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Version
7.4

Titre :
Loi de comportement de l'assemblage ASSE_CORN
Date
:

14/04/05
Auteur(s) :
G. DEVESA, J.L. FLEJOU, P. PENSERINI Clé
:
R5.03.32-A Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, LME
















Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.32




Loi de comportement de l'assemblage ASSE_CORN



Résumé :


Ce document décrit le comportement non linéaire des assemblages non linéaires de cornières de pylônes
modélisés par des éléments discrets DIS_TR. Cette loi de comportement est affectée sur les éléments discrets
au moyen de la relation ASSE_CORN appelée par les opérateurs de résolution de problèmes non linéaires
STAT_NON_LINE [R5.03.01] ou DYNA_NON_LINE [R5.05.05].

La loi représente à la fois le comportement en traction de l'assemblage et la relation moment-rotation autour de
l'axe des boulons perpendiculaire à l'assemblage. Les autres directions de chargement présentent un
comportement élastique linéaire décrit par des caractéristiques classiques de rigidité.

On distingue dans la loi de comportement deux phases associées à deux mécanismes : la première
représentant le frottement et le glissement des boulons jusqu'à la butée, et la seconde représentant la
plastification de l'assemblage jusqu'à la ruine. Les lois de type plastique décrivant chacune de ces phases ont
même allure et présentent une concavité à leur raccordement qui rend la convergence problématique et
nécessite un traitement numérique particulier dans les options de calcul auxquelles fait appel la méthode
itérative de Newton.


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Loi de comportement de l'assemblage ASSE_CORN
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Auteur(s) :
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Table
des
matières

1 Notations................................................................................................................................................3
2 Modèle physique du comportement unidirectionnel de l'assemblage ...................................................5
3 Relation de comportement des mécanismes.........................................................................................7
3.1 Comportement unidirectionnel.........................................................................................................7
3.2 Comportement bidimensionnel incrémental ....................................................................................8
4 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................................11
4.1 Formulation en grandeurs réduites en chargement.......................................................................12
4.1.1 Opérateur Knr ........................................................................................................................12
4.1.2 Opérateur Kor ........................................................................................................................13
4.2 Formulation en grandeurs réduites en déchargement ..................................................................14
4.3 Opérateurs tangents Kn et Ko.........................................................................................................14
4.4 Traitement numérique du raccordement entre les mécanismes de la loi d'assemblage ..............15
5 Variables et paramètres de la loi de comportement ............................................................................17
5.1 Variables de la loi ..........................................................................................................................17
5.2 paramètres de la loi .......................................................................................................................17

6 Références bibliographiques ...............................................................................................................18

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1 Notations

SLF
Surface Limite de Frottement
M y
Moment dans l'assemblage autour de l'axe y
N1
Effort limite de glissement de l'assemblage sur l'axe x
M 1
Moment limite de glissement de l'assemblage sur l'axe y
SLU
Surface Limite Ultime
N 2
Effort limite ultime de l'assemblage sur l'axe x
M 2
Moment limite ultime de l'assemblage sur l'axe y
N
Effort limite
M
Moment limite
U 1
Déplacement limite du mécanisme 1 sur l'axe x
1
Rotation limite du mécanisme 1 sur l'axe y
U 2
Déplacement limite du mécanisme 2 sur l'axe x
2
Rotation limite du mécanisme 2 sur l'axe y
U
Déplacement de l'assemblage sur l'axe x

Rotation de l'assemblage sur l'axe y
n
Effort réduit n = Nx / N
m
Moment réduit m = My / M
U r
Déplacement réduit Ur = U /U
r
Rotation réduite r = /
U
Déplacement limite sur l'axe x

Rotation limite sur l'axe y
h(x)
Fonction scalaire
a
Paramètre de non linéarité
d
Constante scalaire
d
Vecteur déplacement généralisé réduit
f
Vecteur effort généralisé réduit
p
Variable interne scalaire
feq
Effort généralisé équivalent réduit scalaire
F
Surface de chargement
R(x)
Fonction scalaire R(x) h 1
-
=
(x)
D
Vecteur déplacement généralisé
F
Vecteur effort généralisé
[D]
Matrice déplacement généralisé limite
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[F]
Matrice effort généralisé limite
+
X
Valeur de X à l'instant t + dt
-
X
Valeur de X à l'instant t
e
Excentricité de chargement e = M y / N x
er
Excentricité de chargement réduite e = m n
r
/

Signe de n
[ ]
Matrice
{ }
Vecteur colonne
< >
Vecteur ligne
Ko
Opérateur tangent à l'instant t
Kn
Opérateur tangent à l'instant t + dt
Kor , Knr Opérateurs tangents réduits


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2 Modèle physique du comportement unidirectionnel de
l'assemblage

L'assemblage d'une cornière sur l'aile d'une autre ou sur une plaque (gousset ou couvre-joint) par des
boulons est schématisé par la [Figure 2-a].


