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5.0
Titre :
Intégration des relations élasto-plastiques
Date :
20/03/01
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ, P. MIALON
Clé :
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN, RNE/MTC
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document R5.03.02

Intégration des relations de comportement
élasto-plastique de Von Mises

Résumé :
Ce document décrit les quantités calculées par l'opérateur STAT_NON_LINE nécessaires à la mise en oeuvre de
l'algorithme non linéaire quasi statique décrit en [R5.03.01] dans le cas des comportements élasto-plastiques.
Ces quantités sont calculées par les mêmes sous-programmes dans l'opérateur DYNA_NON_LINE dans le cas
d'une sollicitation dynamique [R5.05.05].
Cette description est présentée suivant les différents mots clés qui permettent à l'utilisateur de choisir la relation
de comportement souhaitée. Les relations de comportement traitées ici sont :
· le comportement de Von Mises à écrouissage isotrope (linéaire ou non linéaire)
· le comportement de Von Mises à écrouissage cinématique linéaire (modèle de Prager)
La méthode d'intégration utilisée se base sur une formulation implicite directe. A partir de l'état initial, ou à partir
de l'instant de calcul précédent, on calcule le champ de contraintes résultant d'un incrément de déformation. On
calcule également l'opérateur tangent.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
1.1 Relations de comportements décrites dans ce document .............................................................. 3
1.2 But de l'intégration ........................................................................................................................... 3
2 Notations générales et hypothèses sur les déformations ...................................................................... 4
2.1 Partition des déformations (petites déformations)........................................................................... 5
2.2 Réactualisation ................................................................................................................................ 6
2.3 Conditions initiales........................................................................................................................... 6
3 Relation de Von Mises à écrouissage isotrope...................................................................................... 7
3.1 Expression des relations de comportement .................................................................................... 7
3.1.1 Relation VMIS_ISOT_LINE................................................................................................... 7
3.1.2 Relation VMIS_ISOT_TRAC................................................................................................... 8
3.2 Opérateur tangent. Option RIGI_MECA_TANG ............................................................................. 11
3.3 Calcul des contraintes et des variables internes ........................................................................... 13
3.4 Opérateur tangent. Option FULL_MECA ........................................................................................ 15
3.5 Variables internes produites .......................................................................................................... 17
4 Relation de Von Mises à écrouissage cinématique linéaire................................................................. 17
4.1 Expression de la relation de comportement .................................................................................. 17
4.2 Opérateur tangent. Option RIGI_MECA_TANG ............................................................................. 19
4.3 Calcul des contraintes et variables internes .................................................................................. 20
4.4 Opérateur tangent. Option FULL_MECA ........................................................................................ 22
4.5 Variables internes produites .......................................................................................................... 22
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 22
Annexe 1 Relation VMIS_ISOT_TRAC : compléments sur l'intégration ................................................. 23
Annexe 2 Ecrouissage isotrope en contraintes planes ........................................................................... 25
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1 Introduction
1.1
Relations de comportements décrites dans ce document
Dans l'opérateur STAT_NON_LINE [U4.51.03] (ou DYNA_NON_LINE [U4.53.01]), deux types de
comportements peuvent être traités :
· le comportement incrémental : mot clé facteur COMP_INCR,
· le comportement en élasticité non linéaire : mot clé facteur COMP_ELAS.
Pour chaque comportement on peut choisir :
· la relation de comportement : mot clé RELATION,
· le mode de calcul des déformations : mot clé DEFORMATION.
Pour plus de détails, consulter le document [U4.51.03] du manuel utilisateur, les comportements décrits
ici ne relevant que du mot clé facteur COMP_INCR.
Les relations traitées dans ce document sont :
VMIS_ISOT_LINE :
Von Mises avec écrouissage isotrope linéaire,
VMIS_ISOT_TRAC :
Von Mises avec écrouissage isotrope donné par une courbe de traction,
VMIS_CINE_LINE :
Von Mises avec écrouissage cinématique linéaire.
1.2
But de l'intégration
Pour résoudre le problème global non linéaire posé sur la structure, le document [R5.03.01] décrit
l'algorithme utilisé dans Aster pour la statique non linéaire (opérateur STAT_NON_LINE) et le
document [R5.05.05] décrit la méthode utilisée pour la dynamique non linéaire (opérateur
DYNA_NON_LINE).
Ces deux algorithmes s'appuient sur le calcul de quantités locales (en chaque point d'intégration de
chaque élément fini) qui résultent de l'intégration des relations de comportement.
A chaque itération n de la méthode de Newton [R5.03.01 § 2.2.2.2] on doit calculer les forces nodales
R un
( )
n
n
i
= QT i (options RAPH_MECA et FULL_MECA) les contraintes i étant calculées en
chaque point d'intégration de chaque élément à partir des déplacements uni par l'intermédiaire de la
relation de comportement. On doit construire aussi l'opérateur tangent pour calculer Kni (option
FULL_MECA).
Avant la première itération, pour la phase de prédiction, on calcule Ki -1 (option RIGI_MECA_TANG).
Le calcul de Ki -1 , qui est nécessaire à la phase d'initialisation [R5.03.01 §2.2.2.2] correspond au
calcul de l'opérateur tangent déduit du problème en vitesse.
Cet opérateur n'est pas identique à celui qui est utilisé pour calculer Kni par l'option FULL_MECA, au
cours des itérations de Newton. En effet, ce dernier opérateur est tangent au problème discrétisé de
façon implicite.
On décrit ici pour les relations de comportement VMIS_ISOT_LINE,VMIS_ISOT_TRAC et
VMIS_CINE_LINE, le calcul de la matrice tangente de la phase de prédiction, Ki - 1, puis le calcul du
champ de contraintes à partir d'un incrément de déformation, le calcul des forces nodales R et de la
matrice tangente Kni .
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2
Notations générales et hypothèses sur les déformations
-
Toutes les quantités évaluées à l'instant précédent sont indicées par .
Les quantités évaluées à l'instant t + t ne sont pas indicées.
Les incréments sont désignés par . On a ainsi :
Q = Q t
( + t) = Q t() + Q = Q- + Q.
Pour le calcul des dérivées , on notera : !
Q dérivée de Q par rapport au temps

