Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
Document R7.02.07
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Résumé :
On présente le calcul du taux de restitution de l'énergie mécanique totale par la méthode théta en 2D ou en 3D
pour un problème thermo-élastoplastique. Les relations de comportement thermo-élasto-plastique sont décrites
en détail dans le document [R5.03.02].
Ce taux de restitution de l'énergie mécanique totale permet d'analyser les situations de chargements non
monotones du défaut, pour des comportements de matériau irréversibles.
Notons que le problème de la rupture thermo-élasto-plastique est un problème délicat. Il est conseillé de
consulter les références avant une première utilisation.
Attention :
Le défaut doit être modélisé par une entaille et non pas par une fissure [§5].
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
2/8
Table des matières
1 Choix de la formulation du taux de restitution d'énergie en thermo-élastoplasticité .............................. 3
2 Relation de comportement..................................................................................................................... 4
3 Expression Lagrangienne du taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité......................... 6
4 Implantation dans le Code_Aster........................................................................................................... 8
5 Restrictions ............................................................................................................................................ 8
6 Bibliographie .......................................................................................................................................... 8
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
3/8
1
Choix de la formulation du taux de restitution d'énergie en
thermo-élastoplasticité
On considère un solide élastique entaillé occupant le domaine de l'espace R2 ou R3. Soit :
·
u le champ de déplacement,
·
T le champ de température,
·
le tenseur des contraintes,
·
f le champ des forces volumiques appliquées sur ,
·
g le champ des forces surfaciques appliquées sur une partie S de ,
·
U le champ de déplacements imposés sur une partie Sd de .
f
S
g
Sd
En thermo-élasticité linéaire ou non-linéaire, le taux de restitution de l'énergie G est défini par l'opposé
de la dérivée de l'énergie potentielle par rapport au domaine [bib1] :
W
G = -
L'énergie potentielle globale à l'équilibre du système est :
W(u) =
d - f u d - g u
d
i
i
i
i
S
où est la densité d'énergie libre. En élasticité, est égale à la densité d'énergie libre élastique
[R7.02.01]
On étend cette définition pour le problème thermo-élasto-plastique, en choisissant de remplacer par
~
l'énergie mécanique totale . Ce choix est justifié dans le document [bib2].
~
est une fonction des variables d'état suivantes :
·
le tenseur des déformations totales,
·
p le tenseur des déformations plastiques,
·
T le champ de température,
·
p la variable interne scalaire d'écrouissage isotrope (déformation plastique cumulée),
·
une ou plusieurs variables tensorielles ou scalaires d'écrouissage cinématique.
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
4/8
~
(
d
t
t
d
, p
t
, T, ,
p ) = ()d =
(, p, ,p T,)+ Dp()d + s T()d
0
d
o
o
d
où
est la densité d'énergie libre
Dp est la puissance volumique de dissipation plastique
s
(T) es
t la densité d'entropie
~
On constate que est la densité d'énergie libre augmentée de l'énergie volumique dissipée
t
d
plastiquement au cours de toute l'évolution, et à laquelle est ajoutée l'énergie
s
T( ) d
o d
(contribution de la température à la variation d'énergie libre).
Attention :
On se limite à un solide entaillé (cf. [§5]).
2
Relation de comportement
Le comportement du solide est supposé thermo-élasto-plastique associé à un critère de Von Mises
avec écrouissage isotrope ou cinématique. Ce type de comportement est traité actuellement dans
l'opérateur STAT_NON_LINE [U4.32.01] sous le mot clé facteur COMP_INCR. Les relations traitées
dans ce document sont :
VMIS_ISOT_LINE : Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire,
VMIS_ISOT_TRAC : Von Mises avec écrouissage isotrope donné par une courbe de traction,
VMIS_CINE_LINE : Von Mises avec écrouissage cinématique linéaire.
Pour plus de détails, consulter les documents [R5.03.02] et [U4.32.01].
est relié au champ de déplacement u par :
(
1
u) = (u , + u , )
2
i j
j i
La densité d'énergie libre s'écrit :
(, p, , ,) = e (, p
T p
, T) + h( ,p,T) + z(T)
où
h est la densité d'énergie d'écrouissage
z une fonction arbitraire de la température
e la densité d'énergie thermo-élastique définie par :
e (
1
1
, p, T) = e
p
p
ij ij =
Aijkl
,
2
2
(ij -ij - (T - réf
T )ij )(kl - -
-
kl
(T réf
T )kl)
avec le coefficient de dilatation thermique, et ( Aijkl ) le tenseur d'élasticité.
Dans le cas particulier où il n'y a pas eu d'évolution plastique, on retrouve l'expression de la densité
d'énergie élastique pour un problème thermo-élastique linéaire [R7.02.01 §1.1].
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
5/8
L'énergie libre d'écrouissage h est déduite de :
h ( ,p T)= R( ,p T), pour l'écrouissage isotrope où R( ,p T) est le rayon de la surface de charge
p
h
et
( , T) = X( , T), pour l'écrouissage cinématique où X(, T) est la translation de la surface
de charge dans l'espace des contraintes (dans le cas de l'écrouissage cinématique linéaire = p )
Pour la relation de comportement de Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire :
E E
R ( ,
p T)
T
=
p
E - ET
ET
y
E
Courbe de traction
Les caractéristiques du matériau (Module d'Young E et D_SIGM_EPSI : ET ) peuvent dépendre de la
température [R5.03.02 §3.2.1].
La dissipation plastique pour une loi de comportement de Von Mises vérifie :
t Dp()d p
=
o
y
où y est la limite d'élasticité linéaire initiale.
