statique

1.1 Contraintes

Le postulat de Cauchy est que les efforts de contacts exercés en un point par une partie d'un milieu
continu sur une autre ne dépend que de la normale à la surface en ce point délimitant les parties.

Conformément à ce postulat, on appelle vecteur contrainte, pour les milieux non micropolaires, F(n)
le vecteur qui caractérise les forces de contact exercées à travers un élément de surface dS de
normale n sur une partie d'un milieu continu [bib1].

On démontre [bib3], alors, que la dépendance en un point fixé de F par rapport à la normale n est
linéaire et qu'il existe un tenseur que l'on appelle tenseur des contraintes tel que :

F(n) = n

L'unité des contraintes est le N.m­2 Pa.
Pour l'ensemble de la structure "l'état de contrainte" est caractérisé par un champ de tenseur des
contraintes que l'on désigne plus simplement par champ de contrainte.



1.2 Effort

En ce qui concerne les structures de poutres ou de coques, contrairement au cas du milieu continu, il
faut noter que :

· seules les directions normales n des coupures selon l'espace tangent à la variété sont
possibles,
· les grandeurs caractéristiques sont obtenues par intégration dans la section ou l'épaisseur
des grandeurs définies pour les milieux continus.
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1.2.1 Cas des poutres

On appelle effort, les éléments de réduction (F , M) en P, centre d'inertie géométrique de la section
droite , du torseur résultant des forces de contact exercées sur la section [bib2].

Avec les notations précédentes :

F
= F() ds
(N)


M
= PM F () ds (N )
m
p
.



P




Pour les poutres dont la section droite n'est pas considérée comme rigide ces éléments de réduction
ne sont pas suffisants : par exemple, pour les poutres prenant en compte le gauchissement des
sections on est amené à considérer une grandeur supplémentaire d'effort due au gauchissement
(bimoment).
Les poutres multifibres (à comportement local 1D, reliant des contraintes à des déformations, en un
certain nombre de points de la section) et les tuyaux (comportement local en contraintes planes) sont
assimilables à des éléments de poutres classiques en ce qui concerne le mouvement de la fibre
moyenne et les torseurs d'efforts résultants.

1.2.2 Cas des coques

Soit, un point P d'un milieu surfacique S d'épaisseur h, soit dl un élément de longueur sur S, soit n la
normale orientant la coque en ce point.

Soit, les éléments de réduction en ce point (F , M) d'un torseur résultant des actions de contact
exercés à travers un élément de surface dS = h dl de normale tangente à S sur une partie de S.
Avec les notations précédentes :

+h/2
F ( P)
= F () dh
( N)
-h/2
+h/2

M( P) = PM F () dh ( N. )
m
-h/2
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n
dl
h



Il est clair que M est dans le plan tangent à S en P.
Soit, N ( P) la projection de F ( P) sur le plan tangent à S en P, et soit, T(P) sa composante
normale à ce plan tangent.

De la même façon que pour les milieux continus, on démontre qu'il existe deux tenseurs symétriques N
et M, et un vecteur Q, définis dans le plan tangent à S, tels que :

F = N
T = Q.

M = n M

(N,M,Q) sont appelés les efforts au point P :

· le tenseur N caractérise les efforts membranaires,
· le tenseur M, les moments fléchissants,
· le vecteur Q, les efforts tranchants.

Remarques :

· Il n'y a pas de conventions universelles sur la dénomination et les signes de ces tenseurs.
Notamment, le tenseur des moments fléchissants est pris avec un signe inverse dans
l'enseignement de l'ENPC et dans la pratique des ingénieurs français du génie civil. Notre
convention est utilisée dans les grands codes d'éléments finis (ANSYS) et permet d'avoir le
même signe pour une poutre et une plaque telle que
= .
· Pour les structures curvilignes ou surfaciques en matériau à comportement non linéaire, il est
nécessaire de relocaliser le champ de contraintes dans la section ou l'épaisseur, mais les
équations d'équilibre portent toujours sur les champs d'effort. Il n'est pas nécessaire de
redescendre aux contraintes pour définir l"état de contrainte".

