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Version
7.2

Titre :

Elément plan quadrangulaire sous intégré stabilisé


Date :
03/09/04
Auteur(s) :
N. TARDIEU, S. LIMOUZI Clé
:
R3.06.10-A Page
: 1/22

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.10




Elément quadrangulaire à un point d'intégration,
stabilisé par la méthode « Assumed Strain)





Résumé :

Malgré tout le potentiel de l'élément quadrilatère isoparamétrique linéaire pour le calcul par éléments finis,
l'application d'une formulation bilinéaire classique pour définir son champ de déplacement abouti à des
résultats médiocres. Si la sous intégration de l'élément permet d'améliorer ses performances, elle fait
cependant apparaître des modes parasites qui rendent les calculs instables. Le présent document reprend les
principales étapes d'une méthode de stabilisation des calculs nommée « assumed strain method » et explique
la manière dont elle a été implantée dans le code de calcul Code_Aster. De nombreux résultats s'appuyant sur
l'élément stabilisé sont comparés et commentés afin de conclure sur les performances de la méthode.

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Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
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1
Mise en défaut de l'élément 2D QUAD4 :

Afin de mettre en avant le besoin d'un élément plan plus performant, nous avons effectué des calculs
s'appuyant sur deux cas tests, qui permettent de mettre en évidences les blocages de l'élément
isoparamétrique quadrilatère à 4 noeuds.

1.1
Cas test n°1

La première série de calculs est issue de la modélisation d'une poutre encastrée et soumise à un effort
de cisaillement fsy à son extrémité libre [Figure 1.1-a]. Cette poutre possède les caractéristiques
matériau suivantes : E = 100, = 0.4999. Ce cas test s'inspire de celui écrit dans [bib4] (hypothèse de
déformations planes).



y

Conditions aux limites :



Déplacements sur AD :


D
C

Ux (A) = Uy(A) = 0

Ux(D) = 0

fsx = 8*L*y/B²

fsx

x
O

fsy
B
Efforts sur BC :



Fy = fsy = 1- 4*y²/B²

Fx = 0


A

B


Géométrie :


L

L = 100

B = 50
Figure 1.1-a


Nous avons effectué ce calcul sept fois en multipliant le nombre de mailles sur chaque arête par deux
à chaque fois :



Etc.




1
2 x 2
4 x 4


(Nombre de mailles sur une arête)


A l'issue de chaque calcul, nous avons rapproché la flèche en C avec celle de la solution
« exacte » de la théorie des poutres de Timoshenko.


La [Figure 1.1-b] nous montre que la convergence du calcul vers la solution théorique est largement
insuffisante compte tenu du nombre de mailles utilisées pour la modélisation.
Cependant, en effectuant les calculs en contraintes planes, nous constatons que les résultats du
calcul convergent vers la solution théorique de manière satisfaisante ([Figure 1.1-c], convergence
quadratique).
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Convergence de l'élément Q4
(Déformation plane)
Déformations planes
Solution exacte (Tim os henko)
4,5
4
3,5
3
he Vc
2,5
ê
c
Fl

2
1,5
1
0,5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
N

Figure 1.1-b : convergence de l'élément QUAD4 en déformation planes

CONVERGENCE DE L'ELEMENT Q4
(Contraintes planes)
Solution exacte (Timoshenko)
5
4,5
4
3,5
FLECHE Vc
3
2,5
0
2
4
6
8
10
N

Figure 1.1-c : convergence de l'élément QUAD4 en contraintes planes
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Cette sollicitation est dite à flexion dominante. A travers la première série de calculs, nous avons mis
en évidence l'impossibilité pour le QUAD4 de représenter les modes de déformation en flexion
[Figure 1.1-d] en déformation plane et pour un coefficient proche de 0,5. Ceci se traduit par une
rigidité excessive de l'élément due aux termes de cisaillement de l'opérateur gradient discrétisé.












