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Loi de comportement (en 2D) pour la liaison acier - béton : JOINT_BA
Date :
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S. MICHEL-PONNELLE, N. DOMINGUEZ Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
Document : R7.01.21
Loi de comportement (en 2D) pour la liaison acier
béton : JOINT_BA
Résumé :
La loi de comportement JOINT_BA décrit le phénomène de dégradation et de rupture de la liaison entre les
barres d'acier et le béton, dans les structures en béton armé. Cette documentation présente l'écriture théorique
dans le cadre thermodynamique et l'intégration numérique de la loi, ainsi que les paramètres qui gèrent le
modèle.
Pour son utilisation, on s'appuiera sur les éléments finis de type joint (voir doc. [R3.06.09]) déjà existants dans
le code.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Brève description de la liaison acier-béton............................................................................................3
3 Ecriture théorique...................................................................................................................................5
3.1 Présentation du modèle...................................................................................................................5
3.2 Analyse de l'endommagement dans la direction tangentielle .........................................................7
3.3 Analyse de l'endommagement dans la direction normale...............................................................9
3.4 Analyse de la contribution des frottement de fissures par glissement ..........................................10
3.5 Résumé des équations..................................................................................................................11
3.6 Expression de la matrice tangente ................................................................................................12
4 Intégration numérique..........................................................................................................................13
4.1 Calcul de la partie « frottement des fissures » avec une méthode d'intégration implicite ............13
4.2 L'algorithme de résolution .............................................................................................................14
4.3 Variables internes du modèle ........................................................................................................15
5 Paramètres de la loi.............................................................................................................................15
5.1 Les paramètres initiaux..................................................................................................................15
5.1.1 Le paramètre « hpen » .........................................................................................................15
5.1.2 Le paramètre G ou module de rigidité de la liaison..............................................................16
5.2 Les paramètres d'endommagement..............................................................................................17
5.2.1 La limite de déformation élastique 1T ou seuil d'adhérence parfaite...................................17
5.2.2 Le paramètre d'endommagement A1DT pour le passage des petites déformations aux
grands glissements ..............................................................................................................17
5.2.3 Le paramètre d'endommagement B1DT.................................................................................18
5.2.4 La limite de déformation 2T ou seuil des grands glissements .............................................19
5.2.5 Le paramètre d'endommagement A2DT.................................................................................20
5.2.6 Le paramètre d'endommagement B2DT.................................................................................20
5.3 Les paramètres d'endommagement sur la direction normale .......................................................21
5.3.1 La limite de déformation 1N ou seuil des grands déplacements..........................................21
5.3.2 Le paramètre d'endommagement ADN..................................................................................21
5.3.3 Le paramètre d'endommagement BDN..................................................................................21
5.4 Les paramètres du frottement .......................................................................................................22
5.4.1 Le paramètre matériau de frottement des fissures............................................................22
5.4.2 Le paramètre matériau d'écrouissage cinématique..........................................................22
5.4.3 Le paramètre d'influence du confinement c .........................................................................23
5.5 Résumé des paramètres ...............................................................................................................23
6 Bibliographie ........................................................................................................................................25
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1 Introduction
La loi de comportement JOINT_BA décrit le phénomène de dégradation et de rupture de la liaison
existante entre les barres d'acier (lisses ou nervurées) et le béton l'entourant. Point clé pour la
conception des structures en béton armé, la modélisation de la liaison acier-béton a pour but la
représentation ainsi que la simplification de ce phénomène complexe d'interaction entre les deux
matériaux qui se développe dans l'interface et qui subit une dégradation croissante lorsque l'on
dépasse certains seuils de résistance, spécifiques pour chaque matériau. Les modèles structuraux qui
ne prennent pas en compte les effets de la liaison, sont généralement incapables de prédire la
localisation des fissures ainsi que les réseaux créés. Par ailleurs, la dégradation de la rigidité de la
liaison augmente la période de vibration, réduit la capacité de dissipation d'énergie et conduit à une
redistribution significative des forces internes (selon Bertero, 1979, cf. [bib2]).
La loi de comportement JOINT_BA est décrite dans le cadre de la thermodynamique des processus
irréversibles : l'écriture et l`emploi d'un modèle " classique " de matériau couplant fissuration et
frottement permet d'intégrer de manière robuste des mécanismes fins non linéaires concomitants à la
description particulière de la cinématique de glissement. Ce dernier point nous permet de ne pas
recourir aux classiques modélisations de type `contact' bien souvent utilisées dans ce contexte malgré
les nombreuses sources d'instabilités numériques. Ainsi, en chargement monotone la prise en compte
du couplage effort normal cisaillement permet de traiter des cas de fortes étreintes multiaxiales ; en
cyclique, le comportement hystérétique et les dissipations correspondantes sont exprimés grâce au
couplage entre l'état d'endommagement et l'écrouissage cinématique. L'emploi d'un schéma implicite
permet d'obtenir une implémentation robuste.
Le paragraphe [§2] décrit en forme brève le phénomène de la liaison acier béton. Le paragraphe [§3]
présente l'écriture thermodynamique de la loi de comportement, tandis que le paragraphe [§4] précise
l'étape d'intégration numérique de la loi. Les paramètres qui gèrent le modèle et qui pourront être
obtenus à partir des propriétés des matériaux impliqués, sont décrits dans le paragraphe [§5].
2
Brève description de la liaison acier-béton
Conceptuellement, le phénomène de liaison correspond à l'interaction physique de deux matériaux
différents, qui se produit sur une zone d'interface en permettant le transfert et la continuité des efforts
et des contraintes entre les deux corps en contact. Dans le cas des structures en béton armé, ce
phénomène est aussi connu comme la « rigidité de tension » qui se développe autour d'un élément de
renforcement, partiellement ou totalement noyé dans un volume de béton. Les forces de traction qui
apparaissent à l'intérieur du renforcement sont transformées en contraintes de cisaillement sur la
surface, et sont transmises directement au béton en contact qui va les équilibrer finalement, et vice-
versa. La réponse de l'ensemble va dépendre de la capacité du béton à se déformer autant que l'acier,
puisque l'acier aura tendance à glisser à l'intérieur du béton l'entourant. Le phénomène de liaison
correspond à cette capacité du béton à se déformer et à se dégrader localement en créant une espèce
de couche, ou enveloppe, autour du renforcement, dont les propriétés cinématiques et matérielles
diffèrent de celles du reste du béton ou du renforcement employé.
