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Eléments finis en acoustique
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Fascicule R4.02 : Acoustique
Document : R4.02.01

Eléments finis en acoustique
Résumé :
Ce document décrit en acoustique stationnaire à basse fréquence les équations utilisées, les formulations
variationnelles qui en découlent ainsi que la traduction correspondante en éléments finis, pour chacune des
deux méthodes utilisées dans le Code_Aster : formulation ''classique" à une inconnue p (pression acoustique),
et formulation "mixte" à deux inconnues p, v (pression et vitesse acoustiques).
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Equations et conditions aux limites du problème................................................................................... 4
2.1 Equations et conditions aux limites ................................................................................................. 4
3 Formulation classique en pression ........................................................................................................ 6
3.1 Expression mathématique du problème.......................................................................................... 6
3.2 Discrétisation par éléments finis...................................................................................................... 6
3.2.1 La matrice de rigidité .............................................................................................................. 7
3.2.2 La matrice de masse.............................................................................................................. 7
3.2.3 La matrice d'amortissement ................................................................................................... 7
3.2.4 Le vecteur source................................................................................................................... 8
4 Formulation mixte pression-vitesse ....................................................................................................... 9
4.1 Expression mathématique du problème.......................................................................................... 9
4.1.1 Formulation locale .................................................................................................................. 9
4.1.2 Formulation variationnelle mixte............................................................................................. 9
4.2 Discrétisation par éléments finis.................................................................................................... 10
4.2.1 La matrice de rigidité ............................................................................................................ 11
4.2.2 La matrice de masse............................................................................................................ 12
4.2.3 La matrice d'amortissement ................................................................................................. 12
4.2.4 Le vecteur source................................................................................................................. 12
5 Commandes spécifiques à la modélisation acoustique ....................................................................... 13
6 Conclusion ........................................................................................................................................... 16
7 Bibliographie ........................................................................................................................................ 16
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1 Introduction
Des options de modélisation ont été développées dans le Code_Aster, permettant d'étudier la
propagation acoustique stationnaire à basse fréquence, en milieu clos, pour des domaines de
propagation à topologie complexe, c'est-à-dire y résoudre dans les conditions citées l'équation de
Helmholtz.
La résolution par éléments finis de cette équation peut être réalisée suivant deux méthodes :
· une première méthode consiste à se fixer comme inconnues du problème, uniquement les
pressions acoustiques complexes nodales, soit 1 degré de liberté par noeud [bib1]; c'est celle
que l'on qualifie de formulation aux éléments finis "classiques",
· dans la deuxième méthode, dite aux éléments finis "mixtes", on se fixe comme inconnues à la
fois les pressions acoustiques nodales et les 3 composantes de la vitesse vibratoire nodale,
soit au total 4 degrés de liberté par noeud [bib5].
Pour connaître les chemins de propagation de l'énergie dans le fluide, l'acousticien dispose de 2
grandeurs : l'intensité acoustique active I et l'intensité acoustique réactive J ; ces deux grandeurs
sont définies comme :
1
1
I = Re[p v ]
* J
et =
Im[p v ]
*
éq 1-1
2
2
v * désigne le conjugué complexe de la vitesse vibratoire. La connaissance de ces grandeurs
apporte un complément d'information très important dans la résolution de problèmes de toutes sortes,
comme par exemple la mesure des puissances rayonnées par les machines, la reconnaissance et la
localisation des sources.
Le calcul de l'intensité acoustique par la méthode des éléments finis mixtes doit fournir des valeurs plus
précises que la méthode classique; en effet dans le cas mixte on assure la continuité des dérivées
premières de la pression et non pas simplement la continuité de cette dernière.
Cependant si elle est plus précise, la formulation mixte consomme en revanche plus de taille mémoire
et de temps CPU, tout en gardant l'avantage d'avoir, à nombre de degrés de liberté par longueur
d'onde égal, une erreur relative toujours plus faible sur le calcul de l'intensité acoustique.
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Equations et conditions aux limites du problème
2.1
Equations et conditions aux limites
L'équation à résoudre est l'équation de Helmholtz [bib2] :
(+k2) p = s
éq 2.1-1
·
k désigne le nombre d'onde du problème traité ; il peut être complexe ou réel, suivant que la
propagation s'effectue ou non dans un domaine poreux [bib6] :

k =
éq 2.1-2
c
·
c désigne la célérité du son, qui peut être complexe dans le cas d'une propagation en milieu
poreux.
·
p est une grandeur complexe désignant la pression acoustique et s , également complexe,
représente les termes sources du problème.
·
est un réel dans tous les cas, qui désigne la pulsation :
= 2 f
éq 2.1-3
·
f est la fréquence de travail du problème harmonique.
Nous représentons sur la figure [Figure 2.1-a] le domaine confiné quelconque où s'applique l'équation
de Helmholtz [éq 2.1-1] et les conditions aux frontières.
·
est un ouvert borné de R3 de frontière régulière, partitionnée en v et z ;
= v
z
n
z Frontière absorban
d'impédance locali

