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Modèle de Rousselier pour la rupture ductile


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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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Modèle de Rousselier pour la rupture ductile




Résumé

Le modèle de Rousselier décrit l'endommagement dû à la croissance plastique de cavités dans un métal. Il
permet de modéliser la fissuration et la rupture ductile. La relation de comportement est élastoplastique ou
viscoplastique avec écrouissage isotrope. Elle permet les changements de volume plastique et est écrite en
petites déformations. L'écriture en grandes déformations avec une formulation de Simo et Miehe modifiée, dans
le cas élastoplastique seulement, est décrite dans [R5.03.06].
Ce modèle est disponible dans la commande STAT_NON_LINE par l'intermédiaire du mot-clé RELATION =
'ROUSS_PR' ou 'ROUSS_VISC' sous le mot-clé facteur COMP_INCR et avec le mot-clé DEFORMATION =
'PETIT_REAC'.
Ce modèle est implanté pour les modélisations tridimensionnelle (3D), axisymétrique (AXIS), en contraintes
planes et en déformations planes (C_PLAN, D_PLAN).

On présente l'écriture et le traitement numérique de ce modèle.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Notations................................................................................................................................................4
3 Modèle de Rousselier ............................................................................................................................5
3.1 Dérivation des équations du modèle ...............................................................................................5
3.2 Equations du modèle .......................................................................................................................7
4 Formulation numérique..........................................................................................................................8
4.1 Mots clés, données matériau et variables internes .........................................................................8
4.2 Expression du modèle discrétisé.....................................................................................................8
4.3 Résolution de l'équation scalaire non linéaire ...............................................................................10
4.4 Expression de la matrice tangente du comportement...................................................................10

5 Bibliographie ........................................................................................................................................12
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1 Introduction

Les mécanismes à l'origine de la rupture ductile des métaux sont associés au développement de
cavités au sein du matériau. On distingue généralement trois phases :

· germination : il s'agit de l'amorçage ou nucléation des cavités, en des sites qui correspondent
préférentiellement aux particules de seconde phase présentes dans le matériau,
· croissance : c'est la phase qui correspond au développement proprement dit des cavités,
piloté essentiellement par l'écoulement plastique de la matrice métallique qui entoure ces
cavités,
· coalescence : c'est la phase qui correspond à la localisation de la déformation entre les cavités
pour créer des fissures macroscopiques.

Le modèle de Rousselier [bib1], [bib2], [bib3] présenté ici se fonde sur des hypothèses
microstructurales qui introduisent une microstructure constituée de cavités et d'une matrice dont les
déformations élastiques sont négligeables comparées aux déformations plastiques. Dans ce cas, et en
l'absence de nucléation de nouvelles cavités, la porosité f, définie comme le rapport entre le volume
de la cavité c
V et le volume total V du volume élémentaire représentatif, est directement reliée à la
déformation plastique macroscopique par :
c

1- f
0
0
V
=


avec f =

f& = (1- f )
p
tr &
éq
1-1

1- f
V
f0 désigne la porosité initiale, et sont respectivement la masse volumique dans les
o
configurations initiale et actuelle (on prend dans la suite = 1 ) et p

o
& le taux de déformation
plastique du volume total V.
La construction du modèle repose sur une analyse thermodynamique et phénoménologique qui amène
à écrire le potentiel plastique F sous la forme suivante :
(

F , p, f ) = + D f exp m - R( p) éq
1-2
eq
1
1




1
= / est la contrainte de Kirchhoff, est la contrainte de Cauchy, R l'écrouissage isotrope
fonction de la déformation plastique cumulée p, et D des paramètres du matériau. La présence
1
1
dans le potentiel plastique de la contrainte hydrostatique autorise les changements de volume
m
plastique.
En cas de nucléation de nouvelles cavités, on considère que la fraction volumique créée est
proportionnelle à la déformation plastique cumulée. Il suffit donc de remplacer f par f + A p dans
n
les équations du modèle. A est un paramètre du matériau. L'équation [éq 1-1] n'est pas modifiée.
n
Dans le cas viscoplastique, on écrit le potentiel viscoplastique vp
F comme une fonction du potentiel
plastique F :
vp
F = ( ,
F p, f )









