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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document R3.07.03
Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4g
Résumé :
Ces éléments de plaque sont destinés aux calculs en petites déformations et petits déplacements de structures
minces courbes ou planes. Ce sont des éléments plans qui ne prennent pas en compte la courbure géométrique
des structures, contrairement aux éléments de coque qui sont courbes : il en résulte des flexions parasites qui
peuvent être réduites en utilisant plus d'éléments de façon à pouvoir approcher correctement les géométries
courbes. La formulation en est donc simplifiée et le nombre de degrés de liberté réduit. Ces éléments sont
réputés comme étant parmi les plus précis pour le calcul des déplacements et pour l'analyse modale.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 4
2 Formulation ............................................................................................................................................ 5
2.1 Géométrie des éléments plaques [bib1].......................................................................................... 5
2.2 Théorie des plaques ........................................................................................................................ 6
2.2.1 Cinématique ........................................................................................................................... 6
2.2.2 Loi de comportement ............................................................................................................. 7
2.2.3 Prise en compte du cisaillement transverse [bib2]................................................................. 8
2.2.3.1 La théorie dite de Hencky .......................................................................................... 8
2.2.3.2 La théorie dite de Reissner (DST, DSQ et Q4g)........................................................ 9
2.2.3.3 Equivalence des approches Hencky-Love-Kirchhoff et Reissner .............................. 9
2.2.3.4 Remarques ................................................................................................................ 9
3 Principe des travaux virtuels ................................................................................................................ 10
3.1 Travail de déformation................................................................................................................... 10
3.1.1 Expression des efforts résultants ......................................................................................... 10
3.1.2 Relation efforts résultants-déformations .............................................................................. 10
3.1.3 Energie interne élastique de plaque..................................................................................... 11
3.1.4 Remarques........................................................................................................................... 12
3.2 Travail des forces et couples extérieurs........................................................................................ 12
3.3 Principe du travail virtuel ............................................................................................................... 13
3.3.1 Cinématique de Hencky ....................................................................................................... 13
3.3.2 Cinématique de Love-Kirchhoff............................................................................................ 14
3.3.3 Principales conditions aux limites rencontrées [bib1]........................................................... 16
4 Discrétisation numérique de la formulation variationnelle issue du principe du travail virtuel ............. 17
4.1 Introduction.................................................................................................................................... 17
4.2 Discrétisation du champ de déplacement ..................................................................................... 18
4.2.1 Approche Q4g ...................................................................................................................... 19
4.2.2 Approche DKT, DKQ, DST, DSQ......................................................................................... 20
4.3 Discrétisation du champ de déformation....................................................................................... 21
4.3.1 Discrétisation du champ de déformation membranaire : ..................................................... 22
4.3.2 Discrétisation de la distorsion transverse............................................................................. 22
4.3.2.1 Pour les éléments Q4g ............................................................................................ 22
4.3.2.2 Pour les éléments du type DKT,DST ....................................................................... 24
4.3.3 Discrétisation du champ de déformation de flexion : ........................................................... 27
4.3.3.1 Pour les éléments Q4g ............................................................................................ 27
4.3.3.2 Pour les éléments du type DKT, DST : .................................................................... 28
4.4 Matrice de rigidité .......................................................................................................................... 30
4.4.1 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments Q4g........................................................ 30
4.4.2 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DKT, DKQ.............................................. 31
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4.4.3 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DST, DSQ ..............................................31
4.4.4 Assemblage des matrices élémentaires ...............................................................................32
4.4.4.1 Degrés de liberté ......................................................................................................32
4.4.4.2 Rotations fictives.......................................................................................................33
4.5 Matrice de masse...........................................................................................................................33
4.5.1 Matrice de masse élémentaire classique..............................................................................33
4.5.1.1 Elément Q4g.............................................................................................................33
4.5.1.2 Eléments du type DKT, DST.....................................................................................34
4.5.2 Matrice de masse élémentaire améliorée.............................................................................34
4.5.2.1 Eléments du type DKT..............................................................................................36
4.5.2.2 Eléments du type DST..............................................................................................36
4.5.2.3 Eléments du type Q4g ..............................................................................................38
4.5.2.4 Remarque.................................................................................................................38
4.5.3 Assemblage des matrices de masse élémentaires ..............................................................38
4.5.4 Matrice de masse diagonale lumpée ....................................................................................38
4.6 Intégration numérique pour l'élasticité ...........................................................................................40
4.7 Intégration numérique pour la plasticité .........................................................................................40
4.8 Discrétisation du travail extérieur ...................................................................................................41
4.9 Prise en compte des chargements thermiques .............................................................................43
4.9.1 Thermo-élasticité des plaques..............................................................................................43
4.9.2 Chaînage thermomécanique ................................................................................................45
4.9.3 Cas-test.................................................................................................................................46
5 Implantation des éléments de plaque dans le Code_Aster ..................................................................47
5.1 Description : ...................................................................................................................................47
5.2 Utilisation et développements introduits :.......................................................................................47
5.3 Calcul en élasticité linéaire :...........................................................................................................48
5.4 Calcul en plasticité .........................................................................................................................49
6 Conclusion ............................................................................................................................................50
7 Bibliographie .........................................................................................................................................51
Annexe 1 Plaques orthotropes ................................................................................................................52
Annexe 2 Facteurs de correction de cisaillement transverse pour des plaques orthotropes ou stratifiées53
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1 Introduction
Les éléments de coques et de plaques sont particulièrement utilisés pour modéliser des structures
minces où les rapports entre les dimensions (épaisseur/longueur caractéristique) sont au plus de 1/10.
Ils interviennent donc particulièrement dans des domaines comme le génie civil, les internes de coeur
REP, l'analyse vibratoire..... On se limite au cadre des petits déplacements et des petites déformations.
Contrairement aux éléments de coque, les éléments de plaque plans ne permettent pas de prendre en
compte la courbure géométrique de la structure à représenter et induisent des flexions parasites. Il est
donc nécessaire d'utiliser un grand nombre de ces éléments de façon à approcher correctement la
géométrie de la structure, et ce, d'autant plus qu'elle est courbe. En revanche, on gagne en simplicité
de formulation et le nombre de degrés de liberté est réduit. Par ailleurs, les formulations "Discrete
Shear" (DST, DSQ et Q4g) ou "Discrete Kirchhoff" (DKT et DKQ) de la cinématique, avec ou sans
distorsion transverse respectivement, permettent de bons résultats en termes de déplacements et
d'analyse modale.
La manière dont sont implantés ces éléments dans le Code_Aster ainsi que certaines recettes
d'utilisation sont données au [§5] de la présente note.
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2 Formulation
2.1
Géométrie des éléments plaques [bib1]
Pour les éléments de plaque on définit une surface de référence, ou surface moyenne, plane (plan x y
par exemple) et une épaisseur h(x,y). Cette épaisseur doit être petite par rapport aux autres
dimensions (extensions, rayons de courbure) de la structure à modéliser. La [Figure 2.1-a] ci-dessous
illustre notre propos.
Solide 3D
Z
h
Y
b
X
L
R1
R2
Epaisseur h < L, b, R1, R2
z
y
h
n
x
b
L
Plaque
Figure 2.1-a
On attache à la surface moyenne un repère orthonormé local Oxyz associé au plan tangent de la
structure différent du repère global OXYZ. La position des points de la plaque est donnée par les
coordonnées cartésiennes (x,y) de la surface moyenne et l'élévation z par rapport à cette surface.
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2.2
Théorie des plaques
Ces éléments reposent sur la théorie des plaques en petits déplacements et petites déformations selon
laquelle :
2.2.1 Cinématique
Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires à la surface moyenne restent droites ; les
points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite
dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient
linéairement dans l'épaisseur de la plaque. Si l'on désigne par u,v, w les déplacements d'un point
q(x,y,z) suivant x, y et z, on a ainsi la cinématique de Hencky-Mindlin :
u (x, y,z) u(x, y)
(x, y
y
)
u(x, y)
(x, y
x
x
)
u (x, y,z) = v(x, y) + z- (x, y) = v(x, y) + z (x, y
y
x
y
)
u (x, y,z) w(x, y)
0
w(x, y
z
)
0
où u,v, w sont les déplacements de la surface moyenne et x et y les rotations de cette surface par
rapport aux deux axes x et y respectivement. On préfère introduire les deux rotations
x (x, y) = y (x, y),y (x, y) =
- x (x, y) .
Les déformations tridimensionnelles en tout point, avec la cinématique introduite précédemment, sont
ainsi données par :
xx = exx + zxx
yy = eyy + z yy
2xy = xy = 2exy + 2zxy
2xz = x
2yz = y
où e ,e
et e
xx
yy
xy sont les déformations membranaires de la surface moyenne, x et y les
déformations associées aux cisaillements transverses, et xx , yy , xy les déformations de flexion
de la surface moyenne, qui s'écrivent :
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u
exx = x
v
eyy = y
v
u
2exy =
+
x
y
x
xx = x
y
yy = y
x
y
2 xy =
+
y
x
w
x = x
+ x
w
y = y + y
Remarque :
Dans les théories de plaque l'introduction de x et y permet de symétriser les formulations des
déformations et nous le verrons par la suite les équations d'équilibre. Dans les théories de coque
on utilise plutôt x et y et les couples associés M x et M y par rapport à x et y.
2.2.2 Loi de comportement
Le comportement des plaques est un comportement 3D en "contraintes planes". La contrainte
transversale zz est nulle car considérée comme négligeable par rapport aux autres composantes du
tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement la plus générale
s'écrit alors ainsi :
xx
xx
e
0
xx
xx
yy
yy
e
0
yy
yy
2e , 2
et = 0
xy
= C(,) xy = Ce + zC + C
avec e =
xy
=
.
xy
xz
x
0
0
x
yz
y
0
0
y
où
(
C ,) est la matrice de rigidité tangente locale combinant contraintes planes et distorsion
transverse et représente l'ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.
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Pour des comportements où les distorsions sont découplées des déformations de membrane et de
flexion, (
C ,) se met sous la forme :
H
0
C =
0 H
où
(
H ,) est une matrice 3x3 et (
H ,) une matrice 2x2. On restera dans le cadre de cette
hypothèse.
Pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope, on a ainsi :
1 v
0
0
0
v 1
0
0
0
1 -
v
E
0 0
0
0
C =
2
1 - v2
k 1
( - v)
0 0
0
0
2
k 1
( -
v)
0 0
0
0
2
où k est facteur de correction de cisaillement transverse dont la signification est donnée au
paragraphe suivant.
Remarque :
On ne décrit pas la variation de l'épaisseur ni celle de la déformation transversale zz que l'on
peut cependant calculer en utilisant l'hypothèse précédente de contraintes planes. Par ailleurs
aucune restriction n'est faite sur le type de comportement que l'on peut représenter.
2.2.3 Prise en compte du cisaillement transverse [bib2]
La prise en compte du cisaillement transverse dépend de facteurs de correction déterminés a priori par
des équivalences énergétiques avec des modèles 3D, de façon à ce que la rigidité en cisaillement
transverse du modèle de plaque soit la plus proche possible de celle définie par la théorie de l'élasticité
tridimensionnelle. Deux théories incluant la déformation due à l'effort tranchant existent et sont
présentées dans [bib2].
2.2.3.1 La théorie dite de Hencky
Cette théorie ainsi que celle de Love-Kirchhoff qui en découle immédiatement repose sur la
cinématique présentée au [§2.2.1]. La relation de comportement est habituelle et le facteur de
correction de cisaillement vaut k=1.
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Remarque :
Le modèle de Love-Kirchhoff (DKT et DKQ) : Lorsque l'on ne prend pas en compte les distorsions
transverses x et y dans la théorie de Hencky, le modèle obtenu est celui de Love-Kirchhoff.
Les deux rotations de la surface moyenne sont alors liées aux déplacements de la surface
moyenne par la relation suivante :
w
x = - x
w
y = - y
2.2.3.2 La théorie dite de Reissner (DST, DSQ et Q4g)
La seconde théorie, dite de Reissner, est développée à partir des contraintes. La variation des
contraintes de membrane (xx, yy et xy) est supposée linéaire dans l'épaisseur comme dans le cas de
la théorie de Hencky où cela résulte de la linéarité de la variation des déformations de membrane avec
l'épaisseur. Cependant, alors que l'on suppose, dans la théorie de Hencky, la distorsion constante dans
l'épaisseur et donc les contraintes de cisaillement, ce qui viole les conditions aux limites xz=yz=0 sur
les faces supérieure et inférieure de la plaque du fait de la loi de comportement énoncée au §2.2.2., on
utilise dans le cadre de la théorie de Reissner les équations d'équilibre pour en déduire la variation des
contraintes de cisaillement dans l'épaisseur de la plaque, en respectant notamment les conditions
d'équilibre sur les faces supérieure et inférieure de plaque. L'énergie interne du modèle obtenue après
résolution des équations d'équilibre en 3D, pour de la flexion uniquement, avec la variation des
contraintes planes suivant z, fait apparaître, pour un matériau élastique, une relation entre les efforts
résultants et les rotations et la flèche moyennes. C'est dans cette relation qu'apparaît le facteur de
correction de cisaillement de k=5/6 au lieu de 1 dans la relation qui lie l'effort tranchant à la distorsion
pour une plaque homogène et isotrope. La détermination des facteurs de correction de cisaillement
pour des plaques orthotropes ou des plaques stratifiées est laissée en annexe.
