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Version
4.0
Titre :
Relation de comportement viscoplastique de Taheri
Date :
08/09/97
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R5.03.05-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document R5.03.05
Relation de comportement viscoplastique de Taheri
Résumé
On présente dans ce document l'implantation de la relation de comportement de Taheri viscoplastique,
disponible pour l'ensemble des éléments isoparamétriques (milieu continu 2D et 3D) à l'exception des
contraintes planes. Après une présentation des équations d'évolution de cette loi, on décrit le système obtenu
par discrétisation implicite ; on montre en particulier qu'il admet toujours une solution.
Ce modèle est bien adapté pour décrire la réponse des aciers austénitiques sous sollicitations cycliques, et
notamment le phénomène de déformation progressive. En revanche, du fait de sa complexité (deux surfaces de
charge, variable interne semi-discrète), il ne paraît pas souhaitable de l'employer pour des applications
différentes (trajet de chargement monotone, par exemple).
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E. LORENTZ
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1
Description du modèle
La relation de comportement proposée par Taheri [bib5] permet de décrire la réponse des aciers
austénitiques sous sollicitations cycliques : elle est en effet bien adaptée pour représenter le
phénomène de déformation progressive. Avant d'énoncer les équations proprement dites, on peut
préciser que ce modèle diffère de la plasticité classique (critère de von Mises avec écrouissage
cinématique et isotrope) par deux particularités, sources de difficultés dans la formulation numérique.
D'une part, l'évolution des variables dissipatives repose sur deux critères de charge au lieu d'un : le
premier, classique, conditionne l'apparition de déformation plastique, le second permet de garder une
trace de l'écrouissage "maximal" atteint par le matériau pour rendre compte du phénomène de rochet.
D'autre part, pour représenter de manière satisfaisante la déformation progressive, une variable interne
semi-discrète a été introduite. Constante lorsque le comportement est dissipatif, elle n'évolue que dans
le régime élastique du matériau. D'apparence originale, ce modèle n'en repose pas moins sur des
bases physiques, toujours exposées dans Taheri [bib5]. Il est accessible, dans une version étendue
viscoplastique (nécessaire pour décrire le comportement sous températures élevées), par la
commande STAT_NON_LINE sous le mot-clé RELATION : VISC_TAHERI.
1.1 Comportement
plastique
Une description détaillée de la loi de comportement est donnée dans Taheri et al. [bib6].
Succinctement, l'état du matériau est décrit par son état de déformation, sa température ainsi que
quatre variables internes :
tenseur de déformation totale
T
température
p
déformation plastique cumulée
p
tenseur de déformation plastique
p
contrainte de pic, mémoire de l'écrouissage maximal
p n
tenseur déformation plastique à la dernière décharge (variable semi-discrète).
Les équations d'état qui expriment les forces thermodynamiques associées en fonction des variables
d'état s'écrivent :
= K Tr( - th) + 2 µ(~ - p)
th
Id
= (T - Tréf )Id
éq 1.1-1
p
a
a
-b p 1-
R
R0 (2
p p
1
éq 1.1-2
3 ) A (
n )
m e
S
=
+
-
D
D
eq
= -
-
p
b p 1-
X
[ p p p
=
S -
S
C
n]
C =
C + C e
1
éq 1.1-3
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~
a
partie déviatorique d'un tenseur a
R
variable d'écrouissage isotrope
X
variable d'écrouissage cinématique
K, µ
modules de compressibilité et de cisaillement
coefficient de dilatation thermique
T réf
température de référence
S
contrainte de rochet
b, R°, A, ,
a m, C , C
autres caractéristiques d'écrouissage du matériau
1
Notons que les modules d'élasticité et le coefficient de dilatation thermique sont renseignés par
l'utilisateur par la commande DEFI_MATERIAU, mot-clé ELAS, tandis que les caractéristiques de
l'écrouissage sont fixés par le mot-clé TAHERI. Ces caractéristiques peuvent dépendre de la
température, en employant les mots-clés ELAS_FO et TAHERI_FO. Précisons également qu'un
exemple d'identification des caractéristiques d'écrouissage sur des situations uniaxiales est donné
dans Geyer [bib2].
