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7.4
Titre :
Loi de comportement de Laigle
Date :
09/09/05
Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.15
Loi de comportement de Laigle
Résumé :
Le modèle rhéologique de Laigle permet d'analyser le comportement mécanique des roches. Le
développement de ce modèle de comportement a été initié suite à la difficulté d'appréhender correctement la
réponse du massif lors de l'excavation d'une cavité souterraine, dans le but :
· de définir le besoin et la nature des soutènements éventuels à mettre en oeuvre ;
· de déterminer l'étendue du terrain autour d'un ouvrage influencée par le creusement.
La mise en oeuvre de ce modèle élastoplastique a été principalement focalisée sur la simulation du
comportement post-pic de la roche. On suppose, dans cette optique, qu'il n'y a pas d'écrouissage de la roche
préalablement à la rupture de celle-ci. Cela se traduit par un comportement élastique linéaire jusqu'au pic de
résistance (il peut néanmoins y avoir endommagement de la roche alors que le matériau n'est pas encore en
rupture). Le critère de plasticité défini est de type Hoek et Brown généralisé et rend compte de l'influence du
niveau de contrainte sur la résistance au cisaillement. Le radoucissement du matériau est associé à une
diminution progressive des propriétés de cohésion et d'angle de frottement accompagnée d'un changement de
volume. Il est piloté par la déformation déviatoire plastique cumulée considérée comme seule variable
d'écrouissage.
Pour faciliter l'intégration de ce modèle dans le Code_Aster, la loi initialement développée dans le formalisme
des contraintes principales a été réécrite avec des invariants de contraintes sur une base du modèle
Cambou-Jafari-Sidoroff (CJS). La formulation numérique est implicite par rapport au critère et explicite par
rapport à la direction d'écoulement.
La convention de signe utilisée pour la formulation des équations, dans le cadre de cette note, est celle de la
mécanique des milieux continus.
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Table
des
matières
1 Notations................................................................................................................................................4
1.1 Généralités ......................................................................................................................................4
1.2 Paramètres du modèle ....................................................................................................................5
2 Introduction ............................................................................................................................................6
2.1 Phénoménologie du comportement des sols ..................................................................................6
2.2 Contexte d'étude et hypothèses simplificatrices du modèle ...........................................................7
3 Le modèle continu..................................................................................................................................8
3.1 Comportement élastique .................................................................................................................8
3.2 Critère de plasticité ..........................................................................................................................8
3.2.1 Surface de charge ..................................................................................................................8
3.2.1.1 Expression du critère de Laigle en contraintes majeures et mineures......................8
3.2.1.2 Expression générale ..................................................................................................8
3.2.1.3 Allure des seuils .........................................................................................................9
3.2.2 Ecrouissage............................................................................................................................9
3.2.3 Loi de dilatance ....................................................................................................................10
3.2.3.1 Ecriture généralisée .................................................................................................10
3.2.3.2 Détermination de l'intersection du critère intermédiaire et du critère ultime............12
3.2.4 Ecoulement plastique ...........................................................................................................12
4 Calcul des dérivées .............................................................................................................................14
4.1 Dérivée du critère ..........................................................................................................................14
4.1.1 Dérivée par rapport aux contraintes.....................................................................................14
4.1.1.1 Dérivée intermédiaire par rapport au déviateur .......................................................14
4.1.1.2 Dérivée intermédiaire par rapport aux contraintes...................................................14
4.1.1.3 Expression finale de la dérivée du critère par rapport aux contraintes ...................15
4.1.2 Dérivée par rapport à la variable d'écrouissage ..................................................................15
4.2 Dérivée totale du critère par rapport au multiplicateur plastique...................................................15
4.3 Dérivées des paramètres par rapport à la variable d'écrouissage................................................16
5 Opérateur tangent en vitesse ..............................................................................................................17
6 Traitement numérique adapté aux modèles non réguliers ..................................................................18
6.1 La projection au sommet du cône .................................................................................................18
6.1.1 Définition de l'angle de projection ........................................................................................18
6.1.2 Existence de la projection ....................................................................................................19
6.1.3 Règles de projection.............................................................................................................23
6.1.3.1 Cas où le paramètre de dilatance est négatif ..........................................................23
6.1.3.2 Cas où le paramètre de dilatance est positif............................................................23
6.1.3.3 Interprétation graphique...........................................................................................23
6.1.3.4 Equations d'écoulement...........................................................................................24
6.2 Redécoupage local du pas de temps ............................................................................................24
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7 Les variables internes..........................................................................................................................25
7.1 V1 : la déformation déviatoire plastique cumulée .........................................................................25
7.2 V2 : la déformation volumique plastique cumulée ........................................................................25
7.3 V3 : les domaines de comportement de la roche..........................................................................25
7.4 V4 : l'état de plastification..............................................................................................................26
8 Présentation détaillée de l'algorithme .................................................................................................26
8.1 Calcul de la solution élastique.......................................................................................................26
8.2 Calcul du critère élastique.............................................................................................................26
8.3 Algorithme .....................................................................................................................................27
9 Variante sur l'expression du critère de plasticité.................................................................................29
9.1 Formulation générale ....................................................................................................................29
9.2 Allure des seuils ............................................................................................................................30
10
Bibliographie..................................................................................................................................31
Annexe 1
Recalage du critère sur le triaxial en compression..................................................32
Annexe 2
Normalisation de Q ..................................................................................................33
Annexe 3
Encadrement de l'angle de projection .....................................................................34
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1 Notations
1.1 Généralités
désigne le tenseur des contraintes effectives en petites perturbations, noté sous la forme du
vecteur suivant :
11
22
33
212
213
2 23
On note :
I = tr
premier invariant des contraintes
1
( )
I
s
1
= -
I
tenseur des contraintes déviatoires
3
s = s s
.
deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoires
II
contrainte principale majeure
1
contrainte principale mineure
3
Tr()
e = -
I
déviateur des déformations
3
= Tr
déformation volumique
v
()
(
s
cos 3)
1/ 2 3/ 2 det( )
= 2 3
étant l'angle de Lode
3
sII
p
2 p p
=
e e
déformations déviatoriques plastiques cumulées
ij ij
3
n
normale de l'hypersurface de déformation
G
fonction pilotant l'évolution des déformations plastiques et décrivant la
direction d'écoulement
~
Tr(G)
G = G -
I
déviateur de G
3
G = Tr(G)
trace de G
~
~ ~
~
G = G G
.
norme de G
II
angle de dilatance
angle de frottement
f
surface de charge
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1.2
Paramètres du modèle
Notation Description
m
Pente du critère dans le plan ( p', q) pour les très fortes contraintes (fonction de la
nature minéralogique de la roche)
s
Cohésion du milieu. Représentatif de l'endommagement de la roche.
a
Caractérisation de la concavité du critère, fonction du niveau d'altération de la roche. Il
définit l'influence de la composante de dilatance dans le comportement aux grandes
déformations.
ult
Déformation déviatoire plastique correspondant au critère ultime
e
Déformation déviatoire plastique correspondant à la disparition complète de cohésion
ult
m Valeur
de
m du critère ultime atteinte en ult
me Valeur
de
m du critère intermédiaire atteinte en e
ae Valeur
de
a du critère intermédiaire atteinte en e
m pic
Valeur de m du critère de pic atteinte au pic de contrainte
a pic
Valeur de a du critère de pic atteinte au pic de contrainte
Exposant régulant l'écrouissage
c
Résistance à la compression simple
Premier paramètre réglant la dilatance
Second paramètre réglant la dilatance
cjs
Paramètre de forme du critère de plasticité dans le plan déviatoire
E
Module d'Young
Coefficient de Poisson
1p
Intersection du critère intermédiaire et du critère de pic
p2
Intersection du critère intermédiaire et du critère ultime
PA
Pression atmosphérique
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2 Introduction
L'objet de cette note est de présenter le modèle rhéologique pour analyser le comportement
mécanique des roches, adapté à la simulation des ouvrages souterrains, introduit dans le Code_Aster
et développé par le CIH [bib1]. La finalité de ce modèle est de pouvoir être mis en oeuvre, de manière
rapide et industrielle afin de répondre aux principales interrogations que se pose l'ingénieur lors de
l'analyse et de la conception d'une cavité souterraine. La loi rhéologique doit pour cela rester
relativement simple, aussi bien lors de l'identification des paramètres que dans sa mise en oeuvre et
lors de l'interprétation des résultats.
