Code_Aster ®
Version
6.4
Titre :
Domaine d'application des opérateurs de mécanique de la rupture
Date :
03/04/03
Auteur(s) :
I. DEBOST, G. DEBRUYNE, Y. WADIER, E. VISSE Clé
:
U2.05.01-A Page
: 1/52
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, EDF-DPN/UTO
Manuel d'utilisation
Fascicule U2.05 : Mécanique de la rupture et de l'endommagement
Document U2.05.01
Domaine d'application des opérateurs de
mécanique de la rupture du Code_Aster et conseils
d'utilisation
Résumé :
La caractérisation de l'état des pièces fissurées s'appuie sur la détermination du taux de restitution d'énergie et
des facteurs d'intensité de contraintes, bases de nombreux critères en mécanique de la rupture fragile
(amorçage en fond de fissure, propagation de défauts, méthodes simplifiées). Ce document présente ces
fonctionnalités, disponibles dans le Code_Aster, indique leur domaine de validité et donne des conseils
d'utilisation.
On présente également de nouvelles formulations issues de travaux de recherches récents mais non encore
validées, comme GTP et Gp.
La lecture de ce document peut se faire à deux niveaux :
· pour un nouvel utilisateur en mécanique de la rupture, voulant connaître les méthodes utilisées et les
commandes du Code_Aster nécessaires à la réalisation de son étude,
· pour un utilisateur plus averti, à la recherche de conseils d'utilisation pour résoudre certains points
délicats et désireux de prendre connaissances de travaux de recherches récents.
Il est fait constamment référence aux Manuels d'Utilisation et de Référence, dont la lecture demeure
indispensable. La bibliographie doit également permettre au lecteur d'approfondir le sujet qui l'intéresse.
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Version
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Titre :
Domaine d'application des opérateurs de mécanique de la rupture
Date :
03/04/03
Auteur(s) :
I. DEBOST, G. DEBRUYNE, Y. WADIER, E. VISSE Clé
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Table
des
matières
1 Cadre d'utilisation des fonctionnalités disponibles en mécanique de la rupture dans le Code_Aster ..3
1.1 Cadre théorique : principe de la méthode théta ..............................................................................3
1.2 Formulation des fonctionnalités de mécanique de la rupture dans le Code_Aster.........................4
1.3 Domaine de validité des fonctionnalités de mécanique de la rupture dans le Code_Aster ............7
1.4 Approche énergétique de la rupture élastoplastique et formulation du paramètre Gp .................11
2 Méthodologie et recommandations d'utilisation...................................................................................13
2.1 Maillage de la structure fissurée....................................................................................................13
2.2 Introduction du champ théta ..........................................................................................................14
2.3 Normalisation du taux de restitution global G dans le Code_Aster...............................................17
2.4 Méthode d'interpolation en 3D.......................................................................................................18
2.5 Calcul de G pour un problème non-linéaire...................................................................................20
3 Mise en oeuvre d'un calcul en mécanique de la rupture dans le Code_Aster.....................................26
3.1 Méthodologie .................................................................................................................................26
3.2 Exemple 1 : Calcul de G, K1 et K2 pour un problème élastique linéaire en 2D............................31
3.3 Exemple 2 : Calcul de G et G(s) local pour un problème thermo-élastique en 3D .......................33
3.4 Exemple 3 : calcul de Gp pour un problème élastoplastique en 2D .............................................37
4 Documentation du Code_Aster relative à la mécanique de la rupture fragile.....................................49
5 Bibliographie ........................................................................................................................................50
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1 Cadre d'utilisation des fonctionnalités disponibles en
mécanique de la rupture dans le Code_Aster
1.1
Cadre théorique : principe de la méthode théta
On considère un solide élastique fissuré occupant le domaine . Soient :
u le champ de déplacement,
T le champ de température,
f le champ de forces volumiques appliquées sur ,
g le champ de forces surfaciques appliquées sur une partie S de ,
U le champ de déplacements imposés sur une partie S de .
d
le tenseur des contraintes,
le tenseur des déformations,
th le tenseur des déformations d'origine thermique,
(,T) la densité d'énergie libre.
f
S
g
Sd
Considérons l'approche énergétique de la rupture de Griffith. Les résultats ne sont rigoureux qu'en
thermo-élasticité linéaire mais des extensions sont possibles aux problèmes non linéaires.
Pour un solide élastique fissuré, le critère de propagation de Griffith se traduit par : G > 2 où est
l'énergie de liaison par unité de surface. G , appelé taux de restitution d'énergie, est défini par
l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle à l'équilibre W(u) par rapport au domaine :
W
(u)
G = -
avec : W(u) = ((u),T) d - f u d
- g u d
S
La difficulté du calcul du taux de restitution d'énergie vient de la dérivation par rapport au domaine
d'une intégrale dépendant de ce même domaine. Une méthode rigoureuse est la méthode théta, qui
est une méthode lagrangienne de dérivation de l'énergie potentielle. Elle consiste à introduire un
champ et à considérer des transformations F : M M + (M) du domaine de référence
en un domaine qui correspondent à des propagations de la fissure. Ces transformations ne
doivent pas modifier les bords du domaine hormis le fond de fissure.
Cette méthode est détaillée dans [bib38] et l'utilisation du champ théta dans le Code_Aster est décrite
au [§2.2].
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En élasticité linéaire plane (hypothèse des déformations planes ou des contraintes planes), le champ
de déplacement u peut se décomposer en une partie singulière et une partie régulière. La partie
singulière, appelée également singularité, contient les coefficients d'intensité de contraintes K et
I
K :
II
u = u
I
II
K
K
R +
u
I
S +
u
II
S
En élasticité linéaire plane, les coefficients d'intensité de contraintes sont reliés au taux de restitution
d'énergie par la formule d'IRWIN :
1
2
-
G=
( 2 2
K I + KII )
déformatio
en
ns planes
E
1
G= ( 2
2
K I + KII )
contrainte
en
s planes
E
1.2
Formulation des fonctionnalités de mécanique de la rupture dans le
Code_Aster
1.2.1 Taux de restitution d'énergie G
Avec la méthode théta, le taux de restitution d'énergie G est solution de l'équation variationnelle :
G
(s) (s)m(s) ds = G() ,
o
où m est la normale unitaire au fond de fissure situé dans le plan tangent à et rentrant dans
o
, et où G() est défini par l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle W( (
u ) à l'équilibre par
rapport à l'évolution initiale du fond de fissure :
d W( (
u )
G() = -
d
=0
On note les conditions à remplir par le champ (voir [§2.2.1]).
En dimension 2, le fond de fissure se ramène à un point, et on peut choisir un champ de telle
o
sorte que l'équation variationnelle se ramène à G = G() .
En dimension 3 la dépendance de G
( ) vis-à-vis du champ sur le fond de fissure est plus
complexe. Dans le Code_Aster, on peut calculer :
· le taux de restitution global G correspondant à une progression uniforme de la fissure
(commande CALC_G_THETA [U4.82.03]). L'utilisateur doit choisir un champ théta unitaire au
voisinage du fond de fissure vérifiant (s) m(s) = 1, s
et alors : G l = G
(s) ds =G()
o
où l est la longueur du fond de fissure,
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o
· le taux de restitution d'énergie local G(s) solution de l'équation variationnelle précédente
(commande CALC_G_LOCAL [U4.82.04]). Dans ce cas, l'utilisateur ne donne pas de champ
théta, les champs i nécessaires à la résolution de l'équation variationnelle et au calcul de
G s
( ) sont calculés automatiquement.
Pour un problème thermo-élastique linéaire ou non-linéaire l'expression de G() est :
G() = ( u
T
d
f u
f
u d
ij
i p p j
k k
k k
i
i k k
i k
,
, -
, -
)
,
+ (
,
+
)
,
k
i
T
+ (g
u
g u
n
d
n U
d
i k k
i
i
i k k
k
ij j i k
,
+
( , -
))
-
,
k
n
s
k
Sd
Si on se place dans l'hypothèse des grandes transformations, il faut remplacer le terme
u
d par F S u d
avec
,
,
,
,
ij
i p p j
ik
kj
i p
p j
S le tenseur des contraintes de Piola-Lagrange appelé encore deuxième tenseur de Piola-Kirchoff,
F le gradient de la transformation qui fait passer de la configuration de référence à la configuration
actuelle.
Si l'on tient compte des déformations initiales 0 et des contraintes initiales 0
, il faut ajouter le
ij
ij
terme :
1 ° °
th
1 ° °
,
,
ij -
ij ij k - ij -
ij -
ij
ij k
k
d
2
2
Pour un problème thermo-élastoplastique l'expression de G() retenue dans le Code_Aster est :
~
~
G()
~
=
u
R
, ,
,
,
,
, ,
ij
i k
k j -
k k +
-
T k + ( + y )
p k +
ij k -
p
ij
ij k
k
d
T
ij
+
(
classiques
termes
f ,g)
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avec :
~
l'énergie mécanique totale,
p le tenseur des déformations plastiques,
p la variable interne scalaire d'écrouissage isotrope (déformation plastique cumulée),
une ou plusieurs variables tensorielles ou scalaires d'écrouissage cinématique,
la limite d'élasticité linéaire initiale,
y
R le rayon de la surface de charge pour l'écrouissage isotrope.
~
p
Pour un chargement radial et monotone : ij ij k = (R+ y)p
,
,k +
ij,k et on retrouve
ij
l'expression de G() en thermo-élasticité non linéaire [R7.02.03].
1.2.2 Coefficients d'intensité de contraintes K1 et K2 déduits du calcul de G.
En thermo-élasticité linéaire, le taux de restitution d'énergie G est une forme bilinéaire symétrique du
champ de déplacement u : G = g(u, u) . En utilisant la méthode théta, la forme bilinéaire g( , )
associée à G est définie par :
1
B
B
g(u, v) =
( v
) +
( u
) - B(u , v) div d
2 u
v
en se limitant au terme classique et en notant :
(
1
1
(u))
( u ) = (u) : : (u) = B(u, u)
la densité d'énergie élastique :
( )
2
2
le tenseur d'élasticité,
B la forme bilinéaire symétrique définie par : B(u, v) = (u) : : (v)
Dans la méthode implantée dans le Code_Aster (commande CALC_G_THETA [U4.63.03]), pour
découpler les modes de rupture I et II et calculer les coefficients KI et KII , on utilise cette forme
bilinéaire symétrique g
( , ) et la décomposition du champ de déplacement u en parties régulière
u et singulière u :
I
II
u=u + K u + K u ( I et II sont connus explicitement) :
R
S
R
I
S
II
S
u
u
S
S
E
K
=
g
I
u, u
I
( S)
E
K
=
g
II
u, u
II
( S )
= 1-2 en déformations planes et = 1en contraintes planes.
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1.2.3 Coefficients d'intensité de contraintes K1, K2 et K3 obtenus par extrapolation
du champ de déplacements.
Pour une fissure plane dans un matériau élastique, homogène et isotrope, on peut également accéder
aux valeurs de K1, K2 et K3 par extrapolation des sauts de déplacements sur les lèvres de cette
fissure (commande POST_K1_K2_K3).
Contrairement à l'approche précédente (calcul des Ki par la forme bilinéaire du taux de restitution
d'énergie), on peut calculer ainsi ces coefficients en géométrie axisymétrique et 3D et accéder au
coefficient K3. Pour chaque coefficient d'intensité de contrainte, la méthode, moins précise que la
méthode G_THETA [R7.02.01], fournit deux valeurs encadrant la solution. On peut toutefois se faire
une idée de la précision des résultats en recalculant G par la formule d'Irwin, à partir des valeurs de
K1, K2 et K3, et en comparant cette valeur avec celle obtenue avec G_THETA. La précision des
résultats est nettement améliorée si les éléments touchant le fond de fissure (éléments quadratiques)
ont des noeuds milieux situés au quart des arêtes.
1.2.4 Propagation
Lagrangienne
Il est possible avec le Code_Aster de calculer le taux de restitution de l'énergie pour différentes
longueurs de fissure (en 2D et 3D) en utilisant un seul maillage représentant une longueur de fissure
fixe de référence. Ces développements sont disponibles en élasticité linéaire, pour les éléments de
milieu continu 2D et 3D, dans les situations où les variations de géométrie n'affectent pas les bords
chargés.
Tout calcul utilisant cette méthode nécessite, pour assurer le passage du domaine réel étudié au
domaine de référence, la création préalable d'un champ théta, à l'aide de la commande CALC_THETA
[U4.82.02]. La formulation développée dans le Code_Aster ne tient pas compte des termes
thermiques, des chargements sur les lèvres de la fissure ni des forces de volume en général, sauf des
déformations initiales qui sont prises en compte en 2D seulement.
