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Titre :
Approche stochastique pour l'analyse sismique
Date :
08/02/99
Auteur(s) :
A. DUMOND
Clé :
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Manuel de Référence
Fascicule R4.05 : Analyse sismique
Document : R4.05.02
Approche stochastique pour l'analyse sismique
Résumé :
Ce document présente une méthode de calcul probabiliste pour déterminer la réponse d'une structure soumise
à une excitation aléatoire de type sismique à partir des interspectres de l'excitation aux points d'appui de la
structure. La réponse est elle-même exprimée sous forme d'interspectres.
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Fascicule R4.05 : Analyse sismique
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Principe de la démarche ........................................................................................................................ 4
2.1 Position du problème considéré et principe général ....................................................................... 4
2.2 Décomposition du mouvement........................................................................................................ 4
2.3 Décomposition sur la base modale ................................................................................................. 5
2.4 Réponse harmonique ...................................................................................................................... 6
3 La réponse dynamique aléatoire............................................................................................................ 7
3.1 Rappel sur les densités spectrales de puissance [bib2].................................................................. 7
3.1.1 Définitions............................................................................................................................... 7
3.1.2 Relations entre la DSP et les autres caractéristiques du signal............................................. 8
3.2 Les équations de mouvement ......................................................................................................... 8
3.2.1 Matrice «interspectrale-excitation»......................................................................................... 8
3.2.2 Réponse dynamique aléatoire................................................................................................ 9
3.3 Application dans le Code_Aster .................................................................................................... 10
4 Définition de la matrice interspectrale de puissance excitatrice .......................................................... 12
4.1 Lecture sur un fichier..................................................................................................................... 12
4.2 Obtention d'un interspectre à partir de fonctions du temps........................................................... 13
4.3 Excitations prédéfinies ou reconstituées à partir de fonctions complexes existantes................... 14
4.3.1 Fonctions complexes existantes .......................................................................................... 14
4.3.2 Bruit blanc ............................................................................................................................ 14
4.3.3 Bruit blanc filtré par KANAI-TAJIMI [bib9] ............................................................................ 14
4.4 Autres types d'excitation................................................................................................................ 15
4.4.1 Cas de l'excitation en forces imposées................................................................................ 15
4.4.2 Excitation par des sources fluides........................................................................................ 16
4.4.3 Excitation répartie sur une fonction de forme....................................................................... 17
4.5 Applications ................................................................................................................................... 17
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 18
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1 Introduction
Classiquement la réponse d'une structure soumise à une excitation sismique peut être calculée par
deux approches :
· calcul de dynamique transitoire si l'excitation est définie par un accélérogramme
(cf. [R4.05.01]).
· calcul par la méthode spectrale classique si l'excitation est définie par un spectre de réponse
d'oscillateur (SRO) (cf. [R4.05.03]).
Or une excitation sismique est par nature aléatoire. Ces deux méthodes ne sont pas prévues
initialement pour en tenir compte : dans un cas il faut réitérer pour différentes excitations de nombreux
calculs temporels puis en faire une moyenne statistique (important coût calcul), dans l'autre cas on
effectue des hypothèses très conservatives en considérant des moyennes (de type quadratiques
simple ou complète par exemple) pour le maximum des réponses.
Aussi a-t-il été développée une méthode de calcul de type probabiliste, appelée aussi "approche
stochastique du calcul sismique", basée sur le calcul de la réponse dynamique exprimée en
interspectres de puissance à partir des densités spectrales de puissance de l'excitation. Cette méthode
présente en particulier l'avantage de mieux prendre en compte les corrélations entre les excitations aux
différents appuis de la structure.
La discussion des différents avantages de cette méthode peut être approfondie dans la référence
[bib1].
Nous présentons donc le principe de la méthode et les notations retenues à partir des démarches
classiques, puis en troisième partie le calcul probabiliste proprement dit.
Enfin en quatrième partie seront présentées les différentes méthodes pour obtenir l'interspectre
excitateur.
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2
Principe de la démarche
2.1
Position du problème considéré et principe général
On se place dans le cas d'une structure multi-appuyée, c'est-à-dire que la structure possède m ddl-
appuis, chacun étant soumis à sa propre excitation (non nécessairement égale partout). On suppose
que la structure est représentée par un modèle éléments finis comportant n ddl. On cherche la réponse
en un nombre fini (et faible) de l ddl.
On suppose que la grandeur excitation est de type mouvement imposé et se traduit par une famille
d'accélérogrammes g t
j ( ) pour chacun des ddl-appuis j, j=1,m.
Le mouvement absolu de la structure est décomposé classiquement en mouvement d'entraînement
et mouvement relatif.
