Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 1/52

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.11




Modèles de comportement THHM



Résumé :

Cette note présente une famille de lois de comportement THM pour les milieux saturés et non saturés. On y
décrit les relations permettant de calculer les quantités hydrauliques et thermiques, en tenant compte de
couplages forts entre ces phénomènes et aussi avec les déformations mécaniques. Les relations présentées ici
peuvent être couplées avec n'importe quelle loi de comportement mécanique, sous réserve de faire l'hypothèse
dite des contraintes effectives de Bishop et que la loi de comportement mécanique définisse des constantes
élastiques (utiles pour les termes couplés). La partie purement mécanique des lois n'est pas présentée.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 2/52


Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Présentation du problème : Hypothèses, Notations ..............................................................................5
2.1 Description du milieu poreux ...........................................................................................................5
2.2 Notations..........................................................................................................................................5

2.2.1 Variables descriptives du milieu .............................................................................................5
2.2.1.1 Variables géométriques .............................................................................................6
2.2.1.2 Variables d'état thermodynamique ............................................................................6
2.2.1.3 Champs descriptifs du milieu .....................................................................................7
2.2.2 Dérivées particulaires.............................................................................................................7
2.2.3 Grandeurs...............................................................................................................................7

2.2.3.1 Grandeurs caractéristiques du milieu hétérogène.....................................................8
2.2.3.2 Grandeurs mécaniques..............................................................................................8
2.2.3.3 Grandeurs hydrauliques.............................................................................................9
2.2.3.4 Grandeurs thermiques .............................................................................................10
2.2.4 Données extérieures ............................................................................................................10
3 Equations constitutives ........................................................................................................................10
3.1 Equations de conservation ............................................................................................................10
3.1.1 Equilibre mécanique.............................................................................................................10
3.1.2 Conservation des masses fluides ........................................................................................11
3.1.3 Conservation de l'énergie : équation thermique...................................................................11

3.2 Equations de comportement..........................................................................................................11
3.2.1 Evolution de la porosité ........................................................................................................11
3.2.2 Evolution des apports de masse fluide ................................................................................11
3.2.3 Lois de comportement des fluides........................................................................................13
3.2.3.1 Liquide......................................................................................................................13
3.2.3.2 Gaz...........................................................................................................................13

3.2.4 Evolution des enthalpies ......................................................................................................13
3.2.4.1 Enthalpie liquide.......................................................................................................13
3.2.4.2 Enthalpie des gaz.....................................................................................................13
3.2.4.3 Apport de chaleur hors fluides .................................................................................14
3.2.5 Lois de diffusion....................................................................................................................14
3.2.5.1 Diffusion de la chaleur..............................................................................................14
3.2.5.2 Diffusion des fluides .................................................................................................15
3.2.6 Equilibre eau-vapeur ............................................................................................................17
3.2.7 Equilibre air sec-air dissous .................................................................................................18
3.2.8 Le comportement mécanique...............................................................................................18
3.2.9 L'isotherme de sorption ........................................................................................................19
3.2.10

Récapitulatif des caractéristiques du matériau et des données utilisateur..............19
3.3 L'état de référence et l'état initial...................................................................................................21
3.4 Inconnues nodales, valeurs initiales et valeurs de référence........................................................21
3.5 Contraintes effectives et contraintes totales. Conditions aux limites de contrainte ......................22
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 3/52

3.6 Quelques valeurs numériques ......................................................................................................23
4 Calcul des contraintes généralisées ...................................................................................................23
4.1 Cas sans air dissous .....................................................................................................................24
4.1.1 Calcul de la porosité et le la masse volumique du fluide.....................................................24
4.1.2 Calcul des coefficients de dilatation.....................................................................................25
4.1.3 Calcul des enthalpies fluides ...............................................................................................25
4.1.4 Pressions de vapeur et d'air ................................................................................................25
4.1.5 Calcul des apports massiques .............................................................................................26
4.1.6 Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q' ............................................................26
4.1.7 Calcul des contraintes mécaniques .....................................................................................27
4.1.8 Calcul des flux hydriques et thermiques ..............................................................................27

4.2 Cas avec air dissous .....................................................................................................................27
4.2.1 Calcul de la porosité.............................................................................................................27
4.2.2 Calcul des coefficients de dilatation.....................................................................................28
4.2.3 Calcul des pressions de vapeur, d'air dissous et sec et des masses volumiques ..............28
4.2.4 Calcul des enthalpies fluides ...............................................................................................30
4.2.5 Calcul des apports massiques .............................................................................................30
4.2.6 Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q' ............................................................31
4.2.7 Calcul des contraintes mécaniques .....................................................................................31
4.2.8 Calcul des flux hydriques et thermiques ..............................................................................31

5 Calcul des dérivées des contraintes généralisées..............................................................................32
5.1 Dérivées des contraintes...............................................................................................................32
5.2 Dérivées des apports massiques ..................................................................................................32

5.2.1 Cas sans air dissous ............................................................................................................33
5.2.2 Cas avec air dissous ............................................................................................................34
5.3 Dérivées des enthalpies et de la chaleur Q' .................................................................................34
5.3.1 Cas sans air dissous ............................................................................................................34
5.3.2 Cas avec air dissous ............................................................................................................35
5.4 Dérivées du flux de chaleur...........................................................................................................35
5.5 Dérivée des flux hydriques ............................................................................................................35

5.5.1 Cas sans air dissous ............................................................................................................36
5.5.2 Cas avec air dissous ............................................................................................................37
6 Bibliographie........................................................................................................................................41
Annexe 1
Contraintes généralisées et variables internes .......................................................42
Annexe 2
Données matériau ...................................................................................................43
Annexe 3
Dérivées des pressions en fonction des déformations généralisées ......................46
Annexe 4
Dérivées secondes des pressions de vapeur et d'air dissous en fonction des
déformations généralisées..............................................................................................................47
Annexe 5
Equivalence avec les formulations ANDRA.............................................................49
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 4/52


1 Introduction

Nous présentons ici une famille de lois de comportement THM pour les milieux saturés et non saturés.
Nous décrivons les relations permettant de calculer les quantités hydrauliques et thermiques, en
tenant compte de couplages forts entre ces phénomènes et aussi avec les déformations mécaniques.
Les relations présentées ici peuvent être couplées avec n'importe quelle loi de comportement
mécanique, sous réserve de faire l'hypothèse dite des contraintes effectives de Bishop et que la loi de
comportement mécanique définisse des constantes élastiques (utiles pour les termes couplés). Pour
cette raison, la partie purement mécanique des lois n'est pas présentée ici.
Les modélisations retenues s'appuient sur la présentation des milieux poreux élaborée notamment par
O. Coussy [bib1]. Les relations de comportement sont obtenues à partir de considérations
thermodynamiques et avec des arguments d'homogénéisation que nous ne présentons pas ici, et qui
sont entièrement décrits dans le document de P. Charles [bib2]. De même l'écriture générale des
équations d'équilibre et de conservation n'est pas détaillée, et l'on renvoie le lecteur aux documents
[R5.03.01] [bib3] et [R7.01.10] [bib4], lesquels contiennent des définitions utiles à la compréhension du
présent document.

La mécanique des milieux poreux rassemble une collection très exhaustive de phénomènes physiques
touchant aux solides et aux fluides. Elle fait l'hypothèse d'un couplage entre les évolutions mécaniques
des solides et des fluides, vus comme des milieux continus, avec les évolutions hydrauliques, qui
règlent les problèmes de diffusion de fluides au sein de parois ou de volumes, et les évolutions
thermiques.

Chacun des constituants du milieu poreux a donc un comportement mécanique, hydraulique et
thermique. La théorie tente de rassembler tous ces phénomènes physiques. Les phénomènes
chimiques (transformations des constituants, réactions produisant des constituants etc...), de même
que les phénomènes radiologiques ne sont pas pris en compte à ce stade du développement du
Code_Aster. Les phénomènes mécaniques, hydrauliques et thermiques sont pris en compte ou non
selon le comportement invoqué par l'utilisateur dans la commande STAT_NON_LINE, selon la
nomenclature suivante :

Modélisation
Phénomènes pris en compte
KIT_HM
Mécanique, hydraulique avec une pression inconnue
KIT_HHM
Mécanique, hydraulique avec deux pressions inconnues
KIT_THH
Thermique, hydraulique avec deux pressions inconnues
KIT_THM
Thermique, mécanique, hydraulique avec une pression inconnue
KIT_THHM
Thermique, mécanique, hydraulique avec deux pressions inconnues

Le document présent décrit les lois pour le cas le plus général dit THHM. Les cas plus simples
s'obtiennent à partir du cas général en annulant simplement les quantité absentes.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 5/52


2
Présentation du problème : Hypothèses, Notations

Dans le présent chapitre, on s'attache principalement à présenter le milieu poreux et ses
caractéristiques.

2.1
Description du milieu poreux

Le milieu poreux considéré est un volume constitué d'une matrice solide plus ou moins homogène,
plus ou moins cohérente (très cohérente dans le cas du béton, peu dans le cas du sable). Entre les
éléments solides, on trouve des pores. On distingue les pores fermés qui n'échangent rien avec leurs
voisins et les pores connectés dans lesquels les échanges sont nombreux. Lorsque l'on parle de
porosité, c'est bien de ces pores connectés dont on parle.

A l'intérieur de ces pores se trouvent un certain nombre de fluides (on exclut la solidification de ces
fluides), présents éventuellement sous plusieurs phases (liquide ou gazeuse exclusivement), et
présentant une interface avec les autres constituants. Pour simplifier le problème et prendre en
compte l'importance relative des phénomènes physiques, la seule interface considérée est celle entre
le liquide et le gaz, les interfaces fluide/solide étant négligées.

2.2 Notations

Nous supposons que les pores du solide sont occupés par au plus deux constituants, chacun
coexistant dans deux phases au maximum, l'une liquide et l'autre gazeuse. Les grandeurs X associées
à la phase j (j=1,2) du fluide i seront notées : X . Quand il y a deux constituants en plus du solide, ce
ij
sont un liquide (typiquement l'eau) et un gaz (typiquement l'air sec) , sachant que le liquide peut être
présent sous forme gazeuse (vapeur) dans le mélange gazeux et que l'air peut être présent sous
forme dissous dans l'eau. Quand il n'y a qu'un seul constituant en plus du solide, cela peut être un
liquide ou un gaz.
Le milieu poreux à l'instant actuel est noté , sa frontière . Il est noté , à l'instant initial.
0
0
Le milieu est défini par :

· des paramètres (vecteur position x , temps t),
· des variables (déplacements, pressions, température),
· des grandeurs intrinsèques (contraintes et déformations, apports massiques, chaleur,
enthalpies, flux hydrauliques, thermiques...).

Les hypothèses générales effectuées sont les suivantes :

· hypothèse des petits déplacements,
· évolutions thermodynamiques réversibles (pas nécessairement pour la mécanique),
· comportement isotrope,
· les gaz sont des gaz parfaits,
· mélange idéal de gaz parfaits (pression totale = somme des pressions partielles),
· équilibre thermodynamique entre les phases d'un même constituant.

Les différentes notations sont explicitées ci-après.

2.2.1 Variables descriptives du milieu

Ce sont les variables dont la connaissance en fonction du temps et du lieu permettent de connaître
complètement l'état du milieu. Ces variables se décomposent en deux catégories :

· variables géométriques,
· variables d'état thermodynamique.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 6/52


2.2.1.1 Variables
géométriques

Dans tout ce qui suit, on adopte une représentation lagrangienne par rapport au squelette (au sens de
[bib1]) et les coordonnées x = x (t
s ) sont celles d'un point matériel attaché au squelette. Tous les
opérateurs de dérivation spatiaux sont définis par rapport à ces coordonnées.
ux


Les déplacements du squelette sont notés u(x,t) = u y .


uz

2.2.1.2 Variables d'état thermodynamique

De façon générale, on utilise les indices suivants :

w pour le l'eau liquide
ad pour l'air dissous
as pour l'air sec
vp pour la vapeur d'eau

Les variables thermodynamiques sont :

· les pressions des constituants : p
,
x
, p
,
x
, p
,
x
, p
,
x
,
as (
t)
vp (
t)
ad (
t)
w (
t)
· la température du milieu T(x,t) .

Ces différentes variables ne sont pas totalement indépendantes. En effet, si l'on considère un seul
constituant, l'équilibre thermodynamique entre ses phases impose une relation entre la pression de la
vapeur et la pression du liquide de ce constituant. Finalement, il n'y a qu'une seule pression
indépendante par constituant, de même qu'il n'y a qu'une seule équation de conservation de la masse.
Le nombre de pressions indépendantes est donc égal au nombre de constituants indépendants. Le
choix de ces pressions est libre (combinaisons des pressions des constituants) à condition que les
pressions choisies, associées à la température, forment un système de variables indépendantes.