2.1
Phénoménologie du comportement des sols
Une des particularités d'une roche, par rapport à un sol, est que son comportement mécanique est, sur
une plage de contrainte importante, piloté par la cohésion. Cette cohésion est associée à une
cimentation du milieu, induite au cours de l'histoire géologique du massif, et est essentiellement de
nature épitaxique. Au contraire, la résistance d'un sol est plus particulièrement régie par le terme de
frottement et/ou de dilatance. La cohésion, d'origine essentiellement capillaire, n'a alors une influence
que pour de très faibles états de contraintes de confinement.
Cette distinction entre un sol et une roche est importante car elle oriente le choix et les hypothèses de
base du modèle de comportement.
Les principaux phénomènes rhéologiques associés à ce contexte sont les suivants :
· Dans le domaine des petites déformations, la réponse d'une roche, en particulier sous de
faibles états de confinement, peut être assimilée à un comportement élastique linéaire,
faiblement dépendant de l'état des contraintes. Les non-linéarités du comportement sont
susceptibles d'apparaître préalablement au pic de résistance, dans le cas des roches tendres,
pour un niveau de contrainte de l'ordre de 70 à 80% de la valeur maximale. Ce seuil diminue
avec l'accroissement de la pression moyenne pour quasiment s'annuler lorsque la contrainte
de surconsolidation est atteinte (cap-model). Sous de très faibles contraintes de confinement
représentatives de celles régnant à proximité des ouvrages souterrains, ces non-linéarités
sont généralement faibles, d'autant plus que la cimentation est importante, et donc le niveau
de surconsolidation de la roche élevé.
· La dilatance (augmentation de volume) s'initie lorsque les non-linéarités apparaissent sur la
courbe contrainte-déformation. Cette dilatance s'accroît jusqu'à ce qu'il y ait localisation au
sein de l'échantillon. A ce moment, le taux de dilatance (ou l'angle de dilatance ) est
maximal, pour ensuite progressivement décroître et s'annuler aux très grandes déformations.
· Le pic de résistance est atteint pour des contraintes décrivant un critère de rupture,
généralement courbe dans le plan de Mohr ou dans le plan des contraintes principales
majeures et mineures. L'hypothèse d'un critère linéaire de Mohr-Coulomb n'est donc qu'une
hypothèse simplificatrice, ayant tendance, pour de faibles contraintes de confinement, à
majorer la cohésion du milieu.
· Une fois la résistance maximale atteinte, la résistance de la roche diminue. Ce
radoucissement post-pic est d'autant plus rapide et important (en intensité) que la contrainte
de confinement est faible. Cette décroissance est liée à un endommagement plus ou moins
localisé de la roche, en fonction du niveau de confinement. Quelle que soit cette contrainte,
au-delà du pic, la roche ne peut plus être considérée comme continue. Son comportement
est alors piloté par les conditions de déformation et de résistance au niveau de la zone de
localisation des déformations.
· L'apparition d'une ou plusieurs discontinuités cinématiques au sein de la roche est associée à
une perte de la cohésion. Le comportement post-pic est alors régi par les conditions de
frottement et de dilatance le long des plans de discontinuité ou au sein d'une bande de
localisation des déformations. Il ressort de ce raisonnement que pour de très grandes
déformations, le comportement de la roche assimilée à une « structure », est uniquement
frottant, et est caractérisé par un angle de frottement ultime . Cet angle est une donnée
intrinsèque du matériau, fonction des minéraux constitutifs de la roche. Il ne dépend donc pas
directement des conditions de cohésion, et il peut surtout être considéré comme indépendant
des dimensions de l'échantillon.
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· Lorsque le comportement devient uniquement frottant, il n'est associé à aucune déformation
volumique. La dilatance s'est donc annulée, et n'existe plus aux grandes déformations.
· L'évolution entre la résistance de pic et l'état critique correspondant aux grandes
déformations, est plus ou moins progressive en fonction de l'état des contraintes appliquées.
Pour un état de confinement nul (compression simple), le comportement est uniquement piloté
par la cohésion, et la rupture se traduit par une perte immédiate et brutale de toute résistance.
Le radoucissement sera plus progressif au fur et à mesure que la contrainte de confinement
augmentera, pour devenir inexistant au-delà d'une certaine contrainte de confinement limitant
les domaines de comportement ductiles et fragiles.
2.2
Contexte d'étude et hypothèses simplificatrices du modèle
La volonté de développer un modèle aisé à mettre en oeuvre s'accompagne nécessairement de
simplifications, issues d'un compromis entre les objectifs attendus, les conditions d'utilisation du
modèle (qualité des données d'entrée, délais et coût disponible...) et les moyens mis en oeuvre pour
assurer ces développements. Ces compromis sont essentiellement les suivants :
· Un comportement élastique linéaire jusqu'au pic de résistance. Ceci revient à supposer
qu'il n'y a pas d'écrouissage de la roche préalablement à la rupture de celle-ci.
· Seul un critère de rupture en cisaillement est retenu. Ceci signifie que si la roche est
écrasée de manière isotrope, le comportement reste élastique, et qu'il n'y a pas
endommagement et écrouissage du matériau sous ce type de chemin. Durant les phases
d'excavation d'un ouvrage souterrain avec mise en oeuvre d'un soutènement léger, la
pression moyenne dans le massif situé à proximité ne peut que diminuer (ou rester constante
dans le cas idéal d'une cavité circulaire soumise à une sollicitation isotrope, pour un
comportement élastique linéaire). La plastification sous contrainte isotrope, que l'on peut
retrouver sur un Cap-Model ou sur une loi de type Cam-Clay ne nous a pas semblé
indispensable compte tenu des objectifs recherchés, et dans le cas d'une sollicitation
isotherme et à court terme.
Lors du développement de ce modèle, nous nous sommes volontairement focalisés sur l'étude et la
simulation du comportement post-pic de la roche. Dans ce domaine de comportement, la résistance du
matériau est supposée pilotée, en fonction de l'état des contraintes et du niveau d'endommagement
de la roche, par la cohésion, la dilatance ou le frottement.
La cohésion définit la résistance du matériau tant que celui-ci reste continue. Elle est active jusqu'au
pic de résistance, et n'a que peu d'influence sur le comportement radoucissant, à moins que la
cohésion soit représentative d'une « colle » ductile (cas des sols injectés par gel de silicates,...).
Au fur et à mesure que la cohésion se détériore par endommagement, la dilatance augmente, pour
atteindre sa valeur maximale lors de la perte de continuité du milieu. A ce moment, sous l'effet du
cisaillement de la discontinuité induite, cette dilatance se dégrade progressivement et lentement. La
rhéologie de la roche évolue alors vers un comportement purement frottant.