Le phénomène peut être décomposé en trois mécanismes bien définis :
·
une adhérence d'origine chimique,
·
un mécanisme de frottement entre deux surfaces rugueuses (acier-béton ou béton-béton),
·
une action mécanique créée par la présence des nervures de la barre d'acier sur le béton
avoisinant.
D'après cette décomposition, on peut déduire clairement que pour une barre lisse, le mécanisme
prépondérant est le frottement entre les deux matériaux, tandis que pour une barre nervurée (en
français couramment appelée « armature HA : Haute Adhérence »), le mécanisme dominant est
l'interaction mécanique entre surfaces. Lorsque le renforcement est constitué par les torons avec des
câbles en acier, il est possible de contrôler ou de combiner les différents mécanismes puisqu'ils sont
fonction directement de la surface des câbles.
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La liaison va subir une dégradation différente selon le type de chargement appliqué, soit monotone,
soit cyclique. Par ailleurs, parmi les paramètres les plus importants qui influencent le comportement de
la liaison, on peut citer :
· les caractéristiques du chargement,
· les caractéristiques géométriques de la barre d'acier,
· l'espacement entre barres actives,
· les caractéristiques du béton,
· le confinement par renforcement passif,
· la pression latérale.
Lors de l'étude d'une barre cylindrique noyée dans un milieu infini, on peut identifier la surface de
discontinuité où on va placer les effets de la liaison, qui se développe dans une certaine zone de béton
fissuré et écrasé autour de la barre d'acier. A un moment donné, cette surface correspondra à la
fissure cylindrique créée lors de la coalescence des fissures de cisaillement. En regardant le réseau
des fissures, on peut supposer que, en conditions idéales, le plan de fissuration est toujours
perpendiculaire (direction normale) à la surface de la barre et parallèle (direction tangentielle) à son
axe longitudinal (voir [Figure 2-a]). Cela nous permet de projeter les composantes du déplacement sur
la direction normale et tangentielle du plan de fissuration, et par conséquent d'obtenir les déformations
et contraintes correspondantes.
CORPS A
Sd
A1
n
F
A2
B1
t
béton écrasé
B2
glissé
CORPS B
Figure 2-a : description réelle du phénomène de liaison et simplification éléments finis :
coordonnées dans le repère local de l'élément d'interface utilisé comme support de la loi JOINT_BA
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3 Ecriture
théorique
La formulation présentée ici a été développée dans le cadre de la thermodynamique des processus
irréversibles ; elle donne la relation constitutive entre l'effort normal, la contrainte de cisaillement et le
glissement en considérant l'influence de la fissuration du béton, le frottement et les divers couplages
dans le phénomène. Pour cela, les relations constitutives qui relient le tenseur des contraintes et le
tenseur des déformations doivent inclure :
·
la fissuration du matériau d'interface par cisaillement
·
les déformations inélastiques à cause du glissement
·
le comportement hystérétique dû au frottement
·
le couplage entre la réponse tangentielle et les contraintes normales
3.1
Présentation du modèle
On se place dans le cadre d'une formulation plane en 2D, dans le repère local défini [Figure 2-a]. Les
tenseurs des contraintes et des déformations s'écrivent :
N
N
=
et =
éq 3.1-1
0
0
où N est la contrainte normale et est la contrainte tangentielle de l'élément d'interface ;
N
correspond à la déformation normale et à la déformation tangentielle. La déformation normale
dans la direction tangentielle à l'interface est considérée comme nulle. Ce mode de déformation pour
un élément d'adhérence est à énergie de déformation nulle.
Les comportements normaux et tangentiels étant considérés comme découplés au niveau de l'état, le
potentiel thermodynamique obtenu à partir de l'énergie libre de Helmholtz s'exprime de la façon
suivante :
= 1
[ E + E 1- D
N -
N -
N +
(
N )
N +
2
+ G 1- D + -
D -
2
+ +
éq
3.1-2
T
(
T ) T
(
f
T
T )G
T (
f
T
T )
] (z)
où est la densité, est le module d'Young, D N est la variable interne d'endommagement normal
et DT la variable interne d'endommagement tangentiel, les deux étant liées à la fissuration et
comprise entre 0 et 1. G est le module de rigidité ou de cisaillement, f
est la déformation
T
irréversible induite par glissement avec frottement des fissures, est la variable interne
d'écrouissage cinématique, est un paramètre matériau et z , la variable de pseudo « écrouissage
isotrope » par endommagement, avec sa fonction de consolidation (z) .
et
définissent
-
+
respectivement les parties positives et négatives du tenseur considéré.
On peut remarquer dans l'équation [éq 3.1-2] que dans la direction normale, l'endommagement sera
activé lors de l'apparition des déformations positives produites par des forces de traction, tandis que si
les déformations sont négatives à cause des effets de compression, le comportement restera
élastique. En ce qui concerne la partie tangentielle du comportement, on peut reconnaître un couplage
classique élasticitéendommagement ainsi qu'un nouveau terme permettant d'associer à l'état
élasticité-endommageable, un état de glissement avec frottement. Le couplage entre glissement et
fissuration est possible grâce à la présence de la variable d'endommagement comme multiplicateur
dans le second élément de la partie droite de l'équation [éq 3.1-2].
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Les lois d'état sont obtenues classiquement par dérivation du potentiel thermodynamique, et ainsi
permettent de définir les variables thermodynamiques associées. La contrainte normale s'exprime
comme :
E
si
0
N
N
=
=
N
éq
3.1-3
N
(
1- DN ) E
si
> 0
N
N
et la contrainte tangentielle totale comme :
T =
= G 1
( - DT )T + G DT (
f
T - T ) éq
3.1-4
T
On peut également définir la contrainte tangentielle due au glissement avec frottement (déformation
s
) :
f
= -
= D -
T
G
T (
f
T
éq
3.1-5
f
T )
T
Remarque :
Une telle formulation s'éloigne amplement d'une formulation classique de couplage plasticité
endommagement. L'hypothèse amenant à l'introduction de l'endommagement dans la contrainte
par glissement se base sur une constatation expérimentale qui est que tous les phénomènes
inélastiques dans un matériau fragile proviennent de la croissance des fissures.
Le taux d'énergie restituée par endommagement-frottement peut être écrit comme :
1
1
- = -
= T G T - (
f
T - - = -
+
T ) G (
f
T
T )
(DT fT ) éq
3.1-6
DT
2
2
Dans cette dernière expression, DT correspond au taux d'énergie restituée par endommagement et
fT au taux d'énergie restituée par frottement des fissures.
