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7.3

Titre :

Loi de comportement CAM-CLAY


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03/02/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
Clé :
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.14





Loi de comportement CAM-CLAY





Résumé :

Le modèle de Cam-Clay est un des modèles élastoplastiques le plus connu et le plus utilisé en mécanique des
sols. Il est spécialement adapté aux matériaux argileux. Il y a plusieurs types de modèles Cam-Clay, celui
présenté ici est le plus courant et est appelé Cam-Clay modifié. Ce modèle est caractérisé par des surfaces de
charge écrouissables en forme d'ellipses dans le diagramme des deux premiers invariants des contraintes. A
l'intérieur de ces surfaces de réversibilité, le matériau est élastique non linéaire. Il existe de plus, en un point de
chaque ellipse, un état critique caractérisé par une variation de volume nulle. L'ensemble de ces points
constitue une droite séparant les zones de dilatance et de contractance du matériau ainsi que les zones
d'écrouissage négatif et positif. L'écrouissage est régi par une seule variable scalaire et la règle d'écoulement
normale est adoptée.

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1 Notations

désigne le tenseur des contraintes effectives en petites perturbations définies comme étant la
différence entre les contraintes totales et la pression de l'eau dans le cas des sols saturés, noté sous
la forme du vecteur suivant :
11


22


33
212


2 23


2 31

On note :

1

P = - tr( )
3
contrainte de confinement


s = + PI
déviateur des contraintes

1

I = tr

deuxième invariant des contraintes
2
(s.s)
2



Q = = 3I
contrainte équivalente
eq
2



= 1

( u T
+ u)
déformation totale
2


= + +


partition des déformations (élastique, plastique, thermique)
e
p
th

= -tr + -


v
( ) 3 (T T0) déformation totale volumique


p
= -tr
déformation plastique volumique
V
( p)


= 1
~
+ I
déviateur des déformations
v
3

~

e
~ ~ p
= -
déviateur des déformations élastiques


p
p
1
~
p
= + I
déformation plastique déviatorique
v
3


e

2
=
tr ~ ~
.

déformation élastique équivalente
eq
( e e)
3



p

2
=
tr ~ ~
.

déformation plastique équivalente
eq
( p p)
3

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e indice des vides du matériau (rapport du volume des pores sur le volume des grains solides)

e indice des vides initial
0
porosité (rapport du volume des pores sur le volume total)

coefficient de gonflement (pente élastique dans un essai de compression hydrostatique)

M pente de la droite d'état critique

1
( + e )
0
k =

0


P variable interne du modèle, pression critique égale à la moitié de la pression de consolidation
cr
P

CON

coefficient de compressibilité (pente plastique dans un essai de compression hydrostatique)

1
( + )
0
=
e
k

( - )
µ coefficient élastique de cisaillement (coefficient de Lamé)

f surface de charge

multiplicateur plastique

d
I tenseur unité d'ordre 2 dont le terme courant est
ij
d
I tenseur unité d'ordre 4 dont le terme courant est
4
ijkl
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2 Introduction

Le modèle décrit ici est le modèle dit de Cam-Clay modifié. Le modèle initial de Cam-Clay a été
développé par l'école de mécanique des sols de Cambridge dans les années 60. Il prédisait des
déformations déviatoriques trop importantes sous chargement déviatorique faible, et a été modifié par
Burland et Roscoe en 1968 [bib1].


2.1
Phénoménologie du comportement des sols

Les matériaux poroplastiques tels que certaines argiles se caractérisent par les comportements
suivants :

· la forte porosité de ces matériaux provoque des déformations irréversibles sous chargement
hydrostatique correspondant à une réduction importante de la porosité. Ce mécanisme
purement contractant est parfois appelé « collapse »,
· sous chargement déviatorique, ces matériaux montrent une phase contractante suivie d'une
phase où le matériau se déforme à volume plastique constant ou se dilate.

Pour les deux types de chargement, l'énergie bloquée dans le matériau évolue en fonction du nombre
de contact entre les grains. Pour un chargement hydrostatique, le nombre de contact augmente, ainsi
que l'énergie bloquée, on a donc écrouissage positif. Pour un chargement déviatorique, le matériau
peut se déformer sans variation de volume à nombre de contacts intergranulaires constant. De plus,
on peut observer dans les essais des localisations de déformations accompagnées d'une forte
dilatance. Dans ces zones, le nombre de grains en contact diminuant, il y a diminution de l'énergie
bloquée et donc adoucissement.

Ces comportements sont mis en évidence essentiellement par des essais triaxiaux de révolution. Ces
observations amènent à postuler qu'il existe un seuil plastique dont l'évolution est gouvernée par deux
mécanismes : l'un purement contractant associé à la contrainte hydrostatique, et un mécanisme
déviatorique gouverné par le frottement interne se déroulant à volume constant et éventuellement
dilatant à l'approche de la localisation.
Tout l'intérêt du modèle de Cam Clay réside dans sa faculté à décrire ces phénomènes avec un
minimum d'ingrédients et notamment une seule surface de charge et un écrouissage associé à une
seule variable scalaire.


2.2
Comportement sous compression hydrostatique

Lors d'un essai de compression hydrostatique ( e l'indice des vides initial sous chargement égal à la
0
pression atmosphérique P ), les sols présentent un indice des vides qui décroît logarithmiquement
a
avec la pression hydrostatique exercée (cf. [Figure 2.2-a]). Jusqu'à une pression 0
P
appelée
CON
pression de consolidation, le comportement est réversible, la pente du diagramme ( ,
e Ln P) est
appelé coefficient élastique de gonflement. 0
P
correspond à la pression maximale qu'a subie le
CON
matériau au cours de son histoire. Au delà de cette préconsolidation, le diagramme présente une
nouvelle pente (coefficient de compressibilité) plus marquée et l'apparition de déformations
irréversibles. 0
P
correspond donc à un seuil élastoplastique évolutif.
CON
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e



e0










Ln Pa
Ln 0
P
1
Ln P

CON
CON
Ln P

Figure 2.2-a : Essai de chargement-déchargement hydrostatique


Remarque :

Le diagramme ci-dessus correspond à un ensemble de mesures où la contrainte effective est
stabilisée. En effet, dans le processus de consolidation des sols, c'est l'eau contenue dans
les pores qui reprend d'abord la pression hydrostatique avec très peu de déformation, avant
de s'écouler et laisser le squelette se déformer. Après consolidation du matériau et
stabilisation de la pression de l'eau, la contrainte effective (contrainte totale moins pression
de l'eau) est stabilisée et reportée sur le graphe. Les relations de comportement dans les
milieux poreux saturés s'expriment généralement avec les contraintes effectives suivant
l'hypothèse de Terzaghi.