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3
Le modèle continu
3.1 Comportement
élastique
Le comportement élastique est piloté par une loi linéaire, avec un module constant indépendant de
l'état de contraintes. Les 2 paramètres caractérisant ce comportement sont le module d'élasticité E et
le coefficient de Poisson .
s& = µ(
p
2 e& - e& )
éq 3.1-1
1
I = 3K(
p
v - v )
&
& & éq 3.1-2
3.2
Critère de plasticité
La formulation adoptée est celle de [bib2].
3.2.1 Surface de charge
3.2.1.1 Expression du critère de Laigle en contraintes majeures et mineures
1
2 a( p
)
1
1
p
3
m
f =
( -
1
3 )
( )
a( p
) - ( c )
p
a( p )
(-3)+ s( )
éq
3.2.1.1-1
c
c
3.2.1.2 Expression
générale
On transforme l'expression précédente en fonction du premier invariant et du déviateur des
contraintes, par un recalage du critère sur un triaxial en compression, pour obtenir :
1
g(s) a( p
)
f =
- u(, p
) 0
éq
3.2.1.2-1
0
c c
h
avec :
1/
s
h( ) = (
1+ cos
éq 3.2.1.2-2
cjs
(3 ) 1/6
det( ) 6
= 1+
54
cjs
3
sII
0
= = = -
c
h
h
(1
)1/6
3
cjs
0 = +
t
h
(1 cjs)1/6
g(s) = s h
éq
3.2.1.2-3
II ( )
s
u(, )
m( p
p
)k( p) g( ) m( p)k( p)
= -
-
I + s
éq 3.2.1.2-4
0
1
( p
)k( p
)
6
h
3
c
c
c
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Remarque :
· On démontre [Annexe 1] l'équivalence des deux expressions
· On montre qu'une deuxième formulation du critère avec un recalage sur un triaxial en
compression et en extension est possible mais nous ne la choisissons pas. Elle est
toutefois présentée au chapitre [§9].
3.2.1.3 Allure des seuils
On trace l'allure des seuils au critère de pic et au critère ultime.
s
Seuil au pic
2
1
s
Seuil ultime
3.2.2 Ecrouissage
Pour traduire le radoucissement post-pic de la roche on définit des lois de variations des paramètres
m, s et a du critère en fonction de la variable interne d'écrouissage p
(il s'agit de la déformation
déviatoire plastique cumulée, proportionnelle au deuxième invariant du tenseur des déformations
déviatoires, correspondant à la distorsion plastique).
p
p
p
s( )= 1-
si
< e
e
éq
3.2.2-1
s( p
)=
p
0
si
e
Si p
> ult (
3
1 10-
-
) # on choisit de prendre un epsilon de 3
10- pour éviter les erreurs
# numériques lors de la division par dans l'équation [éq 3.2.2-2]
ult
a = 1
m = ult
m
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Sinon
( )
p
a - a -
p
e
pic
ult
e
=
éq
3.2.2-2
p
1- a
-
e
e
ult
+
a(
a
p
)
( p
pic
)
=
éq 3.2.2-3
1+ ( p
)
apic
p
p
c
p1
a
m( )
( )
=
m
+1
-
pic
s( p
)
p
si
<
e
p1
c
éq
3.2.2-4
ae
2
m(
p
p
)
c
p a(
)
p
=
m
si
e
e
p2
c
1
( p 2 2
k )
( p
a
)
=
.
éq 3.2.2-5
3
Ces lois d'évolutions pour chacun des 3 paramètres sont dépendantes les unes des autres et
respectent les conditions d'intersection des critères durant la phase d'écrouissage [bib1].
Remarque :
La condition de cohérence à respecter porte sur la continuité du paramètre m en :
e
apic
p
lim
m
( p
)
c
p1
a( )
=
m
+1
- s
pic
( p)
p
e
p1
c
soit :
apic
a
1
e
c
p
m =
m
+1
éq
3.2.2-6
e
pic
p1
c
3.2.3 Loi de dilatance
3.2.3.1 Ecriture
généralisée
La loi de dilatance (on admet que la valeur de la dilatance est inversement proportionnelle à celle de la
cohésion) peut être généralisée en écrivant :
-m -
sin = sin( (')
'
1
=
ult
éq
3.2.3.1-1
'+m +1
ult
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avec :
~
'= '(
-
I , g s ,
t
=
éq
3.2.3.1-2
1
( ) t0) 1
0
~
-
3
t 0
2
2
2
2
2
s =
s cos(
);
s =
s cos( +
);
s =
s cos( -
);
1
où
est
3 II
2
3 II
3
3
3 II
3
l'angle de Lode
I
I
I
1
1
1
=
+ s
; =
+ s
;
=
+ s
1
1
2
2
3
3
3
3
3
~
= avec i
que
tel
= max
1
i
i
( , j=12,,
j
)
3
~
= avec i
que
tel
= min
3
i
i
( , j=12,,
j
)
3
Remarque :
Une condition à respecter est que le rapport
reste inférieur à 1. Dans le cas de roches
dures très résistantes, soumises à des contraintes de confinement relativement faibles, la loi
de dilatance peut ainsi tendre vers ce rapport. Si les deux paramètres sont unitaires on
retrouve l'expression de la loi de Rowe décrivant la loi de dilatance pour des sols
pulvérulents. Cette approche revient à conserver la même expression que pour une roche
fortement endommagée, en assimilant l'effet de la cohésion à celui d'un confinement
supplémentaire de valeur t0 .
Caractérisation de t0 en fonction des paramètres (a, m, s) caractérisant la roche
· Cas où ( p
s ) = 0
Disparition de la cohésion, on pose
0
0 =
t
· Cas où ( p
s ) 0
1 - sin
t0 = 0(0,C
t
0 )
0
= 2C0
éq
3.2.3.1-3
1 + sin0
avec :
=
,
m s, a
2 arctan 1
a
ams
0
(
) =
( + -1
0
)-
2
a
C =
s
C
,
m s,
c
a
0
0 (
) =
1+
a-1
ams
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A
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7.4
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Loi de comportement de Laigle
Date :
09/09/05
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R. FERNANDES, C. CHAVANT
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R7.01.15-A Page
: 12/34
3.2.3.2 Détermination de l'intersection du critère intermédiaire et du critère ultime
En écrivant la continuité de m en ult on obtient la relation suivante :
ae
c
p2 a
m(
m
ult )
( )
=
ult
e
p2
c
ae
a
2 ult
c
p
m =
m
ult
e
p2
c
a 1
-
a
p e
2
m =
e
m
ult
e
c
1
a 1
-
m
= ult e
éq
3.2.3.2-1
p2
c
ae
me
3.2.4 Ecoulement
plastique
Le formalisme adopté est réécrit sur la base du modèle CJS [R7.01.13]. Quand les contraintes
atteignent le bord du domaine de réversibilité, des déformations plastiques se développent. Pour les
calculer, il existe une fonction potentielle pilotant l'évolution des déformations et définie par la relation
= G
&p & où & est le multiplicateur plastique et
f
f
G =
-
n n
.