L'évolution des variables internes est définie par deux critères. Le premier gouverne la plasticité
traditionnelle à écrouissages cinématique et isotrope combinés :
~
0
X
F = (~ - X) - R 0
et
s
=
-
éq 1.1-4
eq
(~ - X)eq
( )
1
eq
norme équivalente : a
( a~:a~ 2
eq = 32
)
F
critère de plasticité
s0
normale extérieure au critère F
Ce critère est assorti de la classique condition de charge / décharge :
si F < 0 ou s0 0
p = 0
(élasticité
! :
!
)
éq 1.1-5
si
F
= 0 et
s0 0
p 0 tel que
>
!
!F = 0
(plasticité
! :
)
Et la loi d'écoulement associée au critère F est :
3
2
!p =
! 0
p s
et donc
!p =
!p
éq 1.1-6
2
3 eq
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Le second critère gouverne l'évolution de la contrainte de pic. Géométriquement dans l'espace des
déviateurs des contraintes, il traduit le fait que la première surface de charge (F = 0) , représentée par
une sphère de centre X et de rayon R , reste à l'intérieur d'une sphère de centre l'origine et de rayon
p . Il s'écrit simplement :
G = X + R
p
eq
-
0
éq 1.1-7
G critère d'écrouissage maximal
D'après les considérations géométriques précédentes, l'évolution de la contrainte de pic est :
si
G < 0 ou
!X
p
eq + !
R 0
! = 0
éq 1.1-8
si
G = 0 et
!X
p
eq + !
R > 0 ! 0 tel que !G = 0
Il faut remarquer que dans l'état naturel du matériau, la contrainte de pic n'est pas nulle mais vaut la
limite d'élasticité initiale, à savoir :
p(init )
ial
= (1- m) R0
Jusqu'à présent, nous n'avons pas évoqué l'évolution de la variable interne semi-discrète p n . En fait,
elle n'évolue qu'en régime élastique. Plus exactement, cette variable tient compte de l'état de
déformation plastique lors de la dernière décharge ; autrement dit, au début de chaque décharge, cette
variable devrait prendre instantanément la valeur de la déformation plastique actuelle. Toutefois, pour
conserver un comportement continu, on régularise l'évolution de p n de la manière suivante :
En régime élastique :
p
p
p
p
p
si
élasticité classi
)
n =
! = 0
(
que
! = !
n
(n - )
éq 1.1-9
si p
p
(pseudo - déchar )
n
! 0 tq !F = 0
ge
En régime plastique :
!pn = 0
Le comportement est ainsi totalement déterminé. Avant de passer à l'introduction de la viscosité,
l'observation des deux surfaces de charge appelle une remarque importante. On pourrait penser que la
surface G = 0 n'est effectivement activée qu'en régime plastique. En pratique, il n'en est rien. On peut
par exemple citer le cas d'un chargement thermique : un refroidissement entraîne (généralement) une
dilatation de la surface de charge F = 0 , si bien que la contrainte de pic est amenée à évoluer pour
préserver G 0 , et ce même en régime élastique.
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1.2
Prise en compte de la viscosité
Pour modéliser le comportement des aciers inoxydables sous chargement cyclique quand la
température est de l'ordre de 550°C, il n'est plus possible de négliger les termes de fluage. Pour rendre
compte de ces effets de viscosité tout en conservant les propriétés du modèle précédent, une méthode
simple consiste à rendre visqueuse l'évolution de la déformation plastique. Autrement dit, la viscosité
n'intervient qu'en régime plastique : aucune influence directe sur la variable interne semi-discrète ni sur
la surface de charge G = 0. Pour cela, en suivant Lemaitre et Chaboche [bib3], on remplace la
condition de cohérence [éq 1.1-5] par :
N
F
!p =
éq 1.2-1
K p1 M
F
partie positive de F (crochets de Macauley)
K, N, M
caractéristiques de viscosité du matériau
Les caractéristiques de viscosité du matériau sont renseignés dans la commande DEFI_MATERIAU,
soit par le mot-cle LEMAITRE si elles ne dépendent pas de la température, soit par le mot-clé
LEMAITRE_FO dans le cas contraire. En l'absence d'un de ces mots-clés, le comportement est
présumé plastique.
On laisse inchangées toutes les autres équations du modèle. On verra qu'une telle introduction de la
viscosité n'entraîne que des modifications mineures de l'algorithme d'intégration implicite de la loi de
comportement.