La loi d'état de l'écrouissage cinématique amène à la définition de la contrainte de rappel :
=
= éq
3.1-7
Concernant la loi d'écrouissage de l'endommagement isotrope, elle est exprimée par :
=
= '(z)
éq 3.1-8
z
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Il nous faut maintenant expliciter d'une façon plus détaillée l'évolution du mécanisme
d'endommagement dans la liaison, autrement dit préciser l'expression de (z) . Pour une faible
valeur d'endommagement, le mécanisme qui prédomine est l'interaction du béton avec les nervures de
la barre d'acier, tandis que pour une valeur beaucoup plus grande, c'est le frottement entre le béton et
l'acier qui prévaut. Lors de l'évolution de l'endommagement, 2 phases principales pourront être
identifiées :
· la première phase correspond à une croissance stable de fissures transversales liées à la
présence de nervures sur l'acier (écrouissage apparent positif de la loi d'évolution),
· la seconde ne fait plus intervenir que la coalescence de ces fissures transversales amenant à
ne plus considérer que les mécanismes de frottement (écrouissage négatif vers une contrainte
de frottement résiduelle).
3.2
Analyse de l'endommagement dans la direction tangentielle
La loi d'évolution de l'endommagement est divisée en trois étapes :
1) région d'adhérence parfaite,
2) région de passage de petites déformations aux grands glissements,
3) région de résistance maximale de la liaison et dégradation jusqu'à la résistance résiduelle
ultime.
Pour identifier ces régions, on établit deux seuils :
· le seuil d'adhérence parfaite 1
,
T
· le seuil de continuité avant coalescence des fissures 2
.
T
Ainsi, en reprenant les expressions liées à l'endommagement à savoir celle du taux de restitution
d'énergie [éq 3.1-6] et celle de la variable interne associée à l'écrouissage isotrope [éq 3.1-8], on peut
noter :
· une vraie séparation entre l `endommagement et le frottement des fissures (ce qui permet de
modifier uniquement la loi d'évolution de l'endommagement sans affecter la partie
« frottement »),
· la partition en deux parties de l'écrouissage isotrope puisqu'on a deux étapes différentes dans
l'endommagement.
Désormais nous écrirons pour l'écrouissage lié à la variable d'endommagement :
,
si 1 < 2
T1
T
T
T
=
=
T
'(z)
=
éq
3.2-1
z
2
, si
<
T1
T 2
T
T
Les composantes et
s'expriment de la façon suivante :
T1
T 2
2
1
G
=
T
+
+ z
T1
T1
ln (1
T )
éq
3.2-2
A
1
1
2
DT
T
1 - z
=
T 2
+
T
T 2
éq
3.2-3
A
1 z
2DT + T
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On définit également la fonction seuil DT qui dépend de DT et qui s`écrit comme :
=
DT
D -
T
( +
T1
T ) 0 éq
3.2-4
Les seuils qui gèrent la loi d'évolution de l'endommagement sont exprimés aussi en termes de T
D
(voir [Figure 3.2-a]). La première expression correspond au seuil d'adhérence parfaite et s`écrit :
1 1
1
T1 = elas = G éq
3.2-5
T
2 T
T
Où T1 est le seuil initial d'endommagement défini en fonction de la déformation limite d'adhérence
parfaite 1
T , qui correspondra à la déformation limite de cisaillement ou de traction du béton avant
l'initialisation de l'endommagement. Par ailleurs, T 2 est le seuil d'initiation de coalescence de
micro-fissures qui est défini en fonction de la déformation tangentielle initiale des grands glissements
2
T :
1 2
2
T 2 = G
éq
3.2-6
2 T
T
2
1
0
0
2
t
2t
Figure 3.2-a : construction des fonctions seuils en termes d'énergie
Les lois d'évolution des variables internes dans le cadre des lois associées standard permettent
d'obtenir la dérivée du multiplicateur d'endommagement D :
·
·
·
·
·
·
D
D
D = D
= D et z = D
= - D
éq 3.2-7
D
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En utilisant par ailleurs la condition de consistance, on obtient l'expression de l'endommagement :
B
1 T
T
2
D
D = 1
1
-
exp
T
1
A
-
DT
(
DT
T1 )
*
DT
G
1
éq 3.2-8
1 + A
-
B2D
2
DT
DT
T1 +
T
Dans cette expression, on peut identifier la partie qui correspond à la région du passage des petites
déformations aux grands glissements avec deux paramètres : A1
B
DT et 1DT , ainsi que la partie
d'endommagement finale en mode 2, avec les paramètres A2
B
DT et 2 DT . Il faut noter que la relation
-
DT
T1 est gérée par une fonction de Macaulay, c'est-à-dire que cette différence d'énergie doit
être toujours positive ou nulle.
Les fonctions qui gèrent l'écrouissage isotrope dans la direction tangentielle sont exprimées comme :
Z
= Y
- Y ;
T1
DT
T1
éq 3.2-9
,
0
si
<
=
1
D
2
T 2
T
T
T
éq
3.2-10
- , si
<
DT
T 2
T 2
DT
D'après ces expressions, on peut remarquer que
n'est pas prise en compte dans la région de
T 2
transition des petites déformations à grands glissements.
3.3
Analyse de l'endommagement dans la direction normale
Les deux mécanismes les plus importants qui peuvent apparaître sur la direction normale sont le
détachement entre le béton et les barres d'acier, et la pénétration de l'armature dans le corps du
béton. Ces deux conditions peuvent être interprétées respectivement comme une ouverture ou une
fermeture de fissure, et peuvent être décrites par une loi de comportement particulière dans la
direction normale découplée du comportement tangentiel.
