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Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

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26/05/05
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E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
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Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
Document R7.02.01





Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité
linéaire





Résumé :

On présente le calcul du taux de restitution de l'énergie par la méthode thêta en 2D ou en 3D pour un problème
thermo-élastique linéaire. On explique comment le champ thêta est introduit dans le Code_Aster et comment le
taux de restitution d'énergie est implanté.
Des études mécano-fiabilistes d'évaluation de probabilité d'amorçage de la rupture requiert, en plus, sa dérivée
par rapport à une variation de domaine pilotée par un autre champ. On détaille l'implantation de cette option
dans le code.
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Table
des
matières

1 Calcul du taux de restitution d'énergie par la méthode thêta en thermo-élasticité linéaire...................4
1.1 Relation de comportement ..............................................................................................................4
1.2 Energie potentielle et relations d'équilibre.......................................................................................6
1.3 Expression Lagrangienne du taux de restitution d'énergie .............................................................6

2 Discrétisation du taux de restitution d'énergie.....................................................................................12
2.1 Méthode thêta en dimension 2 ......................................................................................................12
2.2 Méthode thêta en dimension 3 ......................................................................................................12
2.3 Choix dans Aster de la discrétisation de G en dimension 3..........................................................14
2.4 Implantation de G en thermo-élasticité linéaire dans Aster...........................................................23
2.4.1 Types d'éléments et de chargements ..................................................................................23
2.4.2 Environnement nécessaire...................................................................................................23
2.4.3 Calculs des différents termes du taux de restitution d'énergie ............................................24
2.4.3.1 Terme classique élémentaire...................................................................................24
2.4.3.2 Terme force volumique ............................................................................................25
2.4.3.3 Terme force surfacique ............................................................................................25
2.4.3.4 Terme thermique......................................................................................................25
2.4.3.5 Terme déformations et contraintes initiales .............................................................25

2.4.4 Normalisation du taux de restitution d'énergie dans Aster...................................................26
2.4.4.1 Axisymétrie...............................................................................................................26
2.4.4.2 Autres cas ................................................................................................................27
2.5 Paramètrage des commandes ......................................................................................................27
3 Introduction du champ thêta dans Aster..............................................................................................29
3.1 Conditions à remplir.......................................................................................................................29
3.2 Choix du champ thêta en dimension 3 ..........................................................................................29

3.2.1 Méthode de construction ......................................................................................................29
3.2.2 Algorithmes de calcul ...........................................................................................................30
3.3 Choix du champ thêta en dimension 2 ..........................................................................................34
3.4 Autre méthode ...............................................................................................................................34

4 Dérivée du taux de restitution d'énergie par rapport à une variation de domaine ..............................35
4.1 Problématique................................................................................................................................35
4.2 Remarques préliminaires...............................................................................................................37
4.2.1 Théorème de transport.........................................................................................................37
4.2.2 Chargements et matériaux ...................................................................................................39
4.2.3 Formulaire ............................................................................................................................40
4.3 Calculs des différents termes de la dérivée du taux de restitution d'énergie................................42
4.3.1 Dérivée du terme classique élémentaire..............................................................................42
4.3.2 Dérivée du terme thermique.................................................................................................44
4.3.3 Dérivée des termes forces volumique et surfacique ............................................................44

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4.3.4 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales........................................................45
4.4 Implantation dans le Code_Aster ..................................................................................................46
4.4.1 Périmètre d'utilisation...........................................................................................................46
4.4.2 Environnement nécessaire ..................................................................................................48
4.4.3 Normalisation .......................................................................................................................48

5 Bibliographie........................................................................................................................................49
Annexe 1
Calcul des dérivées secondes des éléments quadratiques 2D...............................50
Annexe 2
Calcul du terme force surfacique et de sa dérivée en 2D .......................................55
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1
Calcul du taux de restitution d'énergie par la méthode
thêta en thermo-élasticité linéaire


1.1
Relation de comportement

On considère un solide élastique fissuré occupant le domaine de l'espace R2 ou R3. Soit :

·
u le champ de déplacement,
·
T le champ de température,
·
f le champ de forces volumiques appliquées sur ,
·
g le champ de forces surfaciques appliquées sur une partie S de ,
·
U le champ de déplacements imposés sur une partie Sd de .


f
S
g
Sd

Figure 1.1-a : Solide élastique fissuré

Pour simplifier, on se place en élasticité linéaire et en petites déformations, mais cette approche se
généralise sans peine à la plasticité [R7.02.07], aux grandes déformations, à la dynamique
[R7.02.02]...
On désigne par :

·
le tenseur des déformations,
·
° le tenseur des déformations initiales,
·
th le tenseur des déformations d'origine thermique,
·
le tenseur des contraintes,
·
° le tenseur des contraintes initiales,
·
(, °, °, T) la densité d'énergie libre,
·
le tenseur d'élasticité.

est relié au champ de déplacement u par :

1
(u) =
(u +u
i, j
j i, )
2
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La densité d'énergie libre (, ° , ° , T) est identifiée par un essai de traction et de dilatation en
petites déformations. (, ° , ° , T) est une fonction convexe et dérivable.

(
1
1
, °, °, T)
( th °)( th °) ( th
=
-
-
-
-
+
-
- °)°+ °°
2
2

La loi de comportement d'un matériau élastique s'écrit sous la forme :


=
(,°,°,T) = ( - th - °) + °


avec th =
ij
(T -Tréf )ij

1
Le terme constant ° ° a une contribution nulle sur le calcul du taux de restitution d'énergie, mais
2
d'un point de vue numérique il permet de retrouver exactement la même valeur pour un calcul
élastique de G en ayant n'importe quel état initial élastique intermédiaire : ° = ° .

1
(,°,°,T) = ( - th)( - th)
On retrouve :
2

= ( - th)

Dans le cas où les déformations initiales ° et les contraintes initiales sont nulles, la densité d'énergie
libre s'écrit :

(
1
2
9
2
, T) =
( ) + µ - 3
K (T - T ) +

K 2 (T - T
ii
ij
ij
réf
kk
réf )
2
2

La relation de comportement s'écrit :


(
)
ij
= kk ij + 2µ ij - 3K T - Tréf ij

et µ sont les coefficients de LAME.
est le coefficient de dilatation thermique.
Tréf est la température de référence.
K , module de compressibilité volumique, est relié aux coefficients de LAME par
:
3K = 3 + 2µ .

La relation de comportement à partir du module d'YOUNG E et du coefficient de POISSON est :





( )
E (
)
ij
=
E

tr
T - T

1 +
ij +

1 - 2
ij - 1 - 2
réf
ij

avec :


=
E
1
( + ) 1
( - 2 )
µ
E
=

2 1
( + )
E
3K = 1- 2
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1.2
Energie potentielle et relations d'équilibre

On définit les espaces des champs cinématiquement admissible V et Vo .

V =
v
{ admissibles, v = U sur S }
d
V
{
}
o
=
v admissibles, v = 0 sur Sd

Avec les hypothèses du [§1.1] (et pour ° = ° = 0 ), les relations d'équilibre en formulation faible
sont :

u
V




ij vi, j d
=
f
i vi d + g
i vi d , vVo




S

Elles sont obtenues en minimisant l'énergie potentielle globale du système :

W v
( ) =

( (v),T)d - f
i vi d - g
i vi d


S

En effet, si cette fonctionnelle est minimale pour le champ de déplacement u , alors :

W =


d - f v
v

ij
i i d- g
i i d

ij

S
=
1

(
)
ij
v
d - f
v
v
2
i, j + vj,i
i
i d -
gi i d


S
=

ij vi,j d- f
i vi d - g
i vi d = 0


S

Nous retrouvons donc les équations d'équilibre et la relation de comportement en ayant posé :

ij = .
ij

1.3
Expression Lagrangienne du taux de restitution d'énergie

Par définition [bib1] le taux de restitution d'énergie locale G est défini par l'opposé de la dérivée de
l'énergie potentielle par rapport au domaine :

W
G = -


Ce taux de restitution est calculé dans le Code_Aster par la méthode thêta, qui est une méthode
lagrangienne de dérivation de l'énergie potentielle
[bib4] [bib2]. On considère des transformations

F M
:
M +(M) du domaine de référence en un domaine modélisant des propagations
de la fissure, qui à un point matériel P font correspondre un point spatial M. Ces transformations ne
doivent modifier que la position du fond de fissure o . Les champs doivent donc être tangents à
, c'est-à-dire en notant n la normale à :

=
µ
{ tels que µ n = 0 sur }
Remarque

Cette famille de fonctions de transformation doit être suffisamment régulière. En particulier, elle
doit être au moins deux fois dérivables par morceaux en P et en
(pour que les dérivées
partielles secondes commutent) et réaliser un difféomorphisme pour chaque valeur du paramètre

(cela assure la réversibilité du processus).
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Soit m la normale unitaire à o située dans le plan tangent à (c'est-à-dire tangent au plan de la
fissure) et rentrant dans .


o
m
Plan de
fissure

Figure 1.3-a : Fond de fissure en 3D

D'après la proposition 7 de [bib4], le taux de restitution d'énergie locale G est solution de l'équation
variationnelle :

G m
G() ,



=

o



( ( ))

G
( ) est défini par l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle W u à l'équilibre par rapport
à l'évolution initiale du fond de fissure :
d W(u()
G() = - &
W = -

d
=0

La quantité m représente la vitesse normale du fond de fissure. D'autre part, G
( ) a la même
valeur qu'il s'agisse d'une propagation droite [Figure 1.3-b] (a) ou d'une propagation courbe
[Figure 1.3-b] (b) dans la mesure où celle ci à la même tangente au départ (ensuite on en peut rien
dire). En revanche, on ne peut rien dire du cas de la propagation dans une direction marquant un
angle [bib5] [Figure 1.3-b] (c).

a
b
c

Figure 1.3-b : Différentes géométries de propagations
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Par la suite, lorsqu'aucune confusion ne sera possible, on désignera par . la dérivée lagrangienne
dans une propagation virtuelle de fissure de vitesse . Soit (,M) un champ spatial (ou eulérien)
quelconque défini sur R+ × , nous noterons sa représentation matérielle (ou lagrangienne)
( P) = (
,
, F (P)) et sa dérivée particulaire (ou lagrangienne) par rapport à cette propagation

virtuelle &
=


.
=0

Remarques [bib6] :

· Le fait d'adopter deux visions différentes (eulérienne et lagrangienne) introduit structurellement
des notions de dérivabilités croisées. Ainsi, cette dérivée particulaire d'un champ spatial
appelée dérivée lagrangienne consiste à dériver
(,M) en fixant le point matériel
-1
P = (F ) (M) . On transpose le champ en représentation lagrangienne, puis on le dérive
par rapport à avant de le reconvertir en représentation eulérienne.

· On rappelle que cette dérivée lagrangienne est liée à la dérivée eulérienne par la relation

& =
+
.



Remarque [bib4] :


La dérivée eulérienne ne dépend que de restreint à , c'est-à-dire de la trace de sur le
fond de fissure.


Avec ces notations, le taux de restitution d'énergie dans cette propagation s'écrit (en utilisant le
théorème de transport de Reynolds cf. [§4.2.1]) :


·

·
6 7
4 8
4

G()





f u
( f u )
}
-
=
-

d -
,
g u + g u
-
n d
i
i
i
i
k k
i
i
i
i
k,k
k




+
-

nk

S

Or





&

( ,°, °,T ) =
& +
& ° +
&
° +
T&
ij
ij
ij

°
°
T

ij
ij
ij

T, f , g , °,° étant supposés indépendants de , c'est-à-dire étant la restriction à (ou ) de
champs définis sur R3, on a les relations suivantes :

&T =
,
T k k
&f = f
i
i,k k
&g
= g
i
i,k k

°
ij = ij,k k

°
ij = ij,k k
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En effet, si on considère des chargements et des matériaux qui sont la restriction sur la
géométrie
(ou une partie de sa frontière) de champs définis sur R3 tout entier :

/ =

La dérivation par rapport au paramètre commutant avec cette restriction, on a le résultat


=


= 0
= 0





Remarques :

· Cette hypothèse n'est vérifiée que pour des champs suffisamment réguliers (par exemple
appartenant à des espaces de Sobolev de ). Leur définition ne doit pas être impactée par la
variation de frontière.

· Dans le cas de la dérivation du taux de restitution d'énergie par rapport à une variation de
domaine (cf. [§4]) la dérivée eulérienne du champ de température ne pourra plus être négligée.

D'autre part, on a aussi supposé que les dérivées eulériennes des caractéristiques matériaux
sont nulles, ce qui n'est vrai que sur le problème discrétisé avec les fonctionnalités actuelles de
l'opérateur DEFI_MATERIAU. Leur gradient sur chaque élément est aussi nul par construction (elles
sont discrétisées P0 c'est-à-dire constantes par éléments finis), il en découle que la dérivée
lagrangienne est nulle :


& =
+ . pour {E,,,Tref }


{ 123
= 0
= 0
Attention :

Avec des caractéristiques matériaux variables au sein d'éléments finis de la couronne thêta de
calcul, cette simplification n'est plus licite.