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Liens avec le champ de contraintes

Dans ces conditions soit un repère dont la troisième composante est portée par n , on a (, =1 ou 2)
:

+h / 2
N


= N =
dh

-h / 2
+h / 2
M


= M = x3
dh


-h / 2
+h / 2
Q


=
dh
3
-h / 2

1.3 Forces
nodales

On appelle force nodale équivalente ou plus simplement force nodale, un vecteur F qui est le
représentant d'une forme linéaire W (liée généralement à une énergie) agissant sur des champs de
déplacement u(x) discrétisés par éléments finis.
Les champs de déplacements u(x) s'expriment à partir de ses valeurs nodales qui forment un vecteur
q et des fonctions de forme i(x) par :

(
u x) = q i (x
i
)
i
Dans ces conditions :

w (u) = q F
i
i
i

Remarques :

· La notion de noeud ici est très générale et veut dire, en fait, porteur de degré de liberté (qu'il
soit de Lagrange ou de Hermite d'ailleurs).
· La notion de déplacement est également très générale et englobe la notion de déplacement
généralisé comprenant des translations et des rotations.

1.4
Représentation des champs

Il y a plusieurs façons de représenter les champs dans une modélisation par éléments finis :

· pour les champs continus sur tout le domaine, on utilise les valeurs aux noeuds, (CHAM_NO
d'Aster)
(x) = (x
i
i
)
i
on parle alors de contraintes aux noeuds ou efforts aux noeuds,

Remarque :

Les champs de contraintes ou d'efforts sont généralement discontinus, si on les
représente de façon continu c'est uniquement à des fins de visualisation.


· pour les champs discontinus entre les éléments e, on utilise alors les valeurs en certains
points caractéristiques de l'élément (points de Gauss ou noeuds).
On parle alors de contraintes aux noeuds par éléments ou efforts aux noeuds par éléments,
ou encore, de contraintes aux points de Gauss ou efforts aux noeuds.
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En pratique, pour les champs discontinus on utilise :

· les représentations aux noeuds à des fins d'exploitations directes des résultats (impression ou
post-traitement de visualisation),
· aux points de Gauss (ou en ce qui en tient lieu), pour poursuivre des calculs nécessitant le
véritable "état de contrainte" dans l'élément : rigidité géométrique, force nodale, calculs non
linéaires.

1.5
Grandeurs associées dans Aster

1.5.1 SIGM_R

La grandeur SIGM_R représente l'"état de contrainte" de la structure, donc elle doit avoir, au
minimum, les composantes :

· des champs de contraintes des milieux continus (en repère global) :

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

· des champs d'efforts de poutre (en repère local à la poutre) :

N
VY
VZ
MT
MFY
MFZ

· pour les poutres avec gauchissement, il faut rajouter le bimoment (nécessairement en repère
local à la fibre) :

BX

· des champs d'efforts de coque (nécessairement en repère local à la surface) :

NXX
NYY
NXY
MXX
MYY
MXY
QX
QY

De plus, il est parfois commode de pouvoir exploiter directement les champs d'efforts de poutre
dans le repère global :

FX
FY
FZ
MX
MY
MZ


Il est également intéressant de représenter les composantes d'un champ de contraintes sur les
éléments de poutres ou de coques dans le repère local. Pour cela, on utilisera les mêmes
composantes qu'en repère global, bien que la confusion soit possible. Dans l'avenir, on introduira
une notion de repère de représentation attachée aux champs qui surmontera la difficulté.

1.5.2 FORC_F et FORC_R

Ces grandeurs représentent les forces appliquées à la structure sur une interface.
Pour :

· un milieu continu c'est donc un vecteur de force,
· une poutre, un torseur de forces,
· une coque, un torseur de forces.

