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7.4

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Critères multiaxiaux d'amorçage en fatigue à grand nombre de cycle Date
:

01/09/05
Auteur(s) :
J. ANGLES Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R7.04 : Evaluation du dommage
Document : R7.04.04




Critères multiaxiaux d'amorçage en fatigue à grand
nombre de cycle : modèles de DANG VAN et
MATAKE





Résumé :

Dans cette note nous proposons une formulation des critères de MATAKE et de DANG VAN dans le cadre du
cumul de dommage sous chargement multiaxial périodique et non périodique.

La première partie de ce document est consacrée aux critères de MATAKE et de DANG VAN adaptés aux
chargements multiaxiaux périodiques. Dans cette partie après avoir abordé les notions d'endurance et de cumul
de dommage et la forme générale des critères de fatigue, nous décrivons les deux modèles de DANG VAN et
de MATAKE (Plan critique) prévus pour réaliser des calculs de cumul de dommage sous chargement multiaxial.
On y détaille la définition des différents plans de cisaillement associés aux points de Gauss ou aux noeuds, ainsi
que la définition d'une amplitude de chargement à travers le cercle circonscrit au trajet du chargement dans le
plan de cisaillement. Enfin les critères disponibles dans Code_Aster sont présentés.

Dans la seconde partie nous proposons une formulation des critères de MATAKE et de DANG VAN dans le
cadre du cumul de dommage sous chargement multiaxial non périodique. Pour définir un cycle dans le cas
amplitude variable, nous réduisons l'historique du chargement à une fonction unidimensionnelle du temps en
projetant la pointe du vecteur cisaillement sur un axe, et nous utilisons une méthode de comptage de cycles. Ici
nous choisissons la méthode RAINFLOW. Les critères de MATAKE et de DANG VAN adaptés au cumul de
dommage sous chargement non périodique sont implantés dans Code_Aster.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Préliminaires ..........................................................................................................................................4
2.1 Limite d'endurance et le cumul de dommage, cas uniaxial.............................................................4
2.2 Critère de fatigue, cas multiaxial......................................................................................................4
2.3 Définition d'une amplitude de chargement dans le cas multiaxial...................................................4
2.4 Définition du plan de cisaillement ....................................................................................................5
3 Modèle de MATAKE (plan critique) et modèle de DANG VAN..............................................................6
3.1 Critère de MATAKE .........................................................................................................................6
3.2 Critère de DANG VAN .....................................................................................................................7
3.3 MATAKE et DANG VAN modifiés pour le cumul de dommage.....................................................10
4 Calcul du plan de cisaillement maximal...............................................................................................11
4.1 Expression des contraintes de cisaillement dans le plan ...........................................................11
4.2 Exploration des plans de cisaillement ...........................................................................................12
5 Calcul de la demi amplitude de cisaillement........................................................................................15
5.1 Présentation générale du calcul du cercle circonscrit ...................................................................15
5.2 Description de la méthode du cercle passant par trois points.......................................................19
5.2.1 Cas général ..........................................................................................................................19
5.2.2 Cas particuliers.....................................................................................................................21
5.3 Critères avec plans critiques..........................................................................................................22
5.4 Nombre de cycles à la rupture et endommagement .....................................................................23
5.5 Grandeur et composantes introduites dans Code_Aster ..............................................................23

6 Critères à amplitude variable ...............................................................................................................24
6.1 Critère de MATAKE modifié...........................................................................................................24
6.2 Critère de DANG VAN modifié.......................................................................................................27
7 Choix des axes de projection...............................................................................................................28
7.1 Projection sur un axe .....................................................................................................................28
7.2 Construction du second axe ..........................................................................................................29
8 Projection du cisaillement ....................................................................................................................29
8.1 Cas où l'axe 1 est l'axe initial.........................................................................................................29
8.1.1 Détermination du second axe...............................................................................................29
8.1.2 Projection d'un point quelconque sur l'axe initial .................................................................30
8.2 Cas où l'axe 2 est l'axe initial.........................................................................................................31
8.2.1 Détermination du second axe...............................................................................................31
8.2.2 Projection d'un point quelconque sur l'axe initial .................................................................31

8.3 Définition du module et orientation de l'axe de projection.............................................................32
8.4 Composantes de Code_Aster utilisées .........................................................................................32

9 Conclusion ...........................................................................................................................................32
10
Bibliographie ..................................................................................................................................33
Annexe 1 .................................................................................................................................................34
Annexe 2 .................................................................................................................................................35
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1 Introduction

Les modèles d'endurance en fatigue multiaxiale sous chargement périodique sont des modèles du
type suivant :
VAR _ amplitude + a VAR _ moyenne < b ,

b est le seuil d'endurance en cisaillement simple, et a une constante positive sans dimension.
VAR _ amplitude est une certaine définition de l'amplitude (la moitié de la variation) du cycle de
chargement et VAR _ moyenne est une variable en liaison avec la contrainte (ou parfois la
déformation) ou les contraintes (ou parfois les déformations) moyennes. Les modèles se distinguent
par des définitions différentes de VAR _ amplitude et VAR _ moyenne .
Pour passer de l'endurance au cumul du dommage, on introduit une contrainte équivalente définie
par :
= VAR _ amplitude + a VAR _ moyenne .
eq

Cette contrainte équivalente nous donne un dommage unitaire sur la courbe de fatigue. Comme le
second membre de l'inéquation b correspond au seuil en cisaillement, il faut une courbe de fatigue en
cisaillement. Mais les courbes de fatigue en cisaillement sont rares puisque difficiles à obtenir, on
essaie donc d'utiliser les courbes de fatigue en traction compression alternée. Pour cela il faut
multiplier la contrainte équivalente par un coefficient correctif de l'ordre de 3 .

Les modèles macroscopiques de MATAKE (plan critique) et micro macro de DANG VAN sont décrits.
On montre que sous certaines hypothèses le modèle de DANG VAN est similaire au modèle
macroscopique de MATAKE. La seule différence réside dans la variable VAR _ moyenne : DANG
VAN utilise la pression hydrostatique, tandis que MATAKE emploie la contrainte normale sur le plan
d'amplitude de cisaillement maximale.

Après avoir défini le plan de cisaillement, nous exprimons la contrainte de cisaillement dans ce plan.
Les plans de cisaillement sont ensuite explorés selon une méthode décrite dans la référence [bib4] qui
consiste à découper la surface d'une sphère en morceaux de tailles égales.

Les vecteurs normaux étant connus nous déterminons alors pour chaque plan les points qui sont les
plus éloignés les uns des autres. Parmi ceux-ci nous trouvons les deux points qui sont le plus éloignés
l'un de l'autre. Cela étant fait nous utilisons, si nécessaire, la méthode du cercle passant par trois
points afin d'obtenir le cercle circonscrit au trajet de chargement.

Dans la première partie de ce document nous présentons les modèles d'endurance en fatigue
multiaxial sous chargement périodiques Ainsi que la notion de cumul de dommage. Le passage de
l'endurance au cumul de dommage est également abordé.

Dans la seconde partie les critères de MATAKE et de DANG VAN sont ensuite présentés sous les
aspects limite d'endurance et cumul de dommage sous chargement périodique.

La troisième partie est consacrée à la définition du plan de cisaillement, de l'expression des contraintes
de cisaillement dans ce plan et enfin, à la manière d'explorer les plans de cisaillement.

La quatrième partie est dédiée à la détermination du cercle circonscrit au trajet de cisaillement dans le
plan du même nom. Enfin nous décrivons les critères et les grandeurs qui sont introduits dans
Code_Aster.

Après avoir étendu les modèles de MATAKE et DANG VAN au cumul de dommage sous chargement
périodique, nous présentons l'adaptation de ces modèles au cumul de dommage sous chargement
non périodique. Ainsi, la cinquième partie est consacrée à la définition de la contrainte équivalente
élémentaire.

La sixième partie est dévolue à la manière de sélectionner l'axe (ou les deux axes) sur lequel est
projeté l'historique de la cission.

La septième partie est dédiée à la projection proprement dite de la pointe du vecteur cission sur cet
axe ou ces deux axes. Enfin, concernant les critères de MATAKE et DANG VAN formulés en cumul de
dommage sous chargement non périodique, nous décrivons les grandeurs qui sont introduits dans
Code_Aster.
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2 Préliminaires

Dans cette partie nous traitons les notions de limite d'endurance et de cumul de dommage. Nous
présentons également la forme générale des critères de fatigue.

