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Calcul des caractéristiques d'une poutre de section transversale quelconque Date :
01/09/05
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J.M. PROIX, N. LAURENT, P. HEMON, G. BERTRAND Clé : R3.08.03-C Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IAT St CYR, CS-SI
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document : R3.08.03
Calcul des caractéristiques d'une poutre de section
transversale quelconque
Résumé :
On présente le principe du calcul des différentes grandeurs caractéristiques des sections de poutres. Celles-ci
sont établies à partir des caractéristiques géométriques de la section transversale de la poutre.
Ces valeurs sont à fournir à l'opérande SECTION : 'GENERALE' de l'opérateur AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01].
Pour les déterminer, des méthodes numériques sont présentées, et mises en oeuvre dans la commande
MACR_CARA_POUTRE.
Dans le cas des sections 'RECTANGLE' et 'CERCLE', on calcule directement dans AFFE_CARA_ELEM les
caractéristiques à l'aide de formules simplifiées que l'on explicite ici.
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Table
des
matières
1 Les caractéristiques géométriques........................................................................................................3
1.1 Section quelconque .........................................................................................................................3
1.1.1 Principe...................................................................................................................................3
1.1.2 Calcul des caractéristiques géométriques à l'aide de MACR_CARA_POUTRE .........................5
1.1.3 Calculs effectués ....................................................................................................................6
1.1.4 Exemples d'utilisation : Rectangle plein (traité par le test ZZZZ105G)..................................7
1.2 Cas particulier des sections rectangulaire et circulaire ...................................................................7
2 Les coefficients de cisaillement et le centre de cisaillement .................................................................8
2.1 Méthodes analytiques......................................................................................................................9
2.1.1 Hypothèse de répartition des cisaillements : formule de JOURAWSKI.................................9
2.1.2 Méthode de TIMOSHENKO .................................................................................................10
2.1.3 Méthode "énergétique".........................................................................................................11
2.1.4 Méthode de COWPER .........................................................................................................12
2.2 Cas particulier des sections rectangulaire et circulaire .................................................................12
2.3 Méthode numérique de calcul des coefficients de cisaillement et du centre de cisaillement .......13
2.3.1 Calcul des coefficients de cisaillement :...............................................................................13
2.3.2 Calcul des coordonnées du centre de cisaillement..............................................................15
2.3.3 Exemple................................................................................................................................16
2.4 Calcul des coefficients de cisaillement d'un réseau......................................................................16
3 Les constantes liées à la torsion..........................................................................................................17
3.1 Calcul de C dans le cas des sections quelconques ......................................................................17
3.2 Calcul de la constante de torsion dans MACR_CARA_POUTRE .......................................................20
3.3 Calcul du rayon de torsion dans une section quelconque.............................................................21
3.4 Constante de torsion des sections circulaire et rectangulaire.......................................................21
3.5 Le rayon de torsion efficace ..........................................................................................................23
4 Calcul de la constante de gauchissement ...........................................................................................24
5 Bibliographie ........................................................................................................................................27
Annexe 1
Détermination de la constante de torsion pour des sections a frontières
multiplement connexes ...................................................................................................................28
Annexe 2
Détermination de la constante de cisaillement d'une poutre équivalente à un
ensemble de poutres parallèles ......................................................................................................35
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1
Les caractéristiques géométriques
Hypothèse :
On ne traite ici que les sections transversales de poutres homogènes et isotropes (mêmes
caractéristiques de matériau pour tous les points et dans toutes les directions). La commande
MACR_CARA_POUTRE peut aussi calculer les caractéristiques géométriques d'un ensemble de sections
disjointes.
1.1 Section
quelconque
1.1.1 Principe
Soit une section (S) de surface S dans le plan (0, y, z) dont l'origine O est le centre de gravité G de la
section, [Figure 1.1.1-a].
z
(S)
O
G
y
z
r
Figure 1.1.1-a : section dans le plan (0, y, z)
Le moment d'inertie géométrique de (S) par rapport à l'axe (Oy) (qui passe par le centre de gravité)
s'exprime par :
I = z2 dS
avec
[I] = OM OM dS
y
s
s
On définit de façon similaire le moment géométrique par rapport à (Oz) par :
I = y dS
z
2
s
Lorsque le moment géométrique centrifuge (appelé souvent produit d'inertie d'aire) défini par
I = y z dS
yz
est nul, les axes (Oy) et (Oz) sont des axes principaux de la section (S). On se
s
place pour la suite dans cette hypothèse ; I y et Iz sont alors appelés les moments géométriques
principaux.
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D'une manière générale, nous devons nous placer dans les axes principaux d'une section de poutre
pour tout ce qui concerne ses caractéristiques puisque les éléments de poutre du Code_Aster sont
formulées dans ce repère. Partant d'une origine située au centre de gravité, il suffit, pour passer d'un
système d'axes quelconque (G, y', z') au système d'axes principal (G, y, z), d'effectuer une rotation
d'angle telle que [Figure 1.1.1-b] :
1
2 I
= Arctg
y'z'
2
I
z' - I y'
z
z'
z
P
y
G
y
(G, y, z) Axes principaux
(G, y' ,z') Axes quelconques
y'
Figure 1.1.1-b : Axes principaux et quelconques
Le moment géométrique polaire par rapport au centre de gravité est donné par :
I = r dS
p
2 où r est la distance de l'élément dS au centre de gravité [Figure 1.1.1-a].
s
On en déduit naturellement I = I + I
p
y
z
Le moment géométrique polaire intervient dans le calcul de la rigidité de torsion des poutres de section
circulaire (torsion de Saint Venant). Pour les autres formes de sections, on définira une constante de
torsion de même dimension.
De plus, les moments géométriques peuvent être calculés dans un autre repère (P, y, z), d'origine P
quelconque différent du centre de gravité G (formule de Huygens) :
I P
I G
=
+ (GP.Z)2 S =
z2 dS
+ (GP.Z)2
.
.S
y
y
s
I P
I G
=
+ (GP.Y)2 S =
y2 dS
+ (GP.Y)2
.
.S
z
z
s
I P
I G
=
+ (GP.Y)(GP.Z).S =
yz dS
+ (GP.Y)(GP.Z).S
yz
yz
s
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de façon générale, la formule de Huygens donne :
[I] = (PG + GM) (PG + GM)
s
= PG PG + GM GM
s
s
+ 2 PG GM
s
= S(PG PG) + GM GM
s
1.1.2 Calcul des caractéristiques géométriques à l'aide de MACR_CARA_POUTRE
Cette macro-commande permet la détermination des caractéristiques d'une section transversale de
poutre à partir d'un maillage 2D de la section [U4.42.02]. Elle permet de construire une table de
valeurs, utilisables dans la commande AFFE_CARA_ELEM (SECTION : 'GENERALE' [U4.42.01]).
Les caractéristiques géométriques peuvent être calculées sur le maillage complet, demi maillage avec
symétrie par rapport à X ou à Y, quart de maillage avec deux symétries par rapport à X et à Y
[Figure 1.1.2-a].
Ces caractéristiques sont calculées dans la table pour tout le maillage et pour chaque groupe de
mailles de la liste précisée par l'utilisateur (cas d'un réseau de poutres).
Les données correspondent à une moitié ou un quart de la section si les mots clés SYME_X ou SYME_Y
sont présents.
z(principal)
Y
Y
y (principal)
CDG_X
R_MAX
Z_MAX
Y_MAX
G
X
Y_MIN
CDG_Y
Z_MIN
O
ALPHA
X
Figure 1.1.2-a : Définition des caractéristiques géométriques
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Les résultats sont regroupés en quatre groupes :
1) Dans le repère OXY de description du maillage 2D pour le maillage fourni par l'utilisateur
· aire : AIRE_M
· position du centre de gravité : CDG_X_M, CDG_Y_M
· moments et produit d'inertie d'aire, au centre de gravité G dans le repère GXY : IX_G_M,
IY_G_M, IXY_G_M
2) Dans le même repère global, pour le maillage obtenu par symétrisation si SYME_X ou SYME_Y :
· aire : AIRE
· position du centre de gravité : CDG_X, CDG_Y
· moments et produit d'inertie d'aire, au centre de gravité G dans le repère GXY : IX_G, IY_G,
IXY_G
3) Dans le repère principal d'inertie Gyz. de la section droite, dont la dénomination correspond à celle
utilisée à la description des éléments de poutre de fibre neutre Gx [U4.24.01].
· moments d'inertie d'aire principaux dans le repère Gyz, utilisables pour le calcul de la rigidité
de flexion de la poutre : IY_PRIN_G et IZ_PRIN_G
· angle de passage du repère GXY au repère principal d'inertie Gyz : ALPHA
· distances caractéristiques, par rapport au centre de gravité G de la section pour les calculs de
contraintes maximales : Y_MAX, Y_MIN, Z_MAX, Z_MIN et R_MAX.
