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6.4
Titre :
Loi CJS en géomécanique
Date :
18/11/03
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
R7.01.13-A Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, EDF-DIS/CNEPE
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.13
Loi CJS en géomécanique
Résumé :
On présente ici la loi CJS qui s'applique à la mécanique des sols. On précise :
·
la description du modèle,
·
l'intégration de la loi dans le Code_Aster,
·
la description des routines introduites.
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Table
des
matières
1 Notations................................................................................................................................................4
2 Introduction ............................................................................................................................................5
3 Description de la loi CJS........................................................................................................................5
3.1 Partition des déformations...............................................................................................................5
3.2 Mécanisme élastique.......................................................................................................................5
3.3 Mécanisme plastique isotrope .........................................................................................................5
3.4 Mécanisme plastique déviatoire ......................................................................................................6
3.4.1 Ecrouissage isotrope..............................................................................................................7
3.4.2 Ecrouissage cinématique .......................................................................................................8
3.4.3 Loi d'évolution du mécanisme plastique déviatoire................................................................9
3.4.4 Surface de rupture................................................................................................................11
3.5 Hiérarchisation du modèle.............................................................................................................12
3.5.1 Description sommaire des trois niveaux CJS.......................................................................12
3.5.2 Bilan des paramètres CJS....................................................................................................12
3.5.3 Correspondance avec la cohésion et l'angle de frottement .................................................13
4 Intégration de la loi CJS.......................................................................................................................14
4.1 Choix des variables internes .........................................................................................................14
4.2 Intégration du mécanisme élastique non linéaire ..........................................................................15
4.3 Intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique isotrope.....................................16
4.3.1 Initialisation et solution d'essai .............................................................................................16
4.3.2 Itérations de Newton.............................................................................................................17
4.3.3 Test de convergence............................................................................................................17
4.4 Intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique déviatoire ..................................18
4.4.1 Initialisation et solution d'essai .............................................................................................18
4.4.2 Itérations de Newton.............................................................................................................19
4.4.3 Test de convergence............................................................................................................26
4.5 Intégration des mécanismes élastique non linéaire, plastique isotrope et plastique déviatoire....27
4.5.1 Initialisation et solution d'essai .............................................................................................27
4.5.2 Itérations de Newton.............................................................................................................29
4.5.3 test de convergence .............................................................................................................29
4.6 Procédure de relaxation basée sur une estimation des normales à la surface de charge
déviatoire .......................................................................................................................................29
4.7 Redécoupage du pas de temps.....................................................................................................30
4.8 Remarques diverses......................................................................................................................30
4.8.1 Calcul du terme cos( -
.............................................................................................30
s
q )
4.8.2 Calcul de R ........................................................................................................................31
r
4.8.3 Traction.................................................................................................................................31
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5 Opérateur tangent ...............................................................................................................................32
5.1 Opérateur tangent du mécanisme élastique non linéaire .............................................................32
5.2 Opérateur tangent des mécanismes élastique et plastique isotropes ..........................................32
5.3 Opérateur tangent des mécanismes élastique et plastique déviatoire .........................................33
5.4 Opérateur tangent des mécanismes élastique, plastiques isotrope et déviatoire ........................34
6 Sources Aster ......................................................................................................................................36
6.1 Liste des routines modifiées et ajoutées .......................................................................................36
6.2 Organigramme général des principales routines ..........................................................................37
6.3 Détails des fonctionnalités des routines FORTRAN développées................................................38
6.3.1 Routine : CJSC3Q.................................................................................................................38
6.3.2 Routine : CJSCI1.................................................................................................................38
6.3.3 Routine : CJSDTD.................................................................................................................38
6.3.4 Routine : CJSELA.................................................................................................................38
6.3.5 Routine : CJSIDE.................................................................................................................39
6.3.6 Routine : CJSIID.................................................................................................................39
6.3.7 Routine : CJSJDE.................................................................................................................40
6.3.8 Routine : CJSJID.................................................................................................................41
6.3.9 Routine : CJSJIS.................................................................................................................41
6.3.10
Routine : CJSMAT.....................................................................................................42
6.3.11
Routine : CJSMDE.....................................................................................................42
6.3.12
Routine : CJSMID.....................................................................................................43
6.3.13
Routine : CJSMIS.....................................................................................................43
6.3.14
Routine : CJSNOR.....................................................................................................44
6.3.15
Routine : CJSPLA.....................................................................................................44
6.3.16
Routine : CJSQCO.....................................................................................................45
6.3.17
Routine : CJSQIJ.....................................................................................................45
6.3.18
Routine : CJSSMD.....................................................................................................45
6.3.19
Routine : CJSSMI.....................................................................................................45
6.3.20
Routine : CJST.........................................................................................................46
6.3.21
Routine : CJSTDE.....................................................................................................46
6.3.22
Routine : CJSTEL.....................................................................................................46
6.3.23
Routine : CJSTID.....................................................................................................47
6.3.24
Routine : CJSTIS.....................................................................................................47
6.3.25
Routine : LCDETE.....................................................................................................47
6.3.26
Routine : NMCJS.......................................................................................................48
7 Bibliographie........................................................................................................................................48
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1 Notations
Les notations utilisées ici sont les notations usuelles de la mécanique des sols, auxquelles s'ajoutent
les notations propres à l'écriture des paramètres de la loi CJS.
On donne également la correspondance, si elle a lieu, entre les paramètres de la loi et leurs notations
dans Aster.
A
paramètre du modèle
A_CJS
b
paramètre du modèle
B_CJS
c
paramètre du modèle
C_CJS
n
paramètre du modèle
N_CJS
K
module de déformation volumique élastique
e
K
paramètre du modèle
o
p
K
paramètre du modèle
KP
o
G
module de cisaillement élastique
e
G
paramètre du modèle
o
d
G
fonction pilotant l'évolution des déformations plastiques déviatoires
s
déviateur du tenseur des contraintes
I
premier invariant des contraintes
1
p
pression de critique initiale
PCO
co
P
pression de référence du modèle
PA
a
i
d
f , f
seuils des mécanismes plastiques isotrope et déviatoire
Q
variable interne du modèle correspondant à la limite admissible du plan
iso
déviatoire
q Q
,
tenseurs du modèle
R,X
variables internes du modèle correspondant au rayon moyen et au centre
de la surface de charge dans le plan déviatoire
R
paramètre du modèle
RM
m
R
paramètre du modèle
RC
c
i
d
,
multiplicateurs plastiques des mécanismes isotrope et déviatoire
e
ip
dp
,
, , tenseurs des déformations respectivement totales, élastiques, plastiques
isotropes et plastiques déviatoires
déformations volumiques
v
paramètre du modèle
BETA_C
JS
paramètre du modèle
GAMMA_
CJS
angle de Lode
fonction limitant l'évolution de X
µ
paramètre du modèle
MU_CJS
Q
paramètre du modèle
Q_INIT
init
Remarque :
Avertissement aux lecteurs : Contrairement à l'usage de la géomécanique, la convention de
signe retenue est celle de la mécanique des milieux continus, i.e. les tractions sont comptées
positivement.
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2 Introduction
Le modèle CJS est une loi de comportement élasto-plastique adaptée à la modélisation des matériaux
granulaires. Elle a été développée à l'École Centrale de Lyon ([bib1], [bib2], [bib3]).
La version CJS implantée dans le Code_Aster est un modèle hiérarchisé comprenant plusieurs
niveaux de complexité. Dans son expression la plus complète, le modèle possède deux surfaces de
charge : l'une est activée par les sollicitations isotropes, l'autre par les sollicitations déviatoires. La
première subit un écrouissage isotrope et la seconde un écrouissage mixte (isotrope et cinématique).
La loi élastique est de type hypoélastique non linéaire.
3
Description de la loi CJS
3.1
Partition des déformations
L'incrément de déformation globale se décompose en trois parties, relatives à chacun des
mécanismes mis en jeu :
e
ip
dp
& = & + & +
ij
ij
ij
&ij
où e
& , ip
ij
& et dp
ij
ij
& sont respectivement les incréments de déformation élastique, de déformation
plastique isotrope et de déformation plastique déviatoire.
3.2 Mécanisme
élastique
La partie élastique de la loi est de type hypoélastique, dont l'expression générale est :
s&
I&
e
ij
1
& =
+
ij
ij
G
2
9K
où I est le premier invariant des contraintes : I = tr
, s est la partie déviatoire du tenseur des
1
()
1
contraintes, et où K et G sont respectivement le module de déformation volumique et le module de
cisaillement élastiques. Ceux-ci dépendent de l'état de contraintes selon :
n
n
I + Q
I + Q
e
1
init
K = K
,
e
1
init
G = G
o
P
o
3
3P
a
a
e
K , G , P et n sont des paramètres du modèle. P est une pression de référence égale à -100
o
o
a
a
kPa.
3.3
Mécanisme plastique isotrope
La surface de charge correspondante i
f est, dans l'espace des contraintes principales, un plan
perpendiculaire à l'axe hydrostatique, soit :
I + Q
i
f ( Q
,
= - 1
+ Q
iso )
(
init )
iso
3
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où Q est la force thermodynamique qui dépend de la variable interne q selon :
iso
n
Q
Q& = K p q& = K p
iso
q
iso
o
&
P
a
p
K , P et n sont les paramètres du mécanisme plastique déviatoire ( P et n sont identiques à
o
a
a
ceux du mécanisme élastique). La règle de normalité permet d'exprimer l'évolution de la déformation
plastique et de la variable d'écrouissage en fonction de l'évolution du multiplicateur plastique i
:
i
f
1
i
f
ip
i
i
& = &
= - & et
i
i
q& = -&
= -&
ij
ij
3
Q
ij
iso
Compte tenu de la seconde équation, la loi d'écrouissage peut se mettre également sous la forme :
n
i
p
iso
Q
&iso
Q
= -& Ko
a
P
3.4
Mécanisme plastique déviatoire
La surface de charge de ce second mécanisme plastique est une surface convexe à symétrie ternaire
définie par l'équation :
d
f (,R,X) = q h + R I + Q
II
( q) ( 1 init )
avec q = s - I X
ij
ij
1
ij
q = q q
II
ij
ij
1/
det q
h(
.
q ) = (1 +
cos(3 q ) 1/6
( ) 6
= 1+
54
3
qII
Le scalaire R et le tenseur X représentent respectivement le rayon moyen et le centre de la surface
de charge dans le plan déviatoire.
s , q et X sont des tenseurs déviatoires. est un paramètre qui traduit le comportement
dissymétrique des sols en compression et en extension. est l'angle de Lode.
Cette surface de charge évolue selon deux types d'écrouissage : écrouissage isotrope et écrouissage
cinématique.