2.1
Limite d'endurance et le cumul de dommage, cas uniaxial

Dans le cas uniaxial la définition rigoureuse d'un seuil d'endurance c'est la demi-amplitude (la moitié
de la variation) de chargement définie en contrainte en dessous de laquelle la durée de vie est infinie.
Toutefois, comme en pratique la durée de vie ne peut jamais être infinie, on définit des limites
d'endurance à 107, 108, etc. cycles de chargement. Il existe une autre façon de voir les choses :
puisqu'en pratique la durée de vie infinie n'existe pas, on utilise la notion de cumul de dommage.
L'approche par le cumul de dommage consiste à définir une limite en nombre de cycles au delà de
laquelle le dommage cumulé est égal à un. Ainsi la limite à 107 veut dire qu'après 107cycles le
dommage cumulé est égal à 1.

2.2
Critère de fatigue, cas multiaxial

Dans la littérature un certain nombre de critères ont été proposés pour définir le seuil d'endurance
sous chargement cyclique multiaxial. La forme générale de ces critères est :

VAR _ amplitude + a VAR _ moyenne < b éq
2.2-1
b est le seuil d'endurance en cisaillement simple, a est une constante positive sans dimension.
VAR _ amplitude est une certaine définition de la demi-amplitude (la moitié de la variation) du cycle
et VAR _ moyenne est une variable en liaison avec la contrainte (ou parfois la déformation) ou les
contraintes (ou parfois les déformations) moyennes. Différents modèles se distinguent par des
définitions différentes de VAR _ amplitude et VAR _ moyenne .
Pour passer de l'endurance au cumul du dommage, on peut définir une contrainte (ou une
déformation) équivalente :
= VAR _ amplitude + a VAR _ moyenne
éq
2.2-2
eq

Cette contrainte équivalente nous donne un dommage unitaire sur la courbe de fatigue. Comme le
second membre de l'inéquation [éq 2.2-1] correspond au seuil en cisaillement, il faut une courbe de
fatigue en cisaillement. Mais les courbes de fatigue en cisaillement sont rares puisque difficiles à
obtenir, on essaie donc d'utiliser les courbes de fatigue en traction compression alternée. Pour cela il
faut être cohérent au moins au niveau du seuil d'endurance c'est à dire multiplier eq par une
constante de l'ordre de 3 pour pouvoir utiliser la courbe de fatigue en traction. La valeur 3 est la
valeur exacte pour un critère du type Mises, expérimentalement ce coefficient est plus petit que 3 .

2.3
Définition d'une amplitude de chargement dans le cas multiaxial

Dans Code_Aster, il existe deux définitions d'amplitude de chargement dans le cas multiaxial :

A : rayon (demi diamètre) de la sphère circonscrite au trajet du chargement ;
B : la moitié du maximum de la distance entre deux points quelconques du trajet.

Il est claire que dans le cas d'un chargement se définissant sur une sphère A et B donnent la même
amplitude. En revanche, si on prend un trajet (bi-dimensionnel) sous forme d'un triangle équilatérale de
coté l , la définition A nous donne l
3 , tandis que la définition B nous donne l / 2 . Pour travailler
dans un cadre conservatif nous prenons comme définition de l'amplitude (demi-variation) d'un trajet de
chargement le rayon de la sphère (ou cercle pour le cas 2D) circonscrite.
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2.4
Définition du plan de cisaillement

En un point M d'un milieu continu nous exprimons le tenseur des contraintes dans un repère
orthonormé (O, ,
x y, z) . A la normale unitaire n de composantes (n , n , n )
x
y
z dans le repère
orthonormé, nous associons le vecteur contrainte F = .n de composantes (F , F , F )
x
y
z . Ce
vecteur F peut se décomposer en un vecteur normal à n et un scalaire porté par n , soit :

F = N n +









éq 2.4-1

N représente la contrainte normale et le vecteur la contrainte de cisaillement. Dans le repère
(O, ,
x y, z) , les composantes du vecteur sont notées : ( , , )
x
y
z . Le vecteur se déduit
directement de [éq 2.4-1] et de la contrainte normale :

N = F.n ; d'où = F - .
F n .
n
éq
2.4-2

y
F

n
x
O

z

Figure 2.4-a : Représentation des vecteurs de contrainte F et de contrainte de cisaillement
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3
Modèle de MATAKE (plan critique) et modèle de DANG VAN

Ici nous explicitons les critère de MATAKE et de DANG VAN à la fois du point de vue limite
d'endurance et du point de vue du cumul de dommage.

3.1
Critère de MATAKE

Dans ce type de critère le calcul des champs de contrainte et de déformation est fait sous l'hypothèse
d'élasticité, cf. référence [bib1]. Comme il a été dit dans le chapitre 2, dans le cas multiaxial le critère
d'endurance s'écrit généralement sous la forme :

VAR _ amplitude + a VAR _ moyenne < b éq
3.1-1

Amplitude de chargement : Dans le cas du critère de MATAKE à chaque point de la structure (ou
point de Gauss pour un calcul aux éléments finis) pour calculer VAR _ amplitude on procède de la
façon suivante :

· pour chaque plan de normale n on calcule l'amplitude de cisaillement en déterminant le cercle
circonscrit au trajet de cisaillement dans ce plan ;
· on cherche la normale n * pour laquelle l'amplitude est maximale. Cette amplitude est
désignée par
( *)
n .

Contrainte moyenne : Pour le calcul de VAR _ moyenne on procède de la façon suivante :
· sur le plan de normale n * on calcule sur un cycle la contrainte normale maximale désignée
par N
( *)
max n
.

Le critère d'endurance s'écrit : ( *)
n + a N ( *)
max n
b ,
2
a et b sont deux constantes positives et b représente la limite d'endurance en cisaillement simple.
Identification des constantes : pour déterminer les constantes a et b il faut utiliser deux essais
simples. Deux possibilités existent :
Un essai de cisaillement pur plus un essai de traction compression alterné. Dans ce cas les constantes

d d
sont données par : b =
0
0
0 a = 0 -

, où représente la limite d'endurance en

2
2
0
cisaillement pur alterné et d0 la limite d'endurance en traction-compression pure alternée.
Deux essais de traction compression, un alterné et l'autre non. Les constantes sont données par :

(
2 -
1)
a = (
1 -
2 )
,
- 2 m


m

1
b = (
×

2 -
1)+ 2
2
m



1 est l'amplitude de chargement pour le cas alterné et
2 pour le cas où la contrainte
moyenne est non nulle.
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3.2
Critère de DANG VAN

On suppose que le matériau reste globalement élastique tandis qu'il se plastifie localement.
L'hypothèse physique intéressante du modèle est que le matériau s'adapte localement (il devient
élastique après être passé par la plasticité) en-dessous de la limite d'endurance, ce qui correspond à
la non initiation de fissure. Au-dessus de la limite d'endurance il y a localement accommodation
plastique donc initiation de fissure.
Les hypothèses de base de l'interaction micro-macro, Lin-Taylor, permettent d'écrire :

Loc

(t) = (t) + (t)
ij
ij
ij

(t) = 2 p
- µ (t)
ij
ij

On désigne la contrainte locale par
Loc

(t)
ij
, la contrainte globale par (t)
ij
, la contrainte résiduelle
locale par (t
p
ij ) et par
(t)
ij
la déformation plastique locale. Dès qu'il y a adaptation la déformation
plastique locale devient constante et donc la contrainte résiduelle locale également.

Critère de plasticité :
En un point du milieu continu (où il y a une répartition des directions cristallographiques aléatoire des
grains), on suppose qu'il y a un seul grain qui est plastifié et ce, suivant un seul système de
glissement. Ce système de glissement sera celui qui sera le plus favorablement orienté, c'est à dire, le
grain dans lequel se produira la plus grande scission (la projection du vecteur cisaillement sur une
direction donnée). Le glissement se fait dans les plans de normale n = (n , n , n )
1
2
3 et la direction de
glissement est définie par le vecteur m = (m , m , m )
1
2
3 . Les deux vecteurs n et m sont
orthogonaux.
La loi de Schmid dit que pour qu'il n'y ait pas de glissement irréversible (déformation plastique) il faut
que la scission, ne dépasse pas un certain seuil, soit :

m
Loc
n
(n,m,t) - Loc

(t)
y
0
éq
3.2-1


Loc
loc
1

( t ) = a
et a
=
( m n
+ n m )
ij
ij
ij
2
i
j
i
j
Le dessin de la [Figure 3.2-a] montre que la valeur maximale de Loc

, désignée par Loc
max , s'obtient
par la projection orthogonale de
Loc
Loc
F
= ij n j sur le plan de normale n . La relation [éq 3.2-1] doit
notamment être vérifiée dans le cas où l'on remplace Loc

par son majorant Loc
max , celle-ci s'écrit
alors :

Loc
n

(n,t) - Loc

(t) 0
max
y

éq
3.2-2


Loc

(t)
Loc
y
est le seuil de la scission microscopique ou local.
(t) dépend des variables

y
d'écrouissage.
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n
FLoc
Loc
max
Loc m

Figure 3.2-a : Projection de Loc
F
sur le plan de normale n

On choisit un écrouissage microscopique du type isotrope linéaire. Cela permet de montrer l'existence
d'un domaine d'adaptation [bib2], [bib3].
A l'état adapté par analogie avec la formule :

Loc
*

(t) = (t)
ij
ij
+ ij

on a, si l'on se place dans le plan (n,m) de telle manière que la scission est maximale, la formule
suivante :
Loc (n,t) = (n,t)

+ ( )
max
n
où (n,t) est le vecteur cisaillement macroscopique défini dans la [Figure 3.2-b] et où
(n) est le
vecteur cisaillement résiduel microscopique (indépendant du temps puisque nous sommes à l'état
adapté).

