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Version
7.4
Titre :
Relations de comportement des éléments discrets
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, B. QUINNEZ, G.DEVESA Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, SINETICS
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.17
Relations de comportement des éléments discrets
Résumé :
Ce document décrit les comportements non linéaires des éléments discrets qui sont appelés par les opérateurs
de résolution de problèmes non linéaires STAT_NON_LINE [R5.03.01].ou DYNA_NON_LINE [R5.05.05].
Plus précisément, les comportements décrits dans ce document sont :
·
le comportement de type Von Mises à écrouissage isotrope utilisé pour la modélisation des
assemblages filetés, mis en oeuvre dans MACR_GOUJ2E_CALC, accessible par les mots clés
DIS_GOUJ2E_PLAS et DIS_GOUJ2E_ELAS du mot-clé COMP_INCR [U4.51.11],
·
le comportement de type contact unilatéral avec frottement de Coulomb (en translation), et le
comportement de type Von Mises à écrouissage isotrope ou cinématique linéaire (en rotation), utilisés
pour modéliser le comportement des ressorts de liaison grille - crayon des assemblages combustibles,
accessibles par le mot clé DIS_CONTACT du mot-clé COMP_INCR [U4.51.11],
·
le comportement de type choc avec frottement de Coulomb, accessible par le mot clé DIS_CHOC de
du mot-clé COMP_INCR [U4.51.11].
L'intégration des modèles de comportement mentionnés ci-dessus est implicite.
D'autres comportements relatifs aux éléments discrets sont disponibles, mais non détaillés ici :
·
Armement des lignes (Relation ARME) [R5.03.31],
·
Assemblage non linéaire de cornières de pylônes (Relation ASSE_CORN) [R5.03.32],
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Table
des
matières
1 Principes généraux des relations de comportement des éléments discrets .........................................3
1.1 Relations de comportement non linéaires (des éléments discrets) actuellement disponibles........3
1.2 Calcul des déformations (petites déformations) ..............................................................................4
1.3 Calcul des efforts et des forces nodales .........................................................................................4
2 Relation de comportement des assemblages filetés.............................................................................5
2.1 Notations générales.........................................................................................................................5
2.2 Equations du modèle DIS_GOUJ2E_PLAS .....................................................................................5
2.3 Intégration de la relation DIS_GOUJ2E_PLAS.................................................................................6
2.4 Variables internes ............................................................................................................................7
3 Relation de comportement des ressorts de liaison grille crayon combustible ......................................7
3.1 Modèle de contact avec frottement de Coulomb.............................................................................8
3.1.1 Présentation du modèle de contact - frottement ....................................................................8
3.1.2 Equations du modèle..............................................................................................................9
3.1.3 Intégration de la relation.........................................................................................................9
3.2 Modèle de rotule élastoplastique...................................................................................................11
3.2.1 Equations du modèle............................................................................................................11
3.2.2 Intégration de la relation.......................................................................................................12
3.3 Variables internes ..........................................................................................................................13
4 Modélisation des chocs et du frottement : DIS_CHOC.........................................................................14
4.1 Relation de contact unilatéral ........................................................................................................14
4.2 Loi de frottement de Coulomb .......................................................................................................15
4.3 Modélisation approchée des relations de contact par pénalisation ..............................................16
4.3.1 Modèle de force normale de contact....................................................................................16
4.3.2 Modèle de force tangentielle de contact ..............................................................................17
4.4 Définition des paramètres de contact............................................................................................18
5 Bibliographie ........................................................................................................................................19
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1
Principes généraux des relations de comportement des
éléments discrets
1.1 Relations de comportement non linéaires (des éléments discrets)
actuellement disponibles
Les relations disponibles dans le Code_Aster pour les éléments discrets sont des relations de
comportement incrémentales données sous le mot-clé facteur COMP_INCR par le mot-clé RELATION
dans les opérateurs non linéaires STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE. On distingue :
·
le comportement de type Von Mises à écrouissage isotrope utilisé pour la modélisation des
assemblages filetés, mis en oeuvre dans MACR_GOUJ2E_CALC et accessible par les mots
clés DIS_GOUJ2E_PLAS et DIS_GOUJ2E_ELAS,
·
le comportement de type contact unilatéral avec frottement de Coulomb, utilisé pour
modéliser le comportement en translation des ressorts de liaison grille - crayon des
assemblages combustibles, accessible par le mot clé DIS_CONTACT,
·
le comportement de type Von Mises à écrouissage isotrope ou cinématique linéaire utilisé
pour modéliser le comportement en rotation des ressorts de liaison grille - crayon des
assemblages combustibles, accessible également par le mot clé DIS_CONTACT, de
STAT_NON_LINE.
