Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 1/26

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références Générales
Document : R3.01.01





Fonctions de forme et points d'intégration
des éléments finis





Résumé :

On décrit la géométrie et la topologie des éléments implantés dans le Code_Aster, l'expression des fonctions
de forme et les différentes familles de points d'intégration et les poids associés sont détaillés.

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 2/26


Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Les éléments linéiques : SE2, SE3 et SE4.............................................................................................4
3 Les éléments surfaciques ......................................................................................................................5
3.1 Triangles : ELREFE TR3, TR6, TR7 ................................................................................................5
3.2 Quadrangles : ELREFE QU4, QU8, QU9 ........................................................................................10
4 Les éléments volumiques ....................................................................................................................13
4.1 Tétraèdres : ELREFE TE4, T10 ....................................................................................................13
4.2 Pentaèdres : ELREFE PE6, P15 ...................................................................................................15
4.3 Hexaèdres : ELREFE HE8, H20, H27............................................................................................18
4.4 Pyramides : ELREFE PY5, P13.....................................................................................................22
5 Bibliographie ........................................................................................................................................26

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 3/26


1 Introduction

Dans Code_Aster, on appelle "élément fini", un triplet (phénomène, modélisation, type de maille). Il y a
trois phénomènes principaux : MECANIQUE, THERMIQUE et ACOUSTIQUE.
Il existe de nombreuses modélisations ; par exemple, pour le phénomène MECANIQUE : 3D, C_PLAN,
D_PLAN, AXIS, DKT, POU_D_E, ...
Pour une modélisation donnée (par exemple 3D) d'un phénomène (par exemple MECANIQUE), il existe
en général plusieurs éléments finis : un élément par type de maille supporté : HEXA8, HEXA20,
PENTA6, ...

Au final, il existe donc de très nombreux éléments finis (plus de 500 en juillet 2004).

En revanche, les types de maille sont eux en nombre réduit : POI1, SEG2, SEG3, SEG4, TRIA3,
TRIA6, TRIA7, QUAD4, QUAD8, HEXA8, HEXA20, ..., TETRA4, TETRA10.

En général, chaque élément fini, pour réaliser ses calculs élémentaires, utilise les notions de fonction
d'interpolation (ou fonction de forme) et de schéma d'intégration. En général aussi, ces fonctions de
forme et ces schémas d'intégration sont définis sur un élément dit "de référence" dont la géométrie est
définie dans un système de coordonnées souvent appelé : (,,) Le passage de l'élément de
référence à l'élément réel se fait grâce à une transformation géométrique qui utilise les mêmes
fonctions d'interpolation. L'élément est alors dit "iso-paramétrique". Ces notions sont très bien
expliquées dans [bib1].

Le nombre élevé d'éléments finis du code conjugué au nombre restreint des types de maille, conduit
au fait qu'il existe plusieurs éléments finis s'appuyant sur un même type de maille ; par exemple le
quadrilatère à 8 noeuds appelé QUAD8 supporte plus de 60 éléments finis différents.

En théorie, chaque élément fini peut choisir ses fonctions d'interpolation et ses schémas d'intégration
comme il l'entend. Mais dans la pratique, presque tous les éléments finis s'appuyant sur le même type
de maille, utilisent le même élément de référence, les mêmes fonctions de forme et les mêmes
schémas d'intégration. Le but de ce document est de décrire ces différents éléments de référence

Pour chaque élément de référence (appelé dans la suite du document ELREFE), on indiquera :

· la maille support, le nombre des noeuds, leur numérotation locale et leurs coordonnées,
· les expressions algébriques des fonctions de forme et de leurs dérivées premières (et parfois
secondes)
· les familles de points d'intégration que l'on nommera. Pour chaque famille, on donnera le
nombre de points, leurs coordonnées et leurs "poids" d'intégration. La somme de ces poids,
doit donner le "volume" de l'élément de référence. Par exemple, le "volume" du quadrangle de
référence (-1 <= <= +1, 1 < < +1) vaut : 4.

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 4/26


2
Les éléments linéiques : SE2, SE3 et SE4

SE2 : segment à 2 noeuds
nombre de noeuds
: 2
nombre de noeuds sommets
: 2

SE3 : segment à 3 noeuds
nombre de noeuds
: 3
nombre de noeuds sommets
: 2



x
N1 -1.0
N2 1.0
N3 0.0


N1
x
N3
N2

SE4 : segment à 4 noeuds
nombre de noeuds
: 4
nombre de noeuds sommets
: 2



x
N1 -1.0
N2 1.0
N3 -1./3.
N4 +1./3.