2.2.3.3 Equivalence des approches Hencky-Love-Kirchhoff et Reissner
Si l'on assimile les pentes de la surface moyenne x, y aux moyennes des pentes dans l'épaisseur de
la plaque et la flèche w à la flèche moyenne, la seule différence entre la théorie de Hencky et celle de
Reissner est le coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6 au lieu de 1. Cette différence
est due au fait que les hypothèses de départ sont de nature différente et surtout que les variables
choisies ne sont pas les mêmes. En effet, la flèche sur la surface moyenne n'est pas égale à la
moyenne des flèches sur l'épaisseur de la plaque. Il est donc normal que des relations de
comportement qui font intervenir des variables différentes ne soient pas identiques.
Le fait de devoir résoudre au niveau éléments finis des problèmes en déplacements plutôt que des
problèmes en contraintes par interpolation des déplacements nous amène à utiliser l'approche
équivalente en déplacements du problème de Reissner formulé en contraintes.
2.2.3.4 Remarques
Du fait de l'équivalence précédente on ne présente ici que le modèle en déplacement pour tous les
éléments. Dans les faits les éléments DKT et DKQ reposent sur la théorie de Hencky-Love-Kirchhoff et
les éléments DST, DSQ et Q4 reposent sur la théorie de Reissner.
La détermination des facteurs de correction repose dans le cadre d'une autre théorie, celle de Mindlin,
sur des équivalences de fréquence propre associée au mode de vibration par cisaillement transverse.
On obtient alors k=2/12, valeur très proche de 5/6 pour les éléments DST, DSQ et Q4 dans le cas
isotrope.
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Dans le cadre de la plasticité le problème du choix du coefficient de correction du cisaillement
transverse se pose car l'approche équivalente en déplacements du problème de Reissner formulé en
contraintes fait intervenir la non-linéarité du comportement. On ne peut donc pas en déduire, comme
c'est le cas pour des matériaux élastiques une valeur du coefficient de correction du cisaillement
transverse. La plasticité n'est donc pas développée pour ces éléments.
3
Principe des travaux virtuels
3.1
Travail de déformation
L'expression générale du travail de déformation 3D pour une plaque vaut :
h/2
W
( + + + + d
) V
def = xx xx
yy yy
xy xy
x xz
y yz
S -h/2
où S est la surface moyenne et la position dans l'épaisseur de la plaque varie entre h/2 et +h/2.
3.1.1 Expression des efforts résultants
En adoptant la cinématique du [§2.2.1], on identifie le travail des efforts intérieurs :
W
e N
+ e N + 2e N + M + M + 2 M + T + T )dS
def = ( xx xx
yy
yy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
xy
xy
x x
y y
S
où :
N
M
/2
/2
xx +h xx
xx +h xx
T
h/2
x
+
xz
N = N yy = yy dz ; M = Myy = yyzdz ; T = =
dz .
T
y
yz
-h/2
-h/2
N
-h/2
xy
xy
Mxy
xy
N , N , N
xx
yy
xy sont les efforts résultants de membrane (en N/m) ;
M , M , M
xx
yy
xy sont les efforts résultants de flexion ou moments (en N) ;
T ,T
x
y , sont les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en N/m) ;
3.1.2 Relation efforts résultants-déformations
L'expression du travail de déformation s'écrit aussi :
h/2
h/2
W
[ (
C ,) d
] V
[eCe z
eC
zCe z
2 C C d
] V
def =
=
+
+
+
+
s -h/2
s -h/2
où (
C ,) est la matrice de comportement locale.
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En utilisant l'expression obtenue pour Wdef au paragraphe précédent on trouve la relation suivante
entre les efforts résultants et les déformations :
N = H e + H
m
mf
+h/2
+h/2
+h/2
M = H e + H
2
mf
f avec H
=
Hdz , H
=
Hzdz , H =
H
m
mf
f
z dz
T = H
-h/2
-h/2
-h/2
ct
G11
0
et : Hct =
0
G22
et :
e
xx
xx
x
e = eyy , = yy , =
y
2exy
2xy
Les matrices H ,H et H
m
f
ct sont les matrices de rigidité en membrane, flexion et cisaillement
transverse, respectivement. La matrice Hmf est une matrice de rigidité de couplage entre la
membrane et la flexion.
Pour un comportement élastique homogène isotrope de plaque ces matrices ont pour expression :
1 v
0
3
1 v
0
Eh
Eh
kEh 1
0
H
=
v 1
0
, H =
v 1
0
, H
m
f
ct =
, et
1- 2
v
1-
v
12 1
( - 2
v )
1-
v
2 1
( + v) 0
1
0 0
0 0
2
2
Hmf = 0 car il y a symétrie matérielle par rapport au plan z=0.
Pour un matériau orthotrope, le comportement est donné en annexe.
3.1.3 Energie interne élastique de plaque
Compte tenu des remarques précédentes, l'énergie interne élastique de la plaque s'exprime plus
habituellement pour ce genre de géométrie de la façon suivante :
1
int =
[e(H e
m + H
)
mf
+ (H e
mf + H )
f
+ H
]dS .
2
ct
S
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3.1.4 Remarques
Les relations liant H ,H , H
à H et H
à H
m
f
mf
ct
sont valides quelle que soit la loi de
comportement élastique, avec déformations anélastiques (thermoélasticité, plasticité, ....).
Pour une plaque constituée de N couches orthotropes en élasticité, les matrices
H ,H ,H
et H
m
f
mf
ct s'écrivent :
N
N
N
N
1
H = h H ,H
3
3
i
= h H ,H
i i
= (zi+1 - z )H ,H
i
= h H
m
i
mf
i
f
i
ct
i
i
3
i=1
i=1
i=1
i=1
1
où : h = z +1 - z , = (z +1 + z
i
i
i
i
i
i ) et H , H
et
2
i
i
représentent les matrices H
H pour la couche
i.
L'homogénéisation pour des coques multicouches peut conduire à des matrices de rigidité de
membrane et de flexion non proportionnelles du type :
C
C
0
D
D
0
1111
1122
1111
1122
G11
0
H = C
C
1122
2222
0 ,H = D
D
1122
2222
0 ,H
m
f
ct =
0
G22
0
0
C1212
0
0
D1212
pour lesquelles on ne peut retrouver des valeurs équivalentes du module d'Young et de l'épaisseur
permettant de retrouver les expressions classiques de la rigidité, cf.[bib7].
3.2
Travail des forces et couples extérieurs
Le travail des forces et couples s'exerçant sur la plaque s'exprime de la manière suivante :
+h/2
+h/2
W
F . d
U V
F . d
U S
F . d
U zds
ext =
v
+
s
+
c
S -h/2
S
C -h/2
où F ,F , F
v
s
c sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s'exerçant sur la plaque,
respectivement. C est la partie du contour de la plaque sur laquelle les efforts de contour Fc sont
appliqués. Avec la cinématique du [§2.2.1], on détermine ainsi :
W
( f u + f v + f w + c + c )dS + ( u + v + w + + )ds
ext =
x
y
z
x x
y y
x
y
z
x x
y y
S
C
= ( f u + f v + f w + c - c )dS + ( u + v + w + - )ds
x
y
z
y x
x y
x
y
z
y x
x y
S
C
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· où sont présents sur la plaque :
f , f , f
x
y
z : forces surfaciques agissant suivant x, y et z
+h/2
f =
. dz
i
+
F e
F .e
v
i
s
i où ex et e y sont les vecteurs de base du plan tangent et e z leur
-h/2
vecteur normal.
c ,c
x
y : couples surfaciques agissant autour des axes x et y .
+h/2
h
c =
ze F e dz
i
+ ± e
(
).
(
F ).e
z
v
i
z
s
i où e ,e , e sont les vecteurs de base
2
x
y
z
-h/2
précédemment définis.
· et où sont présents sur le contour de la plaque :
x ,y ,z : forces linéiques agissant suivant x, y et z
+h/2
i =
. dz
F e
c
i
où ex, ey, ez sont les vecteurs de base précédemment définis.
-h/2
x , y : couples linéiques autour des axes x et y .
+h/2
i =
zez F e dz
(
).
c
i
où e ,e ,e
x
y
z sont les vecteurs de base précédemment définis.
-h/2
Remarque :
Les moments par rapport à z sont nuls.
3.3
Principe du travail virtuel
Il s'écrit de la manière suivante : W
= W
ext
def pour tous déplacements et rotations virtuels
admissibles.
3.3.1 Cinématique de Hencky
Avec cette cinématique, il en résulte après intégration par parties du travail de déformation les
équations d'équilibre statique des plaques suivantes :
N
+ N
+ f
xx,x
xy,y
x = 0 ,
· Pour les efforts : N
+ N
+ f
yy,y
xy,x
y = 0 ,
T
+ T
+ f
x,x
y,y
z = 0.
M
+ M
- T + c
xx,x
xy,y
x
y = 0 ,
· Pour les couples : M
+ M
- T - c
yy,y
xy,x
y
x = 0.
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ainsi que les conditions aux limites suivantes sur le contour C de S :
N n + N n
xx x
xy y = x ,
u = u,
N n + N n
yy y
xy x = y ,
v = v,
T n + T n
x x
y y = z
,
ou w = w,
M n + M n
xx x
xy y = y ,
x = y ,
M n + M n
yy y
xy x = - x .
y = -x .
où nx et ny sont les cosinus directeurs de la normale à C dirigée vers l'extérieur de la plaque.
L'interprétation physique de ces efforts (N, T et M) à partir des équations précédentes est donnée
ci-dessous :
z
Ty
Myy
P
P
Tx
Nyy
Myx
y
Nyx
Nxy
Mxx
x
Nxx
Mxy
Figure 3.3.1-a : Efforts résultants pour un élément de plaque
Remarque :
N , N
xx
yy représentent les efforts de traction et N xy le cisaillement plan. M xx et M yy
représentent les couples de flexion et M xy le couple de torsion. Tx et Ty , sont les efforts de
cisaillement transverse.
3.3.2 Cinématique de Love-Kirchhoff
On rappelle que dans le cadre de cette cinématique, on a la relation suivante liant la dérivée de la
w
x = - x
flèche aux rotations :
w . Après une double intégration par parties du travail de déformation,
y = - y
on obtient les équations d'équilibre statique suivantes :
N
+ N
+ f
xx,x
xy,y
x = 0 ,
· Pour les efforts de membrane : N
+ N
+ f
yy,y
xy,x
y = 0 ,
· Pour les efforts de flexion et de cisaillement transverse :
M
+ 2 M
+ M
+ f + c
- c
xx,xx
xy,xy
yy,yy
z
y,x
x,y = 0 ,
M
+ M
- T + c
xx,x
xy,y
x
y = 0 ,
M
+ M
- T - c
yy,y
xy,x
y
x = 0.
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ainsi que les conditions aux limites sur le contour C et aux points anguleux O du contour C de S :
N n + N n
xx x
xy y = x
,
u = u,
N n + N n
yy y
xy x = y ,
v = v,
T + M
n
ns,s = z
- n,s ,
ou w = w,
Mnn = s ,
= -w
n
n = s .
,
M (O+) - M (O-) = -[ (O+) - (O
ns
ns
n
n
-)].
T = T n + T n
n
x x
y y ,
avec M
= M n2 + 2 M n n + M n2
nn
xx x
xy x y
yy y ,
.
M
= - M n n + M (n2 - n2 ) + M n n
ns
xx x y
xy
x
y
yy x y .
Surface moyenne S
s
Contour
Mns(+)
s Mns(-)
Discontinuité
Figure 3.3.2-a : Condition aux limites avec points anguleux pour un élément de plaque
Remarque :
La cinématique de Love-Kirchhoff implique que sur le contour de la plaque l'effort de cisaillement
transverse est lié au moment de torsion. On constate que l'ordre des équations d'équilibre de
flexion est plus élevé qu'avec la cinématique de Hencky. Ainsi, choisir la cinématique de
Love-Kirchhoff revient à augmenter le degré des fonctions d'interpolation car il faut une régularité
plus grande pour les termes de flèche par rapport aux termes de membrane du fait de la présence
de dérivées secondes de la flèche dans l'expression du travail des déformations. Aucun élément
de plaque du Code_Aster n'utilise cette cinématique. On peut donc avoir des écarts entre les
résultats obtenus avec les éléments du Code_Aster et des résultats analytiques obtenus en
utilisant la cinématique de Love-Kirchhoff pour des structures à contours anguleux.
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3.3.3 Principales conditions aux limites rencontrées [bib1]
s
Surface moyenne S
y
nx
Contour
x
ny
n
s, s
n, n
Figure 3.3.3-a : Condition aux limites pour un élément de plaque
Les conditions aux limites fréquemment rencontrées sont regroupées dans le tableau qui suit. Elles
sont données pour la cinématique de Hencky dans le repère défini par s et la normale extérieure à la
plaque :
Encastrement
Support simple
Bord libre
Symétrie par rapport à
Antisymétrie par
un axe s
rapport à un axe s
u = 0,
un = 0,
un = 0,
us = 0,
v = 0,
w = 0,
w = 0,
s = 0.
w = 0,
n
= 0.
n
= 0.
s
= 0,
n
= 0.
=
=
s = 0 ,
s
0 ,
s
0 ,
n = 0,
= 0,
= 0,
s = 0 .
n
z
s = 0.
z = 0,
n = 0.
s = 0,
n = 0
u = un + vn ; u = -un + vn
n
x
y
s
y
x ,
= n + n ; = - n + n
n
x x
y y
s
x y
y x ,
= n2 +
2
n n + n2
n
x x
xy x y
y y ,
avec : = - n n + (n2 - n2 ) + n n
s
x x y
xy
x
y
y x y ,
= n2 + 2 n n + n2
n
x x
xy x y
y y ,
= - n n + (n2 - n2 ) + n n
s
x x y
xy
x
y
y x y .
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s =
- ,
Remarque : on a
n .
n = s .