tenseur des contraintes.

opérateur déviatoire : ~
ij = ij - 1
3 kk ij .
( )eq
3 ~ ~
valeur équivalente de Von Mises :
=
eq
ij ij
2

incrément de déformation.
A
tenseur d'élasticité.
, µ, E, v, K
coefficients de l'élasticité isotrope, respectivement : coefficients de Lamé,
module d'Young, coefficient de Poisson et module de compressibilité.
3K = 3 + 2µ
module de compressibilité

coefficient de dilatation thermique moyen.
t
temps.
T
température.
( )
partie positive.
+
Pour calculer les opérateurs tangents, on adoptera la convention d'écriture des tenseurs symétriques
d'ordre 2 sous forme de vecteurs à 6 composantes. Ainsi, pour un tenseur a :
" t
a= [axx ayy azz
2axy
2axz
2ayz]
"
On introduit le vecteur hydrostatique 1 et la matrice de projection déviatorique P :
"1=t[1 1 1 0 0 ]0
1 " "
P = Id - 1 1
3
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2.1
Partition des déformations (petites déformations)
On écrit pour tout instant :
t() = e t() + th t()+ p t(),
avec
e (t) =
-
A 1(T(t)) (t)
avec
th (t) = (T(t)) (T(t)- T Id
ref )
ou de façon plus générale :
th (T)
= (T) (T - T - T
T - T
def ) ( ref ) ( ref
def )
= #(T) (T - Tref )
et
th (T
= 0
ref )
A dépend de l'instant t par l'intermédiaire de la température. Le coefficient de dilatation thermique
(T(t)) est un coefficient de dilatation moyen qui peut dépendre de la température T . La
température T est la température de référence, c'est-à-dire celle pour laquelle la dilatation thermique
ref
est supposée nulle si le coefficient de dilatation moyen n'est pas connu par rapport à T , on peut
ref
utiliser une température de définition du coefficient de dilatation moyen T
(définie par le mot-clé
def
TEMP_DEF_ALPHA de DEFI_MATERIAU) différente de la température de référence [R4.08.01].
·
$& %
&
'
&&
Ce qui conduit à : !(t)
-
A 1(T(t)) (t) !th (t) ! p
=
+
+
(t)
Ce choix est fait par souci de cohérence avec l'élasticité : il faut pouvoir trouver la même solution en
élasticité (opérateur MECA_STATIQUE) et en élastoplasticité (opérateur STAT_NON_LINE) lorsque les
caractéristiques du matériau restent élastiques. Ce choix mène à la discrétisation :
= p + A-1
( )+ th
avec :
A-1
( ) = A-1 t- + t
(
) -
( +
)- A- 1 t-
( )-
et
th = t-
( + t
(
) T( -T )
(
)
ref
- t -
( ) T- -Tref Id
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2.2 Réactualisation
Dans STAT_NON_LINE, sous le mot clé facteur COMP_INCR, trois modes de calcul des déformations
sont possibles :
· 'PETIT'
· `SIMO_MIEHE' [R5.03.21] (qui effectue le calcul en grandes déformations pour un
écrouissage isotrope)
· 'PETIT_REAC' (qui est un substitut au calcul en grandes déformations, valable pour de petits
incréments de charge, et pour de petites rotations [bib2]).
Cette dernière possibilité consiste à réactualiser la géométrie avant de calculer :
On écrit x
= x
n
n
o + ui - 1 + ui , le calcul des gradients de ui est donc fait avec la géométrie x
au lieu de la géométrie initiale xo .
2.3 Conditions
initiales
Elles sont prises en compte par l'intermédiaire de -, p-, u- .
En cas de poursuite ou reprise d'un calcul précédent, on a directement l'état initial -, p-, u- en
partant de , p, u du calcul précédent à l'instant spécifié.
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3
Relation de Von Mises à écrouissage isotrope
3.1
Expression des relations de comportement
Ces relations sont obtenues par les mots clés VMIS_ISOT_LINE et VMIS_ISOT_TRAC.
Pour ces deux relations, le mode de calcul des déformations est DEFORMATION : 'PETIT' :