4) Dans le repère global, en un point P fourni par l'utilisateur :
· X_P, Y_P : point de calcul des moments d'inertie
· IX_P, IY_P, IXY_P : moments d'inertie dans le repère PXY
· IY_PRIN_P, IZ_PRIN_P : moments d'inertie dans le repère Pyz.
1.1.3 Calculs
effectués
La liste des commandes appelées par MACR_CARA_POUTRE est indiqué dans le document [U4.42.02].
Les quantités précédentes sont obtenues par l'appel à POST_ELEM, pour l'option 'CARA_GEOM'. De
plus, on peut y ajouter les mots-clés SYME_X, SYME_Y, et ORIG_INER qui définit le point P.
Les calculs sont effectués dans POST_ELEM, pour tout le maillage, puis éventuellement pour chaque
groupe de mailles, de la façon suivante :
1) Boucle sur les éléments 2D (modélisation D_PLAN), avec appel de l'option élémentaire
'MASS_INER'. On obtient un CHAM_ELEM avec une valeur par élément (1 point de Gauss)
contenant les composantes :
dS,
x dS,
y dS,
x2 dS,
y2
dS, xy dS
elément
élément
elément
s
s
s
2) Sommation des quantités élémentaires précédentes pour obtenir : AIRE_M, CDG_X_M, CDG_Y_M,
IX_G_M, IY_G_M, IXY_G_M
3) Calcul
de
AIRE, CDG_X, CDG_Y, IX_G, IY_G, IXY_G (prise en compte de SYME_X, SYME_Y)
4) Calcul
de
IY_PRIN_G, IZ_PRIN_G, ALPHA
5) Calcul
de
Y_MAX, Z_MAX, Y_MIN, Z_MIN, R_MAX
6) Si on précise un point P particulier (mot-clé ORIG_INER), on calcule aussi les caractéristiques
dans le repère global d'origine P : PXY
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1.1.4 Exemples
d'utilisation
: Rectangle plein (traité par le test ZZZZ105G)
y
b
b
b = 0.01
GR2
h
h = 0.025
0
x
GR1
h
Caractéristiques géométriques obtenues
LIEU AIRE_M
CDG_X_M
CDG_Y_M
IX_G_M
IY_G_M
IXY_G_M
0.000003
1.00E-03
4.24E-18
-3.39E-18
2.08E-07
3.33E-08
2.65E-23
GR1
5.00E-04
2.20E-17 -1.25E-02 2.60E-08
1.67E-08
3.97E-23
GR2
5.00E-04
-8.47E-18 1.25E-02
2.60E-08
1.67E-08
5.62E-23
LIEU
AIRE
CDG_X CDG_Y IX_G IY_G IXY_G IY_PRIN_G IZ_PRIN_G ALPHA
0.000003 1.00E-03 4.24E-18 -3.39E-18 2.08E-07 3.33E-08 2.65E-23 3.33E-08 2.08E-07 9.00E+01
GR1
5.00E-04 2.20E-17 -1.25E-02 2.60E-08 1.67E-08 3.97E-23 1.67E-08 2.60E-08 9.00E+01
GR2
5.00E-04 -8.47E-18 1.25E-02 2.60E-08 1.67E-08 5.62E-23 1.67E-08 2.60E-08 9.00E+01
LIEU X_P
Y_P IX_P
IY_P
IXY_P
IY_PRIN_P
IZ_PRIN_P
0.000003
0.00E+00 0.00E+00
2.08E-07 3.33E-08
2.65E-23
3.33E-08
2.08E-07
GR1
0.00E+00 0.00E+00
1.04E-07 1.67E-08
-9.79E-23
1.67E-08
1.04E-07
GR2
0.00E+00 0.00E+00
1.04E-07 1.67E-08
3.31E-24
1.67E-08
1.04E-07
LIEU Y_MAX Z_MAX Y_MIN Z_MIN R_MAX
0.000003
2.50E-02
1.00E-02
-2.50E-02
1.00E-02
2.69E-02
GR1
1.25E-02
1.00E-02 1.25E-02
1.00E-02
3.36E-02
GR2
-1.25E-02 -1.00E-02 -1.25E-02 -1.00E-02 3.36E-02
1.2
Cas particulier des sections rectangulaire et circulaire
Les caractéristiques géométriques sont directement calculées dans AFFE_CARA_ELEM à partir des
données de l'utilisateur.
y
epy
z
G
hy
epz
hz
Figure 1.2-a : section rectangulaire
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Dans le cas de la poutre rectangulaire (Opérande SECTION : 'RECTANGLE'), le calcul donne :
1
I
3
3
y =
h h
- h - 2 ep
h
- 2 ep
12 [
y z
( y
y ) ( z
z ) ]
1
3
I = h h 3 - (h
-
2 ep
)
- 2
12
(h ep
z
z
y
z
z
y
y )
y
R
G
z
ep
Figure 1.2-b : section circulaire
Pour la section circulaire (Opérande SECTION : 'CERCLE'), on obtient :
4
4
I = I
=
4
4
-
-
-
-
4 [R
(R
ep
) ]
I = 2 [R
(R
ep
y
z
p
) ]
2
Les coefficients de cisaillement et le centre de cisaillement
1
1
Il s'agit d'évaluer les coefficients A =
, A
y
=
intervenant dans les modèles de poutres de
k
z
k
y
z
Timoshenko avec prise en compte des déformations de cisaillement. Pour les poutres d'EULER, ces
coefficients n'interviennent pas [U4.42.01 §7.4.2] et [R3.08.01 §2.3.1]. Ces coefficients sont obtenus
pour un comportement élastique linéaire.
Dans le cas des sections quelconques, les coefficients de cisaillement sont à fournir par l'utilisateur
dans AFFE_CARA_ELEM, si l'élément choisi est une poutre de TIMOSHENKO (modèles POU_D_T,
POU_C_T, POU_D_TG et POU_D_TG_M).
Dans le cas des sections circulaires ou rectangulaires, les coefficients de cisaillement sont calculés
par des méthodes analytiques du [§2.1].
Dans tous les cas, ils peuvent être calculés par MACR_CARA_POUTRE, à partir du maillage plan de la
section. La méthode numérique utilisée est exposée au [§2.3]. Cette méthode s'applique à des
sections quelconques (de matériau homogène et isotrope). En annexe 2, on décrit une extension de
cette méthode au cas d'un réseau de poutres parallèles maintenues entre deux planchers rigides.
La position du centre de torsion (ou centre de cisaillement) ne s'obtient que par des méthodes
numériques (cf. [§2.3]). Pour les sections rectangulaires et circulaires, comme pour toutes les sections
à 2 plans de symétrie, le centre de torsion est confondu avec le centre de gravité de la section.
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2.1 Méthodes
analytiques
On décrit trois méthodes analytiques permettant de calculer des coefficients de cisaillement,
applicables aux sections quelconques.
Les deux premières méthodes diffèrent par la définition qu'elles proposent du coefficient de
cisaillement, mais reposent sur une même hypothèse qui consiste à postuler la forme de la répartition
des contraintes de cisaillement dans la section.
2.1.1 Hypothèse de répartition des cisaillements : formule de JOURAWSKI
Considérons par exemple le cas d'une poutre de section droite S, soumise à un effort tranchant
V = dS
y
xy . On écrit l'équilibre d'une partie prismatique de la poutre, comprise entre les sections
s
droites Sx et Sx+a et entre le plan de coupe situé à l'ordonnée y et ymax (réf. [bib8]). Les efforts
agissant sur cette partie de poutre sont les vecteurs contraintes sur les faces Sx et Sx+a , et ceux
agissant sur la face située en y .
ymax
b(z)
y
x
x+a
z
S x
S x+a
Figure 2.1.1-a
En appliquant le théorème de la résultante, on obtient :
b( y)
x+a
2
xx (x, y, z)dy d
z -
(x,y,z)dy dz
= N(x + a, y)- N(x, y) =
b( y)
(,y,z)
d dz
S
xx
S
xy
x
x+a
x
- 2
Pour évaluer le terme de droite, JOURAWSKI a proposé de ne considérer que la moyenne des
cisaillements suivant z :
b
1
2
xy (x, y) = (
x, y, z dz
b y) b xy(
)
-2
alors
x+
b( y)
a
x a
2
b( y) xy ( , y, z)
+
d d
z
b( y ) , y d
x
=
xy (
)
-
x
2
et en faisant tendre a vers 0,
N = (by) (x,y
xy
)
x
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Les équations d'équilibre de poutre et la répartition des contraintes de flexion (en élasticité) donnent :
M (x). y
M (x)
y
N(x, y) = (x, y,z)dydz
z
=
dydz =
z
m( y)
max
avec m (y)
xx
=
t b (t) dt
S
S
x
x
Iz
Iz
y
donc
m( y) M
( )
z
m y
xy (x,y) =
=
Vy
Iz b(y) x
Iz b(y)
La répartition des cisaillements suivant y est donc donnée par la formule de JOURAWSKI :
( )
m y
ymax
xy (x,y) =
Vy
avec
m(y) =
t b(t) dt
éq
2.1.1-1
Iz b(y)
y
conformément à [U4.24.01], avec les notations de la [Figure 2.1.1-b]. La quantité m (y) représente le
moment statique de la part de section (hachurée) comprise entre y et ymax :
y
b (y)
ymax
(
m y$) = y dy dz
sy$
G
z
Figure 2.1.1-b : section de poutre
Cette répartition vérifie bien les conditions aux limites suivant y du problème tridimensionnel: le
cisaillement est bien nul sur les fibres inférieure et supérieure ( y = ymin , ou y = ymax ). Mais elle ne
tient compte que de la moyenne des cisaillements suivant z.