Critère de fatigue
Introduction de la pression maximale : DANG VAN utilise à la place de la contrainte normale sur un
plan, comme cela est fait dans le modèle MATAKE, la pression hydrostatique maximale sur un cycle.
Le critère s'écrit donc :
MAX ( Loc

(n,t
max
) + a P Loc
max ) b
n t,

Comme les pressions hydrostatiques locale et globale sont identiques le critère devient :

MAX ( Loc

(n,t
max
) + a Pmax ) b
n t,

Pour une pression maximale positive nous avons :

MAX ( Loc

(n,t
max
) )+ a Pmax b
n t,
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Pour une pression toujours négative on peut prendre P
0
max =
pour rester conservatif.
Hypothèse sur
(n)
Dans le cas radial où la direction du cisaillement maximal est définie à l'avance on peut calculer de
façon exacte
(n) . Dans le cas général DANG VAN propose la méthode suivante pour faire un
calcul simplifié de
(n) . On donne pour un plan n le trajet macroscopique du vecteur cisaillement
défini précédemment. Le vecteur cisaillement résiduel compte tenu de l'hypothèse précédente est
défini par MO, où M est le centre du cercle circonscrit au trajet de l'extrémité du vecteur cisaillement
dans le plan de cisaillement.
Trajet macroscopique
Lo(n
c )
max
M
Lo(n
c ,ti)
max
P
(n)
(n,t
Plan de
i)
Loc
cisaillement
(n)
max
0
Trajet microscopique

Figure 3.2-b : Trajets micro/macro dans le plan de cisaillement

Formulation Finale : prenant en compte les deux formules :
Loc

(n,t
max
) = (n,t) +
(n) et MAX ( Loc

(n,t
max
) )+ a Pmax b
n t,
on se retrouve avec
MAX (MP )+ a Pmax b
n t,
P est un point courant du trajet de cisaillement dans le plan de normale n .

Identification des constantes : pour déterminer les constantes a et b il faut utiliser deux essais
simples. Deux possibilités existent :
1) Un essai de cisaillement pur plus un essai de traction compression alternée. Dans ce
cas les constantes sont données par : b =
a = ( - d / )
2 /(d / )
3
0
0
0
0
.
2) Deux essais de traction compression, un alterné et l'autre non. Les constantes sont
données par :
3
(
2 -
1)
m

1
a = ×
b =
×
.
2 (
1 -
2 )- 2 m
(
2 -
1)+ 2
2
m
avec
1 l'amplitude de chargement pour le cas alterné et
2 pour le cas où la contrainte
moyenne est non nulle.
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3.3
MATAKE et DANG VAN modifiés pour le cumul de dommage

Les modèles de MATAKE et DANG VAN ont été proposés initialement pour l'étude de la limite
d'endurance. Comme la durée de vie infinie n'existe pas on utilise des limites d'endurance à, 106, 107,
10n cycles de chargement. Ainsi les critères initiaux de MATAKE et DANG VAN sont présentés comme
des critères de dépassement d'un seuil et ne donnent pas un cumul de dommage. L'utilisation,
notamment du critère de DANG VAN, dans les industries automobiles est appropriée puisque l'objectif
cherché est le non dépassement d'un seuil d'endurance contrairement aux problématiques d'EDF où
on souhaite suivre l'endommagement.
Ainsi nous utilisons pour le cumul de dommage une contrainte équivalente de MATAKE ou de DANG
VAN définie par :


MATAKE
eq =
(n )*+ a Nmax(n )*,
2

DANG VAN
= MAX
eq
(MP )+ aP .
max
n,t

La prise en compte du traitement de surface est résumé à la prise en compte de l'effet néfaste du
pré-écrouissage sur la durée de vie en déformation contrôlée [bib5]. Dans les modèles de MATAKE et
DANG VAN l'effet du pré-écrouissage est pris en compte en multipliant la demi-amplitude de contrainte
de cisaillement par un coefficient correctif supérieur à l'unité, noté c p :


MATAKE
=


c
eq
p
(n )*+ a Nmax(n )*,
2

DANG VAN
= c MAX
eq
p
(MP )+ aP .
max
n,t

Ces contraintes équivalentes sont à utiliser sur une courbe de fatigue en cisaillement. Pour l'utilisation
sur une courbe de fatigue en traction compression il faut multiplier ces contraintes équivalentes par un
coefficient correctif, noté ici :



MATAKE
eq = cp
(n )


* + a Nmax (n )
* ,


2




DANG VAN eq = c MAX
p
(MP )

+ aP
.

max



n,t

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4
Calcul du plan de cisaillement maximal

Nous utilisons ici la définition du plan de cisaillement introduite au paragraphe [§2.4]. Pratiquement,
pour nous le point M du milieu continu sera un point de Gauss.

4.1
Expression des contraintes de cisaillement dans le plan

Pour des raisons de symétrie nous faisons varier la normale unitaire n selon une demi-sphère à l'aide
des angles et , cf. [Figure 4.1-a].
Dans le repère (O, ,
x y, z) , le vecteur normal unitaire n est défini par :

nx = sin cos
ny = sin sin
nz = cos . éq
4.1-1

Nous introduisons un nouveau repère (O, u, v, n) où n est perpendiculaire au plan de cisaillement
et où u et v sont dans ce plan, cf. [Figure 4.1-a]. Dans le repère (O, ,
x y, z) les vecteurs
unitaires u et v sont respectivement définis par :

ux = -sin
u y = cos
uz = 0 ,
éq
4.1-2

vx = -cos cos
vy = -cos sin
vz = sin .
éq
4.1-3


Figure 4.1-a : Repérage de la normale n à un plan par les angles et
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Dans le plan , les composantes u et v du vecteur représentant la contrainte de cisaillement
sont obtenues par les relations :
u = u = ux x + uy y + uz z ,
éq
4.1-4
v = v = vx x + vy y + vz z .
éq
4.1-5
Sur la [Figure 4.1-b], nous avons représenté les contraintes de cisaillement dans le plan ainsi que le
repère (O, u, v, n) .
y
F

n
u
v
x
O

z

Figure 4.1-b : Représentation du vecteur contraintes de cisaillement dans le plan

A présent notre problématique est de déterminer pour chaque point de Gauss ou chaque noeud d'un
maillage le plan de normale n tel que soit maximal. Pour ce faire nous faisons varier la normale
unitaire n .

4.2
Exploration des plans de cisaillement

La méthode que nous présentons ici est issue de la référence [bib4]. Son principe est le suivant.
Comme indiqué dans le paragraphe [§4.1], pour des raisons de symétrie nous faisons varier la normale
unitaire n selon une demi-sphère à l'aide des angles et , cf. [Figure 4.1-a]. La question qui vient
immédiatement est quel doit être le pas de variation des angles et . En effet, il faut trouver un
optimum entre la finesse d'exploration et un temps de calcul raisonnable dans la mesure où il est
nécessaire de faire cette opération à chaque point de Gauss du maillage. L'auteur de la référence [bib4]
propose de diviser la surface de la demi sphère en facettes d'égales surfaces au centre desquelles la
normale unitaire n est positionnée, cf. [Figure 4.2-a]. En pratique les surfaces ne sont pas strictement
égales mais du même ordre de grandeur.
La valeur du pas de variation de ,
vaut 10 degrés. L'angle varie selon un pas
qui est
fonction de l'angle . Plus est faible ou proche de 180 degrés et plus
doit être grand pour
conserver une aire de facette à peu près constante. C'est au voisinage de =
°
90 que
est le plus
petit. Le [Tableau 4.2-1] résume le découpage qui a été retenu.
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Avec cette méthode le nombre de facette donc le nombre de vecteurs normaux à explorer est égal à
209 pour une demi sphère.
x

Figure 4.2-a : Division de la surface de la demi sphère en facettes


°

10°
20°
30°
40°
50°
60°
°
180°
60°
30°
20°
15°
°
857
,
12
,
11
°
25
Nombre de facettes
1
3
6
9
12
14
16








°
70°
80°
90°
100°
110°
120°
130°
°
°
588
,
10
10°
10°
10°
10 588
,
°
,
11
°
25 12 857
,
°
Nombre de facettes
17
18
18
18
17
16
14








°
140°
150°
160°
170°
180°


°
15°
20°
30°
60°
180°


Nombre de facettes
12
9
6
3
1


Tableau 4.2-1 : Nombre de facette en fonction de et de

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Afin de déterminer le vecteur normal n qui donnera le plan de cisaillement maximal au degré près,
l'auteur préconise de recourir à deux affinages successifs supplémentaires. Le premier consiste à
explorer huit nouvelles facettes autour du vecteur normal initial, comme l'illustre la [Figure 4.2-b].

max
Facette Fm
max
=2°
=2°



Figure 4.2-b : Représentation des huit facettes supplémentaires autour de n

Dans ce cas
est égal à deux degrés et pour ]0° ,180 [
° ,
=
sin .

