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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document R5.03.13
Relation de comportement élasto-viscoplastique
pour les matériaux polycristallins cubiques à faces
centrées
Résumé :
Un modèle polycristallin a été développé au Centre des Matériaux de l'Ecole des Mines de Paris pour décrire le
comportement élasto-viscoplastique de matériaux polycristallins cubiques à faces centrées. Il s'agit d'un modèle
à grand nombre de variables internes qui permet, grâce à une description simplifiée de la microstructure (texture
cristallographique, systèmes de glissement), de décrire de nombreux phénomènes observés sur ces matériaux
(exemples : effet Bauschinger, anisotropie de surface de plasticité).
Il est introduit dans le Code_Aster sous le nom de POLY_CFC au niveau de la commande DEFI_MATERIAU ; le
comportement est intégré par un schéma explicite de Runge-Kutta d'ordre 2 à pas adaptatif.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Formulation du modèle .......................................................................................................................... 4
2.1 Comportement à l'échelle des grains .............................................................................................. 6
2.1.1 Définitions au niveau des systèmes de glissement................................................................ 6
2.1.2 Loi de comportement à l'échelle des grains........................................................................... 6
2.2 Relation de changement d'échelle .................................................................................................. 7
2.3 Equations du modèle....................................................................................................................... 8
3 Mise en oeuvre numérique dans le Code_Aster .................................................................................... 9
3.1 Calcul de la contrainte macroscopique ........................................................................................... 9
3.2 Evolution des variables internes et des variables de localisation.................................................. 10
4 Synthèse .............................................................................................................................................. 10
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 11
Annexe 1 Introduction de l'information texture........................................................................................ 12
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1 Introduction
De nombreuses recherches ont porté durant les vingt dernières années sur une modélisation
phénoménologique du comportement des matériaux. Le modèle proposé est, en revanche, fondé sur
une approche polycristalline qui intègre des informations microstructurales et offre des capacités de
modélisation étendues par rapport aux approches phénoménologiques. De plus, par comparaison avec
les modèles phénoménologiques utilisant un critère de Von Mises, l'approche micromécanique permet
d'avoir un critère de plasticité qui peut présenter des parties anguleuses.
L'idée de base des modélisations cristallographiques de la plasticité est la suivante :
l'introduction des variables attachées aux mécanismes physiques est bénéfique pour les capacités de
modélisation des relations de comportement correspondantes. En effet, si l'aspect physique des
mécanismes de déformation est bien représenté dans le modèle, le caractère prédictif des équations
constitutives est amélioré, y compris pour des chargements complexes situés hors du domaine
d'identification initial du modèle étudié, puisque le comportement mécanique du matériau est associé à
sa microstructure.
Le modèle est conçu pour rendre compte du comportement mécanique de matériaux polycristallins de
structure cubique à faces centrées.
Le modèle est introduit dans le Code_Aster en 3D, déformations planes (D_PLAN), contraintes planes
(C_PLAN) et axisymétrie (AXIS) sous le nom de POLY_CFC dans DEFI_MATERIAU. Il s'agit d'un
modèle polycristallin viscoplastique à grand nombre de variables internes, à savoir 1688 par point
d'intégration. La prise en compte de la microstructure s'effectue par l'introduction de la texture. La
texture comprend les directions d'orientation et la fraction volumique associées à chaque orientation
des grains qui composent la micro-structure.
On présente dans cette note les équations constitutives du modèle et son introduction dans le
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Formulation du modèle
Il s'agit d'un modèle élasto-viscoplastique qui s'inscrit dans le cadre des approches micromécaniques
avec prise en compte d'informations microstructurales pour modéliser les mécanismes élémentaires de
la déformation inélastique. La démarche générale est de construire une loi de comportement
macroscopique à partir d'une description simplifiée de la microstructure. La méthode consiste alors à
décrire la microstructure (c'est-à-dire à l'échelle locale, d'identifier les phases et de caractériser leur
comportement) et à exprimer les grandeurs globales comme les moyennes des grandeurs locales.
