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Liaison coque-poutre
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Fascicule R3.03 : Conditions aux limites et chargements
Document R3.03.06

Liaison coque-poutre
Résumé :
On décrit ici la liaison coque-poutre, qui permet de raccorder deux parties de maillage, l'une constituée
d'éléments de poutres (ou d'un élément discret) , et l'autre maillée en éléments de coques (pour représenter des
phénomènes hors cinématique de poutre). Ce développement fonctionne donc sous des hypothèses traduisant
que c'est la même cinématique de poutre qui est transmise entre les deux maillages, de part et d'autre de la
liaison. Il se traduit par 6 relations linéaires reliant les déplacements de l'ensemble des noeuds du bord de la
coque avec les 6 degrés de liberté du noeud extrémité de la poutre.
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Table des matières
1 Hypothèses et applications .................................................................................................................... 3
1.1 Hypothèses et limitations................................................................................................................. 3
1.2 Applications visées : ........................................................................................................................ 3
1.2.1 Modélisation des tuyauteries .................................................................................................. 3
1.2.2 Raccordement plaque poutre................................................................................................. 3
1.2.3 Poutre à profil symétrique ...................................................................................................... 4
1.2.4 Application d'un chargement ou de conditions aux limites de type " poutre " ........................ 4
1.2.5 Application non envisagée : ................................................................................................... 4
2 Application de la méthode du raccord 3D-poutre. Equations de liaison ................................................ 4
3 Intégrales à calculer. Cinématique de coque......................................................................................... 6
3.1 Calcul du déplacement moyen sur la section S .............................................................................. 7
3.2 Calcul de la rotation moyenne de la section S ................................................................................ 7
3.3 Calcul du tenseur d'inertie ............................................................................................................... 7
3.4 Implantation de la méthode ............................................................................................................. 8
4 Utilisation................................................................................................................................................ 9
4.1 Modélisation .................................................................................................................................... 9
4.2 Exemples et tests ............................................................................................................................ 9
4.2.1 Test SSLX101 ........................................................................................................................ 9
4.2.2 Flexion d'une plaque ............................................................................................................ 10
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1
Hypothèses et applications
1.1
Hypothèses et limitations
On décrit ici la liaison coque-poutre, qui sert à raccorder deux maillages, l'un comportant des éléments
de coques (ou de plaques), l'autre comportant des éléments de poutres. Cette fonctionnalité permet de
modéliser une structure élancée en deux parties : une partie maillée avec des éléments classiques de
poutres, représentant une cinématique et un comportement de poutres, et l'autre partie maillée en
éléments de coques, pour faire apparaître d'autres phénomènes (ovalisation, gonflement, plasticité
localisée).
Les hypothèses suivantes sont toutefois faites :
1) la surface de la section transverse de l'extrémité du maillage de coques est identique à la
surface de la section droite de l'élément de poutre qui lui correspond,
2) les centres de gravité sont identiques,
3) les sections sont planes et coplanaires,
4) la normale à la section de coques est confondue avec l'axe de la poutre.
Limitations :
1) on ne tient pas compte dans la liaison de l'ovalisation des sections droites,
2) on ne tient pas compte du gauchissement.
1.2
Applications visées :
1.2.1 Modélisation des tuyauteries
Une des applications majeures concerne les tuyauteries. Les parties coudées ou les piquages sont
alors maillés en coques, ce qui permet de faire apparaître une ovalisation, un comportement
élastoplastique local ou un gonflement en cas de pression interne. Ce raccord ne transmet pas
l'ovalisation des tuyaux puisque celle-ci n'est pas modélisée dans les éléments de poutres. Pour ce
faire, il faut utiliser la liaison coque-tuyau ou bien mailler une longueur suffisante de tuyauterie droite en
éléments de coques pour que l'ovalisation au niveau du raccord soit négligeable.
Tuyauterie de section circulaire (ou rectangulaire...) maillée en coque puis en poutre.
1.2.2 Raccordement plaque poutre
Raccordement plaque-poutre (section rectangulaire mince).
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1.2.3 Poutre à profil symétrique
Poutre à profil symétrique maillé en partie en coques.
1.2.4 Application d'un chargement ou de conditions aux limites de type " poutre "
A l'extrémité d'une structure élancée maillée en coques, il est souvent utile d'imposer soit un
chargement de type " poutre " c'est-à-dire un torseur d'efforts, soit des conditions aux limites
(encastrement) compatibles avec la cinématique de poutre. On peut alors relier la section
transverse d'extrémité du maillage coques à un élément discret sur lequel on appliquera ce torseur
ou cet encastrement.
1.2.5 Application non envisagée :
Cette fonctionnalité ne permet pas de modéliser les `'piquages transverses ou orthogonaux'' d'une
poutre sur une plaque ou une coque :
2
Application de la méthode du raccord 3D-poutre. Equations
de liaison

