Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Estimateur d'erreur en résidu
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
R4.10.02-B Page
: 1/6
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
Document : R4.10.02
Estimateur d'erreur en résidu
Résumé
L'estimateur d'erreur en résidu permet d'estimer l'erreur de discrétisation due à la méthode des éléments finis
sur les éléments d'un maillage 2D ou 3D. C'est un estimateur d'erreur explicite faisant intervenir les résidus des
équations d'équilibre et les sauts des contraintes normales aux interfaces, contrairement à l'estimateur de
Zhu-Zienkiewicz, qui utilise une technique de lissage des contraintes à posteriori [R4.10.01] et [bib5].
Cet estimateur est implanté dans le Code_Aster en élasto-plasticité 2D et 3D.
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Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
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: 2/6
1 Introduction
L'estimateur d'erreur en résidu a été développé en 1993 par Bernardi-Métivet-Verfurth [bib1]. C'est un
estimateur d'erreur explicite faisant intervenir les résidus des équations d'équilibre (d'où son nom). Il
s'applique à des problèmes elliptiques (Poisson, Stokes, ou élasticité linéaire) en dimension 2 ou 3.
Ces problèmes sont supposés discrétisés par éléments finis associés à une triangulation régulière.
Historiquement, le premier estimateur d'erreur explicite relatif aux défauts d'équilibre est dû à Babuska
et Rheinbolt [bib2] pour les problèmes 1D avec des éléments linéaires. Gago a étendu cet estimateur
au 2D et a ajouté aux formules les sauts de traction aux interfaces des éléments [bib3] et [bib4]. De
nouveaux estimateurs ont été proposés ensuite, dans lesquels les défauts de traction surfacique aux
frontières du domaine ont également été pris en compte ainsi qu'une amélioration de l'estimation des
sauts inter-éléments donnant des résultats plus fiables.
On s'intéresse ici à l'estimateur en résidu appliqué au cas de l'élasticité linéaire. Le but visé est, à
l'issue d'un calcul élastique, de déterminer la carte d'erreur sur le maillage en vue éventuellement
d'adapter celui-ci (par raffinement et/ou déraffinement) ou simplement pour information. L'adaptation
peut se faire par chaînage avec le logiciel de découpage Homard.
2
Formulation de l'estimateur en résidu
Soit un ouvert de Rn , n = 2 ou 3, de frontière , et T une triangulation régulière de .
En élasticité linéaire, le problème continu s'écrit :
trouver (u, ) tels que :
div
+ f = 0 dans
u
= uD
sur D
.n = g
N
sur N
D est la frontière de Dirichlet du maillage
uD est le déplacement imposé sur cette frontière
N est la frontière de Neumann
n la normale unitaire à N
gN est le chargement appliqué sur cette frontière ; il peut être continu ou discrétisé.
f est une force de type volumique (pesanteur, rotation) ; elle peut être continue ou discrétisée.
h est la contrainte obtenue par la résolution du problème discret :
div
+ f
h
= 0 dans
u
= u
h
D
sur D
.n = g
h
N
sur N
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avec la relation h =
u
DB h où :
D est la matrice de Hooke
B est l'opérateur linéarisé des déformations
Si K désigne un élément courant du maillage, l'estimateur d'erreur (noté () ) est défini comme
étant la moyenne quadratique des indicateurs d'erreur locaux, notés ( K) :
1/2
() = (K)2
KT
L'indicateur par résidu local
L'indicateur est composé de trois termes ; le premier représente le résidu de l'équation d'équilibre sur
chaque maille, le deuxième terme le saut des contraintes normales sur les interfaces, le troisième
terme l'écart entre les contraintes normales et le chargement imposé sur N si l'élément intersecte
N .
V2
V1
K
S(K)
V3
K :
Elément courant où l'on souhaite calculer l'erreur,
V1 à V3 :
Eléments ayant un bord commun avec l'élément courant,
S(K) :
Ensemble des bords de l'élément courant ayant des voisins.
Figure 2-a : Eléments internes à un maillage
·
le premier terme de l'estimateur est la norme L2 du résidu de l'équation d'équilibre sur la
maille K , multiplié par hK qui est, soit le diamètre du cercle circonscrit pour un élément fini
triangulaire, soit la diagonale maximale pour un quadrangle,
·
le deuxième terme est l'intégrale, sur S( K) défini [Figure 2-a], des sauts de contraintes
normales intégrés sur chaque bord F de l'élément qui possède un voisin, et multipliés par la
racine de hF , qui est la longueur de l'arête F ,
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N : Frontière de Neumann
gN : Force appliquée sur la frontière de Neumann
N
gN
K
F
Figure 2-b : Eléments situés sur la frontière d'un maillage
·
le troisième terme est l'intégrale, sur l'intersection de chaque bord F des bords K de
l'élément courant K avec la frontière de Neumann N , des sauts entre les contraintes
normales de l'élément et la force de Neumann g N , multipliée par la racine de hF , longueur
de l'arête F .
On a donc la formule suivante pour l'estimateur en résidu :
(
1
K) = h f + di
v
1/2
1/2
2
+
h [ .n
.