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Remarque :
L'expression de l'angle de Lode se retrouve de la manière suivante :
Dans un repère (H,i, )j du plan déviatoire le vecteur HM peut être déterminé à partir de la
distance HM = et de l'angle de Lode (cf. [Figure 3.4-a]). Les coordonnées de HM
s
sont :
HM = ( sin , cos
s
s )
s1
M
j
i
H
s2
s3
Figure 3.4-a : Angle de Lode dans le plan déviatoire
Les composantes principales du déviateur sont donc :
4
2
s =
cos , s =
et s =
3
cos
- s
2
cos
- s
1
s
3
3
3
Par conséquent, on a : s =
et
II
2
(s) 1
det
= 3
cos
cos2
2
-
1
sin
3
= 3cos
3
s (
s
s )
( s )
4
4
on en déduit alors la relation :
(
s
cos 3 =
s )
1/ 2 3 / 2 det( )
2 3
3
sII
L'angle se calcul de la même façon.
q
3.4.1 Ecrouissage
isotrope
La loi d'écrouissage isotrope s'écrit comme suit :
2
AR r
R
m
=
&
& (
R + r
A
m
)2
La force thermodynamique R est fonction de r dont l'évolution est donnée par :
- 5
.
1
1
- 5
.
d
f I Q
I
Q
d
+
init
d
+
1
r& = -&
= -& (I + Q
init )
1
init
1
R
3
P
3
P
a
a
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Par intégration directe de la loi d'écrouissage, il vient :
AR r
RR
R
m
=
, soit aussi r
m
=
R + r
A
(
A R - R
m
)
m
La loi d'écrouissage peut donc également s'exprimer par :
2
1
- .5
+
d
R
R& = -& A 1-
(I +Q
1
= &
,
1
init ) I
Qinit
d G R ( R)
R
3P
m
a
2
1
- 5
.
R
I
Q
R
+
avec G (,R) = - A 1 -
(I + Q
init )
1
init
1
R
3
P
m
a
et où R (qui est le rayon moyen du domaine élastique en rupture) et A sont des paramètres du
m
modèle.
3.4.2 Ecrouissage
cinématique
La loi d'écrouissage cinématique est donnée par :
1
X& =
ij
&ij
b
La force thermodynamique X est fonction de la variable dont l'évolution non linéaire est donnée
par :
1
- 5
.
d
f
& = -
I
Q
d
& dev
I
Q
X
ij
- ( + init )
+
1
ij
init
1
X
P
ij
3
a
Le terme - (I + Q
permet d'obtenir l'écrouissage cinématique non linéaire, traduisant la
1
init ) X
limitation de l'évolution de la surface de charge.
d
d
d
f
f q
f
d
f
En tenant compte de
kl
=
= -(I + Q
, et en posant : Q = dev
, il
init1 )
X
q X
q
ij
q
ij
kl
ij
ij
ij
vient finalement pour la loi d'écrouissage :
1
- 5
.
I + Q
d 1
X& = &
Q + X
I + Q
= & G
ij
( ij
ij )(
init )
1
init
d
X
1
ij ( ,X)
b
3P
a
- 5
.
1
I
Q
X
1
+
avec G
X
Q
X I
Q
.
ij ( ,
) = ( +
ij
ij )(
+ init ) 1
init
1
b
3
Pa
où une fonction qui limite l'évolution de X et est un paramètre du modèle.
Le tenseur Q se calcule selon la formule :
1
q
54
det q
Q =
1
cos
3
dev
ij
+
( ) ij
( )
+
h( )
5
2
2
q
6q
q
II
II
ij
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L'expression précédente s'obtient de la façon suivante. On a :
d
f
= h(
q
h
+ q
q )
(
II
q )
II
q
q
q
ij
ij
ij
q
h(q )
où
II et
sont respectivement donnés par :
q
q
ij
ij
q
q
II
ij
=
q
q
ij
II
h(
1
det q
-
3
cos( ) q
q )
( )
q
ij
54
=
q
1+ 54
=
+
det( )
q
h
6
5
q
q3
2h( )5
q2
6h( )5 q3
q
ij
( q) ij
II
q
II
q
II
ij
d'où
d
f
1
q
54 det q
=
ij
1
cos
3
q
h 5
2
q
6q2
q
ij
( q) +
( q)
( )
+
II
II
ij
La fonction est, quant à elle donnée par :
= h Q
o
( s ) II
1/
det s
où Q = Q Q et h(
. Le terme s'exprime en
s ) = (1 +
cos(3 s ) 1/6
( ) 6
= 1+
54
II
ij
ij
3
s
o
II
fonction de caractéristique à la rupture du matériau.
3.4.3 Loi d'évolution du mécanisme plastique déviatoire
Dans les matériaux granulaires, une variation de volume peut se produire pour un chargement
purement déviatoire. Cette variation de volume est liée à l'aspect discontinu du matériau et aux
conditions cinématique qui résultent lors du chargement. Ce phénomène particulier ne permet pas de
définir les déformations plastiques déviatoires à partir de la seule règle de normalité. C'est pourquoi le
mécanisme plastique déviatoire est non associé. Il existe donc une fonction potentielle pilotant
l'évolution des déformations :
dp
d
d
& = & G
ij
ij
La fonction potentielle est définie à partir de la condition cinématique suivante :
dp
s e
s
ij &ij
dp
II
& = -
-1
v
cs s
II
II
où est un paramètre du modèle et c
s représente l'état de contrainte caractéristique. Une surface,
II
de forme identique à la surface de charge dans l'espace des contraintes, sépare les états contractants
des états dilatants. Cette surface, dite caractéristique, a pour équation :
c
c
f = s h + R I + Q
II
( s ) c( 1 init )
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où R est un paramètre correspondant au rayon moyen de cette surface caractéristique. La condition
c
cinématique peut aussi se mettre sous la forme :
s
dp
s e&
s e
ij ij
s
dp
dp
&
s e&
dp
& +
II
-1
= dp
& +
II
-1 ij ij
ij ij
v
c
v
c
s
s
s
s e
s
II
II
II
dp
ij &ij
II
= dp
& +
dp
s e
v
ij &ij
sII
= dp
& +
dp
s & = 0
v
ij
ij
sII
s
où
II
=
-1 signe(
dp
s
& .
c
ij
ij )
s
II
Il est alors possible de chercher à exprimer cette condition cinématique à partir d'un tenseur n sous la
forme :
dp
& n = 0
ij
ij
c'est-à-dire, après décomposition de chaque terme en parties déviatoire et hydrostatique :
dp
dp 1
& n = e& + dp
& n s
n
n s e&
n
ij
ij
ij
v
ij (
+
=
dp +
dp
& =
1 ij
2
ij )
0
3
1 ij ij
2
v
n1
On en déduit la relation
=
, qui ajouté à la condition de normalisation n :n = 1, conduit aux
n
s
2
II
expressions :
s
ij +
s
1
ij
s
n =
II
et n =
, soit n =
II
1
2
ij
2
+ 3
2
+ 3
2
+ 3
La loi d'évolution de dp
ij& doit être telle que la condition cinématique soit satisfaite. Il est donc proposé
de prendre la projection de dp
ij& sur l'hypersurface de déformation de normale n , soit :
d
d
f
f
dp
d
d
d
& = &
-
n n = & G
ij
kl
ij
ij
ij
kl
d
d
f
f
avec
d
G =
-
n n .
ij
kl
ij
ij
kl
Par ailleurs, pour le calcul du potentiel, on peut noter que :
d
d
f
f qkl
=
+ R ij
q
ij
kl
ij
d
d
f 1 f
1
= dev
+
- + X + R
kl
ik jl
ij
kl
kl
ij
q
3 q
3
kl
mm
d
1
1 f
1
= Q - Q + Q X +
- + X + R
kl
ik
jl
ij
kl
kl
kl
kl
ik jl kl
ij
kl
kl
kl
kl
ij
3
3 q
3
mm
= Q - Q X - R
ij
( kl kl
) ij
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Loi CJS en géomécanique
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3.4.4 Surface de rupture
L'état de rupture résulte de la nature non linéaire des lois d'écrouissage et de l'existence de valeurs
limites associées aux variables d'écrouissage R et X . La limite de R , notée R , est atteinte lorsque
m
r tend vers l'infini. La limite de X est atteinte lorsque X& devient nul.
ij
ij
Dans ces conditions :
Q = X et Q =
1
X
X
=
ij
ij
II
II lim
II lim
h
o
( s )
A l'état de rupture on a donc [Figure 3.4.4-a] :
s + I X
cos
II
q =
1
II
cos( IIlim
-
s
q )
En remplaçant cette expression et la valeur de R en rupture, dans l'équation de la surface de charge
en rupture, on obtient l'équation d'une enveloppe limite pour les surfaces de charge :
r
f = s h
R I
Q
II
( s )+ r( + init )= 0
1
cos
h( s )
avec R =
+
R cos - , rayon moyen de l'enveloppe, qui se détermine à partir des
r
h
o
( q ) m ( s q )
caractéristiques mécaniques à la rupture du matériau. La valeur de peut alors en être déduite :
o
=
cos
o
h( s )
R -
R cos -
r
h( q ) m
( s q )
q2 - s 2 - I X
2
II
II
( 1 II )
avec cos =
2s I X
II 1
II
s1
surface de rupture
surface caractérisique
q1
s
s2
s3
q
surface de charge à la rupture
q2
q3
Figure 3.4.4-a : Représentation des surfaces de rupture, caractéristique et de charge
dans le plan déviatoire
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Par ailleurs, R est lié à l'angle de frottement maximal et dépend de la contrainte moyenne et de la
r
densité relative. Pour prendre en compte la dépendance de l'angle de frottement maximal en fonction
de la contrainte moyenne et de la densité relative, on considère la relation :
3p
R = R + µln
r
c
c
I + Q
1
init
où R et µ sont des paramètres du modèle. p est la contrainte moyenne critique, c'est-à-dire la
c
c
contrainte moyenne minimale (elle est négative avec notre convention de signe) connue par le
matériau au cours de son histoire. Elle dépend de la densité relative initiale selon la notion classique
de droite critique dans le plan (e ln
, p ) :
p = p exp - c
c
co
(
v )
où p est la pression critique initiale et 1 c est la pente de la droite d'état critique dans le plan
co
( ln
, p .
v
)
3.5
Hiérarchisation du modèle
3.5.1 Description sommaire des trois niveaux CJS
À partir de la description complète du modèle donnée ci-dessus, on déduit trois niveaux de complexité
croissante dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau suivant :
Mécanisme élastique
Mécanisme plastique
Mécanisme plastique
isotrope
déviatoire
CJS1
linéaire
non activé
activé, plasticité parfaite
CJS2
non linéaire
activé
activé, écrouissage isotrope
CJS3
non linéaire
activé
activé, écrouissage
cinématique
Tableau 3.5.1-1 : Les différents mécanismes utilisés par les différents niveaux du modèle CJS
3.5.2 Bilan des paramètres CJS
Par ailleurs, on peut également résumer la correspondance entre les différents niveaux du modèle et
les paramètres associés à chacun d'eux :
n
e
K
e
µ
o
Go
p
K
c
R A b
Rm
pco c
pa
CJS1
CJS2
CJS3
Tableau 3.5.2-1 : Bilan des différents paramètres en fonction des niveaux CJS
Dans le Code_Aster, les paramètres élastiques du modèle CJS (
e
K et G ) sont directement pris en
o
o
compte dans les caractéristiques élastiques du matériau, c'est-à-dire à travers le module d'Young E et
le coefficient de Poisson NU.