Z
Fluide
Source vibratoire
z
monochromatique
d'amplitude normale
y
V
v
n
x
Figure 2.1-a : Configuration du problème
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L'équation [éq 2.1-1] est à résoudre dans un domaine clos . Les conditions aux limites à prendre en
compte sur la frontière du domaine s'expriment sous leur forme la plus générale comme :
p
p+
=
éq 2.1-4
n
/ n désigne l'opérateur de dérivée normale.
,, sont des opérateurs complexes, qui peuvent être des scalaires, ou des opérateurs intégraux
suivant que la frontière d'application de la condition à la limite est à réaction locale ou à réaction non
locale (cas de l'interaction fluide-structure).
Les développements actuellement réalisés dans le Code_Aster concernent uniquement des conditions
à la limite à réaction locale, pour lesquelles les , , sont des scalaires ; les cas spécifiables sont
les suivants :
·
= 0, 0, 0 qui désigne une frontière du domaine à vitesse vibratoire imposée. En
effet, il existe une relation reliant le gradient de pression acoustique complexe à la vitesse
vibratoire particulaire complexe.
p = - j
éq 2.1-5

V
n
0 n
0 désigne la masse volumique du fluide considéré, et on impose Vn , la vitesse vibratoire
normale à la paroi (Vn = v.n n désigne le vecteur unitaire de la normale extérieure à la
frontière ).
·
0, 0, = 0 concerne une frontière à impédance acoustique Z imposée.
L'impédance acoustique Z est définie comme le rapport de la pression à la vitesse vibratoire
particulaire au voisinage de la paroi à impédance imposée :
p
Z =
éq 2.1-6
Vn
·
0, = 0, 0 représente le cas où l'on impose la pression acoustique p à une
frontière (le plus souvent = 0 , correspondant à p = 0 ).
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Formulation classique en pression
3.1
Expression mathématique du problème
La procédure standard visant à poser le problème aux éléments finis classiques est la suivante :
· on suppose la solution du problème suffisamment régulière, p H2() . On multiplie
l'équation :
(+k2) p = 0
éq 3.1-1
par une fonction test . On intègre sur et on utilise la formule de Green. La frontière
du domaine , se subdivise en 2 zones, une zone à vitesse vibratoire imposée, v et une
zone à impédance acoustique imposée, z . L'équation obtenue peut être réécrite sous la
forme :

2


0

grad (p) . grad () -
p. dV + j
p. dS + j
0 V .
n dS
0

2
c




=
Z

z


v
éq 3.1-2
·
dV représente un élément de volume différentiel dans et dS représente un élément de
surface sur .
· la vitesse vibratoire particulaire est ensuite déterminée par :
j
v =
grad(p)

éq 3.1-3
0
3.2
Discrétisation par éléments finis
Dans le cas des éléments finis classiques, les intégrales élémentaires sont au nombre de quatre
Ke Me Ce Ue
,
,
,
suivant la décomposition indiquée en [éq 3.2-3] ( K e est la matrice de rigidité, Me
la matrice de masse, Ce la matrice d'amortissement et Ue le vecteur source). Deux d'entre elles
proviennent d'intégrales volumiques, les deux autres sont le résultat d' intégrales respectivement sur
une surface vibrante et sur une surface à impédance imposée.
On supposera que les coordonnées globales d'un élément peuvent s'écrire grâce à la donnée de m
fonctions de forme élémentaires Hi :
m
OM = H OM
i
i
éq 3.2-1
i=1
On se donne en outre, des fonctions de base Ni , pour décrire la pression élémentaire.
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La pression à l'intérieur d'un élément pourra s'écrire :
m
pe ( , , ) = N (,,
e
x y z
i
) iP
éq 3.2-2
i=1
Pe
i est la pression au noeud i de l'élément e .
Dans le cas des éléments finis isoparamétriques, les fonctions de base Ni sont égales aux fonctions
de forme Hi .
Sur chaque élément du domaine, le problème aux éléments finis en pression s'écrit :
(
q
q
q
Ke - 2Me + Ce) (Pe) 1 = - j (Ue
j
q
) 1
éq 3.2-3
q
où (Pe) 1 est la matrice colonne des valeurs nodales de la pression sur l'élément.
3.2.1 La matrice de rigidité