Le calcul de la réponse en interspectres de puissance est réalisé par recombinaison modale.
A la suite de ce calcul modal, un calcul de réponse dynamique aléatoire se décompose en trois
parties :
· définition de l'interspectre de puissance excitateur,
· calcul de l'interspectre de puissance réponse.
Ces deux premières parties font l'objet de la commande DYNA_ALEA_MODAL [U4.56.06].
La restitution de l'interspectre de puissance réponse sur base physique est réalisée avec la commande
REST_SPEC_PHYS [U4.80.01].
· calcul de paramètres statistiques à partir de l'interspectre de puissance résultat.
Cette dernière étape est traitée par la commande POST_DYNA_ALEA [R7.10.01] [U4.76.02].
2.2
Décomposition du mouvement
Les décompositions et projections suivantes sont détaillées dans la documentation de référence
relative à la résolution par calcul transitoire d'un calcul sismique [R4.05.01]. Nous n'en retenons ici que
les grandes lignes.
Soit Xa le vecteur déplacement absolu (de dimension n) de tous les ddl de la structure.
La réponse totale dite absolue Xa de la structure s'exprime comme la somme d'une contribution
relative Xr et de la contribution d'entrainement Xe due aux déplacements d'ancrage (soumis à des
accélérations représentées par un accélérogramme g (t
j ) en chacun des ddl-appuis j, j=1,m).
X (t) = X (t) + X
a
r
e (t)
Soient M, K et C les matrices de masse, de rigidité et d'amortissement du problème, limitées aux
ddl non appuyés.
L'équation du mouvement s'écrit alors dans le repère lié au mouvement relatif :
M X
! (t) + C X! (t) + K X (t) = - M X! (t) + F
r
r
r
e
ext
ext
F vecteur des forces extérieures
En général les forces extérieures sont nulles lors d'un calcul de réponses sismiques.
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2.3
Décomposition sur la base modale
Le calcul de réponse en interspectres de puissance est réalisé par recombinaison modale et fait
appel, en mouvement imposé, à une base modale qui comprend à la fois des modes dynamiques et
des modes statiques.
Soit = {i i,= n,
1 } la matrice (n,n) des modes dynamiques calculés pour le système conservatif
associé, en maintenant les m appuis bloqués.
Soit = { j,j= m,
1 } la matrice (n,m) des modes statiques. Le mode j correspond à la déformée de
la structure sous un déplacement unitaire imposé au ddl-appui j, les autres ddl-appuis étant bloqués.
Le déplacement imposé des ancrages Xs(t) est relié à Xe(t) par la relation : X (t) = X
e
s(t) .
Les composantes de l'accélération des points d'ancrage !Xs(t) sont les accélérogrammes g (t
j ) ,
j=1,m.
m
On peut donc écrire !X (t) = !X (t) = g (t)
e
s
j j
j=1
On effectue le changement de variable X ( ) = (
q ) , (
q
r t
t
t) est le vecteur des coordonnées
généralisées. En prémultipliant l'équation du mouvement par T , on obtient - en l'absence de forces
extérieures autres que l'excitation sismique - l'équation projetée sur la base des modes dynamiques :
T
T
T
T
Mq!(t) + Cq!(t) + Kq(t) = - MX!s(t)
On suppose que la matrice d'amortissement est une combinaison linéaire des matrices de masse et de
rigidité (hypothèse d'amortissement de Rayleigh constant sur la structure ou hypothèse de Basile
permettant un amortissement diagonal). La base
, qui orthogonalise les matrices M et K ,
orthogonalise donc aussi la matrice C .
Compte-tenu de cette hypothèse, l'équation précédente se décompose en n équations scalaires
découplées sous la forme :
m
!
qi + 2
2
i
i!q + q = - p g (t)
i
i
i
ij j pour i=1,n
j=1
Où l'on a noté :
µ T
i =
i
M i
la masse modale
T
ki= iK i
la rigidité modale
k
i
i =
µ
la pulsation modale
i
T C
i
i
i = 2µ
l' amortissement modal réduit
i i
T iMj le facteur de participation modale de
ij
p =
µi
l' appui j sur le mode dynamique i
La solution qi (t) de cette équation correspond à la réponse du mode dynamique i à l'ensemble de
l'excitation sismique.
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On peut encore décomposer le problème en introduisant l'inconnue dij (t) solution de l'équation
différentielle : !d + 2
!d + 2
d = g (t)
ij
i i ij
i
ij
j
, cette dernière équation correspond à la réponse du
mode dynamique i à l'accélération g t
j ( ) . Le déplacement relatif sur la base physique s'exprime
alors :
n m
X (t) = - p d
r
ij ij (t)i
i=1 j=1
L'information sur la position du point d'appui est contenue dans le facteur de participation modale.