éq 1-3
On considèrera seulement le cas particulier tel que :
m


F
p& =
= &







éq 1-4
0 sh


F
0
qui se réduit à une fonction puissance (loi de type Norton) lorsque les deux paramètres du matériau
& et sont très grands.
0
0
Par la suite, on présente les relations de comportement du modèle de Rousselier et son intégration
numérique.
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2 Notations

On notera par :

Id
tenseur identité du deuxième ordre

II
tenseur identité du quatrième ordre

tr A
trace du tenseur du deuxième ordre A

~
~
1
A
A = A - ( tr A)

partie déviatorique du tenseur A définie par
Id
3


tr A
A
A =

partie hydrostatique du tenseur A définie par

m
m
3


3
A
~ ~
eq
valeur équivalente de von Mises définie par Aeq =
:
A A
2

T
:
produit doublement contracté : A : B = A B = tr(AB )
ij ij


i, j

produit tensoriel : (A B)
=
ijkl
ij
A kl
B

, µ, E, , K
coefficients de l'élasticité isotrope


2
p&
~
~

vitesse de déformation plastique équivalente
p
p
p =
&
&
: &
3














Par ailleurs, dans le cadre d'une discrétisation en temps, toutes les quantités Q évaluées à l'instant
précédent sont indicées par - , les quantités évaluées à l'instant t = t - + t
ne sont pas indicées et
les incréments sont désignés par . On a ainsi :

Q = Q- + Q


La résolution numérique est effectuée par une -méthode, avec 0 1. Pour toutes les quantités,
on définit :

Q = Q- + Q

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3
Modèle de Rousselier

Nous décrivons maintenant la dérivation des équations du modèle de Rousselier présenté en
introduction.

3.1
Dérivation des équations du modèle

On suppose que l'énergie libre spécifique se décompose en trois parties : une partie hyperélastique
qui ne dépend que de la déformation élastique, une partie liée au mécanisme d'écrouissage et une
partie liée à l'endommagement :
( e
,p, f ) = e ( e
)+ p (p)
f
+ ( f )
éq
3.1-1

L'inégalité de Clausius-Duhem s'écrit (on ne considère pas la partie thermique) :
: & - & 0








éq 3.1-2
expression dans laquelle
e
p
& = & + & représente le taux de déformation.

La dissipation s'écrit encore :

e
p


-
: & + : & -
p& -
f& 0 éq
3.1-3

e

p
f
Le second principe de la thermodynamique requiert alors l'expression suivante pour la relation
contrainte-déformation élastique :

=










éq 3.1-4
e


On définit les forces thermodynamiques associées à la déformation élastique, à la déformation
plastique cumulée et à la porosité conformément au cadre des matériaux standards généralisés :

( e
) =









éq 3.1-5
e


(

p) =
A










éq 3.1-6
p

(

f ) =
B










éq 3.1-7
f

Il reste alors pour la dissipation :
: p
& - A p& -
B f& 0
éq
3.1-8
Le principe de dissipation maximale appliqué à partir du potentiel viscoplastique Fvp (, A, B) permet
d'en déduire les lois d'évolution de la déformation plastique, de la déformation plastique cumulée et de
la porosité, soit :

p
vp
F
& =









éq 3.1-9


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F
vp
p& = -









éq 3.1-10
A
F
vp
f& = -









éq 3.1-11
B
On suppose que Fvp (, A, B) est une fonction du potentiel plastique F(, A, B) et que ce dernier se
décompose en deux termes dépendant respectivement du deuxième invariant de couplé à A et du
premier invariant de couplé à B :
Fvp = (F) = (F
+


éq
3.1-12
vM (
, A
eq
) Fm( ,B
m
)
Par hypothèse, le premier terme se décompose de façon additive comme le potentiel de von Mises :
F
= -
-
= -
éq
3.1-13
vM (
, A
eq
)
A
eq
(p) R
R( p)
0
eq
Pour ne pas obtenir un résultat trivial, la décomposition du second terme doit être multiplicative :
F
=

éq
3.1-14
m (
, B
m
) g( m )h(B)
Compte tenu de l'équation [éq 1-1], les lois d'évolution pour
p
tr & et f& conduisent à l'égalité :
g'(
-1 B
m )
h ( ( f )
=

éq
3.1-15
g(



1


- B
m )
f h( ( f )
Les deux membres de cette équation sont des fonctions des deux variables indépendantes et f ,
m
donc ils sont égaux à une constante de dimension l'inverse d'une contrainte, c'est le paramètre du
matériau 1/ . Le paramètre sans dimension D apparaît dans l'intégration de g / g :
1
1
g( )