QUAD4
QUAD8

(cisaillement important)


Figure 1.1-d


1.2
Cas test n°2

La seconde série de calcul s'appuie sur la modélisation d'une éprouvette entaillée [Figure 1.2-a]
sollicité par un déplacement imposé.
Déplacement imposé : dy = 1


Caractéristiques matériau :



= 0.4999
5

E = 200 Gpa




y = 0,1

ET = 10


Critère de plasticité :
5



Von Mises, plasticité à
écrouissage isotrope linéaire.



1



E

T

y


E



Figure 1.2-a

Pour l'affichage des résultats, chaque QUAD4 a été découpé en 4 zones contenant chacune un point
de Gauss. C'est la valeur de la contrainte en ce point que nous affichons.

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Solution de référence: QUAD8_INCO
(élément traitant parfaitement l'incompressibilité).



yy

















Solution QUAD4 :























yy











Les résultats montrent que le QUAD4 ne converge qu'au prix de fortes oscillations de contraintes au
sein de chaque élément. Si ces oscillations permettent à l'élément de mettre en accord ses
déplacements nodaux et sa déformation plastique à volume constant, elles rendent les résultats
irréalistes.
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2
Sous intégration du QUAD4

Malgré tout le potentiel de l'élément quadrilatère isoparamétrique pour le calcul par éléments
finis, l'application d'une formulation bilinéaire classique pour définir son champ de
déplacement, aboutit à des résultats médiocres. Ceci s'explique par diverses raisons :


· il présente une rigidité excessive (« lock »), lors d'une sollicitation dont la partie flexion plane
est importante.
· la formulation bilinéaire classique du champ de déplacement est très sensible à la distorsion
du maillage et présente un sévère «
locking
» lorsqu'on l'applique à un matériau
incompressible.

Une solution à ces problèmes de blocage numérique consiste à calculer la matrice de rigidité par
l'intermédiaire d'une intégration réduite. Le principe de cette méthode est de considérer lors du
schéma d'intégration numérique moins de points d'intégrations qu'il n'en faut habituellement pour
évaluer les matrices de rigidité exacte de l'élément. Partant de l'élément QUAD4 isoparamétrique
[R3.03.02], on modifie le nombre de points d'intégration ainsi que le poids et les coordonnées de ces
derniers, pour créer l'élément sous-intégré que nous nommerons dans ce document : QUAS4












QUAD4 QUAS4



Nombre de points d'intégration : 4

Nombre de points d'intégration : 1



Poids de chaque point : 1

Poids du point : 4






1
1

Coordonnées : (x,y) = (0,0)
Coordonnées : (x,y) = (+/-
, +/-
)
3
3


2.1 Formulation

Au centre, l'opérateur gradient discrétisé utilisé pour calculer la matrice de rigidité est de la forme
suivante :
t
b
0
x

B = Bc =
t
0
b y







éq 2.1-1
t
t
b y b x
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Avec
t

bx =
N
N, x (0) =
= = 0
x
éq
2.1-2
t

by =
N
N, y (0) =
= = 0
y

et N représente (N1, N2 , N3, N4 ), le vecteur des fonctions de forme. Rappelons que les vecteurs
b représentent la forme la plus simple de l'opérateur gradient discrétisé sous-intégré introduit par
Hallquist [bib1] et qui est basé sur l'évaluation des dérivées des fonctions de forme isoparamétriques à
l'origine du référentiel (, )

Soit :

btx = 1 ([y2 - y4 ),(y3 - 1
y ),(y4 - y2 ),( 1
y - y3 )] = Constant sur

l'
élément
2A

éq
2.1-3
bty = 1 ([x4 - x2 ),( 1
x - x3 ),(x2 - x4 ),(x3 - 1
x )] = Constant sur

l'
élément
2A

A = (1/ 2). (x2 - x4)(.y3 - y )
1 + (x3 - x )
1 * (y4 - y2) : Aire de l'élément
La matrice de rigidité s'écrit :

T
K e = Kc = A . Bc . C . Bc éq
2.1-4
C étant :

· soit la matrice de comportement élastique pour les calculs en élasticité
· soit la matrice tangente pour les calculs en plasticité. Notons qu'au cours de tels calculs, c'est
l'intégration de la loi de comportement au point de Gauss (au centre dans notre cas) qui
détermine la valeur des coefficients de C .

