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Modélisation des chocs et du frottement en analyse transitoire
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Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
Document : R5.06.03

Modélisation des chocs et du frottement en
analyse transitoire par recombinaison modale

Résumé :
Ce document décrit les lois physiques de contact avec frottement entre structures et la modélisation qui en est
faite dans l'algorithme d'analyse transitoire par recombinaison modale du Code_Aster DYNA_TRAN_MODAL
[U4.54.03]. Pour les différentes liaisons non-linéaires de contact utilisables, on détaille le calcul des grandeurs
définissant les conditions de contact.
Les schémas d'utilisation utilisés sont décrits dans [R5.06.04].
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Relations de contact entre deux structures............................................................................................ 3
2.1 Relation de contact unilatéral .......................................................................................................... 3
2.2 Loi de frottement de Coulomb ......................................................................................................... 5
3 Modélisation approchée des relations de contact entre 2 structures par pénalisation .......................... 6
3.1 Modèle de force normale de contact ............................................................................................... 6
3.2 Modèle de force tangentielle de contact.......................................................................................... 7
4 Types de liaisons de contact modélisées .............................................................................................. 8
4.1 Liaisons entre un noeud et un obstacle indéformable ..................................................................... 8
4.1.1 Liaisons de contact noeud sur obstacle plan.......................................................................... 8
4.1.2 Liaisons de contact noeud sur obstacle circulaire concave.................................................. 10
4.1.3 Liaisons de contact noeud sur obstacle concave discrétisé par segments .......................... 11
4.2 Liaisons entre deux noeuds de deux structures déformables ....................................................... 12
4.2.1 Liaisons de contact plan sur plan ......................................................................................... 12
4.2.2 Liaisons de contact cercle sur cercle ................................................................................... 14
5 Utilisation des forces non-linéaires localisées de choc et frottement en recombinaison modale ........ 15
6 Précision sur l'utilisation des non-linéarités de choc avec frottement.................................................. 15
6.1 Définition du type de liaison de choc ............................................................................................. 15
6.2 Définition du repère local pour les conditions de contact .............................................................. 16
6.3 Définition des noeuds des liaisons................................................................................................. 17
6.4 Définition des dimensions caractéristiques des sections .............................................................. 17
6.5 Définition des paramètres de contact............................................................................................ 17
7 Bibliographie ........................................................................................................................................ 18
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1 Introduction
Les problèmes de choc avec frottement qui intéressent EDF concernent par exemple la modélisation
des vibrations de structures tubulaires maintenues par des supports à jeux, ou séparées par des jeux
faibles et pouvant ainsi entrer en contact. Les tubes des générateurs de vapeur, les crayons des
grappes de commande, les assemblages de combustible sont des exemples de structures dont on
souhaite modéliser les vibrations.
La conséquence majeure des vibrations en présence de jeu est d'occasionner des chocs ainsi que du
frottement entre la structure et ses appuis ou entre les structures d'où des risques d'usure. Ce
document décrit le type de non-linéarités introduites par la présence de ces jeux, ainsi que la
modélisation utilisée pour les prendre en compte dans l'algorithme de recombinaison modale.
2
Relations de contact entre deux structures
Deux relations régissent le contact entre deux structures :
· la relation de contact unilatéral qui exprime la non-interpénétrabilité entre les corps solides,
· la relation de frottement qui régit la variation des efforts tangentiels dans le contact. On
retiendra pour les présents développements une relation simple : la loi de frottement de
Coulomb.
2.1
Relation de contact unilatéral
Soient deux structures
1/2
1/2
1 et 2 . On note d N
la distance normale entre les structures, FN
la
force de réaction normale de 1 sur 2.
La loi de l'action et de la réaction impose :
F 2 1
/ = -F 1/2
N
N
éq 2.1-1
F 2/1
N
1
d 1/2
N
2
F 1/2
N
Figure 2.1-a : Distance normale et réaction normale
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Les conditions de contact unilatéral, encore appelées conditions de Signorini [bib5], s'expriment de la
façon suivante :
d 1/2 0, F 1/2 0, d 1/2 F 1/2 = 0 et F 2 1/ = -F 1/2
N
N
N
N
N
N
éq 2.1-2
F 1/2
N
d 1/2
N
Figure 2.1-b : Graphe de la relation de contact unilatéral
Ce graphe traduit une relation force-déplacement qui n'est pas différentiable. Il n'est donc pas utilisable
de façon simple dans un algorithme de calcul dynamique.
Si on restreint l'étude au cas d'une structure tubulaire en présence d'un support indéformable, on note
d (d = d 1/2
n
n
N
) la distance normale au support, et Fn la réaction de ce dernier (attention !
F = F 2 1/ = -F 1/2
n
N
N
voir schéma ci-dessous ).
L'expression des conditions de contact normal, exprimant la limitation des déplacements due au
support vaut :
d 0, F 0, d F
n
n
n
n = 0
Fn
dn > 0
dn = 0
(cf. sens de n
et de Fn)
n
n
Figure 2.1-c : Distance normale et réaction normale entre une structure et un support
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2.2
Loi de frottement de Coulomb
La loi de Coulomb exprime une limitation de l'effort tangentiel F 1/2
T
de réaction tangentielle de 1 sur