La démarche est identique à celle de la liaison poutre-3D [R3.03.03] : le raccord se traduit par 6
relations linéaires reliant les déplacements de l'ensemble des noeuds coque de la section de
raccordement (6 degrés de liberté par noeud, comparativement à 3 ddl par noeud en 3D) aux 6 degrés
de liberté du noeud de poutre. La section de raccordement de coque est composée d'éléments de bord
de coques (segments). Sur la section traverse de raccordement, on décompose le champ de
déplacement " coque " en une partie " poutre " et une partie " complémentaire ". Ceci nous amène à
définir les conditions de raccord cinématique entre poutre et coque comme l'égalité du déplacement
(torseur distributeur ou torseur cinématique) de poutre et de la partie poutre du champ de déplacement
coque
Comme en [R3.03.03], on introduit l'espace T des champs associés à un torseur cinématique (défini
par deux vecteurs) :
T = {v V / (
T,)
v
tel que ( M ) = T + G }
M
éq 2-1
Ici, G représente le centre de gravité de la section de raccordement (devant être identique à celui de
la poutre). Pour les champs de déplacement de T , T est la translation de la section (ou du point G ),
la rotation infinitésimale et les champs v sont les déplacements de l'espace des déplacements
admissibles V conservant la section S plane et non déformée (On utilise là encore les Hypothèses de
NAVIER-BERNOULLI).
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Le sous-espace vectoriel T étant de dimension finie (égale à 6) possède un supplémentaire
orthogonal pour le produit scalaire défini sur V :
T = v V / v( M).w( M)
{
dS = 0 w


éq 2-2
s
}T
Soit, de façon plus explicite :
T = {v V / v(M)dS = 0 et GM vdS =

0
éq 2-3
s
s
}
Tout champ de V se décompose de façon unique en somme d'un élément de T et d'un élément de
T .
u up us up
T
us
=
+

T
,
éq 2-4
On a de plus la propriété suivante :
Pour tout couple de champ coque (w, v) définis sur S ,
w = wp + ws v wdS = vp.wpdS + vs.ws
.
éq 2-5
s
s

dS
v = vp + vs
s
Définition :
On appelle composante de déplacement de poutre d'un champ de coque u défini sur la section la
composante
up de u sur le sous-espace T .
On obtient immédiatement la caractérisation :
1
T
-1
u =
udS,

dS
éq 2-7
S
u = I
GM u
S



s


S représente l'aire de la section S et I le tenseur d'inertie géométrique de la surface S , exprimé
en G .
En d'autres termes, on peut aussi dire que le calcul de la partie poutre d'un champ coque u s'opère en
utilisant la propriété de projection orthogonale puisque T et T sont orthogonaux par définition.
Si on note up = T + GM
u
u
, alors :
(T
2
u , u ) = Argmin
éq 2-6
S (u - T - GM)
(T ,)
La composante poutre de u peut donc être interprétée comme le champ de déplacement de poutre le
plus proche de u au sens des moindres carrés.
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La condition de raccord cinématique cherchée entre le champ coque sur S et les éléments du torseur
de déplacement de la poutre en G est donnée par :
ST -
dS = 0
() - GM d
u S =
u
I

0
éq 2-8
S
S
L'équation [éq 2-8] montre que la situation est identique au cas 3D-poutre. Les relations linéaires
auront la même forme. La seule différence vient des intégrales sur S (qui représente ici une courbe
correspondant à la section de la coque, modélisée par des éléments de bord de coque). De plus,
le champ de déplacement de coque fait intervenir des DDL de rotation.

