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Titre :
Analyse simplifiée de nocivité de défaut par la méthode K-bêta
Date :
11/04/05
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Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
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Analyse simplifiée de nocivité de défaut par la méthode
K-bêta
Résumé :
La méthode d'analyse présentée (méthode K-bêta) est appliquée à l'analyse de nocivité d'un défaut situé sous
le revêtement des cuves REP. Elle est codifiée dans le RSE-M et a pour but d'évaluer les facteurs d'intensité
des contraintes corrigés plastiquement pour le revêtement (en première pointe du défaut) et pour le métal de
base ou du joint soudé (en seconde pointe du défaut).
Pour ce faire, on calcule les facteurs d'intensité de contraintes élastiques aux deux pointes du défaut, à l'aide
des contraintes aux noeuds issues de la résolution mécanique et des contraintes résiduelles données par
l'utilisateur. Les rapports des ténacités critiques sur les facteurs d'intensité de contraintes obtenus déterminent
les facteurs de marges.
Les aspects théoriques de la méthode K-bêta et de sa mise en oeuvre informatique font les objets des
paragraphes suivants.
Cette méthode correspond à l'approche Rupt1D dans la nomenclature du projet EDF Epicure.
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Table
des
matières
1 Aspects théoriques de la méthode K-bêta.............................................................................................3
1.1 Validité de la méthode K................................................................................................................3
1.2 Etape n°1 : Calcul des facteurs d'intensité de contraintes élastiques d'un défaut bande dans une
plaque de dimensions infinies .........................................................................................................4
1.2.1 Changement de repère ..........................................................................................................5
1.2.2 Méthode de calcul ..................................................................................................................8
1.3 Etape n°2 : Corrections géométriques pour un Défaut Sous Revêtement elliptique ......................9
1.3.1 Correction par les facteurs de bord......................................................................................10
1.3.2 Correction par les facteurs d'ellipticité..................................................................................10
1.3.3 Facteurs d'intensité de contraintes d'un DSR elliptique.......................................................11
1.4 Etape n°3 : Correction plastique dite "correction " ......................................................................11
1.4.1 Formulation de la correction ..............................................................................................11
1.4.2 Correction plastique au fur et à mesure de l'histoire du chargement...................................11
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1
Aspects théoriques de la méthode K-bêta
1.1
Validité de la méthode K
La méthode proposée s'applique à un défaut sous revêtement situé en partie courante d'un
réservoir en acier ferritique revêtu par de l'acier inoxydable austénitique soumis soit :
·
à un transitoire thermique appliqué en surface interne éventuellement combiné à un
chargement de pression limité
·
à une chargement de pression seule.
La méthode n'est valide que pour des défauts sous revêtement dont la pointe, côté revêtement,
pénètre légèrement dans le revêtement. C'est pourquoi pour le calcul, à la taille initiale du défaut
considéré prof_def, on ajoute la pénétration dans le revêtement |deca|. La [Figure 1.1-a] précise
la différence entre le défaut initial (dimensions rentrées dans POST_K_BETA) et le défaut
considéré dans le calcul (défaut tenant compte de la pénétration dans le revêtement) par la
méthode .
Défaut initial
Défaut considéré
dans le calcul
2b
2a
-deca
prof_def
Revêtement
Métal de base
ray_int
ep_rev
ep_mdb
Axe de la cuve
Figure 1.1-a : Schéma du défaut sous revêtement considéré
Conditions de validité de la méthode :
· défaut pénétrant dans le revêtement,
deca
2a
2a
1
·
,
0 2 et
3 et
.
ep _ rev
ep _ rev
(ep _ rev + ep _ mdb)
10
Par convention dans la commande POST_K_BETA on choisi deca 0. La valeur par défaut choisi
est deca = -2. 10-4.
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1.2 Etape n°1 : Calcul des facteurs d'intensité de contraintes élastiques
d'un défaut bande dans une plaque de dimensions infinies
Les facteurs d'intensité de contraintes élastiques d'un défaut bande dans une plaque de dimensions
infinies sont donnés par les relations suivantes :
+a (x) a - x
K
=
dx
IA
a a +
x
-a
K01 :
+a (x) a + x
K
=
dx
IB
a
a - x
-a
où 2a est la largeur de bande (profondeur du défaut), A et B en sont les deux extrémités
(respectivement en a et +a).
La contrainte (x) est la contrainte utile normale au plan de la fissure (contrainte élastique ajoutée de
la contrainte résiduelle).