1 2
2 .. Soit !
/
uT la vitesse relative de 1 par rapport à 2 en un point de contact et soit µ le
coefficient de frottement de Coulomb, on a [bib5] :
s = F 1/2 - µ F 1/2 , u 1/2
!
= F 1/2
0

, 0, .s
T
N
T
T
= 0
éq 2.2-1
et la loi de l'action et de la réaction :
F 2 1
/ = -F 1/2
T
T
éq 2.2-2
F1/2
T
Ý
u 1/ 2
T
Figure 2.2-a : Graphe de la loi de frottement de Coulomb
Le graphe de la loi de Coulomb est lui aussi non différentiable et n'est donc pas simple à utiliser dans
un algorithme dynamique.
Si on restreint l'étude au cas d'une structure tubulaire en présence d'un support indéformable, seul
l'effort tangentiel F 2 1
/ = F
T
T est utilisé, la loi de frottement s'exprime de la façon suivante :
s = F - µ F 0, u! = F
, 0, .s
T
n
T
T
= 0
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3
Modélisation approchée des relations de contact entre 2
structures par pénalisation

3.1
Modèle de force normale de contact
Le principe de la pénalisation appliqué au graphe de la figure [Figure 2.1-b] consiste à introduire une
relation univoque F 1/2 = f(d 1/2
N
N
) au moyen d'un paramètre . Le graphe de f doit tendre vers
le graphe de Signorini lorsque tend vers zéro [bib6].
Une des possibilités consiste à proposer une relation linéaire entre d 1/2
1/2
N
et FN
:
1
F 1/2 = - d 1/2
si d 1/2 0 ; F 1/2
N
N
N
N
= 0

sinon
éq 3.1-1
1
Si l'on note KN = appelée communément "raideur de choc", on retrouve la relation classique,
modélisant un choc élastique :
F 1/2 = -K d 1/2
N
N
N
éq 3.1-2
Le graphe approché de la loi de contact avec pénalisation est le suivant :
F 1/2
N
d 1/2
N
Figure 3.1-a : Graphe de la relation de contact unilatéral approchée par pénalisation
Pour tenir compte d'une éventuelle perte d'énergie dans le choc, on introduit un "amortissement de
choc" CN L'expression de la force normale de contact s'exprime alors par :
F 1/2 = -K d 1/2 - C u 1/2
N
N
N
N
!N
éq 3.1-3
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où ! /
u 1 2
N
est la vitesse normale relative de 1 par rapport à 2 . Pour respecter la relation de
Signorini (pas d'adhérence en contact), on doit par contre vérifier a posteriori que F 1/2
N
est positive ou
+
nulle. On ne prendra donc que la partie positive .
de l'expression [éq 3.1-3] :
+
x
= x si x 0
+
x
= 0 si x < 0
La relation complète donnant la force normale de contact qui est retenue pour l'algorithme est la
suivante:
+
si d 1/2 0 F 1/2 = - K d 1/2 - C u 1/2
!
, F 2 1
/ = -F 1/2
N
N
N
N
N
N
N
N
sinon
F 2 1
/ = F 1/2
N
N
= 0.
éq 3.1-4
3.2
Modèle de force tangentielle de contact
Le graphe décrivant la force tangentielle avec loi de Coulomb est non-différentiable pour la phase
d'adhérence (! /
u 1 2
T
= )
0 . On introduit donc une relation univoque liant le déplacement tangentiel relatif
d 1/2
1/2
1/2
T
et la force tangentielle F
= f(d
T
T
) au moyen d'un paramètre . Le graphe de f doit
tendre vers le graphe de Coulomb lorsque tend vers zéro [bib6].
Une des possibilités consiste à écrire une relation linéaire entre d 1/2
1/2
T
et FT :
1
F 1/2 - F 1/2 0 = -
(d 1/2 - d 1/2 0
T
T
T
T
)
éq 3.2-1
1
Si l'on introduit une "raideur tangentielle" KT = , on obtient la relation :
F 1 2 = F 1 2 0 - KT (d 1 2 - d 1 2 0
/
/
/
/
T
T
T
T
)
éq 3.2-2
Pour des raisons numériques, liées à la dissipation de vibrations parasites [bib7] en phase
d'adhérence, on est amené à ajouter un "amortissement tangentiel" CT dans l'expression de la force
tangentielle. Son expression finale est :
F 1/2 = F 1/2 0 - K (d 1/2 - d 1/2 0)- C
T
T u 1/2
!
, F 2 1
/ = -F 1/2
T
T
T
T
T
T
T
éq 3.2-3
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Il faut de plus que cette force vérifie le critère de Coulomb, soit :
u 1/2
!
F 1/2
1/2
µ F
sinon on appli