Afin de simplifier la résolution pour la compression entre surfaces, on a décidé de permettre une petite
pénétration entre celles-ci, ce qui implique que 0 , et en adoptant une loi de comportement
N
élastique, on aura :
= - si 0
N
E
N
N
éq
3.3-1
Le cas de la décohésion de l'interface peut être décrit par un comportement endommageable dans la
direction normale, soit :
=
N
(1- DN ) E + si > 0
N
N
éq
3.3-2
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avec D N variable scalaire de l'endommagement dans la direction normale, calculée avec l'expression
suivante :
0
si
1
N
N
D =
N
éq
3.3-3
1
si 1 <
N
B
N
1+
- D N
ADN
D N
N1 +
Dans cette expression, deux paramètres matériau, AD N et BD N , contrôlent la décohésion par
l'endommagement en traction du béton. Par ailleurs, est le seuil d'endommagement défini en
N 1
terme d'énergie, équivalent au seuil élastique dans la direction normale
et qui s'exprime
elas N
comme :
1 1
1
N1 = elas
= E
éq
3.3-4
N
2 N
N
1
étant la déformation limite d'adhérence parfaite, qui correspond à la déformation limite du béton en
N
traction avant l'initialisation de l'endommagement. Il faut mentionner que lorsque le détachement ou
l'ouverture de fissure atteint la valeur maximale de la résistance à traction, aucune force de
cisaillement ne devra être transmise entre les deux matériaux : c'est est l'unique condition dans
laquelle la variable scalaire d'endommagement dans la direction tangentielle devient 1 à cause de
l'endommagement dans la direction normale
3.4 Analyse de la contribution des frottement de fissures par
glissement
En ce qui concerne la partie " glissement " de la formulation, on suppose qu'elle a un comportement
pseudo-plastique, avec écrouissage cinématique non linéaire. Initialement introduit par Armstrong &
Frederick, 1966, cf. [bib1], l'écrouissage cinématique non linéaire permet à la formulation de surmonter
le principal désavantage de la loi d'écrouissage cinématique de Prager, à savoir, la linéarité de la loi
d'état qui relie les forces associées à l'écrouissage cinématique. Ici, les termes non linéaires sont
ajoutés dans le potentiel de dissipation. Le critère de glissement prend la forme classique de la
fonction seuil de Drucker-Prager qui prend en compte l'effet du confinement radial sur le glissement :
= f
- + c I
0
f
T
1
éq
3.4-1
Ici est la contrainte de rappel, c est un paramètre lié au matériau, traduisant l'influence du
confinement, tandis que I correspond au premier invariant du tenseur des contraintes, qui pour notre
1
cas s'exprime comme :
1
1
I =
1
Tr[] = N
éq
3.4-2
3
3
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: 11/26
Par ailleurs, le seuil initial pour le glissement est 0. De plus, en considérant le principe de dissipation
plastique maximale, les lois d'évolution peuvent être dérivées de l'expression du potentiel plastique qui
est :
p
f
3
2
= - + c I
f
T
1 +
a
éq
3.4-3
4
Où a est un paramètre matériau. Il faut mentionner que le terme quadratique en permet
d'introduire la non-linéarité de l'écrouissage cinématique. Les lois d'évolution pour la déformation de
glissement ainsi que pour l'écrouissage cinématique prennent les formes suivantes :
·
·
p
·
·
p
f
=
f
f
et = f
f
T
éq 3.4-4
f
T
·
Le multiplicateur de glissement f est calculé numériquement par imposition de la condition de
consistance.
3.5
Résumé des équations
Nous montrons ici, un résumé des équations qui constituent la loi de comportement de la liaison
acier-béton :
1
. = [
-
E
-
+
+
E
+
N
N
N
. (1- DN )
Energie Libre
N
2
de Helmholtz
+ G
2
T
(1- T
D )T + (
f
T -
- + +
T )G .
T
D (
f
T
T )
] H(z)
= Y
DT
D -
T
(Y + Z
T1
T ) 0 ;
Fonction seuil
= f
- X + c . I 0
f
T
1
E . N
si N 0
N = (
;
1- DN ) . E . N si N > 0
Lois d'état
T = G(1- T
D )T + G . T
D (
f
T - T );
f
= . D -
G
T (
f
T
T )
- Y = -
= -( D
Y + Yf ) ;
D
Dissipation
X =
=
;
'
Z =
= H (z)
z
D& = & .
D = & ; z& = & . D = -& ;
D
Y
D
D
Z
D
Lois
D
d'évolution
p
f
p
& = & . f ; & = & . f
T
f
f
f
X
T
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3.6
Expression de la matrice tangente
Afin d'assurer la robustesse et l'efficacité du modèle dans l'implantation numérique et pour l'analyse
globale des structures massives, il faut calculer la matrice tangente, laquelle peut être déterminée à
partir de l'expression suivante :
·
·
=
T
T
éq 3.6-1
Après quelques calculs analytiques, on peut déduire l'expression du module tangent en utilisant la
condition de consistance et les lois d'évolution respectives :
G (1- (g( )
T
T ) f
T )
H =
éq
3.6-2
(
f
T )
p
(
f
T )
1+ G DT (
f
) 2
2
p
(
)(
f
)
Avec
g
(T )
DT DT f g h -
' f 'g h - f g' h
=
=
G
éq
3.6-3
2
T
T
DT
T
h
Où f , g et h sont les fonctions suivantes, obtenues grâce à [éq 3.2-8] :
T
f
1
=
éq 3.6-4
DT
B
2
1DT
g = expA
1
éq
3.6-5
DT
(
-
DT
T1 )
G
B2DT
h = 1 + A2
-
DT
DT
T1 +
éq
3.6-6
Remarque :
En pratique dans Aster, la matrice tangente n'a pas été implantée, seule la matrice sécante est
E 1
( - D )
0
N
utilisée soit H =
.
0
G 1
( - D )
T
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4 Intégration
numérique
La séparation en deux parties dans la formulation : endommagement glissement, nous permet de
traiter séparément chacune d'elle. Ainsi, l'intégration de la partie endommagement est réalisée de
façon explicite par la définition des deux surfaces seuil. Par contre, la partie " glissement " est résolue
de manière implicite par une méthode classique à savoir l'algorithme de type " return-mapping "
proposé par Ortiz & Simo, Cf [bib4], qui va assurer la convergence de façon efficace.
