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Projection d'un champ sur un maillage
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J. PELLET
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R7.20 : Projection de résultats ou de mesure
Document : R7.20.01
Projection d'un champ sur un maillage
Résumé :
La commande PROJ_CHAMP permet de "projeter" des champs connus sur les noeuds d'un maillage (ma1) sur les
noeuds d'un autre maillage (ma2).
Dans ce document, on décrit les 3 méthodes de projection accessibles dans cette commande.
Le paragraphe [§5] donne quelques éléments de validation de ces méthodes.
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Fascicule R7.20 : Projection de résultats ou de mesure
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1
Généralités sur la commande PROJ_CHAMP
La commande PROJ_CHAMP permet de projeter un champ connu aux noeuds (CHAM_NO) d'un maillage
(ma1) sur les noeuds d'un autre maillage (ma2) [U4.72.05]. En général, les 2 maillages (ma1 et ma2)
sont "incompatibles" ; c'est-à-dire que les noeuds de ma2 ne sont pas confondus géométriquement
avec les noeuds de ma1. On ne traite pas les champs "par élément" (CHAM_ELEM).
3 méthodes de projection sont actuellement disponibles :
METHODE: 'ELEM'
METHODE: 'NUAGE_DEG_0'
METHODE: 'NUAGE_DEG_1'
La méthode 'ELEM' utilise les fonctions de forme des éléments du maillage ma1. Elle est détaillée au
paragraphe [§3].
Les 2 autres méthodes utilisent un lissage des valeurs du champ au voisinage du point où l'on veut
projeter le champ. Ces 2 méthodes sont détaillées au paragraphe [§4].
2
Fonctionnement général de la commande
Pour les 2 méthodes 'NUAGE_DEG_0/1' la commande ne permet de projeter qu'un seul champ. En
revanche, avec la méthode 'ELEM' on projette l'ensemble des champs d'une structure de données
resultat (evol_ther, evol_noli, ...).
Quelle que soit la méthode, l'utilisateur a la possibilité de ne projeter qu'un "morceau" de champ sur un
"morceau" du maillage ma2. Cette possibilité est offerte par le mot clé facteur VIS_A_VIS. Un morceau
de champ est la restriction du champ sur un ensemble de noeuds (ou de mailles) du maillage ma1. Un
morceau du maillage ma2 est un sous-ensemble des noeuds de ma2.
Le problème de base à résoudre est donc le suivant :
Soit un champ ch1 connu, sur les noeuds d'un sous-ensemble d'un maillage ma1, comment calculer le
champ ch2 sur les noeuds d'un sous-ensemble d'un autre maillage ma2 ?
Dans la suite pour simplifier l'exposé on ne parlera plus de sous-ensemble d'un maillage, on fera
comme si l'on projetait tout le maillage ma1 sur tout le maillage ma2.
Remarque sur le vocabulaire :
Le mot "projeter" est parfois ambigu dans ce document.
Quand on dit "projeter" le champ de ma1 vers ma2, on cherche le champ sur ma2 connaissant
celui sur ma1 : la projection va de 1 vers 2.
Pour la méthode 'ELEM', il faut trouver pour chaque noeud n2 de ma2 quel est le point de
ma1 qui occupe la même position que n2, pour cela on projette le noeud n2 sur le maillage
ma1 : la projection va de 2 vers 1.
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3 Méthode
'ELEM'
3.1
algorithme mis en oeuvre
On boucle sur tous les noeuds du maillage ma2 :
pour chaque noeud (n2), on procède en 3 étapes :
1) On cherche quelle est la maille m1 de ma1 qui "contient" géométriquement le noeud n2,
2) on détermine la position de n2 dans m1 (i.e. ses coordonnées dans l'élément de référence
associé à la maille m1),
3) on utilise les fonctions de forme de la maille m1 pour déterminer la valeur du champ sur n2
connaissant la valeur du champ sur les noeuds de m1.
3.1.1 Remarque
La troisième étape montre que cette méthode suppose que tous les noeuds de la maille m1 connaissent
le champ à projeter. Par exemple, on ne saurait pas projeter un champ qui porterait des degrés de
liberté différents sur ses noeuds "sommets" et sur ses noeuds "milieux d'arête". La projection d'un tel
champ serait possible en revanche avec les 2 autres méthodes de projection [§4].