Finalement, les forces internes s'écrivent :

T
F
= Ke .
int
U = Bc . c éq
2.1-5
U : Vecteur des déplacements nodaux.
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2.2
Echec du calcul dans Aster : modes parasites

Les calculs lancés sur le cas test n°1 avec un tel élément échouent. L'étape du calcul qui consiste à
inverser K e pour déterminer les déplacement nodaux ne peut être franchie. En effet, au centre, la
matrice de rigidité est singulière. En affichant le noyau de K e , nous constatons que sa dimension
n'est plus trois mais cinq. Deux vecteurs se sont ajoutés au noyau et ont rendu l'inversion de la
matrice de rigidité impossible. L'apparition de ces deux vecteurs supplémentaires dans le noyau de
K e est directement liée au fait que nous choisissons le centre comme seul point d'intégration.
Autrement dit, il existe deux champs de déplacements nodaux autres que les champs de déplacement
correspondant aux mouvement de solide rigide annulant les forces internes. Ces modes représentent
les modes en sablier du QUAD4 [Figure 2.2-a]. Par la suite, une des étapes de stabilisation consistera
à enrichir l'opérateur gradient discrétisé afin de rendre K e inversible.







Modes de solide rigide
Modes en sablier

(hourglass modes)


Dim de Ker [K

e ] = 3 + 2

Figure 2.2-a

2.3
Interprétation graphique du problème lié à la sous intégration

Le problème de la sous-intégration du QUAD4 est lié à ses modes de déplacements nodaux en sablier
(sollicitation en flexion). La [Figure 2.3-a] nous montre que, sur de tels modes, les coordonnées du
centre restent inchangées. Si ceci est en accord avec la théorie des poutres (i.e. en flexion pure, xx =
0 sur la fibre neutre), la théorie classique des éléments finis ne permet pas de différencier état déformé
et non déformé d'un élément dans un tel cas. C'est pour cela que ces modes sont également appelés
modes à énergie nulle, qui au niveau du Code_Aster, rendent les calculs irréalisables.








Figure 2.3-a

Ce problème a pour origine une valeur de la déformation au centre non significative de la
déformation du QUAD4. Le prochain chapitre va décrire la démarche qui nous permettra de
calculer la déformation du QUAD4 quels que soient les modes de déplacement de ces noeuds.

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3
Stabilisation du QUAD4 à un point de Gauss

La stabilisation du QUAS4 s'opère en deux étapes :

1) Enrichir l'opérateur gradient discrétisé Bc et permettre ainsi de calculer l'énergie de
déformation liée aux modes de déplacements en sablier (hourglass modes) ;
2) Interpoler un champ de déformation / de contraintes permettant de rendre compte de la
déformation / des contraintes sur l'ensemble de l'élément tout en intégrant le QUAD4 au
centre (assumed strain stabilization).

3.1
Principe variationnel du problème

Celui ci est tiré de la forme faible du principe variationnel de Hu-Washizu :

(
T
, &, )=
& .
d +
T

.