4
Discrétisation numérique de la formulation variationnelle
issue du principe du travail virtuel
4.1 Introduction
En exploitant la loi de comportement, le travail virtuel des efforts intérieurs s'écrit (avec Hmf =0
jusqu'au [§4.4], ce qui n'enlève rien à la généralité des résultats suivants, mais permet d'alléger les
notations) :
Wint = eH e + H + H
m
f
ct dS
(
)
S
u
,x
x,x
w,x + x
avec : e =
v,y , =
y,y
, =
.
w,y + y
u,y + v,x
x,y + y,x
Il en résulte que les éléments de plaque sont des éléments à cinq degrés de liberté par noeud. Ces
degrés de liberté sont les déplacements dans le plan de l'élément u et v , hors plan w et les deux
rotations x et y .
Les éléments DKT et DST sont des éléments isoparamétriques triangulaires. Les éléments DKQ, DSQ
et Q4 sont des éléments isoparamétriques quadrilatéraux. Ils sont représentés ci-dessous :
4
3
3
1
y
2
1
2
x
Figure 4.1-a : Eléments réels
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Les éléments de référence sont présentés ci-dessous :
(0,1)
(-1,1)
(1,1)
3
4
3
1
2
(0,0)
(1,0)
1
2
(1,-1)
(-1,-1)
Figure 4.1-b : Eléments de référence triangle et quadrangle
On définit le repère réduit de l'élément comme le repère (,) de l'élément de référence. Le repère local
de l'élément, dans son plan (x,y) est défini par l'utilisateur. La direction X1 de ce repère local est la
projection d'une direction de référence d sur le plan de l'élément. Cette direction de référence d est
choisie par l'utilisateur qui la définit par deux angles nautiques dans le repère global. La normale N au
plan de l'élément (12 13 pour un triangle numéroté 123 et 12 14 pour un quadrangle numéroté
1234) fixe la seconde direction. Le produit vectoriel des deux vecteurs précédemment définis
Y1=N X1 permet de définir le trièdre local dans lequel seront exprimés les efforts généralisés
représentant l'état de contraintes. L'utilisateur devra veiller à ce que l'axe de référence choisi ne se
retrouve pas parallèle à la normale de certains éléments de plaque. Par défaut, la direction de
référence d est l'axe X du repère global de définition du maillage.
La différence essentielle entre les éléments DKT,DKQ d'une part et DST, DSQ, Q4 d'autre part vient
du fait que pour les premiers la distorsion transverse est nulle soit encore = 0. La différence entre Q4
et les éléments DST et DSQ vient d'un choix différent d'interpolation pour la représentation du
cisaillement transverse.
4.2
Discrétisation du champ de déplacement
Si l'on discrétise les champs de déplacement de la manière habituelle pour des éléments
isoparamétriques c'est-à-dire :
N
N
N
N
N
u = N u , v = N v , w = N w , = N , = N
i i
i i
i i
x
i xi
y
i yi ,
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
et qu'on introduit cette discrétisation dans la formulation variationnelle du [§4.1] il en résulte un blocage
en cisaillement transverse analysé dans [bib1] qui rend la solution en flexion contrôlée par les effets de
cisaillement transverse, et non par la flexion, lorsque l'épaisseur de la plaque devient petite par rapport
à sa dimension caractéristique.
Pour remédier à cet inconvénient la forme variationnelle présentée en introduction est légèrement
modifiée de telle sorte que :
W
1
int =
eH e
m + Hf + Hct dS =
eH e
m + Hf + TH
T dS
-
(
)
(
)
ct
S
S
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où sont des déformations de substitution vérifiant = de façon faible (intégrale sur les côtés de
j
l'élément) et telles que T = Hct . On vérifie ainsi que sur les côtés ij de l'élément ( s - )
s ds =
0
i
avec s = w,s + s .
Deux approches sont alors possibles ; dans la première, celle de l'élément Q4, on utilise la
discrétisation bilinéaire des champs de déplacement et le fait que est constant sur les côtés de
l'élément. Les relations sur les côtés ij permettent alors d'exprimer les valeurs de sur les côtés en
fonction des degrés de liberté de flexion. Dans la seconde approche, qui est celle des éléments du type
DKT et DST, on utilise la formulation faible du paragraphe précédent qui permet de lier la flexion aux
efforts de cisaillement pour en déduire l'interpolation des termes de flexion.
4.2.1 Approche
Q4g
Elle repose sur la discrétisation linéaire des champs de déplacement présentée ci-dessus :
N
N
N
N
N
u = N u , v = N v , w = N w , = N , = N
i i
i i
i i
x
i xi
y
i yi ,
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
où les fonctions Ni sont données ci-dessous.
Ni(i=1,n)
Q4
i=1 à 4
4
3
1
N1(,) =
1
( - ) 1
( - )
4
1
N (,) =
1
( + ) 1
( - )
2
4
1
N 3 (,) =
1
( + ) 1
( + )
4
1
2
1
N 4 (,) =
1
( - ) 1
( + )
4
Fonctions Ni pour les éléments Q4
Remarque :
1
On note aussi Ni (,) = (1+ i
)(1+ i
) avec ( ,
1 ,
2 ,
3 ) = (- , , ,- ) et
4
4
111 1
( ,
1 ,
2 ,
3 ) = (- ,- , , )
4
1 111 .
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4.2.2 Approche DKT, DKQ, DST, DSQ
Comme T = M , + M
et T
,
= M , + M
x
xx x
xy y
y
yy y
xy,x et M = Hf on en déduit que est défini
en fonction des dérivées secondes de x et y par l'intermédiaire de deux équations d'équilibre interne
et de la loi de comportement en flexion. La discrétisation retenue pour x et y , telle que s est
quadratique sur les côtés et n linéaire, fait alors intervenir des fonctions de formes quadratiques
incomplètes sous la forme :
N
2 N
N
2 N
x = Nk xk + xk
P k , y = Nk yk + yk
P k avec P = P C et P = P S
xk
k k
yk
k k
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
où Ck et Sk sont les cosinus et sinus directeurs du côté ij auquel appartient le noeud k définis par :
/
C = x / L = (x - x ) / L ; S = y / L = (y - y ) / L ; L = (x2 + y2 1 2
k
ji
k
j
i
k
k
ij
k
j
i
k
k
ji
ji )
.
Remarque :
Introduire la discrétisation précédente revient à rajouter comme degrés de liberté à l'élément des
rotations k au milieu des côtés k de l'élément. En effet, les rotations s et n telles que :
C
S
s
x
=
S - C
n
y
sont quadratiques pour s et linéaire pour n avec :
s = (1- s)si + ssj + 4s(1- s
) k ; n = (1- s)ni + snj où 0 s = s / Lk 1.
1
1
On observe ainsi que : sk = s (s = ) = (si + sj ) + k .
2
2
j
C'est la relation ( s - )
s ds =
0 avec s = w,s + s qui va permettre d'éliminer les degrés de
i
liberté supplémentaires et de les exprimer en fonction des déplacements et des rotations nodales.
sk
sj
k
nj
si
ni
1/2(si+sj)
i
k
j
s
i
j
s
Variation de s
Variation de n
Figure 4.2.2-a : Variations de s et n
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Ni(i=1,n)
Pi(i=n+1,2n)
DKT,DST
i=1 à 3
i=4 à 6
N (,) = = 1- -
P (,) = 4
3
1
4
N (,) =
P (,) = 4
5
2
5
6
N 3 (,) =
P6 (,) = 4
1
4
2
DKQ,DSQ
i=1 à 4
i=5 à 8
1
1
4
7
3
N
2
1 (, ) =
1
( - ) 1
( - )
P (,) =
1
( - ) 1
( - )
4
5
2
1
1
N (,) =
1
( + ) 1
( - )
P
2
(,) =
1
( - ) 1
( + )
8
6
2
6
4
2
1
1
N
2
3 (, ) =
1
( + ) 1
( + )
P (,) =
1
( - ) 1
( + )
4
7
2
1
5
2
1
1
N
2
4 (, ) =
1
( - ) 1
( + )
P (,) =
1
( - ) 1
( + )
4
8
2
Fonctions Ni et Pi pour les éléments DKT,DST,DKQ,DSQ
4.3
Discrétisation du champ de déformation
La matrice jacobienne J(,) est :
N
N
N x
N y
x
y
i, i
,
,
,
i
i
J
J
i=1
i=1
11
12
J =
=
=
N
N
.
x
y
,
,
J
J
N x
N y
21
22
i, i
i, i
i=1
i=1
En outre :
x
j
j
11
12
1
1 J22
- J
12
-
=
j
av
ec j =
= J =
ou J = det J = J J
- J J
j
j
11 22
12 21
21
22
J - J
J
21
11
y
On rappelle que le champ de déplacement est discrétisé par :
w
w
0
u
N
uk
N
k
2 N
= N ,
k (
)
et = N
( ,) + [ P
( ,)
], le terme entre
v
x
k
xk
xk
k
=1
vk
k
k=1
k = N +1
P
y
yk
yk
( ,)
crochets étant présent pour les éléments du type DKT, DST , mais pas pour les éléments Q4.
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4.3.1 Discrétisation du champ de déformation membranaire :
N
N
e
= u, = N (,)uk
,
= ( j N
11
, + j
N
)uk
xx
x
k x
k
12
k ,
,
k =1
k =1
N
N
e
= v, = N (,)vk
,
= ( j N
21
, + j
N
)v k
yy
y
k y
k
22
k ,
,
k =1
k =1
N
2e
= u, + v, =
N
(,)uk
,
+ N (,)vk
xy
x
y
k y
k ,x
k =1
N
= ( j N
k
k
21
, + j
N
k
22
k , )u + ( j N
11
k + j N
)
,
12
k ,
v
k =1
Soit sous forme matricielle :
e
xx
N
u
e
k
yy = B
U
= est le champ de déplacement membranaire au noeud k
mk
k où U k
v
2e
k 1
k
=
xy
et :
j N
11
k , + j N
0
12
k ,
Bmk =
0
j N
21
k , + j
N
22
k ,
j N
21
k , + j
N
j N
22
k ,
11
k , + j
N
12
k ,
u1
v
1
La matrice de passage des déformations membranaires au champ de déplacement U
m = !
u
N
v
N
dans le plan de l'élément s'écrit ainsi : B [3×2N = (B
B
m
]
m1 "
mN ).
4.3.2 Discrétisation de la distorsion transverse
4.3.2.1 Pour les éléments Q4g
On discrétise linéairement le champ constant par côté de telle sorte que :
1-
1
12
+ 34
+
= = 2
2
.
1-
1
23
-
41
+
2
2
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+1
( - (
w + ))
d = 0 ;
,
-1
En utilisant alors les relations :
,
+1
( - (
w + ))
,
d = 0
-1
1
ij = (wj - i
w + i +
j ) ;
2
on établit que :
pour (ij)=(12,34) et (kp)=(23,41).
1
kp
=
(wp - wk + p + k ) ;
2
En reportant les deux résultats ci-dessus dans l'expression de , on établit que :
w1
1
1
= = B u où u = ! et B = (B , , B
1 "
)
N
wN
N
N
N k , k N k ,
0
avec B k =
.
N k ,
0
k Nk ,
w1
x1
y1
i
J
J
11
12 xi
Comme
=
on en déduit que = B u
= ! et
f où u f
i
J
J
21
22 yi
w
N
xN
yN
N k , k Nk J
,
11
k Nk J
,
12
B = (B , , B
)
1 "
N avec B k =
.
N
k , k N k J
,
21
k Nk J
,
22
x j
j
11
12
Finalement :
=
= B u avec B
= jB
=
c
f
c[2×3N ]
.
y
j
j
21
22
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4.3.2.2 Pour les éléments du type DKT,DST
En ce qui concerne les distorsions transverses on déduit de
T = M , + M
et T
,
= M , + M
x
xx x
xy y
y
yy y
xy,x avec M = H f que T = H f ,xx où :
T,xx = (x,xx x,yy x,xy y,xx y,yy y,xy )et
H
H
2H
H
H
H
11
33
13
13
23
12 + H33
H f =
où les H
H
H
H
ij sont les termes (i,j) de
13
23
12 + H
H
H
2H
33
33
22
23
Hf .
