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3
Titre :
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
Clé :
R3.08.01-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, IAT St CYR
Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document : R3.08.01
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Résumé :
Ce document présente les éléments de poutre du Code_Aster basés sur une résolution exacte des équations du
modèle continu effectuée pour chaque élément du maillage.
Les poutres peuvent être droites (Eléments POU_D_T et POU_D_E) ou courbes (Eléments POU_C_T). La
section, constante ou variable sur la longueur, peut être de forme quelconque. Le matériau est homogène,
isotrope, élastique linéaire.
Les hypothèses retenues sont les suivantes :
· Hypothèse d'Euler : le cisaillement transverse est négligé, ainsi que l'inertie de rotation.
Cette hypothèse est vérifiée pour de forts élancements (élément POU_D_E).
· Hypothèse de Timoshenko : le cisaillement transverse et tous les termes d'inertie sont pris en compte.
Cette hypothèse est à utiliser pour des élancements faibles (éléments POU_D_T et POU_C_T).
· Hypothèse de Saint-Venant : la torsion est libre.
Le traitement des divers chargements et des grandeurs attendues en résultat (contraintes - efforts) est
également présenté.
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Titre :
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
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Auteur(s) :
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Table des matières
1 Les équations du mouvement................................................................................................................ 6
1.1 La traction-compression .................................................................................................................. 6
1.1.1 Equation d'équilibre local........................................................................................................ 6
1.1.2 Méthode du Lagrangien ......................................................................................................... 7
1.2 La torsion pure (torsion de Saint-Venant)........................................................................................ 8
1.2.1 Equation d'équilibre local........................................................................................................ 8
1.2.1.1 Poutre de section circulaire........................................................................................ 8
1.2.1.2 Poutre de section quelconque.................................................................................... 9
1.2.2 Méthode du Lagrangien ......................................................................................................... 9
1.3 La flexion simple............................................................................................................................ 10
1.3.1 Equation d'équilibre local...................................................................................................... 10
1.3.2 Méthode du Lagrangien ....................................................................................................... 13
2 Elément de poutre droite...................................................................................................................... 15
2.1 Mouvement longitudinal de traction - compression ....................................................................... 15
2.1.1 Détermination de la matrice de rigidité................................................................................. 15
2.1.2 Détermination du second membre....................................................................................... 16
2.1.3 Calcul des efforts aux noeuds de la poutre .......................................................................... 17
2.1.4 Détermination de la matrice de masse................................................................................. 18
2.2 Mouvement de torsion libre autour de l'axe longitudinal ............................................................... 19
2.3 Mouvement de flexion ................................................................................................................... 19
2.3.1 Flexion dans le plan (x0z) .................................................................................................... 20
2.3.2 Flexion dans le plan (xOy).................................................................................................... 22
2.3.3 Détermination de la matrice de masse cohérente avec la matrice de rigidité...................... 23
2.3.3.1 Flexion dans la plan (xoz) ........................................................................................ 23
2.3.3.2 Mouvement de flexion autour de l'axe (o z) ............................................................. 24
2.4 Matrice de masse réduite par la technique des masses concentrées .......................................... 25
3 Poutres droites particulières ................................................................................................................ 27
3.1 Excentricité de l'axe de torsion par rapport à l'axe neutre............................................................. 27
3.2 Sections variables ......................................................................................................................... 29
3.2.1 Calcul de la matrice de rigidité ............................................................................................. 30
3.2.1.1 Détermination de la section équivalente (Seq) ........................................................ 30
3.2.1.2 Détermination d'une constante de torsion équivalente (Ceq) .................................. 33
3.2.1.3 Détermination des moments géométriques équivalents.......................................... 34
3.2.2 Calcul de la matrice de masse ............................................................................................. 37
3.2.2.1 Par la méthode des masses équivalentes ............................................................... 37
3.2.2.2 Par la méthode des masses concentrés (matrice diagonale).................................. 38
4 Rigidité géométrique - Structure précontrainte .................................................................................... 40
5 Poutre courbe....................................................................................................................................... 46
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5.1 Matrice de flexibilité pour la flexion dans le plan de la poutre [C1] ................................................51
5.2 Matrice de flexibilité pour la flexion hors du plan de la poutre [C2]................................................52
6 Chargements ........................................................................................................................................55
6.1 Chargement par déformation .........................................................................................................55
6.1.1 Pour la poutre droite d'Euler et la poutre droite de Timoshenko...........................................55
6.1.2 Pour la poutre courbe de Timoshenko..................................................................................56
6.2 Chargement dû à la pesanteur.......................................................................................................57
6.3 Chargements répartis ....................................................................................................................61
6.3.1 Poutre droite à section constante .........................................................................................61
6.3.2 Poutres droites à section variable.........................................................................................62
6.3.3 Poutre courbe .......................................................................................................................62
6.4 Chargement thermique ..................................................................................................................63
6.5 Chargement électrique...................................................................................................................63
6.5.1 Conducteur secondaire droit fini ou infini..............................................................................64
6.5.2 Conducteur secondaire décrit par une partie de maillage ASTER .......................................65
7 Torseur des efforts - Torseur des contraintes (ou efforts généralisés) - Forces nodales et réactions.66
7.1 Le torseur des efforts .....................................................................................................................66
7.2 Le tenseur des contraintes.............................................................................................................67
7.3 Calcul des forces nodales et des réactions ...................................................................................70
8 Elément de barre ..................................................................................................................................71
9 Bibliographie .........................................................................................................................................71
Avant-propos
Cette documentation de référence des éléments de poutre a été effectuée à partir d'un travail réalisé
par M.T. Bourdeix, P. Hemon, O. Wilk de l'Institut Aérotechnique du Conservatoire National des Arts et
Métiers, dans le cadre d'un Contrat Externe de Recherche et Développement avec ce laboratoire.
Le volume de ce document est dû à la fois à la précision recherchée et au caractère didactique de
l'exposé, qui est volontairement conservé.
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Notations
Les notations utilisées ici ne sont pas toutes identiques à celles utilisées dans [U1.04] et [U4.24.01],
pour des raisons de compacité et d'homogénéité avec [R3.08.03].
On donne la correspondance entre cette notation et celle de la documentation d'utilisation.
DX, DY, DZ et DRX, DRY, DRZ sont en fait les noms des degrés de liberté associés aux composantes
du déplacement u, v, w, x
,y, z
.
C
constante de torsion
JX
e e
excentricité du centre de torsion/cisaillement
EY, EZ
y, z
E
module d'Young
E
coefficient de Poisson
NU
G
E
module de Coulomb = (21+)
I , I
moments géométriques de flexion par rapport aux axes y, z
IY, IZ
y
z
I
moment géométrique polaire
p
I x
moment d'inertie polaire autour de l'axe longitudinal x
k , k
coefficients de cisaillement
y
z
1
1
AY
AZ
K
matrice de rigidité
M
matrice de masse
M , M , M moments autour des axes x, y, z
MT, MFY, MFZ
x
y
z
N
effort normal à la section
N
S
aire de la section
A
u, v, w
translations sur les axes x, y, z
DX DY DZ
V ,V
efforts tranchants suivant les axes y, z
VY, VZ
y
z
masse volumique
RHO
contrainte de cisaillement transverse
cT
rotations autour des axes x, y, z
DRX DRY DRZ
x , y , z
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Introduction
Une poutre est un solide engendré par une surface d'aire S dont le centre d'inertie géométrique G
décrit une courbe C appelée la fibre moyenne ou fibre neutre. L'aire S est la section droite (section
transversale) ou profil, et l'on suppose que si elle est évolutive, ses évolutions (taille, forme) sont
continues et progressives lorsque G décrit la ligne moyenne.
Pour l'étude des poutres en général, on fait les hypothèses suivantes :
· la section droite de la poutre est indéformable,
· le déplacement transversal est uniforme sur la section droite.
Ces hypothèses permettent d'exprimer les déplacements d'un point quelconque de la section, en
fonction des déplacements du point correspondant situé sur la ligne moyenne, et en fonction d'un
accroissement de déplacement dû à la rotation de la section autour des axes transversaux. Cette
dernière peut être négligée (POU_D_E) ou faire l'objet d'une modélisation (POU_D_T et POU_C_T).
La discrétisation en éléments "exacts" de poutre s'effectue sur un élément linéique à deux noeuds et six
degrés de liberté par noeuds. Ces degrés de liberté sont les trois translations u, v, w et les trois
rotations x , y , z .
z
y
1
2
x
u x
u
x
v y
v y
w z
w z
Attendu que les déformations sont locales, il est construit en chaque sommet du maillage une base
locale dépendant de l'élément sur lequel on travaille. La continuité des champs de déplacements est
assurée par un changement de base, ramenant les données dans la base globale.
Dans le cas des poutres droites, on place traditionnellement la ligne moyenne sur l'axe x de la base
locale, les déplacements transversaux s'effectuant ainsi dans le plan (y, z).
Enfin lorsque nous rangeons des grandeurs liées aux degrés de liberté d'un élément dans un vecteur
ou une matrice élémentaire (donc de dimension 12 ou 122), on range d'abord les variables pour le
sommet 1 puis celles du sommet 2. Pour chaque noeud, on stocke d'abord les grandeurs liées aux trois
translations, puis celles liées aux trois rotations. Par exemple, un vecteur déplacement sera structuré
de la manière suivante :
u , v , w
, ,
,
, u , v ,
w
,
,
,
1
1
1
x
y
z
2
2
2
x
y
z
1
1
1
2
2
2
!### "
# #
$
###
!### "
#
$
####
sommet 1
sommet 2
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1
Les équations du mouvement
Dans ce chapitre on présente les équations du mouvement des poutres en traction-compression, en
torsion et en flexion dans le domaine élastique. Dans chacun des cas, ces équations sont déduites par
application des équations de Lagrange, issues du principe de Hamilton, ou bien en écrivant l'équilibre
local d'un segment de poutre. Nous avons choisi de rappeler les deux méthodes, le lecteur pourra se
référer à celle qui lui est la plus familière. On se limite ici aux cas où les seuls chargements sont des
chargements répartis (pas de forces concentrées).
1.1 La
traction-compression
La traction-compression est le mouvement de translation sur l'axe longitudinal de la poutre.
1.1.1 Equation d'équilibre local
On considère un segment de longueur dx soumis à un effort axial N [fig 1.1.1-a] interne et une force
extérieure fext par unité de longueur.
x
x + dx
N(x)
N(x)
N(x + dx)
O
x
fext
dx
Figure 1.1.1-a : Segment de poutre chargé axialement
La poutre a une section S(x) et est constituée d'un matériau de masse volumique (x) et de module
d'Young E(x) . Le principe fondamental de la mécanique permet d'écrire :
2
x+dx
x dx
u s
N(x)+ N(x + dx)+
fext (s)
+
ds
(s) S(s)
( )
-
=
x
ds
x
t2
où u est le déplacement sur l'
x
axe du segment.
Donc :
N(x + dx) - N(x)
1 x+dx
1
2
x+dx
u
+
f
ext (s) ds
=
S
ds
dx
dx x
dx x
t2
En passant à la limite quand dx 0 , on obtient :
d N(x)
2 u
+ f (x) =
S
(x
ext
)
dx
t2
éq 1.1.1-1
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On ne conserve que les termes du premier ordre et on remplace dans [éq 1.1.1-1], puis on utilise la loi
de Hooke et l'hypothèse que la poutre est constituée de fibres longitudinales travaillant uniquement en
traction-compression pour exprimer l'effort axial par :
u
N(x) = ES
éq 1.1.1.-2
x
On obtient ainsi après simplification par dx :
u
2 u
ES
fext
S
x
x +
=
t2
éq 1.1.1-3
qui représente l'équilibre local au premier ordre d'une poutre, pour un mouvement de
traction-compression.
1.1.2 Méthode du Lagrangien
Reprenant le segment de poutre de la figure [Figure 1.1.1-a] l'énergie cinétique totale de la poutre de
longueur l s'écrit :
1
2
l
u
E
=
S
dx
c
2 o
t
.
1
u 2
On notera pour la suite E
=
S
ce
2
t l'énergie cinétique élémentaire.
L'énergie interne de déformation, grâce à la loi de Hooke s'écrit :
1
2
l
u
E
=
ES
dx
p
.
int
2 o
x
1
u 2
On notera de même E
=
E
S
p
inte
2
x .
On a également le travail de la force externe donné par :
l
E
=
f
u dx
p
ext
ext
o
et au niveau élémentaire E
= f
u
p
ext
.
exte
Le lagrangien est donné par :
L = E - E
- E
c
p
p
int
ext
et la densité lagrangienne :
L = E - E
- E
c
p
p
.
e
inte
exte
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Pour le système continu monodimensionnel, l'équation de Lagrange s'écrit dans ce cas :
L
L
L
-
=
0
éq 1.1.2-1
u
x
u -
t
u
'
%
où u et %u désignent respectivement la dérivée par rapport à x et par rapport au temps. Son
application nous ramène évidemment à l'équation du mouvement d'une poutre en traction-compression
[éq 1.1.1-3].
1.2
La torsion pure (torsion de Saint-Venant)
La torsion est le mouvement de rotation autour de l'axe longitudinal de la poutre. On suppose ici que le
centre de gravité est confondu avec le centre de rotation (de torsion) [R3.03.03], et on néglige le
gauchissement de la section. Le cas de l'excentricité du centre de torsion par rapport au centre de
gravité est traité au [§3.1].
1.2.1 Equation d'équilibre local
On considère un segment de longueur dx mis en rotation sous l'action d'un moment M x
[Figure 1.2.1-a] interne et d'un couple extérieur x par unité de longueur.
x
x + dx
M(x)
x
M(x + dx)
N(x)
O
x
positif
dx
Figure 1.2.1-a : Segment de poutre en rotation autour de (Ox)
Le segment est tourné d'un angle x par rapport à la position non déformée. Nous avons ainsi :
1.2.1.1 Poutre de section circulaire
2
x+dx
x+
-
dx
M (x)+ M (x + dx) +
x
x
(s)
ds =
I
ds
x
x
x
x
x
t2
avec I
=
r ds
2 est le moment d'inertie plane de la section S autour de l'axe de rotation (0, x).
x
s
Comme pour la traction, on obtient après division par dx et passage à la limite :
dM
2
x
+
= I
x
dx
x
x
t2
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On introduit la loi de comportement :
M
= G I
x
x
p x
où G est le module de Coulomb (ou module de cisaillement) et I p le moment géométrique polaire par
rapport au centre de gravité de la section. (On a d'ailleurs : I
= I pour un matériau de masse
x
p
volumique homogène).