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Dans le Code_Aster, l'utilisateur n'indique pas de façon explicite le niveau CJS qu'il choisi. C'est en
effet le choix des différents paramètres qui détermine le niveau correspondant. Nous avons pour
résumer les tests logiques suivants qui sont intégrés dans le code :
·
si n = 0 alors niveau CJS1,
·
si ( n 0 et A 0 ) alors niveau CJS2,
·
si ( n 0 et A = 0 ) alors niveau CJS3.
Remarque :
L'utilisateur doit fixer la valeur de Pa égale à -100 kPa en fonction des unités choisies. En
outre, pour CJS3, la valeur de pco doit être négative.
3.5.3 Correspondance avec la cohésion et l'angle de frottement
Les mécaniciens des sols ont l'habitude d'utiliser les notions de cohésion Cohésion c , d'angle de
frottement et d'angle de dilatance : . Ces paramètres sont utilisés dans la loi de Mohr Coulomb.
Le niveau 1 de la loi CJS permet de retrouver un comportement très voisin en faisant le choix suivant
de paramètres :
1/ 6
1-
3 - sin()
=
1+
3 + sin()
2
2
sin()(1- )1/6
=
3
m
R
3 - sin()
Q
= -3 .
c cotan
init
()
2 6 sin()
= -
3 - sin()
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4
Intégration de la loi CJS
Nous détaillons ci-dessous l'intégration de la loi CJS en fonction du ou des mécanismes activés :
·
élastique non linéaire,
·
élastique non linéaire et plastique isotrope
·
élastique non linéaire et plastique déviatoire
·
élastique non linéaire, plastique isotrope et plastique déviatoire.
Dans chaque cas, le but est de calculer, à partir des champs connus à l'état moins -
, -
et de
l'incrément de déformation
, le nouvel état de contrainte +
.
Dans l'enchaînement des calculs, on commence par faire l'hypothèse que seul le mécanisme élastique
non linéaire intervient. On réalise donc une prédiction élastique. Cette prédiction est ensuite utilisée
pour calculer les fonctions de charge i
f et d
f , on cherche à savoir si l'on va alors au-delà des
seuils :
·
si i
f 0 et d
f 0 , la prédiction élastique est retenue comme nouvel état de contrainte,
·
si
i
f > 0 et d
f 0 , on fait l'intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique
isotrope,
·
si
i
f 0 et d
f > 0 , on fait l'intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique
déviatoire,
·
si
i
f > 0 et d
f > 0 , on fait l'intégration des mécanismes élastique non linéaire, plastique
isotrope et plastique déviatoire.
En sortie du calcul élasto-plastique, lorsqu'un seul seuil plastique a été initialement dépassé, on
recalcule chacune des fonctions de charge. En effet, il est possible qu'en cherchant à se ramener sur
l'un des seuils, on dépasse alors l'autre seuil non activé initialement par la prédiction élastique. Dans
ce cas, on résout alors en intégrant tous les mécanismes.
4.1
Choix des variables internes
Les variables q , r et sont équivalentes aux forces thermodynamiques associées Q , R et X .
iso
Pour cette raison et puisque leur signification géométrique est plus évidente, nous retiendrons comme
variables internes pour l'intégration de la loi CJS, les grandeurs Q , R et X .
iso
Par ailleurs, nous ajoutons au nombre des variables internes :
·
le signe du produit
dp
s
ij
ij
·
l'état élastique ou élasto-plastique du matériau, en notant :
- 0 : état élastique
- 1 : état élasto-plastique, mécanisme plastique isotrope
- 2 : état élasto-plastique, mécanisme plastique déviatoire
- 3 : état élasto-plastique, mécanismes plastiques isotrope et déviatoire
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Finalement, les variables internes sont stockées dans un vecteur VI dans l'ordre suivant :
Indice de variable interne
CJS1
CJS2
CJS3
3D 2D CJS1
CJS2
CJS3
1 1 Q =
Q
Q
iso
iso
iso
2 2 R = R
R
R = R
m
m
3
3 0
0
X
11
4 4
0
0
X
22
5 5
0
0
X
33
6 6
0
0
2X
12
7
0 0 2X
13
8
0 0 2X
23
9 7 q h( )
q h( )
q h( )
II
q
II
q
II
q
R I + Q
R(I + Q
R I + Q
m ( 1
init )
1
init )
m ( 1
init )
10 8
R
X
II
R
lim
X
m
II
11 9
Q
3
Q
3
I + Q
I + Q
1
init
1
init
12 10
Nombre
d'itérations
Nombre d'itérations
Nombre d'itérations
internes
internes
internes
13
11
test local atteint
test local atteint
test local atteint
14
12
nbre de redécoupage nbre de redécoupage nbre de redécoupage
15 13
signe(
dp
s )
signe(
dp
s )
signe(
dp
s )
ij ij
ij ij
ij ij
16
14
0,1,2,3 état du
0,1,2,3 état du
0,1,2,3 état du
matériau
matériau
matériau
4.2
Intégration du mécanisme élastique non linéaire
Dans le cas élastique, le nouvel état de contrainte +
, vérifie simplement :
+ = - + D
+
ij
ij
ijkl (
) kl
La dépendance du tenseur d'élasticité non linéaire en fonction de l'état de contraintes se résume en
fait à :
I +
+
+ Q
D
= D
1
ijkl (
)
n
lineaire
init
ijkl
3P
a
où
lineaire
D
est le tenseur d'élasticité linéaire isotrope classique, obtenu à partir de
e
K et G ou par
ijkl
o
o
équivalence à partir de E et Nu.
De cette relation, on déduit en particulier que le premier invariant des contraintes satisfait à :
+
n
+
-
e
I + Q
I - I - 3
1
K
init
tr =
1
1
o
( ) 0
3
Pa
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Cette équation non linéaire est résolue par une méthode de la sécante pour CJS2 et CJS3, en
différenciant les cas suivant le signe de tr() . En ce qui concerne le modèle CJS1, pour lequel le
paramètre n est nul, la résolution explicite est immédiate, puisque l'on a alors
+
I = -
I + K e
3
tr
1
1
o
()
n
I + + Q
Dans le cas général, la connaissance de +
I et donc du terme 1
init
permet de définir
1
P
3 a
l'opérateur d'élasticité non linéaire D ( +
. L'obtention du nouvel état de contrainte est alors directe.
ijkl
)
4.3 Intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique
isotrope
Dans ce cas, le nouvel état de contrainte +
, vérifie :
+ = - + D
+
-
ij
ij
ijkl (
)(
ip
kl
kl )
Étant donné la forme simple, des déformations plastiques du mécanisme plastique isotrope :
ip
1
i
= -
ij
ij
3
le système non linéaire à résoudre est composé de :
+
-
+
1
i
·
LE : la loi état élastique : - - D
ij
ij
ijkl (
) +
kl
kl = 0
ij
3
·
LQ : la loi d'écrouissage de la variable interne Q : +
Q - -
Q - i Q
G iso
Q
iso
iso
( +iso)= 0
iso
+
I + Q
·
FI : l'équation de la surface de charge isotrope :
1
-
init + +
Q = 0
3
iso
Schématiquement, on cherche donc à résoudre le système R(Y ) = 0 , où l'inconnue Y est donnée
par Y = ( +
+
i
Q
,
,
et où R = (LE , LQ, FI . La résolution de R(Y ) = 0 se fait par la méthode
ij
)
ij
iso
)
de Newton :
·
0
initialisation et calcul d'une solution d'essai Y
DR
·
itérations de Newton : résolution de
( p
Y )
1
+
p
DY
= -R( p
Y )
DY
·
test de convergence : si convergence
p
Y = Y ; sinon
1
+
p
p
1
+
p
Y
= Y + DY
et p = p + 1
Nous détaillons ci-dessous ces trois étapes.
4.3.1 Initialisation et solution d'essai
Y 0 = (
0
0
0
,Q , i
, les valeurs suivantes :
ij
iso
)
Nous prenons simplement pour
0
elas
=
: contraintes données par la prédiction élastique,
ij
ij
-
Q0 = Q : variable interne à t
iso
iso
0
i
= 0 : multiplicateur plastique nul
Contrairement aux autres mécanismes élasto-plastiques, on ne calcule pas ici de solution d'essai.
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4.3.2 Itérations de Newton
DR
La résolution de
( p
Y )
1
+
p
DY
= -R( p
Y ) nécessite naturellement le calcul des dérivées de LE ,
DY
ij
LQ et FI par rapport à chaque composant de Y . On a :
LE
LE
LE
ij
ij
ij
i
Q
kl
iso
DR
LQ
LQ
LQ
=
i
DY
Q
kl
iso
FI
FI
FI
Q
i
kl
iso
avec :
n
LE
D
1
-
ij
+
ijmn
1
1
n
I
Q
i
lineaire
i
1
init
= -
+
= - D
+
ik
jl
mn
mn
ik
jl
ijmn
mn
mn
kl
3
3
P
3
P
3
kl
kl
a
a
LEij = 0
Qiso
LEij
1
= - D
i
ijmn
mn
3
LQ = 0
kl
n 1
-
Q
p
LQ
G iso
nK Q
= 1- i
= 1+ i
o
iso
Q
Q
P
P
iso
iso
a
a
LQ
iso
Q
= G
-
i
FI
1
= -
kl
3
kl
FI =1
Qiso
FI = 0
i
4.3.3 Test de convergence
1
+
p
DY
Les itérations de Newton sont poursuivies tant que l'erreur relative
reste supérieure à la
1
+
p
0
Y
- Y
tolérance admise par l'utilisateur et définie par le mot clé RESI_INTE_RELA. La norme utilisée ici est
la norme vectorielle : x = x2 .
i
i
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4.4 Intégration des mécanismes élastique non linéaire et plastique
déviatoire
Dans ce cas, le nouvel état de contrainte +
, vérifie :
+ = - + D
+
-
ij
ij
ijkl (
)(
dp
kl
kl )
Les déformations plastiques du mécanisme plastique déviatoire sont données par le potentiel
d
G :
dp
d
d
= G
ij
ij
On en déduit que le système non linéaire à résoudre est composé de :
· LE : la loi état élastique : +
- -
- D
ij
ij
ijkl ( + )(
- d Gd
kl
kl ( + ,
+
R , +
X ) = 0
ij
· LR : la loi d'écrouissage de la variable R : +
R - -
R - d
GR ( +
, +
R ) = 0
· LX : la loi d'écrouissage de la variable X :
+
X -
-
X - d X
G
ij
ij
( +
, +
X ) = 0
ij
ij
· FD : l'équation de la surface de charge déviatoire : +
q h
R I
Q
II
( +q)+ +( + + init )= 0
1
Comme au paragraphe précédant on résout par la méthode de Newton le système R(Y ) = 0 , où
l'inconnue Y est donnée par Y = ( +
+
+
d
,R ,X ,
et où R = (LE , LR, LX , FD .
