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Titre :
Homogénéisation d'un réseau de poutres baignant dans un fluide
Date :
06/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
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R4.07.05-A
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Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
Document R4.07.05
Homogénéisation d'un réseau de poutres baignant
dans un fluide
Résumé :
Cette note décrit un modèle obtenu par une méthode d'homogénéisation pour caractériser le comportement
vibratoire d'un réseau périodique de tubes baignés par un fluide incompressible. Ensuite le développement d'un
élément fini associé à ce modèle homogénéisé est présenté.
Les tubes sont modélisés par des poutres d'Euler et le fluide par un modèle à potentiel.
Cette modélisation est accessible dans la commande AFFE_MODELE en choisissant la modélisation
3D_FAISCEAU.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Problème physique initial ....................................................................................................................... 3
2.1 Description du problème ................................................................................................................. 3
2.2 Hypothèses de modélisation ........................................................................................................... 4
3 Problème homogénéisé ......................................................................................................................... 5
3.1 Problème homogénéisé obtenu ...................................................................................................... 5
3.2 Problème matriciel........................................................................................................................... 7
4 Résolution du problème cellulaire.......................................................................................................... 8
4.1 Problème à résoudre....................................................................................................................... 8
4.2 Problème équivalent pour définir .............................................................................................. 9
4.3 Mise en pratique dans le Code_Aster ........................................................................................... 10
5 Choix de l'élément fini pour le problème homogénéisé ....................................................................... 10
5.1 Choix des éléments finis ............................................................................................................... 10
5.2 Eléments finis de référence........................................................................................................... 11
5.2.1 Maille HEXA 8 ...................................................................................................................... 11
5.2.2 Maille HEXA 20 .................................................................................................................... 12
5.3 Choix des points de Gauss ........................................................................................................... 14
5.4 Ajout des problèmes de traction et de torsion ............................................................................... 14
5.4.1 Problème de traction ............................................................................................................ 15
5.4.2 Problème de torsion ............................................................................................................. 15
5.5 Intégration dans le Code_Aster de cet élément fini....................................................................... 15
6 Utilisation dans le Code_Aster ............................................................................................................. 16
6.1 Les données nécessaires.............................................................................................................. 16
6.2 Orientation des axes des poutres.................................................................................................. 16
6.3 Calcul modal.................................................................................................................................. 16
7 Caractérisation du spectre du modèle homogénéisé .......................................................................... 17
7.1 Modèle hétérogène........................................................................................................................ 17
7.2 Modèle homogène......................................................................................................................... 18
7.2.1 Problème continu ................................................................................................................. 18
7.2.2 Problème discrétisé.............................................................................................................. 18
8 Conclusion ........................................................................................................................................... 19
9 Bibliographie ........................................................................................................................................ 20
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1 Introduction
Dans l'industrie nucléaire, certaines structures sont constituées de réseaux quasi-périodiques de tubes
baignés par des fluides : les assemblages « combustibles », les générateurs de vapeur, ... Pour
déterminer le comportement vibratoire de telles structures, l'approche classique (chaque tube est
modélisé, le volume occupé par le fluide est maillé) est chère et fastidieuse voire impraticable (en
particulier, élaboration d'un maillage compliqué contenant un grand nombre de noeuds). Les structures
étudiées présentant un caractère quasi-périodique, il semble intéressant d'utiliser des méthodes
d'homogénéisation.
Des techniques d'homogénéisation appliquées à un réseau de tubes baignés par un fluide ont été à
diverses reprises déjà élaborées [bib1], [bib5], [bib4]. Les modèles obtenus diffèrent par les hypothèses
effectuées sur le fluide (compressibilité, vitesse initiale de l'écoulement, viscosité). Selon les
hypothèses admises, l'action du fluide sur le réseau de tubes correspond à une masse ajoutée (baisse
des fréquences de vibration par rapport à celles déterminées en absence de fluide), à un
amortissement ajouté voire à une rigidité ajoutée [bib5].
Au début, des éléments finis associés à des modèles bidimensionnels (réseau de masselottes
baignées par un fluide) ont été élaborés [bib2]. Pour étudier les problèmes tridimensionnels (réseau de
tubes), une solution à consister à projeter le mouvement sur le premier mode de flexion des poutres
[bib4]. Ultérieurement, des éléments finis tridimensionnels ont été développés [bib3], [bib8].
2
Problème physique initial
2.1
Description du problème
On considère un ensemble de poutres identiques, d'axe z, disposées périodiquement (soit la période
d'espace). Ces poutres sont situées à l'intérieur d'une enceinte remplie de fluide (voir [fig 2.1-a]). On
souhaite caractériser le comportement vibratoire d'un tel milieu, en ne considérant pour l'instant que
l'effet de masse ajoutée du fluide qui est prépondérant [bib6].
