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Version
2.6
Titre :
Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ en élasticité 2D
Date :
11/04/94
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X. DESROCHES
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R4.10.01-A
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Manuel de Référence
Fascicule R4.10 : Estimateur d'erreur a posteriori
Document : R4.10.01

Estimateur d'erreur de ZHU-ZIENKIEWICZ
en élasticité 2D

Résumé :
On expose dans ce document la méthode d'estimation de l'erreur de discrétisation proposée par
ZHU-ZIENKIEWICZ et appliquée au système de l'élasticité linéaire 2D.
Cet estimateur s'appuie sur un lissage continu des contraintes calculées permettant d'obtenir une meilleure
précision sur les contraintes nodales par rapport aux méthodes standards.
Deux versions successives de cet estimateur sont décrites, correspondant chacune à un lissage différent. Ces
deux versions sont disponibles dans Aster.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Principe de la méthode .......................................................................................................................... 4
2.1 Equations à résoudre ...................................................................................................................... 4
2.2 Estimateur d'erreur et indice d'effectivité......................................................................................... 5
2.3 Construction d'un estimateur asymptotiquement exact................................................................... 6
3 Construction du champ de contraintes recalculées (*) ..................................................................... 7
3.1 Version 1987 ................................................................................................................................... 7
3.2 Version 1992 ................................................................................................................................... 7
4 Implantation dans Aster et limites actuelles d'utilisation ...................................................................... 11
4.1 Implantation dans Aster................................................................................................................. 11
4.2 Limites d'utilisation ........................................................................................................................ 11
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 12
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1 Introduction
La recherche en matière d'estimateurs d'erreur sur les solutions obtenues par calculs éléments finis et
leur couplage avec des procédures de maillage adaptatif a connu ces dernières années un essor
considérable. Le but visé est de pallier l'éventuelle inadéquation d'une modélisation en adaptant d'une
façon automatique le maillage à la solution cherchée suivant certains critères (équirépartition de l'erreur
de discrétisation, minimisation du nombre de noeuds pour atteindre une précision donnée, moindre
coût).
On présente ici un estimateur d'erreur de type a posteriori dans le cadre de l'élasticité linéaire et
homogène 2D. Historiquement, cet estimateur, proposé par ZHU-ZIENKIEWICZ [bib1] en 1987, a été
largement utilisé du fait de sa facilité d'implantation dans les codes de calculs existants et de son faible
coût. Néanmoins, la mauvaise fiabilité de cet estimateur pour les éléments de degré pair a été
constatée empiriquement (sous-estimation de l'erreur) et a conduit les auteurs à une modification de
leur méthode en 1992 [bib2], [bib3] avec vérification numérique de la convergence asymptotique de
l'estimateur sur tous les types d'éléments.
Néanmoins, le domaine d'application de la version 92 étant pour le moment plus réduit (voir [ß3.2]), les
deux versions de cet estimateur ont été implantées dans Aster et font l'objet de cette note.
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2
Principe de la méthode
2.1
Equations à résoudre
On considère la solution (u, ) d'un problème élastique linéaire vérifiant :
· les équations d'équilibre :
Lu

= q dans
ijnj =

t sur
i
t
avec L = t BDB opérateur de l'élasticité
· les équations de compatibilité :
= Bu
u =

u sur u

avec = u
t
!
· la loi de comportement :
= D
Le problème discrétisé par éléments finis consiste à trouver (uh, h) solution de :
u = N u
h
h
éq 2.1-1
vérifiant K u
f
h =
avec K = t (BN) D (BN) d

f =
N q + t
d
N
t
t d

t

où :
uh représente les inconnues nodales de déplacement
N les fonctions de forme associées
Les contraintes sont calculées à partir des déplacements par la relation :
h = DB uh
éq 2.1-2
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2.2
Estimateur d'erreur et indice d'effectivité
On note
e = u - u
l'erreur sur les déplacements
h
e = -
l'erreur sur les contraintes
h
La norme de l'énergie de l'erreur e s'écrit :

1/2
e =
e L e
t
d




dans le cas de l'élasticité

1/2
= te D 1 e d




-
éq
2.2-1




L'erreur globale ci-dessus se décompose en une somme d'erreurs élémentaires suivant :
N
e 2 = e 2i
i = 1

N est le nombre total d'éléments.
e i représente l'indicateur local d'erreur sur l'élément i .
Le but est d'estimer l'erreur exacte à partir de l'équation [éq 2.2-1] formulée en contraintes. L'idée de
base de la méthode est de construire un nouveau champ de contraintes noté * à partir de h et tel
que :
e e*
*