Cas particulier. Dans le cas où la facette m
F est perpendiculaire à y , on considère les six facettes
tout autour d'elle situées à = °
5 et définies respectivement par = °
0 , =
°
60 , =
°
120 ,
=
°
180 , =
°
240 et =
°
300 , cf. [Figure 4.2-c].


Figure 4.2-c : Localisation des facettes explorées lorsque m
F est normale à y
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Pour chaque point de Gauss ou chaque noeud nous explorons les 209 vecteurs normaux n . A chaque
vecteur normal est associé une histoire du cisaillement concrétisée par un certain nombre de points
situés dans le plan de cisaillement d'axes u et v . A présent il s'agit de trouver le cercle circonscrit
aux points appartenant au plan de cisaillement de manière à en déduire la demi amplitude de
cisaillement.


5
Calcul de la demi amplitude de cisaillement

La problématique est donc de trouver le cercle circonscrit à un certain nombre de points situés dans un
plan. La demi amplitude de cisaillement sera égale au rayon du cercle circonscrit.

5.1
Présentation générale du calcul du cercle circonscrit

La méthode que nous utilisons est une méthode exacte qui se décompose en quatre étapes.

Etape 1
Nous encadrons les points et nous déterminons les coordonnées des quatre coins du cadre dans le
repère ( ,
0 u, v) , et les coordonnées du centre du cadre O cf. [Figure 5.1-a] et [Figure 5.1-c]. Dans le
cas particulier où le cadre se résume à une ligne horizontale ou verticale la demi longueur de la ligne
est égale à la demi amplitude de cisaillement.

Etape 2
L'objectif de la deuxième étape est de sélectionner les deux points les plus éloignés. Afin de ne pas
examiner la distance entre toutes les paires de points possibles, nous construisons quatre secteurs,
cf. [Figure 5.1-a] et [Figure 5.1-c]. Ces secteurs se situent aux quatre coins du cadre et sont délimités
d'une part, par le contour du cadre et d'autre part, par un arc de cercle dont centre est le coin opposé
et le rayon le grand côté du cadre qui en fait minore la distance entre les deux points les plus éloignés.
Finalement, nous évaluons les distances entre les points des quatre secteurs deux à deux :

distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 2 ;
distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 3 ;
distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 4 ;
distances entre les points du secteur 2 et les points du secteur 3 ;
distances entre les points du secteur 2 et les points du secteur 4 ;
distances entre les points du secteur 3 et les points du secteur 4.

Dans le cas particulier où le rapport du petit côté du cadre sur le grand côté est strictement inférieur à
3 4 nous n'évaluons pas les distances entre les points appartenant aux secteurs 1 et 2 ni les
distances entre les points des secteurs 3 et 4, cas de l'exemple de la [Figure 5.1-a].

Etape 3
Dans la troisième étape nous construisons les domaines 1 et 2 dans lesquels nous chercherons les
points qui se trouvent en dehors du cercle circonscrit initial, cf. Etape 4. La constitution des domaines 1
et 2 a pour but de réduire le nombre de points à explorer lors de l'étape 4. Les principes de
constructions de ces deux domaines sont les suivants.

1) A partir des points milieux des deux grands côtés du cadre ( Omi et Omi , cf. [Figure 5.1-b]
1
2
et [Figure 5.1-d]) nous traçons un arc de cercle dont le rayon correspond au minorant de la
valeur de la demi amplitude de cisaillement et est égal à la demi longueur du grand côté du
cadre.
2) Du centre du cadre O nous traçons quatre arcs de cercle dont le rayon est également le
minorant de la valeur de la demi amplitude de cisaillement.

Si O le centre du cercle circonscrit initial a une composante selon l'axe u qui le place entre Omi et
i
1
O , alors si il existe un point dont la distance à O est supérieur à R le rayon du cercle circonscrit
i
i
initial, il ne peut être que dans le domaine 1, cf. [Figure 5.1-b].
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v
v
(Umin, Vmax)
(Umax, Vmax)
(Umin, Vmax)
(Umax, Vmax)
1
1
Secteur 1
Secteur 2
DOMAINE 1
16
16
13
DOMAINE 2
13
12
14
12
14
2
11
9
2
11
9
10
10
15
15
5
5
3
3
OMI1
OMI2
OMI1
OMI2
O
u
O
u
4
4
6
6
DOMAINE 2
DOMAINE 1
Secteur 4
Secteur 3 7
8
7
8
(Umin, Vmin)
(Umax, Vmin) (Umin, Vmin)
(Umax, Vmin)
Figure 5.1-a : Exemple1, localisation
Figure 5.1-b : Exemple1, localisation
des secteurs
des domaines
v
v
OMI2
OMI2
(Umin , Vmax)
(Umax, Vmax)
(Umin , Vmax)
(Umax, Vmax)
9
8
9
8
7
7
Secteur 1
Secteur 2
DOMAINE 1
O
O
u
u
1
6
1
6
5
5
DOMAINE 2
2
Secteur 4
Secteur 3
2
4
4
3
3
(Umin, Vmin)
(Umax, Vmin)
(Umin, Vmin)
(Umax, Vmin)
OMI1

OMI1

Figure 5.1-c : Exemple2, localisation
Figure 5.1-d : Exemple2, localisation
des secteurs
des domaines
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Etape 4
Le but de la quatrième étape est de trouver le cercle circonscrit par la méthode du cercle passant par
trois points, cf. [§5.2]. Pour ce faire, nous calculons le point milieu 1
O associé aux deux points les plus
éloignés que nous notons 1
P et 2
P , nous en déduisons la valeur d'un premier rayon noté 1
R . En
fonction de la position de 1
O par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous
cherchons soit dans le domaine 1, soit dans le domaine 2, s'il y a un point situé à une distance
supérieure à la demi distance mesurée entre les deux points les plus éloignés 1
P et 2
P . Notons 3
P
un tel point. Si il n'y a pas de point tel que 3
P alors la demi amplitude de cisaillement est égale à 1
R ,
cf. [Figure 5.1-c]. En revanche, si 3
P existe nous cherchons les coordonnées du point situé à égale
distance de 1
P , 2
P et 3
P ; nous notons ce point O2 . Nous obtenons ainsi un nouveau rayon, R2
donc une nouvelle demi amplitude de cisaillement. De nouveau, en fonction de la position de O2 par
rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit
dans le domaine 2, s'il y a un point situé à une distance supérieure à R2 de O2 . Notons 4
P un tel
point. Si il n'y a pas de point tel que 4
P alors la demi amplitude de cisaillement est égale à R2 . En
revanche, si 4
P existe nous cherchons le plus petit cercle circonscrit aux quatre points : 1
P , 2
P , 3
P
et 4
P en utilisant successivement la méthode du cercle passant par trois points, cf. [§5.2]. Cela nous
fournit un nouveau centre 3
O et un nouveau rayon 3
R . Comme précédemment, en fonction de la
position de 3
O par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le
domaine 1, soit dans le domaine 2, s'il y a un point situé à une distance supérieure à 3
R de 3
O .
Notons 5
P un tel point. Si il n'y a pas de point tel que 5
P alors la demi amplitude de cisaillement est
égale à 3
R . En revanche si un point tel que 5
P existe nous avons cinq points, si nous voulons utiliser
la méthode précédente, où il n'y a que quatre points en jeu, il est nécessaire d'éliminer un des cinq
points. Cela ne peut pas être le dernier : 5
P , donc nous conservons de l'itération précédente les trois
points qui ont permis de déterminer 3
O et 3
R , c'est-à-dire le plus petit cercle circonscrit. Supposons
que 1
P soit ainsi éliminé. Nous cherchons donc le plus petit cercle circonscrit aux quatre points : 2
P ,
3
P , 4
P et 5
P en utilisant successivement la méthode du cercle passant par trois points, cf. [§5.2].
Cela nous fournit un nouveau centre O4 et un nouveau rayon R4 . En fonction de la position de O4
par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit
dans le domaine 2, s'il y a un point situé à une distance supérieure à R4 de O4 . Si ce n'est pas le cas
la demi amplitude de cisaillement est égale à R4 et le cercle circonscrit a pour centre O4 ,
cf. [Figure 5.1-f]. A l'inverse, si un tel point existe nous refaisons une itération identique à la
précédente.
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Figure 5.1-f : Exemple2, recherche du cercle circonscrit

Figure 5.1-e : Exemple1, recherche du cercle
circonscrit

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5.2
Description de la méthode du cercle passant par trois points

Dans ce paragraphe nous traiterons le cas général, puis les cas particuliers.