Pour plus de précisions sur cette option on se référera au document [R7.02.04].
1.3 Domaine de validité des fonctionnalités de mécanique de la rupture
dans le Code_Aster
1.3.1 Modèle
Le calcul du taux de restitution d'énergie G est valable pour les modélisations des milieux continus 2D
déformations planes ou contraintes planes (D_PLAN, C_PLAN), 2D axisymétrique (AXIS) et 3D (3D).
Ces modélisations correspondent pour un milieu bidimensionnel à des triangles à 3 ou 6 noeuds, des
quadrangles à 4, 8 ou 9 noeuds et des segments à 2 ou 3 noeuds, pour un milieu tridimensionnel à des
hexaèdres à 8, 20 noeuds ou 27 noeuds, des pentaèdres à 6 ou 15 noeuds, des tétraèdres à 4 ou 10
noeuds, des pyramides à 5 ou 13 noeuds, des faces à 4, 8 ou 9 noeuds.
Le calcul du taux de restitution d'énergie local G(s) n'a de sens que pour la modélisation des milieux
continus 3D.
Le calcul des facteurs d'intensité de contraintes K1, K2 déduits de la forme bilinéaire g( , ) est
valable uniquement pour les modélisations des milieux continus 2D déformations planes ou
contraintes planes (D_PLAN, C_PLAN). Le calcul du mode antiplan K3 n'est pas disponible.
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En revanche, la méthode d'extrapolation des déplacements permet de calculer les Ki (dont K3) en
axisymétrique et 3D quand la fissure est plane.
D_PLAN C_PLAN AXIS
3D
G
·
·
·
·
G(s) local
-
-
-
·
K1, K2
·
·
- -
calcul de g
K1, K2, K3
·
·
·
·
extrapolation de u
Modélisations disponibles
1.3.2 Caractéristiques du matériau
Pour le calcul du taux de restitution d'énergie, les caractéristiques du matériau (module d'Young,
coefficient de Poisson, coefficient de dilatation thermique et éventuellement limite d'élasticité, module
d'écrouissage) peuvent dépendre de la température. Le calcul est valable pour un matériau homogène
isotrope ou pour un bimatériau isotrope (fissure à l'interface de deux matériaux aux caractéristiques
différentes).
Pour le calcul des coefficients d'intensité de contraintes à un instant donné, les caractéristiques du
matériau doivent être indépendantes de la température. Le calcul est valable uniquement pour un
matériau homogène isotrope (éventuellement pour un bimatériau si la pointe de fissure n'est pas
située à l'interface des deux matériaux).
Module
Coefficient de
Coefficient de Limite d'élasticité
Module
d'Young E(T) Poisson (T)
dilatation
y(T)
d'écrouissage
thermique ()
D_SIGM_EPSI
G
·
·
·
·
·
G(s) local
·
·
·
·
·
K1, K2
-
-
-
-
-
Dépendance des caractéristiques à la température
Les caractéristiques y(T) et D_SIGM_EPSI(T) ne sont traitées que pour un problème élastique non
linéaire avec écrouissage isotrope linéaire de Von Mises et avec l'option de calcul du taux de
restitution d'énergie.
Matériau
homogène
Bimatériau (fissure à l'interface)
G
·
·
G(s) local
·
·
K1, K2
·
-
Homogénéité du matériau
Matériau
isotrope
Matériau orthotrope
G
·
-
G(s) local
·
-
K1, K2
·
-
Isotropie du matériau
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1er cas : On a un bimatériau mais la pointe de fissure est dans un seul matériau.
matériau 1
R
E
r
1, 1, 1
matériau 2
E2, 2, 2
Si on est assuré que la couronne, définie entre les rayons inférieur R et supérieur R (dans la
inf
sup
commande CALC_THETA [U4.82.02]), a comme support des éléments du même matériau, le calcul est
valable quelque soit l'option choisie. Sinon seul le calcul du taux de restitution d'énergie est valable.
2ème cas : On a un bimatériau où la pointe de fissure est à l'interface.
matériau 1
E1, 1, 1
r
R
matériau 2
E2, 2, 2
A ce jour, seule l'option de calcul du taux de restitution d'énergie est valable. Le calcul de coefficients
d'intensité de contraintes K1 et K2 est faux dans ce cas.
1.3.3 Relation de comportement utilisée en post-traitement de mécanique de la
rupture
Pour le calcul du taux de restitution de l'énergie, les relations de comportement possibles sont :
· thermo-élasticité linéaire,
· thermo-élasticité non linéaire (hyperélasticité),
· thermo-élastoplasticité (critère de Von Mises avec écrouissage isotrope ou cinématique).
Le calcul des coefficients d'intensité de contraintes est possible uniquement en thermo-élasticité
linéaire dans l'hypothèse des petites déformations.
La relation de comportement est choisie dans les commandes CALC_G_THETA [U4.82.03] et
CALC_G_LOCAL [U4.82.04] par l'intermédiaire des mot-clés facteurs COMP_ELAS (thermo-élasticité
linéaire ou non linéaire) ou COMP_INCR (thermo-élastoplasticité).
Les relations traitées sous le mot clé facteur COMP_ELAS sont :
ELAS : thermo-élasticité linéaire,
ELAS_VMIS_LINE : Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire,
ELAS_VMIS_TRAC : Von Mises avec écrouissage isotrope donné par une courbe de traction.
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Les relations traitées sous le mot clé facteur COMP_INCR sont :
VMIS_ISOT_LINE : Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire,
VMIS_ISOT_TRAC : Von Mises avec écrouissage isotrope donné par une courbe de traction,
VMIS_CINE_LINE : Von Mises avec écrouissage cinématique linéaire.
RELATION
G ou G(s) local
K1, K2
COMP_ELAS 'ELAS'
·
·
'ELAS_VMIS_LINE'
·
-
'ELAS_VMIS_TRAC'
·
-
COMP_INCR 'ELAS'
·
·
'VMIS_ISOT_TRAC'
·
-
'VMIS_ISOT_LINE'
·
-
'VMIS_CINE_LINE'
- -
Relation de comportement utilisée en mécanique de la rupture
La relation de comportement thermo-élastique non linéaire peut être utilisée avec de grands
déplacements et de grandes rotations (à condition d'avoir uniquement des charges mortes). Cette
fonctionnalité est déclenchée par le mot-clé DEFORMATION = 'GREEN'. Les déformations sont les
déformations de Green-Lagrange [R7.02.03 §2.1] :
1
u =
u + u + u u
ij (
)
( i j ji k i k j)
2
,
,
,
,
1.3.4 Chargement
Les chargements supportés actuellement par les différentes modélisations et pour le calcul des
fonctionnalités de mécanique de la rupture sont les suivants (voir AFFE_CHAR_MECA(_F) [U4.44.01]
pour plus de détails ) :
C_PLAN, D_PLAN , AXIS
3D
K1, K2
G
G et G(s) local
TEMP_CALCULEE
·
·
·
FORCE_INTERNE
·
·
·
PRES_REP
·
·
·
FORCE_CONTOUR
·
·
///
FORCE_FACE
/// ///
·
FORCE_NODALE
- -
-
FORCE_ARETE
/// ///
-
PESANTEUR
·
·
·
ROTATION
·
·
·
EPSI_INIT
- -
-
DDL_IMPO (sur fissure)
- -
-
FACE_IMPO (sur fissure)
- -
-
·
signifie possible et disponible
/// signifie option sans objet
-
signifie option possible mais non disponible
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Ces chargements peuvent dépendre de la géométrie, de l'instant de calcul et éventuellement
s'appliquer sur les lèvres de la fissure.
Les chargements non supportés par une option sont ignorés.
Il est important de noter que les seuls chargements à prendre en compte dans un calcul de mécanique
de la rupture avec la méthode sont ceux appliqués sur les éléments à l'intérieur de la couronne
(entre Rinf et Rsup pour un comportement thermo-élastique linéaire ou non linéaire [R7.02.01 §3.3],
entre le fond de fissure et Rsup pour une relation thermo-élastoplastique [R7.02.07]).
Si on fait un calcul en grandes transformations (mot clé DEFORMATION = 'GREEN' sous le mot clé
facteur COMP_ELAS) les chargements supportés doivent être des charges mortes, typiquement une
force imposée et pas une pression [R7.02.03 §2.4].
1.3.5 Etat
initial
Il est possible de tenir compte d'un état initial (soit des contraintes initiales, soit des déformations
initiales) pour le calcul du taux de restitution d'énergie. Deux possibilités sont offertes à l'utilisateur :
· définir des déformations initiales avec le mot-clé EPSI_INIT dans la commande
AFFE_CHAR_MECA(_F) [U4.44.01] et les récupérer sous le mot-clé CHARGE dans les
commandes CALC_G_THETA [U4.82.03] ou CALC_G_LOCAL [U4.82.04],
· récupérer un champ de contraintes ou déformations initiales issu d'un calcul mécanique
(evol_noli issu de la commande STAT_NON_LINE [U4.51.03]) avec le mot-clé
ETAT_INIT.
1.3.6 Contact
Le calcul des grandeurs de mécanique de la rupture dans le Code_Aster n'est pas valide s'il y a
contact avec frottement entre les faces de la fissure. En effet le calcul du taux de restitution d'énergie
ne prend pas en compte les phénomènes dissipatifs.
En revanche si les éléments de contact sont au delà de la couronne définie entre Rinf et Rsup les
calculs de G, G(s), K1 et K2 sont valides.
Par contre, il est possible pour le calcul de G et de G(s) seulement de prendre en compte des
conditions de contact sans frottement pour éviter l'interpénétration des lèvres de la fissure.
1.4 Approche énergétique de la rupture élastoplastique et formulation
du paramètre Gp
L'approche globale classique présente des limites importantes :
· le chargement doit être monotone,
· plus généralement, le chargement doit être proportionnel et radial (voir chapitre [§2.5.2]),
· on ne peut pas simuler de grandes propagations,
· on ne peut pas prendre en compte un champ de contraintes résiduelles (voir chapitre
[§1.3.5]).
L'application de l'approche globale en dehors de son domaine de validité conduit à des problèmes de
« transférabilité » d'éprouvettes à structures.
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Domaine d'application des opérateurs de mécanique de la rupture
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Une autre approche a alors été envisagée à EDF-R&D : l'approche énergétique.
Cette nouvelle approche a été développée, d'une part, dans le cadre de la déchirure ductile [bib57], et,
d'autre part, dans le cadre de la rupture fragile par clivage.
Dans le cas de la rupture fragile par clivage, on part de la théorie de Francfort Marigo en élasticité
[bib56]. Cette théorie est une généralisation du critère de Griffith pour les matériaux élastiques fragiles.
On applique le principe de minimisation de l'énergie, pour prédire l'initiation ou la propagation d'une
fissure de surface S d'une surface créée dS. On définit, à partir de l'énergie élastique, un paramètre
Gel, taux de restitution de l'énergie en élasticité [bib58] par la formule suivante :
Gel = - [We(dS)-We(0)] / Aire (dS).
On étend ensuite cette approche à la plasticité, en faisant l'hypothèse que la dissipation plastique et la
dissipation liée à la rupture sont indépendantes.
On peut alors définir un paramètre G plastique [bib58], noté Gp, comme un taux de restitution de
l'énergie en plasticité incrémental [bib58] par la formule suivante :
Gp = - [W(dS)-W(0)] / Aire (dS)
où W est l'énergie totale (énergie libre + énergie d'écrouissage + énergie dissipée plastiquement).
Mais on se retrouve alors confronté à 2 paradoxes de la théorie de Griffith [bib62] :
· le paradoxe de Rice,
· les effets d'échelle de la théorie de Francfort-Marigo induits par l'hypothèse de Griffith.
On fait alors le choix de modéliser le défaut sous forme d'entaille et non de fissure.
On définit un taux de restitution d'énergie Gp applicable à une fissure représentée en entaille, en
s'appuyant sur la formulation de Francfort-Marigo et sur la mécanique continue de l'endommagement,
moyennant quelques hypothèses supplémentaires.
Remarque :
Une autre alternative consiste à s'orienter vers une théorie de Francfort-Marigo basée sur un
autre modèle que celui de Griffith, comme celui de Barenblatt.
On suppose que cette entaille a la forme d'un cigare, le fond d'entaille () étant représenté
par un demi-cercle de rayon r. La zone correspondant à la propagation de l'entaille est notée
Ze(l) (Zone endommagée) et dépend de l, distance propagée, conformément à la figure
ci-dessous :
Ze(l)
entaille
l
() : fond d'entaille
Le paramètre Gp est défini par la formule suivante :
Gp =
we dS
.
