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7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 1/56
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, SAMTECH
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document R3.07.05
Eléments de coques volumiques en non linéaire
géométrique
Résumé :
Nous présentons dans ce document la formulation théorique et l'implantation numérique d'un élément fini de
coque volumique pour des analyses en non linéaire géométrique. Cette approche doit permettre de prendre en
compte de grands déplacements et de grandes rotations de structures minces, dont le rapport épaisseur sur
longueur caractéristique est inférieur à 1/10. On veillera à ce que ces rotations restent inférieures à 2 .
Cette formulation est basée sur une approche de milieu continu 3D, dégénérée par l'introduction de la
cinématique de coque en contraintes planes dans la forme faible de l'équilibre. La mesure des déformations
que nous retenons est celle de Green-Lagrange, énergétiquement conjuguée aux contraintes de Piola-Kirchhoff
de deuxième espèce. La formulation de l'équilibre est donc lagrangienne totale.
Le problème entièrement non linéaire géométrique est examiné en premier. Le cas du flambement linéaire est
traité comme un cas limite de la première approche.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Formulation ............................................................................................................................................5
2.1 Géométrie des éléments de coque volumique ................................................................................5
2.2 Cinématique des coques volumiques..............................................................................................6
2.3 Loi de comportement .......................................................................................................................9
2.3.1 Prise en compte du cisaillement transverse.........................................................................10
3 Principe du travail virtuel......................................................................................................................10
3.1 Travail virtuel interne .....................................................................................................................10
3.1.1 Forme incrémentale du travail virtuel interne .......................................................................11
3.1.2 Passage du repère global au repère local............................................................................11
3.1.3 Relation déformation-déplacement ......................................................................................13
3.1.4 Calcul des contraintes de Cauchy........................................................................................16
3.1.4.1 Cas général..............................................................................................................16
3.1.4.2 Approximation en petites déformations....................................................................16
4 Discrétisation numérique de la formulation variationnelle issue du principe du travail virtuel.............19
4.1 Eléments finis.................................................................................................................................19
4.2 Discrétisation du champ de déplacement......................................................................................20
4.3 Discrétisation du gradient du déplacement ...................................................................................22
4.3.1 Gradient du déplacement total .............................................................................................22
4.3.2 Gradient du déplacement virtuel ..........................................................................................24
4.3.3 Gradient du déplacement itératif ..........................................................................................25
4.3.4 Gradient de la variation itérative du déplacement virtuel .....................................................26
4.4 Discrétisation de la formulation variationnelle issue du principe du travail virtuel.........................27
4.4.1 Vecteur des forces internes..................................................................................................27
4.4.2 Matrice tangente de rigidité ..................................................................................................28
4.4.3 Schémas d'intégration ..........................................................................................................30
4.4.3.1 Opérateurs de déformations de substitution ............................................................30
4.4.3.2 Substitution de la partie géométrique de la matrice tangente de rigidité.................32
5 Rigidité autour de la transformée de la normale..................................................................................34
5.1 Singularité de la matrice tangente de rigidité ................................................................................34
5.2 Principe du travail virtuel pour les termes associés à la rotation autour de la normale ................34
5.3 Remarque ......................................................................................................................................37
5.4 Cas limite de l'analyse géométriquement linéaire .........................................................................37
5.5 Détermination du coefficient k .......................................................................................................38
6 Flambement linéaire ............................................................................................................................39
7 Implantation des éléments de coque dans le Code_Aster ..................................................................42
7.1 Description.....................................................................................................................................42
7.2 Utilisation .......................................................................................................................................42
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7.3 Calcul en " élasticité " non linéaire géométrique ...........................................................................42
7.4 Implantation ...................................................................................................................................43
7.4.1 Modification du TE0414........................................................................................................43
7.4.2 Ajout d'une routine VDGNLR..................................................................................................43
7.5 Calcul en flambement linéaire .......................................................................................................43
8 Conclusion...........................................................................................................................................44
9 Bibliographie........................................................................................................................................45
Annexe 1
: Organigramme du calcul en flambement linéaire ..................................................46
Annexe 2
: Organigramme du calcul non linéaire géométrique...............................................50
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1 Introduction
Les grandes transformations de coque sont caractérisées par de grands déplacements de la surface
moyenne et de grandes rotations des fibres initialement normales à cette surface. La transformation
est donc exactement représentée, du moins dans le problème continu. La dérivation des objets
éléments finis associés au système linéarisé d'équations issu du principe du travail virtuel est effectuée
sans aucune hypothèse simplificatrice sur les déplacements ou les rotations. De plus, un nouveau
schéma d'intégration numérique sélective est présenté afin de résoudre le problème de blocage en
membrane et en cisaillement transverse.
Les degrés de liberté de rotation retenus sont les composantes du vecteur de rotation itérative spatiale.
Entre deux itérations, c'est le vecteur de la rotation infinitésimale superposée à la configuration
déformée. Ce choix conduit à une matrice tangente de rigidité qui n'est pas symétrique. Ceci est dû au
caractère non vectoriel des grandes rotations qui appartiennent en réalité à la variété différentielle
SO(3). Les rotations doivent rester inférieures à 2 du fait du choix de mise à jour des grandes
rotations implanté dans le Code_Aster, pour lequel il y a non bijection entre le vecteur de rotation totale
et la matrice orthogonale de rotation.
Une différence importante par rapport à l'analyse linéaire est à signaler. Les objets éléments finis sont
directement construits dans le repère global ; les déplacements et les rotations nodaux sont mesurés
dans le repère global.
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2 Formulation
Dans ce chapitre, nous présentons les différentes équations gouvernant le problème de déformation
de la coque dans le cadre d'une théorie de grandes transformations.
2.1
Géométrie des éléments de coque volumique
La coque volumique est représentée par le volume (ensemble des points (
Q 3 )
0 ) construit
autour de la surface moyenne (ensemble des points (
P 3 = )
0 ). En tout point Q de , on
construit un repère orthonormé local [t ( , , ) : t ( , , ) : n
1 1 2
3
2
1 2
3
( 1, 2)]. Le vecteur (n1,2)
représente la normale à la surface .
n( , ) ,
1
2
3
t ( , , )
0
2
1
2
3
t ( , , = 0)
2
1
2
3
2
Q ( 0) ·
3
P ( = 0) ·
3
t ( , , 0)
1
1
2
3
t ( , , = 0)
1
1
2
3
h
1
e , y
2
e , x
1
e , z
3
Figure 2.1-a : Coque volumique. Repères locaux sur la configuration de référence
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Dans la configuration initiale, la position d'un point quelconque Q normal à la surface moyenne peut
être exprimée, en fonction de la position du centre gravité P de la fibre normale, de la manière
suivante :
h
x (1,2 ,3) = x (1,2 ) + 3
(n
Q
P
1,2 )
2
2.2
Cinématique des coques volumiques
n
( ,
n
1 )
2
=
( ,
1 )
2
( ,
1 )
2
n
( ,
1 )
2
u
Q ( , , )
1
2
3
Q ( )
0
3
·
Q( )
0
3
·
P ( = )
0
3
·
P( = )
0 ·
3
h
uP ( , , = )
0
1
2
3
xQ ( , , )
1
2
3
xP ( , , = )
0
1
2
3
x Q ( , , )
1
2
3
e , y
2
xP ( , , = 0)
1
2
3
e , x
1
e , z
3
Figure 2.2-a : Coque volumique.
Grandes transformations d'une fibre initialement normale à la surface moyenne
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Dans la configuration déformée, la position du point Q peut aussi être exprimée en fonction de la
position du point P :
h
x (1,2 ,3) = x (1,2 ) + n
Q
P
3
(1,2)
2
où n est le vecteur unitaire obtenu par grande rotation de la normale n .
Le vecteur n n'est pas nécessairement normal à la surface moyenne déformée, du fait de la
déformation de cisaillement transverse. Il est relié au vecteur normal initial par la relation :
n = (1,2 )n
est l'opérateur orthogonal de la grande rotation autour du vecteur , d'angle , subie par la fibre
qui était initialement normale à la surface moyenne dont l'expression est donnée par :
sin
1- cos
= exp[×] = cos[I] +
[×] +
[ ]
2
où [×] est l'opérateur antisymétrique du vecteur de rotation totale dont l'expression matricielle
est :
0
- z
y
[×] =
0
z
- x
- y
0
x
et [ ] est l'opérateur symétrique donné par [ ] = T .
Plus de détails sur les grandes rotations et leur traitement numérique peuvent être trouvés dans [bib1]
ou [R5.03.40]. On peut aussi écrire :
t1 = ( 1
, 2
)t1
t2 = ( 1
, 2
)t2
On peut exprimer la variation virtuelle de l'opérateur de grande rotation sous la forme :
= [w ×]
où [w ×] est l'opérateur antisymétrique du vecteur de rotation virtuelle spatiale w qui est aussi la
partie rotation des fonctions tests :
[w ×]b = w b b R3
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Son expression matricielle est :
0
- wz
wy
[
w ×] =
w
0
z
- wx
-wy
w
0
x
On peut aussi exprimer la variation itérative de l'opérateur de grande rotation sous la forme :
= [w ×]
où w est le vecteur de rotation itérative spatiale, qui est aussi la partie rotation de la solution du
système d'équations linéarisées.
Ce vecteur peut être relié au vecteur de rotation itérative totale. On a ainsi les relations :
w = T() et w = T(
)
où T() est l'opérateur différentiel de rotation, dont l'expression en fonction du vecteur de rotation
totale est donnée par :
sin
1 - cos
- sin
T() =
[I ] -
[×] +
[ ]
2
3
Cette matrice possède les mêmes valeurs et vecteurs propres que la matrice et vérifie la relation :
T() = ()TT ()
Par ailleurs, la variation itérative de la matrice de rotation virtuelle peut être mise sous la forme :
= [w ×][w ×]
Le déplacement total du point Q sur la fibre peut être relié au déplacement du centre de gravité P :
h
u ( , , ) = u ( , ) + (n
1 2
3
1 2
3
(1,2)- (n
Q
P
1,2 )
2
Afin d'aboutir à un système d'équations linéarisées, obtenu à partir de la forme faible de l'équilibre,
nous avons besoin de calculer différentes variations différentielles de ce déplacement total. Le
déplacement virtuel a pour expression :
( , , ) = ( , ) + h
1 2
3
1 2
3
(1,2)
u
u
w
n (1,2 ) ; n
Q
P
= 0
2
Le déplacement itératif a pour expression :
h
u ( , , ) = u ( , ) + w( , ) n
1 2
3
1 2
3
1 2
(1,2) ; n
Q
P
= 0
2
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La variation itérative du déplacement virtuel a pour expression :
h
(1,2,3) = 3 (1,2 ) ( (1,2)
u
w
w
n
Q
(1,2)
2
Remarque : La formulation proposée reste limitée à des rotations inférieures à 2 . Cette limite est
due au choix particulier de mise à jour des grandes rotations implantées dans le Code_Aster. Ceci est
dû à la non bijection entre le vecteur de rotation totale et la matrice orthogonale de rotation.