ij
ij
)
ij
ij
)
4.4.1 Initialisation et solution d'essai
À partir de l'état à l'instant t ( -
-
-
,R ,X , nous cherchons une solution d'essai qui nous rapproche de
ij
ij )
la solution finale. Pour cela nous résolvons l'équation suivante :
d
f ( -
+ -
D
G
R
G
X
G
ij
ijkl (
- d d-
kl
kl ),
- + d R- , - + d X -
ij
ij
)= 0
avec
-
D
= D
,
d -
G
= Gd
,
R-
G
= G R ( - -
,R ), X-
G
= X
G
et où
ij
ij ( -
-
,X )
kl
kl ( -
-
-
,R ,X )
ijkl
( -
ijkl
)
l'inconnue est le multiplicateur plastique
d
,par une seule itération de Newton, c'est-à-dire
finalement de nous avons :
d
f
d
d
f
=
d
= - d
0
f
d
d
=0 soit encore = -
d
d
f
d
=0
d
d =0
avec :
d
f
= h( ) q
h( q )
R
I
II
+ q
+ I + Q
+ R
1
d
q
d
II
(
d
1
init )
d
d
En outre,
I
on a :
-
-
I = I + K
3
alors :
1
-
= -3K tr G
d
( d-)
1
1
(tr()- dtr( d-
G )
R
on a :
-
d
R-
R = R + G alors :
R-
= G
d
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-
-
1
d
d -
-
-
d
d -
-
d
X -
on a : q = + D
G
I
3K tr
tr G
X
G
ij
ij
ijkl (
-
kl
kl ) - [
+
1
( ( )- ( )] + +
ij
ij
ij
3
qij
-
1
d -
-
d -
-
alors :
= -D G + 3K tr G
3
d
ijkl
kl
( ) + X
ij
ij -
X -
Gij ( -
I +
-
K tr
1
(
)
3
d
=0
q
q q
q q
h(
h q
q )
( q)
on a :
II
II
ij
ij
ij
=
=
et
ij
=
d
d
d
q
q
d
d
q
ij
II
ij
En définitive, nous prenons pour le solution d'essai : Y 0 = ( 0
0
0
d 0
,R ,X ,
, avec les valeurs
ij
ij
)
suivantes :
d 0
: la valeur trouvée d'après la formulation précédente.
0
-
-
= + D
0
G
ij
ij
ijkl (
d
d -
-
kl
kl )
0
-
d 0
R-
R = R + G
0
-
d 0
X -
X = X + G
ij
ij
ij
4.4.2 Itérations de Newton
DR est ici donné par :
DY
LE
LE
LE
LE
ij
ij
ij
ij
d
R
X
kl
ij
LR
LR
LR
LR
d
DR
R
X
=
kl
ij
DY
LX
LX
LX
LX
ij
ij
ij
ij
d
R
X
kl
ij
FD
FD
FD
FD
R
X
d
kl
ij
avec :
LE
-1
ij
n I + Q
G
lineaire
= - D
-
G
1
+ D
ik
jl
ijmn
(
d
d
mn
mn )
n
d
init
d
mn
kl
ijmn
P
3
P
3
kl
a
a
kl
LEij
d
G d
= D
mn
R
ijmn
R
d
LEij
G
d
mn
= D
ijmn
X
X
kl
kl
LEij
d
= D G
d
ijmn
mn
R
2
- ,
1 5
LR
G
A
R I + Q
d
d
1
init
= -
= -
1-
kl
2
R
P
3
kl
kl
m
a
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- ,
1 5
R
LR
G
A
R
I
Q
d
d 2
+
= 1-
= 1-
1-
(I + Q
init )
1
init
1
R
R
R
R
3
P
m
m
a
LR = 0
X kl
LR
R
= G
-
d
X
LX
G
ij
d
ij
= -
kl
kl
LX ij = 0
R
X
LX
G
ij
d
ij
= -
ik
jl
X
X
kl
kl
LX ij
X
= G
-
d
ij
d
FD f
=
= Q - Q X - R
kl
( mn mn
) kl
kl
kl FD = I 1
R
d
FD
f
=
X
X
kl
kl
FD = 0
d
d
G
Gd
d
G
X
G
X
G
d
f
Par ailleurs, le calcul des termes
mn ,
mn ,
mn ,
ij
,
ij
et
est détaillé
R
X
X
X
kl
kl
kl
kl
kl
ci-après, ainsi que le calcul de termes intermédiaires utiles :
d
f
·
calcul de
:
X kl
d
f
h(
q )
q
= q
+ h
II
( ) II
q
X
X
X
kl
kl
kl
h(
q )
q
q
q
mn
= q
+ h
II
( q) II mn
q
X
q X
mn
kl
mn
kl
h(
q )
q
q
q
mn
= q
+ h
II
( q) mn mn
q
X
q X
mn
kl
II
kl
h(
q )
q
q
= q
+ h
II
( q) mn
mn
q
q X
mn
II
kl
h(
q )
q
= -I q
+ h
1
II
( ) mn
q
mk
nl
q
q
mn
II
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/03/005/A
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6.4
Titre :
Loi CJS en géomécanique
Date :
18/11/03
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
R7.01.13-A Page
: 21/48
d
f
= -I
1
qkl
On remarquera pour la suite que :
d
f
dev
= -I Q
1
kl
X
kl
d
f
·
ij
calcul de
:
kl
d
d
f
f
ij
ij qmn
=
q
kl
mn
kl
(Q - Q X - R
ij
( rs rs
) ij ) qmn
=
q
mn
kl
Q
ij
Q
q
rs
mn
=
-
X
rs
ij
q
q
mn
mn
kl
Q
ij
Q
rs
mn
=
-
X
X
rs ij
-
mk
nl
kl
+ mn
q
q
3
mn
mn
Q
·
calcul de
ij :
qmn
Au préalable, on défini le tenseur t et sa partie déviatoire d
t en posant :
det(q)
det q
d
( )
t =
et t = dev
ij
q
ij
q
ij
ij
On a ainsi :
t
q q
q q
11
-
22
33
23
23
t
q q
q q
22
-
11 33
13 13
t q q - q q
t = 33 = 11 22
12 12
t
q q
q q
12
-
13
23
12
33
t q q - q q
13 12 23
13
22
t
q q
q q
23
-
12 13
23 11
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Loi CJS en géomécanique
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18/11/03
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C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
R7.01.13-A Page
: 22/48
ij
Q
- 5
qij 54
(h q )
=
qmn
h(
q )6 1 + cos(3 q )
+
2 dev(tij )
(
2
q
6q
II
II
qmn
q
d
t
ij
ij
1
2
q
II
1
q
cos
ij
(3 q)
1
54 qII
+
h(
q )5 1 + cos(3 q )
+
+
2
q
h
mn
( q)5 2q q
h
II
mn
( q)5 6 qmn
- 5
qij 54
(h q )
1
q q
im jn
ij mn
=
h(
q )6 1 + cos(3 q )
+
2 dev(tij )
( )
+
1 + cos 3
-
q
2
q
6q
II
II
q
h
mn
(q)5
( )
3
2
q
q
II
II
d
1
q
54
ij
det q
1
54 tij
q
d
+
h(q )
mn
5
t - 3
4
mn
2 qmn +
- 2tij
2 qII
qII
h( )
5
2
2
6 q
q
II q
q
mn
II
d
t
L'expression de
ij
s'explicite comme suit :
qmn
- 1(
1
1
q + q
(- q + 2q
(- q + 2q
11
22 )
11
33 )
22
33 )
3
3
3
1(-
1
1
q + 2q
- (q + q
(2q - q
11
22 )
11
33 )
22
33 )
d
3
d
3
d
3
t
= 1(
t
1
t
1
2q - q
,
= (2q - q
,
= - (q + q
,
11
22 )
11
33 )
22
33 )
q
q
q33
22
11
3
3
3
0
0
- q
12
0
- q
0
13
- q
0
0
23
2
2
4
q
q
- q
12
13
23
3
3
3
2
4
2
q
- q
q
13
23
d
12
3
d
3
d
3
t
= 4
t
t
,
= 2
,
= 2
q
- q
q
q
12 q
13 q
23
12
3
13
3
23
3
- q
q
q
33
23
13
q
- q
q
23
22
12
q
q
- q
13
12
11
d
G
·
calcul de
mn :
kl
On a :
d
d
f
f
d
d
d
G
f
n
f n
mn
mn
mn
rs
rs
=
-
n
-
n +
n
rs
rs
mn
kl
kl
rs
kl
kl
rs
kl
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s
On défini le tenseur n
~ par
ij
n~ =
+
ij
ij
sII
n~
c'est à dire que n est alors donné par
ij
n =
avec ~
2
n = + 3
ij
n~
II
II
Dans la pratique, pour le calcul de , on utilise
à la place de
dp
, c'est-à-dire que l'on a :
ij
ij
s
II
=
-1 signe(s
c
ij
ij )
s
II
d
G
On a alors pour
mn :
kl
d
d
f f
1
d
d
~
~
d
~
d
G
f n n
f
n
1
f
n~ 2
mn
mn
rs
rs
mn
~
mn
~ ~
II
=
-
n n -
-
n
-
n
n
rs
mn
~ 2
rs
~ 2
rs
mn
n
n
kl
kl
kl
rs
kl
II
rs
kl
II
rs
kl
avec :
1
1
s
s
2 2
-1
n~2
2
+ 3
1
2
s
s
II
(
)
( )
II
II
c
c
II
II
=
= -
= -
+ 2
2
3
+ 2
2
3
kl
kl
(
)
kl
(
)
kl
s
II
cs
·
calcul de
II
:
kl
s
II
cs
1
II
(s
s
s
II )
II
( cII )
=
-
c
c
s
2
kl
II
kl
s
kl
II
R I + Q
c ( 1
init )
-
1 (
s s
s
h
II )
(
mn
II
s )
=
-
c
c
s s
2
II
mn
kl
s
kl
II
1 s
1
s
R
I
R I
Q
h
mn
II
c
1
c (
+
1
init )
( s )
=
-
c
mk
nl
mn
kl -
c 2
-
s s
3
s
h
2
II
II
( s )
+
h
II
kl
( s )
kl
1 s
1
s
R
R I
Q
h s
mn
II
c
c (
+
1
init )
( s )
=
-
c
mk
nl
mn
kl -
rs
c 2
-
s s
3
s
h
h 2
s
II
II
( s ) +
kl
II
( s )
rs
kl
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n~
·
calcul de
mn :
kl
1
1
n~
1
1
c
s
s
s
mn =
-
signe(s
signe s s
c
ij
ij )
mn +
(
ij
ij )
II
II
mn
-
s
s
kl
II
II
kl
kl
kl
1
1
c
1
1
1
=
-
signe(s
s
s
signe s s
c
ij
ij )
-
mk
nl
mn
kl +
(
ij
ij )
( II )
II
mn
s
s
3
-
2
c
s
2
II
II
II
kl
s
kl
II
Gd
·
calcul de
mn :
R
d
d
f
f
d
d
d
G
f
n
f n
mn
mn
mn
rs
rs
=
-
n
-
n +
n
rs
rs
mn
R
R
R
R
R
rs
rs
d
d
f f
mn
rs
=
-
n n
rs
mn
R
R
= - n n
mn
( rs rs ) mn
s
2
- 3 mn
mn
s
=
II
2
+ 3
d
G
·
calcul de
mn :
X kl
d
d
f
f
d
d
d
G
f
n
f n
mn
mn
mn
rs
rs
=
-
n
-
n +
n
rs
rs
mn
X
X
X
X
X
kl
kl
rs
kl
kl
rs
kl
d
d
f f
mn
rs
=
-
n n
rs mn
X
X
kl
kl
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d
f
·
calcul de
mn
:
X kl
d
f
mn
Q
Q
X
mn
rs
rs
=
-
X + Q
rs
rs
mn
