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Relation de comportement élasto-viscoplastique du LMARC
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.10

Relation de comportement élasto-viscoplastique
du LMARC pour les tubes de gaine du crayon
combustible

Résumé :
Un modèle a été développé au LMA-RC de l'université de Besançon (Laboratoire de Mécanique Appliqué R.
Chaléat) pour décrire le comportement élasto-viscoplastique des tubes de gaine du crayon combustible. Il
permet la prise en compte de la forte anisotropie mécanique des tubes en Zircaloy 4.
Il est implanté dans le Code_Aster sous le nom de LMARC ; les équations en vitesse sont intégrées
numériquement par un schéma implicite d'Euler dans l'environnement PLASTI.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Formulation du modèle .......................................................................................................................... 3
2.1 Cadre théorique............................................................................................................................... 3
2.2 Description des tenseurs d'anisotropie............................................................................................ 5
2.3 Equations du modèle....................................................................................................................... 6
2.4 Relation LMARC.............................................................................................................................. 7
3 Implantation du modèle dans le Code_Aster ......................................................................................... 7
3.1 Algorithme de résolution du problème quasi-statique ..................................................................... 7
3.2 Environnement PLASTI................................................................................................................... 9
3.3 Discrétisation des équations du modèle........................................................................................ 10
3.4 Opérateur de comportement tangent ............................................................................................ 11
4 Bibliographie ........................................................................................................................................ 12
Annexe 1 Expression du Jacobien des équations élastoviscoplastiques intégrées ............................... 13
Annexe 2 Evaluation de l'opérateur tangent cohérent MC ................................................................... 16
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1 Introduction
Les tubes de gaine en Zircaloy du crayon combustible des centrales REP présentent un comportement
mécanique anisotrope et fortement visqueux. Un modèle phénoménologique a été développé au
LMA-RC de Besançon [bib1] pour obtenir une description fine du comportement du matériau en vue
d'évaluer des états de contraintes réalistes en situation d'Interaction Pastille-Gaine (IPG).
Etant donnée la texture cristallographique des tubes, on fait l'hypothèse d'orthotropie. Le modèle a été
confronté aux résultats expérimentaux sur des tubes de gaine en Zircaloy 4 dans différents états
métallurgiques et soumis à des chargements uni et multiaxés [bib1], [bib2], [bib3]. Le modèle est
destiné en premier lieu à être utilisé dans le cadre du couplage entre le Code_Aster et le code du
crayon combustible CYRANO3. Il pourrait cependant être utilisé pour d'autres matériaux métalliques
présentant un comportement mécanique viscoplastique orthotrope.
Le modèle est introduit dans le Code_Aster en 3D, déformations planes (D_PLAN), et axisymétrie
(AXIS) sous le nom de LMARC. Il s'agit d'un modèle viscoplastique unifié à variables internes : la
déformation viscoplastique cumulée et trois variables d'écrouissage cinématique.
La prise en compte de l'anisotropie s'effectue par quatre tenseurs d'ordre 4 affectant les grandeurs
mécaniques équivalentes mais aussi les lois d'évolution des variables internes.
On présente dans cette note les équations constitutives du modèle et son implantation dans le
Code_Aster.
2
Formulation du modèle
2.1 Cadre
théorique
Le modèle de comportement développé au LMA-RC s'inscrit dans le cadre de la thermodynamique des
processus irréversibles et de la mécanique des milieux continus. Il s'agit d'un modèle
élastoviscoplastique unifié, c'est-à-dire que les déformations inélastiques dépendantes ou
indépendantes du temps sont regroupées en un seul terme. En considérant l'hypothèse des petites
perturbations, on scinde le tenseur des déformations en une partie élastique, une partie thermique et
une partie viscoplastique :
= e + th + vp
La partie élastique est donnée par la loi de Hooke, l'anisotropie de comportement pouvant être négligée
dans ce cas. La notion de surface de charge utilisée en plasticité est remplacée par une famille de
surfaces équipotentielles : ce sont les surfaces de l'espace des contraintes en chaque point desquelles
le module de la vitesse de déformation est le même (la dissipation est la même) [bib4]. Etant donnée la
texture des tubes de gaine du crayon combustible, on peut faire l'hypothèse d'orthotropie du
comportement mécanique et on utilise une formulation du type Hill pour décrire les surfaces
équipotentielles :
3
f =
ij
ij
ijkl kl
kl
R