que F 1/2
1/2
T
= -µ F
N
N

, F 2 1
/ = -F 1/2
T
T
éq 3.2-4
u
T
T
1/2
! T
Le graphe approché de la loi de frottement de Coulomb modélisée par pénalisation est le suivant :
F 1/2
T
KT
Ý
u 1/ 2
T
Figure 3.2-a : Graphe de la loi de frottement approchée par pénalisation
4
Types de liaisons de contact modélisées
Comme il a été précisé au paragraphe [§2.2], les développements présentés ici concernent la mise en
oeuvre de liaisons non-linéaires avec contact unilatéral et frottement entre 1 noeud et un obstacle ou
entre 2 noeuds donnés.
Les noeuds en contact sont supposés appartenir à deux structures élancées de type poutre ou à une
poutre et un obstacle indéformable. Les noeuds sur lesquels va porter la condition de contact sont
supposés portés par la ligne moyenne des poutres.
4.1
Liaisons entre un noeud et un obstacle indéformable
4.1.1 Liaisons de contact noeud sur obstacle plan
On considère une structure élancée représentée par des éléments de type poutre. Son déplacement
est limité en un point par la présence d'un obstacle constitué de deux demi-plans infinis dans la
direction Y (voir [Figure 4.1.1-a]).
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Z
Y
Xloc
X
Figure 4.1.1-a : Structures élancées avec contact noeud sur plan
Pour analyser les conditions de contact, on se place dans le repère perpendiculaire à l'axe Xloc ,
direction de la fibre neutre ou d'une génératrice de la poutre. Soit NO1, le noeud de la liaison
considérée sur la poutre, la géométrie de la liaison contact noeud sur plan (appelée PLAN_Y dans le
Code_Aster [bib3]) est décrite sur la figure ci-dessous.
Zloc
NO1
Y
Jeu
loc
ORIG_OBST
1
2
Figure 4.1.1-b : Géométrie de la liaison noeud sur plan obstacle
Yloc
Soient
les coordonnées du
Y , Z
, l'origine de ce repère est le
Z
NOEUD

NO1 dans le repère ( loc
loc )
loc
point ORIG_OBST.
La distance normale d N dans ce cas, en négligeant les rotations des sections s'exprime alors par :
d
= - Y
+ jeu
N
loc
éq 4.1.1-1
Le contact dans cette liaison est sensé avoir lieu quel que soit le décalage en Zloc entre les deux
structures.
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Le vecteur normal n dans le repère (Y , Z
loc
loc ) a pour composantes :
signe Y
( loc )
n =

