Code_Aster ®
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7.4

Titre :

Relations de comportement 1D


Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, B. QUINNEZ, C. CHAVANT Clé
:
R5.03.09-B Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, SINETICS
















Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.09





Relations de comportement non linéaires 1D


Résumé :

Ce document décrit les quantités calculées par l'opérateur STAT_NON_LINE nécessaires à la mise en oeuvre de
l'algorithme non linéaire quasi statique décrit en [R5.03.01] dans le cas des comportements élastoplastiques ou
viscoplastiques mono-dimensionnels. Ces comportements sont applicables aux éléments de BARRE, aux
éléments de poutre et poutres multifibres (direction axiales seulement) et aux éléments d'armature de béton
(modélisation GRILLE).

Les comportements décrits dans ce document sont :

· le comportement de Von Mises à écrouissage isotrope linéaire : VMIS_ISOT_LINE, et quelconque
VMIS_ISOT_TRAC,
· le comportement de Von Mises à écrouissage cinématique linéaire : VMIS_CINE_LINE,
· le comportement de Von Mises à écrouissage linéaire, non symétrique en traction et compression :
avec restauration du centre du domaine élastique : VMIS_ASYM_LINE. Ce dernier a été développé
pour modéliser l'action du sol sur les Câbles à Isolation Gazeuse,
· le comportement de PINTO-MENEGOTTO qui permet de représenter le comportement élasto-plastique
uniaxial des armatures du béton armé. Ce modèle traduit la non linéarité de l'écrouissage des barres
sous chargement cyclique et prend en compte l'effet Bauschinger. Il permet de plus de simuler le
flambement des armatures en compression. Cette relation est disponible dans le Code_Aster pour les
éléments de barre et les éléments de grille,
· les comportements viscoplastiques du LMA-RC et de J.Lemaître, utilisable par ASSE_COMBU dans la
direction axiale des éléments de poutre.

La résolution est faite dans tous les cas par une méthode d'intégration implicite à partir de l'instant de calcul
précédent, on calcule le champ de contraintes résultant d'un incrément de déformation, et le comportement
tangent qui permet de construire les matrices tangentes.

On décrit enfin une méthode, similaire à la méthode due de Borst [R5.0303] permettant d'utiliser tous les
comportements disponibles en 3D dans les éléments 1D.
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Table
des
matières

1 Utilisation des relations de comportement 1D .......................................................................................3
1.1 Relations de comportement 1D dans le Code_Aster ......................................................................3
1.2 Notations générales.........................................................................................................................3
1.3 Changement de variables................................................................................................................4
1.3.1 Calcul des déformations (petites déformations).....................................................................4
1.3.2 Calcul des efforts généralisés (contraintes intégrées) ...........................................................4

2 Relation de comportement de Von Mises à écrouissage isotrope linéaire : VMIS_ISOT_LINE ou
quelconque : VMIS_ISOT_TRAC ...........................................................................................................5
2.1 Equations du modèle VMIS_ISOT_LINE........................................................................................5
2.2 Intégration de la relation VMIS_ISOT_LINE...................................................................................6
2.3 Variables internes ............................................................................................................................8
3 Relation de comportement de Von Mises, écrouissage cinématique linéaire 1D : VMIS_CINE_LINE9
3.1 Equations du modèle VMIS_CINE_LINE........................................................................................9
3.2 Intégration de la relation VMIS_CINE_LINE.................................................................................10
3.3 Variables internes ..........................................................................................................................12
4 Relation de comportement de Von Mises à écrouissage linéaire asymétrique : VMIS_ASYM_LINE ..13
4.1 Equations du modèle VMIS_ASYM_LINE.......................................................................................13
4.1.1 Comportement asymétrique en traction et en compression ................................................13
4.2 Intégration du comportement VMIS_ASYM_LINE ..........................................................................15
4.3 Variables internes ..........................................................................................................................16
5 Modèle de PINTO_MENEGOTTO...........................................................................................................17
5.1 Formulation du modèle..................................................................................................................17
5.1.1 Chargement monotone.........................................................................................................17
5.1.2 Chargement cyclique............................................................................................................18
5.1.3 Cas du flambage inélastique ................................................................................................21
5.2 Implantation dans le Code_Aster ..................................................................................................23
5.3 Variables internes ..........................................................................................................................25
6 Relation de comportement de LEMAITRE (ASSE_COMBU) .................................................................26
6.1 Formulation du modèle..................................................................................................................26
6.2 Intégration implicite........................................................................................................................27
6.3 intégration semi-implicite ...............................................................................................................28
6.4 Variables internes ..........................................................................................................................30
6.5 Identification des paramètres du modèle ......................................................................................30

7 Relation de comportement du LMA-RC (ASSE_COMBU) .....................................................................31
7.1 Formulation du modèle..................................................................................................................31
7.2 Intégration implicite........................................................................................................................32
7.3 Variables internes ..........................................................................................................................33
7.4 Identification des paramètres du modèle ......................................................................................33

8 Méthode pour utiliser en 1D tous les comportements 3D ...................................................................34
9 Bibliographie ........................................................................................................................................36
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1
Utilisation des relations de comportement 1D

1.1
Relations de comportement 1D dans le Code_Aster

Les relations traitées dans ce document sont :

VMIS_ISOT_LINE :
Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire symétrique
VMIS_ISOT_TRAC :
Von Mises avec écrouissage isotrope quelconque
GRILLE_ISOT_LINE:
Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire symétrique
VMIS_CINE_LINE :
Von Mises avec écrouissage cinématique linéaire symétrique
GRILLE_CINE_LINE
Von Mises avec écrouissage cinématique linéaire symétrique
VMIS_ASYM_LINE :
Von Mises avec écrouissage linéaire asymétrique et restauration
PINTO_MENEGOTTO :
Comportement des armatures de béton armé
GRILLE_PINTO_MEN:
Comportement des armatures de béton armé
ASSE_COMBU
Comportement viscoplastique des assemblages combustibles :
Modèle de LEMAITRE ou du LMA-RC

Ces relations de comportement (incrémentales) sont données dans l'opérateur STAT_NON_LINE
[U4.51.03] sous le mot clé facteur COMP_INCR, par le mot clé RELATION [U4.51.03]. Elles ne sont
valables qu'en petites déformations.

On décrit pour chaque relation de comportement le calcul du champ de contraintes à partir d'un
incrément de déformation donné (cf. algorithme de Newton [R5.03.01]), le calcul des forces nodales
R et de la matrice tangente K ni .

1.2 Notations
générales

Toutes les quantités évaluées à l'instant précédent sont indicées par - .
Les quantités évaluées à l'instant t + t
ne sont pas indicées.
Les incréments sont désignés par . On a ainsi :

Q =
(
Q + ) = Q-( ) + Q = Q-
t
t
t
+ Q
.


tenseur des contraintes (en 1D, on ne s'intéresse qu'à l'unique composante
non nulle uniaxiale).
~
1

opérateur déviateur : ~
ij = ij - kk ij .
3
( )


valeur équivalente de Von Mises, égale en 1D à la valeur absolue
eq


incrément de déformation.