2.3
Comportement sous chargement déviatorique

Les essais triaxiaux de révolution permettent de contrôler à la fois la composante déviatorique Q et la
composante sphérique P du chargement. Suivant le rapport de ces deux composantes, on observe
Q
Q
un comportement plastique purement dilatant (
> M ) ou contractant ( < M ), la droite Q = MP
P
P
cr
représentant l'ensemble des points critiques sur les surfaces de charge où l'état mécanique évolue
sans changement de volume plastique. Le modèle de base de Cam Clay fait l'hypothèse que les taux
~

p
f
p
f
de déformations plastiques sont normaux à la surface de charge f ( & = &
, & = &
) . De
v
P

Q

plus, le travail plastique en un point quelconque de la surface de charge est considéré égal au travail
plastique à l'état critique. Ces considérations amènent à l'équation suivante pour le seuil plastique :

Q
P
f (P,Q, P )
Ln
éq
2.3-1
cr
=
+
(
) = 0
MP
Pcr
Remarque :

Dans le Code_Aster, le critère adopté est celui du modèle Cam_Clay modifié [éq 3.2-1].
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3
Loi de Cam Clay modifiée

Le critère de plasticité formulé ci-dessus n'est pas satisfaisant pour certains chemins de chargement.
Notamment, pour des valeurs faibles de Q / P , le modèle prédit des déformations déviatoriques trop
importantes. Pour y remédier, une nouvelle expression du travail plastique a été adoptée, ce qui
conduit au modèle dit de Cam Clay modifié [bib1].

3.1
Hypothèses de modélisation

Le modèle est écrit en petites perturbations.
Les coefficients du modèle ne dépendent pas de la température.

3.2
Surface de charge

Les nouvelles hypothèses conduisent à l'expression suivante de la surface de charge :

f (P,Q, P ) = Q2 + M 2P2 - 2M 2PP

0
éq
3.2-1
cr
cr

Dans le plan (P,Q) , l'expression représente une famille d'ellipses, centrées sur P qui est égale à la
cr
moitié de la pression de consolidation (cf. [Figure 3.2-a). P sera le paramètre d'écrouissage du
cr
modèle.



Q





Q=MP









Pcr1 Pcr2
Pcon1
Pcon2
P



Figure 3.2-a : Famille de surfaces de charge écrouissables


Quand f = 0 et P < P le matériau est dilatant ( p
&
) et P est décroissant (adoucissement).
v < 0
cr
cr
Quand f = 0 et P > P le matériau est contactant ( p
&
) et P est croissant (durcissement).
v > 0
cr
cr
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3.3
Loi élastique et loi d'écrouissage

On fait l'hypothèse du découplage de la loi élastique en partie hydrostatique et déviatorique et
l'hypothèse supplémentaire que le module de cisaillement est constant.

On considère donc une loi élastique isotrope, avec une partie déviatorique linéaire et une partie
volumique non-linéaire :

Partie déviatoire :

~e
s
=









éq 3.3-1

Partie volumique :
e

&
&
ln

éq 3.3-2
v = -
e
ou e = e0 -
P si P < Pconsolidation
1+ e0
La loi [éq 3.3-2] est en fait dérivée d'un essai oedométrique où l'on mesure la variation de l'indice des
vides en fonction du chargement [Figure 2.2-a]. Rappelons qu'un essai oedométrique homogène
consiste à augmenter la contrainte effective axiale tout en maintenant la contrainte radiale nulle sur
une éprouvette cylindrique.

Remarque :

Les pressions P correspondent à des essais drainés ou non. Néanmoins, dans une
modélisation avec le Code_Aster les contraintes manipulées dans les lois de comportement
sont effectives c'est à dire qu'on ne prend pas en compte la pression hydrostatique du fluide
qui peut circuler dans les pores, celle-ci étant calculée dans les modélisations THM.


Les essais de chargement volumique (cf. [Figure 2.2-a]) nous amènent à la loi élastique suivante :


1 + e
P = P exp k (
p
-
)
avec k =

éq
3.3-3
0
[ 0 v v ]
( 0 )
0


De même, la croissance de la surface de charge en phase de contractance (et de décroissance pour
la dilatance) et les résultats expérimentaux suggèrent d'écrire :

p
p
+ e
0
P
avec

éq
3.3-4
cr = Pcr
[
exp k(v - )
k
v
=
0 ]
(1 0 )
,
( - )
p
et e correspondent à la déformation volumique et à l'indice des vides initiaux, déterminés par
v0
0
extrapolation de la courbe de l'essai oedométrique à la pression 0
P (cf. [Figure 2.2-a]).
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3.4
Loi d'écoulement plastique

Les deux variables plastiques sont la déformation plastique volumique p
et le tenseur déviatorique
v
des déformations plastiques p
~ . La variable interne est également p
mais associée à la force
v
d'écrouissage P . Le matériau est standard non généralisé. La règle d'écoulement s'écrit :
cr



p
f
p
F
& = &
, , & = -&
,
éq
3.4-1
v

P
cr
en décomposant le premier terme, on obtient :
f

f
~

F

p
p
p
& = &
& = &
& = -&

éq 3.4-2
v
v
P

s

P
cr
sachant que :
1
P = - tr( ) et = -tr + -

éq
3.4-3
v
( ) 3 (T T0)
3
F est le potentiel plastique associé au phénomène d'écrouissage. Notons que la troisième partie de
[éq 3.4-2] n'est que formelle. En effet, on connaît p
& par la première relation donc on connaît
v
l'évolution de P .
cr


3.5
Ecriture énergétique et module d'écrouissage plastique

On est donc dans le cadre de « matériaux standards non généralisés » (on utilise alors trois
potentiels : la surface de charge f , le potentiel plastique F , et l'énergie libre . Même dans cette
configuration moins favorable que le traditionnel cadre des matériaux standards non généralisés, on
est assuré de satisfaire au second principe de la thermodynamique [bib4]. A l'aide de la condition de
consistance (exprimant que le point représentatif du chargement « suit » la surface de charge) qui
s'écrit de la manière suivante :
f
f

df =
dP +
+ f
dQ
dP

éq
3.5-1
cr = 0 ,
P
Q
Pcr
on détermine l'expression du multiplicateur plastique [bib4] :

1
f

1
f

=
d = -
dP éq
3.5-2
cr
H
H
P

p
p
cr
avec [bib4] :
f
2
F

H =
, où H
d'

module

le

est
e
écrouissag éq
3.5-3
p
2
p
p
P

P


cr
cr
v
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L'identification de la première et troisième partie de [éq 3.4-2] permet de calculer F qui s'écrit :
f

F = -
dP = M 2P
- 2


éq
3.5-4
cr
cr (P
P
cr
)
P

La notion d'écrouissage étant associée à celle d'énergie bloquée :



2
p
P
=
donc
dP =
d
éq
3.5-5
cr
p
cr
2
p
v



v
v
où est la densité d'énergie libre :

3
0
P
P
= µ ( e
)2
0
+
exp(
e
k )
cr
+
exp(k( p
p
- ))
éq
3.5-6
2
eq
0 v
v
v0
k
k
0

En utilisant les [éq 3.4-2], [éq 3.5-4] et [éq 3.5-6], on peut tirer d'après [éq 3.5-3] l'expression du
module d'écrouissage plastique :
f
2 F

H =
= 4kM 4PP P - P
éq
3.5-7
p
2
cr (
cr )
p
P

P


cr
cr
v

Le module d'écrouissage est positif en phase de contractance (P > P et négatif en phase de
cr )
dilatance (P < P . Pour P = P , le comportement est plastique parfait et se déroule à volume
cr )
cr
plastique constant.