X
X
X
X
kl
kl
kl
kl
Q q
Q q
mn
ij
rs
ij
=
-
X + Q
rs
rs
kr
ls
mn
q X
q X
ij
kl
ij
kl
Q
Q
mn
rs
= -I
- - I
X + Q
1
ik
jl
1
ik
jl
rs
rs
kr
ls
mn
q
q
ij
ij
X
G
·
calcul de
ij
:
kl
-
-
X
G
I
Q
I
Q
ij
1
= -
(Q +
I
Q
X
X
I
Q
ij
ij )
,
1 5
,
1 5
+
1
init
ij
+
1
1 +
+
ij (
+ init ) 1
init
1
2b
3
P
b
3
P
kl
a
kl
kl
kl
a
-
-
1
I
Q
Q
= -
(Q +
q
I
Q
X
I
Q
ij
ij )
,
1 5
,
1 5
+
1
init
ij
+
1
+
mn
kl
( + init ) 1
init
1
2b
3
P
b q
3
P
a
mn
kl
a
- ,
1 5
1
+
h(
h
Q
I
Q
Q
Q
h
X I
Q
s )
o
( s )
+
+
II
o
II
o (
)
II
s
ij (
+ init ) +
1
init
1
b
3
P
kl
kl
kl
a
h(s )
·
calcul de
:
kl
h(
h s
s )
( s ) mn
=
s
kl
mn
kl
54
3
cos(
)
q
1
=
t -
s
5
mn
3
5
mn
mk
nl
mn kl
h
6 ( q
2h
q2
3
s )
II
( s)
-
II
Q
·
calcul de
II :
kl
Q
Q Q q
II
II
rs
mn
=
Q q
kl
rs
mn
kl
Q Q
1
rs
rs
=
-
X
mk
nl
mn
+
kl
kl
Q q
3
II
mn
Manuel de Référence
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C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
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: 26/48
·
calcul de
o :
kl
o
1
cos
=
h(
kl
s )
R -
R
r
h(q ) cos
m
( -
s
) kl
q
R
h
h
h
h
r
1
cos( -
s
s
s
s
s
q )
-
R
-
+
R
-
-
R
h
h
h
kl
( q ) cos
m
( s q ) ( ) ( )
kl
( q ) cos
m
( s q ) ( ) ( ) m
2
kl
( q )
kl
- cos
h( s )
2
R -
R
-
r
h(q ) cos
m
( s q )
avec :
cos
1
q
2 I1
s
=
II
II
2q
- 2I X
- 2s
II
1
II
II
2s I X
kl
II 1
II
kl
kl
kl
q2 - I X
2
s2
1
I1
s
II
(
II )
-
-
II
II
s X
+ I X
II
II
1
II
s I X
II 1
II
kl
kl
1
2
2
2
s
=
(q - I X - s
q
I X
s 2 s X
I X
kl
1
II
kl
kl ) - (
-
II
( 1 II ) - II )
kl
+
II
II
kl
1
II
s I X
s
II 1
II
II
R
µ
r = -
kl
I + Q
kl
1
init
cos( -
s
q ) = - sin( -
s
q )
s
q
-
kl
kl
kl
X
G
· calcul de
ij
:
X kl
- ,
1 5
X
G
Q
X
ij
1
ij
ij
=
+
(I +
I
Q
Q
init )
+
1
init
1
X
b X
X
3
P
kl
kl
kl
a
- ,
1 5
1 Q
ij
q
=
I
Q
mn +
I
Q
ik
jl (
+ init ) +
1
init
1
b q X
3
P
mn
kl
a
- ,
1 5
1
Qij
I + Q
=
- I
+
I +
init
Q
1
mk
nl
ik
jl (
init )
1
1
b
q
3
P
mn
a
4.4.3 Test de convergence
1
+
p
DY
Le critère de convergence reste
RESI_INTE_RELA.
1
+
p
0
Y
- Y
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Titre :
Loi CJS en géomécanique
Date :
18/11/03
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
R7.01.13-A Page
: 27/48
4.5 Intégration des mécanismes élastique non linéaire, plastique
isotrope et plastique déviatoire
Dans ce cas, le nouvel état de contrainte +
, vérifie :
+ = - + D
+
-
-
ij
ij
ijkl (
)(
ip
dp
kl
kl
kl )
Compte tenu de ce qui précède, on en déduit que le système non linéaire à résoudre est composé de :
·
LE : la loi état élastique :
ij
+
- -
- D
ij
ij
ijkl ( + )
1
+ i
- d Gd
kl
kl
kl ( +
+
+
,R , X ) = 0
3
·
LQ : la loi d'écrouissage de la variable interne Q : +
Q - -
Q - i Q
G iso
Q
iso
iso
( +iso )= 0
iso
·
LR : la loi d'écrouissage de la variable R : +
R - -
R - d
GR ( +
, +
R ) = 0
·
LX : la loi d'écrouissage de la variable X : +
X -
-
X - d X
G
ij
ij
ij ( +
, +
X ) = 0
ij
ij
+
I + Q
·
FI : l'équation de la surface de charge isotrope :
1
-
init + +
Q = 0
3
iso
·
FD : l'équation de la surface de charge déviatoire : +
q h
R I
Q
II
( +q)+ +( + + init )= 0
1
Comme aux paragraphes précédents on résout par la méthode de Newton le système R(Y ) = 0 , où
l'inconnue
Y est donnée par Y = ( + +
+
+
i
d
Q
,
,R ,X ,
,
et où
ij
iso
ij
)
R = (LE , LQ, LR, LX , FI, FD .
ij
ij
)
4.5.1 Initialisation et solution d'essai
À partir de l'état à l'instant t ( -
-
-
-
Q
,
,R ,X
, nous cherchons une solution d'essai qui nous
ij
iso
ij )
rapproche de la solution finale. Pour cela nous résolvons le système d'équations suivant :
i -
+
1
i
d
d
-
i
Q -
f + D
G
Q
G iso
ij
ijkl
+
-
kl
kl
kl ,
+
=
iso
0
3
d -
+
1
i
d
d
-
d
R-
-
d
X -
f
+ D
G
R
G
X
G
ij
ijkl
+
-
kl
kl
kl ,
+
,
+
=
ij
ij
0
3
avec :
-
D
= D
,
d -
G
= Gd
,
Q -
G iso = Q
G iso ( -
Q
R-
G
= G R ( - -
,R ),
iso )
kl
kl ( -
-
-
,R ,X )
ijkl
( -
ijkl
)
X -
G
= X
G
et où les inconnues sont les multiplicateurs plastiques
i
et
d
, par une
ij
ij ( -
-
,X )
seule itération de Newton, c'est-à-dire finalement que nous avons :
i
i
f
f
i
+
d
= - i
f i =0, d =0
i
d
i
d
=0, =0
i
=0, d
=0
d
d
f
f
i
+
d
= - d
f i =0, d =0
i
d
i
d
=0, =0
i
=0, d
=0
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/03/005/A
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Version
6.4
Titre :
Loi CJS en géomécanique
Date :
18/11/03
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
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soit encore :
i
d
f
f
d
i
f
f
d
i
f -
f
i
d
f -
f
d
d
i
i
i
=
et
d
=
i
d
i
d
f f
f f
i
d
i
d
-
f
f
f
f
-
i
d
d
i
i
d
d
i
avec :
i
f = -( -
p-
K + K
)
i
i
f
-
= K tr G
d
( d-)
d
f
= h(
q
h
R
I
+ q
+ I + Q
+ R
1
i
q )
(
II
q )
i
II
(
i
1
init )
i
i
d
f
= h(
q
h
R
I
+ q
+ I + Q
+ R
1
d
q )
(
II
q )
d
II
(
d
1
init )
d
d
d
f
On sait que
se calcule de la même façon que précédemment lorsque seul le mécanisme
d
d
f
plastique déviatoire était activé. Par ailleurs, on a, pour le calcul de
et lorsque i
= 0 et
i
d
= 0, les relations suivantes :
qij
1 -
e- 1
-
= D - K
3
X
i
ijkl
kl
+
ij
ij
3
3
q
q q
q
ij
ij 1
1
II
II
-
e-
-
=
=
D
K
3
X
i
i
-
ijkl
kl
+
ij
ij
q
q
3
3
ij
II
h(
h q
q )
( q) ij
=
i
i
q
ij
R = 0
i
I1
-
= 3K
i
En définitive, nous prenons pour la solution d'essai : Y 0 = ( 0
0
0
0
i0
d 0
,Q ,R ,X ,
,
, avec les
ij
iso
ij
)
valeurs suivantes :
i0
: la valeur trouvée d'après la formulation précédente.
d 0
: la valeur trouvée d'après la formulation précédente.
1
0
-
-
i0
d
d -
= + D
0
G
ij
ij
ijkl
+
-
kl
kl
kl
3
0
-
i0
-
Q = Q +
iso
Q
G
iso
iso
0
-
d 0
R-
R = R + G
0
-
d 0
X -
X = X + G
ij
ij
ij
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4.5.2 Itérations de Newton
DR est ici donné par :
DY
LE
LE
LE
LE
LE
LE
ij
ij
ij
ij
ij
ij
i
d
Q
R
X
kl
iso
kl
LQ
LQ
LQ
LQ
LQ
LQ
i
d
Q
R
X
kl
iso
kl
LR
LR
LR
LR
LR
LR
DR
Q
R
X
i
d
=
kl
iso
kl
DY
LX
LX
LX
LX
LX
LX
ij
ij
ij
ij
ij
ij
Q
R
X
i
d
kl
iso
kl
FI
FI
FI
FI
FI
FI
i
d
Q
R
X
kl
iso
kl
FD
FD
FD
FD
FD
FD
i
d
Q
R
X
kl
iso
kl
où les nouveaux termes sont nuls :
LQ
LX
=
LQ
LQ
LR
LR
0 ,
= 0,
= 0 ,
= 0 ,
= 0 ,
ij = 0 ,
R
X
d
Q
i
Q
kl
iso
iso
LX
ij =
FI
FI
FI
FD
FD
0 ,
= 0 ,
= 0,
= 0 ,
= 0 ,
= 0
i
R
X
d
Q
i
kl
iso
LE
et où les termes déjà définis restent inchangés, à l'exception de
ij qui devient :
kl
n-1
d
LEij
1
n I + Q
G
lineaire
i
d
d
1
init
d
mn
= - D
+
-
G
+ D
ik
jl
ijmn
mn
mn
mn
kl
ijmn
3
P
3
P
3
kl
a
a
kl
4.5.3 test de convergence
1
+
p
DY
Le critère de convergence reste
RESI_INTE_RELA
1
+
p
0
Y
- Y
4.6
Procédure de relaxation basée sur une estimation des normales à la
surface de charge déviatoire
Lorsque le mécanisme plastique déviatoire intervient, une procédure de relaxation à l'intérieur des
itérations de Newton est prise en compte. Celle-ci permet d'éviter certains problèmes d'oscillation dans
le calcul de la solution p 1
+
Y
qui conduisent finalement à la non convergence de l'intégration
numérique.
