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Version 7.1

Titre :

Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


Date :
08/10/03
Auteur(s) :
N. TARDIEU, P. MASSIN Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA















Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.51





Contact ­ frottement discret en 2D et 3D





Résumé :

Des modélisations discrètes du contact avec frottement en 2D et 3D, les zones de glissement étant
respectivement 1D et 2D, sont proposées à partir d'une formulation variationnelle mixte contraintes-
déplacements. Les conditions de contact et de frottement sont traitées aux noeuds des surfaces de contact des
solides impliqués avec prise en compte des grands déplacements. La loi de frottement de Coulomb est traitée
par les opérateurs STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE après définition des conditions de contact et de
frottement sous le mot clé CONTACT de AFFE_CHAR_MECA.

En 2D comme en 3D, diverses méthodes sont utilisables pour la modélisation du problème :

·
prise en compte du contact et du frottement à l'aide de multiplicateurs de Lagrange,
·
prise en compte du contact à l'aide de multiplicateurs de Lagrange et du frottement à l'aide de
pénalisation,
·
prise en compte du contact et du frottement à l'aide de pénalisation.

Les algorithmes sous-jacents sont inspirés des contraintes actives [bib2] [bib9] et des prédicteurs-correcteurs
couramment utilisés en plasticité.
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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Formulation du modèle ..........................................................................................................................4
2.1 Le critère de Coulomb .....................................................................................................................4
2.2 Formulation générale pour différents critères..................................................................................6
2.3 Formulation par inclusions différentielles ........................................................................................7
2.4 Résolution du problème d'équilibre. ................................................................................................8
2.5 Formulation variationnelle ...............................................................................................................9
3 Contact frottant 2D et 3D dans le Code_Aster ....................................................................................11
3.1 Formulation du problème...............................................................................................................11
3.2 Dualisation des conditions de contact et de frottement.................................................................12
3.3 Dualisation des conditions de contact, régularisation des conditions de frottement.....................13
3.4 Régularisation des conditions de contact et de frottement ...........................................................14
4 Résolution algorithmique .....................................................................................................................15
4.1 Linéarisation des différents termes................................................................................................15
4.1.1 Forces internes.....................................................................................................................15
4.1.2 Forces de contact.................................................................................................................15
4.1.3 Forces de glissement ...........................................................................................................15
4.1.4 Forces d'adhérence..............................................................................................................16
4.1.5 Remarque.............................................................................................................................16

5 Résolution ............................................................................................................................................17
5.1.1 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 2D.............................................17
5.1.2 Dualisation des conditions de contact et régularisation du frottement en 2D et 3D ............18
5.1.3 Régularisation des conditions de contact et de frottement en 2D et 3D..............................20
5.1.4 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 3D.............................................21
5.1.5 Convergence ........................................................................................................................23
5.1.6 Remarque.............................................................................................................................23

6 Compatibilité avec les conditions aux limites de Dirichlet ...................................................................24
6.1 Ecriture des conditions aux limites ................................................................................................24
6.2 Retour au problème de contact .....................................................................................................24
6.3 Illustration sur un exemple simple .................................................................................................25
6.4 Remarque ......................................................................................................................................25

7 Mise en oeuvre dans le Code_Aster ....................................................................................................26
7.1 Algorithmes....................................................................................................................................26
7.2 Réactualisation géométrique .........................................................................................................27
7.3 Post traitement...............................................................................................................................27
7.4 Précautions d'utilisation.................................................................................................................28
8 Conclusion ...........................................................................................................................................29
9 Bibliographie ........................................................................................................................................30
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1 Introduction

Des modélisations discrètes du contact avec frottement en 2D et 3D, les zones de glissement étant
respectivement 1D et 2D, sont proposées à partir d'une formulation variationnelle mixte contraintes-
déplacements. Les conditions de contact et de frottement sont traitées aux noeuds des surfaces de
contact des solides impliqués avec prise en compte des grands déplacements. La loi de frottement de
Coulomb est traitée par les opérateurs STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE après définition des
conditions de contact et de frottement sous le mot clé CONTACT de AFFE_CHAR_MECA.

En 2D comme en 3D, diverses méthodes sont utilisables pour la modélisation du problème :

·
prise en compte du contact et du frottement à l'aide de multiplicateurs de Lagrange,
·
prise en compte du contact à l'aide de multiplicateurs de Lagrange et du frottement à l'aide de
pénalisation,
·
prise en compte du contact et du frottement à l'aide de pénalisation.

Les algorithmes sous-jacents couplent la méthode des contraintes actives [bib2] pour déterminer les
régions de contact et un algorithme de résolution de Newton inspiré des méthodes de type
prédicteur-correcteur, couramment utilisées en plasticité, pour le frottement, afin de déterminer les
zones de glissement [bib1] [bib7] [bib10].

En 2D comme en 3D, l'utilisateur dispose d'un ensemble de méthodes panachant dualisation et
régularisation par pénalisation :

·
dualisation des conditions de contact et de frottement,
·
dualisation des conditions de contact et régularisation des conditions de frottement,
·
régularisation des conditions de contact et de frottement.

Les intérêts comparés de ces méthodes sont bien connus : la dualisation introduit de nouvelles
inconnues mais elle fournit une solution exacte ; la régularisation ne fournit qu'une approximation de la
solution dépendante d'un paramètre choisi par l'utilisateur mais elle n'introduit pas de nouvelles
inconnues.

Le document débute par une présentation générale des lois de frottement. On présente ensuite la
discrétisation de ces lois ainsi que leur linéarisation en vue de leur intégration au sein de la méthode de
Newton. On détaille alors les algorithmes permettant de résoudre ces problèmes. La fin du document
traite de l'utilisation pratique de ces méthodes au sein du Code_Aster et de leur post traitement avant
d'aborder les conclusions.
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2
Formulation du modèle

2.1
Le critère de Coulomb

Soient 2 solides pouvant entrer en contact frottant :



t
n



Soient n la normale sortante à la surface de contact, u = u n
. le déplacement suivant cette normale,
n
g le jeu initial existant entre 2 solides, = n
. n
. la force normale exercée par l'une des surfaces
nn
sur l'autre et = n
. - n le cisaillement.
t
nn


Solide
Soli 2
de
n 1 t t
u2
u
t
t
1
2
Solide
Soli 1
de
u1
u


Plus précisément, pour deux solides (1) et (2) en contact : la zone de contact est soit ponctuelle, soit
linéique soit surfacique. La force de cisaillement a alors pour direction dans la zone de contact un
vecteur t situé dans le plan tangent (t ,t ) indiqué sur la figure ci-dessus. On définit :
1
2

r =
( n
. ) -
(( n
.
n
). ) n = rt , r =
1
1
1
1
1
1
t

la force de cisaillement exercée par le solide (2) sur le solide (1) par unité de surface de contact.

Ecrivons le système d'équations et d'inéquations devant être vérifié par ces grandeurs :

u .n + u .n = u u n
g
1
1
2
2
( -
1
2 ).


1
0
nn
(u .n +u .n - g) = 0
nn
1
1
2
2


- µ 0

t
nn
u& = u& u& t r
t
( -

2
1 )

. =
( - µ ) = 0

t
nn

0
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n est la normale sortante au solide (1) et n la normale sortante au solide (2) opposée à n . Le
1
2
1
premier jeu d'équations et d'inéquations correspond à la gestion du contact ; on ne le détaillera pas et
nous renvoyons à [bib9]. Le second correspond à la description du frottement obéissant au critère de
Coulomb. Il fait intervenir plusieurs champs et les lie entre eux : la pression normale, le cisaillement et
le déplacement tangent. Il peut se comprendre comme suit :

·
Si < µ
,
t
nn
-
= 0 et u& = 0
t
·
Si = µ
,
t
nn
-
> 0 et u& = r

t

On peut donner les interprétations graphiques suivantes :


adhéren
adhére t


nn
n
glissa
glis nt
sa
t
t
2
1
t1

t2



Dans l'espace des contraintes, l'effort de contact frottant ne peut se trouver qu'à l'intérieur du cône de
Coulomb : s'il est strictement à l'intérieur, le contact est adhérent ; s'il est sur la surface du cône, le
contact est glissant. On peut donc donner une autre représentation de ce critère pour une situation de
contact connue :


r
µ nn
glissant
adhérent
u&t
glissant
- µ nn



Le frottement induit la notion de seuil ; nous allons voir maintenant comment formuler de manière
générale d'autres lois de frottement en utilisant cette notion.