Pour utiliser la méthode 'ELEM', il est donc important que tous les noeuds d'une même maille portent
les mêmes composantes dans le champ à projeter. Pratiquement (du fait de la continuité des mailles
connectées entre elles), cela veut dire que le champ doit être "homogène" sur le morceau de champ
destiné à être projeté.
3.2
Les difficultés rencontrées et leur traitement
Pour chacune de ces 3 étapes, on va voir que des difficultés nous ont obligé à simplifié le problème et
donc à ne le résoudre qu'imparfaitement.
3.2.1 Etape
1
· on ne traite pas l'éventuelle courbure des bords des éléments. Par exemple, dans la figure
ci-dessous (problème plan), le noeud n2 sera déclaré appartenir à la maille m1a alors qu'il
appartient à la maille m1b,
m1b
n2
m1a
· si le noeud n2 est en réalité "extérieur" au maillage ma1,on lui affectera la maille m1 la plus
proche de lui. Ce comportement permet de projeter, sans s'arrêter en erreur fatale, un champ
sur un maillage dont la frontière diffère légèrement de celle du maillage initial (ce qui est
toujours le cas dans la pratique).
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3.2.2 Etape
2
Pour trouver le point de l'élément de référence qui donnerait par la transformation géométrique le noeud
n2, il faut en général résoudre un problème non-linéaire, car il n'y a que pour le triangle à 3 noeuds (en
2D) et pour le tétraèdre à 4 noeuds (en 3D) que la transformation géométrique est linéaire.
Pour ne pas résoudre ce problème non-linéaire. On le "linéarise" en découpant les mailles de ma1 en
triangles ou tétraèdres linéaires. La résolution du problème posé est donc approchée.
Remarque :
Pour résoudre exactement le problème non-linéaire, on pourrait penser utiliser une méthode
itérative de Newton, mais il faudrait remettre en cause l'étape 1 ci-dessus car la maille m1
sélectionnée n'est peut être pas la bonne.
3.2.3 Etape
3
On n'utilise pas toujours les vraies fonctions de forme des éléments du maillage initial. En effet, dans le
Code_Aster, ce sont les éléments finis qui choisissent leurs fonctions de forme : un triangle de
thermique n'est pas obligé de choisir les mêmes fonctions de forme qu'un triangle de mécanique. Un
élément peut aussi ne pas avoir besoin de fonctions de forme, ou bien il peut choisir des fonctions
différentes selon les variables à interpoler. La formulation de l'élément ne fait pas non plus toujours
apparaître d'élément de référence et de transformation géométrique associée.
Pour toutes ces raisons et pour que la programmation de PROJ_CHAMP soit indépendante des
éléments finis présents dans le modèle, on affecte à toutes les mailles de ma1, les fonctions de forme
des éléments iso-paramétriques 2D ou 3D [R3.01.01].
Remarque :
Les mailles linéiques ne sont pas traitées aujourd'hui. On ne peut donc pas projeter un champ
connu sur 1 modèle linéique (poutre ou coque linéique).
3.3
Détails concernant les étapes 1 et 2
Informatiquement, les étapes 1 et 2 sont réalisées simultanément. Nous allons discuter
successivement de la façon de traiter les 3 problèmes suivants :
· traitement d'un noeud n2 se retrouvant à l'intérieur de la frontière du maillage ma1 (cas le plus
fréquent),
· traitement d'un noeud n2 à l'extérieur de la frontière de ma1,
· traitement du cas des maillages de type "coque" (surfaces plongées dans R3).
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3.3.1 Noeud
n2 "intérieur"
Pour comprendre le traitement d'un noeud intérieur, prenons le cas d'une maille 2D QUAD8 (abcd). On
commence par oublier ses noeuds milieux (et donc leur éventuelle courbure) puis on la découpe en 2
triangles (abc et acd). Ce découpage est arbitraire (il dépend de la numérotation locale des noeuds du
QUAD8). Notons que l'autre découpage possible (autre diagonale) donnerait en général un autre point
dans l'élément de référence.
c
D
C
d
b
n2
N2
A
B
a
Elément de référence
Elément réel
n2 appartient au triangle abc. On cherche ses coordonnées barycentriques dans ce triangle. Ce sont
les 3 nombres xa, xb, xc tels que l'on puisse écrire : n2= xa * a + xb * b + xc * c
Le point N2 de l'élément de référence retenu par l'algorithme sera :
N2 = xa * A + xb * B + xc * C
Pour les mailles volumiques (Hexaèdres, Pentaèdres, Pyramides et Tétraèdres), on procède de la
même façon : on oublie les noeuds milieux et on découpe les mailles non tétraèdriques en tétraèdres.
