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Version
7.4
Titre :
Eléments finis de coques volumiques
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
R3.07.04-B Page
: 1/42
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document R3.07.04
Eléments finis de coques volumiques
Résumé :
Dans le but de compléter la bibliothèque d'éléments finis de plaque plans [R3.07.03] actuellement disponibles
dans le Code_Aster (DKT, DST,Q4G...), on se propose d'introduire deux éléments finis de coque volumique ou
tridimensionnelle [bib1]. Cette nouvelle modélisation COQUE_3D [U1.12.03] permet d'effectuer des calculs de
structures coque de formes quelconques avec une meilleure approximation de la géométrie et de la
cinématique.
On se limitera au cadre des cinématiques linéaires. On reste donc en petits déplacements et en petites
déformations. Aucune restriction n'est faite sur le type de comportement en contraintes planes.
Les deux éléments qui sont introduits sont l'élément quadrangle quadratique Hétérosis à 9 noeuds et son
équivalent triangulaire à 7 noeuds. La formulation du problème continu se fait en coordonnées cartésiennes, ce
qui permet d'éviter les calculs explicites des courbures. Ces deux éléments ont pour correspondant l'élément
linéique de coque à 3 noeuds présenté dans le document [R3.07.02].
Ces deux nouveaux éléments sont validés sur des cas-tests de plaque existants, et sur trois nouveaux cas-
tests de coque développés dans la documentation de validation et dont les principales conclusions sont
présentées succinctement ici.
Cette note présente également en annexe comment prendre en compte l'anisotropie des matériaux.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Formulation ............................................................................................................................................5
2.1 Géométrie de la coque ....................................................................................................................5
2.1.1 Description géométrique de la surface moyenne...................................................................6
2.1.2 Description de la géométrie de la coque................................................................................7
2.1.3 Remarque...............................................................................................................................8
2.2 Théorie des plaques et des coques ................................................................................................9
2.2.1 Cinématique ...........................................................................................................................9
2.2.1.1 Champ de déplacement.............................................................................................9
2.2.1.2 Expression des déformations tridimensionnelles.....................................................10
2.2.2 Loi de comportement............................................................................................................11
3 Principe des travaux virtuels................................................................................................................13
3.1 Travail de déformation ...................................................................................................................13
3.1.1 Energie interne élastique de coque......................................................................................13
3.1.2 Expression des efforts résultants .........................................................................................14
3.2 Travail des forces et couples extérieurs........................................................................................14
3.3 Travail des forces d'inertie.............................................................................................................16
3.4 Principe du travail virtuel................................................................................................................16
4 Discrétisation numérique de la formulation variationnelle issue du principe du travail virtuel ............17
4.1 Introduction ....................................................................................................................................17
4.2 Discrétisation des termes géométriques .......................................................................................18
4.3 Discrétisation du champ de déplacement .....................................................................................19
4.3.1 Elément Hétérosis Q9H........................................................................................................19
4.3.2 Elément triangle T7H............................................................................................................20
4.3.3 Remarque.............................................................................................................................20
4.4 Discrétisation du champ de déformation .......................................................................................20
4.5 Matrice de rigidité ..........................................................................................................................21
4.5.1 Décomposition des matrices élémentaires ..........................................................................22
4.5.2 Assemblage des matrices élémentaires ..............................................................................22
4.5.2.1 Degrés de liberté......................................................................................................22
4.5.2.2 Rotations fictives ......................................................................................................22
4.6 Matrice de masse ..........................................................................................................................23
4.6.1 Discrétisation du déplacement pour la matrice de masse ...................................................23
4.6.2 Matrice de masse élémentaire .............................................................................................24
4.6.3 Assemblage des matrices de masse élémentaires..............................................................24
4.7 Intégration numérique pour l'élasticité...........................................................................................25
4.7.1 Intégration surfacique...........................................................................................................25
4.7.2 Intégration dans l'épaisseur .................................................................................................26
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4.8 Intégration numérique pour la plasticité ........................................................................................26
4.9 Discrétisation des travaux élémentaires pour les chargements ...................................................27
4.9.1 Discrétisation élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s'exerçant sur la
surface moyenne..................................................................................................................27
4.9.1.1 Charges données dans le repère global .................................................................28
4.9.1.2 Charges données dans le repère local....................................................................28
4.9.2 Discrétisation élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s'exerçant sur le
contour 28
4.9.3 Discrétisation du terme de pesanteur ..................................................................................28
4.9.4 Discrétisation du terme de pression.....................................................................................28
4.9.5 Discrétisation des termes d'inertie centrifuge ......................................................................29
4.9.6 Prise en compte des chargements de dilatation thermique.................................................30
4.9.7 Assemblage .........................................................................................................................31
5 Validation .............................................................................................................................................31
5.1 Cas test en statique linéaire..........................................................................................................32
5.1.1 Cas test statique n° 1 ...........................................................................................................32
5.1.2 Cas test statique n° 2 ...........................................................................................................32
5.2 Cas test en dynamique..................................................................................................................32
6 Chaînage thermomécanique ...............................................................................................................32
6.1 Description.....................................................................................................................................32
6.2 Cas-test .........................................................................................................................................33
7 Implantation des éléments de coque dans le Code_Aster..................................................................34
7.1 Description.....................................................................................................................................34
7.2 Utilisation et développements introduits........................................................................................34
7.3 Calcul en élasticité linéaire............................................................................................................35
7.4 Calcul en plasticité ........................................................................................................................35
8 Conclusion...........................................................................................................................................36
9 Bibliographie........................................................................................................................................37
Annexe 1
Extension aux matériaux anisotropes non programmée .........................................38
Annexe 2
Fonctions de forme pour l'élément Q9H..................................................................40
Annexe 3
Fonctions de forme pour l'élément T7H ..................................................................41
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1 Introduction
On introduit dans le Code_Aster deux éléments finis de coque volumiques avec cisaillement
transverse (le quadrange à 9 noeuds MEC3QU9H et le triangle à 7 noeuds MEC3TR7H) en calcul de
structures coque de formes quelconques. Pour représenter ce type de structures, on utilisait jusqu'à
présent avec le Code_Aster des éléments de plaque à facettes planes qui induisaient des flexions
parasites et des coques de révolution trop limitatives sur le type de structure [R3.07.02]. Le
développement a été réalisé pour des matériaux isotropes avec cinématique linéaire. Ils ne peuvent
donc être utilisés que dans le cadre de petits déplacements et de petites déformations. Cette
formulation peut être étendue aux matériaux anisotropes [Annexe 1] et aux cinématiques non linéaires
[R3.07.05].
Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser auparavant les éléments
finis de coque thermique à 7 et 9 noeuds décrits en [R3.11.01].
On développe ci-après le problème continu mécanique en décrivant la cinématique de coque de type
Hencky-Mindlin-Naghdi (hypothèse des sections droites ou planes) complétée par une distorsion
transverse et la loi de comportement thermo-élasto-plastique. Grâce à un paramètre de pénalisation
on peut passer d'une théorie avec cisaillement à une théorie sans cisaillement. On présente ensuite
les éléments finis choisis qui sont des éléments quadratiques isoparamétriques permettant d'avoir une
représentation fine d'une géométrie courbe et de bonnes estimations des contraintes. L'interpolation et
la méthode d'intégration sont aussi décrites.
On valide enfin le développement sur quelques cas d'épreuve.
La cinématique non linéaire de ces coques est traitée dans la documentation de référence [R3.07.05].
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2 Formulation
2.1
Géométrie de la coque
Pour les éléments de coque volumique on définit une surface de référence , ou surface
moyenne, gauche (de coordonnées curvilignes 1 2 par exemple) et une épaisseur (
h 1 2 )
mesurée selon la normale à la surface moyenne. Cette épaisseur doit être petite par rapport aux
autres dimensions (extensions, rayons de courbure) de la structure à modéliser. La figure [Figure 2.1-
a] ci-dessous illustre notre propos.
Solide 3D
Z
h
Y
b
X
L
R1
R2
Epaisseur h < L, b, R1, R2
2
n,3
h
e ,x
3
3
1
e ,x
2
2
O
e ,x
1
1
Figure 2.1-a
La position des points de la coque est donnée par les coordonnées curvilignes (1 2 ) de la surface
moyenne et l'élévation 3 par rapport à cette surface. (O, ek ) est le repère cartésien global,
d'axes associés (xk ) .
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2.1.1 Description géométrique de la surface moyenne
Base naturelle locale et base cartésienne locale
Soit P un point quelconque de la surface moyenne de référence , on a :
OP = x0k( 1
, 2
)ek
On définit les vecteurs a de la base locale naturelle du plan tangent en P à , attachés à P par :
OP
a =
= OP
,
et on définit la normale unitaire n par :
a1 a
n =
2
a1 a2
3 est la variable de position dans l'épaisseur associée à n.
(a , a , a
1
2
3 ) constitue la base naturelle attachée à P .
Le système de coordonnées curvilignes (1 2 ) n'étant pas forcément orthogonal, la base (a ) n'est
donc pas forcément orthogonale (et encore moins orthonormée). On définit donc une base locale
orthonormée t k comme suit :
a
t
1
=
, t = n t
t = n
1
a
2
1
3
1
et on note (s , s
1
2 ) le système de coordonnées associé à (t , t
1
2 ) .
Calcul du tenseur de courbure
Le tenseur de courbure est lié à la variation de la normale sur . Il est défini par ses composantes
mixtes :
n = -C a
,
ou encore par ses composantes covariantes : C
= -a .n, = n.a
, . Ce tenseur est symétrique
puisque a
= a
,
, . Sa trace tr C est la courbure moyenne et son déterminant la courbure
gaussienne.
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2.1.2 Description de la géométrie de la coque
Soit Q un point quelconque de , volume de la coque d'épaisseur h considérée constante, on a :
OQ + OP + PQ = OP + 3 h n
2
où 3 [- 1, ]
1 .
3
1, 2 ,
h
2 constitue un système de coordonnées curvilignes de .
On peut également écrire OQ en fonction de ses composantes (xk ) dans la base globale (ek ) :
OQ = x e
k
k
Base naturelle locale, base orthonormée locale et tenseur métrique
Comme pour P , on définit la base naturelle de l'espace 3D (gk ) attachée à Q par :
OQ
h
g1 g
g =
= a + n
g
2
3
,
,
3 =
= n
2
g1 g2
Comme (gk ) n'est pas forcément orthogonale, on définit une base locale orthonormée (Tk ) comme
suit :
g
T
1
=
, T = n T
, T = n
1
g
2
1
3
1
et on note (xk ) le système de coordonnées associées à (Tk ).
On appellera (Tk ) la base orthonormée locale, et (xk ) les coordonnées dans cette base
orthonormée locale.