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2.2
Formulation générale pour différents critères

Les critères de frottement choisis sont de la forme :

g(r) 0

g(r) est une fonction convexe. Le domaine de non glissement est défini par l'intérieur du convexe.

Deux critères de frottement de la forme g(r) 0 sont particulièrement utilisés :

·
le critère de Tresca où :

g(r) = r - k 0 et k =constante

On note C le disque convexe C de rayon k centré à l'origine défini par :

C = { r
r k } .

La condition de non glissement est alors définie par l'appartenance de r à l'intérieur de C .
En cas de glissement, pour r situé sur la frontière de C , la direction de glissement t de u&
est donnée par la normale au critère en r , comme indiqué ci-dessous :


t2
t
r
C
t1
- k
+k
t
+k



·
le critère de Coulomb où :

g( ;
r µ, ) = r - k(µ, ) 0 et k = µ

nn
nn
nn

La valeur de k dépend de
= ( .
n).n 0 la composante normale de la force exercée par
nn
l'une des surfaces sur l'autre et de µ , le coefficient de frottement de Coulomb. En cas de
glissement, pour r situé sur la frontière de g qui est un cône, la direction de glissement t de
u& n'est pas donnée par la normale au critère en r , mais par la normale au disque convexe
C de rayon k = µ .
nn
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n
t
r = µ nn
t2
t
t1
t

Détermination de la direction de glissement pour
(t ,t
1
2 )
le critère de Coulomb dans le repère des vecteurs



·
le critère de Mohr-Coulomb où :

g(r, µ, ,c) = r - k(µ, ,c) 0 et k = c + µ

nn
nn
nn

Il est particulièrement utilisé pour caractériser le comportement d'interfaces de géomatériaux (argiles
notamment). c est la cohésion du matériau et µ le coefficient de friction ( µ = tan , où est l'angle
de friction). De nouveau
= ( .
n).n < 0 pour que le contact reste maintenu.
nn


2.3
Formulation par inclusions différentielles

On note V l'ensemble des déplacements cinématiquement admissibles du problème. La relation entre
la vitesse de glissement relatif u& et la contrainte de cisaillement r traduit les deux états possibles du
système : non glissement ou glissement relatif suivant la direction normale au disque convexe C .
Pour les trois critères présentés, la fonction u&(r) et sa réciproque r(u&) appartiennent toutes deux
aux sous-différentiels de deux pseudo-potentiels conjugués, de telle sorte que l'on peut écrire :

u& (r) et
*
r (u .
c
&)
c

L'apparition des incluions différentielles provient du caractère non-différentiable des lois de
contact-frottement. En effet, désigne la fonction indicatrice du disque convexe C de rayon k ,
c
centré à l'origine, précédemment défini. Elle est telle que :

0 si r C
(r) =

c

+ sinon
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(r) est alors le sous-différentiel de en r . Il se confond avec la normale extérieure à C en r .
c
c
* u
( ) =
, où k est le seuil de résistance au frottement, est la conjuguée de Fenchel de la
c
&
k u&
fonction indicatrice .
*
(u est positivement homogène de degré 1. Cette fonction s'interprète
c
&)
c
comme la densité de puissance dissipée dans le glissement. Utilisant les notions de sous-différentiel,
on peut établir les relations suivantes pour u& et r associés :

(r) = 0
u& (r)
c

;
c
&.(
u r - r) ,
0 r
C
u
& V
*
r



c (u
& )
r
(.v& - u&)
*

-

c (v
& )
*
c (u
& )
;
, v& V
*

+
=
=
c (u
& )
c (r )
&.
u r k u& .

Remarques :

1) Les deux pseudo-potentiels conjugués présentés sont non différentiables.
2) Une fois connue la réaction normale pour le critère de Coulomb, on se ramène localement à

un critère de frottement de Tresca dont le seuil vaut k = µ
.
nn
3) Les critères locaux adoptés ayant une forme circulaire on en déduit que u& (r) implique
c
qu'il existe réel positif tel que u& = r
.
4) La formulation du problème en vitesse suggère une résolution numérique incrémentale du
problème du frottement. La résolution du problème d'équilibre sera donc présentée sous
forme incrémentale.


2.4
Résolution du problème d'équilibre.

On considère deux solides de volume total dont la surface de contact est . Pour simplifier, on
c
supposera l'existence d'une énergie de déformation différentiable pour caractériser la réponse des
deux solides séparés à des sollicitations externes. En fait, on peut démontrer que les résultats donnés
ci-après sont indépendants de cette hypothèse. On note V l'ensemble des champs de déplacement
cinématiquement admissibles, contraints par le respect des conditions de contact et de frottement sur
l'interface.
L'équilibre des deux solides en l'absence de frottement s'écrit :


Trouver U champ de déplacement cinématiquement admissible tel que :

U =
min
arg
[((v))-W(v)] {(U)-W(U) (v)-W(v),vV}.

v V




En élasticité, (v) = ((v d
))

est l'énergie de déformation. La fonction W (v) représente le

travail des forces externes. Une condition nécessaire et qui devient suffisante si est strictement
convexe pour que cet équilibre soit vérifié est que :


D (U) - DW (U) =
D (U) - L
= 0
ext

D est l'opérateur dérivée Gâteaux et L est la forme linéaire associée aux forces externes.
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Avec l'introduction du frottement, le problème doit être abordé sous forme incrémentale. On est
conduit [bib3] [bib4] au problème de minimisation suivant sur l'ensemble V des champs
cinématiquement admissibles contraints par le respect des conditions de contact et de frottement sur
l'interface :

U connu, trouver U V tel que :
U + U
=
min
arg
[((U+ v
))
*
+ ( v
) -W (U + v
) .
c
t
]
vV

U + U
est ainsi solution de :



min ((U + v))
d + k v
d
-W (U + v) .
t
c


v V




c



v
est la composante tangentielle de l'incrément de déplacement relatif du solide 2 par rapport au
t
solide 1 le long de la surface de contact, avec les conventions adoptées au [§2.1].

Utilisant les relations *( v
) = k v
et *( v
) r. v
si r C on en déduit que U + U
est
c
t
t
c
t
t
solution du problème de MinMax suivant, sur l'espace V des champs cinématiquement admissibles :

Min Max J (U + v
,r)
v
V
r


où :

J (U + v
,r) =
(
(U + v
))
d + ( .
r v
- (r))
d -W (U + v
)



t
c
c

c

La présence de la fonction indicatrice dans cette expression indique que le cisaillement r sur la
surface de contact appartient au disque convexe de frottement C .
c


2.5 Formulation

variationnelle

Si est convexe, le problème de MinMax à résoudre se met de façon équivalente sous la forme :

Trouver U V et r C , ensemble de variables indépendantes tel que :
J (U + U,r) 0

Ceci revient à résoudre le système d'équations à l'équilibre suivant :

((U+U))
d + r v
d - L v = ,
0



t
c
ext

c


r U
d - (r) ,
0

t
c
c
c
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ou encore de manière équivalente :

((U+U)) d+

(L -L v =
frot
ext )
,
0


U (r),

t
c
r = ( .n t

1
). sur .c

Comme dans la section précédente, L est la forme linéaire associée aux forces externes. La forme
ext
linéaire L
est associée aux forces de cisaillement exercées par le solide 2 sur la surface de
frot
contact du solide 1. On notera aussi que la formulation variationnelle permet de retrouver non
seulement les équations d'équilibre du système mais aussi l'appartenance de U
au sous-
t
différentiel de .
c
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3
Contact frottant 2D et 3D dans le Code_Aster

Nous avons vu précédemment la formulation continue du problème de contact frottant. Nous allons
maintenant examiner comment il s'exprime sous forme discrète.