3.3.2 Noeud
n2 "extérieur"
Un noeud n2 est déclaré extérieur au maillage ma1 si on n'a trouvé aucune maille pour laquelle il soit
intérieur. Lorsque ceci est constaté, on recherche la maille m1 la plus proche de n2. La distance
calculée est celle qui sépare le noeud n2 et la frontière de la maille m1. Appelons p2 le point de m1 le
plus proche de n2. Ce point peut être sur une face d'un élément volumique ou sur une arête ou sur un
sommet.
Exemple (en 2D) :
A
pA
T4
T2
B
T1
pB
T3
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Au noeud B, on associe le point pB obtenu ici par projection orthogonale de B sur une arête de T1.
Au noeud A, on associe le point pA du triangle T1. On aurait pu tout aussi bien lui associer le point pA
du triangle T2, mais cela n'aurait rien changé puisque le champ à projeter est connu aux noeuds du
maillage. Il est donc continu entre les éléments adjacents.
Une fois trouvé le point p2 de la maille m1 qui réalise le minimum de la distance avec n2, on se ramène
au problème précédent : le point N2 de l'élément de référence qui sera associé à n2 sera le
correspondant de p2 par la procédure du paragraphe [§3.3.1].
Remarques :
Pour un triangle (ou un tétraèdre) donné T, il n'y a qu'un point p2 réalisant la distance
minimale entre n2 et T car T est convexe. Cette propriété disparaîtrait si on tenait compte de
la courbure des bords des mailles. On voit là que les deux simplifications de l'implémentation
(oubli des noeuds milieux et découpage des mailles en triangles linéaires) sont liées entre
elles.
Un point extérieur aura toujours une valeur interpolée entre les valeurs des noeuds du maillage
ma1 et jamais extrapolée ; ce qui n'est pas le cas des 2 méthodes NUAGE_DEG_0/1.
3.3.3 Cas des maillages "coque"
Lorsque l'on cherche à projeter les noeuds d'un maillage surfacique sur un autre maillage surfacique,
on tombe en général systématiquement sur le cas des points "extérieurs" ci-dessus. En effet,
l'imprécision sur les coordonnées des noeuds fait qu'un noeud n2 n'est jamais rigoureusement dans le
plan des triangles des mailles de ma1.
C'est donc la procédure du [§3.3.2] qui s'applique :
Pour chaque noeud n2 :
· recherche du triangle (ou du tétraèdre) qui réalise le minimum de distance avec n2.
Identification du point p2 qui réalise cette distance,
· calcul du point N2 de l'élément de référence qui correspond à p2 par la procédure du [§3.3.1].
4 Méthode
'NUAGE_DEG_0' ou 'NUAGE_DEG_1'
4.1
Principe de la méthode
Ces 2 méthodes sont basées sur le même principe : on choisit a priori des fonctions de base Fi (x,y,z)
(ici des polynômes de degré 0 ou 1). On cherche dans l'espace vectoriel engendré par ces fonctions de
base, la fonction F= (i Fi) qui réalise la distance minimum (au sens des moindres carrés) avec le
"nuage" des points connus. Une fois cette fonction trouvée, on l'évalue au point cherché.
Pour alléger les notations, on se place en 2D (mais les calculs peuvent être faits de la même façon en
dimension 3 ou plus ...). Le champ à projeter est un ensemble de couples (Xj,Vj) où Xj=(xj,yj) est un
noeud du maillage ma1 et Vj est un réel (valeur du champ sur ce noeud). Ce champ constitue le nuage
des points connus.
Soit un noeud n2 (x,y) du maillage ma2 pour lequel on veut calculer la valeur du champ (V).
Choix des fonctions de base :
NUAGE_DEG_0 :
une seule fonction : F1= 1
NUAGE_DEG_1 :
3 fonctions : F1= 1 ; F2=x ; F3=y
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Dans la suite de ce paragraphe, on choisira NUAGE_DEG_1 pour que les formules ne dégénèrent pas
trop.