= - h
L'estimateur d'erreur s'écrira alors :
1/2


0
t *
1
e = e D e* d

-







La qualité de l'estimateur est mesurée par la quantité , appelée indice d'effectivité de l'estimateur :
0 e
= e
Un estimateur d'erreur est dit asymptotiquement exact si 1 quand e 0 (ou quand h 0 ),
ce qui veut dire que l'erreur estimée convergera toujours vers l'erreur exacte quand celle-ci décroitra.
De façon évidente, la fiabilité de 0 e dépend de la "qualité" de * .
Les deux versions de l'estimateur de ZHU-ZIENKIEWICZ se différencient à ce niveau (voir [§3]).
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2.3
Construction d'un estimateur asymptotiquement exact
La caractérisation d'un tel estimateur est fournie par le théorème suivant (voir [bib 2]).
Théorème
Si e*
u
u*
=
-
est la norme d'erreur de la solution reconstruite, alors l'estimateur d'erreur
0 e défini précédemment est asymptotiquement exact
e*
si
0 quand
e 0
e
Cette condition est réalisée si le taux de convergence avec h de e* est supérieur à celui de e .
Typiquement, si on suppose que l'erreur exacte de l'approximation élément fini converge en
e = 0 (hp)
et l'erreur de la solution reconstruite en
e* = ( +
0 h p ) avec > 0
alors un calcul simple donne :
1 - 0 (h ) 1 + 0 (h

)
et donc 1 quand h 0
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3
Construction du champ de contraintes recalculées (*)
3.1 Version
1987
La solution uh résultant de l'équation [éq 2.1-1] étant C0 sur (du fait du choix de fonctions de
forme C0 ), il s'ensuit que h calculée par [éq 2.1-2] est discontinue aux interfaces des éléments.
Pour obtenir des résultats acceptables sur les contraintes nodales, on recourt généralement à une
moyenne aux noeuds ou à une méthode de projection. C'est cette dernière méthode qui est adoptée
ici.
On suppose que * est interpolée par les mêmes fonctions de forme que uh , soit :
*
*
= N
éq 3.1-1
et on effectue un lissage global par moindres carrés de h , ce qui revient à minimiser la fonctionnelle
t
J () = ( - h) ( - h) d dans l'espace engendré par N .

Par dérivation, * doit vérifier t N (* - ) d =

h
0

en utilisant l'équation [éq 3.1-1], on obtient le système linéaire :
M {*} = { }
b
avec M =
N N
t d et { }
b =
N
t h d


Ce système global est à résoudre sur chacune des composantes du tenseur des contraintes. La
matrice M est calculée et inversée une seule fois.
3.2 Version
1992
La contrainte du champ * diffère par rapport à la version 1987 de la façon suivante :
on suppose * polynômial de même degré que les déplacements sur l'ensemble des éléments
possédant un noeud sommet interne S en commun.
On note S
=
K
K
! cet ensemble appelé patch.
S K

Pour chaque composante de * , on écrit :
*
= Pa
S
s
éq 3.2-1
K
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P contient les termes polynômiaux appropriés
as les coefficients inconnus des monômes correspondants
Exemple : 2D
P1 P = [
1, x, y] as = t [a , a , a
1
2
3 ]
Q1 P = [
1, x, y, xy] as = t[a , a , a , a
1
2
3
4 ]
La détermination des coefficients du polynôme as se fait en minimisant la fonctionnelle :
N
2
F (a) =
*
h (x , y
i
i ) -
(x , y )



S
i
i
i
K
=1
N
= (
2
h (x , y
i
i ) - P (x , y
i
i ) as )
i =1
(lissage local discret de h par moindres carrés)

(x , y
i
i ) sont les coordonnées des points de GAUSS sur SK .
N est le nombre total de points de GAUSS sur tous les éléments du patch
La solution as vérifie :
N
N
t
P (
t
i
x , iy ) P ( ix , iy ) a = P
s
( ix, iy) h( ix, iy)
i =1
i =1
N
d'où a
A
b
s =
- 1 avec A = tP ( ix, iy) P( ix, iy)
i =1
A peut être très mal conditionnée (notamment sur les éléments de haut degré) et par suite, impossible
à inverser sous cette forme. Pour remédier à ce problème, les auteurs [bib4] ont proposé une
normalisation des coordonnées sur chaque patch, ce qui revient à effectuer le changement de
variables :
x - x
x = - 1 + 2
min
xmax - xmin
y - y
y = - 1 + 2
min
ymax - ymin
x
, x
, y
, y
min
max
min
max représentent les valeurs minimum et maximum de x et y sur le patch.
Cette méthode améliore notablement le conditionnement de A et supprime totalement le problème
précédent.
Une fois as déterminé, les valeurs nodales sont déduites d'après l'équation [éq 3.2-1] seulement sur
les noeuds internes au patch, sauf dans le cas de patchs ayant des noeuds de bord.
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Patchs internes :
QUAD4
QUAD8
QUAD9