5.2.1 Cas
général

Pour déterminer le cercle circonscrit à trois points 0
P , 1
P et 2
P , cf. [Figure 5.2.1-a], nous procédons
en trois étapes.


Figure 5.2.1-a : Détermination du cercle passant par trois points

Etape 1
Nous calculons les coordonnées des trois points milieux : M , M et M , cf. [Figure 5.2.1-a].
0
1
2

Etape 2
Nous déterminons les normales passant par les trois points milieux
: M , M et M ,
0
1
2
cf. [Figure 5.2.1-a]. Ces normales sont des droites du type v = a u + b a et b sont des constantes
qu'il est possible de calculer avec les coordonnées des points P , P , P , M , M et M .
0
1
2
0
1
2
Décrivons, à présent, la manière de déterminer ces normales.

1) Normale au segment 0
P 1
P passant par M1
Nous déterminons les coordonnées d'un point
'
M1 par rotation de 90° du segment 0
P M1 :

U M1 = UM1 + (VM1 -VP0 )
éq
5.2.1-1
VM1 = VM1 + (U P0 -U M1)

U
=

k et Vk avec k
M1 , M ,
1 P0 représentent les composantes u et v des points
'
M , M et
1
1
P . Nous en déduisons les constantes a et b de la droite représentant la normale au segment
0
0
0
P P passant par M :
0
1
1
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a0 = (VM1 -VM1) (U M1 -UM1)

éq
5.2.1-2
0
b = (U M1 V
M1 - U M1 VM1 ) (U M1 - U M1 )

Dans le cas particulier où (U M1 -U M ) = 0
1
, nous forçons a0 et 0
b à zéro et nous obtenons les
coordonnées du centre O du cercle circonscrit aux points 0
P , 1
P et 2
P par une méthode spécifique
décrite dans le paragraphe [§5.2.2].
2) Normale au segment 0
P 2
P passant par M 0
Nous déterminons les coordonnées d'un point
'
M 0 par rotation de 90° du segment 0
P M 0 :

U M 0 = U M 0 + (VM 0 -VP0 )
éq
5.2.1-3
VM 0 = VM 0 + (U P0 -UM 0 )

U
=

k et Vk avec k
M 0 , M ,
0 P0 représentent les composantes u et v des points
'
M 0 , M 0 et
0
P . Nous en déduisons les constantes 1
a et 1
b de la droite représentant la normale au segment
0
P 2
P passant par M 0 :
1
a = (VM 0 -VM 0 ) (UM 0 -UM 0 )
éq
5.2.1-4
1
b = (UM 0 V
M 0 - U M 0 VM 0 ) (U M 0 - U M 0 )

Dans le cas particulier où (U M 0 -U M ) = 0
0
, nous forçons 1
a et 1
b à zéro et nous obtenons les
coordonnées du centre O du cercle circonscrit aux points 0
P , 1
P et 2
P par une méthode spécifique
décrite dans le paragraphe [§5.2.2].

3) Normale au segment 1
P 2
P passant par M 2
Nous déterminons les coordonnées d'un point
'
M 2 par rotation de 90° du segment 1
P M 2 :

U M 2 = U M 2 + (VM 2 -V 1
P ) éq
5.2.1-5
VM 2 = VM 2 + (U 1
P - U M 2 )

U
=

k et Vk avec k
M 2 , M ,
2 1
P représentent les composantes u et v des points
'
M 2 , M 2 et
1
P . Nous en déduisons les constantes a2 et b2 de la droite représentant la normale au segment
1
P 2
P passant par M 2 :

a2 = (VM 2 -VM 2 ) (UM 2 -U M 2 )

éq
5.2.1-6
2
b = (U M 2 V
M 2 - U M 2 VM 2 ) (U M 2 - U M 2 )

Dans le cas particulier où (U M 2 -U M ) = 0
2
, nous forçons a2 et b2 à zéro et nous obtenons les
coordonnées du centre O du cercle circonscrit aux points 0
P , 1
P et 2
P par une méthode spécifique
décrite dans le paragraphe [§5.2.2].
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Etape 3
Dans le cas général, nous déduisons des constantes a0 , 0
b , 1
a , 1
b , a2 et b2 les coordonnées du
centre O du cercle circonscrit aux points 0
P , 1
P et 2
P de trois manière différentes. Notons 0
O , 1
O
et O2 le même centre O , obtenu de trois façons différentes, et Uk et Vk , où k = 0
O , 1
O , O2 ,
représentent les composantes u et v des points 0
O , 1
O et O2 :

UO = ( 1
b - 0
b ) (a0 - 1
a )
0

éq
5.2.1-7
VO = (a0 1
b - 1
a 0
b ) (a0 - 1
a )
0

UO = ( 2
b - 0
b ) (a0 - a2 )
1

éq
5.2.1-8
VO = (a0 2
b - a2 0
b ) (a0 - a2 )
1

UO = ( 2
b - 1
b ) ( 1
a - a2 )
2

éq
5.2.1-9
VO = ( 1
a 2
b - a2 1
b ) ( 1
a - a2 )
2

Après avoir vérifié que les égalités : U
U
et V
V
sont satisfaites nous
0
O
U
1
O
2
O
0
O
V
1
O
2
O
déterminons le rayon du cercle circonscrit en calculant la distance entre O et un des trois points 0
P ,
1
P ou 2
P .

5.2.2 Cas
particuliers

Dans ce paragraphe nous traitons les trois cas particuliers de l'étape 2 du paragraphe [§5.2.1].
Cas particulier où (U M1 -U M ) = 0
1

Dans ce cas nous obtenons immédiatement les composantes u et v du centre O par :

U = U
O
M1

éq
5.2.2-1
VO = ( 1
a 2
b - a2 1
b ) ( 1
a - a2 )

Cas particulier où (U M 0 -U M ) = 0
0

Ici les composantes u et v du centre O sont données par :

U 0 = U M 0

éq
5.2.2-2
VO = (a0 2
b - a2 0
b ) (a0 - a2 )

Cas particulier où (U M 2 -U M ) = 0
2

Dans ce dernier cas, les u et v du centre O sont données par :

U0 = U M 2
éq
5.2.2-3
VO = (a0 1
b - 1
a 0
b ) (a0 - 1
a )

La valeur du rayon du cercle circonscrit est obtenue de la même manière que dans le cas général ;
c'est-à-dire, en calculant la distance entre O et un des trois points 0
P , 1
P ou 2
P .
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5.3
Critères avec plans critiques

Dans ce paragraphe nous donnons la liste des critères avec plans critiques, cf. [bib3], qui sont
programmés ainsi qu'un descriptif succinct.
Notation :

n *
: normale au plan dans lequel l'amplitude de cisaillement est maximale ;

(n)
: amplitude de cisaillement dans un plan de normale nr ;
N
( )
max n
: contrainte normale maximale sur le plan de normale nr au cours du cycle ;
0
: limite d'endurance en cisaillement pur alterné ;
d0
: limite d'endurance en traction-compression pure alternée ;
N (n)
m

: contrainte normale moyenne sur le plan de normale nr au cours du cycle ;

( )
max n
: déformation normale maximale sur le plan de normale nr au cours du cycle ;
(n)
m

: déformation normale moyenne sur le plan de normale nr au cours du cycle ;
P
: pression hydrostatique ;
c p
: effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée, c p 1.

