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Fascicule R7.01 :
Document : R7.01.10
Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
Résumé
Les modules THM du Code_Aster sont ceux qui traitent les équations de la mécanique des milieux continus en
utilisant la théorie des milieux poreux éventuellement non saturés et en considérant que les phénomènes
mécaniques, thermiques et hydrauliques sont complètement couplés. Nous présentons ici les équations
d'équilibre, ou équations de conservation résolues par ces modules. Nous donnons une définition des
contraintes généralisées et déformations généralisées, permettant de définir de façon assez générale ce qu'est
une loi de comportement THM - du moins ce que les modules considérés considèrent ainsi - et permettant de
traiter les équations non linéaires exhibées dans le cadre des algorithmes de l'opérateur STAT_NON_LINE.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 4
2 Présentation du problème : Hypothèses, Notations............................................................................... 4
2.1 Description du milieu poreux ........................................................................................................... 4
2.2 Notations ......................................................................................................................................... 4
2.2.1 Variables descriptives du milieu ............................................................................................. 5
2.2.1.1 Variables géométriques ............................................................................................. 5
2.2.1.2 Variables d'état thermodynamiques........................................................................... 5
2.2.1.3 Champs descriptifs du milieu..................................................................................... 5
2.2.2 Grandeurs .............................................................................................................................. 6
2.2.2.1 grandeurs caractéristiques du milieu hétérogène ...................................................... 6
2.2.2.2 grandeurs mécaniques .............................................................................................. 7
2.2.2.3 grandeurs hydrauliques.............................................................................................. 7
2.2.2.4 Grandeurs thermiques ............................................................................................... 8
2.2.3 Données extérieures .............................................................................................................. 9
2.3 Dérivées particulaires, densités volumiques et massiques ............................................................. 9
3 Equations continues............................................................................................................................. 10
3.1 Mécanique : conservation de la quantité de mouvement .............................................................. 10
3.2 Hydraulique : conservation de la masse........................................................................................ 11
3.3 Equation de l'énergie..................................................................................................................... 11
3.3.1 Le premier principe............................................................................................................... 12
3.3.2 Le deuxième principe ........................................................................................................... 12
3.3.3 Equation de l'énergie............................................................................................................ 13
4 Ecriture variationnelle des équations d'équilibre.................................................................................. 14
4.1 Mécanique ..................................................................................................................................... 14
4.2 Hydraulique.................................................................................................................................... 14
4.3 Thermique ..................................................................................................................................... 14
5 Discrétisation en temps........................................................................................................................ 15
5.1 Mécanique ..................................................................................................................................... 15
5.2 Hydraulique.................................................................................................................................... 15
5.3 Thermique ..................................................................................................................................... 16
6 Principe des travaux virtuels, déformations et contraintes généralisés, lois de comportement .......... 16
6.1 Contraintes et déformations généralisées..................................................................................... 16
6.2 Principe des travaux virtuels.......................................................................................................... 17
6.3 Lois de comportement................................................................................................................... 18
6.3.1 Loi de comportement mécanique......................................................................................... 19
6.3.1.1 Ecriture générale...................................................................................................... 19
6.3.1.2 Cas des contraintes effectives ................................................................................. 19
6.3.1.3 Choix des contraintes .............................................................................................. 19
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6.3.2 Hydraulique ...........................................................................................................................20
6.3.3 Loi de comportement thermique ...........................................................................................20
6.3.4 Masse volumique homogénéisée .........................................................................................20
7 Algorithme de résolution .......................................................................................................................21
7.1 Algorithme non linéaire de résolution des équations d'équilibre ....................................................21
7.2 Passage des valeurs nodales aux valeurs aux points de Gauss...................................................21
7.3 Vecteurs et matrices selon les options ..........................................................................................23
7.3.1 Résidu ou force nodale : options RAPH_MECA et FULL_MECA .............................................24
7.3.2 Opérateur tangent : options FULL_MECA, RIGI_MECA_TANG .............................................25
7.4 Algorithme global ...........................................................................................................................29
8 L'option FORC_NODA.............................................................................................................................30
9 Discrétisation spatiale...........................................................................................................................31
10 Bibliographie .......................................................................................................................................32
Annexe 1 Problème mono dimensionnel P1P1 .......................................................................................33
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1 Introduction
Les modules THM du Code_Aster sont ceux qui traitent les équations de la mécanique des milieux
continus en utilisant la théorie des milieux poreux éventuellement non saturés et en considérant que les
phénomènes mécaniques, thermiques et hydrauliques sont complètement couplés.
Nous présentons ici les équations d'équilibre, ou équations de conservation résolues par ces modules.
Nous donnons une définition des contraintes généralisées et déformations généralisées, permettant de
définir de façon assez générale ce qu'est une loi de comportement THM - du moins ce que les modules
considérés considèrent ainsi - et permettant de traiter les équations non linéaires exhibées dans le
cadre des algorithmes de l'opérateur STAT_NON_LINE.
Les lois de comportement THM à proprement parler ne sont pas développées dans ce document, mais
dans le document [R7.01.11].
Les phénomènes chimiques (transformations des constituants, réactions produisant des constituants
etc...), de même que les phénomènes radiologiques ne sont pas pris en compte à ce stade du
développement du Code_Aster. Les phénomènes mécaniques, hydrauliques et thermiques sont pris en
compte ou non selon le comportement invoqué par l'utilisateur dans la commande STAT_NON_LINE,
selon la nomenclature suivante :
Modélisation
Phénomènes pris en compte
KIT_HM
Mécanique, hydraulique avec une pression inconnue
KIT_HHM
Mécanique, hydraulique avec deux pressions inconnues
KIT_THH
Thermique, hydraulique avec deux pressions inconnues
KIT_THM
Thermique, mécanique, hydraulique avec une pression inconnue
KIT_THHM
Thermique, mécanique, hydraulique avec deux pressions inconnues
Le document présent décrit les lois de conservation pour le cas le plus général dit THHM. Les cas plus
simples s'obtiennent à partir du cas général en annulant simplement les quantité absentes.
2
Présentation du problème : Hypothèses, Notations
Dans ce chapitre, on s'attache principalement à présenter le milieu poreux et ses caractéristiques.
2.1
Description du milieu poreux
Le milieu poreux considéré est un volume constitué d'une matrice solide plus ou moins homogène, plus
ou moins cohérente (très cohérente dans le cas du béton, peu dans le cas du sable). Entre les
éléments solides, on trouve des pores. On distingue les pores fermés qui n'échangent rien avec leurs
voisins et les pores connectés dans lesquels les échanges sont nombreux. Lorsque l'on parle de
porosité, c'est bien des pores connectés dont on parle. A l'intérieur de ces pores se trouvent au plus
deux constituants présents au plus sous deux phases. Le système est considéré comme fermé.
2.2 Notations
Les grandeurs associées à un constituant c présent sous une phase p sont notées
p
X . L'indice du
c
composant c peut varier de 1 à 2 et celui de la phase également.
Le milieu poreux à l'instant actuel est noté , sa frontière
, et il est noté ,
à l'instant initial.
0
0
n
n
d
désigne la normale en un point de
, image de la normale à
. Nous noterons (
)
0
0
(resp d (
) l'élément de surface de
(resp
).
0 )
0
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Le milieu est défini par :
· des paramètres (vecteur position x , temps t),
· des variables (déplacements, pressions, température),
· des grandeurs intrinsèques (contraintes et déformations, apports massiques, chaleur,
enthalpies, flux hydrauliques, thermique...).
Pour la phase solide, on fait l'hypothèse des petits déplacements.
Les différentes notations sont explicitées ci-après.
2.2.1 Variables descriptives du milieu
Ce sont les variables dont la connaissance en fonction du temps et du lieu permettent de connaître
complètement l'état du milieu. Ces variables se décomposent en deux catégories :
· variables
géométriques,
· variables d'état thermodynamique.
2.2.1.1 Variables
géométriques
Dans tout ce qui suit, on adopte une représentation lagrangienne par rapport au squelette (au sens de
[bib1]) et les coordonnées x = x (t sont celles d'un point matériel attaché au squelette. Tous les
s
)
opérateurs de dérivation spatiaux sont définis par rapport à ces coordonnées.
u
x
Les déplacements du squelette sont notés u(x,t) = u .
y
uz
2.2.1.2 Variables d'état thermodynamiques
Les variables thermodynamiques sont :
· les pressions des constituants : étant donné que nous considérons qu'il y a au plus deux
constituants, il y aura au plus deux équations de conservation de la masse, et donc par dualité
au plus deux variables de pression,
· la température du milieu T ( ,
x t) .