1.3
Description des variables internes calculées par le Code_Aster
Les variables internes calculées par le Code_Aster sont au nombre de 9. Elles sont rangées dans
l'ordre suivant :
1
p
déformation plastique cumulée
2
p
contrainte de pic
3 à 8
p n
tenseur de déformation plastique à la dernière décharge
(rangé dans l'ordre xx, yy, zz, xy, xz, yz)
9
indicateur de charge / décharge (cf. [§2.3])
0 décharge élastique
1 charge plastique classique
2 charge plastique à deux surfaces
3 pseudo-décharge
Quant au tenseur des déformations viscoplastiques, il n'est pas rangé parmi les variables internes mais
peut être calculé en post-traitement par l'intermédiaire de la commande CALC_ELEM, options
`EPSP_ELGA' ou `EPSP_ELNO', (cf. [U4.61.02]).
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2
Formulation numérique de la relation de comportement
Afin de pouvoir traiter dans le même cadre la plasticité et la viscoplasticité, on choisit de procéder à une
discrétisation implicite des relations de comportement, (cf. [R5-03-02]). Notons en outre qu'une
procédure d'intégration explicite est délicate pour deux raisons : d'une part, le traitement de la variable
semi-discrète est nécessairement implicite et peut conduire à des oscillations numériques (on
pseudo-décharge, donc on résout F = 0 , et du coup, F peut être (très faible mais) supérieur à zéro,
d'où charge au pas suivant au lieu de poursuivre la décharge), et d'autre part, l'équation [éq 1.1-2] n'est
pas dérivable quand p = p n .
2.1
Discrétisation implicite des équations de comportement
Dorénavant, on adopte la convention de notation suivante. Si u désigne une quantité, alors :
u-
quantité u au début du pas de temps
u incrément de la quantité u au cours du pas de temps
u
quantité u à la fin du pas du temps (pas d'exposant +)
Commençons par introduire la contrainte élastique, c'est-à-dire la contrainte en l'absence d'incrément
de déformation plastique. On peut d'ailleurs remarquer que seul le terme déviatorique joue un rôle dans
la partie non linéaire du comportement :
e =
( - th) + µ(~-p-
K tr
2
) et ~=~e -2µ p
Id
éq 2.1-1
"$#
$ $%
$
~ e
En tenant compte des équations d'état [éq 1.1-1] et [éq 1.1-3] et de la loi d'écoulement [éq 1.1-6], on a :
déf
~
~
-
3
s
X
e
C ( p
p p
0
=
-
=
-
S
- n) - (2µ + CS) p
s
éq 2.1-2
2
En notant que s° n'est autre que s normé, on en déduit immédiatement :
3
~
p -
s + (2 µ + C S) p
s0
e
C
-
p
éq 2.1-3
2
=
- (S
p
eq
n )
"$$$ #
$
%
$$$$
se
Par conséquent, s est entièrement déterminé par :
e
0
0
s
3
s = s s
s =
s
= se
avec
et
-
2 µ
éq 2.1-4
e
eq
eq
( + C S) p
eq
s
2
eq
Finalement, les fonctions de charge sont :
a
a
0
p -
p
3
F = s - D R + (2
0
s
3 ) A
- n +
p
eq
éq 2.1-5
2
eq
a
p-
3
a
p
0
0
2
p -
3
G C S
p
S p
s
D
n
R
(
3 ) A
p
p 0
p
=
-
+
n
s
-
éq 2.1-6
2
+
+
-
+
2
eq
eq
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2.2
Prise en compte des termes visqueux
En l'absence de termes visqueux, la relation de cohérence discrétisée est :
Régime élastique :
F 0 et
p
= 0
éq 2.2-1
Régime plastique :
F = 0 et
p
0
En revanche, en présence de viscosité, la condition de cohérence est remplacée par l'équation
[éq 1.2-1] qui, discrétisée, s'écrit :
1
N
p
F
1 M p
F
= K p
N
=
éq 2.2-2
t
K p1 M
t
Autrement dit, en posant :
1
~
1 M
p
F = F -
K p
N
éq 2.2-3
t
l'incrément de déformation viscoplastique cumulée est déterminé par :
~
Régime élastique :
F 0 et
p
= 0
~
éq 2.2-4
Régime viscoplastique :
F = 0 et
p
0
Finalement, en adoptant une discrétisation implicite, la seule différence entre les lois de comportement
plastique et viscoplastique réside dans la forme de la fonction de charge F : on y observe un terme
complémentaire en cas de viscosité. En fait, la plasticité incrémentale apparaît comme le cas limite
(sans difficulté numérique associée) de la viscoplasticité incrémentale lorsque la viscosité K tend vers
zéro. Notons que cette remarque a déjà été mentionnée par Chaboche et al. [bib1].