Nous obtenons alors l'expression :
2
x
x
+
=
G I p
I
x
x
x
x
t2
éq 1.2.1.1-1
qui représente l'équilibre local au premier ordre d'un segment de poutre pour un mouvement de torsion.
1.2.1.2 Poutre de section quelconque
Pour tenir compte du gauchissement tout en restant dans l'hypothèse de torsion libre, dans le cas des
sections non circulaires on est conduit à remplacer le moment I p par une constante de torsion C
(inférieure à I p ) dans l'équation de torsion ([R3.03.03] pour le calcul de C ).
Par définition, M = G C
x
x
. On obtient alors :
x
2
x
G C
x
+ x =
C
x
x
t2
éq 1.2.1.2-1
Lorsque le centre de gravité de la section n'est pas le centre de rotation, cette expression n'est pas
valable et les mouvements de torsion et de flexion sont couplés.
1.2.2 Méthode du Lagrangien
Nous avons de la même manière qu'au [§1.1.2] l'énergie cinétique (par exemple pour une poutre de
section circulaire) :
2
l 1
E
=
I
x
dx
c
,
o x
2
t
l' énergie potentielle interne
2
l 1
E
=
G I
x
dx
,
int
p
o
p
2
t
et le travail du couple extérieur
l
E
=
dx
p
x
.
ext
o
x
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En appliquant l'équation de Lagrange [éq 1.1.2-1] à la variable x , on aboutit naturellement à
[éq 1.2.1-1] donnant le mouvement d'une poutre en torsion pure.
1.3
La flexion simple
La flexion est le mouvement de translation et de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'axe
longitudinal de la poutre. On parle ici de flexion simple (autour de oy ou oz). On se limite au cas des
poutres droites. Les poutres courbes sont traitées au [§5].
On décrit l'équation de flexion dans le plan (o, x, z), l'extension au plan (o, x, y) est immédiate
[Figure 1.3-a].
z
y
y
O
x
Figure 1.3-a : Flexion d'une poutre dans le plan (O, x, z)
La translation suivant l'axe (o, z) est notée w et la rotation autour de (o, y) est notée y .
1.3.1 Equation d'équilibre local
On considère un segment de longueur dx soumis à l'effort tranchant Vz , le moment de flexion M y ,
un effort externe tz réparti uniformément par unité de longueur, et un couple externe m
réparti
ext
yext
uniformément par unité de longueur [Figure 1.3.1-a].
V(x+dx)
tzext
V(x)
z
M(x+dx)
y
Moments
y
positifs
dx
x
x+dx
M(x)
x
myext
Figure 1.3.1-a : Segment de poutre en flexion dans la plan (O, x, z)
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L'équilibre local des forces et des moments (sur la section d'abscisse x + dx ) donne pour les forces :
2
x+dx
x+dx
w
- V (x)+V
z
z ( x + dx) +
t
ds =
x
zext
S ds
x
t2
et pour les moments :
2
x+dx
x+dx
x+dx
- M (x)+ M
y
y
y ( x + dx) +
m
ds
y
-
Vz(x
)
=
ext
x
ds
x
I ds
y
x
t2
On néglige les termes en dx2 . En passant à la limite quand dx tend vers 0, on obtient :
V
2
z
w
+ tz
=
S
x
ext
t2
My
2
-V + m
y
z
y
= +
I
.
x
y
ext
t2
On note que l'effort uniformément réparti tz produit un terme qui est du second ordre dans l'équilibre
ext
des moments et est ainsi négligé. On introduit ensuite les relations de comportement de la résistance
des matériaux.
M
= + EI
y
y
y x
w
V
= k SG
z
z
+
x
y
éq 1.3.1-1
l'expression [éq 1.3.1-1] de Vz est due à Timoshenko [bib4] où kz est le coefficient de cisaillement
dans la direction z. Elle caractérise le modèle de poutre de Timoshenko ; on verra par la suite que le
modèle de poutre d'Euler correspond à une simplification du modèle de Timoshenko. Iz est le moment
géométrique de la section par rapport à l'axe (o, y).
En conséquence, on aboutit aux deux équations couplées en w et y pour la flexion dans le plan
(o, x, z).
w
2 w
k SG
z
+
+ t
y
z
=
S
éq 1.3.1-2
x
x
ext
t 2
2
y
w
EI
-
k SG
y
y
z
+ + m
y
y
= +
I
x
x
x
y
ext
t2
éq 1.3.1-3
Lorsque la poutre est uniforme, c'est-à-dire que la section et le matériau sont constants sur l'axe
longitudinal, les équations [éq 1.3.1-2] et [éq 1.3.1-3] se réduisent à une seule équation en w . Pour
cela, on dérive une seule fois par rapport à l'abscisse x l'équation d'équilibre des moments [éq 1.3.1-3].
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
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02/12/96
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J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
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3
2
3
y
w
EI
- k SG
y
+
= + I
y
y
.
x3
z
x2
x
y
x t2
On constatera que cette manipulation élimine la présence du terme issu d'un couple extérieur
uniformément réparti. Ensuite, l'équation [éq 1.3.1-2] peut se mettre sous la forme :
2
2
y
w
1
w
=
-
+
t
.
x
2
z
x
k
ext
2
z SG
kz G t
4 w
2 w
E 4 w
2I
4
y w
EI
+ S
- I 1+
+
- t
y
= 0 éq 1.3.1-4
x4
t2
y
k G
2
2
4
zext
z
x t
k G
z
t
Il reste utile pour ce type d'équation de rappeler la signification physique des différents termes, afin lors
des simplifications d'avoir conscience des effets négligés.
4 w
EI y x4 équilibre la densité de chargement dans la direction de la translation due au moment de
flexion.
2 w
S t2 est le terme d'inertie de translation.
4 w
I
y x2 t2 représente l'inertie de rotation de flexion.
E
4 w
Iy k G 2 2 est un terme supplémentaire de l'inertie de rotation due à la prise en compte du
z
x t
cisaillement transverse (hypothèse de Timoshenko).
2Iy 4 w
résulte du couplage entre l'inertie de rotation et l'inertie de translation provenant de
k G
z
4
t
l'effort tranchant.
Le modèle de poutre de Timoshenko (POU_D_T ou POU_C_T), prend en compte l'ensemble de ces
termes, en particulier ceux qui sont relatifs à l'effort tranchant. On peut donc modéliser des poutres
d'élancement faible.
Le modèle de poutre d'Euler (POU_D_E) est une simplification puisque les déformations en effort
tranchant sont négligées ainsi que l'inertie de rotation (ce qui se justifie car elle n'intervient dans les
études dynamiques que pour les modes élevés). Ces hypothèses sont justifiées dans le cas d'une
poutre d'élancement suffisament grand. De ce fait, pour le modèle d'Euler, l'équation du mouvement de
flexion, dans le cas général des poutres à section variable s'écrit :
2 w
2 w
EI
+
-
= 0.
2
y
S
t
éq 1.3.1-5
x
x2
t2
zext
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Par ailleurs, c'est effectivement l'effort tranchant qui provoque la rotation des sections droites par
rapport à l'axe neutre. Négliger cet effet revient ainsi à écrire que Vz = 0 ce qui amène à [éq 1.3.1-1].
w
y = - .
éq 1.3.1-6
x
qui est la traduction de l'hypothèse d'Euler.
Pour ce qui concerne la flexion dans le plan (o, x, y), la même démarche conduit à [éq 1.3.1-7] pour la
poutre de Timoshenko à :
v
2 v
k SG
y -
+ t
z
y
=
S
x
x
ext
t2
éq 1.3.1-7
2
z
v
EI
k SG
z
z
y
+ m
z
z
=
I
x
x -
-
x
z
ext
t2
et lorsque la section est constante :
4 v
2 v
E
4 v
2 I 4 v
EI
- S
- I
z
1+
+
+ t
z
0.
éq 1.3.1-8
t 4
t 2
z
k G
=
2
2
4
yext
y
x t
k G
y
t
v
L'utilisation de l'hypothèse d'Euler (c'est-à-dire dans le plan (o, x, y) z = ) permet d'aboutir à
x
l'équation du mouvement de flexion pour une poutre d'Euler selon [éq 1.3.1-9].
2 v
2 v
EI
-
+
= 0.
2
z
S
t
éq 1.3.1-9
x
x2
t2
yext
1.3.2 Méthode du Lagrangien
L'énergie cinétique s'exprime par :
2
2
l 1
y
l 1
w
E
=
I
dx +
S
dx
c
o
y
2
t
o
2
t
en fonction des déplacements en rotation et en translation.
L'énergie potentielle interne vaut :
2
l 1
y
l 1
w
E
=
EI
dx +
+ dS dx
p
int
o 2
x
o
c
2
s
x
y
T
w
où c est la contrainte en cisaillement transverse et le terme
+ la déformation de
T
x
y
cisaillement. Le modèle de poutre d'Euler néglige ce terme tandis que le modèle de Timoshenko émet
une hypothèse sur la répartition des contraintes c dans la section, compatible avec l'expression
T
[éq 1.3.1-1]. Dans le cas général du modèle de Timoshenko, l'énergie potentielle interne s'écrit :
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2
2
l 1
y
l 1
w
E
=
EI
dx +
k SG
+
dx
p
.
o 2
x
o
z
2
x
y
int
Le potentiel des charges externes s'exprime quant à lui par :
l
l
E
= - t
dx
- m dx
p
z
.
o
y
o
y
ext
ext
ext
L'utilisation de l'équation de Lagrange [éq 1.1.2-1] appliquée une fois à la variable w puis à la variable
y nous ramène aux deux équations [éq 1.3.1-2] et [éq 1.3.1-3] décrivant le mouvement en flexion d'un
segment de poutre.
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2
Elément de poutre droite
On décrit dans ce chapitre l'obtention des matrices élémentaires de rigidité et de masse pour l'élément
de poutre droite, selon le modèle d'Euler (POU_D_E) ou de Timoshenko (POU_D_T). Les matrices de
rigidité sont calculées avec l'option 'RIGI_MECA', et les matrices de masse avec l'option
'MASS_MECA' pour la matrice cohérente, et l'option 'MASS_MECA_DIAG' pour la matrice de masse
diagonalisée.
2.1
Mouvement longitudinal de traction - compression
Une difficulté pour écrire la formulation variationnelle vient du fait qu'il peut y avoir dans les structures
composées de poutres des charges concentrées (assimilables à des Dirac). L'équation d'équilibre
[éq 1.1.1-1] doit être remplacée par :
dN
N
(x) + f (x) + f c i(x
ext
i
) = 0
dx
i=1
On a omis par simplicité les forces d'inertie qui subiraient le même traitement que les forces
extérieures fext .
c
i représente la fonction de Dirac localisée au point i , les fi sont les forces concentrées appliquées
à la poutre.
Pour l'application de la méthode des éléments finis, l'équation d'équilibre doit être écrite sous la forme
du principe des travaux virtuels qui est dans ce cas :
dv
N
N
dx =
f
v dx +
f c
i(v
ext
i
)
éq 2.1-1
dx
i=1
Toute confusion étant exclue, i désigne la mesure de Dirac associée au point i , v est un champ de
déplacement longitudinal cinématiquement admissible quelconque.
En pratique, on suppose qu'il n'y a pas de force concentrée à l'intérieur des éléments de poutre, mais
seulement aux noeuds extrémités.
2.1.1 Détermination de la matrice de rigidité
Elle correspond à l'expression du travail virtuel des forces intérieures en fonction d'un déplacement
donné. C'est-à-dire :
L dv
N
dx
pour un élément de longueur L.
0
dx
On introduit la relation de comportement élastique :
du
N(x) = ES dx
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En choisissant par fonction test :
x
x
v(x) = 1(x) = 1-
et
v(x) = 2(x) =
L
L
on obtient directement :
L d
L
ES du
ES
N
1 dx =
-
dx
= -
[ (uL)- (u )0]
o
dx
o
L dx
L
et
L d
L ES du
ES
N
2 dx =
dx
=
[ (uL)-u( )0]
o
dx
o
L dx
L
La matrice de rigidité de l'élément est donc :
ES 1
-
1
K =
L -1 1
Remarque :
Dans l'expression du travail virtuel des efforts intérieurs, u n'intervient que pour (
u )
0 et
(
u L) : u n'a pas été discrétisé à l'intérieur de l'élément. C'est pourquoi l'élément est qualifié
d'"exact" : on obtient la solution exacte aux noeuds, mais seulement aux noeuds.
2.1.2 Détermination du second membre
Le second membre est l'expression du travail virtuel des efforts appliqués.
Le second membre associé au chargement réparti et aux fonctions tests précédemment introduites
est :
f1
1
x
avec
f
=
f
1
ext(x) 1- dx
f
0
L
2
1
x
f
=
f
2
ext(x) dx
0
L
Remarque :
Dans AFFE_CHAR_MECA_F, on peut introduire fext comme une fonction quelconque de x .
Au niveau du calcul de f1 et f2 , par contre, l'intégration est faite en supposant que fext
varie linéairement entre les valeurs prises aux noeuds extrémités. Si on doit modéliser une
variation de charge répartie non linéaire, il faut alors discrétiser plus finement.
Mais insistons sur le fait que quelle que soit la forme de f
(x
ext
) (polynomiale ou autre), si l'on
sait calculer exactement les intégrales f1 et f2 , la solution du problème statique sera exacte
aux noeuds du problème.
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Le travail virtuel des forces concentrées (données par hypothèse aux noeuds des éléments) n'intervient
pas directement au niveau de l'élément.