2.4 Réponse
harmonique
On a donc décomposé la réponse totale de la structure en une contribution relative et une contribution
différentielle due aux déplacements des ancrages telles que :
X (t) = X (t) + X
a
r
e (t)
avec
m
X! (t) = X
e
! s(t) = jgj(t)
j=1
n m
X (t) = -p d (t) où d (t) es
t solution de d
! +
d! + 2
2
d
r
ij ij
i
ij
ij
i i ij
i
ij = g j (t)
i=1 j
=1
La résolution de cette dernière équation différentielle par la méthode de la transformation de Fourier fait
1
intervenir les fonctions de transfert modales hi () telles que : hi () =
.
( 2 - 2 + i
i
2 ii)
On obtient donc : d () = h (). g () et d
2
ij
i
j
! ij() =
-
i
h (). g j ()
La réponse harmonique totale de la structure se déduit des formules précédentes par recombinaison
modale.
!X () = !X () + !X ()
a
r
e
n m
m
!X () = 2p h ()g () + g ()
a
ij j
j
i
j j
i=1 j=1
j=1
On fait alors apparaitre la matrice complexe (n,m), dite matrice de transfert H() suivante :
H() = 2 p
h
( )
+
où p est la matrice des facteurs de participation, h() le vecteur des fonctions de transfert modales
hi () .
La réponse totale de la structure vaut !X ( ) = H( )! (
E ), où ! (
E
a
) est le vecteur de m lignes
constitué des transformées de Fourier des accélérations g t
j ( ) aux m ddl-appuis.
On voit que cette expression détermine la réponse en accélération. Ceci impose ensuite d'intégrer
deux fois la réponse pour obtenir le déplacement, ce problème est présenté dans [bib4]. Un des
intérêts supplémentaires de la méthode que nous proposons ici est de s'abstraire de cette difficulté.
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3
La réponse dynamique aléatoire
3.1
Rappel sur les densités spectrales de puissance [bib2]
3.1.1 Définitions
Soit un signal probabiliste défini par sa densité de probabilité px(x1,t1;...;...; xn,tn). Cette densité de
probabilité permet de calculer les fonctions moments du signal.
Moment d'ordre 1 ou espérance du signal :
+
µX(t) = [
E X(t)] = x p (x,t) dx
x
-
Moments d'ordre 2 ou intercorrélation de deux signaux :
+
XY(t ,t ) = [
E X(t )Y(t )] = x y p(x,t ; y,t )dxdy
1 2
1
2
1
2
-
Lorsque le signal est stationnaire, l'intercorrélation ne dépend que de = t - t
2
1 .
On l'écrit R
( ) = [
E (t) (t
XY
X
Y - )]
Densité spectrale de puissance et interspectre
On définit SXY() l'interspectre de puissance ou densité interspectrale de puissance entre deux
signaux probabilistes stationnaires par la transformée de Fourier de la fonction d'intercorrélation,
ce qu'on écrit :
+
1
S
() =
R
-i
XY
d
2
XY( )e
-
+
La formule inverse s'écrit : R
( ) = S
i
XY
XY()e
d
-
SXY() est généralement complexe et vérifie la relation de symétrie : S () = S
YX
XY () .
Lorsque X = Y , SXX() s'appelle autospectre de puissance ou densité spectrale de
puissance (DSP). Cette fonction a la propriété d'être réelle et toujours positive.
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3.1.2 Relations entre la DSP et les autres caractéristiques du signal
Remarque :
La plupart du temps, le signal est défini sur un temps limité, sa transformée de Fourier n'existe
pas, on définit alors une transformée de Fourier estimée sur une période de longueur T par :
T /2
"
1
X ()
X (t)e i
=
-
d
T
.
2
-T/2
On a alors les relations suivantes avec cette transformée de Fourier estimée :
2
S
=
" "
XY ( )
lim
E
T
T
T+ T
[X ( )Y ()]
2
S
=
" "
XX ( )
lim
E
T
T
T+ T
[X ( )X ()]
Lien entre l'autospectre de puissance et la puissance du signal :
La puissance d'un signal est égale à sa variance. Pour un signal centré, la variance vaut :
2X = X
R X(0) .
+
On a donc : 2X = X
R X(0) = SXX
( ) d .
-
3.2
Les équations de mouvement
La réponse totale de la structure est déterminée par la relation : !X ( ) = H( ) ! (
E
a
) ,
où !E() est le vecteur de m lignes constitué des excitations représentées par les transformées de
Fourier des accélérogrammes g (t
j
) aux m ddl-appuis,
(
H ) est la matrice de transfert définie par (
H = 2
)
p h () +
où p est la matrice des facteurs de participation,
(
H ) le vecteur des fonctions de transfert modales hi ()
base des modes dynamiques
base des modes statiques
elle comporte n lignes (= nombre de ddl libres de la structures) et m colonnes.