éq
3.2.4-1
La fonction potentielle est obtenue à partir de la condition cinématique suivante :
p
p
s
= - &
éq
3.2.4-2
v
&
.
sII
Le paramètre de dilatance se calcule à partir de l'angle de dilatance (défini par [éq 3.2.3.1-1])
par la formule :
2 6 sin
= ()
( )
= -
3 - sin()
éq 3.2.4-3
=
p
si
0
> (1- -
3
10
ult
)
Remarque :
est positif quand P=0 et en compression, puis il devient négatif quand la plasticité se
développe. Il est toujours négatif en traction
Il est alors possible de chercher à exprimer la condition cinématique [éq 3.2.4-2] à partir d'un tenseur
n sous la forme :
. p
n = 0
& éq
3.2.4-4
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Après décomposition de chaque terme en parties déviatoire et hydrostatique, on trouve l'expression :
(
p
p
n s + n
e&
n s e
n
ij
ij
+
ij
v
ij =
p +
p =
1
2
)
1
.
0
3
1 ij ij
2
&
&
v
&
n
'
On en déduit la relation 1 =
qui ajouté à la condition de normalisation du tenseur n conduit à
n
s
2
II
l'expression :
s + I
s
n =
II
éq
3.2.4-5
2
+3
La loi d'évolution de p
& doit être telle que la condition cinématique soit satisfaite. Il est donc proposé
de prendre la projection de p
& sur n (normale de l'hypersurface de déformation), soit :
p
f
f
= G
=
& &
-
nn
&
On en déduit également la condition portant sur la déformation volumique plastique :
p
= G éq
3.2.4-6
v
& &
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4
Calcul des dérivées
4.1
Dérivée du critère
4.1.1 Dérivée par rapport aux contraintes
4.1.1.1 Dérivée intermédiaire par rapport au déviateur
g
s
h
On part de :
= h() II
( )
+ s
II
s
s
s
ij
ij
ij
s
h()
où
II et
sont respectivement donnés par :
s
s
ij
ij
s
s
II
ij
=
s
s
ij
II
h( )
1
det(s)
=
1+
54
s
5
3
ij
6h( )
cjs
sij
sII
- cjs cos(
3 )
54
cjs
det(s)
=
s +
2h( )
ij
5 s2
6h 5 s3
s
II
( )
ij
II
Finalement :
g
1
cjs
s
54
ij
cjs
det(s)
=
1+
cos(
3 )
+
s
5
2
ij
h( )
2
s
6s
s
II
II
ij
Et par conséquent :
g
1
cjs
s
cjs 54 det(s)
=
1+
cos(
3 )
+
éq 4.1.1.1-1
s
h( )5
2
2
sII
6s
II
s
4.1.1.2 Dérivée intermédiaire par rapport aux contraintes
g
On pose par définition : Q = dev
ij
sij
g
g s
g 1 g
1
kl
=
= dev
+
kl
-
ik
jl
ij
kl
s
s
3 s
3
ij
kl
ij
kl
mm
g
1
1 g
1
= Q - Q +
kl ik
jl
ij
kl kl
-
ik
jl
kl
ij kl kl
3
3q
3
ij
mm
g = Q ij
ij
g
Il suffit alors de prendre la partie déviatorique de
pour obtenir :
sij
g
g
1
cjs
s
54
ij
cjs
det(s)
= Q = dev
=
1+
ij
cos(
3 )
+
dev
s
5
2
ij
ij
h( )
2
s
6s
s
II
II
ij
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Et par conséquent :
g
1
cjs
s
cjs 54
det(s)
Q =
=
1+
cos(
3 )
+
dev
éq 4.1.1.2-1
h( )5
2
2
sII
6s
II
s
4.1.1.3 Expression finale de la dérivée du critère par rapport aux contraintes
La dérivée du critère par rapport aux contraintes est alors :
1
f
1 1 a( )
-
1 a( p
p
)
=
u
g
p
éq
4.1.1.3-1
a
a( p
)
( )
0
( ) Q -
h
c c
avec
u
m( p )k( p ) 1
1
= -
Q + I
éq
4.1.1.3-2
0
c
6h
3
c
4.1.2 Dérivée par rapport à la variable d'écrouissage
1
2
f
1 g(s) a( p
)
g(s) a
u
=
-
Log
-
éq
4.1.2-1
p
a( p
)
0
0
p
p
c c
h
c c
h
avec
u
1
(km)
= -
( p) g 1 (km)
-
( p) (ks)
I +
éq
4.1.2-2
0
1
( p)
p
p
p
p
6
h
3
c
c
c
4.2
Dérivée totale du critère par rapport au multiplicateur plastique
Considérons la fonction :
~
2
*
f (
)
-
~
=
e
e
p
f s - 2
µ G, I - K
3
G, +
G
éq
4.2-1
1
II
3
Où G est un tenseur fixe indépendant de
. C'est de cette fonction dont nous cherchons le zéro
pour trouver l'état de contrainte :
*
f
f
= -
( ~
. 2µG + KGI)
f
2 ~
+
G
éq
4.2-2
p
II
3
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4.3
Dérivées des paramètres par rapport à la variable d'écrouissage
s = - 1
p
si
<
e
p
e
éq 4.3-1
s =
p
0
si
e
p
m
= - c
p
si
<
e
s
p1
éq 4.3-2
m
p
= 0
si
e
s
apic
m
a
c
p1
pic
p1
a
= -
Log m
+1
m
+
p
1
si
<
pic
2 pic
e
a
1
a
p
c
c
éq
4.3-3
ae
m
c
p2 a
e
p2 a
= -
p
Log m
m
si
e
2 e
e
a
p2
c a
c
( - a a
ult
e )
-
=
e
pic
éq
4.3-4
p
( p
p
) -1 +( p)
1
( )
1- a
2
e
e
-
ult
( - p
ult
)
a
1- a
=
pic
éq 4.3-5
( + )2
1
m
m a
m s
=
+
p
si
< e
p
a p
s p
m
m a
=
si
3
ult (1 -
-
10 ) > p
e
éq
4.3-6
p
a p
m
-3
p
= 0
si ult (1 -10 ) <
p
1
k
2 2a
2 1
= -
a
Log
ult (1- -
10 3 )
p
>
p
3
3 2 2
a p
éq
4.3-7
k
= 0
sinon
p
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5
Opérateur tangent en vitesse
La condition
f& = 0
éq 5-1
s'écrit :
.
& =
f
f
& + f p
= 0
ij
p
ij
2
A partir de l'expression de la déformation déviatorique plastique cumulée p
p p
=
e e et de la
ij ij
3
p
~
relation e
G
& = & , on trouve alors la condition :
f
f
2 ~
f& =
& +
G = 0
ij
&
p
3
II
ij
Ce qui nous donne pour le multiplicateur plastique :
f &ij
ij
&= -
2 f ~
G
p
II
3
En considérant alors la relation contraintes/déformations :
f
f
f
f
f
& =
D & =
D =
D & - &
D G
ij
ijkl
kl
ijkl
ijkl
kl
ijkl
kl
ij
ij
ij
ij
ij
et en la reportant dans l'expression de & on peut écrire :
f
f
D & - &
D G
ijkl
kl
ijkl
kl
ij
ij
&= -
2 f ~
G
p
II
3
Soit :
f D
ijkl &kl
ij
= -
&
éq 5-2
2 f ~
f
G -
D G
p
II
ijkl
kl
3
ij
En reportant ce résultat dans l'expression de & on trouve :
ij
f
D
&
ijkl
kl
ij
& =D
&
G
éq
5-3
ab
abcd
+
cd
cd
2 f ~
f
G -
D G
p
II
ijkl
kl
3
ij
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Loi de comportement de Laigle
Date :
09/09/05
Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
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6
Traitement numérique adapté aux modèles non réguliers
La loi d'évolution du mécanisme plastique, définie au chapitre [§3], doit satisfaire la condition
cinématique [éq 3.2.4-2]. La projection proposée sur la normale de l'hypersurface de déformation peut
conduire à une « non-solution » qui se traduit par un échec du traitement numérique (voir
l'interprétation graphique du chapitre [§6.1.3.3]). On propose dans ce chapitre de définir des règles de
projection permettant de gérer les modèles dits « non-réguliers » en leur imposant une projection dite
« au sommet du cône ».