[
max (
( . )) / ]
Entaille( )
l
l
l
où We est l'énergie élastique.
Ce paramètre permet de prédire :
· la propagation progressive de l'entaille (quand le maximum est obtenu pour l = 0)
· la propagation brutale de l'entaille (quand le maximum est obtenu pour l 0).
On évacue dans ce cas les 2 paradoxes de la théorie de Griffith.
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On peut utiliser Gp pour analyser des situations de rupture fragile par clivage, quand l'approche Gtheta
n'est pas valide. Il peut s'agir de problèmes avec :
· décharges [bib59],
· chargements non proportionnels,
· contraintes résiduelles,
· effet petit défaut [bib60], [bib61].
On présente la mise en oeuvre du calcul de Gp dans le Code_Aster dans le chapitre [§2.5.2.3] et on
illustre cette approche sur un exemple dans le chapitre [§3.4].
2
Méthodologie et recommandations d'utilisation
2.1
Maillage de la structure fissurée
2.1.1 Outil de maillage de bloc fissuré
Le mailleur GIBI comporte une procédure automatique paramétrée qui permet de concevoir des
maillages de blocs fissure en 3D. Cette procédure a été développée par EDF-R&D et a été validée
pour assurer la bonne qualité du maillage. On obtient un maillage au format GIBI que peut reconnaître
le Code_Aster (commande PRE_GIBI). L'utilisateur renseigne un certain nombre de paramètres
géométriques (dimensions de fissure, taille de bloc,...) ou topologiques (modélisation du tore de fond
de fissure en couronnes, secteurs et tranches, déraffinement, nombre d'éléments,...) et le logiciel
génère un bloc fissure, qui peut ensuite être intégré dans une autre structure.
L'utilisateur dispose d'indicateurs de qualité de maillage pour ajuster au mieux les paramètres.
2.1.2 Méthodologie
De la qualité du maillage dépend la qualité numérique des résultats issus du calcul mécanique
(déplacements et contraintes) et par conséquence de la qualité des grandeurs en mécanique de la
rupture. En présence d'une fissure il faut donc raffiner au voisinage du fond de fissure pour capter au
mieux les singularités. Mais il n'est pas nécessaire de raffiner exagérément : l'intérêt de la méthode
théta est de faire intervenir les termes singuliers sur des éléments entre Rinf et Rsup et non sur ceux au
voisinage du fond de fissure (à l'exception d'un calcul en thermo-élastoplasticité, pour ce cas
particulier se reporter à [§2.5.2]).
Les calculs des grandeurs de mécanique de la rupture sont valides pour des éléments linéaires ou
quadratiques, mais il est fortement conseillé d'utiliser des éléments quadratiques, en particulier en 3D.
Le calcul de ces grandeurs nécessite en effet de déterminer avec une bonne approximation les
champs de contrainte et de déformation qui varient fortement au voisinage du fond de fissure. Or, à
nombre de noeuds identique, les éléments quadratiques donnent de meilleurs résultats que les
éléments linéaires, sans doute parce qu'ils sont plus aptes à représenter ce type de variation. Ajoutons
qu'en 3D, il est nécessaire de réaliser un compromis entre un raffinement suffisant en fond de fissure
d'une part, et une taille de problème raisonnable d'autre part. Le choix d'éléments quadratiques
contribue à réaliser un tel compromis.
Un maillage rayonnant en fond de fissure n'est pas obligatoire : les rayons Rinf et Rsup ne sont pas liés
au maillage et la couronne peut être «à cheval » sur plusieurs éléments. Néanmoins la pratique
montre qu'un maillage rayonnant en fond de fissure donne de bons résultats numériques.
Le maillage rayonnant a en particulier l'avantage de permettre d'imposer un découpage constant selon
l'angle polaire, autour du fond de fissure, et dans le voisinage immédiat de celui-ci, découpage bien
adapté à la représentation asymptotique des champs en fond de fissure. En effet, cette variation selon
l'angle polaire ne dépend pas de la distance du point considéré au fond de fissure.
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Dans le cas du calcul des coefficients d'intensité de contrainte par la méthode d'extrapolation des
sauts de déplacements sur les lèvres de cette fissure (commande POST_K1_K2_K3), il est fortement
conseillé de positionner les noeuds milieux des éléments quadratiques touchant le fond de fissure au
quart des arêtes (maillage de type 'BARSOUM'). Ainsi la dépendance en r du champ de
déplacement est mieux représentée et la qualité des résultats est améliorée. Les valeurs des
coefficients Ki obtenues par cette méthode tendent vers celles déduites du calcul de G
(CALC_G_THETA_T option CALC_K_G) avec le raffinement du maillage autour du fond de fissure.
2.1.3 Estimateurs
d'erreurs
Pour apprécier la qualité du maillage il est conseillé de réaliser un calcul élastique et d'utiliser les
estimateurs d'erreurs de discrétisation : les estimateurs d'erreurs de ZHU-ZIENKIEWICZ en élasticité
2D [R4.10.01] ou l'estimateur d'erreur par résidu [R4.10.02].
Ces estimateurs sont implantés dans le Code_Aster dans la commande CALC_ELEM [U4.81.01]. Ils
sont activés à partir des options suivantes : ERRE_ELEM_NOZ1 pour ZZ1, ERRE_ELEM_NOZ2 pour ZZ2
et ERRE_ELGA_NORE pour l'estimateur en résidu par élément.
2.2
Introduction du champ théta
2.2.1 Définition du champ théta et conditions à respecter
Le champ théta est un champ de vecteurs, défini sur le solide fissuré, qui représente la transformation
du domaine lors d'une propagation de fissure. On rappelle que le taux de restitution d'énergie G est
solution de l'équation variationnelle :
G
(s) (s)m(s) ds = G() ,
o
où m est la normale unitaire au fond de fissure situé dans le plan tangent à (c'est-à-dire
o
tangent au plan de fissuration en 3D ou aux lèvres de la fissure en 2D) et rentrant dans . On note
les conditions à remplir par le champ ci dessous :
o
m
La transformation ne doit modifier que la position du fond de fissure et pas le bord du domaine . Le
champ doit donc être tangent à (en particulier les lèvres de la fissure), i.e. en notant n la
normale à : . n = sur
0
.
Le champ doit être localement dans le plan tangent aux lèvres de la fissure et en 3D normal à
l'arête à laquelle il appartient. Ceci correspond à la direction de propagation de la fissure.
Le champ doit également être continu sur .
La quantité . m représente la vitesse normale du fond de fissure.
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2.2.2 Choix du champ théta dans le Code_Aster
En raison de la singularité du champ de déplacement, on utilise des champs . m constants au
voisinage du fond de fissure, annulant ainsi dans ce voisinage les termes singuliers
-
dans G() .
ij µi, p p,k
k,k
Le champ théta est défini de la façon suivante : en chaque noeud du fond de fissure, on se donne
2 rayons R (s et R (s . En deçà de R (s le module du champ théta est constant, au delà il est
inf
)
sup
)
inf
)
nul et il est linéaire entre les deux.
R sup
0
R
n
inf
0
0
Rinf
R sup
La construction du champ théta est décrite précisément dans [R7.02.01]. Elle est implantée dans la
commande CALC_THETA en 2D et en 3D pour le calcul du taux de restitution global G, et dans la
commande CALC_G_LOCAL pour le calcul du taux de restitution local G(s).
En 2D et en axisymétrique le fond de fissure se limite à un point. L'utilisateur définit :
o
· les rayons R et R ,
inf
sup
· le module en fond de fissure,
o
· la direction de propagation de la fissure m .
En 3D l'utilisateur définit :
· les rayons R (s et R (s ,
sup
)
inf
)
· les directions de propagation de la fissure uniquement aux extrémités du fond de fissure
(mots clés DTAN_ORIG et DTAN_EXTR dans la commande DEFI_FOND_FISS [U4.82.01] ),
· la topologie du fond de fissure : ouvert ou fermé suivant si la fissure est débouchante ou non,
· le module en fond de fissure (uniquement pour le calcul de G global sinon les P
o
champs i nécessaires à la résolution de l'équation variationnelle et au calcul de G s
( ) sont
calculés automatiquement selon la famille de fonctions d'interpolation choisie : Lagrange ou
Legendre, voir [§2.4]).
Les directions du champ théta hors extrémités sont calculés automatiquement à partir des lèvres de la
fissure, mais l'utilisateur peut éventuellement les définir lui-même en utilisant le mot clé DIRE_THETA,
voir [§2.2.3].
Le champ est alors construit de telle sorte que :
(r(s)) = 0
si r(s) R (s)
sup
(r(s)) = m
si r(s) R (s)
o
inf
R - r
(r(s))
sup
=
m si R (s) r(s) R (s)
R - R
o
inf
sup
sup
inf
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2.2.3 Problème de la discrétisation en 3D
Problème de la fissure débouchante de façon non perpendiculaire : à l'extrémité débouchante du
fond de fissure, le champ ne peut pas simultanément être normal à l'arête à laquelle il appartient
(dans le plan tangent des lèvres de la fissure) et vérifier la condition n = 0 sur .
Solution conseillée : Définir la direction du champ o sur tous les noeuds du fond de fissure avec le
mot clé DIRE_THETA dans les commandes CALC_THETA [U4.82.02] ou CALC_G_LOCAL [U4.82.04].
Au voisinage de l'extrémité débouchante choisir comme direction pour le champ o la moyenne entre
la direction vérifiant
1 n = 0 sur et la direction normale à l'arête .
2
1
n
2
Problème du choix de R et R
: Le calcul des grandeurs de mécanique de la rupture est
inf
sup
indépendant du choix de la couronne d'intégration, c'est-à-dire du choix de R et R . Néanmoins il
inf
sup
est préférable de respecter quelques règles :
· ne jamais prendre R
= 0 ou trop petit par rapport aux dimensions du problème car les
inf
déplacements singuliers sont mal calculés au voisinage du fond de fissure (valable également
en 2D),
· en 3D il faut trouver un compromis entre R pas trop petit et R pas trop grand. En effet si
inf
sup
on analyse l'algorithme de construction du champ théta (voir [R7.02.01]), on constate que
pour connaître la direction du champ théta en un point quelconque du solide, il faut projeter
ce point sur le fond de fissure (c'est à dire déterminer l'abscisse du point de fond fissure le
plus proche) et lui associer la même direction. Si on considère un point trop éloigné du fond
de fissure, il se peut que l'algorithme de recherche du point de fond de fissure le plus proche
donne un point « erroné » : la direction du champ théta est mal calculée, au sens où elle ne
correspond pas à la propagation de fissure attendue.
Solutions :
· vérifier en visualisant le maillage que, pour le R choisi, on ne risque pas d'avoir des points
sup
« mal » projetés,
· prendre plusieurs couronnes pour vérifier l'invariance de G, de préférence qui se suivent
[R1,R2], [R2,R3], [R3, R4],...
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2.3
Normalisation du taux de restitution global G dans le Code_Aster
2.3.1 2D contraintes planes et déformations planes
En dimension 2 (contraintes planes et déformations planes), le fond de fissure est réduit à un point et
la valeur G() issue de la commande CALC_G_THETA est indépendante du choix du champ :
G = G() ,
2.3.2 Axisymétrie
En axisymétrique il faut normaliser la valeur G() obtenue avec Aster :
1
G =
G()
R
où R est la distance du fond de fissure à l'axe de symétrie [R7.02.01, §2.3.3].
2.3.3 3D
En dimension 3, la valeur de G() pour un champ donné par l'utilisateur est tel que :
G() = G(s) (s) m(s) ds
o
Dans la commande CALC_THETA [U4.82.02], l'utilisateur définit la direction du champ en fond de
fissure. Par défaut, c'est la normale au fond de fissure dans le plan des lèvres. En choisissant un
champ unitaire au voisinage du fond de fissure, on a :
(s) m(s) = 1
et :
G() = G(s) d
o
Soit G le taux de restitution de l'énergie global, pour avoir la valeur de G par unité de longueur, il faut
diviser la valeur obtenue par la longueur de la fissure l :
G() = G l
en 3D
2.3.4 Symétrie du modèle
Ne pas oublier de multiplier par 2, les valeurs du taux de restitution d'énergie G ou G(s) si on ne
modélise que la moitié du solide par rapport à la fissure (ou préciser le mot clé SYME_CHAR = 'SYME'
ou 'ANTI' dans les commandes concernées) .