3.2.1 Matrice
«interspectrale-excitation»
NB :
Cette appellation «matrice interspectrale-excitation» est abusive : elle signifie «matrice de
densité interspectrale de puissance de l'excitation».
On suppose que l'excitation sismique peut être considérée comme un signal stationnaire - compte-tenu
des rapports entre les temps représentatifs - et centré. Ceci permet d'utiliser un certain nombre de
résultat de l'analyse probabiliste. On s'intéresse alors à la réponse stationnaire du système à une
excitation stationnaire.
On note S
( )
EE
! ! la matrice des interspectres de puissance correspondant à l'excitation. Sa donnée
est explicitée dans le chapître 4.
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Pour mémoire nous rappelons ici qu'elle est calculée à partir de transformées de Fourier des
accélérations. C'est une matrice (mxm). Le terme ij correspond à l'interspectre entre les signaux !Ei et
!E j soit encore entre les transformées de Fourier des accélérogrammes g et g
i
j .
3.2.2 Réponse dynamique aléatoire
On a vu que l'interspectre de puissance entre deux signaux probabilistes est la transformée de Fourier
de la fonction d'intercorrélation des deux signaux. On l'applique à la réponse totale de la structure :
+
+
1
1
T
S
()
R
( )e i
- d
E
!X (t) !X (t ) e i
-
=
=
-
d
!
X !X
2
!X !X
2
a
a
a a
a a
-
-
On travaille alors dans le domaine temporel pour exprimer la fonction d'intercorrélation de la réponse
totale R
t t
! a ! ( , ')
X X
.
a
On note (
h t) la réponse impulsionnelle du système : h(t) =
-
TF 1[H()]
et !e(t) la transformée de Fourier inverse de la DSP excitatrice : !e(t) =
-
TF 1[!E()]
Par transformée de Fourier inverse de la relation : !X ( ) = H( ) !E( )
a
on a !X (t) = h *
a
!e (t) = h(u)
! e(t - u) d
u
R
T
R
(t,t') = E!X (t) !X (t
!X !X
a
a
')
a a
T
R
(t,t') = E h(u) e
-
h
e -
X X
! (t u) du
(v)
! (t' v) dv
! a ! a
R
R
R
(t,t') = E
h(u) e - e -
h
du
X X
! (t u T
) ! (t' v T
)
(v) dv
! a ! a
R R
On suppose dans cette analyse le système déterministe, on peut donc sortir la réponse impulsionnelle
du calcul de l'espérance mathématique. Il vient
R
t t =
h u
e t - u T e t -v T h v
dv du
!
[
a !
( , ')
( ) E ! (
) ! ( ' )] ( )
X Xa
R R
L'excitation est supposée un processus stationnaire, l'intercorrélation ne dépend donc que de l'écart de
temps = t - t' :
R (t - t'-u + v) = E[e -
e -
=
pour = - - + = - +
EE
! (t u T
) ! (t' v)] R ( )
t t' u v
u v
! !
! !
EE
T
d'où R
(t,t') =
h(u) R () h(v) dv
du = R
!
( )
X
ce qui justifie a posteriori l'approche.
a !Xa
!E!E
!Xa !Xa
R R
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On reporte maintenant cette expression dans l'expression de la densité spectrale de puissance de la
réponse :
+
+
1
1
S
()
R
i
( ) e- d
h(u) R ( u v T
) h(v
i
) e-
=
=
- +
dv du d
!
X
2
2
a !Xa
!Xa !Xa
!E!E
-
- R R
En répartisssant les variables muettes d'intégration on fait apparaître les transformées de Fourier
T
respectives de (
h u), R ( - u + v), h(v)
! !
EE
, il vient finalement :
S
H( ) S
( ) T
=
H()
X
! X
a !
E
a
! E!
avec H() = 2 p
h
( )
+
Compte-tenu des relations entre les transformées de Fourier du déplacement, de la vitesse et de
l'accélération, on a de plus :
-1
S
=
H() S () T
H()
X! X!
2
E
! E!
a a
1
S
=
H() S () T
H
X X
()
a a
4
EE
! !
Ces relations permettent d'exprimer la réponse de la structure par la DSP du déplacement ou de la
vitesse.