Pour le cas dit saturé (un seul constituant air ou eau) nous avons choisi la pression de cet unique
constituant.
Pour le cas dit non saturé (présence d'air et d'eau), nous avons choisi comme variables
indépendantes :

· la pression totale du gaz p
,
x t =p + p ,
gz (
) vp as
· la pression capillaire p
,
x t = p - p = p - p - p
c (
) gz
lq
gz
w
ad .
Ces pressions ont une interprétation physique très forte, la pression de gaz totale pour des raisons
évidentes, et la pression capillaire, également appelée succion, parce que les phénomènes capillaires
sont très importants dans la modélisation présentée ici. Il aurait été possible également de choisir la
pression de vapeur ou le degré d'humidité relative (rapport entre la pression de vapeur et la pression
de vapeur saturante à la même température) physiquement accessible. La modélisation devient alors
plus complexe et de toute façon, pression capillaire, pression de gaz et degré d'humidité relative
(rapport entre la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante) sont reliés par la loi de Kelvin.
Pour le cas particulier du comportement dit `LIQU_GAZ_ATM' on fait l'hypothèse dite de Richards : les
pores ne sont pas saturés par le liquide, mais la pression du gaz est supposée constante et la seule
variable de pression est la pression de liquide.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 7/52


2.2.1.3 Champs descriptifs du milieu

Les inconnues principales, qui sont aussi les inconnues nodales (notées U(x,t) dans ce document)
sont :

· 2 ou 3 (selon la dimension d'espace) déplacements u ( ,
x t),u ( ,
x t),u ( ,
x t) pour les
x
y
z
modélisations KIT_HM, KIT_HHM, KIT_THM, KIT_THHM,
· la température T (x,t) pour les modélisations KIT_THH, KIT_THM, KIT_THHM,
· deux pressions p (x,t),p (x,t) (qui sont p
,
x
, p
,
x
dans le cas étudié) pour les
gz (
t)
c (
t)
1
2

modélisations KIT_HHM, KIT_THH, KIT_THHM,
· une pression p (x,t) (qui est p
,
x
ou p
,
x
selon que le milieu est saturé par un
gz (
t)
w (
t)
1
liquide ou un gaz) pour les modélisations KIT_HM, KIT_THM.

2.2.2 Dérivées
particulaires

Ce paragraphe reprend en partie le paragraphe « dérivées particulaires, densités volumiques et
massiques » du document [R7.01.10]. La description que nous faisons du milieu est lagrangienne par
rapport au squelette.
Soit a un champ quelconque sur , soit x (t
s ) la coordonnée d'un point attaché au squelette que
nous suivons dans son mouvement et soit x (t
fl
) la coordonnée d'un point attaché au fluide. On note

d sa
a = dt
& la dérivée temporelle dans le mouvement du squelette :

d sa
a(xs (t + t
),t + t
)- a(x (t),t)
a
s
=
= lim
dt
t
0
t

&


da
a
& est appelée dérivée particulaire et souvent notée . Nous préférons utiliser une notation qui
dt
rappelle que la configuration utilisée pour repérer une particule est celle du squelette par rapport
auquel une particule de fluide a une vitesse relative. Pour une particule de fluide le repérage x (t est
s
)
quelconque, c'est à dire que la particule de fluide qui occupe la position x (t à l'instant t n'est pas la
s
)
même que celle qui occupe la position xs (t') à un autre instant t'.

2.2.3 Grandeurs

Les équations d'équilibre sont :

· la conservation de la quantité de mouvement pour la mécanique,
· la conservation des masses de fluide pour l'hydraulique,
· la conservation de l'énergie pour la thermique.

L'écriture de ces équations est donnée dans le document [R7.01.10] [bib4], lequel définit aussi ce que
nous appelons de façon générale une loi de comportement THM et donne les définitions des
contraintes et déformations généralisées. Le présent document utilise ces définitions. Les équations
d'équilibre font intervenir directement les contraintes généralisées.
Les contraintes généralisées sont reliées aux déformations généralisées par les lois de comportement.
Les déformations généralisées se calculent directement à partir des variables d'état et de leurs
gradients spatiaux temporels.
Les lois de comportements peuvent utiliser des quantités annexes, souvent rangées dans les variables
internes. Nous regroupons ici sous le vocable de grandeur à la fois les contraintes, les déformations et
des grandeurs annexes.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 8/52


2.2.3.1 Grandeurs caractéristiques du milieu hétérogène

· La porosité eulérienne : .
Si on note la partie du volume occupé par les vides dans la configuration courante, on
a :

=


La définition de la porosité est donc celle de la porosité eulérienne.
· La saturation en liquide : S
lq
Si on note le volume total occupé par le liquide, dans la configuration courante, on a par
lq
définition :

S = lq
lq


Cette saturation est donc finalement une proportion variant entre 0 et 1.
· Les masses volumiques eulériennes de l'eau , de l'air dissous , de l'air sec , de la
w
ad
as
vapeur , du gaz .
vp
gz
Si on note (resp
, , ) les masses d'eau (resp d'air dissous, d'air sec et de
w
ad
as
vp
vapeur) contenus dans un volume du squelette dans la configuration courante, on a par
définition :

w = S d
ad


w
lq

=
S
d
ad
lq





as =
1

vp
1

as
- S
d
lq

=
vp
- S
d
lq


(
)

(
)

La masse volumique du mélange gazeux est simplement la somme des masses volumiques
de l'air sec et de la vapeur :

= +
gz
as
vp

De même pour le mélange liquide :
= +
lq
w
ad


On note 0
0
0
0
, , , les valeurs initiales des masses volumiques.
w
ad
vp
as
· La masse volumique homogénéisée lagrangienne : r .
A l'instant courant la masse du volume , M
M =
rd
, est donnée par :


.
0
0

2.2.3.2 Grandeurs
mécaniques

1
· Le tenseur des déformations u
( )(x, ) = ( u
+T
t
u) .
2
On notera V = tr() .
· Le tenseur des contraintes qui s'exercent sur le milieu poreux : .
Ce tenseur se décompose en un tenseur des contraintes effectives plus un tenseur de
contraintes de pression = +
' 1. '
et
sont des composantes des contraintes
p
p
généralisées. Ce découpage est finalement assez arbitraire, mais correspond tout de même à
une hypothèse assez communément admise, au moins pour les milieux saturés en liquide.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 9/52


2.2.3.3 Grandeurs
hydrauliques

· Les apports massiques en constituants m , m m
,
m
,
(unité : kilogramme par mètre
w
ad
vp
as
cube).
Ils représentent la masse de fluide apportée entre les instants initiaux et actuels. Ils font partie
des contraintes généralisées.
· Les flux hydrauliques M , M ,M , M (unité : kilogramme/seconde/mètre carré).
w
ad
vp
as
On pourrait très bien ne donner aucune définition plus précise des apports de masse et des
flux, considérant que leur définition se résume à vérifier les équations d'équilibre
hydrauliques :


m
m
Div M
M
w +
vp +
( w + vp)= 0
& &

éq
2.2.3.3-1

m
m
Div M
M
as +
ad +
( as + ad )= 0

& &
Nous allons néanmoins préciser le sens physique des ces grandeurs, sachant que ce que
nous écrivons maintenant est déjà une loi de comportement.
Les vitesses des constituants sont mesurées dans un référentiel fixe en espace et en temps.
On note v w la vitesse de l'eau, vad celle de l'air dissous, vvp celle de la vapeur, vas celle
du
de l'air sec, et v s =
celle du squelette.
dt
Les apports massiques sont définis par :

m =
+ S - S
w
w (1
V )
0
0
0
lq
w
lq
m =
+ S - S
ad
ad (1
V )
0
0
0
lq
ad
lq

éq
2.2.3.3-2
m =
+ - S -
- S
as
as (1
V ) (1
lq )
0
0
as
( 0
1
lq )
m =
+ - S -
- S
vp
vp (1
V ) (1
lq )
0
0
vp
( 0
1
lq )

Les flux massiques sont définis par :

M = S v - v
w
w
l ( w
s )
M
= S v - v
ad
ad
l ( ad
s )
éq
2.2.3.3-3
M = 1- S v - v
as
as
(
l )( as
s )
M = 1- S v - v
vp
vp
(
l )( vp
s )
Les apports massiques permettent de définir la masse volumique globale vue par rapport à la
configuration de référence : r = r
, où r désigne la masse volumique
0 + m
+ m + m + m
w
ad
vp
as
0
homogénéisée à l'instant initial.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 10/52


On introduit d'autres grandeurs hydrauliques intermédiaires :

p
· concentration de la vapeur dans le gaz
vp
C =
,
vp
pgz
M
M
M
· flux de gaz :
gz = (1- C
+ C
. Cette équation précise que la vitesse du
vp )
as
vp
vp



gz
as
vp
gaz est obtenue en faisant une moyenne (somme pondérée) des vitesses des différents
gaz en fonction de leur concentration,
· la pression de vapeur p .
vp


2.2.3.4 Grandeurs
thermiques

· la chaleur non convectée Q (voir plus loin) (unité : Joule),
· les enthalpies massiques des constituants
m
h
( m
m
m
m
h ,h ,h ,h ) (unité
:
ij
w
ad
vp
as
Joule/Kelvin/kilogramme),
· le flux de chaleur : q (unité : J/s/mètre carré).

Toutes ces grandeurs appartiennent aux contraintes généralisées au sens du document [R7.01.10]
[bib4].

2.2.4 Données
extérieures

· la force massique m
F (en pratique la gravité),
· les sources de chaleur ,
· les conditions aux limites portant soit sur des variables imposées, soit sur des flux imposés.




3 Equations
constitutives

3.1
Equations de conservation

Il ne s'agit ici que d'un rappel, la façon de les établir est présentée dans [R7.01.10] [bib4].

3.1.1 Equilibre
mécanique

En notant le tenseur des contraintes mécaniques totales et r la masse volumique homogénéisée du
milieu, l'équilibre mécanique s'écrit :
(
Div )+ m
rF = 0 éq
3.1.1-1
Nous rappelons que r est reliée aux variations de masse fluide par la relation :

r = r
éq
3.1.1-2
0 + m
+ m + m + m
w
ad
vp
as
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 11/52


3.1.2 Conservation des masses fluides
d sa
Pour le fluide la dérivée a = dt
& est en fait une dérivée eulérienne et les équations que nous écrivons
pour le fluide comportent des termes de transport, même s'ils peuvent être cachés par le choix des
inconnues. Les équations de conservation des masses fluides s'écrivent alors :


m
m
Div M
M
w +
vp +
( w + vp)= 0
& &

éq
3.1.2-1

m
m
Div M
M
as +
ad +
( as + ad )= 0

& &
3.1.3 Conservation de l'énergie : équation thermique

m
h m
h m
h m
h m
Q' Div h M
h M
h M
h M
Div q
w
w +
m
ad
ad +
m
vp
vp +
m
as
as +
+
&
( mw w + mad ad + mvp vp + mas as)+ ( )=
( &
&
&
&

M
M
M
M F
w +
ad +
vp +
) m
as
+
éq 3.1.3-1

3.2
Equations de comportement

3.2.1 Evolution de la porosité
dp
S dp
d = (b - )
gz -
lq
c

d
3 dT
V - 0
+



Ks
éq
3.2.1-1

Dans cette équation, on voit apparaître les coefficients b et K . b est le coefficient de Biot et K est
s
s
le module de compressibilité des grains solides. Si K désigne le module de compressibilité
0
« drainé » du milieu poreux, on a la relation :
K
b
0
=1- Ks éq
3.2.1-2

3.2.2 Evolution des apports de masse fluide

En utilisant la définition des apports de masse fluide et en faisant valoir des arguments purement
géométriques, on trouve :

m =
+ S - S
w
w (1
V )
0
0
0
lq
w
lq
m =
+ S - S
ad
ad (1
V )
0
0
0
lq
ad
lq

éq
3.2.2-1
m =
+ - S -
- S
as
as (1
V ) (1
lq )
0
0
as
( 0
1
lq )
m =
+ - S -
- S
vp
vp (1
V ) (1
lq )
0
0
vp
( 0
1
lq )
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 12/52


A titre d'exemple, nous démontrons la première relation dans le cas saturé S
(avec = ).
lq = 1
lq
w
Soit un domaine élémentaire de milieu poreux de volume . On note le volume occupé par les
s
grains solides et le volume occupé par le liquide et le gaz. On note 0
, 0
, 0
les mêmes
l
s
l
volumes à l'état initial. Nous rappelons que note la variation de volume du milieu poreux et nous
V
notons la variation volumique des grains solides.
s
V

On a par définition : =
l


= - = 1- = 0 1+
s
l
(
)
( Vs)
s


Mais (1- ) = 0(1+

V )(1 - )
On en déduit :
0(1+ 1- = 0 1+
V )(
)
( Vs)
s

Il suffit d'écrire alors
0
0
=
pour obtenir :
s
( 0
1- )

0(1+ 1- = 0 1- 0 1+
V )(
)
(
)( Vs)
D'où l'on déduit :
Vs(
0
1- )= V (1- )- (
0
- )

On utilise la définition eulérienne de la masse volumique homogénéisée r (à ne pas confondre avec
la définition lagrangienne de l'équation [éq 3.1.1-2]) :

r = 1
s ( - ) + lq

et la définition de l'apport massique en liquide :

r
= (r + mlq) 0

0


On obtient :

m
s (1 - )
0
+ lq
= s (
0
1- ) 0
0
0
0
0
+ + lq
lq

soit encore :

m
ss + lq (
1+ V ) 0
0
0
0
0
0
0
= s + + lq
s
lq


Utilisant la conservation de la masse des grains solides :
0
0
= on obtient finalement :
s
s
s
s

+ = 0
1
0 + m
lq (
V )
lq
lq
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 13/52


3.2.3 Lois de comportement des fluides

3.2.3.1 Liquide
d
dp
w
w
=
-
3
dT éq
3.2.3.1-1

K
w
w
w

On voit apparaître le module de compressibilité de l'eau K et son module de dilatation .
w
w

3.2.3.2 Gaz

Pour les équations de comportement des gaz, on prend la loi des gaz parfaits :
pvp
R
=
T

M ol
vp
vp
éq
3.2.3.2-1
p
R
as =
T éq
3.2.3.2-2

M ol
as
as
On voit apparaître la masse molaire de la vapeur,
ol
M , et celle de l'air sec,
ol
M .
vp
as

3.2.4 Evolution des enthalpies

3.2.4.1 Enthalpie
liquide
dp
m
p
dh = C dT + 1-
3 T

éq
3.2.4.1-1
w
w
(
) w
w
w
On voit apparaître la chaleur massique à pression constante de l'eau :
p
C .
w
En remplaçant dans cette expression la pression du liquide par sa valeur en fonction de la pression
capillaire et de la pression du gaz, on a :
-
-
dhm = 1-
3
+

éq
3.2.4.1-2
w
(
T
w
)dp dp dp
gz
c
ad
C pdT
w
w
En notant
p
C la chaleur massique à pression constante de l'air dissous, on a :
ad
dhm = C p dT
éq
3.2.4.1-3
ad
ad

3.2.4.2 Enthalpie des gaz

dhm = C p dT
vp
vp

éq
3.2.4.2-1
dhm = C p dT éq
3.2.4.2-2
as
as

On voit apparaître la chaleur massique à pression constante de l'air sec
p
C et celle de la vapeur p
C .
as
vp
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 14/52


3.2.4.3 Apport de chaleur hors fluides

C'est la quantité Q
qui représente la chaleur reçue par le système hors apport enthalpique des
fluides.