2.3
Discrétisation des conditions de cohérence
Avant de discrétiser les conditions de cohérence et décrire les différents régimes de comportement
possibles, une remarque s'impose quant au traitement de la variable semi-discrète. Comme
n'intervient que pour "piloter" pn , on peut toujours se ramener au cours d'un pas de temps à :
p
p -
p -
n
= n + (1 - )
0 1
éq 2.3-1
La valeur de est alors fixée par les conditions de cohérence, ce que traduit l'équation d'évolution
[éq 1.1-9] sur le plan continu. Un tel paramétrage à chaque pas de temps permet de s'affranchir du
stockage de , à condition bien-sûr de conserver les valeurs de pn .
Après cette remarque préliminaire, on peut s'intéresser aux conditions de cohérence. Pour le critère G
qui gouverne l'évolution de la contrainte de pic, la forme discrétisée de la condition de cohérence est :
G( ,p p, ) 0
p 0
p G( ,p p
,)= 0
éq 2.3-2
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La condition de cohérence portant sur F est plus délicate dans la mesure où elle gouverne l'évolution
de la déformation plastique en régime de charge plastique et l'évolution de en régime de décharge.
Une fois discrétisée, elle s'écrit :
En régime de charge plastique ( = )
1 :
F( ,p p, = )1 = 0
p 0
p F( ,p p
, = )1 = 0
éq 2.3-3
En régime de décharge (p = 0) :
F(p ,0 p
,) 0
0 1
F(p ,0 p
=
=
=
,)= 0
éq 2.3-4
Pour pouvoir sélectionner le régime de comportement du matériau, et donc les équations à résoudre, la
première question est :
Sommes-nous en situation plastique ou bien élastique ?
En fait, il existe une solution en régime élastique (pseudo-décharge > 0 ou élasticité classique
= 0 ) si on peut trouver un incrément de contrainte de pic tel que :
Condition incrémentale de décharge (équation scalaire en p ) :
F(p = ,0 p
, = )1 0
éq 2.3-5
G(p = ,0 p
, = )1 0
p
0
p
G(p = ,0 p
, = )1= 0
En cas de charge plastique, c'est-à-dire quand il n'existe pas p satisfaisant [éq 2.3-5], on a alors à
résoudre le système non linéaire en p et p suivant :
Régime plastique (système non linéaire en p et p ) :
F( ,p p
, = )1 = 0
p 0
éq 2.3-6
G( ,p p
, = )1 0
p
0
p
G( ,p p
, = )1= 0
En revanche, en situation élastique, deux choix sont encore possibles : pseudo-décharge ( > 0) ou
élasticité classique ( = 0) . Le second cas étant plus favorable, on commence par examiner s'il n'est
pas réalisable, c'est-à-dire s'il existe un incrément de contrainte de pic tel que :
Condition incrémentale de régime élastique classique (équation scalaire en p ) :
F(p = ,0 p
, = 0) 0
éq 2.3-7
G(p = ,0 p
, = 0) 0
p
0
p
G(p = ,0 p
, = 0) = 0
Enfin, s'il devait s'agir d'une décharge pseudo-élastique, il reste à résoudre le système non linéaire en
et p suivant :
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Décharge pseudo-élastique (système non linéaire en et p ) :
F(p = ,0 p
,) = 0
0 1
éq 2.3-8
G(p = ,0 p
,) 0
p
0
p
G(p = ,0 p
,)= 0
Notons dès à présent que les systèmes non linéaires [éq 2.3-6] et [éq 2.3-8] peuvent se réduire à la
résolution d'une simple équation scalaire si p = 0 permet d'obtenir une solution.
On peut résumer l'algorithme de choix des équations à résoudre par l'arbre de décision ci-dessous.