4.1 Calcul de la partie « frottement des fissures » avec une méthode
d'intégration implicite
Les effets sur la liaison associés au phénomène de frottement des fissures peuvent être calculés dans
le cadre d'un comportement pseudo-plastique avec un écrouissage cinématique non linéaire. Pour
l'implantation avec la méthode d'intégration proposée, nous allons effectuer une linéarisation de la
fonction seuil autour des valeurs actuelles des variables internes associées. A l'itération (i+1), la
surface seuil s'écrit :
(i)
(i)
(i+ )
1
(i)
(i)
f
f
f
= +
:
éq
4.1-1
f
f
-
f
T
T
+
: ((i+ )1 - (i) ) 0
f
T
D'après les équations [éq 3.1-7], [éq 3.1-8], et [éq 3.6-5], on a :
·
·
· p
= = -
f
f
éq
4.1-2
·
·
p
·
f
f
= - D = - D
f
T
G
T
T
G
T
f
éq
4.1-3
f
T
Qu'on peut discrétiser de la manière suivante :
p
= (i+ )1 - (i) = = -
f
f
éq
4.1-4
p
(i+ )
1
(i)
f
f
f
f
=
-
= - D
= - D
f
T
T
T
G
T
T
G
T
f
éq
4.1-5
f
T
En combinant ces expressions avec l'expression de la surface seuil et en écrivant que est égale à
f
zéro, on peut déduire l'incrément de multiplicateur
à chaque itération i :
f
(i)
=
f
f
éq
4.1-6
(i)
(i)
(i)
p
(i)
p
f
G D
f
f
f
T
+
f
f
T
T
Après l'obtention de la valeur de
, on peut la substituer dans les équations [éq 4.1-4] et [éq 4.1-5]
f
afin d'actualiser les forces thermodynamiques
f
T et . Les itérations devront continuer jusqu'au
moment où la condition de consistance est vérifiée.
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4.2
L'algorithme de résolution
De façon générale, on cherche à vérifier l'équilibre de la structure à chaque instant, sous une forme
incrémentale. Comme explicité précédemment, pour l'endommagement une simple équation scalaire
permet d'obtenir la valeur correspondante, ce qui permet d'éviter un recours aux méthodes itératives.
Par contre, une méthode itérative est appliquée pour l'intégration de la partie frottement des fissures.
Alors, l'algorithme est le suivant :
(i) Réactualisation
géométrique :
(
=
+ u
T ) +
(
n 1
T )
s
n
T
(ii) Prédiction
élastique :
( f ( ) =
T ) 0
n+1
( fT )n;
( e ( ) =
-
T ) 0
n+1
( T )n+1 ( fT )n+1;
(0
) =
n+1
n ;
(0)
=
,
n+1
(( eT )(0) (0)
n+1
n+1 )
(iii) Evaluation du
seuil :
(f )(0) 0?
n+1
si OUI, fin du cycle ; si NON, début des itérations
OUI :
( f =
( e =
(0)
=
(0)
=
T )n+1
( eT )(0)
T )n+1
( fT )(0)n+1 ;
n+1 ; n+1
n+1 ; n+1
n+1
NON :
i = 0
(iv) Correction
plastique :
( f )(i)
= (
n 1
+
f
f
f
/
+
T )(i) G . D
/
/ X
. .
/ X
n 1
+
T (
p
f
f
T )(i)
(
1
+
f
)(i)
n
n 1
+
( pf )(i)n1+
(i+ )1
(i)
=
-
-
n 1
+
n
G .
1
+
T
D .
.
f
( p f
/
f
T )(i)
.
.
f
( p / X
f
)(i)
(i+1)
(i)
=
+
n+1
n+1
f
( pf )(i)
(v) Vérification de
la
convergence :
(f )(i+1) TOL
+
( f )(0) ?
n 1
n+1
si OUI, fin du cycle ; si NON, continuer les itérations en (iv)
OUI :
(i+1)
=
n+1
n+1 ;
(i+1)
=
n+1
n+1 ;
( e = ,
T )
e
n+1
T ( n+1
n+1 ) ;
( f =
-
T ) +
(
n 1
T )n+1
( eT )n+1
NON :
i = i + 1
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4.3
Variables internes du modèle
Nous montrons ici les variables internes stockées en chaque point de Gauss dans l'implémentation du
modèle :
Numéro de
Sens physique
variable
interne
1
D N : Variable scalaire de l'endommagement dans la direction normale
2
DT : Variable scalaire de l'endommagement dans la direction tangentielle
3
zT1 : Variable scalaire de l'écrouissage isotrope pour l'endommagement en mode 1
4
zT2 : Variable scalaire de l'écrouissage isotrope pour l'endommagement en mode 2
5
f
: Déformation de glissement cumulée par frottement des fissures
T
6
: Valeur de l'écrouissage cinématique par frottement des fissures
5
Paramètres de la loi
La loi de comportement ici présentée est contrôlée par 14 paramètres, dont 3 gèrent la réponse dans
la direction normale et les autres affectent la réponse dans la direction tangentielle. Par ailleurs, le
module d'Young est récupéré à partir des données élastiques fournies par l'opérateur ELAS, qui doit
toujours apparaître dans le fichier de commandes.
Ces paramètres, ou les expressions analytiques qui permettent de les obtenir, ont été obtenus ou
déterminés à partir de la simulation numérique des tests expérimentaux effectués par Eligehausen et
al., 1983, Cf [bib3]. La réalisation de multiples simulations a permis de déterminer une relation entre
les caractéristiques géométriques et matérielles des matériaux en question (acier et béton) et les
paramètres qui gèrent le modèle de l'interface.
5.1
Les paramètres initiaux
5.1.1 Le paramètre « hpen »
L'élément joint fonctionnant sur la notion de saut de déplacement, il est nécessaire d'introduire une
dimension caractéristique de la zone d'interface dégradée permettant de définir la notion de
déformation dans l'interface. Pour ce faire il a été introduit le principe de pénétration entre surfaces : le
paramètre « hpen » permet de définir cette zone entourant la barre d'acier. Ce paramètre correspond
à la pénétration maximale possible qui dépend de l'épaisseur du béton comprimé - écrasé. En même
temps, « hpen » gère la dissipation d'énergie dans l'élément ainsi que la cinématique du glissement.
Afin de donner une référence à l'utilisateur pour le choix de ce paramètre, on propose de le calculer à
partir du diamètre de la barre d
b et l'aire relative des nervures
définie par :
sR
k FR
sin
sR =
éq
5.1.1-1
d c
b
où k est le nombre de nervures sur le périmètre ; R
F l'aire transversale d'une nervure ; est l'angle
entre la nervure et l'axe longitudinale de la barre d'acier ; et c est la distance entre nervures mesurée
centre à centre. Finalement, « hpen » sera calculé avec l'expression :
hpen = db sR
éq
5.1.1-2
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D'après Eligehausen et al., les armatures couramment utilisées aux Etats Unis ont des valeurs de
sR
entre 0.05 et 0.08 . Pour les barres lisses, étant donné que l'on a besoin d'une valeur petite de
« hpen », on propose des valeurs de entre 0.005 et 0.02.
sR
Le tableau suivant donne les valeurs de « hpen » en fonction du diamètre de la barre :
Diamètre (mm)
Aire relative
Hpen (mm)
Description
8 0.01
(0.08) 0.1
Barre commerciale lisse
8
0.08
0.64
Barre commerciale nervurée
20
0.08
1.50
Barre commerciale nervurée
25
0.08
2.00
Barre commerciale nervurée
32
0.08
2.54
Barre commerciale nervurée
L'unité de « hpen » doit bien sûr correspondre à l'unité utilisée pour le maillage.