N1
x
N3
N4
N2



fonctions de forme du segment à 2 noeuds :

w (x) = 0 5
. 1
( - x)
w (x) = 0 5
. 1
( + x
1
2
)

fonctions de forme du segment à 3 noeuds :

w (x) = - 5
.
0
1
( - x)x
w (x) =
5
.
0
1
( + x)x
w (x) =
1
( + x 1
)( - x)
1
2
3

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 5/26


fonctions de forme du segment à 4 noeuds :

1
w (x) = 16 (1- x)
1
x + (x -1/ )
3
9

3
w2(x) = - 16 (1+ x) 1


1
- x
x +
9
3


3
3
w (x) = 16 (x - )
1 (x + )
1
1 x -
27

3
w4(x) = - 16 (x - )
1 (x + )
1
1 x +
27

3


Nb de pts
Point
x
Poids
d'intégr.
1 1
0.0
2.0
2 1
0.577350269189626
1.0
2
-0.577350269189626
1.0
3 1
-0.774596669241
0.55555...
2
0
0.88888...
3
0.774596669241
0.55555...
4 1
0.339981043584856
0.652145154862546
2
-0.339981043584856
0.652145154862546
3
0.861136311594053
0.347854845137454
4
-0.861136311594053
0.347854845137454




3
Les éléments surfaciques

3.1 Triangles
:
ELREFE TR3, TR6, TR7





N3
N6
N5
N7
N1
N4
N2


Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 6/26


Coordonnées des noeuds :




N1
0.0
0.0
N2
1.0
0.0
N3
0.0
1.0
N4
0.5
0.0
N5
0.5
0.5
N6
0.0
0.5
N7
1/3
1/3



Famille Point


Poids





FPG1 1 1/3 1/3 1/2





FPG3 1 1/6 1/6 1/6
2 2/3
1/6 1/6
3 1/6
2/3 1/6





FPG4 1 1/5 1/5
25/(24*4)
2 3/5
1/5
25/(24*4)
3 1/5
3/5
25/(24*4)
4 1/3
1/3
-27/(24*4)





FPG6 1
b
b
P2

2
1 ­ 2 b
b
P2

3
b
1 ­ 2 b
P2

4
a
1 ­ 2 a
P1
5 a a P1

6
1 ­ 2 a
a
P1





COT3 1 1/2 1/2 1/6
2 0 1/2 1/6
3 1/2 0 1/6







Avec
P1 = 0.11169079483905,
P2 = 0.0549758718227661,

A = 0.445948490915965,
b = 0.091576213509771

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 7/26


Famille Point


Poids





FPG7 1 1/3 1/3 9/80
2 A A P1
3
1-2A A P1
4 A 1-2A P1
5 B B P2
6
1-2B B P2
7 B 1-2B P2


Avec
A = 0.470142064105115


B = 0.101286507323456


P1 = 0.066197076394253


P2 = 0.062969590272413



Famille Point


Poids





FPG12 1
A
A
P1
2
1-2A A P1
3 A 1-2A P1
4 B B P2
5
1-2B B P2
6 B 1-2B P2
7 C D P3
8 D C P3
9
1-C-D
C P3
10
1-C-D D P3
11 C 1-C-D P3
12 D 1-C-D P3


Avec
A = 0.063089014491502


B = 0.249286745170910


C = 0.310352451033785


D = 0.053145049844816


P1 = 0.025422453185103


P2 = 0.058393137863189


P3 = 0.041425537809187


Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 8/26


TR3 : triangle à 3 noeuds
nombre de noeuds
: 3
nombre de noeuds sommets
: 3


fonctions de forme et dérivées premières du triangle à 3 noeuds :

{N}
{N /
}
{N /
}
1- -
-1
-1

1
0

0
1



TR6 : triangle à 6 noeuds
nombre de noeuds
: 6
nombre de noeuds sommets
: 3

fonctions de forme, dérivées premières du triangle à 6 noeuds :

{N}
{N /
}
{N /
}
- 1
( - - 1
)( - 1
(
2 - -))
1- 1
(
4 - -)
1- 1
(
4 - -)
- 1
( - 2 )
-1+
4
0
- 1
( - 2)
0
-1+
4
4 1
( - -)
1
(
4 - 2 -)
-
4

4


4

4
4 1
( - -)
-
4
1
(
4 - - 2)


dérivées secondes du triangle à 6 noeuds :

{ 2
2
N /
}
{2N /
}
{ 2
2
N /
}



4 4 4
4 0 0
0 0 4
-8 -4 0
0 4 0
0 -4 -8


Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 9/26


TR7 : triangle à 7 noeuds
nombre de noeuds
: 7
nombre de noeuds sommets
: 3

fonctions de forme du triangle à 7 noeuds :