En appliquant cette formule à une section rectangulaire pleine, on trouve une répartition parabolique
suivant y. En l'appliquant à une poutre de section circulaire, on trouve une répartition parabolique en y
et en z, qui varie plus lentement suivant z que suivant y.
Ceci reste valable pour les autres sections pleines. Pour des sections comportant des trous, il faut
prendre garde de ne considérer que la matière dans le calcul de b( y) .
2.1.2 Méthode de TIMOSHENKO
A l'origine, TIMOSHENKO (réf. [bib9]) a proposé une définition simple du coefficient de cisaillement,
comme étant le rapport entre la contrainte de cisaillement transverse moyenne dans la section notée
CT et sa valeur maximale (CT
. Du fait que nous avons toujours l'effort tranchant par :
Max )
V =
dS
éq
2.1.2-1
s
CT
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nous déduisons :
V
CT =
.
S
Sachant que TIMOSHENKO propose d'écrire :
k
CT
=
éq
2.1.2-2
CTMax
pour déterminer k , il suffit d'exprimer l'effort tranchant V =
dS
[éq 2.1.2-1] en fonction de
s
CT
CT . Dans le cas général des sections quelconques, il y aura naturellement deux coefficients k
Max
y
et kz , pour chacun des deux axes principaux.
Il reste à déterminer CT
. Pour cela, TIMOSHENKO fait une hypothèse sur la répartition des
Max
contraintes de cisaillement transverse : la contrainte de cisaillement transverse a une distribution
parabolique dans la direction de l'effort tranchant qui la produit, avec sa valeur maximale au centre et
des valeurs nulles aux bords. Ceci est vrai suivant la formule de JOURAWSKI pour une section
rectangulaire. Par extension, la méthode étend cette hypothèse de répartition parabolique à une
section quelconque
Cette méthode n'est pas appliquée dans le Code_Aster, sauf pour les sections rectangulaires creuses.
On utilise la méthode suivante dans les autres cas.
2.1.3 Méthode
"énergétique"
En réalité, la définition proposée par TIMOSHENKO s'avère peu utilisée en pratique aujourd'hui ; on lui
préfère une formulation basée sur l'énergie interne due au cisaillement dans la section. Celle-ci s'écrit :
2
U
CT
=
dS
CT
1
s 2
G
où G est le module de cisaillement (égal à µ ).
La nouvelle définition du coefficient de cisaillement est parfois attribuée à MINDLIN et s'exprime par :
1 V 2
UCT =
éq
2.1.3-1
2 k S
G
De ce fait, par substitution, on définit ainsi pour une section de matériau homogène le coefficient de
cisaillement par :
[
2
dS
CT
2
s
]
V
k =
=
éq
2.1.3-2
S 2 d
S
S 2 dS
CT
s
CT
s
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Calcul des caractéristiques d'une poutre de section transversale quelconque Date :
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En faisant une hypothèse sur la répartition de contrainte dans la section, on peut ainsi estimer la
valeur de k . A partir de la formule de JOURAWSKI [éq 2.1.1-1], l'expression précédente peut s'écrire
(réf. [bib5]) :
I 2
k =
éq
2.1.3-3
m2 ( y)
S
dS
S b2 (y)
2.1.4 Méthode de COWPER
On peut aussi prendre en compte les effets tridimensionnels pour déterminer le coefficient k ;
différentes formulations ont été proposées, en particulier par COWPER [bib3] et reprises par BLEVINS
[bib2], en se fondant sur la résolution du problème tridimensionnel de Saint-Venant.
Dans ce cas, le coefficient k est une fonction du coefficient de POISSON, en général une
approximation au premier ordre. COWPER utilise les équations tridimensionnelles de l'élasticité dans
le cas dynamique pour proposer une expression de k donnant de bons résultats en statique et en
dynamique à basse fréquence. L'approximation qui permet d'aboutir à la formule proposée consiste à
considérer une répartition de contrainte non pas parabolique, mais résultant du problème statique
(résolu analytiquement) de la poutre cantilever chargée transversalement à son extrémité libre. Il est à
noter que la répartition obtenue est strictement identique au problème avec un chargement transverse
uniformément réparti.
2.2
Cas particulier des sections rectangulaire et circulaire
On distingue les poutres pleines et les tubes.
Pour la section rectangulaire pleine, le coefficient de cisaillement est déterminé par la méthode basée
sur l'énergie interne de cisaillement avec répartition parabolique des contraintes
I 2
k
z
y =
[éq 2.1.3-3]. Appliqué à la section rectangulaire, on obtient
m 2 ( y)
S
z
dy
S b2 (y)
z
5
k = k
y
z =
. A noter que cette valeur correspond également à la méthode de COWPER lorsque
6
le coefficient de POISSON est pris égal à zéro.
Pour le tube rectangulaire, le Code_Aster utilise la méthode de TIMOSHENKO qui conduit à
2
k = k
y
z =
.
3
Dans le cas des poutres à section circulaire pleine, on utilise la méthode énergétique qui conduit à
9
k = k
y
z =
. Cette valeur est également obtenue par la méthode de COWPER lorsque le
10
1
coefficient de POISSON est égal à
.
2
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Pour les tubes circulaires, on distingue les tubes à paroi fine et ceux à paroi épaisse. Si l'on note
r
m
i
= r le rapport du rayon interne au rayon externe, un tube est à paroi fine lorsque m 0.9, sinon
e
il est à paroi épaisse.
Le coefficient de cisaillement du tube circulaire à paroi fine est donné par la méthode de COWPER, en
1
considérant que m = 1 et pour un coefficient de POISSON nul, soit k = k
y
z =
.
2
Pour les tubes circulaires à paroi épaisse, on utilise une formule approchée de la méthode de
COWPER qui s'écrit :
1
k =
.
1
093 + ,
0 634 m + ,
1156 m2 ,
0
905 m3
,
-
Remarquons que cette formule n'assure pas la continuité avec les cas limites du cylindre plein (m = 0)
et du cylindre à paroi infiniment mince (m = 1).
Si les choix précédents (effectués par AFFE_CARA_ELEM dans le cas des sections circulaires et
rectangulaires) ne conviennent pas, il est toujours possible de calculer numériquement les coefficients
de cisaillement à l'aide de MACR_CARA_POUTRE, dont la méthode est précisée dans le § suivant.
2.3 Méthode numérique de calcul des coefficients de cisaillement et du
centre de cisaillement
2.3.1 Calcul des coefficients de cisaillement :
Cette méthode s'inspire de la réf. [bib1], page 62. Elle permet la détermination simultanée des
constantes de cisaillement et du centre de torsion. Elle est mise en oeuvre dans MACR_CARA_POUTRE,
à partir d'un maillage plan de la section. Elle ne fonctionne actuellement que pour des sections
homogènes et isotropes (pour des sections non homogènes, la méthode est similaire [bib1] mais non
disponible dans le Code_Aster).
Comme pour la méthode énergétique, on compare pour un effort tranchant Vz l'énergie interne U1
due au cisaillement dans la section avec l'énergie U2 associée au modèle de MINDLIN :
2
2
2
1 xy + xz
1 V
U =
dS = U
z
1
=
s 2
G
2
2 k SG
z
1 V 2
Le coefficient de cisaillement s'exprime par : k
z
z =
2 SGU1
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Il faut donc calculer U1 et donc les contraintes de cisaillement (en élasticité) dans la section pour
estimer la valeur de k .On se place dans le repère principal d'inertie (G, y, z), et on suppose que la
poutre n'est soumise qu'à un effort tranchant Vz . Il en résulte que :
M y(x)
xx = z Iy
xx
z
V
= z
x
I y
Les équations d'équilibre permettent d'écrire :
xx
xy
xz
xy
xz
z
V
+
+
= 0 =
+
+ z
x
y
z
y
z
I y
D'autre part, la cinématique de la poutre en flexion/cisaillement est :
(ux,y,z) = (ux) + z
~
y(x) + u (y,z)
v(x, y,z) = 0
(
w x, y, z) = (
w x)
~
u (y,z) représentant le déplacement axial dû au gauchissement de la section. Les déformations
s'écrivent :
(
u x)
y(x)
xx =
+
z
x
x
u~(y,z)
2xy =
y
u~(y,z)
2
w x
xz = y (x)
( )
+
+
z
x
En utilisant la relation de comportement de l'élasticité linéaire, les contraintes s'écrivent :
u~(y,z)
xy = 2µxy = µ y
u~(y,z)
w x
2
xz = µxz = µ y (x)
( )
+
+
z
x
Les composantes de cisaillement vérifient donc :
xy xz
-
= 0
z
y
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Cette relation permet d'introduire la fonction de contraintes z telle que les contraintes de cisaillement
dans la section s'écrivent :
z
xy = µ y
z
xz = µ z
L'équation d'équilibre permet alors d'obtenir la fonction z par résolution d'un problème
quasi-harmonique qui s'écrit :
zV
G + f = 0 dans S
z
z
avec f = Iy
G
z = 0 sur S
n
z = 0 en un point
Ceci permet de calculer z puis les cisaillements. En pratique, dans MACR_CARA_POUTRE, on utilise
THER_LINEAIRE pour résoudre le problème, en assimilant z à la température. On choisit Vz =1 et
G=1 (G n'intervient plus dans l'expression du coefficient de cisaillement). Les conditions aux limites de
ce problème de thermique stationnaire sont :
zV
· source f valant
z
Iy
· flux nul sur S
· température nulle en un point de S
1
2
2
xy +xz
1
2
On peut ensuite déterminer U z =
dS =
G
par un calcul
1
( z)
s 2
G
2 s
élémentaire sur tous les éléments de la section, avec l'option 'CARA_CISA' (calcul du gradient), puis
1 V 2
sommation sur ces éléments. On calcule alors k
z
z = 2 SGUz
1
1 V 2y
Le même calcul est effectué avec Vy = 1 pour déterminer k y =
y
2 SGU1
1
1
Le résultat fourni est A =
, A
y
=
.