éq 4.1.1-2

0

Les autres quantités !uN , FN , !uT , FT sont calculées de façon générale comme précisé au [§3].
4.1.2 Liaisons de contact noeud sur obstacle circulaire concave
On considère une structure élancée, représentée par des éléments de type poutre. Son déplacement
est limité en un point par la présence d'un obstacle constitué d'un plan infini percé d'un trou circulaire
(voir figure ci-dessous).
Z
X
Y
loc
X
Figure 4.1.2-a : Structures élancées avec contact noeud sur obstacle circulaire
Pour analyser les conditions de contact, on se place dans le repère perpendiculaire à l'axe Xloc ,
direction de la fibre neutre ou d'une génératrice de la poutre. Soient NO1, le noeud de la liaison
considérée, la géométrie de la liaison de contact noeud sur cercle (appelée CERCLE dans le
Code_Aster [bib3]) est décrite sur la figure ci-dessous.
Zloc
NO1
Yloc
Jeu
ORIG_OBST
Figure 4.1.2-b : Géométrie de la liaison noeud obstacle circulaire
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Yloc
Soient
les coordonnées du NOEUD
Y , Z
, d'origine
Z
NO1 dans le repère ( loc loc )
ORIG_OBST.
loc
La distance normale d N , en négligeant les rotations des sections s'exprime alors par :
2
2
d = - (Y - Y
) +(Z - Z
) + jeu
N
loc
ORIGobst
loc
ORIGobst
On pose comme vecteur normal n le vecteur :
ORIG
- NOEUD1
n
obst
= ORIG - NOEUD
obst
1
jeu est une distance strictement positive.
Les autres quantités !uN , FN , !uT , FT sont calculées de façon générale comme précisé au [§3].
4.1.3 Liaisons de contact noeud sur obstacle concave discrétisé par segments
On considère une structure élancée, représentée par des éléments de type poutre. Son déplacement
est limité en un point par la présence d'un obstacle constitué d'un plan infini percé d'un trou de forme
concave quelconque pouvant être discrétisée en coordonnées polaires par segments (voir figure
ci-dessous).
Zloc
NO1
Yloc
ORIG_OBST
Figure 4.1.3-a : Géométrie de la liaison noeud sur obstacle concave discrétisé
Yloc
Soient
les coordonnées du noeud
Y , Z
, d'origine
Z
NO1 dans le repère ( loc loc )
ORIG_OBST.
loc
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On recherche la facette de contact la plus proche du noeud NO1 , le vecteur normal n est défini
comme le vecteur orthogonal direct à la facette :
Zloc
n
dn PNO1
NO1
Yloc
ORIG_OBST
Soit PNO1 la projection du noeud NO1 sur la facette, la distance normale d N dans ce cas vaut :
d
(NO1 PNO
N =
-
)
1 .n
Les autres quantités !uN , FN , !uT , FT sont calculées de façon générale comme précisé au [§3].
4.2
Liaisons entre deux noeuds de deux structures déformables
4.2.1 Liaisons de contact plan sur plan
Les contacts entre assemblages combustible, au niveau des grilles de mélange, constituent un
exemple de contact plan sur plan (voir [Figure 4.2.1-a]).
On considère donc deux structures élancées, pouvant être modélisées par des poutres de section
rectangulaire au niveau des zones de contact.
Z
Y
Xloc
NOEUD 1
NOEUD2
X
Figure 4.2.1-a : Structures élancées avec contact plan sur plan
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Pour analyser les conditions de contact, on se place dans le repère perpendiculaire à l'axe Xloc ,
direction de la fibre neutre des poutres. Soient NO1 et NO2, les deux noeuds de la liaison considérée,
la géométrie de la liaison contact plan sur plan (appelée BI_PLAN_Y dans le Code_Aster [bib3]) est
décrite sur la figure ci-dessous.
Zloc
NO1
NO2
Y
D1
loc
D2
Figure 4.2.1-b : Géométrie de la liaison plan sur plan
Yi



loc
Soient
les coordonnées du NOEUDi dans le repère (Y ,Z
loc
loc ), d'origine ORIG_OBST
Zi

loc
(ORIG_OBST peut être fourni par l'utilisateur, par défaut ORIG_OBST est choisi comme le milieu des
noeuds NO1, NO2.
La distance normale d 1/2
N
dans ce cas, en négligeant les rotations des sections s'exprime alors par :
d 1/2 = Y1 - Y2
- D - D
N
loc
loc
1
2
éq 4.2.1-1
D1 et D2 sont des distances strictement positives.
Le contact dans cette liaison est sensé avoir lieu quel que soit le décalage en Zloc entre les deux
structures.
Le vecteur normal n1/2 dans le repère (Y , Z
loc
loc ) a pour composantes :
2
1