5.1.2 Le paramètre G ou module de rigidité de la liaison
Généralement, du fait de la difficulté de mesurer les déformations par cisaillement, le module de
rigidité d'un matériau est calculé à partir du module d'Young et du coefficient de Poisson, paramètres
courants obtenus expérimentalement. Cependant, pour notre cas, l'interface est un pseudo-matériau
dont les caractéristiques doivent dépendre des propriétés correspondantes aux matériaux en contact,
acier et béton. Etant donné que le matériau que l'on s'attend à endommager est le béton, on propose
d'utiliser initialement pour la liaison la même valeur de G que pour le béton étudié mais elle peut être
supérieure jusqu'à une valeur similaire à la valeur du module d'Young E , lorsqu'on augmente la
valeur de « hpen ». Dans le cas des armatures avec des rigidités supérieures à celles des barres
commerciales courantes (du fait d'une disposition ou géométrie spéciale des nervures), on peut faire
une correction de la valeur choisie, en multipliant le module de rigidité par un coefficient de correction
calculé à partir des aires relatives des barres commerciales, avec l'expression :
(SR )barre
Carm = (
éq
5.1.2-1
SR )barrecomm
Alors, le module de rigidité de la liaison G sera :
Gliai = Carm Gbeton
éq
5.1.2-2
Dans les dernières expressions, Glia est le module de rigidité de la liaison ; Gbeton est le module de
rigidité du béton ; Carm est le coefficient de correction par armature ; ( )barre
SR
, aire relative des
nervures de la barre concernée ; et ( SR )barrecom , aire relative des nervures de la barre
commerciale du même diamètre (de préférence, 0.08).
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5.2
Les paramètres d'endommagement
5.2.1 La limite de déformation élastique 1 ou seuil d'adhérence parfaite
T
Pour définir le seuil d'adhérence parfaite, on considère que l'endommagement par cisaillement doit
s'initier lors du dépassement d'un certain seuil de déformation. De ce fait, on propose d'adopter les
déformations limites du béton en traction, c'est-à-dire, entre 1x10-4 et 0.5x10-3, qui correspondent aux
contraintes de cisaillement entre 0.5 et 4 MPa en adhérence parfaite.
5.2.2 Le paramètre d'endommagement A pour le passage des petites déformations
1DT
aux grands glissements
Dans cette région, la loi d'évolution de l'endommagement est exprimée en terme de déformations et sa
construction dépend de la pente élastique définie pour le comportement linéaire (contrainte de
cisaillement vs. déformation) dans la région d'adhérence parfaite : ce paramètre contrôle la valeur de
la contrainte par rapport au glissement dans le passage de petites déformations aux grands
glissements.
La détermination de la valeur de ce paramètre est un point clé et délicat du modèle, puisque l'évolution
de l'endommagement doit s'effectuer avec certaines conditions remarquées par plusieurs chercheurs ;
par exemple :
·
la résistance de la liaison est directement proportionnelle à la résistance à la compression du
béton. Cependant, au fur et à mesure que l'on augmente la résistance du béton, le
comportement devient plus rigide, amenant à la rupture fragile de la liaison,
·
la rigidité particulière de l'armature, qui est liée au diamètre et à la quantité des nervures sur
la surface, doit augmenter la résistance de la liaison,
·
la relation entre les modules d'élasticité des deux matériaux concernés doit gérer directement
la cinématique de la liaison.
A partir des simulations numériques que l'on a effectuées, on a observé que cette valeur est située
entre un minimum de 1 et un maximum de 5, et qu'elle devra être ajustée en fonction du test de
référence choisi. Facultativement, on propose une expression qui permet d'adopter une valeur initiale
et qui dépend des caractéristiques propres des matériaux :
1
f 'c
Ea
A1
=
DT
(
éq
5.2.2-1
1 + SR )
30
Eb
Dans la dernière expression, Eb sera calculé avec l'expression fournie dans la section A.2.1,2 de
BAEL'91 :
E = 11000
b
× ( f 'c)1 3 éq
5.2.2-2
Dans les deux dernières expressions, on a :
·
f 'c , résistance à la compression du béton en MPa ;
·
Ea , module d'élasticité de l'acier, en MPa ;
·
Eb , module d'élasticité du béton, en MPa ;
· sR , aire relative des nervures de la barre concernée.
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La [Figure 5.2.2-a] en donne une comparaison graphique.
COMPARAISON DE A1DT
- Loi locale de la liaison -
40
20
ad1=1.0
35
ad1=2.19
ad1=3.8
-
O
30
15
TA
ent
25
)
a
)
Pa
l
e
m
P
20
M
10
Y (M
c
i
sai
Y (
X
S
SX
t
e
de
15
a
i
n
10
-
contr
5
5
0
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0.05
0.1
0.15
defo EXY
defo EXY
Figure 5.2.2-a : Comparaison de A1DT : croissance de la résistance de la liaison
5.2.3 Le paramètre d'endommagement B
1DT
Ce paramètre a pour but d'adoucir l'allure de la courbe de comportement, ainsi que de faciliter la
transition de la pente élastique vers la région non linéaire. Elle peut avoir une valeur comprise entre
0.1 et 0.5 (jamais supérieure à 0.5 puisque c'est l'équivalent de la racine carrée de la formule).On peut
conseiller d'adopter la valeur de 0.3 pour des calculs ordinaires. (Voir [Figure 5.2.3-a]).
