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Pression suiveuse pour les éléments de coques volumiques
Date :
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Manuel de Référence
Fascicule R3.03 : Conditions aux limites et chargements
Document R3.03.07

Pression suiveuse pour les éléments de coques
volumiques

Résumé :
Nous présentons dans ce document, le modèle utilisé pour calculer le chargement de type pression suiveuse
agissant sur la surface moyenne des éléments finis de coques volumiques correspondant à la modélisation
COQUE_3D. La discrétisation du chargement conduit à un vecteur nodal des forces externes et à une
contribution non symétrique dans la matrice tangente de rigidité. Ces objets éléments finis sont évalués à
chaque itération de l'algorithme de Newton de STAT_NON_LINE.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Cinématique........................................................................................................................................... 3
2.1 Paramétrisation de la transformée de la surface moyenne............................................................. 4
3 Formulation variationnelle ...................................................................................................................... 6
3.1 Travail virtuel ................................................................................................................................... 6
3.2 Opérateur tangent ........................................................................................................................... 7
4 Discrétisation.......................................................................................................................................... 8
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 12
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1 Introduction
Notre analyse part de la formulation faible de l'équilibre sous un chargement de type pression suiveuse
activé par le mot-clé TYPE_CHARGE :'SUIV' dans la commande STAT_NON_LINE [U4.32.01]. La
différence par rapport à une analyse linéaire géométrique classique est que la pression agit sur la
géométrie déformée et non plus sur la géométrie initiale. Cette nouvelle géométrie est obtenue à partir
de la transformée de la surface moyenne initiale soumise à de grands déplacements et de grandes
rotations [R3.07.05]. Les notations sont inspirées de [R3.07.05].
Cette transformée peut être paramétrisée exactement comme la surface initiale en utilisant les
coordonnées réduites de l'élément isoparamétrique associé : les repères co-variants ou contra-variants
se construisent en chaque point de la surface déformée. L'écriture du travail virtuel de la pression avec
cette paramétrisation se fait dans la configuration déformée en utilisant les éléments iso-paramétriques
associés. Il en résulte une indépendance du domaine d'intégration avec les déplacements que l'on
utilise pour exprimer la variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression par rapport aux dits
déplacements. Cela présente un avantage important par rapport à la méthode appliquée pour la
pression qui suit les facettes des éléments 3D [R3.03.04]. En effet, cette dernière méthode, basée sur
une formulation Lagrangienne actualisée, conduit à des termes non linéaires difficiles à linéariser,
provenant de la transformation jacobienne par rapport à la configuration de référence.
Les objets éléments finis obtenus par linéarisation par rapport aux déplacements incrémentaux du
travail virtuel des efforts extérieurs de pression sont à réactualiser à chaque itération de l'algorithme de
Newton de STAT_NON_LINE. Nous soulignons le fait que la contribution de la pression suiveuse à la
matrice tangente de rigidité est non symétrique, et nous rappelons que la partie géométrique de la
matrice tangente est déjà non symétrique [bib2].
2 Cinématique
Pour les éléments de coque volumique on définit une surface de référence , ou surface
moyenne, gauche ( de coordonnées curvilignes
1 2 par exemple) et une épaisseur (
h ,
1 2 )
mesurée selon la normale à la surface moyenne. La position des points de la coque est donnée par les
coordonnées curvilignes (1,2 ) de la surface moyenne et l'élévation 3 par rapport à cette
surface.
On rappelle la grande transformation subie par la coque :
(ensemble des points P à 3 = 0 ) est la transformée de la surface moyenne initiale
(ensemble des points P à 3 = 0).
La position du point P sur la configuration déformée peut être établie en fonction de la position du
point initial P comme suit :
x (1,2) = x (1,2)+ u
P
P
P (1,2 ) .
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n (1,2 ) = (1,2 ) n (1,2 )
n(1,2 )

uQ(1,2,3)
Q (3 0)
Q 3 0
·
·

(
)
P (3 = 0)