Remarques :
· Selon l'expression donnée à H() , on exprime la DSP du déplacement (respectivement de
la vitesse ou de l'accélération) total, relatif ou différentiel :
mouvement absolu : H() = 2 p
h
( )
+
mouvement relatif : H() = 2 p
h
( )
mouvement différentiel (ie d'entrainement) : H() =
· Il est d'usage, lors d'un calcul avec le Code_Aster, de restreindre la matrice de la fonction de
transfert aux lignes des l ddl d'observation. Ceci permet d'alléger d'autant les calculs dès que l
est petit devant n.
3.3
Application dans le Code_Aster
L'ensemble de l'approche spectrale pour le calcul sismique est traité dans la commande
DYNA_ALEA_MODAL [U4.56.06]. Les données sont regroupées sous trois mots clé facteurs et un mot
clé simple.
La base modale est constituée des modes dynamiques calculés par la commande
MODE_ITER_SIMULT [U4.52.02] ou MODE_ITER_INV [U4.52.01] stockés dans un concept de type
mode_meca récupéré par le mot-clé facteur BASE_MODALE, d'une part ; des modes statiques calculés
par la commande MODE_STATIQUE [U4.52.04] stockés dans un concept de type mode_stat récupéré
par le mot-clé simple MODE_STAT, d'autre part. Le mot clé facteur BASE_MODALE possède également
les arguments qui permettent de déterminer la bande de fréquence ou les modes retenus pour le calcul
et les amortissements correspondants.
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Les données correspondant à l'excitation sont rassemblées sous le mot-clé facteur EXCIT
(cf paragraphe [§4]) : on y précise le type d'excitation au sens de la GRANDEUR : excitation en
déplacement ou en effort, le ou les noeuds NOEUD et composantes NOM_CMP excités, le nom des
interspectres ou autospectres INTE_SPEC, fonctions complexes préalablement lues ou calculées,
respectivement par les opérateurs LIRE_INTE_SPEC [U4.56.01] ou CALC_INTE_SPEC [U4.56.03] et
stockés dans une table d'interspectre de concept tabl_intsp qui s'appliquent en chaque ddl excité.
Sous le mot-clé facteur REPONSE se trouvent les données liées au choix de la discrétisation.
La commande DYNA_ALEA_MODAL fournit la réponse sous forme de densité spectrale de puissance
sur base modale. Pour obtenir la restitution des DSP sur base physique, on utilisera REST_SPEC_PHYS
[U4.80.01] qui permet de préciser le type de grandeur de la réponse (déplacement ou effort), aux
"points d'observation" (noeud-composante) du résultat. En présence d'une réponse de type
déplacement, on précisera ici aussi si la réponse correspond au déplacement absolu, relatif ou
différentiel.
REST_SPEC_PHYS fournit une table d'interspectres qui contient selon la demande de l'utilisateur, la
matrice interspectrale en déplacement SXX , en vitesse S ! !
XX , ou en accélération S ! !
XX pour une
expression dans le repère absolu (indice a), le repère relatif (indice r) ou d'entrainement (indice e).
Chaque "combinaison" précédente nécessite un appel spécifique à la commande REST_SPEC_PHYS.
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4 Définition de la matrice interspectrale de puissance
excitatrice
L'excitation sismique est par nature, nous l'avons dit, aléatoire. Aussi elle peut être connue non pas par
son expression temporelle mais sous forme fréquentielle par une densité spectrale de puissance dite
aussi interspectre.
Lorsqu'il y a plusieurs appuis, ils peuvent être excités par des excitations identiques ou différentes, ce
dernier cas est celui du multi-appuis.
Pour m appuis, on définit la matrice de densité interspectrale de puissance d'ordre m, ou par abus de
langage l'interspectre d'ordre m, qui est une matrice (mxm) de fonctions complexes dépendant de la
fréquence.
Les termes diagonaux représentent les densités "auto-" spectrales de puissances -ou autospectres-
aux points d'excitation, les termes extra-diagonaux correspondent aux densités interspectrales entre
les excitations en deux points d'appui distincts (chaque ligne ou colonne de la matrice représente en
fait un point d'appui en maillage physique ou un mode en calcul modal). Par définition de ces termes, il
s'en déduit que les matrices de densité interspectrales de puissance manipulées sont hermitiennes.
(Voir [bib2] ou documentation de Référence associée à la commande POST_DYNA_ALEA [R7.10.01])
Nous présentons ci-après les différentes commandes du Code_Aster qui permettent d'obtenir une
matrice de densité interspectrale de puissance.
4.1
Lecture sur un fichier
La façon la plus élémentaire de définir une matrice de densité interspectrale de puissance est de
donner, "à la main", les valeurs aux différents pas de fréquence.
On utilise alors l'opérateur LIRE_INTE_SPEC [U4.56.01].