VARIATION DE Bd1
- Loi locale de la liaison -
25
20
Bd1=0.1
Bd1=0.2
Bd1=0.25
20
Bd1=0.3
Bd1=0.5
-
15
O
nt TA
e
15
)
Pa)
i
l
e
m
Pa
M
sa
10
e
ci
XY (M
SXY (
d
S
t
e
10
i
n
t
ra
n
-
co
5
5
0
0
0
0.5
1
1.5
2
0
0.05
0.1
0.15
defo EXY
defo EXY
Figure 5.2.3-a : Comparaison de B1DT : Modification de la courbure
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5.2.4 La limite de déformation 2 ou seuil des grands glissements
T
Selon plusieurs auteurs, les grands glissements sont globalement supérieurs à 1 mm de déplacement,
mais cela est un indicateur qui dépend de la forme et des dimensions des spécimens testés ; donc, on
propose que cette déformation ne dépasse jamais 1.00 (valeur adimensionnelle). De façon plus
précise, on propose d'appliquer l'expression suivante :
n
A
A
2
1
(
=
1DT )
1
(
-
=
1DT )4
T
(
éq 5.2.4-1
hpen )
1
-
2 C + (
n
1
A T ) (hpen )
1
2
D
+ ( 1
A T )
1.0
9
4
D
Dans cette expression, on a appliqué une fonction sigmoïde dont les coefficients C et n permettent
d'ajuster l'effet cinématique de A1DT sur le glissement, c'est-à-dire, lorsque la liaison devient plus
résistante à cause d'une augmentation de rigidité, le glissement se réduit graduellement. On a adopté
les valeurs 9.0 et 4.0 respectivement, mais elles sont toujours facultatives.
Le choix de la valeur de la limite de déformation 2
est très important car il introduit une plus ou moins
T
grande fragilité de la réponse par translation du seuil de passage des petites déformations aux grands
glissements. Cette fragilité est liée à la raideur du béton par l'intermédiaire du paramètre A1DT . Il faut
noter que les paramètres suivants qui gèrent l'endommagement doivent être aussi ajustés au niveau
local pour assurer la continuité correcte du comportement en cisaillement de la liaison et pouvoir ainsi
obtenir la réponse souhaitée ou attendue d'un système réel acier liaison béton.
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5.2.5 Le paramètre d'endommagement A
2DT
L'endommagement, tel qu'il a été conçu dans le modèle, obéit à deux lois d'évolution qui sont
exprimées à l'aide d'une seule variable scalaire classique qui va assurer la cohérence de
l'endommagement. Les paramètres de chacune des 2 lois sont indépendants et numériquement
stables, mais ils sont susceptibles d'engendrer des erreurs graves dans la continuité du comportement
si on ne prête pas attention à l'allure de la courbe locale contrainte - déformation : voir le cas de la
courbe montrée dans le graphique de la [Figure 5.2.5-a], avec une valeur A
= 1x10-3 MPa-1. Nous
2 DT
ne sommes pas capables de proposer une relation analytique pour le choix de ce paramètre, mais
l'expérience acquise nous permet d'affirmer que la valeur de ce paramètre doit être comprise entre
1x10-3 et 9x10-2 MPa-1 approximativement.
COMPARAISON DE A2DT
- Loi locale de la liaison -
40
35
-
Ad2 = 1e-3
O
30
Ad2 = 3e-3
TA
Ad2 = 6e-3
Ad2 = 9e-3
ent
25
Ad2 = 1.2e-2
a
)
P
l
e
m
M
20
(
Y
c
i
sai
SX
t
e
de
15
a
i
n
10
-
contr
5
0
0
0.5
1
1.5
2
defo EXY
Figure 5.2.5-a : Comparaison de A2DT : endommagement et rupture de la liaison
5.2.6 Le paramètre d'endommagement B
2DT
Ce paramètre, qui complète la loi d'évolution d'endommagement en grands glissements, contrôle non
seulement la croissance de la résistance de la liaison ou l'allure de la courbe de comportement au pic
et dans la région post-pic, mais aussi la cinématique de la réponse, ce qui implique la détermination du
glissement pour la contrainte de cisaillement maximale ainsi que l'amplitude de la courbe au pic du
comportement. Alors, bien que les valeurs des paramètres d'endommagement A2
B
DT et 2 DT
devront s'ajuster en même temps lorsqu'on construit la courbe de comportement de la liaison afin de
respecter la continuité de l'allure, on peut dire que la valeur de B2DT est inversement proportionnelle
à l'amplitude de glissement au sommet, c'est-à-dire, une valeur de 0.8 permet des grands glissements
plus larges dans le sommet qu'une valeur de 1.2, par exemple.
Pour des cas pratiques, on recommande d'utiliser une valeur comprise entre 0.8 et 1.1 pour reproduire
une courbe de comportement cohérente (Voir [Figure 5.2.6-a]).
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Fascicule R7.01 : Modélisations pour le Génie Civil et les géomatériaux
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Version
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Titre :
Loi de comportement (en 2D) pour la liaison acier - béton : JOINT_BA
Date :
09/09/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE, N. DOMINGUEZ Clé
:
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VARIATION DE B2DT
- Loi locale de la liaison -
25
20
-
O
A
T
Bd2 = 0.7
e
nt
Bd2 = 0.8
)
15
Bd2 = 0.9
Pa
i
l
lem
Bd2 = 1.0
M
i
sa
Bd2 = 1.5
Y (
c
X
e
S
d
10
t
e
a
i
n
-
contr
5
0
0
0.5
1
1.5
2
defo EXY
Figure 5.2.6-a : Comparaison de B2DT : endommagement et rupture de la liaison
5.3
Les paramètres d'endommagement sur la direction normale
5.3.1 La limite de déformation 1 ou seuil des grands déplacements
N
De façon similaire au comportement élastique dans la direction tangentielle, on considère que la
décohésion doit s'initier lors du dépassement d'un certain seuil de déformation. Nous proposons
d'adopter une valeur entre 10-4 et 10-3.
5.3.2 Le paramètre d'endommagement A
DN
Ce paramètre contrôle essentiellement la pente de dégradation de la contrainte normale par rapport à
la déformation due à l'ouverture de l'interface. Nous proposons d'utiliser une valeur minimale de 1x10-1
MPa-1, qui correspond à une dégradation similaire à celle du béton. Néanmoins, si on souhaite avoir
un comportement de la liaison encore plus fragile, il suffit d'augmenter cette valeur.
5.3.3 Le paramètre d'endommagement B
DN
En combinaison avec le paramètre précédent, ce paramètre contrôle l'endommagement de la liaison,
en particulier l'allure de la courbe de comportement en phase post-pic.
Nous proposons d'utiliser une valeur égale à 1, ou 1,2 pour des courbes plus prononcées.