R
2 ( ~ - X ) M
(~ -X )- 0 = -X - 0
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~
1
= - tr ( ) I d
est la partie déviatorique du tenseur des contraintes.
3
X
une variable d' écrouissage cinématique (tensorielle).
M
tenseur d' ordre 4 pour la description de l' anisotropie
(avec la formulation de Hill, seuls 6 coefficients sont indépendants).
0
R
limite d' élasticité initiale.
La direction d'évolution du tenseur de déformation viscoplastique est donnée par la règle de normalité
aux surfaces équipotentielles :
vp
f
!ij = !v ij
v représente la déformation viscoplastique cumulée, obtenue à partir de l'équation d'état dont la
formulation a été établie expérimentalement au LMA-RC [bib1] :
n

f
!v = ! sinh
0



K


avec s
x = 0 i x 0 et x = x si x 0
Pour définir entièrement le modèle, il reste à donner les équations d'évolution des variables
d'écrouissage représentant l'état de contrainte interne du matériau qui s'oppose à la déformation
(contraintes induites par les interactions à différentes échelles entre les dislocations mobiles et la
sous-structure). L'écrouissage de nature cinématique est décrit dans le modèle par l'intermédiaire de
trois variables non linéaires.

m




2
vp
1

X
X
!X
mn




ij = p
Y (v)
( )
Nijkl ! - Q
kl
ijkl

3
(X -X
kl
kl ) !v
r sinh
N R
m
ijkl
klmn



-

X0
X





( )
2
! 1

1
2

X
vp
ij = p
Y
1
(v)
( )
( )
Nijkl ! - Q
kl
ijkl
3
(X -X
kl
kl ) !v





(2)
2
!

2

X
vp
ij
= p
Y
2
(v)
( )
Nijkl ! - Q
X
kl
ijkl
kl

!v

3




3
avec
X =
X R
X
2
ij
ijkl
kl
Xij ( )
( )
0 = X 1
ij ( )
(2)
0 = Xij ( )
0 = 0
(
Y ) = Y
- v
v
+ (Y0 - Y )e b
(
Y v) permet de décrire le durcissement ou l'adoucissement sous chargement cyclique.
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Ces équations comportent pour chacune des variables d'écrouissage cinématique un premier terme
d'écrouissage cinématique linéaire par rapport à la déformation et un deuxième terme de restauration
dynamique. Enfin, la première équation comporte un troisième terme de restauration statique pour
prendre en compte les effets dépendants du temps.
Pour la description de l'anisotropie, on distingue une anisotropie intrinsèque à la structure du matériau
(forme des équipotentielles) et une anisotropie supplémentaire induite par l'écoulement viscoplastique.
L'anisotropie est introduite dans le modèle du LMA-RC par le biais de tenseurs d'ordre 4 dans les
relations entre les différentes variables tensorielles. L'anisotropie induite par l'écoulement
viscoplastique est traduite dans les lois d'évolution des variables d'écrouissage. Les termes de ces
équations sont reliés à des mécanismes de déformation différents dans le matériau : écrouissage
cinématique linéaire, restaurations dynamiques et statiques. La prise en compte de l'anisotropie induite
par la déformation viscoplastique est donc faite par l'introduction de trois tenseurs distincts N, Q et R .
Nota Bene :
Le modèle proposé par le LMA-RC [bib2] est sans seuil. La limite d'élasticité initiale R0 a été
rajoutée lors de l'intégration dans le Code_Aster pour élargir les possibilités du modèle. Il suffit
de considérer une valeur nulle pour travailler avec un modèle sans seuil.

2.2
Description des tenseurs d'anisotropie
Pour simplifier les écritures, on utilise par la suite une notation matricielle, image de la notation
tensorielle intrinsèque dans un repère orthonormé. De plus, on utilise des notations d'un ordre inférieur
(tenseur 2 = vecteur, tenseur 4 = matrice), de façon à s'identifier à ce qui est dans le code. Du fait de la
symétrie des tenseurs d'ordre 2 manipulés, on les réduit à des vecteurs (1 x 6) en multipliant les
composantes de cisaillement par racine de 2.
t = [1 = 11, 2 = 22, 3 = 33, 4 = 2 12, 5 = 2 13, 6 = 2 23]
t = [1 = 11, 2 = 22, 3 = 33, 4 = 2 12, 5 = 2 13, 6 = 2 23]
Selon les coordonnées cylindriques liées au tube, on considère par la suite 11 = rr, 22 = , 33 = zz.
Comme nous l'avons mentionné dans le premier chapitre, étant donné la texture cristallographique des
tubes, on peut faire l'hypothèse d'orthotropie et confondre les axes d'anisotropie avec les axes
matériels. Les conditions de symétrie qui en résultent conduisent à neuf composantes indépendantes
pour chacun des tenseurs d'anisotropie. L'incompressibilité de l'écoulement viscoplastique se traduit
par trois relations supplémentaires et le nombre de composantes indépendantes est réduit à six [bib1].
Avec la notation matricielle, chacun des quatre tenseurs prend une forme identique à celle de M soit :
M
M
M
11
12
13
0
0
0