N
2 N
N
N
= N ( , ) + P ( , ) = N ( , ) + ( j2 P
2
2
11
+ j j P
11 12
+ j P
)
,
x,xx
k ,xx xk
xk ,xx k
k ,xx xk
xk ,
xk
,
12 xk
,
k
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
N
N
= N ( , ) + P ( , ) = N ( , ) +
2
2
( j P
, + 2 j
j P , + j P
)
,
x,yy
k ,yy xk
xk ,yy k
k , yy xk
21 xk
21 22 xk
22 xk ,
k
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
,
= N ( , )
,
+ P ( , )
x xy
k xy
xk
xk ,xy
k
k =1
k = N +1
N
N
= N (,)
,
+ ( j j P , +[ j j + j j ]P , + j j P ) ,
k xy
xk
11 21 xk
11 22
12 21
xk
11 21 xk ,
k
k =1
k = N +1
N
2 N
N
N
(,) + P (,) = N (,) + ( j2 P
2
2
11
+ j j P
11 12
+ j P
)
12
,
=
N
y xx
k ,xx
yk
yk ,xx
k
k ,xx
yk
yk ,
yk ,
yk ,
k
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
N
N
= N (,) + P (,) = N (,) + ( j2 P
2
2
j j P
+ j P
) ,
21
+
y,yy
k , yy
yk
yk ,yy
k
k ,yy
yk
yk ,
21 22
yk ,
22
yk ,
k
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
= N (,) + P (,)
y,xy
k ,xy
yk
yk ,xy
k
k =1
k = N +1
N
N
= N (,) + ( j j P +[ j j + j j ]P + j j P )
k ,xy
yk
11 21 yk ,
11 22
12 21
yk ,
11 21 yk ,
k
k =1
k = N +1
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soit encore sous forme matricielle que :
x,xx
x,yy
T = H x,xy =
f y,xx
y,yy
y,xy
0
j2 N
2 j j N
j2 N
0
11
k
,
+ 11 12 k
,
+ 12 k ,
0
j2 N
2 j j N
j2 N
0
21
k
,
+ 21 22 k, + 22 k
,
w
N 0
j j N
[ j j
j j ]N
j j N
0
k
11 21
k
,
+ 11 22 + 12 21 k
,
+
H
11 21
k
,
f
= 0
0
j2 N
2 j j N
+ j2 N
xk
k 1
11
k
,
+ 11 12 k,
12
k ,
0
0
j2 N
+ 2 j j N
+ j2 N
yk
21
k ,
21 22
k ,
22
k ,
0
0
j j N
+[ j j + j j ]N
+ j j N
11 21
k ,
11 22
12 21
k ,
11 21
k ,
C ( j2 P
+ 2 j j P + j2 P )
k
11 k ,
11 12 k ,
12 k
,
C ( j2 P
2
2
)
k
21 k ,
+ j j P
21 22 k ,
+
j P
22 k
,
2 N
C ( j j P
[
]
)
k
11 21 k ,
+ j j
11 22 + j
j P
12 21
k ,
+ j j P
+ H
11 21 k
,
=
f k
S ( j2 P
2
2
)
k
11 k ,
+ j j P
11 12 k ,
+ j P
k = N +1
12 k
,
S ( j2 P
2
2
)
k
21 k ,
+ j j P
21 22 k ,
+
j P
22 k
,
S ( j j P
[
+ j j ]P
)
k , +
j j P
k
11 21 k ,
+
j j
11 22
12 21
11 21 k ,
C P
k
k ,
C P
w
k k,
N
k
2
N
C P
N
2 N
H
k
k ,
P
H T
+ H T T H P U
H T T
B U
B
f
2
ck
k =
f
f
f
+ f 2
= c f +
f
2
H
P U
f
f k
xk +
k =
S P
f
f k
f k
c
k =1
k = N 1
+
k k,
k
=1
k = N +1
yk
S P
k
k ,
S P
k
k ,
2
2
j
j
2 j j
t
11
12
11 12
2
0
où T
(T
T
2
2
=
c N +
)
(
)
1 " c2 N et T2 =
= j
j
2 j j
avec t
.
0
t
2
21
22
21 22
2
j11 j21 j12 j22 j11 j22 + 12
j j21
j
Nous utilisons alors la relation ( s - )
s ds =
0 avec s = w,s + s pour chacun des côtés ij de
i
l'élément qui permet d'obtenir les k puisqu'elle s'écrit encore :
L
2
w - w
k
+
(C + S + C + S ) + L = L
j
i
k xi
k yi
k xj
k yj
k k
k sk où :
2
3
-1
-
= (C
S ) = (C
S ) H T = (C
S )H 1 [B U + B
]
sk
k
k
k
k
ct
k
k
ct
c
f
c
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La relation ci-dessus s'écrit encore sous forme matricielle : A = A U
w
f
L
0
0
N 1
LN 1CN 1 LN 1SN 1
2
+
+
+
+
+
avec : A
=
0
0
#
-
H -1B
!
!
ct
3
c
0
0
L2N L2 C
N
2
L
N
2 S
N 2 N
et :
- 2 L C
L
S
2
L
C
L
S
0
0
0
N +1 N +1
N +1 N +1
N +1 N +1
N +1 N +1
0
0
0
- 2 L C
L S
2
L C
L S
k +1 k +1
k +1 k +1
k +1 k +1
k +1 k +1
0
0
0
0
0
0
- 2 L
C
L
S
2 N -1 2 N -1
2 N -1 2 N -1
1 2
L C
L S
0
0
0
0
"
"
A
2 N
2 N
2 N
2 N
= -
w
2
0
0
0
"
0
0
0
"
2
L
C
L
"
S
2 N -1 2 N -1
2 N -1 2 N -1
" -2 L C
L S
2 N
2 N
2 N
2 N
L C
L
S
N +1
N +1
N +1 N +1
1-
+
!
!
H B
ct
c
L C
L S
2 N
2 N
2 N
2 N
Ainsi =
av
ec
1
=
-
A U
A
A A
f
w , ce qui implique T = [B + B A
U
]
c
c
f .
Remarque :
Pour les éléments DST, cette expression se simplifie un peu puisque B
= 0 du fait de la linéarité des
c
fonctions de forme N (k=1,2,3).
k
Cette expression est plus simple pour les éléments DKT et DKQ puisqu'ils sont sans distorsion transverse,
1 0
0
c'est-à-dire = 0, ce qui implique A =
0 #
0 et
0 0 1
- 2 / LN
C
+1
N
S
+1
N
2 / L
+1
N
C
+1
N
S
+1
N +
0
0
0
1
"
0
0
0
- 2 / L
k
C
+1
k
S
+1
k
2 / L
+1
k
C
+1
k
S
+1
k +1
"
0
0
0
0
0
0
- 2 / L
2 N
C
-1
2 N
S
-1
2 N -1
"
3
2 / L
C
S
0
0
0
0
"
"
"
A
2 N
2 N
2 N
w = - 4
0
0
0
"
0
0
0
"
2 / L
"
2 N
C
-1
2 N
S
-1
2 N -1
" - 2 / L2N
C2N
S2N
On remarque aussi que pour les éléments DKT l'expression des efforts tranchant est calculée à partir de
l'équilibre et non pas à partir du comportement (en partant du comportement on trouverait une valeur nulle
des efforts tranchants ce qui ne permettrait pas de réaliser l'équilibre !). Il en résulte d'après le §3.1.1 des
contraintes de cisaillement transverse non nulles dans l'épaisseur de la plaque que l'on soit en formulation
DKT ou DST.
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4.3.3 Discrétisation du champ de déformation de flexion :
4.3.3.1 Pour les éléments Q4g
La relation liant les déformations de flexion au champ de déplacement de flexion s'écrit :
N
N
xx = x,x = j11x, + j12x, = j11 Nk, xk + j12 Nk,
xk ,
k =1
k =1
N
N
yy = y,y = j21y, + j22y, = j21 Nk, yk + j22 Nk,
yk ,
k =1
k =1
N
N
2 xy = y,x + x,y = j11y , + j12y , + j21x , + j22x , = j N
21
k
, xk + j22 N k ,xk
k 1
=
k 1
=
N
N
+ 11
j Nk,yk + 12
j Nk,yk .
k 1
=
k 1
=
Soit encore sous forme matricielle :
xx
w
N
k
yy = B fk U fk où U fk = xk représente le champ de déplacement de flexion au noeud k,
k
2
1
=
xy
yk
avec :
0 j N
0
11
k , + j
N
12
k
,
B fk = 0
0
j N
21
k , + j
N
22
k , .
0 j N
21
k , + j
N
22
k
j N
,
11
k , + j
N
12
k ,
w1
x1
y
1
La matrice de passage du champ de déplacement de flexion U f = ! aux déformations de
w
N
xN
yN
flexion s'écrit alors : B
= B , , B
f [ × n]
( f " fN )
3 3
1
.
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4.3.3.2 Pour les éléments du type DKT, DST :
La relation liant les déformations de flexion au champ de déplacement de flexion s'écrit :
N
2 N
N
2 N
xx = x,x = j11 ,
12
,
(
11
,
, )
(
12
,
x + j x = j
N k xk +
xk
P k + j
N k xk +
xk
P ,k ),
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
N
2 N
,
21
,
22
,
(
21
,
, )
(
22
yy = y y = j y + j y = j
N k yk +
yk
P k + j
N k ,yk +
Pyk,k ),
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
2 xy = y,x + x,y = j11y + j
,
12 y
+ j
,
21x
+ j
,
22 x, =
N
2 N
N
2 N
N
2 N
j (
21 N
+
+ 22
+
+ 11
+
k , xk
xk
P ,k ) j (
N k,xk
xk
P ,k ) j (
N k,yk
yk
P ,k )
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
k =1
k = N +1
N
2 N
+ j (
12 N
+ P
k ,
yk
yk , k ).
k =1
k = N +1
Pour les éléments DKT, DKQ :
Sous forme matricielle la relation précédente s'écrit aussi en introduisant la relation = A U
f :
B
B
xx
j11
x + j12
x
yy =
j21B
y + j22B
y
U f = B f 3×3N U
[
]
f où
2 xy
j
11B
y + j12By + j21B
x + j22B
x
w1
x1
y
1
U f = ! représente le champ de déplacement en flexion pour l'élément avec :
w
N
xN
yN
6 N
P +1C
,
N
6P
+1
2 N C
,
2 N
3
B
2
2
x = (
-
, N1, - ( N
P +1C
,
N +1 + P2 N C
,
2 N ),
4 LN
4L
+1
2 N
4
3
- ( N
P +1C
,
N
S
+1 N +1 + P2N C
,
2 N S2 N ),
,
4
"
6 N
P +k C
,
N +k
6 N
P +k-1C
,
N +k 1
3
-
- , N
2
2
k
, -
( N
P +k C
+ P
C
),
4 L
, N +k
N +k -1
,
N +k -1
N +k
4 LN+k-
4
1
3
- (PN+k C
S
,
+ P
N +k N +k
N +k -1 C
S
,
N +k -1 N +k -1 ),
4
"
(k = 2,.., N ))
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6 N
P +1C
,
N
6P
+1
2 N C2
3
B
,
N
2
2
x
= (
-
, N1, - ( N
P +1C
,
N +1 + P2 N C
,
2 N ),
4LN
4L
+1
2 N
4
3
- ( N
P +1C
,
N
S
+1 N +1 + P2N C
,
2 N S2 N ),
,
4
"
6 N
P +k C
,
N +k
6 N
P +k-1C
,
N +k 1
3
-
- , N
2
2
k
, -
( N
P +k C
+ P
C
),
4L
, N +k
N +k -1
,
N +k -1
N +k
4LN+k-
4
1
3
- (PN+k C
S
,
+ P
N +k N +k
N +k -1 C
S
,
N +k -1 N +k -1),
4
"
(k = 2,.., N ))
6 N
P +1S
,
N
6P
+1
2 N S
,
2 N
3
B y = (
-
,- ( N
P +1C
,
N
S
+1 N +1 + P2 N C
,
2 N S2 N ),
4 LN
4 L
+1
2 N
4
3
N
2
2
1
, -
( N
P +1 S
,
N +1 + P2 N S
,
2 N ),
,
4
"
6 N
P +k S
,
N +k
6 N
P +k-1S
,
N +k 1
3
-
- ,- ( N
P +k C
,
N
S
+ P
C
S
),
4 L
+k N +k
N +k -1, N +k -1 N +k -1
N +k
4LN+k-
4
1
3
N
2
2
k , -
( N
P +k S
, N +k + N
P +k
S
-1, N +k-1),
4
"
(k = 2,.., N ))
6 N
P +1S
,
N
6P
+1
2 N S2
3
B
,
N
y = (
-
,- ( N
P +1C
,
N
S
+1 N +1 + P2 N C
,
2 N S2 N ),
4 LN
4 L
+1
2 N
4
3
N
2
2
1
, -
( N
P +1S
,
N +1 + P2 N S
,
2 N ),
,
4
"
6 N
P +k S
,
N +k
6 N
P +k-1S
,
N +k 1
3
-
- ,- ( N
P +k C
,
N
S
+ P
C
S
),
4 L
+k N +k
N +k -1, N +k -1 N +k -1
N +k
4LN+k-
4
1
3
N
2
2
k , -
( N
P +k S
, N +k + N
P +k
S
-1, N +k-1),
4
"
(k = 2,.., N ))
Pour les éléments DST, DSQ :
La relation liant les déformations de flexion au champ de déplacement en flexion s'écrit aussi sous
forme matricielle :
xx
w
N
2 N
k
yy = B fk U fk + B fkU fk où U f k = xk et U f k
= k représentent le
k =
k = N
2
1
1
+
xy
yk
champ de déplacement de flexion au noeud k, de telle sorte que :
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0 j N
0
11
k , + j
N
12
k
,
B f k = 0
0
j N
21
k , + j
N
22
k
, et
0 j N
21
k , + j
N
22
k
j N
,
11
k , + j
N
12
k
,
j
11 xk
P , + j
12 xk
P
,
B f k =
j
21 yk
P , + j
22 yk
P ,
.
j
11 yk
P , + j
12 yk
P , + j
21 xk
P , + j
22 xk
P ,
w1
x1
y
1
La matrice de passage du champ de déplacement de flexion U
= (U
f
f , )
avec U f = ! et
w
N
xN
yN
1
= ! aux déformations de flexion s'écrit alors :
N
B
= (B , , B
, B
,
, B
)
"
"
= (B
, B
f [ × N ]
f
f N
f ( N + )
f
N
f[ × N ]
f[ × N ])
3 4
1
1
2
3 3
3
.
4.4
Matrice de rigidité
Le principe des travaux virtuels s'écrit de la manière suivante : W
= W
ext
int soit encore en élasticité
UT K U = F U sous forme matricielle où K est la matrice de rigidité provenant de l'assemblage
dans le repère global de l'ensemble des matrices de rigidité élémentaires.
4.4.1 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments Q4g
W eint =
[ e(
Hme + Hmf) +
(Hmf e + H f ) +
Hct d
] S =
e
T T
T
T
T
T
T
T
(
UmBmHmBmUm +UmBmHmf B f U f +U f B f Hmf BmUm +U f B f H f B f U f
e
+ T T
U B H B U )dS
f
c
ct
c
f
=
T
T
U ( B H B dS
T
T
T
T
m m m m )Um + U ( B H B dS
f f
f
f
)U f + U ( B H B dS)U
m m mf
f
f
e
e
e
+ UT ( BT H B dS)U
f f mf m
m
e
+ UT ( BT H B dS)U
T
T
T
T
T
f c ct c
f = U K U
m
m
m + U K U
f
f
f + U K
U
m
mf
f + U K
U
f
fm
m + U K U
f
c
f
e
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avec K
= K T
mf
fm .