Critère de MATAKE
( *)
n + a N ( *)
max n
b






éq 5.3-1
2

a et b sont deux constantes données par l'utilisateur, elles dépendent des caractéristiques
matériaux et valent :

d0 d0
a = -

b =
.
0


2
2
0

En outre, nous définissons une contrainte équivalente au sens de MATAKE, notée ( *)
n
eq
:


( *)
n
f
( *)
n = c
+ a N
( *)
n
,
eq
p


2
max
t

f t représente le rapport des limites d'endurance en flexion et torsion alternées.

Critère de DANG VAN
( *)
n + a P b éq 5.3-2
2

a et b sont deux constantes données par l'utilisateur, elles dépendent des caractéristiques
matériaux et valent :

3
(
2 -
1)
m

1
a = ×
b =
×

2 (
1 -
2 )- 2 m
(
2 -
1)
.
+ 2
2
m

De plus, nous définissons une contrainte équivalente au sens de DANG VAN, notée ( *)
n
eq
:


( *)
n
c
( *)
n = c
+ a P
eq
p
,

2
t
c t représente le rapport des limites d'endurance en cisaillement et traction alternés.
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5.4
Nombre de cycles à la rupture et endommagement

A partir de ( *)
n
eq
et d'une courbe de Wöhler nous déduisons le nombre de cycles à la rupture :
N ( *)
n , puis l'endommagement correspondant à un cycle : D( *)
n = 1 N( *)
n .


5.5
Grandeur et composantes introduites dans Code_Aster

Les valeurs calculées sont stockées aux points de Gauss ou aux noeuds suivant l'option retenue. Une
grandeurs et des composantes ont été introduites dans le catalogue des grandeurs (fichier :
grandeur_simple__.cata). Les composantes de la grandeur FACY_R (FAtigue CYclique) sont décrites
dans le [Tableau 5.5-1].

DTAUM1
première valeur de la demi amplitude max du cisaillement dans le plan critique
VNM1X
composante x du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM1
VNM1Y
composante y du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM1
VNM1Z
composante z du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM1
SINMAX1
contrainte maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1
SINMOY1
contrainte moyenne normale au plan critique correspondant à DTAUM1
EPNMAX1
déformation maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1
EPNMOY1
déformation maximale moyenne au plan critique correspondant à DTAUM1
SIGEQ1
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné correspondant à DTAUM1
NBRUP1
nombre de cycles avant rupture (fonction de SIGEQ1 et d'une courbe de Wöhler)
ENDO1
endommagement associé à NBRUP1 (ENDO1=1/NBRUP1)
DTAUM2
deuxième valeur de la demi amplitude max du cisaillement dans le plan critique
VNM2X
composante x du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM2
VNM2Y
composante y du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM2
VNM2Z
composante z du vecteur normal au plan critique liée a DTAUM2
SINMAX2
contrainte maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM2
SINMOY2
contrainte moyenne normale au plan critique correspondant à DTAUM2
EPNMAX2
déformation maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM2
EPNMOY2
déformation maximale moyenne au plan critique correspondant à DTAUM2
SIGEQ2
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné correspondant à DTAUM2
NBRUP2
nombre de cycles avant rupture (fonction de SIGEQ2 et d'une courbe de Wöhler)
ENDO2
endommagement associe à NBRUP2 (ENDO2=1/NBRUP2)
Tableau 5.5-1 : Composantes spécifiques à la fatigue cyclique multiaxiale


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6
Critères à amplitude variable

Les critères à amplitude variable sont mis en oeuvre lorsque le chargement n'est pas périodique. Quand
le chargement n'est pas périodique il est nécessaire de décomposer le trajet de chargement subi par la
structure en sous-cycles élémentaires à l'aide d'une méthode de comptage de cycles. Dans le cas où le
chargement est non radial il n'y a pas de méthode de comptage multiaxiale éprouvée. En conséquence
nous choisissons, comme dans la littérature, d'utiliser la méthode de comptage RAINFLOW [bib7] qui a
besoin en entrée d'un scalaire. C'est pourquoi nous réduisons à une dimension la cission, qui est la
projection orthogonale du vecteur contrainte sur un plan, en projetant la pointe du vecteur cission sur un
ou deux axes. Une autre différence importante avec les critères à plan critique est que ce n'est pas
l'amplitude de cisaillement qui permet de sélectionner le plan critique mais le cumul de dommage qui
résulte des sous-cycles élémentaires.
La méthode de projection que nous utilisons est explicitée dans les chapitres 7 et 8. Dans la suite nous
décrivons la façon dont nous avons fait évoluer les critères de MATAKE et de DANG VAN pour les
adapter aux cas où le chargement est non périodique.

6.1
Critère de MATAKE modifié

Dans le contexte du cumul de dommage et d'un chargement périodique, le critère de MATAKE [bib6],
s'écrit de la façon suivante :
(r*
n )
=


c
+ a N
r
eq
p
( *
max n )
éq
6.1-1
2

eq représente la contrainte équivalente au sens du critère de MATAKE et avec :

*

nr
normale au plan pour lequel l'amplitude de cisaillement est maximale ;
( *
nr


) 2 demi-amplitude de cisaillement maximale ;
a
constante qui peut-être définie par un essai en cisaillement pur alterné et en
traction-compression alternée ou par un essai en traction-compression alternée et en
traction-compression non alternée ;
N
(r*
max n ) contrainte normale maximale sur le plan de normale *
nr au cours du cycle ;
c p
effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée c p 1.

Pour calculer le dommage cumulé dans le cas où le chargement est non périodique la première étape
consiste à déterminer la cission (vecteur cisaillement) dans un plan de normale nr à tous les instants
du chargement. La technique qui est utilisée pour ce faire est décrite dans la référence [bib6]. Dans la
seconde étape nous commençons par réduire l'historique de la cission à une fonction
unidimensionnelle du temps en projetant la pointe du vecteur cission sur un ou deux axes définis dans
le plan de normale nr considéré, cf. chapitre 7 et 8. Ainsi l'évolution de la cission projetée se résume à
la relation :
f (t)
p =
ce qui permet d'utiliser la méthode de comptage RAINFLOW. Sur la figure
[Figure 6.1-a] nous montrons les valeurs atteintes par l'extrémité du vecteur cisaillement dans un plan
de normale nr avant projection sur un axe ou deux axes et sur la figure [Figure 6.1-b] ces mêmes
valeurs après projection sur un axe. A ce stade il nous faut introduire la notion de contrainte
équivalente élémentaire i
eq . Pratiquement cette notion a la même signification que la notion de
contrainte équivalente définie par la relation [éq 6.1-1], mais elle s'applique aux sous-cycles
élémentaires issus de la méthode de comptage RAINFLOW. Donc à partir de la cission projetée p
nous calculons des contraintes équivalentes élémentaires i
eq .
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Cission dans un plan de normale n (MPa)
v
u

Figure 6.1-a : Pointes du vecteur cission avant projection


Cission projetée sur l'axe 1 (MPa)
p
Numéro d'ordre

Figure 6.1-b : Pointes du vecteur cission après projection sur un axe

La méthode RAINFLOW décompose
f (t)
p =
en sous-cycles élémentaires périodiques et brise
l'historique du chargement, comme nous le montrons sur la figure [Figure 6.1-c]. Ainsi, pour une
normale nr donnée la méthode RAINFLOW fournit pour chaque sous-cycle élémentaire deux valeurs,
r
r
points haut et bas, de la pointe du vecteur cission i
(n) et i
(n) associées à deux valeurs de
p1
p2
r
r
contrainte normale maximale N i
(n) et Ni (n).
1
max
max2
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Sous cycles élémentaires (MPa)
38
Numéros d'ordre ou
Numéros des sous cycles
35
numéros des instants
1
32
14
13
14
11
22
33
7
16
37
45
26
12
8

8
p
41 43
47
11
12
1
3
15
9
15
6
2
44
46
9
10
4
4
5
42
29
48
3
5
40
20
25
Numéros des points

Figure 6.1-c : Les quinze sous-cycles élémentaires après traitement par la méthode RAINFLOW

Pour le critère de MATAKE nous définissons la contrainte équivalente élémentaire de la manière
suivante :

Max
r
r
r
r


-


i
r
( i (n ,) i (n) Min i n i n
1
p
p2
) ( ( ), ( )
1
p
p2
)
(n) = c
+ a Max
r
r
eq
p
(Ni (n ,)Ni (n),0 éq 6.1-2
1
max
max2
)
2

Pour le cumul de dommage, cette contrainte équivalente élémentaire est à utiliser avec une courbe de
fatigue en cisaillement. Si on utilise une courbe de fatigue en traction compression il faut multiplier
[éq 6.1-2] par un coefficient correctif qui correspond au rapport des limites d'endurance en flexion et en
torsion alternée et que nous notons :


i
r i r
i
r i r




i
r

Max( (n ,) (n) Min
n
n
1
p
p2
)- ( ( ), ( )
1
p
2
p
)
(n)
r
r
eq
= cp
+ a Max(Ni (n),Ni (n),0
1
max
max2
)


