Code_Aster ®
Version
3.6
Titre :
Représentation Lagrangienne de variation de domaine
Date :
29/11/96
Auteur(s) :
G. DEBRUYNE
Clé :
R7.02.04-A
Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
Document : R7.02.04
Représentation Lagrangienne de variation
de domaine
1 But
· Calculer les champs mécaniques relatifs à un domaine à géométrie variable, en utilisant un
domaine fixe de référence de façon, par exemple, à effectuer des études paramétriques sur
plusieurs domaines en n'utilisant qu'un seul maillage.
· Dans le cadre de la mécanique de la rupture, calculer le taux de restitution de l'énergie pour
différentes longueurs de fissure (en 2D et 3D) en utilisant un seul maillage représentant une
longueur de fissure fixe de référence.
Ces développements sont disponibles en élasticité linéaire, pour les éléments de milieu continu 2D et
3D, dans les situations où les variations de géométrie n'affectent pas les bords chargés. Les
déformations initiales éventuelles ne sont traitées que dans le milieu 2D.
Tout calcul utilisant cette méthode nécessite, pour assurer le passage du domaine réel étudié au
domaine de référence, la création préalable d'un champ , à l'aide de la commande CALC_THETA
[U4.63.02].
La formulation développée dans le Code_Aster ne tient pas compte des termes thermiques, des
chargements sur les lèvres de la fissure ni des forces de volume en général, sauf des déformations
initiales qui sont prises en compte en 2D seulement.
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2
Principe de la méthode
Le principe est double :
· utiliser une transformation géométrique bijective faisant correspondre le domaine de
référence (celui que l'on maille) avec le domaine réel. Pour cela, on se sert du champ et
d'un paramètre réel . En théorie, tout type de transformation est autorisé pourvu qu'elle soit
régulière mais la forme du champ théta actuellement implanté n'autorise grosso modo que
des translations de sous-domaines, sauf en 3D où en différenciant les modules du champ
théta le long d'une frontière, on peut simuler des changements de forme de cette frontière
(application à l'étude paramétrique de fissures 3D),
· écrire les nouvelles équations du problème élastique sur le domaine fixe de référence, la
variabilité (traduite par le paramètre ) apparaissant dans les équations et non plus dans le
domaine (d'où un maillage unique pour analyser toutes les configurations).
En ce qui concerne les applications à la mécanique de la rupture, on calcule en outre le taux de
restitution de l'énergie relatif à différentes longueurs de fissures en utilisant la configuration de
référence. Pour cela, on écrit l'énergie potentielle sous forme Lagrangienne et on dérive son
expression par rapport au paramètre .
2.1
Transformation de domaine par le champ théta.
On considère une succession de domaines , et un domaine de référence
i
0 . Chaque point
matériel Pi des différents domaines est repéré par un point M du domaine de référence de la façon
suivante (cf. [Figure 2.1-a]) :
P = f ( M
) = M + ( M
i
)
i
i
Domaine de
référence
M
f3
f1
f2
0
P1
P2
P3
1
2
3
Figure 2.1-a : Représentation d'une succession de domaines par un domaine
de référence.
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2.2
Représentation lagrangienne du problème d'élasticité.
Les champs mécaniques relatifs à la configuration courante et écrits sur la configuration de référence
s'expriment de la façon suivante, que l'on appellera expression lagrangienne :
~
u ( M ) = u( M + ), ~
( M) = ( M +) , où u et sont respectivement les champs de
déplacements et de contraintes. De manière générale tout champ c aura sa représentation
lagrangienne ~
c avec ~
c ( M ) = c( M + ) .
Le principe des travaux virtuels (P.T.V) s'écrit classiquement, en élasticité linéaire, sur chaque
domaine de la façon suivante :
A. u
. v
d =
T.v dS +
A. . v
d
i
,
avec u champ solution du problème, v champ de déplacement cinématiquement admissible, i . un
champ de déformations initiales, A le tenseur d'élasticité et T les forces imposées sur la frontière du
domaine.
En remarquant que le champ de déformation s'écrit : ( P) = ~( M )(f
-1
) , et que
d = det f d
0 , le P.T.V. s'écrit sur le domaine de référence (sachant que le support de la
transformation est strictement inclus dans , c'est-à-dire que cette transformation n'affecte pas les
bords chargés) :
A.u~( f
) 1
- . v
( f
)-1 det
f d
=
T.v dS +
A.~
. v
( f
) 1
- det f
d
i
0
0
0
Le problème discrétisé se présente alors sous la forme suivante (avec les notations habituelles des
éléments finis :
~
K( f ) ~
~
u = F + Q( f )
,
~
~
~
où u est le champ lagrangien solution du problème, K la matrice de rigidité, Q le vecteur
correspondant aux déformations initiales, tous deux dépendant de la transformation (et donc du champ
et du paramètre ).