~
·

$%'
p
3

!
=
- 1

!p
= ! - A - !th
2
eq

eq - R(p) 0
!p = 0 si eq - R(p)<

0


!p 0 si eq - R(p) = 0
! p : vitesse de déformation plastique,
p : déformation plastique cumulée,
th : déformation d'origine thermique : th = (T - ref
T ) .
Id
La fonction d'écrouissage R(p) est déduite d'un essai de traction simple monotone et isotherme
Dans ce cas :

0

eq = L
0
L


= 0 0
0
p = P
L
L
= L -
.
E

0 0 0
L - R(p) 0
L'utilisateur peut choisir un écrouissage linéaire (relation VMIS_ISOT_LINE) ou une courbe de traction
donnée par points (relation VMIS_ISOT_TRAC).
3.1.1 Relation
VMIS_ISOT_LINE
Les données des caractéristiques de matériaux sont celles fournies sous le mot clé facteur
ECRO_LINE ou ECRO_LINE_FO de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].
/ ECRO_LINE : ( D_SIGM_EPSI : ET
SY : y )
/ ECRO_LINE_FO : ( D_SIGM_EPSI : ET
SY : y )
ECRO_LINE_FO correspond au cas où ET et y dépendent de la température et sont alors calculés
pour la température du point de Gauss courant.
Le module d'Young E et le coefficient de Poisson sont ceux fournis sous les mots clés facteurs
ELAS ou ELAS_FO.
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Dans ce cas la courbe de traction est la suivante :
L
ET
y
E
L
C'est-à-dire :



y
L = E L
si L < E



.

y


y
L = y + ET L -


E si L E
Remarque :
y est la limite d'élasticité (le choix de y incombe à l'utilisateur : elle peut correspondre à la fin
de linéarité de la courbe de traction réelle, ou bien à une limite d'élasticité réglementaire ou
conventionnelle. Quoi qu'il en soit, on utilise ici l'unique valeur définie sous ECRO_LINE).

Lorsque le critère est atteint on a :

( )
L - R p
= 0 ,
donc



L
L - R L -

E = 0,
d'où
E
R(p) =
T E p +
E - E
y .
T
3.1.2 Relation
VMIS_ISOT_TRAC
Les données du matériau sont celles fournies sous le mot clé facteur TRACTION : (SIGM : f), de
l'opérateur DEFI_MATERIAU.
f est une fonction à une ou deux variables représentant les courbes de traction simple. La première
variable est obligatoirement la déformation, la deuxième si elle existe est la température (paramètre
d'une nappe). Pour chaque température, la courbe de traction doit être telle que :
· les abscisses (déformations) sont strictement croissantes,
· la pente entre 2 points successifs est inférieure à la pente élastique entre 0 et le premier point
de la courbe.
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L'interpolation par rapport à la température est effectuée de la façon suivante :
Soit la température considérée, s'il existe k tel que
[
]
k , k +1 où k désigne l'indice des
courbes de traction contenues dans la nappe, on construit point par point la courbe de traction à la
température en interpolant par rapport à les abscisses et les ordonnées des points des deux
courbes de traction extrêmes.

k

k + 1

Si est en dehors des intervalles de définition des courbes de tractions, on extrapole conformément
aux prolongements spécifiés par l'utilisateur dans DEFI_NAPPE [U4.31.03] et selon le principe
précédent.
Remarque :
Il est déconseillé et dangereux d'extrapoler les courbes de traction pour des valeurs de
température très éloignées des températures extrêmes auxquelles sont définies les courbes. Il est
toujours préférable de fournir des courbes de traction pour des valeurs de température encadrant
les températures du calcul.

Si les nombres de points de discrétisation de la courbe de traction à k et k + 1 sont différents, on
interpole entre le dernier point de la courbe la plus pauvre avec tous les points restants de la courbe la
plus riche. En conséquence, il est préférable d'avoir un nombre de points de discrétisation assez
homogène pour les différentes températures.
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Dans tous les cas, la courbe de traction considérée est une fonction linéaire par morceaux :

=
i +1 - i (
)
[
]
i +
- pour
pour i + 1 n.

i
i, i + 1
i +1 - i
n étant le nombre de points d'interpolation avec une extrapolation linéaire, constante ou exclue suivant
le choix effectué dans DEFI_FONCTION par l'utilisateur (cf. [U4.31.02] pour plus de précisions sur
l'extrapolation considérée).