k
z
k
y
z
2.3.2 Calcul des coordonnées du centre de cisaillement
Le centre de cisaillement C est le point de la section où les contraintes de cisaillement dues à un effort
tranchant engendrent un moment de torsion nul. Ce point est aussi appelé centre de torsion, car il
reste fixe quand le section est seulement soumise à un moment de torsion.
Le moment de torsion par rapport au point G vaut : MxG = ( . y - .z)dS
xz
xy
s
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Le moment de torsion par rapport au point C cherché est :
MxC = ( .(y - y )- (z - z ) dS = M - y V + z V
xz
c
xy
c
s
xG
c z
c y
Pour déterminer les coordonnées du centre de cisaillement, on utilise le calcul précédent [bib1] :
A partir des contraintes de cisaillement déterminées pour Vz =1 et Vy =0, on calcule :
M z = . - .
xG
( y
z
xz
xy
s
)dS
M z
On obtient : y
xG
=
= z
c
M
xG
Vz
M y
y
Pour V
xG
y =1 et Vz =0, on obtient : z = -
= -
c
M
xG
Vy
2.3.3 Exemple
Reprenons l'exemple de la section rectangulaire [§1.1.4].
y
b
b
b = 0.01
GR2
h
h = 0.025
0
x
GR1
h
Les coefficients de cisaillement obtenus sont identiques à la valeur analytique (6/5).
LIEU AY AZ EY
EZ
tout 1.20E+00 1.20E+00 8.72E-19 3.16E18
Les coordonnées du centre de torsion EY et EZ (dans le repère principal (G, y, z)) sont nulles : le
centre de cisaillement/torsion est effectivement confondu avec le centre de gravité.
2.4
Calcul des coefficients de cisaillement d'un réseau
La méthode décrite en annexe 2 permet de calculer des coefficients de cisaillement d'une poutre
équivalente à un ensemble de poutres parallèles encastrées sur un plancher rigide et encastrées ou
rotulées sur un autre.
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3
Les constantes liées à la torsion
La constante de torsion notée C doit permettre de tenir compte du gauchissement des sections
droites (non circulaires) lors d'une déformation en torsion. Elle est utilisée dans les modèles de poutres
droites traités par Aster (EULER, TIMOSHENKO et TIMOSHENKO gauchie ou POU_D_E, POU_D_T,
POU_C_T et POU_D_TG). Dans le cas des sections circulaires, les sections ne sont pas gauchies et la
constante de torsion est égale au moment géométrique polaire I p . La constante de torsion C est
définie comme le moment nécessaire pour produire une rotation de 1 radian par unité de longueur
divisé par le module de cisaillement , soit :
M
C
x
=
éq 3-1
x
µ x
C a la même dimension que les moments d'inertie géométriques I
et I
y
z soit M 4 .
Pour une section circulaire, la définition [éq 3-1] est cohérente puisque nous avons :
M =
µ I
x
x
p .
x
La détermination de C dans le cas général se fait de façon numérique (MACR_CARA_POUTRE) et se
réduit à un calcul de Laplacien en 2D. La méthode présentée ici est détaillée dans la réf. [bib1] [§3.6.3]
pour les sections simplement connexes. Une méthode originale pour le calcul des constantes de
torsion avec sections trouées est détaillée en annexe. On donne ici les résultats.
3.1
Calcul de C dans le cas des sections quelconques
La résolution complète du problème se trouve en annexe. On donne ici simplement les résultats.
Suivant les hypothèses de la théorie de la torsion pure de Saint-Venant, il n'y a pas de déformation de
la ligne moyenne et pas d'allongement le long de l'axe longitudinal. La torsion est libre, c'est à dire
qu'elle ne génère pas de contraintes axiales. En d'autres termes, les sections peuvent gauchir
librement. Si l'on reste en petits déplacements, on admet que l'angle de rotation des sections droites
vaut :
x
x ( )
x = x = .x
éq
3.1-1
x
z
()
(S)
M (y, z)
G
y
C
Figure 3.1-a
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Si le point C est le centre de torsion (qui par définition reste immobile quand la poutre est soumise à
une torsion), le champ de déplacement u ( M ) est donné par [bib1] :
x
( ,
y z)
u
x
x
x
x
(y z)
,
x
x
x
u ( M ) = v =
0
x
(y - y
= -
x (z -
c
z )
c ) +
0
x
w
0
(z - z
c )
0
x
x (y - yc)
x
où (
)
,
y z est la fonction de gauchissement.
La loi de HOOKE s'écrit :
= 2µ
(
+
E - 2µ) Trace (
) I
1
où I est la matrice unité et le tenseur des déformations vaut =
(grad ( ) + T
u
grad (u ))
2
2
En négligeant les termes du second ordre, en
x
x2 , on aboutit à :
0
-
z
+
y
0
-
y
z
z
y
x
x
=
µ
-
µ
z
0
0
=
0
0
éq
3.1-2
x y
x z
+
-
0
0
y
0
0
z
y
On a posé : (
)
,
y z fonction de contrainte. On note que la relation d'équilibre div = 0 est alors
vérifiée.
En dérivant, on obtient :
2
2
= -
- 1
2
y
z y
2
2
=
- 1
.
2
z
y z
En additionnant les deux équations, on aboutit à :
= -2
éq 3.1-3
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Il reste à établir les conditions aux limites. On note n la normale dirigée vers l'extérieur à la frontière
() qui peut être multiplement connexe :
0
n
n
i
Sans chargement extérieur, on doit avoir n = 0 , ce qui peut s'écrire
:
n
-
y
nz
z
y
µ
x
0
=
0 où n
x
y et nz sont les deux composantes de la normale.
0
Cette écriture peut ainsi se mettre sous la forme n grad = 0 qui implique que les vecteurs n et
grad sont colinéaires. Il s'ensuit donc que (y, z) est constante sur chaque composante connexe
de la frontière (). On peut imposer par exemple que (y, z) soit nulle sur le contour extérieur :
= 0 sur 0 =
= i sur i
Dans le cas où les sections comportement des trous, les constantes i sont indéterminées. Pour
permettre la résolution du problème complet, il faut ajouter des équations. Celles-ci sont obtenues à
partir de la circulation de la fonction de gauchissement sur chaque contour fermé. On obtient les
conditions suivantes :
dl
= 2 (
i )
i
n
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où (
i ) est l'aire entourée par la frontière ( i). Ces conditions se ramènent à des conditions
classiques de flux imposé (où l( i ) représente la longueur de la frontière i ) :
2 (
i )
=
n
l( i )
Finalement, le problème à résoudre s'écrit :
= -2 sur
= 0 sur 0 =
= i sur i
2 (
i )
=
n
l( i )
n-1
Une fois résolu ce problème, on obtient la constante de torsion par : C = 2 ds +
2 i
(
i ).
i=1
3.2
Calcul de la constante de torsion dans MACR_CARA_POUTRE
Ce calcul s'effectue dans MACR_CARA_POUTRE par la résolution d'un problème de thermique. Il faut
pour cela que l'utilisateur précise à MACR_CARA_POUTRE le groupe de maille qui définit le bord
extérieur, et si la section comporte des trous, les groupes de mailles qui définissent le contour de
chacun d'entre eux.
On résout alors un problème de thermique linéaire (THER_LINEAIRE) sur un maillage plan de la
section pour trouver la fonction . On se place tout d'abord dans le repère principal d'inertie
(CREA_MAILLAGE), à partir des coordonnées du centre de gravité et de l'orientation du repère principal
calculés précédemment.