Les échelles et les mécanismes élémentaires à considérer sont choisis de la manière suivante
[Figure 2-a] :
· un élément de volume élémentaire représentatif du matériau, pour l'échelle d'arrivée à laquelle
doit aboutir le processus de modélisation envisagé, qui permet de décrire le comportement à
l'échelle macroscopique,
· le grain, pour l'élément de départ du changement d'échelle, pour lequel la relation de
comportement développée est associée au mécanisme de déformation retenu dans cette
modélisation, c'est-à-dire le glissement cristallographique, sans considération concernant la
morphologie et la répartition spatiale des grains du volume élémentaire (le grain est défini par
une orientation).
Orientation g
Echelle de l'élém
de volume
,
Echelle des grain
,
"Grain" 1
"Grain" g
"Grain" n
Figure 2-a : Echelles considérées pour la modélisation polycristalline
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Le modèle s'appuie sur une approche autocohérente. On y remplace l'analyse détaillée des interactions
mécaniques entre les différentes phases par une évaluation approchée qui consiste à envisager
successivement les interactions entre chaque phase (les grains ayant même orientation de réseau
cristallin sont indiscernables et constituent une phase), l'ensemble de ces phases étant rassemblé en
une inclusion, et un milieu homogène fictif, qui constitue la matrice. Le caractère d'autocohérence est
assuré par le fait que le comportement mécanique de ce milieu fictif est précisément celui du milieu
homogène équivalent au milieu hétérogène étudié. Le modèle a été défini et développé dans les
travaux [bib1], [bib2], [bib3] et [bib4].
La modélisation du comportement des phases se fait par l'intermédiaire de variables internes qui vont
décrire l'écrouissage du matériau dans les grains, où la plasticité est donnée par la loi de Schmidt au
niveau des systèmes de glissement.
Les grandeurs présentes à l'échelle des grains sont la déformation inélastique, la contrainte engendrée
dans le grain et un certain nombre de variables internes associées à chaque grain. A l'échelle
macroscopique de l'élément de volume, on dispose de la déformation totale, de la déformation
inélastique, de la contrainte (les variables internes sont associées aux grains qui constituent l'élément
de volume).
La présence de deux échelles de modélisation nécessite par conséquent de définir une étape de
changement d'échelle, qui est l'élément essentiel de ce type de modélisation et par lequel les différents
modèles polycristallins se distinguent.
Notations :
E , Ee , Eth , Evp Déformations totale, élastique, thermique et viscoplastique.
ij
ij
ij
ij
vpg
Déformation viscoplastique dans le grain g.
ij
f g
Fraction volumique de matière constituant le grain g.
! s ,
Vitesse de glissement du système s.
!ps ,
Intensité de la vitesse de glissement du système s.
ms , n , l
ij
i
i
Tenseur d'orientation et vecteurs unitaires correspondant respectivement à la
normale au plan qui glisse et à la direction de glissement.
Fs
Fonction seuil.
Xs
Variable d'écrouissage cinématique.
R s
Variable d'écrouissage isotrope.
s
g
,
Cission résolue sur le système s et contrainte dans le grain g.
ij
s
s
1
2s
, q , q
Variables associées aux systèmes de glissement s pour la description de
l'écrouissage dans les grains. q s
1 et q2s représentent l'interaction entre les
systèmes de glissement (dislocation).
hrs
Composantes de la matrice d'interaction entre les dislocations ( hrs = 1 sur la
diagonale pour prendre en compte un auto-écrouissage lorsque les systèmes
sont identiques).
ij
Contrainte macroscopique.
B
g
ij , ij
Variables de localisation, grandeurs assimilables à des déformations (à l'échelle
macroscopique et à l'échelle des grains).
J
3
2
2 (ij )
dev d
ou
d est la partie déviatorique de
2
ij (
ij )
ij
ij .