TRIA3
TRIA6
points de GAUSS où sont calculées les contraintes h suivant l'équation [éq 2.1-2]
noeuds de calcul de * *
sommet interne définissant le patch
Patchs bords :
Les valeurs nodales aux noeuds milieux appartenant à 2 patchs sont moyennées, de même pour les
noeuds internes dans le cas des QUAD9.
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Remarque :
Dans le cas d'éléments finis de type différent, le choix de P dans l'équation [éq 3.2 - 1] est délicat
(problèmes de validité de
as si l'espace est trop riche, perte de super-convergence s'il ne l'est pas
assez). Une étude plus approfondie semble indispensable.
C'est pourquoi l'estimateur ZZ2 est limité pour le moment à des maillages ne comportant qu'un
seul type d'élément. Cette restriction n'existe pas pour ZZ1.

Les auteurs ont montré numériquement [bib3] qu'avec ce choix de * , leur estimateur était
asymptotiquement exact pour des matériaux élastiques dont les caractéristiques sont indépendantes
du domaine et pour tous les types d'éléments et que les taux de convergence avec h de e* étaient
améliorés par rapport à la version précédente (surtout pour les éléments de degré 2 : voir cas test
SSLV110 Manuel de Validation), d'où une meilleure estimation de l'erreur.
On trouvera une illustration de ces taux de convergence dans la référence [bib 5].
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4 Implantation
dans
Aster et limites actuelles d'utilisation
4.1 Implantation
dans
Aster
Les deux estimateurs précédents sont implantés dans Aster dans la commande de post-traitement
CALC_ELEM [U4.61.02]. Ils sont activés à partir d'options (ERRE_ELEM_NOZ1 pour ZZ1 et
ERRE_ELEM_NOZ2 pour ZZ2) et enrichissent une structure de données RESULTAT.
De plus, le calcul du champ de contraintes lissées par l'une ou l'autre des méthodes décrites au [ß3]
peut être déclenché séparément du calcul d'estimation de l'erreur (option SIGM_NOZ1_ELGA pour ZZ1
et SIGM_NOZ2_ELGA pour ZZ2). Il est à noter que ce champ est discrétisé directement aux noeuds et
non par élément aux noeuds, ce qui réduit le volume de sorties.
L'estimateur d'erreur fournit :
· un champ par élément comportant 3 composantes :
-
l'estimation de l'erreur relative sur l'élément,
-
l'estimation de l'erreur absolue sur l'élément,
-
la norme de l'énergie de la solution calculée h .
· des sorties-listing comportant les mêmes informations au niveau global (sur toute la structure)
Tous les champs obtenus sont visualisables par IDEAS via la commande IMPR_RESU.
4.2 Limites
d'utilisation
Elasticité linéaire et homogène 2D (contraintes et déformations planes, axisymétrique),
Types d'éléments :
triangles à 3 et 6 noeuds,
quadrangles à 4, 8 et 9 noeuds.
Pour ZZ2, le maillage ne doit comporter qu'un seul type d'éléments.
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5 Bibliographie
[1]
ZIENKIEWICZ O.C., ZHU J.Z. : "A simple error estimator and adaptive procedure for practical
engineering analysis" - Int. Journal for Num. Met. in Eng., vol 24 (1987).
[2]
ZIENKIEWICZ O.C., ZHU J.Z. : "The superconvergent patch recovery and a posteriori error
estimates - Part 1 : the recovery technique" - Int. Journal for Num. Met. in Eng., vol 33,
1331-1364 (1992)
[3]
ZIENKIEWICZ O.C., ZHU J.Z. : "The superconvergent patch recovery and a posteriori error
estimates - Part 2 : error estimates and adaptivity" - Int. Journal for Num. Met. in Eng., vol 33,
1365-1382 (1992)
[4]
ZIENKIEWICZ O.C., ZHU J.Z., WU J. : "Superconvergent patch recovery techniques - Some
further tests" - Comm. in Num. Met. in Eng., vol 9, 251-258 (1993)
[5]
DESROCHES X. : "Estimateurs d'erreur en élasticité linéaire" - Note HI-75/93/118.
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