Et les comportements suivants, qui ne sont pas détaillés ici :
·
Armement des lignes (Relation ARME) [R5.03.31],
·
Assemblage non linéaire de cornières de pylônes (Relation ASSE_CORN) [R5.03.32],
·
Contact avec chocs (Relation DIS_CHOC).
Les paramètres nécessaires à ces relations sont fournis dans l'opérateur DEFI_MATERIAU par les
mots clés :
Comportement dans Type d'élément (modélisation) Mots clé dans
AFFE_CARA_ELEM
STAT_NON_LINE
dans AFFE_MODELE
DEFI_MATERIAU
mots clé sous DISCRET
DYNA_NON_LINE
DIS_GOUJ2E_ELAS
2D_DIS_T: élément discret 2D TRACTION
CARA : `K_T_D_L'
DIS_GOUJ2E_PLAS
à deux noeuds en translation
DIS_CONTACT
DIS_T ou DIS_TR : élément DIS_CONTACT : (
CARA : `K_T_D_L'
frottement de Coulomb discret 3D à deux noeuds en COULOMB:
ou
translation ou translation /
RIGI_N_FO:
CARA : `K_TR_D_L'
rotation
EFFO_N_INIT: si rotation
)
DIS_CONTACT
DIS_TR élément discret 3D à DIS_CONTACT :
CARA : `K_TR_D_L'
rotation
deux noeuds en translation / RELA_MZ : courbe
rotation
DIS_CHOC contact et DIS_T : élément discret 3D à DIS_CONTACT : (
CARA : `K_T_D_L'
choc avec frottement deux noeuds en translation
COULOMB:
Pour pouvoir utiliser la
de Coulomb
RIGI_NOR:
matrice de rigidité
RIGI_TAN:
élastique, option
AMOR_NOR:
RIGI_MECA
AMOR_TAN:
DIST_1
DIST_2
JEU
)
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Ces comportements ont été développés et sont utilisés pour les applications suivantes :
DIS_GOUJ2E_PLAS : Relation effort - déplacement de type Von Mises avec écrouissage
isotrope pour la modélisation des assemblages filetés
DIS_GOUJ2E_ELAS : Relation effort - déplacement linéaire déduite de la courbe effort -
déplacement caractérisant l`assemblage
DIS_CONTACT
Comportement élastoplastique en rotation,
contact unilatéral avec frottement de Coulomb en translation
DIS_CHOC
Prendre en compte les chocs ainsi que le frottement entre une
structure et ses appuis ou entre les structures.
Contrairement aux modèles de comportement 1D [bib3], ces relations lient directement les efforts et
les déplacements, au lieu d'être formulées entre contraintes et déformations. Elles ne sont valables
qu'en petites déformations.
On décrit pour chaque relation de comportement le calcul du champ d'efforts à partir d'un incrément de
déplacement donné (cf. algorithme de Newton [R5.03.01]), le calcul des forces nodales R et de la
matrice tangente.
1.2
Calcul des déformations (petites déformations)
Pour chacun des éléments finis du Code_Aster, dans STAT_NON_LINE, l'algorithme global (Newton)
fournit à la routine élémentaire, qui intègre le comportement, un accroissement du champ de
déplacement [R5.03.01]
Pour les éléments discrets, on en déduit l'accroissement d'élongation (en translation) ou de rotation,
entre les noeuds 1 et 2 de l'élément, ce qui est équivalent au calcul de l'accroissement de déformation
dans le cas des milieux continus ou des comportements 1D.
= u - u
2
1 ,
1.3
Calcul des efforts et des forces nodales
Après intégration du comportement, il faut fournir à l'algorithme global (Newton) un vecteur contenant
les efforts généralisés, d'une part, et d'autre part un vecteur contenant les forces nodales R
[R5.03.01] en repère global (X, Y, Z).