La matrice de rigidité K e correspond au calcul de :
(p) .
() dV
e


grad
grad
Elle admet comme terme général :

Ke =


dV
ij
éq 3.2.1-1


N
N
i
j
e

3.2.2 La matrice de masse

1
La matrice de masse Me correspond au calcul de :
dV
2


p.
e
c
Elle admet comme terme général :
1
M e =
N N dV
ij


2
i
j
éq 3.2.2-1
e
c
3.2.3 La matrice d'amortissement


La matrice d' amortissement Ce correspond au calcul de :
0
dS
e


p.
Z
z
Elle admet comme terme général :

Ce =
0 N N dS
ij


i
j
éq 3.2.3-1
e Z
z
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3.2.4 Le vecteur source

Le vecteur source Ue correspond au calcul de :
V dS
n



0
ev
Il admet comme terme général :

U e =
V N dS
i
0 n


i
éq 3.2.4-1
e
v
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Formulation mixte pression-vitesse
4.1
Expression mathématique du problème
4.1.1 Formulation
locale
L'équation de Helmholtz [éq 1-1] avec les conditions aux limites [éq 2.1-3] se déduisent en fait des
équations locales ci-dessous :
i p + div v = 0
dans
éq 4.1. -
1 1
i v
0
+ grad p = 0
dans
éq 4.1. -
1 2
1
v . n =
p
sur
éq 4.1. -
1 3
Z
z
v . n = Vn
sur v
éq 4.1. -
1 4
où = 1 2
/ 0 c est le coefficient de compressibilité adiabatique du fluide.
Le problème mathématique est le suivant: étant donné des fonctions Z L( Z ) et
1
V
2
n H (
V
) , trouver des fonctions p et v définies dans et à valeurs dans C vérifiant ces
équations. Elles décrivent, en régime harmonique de pulsation , les petites fluctuations de pression
p et de vitesse v à partir de l'état de repos (c.à.d. la pression acoustique et la vitesse particulaire
acoustique) d'un fluide compressible homogène, isotrope, non visqueux, confiné dans et soumis à
une distribution de vitesse normale Vn sur V .
0, et c représentent respectivement la masse volumique, le coefficient de compressibilité
adiabatique et la célérité du son relatifs au fluide, en absence de perturbation acoustique ; le coefficient
= 1/ Z est l'admittance localisée du matériau constituant V à la pulsation considérée.
Pour construire une méthode d'approximation par éléments finis de ce problème, il est nécessaire de le
mettre sous une forme variationnelle.
4.1.2 Formulation variationnelle mixte
On prend le produit scalaire de l'équation [éq 4.1.1-1] dans 2
L () avec une fonction quelconque q
dans
1
H () (c'est la fonction-test).
La formule de Green et le fait que v vérifie les conditions aux limites [éq 4.1.1-3] et [éq 4.1.1-4] nous
permettent d'aboutir à :




i pq*
pq*
v . gradq *
Vn q*
éq 4.1.2-1



+
-



= -
z


v
On procède de même avec l'équation [éq 4.1.1-1] en prenant son produit scalaire dans 2
L () avec
une fonction-test u quelconque dans ( 2
3
L ()) on obtient :


i v.u *
grad p.u* 0
éq 4.1.2-2


0
+
=


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A présent nous multiplions [éq 4.1.2-1] par j 0 et [éq 4.1.2-2] par - j 0 , puis nous faisons le
changement de fonction :
j v
v
!
Ainsi nous obtenons la formulation variationnelle mixte [éq 4.1.2-3] :
Trouver (p, v) X × M tels que :