2.2.1.3 Champs descriptifs du milieu
Les inconnues principales, qui sont aussi les inconnues nodales (notées U( ,
x t) dans ce document)
sont :
· 2 ou 3 (selon la dimension d'espace) déplacements u ( ,
x t),u ( ,
x t),u ( ,
x t) pour les
x
y
z
modélisations KIT_HM, KIT_HHM, KIT_THM, KIT_THHM,
· la
température
T ( ,
x t) pour les modélisations KIT_THH, KIT_THM, KIT_THHM,
· deux
pressions
p ( ,
x t),p ( ,
x t) pour les modélisations
1
2
KIT_HHM, KIT_THH, KIT_THHM,
· une
pression
p ( ,
x t) pour les modélisations
1
KIT_HM, KIT_THM.
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2.2.2 Grandeurs
Les équations d'équilibre sont :
· la conservation de la quantité de mouvement pour la mécanique,
· la conservation des masses de fluide pour l'hydraulique,
· la conservation de l'énergie pour la thermique.
Les équations d'équilibre font intervenir directement les contraintes généralisées. Les contraintes
généralisées sont reliées aux déformations généralisées par les lois de comportement. Les
déformations généralisées se calculent directement à partir des variables d'état et de leurs gradients
spatiaux temporels.
Les lois de comportement peuvent utiliser des quantités annexes, souvent rangées dans les variables
internes. Ces quantités ne sont pas décrites dans ce document qui ne traite pas des lois de
comportement à proprement parler.
2.2.2.1 grandeurs caractéristiques du milieu hétérogène
· La porosité eulérienne : .
Si on note la partie du volume occupée par les vides dans la configuration courante,
on a :
=
éq 2.2.2.1-1
La définition de la porosité est donc celle de la porosité eulérienne.
· La saturation de la phase p : p
S .
Si on note
p
le volume total occupé par la phase p, dans la configuration courante, on a par
définition :
p
S p =
éq 2.2.2.1-2
Cette saturation est donc finalement une proportion variant entre 0 et 1. Dans les équations de
bilan, il est clair que c'est le produit de la porosité par la saturation
p
S
qui va intervenir. On
peut donc légitimement se demander pourquoi ce n'est pas cette quantité qui est prise comme
inconnue. La réponse vient de ce que c'est la saturation p
S qui intervient plus simplement
dans les lois de comportement.
· La masse volumique eulérienne du constituant c dans la phase p : p
.
c
Si on note
p
M la masse de la phase p du constituant c, dans de volume du squelette dans
c
la configuration courante, on a par définition :
p
Mc = p
d p
p
c
=
pS p
c
d
=
pS p
c
d
éq 2.2.2.1-3
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La masse volumique de la phase p est simplement la somme des masses volumiques de ses
constituants :
p = pc
c
· La masse volumique homogénéisée lagrangienne : r .
A l'instant courant, la masse du volume , M est donnée par :
M =
rd
0
0
éq 2.2.2.1-4
2.2.2.2 grandeurs
mécaniques
1
· Le tenseur des déformations u
( )(x, )= (u+T
t
u),
2
· Le tenseur des contraintes qui s'exercent sur le milieu poreux : .
Ce tenseur se décompose en un tenseur des contraintes effectives plus un tenseur de contraintes de
pression =
+
'
1 .
et
'
sont des composantes des contraintes généralisées. Ce découpage
p
p
est finalement assez arbitraire, mais correspond tout de même à une hypothèse assez communément
admise, au moins pour les milieux saturés en liquide.
2.2.2.3 grandeurs
hydrauliques
· Les apports massiques en constituants p
m (unité : kilogramme par mètre cube). Ils
c
représentent la masse de fluide apportée entre les instants initiaux et actuels. Ils font partie
des contraintes généralisées.
p
p
p
p
p
m = J S
- S
0
c
c
c 0 0
éq 2.2.2.3-1
Les apports massiques permettent de définir la masse volumique globale vue par rapport à la
configuration de référence : r = r
, où r désigne la masse volumique
0 + m
+ m + m
lq
vp
as
0
homogénéisée à l'état initial.
· Les flux hydrauliques :
p
w (unité : kilogramme/seconde/mètre carré) en représentation eulérienne
c
p
M (unité : kilogramme/seconde/mètre carré) en représentation lagrangienne
c
On note p
v la vitesse du constituant c dans la phase p , J le Jacobien de la transformation matérielle
c
et v la vitesse du squelette. p
,
,
p
S désignent les masses volumiques, la porosité et les
s
0
c 0
0
saturations à l'instant initial. Par définition :
p
p
p
w = S
v - v
c
c
( pc s)
éq 2.2.2.3-2
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La forme lagrangienne de
p
w notée
p
M est obtenue en écrivant :
c
c
p
M n
. d
w n
.
c
0 (
0)= p d
c
(
)
éq 2.2.2.3-3
Les variables m ,M et m ,M se rapportent chacune à un constituant de masse conservative.
1
1
2
2
On pose par principe :
1
2
1
2
m = m + m
;
M = M + M
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
m = m + m
;
M = M + M
2
2
2
2
2
2
Ce que nous écrirons :
m
m
constituant =
phase
constituant
nb phasedu
constituant
M
M
constituant =
phase
constituant
nb phasedu
constituant
Dans les applications, on pourrait par exemple avoir :
2 constituants : air et eau
2 phases pour l'eau
1 phase pour l'air
On aurait alors : 1
1
m et
M : apport de masse et flux d'eau liquide
1
1
2
2
m et
M : apport de masse et flux de vapeur
1
1
1
1
m et
M : apport de masse et flux d'air sec
2
2
2
2
m et M : inexistants
2
2
· Les pressions :
Puisque nous considérons qu'il peut y avoir deux constituants autres que le solide, il y a deux
équations de conservation de la masse, et donc deux multiplicateurs associés, c'est-à-dire deux
pressions p et p . Aucune hypothèse n'est faite sur ce que signifient ces deux pressions p et p .
1
2
1
2
Cela dépendra des lois de comportement et de la façon de les écrire. Par exemple on peut choisir :
p =
(p(gaz)
capillaire
pression
-
)
p(liquide)
1
p pression
=
ga
de
z
air)
+
(vapeur
2
2.2.2.4 Grandeurs
thermiques
· La chaleur non convectée Q (voir plus loin) (unité : Joule),
p
· Les enthalpies massiques des constituants m
h c (unité : Joule/Kelvin/kilogramme),
· Le flux de chaleur : q (unité : J/s/mètre carré).
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2.2.3 Données
extérieures
· La force massique m
F (en pratique la gravité),
· Les sources de chaleur ,
· Les conditions aux limites portant soit sur des variables imposées, soit sur des flux imposés.
2.3
Dérivées particulaires, densités volumiques et massiques
La description que nous faisons du milieu est lagrangienne par rapport au squelette. On trouvera dans
[bib1] une définition de la notion de squelette : « la matrice (partie solide+porosité occluse) constituant
la partie matérielle du squelette et l'espace poreux connecté du volume élémentaire en question
constituent le point matériel du squelette ou particule du squelette ».