On introduit ces forces concentrées sous forme de forces nodales, directement dans le vecteur
assemblé du second membre.
2.1.3 Calcul des efforts aux noeuds de la poutre
Le P.T.V. complet [éq 2.2-1] s'écrit en effet sur le système assemblé.
D'autre part, en écrivant la formule d'intégration par partie sur toute la structure (poutre [x x
o , 1]) :
N
N v dx
,x
= [N(x1)v(x1)- N(xo)v(xo)]+ [ N ] i(v)
i
i=1
éq 2.1.1-2
M
- N v dx
,x
j
j
=1
j représentant tous les intervalles sans discontinuité d'effort normal, donc sans force concentrée, et
[ N ] les sauts de N entre ces intervales.
i
En effet, en rapprochant cette expression du PTV, on trouve, pour chaque charge concentrée (en
choisissant des fonctions test v appropriées) :
i 1, N
[ N ]
f c
=
=
i
i
Chaque élément fini de poutre est par hypothèse un intervalle sans discontinuité. Il peut donc y avoir
discontinuité des efforts internes N d'un élément à l'autre si il existe une force concentrée sur le noeud
reliant les deux éléments.
Les efforts internes pour un élément se déterminent de la façon suivante :
L'équation d'équilibre à l'intérieur d'un élément est :
N + f rep
,x
= 0
La formule d'intégration par parties [éq 2.1.1-2] sur l'élément donne :
L
L
N(x) v dx
,x
= [N(L) v(L) - N( )
0 v( )
0
]+ f
ext(x) v(x) dx
0
o
En considérant N ( L) et N (o) comme des données, on aurait pu obtenir cette formule directement
du PTV [éq 2.1-1].
En prenant encore les fonctions test :
x
x
v(x) = 1(x) = 1-
et
v(x) = 2(x) =
L
L
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On obtient :
ES
-
[ (uL)- (uo)] = - N(o)+ f
L
1
ES [ (uL)- (uo)] = N(L)+ f
L
2
- N(o)
(
u o) f1
soit
K
N( L) = [ ] (
u L) -
f2
C'est-à-dire que les efforts internes s'obtiennent en retranchant au produit K U les forces nodales
équivalentes aux charges réparties fext .
On observe aussi qu'ils sont de signe opposé. Pour que le signe soit le même d'un élément à l'autre, il
faut donc changer le signe de N (o) calculé par cette méthode. C'est ce qui est fait par le calcul de
l'option EFGE_ELNO_DEPL.
2.1.4 Détermination de la matrice de masse
La matrice de masse pour être cohérente avec la matrice de rigidité est déterminée à partir des mêmes
fonctions test. Cependant, il n'est plus possible de calculer exactement les forces nodales associées
sans faire d'hypothèse sur la forme de la solution. Le calcul de la matrice de masse va entraîner une
erreur de discrétisation.
Un calcul dynamique nécessitera donc une discrétisation de la structure de poutre en petits éléments,
ce qui n'est pas le cas pour un calcul statique. Il va sans dire que dans le cas d'un calcul dynamique, le
calcul des efforts que l'on conduira comme au [§2.1.2] en retranchant les forces nodales d'inertie est
également approché. La solution u est choisie dans l'espace engendré par les fonctions tests (c'est-à-
dire les polynômes de degré au plus égal à 1) :
u =
(
u )
0 1
(x) + (
u L) 2
(x)
La matrice de masse apparaît dans l'expression du travail virtuel dû aux forces d'inertie :
u
W =
T
V
M U
% , U =
1
.
u2
Le travail s'écrit également :
L
W =
V (x) u
% (x,t) dx
o
m
avec :
=
dS = S
m
dans le cas d'un matériau homogène.
s
En prenant
u (x,t) = (x) u (t)+ (x) u (t), on a :
1
1
2
2
L
1(x)
W = S
T
V
( x
1
x
2
) %U
o
2(
dx
x)
( ) ( )
L 1(x)
W = T
V S
( x
1
x
2
) %U.
o
2(
dx
x)
( ) ( )
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La matrice de masse s'écrit donc :
L
L
2
dx
1
1 dx
2
M =
S
o
o
L
L
2
1 dx
2
dx
o
o 2
et calculs faits :
SL
2
1
M =
6 1
2
2.2
Mouvement de torsion libre autour de l'axe longitudinal
Le problème est analogue à celui de la traction compression. Pour une poutre , chargée par des
moments de torsion répartie
c
x ( x) et des moments concentrés i , le principe des travaux virtuels
s'écrit :
d
N
M
dx =
dx
c
x
x
+
i
i() ,
dx
i=1
La loi de comportement est :
d
M
x
x ( x)
= G C dx
Aux variables près, cette équation a la même forme que celle du mouvement de traction-compression.
En utilisant le même raisonnement, on obtient les mêmes expressions pour les matrices de masse et
de raideur élémentaires soit :
G C 1 -1
K =
L
-1 1
C L
2 1
et
M =
.
6
1 2
Le calcul de la matrice de masse ayant comme précédemment nécessité de discrétiser le champ
solution.
Le second membre, dû au couple x réparti, s'obtient de la même façon que pour le mouvement de
traction-compression :
L
x
1(x)
dx
x
1(x) = 1-
o
L
L
x = x
2(x)
dx
x
2 ( )
L
o
2.3
Mouvement de flexion
Nous nous plaçons ici dans le cadre d'une poutre droite à section constante de type Timoshenko. Nous
tenons compte des effets de cisaillement transverse. La poutre d'Euler-Bernoulli sera ensuite traitée
par simplification des équations de Timoshenko.
La description de la flexion est plus complexe que les mouvements précédents, mais un choix judicieux
de fonctions tests va nous permettre d'obtenir des résultats de même forme.
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2.3.1 Flexion dans le plan (x0z)
Avec des notations évidentes et en ne s'intéressant pas dans un premier temps, comme dans les cas
précédents, aux efforts d'inertie, le principe des travaux virtuels s'écrit pour le mouvement de flexion
dans le plan (x0z) :
N
V
('+) + M ' = (t + m + + , éq 2.3.1-1
ext
ext
) tc
c
i ( )
m
z
y
z
y
i
i
i ( )
i=1
pour tout ( , ) cinématiquement admissible.
La matrice de rigidité se déduit de l'expression du travail virtuel des forces intérieures que l'on va
expliciter en utilisant la relation de comportement puis en intégrant par parties :
V
'
z ( '+ ) + M '
=
k SG
y
z
'+ '+ +
'
(w y)( ) E Iy y
= k S
z
[G (wL)('(L)+(L))- (w )0('( )0+( )0)]
-
k SG
z
(w''+')+ k SG
z y('+)
+ EIy[y(L) '(L) -y( )0 '( )0] - EI
y y "
Les fonctions tests que l'on va choisir vont "vérifier les équations d'équilibre sans second membre",
c'est-à-dire [éq 1.3.1-2] et [éq 1.3.1-3] :
"+ ' =
0
éq 2.3.1-2
EI "-
k SG
y
z
( +) = 0
Dans ces conditions, les forces nodales, expression du travail des forces intérieures dans ces
déplacements virtuels donnés s'expriment exactement, sans hypothèse sur la forme de la solution, en
fonction des déplacements en bout de poutre comme dans les cas précédents :
V
z ('+)+ M ' = k SG
y
z
'
+
- 0 ' 0 + 0
[ (wL)( (L) (L)) (w )( ( ) ( ))] éq 2.3.1-3
+ EIy[y(L) '(L) -y( )0 '( )0]
Remarque :
Il est clair que la condition [éq 2.3.1-2] conduit à des fonctions tests dépendant explicitement
des caractéristiques géométriques et matérielles de la poutre, mais cela n'a rient de gênant.
Les couples de fonctions tests choisis sont :
(,) = ( , ii+ ) i
4
= ,
1 ..., 4
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12 EI y
où, en ayant noté y =
, les fonctions
k
2
i sont définies par :
z SGL
3
2
1
x
x
x
1(x) =
2
3
+ 1
1+
L -
L
y
-
+
L (
y )
y
6
x
x
5(x) =
-
L(
1
1+
y ) L
L
3
L
x
4 +
2
y x
2 + y x
2(x) =
-
+
1+
L
2
L -
2
L
y
2
1
x
x
6(x) =
3
4 +
+ 1+
L (
y )
1+
L - (
y )
y
1
x 3
x 2
x
(x) =
3
-
2
+ 3
+
1+
L
L
y
L
y
- 6
x
x
(x) =
1
7
-
L(1+
y ) L
L
L
x 3
2 -
2
y x
y x
(x) =
4
-
+
+
1+
L
2
L
2
L
y
éq 2.3.1-4
1
2
x
x
(x) =
3
+ -
2 +
1+
L
(
y )
8
L
y
On vérifie sans difficulté que les couples (i , i+4) vérifient bien [éq 2.3.1-2]. De plus :
(1, 5) = (1, )0 ,
= 0, 0
(0)
(1 5)
( )
( L)
(2, 6) = (0, )1 ( , ) = (0, )0
(0
2
6
)
( L)
(
éq 2.3.1-5
3, 7) = (0, )
0
( , ) = (1, )
0
(0
3
7
)
( L)
(4, 8) = (0, )0 ( , ) = (0, )1
(0
4
8
)
( L)
La matrice de rigidité se déduit aisément de [éq 2.3.1-3] (en ordonnant les colonnes suivant
( (wo), (o)
,
(
w L)
, ( L
y
y
)
).
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L
L
1
-
-1
-
( 2
2
4+
2
2
y
) L
L
(2- y) L
12 EI
K =
y
12
2
12
L3( +
1
y
)
L
Sym
1
( 2
4+
2
y ) L
12
Il est clair que le calcul des efforts se conduit de la même façon qu'au [§2.1.3].
2.3.2 Flexion dans le plan (xOy)
La matrice de rigidité pour un mouvement de flexion dans le plan (xOy) s'obtient de la même façon que
dans le cas précédent. Les fonctions tests qui conduisent à une expression exacte des forces nodales
doivent cette fois vérifier (équation analogue à [éq 2.3.1-2]) :
"- ' =
0
éq 2.3.2-1
EI "-
k SG
z
z
('-) = 0
Les couples de fonctions tests choisis sont :
(1, -5) ; (-2, 6) ; (3, -7) ; (-4, 8)
12 EI
Les
z
i étant donnés par [éq 2.3.1-4] en ayant remplacé y par z =
. La matrice de rigidité
k
2
y SGL
obtenue est :
L
L
1
-1
( 2
2
4+
2
2
z ) L
L (2 - z
) L
12 EI
-
K =
z
12
2
12
L3( +
1
z
)
L
1
-
( 2
4+
2
z ) L
sym
12
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2.3.3 Détermination de la matrice de masse cohérente avec la matrice de rigidité
Option 'MASS_MECA' de l'opérateur CALC_MATR_ELEM.
2.3.3.1 Flexion dans la plan (xoz)
Considérons le mouvement de flexion dans le plan (x o z), le travail des forces d'inertie s'écrit :
L
W = (w w%+ %
m
y
I y
o
z
) dx
avec
= dS
et =
y
2 dS
m
.
S
Iz
S
Dans le cas d'un matériau homogène, nous avons :
m = S
et
I = Iz.
z
(
w x, t) et y ( x,t) sont discrétisés sur la base des fonctions tests introduites pour le calcul de la
matrice de rigidité, soit :
w(x, t) = 1(x) w1(t)
+ 2(x)
(t
y
) + 3(x)
w2(t)
+4(x) (t
y
)
1
2
(x, t
y
) = 5(x ) w1(t)+ 6(x ) (t
y
) +7(x ) w2(t)+8(x ) (t
y
)
1
2
w1
1
y
1
2
autrement dit :
w
t
= w
avec
w
w =
et
=
~
~
w
w
2
3
y
2
4
5
t
6
y = w
av
ec
=
y
y
~
7
8
En intégrant ces notations dans l'expression du travail des forces d'inertie, on a :
L
W
t
t
t
t
=
w w +
% w
w
% dx
m
o
w
w
Iz
y
y
~
~
~
~
L
ou :
W
t
t
t
t
=
w w +
% w
w
% dx
m
.
o
w
w
Iz
y
y
~
~
~
~
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On en déduit l'expression de la matrice de masse :
L
M = (mij) m =
S
ij
(x)
i
(x) j(x)+ I
z(x) i+4(x)
j+4 ( x) dx
o
pour i de 1 à 4 et j de 1 à 4.
Soit :
2
2
2
2
13L 7L
L
- 11L2
11L2
2
9
3
13 2
3 2
2
z
z
z
L
L
L
L
L
L
L
z
z
z
z
z
+
+
-
-
+
+
+
+
35
10
3
210
120
24
70
10
6
420
40
24
2
2
L3
L3
3
2
2
2
3
3
3
2
z
L
- 13L
3L
L
- L
L
L
z
z
z
z
z
S
+
+
-
-
-
-
140
60
M =
105
60
120
420
40
24
120
(
2
2
2
2
2
2
+
1
13L
7 L
L
- 11L
11L
L
z
)
z
z
z
z
+
+
+
+
35
10
3
210
120
24
L3
L
3
L
3
2
z
z
+
+
105
60
120
6
-1 z
- 6
-1 z
+
+
5L
10
2
5L
10
2
2L
L
2
2
z
Lz
1
z - L L
L
z
z
I
+
+
-
-
+
z
+
15
6
3
10
2
30
6
6
(
2
+
1
6
1
z
z )
-
5L
10
2
2L
L
L 2
+
z + z
15
6
3
Il faut bien noter, comme en [§2.1.4], que dans le cas dynamique, on n'est pas assuré d'avoir une
solution exacte aux noeuds, comme c'est le cas en statique.
2.3.3.2 Mouvement de flexion autour de l'axe (o z)
De même, pour le mouvement de flexion autour de l'axe (o z), dans le plan (x o y), le travail des forces
d'inertie s'écrit :
L
(v v+
%
%
m
z
I
z
o
y
)dx
avec :
=
z
dS =
I
I
.