De plus, comme pour d'autres relations de comportement, on ajoute la possibilité de découper
localement (aux points de Gauss) le pas de temps pour faciliter l'intégration numérique.
6.1
La projection au sommet du cône
6.1.1 Définition de l'angle de projection
On se place dans ce chapitre dans le cadre d'accroissement fini. Les équations traduisant le
comportement élastique s'écrivent :
s = s- + µ
2 (
p
e
- e
) e
p
= s - 2 e
µ
éq
6.1.1-1
I = I - + 3K
éq
6.1.1-2
1
1
(
p
-
= I - 3K
v
v )
e
p
1
v
On peut également exprimer la condition cinématique à partir du tenseur n (cf paragraphe [§3.2.4]) :
.
n p
= 0
éq
6.1.1-3
En reportant les deux équations traduisant le comportement élastique dans l'expression précédente on
trouve :
1
e
p =
(se -s) éq
6.1.1-4
2µ
p
1
=
-
éq
6.1.1-5
v
(Ie I
1
1 )
3K
On exprime alors la condition cinématique par la relation suivante :
s + I
1 e
e
s
.
n
(s -s) 1 1
+
(I
II
1 - I1 )I = 0 avec n =
2µ
3K 3
K
2
+ 3
Soit en combinant les deux relations précédentes où n désigne la normale de l'hypersurface de
déformation :
s + I
1
sII
(se -s) 1
+
(Ie - I Tr n =
1
1 ).
( ) 0
2
2
µ
9
+ 3
K
1
s (. e
s - s)
1
+
(Ie - I =
1
1 )
0
2µ
s
3K
II
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Cette dernière équation définit le point (I ,s comme une projection du point ( e e
I ,s ) sur le critère. Le
1
)
1
point (I , s
sera la projection oblique du point ( e e
I , s ), projection dont la direction varie avec . On
1
II )
1
II
peut en donner la représentation graphique du chapitre [§6.1.3.3].
La relation précédente peut alors être réécrite comme suit :
3K s ( e -
e
s
s)
I - I =
-
éq
6.1.1-6
1
1
.
µ
2
sII
On définit alors l'angle de projection s par la relation :
s (.se - s)
cos =
éq
6.1.1-7
s
sII (se - s)(se - s)
En reportant la définition de l'angle s dans la relation de projection on trouve la relation :
e
I - I
3K
( 1 1
=
-
cos
éq
6.1.1-8
e
s - s)(s - s)
s
e
µ
2
6.1.2 Existence de la projection
Le principe de ce paragraphe est de discuter sur la question de l'existence de l'angle tel que la
s
projection du point ( e e
I ,s ) appartienne toujours à la surface de charge. Cette problématique apparaît
1
essentielle pour des projections autour du sommet de la surface de charge, autrement dit quand
s 0 . On a par définition la relation :
s (.se - s)
s (.se - s)
cos =
éq
6.1.2-1
s
s
s
II
(
=
se - s)(se - s)
se - s
II
e
p
e
~
En combinant cette équation avec l'expression : s = s - 2µ e
= s - 2µ G
On obtient :
~
.
s G
cos =
éq
6.1.2-2
s
~
s G
II
II
On cherche une estimation de coss .
~
s G
.
Etape 1 : estimation de
sII
On se place dans ce paragraphe sous les conditions : s 0 et f = 0 .
~
~
Tr(G)
f
Par définition de G et de G on a : G s
. =
f
G -
I s. = G s. =
-
n n
s.
3
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Pour des soucis de simplification de calcul on ramène la résolution de f à la résolution de l'équation :
1
g(s) a( p
)
p
f =
- u(
g
a
s
, p
)
( )
= 0 f =
p
2
- u(, ) ( ) = 0
éq 6.1.2.3
0
0
c c
h
c c
h
Par dérivation de cette nouvelle fonction on trouve la relation :
f
1
g
p
a -
2
p
p
1 u
p
1
a -
=
-
1
a( )u(
p
p
u
, ) ( )
=
Q
- a( )u(, ) ( )
0
h
0
h
c c
c c
u
m( p
)k( p
) 1
1
avec :
= -
Q + I
0
h
c
6
3
c
Qui donne après simplification :
f
2 = Q
A + I
B
éq
6.1.2.4
Où :
1
a( p
)m( p
)k( p
)
p
a -1
A =
1+
u(, p
) ( )
0
c c
h
6
éq
6.1.2.5
a( p
)m( p
)k( p
)
p
a -
B =
u(, p
) ( ) 1
0
3 c c
h
s + I
f
sII
A
3B
On a ainsi :
2 .n = (AQ + BI).
=
.
Q s +
2
+ 3
2
+ 3
2
sII
+ 3
Et par voie de conséquence :
~
f
f
G s
. =
-
n n
s.
s
+ I
A
3
=
B
s
Q
A + I
B -
Q s
. +
.
II
s.
2
+ 3
2
sII
+ 3
2
+ 3
3A
3B
=
.
Q s -
s
2
2
II
+ 3
+ 3
D'où l'on déduit que :
~
G.s
3A
.
Q s
3
B
=
-
éq
6.1.2.6
2
sII
+ 3
2
sII
+ 3
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Par définition de Q on a :
g
1
cjs
s
54
cjs
det(s)
Q s
. = dev
s. =
1+
cos(3 )
+
dev
.
s
h( )
s
5
2
sII
6 2
s
II
s
1
cjs
=
1+
cos(
3 )
h( )
s
5
II
2
= h( )s
II
On exprime finalement :
~
G.s
3A
B
=
h( )
3
-
éq
6.1.2.7
2
sII
+ 3
2
+ 3
1
Quand s 0 alors u( , p
) 0
et
A
, B 0
0
h
c c
Et donc :
~
G.s
3h( )
Quand s 0 alors
éq
6.1.2.8
0
s
s
II
0
c c
h ( 2
+ 3)
~
Etape 2 : estimation de G
II
1
On se place dans ce paragraphe sous les conditions : s ,
0 A
, B 0
0
h
c c
~
f
f
G =
-
nn
s
+ I
1
1
3B
sII
=
Q + I
B -
Q s
0
h
. +
0
2
2
h s
c c
.