Um
Ceci s'écrit encore : W e
int = (Um ,U f )K
U
où
f
K
K
[
m 2 N ×2 N ]
mf [2 N ×3N ]
K
[5N ×5N ] =
est la matrice de rigidité de l'élément.
K T
K
+ K
mf [3N ×2 N ]
f [3N ×3N ]
[
c 3N ×3N ]
4.4.2 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DKT, DKQ
Puisque la relation = 0 est satisfaite, on peut écrire :
W eint =
e(
Hme + Hmf) +
(Hmf e + H f )dS =
e
T T
T
T
T
T
T
T
(
UmBmHmBmUm +UmBmHmf B f U f +U f B f Hmf BmUm +U B H B U )dS
f
f
f
f
f
=
e
T
T
U ( B H B dS
T
T
T
T
m m m m )Um + U ( B H B dS
f f
f
f
)U f + U ( B H B dS
m m mf
f
)U f
e
e
e
+ UT
T
T
T
T
T
f ( B f Hmf B mdS)U m
U
mKmUm
U
f K f U f
U
mKmf U f
U
f K fmU
=
+
+
+
m
e
avec K
= K T
mf
fm .
Um
K
K
[
m 2 N ×2 N ]
mf [2 N ×3N ]
Ceci s'écrit encore : W e
int = (Um ,U f )K
=
U
où K[5N×5N]
T
f
K
K
mf [3N×2N]
f [3N ×3N ]
est la matrice de rigidité de l'élément.
4.4.3 Matrice de rigidité élémentaire pour les éléments DST, DSQ
W e =
e(H e + H
) +
(H e + H ) +
-
TH
T
1
=
int
m
mf
mf
f
dS
ct
e
T T
T
T
T
T
T
T
( U B H B U + U B H B U + U B H B U +
U B H B U
m
m
m
m
m
m m mf f f f f mf m m f f f f f
e
+
T
T
-1
T
T
-1
T
T
U
B H
B U + U B H
B
+
-
B H
B
1
U + TBT
-1
)dS =
c H
B
ct
c
f
c
ct
c
f
f
c
ct
c
c ct c f
UT ( BTH B dS)U
T
T
T
T
T
T
+
(
dS)
+
(
dS)
+
(
dS
)
m
m
m
m
m
U
B H B
U
f
f
f
f
f
U
B H B
U
m
m
mf
f
f
U
B H B
U
f
f
mf
m
m
e
e
e
e
+
T
T
-1
T
T
-1
T
U
T
(
dS)
+
(
dS
-
) +
1
(
+
B dS U
T BT H -
)
(
B
1
dS
) =
f
B fH B
ct
U
c
f
U f B fH B
ct
c
B H
c
ct
c
f
c
ct
c
e
e
e
e
UTK U + UT K U + UTK U + UT K U + UT K U + UT K
T
+ K U
T
+ K
m
m
m
f
f
f
m
mf
f
f
fm
m
f
f
f
f
c
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On sait aussi que U
= (U
f
f , )
d'où il résulte que :
K
= BT H B
f 11
f f f dS
;
K
K
s
f 11
f 12
K
T
f =
avec : K
= B H B dS;
K T
K
f 12
f
f
f
f 12
22
s
K
= BT H B
f 22
f f f dS
.
s
K
= BT H B
mf 11
m mf f dS
;
K
= (K
K
s
mf
mf 11
mf 12 ) avec : K
= BT H B
mf 12
m mf f dS
.
s
K
= K T
fm
mf .
Utilisant le fait que = AU on en déduit que :
f
Wint = T
T
T
T
UmK mUm + U fK f U f + UmKmf
U f + U fK fm
Um où :
K
T
T
T
T
(
)
(
)
(
)
f = K f 11 + K + A
K
f 22 + K
A
c
+ K f 12 + K
A
+ A
K
f 12 + K .
Kmf = Kmf 11 + K
A
mf 12
Um
Ceci s'écrit encore : W e
int = (Um ,U f )K
U
où
f
K
K
[
m 2 N ×2 N ]
m
f [2N×3N]
K
[5N ×5N ] =
est la matrice de rigidité élémentaire pour un élément
K T
K
mf [3N ×2 N ]
f [3N ×3N ]
de plaque.
4.4.4 Assemblage des matrices élémentaires
Le principe du travail virtuel pour l'ensemble des éléments s'écrit :
nbelem
W = We = T
int
int
U KU où U est l'ensemble des degrés de liberté de la structure discrétisée et
e=1
K provient de l'assemblage des matrices élémentaires.
4.4.4.1 Degrés de liberté
Le processus d'assemblage des matrices élémentaires implique que tous les degrés de liberté soient
exprimés dans le repère global. Dans le repère global, les degrés de liberté sont les trois déplacements
par rapport aux trois axes du repère cartésien global et les trois rotations par rapport à ces trois axes.
On utilise donc des matrices de passage du repère local au repère global pour chaque élément. Or on
a vu précédemment que les degrés de liberté des éléments de plaque sont les deux déplacements
dans le plan de la plaque, le déplacement hors plan et deux rotations. Ces rotations n'étant pas
exactement les rotations par rapport aux axes de la plaque puisque
x (x, y) = y (x, y),y (x, y) =
- x (x, y) il faut en tenir compte au niveau de l'assemblage pour
faire apparaître les bons degrés de liberté xi ,yi .
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4.4.4.2 Rotations
fictives
La rotation par rapport à la normale à la plaque est considérée comme n'étant pas un degré de liberté.
Pour assurer la compatibilité entre le passage du mode local au mode global, on rajoute donc un degré
de liberté supplémentaire local de rotation à la plaque qui est celui correspondant à la rotation par
rapport à la normale au plan de l'élément. Ceci implique une expansion des blocs de dimension (5,5)
de la matrice de rigidité locale en des blocs de dimension (6,6) en ajoutant une ligne et une colonne
correspondant à cette rotation. Ces lignes et ces colonnes supplémentaires sont a priori nulles. On
effectue alors le passage de la matrice de rigidité locale élargie à la matrice de rigidité globale.
Dans la transformation précédente, on s'est contenté de rajouter les rotations par rapport aux normales
au plan des éléments sans modifier l'énergie de déformation. La contribution à l'énergie apportée par
ces degrés de liberté supplémentaires est en effet nulle et aucune rigidité ne leur est associée.
La matrice de rigidité globale ainsi obtenue présente cependant le risque d'être non inversible. Pour
éviter ce désagrément il est admis d'attribuer une petite rigidité à ces degrés de liberté supplémentaires
au niveau de la matrice de rigidité locale élargie. Pratiquement, on la choisit entre 106 et 103 fois le
plus petit terme diagonal de la matrice de rigidité de flexion locale. L'utilisateur peut choisir ce
coefficient multiplicatif COEF_RIGI_DRZ lui-même dans AFFE_CARA_ELEM ; par défaut il vaut 105.
4.5
Matrice de masse
Les termes de la matrice de masse sont obtenus après discrétisation de la formulation variationnelle
suivante :
+h/2
W ac
u u
$
$
mass =
$ dzdS = (u
m $$ u + $v$ v + $ w w) + (u
mf $ $ + v
x
$$ y + x u + y v)
-h/2 S
S
+ $
$
f (x x + y )dS
y
+h/2
+h/2
+h/2
avec
2
m =
dz,
mf =
zdz, et
f =
z dz
.
-h/2
-h/2
-h/2
Remarque :
Si la plaque est homogène ou symétrique par rapport à z=0 alors mf =0. On considère dans la
suite de l'exposé que c'est toujours le cas.
4.5.1 Matrice de masse élémentaire classique
4.5.1.1 Elément
Q4g
La discrétisation du déplacement pour cet élément isoparamétrique est :
uk
N
vk
u =
w
N k k =1,...,N
k
k =1
xk
yk
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La matrice de masse, dans la base où les degrés de liberté sont regroupés suivant les directions de
translation et de rotation, a alors pour expression :
M
0
0
M
m
mf
0
0
M
0
0
M
m
mf
M 0
0
M
=
0
0
m
T
M
0
0
M
mf
f
0
0
MT
0
0
M
mf
f
avec : M
= NTNdS, M
= NT dS et
N
M = NT N
m
m
mf
mf
f
f
dS et N = (N
N
1 " k ).
S
S
S
4.5.1.2 Eléments du type DKT, DST
w
w
0
N
k
2 N
Comme = N
( ,) + P
x
k
xk
xk
( ,)
k où = AU f on en déduit que :
k=1
k=N+1
P
y
yk
yk
( ,)
w
N
( ,)
0
0
w
N
k
k
= N
( ,) N
( ,) N
x
kxw
kxx
kxy
( ,) xk .
k=1
N
( ,) N
( ,) N
y
kyw
kyx
kyy
( ,)yk
La partie membrane de la matrice élémentaire de masse est du même que pour Q4 avec k=3 au lieu
de 4 dans N . La partie flexion se compose des blocs kp ( kième ligne et pième colonne ) suivants :
N
/
kxw N pxw + N kyw N pyw + m N k N p
f Nkxw N pxx + Nkyw N pyx Nkxw N pxy + Nkyw N pyy
f
N kxx N pxw + Nkyx N pyw
N kxx N pxx + Nkyx N pyx
N kxx N pxy + Nkyx N pyy
N
kxy N pxw + N kyy N pyw
N kxy N pxx + Nkyy N pyx
N kxy N pxy + Nkyy N pyy
4.5.2 Matrice de masse élémentaire améliorée
Comme la flèche d'une plaque en flexion peut difficilement être représentée par une approximation
linéaire, on peut enrichir les fonctions de forme pour les termes de flexion. Cette approche est utilisée
dans le Code_Aster pour les éléments du type DKT, DST et Q4 où les fonctions de forme utilisées
dans le calcul de la matrice de masse de flexion sont d'ordre 3. L'interpolation pour w s'écrit ainsi :
N
w = N
(,)w
( - )
1
+1
+ N
(,)w
( - )
1
+2
, + N
(,)w
k
N
k
k
N
k
(k - )
1 N +3
, k
k =1
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où les fonctions de forme sont données pour le triangle et le quadrangle dans le tableau suivant :
DKT,DST
DKQ,DSQ,Q4
3
4
7
3
5
6
1
4
2
8
6
1
5
2
Interpolation
= 1- -
i=1 à 12
pour w
i=1 à 9
1
N
2
2
(,) =
1
( - 1
)( - )(2 - - - - )
N
2
3
1
8
1 (, ) = 3 - 2 + 2
1
N
2
2
2 (, ) = + / 2
N 2 (,) =
1
( - 1
)( - 1
)( - )
8
N
2
3 (, ) = + / 2
1
N
2
(,) =
1
( - 1
)( - 1
)( - )
N
2
3
3
4 (, ) = 3
- 2 + 2
8
N
2
1
2
2
5 (, ) = (-1 + ) -
N 4 (,) =
1
( + 1
)( - )(2 - - + - )
8
N
2
6 (, ) = + / 2
1
N
2
(,) = -
1
( + 1
)( - 1
)( - )
N
2
3
5
7 (, ) = 3 - 2 + 2
8
N
2
1
2
8 (, ) = + / 2
N 6 (,) =
1
( + ) 1
( - )(1- )
8
N
2
9 (, ) = (-1 + ) -
1
N (,) = (1+ )(1+ )(2
2
2
- - + + )
7
8
1
N (,) = - (1+ )(1+ )(1
2
- )
8
8
1
N (,) = - (1+ )(1+ )(1
2
- )
9
8
1
N (,) = (1- )(1+ )(2
2
2
- - - + )
10
8
1
N (,) = (1- )(1+ )(1
2
- )
11
8
1
N (,)
12
= (1 )(1 )(1
2
-
+
- )
8
Fonctions d'interpolation pour la flèche des éléments DKT,DST,DKQ,DSQ et Q4G,
en dynamique et en modal.
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4.5.2.1 Eléments du type DKT
On sait que dans l'approximation de Love-Kirchhoff on a x = -w,x et y = -w,y en tout point de
l'élément.
Du fait de la discrétisation énoncée ci-dessus on a :
N
w = N
(,)w
( - )
1
+1
+ (J N
11
( - )
1
+ (,)
2
+ J N
(,))w
21
( - )
1
+3
,
+ (J N
k
N
k
k
N
k
N
xk
12
(k - )
1 N + (,)
2
k =1
+ J N
(,))w
22
(k - )
1 N +3
,yk
w, k
J
J
11
12 w,xk
puisque :
=
w
.
, k
J
J
21
22 w
,yk
Ceci s'écrit encore :
N
w = N
(,)w
( - ) +
+ N ( - ) + (,) + N
k
N
k
k
N
xk
(k
- )N+ (,)
1
1
1
2
1
3
yk
k =1
N (k- )1N+ (,)
1
= N(k- )1N+ (,)
1
où : N (k- )1N+ (,)
2
= -J N
11
(k - )
1 N + (,)
2
- J N
21
(k - )
1 N + (,)
3
.
N (k- )1N+ (,)
3
= - J N
12
(k - )
1 N + (,)
2
- J N
22
(k - )
1 N + (,)
3
En ne tenant pas compte des effets d'inertie, la matrice de masse a ainsi la forme suivante :
M
0
0
m
M = 0
Mm
0 où M = N N
f
m dS.
0
0
M
S
f
4.5.2.2 Eléments du type DST
On sait que pour ces éléments on a x = x - w,x et y = y - w,y où la distorsion est
constante sur l'élément.