Ainsi, à l'iteration p + 1 , au lieu d'actualiser l'inconnue p 1
+
Y
par un incrément complet
p 1
+
Y
p 1
+
p
p 1
+
Y
= Y + Y
on pose
p 1
+
p
p 1
+
Y
= Y + Y
m
m
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et on cherche, en effectuant une boucle sur des sous-itérations m , à déterminer une valeur optimale
du scalaire . Cette valeur est recherchée en considérant la rotation de la normale, dans le plan
m
déviatoire, à la surface
d
f , au cours des sous-itérations. Cette normale, notée n~m , s'exprime à
partir des contraintes contenues dans le terme
p 1
+
Y
par
m
f
6
~
5
det(q
nm =
)
2 h(q )
d
qII
= (2 + cos(3q ) qij +
qij
qII
q
ij
À partir de la valeur initiale = 0
.
1 , le processus mis en place consiste en les étapes suivantes :
0
·
calcul des normales ~
nm 1
- et n
~m
n
~
n
~
:
·
calcul de l'angle de rotation
m 1
-
m
=
m entre ces normales : cos
m
n
~
~
m
n
1
-
m
·
test sur l'évolution cos :
m
si cos TOLROT alors
= DECREL et m = m +1
m
m+1
m
sinon fin des sous-itérations et
p 1
+
1
+
Y
= p
Y
m
4.7
Redécoupage du pas de temps
Comme pour d'autres relations de comportement (CHABOCHE, VISCOCHAB, TAHERI, LMARC), il a été
introduit pour le modèle CJS la possibilité de redécouper localement (aux points de Gauss) le pas de
temps afin de faciliter l'intégration numérique. Cette possibilité est gérée par l'opérande
ITER_INTE_PAS du mot clé CONVERGENCE de l'opérateur STAT_NON_LINE. Si itepas, la valeur de
ITER_INTE_PAS, vaut 0, 1 ou -1 il n'y a aucun redécoupage (remarque: 0 est la valeur par défaut). Si
itepas est positif le redécoupage est automatique, s'il est négatif le redécoupage n'est pris en
compte qu'en cas de non convergence avec le pas de temps initial.
Le redécoupage consiste à réaliser, après la phase de prédiction élastique, l'intégration du ou des
mécanismes plastiques mis en jeux avec un incrément de déformation dont les composantes
correspondent aux composantes de l'incrément de déformation initial divisées par la valeur absolue de
itepas.
4.8 Remarques
diverses
4.8.1 Calcul du terme cos( -
s
q )
Le terme cos( - apparaît dans l'expression de . Nous avons adopté pour son calcul la
s
q )
o
même méthode que celle utilisée à l'ECL. C'est-à-dire que nous déterminons les angles et de
s
q
la manière qui suit :
1
1 cos2
-
(
3
1 cos
1
2
-
( 3q)
s )
= Arctan
et = Arctan
s
3
(
cos
3
q
3
(
cos
3 q )
s )
puis nous prenons le cosinus de la différence.
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Ces expressions de et servent également pour le calcul de :
s
q
cos( -
s
q ) = - sin( -
s
q )
s
q
-
kl
kl
kl
1
54
2
det(q)
avec
s = -
1- cos 3
( )
t
3
q
s
3
-
kl
2
kl
3
q
q
kl
II
II
4.8.2 Calcul
de
R
r
Le rayon de rupture introduit dans le modèle CJS3 est donné par la formule
3p
R = R + µln
r
c
c
I + Q
1
init
I + Q
En fait, lorsque 1
init > p , on doit bloquer R à la valeur de R . Le domaine de dilatence
c
3
r
c
disparaît et on n'admet pas que R puisse diminuer en deçà de R . Par conséquent, on introduit, à la
r
c
place de la formulation précédente, l'expression suivante
3 p
R = R + µ max ,
0 ln
r
c
c
I + Q
1
init
4.8.3 Traction
Sans cohésion, le domaine de traction qui correspond à des contraintes positives est inadmissible
pour les sols. Du point de vue de l'intégration du modèle CJS, lorsque l'état des contraintes tend vers
le sommet du cône de la surface de charge, le risque numérique de basculer dans ce domaine interdit
augmente. Or lorsque que l'on se projette ou lorsque l'on fait une prédiction en un point de ce
domaine, le calcul numérique aboutit soit à un résultat erroné, soit à une erreur fatale. En effet, la
traction se manifeste numériquement par une valeur de I positive. Cette valeur pose ensuite
1
- .
1 5
+
I + Q
problème au moment d'évaluer certaines quantités comme
1
init
; par ailleurs elle
3
Pa
engendrerait d'un point de vue théorique une valeur q négative d'après l'équation de la surface de
II
charge déviatoire.
Un tel phénomène a été détecté à plusieurs niveaux : de façon particulière dans la prédiction élastique
avec le modèle CJS1, et de façon générale dans les itérations de Newton locales faisant intervenir le
mécanisme déviatoire. La même réponse a été apportée afin de s'affranchir de cette pathologie : il
s'agit de projeter virtuellement les contraintes dans le domaine élastique sur l'axe hydrostatique en
posant :
= = = 1
- kPa
11
22
33
= = = 0
12
13
23
On repositionne ainsi l'état de contraintes dans le domaine de compression en s'éloignant peu de la
prédiction initiale inadmissible envisagée, et en espérant que les considérations de structures
permettront au calcul global de converger.
De plus les variables internes n'évoluent pas et on suppose être revenu dans le domaine élastique
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5 Opérateur
tangent
L'opérateur tangent appelé par l'option RIGI_MECA_TANG correspond à l'opérateur tangent déduit du
problème en vitesse et calculé à partir des résultats connus à l'instant t.
L'opérateur tangent appelé par l'option FULL_MECA devrait correspondre à l'opérateur tangent au
problème discrétisé de façon implicite. En réalité, nous n'avons pas effectué ce calcul. Nous prenons
alors, lorsque l'option FULL_MECA est retenue, l'opérateur tangent déduit du problème en vitesse et
calculé à partir des résultats connus à l'instant t+dt.
Nous détaillons ci-dessous l'opérateur tangent déduit du problème en vitesse en fonction du ou des
mécanismes mis en jeu.
5.1
Opérateur tangent du mécanisme élastique non linéaire
Nous avons simplement la relation élastique non linéaire suivante :
n
I + Q
& = D
& = 1
D
ij
ijkl ( )
init
lineaire
kl
ijkl
&kl
P
3 a
d'où immédiatement l'opérateur tangent :
n
.
+
elas nl
I
Q
1
init
lineaire
H
=
D
ijkl
ijkl
P
3 a
5.2
Opérateur tangent des mécanismes élastique et plastique isotropes
Dans ce cas, nous avons la relation suivante :
1
& = D &
&
D
&
&
ij
ijkl ( )(
- ip
kl
kl ) =
ijkl ( )
i
+
kl
kl
3
il vient : I& = K
3
1
(
i
& + &
v
)
En tenant compte de cette relation et de la loi d'écrouissage de Q , la condition i
f& = 0 devient :
iso
I&
i
1
f& = -
+ Q& = -K & &
K &
iso
( + i
v
)- p i = 0
3
K
soit : i
& = -
&
p
v
K + K
En reportant ce résultat dans l'expression de & , on trouve :
ij
1
K
1
K
& = D & -
& = D -
D
ij
ijkl
kl
&
p
mm
kl
ijkl
p
ijmn
mn
kl
kl
3 K + K
3 K + K
d'où l'opérateur tangent :
1
K
ip
H
= D -
D
ijkl
ijkl
p
ijmn
mn
kl
3 K + K
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On peut aussi écrire sous forme matricielle :
- + 2µ
-
-
0
0
0
-
- + 2µ
-
0
0
0
I n -
-
- + 2µ
0
0
0
ip
H =
1
3Pa
0
0
0
2µ
0
0
0
0
0
0
2µ
0
0
0
0
0
0
2µ
e
K 2
où pour cette formule uniquement et µ sont les coefficient de Lamé et
o
=
.
e
p
K + K
o
o
5.3
Opérateur tangent des mécanismes élastique et plastique déviatoire
La condition
d
f& = 0 s'écrit :
d
d
d
d
d
d
f
f
f
f
f
f
d
f& =
& +
R& +
X& =
& +
d
R
& G +
d
X
& G = 0
ij
ij
ij
ij
R
X
R
X
ij
ij
ij
ij
d
f
Le tenseur
X
G étant purement déviatoire, le produit
X
G se réduit à :
ij
X ij
d
d
f
f
X
X
X
G = dev
G
= -I Q G
ij
ij
1
ij
ij
X
X
ij
ij
Le multiplicateur plastique peut donc se mettre sous la forme :
d
f
d
&
1
=
&
dev
ij
H
ij
en faisant apparaître le module plastique
dev
H
, donné par :
- ,
1 5
2
dev
2
I + Q
R
1
H
=
1
init
I
A 1-
+ Q Q
X
1
ij (
+
ij
ij )
P
3
R
b
a
m
La relation contraintes - déformations permet alors d'écrire :
d
d
f
f
f
f
& =
D
& - & G =
D & - &
D G
ij
ijkl (
d
d
kl
kl )
d
d
d
d
ijkl
kl
ijkl
kl
ij
ij
ij
ij
ce qui donne finalement pour le multiplicateur plastique :
d
f D
ijkl &kl
d
ij
& =
d
f
dev
d
H
+
D G
ijkl
kl
ij
En reportant ce résultat dans l'expression de & , on trouve :
ij
d
f
D
&
pqmn
mn
pq
& = D &
G
ij
ijkl
-
d
kl
d
kl
f
dev
H
+
d
D G
rstu
tu
rs
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d'où l'opérateur tangent :
d
f Dpqkl
dp
d
pq
H
= D - D G
ijkl
ijkl
ijmn
mn
d
f
dev
d
H
+
D G
rstu
tu
rs
L'opérateur tangent ainsi obtenu n'est pas symétrique. Or pour l'instant la loi CJS s'appuie sur des
éléments finis qui réclament un opérateur symétrique. En définitive, nous retenons non pas
dp
H mais
ijkl
~ dp
H qui est donné par :
ijkl
~
dp
dp
H
+ H
dp
ijkl
klij
H
=
avec ij et kl pris dans ( ,
11
,
13
,
12
,
33
,
22
23)
ijkl
2
5.4
Opérateur tangent des mécanismes élastique, plastiques isotrope et
déviatoire
On doit satisfaire les deux conditions suivantes : i
f& = 0 et d
f& = 0 . Compte tenu de la relation
contraintes - déformations qui s'écrit :
1 i
d
d
& = D &
&
& G
ij
ijkl
+
-
kl
kl
kl
3
la première condition donne :
i
f& = -K(& + i
& - d d
& G
K &
v
v ) -
p
i = 0
où l'on a posé
d
d
G = G = tr G .