Par définition, on a :
OQ x j
T =
=
e
j
= T e
k
~
~
j
k
j
xk
xk
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x j
j
avec
T les composantes de (Tk ) dans la base globale (e j ) . (Ce sont aussi les
x
~ = k
k
composantes de la matrice de passage de (Tk ) à (e j ) puisque la matrice de passage est
j
orthogonale. Ainsi si T = T e
k
k
k
j on a aussi e
= T T
k
j
j ).
On définit le tenseur métrique G associé à Q par ses composantes déduites des produits scalaires
des vecteurs de la base orthonormée locale :
Gij = i
T .Tj
Ce tenseur G vaut l'identité Id .
2.1.3 Remarque
Les figures [Figure 2.1.3-a] et [Figure 2.1.3-b] illustrent les grandeurs géométriques mentionnées
ci-dessus.
2
t2
n
a2 a1,t1
P
1
Figure 2.1.3-a
T1
3
t1
n
1
Q
P
Figure 2.1.3-b
Il est à noter que les deux bases orthonormées locales, celle associée à la surface moyenne (tk ) et
l'autre au volume de la coque (Tk ) ne sont confondues que lorsque la courbure est nulle. Dans ce
cas les éléments de coque sont assimilables à des éléments de plaque
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2.2
Théorie des plaques et des coques
Ces éléments reposent sur la théorie des plaques et des coques selon laquelle :
2.2.1 Cinématique
2.2.1.1 Champ de déplacement
Les sections droites qui sont les sections perpendiculaires à la surface moyenne restent droites ; les
points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite
dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient
linéairement dans l'épaisseur de la coque.
Si l'on note Q' , la position de Q après déformation, on a :
OQ' = OQ + QQ' = OQ + U(Q)
où le champ de déplacement choisi, correspondant à la cinématique de Hencky-Mindlin, s'écrit :
U(Q) = (
u P) + 3 h (P) avec (P).n = 0
2
où u( P) et ( P) sont respectivement le vecteur déplacement et le vecteur rotation de P , projection
de Q sur la surface moyenne de la coque. Le fait que ( P).n = 0 indique que l'on ne prend pas en
compte dans cette cinématique les rotations de la coque autour de sa normale.
Notation :
On note ~ les quantités exprimées dans les bases cartésiennes locales (tk ) ou (Tk ) pour les points
P et Q respectivement. Il en résulte que :
· le vecteur déplacement tridimensionnel U peut s'écrire U = ~
U T
k k ou encore U = U e
k k ,
où il est exprimé respectivement dans sa base orthonormée locale ou dans la base
cartésienne globale,
· le vecteur déplacement de la surface moyenne u peut s'écrire u = ~u t
k k ou bien
u = u e
k
k selon qu'il est exprimé dans sa base orthonormée locale ou dans la base
cartésienne globale,
· le vecteur rotation de la surface moyenne s'écrit = ~
t dans sa base orthornormée
locale. étant la rotation de la normale n (à la surface moyenne), on écrit aussi = n
avec , vecteur rotation de la surface moyenne, tel que = ~
t . L'équivalence des deux
~
~
~
~
formulations montre que 1 = ,
2
2 =
- 1.
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2.2.1.2 Expression des déformations tridimensionnelles
Le tenseur de déformation est calculé dans la base cartésienne orthonormée locale (Tk ). Il est défini
comme la demi-différence des tenseurs métriques associés aux bases orthonormées locales après et
avant déformation. Le tenseur métrique associé à cette base dans l'état non-déformé est simplement
OQ'
l'identité Id , tandis que le tenseur métrique de l'état déformé est Gij = T '.T
i
' j avec T'k = ~
.
xk
Les composantes du tenseur de déformation dans (Tk ) sont ainsi données par :
~
~
U
U
~
1
=
~ + ~
2
x
x
~
~
~
1 U U
3
3 =
~ + ~
2 x3
x
Les équations ci-dessus sont des relations linéaires déformations-déplacements. Les variables de
~
déplacement sont les composantes U k .
Les composantes ~
kl du tenseur ~ peuvent aussi s'exprimer en fonction des composantes dans le
U p
repère global . En effet comme dans le repère global
xm
= i
j
i
j
k
l
~
k
l
ije e
= ijT T T T
k l
= klT T on en déduit donc immédiatement que :
~
i
j
kl = ijT T
k l . (ek ) et (Tk ) sont les bases contravariantes associées à (ek ) et (Tk )
respectivement telles que : ei .e
i
j = ij
et T .T
e
T
j = ij . Comme les bases ( k ) et ( k ) sont
orthonormées, leurs bases contravariantes associées sont confondues avec elles-mêmes. Ainsi de la
j
j
même manière que l'on avait T = T e
k
j
k
k
j on retrouve T
= T e
k
.
Si l'on note T = T i e
k
~
k
l
~
k i T alors T T: = T
kl
T = . Pour la suite on désigne par ~
l'expression du tenseur des déformations dans le repère orthonormé local et par l'expression du
même tenseur dans le repère global. La relation de passage de l'un à l'autre est donnée ci-dessus en
terme de tenseurs.
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Remarques :
j
Les termes Tk contiennent les termes de courbure de la coque .
On note dans les relations déformations-déplacements que la composante ~
33 n'est pas
déterminée par la cinématique. Ceci est à associer à l'hypothèse de nullité des contraintes
normales transverses ~
33 = 0 justifiée par le comportement des coques.
Dans la littérature (voir par exemple [bib3]), la modélisation des coques par l'approche basée sur
les composantes curvilignes ~
u du déplacement fait apparaître explicitement les grandeurs de
k
courbure au niveau de l'expression du tenseur de déformation [bib5]. Comme, en général, la
géométrie de la coque n'est pas connue de façon explicite, on doit donc déterminer
numériquement les caractéristiques géométriques que sont les vecteurs a ,g
, ... et les
courbures C . Avec la méthode des éléments finis il est nécessaire de dériver deux fois les
fonctions de forme (voir page 20 de [bib5] et [R3.07.02]) pour calculer les C . Ceci peut rendre
leur calcul imprécis selon la famille des fonctions de forme choisie. L'erreur commise dépend de
ces dernières (polynômes linéaires, quadratiques, cubiques....) et devient indépendante du
raffinement du maillage. Une formulation faisant intervenir la dérivation première des fonctions de
forme (calcul de pentes) ne présente pas cet inconvénient. Ainsi l'erreur conséquente aux calculs
des termes de courbure dans une formulation basée sur l'approche curviligne ne diminue pas
avec le raffinement du maillage alors que pour la formulation décrite ci-dessus elle devient petite
en augmentant le nombre d'éléments finis. Au vu des observations précédentes, l'approche dite
curviligne n'a pas été suivie.
2.2.2 Loi de comportement
Le comportement des coques est un comportement 3D en "contraintes planes". Il lie les composantes
des contraintes et des déformations, sous forme de vecteurs, dans la base orthonormée locale. La
contrainte transversale ~
33 est nulle car considérée comme négligeable par rapport aux autres
composantes du tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes). La loi de comportement
la plus générale s'écrit alors ainsi :
~
~
~
th
11
11 - 11
~
~
~
th
22
22 - 22
~
~
12
= (
C , µ)
~
12
~
~
13
1
~
~
23
2
~
où (
C , µ) est la matrice de comportement locale en contraintes planes et µ représente l'ensemble
des variables internes lorsque le comportement est non linéaire.
Pour des comportements où les distorsions transverses sont découplées des déformations de
~
membrane et de flexion, (
C , µ) se met sous la forme :
~
~ H
0
C =
~
0 H
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~
~
où H(, µ) est une matrice de comportement de membrane-flexion 3x3 et H ( , )
µ une matrice de
comportement de distorsion transverse 2x2. Les deux phénomènes étant découplés on peut aussi
écrire le comportement sous la forme :
~
~
mf ~
mf
~ = (
C , ) ~ avec :
µ
~
~
~
th
11
11 -
11
~
~
~
~ ~
13
1
th
~
~
~
mf = 22 = H( , µ) ~
~
22 - 22 = H(, µ)~
mf et ~ = ~ = H ( , )
~ = H ( , ) ~
~
~
µ
23
µ
2
12
12
On restera désormais dans le cadre de cette hypothèse.
Pour un comportement élastique linéaire homogène isotrope, on a ainsi :
1 v
0
0
0
v 1
0
0
0
1-
v
~
E
0 0
0
0
C =
2
2
k(1- v)
1-
v 0 0 0
0
2
k(1- v)
0 0
0
0
2
où k est facteur de correction de cisaillement transverse dont la signification est donnée dans la
documentation de référence des éléments de plaque [R3.07.03], et [bib4] pour plus de détails. Ce
coefficient vaut 5/6 pour une théorie de type Reissner et 1 dans le cadre de la théorie de
Hencky-Mindlin. Enfin, si on choisit k très grand, on se ramène à une théorie de type Love-Kirchhoff.
On neutralise la distorsion transverse par pénalisation de l'énergie associée en prenant k = 106 h/R
(h étant l'épaisseur de la coque et R son rayon de courbure moyen).
Toujours dans le cas isotrope, les deux seules composantes non nulles de ~
th sont ~th
ii pour i=1,2,
telles que :
~
th
réf
ii
= (T - T
)
où est le coefficient de dilatation thermique et T T réf
-
la différence de température supposée
connue.
Remarque :
On ne décrit pas la variation de l'épaisseur ni celle de la déformation transversale ~
33 que l'on
peut cependant calculer en utilisant l'hypothèse précédente de contraintes planes. Par ailleurs
aucune restriction n'est faite sur le type de comportement en contraintes planes que l'on peut
représenter.
De la même manière que T T: = ~
on peut en déduire ( ) :
mf =
:
~
T
T
Tmf = mf et
( ) :
=
:
~
T T
T = , ce qui permet de retrouver ~mf et ~ à partir du tenseur des
déformations dans le repère global.
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Eléments finis de coques volumiques
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3
Principe des travaux virtuels
3.1
Travail de déformation
En 3D l'expression du travail de déformation s'écrit :
h/2
h/2
h/2
~
W
=
( ~ ~
d
) V
=
( ~ ~
C ~ d
) V
=
( Pr PsC P p Pq
d
) V
def
ij ij
ij ijkl kl
rs i k ijkl k l pq
S -h/2
S -h/2
S -h/2
h/2
h/2
=
( C
d
) V
=
( d
) V
rs rspq pq
ij ij
S -h/2
S -h/2
On vérifie que cette expression est invariante par rapport à la base dans laquelle les tenseurs sont
exprimés. On choisit pour la suite de ce document de tout exprimer dans la base locale (Tk ) en
sachant que l'on passe du tenseur local de comportement au tenseur global de comportement par la
p
q
relation C
=
~
P r P sC
P P
rspq
i
k
ijkl k
l .