3.1
Formulation du problème

A chaque pas de temps n, on cherche à vérifier l'équilibre global de la structure :

L (U ) = L - L
- L
int
n
ext
cont
frot
où :
·
L est l'opérateur de calcul des forces internes
int
·
L est le vecteur des forces extérieures
ext
·
L
est le vecteur des forces de contact
cont
·
L
est le vecteur des forces de frottement
frot

En outre, le champ de déplacement U est soumis à un ensemble de conditions égalité et inégalité qui
n
se comprennent liaison par liaison :

·
A (U ) d
nc
n
nc
·
A (U ) = d
c
n
c
·
A (U - U ) = 0
sg
n
n-1
·
A (U - U ) = L
où 0
g
n
n-1
frot

·
L : ensemble des liaisons de contact possibles (actives et non actives)
·
NC : ensemble des noeuds de surfaces potentielles de contact qui ne sont pas en contact
(liaisons non actives)
·
C : ensemble des noeuds effectivement en contact (liaisons actives)
·
SG : ensemble des noeuds de contact adhérents
·
G : ensemble des noeuds de contact glissants
·
C = SG G , C NC =
I
, L = C NC
·
A est la matrice des noeuds en contact
c
·
A est la matrice des noeuds en contact adhérent
sg
·
A est la matrice des noeuds en contact glissant
g

Du fait de la nature incrémentale de la résolution de l'équilibre, on peut réécrire ces équations et
inéquations sous la forme :

i-1
i
i
i
L (U
+ U

+ U
) = L - L
- L

int
n-1
n
ext
cont
frot

soumis à :
·
i-1
i
A (U
+ U

+U ) = d soit
i
1
-
A U = i
d avec
c
n-1
n
c
c
c
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i-2
i 1
d
= d - A (U + U )
-
= d - A U = d - A U
c
c
c
n 1
-
n
c
c
n
c
c
n
·
A ( U
i-1 +Ui ) = 0 soit
i
1
-
A U = i
d
sg
n
sg
sg
·
i 1
i
i
A ( U
- +U ) = L

où 0
g
n
frot

Nous disposons de la formulation discrétisée d'un problème de contact frottant. Nous allons voir les
différentes manières de prendre en compte l'ensemble de conditions (ou contraintes) égalité et inégalité
qui portent sur le champ de déplacements : dualisation ou régularisation.
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3.2
Dualisation des conditions de contact et de frottement

Pour prendre en compte les contraintes portant sur le champ de déplacements, il est possible de les
dualiser i.e. de les faire intervenir dans l'équilibre au travers de multiplicateurs de Lagrange (comme
cela est fait pour les conditions aux limites cinématiques dans le code). Sont introduits 3 ensembles de
multiplicateurs de Lagrange :

·
µ portant sur les conditions de contact
c
·
µ portant sur les conditions d'adhérence
sg
·
µ portant sur les conditions de glissement
g

L'équilibre s'écrit alors sous la forme suivante :

i-1
i
T
i
T
i
T
i
L (U
+ U

+ U ) + A µ + A µ + A µ = L
int
n-1
n
c
c
sg
sg
g
g
ext

soumis à :

·
i
1
-
A U = i
d
c
c
·
i
1
-
A U = i
d
sg
sg
·
i 1
i
i
A ( U
- +U ) = µ où 0 et i
i
i
µ
= k = µ µ
g
n
g
g
g
c

Ce système permet l'interprétation suivante des multiplicateurs de Lagrange :

T
·
i
A µ est l'ensemble des forces nodales de contact
c
c
T
·
i
A µ est l'ensemble des forces nodales d'adhérence
sg
sg
T
·
i
A µ est l'ensemble des forces nodales de glissement
g
g

Remarque :

1) Dans l'expression de l'équilibre, la condition de contact est devenue une égalité. En effet,
cette équation est écrite pour les noeuds vraiment en contact (pour les liaisons actives).
C'est une logique qui s'inspire de la méthode des contraintes actives implantée dans le
code pour le traitement du contact unilatéral [bib9]. Il est néanmoins impératif de vérifier la
condition :

µi > 0
c

2) En effet : Pour une liaison l'opérateur
A associe aux champs de déplacements u et
c
1
u la somme les déplacements relatifs u n
. + u n
. par rapport aux normales à la
2
1
1
2
2
surface de contact soit le scalaire (u - u .n . L'opérateur T
A associe au scalaire µ
1
2 ) 1
c
c
les forces nodales µ n et µ n s'appliquant aux solides (1) et (2) respectivement. Ces
c
1
c
2
forces nodales sont équivalentes à des forces extérieures - µ n s'appliquant aux solides
c
T
(1) et (2) respectivement, ce qui revient à transférer le terme
i
A µ de l'équation
c
c
d'équilibre de gauche à droite. A un terme scalaire surfacique près - µ n est équivalent à
c
n ce qui implique la positivité de µ en cas de contact.
nn
c

3) On vérifie aussi que pour les liaisons non actives on a bien :

i
1
-
A U i
d .
nc
nc

4) Les matrices
A , A , A , A varient au cours des itérées. Nous expliciterons ces
nc
c
sg
g
variations plus en détail au [§4].
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/03/005/A

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Version 7.1

Titre :

Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


Date :
08/10/03
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N. TARDIEU, P. MASSIN Clé
:
R5.03.51-C Page :
13/30


3.3
Dualisation des conditions de contact, régularisation des conditions
de frottement


Il est possible de dualiser les conditions de contact et de régulariser les conditions de frottement. On
entend par là le fait de faciliter le traitement du frottement en supprimant de son graphe la pente infinie
en 0 i.e. :


r
µ nn
ET
u&t
- µ nn


Ce graphe appelle plusieurs commentaires :

·
la notion d'adhérence à proprement parlé a disparu, tous les noeuds glissent. On la définit
néanmoins par :
le noeud i est « adhérent » si, étant donné r = E u , r < µ

T & t
nn
· plus la pente T
E est forte, plus le graphe régularisé se rapproche du graphe non régularisé
· en fait de régularisation des conditions de frottement, il s'agit plutôt de régularisation des
conditions d'adhérence

Compte tenu des remarques précédentes, on réécrit l'équilibre sous la forme :

i-1
i
T
i
T
i-1
i
T
i
L (U
+ U

+U ) + A µ + E A A ( U

+ U ) + A µ = L
int
n-1
n
c
c
T
sg
sg
n
g
g
ext

soumis à :

·
i
1
-
A U = i
d
c
c
·
i 1
i
i
E A ( U
- +U ) < µ µ
T
sg
n
c
·
i 1
i
i
A ( U
- +U ) = µ où 0 et i
i
i
µ
= k = µ µ
g
n
g
g
g
c
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3.4
Régularisation des conditions de contact et de frottement

Avec la même logique qu'au paragraphe précédent, on définit le graphe de la loi de contact
régularisée :

nn
dn
EN


Et on en déduit la forme de l'équilibre :

i-1
i
T
i
i
T
-1
i-1
i
T
i
L (U
+ U

+U ) + E A (A U - d ) + E A A ( U

+ U ) + A µ = L
int
n-1
n
N
c
c
c
T
sg
sg
n
g
g
ext

soumis à :

·
E A (
i 1
-
U +
i
U ) < µ E (
i
i 1
-
A U - d )
T
sg
n
N
c
c
·
i 1
i
i
A ( U
- +U ) = µ où 0 et i
µ = i
k = µ E (
i
i 1
-
A U - d )
g
n
g
g
g
N
c
c

Remarque :

T
Le terme E A (
i
1
-
A U - i
d ) n'est calculé que pour les liaisons actives. L'utilisation de
N
c
c
c
x si x 0
+


l'opérateur partie positive [x] =
permet une écriture compacte de la loi de contact
0 sinon
T
régularisée pour toutes les liaisons possibles sous la forme E A A U
d
. Il serait
N
c [
i
i-
-
1
c
c ] +
possible de l'utiliser pour écrire la loi d'adhérence régularisée. Nous avons préféré conserver la
partition entre les différents états des liaisons car cette présentation est plus proche de
l'intégration numérique dans le code.