Soit a un champ quelconque sur , soit x (t la coordonnée d'un point attaché au squelette que
s
)
nous suivons dans son mouvement et soit x (t la coordonnée d'un point attaché au fluide. On note
fl
)
d sa
a = dt
! la dérivée temporelle dans le mouvement du squelette :
d sa
a(x + , + - x
,
s (t
t) t
t) a( (t) t)
a
s
=
= lim
dt
t
0
t
!
da
a
! est appelée dérivée particulaire et souvent notée (par exemple dans [bib1]). Nous préférons
dt
utiliser une notation qui rappelle que la configuration utilisée pour repérer une particule est celle du
squelette par rapport auquel une particule de fluide a une vitesse relative. Pour une particule de fluide
le repérage x (t est quelconque, c'est à dire que la particule de fluide qui occupe la position x (t à
s
)
s
)
l'instant t n'est pas la même que celle qui occupe la position x (t à un autre instant t.
s
)
Soit alors A =
ad une quantité liée à une densité volumique a , laquelle densité est elle même
p
portée en partie par les grains solides et par les fluides. Soit m
a c la densité massique de a portée par
la phase fluide p du constituant c et soit a la densité volumique de a liée aux grains solides. Toutes
s
ces définitions reviennent finalement à écrire :
p
A =
a d =A + A =
a d +
a d =
a
p
+
S p
am
éq 2.3-1
c d
s
fl
s
fl
s
c
p,c
d fl A
En suivant [bib1], nous notons
fl la dérivée de A si nous suivons dans le mouvement du
dt
fl
d s A
fluide et
s la dérivée de A si nous suivons dans le mouvement du squelette.
dt
s
Nous définissons alors :
DA
d s A
d fl A
s
fl
=
s +
fl = d
d
p
p
p m
a d
s +
cS a cd
Dt
dt
dt
dt
dt p,c
éq 2.3-2
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p
La densité m
a c est transportée avec une vitesse relative de ( p
v - v par rapport au squelette.
c
s )
d sa
Compte tenu de la définition de a =
p
p
p
p
w = S
v - v , on voit facilement
dt
que la dérivée totale de A par r !
, et de la définition c
c
( c s)
apport au temps s'écrit finalement :
DA
p
=
m
p
a + Div(a cwc )
d
Dt
!
p,c
éq 2.3-3
Remarque :
Dans la mesure où nous avons fait l'hypothèse des petits déplacements du squelette,
d sa
a
a =
et v peut être
dt
! peut se confondre avec la dérivée partielle par rapport au temps t s
considérée comme nulle. De même, dans la suite de la note nous confondrons les
représentations lagrangiennes et eulériennes des flux,
p
M et p
w .
c
c
3 Equations
continues
3.1
Mécanique : conservation de la quantité de mouvement
Nous notons le tenseur des contraintes de Cauchy et s le second tenseur (symétrique) de Piola
Kirchoff.
Nous notons P le gradient de la transformation x = x 0 x x ,
0
s ( )
( t
s
0
)
x
(x ,0 )
P =
t
s
x
0
On a :
-1
-T
s = det P P
.
P
.
.
Les équations d'équilibre mécanique s'écrivent dans la configuration :
0
Div P s +
m
rF =
0 ( . )
0
Nous avons noté Div l'opérateur de divergence par rapport aux variables d'espace x de la
0
0
configuration .
0
Dans la mesure où nous faisons l'hypothèse des petits déplacements et des petites déformations du
squelette, cette équation peut être approchée par :
Div +
m
rF = 0
éq 3.1-1
Nous verrons plus loin que nous adoptons toujours la décomposition =
+ I , où désigne la
p
contrainte effective. C'est donc à la charge du module d'intégration des équations d'équilibre de faire la
somme : =
+ I .
p
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Hydraulique : conservation de la masse
L'écriture eulérienne de la conservation de la masse fluide pour le constituant c s'écrit :
d fl pcSp
d = 0
dt p
p
On peut alors appliquer [éq 2.3-1] en prenant : a
et m
a c = 1
s = 0
et [éq 2.3-3] donnera :
s
d p S
c
p + Div( p
wc )= 0
dt
p
p
En utilisant la définition des apports massiques [éq 2.2.2.3-3] , la définition des flux lagrangiens
[éq 2.2.2.3-2] on trouve la forme lagrangienne de la conservation de la masse fluide :
m Div M
1 +
0 (
1 ) = 0
m
Div M
2 +
0 (
2 ) = 0
!
!
éq 3.2-1
3.3
Equation de l'énergie
Pour les fonction thermodynamiques, nous adoptons systématiquement une décomposition du type
[éq 2.3-1]. Cela correspond au fait que les différentes énergies ont toutes une partie portée par le solide
et une partie portée par les fluides. La partie portée par le solide est caractérisée par une densité
volumique alors que les parties portées par le fluide sont caractérisées par des densités massiques,
comme nous l'avons montré au paragraphe [§2.3].
p
Energie interne totale : E = e
éq 3.3.1
s + pcS pemc d
p,c
p
Entropie totale : S =
s
éq 3.3.2
s + pcS psmc
d
p,c
p
Enthalpie totale H =
h
éq 3.3.3
s + pcS phmc
d
p,c
= E -TS
Energie libre :
e
Ts
éq 3.3.4
s =
s -
s
p
p
p
mc = m
e c - m
Ts c
G = H -TS
Enthalpie libre : g
h
Ts
éq 3.3.5
s =
s -
s
p
p
p
m
g c = m
h c - m
Ts c
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Enfin, en notant Q()
! le taux de chaleur reçu par un volume , on a par définition :
Q()= qn.
d +
d
!
éq 3.3.6
On rappelle enfin que l'enthalpie des fluides se calcule par la formule :
h = + p
e
éq 3.3.7
3.3.1 Le premier principe
Avec les définitions données plus haut, il s'écrit :
- e - Div(h pmcMp : +
c )+
M p.
Fm
c
+ -
q
Div = 0
!
!
p,c
p,c
éq 3.3.1-1
Cette écriture correspond à l'équation (22) du chapitre III-2-3 de [bib1], dans laquelle nous avons
négligé les termes d'inertie. Pour les milieux homogènes, elle correspond à l'équation (31) du
paragraphe IV-3-2 de [bib3].
3.3.2 Le deuxième principe
Sa forme assez bien connue est :
q
s + Div(s p
m
p
c Mc )
+ Div - 0
! p,c
T T
éq 3.3.2-1
En utilisant les considérations thermodynamiques classiques [bib1] liées à l'introduction de l'enthalpie
libre [éq 3.3.5], on montre que l'on doit nécessairement avoir :
-
= 0
éq 3.3.2-2
p
m
g c -
= 0
éq 3.3.2-3
p
mc
s +
= 0
T
éq 3.3.2-4
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3.3.3 Equation de l'énergie
Assez souvent, on considère que, les transformations étant réversibles, le second principe fournit
finalement une égalité. De plus, on remplace dans [éq 3.3.2-1] la température inconnue T par une
valeur constante dite température de référence. Il s'agit finalement d'une linéarisation de [éq 3.3.2-1]
justifiée si les variations de températures sont « petites ». Notons que le terme de transport
Div( pm p
s c M complique le traitement de la non linéarité due à la présence de la température en
c )
p,c
dénominateur des autres termes de [éq 3.3.2-1].
Nous travaillons en enthalpie de façon à lever cette difficulté. On part de l'équation du premier principe
[éq 3.3.1-1] dans laquelle on injecte les équations [éq 3.3.2-2], [éq 3.3.2-3], [éq 3.3.2-4], et la définition
de l'enthalpie libre [éq 3.3-5] et l'on obtient :
Ts + (h p
mc m p -Ts p
mc m p = -
+ . + -
éq 3.3.3-1
c
c )
Div(h p
mc M pc )
M p F m
q
Div
c
!
!
!
p,c
p,c
p,c
On pose alors :
Q = Ts -T p
m
s c p
mc
p,c
éq 3.3.3-2
La quantité Q a la dimension d'une énergie par unité de volume. Elle représente la chaleur reçue par
le système dans une transformation pour laquelle il n'y a pas d'apports de chaleur par entrée de fluide
ayant une enthalpie. Bien que Q
ne soit pas une différentielle exacte, nous prenons cette quantité
comme variable d'état.
Finalement, l'équation d'énergie retenue a la forme suivante :
pm p
h c m
Q
Div h M
Divq
M .F
c + +
( pm p
c
c )+
- p m
c
=
! !
p,c
p,c
p,c
éq 3.3.3-3
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Ecriture variationnelle des équations d'équilibre
4.1 Mécanique
Nous notons U
l'ensemble des champs de déplacement cinématiquement admissibles, c'est-à-dire
ad
les éléments de (H ( ) 3
1 vérifiant les conditions aux limites en déplacement sur la partie de
supportant de telles conditions [bib3].