Cette grandeur doit donc avoir les composantes suivantes :

· pour un milieu continu :

FX
FY
FZ

· plus pour les poutres et les coques :

MX
MY
MZ
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1.5.3 DEPLA_R

Etant donné que dans Aster,
· un champ ne peut être attaché qu'à une seule grandeur,
· que les méthodes d'éléments finis mixtes (mélangeant inconnues de type déplacement et
inconnues de type forces nodales) ne sont pas exclues,
· que la dualisation des conditions aux limites conduit à avoir pour inconnu un vecteur
comportant des variables de Lagrange qui sont des forces nodales au sens où on l'a précisé
plus haut,
· qu'il est nécessaire de pouvoir effectuer n'importe quel type de combinaison linéaire sur les
forces nodales,
· que la numérotation des inconnus doit être la même que celle des seconds membres,

les forces nodales (duales au sens de l'énergie W des déplacements nodaux) ont nécessairement les
mêmes composantes que les déplacements à savoir :

DX
DY
DZ
DRX
DRY
DRZ

plus, pour les poutres avec gauchissement, le bimoment : GRX.

1.6
Options de calcul

1.6.1 Calcul de l'"état de contrainte"

1.6.1.1 Préfixe
:
SIEF_ELGA

Il s'agit des options qui calculent le champ représentatif de l'"état de contrainte" et permettent de
poursuivre des calculs (rigidité géométrique, forces nodales, etc..) en des points de Gauss ou en ce
qui en tient lieu. Le préfixe de ces options est SIEF, car suivant les éléments, elles calculent des
contraintes ou des efforts.

Option de calcul
Nom
Calcul effectué 3D, 2D,
Poutres :
Plaques :
symbolique de
COQUE_3D


concept
Coques1D
POU_D_T
DKT
RESULTAT
TUYAU
POU_D_E
DST
Poutres
POU_D_TG
Q4G
multi-fibres POU_D_T_GD
SIEF_ELGA_DEPL
idem à
partir
d'un

(F , M)

champ de



(N,M,V)
déplacement
en repère local
en repère local
en élasticité
linéaire
SIEF_ELGA_DEPL_C idem à
partir
d'un

(F , M)

champ de


(N,M,V)
déplacement
en repère local
(C)
en repère local
complexe en
(C)
(C)
élasticité
linéaire
RAPH_MECA
SIEF_ELGA
en non linéaire
(F , M)

FULL_MECA




en repère local

Ces options calculent donc :

· le champ de contraintes pour les éléments de milieux continus 2D et 3D, et les éléments à
comportement local
: COQUE_3D, coques 1D (COQUE_AXIS,
COQUE_D_PLAN,
COQUE_C_PLAN), tuyaux, poutres multi-fibres, en chaque « sous-point » d'intégration
(couches dans l'épaisseur des coques, fibres, secteurs angulaires et position dans l'épaisseur
pour les tuyaux). Le repère local des plaques et coques est spécifique à chaque élément,
· le champ d'efforts pour les poutres (torseur) et pour les plaques (tenseur) en linéaire.
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1.6.2 Autres représentations de l'état de contrainte

1.6.2.1 Préfixe
:
SIEF_ELNO

Il s'agit des options qui calculent le champ représentatif de l'"état de contrainte" à des fins
d'exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux noeuds de la structure.

Option de calcul
Nom
Calcul effectué
3D,
Poutre, tuyau,
Coque, plaque
symbolique de
2D
poutre
concept
multi-fibre
RESULTAT
SIEF_ELNO_ELGA
idem
par interpolation aux
(F , M)
(N,M,V)
noeuds des quantités


en repère local
au points de Gauss
en repère local
« utilisateur »(*)
SIEF_ELNO_ELGA_C
idem
par interpolation aux
(F , M)en
(N,M,V)
noeuds des quantités
en repère local
au points de Gauss
(C)
repère local (C) « utilisateur »(C)

(*) pour les éléments de plaque et de coque, le repère local est celui défini à partir des données de l'utilisateur
(mot-clé ANGL_REP dans AFFE_CARA_ELEM).

1.6.2.2 Préfixe
:
SIGM_ELNO

Il s'agit des options qui calculent les champs de contraintes quelle que soit la modélisation à des fins
d'exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux noeuds de la structure.