Les configurations "défaut circonférentiel" et "défaut longitudinal" sont définies par les deux croquis
ci-après.
y
Défaut bandecirconférentiel
x
A
B
-a
+a
z
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y
Défaut bande longitudinal
x
A
B
-a
+a
z
Pour le défaut bande circonférentiel, on prend (x) =
yy (x)
Pour le défaut bande longitudinal, on prend (x) =
zz (x)
1.2.1 Changement de repère
1) Changement de base
·
Cas 1 : passage de la base cartésienne locale (dans le plan de coupe du modèle
axisymétrique) à la base cylindrique
y
Z
x
r
z
On a : e =
=
z = -
x
er ey eZ e
e
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Le changement de base pour le tenseur des contraintes s'écrit :
rr r rZ 1
0
0 xx xy xz 1
0
0
r Z =
0
0 -
1 xy yy yz 0 0
1
rZ Z
ZZ
0
1
0 xz yz
zz
0 - 1
0
=
rr
xx
= -
r
xz
On obtient finalement : =
et
zz
=
rZ
xy
=
ZZ
yy
= -
Z
yz
·
Cas 2 : passage de la base cartésienne globale (modèle 3D) à la base cylindrique
z
Z
y
r
x
er = cos e
X + sin e
Y
eX = cos e
r - sin e
On a : e = - sin e
cos d'
X +
eY
où eY = sin e
r + cos e
eZ = eZ
eZ = eZ
Le changement de base pour le tenseur des contraintes s'écrit :
rr r rZ cos
sin
0 XX XY XZ cos
- sin
0
r Z =
- sin
cos
0 XY YY YZ sin
cos
0
rZ Z
ZZ
0
0
1
XZ YZ
ZZ
0
0
1
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On obtient finalement :
2
2
rr = cos XX + 2 sin cos XY + sin
YY
2
2
r = - sin cos XX + (cos - sin )
XY + sin cos YY
rZ = cos XZ + sin
YZ
2
2
= sin XX - 2 sin cos XY + cos YY
Z = - sin XZ + cos
YZ
ZZ = ZZ
·
Synthèse : composantes utilisées pour le calcul des facteurs d'intensité de contraintes
Défaut circonférentiel : dans la base cylindrique soit
zz
avec un modèle axisymétrique
yy
avec un modèle 3D
zz
Défaut longitudinal : dans la base cylindrique soit
avec un modèle axisymétrique
zz
2
sin - 2 sin cos
2
+ cos avec un modèle 3D
xx
xy
yy
2) Translation de l'origine
L'origine du repère doit être translatée radialement pour coïncider avec le point milieu de la
bande :
r r r0 avec r0 = (ray_int + ep_rev + deca) + a
Avec :
ray_int : rayon interne de la cuve
ep-rev : épaisseur du revêtement
|deca| : pénétration du défaut dans le revêtement
a : demi longueur du défaut considéré pour le calcul
Toutes ces grandeurs sont schématisées [Figure 1.1-a].
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1.2.2 Méthode de calcul
Les intégrales donnant K
K
et
sont calculées par morceaux : la décomposition provient d'une
IA
IB
subdivision de l'intervalle [a/2 ; +a/2] en N sous-intervalles élémentaires sur lesquels la contrainte
utile (x) est linéarisée :
(x) = i x + i pour x Ii = [ai ; ai+1] [a/2 ; +a/2]
La réunion des N sous-intervalles Ii pour 1 i N reconstitue la bande [a ; +a].
Les contributions du sous-intervalle Ii = [ai ; ai+1] au calcul des FIC sont données par :
ai+1 x
a x
i
+
i
i
-
K
=
dx
IA
a
a + x
i
a
K02 :
ai+1 x
a x
i
+
i
i
+
K
=
dx
IB
a
a - x
i
a
Ces intégrales peuvent être calculées analytiquement. On obtient finalement les relations K03-a :
ai+1
N
2
2
a
a
x x
x
x
x
K
=
×
Arc sin
a 1
Arc sin
1
IA
i -
+ - - + i
+
-
i=1
2
a 2
a
a
a
ai
ai 1
N
2
2 +
= a
K
×
a
x x
x
x
x
Arc sin
a 1
Arc sin
1
IB
i
- + - + i
-
-
i=1
2
a 2
a
a
a
ai
N.B.