Q
= 3 K Td
m
+ 3 Tdp
0
- 3 + 3
+
0
0
V
lq
c
( m
m
gz
lq )Tdp
C dT
gz


éq 3.2.4.3-1

On voit apparaître plusieurs coefficients de dilatation :
m
m
,
. Le coefficient est une donnée :
0 ,
lq
gz
0
il correspond à la fois au coefficient de dilatation du milieu poreux et à celui des grains solides (qui se
trouvent être forcément égaux dans la théorie que nous présentons ici).

m
m
, sont donnés par les relations :
lq
gz
1-
m
= 1-
- +
gz
( Slq)(b )
( Slq)
0
T
3

éq
3.2.4.3-2
m
= S b -

éq
3.2.4.3-3
0 +
S

lq
lq (
)
lq
lq

On voit également apparaître dans [éq 3.2.4.3-1] la chaleur spécifique à déformation constante du
milieu poreux 0
C , qui dépend de la chaleur spécifique à contrainte constante du milieu poreux 0
C par
la relation :
0
0
2
C = C - 9TK
0
0
éq
3.2.4.3-4

0
C est donnée par une loi de mélange :
C 0 = (1- )
s
p
p
C + S

( C + C ) + 1- S C + C éq
3.2.4.3-5
s
lq
w
w
ad
ad
( lq) (
p
p
vp
vp
as
as )


s
C

représente la chaleur spécifique à contrainte constante des grains solides et
la masse
s
volumique des grains solides. Pour le calcul de , on néglige la déformation des grains solides, on
s
confond donc avec sa valeur initiale 0
, laquelle se calcule en fait à partir de la masse spécifique
s
s
initiale du milieu poreux r par la formule suivante des mélanges :
0

( 0
1 - ) 0
0
0
0
0
= r - ( + )S - 1- S + éq
3.2.4.3-6
0
w
ad
lq
s
( 0lq) 0( 0 0
vp
as )

3.2.5 Lois de diffusion

3.2.5.1 Diffusion de la chaleur

On prend la loi classique de Fourrier :
T
q = -
. T
éq
3.2.5.1-1

où l'on voit apparaître le coefficient de conductivité thermique T .
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 15/52


T
est fonction de la porosité, de la saturation et de la température et est donnée sous la forme du
produit de trois fonctions plus une constante :

T
T
T
T
T
=
(

). (S

).
T
( ) +
éq
3.2.5.1-2
S
lq
T
cte

3.2.5.2 Diffusion des fluides

Ce sont les lois de Darcy, auxquelles on rajoute la loi de Fick en présence de vapeur.
Les lois de Darcy sont écrites pour le gaz et pour le liquide :

Mlq
H
= -
+ F
éq
3.2.5.2-1
lq (
m
plq
lq
)
lq
M gz
H
= (
m
- pgz + gzF ) éq
3.2.5.2-2
gz
gz
où nous voyons apparaître les conductivités hydrauliques H
et H
pour le liquide et le gaz
lq
gz
respectivement.
M
On fait l'approximation que
w
H
= -
+ F
w (
m
plq
lq
)
w


La diffusion dans le mélange gazeux est donnée par la loi de Fick grâce à la relation :

M
M
D
p
vp
as
vp
vp
-
= -


éq
3.2.5.2-3


C
1
(
C ) p
vp
as
vp
- vp gz

D est le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux (L2.T-1), on note par la suite F tel
vp
vp
que :
vp
D
vp
F =

éq
3.2.5.2-4
C
1
( - C )
vp
vp

et avec
pvp
Cvp =

éq
3.2.5.2-5
pgz

On a donc :
Mvp Mas
-
= -F C éq
3.2.5.2-6
vp
vp


vp
as
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 16/52


De plus, on a :
M gz = (
M
M
1 - Cvp ) as
vp
+ Cvp
éq
3.2.5.2-7
gz
as
vp
et :
gz = vp + as éq
3.2.5.2-8

Pour la diffusion du mélange liquide, l'écriture usuelle est la suivante :
M - M = -D
éq
3.2.5.2-9
ad
w
ad
ad


D est le coefficient de diffusion de Fick du mélange liquide. Afin de garder une écriture
ad
homogène avec celle du mélange gazeux on note par la suite F tel que :
ad
F = D
éq
3.2.5.2-10
ad
ad
Et la concentration C correspond ici à la masse volumique de l'air dissous :
ad
C =
éq
3.2.5.2-11
ad
ad

M - M = -F C
éq
3.2.5.2-12
ad
w
ad
ad


Concernant le liquide, on a admis que Darcy liquide s'applique à la vitesse de l'eau liquide. Il n'y a
donc pas à définir de vitesse moyenne du liquide.

M w
H
= - p + F
éq
3.2.5.2-13
lq (
m
lq
lq
)
w
et :
= +
éq
3.2.5.2-14
lq
w
ad

En combinant ces relations, on trouve alors :

M as
H
= -
+ F +

éq
3.2.5.2-15
gz (
m
p
C F
C
gz
gz
) vp vp vp
as
Mvp
H
= -
+ F - 1
( -
)


éq
3.2.5.2-16
gz (
m
p
C
F
C
gz
gz
)
vp
vp
vp
vp
M w
H
= - p + F
éq
3.2.5.2-17
lq (
m
lq
lq
)
w
H
M
= - p + F - F C éq
3.2.5.2-18
ad
ad
lq (
m
lq
lq
) ad ad
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 17/52


Les conductivités hydrauliques H
lq et H
ne sont pas directement des données et leur valeur est
gz
connue à partir des formules :

K int
(
k rel
).
H
lq (Slq )
=

éq
3.2.5.2-19
lq
µw (T )
K int
(
k rel
).
,
H
gz (S
p
lq
gz )
=
éq
3.2.5.2-20
gz
µgz (T )
int
K est la perméabilité intrinsèque, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur, fonction
quelconque de la porosité ;
µ est la viscosité dynamique de l'eau, caractéristique du l'eau et donnée utilisateur, fonction
w
quelconque de la température ;
µ est la viscosité dynamique du gaz, caractéristique du gaz et donnée utilisateur, fonction
gz
quelconque de la température ;
rel
k est la perméabilité relative au liquide, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur,
lq
fonction quelconque de la saturation en liquide ;
rel
k est la perméabilité relative au gaz, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur, fonction
gz
quelconque de la saturation en liquide et de la pression de gaz.

Remarque :

Les conductivités hydrauliques définies ici ne sont pas forcément très familières pour les
mécaniciens de sols, qui utilisent couramment pour les milieux saturés la perméabilité k ,
laquelle est homogène à une vitesse.

H
k
La relation entre k et H
est ainsi : =
où g est l'accélération de la pesanteur.
lq
lq
g
w

Le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux vp
F est une caractéristique du milieu poreux,
donnée utilisateur fonction quelconque de la pression de vapeur, de la pression de gaz, de la
saturation et de la température que l'on écrira comme un produit de fonction de chacune de ces
variables: F (P , P ,T , S) = f vp (P ). f gz (P ). f T (T ). f S (S)
vp
vp
gz
vp
vp
vp
gz
vp
vp
on négligera les dérivées par
rapport à la pression de vapeur et à la saturation. De la même manière pour le coefficient de diffusion
de Fick du milieu liquide : F (P , P ,T , S) = f ad (P ). f lq (P ). f T (T ). f S (S)
ad
ad
lq
ad
ad
ad
lq
ad
ad
, on ne prend
en compte que la dérivée en fonction de la température.

3.2.6 Equilibre
eau-vapeur

Cette relation est essentielle et elle a pour conséquence de réduire le nombre d'inconnues de
pression.
On note m
h l'enthalpie massique de l'eau, m
s son entropie et m
m
m
g = h - Ts son enthalpie libre.
w
w
w
w
w
On note m
h l'enthalpie massique de la vapeur, m
s son entropie et m
m
m
g = h - Ts son enthalpie
vp
vp
vp
vp
vp
libre.
L'équilibre eau vapeur s'écrit :

m
m
g = g éq
3.2.6-1
vp
w
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 18/52


Qui donne :

m
m
h - h = T s - s
éq
3.2.6-2
vp
w
( m m
vp
w )
dp
Par ailleurs, la définition de l'enthalpie libre nous apprend que : dg =
- sdT , ce qui, appliqué à la

vapeur et à l'eau, combiné à la relation
m
m
dg = dg et en utilisant [éq 3.2.6-2] donne :
vp
w

dpvp
dpw
=
+ (hm
m
-

éq
3.2.6-3
vp
w )dT
h


T
vp
w

Cette relation peut être exprimée en fonction de la pression capillaire et de la pression de gaz :


dp
vp
=
-
-
+
-
éq
3.2.6-4
vp
(dp dp dp
gz
c
ad )
vp (h m
m
vp
w ) dT
h

T
w
3.2.7 Equilibre air sec-air dissous

L'air dissous se définit via la constante de Henry K , qui relie la concentration molaire d'air dissous
H
ol
C (moles/m3) à la pression d'air sec :
ad
p
ol
as
C =

éq
3.2.7-1
ad
K H

avec ol
ad
C =
éq
3.2.7-2
ad
ol
M ad

La masse molaire de l'air dissous,
ol
M est logiquement la même que celle de l'air sec
ol
M . Pour
ad
as
l'air dissous, on prend la loi des gaz parfait :

pad
R
=
T
éq
3.2.7-3

M ol
ad
as

La pression d'air dissous est donc reliée à celle d'air sec par :
p
p
as
=
RT
éq
3.2.7-4
ad
K H

3.2.8 Le comportement mécanique

On l'écrira sous forme différentielle :
d = d +
' d 1
p éq
3.2.8-1
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 19/52


En utilisant une formulation de Bishop [bib10] élargie aux milieux non saturés on écrit :

d = -b dp - S dp
éq
3.2.8-2
p
( gz lq c)

Dans la relation [éq 3.2.8-1] l'évolution du tenseur de contrainte effective est supposée ne
dépendre que du déplacement du squelette et des variables internes . Les termes habituels liés à la
déformation thermique sont intégrés au calcul de la contrainte effective :

d '
= f (
d - IdT,
0

d )
éq
3.2.8-3
La raison de ce choix est de pouvoir utiliser n'importe quelle loi de thermomécanique classique pour le
calcul des contraintes effectives, lois qui, dans la plus part des écritures sont conformes à [éq 3.2.8-3].

3.2.9 L'isotherme de sorption

Pour fermer le système, il reste encore une relation à écrire, reliant la saturation et les pressions. Nous
avons choisi de considérer que la saturation en liquide était une fonction quelconque de la pression
capillaire, que cette fonction était une caractéristique du milieu poreux et fournie en donnée par
l'utilisateur.
Etant donné que l'utilisateur peut très bien fournir une fonction S
p affine par morceaux, et étant
lq ( c )
S

donné que la dérivée de cette fonction,
lq , joue un rôle physique essentiel, nous avons choisi de
p
c
demander à l'utilisateur de fournir également cette courbe, restant à sa charge de s'assurer de la
cohérence des données ainsi spécifiées.
On remarque que dans l'approche présente, on parle d'un relation biunivoque entre saturation et
pression capillaire. On sait que pour la plupart des milieux poreux, ce n'est pas la même relation qui
doit être utilisée pour les chemins de séchage et pour les chemins d'hydratation. C'est une des limites
de l'approche présente.