L'expression générale du travail de déformation 3D pour l'élément de coque vaut :
h/2
h/2
h/2
h/2
W
=
( ~ ~
d
) V
=
( ~~ ~
C d
) V
=
( ~ ~ ~
H
d
) V
+
( ~ ~ ~
H d
) V
def
mf
mf
S -h/2
S -h/2
S -h/2
S -h/2
où S est la surface moyenne et la position dans l'épaisseur de la coque varie entre h/2 et +h/2. Il
apparaît dans l'expression du travail de déformation une contribution de déformation en
membrane-flexion et une contribution de déformation en cisaillement transverse.
3.1.1 Energie interne élastique de coque
Elle s'exprime de la façon suivante :
1
E
2
2
2
2
2
int =
[
( ~
~
~ ~
+ 22 + 2 )
11 22 + G( ~
12 + k( ~
~
1 + ))]dV
2
1- 2 11
2
S
E
où k est le facteur de correction en cisaillement transverse défini au paragraphe 2 et G = 2 1(+ .
)
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3.1.2 Expression des efforts résultants
On note :
N
~
M
~
11 +h/2 11
11 +h/2 11
T +h/2 ~
1
13
N = N
~
~
22 = 22 dz ; M = M 22 = 22 zdz ; T =
=
dz
T
~
2
.
23
/
~
N
/2
~
-h 2
-h/2
12
h
12
-
M12
12
N , N , N
11
22
12 sont les efforts généralisés de membrane (en N/m) ;
M , M , M
11
22
12 sont les efforts généralisés de flexion ou moments (en N) ;
T , T
1
2 , sont les efforts généralisés de cisaillement ou efforts tranchants (en N/m) ;
L'expression des efforts résultants que l'on donne ici est une expression approchée qui ne tient pas
compte de la courbure de la coque (cf. p.316 de [bib3]). L'erreur commise sur ces efforts est alors en
h2 / R où 1 / R est la courbure moyenne. Lorsque la coque devient plane, les expressions données
ci-dessus sont exactes et la signification des efforts résultants peut être retrouvée dans [R3.07.03].
Nous ne développerons pas plus cet aspect par ailleurs bien documenté dans [bib3] car la théorie de
coque utilisée ici ne repose pas sur une formulation déformations généralisées/efforts résultants mais
sur une formulation déformations tridimensionnelles/contraintes.
3.2
Travail des forces et couples extérieurs
Le travail des forces s'exerçant sur la coque volumique s'exprime de la manière suivante :
+h/2
+h/2
W
F . d
U V
F . d
U S
F . d
U zds
ext = v
+ s
+ c
S -h/2
S
C -h/2
où F , F , F
v
s
c sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour s'exerçant sur la coque,
respectivement. C est la partie du contour de la coque sur laquelle les efforts de contour Fc sont
appliqués.
a) Charges données dans le repère global :
Avec la cinématique du [§2.2.1], on détermine ainsi :
~
~
W
( f u
+ c )dS + ( u
+ )ds = ( f u
+ c ( t
2 1 - t ))dS
ext =
i i
i i
i i
i i
i i
i
i
1 2i
S
C
S
+
~
~
~
~
( u
+ ( t
2 1 - t ))ds
1 2
= ( f u
+ c ( t
2 1 - t ))dS
1 2
+ (u + )ds
i i
i
i
i
i i
i
i
i
C
S
C
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· où sont présents sur la coque :
f , f , f
1
2
3 :
forces surfaciques agissant suivant les axes du repère
cartésien global
+h/2
f =
. dz
i
F e + F .e
v
i
s
i
où les ei sont les vecteurs de la base cartésienne globale.
-h/2
c , c , c
1
2
3 :
couples surfaciques agissant autour des axes du repère
global.
+h/2
h
c =
z
. dz
i
F e ± F .e
v
i
s
i où les e
2
i sont les vecteurs de la base cartésienne globale.
-h/2
· et où sont présents sur le contour de la coque :
1,2 ,3 :
forces linéiques agissant suivant les axes du repère
cartésien global.
+h/2
où les e
i =
. dz
F e
c
i
i sont les vecteurs de la base cartésienne globale.
-h/2
1, 2 , 3 :
couples linéiques agissant autour des axes du repère global.
+h/2
où les e
i =
z . dz
F e
c
i
i sont les vecteurs de la base cartésienne globale.
-h/2
Remarque :
On note aussi et les distributions linéiques de force et de moment appliquées sur le
contour de l'élément fini.
b) Charges données dans le repère local:
On a alors :
3
~
~
~
3 ~
~
~
Wext = ( f t u c~
c )dS
(
t u
)ds
i i + 1
1 +
2
2
+
i i +
1
1 +
2
2
=
S
i=1
C
i=1
3
3
( ~
~
~
~
~
~
f t u
c
~
c
~ )dS
(
t u
)ds
i i + 1 2 -
2 1
+
i i +
1 2 -
2 1
S
i=1
C
i=1
~ ~ ~
Les expressions des f , f , f
1
2
3 et ~ , ~ , ~
c c c
1 2
3 sont les analogues des expressions obtenues pour
f , f , f
1
2
3 et c , c , c
1
2
3 en remplaçant les ei par les ti .
Remarque :
Pour le couple c , la contribution ~
c3 associée à n est nulle en théorie de coque.
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3.3
Travail des forces d'inertie
Le travail dû aux quantités d'accélération s'écrit :
..
W ac = OQ'.OQ'dv
où est la masse volumique.
..
On suppose que OQ' , le vecteur d'accélération du point Q' est de la forme suivante :
..
OQ' = &
U e
0
k
k + [ x e
k
k ]
où l'on a négligé les forces de Coriolis et la correction de métrique dans l'épaisseur.
d 2U
On note &
U
k
k =
O, e (par
dt 2 , et est le vecteur de rotation uniforme du repère global (
k )
rapport à un repère Galiléen qui a la même origine O que le repère global).
On exprime dans la base globale (ek ) :
= kek
Pour le déplacement virtuel OQ' , on a :
OQ' = U e
k
k
Le travail dû aux quantités d'accélération devient alors :
W ac
U
0
ac
ac
= k ek [U&k ek + ( xk ek )]dv = W +W
mass
cent
avec :
W ac
=
U U& dv
masse
k k
et :
W ac =
U
0
k e k [ ( xk ek )]dv
cent
3.4
Principe du travail virtuel
Pour un chargement statique, il s'écrit de la manière suivante : W
= W
ext
def où Wext est la somme
des différents travaux élémentaires, correspondant aux différents chargements.
En dynamique harmonique (calculs de modes propres), le principe des travaux virtuels
donne :W
+ W ac
ext
mass = 0
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4
Discrétisation numérique de la formulation variationnelle
issue du principe du travail virtuel
4.1 Introduction
Ce chapitre est consacré à la discrétisation des divers termes d'énergie introduits dans le chapitre
précédent. Le choix du cadre HENCKY-MINDLIN-NAGHDI pour décrire la cinématique de coque,
présentée au paragraphe [§2] conduit à des expressions des déformations où les dérivées se limitent
à l'ordre 1, contrairement au modèle de LOVE-KIRCHHOFF. On peut donc utiliser un élément fini
d'ordre limité tout en assurant la conformité (voir p.110 de [bib7]).
Les degrés de liberté sont les 3 déplacements dans le repère global et les 2 rotations en repère local.
Les éléments choisis sont des quadrangles ou des triangles isoparamétriques. Le quadrangle est
représenté ci-dessous. Les quadrangles donnent les meilleurs résultats (voir p.202 de [bib8]). Le
meilleur choix consiste à prendre pour ces éléments des fonctions d'interpolation quadratiques (voir
p.224 de [bib8]) afin de modéliser correctement les effets de membrane, de flexion et de cisaillement.
D'après les résultats basés sur de nombreux cas-tests de la littérature, le choix optimal est le
quadrangle isoparamétrique quadratique, qui permet d'avoir une représentation fine d'une géométrie
courbe et de bonnes estimations des contraintes. On choisit parmi les éléments à fonctions
quadratiques l'élément hétérosis (Q9H) dont les déplacements sont approchés par les fonctions
d'interpolation de l'élément Sérendip et les rotations par les fonctions de l'élément de Lagrange
(cf Annexe3). Ce choix est justifié ci-après.
2
2
3
4
=
7
3
1
3
3
7
3
8
4
= -
1
P
1
1
1
6
8
6
1
5
2
5
2 = 1
-
1
2
Figure 4.1-a : Représentations du quadrangle isoparamétrique
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La figure [Figure 4.1-b] résume les trois familles d'éléments précédemment nommés.
Elément Sérendip
Elément de Lagrange Elément Hétérosis
~
u ,
k
~
Figure 4.1-b : Familles d'éléments finis pour le quadrangle isoparamétrique
Des risques de bloquage ou verrouillage de membrane ou de cisaillement apparaissent lorsque
l'épaisseur de la coque devient petite par rapport à son rayon de courbure et que les fonctions
d'interpolation sont d'ordre trop bas. Pour les résoudre on utilise une intégration numérique sélective
[bib6]. Pour certains types de conditions aux limites (encastrement) avec l'élément Sérendip le
verrouillage persiste malgré l'intégration sélective. En outre, pour l'élément de Lagrange, ce type
d'intégration conduit à des singularités dans la matrice de rigidité. L'élément Hétérosis Q9H avec
intégration sélective ne rencontre pas les problèmes mentionnés et apparaît comme étant le plus
performant pour la modélisation des coques très minces (voir p.224 de [bib8]). Il est à noter que cet
élément possède un mode de déformation sans énergie associée s'il est utilisé seul. Ce mode
disparaît lorsque l'on utilise plus de deux éléments [bib7].
Pour les éléments triangle, l'élément Hétérosis T7H s'impose pour les mêmes raisons mais s'avère
nettement moins performant (voir le paragraphe 5 concernant la validation).
On décide d'effectuer tous les calculs de discrétisation dans la base cartésienne globale.
4.2
Discrétisation des termes géométriques
Les coordonnées x0k d'un point P de la surface moyenne sont interpolées par les fonctions de forme
de la façon suivante :
Nb1
x0 = N 1()x0
k
i
ik
i=1
( )
où le nombre Nb1 et les fonctions de forme N 1
0
i
dépendent du type d'élément choisi, et xik sont les
coordonnées au noeud i de l'élément.
Les vecteurs covariants a (attachés au point P) sont alors donnés par :
Nb1 ( )1
a = Ni x0 e
ik
k
i=1
j
On évite le calcul des vecteurs Tk car les composantes Tk contiennent les grandeurs de courbure
dont le calcul est souvent imprécis co
mme il a été montré au paragraphe [§2.2.1].
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Afin d'éviter la présence des termes de courbure, on écrit :
Nb1
n = N ( )1 n
i
i
i=1
où ni est le vecteur normal aux noeuds de l'élément.