A
tenseur d'élasticité, égal en 1D au module d'Young E

, µ, E, K
coefficients de l'élasticité isotrope.


coefficient de dilatation thermique sécant.

T
température.

( )

partie positive.
+
p
déformation plastique cumulée
p

déformation plastique

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1.3
Changement de variables

Quel que soit le type d`élément fini faisant référence à une loi de comportement 1D, il faut effectuer un
changement de variables pour passer des quantités élémentaires (efforts, déplacements) aux
contraintes et déformations.

1.3.1 Calcul des déformations (petites déformations)

Pour chacun des éléments finis du Code_Aster, dans STAT_NON_LINE, l'algorithme global (Newton)
fournit à la routine élémentaire, qui intègre le comportement, un accroissement du champ de
déplacement.

Pour les éléments de barre, on calcule la déformation (une seule composante axiale) par :

(
u l) - (
u )
0
=
,
l

et l'accroissement de déformation par :

(
u l) - (
u )
0
=
,
l

Pour les éléments de grille (modélisations GRILLE et GRILLE_MEMBRANE), on calcule la déformation
membranaire comme pour les éléments de coques DKT. Simplement, une seule direction correspond
physiquement aux directions d'armatures. On se retrouve donc en présence d'un comportement 1D.

D'autre part, en petites déformations, pour tous les modèles décrits dans ce document, on écrit pour
tout instant la partition des déformations sous la forme d'une contribution élastique, de dilatation
thermique, et de déformation plastique :

(t)
= e(t) + th(t) + p(t), avec
e(
1
t) =
-
A 1(T(t) (t) =
t
E(T) ( )
th(t) = (T(t) (T(t) - Tref ) Id

1.3.2 Calcul des efforts généralisés (contraintes intégrées)

Après intégration du comportement 1D, il faut intégrer la composante de contraintes obtenue, pour
fournir à l'algorithme global (Newton) un vecteur contenant les efforts généralisés.

Pour les éléments de barre, on calcule l'effort (uniforme dans l'élément, en supposant que la section
est constante) par :
N = S. ,

et le vecteur force nodale équivalente (comme pour les éléments de poutre, [R3.08.01]) par :

- N
F = N



Pour les éléments de GRILLE, on calcule les efforts comme pour les éléments de coques DKT (efforts
membranaires) par intégration des contraintes dans l'épaisseur (une seule couche et un seul point
d'intégration).
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2
Relation de comportement de Von Mises à écrouissage
isotrope linéaire

: VMIS_ISOT_LINE ou quelconque
:
VMIS_ISOT_TRAC

2.1
Equations du modèle VMIS_ISOT_LINE

Elles sont la restriction du comportement 3D [R5.03.02] au cas uniaxial :


~
p
3


& =
p&
= p&

2
eq


= - p
- th

E

eq - R(p)= - R(p)

0
p& = 0 si eq - R(p)< 0

p& 0 si eq - R(p)

= 0
avec :


·
&p :
vitesse de déformation plastique,
·
p :
déformation plastique cumulée,

·
th = (T -
déformation thermique,
re
T f ) :
E.E

·
R( p)
T
=
. p + :
E - E
y
fonction d'écrouissage linéaire isotrope, ou bien R(p) affine par
T
morceaux, déduite de la courbe de traction.

Dans le cas VMIS_ISOT_LINE, les données des caractéristiques de matériaux sont celles fournies
sous le mot clé facteur ECRO_LINE ou ECRO_LINE_FO de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].

/ ECRO_LINE = ( D_SIGM_EPSI = ET , SY = y )
/ ECRO_LINE_FO = ( D_SIGM_EPSI = ET , SY = y )

Dans le cas VMIS_ISOT_TRAC, les données des caractéristiques des matériaux sont fournies sous le
mot clé facteur TRACTION de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].

TRACTION = _F (SIGM = courbe_traction)

courbe_traction représente la courbe de traction, point par point. Le premier point permet de
définir la limite d'élasticité y et le module d'Young E [R5.03.02].
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ECRO_LINE_FO correspond au cas où ET et y dépendent de la température et sont alors calculés
pour la température du point de Gauss courant. Le module d'Young E et le coefficient de Poisson
sont ceux fournis sous les mots clés facteurs ELAS ou ELAS_FO. Dans ce cas la courbe de traction est
la suivante :

L


E

T

y





E
L






y
L = E L
si L <

E



.
y


y
L = y + ETL - si L


E
E


Lorsque le critère est atteint on a :



L
L - R( p)
= 0 , donc L - R L -


E = 0, d'où :
E E
R( p)
T
=
p + = H. p +
E - E
y
y
T

Dans le cas d'une courbe de traction, la démarche est identique à [R5.03.01].

2.2
Intégration de la relation VMIS_ISOT_LINE

Par discrétisation implicite directe des relations de comportement, de façon analogue à l'intégration 3D
[R5.03.02] on obtient :

-
+ -R( -
p +p) 0


-


th
E
+
E( - )- ( -
+ )+
-
= Ep

-
-
E
+


p
-
0 si + = R( -
p +p)

p =
-
0 si + < R( -
p +p)


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Deux cas se présentent :

th

·
-


R( -
+
<
p + p) dans ce cas p = 0 soit = (
- )
-
+

-


donc
-

+ (
- th
)<R( -
p

-
),

·
-


R( -
+
=
p + p) dans ce cas p 0
-

donc
+ (
- th
)R( -
p
-
).


On en déduit l'algorithme de résolution :
-
posons e
=
+

-
(
th

-
)

si e R(p-) alors
p

= 0 et = ( - th)
si e > R( p- ) alors il faut résoudre :
-
e
-
+


= +
+ E p
-

+




e
E p
= 1 +

-


-
( + )

+


donc en prenant la valeur absolue :




e
E p
= +
-
1




+

+
-
soit, en utilisant -


R( -
+
=
p + p).

e
= R(p-

+ p
)+E p


On en déduit donc :
e
- ( + Hp-
y
)
· dans le cas d'un écrouissage linéaire : p
=

E + H
· et dans le cas d'un écrouissage quelconque, la courbe R(p) étant affinée par morceaux, on
résout directement l'équation en p
:
p
+ R(p-
E
+ )
e
p = de la même façon qu'en
3D [R5.03.02].
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Remarquons au passage que :
e

=

e
R( p)
alors
e
e
= (- +
) =
R(p) =

e
E p
1 + R(p)

De plus, l'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente Ki à chaque itération.
L'opérateur tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent.
On obtient directement :

e
-

si > R(p )
= ET


sinon
= E

Remarque :