{N}
1- (
3 +) + (
2 2
2
+ ) + 7 - 3( +)
(-1+ 2 + 3 - 3( +))
( 1
- + 2 + 3 - 3 ( +))
4 1
( - - 4 + 3( +))
4( 2
- + (
3 +))
4 1
( - 4 - + 3 ( +))
27 1
( - - )


dérivées premières du triangle à 7 noeuds :

{N /
}
{N /
}
2
- 3 + 4 + 7 - 6 - 3
2
- 3 + 7 + 4 - 6 - 3
2
-1+ 4 + 3 - 6 - 3
3 1
( - - 2)
3 1
( - 2 -)
2
-1+ 3 + 4 - 6 - 3
1
(
4 - 2 - 4 + 6 + 3 2
)
4 ( 4
- + 3 + 6)
4( 2
- + 6 + 3)
4 ( 2
- + 3 + 6)
4( 4
- + 6 + 3)
(
4 -1- 4 - 2 + 6 + 3 2
)
27 1
( - 2 -)
27 1
( - - 2)


dérivées secondes du triangle à 7 noeuds :

{ 2
2
N /
}
{2N /
}
{ 2
2
N /
}



4 -
6
7 -
6 -
6
4 -
6
4 -
6
3 -
6 -
6
-
6
-
6
3 -
6 -
6
4 -
6
(
4 -2 + 6)
(
4 4
- + 6 + 6)

24

24
(
4 2
- + 6 + 6)

24

24
(
4 4
- + 6 + 6)
(
4 -2 + 6 )
-
54
27 1
( - 2 - 2)
-
54


Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 10/26


3.2 Quadrangles
:
ELREFE QU4, QU8, QU9


N4
N7
N3

N8

N6
N9
N1
N5
N2


Coordonnées des noeuds :




N1 -1.0 -1.0
N2 1.0 -1.0
N3 1.0 1.0
N4 -1.0 1.0
N5 0.0 -1.0
N6 1.0 0.0
N7 0.0 1.0
N8 -1.0 0.0
N9 0.0 0.0



Famille Point


Poids
FPG1 1
0
0
4
FPG4 1
-a
-a 1.0
2
a
-a
1.0

3
a
a
1.0
4 -a

a
1.0


a = 1/ 3



FPG9 1
-a
-a 25/81
2
a
-a
25/81

3
a
a
25/81
4 -a

a
25/81
5 0.0 -a
40/81
6
a
0.0
40/81
7 0.0
a
40/81
8 -a 0.0
40/81
9 0.0 0.0
64/81


a= 0.774596669241483


Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 11/26


QU4 : quadrangle à 4 noeuds
nombre de noeuds
: 4
nombre de noeuds sommets
: 4


fonctions de forme, dérivées premières et secondes du quadrangle à 4 noeuds :

{N}
{N /
}
{N /
}
1
( - 1
)( -) / 4
- 1
( -) / 4
- 1
( - ) / 4
1
( + 1
)( -) / 4
1
( -) / 4
- 1
( + ) / 4
1
( + 1
)( +) / 4
1
( +) / 4
1
( + ) / 4
1
( - 1
)( +) / 4
- 1
( +) / 4
1
( - ) / 4



{ 2
2
N /
}
{2N /
}
{ 2
2
N /
}


0 1/4

0
0 -1/4 0
0 1/4 0
0 -1/4 0



QU8 : quadrangle à 8 noeuds
nombre de noeuds
: 8
nombre de noeuds sommets
: 4


fonctions de forme et dérivées premières du quadrangle à 8 noeuds :

{N}
{N /
}
{N /
}
1
( - 1
)( -)( 1
- - -) / 4
1
( -)(2 +) / 4
1
( - )( + 2) / 4
1
( + 1
)( -)(-1+ -) / 4
1
( -)(2 -) / 4
- 1
( + )( - 2) / 4
1
( + 1
)( +)( 1
- + +) / 4
1
( +)(2 +) / 4
1
( + )( + 2) / 4
1
( - 1
)( +)(-1- +) / 4
- 1
( +)( 2
- +) / 4
1
( - )(
- + 2) / 4
1
( - )2 1
( -) / 2
- 1
( -)
- 1
(
2
- ) / 2
1
( + 1
)( - )2
/ 2
1
(
2
- ) / 2
- 1
( + )
1
( - )2 1
( +) / 2
- 1
( +)
1
(
2
- ) / 2
1
( - 1
)( - )2
/ 2
- 1
(
2
- ) / 2
- 1
( - )