3.2.10 Récapitulatif des caractéristiques du matériau et des données utilisateur

· Le module d'Young E et le coefficient de poisson drainés permettent de calculer le
0
0
module de compressibilité drainé du milieu poreux par
0
=
E
K
,
0
(31- 20)
K
· le coefficient de Biot b
0
= 1-
permet de calculer le module de compressibilité des grains
Ks
solides K ,
s
· le module de compressibilité de l'eau K ,
w
· le coefficient de dilatation de l'eau ,
w
· la constante des gaz parfaits R ,
· la masse molaire de la vapeur
ol
M ,
vp
· la masse molaire de l'air sec
ol
M ,(=
ol
M )
as
ad
· la chaleur massique à pression constante de l'eau p
C ,
w
· la chaleur massique à pression constante de l'air dissous p
C
ad
· la chaleur massique à pression constante de l'air sec p
C ,
as
· la chaleur massique à pression constante de la vapeur p
C ,
vp
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 20/52

· le coefficient de dilatation du milieu poreux qui est aussi celui des grains solides,
0
· la chaleur massique à contrainte constante des grains solides s
C ,
· le coefficient de conductivité thermique des grains solides seuls, T
, fonction quelconque de
s
la température,
· le coefficient de conductivité thermique du liquide, Tlq , fonction quelconque de la
température,
· le coefficient de conductivité thermique de l'air sec, Tas , fonction quelconque de la
température,
· le coefficient de diffusion de fick pour le mélange gazeux, F , fonction quelconque de la
vp
température, de la pression de gaz, de la pression de vapeur et de la saturation
· le coefficient de diffusion de fick pour le mélange liquide, F , fonction quelconque de la
ad
température et de la pression de liquide, de la pression de l'air dissous et de la saturation.
· La constante de Henry K fonction quelconque de la température,
H
· la perméabilité intrinsèque, int
K , fonction quelconque de la porosité,
· la viscosité dynamique de l'eau, µ , fonction quelconque de la température,
w
· la viscosité dynamique du gaz, µ , fonction quelconque de la température,
gz
· la perméabilité relative au liquide, rel
k , fonction quelconque de la saturation en liquide,
lq
· la perméabilité relative au gaz, rel
k , fonction quelconque de la saturation en liquide et de la
gz
pression de gaz,
· la relation saturation/pression capillaire, S p , fonction quelconque de la pression
lq ( c )
capillaire,
· de façon générale l'état initial est caractérisé par :
-
la température initiale,
-
les pressions initiales d'où l'on déduit la saturation initiale 0
S p
lq (
0
c ),
-
la masse spécifique initiale de l'eau 0
,
w
-
la porosité initiale 0
,
-
la pression initiale de la vapeur 0
p d'où l'on déduit la masse volumique initiale de la
vp
vapeur 0
,
vp
-
la pression initiale de l'air sec 0
p d'où l'on déduit la masse volumique initiale de l`air sec
as
0
.
as
-
la masse volumique initiale du milieu poreux r ,
0
- la masse volumique des grains solides 0
. Cette donnée ne sert que pour les
s
modélisations incluant de la thermique, et l'on devra veiller à ce qu'elle soit cohérente
avec les autres données, au travers de la relation
:
( 0
1- ) 0
0
0
0
0
= r - ( + )S - 1- S + ,
0
w
ad
lq
s
( 0lq) 0( 0 0
vp
as )
-
les enthalpies initiales du l'eau, de l'air dissous, de la vapeur et de l'air sec.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 21/52


3.3
L'état de référence et l'état initial

L'introduction des conditions initiales est très importante, notamment pour les enthalpies.
En pratique, on peut raisonner en considérant que l'on a trois états pour les fluides :

· l'état courant,
· l'état de référence : c'est celui des fluides à l'état libre. Bien souvent on prendra pour les
pressions d'eau et d'air la pression atmosphérique. Dans cet état de référence, on peut
considérer que les enthalpies sont nulles,
· l'état initial : il est important de noter que, à l'état initial du milieu poreux, l'eau est dans un état
hygroscopique différent de celui de l'eau libre. Pour les enthalpies de l'eau et de la vapeur on
devra prendre :

init
init
m
p
p
p
p
w
- ref
init
l
w
-
hw =
=
atm


w
w
init
m
h
L T

vp =
( init ) =
ion
vaporisat
de

latente
chaleur
init
m
has = 0
init
m
had = 0

Remarque :

La pression initiale de vapeur devra être prise en cohérence avec ces choix. Bien souvent, on
part de la connaissance d'un état initial d'hygrométrie. Le degré hygrométrique est le rapport
entre la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante à la température considérée.
On utilise alors la loi de Kelvin qui donne la pression du liquide en fonction de la pression de
vapeur, de la température et de la pression de vapeur

0
p
p
R
p

w -
saturante :
w =
T ln
vp

ol
sat


. Cette relation n'est valable que pour des
M
w
vp
p (T )
vp

évolutions isothermes. Pour des évolutions avec variation de température, la formule
[éq 4.1.4-1] établie plus loin donne une expression plus complète mais en fait incrémentale.
Connaissant une loi donnant la pression de vapeur saturante à la température T , par

0

0
T -
5
.
273


2
+
7858
.
sat

31 559
.
+ 1354
.
( 0T-
)
exemple :

p (T ) 10
, et un degré d'hygrométrie HR , on en déduit
vp
0
=
5
.
273
la pression de vapeur grâce à p (T ) = HR psat (T ) .
vp
0
vp
0

3.4
Inconnues nodales, valeurs initiales et valeurs de référence

Nous abordons ici un point qui tient plus à des choix de programmation qu'à de véritables aspects de
formulation. Néanmoins, nous l'exposons parce qu'il a des conséquences pratiques importantes. Les
inconnues principales qui sont aussi les valeurs des degrés de liberté, sont notées :

ux



uy

{u}
u
ddl

z


=
ddl

1
PRE


ddl
PRE2
ddl
T



Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 22/52


Selon la modélisation, elles peuvent avoir des significations différentes :


LIQU_SATU LIQU_VAPE LIQU_GAZ_ATM
GAZ
LIQU_VAPE_GAZ
PRE1
p
p
p = - p
p
p = p - p
w
w
c
w
gz
c
gz
w
PRE2




p
gz


LIQU_GAZ LIQU_AD_GAZ_VAPE
PRE1
p = p - p
p = p - p - p
c
gz
w
c
gz
w
ad
PRE2
p
p
gz
gz

On définira alors les pressions réelles et la température réelle par :

ddl
init
p = p + p pour les pressions
ddl
PRE1 et PRE2 et
init
T = T
+ T pour les températures, où init
p et
init
T
sont définis sous le mot clé THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU.
Les valeurs écrites par IMPR_RESU sont les valeurs de { }ddl
u
. Les conditions aux limites sont définies
pour { }ddl
u
. Le mot clé DEPL du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande STAT_NON_LINE définit
les valeurs initiales de { }ddl
u
. Les valeurs initiales des enthalpies, qui appartiennent aux contraintes
généralisées sont définies à partir du mot clé SIGM du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande
STAT_NON_LINE. Les pressions réelles et la température réelle sont utilisées dans les lois de
dp
d dT
comportement, notamment les lois du type S = f p ou
=
+
. Les valeurs initiales des
lq
( c)
p

T
masses volumiques de la vapeur et de l'air sec sont définies à partir des valeurs initiales des pressions
de gaz et de vapeur (valeurs lues sous le mot clé THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU). On
remarque que, pour les déplacements, la décomposition
ddl
init
u = u + u n'est pas faite : le mot clé
THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU ne permet donc pas de définir des déplacements
initiaux. La seule façon d'initialiser les déplacements est donc de leur donner une valeur initiale par le
mot clé facteur ETAT_INIT de la commande STAT_NON_LINE.

3.5 Contraintes effectives et contraintes totales. Conditions aux limites
de contrainte

La partition des contraintes en contraintes totale et effective s'écrit :

= +
' 1
p


est la contrainte totale, c.a.d celle qui vérifie :
(
Div )+ m
rF = 0
est la contrainte effective. Pour les lois de contraintes effectives, elle vérifie :
1
d = f (
d -
= +T
0dT , ) , où
( u u) et représente les variables internes.
2
se calcule en fonction des pressions hydrauliques. L'écriture adoptée est incrémentale et, si l'on
p
veut que la valeur de soit cohérente avec la valeur init
p définie sous le mot clé
p
THM_INIT, il faut
initialiser par le mot clé
p
SIGM du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande STAT_NON_LINE.

Dans les fichiers résultats, on trouve les contraintes effectives sous les noms de composantes
SIXX ... et sous le nom
p
SIP. Les conditions aux limites en contraintes sont écrites en contraintes
totales.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 23/52


3.6
Quelques valeurs numériques

Nous donnons ici quelques valeurs raisonnables pour certains coefficients. Ces valeurs ne sont pas
programmées dans le Code_Aster, elles sont fournies ici à titre indicatif :

Pour les gaz parfaits, on retient les valeurs suivantes :
1
R
3144
.
8
J. -
=
K
3
-
-1
M ol

vp = 18. 10
kg.mole
3
-
1
M ol

as =
96
.
28
10 kg.
-
mole
Pour le CO2, la valeur de la constante de Henry à 20°C est de :
3
1
K
3162
.
-
H =
Pa m mole
Pour l'eau liquide, on a :
3
= 1000 kg / m
w
K = 2000 MPa
w


Le coefficient de dilatation thermique de l'eau est correctement approché par la formule :
5
= 52
.
9
10- Ln(T
(
1
-
K )
w
-
)
-4
273 - 19
.
2
10

Les capacités calorifiques ont pour valeurs :
s
1
-
1
C = 800
-

JKg K
p
1
-
1
Clq = 4180
-
JKg K
p
1
-
1
Cvp =1870
-
JKg K
p
1
-
1
Cas =1000
-
JKg K


On donne également une loi d'évolution de la chaleur latente de changement de phase liquide
vapeur :
L(T ) = 2500800 -
(
2443 T - 273 15
. ) J / Kg .


4
Calcul des contraintes généralisées

Dans ce chapitre, nous précisons comment sont intégrées les relations décrites au chapitre 3. Plus
précisément encore, nous donnons les expressions des contraintes généralisées au sens du
document [R7.01.10] [bib4] quand les lois de comportements THM sont appelées pour l'option
RAPH_MECA au sens du document [R5.03.01] [bib3]. Afin que ce document suive de plus prêt l'ordre de
programmation, nous allons considérer deux cas : le cas sans air dissous et celui avec.

Les contraintes généralisées sont :

, ;m ,M ,hm;m ,M ,hm;m ,M ,hm;m ,M ,hm ;Q
p
w
vp
vp
as
ad
ad
ad
' q,
w
w
vp
as
as

Les déformations généralisées , à partir desquelles on calcule les contraintes généralisées sont :

u,(u); p ,p ; p ,p T
; ,T
c
c
gz
gz

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 24/52


Les variables internes que nous avons retenues sont :

Dans le cas sans vapeur :
, , S
w
lq
Dans le cas avec vapeur et sans air dissous :
, , p , S
w
vp
lq
Dans le cas avec vapeur et air dissous:
, , p , p , S
w
vp
ad
lq

Dans ce chapitre, nous adoptons les notations habituelles Aster, à savoir les indices + pour les valeurs
des quantités en fin de pas de temps et les indices - pour les quantités au début du pas de temps.

Ainsi, les quantités connues sont :

· les contraintes, déformations généralisées et variables internes au début du pas de temps :
-
-
-
-
-
-
-
-
-
m
-
-
m
-
-
m
-
-
m
-
-
, ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;Q

p
w
w
w
vp
as
ad
ad
ad
' q,
vp
vp
as
as
-
-
u ,( -
u ) -
-
-
-
-
-
; p ,p ; p ,p T
; ,T
c
c
gz
gz
-
-
-
-
-
, , p , p
ad
w
vp
· les déformations généralisées à la fin du pas de temps :
-
+
u ,( +
u ) +
+
+
+
+
+
; p ,p ; p ,p T
;
,T
c
c
gz
gz
· Les quantités inconnues sont les contraintes, et variables internes à la fin du pas de temps :
+
+
+
+
-
+
+
+
+
m
+
+
m
+
+
m
+
+
m
+
+
, ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;m ,M ,h ;Q

p
w
w
w
vp
as
ad
ad
ad
' q,
vp
vp
as
as
-
+
+
+
+
, , p , p
ad
w
vp

4.1
Cas sans air dissous

4.1.1 Calcul de la porosité et le la masse volumique du fluide

La première chose à faire est bien sûr de calculer la saturation à la fin du pas de temps
+
S
S p . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l'équation [éq 3.2.1-1].
lq =
lq ( +
c )

On obtient alors :
+

b -
+
-
+
+
-

p
p
S p
p
ln
= -
+
-
+
-
gz
gz
lq
c
c


3
T
T
éq
4.1.1-1
-
(V -V )+ 0( - ) ( - )- ( - )
b -

-
K



s


La masse volumique du liquide se trouve en intégrant sur le pas de temps l'équation [éq 3.2.3.1-1].

Ce qui donne :

+
+
-
+
-
p - p - p + p
ln w = gz
gz
c
c -
3
T

éq
4.1.1-2
w
- T
-
( + -)


w
Kw

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 25/52


4.1.2 Calcul des coefficients de dilatation

Il s'agit d'une simple application des formules [éq 3.2.4.3-2] et [éq 3.2.4.3-3], lesquelles sont évaluées
en fin de pas de temps :
+
+
+
1 S
m
1

éq
4.1.2-1
vp
= mas = mgz = (
-
+
- Slq )(b - )
+
+
( +lq)
0 +
+
T
3
+
m
+

S b

éq
4.1.2-2
0
S
w
= lq (
+
-
)
+
+
+ lq
lq

4.1.3 Calcul des enthalpies fluides

Les enthalpies fluides sont calculées par intégration des équations [éq 3.2.4.1-1], [éq 3.2.4.2-1],
[éq 3.2.4.2-2].
+
-
1

3 T
m
h
h
C T
T
p
p
p
p éq
4.1.3-1
w
= mw + pw ( + - ) (
+
-
-
w
)
+
gz -
gz -
+
+
( + - + -c
c
)
w

+
-
hm
éq
4.1.3-2
vp
= hmvp + C pvp( +
-
T -T )
+
-
hm
éq
4.1.3-3
as
= hmas + C pas( +
-
T -T )

4.1.4 Pressions de vapeur et d'air

Partant de la relation [éq 3.2.6-4] dans laquelle on porte la loi de comportement des gaz parfaits
dp
M ol
vp
vp 1
1
m
m dT
[éq 3.2.3.2-1], on trouve
=


dp
que l'on intègre par un
gz -
dpc + (hvp - hw )


p
RT


vp

T
w
w

chemin d'abord à température constante (on considère alors la masse volumique de l'eau constante),
puis de -
T à +
T à pressions constantes.