Charge / décharge
(2.3-5)
Résolution plastique
Elasticité
(2.3-6)
classique / pseudo
(2.3-7)
Résolution
Résolution
élasticité classique
pseudo-décharge
(2.3-8)
Figure 2.3-Erreur! Argument de commutateur inconnu. : Arbre de décision pour choisir le régime de
comportement
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2.4
Encadrement des solutions
A la lecture du paragraphe précédent, on a pu constater la nécessité de résoudre (numériquement) un
certain nombre d'équations scalaires ou de systèmes non linéaires. Pour cela, il est toujours
intéressant de disposer d'un intervalle sur lequel chercher la solution. D'une part, un encadrement de la
solution démontre son existence (ce qui renforce fortement les chances de succès d'un algorithme de
résolution !), et d'autre part, il permet un traitement numérique approprié, donc plus sûr.
Concernant p , un minorant est bien entendu 0. Par ailleurs, la contrainte de rochet S représente
une limite au-delà de laquelle le modèle n'a plus de sens. En fait, à l'examen des constantes matériaux
obtenues par identification, cf. Taheri et al. [bib6], G devient effectivement négatif quand p = S si
l'écart entre la déformation plastique et la déformation plastique à la dernière décharge n'est pas trop
important (quelques %) :
G( ,p p
= ,
S ) = (C
p
p
+ C1 ) ( - n )
S
eq
" #
$ %
$
13
"$ #
$ $ %
$
3%
éq 2.4-1
0
+ (
R
a A
a
1 - m)
+ (2
p p
1
0
3 )
( - n) -
"#%
S
S
eq
0,75
&
"#% " #
$
%
$
20%
0,5
0,7
On peut également chercher un majorant pour p . En examinant l'expression de F :
F( ,p p
,) s
- D R0
eq
3
se
0
eq -
(2 µ + CS)p - D R
éq 2.4-2
2
3
se
- (2 µ + C S
-
0
) p -
(D
max
p ) R
2
On en déduit un majorant pour p , tel que F( ,p p
,) 0 :
se
0
max ( p
)- (
D p-
p
, ) R
p
3
éq 2.4-3
(2 µ + C S
)
2
~e -
-
p -
p
(Cp p
, )
p
-
n
e
p
(S
)
smax ( )
eq
= max
éq 2.4-4
~
e -
p -
C
p
(S
p
-
n )eq
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En particulier, on peut donner un majorant (grossier) de p indépendant de p :
max
se
0
max - (1 - m) R
pmax = 3
éq 2.4-5
(2 µ + C S
)
2
p -
p
-
- p
n
e max
e
[S
]
s
eq
max = eq + (C1 + C )max [
éq 2.4-6
p -
S
- S pn
]eq
On peut alors remarquer que les systèmes [éq 2.3-6] et [éq 2.3-8] admettent toujours une solution. En
effet, si pour chaque système, on écrit respectivement p ( )
p
p et
() les solutions de
G = 0 , alors on a :
· Système non linéaire de charge plastique :
F(p = , p
0 (p = 0), = )
1 0 et F(p , p
max (pmax ), = )
1 0 éq 2.4-7
· Système non linéaire de pseudo-décharge :
F( p ,
p
= 0 ( = )
1 , = )
1 0
et
F( p = , p
0 ( = 0), = 0) 0 éq 2.4-8
3
Méthodes de résolution numérique
La résolution des équations incrémentales nous confronte soit à une équation scalaire non linéaire, soit
à un système non linéaire à deux inconnues. On expose ci-dessous les méthodes numériques
employées. On examine également le calcul de la matrice tangente, éventuellement utilisée par
l'algorithme global de STAT_NON_LINE, (cf. [R5.03.01]).
3.1
Équation scalaire : méthode de sécantes
Il s'agit de résoudre une équation scalaire non linéaire en cherchant la solution dans un intervalle de
confiance. Pour cela, on se propose de coupler une méthode de sécante avec un contrôle de
l'intervalle de recherche. Soit l'équation suivante à résoudre :
f(x) = 0
x [
,
a b] f(a) < 0 f(b) > 0
éq 3.1-1
La méthode de la sécante consiste à construire une suite de points x n qui converge vers la solution.