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2.4
Méthode d'interpolation en 3D
2.4.1 Cadre
général
Le taux de restitution d'énergie local G(s) est solution de l'équation variationnelle
G
(s) (s)m(s) ds = G() , .
o
Pour résoudre cette équation, le champ scalaire G(s) est discrétisé sur une base que nous notons
(p (s
.
j
))1jN
N
Soit G les composantes de G(s) dans cette base : G( s) = G p
j ( s
j
)
j
j=1
0
s
o
Il faut également définir P champs i indépendants discrétisés sur une base notée (q (s
:
k
))1kM
M
i(s) = i q s
k
k ( )
k =1
Les G sont déterminés en résolvant le système linéaire à P équations et N inconnues :
j
N
a G
= b , i = 1, P
ij
j
i
j=
1
M
avec a
i
=
p
m
ij
k
j ( s) qk ( s)
(s) ds
k
=1
o
b
i
=
G
i
( )
Ce système a une solution si on choisit P champs i indépendants tels que : P N et si M N .
Il peut comporter plus d'équations que d'inconnues, auquel cas il est résolu au sens des moindres
carrés.
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2.4.2 Méthodes de lissage de G et Théta : polynômes de Legendre, fonctions de
forme des noeuds
Dans le Code_Aster, on a choisi deux familles de bases (cf. [§2.2]) :
· les polynômes de LEGENDRE s de degré j (0
j ( )
j 7),
· les fonctions de forme du noeud k de : s (1
)
k ( )
o
k NNO = nombre de noeuds de o
(de degré 1 pour les éléments linéaires et de degré 2 pour les éléments quadratiques).
G s
( ) est décomposé :
· soit suivant les polynômes de LEGENDRE :
LISSAGE_G = 'LEGENDRE'
· soit suivant les fonctions de formes des noeuds du fond de fissure :
LISSAGE_G = 'LAGRANGE'
· soit suivant les fonctions de formes des noeuds du fond de fissure avec simplification de la
matrice à inverser :
LISSAGE_G = 'LAGRANGE_NO_NO'
i(s) sont décomposés :
· soit suivant les polynômes de LEGENDRE :
LISSAGE_THETA = 'LEGENDRE'
· soit suivant les fonctions de formes des noeuds du fond de fissure :
LISSAGE_THETA = 'LAGRANGE'
Attention, toutes les combinaisons entre les familles de fonctions de lissage pour G et THETA ne sont
pas autorisées :
G s
( ) LEGENDRE G s() LAGRANGE G s() LAGRANGE_NO_NO
i(s) LEGENDRE
·
non non
i(s) LAGRANGE
·
·
·
Méthode Théta : Legendre / G : Legendre : la résolution du système linéaire donne :
NDEG
G(s) = G( j
)
j ( s)
j=0
Méthode Théta : Lagrange / G : Legendre : on se ramène à la résolution du système linéaire à
NNO équations et à NDEG +1 inconnues :
NDEG
i
s
s dS G
G
, i 1, NNO
j ( ) i ( )
=
=
j
( )
j=0
o
Dans ce cas, on doit avoir NDEG NNO , soit NDEG min (7, NNO ) où NNO est le nombre de
noeuds du fond de fissure.
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Méthode Théta : Lagrange / G : Lagrange : on se ramène à la résolution du système linéaire carré
NNO
i
s
s dS G
G
, i = 1, NNO
j ( ) i ( )
j
=
( )
j=0
o
La méthode simplifiée dite LAGRANGE_NO_NO pour le lissage de G consiste à diagonaliser la matrice
ainsi obtenue par sommation des termes horizontaux.
Remarques et conseils d'utilisation :
· L'utilisateur ne donne pas de champ théta, les champs i nécessaire au calcul de G(s) sont
calculés automatiquement selon la méthode spécifiée dans la commande CALC_G_LOCAL
[U4.82.04].
· Choix du degré maximum des polynômes de Legendre : ce choix dépend du nombre de
noeuds en fond de fissure. Si on a un faible nombre de noeuds (une dizaine) il est inutile de
prendre un degré supérieur à 3 (on conçoit facilement que les résultats sont médiocres si on
essaie de trouver un polynôme de degré 7 passant par 10 points). Au delà d'une vingtaine de
noeuds en fond de fissure on peut utiliser des degrés allant jusqu'à 7. L'expérience montre
que le choix d'un degré égal à 5 donne de bons résultats dans la plupart des cas.
· Choix de la méthode : il est difficile de donner une préférence à l'une ou l'autre méthode. En
principe les deux donnent des résultats numériques équivalents. Néanmoins la méthode
Théta : Lagrange est un peu plus coûteuse en temps CPU que la méthode Théta : Legendre.
Pour un premier calcul, l'utilisation des deux méthodes et la comparaison des résultats,
permet de conforter la validité du modèle. Si le fond de fissure est une courbe fermée, des
problèmes de continuité de la solution au point arbitrairement choisi comme abscisse
curviligne origine interdisent l'emploi des polynômes de Legendre. Si le fond de fissure a été
déclaré « fermé » dans DEFI_FOND_FISS [U4.82.01], on doit utiliser les fonctions de forme
(Lagrange) pour décrire les fonctions G et Théta.
· Problème du non respect de la symétrie : si on ne modélise que la moitié du solide par
rapport à la fissure, on doit en principe avoir une courbe G(s) dont la pente de la tangente est
nulle à l'interface de la symétrie. Ceci n'est pas respecté par les deux méthodes. Les valeurs
de G(s) obtenues aux extrémités du fond de fissure doivent toujours être interprétées avec
prudence, surtout si la fissure est débouchante de façon non perpendiculaire (voir [§2.2.3]).
· Problème des oscillations de la solution avec lissage de G par les polynômes de Legendre,
en particulier si G(s) = 0 ou constante. Si on essaie d'interpoler une fonction constante par un
polynôme de degré élevé, on s'attend à ce problème.
2.5
Calcul de G pour un problème non-linéaire
Le problème essentiel dans les situations non linéaires provient de la difficulté de séparer les
différentes contributions énergétiques. Il faut considérer deux classes de problèmes très distinctes :
· celle où, malgré les non linéarités géométriques ou de comportement, on peut exhiber un
potentiel pour les actions intérieures et extérieures (élasticité non linéaire ou hyperélasticité),
· celle où un tel potentiel n'existe pas (thermo-élastoplasticité).
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Pour la première classe, on peut étendre le critère de Griffith en utilisant l'énergie potentielle à
l'équilibre, et calculer le taux de restitution d'énergie comme en thermo-élasticité linéaire.
Pour la seconde classe de problème, la difficulté essentielle vient du fait que la dissipation n'est pas
uniquement due à la propagation de la fissure elle-même. On ne peut plus distinguer quelle part
de l'énergie restituée sert à la propagation et quelle part est directement utilisée par un autre
phénomène dissipatif (la plasticité en l'occurrence).
2.5.1 Thermo-élasticité non linéaire [R7.02.03]
2.5.1.1 Non linéarité de comportement
La relation de comportement élastique non linéaire est décrite en [R5.03.20]. Il est à noter que la loi
élastoplastique de Hencky-Von Mises (écrouissage isotrope) dans le cas d'un chargement radial et
monotone est équivalent à la loi élastique non-linéaire. Le matériau hyperélastique a un comportement
mécanique réversible, c'est-à-dire que tout cycle de chargement n'engendre aucune dissipation. De ce
fait la relation de comportement du matériau dérive du potentiel d'énergie libre et on sait donner un
sens au taux de restitution d'énergie dans le cadre de l'approche énergétique de Griffith.
2.5.1.2 Non linéarité géométrique
On étend la relation de comportement à de grandes déformations, dans la mesure où elle dérive d'un
potentiel (loi hyperélastique). Cette fonctionnalité est déclenchée par le mot-clé DEFORMATION =
'GREEN' dans les commandes CALC_G_THETA [U4.82.03] et CALC_G_LOCAL [U4.82.04].
Le comportement du solide est supposé hyperélastique, à savoir que le tenseur de déformations de
Green-Lagrange E est relié au champ de déplacement u mesuré par rapport à la configuration de
référence par :
o
1
E (u) =
(u +u +u u
ij
i j
j i
i k
k j )
2
,
,
,
,
et que la relation de comportement dérive du potentiel d'énergie libre (E) :
S
=
ij
E
ij
S étant le tenseur des contraintes de Piola-Lagrange appelé encore deuxième tenseur de
Piola-Kirchoff
Une telle relation de comportement permet en toute rigueur de prendre en compte de grandes
déformations. Toutefois, on se cantonne à de grands déplacements et de grandes rotations, mais on
reste en petites déformations. Cela pour assurer l'existence d'une solution et pour être identique à un
comportement élastoplastique sous un chargement radial monotone [R5.03.20 §2.1].
2.5.2 Thermo-élastoplasticité [R7.02.07]
Le domaine de validité du calcul du taux de restitution d'énergie est limité au cadre thermo-élastique
linéaire ou non-linéaire. Pour traiter le problème élastoplastique, deux solutions sont envisageables :
· se ramener à un problème thermo-élastique non-linéaire avec des hypothèses restrictives,
· utiliser une autre formulation, comme celle de l'approche énergétique.
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Domaine d'application des opérateurs de mécanique de la rupture
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2.5.2.1 Equivalence entre un problème thermo-élastique non linéaire et un problème thermo-
élastoplastique
La relation de comportement élastique non linéaire offre la possibilité de traiter les problèmes de
mécanique de la rupture en approchant le comportement thermo-élastoplastique. Dans le cas d'un
chargement radial monotone, elle permet d'obtenir des déformations et des contraintes de la
structure semblables à celles que l'on obtiendrait si le matériau présentait un écrouissage isotrope.
L'utilisation des indicateurs de décharge et de perte de radialité permet de s'assurer de l'équivalence
des lois de comportement.
Mais les conditions de chargements proportionnels et monotones, indispensables pour assurer la
cohérence du modèle avec le matériau réel, conduisent à des restrictions importantes du champ des
problèmes à même d'être traités par cette méthode (la thermique en particulier peut conduire à des
décharges locales).
2.5.2.2 Formulation du paramètre GTP
Attention :
Cette formulation est issue de travaux de recherche récents et le paramètre GTP n'a pas encore de
validité expérimentale.
Dans le cadre thermo-élastoplastique, l'énergie dissipée se répartit d'une part en rupture et d'autre
part en plasticité sans qu'il soit possible de quantifier a priori séparément ces deux types de
dissipation. Le choix proposé dans le Code_Aster consiste à dériver l'énergie mécanique totale pour
obtenir un taux de restitution d'énergie, que nous appellerons paramètre de rupture GTP. Ce
paramètre permet d'analyser les situations de chargements non monotones du défaut, pour des
comportements de matériau irréversibles. Les relations de comportement thermo-élastoplastique sont
décrites en détail dans le document [R5.03.02].
Comment faire un calcul de GTP en thermo-plasticité ?
· La présence du mot clé facteur COMP_INCR, et du mot clé facteur
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE' (ou 'VMIS_ISOT_TRAC') dans les commandes
CALC_G_THETA et CALC_G_LOCAL indique qu'il est nécessaire de récupérer le champ de
déplacements u , les contraintes , et les caractéristiques du matériau élastoplastique. Il est
également nécessaire de récupérer les champs des tenseurs de déformation plastique par
l'opérateur CALC_ELEM [U4.81.01].
· Modélisation par une entaille : Le défaut doit être modélisé par une entaille et non pas par
une fissure.
En effet la formulation de G pour une relation thermo-élastoplastique n'est valable que
pour un solide entaillé et pas pour un solide fissuré : la difficulté principale dans
l'établissement de cette formulation est l'impossibilité de démontrer l'existence de la
dérivée de l'énergie mécanique totale pour un domaine comportant une fissure, et ceci
principalement par l'absence de connaissance des singularités des champs en plasticité.
Il est important de noter que les termes pris en compte dans un calcul
thermo-élastoplastique avec la méthode théta sont ceux supportés par les éléments
entre la pointe de fissure et Rsup (par opposition au calcul en thermo-élasticité non-
linéaire où seuls les termes entre Rinf et Rsup sont non nuls).
Forme d'entaille possible :
OK
OK
NON
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Dans le cadre de la méthode théta on considère que l'entaille se propage en gardant la
même forme (même si cela n'a pas de signification physique pour une entaille de type
pastille).
Le type de l'entaille et le rayon en fond d'entaille n'ont pas d'influence sur les valeurs de
GTP à condition que l'épaisseur de l'entaille soit faible par rapport aux dimensions de la
structure. Si on modélise par une entaille pointue (fissure classique) les résultats doivent
être considérés comme faux (les termes de gradient des déformations plastiques sont
mal calculés numériquement).