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 12/26


dérivées secondes du quadrangle à 8 noeuds :

{ 2
2
N /
}
{2N /
}
{ 2
2
N /
}



1
( -) / 2
1
( - 2 - 2) / 4
1
( - ) / 2
1
( -) / 2
- 1
( + 2 - 2) / 4
1
( + ) / 2
1
( +) / 2
1
( + 2 + 2) / 4
1
( + ) / 2
1
( +) / 2
- 1
( - 2 + 2) / 4
1
( - ) / 2
-1+

0
0
-
-1-
-1-
-
0
0

-1+


QU9 : quadrangle à 9 noeuds
nombre de noeuds
: 9
nombre de noeuds sommets
: 4

fonctions de forme et dérivées premières du quadrangle à 9 noeuds :

{N}
{N /
}
{N /
}
( - )(
1 - )
1 / 4
(2 - )
1 ( - )
1 / 4
( - )(
1 2 - )
1 / 4
( + )(
1 - )
1 / 4
(2 + )
1 ( - )
1 / 4
( + )(
1 2 - )
1 / 4
( + )(
1 + )
1 / 4
(2 + )
1 ( + )
1 / 4
( + )(
1 2 + )
1 / 4
( - )(
1 + )
1 / 4
(2 - )
1 ( + )
1 / 4
( - )(
1 2 + )
1 / 4
1
(
2
- )( - )
1 / 2
- ( - )
1
1
(
2
- )(2 - )
1 / 2
( + 1
)(
1
2
- ) / 2
(2 + 1
)(
1
2
- ) / 2
- ( + )
1
1
(
2
- )( + )
1 / 2
- ( + )
1
1
(
2
- )(2 + )
1 / 2
( - 1
)(
1
2
- ) / 2
(2 - 1
)(
1
2
- ) / 2
- ( - )
1
1
(
2
- 1
)(
2
- )
- 2 1
(
2
- )
- 2 1
(
2
- )


dérivées secondes du quadrangle à 9 noeuds :

{ 2
2
N /
}
{2N /
}
{ 2
2
N /
}



( - )
1 / 2
( -1/ )(
2 -1/ )
2 / 4
( - )
1 / 2
( - )
1 / 2
( +1/ )(
2 -1/ )
2 / 4
( + )
1 / 2
( + )
1 / 2
( +1/ )(
2 +1/ )
2 / 4
( + )
1 / 2
( + )
1 / 2
( -1/ )(
2 +1/ )
2 / 4
( - )
1 / 2
-( - )
1
- (2 - )
1
2
1-
2
1-
-(2 + )
1
- ( + )
1
-( + )
1
- (2 + )
1
2
1-
2
1-
-(2 - )
1
- ( - )
1
- 1
(
2
2
- )

4

- 1
(
2
2
- )
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 13/26


4
Les éléments volumiques

4.1 Tétraèdres
:
ELREFE TE4, T10


z
N2
N5
N6
N9
N3
N7
N1
N10
y
N8
N4
x



x
y
z
N1 0. 1. 0.
N2 0. 0. 1.
N3 0. 0. 0.
N4 1. 0. 0.
N5 0. 0.5 0.5
N6 0. 0. 0.5
N7 0. 0.5 0.
N8 0.5 0.5 0.
N9 0.5 0. 0.5
N10 0.5 0. 0.


Fonctions de forme :

Formule à 4 noeuds

w1 (x, y,z) = y

w2 (x, y,z) = z

w3 (x, y,z) = 1- x - y - z

w
4 (x, y, z) = x

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 14/26


Formule à 10 noeuds

w
= y
w
= 4 z
6
(1- x - y - z)
1
(2y - )1
w
= z (2z - )
w
= 4 y
7
(1- x - y - z)
2
1
w
w
= 4 x y
3
= (1- x - y - z) (1- 2x - 2y - 2z)
8

w
= x (2x - )
w
= 4 x z
4
1
9
w
= 4 y z
w
= 4 x
10
(1- x - y - z)
5

Formule d'intégration numérique :

Formule à 4 points, d'ordre 2 en x, y, z : (FPG4)

Point
x
y
z
Poids
1
a
a
a
1/24
2
a
a
b
1/24
3
a
b
a
1/24
4
b
a
a
1/24

5 - 5
5 + 3 5
avec : a =
b =

20
20

Formule à 5 points, d'ordre 3 en x, y, z : (FPG5)

Point
x
y
z
Poids
1
a
a
a
- 2/15
2
b
b
b
3/40
3
b
b
c
3/40
4
b
c
b
3/40
5
c
b
b
3/40