Elle est définie par récurrence (approximation linéaire de la fonction par sa corde) :
n
n-1
n+1
n-1
n 1
x - x
x
= x
- f(x - )
éq 3.1-2
f(xn) - f(xn-1)
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HI-74/97/019/A
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Version
4.0
Titre :
Relation de comportement viscoplastique de Taheri
Date :
08/09/97
Auteur(s) :
E. LORENTZ
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Par ailleurs, si x n+1 devait sortir de l'intervalle, alors on le remplace par la borne de l'intervalle en
question :
si
x n+1 < a
alors
x n+1 := a
éq 3.1-3
si
x n+
1 > b
alors
x n+1 := b
En revanche, si x n+1 est dans l'intervalle courant, alors on réactualise l'intervalle :
si
x n+
1
[
a,b] et f(xn+1)< 0
alors
a := x n+1
éq 3.1-4
si
x n+1 [
a,b] et
1
1
f(xn+ )> 0
alors
b := x n+
On considère avoir convergé lorsque f est suffisamment proche de 0 (tolérance à renseigner). Quant
aux deux premiers points de la suite, on peut choisir les bornes de l'intervalle, ou bien, si on dispose
d'une estimation de la solution, on peut adopter cette estimation et l'une des bornes de l'intervalle.
3.2
Systèmes non linéaires : méthode de Newton et recherche linéaire
On présente ici une méthode de Newton à laquelle on a associé une technique de recherche linéaire et
un contrôle de la direction de descente pour ne pas quitter le domaine de recherche (bornes sur les
inconnues).
Soit le système non linéaire suivant :
F(x, y) = 0
xmin x xmax
avec
éq 3.2-1
G
(x, y) = 0
y
min y ymax
Si (x, y) est un point du domaine de recherche, alors on construit une suite de points (xn yn
,
) qui
converge vers une solution (ou du moins, on l'espère) par le procédé suivant.
· Détermination de la direction de descente
Une direction de descente (x,y) est donnée par la résolution du système linéaire 2 x 2 :
Fn Fn x
n
,x
,y
F
éq 3.2-2
Gn
Gn y = -
n
,x
,y
G
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· Correction de la direction de descente
On corrige la direction de descente (x,y) de telle sorte que les points envisagés soient
dans le domaine de recherche (avec max la longueur maximale qu'on s'autorise à décrire le
long de la direction de descente) :
xmin - x
xmax - x
si x +
x
max < x
x
min
:=
si x +
x
max > x
x
max
:=
max
max
y
éq 3.2-3
min - y
ymax - y
si
y +
y
max < y
y
min
:=
si y +
y
max > y
y
max
:=
max
max
· Recherche
linéaire
Il ne reste plus qu'à minimiser la quantité E = (F2 + G2 ) / 2 dans la direction de descente.
Notons que la norme E que l'on minimise ainsi est une mesure de l'erreur commise dans la
résolution du système : elle est nulle quand (x, y) est solution du système [éq 3.2-1]. Pour
minimiser E , on va simplement chercher à annuler sa dérivée, c'est-à-dire résoudre
l'équation scalaire :
[E(x + x,y + y)] = 0 et 0
éq 3.2-4
max
"$$$ #
$ $$$ %
$
(FF +GG
,x
,x )x +(F F +G G
,y
,y )y
· Critère de convergence
On considère avoir convergé lorsque l'erreur E est inférieure à une grandeur prescrite. Par
ailleurs, si la norme de la direction de descente devient trop faible (autre grandeur à
renseigner), on peut penser que l'algorithme ne parvient pas à converger.
3.3 Critères
d'arrêt
Jusqu'à présent, les valeurs d'arrêt et les nombres d'itérations maximaux des méthodes de résolution
précédentes n'ont pas été précisés. Il faut distinguer deux cas.
· Lorsqu'on cherche à vérifier les conditions de cohérence (équation scalaire ou système non
linéaire suivant la situation), on attend des résultats précis, dont la tolérance relative est
fixée par l'utilisateur dans la commande STAT_NON_LINE sous le mot-clé RESI_INTE_RELA,
(cf. [U4.32.01]). Selon que l'on cherche à résoudre F = ,
0 G = 0 ou simultanément
F = G = 0 , le critère d'arrêt s'exprime respectivement :
F
G
F2 G2
1
ou
+
ou
R0
R0
R0
2
R0 limite d'élasticité initiale, fournie par l'utilisateur, cf. [§ 1.1].
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Par ailleurs, l'utilisateur spécifie un nombre d'itérations maximal toujours dans la commande
STAT_NON_LINE sous le mot-clé ITER_INTE_MAXI, (cf. [U4.32.01]).
· Lorsqu'on effectue des itérations de recherche linéaire, on cherche à obtenir une convergence
plus rapide (ou au moins plus sure). Il ne faut pas pour autant y consacrer un temps excessif.