2
2


- 0 v. gradq*- 1/ c pq*+ j 0 pq* = -

j
V q*
q
X


0 n













V
Z

éq 4.1.2-3



2

0 v.u*+
0 grad .
p u* = 0 u


M







où : X =
1
2
2
H () = {p L () ; p / x L () i
i
= 1 2
, , }
3
et : M = ( 2
3
2
L ()) = {v = (v ) i
i
= 1 2
, 3
, ; i
v L ()}
4.2
Discrétisation par éléments finis.
Le domaine et ses frontières V et Z sont découpés en domaines et frontières
élémentaires :
e, e
e
V , Z
sur lesquels sont calculées des intégrales élémentaires.
Pour représenter les champs de pe et de ve à l'intérieur de l'élément on utilise les mêmes fonctions
de base Ni .
A l'intérieur de chaque élément (comportant m noeuds) on écrit :
m
OMe = Ni(,,) OMei
i=1
m
e
p = Ni(,,) ei
p
i=1
m
ve = Ni(,,) vei
i=1
,, sont les coordonnées curvilignes d'un élément tridimensionnel ;
OMei est le vecteur position du noeud Mi de l'élément e à m noeuds ;
N , = ,
i i
1 m sont les fonctions de base sur l'élément e ;
vei est le vecteur 'accélération' au noeud Mi de l'élément e .
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Dans ce cas le système d'équations [éq 4.1.2-3] s'écrit matriciellement pour chaque élément e :
qe*


qe*
qe*
qe*
pe e
e
v K
- 2 pe e
e
v M
+ j pe e e
v C
= - j
e
S

éq 4.2-1
e*
e*
e*
e
u
u
u
u *









où :
t
pe
pe e
e
e
e
e
e
e
e
e
v = =
,
,
,
,
,
,
est le vecteur solution dans
e
{p v v v
p v
v
v
1
1x
1y
z
1
"
m
mx
my
mz}
v

l'élément e ;
4.2.1 La matrice de rigidité
Ke est la matrice de 'rigidité' élémentaire, correspondant au calcul de la partie suivante de
[éq 4.1.2-3] :



v.grad q*

- 0


e
2

0 v.u*+ - gradp.u*



0

e
e

On peut l'écrire en la décomposant en mxm sous matrices K eij de dimensions 4 x 4 comme
ci-dessous :
Ke
K e
K e
11
" 1j " m

1
Ke = Ke
Ke
Ke
i1
" ij
" im pour i, j = 1, ,m
#


Ke
Ke
Ke
m1
" mj " mm


avec les termes suivants pour K eij :

Ni
Ni
Ni

0
-

0

N j
0

N j
0

N j


-
x


-
y


z


e
e
e






N j
-
2

0

Ni
0 NiN j

0
0


x

e
e




Keij = N j

-
2
0

Ni
0
0 NiN j
0



y
e


e



N j
-


2
0

Ni
0
0
0 NiN j


z

e

e




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4.2.2 La matrice de masse
Me est la matrice de 'masse' élémentaire, correspondant au calcul de :



1 2
/ c pq*



Ses coefficients sont les suivants :

pour i, j = 1,
4
, r
#
- 3, 4
, m
#
- 3
M e =
1/ c2
ij
NiN j


avec r
= 1, ,m
#

Les autres termes sont nuls
4.2.3 La matrice d'amortissement
Ce est la matrice d' 'amortissement' élémentaire, provenant du calcul de :


0 pq*
eV
Ses coefficients sont les suivants :

pour i, j = 1,
4
, r
#
- 3, 4
, m
#
- 3
Ceij =
0 NiN j


avec r
= 1, ,m
#
e
V

Les autres termes sont nuls.
4.2.4 Le vecteur source
Se est le vecteur 'source' élémentaire, représentant le calcul des termes :


Vn

0 q*
eZ
Ses composantes sont les suivantes :