v
kk
( d )
La seconde condition aboutie à :
d
f
1
d
d
D & +
f
f
i
&
D - d
d
&
D G -
dev
d
H
& = 0
ijkl
kl
3
ijkl
kl
ijkl
kl
ij
ij
ij
Ainsi, les multiplicateurs plastiques i
& et d
& s'obtiennent en résolvant le système :
- (K + p
K ) i
& +
d
d
KG & = K&
v
v
d
1 f
d
f
d
f
-
i
D & +
d
D G +
dev
H
d
& =
D
ijkl
kl
ijkl
kl
ijkl &kl
3
ij
ij
ij
soit :
d
d
f
f
d
d
dev
KG
D & -
D
G + H
K
v
ijkl
kl
mnpq
pq
&v
i
ij
mn
& =
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
d
dev
d
D G + H
- KG
D
rstu
tu
v
wvxy
xy
3
rs
vw
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
D & - K
D
ijkl
kl
mnpq
pq &v
3
d
ij
mn
& =
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
d
dev
d
D G + H
- KG
D
rstu
tu
v
vwxy
xy
3
rs
vw
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Ces expressions s'écrivent encore :
i
& = T et d
& = T
1kl &kl
2 kl &kl
où les tenseurs T et T sont donnés par :
1
2
d
d
f
f
d
d
dev
KG
D
-
D
G + H
K
v
ijkl
mnpq
pq
kl
ij
mn
T
=
1kl
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
d
dev
d
D G + H
- KG
D
rstu
tu
v
vwxy
xy
3
rs
vw
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
D
- K
D
ijkl
mnpq
pq
kl
3
ij
mn
T
=
2 kl
(
f
1
f
p
K + K )
d
d
d
dev
d
D G + H
- KG
D
rstu
tu
v
vwxy
xy
3
rs
vw
En reportant les expressions i
& et d
& de dans la formule de & , on trouve :
ij
1
d
& = D &
T
1
&
T
2
& G
ij
ijkl
+
-
kl
nm
nm
kl
pq
pq
kl
3
d'où l'opérateur tangent :
idp
1
d
H
= D + D T - D G T
ijkl
ijkl
ijmn
mn 1kl
ijpq
pq
2 kl
3
~
Cet opérateur tangent n'étant pas symétrique, nous retenons non pas
idp
H
mais
idp
H
qui est donné
ijkl
ijkl
par :
~
idp
idp
H
+ H
idp
ijkl
klij
H
=
avec ij et kl pris dans ( ,
11
,
13
,
12
,
33
,
22
23)
ijkl
2
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Loi CJS en géomécanique
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C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
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6 Sources
Aster
6.1
Liste des routines modifiées et ajoutées
Seule la routine nmcomp.f a été modifiée. Elle permet d'appeler, lorsque le comportement CJS est
choisi, la routine nmcjs.f, point de départ de l'intégration de la loi.
L'ensemble des routines fortran développées dans le cadre de l'intégration de la loi CJS dans le
Code_Aster est le suivant :
cjsc3q.f,
cjsci1.f,
cjsdtd.f,
cjsela.f,
cjside.f,
cjsiid.f,
cjsjde.f,
cjsjid.f,
cjsjis.f,
cjsmat.f,
cjsmde.f,
cjsmid.f,
cjsmis.f,
cjsnor.f,
cjspla.f,
cjsqco.f,
cjsqij.f,
cjssmd.f,
cjssmi.f,
cjst.f, cjstde.f,
cjstel.f,
cjstid.f,
cjstis.f,
lcdete.f,
nmcjs.f,
cjsinp.f,
cjsncn.f,
cjsncv.f,
cjsnvi.f,
cjsqq.f.
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6.2
Organigramme général des principales routines
Les principales routines FORTRAN pour l'intégration de la loi CJS s'enchaînent de la façon suivante :
nmcomp.f
nmcjs.f
cjsmat.f
cjsela.f
cjssmi.f
cjssmd.f
cjspla.f
cjsmis.f
cjsmde.f
cjsmid.f
cjstel.f
cjstis.f
cjstde.f
cjstid.f
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6.3
Détails des fonctionnalités des routines FORTRAN développées
6.3.1 Routine
:
CJSC3Q
Objectif : calcul de cos(3
q )
Variables d'entrée et de sortie :
IN
SIG : CONTRAINTES
X : VARIABLES ECROUI CINE
PA : PRESS ATMOSPHERIQUE ( DONNEE MATERIAU)
OUT
Q : DEV(SIG)-TRACE(SIG)*X
QII : SQRT(QIJ*QIJ)
COS3TQ : SQRT(54)*DET(Q)/(QII**3)
6.3.2 Routine
:
CJSCI1
Objectif :
+ n
e
I
résolution de l'équation +
I - -
I - 3
1
K
tr = par la méthode de la sécante,
1
1
o
( ) 0
3
Pa
pour le comportement élastique non linéaire
Variables d'entrée et de sortie :
IN
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
SIGD : CONTRAINTE A T
OUT
I1 : TRACE DE SIG A T+DT
TRACT : VARIABLE LOGIQUE INDIQUANT LA TRACTION
6.3.3 Routine
:
CJSDTD
Objectif :
calcul de la dérivée du tenseur d
t par rapport à q
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
Q : TENSEUR (6 COMPOSANTES)
OUT
DTDDQ : TENSEUR RESULTAT (6 COMPOSANTES)
6.3.4 Routine
:
CJSELA
Objectif :
calcul élastique non linéaire des contraintes
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATERF : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
SIGD : CONTRAINTE A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
OUT
SIGF : CONTRAINTE A T+DT
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Organisation de CJSELA
·
calcul du premier invariant des contraintes I1 à t+dt :
- appel de CJSCI1
·
calcul des coefficients de la matrice élastique et assemblage de la matrice
·
calcul de l'incrément des contraintes et des contraintes à t+dt :
- appel de LCPRMV et LCSOVE
6.3.5 Routine
:
CJSIDE
Objectif :
pour l'intégration du mécanisme plastique déviatoire, calcul d'une solution d'essai afin
d'amorcer ensuite les itérations de Newton locales.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
EPSD : DEFORMATION A T+DT
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
YD : VARIABLES A T = (SIGD, VIND, LAMB)
VAR
GD : TENSEUR DE LA LOI D ECOULEMENT PLASTIQUE DEV.
OUT
DY : SOLUTION D ESSAI
Organisation de CJSIDE
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
d
f
·
calcul du seuil
d
f , de sa dérivée
et du multiplicateur plastique
d
,
d
·
calcul de la solution d'essai
6.3.6 Routine
:
CJSIID
Objectif :
pour l'intégration simultanée des mécanismes plastiques isotrope et déviatoire, calcul d'une
solution d'essai afin d'amorcer ensuite les itérations de Newton locales.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
EPSD : DEFORMATION A T+DT
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
YD : VARIABLES A T = (SIGD, VIND, LAMB)
VAR
GD : TENSEUR DE LA LOI D ECOULEMENT PLASTIQUE DEV.
OUT
DY : SOLUTION D ESSAI
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Organisation de CJSIID
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
i
f
i
f
d
f
d
f
·
calcul des seuils i
f et d
f , de leurs dérivées
,
,
et
, et des
i
d
i
d
multiplicateurs plastiques
i
et
d
,
·
calcul de la solution d'essai
6.3.7 Routine
:
CJSJDE
Objectif :
DR
calcul de DRDY et R pour la résolution de
( p
Y )
1
+
p
DY
= -R( p
Y ) (mécanisme
DY
plastique déviatoire)
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
EPSD : DEFORMATION A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
YD : VARIABLES A T = (SIGD, VIND, LAMBDD)
YF : VARIABLES A T+DT = (SIGF, VINF, LAMBDF)
VAR
GD : TENSEUR DE LA LOI D ECOULEMENT PLASTIQUE DEV.
OUT
R : SECOND MEMBRE
SIGNE : SIGNE DE S:DEPSDP
DRDY : JACOBIEN
Organisation de CJSJDE
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
·
calcul de multiples dérivées intermédiaires
R
G
G R
X
G
X
G
d
G
Gd
d
G
·
calcul des termes
,
,
mn ,
mn ,
mn ,
mn ,
mn
R
X
R
X
ij
ij
ij
ij
ij
·
calcul des composantes de DRDY et R
·
assemblage de DRDY et R
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6.3.8 Routine
:
CJSJID
Objectif :
DR
calcul de DRDY et R pour la résolution de
( p
Y )
1
+
p
DY
= -R( p
Y ) (mécanismes
DY
plastiques isotrope et déviatoire)
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
EPSD : DEFORMATION A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
YD : VARIABLES A T = (SIGD, VIND, LAMBDD)
YF : VARIABLES A T+DT = (SIGF, VINF, LAMBDF)
VAR
GD : TENSEUR DE LA LOI D ECOULEMENT PLASTIQUE DEV.
OUT
R : SECOND MEMBRE
SIGNE : SIGNE DE S:DEPSDP
DRDY : JACOBIEN
Organisation de CJSJID
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
iso
Q
G
,
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
·
calcul de multiples dérivées intermédiaires
Q
G iso
R
G
G R
X
G
X
G
d
G
Gd
d
G
·
calcul des termes
,
,
,
mn ,
mn ,
mn ,
mn ,
mn
Q
R
X
R
X
iso
ij
ij
ij
ij
ij
·
calcul des composantes de DRDY et R
·
assemblage de DRDY et R
6.3.9 Routine
:
CJSJIS
Objectif :
DR
calcul de DRDY et R pour la résolution de
( p
Y )
1
+
p
DY
= -R( p
Y ) (mécanisme
DY
plastique isotrope)
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
YD : VARIABLES A T = (SIGD, VIND, LAMBDD)
YF : VARIABLES A T+DT = (SIGF, VINF, LAMBDF)
OUT
R : SECOND MEMBRE
DRDY : JACOBIEN
Organisation de CJSJIS
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul des composantes de DRDY et R
·
assemblage de DRDY et R
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6.3.10 Routine : CJSMAT
Objectif :
récupération de données matériaux, du nombre de composantes des champs, du nombre de
variables internes et du niveau CJS choisi.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
IMAT : ADRESSE DU MATERIAU CODE
MOD : TYPE DE MODELISATION
TEMPF : TEMPERATURE A T+DT
OUT
MATERF : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
NDT : NB TOTAL DE COMPOSANTES TENSEURS
NDI : NB DE COMPOSANTES DIRECTES TENSEURS
NVI : NB DE VARIABLES INTERNES
NIVCJS : NIVEAU 1, 2 OU 3 DE LA LOI CJS
Organisation de CJSMAT
·
récupération du nombre de composantes des champs et du nombre de variables internes en
fonction de la modélisation choisie,
·
récupération de données matériaux,
·
reconnaissance du niveau CJS choisi en fonction des paramètres donnés.