·
P(3 = 0)
·
h
u P (1,2 ,3 = 0)
xQ (1,2 ,3)
x P (1,2 ,3 = 0)
x

Q (1 , 2 , 3 )
x P (1 ,2 ,3 = 0)
e 2 , y
e1 , x
e 3 , z
Figure 2-a : Coque volumique.
Grandes transformations d'une fibre initialement normale à la surface moyenne
2.1
Paramétrisation de la transformée de la surface moyenne
La transformée peut être paramétrisée d'une façon similaire à la paramétrisation de la surface
initiale. Ainsi on peut définir l'élément infinitésimal de vecteur tangent à :



x
x

dx
P
P
P (1,2 ) =
d +
d
1


2
1
1
dx


P (1,2 ) = d a
1
1 (1,2 ) + d
a
2
2 (1,2 )
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où [a ( , );a
1
1 2
2 ( 1
, 2
)] représente une base naturelle non orthogonale (a .a
1
2 )
0 et non


normée ( a 1 ; a
1
1 )
1 tangente à la surface . Les deux vecteurs de base peuvent être
liés aux déplacements via la formule suivante :


x
x + u
a
P
p
p
1 ( 1
, 2
)
(
)
=
=
1

1



x
x + u
a
P
p
p
2 ( 1
, 2
)
(
)
=
=
2

2

ce qui permet de les relier aux vecteurs de la base naturelle liée à la surface initiale par les
relations :
u

a
p
1 ( 1
, 2
) = a1( 1, 2)+ 1

u

a
p
2 ( 1
, 2
) = a2( 1, 2)+ 2

Il est important de noter que ces vecteurs sont distincts des vecteurs obtenus par la grande rotation
des vecteurs a ( , ) ; a
1 1 2
2 ( 1
, 2
) :
a1 ( 1
, 2
) ( 1
, 2
) a1( 1
, 2
)
a2 ( 1
, 2
) ( 1
, 2
) a2( 1
, 2
)
En effet, du fait de la déformation due au cisaillement transverse, les vecteurs tournés ne sont plus
tangents à . L'illustration de cela est donnée par la [Figure 3.1-a].
Avec cette paramétrisation, le vecteur infinitésimal élément de surface qui est perpendiculaire à
peut s'écrire :
d ( , )= a ( , )× a
1 2
1
1 2
2 (1,2 ) d1d2
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3 Formulation
variationnelle
3.1 Travail
virtuel
n
( ,
1 )
2


p0

n
( ,

n
1 )
2
=
( ,
1 )
2

( ,
1 )
2


p = p0


Figure 3.1-a : Coque volumique.
Pression suiveuse sur la surface moyenne initiale et sa transformée
Le travail virtuel d'une pression suiveuse p (c'est-à-dire agissant sur la surface moyenne transformée
et se déplaçant avec) peut être exprimé sous la forme :
pression = -

up.p d

suiveuse
Si l'on utilise l'élément de surface isoparamétrique correspondant à notre modélisation de coque
volumique, la surface d s'exprime directement en fonction des coordonnées isoparamétriques
d d
1 2 et on obtient la forme simple suivante de l'équation ci-dessus :

= -


u p. p( ,12)

a1 ( , )

pression
× a ( , )
[- ,1+ ]1 [×- ,1+ ]
d d
suiveuse
1
1 2
2
1 2
1
2
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3.2 Opérateur
tangent
Comme le travail virtuel de la pression suiveuse dépend de la configuration courante, sa variation
linéaire n'est pas nulle et doit être prise en compte. L'opérateur tangent associé à ce travail virtuel
s'écrit à l'itération (i + )
1 sous la forme :