pour i
, j = 1,
4
, r
#
- 3, 4
, m
#
- 3
Se =
V
i
0 n Ni


avec r
= 1, ,m
#
e
z
Les autres termes sont nuls.
Après avoir obtenu le champ p, v sur le domaine par résolution de l'équation [éq 4.2-1] assemblée,
on revient au champ p, v par le changement de fonction inverse; on peut calculer les intensités
acoustiques définies par [éq 1-1] qui sont dans ce cas continues dans tout le domaine .
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5
Commandes spécifiques à la modélisation acoustique
Lors d'une étude par modélisation en éléments finis acoustiques avec le Code_Aster on utilise des
commandes générales et des commandes qui sont propres à l'acoustique, ou dont les mots-clés et
options sont particulières à cette discipline ; nous en présentons ci-dessous la liste.
Definition des caractéristiques des milieux de propagation
Il est nécessaire de donner la masse volumique (valeur réelle) et la célérité de propagation (valeur
complexe) ; on utilise pour cela la commande :
DEFI_MATERIAU avec les mots-clés suivants :
mot-clé facteur :
FLUIDE
mots-clés :
RHO
(masse volumique 0 )
CELE_C
(célérité c )
Exemple :
air = DEFI_MATERIAU(FLUIDE: (
RHO : 1.3
CELE_C : RI 343. 0. ));
Dans ce cas 0 = 343. + j0.
Affectation du modèle
Il faut obligatoirement préciser qu'il s'agit du phénomène 'acoustique' et choisir l'une des 3
modélisations possibles de l'acoustique; on utilise donc la commande :
AFFE_MODELE avec les mots-clés suivants pour lesquels on spécifie les valeurs d'affectation
possibles :
mot-clés :
PHENOMENE : 'ACOUSTIQUE'
MODELISATION : '3D' ou 'PLAN' ou '3D_MIXTE'
Exemple :
guide = AFFE_MODELE( MAILLAGE: mail
AFFE : (
TOUT : 'oui'
MODELISATION : '3d_mixte'
PHENOMENE : 'acoustique'));
Conditions aux limites
On doit affecter des valeurs de vitesse vibratoire normale par face (ou arête en bidimensionnel) aux
mailles définissant les frontières sources, et aussi des valeurs d'impédance acoustique par face (arête
en bidimensionnel) aux mailles définissant les frontières à impédance imposée.
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On utilise la commande spécifique à l'acoustique :
AFFE_CHAR_ACOU avec les mots-clés suivants :
mot-clé :
MODELE
mot-clé facteur :
VITE_FACE
mot-clé :
MAILLE
GROUP_MA
VNOR
(vitesse vibratoire normale Vn )
mot-clé facteur :
IMPE_FACE
mot-clé :
MAILLE
GROUP_MA
IMPE
(impédance acoustique Z )
mot-clé facteur :
PRES_IMPO
NOEUD
GROUP_NO
PRES
(pression p imposée aux noeuds)
Exemple :
characou = AFFE_CHAR_ACOU (
MODELE: guide
VITE_FACE: (
GROUP_MA: entree
VNOR: RI 0.0135 0. ));
Dans ce cas Vn = 0.0135 + j0.
Calcul des matrices élémentaires
Les différentes matrices élémentaires (rigidité, masse et amortissement) sont calculées par des options
spécifiques. On emploie la commande :
CALC_MATR_ELEM avec le mot-clé OPTION pour lequel on spécifie les valeurs d'affectation possibles :
mots-clés :
OPTION :
'RIGI_ACOU'
'MASS_ACOU'
'AMOR_ACOU'
Exemple :
matele_k = CALC_MATR_ELEM (
MODELE: guide
CHAM_MATER: chamat
OPTION: 'rigi_acou' ).
Nota :
les matrices assemblées peuvent être obtenue directement avec la macro commande
MACRO_MATR_ASSE et les mêmes options.

Calcul du vecteur source élémentaire
Le vecteur élémentaire est calculé par une option spécifique; il faut obligatoirement indiquer le
chargement. On emploie la commande :
CALC_VECT_ELEM avec le mot-clé OPTION pour lequel on spécifie la seule valeur d'affectation
possible :
mots-clé :
OPTION :
'CHAR_ACOU'
mots-clé :
CHARGE
Exemple :
vectelem = CALC_VECT_ELEM (
MODELE: guide
CHAM_MATER: chamat
OPTION: 'char_acou'
CHARGE: characou );
Manuel de Référence
Fascicule R4.02 : Acoustique
HP-61/95/070/A

Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Eléments finis en acoustique
Date :
31/08/95
Auteur(s) :
F. STIFKENS
Clé :
R4.02.01-A
Page :
15/16
Calcul de la solution
Après assemblage des matrices et vecteur élémentaires la solution harmonique peut se calculer
directement avec la commande :
DYNA_LINE_HARM
Exemple :
presharm = DYNA_LINE_HARM (
MATR_MASS: matasm
MATR_RIGI: matask
MATR_AMOR: matasi
FREQ: f
EXCIT: (VECT_ASSE: vectass COEF_MULT:-1.);
PUIS_PULS:1 PHAS_DEG:90.));
Post-traitements
A partir du résultat de la résolution de la transcription matricielle des équations [éq 3.1-2] ou
[éq 4.1.2-3], des commandes de post-traitement permettent d'obtenir les champs nodaux de grandeurs
acoustiques suivantes:

P

· niveau
Lp de pression acoustique P en dB : Lp = 20 log10
5
.