La fonction cherchée est F = 1 F1 + 2 F2 + 3 F3. On définit une sorte de "distance" entre F et les
couples (Xj,Vj) :
D = wj (F(Xj) - Vj) 2
où les wj sont les poids affectés à chaque couple (Xj,Vj).
On veut minimiser D par rapport aux 3 variables 1, 2, 3. D est une fonction quadratique de 1, 2,
3. Minimiser D revient à annuler ses dérivées et donc à résoudre un système linéaire à 3 inconnues :
1, 2, 3.
Lorsque ce problème est résolu, on calcule :
V= 1 + 2 x + 3 y
4.2
Choix de la pondération des points du nuage
Toute l' "astuce" de ces méthodes se trouve dans le choix (difficile) des poids wj affectés aux points du
nuage.
· on décide a priori que le poids d'un point (Xj) ne dépend que de la distance (d) séparant ce
point du noeud n2 (pondération isotrope),
· si wj est une constante, le problème ne dépend plus du noeud inconnu n2. La fonction F est
unique (pour tous les noeuds de ma2) : c'est "la droite de régression linéaire" du nuage,
· si wj(d) est une fonction trop peu décroissante, la fonction F est trop "lissée" : les "accidents"
locaux sont "gommés" par le grand nombre de points lointains pris en compte,
· si wj(d) est une fonction trop décroissante, on prend le risque de n' "attraper" aucun point du
nuage. La conséquence numérique est que le système linéaire à résoudre devient singulier (et
donc insoluble).
Nous avons choisi d'écrire w(d) comme un exponentielle décroissante paramétrée par 2
paramètres : dref et :
w d
e d dref
( )
( /
)
= -
2
dref est une distance de référence (dépendant du noeud n2). Nous allons voir ci-dessous
comment elle est calculée. est une constante choisie pour annuler plus ou moins
rapidement le poids des points distants de n2. Dans le code, a été choisi à 0.75.
dref est la distance à partir de laquelle on souhaite voir le poids des points diminuer
rapidement. Dans la programmation, dref est calculée comme le produit d'une distance d1
par un coefficient C1. Aujourd'hui, nous avons choisi C1 = 0.45.
d1 est défini comme suit :
· en 3D, d1 est le rayon de la plus petite boule de centre n2 qui contient 4 points du
nuage non co-planaires,
· en 2D, d1 est le rayon de la plus petite boule de centre n2 qui contient 3 points du
nuage non alignés.
Le problème est dit "2D" si tous les noeuds du maillage ma1 ont la même coordonnée z, il est
dit "3D" sinon.
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4.3
Restriction actuelle de la programmation
Les 2 méthodes de projection NUAGE_DEG_0/1 ne sont programmées que pour les champs réels ( et
non pour les champs complexes)
5
éléments de validation
Pour valider les 3 méthodes proposées, nous allons traiter l'exemple de la projection d'un champ de
température "unidimensionnel" T = T(x) .
Le champ à projeter vaut :
T(x) = sin(3x) + Heavysi (
de x - )
1
Ce champ est affecté sur les noeuds d'un maillage (ma1) linéaire assez grossier (14 mailles) du
segment [0,2]. Ce champ possède la propriété d'être discontinu (en théorie) au point x=1. Du fait de la
discrétisation sur le maillage ma1, le champ semble seulement varier très brutalement entre les 2
points x=0.99 et x=1.01
On projette ce champ sur un maillage (ma2) très fin du même segment (300 éléments de longueur
2/300).
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5.1 Méthode
:
'ELEM'
EDF
Electricité
de France
Méthode : 'ELEM'
1.0
0.8
0.6
avant projection
Température
après projection
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
coordonnée X
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
On constate qu'avec cette méthode, le champ projeté est sans surprise : la valeur obtenue par
projection est toujours l'interpolée linéaire entre les 2 noeuds de ma1 où le champ est connu.
5.1.1 Maillage initial quadratique
Si on refait le même calcul en remplaçant le maillage linéaire ma1 par un maillage quadratique
(contenant environ 2 fois moins de mailles), on trouve :
EDF
Electricité
de France
Méthode : 'ELEM'
1.2
1.0
0.8
é
rature
0.6
avant projection
Temp
après projection
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
coordonnée X
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
On constate que l'interpolation du champ est maintenant parabolique entre les noeuds de ma1. On
approche donc mieux la forme de la fonction initiale.