Pour les éléments discrets, la résolution du problème local non linéaire fournit directement les efforts
dans l'élément (uniformes dans l'élément), en repère local (x,y,z), qui sont de la forme :
F (
1
noeud )
F = 1
F
avec
2(noeud 2)
Fx
en 2D : F = F = F
1
2
y
x
y
Fx
N2
F
F
y
x
Fz
en 3D : F = F = F
=
=
1
2
y en translation seule, F
F
1
2
en
M
F
x
N1
z
My
M
z
translation et rotation.
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Le vecteur R des forces nodales équivalentes (qui est exprimé dans le repère global) est déduit de
F par changement de repère :
- F (noeud 1)
R = PT R P
R
avec
=
1
loc
loc
F
(noeud
2
2)
où P est la matrice de changement de repère, permettant le passage du repère global vers le repère
local, comme pour les éléments de poutre [R3.08.01].
2
Relation de comportement des assemblages filetés
2.1 Notations
générales
Toutes les quantités évaluées à l'instant précédent sont indicées par - .
Les quantités évaluées à l'instant t + t
ne sont pas indicées.
Les incréments sont désignés par . On a ainsi :
Q = (
Q + ) = Q-( ) + (
Q ) = Q-
t
t
t
t
+ Q
2.2
Equations du modèle DIS_GOUJ2E_PLAS
Elles sont déduites du comportement 3D VMIS_ISOT_TRAC [R5.03.02] : on y représente une relation
de comportement de type élastoplastique à écrouissage isotrope, liant les efforts dans l'élément
discret à la différence de déplacement des deux noeuds dans la direction y locale.
Dans la direction x locale, le comportement est élastique, linéaire, et le coefficient reliant l'effort Fx au
déplacement Dx est la raideur Kx fournie par l'intermédiaire de AFFE_CARA_ELEM.
Le comportement non linéaire ne concerne que la direction y locale.
En notant = u1 - u2 et = F 1 = F 2
y
y
y
y
Les relations s'écrivent sous la même forme que les relations de Von Mises 1D [R5.03.09] :
p
& = &p
= E( - p)
- R p =
- R p 0
eq
( )
( )
- R p < 0 p = 0
eq
( )
&
- R p = 0 p 0
eq
( )
&
Dans ces expressions, p représente un "déplacement plastique cumulé", et la fonction d'écrouissage
isotrope R( p) est affine par morceaux, donnée sous forme d'une courbe effort - déplacement définie
point par point, fournie sous le mot clé facteur TRACTION de l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].
Le premier point correspond à la fin du domaine linéaire, et sert donc à définir à la fois la limite de
linéarité (analogue à la limite d'élasticité), et E qui est la pente de cette partie linéaire ( E est
indépendant de la température). La fonction R( p) est déduite d'une courbe caractéristique de
l'assemblage (modélisation de quelques filets) exprimant l'effort sur le goujon en fonction de la
différence de déplacement moyen entre le goujon et la bride [bib1] : F = f (u - v) .
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2.3
Intégration de la relation DIS_GOUJ2E_PLAS
Par discrétisation implicite directe des relations de comportement, de façon analogue à l'intégration 1D
[R5.03.09] on obtient :
- +
E - = E p - +
- + - (
R p- + p) 0
- + - (
R p- + p) < 0 p = 0
- + - (
R p- + p) = 0 p 0
Deux cas se présentent :
·
-
R( -
+
<
p + p) dans ce cas p = 0 soit =
E donc
- +
< ( -
R p ),
·
-
R( -
+
=
p + p) dans ce cas p 0 donc -
R( -
+
p ).
On en déduit l'algorithme de résolution :
posons e
= - +
si e R( p- ) alors
p
= 0 et =
si e > R( p- ) alors il faut résoudre :
- +
e = - +
+ E p
-
+
E p
e
= +
( -
1
)
+
+
-
donc en prenant la valeur absolue :
E p
e = +
-
1
+
+
-
soit, en utilisant
-
R( -
+
=
p + p).
e = R(p- + p
) + E p
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En tenant compte de la linéarité par morceaux de R( p) , on peut résoudre explicitement cette
équation pour trouver p . Une fois calculé p on en déduit de la façon suivante :
e
=
e
R( p)
alors :
e
e
= ( - +
) =
R( p) =
e
E p
1 + R(p)
De plus, l'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente K i à chaque itération.
L'opérateur tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent.