On définit ensuite les conditions aux limites dans AFFE_CHAR_THER :
· Le terme source vaut 2
· La température du bord extérieur est imposée et vaut 0 (TEMP_IMPO)
· Et si la section comporte des trous (présence d'un ou plusieurs groupes de mailles les
définissant) :
- Sur chaque groupe de maille définissant un trou, la température est constante
(TEMP_UNIF)
-
Le flux vaut 2 fois l'aire du trou divisée par la longueur de son bord. Ces quantités sont
calculées auparavant .
· Le calcul de C est effectué dans POST_ELEM par le mot-clé CARA_TORSION du mot-clé facteur
CARA_POUTRE. Dans ce cas, on calcule sur chaque élément l'intégrale de , (option
CARA_TORSION sur les éléments thermiques plans), puis on effectue la somme sur tous les
éléments.
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Exemple :
Reprenons encore l'exemple de la section rectangulaire [§1.1.4].
Les coefficients de cisaillement obtenus sont :
LIEU
CT [éq 3.3.2] CT (Aster)
tout 9.9805E-08
9.9681E-08
3.3
Calcul du rayon de torsion dans une section quelconque
Le rayon de torsion est calculé grâce au calcul de la fonction de contraintes sur le maillage de la
section. Rt est ajouté dans la table produite par MACR_CARA_POUTRE [U4.42.02].
La résolution d'un problème thermique stationnaire d'inconnue permet de déterminer la constante
de torsion et les contraintes de cisaillement.
La détermination du rayon de torsion Rt est la résolution de :
Rt = grad( ).n
(ou n représente le vecteur normal extérieur au bord considéré de la section)
Rt varie le long du contour externe; en effet, pour une section quelconque, les cisaillements dus à la
torsion varient sur le bord. On choisit de prendre la valeur de Rt conduisant aux cisaillements
maximum sur le bord externe, c'est à dire la valeur maximum de Rt (en valeur absolue) sur le contour
externe.
De plus, si la section est alvéolée, on a plusieurs "plusieurs rayons de torsion" : Rt = 2*A(k)/L(k) (ou
A(k) représente l'aire de l'alvéole k et L(k) son périmètre). Si on se contente de rechercher la valeur
maximale du cisaillement, il faut prendre le maximum des valeurs Rt obtenues sur le bord externe et
sur les alvéoles.
Le rayon de torsion est déterminé dans MACR_CARA_POUTRE uniquement par des commandes
python. Lors du déroulement de MACR_CARA_POUTRE la commande POST_ELEM est appelée, un
nouveau paramètre RT est donc créé pour cette commande.
3.4
Constante de torsion des sections circulaire et rectangulaire
Des expressions simplifiées pour ces deux types de sections sont décrites ici. Le calcul des
constantes de torsion est alors directement effectué dans AFFE_CARA_ELEM.
Pour la section circulaire les expressions précédentes restent valides. En prenant une fonction de
1
torsion de la forme (
y z)
,
= ( R2
x2
y2
-
-
) on retrouve effectivement :
2
C = I = (R4 - R4
p
1 )
2
0
Pour la section rectangulaire, le calcul est naturellement plus complexe mais peut s'effectuer en
choisissant une fonction qui s'annule effectivement aux bords , de la forme :
y
(
z
,
y z)
=
A
ij cos (
i
2 + )
1 cos (
2 j + )
1
.
h
h
i=0 j=0
y
z
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: 22/42
La résolution entraîne à une constante de torsion qui s'écrit :
h
3
3
c
y
h h
h
y
z
y
h
C =
c
= h h
z
3
éq
3.4-1
h 2 + h 2
h
y
z
2
y
z
z
h
z
1 +
h
y
hy
où c
s'exprime sous la forme d'une série qui prend les valeurs suivantes :
hz
hy
1
2
4
8
hz
h
c
y
0 281
,
0 286
,
0 299
,
0 312
,
1/ 3
hz
En fait, le Code_Aster emploie une formule simplifiée (réf. [bib1]) pour la section rectangulaire pleine
qui s'écrit :
h h 3
5
y z
16
h
h
C
z
z
=
- ,
3 36
+ ,
0 280
16
3
h
h
éq
3.4-2
y
y
Elle est valable si h > h
y
z ; dans l'autre cas il suffit d'échanger les places respectives de h et h
y
z . La
concordance entre les deux expressions est très bonne comme l'indique le tableau suivant :
h
1 2 4 8
y
hz
C
0,1405
0,2288
0,2814
0,3072
1/3
h h
y 3 selon [éq 3.3-1]
z
C
0,1408
0,2289
0,2809
0,3071
1/3
h h
y 3 selon Aster [éq 3.3-2]
z
Pour la poutre rectangulaire creuse, il existe une solution approchée qui s'écrit (réf. [bib2] et [bib6]) :
2
2
2 ep ep
y
z (h - e
p
y
y ) (h - ep
z
z )
C =
h ep - ep 2 + h ep - ep 2
y
y
y
z
z
z
avec les notations de la [Figure 1.2-a] : section dans le plan (0, y, z).
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Calcul des caractéristiques d'une poutre de section transversale quelconque Date :
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: 23/42
3.5
Le rayon de torsion efficace
Le rayon de torsion efficace RT permet de calculer la contrainte de cisaillement transverse de torsion
maximale T en fonction du moment de torsion. On pourra consulter à ce sujet la rédaction de
M
MASSONET sur cet aspect (réf. [bib5]). Nous avons ainsi :
T
R
T
= Mx
M
C
Dans le cas des cylindres circulaires, RT est égal au rayon (extérieur si c'est un tube) de la section.
Pour les sections rectangulaires, le problème est nettement plus complexe. Le Code_Aster impose le
rayon de torsion de la section pleine par :
C 4 ( 3 h + ,18 h
y
z )
RT =
h2 + h2
y
z
Cette expression approchée reste valable si la poutre n'est pas trop aplatie. DHATT et BATOZ
(réf. [bib1]) donnent une expression ayant un domaine de validité plus étendu, mais en réalité il s'agit
en toute rigueur d'une série dont des valeurs numériques sont données par MASSONET (réf. [bib5]).
Pour la poutre rectangulaire creuse, le Code_Aster impose une expression qui n'est valable que si la
paroi est mince et d'épaisseur constante epz , soit :
C
RT =
epz (h - 2ep
y
y ) (h - 2ep
z
z )
Il s'agit d'une "adaptation" de la formule :
C
RT =
2 e A
où e est l'épaisseur de la paroi (constante) et A l'aire contenue à l'intérieur de la ligne moyenne.
Cette dernière expression est connue sous le nom de première formule de BREDT (Cf. réf. [bib1] et
[bib5]).
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4
Calcul de la constante de gauchissement
La constante de gauchissement est utilisée par le modèle de poutre avec gauchissement
(modélisation POU_D_TG et POU_D_TGM), qu'il est important de prendre en compte pour les poutres à
sections minces ouvertes (cf. [R3.08.04]).
Ce coefficient (noté I en [R3.08.04]) intervient dans l'expression du travail virtuel des efforts
intérieurs sur les termes de torsion :
2
W
*
*
int =
0 (
µ.C. +
. E. I
,
,
,
.
, )dx
x x
x x
x xx
x xx
I s'exprime dans la même unité que les moments d'inertie géométrique I , I
y
z , soit M 4 .
En reprenant l'approche du [§3.1], et en se plaçant dans un repère lié au centre de torsion C, la
cinématique de la torsion d'une section quelconque est :
x
( ,
y z)
u
x
x
x
x
(y z)
,
x
x
x
u ( M ) = v =
0
y +
x
0
= -
x z
x
w
0
z
0
x
x y
x
où (
)
,
y z est la fonction de gauchissement (qui ne s'annule que dans le cas d'une section
circulaire).
L'expression du champ de contraintes est (en élasticité) :
2
x
xx =
E xx =
E (y,z) x2
,
x
(y z)
2
xy = µxy = µ
- z
x y
,
x
(y z)
2
xz = µxz = µ
- y
x z
2
A la différence du [§4], les termes du second ordre en
x ne sont plus négligés.
2
x
La première relation d'équilibre (div ) = , + , + , = 0 implique alors la condition
x
xx x
xy y
xz z
suivante sur la fonction de gauchissement :
= 0
D'autre part, sans chargement extérieur sur le contour de la section , on doit avoir n = 0 , ce qui
peut s'écrire :
n +
n = z.n - y.n , où n
y y
z z
y
z
y et nz sont les deux composantes de la
normale, ou encore sous forme vectorielle : grad.n =
= (n CM).x
n
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Ceci détermine la fonction de gauchissement à une constante près. Pour lever cette indétermination,
on écrit par exemple l'expression de l'effort normal (pour une section où la torsion produit du
gauchissement) :
2
N
ds
E
x
=
=
ds
xx
=
0
x2
S
S
donc la condition supplémentaire sur la fonction de gauchissement est : ds
= 0
S
En pratique, dans MACR_CARA_POUTRE, on se place avant tout dans un repère lié au centre de torsion
C.