2.3
Loi de comportement
Nous considérons une loi de comportement hyper élastique linéaire : les contraintes locales de
Piola-Kirchhoff de deuxième espèce sont proportionnelles aux déformations locales de
Green-Lagrange :
~
~
S = DE
Ci-après, le symbole ~ désigne les quantités exprimées dans le repère orthonormé
[t ( , , ) : t ( , , ) : n
1 1 2
3
2
1 2
3
( 1, 2)].
La matrice de comportement élastique linéaire en contraintes planes s'écrit comme suit :
E
E
0
0
0
1 - 2
1 - 2
E
0
0
0
1 - 2
E
D =
(
0
0
2 1 + )
Ek
sym
(
0
2 1 + )
Ek
(
2 1 + )
E étant le module d'Young, le coefficient de Poisson et k le coefficient de correction de
cisaillement transverse.
~
Dans le repère local, l'état de contrainte Piola-Kirchhoff de deuxième espèce est plan (Snn = )
0 et
peut être caractérisé par un vecteur à 5 composantes :
~
S
t t
~ 1 1
St t
~2 2
~
S
S = t t12
~
St n
1
~
St n
2
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Le vecteur des déformations de Green-Lagrange s'exprime lui aussi dans le repère local par un
vecteur à 5 composantes :
~
E
t t
~ 1 1
Et t
~ 2 2
~
E = t t12
~
t n
1
~
t n
2
~
Ici, nous avons ignoré le terme Enn qui est normal à la surface moyenne et qui n'est pas forcément
nul. Ceci est une conséquence de l'hypothèse des contraintes planes.
2.3.1 Prise en compte du cisaillement transverse
La correction de la contrainte de cisaillement transverse est effectuée par extension des équivalences
énergétiques déterminées dans le cas des petites déformations et des petits déplacements [R3.07.03].
3
Principe du travail virtuel
Le principe des travaux virtuels est la formulation faible de l'équilibre statique des forces internes et
des forces externes :
int - ext = 0
La non-linéarité des équations d'équilibre nous conduit à résoudre le système ci-dessus de façon
itérative par une méthode de Newton. Nous procédons ainsi à la linéarisation exacte du principe des
travaux virtuels à chaque itération, qui conduit à l'égalité :
- ext = ext -
int
int
3.1
Travail virtuel interne
Le travail virtuel des forces internes peut être écrit sur la configuration initiale sous la forme :
~ ~
int = ( .
E S)d
~
~
où E et S sont les vecteurs de déformation de Green-Lagrange et de contrainte Piola-Kirchhoff de
deuxième espèce respectivement, exprimés dans le repère local. En effet, comme l'état de contrainte
est plan pour le Piola-Kirchhoff de deuxième espèce, nous utilisons la formulation du principe du travail
virtuel dans le repère local. Cependant, pour limiter les passages du repère local au repère global et
vice-versa, les vecteurs de déformations et de contraintes locales ne sont pas calculés explicitement
dans le repère local mais ils sont obtenus par la rotation de leur représentation dans le repère global.
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3.1.1 Forme
incrémentale
du travail virtuel interne
La variation itérative du travail du travail virtuel interne s'écrit :
~ ~
~ ~
int = ( .
E S + .
E S)d
Dans cette égalité, la variation itérative du vecteur de contraintes locales de Piola-Kirchhoff de
deuxième espèce se calcule par la forme discrète itérative de la relation de comportement :
~ = ~
S
D E
3.1.2 Passage du repère global au repère local
Sous forme tensorielle on passe du tenseur des contraintes globales au tenseur des contraintes
locales 3 × 3 (voir [bib4] p. 111 pour les contraintes de Cauchy, les mêmes relations s'appliquant aux
contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce) en utilisant :
~
[S]
[
P S]PT
=
et du tenseur des contraintes locales au tenseur des contraintes globales par l'inversion de la relation
précédente :
T ~
[S] = P [S]P
Dans les deux expressions précédentes, la matrice de passage du repère local au repère global est
une matrice orthogonale P 1
- = PT , et son expression explicite en fonction des vecteurs unitaires du
repère orthonormé local est :
tT
1 (1,2 ,3 )
P(
T
1,2 ,3 ) = t2 (1,2 ,3 )
nT
(1,2)
Dans le cadre de la notation conventionnelle, on pourra noter :
t1( 1
, 2
, 3
) = e
0 1
t2( 1
, 2
, 3
) = e
0 2
t3( 1
, 2
, 3
) = (
n 1
, 2
) = e
0 3
avec la matrice orthogonale de passage (rotation initiale) :
0( 1
, 2
, 3
) = [t1
( 1
, 2
, 3
) : t2( 1, 2
, 3
) : t3( 1, 2
, 3
)]
On remarquera que :
=
0
PT
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Les deux relations de rotation des contraintes sont aussi valables pour les tenseurs des déformations
de Green-Lagrange. Néanmoins, une écriture qui relie les vecteurs de déformation locale et globale est
nécessaire. Cette relation permet de passer du vecteur 6 × 1 des déformations globales au vecteur
6 × 1 des déformations locales :
~
6 1
×
6×6 6 1
×
E = H E
avec l'expression de la matrice de transformation des vecteurs 6 × 1 de déformation (voir [bib2]
p. 258) :
2
2
2
1
l
1
m
1
n
1
l 1
m
1
m 1
n
1
n 1l
2
2
2
l
2
2
m
n2
l2 2
m
2
m n2
n2l2
6×6
2
2
2
l
m
n
l m
m n
n l
H
3
3
3
3 3
3 3
3 3
=
2 1ll2 2 1
m 2
m
2 1
n n2
1
l 2
m + l2 1
m
1
m n2 + 2
m 1
n
1
n l2 + n2 1l
2l
2l3
2 2
m
3
m
2n2n3 l2 3
m + l3 2
m
2
m n3 + 3
m n2 n2l3 + n3l2
2l l
2m m
2n n
l m
+ l m
m n + m n
n l + n l
3 1
3 1
3 1
3 1
1 3
3 1
1 3
3 1
1 3
et les composantes des vecteurs unitaires du repère local :
l = t .e
m = t .e
n
1
1
1
1
1
2
1 = t1.e3
l = t .e
m = t .e
n
2
2
1
2
2
2
2 = t 2 .e3
l = t .e
m = t .e
n
3
3
1
3
3
2
3 = t3.e3
Ces expressions sont générales pour les repères curvilignes. Dans le repère global cartésien
[e : e : e
1
2
3 ] , ces composantes sont :
l = t
1
1( )
1
m = t
1
1(2)
n = t
1
1( )
3
l = t
2
2 ( )
1
m = t
2
2 (2)
n = t
2
2 ( )
3
l = t
3
3( )
1
m = t
3
3(2)
n = t
3
3( )
3
Nous avons, en réalité, besoin d'une écriture qui relie le vecteur de déformation locale 5 × 1 et le
vecteur de déformation globale 6 × 1 :
~
5 1
×
5×6 6 1
×
E = H E
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6×6
Pour cela, on oublie la troisième ligne de l'expression de H (ligne associée à Snn ) :
(
2
2
2
t1( )
1 )
(t1(2))
(t1( )3)
2
2
2
5×6
(t2( )1)
(t2(2))
(t2( )3)
H = 2
t1( )
1 t2( )
1
2t1(2)t2(2) 2t1( )
3 t2( )
3
2t2( )1t3( )1 2t2(2)t3(2) 2t2( )3t3( )3
2
t3( )
1 t1( )
1
2t3(2)t1(2) 2t3( )
3 t1( )
3
t1( )
1 t1(2)
t1(2)t1( )
3
t1( )
3 t1( )
1
t2( )
1 t2(2)
t2(2)t2( )
3
t2( )
3 t2( )
1
t
1( )
1 t2(2) + t2( )
1 t1(2) t
t2( )
3 + t2(2)t1( )
3
t1( )
3 t2( )
1 + t2( )
3 t1( )
1(2)
1
t2( )
1 t3(2) + t3( )
1 t2(2) t2(2)t3( )
3 + t3(2)t2( )
3
t2( )
3 t3( )
1 + t3( )
3 t2( )
1
t
3( )
1 t1(2) + t1( )
1 t3(2) t3(2)t1( )
3 + t1(2)t3( )
3
t3( )
3 t1( )
1 + t1( )
3 t3( )
1
Les mêmes relations précédentes peuvent être appliquées pour le passage des vecteurs de
déformation globale à la déformation locale.
3.1.3 Relation
déformation-déplacement
Le tenseur 3 × 3 des déformations globales de Green-Lagrange est défini par (voir par exemple
[bib2]) :
1
[E] = ( u
+ uT + u
Tu)
2
avec le tenseur du gradient des déplacements :
u v w
x
x x x
u v w
u = u v w
y <
> = y y y
u v w
z
z z z
Le tenseur de déformation de Green-Lagrange peut aussi s'écrire :
[
1
E] = (FTF - I)
2
avec F le tenseur gradient des déformations 3 × 3 qui n'est pas symétrique :
F = x = I + u
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Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
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:
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et I le tenseur identité :
1 0
0
I = 0 1
0
0 0
1
Le vecteur 6 × 1 des déformations globales de Green-Lagrange est ordonné comme suit (voir [bib4]
p 117) :
1
2
2
2
E
,x
,x
,x
xx
u,x
(u +v +w )
2
1
E yy
v,y
2
2
2
2 (u,y + v,y + w,y )
E w
zz
,z
E =
=
+ 1
2
2
2
xy u,y + v,x
(u,z +v,z +w,z )
2
u
xz
,z +
w
u u
,x ,y + v v
,x ,y + w w
,x
,x ,y
u u + v v + w w
yz
v,z + w,y
,x ,z
,x ,z
,x ,z
u
,y u,z + v,y v,z + w,y w,z
On le calcule comme suit :
1
u u
E = Q + A(
)
2
x
x
avec :
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
Q =
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0
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et le vecteur du gradient des déplacements :
u,x
u,y
u
,z
v,x
u
v
=
x
,y
v,z
w,x
w,y
w,z
et le tenseur A dépendant du gradient des déplacements :
u
0
0
v
0
0
w
,x
,x
,x
0
0
0
u
0
0
v
0
0
w
,y
,y
,y
0
u
0
0
u
0
0
v
0
0
w
,z
,z
,z
A
x = u
u
0
v
v
0
w
w
,y
,x
,y
,x
,y
,x
0
u
0
u
v
0
v
w
0
w
,z
,x
,z
,x
,z
,x
0
u
u
0
v
v
0
w
w
,z
,y
,z
,y
,z
,y
La variation virtuelle, notée , des déformations de Green-Lagrange est obtenue par un calcul
différentiel :
u
u
E = Q
+
A
x x
Dans cette expression et dans celle qui suit, nous avons tenu compte de la propriété suivante (voir
[bib4] p 141) :
1 u
u 1 u u
A
= A
2 x x
2 x x
La variation itérative est elle aussi obtenue par un calcul différentiel :
u
u
E = Q
+ A
x
x
La variation itérative de la déformation virtuelle de Green-Lagrange se met ainsi sous la forme :
u u
u
u
E = A
+ Q + A
x x
x x
terme classique
terme non classique
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Alors que le premier terme de cette expression est classique pour les milieux continus 3D, le
deuxième, qui traduit la prise en compte des grandes rotations, l'est moins.