LIRE_INTE_SPEC lit dans un fichier "interspectre excitation". Le format du fichier dans lequel est
consignée la matrice interspectrale est simple : on décrit successivement la fonction de chaque terme
de la matrice interspectrale ; pour chaque fonction, on donne une ligne par fréquence en indiquant la
fréquence, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe ; ou la fréquence, le module et la phase
du nombre complexe (mot clé FORMAT).
Exemple de fichier interspectre excitation (pour une matrice réduite à un terme) :
INTERSPECTRE
DIM = 1
FONCTION_C
I = 1
J = 1
NB_POIN = 4
VALEUR =
2.9999 0. 0.
3. 1. 0.
13. 1. 0.
13.0001 0. 0.
FINSF
FIN
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4.2
Obtention d'un interspectre à partir de fonctions du temps
On peut déduire la matrice de densité interspectrale de puissance à partir de fonctions du temps. On
utilise alors l'opérateur CALC_INTE_SPEC [U4.56.03] dans le Code_Aster [bib3].
A partir d'une liste de N fonctions du temps, cet opérateur permet de calculer l'interspectre de
puissance NxN qui leur correspond.
Pour chaque terme de la matrice interspectrale (NxN) on utilise la démarche suivante [bib3].
Pour calculer l'interspectre de deux signaux on utilise la relation de Wiener-Khichnine [bib7] qui permet
d'établir une formule de calcul de la densité spectrale de puissance par la transformée de Fourier
d'échantillons finis des signaux (
x t) et (
y t) .
Il vient alors :
1
S ( f ) = lim
E[
( f ,T).Y *( f ,T
xy
Xk
k
)]
T T
T
X ( f ,T) = TF[x ]( f ) = x (t -i2 f
) e
dt
k
k
k
où
0
T
Y ( f ,T)
= TF[y ]( f ) = y (t -i2 f
) e
dt
k
k
k
0
sont les transformées de Fourier discrètes
x
de et
y
de .
Lorsque l'on s'intéresse à des signaux issus de mesures, on ne dispose la plupart du temps que de
signaux connus de façon discrète, de même un résultat de calcul transitoire est un signal discret.
Une approximation de l'interspectre des signaux discrets x[n] et y[n] définis sur L points espacés de t,
découpés en p blocs de q points est obtenue par la relation :
p
"
1
S
i
i
xy [k ]
( )
=
X [k] ( )
Y *[k]
p q t
i=1
q
(i)
X [k]
(i)
= t
x [n] -2i kn/q
e
n=0
q
(i)
Y [k]
(i)
= t
y [n] -2i kn/q
e
n=0
Les différents blocs peuvent ou non se recouvrir. Les valeurs p et q sont au choix de l'utilisateur.
Cette méthode est celle du périodogramme de WELCH [bib8].
Le calcul se fait sur une fenêtre qui se déplace sur le domaine de définition des fonctions. L'utilisateur
spécifie dans la commande la longueur de la fenêtre d'analyse, le décalage entre deux fenêtres de
calcul successives et le nombre de points par fenêtre.
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4.3 Excitations prédéfinies ou reconstituées à partir de fonctions
complexes existantes
On peut souhaiter définir une matrice de densité interspectrale de puissance de différentes façons :
· par un bruit blanc : les valeurs sont constantes
· selon la formule analytique de KANAI-TAJIMI utile en calcul sismique (bruit blanc filtré),
· ou en reprenant des fonctions complexes existantes.
On utilise alors l'opérateur DEFI_INTE_SPEC [U4.56.02].
4.3.1 Fonctions complexes existantes
Il suffit sous le mot-clé facteur PAR_FONCTION de donner le nom de la fonction pour chaque paire
d'indice NUME_ORDRE_I, NUME_ORDRE_J, correspondant à la matrice triangulaire supérieure (en
raison de son hermiticité).
4.3.2 Bruit
blanc
Un bruit blanc se caractérise par une valeur constante sur tout le domaine de définition considéré. Sous
le mot-clé facteur CONSTANT, on donne cette valeur (VALE_R ou VALE_C) sur la bande de fréquence
[FREQ_MIN, FREQ_MAX] pour chaque paire d'indice INDI_I, INDI_J, correspondant à la matrice
triangulaire supérieure (en raison de son hermiticité). Pour définir parfaitement la fonction, on précise
l'interpolation et les prolongements.
4.3.3 Bruit blanc filtré par KANAI-TAJIMI [bib9]
Pour une structure appuyée sur le sol, il est courant de prendre comme excitation la densité spectrale
de puissance de Kanaï-Tajimi. Cette densité spectrale représente le filtrage d'un bruit blanc par le sol.
Les paramètres de la formule permettent de jouer sur la fréquence centrale et la largeur de bande du
spectre.