(

i+ )
1
(i)
(i)
L

pression = pression + pression

suiveuse
suiveuse
suiveuse


(i)
pression est l'incrément entre deux itérations du travail virtuel de la pression suiveuse. Si la
suiveuse
pression est donnée sous la forme :
p = p0
étant le niveau de charge qui est fixe durant les itérations (pilotage en charge = 0), on peut
écrire :





pression = - [
u .
a
a
a
a
- ,+ ] [
× - ,+ ] P p ( 1 × 2 - 2 × 1 ) d d
1 2
1 1
1 1
suiveuse
Les variations incrémentales des vecteurs de la base locale tangente à la transformée de la surface
moyenne sont données par :

a1 =
u P
1


a2 =
u P
2

puisque la surface moyenne initiale ne " bouge " pas pendant les itérations ce qui entraîne x P = 0 .
Ces calculs permettent finalement d'établir l'expression de l'incrément du travail virtuel de pression
suiveuse sous la forme :





pression = - [ ,1 ]1 [ ,1 ]uP.p a
u
a
u
1
2

- + × - +1
[
×] P -
×
P d d
1 2
suiveuse

[ ]
2
2



où [a ×] et [a
1
2 ×] sont respectivement les matrices antisymétriques des vecteurs tangents
a et a
1
2 respectivement.
Remarque :
Dans la référence [bib2], une intégration par partie est entreprise sur l'expression ci-dessus. Il
est montré que la matrice tangente peut être décomposée en une partie symétrique issue
d'une intégration sur le domaine et d'une partie anti-symétrique issue de l'intégration sur le
contour. II est aussi montré que l'assemblage des parties antisymétriques des matrices
tangentes élémentaires conduit à une matrice nulle quand la pression est continue d'un
élément fini à un autre, du fait de l'existence d'un potentiel associé au travail de la pression
dans ce cas là.

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4 Discrétisation
Aux points P de la surface moyenne, l'interpolation du déplacement virtuel s'écrit :
u
1
NB

u(
1
1 ,2 )
( )
= NI (1,2)v
I 1
=


w I
et l'interpolation du déplacement incrémental entre deux itérations s'écrit :
u

1
NB


u(
1
1 ,2 )
( )
= NI (1,2) v

I 1
=


w I
Nous réécrivons les deux équations précédentes sous la forme matricielle :
u(
e
1 ,2 ) = [N] { }
u
u(
e

1,2 ) = [N] { }
u
où [N] est la matrice des fonctions de forme de translation à la surface moyenne, dont l'expression
est :

1 0

0 0 0

0
0 0



0

[ ]
( )1




N = !N I 0 1
0 0 0
0
!0 0
0





0 0 10 0
0

0 0 0

I 1,NB1
NB2
=
( )1
(2)
Les fonctions de forme N
et N
I
I
(utilisées par la suite sont données en annexe de [R3.07.04].
Les noeuds I = 1, NB1 sont les noeuds sommets et les milieux des côtés (pour le quadrangle et le
triangle). Le noeud NB2 est au barycentre de l'élément.
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Le vecteur { }
u e est le vecteur nodal des déplacements virtuels donné par :

.




.


.

u



v


w


x

{
y





ue} =

z I



.


.




.

I = ,
1 NB


1




x





x





x NB2
Le vecteur { }
u e est le vecteur nodal des déplacements incrémental entre deux itérations.

.




.


.

u



v


w


x


{
y


ue} =


z I



.


.




.

I = ,
1 NB

1




x





x



x NB2
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Cette discrétisation nous permet aussi d'établir l'expression des dérivées du déplacement incrémental
de la surface moyenne par rapport aux coordonnées isoparamétriques surfaciques sous la forme :



u(


e
1,2 ) =
N { }

u
1

1



u(


e
1 ,2 ) =
N { }

u
2
2





et
sont les matrices dérivées des fonctions de formes de translation à la surface
N
N
1

2
moyenne, dont les expressions sont :


( ) 1

0 0 0

0 0
0

0 0

1
N I






= !