On calcule ensuite qui doit vérifier :
= 0
grad .n =
= (n CM)
.x
n
=
ds 0
S
2
L'inertie de gauchissement I s'obtient alors par : I =
ds
S
MACR_CARA_POUTRE fait appel aux commandes élémentaires suivantes :
· Translation des coordonnées des noeuds dans le repère lié au centre de torsion (calculé
précédemment dans la table TCARS) :
CREA_MAILLAGE (MAILLAGE :
REPERE : ( TABLE :TCARS NOM_ORIG : 'TORSION' ) ) ;
· Affectation d'un modèle (thermique plan), d'un champ de matériau :
AFFE_MODELE ( MAILLAGE :
AFFE : (TOUT: 'OUI' PHENOMENE : 'THERMIQUE' MODELISATION:'PLAN'));
AFFE_MATERIAU (MAILLAGE
AFFE : (TOUT : 'OUI' MATER : ));
· Conditions aux limites sur le contour extérieur G0 :
n +
n = z.n - y.n
y y
z z
y
z
F1=DEFI_FONCTION (NOM_PARA : VALE : (0., 0., 10., -10. )) ;
F2=DEFI_FONCTION (NOM_PARA : VALE : (0., 0., 10., 10. )) ;
CH1 = AFFE_CHAR_THER_F( MODELE :
FLUX_REP : ( GROUP_MA : G0 FLUX_X : F1 FLUX_Y : F2)) ;
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· Condition sur le champ solution : ds
= 0 : création d'un terme source unitaire sur tout le
S
maillage, et du vecteur second membre associé. LIAISON_CHAMNO permet alors d'imposer la
condition désirée.
CHS = AFFE_CHAR_THER ( MODELE :
SOURCE : (TOUT : 'OUI' SOUR : 1.));
VS = CALC_VECT_ELEM (OPTION : 'CHAR_THER' CHARGE : CHS...);
MS = CALC_MATR_ELEM (MODELE : ... OPTION : 'RIGI_THER');
NUM = NUME_DDL (MATR_RIGI : MS) ;
VA = ASSE_VECTEUR ( VECT_ELEM : VS NUME_DDL : NUM) ;
CH2 = AFFE_CHAR_THER (
LIAISON_CHAMNO : (CHAM_NO : VA COEF_IMPO : 0.));
· Calcul de la fonction de gauchissement
THER_LINEAIRE ( MODELE : ....
EXCIT : ( CHARGE : CH1 )
EXCIT : ( CHARGE : CH2 )
);
2
· Calcul de la constante de gauchissement I =
ds
et enrichissement de la table :
S
TCARS = POST_ELEM (MODELE :...
CARA_POUTRE : (CARA_GEOM : TCARS
LAPL_PHI :KSI OPTION :'CARA_GAUCHI' ) ) ;
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: 27/42
5 Bibliographie
[1]
BATOZ J.L. & DHATT G. : "Modélisation des structures par éléments finis. Volume 2, poutres
et plaques". HERMES, Paris, 1990
[2]
BLEVINS R.D. : "Formulas for natural frequency and mode shape". Van Nostrand Reinhold,
New-York, 1979.
[3]
COWPER G.R. : "The shear coefficient in Timoshenko's beam theory". J. of Applied
Mechanics, June 1966, pp 335-340.
[4]
HSU Y.W. : "The shear coefficient of beams of circular cross section". J. of Applied
Mechanics, March 1975, pp 226-228.
[5]
MASSONET C. & CESCOTTO S. : "Mécanique des matériaux". De boeck Université,
Bruxelles, 1994.
[6]
PILKEY W.D. : "Formulas for stress, Strain and Structural Matrices". Wiley & Sons, New-York,
1994.
[7]
REISSNER E. & TSAI W.T. : "On the determination of the centers of twist and of shear for
cylindrical shell beams". J. of Applied Mechanics, december 1972, pp 1098-1102.
[8]
BAMBERGER Y. : Cours de Résistance des Matériaux - Ecole Nationale de Ponts et
Chaussées. 1994.
[9]
TIMOSHENKO S. Résistance des Matériaux - Dunod 1968
[10]
Document [U4.24.01] : Opérateur AFFE_CARA_ELEM
[11]
VOLDOIRE F : "Eléments de résistance des matériaux. Travaux dirigés de l'ENPC". Note
EDF/MMN HI-74/96/002/0
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Annexe 1 Détermination de la constante de torsion pour des
sections a frontières multiplement connexes
Soit une poutre élastique, isotrope, de longueur L et de section quelconque qui peut être non simplement
connexe. On note le contour extérieur de et
= 1K -1, les éventuels contours
0
i , pour i
n
n-1
intérieurs. On note =
i
U
sa frontière totale.
i=0
On choisit l'axe x1 selon la ligne des centres de gravité des sections droites. On suppose pour simplifier la
démonstration que le centre de torsion est confondu avec le centre de gravité, ce qui permet de découpler les
effets de torsion et de flexion. Les axes x2 et x3 sont choisis suivants les directions principales d'inertie.
x2
0
G 0
G1
x1
i
x3
Figure A1-a : Poutre à section quelconque
La poutre est chargée sur sa section x
L
1 =
par un moment de torsion M
= M x
G
t
.
1
1
D'autre part, la surface latérale du cylindre n'est pas chargée et les forces de volume sont nulles.
On en déduit immédiatement que le torseur des forces intérieures au point G0 est M
= M x
G
t
0
1
Le problème d'élasticité posé précédemment apparaît comme incomplètement défini. En effet, les conditions
aux limites sur les sections droites x
L
1 =
et x1 = 0 sont incomplètes car on n'a pas une condition en chaque
point, mais en moyenne. Il y a donc, a priori, une infinité de solutions. L'hypothèse de Saint-Venant consiste à
rechercher une solution telle que le tenseur des contraintes soit de la forme
11 12
13
=
12
0
0
13 0
0
Le principe de Saint-Venant est valable loin des sections d'application des forces. En effet, sauf dans des cas
de chargements particuliers, les quatre termes supposés nuls s'amortissent exponentiellement avec x1.
Pour résoudre ce problème d'élasticité, on choisit une formulation en contraintes. Les équations à écrire sont
donc celles d'équilibre et celles de compatibilité.
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Les équations d'équilibre div = 0 conduisent aux trois équations scalaires suivantes :
111+2 12 +313 = 0
éq A1-1
112 = 0
113 = éq A1-2
0
jk
(avec la notation simplifiée : i jk = )
i
x
Les équations de Beltrami, qui tiennent compte des équations de compatibilité s'écrivent :
-
0
éq A1-3
11 -
11 11 =
1
-
0
éq A1-4
12 -
12
11 =
1+
1
-
0
éq A1-5
13 -
13 11 =
1+
-
0
éq A1-6
2211 + 11 =
-
0
éq A1-7
23
11 =
-
0
éq A1-8
33 11 + 11 =
Les équations [éq A1-3], [éq A1-6] et [éq A1-8] montrent que ,
= 0 et sont solutions d'un
22
11 11
22
33 11
système linéaire homogène et donc que =
=
= 0 . Avec l'équation [éq A1-7], on en déduit
11 11
2211
33 11
que = a x + a + b x + b x + c x + c x . En tenant compte du fait que l'on traite le problème de la
11
1 1
0
( 1 1 0) 2 ( 1 1 0) 3
torsion libre, on prendra nul à partir de maintenant.
11
Les équations [éq A1-2] et [éq A1-5] montrent que et ne dépendent pas de x . L'équation [éq A1-1]
12
13
1
s'écrit :
+ f x
=
-
- g x
2 [12
( 3)] 3[ 13 ( 2)]
où f et g sont deux fonctions arbitraires. D'après le théorème de Schwartz, il existe (x , x telle que :
2
3 )
f x
2 =
- 13 - ( 2)
12 =3 - f (x3)
=
3 = 12 + g(x3)
13 = -2 + g(x2)
Les équations [éq A1-4] et [éq A1-5] donnent :
= 0
3
= 0
2
soit
=3 f -2 f + K
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: 30/42
où K est une constante d'intégration. Comme f et g sont arbitraires, on les prendra identiquement nulles.
0
3
- 2
Le problème à résoudre est donc un problème de laplacien : = K sur puis =
0
0
3
- 2 0
0
Il reste à écrire les conditions aux limites, qui nous permettront d'écrire des conditions sur pour et sur
K
Les conditions aux limites sont à écrire sur toute la frontière.
Sur les sections droite x = L (et de même en x = ), on a :
1
1
0
12ds = 0
13ds = 0
x - x ds = M
2 13 3 12
t
éq A1-9
Soit n la normale extérieure à . On a n = 0 . On pose = x
x . On peut aussi écrire
12
2 + 13
3
=
grad x1 ; est appelée la partie tangentielle de la contrainte dans la section droite. Soit N le point
i
courant du contour pour i = 0 n
K -1. La condition, sur la surface latérale, énoncée plus haut, peut
i
s'écrire dN
0 .
i =
0
n
n
i
Figure A1-b : Définition des normales
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Ainsi, sur la surface latérale d'une poutre, le vecteur contrainte tangentielle est tangent au contour.