T
ext
& d
d
&
f
éq
3.1-1



(s - ) -
.
= 0



Avec
& (x,t) = B (x).d& (t)

La stabilisation « Assumed strain » s'appuie sur le fait que la contrainte postulée est choisie
orthogonale à la différence entre la partie symétrique du gradient de vitesse et le taux de déformation.
Par conséquent, cela nous permet d'écrire :

T
d
& .
T
B .
d -
T
d
& . ext
f
= 0


e

Et donc que :
f int =
T
B . (&)
d

e


3.2
Enrichissement de l'opérateur gradient discrétisé

Enrichir l'opérateur gradient discrétisé Bc consiste à en faire un nouvel opérateur B en lui ajoutant
une troisième composante qui, comme bx et by , est un vecteur de IR4. Cependant, comme
l'opérateur initial Bc calcule correctement le gradient des champs de déplacement linéaires, la
nouvelle composante doit être orthogonale à ces derniers. Les étapes du calcul de cet opérateur
enrichi sont détaillées dans le paragraphe [§1.2] du document joint intitulé : « Compte rendu
bibliographique ».

Note : Dans ce compte rendu, le nouvel opérateur B relie le tenseur taux de déformation & et le
vecteur des vitesses nodales d&i . Cette formulation nous permet dans la suite du compte rendu de
raisonner en terme d'incréments de déplacement, et par conséquent de traiter des problèmes
incrémentaux, effectués sur plusieurs pas de temps. Pour les calculs élastiques (solutions obtenue en
un pas de temps) nous formulons le problème à partir des déplacements nodaux : l'opérateur B relie
alors tenseur des déformations et déplacements nodaux ui .
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Le nouvel opérateur B s'appuie sur l'expression du champ de déplacement du QUAD4 écrit par
Belytschko et Bachrach [bib2] :

ui = ( T
T
T
T
+ x b
. x + y b
. y + h )ui
éq
3.2-1
Et s'écrit :
t
t
b
h
0

x +

,x

B = Bc + Bn =
t
0
b y +
t
h,y
éq
3.2-2
t
t
t
t

b y + h,y
b x + h,x

Avec :
= 1/ [
4 t - (tT .x)bx - (tT .y)by ] , = 1/ [
4 h - ( T
h .x)bx - ( T
h .y)by ]
1
btx =
([y2 - y4), (y3 - y1), (y4 - y2), (y1 - y3)]
2A

1
bty =
([x4 - x2), (x1 - x3), (x2 - x4), (x3 - x1)]
2A
h =


, sont les coordonnées de référence. ui sont les vecteurs de déplacements nodaux et h sont les
valeurs prises par la fonction h aux quatre noeuds.
T
d = [ux,uy ]
Notons que peut s'exprimer directement en fonction des coordonnées nodales :

x (
2 y3 - y )
4 + x (
3 y4 - y )
2 + x (
4 y2 - y )
3


1 x (
3
1
y - y )
4 + x (
4 y3 - y )
1 + x (
1 y4 - y )
3
=
éq
3.2-3
4 x (
4
1
y - y )
2 + x (
1 y2 - y )
4 + x (
2 y4 - y )

1
x (
1 y3 - y )
2 + x (
2
1
y - y )
3 + x (
3 y2 - y )
1

La forme [éq 3.2-2] de l'opérateur B est équivalente à celle du QUAD4. Cependant cette écriture
particulière de l'opérateur permet de différencier les termes à intégrer au centre et les termes de
stabilisation. C'est uniquement en intervenant sur la valeur de ces termes de stabilisation que nous
allons pouvoir améliorer les performances de l'élément.
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3.3
Interpolation du champ de déformation :

La forme générale d'un champ « assumed strain » au sein d'un QUAD4 est donnée par Belytschko et
Bindeman [bib3]. Elle est de la forme suivante :


q e h
q e h


+


x(centre)
x 1 ,x + y 2 ,y
+


x(centre)
x(stab)

assumed strain

=
+ q e h
q e h


y(centre)
x 2 ,x +

y 1 ,y
=
+
éq 3.3-1


y(centre)
y(stab)

2
+ q e h
q e h
2
2
xy(centre)
x 3 , y + y 3 ,x

+
xy(centre)
xy(stab)




Avec :
qx = . ux
qy = . uy

et 1
e ,e2, 3
e qui varient selon les considération physiques de chaque auteur [Tableau 3.3-1].
Chaque triplet de valeurs caractérise un élément et donne lieu à une interpolation particulière de la
déformation :