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2.1
Comportement à l'échelle des grains
2.1.1 Définitions au niveau des systèmes de glissement
Le mécanisme de déformation considéré est le glissement cristallographique. Il convient donc de définir
le comportement mécanique lié à ce mécanisme où l'on suppose qu'un système de glissement s est
actif lorsque sa cission résolue s atteint une valeur critique. Pour un matériau cubique à faces
centrées, il existe 12 systèmes de glissement qui sont définis par leur tenseur d'orientation ms à partir
des définitions cristallographiques de la direction de glissement (définie par le vecteur unitaire l ) et de
la normale au plan qui glisse (définie par le vecteur unitaire n ).
s
g
=
s
s
1
ij : mij m
= n l + l n
ij
2 ( i
j
j
i )
La vitesse de déformation viscoplastique !vpg est définie à partir de la connaissance des vitesses de
glissement ! s pour tous les systèmes de glissement :
vp
! g
s
s
ij
= mij !
s g
2.1.2 Loi de comportement à l'échelle des grains
Les variables internes du comportement local notées s , s et ps permettent de définir l'évolution
de l'écrouissage et de calculer la vitesse de déformation !vpg dans tous les grains. s est associée à
l'écrouissage cinématique et ps est le glissement viscoplastique cumulé.
La formulation viscoplastique retenue dans cette modélisation propose une fonction puissance (par
analogie avec la loi de Norton en fluage) pour définir l'intensité !ps de la vitesse de glissement et
permet d'avoir accès aux dérivées des variables internes à partir de la connaissance de la contrainte
g et des valeurs de variables internes :
Fs n
!ps =| ! s
|=
avec <x>=0 si x<0 et <x>=x si x>0
k
où k et n sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
Fs dépend du seuil initial 0 d'écoulement sur le système de glissement s de la cission résolue s et
de deux variables d'écrouissage Xs et R s . La variable d'écrouissage cinématique Xs permet de
tenir compte des hétérogénéités locales dans les grains dues au développement des dislocations. La
variable d'écrouissage isotrope R s qui rend compte de l'interaction entre les dislocations (par
l'intermédiaire d'une matrice d'interaction de composantes hrs ) peut présenter une valeur de saturation
de l'écrouissage.
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Le critère d'écoulement correspondant à des équipotentielles en viscoplasticité s'écrit :
Fs =| s
- Xs|-
1
2
0 - R s
c
+
( s
x )
2 d
où 0 , c et d sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
Les équations d'état des variables sont les suivantes :
Xs
s
s
s
= c
+ = x +
s
a
a
R s
s
1
2s
= Q
1 rs
h q
+ Q q
2
r s
hrs = rs + h(1- rs ) avec rs= 0 si r s et rs = 1 si r = s
où c , a , Q1, Q2 et h sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
Il reste à définir les lois d'évolution des variables d'écrouissage :
! s = ! s - s !ps
d
!qis b (1- qis s
= i
) !p (i = 1,2)
où d , b1 et b2 sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
2.2
Relation de changement d'échelle
Il s'agit de modéliser les contraintes internes et les hétérogénéités de déformation d'une phase à une
autre pour avoir accès aux grandeurs globales. On note que la déformation totale dans chaque grain
n'est jamais calculée. On s'intéresse à la déformation viscoplastique des phases, qui permet de définir
la déformation viscoplastique du volume élémentaire représentatif du matériau à partir de la
pondération des fractions volumique des phases f g :
vp
Evp
ij
f
g
= g ij
g
Deux relations de localisation sont programmées (suivant la présence ou non des coefficients D et
dans [éq 2.2-2]). La difficulté pour justifier, sur des données macroscopiques de comportement, la
pertinence de la règle de changement d'échelle est évitée en disposant d'une relation [bib5] qui peut
servir de référence car elle valide le caractère d'autocohérence. Cette validation est effective sous
certaines conditions, à savoir : isotropie du matériau, comportement élastique homogène et
chargement monotone :
vp
E
1
3
g
vp
vp
ij
g
ij = ij + µ Eij - ij
= 1+ µ
éq 2.2-1
2
J2(ij )
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La deuxième relation, développée plus particulièrement pour des chargements cycliques [bib6] permet
de donner une bonne description pour schématiser les interactions entre les grains :
g
g
g
ij = ij + µ(Bij - ij )
Bij = f gij
éq 2.2-2
g
!
g
vp
g
vp
vp
g
g
g
ij = !
ij - D(ij - ij
)|| !ij ||
où D et sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
2.3
Equations du modèle
Comportement global :
vp
E
Ee
Eth Evp
Evp
ij
ij
ij
ij
ij
f
g
=
+
+
= gij
g
Comportement intragranulaire :
vp
1
! g
s
s
s
ij
= mij !