2
y = 1
E


1
2

Le premier point permet de définir :
y = 1
E = 1 .
1
C'est ce module d'Young qui est utilisé dans l'intégration de la relation de comportement.
On a donc pour tout i :

p
i
= -
.
i
i
E
La fonction d'écrouissage est alors :
i +1 - i
R(p) =
(
)
[
]
i +
p - p pour p p
.
p
i
i , pi + 1
i +1 - pi
L'utilisateur doit aussi donner le coefficient de Poisson , et un module d'Young fictif yg(qui ne sert que
pour calculer la matrice de rigidité élastique si le mot clé NEWTON:(MATRICE:'ELASTIQUE') est
présent dans STAT_NON_LINE) par les mots clés :
/ ELAS : (NU : E : E )
/ ELAS_FO : (NU : E : E )
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3.2
Opérateur tangent. Option RIGI_MECA_TANG
Le but de ce paragraphe est de calculer l'opérateur tangent Ki - 1 (option de calcul RIGI_MECA_TANG
appelée à la première itération d'un nouvel incrément de charge) à partir des résultats connus à
l'instant précédent ti -1 .
Pour cela, si le tenseur des contraintes à ti -1 est sur la frontière du domaine d'élasticité, on écrit la
condition :
!f = 0
qui doit être vérifiée (pour le problème continu en temps) conjointement à la condition :
f
= 0
avec :
f
( , p) =
( )
eq - R p .
Si par contre le tenseur des contraintes à ti -1 est à l'intérieur du domaine, f < 0 , alors
l'opérateur tangent est l'opérateur d'élasticité.
Les quantités intervenant dans cette expression sont calculées à l'instant précédent ti -1 , qui sont les
seules connues au moment de la phase de prédiction. On obtient donc :
!
f
f
f
f
f
f
f
=
! +
!
~
p =
! +
!p =
( ~
2 µ ! - 2 µ ! P
) +
!p

p

p

p
f

=
(
f
2 µ ! - 2 µ ! P
) +
!p,

p
f
car est déviateur.
Avec

-
=
= (t
p
p -
,
-
=
= (t , = = p(t et p
= p- = (
p ti-1)
i-1 )
i-1 )
i-1 )
Remarque :
On ne tient pas compte dans cette expression de la variation des coefficients élastiques avec la
température. C'est une approximation, sans conséquence importante, puisque cet opérateur ne
sert qu'à initialiser les itérations de Newton. Par contre, la dépendance de l'opérateur tangent par
rapport aux déformations thermiques est bien pris en compte au niveau de l'algorithme global
[R5.03.01].

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3 ~

3 ~

On a alors :

! - 2µ!
'
p
R
- (p)p = 0
2
2
!
eq
eq
(3 µ) (~ ~
. !)
ce qui conduit à : !p =
donc
'

3 µ + R (p
eq
)


(~ ~
. !)
~



si


2
=
-
=
p
,
f ( , p)
R p
0
!
'

= 2 3 µ + R (p)
eq
( )
eq



0 ,
si
- R p < 0
eq

( )


~
!
p
= K
+ 2 µ
-
ij
!kk ij

(!ij !ij)
Remarque :
L'information -
-
eq - R( p ) = 0 est conservée sous forme d'une variable interne qui vaut 1
dans ce cas et 0 si -
-
eq < R( p ) .
L'opérateur tangent lie le vecteur de déformations virtuelles * à un vecteur de contraintes virtuelles
*.
La matrice de rigidité tangente s'écrit pour un comportement élastique :

" "
(K 1 1 P)
=
+
et pour un comportement plastique :

" "
(K 1 1 P C s s
p
)
=
+
-

avec s le vecteur des contraintes déviatoriques associé à - défini par :
sT
= ( ~- - -
-
-
-
, ~ , ~ ,
~
2
,
~
2
,
~

2
11 22 33
12
23
31)
et :
(3 µ)2
1
Cp = ( 2 3 +

µ
'
eq )
R


si -
eq - R( -
1
p )

= 0
= 0 sinon
Dans le cas du premier incrément de chargement, donc si l'état à l'instant précédent correspond à un
état initial non contraint, l'opérateur tangent est identique à l'opérateur d'élasticité.
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3.3
Calcul des contraintes et des variables internes
La décomposition des déformations permet d'écrire :
= p + ( - ) + th
A 1
Soit, en prenant les parties sphériques et déviatoriques :
~

p

~ = +

th
= 0

car
~
.

tr
tr =

tr
th






car tr p
= 0.
K
3 +
Par discrétisation implicite directe des relations de comportement pour l'écrouissage isotrope, on
obtient alors :
3
-
-
~
~
~
~
~
+
2 µ
2 µ
(

)
2 µ
-
-
p
-
~
-
+
= 2
(- +
)
2 µ
eq
3 K
tr =
tr -
th
-
+ 3 K tr
- 3 K tr
3 K
(- +
) - R( -
p + p
) 0
eq
p

= 0 si (- +
) < R p
p

eq
( - + )
p
0
si (- +
)
= R p
p

eq
( - + )
On définit, pour simplifier les notations, le tenseur e tel que :
~
µ
e
2
~ -
~