L'étude paramétrique consiste donc à traiter plusieurs problèmes en utilisant le même maillage et en
calculant à chaque fois les matrices de rigidité élémentaires dépendant du paramètre à l'aide de
l'option `RIGI_MECA_LAGR' (disponible en 2D et 3D) de l'opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.41.01] et
de l'option `CHAR_MECA_LAGR' (disponible uniquement pour les déformations initiales et en 2D) de
l'opérateur CALC_VECT_ELEM [U4.41.02], avec en donnée le champ et le paramètre . Le reste du
calcul se poursuit de manière habituelle : assemblage et résolution (Ce développement n'est pas
intégré dans la commande globale MECA_STATIQUE [U4.31.01], il faut donc décomposer le calcul
avec les opérateurs élémentaires). Le champ de déplacement obtenu est un champ lagrangien. De
même, les contraintes lagrangiennes sont obtenues grâce à l'opérateur CALC_CHAM_ELEM [U4.61.01],
avec les options `SIEF_ELGA_LAGR' et `SIGM_ELNO_LAGR' [U4.61.01].
Le calcul des contraintes tient compte de la présence éventuelle d'un champ de déformations initiales.
En particulier, on peut calculer avec ces options le champ des contraintes réelles avec
pré-déformation sans variation de domaine (c'est-à-dire en prenant =0) : = A( - i ) .
Les déformations initiales sont obligatoirement définies sous forme de constantes ou de fonctions de
l'espace, par l'intermédiaire de l'opérateur AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01] avec le mot-clé
`EPSI_INIT'. Le développement ne prend pas en compte des déformations initiales données comme
des champs aux noeuds ou aux points de Gauss.
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2.3
Calcul du taux de restitution de l'énergie
Le champ de déplacement lagrangien ~
u étant disponible, on peut évaluer l'énergie potentielle écrite
sous forme lagrangienne :
~
~
W(~
u ( ),T , ~i ) W(u( ),T, ,i
=
) , ainsi que sa dérivée.
L'expression du taux de restitution de l'énergie est alors :
1
1
G =
A ~i
. u
-1
-
-
~
(f ), det f
d +
A
i
( f
) .u ( f
) det f
d
0
0
+
-1
-1
-1
A ~i
. u
(f ) (det f
) d -
A. u
,
( f ) . u
(f ) det f d
0
,
0
-
1
1
0 (
-
-
A u
~
( f
)
i
-
). u
(f ) det f
d
,
-
-1
~i
-1
A
.
det
0 (u (f ) -
) u(f) ( f) d
,
3
Quelques exemples d'utilisation
3.1 Étude paramétrique d'une structure possédant une inclusion à
positionnement variable.
Le but est de calculer les champs mécaniques d'une structure contenant une hétérogénéité (matériau
de caractéristique différente ou évidement par exemple, de forme quelconque) avec différentes
positions, en n'utilisant qu'un seul maillage correspondant à une position de référence
(cf. [Figure 3.1-a]).
Support du
champ théta
T
T
r2
r1
P
P
M
Position de
Position
référence
courante
u
u
Figure 3.1-a
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La première étape consiste à choisir un support du champ théta compatible avec la cinématique de
l'inclusion. En pratique, si la position courante de l'inclusion a subi une translation par rapport à la
position de référence, avec =1, on construira le champ théta de façon à ce que le petit disque de la
couronne (r< r1) englobe complètement l'inclusion ( =1 pour tout point de l'inclusion) et que <r2-r1.
Désormais, dans toute l'analyse, les points M attachés au maillage représentent en fait les points
matériels P, déterminés par P = M + .
Avec ces considérations, toutes les positions de l'inclusion ne sont pas possibles à analyser et
dépendent de la géométrie de la structure.
La deuxième étape consiste à formuler le problème en représentation Lagrangienne en calculant les
matrices élémentaires à l'aide de l'opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.41.01] et l'option
RIGI_MECA_LAGR, avec comme données le champ et le paramètre cinématique .
Le reste de l'analyse se poursuit de manière classique, mais les champs obtenus aux points du
maillage (noeuds ou points de Gauss) représentent l'état mécanique des vrais points matériels de la
configuration variable :
~
u ( M ) = u( M + ), ~
( M) = ( M +) .
3.2 Calcul du taux de restitution de l'énergie d'une structure fissurée
dans un champ de déformations initiales
On considère un milieu élastique 2D contenant une fissure rectiligne AO et se propageant (jusqu'au
point O') dans un champ de déformations initiales (cf. [Figure 3.2-a]). Le problème consiste à calculer
le taux de restitution de l'énergie de la structure pour toutes les positions de la fissure.
T
domaine où est
défini un champ
de déformations
initiales i
D
A
O
O'
u = 0
Figure 3.2-a
On commence par définir le champ de déformations initiales dans le domaine D :
ch = AFFE_CHAR_MECA_F (
MODELE........,
EPSI_INIT : (
GROUP_MA : D
EPXX : f1
EPYY : f2
EPZZ : f3
EPXY : f4)
.........);
Les quantités fi sont des fonctions de l'espace définies au préalable par DEFI_FONCTION [U4.21.02].