Comme :
N
w = N
(,)w
( - )
1
+1
+ (J N
11
( - )
1
+ (,)
2
+ J N
(,))w
21
( - )
1
+3
,
+ (J N
k
N
k
k
N
k
N
xk
12
(k - )
1 N + (,)
2
k =1
+ J N
(,))w
22
(k - )
1 N +3
,yk
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on peut aussi écrire :
N
w = N
(,)w
( - )
1
+1
+ N ( - )1 + (,)
2
+ N
k
N
k
k
N
xk
(k
- )1N+ (,)
3
yk
k =1
+ (J11 + J ) N
12
( - )1 + (,)
2
+ (J21 + J ) N
x
y
k
N
x
22 y (k - )
1 N + (, )
3
N (k- )1N + (,)
1
= N(k- )1N+ (,)
1
où : N (k - )1N + (,)
2
= - J N
11 (k - )
1 N + (, )
2
- J N
21 (k - )
1 N + (, )
3
,
N (k- )1N + (,)
3
= -J N
12 (k - )
1 N + (, )
2
- J N
22 (k - )
1 N + (, )
3
N
N
(,)
1
1
= N
(k - ) N +
(k - )
1 N
(,)
+1
k =1
N
N
(,)
1
2
= N
(k - ) N +
(k - )
1 N
(,)
+2
k =1
N
N
(,)
1
3
=
N
(k - ) N +
(k- )1N (,)
+3
k =1
w1
w1
x1
x1
y1
y
1
x
et
=
-
H 1[B + B A
] ! = T ! .
ct
c
c
w
y
w
w
N
N
xN
xN
yN
yN
On obtient alors l'interpolation pour w :
N
w = N
(,)w
( - ) +
+ N ( - ) + (,) + N
k
N
k
k
N
xk
(k
- )N+ (,)
1
1
1
2
1
3
yk
k =1
N (k- )1N+ (,)
1
= N (k- )1N+ (,)
1
+
( J T ( ,
1 (k
11 w
- )
1 N + )
1 + J T (2, (k
12
w
- )
1 N + )
1 ) N
( j- )1N+ (,)
2
+
( J T ( ,
1 (k
21 w
- )
1 N + )
1 + J T (2, (k
22 w
- )
1 N + )
1 ) N
( j- )1N+ (,)
3
N (k- )1N+ (,)
2
= N (k- )1N+ (,)
2
+
où :
( J T ( ,
1 (k
11 w
- )
1 N + 2) + J T (2, (k
12
w
- )
1 N + 2)) N
( j- )1N+ (,)
2
+
( J T ( ,
1 (k
21 w
- )
1 N + 2) + J T (2, (k
22
w
- )
1 N + 2)) N
( j- )1N+ (,)
3
N (k- )1N+ (,)
3
= N (k- )1N+ (,)
3
+
( J T
1
( , (k -1) N + 3) + J T (2, (k - 1)N + 3)) N
11 w
12 w
( j 1
- ) N +2
( ,) +
( J T
1
( , (k - 1)N + 3) + J T (2, (k - 1)N + 3)) N
21 w
22
w
( j 1
- ) N +3
( ,)
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En ne tenant pas compte des effets d'inertie, la matrice de masse a ainsi la forme suivante :
M
0
0
m
M = 0
M m
0 où M =
NN dS
.
f
m
0
0
M
S
f
4.5.2.3 Eléments du type Q4g
On procède de la même façon que pour les éléments du type DST mais avec :
w1
x1
y1
x
= B ! où B
c
c est la matrice établie au [§4.3.2.1].
y
w
N
xN
yN
4.5.2.4 Remarque
On néglige dans l'expression de la matrice de masse élémentaire les termes d'inertie de
rotation
$
+ $
f (x x y y dS
)
car ces derniers sont négligeables [bib3] par rapport aux autres. En
S
effet un facteur multiplicatif de h2/12 les lie aux autres termes et ils deviennent négligeables pour un
rapport épaisseur sur longueur caractéristique inférieur à 1/20.
4.5.3 Assemblage des matrices de masse élémentaires
L'assemblage des matrices de masse suit la même logique que celui des matrices de rigidité. Les
degrés de liberté sont les mêmes et l'on retrouve le traitement spécifique aux rotations normales au
plan de la plaque. Pour des calculs modaux faisant intervenir à la fois le calcul de la matrice de rigidité
et celui de la matrice de masse, il faut prendre une rigidité ou une masse sur le degré de rotation
normale au plan de la plaque de 103 à 106 fois plus petite que le plus petit terme diagonal de la matrice
de rigidité ou de masse pour les termes de flexion. Cela permet d'inhiber les modes pouvant apparaître
sur le degré de liberté supplémentaire de rotation autour de la normale au plan de la plaque. Par
défaut, on prend une rigidité ou une masse sur le degré de rotation normale au plan de la plaque 105
fois plus petite que le plus petit terme diagonal de la matrice de rigidité ou de masse pour les termes de
flexion
4.5.4 Matrice de masse diagonale lumpée
L'utilisation d'une matrice de masse diagonale lumpée présente deux avantages : elle est plus simple à
mettre en oeuvre numériquement et elle converge mieux. Cependant les résultats sont moins bons
qu'avec le schéma classique pour lequel l'erreur est minimale [bib5].
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La matrice de masse est rendue diagonale, pour les degrés de translation, suivant une technique de
lumping proche de celle développée par Hinton [bib6]. L'avantage de cette méthode est de toujours
produire des coefficients de masse positifs, contrairement à d'autres méthodes comme la sommation
des termes en colonne [bib5]. On utilise les coefficients diagonaux de la matrice de masse élémentaire
dans le repère global en s'assurant que la masse totale est bien représentée dans chacune des trois
directions de translation :
dS
m
m = M
S
xi
x
xi ; x = N
Mxj
j=1
dS
m
m = M
S
yi
y
yi ;; y = N
Myj
j=1
dS
m
m = M
S
zi
z
zi ; z = N
M
zj
j=1
où Mxi, Myi, Mzi sont les termes diagonaux de la matrice de masse élémentaire dans le repère global,
mt
0
dans chacune des trois directions de translation. La matrice de masse obtenue : m =
0
m
m
0
0
x
avec m = 0
m
t
y
0 et m = 0 est diagonale.
0
0
m
z
Remarque :
La création d'une matrice de masse diagonale dans les directions de rotation avec une technique
analogue à celle des termes de translation (les coefficients i sont alors les coefficients
précédemment définis dans les trois directions x, y et z) est inappropriée pour l'analyse modale et
les résultats obtenus sont pour le moment meilleurs avec une matrice de masse diagonale réduite
aux seuls degrés de translation. Se pose alors le problème de l'utilisation de cette matrice en
dynamique, lorsqu'il faut inverser la matrice de masse. On envisage donc pour le moment de
rendre diagonaux uniquement les termes de translation et de conserver une matrice de masse
m complète pour les termes de rotation.
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4.6
Intégration numérique pour l'élasticité
Pour les éléments triangulaires DKT, DST où [H] est constant, les matrices de rigidité sont obtenues
exactement avec trois points d'intégration de Hammer puisque [B] est linéaire en ,.
Cordonnées des points
Poids
1/6
1 = 1 / 6; 1 = 1 / 6
1/6
2 = 2 / 3; 2 = 1 / 6
1/6
3 = 1 / 6; 3 = 2 / 3
1 -
1
n
y(,)d d
=
iy (i,i)
0 0
i=1
Formules d'intégration numériques sur un triangle (Hammer)
Pour les éléments quadrangle une intégration de Gauss 2x2 est utilisée.
Cordonnées des points
Poids
1
1 = 1 /
3;1 = 1/ 3
1
2 = 1 /
3;2 = -1/ 3
1
3 = -1 /
3;3 = 1/ 3
1
3 = -1 /
3;3 = -1/ 3
1 -
1
n
y(,)d d
=
iy (i,i)
0 0
i=1
Formules d'intégration numériques sur un quadrangle (Gauss)
4.7
Intégration numérique pour la plasticité
L'intégration sur la surface de l'élément est complétée par une intégration sur l'épaisseur du
comportement puisque :
+h/2
+h/2
+h/2
H =
Hdz H
,
=
Hzdz , H =
H 2
m
mf
f
z dz
où H est la matrice de comportement plastique
-h/2
-h/2
-h/2
locale.
L'épaisseur initiale est divisée en N couches d'épaisseurs identiques. Il y a trois points d'intégration par
couche. Les points d'intégration sont situés en peau supérieure de couche, au milieu de la couche et
en peau inférieure de couche. Pour N couches, le nombre de points d'intégration est de 2N+1. On
conseille d'utiliser de 3 à 5 couches dans l'épaisseur pour un nombre de points d'intégration valant 7, 9
et 11 respectivement.
Pour la rigidité, on calcule pour chaque couche, en contraintes planes, la contribution aux matrices de
rigidité de membrane, de flexion et de couplage membrane-flexion. Ces contributions sont ajoutées et
assemblées pour obtenir la matrice de rigidité tangente totale.
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Pour chaque couche, on calcule l'état des contraintes (xx , yy ,xy ) et l'ensemble des variables
internes, au milieu de la couche et en peaux supérieure et inférieure de couche, à partir du
comportement plastique local et du champ de déformation local (xx ,yy ,xy ) . Le positionnement des
points d'intégration nous permet d'avoir les estimations les plus justes, car non extrapolées, en peaux
inférieure et supérieure de couche, où l'on sait que les contraintes risquent d'être maximales.
Cordonnées des points
Poids
1/3
1 = -1
4/3
2 = 0
1/3
3 = +1
1
n
y()d =
iy (i,i)
-1
i=1
Formule d'intégration numérique pour une couche dans l'épaisseur
Remarque :
On a déjà mentionné au [§2.2.3] que la valeur du coefficient de correction en cisaillement
transverse pour les éléments DST, DSQ et Q4 était obtenue par identification des énergies
complémenatires élastiques après résolution de l'équilibre 3D. Cette méthode n'est plus utilisable
en élasto-plasticité et le choix du coefficient de correction en cisaillement transverse se pose alors.
La plasticité n'est donc pas développée pour ces éléments.
4.8
Discrétisation du travail extérieur
La formulation variationnelle du travail extérieur pour les éléments de plaque s'écrit
:
W
= ( f u + f v + f w + m + m )dS + ( x
u + y
v + z
w + x
µ x +
y
µ )ds
ext
x
y
z
x
x
y
y
y
S
C
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En tenant compte d'une discrétisation linéaire des déplacements, on peut écrire pour un élément :
N
W e = ( f N
ext
x k (,) u + f N
k
y
k ( , )
v + f N
k
z
k ( , )
wk
k =1S
+ m N
x
k (,)
+ m N
xk
y
k (,)
)dS
yk
+
( N
x k (,)
uk + N
y
k (,)
vk + N
z
k (,)
wk
C
+ µ N
x
k (,
) xk + µ N
y
k (,
) )ds
yk
N
=
f N
( ,)dS + N
y k(,)
x
k (,)dS + N
x k(,)ds f N
y
k
ds
k =1 S
C
S
C
f N
z k(,)dS + N
z k (,)ds m N
x k(,)dS + µ N
x k (,)ds
S
C
S
C
m N
e
y k(,)dS + µ N
y k (,)ds ) Uk
S
C
N
e
e
e
e
= k
F U k = F U
k =1
La formulation variationnelle du travail des efforts extérieurs pour l'ensemble des éléments s'écrit
alors :
nb elem
W = We = FU = T T
ext
ext
U F où U est l'ensemble des degrés de liberté de la structure
e=1
discrétisée et F provient de l'assemblage des vecteurs force élémentaires.
Comme pour les matrices de rigidité, le processus d'assemblage des vecteurs force élémentaires
implique que tous les degrés de liberté soient exprimés dans le repère global. Dans le repère global,
les degrés de liberté sont les trois déplacements par rapport aux trois axes du repère cartésien global
et les trois rotations par rapport ces trois axes. On utilise donc des matrices de passage du repère local
au repère global pour chaque élément.
Remarque :
Les efforts extérieurs peuvent aussi être définis dans le repère utilisateur. On utilise alors une
matrice de passage du repère utilisateur vers le repère local de l'élément pour avoir l'expression de
ces efforts dans le repère local de l'élément et en déduire le vecteur force élémentaire local
correspondant. Pour l'assemblage on passe alors du repère local de l'élément au repère global.
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4.9
Prise en compte des chargements thermiques
4.9.1 Thermo-élasticité des plaques
La température est représentée par le modèle de thermique à trois champs suivant [R3.11.01] :
T(x , x3) = T m(
x ). P1(x3)+ T s(x ). P2(x3)+ Ti
(x ).P3(x3),
avec : P (x
- h / 2,+h / 2
j
3 ) : les trois polynômes de LAGRANGE dans l'épaisseur : ]
[ :
2
x
x
P (x ) = 1- (2x / h) ; P
3
3
2 (x3 ) =
(1+2x /h
3
) ; P3(x3)= - (1-2x /h
1
3
3
3
) ;
h
h
A partir de la représentation de la température ci-dessus, on obtient :
· la température moyenne dans l'épaisseur :
1 +h/2
1
T (x ) =
T
m
s
i
,
=
4
3
3
+
+
;
-h/2 (x
x
)dx
T
x
T x
T x
h
6 (
( ) ( ) ( )
· le gradient de température moyen dans l'épaisseur :
%(
12 + 2
)
h/
T x
=
T
;
2 - 2 (x , x x dx
3
3
3 = T s x
- T i x
h/
)
( ) ( )
h
Ainsi la température peut être écrite de la façon suivante :
~
T(x , x3) = T(x )+ T%(x ). x / h + T
3
(x ,x
3 ) telle que :
h/2 ~
h 2
T
(
/
~
x , x
3 = 0
= 0
.