4.3
Discrétisation du champ de déplacement
On adopte l'écriture suivante pour le déplacement au point Q :
Nb1
Nb2
U = N ( )1 u e + 3 N(2)
~
~
h
i
ik
i
i ( t
i2 i -
t
k
1
i1 i2 )
2
i=1
i=1
(2)
où les t sont évalués aux noeuds, et où l'on observe que les fonctions d'interpolation Ni et leur
~
nombre Nb2 pour les rotations sont a priori différents de ceux utilisés pour les déplacements uk .
En exprimant les ti en fonction de leurs composantes dans la base cartésienne globale, on obtient :
Nb1
Nb2
U = N( )1 u e + 3 N(2)
~
~
h
i
i ( t
i2 i k
1 + t
i
ik k
i1 i2k ) ek
2
i=1
i=1
On calcule ensuite les divers termes élémentaires, afin d'obtenir la formulation discrétisée complète.
Dans la suite on utilise la convention de sommation d'Einstein, en ayant à l'esprit que le nombre
~
d'interpolations est Nb1 pour x0 , n, u
k
k , et Nb2 pour , t .
4.3.1 Elément Hétérosis Q9H
Avec cet élément, le nombre d'interpolations pour la géométrie (x0k ,n) et les déplacements uk est
Nb1=8 (noeuds sommets et milieux des côtés), tandis que le nombre d'interpolations pour les t et
~
les rotations est Nb2=9 (noeuds sommets et milieux des côtés + barycentre). Le nombre de degrés
de liberté total de l'élément est donc Nddle=3x8+2x9=42.
Les fonctions d'interpolation N (1)
(2)
i
et Ni respectivement pour la géométrie et les déplacements, et pour
les rotations, peuvent être trouvées par exemple dans [bib2] et sont rappelées en annexe 2.
Le vecteur élémentaire de déplacement peut être mis sous la forme suivante :
~
qe = (
~ ~
~ ~
~
~
u ,u ,u , , ,..., u ,u ,u , , ,..., ,
11
12
13
11
12
i1
i2
i3
i1
i2
91
9
2 )
i = ,
1 8
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4.3.2 Elément triangle T7H
Avec cet élément Nb1=6 (noeuds sommets et milieux des côtés) et Nb2=7 (noeuds sommets et milieux
des côtés + barycentre). Le nombre de degrés de liberté total de l'élément est Nddle=3x6+2x7=32.
( )
1
Les 6 fonctions d'interpolation Ni qui sont classiques peuvent être trouvées dans [bib2] et sont
(2)
rappelées en annexe 4. Par contre les 7 Ni le sont beaucoup moins et leurs expressions sont
données dans l'Annexe 3.
Le vecteur élémentaire de déplacement peut être mis sous la forme suivante :
~
qe = (
~ ~
~ ~
~
~
u ,u ,u , , ,..., u ,u ,u , , ,..., ,
11
12
13
11
12
i1
i2
i3
i1
i2
71
7
2 )
i = ,
1 6
4.3.3 Remarque
On remarque au niveau du vecteur élémentaire ~
qe la présence de termes associés à la base locale et
à la base globale.
4.4
Discrétisation du champ de déformation
Le champ de déformation s'exprime comme le gradient symétrisé du champ de déplacement :
1
=
S U = (U + U T )
2
Comme :
U
= [
N
]qe
( )
( ) ~
x
x
on a donc :
U = N
qe
( )
~
x
où N regroupe les fonctions de forme N ( )
1
(2)
i
et Ni
et les matrices de passage ti k
, est
x
l'inverse du jacobien J et ~
qe est le vecteur des degrés de liberté aux noeuds (translations uk et
~
rotations ).
Compte tenu de ces relations et de ~
= T T , on obtient les composantes du tenseur de
déformation dans le repère local :
~
~ ~
= B qe
~
où B est la matrice d'interpolation de ~
, telle que :
~
B = T T S J -
1
(
N )
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Remarque :
Si l'on reprend l'expression de
Nb1
Nb2
( )
1
3
(2)
~
~
U(x) = N u e +
N h
i
i ( t
i2 i k
1 + t
i
ik
k
i1 i2k ) ek = U (x) + U (x)
t
r
on remarque
2
i=1
i=1
que les termes de membrane sont contenus dans la première partie U t ( )
x de U(x) et que les
termes de flexion sont contenus dans la seconde partie U r ( )
x de U( )
x . Les termes de
~
~ ~
e
m = B m q
cisaillement transverse viennent des deux contributions. On obtient ainsi : ~
~
~
e
f = B f q où
~
~ ~
= B qe
~
B = T SJ-1 N
m
mf
1()
~
h
B = T SJ -1 [
N
f
mf
3
2 ()] par simple décomposition de l'expression ~
~ ~
= B qe . On appelle
2
~
B = T SJ-
1
(
N )
partie membranaire de la déformation la projection sur la partie membrane-flexion du champ de
déformation local du gradient symétrisé des translations dans le repère global. On appelle partie
flexion de la déformation la projection sur la partie membrane-flexion du champ de déformation
local du gradient symétrisé des rotations dans le repère global. On appelle distorsion transverse la
projection sur la partie cisaillement du champ de déformation local du gradient symétrisé du
déplacement global.
4.5
Matrice de rigidité
Le principe des travaux virtuels s'écrit de la manière suivante : W
= W
ext
def soit encore
UT K U UT
=
F sous forme matricielle où K est la matrice de rigidité provenant de l'assemblage
dans le repère global de l'ensemble des matrices de rigidité élémentaires. Au niveau élémentaire la
discrétisation du travail de déformation s'écrit avec les notations précédentes :
1
~ ~ ~
~
W el = ~et
t
q
B C B det J d
d d ~e
~et
e ~e
def
q = q K q
1
2
3
-1Ar
où Ar est le domaine de référence de l'élément.
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4.5.1 Décomposition des matrices élémentaires
Cette matrice de rigidité comprend trois contributions dues aux déformations de membrane, de flexion
~ e
~ e
~ e
~
et de distorsion transverse. On a ainsi : K
K + K + K e
= m
f
avec :
1
~ e
~ t
~
K =
B H B det J d d
1 d
2
;
m
m
m
3
-1Ar
1
~ e
~ t
~
K =
B H B det J d d
1 d
2
;
f
f
f
3
-1Ar
1
~ e
~ t
~
K =
B H B det J d
d
1 d
2
.
3
-1Ar
4.5.2 Assemblage des matrices élémentaires
Le principe du travail virtuel pour l'ensemble des éléments s'écrit :
nbelem
W
= We
T
def
def = U KU où U est l'ensemble des degrés de liberté de la structure discrétisée
e=1
et K provient de l'assemblage des matrices élémentaires.
4.5.2.1 Degrés de liberté
Le processus d'assemblage des matrices élémentaires implique que tous les degrés de liberté soient
exprimés dans le repère global. Dans le repère global, les degrés de liberté sont les trois
déplacements par rapport aux trois axes du repère cartésien global et les trois rotations par rapport à
ces trois axes. On utilise donc, pour les degrés de liberté de rotation, des matrices de passage du
repère local orthonormé t au repère global pour chaque élément.
4.5.2.2 Rotations
fictives
La rotation par rapport à la normale à la coque n'est pas un véritable degré de liberté. Pour assurer la
compatibilité entre le passage du repère local au repère global, on rajoute donc un degré de liberté
supplémentaire local de rotation à la coque qui est celui correspondant à la rotation par rapport à la
normale à la surface moyenne de l'élément. Ceci implique une expansion des blocs de dimension (5,5)
de la matrice de rigidité locale en des blocs de dimension (6,6) en ajoutant une ligne et une colonne
correspondant à cette rotation. Ces lignes et ces colonnes supplémentaires sont a priori nulles. On
effectue alors le passage de la matrice de rigidité locale élargie à la matrice de rigidité globale.
Dans la transformation précédente, on s'est contenté de rajouter les rotations par rapport aux
normales à la surface des éléments sans modifier l'énergie de déformation. La contribution à l'énergie
apportée par ces degrés de liberté supplémentaires est en effet nulle et aucune rigidité ne leur est
associée.
La matrice de rigidité globale ainsi obtenue présente cependant le risque d'être non inversible. Pour
éviter ce désagrément il est admis d'attribuer une petite rigidité à ces degrés de liberté
supplémentaires au niveau de la matrice de rigidité locale élargie. Pratiquement, on la choisit entre 10
6 et 103 fois le plus petit terme diagonal de la matrice de rigidité de rotation locale. L'utilisateur peut
choisir ce coefficient multiplicatif COEF_RIGI_DRZ lui-même dans AFFE_CARA_ELEM ; par défaut il
vaut 105.
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Eléments finis de coques volumiques
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14/04/05
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4.6
Matrice de masse
Le travail virtuel des effets d'inertie peut être exprimé sous la forme :
W ac = &U(Q).U(Q
mass
)d
On suppose que les déformations et les déplacements restent suffisamment petits pour que la normale
à la surface moyenne de la coque reste inchangée.
Avec ces hypothèses, nous pouvons écrire le champ de déplacement virtuel :
h
U(Q
)( ,
1 ,
2 )
3 = u( P
)( ,
1 )
2 + 3
( ,
1 ) n
2
( ,
1 )
2
2
et le champ d'accélération :
&
h
U(Q)( , ,
2 )
1
3 = &u( P)( , )
2 +
&
3
( , ) n(
2
, )
1
1
1 2
2
Dans cette expression, nous avons négligé les termes gyroscopiques.
4.6.1 Discrétisation
du déplacement pour la matrice de masse
Au point Q , on prend comme interpolation du champ de déplacement :
u
n
n
Nb
I1
0
-
Nb
I 3
I 2
1
2
I1
h
U(
Q)( ,
1
2
1 ,
2 )
3 = N I
( ,
1 )
2 u I 2 - 3
NI ( ,1 )2 nI3
0
- nI1
I 2
2
I 1
=
I 1
=
u
n
n
I 3
- I2
I1
0 I3
Pour le champ d'accélération, l'interpolation s'écrit :
u
0
I
- n
n
1
Nb
&
&
1
Nb
I 3
I 2
2
I1
h
&
U(Q)( , ,
1
2
2 ) = N (
3
I , )
1
1
2 &uI 2 -
N (
3
I , )
n
0
I
- nI &
1
2
3
1
I2
2
I 1
=
I =
&
1
uI
- n
n
0
I
I
&
3
2
1
I3
Nous réécrivons les deux équations précédentes sous la forme matricielle :
U(Q , , )
N ue
)( 1 2 3 =
&U(Q
, , ) N
2
3 =
&
ue
)( 1
où N est la matrice d'interpolation, dont l'expression est :
1 0 0
0
- nI3 nI2
0
-
nNb23
nNb22
h
1
2
h
N = NI 0 1 0 - 3 NI n
0
I 3
- nI1
-
2
3 NNb2 n
0
Nb23
- nNb21
2
2
0 0 1
- n
n
0
I 2
I1
-
n
n
0
Nb22
Nb21
I = ,
1
1
Nb
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Le vecteur ue est le vecteur nodal élémentaire des déplacements dans le repère global qui se met
sous la forme suivante :
e
u = (u ,u ,u , , , ,...,u ,u ,u , , , ,...,
,
,
i = Nb
11
12
13
11
12
13
1
i
i2
i3
1
i
i2
i3
Nb21
Nb22
Nb23 )
,
1
1
4.6.2 Matrice de masse élémentaire
Avec les notations précédentes, le travail virtuel des effets d'inertie se met sous la forme matricielle
suivante :
Winertie
eT
e e
mass
= u M u&
avec Me la matrice de masse cohérente qui peut être exprimée sous la forme :
Me =
NTN det(J
( ))d d d
3
1
2
3
e
Il est important de noter qu'à cause de la courbure, un couplage des termes de translation avec ceux
de rotation est possible (en effet, det(J( ))
3
n'est pas constant dans l'épaisseur).