Elément
e1 e2 e3
QUAD4
1 0 1
ASMD
1/2 -1/2 1
ASBQI
1 - 0
ASOI
1 -1 0
ASOI(1/2)
1/2 -1/2 0
Tableau 3.3-1
Ainsi nous pouvons déduire l'expression de l'opérateur gradient discrétisé découlant du champ de
déformation supposé ((stab)) de l'élément. Nous notons ce nouvel opérateur Bn .


t
h x
0
,

QUAD4 :
Bn = 0
t
,
h y

t
t
,
h y
,
h x

t
h,x
-
t
h

,y

ASBQI :
Bn = -
t
t
h,x
h,y
éq
3.3-2




0
0


1
t
1
t

,
h x
- ,hy
2
2

ASOI(1/2) :
Bn = - 1
t
1
t
h
x
h y
2 ,
2 ,


0
0





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Cette écriture nous permet de tester aisément les différents éléments.
La matrice de rigidité s'écrit alors de la manière suivante :

stab
K e = Kc + K

éq
3.3-3

Avec :
T
K c = B C B

d

c
c

=
A . B

c . C . Bc éq
3.3-4
e
Et

K stab = T
Bc

C Bn d + T
Bn
B

C c d +
d T
Bn
B

C n d



e
e
e

éq
3.3-5
4
=
(
JAC i) ( T
.
B . C . B (i)
c
n
+ T
B (i) . C .
n
Bc + T
B (i) . C . B (i)
n
n
)
i=1

Enfin nous calculons les forces internes de la manière suivante :

int
F
= B . ( C . ( (centre) + (stab) ) )
4
éq
3.3-6
=
(
JAC i) . ( (
Bc + Bn ( i )

)
(

.

C (
. c + stab( i ) ) ) )
i=1

Notes :
Bien que le calcul de K stab nécessite une somme sur les quatre points de Gauss, l'intégration de la
loi de comportement qui détermine la valeur des termes de C , s'effectue au centre. Par ailleurs, les
équations [éq 3.3-4] et [éq 3.3-6] nous montre que les calculs restent relativement volumineux. Une
solution à ce problème (non encore implantée dans le Code_Aster) consiste à effectuer les calculs en
se plaçant dans un repère tournant avec l'élément (cf. [§3.4] du compte rendu bibliographique). Ceci a
pour avantage :

· de supprimer le calcul des termes croisés : Bc . C . Bn et Bn . C . Bc ;
· un meilleurs traitement du blocage en cisaillement transverse ;
· une écriture de la loi de comportement mieux adaptée aux problèmes incluant des
non-linéarités géométriques.

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4
Intégration de l'élément dans le Code_Aster

L'élément QUAS4, possède deux familles de points de Gauss. La première famille est constituée d'un
point se trouvant au centre et dont le poids vaut quatre. Les calculs élémentaires se font naturellement
avec la première famille. Les options calculées sont identiques à celle calculées par le QUAD4. On
calcule donc au centre de l'élément les contraintes et variables internes, ainsi que le comportement
tangent. Dans le cadre d'un post traitement, chaque élément présente des champs constants.

La deuxième famille est identique à celle du QUAD4 classique et comporte 4 points de Gauss. Elle est
utilisée pour calculer la matrice de stabilisation. Pour stocker les forces de stabilisation, on ajoute au
champ de contraintes au point de Gauss 6 composantes.

Cet élément est activé en choisissant les modélisations 'C_PLAN_SI' ou 'D_PLAN_SI' dans
AFFE_MODELE pour des mailles QUAD4. Seuls des calculs en petites déformations sont possibles. Il
reste une limitation importante : dans la version 7.2, deux types de stabilisation sont programmés :
ASBQI et ASOI(1/2), mais ne sont pas accessibles par un mot-clé dans le fichier de commandes. Il
faut pour les activer modifier le paramètre PROJ dans la routine NMAS2D.