On obtient directement :
E. R p
si e > R( -
p )
( )
= E =
T
E + R( p)
sinon
=
E
2.4 Variables
internes
La relation de comportement DIS_GOUJ2E_PLAS produit deux variables internes : le « déplacement
plastique cumulé » p, et un indicateur valant 1 si l'accroissement de déformation plastique est non nul
et 0 dans le cas contraire.
3
Relation de comportement des ressorts de liaison grille
crayon combustible
Le comportement DIS_CONTACT, utilisé pour modéliser le comportement en translation des ressorts
de liaison grille - crayon des assemblages combustibles recouvre en fait deux comportements
distincts, concernant des degrés de liberté différents :
·
le comportement de type contact unilatéral avec frottement de Coulomb, concerne les
directions x et y locales,
·
le comportement de type Von Mises à écrouissage isotrope ou cinématique linéaire utilisé
pour modéliser le comportement en rotation concerne la rotation autour de z local et celle
autour de x local.
Dans les autres directions (translations suivant z local, rotation autour de y local), le comportement est
élastique, défini par les raideurs fournies dans CARA : `K_T_D_L' ou CARA : `K_TR_D_L' du mot-clé
facteur DISCRET de la commande AFFE_CARA_ELEM.
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3.1
Modèle de contact avec frottement de Coulomb
3.1.1 Présentation du modèle de contact - frottement
La liaison grille - crayon est assurée par une lame et deux bossettes flexibles. Ce système permet un
glissement avec frottement du crayon dans le sens axial. Par ailleurs, l'irradiation neutronique a pour
effet d'assouplir cette liaison : la force de serrage diminue en fonction du temps. Pour modéliser cette
liaison, on a introduit un comportement qui s'applique pour des éléments discrets à deux noeuds
MECA_DIS_TR_L et MECA_DIS_T_L
Soit un élément à deux noeuds. Soit N la direction portée par l'élément (x local) et T une direction
perpendiculaire (dans le cas présent, elle correspond à la direction axiale du crayon) : c'est la direction
y locale. Soient les efforts dans les directions N et T (Cf. [Figure 3.1.1-a]).
La relation de comportement est de type élastique parfaitement plastique et caractérisée par
[Figure 3.1.1-b] :
·
KTe une pente "élastique",
·
KN rigidité élastique dans la direction N,
·
un seuil de frottement défini par R
= µ R
T
N où µ est le coefficient de frottement de
Coulomb,
·
un module " d'écrouissage " fictif KTl pour éviter un glissement non contrôle,
·
RN0 une tension initiale dans la direction N ,
·
une fonction du temps F(t) ou de la fluence G() , normalisée ("de décroissance") de la
rigidité de la liaison dans la direction N .
T
Axe du crayon
UT
Noeud 1
Noeud 2
Grille
N
UN1
UN2
Figure 3.1.1-a
RT
R
K
S
Tl
KTe
&
UT
Figure 3.1.1-b
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Ces données sont fournies dans DEFI_MATERIAU :
DIS_CONTACT : (
COULOMB : µ
(coefficient de frottement)
EFFO_N_INIT
:
RN0
(tension initiale du ressort)
/
RIGI_N_FO
:
F(t)
(fonction normalisée du temps)
/
RIGI_N_IRRA
:
G() (fonction normalisée de la fluence)
.
KT_ULTM
:
Ktt (pente d'écrouissage)
)
Les caractéristiques élastiques des ressorts K
et K
N
Te sont fournies sous le mot-clé facteur
DISCRET de la commande AFFE_CARA_ELEM. La modélisation suppose que la direction T de
glissement est le y local et que le x local est la direction normale N au contact (pour orienter l'élément
discret, on utilise le mot-clé facteur ORIENTATION de AFFE_CARA_ELEM). Le contact avec frottement
s'écrit dans les directions x et y. Pour la troisième direction z et pour les degrés de liberté de rotation,
la loi de comportement est purement élastique et les caractéristiques de rigidité ne varient pas avec le
temps.
La pente d'écrouissage est une pente de régularisation qui simule un glissement non parfait, mais qui
permet d'obtenir une solution si le crayon n'est soumis à aucun déplacement imposé et entre dans un
régime de glissement pur.
3.1.2 Equations du modèle
Le modèle de contact - frottement est similaire à un comportement de Von Mises en plasticité parfaite :
R 0
N
R = F t R
+ K U
-U
N
( )( N0
N (
N 2
N1 )
R = K U -U
U
avec
= U -U
T
Te (
p
T
T )
T
T 2
T1
R R + K .