-
2 0 10
· partie réelle de la pression acoustique
· partie imaginaire de la pression acoustique
1
· intensité acoustique active I =
[
Re p v ]
*
2
1
· intensité acoustique réactive J = Im[p v ]
*
2
Ces champs sont calculés par utilisation de la commande de post-traitement CALC_ELEM (le concept
du résultat est du type 'ACOU_HARMO' ou 'MODE_ACOU') :
CALC_ELEM avec les mots-clés RESULTAT et OPTION pour lequel on spécifie les valeurs d'affectation
possibles :
mot-clé :
RESULTAT
mot-clé :
OPTION :
'PRES_ELNO_DBEL'
(niveau de pression en dB)
'PRES_ELNO_REEL'
(partie réelle de la pression)
'PRES_ELNO_IMAG'
(partie imaginaire de la pression)
'INTE_ELNO_ACTI'
(intensité active)
'INTE_ELNO_REAC'
(intensité réactive)
Exemple :
&presharm = CALC_ELEM (
MODELE: guide
CHAM_MATER: chamat
RESULTAT: presharm
OPTION: 'pres_elno_dbel' );
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Fascicule R4.02 : Acoustique
HP-61/95/070/A

Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Eléments finis en acoustique
Date :
31/08/95
Auteur(s) :
F. STIFKENS
Clé :
R4.02.01-A
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6 Conclusion
Des modules ont donc été intégrés dans Code_Aster, permettant de faire des calculs d'acoustique
intérieure en basses fréquences pour des géométries complexes par deux méthodes : éléments finis
acoustiques classiques et éléments finis acoustiques mixtes.
Les deux formulations ont été validées par comparaison à une même solution analytique; des cas tests
sont présentés dans le manuel de validation V7 sous la codification AHLV100.
Comme il était prévu, la précision, à maillage identique, est supérieure dans le cas mixte ; si on tient
compte de l'encombrement mémoire cette supériorité n'est avantageuse que si nous voulons obtenir le
champ d'intensité : on devrait utiliser les E.F. mixtes uniquement dans ce cas là.
7 Bibliographie
[1]
A. BOUIZI : 'Mise en oeuvre d'un code de calcul d'éléments finis en vue du traitement de
l'équation de Helmholtz en espace clos' - Travail de fin d'études, E.C.L. 1986.
[2]
A. BOUIZI : 'Analyse spectrale de l'équation de Helmholtz.' - Rapport de DEA, Ecole Centrale
de Lyon, 1986.
[3]
A. BOUIZI : 'Eléments finis mixtes en acoustique linéaire stationnaire : Développement du
code AIRMEF' - Département Acoustique. DER - EDF. HE-24 / 88.02. 1988.
[4]
A. BOUIZI, M. COURTADE, D. JEANDEL, E. LUZZATO, A. MIGNOT, C. SURRY. :
'Conditions de compatibilité de Brezzi-Babuska pour des méthodes d'éléments finis mixtes
conformes en Mécanique et Acoustique' AUM, Actes du 8ème Congrès Français de
Mécanique, Nantes, 1987.
[5]
A. BOUIZI, M. COURTADE, D. JEANDEL, E. LUZZATO, C. SURRY : 'Traitement de l'équation
de Helmholtz par un code d'éléments finis mixtes en espace clos' GAMI, Colloque Vibrations
Chocs, 1988, ECL, 1988.
[6]
A. BOUIZI : 'Résolution des équations de l'Acoustique linéaire par une méthode d'éléments
finis mixtes'. Thèse présentée devant l'Ecole Centrale de Lyon -Spécialité : Mécanique -.
Soutenue le 02/03/89.
[7]
C. HABASQUE : 'Validation expérimentale du code de calcul d'acoustique interne, Basse
Fréquence'. Rapport de stage de DEA. ECL 1986 (+ Projet de fin d'études).
[8]
A.ADOBES : 'Etude numérique et expérimentale des champs d'ondes stationnaires' Rapport
DER / EDF - HE-2287.22
[9]
F. STIFKENS, A.ADOBES : 'Bilan de l'intégration des éléments finis classiques dans Aster' -
Rapport DER / EDF - HP-64/91.149
[10]
F. STIFKENS : 'Intégration des éléments finis acoustiques mixtes dans Aster' Rapport DER /
EDF - HP-61/92.081
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