Option de calcul
Nom
Calcul effectué
3D,
Poutres
Coques, plaques
symbolique de
2D

en 1 point choisi
concept
dans l'épaisseur
RESULTAT
(inf , moy, sup)
SIGM_ELNO_DEPL
idem
à partir d'un champ de


déplacement en en repère local
en repère local
élasticité linéaire
6 composantes
6 composantes
SIGM_ELNO_DEPL_C idem
à partir d'un champ de


déplacement complexe (C) en repère local
en repère local
en élasticité linéaire
6 composantes 6 composantes
(C)
(C)
SIGM_ELNO_CART
idem en
composantes



globales (cartésiennes)
en repère global en repère global
à partir du champ de
contraintes en
composantes locales
SIGM_ELNO_CART_C idem en
composantes



globales complexes
(C)
en repère local
en repère local
(cartésiennes) à partir
6 composantes 6 composantes
du champ de
(C)
(C)
contraintes en
composantes locales
complexes

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Remarques :

1) Dans ce cas, la confusion est possible entre les composantes en repère local et celles en
repère global qui portent le même nom. A terme, on introduira dans Aster, une notion de
repère lié aux champs de grandeurs. Cette notion sera exploitée pour l'écriture des champs
au format universel IDEAS, et à l'impression sur listing.

2) Les 6 composantes délivrées dans les repères locaux par les poutres et les coques
contiennent éventuellement des termes nuls suivant les modèles utilisés. Pour les modèles
les plus standards :

-
trois termes nuls pour les poutres,
-
deux termes nuls pour les coques.
Ainsi, le champ de contrainte sera complet pour IDEAS, et, surtout, il pourra être enrichi
chaque fois que la modélisation le nécessitera (poutre avec cisaillement, coque avec
pincement, etc...)


1.6.2.3 Préfixe
:
EFGE_ELNO

Il s'agit des options qui calculent les efforts sur les éléments de poutre ou de coque à des fins
d'exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux noeuds de la structure.

Option de calcul
Nom
Calcul effectué
3D,
Poutres, tuyaux, Coques,
symbolique de
2Ds poutre
plaques
concept
multi-fibres
RESULTAT
EFGE_ELNO_DEPL
idem
à partir d'un champ de
(F , M)

déplacement en
non

(N,M,V)
élasticité linéaire
en repère local
en repère local
EFGE_ELNO_DEPL_C idem
à partir d'un champ de
(F , M)

déplacement complexe non

(N,M,V)
en élasticité linéaire
en repère local en repère local
(C)
(C)
EFGE_ELNO_CART
idem en
composantes

(F , M)

globales (cartésiennes) non

non
à partir du champ
en repère global
d'efforts en
composantes locales
EFGE_ELNO_CART_C idem en
composantes

(F , M)

globales complexes
non

non
(cartésiennes) à partir
en repère global
du champ d'efforts en
(C)
composantes locales
complexes

1.6.3 Calcul des forces nodales

1.6.3.1 Préfixe : FORC_NODA

Les forces nodales sont calculées à partir de l'"état de contrainte", une seule option est prévue :

Option de calcul
Nom symbolique Calcul effectué
3D
Poutre
Coque
de concept
RESULTAT
FORC_NODA
idem
à partir d'un "SIEF_ELGA_*"
F
(F,M)
(F,M)

L'option REAC_NO de l'opérateur CALC_CHAM_NO effectue un appel à FORC_NODA et soustrait :

· le chargement en statique,
· le chargement, les forces d'inerties et visqueuses en dynamique.
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2 Cinématique

2.1 Déformations

2.1.1 Milieu
continu

Dans ce cas, les déplacements de la structure sont représentés par un champ de vecteur u à trois
composantes en général.
La déformation (dans l'hypothèse des petites perturbations) est définie par le tenseur de déformation
par (option EPSI_ELGA_DEPL et EPSI_ELNO_DEPL) :