Surface latérale l de la poutre n ° l
Bord extérieur
L
z
y
x
F
Figure 2.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
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2.2
Hypothèses de modélisation
On considère que le fluide est un fluide parfait initialement au repos, incompressible. Comme
l'hypothèse des petits déplacements autour de la position d'équilibre a été effectué (fluide initialement
au repos), le champ de déplacement des particules fluides est irrotationnel de sorte qu'il existe un
potentiel de déplacement du fluide noté . Il n'y a pas de flux de fluide à travers la surface extérieure
.
On considère que les poutres sont homogènes et à section constante suivant z . Pour modéliser les
poutres, le modèle d'Euler est utilisé et les mouvements de flexion sont seulement pris en compte. La
section de poutre est rigide et le déplacement de tout point de la section est noté :
s
(sl z (sl z sl
=
,
z
x
y
)
l la flexion de la poutre n° l
( )
( ) ( ) .
Les poutres sont encastrées à leurs deux extrémités.
La forme variationnelle du problème fluide-structure (conservation de la masse, équation dynamique de
chaque tube) s'écrit :
=
(sl ·n)
V
éq 2.2-1
l
F
l
L
2 l
L
2 l
2 l
L
s
s
s
2
l
l
l
S
s + EI
= -
n s
s V
éq 2.2-2
S
2
2
2
t
z
F
z
2
s
t
0
0
0
l
avec :
V = (H2
2
1
0 ]
( 0, [L) et V
s
= H ( F )
où :
·
n est la normale entrante à la poutre n° l,
·
F est la densité du fluide constante dans tout le domaine,
·
S est la densité du matériau constituant la poutre,
·
S est la section de la poutre,
·
E est le module d'Young,
·
I est le tenseur d'inertie de la section de la poutre.
Le second membre de l'équation [éq 2.2-2] représente les efforts exercés sur la poutre par le fluide. La
2
pression p du fluide est liée au potentiel de déplacement par : p = -
. De la même façon, le
F
t
2
second membre de l'équation [éq 2.2-1] représente le flux de fluide induit par les mouvements des
poutres. A la frontière de chaque poutre l on a : sl · n = · n .
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3 Problème
homogénéisé
3.1
Problème homogénéisé obtenu
Pour tenir compte du caractère périodique du milieu étudié, on utilise une méthode d'homogénéisation
basée dans ce cas précis sur un développement asymptotique des variables intervenant dans le
problème physique de départ. En ce qui concerne la démarche opératoire, on renvoie le lecteur aux
références suivantes [bib2], [bib4], [bib5], [bib6]. On se contentera ici d'énoncer les résultats obtenus.
Dans le milieu homogénéisé (voir [fig 3.1-a]), les deux variables homogénéisées suivantes sont
0
considérées : s (déplacement des poutres) et (potentiel de vitesses du fluide). Sous forme
0
0
variationnelle, ces variables sont reliées par les équations :
A
hom
0 = -
Ds
0
V
0
0
2
éq 3.1-1
s
2
s 2
s
2
M
0 s
0
0
hom
2
+ K
2
2
=
D
s
2
s V
t
z
z
F
t
s
0
0
0
où :
2
V hom = L2
2
2
s
(0) H0 ()
où
0 = S × ] ,0 [
L
H 2
2
0 (0 ) = {v ; (x, y) S
z
v
! (x, y, z) H0 ]
( ,0 [L)}
Bord supérieur
0,haut
Bord extérieur
latéral 0,lat
L
z
y
x
0
Bord inférieur
0,bas
S
.
Figure 3.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
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1
YF
y
2
YS
n
y1
Figure 3.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
Les différents tenseurs qui interviennent dans [éq 3.1-1] sont définis à l'aide de deux fonctions
=
(
1 2
, ) de la façon suivante :
1
1
0
y
y
Y
1
Y
2
F
F
1
2
2
Y
B = (b ) =
0
A
= (a
F
=
-
éq 3.1-2
ij )
b
ij
Y
y
y
Y
ij
ij
Y
1
Y
2
F
F
0
0
0
Y
0
0
S
0
0
S
2
S
1
µ
D = (d = +
0
0
=
=
+
0
0
ij )
B
Y
M
S
(mij) B
S
Y
F
Y
S
0 0 0
0
0
0
éq 3.1-3
I
I
0
E 2
x
xy
µ
K = (k =
0
ij )
I
I
Y
xy
y
0 0 0
où Y et Y représentent respectivement les aires des domaines fluide et structure de la cellule
F
S
élémentaire de référence (cf. [fig 3.1-b]). Y représente la somme des deux aires précédentes. La
cellule élémentaire de référence est homothétique de rapport µ à la cellule réelle de périodicité du
milieu hétérogène.