2
y
S
y
Cette fois v(x,t) et z(x, t) sont discrétisés conformément au [§2.3.2] par :
v(x,t) = 1(x) v t -
1( )
x
2 ( )
t
z ( )+ 3(x) v2(t) - x
4 ( ) z
(t)
1
2
z
(x,t) = -5(x) v1(t)+6(x) z
(
t) - 7(x) v2(t)+8(x) z
(
t)
1
2
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Nous obtenons alors la matrice de masse suivante :
2
2
2
2
13L 7L
L
11L2
11L2
2
9
3
- 13 2
3 2
2
z
z
z
L
L
L
L
L
L
L
z
z
z
z
z
+
+
+
+
+
+
-
-
35
10
3
210
120
24
70
10
6
420
40
24
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3 2
L
L z
L
13L
3L
-
z
z
L
L
L
L
z
z
z
S
+
+
+
+
-
-
M =
105
60
120
420
40
24
140
60
120
(
2
2
2
2
2
2
+
13L
7 L
L
- 11L
11L
1
L
z
)
z
z
z
z
+
+
-
-
35
10
3
210
120
24
3
3
3 2
L
L
L
z
z
+
+
105
60
120
6
1
- 6
1
z
z
-
-
5L
10
2
5L
10
2
2
2
2L
L
z
L
-1
z
z - L Lz
L z
I
+
+
+
-
+
z
15
6
3
10
2
30
6
6
+ (
-
1+
z
z )2
6
1
+
5L
10
2
2
2L
L
z
L z
+
+
15
6
3
Dans le modèle de poutre d'Euler-Bernoulli, les effets de cisaillement transverse sont négligés. Il
suffit donc, pour obtenir les matrices de masse et de rigidité associées à ce modèle, d'annuler les
variables y et z contenues dans les matrices de masse et de rigidité du modèle de Timoshenko.
( y et z font intervenir les coefficients de forme ky et kz , inverses des coefficients de cisaillement).
On notera que dans le modèle Euler-Bernoulli programmé dans Aster, l'inertie de rotation est
également négligée. Il faut donc, pour ce modèle, annuler les termes en " Iz " et " I y " dans la
matrice de masse du modèle de Timoshenko.
2.4
Matrice de masse réduite par la technique des masses concentrées
La matrice de masse est ainsi réduite à une matrice diagonale et s'obtient par l'option
'MASS_MEGA_DIAG' de l'opérateur CALC_MATR_ELEM.
L'élément poutre est considéré à section constante S et à masse volumique constante .
La technique dite de "Lumping" consiste à sommer sur la diagonale tous les termes de la ligne de la
matrice cohérente et d'annuler tous les termes extra-diagonaux.
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En ce qui concerne la composante diagonale liée au mouvement de traction-compression (M11) et
celle liée au mouvement de torsion (M44), nous avons :
L
M
= S
11
2
L
M
=
44
(
I + I )
I , I
y
z
y
z : moments géométriques.
2
On peut considérer que ces composantes ont été obtenues en partageant l'élément de poutre en deux
L
parts égales de longueur
puis en associant la masse et l'inertie obtenues au noeud du
2
demi-élément. Pour M44 , l'expression précédente correspond à un choix : on aurait également pu
L
écrire : M
= C
44
.
2
Remarque : Comparaison avec les méthodes d'intégration numérique.
On peut noter que si l'on effectue une intégration approchée de la manière suivante :
(e)
f
=
f
mes (aei)
e
n
i=1,n
(ae : noeuds i de l'élém
ent
e, n
i
: nombre de noeud de l'élément)
on obtient un résultat identique (pour une poutre :
(
mes e) = L et n = 2 ).
Les composantes diagonales liées aux mouvements de flexion qui sont programmées sont :
L
M
= S
,
22
2
L
M
= S
,
33
2
L3
L2
2L
M
= Min
S , S
+
I ,
55
y
105
48
15
L3
L2
2L
M
= Min
S , S
+
I .
66
z
105
48
15
On retrouve bien les composantes M22 et M33 liées aux translations des mouvements de flexion par
la technique des masses concentrées aux noeuds. Par contre, l'origine des formules utilisées pour les
composantes M55 et M66 liées aux rotations, est inconnue. On peut simplement remarquer que l'on
retrouve les valeurs :
L3
2L
S
+ I
,
z
105
15
L3
2L
S
+ I
y
.
105
15
pour les composantes diagonales de la matrice de masse équivalente [§2.3]. Mais cette matrice n'est
pas diagonale. Néanmoins, les résultats obtenus par cette méthode restent corrects.
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3
Poutres droites particulières
Il s'agit dans ce chapitre de prendre en compte des poutres droites dont la section a des propriétés qui
ont été ignorées jusqu'à présent, en particulier les poutres ayant un centre de torsion excentré par
rapport à l'axe neutre (la section ne possède pas 2 axes de symétrie), et celles dont la section évolue
continûment sur leur axe.
3.1
Excentricité de l'axe de torsion par rapport à l'axe neutre
Le centre de torsion est le point qui reste fixe lorsque la section est soumise au seul moment de
torsion. Il est aussi appelé centre de cisaillement car un effort appliqué en ce point ne produit pas de
rotation x .
F
M
o
C
C
o
(pas de rotation)
(pas de déplacement en C)
Au point C, les effets de flexion et de torsion sont découplés, on peut donc utiliser les résultats établis
au chapitre précédent. On retrouve les composantes du déplacement au point 0 en considérant la
relation de corps rigide :
u (O) = u (C) + OC
q
x
avec
= 0 vecteur rotation
0
0
et
OC = ey
e z
z
e
C
z
y
O
ey
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De fait, on obtient :
u
= u
x
c
x
u
= u + e
y
éq 3.1-1
c
y
z
x
u
= u -e .
z
c
z
y
x
Le changement de variables donné par [éq 3.1-1] s'écrit matriciellement :
ux
ux
c1
1 0 0
0
0 0
1
u
y
uy
c
1
0 1 0 - e
0 0
1
u
z
z
u
c1
0 0 1 e
z
y
0 0
0
1
x
x
c1
0 0 0
1
0 0
1
y
c1
0 0 0 0 1 0
y1
z
z
c1
0 0 0
0
0 1
1
u
x
=
u
c
2
1 0 0
0
0 0
x2
u
y
u
c2
0 1 0 - e
0 0
y2
u
z
z
u
c
z
2
0 0 1
ey
0 0
2
x
c2
0
0 0 0
1
0 0
x2
y
c
y
2
0 0 0
0
1 0
2
z
c
2
0 0 0
0
0 1
z
2
!######## "
# ##
$
#######
P
Il suffit donc de déterminer les matrices élémentaires de masse (Mc) et de raideur (Kc) dans le
repère (C, x, y, z) où les mouvements de flexion et de torsion sont découplés puis de se transporter
dans le repère lié à l'axe neutre (O, x, y, z) par les transformations suivantes :
K = PT K P
c
et
K = PT K P
c
.
Les valeurs de ey et ez sont à fournir au Code_Aster par l'intermédiaire de l'opérande
SECTION : 'GENERALE' de l'opérateur AFFE_CARA_ELEM, les valeurs par défaut étant évidemment
des valeurs nulles.
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3.2 Sections
variables
Il est possible de prendre en compte des sections évolutives de manière continue pour les poutres
droites de Timoshenko et d'Euler (POU_D_E et POU_D_T seulement). On distingue deux types de
variation de section :
· linéaire ou affine,
· quadratique ou homothétique.
La distinction entre les deux types se conçoit aisément en prenant l'exemple d'une poutre
rectangulaire :
· si une seule des dimensions latérales varie, on suppose de façon linéaire, alors l'aire de la
section droite varie linéairement, et est donnée par :
S
x
S(x) = S + 2
1
-1
1
S
L
1
· lorsque les deux dimensions latérales varient (de manière linéaire), l'aire de section va évoluer
de façon quadratique.
2
S
x
S(x) = S +
2
1 1
-1
S
L
1
Le Code_Aster permet de traiter des sections 'CERCLE', 'RECTANGLE' et 'GENERALE', mais pour des
raisons évidentes de géométrie, tous ces types de section ne peuvent admettre les deux types de
variation. Le tableau suivant résume les possibilités existantes.
Section
Constante
Linéaire
Quadratique
cercle
oui
non
oui
rectangle
oui
oui
oui
selon y
générale
oui
non
oui
Pour la section 'RECTANGLE', c'est l'utilisateur qui choisit le type de variation, en précisant 'AFFINE'
ou 'HOMOTHÉTIQUE' dans AFFE_CARA_ELEM. Il faut bien noter que dans le cas 'AFFINE', les
dimensions ne peuvent varier que suivant y.
Nous considérons d'une façon générale que la section varie selon la formule [éq 3.2-1] :
x m
S(x) = S + c
1 1
L
éq 3.2-1
S1 est la section initiale en x = 0
c est fixé par la connaissance de la section finale S2 en x = L .
m donne le degré de variation : m = 1 variation linéaire, m = 2 variation quadratique.
La section variant, il en va de même des inerties I (x
y
) , I (x
z
) et I (x
p
).
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Nous aurons donc :
x m+2
I (x) = I
1+ c
y
y1
L
éq 3.2-2
x m+2
I (x) = I
1+ c
z
z1
L
éq 3.2-3
x m+2
I (x) = I
1+ c
p
p1
L
éq 3.2-4
c est déterminé pour chaque formule à partir de la valeur pour x = L : I , I , I
y
z
p .
2
2
2
Les modules d'Young (E) et de Coulomb (G) sont supposés constants.
Le principe adopté par le Code_Aster consiste à calculer des caractéristiques de section équivalentes,
constantes sur la poutre, à partir des caractéristiques réelles données aux deux extrêmités. Ces
caractéristiques équivalentes dépendent donc du phénomène auquel elles contribuent, en particulier,
sont distinctes pour les effets de rigidité ou d'inertie.
3.2.1 Calcul de la matrice de rigidité
3.2.1.1 Détermination de la section équivalente (Seq)
La détermination de la section équivalente n'utilise ni la méthode prise au [§2.1.1] pour obtenir la
matrice de rigidité exacte ni une approximation de la solution par une fonction polynomiale comme
décrit au [§2.1.4]. En fait, la méthode employée s'écarte de la méthode des éléments finis et même de
la méthode de Galerkin, elle consiste à effectuer une résolution du problème de la poutre à section
variable sans efforts répartis imposés, ce qui permet d'expliciter les efforts aux extrémités en fonction
des déplacements. Cette méthode est "cohérente" avec celle du [§2.1.1] car les fonctions tests définies
en 2.1.1 valent 1 ou 0 sur les extrémités de la poutre, donc [éq 2.1-1] les forces nodales peuvent être
"assimilées" à des efforts.
Par ailleurs, cette méthode permet d'obtenir des résultats exacts pour le problème statique sans force
répartie et conduit comme nous le verrons à une valeur Seq comprise entre S1 et S2 qui, dans le cas
général, garantit la convergence de la solution approximée vers la solution exacte (sans toutefois
connaître l'ordre de convergence).
La section de la poutre étant variable, l'équation de traction-compression en statique sans effort réparti
imposé s'écrit :
u
E S(x)
= 0 0
x
L
x
x
éq 3.2.1-1
u
avec
N(x) = E S(x) x
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Nous déterminons la matrice de rigidité dans le cas général [éq 3.2-1], nous en déduisons par la suite
les valeurs des sections équivalentes pour les cas m = 1 (progression linéaire) et m = 2 (progression
quadratique).
En intégrant [éq 3.2.1-1], nous avons :
u
E S(x)
= C
x
1
ou, en tenant compte de l'expression de S(x) :
x m u
E S 1+ c
= C
1
L x
1
La constante d'intégration est déterminée à partir des valeurs de forces axiales aux noeuds.
Nous intégrons une nouvelle fois de façon à obtenir les efforts aux noeuds en fonction des
déplacements (
u )
0 = u1 et (
u L) = u2 :
u
C
x -m
1
=
+
1 c
x
E S
L
1
C
L
x
d' où u (x) =
1
ln +
1 c
+ C si m = 1
E S
c
L
2
1
C
L
1
et
u (x)
=
1
+ C si m 2
E S
c
m 1
-
2
1
(
x
l - )
m 1+ c
L
On constate que l'expression de (
u x) est loin d'être polynomiale.
En tenant compte du fait que :
C
= - N
po
ur x =
1
1
0
C
= + N pour x = L
1
2
et que :
( +
1 c)-m 1
+ u (0)- u(L)
C
=
2
( +
1 c)-m 1
+ -1
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
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J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
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nous obtenons :
E S c
N
1
1 =
ln (
u1 - u
L 1+ c) (
2 )
pour m =
1
E S c
N
1
2 =
ln (
u2 - u
L 1+ c) (
1)
E S c
1
1
1
(1- )
m
(1+ c)m-
(1+ c)m-
N
1 =
- u
+u
1
2
L
1-(1+c)m-1
1-(1+c)m-1
et pour m = 2
E S c
(1+ c)m 1-
(1+ c)m 1
-
1
(1- )
m
N
u
2 =
u
.
L
1
1- (1+ c)m 1
- - 2
1-(1+c)m 1-
En remplaçant c par sa valeur, soit :
· si m = 1
S
c =
2 - ,
1
S1
E
(S2 -S1)
N1 =
(u1 - u2)
L
ln S2 - ln S1
E
(S2 -S1)
N2 =
(u2 - u1)
L
ln S2 - ln S1
· si m = 2
S
c =
2 -1
S1
E
N1 =
S S
1 2 (
u1 - u2)
L
E
N2 =
S S
1 2 (
u2 - u1)
L
Nous constatons que les matrices de rigidité, dans les deux cas traités, auront la même forme que pour
une section constante si on prend comme section équivalente :
(S -S
2
1)
Seq =
pour une section variant linéairement
S -
ln ln S
2
1
S
=
S S
eq
pour une section variant de façon quadratique
1 2
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3.2.1.2 Détermination d'une constante de torsion équivalente (Ceq)
L'équation de torsion pure d'une poutre avec section variable, s'écrit :
q
G C (x) x
0
x
x =
éq 3.2.1-2
x m+2
avec : C( x) = C 1
1
+ c
(m ou
1
2 )
L
=
La méthode est la même que pour le calcul de la section équivalente : il s'agit d'intégrer l'équation
précédente de façon à obtenir les efforts (couples de torsion x
, x ) en fonction des déplacements
1
2
aux noeuds (x ,
x et d'en déduire, par comparaison avec les formules à section constante,
1
2 )
l'expression d'un moment géométrique polaire équivalent.