Il est nécessaire d'utiliser un maillage fin avec des éléments quadratiques au voisinage
du fond de l'entaille pour avoir des résultats fiables dans les cas de décharge.
· Difficultés :
La finesse du maillage peut conduire à des temps de calcul importants.
La modélisation d'une fissure par une entaille est délicate en 3D.
Quelle interprétation faire des résultats obtenus avec ce paramètre de rupture GTP ? Au
cours de la décharge les valeurs de GTP sont d'abord décroissantes puis ensuite
croissantes : ceci est conforme à la définition de GTP qui intègre toute l'accumulation
plastique en fond de défaut. Si l'on se place dans l'hypothèse de Griffith, on pourrait
donc avoir propagation de la fissure en décharge, ce qui est problématique. Comme on
le voit le problème reste ouvert et nécessite encore la validation d'un critère de rupture
par des essais expérimentaux.
2.5.2.3 Approche énergétique de la rupture élastoplastique et fomulation du paramètre Gp
Cette formulation est issue de travaux de recherche récents [bib62].
On définit un taux de restitution d'énergie en plasticité appelé Gp applicable à une fissure représentée
en entaille, en s'appuyant sur la formulation de Francfort-Marigo pour les milieux fragiles et sur la
mécanique continue de l'endommagement (voir le chapitre [§1.4]).
Le paramètre Gp est défini par la fomule suivante :
Gp =
we dS
.
[(
max
( . )) / ]l
l
Entaille( l
)
où we est l'énergie élastique.
Comment faire un calcul de Gp en thermo-plasticité ?
Maillage :
L'utilisateur doit réaliser un maillage de la structure avec un défaut modélisé sous forme d'une entaille
et non sous forme d'une fissure. L'entaille a la forme d'un cigare ou bien encore la forme d'une fissure
prolongée d'un cercle en son extrémité.
OK
OK
Deux types d'entailles autorisées
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Le fond d'entaille () est représenté par un demi-cercle de rayon r. La zone correspondant à la
propagation de l'entaille est notée Ze(l) (Zone endommagée) et dépend de l, distance propagée,
conformément à la figure ci-dessous :
Ze(l)
entaille
l
() : fond d'entaille
Entaille avec copeaux
La zone endommagée potentielle est modélisée par un empilement d'une centaine de copeaux qui
vont permettre de faire le calcul de l'énergie.
Le raffinement du maillage près du fond de l'entaille doit être extrêmement fin. En effet, on conseille de
choisir les données géométriques suivantes :
· le rayon du cercle en fond d'entaille doit être de l'ordre de r = 50 microns, suivant le matériau
considéré,
· chacun des copeaux doit avoir une épaisseur égale à 1/5 r soit deltal = 10 microns.
On fait varier la distance propagée l en faisant varier le nombre de copeaux considérés : l = k deltal.
Un seul maillage suffit.
Remarque :
Le paramètre Gp ne dépend pas pathologiquement du maillage.
Difficultés :
Le maillage doit être paramétré de sorte à pouvoir réaliser les post-traitements
automatiquement avec des boucles sur le kième copeau considéré.
Du fait de la finesse du maillage, les calculs peuvent être assez longs et nécessiter de la
place mémoire.
Le maillage d'une entaille en 3D est assez délicat à réaliser.
Calcul :
On fait un calcul avec STAT_NON_LINE( ). Le calcul de l'énergie dans le Code_Aster se fait
simplement grâce à la commande POST_ELEM( ) avec l'option ENER_ELAS.
Il faut ensuite pour chaque instant du calcul non linéaire, calculer Gp(k), pour chaque valeur
de l correspondant à k copeaux par la formule :
Gp(k) = Eelas(k) / (k deltal)
On détermine ensuite pour chaque instant du calcul, le ligament où le maximum de Gp est
obtenu et en particulier à l'instant correspondant à la rupture.
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2.5.3 Indicateurs de décharge et de perte de radialité
Ces indicateurs permettent de localiser les décharges locales et la perte de radialité. Attention à
l'interprétation des indicateurs de décharge et de perte de radialité : la valeur donnée au temps ti
correspond au diagnostic de ce qui se passe entre ti et ti+1. Ainsi, la valeur calculée au dernier pas de
temps n'a pas de sens. L'indicateur de décharge est négatif pour indiquer une décharge locale, et
l'indicateur de radialité vaut 0 pour un trajet radial.
2.5.4 Conseils d'utilisation de la loi de comportement
Calcul en thermo-élasticité linéaire :
Avant de réaliser un calcul en non-linéaire il est conseillé de réaliser un premier calcul thermo-
élastique linéaire et de post-traiter les résultats pour avoir une première idée de l'ordre de grandeur
des résultats.
Calcul en non-linéaire :
Dans la mesure où c'est possible il est préférable de faire un calcul thermo-élastoplastique et de
comparer les résultats obtenus à ceux d'un calcul thermo-élastique non linéaire. Cela permet de
s'assurer que le chargement est radial et monotone, avec éventuellement une certaine approximation
(utilisation des indicateurs de décharge et de perte de radialité). Si tel n'est pas le cas, le problème
reste ouvert, et on peut s'orienter alors vers des post-traitements du type « approche locale ».
Même si rien n'interdit dans le Code_Aster de réaliser un calcul avec une loi de comportement et de
post-traiter avec une autre loi, les résultats sont généralement à mettre en question et l'utilisateur doit
donc être très attentif sur ce point.
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3
Mise en oeuvre d'un calcul en mécanique de la rupture dans
le Code_Aster
3.1 Méthodologie
3.1.1 Commandes
du
Code_Aster
On présente ici les principales commandes à mettre en oeuvre dans le Code_Aster Version 6. pour
réaliser un post-traitement en mécanique de la rupture fragile. Pour davantage de précisions sur les
commandes concernées, on pourra se reporter à la documentation d'utilisation.
Acquisition des données du fichier de maillage : LIRE_MAILLAGE [U4.21.01]
Pour un maillage 3D il faut penser dès la génération du maillage à nommer les noeuds du fond de
fissure et les mailles des lèvres de la fissure. Les noeuds du fond de fissure doivent être ordonnés pour
définir le sens de parcours de l'abscisse curviligne du fond de fissure. On peut ordonner les noeuds du
fond de fissure avec la commande DEFI_FOND_FISS [U4.82.01].
Conseil :
Utiliser des éléments quadratiques (obligatoirement pour un problème élasto-plastique et fortement
conseillé pour un problème 3D).
Pour plus de détails consulter [§2.1].
Définition du modèle : AFFE_MODELE [U4.41.01]
Le phénomène physique modélisé est mécanique (PHENOMENE='MECANIQUE'). La modélisation est
choisie parmi les modélisations des milieux continus 2D déformations planes ou contraintes planes,
2D axisymétrique et 3D (D_PLAN, C_PLAN, AXIS, 3D).
Caractéristiques du matériau : DEFI_MATERIAU [U4.43.01] et AFFE_MATERIAU [U4.43.03]
Le comportement est soit élastique linéaire (mot clé facteur ELAS ou ELAS_FO) soit non linéaire (mot
clé facteur ECRO_LINE ou ECRO_LINE_FO ou TRACTION). Les caractéristiques du ou des matériaux
à définir sont le module d'Young, le coefficient de Poisson, éventuellement le coefficient de dilatation
thermique et dans le cas non linéaire la limite d'élasticité et le module d'écrouissage ou la courbe de
traction. Ces caractéristiques peuvent dépendre de la température pour le calcul du taux de restitution
d'énergie.
Pour le calcul des facteurs d'intensité de contraintes les caractéristiques doivent être définies sur tous
les matériaux, y compris sur les éléments de bord, du fait de la méthode de calcul [R7.02.05]. Pour
s'assurer de ce fait, il est conseillé de faire un AFFE=_F(TOUT='OUI') dans la commande
AFFE_MATERIAU [U4.43.03], quitte à utiliser la règle de surcharge ensuite.
Affectation des chargements mécaniques : AFFE_CHAR_MECA(_F) [U4.44.01]
Les chargements mécaniques sont ceux des milieux continus. On veillera à ce que les chargements
utilisés soit bien supportés par les opérateurs de mécanique de la rupture (voir§1.3.4) sinon ils sont
ignorés.
Pour un problème où la thermique intervient, on récupère le chargement d'origine thermique par le mot
clé TEMP_CALCULEE dans la commande AFFE_CHAR_MECA [U4.44.01]. Pour la résolution éventuelle
du problème thermique, il faut définir le modèle thermique avec AFFE_MODELE [U4.41.01] (la
modélisation choisie est la même que celle du modèle mécanique). Les chargements thermiques sont
ceux des milieux continus et sont définis avec AFFE_CHAR_THER(_F) [U4.44.02]. La résolution est
faite avec THER_LINEAIRE [U4.54.01] ou THER_NON_LINE [U4.54.02].
Résolution du problème mécanique : MECA_STATIQUE [U4.51.01] ou STAT_NON_LINE [U4.51.03]
Si le problème est élastique linéaire, on utilise l'opérateur global MECA_STATIQUE qui calcule les
déplacements à partir du modèle, du champ de matériau, des conditions aux limites et du chargement.
Le concept produit par cet opérateur est de type evol_elas.
Si le problème est non-linéaire, on utilise l'opérateur global STAT_NON_LINE qui produit un concept de
type evol_noli.
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Il est possible d'utiliser la commande CREA_CHAMP(OPERATION='EXTR') [U4.72.04] pour récupérer
le champ de déplacements aux noeuds (nécessaire pour le post-traitement de mécanique de la
rupture). Mais on peut également utiliser directement les concept evol_elas et evol_noli dans les
commandes de mécanique de la rupture, en précisant les numéros d'ordre voulus.
Conseil : Pour un calcul non-linéaire coûteux en mémoire et en temps CPU, il est conseillé de
constituer une base et de poursuivre l'étude pour les post-traitements (en particulier en mécanique de
la rupture). Pour plus de détails consulter les documents DEBUT [U4.11.01], POURSUITE [U4.11.03] et
FIN [U4.11.02]. Il faut alors être vigilant sur la compatibilité des versions de Code_Aster entre deux
exécutions enchaînées.
Post-traitement en mécanique de la rupture
Définition des caractéristiques du fond de fissure : DEFI_FOND_FISS [U4.82.01]
Cette commande permet de définir :
· en 2D le noeud du fond de fissure et la normale à la fissure,
· en 3D les noeuds du fond de fissure et les mailles des lèvres de la fissure.
En 2D cette commande est obligatoire uniquement pour le calcul des coefficients d'intensité de
contraintes. Dans le cas d'une structure symétrique où la moitié de la fissure est représentée, l'unique
lèvre doit être définie par LEVRE_SUP. Si la fissure ne débouche pas, il n'est alors bien sûr pas
nécessaire de définir les directions de théta aux extrémités par DTAN_ORIG et DTAN_EXTR.
Affectation du champ théta : CALC_THETA [U4.82.02]
Cette commande permet d'affecter le champ théta nécessaire au calcul du taux de restitution d'énergie
ou des facteurs d'intensité de contraintes. Le champ théta est un champ aux noeuds définis sur tout le
maillage.
L'utilisateur doit définir les caractéristiques du champ théta :
· le module (égal à 1. a priori),
· la direction de propagation : égale à celle du fond de fissure en 2D, calculée
automatiquement en 3D à partir des directions de propagation des noeuds en fond de fissure
(ces directions sont récupérées par le concept de type fond_fiss produit par l'opérateur
DEFI_FOND_FISS ou par le mot clé DIRE_THETA),
· les rayons Rinf et Rsup des couronnes entourant le fond de fissure et utilisés dans la
méthode théta : en 2D le fond de fissure est réduit à un noeud et les couronnes sont
circulaires. En 3D les rayons peuvent être variables avec l'abscisse curviligne du fond de
fissure et Rinf, Rsup définissent alors deux cylindres déformés et variables entourant le fond
de fissure.
Cette commande n'est pas nécessaire si on réalise un calcul du taux de restitution d'énergie local : le
champ théta est calculé automatiquement à partir du fond de fissure issu de DEFI_FOND_FISS, des
rayons Rinf et Rsup et de la méthode d'interpolation définis dans la commande CALC_G_LOCAL.
Choix des rayons Rinf et Rsup :
· Le choix des rayons Rinf et Rsup est indépendant de la topologie du maillage (même si c'est
préférable, on n'est pas obligé d'avoir un maillage rayonnant en pointe de fissure).