Les deux fonctions
=
(
1 2
, ) sont solutions d'un problème bidimensionnel, appelé problème
cellulaire. Sur la cellule élémentaire de référence, les fonctions
=
(
1 2
, ) sont définies par :
v =
n v
v
F
V
Y
éq 3.1-4
=
0 (pour avoir une solution uniqu )
e
YF
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où :
V = { v H
périodique en de période 1
1(Y ), v( y)
y
F
}
Remarque :
On montre que la partie bidimensionnelle de B est symétrique et définie positive [bib5].
Remarque :
Dans la matrice M, le terme B joue le rôle d'une matrice de masse ajoutée propre à
F
chaque poutre dans sa cellule.
Remarque :
1
Pour les différents tenseurs, on peut mettre en facteur le terme multiplicatif
. Il a été rajouté
Y
afin d'obtenir la « bonne masse » de tubes en absence de fluide. On a alors
M dV
=
0
masse des tubes composant 0 .
3.2 Problème
matriciel
En discrétisant le problème [éq 3.1-1] par éléments finis, on aboutit (avec des notations évidentes) au
problème suivant :
"A = - "Ds
0
0
2
2
éq 3.2-1
"
s0
M
+ "Ks = "DT
0
t 2
0
F
t 2
ce qui peut se mettre sous la forme (on pré - multiplie la première équation par ) :
F
2s
2
0
s0
~
T
t2
~ s
0
"
M
- "D
2
"K
0
s
M
0
2
+ K
F
t
=
+
=
éq 3.2-2
2
0
-
-
0
0
"D
0
0
0
"A
F
F
0
t2
t2
Remarque :
Le problème obtenu est symétrique. Si au lieu de choisir le potentiel de déplacement pour
représenter le fluide, on avait choisi le potentiel de vitesse, on aurait obtenu un problème matriciel
non symétrique faisant aussi apparaître une matrice d'amortissement.
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4
Résolution du problème cellulaire
4.1
Problème à résoudre
Sur la cellule élémentaire bidimensionnelle (voir [fig 4.1-a]), on cherche à calculer les fonctions
=
(
1, 2) vérifiant :
* v =
n v
v
V
Y
éq 4.1-1
0
pour avoir une solution unique
* =
(
)
Y
où :
V = { v H * ,
périodique en de période 1
1(Y ) v( y)
y
}
y2 Y*
Y
n
y 1
Figure 4.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
Après avoir déterminé les fonctions
=
(
1, 2), on calcule les coefficients homogénéisés
b
= 1, 2 ; =
(
1, 2) définis par la formule :
b
=
éq 4.1-2
Y y
En utilisant la formule de Green et le caractère périodique de , on montre que les coefficients b
peuvent s'écrire autrement :
b =
n
éq 4.1-3
Pour estimer cette quantité, il faut lors d'une discrétisation par éléments finis, déterminer pour chaque
élément la normale sortante, ce qui peut être fastidieux. On opère alors d'une autre façon ; en prenant
dans l'équation [éq 4.1-1] v = , on obtient :
b =
éq 4.1-4
Y
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A partir de la fonction énergie potentielle définie par la formule classique :
1
W(v) = -
v
éq 4.1-5
2
v
Y
on peut réécrire les coefficients homogénéisés sous la forme :
b = -(W( + )-W( )-W
( )
éq 4.1-6
Dans le cas général bidimensionnel, on doit calculer trois coefficients du problème homogénéisé
b , b = b , b (on sait que la matrice B = (b ) est symétrique). On doit résoudre les deux
11
12
21
22
problèmes suivants :
Ca
lculer V / * v = n v
1
1
Y
* 1
Y
Ca
lculer V /
éq 4.1-7
*
v =
n v
2
2
Y
* 2
Y
Calculer
* V / * = +
1
2
On a alors :
b
= -2W
11
( 1)
b
= -2 W
éq 4.1-8
22
( 2)
b
= b = -
* -
-
12
21
(W( ) W( 1) W( 2)
Remarque :
Si la cellule élémentaire possède des symétries, cela permet de résoudre le problème sur une
partie de la cellule avec des conditions aux limites bien appropriées et de ne calculer que
certains coefficients du problème homogénéisé. Par exemple pour la cellule de la figure
n°4.1 - a on a : b = b
b = b = 0.