Comme ( , ,
°
1
1
,
° T ) = (
th
- - °)(
th
- - °)+ (
th
- - °) ° +
° °
2
2

a

on
=
- - ° + ° =
ijkl (
th
kl
kl
kl )
ij
ij
ij
= - - -° 1
- °
1
= ° -
°
ijkl (
th
kl
kl
kl )
ij
ij
ij

2
2

ij
=
°
(
th
- - °
1
+ ° = -
1
- °
ij
ij
ij )
th
ij
ij
ij
ij

2
2
ij
.
1 °
°

1 ° °

th
d' ou
& = & + -

+ - -

+
T
ij ij
ij
ij
ij,k
k
ij
ij
ij
ij,k
k
,k
k
2


2

T

}
·


D'autre part, d'après la proposition 2 de [bib4] :


= & -

i, j
i, j
i,p
p, j



1
1
&
=
(&u , + &u , )- (u , , +u ,
ij
i j
j i
i p
p j
j p
p,i )
2
2
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Et on peut éliminer &u de l'expression de G
( ) en remarquant que &u est cinématiquement admissible
et en utilisant l'équation d'équilibre :

u& d =
f u
,
& d + g u& d + n U
ij
i j
i
i
i
i
ij
j
i,k
k d






S
Sd


d'où :

-G() =
&
- fi &u - &f u +

i
i
i
( - f u
i
i )
d -
k ,k
(gi &u +
i
&g u
i
i ) d

S



- g u
-
n

d
i
i

k,k n
k
k

S
1
=
ij &u -
i,
f
j
i &
u d - g
i
i &
u d -
&f u d -


i
i i
ij (u +
i, p
p,
u
j
j,
p
p,i ) d
2

s






+
&T +
( -

i )
- &
+

-


f u
d
g u
g u
n
d
T
i
k ,k
i
i
i
i
k ,k
k

n



S
k
1


th
1
+



°
°
°
°
ij - ij ij,k k
ij ij
ij ij,k k d

2


+
-
-


2




et finalement :


G() =
u
-
-

T
ij
i,p
p, j
k,k


,k
k d
T

1
1
+ -
° °

th
°

°







ij
ij
2


-
-
-
ij,k
k

ij
ij
ij
2

ij,k k d

+ f u
+

f

i
i
k,k
i,k
k ui d





+ g u + g u
-
n
i,k k i i i
d
k,k
k
nk

s
- ij nj Ui,k k d
Sd
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Remarques :

· En déformations d'Euler-Lagrange le premier intégrande devient h u
avec
i, p
ij
i, p
p, j
h
= + u
i, j
i, j
i, j .
· En axisymétrie, on a l'analogie formelle (x, y) (r, z) et toutes les composantes des

gradients impliquant la composante orthoradiale sont nulles sauf , = r . De plus
r
l'élément de surface est multiplié par r pour prendre en compte le calcul de l'intégrale pour une
unité de radian.

· La possibilité de prendre en compte des champs de déplacements imposés n'a pas été
développée. Ceux-ci ne sont d'ailleurs pas contraints par la propagation de fissure puisqu'ils
apparaissent via la condition d'équilibre.

· Dans le terme surfacique on a des dérivations normales à la surface qui n'ont pas de sens
pour les éléments de peau utilisés dans le Code_Aster. On a donc recours à la géométrie
différentielle et aux dérivées contravariantes pour mieux appréhender cette intégrande sur la
surface de calcul (cf. [Annexe 2]).

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2
Discrétisation du taux de restitution d'énergie

2.1
Méthode thêta en dimension 2

On rappelle que le taux de restitution d'énergie G est solution de l'équation variationnelle :

G(s) (s)
(
m s) ds
G() ,



=

o


où :

·
m est la normale unitaire au fond de fissure o situé dans le plan tangent à et rentrant
dans ,
·
{
= µ tels que

µ n =
0 sur

}
.

En dimension 2, le fond de fissure o se ramène à un point M0, et on peut choisir un champ
unitaire au voisinage de ce point, de telle sorte que : G(M0 ) = G()


m
o

Figure 2.1-a : Fond de fissure en 2D

2.2
Méthode thêta en dimension 3

La dépendance de G
( ) vis-à-vis du champ sur le fond de fissure est plus complexe. Le champ
scalaire G s
( ) peut être discrétisé sur une base que nous noterons p
( ( ))
j s
.
1 j N
0
s
o
Figure 2.2-a : Discrétisation du fond de fissure en 3D (abscisse curviligne)
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Soit Gj les composantes de G s
( ) dans cette base :

N
G s
( ) = G ( )
j pj s
j=1

De même, les champs i (appartenant à ) peuvent être discrétisés sur une base que nous noterons
q
(
)
( )
i
k s
( )
. Désignons par i la trace du champ i sur le fond de fissure
=
s
( ) et
1k M
o : i s

par i
( )
k les composantes de i s dans cette base :

M
i (s) = ik qk s()
k=1

G s
( ) étant solution de l'équation variationnelle G(s) (s) m(s) ds G(),


=
, les Gj
o

vérifient :

N
M
G p (s)
i
i

j
( q (s)
k
k
)m(s)

ds = G( ) , i [ ,1 P
j
]

j=1
k =1
o
soit :
N
M


i
p (s) q (s)m(s)
i
k

j
k
ds G j
G( ) ,
i [1, P]

=


j=1 k=1


o

Les Gj peuvent donc être déterminés en résolvant le système linéaire à P équations et N
inconnues :

N

a G
= b
, i = 1, P
ij
j
i
j=1

M

avec a
i
=
p (s) q (s) m(s) ds
ij
k j
k


k =1
o



b
i
i
= G( )



Ce système a une solution si on choisit P champs i indépendants tels que : P N et si M N . Il
peut comporter plus d'équations que d'inconnues, auquel cas il est résolu au sens des moindres
carrés.

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Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
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7.4

Titre :

Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

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Auteur(s) :
E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
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2.3 Choix
dans
Aster de la discrétisation de G en dimension 3

En dimension 2, il n'y a pas de problème car en choisissant un champ unitaire au voisinage du
fond de fissure, on obtient la relation G = G() . Le taux de restitution de l'énergie est indépendant du
champ .

En dimension 3, la dépendance de G
( ) vis-à-vis du champ sur le fond de fissure est plus
complexe. Dans le Code_Aster, on peut calculer :

·
La valeur de G
( ) pour un champ thêta donné par l'utilisateur (cf. commande
CALC_G_THETA_T [U4.82.03]). Il est intéressant de choisir le champ thêta unitaire au
voisinage du fond de fissure et tel que :

(s) m s
( ) = 1 , s abscisse curviligne de o

o


Figure 2.3-a : Discrétisation du fond de fissure en 3D (normale)

On obtient dans ce cas un taux de restitution global G correspondant à une progression uniforme de
la fissure tel que :
Gl = G(s) ds = G()


o

l est la longueur de la lèvre supérieure ou inférieure de la fissure.

·
Le taux de restitution d'énergie local G s
( ) solution de l'équation variationnelle

G(s) (s) m(s) ds G() ,


=

o

Dans ce cas, l'utilisateur ne donne pas de champ thêta, les champs i nécessaires au calcul
de G s
( ) sont calculés automatiquement (cf. commande CALC_G_LOCAL_T [U4.82.04]).

Dans le Code_Aster, on a choisi deux familles de bases (cf. [§2.2]) :

·
Les polynômes de LEGENDRE ( )
j s de degré j (0 j Degmax ) .
·
Les fonctions de forme du noeud k de o : k s
( ) (1 k NNO = nombre de noeuds de
o) (de degré 1 pour les éléments linéaires et de degré 2 pour les éléments quadratiques).
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Rappelons que les polynômes de LEGENDRE constituent une famille orthogonale non normée. Ils
sont obtenus par la relation de récurrence :

n
( +1) P ( ) (
)
n+1 t - 2n + 1 t Pn t
( ) + n Pn-1 t() = 0

En particulier :
P0 t() = 1
P1(t) = t
P
(
)
2 t
( ) = 3 t2 -1 / 2
P
(
)
3 t
( ) = 5 t3 - 3t / 2

Dans Code_Aster, on les norme sous la forme :

( )
2
s

j s
=
2 j + 1 P
-1
l
j l

où :
·
s est l'abscisse curviligne de o,
·
l la longueur du fond de fissure o.

( )
2(s)
1 s
o(s)
0
s = 0
s = l o
l
0
l

Figure 2.3-b : Polynômes de Legendre
Dans Code_Aster, on se limite à Degmax = 7 comme degré maximal.

Les fonctions de formes k s
( ) sont associées à la discrétisation de o.

3( s)
( )

1 s
2 s
( )
k = 1
k = 2
k = 3

Figure 2.3-c : Fonctions de forme du fond de fissure (élements linéaires)
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Rappelons qu'on est amené à discrétiser G s
( ) et les champs i(s) (trace du champ i sur le fond
de fissure o ).

N
G(s) = Gj pj s()
j =1

M
i (s) = i ( )
k qk s
k=1

Il existe donc plusieurs choix possibles de discrétisations, résumés dans le tableau ci-dessous :


Polynômes de LEGENDRE
Fonctions de forme
G s
( )
NDEG
NNO
G ( )

( )
j j s
Gj j s
j= 0
j=1
i (s)
NDEG

NNO
i
( )
i
k k s
( )
k
k s
k= 0
k =1
Tableau 2.3-1 : Choix de la discrétisation

NNO :
nombre de noeuds du fond de fissure o
NDEG : degré maximal des polynômes de LEGENDRE choisi par l'utilisateur

(NDEG Deg = 7
max
)

Dans la commande CALC_G_LOCAL_T (cf. [U4.82.04]) les mots-clés LISSAGE_THETA et LISSAGE_G
permettent de choisir la discrétisation de i et G .

Les options disponibles dans Aster sont résumées dans le tableau suivant :

i (s)


Polynômes de LEGENDRE
Fonctions de forme

Polynômes de LISSAGE_THETA : `LEGENDRE'
LISSAGE_THETA : `LAGRANGE'

LEGENDRE
LISSAGE_G : `LEGENDRE'
LISSAGE_G : `LEGENDRE'
G s
( )
(1er cas)
(2nd cas)

Fonctions de
Non disponible
LISSAGE_THETA : `LAGRANGE'
forme
LISSAGE_G : `LAGRANGE'
ou `LAGRANGE_NO_NO'
(3ème cas)
Tableau 2.3-2 : Options de discrétisation du Code_Aster
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Premier cas :

G s
( ) et les champs i(s) sont décomposés suivant les polynômes de LEGENDRE.

NDEG
G(s) =
Gj j s()
j =0

NDEG
i (s) =
i ( )
k k s
k = 0

Les NDEG composantes Gj sont déterminées en résolvant le système linéaire à P équations :

NDEG

a G
= b
, i = 1, P
ij
j
i
j=0


NDEG


a

=



(s) (s) i m(s) ds
ij
j
k
k
avec
k =0
o




b
i


i = G( )

On fait le choix dans le Code_Aster de prendre, comme champs i , les NDEG champs i tels que :

i (s) m(s) = (s)
i


i s
( ) est le polynôme de LEGENDRE de degré i.

Le système linéaire se simplifie alors en un système de P = NDEG équations à NDEG inconnues :

NDEG

a G
i
ij
j
=
(
G ) , i = 1, NDEG
j=

0

avec a
=
(s) (s) ds
ij
j
i
=
i
j


o


car les polynomes de Legendre forment une base orthonormée sur 0.
NDEG
Ainsi G
j
j

j = G ( ) et donc G(s) =
G( ) (s)
j
.
j=0
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Second cas :

G s
( ) est décomposé suivant les polynômes de LEGENDRE.
i (s) est défini par les fonctions de forme des noeuds du fond de fissure.

NDEG
G(s) =
G (s)
j
j
j=0

NNO
i
(s)
i
=
(s)
k
k
k =1

On fait le choix dans le Code_Aster de prendre, comme champs i , les NNO champs i tels que :

i (s) m(s) = (s)
i


où ( )
i s est la fonction de forme du noeud i du fond de fissure.
Soit :
NNO
i
( )
k k s
( )m s = i s()
k=1
et on a NNO équations à NDEG inconnues :

NDEG

a G
= b
, i = 1, NNO
ij
j
i
j=0


a

=
(s) (s) dS

ij
j
i


avec
o




b

i
i
=


G( )

Dans ce cas, on doit avoir NDEG NNO , soit NDEG min (7, NNO) où NNO est le nombre de
noeuds du fond de fissure.


Troisième cas :

G(s) et i (s) sont définis par les fonctions de forme des noeuds du fond de fissure.