Par intégration de [éq 3.2.1-2], nous avons :
x m+2
G C 1+ c
x
D
1
L
=
,
x
1
D1 la constante d'intégration est déterminée par les couples de torsion appliqués aux noeuds.
-(m+2)
D
x
De :
x
=
1
+
1 c
,
x
G C
L
1
nous déduisons :
-(m+ )
D
- L
x
1
1
x ( x)
=
1+ c
D .
G C
2
+
1
(
c m+ )
1
L
Nous déterminons D2 à partir du système :
- D L
1
x =
+ D
1
G C c
2
1
(m+ )1
- D L
1
- m 1
+
x
=
1+ c
+ D
2
G C c
2
1
(m+ ) (
) ( )
1
- m 1
+
x (1+ c) (
) +x
soit : D
1
2
2 =
(
.
1+ c)-(m+ )1 -1
En tenant compte du fait que :
D
= - pour x
=
1
1
0
D
= pour x
=
L
1
2
,
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nous avons finalement :
pour m = 1
2
2
G
(2C C213 -C C123)
1
=
2
2
-
L
1
2
(
x
x
C2 3 - C13 )
(
)
2
2
G
(2C C213 -C I1p 32)
2
=
2
2
-
L
2
1
(
x
x
C 3 C
2
13 )
(
)
Nous prenons donc dans le cas d'une section variant linéairement, un moment géométrique polaire
équivalent Ceq de la forme suivante :
( 2
2
2 C C
2
13 - C C
1
2 3 )
Ceq =
(
variation linéaire
2
2
C2 3 - C13 )
pour m = 2
3
3
G
(C C214 -C C124)
1
=
3
3
3
-
L
1
2
(
x
x
C24 - C14 ) (
)
3
3
G
(C C214 -C C124)
2
=
3
3
3
-
L
2
1
(
x
x
C 4 C
2
14 )
(
)
Dans le cas d'une section variant de façon quadratique, le moment géométrique polaire s'écrit :
( 3
3
C C
2
14 - C C
1
2 4 )
Ceq = 3
(
variation quadratique
3
3
C24 - C14 )
3.2.1.3 Détermination des moments géométriques équivalents
En fait, il ne semble pas possible de trouver, comme nous l'avons fait pour la section ou le moment
géométrique polaire, de moments géométriques équivalents (I
I
y et z
qui viendraient se substituer
eq
eq )
aux moments géométriques (I
et I
y
z ) dans l'expression des termes de la matrice de rigidité.
Nous exposons ici la méthode proposée par J.R. BANERJEE et F.W. WILLIAMS [bib3] qui explicitent
la matrice de rigidité dans le cas d'un mouvement de flexion d'une poutre Euler-Bernoulli à section
variable (linéaire ou quadratique).
Les résultats correspondent à ceux programmés dans le Code_Aster pour une poutre de type
Euler-Bernoulli à section variable (linéaire ou quadratique). Par extension, la même démarche y est
appliquée pour les poutres de type Timoshenko. Les résultats ne sont pas détaillés ici.
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Considérons la flexion dans le plan (x o y).
Partant de l'équation statique du mouvement de flexion d'une poutre de type Euler-Bernoulli :
2
2 v
v
EI (x)
= 0
z
, et
=
2
x
2
x
z
x
v(x) est exprimé en fonction de quatre constantes d'intégration (C , C
, C
, C
1
2
3
4
) . Ces constantes
sont déterminées par les valeurs des déplacements aux noeuds :
v(o) = v v(L)
1
= v2
(o) = (L) = ,
z
z
z
z
1
2
soit :
v1
C1
z
C
1
= B 2 , B
v
matrice (4 x 4).
2
C
3
z
2
C4
2
v
Les efforts : V (x) =
EI (x)
y
2
x
z
x
2
v
et les moments : M (x) =
EI (x)
z
z
,
x2
s'expriment également en fonction de ces constantes d'intégration, et on peut écrire :
Ty
C
1
1
M
z
C
1
= D 2
, D
T
matrice (4 x 4).
y
C
2
3
M
z
C
2
4
La matrice de rigidité correspond au produit D B-1. Les termes de cette matrice sont explicités dans
les tableaux suivants.
x m+2
Rappelons que I (x) =
I 1 + c
, m
1 ou 2 ,
z
z1
L
=
c
c 2
c 3
Posons
W1 = EI
, W2 =
EI
, W
EI
.
z1 L
z1
L
3
z
=
1
L
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Variation affine
Variation quadratique
m = 1
m = 2
1
1
I
3
I 4
c =
2
-1
c =
2
-1
I
I
1
1
c + 2
4
2
1
(c +3 c+ )3
c
2 c
2
(c+ )
3
3
(
c c + )
1
2 c (c+ )
1 (2 c+ )
3
2 c
2
4
(c+ )
1 (2 c+ )
3
4 c
= c -
2 2
c
5
2
4
(c+ )1
= c -
4 2
c
2
6
3
5
(c+ )1
3
(
c
c+ 2) ln (c+ )
1 - 2 c (c+ )1
La matrice K s'écrit alors :
W W
-W
W
3
1
2
2
3
1
2 3
1
W
-W
+W
K =
1
4
2
2
1
5
Sym
W
-W
3
1
2 3
W
1 6
Considérons maintenant la flexion dans le plan (x o z).
Pour les sections à variation quadratique, la démarche est identique. Mais elle diffère pour les sections
à variation linéaire (suivant y uniquement).
On calcule les termes de la matrice de rigidité correspondant à la flexion dans le plan (0, x, z) par les
valeurs données dans le tableau suivant.
Variation affine : flexion dans le plan (0xz)
I
c
= 2 -1
I1
(
ln c + )
1
2
1
c
1
2 - 1
1
(c + )1 1
- 2
1
1
+ c - 2
5 = c 2 - 4
6 = c 3 - 5
(c + 2) ln (c + )1 - 2c
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Dans le cas des poutres de Timoshenko, pour les coefficients de cisaillement, on applique à la section
réduite k S les relations utilisées pour la section, à savoir :
(
k S2 - k S
y
y
1
k S
2
1
y
)
(
)
=
eq
(
ln k S
y
2 -
1
1
2
) l (n k S
y
)
(
si la variation est affine
k S2 - k S
z
z
1
2
1
)
(k S
z
) =
eq
ln (k S
z2 2 ) - ln (k S
z1 1)
(k S
y
) = S S k k
eq
1 2
y
y
1
2
(
si la variation est quadratique
k S
z
) = S S k k
eq
1 2 z
z
1
2
et on introduit les termes supplémentaires dans K de la même façon que pour une section constante.
Les calculs ne sont pas détaillés ici. On obtient une matrice K de même forme que précédemment
avec pour principale modification la valeur de :
· variation
affine
2
= (c + 2) ln(c + )
1 - 2c +
c3(c + 2)
12
· variation
quadratique
c3
2
=
+
c3(c2 + c
3 + )
3
c +1
3
3.2.2 Calcul de la matrice de masse
3.2.2.1 Par la méthode des masses équivalentes
Des valeurs "moyennes" sont calculées pour la section, la section réduite, et les moments, à savoir :
S + S
S =
1
2 si la variation est affine
2
1
L
S + S + S S
S =
S(x) dx =
1
2
1 2 si la variation est quadratique
L o
3
I + I
y
y
I
1
2
y
=
2
I + I
z
z
1
2
Iz =
quelle que soit la variation
2
I + I + I + I
y
y
z
z
I
=
1
2
1
2
x
2
La matrice de masse est ensuite calculée comme celle d'une poutre ayant ces caractéristiques.
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3.2.2.2 Par la méthode des masses concentrés (matrice diagonale)
· Si la section varie de façon affine, les matrices programmées correspondent, en ce qui concerne
les mouvements de traction-compression et de torsion, à celles des poutres à section constante,
en utilisant des sections et inerties de torsion équivalentes :
S
3 + S
1
2
0
8
-
pour la traction compression : L
S
3
+ S
0
2
1
8
(L I +I +I +I
y
z
y
z
1 0
1
1
2
2 )
x
-
pour la torsion :
1
4
0 1 .
x2
-
pour les mouvements de flexion :
S L
1
v1
(w1)
2
M
5,5 ( M6,6)
0
z1(y1)
S L
2
2
v2(w2)
0
M
11,
11
(M12,12) z
2 (y2 )
S L3
2
eq
S L
eq
L
avec M
= M
= min
,
5 5
,
11 11
,
105
48
+
+
15 ( I
I
y
y
1
1 )
S L3
2
eq
S L
eq
L
M
= M
= min
,
48
+
+
15 ( I
I
z1
z2 )
6,6
12 12
,
105
S + S
avec S
1
2
eq =
2
· Si la section varie de façon homothétique, les matrices sont programmées, pour les différents
mouvements, de la façon suivante :
-
pour la traction-compression :
(5
1
S + S2)
L
0
12
1
u
(
S +5
u
1
S2)
2
0
L
12
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-
pour la torsion :
(I +I +I +I
y
y
z
z
1 0
1
2
1
2 )
x
L
1
4
0 1 x2
-
pour la flexion dans chacun des deux plans :
(5
v w
1
S + S2)
1( 1)
L
12
M
z
y
5 5
, ( M6,6)
0
1
( 1)
(
S +5
1
S2)
L
v
2 ( 2
w )
12
11
M 11
,
(M1212,) z2( 2y)
(
3
3
1
S + S2) L
( 1
S + S2) L
L
avec M
= M
= min
,
+
5 5
,
11 11
,
I + I
2
105
2
48
( 1y 2y)15
(
3
3
1
S + S2) L
( 1
S + 2
S ) L
L
et : M
=
12 = min
,
+
I + I
.
2
105
2
48
( 1z 2z)
6,6
M12,
15
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4
Rigidité géométrique - Structure précontrainte
Option : "RIGI_MECA_GE"
Dans le cas d'une structure précontrainte, donc soumise à des efforts initiaux (connus et indépendants
du temps), on ne peut pas négliger dans l'équation d'équilibre les termes introduits par le changement
de géométrie de l'état vierge de contrainte à l'état précontraint [bib2].
Vo
V*
V
oij
ij
état vierge
état
état
de contrainte
précontraint
déformé
Figure 4-a : Les différents états
Ce changement de géométrie ne modifie l'équation d'équilibre, dans le cadre de l'hypothèse des petites
perturbations (HPP) autour de Vo (et de V * ), que par l'ajout d'un terme linéaire en les déplacements
dont la matrice associée est appelée matrice de rigidité géométrique et qui s'exprime par :
u3D
v3D
W
k
o
k
=
dV
G
x ij x
i
V
j
o
où u3D est le déplacement (resp. v3D le déplacement virtuel cinématiquement admissible) pris à
partir de V * (mais assimilé à Vo dans le cadre de l'HPP) et o la précontrainte (de Cauchy si l'on
veut) puisqu'on est dans le cadre de l'HPP.
WG étant une forme bilinéaire symétrique en u3D et v3D , elle peut s'interpréter comme la variation
d'un potientiel UG .