Pour traduire l'équation [éq 2-8] en relations linéaires, il faut calculer les deux intégrales :
· déplacement moyen : udS
S
· rotation moyenne : GM u

dS
S
3
Intégrales à calculer. Cinématique de coque.
Pour chaque noeud, le programme calcule les coefficients des 6 relations linéaires [éq 2-8] qui relient :
· les 6 ddl du noeud de poutre P (géométriquement confondu avec le centre de gravité G de la
section transverse du maillage coques)
· avec les ddl de tous les noeuds de la liste des mailles du bord de coque.
Ces relations linéaires sont dualisées, comme toutes les relations linéaires issues, par exemple, du mot
clé LIAISON_DDL de AFFE_CHAR_MECA. Elles sont construites comme pour la liaison 3D-poutre à
partir de l'assemblage de termes élémentaires.
x3
y3
n
M
y3
h
Q
Q y2
t
e
1=e1
3 e
Bord de la section transverse (de coque) de
2
raccordement
G
e1
x1 S = l × I
h
l : ligne des points Q sur le feuillet moyen
h h
I = - , intervalle décrivant l' épaisseu .r




2 2
Cinématique de coque ou de plaque linéaire dans l'épaisseur :
(
u M ) = (
u Q) + ( (
Q) n). y3
·
u est le vecteur déplacement de la surface moyenne en Q ,
·
n est le vecteur normal à la surface moyenne de la coque en Q ,
·
est le vecteur rotation en Q de la normale selon les directions t1 et t2 du plan tangent
h h
·
y3 est la coordonnée dans l'épaisseur ( y3 - ,
).

2 2
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3.1
Calcul du déplacement moyen sur la section S
Il s'agit de calculer l'intégrale udS

, où u est le déplacement de coque (comportant 6 ddl par noeud),
S
S est le bord de coque de la section transverse de raccordement.
Le déplacement moyen sur la section S s'écrit :
(
h/2
u M )ds = h

(uQ)ds + ((Q) n)
y dy ds

s
l
l



h
3
3
/2


-
soit
(
u M )ds = h

(uQ)ds
s
l
On néglige dans cette expression les variations de métrique dans l'épaisseur de la coque.
3.2
Calcul de la rotation moyenne de la section S
h/2
GM (
u M )ds =

(GQ + y3 (nQ) ( (uQ)+(Q) (nQ).y3)dsdy
s
l -h
3
/2
h
=
/2
h GQ u

(Q)ds+ GQ

((Q) (nQ) ds y dy

l
l
-h
3
3
/2
h
+ (
h/2
n Q) (
u Q)
y dy ds
n
2




2
3
3

.
/2


-

+ (Q) ( (Q) (nQ)
y dy ds
l
h
h
l
3
3
- 2
h3
soit GM (
u M )ds = h GQ

(uQ)ds +

.
12 (
n Q) ( (Q)

(nQ) ds
s
l
l
3.3
Calcul du tenseur d'inertie
Le tenseur d'inertie est défini par [R3.03.03] :
I() = GM ( GM)ds
s
en posant : GM = GQ + n(Q). y .
3
h3
On obtient : I () = h GQ

( GQ)ds+ 12 (nQ)(n(Q) ds
l
l
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3.4
Implantation de la méthode
Le calcul des coefficients des relations linéaires se fait en deux temps :
· calcul de quantités élémentaires sur les éléments de la liste des mailles de bords de coques
(maille du type SEG2 ou SEG3) :
-
on calcule les 9 termes :
-
ds; xds;
yds;
x2ds;
y2ds;
z2ds;
xyds;
xzds;
yzds








elt
elt
elt
elt
elt
elt
elt
elt
elt
h3

ainsi que des termes issus de I () :
n ( n)ds

12 l
h3
h3

ce qui permet de calculer :
+

,

, etc ...
12 (n2 n2 )ds
n n ds
y
z
l
x y
12 l
-
sommation de ces quantités sur (S) d'où le calcul de :
-
A = S
- position
de
G
- tenseur
d'inertie
I
· connaissant
G , calcul élémentaire sur les éléments de la liste des mailles de bords de
coques de :
GM {x, y, }
z
N ds;
xN ds;
yN ds;
zN ds
i
i

i
où :