= D exp m
éq
3.1-16
m
1
1




1
La fonction (
B f ) et la fonction inverse f = h (B sont inconnues. Le choix le plus simple et le plus
1
)
naturel est de prendre h h , ce qui donne :
1
h(B) h










éq 3.1-17
1 (B) = f
(B)
f
d
1
h
=
= -
f (1- f )
éq
3.1-18
dB
1
Le potentiel plastique s'écrit finalement :

F = + D f exp m - R( p) éq
3.1-19
eq
1
1




1

La loi d'évolution pour p& donne :
d(F)
p& =
= V (F)








éq 3.1-20
dF
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La fonction V (F) définit la viscosité du matériau. On considèrera seulement le cas particulier tel que :
m
F
V (F) = &
éq
3.1-21
0 sh


0
qui se réduit à une fonction puissance (loi de type Norton) lorsque les deux paramètres du matériau
& et sont très grands. Inversement on a :
0
0
F - S( p&) = 0









éq 3.1-22

1
1
m
p&

S( p&) =
-
sh

éq
3.1-23
0





&0




Dans le cas de la plasticité indépendante du temps, l'équation précédente devient F = 0 (critère ou
seuil de plasticité) et p& est donné par l'équation de consistance F& = 0 si F = 0 et p& = 0 si F < 0 .

Les équations du modèle sont maintenant complètement définies, dans le cas sans nucléation de
nouvelles cavités. En cas de nucléation de nouvelles cavités, on considère que la fraction volumique
créée est proportionnelle à la déformation plastique cumulée. Il suffit donc de remplacer f par
f + A p dans les équations du modèle. A est un paramètre du matériau. L'équation [éq 1-1] n'est
n
n
pas modifiée.

3.2
Equations du modèle

On résume les équations du modèle déduites de l'analyse thermodynamique et phénoménologique qui
précède :
1



m
p
m
-

&

= + D f + A p
- R p - sh
=


éq 3.2-1
vp
eq
1
1 (
n
)exp
( )
1
0




0






1
&0






=
= [(Id Id)+ 2µII] e
:
éq
3.2-2

1 - f - A p
n
=











éq 3.2-3
1 - f0
~
~
~ p
3
3
& = p&
= p









éq 3.2-4

&
2

2
eq
eq
p

tr & = p&D f A p exp m
éq
3.2-5
1 (
+ n )






1
f& = A (1-









éq 3.2-6
1
) p
f tr &
avec A = 1, ce paramètre étant introduit uniquement pour des raisons numériques.
1
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4 Formulation
numérique

4.1
Mots clés, données matériau et variables internes

En vue des applications prévisibles, le modèle a été implanté sous deux mots clés distincts :
`ROUSSELIER_PR` pour le modèle plastique avec nucléation de cavités ou `ROUSSELIER_VISC` pour
le modèle viscoplastique sans nucléation. Cela permet d'éviter des calculs numériques inutiles. Les
équations simplifiées correspondantes sont obtenues à partir des équations générales en posant
respectivement = 0 ou A = 0 .
0
n

L'ensemble des paramètres du modèle est fourni sous les mots clés facteurs `ROUSSELIER` ou
`ROUSSELIER_FO` et `TRACTION` (pour définir la courbe de traction) de la commande
DEFI_MATERIAU ([U4.43.01]). Les paramètres du modèle viscoplastique ( ,
0
& et m ) sont fournis
0
par le mot-clé `ROUSSELIER_VISC`.

Les variables internes produites dans le Code_Aster sont :

·
V1, la déformation plastique cumulée p,
·
V2, la porosité f,
·
V3 à V8, le tenseur de déformation élastique e
,
·
V9, l'indicateur de plasticité (0 si le dernier incrément calculé est élastique, 1 si solution
plastique régulière, 2 si solution plastique singulière).

Nous présentons maintenant l'intégration numérique de la loi de comportement et donnons
l'expression de la matrice tangente (options FULL_MECA et RIGI_MECA_TANG).