W
= U
G
G
On a :
3D
3
u
u D
2 U
k
o
k
G
=
x
ij x
i
V
j
o
Pour un modèle de poutre 3D, le tenseur de contraintes se réduit dans les axes locaux de la poutre aux
composantes xx , xy et xx , d'où :
3D
3D
3D
3D
3D
3
u
u
u
u
u
u D
2 U
o
i
i
=
+ 2 o
i
i
+ 2 o
i
i
G
xx
x
x
xy x
y
xz x
z
Vo
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2
u3D
3D
3D
3D
3D
x
ux ux
ux u
Les termes
x
,
et
sont négligés [bib5]. De plus, dans le repère
x
x y
x
z
local du centre de torsion de la poutre :
u3D
x (x, y,z) = (ux) + zy(x) - y z(x)
u3D
y (x, y,z) = v(x) - z y(x)
u3D
z (x, y,z) =
(
w x) + z x
(x)
u'
'
'
+z - y
y
z
- z
y
et u =
v'
'
-z x
0
- x
w'
'
+ y x
x
0
d'où l'on tire, d'après l'hypothèse précédente :
2
2
2 U
o
=
(v'-z '
'
o
'
o
'
x ) + (w'+ y x )
2 xy(w' y x)
2
x
xz (v' z
G
xx
x )(
x )
+
+
+
-
-
Vo
Or, les efforts généralisés sont reliés aux contraintes par les expressions :
N °
o
= V
o
=
V
o
xx
y
xy
z = xz
S
S
S
M = z M = - y
y
xx
z
xx
S
S
On en déduit :
L
2 U
=
N °
o
'
o
'
o
o
G
( ' + ' -
' -
' +
' -
'
o
( v)2 (w)2) 2 M v 2 M w 2V w 2V v
y
x
z
x
y
x
z
x
o
'
o
o
+
'
xx( 2 2
y + z )( x
)2 + (2 y + z
xy
xz ) x
x
Vo
En supposant, de plus, que oxx est constant dans l'élément discrétisé (ce qui est inexact par exemple
pour une poutre verticale soumise à son poids propre) et que x varie linéairement par rapport à
x
x
1
1
'
1
2
x
x
= 1-
1
2, d'où
, il vient :
L +
= -
+
L
x
L
L
o
o
N
I y + Iz
N
I y + Iz
-
1
o 2
2
2
'
L
S
L
S
,
xx (y + z )(x )
= (1 2)
o
o
N
I + I
N
I + I
V
y
z
y
z
o
-
2
L
S
L
S
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Titre :
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
Clé :
R3.08.01-A
Page :
42/72
En négligeant en particulier les termes dûs à l'influence de l'effort tranchant sur le mode de flambage
ou de vibration, et en supposant que les charges réparties sont nulles sur un élément, on a :
N (x)
x
= const
,
ante
M y = (M - M
y2
y1) + M
L
y1
V (x)
y
= constante,
x
V (x)
M
= constante,
z = ( M
- M
z2
z1)
+ M
z
L
z1
Sous cette hypothèse et pour le modèle d'Euler-Bernoulli (pour le modèle de Timoshenko, on utilise la
même matrice), on obtient la matrice suivante :
A
A
A =
1
2
0
A3
Partie triangulaire supérieure de la matrice de rigidité géométrique avec :
1
2
3
4
5
6
1
u
1
v
1
w
x
1
1y
1z
1
M o1
y
o
-
N
2L
N o
2
12 L
o
o
10
M y2 V
-
+ z
2L
2
M o1
z
o
-
N
2L
N o
3
12
-
A
o
1
=
L
o
V
10
Mz2
-
- y
2L
2
o
o
o
o
(
- Mz + Mz
+ My - My
I
o
y + Iz )
1
2
1
2
N
12
12
4
(S L)
(LVo
o
y )
(LVz )
-
-
12
12
2 L N o
5
15
2 L N o
6
15
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R3.08.01-A
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43/72
7
8
9
10
11
12
2
u
v2
2
w
x
2
y2
z
2
1
M o1
y
N o
2L
N o
2
-12 L
o
o
10
M y2 V
+
+ z
2L
2
M o1
z
N o
2L
N o
3
-12
-
L
o
V o
10
Mz2
+
- y
2L
2
M o
o
o
o
o
(
M oy2)
y
M
Mz - Mz
- My +
A
1
1
1
2
z
1
2
=
o
2L
2L
(Iy +Iz)
(
)
N
12
4
-
12
M o
o
o
V o
S L
o
o
y2
V
M
(LVz )
z
z2
y
( )
(LVy )
+
-
+
+
2L
2
2L
2
-
-
12
(
12
M o - M o
z1
z2 )
N o
12
(L No)
5
-
-
10
(LVo
30
y )
+( 12
- M o + M o
y1
y2 )
N o
12
(L No)
6
-
-
10
(LVo
30
y )
+ 12
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44/72
7
8
9
10
11
12
2
u
v2
2
w
x
2
y2
z
2
7
M oy1
o
-
N
2L
N o
8
12
-
L
o
o
10
M y2 V
-
- z
2L
2
M o1
z
o
-
N
2L
N o
9
12
A
o
o
3
=
L
V
10
Mz2
-
+ y
2L
2
o
o
o
o
(
- Mz + Mz
+ My - My
I
o
y + Iz )
( 1
2 )
( 1 2)
N
12
10
12
+
(S L)
(LVo
o
y )
(LVz )
-
-
12
12
2 L N o
11
15
2 L N o
12
15
My
M
En utilisant les égalités
-
z
V = 0 et
+V = 0 , on retrouve la matrice programmée.
x
z
x
y
De plus, pour pouvoir traiter les problèmes de déversement de poutres minces, sollicitées
essentiellement par des moments de flexion et des efforts normaux, il faut ajouter l'hypothèse de
rotations modérées en torsion [bib 4], [bib 5].
Ceci se traduit par la forme suivante du champ de déplacements :
U (x, y,z) =
(
u x) + z( (x) + (x) (x))- y( (x) - (x) (x
y
x
z
z
x
y
))
D'autre part, si le centre de torsion C n'est pas confondu avec le centre de gravité, il faut écrire :
V
(x, y, z) = v(x,C) - (z - zC ) x
W
(x, y,z) =
(
w x,C)+ (y - yC ) x
Ces deux modifications amènent des termes supplémentaires dans la matrice de rigidité géométrique :
L'hypothèse des rotations modérées conduit à rajouter à 2UG le terme :
L
2 1
U
=
- M o
o
o
o
, +
, +
+
o
( x y) M
x
y ( x z )
V
V
G
z
x
y
x y
z
x y
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45/72
Les termes de la matrice A à ajouter sont :
o
o
(
M
M
4 - )
5
1
: +
z (10 - )
11
z2
: -
2
2
o
o
(
M
M
4 - )
6
y1
: -
(10 -12)
y2
: +
2
2
En ce qui concerne l'excentricité du centre de torsion, il faut ajouter les termes correspondant à :
L
L
L
U 2
= N o z v' '
- N o y w '
o
o
'
G
c
' -
+
o
x
c o
x
(y V z V
c
y
c z )
x
o
x
+ (
L
2
y M o - z M o
'
c
z
c
y ) ( x
)
o
De plus, il faut effectuer un changement de repère comme au [§3.1].
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46/72
5 Poutre
courbe
Pour calculer la matrice de rigidité pour un élément de poutre courbe, nous faisons le calcul en passant
par différentes étapes.
Nous partons des équations d'équilibre qui intégrées vont nous donner une matrice (notée J )
permettant de déterminer les efforts en un point de la poutre connaissant les efforts en un autre point.
Cette matrice prendra en compte le changement de base local.
Ensuite en écrivant l'énergie potentielle de l'élément et en remarquant le découplage de la flexion dans
le plan de l'élément de la flexion hors de ce plan, on détermine les deux matrices de flexibilité.
Enfin les matrices de flexibilité étant calculées, on obtient la matrice de rigidité locale en utilisant le
principe de Castigliano, qui doit être recalculée dans la base globale pour être assemblée.
z2
z
y
z0
x2
arc
y2
Nj
M
N
y0
i
C
0
x1
xo
Figure 5-a
Cf. : Manuel d'utilisation du Code_Aster (fascicule [U4.2] : modélisation indice C p26/30).
Pour rattacher les efforts appliqués en un point P de la structure aux efforts obtenus en un autre point
Q de la structure, on intègre les équations d'équilibre statique d'une poutre courbe (sans effort réparti).
Nous allons ici nous borner à étudier la poutre courbe à section constante (avec prise en compte du
cisaillement transverse) et à rayon de courbure constant.
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47/72
'&
&&y
'&
'&
Ni
&&z
&&x
Nj
C
'& '& '&
&&(x , y , z ) base locale de la poutre courbe
Figure 5-b : Repère moyen (repère local)
Les équations d'équilibre statique sont :
M1
N -V =
M
-
= 0
,s
1
0
T,s
R
N
M
V
+
= 0
1
M + T
1
-V
= 0
,s
R
,s
R
2
V
= 0
M
+V
=
2,s
2,s
1
0
ceci pour :
Q
'&
&&s
Y
M
'&
&&n 1
P
x
Z
Figure 5-c : Repère curviligne
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48/72
Pour intégrer, on utilise les conditions en P :
N = F
M
= M
y
T
y
V
= - F M
= - M
1
x
1
x
V
= F
M = M
2
z
2
z
En intégrant et en passant dans le système d'axe suivant :
Q
x
'&
&&s
'&
&&n 1
y
z
P
Figure 5-d : Système d'axe choisi par l'intégration
On obtient :
N
cos
- sin
0
0
0
0 Fx
V
1
sin
cos
0
0
0
0
Fy
V
2
0
0
1
0
0
0 Fz
=
M
0
0
R
T
(
cos - )
1
cos - sin 0
Mx
M
0
0
R sin
sin
cos
1
0
My
M
R R
2
(cos -1
) -
sin
0
0
0
1
Mz
!########### "
# #########
$
###
J
Nous allons maintenant prendre en compte les caractéristiques mécaniques en utilisant l'énergie
potentielle :
~
~
~
~
~
~
1
2
2
2
2
2
s
2
2
N
V
V
M
M
M
Ep
1
2
T
1
2
=
+
+
+
+
+
ds
2 s1 ES k SG k SG
EI
EI
EI
1
2
1
2
~
(le signe "~" signifie que nous utilisons les efforts internes) (remarque : f = - f par le principe
d'action-réaction).
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49/72
Rappel des relations de comportement
dans le cadre du modèle de Timoshenko :
u
N = ES s
~
w
V
1
1
= k SG
1
-
s
2
~
w
V
2
2
= k SG
2
+
s
1
~
M
= EI
T
s
~
M
1
1
= - EI
s
~
M
2
2
= - EI
2
s
Torseur des efforts intérieurs :
Torseur cinématique :
~
~
s
N + T
s+ n +
1
1 n
{ }
2
T
2
~
~
{ }
C
M s + M
u s+ w n + w n
T
1
1
2
2
d' où :
1
0
0
ES
N
1 s2
1
Ep =
0
0
2 (
N ,V ,V
1
2 )
V1
ds
s1
k SG
1
V
1
2
0
0
k SG
2
1
0
0
EI
M
1
T
s
1
+ 2
(M , M , M
T
1
2 ) 0
0 M ds
2
s
1
EI
1
1
1 M2
0
0
EI2
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ou encore :
1
ES
1
Fx T
Fx
k SG
1
Fy
Fy
1
0
1
b Fz
k SG
Fz
Ep
T
=
J
2
J
Rd
2 o Mx
q
1
Mx
My
GC
My
1
Mz
0
Mz
P
EI
P
1
1
EI
2
J étant la matrice obtenue précédemment.
On peut ainsi calculer la matrice de flexibilité [ ]
C :
1
ES
1
k SG
1
1
0
k SG
[ ]
C
=
JT
2
J
1
Rd
0
GC
1
0
EI
1
1
EI
2
Nous pouvons remarquer que la matrice J peut se décomposer en deux sous matrices
indépendantes, une partie concernant la flexion dans le plan de l'élément, l'autre concernant la flexion
hors du plan de l'élément.
Remarque :
Cette décomposition va permettre d'inverser plus facilement les matrices que nous allons
obtenir un peu plus loin.
J J
J
1
,
2
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51/72
Flexion dans le plan de l' élément :
N
cos
- sin
0 Fx
V
=
sin
cos
0 Fy
1
M
R (cos - )1 - R sin 1 Mz
2
!#####"
# #####$
#
1
J
Flexion hors du plan de l' élément :
M
cos
-
sin
R (cos
- ) Mx
T
1
M
= sin
cos
R sin
1
My
V
Fz
2
0
0
1
!##### "
# ##
$
####
J2
5.1
Matrice de flexibilité pour la flexion dans le plan de la poutre [C1]
1
cos
sin R
(cos -1
) ES
[
1
C1] =
- sin cos
- R sin
J Rd
o
k SG
1
1
0
0
1
1
EI
2
2
2
cos sin R2(cos - )12
cos
sin cos
sin R2(cos- )
1 sin
R(cos 1
- )
+
+
-
+
-
ES k SG
EI
ES
k SG
EI
1
2
1
2
EI2
2
2
2
2
=
sin cos R sin
R sin
+
+
-
Rd
o
ES
k SG
EI
EI
1
2
2
1
sym.
EI
2
Annexe :
cos2 d +
s
in2 d =
o
o
1
1
cos2 d
=
( +sin cos
) =
( 2 -sin(2))
o
2
4
1
1
sin2 d
=
( +sin c os ) =
( 2 -sin(2))
o
2
4
sin2
sin cos d =
o
2
d'où :
R
R
R3
C111 =
(2 +sin (2 ))+
(2 -s (
in 2 )
) +
(6 - 8 sin +s (in2 ) ,
4ES
4 k SG
4 EI
1
2
R
R
R3
C122 =
(2+ (
sin 2) +
(2 -sin (2 ))+
(2 - (
sin 2) ,
4ES
4 k SG
4 EI
1
2
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R
C133 =
,
EI2
R
R3
R3
R3
C1
2
2
2
12
= -
sin +
sin -
sin -
cos -
[2
2] ,
2ES
2k SG
2EI
2EI
1
2
2
R2
C113 =
(sin - ) ,
EI2
R2
C123 =
(cos - )
1 .
EI2
5.2
Matrice de flexibilité pour la flexion hors du plan de la poutre [C2]
1
0
0
cos
sin
0 EI
[
1
C2 ] =
- sin
cos
0 0
0 J Rd
o
EI
2
R(cos
- )
1
R
1
sin 1
1
0
0
k SG
2
2
2
cos sin
cos
sin cos
sin
R(cos - )
1 cos R
2
sin
+
-
+
+
EI
EI
EI
EI
EI
EI
1
1
1
2
2
sin cos
R (cos- )
1
=
sin
R cos
sin
+
-
+
Rd
o
EI
EI
EI
1
EI1
R2(cos- )2
1
R2 sin2
1
sy .
m
+
+
EI
EI
k SG
1
2
R
R
C211 = -
(2+ (
sin 2) +
(2+s (in2)
4EI
4EI1
R
R
C222 =
(2
-
(
sin 2) +
(2
+ s (
in 2)
4EI
4EI1
R3
R3
Rb
C233 = -
[6 -8 sin +s (
in 2)]+
(2+ (
sin 2) +
2EI
4EI
k SG
1
2
R
R
C2
2
2
12
= -
sin +
sin
2EI
2EI1
R2
R2
C213 =
(2+ (
sin 2) - 4sin )+
(2 - (
sin 2)
4EI
4EI1
R2
2
R
C2
(sin2 +2cos -2)
2
23
= -
+
sin
2EI
2EI1
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Clé :
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Page :
53/72
Ayant déterminé la matrice de flexibilité, nous allons pouvoir calculer la matrice de rigidité.
On a donc :
1
T
E
e
=
T
C
T , ceci
T , (
: pour extérieur)
P [
] e
e
e
p
P
P
2
Comme on a :
Te
J Te
=
Q
P
(Rappel : Te et Te
ne sont pas décrits dans la même base).
P
Q
On a aussi :
T
1
T
E
e
1
-
1
-
e
e
p
=
T
J
C J T
,
T
Q
[ ] Q
Q
2
A l'aide du théorème de Castigliano, on peut obtenir les déplacements associés aux efforts extérieurs
Te .