- 2
) ;
x T x x
h
-h/
3 (
,
/
3
2
)
Si la température est effectivement affine dans l'épaisseur on a, ~
T = 0 .
Le Code_Aster traite trois situations thermo-élastiques différentes, où les caractéristiques
thermo-élastiques E , , ne dépendent que de la température moyenne T dans l'épaisseur :
· le cas où le matériau est thermo-élastique isotrope homogène dans l'épaisseur ;
· le cas où la plaque modélise une grille orthotrope (aciers d'armatures de béton) ;
· le cas où le comportement de la plaque est déduit d'une homogénéisation thermo-élastique,
cf. [bib7].
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Pour les éléments de plaque en thermo-élasticité, les effets thermiques sont pris en compte par
l'intermédiaire d'efforts généralisés, en membrane et en flexion. Ainsi, dans le cas d'une plaque
homogène, connaissant le coefficient de dilatation , les efforts thermiques généralisés sont définis à
partir des contraintes planes dans l'épaisseur par :
+h/2
+h/2
N ther =
C
ther
dx3 =
.C
réf
-
/2
-h
-h/
(T T ) dx
3
2
+h/2
+h/2
M ther =
x C
ther
3
dx3 =
.x C
réf
3
-
/2
-h
-h/
(T T ) dx
3
2
V ther
= 0
Soit dans le cas thermo-élastique isotrope homogène dans l'épaisseur :
Eh
N ther = .C
. .
-
h
(T Tréf ) =.
.
2 (T - T réf )
;
1-
h2
Eh2
M ther = .C
.
T
% = .
.
%
;
= .
0
12
(
12 1- 2 ) T
V ther
Les contraintes d'origine thermiques soustraites aux contraintes mécaniques habituelles sont calculées
en trois positions (sup., moy. et inf.) dans l'épaisseur :
ther
. E
=
2 (
réf
T - T
+ T%. x / h
3
)
1-
Dans le cas déduit de l'homogénéisation thermo-élastique, cf. [bib7], les efforts thermiques généralisés
sont définis par la relation générale, à partir des « correcteurs » de membrane , ceux de
flexion , et celui de dilatation udil , comme des moyennes sur le volume élémentaire représentatif
(cellule z) :
~
N ther =
C
..
-
+ %
.
/
3
+
, 3
+
. u
;
(T Tréf T(x ) z h T(x x
)
dil
ij (
)Cijkl kl( )
Z
Z
~
M ther =
z .C
.
3
. -
+ %
.
/
3
+
, 3
+
. u
;
(T Tréf T(x ) z h T(x x
)
dil
ij (
)Cijkl kl( )
Z
Z
V ther
= 0
Dans ce cas lorsque l'on se limite aux situations orthotropes sans couplage flexion-membrane, on
~
néglige le rôle de T (x ,x
3 ) sur le correcteur udil , et on trouve donc que les efforts thermiques qui
apparaissent au second membre ont pour expression :
N ther = . H m
.
-
;
(T
T réf )
M ther = . H f
.T
%
; V ther
= 0
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On ne peut cependant remonter aux contraintes tridimensionnelles complètes : il serait nécessaire de
connaître les « correcteurs » au sein de la cellule de base ayant servi à la détermination des
coefficients de comportement homogénéisé.
Dans les situations thermo-élastoplastiques, ou bien pour les coques (éléments de la famille
COQUE_3D), il est nécessaire d'évaluer les contraintes tridimensionnelles, dont les contraintes
thermiques, en chaque point d'intégration dans l'épaisseur.
Remarque :
Remonter aux contraintes tridimensionnelles complètes n'est pas immédiat pour les coques
multicouches (stratifiées) car il faut connaître couche par couche l'état de contrainte ; en élasticité,
celui-ci se déduit de l'état de déformation et du comportement au niveau de chaque couche.
4.9.2 Chaînage
thermomécanique
Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser pour le calcul thermique
des éléments finis de coque thermique [R3.11.01] dont le champ de température est récupéré comme
donnée d'entrée du Code_Aster pour le calcul mécanique. Il faut donc qu'il y ait compatibilité entre le
champ thermique donné par les coques thermiques et celui récupéré par les plaques mécaniques. Ce
dernier est défini par la connaissance des 3 champs TEMP_SUP, TEMP et TEMP_INF donnés en peaux
inférieure, milieu et supérieure de coque.
Le tableau ci-dessous indique les compatibilités entre les éléments de plaque et les éléments de coque
thermique :
Modélisation
Maille
Elément fini
à utiliser
Maille
Elément fini
Modélisation
THERMIQUE
avec
MECANIQUE
COQUE
QUAD4 THCOQU4
//////////////
QUAD4
MEDKQU4
DKT
///////////////
MEDSQU4
DST
/////////////
MEQ4QU4
Q4
COQUE
TRIA3
THCOTR3
///////////////
TRIA3
MEDKTR3
DKT
/////////////
MEDSTR3
DST
Remarques :
Les noeuds des éléments de coques thermiques et de plaques mécaniques doivent se
correspondre. Les maillages seront identiques.
Les éléments de coques thermiques surfaciques sont traités comme des éléments plans par
projection de la géométrie initiale sur le plan défini par les 3 premiers sommets.
Le chaînage avec des matériaux multicouches définis via la commande DEFI_COQU_MULT [U4.23.03]
n'est pas disponible pour l'instant.
Le chaînage thermomécanique est aussi possible si l'on connaît par des mesures expérimentales la
variation du champ de température dans l'épaisseur de la structure ou de certaines parties de la
structure. Dans ce cas on travaille avec une carte de température définie a priori ; le champ de
température n'est plus donné par les trois valeurs TEMP_INF, TEMP et TEMP_SUP du calcul thermique
obtenues par EVOL_THER. Il peut être beaucoup plus riche et contenir un nombre arbitraire de points
de discrétisation dans l'épaisseur de la coque. L'opérateur DEFI_NAPPE permet de créer de tels profils
de températures à partir des données fournies par l'utilisateur. Ces profils sont affectés par la
commande AFFE_CARTE (cf. le cas-test hsns100b). On notera qu'il n'est pas nécessaire pour le calcul
mécanique que le nombre de points d'intégration dans l'épaisseur soit égal au nombre de points de
discrétisation du champ de température dans l'épaisseur. Le champ de température est
automatiquement interpolé aux points d'intégration dans l'épaisseur des éléments de plaques ou de
coques.
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4.9.3 Cas-test
Les cas-tests pour le chaînage thermomécanique entre des éléments de coques thermiques et des
éléments de plaque sont le hpla100e (éléments DKT) et hpla100f (éléments DKQ). Il s'agit d'un cylindre
creux thermoélastique pesant en rotation uniforme [V7.01.100] soumis à un phénomène de dilatation
thermique où les champs de température sont calculés avec THER_LINEAIRE par un calcul
stationnaire.
z
Ri
Re
Rayon intérieur Ri = 19.5 mm
Rayon extérieur Re = 20.5 mm
Point F
R = 20.0 mm
Epaisseur
h = 1.0 mm
Hauteur
L = 10.0 mm
r
z
N
K
z
Q
J
P
D
C
y
H
M
+
L
x
A
B
r
F
La dilatation thermique vaut : T() - Tref () = 05
. (T + T
s
i ) + 2.(T + T
s
i )(r - R) / h
avec :
·
T = 0 5
. °C, T = -0 5
. ° C, T
= 0. °C
s
i
ref
·
T = 01
. ° C, T = 01
. ° C, T
= 0. ° C
s
i
ref
On teste les contraintes, les efforts et moments fléchissants en L et M. Les résultats de référence sont
analytiques. On obtient de très bons résultats quel que soit le type d'élément considéré.
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ, Q4g
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5
Implantation des éléments de plaque dans le Code_Aster
5.1 Description
:
Ces éléments (de noms MEDKTR3, MEDSTR3, MEDKQU4, MEDSQU4 et MEQ4QU4) s'appuient sur des
mailles TRIA3 et QUAD4 planes. Ces éléments ne sont pas exacts aux noeuds et il faut mailler avec
plusieurs éléments pour obtenir des résultats corrects.
5.2
Utilisation et développements introduits :
Ces éléments s'utilisent de la façon suivante :
· AFFE_MODELE ( MODELISATION : 'DKT' ..) pour le triangle et le quadrangle de type DKT
· AFFE_MODELE ( MODELISATION : 'DST' ..) pour le triangle et le quadrangle de type DST
· AFFE_MODELE ( MODELISATION : 'Q4G' ..)
On fait appel à la routine INI079 pour la position des points de Hammer et de Gauss sur la surface de la
plaque et les poids correspondants.
· AFFE_CARA_ELEM ( COQUE:(EPAISSEUR:'EP'
ANGL_REP : ( '' '' )
COEF_RIGI_DRZ : 'CTOR')
Pour faire des post-traitements (contraintes, efforts généralisés,...) dans un repère choisi par l'utilisateur
qui n'est pas le repère local de l'élément, on donne une direction de référence d définie par deux angles
nautiques dans le repère global. La projection de cette direction de référence sur le plan de la plaque fixe
une direction X1 de référence. La normale au plan en fixe une seconde et le produit vectoriel des deux
vecteurs précédemment définis permet de définir le trièdre local dans lequel seront exprimés les efforts
généralisés et les contraintes. L'utilisateur devra veiller à ce que l'axe de référence choisi ne se retrouve
pas parallèle à la normale de certains éléments de plaque du modèle. Par défaut cette direction de
référence est l'axe X du repère global de définition du maillage.
La valeur CTOR correspond au coefficent que l'utilisateur peut introduire pour le traitement des termes de
rigidité et de masse suivant la rotation normale au plan de la plaque. Ce coefficient doit être suffisamment
petit pour ne pas perturber le bilan énergétique de l'élément et pas trop petit pour que les matrices de
rigidité et de masse soient inversibles. Une valeur de 105 est mise par défaut.
· ELAS : (E :young NU : ALPHA :.. RHO :.. )
Pour un comportement thermo-élastique isotrope homogène dans l'épaisseur on utilise le mot-clé ELAS
dans DEFI_MATERIAU où l'on définit les coefficients E, module d'Young, ,coefficient de Poisson, ,
coefficient de dilatation thermique et RHO la masse volumique.
· ELAS_ORTH(_FO) : (
E_L :ygl.. E_T :ygt..G_LT :glt.. G_TZ :gtz..NU_LT :nult..
ALPHA_L :l.. ALPHA_T :t..)
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Pour un comportement thermo-élastique orthotrope dont les axes d'orthotropie sont L, T et z avec
isotropie d'axe L (fibres dans la direction L enrobées par une matrice, par exemple) il faut donner les sept
coefficients indépendants ygl, module d'Young longitudinal, ygt, module d'Young transversal, glt,
module de cisaillement dans le plan LT, gtz, module de cisaillement dans le plan TZ nult, coefficient de
Poisson dans le plan LT et les coefficients de dilatation thermique l et t pour la dilatation thermique
longitudinale et transversale, respectivement. Le comportement orthotrope n'est disponible
qu'associé au mot clé DEFI_COQU_MULT qui permet de définir une coque composite multicouche.
Pour un seul matériau orthotrope, on utilisera donc DEFI_COQU_MULT avec une seule couche. Si on
souhaite utiliser ELAS_ORTH avec du cisaillement transverse, il faut nécessairement employer la
modélisation DST. Si on utilise la modélisation DKT, le cisaillement transverse n'est pas pris en compte.
· ELAS_COQUE(_FO) : (
MEMB_L :C1111.. MEMB_LT :C1122.. MEMB_T :C2222.. MEMB_G_LT :C1212..
FLEX_L :D1111.. FLEX_LT :D1122.. FLEX_T :D2222.. FLEX_G_LT :D1212..
CISA_L :G11.... CISA_T :G22.... ALPHA :.. RHO :.. )
Ce comportement a été ajouté dans DEFI_MATERIAU pour prendre en compte des matrices de rigidité
non proportionnelles en rigidité et en flexion, obtenues par homogénéisation d'un matériau multicouche.
Les coefficients des matrices de rigidité sont alors introduits à la main par l'utilisateur dans le repère
utilisateur défini par le mot-clé ANGL_REP. L'épaisseur donnée dans AFFE_CARA_ELEM est seulement
utilisée avec la masse volumique définie par RHO. ALPHA est la dilatation thermique. Si on souhaite
utiliser ELAS_COQUE avec du cisaillement transverse, il faut nécessairement employer la modélisation
DST. Si on utilise la modélisation DKT, le cisaillement transverse n'est pas pris en compte.
· DEFI_COQU_MULT : (COUCHE : EPAISSEUR:'EP'
MATER : 'matériau'
ORIENTATION : ( '' ))
Ce mot-clé permet de définir une coque composite multicouche en partant de la couche inférieure vers la
couche supérieure à partir de ses caractéristiques couche par couche, épaisseur, type du matériau
constitutif et orientation des fibres par rapport à un axe de référence. Le type du matériau constitutif est
produit par l'opérateur DEFI_MATERIAU sous le mot-clé ELAS_ORTH. est l'angle de la première
direction d'orthotropie (sens longitudinal ou sens des fibres) dans le plan tangent à l'élément par rapport
à la première direction du repère de référence défini par ANGL_REP. Par défaut est nul, sinon il doit être
fourni en degrés et doit être compris entre 90º et + 90º.
· AFFE_CHAR_MECA ( DDL_IMPO : (
DX :.. DY :.. DZ :.. DRX :.. DRY :.. DRZ :.. DDL de plaque dans le repère
global.
FORCE_COQUE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. ) Il s'agit des efforts
surfaciques sur des éléments de plaque. Ces efforts peuvent être donnés dans le repère global ou
dans le repère utilisateur défini par ANGL_REP.