T
S
Tl
R = -µ R
S
N
R
p
T
U& = .sgn(R ) =
T
T
RT
avec >
si
0
R = R
T
S
=
si
0
R < R
T
S
K K
K est défini par :
Te
Tt
K =
.
Tl
Tl
K - K
Te
Tt
3.1.3 Intégration de la relation
Elle est faite sur la base d'une intégration purement implicite.
On suppose connue la solution à l'instant précédent t - : R - , R -
T
N
et les déplacements et accroissements de déplacements de l'itération n de l'algorithme de Newton de
STAT_NON_LINE , notés :
U = U - U et U = U (t) - U (t)
T
T 2
T1
N
N 2
N 1
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Le problème s'écrit alors :
R = F(t)
+
0
N
(R
K U
N 0
N
N )
R
R
= K U
T
-
T
Te
T
R
T
R R + . K
T
S
Tl
avec > 0 si R = R
T
S
= 0 si R < R
T
S
Phase de prédiction :
On pose : R
= R- + K . U
Te
T
Te
T
On peut trouver directement R =
{
min ,
0 F(t)(R + K U
N
N 0
N
N )}
Résolution :
·
Si il y a contact, alors R 0 et :
N
- Si
R < R
Te
S alors il n'y a pas de glissement :
= 0 et R = R
T
Te
-
Sinon, il y a glissement :
Pour résoudre, on écrit comme habituellement :
R
R
R = R- + R
= R- + K
U
- K
T
.
= R - K
T
.
T
T
T
T
Te
T
Te
R
Te
Te
R
T
T
R = R + K
-
. +
T
S
Tl (
)
donc en regroupant les termes :
1
R 1 + K
.
R
T
Te
R = Te
T
R = R + K
-
. +
T
S
Tl (
)
soit encore
RT ( R + K . =
T
Te
) R
R
Te
T
R = R + K
-
. +
T
S
Tl (
)
donc R
= ( R + K
Te
T
Te . ) , ce qui permet de trouver (
) :
R
= R + K ( -
+
) + K (
) = R + K ( -
.
.
. ) + (K + K .
Te
S
Tl
Te
S
Tl
Te
Tl ) (
)
puis de trouver R par :
T
R
R
-
Te
=
+
+
.
T
(R K
S
Tl (
)) RTe
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·
Si il n'y a plus contact ( R =
=
N
0 ) alors : RT 0
Pour le calcul de la matrice tangente, l'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente K i
à chaque itération. L'opérateur tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système
discrétisé précédent. On obtient directement :
- si R 0 et > 0 alors
K et
F(t). K
N
=
Tl
=
N
T
N
- sinon
0 et
F(t)
=
=
. K
N
T
N
Remarque :
Dans le cas où il y a décollement ( R
=
N
0), il faut prendre garde au fait que la partie qui est
normalement " tenue " par l'élément discret ne l'est plus. Par exemple, dans le cas d'un
crayon combustible, si aucun des ressorts n'est plus en contact, celui-ci peut " tomber ". En
pratique, pour éviter ces situations, il faut que le ressort modélisé par l'élément discret soit
toujours en compression. Cela peut être spécifié par l'utilisateur à l'aide de l'effort initial, du
coefficient de rigidité et de la fonction F(t).
3.2
Modèle de rotule élastoplastique
3.2.1 Equations du modèle
Elles sont déduites du comportement 3D VMIS_ECMI_TRAC [R5.03.16] : en effet, il s'agit ici de
représenter une relation de comportement de type élastoplastique à écrouissage isotrope quelconque,
superposée à un écrouissage cinématique linéaire, liant le moment Mz (ou Mx) dans l'élément discret
à la différence de rotation des deux noeuds autour de z local (ou x local). On ne s'intéresse donc ici
qu'à la rotation autour de z (ou x) local.
En notant = - et = M = M ,(resp. = - et = M
= M )
z2
z1
z1
z2
x2
x1
x1
x2
Les relations s'écrivent ici encore sous la même forme que les relations de Von Mises 1D [R5.03.09].