NNO
G(s) = G (s)


j
j

j=1


NNO
i
i
(s) = (s)

k
k
k =1
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Le système à résoudre est le suivant :

NNO
G(

a G =
ij
j
)
(i = ,
1 NNO)
i
j=0


avec a =
(s) (s)ds

ij
i
j
0

NNO : nombre de noeuds du fond de fissure
i : fonction de forme du noeud i

Si on a des éléments linéaires :

(x) 1
= (1- x)
1
1
1
2
2

Elément de référence
(x) 1
= (1+ x)
0
2
2
-1 0 1


a
= a
= ,
0 si j 2
i(i- j)
i(i+ j)
a
=
s s ds = si s s ds
i(i- )
1
i ( ) i-1 ( )
i ( )
-1 ( )


(
s
i
o
i -1
s - s
1
s - s
i
i-
i
i
1
1
1 ) +
=
x x dx
1 x dx
s
s
1 ( ) 2 ( )
(
-1 )

+
=
1
- 2
=
-
-1
(
)
( i i )
-
-
1
1
( 2
2
4
6

s - s
1
s
s
i
i 1
2
-
- ) +
a
=
i
i
x dx
x dx
ii
2 ( )
( +1
) +
+
1
2
1 ( )
-1
-1
( 2
2
s - s
1
s
s
i
i
1
i
i
1
1
1
2
-
- ) +
=
(1+ x)
( +1
) +
dx +
1
(1- x)2dx = ([s - s + s - s
i+1
i )
( i i )]
-1
-
-
1
1
2
4
2
4
3

i -1 i
i + 1

Figure 2.3-d : Fonctions de forme linéaires

La matrice Aij s'écrit donc :
(
2

2
s - 1
s ) ( 2
s - 1
s )
0
0


L
( 2
s - 1
s )
(2 3s - 1s) ( 3s - 2s)
0

L
1
0
(

3
s - 2
s )
(2 4s - 2s) ( 4s - 3s)

6

L

0
0
(

4
s - 3
s )
(2 5s - 3s) L



M
M
M
M

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Si on a des éléments quadratiques :
(x) 1
= x( x - )
1
1
2
(x) 1
= x( x + )
2
1

2
(x) = (1- x)(1+ x)
3


Figure 2.3-e : Fonctions de forme quadratiques (Element de référence)

Il faut distinguer noeud sommet et noeud milieu

·
i = noeud sommet :

a
= a
= ,
0 si j 3
i(i- j)
i(i+ j)

a
=
s
s ds = si s
s ds
i(i-2)
i ( ) i-2 ( )
i ( )
-2 ( )
o

(
s
i
i -2
s - s
1
s - s
i
i-
1
2 ) +
=
i
i
x x dx
x x
1 dx
1 ( ) 2 ( )
(
-2 )

+
=
1
2
2 -
-1

(
)
-1
( 2
2
4
s - s
i
i-2 )
= -
30
s

i
s -
a
=
s s ds =
s s ds =
s
1
i
i 2
x x dx
i(i- )
1
i ( ) i-1 ( )
i ( )
-1 ( )
(
- ) +
2 ( )
( )

s
i
o
i -
-1
3
(
2
2
s - s
1
s
s
i
i
1
2
2
-
- ) +
=
x(x + )
1 (1- x)
( i i-2 )

dx = +
-1
2
2
15
s - s
+1
s
s
i
i
i
i
2
2
2
-
-
a
=
x dx
x dx
s
s
ii
2 ( )
( +2
) +
+
1
2
1 ( )
=
( -
i+2
i
)
-1
-
-
1
2
2
2
15


i-2 i-1 i i+1 i+2
Figure 2.3-f : Noeud sommet
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·
i = noeud milieu :

a
= a
= 0 si j 2
(ii- j)
i(i+ j)


a
=
si+1 s s ds
i(i- )
1
i ( )
-1 ( )
s
i
i -1
+1 (s
- s
s
- s
i+
i
i
i
1
1
-1 )
=
x x dx
x x 1 1 x 1 x dx
3 ( ) 1 ( )
( +1
) +
=
1
( - )( - )( + )
-1
-1
(
2
2
2

s
- s
i+1
i-1 )
=
15
a
=
si+
s
s
1
2
s ds
x
x dx
s
s
ii
( )
( -
i+
i
8
1
) +
=
1(1- )2(1+ )2 = ( -
i+1
i
)
s i
i -1
-
-
1
1
2
15

i-2 i-1
i i+1
i+2
Figure 2.3-g : Noeud milieu

La matrice Aij s'écrit :

(
4

3
s - 1
s )
(2 3s - 1s) -( 3s - 1s)
0
0


L
(
2 3
s - 1
s ) 1 (
6 3
s - 1
s )
(2 3s - 1s)
0
0

L
1 - (

3
s - 1
s )
(2 3s - 1s) (4 5s - 1s) (2 5s - 3s) -( 5s - 3s) 0


30
0
0
(2

5
s - 3
s ) 1 (
6 5
s - 3
s )
(2 5s - 3s) 0


0
0
-

( 5s - 3s) (2 5s - 3s) (4 7s - 3s)
L



0
0
M
M
M


Cas particulier : s
s = cste = l
i+ -
2
i
= longueur d'un élément
+
+
l


4
2
- 1 0
0

L
noeud sommet de bord


2
16
2
0
0


L
noeud milieu
l - 1 2
8
2
- 1
noeud sommet


L

30 0
0
2
16
2

L
M
0 0 -1 2 8



L
M
M
M

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Méthode "noeud par noeud" :

Cette méthode est issue de la méthode Lagrange-Lagrange mais elle est simplifiée : on remplace la
résolution du système linéaire en multipliant les valeurs G(i ) par un coefficient de pondération.

G =
i
i

i G (
)
3
4
5
...
2
1
N
Figure 2.3-h : Méthode « noeud par noeud »

De plus si G() = cte = b, i et que l'on considère un G constant par élément (cette méthode n'a
pas de signification vectorielle), on a :

l
6
·
noeud sommet de bord :
(4+ 2- )1G = bsoitG = b
30
l
l
3
·
noeud sommet :
(-1+ 2 + 2 + 8 - )1G = bsoitG = b
30
l
l
3
·
noeud milieu :
(2+16+ 2)G = bsoitG = b
30
l
2


l
6b
3b
3b

l
l
2l


Ce qui donne dans le cas où les éléments n'ont pas de longueurs constantes :

6
6
·
noeud sommet de bord : = (
ou
=

s - s )

1
N
3
1
(s - s
N
N -2 )
6
6
·
noeud sommet : par exemple 3 = (
=

3
s - 1
s ) + ( 5
s - 3
s ) ( 5
s - 1
s )

6
soit : i = (

i
s
-
+2
i
s -2)
3
ou encore : ' = (

s
- s
+1
)
i
i
i
i

3
·
noeud milieu : i = (

2 is -
+1
i
s )

Pour activer cette méthode il faut préciser dans CALC_G_LOCAL_T :

LISSAGE_G : `LAGRANGE_NO_NO'
LISSAGE_THETA : `LAGRANGE'
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2.4
Implantation de G en thermo-élasticité linéaire dans Aster

2.4.1 Types d'éléments et de chargements

Dans le Code_Aster, il est possible de calculer en thermo-élasticité linéaire :

·
le taux de restitution d'énergie G
( ) en 2D et en 3D, associé à un champ de propagation
virtuel de la fissure (donné par l'utilisateur à l'aide de la commande CALC_THETA
[U4.82.02]) : commande CALC_G_THETA_T [U4.82.03],
·
le taux de restitution d'énergie locale G s
( ) en 3D, où s est l'abscisse curviligne du fond de
fissure : commande CALC_G_LOCAL_T [U4.82.04].

Ces calculs sont valables pour les modélisations suivantes :

·
D_PLAN
·
C_PLAN
·
AXIS
·
3D

et pour les chargements thermo-mécaniques suivants s'appliquant sur un milieu bidimensionnel
(affecté à des triangles à 3 ou 6 noeuds, des quadrangles à 4, 8 ou 9 noeuds et des segments à 2 ou
3 noeuds) ou sur un milieu tridimensionnel (affecté à des hexaèdres à 8, 20 noeuds ou 27 noeuds, des
pentaèdres à 6 ou 15 noeuds, des tétraèdres à 4 ou 10 noeuds, des faces à 3 ou 6 noeuds et des faces
à 4, 8 ou 9 noeuds) :

·
f , champ de forces volumiques appliquées sur (charges mécaniques du type
PESANTEUR, ROTATION, FORCE_INTERNE),
·
g , champ de forces surfaciques appliquées sur une partie S de (y compris sur les lèvres
de la fissure : PRES_REP, FORCE_FACE),
·
U , champ de déplacements imposés sur partie Sd de (Non développé à ce jour),
·
T , champ de température (TEMP_CALCULEE),
·
, champ de défomation initial (EPSI_INIT).

Ces chargements peuvent dépendre du temps et de l'espace.

Les caractéristiques du matériau ( E , et ) peuvent dépendre de la température T et de
l'espace tout en restant constantes par éléments.


2.4.2 Environnement
nécessaire

Pour le calcul du taux de restitution d'énergie G
( ) par la méthode dans le cas d'un problème
thermo-élastique, le champ doit obligatoirement avoir été créé auparavant (soit par la commande
CALC_THETA [U4.82.02], soit par la commande AFFE_CHAM_NO [U4.44.11]).

Pour le calcul du taux de restitution d'énergie locale G s
( ), les champs i nécessaires au calcul sont
générés automatiquement.

Dans les deux cas, il s'agit d'un post-traitement uniquement à partir du champ de déplacement solution
du calcul sur le modèle considéré. En particulier, la densité d'énergie libre et les contraintes sont
calculées à partir du champ de déplacement et des caractéristiques du matériau.

Pour le calcul en 3D, il faut définir, à partir d'une liste ordonnée de noeuds, un fond de fissure d'un
maillage 3D, et à partir de deux listes de mailles, la lèvre supérieure et la lèvre inférieure de cette
fissure commande DEFI_FOND_FISS [U4.82.01]. Cet opérateur crée un concept utilisable par les
opérateurs CALC_THETA et CALC_G_LOCAL_T. En 2D, le fond de fissure est réduit à un point et cet
opérateur n'est pas nécessaire pour le calcul de G
( ).
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Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
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7.4

Titre :

Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

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26/05/05
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E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
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2.4.3 Calculs des différents termes du taux de restitution d'énergie

L'expression complète de G
( ) est donnée au [§1.3]. Nous allons détailler chaque terme. Le champ
est nul en dehors d'un disque de rayon Rsup s
( ) défini dans le chapitre 3 [Figure 3.3-a].
Remarquons que comme tous les termes font intervenir ou son gradient, les termes élémentaires
sont nuls en dehors de ce disque de rayon Rsup s
( ). Dans les commandes CALC_G_THETA_T et
CALC_G_LOCAL_T, il n'est ainsi pas nécessaire de préciser les chargements qui ne s'appliquent pas
dans cette zone.

2.4.3.1 Terme classique élémentaire

TCLA = u

- ((u),T
ij
i p
p j
)
,
,
k,k

La densité d'énergie élastique ((u),T) s'écrit en thermo-élasticité linéaire :

·
en 3D et en AXIS :
(
1
(u),T) =
( 2
ii ) + µ -
ij
ij
th
2
·
en DP :
1 - E

(
E
E
(u),T)
(
)
=
(2 +2
2
xx
yy )
(
+
+
-
2 1 + )(1 -
2 )
(1+ )(1-
2 ) xx yy
(1+ ) xy
th
·
en CP :
E

(
E
E
(u),T) =
(
2 + 2 +
+
2 -
2 1 - 2 ) ( xx
yy )
(1-2) xx yy (1+) xy th

9
avec
= 3
K (T - T ) -
2
2
th
réf
ii
K
(T - rTéf )
2
où :
E
E
E
3K =
;
=
1- 2
1
( + ) 1
( - 2) ; 2µ = 1+

E : module d'YOUNG
: coefficient de POISSON
, µ : coefficients de LAME
: dilatation thermique

La densité d'énergie élastique ((u),T) peut s'écrire de façon générale sous la forme :

1
2

((u),T) = K( -
3 (T - T
2
kk
réf )
+
eq
2
3


3
1
2
avec
= D D et D = -
eq
ij ij
ij
ij
kk ij
2
3
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2
1
soit eq = (
2
3ijij - kk )
2
et ( (
µ
u),T ) 1
2
= K
- 3
kk
K (T - réf
T
)
9
2
kk + K (T - réf
T
)2
2
+ µ -

2
2
ij ij
3 kk

2
=
+ µ - 3
kk
ij ij
K (T - réf
T
)
9
2
kk + K (T - réf
T
)2
2
2

2.4.3.2 Terme force volumique

TFOR =
fi ui k,k + fi,k k ui

2.4.3.3 Terme force surfacique



TSUR = g



i,k k ui + gi ui
k,k -
n

n k
k


Remarque :

Dans ce terme surfacique on a des dérivations normales à la surface qui n'ont pas de sens pour
les éléments de peau utilisés dans le Code_Aster. On a donc recours à la géométrie différentielle
et aux dérivées contravariantes pour mieux appréhender cet intégrande sur la surface de calcul
(cf. [Annexe 2]).