~
Finalement la densité d'énergie mécanique totale s'écrit :
~(
t
t
, p, T, ,
p ) = (, p, ,p ,T)+ Dp
()d + s !T()d
o
o
= 1
p
p
ij (ij - ij - (T - réf
T )ij)+ R
2
( ,p T)dp + X
( , T)d + p
o
y
o
Pour un écrouissage isotrope linéaire :
~
~
= (
1
1 E E
, p, T, p) =
p
T
2
ij
2
(ij -ij - (T - réf
T )ij) +
p +
p
2 E -
y
T
E
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
6/8
3
Expression Lagrangienne du taux de restitution d'énergie
en thermo-élasto-plasticité
Le taux de restitution est calculé dans le Code_Aster par la méthode théta [R7.02.01 §1.3]. On note par
!Q la dérivée lagrangienne de la quantité Q dans une propagation virtuelle de l'entaille de ,
étant un petit paramètre réel et un champ de vecteur représentant la direction de propagation de
Q
l'entaille (on a donc !
Q(x(),
) =
+ Q. ).
Le taux de restitution de l'énergie mécanique totale dans cette propagation est :
-
~
~
G () = -
f u
i
i + ( - f u
i
i ) k,k d
-
g u
i
i +
g u
i
i k,k -
nk d
n
k
S
~
~
~
~
~
~
Or !
(
p
p
,
ij
, T, ,
p
ij
i) =
. !ij +
.
T
p
T
p
!ij +
! +
! +
. !i + s !
ij
ij
T
p
i
~
=
ij
ij
~
= -
p
ij
ij
avec ~
= -s
~T
= R(p, T) + p
p
Y
~
= Xi( , T
i
)
i
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
7/8
~
~
soit - G () =
p
!
~
ij !ij - ij !
!
ij +
T + R p!
i
d
+
+
T
k,k
i
+ termes classiques ( f , g)
1 ui, j
u j,i 1
!ij =
+
- (ui,kk,j + uj,kk,i)
2
2
avec
p
p
ij
p
!ij =
+
ij,k
k
T
T! =
+ T
,k k
p
p! =
+
p,k k
ij
! ij =
+ ij,k
k
On peut éliminer !u de l'expression de G() en remarquant que !u est cinématiquement admissible et
en utilisant l'équation d'équilibre [R7.02.01 §1.3]. De même, les termes
p
p
p
~ T
T
(-
.
+ R
+ X.
) + s'éliminent ainsi que les termes
.
- s
.
Y
T
On obtient alors l'expression suivante :
~
-
~
p
G () =
k,k - ij iu,k k,j - ij k +
T k
ij,k
,
k
T
~
+ (
R( ,
p T) + y) ,pk k +
ij,k d
k
ij
+ termes classiques (f,g)
et finalement :
~
~
~
G () = -
p
k,k + ij
i
u ,k
k, j -
,
T k + (R+ y)p k
ij k ij d
,
, -
+
ij,
T
k
k
ij
+ termes classiques (f,g)
~
p
Pour un chargement radial et monotone : ij ij k = (R+ y)p
,
,k +
et on retrouve
ij,k
ij
l'expression de G () en thermoélasticité non linéaire [R7.02.03].
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Taux de restitution d'énergie en thermo-élasto-plasticité
Date :
25/04/97
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE, E. VISSE
Clé :
R7.02.07-A
Page :
8/8
4
Implantation dans le Code_Aster
La comparaison des formulations de G () en thermo-élasticité linéaire et en thermo-élasto-plasticité
montre que les termes des deux formulations ne diffèrent que par des termes de transport des
variables internes.
La présence du mot clé facteur COMP_INCR, et du mot clé facteur RELATION : 'VMIS_ISOT_LINE'
(ou 'VMIS_ISOT_TRAC' ou 'VMIS_CINE_LINE') indique qu'il est nécessaire de récupérer le champ
de déplacements u , les contraintes , et les caractéristiques du matériau élasto-plastique. Il est
également nécessaire de récupérer les champs des tenseurs de déformation plastique par l'opérateur
CALC_ELEM [U4.61.02].
Les types d'éléments finis qui supportent ces options sont les mêmes qu'en élasticité [R7.02.01 §2.4].
Ce sont les éléments isoparamétriques 2D et 3D.
Les chargements supportés sont les mêmes que dans le cas élastique.
5 Restrictions
Attention :
Cette formulation de G pour une relation thermo-élasto-plastique n'est valable que pour un
solide entaillé et pas pour un solide fissuré. On choisira par exemple (mais l'utilisateur pourra
choisir sa propre entaille régulière) :
OK
OK
NON
En effet, la difficulté principale dans l'établissement de cette formulation est l'impossibilité de démontrer
l'existence de la dérivée de l'énergie mécanique totale pour un domaine comportant une fissure, et ceci
principalement par l'absence de connaissance des singularités des champs en plasticité. Pour
contourner le problème, on régularise le domaine en représentant le défaut sous forme d'entaille. Pour
plus de détails, il est conseillé de consulter [bib2].
La validation de cette formulation est réalisée dans le test SSNP102 [V6.03.102] - Calcul du taux de
restitution d'énergie pour un problème élasto-plastique.
6 Bibliographie
[1]
BUI H.D. : Mécanique de la rupture fragile, Masson, 1977.
[2]
DEBRUYNE G. : Proposition d'un paramètre énergétique de rupture ductile en
thermo-plasticité, HI-74/95/027/0, 23/02/96
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HI-75/97/006/A
Document Outline