5
Mise en évidence de l'apport de l'élément QUAS4

Afin d'évaluer l'apport de l'élément QUAS4, nous l'avons utilisé pour effectuer les calculs des cas tests
numéro un et deux (cf. [§3]).

5.1
Cas test n°1 (SSLP106)

Convergence du calcul vers la solution théorique
(calcul en déformation élastique avec = 0,4999)
ASOI(1/2)
Solution Timoshneko
QUAD4 et QUAS4
4,5
4
3,5
Vc
3
2,5
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N

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Parmi les éléments figurant dans le [Tableau 3.3-1], seul l'élément ASOI(1/2) a pu être implanté avec
succès. De plus les calculs ne convergent que pour le cas test de la poutre droite, modélisée par un
maillage régulier. Les même calculs effectués sur un maillage volontairement déformé divergent
[Figure 5.1-a].








Maillage régulier
Maillage irrégulier

Convergence du calcul
Divergence du calcul
Figure 5.1-a

Concernant les calculs effectués sur un maillage régulier, nous constatons une nette amélioration des
résultats. La solution théorique est atteinte avec un maillage de soixante quatre éléments. Ceci nous
permet raisonnablement de dire que le blocage de l'élément QUAD4 a disparu. Ce test correspond au
test SSLP106 de la base de tests du Code_Aster.

5.2
Cas test n°2 (SSNP123)

Rappel du problème : Avec une maille de type QUAD4, le calcul fait apparaître d'importantes
oscillations de contraintes sur le maillage. Nous allons comparer les résultats issues du maillage
QUAD4 à ceux du maillage QUAS4 :

Calcul en élasticité dans le plan : isovaleurs de
yy













· QUAD4
· QUAS4

· = 0,4999
· = 0,4999


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Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HT-66/04/002/A

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Version
7.2

Titre :

Elément plan quadrangulaire sous intégré stabilisé


Date :
03/09/04
Auteur(s) :
N. TARDIEU, S. LIMOUZI Clé
:
R3.06.10-A Page
: 15/22


Calculs en plasticité dans le plan : isovaleurs de
yy





















· QUAD4
· QUAS4

· = 0,3
· = 0,3


Chaque durée de calcul indiquée est une moyenne effectuée sur trois lancement.
Pour la visualisation des résultats, chaque QUAD4 a été divisé en quatre zones contenant chacune un
point de Gauss. Les QUAS4 quant à eux ne sont pas redivisés.
Les tests effectués sont volontairement sévères ( proche de 0,5). En effet le but ici est d'atteindre les
limites de l'élément QUAD4 afin de constater les performances du nouvel élément.


5.3 Commentaires

Nous constatons à travers cette série de calculs que les résultats obtenus avec des éléments QUAD4
comportent de fortes oscillations de contraintes. Les résultats issus des calculs s'appuyant sur le
QUAS4 ne présentent presque plus d'oscillations. Lorsqu'elles apparaissent, elles sont très localisées.
Que ce soit pour le QUAD4 ou pour le QUAS4, les déplacement calculés au noeud A sont identiques.
En effet, l'opérateur gradient discrétisé du QUAS4 est déduit du champ de déformation du QUAD4
(cf [éq 3.2-2]). Par conséquent, qu'elle soit maillée avec l'un ou l'autre de ces éléments, la structure
présente la même rigidité.