3.6 Relations
incrémentales

L'équation [éq 3.4-3] et la condition de consistance donnent les relations d'écoulement :

1 1
1
p
Q

d

éq
3.6-1
v =

-
dP +




dQ
2

k P
P
cr

M PPcr

1
2
p
Q
Q

d
éq
3.6-2
eq =

dP +
dQ
k M 2PP
M 4 PP
cr
cr (P - Pcr )


~
3
p
p
s
d = d











éq 3.6-3
eq 2 Q
Le réarrangement des [éq 3.6-1] et [éq 3.6-2] conduit à :
p
deq
Q
=










éq 3.6-4
p
d
M 2

P - P
v
(
cr )
c'est-à-dire avec l'équation [éq 3.6-3],
~ p
d
3
s
=









éq 3.6-5
p
d
M 2
2
P - P
v
(
cr )
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Cas particulier du point critique :

Pour f = 0 et P = P : P&
, p

. On en déduit, en considérant la loi élastique : P& = k P
.
0

V
& =0
cr = 0
cr
V
&
La condition de consistance nous donne Q& = 0 .

3.7
Résumé des relations de comportement et des données du modèle

3.7.1 Données et critique du modèle

Les données spécifiques au modèle sont au nombre de cinq :

La pente critique M ,
l'indice des vides initial e associé à une pression initiale égale en général à la pression
0
atmosphérique,
le coefficient de gonflement élastique (qui conduit à k ),
0
le coefficient de compressibilité plastique : (qui conduit à k ),
la pression critique initiale P égale à la moitié de la pression de préconsolidation,
cr 0
auxquelles il faut ajouter le classique coefficient de Lamé µ et le coefficient de dilatation thermique
. Le coefficient de Lamé µ est en fait calculé à partir des deux coefficients élastiques E
, fournis
en données.

Le nombre de données est peu élevé, ce qui rend le modèle très simple. Une des limitations les plus
visibles du modèle est l'hypothèse de l'alignement des points critiques sur une droite de pente M .
Ceci est d'ailleurs l'expression du concept de frottement interne. On peut aussi interpréter la grandeur
M
3
M en la reliant à l'angle de frottement interne de Coulomb par la relation : sin =
. Or on sait
6 + M
que pour des matériaux très cohésifs, cet angle varie quand la contrainte moyenne diminue. On
constate d'ailleurs que pour un calage de M sur un essai triaxial à une certaine contrainte moyenne,
on simule bien avec ce modèle les triaxiaux réalisés avec une contrainte moyenne pas trop différente
mais on ne peut pas estimer correctement les paliers plastiques pour une large gamme de pression de
confinement (cf. [bib2]). Il est donc nécessaire de recaler M pour plusieurs plages de contrainte
moyenne.
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3.7.2 Résumé des relations de comportement du modèle

Elasticité

~e
s = 2µ









éq 3.7.2-1
P = P exp
éq
3.7.2-2
0
( e
k0v )
Plasticité

Le critère : f ( , P
Q
M P
M PP
avec (Q =

eq )
cr )
2
2
2
=
+
- 2 2 cr = 0
f
1 f d 3 f s
= -
I +



éq
3.7.2-3
3 P
2 Q Q
1

4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
donc :
~ p
& = 3 & s










éq 3.7.2-4
p
& = & M 2
2
P - P éq
3.7.2-5
v
(
cr )
Ecrouissage
P
= P
k -

éq
3.7.2-6
cr ( p
v )
exp
p
p
cr 0
( ( v v 0)

Comportement élastique : Si f < 0 ou ( f = 0 et f& 0 ) alors :
P&











éq 3.7.2-7
cr = 0
~ p
&

eq = ,
0 p
&v = 0
éq
3.7.2-8
&s = µ&~
2











éq 3.7.2-9
P& = k

éq
3.7.2-10
0& P
v
Comportement élasto-plastique : Si f = 0 et f& = 0 alors :
p
P& 0
;
P& = k& P
éq
3.7.2-11
cr
cr
v
cr
~ p
& = 3& s
si
P P
éq
3.7.2-12
cr
p
& = & M 2
2
P - P
si P P



éq 3.7.2-13
v
(
cr )
cr

Remarques :

· A partir de la seule inconnue p

P& .
v
& , on peut déduire les autres inconnues p
&~ et cr
· Si P = P : p
&
, Q& = P& = ,
0 P& = k P .
0

v = 0
cr
cr
&v
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4
Intégration numérique des relations de comportement

4.1
Rappel du problème

Pour un incrément de chargement donné et un ensemble de variables données (champ initial de
déplacement, contrainte et variable interne), on résout le système global discrétisé (2.2.2.2-1 de [bib3])
qui cherche à satisfaire les équations d'équilibre.

La résolution de ce système nous donne u
, donc
. On cherche donc localement (en chaque
point de Gauss) l'incrément de contrainte et de variable interne correspondant à
et qui satisfont la
loi de comportement.


On emploie les notations suivantes : A- , A , A
pour la quantité évaluée à l'instant connu t, à
l'instant t + t
et son incrément respectivement. Les équations sont discrétisées de manière
implicite, c'est-à-dire exprimées en fonction des variables inconnues à l'instant t + t
.


4.2
Calcul des contraintes et variables internes

La prédiction élastique de la contrainte déviatorique s'écrit :

se = -
s + µ ~
2 éq
4.2-1
or on peut toujours écrire s à l'instant + comme étant :

-
~e
s = s + 2µ








éq 4.2-2
Ces deux équations nous permettent de déduire s en fonction de e
s :

e
~
~e
s = s - 2µ
+ 2µ

éq
4.2-3

e
~ p
ou s = s - 2µ







éq 4.2-4
En remplaçant
p
~

par son expression en fonction de
p
, on obtient :
v

e
s
s =






éq 4.2-5
p
3
µ
1+ M 2( v
P - Pcr )
d'où,
e
Q
Q =
éq
4.2-6
p
3
µ
1+ M 2( v
P - Pcr )
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Loi de comportement CAM-CLAY


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J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
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On écrit P en fonction de la prédiction élastique hydrostatique :

On a l'équation :
P = P exp








éq 4.2-7
0
(k0(
p
-
v
v )

En supposant que k est indépendante de la température, l'écriture incrémentale de cette
0
équation est :
P = P exp[
-
-
e
k








éq 4.2-8
0
k0
v -
e
v
]
P = P- exp[
e
k









éq 4.2-9
0 v ]
P = -
P (exp[k e

éq
4.2-10
v -
0
] )1

De même on peut écrire l'expression de e
P en fonction de -
P :

e
P = P- exp[k









éq 4.2-11
0 v ]

d'où l'expression de P à l'instant + est :

e
P = P exp[
p
- k









éq 4.2-12
0 v ]

Dans l'écriture incrémentale de P , le coefficient k ne dépend pas de la température, on trouve donc
cr
l'expression suivante :
P = P exp
p
p
k -

éq
4.2-13
cr
cr 0
[ ( v v 0)]
P = P- exp k








éq 4.2-14
cr
cr
[ pv]
P
P
k
éq
4.2-15
cr =
-
cr [exp( p
v )- ]
1

Résumé :

f ( e
s , e
P , -
P
dans ce cas P
soit
-
e
s = s + s = s
cr = 0
cr ) 0
e
P = P

f ( e
s , e
P , -
P
dans ce cas P
, ~
p
0 et p


v 0
cr > 0
cr ) > 0
soit
e
~ p
s = s - 2µ

P = P exp - k

0
e
[
p
v ]
P = P- exp k

cr
cr
[ pv]
Remarque :

L'inconnue principale est
p
.
v
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4.3
Calcul de l'inconnue
p


v

En reportant dans le critère les expressions de P et Q en fonction de e
P et de e
Q et en utilisant
l'équation [éq 4.2-6] :
p
2

µ

2
3
v
Q = - 1
+
M 2P P - 2P éq
4.3-1
e
2
(
cr )
M (P - P )

cr
p

2
2
µ
2
3



Q = -M 1+
exp
2
-

- 0

M

(
v
P
k
e
P exp - k
éq
4.3-2
0


- P exp k

e
[
p
v ]
cr
[ pv]) e [
p
v ]

(P exp -k0

- 2P- exp k

e
[
p
v ]
cr
[ pv])


Dans le sous paragraphe suivant on détermine des bornes à cette fonction qui facilitent la résolution
de l'équation [éq 4.3-2] avec par exemple la méthode des cordes ou par la méthode de Newton.
Quelques exemples d'allures de la fonction précédente sont donnés dans les figures suivantes pour
plusieurs jeux de données.