11
22
12
21
4.2
Problème équivalent pour définir
Dans l'équation [éq 4.1-1], le calcul du second membre nécessite la détermination de la normale au
bord. Pour éviter une détermination de la normale, on peut écrire un problème équivalent, vérifié par les
fonctions .
1
0
1
Soient les vecteurs G = G =
G
,
et
= , on cherche les fonctions ,
, V
1
2
1
2
0
1
1
telles que :
v
G
v
v V
1
Y
= 1
Y
v
G
v
v V
éq 4.2-1
2
Y
= 2
Y
v
Y
G v
v V
=
Y
En utilisant la formule de Green et l'anti-périodicité de la normale n , on montre que les problèmes
[éq 4.1-1] et [éq 4.2-1] sont équivalents.
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4.3
Mise en pratique dans le Code_Aster
Dans le Code_Aster, pour résoudre le problème [éq 4.2-1], l'analogie thermique en définissant un
matériau ayant un coefficient c égal à zéro et un coefficient égal à un est utilisée. Pour imposer le
p
calcul du second membre faisant intervenir le terme en G , le mot-clé GRAD_INIT dans la commande
AFFE_CHAR_THER est sélectionné. Le problème thermique est résolu en utilisant la commande
THER_LINEAIRE. Le calcul de l'énergie potentielle W est fourni par la commande POST_ELEM avec
l'option ENER_POT. Dans le cas général, trois calculs sont effectués pour déterminer les valeurs
W( ,
,
et ensuite, les valeurs des coefficients du problème homogénéisé en sont
1 ) W(2 ) W( )
déduites manuellement. Pour imposer le caractère périodique de l'espace dans lequel la solution est
cherchée, le mot-clé LIAISON_GROUP dans la commande AFFE_CHAR_THER est utilisé.
5
Choix de l'élément fini pour le problème homogénéisé
5.1
Choix des éléments finis
Dans le modèle présenté précédemment, l'axe z a un rôle prépondérant en tant qu'axe principal des
poutres. Les éléments finis développés vérifient cette particularité. Les mailles sont du type cylindrique :
les bases quadrangulaires sont contenues dans des plans z = Cte et l'axe du cylindre est parallèle à
l'axe z (voir [fig 5.1-a]).
Lz
Axe z
Figure 5.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
D'après les équations [éq 3.1-1], des dérivées secondes suivant la coordonnée z interviennent dans le
modèle, ce qui nécessite des éléments finis C1 dans la direction z . Des fonctions de forme de type
Hermite pour représenter les variations de s suivant l'axe z sont donc utilisées. Aux points de
s s
discrétisation, les déplacements s
x
y
x , sy mais aussi les dérivées ,
qui sont liées aux degrés de
z
z
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sy
s
liberté de rotation ,
par les formules
x
=
,
= -
doivent être connues. En ce qui
x
x
y
y
z
z
concerne les variations suivant x , y , on se limite pour l'instant à des fonctions de forme Q .
1
Pour le degré de liberté de potentiel, des fonctions de forme Q ou Q suivant les trois directions
1
2
x , y , z de l'espace sont utilisées.
L'élément fini a donc pour inconnues les degrés de liberté suivants : s , s , , , .
x
y
x
y
Remarque :
L'ordre des noeuds des mailles support est très important. En effet, les arêtes parallèles à
l'axe z ne sont pas représentées de la même façon que les arêtes contenues dans les plans
z = Cte . Les noeuds des mailles sont donc rangés dans un ordre bien précis : liste des
noeuds de la base inférieure, puis liste des vis-à-vis de la base supérieure (ou vice-versa).
En ce qui concerne la géométrie, les fonctions de forme permettant de passer de l'élément de
référence à l'élément courant sont Q . L'élément fini est donc sous-paramétrique.
1
Deux éléments finis ont été développés :
· un associé à une maille HEXA 8. En chaque noeud de la maille, les inconnues sont
s , s , , , . Les fonctions de forme associées au potentiel sont Q .
x
y
x
y
1
· un autre associé à une maille HEXA 20. En chaque noeud sommet de la maille, les inconnues
sont s , s , , , . En chaque noeud milieu des arêtes, l'inconnue est . Les fonctions
x
y
x
y
de forme associées au potentiel sont Q .
2
5.2
Eléments finis de référence
5.2.1 Maille HEXA 8
Sur l'élément fini de référence HEXA 8 (voir [fig 5.2-a]), les fonctions de forme suivantes sont définies :
N L
avec L
ou D ou R
éq 5.2-1
1, 1, 1( ) = P 1( 1) P 1( 2 ) P L
± ± ±
±
±
±1 ( 3 )
=
Les indices ± 1 représentent les coordonnées des noeuds de la maille support de référence.