=
elt
elt
elt
i
elt
Ni = fonctions de forme de l'élément

(Il faut simplement remarquer que dans le cas présent, les intégrales sur les éléments de bord
sont à multiplier par l'épaisseur de la coque :
N ds = h N dl
i
i l représente l'abscisse
elt
l
curviligne de la fibre moyenne de l'élément de bord de coque).
h3

De plus, on ajoute les termes supplémentaire provenant de :
(nQ)( n(Q) ds
12 l
nx
x

En notant n = ny et = y dans le repère global on obtient :
nz
z
(n2 +n2
y
z ) - n n - n n
x
x y y
x z z

(
n Q) ( (
n Q) = - n n
2
2
x y x
+ (n + n
x
z ) - n n
y
y z z
= A
- n n - n n
2
2
x z x
y zy + (n + n
x
y ) z


alors :
h3
h3

(nQ)( (nQ) ds =

A

12
12
( (s)N (s)ds
l
j
el
) j
el

· "assemblage" des termes calculés ci-dessus pour obtenir en chacun des noeuds des mailles
de bord, les coefficients des termes des relations linéaires.
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4 Utilisation
4.1 Modélisation
Pour chaque raccord, l'utilisateur doit définir sous le mot clé facteur LIAISON_ELEM de
AFFE_CHAR_MECA :
S :
la trace de la section droite de la poutre sur la coque : il le fait par les mots clés MAILLE_1
et/ou GROUP_MA_1 c'est-à-dire qu'il donne la liste des mailles linéiques (affectées d'éléments
"bord" de modélisation coque) qui représentent géométriquement cette section.
P :
un noeud (mot clé NOEUD_1 ou GROUP_NO_1) portant les 6 ddl classiques de poutre : DX, DY,
DZ, DRX, DRY, DRZ
V :
le vecteur définissant l'axe de la poutre, orienté de la coque vers la poutre, et défini par ses
coordonnées à l'aide du mot-clé AXE_POUTRE : (v1, v2, v3)
Remarque :
· le noeud P peut être un noeud d'élément de poutre ou d'élément discret,
· la liste des mailles de bord de coque, définie par MAILLE ou GROUP_MA doit représenter
exactement la section droite de la poutre. C'est une contrainte importante pour le
maillage.

4.2
Exemples et tests
4.2.1 Test
SSLX101
Il s'agit d'une poutre droite soumise a des efforts unitaires en B (traction, moments de flexion et de
torsion). On prend une section de tube mince d'épaisseur h << R.
y
h
M
R
z
O
x
A
Mx B
F
My
L'encastrement en O est réalisé à l'aide d'une liaison entre le bord de la coque et un élément ponctuel
situé en O. Cet élément est encastré (translations et rotations nulles).
Ceci permet d'obtenir dans la coque un état de contraintes très proche d'une solution "poutre" : il n'y a
aucune perturbation du champ de contraintes. La solution diffère de la solution analytique (solution
RDM) de 3%, ceci étant uniquement dû à la finesse du maillage en éléments de coques.
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4.2.2 Flexion d'une plaque
Considérons une plaque mince suffisamment longue, de longueur 2L, de largeur b, d'épaisseur h,
modélisée par un élément de coque OA et un élément de poutre sur AB :
z
y
O
L
b
D
A
L
B
x
h
C
· La
1ère condition de liaison s'écrit :
b h U ( )
A = h
U
(y)dy
CD

le déplacement du point A (appartenant à la poutre) est la moyenne des déplacements du bord CD
de la plaque.

· La
2ème condition de raccord s'écrit :
h3
I() = h
AQ U(Q)ds +


12
(Q)ds
CD
CD
h3 b 2
Dans le cas d'une flexion autour de y , le seul terme non nul est :
b
/ (y)dy
12 -2
b

En effet, h
AQ U

(Q)ds = h 2 U ydy
b z
.x 0
CD

2

=
-
Pour une flexion autour de y , la liaison s'écrit donc :
bh3
I ( )
A
y y
=
y car
12
y est constant sur CD.
Cette application est mise en oeuvre dans le test SSLX100B : mélange 3D_coque_poutre.
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