M
M
M

12
22
23
0
0
0

M11+ M12 + M

13 = 0
M
M
M
13
23
33
0
0
0


M =
avec M12 + M22 + M23 = 0
0
0
0
M

44
0
0

M13+ M23+ M

33 = 0
0
0
0
0
M
0



55

0
0
0
0
0
M

6
6
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Pour retrouver la version isotrope du modèle, il faut prendre les valeurs suivantes pour les quatre
tenseurs :
2
1
M
= M = M = , M = M = M = - et M = M = M = .
11
22
33
12
13
23
44
55
66
1
3
3
Expérimentalement, on ne peut pas atteindre dans notre étude les composantes 44, 55 et 66 qui
correspondent à des essais de cisaillement. Dans le cadre du travail de thèse réalisé au LMA-RC,
seule la composante 66 a été déterminée par des essais de traction-torsion, les deux dernières (r et
rz) ne pouvant être atteintes à cause de la faible épaisseur des tubes.
Etant donné les considérations précédentes, seules les composantes 11, 22, 33 et 66 sont mises en
lecture du fichier de commande, les autres composantes étant soit déterminées à partir des équations
dues à l'incompressibilité plastique, soit prises égales aux valeurs isotropes pour les composantes de
cisaillement.
Nota Bene :
Les notations matricielles utilisées dans les références [bib 1, 2 et 3] sont celles de Voight.
Seuls les termes de cisaillement sont influencés ; la conversion pour travailler avec les
notations du Code_Aster est obtenue à l'aide des formules suivantes (i = 4,5,6) :

1
1
M =
MVoight , Q = QVoight , N = 2 NVoight et R =
RVoight
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
2
2
2.3
Equations du modèle
= e + th + vp
= A (T) e
3
f =
(~ - X)t M (~ - X) - R0 = ~ - X - R
2
0
~
vp
f
3
M ( - X)
! = v!
=
v

!
2
~ - X
si f ,
0
( )
1
(2)
v! = ,
0 !X = !X
= !X
= 0
si f > ,
0
n
2
vp t
-1 vp

f
v! = !0
(! ) M ! =

!0 sinh
3


K





X m
!
2


X
X =

p
Y (v)
vp
( )
N ! - Q
1
rm sinh

N R
3
(X-X ) v!



-

X0





X
( )
!
2
2
X 1 =

p
Y
1
2
2
2
1
(v)
vp
( )
( )
N ! - Q

3
(X -X ) ( )
v
p
Y
!
!X
2
(v)
vp
( )
N !
Q X
v!




=
-

3


avec
(
3
Y v) =
-bv
t

Y + (Y0 -
Y )e
X =
X R X
2
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Nota Bene :
Dans le Code_Aster, l'ensemble des paramètres du modèle
R , ! , K, n, Y , b X , r , m, p, p , p
0
0

0
1
2 , M , N , Q , R (i
m
ii
ii
ii
ii
= 1, 2, 3, )
6 peuvent
être fonction de la température.
2.4 Relation
LMARC
Le modèle est accessible dans le Code_Aster en 3D, déformations planes (D_PLAN), et axisymétrie
(AXIS) à partir du mot-clé COMP_INCR de la commande STAT_NON_LINE. L'ensemble des
paramètres du modèle est fourni sous le mot-clé facteur LMARC ou LMARC_FO de la commande
DEFI_MATERIAU [U4.23.01].
/
LMARC : (
R_0
:
R0
DE_O
:
0
N
:
n
K
:
K
y_0
:
yo
y_I
:
y
B
:
b
A_0
:
X0
RM
:
rm
M
:
m
P
:
p
P1
:
p1
P2
:
p2
M11
:
M11
N11
:
N11
M22
:
M22
N22
:
N22
M33
:
M33
N33
:
N33
M66
:
M66
N66
:
N66
Q11
:
Q11
R11
:
R11
Q22
:
Q22
R22
:
R22
Q33
:
Q33
R33
:
R33
Q66
:
Q66
R66
:
R66
)
3
Implantation du modèle dans le Code_Aster
3.1
Algorithme de résolution du problème quasi-statique
On cherche à vérifier l'équilibre de la structure à chaque instant. Sous forme incrémentale, il s'agit d'un
problème non linéaire dont la formulation variationnelle dans le cas des petites déformations peut se
mettre sous la forme :
Trouver u tel que :