Les fonctions qui permettent de définir les fonctions de forme s'écrivent :
1-
1+
P
1
=
1
=
- ( )
P ( )
( )
( )
2
2
1-
1+
P
1
=
1
=
- ( )
P ( )
( )
( )
2
2
1
3
1
1
3
1
[
- , ]
11 éq 5.2-2
3
PD
3
1
1
1
=
-
+
- ( )
PD1( )
( )
( )
2
2
2
=
+
-
2
2
2
1
1
PR
2
3
2
3
1
1
1
=
- - +
1
=
- - + +
- ( )
(
) PR( ) (
)
( )
( )
4
4
Les fonctions P D P R
,
sont les fonctions d'Hermite.
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Les inconnues du problème homogénéisé, sur une maille, se décomposent de la manière suivante :
8
L 8
s
D
z
R
=
+
x ( )
DX N
i
i ( )
DRX N
i
i ( )
2
i=1
i
=1
8
L 8
s
D
z
R
=
-
= , ,
éq 5.2-3
1 2
y ( )
DY N
i
i ( )
DRY N
i
i ( )
(
3 )
2
i=1
i
=1
8
(
) = N
j
j ( )
j
=1
où DX , DY , DRX , DRY , sont les valeurs du déplacement selon x , du déplacement selon
i
i
i
i
i
y , de la rotation autour de l'axe x , de la rotation autour de l'axe y et du potentiel de déplacement au
sommet i de la maille. Dans le Code_Aster, pour chaque noeud, les degrés de liberté sont rangés
dans l'ordre cité précédemment.
8
7
3
6
1
5
2
4
3
1
0
0
-1
-1
1
2
-1
0
1
1
Figure 5.2-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
5.2.2 Maille HEXA 20
Sur l'élément fini de référence HEXA 20 (voir [fig 5.2-b]), les fonctions de forme suivantes sont
définies :
N L
avec L D ou R
éq 5.2-4
1, 1, 1( ) = P 1( 1) P 1( 2 ) P L
± ± ±
±
±
±1 ( 3 )
=
N () = Q (
1, 20
éq 5.2-5
3 )
j =
j
j
Les indices ± 1 représentent les coordonnées des noeuds sommets de la maille support de référence.
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Homogénéisation d'un réseau de poutres baignant dans un fluide
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Les fonctions P , P L
±
ont déjà été définies au paragraphe [§5.2.1]. Les fonctions Q sont définies
1
±1
i
par :
1
Q
i
i
i
i
i
i
= 1+
,...,
1
1
1
+ 2 1
2
+ 3 3 1 1 + 2 2 + 3 3 - 2
= 1
8
i ( )
(
)(
)(
)(
)
i
8
1
2
Q
i
i
i
= 1-
, ,
,
1
1
1
+ 2 1
2
+ 3 3
= 9 11 17 19
i ( )
4 (
( ) )(
)(
)
i
1
éq 5.2-6
2
Q
i
i
i
= 1-
,
,
,
2
1
2
+ 1 1
1
+ 3 3
= 10 12 18 20
i ( )
4 (
( ) )(
)(
)
i
1
2
Q
i
i
= 1-
(
i
i = 13, 14, 15, 16
2
2 )
3
1
3
+ 1 1
1
+
i ( )
4 (
( ) )(
)
où (i
i
i
, ,
sont les coordonnées du noeud i de la maille.
1
2 3)
Les inconnues du problème homogénéisé, sur une maille, se décomposent de la manière suivante :
8
L 8
s
D
z
R
=
+
x ( )
DX N
i
i ( )
DRX N
i
i ( )
2
i=1
i
=1
8
L 8
s
D
z
R
=
-
= , ,
éq 5.2-7
1 2
y ( )
DY N
i
i ( )
DRY N
i
i ( )
(
3 )
2
i =1
i
=1
20
(
) = N
j
j ( )
j
=1
où DX , DY , DRX , DRY , sont les valeurs du déplacement fluide selon x, du déplacement
i
i
i
i
i
selon y, de la rotation autour de l'axe x, de la rotation autour de l'axe y et du potentiel de déplacement
au sommet i de la maille (i = 1, )
8 et le potentiel de déplacement fluide au noeud milieu des arêtes
j
(j = 9,2 )0.