L'option
0
RIGI_MECA_TANG qui permet de calculer la matrice tangente Ki utilisée dans la
phase de prédiction de l'algorithme de Newton, tient compte de l'indicateur de plasticité à
l'instant précédent :


· si = 1
= T
E


· si = 0
= E



2.3 Variables
internes

La relation de comportement VMIS_ISOT_LINE produit deux variables internes : p et .
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3
Relation de comportement de Von Mises, écrouissage
cinématique linéaire 1D : VMIS_CINE_LINE


3.1
Equations du modèle VMIS_CINE_LINE

Elles sont la restriction du comportement 3D ([R5.03.02] et [R5.03.16]) au cas uniaxial. Le
comportement 3D s'écrit :

= K ( - p - th) avec K opérateur d'élasticité
X
p
= C
(
3 ~ ~
F , R, X) = (~ - X) -
avec
A
=
A A
eq
y
eq

2
F
~
p
3
- X
& = &p
= &p



2
(~ - X)eq
si

F<0
&p = 0


si
F

= 0
&p 0

Dans le cas uniaxial, les tenseurs s'écrivent :

2 3

~
3
= D
X =
D
p
X
= p D
avec
D =
-


1 3

2


- 1
3

Tant que le chargement est monotone, on obtient immédiatement les relations suivantes :

3
3
E. E
p
p
=
X = C p

= C p
+
T
y = F( ) = y +
p
2
2
E - ET

2 EET
EE
3
C est déterminée par : C =
. On pose : H
T
=
= C
3 E - ET
E - ET
2
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La relation de comportement 1D s'écrit alors :

p
- X
& = p&

- X

= (- th
- p
)
E

3
X =
p
C =
p
H

2
- X - y 0

p& = 0 si - X - y< 0

p& 0 si - X - y = 0







Les données des caractéristiques de matériaux sont celles fournies sous le mot clé facteur
ECRO_LINE ou ECRO_LINE_FO de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01] :

/ ECRO_LINE = ( D_SIGM_EPSI = ET , SY = y )
/ ECRO_LINE_FO = ( D_SIGM_EPSI = ET , SY = y )

3.2
Intégration de la relation VMIS_CINE_LINE

Par discrétisation implicite directe des relations de comportement, de façon analogue à l'intégration 3D
([R5.03.02] et [R5.03.16]) on obtient :




-
+ - -
X - X - y 0

E p
= E( - th
)- ( -
+ ) E -

+

-

E

-
+ - -
X - X
p
= p


-
+ - -
X - X


-
X
X

-
= p


-
H
H

-
-
p 0 si + - X - X = y

-
-
p = 0 si + - X - X < y

avec
th
= (T -
-
-
ref
T
)- (T - ref
T
)
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Deux cas se présentent :

·
-

-
+ - X - X < y dans ce cas p = 0 soit
=( - th
) E - H -
+
-
X
-
-
E
H
E
H
donc
-
-

- X
+ - th

< R p
-
(
) ( -
-
),
E
H

· sinon p 0 .

E
-
H
Pour simplifier les écritures on posera : e
=
-
X - + E
.
-
-
(
th

-

)
E
H

On en déduit l'algorithme de résolution :

e
H
th
E
· si
y alors p = ,
0
-
X = X
, = E -
+

-
(
)
- .
-
H
E
· sinon il faut résoudre :


p
th
e
-
- H
E = E ( - ) - = - ( + )+ X
-

H

-
+ - -
X - X
p
- X
= p
= p

-
+ - -
X - X
- X


H
-
p

X -
X =
H
-

H
-
+ - -
X - X - y = 0





H
Remarquons que :
-
p
X = X - H

. On déduit alors de la première équation :
H -
e
p
= - X + (E + H )


On obtient donc, en éliminant - X de la deuxième équation :

p
e
p
= (

E + H)p + y

En remplaçant p dans la relation entre e et - X , on obtient :




-
y
X = e


(E + H) p
+ y

En prenant la valeur absolue des deux membres de l'équation précédente, on trouve p :

(E H) p
e
+
+ y =
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Une fois p déterminé , on peut calculer :

e
p

= p

e
-
e
-
HX

X = X + X
=
+ H p

-

e
H


- X
e
et en utilisant : =
, on obtient directement :
e
y

e
= y
+ X
e

De plus, l'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente K i à chaque itération.
L'opérateur tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent.
On obtient directement :

e
-

si > R(p )
= ET


sinon
= E

L'option
0
RIGI_MECA_TANG qui permet de calculer la matrice tangente K i utilisée dans la phase de
prédiction de l'algorithme de Newton est obtenue à l'aide de l'indicateur de plasticité -
de l'instant
précédent :


· si -
=1 alors
= T
E



· si -
= 0 alors
= E




3.3 Variables
internes

La relation de comportement VMIS_CINE_LINE produit deux variables internes : X et .
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4
Relation de comportement de Von Mises à écrouissage
linéaire asymétrique : VMIS_ASYM_LINE


4.1
Equations du modèle VMIS_ASYM_LINE

4.1.1 Comportement
asymétrique
en traction et en compression

C'est un comportement découplé en traction et compression, construit à partir de VMIS_ASYM_LINE,
mais avec des limites d'élasticité et des modules d'écrouissage différents en traction et en
compression. Nous adoptons un indice T pour la traction et C pour la compression. Le comportement
élastique en traction et compression est identique et caractérisé par le même module d'Young. Il y a
deux domaines d'écrouissage isotrope définis par RT et RC. Les deux domaines sont indépendants l'un
de l'autre.

YT
limite d'élasticité en traction. En valeur absolue.
YC
limite d'élasticité en compression. En valeur absolue.
pT
Variable interne en traction. Valeur algébrique.
pC
Variable interne en compression. Valeur algébrique.
ETT
Pente d'écrouissage en traction.
ETC
Pente d `écrouissage en compression.

Les équations du modèle de comportement sont :


·
678
&p = & - -

1
- &th

&p = &p p
C + &
T

p

&C = &pC


p

&T = &pT


- T
R ( pT ) 0


- - RC ( pC ) 0

avec

&pC = 0 si - - C
R ( pC ) <

0

&pC 0 si - = C
R ( pC )


&pT = 0 si - T
R
0

(pT)<

&pT 0 si = RT ( pT )






Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Relations de comportement 1D


Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, B. QUINNEZ, C. CHAVANT Clé
:
R5.03.09-B Page
: 14/36


& p : vitesse de déformation plastique en compression, p
C
& :
T vitesse de déformation plastique en traction,
th :déformation d'origine thermique : th = (T - re
T f ).

On remarque que l'on ne peut avoir simultanément plastification en traction et en compression : soit
&pC = 0 , soit &pT = 0, soit les deux sont nulles.