4.6.3 Assemblage des matrices de masse élémentaires
L'assemblage des matrices de masse suit la même logique que celui des matrices de rigidité. Les
degrés de liberté sont les mêmes et l'on retrouve le traitement spécifique aux rotations normales à la
surface de la coque. Bien que la matrice de masse cohérente soit construite dans le repère global, elle
reste singulière par rapport à la rotation de la normale en chaque noeud. Nous avons besoin
d'alimenter cette matrice en partant de la forme variationnelle :
Nb2
Winertie = m
n
eI (n I n I
) &I
I =1
où me est choisi constant par élément et calculé suivant la formule :
m
Cm
e =
max
mmax étant le plus grand terme dû aux rotations (dans le repère local de l'élément) sur la diagonale
de la matrice Me . Il est donc à noter que pour ce faire il a été nécessaire de ramener la contribution
des rotations initialement exprimées dans le repère global de l'élément, dans le repère local de
l'élément par changement de repère.
Pour des calculs modaux faisant intervenir à la fois le calcul de la matrice de rigidité et celui de la
matrice de masse, il faut prendre une masse sur le degré de rotation normale à la surface de la coque
valant C fois le plus petit terme diagonal de la matrice de masse pour les termes de rotation dans le
repère local, où C vaut entre 106 et 103. On choisit de confondre les valeurs de ce coefficient avec
celles du COEF_RIGI_DRZ pour l'opération équivalente sur la matrice de rigidité. Par défaut C vaut
donc 105. Cela permet d'inhiber, lors d'une analyse modale, les modes pouvant apparaître sur le
degré de liberté supplémentaire de rotation autour de la normale à la surface de la coque.
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4.7
Intégration numérique pour l'élasticité
4.7.1 Intégration
surfacique
Pour l'élément Hétérosis Q9H la partie flexion de la matrice de raideur est intégrée classiquement
avec 9 points de Gauss tandis que les parties membrane et cisaillement sont obtenues par intégration
réduite avec 4 points de Gauss.
Pour l'élément T7H, par analogie avec Q9H, la matrice de raideur est obtenue avec 7 points
d'intégration de Hammer pour la partie flexion et 3 points d'intégration de Hammer pour les parties
cisaillement et membrane.
Cordonnées des points
Poids
1 = 1/ 3;1 = 1/ 3
9/80
2 = a;2 = a
155 + 15
A =
6 + 15
2400
a =
21
3 = 1- 2a;3 = a
A
4 = a;4 = 1- 2a
A
31/240 - A
5 = b;5 = b
b = 4 / 7 - a
6 = 1- 2b;6 = b
31/240 - A
7 = b;7 = 1- 2b
31/240 - A
1 -
1
n
y(
,)d d
= i y
( i ,i )
0 0
i=1
Formules d'intégration numériques normales sur le triangle T7H (Hammer)
Abscisses des points
Poids
Ordonnées des points
Poids µ
1 = - 3 / 5
5/9
1 = - 3 / 5
5/9
=
2 = 0
8/9
2 0
8/9
3 = + 3 / 5
5/9
2 = + 3 / 5
5/9
1 1
n
n
y(
,)dd = iµj y( i ,j )
- -
1 1
i=1 j=1
Formules d'intégration numériques normales 3x3 sur le quadrangle Q9H (Gauss)
Le principe de l'intégration réduite consiste à évaluer les déformations de cisaillement et de membrane
aux points de l'intégration réduite et à les extrapoler aux points d'intégration classique. Ceci revient à
supposer que ces déformations sont bilinéaires sur l'élément Q9H et linéaires sur le T7H. Les
fonctions de forme choisies pour faire cette extrapolation sont les fonctions de forme classiques
bilinéaires du quadrangle à 4 noeuds pour le Q9H et linéaires du triangle à 3 noeuds pour le T7H valant
1 aux points d'intégration réduite.
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Pour plus de détails sur le principe de l'intégration réduite ou sélective, on peut se reporter à [bib6].
Cordonnées des points
Poids
1 = 1 / 6;1 = 1 / 6
1/6
2 = 2 / 3;2 = 1/ 6
1/6
3 = 1 / 6;3 = 2 / 3
1/6
1 -
1
n
y(,)d d
=
i y
( i ,i )
0 0
i=1
Formules d'intégration numériques réduites sur le triangle T7H (Hammer)
Pour les éléments quadrangle une intégration de Gauss 2x2 est utilisée.
Cordonnées des points
Poids
1 = 1/ 3;1 = 1/ 3
1
2 = 1/ 3;2 = -1/ 3
1
3 = -1/ 3;3 = 1/ 3
1
3 = -1/ 3;3 = -1/ 3
1
1 1
n
y(
,)dd = i y (i,i)
- -
1 1
i=1
Formules d'intégration numériques réduites 2x2 sur le quadrangle Q9H (Gauss)
4.7.2 Intégration dans l'épaisseur
L'intégration dans l'épaisseur est faite avec trois points pour les deux éléments.
Cordonnées des points
Poids
1 = -1
1/3
2 = 0
4/3
3 = +1
1/3
1
n
y(
)d = i y (i )
-1
i=1
Formule d'intégration numérique dans l'épaisseur en élasticité
4.8
Intégration numérique pour la plasticité
Le principe de l'intégration surfacique reste le même qu'en élasticité, mais l'épaisseur initiale est
divisée en N couches d'épaisseurs identiques. Il y a trois points d'intégration par couche. Les points
d'intégration sont situés en peau supérieure de couche, au milieu de la couche et en peau inférieure
de couche. Pour N couches, le nombre de points d'intégration est de 2N+1. On conseille d'utiliser de 3
à 5 couches dans l'épaisseur pour un nombre de points d'intégration valant 7, 9 et 11 respectivement.
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Pour la rigidité, on calcule pour chaque couche, en contraintes planes, la contribution aux matrices de
rigidité de membrane, de flexion et de distorsion transverse. Ces contributions sont ajoutées et
assemblées pour obtenir la matrice de rigidité tangente totale.
Pour chaque couche, on calcule l'état des contraintes (11,22,12) et l'ensemble des variables
internes, au milieu de la couche et en peaux supérieure et inférieure de couche, à partir du
comportement plastique local et du champ de déformation local (11,22,12). Le positionnement des
points d'intégration nous permet d'avoir les estimations les plus justes, car non extrapolées, en peaux
inférieure et supérieure de couche, où l'on sait que les contraintes risquent d'être maximales. Le
comportement plastique ne comprend pas pour le moment les termes de cisaillement transverse qui
sont traités de façon élastique, car le cisaillement transverse est découplé du comportement
membranaire en contraintes planes.
Cordonnées des points
Poids
1 = -1
1/3
2 = 0
4/3
3 = +1
1/3
1
n
y(
)d =
i y (i )
-1
i=1
Formule d'intégration numérique pour une couche dans l'épaisseur en plasticité
Remarque :
On a déjà mentionné au [§2.2.2] que la valeur du coefficient de correction en cisaillement
transverse pour les éléments de plaque et de coque était obtenue par identification des
énergies complémentaires élastiques après résolution de l'équilibre 3D. Cette méthode n'est
plus utilisable en élasto-plasticité et le choix du coefficient de correction en cisaillement
transverse se pose alors. Les termes de cisaillement transverses ne sont donc pas affectés
par la plasticité et sont traités élastiquement, faute de mieux. Dans le cas où l'on se place en
théorie de Love-Kirchhoff pour une valeur de ce coefficient de 106 h/R (h étant l'épaisseur de
la coque et R son rayon de courbure moyen) les termes de cisaillement transverses
deviennent négligeables et l'approche est plus rigoureuse.
4.9
Discrétisation des travaux élémentaires pour les chargements
4.9.1 Discrétisation
élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s'exerçant
sur la surface moyenne
D'après le paragraphe [§3.2], on rappelle que l'on a pour ces efforts et couples :
W = (fu + c)dS
ext
S
où S est la surface moyenne de la coque.
Pour le premier terme de cette expression on a ainsi :
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4.9.1.1 Charges données dans le repère global
1
2
~
~
2
W
=
F N
[
u + c N
(
t
2 1 - t
)] det
1 2
J°
d 1
d
ext
k
i
ik
k
j
j
j k
j
j k
h
2
Ar
avec det J° = det J(3 = )
0
4.9.1.2 Charges données dans le repère local
1
1
2
~
~
2
W
= [
F N t N u +
c t N
(
t
2 1 - t
)] det
1 2
J°
d 1
d
ext
j j k
i
ik
k
j
j
j k
j
j k
h
2
Ar
4.9.2 Discrétisation
élémentaire du travail des forces et couples extérieurs s'exerçant
sur le contour
D'après le paragraphe [§3.2], on rappelle que l'on a pour ces efforts et couples :
W = (u + )ds
ext
C
où C est le contour moyen de la coque. et les distributions linéiques de force et de moment
appliquées sur le contour de la coque dans le repère global.
1
2
~
~
La discrétisation donne alors : W
=
[ N u + N
(
t
2 1 - t
d
)] s
ext
k
i
ik
k
j
j
j k
j1 j2k
C
4.9.3 Discrétisation du terme de pesanteur
On a pour ce terme :
1
3
2
~
~
Wpes =
g U(Q d
) V = gkU (Q d
) V
k
= g [N
k
i u +
N
ik
j
(
t
j2 j k
1 - t
d
)] V
j1 j2k
2
e
e
e
Soit : W
= g N
1 u dV
pes
k
i
ik
en supposant négligeable le second terme de l'expression ci
e
dessus.
4.9.4 Discrétisation du terme de pression
On suppose que la pression p est appliquée sur la surface moyenne de la coque. On a alors :
W
= ep
n u( P d
) S = ep
(a a )u(P)
1
2
d 1
d
pres
2
A
A
r
r
où e=±1 selon que p est appliquée en peau interne ou externe.