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4 Résolution
algorithmique

4.1
Linéarisation des différents termes

C'est la méthode de Newton qui est utilisée dans le Code_Aster pour la résolution des problèmes non
linéaires [bib8]. Il est de fait nécessaire de linéariser les différents termes apparaissant dans
l'expression de l'équilibre.

4.1.1 Forces
internes

La linéarisation de l'opérateur de forces internes par rapport à
i
U
conduit à :

-1
-1
L

i
i
i
int
i
L (U
+ U

+ U
) L (U
+ U

) +
. U

int
n-1
n
int
n-1
n
i
U



i
U
+ -1
n
U
-1
n
i-1
i
i
L (U
+ U

) + K . U

int
n-1
n
n

i
K est la matrice tangente cohérente qui inclut les non-linéarités comportementale et géométrique.
n

4.1.2 Forces de contact

En l'absence de régularisation des forces de contact, on ne procède à aucune linéarisation. Dans le
cas contraire, on a la linéarisation :

T
i
i 1
- T
i
i 1
- T
i 1
-
i
i 1
- T
i 1
-
A µ A
µ E A
A U - E A
d
c
c
c
c
N
c
c
N
c
c
Remarques :

·
Lors de la linéarisation de T i
A µ est apparu l'indice i-1 dans la matrice de contact i 1
-
A . En
c
c
c
effet, lors de la détermination de
i
U

, seul l'état de contact frottant à l'itération i-1 est connu.
T
·
Le terme
i 1
-
i 1
-
E A
A apporte une nouvelle contribution à la matrice tangente du problème,
N
c
c
T
tandis que le terme
i 1
-
i 1
-
E A
d apporte une nouvelle contribution au second membre.
N
c
c

4.1.3 Forces de glissement

Compte tenu de la définition des forces de glissement, elles peuvent s'exprimer :

A (
i 1
-
i
U

+ U )
i
i
g
n
µ
= µ µ
g
c
A (
i 1
-
i
U

+ U )
g
n

A (
i 1
-
i
U

+ U )
i
g
n
= kg A ( i 1-
i
U

+ U )
g
n

Elles vérifient en effet les conditions :

i 1
i
i
A ( U
- +U ) = µ où 0 et i
i
i
µ
= k = µ µ
g
n
g
g
g
c
et font apparaître les deux inconnues i
µ et
i
U .
c
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Dans la pratique, cependant, on considère que la connaissance du seuil de glissement est acquise à
l'itération précédente, ce qui revient à se ramener à un critère de Tresca pour chaque itération. A
convergence le seuil est évidemment fixe : il n'y a donc plus de différences entre les seuils au cours
des itérations. Une autre approche, utilisée dans [R5.03.52], revient à résoudre, pour chaque état de
contact, la solution avec frottement et ainsi considérer que le seuil de glissement est un point fixe. Notre
approche s'inspire de ce type de méthode en étant moins contraignante et donc moins coûteuse en
temps CPU mais peut être moins robuste.
i
µ est donc approximé par :
g
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
i
i 1
-
g
n
µ
µ µ
g
c
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
g
n

i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
i 1
-
g
n
kg
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
g
n
La linéarisation de i
µ par rapport à
i
U
dans l'expression donnée précédemment conduit à la
g
formulation suivante :

i 1
-
i 1
-
i 1
-
i
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
A U
A U
A U
A U . -
A i
U
i
i 1
-
g
n
i 1
-
g
i 1
-
µ k
+ k
-
g
n
g
n
g
k

g
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
A U
g
n
g
n
g
n
A U
g
n

qui s'écrit encore :

i 1
-
i 1
-
i 1
-
i
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
A U
A U
A U
U
A
A i
U
i
i 1
-
g
n
i 1
-
g
i 1
-
µ
k
+ k
-
g
n
n
g
g
k
g
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
A U
g
n
g
n
g
n
A U
g
n

i 1
-
i
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
A U
A U
U
A
A i
U
i 1
-
i 1
-
g
i 1
-
µ + k
-
g
n
n
g
g
k
g
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
g
n
g
n
A U
g
n
Remarques :

i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
A
A U
U
A
A
·
Les termes i 1
-
g
i 1
-
k
-
g
n
n
g
g
k
apportent de nouvelles
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
g
n
g
n
A U
g
n
contributions à la matrice tangente du problème.
i 1
-
i 1
-
A U
·
En 2D, i
µ se linéarise en i 1
-
g
n
i 1
-
k
= µ qui est indépendant de
i
U

, il n'y a donc
g
g
i 1
-
1
-
A
g
i
U
g
n
pas de nouvelles contributions à la matrice tangente.

4.1.4 Forces
d'adhérence

En l'absence de régularisation des forces d'adhérence, on ne procède à aucune linéarisation. Dans le
cas contraire, on a la linéarisation :

T
i
i T
1
-
i
i T
1
-
i 1
-
i 1
-
i T
1
-
i-
i
A µ A
µ E A
A
U

+ E A A
1 U
sg
g
sg
g
T
sg
sg
n
T
sg
sg

4.1.5 Remarque

Les matrices de contact A , de glissement A et de non glissement A sont amenées à être
c
g
sg
modifiées au cours des itérations de Newton si des contacts changent de statut ou si une
réactualisation géométrique a lieu : elles sont donc indicées
i
A , i
A et i
A . Dans le cas contraire
c
g
sg
i
A , i
A et i
A ne varient pas au cours des itérées.
c
g
sg
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Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


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5 Résolution

La résolution à proprement parler est abordée dans cette partie. Seront présentés le système global
résolu dans le cadre de la méthode de Newton et l'algorithme de traitement du contact frottant
(sous-itération). L'état initial à l'itération i=1 pour toutes ces méthodes correspond à la résolution d'un
problème sans contact ni frottement. S'il n'y a effectivement pas de contact détecté, cet état initial
correspond à la solution du problème dans le cas élastique linéaire par exemple, sinon il est modifié
dès cette itération afin de prendre en compte les liaisons qui violeraient les conditions de contact
unilatéral.

5.1.1 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 2D

Méthode de Newton :

·
A l'itération i , au niveau global, résolution du système (on ne fait volontairement pas
apparaître les conditions de Dirichlet) :

i
i
i 1
-
1
- T
i
i
1
- T
i
i
1
- T
i
i 1
K U = L - L (U )
-
- A
µ - A
µ - A
µ
n
ext
int
n
c
c
sg
sg
g
g

Algorithme de contact frottant :

·
Détermination des liaisons en contact

- Etat initial : NC0 = L ,
0
C = ,
0
SG = ,
0
G = 0/ . Tous les points de la surface
n
n
n
n
potentielle de contact sont non-contactant.
- Si i=1 premier calcul élastique sans prise en compte du contact. Soit alors
1
C =
. Si 1
C = la solution sans contact est
n
{liaisons t.q. 1
0
1
d = d - A U <
nc
nc
nc
}0
n
valide. Si 1
C alors
1
1
SG = C , 1
G = 0/ et résolution du système d'équations ci-
n
n
n
n
dessus avec les nouvelles conditions pour l'itération 1.
- Si réactualisation géométrique i
C =
d
,
i
i-1
i
G = G C et
n
{liaisons t.q. i <
nc
}0 n n
n
i
i
i
SG = C - G .
n
n
n
- Sinon i
1
-
C = i
C ,
i
1
-
SG =
i
SG , i
1
-
G = i
G
n
n
n
n
n
n

·
Résolution du système

i
i
1
-
T
i
i
i 1
-
1
- T
i
i 1
K U + A
µ
= L - L (U )
-
- A
µ
n
c+sg
c+sg
ext
int
n
g
g
i 1
-
i
i 1
-
A
U = d
c+sg
c+sg

On effectue pour cela une résolution par blocs :

1
i 1
i -
-
1 T
i-
i
A
K
A
µ
= L - L ( i 1-
U )
1T
i-
i 1
-
- A
µ
c+sg
n
c+sg
c+sg
ext
int
n
g
g

1
i
i -
U = K (L - L ( i 1-
U )
1T
i-
i 1
-
1 T
i-
i
- A
µ - A
µ
)
n
ext
int
n
g
g
c+sg
c+sg
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·
Vérification de l'état des liaisons glissantes

T
- Si pour une liaison j i 1
-
µ
. i 1
-
A (
i 1
-
U +
i
U ) < 0 ,Gi = Gi -{ }
j et SGi = SGi + { }
j
g
g
n
n
n
n
n
i
A (
i 1
-
i
U

+U )
- Sinon i
i
g
n
µ = µ µ

g
c
i
A (
i 1
-
i
U

+U )
g
n
- Si au moins une liaison a changé d'état, retour à la résolution du système d'équations
pour la même itération i, mais avec les liaisons non glissantes repérées ci-dessus.