Il existe des formules équivalentes aux relations ci-dessus, établies après les changements de
variables.
ai
= Arc sin
i
a
ai+1
= Arc sin
i+1
a
Les FIC sont alors donnés par les nouvelles expressions K03-b :
N
a
a i
ai
K
=
×
cos
cos
sin 2
sin 2
IA
-
i
(
-
i+1
i ) + (
-
i
a i) (
-
i+1
i ) +
(
-
i+1
i )
i=1
2
4
N
a
ai
K
=
×
a i
cos
cos
sin 2
sin 2
IB
+
i
(
-
i+1
i ) - (
+
i
a i) (
-
i+1
i ) -
(
-
i+1
i )
i=1
2
4
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Remarque :
En pratique, le calcul de K
K
et
s'effectue sur le segment d'appui du défaut postulé. Sur
IA
IB
ce segment, les pointes A (côté revêtement) et B (côté métal de base ou joint soudé) de la fissure
ne coïncident pas nécessairement avec des noeuds du maillage.
Une première étape consiste donc à positionner A et B sur le chemin d'appui radial partant de la
peau externe et se terminant en peau externe. Ce positionnement tient compte du décalage du
défaut par rapport à la localisation de référence d'un DSR, et aussi de la profondeur du défaut.
Un translation de l'origine est ensuite effectuée, la nouvelle origine étant située au milieu du
segment [A,B] (cf. paragraphe précédent concernant le changement de repère).
Les N sous-intervalles sur lesquels est décomposé le calcul des FIC sont définis par la succession
[A,NO1], [NO1,NO2], ... , [NON-2,NON-1], [NON-1,B]. Les noeuds du maillage en déterminent les
bornes. Les interpolations linéaires de la contrainte utile (x) sont donc réalisées sur ces
sous-intervalles ; pour le premier et le dernier, on utilise respectivement les interpolations sur
[NO0,NO1] et [NON-1,NON], qui ne serviront donc au calcul des FIC que sur une partie de leur
domaine de définition (NO0 est le prédécesseur immédiat de A sur le chemin radial, NON est le
successeur immédiat de B).
Les formules K03-a ou K03-b sont ensuite appliquées pour le calcul de K
K
et
.
IA
IB
Il est important de noter que ce calcul utilise les contraintes aux noeuds du maillage, à partir
desquelles les interpolations linéaires par morceaux sont déterminées.
1.3 Etape n°2
: Corrections géométriques pour un Défaut Sous
Revêtement elliptique
Les facteurs d'intensité de contraintes K
K
et
déterminés au terme de l'étape n°1 concernent
IA
IB
un défaut bande dans une plaque de dimensions infinies.
Le défaut postulé est un Défaut Sous Revêtement de profil elliptique. Les facteurs d'intensité de
contraintes déterminés pour ce type de géométrie sont obtenus par application de corrections
géométriques sur K
K
et
.
IA
IB
La [Figure1.1-a] permet de définir la géométrie du DSR considéré pour le calcul.
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Certaines conventions sont fixées :
·
La profondeur 2a d'un DSR longitudinal ou circonférentiel correspond à sa dimension radiale,
i.e. suivant la direction portée par er .
·
La longueur 2b d'un DSR longitudinal correspond à sa dimension axiale, i.e. suivant la
direction portée par eZ .
La présence de DSR d'orientation longitudinale est postulée dans le métal de base. La
[Figure 1.1-a] représente donc précisément cette configuration de défaut.
·
La longueur 2b d'un DSR circonférentiel correspond à sa dimension orthoradiale, i.e. suivant
la direction portée par e .
La présence de DSR d'orientation circonférentielle est postulée dans le joint soudé. Par
rapport à la [Figure 1.1-a], cette configuration de défaut serait obtenue en effectuant une
rotation de 90° du front de fissure autour du petit axe de l'ellipse.
1.3.1 Correction par les facteurs de bord
Cette première correction tient compte du fait que le défaut est situé dans un milieu non infini. La
localisation du DSR définie par la [Figure 1.1-a] implique des corrections en pointes de fissure côté
revêtement et côté métal de base.
On définit préalablement la variable d'espace réduite z = a (a + (ep _ rev+ deca) , où ep_rev est
l'épaisseur du revêtement et deca est la pénétration du DSR dans le revêtement (voir [Figure 1.1-a]).