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Comme a
= a e
1
k k , ceci s'écrit encore : W
= epN
u v
d 1
d
pres
i
ik k
2
Ar
v J ° J ° - J ° J °
1
12 23
13 22
où v = J ° J ° - J ° J ° J °
,
= J
2
13 21
11 23
ij
ij ( 3
= )
0 .
v
° °
°
°
J J - J J
3
11 22
12 21
4.9.5 Discrétisation des termes d'inertie centrifuge
On rajoute à l'expression du champ des accélérations du paragraphe [§4.6] le terme correspondant
aux forces d'accélération centrifuge si le repère global (O, ek ) est en rotation uniforme par
rapport à un repère Galiléen qui a la même origine O que le repère global. L'expression du champ
des accélérations devient ainsi :
&
h
U(Q)( , ,
2 )
1
3 = &u( P)( , )
2 +
&
3
( , ) n(
2
, ) + [ OP]
1
1
1 2
2
où l'on a négligé les forces de Coriolis et la correction de métrique dans l'épaisseur.
On exprime dans la base globale ( ek ) : = k ek .
En reprenant l'expression de : W inertie = &U(Q).U(Q d
) on identifie la contribution des termes
d'inertie centrifuge : W inertie
0
cent
= u e [ ( x e ) d]V
k k
k k
en négligeant les termes de rotation
e
dans le déplacement virtuel. Les termes de masse sont inchangés par rapport au [§4.6].
Comme on a :
x0
=
x0
= x0
e
e
e
e
k
k
p
p
k
k
p
k
qpk e q
où eqpk est la permutation de Lévi-Strauss.
On écrit aussi :
( x0 e ) = e
e
x0
k
k
qpk
srq
r
p
k e k
D'où il en résulte que :
1
W inertie =
u
N ( )1 e
e
x0 N ( )1 det J d d
1 d
cent
is
i
qpk srq
r
p
jk
j
2 3
-1Ar
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4.9.6 Prise en compte des chargements de dilatation thermique
On ne traite que le cas où les caractéristiques thermo-élastiques E , , ne dépendent que de la
température moyenne T dans l'épaisseur. En outre, le matériau est thermo-élastique isotrope
homogène dans l'épaisseur.
La formulation variationnelle du travail dû aux dilatations thermiques s'écrit :
1
+
1
+
th
~
~
~th
~T
~ T ~ ~th
~T
~ T ~
W = - (
C
-
)dV = q
B C
J
= q
B C
-
Id
J
e
det
d
d
d
e
(T T réf ) det
d
d
d
1
2
3
1
2
3
1
- A
1
- A
e
r
r
La température est représentée par le modèle de thermique à trois champs suivant [R3.11.01] :
T( , 3) = T m(
). P1( 3) + T s( ). P2 ( 3) + Ti
( ).P3(3),
avec : Pj (3) : les trois polynômes de LAGRANGE dans l'épaisseur : ]- 1,+ [
1 :
2
P ( ) = 1- ( ) ; P
3
3
2 ( 3
) = (1+ 3
) ; P
1 3
3
3( 3
) = - (1- 3
) ;
2
2
A partir de la représentation de la température ci-dessus, on obtient :
· la température moyenne dans l'épaisseur :
1 +1
1
T ( ) =
T
( , 3)d 3 = 4
;
2 -1
( Tm( )+Ts( )+Ti
( )
6
· le gradient de température moyen dans l'épaisseur :
$
+1
T( ) = 3 T
( ,
3 ) d
3
3 = T s ( ) - T i
( ) ;
-1
Ainsi la température peut être écrite de la façon suivante :
~
T( , ) = T ( ) + T$( ). / 2 + T ( ,
3
3
3) telle que :
+1~
1
+
T
(
~
,
3 ) = 0 ;
T
3 ( ,
3 ) = 0 .
1
-
1
-
~
Si la température est effectivement affine dans l'épaisseur on a, T = 0 .
Il est nécessaire d'évaluer les contraintes thermiques tridimensionnelles, en chaque point d'intégration
dans l'épaisseur. Ces contraintes d'origine thermique soustraites aux contraintes mécaniques
habituelles sont calculées aux points d'intégration dans l'épaisseur par :
~ther
.
E
réf
=
(T -T + $T. /2
2
3
)
1 -
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4.9.7 Assemblage
La formulation variationnelle du travail des efforts extérieurs pour l'ensemble des éléments s'écrit
alors :
nbelem
W = We = T
ext
ext
U F où U est l'ensemble des degrés de liberté de la structure discrétisée et
e=1
F provient de l'assemblage des vecteurs force élémentaires.
Comme pour les matrices de rigidité, le processus d'assemblage des vecteurs force élémentaires
implique que tous les degrés de liberté soient exprimés dans le repère global. Dans le repère global,
les degrés de liberté sont les trois déplacements par rapport aux trois axes du repère cartésien global
et les trois rotations par rapport à ces trois axes. On utilise donc des matrices de passage du repère
local au repère global pour les rotations de chaque élément.
Remarque :
Les efforts extérieurs peuvent aussi être définis dans le repère utilisateur. On utilise alors une
matrice de passage du repère utilisateur vers le repère local de l'élément pour avoir l'expression
de ces efforts dans le repère local de l'élément et en déduire le vecteur force élémentaire local
correspondant. Pour l'assemblage on passe alors du repère local de l'élément au repère global.
5 Validation
Pour juger de la pertinence de la formulation coque épaisse, les quelques exemples d'application
suivant concernent aussi bien la statique linéaire que le calcul de modes propres. Trois nouveaux cas
tests relatifs aux deux éléments finis décrits dans les parties précédentes ont été intégrés dans le
Code_Aster. Ils viennent enrichir les cas-tests des éléments de plaque déjà présents dans
l'environnement du Code_Aster. Une grande partie de ces cas-tests ont été répertoriés dans [bib10].
Les trois nouveaux cas-tests, deux en statique plus un en dynamique, sont des exemples classiques
de validation tirés de [bib3]. Les solutions de référence, analytiques ou numériques, issues de [bib3]
sont comparées aux résultats numériques donnés par le Code_Aster. Pour plus d'informations sur ces
cas-tests, on se reportera à la documentation de validation indiquée en référence.
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5.1
Cas test en statique linéaire
5.1.1 Cas test statique n° 1
Le premier cas test est celui d'un panneau cylindrique soumis à son propre poids [V3.03.107].
Ce test permet de mettre en évidence des effets de membrane plus importants que ceux de flexion. Il
permet de mesurer la performance des éléments coques par rapport aux éléments DKT ou DKQ dont
l'interpolation en membrane est linéaire.
5.1.2 Cas test statique n° 2
Le second cas test est celui d'une coque hélicoïdale soumise à deux types de chargement concentrés
[V3.03.108].
La forme hélicoïdale de la coque permet d'étudier la représentation géométrique des éléments finis.
Les chargements concentrés peuvent être :
· dans le plan : l'influence due aux effets de membrane n'est alors pas importante et le
comportement dominant est celui dû à la flexion,
· hors plan : les effets de membrane affectent le comportement de la coque.
5.2
Cas test en dynamique
Ce cas test est un modèle simplifié d'aube de compresseur, qui est en fait un panneau cylindrique
[V2.03.102].
Ce test met en évidence les performances des éléments en comportement dynamique par la donnée
des fréquences et des modes propres.
Les fréquences et modes propres de l'aube sont des valeurs expérimentales qui servent de résultats
de référence.
6 Chaînage
thermomécanique
6.1 Description
Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser pour le calcul thermique
des éléments finis de coque thermique [R3.11.01] dont le champ de température est récupéré comme
donnée d'entrée du Code_Aster pour le calcul mécanique. Il faut donc qu'il y ait compatibilité entre le
champ thermique donné par les coques thermiques et celui récupéré par les coques mécaniques. Ce
dernier est défini par la connaissance des 3 champs TEMP_SUP, TEMP et TEMP_INF donnés en peaux
inférieure, milieu et supérieure de coque.
Le tableau ci-dessous indique les compatibilités entre les éléments de coque mécanique et de coque
thermique.
Modélisation Maille
Elément fini
à utiliser avec Maille Elément
fini
Modélisation
THERMIQUE
MECANIQUE
COQUE QUAD9
THCOQU9
//////////////
QUAD9 MEC3QU9H COQUE_3D
COQUE TRIA7
THCOTR7 ///////////////
TRIA7 MEC3TR7H COQUE_3D
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Remarques :
· Les noeuds des éléments de coques thermiques et de coques mécaniques doivent se
correspondre. Les maillages pour la thermique et la mécanique auront donc le même nombre
et le même type de mailles.
· Les éléments de coques thermiques surfaciques sont traités comme des éléments plans par
projection de la géométrie initiale sur le plan défini par les 3 premiers sommets.
Le chaînage thermomécanique est aussi possible si l'on connaît par des mesures expérimentales la
variation du champ de température dans l'épaisseur de la structure ou de certaines parties de la
structure. Dans ce cas on travaille avec une carte de température définie a priori ; le champ de
température n'est plus donné par les trois valeurs TEMP_INF, TEMP et TEMP_SUP du calcul thermique
obtenues par EVOL_THER. Il peut être beaucoup plus riche et contenir un nombre arbitraire de points
de discrétisation dans l'épaisseur de la coque. L'opérateur DEFI_NAPPE permet de créer de tels
profils de températures à partir des données fournies par l'utilisateur. Ces profils sont affectés par la
commande AFFE_CARTE (cf. le cas-test HSNS100B). On notera qu'il n'est pas nécessaire pour le
calcul mécanique que le nombre de points d'intégration dans l'épaisseur soit égal au nombre de points
de discrétisation du champ de température dans l'épaisseur. Le champ de température est
automatiquement interpolé aux points d'intégration dans l'épaisseur des éléments de coques.
6.2 Cas-test
Les cas-tests pour le chaînage thermomécanique entre des éléments de coques thermiques et des
éléments de coques mécaniques sont le HPLA100C (éléments MEC3QU9H) et HPLA100D (éléments
MEC3TR7H). Il s'agit d'un cylindre creux thermoélastique pesant en rotation uniforme [V7.01.100]
soumis à un phénomène de dilatation thermique où les champs de température sont calculés avec
THER_LINEAIRE par un calcul stationnaire.
z
Ri
Re
Rayon intérieur Ri = 19.5 mm
Rayon extérieur Re = 20.5 mm
Point F
R = 20.0 mm
Epaisseur
h = 1.0 mm
Hauteur
L = 10.0 mm
r
z
N
K
z
Q
P
J
y
D
C
H
M
+
L
r
A
B
x
F
La dilatation thermique vaut : T() - Tref () = 0 5
. (T + T
s
i ) + 2.(T + T
s
i ) (r - R) / h
avec :
·
T = 0 5
. °C, T = -0 5
. °C, T
= 0. °C
s
i
ref
·
T = 01
. ° C, T = 01
. ° C, T
= 0. ° C
s
i
ref
On teste les contraintes, les efforts et moments fléchissants en L et M. Les résultats de référence sont
analytiques. On obtient de très bons résultats quel que soit le type d'élément considéré.