!
N
0 1 0 0 0 0
0 0 0





1

1


0

0 1 0

0 0
0

0 0








I 1
= ,N 1
B
NB2


( ) 1 0 0 0

0 0
0 0

0

1
N

I







0 0 0

N =
0 1 0 0 0 0
!

!






2



2



0 0 1 0

0 0






0 0 0

I 1,NB1
NB2
=
Ainsi on peut exprimer le travail virtuel de la pression suiveuse sous la forme matricielle suivante :



e
e

pression = {u }.f pression
suiveuse
suiveuse








avec f e
pression le vecteur nodal des forces externes qui peut être exprimé de la manière suivante :
suiveuse








f e

=
[N]T

[

-1,+ ]
1 [
× -1,+ ]
1
(a1 ×a
pression
1 ) d d
1
2
suiveuse




Il est important de noter qu'avec notre paramétrisation de la transformée de la surface moyenne, le
jacobien det [(J(3 = )
0 ]) de cette surface n'est pas impliqué dans le calcul des objets éléments finis.
On notera aussi que la pression est discrétisée avec une interpolation isoparamétrique des valeurs aux
NB2 noeuds :
(
NB2
p
2
1,2 )
( )
= N (1,2) p
I
I
I 1
=
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On peut aussi exprimer l'incrément entre deux itérations du travail virtuel de la pression suiveuse sous
la forme matricielle :





e
e
e
pression = -{u }.K T pression {
u }
suiveuse
suiveuse








K e
T pression est la contribution dans la matrice tangente de rigidité des forces externes qui peut
suiveuse




être exprimée sous la forme :










K e

=
[N]T
a1 ×
N


1
2
-

1, 1
1, 1

[N]T
p
d d

[ 1, ]1 [ 1, ]
p
1
[a2 ×]
[
] [
]
[ ]
N
T pression
d d


- + × - +
- + × - +
1
2
suiveuse




2
1

Remarque :
On constate que les formulations éléments finis issues de cette approche ne font pas
intervenir les degrés de liberté de rotations. Le traitement est donc aussi valable pour les
facettes des éléments finis de l'élasticité tridimensionnelle.

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5 Bibliographie
[1]
M. AL MIKDAD : "Statique et Dynamique des Poutres en Grandes Rotations et Résolution des
Problèmes d'Instabilité Non Linéaire", thèse de doctorat, Université de Technologie de
Compiègne, (1998)
[2]
E.G. CARNOY, N. GUENNOUN & G. SANDER : "Static Buckling Analysis of Shells Submitted
to Follower Pressure by the Finite Element Method", Computers and Structures, Vol. 19,
N° 1-2, 41-49, (1984)
[3]
Ph. JETTEUR : "Cinématique Non Linéaire des Coques", rapport SAMTECH, contrat
PP/GC-134/96, (1998)
[4]
K. SCHWEIZERHOF & E. RAMM : "Displacement Dependent Pressure Loads in Non Linear
Finite Element Analyses", Computers and Structures, Vol. 18, N° 6, 1099-1114, (1984)
[5]
J.C. SIMO, R.L. TAYLOR & P. WRIGGERS : "A Note on Finite-Element Implementation of
Pressure Boundary Loading", Communications in Applied Numerical Methods, Vol. 7, 513-525
(1995)
[6]
I. VAUTIER : "Mise en oeuvre de STAT_NON_LINE", manuel de Descriptif Informatique
Code_Aster [D9.05.01]
[7]
P. MASSIN, M. AL MIKDAD : "Code_Aster : Eléments de coques volumiques en Non Linéaire
Géométrique", manuel de Référence du Code_Aster [R3.07.05]
[8]
E. LORENTZ : " Efforts extérieurs de pression en grands déplacements ", manuel de
Référence du Code_Aster [R3.03.04]
[9]
P. MASSIN et A. LAULUSA : "Modélisation Numérique des Coques Volumiques", manuel de
Référence du Code_Aster [R3.07.04]
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