=
+ 2 µ
e
-
et tr = tr .
2 µ
Deux cas se présentent :
·
(-
)
R( -
+
<
p + p

eq
)
dans ce cas
p
0 soit ~
~
= - ~
~ e
=
+ =
donc
(~e ) < R p-
eq
( )
·
(-
)
R( -
+
=
p + p

eq
)
dans ce cas
p 0
donc
(~e ) R p-
eq
( )
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/01/001/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Intégration des relations élasto-plastiques
Date :
20/03/01
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ, P. MIALON
Clé :
R5.03.02-C Page :
14/26
On en déduit l'algorithme de résolution :
·
~
si
e R p- alors p
0
~
~ -
~
~
soit
=

e
=
+ =
eq
( )
· si
~
eeq > R p-
( )
alors il faut résoudre :
~
~
3


- + ~
e = ~ - + ~ + 2 µ p
2
( +
)eq
donc en factorisant ~ -
~
+ et en prenant la valeur équivalente de Von Mises

3
2
p


e
µ

= +

-
1



eq


2 ( +
) (
)eq
eq

+
-
soit :
e = R p- + p
+ 3
p

eq
(
) µ
car :

-
eq
= ( +
)
= R(p + p
)
eq
C'est une équation scalaire en p, linéaire ou non suivant R(p). p est obtenu analytiquement, car
R est une fonction linéaire par morceaux.
· Dans le cas où l'écrouissage est linéaire (relation VMIS_ISOT_LINE), on obtient directement :
e -
p =
eq
y - R' p-
R' + 3 µ
avec :
E E
R'
=
T .
E - ET
· Dans le cas où l'écrouissage est donné par une courbe de traction, on tire parti de la linéarité
par morceaux pour déterminer exactement p voir [§An1].
Une fois p déterminé, on calcule par :
e
~
eq - 3 µ p

-
~
+
=
. ~



e
eeq
et
tr(- +
) = tr e .
Les options RAPH_MECA et FULL_MECA effectuent toutes deux le calcul précédent, qui explicite le
calcul de R un
( )
n
( )
n
n
i . On remarque qu'en réalité, R ui
= QT i i est calculé non en fonction
n
de uni , mais de i -1 et ui .
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Remarque :
Cas particulier des contraintes planes.
Le modèle de Von Mises à écrouissage isotrope (VMIS_ISOT_LINE ou VMIS_ISOT_TRAC) est
également disponible en contraintes planes, c'est à dire pour les modélisations C_PLAN, DKT,
COQUE_3D, COQUE_AXIS, COQUE_D_PLAN, COQUE_C_PLAN, TUYAU, TUYAU_6M..
Dans ce cas, le système à résoudre comporte une équation supplémentaire. Ce calcul est détaillé en
annexe 2.
3.4
Opérateur tangent. Option FULL_MECA
L'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente Ki à chaque itération. L'opérateur
tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent (on note
pour simplifier : ~
= ~
- + ~
, p = p- + p ) et on écrit les expressions seulement dans le
cas isotherme.
· Si le tenseur des contraintes est sur la frontière du domaine, f
= 0 alors on a, en
différentiant l'expression de la loi de normalité en ~
~ -
~
= + :
3
~
~
~

: ~

p
~
~



3

2 µ = 2 µ


2 µp
p

p

.~
-
=
+
-

2


eq

2
3
eq
eq


p ~
~ représentent des accroissements infinitésimaux autour de la solution du
problème élastoplastique incrémental obtenue précédemment.
Comme :
3 ~
: ~

'
= R (p) p
2 eq
en effectuant le produit tensoriel de la première équation par ~
on a :
2 µ ~ : ~ ~

- : ~ = 2 µ .
p ,
eq
en éliminant p des deux dernières équations :
~
~
2 µ : ~

: ~
=
3 µ .
1 + '
R (p)
· Si par contre si le tenseur des contraintes est à l'intérieur du domaine, f
< 0, alors
l'opérateur tangent est l'opérateur d'élasticité.
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En exprimant p et ~ : ~
dans la première équation, on obtient :
3 µ p
2 µ ~ -
~ =

~ + C .p(~ : ~) ~,

+
eq
avec :
9 2
µ
R' (p) p

1
C
=
1
2
-

p





R'
+ 3 µ
eq
eq
(p)
~
La partie positive ( : ~
) permet de regrouper en une seule équation les deux conditions :
+
· soit
f
< 0 , ce qui implique p = 0
· soit f
= 0
On obtient alors :
2 µ
C

~

~
p (~ : ~) ~
=
-
+
a
a
en posant :
3 µ p

a = 1 + R(p + p
)
L'opérateur tangent lie le vecteur de déformations virtuelles * à un vecteur de contraintes virtuelles
*.
La matrice de rigidité tangente s'écrit pour un comportement élastique :

" "
(K 1 1 P)
=
+
et pour un comportement plastique :


C
" "
p

K 1 1
P
s

s
=
+
-


a
a

avec s le vecteur des contraintes déviatoriques associé à - défini par :
sT
= ( ~- - -
-
-
-
, ~ , ~ ,
~
2
,
~
2
,
~