signe(Y loc - Y loc)
n1/2 =

éq 4.2.1-2
0




Les autres quantités ! /
u 1 2
1/2
1 2
1/2
N
, FN
, ! /
uT , FT sont calculées de façon générale [§ 2.4].
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4.2.2 Liaisons de contact cercle sur cercle
Si l'on considère maintenant deux cylindres de section circulaire, modélisés par des éléments de
poutre. La liaison de contact entre deux noeuds des lignes moyennes est supposée avoir lieu entre
deux cercles comme le montre la figure suivante :
Xloc
Figure 4.2.2-a : Structures élancées avec contact cercle sur cercle
On se place dans le repère perpendiculaire à l'axe Xloc parallèle à une génératrice des cylindres.
Soient NOEUD1 et NOEUD2, les deux noeuds de la liaison considérée, la géométrie de la liaison contact
cercle sur cercle (appelée BI_CERCLE dans le Code_Aster [bib3]) est décrite sur la géométrie
ci-dessous :
Zloc
R2
NO2
Yloc
NO1
ORIG_OBST
2
R1
1
Figure 4.2.2-b : Géométrie de la liaison cercle sur cercle
La distance normale d 1/2
N
a pour expression :
2
2
d 1/2 = (Y1 -Y2 ) + (Z1 - Z2 ) - R - R
N
loc
loc
loc
loc
1
2
On pose comme vecteur normal de 1 vers 2 le vecteur :
-
NOEUD2 NOEUD1
n1/2 =
-
NOEUD2 NOEUD1
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5
Utilisation des forces non-linéaires localisées de choc et
frottement en recombinaison modale

Les forces non-linéaires exprimées ci-dessus sont des fonctions explicites de la position et de la
vitesse des noeuds sur lesquels portent les conditions de contact.
On choisit d'utiliser la technique de pseudo-forces pour résoudre le problème dynamique projeté. Si le
système dynamique direct s'écrit :
MX
! + CX! + KX = F (t) + F
(X , X! )
t
t
t
ext
choc
t
t
La technique de pseudo-forces consiste à projeter sur la base du système linéaire et à maintenir les
forces non-linéaires au second membre.
Le système dynamique projeté prend la forme :
tM

t
t
t
t
! t + C
!t + K
t = ext
F (t) + ch
F oc(
t ,
!t )
Le problème projeté est intégré numériquement par un schéma explicite.
6
Précision sur l'utilisation des non-linéarités de choc avec
frottement

Les non-linéarités de choc entre une structure et un obstacle ou entre deux structures ont été
introduites dans les algorithmes de recombinaison modale du Code_Aster : un algorithme d'Euler
d'ordre 1 et de Devogelaere d'ordre 4 [bib4] [R5.06.04].
Ces algorithmes sont utilisés par l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL [bib1], [U4.54.03]. Le type de liaison
de choc entre les deux noeuds est précisé par une commande spécifique : DEFI_OBSTACLE
[U4.21.07].
6.1
Définition du type de liaison de choc
Le type de liaison de choc est une notion générique, qui ne comporte aucune information physique
comme une distance ou dimension quelconque. Le type de liaison précise simplement la forme
géométrique de la liaison considérée.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HP-61/95/058/A

Code_Aster ®
Version
3.0
Titre :
Modélisation des chocs et du frottement en analyse transitoire
Date :
12/07/95
Auteur(s) :
G. JACQUART
Clé :
R5.06.03-A
Page :
16/18
Les types de liaison avec choc à deux noeuds acceptés par la commande DEFI_OBSTACLE sont
décrits par les mots clé suivants :
PLAN_Y, PLAN_Z ou CERCLE
BI_PLAN_Y, BI_PLAN_Z ou BI_CERCLE (voir figure ci-dessous).
Zloc
Z
Z
loc
loc
Yloc
Yloc
Yloc
PLAN_Y
PLAN_Z
CERCLE
Z
Z
loc
loc
Zloc
Yloc
Yloc
Yloc
BI_PLAN_Y
BI_PLAN_Z
BI_CERCLE
Figure 6.1-a : Géométries des liaisons de choc
Le préfixe BI_ précise qu'il s'agit d'une liaison à deux noeuds.
6.2
Définition du repère local pour les conditions de contact
Les structures traitées, étant considérées comme cylindriques élancées (section circulaire ou
rectangulaire), sont modélisées par des éléments de poutre. Le contact est traité, comme on l'a vu au
[§3.1] et [§3.2] dans un plan perpendiculaire à la direction Xloc de la génératrice des cylindres.
Pour définir complètement ce changement de repère, on introduit un repère local (X ,Y , Z
loc
loc
loc ) .
Le vecteur Xloc est le vecteur à 3 composantes fournies derrière le mot-clé NORM_OBST.
A l'aide des deux premiers angles nautiques, on passe de façon unique du repère global ( X ,Y, Z) à
un repère ayant Xloc comme premier vecteur de base (voir [Figure 6.2-a] ci-après). Une troisième
rotation dont l'angle est fourni derrière le mot clé ANGL_VRIL donne une correspondance unique entre
le repère principal et le repère local.
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Nota :
l'orientation de ce repère local est importante car c'est dans ce repère que sont analysées les
conditions de contact, et sont fournies les positions locales des noeuds de choc.