2
+3 c c II
+ 3
+
3
2
1
h( )
=
Q -
h0
2
+ 3 h0s
c c
(
)
s
c c
II
2
4
2
~
Q
h s
2
~ ~
h
II
( ) 2
2
2
II
( )
G = G.G =
+
-
II
( h
+ h s
+ h
c c )
2
2
0
(
)2
2
3 ( c c )2
0
2
II
( 2 )3( c c )2
0
2
2
2
1
h
2
( +6) ( )
= (
Q
II
h
c c )2
0
-
2
(2 + )
3
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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R. FERNANDES, C. CHAVANT
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On démontre [Annexe 2] que :
2
2
1
2
cjs
cjs
cjs
Q =
1+
cos
éq 6.1.2.9
II
(
3 ) +
+ cos
cjs
(
3 ) 1+
cos(
3 )
h( )
10
2
4
2
et donc comme h( ) = (1 + cos
:
cjs
(3 ) 1/6
2
~
h
cjs
h
h
2
1
1
1
( )6
2
6
1
6
2 2
2
G =
+
+
+
6
h
1
II
2
10
(
- )
( )
( + ) ( )
( 0
h
c c )
( )
+
-
h( )
2
2
4
2
2
2
2
( + )3
~
1
3h
1
1
cjs
h
2
( )2
2
2
2
2
-
( +6) ( )
G =
II
( hcc )2
0
+
4
2h( ) +
4
4h( ) -
10
2
(2 + )
3
2
2
~
h
2
( )
1
2 -1
cjs
3
G =
+
+
- 1
II
0
h
c c 2h( )6
4h( )
12
2
+ 3
4
Et par conséquent :
~
h( )
2
2
3
1
1
-1
G
cjs
=
- +
+
II
0
2
h
éq
6.1.2.10
+
c c
3
4
2h( )6
4h( )12
Etape 3 : estimation de cos
s
On déduit des deux paragraphes précédent l'expression de l'angle de projection suivante :
Quand s 0 alors :
3
cos
éq 6.1.2.11
s
2
2
1
-
(
3 1
1
cjs
2
+ )3
- +
+
2
3
+ 4
(
2 1+
(
cos 3) )
cjs
(
4 1+
(
cos 3) )2
cjs
On remarque que dépend de l'angle de Lode , et que par voie de conséquence la limite de
s
l'angle de projection quand s 0 n'existe pas. Cependant un encadrement de cos nous permet
s
de déterminer une zone de projection au sommet à priori (démonstration de l'encadrement en
[Annexe 3]) :
cos min
cos cos max
s
s
s
min
3
cos
=
s
2
avec
:
2
2
3
cjs
éq 6.1.2.12
( +3)
+
2
+ 3
4(1- 2
cjs )
cos max
= 1
s
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6.1.3 Règles de projection
On appelle 0
I l'intersection du domaine de réversibilité avec l'axe hydrostatique. On obtient :
1
0
3
s( p
c
)
I =
.
éq
6.1.3-1
1
m( p
)
En reportant 0
I et l'encadrement de cos , quand s 0 , dans la relation
1
s
e
I - I
3K
( 1 1
=
-
cos , on en déduit les règles de projection suivantes en fonction du
e
s - s)(s - s)
s
e
µ
2
signe du paramètre de dilatance , et pour des valeurs de e
I et de e
s données :
1
II
6.1.3.1 Cas où le paramètre de dilatance est négatif
e
0
I - I
3K
Si 1
1
min
< -
cos
alors la projection sera régulière ;
se
2
s
µ
II
e
0
I - I
3K
Si 1
1
max
> -
cos
alors la projection sera au sommet.
se
2
s
µ
II
6.1.3.2 Cas où le paramètre de dilatance est positif
e
0
I - I
3K
Si 1
1
max
< -
cos
alors la projection sera régulière ;
se
2
s
µ
II
e
0
I - I
3K
Si 1
1
min
> -
cos
alors la projection sera au sommet.
se
2
s
µ
II
6.1.3.3 Interprétation
graphique
( e e
I , s )
1
II
sII
3K
min
-
cos
3K
2
s
µ
max
-
cos
2
s
µ
Zone de projection régulière
Zone intermédiaire
( e e
I , s )
1
II
Zone de projection au sommet
0
I
I
1
1
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6.1.3.4 Equations
d'écoulement
Dans la zone intermédiaire on résout les équations correspondant à une projection régulière. Si cette
résolution ne donne pas de solution on résout alors les équations d'écoulement de la projection au
sommet.
Dans le cas de la projection au sommet on a les relations :
s = 0 éq
6.1.3.4-1
0
3
s
. ( p
c
)
I
=
éq
6.1.3.4-2
1
m( p
)
p
1
2 e
=
s éq
6.1.3.4-3
II
2µ 3
6.2
Redécoupage local du pas de temps
Comme pour d'autres relations de comportement (le modèle CJS par exemple) on a ajouté la
possibilité pour le modèle de LAIGLE de redécouper localement (aux points de Gauss) le pas de
temps afin de faciliter l'intégration numérique. Cette possibilité est gérée par l'opérande
ITER_INTE_PAS du mot-clé CONVERGENCE de l'opérateur STAT_NON_LINE. Si la valeur de
ITER_INTE_PAS (itepas) vaut 0,1 ou 1 il n`y a aucun redécoupage (remarque : 0 est la valeur par
défaut). Si itepas est positif le redécoupage est systématique, s'il est négatif le redécoupage est pris
en compte uniquement en cas de non convergence numérique.
Le redécoupage consiste à réaliser l'intégration du mécanisme plastique avec un incrément de
déformation dont les composantes correspondent aux composantes de l'incrément de déformation
initial divisées par la valeur absolue de itepas (cf doc STAT_NON_LINE [U4.51.03]).
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7
Les variables internes
Pour la mise en oeuvre informatique nous avons retenu les 4 variables internes suivantes :
7.1
V1 : la déformation déviatoire plastique cumulée
La variable d'écrouissage p
est proportionnelle au deuxième invariant du tenseur des déformations
déviatoires.
2
p
p p
=
e e
ij ij
3
tr
p
p
( pij)
avec e = -
ij
ij
ij
3
7.2
V2 : la déformation volumique plastique cumulée
La déformation volumique plastique est définie par la relation présentée au paragraphe [§3.2.4] sur la
loi d'évolution du mécanisme plastique : p
= G
v
& &
7.3
V3 : les domaines de comportement de la roche
Cinq domaines de comportement, numérotés de 0 à 4 (cf. figure), sont identifiés pour permettre d'avoir
une représentation relativement simple de l'état d'endommagement de la roche, depuis la roche
intacte jusqu'à la roche à l'état résiduel. Ces domaines sont fonction de la déformation déviatoire
plastique cumulée p
et de l'état de contrainte. Chaque incrément de numéro de domaine définit le
passage dans un domaine d'endommagement supérieur.
· Si le déviateur est inférieur à 70% du déviateur de pic, alors le matériau est dans le domaine
0 ;
· Sinon :
- Si p
= 0 alors le matériau est dans le domaine 1 ;
- Si
p
0 < < e alors le matériau est dans le domaine 2 ;
- Si
p
< < alors le matériau est dans le domaine 3 ;
e
ult
- Si p
> alors le matériau est dans le domaine 4.
ult
Domaine Etat de la roche
0 Intacte
1 Endommagement
pré-pic
2 Endommagement
post-pic
3 Fissurée
4 Fracturée
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7.4
V4 : l'état de plastification
C'est un indicateur interne au Code_Aster. Il vaut 0 si le point de gauss est en charge élastique ou en
décharge, et vaut 1 si le point de gauss est en charge plastique.
8
Présentation détaillée de l'algorithme
On retient une formulation implicite par rapport au critère et explicite par rapport à la direction
d'écoulement : le critère devra être vérifié à la fin du pas, alors que la direction d'écoulement sera celle
calculée au début du pas (et donc la valeur de la dilatance sera également celle calculée au début du
pas de temps).
On se place en un point matériel, et on considère que sont donnés :
· Le tenseur d'accroissement des déformations
d'où l'on déduit e
et
;
v
· Les contraintes au début du pas -
d'où l'on déduit -
s et -
I ;
1
· Les valeurs des variables internes au début du pas de temps (seule la déformation plastique
-
cumulée p est nécessaire).