Les données des caractéristiques de matériaux sont celles fournies sous le mot clé facteur
ECRO_ASYM_LINE de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].

ECRO_ASYM_LINE = _F ( DT_SIGM_EPSI = HT, ETT ,
SY_T = yT ,
DC_SIGM_EPSI = HC, ETC ,
SY_C = yC , )

Le module d'Young E est fourni sous les mots clés facteurs ELAS ou ELAS_FO.

On calcule les fonctions d'écrouissage par :

E
E
R ( p)
TT
=
p +
= H . p
T
+
E - E
T
yT
T
T
yT
TT
E
E
R ( p)
TC
=
p +
= H . p
C
+
E - E
C
yC
C
C
yC
TC

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J.M. PROIX, B. QUINNEZ, C. CHAVANT Clé
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: 15/36


4.2
Intégration du comportement VMIS_ASYM_LINE

Par discrétisation implicite directe de la relation de comportement asymétrique, de façon analogue à la
précédente, on obtient :




p = p
p
T + C

p
th

= - - E


- +
pT = pT

- +
(- +

)-
-
-
T
R (pT + pT ) 0
p 0
si
-
-
-
T
( + )- TR(pT + pT ) = 0

p = 0
si
-
-
-
T

( + )- TR(pT + pT ) < 0



- +
pC = pC

- +

- ( - + ) -
-
-
C
R (pC + pC ) 0

p
0
si - ( - +
) - RC( -
pC +
-
pC )
C
= 0


pC = 0
si - ( - +
) - RC( -
pC +
-
pC ) < 0




L'intégration est similaire à celle de VMIS_ISOT_LINE pour chacune des directions de traction et de
compression. Il faut bien voir que les centres des domaines d'élasticité sont des données (calculées
explicitement au pas précédent) pour le problème incrémental à résoudre.

Quatre cas se présentent :

· - th > 0 :
on pose e
-
th
T =
+ E(
-

)

-
e
e
T <
-
T
R (pT ) dans ce cas pT = 0 donc = T et = E
- sinon
:
e
-
T - ( + H p
yT
T T )
p =
, p
T
= 0
E + H
C
T
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e
e
T

=
= T R p
E p


e
T ( T )
T

1 +
T
T
R (pT )

= ETT

· - th < 0
on pose e
-
th
C =
+ E(
-

)

-
- e <
e
C
R ( -
C
pC ) dans ce cas pC = 0 donc = C et = E
- sinon
:
e
-
C - ( + H p
yC
C C )
p =
, p
C
= 0
E + H
T
C
e
e
C

=
= C R p
E p


e
C ( C )
C

1 +
C
C
R (pC )

= ETC

Remarque :

La matrice tangente initiale (option RIGI_MECA_TANG) est prise égale à la matrice élastique.


4.3 Variables
internes

La relation de comportement VMIS_ASYM_LINE produit 2 variables internes : pC pT .

Elle n'est pas utilisable pour les éléments de grille

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5 Modèle
de
PINTO_MENEGOTTO

Le modèle présenté dans ce chapitre décrit le comportement 1D des aciers d'armatures du béton
armé [bib1]. La loi constitutive de ces aciers est composée de deux parties distinctes : le chargement
monotone composé de trois zones successives (élasticité linéaire, palier plastique et écrouissage) et
le chargement cyclique dont la formulation analytique a été proposée par A. Giuffré et P. Pinto en 1973
[bib2] et a été ensuite développée par M. Menegotto [bib3].

Au cours des cycles, le trajet de chargement entre deux points d'inversion (demi-cycle) est décrit par
une courbe d'expression analytique du type = f () . L'intérêt de cette formulation est que la même
équation pilote les courbes de charge et de décharge (voir par exemple les figures [Figure 5.1.1-a] et
[Figure 5.1.1-b]). Les paramètres attachés à la fonction f sont réactualisés après chaque inversion
de chargement. La réactualisation de ces paramètres dépend du trajet effectué dans la zone plastique
au cours du demi-cycle précédent.

Par ailleurs, ce modèle peut traiter le flambage inélastique des barres (G. Monti et C. Nuti [bib4]).
L'introduction de nouveaux paramètres dans l'équation des courbes permet alors de simuler
l'adoucissement de la réponse contrainte-déformation en compression.


5.1
Formulation du modèle

5.1.1 Chargement
monotone

Ce chapitre décrit le premier chargement que subit la barre, c'est à dire la partie précédant l'activation
de la courbe de Giuffré [Figure 5.1.1-a].
La courbe de traction monotone de l'acier est typiquement décrite par les trois zones successives
suivantes :

· L'élasticité linéaire, définie par le module d'Young E et la limite d'élasticité y .

=
E (zone 1, [Figure 5.1.1-a])

· Le palier plastique, compris entre la déformation élastique limite 0y et la déformation
d'écrouissage h , limite supérieure du plateau en déformation. Au cours du palier la
contrainte reste constante.

= 0y (zone 2, [Figure 5.1.1-a])

· L'écrouissage, décrivant la courbe de traction jusqu'au point ultime de contrainte et de
déformation, (u ,u ) . Cette partie est représentée par un polynôme du quatrième degré :


4
0
u -
= - ( - )

u
u
y
(zone 2, [Figure 5.1.1-a])
u - h
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La pente d'écrouissage (utilisée par la suite, pour le comportement cyclique) est ici définie par :

0
u - y
Eh =
0 . C'est la pente moyenne des zones 2 et 3 de la figure suivante.
u - y

u
0y
zone 3
zone 2
zone 1
0




y
h
u

Figure 5.1.1-a


5.1.2 Chargement
cyclique

On se place maintenant dans le cas où la barre subit une décharge consécutive au premier
chargement. Deux cas se présentent alors :

· la position de départ se situe dans la zone élastique. La décharge reste dans ce cas
élastique,
· la position de départ se situe dans la zone plastique ( 0y ). La réponse est tout d'abord
élastique, puis, pour une certaine valeur de la déformation, la décharge devient non linéaire
[Figure 5.1.2-a] (ceci est vrai pour une décharge à partir de la zone 2 ou de la zone 3).

La relation que doit satisfaire la déformation pour que la courbe de Giuffré soit activée est la suivante :

0
max - > y , avec
.
3 0
max la déformation maximale atteinte en charge.