· Ne jamais utiliser un champ théta défini avec un rayon inférieur Rinf nul. En effet les champs
de déplacements sont singuliers en fond de fissure et introduisent des résultats imprécis en
post-traitement de mécanique de la rupture.
· En thermo-élastoplasticité, on utilise une fissure comme entaille. On s'assurera que le rayon
inférieur Rinf est bien supérieur au rayon de l'entaille.
· En 2D le rayon supérieur Rsup peut être aussi grand que l'on veut à condition bien sûr que la
couronne ainsi définie soit contenue dans le solide.
· En 3D le problème est plus délicat : il faut trouver un compromis entre Rinf pas trop petit
(résultats imprécis à cause des champs de déplacements singuliers mal calculés en fond de
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fissure) et Rsup pas trop grand (direction du champ théta peut être mal calculée). Lire le
[§2.2.3] pour plus de détails.
· Ne pas oublier que les chargements appliqués au-delà de Rsup ont une contribution nulle
dans les post-traitements de mécanique de la rupture. Ceci peut être utile si on applique un
chargement non supporté comme FORCE_NODALE, DDL_IMPO (en 2D) ou FACE_IMPO (en
3D) voir [§1.3.4].
· Prendre plusieurs couronnes consécutives pour vérifier [R1,R2], [R2,R3], [R3, R4],...
Calcul du taux de restitution d'énergie en 2D ou en 3D : CALC_G_THETA(_T) [U4.82.03]
La commande CALC_G_THETA permet de calculer le taux de restitution d'énergie G en 2D ou en 3D
par la méthode théta dans le cas d'un problème thermo-élastique linéaire ou non linéaire.
Pour ce calcul l'utilisateur doit préciser obligatoirement :
· le modèle,
· le champ de matériau,
· le champ de déplacements (à partir d'un champ aux noeuds ou d'un résultat),
· le champ théta,
et éventuellement :
· le chargement (si chargement volumique, surfacique sur les lèvres de la fissure ou d'origine
thermique),
· la relation de comportement (par défaut thermo-élasticité linéaire),
· les déformations plastiques (si le comportement est thermo-élastoplastique).
La commande CALC_G_THETA permet également le calcul du taux de restitution d'énergie avec
propagation Lagrangienne (c'est-à-dire pour une extension de la fissure en utilisant le même maillage)
en 2D ou en 3D dans le cas d'un problème thermo-élastique linéaire (option CALC_G_LAGR). Pour plus
de précisions on se réfèrera au document [R7.02.04].
Calcul des coefficients d'intensité de contraintes en 2D : CALC_G_THETA(_T) [U4.82.03]
La commande CALC_G_THETA permet de calculer les coefficients d'intensité de contraintes en 2D
(contraintes planes ou déformations planes) par la méthode théta dans le cas d'un problème
thermo-élastique linéaire. Il faut préciser l'option CALC_K_G sous le mot clé OPTION.
Pour ce calcul l'utilisateur doit préciser obligatoirement :
· le modèle,
· le champ de matériau,
· le champ de déplacements (à partir d'un champ aux noeuds ou d'un résultat),
· le champ théta,
· le fond de fissure,
et éventuellement le chargement (si chargement volumique, surfacique sur les lèvres de la fissure ou
d'origine thermique).
Calcul des coefficients d'intensité de contraintes par extrapolation du champ de
déplacements : POST_K1_K2_K3.
La commande POST_K1_K2_K3 permet de calculer les coefficients d'intensité de contraintes (y
compris K3) en 2D (contraintes planes ou déformations planes), 3D et axisymétrique le cas d'une
fissure plane dans un matériau élastique homogène et isotrope.
Pour ce calcul l'utilisateur doit préciser obligatoirement les champs de déplacement sur chaque lèvre,
fournis sous forme de tables extraites du concept résultat evol_elas par la commande
POST_RELEVE_T.
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: 29/52
Calcul du taux de restitution d'énergie local en 3D : CALC_G_LOCAL(_T) [U4.82.04]
La commande CALC_G_LOCAL permet de calculer le taux de restitution d'énergie G en 2D ou en 3D
par la méthode théta dans le cas d'un problème thermo-élastique linéaire ou non linéaire.
Pour ce calcul l'utilisateur doit préciser obligatoirement :
· le modèle,
· le champ de matériau,
· le champ de déplacements (à partir d'un champ aux noeuds ou d'un résultat),
· le fond de fissure,
· les rayons Rinf et Rsup définissant les couronnes entourant le fond de fissure,
et éventuellement :
· le chargement (si chargement volumique, surfacique sur les lèvres de la fissure ou d'origine
thermique),
· la relation de comportement (par défaut thermo-élasticité linéaire),
· la méthode de discrétisation du champ théta en fond de fissure (par défaut méthode de
Legendre, degré 5),
· les déformations plastiques (si le comportement est thermo-élastoplastique).
On notera que le champ théta est calculé à partir du fond de fissure et des rayons Rinf et Rsup (inutile
d'utiliser la commande CALC_THETA sauf pour le cas particulier de la propagation Lagrangienne).
La commande CALC_G_THETA permet également le calcul du taux de restitution d'énergie local avec
propagation Lagrangienne en 3D (option CALC_G_LGLO) dans le cas d'un problème thermo-élastique
linéaire [R7.02.04].
Calcul de l'énergie pour le calcul du taux de restitution d'énergie en plasticité Gp :
On utilise la commande POST_ELEM( ), avec l'option ENER_ELAS. On obtient le calcul de Gp par un
post_traitement manuel (voir chapitre [§1.4] et chapitre [§2.5.2.3]).
3.1.2 Pièges à éviter
Maillage :
En 3D les noeuds du fond de fissure doivent être ordonnés.
Pour un problème thermo-élastoplastique (paramètre GTP et Gp) il faut modéliser la fissure par une
entaille et utiliser des éléments quadratiques.
Chargement :
Lors d'un calcul thermique, il ne faut pas oublier d'introduire dans l'opérande CHARGE de
CALC_G_THETA ou CALC_G_LOCAL la charge d'origine thermique.
Les chargements non supportés sont ignorés. Aucun message d'alarme n'est émis, on se reportera
donc au [§1.3.4] pour s'assurer que les chargements utilisés ont un sens en mécanique de la rupture
et sont bien traités.
Si la liste des charges comporte plus d'une charge, un chargement de même nature ne peut figurer
que dans une seule charge. Dans le cas contraire, seule la dernière charge est prise en compte.
Si le champ de déplacement a été calculé par une charge avec un coefficient multiplicateur différent de
1., on devra, pour obtenir le G correspondant au bon chargement, introduire dans l'opérande CHARGE
de CALC_G_THETA ou CALC_G_LOCAL la charge en question multipliée par ce coefficient (voir
COMB_CHAM_NO [U4.72.02] pour ce problème).
Si on fait un calcul en grandes transformations (mot clé DEFORMATION = 'GREEN' sous le mot clé
facteur COMP_ELAS) les chargements supportés doivent être des charges mortes, typiquement une
force imposée et pas une pression [R7.02.03 §2.4].
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Loi de comportement :
Rien n'interdit en pratique de résoudre le problème mécanique avec une loi de comportement (dans
MECA_STATIQUE ou STAT_NON_LINE) et de réaliser le post-traitement avec une autre loi de
comportement : à éviter.
Symétrie du chargement et normalisation :
Dans les commandes CALC_G_THETA et CALC_G_LOCAL le mot clé SYME_CHAR permet d'indiquer si
le chargement est symétrique ou antisymétrique dans le cas ou on ne modélise que la moitié du solide
par rapport à la fissure.
Ce mot clé est indispensable si on utilise l'option 'CALC_K_G' pour calculer les facteurs d'intensité de
contraintes : il permet d'affecter K2 à 0 si le chargement est symétrique par rapport à la fissure ou K1 à
0 s'il est antisymétrique.
Il permet également de multiplier par 2, les valeurs du taux de restitution d'énergie G si on ne modélise
que la moitié du solide par rapport à la fissure.
'SANS' 'SYME' 'ANTI'
G GASTER 2.*
GASTER 2.*
GASTER
K1 K1ASTER K1ASTER 0.
K2 K2ASTER 0. K2ASTER
Attention :
Ne pas oublier que dans certaines configurations, un post-traitement manuel est nécessaire
pour obtenir la normalisation de la valeur du taux de restitution d'énergie. En particulier en
axisymétrique, il faut diviser GASTER par la distance du fond de fissure à l'axe de symétrie et en
3D par la longueur du fond de fissure [§2.3].
Définition du fond de fissure et des rayons Rinf et Rsup en 3D :
Quand la fissure est débouchante, bien définir les directions du champ théta aux extrémités du fond de
fissure à l'aide des mots clés DTAN_ORIG et DTAN_EXTR dans la commande DEFI_FOND_FISS
[U4.82.01]. Voir 2.2.2.
Attention au choix des rayons Rinf et Rsup de la couronne. Voir [§2.2.3].
Calcul de l'énergie pour le calcul du taux de restitution d'énergie en plasticité Gp :
Il faut veiller à ce que l'énergie soit calculée avec suffisamment de précision car on effectue pour le
calcul de Gp une différence entre des quantités très faibles.
3.1.3 Vérifications concernant les post-traitements de mécanique de la rupture
Il est important d'avoir une idée de l'ordre de grandeur des résultats avant de commencer tout calcul
numérique (modèle simplifié, test de référence, bibliographie, ...).
Il est conseillé d'utiliser successivement les commandes CALC_G_THETA ou CALC_G_LOCAL avec au
moins 3 champs théta de couronnes différentes pour s'assurer de la stabilité des résultats. En cas de
variation importante (supérieure à 5-10%) il faut s'interroger sur la bonne prise en compte de toute la
modélisation. Cette stabilité est une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour la validité des
résultats.
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3.2 Exemple 1 : Calcul de G, K1 et K2 pour un problème élastique
linéaire en 2D
Il s'agit d'un test de mécanique de la rupture pour un problème élastique linéaire en contraintes planes
SSLP101 [V3.02.101]. On calcule le taux de restitution d'énergie et les coefficients d'intensité de
contraintes pour un problème élastique linéaire en contraintes planes.
3.2.1 Géométrie
Plaque rectangulaire avec fissure OC débouchante.
Pour des raisons de symétrie, le modèle est réduit à la demi-structure Y 0.
Y
I
v
h
u
A
O
C
X
a
Hauteur plaque : h = 250 mm
C = N668
Largeur plaque : I = 100 mm
Profondeur fissure : a = 37.5 mm (OC)
3.2.2 Propriétés de matériaux
E = 200000 MPa NU = 0.3
Hypothèse des contraintes planes.
3.2.3 Conditions aux limites et chargements
Contrainte imposée en Y = h :
= 1 MPa
Déplacement pour le bord (a X I, Y = 0) :
v = 0.
Point fixe A :
u = v = 0.
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3.2.4 Fichier de commande
DEBUT( )
MA=LIRE_MAILLAGE( )
MO=AFFE_MODELE( MAILLAGE=MA,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',
PHENOMENE = 'MECANIQUE',
MODELISATION = 'C_PLAN'))
MAT=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F( E = 200000., NU = 0.3, RHO = 1.))
CHMAT=AFFE_MATERIAU( MAILLAGE=MA,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',MATER = MAT))
CH=AFFE_CHAR_MECA( MODELE=MO,DDL_IMPO=(
_F( GROUP_NO = 'GRNM5', DY = 0.),
_F( NOEUD = 'N451', DX = 0.)),
FORCE_CONTOUR=_F( GROUP_MA = 'GRMA1', FY = 1.) )
FCONT = FORMULE(REEL="""(REEL:X,REEL:Y) =1.""")
CHFONC=AFFE_CHAR_MECA_F( MODELE=MO,
FORCE_CONTOUR=_F( GROUP_MA = 'GRMA1',
FY = FCONT) )
CHAMDEPL=MECA_STATIQUE( MODELE=MO, CHAM_MATER=CHMAT,
EXCIT=_F( CHARGE = CH))
DEP=CREA_CHAMP( OPERATION='EXTR', TYPE_CHAM='NOEU_DEPL_R',
NOM_CHAM='DEPL', RESULTAT=CHAMDEPL,
NUME_ORDRE=1 )
THETA1=CALC_THETA( MODELE=MO,
THETA_2D=_F( NOEUD = 'N668', MODULE = 1.,
R_INF = 22.04078,
R_SUP = 30.),
DIRECTION=( 1., 0., 0.,))
FOND=DEFI_FOND_FISS( MAILLAGE=MA,
FOND=_F( NOEUD = 'N668'),
NORMALE=(0., 1., 0.,))
G1=CALC_G_THETA_T( MODELE=MO,
DEPL=DEP,
THETA=THETA1,
CHARGE=CHFONC,
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F( RELATION = 'ELAS',
DEFORMATION = 'PETIT'),
CHAM_MATER=CHMAT )
GK1=CALC_G_THETA_T( MODELE=MO,
DEPL=DEP,
THETA=THETA1,
FOND_FISS=FOND,
SYME_CHAR='SYME',
CHARGE=CHFONC,
CHAM_MATER=CHMAT,
OPTION='CALC_K_G')
PRECISION=1.E-4 )
FIN( )
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3.3 Exemple 2 : Calcul de G et G(s) local pour un problème thermo-
élastique en 3D
Il s'agit d'un test de mécanique de la rupture en thermo-mécanique pour un problème tridimensionnel
HPLV103 [V7.03.103]. On considère une fissure circulaire plongée dans un milieu thermo-élastique.