+
p
+
ol
ol
T
ln
M
1
M
vp =
vp
vp
m
m dT
p
p
p
p
h
h

-
+
+ (
+
-
+
-


[ gz - gz)-( c - c )]+ ( vp - w )
p
RT
R
2

T
vp
-
T
w

Le premier terme correspond au chemin à température constante, le second au chemin à pressions
constantes. En utilisant les définitions [éq 3.2.4.1-1] et [éq 3.2.4.2-1] des enthalpies, on voit que pour
une évolution à pressions constantes :

hm - hm
hm - - hm-
-
-
-
vp
w
vp
w
(C p Cp
vp
w )(T
T )
=
+

2
2
2
T
T
T

On a donc pour un tel chemin :

+
T
+
1
1
1
1
m
m dT
-
-
m
m
p
p
T

(h
ln

vp - hw )
=
2
(hvp -hw )


-
+ C
C
T
-
+
( vp - w ) -

-


+

-


-
+
-
T
T
T
T
T
T
T
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 26/52


Soit finalement :

+
p
ol
vp
M
=
vp
1
ln
p
p
p
p
-
+
+ (
+
-
+
-


[ gz - gz)-( c - c )]+
p

vp
RT
w
éq
4.1.4-1
M olvp (
ol
+
-
-
M
hmvp -
-
hmw ) 1
1
vp
p
p
T
T

-
+
C
C
ln
1
-
+
( vp - w )



+
-

-
+


R
T
T
R
T T

On peut alors calculer les masses volumiques de la vapeur et de l'air par les relations [éq 3.2.3.2-1] et
[éq 3.2.3.2-2] :

ol
+
M
p
+


éq
4.1.4-2
vp =
vp
vp
+
R T
M ol p
as
gz - p
+
( + +vp)
as =
+
R
T
éq
4.1.4-3

4.1.5 Calcul des apports massiques

Les équations [éq 3.2.2-1] donnent des apports massiques nuls à l'instant 0. On écrit de façon
incrémentale les équations [éq 3.2.2-1] :

+
-
+
m
m

S

S
w =
w +
w (1
+
+ V ) + +
-
lq -
w (1
-
+ V ) - -lq
+
-
+
m
m


S


S
as =
as +
as (1
+
+ V ) + 1
(
+
-
)
-
lq
- as (1 -
+ V ) - 1
(
-
-
)
lq

éq 4.1.5-1
+
-
+
m
m


S


S
vp =
vp +
vp (1
+
+ V ) + 1
(
+
-
)
-
lq
- vp (1 -
+ V ) - 1
(
-
-
)
lq

4.1.6 Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q'

On a maintenant tous les éléments pour appliquer à la fin du pas de temps la formule [éq 3.2.4.3-5] :

+
0
+
s
+
+
+
p
C = 1
( - ) C + S C + 1
( - S +
+
+

)
C
+
+ C éq
4.1.6-1
s
lq
w
w
lq
(
p
p
vp
vp
as
as )

On utilise bien sûr [éq 3.2.4.3-4] qui donne :
0+
0+
+
2
C = C - 9T K
0
0
éq
4.1.6-2
Bien que la variation de chaleur Q
ne soit pas une différentielle totale, il est néanmoins licite de
l'intégrer sur le pas de temps et on obtient en intégrant [éq 3.2.4.3-1].

+
-
1
1
1
Q' = Q' +
3 K T 2
3
3
3
0
0
( +
0
2
2
V - V )
+
- + m T
lq
( + -
p - p
c
c )- (
+
+
mgz + mlq )T ( +
-
p - p
gz
gz )
+
+ C T -
( +
-
T )
éq 4.1.6-3
1
+
-
T +
où nous avons noté :
2
T
=
T . Nous avons choisi ici une formule de « point milieu » pour la
2
variable température.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 27/52


4.1.7 Calcul des contraintes mécaniques

Le calcul des contraintes effectives se fait en invoquant les lois incrémentales de mécanique choisies
par l'utilisateur. On intègre sur le pas de temps [éq 3.2.8-2] et on a :

+
-

b p
p
bS p
p éq
4.1.7-1
p = p -
( + -
gz -
gz )
+
+ lq( +
-
c -
c )

4.1.8 Calcul des flux hydriques et thermiques

Il faut bien sût calculer tous les coefficients de diffusion :

Le coefficient de Fick
+
F = F( + + +
T , p , p

c
gz )
La diffusivité thermique T +
T
+
T
+
T
+
T
=
(

). (S

).
T
(
) +
S
lq
T
cte
Les perméabilités et conductivités hydrauliques :
int
+
rel
int
rel

(
).

+
K
k
(
).
,
H
w ( +
Slq )
+
+
K
kgz
H
( + +
S
p
lq
gz )



lq
=
µ
µ
w (
gz
=
+
T )
gz ( +
T )
+
p
La concentrations en vapeur:
+
C = vp
vp
+
pvp

Il ne reste plus alors qu'à appliquer les formules [éq 3.2.5.1-1], [éq 3.2.5.2-15], [éq 3.2.5.2-16] et
[éq 3.2.5.2-17] pour trouver :

+
+
T
+
q = - T éq 4.1.8-1
+
M
+
as = H

p

F
C F
C éq
4.1.8-2
gz
-
+
+
m + vp vp
+
[ +gz ( + +
as
vp )
] + + +vp
as
+
Mvp
+
= H

p

F
1
(
C )F
C éq
4.1.8-3
gz
-
+
+
m - - vp vp
+
[ +gz ( + +
as
vp )
]
+
+
+
vp
vp
M+w
H +
=
- p+
+
+ F
éq
4.1.8-4
+
lq [
m
lq
w
]
w

4.2
Cas avec air dissous

4.2.1 Calcul de la porosité

De la même manière, la première chose à faire est de calculer la saturation à la fin du pas de temps
+
S
S p . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l'équation [éq 3.2.1-1]. On
lq =
lq ( +
c )
rappelle donc que :

+

b -
+
-
+
+
-

p
p
S p
p
ln
= -
+
-
+
-
gz
gz
lq
c
c


3
T
T
-
(V -V )+ 0( - ) ( - )- ( - )
b -

-
K



s

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 28/52


4.2.2 Calcul des coefficients de dilatation

Il s'agit d'une simple application des formules [éq 3.2.4.3-2] et [éq 3.2.4.3-3], lesquelles sont évaluées
en fin de pas de temps :
+
1- S
m
m+
m+

1


éq
4.2.2-1
vp
= aas = agz = (
+
- Slq )(b - )
+
+
( +lq)
0 +
+
T
3
+
m
+
w = Slq (
+
b - )
+ +
0 + lq Slq
éq
4.2.2-2
+

m
+
S
ad = S (
+
b - )
+ +
0 +
lq
lq

éq
4.2.2-3
+
T
3


4.2.3 Calcul des pressions de vapeur, d'air dissous et sec et des masses volumiques

Partant de la relation [éq 3.2.6-4] dans laquelle on porte la loi de comportement des gaz parfaits
[éq 3.2.3.2-1], on trouve :

dp
M ol
vp
vp
=
1 dp

éq
4.2.3-1
w + (h m
vp - h m
w ) dT




p
RT

vp

T
w

Contrairement au cas sans air dissous p n'est maintenant plus connu.
w
RT
RT
p = p - p = p - p -
p = p - p -
( p - p )
w
lq
ad
gz
c
as
gz
c
gz
vp
K
K
H
H
donc
RT
R
dp = dp - dp -
(dp - dp ) -
( p - p )dT éq
4.2.3-2
w
gz
c
K
gz
vp
K
gz
vp
H
H


On intègre [éq 4.2.3.1] en y incluant [éq 4.2.3.2] par un chemin d'abord à température constante (on
considère alors la masse volumique de l'eau constante), puis de -
T à +
T à pressions constantes. Au
final on obtient :

+
p
ol
ol
ol
ln
M
1
1
M
M
vp = vp (
-
vp
vp
) p
p
p
p
p
p
-
-
+
( +gz - -gz)+ - ( +vp - -vp)- - + ( +c - -c)+


p

RT
K
K
RT
vp
w
H
w
H
w
éq 4.2.3-3
ol
ol
T
M R
T
M
vp
vp
dT
m
m
p
p ln
h
h
-
(
+
+
+
vp
- +gz )


+
-

( vp - w )


K
T
R
T 2
w
H


-
T
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 29/52


Contrairement au cas précédent, on a ici une équation non linéaire à résoudre. On va faire pour ça
une méthode de type correcteur-prédicteur. On pose p
~ tel que :
vp

p~
ol
ol
ln
M
1
1
M
vp = vp (
-
vp
) p
p
p
p
-
-
+
( +gz - -gz)- - + ( +c - -c)


p

RT
K
RT
vp
H
w
w
éq
4.2.3-4
+
ol
T
M
+ vp
dT

( m
h
h
vp -
m
w )
R
2
-
T
T

et donc

+
ol
ol
T
M
1
1
M
~
-
p
p .

dT
exp
(
) p
p
p
p
h
h

vp =
vp
vp
-
vp
m
m
-
+
( +gz - -gz)- - + ( +c - -c)+ ( vp - w )
RT
K
RT

2
-


T
T
H
w
w

éq 4.2.3-5
En outre, comme dans la section [§4.1.4], on rappelle que
+
T
+
1
1
1
1
m
m dT
-
-
m
m
p
p
T

(h
ln
vp - hw )
=
2
(hvp -hw )


-
+ C
C
T
-
+
( vp - w ) -

-


+

-


-
+
-
T
T
T
T
T
T
T
+
p
p~
+
p
+
+
~
p

p
p
p
vp
vp -

+
Comme ln vp
ln vp ln vp
=
+



vp
vp

et que par D.L ln
= ln 1+

-1
-
-
~
~

~

~
p
p
p
p
p
p
vp
vp
vp
vp

vp

vp

+
pvp sera donc donné par l'expression linéaire suivante :
+
ol
ol
+
p
M
M R
vp = 1+
vp
vp
T
p
p
p
p
ln
~
éq 4.2.3-6
-
( +vp - -vp)+ - ( +vp - -gz)

-
p
K
K
vp
H
H
w
w
T
d'où


+
ol
T
-
-
-
K
M
p
p R ln


H -
vp
w

vp + gz

-
T
+




p

éq
4.2.3-7
vp =
-
KH

+
w
ol
T



- M 1
ln
vp
~

+ R -
pvp

T

A partir de là les autres pressions se calculent facilement :

+
+
+
p
p
p
as =
gz -
vp
+
+
pas
+
p

ad =
RT
K H
+
+
+
+
p
p
p
p
w =
gz -
c -
ad
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 30/52


On peut alors calculer les masses volumiques de la vapeur et de l'air par les relations [éq 3.2.3.2-1],
[éq 3.2.3.2-2] et [éq 3.2.7-3] :

ol
+
M
p
+


éq
4.2.3-8
vp =
vp
vp
+
R T
M ol p
as
gz - p
+
( + +vp)


éq
4.2.3-9
as =
+
R
T
+
ol
+


éq
4.2.3-10
ad = p
M
ad
as
+
RT
La masse volumique de l'eau se trouve en intégrant sur le pas de temps l'équation [éq 3.2.3.1-1].

Ce qui donne :

+
+
-
+
-
+
-
p - p - p + p - pad + p
ln w =
ad
gz
gz
c
c
-
3
T

éq 4.2.3-11
w
- T
-
( + -)


w
Kw

4.2.4 Calcul des enthalpies fluides

Les enthalpies fluides sont calculées par intégration des équations [éq 3.2.4.1-1], [éq 3.2.4.1-3],
[éq 3.2.4.2-1], [éq 3.2.4.2-2].
+
-
1

3 T
m
h
h
C T
T
p
p
p
p
p
p

éq 4.2.4-1
w
= mw + pw ( + - ) (
+
-
-
w
)
+
gz -
gz -
+ c - ad +
+
( + - + - + -ad
c
)
w
+
-
hm
éq
4.2.4-2
ad
= hmad + C pad ( +
-
T - T )

+
-
hm
éq
4.2.4-3
vp
= hmvp + C pvp( +
-
T -T )
+
-
hm
éq
4.2.4-4
as
= hmas + C pas( +
-
T -T )

4.2.5 Calcul des apports massiques

Les équations [éq 3.2.2-1] donnent des apports massiques nuls à l'instant 0. On écrit de façon
incrémentale les équations [éq 3.2.2-1] :

+
-
+
m
m

S

S
w =
w +
w (1
+
+ V ) + +
-
lq -
w (1
-
+ V ) - -lq
+
-
+
m
m

S

S
ad =
ad +
ad (1
+
+ V ) + +
-
lq -
ad (1
-
+ V ) - -lq

éq
4.2.5-1
+
-
+
m
m


S


S
as =
as +
as (1
+
+ V ) + 1
(
+
-
)
-
lq
- as (1 -
+ V ) - 1
(
-
-
)
lq
+
-
+
m
m


S


S
vp =
vp +
vp (1
+
+ V ) + 1
(
+
-
)
-
lq
- vp (1 -
+ V ) - 1
(
-
-
)
lq
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 31/52


4.2.6 Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q'

On a maintenant tous les éléments pour appliquer à la fin du pas de temps la formule [éq 3.2.4.3-5] :

+
0
+
s
+
+
+
p
+
p
C = 1
( - ) C + S ( C + C ) + 1
( - S +
+
+

)
C
+
+ C éq 4.2.6-1
s
lq
w
w
ad
ad
lq
(
p
p
vp
vp
as
as )

On utilise bien sûr [éq 3.2.4.3-4] qui donne :

0+
0+
+
2
C = C - 9T K
0
0
éq
4.2.6-2

Bien que la variation de chaleur Q
ne soit pas une différentielle totale, il est néanmoins licite de
l'intégrer sur le pas de temps et on obtient en intégrant [éq 3.2.4.3-1].