La forme variationnelle de [éq 3.1-1] est :
= '
+
p I
éq 4.1-1
.(v)d =
m
rF . d
v +
ext
f
d
v
v
U
ad
4.2 Hydraulique
Nous notons P (resp. P
) l'ensemble des champs de pression admissibles, c'est-à-dire les
1ad
2ad
éléments de
1
H () vérifiant les conditions aux limites en pression P (resp. P ) sur la partie de
1
2
supportant de telles conditions [bib3]. La forme variationnelle de [éq 3.2-1] est :
- m1 m2 d
1
2
M
M .
d
( 1 +
1 )1 + (
1 +
1 )1 =
! ! 1 2
M
M
. d
P
(
1ext +
1 ext )1
1 1ad
éq 4.2-1
1
2
1
2
- m m
d
M
M .
d
( 2 +
2 )2 + (
2 +
2 )2
! ! = 1 2
M
M
. d
P
(
2
+
ext
2ext )
1
2 2ad
4.3 Thermique
Nous notons T l'ensemble des champs de température admissibles, c'est-à-dire les éléments de
ad
1
H () vérifiant les conditions aux limites en température sur la partie de
supportant de telles
conditions. [bib3]. La forme variationnelle de [éq 3.3.3-3] est :
Q' d
+
M q .
p
p
m
p
m
p
h c m d
-
h c
+
d
=
c
c
!
!
p,c
p,c
p
p
m
m
p
+
M .F
d
-
h c
M +q . d
éq 4.3-1
c
c ext
ext
p,c
p,c
Tad
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Notons que, contrairement à d'autres présentations, et notamment [bib8] nous n'avons pas injecté les
équations de conservation de la masse, et nous avons intégré par partie le terme de transport
Div( pm p
h c M . Ce dernier point a pour avantage de ne pas faire apparaître des dérivées d'ordre
c )
p,c
supérieur, et, au contraire de faire apparaître naturellement des conditions aux limites relatives à
p
l'entrée de chaleur liée aux flux hydrauliques :
hm
p
c M
. d
cext
.
p,c
On pourra en fait considérer que les conditions de flux thermiques définissent directement :
p
m
p
q
~ = h cM +q
ext
c ext
ext
5
Discrétisation en temps
Dans ce chapitre, nous nous contentons de reprendre les formulations variationnelles en leur
appliquant une discrétisation par rapport au temps de type téta schéma. Il s'agit d'une méthode
générale d'intégration des équations différentielles [bib12] et [bib13].
est un paramètre numérique compris entre 0 et 1. Pour les équations différentielles linéaires (ce qui
n'est pas notre cas ...) ce schéma est inconditionnellement stable pour 1/ 2 , il est d'ordre 1 pour
1/ 2 et d'ordre 2 pour = 1/ 2 . Néanmoins, il peut être préférable d'utiliser une valeur différente de
1/ 2 , et ceci pour des raisons d'oscillations parasites [bib12].
Les quantités indicées par + sont les quantités en fin de pas de temps, et celles indicées par sont
celles du début du pas de temps. On note :
+
-
t = t - t
a = a
+ + (1- )a-
a
5.1 Mécanique
+
+
+
= ' + I
p
éq 5.1-1
+
. (v)
+ m+
ext+
d = r F v
.
d +
f
v
d
v
U
ad
5.2 Hydraulique
- ( +
m1
M
M .
1 +
+
m21 ) d
1 +
+
+
t
1
2
d
( 1 + 1 )1 =
- ( -
m1
1
M
M .
1 +
-
m21 )
1
d - ( - )
-
-
t
1
2
d
( 1 + 1 )
1
+ t ( 1
2
M
M
. d
P
ext
1
+
ext
1
)
1
1
1ad
éq 5.2-1
- ( +
m1
M
M .
2 +
+
m22 ) d
2 +
+
+
t
1
2
d
( 2 + 2 )
2 =
- ( -
m1
1
M
M .
2 +
-
m22 )
2
d - ( - )
-
-
t
1
2
d
( 2 + 2 )2
+ t ( 1
2
M
M
. d
P
2ext +
2ext )
2
2
2ad
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5.3 Thermique
( +
Q' - -
Q' )
p +
d -
m
p+
t
h c M
q
d
c
+ +
p,c
- (1- )
p-
m
p-
t
h c M
q
d
h
m
m
d
c
+ -
+
p
m
p
p
c
+
+
-
( c - c )
p,c
p,c
+ (1- ) p-
m
h c ( p+
m
m
d
éq 5.3-1
c
- p-
c
)
=
+
p +
m
t
M .F d
1
t
M .F d
c
+ ( - )
p -
m
c
p,c
p,c
p
m
p
+ t
d - t
h c M
q
. d
T
cext +
ext
ad
p,c
On peut de nouveau considérer que les conditions de flux thermiques définissent directement :
p
~
m
p
q
h
M
q
ext =
c
c
+
ext
ext
p,c
6
Principe des travaux virtuels, déformations et contraintes
généralisés, lois de comportement
6.1
Contraintes et déformations généralisées
En se reportant aux formulations variationnelles [éq 4.1-1], [éq 4.2-1] et [éq 4.3-1], il apparaît que l'on
peut choisir :
Pour les contraintes généralisées :
, ;
p
1
m ,M1, 1
hm
m
1;
2
m ,M2, 2
h 1 ;
= 1 1
1
1
éq 6.1-1
1
m ,M1 , 1
hm
m
2 ;
2
m ,M2, 2
h 2;
2
2
2
2
Q' q
,
Pour les déformations généralisées :
= {u,(u);p , p
1
; p ,
1
2 p T
; ,
2
T}
éq 6.1-2
On remarque le fait que les déformations généralisées contiennent les déplacements. Cela est dû au
terme Fm
r
v
. de la formulation variationnelle de l'équation de conservation de la quantité de
mouvement [éq 4.1-1], lequel terme couple finalement les contraintes généralisées et les déplacements
du fait de [éq 6.3.4-1]. Les déformations généralisées contiennent la pression et la température parce
que les équations associées sont paraboliques.
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6.2
Principe des travaux virtuels
L'ensemble des équations non linéaires à résoudre peut se mettre sous la forme :
R(U)
meca
= L
éq 6.2-1
où U désigne les déplacements généralisés, c'est-à-dire : U = {u u
, u
, , p ,p ,T dans le cas le plus
x
y
z
1
2
}
général. Les forces internes R s'expriment à partir d'un principe de travaux virtuels généralisé. Dans
le cas de la mécanique des milieux continus « classique », c'est à dire quand il n'y a pas d'autre
constituant que le solide, on a l'habitude de définir les forces internes par :
T
w .R = w
.
d w , champ de déplacement cinématiquement admissible.
( )
Dans cette formulation, le champ de déformation ne dépend que du champ de déplacement et de
ses dérivées spatiales, éventuellement de façon non linéaire si l'on prend en compte des déformations
finies. On écrit symboliquement :
R = T
Q
La loi de comportement relie les contraintes aux déformations .
Dans le cadre de la théorie des milieux poreux développée ici, nous essayons de nous rapprocher le
plus possible de cette formulation en introduisant des contraintes généralisées et des déformations
généralisées E ; Les déformations généralisées ne dépendent que du champ de déplacements
généralisés U et de ses dérivées spatiales. L'opérateur U
E(U) est un opérateur de dérivation
par rapport au champ de coordonnées.
La loi de comportement permet de calculer en fonction de E .
Par contre, nous ne pouvons pas écrire directement
T
W R
. = W
.
d , pour les raisons
( )
suivantes :
· les équations que nous traitons sont des équations évolutives en temps et les dérivées par
rapport au temps des quantités interviennent,
· les équations sont non linéaires à cause des termes de transport liés à la représentation
eulérienne des fluides : ces termes non linéaires ne figurent que dans l'équation de thermique,
· le choix des inconnues fait que les termes non linéaires de transport interviennent dans les
contraintes généralisées. Soit un terme de transport dans l'équation [éq 4.3-1],
p
m
p
h c M
q .
, étant donné que l'on a pris comme inconnues principales pour
c +
d
p,c
l'hydraulique les pressions, les quantités
p
M liées aux vitesses des fluides appartiennent aux
c
p
contraintes généralisées, de même que les enthalpies m
h c , et le terme de transport donné en
exemple est linéaire en déformation généralisée et quadratique en contrainte généralisée. Ceci
fait une différence avec la formulation de la théorie des milieux continus classiques où les
termes de grande déformation sont des quantités quadratiques des déformations.