cinématiquement

((u + u
), t) () d = L(t)

admissible et t
Bu = ud


(t)
u désigne le champ de déplacement, Bu
ud
=
(t) correspond aux conditions aux limites en
déplacement et L(t) est le chargement à l'instant t .
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On est donc conduit à résoudre, pour chaque incrément de temps t :
Ft+t (u + u
t
) = 0 en partant d'un état à l'équilibre F

= 0
0
u
étant l'incrément de la solution u sur t
, ut étant connu
Le schéma général adopté par Aster pour résoudre ce système global discrétisé est une méthode de
Newton [bib5] qui s'écrit, k étant l'indice d'itération :
F d

( u
k ) = -F( u
k )
u
k

u
+1 = u
+ d
k
k
( u
k )
Ce schéma nécessite, à partir de l'estimation des déplacements à l'itération k , de calculer en chaque
point de Gauss :
t t
+ qui vérifie la loi de comportement

MCt+ t =

l'opérateur de comportement tangent
t+t


F

T

= K = K avec K =

B
Bd



u
e
e







e


e

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3.2 Environnement
PLASTI
Il est donc nécessaire, à chaque itération globale et en chaque point de Gauss, d'intégrer les équations
du modèle décrites en [§2.3] pour le calcul de t+t et de calculer l'opérateur de comportement
tangent.
Un environnement a été créé dans le Code_Aster dans le but de paramétrer l'implantation de modèles
élastoviscoplastiques présentant une fonction seuil (domaine d'élasticité).
Cet algorithme :
· gère les choix d'intégration élastique ou (visco) plastique,
· propose différentes routines pour aider à la résolution du système non linéaire (local) formé
par les équations du modèle,
· met à jour les variables en fin d'incrément,
· appelle les routines utilisateur pour le calcul de l'opérateur de comportement tangent.
La démarche pour implanter un nouveau modèle peut se schématiser de la manière suivante :
Ecriture des équations du modèle en vitesse
!y = F(y,t)
Choix d'un schéma d'intégration
Ecriture du système discrétisé R
( y) = 0
Ecriture des routines propres au modèle :

· récupération des données matériaux,

· évaluation de la fonction seuil,

· évaluation de l'opérateur de comportement tangent
· routine pour la résolution du système R
( y) = 0
(l'algorithme propose une méthode de Newton pour un
système non linéaire implicite).
+ Modification des routines d'aiguillage de l'algorithme
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3.3
Discrétisation des équations du modèle
Si l'incrément de temps correspond à un chargement élastoviscoplastique, on utilise un schéma
implicite d'Euler que l'on résout par une méthode de Newton.
Sous forme discrétisée, le système d'équations s'écrit :
(

f

g) - H
-
v

= 0
t+t





t+t
(
2
f

l) X-

p
Y (v) N
(
Q X X1)
v



3



-
-


t +t

m




X
X

+ r
sinh

N R
t
m
= 0

X0





X
t

+t
(
2
f

i) X1-

p
Y
1
(v) N
Q (X X
1
2 )
v
=


0
3



-
-



t+ t

(
2
f

j)X2-

p
Y
2
(v) N
Q X
v

2



0
3



-


=
t + t


n
(

f
k) v
-

0! sinh

t


= 0
K



avec Y(v) = Y
-
+ (Y0 - Y ) e bv

3
t
X =
X R X
2
De manière plus contractée, on pose :
g ( y
)





l
( y
)


X
F l ( y
) = 0 = i ( y
)
avec
y
= X



1
j
( y
)


X2



k
( y
)
v



On résout ce système par la méthode de Newton proposée dans l'environnement PLASTI, soit :
Fl

d ( y
l
k ) = -F ( y
k )
y
k
y
+1 = y
+ d
k
k
( y
k )
En itérant en k jusqu'à convergence.
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La résolution nécessite le calcul du Jacobien du système local F l . On donne son expression générale
ci-après ; les calculs analytiques bloc par bloc sont donnés en annexe (cf. [§An1]).
g
g
g
g
g