2.4.3.4 Terme
thermique


THER = -
T
T ,k k
avec :

(
1 dK T

d T

(u),T)
( )
=
( - 3(T -T )
( )
- 3K +
(T -T )
- 3
-

2



(
(T T
kk
réf
réf
kk
réf )
T
dT
dT



2.4.3.5 Terme déformations et contraintes initiales



1 ° °

1 °

TINI
th
=
°
ij - ij ij
,k
i
j
i
j
ij
ij,k k



2


-
-
-


2





On peut remarquer que si ° = ° alors :

= ( - th - )° + °= ( - th) et TINI = 0

Remarque :

Compte tenu des divers traitements numériques effectués lors de l'implantation dans le source de
l'opérateur, il n'est pas licite de cumuler des champs de contraintes et de déformations initiales,
car ce terme ne s'annule alors pas. L'utilisateur devra rentrer soit des contraintes initiales, soit des
déformations initiales mais pas les deux.

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2.4.4 Normalisation du taux de restitution d'énergie dans Aster

2.4.4.1 Axisymétrie


G
( ) tel qu'il est implanté ici, calcule la restitution de l'énergie dans la cinématique définie par . Il
peut être nécessaire de le normaliser (à la main ! ce n'est pas fait automatiquement dans le code)
pour pouvoir comparer à une valeur intrinsèque au matériau, notamment en axisymétrique.
Considérons le cas d'une fissure inclinée, dont le fond de fissure est à une distance R de l'axe de
symétrie :

Y
R
l
X
Figure 2.4.4.1-a : Fond de fissure en axisymétrie

Dans Aster, l'axe OY est l'axe de symétrie en modélisation 'AXIS' et le taux de restitution de
l'énergie calculé est :

G
( ) = - dW

d l

W est l'énergie potentielle par unité de radian.

Or la valeur intrinsèque du taux de restitution d'énergie est :

dW
G = -
totale
dA


où :

·
Wtotale est l'énergie potentielle totale,
·
dA est la variation de surface de la fissure.

W
=
2 W
avec : totale

dA=
2 Rdl

dWtotale
dW d l
1 dW
d'où :
= 2
=

dA
d l dA
R d l

1
et donc G
=
G() en axisymétrie.
R
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2.4.4.2 Autres
cas

En dimension 3, la valeur de G
( ) pour un champ donné par l'utilisateur est telle que :

G
( ) =
G
(s)(s)m s() ds

o

Dans la commande CALC_THETA [U4.82.02], l'utilisateur définit la direction du champ en fond de
fissure. Par défaut, c'est la normale au fond de fissure dans le plan des lèvres. En choisissant un
champ unitaire au voisinage du fond de fissure, on a :

(s) m s
( ) = 1 , s abscisse curviligne de o

et :
G
( ) =
G
(s)d

o

Soit G le taux de restitution de l'énergie global. Pour avoir sa valeur par unité de longueur, il faut
diviser la valeur obtenue par la longueur de la fissure l :

G()
G =
en 3D
l

En dimension 2 (C_PLAN et D_PLAN), le fond de fissure est réduit à un point et la valeur de G
( ) est
indépendante du choix du champ (avec et unitaire au voisinage du fond de fissure).

G = G() ,

2.5
Paramètrage des commandes

Le tableau ci-dessous propose un récapitulatif du paramètrage des commandes CALC_G_LOCAL_T
CALC_G_THETA_T. Pour plus de précision on se référera à [U4.82.03] et [U4.82.04].

Commandes Mot-clé
Valeur
par
Réf.
défaut





CALC_G_LOCAL_T
MODELE

[§2.4]

`D_PLAN'




`C_PLAN'




`AXIS'




`3D'




CHAM_MATER

[§2.4.1] Def.
matériaux

FOND

[§2.4.1]
Def. du fond de
fissure

DEPL

Recup.
d'un
champ de depl.

RESULTAT




EXCIT

[§2.4.1] Type
charg.

SYME_CHAR `SANS'



`SANS'




`SYME'




`ANTI'




LISSAGE_THETA `LEGENDRE'
[§2.2]

`LEGENDRE'




`LAGRANGE'




LISSAGE_G `LEGENDRE'
[§2.2]

`LEGENDRE'




`LAGRANGE'




`LAGRANGE_NO_NO'



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DEGRE 5
[§2.2]

INFO 1



TITRE




OPTION `CALC_G'



`CALC_G'

[§2.4]

`CALC_G_LGLO'




R_INF

[§3.2]

R_SUP

[§3.2]

R_INF_FO

[§3.2]

R_SUP_FO

[§3.2]

COMP_ELAS




COMP_INCR




ETAT_INIT

[§2.4.3]





CALC_G_THETA_T
MODELE

[§2.4]

`D_PLAN'




`C_PLAN'




`AXIS'




`3D'




CHAM_MATER

[§2.4.1] Def.
matériaux

THETA

[§2.4.2] Def.
theta

FOND

[§2.4.1]
Def. du fond de
fissure

DEPL

Recup.
d'un
champ de depl.

RESULTAT




EXCIT

[§2.4.1] Type
charg.

SYME_CHAR `SANS'



`SANS'




`SYME'




`ANTI'




INFO 1



TITRE




OPTION `CALC_G'



`CALC_G'

[§2.4]

`CALC_G_LAGR'




`CALC_K_G'




`G_BILINEAIRE'




`CALC_G_MAX'




`CALC_DG'

[§4] Comportement

COMP_ELAS




COMP_INCR




ETAT_INIT

[§2.4.3]
Tableau 2.5-1 : Paramètrage des commandes
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3
Introduction du champ thêta dans Aster

3.1
Conditions à remplir

Le champ thêta est un champ de vecteurs, défini sur le solide fissuré, qui représente la transformation
du domaine lors d'une propagation de fissure au sens du [§1]. La transformation ne doit modifier que
la position du fond de fissure et pas le bord du domaine , c'est-à-dire : n = 0 sur (n
normale à ). De plus, le champ thêta doit être régulier sur [bib4].

En raison de la singularité du champ de déplacement, il est intéressant du point de vue numérique
d'utiliser des champs constants dans un voisinage de o , annulant ainsi dans ce voisinage les
termes singuliers
- u
k,k
ij
i,p
p,k dans G
( ).


3.2
Choix du champ thêta en dimension 3

3.2.1 Méthode de construction

On doit construire un champ vérifiant :

n = n = 0 sur le bord du domaine (n est la normale à )



= o donné sur le fond de fissure o

où représente la trace de sur o .
On se donne deux volumes T et S (cylindres déformés) entourant le fond de fissure o .


Figure 3.2.1-a : Construction du champ thêta en 3D (vue d'ensemble)
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On note R
(s)
inf
le rayon variable de T et R
(s)
sup
celui de S .

P
S
T
r
o
Rinf
Rsup

Figure 3.2.1-b : Construction du champ thêta en 3D (plan de coupe)

En tout point de o , repéré par son abscisse curviligne s , on peut définir un plan normal P dans
lequel le champ est introduit de la façon suivante :

·
n(r(s)) = (s)
o
pour 0 r( s) R
(s)
inf

·
n(r(s)) = 0 pour r(s) R (s)
sup

·

( )
S(R
s
sup
)\T(R (s)
inf
)
n varie linéairement par rapport au rayon r s dans la couronne
( )

·

S(R
s
sup
)
n est continu dans
( ) .

Cette manière d'introduire est géométrique. Elle revient à se donner deux rayons R ( )
inf s et
Rsup s
( ), et à effectuer des calculs de distance d'un point courant au fond de fissure pour déterminer la
valeur de en ce point.

3.2.2 Algorithmes de calcul

La méthode nécessite la donnée du champ o sur le fond de fissure o et des deux rayons R (s)
inf

et R
(s)
sup
qui peuvent dépendre de la position du point sur o . L'utilisateur introduit ces données
noeud par noeud sur o de la façon suivante :

Noeuds de o
o
Rinf
Rsup
N1




M



N
R
R
i
o i
inf i
sup i

M



Tableau 3.2.2-1 : Données pour la construction du champ thêta en 3D
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Le programme se charge de calculer le champ en tout point de selon la procédure suivante :

·
Calcul du champ thêta o en chaque point de o : Le module o etant donné (par
l'utilisateur ou par la méthode thêta, voir [§2.3]), le problème est de déterminer la direction de
o. doit être localement dans le plan tangent aux lèvres de la fissure et normal à l'arête à
laquelle il appartient. étant calculé aux noeuds, dans le cas général (fond de fissure non
plan) la direction de sera moyennée sur les 2 arêtes de o ayant le noeud en commun.

n1
n2
n
o
T1
n1 n
F
2
1
T2
M F2

Figure 3.2.2-a : Construction du champ thêta en 3D (normales)

Soient F1 et F2 deux faces appartenant aux lèvres de la fissure et comprenant les arêtes successives
T1 et T2 de o. On calcule d'abord la normale n1 à l'arête T1 dans le plan de la face F1 puis la
normale n2 à l'arête T2 dans le plan de la face F2 .
n + n
n
1
2
1 et n2 étant des normales unitaires, on en déduit n =
puis ( M ) = ( M ) n pour
2
M o.

On considère que les faces Fi sont droites :

·
Dans le cas où Fi est un triangle, le plan de la face Fi est défini.
·
Dans le cas où Fi est un quadrangle, on découpe Fi en 2 triangles Fi1 et Fi2 . On doit
alors calculer les équations des deux plans contenant les faces Fi1 et Fi2 et faire deux
calculs de normale par arête Ti .

Ce calcul nécessite de connaître les faces appartenant aux lèvres de la fissure et comprenant une
arête de o . Dans le Code_Aster, l'utilisateur rentre tous les éléments surfaciques appartenant aux
lèvres de la fissure. Ces faces figurent dans un ou plusieurs groupes de mailles et sont décrites dans
les connectivités des éléments de surfaces. L'algorithme trie ces faces pour ne conserver que celles
ayant 2 sommets sur o . Les étapes de l'algorithme sont les suivantes :

1) Pour chaque noeud de o , on extrait les mailles appartenant aux lèvres de la fissure,
2) De ces mailles, on tri celles ayant deux noeuds sur o ,
3) On récupère le type de la face (TRIA ou QUAD) et on calcule l'équation du ou des plan(s)
tangent(s),
4) Pour chaque arête de o de sommets N , N calcul des normales n
n et
i
i 1
+
i,1 , ni+1,1 ,
i,2
n
.
i ,
1
+ 2
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Enfin, est calculé suivant l'algorithme suivant :

Boucle sur les sommets Ni de o :
1
ni = (n + n
i,
i, )
2
1
2
(Ni ) = (Ni ) ni

Fin de la boucle sur les sommets Ni de o

Algorithme 1 : Calcul de

ni+1,1
ni,2
n
n
i+1,2
i,1
N
N
i
i+1

Figure 3.2.2-b : Notations des normales au fond de fissure

·
Calcul du champ en chaque point de :

Boucle sur les noeuds M

Calcul de la projection M de M sur o
(Donne en fait les noeuds M i et M i+1 tels que M [
M , M
i
i+1 ] et
s [0 ]
1
, tel que M M = s M M
i
i
i+1
d = d M
( ,M )
- Calcul
de

- Calcul
de
( M ) par interpolation linéaire :
( M) = (1- s) ( M ) + s ( M
i
i+1 )
- Calcul
de
R (s)
inf
et R
(s)
sup
par interpolation linéaire :
R (s) = (1 - s) R
+ s R
inf
inf i
inf i

+1
R
(s) = (1- s) R
+ s R
sup
s
i
i
up sup
+1
-
/ Si d > R
(s) , ( M)
sup
= 0
/ Si d < R (s) , ( M )
inf
= ( M)
d - R
/
s
Si
R (s) d R
(s) ,
inf ( )
inf
sup
=
et ( M ) = (1 - ) ( M )
s
R up (s) - i
R nf (s)
Finsi

Algorithme 2 : Calcul du champ thêta en 3D
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M
o
M i
d
M
S
M i+1

Figure 3.2.2-c : Calcul du champ thêta en 3D

Nous détaillons ci-dessous le calcul de la projection M de M sur o :

Pour chaque noeud M :

-
Récupération des coordonnées de M
-
Boucle sur les noeuds Mi de o (i = 1, NNO - )
1
Récupération des coordonnées de Mi et Mi+1
M M
. M M
Calcul de s
i
i 1
i
i
=
+

MiMi+1

/ si < 0 : si = 0
/ si > 1 : si = 1
Calcul des coordonnées de M i : OMi = OM + s
i
i Mi Mi+1
Calcul de d
= d( M, M
i
i )
Fin boucle

- Récupération
de
j tel que d = min (d
j
i )
i
- Connaissant
j on récupère M , M
, s
j
j+1
j et la projection M de M sur o telle que :
M M = s M M
j
j
j
j+1

Algorithme 3 : Calcul des projections sur le fond de fissure

M
di-1
di
si-1
si
Mi+1
M
M i
i

Figure 3.2.2-d : Projection des points sur le fond de fissure
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3.3
Choix du champ thêta en dimension 2

Il s'agit d'un cas particulier de la dimension 3. o se limite à un point, l'utilisateur choisit les rayons
Rinf et Rsup, le module en fond de fissure o et le champ est construit de telle sorte que :
(r) = 0 si r R
sup
(r) = n si r R
0
inf
R
- r
sup
(r) =
n si R r R
0
R
- R
inf
sup
sup
inf




Rsup
0
Rinf n
0
0
R
R
inf
sup
^
Figure 3.3-a : Calcul du champ thêta en 2D



3.4 Autre
méthode

L'utilisateur peut entrer lui-même le champ , en utilisant la commande AFFE_CHAM_NO [U4.44.11] du
Code_Aster qui permet d'affecter noeud par noeud ou par groupe de noeuds.
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4
Dérivée du taux de restitution d'énergie par rapport à une
variation de domaine


Dans un premier temps on rappelle la problématique mécano-fiabiliste justifiant l'introduction de cette
option puis on résume, au travers d'un exemple, son mode opératoire dans le Code_Aster. Après
quelques préliminaires sur les implications théoriques de la dérivation mise en place (complétant celles
G


(f )
du [§1.3]) on détaille le calcul de chacun des termes intégraux de
f
est le champ
s

s=0
thêta utilisé dans les paragraphes précédents. Pour conclure, on s'intéresse à l'implantation de cette
fonctionnalité dans le code et à son périmètre d'utilisation.