Il s'agit de calculer :
· Les contraintes en fin de pas de temps ;
· Les variables internes en fin du pas de temps ( p
, p
, les domaines de comportement) ;
v
· Le comportement tangent en fin de pas :
8.1
Calcul de la solution élastique
e
=
- - T
e
s
=
-
s
+ 2µe
e
I
= I -
+ 3K
1
1
v
8.2
Calcul du critère élastique
Calcul de e
e
g = s h( e
)
II
m = ( -
-
p
m
) s = ( -
-
p
s
) a = ( -
-
p
a
)
Calcul de
,
,
et -
k = k( -
a )
- -
e
- -
e
m k g
m k
Calcul de
e
-
-
u = -
-
I + s k
6 h0
1
3
c
c
c
1
e
a
g
-
Calcul de e
e
f =
- u
h0
c c
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8.3 Algorithme
Si e
f > 0
Calcul de :
-
-
s
0
3 .
c
-
I
=
;
g = g s
1
-
( -)
m
-
= m s a
C
C m s a
C
0 (
-
-
-
, ,
)
-
;
= 0( - - -
, ,
)
-
;
= t0( - -
,
)
0
0
t 0
0
0
-
= '( - - -
I , g , )
-
;
= ( -
' )
-
;
1
t 0
= ( -
)
Calcul à priori de la projection au sommet
-
1
2
3 s
. ( p
c
)
s = 0
sommet
; Calcul de p
p
e
p
=
+
s =
et de I =
= I
.
II
2µ 3
1
m( )
sommet
p
1
( eI - sommet)< -3K
I
- e
s
s
1
1
cosmax
-
si
;
II
<
0
µ
2
Si (
e
I - sommet )< - 3K
I
- e
s
s
1
1
cosmin
-
si
;
II
0
µ
2
La projection au sommet n'est pas retenue à priori. On calcule la solution régulière.
Q( -
f
G( - -
, ) -
si
f
n( - -
, ) -
-
)
-
si 0
si 0
0
Q =
n
=
G
=
Q(e )
-
si = 0
n(e,e )
-
si = 0
G(e,e )
-
si = 0
-
Si p
= 0
0
-
Initialisation
0
p
p
0
e
0
e
0
e
= 0;
=
;s = s ; I = I ; f = f
1
1
1p
= 1 max e
10
ij
Et
1
p
1
p
=
3
~
fb
G
2
II
Sinon
Calcul de l'accroissement du multiplicateur plastique
par Newton :
0
-
Initialisation
0
p
p
0
e
0
e
0
e
= 0;
=
;s = s ; I = I ; f = f
1
1
u
0
u
-
m- k -
-
- m-
=
= -
Q - k
I
6 h0
3
c
c
c
u 0
1
(km)
e
= -
g
1
km
ks
I
p
( -p
p
)
( )
-
0
( -p
p
) e ( )
+
1
( -p
p
)
6
h
3
c
c
c
1
f 0
1 1
- -
-
1 a
a
0
e
u
f
-
-
-
=
g a
-
0
( ) Q -
a
h
c c
1
2
0
e
-
e
a
f
1 g
g a
0
-
u
f
-
=
-
log
-
-
p
0
0
( p
p
) p
p
a h
h
c c
c c
f 0*
f 0
~
f 0
2 ~
= -
( f
f
. 2µG + KG I)
f
+
G
p
II
3
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Boucle itérations n
n
f
n+1
n
= - f
n 1
+
n
n 1
+
=
+
n 1
+
2 ~
n 1
p
n 1
f
p
p +
+
f
=
G
;
=
G
II
v
3
n 1
+
+
~
n 1
n 1
e
p
f
n 1
e
p +
+
f
s
= s - 2
µ
G
;
I
= I - K
3
G
1
1
n 1
Si
+
p
< 0 Non convergence
Calcul
n 1
+
Q
n 1
+
g
= g( n 1+
s ) ;
n
m
= m( n 1
1
+
+
p
) ; ns = s( n 1
1
+
+
p
); na = a( n 1
1
+
+
p
); n 1+
k
= k( n 1+
a ) ;
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
m k
g
m k
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u
= -
-
I
+ s
k
0
1
6
h
3
c
c
c
1
n 1
+
n 1
g
+
a
n 1
+
n 1
+
f
=
-
u
0
h
c c
n+1
n+1
n+1
n
u
m
k
1
+1
+1 m +
= -
Qn
n
- k
I
6 h0
3
c
c
c
n+1
u
1
(km)
n+
n+
1
1
p
g
1
(km) n+1
p
n+
(ks)
= -
n+
-
I
+
1
1
p
p
6
p
0
h
c
c
c
p
1
3
p
1
n 1
n 1
+
n 1
f
1 1
- +
+
a
n+
a
n+
n
u
+
n
1
+
=
a
g
Q
-
n 1
+
0
( 1)1
1
1
a
h
c c
1
n+
2
1
n+1
n+1
n
a
f
1 g
g +1 a
+1
n+1
u
=
-
log
+
-
p
n 1
0
0
( ) n
p
p
p
a h
h
c c
c c
n 1*
+
n
f
f 1
+
+
= -
( ~
1
f
2 ~
. 2µG + KG I)
n
f
f
f
+
G
p
II
3
Si
n
f +1 / >
c
prec
n=n+1
Si n > nbre ite internes max
( eI - sommet)> -3K
I
e
s
1
1
cos min
si
;
s
II
< 0
2µ
Si
( eI - sommet)> -3K
I
e
s
1
1
cos max
si
;
s
II
0
2µ
sommet
On retient la projection au sommet :
sommet
p
p
s = 0; I = I
;
=
1
1
Sinon
Non convergence
Sinon
Non convergence
Sinon
Convergence
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Si FULL_MECA
Calcul de :
T
n
+1
f
f
H G
.
.
H
n
+1
= H
+
T
n+1
n
2 f
~
+1
f
f
f
G -
HG
p
II
3
Symétrisation mécanique :
n+
1
n+1
+ T
n 1
sym = 1
+
2
9
Variante sur l'expression du critère de plasticité
Dans cette proposition variante, on exprime le critère de plasticité en fonction du premier invariant et
du déviateur des contraintes, par un recalage sur un triaxial en compression et en extension par les
relations suivantes :
9.1 Formulation
générale
s a p
II
(1 )
f =
-
p
u(, ) 0 éq
9.1-1
c
Où l'expression de (
p
u , ) est :
Si
0
cjs
+ 0 - 0
2
u(, )
m( p k
h
h
h
p
) ( p) ( )
m
k
t
c
( p) ( p)
= -
-
I + s
éq 9.1-2
0
0
1
( p
) k( p
)
6
h - h
3
c
t
c
c
Si
= 0
cjs
3 1
u(, )
m( p
p
)k( p)
= -
+ cos(
3 )
m( p )k( p )
-
I + s
1
( p)k( p) éq
9.1-3
6
2 2
3
c
c
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9.2
Allure des seuils
On se place dans le cas où
=
;
7
.
0
m =
;
21 s =
;
1 a = 1, puis on trace l'allure des seuils dans
cjs
le plan perpendiculaire à l'axe hydrostatique (dit plan ), on normalise par rapport à c et on
considère les deux valeurs de confinements telles que I = 0 [Figure 9.2-a] et I = -
3
1
1
c
[Figure 9.2-b].
