Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Calcul de la déformation thermique
Date :
23/12/98
Auteur(s) :
A.M. DONORE
Clé :
R4.08.01-A
Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R4.08 : Influence de la thermique sur la mécanique
Document : R4.08.01
Calcul de la déformation thermique
Résumé
Ce document est consacré à la présentation du calcul de la déformation thermique. On y indique les
informations nécessaires au calcul de la déformation thermique et les diverses possibilités de définition de ces
informations par l'utilisateur.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Coefficient de dilatation thermique connu par rapport à Tref ............................................................... 4
3 Coefficient de dilatation connu par rapport à une température T
T
def
ref ......................................... 4
3.1 Calcul de !
(T )
i en des températures différentes de Tref (à une précision près)........................ 5
3.2 Calcul de !
(T )
i pour des températures proches de Tref (à une précision près)......................... 5
3.2.1 Calcul de (T
)
ref
................................................................................................................ 6
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1 Introduction
Les valeurs des coefficients de dilatation sont déterminées par des essais de dilatométrie qui ont lieu à
partir de la température ambiante (0°C ou plus généralement 20°C). De ce fait, on dispose en général
des valeurs du coefficient de dilatation défini par rapport à 20°C (température à laquelle on suppose la
déformation thermique nulle).
Certaines études nécessitent de prendre une température de référence différente de la température
ambiante (déformation thermique nulle pour une autre température que la température ambiante). Il
faut alors effectuer un changement de repère dans le calcul de la déformation thermique (équation
[éq 1-1] et figure ci-dessous).
th
th(T)
th(T
th(T)
m
ref)
m
T
Tre f
T
de f
Température
th(T) = th
th
m (T ) - m ( ref
T )
éq 1-1
th
où
m est la déformation thermique mesurée (définie par rapport à la température ambiante)
th est la déformation thermique calculée (définie par rapport à une température de référence)
Dans le Code_Aster, la déformation thermique est calculée par l'expression
th(T) = ! (T) (T - ref
T ) où ! (T) est le coefficient de dilatation moyen (au sens RCC_M) à la
température T déterminé par rapport à la température Tref ( Tref étant la température à laquelle on
considère que th ( ref
T ) = 0.).
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Coefficient de dilatation thermique connu par rapport à Tref
Les valeurs du coefficient de dilatation thermique ont été déterminées par des essais de dilatométrie
effectués à partir de la température Tref .
Dans ce cas, le mot clé TEMP_DEF_ALPHA ne doit pas être spécifié dans la commande
DEFI_MATERIAU [U4.23.01].
L'équation [éq 1-1] se simplifie, puisque th
m ( ref
T ) = 0.
D'où :
th(T) = ! (T) (T - ref
T )
éq 2-1
et th ( ref
T ) = 0
où les valeurs du coefficient de dilatation !
(T) sont renseignées sous le mot clé ALPHA (ou
ALPHA_*) dans DEFI_MATERIAU.
3 Coefficient de dilatation connu par rapport à une
température T T
def
ref
Les valeurs du coefficient de dilatation thermique ont été déterminées par des essais de dilatométrie
qui ont eu lieu à partir d'une température Tdef différente de la température de référence Tref .
En effet, en général on dispose des valeurs du coefficient de dilatation défini par rapport à la
température ambiante, 0°C ou plus généralement 20°C, et certaines études nécessitent de prendre une
température de référence différente de la température ambiante.
Il faut alors effectuer un changement de repère [éq 1-1].
Dans ce cas, l'utilisateur renseigne sous le mot clé TEMP_DEF_ALPHA de la commande
DEFI_MATERIAU, la valeur de la température Tdef , et sous le mot clé ALPHA (ou ALPHA_*) les
valeurs du coefficient de dilatation (T) (défini par rapport à la température Tdef ). Dans la
commande AFFE_MATERIAU sous le mot clé TEMP_REF, il indique la valeur de la température de
référence Tref .
Le calcul de th (T) se fait en utilisant la formule :
th(T) = (T) (T - dTef )- ( rTef ) ( ref
T
- d
T ef )
= !(T) (T - ref
T )
éq 3-1
et th ( ref
T ) = 0
Le calcul de th (T) nécessite le calcul préalable des valeurs de la fonction !
(T) .
La fonction !
(T) reste définie (ou renseignée) pour les mêmes valeurs de T que (T),i = ,
1 N et
garde les mêmes attributs (même type d'interpolation (`LIN', 'LOG') et même type de prolongement
(`CONSTANT', `LINEAIRE', `EXCLUS')).
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3.1 Calcul
de !
(T )
i en des températures différentes de Tref (à une
précision près)
On obtient l'expression de !
(T )
i en utilisant l'équation [éq 3-1].
i t.q. Ti - Tref Prec
(T )(T
i
i - Tdef ) - (T
)(T
ref
ref - T
)
éq 3.1-1
!
(T
def
i ) =
Ti - Tref
La valeur de la précision est :
· soit spécifiée par l'utilisateur sous le mot clé PRECISION du mot clé facteur ELAS_FO
(commande DEFI_MATERIAU [U4.23.01]),
· soit égale à 1. : valeur par défaut.
3.2 Calcul
de !
(T )
i pour des températures proches de Tref (à une
précision près)
On ne peut pas utiliser l'équation [éq 3-1] directement. On dérive l'équation [éq 3-1] par rapport à la
température et on prend la valeur de la dérivée à la température Tref .
th(T) = (T)(T - de
T f ) - ( r
T ef )( ref
T
- d
T ef ) = (!T)(T - ref
T
)
th
d' où
= (T)(
T - de
T f ) + (T) = ! (T)(
T - r
T ef ) + (!T)
éq 3.2-1
T
et donc ! ref
(T
) = ( r
T ef ) ref
(T
- d
T ef ) + ref
(T
)
L'équation [éq 3.2-1] donne l'expression de !
(Tref ).
On considère que !
(T ) = !(T ) i t.q. T - T
< Prec
i
ref
i
ref
La valeur de la précision est :
· soit spécifiée par l'utilisateur sous le mot clé PRECISION du mot clé facteur ELAS_FO
(commande DEFI_MATERIAU [U4.23.01]),
· soit égale à 1. : valeur par défaut.
Aussi, pour calculer !
(T )
i il faut au préalable calculer (T
)
ref
.
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3.2.1 Calcul
de
(T )
ref
1er cas : t.q. i -
i
T
Tref < Prec
et i et
1 i N
1 Ti+1 - T
T
ref
ref -
T
éq 3.2.1-1
(
i-1
T
ref )
( )
( ) ( ) ( )
= 2
+
Ti+1 - T
T
ref
ref - T
i-1
2ème cas : i T
t.q. i - Tref < Prec et
si
i = N
Tref - T
éq 3.2.1-2
(
i 1
Tref )
( ) ( - )
=
Tref - Ti-1
3ème cas : i t.q. Ti - Tref < prec et si i = 1
Ti+1 - T
éq 3.2.1-3
(
ref
Tref )
( ) ( )
=
Ti+1 - Tref
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