4.1 Problématique

Des études mécano-fiabilistes requièrent la dérivée du taux de restitution d'énergie par rapport à
une variation de domaine. En couplant le Code_Aster avec le logiciel PROBAN, on peut ainsi
connaître la probabilité d'amorçage de la rupture pour une distribution de variation de domaine
donnée
. Par exemple, dans le cadre du projet PROMETE [bib7], on a cherché à déterminer la
probabilité de rupture d'une cuve REP en considérant l'épaisseur de son revêtement intérieur comme
une variable aléatoire.

Jusqu'à présent ce type d'application nécessitait de coûteuses études paramétriques pour déterminer,
à chaque pas de calcul de PROBAN, la sensibilité des champs thermo-mécaniques et du taux de
restitution d'énergie à une variation d'épaisseur du revêtement. Désormais, avec cette option du
Code_Aster, on détermine en un seul calcul la valeur de ces dérivées.
Au delà de l'aspect performance, cela simplifie grandement le processus d'obtention des dérivées et
améliore leur fiabilité. On évite ainsi d'avoir à remailler et à requalifier des variantes infinitésimales de
la structure initiale. On n'a plus d'états d'âme à avoir quant à la pertinence du paramètre de variation
d'épaisseur. En effet, le calcul par différences finies (paradoxalement, pour valider la démarche
analytique sur des cas réels, on est bien obligé d'y avoir recours !) peut dépendre de la variable à
différencier, être sensible au maillage et, de manière générale, aux erreurs de tout ordre (éléments
finis, discontinuité, conditionnement, programmation...).

La technique de dérivation retenue est complètement analytique (compte tenu de son architecture
logicielle, le Code_Aster ne peut être différencié par des outils automatiques (tel ODYSSEE) pour
résoudre ce type de problème) et repose sur la dérivation directe des équations exprimées sous forme
variationnelle. La variation de domaine est alors modélisée par une fonction thêta sensibilité
notée s, à ne pas confondre avec la fonction thêta fissure notée f. En pratique, bien qu'on ne
s'intéresse qu'à des dérivées eulériennes, on manipule aussi des dérivées lagrangiennes car elles
interviennent naturellement dans les résultats de dérivation d'intégrale (théorèmes de transport de
Reynolds). D'ailleurs, on calcule les premières à l'aide des secondes.

Ces études de sensibilité ne sont pour l'instant accessibles qu'en 2D pour des modélisations planes
ou
axisymétriques en thermo-élasticité linéaire et avec des chargements (et des matériaux)
indépendants de la température et de la variation de domaine. Mais elles peuvent se généraliser au
3D, à l'élasticité non-linéaire, à la plasticité...

Considérons ainsi une structure plane soumise à une pression répartie sur son bord supérieur et à des
déplacements et des températures imposées. Avant de réaliser le calcul thermo-mécanique, il faut
définir le champ thêta sensibilité. Dans notre exemple, il décroît entre les abscisses x1 et x2 de son
support vertical et il est orienté suivant l'axe des abscisses. Il regroupe tous les points matériels de la
configuration qui vont se déplacer virtuellement suivant la transformation :

F : M M
s
+

s
s
(M)
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7.4

Titre :

Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

Date :
26/05/05
Auteur(s) :
E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
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Celle-ci répond aux mêmes propriétés de régularité que la transformation liée au champ thêta fissure
que nous noterons dorénavant F : M M
f
+
(cf. [§1.3]). On matérialise ainsi la variation
f
f
(M)
de domaine sur le bord gauche de la structure.

y
Champ s
sensibilité
Champ f
fissure
x
F
Fissure
x1
x2

Figure 4.1-a : Dérivée de G(f) par rapport à une variation de domaine pilotée par s

Ensuite, on fournit ce champ thêta sensibilité aux opérateurs thermique et mécanique qui vont
résoudre, en plus de leurs problème directs, des « pseudo » systèmes adjoints construits par
dérivation termes à termes des premiers [R4.03.01]. La résolution de ces systèmes permet d'exhumer
les dérivées lagrangiennes de la température et du déplacement, notées respectivement, &
T et &U .
En assemblant ces dérivées lagrangiennes lors du calcul du taux de restitution d'énergie, on en déduit
alors la dérivée par rapport à la variation de domaine. N'interviennent bien-sûr que les parties des
supports des champs inclus dans la couronne de calcul.
Sur la figure ci-dessus cette couronne est centrée sur le fond de fissure F et elle correspond à une
décroissance linéaire du module du thêta fissure, radialement, du centre vers le pourtour.

Remarque :

Cette technique de dérivation est connexe de la technique déployée en représentation
lagrangienne de variation de domaine [R7.02.04]. Dans les deux cas, on évite de coûteuses
études paramétriques en utilisant un maillage fixe de référence et en modélisant les variations
virtuelles de domaine par des fonctions thêta appropriées.

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Le mode opératoire (cf. [§4.4.1]) d'un calcul de sensibilité peut ainsi se schématiser sous la forme
suivante :


Calcul
de s
CALC_THETA
s
s
Calcul
T , T&
Calcul
Thermique
Mécanique
THER_LINEAIRE
MECA_STATIQUE
Calcul de f
T , T&
CALC_THETA
U , U&
f
G


(
f )
Calcul de G(
f ) et de
s

s=0
CALC_G_THETA_T

Figure 4.1-b : Mode opératoire de la dérivation de G


4.2 Remarques
préliminaires

4.2.1 Théorème de transport

L'expression de G(f ) implantée dans le code comporte cinq termes intégraux conformément à la
définition du [§2.4.3] du type (ou son pendant en surfacique) :
Is =
v
d


s

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Pour les dériver par rapport à leur support (au voisinage du support de référence), on utilise une des
variantes du théorème de transport de Reynolds en supposant que toutes les conditions de
régularité soient vérifiées : il faut que la transformation Fs modélisant le mouvement de la frontière du
volume en mouvement

s , et l'intégrande (tenseur d'ordre 0, 1 ou 2) soient tous de classe C1.
On a alors, en notant &
s la dérivée lagrangienne (au voisinage de l'origine) par rapport au champ
thêta sensibilité :




I s


s
F


s
&








div


=
+



v
d


s


s
=0

=0
s
s

Ce théorème se décline en plusieurs versions, selon que l'on considère un volume matériel ou spatial
et que l'on se place en description lagrangienne ou eulérienne. Cependant comme on dérive au

I s
voisinage de l'origine

toutes ces variantes sont équivalentes (« Philosophiquement » ce


s s=0
résultat est rassurant car il permet de ne privilégier ni l'élongation de matière (volume géométrique), ni
l'apparition de matière (volume matériel), dans l'interprétation de cette variation de domaine).
Les régularités théoriques requises sont loin d'être vérifiées en pratique, mais ces bémols sont la
plupart du temps « noyés » dans les erreurs dues à l'arithmétique finie, à la méthode des éléments
finis et aux intégrations numériques. Ainsi la frontière en mouvement, comme dans l'exemple ci-
dessus, présente souvent des « coins » et la transformation Ff n'est pas toujours C1 (Fs l'est, mais
pas Ff, qui présente deux surfaces de discontinuité sur les frontières Rinf et Rsup de la couronne).
En effet, le champ thêta fissure est défini sous forme d'un polynôme du premier ordre dans la
couronne et d'un polynôme constant à l'extérieur (il est donc C0) alors que le champ thêta sensibilité
est une combinaison de monômes du troisième ordre qui le rendent C2 sauf au milieu de son support
(où il est juste C1). Lors du calcul de G on fait appel directement aux dérivées premières du champ
thêta fissure, alors que pour l'obtention de sa dérivée on utilise indirectement les dérivées secondes
du thêta sensibilité (pour l'obtention de la dérivée lagrangienne du tenseur des déformations, cf p.44).
Un compromis a donc été trouvé entre l'ordre théorique requis par les dérivations et la précision des
éléments finis modélisant le calcul (Il ne fallait pas pénaliser le calcul de G avec des éléments
linéaires). On utilise des fonctions thêta d'un ordre de régularité juste inférieur à l'ordre théorique.

Remarques :

· Lors d'essais numériques on a substitué aux fonctions thêta sensibilité et fissure une spline
cubique naturelle particulière (avec condition de raccord de type dérivée première nulle aux
bords) due à R.Wodicka (
R.Wodicka. Report of the instituts für Geometrie and Praktische
mathematik, RWTH Aachen, 1977), qui remplie toutes les conditions de régularité souhaitées.
Mais celle-ci n'apporte que des gains marginaux à moins de raffiner à l'extrême le maillage et
de circonscrire la zone de calcul autour des discontinuités des champs thêta utilisés.

· En pratique, pour mieux appréhender les variations cubiques de la fonction thêta sensibilité et
assurer une meilleure convergence de la solution, l'utilisateur est obligé de conduire son calcul
de sensibilité avec des éléments finis quadratiques complets ou incomplets (SEG3, TRIA6,
QUAD8 et QUAD9). Quel que soit leur ordre, ces éléments de type Lagrange ne nous
garantissent qu'une régularité
C0 aux frontières. L'usage d'éléments de Hermite aurait été plus
approprié pour amener cette continuité au niveau des dérivées premières.

· La dérivation de l'intégrale fait apparaître deux termes : le premier correspond à la dérivée de
l'intégrande calculée comme si son paramètrage était distinct de celui définissant le support de
l'intégrale; le second évalue le taux de
au travers de la frontière mobile (terme de convection
de la dérivée particulaire).

· Le résultat est inchangé lorsque l'intégrale est surfacique (ou linéique dans un problème PLAN
ou AXIS). Il faut juste remplacer la divergence volumique par une surfacique. D'un point de vue
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numérique, il vaut d'ailleurs mieux calculer cette dernière via des dérivées contravariantes sur
la surface :

divs =

que de l'approximer, par une divergence et une dérivée normale volumiques ramenées à la
surface de calcul :

div
= div
s
- ( n).n
En effet, ce terme fait apparaître des dérivations normales à la surface qui n'ont pas de sens pour
les éléments de peau utilisés dans le Code_Aster. Il faudrait les approximer en projetant des
calculs volumiques sur l'élément surfacique. Pour y remédier on a recours aux dérivées
contravariantes qui permettent d'exprimer cette divergence à l'aide uniquement de grandeurs
surfaciques. On retrouve cette problématique dans tous les calculs surfaciques mis en place dans
le taux de restitution d'énergie et de sa dérivée.


Les termes du taux de restitution d'énergie, hors fonction thêta, peuvent poser problème. C'est
pour cette raison que la fonction thêta fissure revêt la forme d'une couronne de valeur constante en
son centre. Cela permet d'endiguer les discontinuités du gradient de champ de déplacement sur le
fond de fissure susceptibles de pénaliser le terme classique élémentaire.

Par la suite, tant que la confusion ne sera pas possible, nous noterons par un simple point &
la
dérivée lagrangienne liée à la variation de domaine. On ne s'intéressera plus qu'à cette transformation.
Par contre on continuera à distinguer les différents champs thêta. Avant d'aborder les calculs nous
allons clore ces remarques plutôt qualitatives en examinant les chargements et les matériaux.

4.2.2 Chargements et matériaux

Reprenons les mêmes remarques que celles formulées au [§1.3]. Nous rappelons donc que :

&f = f s

,
s
=
i
i
&g
g
,
i
i

°
s

= ,
°
°
s

=
ij
ij
&
,
ij
ij
&
s
E
= E
, &
s

= ,
&
s

=
,
&
s
T
= T
ref
ref

En effet, soit le chargement ou le matériau considéré, alors il existe un champ de R3 tel que :

/ =

La dérivation par rapport au paramètre commutant avec cette restriction, on a le résultat :


=


= 0
= 0





Remarque :

Cette hypothèse n'est vérifiée que pour des champs suffisamment réguliers (par exemple
appartenant à des espaces de Sobolev de
). Leur définition ne doit pas être impactée par la
variation de frontière.