X X

1
X2 v




l
l
l
l
l




X X1 X2 v

i
i
i
i
i
J =


X X1 X2 v


j
j
j
j
j


X X

1
X2 v


kT
kT
kT
kT
k


X X

1
X2 v


3.4
Opérateur de comportement tangent
Le système formé des équations du modèle écrit sous forme discrétisée (Fl( y
) = )
0 est vérifié en
fin d'incrément. Pour une petite variation de F l , en considérant cette fois comme variable et non
comme paramètre, le système reste à l'équilibre et on vérifie dF l = 0 , c'est-à-dire :
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl

+

+
X+
X1+
X2 +
v

= 0



X

X1
X2
v

Ce système peut encore s'écrire :




H




X
0
F l




( y
) = X , avec y
= X et
1
X = 0
y




X2
0
v




0
Par substitution et élimination successives (cf [§An2]), on en déduit que :
K = H
d'où l'opérateur tangent recherché :



C
-1




M
K H



=
=
t+t
Les équations précédentes montrent que l'on est conduit à réutiliser la même matrice jacobienne J
que précédemment pour évaluer l'opérateur tangent. Cet opérateur est dit cohérent (sous-entendu
avec le système d'intégration) et encore noté MC .
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Dans le cas des modèles élastoplastiques, on peut aussi calculer l'opérateur tangent dit en vitesse
(MV) à partir des équations du modèle en vitesse [bib7].
4 Bibliographie
[1]
ROBINET P. : Etude expérimentale et modélisation du comportement viscoplastique
anisotrope du Zircaloy 4 dans deux états métallurgiques, Thèse de l'Université de Franche
Comté, 1995
[2]
DELOBELLE P., ROBINET P., : Etude du comportement et de la modélisation viscoplastique
du Zircaloy 4 recristallisé sous chargements monotones et cycliques uni et multiaxés, J. Phys.
III, 4, 1994, 1347
[3]
LE PICHON I., GEYER P., : Modélisation du comportement viscoplastique anisotrope des
tubes de gainage du crayon combustible, note EDF-DER, HT-B2/95/018/A, 1995
[4]
LEMAITRE J., CHABOCHE J.L., : Mécanique des matériaux solides, Ed. Dunod, 1985
[5]
MIALON P., LEFEBVRE J.P., Algorithme non linéaire quasi-statique, note EDF-DER,
HI-75/7832 [R5.03.01]
[6]
SHOENBERGER P., Introduire une nouvelle relation de comportement non linéaire,
[D5.05.01], à paraître
[7]
SHOENBERGER P., Intégration de la relation de comportement de Chaboche [R5.03.04],
à paraître
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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3.0
Titre :
Relation de comportement élasto-viscoplastique du LMARC
Date :
11/07/96
Auteur(s) :
P. GEYER
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Annexe
1
Expression du Jacobien des équations
élastoviscoplastiques intégrées

Soit donc à évaluer les termes de l'hypermatrice jacobienne J à l'instant t + t

g
g
g
g
g


X X

1
X2 v




l
l
l
l
l




X X1 X2 v

i
i
i
i
i
J =


X X1 X2 v


j
j
j
j
j


X X

1
X2 v


kT
kT
kT
kT
k


X X

1
X2 v


g
2 f
g

2 f
= I + H

v

= H

v



2
X
X
t+t
t+ v

g
g
g
f
=
= 0
=

H
X1 X2
v




t+ t
l
2
2 f
= - p Y (v)

N

v



3
2 t+ t
l
m
2
2 f



X
N R
= I- p Y (v)

N

v
+ (pQ)
v
+ r
sinh

t

X
3

X
t+t
m

X0

X
t+t
t+ t



t+

t
m




T
X 1
m
m




R X
m 1
X
3
-
(
)
+ - r sinh

+ r
cosh


m
X


N R X
t

X
m
2


0
X
m




X
X
2
0
0


X

t +t
t+ t

l

= -(
l
p Q)
v

= 0
X
t+ t
1

X2
l
2
f

Y

= - p N
Y

t +t (v)
v + p Q (X- X1)
v

3


+





v
t+ t
t+ t
t + t


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i
2
2 f
= - p Y
1
(v)
N

v



3
2 t+ t
i
2
2 f
= - p Y
1
(v)