· L'équation dN
0 conduit à une condition que doit respecter sur le contour : d = 0
i =
· L'équation [éq A1-9] conduit à M
x x ds
t =
-
-
2 2
3 3
que l'on peut aussi écrire :
M
2 ds
(x dx
x dx
t =
+
3
2 -
2
3)
Le problème à résoudre pour obtenir est donc :
= K sur
d = 0 sur
avec la contrainte M
2 ds
(x dx x dx
t =
+
3
2 -
2
3)
Il reste à identifier la constante de torsion C.
La loi de comportement des poutres en torsion est : M = CG
x
t
(cf. [§3]).
x
Pour résoudre plus facilement le problème précédent, on pose =
x
et K = -2C , le problème à
x
C
x
x
résoudre devient alors :
= -2 sur
d = 0 sur
M
2C
x
= -
ds +
(x dx
3
2 - x dx
t
2
3)
x
Avec une telle notation, on obtient C = 2
d
s +
(x dx
3
2 - x dx
2
3)
Le contour est constitué de plusieurs contours : un contour extérieur 0 et n -1 contours intérieurs
i . La condition d = 0 conduit aux n conditions suivantes : = i sur i pour i = 0 n -1
K
. Les i
sont des constantes inconnues. En notant que , et donc , est défini à une constante près, on peut fixer un
des i . On prendra donc 0 = 0 . Reste à déterminer i pour i = 1 n -1
K
.
Pour cela, on va étudier le gauchissement de la section droite d'abscisse x1. Rappelons que le tenseur des
contraintes s'écrit (cf. [§4]) :
0
-
z
+
y
0
-
y
z
z
y
=
G
x
- z
x
0
0
=
G
0
0
x y
x z
+ y
-
0
0
0
0
z
y
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On pose =
grad x1 ; est (à une constante près) la partie tangentielle du vecteur contrainte dans la
section droite.
On a donc : grad = - GM x1
On fait circuler cette équation le long de i , on a :
0 = dl -
x dx
x dx
3 2 - 2 3
i
i
On s'est servi ici du fait que la circulation du gradient sur une courbe fermée est nulle.
On note que la première intégrale peut s'écrire en terme de flux de traversant i . D'autre part, la seconde
intégrale est égale à 2 (
i ).
Finalement, le problème s'écrit :
= -2 sur
= 0 sur 0
= i sur i
dl
(
= 2
i )
i
n
n-1
Une fois résolu ce problème, on a : J = 2
d
s +
2 i (
i )
i=1
La dernière condition :
dl
(
= 2
i ) est difficile à traiter de façon numérique. En réalité, les deux
i
n
conditions sur chaque frontière bordant un trou sont écrites :
= i sur i
2 (
i )
=
sur
n
l(
i
i )
Formulation variationnelle :
v H1() tel que v
= 0
0
µ L2( i)
v d +
iv dl = 2 v d +
2
v dl
( i)
i
i
i
µ dl =
dl
i
µ
i
i
i dl =
0
i
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On considère la fonction telle que 1 sur i . Matriciellement, on a :
=t[ ][]
v t
= [v][]
=t[][]
Où [] est le vecteur dont les composantes sont les fonctions de forme.
Dans ces conditions, l'approximation variationnelle de la formulation faible donne :
[
t
K][ ]+ [Bi][ i] = [f ]+[T]
i
[B]
[]
= [ ]
0
Où on a posé :
t [f ][v] = 2 v d
t
2 (
i )
[T][v] =
v dl
i
i
[B] = [Bi]
i
On peut vérifier que la condition sur le flux est vérifiée :
dl =
dl =
d +
d
i n
i
= -
t
2 d
t
+ [ f ][] t
+ [T][] t
- []
[Bi][]
144 2
4
3
444
1 2
4 3
4
0
0
2 (
=
=
i)
=
dl
i
= 2 ( i
i )
On voit, avec cette nouvelle formulation, que le problème mathématique posé revient à un problème de
thermique linéaire avec un chargement particulier. Ceci est facilement programmable dans Code_Aster.
En appliquant la méthode précédente à une poutre dont la section droite est la couronne comprise entre les
rayons R1 et R0 avec R < R
1
0 .
R0
R1
G
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On a le problème suivant à résoudre :
= -2
(r = R0) =0 = 0
(r = R1) =1
dl 2R2
=
0
1 n
r2
La solution générale du problème s'écrit = (r) = -
+ A (
ln r) + B
2
Ici, on a
2
2
= -
e . D'où 2R - 2
1
A (
ln 1
R ) =
2R
A = 0 . D'autre part, on
n
r
1
r
1
2
(
R
R
0
0 ) = 0
B =
. Finalement :
2
2
2
(
r
R
r) = -
+ 0 .
2
2
2
2
R
R
On peut maintenant calculer J = 2
d
s +
2
1
0
2
1 (
1
). On a = -
+
et (
1) = R . Tous
1
2
2
1
calculs faits, on a le résultat classique :
J = (R4 - R41)
2
0
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/05/002/A
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Version
7.4
Titre :
Calcul des caractéristiques d'une poutre de section transversale quelconque Date :
01/09/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, N. LAURENT, P. HEMON, G. BERTRAND Clé : R3.08.03-C Page
: 35/42
Annexe 2 Détermination de la constante de cisaillement d'une
poutre équivalente à un ensemble de poutres parallèles
A2.1 Position du problème :
On explicite ici une méthode développée dans la commande MACR_CARA_POUTRE pour obtenir les coefficients
de cisaillement AY et AZ d'une poutre équivalente à un ensemble de poutres disjointes (ex. poteaux encastrés
entre deux planchers). Ceci permet par exemple de réaliser des modèles « brochettes » de bâtiments, c'est à
dire condensés en une seule poutre.
Pour une seule poutre, la définition des coefficients de cisaillement repose sur la méthode énergétique [§2.1.3] :
la formulation est basée sur l'énergie complémentaire due au cisaillement dans la section.
[
2
dS
s CT ]
Le coefficient de cisaillement est : k =
1
S G
2 d
S
s CT
G
Remarque :
Cette expression est encore valable dans le cas d'une poutre hétérogène (G variable).
La répartition de contrainte de cisaillement dans la section, pour une seule poutre, est basée sur la formule de
Jourawski, [§2.1.1] qui fournit la répartition des contraintes de cisaillement dues à un effort tranchant dans une
direction et seulement la moyenne des cisaillements dans l'autre direction.
La formule de Jourawski s'écrit :
m( y)
ymax
CT =
V avec m (y) =
t b (t) dt
I b( y)
y
La quantité (
m y) représente le moment statique de la part de section A comprise entre y et ymax
y
A
b (y)
ymax
B
G
z
I 2
Alors k peut s'écrire sous la forme : k =
2
y
m ( y)
S G max
dy
y
Gb2 ( y)
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L'idée sous-jacente est que la section supporte des contraintes normales issues de la théorie des poutres
d'Euler, et que l'on évalue l'effort de glissement de A sur B.
Pour une section non connexe, comme la section en coupe d'un bâtiment, l'hypothèse de Jourawski ne peut
être faite (sauf à considérer que toute la section se déforme axialement comme une même poutre à chaque
abscisse x). On ne peut connaître a priori la répartition des cisaillements ni des contraintes normales dans
chaque poteau. La figure suivante donne une idée de la vue en coupe d'un bâtiment réacteur :
Figure A2.1-a : Section d'un bâtiment réacteur
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A2.2 Expression simplifiée des coefficients de cisaillement
Hypothèse : les poteaux sont encastrés dans les planchers : le bâtiment vu de côté peut se représenter
comme un ensemble de poteaux parallèles encastrés entre deux planchers :
F
H
Figure A2.2-a : ensemble de poteaux entre deux planches
On calcule ce cas particulier : chaque poteau est une poutre de section rectangulaire (les axes principaux
d'inertie des différents poteaux ne sont pas colinéaires). H=3 à 4m.
Les poutres sont encastrées aux deux extrémités. Il faut alors chercher une relation entre un effort F imposé au
plancher supérieur, et le déplacement de ce plancher dans la même direction, c'est à dire calculer la rigidité de
ce système dans cette direction.
A2.2.1 Pour une poutre :
La méthode utilisée est exposée par exemple dans [bib11].
Poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre :
Le système est isostatique et élastique. On veut exprimer le déplacement u(H) en fonction de F et . Le
Principe des Travaux Virtuels s'écrit :
H
f (H).v(H) = M f . (v)
+V f . (v)dl
o
M (v)
F
(v) = E.I
H
v, y
V (v)
(v) =
u, x
G.Sr
pour tout déplacement virtuel v, et pour un effort ponctuel f en y=H, (ici l'effort normal est nul).