éq 2-1
2
h
]
(
+
h
g -
)
n
K
h L K
F
2
L F
F
N
h
L2 F
F S
( K)
( )
( )
FKN
Pour le choix des différents termes de [éq 2-1], on renvoie à [bib1].
3
Propriétés de l'estimateur en résidu
On note
( )
EX K l'erreur exacte u - uh
sur l'élément K (inconnue a priori)
H1( K)
et
( )
EX l'erreur exacte globale u - uh
H1( )
On a alors les propriétés suivantes ([bib1]) :
·
quelque soit l'élément K , l'erreur élémentaire ( K) est majorée par l'erreur locale exacte
(multipliée par une constante indépendante de la triangulation),
soit K
(K) C × (K)
1
EX
·
l'erreur globale exacte est majorée par l'erreur estimée globale () (multipliée par une
constante indépendante de T )
soit
()
× ()
EX
C2
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Les constantes C et C
1
2 dépendent a priori du type d'élément fini et des conditions aux limites du
problème. Kelly et Gago [bib3] ont proposé en 2D une constante C2 ne dépendant que du degré p
du polynôme d'interpolation utilisé :
1/ 2
1
1
C =
soit
C =
pour
1)
(degré
QUAD4
et
TRIA3
les
2
2
24 2
p
2 p 6
1
C =
pour
2)
(degré
QUAD8
et
TRIA6
les
2
4 p 6
Pour le 3D, on ne dispose pas d'évaluation de la constante. On peut néanmoins dire que l'erreur
estimée globale surestime l'erreur exacte globale dans tous les cas. Ce résultat n'est pas forcément
vrai au niveau local.
4 Implantation
dans
Aster
L'estimateur en résidu est implanté en 2D et 3D sur tous les types d'éléments (sauf les pyramides). Il
est calculé par la commande CALC_ELEM en activant l'option 'ERRE_ELGA_NORE'.
Cette option calcule sur chaque élément :
·
l'erreur absolue ( K) (voir [éq 2-1]),
·
la norme du tenseur des contraintes h
qui sert à normer l'erreur absolue,
L2 ( K)
(K)
·
l'erreur relative ( K)
rel
= 100 ×
.
(
2
K)2 + h L2(K)
Nota :
Cette définition de l'erreur relative implique que dans les zones où les contraintes sont très
faibles, l'erreur relative peut être importante et non significative. C'est alors l'erreur absolue
qu'il faut considérer.
Elle calcule également au niveau global :
1/2
·
l'erreur absolue () = (K)2 ,
KT
1/2
2
·
la norme globale du tenseur des contraintes
=
2 (
h
,
L )
h L2( K)
K T
·
l'erreur relative ()
( )
rel
= 100 ×
.
()2 + 2
h L2()
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D'après l'expression [éq 2-1], on voit que pour calculer l'indicateur d'erreur sur la maille K , on doit
connaître :
1) les chargements éventuels f sur K et gN sur K N (ou leur discrétisation
f
et g
h
Nh ),
2) les
quantités
h ,h
K
F et n liées à la géométrie de l'élément,
3) le champ de contraintes h ,
4) la liste des voisins de K pour récupérer les contraintes sur ces éléments, nécessaires au
calcul du 2ème terme de [éq 2-1].
1 et 2 peuvent être calculés ou récupérés facilement.
3 doit avoir été calculé au préalable par une des options 'SIGM_ELNO_DEPL', 'SIEF_ELNO_ELGA'
ou 'SIRE_ELNO_DEPL' (option sans lissage des contraintes).
Dans le cas contraire, un message d'erreur fatale est émis.
4 nécessite le calcul d'une connectivité particulière maille-mailles, en plus de la connectivité standard
maille-noeuds. Ce nouvel objet est stocké dans la structure de données de type maillage.
Pour le détail de l'implantation dans Aster, voir [bib6].
Pour la validation de l'estimateur, voir [bib7].
5 Bibliographie
[1]
BERNARDI, B. METIVET, R. VERFÜRTH : Groupe de travail maillage adaptatif : analyse
numérique d'indicateurs d'erreur. Note HI-72/93/062
[2]
BABUSKA, RHEINBOLDT : A posteriori error estimates for the finite element method. Int. J.
Num. Meth. Eng., Vol 12, 1597-1659, 1978
[3]
J.P. de S.R. GAGO : A posteriori error analysis and adaptivity for the finite element method.
Ph. D. Thesis, University of Wales, Swansea, U.K., 1982
[4]
D.W. KELLY, J.P. de S.R. GAGO, O. C. ZIENKIEWICZ, I. BABUSKA : A posteriori error
analysis and adaptative processes in finite element method : part I - error analysis. Int. J.
Num. Meth. Eng., Vol 19, 1593-1619, 1983
[5]
X. DESROCHES : Estimateurs d'erreur en élasticité linéaire. Note HI-75/93/118
[6]
A. CORBEL : Implantation d'un estimateur d'erreur en résidu dans le Code de mécanique
Aster. Rapport de fin de stage - Juin 94
[7]
V. NAVAB : Validation d'un estimateur d'erreur en résidu en élasticité bi et tri-dimensionnelle.
Rapport de stage - Mars 95
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