8
19
7
20
18
16
15
1
6
5
17
4
3
1
11
3
13
0
12
14 10 0 2
-1
-1
1
9
2
-1
0
1
1
Figure 5.2-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
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5.3
Choix des points de Gauss
Chaque intégrale qui intervient dans les expressions des matrices élémentaires, est transformée en
une intégrale sur l'élément de référence (on effectue un changement de variable) qui est ensuite
calculée en utilisant une formule de quadrature de type GAUSS.
Les points de Gauss sont choisis de façon à intégrer exactement les intégrales sur l'élément de
référence. Des familles de points d'intégration différentes sont utilisées pour calculer les matrices de
masse et les matrices de rigidité (les degrés des polynômes à intégrer sont différents). Mais ici, pour
calculer les différentes contributions de la matrice de masse, différentes familles de points de Gauss
peuvent encore être utilisées.
L'élément de référence étant un HEXA 8 ou un HEXA 20, l'intégrale sur le volume peut être séparée en
un produit de trois intégrales qui correspondent chacune à une direction de l'espace de référence. Le
nombre de points d'intégration nécessaires est déterminé par direction.
Selon la maille de référence, le nombre de points d'intégration par direction est le suivant :
Maille HEXA 8
Maille HEXA 20
direction x ou y
direction z
direction x ou y
direction z
matrice "
K
2
2
2
2
matrice "
A
2
2
3
3
matrice "
D
2
3
2
3
matrice "
M
2
4
2
4
Quatre familles de points de Gauss ont été définies. Chaque famille correspond à une des matrices du
problème à résoudre.
Sur le segment [-1,1], les coordonnées des points d'intégration et leurs poids sont les suivants [bib7] :
Nombre de points d'intégration
Coordonnées
Poids
2
± 1/ 3
1
0
8 / 9
3
± 3/ 5
5 / 9
3 - 2 6 / 5
1
1
±
+
4
7
2 6 6 / 5
1
1
3 + 2 6 / 5
-
±
2 6 6 / 5
7
Le poids d'un point de Gauss dans l'élément de référence tridimensionnel est obtenu en multipliant les
trois poids correspondant à chacune des coordonnées du point de Gauss.
5.4
Ajout des problèmes de traction et de torsion
Pour compléter le problème de flexion homogénéisé décrit précédemment, le problème de traction et le
problème de torsion sont rajoutés de façon découplée.
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5.4.1 Problème de traction
Le problème de traction homogénéisé s'écrit sous la forme suivante :
E S 2 u
v
2 S 2u
z
S
z
+
v = 0
v
V
avec V = H1 [(0, L])
Y
z
z
Y
t
2
T
T
L'élément fini de référence est un HEXA 8 ayant pour inconnue le déplacement DZ en chaque noeud.
Les fonctions de forme associées sont Q1.
5.4.2 Problème de torsion
Le problème de torsion homogénéisé s'écrit sous la forme suivante :
E 2
u v
2
2u
z
S
z
avec V = H1 [(0, L])
(
+
=
+)
J
J
v 0
v V
Y
z z z
Y
z
t2
2 1
T
T
où J est la constante de torsion.
z
L'élément fini de référence est un HEXA 8 ayant pour inconnue le déplacement DRZ en chaque
noeud. Les fonctions de forme associées sont Q1.
5.5
Intégration dans le Code_Aster de cet élément fini
L'élément fini est développé dans le Code_Aster en 3D. Une modélisation a été rajoutée dans le
catalogue des modélisations :
· 'FAISCEAU_3D' pour le 3D.
Dans le catalogue des éléments, l'élément peut s'appliquer sur les deux mailles suivantes :
Maille
Nombre de noeuds
Nombre de noeuds
Nom de l'élément
en déplacement et
en potentiel fluide
dans le catalogue
rotation
HEXA 8
8
8
meca_poho_hexa8
HEXA 20
8
20
meca_poho_hexa20
Dans les routines d'initialisation de cet élément, on définit :
· deux familles de fonctions de forme associées respectivement aux déplacements et rotation
des poutres (fonction de forme linéaire en x , y et cubique en z ) et aux termes de potentiel
du fluide (fonction linéaire en x , y , z ),
· quatre familles de points de Gauss pour calculer la matrice de rigidité et les différentes parties
de la matrice de masse.
Lors du calcul des termes élémentaires, les dérivées premières ou secondes des fonctions de forme
sur l'élément courant sont calculées. Malgré la géométrie simplifiée de l'élément fini (l'axe de la maille
cylindrique est parallèle à l'axe z et les sections inférieure et supérieure sont dans des plans z = Cte ),
une subroutine générale pour calculer les dérivées secondes a été écrite [bib7]. Par ailleurs, deux
nouvelles subroutines ont été développées à partir des subroutines existantes pour les éléments
isoparamétriques pour tenir compte du caractère sous-paramétrique de l'élément.