2
11 22 33
12
23
31)
et :
1
~
si conduit à une plastification et . ~
0
= 0 sinon
On constate que l'opérateur tangent au système issu de la discrétisation implicite diffère de l'opérateur
tangent au problème en vitesse (RIGI_MECA_TANG). On le retrouve en faisant : p = 0 dans les
expressions de C et a .
p
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3.5
Variables internes produites
Les relations de comportement VMIS_ISOT_LINE et VMIS_ISOT_TRAC produisent deux variables
internes : p et (utiles pour le calcul de l'opérateur tangent).
4
Relation de Von Mises à écrouissage cinématique linéaire
4.1
Expression de la relation de comportement
Cette relation est obtenue par le mot clé VMIS_CINE_LINE du mot clé facteur COMP_INCR.
Elle s'écrit :

~
~
~
- X
3
-
·
3
X
$%'
P


!
=
!p
- 1
A

2
(
=
p
=
-
-
- X )
!
th
2
- X
eq
(
)
!
!
eq

X = C p
th = (T - T Id
ref )
( -
éq 4.1-1

X) -
0
eq
y

!p = 0 si ( - X) -
0
eq
y

!p 0 si ( - X) -
= 0
eq
y

y est la limite d'élasticité (le choix de y incombe à l'utilisateur : elle peut correspondre à la fin de

linéarité de la courbe de traction réelle, ou bien à une limite d'élasticité réglementaire ou
conventionnelle... Quoi qu'il en soit, on utilise ici l'unique valeur définie sous ECRO_LINE).
C est le coefficient d'écrouissage déduit des données par un essai de traction simple.
Dans ce cas (tenseur de contraintes uniaxial, tenseur de déformations plastiques isochore et
orthotrope) :



X
0
0
L
0



0
L




X
= 0 0
0
X = 0
- L
0

2


0 0 0


X
0
0
- L

2
(
3
- X)
=
X
L -
eq
L
2
P
L
X
C
C
L
=
L =
L -


E
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L
ET
y
E
L
Les données matériaux sont celles fournies sous le mot clé facteur ECRO_LINE ou ECRO_LINE_FO de
l'opérateur DEFI_MATERIAU :
/ ECRO_LINE ( D_SIGM_EPSI : ET SY : y )
/ ECRO_LINE_FO ( D_SIGM_EPSI : ET SY : y )
ECRO_LINE_FO correspond au cas où ET et y dépendent de la température et sont alors calculés
pour la température du point de Gauss courant.
Le module d'Young E et le coefficient de Poisson sont ceux fournis sous les mots clés facteurs ELAS
ou ELAS_FO.
y

y
Pour


L >

E
L
= y + ET L -

E ,
mais on a également :
3


L -
X L = y

2


L
X L = C L -



E

d'où, en éliminant XL et en identifiant :
E E
C = 2
T .
3 E - ET
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4.2
Opérateur tangent. Option RIGI_MECA_TANG
Le but de ce paragraphe est de calculer l'opérateur tangent Ki - 1 (option de calcul RIGI_MECA_TANG
appelée à la première itération d'un nouvel incrément de charge) à partir des résultats connus à
l'instant précédent ti -1 .
Pour cela, si le tenseur des contraintes à ti -1 est sur la frontière du domaine d'élasticité, on écrit la
condition :
!f = 0
qui doit être vérifiée (pour le problème continu en temps) conjointement à la condition :
f
= 0
avec
f = f ( - -
X ) = ( -
-
, ,
-
- X ) -
eq
y
Si par contre le tenseur des contraintes à ti -1 est à l'intérieur du domaine, f
< 0, alors
l'opérateur tangent est l'opérateur d'élasticité.
On pose :

-
-
1

0

dev
~ -
-
si ( - X ) -
= (information donnée par la variable interne )


X et
eq
y
=
-
= 0 sinon
Le problème en vitesse s'écrit dans ce cas :


2
1 3 2 µ (~ - X) ~
. !) (~ - X)




si
- X -
= 0
p


( )
!
y
= 2 µ 2
C + 2 µ
y



0
si ( - X) - < 0
y

eq

~
!
p

= K + 2 µ -
ij
!kk ij

(!ij !ij )
L'opérateur tangent lie le vecteur de déformations virtuelles * à un vecteur de contraintes virtuelles
*.
La matrice de rigidité tangente s'écrit pour un comportement élastique :

" "
(K 1 1 P)
=
+
et pour un comportement plastique :

" "
(K 1 1 P C s s
p
)
=
+
-

avec s le vecteur des contraintes déviatoriques associé à dev défini par :
sT =
dev dev dev
dev
dev
dev
(
)
11 , 22 , 33 ,
2 12 , 2 23 , 2 31 .
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20/26
et :
2
2
µ
1
C


p
= 3
.
2 y 2 µ + C
Dans le cas du premier incrément de chargement, donc si l'état à l'instant précédent correspond à un
état initial non contraint, l'opérateur tangent est identique à l'opérateur d'élasticité.
4.3
Calcul des contraintes et variables internes
La discrétisation implicite directe des relations continues conduit à résoudre :