2




éq 6.1-3
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r
A partir de i
(n)
eq
et d'une courbe de Wöhler nous déduisons le nombre de cycles à la rupture
N i (nr)
r
r
et le dommage élémentaire Di (n) = 1 N i (n) correspondant à un sous-cycle élémentaire.
Nous utilisons un cumul de dommage linéaire. Soit k le nombre de sous-cycles élémentaires, pour
une normale nr fixée, le dommage cumulé est égal à :

k
D(nr) = i
D (nr) éq
6.1-4
i=1
Pour déterminer le vecteur normal *
nr correspondant au dommage cumulé maximal il suffit de faire
varier nr et de calculer [éq 6.1-4]. Le vecteur normal *
nr correspondant au dommage cumulé maximal
est alors donné par :
D( r*
n ) = Max(D(nr))
nr

6.2
Critère de DANG VAN modifié

Dans le cadre de l'endommagement et d'un chargement périodique, le critère de DANG VAN s'écrit :

r
(nr*
*
)
(n ) = c
+ a P
eq
p

2

eq représente la contrainte équivalente au sens du critère de DANG VAN et avec :

*

nr
normale au plan pour lequel l'amplitude de cisaillement est maximale ;
( *
nr


) 2 demi-amplitude de cisaillement maximale ;
a
constante qui peut-être définie par un essai en cisaillement pur alterné et en
traction-compression alternée ou par un essai en traction-compression alternée et en
traction-compression non alternée ;
P
pression hydrostatique maximale au cours du cycle ;
c p
effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée c p 1.

Lorsque le chargement est non périodique, nous calculons l'endommagement par le même procédé
que celui utilisé pour le critère de MATAKE. La seule différence réside dans la définition de la
contrainte équivalente élémentaire :

Max
r
r
r
r


-


i
r
( i (n ,) i (n) Min i n i n
1
p
p2
) ( ( ), ( )
1
p
p2
)
(n) = c
+ a Max
r
r
eq
p
(Pi(n ,)Pi(n),0
1
2
) éq
6.2-1
2

i
P1 et i
P2 représentent les deux valeurs de la pression hydrostatique attachées à chaque
sous-cycle élémentaire. Cette contrainte équivalente élémentaire est à utiliser avec une courbe de
fatigue en cisaillement. Si l'on doit employer une courbe de fatigue en traction compression il est
nécessaire de multiplier [éq 6.2-1] par le coefficient correctif :


i
r i r
i
r i r




i
r

Max( (n ,) (n) Min
n
n
1
p
2
p
)- ( ( ), ( )
1
p
2
p
)
(n)
r
r
eq
= cp
+ a Max(Pi (n),Pi (n),0
1
2
)


2





Après avoir défini les critères de MATAKE et de DANG VAN dans le cadre du cumul de dommage et
d'un chargement non périodique, il nous reste à préciser la technique de projection que nous
proposons.
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7
Choix des axes de projection

En ce qui concerne la projection de l'extrémité du vecteur cission nous proposons deux options :

1) une projection sur un axe,
2) une projection sur deux axes.

L'axe de l'option 1 est déterminé de la même façon que le premier axe de l'option 2. Le second axe de
l'option 2 est orthogonal au premier axe de cette option.

7.1
Projection sur un axe

Nous nous plaçons dans un plan de normale nr donnée où chaque point représente la position de la
pointe du vecteur cisaillement à un instant, pour plus de détails voir la référence [bib6]. Dans ce plan
nous construisons le plus petit cadre qui contient tous les points représentant l'extrémité du vecteur
cission à chaque instant. Les deux diagonales du cadre nous permettent de définir deux axes : l'axe 1
correspond au segment AC , et l'axe 2 correspond au segment DB , cf. [Figure 7.1].

Secteur Secteur
v
A
B
u
axe2
Secteur Secteur
A B
axe2
P4
O
P1
O
P5
axe1
P3
axe1
P2
D C
D
C
Secteur
Secteur
Secteur Secteur
Figure 7.1-a
Figure 7.1-b

Figure 7.1 : Définition des axes de projection

Nous choisissons a priori l'axe de projection parmi les axes 1 et 2 parce que la diagonale du cadre est
plus grande que le grand côté du cadre ce qui a pour vertu de dilater un peu les points projetés.
D'autre part les chargements qui nous intéressent sont d'origine thermique ce qui fait que les points
représentant l'évolution de la pointe du vecteur cission, dans les plans de normale nr , sont le plus
souvent alignées sur un axe, comme nous le montrons sur la figure [Figure 6.1-a].

Les secteurs 1, 2, 3 et 4 sont construits de la même manière que dans la référence [bib6]. Seuls les
points qui se trouvent dans ces secteurs sont projetés orthogonalement sur les axes 1 et 2.

Nous définissons l'axe de projection comme étant l'axe sur lequel la distance entre deux points
projetés est la plus grande.

Par exemple, sur la [Figure 7.1-a] l'axe de projection est l'axe 1 puisque la longueur du segment 3
P 4
P
est supérieure à la longueur du segment 1
P 2
P . Cette définition de l'axe de projection permet de
s'assurer que l'axe de projection retenu permettra de rendre compte de l'amplitude de cisaillement
projetée la plus grande.

En fonction de la présence ou de l'absence de points dans les secteurs 1, 2, 3 et 4 la détermination de
l'axe de projection peut être immédiate, il n'est alors pas nécessaire de mettre en oeuvre la procédure
de sélection décrite ci-dessus. Pour plus de détails le lecteur pourra se reporter à l'annexe 1.

Un second axe est nécessaire pour distinguer le cas où les points représentant la pointe du vecteur
cission sont alignés sur un axe du cas où ces points décrivent un cercle.
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7.2
Construction du second axe

Le second axe de projection est orthogonal à l'axe initial de projection et il passe par le point O.

Puisque nous connaissons les coordonnées des points A, B, C et D, pour caractériser complètement le
second axe il suffit de déterminer les coordonnées d'un point M tel que :

DB . OM = 0 si l'axe initial est l'axe 1,
AC . OM = 0 si l'axe initial est l'axe 2.


8
Projection du cisaillement

Dans ce chapitre nous décrivons le procédé de projection sur l'axe initial, ou premier axe, et le second
axe. Nous rappelons que la projection sur ces deux axes est orthogonale.

8.1
Cas où l'axe 1 est l'axe initial

r r r
Ce cas est représenté sur la [Figure 8.1-a]. Plaçons-nous dans le repère (O,u, v, n). Les définitions
r r
de ur , vr et nr sont données dans la référence [bib6]. Dans le plan (u,v ) de normale nr les points A,
B, C, D et O ont respectivement, pour coordonnées (U min ,Vmax ), (U max ,Vmax ), (U max ,Vmin ),
(Umin,Vmin ) et (UO, O
V ).

Axe initial
A
B
Pi
v
Second axe
O
P
u
Ps
M
D
C

Figure 8.1-a : Projection dans le cas où l'axe 1 est l'axe initial


8.1.1 Détermination du second axe

Ici pour déterminer le second axe nous résolvons l'équation :

DB . OM = 0
éq
8.1.1-1
où les coordonnées U M ,VM du point M sont les inconnues.
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L'équation [éq 8.1.1-1] s'écrit également sous la forme suivante :

(Umax -Umin )(UM -UO )+ (Vmax -V )(VM - O
V ) = 0
min


ce qui conduit à :

(Umax -Umin )
VM = O
V - (
-

Vmax -Vmin ) (UM UO )

En se donnant une valeur de U M différente de UO nous obtenons immédiatement VM .