+
-
1
1
1
Q' = Q' +
3 K T 2
3
3
3
0
0
( +
0
2
2
V - V )
+
- + m T
lq
( + -
p - p
c
c )- (
+
+
mgz + mlq )T ( +
-
p - p
gz
gz )
+
+ C T -
( +
-
T )
éq 4.2.6-3
1
+
-
T +
où nous avons noté :
2
T
=
T . Nous avons choisi ici une formule de « point milieu » pour la
2
variable température.


4.2.7 Calcul des contraintes mécaniques

Le calcul des contraintes effectives se fait en invoquant les lois incrémentales de mécanique choisies
par l'utilisateur. On intègre sur le pas de temps [éq 3.2.8-2] et on a :

+
-

b p
p
bS p
p éq
4.2.7-1
p = p -
( + -
gz -
gz )
+
+ lq( +
-
c -
c )

4.2.8 Calcul des flux hydriques et thermiques

Il faut bien sur calculer tous les coefficients de diffusion :

Les coefficients de Fick
+
F ( +
P , +
P , +
T , +
S ) et +
F ( +
P , +
P , +
T , +
S )
vp
vp
gz
ad
ad
lq

La diffusivité thermique T +
T
+
T
+
T
+
T
=
(

). (S

).
T
(
) +
S
lq
T
cte

Les perméabilités et conductivités hydrauliques :

int
+
rel
int
rel

(
).

+
K
k
(
).
,
H
w ( +
Slq )
+
+
K
kgz
H
( + +
S
p
lq
gz )



lq
=
µ
µ
w (
gz
=
+
T )
gz ( +
T )

+
p
Les concentrations en vapeur et air dissous :
+
C = vp et +
+
C

ad =
vp
+
p
ad
gz
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 32/52


Il ne reste plus alors qu'à appliquer les formules [éq 3.2.5.1-1], [éq 3.2.5.2-15], [éq 3.2.5.2-16],
[éq 3.2.5.2-17] et [éq 3.2.5.2-18] pour trouver :
+
+
T
+
q = - T éq 4.2.8-1
+
M
+
as = H

p

F
C F
C éq
4.2.8-2
gz
-
+
+
m + vp vp
+
[ +gz ( + +
as
vp )
] + + +vp
as
+
Mvp
+
= H

p

F
1
(
C )F
C éq
4.2.8-3
gz
-
+
+
m - - vp vp
+
[ +gz ( + +
as
vp )
]
+
+
+
vp
vp
M+w
H +
=
- p+ + ( +
+
+ )F
éq
4.2.8-4
+
lq [
m
lq
w
ad
]
w
+
+
M

p
(
)F
F
C
éq 4.2.8-5
ad =
H
ad
lq [
+
+
- lq + w +
m
ad
] + +
- ad ad



5
Calcul des dérivées des contraintes généralisées

Dans ce chapitre, nous donnons les expressions des dérivées des contraintes généralisées par
rapport aux déformations généralisées au sens du document [R7.01.10] [bib4], c`est-à-dire les termes
qui sont calculés quand les lois de comportements THM sont appelées pour l'option RIGI_MECA_TANG
au sens du document [R5.03.01] [bib3].
Afin de ne pas alourdir l'exposé, nous donnons l'expression des différentielles des contraintes
généralisées, sachant que les dérivées partielles s'en déduisent directement.

5.1
Dérivées des contraintes

Le calcul de la différentielle des contraintes effectives est laissé à la charge de la loi de comportement
purement mécanique, que nous ne décrivons pas dans ce document. La différentielle de la contrainte
est donnée directement par l'expression [éq 3.2.8-2].
p

5.2
Dérivées des apports massiques

En différenciant [éq 3.2.2-1], on a :
dm
d
w
w
=
(1+ S + d S + 1+ dS + 1+ dS
V )
lq
V
lq
( V ) lq ( V ) lq


w
w
dm
d
ad
ad
=
(1+ S + d S + 1+ dS + 1+ dS
V )
lq
V
lq
( V ) lq ( V ) lq


ad
ad
éq
5.2-1
dm
d
as
as
=
(1+ 1- S + d 1- S + 1+ d 1- S - 1+ dS
V ) (
lq )
V
( lq) ( V ) ( lq) ( V ) lq


as
as
dm
d
vp
vp
=
(1+ 1- S + d 1- S + 1+ d 1- S - 1+ dS
V ) (
lq )
V
( lq) ( V ) ( lq) ( V ) lq


vp
vp
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 33/52


5.2.1 Cas sans air dissous

en tenant compte de [éq 3.2.1-1] et de [éq 3.2.3.1-1], [éq 3.2.3.2-1], [éq 3.2.3.2-2] et en supposant
1+
on trouve :
V 1

dm
S
S
S 2 b
(
)

(
)
w
lq
lq
lq
-



b -



= bS d


3
lq
V +
-
-
dpc + Slq
+
dpgz -
m dT



w
P
K
K





w

c
w
s

K
K
w
s



dm
1
(
)
(
)
(
1
)(
)
vp

Slq
- S S b
lq
lq
-

b -
- Slq
dpvp
m

= b 1
( - S )d

1
(
)

3
lq
V +
-
-
dpc +
dpgz +
- Slq
-
dT
vp









vp

P
K
c
s


K s

pvp


dm

S
1
(
)
(
)
(
1
)(
)
as
lq
- S S b
lq
lq
-

b -
- Slq
dpas
m

= b 1
( - S )d

1
(
)

3
lq
V +
-
-
dpc +
dpgz +
- Slq
-








dT
as
P
K
K
p
as


c
s


s

as


éq 5.2.1-1

On voit apparaître la dérivée de la saturation en liquide par rapport à la pression capillaire, quantité qui
joue un rôle essentiel.

L'expression [éq 3.2.6-4] de la différentielle de la pression de vapeur permet aussi de calculer la
pression d'air sec :

M ol p
M ol
M ol
dp
vp
vp
= 1
( -
)dp
vp
-
dp
vp
-
-
éq
5.2.1-2
as
gz
c
(hm m
vp
w ) dT
h
RT
RT
RT
T
w
w

On reporte [éq 5.2.1-2] et [éq 3.2.6-4] dans [éq 5.2.1-1] et on trouve :

dm

S

S
S 2 b
( - )

( - )
w
lq
lq
lq
b
= bS d

+

-
-
dp + S
+
dp
m
-
3
dT
lq
V


P

K
K
c
lq


K
K
gz
w


w
c
w
s


w
s

éq 5.2.1-3
dm


1-
-
1-

vp = b(1- S + -
-
-

lq )
Slq ( Slq )Slq(b
) ( Slq)
d
vp
dp
V


p

K
p
c


vp

c
s
vp
lq
éq 5.2.1-4
(b - )(1- S
1-


1-
-

lq )
( Slq) vp
m
vp (
Slq )(hm hm
vp
lq )
+
+
dp + -
3
+
dT

K
p
gz
vp



p T


s
vp
lq

vp

dm


1-
-
1-

as = b(1- S
+ -
-
+

lq )
Slq ( Slq )Slq(b
) ( Slq)
d
vp
dp
V


p

K
p
c


as

c
s
as
lq

(b - )(1- S
1-
-

1-
-

lq )
( Slq) lq vp
m
vp (
Slq )(hm hm
vp
lq )
+
+
dp + -
3
-
dT

K
p
gz
as



p T


s
as
lq


as

éq 5.2.1-5
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 34/52


5.2.2 Cas avec air dissous

Comme précédemment, en tenant compte de [éq 3.2.1-1] et de [éq 3.2.3.1-1], [éq 3.2.3.2-1],
[éq 3.2.3.2-2], [éq 3.2.7.3] et en supposant 1+
on trouve :
V 1

dm
S
2 ( - )



(
)
-



w
lq
p
S
b
S

w
lq
lq
p

w
b
Slq p
= bS d +
-
+
dp + S
+
dp
w
m
+
-
3
dT
lq
V

K
P

K
P
c
lq

K P

K
gz


K T
w

w
w
c
s
c


w
gz
s

w

éq 5.2.2-1

dm
S M ol
2 ( - )




(
)
-
ad
lq
as
p
S
b
S

as
lq
lq
M ol
p

as
as
b
= bS d +
-
+
dp + S
+
dp
lq
V

K
P

K
P
c
lq

K P

K
gz

ad
ad
H
c
s
c


ad H
gz
s

éq 5.2.2-2
M ol p


+ S
as
as - 3 b
(

0
- ) dT
lq K
T




ad
H


dm

S

1
( - S )S b
( - ) 1
( - S )
b
( - 1
)( - S ) 1
( - S )
vp = b 1
( - S )d
lq
lq
lq
lq
vp
+ -
-
-
dp
lq
lq
vp
+
+
dp +
lq
V


P

K
p
c



K
p
gz


vp

c
s
vp
lq

s
vp
lq

1
( - S )(hm - hm )
m
vp
lq
vp
lq
3

+ - +
dT
vp

p T

vp


éq 5.2.2-3

dm

S

1
( - S )S b
( - ) 1
( - S )
as = b 1
( - S )d
lq
lq
lq
lq
vp
+ -
-
+
dp +
lq
V


P

K
p
c


as

c
s
as
lq
éq
5.2.2-4
b
( - 1
)( - S ) 1
( - S ) -

1
( - S )(hm - hm )
lq
lq
lq
vp

+
dp
m
vp
lq
vp
lq
3

+ - -
dT

K
p
gz
vp



p T


s
as
lq

as



Les dérivées partielles sont données en [§Annexe 3].

5.3
Dérivées des enthalpies et de la chaleur Q'

Là encore, nous ne faisons que rappeler des expressions déjà fournies au chapitre 2 :

5.3.1 Cas sans air dissous

-
dhm = 1-
3
+

w
(
T
w
)dp dp
gz
c
C pdT
w
w
dhm = C p dT
vp
vp
dhm = C p dT
as
as
Q
'= 3 K Td
m
+ 3 Tdp
0
- 3 + 3
+
0
0
V
lq
c
( m
m
gz
lq )Tdp
C dT
gz


Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 35/52


5.3.2 Cas avec air dissous

-
-
dhm = 1-
3
+
w
(
T
w
)dp dp dp
gz
c
ad
C pdT
w
w
1-
3 T
p



p



1-
3


w
ad
ad
p
T p
=
1-
dp - 1+
dp + C
w
ad
-
dT








p
gz




p
c
w









T

w
gz
c

w

dhm = C p dT
ad
ad
dhm = C p dT
vp
vp
dhm = C p dT
as
as
Q
'= 3 K Td
m
+ 3 Tdp
0
- 3 + 3
+
0
0
V
lq
c
( m
m
gz
lq )Tdp
C dT
gz




5.4
Dérivées du flux de chaleur

On part de [éq 3.2.5.1-1] et de [éq 3.2.5.1-2].