Elles peuvent être déduites du comportement VMIS_ECMI_TRAC [R5.03.16], en remarquant que dans
le cas uniaxial, la constante de Prager C doit être multipliée par 3/2. En toute rigueur il faudrait écrire :
3
X
C p
=
, mais ici, on écrit directement : X
C p
= . Elle est fournie par l'intermédiaire du mot clé
2
PRAGER du mot clé facteur DIS_CONTACT de l'opérateur DEFI_MATERIAU.
p
- X
& = p& -
X
= E( - p
)
- X - R(p) 0
p& = 0 si ( - X ) - R(p) <
eq
0
p& 0 si ( - X ) - R(p)
=
eq
0
X =
p
C
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p représente ici une "rotation plastique cumulée" autour de chacune des directions locales z et x. La
fonction d'écrouissage isotrope R( p) est affine par morceaux, donnée sous forme d'une fonction
définie point par point sous le mot clé facteur RELA_MZ du mot clé facteur DIS_CONTACT de
l'opérateur DEFI_MATERIAU. On suppose implicitement que la relation utilisée pour la rotation autour
de Z est identique à celle utilisée pour la rotation autour de x local.
La fonction R( p) est déduite d'une courbe caractéristique du ressort au cours d'un essai de flexion
d'un crayon dans une grille, courbe qui exprime le moment appliqué au crayon en fonction de la
rotation du crayon F = f ( ) qui se traduit avec nos notations en : = f () . R( p) est déduit de f ,
comme dans [bib2] en tenant compte de la linéarité par morceaux de f . Le premier point correspond
à la fin de linéarité, et définit donc à la fois la limite de linéarité analogue à la limite d'élasticité et E
qui est la pente de cette partie linéaire (indépendante de la température pour ce développement).
3.2.2 Intégration de la relation
Par discrétisation implicite directe des relations de comportement, de façon analogue à l'intégration 1D
[R5.03.09] on obtient :
- X - R(p) = - +
- -
X - X
- R( -
p + p) 0
- +
- -
X -
X
E
-
=
E p
- +
- -
X - X
p
0
si - +
- -
X - X = R( -
p + p)
p
= 0 si - +
- -
X - X <
-
R( p + p)
Deux cas se présentent :
·
-
< ( -
X
R p + p
) dans ce cas p = 0 soit =
donc - +
< ( -
R p ),
·
-
=
( -
X
R p + p
) dans ce cas p 0
donc -
R( -
+
p ).
On en déduit l'algorithme de résolution :
posons e
= - +
- X -
si e R( p- ) alors p = 0 et =
si e > R( p- ) alors il faut résoudre :
- X
- X
e = - + - X -
- X + X + E p
= - X + ( E + C)
p
-
X
- X
- X
car X =
C p -
X
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on obtient donc :
E + C
p
e
(
)
= 1 +
( X )
-
X
-
et en prenant la valeur absolue :
(E + C) p
e = 1 +
-
X
-
X
soit, en utilisant
-
=
( -
X
R p + p
).
e = R(p- + p
) + (E + C) p
En tenant compte de la linéarité par morceaux de R( p) , on peut résoudre explicitement cette
équation pour trouver p . Une fois calculé p on en déduit de la façon suivante :
on a la relation de proportionnalité :
e
- X
=
e
R( p)
où X est calculé à l'aide de :
- X
e
e
X =
C p
=
C p
=
C p
-
X
e
R( p) + ( E + C)p
d'où
e
=X +
R(p)
e
De plus, l'option
n
FULL_MECA permet de calculer la matrice tangente K i à chaque itération.
L'opérateur tangent qui sert à la construire est calculé directement sur le système discrétisé précédent.
On obtient directement :
E. R p + C
si e > R( -
p )
( ( ) )
=
=
ET
E + R( p) + C
sinon
=
E
3.3 Variables
internes
La relation de comportement DIS_CONTACT produit 3 variables internes :
·
La première concerne le contact - frottement : elle vaut :
-
1 si il y a glissement,
-
0 si non glissement,
-
1 si décollement.
·
Les deux suivantes concernent le comportement élastoplastique en rotation :
-
la deuxième variable interne est égale à p autour de la direction Z locale,
-
la troisième variable interne est égale à p autour de la direction X locale.
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4
Modélisation des chocs et du frottement : DIS_CHOC
Le comportement DIS_CHOC traduit le contact avec choc et frottement entre deux structures, via deux
types de relations :
·
la relation de contact unilatéral qui exprime la non-interpénétrabilité entre les corps solides,
·
la relation de frottement qui régit la variation des efforts tangentiels dans le contact. On
retiendra pour les présents développements une relation simple : la loi de frottement de
Coulomb.