Figure 2-a : repère local de la liaison ; l'axe x est confondu avec l'axe de la barre
et l'axe y est confondu avec l'axe des boulons


Le comportement unidirectionnel de l'assemblage est modélisé pour le chargement en traction ou en
flexion.

La modélisation retenue du comportement unidirectionnel en chargement de l'assemblage soumis à un
effort normal ou un moment autour de y est représentée par la [Figure 2-b].


Effort normal
Moment/y
SLU
SLU
mécanisme 1
mécanisme 2
mécanisme 1
mécanisme 2
SLF
SLF
U
butée
butée
1
Déplacement

Rotation
1
0
0
0
U
0
2
2
Figure 2-b : mécanismes d'assemblage en effort normal et moment

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On distingue deux phases du comportement associées à deux mécanismes :

· mécanisme 1 : frottement et glissement jusqu'à la butée (début du cisaillement des
boulons).
· mécanisme 2 : plastification de l'assemblage jusqu'à la ruine par cisaillement des boulons
ou déchirement des pinces.

La surface limite de frottement (SLF) est la courbe correspondant à l'apparition du glissement dans
l'espace N x ­ M y . Le frottement est décrit par la loi de Coulomb.

La surface limite ultime (SLU) est la courbe correspondant à la ruine de l'assemblage dans l'espace
N x ­ M y . La ruine peut être due, selon la conception de l'assemblage, au cisaillement des boulons
ou au déchirement des pinces.

Les essais sur une même géométrie mais avec des couples de serrage des boulons différents
montrent que la raideur tangente du mécanisme 2 au point de butée diminue quand la SLF se
rapproche de la SLU.

Ceci justifie la modélisation physique retenue pour l'assemblage des deux mécanismes [Figure 2-b].

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3
Relation de comportement des mécanismes

Le comportement des mécanismes 1 et 2 est semblable. Il est non linéaire entre un comportement
initial tangent rigide et un comportement limite asymptotique.

Il est décrit par deux paramètres essentiels : le paramètre de non linéarité et le paramètre surface
limite.

La butée (mécanisme 1) ou la ruine (mécanisme 2) sont décrits par un critère cinématique associé.


3.1 Comportement
unidirectionnel

Nous avons dit au [§2] que les comportements unidirectionnels en effort normal et en moment autour
de y sont semblables [Figure 2-b].

Ils peuvent être décrits par la même relation si on utilise les grandeurs adimensionnelles :

N
M
·
x
y
forces réduites : n =
et
m =

N
M
U

· déplacements réduits : U r =
et r =
U


La [Figure 3.1-a] représente sous forme adimensionnelle le comportement unidirectionnel.
Analytiquement, il peut s'écrire (c'est un choix) :

U

r = h(n) ou
r = h(m)
+
1
1
avec h(x)
a
x
=
a

d 1- x
a+1
n
d =
a
1- n

a est le paramètre scalaire de non linéarité. n et a sont identifiés sur les essais unidirectionnels. n
qui prend en compte la variabilité des essais prend généralement la valeur 0.95.

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n
m
n = Nx / N
1
m = My / M
n m
Ur = U / U
r = /
critère
cinématique
Ur
1

r

Figure 3.1-a : relation de comportement d'assemblage


On remarque que h(n)= 1 ou h(m)= 1, c'est-à-dire : U r =1 ou r = 1, ou encore : U = U ou
= .

Le critère cinématique unidirectionnel est donc vérifié pour n = n ou m = m .