N


X
3

X
v
t+ t
i = I +(p1Q)

v

X
t+t
1
i = -(p1Q) v
X2
i
2
f

Y

= - p N
Y

1 Q ( 1
X - X2)
1
t+ t (v)


v

+ p
v

3


+
t+ t

+



v
t t
t+t

2
2
j
2
f
j
2
f
= - p Y v

v

p Y v

2
( ) N
= -
( ) N
v

2
2

3

X
3
X
t+ t

t+ t

j
j
= 0
= I + ( 2
p Q)
v

1
X
X2
t+t
j
2
f

Y

= -

+ (p2 Q X2)
2
p N
t
Y t (v)
v

v

3


+
+ v
t+
t+t





t + t


t
k


f n-1 1
f
f
k
= -


n 0!


sinh
cosh





t
K



K


K
= - X
t +t
k
k
k
=
= 0
= 1
X1 X2
v

avec I la matrice d'identité.
Il apparaît dans les expressions précédentes les dérivées premières et secondes de l'expression des
surfaces équipotentielles f par rapport à et X . On donne ci-après leurs évaluations :
f
3
(~ - X)
= M
2
~ - X
2 f
1

f
f T 3
=

M
X
~ - X



-

2


2 f
1
3
f
f T
=
2
M d -


~ - X 2










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avec d tenseur unité dans l'espace des déviateurs :
2
1
1
-
-


0 0

0
3
3
3
1
2
1

-
-
0 0

0
3
3
3

d = 1
1
2
-
-


0 0 0
3
3
3

0
0
0
1 0 0


0
0
0
0 1 0

0
0
0
0 0 1
Remarque :
Pour des exemples détaillés de calculs de ces expressions, on se reportera à la référence
[bib7].

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Annexe 2 Evaluation de l'opérateur tangent cohérent MC
En considérant comme variable dans le système discrétisé, on peut écrire :
g
g
g

0
0

X
v

l
l
l
l
d



H d

0

X X1
v




d X
0
i
i
i
i
i





X 0

X X
1 =
1
X2
d
v







j
j
j
j
d X2


0


0

X
X

0
2
v

d v





k T
kT
k




0
0

X
v

En opérant par éliminations et substitutions successives, le quatrième bloc du système d'équation
donne :

j
1
-

j
j
j

d X = -

d
2
+
d X+
d v

X2
X
v



En posant :
i j -

1
B =


X
2 X
2
et en remplaçant d X
2 dans les deuxième et troisième bloc du système d'équations, on obtient :
l
l
l
l
d

d X
d X1+
d v





0

+


+ X1



v

=
X
éq An2-1
i
j
i
j
i
- B
d

B
d X
d




X



+
-



X
X
+ X
1
1
éq An2-2
i
j
+
- B
d v





0
v

v

=
l'équation [éq An2-2] donne :

i
1
-


i
j
i
j
i
j

d X = -

- B
d
1

B
d X

B
d v

X





+
-







+
-






1



X
X
v

d v



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En posant :

l i -

1
C =


X X
1
1
et en remplaçant d X
1 dans l'équation [éq An2-1], on obtient :
l
i
j
- C
- B
d











l
i
j
+
- C
- B
d X
éq An2-3

X

X
X
l
i
j
+
- C
- B
d v

0

v




v

v

=
Le cinquième bloc du système d'équation donne :
k -1 k T
k -

1 kT
d v
= -
d
d




X
v

-




v
X
En posant :
l
i
j k
F =
- C
- B

v




v

v
v

et en remplaçant d v
dans l'équation [éq An2-3], on obtient :
l
i
j
kT

- C
- B
F
d









-




éq An2-4
l
i
j
kT
+
- C
- B
F
d X = 0
X



X
X -




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Page :
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En posant :
l
j
i
j
kT
D =
- A
- C
- B
F











-

et
l
j
i
j
kT
E =
- A
- C
- B
F

X
X



X
X - X
l'équation [éq An2-4] s'écrit :
D d + E d X = 0
d'où en remplaçant d X
et d dans le premier bloc du système d'équation, on obtient :

g
g k -1 kT g
g k -1 kT

-1

-

-
-

E D d


= H d



v


v


X v


v




X


Finalement, l'opérateur tangent cohérent s'écrit :
-1
T
-1
T

-1
g
g k
k
g
g k
k

-1
M =
-


E D H
C


v


v

-
-



X v


v
X








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