3.1.4 Calcul des contraintes de Cauchy
3.1.4.1 Cas
général
Le tenseur 3 × 3 des contraintes globales de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce est relié au tenseur
3 × 3 des contraintes globales de Cauchy par la relation :
[S] = (F)F- [ ]F-
det
1
T
Ainsi, connaissant l'état des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce, on peut calculer l'état
des contraintes de Cauchy par la relation :
[]
1
=
F S FT
det(F) [ ]
Il est à noter que l'état de contraintes de Cauchy n'est pas plan, en général, contrairement à l'état de
contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. Par ailleurs, le choix d'un repère local dans lequel
représenter ce tenseur n'est pas du tout évident. On montrera cependant, au paragraphe suivant, que
dans le cadre des petites déformations, il existe un repère local, facilement identifiable, dans lequel
l'état de contraintes de Cauchy est lui-aussi plan.
Dans le cas de lois tout à fait générales, une attention particulière devra porter sur les schémas
d'intégration numérique permettant de calculer les valeurs de substitution du gradient F aux points
d'intégration numérique normale.
3.1.4.2 Approximation en petites déformations
On rappelle [bib4] que le gradient F peut être écrit grâce à la décomposition polaire sous deux
formes :
F = RU = VR
où R = R -T est un tenseur orthogonal, et où U et V sont des matrices d'élongation symétriques
définies positives.
Dans le domaine non linéaire géométrique, nous pouvons introduire une simplification importante
dans la décomposition polaire du gradient des déformations si les déformations restent petites. Cette
simplification n'est pas introduite dans le calcul non linéaire mais en post-traitement des contraintes.
L'élongation au point Q étant mineure devant la grande rotation de la section :
U V I
On peut alors écrire :
F R =
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où est le tenseur de grande rotation qui transforme la normale n en n :
n = n
La simplification traduit le fait que sur une section, la transformation est réduite à une grande rotation.
Avec cette approximation du gradient des déformations, on peut écrire :
F R =
et donc, en exploitant l'orthogonalité de on obtient :
F-1 T
et :
det(F) 1.
Ces simplifications conduisent à la relation finale :
[] [
S]T
Cette relation traduit le fait que les contraintes de Cauchy sont tout simplement obtenues par la
grande rotation des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce.
On peut maintenant réécrire la propriété de contraintes planes du tenseur de Piola-Kirchhoff de
deuxième espèce n.[S]n = 0 sous la nouvelle forme :
n.T [ ] n
= 0
qui conduit par ailleurs à la propriété :
n .[ ]n
= 0
Soit encore :
~
= 0
n n
Les contraintes de Cauchy [(1,2 ,3)] sont aussi planes dans le repère local
[t(
1
, 2
, 3
) : t ( 1, 2
, 3
) : n ( 1, 2
) obtenu par grande rotation du repère local sur la
1
2
]
configuration initiale :
[t t n
:
:
]= [t : t :n
1
2
1
2
]
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Dans ce repère, nous pouvons écrire toutes les composantes du tenseur [ ] comme suit :
~
~
~
t .
1 [ ]t
t .
1
1 [ ]t
t .
2
1 [ ]n
t t
t t
t n
~1 1
~1 2
~1
= t .
2 [ ]t
t .
1
2 [ ]t
t .
2
2 [ ]n
t t
t t
t n
~2 1 ~2 1
2
0
n
t
n
t
n
n
.
[]
.
1
[]
.
2
[]
t n
t n
1
1
En reprenant la relation [ ] [
S]T , on obtient :
t
1 .[ ]t
t
1
1 .[ ]t
t
2
1 .[ ]n
t
1.[S]t
t
1
1.[S]t
t
2
1.[S]n
t
2 .[ ]t
t
1
2 .[ ]t
t
2
2 .[ ]n
= t
2.[S]t
t
1
2 .[S]t
t
2
2 .[S]n
n .[]t n
1
.[ ]t
n
2
.[ ]n
n.
[S]t
n
1
.[S]t
n
2
.[S]n
d'où le résultat final :
~
~
~
~
~
~
S
S
S
t t
t t
t n
t t
t t
t n
~1 1
~1 2
~1
~1 1 ~1 2 ~1
= S
S
S
t t
t t
t n
t t
t t
t n
2 2
2 2
2
~2 1 ~2 1
2
~
~
0
S
S
0
t n
t n
t n
t n
1
2
1
1
Pour autant que la déformation reste petite, les composantes du tenseur des contraintes de
Cauchy dans le repère local attaché à la configuration déformée sont identiques aux composantes
du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce dans le repère local attaché à
la configuration initiale.
Nous prenons le parti dans la suite, de ne considérer que les contraintes de Piola-Kirchhoff de
deuxième espèce. Nous devons noter que dans le cadre d'une loi constitutive plus générale, on
pourra passer d'une mesure de contrainte à une autre comme indiqué au paragraphe précédent.
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4
Discrétisation numérique de la formulation variationnelle
issue du principe du travail virtuel
4.1 Eléments
finis
Les trois figures ci-dessous résument les choix éléments finis concernant les coques volumiques
[R3.07.04]. Les éléments finis choisis sont des quadrangles ou des triangles isoparamétriques. Le
quadrangle est représenté ci-dessous. On choisit parmi les éléments à fonctions d'interpolation
quadratiques, l'élément hétérosis dont les déplacements sont approchés par les fonctions
d'interpolation de l'élément Sérendip et les rotations par les fonctions de l'élément de Lagrange.
Toutes les justifications quant à ces choix sont données dans [R3.07.04].
NB1 = 8
NB2 = 9
Elément Sérendip
Elément de Lagrange
Elément Hétérosis
~
uk ,
~
Figure 4.1-a : Familles d'éléments finis pour le quadrangle isoparamétrique
2
3 3 =1
7
3
4
= -
1
1
1 8
6
1
5
2
2 = 1
-
Figure 4.1-b : Elément volumique de référence
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2
4
7
3
3
8
P
1
6
5
1
2
Figure 41-c : Elément volumique réel
4.2
Discrétisation du champ de déplacement
Dans le but d'éviter le calcul explicite des courbures, qui devient extrêmement lourd dans le cas des
grandes rotations, nous choisissons d'interpoler la normale à la surface moyenne initiale au lieu
d'interpoler les rotations :
NB2
n(
2
1,2 )
( )
= NI (1,2)nI
I 1
=
(2)
où N I ( 1
, 2
) désigne la fonction d'interpolation au noeud I parmi les NB2 noeuds de Lagrange.
Les mêmes interpolations sont adoptées pour la transformée de la normale initiale :
NB2
n (
2
1, 2 )
( )
= N1 ( 1, 2) n
I
I 1
=
L'interpolation de la position initiale d'un point sur la surface moyenne de la coque (point P) est donnée
par :
x
(
1
NB
x
1
1,2 )
( )
=
N I (1,2 ) y
I 1
=
z I
( )1
où N I ( 1
, 2
) désigne la fonction d'interpolation au noeud I parmi les NB1 = NB2 -1 noeuds de
Serendip.
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L'interpolation de la position initiale d'un point quelconque de la coque (point Q) peut alors être écrite
sous la forme :
x
n
NB
x
(
1
NB
2
h
x
1
2
N
y
I
1,2 ,3 )
( )
=
(1,2)
( )
+ 3
N I (1,2 )ny
2
I 1
=
I 1
z
=
nz
I
Les mêmes interpolations sont adoptées pour la position déformée d'un point quelconque de la fibre :
x
n
1
NB
NB2
h
x
x (
1
2
N
y
I
1,2 ,3 )
( )
=
(1,2)
( )
+ 3
N I (1,2 )
ny
2
I 1
=
I 1
=
z
nz
I
Les interpolations pour les positions initiale et déformée étant les mêmes, nous pouvons les adopter
pour le déplacement réel d'un point quelconque de la coque :
u
n
n
1
NB
NB2
h
x
x
u(
1
2
N
v
N
n
n
I
1,2 ,3 )
( )
=
(1,2)
( )
+ 3
I
(1,2)
y - y
2
I 1
=
I 1
=
w
I
nz
nz
I
I
Ainsi, l'interpolation du déplacement virtuel devient :
u
0
- n
n
NB
z
y
w
1
NB
2
h
x
u(
1
2
N
v
I
1,2 ,3 )
( )
=
(1,2)
( )
- 3
N I (1,2 )
n
0
z
- nx wy
2
I 1
=
I 1
=
w
-
n
n
0
y
x
I
wz
I
I
De même, l'interpolation du déplacement itératif devient :
u
0
- n
n
NB
z
y
w
1
NB
2
h
x
u(
1
2
N
v
I
1,2 ,3 )
( )
=
(1,2)
( )
- 3
N I (1,2 )
n
0
z
- nx wy
2
I 1
=
I 1
=
w
-
n
n
0
y
x
I
wz
I
I
De plus, l'interpolation de la variation itérative du déplacement virtuel est :
NB2
h
( , , )
(2)
=
NI (1,2)
2
( (
u
w
w n
1 2
3
3
)
I 1
=
I
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4.3
Discrétisation du gradient du déplacement
4.3.1 Gradient du déplacement total
Le vecteur du gradient du déplacement réel peut être relié au gradient isoparamétrique du
déplacement réel par la relation suivante :
u ~-1 u
= J
x
Le gradient isoparamétrique du déplacement est organisé comme suit :
u,
1
u,2
u,
3
v, 1
u
v,
=
2
v,
3
w,
1
w,
2
w,3
~
La matrice jacobienne généralisée 9 × 9 J -1 peut être exprimée en fonction de la matrice jacobienne
de la transformation isoparamétrique 3 × 3 comme suit :
J-1
0
0
~
J -1 =
0
J -
1
0
0
0
J -1
Le gradient isoparamétrique du déplacement réel peut être calculé comme suit :
u N e
=
p
1
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avec la première matrice des dérivées des fonctions de forme :
2
( )
( )
1
N
N
3
I
0
0
0
0
,
I
1
,
1
( )
(2)
1
0
0
N
N
3
I
0
0
,
I
2
,
2
(2)
0
0
0
N
I
0
0
( )
1
(2)
0
N
0
0
N
0
I
3
,
I
,
1
1
( )
h
1
(2)
L
0
N
0
0
N
0
I
L = 1, N 1
B
I
3
,
I
,
2
2
2
(2)
0
0
0
0
N
0
( )
I
0
0
N 1
(2)
I
,
0
0
N
1
3
I
,
( )
1
0
0
N 1
(2)
I
,
0
0
N
2
3
I , 2
0
0
0
(
2)
N
0
0
N
I
=
(2)
1
N
0
0
3
NB2,
1
(2)
N
0
0
3
NB2,
2
(2)
N
0
0
NB2
(
2)
0
N
0
3
NB2,
1
h
(2)
0
N
0
2
3
NB2,
2
0
(2)