En différenciant [éq 3.2.5.1-2] et en utilisant [éq 3.2.1-1], on trouve :

d T
= b
T
T
( - ) '(
). (S
T
). T
( )d
S
lq
T
v
b
( - ) T
T
+
'(
). (S
T
). T
( )dp
K
S
lq
T
gz
s



S

( - )

T
T
T
lq
b
+ (

). '(S ). T
( ).
- S
T
T
'(
). (S
T
). T
( ) dp
S
lq
T
p
lq

K
S
lq
T
c



c
s

+ ( T
T
(
). (S
T
). ' T
( ) - b
T
T
( - 3
). '(
). (S
T
). T
( )
S
lq
T
0
S
lq
T
)dT

Soit finalement :

dq = - b
T
T
( - ) '(
). (S
T
). T
(
) Td
S
lq
T
v
b
( - ) T
T
-
'(
). (S
T
). T
(
) Tdp
K
S
lq
T
gz
s
éq
5.4-1

S

( - )

T
T
T
lq
b
- (
). ' (S ).
T
( ).
- S
T
T
'(
). (S
T
). T
( ) Tdp
S
lq
T


p
lq

K
S
lq
T
c



c
s

- ( T
T
(
). (S
T
). ' T
( ) - b
T
T
( - 3
). '(
). (S
T
). T
( )
0

S
lq
T
S
lq
T
) TdT

5.5
Dérivée des flux hydriques

Il faut bien sûr repartir des équations [éq 3.2.5.2-15], [éq 3.2.5.2-16], [éq 3.2.5.2-17] et [éq 3.2.5.2-18]
que l'on différencie.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 36/52


5.5.1 Cas sans air dissous

M

M - C F C
as
H
m
as
as
vp
vp
vp
H
dM =
+ F d +
d
as
as
gz
as




H
gz


as

lq
H
+ - dp + d F
éq
5.5.1-1
as
gz (
m
gz
vp
)
F
F

vp
vp
+ C
dT +
p

C + dC F C + C F dC
as
vp
gz
vp
as
vp
vp
vp
as
vp
vp
vp
T
p


gz



M

M + 1- C F C
vp
H
m
vp
vp (
vp ) vp
vp
H
dM =
+ F d +
d
vp
vp
gz
vp
H
gz




vp

gz
H
+ - dp + d F

vp
gz (
m
gz
as
)
F
F

vp
vp
- 1
( - C )
dT +
p

C + dC F C - 1
( - C )F dC
vp
vp
gz
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
T
p


gz

éq 5.5.1-2
M

M
w
H
m
w
H
dM =
+ F d +
d
w


w lq

w
H
lq


w

lq
éq
5.5.1-3
H
- dp - dp
w lq (
gz
c )

Afin d'expliciter complètement ces différentielles, il faut connaître les différentielles des masses
p
volumiques des fluides, ainsi que les différentielles de
vp
C =
et de son gradient. Connaissant
vp
pgz
[éq 3.2.6-4], on peut alors calculer la différentielle de la pression d'air sec :

-

dp = dp - dp
w
vp
=
dp
vp
+
dp -
-

éq
5.5.1-4
as
gz
vp
gz
c
vp (h m
m
vp
w ) dT
h


T
w
w

d
dp
dT
d
dp
vp
vp
dT
En dérivant la relation des gaz parfaits on a :
as
as
=
-
et
=
-
, ce qui, en

p
T

p
T
as
as
vp
vp
utilisant [éq 3.2.6-4] et [éq 5.5.1-4] donne :

2
2
2
-

vp
vp
vp (h m
hm
vp
w )
d =
dp -
dp
vp


+
-
dT
éq
5.5.1-5
vp
p
gz
p
c

Tp
T
w
vp
w
vp
vp


-


-

as
w
vp
as
vp
as
vp (h m
hm
vp
w )
d =
dp +
dp
as


+ -
-
dT éq 5.5.1-6
as
p
gz

p
c


Tp
T
as
w
as
w
as


Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 37/52


[éq 3.2.6-4] permet d'exprimer le gradient de la pression de vapeur :



p
vp
=

-
+
-
éq
5.5.1-7
vp
( p
p
gz
c )
vp (hm
m
vp
lq )
T
h

T
lq

En différentiant [éq 5.5.1-7] on trouve :

m
m





-

dp
vp
=

-
+
-




-
+

vp
(d p d
gz
c )
d
p
vp
vp d
2
w ( p
p
gz
c )
h
h
vp
w
d T
vp






T

w
w
w



éq
5.5.1-8

hm - hm
+d
vp
w





T
vp


T




Le dernier terme de [éq 5.5.1-8] s'écrit :


hm - hm
hm - hm

d
vp
w





T
vp
w

=

T d
vp
+
T
-
-
-


vp
vp
(dhm dhm
vp
w )
vp (h m
hm
vp
w )
dT
T 2


T


T

T
T





éq 5.5.1-9

Connaissant les différentielles de la pression de vapeur et de son gradient, les expressions des
différentielles de C et de son gradient sont faciles à calculer :
vp

dp
p
p
p
vp
vp
dC =
-
dp qui donne :
vp
vp
C =
-
p et que l'on différencie en :
vp
2
gz
p
p
vp
2
gz
p
gz
p
gz
gz
gz
p
p
dp
p
p
p
p
vp
vp
vp
gz
vp
vp
vp
dC = d
-
p =
-
dp

+ 2
p

-
dp -
dp
vp
2
gz
2
vp
3
gz
2
gz
2
gz
p

p
p


p
p
p
p
gz
gz
gz

gz
gz

gz
gz


dp est donné par [éq 3.2.6-4] et dp par [éq 5.5.1-8].
vp
vp

5.5.2 Cas avec air dissous

M

M - C F C
as
H
m
as
as
vp
vp
vp
H
dM =
+ F d +
d
as
as
gz
as




H
gz


as

gz
H
+ - dp + d F
éq 5.5.2-1
as
gz (
m
gz
vp
)
F
F

vp
vp
+ C
dT +
dp

C + dC F C + C F dC
as
vp
gz
vp
as
vp
vp
vp
as
vp
vp
vp
T
p


gz


Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 38/52


M

M + 1- C F C
vp
H
m
vp
vp (
vp ) vp
vp
H
dM =
+ F d +
d
vp
vp
gz
vp
H
gz




vp

gz
H
+ - dp + d F

vp
gz (
m
gz
as
)
F
F

vp
vp
- 1
( - C )
dT +
dp

C + dC F C - 1
( - C )F dC
vp
vp
gz
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
vp
T
p


gz

éq 5.5.2-2

M

M
w
H
m
w
H
H
dM =
+ F d +
d + - dp + d F éq 5.5.2-3
w


w lq

w
H
lq
w lq (
m
lq
ad
)



w
lq

dM
= - p + F d + -
( p + F ) d
ad
( H
H
m
lq
lq
lq
lq
) ad ad ( H
m
lq
lq
lq
) Hlq
H
+ - dp + d F



ad
lq (
m
lq
w
)
F
F

ad
ad
-
dT +
dp C - F dC
c
ad
ad
ad

T
p



c

éq 5.5.2-4

Il faut connaître les différentielles des masses volumiques des fluides, ainsi que les différentielles de
pvp
C =
, C
= et de leur gradient. On va tout d'abord calculer les différentielles des masses
vp
p
ad
ad
gz

volumiques en utilisant les dérivées partielles de pressions données dans [§Annexe 3].

d
dp
dT
d
dp
vp
vp
dT
En dérivant la relation des gaz parfaits on a :
as
as
=
-
et
=
-
, que l'on

p
T

p
T
as
as
vp
vp
peut exprimer sous la forme :


p

p



p


d
as
as

=
dp
as
+
dp
as
as
as
+
-
dT
as
éq 5.5.2-5
p p
c

p
gz

p
T

T
as
c
gz
as


p

p


p


d
vp
vp

=
dp
vp
+
dp
vp
vp
vp


+
-
dT
vp
éq 5.5.2-6
p p
c

p
gz

p
T

T
vp
c
gz
vp



En utilisant la relation [éq 3.2.3.1-1], on obtient :
p

p

p


d
w
w
=

dp
w
+
dp
w
w
+
- 3 dT éq
5.5.2-7
w
K p
c

p
gz

K
T
w
w

w
c
gz
w

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 39/52


ol
M
Et comme
as
dad =
dpas ,
K H
M ol
as
pas
pas
p

d
éq
5.5.2-8
ad =

dpc +
dpgz +
as dT


K H pc
pgz
T


Comme précédemment, on utilise l' expressions

dp
p
vp
vp
dC =
-
dp qui donne
vp
2
gz
p
p
gz
gz
1 p

p

1 p

p
vp
vp
vp
vp
dC =
dp +
dT


+
-
dp éq
5.5.2-9
vp
c
2
gz
p p

T



p
p




gz
c
gz
gz
p

gz


p
p
et
vp
vp
C =
-
p et que l'on différencie en :
vp
2
gz
p
p
gz
gz
p
p
dp
p
p
p
p
vp
vp
vp
gz
vp
vp
vp
dC = d
-
p =
-
dp

+ 2
p

-
dp -
dp
vp
2
gz
2
vp
3
gz
2
gz
2
gz
p

p
p


p
p
p
p
gz
gz
gz

gz
gz

gz
gz


éq 5.5.2-10

avec
p

p

p

p
vp
=
p
vp
+
p
vp
+
T
éq
5.5.2-11
vp
p
gz

p
c

T

gz
c
et dp que l'on différencie de la manière suivante :
vp
p

p

p

p

p

p

dp = d
vp p + d vp p + d vp T
vp
+
dp
vp
+
dp
vp
+
dT
vp
p
gz

p
c

T

p
gz

p
c

T
gz
c
gz
c


p

p

p


vp

=
p
vp
+
p
vp
+
T dp
p

p
gz

p

p
c

p

T
c

c
gz
c
c
c


p

p

p


vp

+
p
vp
+
p
vp
+
T dp


p

p
gz

p

p
c

p

T
gz


gz
gz
gz
c
gz


p

p

p


vp

+
p
vp
+
p
vp
+
T dT
T

p
gz

T

p
c

T

T


gz
c


p

p

p
vp

+
dp
vp
+
dp
vp
+
dT
p
gz

p
c

T
gz
c

éq 5.5.2-12
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 40/52


Les dérivées partielles du second ordre sont développées dans l'[§Annexe 4].

Pour l'air dissous, on procède avec les mêmes étapes :
p
C = = M ol
ad
.
ad
ad
ad
RT
donc
ol dp
p
ad
ad

dC
.
qui donne
ad = M ad
-
dT
RT
RT 2


ol
1 p
1
1
ad
p

ad
p
P
ad
ad
dC
.

éq
5.5.2-13
ad = M ad
dpc +
dpgz +
-

dT





2
RT pc
RT pgz
T
RT plq



ol p
p
ad
ad

et C
.
et que l'on différencie en :
ad = M ad
-
T
RT
RT 2



ol
1

1 T
pad
pad
pad

dC
2

ad = M ad
dpad -
dp
2
ad +
T -
dT -
dT
3
2
2

RT
RT
RT
RT
RT

éq 5.5.2-14
avec
p

p

p

p
ad
=
p
ad
+
p
ad
+
T éq
5.5.2-15
ad
p
gz

p
c

T

gz
c
et dp que l'on différencie de la manière suivante :
ad

p

p

p


ad
=
p
ad
+
p
ad
+
T dp
p

p
gz

p

p
c

p

T
c



c
gz
c
c
c

p


p


p


ad
+
p
ad
+
p
ad
+
T dp
p

p
gz

p

p
c

p

T
gz



gz
gz
gz
c
gz


éq
5.5.2-16
p

p

p


ad
+
p
ad
+
p
ad
+
T dT
T

p
gz

T

p
c

T

T



gz
c

p

p

p

ad
+
dp
ad
+
dp
ad
+
dT
p
gz

p
c

T

gz
c

Les dérivées partielles du second ordre sont développées dans l'[§Annexe 4].


Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 41/52


6 Bibliographie

[1]
O. COUSSY : « Mécanique des milieux poreux ». Editions TECHNIP.
[2]
C. CHAVANT, P. CHARLES, Th. DUFORESTEL, F. VOLDOIRE
: «
Thermo-hydro-
mécanique des milieux poreux non saturés dans le Code_Aster ». Note HI-74/99/011/A.
[3]
I. VAUTIER, P. MIALON, E. LORENTZ : « Algorithme non linéaire quasi statique (opérateur
STAT_NON_LINE) ». Document Aster [R5.03.01].
[4]
C. CHAVANT : « Modélisations THHM généralités et algorithmes ». Document Aster
[R7.01.10].
[5]
A. GIRAUD : « Adaptation au modèle poroélastique non linéaire de Lassabatère-Coussy à la
modélisation milieu poreux non saturé ». (ENSG).
[6]
J. WABINSKI, F. VOLDOIRE : Thermohydromécanique en milieu saturé. Note EDF/DER
HI/74/96/010, de septembre 1996.
[7]
T. LASSABATERE : « Couplages hydromécaniques en milieu poreux non saturé avec
changement de phase : application au retrait de dessiccation du béton ». Thèse ENPC.
[8]
Ph. MESTAT, M. PRAT : « Ouvrages en interaction ». Hermes.
[9]
J. F. THILUS et al : « Poro-mechanics », Biot Conférence 1998.
[10]
A. W. BISHOP & G. E. BLIGHT: « Somme Aspects of Effective Stress in Saturated and Partly
Saturated Soils », Géotechnique n° 3 vol. XIII, pp. 177-197. 1963.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 42/52


Annexe 1 Contraintes généralisées et variables internes

Les contraintes :

Numéro
Nom de composante Aster
Contenu
1
SIXX

xx
2
SIYY

yy
3
SIZZ

zz
4
SIXY

xy
5
SIXZ

xz
6
SIYZ

yz
7
SIP

p
8
M11
m
w
9
FH11X
M
w x
10
FH11Y
M

w y
11
FH11Z
M
w z
12
m
ENT11
h
w
13
M12
m
vp
14
FH12X
M

vp x
15
FH12Y
M

vp y
16
FH12Z
M

vp z
17
m
ENT12
h
vp
18
M21
m
as
19
FH21X
M

as x
20
FH21Y
M

as y
21
FH21Z
M

as z
22
m
ENT21
h
as
18
M22
m
ad
19
FH22X
M

ad x
20
FH22Y
M

ad y
21
FH22Z
M

ad z
22
m
ENT22
h
ad
23
QPRIM
Q'
24
FHTX
q
x
25
FHTY
q
y
26
FHTZ
q
z
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 43/52


Les variables internes dans le cas où l'on tient compte de la saturation (de type `..HH..' ou bien THV) :

Numéro
Nom se composante Aster
Contenu
1 V1
0
-
2 V2
0
-
lq
lq
3 V3
0
p - p
vp
vp
4 V4
S
lq


Et dans les autres cas :

Numéro
Nom se composante Aster
Contenu
1 V1
0
-
2 V2
0
-
lq
lq
3 V3
0
p - p
vp
vp


Annexe 2 Données matériau

On donne ici la correspondance entre le vocabulaire des commandes Aster et les notations utilisées dans la
présente note pour les différentes grandeurs caractéristiques des matériaux.