Dès que l'on a franchi cette limite à la première décharge, c'est le comportement cyclique (courbe de
Giuffré [Figure 5.1.2-a]) qui est activé.
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décharge élastique
0y
3

max
décharge non linéaire:
activation de la courbe de
Giuffré

Figure 5.1.2-a


5.1.2.1 Présentation du n-ième demi-cycle

L'allure de la courbe du n-ième demi-cycle dépend de l'excursion plastique effectuée au cours du
demi-cycle précédent. On définit les quantités suivantes [Figure 5.1.2.1-a] :

ny : Limite d'élasticité du n-ième demi-cycle. (Calcul explicité au [§5.1.2.2])
n-1
r
: Contrainte au dernier point d'inversion (contrainte maximale atteinte au n-1ième demi-cycle).
n-1
r
: Déformation au dernier point d'inversion (déformation maximale atteinte au n-1ième demi-cycle).
n - n-1
n
n
n
n
y
r
-1
y : Déformation correspondant à y : y = r
+

E
f (t) : Excursion plastique du n-ième cycle
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n-1
p

n-1
n-1
(n- ,1 n-1
( ,
r
)
r
n-1
y )
y
n-1
Eh
n+1

n
Eh
( n , n
y
)
y
(n, n
r )
r
np

Figure 5.1.2.1-a

5.1.2.2 Loi
d'écrouissage

Le modèle est basé sur une loi d'écrouissage cinématique. Les branches des demi-cycles sont
comprises entre deux asymptotes de pente Eh (pente d'écrouissage asymptotique).
On détermine donc n
n
n-1
n-1
n-1
y de la façon suivante : y = y
.
(
sign - p ) +

où la fonction
(
sign x) = ­1 si x<0 et 1 si x>0 et où n-1 est l'incrément de contrainte plastique du demi-cycle
précédent [Figure 5.1.2.1-a] qui est défini par : n-1
n
E
-
=
1
h p
.
Pour chaque demi-cycle on détermine donc n
n-1
n-1
n
y en fonction de y
et p , on en déduit y , puis
on calcule le demi-cycle suivant (par la loi de comportement ci-dessous). La déformation maximale (en
valeur absolue) atteinte avant de changer de sens permettra de calculer l'excursion plastique
n
n
n
p = r - y .
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5.1.2.3 Description analytique des courbes = f ()

L'expression choisie dans le modèle pour décrire les courbes de chargement est la suivante :




1 -

b

* = b * +
1 R


(
*
1 + ( )
/
* R )

E
Avec b
h
=
rapport de la pente d'écrouissage sur la pente d'élasticité.
E

- n-1
* =
r
n
n 1
y - -
r
- n-1
* =
r

n
n 1
y - -
r
n-1
n-
p
1
p
= n n 1
y - -
r

La grandeur R permet de décrire l'allure de la courbure des branches. Elle est fonction du trajet
plastique effectué au cours du demi-cycle précédent :

A1.
R() = R0 - g() où g() =

A2 +

Les paramètres R , A et A
0
1
2 sont des constantes sans unité dépendant des propriétés mécaniques
de l'acier. Leurs valeurs sont obtenues expérimentalement et Menegotto [bib3] propose :

R = 20 0
.
A = 18 5
.
A
0
1
2 = 0 1
. 5

5.1.3 Cas du flambage inélastique

Monti et Nuti [bib4] montrent que pour un rapport entre la longueur L et le diamètre D de la barre
inférieur à 5, la courbe de compression est identique à celle de traction. Par contre, lorsque L / D > 5
on observe un flambement de la barre. Dans ce cas la courbe de compression dans la zone plastique
a un comportement adoucissant. Le modèle disponible dans le Code_Aster permet de décrire
également ce phénomène.

On définit les variables suivantes [Figure 5.1.3-a] :

E0 : Module d'Young élastique initial (correspondant à E sans flambage).
bc : Rapport de la pente d'écrouissage sur la pente élastique en compression.
bt : Rapport de la pente d'écrouissage sur la pente élastique en traction (recharge après compression
avec flambage).
Er : Module d'Young réduit en traction (pente de la courbe de recharge après compression avec
flambage).
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s
E

b × E
c
5
ny
b × E
E

r
s

Figure 5.1.3-a

5.1.3.1 Compression

On introduit une pente négative b
E
c ×
, où bc est défini par :


E

b

' 0


b = a(5 0
. -

-
L / D) e
y

c


0y
Avec
n
= 4 0
.
et ' = max
le plus grand trajet plastique effectué au cours du
L / D
(p )
chargement.

Il faut ensuite, comme dans le modèle sans flambage, déterminer ny . La méthode est identique, mais
on ajoute une contrainte complémentaire *s afin de positionner correctement la courbe par rapport à
l'asymptote [Figure 5.1.3-a].

-

b
*
c
b
.
110 - L / D
s = s b E
s est donné par : s =

cL/ D
1 - c
b
(
10 e
- .1 )0
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Et on a donc : n
n
*
y = ( y )
+
sans flambage
s
n - n-1
r
Ceci modifie aussi la valeur de n
n
y
-1
y = r
+

E

5.1.3.2 Traction

Lors du demi-cycle en traction suivant on adopte un module d'Young réduit définit par :


-a 2

E = E a
6
0
5 + (10
. - a5) (
p )
e
avec a5 10
.
(50. L / D
r
)




=
+
-
/ 7 5
.

Remarque :

Les paramètres a,c et a6 sont des constantes (sans unité) dépendant des propriétés
mécaniques de l'acier et sont déterminées expérimentalement. Les valeurs adoptées par
Monti et Nuti [bib4] sont :

a = 0 006
.
c = 0 500
.
a = 620 0
6
.

5.2
Implantation dans le Code_Aster

Ce modèle est accessible dans le Code_Aster à partir du mot clé COMP_INCR
(RELATION = 'PINTO_MENEGOTTO') ou (RELATION = 'GRILLE_PINTO_MEN') de la commande
STAT_NON_LINE [U4.51.03]. L'ensemble des paramètres du modèle sont donnés via la commande
DEFI_MATERIAU (mot clé facteur PINTO_MENEGOTTO) [U4.43.01]. On répertorie ici les paramètres
intervenant dans le modèle :

Paramètre du modèle
Intervient dans
valeur adoptée par défaut dans Aster
0
Premier chargement
_
y

Premier chargement
_
u

Premier chargement
_
u

Premier chargement
_
h
E
Cycles
Si aucune valeur n' est entrée on prend la
b
h
=

valeur calculée au premier chargement
E
R
Cycles 20
0
a
Cycles 18.5
1
a
Cycles 0.15
2
L / D
Cycles avec flambage
4 (pour être par défaut hors flambage)
(si L / D >5)
a
Flambage 620
6
c Flambage
0.5
a Flambage
0.006
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R5.03.09-B Page
: 24/36


Les paramètres R ,a ,a ,a ,c et a
0
1
2
6
dépendent des propriétés mécaniques de l'acier et sont
déterminés expérimentalement. Les valeurs adoptées par défaut dans le Code_Aster sont celles
proposées dans la littérature [bib1].
E
On donne en [Figure 5.2-a] une comparaison du modèle suivant la valeur de b
h
=
pour deux
E
valeurs : b = 0 0
. 1 et b = 0 001
.
.

EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
ESSAI CHARGEMENT THERMIQUE ET CYCLIQUE SUR UNE BARRE (ELEMENT MECA_BARRE)
de France
COMPORTEMENT ELASTO-PLASTIQUE
x
4
10
10
MODELE DE PINTO-MENEGOTTO
SANS FLAMBAGE.
COMPARAISON ENTRE DEUX VALEURS DE B
5
(
N)
MAL
NOR
T
0
B=0.001
FFOR
B=0.01
E
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40x10-4
DEFORMATION THERMIQUE
agraf 29/06/98 (c) EDF/DER 1992-1998

Figure 5.2-a
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: 25/36


On donne en [Figure 5.2-b] une comparaison du modèle sans flambage et du modèle avec flambage.

EDF
Département Mécanique et Modèles Numériques
Electricité
ESSAI TRACTION-COMPRESSION CYCLIQUE SUR UNE BARRE (MECA_BARRE)
de France
x
4
10
10
MODELE PINTO-MENEGOTTO
COMPARAISON DU MODELE SANS FLAMBAGE
ET DU MODELE AVEC FLAMBAGE.
5
)
N
(
MAL
NOR
T
0
P.M. AVEC FLAMBAGE
FFOR
P.M. SANS FLAMBAGE
E
-5
-2
-1
0
1
2
3
4x10-3
DEFORMATION THERMIQUE (-ALPHA*DT)
agraf 29/06/98 (c) EDF/DER 1992-1998

Figure 5.2-b

5.3 Variables
internes

Elles sont au nombre de 8, et définies par :

V1 =
n-1
r
V 2 =
n
r
V 3 =
n
r
V 4 =
-
+ -(T - -
T )
V 5 = - (T - -
T )

V 6 = cycl
= 0
comporteme

le

si
n'

cyclique

nt
activ

pas

est
é
= 1
contraire

cas

le

dans
V 7 =
= 0
lin

évolution

une

à

correspond

temps

de

pas

le

si
éaire
= 1
(indicateu

contraire

cas

le

dans
r
plasticité

de

)
V 8 = indicateur
flambage

de


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6
Relation de comportement de LEMAITRE (ASSE_COMBU)

Le modèle présenté dans ce chapitre décrit le comportement viscoélastique non linéaire 1D de
J. Lemaître développé pour la modélisation des assemblages combustibles, et applicable aux
éléments de poutres, dans la direction axiale, avec le comportement ASSE_COMBU [bib6].

6.1
Formulation du modèle

Les équations sont les suivantes :


vp


& = p&



n


Q

-



&
RT


p& =
. e
.


+ L
1 1
Q
1





K
, n > ,
0
,
,
0
0




0


m


p
K m
R




vp
g
th
= & - & - & -

&
E

Les coefficients sont fournis sous le mot clé LEMAITRE de DEFI_MATERIAU et
& est le flux
neutronique (dérivée de la fluence par rapport au temps).

g
(t) = (aT + b).((x, y, z )s
).

Remarques :

20
2
· Le flux neutronique &(x, y, z) s'exprime obligatoirement en 10 n/cm /s. Ceci implique
que les unités des autres grandeurs sont fixées :
-
E, K, sont en MPa,
-
les temps sont en secondes,
-
les coordonnées en mm
-
Q
T ,
en Kelvin
R

Deux types d'intégrations sont disponibles suivant la valeur du mot clé PARM_THETA :

· l'intégration purement implicite, si PARM_THETA =1.0 (valeur par défaut)
· l'intégration semi- implicite, si PARM_THETA =0.5

Seules ces deux valeurs sont autorisées.
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: 27/36


6.2 Intégration
implicite

Par discrétisation implicite directe des relations de comportement, on obtient :


-
vp
+
=p

-
+



n
-

Q


+



RT
-
-
p=
. e
( - )

+ L

.

1



t
K0t


( -
p + p)m







-

-
= - vp
- g
- th



-
E
E
avec
th
-
-
= T
( )(T -Tref )- T
(
)(T -Tref )

s
g
= ( +
aT + b)( )s
. - (- ). ( -
aT + b)





On peut se ramener là encore à une seule équation scalaire non linéaire en p , en posant :

e
E
=
- + E
-
( - g
- th
)
E
alors le système se réduit à :



n


Q

1



-

RT


p=
. e
+ L .

1



t


K
-
K0t


m

(p + p)








e
vp



E p
= +
E = +
E p
= 1+









et en prenant la valeur absolue des deux membres de la dernière équation, on obtient :
e = + E p

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Relations de comportement 1D


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Auteur(s) :
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ce qui conduit à résoudre l'équation :

n

e

- E p
Q




1

-





p
=
. e RT
+ L . t



K
1

0
(




-


p + p
)
K
t
m




Une fois cette équation résolue (par une méthode de recherche de zéro de fonction scalaire), on
e

E p

obtient les contraintes par : =
= e 1-



1


e
E p

+

e - E p


6.3 intégration
semi-implicite

De fait, en élastoplasticité, on utilise l'intégration implicite des modèles de comportement, car la
convergence vers la solution du problème continue en temps, est excellente, et conduit de plus à des
schémas inconditionnellement stables.

Pour des comportements viscoélastiques ou viscoplastiques, faisant intervenir explicitement le temps
physique, la discrétisation implicite mène toujours à des schémas inconditionnellement stables, mais la
convergence vers la solution n'est plus aussi rapide. Il est préférable d'utiliser alors une intégration
semi-implicite . C'est le choix que nous avons fait ici, suivant en cela l'intégration du modèle de
Lemaître dans Aster et dans Cyrano3 [bib5]. La méthode mise en oeuvre ici n'est pas une
theta-méthode générale : elle ne fonctionne que pour theta=0.5. Elle permet toutefois d'obtenir des
résultats corrects. Pour plus de généralité, il faudrait utiliser une méthode plus sophistiquée, par
exemple la méthode de RUNGE KUTTA d'ordre 2 ou 4.

Ici, on écrit simplement :


-


+
vp
=p
2

-

+


2

n



Q



-
-


T
+


1

2
RT +

2





p=

e
.
+ L .
1


t






K

p
0
m

K t


-
p +








2


1
-
vp

g

th

-
=
-
-
-

-
2 E E
2
2
2
2
th = T
( )(T -Tref )-
-
T
(
)( -
T -Tref )

= (aT +b)( )s
g
. - ( )s
. . ( -
aT + b)



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-


On cherche à calculer +
. On peut écrire :
2
-

E -

E

E
vp

g

th
=
+
=
+
-
- E
- E

2
2
2
-
E
2
2
2
2
2
donc
-
-

E

g th
v
-





E

+
=
+
E

-
+
-
-
-

2
2
E
2
2
2
2
2

Comme précédemment, on résout en posant :

-
-
g
th



e
E




=
+
+ E
-
-

E - 2
2
2
2
2
alors le système se réduit à :

n


Q



-
-


T

+

p

1
2
RT

+





t

=
.
2
e
+ L .