6.3.11 Routine : CJSMDE
Objectif :
calcul élasto-plastique des contraintes avec le mécanisme plastique deviatoire activé :
résolution par la méthode de Newton de R(Y ) = 0
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
NVI : NB DE VARIABLES INTERNES
EPSD : DEFORMATIONS A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
SIGD : CONTRAINTE A T
VIND : VARIABLES INTERNES A T
STOPNC : ARRET EN CAS DE NON CONVERGENCE
VAR
SIGF : CONTRAINTE A T+DT
VINF : VARIABLES INTERNES A T+DT
NOCONV : PAS DE CONVERGENCE
Organisation de CJSMDE
·
initialisation de YD par l'état à t
·
calcul d'une solution d'essai avec CJSIDE
·
boucle sur les itérations de Newton
- incrémentation YF = YD + DY
- calcul de DRDY et R : CJSJDE
- résolution du système par la méthode de Gauss : MTGAUS
- actualisation de la solution DY
- test de convergence
·
mise à jour des contraintes et variables internes
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6.3.12 Routine : CJSMID
Objectif :
calcul élasto-plastique des contraintes avec les mécanismes plastiques isotrope et deviatoire
activés : résolution par la méthode de Newton de R(Y ) = 0
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
NVI : NB DE VARIABLES INTERNES
EPSD : DEFORMATIONS A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
SIGD : CONTRAINTE A T
VIND : VARIABLES INTERNES A T
STOPNC : ARRET EN CAS DE NON CONVERGENCE
VAR
SIGF : CONTRAINTE A T+DT
VINF : VARIABLES INTERNES A T+DT
NOCONV : PAS DE CONVERGENCE
Organisation de CJSMID
·
initialisation de YD par l'état à t
·
calcul d'une solution d'essai avec CJSIID
·
boucle sur les itérations de Newton
- incrémentation YF = YD + DY
- calcul de DRDY et R : CJSJID
- résolution du système par la méthode de Gauss : MTGAUS
- actualisation de la solution DY
- test de convergence
·
mise à jour des contraintes et variables internes
6.3.13 Routine : CJSMIS
Objectif :
calcul élasto-plastique des contraintes avec le mécanisme plastique isotrope activé :
résolution par la méthode de Newton de R(Y ) = 0
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
SIGD : CONTRAINTE A T
VIND : VARIABLES INTERNES A T
STOPNC : ARRET EN CAS DE NON CONVERGENCE
VAR
SIGF : CONTRAINTE A T+DT
VINF : VARIABLES INTERNES A T+DT
NOCONV : PAS DE CONVERGENCE
Organisation de CJSMIS
·
initialisation de YD par la prédiction élastique
·
boucle sur les itérations de Newton
- incrémentation YF = YD + DY
- calcul de DRDY et R : CJSJIS
- résolution du système par la méthode de Gauss : MTGAUS
- actualisation de la solution DY
- test de convergence
·
mise à jour des contraintes et variables internes
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6.3.14 Routine : CJSNOR
Objectif :
d
f
calcul d'un vecteur parallèle à
qij
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MATER : MATERIAU
SIG :
CONTRAINTES
X :
VARIABLES INTERNES CINEMATIQUES
OUT
NOR :
ESTIMATION DE LA DITRECTION DE LA NORMALE
A LA SURFACE DEVIATOIRE DANS LE PLAN DEVIATOIRE
PERPENDICULAIRE
A
LA
TRISECTRICE
LE VECTEUR NOR(1:NDT) N EST PAS NORME
SA
NORME
EST
NOR(NDT+1)
6.3.15 Routine : CJSPLA
Objectif :
calcul élasto-plastique des contraintes.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
CRIT : CRITERES DE CONVERGENCE
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU A T+DT
SEUILI : FONCTION DE CHARGE ISO. CALCULEE AVEC PREDICT ELAS
SEUILD : FONCTION DE CHARGE DEV. CALCULEE AVEC PREDICT ELAS
NVI : NOMBRE DE VARIABLES INTERNES
EPSD : DEFORMATIONS A T
DEPS : INCREMENT DE DEFORMATION
SIGD : CONTRAINTE A T
VIND : VARIABLES INTERNES A T
VAR
SIGF : CONTRAINTE A T+DT (IN -> ELAS, OUT -> PLASTI )
OUT
VINF : VARIABLES INTERNES A T+DT
MECANI : MECANISME(S) ACTIVE(S)
Organisation de CJSPLA
·
hypothèse sur le ou les mécanismes plastiques activés en fonction des valeurs des seuils i
f
et
d
f calculés à partir de la prédiction élastique,
·
traitement du redécoupage éventuel du pas de temps
·
sauvegarde de la prédiction élastique,
·
calcul élasto-plastique,
- mécanisme plastique isotrope : CJSMIS
- mécanisme plastique déviatoire : CJSMDE
- mécanismes plastiques isotrope et déviatoire simultanément : CJSMID
·
calcul des seuils à partir des contraintes à t+dt
- appel de CJSSMI et de CJSSMD
- si (hypothèse d'un mécanisme isotrope et d
f positif) ou (hypothèse d'un mécanisme
déviatoire et i
f positif) : retour au calcul élasto-plastique avec mécanismes plastiques
isotrope et déviatoire simultanément,
- sinon fin de routine
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6.3.16 Routine : CJSQCO
Objectif :
routine utilitaire de CJS permettant le calcul de grandeurs standard listées ci-dessous
Variables d'entrée et de sortie :
IN
GAMMA : PARAMETRE MATERIAU
SIG : CONTRAINTES
X : VARIABLES ECROUI CINE
PREF : PRESS REF POUR NORMALISATION
EPSSIG : EPSILON POUR NULLITE DEVIATEUR
I1 : TRACE DU TENSEUR DES CONTRAINTES
OUT
S : DEV(SIG)
SII : SQRT(S:S)
SIIREL : SII/PREF
COS3TS : LODE(SIG)
HTS : FONCTION H(TETHA_S)
DETS : DETERMINANT DE S
Q : Q(SIG-X)
QII : SQRT(Q:Q)
QIIREL : QII/PREF
COS3TQ
HTQ : FONCTION H(TETHA_Q)
DETQ : DETERMINANT DE Q
6.3.17 Routine : CJSQIJ
Objectif :
calcul du tenseur q
ij
Variables d'entrée et de sortie :
IN
N : DIMENSION DE S, X, Q
S : DEVIATEUR
I1 : PREMIER INV.
X : CENTRE DE LA SURFACE DE CHARGE DEVIATOIRE
OUT
Q : TENSEUR RESULTAT
6.3.18 Routine : CJSSMD
Objectif :
calcul du seuil du mécanisme plastique déviatoire.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
SIG : CONTRAINTE
VIN : VARIABLES INTERNES
OUT
SEUILD : SEUIL ELASTICITE DU MECANISME DEVIATOIRE
6.3.19 Routine : CJSSMI
Objectif :
calcul du seuil du mécanisme plastique isotrope.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
SIG : CONTRAINTE
VIN : VARIABLES INTERNES
OUT
SEUILI : SEUIL ELASTICITE DU MECANISME ISOTROPE
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6.3.20 Routine : CJST
Objectif :
det s
calcul de t =
.
s
Variables d'entrée et de sortie :
IN
S : MATRICE
OUT
T : T (SOUS FORME VECTORIELLE AVEC RAC2)
6.3.21 Routine : CJSTDE
Objectif :
calcul de la matrice tangente pour le mécanisme plastique déviatoire
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU
NVI : NB DE VARIABLES INTERNES
EPS : DEFORMATIONS
SIG : CONTRAINTES
VIN : VARIABLES INTERNES
OUT
DSDESY : MATRICE TANGENTE SYMETRISEE
Organisation de CJSTDE
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
·
calcul de termes intermédiaires
·
calcul de la matrice tangente
·
symétrisation de la matrice tangente
6.3.22 Routine : CJSTEL
Objectif :
calcul de la matrice tangente pour le mécanisme élastique
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU
SIG : CONTRAINTES
OUT
HOOK : OPERATEUR RIGIDITE ELASTIQUE
Organisation de CJSTEL
·
calcul de l'opérateur élastique
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6.3.23 Routine : CJSTID
Objectif :
calcul de la matrice tangente pour les mécanismes plastiques isotrope et déviatoire
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU
NVI : NB DE VARIABLES INTERNES
EPS : DEFORMATIONS
SIG : CONTRAINTES
VIN : VARIABLES INTERNES
OUT
DSDESY : MATRICE TANGENTE SYMETRISEE
Organisation de CJSTEL
·
calcul de l'opérateur élastique,
·
calcul de lois d'écrouissage
R
G et X
G ,
·
calcul de la loi d'écoulement du mécanisme plastique déviatoire
d
G ,
·
calcul de termes intermédiaires
·
calcul de la matrice tangente
·
symétrisation de la matrice tangente
6.3.24 Routine : CJSTIS
Objectif :
calcul de la matrice tangente pour le mécanisme plastique isotrope
Variables d'entrée et de sortie :
IN
MOD : MODELISATION
MATER : COEFFICIENTS MATERIAU
SIG : CONTRAINTES
VIN : VARIABLES INTERNES
OUT
DSDE : MATRICE TANGENTE
Organisation de CJSTEL
·
calcul de la matrice tangente
6.3.25 Routine : LCDETE
Objectif :
calcul d'une matrice déterminant 3×3
Variables d'entrée et de sortie :
IN
A : MATRICE
OUT
LCDETE : DETERMINANT
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6.3.26 Routine : NMCJS
Objectif :
réalisation de l'intégration de la loi CJS : calcul des contraintes à t+dt et/ou de la matrice
tangente, selon l'option de calcul choisie.
Variables d'entrée et de sortie :
IN
TYPMOD TYPE DE MODELISATION
IMAT ADRESSE DU MATERIAU CODE
COMP COMPORTEMENT DE L ELEMENT
CRIT CRITERES LOCAUX
INSTAM INSTANT T
INSTAP INSTANT T+DT
TEMPM TEMPERATURE A T
TEMPF TEMPERATURE A T+DT
TREF TEMPERATURE DE REFERENCE
EPSD DEFORMATION TOTALE A T
DEPS INCREMENT DE DEFORMATION TOTALE
SIGD CONTRAINTE A T
VIND VARIABLES INTERNES A T + INDICATEUR ETAT T
OPT OPTION DE CALCUL A FAIRE
OUT
SIGF CONTRAINTE A T+DT
VINF VARIABLES INTERNES A T+DT + INDICATEUR ETAT T+DT
DSDE MATRICE DE COMPORTEMENT TANGENT A T+DT OU T
Organisation de NMCJS
·
récupération de données matériaux, du nombre de composantes des champs, du nombre de
variables internes et du niveau CJS choisi :
- appel de CJSMAT
·
blocage de variables internes selon le niveau CJS choisi
·
calcul des contraintes à t+dt
- prédiction élastique : CJSELA
- calcul des seuils des mécanismes isotrope et déviatoire : CJSSMI et CJSSMD
- si l'un des seuils est dépassé, calcul élasto-plastique : CJSPLA
·
calcul de la matrice tangente en fonction du mécanisme mis en jeu
- élastique : CJSTEL
- plastique isotrope : CJSTIS
- plastique déviatoire : CJSTDE
- plastique isotrope et déviatoire : CJSTID
7 Bibliographie
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[3]
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Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/03/005/A
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