4.2
Expression du modèle discrétisé

La résolution numérique est effectuée par une -méthode, avec 0 1. Pour toutes les quantités
Q , on définit :
Q = Q- + Q

Q = Q- + Q

Le système d'équations discrétisé est :
~
~e
= 2µ = 2µ( ~
~ p
- ) éq
4.2-1
e
= Ktr
= K tr
- tr

éq
4.2-2
m
(
p )
~
p
3
~

= p











éq 4.2-3


2 eq
p




tr = pD f
A p exp m
éq
4.2-4
1 (
+ n )






1
f
= A









éq 4.2-5
1 (1 -
)
p
f
tr

1









m

p
m
-


=
+ D f + A p

- R p - sh
= éq 4.2-6
vp
eq
1
1 (
n
)exp
(
)
1
0
0






&


t
1
0





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Ce système se ramène à la résolution d'une seule équation scalaire pour l'inconnue f
, connaissant

, t
et les quantités -
Q . On note que n'intervient pas dans l'algorithme, par contre il
interviendra dans le calcul de la matrice tangente cohérente. On calcule successivement :


f


=
-

+ K tr

éq
4.2-7
m
m

-

A1(1-
f )
p
est la racine positive de l'équation du second degré :
A
f
p
f
A p
p

éq
4.2-8
n
( )2 + ( +
-
n
)

1
-
=
A -
f
D

1 (1
) exp
1
( m 1) 0
/


3
µ

p
~ = 1
-
- [
~
~
+ 2
µ

éq
4.2-9
~- +

µ ~
2
] (
)


eq
= ~-
+

µ ~
2

- 3
µ

éq
4.2-10
eq
[
]
p
eq
L'équation scalaire pour f
est l'équation [éq 4.2-6] = 0 .
vp

Remarque 1 :

Comme f
est très faible dans la plus grande partie de la structure, il serait préférable
d'utiliser
p
comme inconnue principale. Mais dans ce cas il n'est pas possible de se
ramener à une équation scalaire, ce qui rend plus difficile l'emploi d'une méthode de type
Newton. C'est aussi une des raisons pour lesquelles les équations
[éq 1-1], [éq 3.2-6] et
[éq 4.2-5] n'ont pas été modifiées par l'introduction de la nucléation des cavités.

Remarque 2 :

L'équation [éq 3.2-6] peut être intégrée exactement :
1
1
p
- f
tr =
ln
0
A1 1- f
d'où :
1

p
1 - -
f
tr =
ln


A
1
1- f
Comme le paramètre numérique A peut être modifié de façon discontinue, la forme dérivée
1
[éq 4.2-5] a été conservée, y compris dans le calcul de la matrice tangente cohérente. Si
l'utilisation du paramètre A devait être abandonnée dans une version ultérieure, il faudrait

1
envisager l'utilisation de la forme intégrée.

Remarque 3 :

La forme intégrée = 0 est utilisée, y compris en plasticité au lieu de la relation de
vp
consistance F& = 0 qui donne p& . La matrice tangente cohérente est calculée avec cette
forme intégrée.
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4.3
Résolution de l'équation scalaire non linéaire


La résolution de l'équation
(f
s'effectue par un algorithme de Newton à bornes contrôlées
vp
) = 0
dans la routine LCROUS. ( f
et sa dérivée par rapport à f
sont calculées dans la routine
vp
)
RSLPHI appelée par LCROUS. Les valeurs initiales des bornes sont :

· borne inférieure : f = 0 puisque
(on a vérifié au préalable que la branche
vp (0) < 0
1
élastique (seuil négatif) n'est pas solution),
· borne supérieure : f
tel que
cherchée par dichotomie entre 0 et
-
1- f
vp (0) > 0
2
1
-
- f
(première valeur pour cette recherche :
).
2

L'algorithme de Newton débute avec la valeur f = 0 . Quelle que soit le valeur trouvée pour f
on
note donc pour la suite que la fonction ( f
et sa dérivée par rapport à f
sont au moins
vp
)
1
-
- f
calculées pour f = 0 et
.
2
Les développements effectués pour améliorer la convergence et la robustesse de l'algorithme sont
décrits dans [bib5].