8.1.2 Projection d'un point quelconque sur l'axe initial

A partir d'un point P quelconque connu, la première étape consiste à calculer les coordonnées d'un
point P ' tel que :
DB . PP = 0

En procédant comme précédemment, nous obtenons la relation :

(Umax -Umin)
V = V -
U -U
P
P
(Vmax -Vmin) ( P
P )

V
U
U .
P résulte d'une valeur de
P différente de
P

Dans le plan (u ,v) l'axe initial et le segment PP sont des droites affines respectivement décrites par
v = a u + b et v = a u + b , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur l'axe initial P
i
i
P
P
p
nous résolvons l'équation :
a u + b = a u + b
i
i
P
P

(V -V
(U V -U V
max
min
min
max )
max
min )
a =
,
b =
,
i
(U -U
i
(U -U
max
min )
max
min )

(V
(U V

-U V
P
P
P
P )
- V
P
P )
a =
,
b =
.
P
(U
P
(U -U
P
P )
- U
P
P )

On obtient :
b - b
p
i
U =

Pi
a - a
i
p
a b - a b
i
P
P
i
V =

Pi
a - a
i
p

La projection d'un point quelconque sur le second axe est décrite dans l'annexe 2.
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8.2
Cas où l'axe 2 est l'axe initial

r r
Ce cas est représenté sur la [Figure 8.2-a]. Comme précédemment, dans le plan (u,v ) les points A,
B, C, D et O ont respectivement, pour coordonnées (U
,V
, (U
,V
, (U
,V
,
max
min )
max
max )
min
max )
(U ,V et (U ,V .
O
O )
min
min )
Axe initial
A
B
M
Ps
v
Second axe
O
P
u
Pi
D
C

Figure 8.2-a : Projection dans le cas où l'axe 2 est l'axe initial

8.2.1 Détermination du second axe

Ici pour déterminer le second axe nous résolvons l'équation :

AC . OM = 0
éq
8.2.1-1
où les coordonnées (U ,V ) du point M sont les inconnues.
M
M

L'équation [éq 8.2.1-1] s'écrit également sous la forme suivante :

(U -U
U
U
V
V
V
V

M -
O +
-
M -
O
=
max
min )(
) ( min
)(
) 0
max

ce qui conduit à :
(Umax -Umin)
V = V +
U -U
M
O
(Vmax -Vmin) ( M
O )

En se donnant une valeur de U différente de U nous obtenons immédiatement V .
M
O
M

8.2.2 Projection d'un point quelconque sur l'axe initial

A partir d'un point P quelconque connu, la première étape consiste à calculer les coordonnées d'un
point P tel que :
AC . PP = 0

En procédant comme précédemment, nous obtenons la relation :

(Umax -Umin)
V = V +
U -U
P
P
(Vmax -Vmin) ( P
P )

où pour une valeur de U
U nous calculons V
P différente de
P
P .
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Dans le plan (u ,v) l'axe initial et le segment PP sont des droites affines respectivement décrites par
v = a u + b et v = a u + b , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur l'axe initial P
i
i
P
P
p
nous résolvons l'équation :
a u + b = a u + b
i
i
P
P

(V -V
(U V -U V
max
max
min
min )
max
min )
a = -
,
b =
,
i
(U -U
i
(U -U
max
min )
max
min )
(V
(U V

-U V
P
P
P
P )
- V
P
P )
a =
,
b =
.
p
(U
P
(U -U
P
P )
- U
P
P )

On obtient :
b - b
a b - a b

P
i
U =
,
i
P
P
i
V =
.
Pi
a - a
Pi
a - a
i
P
i
P

La projection d'un point quelconque sur le second axe est décrite dans l'annexe 2.

8.3
Définition du module et orientation de l'axe de projection

Nous proposons de définir le signe du module du point projeté par rapport à l'axe initial. Soit le repère
(O,ur,vr,nr) dans lequel évolue la cission. Dans ce repère si la composante U du point projeté est
i
P
supérieure ou égale à zéro le signe du module est positif, sinon il est négatif. En résumé le module et
le signe du module du point projeté sont définis de la manière suivante :

2
2
P
= OP
OP
si U
i
+
s
P 0 ,
mod
i

2
2
P
= - OP
OP
si U
i
+
s
P < 0.
mod
i

La définition du module différencie les chargements affines des chargements circulaires. Conformément
à l'expérience un chargement circulaire sera considéré comme étant plus endommageant qu'un
chargement affine [bib1].

8.4 Composantes
de
Code_Aster utilisées

VNM1X
composante x du vecteur normal au plan de plus grand dommage
VNM1Y
composante y du vecteur normal au plan de plus grand dommage
VNM1Z
composante z du vecteur normal au plan de plus grand dommage
ENDO1
Endommagement le plus important


9 Conclusion

Dans ce document nous avons présenté les critères de MATAKE et de DANG VAN adaptés au cumul
de dommage sous chargement périodique et non périodique.

Lorsque le chargement est périodique les critères de MATAKE et de DANG VAN sont testés par les
cas tests SSLV135a et SSLV135b. Les cas tests SSLV135c et SSLV135d testent ces deux critères
dans le cas où le chargement est non périodique.

Les mots clés qui permettent d'utiliser ces deux critères sont décrits dans le document [U4.83.02]
consacré à la commande CALC_FATIGUE. On pourra également consulter le mot clé facteur
CISA_PLAN_CRIT de la commande DEFI_MATERIAU [U4.43.01].
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:

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:
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: 33/36


10 Bibliographie

[1]
TAHERI S. : Bibliographie sur la fatigue à grand nombre de cycles, Note HI-74/94/086/0
[2]
DANG VAN K., GRIVEAU B., MESSAGE O. : On a new multiaxial fatigue limit criterion :
theory and application. Biaxial and Multiaxial Fatigue, Ed. Brown/Miller, 1989.
[3]
MANDEL J., ZARKA J., HALPHEN B. : Adaptation d'une structure élastoplastique à
écrouissage cinématique. Mechanical research communications, Vol. 4 (5), 1977.
[4]
CLEMENT J.C. : Etude et optimisation d'une méthode de calcul de fatigue sous sollicitations
multiaxiales d'amplitude variable, Note HP-17/97/023/A, Juin 1997.
[5]
TAHERI S. : La prise en compte d'un chargement à amplitude variable pour le calcul de
dommage de fatigue dans les zones de mélanges ­ Projet FATMAV, Note HT-64/04/011,
Décembre 2004.
[6]
ANGLES J. ; Critères multiaxiaux d'amorçage en fatigue à grand nombre de cycles, plan
critique, DANG VAN, Projet FATMAV, Note HT-64/03/015/A.
[7]
DONORE A. M. ; Estimation de la durée de vie en fatigue à grand nombre de cycles et en
fatigue oligocyclique, Manuel de référence du Code_Aster, Document [R7.04.01].
[8]
PAPADOPOULOS I. V. ; Fatigue polycyclique des métaux, une nouvelle approche, Thèse
présentée à l'ENPC le 18 décembre 1987.


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Annexe 1

Les différentes situations sont résumées dans le [Tableau A1-1]. Dans le [Tableau A1-1], « 0 » et « 1 »
signifient respectivement qu'il n'y a pas de points et qu'il y a au moins un point dans les secteurs désignés.

Secteur 1 Secteur 3 Secteur 2 Secteur 4
Axe de projection
0 0 0 0
Cas
impossible.
0 0 0 1
Cas
impossible.
0 0 1 0
Cas
impossible.
0 0 1 1
Axe
1.
0 1 0 0
Cas
impossible.
0 1 0 1
Utilisation
de
la
procédure de sélection.
0 1 1 0
Utilisation
de
la
procédure de sélection.
0 1 1 1
Axe
1.
1 0 0 0
Cas
impossible.
1 0 0 1
Utilisation
de
la
procédure de sélection.
1 0 1 0
Utilisation
de
la
procédure de sélection.
1 0 1 1
Axe
1.
1 1 0 0
Axe
2.
1 1 0 1
Axe
2.
1 1 1 0
Axe
2.
1 1 1 1
Utilisation
de
la
procédure de sélection.
Tableau A1-1 : Résumé des situations

Les cas impossibles résultent de la manière dont sont construits le cadre et les secteurs. Cette construction
rend impossible la présence de points dans aucun ou un seul secteur.
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Annexe 2

La projection d'un point quelconque sur le second axe est rapidement décrite dans cette annexe. A partir d'un
point P quelconque connu, nous calculons les coordonnées d'un point P tel que :

OM . PP = 0

Après simplification il vient la relation :

(U -U
M
O )
V = V -
U -U
P
P
(V -V
M
O ) (
P
P )

où une valeur de U
U nous donne V
P différente de
P
P .

Dans le plan (u ,v) le second axe et le segment PP sont des droites affines respectivement décrites par
v = a u + b et v = a u + b , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur le second axe P
s
s
P
P
p
nous résolvons l'équation :
a u + b = a u + b
s
s
P
P

(V -V
(U V -U V
M
O
O
M )
M
O )
a =
,
b =
,
s
(U -U
s
(U -U
M
O )
M
O )
(V
(U V

-U V
P
P
P
P )
- V
P
P )
a =
,
b =
.
P
(U
P
(U -U
P
P )
- U
P
P )

On obtient :
b - b
P
s
U =
,
Ps
a - a
s
P
a b - a b
s
P
P
s
V =
.
Ps
a - a
s
p

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