3.2
Comportement bidimensionnel incrémental

Le couplage à la limite est défini par la surface limite :

2
2
N x
M y

+
= 1





N
M

Le comportement unidirectionnel en variables réduites est décrit par la relation du [§3.1] :

d = h(f )


U r

d est le vecteur déplacements réduits


r

n
f est le vecteur forces réduites
m

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En comportement bidimensionnel, l'isotropie est traduite par un modèle à une variable interne scalaire
p telle que :

p = h( feq)
chargement

en


feq est la force réduite équivalente (scalaire).

feq est définie telle que :
F = feq F *



N x
F est le point courant de chargement M
y

*
N x
F * est le chargement limite associé à F

*
M y

L'expression de feq se déduit de l'expression de la surface limite. L'appartenance de F * à la
surface limite s'écrit :

2
2
*
*




N x
M y
+
= 1





N
M

Par la définition de feq , on peut écrire :

2
2
N
M
x
y
+
= 1









feqN
feqM

c'est-à-dire en fonction des forces réduites n et m :

2
2
n
m
+
= 1









feq
feq

d'où
2
2
feq = n + m


On définit alors la surface de chargement F , homothétique à la surface limite, par :

F : feq - R(p) = 0
R(p) h 1

-
=
(p)
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Pour un formalisme similaire à celui de la plasticité à écrouissage isotrope [bib2], on obtient la relation
de comportement continue exprimée en grandeurs réduites :

·
·
·
f
d = p F = p
f
feq
·p = 0
si feq - R(p) < 0
·
·
p = h' ( feq) f eq si feq - R(p) = 0

La relation de comportement de type rigide - plastique sans élasticité s'écrit finalement :

·
· = p
1
D
[D][F]- F
feq
U
Nx
D =
et F =





M



y
[
0
0
D] U

=
N

et [F]

=


0

0 M

La relation de comportement incrémental en grandeurs réduites s'obtient par intégration de la relation
continue entre t (variables -) et t + dt (variables +).

En chargement, p
vérifie F = 0 à t + dt :

feq+ = R ( p- + p
)
éq
2.2-1

En introduisant la relation de comportement,

+
f
d = p

éq
2.2-2
+
feq
on déduit la valeur de p
,

2
2
p
= d . d =
U
r +
r

et on calcule la valeur de
+
feq par [éq 2.2-1]. La relation de comportement [éq 2.2-2] donne les
efforts réduits :

U
+

n
r
=
R(p- + p
)
p

+


m
r
=
R(p- + p
)
p

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En déchargement, p
= 0 et on a par [éq 2.2-2] :

d = 0



4
Implantation dans le Code_Aster

La relation de comportement ASSE_CORN est affectée à des éléments discrets de modélisation
DIS_TR à 2 noeuds confondus. Cette relation est appelée par les opérateurs de résolution de
problèmes non linéaires STAT_NON_LINE [R5.03.01] ou DYNA_NON_LINE [R5.05.05].

Les axes locaux de ces éléments x, y, z sont définis comme sur la [Figure 2-a].

L'intégration de cette relation de comportement des assemblages dans l'opérateur STAT_NON_LINE
du Code_Aster nécessite la formulation des opérateurs tangents Ko et Kn [bib3].

· Ko est la rigidité tangente au début du pas de temps, instant t .
· Kn est la rigidité tangente à la fin du pas de temps, instant t + dt .

L'illustration des opérateurs Ko et Kn est donnée par la [Figure 4-a].

Figure 4-a : définition des opérateurs Ko et Kn

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4.1
Formulation en grandeurs réduites en chargement

4.1.1 Opérateur
Knr

Nous avons vu au [§3.2] que la relation de comportement s'écrit :

+
d
f
=
R(p- + p
)
p


2
2
avec
p
= d . d =
U
r +
r

L'opérateur Knr est défini par :

f

K
= i
nr
1 i, j 2

d j

Il s'écrit :



p
[Id]-{ }
p
d · <
>+
d


K
j
=
R +
nr
2
(p )+
p


{


+

'
d}
p
R
+
(p )
· <
>
d


p
j


Le calcul donne alors :


p

+
Ur
<
> =
r


;



d j
p
p
U 2r
Ur


r
{d}

p + p
p

· <
> =

d

2
j
Ur r



r


p
p


1 x2
et avec a = 1
a

on : h (x) =

d 1- x

1
2
1
2

R(p) = h- (p) =
- d p + d p + 4 d p




2

1
1 -
2

R'(p)
d [ R(p)]
=
=
h'[R(p)] R(p)[2 - R(p)]
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4.1.2 Opérateur
Kor

Pour les comportements élasto-plastiques, l'opérateur Ko à t = 0 est égal à la rigidité de la structure
élastique. Dans notre cas, le comportement initial tangent est rigide. L'opérateur Kor se définit alors
par le passage à la limite quand p tend vers 0 de l'opérateur Knr . On obtient :

R'(p)
R(p)
=
p0
p

R(p)
d' où Kor =
[Id]
p0
p

Or R(p) < 1
p
et si on suppose que l'utilisateur donne, pour le premier pas de chargement, des
valeurs telles que
4
p 10-
>
, on peut retenir en pratique :

4
10
0
K
=

t
or =0


4
0
10

Ces propos sont illustrés par la [Figure 4.1.2-a].