N
NB2
0
(
2)
0
0
N
3
NB2, 1
(
2)
0
0
N
3
NB2, 2
(
2)
0
0
N
NB2
et le vecteur de " déplacement réel nodal généralisé " :
M
u
v
w
nx - nx
n
y - ny
pe
n
=
z - nz
I
M
I = 1, NB1
M
n
x - nx
n
y - n y
n
z - nz NB2
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Finalement, on pourra écrire le gradient de déplacement réel sous la forme :
u ~
-1 N
e
= J
p
x
1
4.3.2 Gradient du déplacement virtuel
En procédant similairement au gradient du déplacement réel, on peut relier les deux gradients de
déplacement virtuel :
u ~-1 u
= J
x
Le gradient isoparamétrique du déplacement virtuel peut être calculé comme suit :
u N
=
e
u
2
avec la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme :
(2)
(2)
( )1
0
N n
3
,
z
-
I
N
3
I
1
n
N
,
y
1
I
0
0
, 1
(2)
(2)
( )
1
0
N
n
3
,
z
-
0
0
I
N
3
I
2
n
N
,
y
2
I
, 2
0
N (2)
(2)
0
0
0
1 n
- N
z
1 ny
( )
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N n
I
0
,
3
I
,
z
3
I
,
x
1
1
1
( )
h
L
(2)
(2)
0
N 1
0
- N
n
0
N
n LI = 1, NB1
I
,
3
I
,
z
3
I
,
x
2
2
2
2
0
0
0
(2)
(2)
- N n
0
N
n
( )
1
z
1
x
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N n
- N n
0
1
3
I
,
y
3
I
,
x
( )
1
1
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N
n
- N
n
0
2
3
I
,
y
3
2
I , 2
x
0
0
0
(2)
(2)
N
N
1 n
- N
y
1 n
0
x
=
(2)
(2)
2
0
N
n
3
- N
n
NB2, z
3
NB2, y
1
1
(2)
(2)
0
N
n
3
- N
n
NB2,
z
3
NB2,
y
2
2
(2)
(2)
0
N
n
NB2 z
- N
n
NB2 y
(
2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2, z
3
NB2, x
h
1
1
(2)
(2)
-
3 N
n
0
,
z
N
n
2
NB2
3
NB2
2
,
x
2
(2)
(2)
- N
NB2n
0
N
z
NB2nx
(2)
(2)
3 N NB2 n
,
y
- 3N NB2 n
0
1
, 1 x
(2)
(2)
N
n
N
n
0
3
NB2
,
y
- 3 NB2
2
, 2 x
(
2)
(2)
N
NB2ny
-
N NB2n
0
x
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Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
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:
05/04/05
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et le vecteur des variables nodales virtuelles :
M
u
v
w
wx
w
y
ue = wz
I
M
I = 1, NB1
M
w
x
w
y
wz NB2
Finalement, on pourra écrire le gradient de déplacement virtuel sous la forme :
u ~
-1 N
J
e
=
u
x
2
4.3.3 Gradient du déplacement itératif
La démarche ici est similaire au calcul virtuel. Il suffit de remplacer par :
u ~
-1 N
e
= J
u
x
2
avec le vecteur des variables nodales itératives :
M
u
v
w
wx
w
y
ue = wz
I
M
I = 1, NB1
M
w
x
w
y
w
z NB2
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4.3.4 Gradient de la variation itérative du déplacement virtuel
u ~
-1 N
e
= J
q
x
3
avec :
(2)
N
3
I
0
0
, 1
(2)
N
0
0
3
I
, 2
(2)
N
0
0
I
(2)
0
N
3
0
,
I
N
h
1
(2)
= L
0
0
,
,
L = 1
2
N
I
NB
3
I
2
2
3
(2)
0
N
I
0
(2)
0
0
N
3
I
, 1
(2)
0
0
N
3
I
, 2
(
2)
0
0
N
I
et le vecteur de la variation itérative " déplacement virtuel nodal " généralisé :
.
.
.
( w
( w n
e
)
q
I
=
.
.
.
I = ,
1 NB2
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4.4 Discrétisation de la formulation variationnelle issue du principe du
travail virtuel
Nous reprenons la variation itérative (entre deux itérations) du travail virtuel interne :
~
~
~ ~
int = ( .
E S + .
E S)d
et la variation itérative du vecteur de contraintes locales de Piola-Kirchhoff de deuxième :
~ = ~
S
D E
Alors, la forme linéarisée du principe des travaux virtuels du §3 peut être écrite pour l'élément fini décrit
ci-dessus sous la forme matricielle suivante :
ue K e
e
e
e
e
.
T u
= u .(f - r )
où ue est le vecteur nodal des fonctions tests. On en déduit le système d'équations :
K e
e
e
e
T u
= f - r
où :
KeT
est la matrice tangente de rigidité
ue
est le vecteur élémentaire de la solution du système linéarisé d'équations (vecteur nodal
entre deux itérations)
est le niveau de charge externe
f e
est le vecteur nodal des forces externes (associé à = 1)
re
est le vecteur nodal des forces internes
4.4.1 Vecteur des forces internes
Il s'agit là d'un vecteur (6 ×
1
Nb + )
3 × 1 entièrement exprimé dans le repère global et qui doit être
évalué à chaque itération par la relation :
re =
BT S
Jd d d
~ ~ det
2
1
2
3
avec le vecteur des contraintes locales Piola-Kirchhoff de deuxième espèce :
~
~
S = DE
On rappelle que le symbole ~ désigne un objet exprimé dans le repère local.
Les déformations locales de Green-Lagrange sont remises à jour à chaque itération :
~
~
E = B pe
1
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où l'opérateur des déformations totales (premier opérateur des déformations) s'écrit :
~
1 u ~ N
B = H Q
+ A
J 1
-
1
2 x
1
avec le gradient du déplacement réel :
u ~
-1 N
e
= J
p
x
1
L'opérateur des déformations virtuelles (deuxième opérateur des déformations) :
~
u ~ N
B = H Q + A
J 1
-
2
x
2
est mis en évidence par les relations :
~ ~
E = B
e
2u
~
~
E = B ue
2
4.4.2 Matrice tangente de rigidité
La matrice tangente de rigidité qui est de taille (6 ×
1
NB + )
3 × (6 ×
1
NB + )
3 s'exprime aussi
entièrement dans le repère global. On doit pouvoir l'évaluer à chaque itération si on veut que la
convergence de la méthode de Newton soit quadratique. D'une façon classique en non linéaire
géométrique, elle prend la forme :
K e = K e + K e
T
m
g
où la première partie représente la partie matérielle :
K e =
BT DB
J
m
d d d
~ ~ det
2
2
1
2
3
et la deuxième partie représente la partie géométrique, elle même composée de deux parties :
K e = K e
+ K e
g
g
g
classique
non classique
avec la partie classique de la partie géométrique (voir [bib4] p. 141) :
T
N
N
K e
=
J -1
SJ -
~
~ 1 det J
g
d d d
classique
1
2
3
2
2
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où S le tenseur généralisé des contraintes exprimées dans le repère global s'écrit :
3×3
[ S]
0
0
9×9
S = 0
[S] 0
0
0
[S]
La partie non classique de la partie géométrique représente des termes découplés de rotation non
symétriques qui ont pour forme :
3×3
K e
(I, I) =[z ×][n
g
I
I ×]
non classique
où n I est la transformée de la normale initiale au noeud I et zI un vecteur 3 × 1 au noeud
I = 1, NB2 du vecteur nodal 3 × ( NB2 × )
1 Z I
.
.
.
z
Z
I
I =
.
.
.
I = ,
1 NB
2
Le vecteur nodal Z I est similaire à un vecteur de force interne et son expression est :
Z =
BT S
J
I
d d d
~ ~ det
3
1
2
3
avec l'opérateur de la variation itérative des déformations virtuelles (troisième opérateur des
déformations) :
~
u ~ N
B = H Q
+ A
J 1
-
3
x
3
qui est mis en évidence par la relation :
~ T ~
~
~
B S det Jd
d d =
E
.S
3
1
2
3
d
non classique
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4.4.3 Schémas
d'intégration
L'intégration des termes de rigidité dans l'épaisseur de la coque est identique à la méthode utilisée en
analyse linéaire géométrique [R3.07.04] pour des comportements non linéaires. L'épaisseur initiale est
divisée en N couches d'épaisseurs identiques. Il y a trois points d'intégration par couche. Les points
d'intégration sont situés en peau supérieure de couche, au milieu de la couche et en peau inférieure
de couche. Une couche dans l'épaisseur de la coque se révèle suffisante dans la plupart des cas.
Afin de pouvoir palier au problème de blocage en membrane des coques courbes et de résoudre le
problème de blocage en cisaillement transverse, il est nécessaire de modifier le schéma d'intégration
sur la surface moyenne. Si la technique est complètement connue en analyse linéaire, elle l'est moins
en analyse non linéaire géométrique.
La procédure se présente comme une généralisation de la séparation des effets de membrane, de
flexion et de cisaillement transverse au cas où l'on utilise les déformations de Green-Lagrange :
~
~
E
E = m
~
ES
~
E
t t
~
~
~ 11
~
t n
où E
1
m = Et t représente la déformation de membrane-flexion et ES =
~
la déformation de
~ 2 2
t n
2
t t12
cisaillement transverse.
Lors de l'évaluation numérique des déformations aux points d'intégration numérique normale de Gauss
~
~
(9 points pour le quadrilatère et 7 points pour le triangle), on utilise la relation E = B pe
1
. La
modification est introduite au niveau du premier opérateur des déformations :
~
substitution
~
B
mf
B
1
1 =
~
B substitution
s
1
~
~
B
substitution
substitution
mf
et B
sont les premiers opérateurs des déformations de substitution de
1
s1
membrane-flexion et de cisaillement transverse, respectivement.
Lors du calcul du vecteur nodal des forces internes et de la partie matérielle de la matrice tangente de
rigidité, la modification est introduite de façon analogue au niveau du deuxième opérateur des
déformations :
~
su
~
B
mf
B
2
2 =
~
B su
s
2
4.4.3.1 Opérateurs de déformations de substitution
Dans ce qui suit les points d'intégration numérique normale et réduite de Gauss, sur la surface
moyenne, sont au nombre de NPGSN = 9 et NPGSR = 4 , respectivement, pour l'élément
quadrilatéral, et NPGSN = 7 et NPGSR = 3, respectivement, pour l'élément triangulaire.