·
Vérification de l'état des liaisons adhérentes

i
µ
- Si pour une liaison j
i
i
µ
µ µ ,
i
i
sg
µ = µ µ
, SG i = SG i - { }
j et
sg
c
g
c
i
µ
n
n
sg
Gi = Gi + { }
j
n
n

·
Vérification de l'état des liaisons de contact

- Si la liaison j supposée non active est active, la plus violée, i.e. celle dont le jeu est le
plus négatif, est rajoutée à l'ensemble des liaisons actives, C i = C i + { }
j et
n
n
Gi = Gi + { }
j , retour à la résolution du système d'équations pour la même itération i ,
n
n
mais avec les liaisons non glissantes repérées ci-dessus.
- Si pour une liaison j i
µ < 0 , C i = C i -{ }
j SGi = SGi -{ }
j Gi = Gi -{ }
j (en
c
n
n
n
n
n
n
fonction du type de la liaison)

·
Mise à jour
i
U
, i
µ , i
µ , i
µ , i
A
et
i
A .
c
g
sg
c+sg
g

5.1.2 Dualisation des conditions de contact et régularisation du frottement en 2D et
3D

Pour cette modélisation, l'algorithme est le même pour le 2D et le 3D.

Méthode de Newton :

·
A l'itération i , au niveau global, résolution du système :

i
i
F
i
i 1
-
1
- T
i
i
1
- T
i
i 1
-
i
F
i 1
(K + K n )U = L
- L (U )
-
- A
µ - A
µ
- K nU
n
ext
int
n
c
c
g
g
n
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Remarques :

i
·
La matrice
F
K n contient les contributions de termes de glissement et d'adhérence soit :
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
i
A
A
U
U
A
A
T


F
i 1
-
i 1
-
i 1
-
g
i 1
-
K n = E A
A
+ k
-
g
n
n
g
g
k

T
sg
sg
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
g
n
g
n
A U
g
n
·
Dans l'expression précédente, une contribution est précédée du signe -. L'ordre des termes
de cette contribution est le même que celui des autres termes. L'effet de cette contribution
est particulièrement déstabilisant pour le comportement global de la matrice tangente au
système, plus particulièrement lorsque l'on est loin de l'équilibre et donc au début de la
résolution à chaque nouveau pas de temps. On décide donc de ne le prendre en compte que
partiellement en l'affectant d'un coefficient
[
]
1
,
0 . On conseille d'utiliser une valeur initiale
de 0.5 pour ce coefficient et de le diminuer si la convergence n'est pas obtenue. Dans le cas
= 0 la convergence semble toujours être obtenue mais est particulièrement lente.
Lorsque l'on est proche de la solution, il est par contre très utile d'avoir une valeur de ce
coefficient égale à 1 de façon à accélérer la convergence. Cela est fait automatiquement
dans le code lorsque le résidu RESI_GLOB_RELA est inférieur à

3
10- .
i
·
La matrice
F
K n contient les contributions des nouveaux seconds membres d'adhérence,
soit :
i
F
i 1
- T
1
-
K n =
i
E A
A
T
sg
sg

Algorithme de contact frottant :

·
Détermination des liaisons en contact

- Etat initial : NC0 = L ,
0
C = ,
0
SG = ,
0
G = 0/ . Tous les points de la surface
n
n
n
n
potentielle de contact sont non-contactant.
- Si i=1 premier calcul élastique sans prise en compte du contact. Soit alors
1
C =
,
1
1
G = C ,
1
SG = 0/ . Si 1
C = la
n
{liaisons t.q. 1
0
1
d = d - A U <
nc
nc
nc
}0 n n
n
n
solution sans contact est valide. Si 1
C alors
1
1
SG = C , 1
G = 0/ et résolution du
n
n
n
n
système avec les nouvelles conditions pour l'itération 1.
- Si réactualisation géométrique i
C =
d
,
i
i-1
i
G = G C et
n
{liaisons t.q. i <
n
}0
n
n
n
i
i
i
SG = C - G .
n
n
n
- Sinon i
1
-
C = i
C ,
i
1
-
SG =
i
SG , i
1
-
G = i
G
n
n
n
n
n
n

·
Résolution du système

i
i
F
i
1
- T
i
i
i 1
-
1
- T
i
i 1
-
i
F
i 1
(K + K n )U + A
µ = L
- L (U )
-
- A
µ
- K nU
n
c
c
ext
int
n
g
g
n
i 1
-
i
i 1
-
A U = d
c
c

On effectue comme précédemment une résolution par blocs.

i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
·
Pour toutes les liaisons, i
i
g
n
µ = µ µ

g
c
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
g
n
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version 7.1

Titre :

Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


Date :
08/10/03
Auteur(s) :
N. TARDIEU, P. MASSIN Clé
:
R5.03.51-C Page :
20/30


·
Vérification de l'état des liaisons de contact

- Si la liaison j supposée non active est active, la plus violée, i.e. celle dont le jeu est le
plus négatif, est rajoutée à l'ensemble des liaisons actives C i = C i + { }
j et
n
n
Gi = Gi + { }
j , retour à la résolution du système d'équations pour la même itération i,
n
n
mais avec les liaisons non glissantes repérées ci-dessus.
- Si pour une liaison j i
µ < 0 , C i = C i -{ }
j Gi = Gi -{ }
j
c
n
n
n
n

·
Vérification de l'état des liaisons glissantes et « adhérentes »

- Si pour une liaison j
i-1
i 1
i
i
i
E A ( U
- + U ) < µ µ = µ , alors
T
g
n
c
g
i
i
µ = E A (
i 1
-
i
U

+ U
) , SGi = SGi +{ }
j et Gi = Gi -{ }
j .
sg
T
sg
n
n
n
n
n

i
i
·
Calcul des matrices tangentes
F
K
F
n et K n (si RESI_GLOB_RELA<1.E-3, = 1. )

·
Mise à jour
i
U
, i
µ , i
µ , i
µ , i
A , i
A et i
A .
c
g
sg
c
sg
g


5.1.3 Régularisation des conditions de contact et de frottement en 2D et 3D

Pour cette modélisation, l'algorithme est le même pour le 2D et le 3D.

Méthode de Newton :

·
A l'itération i , au niveau global, résolution du système :

i
i
F
i
i 1
-
1
- T
i
i 1
-
i
F
i 1
-
1
- T
i
i 1
(K + K n )U = L - L (U )
-
- A
µ - K nU + E A
d
n
ext
int
n
g
g
n
N
c
c

Remarques :

i
·
La matrice
F
K n contient les contributions de termes de contact, de glissement et
d'adhérence soit :
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
i
A
A
U
U
A
A
T
T


F
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
-
g
i 1
-
K n = E A
A
+ E A
A
+ k
-
g
n
n
g
g
k

N
c
c
T
sg
sg
g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
g
n
g
n
A U
g
n
i
·
La matrice
F
K n contient les contributions des nouveaux seconds membres d'adhérence,
soit :
i
F
i 1
- T
1
-
K n =
i
E A
A
T
sg
sg
T
·
Le terme
i 1
-
1
-
-
i
E A
d contient les contributions des nouveaux seconds membres de
N
c
c
contact.