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6
Utilisation dans le Code_Aster
6.1
Les données nécessaires
Les caractéristiques des poutres (section S , tenseur d'inertie I , constante de torsion J ) sont
z
renseignées directement sous le mot clé facteur POUTRE de la commande AFFE_CARA_ELEM.
Les caractéristiques des coefficients homogénéisés et de la cellule de référence sont renseignées sous
le mot clé facteur POUTRE_FLUI de la commande AFFE_CARA_ELEM. Pour les mots clés simples, la
correspondance est la suivante :
B_T : b11
B_N : b22
B_TN : b12
A_FLUI : YF
A_CELL : Y = Y + Y
F
S
COEF_ECHELLE : µ
Les caractéristiques des matériaux sont renseignées dans la commande DEFI_MATERIAU. Pour les
tubes, le mot clé facteur ELAS est utilisé pour indiquer le module d'Young ( E : E ), le coefficient de
Poisson (NU : ) et la masse volumique (RHO : ). Pour le fluide, le mot clé facteur
S
FLUIDE est utilisé
pour indiquer la masse volumique du fluide (RHO : ).
F
6.2
Orientation des axes des poutres
Les génératrices des mailles cylindriques sont obligatoirement parallèles à l'axe des poutres et les
bases des mailles perpendiculaires à ce même axe. Lors de l'élaboration du maillage, il faut s'assurer
que l'ordre des noeuds (numérotation locale) de chaque maille cylindrique est correct : les noeuds de la
base inférieure puis les noeuds de la base supérieure (ou vice versa). La direction de l'axe des poutres
est renseignée sous le mot clé facteur ORIENTATION de la commande AFFE_CARA_ELEM.
L'hypothèse suivante a été effectuée : le repère de référence est le même que le repère principal
d'inertie du tube caractéristique représentant le milieu homogénéisé. Cela signifie que dans les
équations [éq 3.1-3], le terme I est nul.
xy
6.3 Calcul
modal
L'élément fini développé permet de caractériser le comportement vibratoire d'un réseau de poutres
baignées par un fluide. Il est intéressant de déterminer les fréquences de vibration d'un tel réseau en
air et en eau.
Pour effectuer un calcul modal en air ( = 0 ), il faut bloquer tous les degrés de liberté correspondant
F
au potentiel de déplacement fluide , sinon la matrice de rigidité (et même la matrice shiftée du
problème modal) est non inversible [R5.01.01].
Pour effectuer un calcul modal en eau ( 0 ), il faut utiliser dans la commande
F
~
~
MODE_ITER_SIMULT, l'option CENTRE du mot clé facteur CALC_FREQ. La matrice shiftée (K - M )
est alors inversible si n'est pas valeur propre ou si est différent de zéro.
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7
Caractérisation du spectre du modèle homogénéisé
7.1 Modèle
hétérogène
Soit un réseau à pas carré de n poutres encastrées en leurs extrémités basses et dont les extrémités
supérieures se déplacent de la même façon (mouvement uniforme) (Cf. figure [fig 7.1-a]). Seuls les
mouvements de flexion sont considérés.
Mouvement uniforme
z
y
L
x
H
Encastrement
H
Figure 7.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
Le spectre de vibration en air de ce réseau à la forme suivante. Pour chaque ordre de mode de
vibration de flexion, la structure modale est constituée d'une fréquence double correspondant à un
mode en x et à un mode en y où toute la partie supérieure se déplace (toutes les poutres ont la
même déformée) et d'une fréquence de multiplicité (2 n - 2)correspondant à des modes où toute la
partie supérieure des poutres est immobile et où des poutres se déplacent en opposition de phase.
En présence de fluide, le spectre est modifié. Pour chaque ordre de mode de vibration en flexion, les
2 n fréquences de vibration sont inférieures aux fréquences de vibration obtenues en air. L'effet du
fluide incompressible est comparable à une masse ajoutée. On a toujours une fréquence double
correspondant à un mode en x et à un mode en y où toute la partie supérieure se déplace (toutes les
poutres ont la même déformée). Par contre, on obtient (n - )
1 couples différents de fréquence double
(un en x et un en y ) correspondant à des modes où toute la partie supérieure des poutres est
immobile et où des poutres se déplacent en opposition de phase.
Pour un ordre de mode de flexion
Fréquence
Fréquence de
double
multiplicité 2n-2
en air
fréquence
de vibration
en eau
Fréquence
Etalement du
double
spectre
Figure 7.1-Erreur! Argument de commutateur inconnu.