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7
Implantation des éléments de coque dans le Code_Aster
7.1 Description
Ces éléments (de noms MEC3TR7H et MEC3QU9H) s'appuient sur des mailles TRIA7 et QUAD9 courbes.
Ces éléments ne sont pas exacts aux noeuds et il faut mailler avec plusieurs éléments pour obtenir des
résultats corrects.
7.2
Utilisation et développements introduits
Ces éléments s'utilisent de la façon suivante :
MA = CREA_MAILLAGE ( MAILLAGE : MAILINI
MODI_MAILLE : (OPTION :'QUAD8_9'
TOUT :'OUI')...)
On fait appel à une routine MODI_MAILLE de modification du maillage pour passer des éléments
quadrangles à 8 noeuds aux éléments quadrangles à 9 noeuds ou bien des éléments triangles à 6
noeuds aux éléments triangles à 7 noeuds.
AFFE_MODELE ( MODELISATION : 'COQUE_3D' ...) pour le triangle et le quadrangle
On fait appel à la routine INI080 pour la position des points de Hammer et de Gauss sur la surface de
la coque et les poids correspondants.
AFFE_CARA_ELEM ( COQUE:(EPAISSEUR:'EP'
ANGL_REP : ( '' '' )
COEF_RIGI_DRZ : 'CTOR')
Pour faire des post-traitements (contraintes, efforts généralisés,...) dans un repère choisi par
l'utilisateur qui n'est pas le repère local de l'élément, on définit la direction X1 du repère utilisateur
comme la projection d'une direction de référence d sur la surface de l'élément. Cette direction de
référence d est choisie par l'utilisateur qui la définit par deux angles nautiques dans le repère global.
La normale N à la surface de l'élément fixe la seconde direction au point d'observation concerné. Le
produit vectoriel des deux vecteurs précédemment définis Y1=N X1 permet de définir le trièdre local
dans lequel seront exprimés les efforts généralisés représentant l'état de contraintes. L'utilisateur
devra veiller à ce que l'axe de référence choisi ne se retrouve pas parallèle à la normale de certains
éléments de coque. Par défaut, la direction de référence d est l'axe X du repère global de définition du
maillage.
La valeur CTOR correspond au coefficent que l'utilisateur peut introduire pour le traitement des termes
de rigidité et de masse suivant la rotation normale à la surface de la coque. Ce coefficient doit être
suffisamment petit pour ne pas perturber le bilan énergétique de l'élément et pas trop petit pour que
les matrices de rigidité et de masse soient inversibles. Une valeur de 105 est mise par défaut.
ELAS : (E :young NU : ALPHA :.. RHO :.. )
Pour un comportement thermo-élastique isotrope homogène dans l'épaisseur on utilise le mot-clé
ELAS dans DEFI_MATERIAU où l'on définit les coefficients E , module d'Young, ,coefficient de
Poisson, , coefficient de dilatation thermique et RHO la masse volumique.
AFFE_CHAR_MECA ( DDL_IMPO : (
DX :.. DY :.. DZ :.. DRX :.. DRY :.. DRZ :.. DDL de coque dans le repère global.
FORCE_COQUE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. ). Il s'agit des efforts
surfaciques sur des éléments de coque. Ces efforts peuvent être donnés dans le repère global ou
dans le repère utilisateur défini par ANGL_REP.
FORCE_NODALE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. ). Il s'agit des efforts de
coque dans le repère global.
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7.3
Calcul en élasticité linéaire
La matrice de rigidité et la matrice de masse (respectivement les options RIGI_MECA et MASS_MECA)
sont intégrées numériquement dans les TE0401 et TE0406, respectivement. Le calcul tient compte du
fait que les termes correspondant aux DDL de rotation de coque sont exprimés dans le repère local de
l'élément. Une matrice de passage permet de passer des DDL locaux aux DDL globaux.
Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· EPSI_ELNO_DEPL et SIGM_ELNO_DEPL qui fournissent les déformations et les contraintes
aux noeuds dans le repère utilisateur de l'élément en peau inférieure, à mi épaisseur et en
peau supérieure de coque, la position étant précisée par l'utilisateur. Le calcul s'effectue dans
le TE0410. On stocke ces valeurs de la façon suivante : 6 composantes de déformation ou
de contraintes,
· EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ,
· EFGE_ELNO_DEPL : qui donne les efforts généralises par élément aux noeuds à partir des
déplacements : NXX, NYY, NXY, MXX, MYY, MXY, QX, QY. Cette option est calculée
dans le TE0410,
· SIEF_ELGA_DEPL : qui donne les contraintes par élément aux points de Gauss dans le
repère local de l'élément à partir des déplacements : SIXX, SIYY, SIZZ, SIXY, SIXZ,
SIYZ. Cette option est calculée dans le TE0410,
· EPOT_ELEM_DEPL : qui donne l'énergie élastique de déformation par élément à partir des
déplacements. Cette option est calculée dans le TE0401,
· ECIN_ELEM_DEPL : qui donne l'énergie cinétique par élément. Cette option est calculée dans
le TE0401,
Enfin le TE0416 calcule aussi l'option FORC_NODA de calcul des forces nodales pour l'opérateur
CALC_NO.
7.4
Calcul en plasticité
La matrice de rigidité est aussi intégrée numériquement, par couches, dans le TE0414. On fait appel à
l'option de calcul STAT_NON_LINE dans laquelle on définit au niveau du comportement non linéaire le
nombre de couches à utiliser pour l'intégration numérique. Toutes les lois de contraintes planes
disponibles dans le Code_Aster peuvent être utilisées.
STAT_NON_LINE (....
COMP_INCR : (RELATION :' '
COQUE_NCOU :'NOMBRE DE COUCHES')
....)
Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· EPSI_ELNO_DEPL qui fournit les déformations par élément aux noeuds dans le repère
utilisateur à partir des déplacements, en peau inférieure, à mi épaisseur et en peau
supérieure de coque. Cette option est calculée dans le TE0410,
· SIGM_ELNO_COQU qui permet d'obtenir le champ de contraintes dans l'épaisseur par élément
aux noeuds pour une couche donnée et une position demandée ( en peau inférieure, au
milieu ou en peau supérieure de couche). Ces valeurs sont données dans le repère
utilisateur. Cette option est calculée dans le TE0415,
· SIEF_ELNO_ELGA qui permet d'obtenir les efforts généralisés par élément aux noeuds dans
le repère utilisateur. Cette option est calculée dans le TE0415,
· VARI_ELNO_ELGA qui calcule le champ de variables internes et les contraintes par élément
aux noeuds pour toutes les couches, dans le repère local de l'élément. Cette option est
calculée dans le TE0415.
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8 Conclusion
Les éléments finis de coque courbes que nous décrivons ici sont utilisés dans les calculs de structures
minces courbes dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à 1/10. Deux
éléments finis de coque volumique s'appuyant sur des mailles quadrangulaires et triangulaires ont été
introduits dans le Code_Aster. Ils ont été choisis dans un but bien particulier: pouvoir représenter un
comportement complet de structures courbes alors que jusqu'à présent on ne pouvait utiliser que des
éléments à facettes planes qui induisaient des flexions parasites et nécessitaient de raffiner les
maillages.
Ce sont des éléments pour lesquels les déformations et les contraintes dans le plan de l'élément
varient linéairement avec l'épaisseur de la coque. La cinématique choisie est une cinématique coque
de type Hencky-Mindlin-Naghdi permettant de faire intervenir l'énergie de cisaillement transverse. La
distorsion associée au cisaillement transverse est constante dans l'épaisseur de l'élément. La
correction variable sur Le coefficient k de cisaillement transverse offre une souplesse d'utilisation
permettant de passer de la théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI pour k=1, à celle de REISSNER
pour k=5/6 et à celle de LOVE_KIRCHHOFF (pour des structures très minces) si on choisit une valeur
de k égale à106 × h / L h étant l'épaisseur et L une distance caractéristique (rayon de courbure
moyen, zone d'application des charges....). Comme dans ce dernier cas, on utilise une méthode de
pénalisation pour rendre petits les termes de cisaillement transverse, on peut, si l'on prend une valeur
de k trop importante, rendre singulier le système numérique. Dans ce cas, il faut diminuer la valeur de
k.
La valeur par défaut de k est de 5/6. On l'utilise généralement lorsque la structure à mailler a un
rapport épaisseur sur longueur caractéristique compris entre 1/20 et 1/10. Pour des épaisseurs plus
faibles où la distorsion transverse devient faible on peut vouloir utiliser une valeur de k=106 × h / L
(pour pouvoir faire des comparaisons avec des éléments de plaque DKT par exemple). Lorsque la
distorsion transverse est non nulle, les éléments de coque ne satisfont pas les conditions d'équilibre
3D et les conditions aux limites sur la nullité des contraintes de cisaillement transverse sur les faces
supérieure et inférieure de coque, compatibles avec une distorsion transverse constante dans
l'épaisseur de la coque. Il en résulte ainsi qu'au niveau du comportement un coefficient de 5/6 pour
une coque homogène corrige la relation habituelle entre les contraintes et la distorsion transverse de
façon à assurer l'égalité entre les énergies de cisaillement du modèle 3D et du modèle de coque à
distorsion constante. Dans ce cas, la flèche ~
u3 a pour interprétation le déplacement transverse moyen
dans l'épaisseur de la coque et non pas le déplacement de la surface moyenne de la coque.
Pour des structures d'épaisseur faible afin d'éviter les phénomènes de blocage, on utilise la
sous-intégration réduite pour les parties membrane et cisaillement de la matrice de rigidité. Le choix
sur les éléments finis s'est porté sur les éléments quadrangle Hétérosis Q9H et triangle T7H. En effet,
parmi les éléments finis à fonctions d'interpolation quadratiques, la performance de l'élément Hétérosis
Q9H est connue. Elle est notamment supérieure à celle des éléments Sérendip Q9S ou des éléments
de Lagrange Q9. Cette performance repose toutefois sur l'intégration sélective de l'élément avec
intégration réduite des termes de membrane et de cisaillement d'une part, et intégration normale des
termes de flexion d'autre part. Par analogie avec Q9H, on a pris l'élément fini T7H comme élément de
forme triangulaire. Toutefois, dans la mesure du possible, on utilisera le Q9H plutôt que le T7H qui est
nettement moins performant.
Les comportements non-linéaires en contraintes planes sont disponibles pour ces éléments. On
signale cependant que les contraintes générées par la distorsion transverse sont traitées
élastiquement, faute de mieux. En effet la prise en compte rigoureuse d'un cisaillement transverse
constant non nul sur l'épaisseur et la détermination de la correction associée sur la rigidité de
cisaillement par rapport à un modèle satisfaisant les conditions d'équilibre et les conditions aux limites
ne sont pas possibles et rendent donc l'utilisation de ces éléments, lorsque le cisaillement transverse
est non nul, rigoureusement impossible en plasticité. Rigoureusement, pour des comportements non
linéaires, il faudrait donc utiliser ces éléments dans le cadre de la théorie de Love-Kirchhoff.
Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique ; les chaînages
thermo-mécaniques sont donc disponibles avec des éléments finis de coques thermiques à 7 et 9
noeuds. Des extensions de la formulation précédente présentée en annexe permettent aussi la prise
en compte de l'anisotropie des matériaux et de la non-linéarité cinématique. Cette deuxième extension
est opérationnelle dans le Code_Aster et fait l'objet d'une documentation de référence [R3.07.05].
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9 Bibliographie
[1]
S. Ahmad, Irons B.M., O.C. Zienkiewicz, " Analysis of thick and thin shell structures by curved
finite elements ", IJNME, Vol.2,p.419-451,1970.
[2]
J.L. Batoz, G. Dhatt, " Modélisation des structures par éléments finis ", Volume 1, Solides
élastiques - Hermès, Paris, 1990.
[3]
J.L. Batoz, G. Dhatt, " Modélisation des structures par éléments finis ", Volume 3, Coques -
Hermès, Paris,1992.
[4]
B. Bui, " Le cisaillement dans les plaques et les coques : modélisation et calcul ", Note
HI-71/7784, 1992.
[5]
D. Bui, " Modélisation des coques d'épaisseurs moyenne par une approche 3D `dégénérée' ",
Note EDF-DER HI-74/95/013, 1992.
[6]
E.Carnoy, G. Laschet, " Eléments de coque isoparamétrique ", LTAS, Rapport SF-108,
Novembre 1992.
[7]
T.J.R. Hughes, " The Finite Element Method ", Prentice-Hall, 1987.
[8]
J.F. Imbert, " Analyse des strutures par éléments finis ", 3ème edition - Cepaduès Editions,
1992.
[9]
E. Lorentz " Une relation de comportement hyperélastique non-linéaire ", Note EDF-DER
HI-74/95/011/0.
[10]
P. Massin, " Fonctionnalités disponibles pour les éléments de coques et de plaques dans le
Code_Aster ", Note EDF-DER HI-74/97/027/0.
[11]
O.C. Zienkiewicz, " The finite elements method ", 3nd edition - Mc Graw-Hill 1977.
[12]
R3.07.02 :F. Voldoire, C. Sevin, " Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D ", Manuel
de référence du Code_Aster.
[13]
R3.07.03 : P. Massin, " Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4G ", Manuel de
référence du Code_Aster.
[14]
R3.07.05 : P. Massin, M. Al Mikdad , " Eléments finis de coque volumique en non linéaire
géométrique ", Manuel de référence du Code_Aster.
[15]
R3.11.01 : P. Massin, F. Voldoire, S. Andrieux, "Modèle de thermique pour les coques
minces", Manuel de référence du Code_Aster.
[16]
V2.03.102 : P. Massin, A. Laulusa, " Vibrations libres d'une aube de compression ", Manuel
de validation du Code_Aster.
[17]
V3.03.107 : P. Massin, D. Bui, A. Laulusa, " Panneau cylindrique soumis à son propre poids ",
Manuel de validation du Code_Aster.
[18]
V3.03.108 : P. Massin, D. Bui, A. Laulusa, " Coque hélicoïdale sous charges concentrées ",
Manuel de validation du Code_Aster.
[19]
V7.01.100 : P. Massin, F. Voldoire, " Cylindre creux thermoélastique pesant en rotation
uniforme ", Manuel de validation du Code_Aster.
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Annexe 1 Extension aux matériaux anisotropes non
programmée
On considère que la coque est constituée d'un matériau orthotrope, d'axes d'orthotropie ~
~
xk associés à la base
kk . La loi de comportement dans ces axes s'écrit :
~
~
~
~
~
~
= Sk
(6x )
1
(6x6) (6x )
1
~
où S est la matrice de souplesse du constituant k .
Soient ~
et ~ , les tenseurs de déformation et de contraintes dans les axes ~xk , on a :
~ t ~~
=
Q Q
~ t ~~
= QQ
où Q = [T ,T ,T
1
2
3 ]
( Q
.
) est la matrice des cosinus directeurs de T
/k
ij = T k
i
j
k dans la base k k .
k
Sous forme vectorielle, on a :
~
~ ~~
=
T
~
~~~
= T
~
où les composantes de T sont définies en fonction de celles de Q .
Inversement, on a :
~
~
~ -1~
= T
~
~
~ -1~
= T
donc, on obtient :
~
~ ~~ ~ -1~
= TS T
k
qu'on écrit :
~
~ ~
= Sk
Pour être cohérent avec l'hypothèse de contrainte plane ~
33 = 0, on écrit :
~
~
~
r = Skr r
(5x )
1
(5x )
5 (5x )
1
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avec le symbole r comme réduit, ce qui donne :
~
~ ~
~
~
-1
r = Ck
,
r
C = S
k
kr
qu'on récrit en omettant le symbole r ,
~
~ ~
= Ck
L'énergie de déformation élastique W el est :
1
1
~ ~ ~
W el
t ~ e
t
q
B C B det J d d d ~e
=
q
2
k
1
2
3
-1Ar
Si la coque est constituée de Nc couches, chaque couche étant considérée comme un constituant k , alors :
2e+ h
Nc
k
1
~ ~ ~
W el
t ~ e
t
= q
B C B det J d d d
~ e
k
q
2
1
2
3
k =12e- h Ar
k
où e-
+
k et ek sont les abscisses des bornes inférieure et supérieure de la couche k d'épaisseur
e = e+ - e-
-
+
k
k
k , avec e1 = -h/2 et e Nc = h/2.
En posant :
+
e
k
k + -
e
e
k
3 =
+
,
- 11,
3
3
[
]
h
h
on a :
Nc
1
e 1
~ ~ ~
W el
t ~ e
k
t
=
det ( 1, 2 ,
~
q
B C B
J
q
k
3 ) d
d
d
e
2
h
1
2
3
k =1
-1Ar
De même, pour le travail dû aux dilatations thermiques W th , on a :
~
~k
k
k
k
th = ( T,
1
T,
2
T, , ,
3
0 0 )
0
où les ki sont les coefficients de dilatation thermique de la couche k dans les axes d'orthotropie ( ~~xk ).
Avec la relation :
~ k
~ ~~
k
th = T th
on obtient :
1
t ~
~
W th
t ~ e
q B (
~ k
=-
- Ck th ) det J d d d
1
2
3
-1Ar
Soit :
Nc e 1 t ~ ~
W th t ~ e
k
~ k
= q
B C det J d d d
h
k
th
1
2
3
h=1
-1Ar
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Annexe 2 Fonctions de forme pour l'élément Q9H
Ces fonctions sont données à la page 174 de [bib8].
A2.1 Fonctions de forme pour les translations
Les 8 fonctions de forme de Lagrange incomplet de l'élément quadrangle Q9H [Figure A2.2-a] pour
l'interpolation des déplacements uk sont :
1
·
N ( )
1 ( ,1 2 ) = (-1+ + )(1+ )(1+ ) i
i
i
1 1
2i 2
i
1 1
2i
= ,
1 2, ,
2
3 4
4
1
·
N ( )
1 ( ,
2
1 2
) = (1- )(1+ ) i
i
1
2i
= ,
2
5 7
2
1
·
N ( )
1 ( ,
2
1
2
) = (1- )(1+ ) i
i
2
i
= ,
1 1
6 8
2
1 = 1
-
i = 1 8
, 4
i
, ;
2 = -1 i = 15, 2
i
, ;
avec : 1 = 0 i = 5 7
i
, ;
et 2 = 0 i = 6 8
i
, ;
.
1 = +1 i = 2 6, 3
i
, .
2 = +1 i = 3 7, 4
i
, .
A2.2 Fonctions de forme pour les rotations
Les 9 fonctions de forme de Lagrange de l'élément quadrangle Q9H [Figure A2.2-a] pour l'interpolation des
~
rotations sont :
-
N (2) ( ,
P
1
2
) = N ( )N
i
i
1
i ( )
2 où Ni ( )
Pr
P =
pour p=1,2 et où r décrit l'ensemble des deux
ri Pr
- Pi
noeuds alignés avec le noeud i dans la direction P .
1 = 1
-
i = 1 8
, 4
i
, ;
2 = -1 i = 15, 2
i
, ;
On a : 1 = 0 i = 5 7
i
, ;
et 2 = 0 i = 6 8
i
, ;
.
1 = +1 i = 2 6, 3
i
, .
2 = +1 i = 3 7, 4
i
, .
2
2
(0,1)
4
(0,1)
7
3
4
7
3
(1,0)
8
9
(1,0)
8
(0,0)
6
(0,0)
6
1
1
1
5
2
1
2
5
Figure A2.2-a : Degrés de liberté pour les translations et les rotations de l'élément quadrangle Q9H
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Eléments finis de coques volumiques
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
R3.07.04-B Page
: 41/42
Annexe 3 Fonctions de forme pour l'élément T7H
A3.1 Fonctions de forme pour les translations
Les 6 fonctions de forme de l'élément triangulaire T7H [Figure A3.2-a] pour l'interpolation des déplacements
uk sont données à la page 175 de [bib8] :
·
N 1
( )
1 ( 1
, 2
) = 2
(2 2
-1)
·
N 1
( )
2 ( 1
, 2
) = (2 -1)
·
N 1
( )
3 ( 1
, 2
) = 1(2 1 -1)
·
N 1
( )
4 ( 1
, 2
) = 4 2
·
N 1
( )
5 ( 1
, 2
) = 4 1
·
N 1
( )
6 ( 1
, 2
) = 4 1 2
où : = 1- 1 - 2
A3.2 Fonctions de forme pour les rotations
~
Les 7 fonctions de forme de l'élément triangulaire T7H [Figure A3.2-a] pour l'interpolation des rotations
sont :
( )
1
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = 2
(2 2
- )1+ N
1
7
9
( )
1
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = (1- 1
- 2
)[ (21- 1 - 2 )- ]1+ N
2
7
9
( )
1
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = 1(2 1 - )1 + N
3
7
9
( )
4
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = 4 2
(1- 1
- 2
)- N
4
7
9
( )
4
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = 4 1
(1- 1
- 2
)- N
5
7
9
( )
4
· N 2 (
(2)
1
, 2
) = 4 - N
6
1 2
7
9
avec :
· N (2)
7 ( 1
, 2
) = 27 1 2
(1- 1 - 2
)
2
2
(0,1)
(0,1)
1
1
6
6
4
4
7
(1,0)
(1,0)
2
2
(0,0)
5
3
(0,0)
5
3
1
1
Figure A3.2-a : Degrés de liberté pour les translations et les rotations de l'élément triangle T7H
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Eléments finis de coques volumiques
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
R3.07.04-B Page
: 42/42
Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
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