Compte tenu de la sévérité du test et afin de nous rendre compte de la qualité des résultats fournis
par le QUAS4, nous avons effectué des calculs s'appuyant sur des mailles quadratiques telles que le
QUAD8, le QUAS8 (QUAD8 sous intégré avec 4 points de Gauss) ou encore le QUAD8_INCO,
élément traitant parfaitement l'incompressibilité. La comparaison d'éléments à interpolation
quadratique avec des éléments à interpolation linéaire a peu de sens. De tels tests ont été effectués
en vue d'avoir une solution de référence et ils nous ont permis de porter un jugement purement
qualitatif sur l'élément QUAS4.
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Résultats de référence : calculs en élasticité dans le plan avec éléments quadratiques






















· QUAD8
· QUAS8

· = 0,4999
· = 0,4999

· dy (A) = 6,0E-2
· dy (A) = 6,01E-2

· Durée du calcul : 5,6 s
· Durée du calcul : 3,9 s




















· QUAD8_INCO

· = 0,4999

· dy (A) = 6,01E-2

· Durée du calcul : 5,5 s


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Calculs en plasticité avec éléments quadratiques



















· QUAD8
· QUAS8
· = 0,3
· = 0,3
· dy (A) = 1,01E-1
· dy (A) = 1,01E-1
· Durée du calcul : 17 s
· Durée du calcul : 13,1 s
· QUAD8_INCO
· = 0,4999
· dy (A) = 1,01E-1
· Durée du calcul : 34,4 s
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Un raffinement du maillage pour chaque calcul à été effectué. Ce raffinement consiste à doubler le
nombre de mailles présentes sur chaque arrête de l'entaille. Nous résumons les résultats dans les
tableaux suivants :

Calcul élastique Sol ref : Depl.
déformation plan
6,01E-02




Noeud A
= 0,4999







Nombre de
504
2016
8064
Mailles

Temps de calcul Depl Noeud A Temps de calcul Depl Noeud A Temps de calcul Depl Noeud A
QUAD8_INCO
5,5 6,01E-02
18 6,01E-02


QUAD8
5,6 6,00E-02
15,5 6,01E-02


QUAD8 SI
3,9 6,01E-02
10,2 6,01E-02


QUAD4
3,3 2,70E-02
8,4 3,60E-02


QUAS4
2,72 2,70E-02
5,77 3,60E-02 17,3
4,77E-02

Tableau 5.3-1 : Calculs en élasticité = 0,4999

Calcul
déformation
Sol ref : Depl.
plastique plan
Noeud A
1,01E-01




= 0,3







Nombre de
504
2016
8064
Mailles
Depl Noeud
Depl Noeud

Temps de calcul Depl Noeud A Temps de calcul
Temps de calcul
A
A
QUAD8
17 1,01E-01 75,1 1,01E-01

QUAD8 SI
13,1 1,01E-01 62,8 1,01E-01

QUAD4
6,6 9,32E-02 22 1,00E-01

QUAS4
6,5 9,18E-02 17,33 1,00E-01 133,2 1,01E-01
Tableau 5.3-2 : Calculs en plasticité = 0,3

Calcul
déformation
Sol ref : Depl.
plastique plan
Noeud A
1,01E-01




= 0,4999







Nombre de
504
2016
8064
Mailles
Depl Noeud

Temps de calcul Depl Noeud A Temps de calcul
Temps de calcul Depl Noeud A
A
QUAD8_INCO
34,4 1,01E-01 240,8 1,01E-01

QUAD8
21,7 8,84E-02 88,17 1,01E-01

QUAD8 SI
20,6 1,01E-01 87,83 1,01E-01

QUAD4
5,1 2,06E-02 13,07 2,25E-02

QUAS4
4,28 2,06E-02 9,87 2,25E-02 43,75 2,79E-02

Tableau 5.3-3 : Calculs en plasticité = 0,4999
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Par ailleurs, nous avons tracé la valeur de la contrainte yy le long d'un segment AB traversant l'entaille
pour un maillage de base à 504 mailles.