1
ij (u) =

2 ( i
u , j + u j i, )
On peut vouloir calculer la déformation « mécanique », c'est à dire en retranchant les dilatations
thermiques (options EPME_ELGA_DEPL et EPME_ELNO_DEPL) :
m
1
th
ij (u) =

2 ( i
u , j + u j i, ) -
Dans le cas de grands déplacements, les déformations de Green-Lagrange sont (options
EPSG_ELGA_DEPL et EPSG_ELNO_DEPL) :
1
E (u) =
s
2 (u , + u , + u u
ij
i j
j i
k i, k , j )

Auxquelles ont peut vouloir retrancher les déformations thermiques (options EPMG_ELGA_DEPL et
EPMG_ELNO_DEPL) :
1
E m
th
ij (u) =

2 (u , + u , + u u
i j
j i
k i, k , j ) -

2.1.2 Cas des poutres

Dans les théories de poutres traditionnelles, chaque point P de la poutre représente une section
droite. Ce sont donc, les éléments de réduction du torseur (T (s), (s)) de déplacement de la
section droite supposée rigide qui caractérisent le déplacement du point P à l'abscisse curviligne (s).
T est la translation du centre d'inertie de la section, (s) le vecteur rotation de la section en ce
point.
L'application du théorème des travaux virtuels (cf.[bib2]) conduit naturellement à définir comme
déformation le torseur (, ) dérivée de (T (s), (s)) par rapport à l'abscisse curviligne s :

d
= T +
ds

d
= ds
P(s)


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Posons alors :

= L + T
=

t + K

L est la déformation longitudinale,
T est le vecteur des déformations de distorsion (nul dans l'hypothèse de Navier-Bernoulli),
t est la déformation de torsion de la section,
K est la déformation de flexion.

Remarque :

Pour les modélisations de poutre avec prise en compte du gauchissement, la cinématique est plus
compliquée à décrire, mais elles conduisent cependant à des notions proches de celles
présentées ci-dessus.


2.1.3 Cas des coques

Nous nous limiterons ici aux cas des plaques. En effet, dans le cas général des coques :

· les dérivations spatiales utilisent des notions mathématiques trop compliquées pour le cadre
de ce document, [R3.07.04],
· les coques sont très souvent modélisées par des éléments de plaques assemblées.

Dans ce cas, ce sont seulement les normales matérielles qui sont supposées rigides. Le déplacement
de ces normales est donc représenté par les éléments de réduction d'un torseur (T , ) . T est la
translation du point situé sur le feuillet moyen, le vecteur rotation de la normale en ce point.
Il est clair que la composante normale de est nulle (dans le cas de milieux non micro-polaires). On
introduit, le vecteur l dans le plan tangent défini par :

l = n

n est le vecteur normal orientant la surface.

n
e2
e1

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Soit, la décomposition :

T = wn + uT
uT est le déplacement tangent,
w est la flèche.

De la même façon que pour les poutres, l'application du théorème des travaux virtuels (cf.[bib2])
conduit à définir comme déformation l'ensemble formé par les tenseurs E et K et le vecteur toutes
ces grandeurs étant définies dans le plan tangent par :

1
E = 2 (u , + u


, )
1
K =

2 (l , + l


, )

= l + w



,

La déformation est donc définie par 7 réels.

E sont les déformations membranaires,
K sont les inverses des courbures du feuillet moyen déformé,
est le vecteur de déformation de distorsion.

Remarque :

Là encore, il n'y a pas de convention universelle et la disparité des conventions est encore
plus grande que pour les tenseurs d'efforts. L'ENPC adopte une convention inverse pour le
tenseur K pour des raisons géométriques évidentes.


Lien avec le champ de déformation tridimensionnel

Dans ces conditions, on a :

= E + x
K
3

3 =

33 = 0.
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2.2
Grandeurs associées dans Aster

2.2.1 DEPL_R et DEPL_C

Les grandeurs DEPL_R et DEPL_C ont pour composantes les degrés de libertés de la modélisation par
éléments finis et n'ont donc pas nécessairement que les composantes des champs de déplacement
qui sont :

DX
DY
DZ

à qui il faut adjoindre pour les poutres ou les coques :

DRX DRY
DRZ

Pour les coques, nous avons besoin des trois composantes du vecteur de rotation, car l'équation aux
éléments finis ne peut s'exprimer que dans un repère cartésien global.