Pour toutes ces raisons, nous introduisons un champ noté tel que :
R QT
=
éq 6.2-2
T
Q est défini par :
WT .R = E(W).
d
éq 6.2-3
W
cinématiqu
généralisé
t
déplacemen
de
champ
admissible
ement
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On voit facilement et très classiquement que T
Q est le transposé de l'opérateur Q tel que :
E = QU
éq 6.1-4
Le champ est une fonction linéaire de
! et non linéaire de :
= (, )
!
éq 6.1-5
Après discrétisation en temps, +
deviendra une fonction non linéaire de +
et -
:
+
+
= ( + -
, )
éq 6.1-6
Notons enfin que pour des raisons algorithmiques (entre autres), on a besoin de connaître la dérivée
des forces internes par rapport aux déplacements généralisés :
R
R
E
T
=
= Q
Q
U
E
U
E
Il est clair que
ne dépend que de la forme des équations d'équilibre.
6.3
Lois de comportement
Une loi de comportement sera définie simplement comme une relation quelconque entre contraintes
généralisées et déformations généralisées. Les variables internes sont définies comme des champs
nécessaires au calcul des contraintes, dont l'évolution est donnée par les lois de comportement, mais
qui n'interviennent pas directement dans les équations d'équilibre.
De plus, nous considérons que les lois de comportement sont écrites sous forme incrémentale et
qu'elles sont locales. En notant les variables internes, une loi de comportement est donc une
relation :
,,E
,
!
! !
Après discrétisation en temps, la loi de comportement devient une relation :
-
-
-
+
+
+
, ,E ,E
,
La loi de comportement devra également fournir le seul terme qui dans l'expression
R
T
= Q
Q dépend d'elle, à savoir
. Finalement une relation de comportement est une
U
E
E
relation :
+
-
-
-
+
+
+
, ,E ,E
, ,
éq 6.3-1
+
E
Dans les paragraphes suivants, nous précisons certains aspects des lois de comportement en
distinguant les contributions mécaniques, hydrauliques et thermiques.
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6.3.1 Loi de comportement mécanique
6.3.1.1 Ecriture
générale
Les variables internes sont notées . Une loi de comportement de mécanique, dans le cadre THM
s'écrit :
+
= +
( + + + + - - - - - -
, p , p ,T ;
p p T
1
2
, , , ,
1
2
, )
éq 6.3.1.1-1
+
= +
( + + + + - - - - - -
, p , p ,T ;
p p T
1
2
, , , ,
1
2
, )
6.3.1.2 Cas des contraintes effectives
Dans le cas de l'hypothèse des contraintes effectives, on a la décomposition : =
+ I où est
p
le tenseur des contraintes effectives et est un scalaire.
p
Les variables internes sont séparées en deux parties : les variables internes mécaniques et les
variables internes hydrauliques . La loi de comportement mécanique se scinde alors en deux lois,
H
dont la première peut être une loi déjà existante dans le cadre habituel de la thermomécanique.
+
= +
( + + - - - -
,T ; ,T ,
, )
éq 6.3.1.2-1
+
,T ; ,T ,
,
=
+
( +
+
-
-
-
-
)
+
p , p ; p , p ,
1
2
1
2
p = +p ( +
+
-
-
-
H )
éq 6.3.1.2-2
+
p , p ; p , p ,
1
2
1
2
H =
+
H ( +
+
-
-
-
H )
Les dépendances indiquées par les équations [éq 6.3.1.2-1] et [éq 6.3.1.2-2] n'ont pas de justification
théorique a priori. Il s'agit simplement de montrer les dépendances les plus générales possibles du
point de vue de la programmation informatique. On remarque dans cette décomposition que la
dépendance par rapport à la thermique a été laissée dans les contraintes effectives ; typiquement, on
pense que les lois sur les contraintes effectives s'écrivent comme en thermomécanique classique :
+
+
= ( + + + - - - - -
- T I, - T I,
,)
6.3.1.3 Choix des contraintes
Du fait de l'utilisation assez fréquente de l'hypothèse des contraintes effectives, on décide que le
vecteur des contraintes pour la partie mécanique contient dans tous les cas le tenseur des contraintes
effectives et le scalaire . Dans le cas général où l'hypothèse des contraintes effectives n'est pas
p
retenue, on aura simplement :
. C'est donc à la charge du module d'intégration des équations
p = 0
d'équilibre (et non pas des lois de comportement) de faire la somme : +
+
+
=
+ I .
p
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6.3.2 Hydraulique
La loi de comportement hydraulique fournit les relations suivantes :
+
p
m
m
p p T p p T m M
c
=
+
p
c
(
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
p
p
_
,
,
,
; ,
,
,
,
,
,
1
2
1
2
c
c
H )
+ +
, p , p , p , p ,T , T ;
c
1 +
+
1
2 +
+
2
+
+
+
p
M
M
p
p p
p
p
c
=
p -
-
,
,
,
,
;
c
1 -
-
1
2 -
2
-
+
-
-
p
_
m
T ,T ,M , ;F
c
H
-
+
p p T p p T m
H =
+
H ( +
+
+
+
-
-
-
-
p
_
,
,
,
; ,
,
,
,
,
1
2
1
2
c
H )
éq 6.3.2-1
On remarque que le champ de gravité est une donnée de la loi de comportement hydraulique parce
que l'évolution du vecteur de flux suit des relations du type :
fl
M = - P + F .
H
[
fl
m ]
6.3.3 Loi de comportement thermique
Les lois de comportement donnent :
Q
'+ = Q'+ ( +
, p+ , p+ ,T +; -
1
2
, p- , p- ,T - ,Q'-
1
2
)
p+
p+
p-
hm
m
+ + + + - - - - m
c
= h c , p , p ,T ;
1
2
, p , p ,T ,h
1
2
c
c et p
éq 6.3.3-1
+
+
q
= q ( +
, p+ , p+ ,T + , T +
1
2
; -
, p- , p- ,T - , T -
1
2
, -
q )
+
+
+
=
( ,p+,p+,T+, T+; -,p-,p-,T-, T-, -
1
2
T )
T
T
1
2
Notons que nous avons introduit d'éventuelles variables internes liées à la thermique.
6.3.4 Masse volumique homogénéisée
Par définition, la masse volumique homogénéisée, qui intervient dans l'équation d'équilibre de la
mécanique [éq 3.1-1] est donnée par :
+
+
+
+
+
r = r
m
m
m
m
0 +
1
1
+ 21 + 12 + 22
éq 6.3.4-1
Cette équation n'est pas une loi de comportement, mais elle fait partie des équations de conservation.
Elle est intégrée dans le module de calcul des équations d'équilibre, les modules de calcul des lois de
comportement n'ayant pas à la traiter.
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7
Algorithme de résolution
7.1
Algorithme non linéaire de résolution des équations d'équilibre
Dans le cas général de la modélisation (coefficients variables, désaturation, convection) le problème
variationnel présenté ci-dessus [éq 4.1-1] à [éq 4.3-1] est non linéaire par rapport aux champs de
déplacement, pression et température. Après discrétisation par éléments finis, on obtient un système
matriciel non linéaire. La matrice de l'opérateur tangent contient de plus un terme non symétrique traité
comme tel. On utilise dans tous les cas de modélisation le solveur non linéaire STAT_NON_LINE du
Code_Aster reposant sur une méthode de Newton-Raphson, décrite en [bib5]. On introduit la
fonctionnelle vectorielle :
F(U)= R(U)
meca
- L
éq 7.1-1
F
L'opérateur tangent associé est noté : F
D = U
Pour les modules THM, objets de la présente note, l'opérateur meca
L
ne dépend pas des déplacements
généralisés. Tous les termes dépendant des déplacements généralisés ont été introduits dans R , et
c'est justement pour cette raison que les déplacements se retrouvent dans les déformations
généralisées. Notons à ce sujet le traitement très particulier du terme Fm
r
v
. de l'équation [éq 4.1-1].
+
+
+
+
D'après [éq 6.3.4-1], r m
F v
.
d =
r
m1
m2
m1
m2
m
F . d
v
(0 + 1 + 1 + 2 + 2 )
Nous avons choisi de scinder ce terme en deux :
Le terme r m
F v
.
est une contribution à meca
L
0
d
si l'utilisateur a renseigné l'opérande PESANTEUR
du chargement utilisé (défini par la commande AFFE_CHAR_MECA), alors que le terme
( +
m1
, qui dépend des contraintes généralisées est une contribution à
1 +
+
m21 + +
m12 +
+
m22 ) m
F v
.
d
R .