B
A






Valeur de la contrainte le long de AB


Calculs en plasticité ( = 0,3)



350



300


250



] 200

pa

[
1M 150

[

yy

100


50



0

0
1
2
3
4
5
6

-50


Abscisse



QUAS4
QUAD4
QUAD8
QUAS8


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Valeur de la contrainte le long de AB


Calculs en plasticité ( = 0,4999)


1500



1000



500



yy [Mpa]
0


0
1
2
3
4
5
6

-500



-1000

Abscisse



QUAS4
QUAD4
QUAD8_INCO
QUAS8
QUAD8


Commentaires sur les résultats

Aspects qualitatifs :

· Malgré la richesse du champ de déplacement de la maille QUAD8, la majorité des résultats
présentent des oscillations.
· Malgré la sous intégration du QUAS8, des oscillations apparaissent sur des mailles QUAS8
pour certains calculs en plasticité.
· Quel que soit l'élément utilisé (excepté pour le QUAD8_INCO), la sous intégration reste
indispensable, particulièrement pour les matériaux dont approche 0,5.
· Ces calculs nous amènent à établir le constat suivant : le QUAS4 reste stable vis à vis des
oscillations quel que soit les paramètres de calcul utilisés.

Aspect quantitatif :

Nous constatons toujours que la valeur du déplacement du noeud A issue d'un maillage QUAS4 reste
entre 3 et 5 fois plus faible que la solution de référence (convergence lente). Cette valeur reste
néanmoins identique à celle calculée avec un maillage QUAD4.

Les profils tracés le long de l'entaille nous permettent d'affirmer que les valeurs de contraintes
calculées avec un maillage QUAS4 sont de bien meilleure qualité que celles calculées avec un
maillage QUAD4. En prenant les durées de calcul du QUAD4, la maille QUAS4 permet une réduction
substantielle de la durée du calcul :


Gain de temps (temps de ref. = temps QUAD4)
Maillage

504
2016
= 0,3
26% 35%
Elasticité
= 0,4999
18% 31%
= 0,3
16% 21%
Plasticité
= 0,4999
18% 24%

Remarquons au passage que les gains de temps semblent augmenter avec le nombre de mailles. En
plasticité notamment, ce gain de temps dépend en grande majorité du nombre d'itérations de Newton
nécessaires à la convergence du calcul au sein de chaque pas de temps.
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6 Conclusions

En élasticité comme en plasticité, que ce soit pour des matériaux dont vaut 0,3 ou 0,5, le nouvel
élément QUAS4 reste stable et les résultats toujours réalistes, sans aucune oscillations de contraintes.
Ceci, nous l'avons constaté, est loin d'être le cas pour le QUAD4. La stabilité de ce nouvel élément
face à des cas tests aussi sévères que ceux présentés dans ce rapport est comparable à celle de
l'élément quadratique QUAD8 sous intégré.

Par contre, cet élément a la convergence d'un élément linéaire en termes de nombre de DDL. Il faut
donc mailler avec une finesse suffisante pour capter les gradients de contraintes de la solution
cherchée. Ce raffinement nécessaire doit être mis en balance avec le gain de temps induit par la
sous-intégration.

Sur les exemples traités, le QUAS4 a permis un gain de temps de calcul significatif de l'ordre de 20%
en moyenne pour des lois de comportements élastiques et élasto-plastiques. Notons que ces lois sont
relativement peu coûteuses à intégrer. Des gains de temps beaucoup plus importants sont attendus
pour des lois plus difficiles à intégrer.


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7 Bibliographie

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J. O. HALLQUIST : Theoretical manual for DYNA3D. UC1D-19401 Lawrence Livermore
National Lab., University of California, 1983.
[2]
T. BELYTSCHKO and W.E. BACHRACH : Efficient implementation of quadrilaterals with high
coarse-mesh accuracy, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 43 (1986) 279-301.
[3]
T. BELYTSCHKO and L.P. BINDEMAN : Assumed strain stabilization of the 4-node
quadrilateral with 1-point quadrature for nonlinear problems. Comput. Methods Appl. Mech.
Eng., 88:311-340, 1991
[4]
J.L. BATOZ et G. DHATT : Modélisation des structures par éléments finis volume 2, poutres
et plaques. HERMES 1990.

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