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Partie membrane-flexion
Au point INTSN parmi les NPGSN points d'intégration numérique normale de Gauss de la surface
moyenne, on calculera :
normal
normal
~
B substitution
complet
incomplet
mf
(INTSN) ~
= Bmf
(INTSN) ~
- Bmf
(INTSN) +
1
1
1
réduit
N
incomplet
I ( INTSN )~
Bmf
(INTSR)
1
INTSR= ,
1 NPGSR
où INTSR est un point parmi les NPGSR points d'intégration numérique réduite de Gauss de la
surface moyenne.
normal
~
complet
~
Dans l'expression ci-dessus, B mf
représente les trois premières lignes de B
1
1 calculé aux
N
points d'intégration numérique normale en considérant la matrice complète
. L'opérateur
1
normal
~
~
B
incomplet
mf
représente les trois premières lignes de B
1
1 calculé aux points d'intégration numérique
N
normale en considérant une matrice
incomplète où les colonnes de rotation sont annulées :
1
( )
N 1
I
0
0
0 0 0
,
0 0 0
1
( )
N 1
0
0
0 0
0 0 0
I
0
, 2
0
0
0
0 0
0
0 0 0
( )
1
inc
0
N
0
0 0 0
0 0 0
I
N
,
1
( )
= L
1
0
0
0 0
0 L = 1,
1 0 0 0
N
I
NB
I
,
1
2
0
0
0
0 0
0
0 0 0
( )
0
0
N 1
0 0 0
I
0 0 0
, 1
( )
0 0 0
0
0
N 1
0 0
I
0
, 2
0 0 0
0
0
0
0 0
0
reduit
~
incomplet
~
Les B mf
(INTSR) représentent les trois premières lignes de B
1
1 calculées aux points
N inc
d'intégration numérique réduite avec la matrice
incomplète définie ci-dessus. Elles sont donc
1
stockées pour être extrapolées à chaque point d'intégration numérique normale.
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Partie cisaillement transverse
Pour la partie cisaillement transverse, on calculera :
réduit
~
B substitution (INTSN ) =
N (INTSN)~B complet
s
1
I
s
(INTSR)
1
INTSR= ,
1 NPGSR
reduit
~ complet
~
où B s
(INTSR) représente les deux dernières lignes de B
1
1 calculées aux points d'intégration
N
numérique réduite avec une matrice
complète. Elles sont aussi stockées pour être extrapolées
1
à chaque point d'intégration numérique normale.
4.4.3.2 Substitution de la partie géométrique de la matrice tangente de rigidité
La partie non classique de la matrice tangente de rigidité K eg
est numériquement
non classique
intégrée aux points d'intégration normale de Gauss. Aucune opération de substitution n'est nécessaire.
Pour la partie classique de la matrice tangente de rigidité, nous utilisons la substitution :
normale
normale
réduit
réduit
complet
incomplet
incomplet
complet
membrane
membrane
membrane
cisaillement
substitution
K e
= K e flexion
- K e flexion
+ K e flexion
+ K e transverse
g
g
g
g
g
classique
classique
classique
classique
classique
où :
normale
complet
membrane
K e flexion
g
est numériquement intégrée sur les points d'intégration normale avec une matrice
classique
N
complète, et les contraintes locales de membrane flexion seulement ;
2
normale
incomplet
membrane
K e flexion
g
est numériquement intégrée sur les points d'intégration normale avec une matrice
classique
N
incomplète, et les contraintes locales de membrane flexion seulement ;
2
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réduit
incomplet
membrane
K e flexion
g
est numériquement sommée sur les points d'intégration réduite avec une matrice
classique
N
incomplète, et les contraintes locales intégrées de membrane flexion seulement ;
2
réduit
complet
cisaillement
K e transverse
g
est numériquement sommée sur les points d'intégration réduite avec une matrice
classique
N
complète, et les contraintes locales intégrées de cisaillement transverse seulement ;
2
Pour pouvoir calculer les deux dernières matrices tangentes dans l'équation précédente, nous
procédons à l'intégration numérique des contraintes locales sur les NPGSN points d'intégration
normale :
~
S(INTSR) =
N (INTSR) ~S(INTSN) det J d d
1
d
I
2
3
INTSN = ,
1 NPGSN
Cette équation contient les termes de poids des points de Gauss.
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5
Rigidité autour de la transformée de la normale
5.1
Singularité de la matrice tangente de rigidité
Bien que les objets éléments finis de la coque sont exprimés directement dans le repère global
[e : e : e
1
2
3 ] (les degrés de liberté sont des déplacements et des rotations dans le repère global),
la matrice tangente de rigidité présente une singularité par rapport à la composante de la rotation
autour de la transformée de la normale en chaque noeud :
K e n
T
= 0
w
w
I=1,NB2
Les contributions (w n )
sont nulles.
I =1,NB2
Dans l'équation précédente, cette matrice représente la rigidité de rotation dans le repère global. Sa
structure est pleine :
k
k
k
[
11
12
13
K eT ] = k
k
k
I
12
22
23
w
w
k
k
k
31
32
33 I
c'est une matrice non symétrique.
Cette singularité est une conséquence directe de la cinématique de coque. Elle est due au produit
vectoriel apparaissant dans les déplacements linéarisés (virtuel et incrémental). Ainsi le déplacement
entre deux itérations est donné par :
h
u (1,2 ,3) = u (1,2 ) + 3 w(1,2 ) n
Q
p
(1,2)
2
h
On remarque que la contribution
w( , )
3
1 2 n (1,2 ) est perpendiculaire à n . On
2
interprète cette singularité de la façon suivante : la rotation d'une fibre initialement normale à la surface
moyenne ne conduit pas à une élongation de celle-ci, et par conséquent n'induit pas de déformation.
5.2 Principe du travail virtuel pour les termes associés à la rotation
autour de la normale
Nous proposons de définir la rotation totale autour de la transformée de la normale à la coque comme
la projection du vecteur de rotation totale sur la transformée de la normale :
= .n
n
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On rappelle que le vecteur de rotation est un invariant de la matrice de rotation = exp[×]
=
Le vecteur de rotation est un vecteur propre de la matrice de rotation associé à la valeur propre
identitaire. De ce fait, la première relation se réécrit :
= ().(n)
n
= .
n
= n
Cette relation traduit un résultat important :
La projection du vecteur de rotation totale sur la transformée de la normale est égale à la
projection du vecteur de rotation totale sur la normale initiale
Sous forme discrète, on définit une énergie de déformation associée à cette rotation :
1
2
=
k
2
(
n
n ) I
I =1,NB2
où k est une rigidité de torsion dont la détermination de la valeur sera discutée plus loin. On suppose
que cette rigidité reste constante et ne subit ni variation virtuelle ni variation incrémentale.
On suppose l'existence du potentiel :
1
=
k (( .
n )( .
n ))
n
2
I
I =1,NB2
que l'on peut réécrire sous une forme plus élégante :
1
=
k ( [
n n ])
n
2
I
I =1,NB2
En exploitant la propriété d'orthogonalité -1 = T de la matrice de rotation :
T
n
n
n n
=
=
n
n T
= nnT
(
)(
)
= n n
Cette propriété sera exploitée dans la double linéarisation de l'énergie potentielle.
On réécrit le potentiel sous la forme :
1
=
k ( [
n n])
n
2
I
I =1,NB2
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7.4
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Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
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05/04/05
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X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
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La première linéarisation de , permet d'obtenir la variation virtuelle :
n
1
=
k
(
[
n n] + [
n n
] )
n
2
I
I =1,NB2
= k
(
[
n n]) I
I =1,NB2
Il est nécessaire d'exprimer cette forme-là en fonction des fonction tests de rotations retenues dans la
forme variationnelle.
= -
T 1(
) w
avec l'expression de la matrice inverse de l'opérateur différentiel de rotation :
1
1
T-1() = 2 [I] - [×] +
1- 2 [ ]
2
2
tan
tan
2
2
D'où la forme finale du travail virtuel qui permet de déduire le vecteur des forces intérieures :
-T
= k
(wT ()[n n])
n
I
I = ,
1 NB2
On procède à la deuxième linéarisation de :
n
-T
-T
= k
w. T ( )[n n] + T ( )[n n]
n
( (
)
=
I
I
,
1 NB2
avec le choix particulier des ddls de rotation w = 0 , et du fait que la normale initiale ne " bouge
pas " pendant les itérations n = 0 .
L'expression de l'opérateur tangent qui donne naissance aux termes correspondant aux ddls de
rotation autour de la transformée de la normale de matrice tangente est la suivante :
-T
-1
-T
= k
w. T ( )[n n T
]
( ) w
+ k
w. T
( )[n n]
n
( (
) )I
( (
)
I = ,
1 NB2
=
I
I
,
1 NB2
Dans cette relation, le dernier terme est un terme différentiel dû à la relation non linéaire entre les
paramètres de rotation. Sa linéarisation est lourde à effectuer et sa contribution sera négligée dans
l'expression de l'opérateur tangent.
Avec la propriété : n
n
= n n , nous donnons l'expression finale :
-T
-1
k
w. T ( )[n n T
]
( ) w
n
( (
) )
=
I
I
,
1 NB2
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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On note la contribution de l'opérateur T-1() [I ] dans la matrice tangente de rigidité.
5.3 Remarque
L'énergie potentielle apportée par les termes de rotation autour de la transformée de la normale est
non nulle même pour un mouvement de rotation rigide. Cette énergie ne correspond pas à une
déformation. C'est pour cette raison qu'elle doit être non significative. La valeur par défaut du
COEF_RIGI_DRZ doit garantir cela.
5.4
Cas limite de l'analyse géométriquement linéaire
Dans le cas de l'analyse géométriquement linéaire, la configuration initiale et la configuration
déformée sont confondues ce qui nous conduit à confondre la normale initiale n avec sa transformée
n :
n n
Les rotations deviennent petites dans ce cas et l'opérateur de grande rotation devient:
= exp[×] [I] + [×]
L'opérateur différentiel des rotations devient :
T() [I ]
et les paramètres de rotations deviennent confondus :
w et w
Toutes ces approximations introduites dans le travail virtuel conduisent à sa simplification :
k
(
[
n n])
n
I
k = ,
1 NB2
Les mêmes approximations introduites dans la partie différentielle du travail virtuel conduisent aussi à
sa simplification :
k (
[n n
] )
n
I
k = ,
1 NB2
Les deux dernières équations sont celles de l'analyse géométriquement linéaire. Elles montrent que
les contributions dans le vecteur des forces intérieures et dans la matrice tangente de rigidité
recouvrent bien le cas limite de [R3.07.04].