1
avec : a
= 0 2
. 5
b =
c = 0 5
.
6

Formule à 15 points, d'ordre 5 en x, y, z : (FPG15)

Point
x
y
z
Poids
1
a
a
a
8/405
2
b

1
b1
b1
3
b
2 665 -14 15
1
b1
c1

4
b1
c1
b1
226 800
5
c1
b1
b1
6
b

2
b2
b2
7
b
2 665 + 14 15
2
b2
c2

8
b2
c2
b2
226 800
9
c2
b2
b2
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 15/26

10
d
d
e

11
d
e
d

12
e
d
d
5
13
d
e
e

14
567
e
d
e
15
e
e
d

avec :

a = 0 2
. 5
7 + 15
13 - 3 15
5 - 15
b1 =
c
=
d =
34
1
34
20


7 - 15
13 + 3 15
5 + 15
b2 =
c
=
e =
34
2
34
20



4.2 Pentaèdres
:
ELREFE PE6, P15

z
N2
N11
N8
N7
N3
N1
N9
N5
N12
N10
y
N14
N13
N6
N15
N4
x




x
y
z
N1 -1. 1. 0.
N2 -1. 0. 1.
N3 -1. 0. 0.
N4 1.
1. 0.
N5 1.
0. 1.
N6 1.
0. 0.
N7 -1. 0.5 0.5.
N8 -1. 0. 0.5.
N9 -1. 0.5 0.
N10 0.
1. 0.
N11 0.
0. 1.
N12 0.
0. 0.
N13 1.
0.5 0.5
N14 1.
0. 0.5
N15 1.
0.5 0.
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 16/26


Fonctions de forme :

Formule à 6 noeuds

1
1
w = y
w
=
y( x + )
1
(1- x)
1
2
4
2
1
1
w = z
w
=
z( x + )
2
(1- x)

1

2
5
2
1
1
w =
w6 =
(1- y - z)(x + )
3
(1- y - z)(1- x)
1
2
2

Formule à 15 noeuds


w
= y (1- x)
w
= 2y
9
(1- y - z)(1- x)
1
(2y -2- x)/ 2
w
= z (1- x)(2z - 2 - x)
2
2
/ 2
w
= y
10
(1- x )
w
= ( x - )
3
1 (1- y - z) (x + 2y + 2z) / 2
w
= z
2
11
(1- x )
w
= y (1+ x)
4
(2y -2+ x)/ 2
2

w12 = (1- y - z)(1- x )
w
= z (1+ x)(2z - 2 + x)
5
/ 2
w
= 2yz (1+ x)
13
w
= (- x - )
6
1 (1- y - z) (- x + 2y + 2z) / 2
w
= 2z
14
(1- y - z)(1+ x)
w
= 2yz (1- x)
7
w
= 2y
15
(1- y - z)(1+ x)
w
= 2z
8
(1- y - z)(1- x)



Formules d'intégration numérique à 6 points (ordre 3 en x , ordre 2 en y et z ) (FPG6)

Point
x
y
z
Poids
1
- 3 3
0.5 0.5 1/6
2
- 3 3
0. 0.5 1/6
3
- 3 3
0.5 0.
1/6
4
3 3
0.5 0.5 1/6
5
3 3
0. 0.5 1/6
6
3 3
0.5 0.
1/6

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 17/26


Formule d'intégration numérique à 8 points : (FPG8)

2 points de Gauss en x (ordre 3).
4 points de Hammer en y et z (ordre 3).


Point
x
y
z
Poids
1 -a
1/3
1/3 -27/96
2 -a
0.6
0.2 25/96
3 -a
0.2
0.6 25/96
4 -a
0.2
0.2 25/96
5 +a
1/3
1/3 -27/96
6 +a
0.6
0.2 25/96
7 +a
0.2
0.6 25/96
8 +a
0.2
0.2 25/96

Avec a = 0.577350269189626



Formule d'intégration numérique à 21 points : (FPG21)

3 points de Gauss en x (ordre 5).
7 points de Hammer en y et z (ordre 5 en y et z ).