4.4
Expression de la matrice tangente du comportement

On donne ici l'expression de la matrice tangente (option FULL_MECA au cours des itérations de
Newton, option RIGI_MECA_TANG pour la première itération).
Pour l'option RIGI_MECA_TANG, l'opérateur tangent est le même que celui qui relie e
à dans
[éq 3.2-2].
Pour l'option FULL_MECA, la matrice tangente est obtenue en linéarisant le système d'équations qui
régit la loi de comportement : [éq 4.2-1] à [éq 4.2-6]. Il s'agit donc d'une matrice tangente cohérente.
Pour simplifier les expressions, on note dans ce paragraphe [§4.5] : Q pour
Q , les quantités étant
toutes exprimées à l'instant t = t - + t
. La matrice tangente cohérente est :


a - a
a
a
y
1
3
~ ~
~
5

1


= a II + Id
a
a
y

3

Id +

2
+ +
Id
4
+
5 ~

4
-
1 Id +




3


3

3K

K
éq 4.4-1
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Cet opérateur est calculé dans la routine RSLJPL. Les coefficients sont calculés comme suit :
a = 3K + y K (z + z p
)
éq
4.4-2
1
1
eq
7
2
a = µ( y + y )









éq 4.4-3
2
1
3
1

a
eq
=












éq 4.4-4
3
z5
a = 3µy x











éq 4.4-5
4
2 2
a = 3µy











éq 4.4-6
5
1
1
a = 3µK p
- a








éq 4.4-7
6
2 eq
1
3Kz z ( f + A p)
6 1
n
y = -









éq 4.4-8
1
x
1 eq

y = -











éq 4.4-9
2
2
x z
1 5 eq
3Kz z A p

6 1
n
y = -










éq 4.4-10
3
x
1 eq
A z
z
y = 1 8 +
9
1









éq 4.4-11
4
z
z + z p

1
7
2
A a z
z a
1 2 8
9 6
y =
-

éq
4.4-12
5
z
(z + z p
)
1
eq
7
2

z = 1+ A
pD ( f + A p)exp m
éq
4.4-13
1
1
1
n




1
z = µ
3 + R










éq 4.4-14
2
vp
z = K ( f + A p)z - A 1
( - f ) éq
4.4-15
3
n
1
1
1
z = R p
-









éq 4.4-16
4
vp
eq
z = + µ
3
p










éq 4.4-17
5
eq

z =
exp m
D











éq 4.4-18
6
1




1
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/04/002/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Modèle de Rousselier pour la rupture ductile


Date :
10/09/04
Auteur(s) :
G. ROUSSELIER, R. MASSON, G. BARBIER Clé
:
R5.03.07-A Page
: 12/12


z = z ( f + A p)








éq 4.4-19
7
6
1
n
1- f
z =












éq 4.4-20
8
1- f - A p
n
A
z
n
=












éq 4.4-21
9
1 - f - A p
n
x = z z (z + z p
) + z z - x
éq
4.4-22
1
3 6
7
2
1 2
1
3
x = -z z p
(z + z ) - z z + x p
éq
4.4-23
2
3 6
4
7
1 4
1
3
2
x = A z z











éq 4.4-24
3
n 1 6
1
dR( p)
1 dS( p
/ t
)
R =
+

éq
4.4-25
vp
dp
t

p
d&

Pour le modèle plastique avec nucléation de cavités `ROUSSELIER_PR` et pour le modèle
viscoplastique sans nucléation `ROUSSELIER_VISC`, les équations simplifiées correspondantes sont
obtenues à partir des équations ci-dessus en posant respectivement R = dR( p) / dp et A = 0 .
vp
n



5 Bibliographie

[1]
ROUSSELIER G. : "Finite deformation constitutive relations including ductile fracture
damage", in Three-Dimensional Constitutive Relations and Ductile Fracture, Ed. Nemat-
Nasser, North Holland publishing company, pp. 331-355, 1981.
[2]
ROUSSELIER G. : "The Rousselier model for porous metal plasticity and ductile fracture", in
Handbook of Materials Behavior Models, Ed. J. Lemaitre, Academic Press, pp. 436-445,
2001.
[3]
ROUSSELIER G. : "Dissipation in porous metal plasticity and ductile fracture", J. Mech. Phys.
Solids, vol. 49, pp. 1727-1746, 2001.
[4]
BARBIER G. : "Modèle de Rousselier dans le Code_Aster : nouvelle implémentation", note
EDF R&D HT-2C/98/007/A, 1998.
[5]
MASSON R., ROUSSELIER G., BONNAMY M. : "Amélioration de la convergence et évolution
de l'implémentation du modèle de Rousselier dans Code_Aster", note EDF R&D
HT-26/01/037/A, 2002.
[6]
MIALON P.
: "Eléments d'analyse et de résolution numérique des relations de
l'élasto-plasticité", EDF, bulletin de la DER, série C mathématiques informatique, 3, pp. 57-89,
1986.

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