Cas particulier : Q = 0 (essai de compression hydrostatique)
Le critère est atteint pour P = 2P
cr
D'où : P exp - k

0
= 2P- exp k
e
(
p
v )
cr
( pv)
e
1
P
Donc p

Ln

v =
-
k + k
2P
0
cr
Pour : M = 9
,
0 ; µ = 4000 ; -
P
; k = 10 ; k = 30 et P
; alors
-3
p


v = 2.310
e = 1
cr =
,
0 2
0


Figure 4.3-a : Allure de la fonction [éq 4.3-2] pour Q = 0
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Exemple pour : -
-
Q < MP (contractance)
Soit les données suivantes : M = 9
,
0 ; µ = 4000 ; -
P
; k = 10 ; k = 30
cr =
,
0 2
0
e
Q = 2 ; e
P = 6
,
0 ; ~
4

.
2 10- ;
-4


v = 3.10
eq =


Figure 4.3-b : Allure de la fonction [éq 4.3-2] pour -
-
Q < MP

Exemple pour : -
-
Q > MP (dilatance)
Soit les données suivantes : M = 9
,
0 ; µ = 4000 ; -
P
; k = 10 ; k = 30
cr =
,
0 2
0
e
Q = 2 ; e
P = ,
0 2 ; ~
-4

;
-4


v = 3.10
eq =
.
2 10


Figure 4.3-c : Allure de la fonction [éq 4.3-2] pour -
-
Q > MP
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4.4
Détermination des bornes de la fonction

On pose
p
= x l'inconnue du problème.
v
On a donc :
P(x) = Pe exp(- k x éq
4.4-1
0 )
P (x)
P -
=
exp(kx)







éq 4.4-2
cr
cr
x
(x) =

éq
4.4-3
2M 2 (P(x) - Pcr (x)
Qe
Q(x) = 1+6µ








éq 4.4-4
(x)
f (x)
2
= Q (x)
2
2
+ M P (x)- 2 2
M P(x)P
éq
4.4-5
cr (x) = 0

(x) 0 alors deux cas se présentent :

x 0 et P P P(0) P
et 0 x x ; P(x
= P x
éq
4.4-6
sup )
cr ( sup )
cr (0)
cr
sup
x 0 et P P P(0) P
et x
x 0 ; P(x
= P x
éq
4.4-7
inf )
cr ( inf )
cr (0)
cr
inf

La première borne est le 0 qui est la borne inf dans le cas de la contractance et la borne sup dans le
cas de la dilatance.

Calcul de la deuxième borne x = x
= x :
b
sup
inf
P(x = P x P exp - k x
P-
=
exp kx
b )
cr (
)
e
b
( 0 b) cr
( b)
e
P = exp k + k x
-
(
0 ) b
Pcr

éq
4.4-8
e

1
P
x
Ln
b =
-
k + k
P
0
cr

On distinguera donc entre les deux domaines :
Dilatance : x [x 0
; et Contractance : x [0 : x
b ]
b
]
Valeurs de la fonction aux bornes :
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Au point
e
x = 0 ; P( )
0 = P ; P ( )
0 = P- ; 0 = 0 ; Q 0 = Q
éq
4.4-9
cr
( )
( ) e
cr
f (0) = e
Q 2 +
2
e
M P ( e
-
P - 2P
éq
4.4-10
cr )
Au point
x = x P = P ;
=
= et
= -

éq 4.4-11
b
cr
(xb )
; Q(xb ) 0
f (xb )
2
2
M P


4.5
Cas particulier du point critique



Q





Q=MP

t-

t+







Pcr
Pcon

P


Figure 4.5-a : Etat mécanique autour du point critique


Si à l'instant -
t on atteint l'état critique, alors +
P
P

et
-
-
Q = MP . Si f = ,
0 f& = 0 ,
cr =
- ,
cr
pv = 0
alors le point (P,Q)
à l'instant +
t se déplace sur l'ellipse initiale (cf. [Figure 4.5-a]). On déduit immédiatement de la loi
élastique et de la condition p

:
v = 0

-
P = k









éq 4.5-1
0 P
v

Le critère étant vérifié à l'instant +
t , on a en utilisant [éq 4.5-1] :

+2
2
Q = M P+ (2P- - P+ )
2
= M (P- + P
)(P- - P
)
2
-(2)
= M P
1
(
2
2
- k
)
-(2)
= Q
1
(
2
2
- k
)
cr
0
V
0
v
éq 4.5-2
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D'autre part le déviateur des contraintes peut s'écrire :

~

e
p
e
f
s = s - 2µ = s - 2µ
= se - 6µ s éq
4.5-3
s


On en déduit :
Qe
1+ 6 µ =
, éq
4.5-4
Q
et :

Q- 1
( - k 2
2


0
V
e
s =
s
éq
4.5-5
e
Q


4.6 Résumé


La discrétisation des équations et de la loi de comportement de manière implicite mène à la résolution
de l'équation [éq 4.3-2].

Si -
-
P P , alors on résout l'équation [éq 4.3-2] dont l'inconnue est
p
.
cr
v

On déduit alors :
e
-
-
s
p
p
P = P exp(k ), P = P exp(k (
), puis

0
-
s =
éq 4.6-1
cr
cr
v
v
v
p

1+ M 2( v
P - Pcr )
On déduit enfin :
p

p
3
~
v
=
s
éq
4.6-2
2 M 2 (P - P )
cr
Au point critique :
p
-

,
0 P
P
éq
4.6-3
v =
cr =
cr
En ce point, il n'y a aucune évolution de l'écrouissage, par contre l'état de contrainte peut continuer à
évoluer soit en contractance, soit en dilatance (la tangente au critère est horizontale). Le nouvel état
de contraintes se déplace sur la surface de charge de l'état précédent.
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5 Opérateur
tangent

Si l'option est : RIGI_MECA_TANG, option utilisée lors de la prédiction, l'opérateur tangent calculé en
chaque point de Gauss est dit en vitesse :

elp
& = D
ij
ijkl kl
&

Dans ce cas,
elp
D est calculé à partir des équations non discrétisées.
ijkl

Si l'option est : FULL_MECA, option utilisée quand on réactualise la matrice tangente à chaque itération
en mettant à jour les contraintes et les variables internes :

d = A d
ij
ijkl
kl

Dans ce cas, A est calculé à partir des équations discrétisées implicitement.
ijkl

5.1
Opérateur tangent élastique non linéaire

La relation élastique en vitesse s'écrit :
&
P
s
k Ptr

éq
5.1-1
ij = - & ij + &ij =
ij + µ &
&
~
2
0

2
& = (k P -
+

éq
5.1-2
0
µ tr
) &
µ
2
ij
ij
&ij
3
L'opérateur tangent en élasticité de la loi Cam_Clay noté
e
D est donc déduit de l'écriture matricielle
suivante :