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5.2 Méthode
:
'NUAGE_DEG_0'
EDF
Electricité
de France
Méthode : 'NUAGE_DEG_0'
1.0
0.8
0.6
é
rature
avant projection
Temp
après projection
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
coordonnée X
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
On constate qu'avec cette méthode, le champ projeté se présente comme une succession de petits
"paliers" horizontaux reliés entre eux. Cet aspect en escalier est lié aux paramètres ( et C1) choisis en
"dur" dans le code pour la forme de la décroissance exponentielle du poids des points. On voit
également que la discontinuité du champ initial est très fortement gommée.
5.2.1 Influence de la forme des exponentielles décroissantes
Sur la figure suivante, nous avons modifié un paramètre de l'exponentielle décroissante de la méthode
'NUAGE_DEG_0' : le paramètre dref (ou C1 ce qui revient au même) a été multiplié par 0.5 ou 2. par
rapport à la valeur retenue par le code.
EDF
Electricité
de France
Méthode : NUAGE_DEG_0
1.4
1.2
1.0
0.8
r
e
0.6
é
r
a
tu
avant projection
mp
te
0.4
dref=0.5 dref
dref= 1. dref
0.2
dref= 2. dref
0.0
-0.2
-0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
coordonnée X
On constate que le choix de dref influe beaucoup sur le résultat. S'il est trop grand, on ne voit plus la
discontinuité. S'il est trop petit, la forme en marche d'escalier s'accentue.
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5.3 Méthode
:
'NUAGE_DEG_1'
EDF
Electricité
de France
Méthode : 'NUAGE_DEG_1'
1.0
0.5
é
rature
0.0
avant projection
Temp
après projection
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
coordonnée X
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
On constate qu'avec cette méthode, le champ projeté est correct dans les 2 zones régulières (x<0.99 et
x>1.01).
En revanche la discontinuité du champ entre ces 2 valeurs est fortement exagérée. Cet exemple illustre
bien la faculté qu'à cette méthode à extrapoler les valeurs des points initiaux (du fait de l'estimation du
gradient du champ).
Dans les 2 parties régulières, le champ projeté est assez voisin de celui obtenu avec la méthode
'ELEM'. On remarque simplement que la méthode 'NUAGE_DEG_1' arrondit un peu les angles
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5.3.1 Influence de la forme des exponentielles décroissantes
Sur la figure suivante, nous avons modifié un paramètre de l'exponentielle décroissante de la méthode
'NUAGE_DEG_1' : le paramètre dref (ou C1 ce qui revient au même) a été multiplié par 0.5 ou 2. par
rapport à la valeur retenue par le code.
EDF
Electricité
de France
Méthode : NUAGE_DEG_1
1.4
1.2
1.0
0.8
t
u
re
0.6
é
ra
avant projection
mp
te
0.4
dref=0.5 dref
dref= 1. dref
0.2
dref= 2. dref
0.0
-0.2
-0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
agraf 13/10/2000 (c) EDF/DER 1992-1999
coordonnée X
Là encore, on constate que le choix de dref est crucial pour le résultat : trop grand, la discontinuité
est gommée, trop petit, la discontinuité est exagérée.
5.4
Choix de la meilleure méthode de projection
Au vu des quelques courbes précédentes, il parait clair que la méthode 'ELEM' est en général
préférable aux méthodes NUAGE_DEG_0/1. Cette méthode est "naturelle" dans le cadre des éléments
finis et elle ne dépend d'aucun coefficient numérique d'ajustement.
Les méthodes NUAGE_DEG_0/1 doivent être réservées, à notre avis, pour des utilisations un peu
spéciales :
· cas
d'un
maillage
ma1 "inexistant" : on ne dispose que des noeuds mais pas des mailles (par
exemple, les "noeuds" de ma1 sont en fait des capteurs de mesure),
· cas d'un champ (résultat d'un calcul ou obtenu par des mesures) que l'on veut lisser
volontairement. Mais dans ce cas, il faudrait que les 2 paramètres numériques (C1 et ) soient
accessibles à l'utilisateur ce qui n'est pas le cas aujourd'hui.
6 Bibliographie
[1]
I. VAUTIER : "Eléments iso-paramétriques" , Documentation de Référence du Code_Aster
n° [R3.01.00]
Manuel de Référence
Fascicule R7.20 : Projection de résultats ou de mesure
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