Point
x
y
z
Poids
1
-
1/3 1/3
c
9
1 × 80
2
-
a
a
155+ 15
3
-
1-2a
a
×

4
-
a
1-2a
c1 2 400
5
-
b
b
155- 15
6
-
1-2b
b
c ×

7

1
-
b
1-2b
2 400
8 0.
1/3
1/3 c 9
2 × 80
9
0.
a
a
155+ 15
10
0.
1-2a
a
c ×

11
0.
a
1-2a
2
2 400
12
0.
b
b
155- 15
13
0.
1-2b
b
c ×

14
0.
2
b
1-2b
2 400
15

1/3 1/3
c
9
1 × 80
16

a
a
155+ 15
17

1-2a
a
c ×

18

a
1-2a
1
2 400
19

b
b
155- 15
20

1-2b
b
c ×

21

1
b
1-2b
2 400
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 18/26


avec :

3
5
8
=

c1 =

c2 =

5
9
9
6 + 15
6 - 15

a =
b =
21

21



4.3 Hexaèdres
:
ELREFE HE8, H20, H27

z
N5
N8
N26
N6
N25
N7
N27
y
N24
N1
N22
N4
N23
N21
N14
x
N2
N3



x
y
z
N1 -1.
-1.
-1.
N2 1.
-1.
-1.
N3 1.
1.
-1.
N4 -1.
1.
-1.
N5 -1.
-1.
1.
N6 1.
-1.
1.
N7 1.
1.
1.
N8
-1.
1.
1.
N9 0.
-1.
-1.
N10 1.
0.
-1.
N11 0.
1.
-1.
N12 -1.
0.
-1.
N13 -1.
-1.
0.
N14 1.
-1.
0.
N15 1.
1.
0.
N16
-1.
1.
0.
N17 0.
-1.
1.
N18 1.
0.
1.
N19 0.
1.
1.
N20
-1.
0.
1.
N21 0.
0.
-1.
N22 0.
-1.
0.
N23 1.
0.
0.
N24 0.
1.
0.
N25
-1.
0.
0.
N26 0..
0.
1.
N27 0..
0.
0.
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 19/26


Fonctions de forme :

Formule à 8 noeuds

1
1
w
=
(1- x)
w
=
(1- x)
5
(1- y)(1+ z)
1
(1- y)(1- z)
8
8
1
1
w
=
(1+ x)
w
=
(1+ x)
6
(1- y)(1+ z)
2
(1- y)(1- z)
8
8


1
1
w
=
(1+ x)
w
=
(1+ x)
7
(1+ y)(1+ z)
3
(1+ y)(1- z)
8
8
1
1
w
=
(1- x)
w
=
(1- x)
8
(1+ y)(1+ z)
4
(1+ y)(1- z)
8
8


Formule à 20 noeuds

1
1
w
=
(1- x)
w
2
11
=
(1- x )(1+ y)(1-z)
1
(1- y)(1- z)(-2- x - y - z)
8
4
1
1
w
=
(1+ x)
w
2
12
=
(1- y )(1- x)(1-z)
2
(1- y)(1- z)(-2+ x - y - z)
8
4
1
1
w
=
(1+ x)
w
2
13
=
(1-z )(1- x)(1- y)
3
(1+ y)(1- z)(-2+ x + y - z)
8
4
1
1
w
=
(1- x)
w
2
14
=
(1-z )(1+ x)(1- y)
4
(1+ y)(1- z)(-2- x + y - z)
8
4
1
1
w
=
(1- x)
w
2
15
=
(1-z )(1+ x)(1+ y)
5
(1- y)(1+ z)(-2- x - y + z)
8
4
1
1
w
=
(1+ x)
w
2
16
=
(1-z )(1- x)(1+ y)
6
(1- y)(1+ z)(-2+ x - y + z)
8
4
1
1
w
=
(1+ x)
(
z)
w
2
17
=
(1- x )(1- y)(1+z)
7
(1+ y)(1+ z) -2+ x + y +
8
4
1
1
w
=
(1- x)
w
2
18
=
(1- y )(1+ x)(1+z)
8
(1+ y)(1+ z)(-2- x + y + z)
8
4
1
1
w
2
w
2
19
=
(1- x )(1+ y)(1+z)
9
=
(1- x )(1- y)(1-z)
4
4