4
2
2


k P
µ k P
µ k P
µ
0
0
0
&

11
0 +
0
-
0
-
11
&



3
3
3



2
4
2
&

22
k P
µ k P
µ k P
µ
0
0
0
&
0
-
0
+
0
-
22



3
3
3


&

33



33
&



=
2
2
4

k P
µ k P
µ k P
µ 0
0
0

éq 5.1-3
2
0
-
0
-
0
+


&
2
12




3
3
3

12
&




0
0
0

0
0

2&
2
23





&23

0
0
0
0

0
2

&
2

31

&31



0
0
0
0
0

1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
e
D
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5.2
Opérateur tangent plastique en vitesse. Option RIGI_MECA_TANG

L'opérateur tangent global est dans ce cas K (l'option
i 1
-
RIGI_MECA_TANG appelée à la première
itération d'un nouvel incrément de charge) à partir des résultats connus à l'instant t [bib3].
i 1
-
Si le tenseur des contraintes à t est sur la frontière du domaine d'élasticité, on écrit la condition :
i 1
-
f& = 0 qui doit être vérifiée conjointement avec la condition f = 0 . Si le tenseur des contraintes à t
i 1
-
est à l'intérieur du domaine, f < 0 , alors l'opérateur tangent est l'opérateur d'élasticité.

f

f& =
f

& +
P&cr = 0


éq
5.2-1

Pcr
P

comme
cr
p
P& =
, alors :
cr
p
v
&
v
f
f
f& =
P

& +
cr
p


éq
5.2-2
p
v = 0

&

P
cr v

D'autre part e
p
& = & - &

donc :
-
1 & =

& - f
De
&
,
éq
5.2-3


c'est-à-dire :

e
e
f
& = D & - &D

éq
5.2-4
ij
ijkl kl
ijkl kl

Le module d'écrouissage plastique s'écrit d'après l'équation [éq 3.5-7] et en utilisant la règle
d'écoulement :


f

P

F

1
f

P

cr
cr
p
H =
= -

éq
5.2-5
p
p
p
v
P


&

P

& P



cr
v
cr
cr
v
Les équations [éq 5.2-1] et [éq 5.2-5] donnent :

f

&
& H

éq
5.2-6
ij -
p = 0
ij
f

La multiplication de l'équation [éq 5.2-4] par
donne :
ij
f

f

f

f

e
e


& =
D & - &
D

éq 5.2-7
ij
ijkl
ijkl




ij
ij
ij

kl
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Les deux équations précédentes permettent de trouver :
f



e
f
e
f
H & =
D & - &
D

éq
5.2-8
p
ijkl kl
ijkl



ij
ij

kl

d'où l'expression du multiplicateur plastique :

f

e

D
ijkl kl

&
ij
& =

éq
5.2-9
f

f

e


D
+ H
ijkl
p


ij

kl

Soit H le module élastoplastique défini comme :
f

f

e

H =
D
+ H
éq
5.2-10
ijkl
p


ij

kl
Le multiplicateur plastique s'écrit :

f


De
ijkl kl

&
ij
& =

éq
5.2-11
H
En remplaçant & par son expression dans l'équation [éq 5.2-4], on obtient :

1 f


f

e
e
e

& = D & -

D
& D

.


éq
5.2-12
ij
ijkl kl
mnop op
ijkl
H


mn

kl
On en déduit donc l'opérateur élastoplastique
elp
e
p
D
= D - D :


f

f


e
e
e


& =
1
D -

D D




éq 5.2-13
ij
ijkl
ijop
mnkl
&kl

H




op
mn
1
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
3
Delp
avec,
1 f

f

p
e
e

D
=

D D







éq 5.2-14
ijkl
ijop
mnkl
H

op

mn
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Calcul de H :
f

2

= - M 2 (P - P + s
3 ,
éq
5.2-15
cr ) ij
ij

3
ij
qui s'écrit en notation vectorielle :

2
2
- M (P - Pcr )

+ 3s11
3

- 2 2
M (P - Pcr )+ 3s

22
3

- 2 2
M (P - P
éq
5.2-16
cr )


+ 3s33
3



3 2s12


3 2s


23


3 2s31

d'où l'expression de :
-
2
2k M P P P
s
0
( - cr )+


11
2
- 2k M P P P
s
0
( - cr )

+
22

µ
e f
-
2
2k M P P P
6 s
0
( - cr )+

Dijkl
:
33


éq
5.2-17

µ
kl

6
2s12



µ

6
2s23



6µ 2s31


et
f


e
f
4
2
2

D
= 4k M P(P - P ) +12 Q
µ éq
5.2-18
ijkl
0
cr




ij
kl
D'après les équations [éq 3.5-7] et [éq 5.2-17], on peut déduire l'expression de H :
4
H = 4M P(P - P
-
+
+ µ
cr )(k (P
Pcr ) kPcr )
2
4 Q


éq 5.2-19
0
En posant :
A = 2
- k M 2P P - P
+
,
éq
5.2-20
0

6 s
µ
ij
(
cr ) ij
ij

on peut écrire la matrice plastique symétrique suivante :

2
A
A A
A A
6 2µA s
6 2µA s
6 2µA s
11
11
22
11
33
11 12
11 23
11 31

2
.
A
A A
6 2µA s
6 2µA s
6 2µA s
22
22
33
22 12
22 23
22 31

2

µ
µ
µ
D p = 1
.
.
A
6 2 A s
6 2 A s
6 2 A s

33
33 12
33 23
33 31 éq
5.2-21
H
2 2
2
2
.
.
.
36µ s
36µ s s
36µ s s
12
12 23
12 31

2 2
2

.
.
.
.
36µ s
36µ s s
23
23 31


2 2
.
.
.
.
.
36µ s31
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.3

Titre :

Loi de comportement CAM-CLAY


Date :
03/02/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
Clé :
R7.01.14-B Page
: 23/34


5.3
Opérateur tangent en implicite. Option FULL_MECA

Pour calculer l'opérateur tangent en implicite, on a choisi par souci de simplicité de séparer en premier
lieu le traitement de la partie déviatorique de la partie hydrostatique pour ensuite les combiner afin de
déduire l'opérateur tangent reliant la perturbation de la contrainte totale à la perturbation de la
déformation totale.