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25
ADN = 1e-3
ADN = 1e-2
20
ADN = 1e-1
-
nce
r
e
e
d
h
a
15
)
a
P
d'
e
M
Y (
rmal
o
SY
e N
10
nt
t
r
ai
o
n
-C
5
0
0
0.5
1
1.5
2
Déformation Normale
Figure 5.3.3-a : comportement de la liaison sur la direction normale lors de l'ouverture
de l'interface (traction normale sur la liaison).
5.4
Les paramètres du frottement
5.4.1 Le paramètre matériau de frottement des fissures
Un des atouts du modèle ici proposé est qu'il est capable de prendre en compte les effets du
frottement des fissures, qui, dans le cas de chargement monotone, se manifeste par une contribution
positive à la résistance au cisaillement de la liaison ; par ailleurs, dans les cas de chargements
cycliques, il est évident que l'allure des boucles d'hystérésis dépend directement du choix de la valeur
de ce paramètre matériau. Cependant, les valeurs correspondantes n'ont pas été calibrées, puisque
nous n'avons pas encore simulé des tests avec des chargements cycliques pour les valider.
Temporairement, on propose d'utiliser des valeurs inférieures à 10 MPa, avec une valeur maximale de
égal à 1.0 MPa-1.
5.4.2 Le paramètre matériau d'écrouissage cinématique
Sur la [Figure 5.4.2-a], on peut apprécier que la diminution de la valeur de augmente la dissipation
hystérétique, mais aussi la résistance de cisaillement et la déformation pseudo-plastique résiduelle.
Cela est très important pour la modélisation cyclique de la liaison puisque dans la réalité, lorsqu'on
dépasse le pic de résistance maximale, on remarque qu'au moment de la décharge il n' y a plus de
contribution élastique du glissement, c'est-à-dire que la déformation pseudo-plastique résiduelle
correspond exactement au glissement total atteint. En d'autres mots, une fois reliées toutes les
fissures dans la couche potentielle de rupture, longitudinale et tangentielle à la barre d'acier, l'unique
résistance qui empêchera le déplacement de l'armature est la résistance au frottement de la liaison,
produite par le contact et l'enchevêtrement des aspérités entre les surfaces béton béton.
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Comme précédemment, notre expérience est limité : on propose d'utiliser une valeur maximale de
0.1 MPa-1 qui donne des résultats corrects pour des applications en chargement monotone, et qui
semble convenable pour des chargements cycliques.
EFFET DE a SUR LES BOUCLES DE HYSTERESIS
20
- Frottement des fissures -
15
-
O
A
T
e
nt
10
)
Pa
i
l
e
m
i
sa
Y (M
c
X
5
S
de
t
e
a
i
n
ntr
0
100 a 4
-
co
100 a 1
100 a .5
100 a .2
-5
0
0.5
1
1.5
2
defo EXY
Figure 5.4.2-a : Comparaison de a : effets sur les boucles de hystérésis en cyclique
5.4.3 Le paramètre d'influence du confinement c
Dans notre modèle, l'influence du confinement a été prise en compte grâce à l'application de ce
paramètre qui contrôle ces effets sur la liaison, et qui se manifeste par un accroissement de la
contrainte de cisaillement maximale ainsi que par l'augmentation du déplacement maximal au pic
quand le confinement augmente.
Pour la calibration, nous avons réalisé des simulations avec des confinements de 0, 5, 10 et 15 MPa,
en utilisant toujours une valeur de 1.0 pour ce paramètre. On a remarqué que si l'on veut produire une
translation cinématique du glissement provoqué par le confinement, il suffit d`adopter une valeur de 1.2
ou 1.5 (adimensionnelle). Facultativement, il est conseillé de maintenir la valeur de 1.0 pour des
calculs ordinaires.
5.5
Résumé des paramètres
Pour faciliter l'utilisation de la loi, le tableau suiant présente une synthèse de l'ensemble des
paramètres du modèle de comportement.
On rappelle que les valeurs ou les expressions proposées n'ont qu'une valeur indicative, et que la
combinaison arbitraire peut donner des résultats inexacts et inattendus par rapport au comportement
espéré de la liaison ; autrement dit, un mauvais choix des paramètres peut produire une forte rigidité
ou bien une faible réponse de l'interface acier béton.
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Valeur
Variables
Paramètre Unité
Expression analytique
proposée
concernées
Diamètre de
db
la barre
h
h
= d
pen
mm -
pen
b
sR
Aire relative
sR
des nervures
Coefficient de
Carm correction par
armatures
G
G
= C
G
liai
MPa -
liai
arm
beton
Module de
Gbeton rigidité du
béton
1
min 1.0x10-4
T
-
max 1.5x10-3
Résistance à
la
f'c,
compression
du béton
(MPa)
1
f 'c
E
A
min 1.0
a
A
=
1
1
Module
DT
-
max 5.0
DT
(1+
30
E
SR )
b
Ea
d'élasticité de
l'acier
Module
Eb
d'élasticité du
béton
B
min 0.1
1
DT
-
max 0.5
A
2
1
( 1 TD )4
2
=
1 -
T
- - T
(h
A
pen )2
+ ( 1 T
D )
1.0
9
4
A
min 1.0x10-4
2
DT
MPa-1 max 9.x10-2
B
min 0.8
2
DT
-
max 1.5
MPa
max 10.0
a
min 0.01
MPa-1
max 1.0
c
- 1.0
(valeur
recommandée)
1
min 10-4
-
N
max 0.9 10-3
A
(valeur recommandée, non calibrée)
DN
MPa-1 min 1.0x10-1
B
(valeur recommandée, non calibrée)
DN
- 1.
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R7.01.21-A Page
: 25/26
6 Bibliographie
[1]
ARMSTRONG, P.J. & FREDERICK, C.O. : A Mathematical Representation of the Multiaxial
Bauschinger Effect. G.E.G.B. ; Report RD/B/N, 731, 1966.
[2]
BERTERO V.V. : Seismic behavior of structural concrete linear elements (beams and
columns) and their connections. Comité Euro-International du Béton (CEB); Bulletin
d'information No. 131 ; Paris, France, 1979.
[3]
ELIGEHAUSEN R., POPOV E.P. & BERTERO V.V. : Local bond stress-slip relationships of
deformed bars under generalised excitations. University of California; Report no.
UCB/EERC-83/23 of the National Science Foundation, 1983.
[4]
ORTIZ M. & SIMO J.C. : An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic
constitutive relations. International Journal for Numerical Methods in Engineering ; Vol. 23,
pp. 353 366, 1986.
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Page laissée intentionnellement blanche.
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