Le spectre G() s'exprime par la relation suivante :
4 + 4 2 2 2
G
g
g
g
() =
G
( 2
2 2
2
2
2
0
g - ) + 4 g
g
= 2 f
g
g pulsation propre
g
amortissement modal
G0
niveau du bruit blanc avant filtrage
L'utilisateur doit spécifier la fréquence propre f g du filtre, l'amortissement modal g et le niveau du
bruit blanc G0 (= VALE_R) avant le filtrage ; ainsi que comme pour toute fonction : l'interpolation, les
profils extérieurs et le domaine de définition (bande de fréquence).
Par défaut un sol courant est bien représenté par les valeurs f g = 2.5 Hz et g = 0.6.
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Exemple d'utilisation pour un bruit blanc filtré par KANAI_TAJIMI :
Interex =
DEFI_INTE_SPEC (
DIMENSION : 1
KANAI_TAJIMI : (
NUME_ORDRE_I : 1
indices du terme de la matrice de densité
NUME_ORDRE_J : 1
interspectrale de puissance
FREQ_MOY : 2.5
fréquence propre
AMOR : 0.6
amortissement modal
VALE_R : 1
niveau du bruit blanc
INTERPOL : `LIN'
interpolation linéaire
PROL_GAUCHE : `CONSTANT'
prolongation
PROL_DROIT : ` CONSTANT'
FREQ_MIN : 0.
domaine de définition
FREQ_MAX : 200.
PAS : 1.
) ) ;
4.4
Autres types d'excitation
Les calculs des paragraphes précédents ont été effectués dans le cadre de l'hypothèse d'une excitation
en mouvement imposé sur un ddl. Moyennant quelques modifications il est possible d'utiliser la même
approche pour une excitation en effort [§4.4.1] ou par des sources fluides [§ 4.4.2], celle-ci étant
exprimée dans un élément fini [§4.4.3] ou sur une fonction de forme de la structure [§4.4.4].
Dans la suite de ce paragraphe, on suppose l'excitation aléatoire connue et fournie par l'utilisateur sous
le forme d'une DSP, densité spectrale de puissance.
4.4.1 Cas de l'excitation en forces imposées
Sous le mot-cle EXCIT on a GRANDEUR = EFFO.
Quand l'excitation aux appuis est de type force imposée, l'équation générale du mouvement est :
m
! (
MX t) + ! (
CX t) + K (
X t) = Fj
j=1
La réponse de la structure est alors calculée sur une base de modes dynamiques = {i i,= n,
1 } ,
ces modes étant calculés en supposant les appuis excitateurs libres. On ne distingue pas, dans ce
cas de mouvement absolu, relatif et différentiel et on n'utilise pas de modes statiques.
T iFj
On définit le facteur de participation modale sous la forme : Pij =
i
µ
Les réponses transitoires, harmoniques et aléatoires ont les mêmes expressions que les réponses du
mouvement relatif de l'excitation multi-appui dans le cas général [§3]. (Ce qui correspond à l'absence
de modes statiques). La force excitatrice est représentée en chaque ddl-appui par sa DSP sous forme
d'un terme équivalent à S
EE
! ! ( ) .
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4.4.2 Excitation par des sources fluides
Les sources fluides apparaissent, par exemple, dans l'étude d'un réseau de tuyauteries. Elles
correspondent à des organes actifs ou à des branchements de tuyauteries secondaires. Elles sont
généralement des sources de pression ou des sources de débit. Ces différents types de source sont
présentés ci-après en fonction de leur mise en forme mathématique et de ce que fait le Code_Aster
dans chaque configuration.
Ces sources fluides ne sont pas directement des excitations sismiques mais peuvent être induites par
un séisme. La résolution du problème mécanique fait appel aux même méthodes, du fait de leur
caractère aléatoire, ce qui justifie leur présentation ici.
La modélisation du réseau de tuyauterie est supposée réalisée à l'aide de poutre vibro acoustique du
Code_Aster.
La réponse à des sources fluides se calcule dans le cadre de la réponse à des forces imposées
(cf. [§4.4.1]), dans ce cadre on s'intéresse à des réponses de grandeur de type "déplacement"
(GRANDEUR = DEPL_R sous le mot-clé REPONSE).
Les sources de pression et de force, pour des raisons de modélisation des sources fluides sont
représentées par des dipôles [bib5], il est donc nécessaire de donner deux points d'application.
Source de débit-volume : GRANDEUR = SOUR_DEBI_VOLU sous le mot-clé EXCIT
Un débit volume s'exprime en m3/s, sa densité spectrale de puissance en (m3/s)2/Hz.
Une source de débit-volume est considérée, dans la formulation P - des éléments de
tuyauterie avec fluide, comme un effort imposé sur le ddl du noeud d'application de la source
[R4.02.02].