5.3.1 Traitement de la partie déviatorique

On considère ici que la variation de chargement est purement déviatorique (P = )
0 .
L'incrément de la contrainte déviatorique s'écrit sous la forme :
s
= µ ~
2
- ~


éq
5.3.1-1
ij
(
p
ij
ij )
Autour du point d'équilibre ( - +
), on considère une variation s de la partie déviatorique de la
contrainte :
s
= µ
~
2
-
~ éq
5.3.1-2
kl
(
p
kl
kl )
Calcul de ~ p
:
kl

On sait que :
~ p
=
3 s éq
5.3.1-3
kl
kl
En dérivant cette équation par rapport à la contrainte déviatorique, on obtient :
~ p
= 3 s +3 s
éq
5.3.1-4
kl
kl
kl
Calcul de :
On a :
1 f


1 f

f


=

=


s

+
P

H
mn

H


s
mn

P

p
mn
p
mn
éq 5.3.1-5
= 1 [ s
3
s

+ M 2
2
-

mn
mn
(P Pcr ) P]
H p
Si on ne considère que l'évolution de la partie déviatorique de (P = )
0 , alors :

( H ) = H + H =
3 s s + 3s s
- M 2
2
PP éq
5.3.1-6
p
p
p
[ mn mn
mn
mn ]
cr
Or :
P
P = kP .
cr
cr
v

p
2
p
Comme


= 2M (P - P ),
a

on
=
2 M 2 (P - P ) - 2M 2
P , éq
5.3.1-7
v
cr
V
cr
cr
D'où :


2
1
2 M (P - P ) =
+ 2
2
M

P .
éq
5.3.1-8
cr
cr
kP
cr

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Par ailleurs,
H = 4
4
kM PP (P - P ) et H = 4
4
kM P(P - 2P ) P . éq 5.3.1-9
p
cr
cr
p
cr
cr

En injectant cette dernière équation dans l'équation [éq 5.3.1-6], on obtient :

H + 4kM 4P(P - 2P ) + 2M 2P P =
3 s s + 3s s
éq
5.3.1-10
p
[
cr
] cr [ mn mn mn mn]

En utilisant la relation [éq 5.3.1-8], il vient alors :

[3s s +3s s
mn
mn
mn
mn ]
=
éq
5.3.1-11
(H + )
A
p



2

M (P P )
4
2
-
avec A = [4k M P(P - 2P )
cr
+ 2M P]
cr

1
2

+ M
2kPcr


On obtient alors immédiatement la variation de la partie déviatorique de la déformation plastique :
~ p
=
9
9
6
s
s s + s s s +
s
s
s +
M 2 P - P
P
s
kl
( mn mn kl mn mn kl )
mn
mn
kl
(
cr )
kl
(H +
p
A)
H p
H p

éq 5.3.1-12
s s'écrit alors :
ij
18
~
µ
18µ
12µ
s = 2
µ -
s
s s + s s s -
s
s
s -
M 2 P - P
P
s
ij
ij
([ kl ij kl kl ij kl)]
kl
kl
ij
(
cr )
ij
(H + A)
H
H
p
p
p
éq 5.3.1-13

qui devient en séparant les termes en variation de contraintes et le terme en variation de déformation
totale :

12µ

2
18µ
18µ
+
-
+

+
+



= 2µ~
ijkl
ijkl
M (P
cr
P ) P
( sklsij sklsij )
smn smn ijkl skl
ij

H


+
p
H p A
H p


éq 5.3.1-14
ou en écriture tensorielle :


d
12µ



I 1
2
+
M P - P
éq 5.3.1-15
cr P +
s s +
s + s s s =
4
(
)
18µ
18µ
:
(
)

µ~
2


H
H
(H
p
p
p +
)


A



qu'on peut encore écrire en symétrisant le tenseur (s + s
) s :



d
12µ



I 1
2
M P P
P
s s
+
- cr +

+

s =
4
(
)
18µ
18µ
:

µ~
2

éq 5.3.1-16


H
H
(H
p
p
p +
)


A



1
avec : = [
T
((s + s
) s) + (s (s + s
)) ]
2
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Calcul de , en posant :
=
+
ij
T
sij
sij
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
11 11
11 22
11 33
11 12
11 23
11 31
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
22 11
22 22
22 33
22 12
22 23
22 31


éq 5.3.1-17
T
T s
T s
T s
2T s
2T s
2T s
s = 33 11
33 22
33 33
33 12
33 23
33 31
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
12 11
12 22
12 33
12 12
12 23
12 31


2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
2T s
23 11
23 22
23 33
23 12
23 23
23 31

2T s
2T s
2T s
T s
2T s
2T s
31 11
31 22
31 33
31 12
31 23
31 31

1
= [
T
T
( s) + T
( s) ]





éq 5.3.1-18
2
Soit :


d
1
6
2
9

C =
9
I
M P P
P
s s
4
+
( - cr )


+
: +






éq 5.3.1-19
H
H
(H
p
p
p +


)
A



on pose :
9
c =
( s
: s)






éq 5.3.1-20
H p
et
6
d =
M 2 (P - P
cr ) P




éq 5.3.1-21
H p

La matrice symétrique C de dimensions (6,6) est trop grande pour être présentée entière, on la
décompose en 4 parties C , C , C et C :
1
2
3
4

C
C
1
2
C =

C
C
3
4
avec

1
9
9
9


+ c + d +
s T
(T s
T s )
(T s
T s )
11 11
11 22 + 22 11
11 33 + 33 11


(H p + )
A
2(H p + )
A
2(H p + )
A


9
1
9
9

1
C =
( 22
T
11
s + 11
T s22 )
+ c + d +
22
T s22
( 22
T s33 + 33
T s22 )
2(H
µ
p +
)
A
2
(H p + )
A
2(H p + )
A


9
9
1
9


( 33
T 11
s + 11
T s33)
( 22
T s33 + 33
T s22 )
+ c + d +
33
T s33
2(H
µ
p +
)
A
2(H p + )
A
2
(H p + )
A

éq 5.3.1-22
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9 2
9 2
9 2


( 11
T 12
s + s T )
(
11 12
11
T s23 + s T )
(
11 23
11
T 13
s + s T )
11 13
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A



C2 =
9 2
9 2
9 2

( 22
T 12
s + s T )
(
22 12
22
T s23 + s T )
(
22 23
22
T 13
s + s T )
22 13
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A




9 2
( 33
T 12
s +
9 2
s T )
(
33 12
33
T s23 +
9 2
s T )
(
33 23
33
T 13
s + s T )

33 13
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A
(
2 H p + )
A


éq 5.3.1-23
C =
3
C2







éq 5.3.1-24
1
18
9
9


+ c + d +
s T
(T s
T s )
(T s
T s )
12 12
12 23 + 23 12
12 23 + 23 12


(H p + )
A
(H p + )
A
(H p + )
A


9
1
18
9

C4 =
( 23
T 12
s + 12
T s23)
+ c + d +
23
T s23
( 23
T 13
s + 13
T s23)
(H
µ
p +
)
A
2
(H p + )
A
(H p + )
A


9
9
1
18


( 13
T 12
s + 12
T 13
s )
( 13
T s23 + 23
T 13
s )
+ c + d +
13
T 13
s
(H
µ
p +
)
A
(H p + )
A
2
(H p + )
A

éq 5.3.1-25

Calcul du taux de variation de volume :

p
2
p
2
2
3B


= 2M (P - P ), = 2M (P - P ) - 2M P = B =
(s + s

). s
v
cr
v
cr
cr
(H + A)
p
éq 5.3.1-26
2
M (P - P )
avec : B = 2
2
M (P - P )
cr
- 2 2
M
cr
.