ij
m = 2( in lj + lj in)
s g
Fs n
!ps =| ! s
|=
avec <x>=0 si x<0 et <x>=x si x>0
k
Critère :
Fs | s - Xs|-
Rs 1 c
2
0
+
(xs
=
-
)
2 d
s
g
=
s
ij : mij
Xs
s
s
s
s
= c + a = x + a
!
s = ! s
- d s ! s
p
R s
s
1
2s
= Q
1 rs
h q
+ Q q
2
r s
!qis b (1- qis s
= i
) !p (i = 1,2)
hrs = 1
h( - rs ) + rs avec rs = 1 si r = s et rs = 0 si r s
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Relations de changement d'échelle (accessible suivant la présence des paramètres D et ) :
g
vp
vpg
ij = ij + µ ( ij
E
- ij ) ( D et sont absents du fichier de commande [bib5])
vp
1
||E ||
= 1 3
+ µ
ij
2 J2 (ij )
g
g
ij = ij + µ(Bij - ij ) ( D et sont définis [bib6])
vp
vp
vp
B
g
g
g
g
g
g
ij =
f
g ij !ij = !ij - D(ij -ij )||!ij ||
g
Dans le Code_Aster, l'ensemble des paramètres du modèle
D, , n, k, Q , b , h, Q , b , c, d, a
1
1
2
2
peut être fonction de la température.
3
Mise en oeuvre numérique dans le Code_Aster
Le schéma général adopté avec le comportement polycristallin pour intégrer la relation de
comportement est une méthode de Runge Kutta à pas adaptatif [bib7]. Le schéma programmé est
d'ordre 2.
A partir de l'état de déformation E(t) , de la connaissance des variables internes y t = ( s s
ps
( )
,
,
)
et des variables de localisation g (t) à l'instant t, on cherche à trouver, à l'instant t+t la contrainte
macroscopique pour traduire l'équilibre. A partir de l'incrément de déformation totale proposé à
l'étape globale E = E(t + t) - E(t) et d'une hypothèse d'évolution de cette déformation linéaire en
temps, on intègre explicitement les équations différentielles du comportement en contrôlant la précision
par une méthode à pas variable.
On connaît donc Evp (t + t
) , ce qui permet de calculer (t + t
) comme précisé ci-dessous.
3.1
Calcul de la contrainte macroscopique
On calcule la contrainte à partir de la déformation viscoplastique Evp . Celle-ci correspond à la
première grandeur rangée dans le vecteur qui constitue l'ensemble des variables du modèle y .
th
vp
ij = C(Eij - Eij - Eij )
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3.2
Evolution des variables internes et des variables de localisation
Connaissant la cission s (calculée à partir de la contrainte g et des tenseurs d'orientation pour
tous les systèmes de glissement) et les variables internes y dans les grains, on peut calculer les
dérivées des variables !y à partir de l'écriture explicite des équations du modèle et avoir accès aux
vitesses de déformation viscoplastique dans les grains !vpg .
Les variables caractéristiques de la relation de localisation utilisées pour décrire un comportement sous
sollicitations cycliques sont accessibles pour tous les grains à partir des informations de déformation et
de vitesse [éq 2.2-1].
4 Synthèse
Le modèle est accessible dans le Code_Aster en 3D, déformations planes (D_PLAN), contraintes
planes (C_PLAN) et axisymétrie (AXIS) à partir du mot-clé COMP_INCR de la commande
STAT_NON_LINE. L'ensemble des paramètres du modèle est fourni sous le mot-clé facteur POLY_CFC
ou POLY_CFC_FO de la commande DEFI_MATERIAU [U4.23.01].
/
POCY_CFC :
(
DL
:
D
DA
:
N
:
n
K
:
kMPa
TAU_0
:
MPa
0
Q1
:
Q1 MPa
B1
:
b1
HL
:
h
Q2
:
Q2 MPa
B2
:
b2
C1
:
c MPa
D1
:
d (MPa)3
C2
:
a MPa )
Les paramètres D et sont facultatifs. Lorsqu'ils sont présents, la règle de changement
d'échelle utilisée [bib6] est celle de l'équation [éq 2.2-2]. Sinon, on utilise la règle [bib5] de
l'équation [éq 2.2-1] (valable uniquement sous chargement monotone) ; cf. [§2.2].