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5.5
Détermination du coefficient k
Le coefficient k est calculé à chaque itération de chaque pas de temps. A chaque itération de Newton
de chaque pas de temps, on construit aux NB2 noeuds la matrice de passage
I = [t
: t
: n
1
2
] ; I =1,NB2
I
qui permet de passer du vecteur w I , vecteur de rotation itérative au noeud exprimé dans le repère
global [e : e : e
1
2
3 ] au vecteur ~
w I exprimé dans repère local [t : t : n
1
2
] : I
~w I = Iw ; = ,
I
I
1 NB2
On peut construire en chaque noeud, la matrice [KeT ] de taille 3× 3
I
~
w w
[ K e ]
T
= [ K e ]
~ ~T I
I
T I
I
w w
w
w
Cette matrice représente la rigidité de rotation dans le repère local. Sa structure, non symétrique, est :
k
k
0
t t
tt
1 1
1 2
[ K e ] = k
k
0
~ ~T I
t t
t t
2 1
2 2
w w
k k
0
n t
nt
1
2
I
Le coefficient k est alors calculé suivant la relation :
k = COEF _ RIGI _ DRZ × KMIN
où COEF_RIGI_DRZ est un coefficient introduit comme une caractéristique mécanique de coque par
l'utilisateur. En analyse linéaire classique des coques ou des plaques, ce coefficient est choisi entre
0.001 et 0.000001. Par défaut il vaut 0.00001 . Dans le cas de grandes rotations calculées avec des
grands pas de charge, on conseille d'utiliser la valeur 0.001.
~
KMIN est le minimum des termes non nuls de rotation sur la diagonale de K eT .
KMIN =
MIN
k , k
I
,NB
t t
t t
=1
2
1 1
2 2
I
Remarque :
Il serait sans doute plus rigoureux de calculer k à la première itération du premier pas de temps
et de stocker cette valeur comme une information invariante pendant les itérations et les pas de
temps suivants. L'expérience montre que cette façon de procéder n'est souvent pas optimale dans
la mesure où les valeurs des coefficients des matrices de rigidité peuvent évoluer de façon
importante au cours d'un calcul en grands déplacements. La valeur de k déterminée initialement
peut alors devenir trop petite et la matrice de rigidité finir par être singulière.
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6 Flambement
linéaire
Le flambement linéaire se présente comme un cas particulier du problème non linéaire géométrique. Il
est basé sur l'hypothèse d'une dépendance linéaire des champs de déplacements, de déformations et
de contraintes par rapport au niveau de charge, et ce, avant que la charge critique ne soit atteinte.
Dans une formulation lagrangienne totale, on rappelle que l'équilibre linéarisé peut s'écrire sous la
forme variationnelle :
int - ext = ext - int
soit sous forme matricielle après discrétisation :
u K u
T = u (f - r)
où la dépendance de la matrice tangente de rigidité K T est non linéaire par rapport au vecteur de
déplacement nodal généralisé p =
U pe .
e= ,Nel
1
Si nous supposons la dépendance linéaire du déplacement par rapport au niveau de charge, on peut
écrire :
u = u0
où u0 est la solution obtenue suite à une analyse linéaire pour = 1 par :
K u
f
0 0 =
où K 0 est la matrice tangente de rigidité initiale. On peut alors développer la matrice tangente de
rigidité d'une manière linéaire par rapport au niveau de charge :
U
e
e
e
e
K T = K 0 + (Ku + K ) + ....
e=1,Nel
où K e
e
u est la matrice des déplacements initiaux dépendant de p0 , traditionnellement négligée dans le
Code_Aster, et K e la matrice des contraintes initiales dépendant du tenseur global des contraintes
~
de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce [S0] et du vecteur local S0 . Ces contraintes sont
volontairement confondues avec les contraintes de Cauchy. Elles sont obtenues par un post-traitement
de l'analyse linéaire.
Pour la partie rotation de pe , l'hypothèse de linéarité des déformations en fonction du niveau de
charge se traduit par l'égalité de :
n = n
I
I
qui nous conduit à confondre les normales initiales nI avec leurs transformées n I .
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La matrice des contraintes initiales K e représente la partie constante en de la partie géométrique
de la matrice tangente de rigidité. Elle est évaluée au point pe0 et = 1 avec une transformée de la
normale remplacée par la normale initiale :
K e = K e
+ K e
classique
non classique
avec la partie classique de la partie géométrique (voir [bib4] tome 1 p. 141) :
T
e
-1 N
-1 N
K
=
J
~
~
SJ
det J
d 1
d 2
d
classique
3
2
2
où la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme devient :
(2)
(2)
( )1
0
N n
3
,
z
-
I
N
3
I
1
n
N
,
y
1
I
0
0
, 1
(2)
(2)
( )
1
0
N
n
3
,
z
-
0
0
I
N
3
I
2
n
N
,
y
2
I
, 2
(2)
0
N
n
(2)
0
0
0
N
n
I
z
-
I
y
( )
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N n
3
,
3
I
0
,
I
z
I
,
x
1
1
1
( )
h
L
(2)
(2)
0
N 1
0
- N
n
0
N
n
LI = 1, NB1
3
I
,
z
3
I
,
x
I
, 2
2
2
2
2
2
0
0
0
( )
( )
- N n
0
N
n
I
z
I
x
( )
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N n
3
- N n
0
1
I
,
y
3
I
,
x
( )
1
1
0
0
N 1
(2)
(2)
N n
N
n
0
I
,
3
-
2
I
,
y
3
I
,
x
2
2
0
0
0
(2)
(2)
N n
N
n
0
N
I
y
-
I
x
=
(2)
(2)
2
0
N
n
3
- N
n
NB2, z
3
NB2, y
1
1
(2)
(2)
0
N
n
3
- N
n
NB2,
z
3
NB2,
y
2
2
(2)
(2)
0
N
n
NB2 z
- N n
1
y
(
2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2, z
3
NB2, x
h
1
1
(2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2,
z
3
NB2,
x
2
2
2
- N (2)
(2)
NB n
2 z
0
N NB n
2 x
(2)
(2)
N
3
-
NB
n
2
,
y
N
3
NB
n
2
,
x
0
1
1
(2)
(2)
N
3
-
NB
n
2
,
y
N
3
NB
n
2
,
x
0
2
2
(
2)
(2)
N
NB n
2 y
- N NB n
2 x
0
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
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Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
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:
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et le tenseur généralisé des contraintes globales :
3×3
[ S ]
0
0
9×9
S = 0
[S] 0
0
0
[S]
La partie non classique de la partie géométrique représente les termes découplés de rotation, non
symétriques. Puisque l'algorithme actuel de résolution du problème aux valeurs propres [R5.06.01]
[K +(Ku +K
0
)] = 0 ( étant le niveau de charge critique) ne considère que des matrices
symétriques, on rend symétrique, en divisant par deux la somme avec sa transposée, la matrice :
1
K e
(I, I) =
×
×
non classique
[(zI ][n
I
])
2
où n I est la normale au noeud I et zI un vecteur 3× 3 au noeud I = 1, NB2 du vecteur nodal
3 × (3 × NB2) Z I :
.
.
.
z
Z
I
I =
.
.
.
I = ,
1 NB
2
Le vecteur nodal Z I est similaire à un vecteur de force interne et son expression est :
Z =
BT S
J
I
d d d
~ ~ det
3
1
2
3
avec l'opérateur de la variation itérative des déformations virtuelles (troisième opérateur des
déformations) :
~
~ N
B = HQJ 1
-
3
3
qui est mis en évidence par la relation :
~ T ~
~
~
B S det Jd
d d = Enon classique S
3
1
2
3
d
Remarque :
Pour l'intégration numérique dans l'épaisseur des différents termes de rigidité, nous retenons un
schéma de Gauss à deux points tout comme en élasticité pour les coques linéaires géométriques
[R3.07.04].
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R3.07.05-B Page
: 42/56
7
Implantation des éléments de coque dans le Code_Aster
7.1 Description
Ces éléments (de noms MEC3QU9H et MEC3TR7H) s'appuient sur des mailles QUAD9 et TRIA7 qui sont
de géométrie courbes [R3.07.04].
7.2 Utilisation
Ces éléments s'utilisent de la façon suivante :
AFFE_MODELE ( MODELISATION : 'COQUE_3D' ...) pour le triangle et le quadrangle.
On fait appel à la routine INI080 pour les calculs standard d'intégration numérique.
AFFE_CARA_ELEM ( COQUE:(EPAISSEUR:'EP'
ANGL_REP
:
(
'' '' )
COEF_RIGI_DRZ
:
'CTOR')
pour introduire les caractéristiques de coque.
ELAS : (E :young NU : ALPHA :.. RHO :.. )
Pour un comportement thermo-élastique isotrope homogène dans l'épaisseur on utilise le mot-clé
ELAS dans DEFI_MATERIAU où l'on définit les coefficients E , module d'Young, , coefficient de
Poisson, , coefficient de dilatation thermique et la masse volumique.
AFFE_CHAR_MECA ( DDL_IMPO : (
DX :.. DY :.. DZ :.. DRX :.. DRY :.. DRZ :.. DDL de plaque dans le repère global.
FORCE_COQUE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. )
Il s'agit des efforts surfaciques sur des éléments de plaque. Ces efforts peuvent être donnés dans le
repère global ou dans le repère utilisateur défini par ANGL_REP.
FORCE_NODALE : (FX :.. FY :.. FZ :.. MX :.. MY :.. MZ :.. )
Il s'agit des efforts de coque dans le repère global.
7.3
Calcul en " élasticité " non linéaire géométrique
Le calcul impose les instructions utilisateur suivantes :
COMP_ELAS : (RELATION : 'elas'
COQUE_NCOU : 1 (ou plus)
DEFORMATION : 'green_gr')
L'intégration numérique dans l'épaisseur est basée sur une approche multi-couches avec 3 points
d'intégration par couche. Il s'agit de l'approche actuellement utilisée en non linéaire matériel
[R3.07.04]. Les options de post-traitement SIEF_ELNO_ELGA des contraintes et VARI_ELNO_ELGA des
variables internes (ici nulles) sont par défaut activées à la convergence de chaque pas archivé.
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: 43/56
7.4 Implantation
Les options FULL_MECA, RIGI_MECA_TANG, et RAPH_MECA sont déjà actives dans les catalogues
élémentaires mec3qu9h.cata et mec3tr7h.cata pour la non-linéarité matérielle. Elles dirigent le
calcul vers /fort/te0414.f, ensuite vers /fort/vdxnlr.f pour calculer et stocker, entre autres, la
matrice tangente de rigidité symétrique dans l'adresse correspondante au mode MMATUUR PMATUUR.
Pour l'analyse non linéaire géométrique, le calcul de la matrice tangente de rigidité est dirigé vers la
nouvelle routine VDGNLR. Cette matrice n'est pas symétrique et doit être stockée dans l'adresse
correspondant au mode MMATUNS PMATUNS.
On définit les deux modes locaux symétrique et non symétrique à la fois, en sortie des catalogues
élémentaires. La matrice tangente de rigidité non symétrique en non linéaire géométrique est stockée
à l'adresse réservée à une matrice non symétrique. Par contre, s'il s'agit de non linéarité matérielle en
petites déformations, toute la matrice tangente de rigidité est stockée à l'adresse correspondant au
mode non symétrique. La partie triangulaire inférieure est dupliquée à partir de la partie triangulaire
supérieure. Le calcul non linéaire matériel en petites déformations se déroule donc aussi en non
symétrique.
7.4.1 Modification
du
TE0414
Le calcul est dirigé vers /fort/vdgnlr.f quand le type de comportement COMP_ELAS est vérifié,
c'est-à-dire quand le problème est non linéaire géométrique.