éq 5.3.1-27
1
2
+ M
2kPcr
ou en utilisant [éq 5.3.1-11]
p
3B
=
(s + s
). s éq
5.3.1-28
v
(H + A)
p
On a donc :
B
= (
-
( + )
ij
C
)
ijkl
s
s kl ij
skl
éq
5.3.1-29
(H +
p
A)

5.3.2 Traitement de la partie hydrostatique

On considère maintenant que la variation de chargement est purement sphérique ( s = 0 ).
L'incrément de P s'écrit sous la forme :
-
P = P exp(k

éq
5.3.2-1
0 e
v )
-
- P
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La dérivation de cette équation donne :
P = k P
0
(
p
-
v
v )






éq 5.3.2-2
Calcul de
p
:
v

On sait que :
p
=
2
2
-
v
M (P
cr
P )






éq 5.3.2-3
En différenciant cette équation, on obtient :
p
=
2
2
-
+ -
v
M (
(P cr
P )
( P
cr
P )
éq
5.3.2-4

On connaît l'expression de :

2M 2 (P -
+ 3
cr
P ) P
s s
b
=
=

éq
5.3.2-5
H p
H p
en posant
b = 2M 2 (P - P + 3
éq
5.3.2-6
cr ) P
s s

En différenciant , il vient :
2M 2
=
([
4kM 4b
P -
+ -
-

-
+
-
cr
P ) P ( P
cr
P ) P]
[ cr
PP (2P
cr
P )
cr
P P(P 2 cr
P )]
H
2
p
H p
éq 5.3.2-7
On cherche l'expression de P en fonction de
:
cr

On a
p
P = kP
éq
5.3.2-8
cr
cr
v

On peut écrire :
cr
P = 2M 2(P -
+
2
2
-
cr
P )
M ( P
cr
P )
éq 5.3.2-9
cr
kP
1+ 2M 2kP
P
cr

= 2M 2
2
-
+ 2

cr
(P Pcr )
M P


éq 5.3.2-10
kP


cr

2M 2(P - P

2 2

cr )kP
M kP
P
cr
cr
=

+

P
cr


éq 5.3.2-11
1+ 2kP
M 2




1+ 2kP
M 2

cr

cr

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On pose

2M 2 cr
kP (P - cr
P )
c = [
,





éq 5.3.2-12
1 + 2M 2 cr
kP ]
2M 2 cr
kP
a = [







éq 5.3.2-13
1+ 2M 2 cr
kP ]
On a alors :
P







éq 5.3.2-14
cr =

a P + c

En remplaçant l'expression de P dans
[éq 5.3.2-7], on trouve :
cr
= [ 2
2
1
2M (P - P P + 2M P - c - aP P
.
cr )
(
) ] Hp éq 5.3.2-15
4kM 4b
-

-
+ +
-
2
[ PP 2P P
c
a P P P 2P
cr (
cr )
(
) (
cr )]
H p
En regroupant les termes en
et ceux en P , on trouve :
f
= P







éq 5.3.2-16
e
avec,
1
f =
[2M 2(P - P + 2M 2P -2aM 2P
cr )
]
H p
éq
5.3.2-17
4kM 4b
-
-
+
-
2
([2P P P aP P 2P
cr ) cr
(
cr )]
H p
2cM 2 P

bckM
4
4
e = 1+
+
P
-

éq
5.3.2-18
2
(P 2Pcr )
H
H
p
p
L'expression de
p
devient donc :
v
p
2
f
f


= 2M - a - c +
-

v

(P Pcr ) P éq 5.3.2-19

e
e


d'où l'expression de en fonction de P :
v
k P
P
0
=
v éq 5.3.2-20
G
2

G = 1+ 2M k P
0
- - f
a
+ f
c
(P - cr
P )



éq 5.3.2-21

e
e

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Calcul de la variation de déformation déviatorique :
~
~ p
f
= = =
ij
3
s 3 Psij




éq 5.3.2-22
e
On a donc finalement :
= F P
ij









éq 5.3.2-23
ij
avec
3 f
G
d
F =
s -
1
éq
5.3.2-24
e
k
3 P
0

5.3.3 Opérateur
tangent

L'opérateur tangent relie la variation de contrainte totale à la variation de déformation totale. Etant
donné que l'incrément de la déformation totale sous chargement déviatorique s'écrit :
B
= C
(
-
(s + s
) D1
)
,
éq
5.3.3-1
ij
ijkl
kl
ij
klmn
mn
(H + A)
p
avec :
2 / 3 -1/ 3 -1/ 3 0 0 0


-1/ 3 2 / 3 -1/ 3 0 0 0

1
-1/ 3 -1/ 3 2 / 3 0 0 0
D =

éq
5.3.3-2
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0 1 0



0
0
0
0 0 1
la projection dans l'espace déviatorique,

et que sous chargement sphérique on a :

2
=

ij
ij
F Dkl
kl
éq
5.3.3-3
avec :
-1/
3


-1/
3

2
-1/
3
D =

éq
5.3.3-4
0
0



0
la projection hydrostatique, on a alors :
=
ij
ijkl
A kl éq
5.3.3-5
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avec :
1
-

B

1
2

ijkl
A
= (Cijmn -
(s + s)
)
mn ij Dmnkl +
ij
F Dkl éq
5.3.3-6

(H p + )

A


l'opérateur tangent discrétisé.

5.3.4 Opérateur tangent au point critique

Si le point de charge est au point critique (P = P , l'expression générale de l'opérateur tangent n'est
cr )
plus valable. Ceci se manifeste notamment par des divisons par 0 (voir les équations du [§ 5.3.1]). On
détaille dans ce qui suit l'opérateur tangent cohérent au point critique en passant comme pour le cas
général par la décomposition en partie déviatorique et en partie hydrostatique.

5.3.4.1 Traitement de la partie déviatorique

Rappelons qu'au point critique, les expressions du multiplicateur plastique et de sa dérivation
s'écrivent de la façon suivante :
Qe

e
e
=
-
Q
Q Q
1 / 6µ




et =
-
éq
5.3.4.1-1
Q

2
Q Q
avec,
e
e
3
3
e
s s

s s
Q =
et Q =

éq
5.3.4.1-2
e
2 Q
2 Q
d'où l'expression de :
1 3 sese
Qess
=

-

éq
5.3.4.1-1
e
3

6µ 2 Q Q
Q

Rappelons de même l'expression de s :

s = µ ~
2
-
3 s -
3 s
ij
( ij
ij
ij )

En remplaçant et par leurs expressions, on peut écrire :
e
e
e
e
3 s
~
s
3 Q
Q

kl
kl
s = 2µ -
s +
s s s -
-1 s
éq
5.3.4.1-2
ij
ij
e
ij
3
kl
kl ij



ij
2 Q Q
2 Q
Q



e
e
e

Q
3 Q


3 s .s
kl
ij
s

+
- -
s .s = 2µ

-

~ éq 5.3.4.1-5
kl
ijkl
ijkl
ijkl
3
kl
ij
ijkl
e
kl
Q
2 Q
2 Q Q




ou en écriture tensorielle :

e
e
e
Q



d
3 Q
d
s
s
s
I -
s s

=
I -
éq
5.3.4.1-6
4
µ
3
2
3
4

~
Q
2 Q
2
e
Q Q
1

4
4
4
2
4
4
4
3
1

4
4 2 4
4 3
G
H
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.3

Titre :

Loi de comportement CAM-CLAY


Date :
03/02/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
Clé :
R7.01.14-B Page
: 31/34


Comme s ne dépend pas de , on peut confondre ~ avec .
v

En utilisant le tenseur de projection dans l'espace des contraintes déviatoriques 1
D [éq 5.3.3-2], on
peut écrire :
1
1
-
D .G.
=
H

.

éq
5.3.4.1-7


5.3.4.2 Traitement de la partie hydrostatique

En écriture tensorielle, on a la relation suivante :

d
I P = k P
.