U = [C] Te
p
dans la base locale du point P
,
P
(s n , n
1
2 )P
T
et U
= J 1
-
- 1 dans la base locale du po Q
int
,
Q
[ ]
C J Te
Q
(s n , n
1
2 )Q
Te
et
Te.
P
Q
En décomposant le problème en deux sous-problèmes, et en utilisant le principe de superposition, on
peut écrire :
Te
=
e
+
e
=
i
i
-
-
i : pour interne ,
P
T
T
T
T
total
PP
PQ
PP
PQ
(
)
effort
effort
provenant
provenant
du point
du point
P
Q
et Te
=
Te
+ Te
=
i
i
-
-
Q
QQ
T
T
total
QP
QP
QQ
effort
effort
provenant
provenant
du point
du point
P
Q
(on applique deux torseurs d'effort (indépendants l'un de l'autre) au point P et au point Q ).
Action provenant d'un côté : Ti = -Te = -K Up
-1
PP
P
(K =[ ]C )
Action provenant de l' autre côté : Ti = +
1
J- Te =
1
J-
T
T
PQ
Q
[ J
K
J
] U = K
J
U
Q
Q
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HI-75/96/060/A
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Version
3
Titre :
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
Clé :
R3.08.01-A
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Nous obtenons ainsi :
Te
=
-
K U
K JT U
Ptotal
P
Q
et de même : Te
= - J K U + J K JT U
Qtotal
P
Q
La matrice de rigidité pour les "déplacements" U P (donnés dans sa base locale) et pour les
"déplacements" UQ (donnés dans sa base locale) est :
K - K J
T
K =
- J K J K JT .
De plus, dans le cas de poutres à section circulaire creuse (coudes de tuyauteries), on divise I et I
y
z
par des coefficients de flexibilité donnés par l'utilisateur, pour prendre en compte la variation de rigidité
dûe à l'ovalisation (cf. [§7.2]).
Pour la matrice de masse, on ne considère que la matrice réduite (masses concentrées), et on fait
l'hypothèse simplificatrice que l'expression donnée pour les poutres droites [§2.4] reste valable en
considérant un élément droit de longueur R. .
On obtient :
S R.
M = M = M = M = M = M
11
22
33
77
88
99 =
2
(I + I
y
z )R.
M
= M
44
10 10 =
2
2 I R
3
2
.
y
S (R) S (R)
M = M
55
11 11 =
+ min
,
15
105
48
3
2
2 I R
.
S
z
(R )
S (R )
M
= M
66
12 12 =
+ min
,
15
105
48
Cette hypothèse est limitative et ne permet pas de bien prendre en compte l'inertie de flexion ou de
torsion dûe à la courbure. Il vaut donc mieux dans ce cas modéliser une poutre courbe par plusieurs
éléments POU_C_T.
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
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6 Chargements
Les différents types de chargement développés pour les éléments de poutre "MECA_POU_D_E",
"MECA_POU_D_T", "MECA_POU_C_T" en élasticité linéaire sont :
Types ou options
MECA_POU_D_E
MECA_POU_D_T
MECA_POU_C_T
* CHAR_MECA_EPSI_R : chargement par
développé
développé
développé
imposition d'une déformation (de type
stratification thermique)
* CHAR_MECA_PESA_R : chargement dû à la développé
développé
développé
pesanteur
* CHAR_MECA_FR1D1D : chargement réparti
développé
développé
développé
par valeurs réelles
* CHAR_MECA_FF1D1D : chargement réparti
développé
développé
développé
par fonction
* CHAR_MECA_TEMP_R : chargement
développé
développé
développé
"thermique"
* CHAR_MECA_FRELEC : chargement "force
développé
développé
non
électrique" créé par un conducteur secondaire
droit
* CHAR_MECA_FRLAPL : chargement "force
développé
développé
non
électrique" créé par un conducteur secondaire
quelconque
6.1
Chargement par déformation
OPTION : "CHAR_MECA_EPSI_R"
On calcule le chargement à partir d'un état de déformation (cette option a été développée pour prendre
en compte la stratification thermique dans les tuyauteries). La déformation est donnée par l'utilisateur à
l'aide du mot-clé EPSI_INIT dans AFFE_CHAR_MECA.
6.1.1 Pour la poutre droite d'Euler et la poutre droite de Timoshenko
Le modèle ne prend en compte qu'un travail en traction-compression et en flexion pure (pas d'effort
tranchant, pas de moment de torsion).
On utilise les relations de comportement suivantes :
u
N = ES ,x
M
= E I
y
y
y ,
x
M
= E I
z
z
z .
x
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Titre :
Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
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Ainsi, on obtient le second membre élémentaire associé à ce chargement :
u
au point 1 : F
=
E S
,
x1
1 x
M
=
E I
y
,
y
y
1
1 x
M
=
E I
z
,
z
z
1
1 x
u
au point 2 : F
=
E S
,
x2
2 x
M
=
E I
y
,
y
y
2
2 x
M
=
E I
z
,
z
z
2
2 x
" u
y
"
En se donnant
z
,
et
pour une poutre, on peut lui affecter un chargement.
x
x
x
6.1.2 Pour la poutre courbe de Timoshenko
y
x
La méthode utilisée peut se comparer à celle précédemment présentée. On utilise pour obtenir le
chargement aux noeuds, la matrice de rigidité locale K qui multipliée par les déplacements aux noeuds
u donne les efforts F appliqués aux noeuds :
F = K u.
La méthode ne prend en compte que la déformation liée à la longueur de la poutre. Mais on ne prend
en compte que la longueur projetée sur x , c'est-à-dire la distance la plus courte reliant les deux points
extrêmes de la poutre courbe : 2R sin ( R : rayon de courbure). Cette longueur est multipliée par un
taux de déformation, ce qui donne l'état de déformation de la poutre. Puis on projette sur x et sur y .
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On a ainsi pour u :
- 2R sin EPX cos
2R sin EPX
sin
point 1
0
0
u =
0
0
point 2
2R sin EPX
cos
2R sin EPX sin
u
avec EPX = x
6.2
Chargement dû à la pesanteur
OPTION : "CHAR_MECA_PESA_R"
La force de pesanteur est donnée par le module de l'accélération g et un vecteur normé indiquant la
direction n .
Le principe pour répartir le chargement sur les deux noeuds de la poutre est de tenir compte des
fonctions de forme (x) associées à chaque degré de liberté de l'élément [§2]. Nous avons donc pour
'
un chargement en pesanteur une force nodale équivalente Q :
'
L
'
Q =
(x) S g n dx
o
Remarques :
Les fonctions de forme utilisées sont (hypothèse simplificatrice) celles du modèle
Euler-Bernoulli.
Il faut, bien sûr, se placer dans le repère local de la poutre pour faire ce calcul.
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Effort axial (en x ) :
L
F
=
g x
S
dx
x
i
i
o
x
x
=
1
1-
, =
L
2
L
S
S
d' où : F
= g
x L 1
2
x
+
au point 1,
1
3
6
S
S
F
= g
x L 1
2
x
+
au point 2,
2
6
3
x
pour une section variant linéairement S = S +
1
(S2 -S1)
,
L
3 S + 2
S S + S
1
1 2
2
et F
= gx L
x
,
1
12
S +
S S + S
2
2
1 2
3 2
F
=
x
x
g L
,
2
12
2
x
pour une section variant homothétiquement
S
S +
S
S
1
( 2 - 1)
L
Moment de torsion :
Sans prise en compte du gauchissement, il est inexistant.
· Dans le plan (x o z) :
L
F
=
g z S dx
z
1
o 1
L
M
=
g z S dx
y
1
o 2
L
F
= g z
S dx
z
2
o 3
L
M
=
g z S dx
y
2
o 4
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3
2
3
2
x
x
x
x
x
1 = 2
L
3
+1 , =
+ 2
,
2
L -
L
-
L
L - L
3
2
3
2
x
x
x
x
3 = -
2
3
, = L
+
4
L +
L
-
L
L
7 S
3 S
d' où : F
=
2
z
1
g
z L
+
,
1
20
20
2
1
S
2
S
M
= - g
z
L
+
,
1
y
20 30
3 S
7
1
S2
F
=
g
z L
+
,
2
z
20
20
2
1
S
2
S
M
=
g
z L
+
,
2
y
30 20
pour une section variant linéairement,
8 S +5 S S
+ 2
1
1 2
S2
et : F
=
g zL
,
1
z
30
- 2 S - 2 S S - S
M
=
g zL2
1
1 2
2
y
,
1
60
2 S +5 S S
+8 S
F
=
g zL
1
1 2
2
z
,
2
30
S +2 S S + 2 S
M
=
g zL2 1
1 2
2
y
,
2
60
pour une section variant homothétiquement.
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· Dans le plan (x o z) :
L
F
=
g y S
d
x
y
1
o 1
L
M
=
g y - S d
x
z
1
o
2
L
F
=
g y S
d
x
y
2
o 3
L
M
=
g y - S
d
x
z
2
o
4
7 S
3 S
d' où : F
=
g
y L
1 +
2 ,
y1
20
20
S
S
M
=
g
y L2
1 + 2 ,
z1
20 30
3 S
7 S
F
=
g
y L
1 +
2 ,
y2
20
20
S
S
M
= - g
y L2
1 + 2 ,
z2
30 20
pour une section variant linéairement,
8 S +5 S
1
S
1 2 + 2 S2
et : F
=
g y L
y
,
1
30
2 S + 2 S S + S
2
1
1 2
2
M
=
gy L
,
1
z
60
2 S +5 S S
8
+
1
1 2
S2
F
=
gy L
,
2
y
30
- S - 2 S S - 2 S
2
1
1 2
2
M
=
gy L
,
2
z
60
pour une section variant homothétiquement.
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
Clé :
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6.3 Chargements
répartis
OPTIONS :
"CHAR_MECA_FR1D1D",
"CHAR_MECA_FF1D1D",
Les chargements sont donnés sous le mot-clé FORCE_POUTRE, soit par des valeurs réelles dans
AFFE_CHAR_MECA (option CHAR_MECA_FR1D1D), soit par fonctions dans AFFE_CHAR_MECA (option
CHAR_MECA_FF1D1D).
Les différentes possibilités sont :
chargement constant
chargement variant
linéairement
poutre droite à section constante
développé
développé
poutre droite à section variant linéairement
développé
non
poutre droite à section variant
développé
non
homothétiquement
poutre courbe
développé
non
Le chargement n'est donné que par des forces réparties, pas par des moments répartis.
La méthode utilisée pour calculer le chargement à imposer aux noeuds est celle présentée au [§2.1.2].
6.3.1 Poutre droite à section constante
Pour un chargement constant ou variant linéairement, on obtient :
n
n
F
= L
1
2
x
+
,
1
3
6
n
n
F
= L
1
2
x
+
.
2
6
3
n et n
1
2 sont les composantes du chargement axial aux points 1 et 2 provenant des données de
l'utilisateur replacées dans le repère local.
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
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J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
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t , t
, t
et t
y
y
z
z sont celles de l'effort tranchant. Et l'on a :
1
2
1
2
7 t
3 t
y
y
F
= L
1
2
y
+
,
1
20
20
t
t
y
y
M
= L2
1
2
z
+
,
1
20 30
3 t
7 t
y
y
F
= L
1
2
y
+
,
2
20
20
t
t
y
y
M
= - L2
1
2
z
+
,
2
30 20
7 t
3 t
z
z
F
= L
1
2
z
+
,
1
20
20
t
t
z
z
M
= - L2
1
2
y
+
,
1
20 30
3 t
7 t
z
z
F
1
2
z
=
L
+
,
2
20
20
t
t
z
z
M
= L2
1
+ 2 .
y2
30 20
6.3.2 Poutres droites à section variable
Le chargement fourni doit être constant. On utilise une méthode similaire à celle utilisée par le poids
propre [§6.2].
6.3.3 Poutre
courbe
Le chargement fourni doit être constant le long de l'élément. Le chargement réduit aux noeuds est
équivalent à celui que l'on peut obtenir en reprenant les résultats du [§6.3.1]. Avec une charge
constante, cela devient :
n
n
F
= L
, F
= L
x
x
,
1
2
2
2
t
t
F
= L y
, F
= L y
y
y
,
1
2
2
2
t
t
M
= L
y
2
, M
= - L
y
2
z
z
,
1
2
12
12
t
t
F
= L z
, F
= L z
z
z
,
1
2
2
2
t
t
M
= - L2 z
, M
= L2 z
y
y
.
1
2
12
12
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J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
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6.4 Chargement
thermique
OPTION : "CHAR_MECA_TEMP_R"
Pour obtenir ce chargement, il faut calculer la déformation induite par la différence de température
T - Tréférence :
u
= -
L
1
(T - Tréférence)
u
=
L
2
(T - Tréférence)
( : coefficient de dilatation thermique).
Ensuite, on calcule les forces induites :
F =
K u
comme K est la matrice de rigidité locale à l'élément, on doit ensuite effectuer un changement de
base pour obtenir les valeurs des composantes du chargement dans le repère global.
6.5 Chargement
électrique
OPTION :
"CHAR_MECA_FRELEC",
"CHAR_MECA_FRLAPL".
Ce type de chargement permet de prendre en compte la force de Laplace agissant sur un conducteur
principal, due à la présence d'un conducteur secondaire.
Le conducteur secondaire est droit et il ne s'appuie pas sur une partie du maillage Aster si on utilise
l'option "CHAR_MECA_FRELEC".
Le conducteur secondaire n'est pas nécessairement droit et il peut s'appuyer sur une partie du maillage
Aster si on utilise l'option "CHAR_MECA_FRLAPL".
La densité linéique de la force de Laplace exercée en un point M du conducteur principal par le
conducteur secondaire s'écrit :
1
e r
f ( M ) =
e
2
ds
2 1
r 3
2
Remarque :
Pour obtenir la force de Laplace, le vecteur retourné à la suite du calcul effectué par l'une de
ces deux options doit être multiplié par la fonction temporelle d'intensité spécifiée par
l'opérateur "DEFI_FONC_ELEC".