On impose une température uniforme sur les lèvres de la fissure. Ce test permet de calculer le taux de
restitution d'énergie global G et le taux de restitution G local en différents points du fond de fissure.
3.3.1 Géométrie
On considère une fissure circulaire plongée dans un milieu thermo-élastique :
z
E
H
F
G
O
C
D
y
A
B
C
I
x
Le rayon de la fissure est : OA = OB = 1.0
Le milieu est modélisé par un parallélépipède de dimensions : OE = OD = OC = 30.0
3.3.2 Propriétés de matériaux
Conductivité thermique :
= 1.
Coefficient de dilatation thermique : = 10-6/°C
Module d'Young :
E = 2.105 MPa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
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3.3.3 Conditions aux limites et chargements
Z
T0 = constante = - 1
Y
O
a
X
3.3.4 Fichier de commande
DEBUT( )
M=LIRE_MAILLAGE( )
M=DEFI_GROUP( reuse=M, MAILLAGE=M,CREA_GROUP_NO=(
_F( GROUP_MA = 'LEVREINF'),
_F( GROUP_MA = 'SSUP_S'),
_F( GROUP_MA = 'SAV_S'),
_F( GROUP_MA = 'SLAT_S'),
_F( GROUP_MA = 'SINF'),
_F( GROUP_MA = 'SAR'),
_F( GROUP_MA = 'SLAT'),
_F( NOM = 'INFINI',
UNION = ( 'SINF','SAR','SLAT', )))
)
#--------------------------------------------------------------------
# DEBUT DU THERMIQUE #
#--------------------------------------------------------------------
MOTH=AFFE_MODELE( MAILLAGE=M,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',
PHENOMENE = 'THERMIQUE',
MODELISATION = '3D')
)
MATH=DEFI_MATERIAU( THER=_F( RHO_CP = 0., LAMBDA = 1.) )
CMTH=AFFE_MATERIAU( MAILLAGE=M,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',
MATER = MATH)
)
CHTH=AFFE_CHAR_THER( MODELE=MOTH,TEMP_IMPO=(
_F( GROUP_NO = 'INFINI',
TEMP = 0.0),
_F( GROUP_NO = 'LEVREINF',
TEMP = 1.))
)
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THLI=THER_LINEAIRE( MODELE=MOTH,
CHAM_MATER=CMTH,
EXCIT=_F( CHARGE = CHTH)
)
TEMP=CREA_CHAMP( OPERATION='EXTR', TYPE_CHAM='NOEU_TEMP_R',
NOM_CHAM='TEMP', RESULTAT=THLI,
INST=0.0
)
#--------------------------------------------------------------------
# FIN DU THERMIQUE #
#--------------------------------------------------------------------
MO=AFFE_MODELE( MAILLAGE=M,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',
PHENOMENE = 'MECANIQUE',
MODELISATION = '3D')
)
MA=DEFI_MATERIAU( ELAS=_F( E = 200000.,
NU = 0.3,
ALPHA = 0.000001)
)
#
CM=AFFE_MATERIAU( MAILLAGE=M,
AFFE=_F( TOUT = 'OUI',
MATER = MA,
TEMP_REF = 0.)
)
#
CH=AFFE_CHAR_MECA( MODELE=MO,
TEMP_CALCULEE=TEMP,DDL_IMPO=(
_F( GROUP_NO = 'SSUP_S', DZ = 0.),
_F( GROUP_NO = 'SLAT_S', DX = 0.),
_F( GROUP_NO = 'SAV_S', DY = 0.))
)
#
MEST=MECA_STATIQUE( MODELE=MO,
CHAM_MATER=CM,
EXCIT=_F( CHARGE = CH)
)
#
DEPLA=CREA_CHAMP( OPERATION='EXTR', TYPE_CHAM='NOEU_DEPL_R',
NOM_CHAM='DEPL', RESULTAT=MEST,
INST=0.0
)
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#--------------------------------------------------------------------
# CALCUL DE G
#--------------------------------------------------------------------
FF=DEFI_FOND_FISS( MAILLAGE=M,
FOND=_F( GROUP_NO = 'LFF'),
NORMALE=( 0., 0., 1.,),
DTAN_ORIG=( 1., 0., 0.,),
DTAN_EXTR=( 0., 1., 0.,)
)
#
#
THETA1=CALC_THETA( MODELE=MO,
FOND_FISS=FF,
THETA_3D=_F( TOUT = 'OUI',
MODULE = 1.0,
R_INF = 0.07,
R_SUP = 0.2)
)
#
G1=CALC_G_THETA_T( MODELE=MO,
DEPL=DEPLA,
CHAM_MATER=CM,
THETA=THETA1,
CHARGE=CH,
COMP_ELAS=_F( RELATION = 'ELAS',
DEFORMATION = 'PETIT')
)
#--------------------------------------------------------------------
# CALCUL DE GLOCAL #
#--------------------------------------------------------------------
GLOC1=CALC_G_LOCAL_T( MODELE=MO,
DEPL=DEPLA,
CHAM_MATER=CM,
FOND_FISS=FF,
CHARGE=CH,
DEGRE=6,
R_INF=0.07,
R_SUP=0.2,
LISSAGE_THETA='LAGRANGE',
LISSAGE_G='LEGENDRE',
COMP_ELAS=_F( RELATION = 'ELAS',
DEFORMATION = 'PETIT')
)
FIN( )
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3.4
Exemple 3 : calcul de Gp pour un problème élastoplastique en 2D
On réalise un calcul en mécanique de la rupture pour un problème élastoplastique en 2D déformations
planes.
On met en oeuvre le calcul du paramètre Gp issu de travaux de recherches récents (voir chapitre
[§2.5.2.3]) pour mettre en évidence « l'effet petit défaut ».
Contexte et objectif :
La ténacité est un paramètre déterminé expérimentalement sur une éprouvette CT fissurée en traction,
qui est censé représenter la résistance à la rupture du matériau. Mais sur les éprouvettes, les fissures
sont de grandes tailles par rapport aux cas réels. Les effets de triaxialité sont importants et la plasticité
faible.
Au contraire sur cas réels, les fissures sont de plus petites tailles, les effets de triaxialité sont plus
faibles, et la plasticité est plus forte. La ténacité mesurée serait alors plus grande, d'où un gain de
marges potentiel. La taille de la fissure a donc un effet sur la valeur mesurée de la ténacité. C'est cet
effet qui est appelé « effet petit défaut ».
On applique ici l'approche énergétique basée sur le calcul de paramètre Gp à l'interprétation de l'effet
petit défaut.
On considère d'une part une éprouvette SENB avec un grand défaut (SENB1) et d'autre part une
éprouvette SENB avec un petit défaut (SENB2).
3.4.1 Géométrie
Plaque rectangulaire avec petit ou grand défaut. On ne représente que la moitié de la structure.
Hauteur plaque h = 50 mm
Largeur plaque L = 420 mm
Ecartement entre deux appuis S = 370 mm
Taille du défaut af = 25 mm (SENB1) ou 3.8 mm (SENB2).
L/2
Lpilot
Ligr
h
af
Lappui
S/2
3.4.2 Propriétés des matériaux
Module d'young : E = 208510
Coefficient de Poisson : Nu = 0.3
Courbe de traction avec écrouissage non linéaire (comportement VMIS_ISOT_TRAC)
3.4.3 Conditions aux limites et chargements
On applique la condition d'appui sur Lappui dy = 0.
On applique la condition de symétrie dx = 0 sur le ligament du défaut LIGR.
On charge en déplacement en dy sur le bord LPILOT.
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3.4.4 2 fichiers de commandes pour chacun des 2 cas
EPROUVETTE SENB1 GRAND DEFAUT af / h = 0.5 SOIT af = 25 MM
DEBUT()
PRE_GIBI()
MA=LIRE_MAILLAGE()
MA=DEFI_GROUP(reuse =MA,
MAILLAGE=MA,
CREA_GROUP_NO=_F(TOUT_GROUP_MA='OUI',),)
#
# MODELISATION DU MAILLAGE
#
MOD=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(TOUT='OUI',
PHENOMENE='MECANIQUE',
MODELISATION='D_PLAN',),)
#
# DEFINITION DU MATERIAU
#
SIGM_F = DEFI_FONCTION ( NOM_PARA = 'EPSI',
VALE= (
2.74E-03, 571.32,
1.29E-02, 609.42,
2.31E-02, 647.52,
3.33E-02, 685.62,
4.34E-02, 715 ,
5.36E-02, 746 ,
6.37E-02, 775 ,
7.38E-02, 797 ,
8.39E-02, 814 ,
9.40E-02, 831.66,
0.10405 , 844.47,
0.11411 , 856.22,
0.12416 , 867.1 ,
0.14425 , 886.7 ,
0.16434 , 904.04,
0.18441 , 919.62,
0.20448 , 933.78, ),
PROL_DROITE = 'CONSTANT',
PROL_GAUCHE = 'CONSTANT',
)
ACIER=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E=208510.,
NU=0.3,
ALPHA=0.0,),
TRACTION=_F( SIGM = SIGM_F),
)
CH_MAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(GROUP_MA='SENB',
MATER=ACIER,
TEMP_REF=0.0,),)
#
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# DEFINITION D'UNE LISTE D'INSTANTS ET D'UNE RAMPE
#
LIST=DEFI_LIST_REEL(DEBUT=0.0,
INTERVALLE=(_F(JUSQU_A=22.0,
NOMBRE=22,),
_F(JUSQU_A=27.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=32.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=37.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=42.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=47.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=52.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=57.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=61.0,
NOMBRE=4,),
_F(JUSQU_A=65.0,
NOMBRE=4,),
_F(JUSQU_A=70.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=76.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=82.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=88.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=94.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=100.0,
NOMBRE=6,),),)
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RAMPE=DEFI_FONCTION(NOM_PARA='INST',
VALE=(0.0,0.0,100.0,100.0),
PROL_DROITE='LINEAIRE',
PROL_GAUCHE='LINEAIRE',)
#
# CHARGEMENT ET CONDITIONS LIMITES
#
CHAR=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MOD,
DDL_IMPO=(_F(GROUP_NO='LIGR',
DX=0.0,),
_F(GROUP_NO='LAPPUI',
DY=0.0,),
_F(GROUP_NO='LPILOT',
DY=-0.04,),),)
#
# APPLICATION DE LA CHARGE & CALCUL DES CONTRAINTES
#
RESU=STAT_NON_LINE(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
EXCIT=_F(CHARGE=CHAR,
FONC_MULT=RAMPE,),
COMP_INCR=_F(RELATION='VMIS_ISOT_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',
GROUP_MA='SENB',),
INCREMENT=_F(LIST_INST=LIST,
NUME_INST_FIN=30,),
NEWTON=_F(PREDICTION='TANGENTE',
MATRICE='TANGENTE',
REAC_ITER=4,),
RECH_LINEAIRE=_F(RESI_LINE_RELA=1.E-3,
ITER_LINE_MAXI=3,),
CONVERGENCE=_F(RESI_GLOB_MAXI=1.E-08,
RESI_GLOB_RELA=1.E-08,
ITER_GLOB_MAXI=20,),
SOLVEUR=_F(METHODE='MULT_FRONT',
RENUM='METIS',),)
#
# CALCUL DE G
#
THETA1=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=0.25,
R_SUP=0.5,),)
G1=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA1,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
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IMPR_TABLE(TABLE=G1,FORMAT = 'AGRAF')
THETA2=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=0.50,
R_SUP=1.0,),)
G2=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA2,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
IMPR_TABLE(TABLE=G2,FORMAT = 'AGRAF')
THETA3=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=1.0,
R_SUP=2.0,),)
G3=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA3,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
IMPR_TABLE(TABLE=G3,FORMAT = 'AGRAF')
FIN()
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POURSUITE(PAR_LOT='NON')
ENEE=[None]*200
ENET=[None]*200
#
deltal = 0.01
#
import os
f2=open("fort.44","w")
f3=open("fort.45","w")
f2.write("Propagation brutale - Eprouvette SENB1 - Maillage M1\n")
f2.write("Ecrouissage courbe de traction CEA\n")
f2.write("Propagation - Energie élastique - G plastique (dW/dl) \n" )
for k in range(1,101):
LIG = 'COPS_%i' %(k)
print " ligament numero : ",k
print " propagation cumulée : ",k*deltal," millimètres"
ENEE[k] = POST_ELEM ( MODELE=MOD,
RESULTAT=RESU,
CHAM_MATER=CH_MAT,
TOUT_ORDRE ='OUI',
ENER_ELAS=_F(GROUP_MA=LIG),
TITRE='Energie élastique',
)
IMPR_TABLE (TABLE=ENEE[k],
FORMAT_R='1PE18.11')
# Fin des itérations
for j in range(1,31):
f2.write("Instant : %f \n" % (j) )
gpmax = 0.