7.4.2 Ajout d'une routine VDGNLR
Selon l'option, la routine /fort/vdgnlr.f a pour rôle de :
Options : FULL_MECA et RAPH_MECA :
Calculer les 6 composantes de l'état des contraintes locales de Cauchy (confondu avec l'état des
contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce) aux points d'intégration numérique normale et le
vecteur nodal des forces internes. Ils sont stockés dans les modes locaux ECONTPG PCONTPR et
MVECTUR PVECTUR respectivement.
Options : FULL_MECA et RIGI_MECA_TANG :
Calculer et stocker la matrice tangente de rigidité non symétrique dans le mode MMATUNS PMATUNS.
7.5
Calcul en flambement linéaire
L'option RIGI_MECA_GE, inactive jusqu'à présent, est activée dans les catalogues élémentaires
mec3qu9h.cata et mec3tr7h.cata.
Le nouveau TE0402 est dédié au calcul de la matrice de rigidité géométrique due aux contraintes
initiales pour le flambement d'Euler. On récupère les états plans des contraintes locales de Cauchy
(composante Snn nulle) aux points d'intégration numérique normale de Gauss. Ces états de
contraintes doivent être obtenus par post-traitement avec l'option de calcul SIEF_ELGA_DEPL suite à
une analyse linéaire (mode ECONTPG PCONTRR).
En analyse de flambement d'Euler, les contraintes [ ] de Cauchy peuvent être confondues avec les
contraintes [S] de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. C'est pour cela que nous garderons la
notation [S] .
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La matrice de rigidité des contraintes initiales peut être décomposée en une partie classique
symétrique et une partie non classique non symétrique. La première est calculée en fonction du
tenseur global des contraintes 3 × 3, contrairement à la deuxième qui, elle, est calculée en fonction du
vecteur des contraintes locales 5 × 1.
Puisque l'algorithme actuel de résolution du problème aux valeurs propres [R5.06.01] ne considère
que des matrices symétriques, nous forçons la symétrie de la partie non classique de la matrice
géométrique avant de stocker la partie triangulaire supérieure de toute la matrice dans le mode
MMATUUR PMATUUR.
8 Conclusion
La formulation que nous venons de décrire s'applique aux calculs de structures minces courbes en
grands déplacements, dont le rapport épaisseur sur longueur caractéristique est inférieur à 1/10. Elle
vient en complément direct des éléments finis décrits dans la précédente documentation de référence
[R3.07.04] et utilisés dans le cadre des petits déplacements et déformations. Ils s'appuient sur les
mêmes mailles quadrangle et triangle.
Leur formulation repose sur une approche de milieu continu 3D dans laquelle on introduit une
cinématique de coque de type Hencky-Mindlin-Naghdi, en contraintes planes, dans la formulation
faible de l'équilibre. La mesure des déformations retenue est celle de Green-Lagrange,
énergétiquement conjuguée aux contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. La formulation
de l'équilibre est donc lagrangienne totale. La distorsion transverse est traitée de la même manière
qu'en [R3.07.04]. Les rotations doivent rester inférieures à 2 du fait du choix de mise à jour des
grandes rotations implanté dans le Code_Aster pour lequel il y a non bijection entre le vecteur de
rotation totale et la matrice orthogonale de rotation.
Du fait de la singularité de la matrice tangente de rigidité par rapport à la composante de la rotation
autour de la transformée de la normale, on définit une énergie de déformation fictive associée à cette
rotation. A cette rotation, on associe une rigidité de torsion constante. Les efforts intérieurs associés à
cette énergie potentielle sont pris en compte. Cette énergie potentielle, non nulle, ne correspond pas
à une déformation physique. Il faut donc qu'elle reste négligeable, ce que l'utilisateur peut contrôler en
imposant une valeur du COEF_RIGI_DRZ valant de 103 à 105.
Pour le post-traitement des contraintes, on se limite au cadre des petites déformations. On a alors pu
établir l'identité entre le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff observé dans la géométrie initiale
et le tenseur des contraintes de Cauchy dans la géométrie déformée. En outre, l'état des contraintes
étant plan pour le tenseur de Piola-Kirchhoff, on retrouve cette propriété pour l'état de contraintes de
Cauchy. Il est à noter que dans des contextes plus généraux, cette propriété n'est pas conservée.
Le flambement linéaire est traité comme un cas particulier du problème non linéaire géométrique. Il
repose sur l'hypothèse d'une dépendance linéaire des champs de déplacements, de déformations et
de contraintes par rapport au niveau de charge, avant la charge critique. Il en résulte que l'on peut
développer la matrice tangente de rigidité linéairement par rapport au niveau de charge. On retrouve
alors la partie géométrique des matrices du non linéaire géométrique général obtenue en identifiant la
déformée de la normale à la surface moyenne et la normale initiale, ce qui est cohérent avec la
linéarité des déformations en fonction du niveau de charge.
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: 45/56
9 Bibliographie
[1]
Al Mikdad M., " Statique et Dynamique des Poutres en Grandes Rotations et Résolution des
Problèmes d'Instabilité Non Linéaire ", thèse de doctorat, Université de Technologie de
Compiègne, 1998.
[2]
Bathe K.J., " Finite Element Proceedings in Engineering Analysis ", Prentice Hall, New Jersey,
1982.
[3]
Cardonna A., " An Integrated Approach to Mechanism Analysis ", thèse de doctorat,
Université de Liège, 1989.
[4]
Crisfield M.A., " Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures ", Volume 1 :
Essentials, John Wiley, Chichester, 1994.
[5]
Crisfield M.A., " Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures ", Volume 2 :
Advanced topics, John Wiley, Chichester, 1994.
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Cinématique Non Linéaire des Coques
", rapport SAMTECH, contrat
PP/GC-134/96, 1998.
[7]
Simo J.C., "
The (symmetric) Hessian
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Mechanics : Intrinsic Definition and Geometric Interpretation", Comp. Methods Appl. Mech. 96
: 189-200, 1992.
[8]
Vautier I., " Mise en oeuvre de STAT_NON_LINE ", manuel de développement Code_Aster
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[9]
Massin P., " Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4g ", Manuel de Référence du
Code_Aster [R3.07.03].
[10]
Massin P., Laulusa A., Al Mikdad M., Bui D., Voldoire F., " Modélisation Numérique des
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[11]
Lorentz E., " Relation de Comportement Elastique Non Linéaire ", Manuel de Référence du
Code_Aster [R5.03.20].
[12]
Jacquart G., " Méthode de Ritz en dynamique linéaire et non linéaire ", Manuel de Référence
du Code_Aster [R5.06.01].
[13]
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Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
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Version
7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 46/56
Annexe 1 : Organigramme du calcul en flambement linéaire
Repères locaux aux NB2 noeuds [t : t : n
1
2
] I
Boucle sur les points d'intégration numérique normale de Gauss
~
~
S S
t t
t t
~ 1 1
~1 1
St t St t
2 2
~2 2
~
~
2S
·
t t
t t
récupération du vecteur des contraintes locales S = 1 2 =
1 2
~
~
t n
2
1
St n1
~
~
t n
2
2
St n
2
~
S
t t
~1 1
St t
2 2
0
à partir des 6 composantes tenseurs stockées dans le mode PCONTRR ~
St t
~1 2
S
t n
~1
S
t n
2
~
· formation du tenseur symétrique 3 × 3 des contraintes locales [S]
tT
1 (1,2 ,3 )
· construction de la matrice de transformation P(
T
1,2 ,3 ) = t2 (1,2 ,3 ) où t3(
1 23 ) = (
n
1 2 )
tT
3 (1,2 ,3)
T ~
· calcul du tenseur symétrique 3 × 3 des contraintes globales [S] = P [S]P
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7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 47/56
×
3 9
[HSFM ]
·
pour le terme non classique, calcul de HQ = 2×9
[HSS]
HQ =
(
2
2
2
t
1( )
1 )
(t1(2))
(t1( )3)
t1( )
1 t1(2)
t1(2)t1( )
3
t1( )
3 t1( )
1
(
2
2
2
t
2 ( )
1 )
(t2(2))
(t2( )3)
t2 ( )
1 t2 (2)
t2 (2)t2 ( )
3
t2 ( )
3 t2 ( )
1
(
2
2
2
t3( )
1 )
(t3(2))
(t3( )3)
t3( )
1 t3(2)
t3(2)t3( )
3
t3( )
3 t3( )
1
2t2 ( )
1 t3( )
1
2t2 (2)t3(2) 2t2 ( )
3 t3( )
3
t2 ( )
1 t3(2) + t3( )
1 t2 (2) t2 (2)t3( )
3 + t3(2)t2 ( )
3
t2 ( )
3 t3( )
1 + t3( )
3 t3( )
1
2t
( )1t ( )1 2t (2)t (2) 2t ( )
3 t ( )
3
t ( )
1 t (2) + t ( )
1 t (2)
t (2)t ( )
3 + t (2)t ( )
3
t ( )
3 t ( )
1 + t ( )
3 t
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
3 ( )
1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0
· calcul de la matrice jacobienne inverse J -1 et du déterminant det J
~
N
· calcul de J -
1 avec :
3
(2)
3
N I,
0
0
1
(2)
N
0
0
3
I ,
2
(2)
N
0
0
I
(2)
J -1
0
0
0
3
N I,
0
1
~-
1
-
N
1
h
(2)
J
= 0
J
0
;
=
L
0
= 1,
2
3
N
I ,
0
LI
NB
2
2
1
0
0
J -
3
(2)
0
N
0
I
(
2)
0
0
3
N
I ,
1
(
2)
0
0
3
N I,
2
(2)
0
0
N I
~
~ N
· calcul du troisième opérateur des déformations B = HQJ 1
-
3
3
· calcul et intégration numérique Z =
BT S
J
I
d d d
~ ~ det
3
1
2
3
· calcul du tenseur généralisé des contraintes globales
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Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 48/56
3×3
[ S ]
0
0
9×9
S = 0
[S] 0
0
0
[S]
~
N
· calcul de J -
1 avec :
2
(2)
(2)
( )1
0
N n
3
,
z
-
I
N
3
I
1
n
N
,
y
1
I
0
0
, 1
(2)
(2)
( )
1
0
N
n
3
,
z
-
0
0
I
N
3
I
2
n
N
,
y
2
I
, 2
(2)
0
N
n
(2)
0
0
0
N
n
1
z
-
1
y
( )
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N n
3
,
3
I
0
,
I
z
I
,
x
1
1
1
( )
h
L
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N
n
LI = 1, NB1
3
I
,
z
3
I
,
x
I
0
, 2
2
2
2
2
2
0
0
0
( )
( )
- N n
0
N
n
1
z
1
x
( )
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N n
3
- N n
0
1
I
,
y
3
I
,
x
( )
1
1
0
0
N 1
(2)
(2)
N n
N
n
0
I
,
3
-
2
I
,
y
3
I
,
x
2
2
0
0
0
(2)
(2)
N n
N
n
0
N
1
y
-
1
x
=
(2)
(2)
2
0
N
n
3
- N
n
NB2, z
3
NB2, y
1
1
(2)
(2)
0
N
n
3
- N
n
NB2,
z
3
NB2,
y
2
2
(2)
(2)
0
N
n
NB2 z
- N n
1
y
(
2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2, z
3
NB2, x
h
1
1
(2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2,
z
3
NB2,
x
2
2
2
- N (2)
(2)
NB n
2 z
0
N NB n
2 x
(2)
(2)
N
3
-
NB
n
2
,
y
N
3
NB
n
2
,
x
0
1
1
(2)
(2)
N
3
-
NB
n
2
,
y
N
3
NB
n
2
,
x
0
2
2
(
2)
(2)
N
NB n
2 y
- N NB n
2 x
0
· calcul et intégration numérique de la matrice de rigidité géométrique classique
T
e
-1 N
-1 N
K
=
J
~
~
SJ
det J
d d
1 d
2
classique
3
2
2
Fin boucle sur les points d'intégration
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Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 49/56
Boucle sur tous les noeuds de Lagrange avec distinction du super noeud
.