4.1
Relation de contact unilatéral
Soient deux structures
1/2
1/2
1 et 2 . On note d N
la distance normale entre les structures, FN
la
force de réaction normale de 1 sur 2.
La loi de l'action et de la réaction impose :
F 2 1
/ = -F 1/2
N
N
éq 4.1-1
Les conditions de contact unilatéral, encore appelées conditions de Signorini [bib5], s'expriment de la
façon suivante :
d 1/2 0, F 1/2 0, d 1/2 F 1/2 = 0 et F 2 1
/ = -F 1/2
N
N
N
N
N
N
éq
4.1-2
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F 1/2
N
d 1/2
N
Figure 4.1-a : Graphe de la relation de contact unilatéral
Ce graphe traduit une relation force-déplacement qui n'est pas différentiable. Il n'est donc pas
utilisable de façon simple dans un algorithme de calcul dynamique.
4.2
Loi de frottement de Coulomb
La loi de Coulomb exprime une limitation de l'effort tangentiel
1/ 2
F
de réaction tangentielle de
T
1 sur
.. Soit 1/2
u
par rapport à en un point de contact et soit µ le
2
&
la vitesse relative de
T
1
2
coefficient de frottement de Coulomb, on a [bib5] :
1/ 2
1/ 2
s = F
- µ F
,
0
1/ 2
1/ 2
u&
= F
, ,
0 .s = 0
T
N
T
T
éq
4.2-1
et la loi de l'action et de la réaction :
2 /1
1/ 2
F
= -F
éq 4.2-2
T
T
F1/2
T
Ý
u 1/ 2
1/ 2
u&T
Figure 4.2-a : Graphe de la loi de frottement de Coulomb
Le graphe de la loi de Coulomb est lui aussi non différentiable et n'est donc pas simple à utiliser dans
un algorithme dynamique.
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4.3
Modélisation approchée des relations de contact par pénalisation
4.3.1 Modèle de force normale de contact
Le principe de la pénalisation appliqué au graphe de la figure [Figure 4.3.1-a] consiste à introduire une
1/ 2
F
= f
N
(
1/ 2
d N
)
relation univoque
au moyen d'un paramètre . Le graphe de f doit tendre vers
le graphe de Signorini lorsque tend vers zéro [bib6].
Une des possibilités consiste à proposer une relation linéaire entre
1/ 2
d
et
1/ 2
F
:
N
N
1/ 2
1
1/ 2
1/ 2
F
= - d
si d
;
0
1/ 2
F
= 0 sinon
éq
4.3.1-1
N
N
N
N
1
Si l'on note K
= appelée communément "raideur de choc", on retrouve la relation classique,
N
modélisant un choc élastique :
1/ 2
1/ 2
F
= -K d
éq
4.3.1-2
N
N
N
Le graphe approché de la loi de contact avec pénalisation est le suivant :
F 1/2
N
d 1/2
N
Figure 4.3.1-a : Graphe de la relation de contact unilatéral approchée par pénalisation
Pour tenir compte d'une éventuelle perte d'énergie dans le choc, on introduit un "amortissement de
choc" CN L'expression de la force normale de contact s'exprime alors par :
1/ 2
1/ 2
1/ 2
F
= -K d
- C u
éq
4.3.1-3
N
N
N
N
&N
où
1/ 2
u&
est la vitesse normale relative de par rapport à . Pour respecter la relation de
N
1
2
Signorini (pas d'adhérence en contact), on doit par contre vérifier a posteriori que F 1/2
N
est positive
+
ou nulle. On ne prendra donc que la partie positive
de l'expression [éq 4.3.1-3] :
+
x
= x si x 0
+
x
= 0 si x < 0
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La relation complète donnant la force normale de contact qui est retenue pour l'algorithme est la
suivante:
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2 +
2 /1
1/ 2
si d
0F
= - K d
- C u&
,
N
N
N
N
N
N
N
F
= - N
F
sinon
F 2 1
/ = F 1/2
N
N
= 0.
éq
4.3.1-4
4.3.2 Modèle de force tangentielle de contact
Le graphe décrivant la force tangentielle avec loi de Coulomb est non-différentiable pour la phase
d'adhérence ( 1/2
u&
= 0 . On introduit donc une relation univoque liant le déplacement tangentiel relatif
T
)
1/ 2
d
1/ 2
F
= f
T
(
1/ 2
dT )
et la force tangentielle
au moyen d'un paramètre . Le graphe de f doit
T
tendre vers le graphe de Coulomb lorsque tend vers zéro [bib6].