7.2
Passage des valeurs nodales aux valeurs aux points de Gauss
Comme dans tous les codes d'éléments finis, les termes sont calculés par boucle sur les éléments et
boucle sur les points de gauss. En notant
el
R et
el
DF les valeurs au point de gauss g de l'élément el
g
g
des forces nodales et de l'opérateur tangent, et el
w le poids d'intégration lié à ce point de gauss, on a :
g
(
R U)= el el
w R U
g
g (
)
el
g
éq 7.2-1
DF(U)= el el
w DF U
g
g (
)
el
g
éq 7.2-2
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Notons alors el
U le vecteur des inconnues nodales sur un élément fini el. On peut ainsi avoir :
u
v
w
1
noeud
p1
p
2
T
u
v
w
el
exemple
par
U =
2
noeud
p1
p
2
T
u
v
w
3
noeud
p1
p
2
T
.
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Notons aussi el
E le vecteur des déformations généralisées au point de gauss g de l'élément el et el
g
g
le vecteur de contraintes généralisées pour le point de Gauss g de l'élément el. Dans le cas le plus
complet on a ainsi :
el
p
m1
1
M11
el
u
m
h 1
1
(u)
m21
p
2
1
M1
m
p1
h 21
el
el
E =
;
=
g
g
1
p2
m
2
p
2
M1
21
m
T
h 2
T
m2
g
2
M22
m
h 2
2
Q'
q g
Les fonctions de forme des éléments finis permettent de calculer alors la matrice
el
Q de passage des
g
inconnues nodales aux déformations généralisées aux points de gauss définie par :
el
el
el
E = Q U
.
éq 7.2-3
g
g
7.3
Vecteurs et matrices selon les options
Les présentations des deux paragraphes suivants sont faites dans le cas le plus général où on a une
équation de mécanique, deux équations d'hydraulique et une équation de thermique. Les indices g et el
sont désormais omis, mais il est clair que ce qui est décrit s'applique à chaque point de gauss de
chaque élément.
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7.3.1 Résidu ou force nodale : options RAPH_MECA et FULL_MECA
On répartit les termes de la formulation variationnelle selon le principe suivant :
el
el
Si
*
E
*
E g = (v, v , ,
calculé à
1
,1 ,2 ,2,)
g désigne un champ de déformation virtuel,
( )
el
partir d'un vecteur de déplacements nodaux virtuels
*
U , on peut définir
:
T
*
E elg .elg (U) = 1v + 2(v)+ 3 + 4
. On reprend alors les
1
+ 5
1
+ 6
2
+ 7
2
+ 8
formulations variationnelles discrètes [éq 5.1-1], [éq 5.2-1], [éq 5.3-1], et on y remplace les intégrales
fd par el el
w f pour toutes les intégrantes f . On distingue les termes multipliant
g
g
el
g
respectivement v , (v), , , , , et , et on trouve :
1
1
2
2
Indice
associé à
1
- ( +
+
+
+
v
m11 + m21 + m12 + 22 ) +m
m
F
2
+
+
+ I
(v)
p
3
+
+
-
-
- 1
m
m
m
m
1
1
- 21 + 11 + 21
4
t( +
+
1
M
M
1
t M
M
1
1
+ 21 )+ ( - ) ( -
-
1
1
+ 21 )
5
+
+
-
-
- 1
m
m
m
m
2
2
- 22 + 12 + 22
6
t( +
+
1
M
M
1
t M
M
2
2
+ 22 )+ ( - ) ( -
-
1
2
+ 22 )
7
- Q'+ +Q'-
+
-
+
-
m
- h 1
+
-
+
-
1 + (1- ) m
h 11 (m1 - m1 -
+ -
-
1
1 )
m
h 21
(1 ) m
h 21 (m2 m2
1
1
)
+
-
+
-
m
- h 1
+
-
+
-
2 + (1- ) m
h 12 (m1 - m1 -
+ -
-
2
2 )
m
h 22
(1 ) m
h 22 (m2 m2
2
2 )
+ t
(
M1+ + M2+ + M1+ + M2+
-
-
-
-
+ -
+
+
+
1
1
2
2 ) m
F
.
t(1
)(M1 M2 M1 M2
1
1
2
2 ) m
F
.
8
+
+
+
+
+
1
+
m
m
m
m
t h 1 M1
h
h
h
1
+ 2
+
1 M 2
1
+ 1
+
2 M12 +
2
+
2 M 22 + +
q
+
-
-
-
-
+ (1- )
1
-
m
m
m
m
t h 1 M1
h
h
h
1
+ 2
-
1 M 2
1
+ 1
-
2 M12 +
2
-
2 M 22 + -
q
Remarque :
Dans le premier terme 1 ne figure pas le terme
m
- r F car il est mis dans le chargement
0
extérieur meca
L
et calculé par l'option de calcul du chargement extérieur de pesanteur.
En utilisant la définition [éq 7.2-1] de el
R , on a :
g
T
T
el
*el
el
*el
U
R
.
= E
. g , ce qui nous donne encore :
g
g
T
el
el
Rel = Q
. g
g
g
Cette dernière égalité n'est que la forme locale au niveau d'un point de gauss de [éq 6.2-2].
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Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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C. CHAVANT
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7.3.2 Opérateur tangent : options FULL_MECA, RIGI_MECA_TANG
Dans ce qui suit, si X désigne un vecteur de composantes X i et Y un vecteur de composantes Y j ,
X
i
X
désignera une matrice dont l'élément occupant la ligne i et la colonne j est
.
Y
j
Y
Pour calculer l'opérateur tangent, on calculera les quantités suivantes :
[DRDE] =
DR1U
DR1E
DR1P1
DR1GP1
DR1P2
DR1GP2
DR1T
DR1GT
DR2U
DR2E
DR2P1
DR2GP1
DR2P2
DR2GP2
DR2T
DR2GT
DR3U
DR3E
DR3P1
DR3GP1
DR3P2
DR3GP2
DR3T
DR3GT
DR4U
DR4E
DR4P1
DR4GP1
DR4P2
DR4GP2
DR4T
DR4GT
DR5U
DR5E
DR5P1
DR5GP1
DR5P2
DR5GP2
DR5T
DR5GT
DR6U
DR6E
DR6P1
DR6GP1
DR6P2
DR6GP2
DR6T
DR6GT
DR7U
DR7E
DR7P1
DR7GP1
DR7P2
DR7GP2
DR7T
DR7GT
DR8U
DR8E
DR8P1
DR8GP1
DR8P2
DR8GP2
DR8T
DR8GT
Où l'on a noté :
F
F
DRiU
i
=
DRiGP
i
1 =
u
p
1
F
F
DRiE
i
=
DRiGP
i
2 =
p2
F
F
DRiP
i
1 =
DRiT
i
=
p
T
1
F
F
DRiP
i
2 =
DRiDT
i
=
p
T
2
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Pour faire ces calculs on considère que les lois de comportement fournissent, pour les options
correspondantes, toutes les dérivées suivantes :
'
'
'
'
'
'
'
'
u
p
1
p1 p2
p2
T
T
p
p
p
p
p
p
p
p
u
p
1
p1 p2
p2
T
T
m1
1
1
1
1
1
1
1
1
m1
m1
m1
m1
m1
m1
m1
u
p
1
p1 p2
p2
T
T
M
1
M1
1
1
1
1
1
1
1
M
1
1 M1 M1 M1 M1 M1
u
p
1
1
p
2
p
2
p
T
T
1
1
1
1
1
1
1
1
1
hm
1
hm
1
hm
1
hm
1
hm
1
hm
1
hm
1
hm
u
1
p
1
p
2
p
2
p
T
T
2
2
2
2
2
2
2
2
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
u
1
p
1
p
2
p
2
p
T
T
M2
M2
M2
M2
M2
M2
M2
M2
1
1
1
1
1
1
1
1
u
1
p
1
p
2
p
2
p
T
T
2
2
2
2
2
2
2
2
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
h
h
h
h
h
h
h
hm
u
p
p
p
p
T
T
D D
E =
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
m
m
2
2
u
1
p
1
p
2
p
p
T
2
T
1
1
1
1
1
1
1
1
M
2
M2 M2 M2 M2 M2 M2 M2
u
p
1
p
p
1
2
p
T
2
T
1
1
1
1
1
1
1
1
hm2
hm2 hm2 hm2 hm2
hm2
hm2
hm2
u
p
1
p
p
1
2
p
T
2
T
m2
m2
m2
m2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
2
m
2
m
2
m
u
p
1
1
p
2
p
2
p
T
T
2
2
2
2
2
2
2
2
M2 M2 M2 M2 M2
M2 M2 M2
u
1
p
1
p
2
p
2
p
T
T
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
2
h
h
h
h
h
h
h
hm
u
1
p
1
p
2
p
2
p
T
T
Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
Q'
u
p1 p1 p2 p2
T
T
q
q
q
q
q
q
q
q
u
p
1
p1 p2
p2
T
T
Remarque :
Dans ces expressions, les dérivées par rapport à u sont toutes nulles, mais nous gardons
l'écriture compte tenu de la définition des matrices
el
Q que nous avons adoptée.