La sélection du schéma d'intégration de la relation de comportement se fait par l'option
RUNGE_KUTTA_2 de l'opérande RESO_INTE à partir du mot-clé NEWTON de la commande
STAT_NON_LINE.
La méthode ne fournit pas de matrice tangente ; on utilise donc la matrice élastique pour
l'équilibre global ce qui implique que l'utilisateur doit se contraindre à définir un découpage du
pas de temps relativement fin, pour que l'équilibre au niveau global soit facilité.
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Le nombre important de variables internes utilisées dans cette modélisation implique de ne les stocker
qu'au dernier instant de calcul pour permettre les reprises. On utilise alors l'option CHAM_EXCLU du
mot-clé facteur ARCHIVAGE de la commande STAT_NON_LINE avec le seul argument possible
`VARI'. Les variables internes ne sont alors sauvegardées qu'au dernier pas de temps.
5 Bibliographie
[1]
CAILLETAUD G. : "Une approche micromécanique phénoménologique du comportement
inélastique des métaux", Thèse de Doctorat d'Etat de l'Université Paris 6, 1987.
[2]
PILVIN P. : "Approches multiéchelles pour la prévision du comportement anélastique des
métaux", Thèse de Doctorat d'Etat de l'Université Paris 6, 1990.
[3]
CAILLETAUD G. : "A micromechanical approach to inelastic behaviour of metals", Int. J. of
Plasticity, 8, pp. 55-73, 1992.
[4]
PILVIN P. : "The contribution of micromechanical approaches to the modelling of inelastic
behaviour of polycrystals", Int. Conf. on Biaxial / Multiaxial fatigue, France, ESIS/SF2M,
pp. 31-46, 1994.
[5]
BERVEILLER M., ZAOUI A. : "An extension of the self-consistant scheme to plasticity flowing
polycrystal" J. Mech. Phys. Solids, 6, pp. 325-344, 1979.
[6]
PILVIN P. : "Contribution de la simulation numérique au développement de relations de
comportement en Mécanique des Matériaux", Mémoire d'habilitation à diriger des recherches
de l'Université Paris 6, 1995.
[7]
CROUZEIX M., MIGNOT A.L. : "Analyse numérique des équations différentielles", Masson,
1989.
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Annexe 1 Introduction de l'information texture
La texture du matériau intervient dans ce modèle comme une donnée de description fournie une fois pour toutes
dans DEFI_MATERIAU, au même titre que les paramètres matériau. Celle-ci permet de calculer les tenseurs
d'orientation ms en effectuant un changement de repère entre le repère du matériau (repère du laboratoire) et
le repère cristallographique (le repère local) et également d'avoir accès aux fractions volumiques fg de
matériau qui présentent telle ou telle orientation cristallographique.
Cette texture est ainsi définie de la manière suivante :
1, , 2, fg où 1, , 2 sont les angles d'Euler.
On dispose par défaut, d'une description de texture répartie de manière isotrope sur 40 orientations différentes
pour f g = 1/40.
On peut également introduire les résultats de texture obtenus à partir d'une étude expérimentale (diffraction de
rayons X des plans cristallographiques de la structure cubique à faces centrées). On les présente alors sous la
forme d'une succession de 3 angles (angles d'Euler qui correspondent à la mise en coïncidence du repère lié à
l'échantillon et de celui lié au cristal) associés à une fraction volumique. Si l'on retient 40 orientations pour cette
modélisation, le fichier de texture comporte alors 40 lignes correspondant aux 40 orientations les plus
représentées dans l'échantillon de matière analysé.
Pour la modélisation introduite dans le Code_Aster, on ne tient pas compte de l'éventuelle évolution de texture
avec l'écrouissage (hypothèses des petites perturbations), ce qui permet de considérer comme paramètres fixes
les fractions volumiques f g et les composantes des tenseurs ms (6 composantes), définis pour chaque grain
(chaque orientation) et pour les 12 systèmes de glissement principaux de la structure CFC (40*12*6=2880
composantes).
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