1
1
w
2
w
2
20
=
(1- y )(1- x)(1+z)
10
=
(1- y )(1+ x)(1-z)
4
4

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 20/26


Formule à 27 noeuds

1
1
w
=
x ( x - )
1 y
w
=
x( x + )
1 y
2
15
(y + )1 (1- z )
1
(y - )1 z(z - )1
8
4
1
1
w
=
x ( x + )
1 y
w
=
x( x - )
1 y
2
16
(y + )1 (1- z )
2
(y - )1 z(z - )1
8
4
1
1
w
=
x ( x + )
1 y
w
2
17
=
(1- x ) y(y- )1 z(z+ )
3
(y + )1 z(z - )1
1
8
4
1
1
w
=
x ( x - )
1 y
w
=
x( x + )
2
18
1 (1- y ) z(z + )
4
(y + )1 z(z - )1
1
8
4
1
1
w
=
x ( x + )
1 y
w
2
19
=
(1- x ) y(y+ )1 z(z+ )
5
(y - )1 z(z + )1
1
8
4
1
1
w
=
x ( x + )
1 y
w
=
x( x - )
2
20
1 (1- y ) z(z + )
6
(y - )1 z(z + )1
1
8
4
1
1
w
=
x ( x + )
1 y
w
2
2
21
=
(1- x )(1- y ) z(z- )
7
(y + )1 z(z + )1
1
8
2
1
1
w
=
x ( x - )
1 y
w
2
2
22
=
(1- x ) y(y- )1(1-z )
8
(y + )1 z(z + )1
8
2
1
1
w
2
w
=
x( x + )
2
2
23
1 (1- y ) (1- z )
9
=
(1- x ) y(y- )1 z(z- )1
4
2
1
1
w
=
x( x + )
2
w
2
2
24
=
(1- x ) y(y+ )1(1-z )
10
1 (1- y ) z(z - )
1
4
2
1
1
w
2
w
=
x( x - )
2
2
25
1 (1- y ) (1- z )
11
=
(1- x ) y(y+ )1 z(z- )1

4
2

1
1
w
=
x( x - )
2
w
2
2
26
=
(1- x )(1- y ) z(z+ )
12
1 (1- y ) z(z - )
1
1
4
2
1
w
2
2
2
27
= (1- x ) (1- y ) (1- z )
w
=
x( x - )
1 y
2
13
(y - )1 (1- z )
4
1
w
=
x( x + )
1 y
2
14
(y - )1 (1- z )
4

Formule de quadrature de Gauss à 2 points dans chaque direction (ordre 3) (FPG8)

Point
x
y
z
Poids
1
- 3 3
- 3 3
- 3 3
1.
2
- 3 3
- 3 3
3 3
1.
3
- 3 3
3 3
- 3 3
1.
4
- 3 3
3 3
+ 3 3
1.
5
3 3
- 3 3
- 3 3
1.
6
3 3
- 3 3
3 3
1.
7
3 3
3 3
- 3 3
1.
8
3 3
3 3
3 3
1.
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 21/26


Formule de quadrature de Gauss à 3 points dans chaque direction (ordre 5) : (FPG27)

Point
x
y
z
Poids
1
-
-
-
c31
2
-
-
0.
c2 c
1
2
3
-
-

c31
4
-
0.
-
c2 c
1
2
5
-
0. 0.
c c2
1 2
6
-
0.

c2 c
1
2
7
-

-
c31
8
-

0.
c2 c
1
2
9
-


c3

1

10 0.
-
-
c2 c
1
2
11 0.
-
0.
c c2
1 2
12 0.
-

c2 c
1
2
13 0.
0.
-
c c2
1 2
14 0.
0. 0.
c32
15 0.
0.

c c2
1 2
16 0.

-
c2 c
1
2
17 0.

0.
c c2
1 2
18
0.


c2 c

1
2

19

-
-
c31
20

-
0.
c2 c
1
2
21

-

c31
22

0.
-
c2 c
1
2
23

0. 0.
c c2
1 2
24

0.

c2 c
1
2
25


-
c31
26


0.
c2 c
1
2
27



c31

avec :

3
5
8
=

c1 =

c2 =

5
9
9

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 22/26


4.4 Pyramides
:
ELREFE PY5, P13





z
N5
N12
N3
N13
N8
N7
N11
N10
N4
N2
y
N9
N6
N1
x













La base carrée est constituée par le quadrangle N1 N2 N3 N4 et N5 est le sommet de la pyramide.


x
y
z
N1 1. 0.
0.
N2 0. 1.
0.
N3 ­1. 0. 0.
N4 0.
­1.
0.
N5 0. 0.
1.
N6 0.5
0.5
0.
N7 ­0.5 0.5
0.
N8 ­0.5
­0.5
0.
N9 0.5
­0.5
0.
N10 0.5
0.
0.5
N11 0. 0.5
0.5
N12 ­0.5 0. 0.5
N13 0.
­0.5
0.5

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 23/26


Fonctions de forme :

Formule à 5 noeuds


(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1
w1 =
4 (1- z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1
w2 =
4 (1- z)
(x + y + z - )1 (x - y + z - )1
w3 =