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Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


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Algorithme de contact frottant :

·
Détermination des liaisons en contact

- Etat initial : NC0 = L ,
0
C = ,
0
SG = ,
0
G = 0/ . Tous les points de la surface
n
n
n
n
potentielle de contact sont non-contactant.
- Si i=1 premier calcul élastique sans prise en compte du contact. Soit alors
1
C =
,
1
1
G = C ,
1
SG = 0/ et
n
{liaisons t.q. 1
0
1
d = d - A U <
nc
nc
nc
}0
n
n
n
1
µ = E ( 1
1
0
A U - d ) .
c
N
c
c
- Si réactualisation géométrique i
C =
d
,
i
i
G = C ,
i
SG = 0/
n
{liaisons t.q. i <
nc
}0 n n
n
- Sinon soit i
C =
d
, i
µ = E ( i
i
i 1
-
A U - d ) , i
i
G = C ,
i
SG = 0/
n
{liaisons t.q. i <
nc
}0 c N c
c
n
n
n
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
·
Pour toutes les liaisons, i
µ = µ E ( i
i
i 1
A U - d - )
g
n

g
N
c
c
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
g
n

·
Vérification de l'état des liaisons glissantes et « adhérentes »

- Si pour une liaison j
i 1
-
E A (
i 1
-
U +
i
U ) < µ E ( i
i
i 1
-
A U - d ) , alors
T
g
n
N
c
c
i
i
µ = E A (
i 1
-
i
U

+ U
) , SGi = SGi +{ }
j et Gi = Gi -{ }
j
sg
T
sg
n
n
n
n
n

i
i
·
Calcul des matrices tangentes
F
K
F
n et K n (si RESI_GLOB_RELA<1.E-3, = 1)

·
Mise à jour
i
U
, i
µ , i
µ , i
µ , i
A , i
A et i
A .
c
g
sg
c
sg
g

5.1.4 Dualisation des conditions de contact et de frottement en 3D

Pour la résolution de ce problème, on définit le statut des liaisons à l'aide de régularisation : initialement
toutes les liaisons adhérentes sont traitées par régularisation avec un terme de pénalisation E
T
déterminé par le code. On augmente ensuite itérativement la valeur de E par E = 10 E et on
T
T
T
enlève les liaisons ne vérifiant pas la condition
i-1
i 1
i
i
E A ( U
- +U ) < µ µ . Lorsque le processus
T
g
n
c
est stabilisé, les liaisons adhérentes et les liaisons glissantes sont traitées par multiplicateurs de
Lagrange et la pénalisation n'apparaît pas.

Méthode de Newton :

·
A l'itération i , au niveau global, résolution du système (on ne fait volontairement pas
apparaître les conditions de Dirichlet) :

i
i
F
i
i 1
-
1
- T
i
i
1
- T
i
i
1
- T
i
i 1
(K + K n )U = L - L (U )
-
- A
µ - A
µ - A
µ
n
ext
int
n
c
c
sg
sg
g
g

Remarque :

i
·
La matrice
F
K n contient les contributions de termes de glissement soit :
i 1
-
i 1
-
i 1
-
i 1
- T
i 1
- T
i 1
-
i
A
A U
U
A
A
F
i 1
-
g
i 1
-
K n = k
-
g
n
n
g
g
k

g
i 1
-
1
-
g
i
i 1
-
i 1
-
2
i 1
-
i 1
-
A U
A U
g
n
g
n
A U
g
n
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Algorithme de contact frottant :

·
Détermination des liaisons en contact

- Etat initial : NC0 = L ,
0
C = ,
0
SG = ,
0
G = 0/ . Tous les points de la surface
n
n
n
n
potentielle de contact sont non-contactant.
- Si
i =1,
1
C =
,
1
1
SG = C ,
1
G = 0/ ,
n
{liaisons t.q. 1
0
1
d = d - A U <
nc
nc
nc
}0
n
n
n
E = (Max{termes diagonaux de 1
K }) 25
.
0

T
n
- Si réactualisation géométrique, i
C =
d
,
i
i-1
i
G = G C et
n
{liaisons t.q. i <
nc
}0 n n
n
i
i
i
SG = C - G .
n
n
n
- Sinon i
1
-
C = i
C ,
i
1
-
SG =
i
SG , i
1
-
G = i
G
n
n
n
n
n
n

·
Résolution du système

i
i
1
-
T
i
i
i 1
-
1
- T
i
i 1
K U + A
µ
= L - L (U )
-
- A
µ
n
c+sg
c+sg
ext
int
n
g
g
i 1
-
i
i 1
-
A
U = d
c+sg
c+sg

On effectue pour cela une résolution par blocs comme précédemment.

·
Vérification de l'état des liaisons de contact

- Si la liaison j supposée non active est active, la plus violée, i.e. celle dont le jeu est le
plus négatif, est rajoutée à l'ensemble des liaisons actives, C i = C i + { }
j et
n
n
Gi = Gi + { }
j , retour à la résolution du système d'équations pour la même itération i ,
n
n
mais avec les liaisons non glissantes repérées ci-dessus.
- Si pour une liaison j i
µ < 0 , C i = C i -{ }
j SGi = SGi -{ }
j Gi = Gi -{ }
j (en
c
n
n
n
n
n
n
fonction du type de la liaison)

·
Vérification de l'état des liaisons adhérentes

i
µ
- Si pour une liaison j
i
i
µ
µ µ ,
i
i
sg
µ = µ µ
, SG i = SGi - { }
j et
sg
c
g
c
i
µ
n
n
sg
Gi = Gi + { }
j
n
n

·
Vérification de l'état des liaisons glissantes

- Si pour une liaison j
i-1
i 1
i
i
E A ( U
- +U ) < µ µ , Gi = Gi -{ }
j et
T
g
n
c
n
n
SGi = SGi + { }
j
n
n
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
- Sinon i
i
g
n
µ = µ µ

g
c
i 1
A - (
i 1
-
i
U

+U )
g
n
- Si au moins une liaison a changé d'état, i.e. on a détecté une liaison adhérente parmi les
liaisons supposées glissantes, alors E = 10 E et retour à la résolution du système
T
T
d'équations pour la même itération i, mais avec les liaisons non glissantes repérées
ci-dessus.
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i
·
Calcul des matrices tangentes
F
K n (si RESI_GLOB_RELA<1.E-3, = 1).

·
Mise à jour
i
U
, i
µ , i
µ , i
µ , i
A
et
i
A .
c
g
sg
c+sg
g


5.1.5 Convergence

La convergence de l'algorithme avec multiplicateurs de Lagrange pour le contact sans frottement en
un nombre fini d'itérations a été démontrée dans [bib2]. Pour les problèmes avec frottement, des
résultats de convergence avec unicité de la solution pour le problème discrétisé sont établis dans
[bib6] pour de faibles valeurs du coefficient de frottement de Coulomb. Les résultats sont établis en
utilisant un algorithme de point fixe associé à une méthode de multiplicateurs de Lagrange. Pour
chaque problème de contact résolu, on étudie le problème de frottement associé. Une fois celui-ci
résolu, on résout un nouveau problème de contact et ainsi de suite. Ces méthodes sont cependant
différentes de celles présentées ici et l'on ne peut donc pas présenter de résultats de convergence
théorique pour ces dernières.

La condition de rattachement des points qui viennent en contact est particulièrement importante pour
assurer la convergence de la méthode avec multiplicateurs de Lagrange. En effet lorsqu'un point
revient au contact au cours des itérées son déplacement tangentiel reste libre. Une condition de non
glissement serait par trop contraignante. L'algorithme oscillerait alors entre deux états avec ou sans
contact dans des exemples du type de celui présenté en [V6.04.105]. Le point qui est rattaché est
donc considéré comme libre du point de vue du glissement. On peut alors calculer la réaction normale
ainsi que la réaction tangentielle en utilisant l'hypothèse de glissement et une estimée de l'incrément
de déplacement de glissement initial.