2
1
K

K t



2



0
-
p






p
m
+




2






-


p




p
+
E
2

-
-

e



= +
+


E
1
2

2
2

2

-
= +



+

-

+

+

2

2


d'où :

p
e
-

= +
+ E

2
2

L'équation à résoudre est exactement de la même forme que l'équation implicite :

n


Q



-
e
p


T


p

1 - E
RT +
2





t

=
.
2
e
+ L .

2
1
K

K t

2


-



0

p



p
m
+




2



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Une fois cette équation résolue, on obtient les variables internes en multipliant par 2 la valeur obtenue
et les contraintes par :


E p
-


e

+
= 1-

2


e

-
-


+
= 2 +
-



2 -

On peut donc utiliser les mêmes routines de résolution que dans le cas implicite, en calculant
g th
simplement e en
,
,
.
2
2
2

Sur un test élémentaire de fluage (test SSNL109A), on obtient par la méthode semi-implicite un
résultat correct (à 0.02% de la solution analytique) si on utilise 2 pas de temps (au lieu de 100 pas de
temps nécessaires pour avoir une solution correcte avec intégration implicite).


6.4 Variables
internes

Deux variables internes sont calculées dans ce modèle : p et la fluence neutronique calculée au pas
de temps courant.


6.5
Identification des paramètres du modèle

Elle se fait à partir d'essais de fluage (essai uniaxial à contrainte imposée constante sous flux
neutronique constant). Par intégration des équations du modèle, on obtient alors :

m

Q

n+m
+ &

-
vp
(t) n m
n
=
RT
+ L e


m K


0





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7
Relation de comportement du LMA-RC (ASSE_COMBU)

Le modèle présenté dans ce chapitre décrit le comportement viscoplastique 1D du LMA-RC
(Laboratoire de Mécanique Appliquée R.Chaléat de Besançon) développé pour la modélisation des
assemblages combustibles, et applicable aux éléments de poutres, dans la direction axiale, avec le
comportement ASSE_COMBU [bib6].

7.1
Formulation du modèle

Le modèle élasto-viscoplastique développé au LMA-RC pour décrire le comportement orthotrope des
tubes de gaines du crayon combustible [R5.03.10] s'écrit en 1D isotrope :

}

= & - v p
&
- g
& - th
&
E
v p
&
= p& .

( - X )
=

- X


n



- X

p& = &0 sin h







K






m

X
X& = q(Y(p) v p
( )
&
- (X - X 1 )p&)


-
X
r sinh

m





X 0

X








( )
X& 1 = q1(Y(p) v p
( )1
(2)
&
- (X - X )p&)
(2)

X&
= q Y
2
(p) v p
(2)
( & - X p&)
avec : Y( ) Y (Y
Y
0
) ebp
v =
+
-


Les coefficients sont, comme en 3D, fournis par le mot clé LMARC (on n'utilise pas ici les coefficients
liés à l'anisotropie) ( q,q ,q
1
2 correspondent respectivement aux paramètres p, p , p
1
2 du mot clé
LMARC).

La loi de grandissement est identique à celle utilisée pour le modèle de Lemaitre :
g
(t) = (aT + b)((x, y, z) s

Le flux neutronique est le produit d'une fonction de x (axe de l'assemblage, devant être confondu
avec l'un des axes du repère global) et d'une fonction de y et z.

Remarques :

· La fluence vaut (x, y, z) .
· Un seul schéma d'intégration est disponible : un schéma purement implicite.
20
2
· Le flux neutronique (x, y, z) s'exprime obligatoirement en 10 n/cm /s. Ceci implique que
les unités des autres grandeurs sont fixées :
-
E, K, sont en MPa,
-
les temps sont en secondes,
-
les coordonnées en mm.
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7.2 Intégration
implicite

Pour intégrer ces relations de comportement, en se ramenant si possible à une seule équation à
( - X)
résoudre, il faut faire une hypothèse sur =
. En effet, il ne peut prendre que deux valeurs :
- X
(- - -
X )
+1 ou -1. On suppose donc ce signe connu (initialisé par =
). Si on ne peut résoudre
- - -
X
l'équation obtenue avec cette hypothèse, on prend le signe opposé. Le reste des équations peut
s'intégrer de façon purement implicite. Le système s'écrit :


-


= - +

= E
+
g th - p
E
p
e

-
- -
= -
E




-
n
X
p =

&0 tsi
= f
nh t
,
v ( X )

K








1


m
X X
X =
q p( Y(p)
( )
- (X - X )
( )
- r sinh

, ,
1
m




= f (p X X )

X0





X

( )
X 1 = q
1
2
( )1
(2)
( ,X , X )
1 (
p Y(p)
( )
( )
- (X - X ) = f p
1

(2)
X
= q p Y
2
2


-
=
2

(p)
( )
(
X )
( )
f2( ,
p X )

On a donc un système de 5 équations à 5 inconnues :
( )1
(2)
, p, X, X , X

La deuxième équation s'écrit aussi :

1
2
- X
p n
p n
= log
+ 1+

K

& t
&0 t
0





En utilisant la première équation, on peut exprimer X en fonction de p :

- X =
p-
e -

E
X = - X

1
2
p n
p n
X = F (
log
1
1 p) =
p-
e -

-
E
X - K

+
+


0& t
0& t



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D'autre part, par intégration successives des fonctions f2 et f1 on peut aussi se ramener à une
équation faisant intervenir seulement X et p :

q Y(p)
(2)
-
-
p
2
2
(
X
)
( )
X =

1+ q p
2
-
q
1
2 -
2
p
-
-
-
1
1
( Y(p) () ( )
( )
(X X X )
( )
X =

1+ q p
1

( )
( )
comme X = f ( p, X , X 1 ) , et X 1 = g(p) d'après les expressions précédentes on peut
écrire : X = F2 (p) = F1(p) . L'équation à résoudre pour trouver p est donc :

F( p) = F
0
2 ( p) - F1( p) =

Une fois calculé p , on obtient les contraintes par : =
E p
e -



7.3 Variables
internes

Elles sont au nombre de 5 :
V1 = p
V 2 = X ( 1)
V 3 = X (2)
V 4 = X

Dans le Code_Aster, on ajoute une dernière variable interne : V 5 = la fluence neutronique calculé au
pas de temps courant.


7.4
Identification des paramètres du modèle

L'identification des paramètres est effectuée dans la référence [bib7]. Elle concerne le ZIRCALOY 4 à
350°C.