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Par contre, pour cette dérivation, la dérivée eulérienne du champ de température est non nulle, car
la trace de s sur le bord de la structure en mouvement ne peut plus être négligée [bib4].
Les dérivées lagrangiennes des caractéristiques matériaux sont nulles pour le problème
discrétisé compte tenu de la remarque précédente et du fait qu'on les définit constantes par éléments
finis. Lorsqu'on leur permettra de dépendre de la température, leur dérivée lagrangienne ne sera plus
nulle. On aura, par exemple, pour le module d'Young :



E&(T )
E
E
=
+ E
. =
(
s
T& - T
. )

3
2
1
T
=0

Remarques :

· On peut utiliser des caractéristiques matériaux variables au sein d'éléments finis ou
dépendantes de la température, pourvu que cela soit en dehors de
(
supp f )
(
supp s
I
).
· Pour le calcul de la dérivée de G, les dérivées lagrangiennes des chargements (et même
celles de leurs gradients) n'interviennent pas en dehors de
(
supp f )
(
supp s
I
).
· Pour l'instant, on ne prend pas en compte des chargements dont la définition est impactée par
la variation de domaine. C'est par exemple le cas pour une fonction dont le support est défini
en fonction de caractéristiques géométriques de la frontière mouvante, ou, pour un champ de
déformations initiales construit à partir du déplacement résultant d'un calcul thermo-
mécanique. On pourrait prévoir des options de calculs spécifiques dans les opérateurs
concernés pour exhumer les dérivées eulériennes manquantes et les instiller dans l'opérateur
CALC_G_THETA_T via un deuxième opérande du mot-clé SENSIBILITE.


4.2.3 Formulaire

Mise à part la relation entre les dérivées lagrangienne et eulérienne :


& =
+ . s

éq
4.2.3-1

on n'utilise que la formule donnant la dérivée lagrangienne du gradient d'un champ en fonction des
gradients du champ et de sa dérivée lagrangienne :

& = & - s éq
4.2.3-2

En coordonnées cartésiennes, on peut appliquer ces formules composante par composante lorsque
le champ est représenté par un vecteur ou une matrice. Le deuxième terme est alors un simple produit
matrice-vecteur (en théorie, il s'agit du produit contracté de deux tenseurs). Par exemple dans le cas
d'un vecteur ou d'un tenseur on a :

}
·
= & - s
i, j
i, j
i,k k, j éq
4.2.3-3
}
·

= &
- s
ij,k
ij,k
ij l, l,k

d'où la dérivée lagrangienne de la divergence :
}
·
div = & - s
i,i
i,k k,i éq
4.2.3-4
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En coordonnées cylindriques, les choses se compliquent un peu si le champ considéré est un
tenseur d'ordre 1 ou 2. Il faut alors tenir compte de la composante orthoradiale des gradients. Par

exemple, pour un tenseur d'ordre 1 la première relation comporte le terme complémentaire r qui
r
n'intervient finalement pas car il est multiplié par la composante orthoradiale du champ thêta sensibilité
qui est nulle. Par contre, dans la seconde, un terme complémentaire apparaît dû à la dérivation du
r précédent :
r

·
s
s
s
s

0

0

r r
,
r z
,
&
0
r r
,
&r z, +
+
r r
, r r
,
r z
, z r
,
r r
, r,z
r z
,
z z
,


}
·





&

s
=
r

0
0 =
r
0
0 -
r r
0
0
éq
4.2.3-5

r

r

r2





0
z r
,
z z
, &
0
z r
,
&z,z s + s
0

s
s
z r, r r,
z z
, z r
,
z,rr z +z z
,
, z z
,




Remarques :

· Dans le calcul de la dérivée de G, cette relation n'intervient que pour la dérivée particulaire du
gradient du thêta fissure (donc de celle de sa divergence) et pour celle du gradient des
déplacements (donc pour celles des tenseurs des déformations et des contraintes), car tous
les autres gradients sont multipliés par la composante orthoradiale du thêta fissure qui est
nulle.

· En axisymétrie, moyennant les termes complémentaires, les formules cartésiennes peuvent
s'appliquer directement avec l'analogie formelle (x, y) (r, z) . De plus l'élément de surface
est multiplié par r pour prendre en compte le calcul de l'intégrale pour une unité de radian.


Lorsqu'on s'intéresse à la dérivée lagrangienne du gradient d'un chargement tel qu'il est pris en
compte actuellement, des dérivées secondes apparaissent. Ainsi, dans le cas d'un vecteur il
vient :

}
·
= & - s
i, j
i, j
i l,
l, j




i
=
+ s - s
éq
4.2.3-6

i,k
k
i l,
l, j

{


= 0
,j
=
s
i,k j
k

Les dérivées secondes des fonctions de forme des éléments quadratiques n'étant pas disponibles
dans le code, il a donc fallu les mettre en place. Leur introduction sur l'élément de référence est
quasi-immédiate, mais leur transcription sur l'élément réel 2D est plus laborieuse (cf. [Annexe 1]). Sur
les éléments 1D (pour les chargements surfaciques), on a recours à la géométrie différentielle et aux
dérivées contravariantes pour mieux appréhender les intégrandes sur la surface de calcul
(cf. [Annexe 2] et [§4.2.1]).
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Remarques :

· On aurait pu s'affranchir de cette implantation en effectuant des intégrations par parties (via le
théorème de Green), mais celles-ci devant s'appliquer sur des facteurs constitués de trois
termes, cela compliquait beaucoup la formulation (sans compter la prise en compte des
intégrales de frontière).

· Malgré la faible régularité des éléments utilisés, des tests numériques ont montré la bonne
qualité de ces dérivées secondes (pour des champs polynomiaux).
· Le calcul analytique de ces dérivées secondes a été mis en place pour les éléments
quadratiques en modélisations plane ou axisymétrique liées aux phénomènes mécaniques et
thermiques. Ce calcul ne concerne que la première famille de points de Gauss et, pour des
raisons de stabilité informatique, les valeurs de ces dérivées secondes (aux points de Gauss)
ont été stockées à la fin de l'objet JEVEUX dédié aux fonctions de formes.


4.3 Calculs des différents termes de la dérivée du taux de restitution
d'énergie

G


(f )
On souhaite calculer les différents termes de
. On reprend la nomenclature du [§2.4.3]
s

s=0
en ne manipulant que les intégrandes et en détaillant tout d'abord chaque terme en coordonnées
cartésiennes (indifféremment 2D ou 3D) et en petits déplacements. Par la suite, au cas par cas, on
spécifie les éventuelles modifications justifiées par l'axisymétrie et les grands déplacements.
Remarquons qu'ils font tous intervenir f ou son gradient : ils sont donc nuls en dehors du disque de
rayon Rsup. Dans la commande CALC_G_THETA_T il n'est ainsi pas nécessaire de préciser les
chargements qui ne s'appliquent pas dans cette zone.

4.3.1 Dérivée du terme classique élémentaire

D'après le théorème de transport du [§4.2.1], l'intégrande correspondant à la dérivée du terme
classique élémentaire s'écrit :

·
TCLA

6
7
44444
4 444448
4

( f )
= u f -
f
s
ij
i,p
p, j
((u),T)
div
+ TCLA d
iv
s
s=0

·
}
·
}
= & u + u f + u f
ij i,p
ij
i,p p, j
ij
i,p
p, j



·
678
- & div f - div f + TCLA
s
div

·
·
}
·
}
678
f
Il faut donc calculer &
,
,
,
f
u ,
,
&
et di
ij
i p
p j
v
.

Tout d'abord, compte tenu de la régularité de Fs , on peut montrer [bib4], [bib9] qu'il existe un champ
lagrangien (cette remarque simplifie beaucoup les calculs et consiste à changer formellement de thêta
fissure pour chaque s) f représentant le thêta fissure tel que :
f (P)
f
= ( (P)
s
F
) P
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ainsi la dérivée lagrangienne du thêta fissure est nulle :

f

f
F P
P
f

( ( )
s
)

( )
& =






=
0


=
s
s




=0
s =0
s

[éq 4.2.3-6] conduit alors à :

}
·
·
678
f = f
-
s et di f
v
= - f s
p, j
p l, l, j
k l, l,k

En appliquant [éq 4.2.3-3] au champ de déplacement il advient :
}
·
u , = (u& ) - u
s
i p
i

,p
i,k
k,p

d'où le calcul du tenseur des déformations qui va nous permettre d'obtenir les dérivées lagrangiennes
du champ de contraintes et de la densité d'énergie libre :

·
678
PD
1
1
s
s
ij
=
(u&i) + u&
u
u
(petites déformations)
, j
( j)
(

,
,
j,k
k i, )
2
i
i k
k j
, -
+
2
·
·

678 678
GD
1
= PD

s

s

ij
ij
+
(&
,
,
,
&
(grandes déformations)
2 ( ui ) - u

u
+ u
- u
u
,k
i p
p k ) j k ( j )

,k
j,p
p,k
i,k







Puisqu'on s'est limité à l'élasticité linéaire et compte tenu des remarques précédentes sur les
chargements et de [éq 4.2.3-3] :
}
·

0
s
0
s
ij = ijkl (& - &
T
-

kl
kl
kl,m m ) +

ij,m m

& = K(& -
kk
3 T&)( -
kk
3 (T - r
T ef ) +

eq &eq
3
3 6 D
&

ij
&eq =
(tenseur équivalent)
12
D
avec
ij
D
1
& = & - &
ij
ij
kk kl
(tenseur déviatorique)
3

En axisymétrie, conformément aux remarques du paragraphe [§4.2.3], on applique les formules
cartésiennes sur les deux premières variables avec l'analogie formelle (x, y) (r, z) , que l'on
complète par les termes « orthoradiaux » suivants :
f
s
f



r
u
=
, s
r
r

,

, =
,

u , =
r
r
r
}
·
·

f s
}
s
1

f

u

r
r
r r

et


, = -
2

u , = &ur -

r
r
r

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d'où la dérivée lagrangienne de la composante 3x3 du tenseur des déformations :

·
678
}
·
PD

=

u , (petites déformations)
·
·

678 678 }
·
GD
PD
ur

=
+
u ,
(grandes déformations)
r


4.3.2 Dérivée du terme thermique

D'après le théorème de transport du [§4.2.1], l'intégrande correspondant à la dérivée du terme
thermique s'écrit :
·
6 7
4
8
4
THER


(

f )
= -
T f + THER
s
div


T ,k k
s
s=0
}
·





= -
T
s
f
s
,k +
(T& - T
,
,
+ THER


div
T
T ( ),k
l l k ) k





Il nous reste donc à calculer la dérivée lagrangienne de la dérivée par rapport à la température de la
densité d'énergie libre :
}
·
= -
3 K(& -
3 T
kk
&)


T


4.3.3 Dérivée des termes forces volumique et surfacique

D'après le théorème de transport du [§4.2.1], l'intégrande correspondant à la dérivée du terme force
volumique s'écrit :
·

64447
4 4448
4
TFOR


( f )
= u
f
f
s
i ( f
+ f

i,k k
i div
) + TFORd
iv
s
s=0
·
·

678
=


u
f
f
f
s
f
f
&i ( f + f

i,k k
i div
)
}
+ u f + f d
iv
+ f

i i,k k
i l, l
i div



+ TFOR
s
div

Le seul terme qu'il reste à calculer est la dérivée lagrangienne du gradient des forces volumiques :

}
·
f
= f
s
i,k
i, jk j
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Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
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Version
7.4

Titre :

Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

Date :
26/05/05
Auteur(s) :
E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
:
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Remarque :

Le théorème de transport surfacique conduit à remplacer le divergence volumique par une
divergence surfacique. Celle-ci et la dérivée lagrangienne de l'intégrande font apparaître des
dérivations normales à la surface qui n'ont pas de sens pour les éléments de peau utilisés dans le
Code_Aster. On a donc recours à la géométrie différentielle et aux dérivées contravariantes pour
mieux appréhender les intégrandes sur la surface de calcul (cf. [Annexe 2]).



4.3.4 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales

D'après le théorème de transport du [§4.2.1], l'intégrande correspondant à la dérivée du terme
« déformations et contraintes initiales » s'écrit :
·
64444444444 7
4
8
44444444444
TINI



1 0 0

1 0


( f )
=
-


0
f
s
ij
ij
ij,k
ij
(T Tref )

+ TINI

div

ij
ij
ij,k k


2


+
-
-
-


2


s



s =0

}
·

1
1
1
= f


0
& - 0
& 0

0 0
- &
T
- & 0
k
ij
ij
ij,k
ij
ij
ij,k


&
+

2


+
-


2


+ ij
ij
ij
ij,k


2






·
f
1
-
0
0
s
k
ij
(T - re
T f )
}
-
TINI

ij
ij
ij,k


div
2


+

Les seules dérivées qui n'ont pas encore été exhumées sont celles des gradients des tenseurs des
déformations et des contraintes initiales qui, d'après [éq 4.2.3-6], s'écrivent :

}
·
0 = 0 s
ij,k
ij l,k
l
}
·
0 = 0 s
ij,k
ij l,k
l

Remarque :

Compte tenu des divers traitements numériques effectués lors de l'implantation dans le source de
l'opérateur, il n'est pas licite de cumuler des champs de contraintes et de déformations initiales,
car ce terme « déformations et contraintes initiales » ne s'annule alors pas. L'utilisateur devra
rentrer soit des contraintes initiales, soit des déformations initiales mais pas les deux.