for k in range(1,101):
ETOT=ENEE[k]['TOTALE',j]
GP = 2.0*(ETOT)/(k*deltal)
if GP > gpmax:
gpmax = GP
kmax = k*deltal
f2.write("%f %0.11f %3f \n" % ((k*deltal),ETOT,GP))
f3.write("%f %3f %3f \n" % (j,kmax,gpmax))
f2.close()
f3.close()
FIN()
EPROUVETTE SENB2 PETIT DEFAUT af / h = 0.076 SOIT af = 3.8 MM
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I. DEBOST, G. DEBRUYNE, Y. WADIER, E. VISSE Clé
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: 43/52
DEBUT()
PRE_GIBI()
MA=LIRE_MAILLAGE()
MA=DEFI_GROUP(reuse =MA,
MAILLAGE=MA,
CREA_GROUP_NO=_F(TOUT_GROUP_MA='OUI',),)
#
# MODELISATION DU MAILLAGE
#
MOD=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(TOUT='OUI',
PHENOMENE='MECANIQUE',
MODELISATION='D_PLAN',),)
#
# DEFINITION DU MATERIAU
#
SIGM_F = DEFI_FONCTION ( NOM_PARA = 'EPSI',
VALE= (
2.74E-03, 571.32,
1.29E-02, 609.42,
2.31E-02, 647.52,
3.33E-02, 685.62,
4.34E-02, 715 ,
5.36E-02, 746 ,
6.37E-02, 775 ,
7.38E-02, 797 ,
8.39E-02, 814 ,
9.40E-02, 831.66,
0.10405 , 844.47,
0.11411 , 856.22,
0.12416 , 867.1 ,
0.14425 , 886.7 ,
0.16434 , 904.04,
0.18441 , 919.62,
0.20448 , 933.78,
),
PROL_DROITE = 'CONSTANT',
PROL_GAUCHE = 'CONSTANT',
)
ACIER=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E=208510.,
NU=0.3,
ALPHA=0.0,),
TRACTION=_F( SIGM = SIGM_F),
)
CH_MAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(GROUP_MA='SENB',
MATER=ACIER,
TEMP_REF=0.0,),)
#
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# DEFINITION D'UNE LISTE D'INSTANTS ET D'UNE RAMPE
#
LIST=DEFI_LIST_REEL(DEBUT=0.0,
INTERVALLE=(_F(JUSQU_A=22.0,
NOMBRE=22,),
_F(JUSQU_A=27.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=32.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=37.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=42.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=47.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=52.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=57.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=61.0,
NOMBRE=4,),
_F(JUSQU_A=65.0,
NOMBRE=4,),
_F(JUSQU_A=70.0,
NOMBRE=5,),
_F(JUSQU_A=76.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=82.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=88.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=94.0,
NOMBRE=6,),
_F(JUSQU_A=100.0,
NOMBRE=6,),),)
RAMPE=DEFI_FONCTION(NOM_PARA='INST',
VALE=(0.0,0.0,100.0,100.0),
PROL_DROITE='LINEAIRE',
PROL_GAUCHE='LINEAIRE',)
#
# CHARGEMENT ET CONDITIONS LIMITES
# ---------------------------------------------------------------------
#
CHAR=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MOD,
DDL_IMPO=(_F(GROUP_NO='LIGR',
DX=0.0,),
_F(GROUP_NO='LAPPUI',
DY=0.0,),
_F(GROUP_NO='LPILOT',
DY=-0.04,),),)
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#
# APPLICATION DE LA CHARGE & CALCUL DES CONTRAINTES
#
RESU=STAT_NON_LINE(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
EXCIT=_F(CHARGE=CHAR,
FONC_MULT=RAMPE,),
COMP_INCR=_F(RELATION='VMIS_ISOT_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',
GROUP_MA='SENB',),
INCREMENT=_F(LIST_INST=LIST,
NUME_INST_FIN=95,),
NEWTON=_F(PREDICTION='TANGENTE',
MATRICE='TANGENTE',
REAC_ITER=4,),
RECH_LINEAIRE=_F(RESI_LINE_RELA=1.E-3,
ITER_LINE_MAXI=3,),
CONVERGENCE=_F(RESI_GLOB_MAXI=1.E-08,
RESI_GLOB_RELA=1.E-08,
ITER_GLOB_MAXI=20,),
SOLVEUR=_F(METHODE='MULT_FRONT',
RENUM='METIS',),)
#
# CALCUL DE G
#
THETA1=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=0.25,
R_SUP=0.5,),)
G1=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA1,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
IMPR_TABLE(TABLE=G1,FORMAT = 'AGRAF')
THETA2=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=0.50,
R_SUP=1.0,),)
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G2=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA2,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
IMPR_TABLE(TABLE=G2,FORMAT = 'AGRAF')
THETA3=CALC_THETA(MODELE=MOD,
DIRECTION=(0.0,1.0,0.0),
THETA_2D=_F(GROUP_NO='O',
MODULE=1.0,
R_INF=1.0,
R_SUP=2.0,),)
G3=CALC_G_THETA_T(MODELE=MOD,
CHAM_MATER=CH_MAT,
THETA=THETA3,
RESULTAT=RESU,
TOUT_ORDRE='OUI',
SYME_CHAR='SYME',
COMP_ELAS=_F(RELATION='ELAS_VMIS_TRAC',
DEFORMATION='PETIT',),)
IMPR_TABLE(TABLE=G3,FORMAT = 'AGRAF')
#
FIN()
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POURSUITE(PAR_LOT='NON')
ENEE=[None]*200 ;
ENET=[None]*200 ;
#
deltal = 0.01
#
#
import os
f2=open("fort.44","w")
f3=open("fort.45","w")
f2.write("Propagation brutale - Eprouvette SENB2 - Maillage M1\n")
f2.write("Ecrouissage courbe de traction CEA\n")
f2.write("Propagation - Energie élastique - G plastique (dW/dl) \n" )
for k in range(1,101):
LIG = 'COPS_%i' %(k)
print " ligament numero : ",k
print " propagation cumulée : ",k*deltal," millimètres"
ENEE[k] = POST_ELEM ( MODELE=MOD,
RESULTAT=RESU,
CHAM_MATER=CH_MAT,
TOUT_ORDRE ='OUI',
ENER_ELAS=_F(GROUP_MA=LIG),
TITRE='Energie élastique',
)
IMPR_TABLE (TABLE=ENEE[k],
FORMAT_R='1PE18.11')
# Fin des itérations
for j in range(1,96):
f2.write("Instant : %f \n" % (j) )
gpmax = 0.
for k in range(1,101):
# f2.write("Deltal : %f \n" % (k*deltal) )
# f2.write("Nb copeaux : %i\n" % (k) )
ETOT=ENEE[k]['',j]
GP = 2.0*(ETOT)/(k*deltal)
if GP > gpmax:
gpmax = GP
kmax = k*deltal
f2.write("%f %0.11f %3f \n" % ((k*deltal),ETOT,GP))
f3.write("%f %3f %3f \n" % (j,kmax,gpmax))
f2.close()
f3.close()
FIN()
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3.4.5 Interprétation
Pour la grande fissure (SENB1)
Ce cas correspond au calcul sur éprouvette CT.
On identifie l'instant t1 = 30 s correspondant à la flèche à la rupture expérimentale de 1.21 mm. On
détermine à cet instant G theta qui est stable pour différentes couronnes :
Gtheta SENB1 = 47.86
On détermine ensuite pour tous les instants le ligament où Gp est maximum
et en particulier à l'instant t1 : Gp = 0.606 sur le ligament 26 pour dl = 0.26 mm.
Pour la petite fissure (SENB2)
On détermine dans ce cas l'instant où Gpmax vaut également 0.606.
Il s'agit de t2 = 80 s sur le ligament 16 pour dl = 0.16 mm.
On calcule à l'instant t2 la valeur de GthetaSENB2= 153.79.
On en déduit donc un effet petit défaut qui s'exprime sous la forme :
(epd)2 = GthetaSENB2 / GthetaSENB1 = 3.21 soit epd = KSENB2 / KSENB1 = 1.79
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4 Documentation
du
Code_Aster relative à la mécanique de la
rupture fragile
Clé
Titre du document
Documents de Référence :
[R7.02.01]
Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire
[R7.02.03]
Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité non linéaire
[R7.02.04] Représentation
Lagrangienne de variation de domaine
[R7.02.05]
Calcul des coefficients d'intensité de contraintes en thermoélasticité linéaire plane
[R7.02.07]
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
[R7.02.08]
Calcul des coefficients d'intensité de contraintes par extrapolation du champ de
déplacements
Documents d'Utilisation :
[U4.82.01] Opérateur
DEFI_FOND_FISS
[U4.82.02] Opérateur
CALC_THETA
[U4.82.03] Opérateur
CALC_G_THETA_T
[U4.82.04] Opérateur
CALC_G_LOCAL_T
[U4.82.05] Opérateur
POST_K1_K2_K3
[U4.81.22] Opérateur
POST_ELEM
Documents de Validation :
SSLP101
Taux de restitution d'énergie en contraintes planes
SSLP102
Taux de restitution de l'énergie avec déformations initiales (propagation lagrangienne)
SSLP103
Calculs des facteurs d'intensité de contraintes KI et KII pour une plaque circulaire fissurée
en élasticité linéaire
SSLP310
Biblio_18 Fissure pressurisée dans un domaine plan illimité
SSLP311
Biblio_65 fissure centrale oblique dans une plaque rectangulaire finie, à deux matériaux,
soumise à traction uniforme
SSLP313
Fissure inclinée dans une plaque illimitée, soumise à une traction uniforme à l'infini
SSLV110
Taux de restitution d'énergie pour une fissure semi-elliptique dans un milieu infini
SSLV112
Calcul de G par la méthode lagrangienne pour une fissure circulaire
SSLV134
Fissure circulaire en milieu infini
SSNP102
Taux de restitution d'énergie pour une plaque entaillée en élasto-plasticité
SSNP311
Biblio_131 Fissuration en mode II d'une éprouvette élastoplastique
SSNP312
DMT94.132 Fissure parallèle à l'interface dans une éprouvette CT bimétallique
HPLA310
Biblio_49 Fissure radiale externe dans un barreau circulaire soumis à un choc thermique
HPLA311
Murakami 11.39 Fissure circulaire au centre d'une sphère soumise à une température
uniforme sur les lèvres
HPLP100
Calcul du taux de restitution de l'énergie d'une plaque fissurée en thermo-élasticité
HPLP101
Plaque fissurée en thermoélasticité (contraintes planes)
HPLP310
Biblio_35 Fissure radiale interne dans un cylindre épais sous pression et chargement
thermique
HPLP311
Murakami 11.17 : Fissure au centre d'une plaque mince rectangulaire faisant obstacle à un
flux de chaleur uniforme en milieu isotrope
HPLV102
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasticité pour une fissure circulaire en milieu infini
HPLV103
Calcul de G thermo-élastique 3D pour une fissure circulaire
* Ces tests sont issus de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture et sont
diffusés en documentation électronique.
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: 50/52
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Prépublication 93-23, Octobre 1993
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Date :
03/04/03
Auteur(s) :
I. DEBOST, G. DEBRUYNE, Y. WADIER, E. VISSE Clé
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Manuel d'Utilisation
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6.4
Titre :
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Date :
03/04/03
Auteur(s) :
I. DEBOST, G. DEBRUYNE, Y. WADIER, E. VISSE Clé
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