g
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5.0
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Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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22/06/01
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C. CHAVANT
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L'appel aux lois de comportement fournira les morceaux de la matrice D DE
selon les équations
présentes :
[
]
DMECDE =
p
p
p
p
;
[
]
DMECP1 = 1
1 ;
[DMECP2]= 2
2 [DMECDT]
= T
T
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
1
2
2
T
T
1
m
m11
m1
1
m11
m1
1
1
m11
m1
1
p
p
p
p
1
1
2
2
1
1
1
1
1
T
T
1
1
[DP11DE] M
M
M
M
M
M
M
1
=
;
[DP11P1] 1
=
1 ;
[DP11P2] 1
=
1 [DP11DT] 1 1
=
p1
p1
p2
p
2
T
T
1
m
1
1
m1
m1
m1
m1
m
m
h 1
h 1 h 1
h 1 h 1
h 1 h 1
p1
p1
p2
p
T
T
2
2
m
m21
m2
1
m21
m2
1
1
m21
m2
1
p
p
p
p
1
1
2
2
2
2
2
2
2
T
T
2
2
[DP12DE] M
M
M
M
M
M
M
1
=
;
[DP12P1] 1
=
1 ;
[DP12P2] 1
=
1 [DP12DT] 1 1
=
p1
p1
p2
p
2
T
T
2
m
2
2
m 2
m 2
m 2
m 2
m
m
h 1
h 1 h 1
h 1 h 1
h 1 h 1
p1
p1
p2
p
T
T
2
1
m
m12
m1
2
m12
m1
2
2
m12
m1
2
p
p
p
p
1
1
2
2
1
1
1
1
1
T
T
1
1
[DP21DE] M
M
M
M
M
M
M
2
=
;
[
] 2
DP21P1 =
2 ;
[DP21P2] 2
=
2 [DP21DT] 2
2
=
p1
p1
p2
p
2
T
T
1
m
1
1
m1
m1
m1
m1
m
m
h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2m
p1
p1
p2
p
T
T
2
2
m
m22
m2
2
m22
m2
2
2
m22
m2
2
p
p
p
p
1
1
2
2
2
2
2
2
2
T
T
2
2
[DP22DE] M
M
M
M
M
M
M
2
=
;
[DP22P1] 2
=
2 ;
[DP22P2] 2
=
2 [DP22DT] 2 2
=
p1
p1
p2
p
2
T
T
2
m
2
2
m 2
m 2
m 2
m 2
m
m
h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
p1
p1
p2
p
T
T
2
'
Q
Q
'
Q'
Q'
Q'
Q' Q'
[DTDE]
=
p
p
p
p
;
[
]
DTDP1 = 1
1 ; [DTDP2]
= 2
2 [DTDT]
= T T
q
q
q
q
q
q
q
p1
p
1
p2
p
2
T
T
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Par ailleurs, en dérivant l'expression du résidu par rapport aux contraintes, on définit :
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
3 3 3 3 3 3 3
3
3
3
3
3
3
3
3 3
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
4 4 4 4 4 4 4
4
4
4
4
4
4
4
4 4
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
D D = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
6 6 6 6 6 6 6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
8 8 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
p m
hm
m
hm
m
hm
m
hm
Q'
1
M1 1 1 M1 1 2 M2 2 2 M2 2
q
Toutes ces quantités n'étant pas forcément calculées, on notera, pour i de 1 à 8 :
[
D i
D ] i i
=
,
[
D iDP ] i i i
21 =
,
,
1
1
1
m
p
2 M2 m
h 2
[
D iDP ] i i i
11 =
,
,
2
1
2
[
D iDP22] i i i
=
,
,
2
2
2
m1 M1 m
h 1
m2 M2 m
h 2
[
D iDP12] i i i
=
,
,
2
1
2
[
D iDT] i i
=
,
m1 M1 m
h 1
Q' q
Il est alors clair que :
D DE
= D D
D
. DE
Et la contribution du point de gauss à la matrice tangente
el
DF s'obtient par :
g
T
el
el
el
DF = Q
D
.
DE
Q
.
g
g
g
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7.4 Algorithme
global
L'algorithme devient alors :
Initialisations :
+
Calcul de meca
L
(option CHAR_MECA)
Calcul de
-
F
D
(option RIGI_MECA_TANG)
+
-
Calcul de U
par :
-
F
. U0 = meca
D
L
- meca
L
0
Itérations d'équilibre de Newton n
Boucle éléments el
Boucle points de gauss g
calcul
el
Qg
-
-
+
+
calcul el
E
Q U
.
et el
E
Q U
.
g
= el el
g
= el el
g
g
+
el
+
+
el
el
g
-
-
-
+
calcul de :
n
, ,
(selon option) à partir de el
el
el
el
E , , ,E
g
g
n
+
el
g
g
g
g
E
n
g n
+
el
+
+
+
T
el
calcul de
el
el
el
g
à partir de
; R
Q
.
g
=
n
g
g
n
g
n
n
+
+
+
el
el
el
g
+
+
T
g
el
el
g
calcul de
n à partir de el
;
n
n
el
DF
= Q .
.
Q
.
(
+
selon option)
el
g n
g
g
+
+
g
n
el
el
E
g n
g
g
n
n
Calcul de U
par :
n 1
+
+
+
+
DF . U
R
L
n
n 1 = -
n +
meca
+
Actualisation :
U
U
U
n
= n +
1
+
n 1
+
SI test convergence OK
fin Newton : pas de temps suivant
Sinon
n = n+1
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Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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8 L'option
FORC_NODA
Au niveau des équations continues, l'option FORC_NODA correspond au calcul de l'opérateur
T
el
R QT
=
el
el
.Au niveau discret, l'option FORC_NODA revient à calculer le vecteur R = Q
. g .
g
g
Comme nous avons déjà noté que dépend non seulement de , mais aussi de
!, il ne faut pas
s'étonner de voir apparaître le pas de temps t et les contraintes à la fois au temps + et au temps -.
L'algorithme de Newton-Raphson de la commande STAT_NON_LINE utilise l'option FORC_NODA pour
le calcul de la prédiction au début de chaque pas de temps. Il n'est donc pas anodin de calculer
correctement tous les termes pour cette option, y compris ceux qui dépendent du pas de temps. Nous
illustrons cette question par un exemple simple correspondant à la seule équation de l'hydraulique.
Soit une version simplifiée de l'équation hydraulique :
dm
-
p d
* +
p d
* =
F p*
M
dt
ext
Après discrétisation en temps :
-
mp d
*
+
t ( + + (1- ) - p d
*
F p*
M
M
) =
ext
Faisant apparaître
+
-
+
-
M = M - M
et
p = p - p , et écrivant une loi de
comportement : m
= N p
, on trouve :
-
* +
* =
* -
*
M
M
-
N pp d
t
p d
F p
t
p d
ext
Par définition la phase de prédiction STAT_NON_LINE s'écrit :
0
1
K u = F - T
Q
ext
0
0
Il est alors clair que l'on doit prendre QT p d
* = - t
M-p d
*
0
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Fascicule R7.01 :
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5.0
Titre :
Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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9 Discrétisation
spatiale
Les éléments finis THM d'Aster sont des éléments mixtes, dans le sens qu'ils ont à la fois des
inconnues de déplacements, de pressions et de températures. Un choix de discrétisation où les
déplacements, les pressions et les températures sont interpolés avec le même ordre d'approximation
conduit à des oscillations, surtout pour des choix de pas de temps trop petits par rapport à la
discrétisation en espace On consultera à ce sujet par exemple [bib10]. Ce problème est également en
rapport avec la manière de calculer la matrice dite de masse, et on pourra consulter à ce sujet [bib14].