A2.1 Mot clé facteur THM_LIQU


RHO
0

lq

UN_SUR_K
1
Klq

ALPHA

lq

CP
p
C
lq

VISC
µ (T
lq
)

D_VISC_TEMP
µ
lq (T)
T


A2.2 Mot clé facteur THM_GAZ


MASS_MOL
ol
M
as

CP
p
C
as

VISC
µ (T
as
)

D_VISC_TEMP
µ
as (T)
T

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 44/52


A2.3 Mot clé facteur THM_VAPE_GAZ


MASS_MOL
ol
M
VP

CP
p
C
vp

VISC
µ (T
vp
)

D_VISC_TEMP
µ
vp (T)
T


A2.4 Mot clé facteur THM_AIR_DISS


CP
p
C
ad

COEF_HENRY
K
H

A2.5 Mot clé facteur THM_INIT


TEMP
initT

PRE1
init P
1

PRE2
init P
2

PORO
0


PRES_VAPE
0
p
vp

On rappelle que, selon la modélisation, les deux pressions P et P
1
2 représentent :


LIQU_SATU LIQU_VAPE LIQU_GAZ_ATM GAZ
LIQU_VAPE_GAZ
P
p
p
p = - p
p
p = p - p
1
w
w
c
w
gz
c
gz
w
P
p
2




gz


LIQU_GAZ LIQU_AD_GAZ_VAPE
P
p = p - p
p = p - p - p
1
c
gz
w
c
gz
w
ad
P
p
p
2
gz
gz

A2.6 Mot clé facteur THM_DIFFU


R_GAZ
R

RHO
r
0

CP
s
C

BIOT_COEF
b

SATU_PRES
S p
lq ( c )

D_SATU_PRES
S
lq (p c)
p
c

PESA_X
m
F
x

PESA_Y
m
F
y
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 45/52


PESA_Z
m
F
z

PERM_IN
int
K ( )


PERM_LIQU
rel
k
S
lq ( lq )

D_PERM_LIQU_SATU
rel
k
lq (S
lq )
S
lq

PERM_GAZ
rel
k
S , p
gz ( lq
gz )

D_PERM_SATU_GAZ
rel
k
gz (S , p
lq
gz )
S
lq

D_PERM_PRES_GAZ
rel
k
gz (S , p
lq
gz )
p
gz

FICKV_T
f T (T )
vp

FICKV_S
f S (S)
vp

FICKV_PG
gz
f (P )
vp
g

FICKV_PV
vp
f (P )
vp
vp

D_FV_T
f T
vp (T)
T


D_FV_PG
gz
f
vp (P )
gz
P
gz

FICKA_T
f T (T )
ad

FICKA_S
f S (S)
ad

FICKA_PA
ad
f (P )
ad
ad

FICKA_PL
lq
f (P )
ad
lq

D_FA_T
f T
vp (T)
T


LAMB_T
T
(T)
T


T
T
( )

DLAMB_T
T

T




T

(

LAMB_PHI
)




T
( )

DLAMBPHI





LAMB_S
T
(S)
S




T
(S)

DLAMBS
S
S




LAMB_CT
T

CT

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 46/52


Remarque :

Pour les modélisations faisant intervenir la thermique, et pour le calcul de la chaleur spécifique
homogénéisée, on utilise la relation : C
0 = (1- )
s
p
C + S C

+ 1- S C + C .
s
lq lq
lq
( lq) ( p
p
vp
vp
as
as )
Dans cette formule, on confond avec sa valeur initiale 0
dont la valeur est lue sous le mot clé
s
s
RHO du mot clé facteur ELAS.



Annexe 3 Dérivées des pressions en fonction des déformations
généralisées

On détaille ici le calcul des dérivées de pression en fonction des déformations généralisées. On rappelle que
dpvp
dpw
dT
l'équation [éq 3.2.6.3] est
=
+ L
avec
m
m
L = h - h . En outre


T
vp
w
vp
w
R
RT
dp = dp - dp =
p dT +
dp et dp = dp - dp . En combinant ces équations on obtient :
ad
lq
w
as
as
K
K
as
gz
vp
H
H

RT

dT
RT

dp
L
p
1 dp
dp
vp
- w = (-
w +
ad )
+
-
gz +






c
K

T
K
H
vp

H






vp RT

vp
p
RT

dp
1
LR
dT
1 dp
dp
w
- = -
+ ad
+
-
gz +








c

K
K
T
K
w
H

H

H



On peut donc écrire les dérivées partielles de l'eau et de la vapeur en fonction des déformations généralisées :



-
vp
LR
+ p
RT
ad
-1
p
K
T
p
K
p
w
H
w
H

1
=
;
=
;
w =

T



vp RT
p
RT
p
RT
gz
vp

-1
-1
c
vp
-1
K
K
K
w
H
w
H
w
H
RT -1
p

- L + p
1
p

K
p

vp
(
1
w
ad )
vp
vp
H
=
. ;
=
;
=

T

RT

T
p

RT

p

RT

w
gz
w
c
w
-
-
-
K

K

K

H
vp
H
vp
H
vp

Les relations dp
= dp - dp et dp = dp - dp - dp permettent de dériver toutes les pressions,
as
gz
vp
ad
gz
c
w
puisqu'on aura
p

p

p

p

p

p

as
vp
as
vp
as
vp
= -
;
= 1-
;
= -

T

T

p

p

p

p

gz
gz
c
c
et

p

p

p

p

p

p

ad
w
ad
w
ad
w
= -
;
= 1-
;
= -1-

T

T

p

p

p

p

gz
gz
c
c
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 47/52


Annexe 4 Dérivées secondes des pressions de vapeur et d'air
dissous en fonction des déformations généralisées

On calcule ici les dérivées partielles du second ordre de la pression de vapeur nécessaires à la section [§5.5.2].
On notera par la suite :

RT

RT

w
A1 =
-
et 2
A = w
-1
K






K
H
vp
vp
H

1
p
vp 1
1
p
w
A3 =
- -
-
3

w
p
T

T
K
T

vp
w
1
p
vp 1
1
p
w
A4 = -
+ +
-
3

w
p
T

T
K
T

vp
w

Dérivées secondes de la pression de vapeur :

p
A2 1
p
1
p
vp



=

w -
vp
2

p p
A1
K
p
p
p
c gz
w c
vp c
p
A2 1
p
1
p
vp



=

w -
vp
2

p
p
A1
K
p
p
p
gz gz
w gz
vp gz
pvp
R
1 RT

R


=
-
-1
- w 4
A
2




T p
K
1
A
1
A

gz
H
K H

K H
vp



p

1 1
p
vp

1
p
w
vp

= -

-
w
2

p
p
A1 p
p
K
p
c c
vp
vp c
w c
p

1 1
p
vp

1
p
w
vp


= -

-
w
2

p
p
A1 p
p
K
p
gz c
vp
vp gz
w gz
pvp
1 R


= -

- w 4
A
2

T p
1
A

c
K H
vp


p

1 1
p


1
p
1
p
vp




w
w
w




= -
A1 1-
1
( + L
) + ( p
L )

2
ad -

w
w
-
vp
p
T
T A1
p
K

K
p
p
p
c







c
W

vp
w c
vp



c
p

1 1

p


1
p
1
p
vp



w
w
w




= -
A
1 1-
1
( + L
) + ( p
L )

2
ad -

w
w
-
vp
p
T
T A1
p
K

K
p
p
p
gz





gz
W
vp
w gz
vp




gz
p







vp
1
p

p
RT

R

ad
w
w
1
=

- L
- 3
w
-

-
+ T (
w
-
A )
4 ( p - L )
T

T

T. 1
w
w




2
A
T

K
T



T . 12
ad
w
A K

K



W

H
vp
H
vp

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 48/52


Dérivées secondes de la pression d'air dissous :

p
RT A2 1 p
1
p
ad
vp

=

-
w
2

p p
K
A1
p
p
K
p
c gz
H
vp c
w c
p
RT A2 1 p
1
p
ad
vp


=

-
w
2

p
p
K
A1
p
p
K
p
gz gz
H
vp gz
w gz
2
p

1
2
ad
R
w
w
R A
= -
+

+

2 (1
A3 T
. )
T

p

K A1


K
A1
gz
H
vp
vp
H

p
RT
1 1 p
1
p
ad
w
vp

=

-
w
2

p
p
K A1
p
p
K
p
c c
H
vp
vp c
w c
p
RT
1 1 p
1
p
ad
w
vp


=

-
w
2

p
p
K A
p
p
K
p
gz c
H
vp
vp gz
w gz
p

R
1
ad
w
=
+

2 (1
A T
.
3 )
T

p

K A1
c
H
vp

p

1 LR
p






ad
w
vp
vp
1 p
RT
1
LR
p
ad
w
ad
=

-
-
-
. 3
A
p

T

1
A


K
p
p

T p

K
12
A K
vp
T
c
vp
H
vp
c
c
H
vp
H


p

1 LR
p






ad
w
vp
vp
1 p
RT
1
LR
p
ad
w
ad
=

-
-
-
. 3
A
p

T

1
A


K
p
p

T p

K
12
A K
vp
T
gz
vp
H
vp
gz
gz
H
vp
H


p
1
LR 1
1
1

1
1
ad
w
vp
p


vp
pad
pad
RT

w
LR
p
ad



=

-

+
-
-

. 3

2
2
vp -
A +
T T
A1


K
p

1
vp
H
vp
T
T
T
T T







K
A
H
vp
K
T
H

T
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 49/52


Annexe 5 Equivalence avec les formulations ANDRA

Afin de pouvoir s'insérer dans la plate-forme ALLIANCE, il est nécessaire d'être cohérent avec les formulations
posées par l'ANDRA dans le document [bib11]. Nous proposons ici une équivalence entre les notations qui
seraient dissemblables. Ces différences concernent uniquement l'écriture de :

· L'équation d'énergie
· La loi de Henry
· La diffusion dans le liquide
· La diffusion dans le gaz

Remarque concernant les enthalpies :

Il est nécessaire pour avoir cohérence entre les deux modèles que l'utilisateur d'Aster rentre :
m
=
lq
h
= 0 et hm
L ,

0
vp
0
0


A5.1 Equation d'énergie

Le tableau ci-dessus rappelle les deux formulations :

Notations Aster
Notations ANDRA
m

lq
h
w
=

S n
w
w
m

vp
h
v
=

1-
v (
Sw )n
m

as
h
as
=

1-
as (
Sw )n
M
=
lq
w fw
M
=
as
as fas
M
=
vp
v fv

En réécrivant l'équation d'énergie d'Aster avec ces notations , on trouve :

d

f
f
f

+
w
as
v
Div
Div
w
+ as
+
q
dt

S n
1 S n
1 S n
w
( - )
v
w
( - w) +


( )

-(T - 0 ) d
T
([1- n) C
s
s ]
dt

d
dp
dp
+
2 dT
v

3 K T
3
3
9
0
0
+
m
c
T

T
TK
lq
- ( mlq + mgz )
gz -
0
0
=
dt
dt
dt
dt
( f f f
w w +
v v +
as
as )g +

La première ligne étant celle de l'ANDRA et les autres étant a priori négligeables.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 50/52


A5.2 Loi de Henry

ol
P M
Dans la formulation de l'ANDRA, la formulation de Henry est donnée par
a
as
as
=
avec la
l
w
H M w
concentration d'air dans l'eau que l'ont peut ramener à une masse volumique telle que a
= . H
l
ad
s'exprime en Pa.

Dans la formulation ASTER, on rappelle que la loi de Henry est exprimée sous la forme :

p
ol
ad
C =
avec ol
as
C =
. K s'exprime en Pa.m3.mol-1.
ad
ol
M
ad
K
H
ad
H

On a donc l'équivalence :
M w
K = H

H
w

A5.3 Diffusion de la vapeur dans l'air

Dans la formulation ANDRA le flux de vapeur d'eau dans l'air en fonction de la concentration de
vapeur d'eau dans l'air ou de l'humidité relative est noté :

e
f
= -D
.

_

Diff
v
v
g
n
avec la concentration définie comme le rapport molaire dans le gaz : e

=
.
g
ng

Dans Aster, ce même flux s'écrit
: f
avec le coefficient de Fick vapeur
_ = F C
Diff
v
vp
vp
D


vp
F =
vp
et D
C 1
( - C )
vp le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux. Cvp est défini comme
vp
vp
p
le rapport des pressions tel que :
vp
C =
.
vp
pgz

La loi des gaz parfaits permet d'écrire que
e
C = donc
e
= C et f
.
_ = D
. C
vp
g
g
vp
Diff
v
v
vp
Donc l'équivalence ASTER/ANDRA s'écrit simplement :

F = D .
vp
v

A5.4 Diffusion de l'air dissous dans l'eau

Dans la formulation ANDRA le flux d'air dissous dans l'eau s'exprime

a
f

_
=D
.
_

a ds e
a
l

avec a
ad
=
.
l
ol
M ad
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 51/52


Dans Aster, ce même flux s'écrit : f
avec le coefficient de Fick air-dissous
_
_ = F
C
a ds v
ad
ad
D


ad
F =
ad
et D
C 1
( - C )
ad le coefficient de diffusion de Fick du mélange liquide. Cad est défini tel
ad
ad
que :
a
C = w . Donc :
ad
l
F = D .
ad
a

Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Modèles de comportement THHM


Date :
01/09/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, S. GRANET Clé
:
R7.01.11-B Page
: 52/52


























Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
HT-66/05/002/A

Document Outline