Figure 4.1.2-a : opérateur Ko à t = 0


A l'instant t courant, l'opérateur Kor est égal à l'opérateur Knr du pas précédent défini par le
[§4.1.1].
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4.2
Formulation en grandeurs réduites en déchargement

Pour éviter des problèmes numériques, on décrit le comportement (rigide) en déchargement par :

Kor = Knr = K

t
or =0

4.3
Opérateurs tangents Kn et Ko

· L'opérateur tangent Kn s'écrit :

F

K =
i
n
1 i, j 6

D j

avec

F

N
1
x
n

N
=
=
×
D

U
1

U
r U
F

N
1
x
n

N
=
=
×
D
5

r
F

M

5
y
m

M
=
=
×
D

U
1

U
r U
F

M

5
y
m

M
=
=
×
D
5

r
F
2 = Ky
D
2
F
3 = Kz
D
3
F
4 = KRx
D
4
F
6 = KRz

D
6

Les autres valeurs sont nulles.
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· L'opérateur tangent Ko , à t = 0, s'écrit :

4 N

10
O


U


K y


K

Ko =
z


K Rx


4 M

O
10






K Rz


4.4 Traitement numérique du raccordement entre les mécanismes de la
loi d'assemblage

Au cours de la résolution de chacun des pas de chargement par la méthode itérative de Newton, on
doit calculer à chaque itération la tangente à la courbe d'équilibre force-déplacement de la loi de
comportement. Le problème est que le raccordement entre les mécanismes de la loi d'assemblage, sur
la loi de comportement, présente une concavité (cf. [Figure 2-b]) qui rend la convergence
problématique quand, au cours d'un pas de chargement, on passe d'un mécanisme à l'autre.

Dans la subroutine TE0041 qui calcule, pour chaque incrément de charge, la matrice élémentaire de
rigidité tangentielle d'un élément fini discret à 2 noeuds possédant des degrés de liberté en translation
et en rotation, il s'est avéré nécessaire pour converger, de calculer une raideur sécante dirigée de l'état
initial d'effort et de déplacement nuls vers l'état, à la fin du pas de chargement, constitué par l'effort
imposé et le déplacement correspondant sur la courbe d'équilibre de la loi de comportement. Il a fallu
pour cela, ce qui était inhabituel au niveau de cette option, connaître le numéro d'itération interne du
procédé numérique calculant le pas de chargement, puis estimer l'effort imposé à l'élément à la fin de
ce pas.

En effet, si on note
+
F l'effort imposé au niveau d'un élément (a priori inconnu puisqu'on ne connaît
que les efforts assemblés),
+
U le déplacement correspondant sur la courbe d'équilibre, et pour
l'itération i , les valeurs respectives U (i), F (i), Ks(i) du déplacement, de l'effort et de la matrice
sécante ­ faisant office de matrice tangente ­ calculés à la fin de l'itération, on connaît seulement en
entrée de la subroutine précitée
i
U , et les valeurs au début du pas de charge F(0) et U (0) , car on
n'a pas stocké les valeurs à l'itération précédente i -1. Dans l'expression du résidu calculé en fin
+
d'itération i -1 : F - F(i - )
1 = Ks (i - )
1 .(U(i) -U(i - )
1 , on ne connaît donc plus que U (i) à
l'itération i , sauf dans le cas particulier i = 1 où l'on a :

F + - F(0) = K
-

s (0).(U ( )
1 U (0)
+
F y est la seule valeur inconnue au départ et se déduit des autres. On en déduit également le
déplacement
+
U en fin de pas d'après la relation d'équilibre :
·
p. [n, m]
·
·
= R(p)

.U
+
r , r , d'où la raideur sécante K s ( )
+
1 = F /U .