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6.5.1 Conducteur secondaire droit fini ou infini
OPTION : "CHAR_MECA_FRELEC"
Pour un conducteur secondaire fini, nous avons :
'
'
'
e
n
f ( M ) =
1 (sin - sin
1
2
)
2
d
P
P
1
2
d
e 2
e 2 d
avec
n =
d
1
2
d = d
e 1
&&
M
1
Pour un conducteur secondaire infini, nous avons :
n
f ( M ) = e1 d
Trois types de chargement sont possibles :
· conducteur droit parallèle infini,
· conducteurs droits parallèles infinis multiples,
· conducteur droit en position quelconque fini ou infini.
Pour le cas d'un conducteur droit parallèle infini, sa position peut être donnée de deux manières :
· soit par un vecteur translation du conducteur principal au conducteur secondaire,
· soit par la distance entre les deux conducteurs et par un point du conducteur secondaire.
On obtient donc un chargement constant sur tout l'élément principal. On peut ainsi utiliser la technique
présentée au [§6.3] [§6.4] pour calculer le chargement aux noeuds.
L
F
= f
1
( M ) 2
L
F
= f
2
( M ) 2
2
L
M
=
e
f
1
1
( M ) 12
2
L
M
= - e f( M)
, f
2
1
( M ) = constante M
.
12
Pour le cas des conducteurs droits parallèles infinies multiples, on doit donner directement le
vecteur "force de Laplace" normé. Celui-ci étant habituellement donné dans le repère global, il faut
déterminer le vecteur "force de Laplace" dans le repère local de l'élément principal. Ainsi de la même
manière que précédemment, on calcule le chargement aux noeuds.
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Eléments "exacts" de poutres (droites et courbes)
Date :
02/12/96
Auteur(s) :
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX
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Pour le cas d'un conducteur droit en position quelconque fini ou infini, sa position est donnée par
deux points P1 et P2 tel que le courant circule de P1 vers P2 . Le chargement n'est pas
obligatoirement constant le long de l'élément principal.
La méthode choisie pour calculer le chargement réduit aux noeuds est évidemment la même
qu'auparavant. Mais ici, l'intégration se fait numériquement en discrétisant l'élément en un certain
nombre (en pratique : 100 points entre P1 et P2 ).
On intègre ainsi :
3
2
L
x
x
F
=
f
1
M
( ) 2
3
+1 dx
o
L -
L
3
2
L
x
x
F
=
f
2
M
( ) -
2
+ 3
dx
o
L
L
'
3
2
L
'
'
x
x
x
M
=
- e
f ( M) L
-
+ 2
dx
1
o
1
L
L - L
'
3
2
L
'
'
x
x
M
=
- e
f ( M) L
-
+
dx
2
o
1
L
L
Remarque :
Comme f ( M ) x = 0
et
(e1 f ( M )
) x = 0 (x = e
1)
on utilise uniquement les fonctions de forme associées au problème de flexion.
6.5.2 Conducteur secondaire décrit par une partie de maillage ASTER
OPTION : "CHAR_MECA_FRLAPL"
Le conducteur secondaire dans son ensemble n'est pas nécessairement droit. Mais il est décrit
uniquement par des éléments droits. Sa longueur est obligatoirement finie.
Sa position peut être complétée par l'utilisation d'un vecteur translation ou d'une symétrie plan (par un
point et un vecteur normal normé du plan de symétrie) par rapport au conducteur principal.
Hormis le fait qu'il faut sommer l'interaction des différents éléments du conducteur secondaire sur le
conducteur principal, la méthode est la même que précédemment (cas (iii)).
Remarque :
Pour l'intégration numérique, on n'utilise que 5 points compris entre P1 et P2 .
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7
Torseur des efforts - Torseur des contraintes (ou efforts
généralisés) - Forces nodales et réactions
OPTIONS :
"EFGE_ELNO_DEPL",
"SIEF_ELGA_DEPL",
"SIGM_ELNO_DEPL",
"SIPO_ELNO_DEPL",
"FORC_NODA",
"REAC_NODA".
L'option "EFGE_ELNO_DEPL" permet de calculer le torseur des efforts aux 2 noeuds de chaque élément
de "poutre".
Les options "SIGM_ELNO_DEPL" et "SIPO_ELNO_DEPL" permettent de calculer les valeurs maximales
des composantes du tenseur des contraintes intervenant dans un modèle de "poutre".
L'option "SIEF_ELGA_DEPL" permet le calcul des forces nodales (option "FORC_NODA" et des
réactions "REAC_NODA").
Remarque :
Lorsque l'une de ces options se terminent par "_C", cela signifie que les valeurs des
déplacements (et donc des efforts) sont complexes.
7.1
Le torseur des efforts
OPTION : "EFGE_ELNO_DEPL"
On cherche à calculer aux deux noeuds de chaque élément "poutre" constituant le maillage de la
structure étudiée, les efforts exercés sur l'élément "poutre" par le reste de la structure. Les valeurs sont
données dans la base locale de chaque élément.
En intégrant les équations d'équilibre, on obtient [§2.1.3] les efforts dans le repère local de l'élément :
R
= Ke u
+ Me u%
- f e
LOC
LOC
LOC
LOC
LOC
LOC
où : R
= - N
,
1 -V1 , -V1 , - M1 , - M1 , - M1 , N
2 , V
2 , V
2 , M
2, M
2 , M
2
LOC
(
Y
Z
T
Y
Z
Y
Z
T
Y
Z )
Ke
matrice élémentaire de rigidité de l'élément "exact" de poutre,
LOC
Me
matrice élémentaire de masse de l'élément poutre,
LOC
f e
vecteur des efforts "répartis" sur l'élément poutre,
LOC
u
vecteur "degré de liberté" limité à l'élément poutre,
LOC
%
u
vecteur "accélération" limité à l'élément poutre.
LOC
On change ensuite les signes des efforts au noeud 1 [§2.1.3].
OPTION : "SIEF_ELGA_DEPL"
L'option "SIEF_ELGA_DEPL" est implantée pour des raisons de compatibilité avec d'autres options.
Elle ne sert qu'au calcul des forces nodales et des réactions.
Elle est calculée par : R
Ke
=
u
LOC
LOC
LOC
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7.2
Le tenseur des contraintes
OPTIONS :
"SIGM_ELNO_DEPL",
"SIPO_ELNO_DEPL".
On cherche à calculer les valeurs maximales des composantes xx , xy
et xz qui sont reliées aux
efforts par :
N = dS
xx ,
s
V = dS
y
xy ,
s
V = dS
z
xz ,
s
MT = (y - z
xz
xy ,
s
) dS
M = z dS
y
,
s xx
M = - y d
S
z
.
s
xx
Avec l'option "SIGM_ELNO_DEPL", on calcule l'effet maximal de l'ensemble des efforts sur
xx, xy et xz .
· Pour
xy , on a :
i
i
V
M
i Max
Y
T
i
xz
=
+
R , pour le
noeud i i
( = ,
1 2)
i
i
T
Y
A
J X
avec : A k y A air
: e de la section,
ky : constante de cisaillement,
J X : constante de torsion,
RT : rayon de torsion.
· Pour
xz , on a :
i
i
V
M
i Max
Z
T
i
xz
=
+
R ,
i
i
T
Z
A
J X
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· Pour
xx , on a :
-
Pour une section rectangulaire :
i
i
i
i
i
N
M
H
M
H
i Max
Y
Z
Z
Z
xz
= + +
+
si N
0
,
i
i
i
A
I
Y
2
IZ
2
i
i
i
i
i
N
M
Y HZ
MZ HZ
-
+
+
si
0
N <
,
i
i
i
A
I
Y
2
IZ
2
avec IY, IZ : moments géométriques,
Y
H
HZ
,
: côtés du rectangle.
-
Pour une section circulaire :
i
i
N
2
2 R
i Max
i
i
xx
= +
+
M
+ M
si N
0
,
i
( Y ) ( Z ) i
A
I
Y
i
i
N
2
2 R
i
i
-
+
M
+ M
si
0
N <
,
i
( Y ) ( Z ) i
A
I
Y
avec R : rayon de la section.
-
Pour une section générale :
i
i
i
N
M
M
i Max
Y
i
Z
i
xx
=
+
R
-
R .
i
i
Z
i
Y
A
IY
IZ
Dans ce dernier cas, on fait le calcul au point (R i , R i
i
i
i
Y
Z ) . R
R
Y
Y
et
et
RZ sont les
distances à la fibre neutre.
Pour retrouver ces formules, on utilise les relations entre les contraintes et les déformations puis celles
entre les efforts internes et (u, x ; xy ; xz ; x
x ; y x ;
,
,
z
,x) :
xx = E xx
xy =
G 2 xy
xz =
G 2 xz ,
xx = u,x+ z y,x
- y z,x
2
xy = xy - z x,x ( xy =V,x -z)
2
xy = xz + y x,x
(xz =W,x+y) ,
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N
EA
u, x
V
k GA
Y
Y
0
xy
V
k GA
Z
Z
xz
=
M
GJ
T
x,x
M
0
EI
Y
Y
y,x
M
EI
Z
Z z,x
(Les différents types de mouvement sont découplés lorsqu'on travaille avec les axes principaux (par
définition)).
On obtient :
N
M
M
Y
Z
xx (x, y, z) =
E
+ z
- y
,
EA
EI
Y
EIZ
V
M
Y
T
xy (x, y, z)
= G
- z
,
k
Y GA
G J
X
V
M
Y
T
xy (x, y, z) =
G
- z
,
k
Y GA
G J
X
Avec l'option "SIPO_ELNO_DEPL", le calcul est quelque peu différent. On recherche les effets
maximums de chaque effort (N , V , V , M , M , M
Y
Z
T
X
Y ) sur les composantes xx , xy et xz .
On retrouve les résultats précédents sous forme décomposée. Le vecteur résultat s'écrit :
( 1 1 1 1 1 1
1 , 2
3
, 4
, , 5
, 6
2
2
2
2
2
2
1 , 2
3
, , 4
5
, , 6
)
i
N
avec : i
1
=
pour le noeud i i =
i
( 1, 2)
A
i
N
i1 =
i
A
i
V
i
Z
3
=
,
i
Z
A
i
M
i
T
i
4
=
R ,
i
T
J X
pour les sections rectangulaires :
i
i
M
H
i
Y
Z
5
=
,
i
I
2
Y
i
i
M
H
i
Z
Y
6
= -
,
i
I
2
Z
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i
M
i
Y
i
5
=
R ,
i
IY
i
M
i
Z
i
6
= -
R ,
i
IY
pour les sections quelconques au point ( i
i
Y
R , Z
R ) :
i
M
i
Y
i
5
=
R ,
i
Z
IY
i
M
i
Z
i
6
= -
R .
i
Y
IZ
Dans le cas de poutre à section circulaire creuse (tuyaux), la flexibilité des coques minces n'étant
pas bien représentée, il faut corriger certaines grandeurs. Deux coefficients sont utilisés pour cela :
· un coefficient de flexibilité "flex" (utilisé aussi par la rigidité [§5]),
· un coefficient d'intensification des contraintes "isigm".
En particulier, on peut s'inspirer des règles RCC_M.
I classique
I classique =
(cflex )
1 uniquement en flexion.
cflex
MY
isigm
=
R
,
5
I
Z
Y corr é
ig
cflex
MZ
isigm
=
R
6
Y
(isigm )
1 .
IZ corrigé
cflex
7.3
Calcul des forces nodales et des réactions
OPTION : "FORC_NODA"
Cette option calcule un vecteur de forces nodales sur toute la structure. Elle produit un champ aux
noeuds dans la commande CALC_NO par assemblage des termes élémentaires.
Pour ce calcul, on utilise habituellement en 3D [R5.03.01] par exemple le principe des travaux virtuels
et on écrit :
F = QT
où QT représente symboliquement la matrice associé à l'opérateur divergence. Pour un élément, on
écrit le travail du champ de déformations virtuelles :
(QT)h = (u)
(wh)
Pour les éléments de poutre, on calcule simplement les forces nodales par assemblage des forces
nodales élémentaires calculées par l'option SIEF_ELGA_DEPL, qui s'expriment par :
[F ]=[K ][U
[
]
§7.1
LOC
LOC
LOC ]
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OPTION : "REAC_NODA"
Cette option, appelée par CALC_NO, permet d'obtenir les réactions R aux appuis à partir des forces
nodales F par :
R = F - Fchar + Finer
Fchar
Finer
et
étant les forces nodales associées aux chargements donnés (ponctuels et répartis) et
aux efforts d'inertie.
8
Elément de barre
Mot clé 'BARRE'
Une barre est une poutre droite de section constante ne comportant que les degrés de liberté de
traction-compression uniquement. L'équation du mouvement, les matrices de masse et de rigidité, et
les efforts sont donc ceux des poutres (droites de section constante) relatifs à la traction-compression.
Concernant les caractéristiques de la section, l'aire de la section transversale constitue la seule donnée
utile [U4.24.01 §11].
9 Bibliographie
[1]
J.S. PRZEMIENIECKI. Theory of Matrix Structural Analysis, Mc Graw Hill, New-York. 1968.
[2]
M. GERADIN, D. RIXEN. Théorie des vibrations, application à la dynamique des structures,
Masson, Paris. 1993.
[3]
J.R.BANERJEE, F.W. WILLIAMS. Exact Bernoulli-Euler static stiffness matrix for a range of
tappered beam-columns. Interm. J. for Numerical Methods in Engineering, vol. 23,
pp 1615-1628. 1986.
[4]
J.L. BATOZ, G. DHATT. Modélisation des structures par éléments finis - HERMES.
[5]
V. DE VILLE DE GOYET. L'analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis
des structures spatiales formées de poutres à sections non symétriques. Thèse de l'Université
de Liège. 1989.
[6]
C. MASSONNET, S. CESCOTTO. Mécanique des matériaux. Dc Boeck-Wesmael s.a. 1994.
[7]
P. DESTUYNDER. Introduction au calcul des structures. Cours C. Calcul scientifique. 1990.
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