2.2.2 EPSI_R

La grandeur EPSI_R représente les déformations de la structure, donc elle doit avoir, au minimum,
les composantes :

· des champs de déformations des milieux continus (en repère global) :

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ

· des champs de déformations de poutre (en repère local à la poutre) :

EPL
GAY
GAZ
KY
KZ
GAT


· des champs de déformations de coque (nécessairement en repère local à la surface)

EXX
EYY
EXY
KXX
KYY
KXY
GAX
GAY

2.3
Options de calcul

2.3.1 Préfixes : EPSI_ELGA_DEPL, EPME_ELGA_DEPL, EPSG_ELGA_DEPL,
EPMG_ELGA_DEPL

Il s'agit des options qui calculent les champs de déformations aux points d'intégration des éléments.

Option de calcul
Nom symbolique de Calcul effectué
3D Tuyaux,
Coques,
concept RESULTAT
Poutres multi_fibres plaques
EPSI_ELGA_DEPL idem
à partir d'un champ

non
de déplacement en
en repère local
petites déformations
6 composantes
EPSG_ELGA_DEPL idem
Tenseur de Green-
non
non
Lagrange à partir
d'un champ de
déplacement
EPME_ELGA_DEPL idem
à partir d'un champ m non
non
de déplacement et
d'un champ de
température en
petites déformations
Manuel d'Utilisation
Fascicule U2.01 : Notions générales
HT-66/03/002/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Contraintes, efforts, forces et déformations


Date :
24/06/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON Clé
:
U2.01.05-B Page
: 14/16

EPMG_ELGA_DEPL idem
Tenseur de Green- m non
non
Lagrange à partir
d'un champ de
déplacement et d'un
champ de
température



2.3.2 Préfixe : EPSI_ELNO_DEPL, EPME_ELNO_DEPL, EPSG_ELNO_DEPL,
EPMG_ELNO_DEPL

Il s'agit des options qui calculent les champs de déformations quelle que soit la modélisation à des fins
d'exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux noeuds de la structure.


Option de calcul
Nom symbolique de Calcul effectué
3D Poutres,
Coques, plaques
concept RESULTAT
Tuyaux,
en 1 point choisi
Poutres multi_fibres dans l'épaisseur
(inf , moy, sup)
EPSI_ELNO_DEPL idem
à partir d'un champ

en repère local :
de déplacement en
en repère local
6 composantes
petites déformations
6 composantes
EPSG_ELNO_DEPL idem
Tenseur de Green-
non
non
Lagrange à partir
d'un champ de
déplacement
EPME_ELNO_DEPL idem
à partir d'un champ m non
non
de déplacement et
d'un champ de
température en
petites déformations
EPMG_ELNO_DEPL idem
Tenseur de Green- m non
non
Lagrange à partir
d'un champ de
déplacement et d'un
champ de
température



2.3.3 Préfixe
:
DEGE_ELNO

Il s'agit des options qui calculent les déformations généralisées sur les éléments de poutre ou de
coque à des fins d'exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux noeuds de la
structure.

Option de calcul
Nom
Calcul effectué
3D
Poutres, poutres Plaques,
symbolique de
multi-fibres
Coques1D
concept
RESULTAT
DEGE_ELNO_DEPL
idem
à partir d'un champ de
(,)

déplacement en petites non

(E,K,)
déformations
en repère local
en repère local

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:
U2.01.05-B Page
: 15/16


3 Bibliographie

[1]
F. Sidoroff - Cours de mécanique des solides Tome 1 E.C.L.
[2]
F. Sidoroff - Cours de mécanique des solides Tome 2 E.C.L.
[3]
C. Truesdell - W. Noll - Encyclopedia of Physics volume III/3 - The non-linear Field Theories
of Mechanics Springer-Verlag, 1965.



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