L'utilisation de la pénalisation seule permet d'éviter ces oscillations en permettant de relâcher les
contraintes sur le système précédent. Couplée avec une méthode de multiplicateurs de Lagrange, on
retrouve la pathologie signalée ci-dessus.


5.1.6 Remarque

La méthode de recherche linéaire RECH_LINEAIRE usuelle de STAT_NON_LINE n'est pas utilisable
dans le cas présent. En effet, une correction a déjà lieu sur le champ de déplacement, qui est
supposée être optimale pour la réalisation des conditions de contact. On risque donc si on corrige ce
champ au cours des itérations de Newton de ne plus avoir compatibilité entre déplacements et
réactions, ce qui rend la méthode particulièrement instable et entraîne une absence de convergence.

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6
Compatibilité avec les conditions aux limites de Dirichlet

Dans le cas des méthodes avec multiplicateurs de Lagrange, on peut observer des incompatibilités
avec le fait d'imposer des conditions aux limites de type Dirichlet. En effet, il faut que physiquement le
problème ait un sens. On ne peut pas traiter un problème de contact dans la direction de l'axe z si tous
les points ont un déplacement nul suivant z. Comme nous allons le voir, traiter un tel problème conduit
T
à une singularité des matrices du type A K 1
- A avec le traitement des conditions aux limites de
c
c
Dirichlet par double lagrange du Code_Aster.

6.1
Ecriture des conditions aux limites

En s'inspirant de la documentation de référence [R5.03.01] de STAT_NON_LINE, la dualisation des
conditions aux limites de Dirichlet
d
BU = U (t) conduit au système d'équations suivant à résoudre :

i
T
i 1

C U + B = L
- L ( -
U )
ext
int
n

i
d
i 1
-
BU = U - BUn

On note alors K la matrice de rigidité du système telle que :

C BT
K =


B
0

Cette matrice possède un inverse de la forme :

E
F
-1


K =

T


F
G
tel que : EBT = 0 .
On vérifie ainsi que pour chaque condition aux limites i on a la propriété EB T = 0 .
i

6.2
Retour au problème de contact

T
T
La matrice A K 1
- A peut aussi s'écrire A EA puisque les vecteurs de liaison A ne font
c
c
c
c
c
intervenir que les degrés de liberté de déplacement.

·
Il en résulte alors que si un vecteur de liaison j de la matrice A est une combinaison linéaire
c
des conditions aux limites de type Dirichlet il vérifie la propriété suivante : EA T = 0 . La
c j
T
matrice A EA est alors singulière car elle possède une colonne de zéros. Dans la
c
c
pratique, sans traitement particulier, on finit dans le code sur un message d'arrêt du type
ARRET SUR MATRICE DE CONTACT-FROTTEMENT SINGULIERE. La détection de ces
colonnes singulières a été mise en oeuvre dans le code de façon à éliminer des relations de
contact-frottement ce type de relations et éviter l'arrêt précédemment décrit.
·
Il en résulte alors que si un vecteur de liaison j de la matrice A contient une combinaison
c
linéaire des conditions aux limites de type Dirichlet et s'écrit A
= B + A , il vérifie la
c j
i
i
c j
T
propriété suivante :
T
T
EA
= EA
. On peut alors avoir une matrice A EA singulière
c j
c j
c
c
car elle possède deux lignes identiques. Cette détection n'est pour le moment pas disponible
dans le code et on finit dans le code sur un message d'arrêt du type arrêt sur matrice de
contact-frottement singulière.
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6.3
Illustration sur un exemple simple

Les deux situations précédentes peuvent se rencontrer pour le même exemple d'étude. Soit une
surface pouvant glisser dans le plan xOy. On la suppose bloquée dans la direction x. Si la direction de
blocage correspond à l'une des directions principales de glissement que l'utilisateur peut donner dans
le fichier de commande on se retrouve dans le cas 1 du [§7.2]. Si la direction de blocage est inclinée
par rapport aux directions principales de glissement alors on se retrouve dans le cas 2 du [§7.2]. Une
des deux directions de glissement est de trop pour caractériser le système physique.


6.4 Remarque

Ce problème de compatibilité entre le contact-frottement et les conditions aux limites n'apparaît pas
avec les méthodes régularisées dans la mesure où l'on rajoute de la rigidité à la rigidité globale et que
l'on ne fait pas d'élimination comme dans le calcul des lagranges.
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7
Mise en oeuvre dans le Code_Aster

L'appel aux routines pour le contact avec frottement dans le Code_Aster a lieu au même endroit dans
STAT_NON_LINE que pour le contact unilatéral sans frottement. La phase de prédiction au pas de
temps n est basée sur l'incrément de charge entre les pas de temps n-1 et n.

7.1 Algorithmes

Ces développements sont accessibles sous la commande STAT_NON_LINE. Ils sont activés par le
mot-clé CONTACT de la commande AFFE_CHAR_MECA avec lequel on définit les zones de contact
possibles. L'ensemble des paramètres du modèle est fourni dans CONTACT sous le mot-clé
FROTTEMENT :

FROTTEMENT= `SANS'
`COULOMB'

Les différents algorithmes sont choisis par le mot-clé METHODE selon la logique :

METHODE= `LAGRANGIEN'
Dualisation contact frottement 2D et 3D
`PENALISATION'
si E_T renseigné, dualisation contact, régularisation frottement
si E_T et E_N renseignés, régularisation contact et frottement

On introduit aussi les mots-clés COULOMB pour la valeur du coefficient de frottement de Coulomb, et
COEF_MATR_FROT le coefficient de prise en compte de la composante négative de la matrice tangente
de frottement compris entre 0 et 1. L'utilisateur peut ainsi définir le chargement de la manière suivante
:

CHA =AFFE_CHAR_MECA( MODELE= MO,
CONTACT= _F(GROUP_MA_1 = ISOL1, GROUP_MA_2 = ISOL2

Si la méthode utilisée est `LAGRANGIEN', aucune autre indication n'est nécessaire en 2D et il faut
fournir COEF_MATR_FROT en 3D. Dans le cas des méthodes pénalisées il faut donner la valeur du
coefficient de pénalisation E_T, E_N et le COEF_MATR_FROT dans tous les cas.

Le chargement ainsi défini est alors utilisé dans STAT_NON_LINE :

RESU = STAT_NON_LINE ( MODELE = MO, CHAM_MATER = CHMAT,
EXCIT = _F(CHARGE = CHA),
NEWTON=_F(REAC_ITER=1),
SOLVEUR = (METHODE = `LDLT') etc...);

On remarque que l'on recalcule la matrice tangente à toutes les itérations de Newton
(NEWTON=_F(REAC_ITER=1)).

Remarque :

Avec GCPC comme méthode de résolution, on ne peut faire que du contact sans frottement
pour le moment. On ne recommande cependant pas de le faire car les performances en
terme de temps calcul ne sont pas bonnes avec cette méthode. On recommande l'emploi de
MULT_FRONT avec une renumérotation de type 'METIS'.