Z=Z1
Z=Z1
X2=
X2=
X
X
loc
loc
Y1=Y2
Y
Y1=Y2
Y
Y1=Y2
Yloc
X1
X1
Z2
Z2
X
Z
Rotation 1 autour de Z
Rotation 2 autour de Y1
loc
Rotation 3 d'un angle
ANGL_VRIL autour de Xloc
Figure 6.2-a : Rotations définissant le repère local
L'opérande ORIG_OBST permet de définir l'origine du repère local (Orig, X , Y , Z
loc
loc
loc ). Cet
opérande est facultatif et en principe ne sera pas utilisé dans le cas des chocs entre deux noeuds. Le
code considère alors que l'origine est située au milieu du segment reliant les deux noeuds.
6.3
Définition des noeuds des liaisons
On précise, derrière les mot-clés NOEU_1 et NOEU_2, les noms des deux noeuds des structures sur
lesquels porteront les conditions de choc. S'il s'agit d'une liaison entre un noeud et un obstacle, seul
NOEU_1 est renseigné.
6.4
Définition des dimensions caractéristiques des sections
L'opérande JEU est utilisé pour les conditions de contact entre un noeud et un obstacle.
Les opérandes DIST_1 et DIST_2 permettent de préciser les dimensions caractéristiques des
sections des structures entourant les noeuds de choc. Dans le cas des liaisons plan sur plan, ce sont
les épaisseurs de matière entourant le noeud de choc dans la direction considérée.
Dans le cas de liaisons cercle sur cercle, il s'agit des rayons des sections entourant les noeuds de
choc.
6.5
Définition des paramètres de contact
Les paramètres raideurs et amortissement de choc ont été introduits au §3.1 et §3.2, on précise ici les
mots-clés permettant de les définir pour une liaison donnée.
L'opérande RIGI_NOR est obligatoire, il permet de donner la valeur de raideur normale de choc KN .
Les autres opérandes sont facultatifs.
L'opérande AMOR_NOR permet de donner la valeur d'amortissement normal de choc CN .
L'opérande RIGI_TAN permet de donner la valeur de raideur tangentielle KT .
L'opérande AMOR_TAN permet de donner la valeur d'amortissement tangentielle de choc CT .
L'opérande COULOMB permet de donner la valeur du coefficient de Coulomb.
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Titre :
Modélisation des chocs et du frottement en analyse transitoire
Date :
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Nota :
Si une raideur KT est définie et que le mot-clé AMOR_TAN est absent, le code calcule un
amortissement optimisé de façon à minimiser les oscillations résiduelles en adhérence [bib7] :

C = 2 (k + K ).m - 2 k .m
T
i
T
i
i
i
i ,
où i est l'indice du mode prépondérant dans la réponse de la structure (masse modale la plus
importante).

7 Bibliographie
[1]
G. JACQUART - "Méthodes de Ritz en dynamique non-linéaire - Application à des systèmes
avec choc et frottement localisé" - Rapport EDF DER HP61/91.105
[2]
G. JACQUART - "Commande DYNA_TRAN_MODAL" - Documentation Utilisateur Version 2.6
du Code_Aster - Section [U4.54.03]
[3]
G. JACQUART - "Commande DEFI_OBSTACLE" - Documentation Utilisateur Version 3.0 du
Code_Aster - Section [U4.21.07]
[4]
P. ORSERO, J. R. LEVESQUE, C. VARE, G. JACQUART, M. AUFAURE "Support du cours
Dynamique des Structures - Séminaire de Formation Code_Aster - Janvier 94" Note
HP-61/94/189
[5]
M. JEAN, J.J. MOREAU "Unilaterality and dry friction in the dynamics of rigid bodies collection"
Proceedings of the Contact Mechanics International Symposium - ed. A. CURNIER - Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes - Lausanne, 1992, pp 31-48
[6]
J.T. ODEN, J.A.C. MARTINS "Models and computational methods for dynamic friction
phenomena" - Computational Methods Appl. Mech. Engng. 52, 1992, pp 527-634
[7]
B. BEAUFILS "Contribution à l'étude des vibrations et de l'usure des faisceaux de tubes en
écoulement transversal" - Thèse de doctorat PARIS VI
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HP-61/95/058/A

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