Nous donnons par ailleurs en annexe, pour illustrer notre propos, la solution pour le premier pas de
temps d'un problème de consolidation mono dimensionnel avec une interpolation P1P1. On voit que
pour un petit pas de temps, elle est très oscillante.
Pour cette raison, les éléments quadratiques THM sont des éléments en P2P1, c'est-à-dire que
l'interpolation des déplacements est quadratique et celle des températures et pressions est linéaire.
Nous avons néanmoins gardé toutes les inconnues sur tous les noeuds, y compris les noeuds milieux,
mais nous avons imposé dans le calcul des matrices de rigidité que la pression d'un noeud milieu de
segment soit égale à la demi somme des noeuds sommet du segment auquel il appartient.
Par ailleurs, dans la programmation, nous avons tenu compte de la propriété suivante :
Soit s un noeud sommet, 1
w sa fonction de forme en tant qu'appartenant à un élément linéaire (par
s
exemple QUAD4), et 2
w sa fonction de forme en tant qu'appartenant à un élément quadratique (par
s
exemple QUAD8). Soit na le nombre d'arêtes ayant s comme extrémité et 2
w la fonction de forme de
ma
l'interpolation quadratique attachée à un noeud milieu d'arête, on a alors la relation :
na
1
2
w2
w
w
s =
+ ma
s
ma=1 2
Ceci dit, et y compris en interpolation P2P1, des conditions de non oscillation existent sur le pas de
temps. [bib10] donne la relation :
x2
t
>
C
20 v
kE(1- )
où C est le coefficient de consolidation : C
, k
v =
v
étant la perméabilité mesurée en
lq (1 + )(1 -
2 )
m/s.
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Titre :
Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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C. CHAVANT
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10 Bibliographie
[1]
O. COUSSY : « Mécanique des milieux poreux ». Editions TECHNIP.
[2]
P. GERMAIN : « Cours de mécanique des milieux continus ».
[3]
G. DUVAUT, J. L. LIONS : « Les inéquations en mécanique et en physique ».
[4]
C
. CHAVANT, P. CHARLES, Th. DUFORESTEL, F. VOLDOIRE
: «
Thermo-hydro-
mécanique des milieux poreux non saturés dans le Code_Aster ». Note HI-74/99/011/A.
[5]
I. VAUTIER, P. MIALON, E. LORENTZ : « Algorithme non linéaire quasi statique (opérateur
STAT_NON_LINE) » Document Aster [R5.03.01] Indice B.
[6]
C. CHAVANT : « Modèles de comportement THHM» Document Aster [R7.01.11] Indice A
[7]
A. GIRAUD : « Adaptation au modèle poroélastique non linéaire de Lassabatère-Coussy à la
modélisation milieu poreux non saturé », (ENSG).
[8]
J. WABINSKI, F. VOLDOIRE : Thermohydromécanique en milieu saturé. Note EDF/DER
HI-74/96/010, de septembre 1996.
[9]
T. LASSABATERE : « Couplages hydromécaniques en milieu poreux non saturé avec
changement de phase : application au retrait de dessiccation du béton ». Thèse ENPC.
[10]
Ph. MESTAT, M. PRAT : « Ouvrages en interaction ». Hermes
[11]
J. F. et al THILUS : « Poro-mechanics », Biot Conférence 1998.
[12]
CROUZEIX et MIGNOT, MASSON : « Analyse numérique des équations différentielles » 1992
[13]
J. P. LEFEBVRE : « Algorithme de thermique transitoire » Document Aster [R5.02.01].
[14]
J. M. PROIX : « Diagonalisation de la matrice de masse thermique » Document Aster
[R3.06.07].
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Titre :
Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
Date :
22/06/01
Auteur(s) :
C. CHAVANT
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R7.01.10-A
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Annexe 1 Problème mono dimensionnel P1P1
On considère un problème de consolidation unidimensionnel dont les inconnues ne varient qu'en fonction de la
seule variable d'espace x .
Un domaine rectangulaire de longueur L, est rempli d'un matériau poreux de coefficients de Lamé et µ , de
1
coefficient de biot b et de module de biot N =
et de conductivité hydraulique . La masse volumique du
M
h
u
fluide est notée . On note la contrainte , u le déplacement dans la direction x , =
la déformation,
xx
x
p la pression, m l'apport massique en fluide, M le flux de fluide.
Les conditions aux limites sont :
en x = 0 : = 0 ; p = 0
en x = L : u = 0 ; p = 1 pour t > 0
Les conditions initiales en t = 0 sont = u = p = 0 .
x = 0 ;
= 0 ;
p = 0
x = L ;
u = 0 ;
p = 1
La mise en équation donne :
Equilibre mécanique et élasticité linéaire : = ( + 2µ) - bp = 0
m M
Conservation de la masse :
+
= 0
t
x
p
Loi de Darcy : M = -
h
x
m
Couplages :
= Np +
b
Nous faisons une discrétisation en temps implicite et nous nous intéressons au calcul du premier pas de
temps :
On obtient le système de deux équations :
= ( + µ
2 )(u) - bp = 0
Np +
b - htp = 0
La formulation variationnelle mixte de ce problème est :
*
*
*
2
(u) u
bp u
0
u
(
[ + µ) ( )- ( )]=
*
*
*
*
Npp
b (u) p
t p p
0
p
[
+
+ h ]=
éq An 1-1
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Titre :
Modélisations THHM. Généralités et algorithmes
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C. CHAVANT
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Concernant la discrétisation spatiale, nous découpons le milieux en n éléments finis. Les noeuds de l'élément i
sont i et i+1. On note 1
u et 1
p le déplacement et la pression du premier noeud de l'élément e , 2
u et 2
p le
e
e
e
e
déplacement et la pression de son deuxième noeud. On suppose que l'on utilise des éléments finis P1P1, c'est à
dire que les déplacements comme les pressions sont interpolés linéairement. La discrétisation de la première
équation donne alors :
2
1
*
*
u e - u e
u
u
p
p
e -
e
e +
(
2
1
1
2
+ 2µ)
-
e
b
= 0
x
x
e
2
D'où l'on déduit :
( 2
1
1
+ 2
u - u =
e
e )
b x p
p
e
e
e
+ µ
2
2
éq An 1-2
La discrétisation de la deuxième équation donne :
2
1
2
1
*
*
2
1
1
2
*
*
2
1
p e + p e u
u
p
p
p
p p
p
e -
e
e +
e
e
- e e -
b
+ N
+ t
h
e = 0
x
x
x
e
2
2
e
En y portant [éq An 1-2], on trouve :
2
1
*
*
2
1
2
p e + p e
b
p
p
t
e +
e
N +
+
p e p p p
h
- e e - e =
2
( 2 1
*
* )( 2
1 ) 0
e
2
+ 2µ
2
x e
éq An 1-3
Si maintenant, nous faisons tendre le pas de temps vers zéro à pas d'espace constant,
t
2
b
, et [éq An 1-3] se réduit à :
h
<< N
2
+
x
+ µ
2
( 2 1
*
*
p e + p e )( 1
2
p
p
e +
e ) = 0
e
On introduit une numérotation globale des noeuds et inconnues de pression :
1
2
p
p
p
p
j =
;
j
j =
j +1
On peut voir que cet ensemble de relations donne finalement :
p1 = 0
p + 2p + + p + = 0
i
i
i 1
i 2
[
1,n - ]
1
p
n+1 = 1
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La solution de cette suite est :
j -1
p2 j-1 =
n
2 j -1
p2 j = -
2n
Ce qui donne la répartition de pression suivante :
Pression au premier pas de temps
1,5
1
0,5
P
0
-0,5 0
5
10
15
20
25
-1
-1,5
X
A titre indicatif, nous donnons ci dessous une comparaison de résultats numériques obtenus avec des éléments
P1P1, P2P2 et P2P1.
On voit que l'élément P2P1 n'enlève pas l'oscillation, mais l'atténue sensiblement.
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