I1/3SIGC=0
0,1
0,05
)
t
a
(
t
e
0
Formulation
s
o
bis
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
Version 2
)
*
C
Formulation
c
Version 1 bis
compression
ig
-0,05
II/s
(
S
-0,1
-0,15
(SII/sigc)*Sin(teta)
Figure 9.2-a : Allure des seuils pour un confinement nul
I1/3SIGC=-1
2
1,5
1
)
t
a
0,5
(te
Formulation
s
o
0
bis
Version 2
Formulation
)*C -2
-1
0
1
2
c
-0,5
Ve
co rsion
mpre 1
ssibi
o s
n
i
g
I
I
/
s
-1
(S
-1,5
-2
-2,5
(SII/sigc)*Sin(teta)
Figure 9.2-b : Allure des seuils pour un confinement en compression nul
On constate dans ces représentations graphiques que la formulation bis a l'inconvénient d'avoir une
allure non convexe dans le plan .
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Version
7.4
Titre :
Loi de comportement de Laigle
Date :
09/09/05
Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
Clé :
R7.01.15-A Page
: 31/34
10 Bibliographie
[1]
F. LAIGLE : Aval du cycle Ouvrages souterrains Modèles rhéologiques pour l'analyse du
comportement mécanique des roches. Note EDF-CIH IH.AVCY.01.003.A (2001).
[2]
Ph. KOLMAYER : Aval du cycle Ouvrages souterrains Ecriture de la loi de comportement
du CIH sur une base du modèle Cambou-Jafari-Sidoroff (CJS) connue du Code_Aster. Note
EDF-CIH.IH.AVCY.38.005.A (2002).
[3]
C. CHAVANT : Spécifications pour l'introduction d'un modèle de roche dans le Code_Aster.
Note EDF-I74/E27131.
[4]
C. CHAVANT, Ph. AUBERT : Loi CJS en géomécanique. Document de Référence du
Code_Aster R7.01.13.
[5]
Ph. KOLMAYER, R. FERNANDES, C. CHAVANT, 2004 : « Numerical implementation of a
new rheological law for argilites", Applied Clay Science 26, 499-510.
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Loi de comportement de Laigle
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09/09/05
Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
Clé :
R7.01.15-A Page
: 32/34
Annexe 1 Recalage du critère sur le triaxial en compression
En prenant l'expression générale du critère sous les conditions d'un triaxial en compression, on trouve :
1
g(s) ( p) m( p
a
)k( p
) g(s) m( p
)k( p
)
f =
- -
-
I + s
0
0
1
( p
) k( p
)
h
6
h
3
c c
c
c
c
1
2
a( p
)
2
- h
h
1
3
p
p
-
3
1 m( )k( )
1
3
3
m( p
)k( p
)
=
+
+
( +
2
0
0
1
3 ) - s( p
) k( p
)
6
3
h
h
c c
c
c
c
c
1
a( p )
2
-
1
3
(
m p )k( p ) 2
(
m p )k( p )
=
3
+
- +
( +2 )-s( p )k( p )
1
3
1
3
6
3
3
c
c
c
1
a( p )
2
1
m p k p
m p k p
=
3
(
-
)
(
) (
)
(
) (
)
a( p )
+
-
+
( +2 )-s( p )k( p )
1
3
1
3
1
3
3
3
c
c
c
1
a( p )
2
1
m p k p
m p k p
=
3
(
-
)
(
) (
)
a( p )
+
(
- )
(
) (
)
+
( +2 )-s( p )k( p )
1
3
3
1
1
3
3
3
c
c
c
1
a( p )
2
1
m p k p
=
3
(
-
)
(
) (
)
a( p )
+
( )-s( p )k( p )
1
3
3
c
c
1
2 a( p
)
1
3
1
p
p
2
=
( -
1
3 )
m
a( p
)
a( ) ( )
-
(-3)+ s( p
)
c
3
c
1
2 a( p
)
1
1
p
3
m
=
( -
1
3 )
( )
a( p
) - ( c )
p
a( p )
(-3)+ s( )
c
c
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Titre :
Loi de comportement de Laigle
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Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
Clé :
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: 33/34
Annexe 2 Normalisation de Q
1
cjs
s
54
cjs
det(s)
Q =
1+
cos(
3 )
+
dev
h( )5
2
2
sII
6.sII
s
det(s)
det(s)
On pose t=
et t d = dev
(cf document de Référence CJS R7.01.13)
s
s
1
3
54
2
cjs
2
2
cjs
d
d
cjs
cjs
Q = .
Q Q =
1+
cos 3
.
t .t
1
cos 3
.
s t
II
( ) +
+
+
( ) d
h()
10
4
3
2
2 s
3 s
.
2
II
II
Pour évaluer cette expression, on se place dans le cas où s est diagonal par soucis de simplification des
calculs.
s
s
2 s - s s - s s
2 3
1 2
1 3
1
s
s
2 s - s s - s s
2
1 3
1 2
2 3
s
d
1 s
2 s - s s - s s
3
Ainsi : s=
1 2
1 3
2 3
et t =
0
3
0
0
0
0
0
En utilisant la propriété de s : s + s + s = 0
4
2 2
2 2
2 2
1
2
3
, on montre que s
= 4
II
( 1ss2 + 1ss3 + s2s3 ) et par
conséquent :
s
2 s - s s - s s
s
2 s - s s - s s
2 3
1 2
1 3
2 3
1 2
1 3
s
2 s - s s - s s
s
2 s - s s - s s
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
2 3
-
-
-
-
d
d
1
s
2 s
s s
s s
s
2 s
s s
s s
1 2
1 3
2 3
1 2
1 3
2 3
s4
t .t =
.
II
=
9
0
0
6
0
0
0
0
On montre également à partir de la propriété s + s + s = 0
3
3
3
1
2
3
que s + s + s = 3s s s = .
3 det(s)
1
2
3
1 2 3
et par
conséquent :
s
s
2 s - s s - s s
1
2 3
1 2
1 3
s
s
2 s - s s - s s
2
1 3
1 2
2 3
. 54
. 54
cjs
d
cjs
s
s
2 s - s s - s s
. 54
.
s t =
3
.
1 2
1 3
2 3 = cjs
det(s) = .cos
3
3
3
cjs
(
3 )
s
.
3
s
.
9
0
0
s
II
II
II
0
0
0
0
On en déduit ainsi :
2
2
1
2
cjs
cjs
cjs
Q =
1+
cos
II
(
3 ) +
+ cos
cjs
(
3 ) 1+
cos(
3 )
h( )
10
2
4
2
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Titre :
Loi de comportement de Laigle
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09/09/05
Auteur(s) :
R. FERNANDES, C. CHAVANT
Clé :
R7.01.15-A Page
: 34/34
Annexe 3 Encadrement de l'angle de projection
3
On rappelle que coss
s 0
(
3
1
1
-1
2
+ )
2
2
3
cjs
- +
+
2
+ 3
4
2
(1+ cos
cjs
(3 )) 4(1+ cos
cjs
(3 ))2
2
1
-1
On pose : X() =
+
où [ ,
0 2
[
2(
cjs
1+ cos
+
cjs
( )
(41
cos( ) 2
cjs
On note que : X(- ) = X() , la fonction X étant paire on restreint l'intervalle d'étude à [ ,
0 [
.
dX
sin
cjs
( )
La résolution de
= 0 donne
.
+
=
3
cjs (
.
cos
cjs
) 0
d
2(1+ cos
cjs
( )
( )
On en déduit que les bornes inférieure et supérieure de la fonction X sont :
X( = )= 1
0
4
(cjs ) =
1
X
4(
où
cos
que
est tel
1- 2cjs )
cjs
(cjs)= -
cjs
On peut ainsi donner l'encadrement de cos suivant :
min
max
cos
cos cos
avec :
s
s
s
s
min
3
cos
=
s
2
2
2
3
cjs
( + )3
+
2
+ 3
4(1- 2
cjs )
cos max
= 1
s
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