· FORCE_NODALE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. ) Il s'agit des
efforts de coque dans le repère global.
5.3
Calcul en élasticité linéaire :
La matrice de rigidité et la matrice de masse (respectivement les options RIGI_MECA et MASS_MECA)
sont intégrées numériquement. On ne vérifie pas si la maille est plane ou non. Le calcul tient compte
du fait que les termes correspondant aux DDL de plaque sont exprimés dans le repère local de
l'élément. Une matrice de passage permet de passer des DDL locaux aux DDL globaux.
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Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· EPSI_ELNO_DEPL et SIGM_ELNO_DEPL qui fournissent les déformations et les contraintes
aux noeuds dans le repère utilisateur de l'élément en peau inférieure, à mi épaisseur et en
peau supérieure de plaque, la position étant précisée par l'utilisateur. On stocke ces valeurs
de la façon suivante : 6 composantes de déformation ou de contraintes :
· EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ
· DEGE_ELNO_DEPL : qui donne les déformations généralisées par `élément aux noeuds à
partir des déplacements dans le repère utilisateur : EXX, EYY, EXY, KXX, KYY, KXY,
GAX, GAY.
· EFGE_ELNO_DEPL : qui donne les efforts généralises par élément aux noeuds à partir des
déplacements : NXX, NYY, NXY, MXX, MYY, MXY, QX, QY.
· SIEF_ELGA_DEPL : qui donne les efforts généralises par élément aux points de Gauss à
partir des déplacements : NXX, NYY, NXY, MXX, MYY, MXY, QX, QY.
· EPOT_ELEM_DEPL : qui donne l'énergie élastique de déformation par élément à partir des
déplacements.
· ECIN_ELEM_DEPL : qui donne l'énergie cinétique par élément.
Enfin on calcule aussi l'option FORC_NODA de calcul des forces nodales pour l'opérateur CALC_NO.
5.4
Calcul en plasticité
La matrice de rigidité est là aussi intégrée numériquement. On fait appel à l'option de calcul
STAT_NON_LINE dans laquelle on définit au niveau du comportement non linéaire le nombre de
couches à utiliser pour l'intégration numérique. Toutes les lois de contraintes planes disponibles dans
le Code_Aster peuvent être utilisées.
STAT_NON_LINE (....
COMP_INCR : (RELATION :' '
COQUE_NCOU :'NOMBRE DE COUCHES')
....)
Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· EPSI_ELNO_DEPL qui fournit les déformations par élément aux noeuds dans le repère
utilisateur à partir des déplacements, en peau inférieure, à mi épaisseur et en peau supérieure
de plaque.
· SIGM_ELNO_COQU qui permet d'obtenir le champ de contraintes dans l'épaisseur par élément
aux noeuds pour une couche donnée et une position demandée ( en peau inférieure, au milieu
ou en peau supérieure de couche). Ces valeurs sont données dans le repère utilisateur.
· SIEF_ELNO_ELGA qui permet d'obtenir les efforts généralisés par élément aux noeuds dans
le repère utilisateur.
· VARI_ELNO_ELGA qui calcule le champ de variables internes et les contraintes par élément
aux noeuds pour toutes les couches, dans le repère local de l'élément.
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6 Conclusion
Les éléments finis de plaque plans que nous décrivons ici sont utilisés dans les calculs de structures
minces, en petits déplacements et déformations, dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique
est inférieur à 1/10. Comme ces éléments sont plans, ils ne prennent pas en compte la courbure des
structures, et il est nécessaire de raffiner les maillages dans le cas où celle-ci serait importante.
Ce sont des éléments pour lesquels les déformations et les contraintes dans le plan de l'élément
varient linéairement avec l'épaisseur de la plaque. De plus, la distorsion associée au cisaillement
transverse est constante dans l'épaisseur de l'élément. Deux types d'éléments de plaque existent : les
éléments DKT, DKQ pour lesquels la distorsion transverse est nulle et les éléments DST, DSQ et Q4
pour qui elle reste constante et non nulle dans l'épaisseur. On conseille d'utiliser le second type
d'éléments lorsque la structure à mailler a un rapport épaisseur sur longueur caractéristique compris
entre 1/20 et 1/10 et les premiers dans le restant des cas. Lorsque la distorsion transverse est non
nulle, les éléments de plaque DST, DSQ et Q4 ne satisfont pas les conditions d'équilibre 3D et les
conditions aux limites sur la nullité des contraintes de cisaillement transverse sur les faces supérieure
et inférieure de plaque, compatibles avec une distorsion transverse constante dans l'épaisseur de la
plaque. Il en résulte ainsi qu'au niveau du comportement un coefficient de 5/6 pour une plaque
homogène corrige la relation habituelle entre les contraintes et la distorsion transverses de façon à
assurer l'égalité entre les énergies de cisaillement du modèle 3D et du modèle de plaque à distorsion
constante. Dans ce cas, la flèche w a pour interprétation le déplacement transverse moyen dans
l'épaisseur de la plaque.
Les comportements non-linéaires en contraintes planes sont disponibles pour les éléments de plaque
DKT et DKQ uniquement. En effet la prise en compte rigoureuse d'un cisaillement transverse constant
non nul sur l'épaisseur et la détermination de la correction associée sur la rigidité de cisaillement par
rapport à un modèle satisfaisant les conditions d'équilibre et les conditions aux limites ne sont pas
possibles et rendent donc l'utilisation des éléments DST, DSQ et Q4 rigoureusement impossible en
plasticité.
Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique ; les chaînages
thermo-mécaniques sont donc disponibles sauf, pour l'instant, pour les matériaux stratifiés.
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7 Bibliographie
[1]
J.L. Batoz, G.Dhatt, "Modélisation des structures par éléments finis : poutres et plaques ",
Hermès, Paris, 1992.
[2]
D. Bui, "Le cisaillement dans les plaques et les coques : modélisation et calcul", Note HI-
71/7784, 1992.
[3]
J.G. Ren, "A new theory of laminated plate ", Composite Science and Technology, Vol.26,
p.225-239,1986.
[4]
T.A. Rock, E. Hinton, "A finite element method for the free vibration of plates allowing for
transverse shear deformation ", Computers and Structures, Vol.6, p.37-44,1976.
[5]
T.J.R. Hughes, "The finite element method", Prentice Hall,1987.
[6]
E. Hinton, T. Rock et O.C. Zienkiewicz, "A note on Mass Lumping and Related Processes in
the Finite Element Method ", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol4, p. 245-
249, 1976.
[7]
F. Voldoire "Modélisation par homogénéisation thermique et thermo-élastique de composants
mécaniques minces", CR MMN/97/091.
[8]
R3.11.01 P. MASSIN, F. VOLDOIRE, S. ANDRIEUX "Modèle de thermique pour les coques
minces", Manuel de référence du Code_Aster.
[9]
V7.01.100 F. VOLDOIRE "Cylindre creux thermoélastique ", Manuel de validation du
Code_Aster.
[10]
A.K. Noor, W.S. Burton, "Assessment of shear deformation theories for multilayered
composite plates ", ASME, Applied Mechanics Review, Vol.42, N°1, p.1-13,1989.
[11]
A.K. Noor, W.S. Burton, J.M. Peters "Assessment of computational models for multilayered
composite cylinders " in Analytical and Computational Models of Shells, Noor et al. Eds,
ASME, CED - Vol.3, p.419-442,1989.
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Annexe 1 Plaques orthotropes
Pour un matériau orthotrope comme celui représenté ci-dessous, composé par exemple de fibres de direction L
enrobées d'une matrice, dont les axes d'orthotropie sont L, T et Z avec isotropie d'axe L, l'expression pour les
matrices H et H dans le repère d'orthotropie précédemment défini devient :
H
H
0
LL
LT
GLZ
0
HL = H
H
LT
TT
0 et HL =
0
GTZ
0
0
GLT
E
E
E
H
L
=
; H
T
L
LL
TT =
G
=
1-
LZ
LTTL
1- LTTL
2 1
( + LZ )
avec
et
.
E
E
E
H
T LT
L TL
T
LT =
=
G
=
1-
TZ
LTTL
1- LTTL
2 1
( + TZ )
La connaissance des cinq coefficients indépendants E , E , G
, G
L
T
LT
TZ , LT est suffisante pour déterminer
les coefficients des matrices H et H puisque :
ET
LT
TL =
et G
= G .
E
LZ
LT
L
Si l'on désigne par l'angle entre le repère d'orthotropie et l'axe principal du repère défini par l'utilisateur au
moyen de ANGL_REP on établit que :
H = TTH T
T
1
L 1 et H
= T H T
2
L
2
C2
S 2
CS
C
S
avec : T
2
2
1 = S
C
- CS et T2 =
= cos, = sin
x L
-
où C
S
et = ( , ) comme
S C
- CS CS C2 - S2
2
2
indiqué sur la figure ci-dessous.
Z
L
x
T
Dans le cas de contraintes initiales d'origine thermique, nous avons de plus :
L T
T
th = -T H
1
L T T
0
où L et T sont les coefficients de dilatation thermique dans les directions L et T et T la variation de
température.
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Annexe 2 Facteurs de correction de cisaillement transverse pour
des plaques orthotropes ou stratifiées
La matrice Hct est définie de sorte que la densité surfacique d'énergie de cisaillement transverse obtenue dans
le cas de la distribution tridimensionnelle des contraintes issues de la résolution de l'équilibre soit égale à celle
du modèle de plaque basé sur les hypothèses de Reissner, pour un comportement en flexion simple. On doit
ainsi trouver Hct telle que :
1 +h/2
1
1
+h/2
xz
H-1
-1
= TH T
ct
= Hct avec =
et T =
dz = H
.
2
2
2
ct
yz
-h/2
-h/2
Pour obtenir Hct on utilise la distribution de suivant z obtenue à partir de la résolution des équations
d'équilibre 3D sans couples extérieurs :
z
z
= - (
avec xz =
= 0 pour z=±h/2.
, +
)d ;
,
= - ( , +
)d
xz
xx x xy y yz
xy x yy,y
yz
-h/2
-h/2
Dans le cas où il n'y a pas de couplage membrane flexion (symétrie par rapport à z=0), les contraintes dans le
plan de l'élément xx , yy , xy ont pour expression dans le cas d'un comportement de flexion pure :
= zA(z)M avec A z = H z H 1
( )
( ) -f .
Si (
H z) et Hf ne dépendent pas de x et y on peut déterminer Hct . En effet :
Mxx,x - Mxy,y
Tx Mxx,x + Mxy,y
M xy,x - M
yy,y
(z) = D (z)T
1
+ D (z)
2
où T =
=
et =
T
M
y
Mxy,x + M yy,y
yy,x
M xx,y
ainsi que :
z
A
A
A
A
11 +
33
13 +
32
D = -
d ,
1
2 A
A
A
A
h/2
31 +
23
22 +
33
-
z
A
A
A
A
A
A
11 -
33
13 -
2
2
32
12
31
D = -
d .
2
2 A
A
A
A
A
A
h/2
31 -
23
33 -
2
2
22
32
21
-
+h/2
C =
DTH 1
- D
11
1 1dz;
-h/2
1 +h/2
1
+h/2
1
T C
C
11
12
T
Il en résulte que
-
H
T
-1
=
T
avec : C =
D H D
dz;
2
2 C
C
12
1
2
12
22
-h/2
-h/2
+h/2
C
=
DTH 1
- D
22
2 2dz
-h/2
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1 +h/2
1
Comme par ailleurs
-1
-
H
1
1
-
=
TH T on propose de prendre H = C pour satisfaire au mieux les
2
2
ct
ct
11
-h/2
deux équations quels que soient T et .
+h/2
En comparant Hct ainsi calculée avec H
H
ct = dz on fait apparaître les coefficients de correction de
-h/2
cisaillement transverse suivant : k = H11 / H 11;k
= H12 / H 12;k = H22 / H 22
1
ct
ct
12
ct
ct
2
ct
ct .
Pour une plaque homogène, isotrope ou anisotrope, on trouve ainsi : Hct =kh H avec k=5/6.
Remarques :
Cette méthode n'est valide que lorsque la plaque composite est symétrique par rapport à z=0.
· Pour un matériau multicouche , on établit que :
N
i-1
i-
h
1
1
1
C
= i (h AT
2
2
p p
- z AT )H-1
i
(
h A
p p
- z A
11
p
i
p
i
i ) +
4
2
2
i=1
p=1
p=1
i-1
i-
1
1
3
3
-
1
1
2
2
-
(zi+1 - z )[ATH 1
i
(
h A
p p
- z A
i
) + (h AT
p p
- z AT )H 1A
i
p
i
p
i
i
i ]
24
2
2
p=1
p=1
1
+
(z5
5
T
-1
i+1 - zi )A H
A
80
i
i
1
A + A
A + A
11
33
13
32
où : h = z +1 - z , = (z +1 + z
i
i
i
i
i
i ) et A
pour
2
i représente la matrice A + A
A + A
31
23
22
33
la couche i.
· La validité du choix H
= C-1
ct
11 peut être examinée a posteriori lorsque l'on a une estimation de la
solution (champs de déplacements et de contraintes planes, notamment). On peut alors estimer
l'écart entre les deux estimations sur l'énergie. Une démarche de calcul en deux étapes pour les
plaques et coques multicouches (avec Hct diagonale et deux coefficients k1 et k2) a d'ailleurs été
développée par Noor et Burton [bib11] [bib12].
· Dans le cas d'une plaque homogène isotrope ou anisotrope l'égalité entre les deux énergies est
satisfaite au sens strict puisque D2 = 0. Le choix fait ci-dessus est alors valide et aucun examen a
posteriori n'est nécessaire.
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