Remarquons que même en déformations planes on peut définir une composante EPZZ. Les
composantes EPXZ et EPYZ peuvent être définies mais ne serviront à rien dans la suite du traitement
puisque l'on se limite au 2D. Il est nécessaire que la fissure ne se propage pas en dehors du domaine
pré-déformé.
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Plus précisément, il faut pouvoir définir la quantité :
~
( M)
i
= (
i M + ) , et donc s'assurer que le point matériel M + se trouve dans le domaine
D. Si ce n'est pas le cas, l'utilisateur prolongera le domaine D avec des valeurs nulles de i .
La deuxième étape consiste à définir le support du champ théta, en veillant à ce que celui-ci soit tel
que : M , M
+
D, avec
= OO'
max
max
.
Ceci est effectué avec l'opérateur CALC_THETA [U4.63.02]. L'ordre des deux premières étapes est
indifférent.
On calcule ensuite les matrices de rigidité élémentaires :
mel = CALC_MATR_ELEM (OPTION : `RIGI_MECA_LAGR'
THETA : théta
PROPAGATION : alpha......
et les seconds membres élémentaires :
vel = CALC_VECT_ELEM (OPTION : `CHAR_MECA_LAGR'
THETA : théta
PROPAGATION : alpha......
L'utilisateur s'efforcera d'indiquer le même champ théta et le même paramètre alpha dans les deux
opérateurs sous peine de graves déboires.
Le champ théta doit être compatible avec l'extension maximale de la fissure, c'est-à-dire que
max = OO'< R - R
2
1 , avec R et R
2
1 le rayon supérieur et inférieur de la couronne support du
champ théta (cette précaution doit être prise indépendamment de la présence de déformations
initiales).
L'assemblage et la résolution s'effectuent de manière classique.
On peut ensuite, éventuellement calculer les contraintes résiduelles pour chaque élongation de fissure,
par exemple en l'absence des forces extérieures T, ceci grâce à l'opérateur CALC_CHAM_ELEM
[U4.61.01], avec les options `SIEF_ELGA_LAGR' (contraintes aux points de Gauss) ou
`SIGM_ELNO_LAGR' (contraintes aux noeuds).
Le calcul du taux de restitution de l'énergie s'effectue avec l'opérateur CALC_G_THETA [U4.63.03] et
l'option `CALC_G_LAGR'. La même précaution que précédemment doit être prise, à savoir la
cohérence du champ théta et du paramètre alpha (par défaut ce paramètre vaut zéro et on calcule le G
classique avec déformations initiales). Il faut également veiller à ne pas oublier le mot-clé 'CHARGE'
afin que le champ de déformations initiales soit pris en compte.
Le comportement étant élastique linéaire, l'histoire de la variation du domaine n'intervient pas. On peut
donc très bien en partant de la configuration de référence (fissure de longueur AO), analyser toutes les
fissures dont la longueur varie entre AO-OO' et AO+OO'. Pour les fissures dont la longueur est
inférieure à AO, on considérera un champ théta négatif en fond de fissure, restant positif (on
"raccourcit" la fissure en quelque sorte).
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3.3 Etude paramétrique d'une structure 3D fissurée, le paramètre étant
la forme de la fissure.
On considère un corps élastique linéaire comportant une fissure tridimensionnelle dont la géométrie du
fond est a priori quelconque mais régulière. Le but est de calculer le taux de restitution de l'énergie
global et local pour différentes formes de fissure. Considérons le front de fissure de référence 0 et le
front courant (cf. [Figure 3.3-a]). La transformation liant les deux fronts est construite à l'aide d'un
champ théta local défini sur tout le front.
Pour cela, on définit d'abord le front avec l'opérateur DEFI_FOND_FISS [U4.63.01], puis le champ
théta avec l'opérateur CALC_THETA [U4.63.02] et le mot-clé THETA_3D [U4.63.02], le module étant
défini en chaque noeud de façon à construire à partir de 0.
0
Figure 3.3-a
Le traitement s'opère ensuite comme en 2D, c'est-à-dire par la construction des matrices élémentaires
avec l'option `RIGI_MECA_LAGR' de l'opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.41.01]. L'option
`CHAR_MECA_LAGR' de CALC_VECT_ELEM [U4.41.02] (uniquement pour traiter les déformations
initiales) n'est pas prévue pour le 3D. La forme des différents fronts est définie par le champ théta, le
paramètre alpha créant une homothétie pour une forme donnée.
Le taux de restitution de l'énergie global pour la configuration est calculé avec l'option
`CALC_G_LAGR' de CALC_G_THETA [U4.63.03].
Le taux de restitution de l'énergie local est calculé avec l'option `CALC_G_LGLO' de CALC_G_LOCAL
[U4.63.04]. Une restriction importante du présent développement concerne cette option : les normales
entre les différents fronts doivent être conservées (par exemple l'étude paramétrique de fissures
circulaires ne pose pas de problèmes à ce sujet). Cette restriction ne concerne pas le calcul du G
global.
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