L'utilisateur fournit la DSP de débit volume Svv() , la DSP S'vv () appliquée en effort sur le ddl
est : S' () = ()2S ()
vv
vv
où est la masse volumique du fluide.
Source de débit-masse : GRANDEUR = SOUR_DEBI_MASS sous le mot-clé EXCIT
Un débit-masse s'exprime en kg/s, sa densité spectrale de puissance en (kg/s)2/Hz. Le
débit-masse est le produit du débit-volume par la masse volumique du fluide.
L'utilisateur fournit la DSP de débit-masse Smm() , la DSP S'
( )
mm appliqué en effort sur le
ddl est : S'
= 2S
mm
mm
Source de pression : GRANDEUR = SOUR_PRESS sous le mot-clé EXCIT
Une source de pression est appliquée dans Aster en un dipôle P1P2.
Pour une source de pression dont la DSP est S PP () , exprimée en Pa2/Hz, Aster construit une
matrice de densité interspectrale de puissance S'
( )
PP qui est appliquée en force imposée sur
le ddl des points P1 et P2.
S 2
S 2
dx
-
dx
S'
() = S ()
PP
PP
S 2
S 2
-
dx
dx
où S est la section fluide, dx la distance entre les deux points P1 et P2.
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Source de force : GRANDEUR = SOUR_FORCE sous le mot-clé EXCIT
La force correspond simplement au produit de la pression par la section fluide du tube : F = PS.
Elle est donc aussi appliquée sur un dipôle P1P2.
Pour une source de force dont la DSP est SFF () , exprimée en N2/Hz, Aster applique en force
imposée sur le ddl des points P1 et P2, (distants de dx), la matrice de densité interspectrale de
puissance S'
( )
FF telle que :
1 2
1 2
dx
-
dx
S'
() = S ()
FF
FF
1 2
1 2
-
dx
dx
4.4.3 Excitation répartie sur une fonction de forme
Si la densité spectrale de puissance de l'excitation E() correspond à un effort imposé sur une
fonction de forme fi , E() donne la dépendance fréquentielle du niveau de l'excitation.
La pondération spatiale de l'effort est représentée dans le Code_Aster par un champ aux noeuds qui ne
dépend pas de la fréquence : mot clé CHAM_NO sous le mot-clé facteur EXCIT. Ce champ aux noeuds
est un "vecteur assemblé". Du point de vue théorique le formalisme de calcul est le même que
précédemment (excitation en force imposée [§4.4.1]), pour un vecteur de force en second membre
égal à fi .
4.5 Applications
Ces différents types d'excitation sont repris dans les tests de validation, et sont présentés par des
exemples dans le rapport [bib6]. En particulier les excitations de type fluide sont dans le test : tuyau
soumis à des excitations fluides aléatoires [V2.02.105] (SDLL105). Les excitations sur des fonctions de
forme sont testées dans le cas test : poutre soumise à une excitation aléatoire répartie [V2.02.106]
(SDLL106).
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5 Bibliographie
[1]
P. LABBE et H. NOE : "Stochastic approach for the seismic design of nuclear power plant
equipements". Nuclear Engineering and Design 129 (1991) 367-379
[2]
A. DUMOND Rapport EDF DER HP62/95.021B : Post traitement d'un calcul de mécanique
vibratoire sous excitations aléatoires dans le Code_Aster. Note de référence de la commande
POST_DYNA_ALEA.
[3]
G. JACQUART Rapport EDF DER HP61/93.073 : Générations de signaux aléatoires de
densité spectrale donnée : Note de principe et cahier des charges de l'intégration à ASTER.
[4]
Fe. WAECKEL Rapport EDF DER HP62/95.017B : Méthode pour le calcul par superposition
modale de la réponse sismique d'une structure multi-supportée.
[5]
P. THOMAS : Prise en compte des sources acoustiques dans les modèles de tuyauteries en
mécanique. Bulletin de la DER - série A. Nucléaire Hydraulique Thermique n° 2 1991 pp19-36
[6]
C. DUVAL Rapport EDF DER HP-61/92.148 : Réponse dynamique sous excitations aléatoires
dans le Code_Aster : principes théoriques et exemples d'utilisation
[7]
BENDAT et PIERSOL : Engineering applications of correlation and spectral analysis. John
Wiley and Son 1980
[8]
MARPLE : Digital spectral analysus with applications. Prentice Hall 1987
[9]
H. TAJIMI A statistical method of determining the maximum response of a building structure
during an earthquake. Proc 2nd world Conf. Earthquake Eng. Tokyo and Kyoto, Japan (1960)
pp 751-797
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