On choisit f=1,et on calcule successivement les déplacements dus à un effort F et à un couple en y=H. En
intégrant l'expression précédente, on trouve que, sous l'effet de F, le déplacement u réel et la rotation valent :
F. H 3
F. H
F. H 3
12EI
F. H 2
u(H) =
+
=
4 +
avec S = k.S et (H) = -
2
3E. I
G.S
12E. I
G. H S
r
2E. I
r
r
Sous l'effet du moment , on obtient :
.H 2
.H
u (H = -
=
)
(H)
2E. I
E. I
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5
Si la poutre a une section rectangulaire de largeur b et d'épaisseur h, on obtient : S = bhk = bh
r
6
F. H 3
12 h2
6F. H 2
pour F imposée : u(H) =
4
1 (H) = -
3
+
(
2
+ )
E.bh
5 H
E.bh3
6 . H 2
12. H
pour imposé : u (H = -
=
)
(H)
E.bh3
E.bh3
Poutre encastrée aux deux extrémités : (encastrement glissant en y=H)
Le système est hyperstatique de degré 1.
On exprime le déplacement u(H) en fonction des inconnues hyperstatiques
F et , à l'aide des résultats précédents.
Sous l'effet de F et , le déplacement u réel et la rotation (nulle à cause de l'encastrement) valent :
F. H 3
F. H
.H 2
F. H 3
12 h2
6.H 2
u(H) =
+
-
=
4
1
3
+
(
2
+ ) -
E. I
GS
E. I
E.bh
5 H
E.bh3
3
2
r
F
2
F. H
.H
6
2
F. H
12. H
H
0 = -
+
= -
+
2
3
2
EI
E. I
E.bh
E.bh
La résolution de ce système permet d'obtenir u(H) en fonction de F :
F. H 3
12EI
F. H 3
12 h2
u(H) =
1+
1
1
2
=
3
+
(
2
+ )
12EI
GH S
E.bh
5 H
r
12EI
1
E.bh3
1
F =
u(H)
3
=
u(H)
3
= K.u(H)
H
12EI
H 12 h2
1 +
1
1
2
+
(
2
+ )
GH S
5 H
r
On retrouve également ce résultat en considérant la matrice de rigidité d'un élément de poutre « exact » à 2
noeuds ([bib1] ou [R3.08.01]). Le terme ci-dessus correspond exactement au terme de rigidité d'effort tranchant
seul suivant la direction x :
12EI
1
12EI
12EI
K =
xx
H3 (1+ )
=
2
=
GH S
GH 2
kS
r
Remarque :
La situation encastré-libre ne diffère que d'un coefficient (4 au lieu de 1), :
F. H 3
12 h2
u(H) =
4
1
3
+
(
2
+ )
E.bh
5 H
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Les deux possibilités sont offertes dans MACR_CARA_POUTRE :
· les deux extrémités sont encastrées (en réalité l'une est encastrée, l'autre est encastrée dans un plancher
mobile : encastrement glissant)
· l'extrémité supérieure est libre (en fait en liaison rotulée avec le plancher supérieur).
On peut donc proposer d'exprimer la rigidité à l'effort tranchant de chaque poteau sous la forme :
12EI
1
1 encastré - encastré
F =
u(H) K. ( ) avec =
3
=
u H
H
12EI
4 encastré - libre
+
2
GH S
r
A2.2.2 Pour un ensemble de poutres
La méthode consiste à calculer la rigidité de chaque poteau de la façon précédente, et de comparer la rigidité
de l'ensemble à celle d'une poutre équivalente encastrée entre deux planchers. Pour cela on exprime l'effort
tranchant global appliqué à l'ensemble des poteaux (par exemple dans la direction y) :
T =
~
T = K .u
y
i
y
y
Chaque poteau ayant une orientation quelconque par rapport aux axes globaux, il faut avant tout exprimer les
efforts T dans le repère global :
i
z
x2
x1 et x2 désignant les axes principaux d'inertie du
Ty
poteau i, l'effort tranchant T dans ce repère est :
i
Tz
Ti = Ti cos( )
sin( )
1
+Ti
y
i
2
i
y
Ti = -Ti sin( )
cos( )
i
1
+Ti
z
i
2
i
x1
De plus, on suppose que le déplacement global u de l'ensemble des poteaux est uniforme (de composantes u
y
et u ) et doit être colinéaire à l'effort tranchant T. (ce qui n'est pas certain : des couplages sont possibles si il
y
n'y a pas de symétries particulières). Ceci entraîne pour la direction y :
ui = u cos( )
T i = Ki .ui
1
y
i
1
1
1
et
ui = u sin( )
i
i
i
2
y
i
T = K .u
2
2
2
on obtient :
T i
i
2
i
2
i
=
cos ( )
sin ( )
1
+
y
(K
K
i
2
i )uy
~
12EI
1
~
avec K =
y
T = Ti
i
2
i
=
2
cos ( )
sin ( )
H 3
12EI
1
+ 2
=
y
y
(K
K
i
i )u
K u
y
y y
+
2
GH S
r
de même dans la direction z :
ui = -u sin( )
1
z
i
~
donc T =
T i
i
2
i
=
2
sin ( )
cos ( )
1
+ 2
=
z
z
(K
K
i
i )u
K u
ui = u cos( )
z
z z
2
z
i
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D'autre part, pour la poutre équivalente, on fait l'hypothèse que la rigidité à l'effort tranchant s `exprime de la
même façon que celle de chaque poutre :
eq
eq
eq
12EI
12EI
T = K u
z
=
u
z
y
y
y
avec
y =
y
H 3(
eq
2
eq
1 + y )
S H Gk y
En fait, il faudrait vérifier que les énergies dues à la flexion et l'effort normal sont bien négligeables.
Les deux expressions de l'effort tranchant conduisent à l'expression du coefficient de cisaillement équivalent :
12EI eq
12EI eq
k eq
z
=
et dans la direction z : k eq
y
=
y
12EI eq
z
12EI eq
GS eq H 2
z
GS eq H
y
2
3 ~
- 1
3 ~
- 1
H K
H K
y
z
A2.3 Méthode utilisée dans MACR_CARA_POUTRE
En utilisant les hypothèses décrites précédemment, à savoir :
· seule la rigidité dus à l'effort tranchant est prise en compte dans le calcul des coefficients de cisaillement
· la poutre équivalente est encastrée sur les deux planchers
· deux hypothèses de calcul sont à prévoir concernant chaque poteau (encastré-rotulé et encastré-
encastré).
on peut proposer une méthode de calcul dans MACR_CARA_POUTRE pour obtenir des coefficients de
cisaillement équivalent à un ensemble de poutres d'axes parallèles, encastrées dans un plancher à une de
leurs extrémités, et libres à l'autre, ou bien encastrées à l'autre extrémité.
Restrictions d'utilisation :
· il est raisonnable de placer la poutre équivalente sur le centre de gravité de l'ensemble des poteaux, et dans
le repère principal d'inertie de l'ensemble, pour éviter les couplages parasites
· il faut assurer la continuité de tous les DDL de la poutre équivalente (translation et rotation) avec les DDL
des planchers (ce qui modélise l'encastrement de la poutre dans le plancher), ce qui impose de modéliser le
plancher en éléments de coques ou, s'il est maillée en 3D, de le raccorder à l'aide de poutres ou de plaques.
A2.3.1 La méthode de calcul est la suivante :
1) Pour chaque poteau, faire le calcul habituel par MACR_CARA_POUTRE des caractéristiques géométriques et
des coefficients de cisaillement de la section, dans le repère principal d'inertie de chaque section (déjà
disponible)
2) Toujours pour chaque section, calcul de la rigidité au cisaillement (l'utilisateur doit fournir H, distance entre
planchers) :
12EI i
12EI i
Ki
2
2
1 =
avec =
H 3(
1
2
1 + 1)
Si H Gk i1
12EI i
12EI i
Ki
1
1
2 =
avec =
H 3(
2
2
1 + 2 )
Si H Gk i2
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3) Calcul de la rigidité équivalente à l'ensemble des poutres :
~
~
K
i
2
i
=
2
K
i
2
i
=
2
1
+
z
(K sin ( ) K cos ( )
i
2
i )
1
+
y
(K cos ( ) K sin ( )
i
2
i )
4) Calcul des coefficients de cisaillement équivalent :
12EI eq
12EI eq
k eq
z
=
k eq
y
=
y
12EI eq
z
12EI eq
GS eq H 2
z
GS eq H
y
2
3 ~
- 1
3 ~
- 1
H K
H K
y
z
sachant que S eq , I eq et I eq sont déjà calculés par
y
z
MACR_CARA_POUTRE.
Pour les mots clés de la commande MACR_CARA_POUTRE , il faut que l'utilisateur fournisse H, par le mot-clé
LONGUEUR, les caractéristiques (constantes) du matériau (mot-clé MATERIAU) et choisisse les conditions aux
limites par le mot-clé LIAISON :
LIAISON : ROTULE ou LIAISON : ENCASTREMENT
Ce calcul n'est bien sûr activé que si plusieurs GROUP_MA sont définis par l'utilisateur (indiquant que la section
est composée de sous parties disjointes).
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Page laissée intentionnellement blanche.
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