éq 5.3.4.2-1
0
v
d'après l'équation [éq 5.3.2-2] avec
p

au point critique.
v = 0

Comme P ne dépend pas de ~ alors on peut confondre avec .
v
I dP = k

éq
5.3.4.2-2
0

P
En utilisant le tenseur de projection dans l'espace des contraintes hydrostatiques
2
D [éq 5.3.3-4], on
peut écrire :

I d
=
D
2
éq
5.3.4.2-3
k P
0

5.3.4.3 Opérateur tangent

En combinant les contributions des deux parties déviatorique et hydrostatique, on trouve l'écriture de
l'opérateur tangent qui relie la variation de la contrainte totale à la variation de la déformation totale au
point critique :

1
-1
D G H
I d


. .
2
=
+
D
.

2

µ
k P
0


ou
= A
éq
5.3.4.3-1
ij
ijkl
kl
avec
1
1
1
-
D .G. -
H
I d

2
Aijkl =
+
D
2


µ

éq
5.3.4.3-2
k P
0


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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

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Version
7.3

Titre :

Loi de comportement CAM-CLAY


Date :
03/02/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
Clé :
R7.01.14-B Page
: 32/34


6
Exemples de mise en oeuvre du modèle

6.1
Initialisation du calcul

Dans le modèle CAM_CLAY, la loi élastique non-linéaire fait apparaître une contrainte hydrostatique
pour une déformation volumique nulle [éq 3.3-4]. On a donc besoin au début des calculs d'initialiser la
contrainte hydrostatique à une valeur strictement positive. Pour ce faire, on peut procéder de deux
façons différentes :

Effectuer un calcul élastique linéaire en affectant des conditions aux limites telles que le champ de
contraintes dans la structure soit une compression hydrostatique uniforme égale à la pression PA
donnée dans DEFI_MATERIAU. La pression PA correspond à l'indice des vides initial et est
généralement égale à la pression atmosphérique (cette dernière est donnée positivement pour être
cohérent avec les conventions du génie civil). On extrait de ce calcul le champ de contraintes aux
points de Gauss. Ce champ de contraintes est considéré comme l'état initial de la contrainte
hydrostatique nécessaire à la loi CAM_CLAY dans le calcul STAT_NON_LINE utilisant le modèle
CAM_CLAY.


Utiliser l'opérateur CREA_CHAMP pour créer avec l'opération 'AFFE' un champ de contrainte
hydrostatique aux points de Gauss de valeur PA, la contrainte dans ce cas est donnée de signe
négatif (convention Aster pour les compressions) et constitue l'état initial dans le STAT_NON_LINE
suivant.

Résultats numériques pour des essais triaxiaux.

Les figures suivantes montrent des trajets de chargement triaxiaux avec des évolutions de la
déformation axiale en fonction du déviateur Q . Elles sont issues de calculs numériques effectués
avec le modèle CAM-CLAY implanté dans le Code_Aster. Ces test ont été effectués en utilisant une
modélisation de type KIT_HM en condition non drainée (cette condition nous permet facilement de
charger de manière purement déviatorique, la partie hydrostatique du chargement étant reprise par la
pression de l'eau). Les allures des courbes obtenues numériquement avec le Code_Aster sont tout à
fait comparables aux courbes schématiques présentés dans le papier de Charlez [bib2].

Dans le premier test, le matériau est normalement consolidé, c'est-à-dire que la pression hydrostatique
de départ est égale à la pression de consolidation (dans ce cas
5
10
.
6
Pa). L'écrouissage (positif)
commence dès le début de la phase déviatorique, sans phase élastique préliminaire. Le durcissement
continue jusqu'à un palier de plasticité parfaite quand on atteint le point critique (Q=MP).
Quant aux trois autres tests, la phase déviatorique commence pour une valeur de la contrainte
effective moyenne inférieure à la pression de consolidation, le matériau est de ce fait surconsolidé.
Dans le cas où P est supérieure à P égale à
5
10
.
3
Pa, le point spécifique du chargement coupe la
cr
surface de charge avant la droite critique. Il y aura donc trois phases spécifiques : une phase
élastique, une phase plastique contractante puis une phase plastique parfaite.
Dans le cas où P = P , le comportement est plastique parfait juste après la phase élastique.
cr
Dans la cas où P est inférieure à P , le point représentatif du chargement coupe la droite critique
cr
avant la surface de charge qu'il atteint au cours d'un trajet purement élastique. Dans cette
configuration, le comportement est adoucissant et dilatant et l'énergie bloquée diminue. Le point
représentatif du chargement rejoint ensuite l'état critique où le matériau entrera en plasticité parfaite.
Le comportement Cam_Clay ne peut produire un comportement continuement contractant/dilatant. Le
point représentatif du chargement est obligé de passer par l'état critique où l'ensemble des paramètres
d'écrouissage (déformation volumique plastique, pression critique, énergie bloquée) deviennent
stationnaires [bib2].
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: 33/34



6,00E+05
6,00E+05

5,00E+05
5,00E+05
Q=MP
4,00E+05
4,00E+05

Etat critique
)
a)
3,00E+05
3,
P 00E+05
Q(Pa
Q (
2,00E+05
2,00E+05

durcissement
1,00E+05
1,00E+05

0,00E+00
0,00E+00

0
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000
0,E+00 5,E-02
1,E-01
2,E-01
2,E-01
3,E-01
3,E-01 4,E-01
P (Pa)
eps1

6,00E+05

6,00E+05
5,00E+05
5,00E+05

4,00E+05
4,00E+05

radoucissement
état critique
3,00E+05
3,00E+05
Q(Pa)
Q(Pa)
2,00E+05
2,00E+05
1,00E+05
1,00E+05
élastique

0,00E+00
0,00E+00

0
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000
0,E+00
5,E-02
1,E-01
2,E-01
2,E-01
3,E-01

P(Pa)
eps1

6,00E+05
6,00E+05

5,00E+05
5,00E+05

Q=MP
4,00E+05
4,00E+05
)
état critique
3,00E+05
Pa 3,00E+05
Q(Pa)
Q(
2,00E+05
2,00E+05
durcissement
1,00E+05
1,00E+05
élastique
0,00E+00
0,00E+00
0
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000
0,E+00
5,E-02
1,E-01
2,E-01
2,E-01
3,E-01
P(Pa)
eps1
6,00E+05
6,00E+05
5,00E+05
5,00E+05
4,00E+05
4,00E+05
Q=MP
)
état critique
3,00E+05
3,00E+05
Q(Pa)
Q(Pa
2,00E+05
2,00E+05
1,00E+05
1,00E+05
élastique
0,00E+00
0,00E+00
0
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000
0,E+00 5,E-02 1,E-01 2,E-01 2,E-01 3,E-01 3,E-01 4,E-01
eps1
P(Pa)
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03/02/05
Auteur(s) :
J. EL GHARIB, G. DEBRUYNE
Clé :
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: 34/34


7 Bibliographie

[1]
I.B BURLAND, K.H. ROSCOE : On the generalized stress strain behaviour of wet clay,
Engineering plasticity Cambridge Heyman-Leckie, 1968.
[2]
Ph. A. CHARLEZ (Rapport Total) : Exemple de modèle poroplastique : le modèle de
Cam-Clay.
[3]
N. TARDIEU, I. VAUTIER, E. LORENTZ
: Algorithme non linéaire quasi-statique.
Documentation de référence Aster [R5.03.01].
[4]
J. LEMAITRE, J.L. CHABOCHE : mécanique des matériaux solides, Dunod 1985

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