Une des possibilités consiste à écrire une relation linéaire entre d 1/2
1/2
T
et FT :
en notant 0
a la valeur d'une quantité a au début du pas de temps :
0
1/ 2
1/ 2
1
F
- F
= - d
- d
éq
4.3.2-1
T
T
(
0
1/ 2
1/ 2
T
T
)
1
Si l'on introduit une "raideur tangentielle" KT = , on obtient la relation :
0
1/ 2
1/ 2
F
= F
- K d
- d
éq
4.3.2-2
T
T
T
(
0
1/ 2
1/ 2
T
T
)
Pour des raisons numériques, liées à la dissipation de vibrations parasites [bib7] en phase
d'adhérence, on est amené à ajouter un "amortissement tangentiel" CT dans l'expression de la force
tangentielle. Son expression finale est :
0
1/ 2
1/ 2
F
= F
- K d
- d
- C u
éq
4.3.2-3
T
T
&
F
= -F
T
T
(
0
1/ 2
1/ 2
T
T
)
1/ 2
2 /1
1/ 2
,
T
T
T
Il faut de plus que cette force vérifie le critère de Coulomb, soit :
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
u&
2 /1
1/ 2
F
µ F
applique
on
sinon
T
F
= -µ F
,F
= -F
éq
4.3.2-4
T
N
T
N
1/ 2
T
T
u&T
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Le graphe approché de la loi de frottement de Coulomb modélisée par pénalisation est le suivant :
F 1/2
T
KT
Ý
u 1/ 2
T
Figure 4.3.2-a : Graphe de la loi de frottement approchée par pénalisation
4.4
Définition des paramètres de contact
On précise ici les mots-clés permettant de définir les paramètres de contact, amortissement et
frottement [U4.43.01]
L'opérande RIGI_NOR est obligatoire, il permet de donner la valeur de raideur normale de choc KN .
Les autres opérandes sont facultatifs.
L'opérande AMOR_NOR permet de donner la valeur d'amortissement normal de choc CN .
L'opérande RIGI_TAN permet de donner la valeur de raideur tangentielle KT .
L'opérande AMOR_TAN permet de donner la valeur d'amortissement tangentielle de choc CT .
L'opérande COULOMB permet de donner la valeur du coefficient de Coulomb.
L'opérande DIST_1 permet de définir la distance caractéristique de matière entourant le premier
noeud de choc
L'opérande DIST_2 permet de définir la distance caractéristique de matière entourant le deuxième
noeud de choc (choc entre deux structures mobiles)
L'opérande JEU définit la distance entre le noeud de choc et un obstacle non modélisé (cas d'un choc
entre une structure mobile et un obstacle indéformable et immobile).
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5 Bibliographie
[1]
J. ANGLES : "Modélisation des assemblages filetés..." Note HI74-99-020A
[2]
J.M. PROIX, B. QUINNEZ, P. MASSIN, P. LACLERGUE : "Assemblages combustibles sous
irradiation. Etude de faisabilité". Note HI-75/97/017/0
[3]
G. JACQUART : "Méthodes de Ritz en dynamique non-linéaire - Application à des systèmes
avec choc et frottement localisé" - Rapport EDF DER HP61/91.105
[4]
M. JEAN, J.J. MOREAU : "Unilaterality and dry friction in the dynamics of rigid bodies
collection" Proceedings of the Contact Mechanics International Symposium - ed. A. CURNIER
- Presses Polytechniques et Universitaires Romandes - Lausanne, 1992, pp 31-48
[5]
J.T. ODEN, J.A.C. MARTINS : "Models and computational methods for dynamic friction
phenomena" - Computational Methods Appl. Mech. Engng. 52, 1992, pp 527-634
[6]
B. BEAUFILS : "Contribution à l'étude des vibrations et de l'usure des faisceaux de tubes en
écoulement transversal" - Thèse de doctorat PARIS VI
[7]
Fe WAECKEL, G. DEVESA : « Dossier de spécifications d'un modèle de choc dans la
commande DYNA_NON_LINE du Code_Aster ». Note HP-52/97/026/B
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