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Le problème est que dans cette première itération, le déplacement U ( )
1 imposé est différent du
déplacement final à calculer
+
U en équilibre avec +
F désormais connu (au test d'équilibre près du
pas de chargement précédent). L'effort calculé à la fin de cette itération F ( )
1 doit donc être également
différent de
+
F et tel que F( )
1 = Ks ( )
1 .U ( )
1 de façon qu'à partir du couple U ( )
1 et F( )
1 , on pointe
avec la sécante K ( )
1
s
sur le couple
+
U et +
F . On obtient ainsi au début de l'itération 2 un
déplacement U (2) très proche de +
U et on peut alors calculer par la relation d'équilibre F(2) très
proche également de
+
F ainsi que la raideur sécante Ks (2) = F(2)/U (2).

Si on a convergé exactement au pas de charge précédent, 2 itérations internes suffisent à converger
exactement, sinon il faut quelques itérations supplémentaires pour satisfaire le test d'équilibre sur le
résidu.

La méthode dite de « sécante dirigée » est schématisée sur la [Figure 4.3-a] où on a les
correspondances suivantes :

U i = U (i)

K (U i
t
)= Ks(i)

pour une loi de comportement LC(U i )= F(i).

F(U1)
Boucle élémentaire de Newton :
Entrées : U0 Ui+1 Sig- Var- Mater->LC iter = i+1
Si iter = 1 :
On estime F+ = LC(U0) + Kt(U0) (U1 ­ U0)
On estime U+ = LC-1(F+)
K(U1) = F+ / U+ , F(U1) = K(U1)* U1

F+
Sorties : K(U1) F(U1) Sig+ Var+
Si iter > 1 :


Sorties : Kt(Ui+1) LC(Ui+1) Sig+ Var+
F-
0
0
U0
U+
U1

Figure 4.3-a : méthode de sécante dirigée


On voit donc maintenant pourquoi il fallait dans l'option calculée par la subroutine précitée connaître le
numéro d'itération interne i afin de distinguer le cas particulier i = 1.
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :
Loi de comportement de l'assemblage ASSE_CORN
Date
:

14/04/05
Auteur(s) :
G. DEVESA, J.L. FLEJOU, P. PENSERINI Clé
:
R5.03.32-A Page
: 17/18


5
Variables et paramètres de la loi de comportement

5.1
Variables de la loi

La loi de comportement comporte 4 variables internes par point de calcul dont 3 seulement sont
actives :

· V1 est le déplacement réduit équivalent p maximal atteint en mécanisme 1,
· V2 est le déplacement réduit équivalent p maximal atteint en mécanisme 2,
· V3 est un indicateur qui vaut 1 ou 2 selon que l'on soit respectivement sur la surface limite du
mécanisme 1 ou 2, et 0 si l'on est sous cette surface limite (après décharge par exemple),
· V4 est inactif pour le moment (reste à 0 donc).

5.2
paramètres de la loi

Les paramètres de la loi de comportement sont entrés comme données sous le mot clé ASSE_CORN de
la commande DEFI_MATERIAU [U4.43.01] :

· NU_ : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre N1 du mécanisme 1,
· MU_1 : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre M 1 du mécanisme 1,
· DXU_1 : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre U 1 du mécanisme 1,
· DRYU_1: on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre 1 du mécanisme 1,
· C_1 : on entre derrière ce mot clé la valeur commune aux paramètres n et m du mécanisme 1,
· NU_2 : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre N 2 du mécanisme 2,
· MU_2 : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre M 2 du mécanisme 2,
· DXU_2 : on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre U 2 du mécanisme 2,
· DRYU_2: on entre derrière ce mot clé la valeur du paramètre 2 du mécanisme 2,
· C_2 : on entre derrière ce mot clé la valeur commune aux paramètres n et m du mécanisme 2,
· KY, KZ, KRX, KRZ prennent les valeurs des caractéristiques de comportement linéaire dans les
directions locales y, z, Rx, Rz respectivement.


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HT-66/05/002/A

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Version
7.4

Titre :
Loi de comportement de l'assemblage ASSE_CORN
Date
:

14/04/05
Auteur(s) :
G. DEVESA, J.L. FLEJOU, P. PENSERINI Clé
:
R5.03.32-A Page
: 18/18


6 Références
bibliographiques

[1]
P. PENSERINI : « Modélisation des assemblages boulonnés dans les pylônes en treillis »
Note EDF/R&D HM-77/93/287
[2]
P. PENSERINI : « Caractérisation et modélisation du comportement des liaisons structure
métallique-fondation » Thèse de doctorat de l'Université Paris 6, 1991
[3]
J. P. LEFEBVRE, P. MIALON : « Algorithme non linéaire quasi-statique du Code_Aster »
Note EDF/R&D HI-75/7832

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