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4.4
Implantation dans le Code_Aster

4.4.1 Périmètre
d'utilisation

Le calcul de la dérivée du taux de restitution d'énergie s'obtient en supplément de la valeur du taux
d'énergie avec l'option `CALC_DG'. Cette option enrichie la carte résultat d'un quatrième champ noté
`DG'.

----------------------------------------------------------------------
ASTER 6.00.19 CONCEPT G CALCULE LE 07/12/2000 DE TYPE TABL_CALC_G_TH
NUME_ORDRE INST G DG
1 0.00000E+00 3.622622E-01 1.889340E-03
----------------------------------------------------------------------

Exemple 1 : Trace de la carte résultat

Son périmètre d'application se limite aux calculs thermo-élastiques linéaires 2D s'appuyant sur des
éléments finis quadratiques complets ou incomplets (SEG3, TRIA6, QUAD8 et QUAD9). Les options
sensibilité permettant les calculs préliminaires des dérivées lagrangiennes de la température et du
champ de déplacement ont été mises en place dans les opérateurs MECA_STATIQUE et
THER_LINEAIRE.

Attention :

·
Le calcul de sensibilité en thermique est restreint au cas linéaire 2D, stationnaire ou
transitoire, avec des sources volumiques et des conditions de température imposée, de flux
normal imposé et d'échange convectif. Les conditions d'échange entre paroi et de
rayonnement ne sont pas encore pris en compte [R4.03.01][U4.54.01].

·
En mécanique, le calcul de sensibilité est restreint, pour l'instant, au cas linéaire D_PLAN ou
AXIS avec des conditions limites de type déplacement imposé, liaisons uniformes et pression
externe [R4.03.01] [U4.51.01].


Ce calcul de sensibilité s'appuie sur les modélisations 2D : D_PLAN et AXIS. Elles sont prises en
compte dans l'intégralité du processus de dérivation (THER_LINEAIRE, MECA_STATIQUE et
CALC_G_THETA_T). Par contre, la configuration C_PLAN n'est prise en compte qu'en post-traitement
du calcul de mécanique.
En l'occurrence, elle ne doit apparaître qu'après le calcul de sensibilité de
MECA_STATIQUE qui ne supporte que les modélisations D_PLAN et AXIS (avec cette option). Les
développements informatiques correspondant à cette prise en compte dans un calcul de sensibilité
n'ont pas été encore effectués. Dans une telle configuration, l'utilisateur est bien sûr seul juge de la
pertinence de ses résultats.

Compte tenu des remarques précédentes, il est clair qu'on ne s'intéresse qu'à des matériaux
élastiques isotropes indépendants de la température
. Ils peuvent être hétérogènes pourvu que
leurs caractéristiques restent constantes par éléments finis.

On peut utiliser les mêmes chargements que pour le taux d'énergie pourvu qu'ils soient
indépendants de la variation de domaine dans leurs définitions intrinsèques comme dans celles de
leurs supports. En d'autres termes, leur dérivée eulérienne doivent être nulles.
D'autre part, seuls les chargements de type pression répartie (PRES_REP) et température calculée
(TEMP_CALCULEE) sont utilisables dans la totalité du processus. Cette restriction logicielle n'est due
qu'au développement limité de l'option SENSIBILITE dans l'opérateur MECA_STATIQUE. Comme
pour la modélisation C_PLAN, les autres types de chargement (FORCE_INTERNE, FORCE_CONTOUR,
EPSI_INIT, PESANTEUR et ROTATION) ne sont pris en compte qu'en post-traitement du calcul de
mécanique. Ils ne peuvent et ils ne doivent intervenir que pour l'assemblage des termes de la
dérivée de G. Ils sont donc modélisés par des AFFE_CHAR_MECA ou AFFE_CHAR_MECA_F insérés
entre MECA_STATIQUE et CALC_G_THETA_T.
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On peut résumer ces opérations par le tableau suivant :

Modélisation
D_PLAN - AXIS
Eléments
SEG3 - TRIA6 - QUAD8 - QUAD9
Matériaux Elastique
isotrope
Chargement
PRES_REP TEMP_CALCULE

MECANIQUE THERMIQUE

C.L.
Dep. Imposés - Liaisons uniformes
C. d'échanges entre paroi : refusé
Chgt. thermique : TEMP_CALCULEE
C. de rayonnement : refusé
Calcul
MECA_STAT
THER_LINE




Configuration
Modélisation
C_PLAN
utilisable
uniquement en
post-traitement
(pertinence
laissée au libre
choix de
l'utilisateur)

Type de chargement FORCE_INTERNE
FORCE_CONTOUR
EPSI_INIT
PESANTEUR
ROTATION







CALC_G_THETA_T


Via le mot-clé ETAT_INIT on peut aussi prendre en compte un champ de contraintes ou de
déplacements initiaux
dans le calcul du taux d'énergie. Cette possibilité a été étendue au calcul de
sa dérivée avec les mêmes restrictions que pour les chargements. Pour les mêmes raisons ces
champs initiaux ne sont pris en compte qu'en post-traitement du calcul de mécanique.

Pour plus d'information sur le domaine de validité des options de calcul et pour s'inspirer d'exemples
d'utilisation on pourra se reporter au manuel utilisateur [U4.82.03] et au cas test HPLP100B
[V7.02.100].

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4.4.2 Environnement
nécessaire

Comme pour le calcul du taux de restitution d'énergie, le champ thêta fissure f doit obligatoirement
avoir été créé auparavant (soit par la commande CALC_THETA [U4.82.02], soit par la commande
AFFE_CHAM_NO [U4.44.11]). Pour l'obtention de sa dérivée, il faut avoir en plus constitué le champ
thêta sensibilité s avant le calcul thermo-mécanique (puisqu'il est fourni en entrée de ces opérateurs
via l'opérande SENSIBILITE).
C'est lui aussi un champ de vecteur 2D en chaque noeud du maillage. Il est orienté suivant l'axe des
abscisses. Il peut être affecté directement avec la commande AFFE_CHAM_NO mais, dans la pratique,
il est généralement issu de la commande spécifique CALC_THETA avec l'option THETA_BANDE qui
permet de saisir le module (mot-clé MODULE) et les abscisses x1 et x2 (mot-clé R_INF et R_SUP) des
points délimitant son support vertical. On rappelle que ce champ décroît de la valeur MODULE à la
valeur nulle entre les abscisses x1 et x2, et qu'il est nul partout ailleurs. Ces abscisses peuvent être
négatives mais on doit avoir x1 < x2. La [Figure 4.1-a] illustre un exemple de ce type de champ thêta.

Attention :

Le champ thêta sensibilité est donc pour l'instant figé, colinéaire au vecteur unitaire de l'axe des
abscisses (et dans le même sens). Cette construction préalable de
s par l'opérateur
CALC_THETA correspondait aux spécifications du projet PROMETE [bib7]. Mais rien n'empêche la
prise en compte de directions quelconques pour pouvoir simuler des dérivations par rapport à des
variations de domaines inclinées.



4.4.3 Normalisation

En axisymétrie, pour effectuer des comparaisons, il est nécessaire de normaliser à la main (ce n'est
pas fait automatiquement) la dérivée fournie par le Code_Aster. Comme pour le taux de restitution
d'énergie (cf. [§2.4.4.1]) il faut diviser la valeur numérique obtenue par le rayon R du fond de fissure
(égal à sa distance à l'axe de symétrie y) :

Gintrinseque




(f )
1 G


(f )



=

R

s
s




=0
=0
s
s

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5 Bibliographie

[1]
BUI H.D., Mécanique de la rupture fragile, Masson, 1977.
[2]
DESTUYNDER Ph, DJAOUA M., Sur une interprétation de l'intégrale de Rice en théorie de la
rupture fragile, Mathematics Methods in the Applied Sciences, Vol. 3, pp. 70-87, 1981.
[3]
GRISVARD P., "Problèmes aux limites dans les polygones", Mode d'emploi - EDF - Bulletin
de la Direction des Etudes et Recherches, Série C, 1, 1986 pp. 21-59.
[4]
MIALON P., "Calcul de la dérivée d'une grandeur par rapport à un fond de fissure par la
méthode thêta", EDF - Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches, Série C, n°3 1988
pp1-28.
[5]
MIALON P., Etude du taux de restitution de l'énergie dans une direction marquant un angle
avec une fissure, note interne EDF, HI/4740-07-1984.
[6]
GURTIN M.E. An introduction to continuum mechanics. Mathematics in science and
engineering. Academic Press, 1981.
[7]
VENTURINI V. et al. Etude PRObabiliste de la cuve par un couplage Mecano-fiabilisTE. Bilan
du projet P1-97-04, HP-26/99/012/A, nov. 1999.
[8]
DHATT.G et TOUZOT.G. Une présentation de la méthodes des éléments finis. Ed. Maloine,
1984.
[9]
MURAT.F et SIMON.J. Sur le contrôle par un domaine géométrique. Université de Paris VI,
1976.
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Annexe
1
Calcul des dérivées secondes des éléments
quadratiques 2D


Dans un premier temps on exprime les dérivées secondes des fonctions de forme sur l'élément de
référence, puis on les utilise pour déterminer celles de l'élément réel qui sont les seules à intervenir
effectivement dans le calcul des termes élémentaires. On conserve ici les notations du code pour les
éléments isoparamétriques [R3.01.01]. Nous n'effectuerons l'exercice qu'en 2D mais il se généralise
sans peine au 3D.
Pour calculer les dérivées secondes sur des éléments linéiques on a recours à la géométrie
différentielle et aux dérivées contravariantes (cf. [Annexe 2]). Elles permettent de mieux appréhender
les intégrandes sur la surface de calcul afin qu'ils ne fassent pas apparaître de dérivations normales
qui n'ont pas de sens pour les éléments de peau utilisés dans le Code_Aster.

A1.1 Dérivées secondes sur l'élément de référence

A1.1.1 Segment (élément de bord)

Les dérivées secondes des trois fonctions de formes s'écrivent :


2
2
1
N (
N
)
2
= 1
() = 1
2
2
N1
N3
N2
2 N
-1
0
1
3 () = 2
-
2

Figure A1.1.1-a : Segment de référence

A1.1.2 Triangle (élément de face)

Les dérivées secondes des six fonctions de formes s'écrivent :

N1

N4

N6
N2
N5
N3

Figure A1.1.2-a : Triangle de référence
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2 N
2 N
2 N
i
i
i
i
2
2

1
0
1
0
2
1
1
1
3
1
0
0
4
0
- 2
- 1
5
- 2
0
- 1
6
0
0
1
Figure A1.1.2-b : Dérivées secondes du triangle de référence


A1.2 Quadrangle complet ou incomplet (élément de face)

N1
N8
N4

N7
N5

N9
N2
N6
N3

Figure A1.2-a : Quadrangle de référence
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Les dérivées secondes des huit (resp. neuf) fonctions de formes du quadrangle incomplet
(resp. complet) s'écrivent :
2 N
2 N
2 N
i
i
i
i
2 N
2 N
2 N
2
2

i
i
i
i
2
2

1 +
- 1
(
2 + )
1 (
2 - )
1
1


1 +
1 -
- 1
2
2
4
1
-
2
2
2
4
- 1
- 1
(
2 - )
1 (
2 - )
1
1-
1 -
- - 1
2


2
+
2
2
4
2
2
2
4
- 1
1 +
(
2 - )
1 (
2 + )
1
1-
1 +
- + 1
3


3
-
2
2
4
2
2
2
4
1 +
1 +
(
2 + )
1 (
2 + )
1
1 +
1 +
+ 1
4


4
+
2
2
2
4
2
2
4
5
1 - 2
(1-)
(1-
2 )
5
0
- 1

6
(1- )
1 - 2
(
1-
2 )
6
- 1
0

7
1 - 2
- (
+ )
1
- (
2 + )
1
7
0
- - 1
-
8
- ( + )
1
1 - 2
- (
2 + )
1
8
- - 1
0
-
9
(22 - )1
(22 - )1

4

Figure A1.2-1 : Dérivées secondes du quadrangle complet et incomplet de référence

A1.3 Dérivées secondes sur l'élément réel

A1.3.1 Problématique

Les termes élémentaires à discrétiser sont écrits dans le domaine réel, même s'ils sont transcrits sur
l'élément de référence via la changement de variable utilisant le jacobien. Leurs intégrandes utilisent
donc des dérivées en x. Or l'approximation nodale sur l'élément réel étant souvent trop compliquée (la
fonction d'interpolation géométrique : x admet une bijection réciproque mais sa construction
est laborieuse dès les QUAD4. On notera [J] sa matrice jacobienne et det(J) son jacobien. D'autre
code, tel N3S, ont choisi cependant, pour des raisons de performance, de travailler exclusivement sur
l'élément réel), on lui préfère son expression sur l'élément de référence :


1
() N1() ... N e () ...
n



ne
notée () N() { n }
avec :

1, 2, ...., ne les valeurs de aux ne points d'interpolation et
N1(), N2(), ..., Nne() leurs fonctions de forme associées sur l'élément de référence.