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7.2
Réactualisation géométrique

L'évolution géométrique est une des non-linéarités constitutives du contact frottant. Au sein du
Code_Aster, sa prise en compte se fait par une méthode de point fixe (pour plus de précisions, se
reporter à [bib9]). On rappelle l'utilisation du mot clé :

REAC_GEOM= `SANS' pas de réactualisation
`AUTOMATIQUE' réactualisation gérée par le code
`CONTROLE' n réactualisations en début de pas de temps, puis après
chaque convergence jusqu'à la n-1ème. n est défini par :
NB_REAC_GEOM=n


7.3 Post
traitement

Différents post traitements sont possibles. Par exemple, le calcul des efforts de contact peut être
effectué dans la commande POST_RELEVE_T en calculant la résultante des forces nodales sur le
groupe de mailles représentant une des surfaces de contact.
On attire l'attention sur la structure de données VALE_CONT qui est produite pour chaque calcul
impliquant du contact frottant. Elle s'imprime comme suit sous forme de table :

MATABLE=POST_RELEVE_T(ACTION=_F(INTITULE='INFOS FROTTMNT',
GROUP_NO='ESCLAVE',
RESULTAT=U,
INST=10.,
TOUT_CMP='OUI',
NOM_CHAM='VALE_CONT',
OPERATION='EXTRACTION',),);

IMPR_TABLE(TABLE=MATABLE);

Les informations imprimées en chaque noeud esclave sont les suivantes :

·
CONT : indicateur de contact frottant
- 0 : pas de contact
- 1 : contact glissant
- 2 : contact adhérent
·
JEU : valeur du jeu
·
RN : norme de la réaction normale de contact
·
RNX : composante suivant DX de la réaction normale de contact
·
RNY : composante suivant DY de la réaction normale de contact
·
RNZ : composante suivant DZ de la réaction normale de contact
·
GLIX : composante suivant t1 du glissement tangentiel (repère local)
·
GLIY : composante suivant t2 du glissement tangentiel (repère local)
·
GLI : norme du glissement tangentiel
·
RTAX : composante suivant DX de la force tangentielle d'adhérence
·
RTAY : composante suivant DY de la force tangentielle d'adhérence
·
RTAZ : composante suivant DZ de la force tangentielle d'adhérence
·
RTGX : composante suivant DX de la force tangentielle de glissement
·
RTGY : composante suivant DY de la force tangentielle de glissement
·
RTGZ : composante suivant DZ de la force tangentielle de glissement
·
RX : composante suivant DX de la force de contact frottant (RNX+RTAX+RTGX)
·
RY : composante suivant DY de la force de contact frottant (RNY+RTAY+RTGY)
·
RZ : composante suivant DZ de la force de contact frottant (RNZ+RTAZ+RTGZ)
·
R : norme de la force de contact frottant
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version 7.1

Titre :

Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


Date :
08/10/03
Auteur(s) :
N. TARDIEU, P. MASSIN Clé
:
R5.03.51-C Page :
28/30


En outre, il est possible de tracer ces informations pour un post traitement graphique :

IMPR_RESU(MODELE=MO,
RESU=_F(FORMAT='CASTEM' ou `GMSH' ou `IDEAS',
RESULTAT=U,
NOM_CHAM='VALE_CONT',
NOM_CMP=('CONT', `RNX', 'RNY', 'RNZ', etc..),);

On présente ci-dessous un cylindre dans un alésage avec interaction de contact frottant. On a tracé
les forces normales de contact, les forces tangentielles d'adhérence et l'indicateur de contact.








7.4 Précautions
d'utilisation

Ces précautions d'utilisation sont à peu près les mêmes que celles énoncées dans [R5.03.50]. On les
rappelle ici :

·
vérifier que les normales aux surfaces de contact sont sortantes (se méfier notamment si on a
utilisé des opérateurs de symétrisation dans le mailleur gibi),
·
attention au contact frottement en 3D quadratique si les mailles de bord sont des QUAD8
(éviter d'utiliser des HEXA20 pour mailler le volume) : utiliser de préférence des HEXA27, ou
bien des PENTA15 dont les côtés TRIA6 sont les mailles de contact,
·
supprimer, par des conditions aux limites de Dirichlet appropriées, les mouvements de corps
rigide ; il ne faut pas que la structure ne tienne que par le contact ou le frottement. En d'autres
termes, cela veut dire qu'un calcul fait en élasticité avec la commande STAT_NON_LINE sans
traiter le contact doit passer,
·
en cas de structure « tenue » uniquement par le contact, on peut ajouter un ressort de faible
rigidité pour la maintenir,
·
ne pas utiliser de méthode de recherche linéaire, de STAT_NON_LINE incompatible avec le
traitement des conditions de contact-frottement

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Titre :

Contact ­ frottement discret en 2D et 3D


Date :
08/10/03
Auteur(s) :
N. TARDIEU, P. MASSIN Clé
:
R5.03.51-C Page :
29/30


8 Conclusion

Des modélisations discrètes du contact-frottement avec surfaces de glissement 1D et 2D ont été
implantées dans le Code_Aster. Ces modélisations utilisables avec STAT_NON_LINE et
DYNA_NON_LINE sont accessibles sous AFFE_CHAR_MECA par l'opérateur de contact avec frottement
en grands déplacements CONTACT.

Contrairement à [bib5] les modélisations proposées ne s'appuient pas sur des éléments finis dédiés.
Elles s'appuient sur les maillages des surfaces venant en contact et permettent de retranscrire noeud à
noeud les conditions de contact frottement entre les surfaces après discrétisation de la formulation
variationnelle correspondante. La méthode s'étend alors sans difficulté des petits déplacements au cas
des grands déplacements. En effet, l'absence d'utilisation d'éléments finis, entre les surfaces pouvant
venir en contact, évite la grande distorsion de ces derniers, dans le cas de grands déplacements. On
peut alors utiliser soit des conditions de liaisons noeuds à noeuds directes pour des maillages
initialement compatibles, soit des conditions de liaisons noeuds à noeuds pondérées suivant une
approche par projection de type maître-esclave pour des maillages incompatibles. Les différentes
conditions de liaison sont développées dans la documentation [R5.03.50] disponible sur le traitement
du contact sans frottement en grands déplacements.

Dans le cas de surfaces de glissement 1D on a pu développer un algorithme n'utilisant que des
multiplicateurs de Lagrange. La convergence finie de ce type d'algorithme est prouvée pour le contact
unilatéral sans frottement [bib2] et dans le cas avec frottement pour de faibles valeurs du coefficient de
frottement de Coulomb [bib6]. Dans le cas de surfaces de glissement 2D, le contact frottant est traité
soit par dualisation soit par régularisation avec différents panachages.

On conseille toujours l'utilisation de la dualisation sur le contact et le frottement pour le 2D : la
méthode ne fait pas intervenir de nouvelles matrices tangentes et elle ne présente pas de difficultés
majeures en terme d'utilisation excepté la compatibilité avec les conditions de Dirichlet, cf. [§6]. En 3D,
on conseille toujours d'utiliser la dualisation sur le contact et le frottement ; néanmoins il peut après
coup être intéressant de tester la méthode avec dualisation du contact et pénalisation du frottement :
les problèmes de compatibilité avec les conditions de Dirichlet sont alors moindres et les temps de
calcul peuvent être réduits. On insiste par contre sur la très forte dépendance du résultat avec la
valeur des termes de pénalisation. Pour des études systématiques, on peut néanmoins tester la
validité de la solution régularisée par rapport à la solution avec dualisation, utilisée comme référence
sur une étude type.
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:
R5.03.51-C Page :
30/30


9 Bibliographie

[1]
BEN DHIA H., MASSIN P., TARDIEU N., ZARROUG M. : Différents algorithmes pour des
problèmes de contact frottement 2D et 3D en grands déplacements, GIENS 2001.
[2]
DUMONT G. : Algorithme de contraintes actives et contact unilatéral sans frottement, Revue
Européenne des Eléments Finis, Vol 4, n°1, 1995
[3]
DUVAUT G., LIONS J.L. : Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, Paris, 1972.
[4]
EKELAND I., TEMAM R. : Analyse convexe et problèmes variationnels, Bordas, 1974.
[5]
G. JACQUART : Un élément fini de contact avec frottement, Documentation de Référence du
Code_Aster [R5.03.41].
[6]
LICHT C., PRATT E., RAOUS M. : Remarks on a numerical method for unilateral contact
including friction, International Series of Numerical Mathematics, Vol. 101, 1991, pp. 129-144.
[7]
MASSIN P., BEN DHIA H. : 2D and 3D algorithms for frictional problems with small
displacements, Proceedings of the European Congress on Computational Methods in Applied
Sciences and Engineering, ECCOMAS 2000, Barcelona, 11-14 septembre 2000.
[8]
TARDIEU N. : Algorithme Non Linéaire Quasi Statique, Documentation de Référence du
Code_Aster [R5.03.01].
[9]
TARDIEU N. : Contact unilatéral par des conditions cinématiques, Documentation de
Référence du Code_Aster [R5.03.50].
[10]
ZHONG Z. : Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University
Press, p.146-148, 1993.

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