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7.2 Modèle
homogène
Le milieu hétérogène a été remplacé par un milieu homogène.
7.2.1 Problème
continu
Des travaux récents, concernant un problème d'homogénéisation plane d'un réseau de masselottes
retenues par des ressorts et baignées par un fluide, montrent que le spectre du modèle homogène
continu est constitué d'une partie continue et de deux fréquences de multiplicité infinie [bib10]. Le
spectre des fréquences propres du problème en eau est également contenu dans un intervalle bien
défini borné supérieurement par la fréqence de vibration en air d'une masselotte [bib5].
Ces résultats sont transposables pour chaque ordre de flexion du réseau de tubes.
7.2.2 Problème
discrétisé
Soit le domaine homogène maillé par des hexaèdres. Soit p le nombre de génératrices parallèles à
l'axe z du réseau de poutres.
Mouvement uniforme
z
y
L
x
H
Encastrement
H
Figure 7.2.2-a
On trouve des résultats analogues à ceux obtenus pour le modèle hétérogène. Il suffit de remplacer n
par p . Pour un ordre de flexion de poutre, le nombre de fréquences correspondant à des modes où les
poutres ne vibrent pas toutes dans le même sens, dépend de la discrétisation utilisée dans les
directions transverses à l'axe des poutres.
Selon l'élément fini utilisé (maille HEXA 8 ou maille HEXA 20), la répartition des (2 p - 2) dernières
fréquences est différente. La première fréquence double (celle correspondant au mode où la partie
supérieure se déplace) est la même pour les deux éléments finis.
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Pour un ordre de mode de flexion
Fréquence
Fréquence
Fréquence de
double
de vibration
multiplicité 2p-2
HEXA 8
HEXA 20
Ordre des
fréquences
Figure 7.2.2-b
Globalement, le modèle homogène permet d'obtenir aisément les fréquences de vibration
correspondant à des modes où toutes les poutres vibrent dans le même sens. Les autres modes
obtenus ne fournissent qu'une vision partielle du spectre. Dans le spectre discrétisé, on peut retourner
une ou les deux fréquences de multiplicité infinie présente dans le spectre du modèle continu.
8 Conclusion
L'utilisation des éléments finis développés associés au modèle homogénéisé d'un faisceau de tubes
périodique baignés par un fluide permet de caractériser les mouvements vibratoires d'ensemble (toute
la structure se déplace dans le même sens) d'une telle structure.
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9 Bibliographie
[1]
E. Sanchez-Palencia (1980), "Non homogeneous media and vibration theory", Springer
Verlag.
[2]
"Etude asymptotique du comportement dynamique des assemblages combustibles d'un
réacteur nucléaire" Siaka Berete, Thèse de Doctorat de l'Université Paris VI, soutenue le
19 avril 1991.
[3]
"Comportement sous sollicitations dynamiques de coeurs de réacteurs à eau pressurisée"
E. Jacquelin, Thèse effectuée à l'Ecole Centrale de Lyon avec EDF-SEPTEN (Division : MS,
Groupe : DS), Décembre 1994.
[4]
"Etude de l'interaction fluide-structure dans les faisceaux de tubes par une méthode
d'homogénéisation : application à l'analyse sismique des coeurs RNR" L. Hammami, Thèse
de L'Université de Paris VI, 1990.
[5]
"Problèmes mathématiques en couplage fluide-structure, Applications aux faisceaux
tubulaires" C. Conca, J. PLanchard, B. Thomas, M. Vanninathan, Collection de la Direction
des Etudes et Recherches d'Electricité de France, n°85, Eyrolles.
[6]
"Prise en compte d'un fluide parfait incompressible au repos comme masse ajoutée sur une
structure, Synthèse bibliographique" G. Rousseau, Rapport Interne EDF - DER, HP-61/94/009.
[7]
"Une présentation de la méthode des Eléments finis" G. Dhatt et G.Touzot, Maloine S.A.
Editeur Paris.
[8]
D. Brochard, F. Jedrzejewski et al. (1996), "3D Analysis of the fluid structure interaction in tub
bundles using homogenization methods", PVP-Vol. 337, Fluid-Structure Interaction ASME
1996.
[9]
H. Haddar, B. Quinnez, " Modélisation par homogénéisation des grilles de mélange des
assemblages combustible", Rapport interne EDF-DER, HI-75/96/074/0.
[10]
G. Allaire, C. Conca, J. Planchard, "Homogenization and Bloch wave method for fluid-tube
bundle interaction", Article en préparation.
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