Il faut donc transcrire ces dérivées par rapport à x en dérivées par rapport à via la description
directe de l'interpolation géométrique .
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A1.3.2 Cas bidimensionnel

En utilisant la dérivation en chaîne, on écrit tout d'abord les dérivées en =(,) à partir de celles en
x=(x,y) :
x
y


x
= x
y











éq A1.3.2-1



y
notée {} = [J] {x }

En inversant ce système (comme est bijective) on peut ainsi en déduire les dérivées en x à partir de
celles en :
{
-1
x } = [ J]
{} éq A1.3.2-2

et en les dérivant formellement on obtient :
2
2




2
x

2


2


2






= T
+ T

2
[ 1] [ 2]


y


2




éq A1.3.2-3
2


2





x y




notée { 2} = [
2
1
T ] {} + [ 2
T
x
]{}

D'autre part en dérivant [éq A1.3.2-1] par rapport à , en tenant compte de [éq A1.3.2-2], il vient :

{2
2
} = [ 1
C ] {x} + [C2 ] {x }

= [
1
-
2
1
C ] [J] {} + [C2 ] {x }

en reportant l'expression obtenue dans [éq A1.3.2-3] :
{2
1
-
2
x } = [
( T1]+[T2][C1][J] ){}+[T2][C2]{x}


[
-
T
1

2 ] = [C2 ]
[T
1
-

1] = [
- T2 ][C1][J]
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Les matrices [C1] et [C2] s'obtenant facilement, via , on a donc un processus constructif permettant
de déduire les matrices [T1] et [T2] recherchées :


x 2

y 2

x y

2
x
2
y





2



2
2








2
2
[
x
y
x y

2
x
2
y
C


2 ] =



2
[C1] =

2
2






x x y y y x

x y
2

x
2
y


+











y 2
y 2



y y




- 2






2
2

[
1
x
x
x x
T2 ]




=


2
2
det ( J)



-





y
x
y x
y x x y
-
-
+
+






y
y
[
1


T



1]
-
-
=
[T2][C1]
det( J)
x
x
-





Ainsi, par exemple, la première dérivée seconde en x exprimée sur l'élément de référence s'écrit :

2
2
2
2
() = T (1, )
1
() + 1T(12,) () + 2
T (1, )
1
() + T (12,) () + T (1, )
3
()
2
1
x


2
2
2
2


Pour de plus amples informations, on pourra se référer à l'excellent ouvrage de G.Dhatt et G.Touzot
[bib8] pp51-57.
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Annexe 2 Calcul du terme force surfacique et de sa dérivée en
2D

A2.1 Introduction

D'après les paragraphes [§2.4.3.3] et [§4.3.3] le terme force surfacique et sa dérivée par rapport à la
variation de domaine s'écrivent (avant projection des opérateurs sur la base cartésienne) :

TSUR = (
f
f
f + f div
s
).u d
S
·



TSUR

678

( f ) =

(
s
f ) f
s
f
f
+ f div + f div .u


s
s

+
s
=0 S
s


( f
f
f + f div
s
).(
s
u& + udiv
s
) d

Ils font donc clairement apparaître des dérivées normales à la surface de calcul. Or dans le
Code_Aster, on a choisi de calculer ces termes élémentaires (dûs aux efforts surfaciques) sur des
« éléments de peau » pour lesquels cette variation normale n'a pas de sens. Pour y remédier on a
recours à la géométrie différentielle qui permet d'exprimer ces intégrandes uniquement à l'aide de
grandeurs surfaciques.
Nous n'effectuerons l'exercice qu'en 2D-PLAN mais il se généralise sans peine au 3D. Dans notre
cas, la surface de calcul se réduit à une courbe (dans le plan (x,y) de calcul) et les forces ne sont
plus que linéiques. D'autre part, suivant que la modélisation est plane ou axisymétrique, il faut
prendre en compte des termes complémentaires, car dans le premier cas il s'agit d'un calcul par unité
de longueur, alors que dans le second, il est par unité de radian.

Nous allons maintenant introduire un paramètrage curviligne du voisinage de la courbe de travail S et
de ses repères fondamentaux associés. Soit un paramètrage admissible de S. Pour décrire le
volume constitué d'un voisinage de cette courbe en utilisant un repère orthogonal, on lui adjoint deux
autres variables et .



M()
g
g
1
2
S
y
, g3
x
O
z

Figure A2.1-a : Paramètrage curviligne du voisinage de la courbe de travail
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Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Taux de restitution de l'énergie en thermo-élasticité linéaire

Date :
26/05/05
Auteur(s) :
E. GALENNE, O. BOITEAU, E. VISSE Clé
:
R7.02.01-D Page
: 56/60


La figure ci-dessus illustre la base naturelle covariante (g1, g2, g3) associée aux paramètres , et .
Les vecteurs de cette base curviligne s'écrivent dans le repère global (O,x,y,z) sous la forme (en un
point M(x(),y()) quelconque de S)
x
y


0
y
x
g =
g = -
g
1
2
3 = 0



0
0
1
D'où le tenseur métrique g et son tenseur réciproque g-1, en notant J le jacobien de la transformation :

2
2
J
0
0
-
J
0
0
g = [g
g g
g
g g
ij ]
= [


-
-
i
j

-

.i j ]
2
1
= 0
J
0
=
ij
ij


[ 1
gij ] = [ . ]
2
= 0
J
0
ij
ij


0
0
1
0
0
1




2
2
x
y
avec J =
+











Du tenseur métrique réciproque on déduit le base contravariante (g1, g2, g3) qui s'avère très utile pour
calculer les dérivées covariantes :
1
1
gi = g-1 g
g1 =
g , g2 =
g , g3 = g
ij
j

J 2 1
J 2 2
3

Remarque :

Que la modélisation soit plane ou axisymétrique, ces tenseurs restent diagonaux puisque les
bases choisies sont orthogonales. Par contre la valeur de l'élément d'intégration élémentaire
diffère

J d en 2D - PLAN
d =

r J d

en 2D - AXI
pour tenir compte de l'intégration par unité de radian en axisymétrie. Compte tenu de l'analogie
r 2 2
z
formelle (x, y) (r, z) , le jacobien de la transformation s'écrit : J =
+





A2.2 Terme force surfacique

Décomposons ce terme en deux intégrandes :
TSUR = (TSUR + TSUR
1
2 ) d
S

avec
TSUR =
1
( f
f ).u et TSUR =
2
(
f
f div
s
).u
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A2.2.1 Calcul de TSUR1

En exprimant le gradient par des dérivées covariantes et en décomposant le vecteur thêta fissure et le
vecteur déplacement sur la base covariante, on obtient (après quelques opérations tensorielles de
base)
i,k,l ,
1 2
TSUR = f
.u =
g g
g . g
avec

1
( f
)
( i
j
fk
f

u
j
i
k ) l
{ }
l
j=1
i
fk
l
= f
u g

j
jk
il
2
i
fj
i
= J f
u
j

Il reste à déterminer i
fj
i
f

,
et
u via la base contravariante pour obtenir :
j
f

f

f


TSUR = J 2
1
1
1
2
2
1
( f .g ) .g ( .ug )+ .g ( .ug )








x
y

f

f
= J -2
f
f

+
u
x + u
y
x
y
x
y







Remarque :

En axisymétrie, compte tenu de la nullité de la composante orthoradiale du champ thêta fissure, il
n'y a pas de terme complémentaire.


A2.2.2 Calcul de TSUR2

En exprimant la divergence surfacique comme la trace du gradient surfacique
div
f
= tr


g
g

s
( f
s
)= tr( fi j
j
i
) avec i, j = 1

et en décomposant le vecteur thêta fissure et le vecteur déplacement sur la base covariante, on
obtient (après quelques opérations tensorielles de base (prendre la trace d'un tenseur du second ordre
revient à effectuer sa contraction)) :
k,l
,
1 2
TSUR =

f tr
.u =
g tr
g g . g
avec

2
( ( f

f

u
s
) ( k k ( fi
j
j
i
) l
{ }
l
i, j=1
k
fi
l
= f
u g

j
ij
kl
2
k
fj
k
= J f
u
j

Il reste à déterminer k
fj
f
,
et k
u avec la base contravariante pour obtenir :
j
f


TSUR = J 2
1
1
1
2
2

.g
2
{(f.g )( .ug )+(f.g )( .ug )}




f
x
f


-
y y
= J 2
x

+

( f u + f u
x x
y y )


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Remarque :

En axisymétrie il faut tenir compte de la composante orthoradiale non nulle du gradient lors du
calcul de la divergence surfacique :
f
fr
f
div =
+
s
r

f
f



-2
r z
1
r
z
f
= J
+
+ r

r



A2.3 Dérivée du terme force surfacique

Décomposons ce terme en cinq intégrandes :

TSUR


( f ) = (DTSUR + DTSUR + DTSUR + DTSUR + DTSUR d
1
2
3
4
5 )


s
=0
S
s
avec
DTSUR = ( f s ) f ).u
1
DTSUR = (f s ).u div f
2
s

·
678
DTSUR = f .u div f = f .u tr
s
( f s
s
s
)
3
DTSUR = (f f + f div f .u
s
) &
4
DTSUR = (f f + f div f .u
s
) div s
5
s

A2.3.1 Calcul de DTSUR1

En exprimant le double gradient par des dérivées covariantes et en décomposant le vecteur thêta
fissure, le vecteur thêta sensibilité et le vecteur déplacement sur la base covariante, on obtient (après
quelques opérations tensorielles de base) :
i,l
, m, n ,
1 2
DTSUR = f
.u =
g g g
g
g . g avec

1
(
s
) f
)
( i
j
k
l
f


u
jk
i
s
l ) m
f
m ) n
{ }
n
j, k=1
i
sl
fm
n
= f
u g

jk
kl
jm
in
2
i
sk
fj
i
= J f
u
jk

Il reste à déterminer i
fj
sk
i
f

,

,
et
u avec la base contravariante pour en déduire :
jk
s
2
2

f

f




TSUR = J 2
1
1
1
1
2
2
.g .g


.g .
u g

.g
1
( f )( s )
+
.
u g
2
(
) 2 ( )










x
y
x
y
2

f
2
f
= J -4
f
f
s
s

+

+
u
x + u
y
x
y
x
y
x




2
y
2






Remarque :

En axisymétrie, compte tenu de la nullité de la composante orthoradiale du champ thêta
sensibilité, il n'y a pas de terme complémentaire.

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A2.3.2 Calcul de DTSUR2

Il s'obtient immédiatement en reprenant le résultat du calcul de TSUR1 (après avoir remplacé le champ
thêta fissure par le champ thêta sensibilité) et en le multipliant par l'expression de la divergence
surfacique du champ thêta fissure de TSUR2.
4
s x
s y


f
f
x
y f
x
x fy y
DTSUR = -
J

+
u
+ u

+

2

x
y






x
y











Remarque :

En axisymétrie il faut tenir compte de la composante orthoradiale non nulle du gradient lors du
calcul de la divergence surfacique
f
r
f
z
f

div
f
= J -2
r
z
r


s
+


+ r

A2.3.3 Calcul de DTSUR3

En exprimant la divergence surfacique comme la trace du gradient surfacique et en décomposant le
vecteur force linéique et le vecteur déplacement sur la base covariante, on obtient (après quelques
opérations tensorielles de base (prendre la trace d'un tenseur du second ordre revient à effectuer sa
contraction) :
k,l

,
1 2
TSUR =

f tr

.u =
g tr
g g g g
. g avec

3
( ( f
s


f


u
s
s
) ( k k ( fi sm
j
n (
j
i
)(
n
m
)) l
{ }
l
i, j, m, n=1
k
fi
sm
l
= f

u g

j
n
jm
in
kl
2
k
fi
sj
k
= J f

u
j
i

Il reste à déterminer k
fi
sj
k
f
,

,
et
u avec la base contravariante
j
i
f
s

2



1


TSUR = J
1
.g
.g
f.g
.
u g
f.g
.
u g
3
({ 1)( 1)+ ( 2)( 2)}













f
f
s
s

4




-
x
y

x
y
x
y
x
y
= J
+


+
(f u + f u
x
x
y
y )







Remarque :

En axisymétrie il faut tenir compte de la composante orthoradiale non nulle de la dérivée
lagrangienne des gradients surfaciques (cf. [§4.2.2])
·
f
678



-
r
f
z
s
r
s
z
f
f

div f
= J 4
r
z
r
z
r
s

+

+
-

s



r 2
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A2.3.4 Calcul de DTSUR4

Il suffit de sommer les expressions de TSUR1 et TSUR2 en remplaçant les composantes du champ de
ux
&ux
déplacement u
u
u par celles de sa dérivée lagrangienne &
.
y
&uy


A2.3.5 Calcul de DTSUR5

Il suffit de multiplier la somme TSUR1+TSUR2 par l'expression de la divergence surfacique du champ
thêta sensibilité
s
x
s


y y
div s
= J -2
x

+

s



Remarque :


En axisymétrie il faut tenir compte de la composante orthoradiale non nul du gradient lors du
calcul de la divergence surfacique

s
r
s
z
s

div s
= J -2
r
z
r

+
+

s


r

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