.
.
zI
· calcul de [zI ×] sachant que ZI =
.
.
.
I
= ,
1 NB2
· calcul du vecteur normale n I et de sa matrice anti-symétrique [nI ×]
· calcul de la matrice de rigidité géométrique non classique
3×3
K e
(I,I) =
,
non classique
[zI ×][n
I ×]
I = 1 NB2
3×3
· rajout de K e
(I, I) avec distinction du super noeud
non classique
Fin boucle sur les noeuds
Stockage de la partie triangulaire supérieure de K e
FIN
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Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 50/56
Annexe 2 : Organigramme du calcul non linéaire géométrique
Repères locaux aux NB2 noeuds [t : t : n
1
2
] I
Début Boucle JN sur les NB2 noeuds
IF JN NB1
· récupération du vecteur de déplacement total déjà mis à jour par MAJOUR :
u (ii) ZR(IDEPLP IDEPLM 1 6*( JN
)1 ii) ; ii 13, ; (JN 1, NB
I
=
+
- +
- +
=
=
)1
· récupération du vecteur de rotation totale déjà mis à jour par MAJOUR
I (ii) = ZR(IDEPLP -1+ 6*( JN - )1 + ii + )
3
; ii = 1 3
,
; (JN = 1, NB )
1
ELSE JN
· récupération du vecteur de rotation totale
I (ii) = ZR(IDEPLP -1+ 6* NB1+ ii) ; ii = 1 3, ; ( JN = NB2)
END IF JN
· calcul de la matrice de rotation I =
[
exp I ×]
· transformée de la normale n = n
I
I
I
Fin Boucle sur les NB2 noeuds
M
u
v
w
nx - nx
n
y - ny
Calcul de pe
n
=
z - nz I
M
I = 1, NB
1
M
n
x - nx
ny - ny
nz - nz
NB2
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Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
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X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
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: 51/56
Début Boucle INTSR sur les points d'intégration réduite normale de Gauss
~
~
· construction d'une partie des opérateurs B , B
1
2
aux J = 1, INTSR points d'intégrations pour pouvoir les extrapoler
Fin Boucle INTSR sur les points d'intégration réduite normale de Gauss
Début Boucle INTSN sur les points d'intégration numérique normale de Gauss
· construction de la matrice de transformation :
< t
T
1(1,2 ,3 ) >
t1 (1,2 ,3)
P(
T
1,2 ,3 ) = < t2 (1,2 ,3 ) > = t2 (1,2 ,3 )
< t
T
3(1,2 ,3 ) >
t
3 (1,2 ,3)
où t ( , , ) = (
n
3 1 2
3
1
, 2
)
· calcul de la matrice jacobienne inverse J -1 et du déterminant det J
J-1
0
0
~
· calcul de J -1 =
0
J -
1
0
0
0
J -1
N
· calcul de la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme
1
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Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 52/56
2
( )
( )
1
N
N
3
I
0
0
0
0
,
I
1
,
1
( )
(2)
1
0
0
N
N
3
I
0
0
,
I
2
,
2
(2)
0
0
0
N
I
0
0
( )
1
(2)
0
N
0
0
N
0
I
3
,
I
,
1
1
( )
h
1
(2)
L
0
N
0
0
N
0
I
L = 1, N 1
B
I
3
,
I
,
2
2
2
(2)
0
0
0
0
N
0
( )
I
0
0
N 1
(2)
I
,
0
0
N
1
3
I
,
( )
1
0
0
N 1
(2)
I
,
0
0
N
2
3
I , 2
0
0
0
(
2)
N
0
0
N
I
=
(2)
1
N
0
0
3
NB2,
1
(2)
N
0
0
3
NB2,
2
(2)
N
0
0
NB2
(
2)
0
N
0
3
NB2,
1
h
(2)
0
N
0
2
3
NB2,
2
0
(2)
N
NB2
0
(
2)
0
0
N
3
NB2, 1
(
2)
0
0
N
3
NB2, 2
(
2)
0
0
N
NB2
u ~
-1 N
· calcul de
e
= J
p
x
1
u
0
0
v
0
0
w
,x
,x
,x
0
0
0 u
0
0
v
0
0
w
,y
,y
,y
0
u
0
0
u
0
0
v
0
0
w
,z
,z
,z
· calcul de A
x = u
u
0
v
v
0
w
w
,y
,x
,y
,x
,y
,x
0
u
0
u
v
0
v
w
0
w
,z
,x
,z
,x
,z
,x
0
u
u
0
v
v
0
w
w
,z
,y
,z
,y
,z
,y
1 u
·
calcul de H Q
+ A
2 x
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Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
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Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
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: 53/56
H =
(
2
2
2
t
1( )
1 )
(t1(2))
(t1( )3)
t1( )
1 t1(2)
t1(2)t1( )
3
t1( )
3 t1( )
1
(
2
2
2
t
2 ( )
1 )
(t2(2))
(t2( )3)
t2 ( )
1 t2 (2)
t2 (2)t2 ( )
3
t2 ( )
3 t2 ( )
1
(
2
2
2
t3( )
1 )
(t3(2))
(t3( )3)
t3( )
1 t3(2)
t3(2)t3( )
3
t3( )
3 t3( )
1
2t2 ( )
1 t3( )
1
2t2 (2)t3(2) 2t2 ( )
3 t3( )
3
t2 ( )
1 t3(2) + t3( )
1 t2 (2) t2 (2)t3( )
3 + t3(2)t2 ( )
3
t2 ( )
3 t3( )
1 + t3( )
3 t3( )
1
2t
( )1t ( )1 2t (2)t (2) 2t ( )
3 t ( )
3
t ( )
1 t (2) + t ( )
1 t (2)
t (2)t ( )
3 + t (2)t ( )
3
t ( )
3 t ( )
1 + t ( )
3 t
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
3 ( )
1
· calcul du premier opérateur des déformations
~
1 u ~ N
B = H Q
+ A
J 1
-
1
2 x
1
~
~
· calcul du vecteur des déformations locales E = B pe
1
N
· calcul de la deuxième matrice des dérivées des fonctions de forme
2
(2)
(2)
( )1
0
N n
3
,
z
-
I
N
3
I
1
n
N
,
y
1
I
0
0
, 1
(2)
(2)
( )
1
0
N
n
3
,
z
-
0
0
I
N
3
I
2
n
N
,
y
2
I
, 2
0
N (2)
(2)
0
0
0
1 n
- N
z
1 ny
( )
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N n
I
0
,
3
I
,
z
3
I
,
x
1
1
1
( )
h
L
(2)
(2)
0
N 1
- N
n
0
N
n LI = 1, NB1
I
0
,
3
I
,
z
3
I
,
x
2
2
2
2
0
0
0
(2)
(2)
- N n
0
N
n
( )
1
z
1
x
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N n
- N n
0
1
3
I
,
y
3
I
,
x
( )
1
1
0
0
N 1
(2)
(2)
I
,
N
n
- N
n
0
2
3
I
,
y
3
2
I , 2
x
0
0
0
(2)
(2)
N
N
1 n
- N
y
1 n
0
x
=
(2)
(2)
2
0
N
n
3
- N
n
NB2, z
3
NB2, y
1
1
(2)
(2)
0
N
n
3
- N
n
NB2,
z
3
NB2,
y
2
2
(2)
(2)
0
N
n
NB2 z
- N
n
NB2 y
(
2)
(2)
- N
n
0
N
n
3
NB2, z
3
NB2, x
h
1
1
(2)
(2)
-
3 N
n
0
,
z
N
n
2
NB2
3
NB2
2
,
x
2
(2)
(2)
- N
NB2n
0
N
z
NB2nx
(2)
(2)
3 N NB2 n
,
y
- 3N NB2 n
0
1
, 1 x
(2)
(2)
N
n
N
n
0
3
NB2
,
y
- 3 NB2
2
, 2 x
(
2)
(2)
N
NB2ny
-
N NB2n
0
x
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
R3.07.05-B Page
: 54/56
· calcul du deuxième opérateur des déformations
~
u ~ N
B = H Q + A
J 1
-
2
x
2
· calcul et intégration numérique re =
BT S
Jd d d
~ ~ det
2
1
2
3
· calcul de la matrice de comportement D
· calcul et intégration numérique K e =
BT DB
J
m
d d d
~ ~ det
2
2
1
2
3
~
· construction du tenseur symétrique 3 × 3 des contraintes locales [S]
T ~
· calcul du tenseur symétrique 3 × 3 des contraintes globales [S] = P [S]P
~
T
~
N
· calcul de B = [
H S]J 1
-
3
3
calcul et intégration numérique Z =
BT S
J
I
d d d
~ ~ det
3
1
2
3
3×3
[ S ]
0
0
9×9
· calcul du tenseur généralisé des contraintes globales S = 0
[S] 0
0
0
[S]
· calcul et intégration numérique de la rigidité classique
T
N
N
K e
=
J -1
SJ -
~
~ 1 det J
g
d d d
classique
1
2
3
2
2
Fin boucle INTSN sur les points d'intégration
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Version
7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
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Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
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: 55/56
Début Boucle JN sur les NB2 noeuds
.
.
.
zI
· calcul de [zI ×] sachant que ZI =
.
.
.
I = ,
1 NB
2
· calcul de [nI ×]
3×3
· calcul de la matrice non symétrique K e
(I, I) = [zI ×][n
g
I ×
non classique
]
IF JN NB1
3×3
· rajout de K eg
(I, I) avec distinction de l'extra-noeud
non classique
ELSE JN
3×3
· affectation de K eg
(I, I) avec distinction de l'extra-noeud
non classique
END IF JN
Stockage de toute la matrice non symétrique K eT
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Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HT-66/05/002/A
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Version
7.4
Titre :
Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique
Date
:
05/04/05
Auteur(s) :
X. DESROCHES, P. MASSIN, M. AL MIKDAD Clé
:
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: 56/56
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