~ -
~
~
~
- X
p


3

2
µ
= 2 µ +
-

-
=
2 µ p

2 µ
2 µ
2
y


C
X =
-
X
-
+ C p
(
C
-

X)
eq
y
p

= 0 si ( - X) <
eq
y

p

0 sinon

tr(
K
- +
)
3
=
tr -
tr
tr
-
+ 3 K
- 3 K th
3 K

On pose encore :
~
2 µ
C
e
~ -
~

=
-
2 µ
X
-
+

-
.
2 µ
C-
La première équation s'écrit aussi :

2
~
~
µ

3
~
X
-
~
-
2 µ +
p
-
= +
2 µ

2 µ

2
y
C
en retranchant X
=
X- + C
p

-
a chaque terme, on obtient :
C
2
~
~
µ
C
3
~
X
-
-
~
-
2 µ
+
X
X
p
C
P

- -
-
= - +
2 µ
+
2 µ
C
2
y
ou encore, en utilisant la loi d'écoulement :
~

3
p

e
= (~

- X)1
+
(2 µ + C )

2
y
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Date :
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21/26
On obtient encore une équation scalaire en p en prenant les valeurs équivalentes de Von Mises :
3
eeq = y +
(2 µ + C ) p

2
ce qui donne directement :
e
-
p
eq
y
= 3(2µ+C)
2
2 µ
Et est obtenu par : ~
~ -
~
=

2 µ
2 µ
p
-
+

-


2 µ
En remarquant que :
3
~
~
X
3
e
p
-

= p
= p
2

2
e

y
eq
car
~
~
- X
e
=

e
y
eq
on a donc :
e
2 µ
2 µ
(eq -y)
~
~ -
~
=
+ 2 µ
-
+ .~




e
-
2 µ
2 µ + C
eeq
Les variables internes X sont calculées par :
~ e
C
C
3

X =
X-
p
-
C
C p

-
+
=
X
-
+
C
C
e
2
eq
Remarque :
Cas particulier des contraintes planes.
La prise en compte directe de l'hypothèse des contraintes planes dans l'intégration du modèle de Von
Mises à écrouissage cinématique linéaire n'a pas été faite dans le Code_Aster.
Par contre, pour prendre en compte cette hypothèse, c'est à dire pour utiliser VMIS_CINE_LINE avec
les modélisations C_PLAN, DKT, COQUE_3D, COQUE_AXIS, COQUE_D_PLAN, COQUE_C_PLAN, TUYAU,
TUYAU_6M, on peut utiliser la méthode de condensation statique (due à R. de Borst [R5.03.03]) qui
permet d'obtenir un état plan de contraintes à convergence des itérations globales de l'algorithme de
Newton.
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J.M. PROIX, E. LORENTZ, P. MIALON
Clé :
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22/26
4.4
Opérateur tangent. Option FULL_MECA
n
L'option FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente Ki à chaque itération. L'opérateur
tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent (on note
pour simplifier : ~
= ~
- + ~
, p = p- + p ) et on écrit les expressions seulement dans le
cas isotherme.
1
~
si p > 0 et ( - X). ~


0
On pose dev
= ~
- X et = 0sinon
L'opérateur tangent lie le vecteur de déformations virtuelles * à un vecteur de contraintes virtuelles
*.
Alors la matrice de rigidité tangente s'écrit :

" "
(K 1 1 a P C s s
2
p
)
=
+
-

avec s le vecteur de contraintes associé à dev par :
sT =
dev dev dev
dev
dev
dev
(
)
11 , 22 , 33 ,
2 12 , 2 23 , 2 31 .
et :
2
2
µ
1
C


p
= 3
.a
2
1
y 2 µ + C
a1 =
1
2
( µ + C) p
1 + 32
y
3 p
a

2
= a1 1 + C

2

y
4.5
Variables internes produites
Les variables internes sont au nombre de 7 :
· le
tenseur
X stocké sur 6 composantes,
· la variable scalaire .
5 Bibliographie
[1]
P. MIALON, Eléments d'analyse et de résolution numérique des relations de l'élastoplasticité.
EDF - Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches - Série C - N° 3 1986, p. 57 - 89.
[2]
E.LORENTZ, J.M.PROIX, I.VAUTIER, F.VOLDOIRE, F.WAECKEL «
Initiation à la
thermo-plasticité dans le Code_Aster. Manuel de référence du cours
», Note
EDF/DER/HI-74/96/013
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Annexe 1 Relation VMIS_ISOT_TRAC : compléments sur
l'intégration
La discrétisation implicite de la relation de comportement conduit à résoudre une équation en p [§5].
eeq - 3 µ p - R p- + p
(
) = 0.
On résout exactement l'équation en tirant parti de la linéarité par morceaux.
On examine d'abord si la solution pourrait être en dehors des bornes des points de discrétisation de la courbe
R(p), c'est-à-dire, si p p est une solution possible.
n
Pour cela :
· si
e +
p-
3
- p -
0
eq
µ(
n )
n
alors on est dans la situation suivante :
eq
R( p- + p)
eeq + 3µp -
(
) - 3µ(p - + p) = 0
p
p-
n
+ p
-
si le prolongement à droite est linéaire alors :
soit
-
n


n - 1
1
=
H 1 =
1 +
p-
1
- p
n -
n -
n -
n - (
n - 1 )
p - p
n
n - 1
alors :
e
- H
p
eq
n
=
- 1