Pointe A côté revêtement : formule K04
2
3
4
5
F
= 0 998742
,
+ 0142801
,
z -1133379
,
z + 5 491256
,
z - 8 981896
,
z
5 765252
,
z
bA
+
Pointe B côté métal de base (ou joint soudé) : formules K05
1- 0 012328
,
z + 0 395205 2
,
z - 0 527964 3
,
z + 0 432714 4
,
z
si 0 z
F
=
0 92
,
bB
- 414 20286
,
+1336 75998
,
z -143611970 2
,
z + 51514949 3
,
z
si 0 92
,
< z 1
1.3.2 Correction par les facteurs d'ellipticité
Cette seconde correction tient compte du fait que le défaut présente un profil elliptique. Elle doit être
appliquée aux estimations déterminées pour un défaut bande.
Deux cas sont distingués, suivant la prépondérance de l'une ou l'autre des deux dimensions du profil
elliptique.
Premier cas : a b Profondeur du défaut Longueur
1
K06 : f = f =
A
B
a ,165
1 + ,
1 464
b
Second cas : b a Longueur du défaut Profondeur
b
1
K07 : f = f =
×
A
B
a
b ,165
1 + ,
1 464
a
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1.3.3 Facteurs d'intensité de contraintes d'un DSR elliptique
Les facteurs d'intensité de contraintes d'un Défaut Sous Revêtement elliptique, obtenus par correction
des FIC d'un défaut bande dans une plaque de dimensions infinies, sont donnés par les relations
Pointe A côté revêtement :
K08-a : K
= f × F × K
IA
A
bA
IA
Pointe B côté métal de base (ou joint soudé) : K08-b : K
= f × F × K
IB
B
bB
IB
1.4
Etape n°3 : Correction plastique dite "correction "
1.4.1 Formulation de la correction
Les facteurs d'intensité de contraintes déterminés par les relations K08-a et K08-b sont ceux d'un
DSR elliptique, sous l'hypothèse d'un comportement élastique des matériaux.
La correction , spécifique aux DSR collés à l'interface, permet de tenir compte de la plastification
aux deux pointes de la fissure côté revêtement (pointe A) et côté métal de base ou joint soudé (pointe
B).
Les facteurs correctifs sont définis par les relations suivantes :
r
36 yA
= 1+ 3
,
0 × tanh
2
A
ep _ rev
1 K
K09 :
où r
=
IA
yA
r
36 yA
6 yA
= 1+ 5
,
0 × tanh
B
ep _ rev
ep_rev est l'épaisseur du revêtement, est la limite élastique du revêtement à la température de la
yA
pointe A.
D'où les FIC corrigés aux deux pointes de la fissure :
K = × K
K10 : A
A
IA
K = × K
B
B
IB
1.4.2 Correction plastique au fur et à mesure de l'histoire du chargement
La correction plastique est calculée suivant les formules K09 et K10 ci-dessus pour une phase de
charge considérée isolément dans l'histoire du chargement.
Pour évaluer la correction plastique au fur et à mesure de l'histoire du chargement, on doit retenir à un
instant donné la correction maximale obtenue sur toutes les phases de charge précédentes.
Principe
A chaque nouvelle phase de charge, on réévalue une correction plastique
K11 : K = K K I = (1) × K I
(même calcul aux deux pointes A et B de la fissure, d'où l'omission des indices). Si cette nouvelle
correction plastique est supérieure à la correction maximale Kmax obtenue jusqu'alors, on met à jour
Kmax. La correction finalement appliquée s'écrit
K12 : K CP = K I + Kmax
En phase de décharge, la correction plastique appliquée est l'ajout du Kmax obtenu sur toutes les
phases de charge précédentes :
·
pas de plastification en phase de décharge,
·
la correction correspond au résidu plastifié des phases de charge précédentes.
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Algorithmique
On initialise Kmax = 0
On initialise K I_ast à une valeur arbitraire élevée
·
au premier instant on sera en phase de décharge par comparaison à K I_ast
·
pas de plastification au premier instant
Boucle sur les instants de l'histoire du chargement
Si K I ( tn ) K I_ast alors (phase de décharge)
K CP ( tn ) = K I ( tn ) + Kmax
Sinon (phase de charge)
Si ( tn ) × K I ( tn ) > K I ( tn ) + Kmax alors
K CP ( tn ) = ( tn ) × K I ( tn )
Kmax = K CP ( tn ) K I ( tn )
Sinon
K CP ( tn ) = K I ( tn ) + Kmax
Fin Si
Fin Si
K I_ast = K I ( tn )
Fin Boucle
La même algorithmique décrite ci-dessus est mise en oeuvre pour les corrections plastiques des FIC
aux deux pointes A et B de la fissure au fur et à mesure de l'histoire du chargement.
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