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8
Méthode pour utiliser en 1D tous les comportements 3D

Comme pour le traitement des contraintes planes [R5.03.03], il est possible de bénéficier pour les
modélisations 1D des comportements disponibles en 3D. On étend pour cela la méthode due à R. de
Borst au cas 1D, en traitant cette condition (champ de contraintes unidimensionnel) non pas au niveau
de la loi de comportement mais au niveau de l'équilibre. On obtient ainsi au cours des itérations de
l'algorithme de STAT_NON_LINE des champs de contraintes qui tendent vers un champ
unidirectionnel. On vérifie, à convergence des itérations de Newton globales, que les champs de
contraintes sont effectivement unidirectionnels, à une précision près, sinon on continue les itérations.
La méthode consiste à décomposer les champs de déformations et de contraintes en une partie
purement unidirectionnelle (direction x) et une partie relative aux autres directions, et d'effectuer une
condensation statique en écrivant que les composantes des contraintes relatives aux autres directions
sont nulles. On ne considère dans les tenseurs (d'ordre 2) que les termes diagonaux, écrits sous
forme de vecteurs à 3 composantes. La direction x correspond à la direction de l'élément (barre,
poutre multifibre) ou à la direction des armatures de grille. A un instant quelconque de la résolution du
comportement incrémental, l'opérateur tangent D relie l'accroissement de contraintes à


l'accroissement de déformation par :
d =

d =

Dd

que l'on réécrit :



d
x
D
D
D
11
12
13 d


x



d y =

D
D
D
21
22
23 d y . En écrivant ces accroissements comme la différence entre les


d
D
D
D


z
31
32
33 d z
itérations n et n + 1 de Newton, on obtient :

n+1
n
n+1
n
n+1
n
d =
- =

-

, d =

-


A convergence, cet écart doit tendre vers zéro.

En introduisant les conditions
n 1
+
n 1
: y = 0
+
et 2 (comportement unidirectionnel), on obtient,
pour l'itération n + 1 :



1
1
d
n+
x - n
n+
x
x - n

x


x D
D
D
11
12
13 d


x
n+1
n

n



d y = y - y =
- y
=



D
D
D
21
22
23 d y


d
n+1
n

n
D
D
D


z
31
32
33
d




z
- z
-

z


z


Les deux dernières équations permettent d'exprimer d y et d z en fonction de d x :


1
d y =
( n
- - D
y
21d
- D
x
23d z )


D22

1
d z

=
( n
- z - 31
D d x - 32
D d y )

D33
1

soit
d y = (
n
n
- 33
D + D
y
23
+ D d
z
y x )

1
d z = (
n
n
- 32
D - D
y
22
+ D d
z
z x )

avec
= 33
D D22 - D23 32
D , D = D
y
23 31
D - D21 33
D , Dz = 32
D D21 - 31
D D22
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en reportant ces expressions dans la première équation, on obtient :


D D
1
12
+ D D
13

n+
n
y
z
D D
12
23 - D
D
22 13
n
D D
12 32 - D D
12 33
n
x = x + D11 +
d x +
z +
y











L'équilibre à l'itération n + 1 s'écrit :

D D
T
n 1
T
n 1
T
12
y + D D

+
B
dv =
+
B
dv
13
x
=
z
B D11 +

d x



+ T n D D
12
23 - D
D
22 13
n
D D
12 32 - D D
12 33
n
B x +
z +
y dv





= n n+
K du 1 + T n D D
12
23 - D
D
22 13
n
D D
12 32 - D D
12 33
n
B x +
z +
y dv





On constate donc que la prise en compte du comportement unidimensionnel intervient à deux
niveaux :

· dans la matrice tangente, par le terme correctif :

D D
12
+ D D
BT
y
z B dv

13



· dans l'écriture du second membre, par le terme correctif :
BT

((D D - D D
12
23
22 13 ) n
z + (D D - D D
12 32
12 33 ) n
y ) dv


Pour mettre en oeuvre cette méthode, il suffit de calculer ces termes correctifs et de les ajouter aux
contraintes et matrice tangente obtenue de la résolution 3D du comportement. Pour cela il est
nécessaire de stocker des informations d'une itération de Newton à l'autre, par le biais de 4 variables
internes supplémentaires. Les étapes de la résolution sont :

1) à
l'itération n + 1, les données sont :
n+1
-
-
u
, , et les 4 variables internes (calculées à
1
D
V1 = n
y + (
n
D23 z -
n
D33 y - Dy n
x ),V 2 = y ,


l'itération n ) :
,
1
V 3 = n
D
z + (
n
D32 y -
n
D22 z - Dz n
x ),V 4 = z


2) avant d'effectuer l'intégration du comportement (effectué en axisymétrique) on calcule
n+1
n


1
y
=
y + (
n
n
- D
33 y + D
23 z + Dy d x )

,
n+1
n


1
z
=
z + (
n
n
- D
32 y - D
22 z + Dz d x )

3) l'intégration du comportement fournit les contraintes n 1
+

et l'opérateur tangent D ,
4) on modifie le second membre et la matrice tangente comme indiqué ci-dessus,
5) on stocke les nouvelles variables internes et on vérifie si
n+
1
z
<
n+
et 1
y
< , avec =
n+
1 ,
x
=
RELA
RESI_INTE_
.
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: 36/36


9 Bibliographie

[1]
J. GUEDES, P. PEGON, P.E.PINTO : ''A Fibre/Timoshenko Beam Element in Castem 2000'',
Joint Research Centre, European Commission, Institute for Safety Technology,1994.
[2]
A. GIUFFRE, P.E. PINTO : ''Il Comportemento del Cemento Armatoper Sollecitazioni Cicliche
di Forte Intensita''', Giornale del Genio Civile, Maggio 1970.
[3]
M. MENEGOTTO, P.E. PINTO : ''Method of Analysis for Cyclically Loaded Reinforced
Concrete Plane Frames Including Changes in Geometry and Nonelastic Behaviour of
Elements under Combined Normal Force and Bending'', IABSE Symposium on Resistance
and Ultimate Deformability of Structures Acted On by Well-Defied Repeated Loads, Final
Report, Lisbon, 1973.
[4]
G. MONTI, C. NUTI : ''Nonlinear Cyclic Behaviour of Reinforcing Bars Including Buckling'',
Journal of Structural Engineering, Vol. 118, No 12, December 1992.
[5]
P. DE BONNIERES, M. ZIDI : « Introduction de la viscoplasticité dans le modules de
thermomécanique de CYRANO3 : principe, description et validation » Note HI-71/8334.
[6]
J.M.PROIX, B.QUINNEZ, P.MASSIN, P.LACLERGUE : « Assemblages combustibles sous
irradiation. Etude de faisabilité ». Note HI-75/97/017/0
[7]
I. LE PICHON, P. GEYER : « Modélisation du comportement viscoplastique anisotrope des
tubes de gainage des crayons combustibles » Note HT-B2/95/018/A


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