C'est pourquoi on a fixé une fois pour toute un nombre d'itérations maximal égal à 3, une
borne maximale max égale à 2 et un critère d'arrêt relatif de 1 % :
[E(x + x,y + y)]
-
10 2
[E(x + x,y + y)]
=0
3.4 Matrice
tangente
Dans l'optique d'une résolution des équations d'équilibre (globales) par une méthode de Newton, il est
indispensable de déterminer la matrice consistante du comportement tangent, (cf. Simo et al. [bib4]).
Cette matrice se compose classiquement d'une contribution élastique et d'une contribution plastique :
e
p
=
- 2 µ
éq 3.4-1
On en déduit immédiatement qu'en régime élastique (classique ou pseudo-décharge), la matrice
tangente se réduit à la matrice élastique :
Régime élastique :
e
=
éq 3.4-2
En revanche, en régime plastique, la variation de la déformation plastique n'est plus nulle. Les règles
de dérivation composée permettent d'obtenir :
p
0
3
p
3
p
p
3
0
s
0
0
0
=
s
+ p
s
Id
s
s éq 3.4-3
=
+
-
~e
2
~e
~e
2
~e se
2
eq
produit tensoriel
~
On peut noter qu'on a préféré dériver par rapport à e , sachant qu'on a :
p
p ~e
p
S S
=
= 2 µ P
avec
P
éq 3.4-4
~ .
e
~ .
:
e
' ~
S espace des tenseurs symétriques
P projecteur sur les déviateurs
Finalement, il ne reste plus qu'à calculer la variation de p . Pour cela, il faut distinguer s'il s'agit d'un
régime de plasticité classique ( p = 0) ou de plasticité à deux surfaces. Ainsi :
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Plasticité classique : F( , ~
p e )= 0
F e , ~ e
e
e
e
p
p
F
,~
, p ( , ~
p ) p
= - F e p
= -
éq 3.4-5
,~
( , ~ ) ~
( )
~
e
F
e
,p ( , ~
p )
Plasticité à deux surfaces : F( , p, ~e ) 0 et G( , p
, ~
p
p
e
=
)= 0
F p
F
,
,~
e
F
F p p
F
G
e
p
G
, p
e
,
,~
e
p
,
,~
=
G
G
p =
-
éq 3.4-6
e
p
G
. ~
~
,p
e
F
F
,
,~
,p
, p
G
G
, p
, p
Un examen attentif des expressions [éq 2.1-5] et [éq 2.1-6] permet de constater que les variations de
F
~
et G par rapport à e ne sont pas nécessairement colinéaires à s °. En tenant compte de
[éq 3.4-3], on en déduit alors que la matrice tangente n'est en général pas symétrique en régime
plastique. Plutôt que d'imposer l'emploi d'un solveur non symétrique, beaucoup plus coûteux en temps
calcul, on préfère symétriser cette matrice.
3.5 Contraintes
planes
Le traitement des contraintes planes rajoute une équation non linéaire à résoudre, couplée aux
systèmes [éq 2.3-6] et [éq 2.3-8], (cf. [R5-03-02]). Devant cette difficulté non négligeable et l'absence
de besoin manifesté, on a préféré ne pas offrir la possibilité de forcer un état de contraintes planes au
niveau de la loi de comportement. Autrement dit, la modélisation C_PLAN n'est pas disponible pour la
loi de comportement VISC_TAHERI.
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4 Bibliographie
[1]
J.L. Chaboche, G. Cailletaud, 1996. Integration methods for complex plastic constitutive
equations. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., n° 133,pp. 125-155
[2]
Ph. Geyer, 1992. Étude du modèle de comportement élasto-plastique pour le chargement
cyclique développe à EDF/DER/MMN. Note interne EDF/DER, HT-26/92/39/A.
[3]
J. Lemaitre, J.L. Chaboche, 1988. Mécanique des matériaux solides. Dunod.
[4]
J.C. Simo, R.L. Taylor, 1985. Consistent tangent operators for rate-independent
elastoplasticity. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., n° 48, pp. 101-118.
[5]
S. Taheri, 1990. Une loi de comportement uniaxiale en élastoplasticité pour le chargement
cyclique. Note interne EDF/DER, HI-71/6812.
[6]
S. Taheri, Ph. Geyer, J.M. Proix, 1995. Three dimensional elastic-plastic constitutive law for
the description of ratchetting of 316 stainless steel. Note interne EDF/DER, HI-74/95/012/0.
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