4 (1- z)
(x + y + z - )1 (- x + y + z - )1
w4 =
4 (1- z)
w = 1- z
5


Formule à 13 noeuds

(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1 (x -0. )5
w1 =
2 (1- z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1 (y -0. )5
w2 =
2 (1- z)
(x - y + z - )1 (x + y + z - )1 (- x -0. )5
w3 =
2 (1- z)
(x + y + z - )1 (- x + y + z - )1 (- y - 0. )5
w4 =
2 (1- z)
w = 2 z (z - 0. )
5
5
(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1 (x - y + z - )1
w6 = -
2 (1- z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1 (x + y + z- )1
w7 = -
2 (1- z)
(x - y + z - )1 (x + y + z - )1 (- x + y + z - )1
w = -
8
2 (1- z)
(x + y + z - )1 (- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1
w = -
9
2 (1- z)

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 24/26

z (- x + y + z - )
1 (- x - y + z - )
1
w10 =
1- z
z (- x - y + z - )
1 (x - y + z - )
1
w11 =
1- z
z (x - y + z - )
1 (x + y + z - )
1
w12 =
1- z
z (x + y + z - )
1 (- x + y + z - )
1
w13 =
1- z



Formule d'intégration numérique à 5 points (FPG5) :


Point x y z Poids
1 0.5
0.
h1 2/15
2 0.
0.5
h1 2/15
3 ­0.5
0.
h1 2/15
4 0.
­0.5
h1 2/15
5 0.
0.
h2 2/15

avec :

h1 = 0.1531754163448146
h2 = 0.6372983346207416





Formule d'intégration numérique à 6 points (FPG6) :


Point x y z Poids
1 a 0.
h1
p1
2 0.
a
h1
p1
3 ­
a 0. h1
p1
4 0.
­
a
h1
p1
5 0.
0.
h2
p2
6 0.
0.
h3
p3

avec :

p1 = 0.1024890634400000
p2 = 0.1100000000000000
p3 = 0.1467104129066667



a = 0.5702963741068025
h1 = 0.1666666666666666
h2 = 0.08063183038464675
h3 = 0.6098484849057127

Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 25/26


Formule d'intégration numérique à 27 points (FPG27) :

Point x y z Poids
1 0.
0.
1/2 a1
2
b
b

1 (
1
1- z)
1/2
b6

1
( - z)
2
2
3
b
b

- 1 1
( - z)
1 1
( - z)
1/2
b6
2
2
4
b
b

- 1 1
( - z)
- 1 1
( - z)
1/2
b6
2
2
5
b
b

1 (
1
1- z)
1/2
b6

-
1
( - z)
2
2
6


0.
0.
1 - b1
b

6
2
7


0.
0.
1 + b1
b

6
2
8
c (
z)
c
1 1 -

0.
(1-c )/2
8
1

9 0.
c (
z)
c
1 1 -

(1-c )/2
8
1

10
- c ( - z)
c
1 1

0.
(1-c )/2
8
1

11 0.
-c (
)
c
1 1 - z
(1-c )/2
8
1

12
c (
z)
c
1 1 -

0.
(1+c )/2
8
1

13 0.
c (
z)
c
1 1 -

(1+c )/2
8
1

14
-c (
)
c
1 1 - z
0.
(1+c )/2
8
1

15 0.
-c (
)
c
1 1 - z
(1+c )/2
8
1

16
d1
d
(
)
1
( - z)
1 - d / 2

1 1
( - z)
1

d12
2
2
17
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 - d / 2

1 1
( - z)
1

d12
2
2
18
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 - d / 2

- 1 1
( - z)
1

d12
2
2
19
d1
d
(
)
1
( - z)
1 - d / 2

- 1 1
( - z)
1

d12
2
2
20
d (
)
1 1 - z
0. 1/2 d12
21 0.
d (
)
1 1 - z
1/2 d12
22
- d ( - z)
1 1

0. 1/2 d12
23 0.
-d (
)
1 1 - z
1/2 d12
24
d1
d
d
1
( - z)
1 1
( - z)
(1+d )/2
12
1

2
2
25
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 + d / 2

1 1
( - z)
1

d12
2
2
26
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 + d / 2

- 1 1
( - z)
1

d12
2
2
27
d1
d
(
)
1
( - z)
1 + d / 2

- 1 1
( - z)
1

d12
2
2
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Fonctions de forme des éléments


Date :
15/09/05
Auteur(s) :
J. PELLET, X. DESROCHES Clé
:
R3.01.01-D Page
: 26/26


avec :

a1 = 0.788073483
b6 = 0.499369002
b1 = 0.848418011
c8 = 0.478508449
c1 = 0.652816472
d12 = 0.032303742
d1 = 1.106412899




5 Bibliographie

[1]
DHATT G., TOUZOT G. : Une présentation de la méthode des éléments finis 2ème édition.
Editeur : MALOINE S.A. Année 984
Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
HT-66/05/002/A

Document Outline