3
1
µ
-
+
n
-
si le prolongement est constant :
e -
p =
eq
n
3 µ
-
sinon un message d'erreur est émis,
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24/26
· sinon, la solution p est à chercher dans l'intervalle [p , p
tel que :
i
i + 1 ]

e
3
1 >
+
p- - p
i+
eq
µ(
i+1 )
et

e

+
p-
3
- p
i
eq
µ(
i )
e
-
eq + 3 µ(p - i
p ) = 0
e
-
eq + µ
3 (p - p) = 0
e
-
eq + 3 µ( p - i
p + ) = 0
1
p
p
p
i
i+1
+1 -
i


i
=
H
=
+
p- - p
pour i
= 1 à n - 1
i
i
i i (
i )
p +1 - p
i
i
alors, p est tel que :
e
- H
p
eq
i
=
et
p- + p
,
3
[p p
i
i + 1 ]
+ µ
i
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25/26
Annexe 2 Ecrouissage isotrope en contraintes planes
Dans ce cas, le système à résoudre comporte une équation de plus :
= 0 .On obtient alors le
33
système suivant :
~ -
~
3
+
2 µ
~ - ~ =
2 µ p
2
(- +
)eq
tr = 3 K tr
(- +
) - R( -
p + p) 0
eq
p = 0 si (- +
) < R
eq
( -p + p)
p 0
si (- +
)
= R
eq
( -p + p)

= 0
33
Avec cette hypothèse, n'est pas entièrement connu :
n
33 ne peut être calculé uniquement à partir de ui .
Remarque :
Dans le cas des modélisations autres que C_PLAN, donc par exemple pour les modélisations de coques
(DKT, COQUE_3D), les hypothèses sur les termes de cisaillement transverses
et sont définies
13
23
par ces modélisations (en général, le comportement lié au cisaillement transverse est linéaire, élastique et
découplé des équations ci-dessus). Ces termes n'entrent donc pas en ligne de compte ici.

On pose =
q +
y avec q entièrement connu à partir de uni et de l'élasticité, donc
0 0 0
q




q
q
y
33
= -
11 +
et
=
- (
22
0 0 0 est inconnu.
1
)

0 0 y
Par rapport au système précédent, il y a une inconnue supplémentaire, y .
· Si
(~- ~


)
R( -
+
<
p + p
) alors p
= 0 donc 2 µ ~ = ~,
eq
c'est-à-dire y = 0.
· Sinon, la technique de résolution consiste à exprimer y en fonction de p. On obtient alors une
équation scalaire non linéaire en p.
2 µ
On pose:' ~ e
~ -
~

2 µ
-

q
=
+
. De la même façon que pour l'intégration hors contraintes planes, on
2 µ
obtient :
y
~
~
~-
~
3 µ p



2 µ
1

e +


= +
+
.


R(p + p
)
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/01/001/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Intégration des relations élasto-plastiques
Date :
20/03/01
Auteur(s) :
J.M. PROIX, E. LORENTZ, P. MIALON
Clé :
R5.03.02-C Page :
26/26
Mais cette expression fait intervenir une inconnue supplémentaire y : En particulier :
y
~
~
~

-
~

3 µ p
+ 2



33
=
+
33
1
e
µ
33



33





+

R(p + p
)
or y
~
33 = 2 y
3
3 K+
et tr -
( +
) = 3 K tr q + 3 K+ y + 3 K- tr - - 3 K+ th.
Comme :
tr + -
(
)
tr + -
(
)
~
-
-
33 + ~
33 = 33 + 33 -
= 0 -
.
3
3
On obtient une équation liant y et p :

~

3 µ p


-
tr e - 3 K y
e
+ 2 µ 2 y =
1 +
33
3

R(p + p)
3

avec
3 K
tr e = 3 K- tr - + 3 K tr q - 3 K th.
Soit :
4 µ

3 µ p
~
tr
3 µ

e
e
p
y
+ K1 +


1


3
-

-




R( p + p)
33
= -
-
+
3


(Rp + p)
en remarquant que :
~
tr
tr
e
e
e
e
33
= 33 -
= 0 -
3
3
et en explicitant µ, K , on obtient :
(31- 2)p
y
e
=
~
E p + (
2 1 - ) R(p + p) 33
à reporter dans l'équation en p (identique aux cas précédents)
~
e + 2 µ ~ y
(
) -3µ p- R p- + p
(
) = 0.
eq
1

y
-
y


y s'exprime en fonction de p puisque :
~
=

- 1

3


2
L'équation scalaire en p ainsi obtenue est toujours non linéaire. Cette équation est résolue par une méthode
de recherche de zéros de fonctions, basée sur un algorithme de sécante (cf. [R6.03.02]). Une fois la solution
p connue on calcule y puis .
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-75/01/001/A

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