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Eléments isoparamétriques
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05/05/95
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I. VAUTIER
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Manuel de Référence
Fascicule R3.01 : Références générales
Document : R3.01.00
Eléments isoparamétriques
Résumé :
Ce document présente les fondements des éléments isoparamétriques introduits dans le Code_Aster pour la
modélisation des milieux continus 2D et 3D. On rappelle tout d'abord le passage d'une formulation forte à une
formulation variationnelle, puis on détaille la discrétisation par éléments finis : utilisation d'un élément de
référence, calcul des fonctions de forme et évaluation des termes élémentaires. On décrit également brièvement
le principe de l'assemblage de ces termes et de l'imposition des conditions aux limites, et on évoque les
méthodes de résolution matricielle utilisées. Enfin sont exposées les principales étapes d'un calcul par éléments
finis tel qu'il est conçu et implanté dans le Code_Aster.
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Table des matières
1 Principe de la méthode des éléments finis............................................................................................ 4
2 Obtention d'une formulation variationnelle ............................................................................................ 4
2.1 Formulation forte ............................................................................................................................. 4
2.2 Formulation faible............................................................................................................................ 5
2.2.1 Fonctions tests....................................................................................................................... 5
2.2.2 Formule de GREEN ............................................................................................................... 5
2.2.3 Formulation variationnelle ...................................................................................................... 6
2.3 Méthode de résolution..................................................................................................................... 7
3 Discrétisation ......................................................................................................................................... 9
3.1 Découpage en éléments finis.......................................................................................................... 9
3.2 Choix des fonctions tests ................................................................................................................ 9
3.3 Représentation de la géométrie .................................................................................................... 10
3.3.1 Elément de référence........................................................................................................... 11
3.3.2 Fonctions d'interpolation géométrique ................................................................................. 11
3.3.3 Matrice jacobienne de la transformation .............................................................................. 12
3.4 Représentation des inconnues...................................................................................................... 12
3.4.1 Base polynomiale................................................................................................................. 12
3.4.2 Fonctions de forme .............................................................................................................. 13
3.4.3 Elément isoparamétrique ..................................................................................................... 14
3.4.4 Correspondance entre base polynomiale et fonctions de forme ......................................... 14
3.5 Calcul des termes élémentaires.................................................................................................... 15
3.5.1 Transformation des dérivées ............................................................................................... 15
3.5.2 Changement de domaine d'intégration ................................................................................ 15
3.5.3 Intégration numérique : points de GAUSS........................................................................... 15
3.6 Exemple ........................................................................................................................................ 16
3.6.1 Formulation variationnelle .................................................................................................... 17
3.6.2 Fonctions de forme .............................................................................................................. 18
3.6.3 Calcul des termes élémentaires........................................................................................... 19
4 Système matriciel ................................................................................................................................ 20
4.1 Assemblage des matrices et vecteurs élémentaires..................................................................... 20
4.2 Imposition des conditions aux limites cinématiques...................................................................... 20
4.3 Résolution du système matriciel.................................................................................................... 20
4.4 Estimation d'erreur et amélioration de la précision des calculs .................................................... 21
5 Organisation d'un calcul par éléments finis dans le Code_Aster ........................................................ 21
5.1 Notion d'élément fini dans le Code_Aster ..................................................................................... 21
5.2 Initialisations des éléments ........................................................................................................... 22
5.3 Calcul des termes élémentaires.................................................................................................... 23
5.4 Résolution globale......................................................................................................................... 23
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6 Bibliographie.........................................................................................................................................23
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1
Principe de la méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis est employée dans de nombreux domaines scientifiques pour résoudre
des équations aux dérivées partielles. Elle permet de construire une approximation simple des
inconnues pour transformer ces équations continues en un système d'équations de dimension finie,
que l'on peut écrire schématiquement sous la forme AU = L , où U est le vecteur des inconnues, A
une matrice et L un vecteur.
Dans un premier temps, on transforme les équations aux dérivées partielles (ou formulation forte du
problème) en une formulation variationnelle (ou formulation faible). La solution approchée est cherchée
comme combinaison linéaire de fonctions données. Ces fonctions doivent être simples mais assez
générales pour pouvoir "bien" approcher la solution. Elles doivent notamment permettre de générer un
espace de dimension finie qui soit aussi proche que l'on veut de l'espace de fonctions dans lequel se
trouve la solution. A partir de cette idée ancienne (méthode des résidus pondérés), les diverses façons
de choisir ces fonctions donnent lieu à différentes méthodes numériques (collocation, méthodes
spectrales, éléments finis).
L'originalité de la méthode des éléments finis est de prendre comme fonctions d'approximation des
polynômes qui sont nuls sur presque tout le domaine, et participent donc au calcul seulement au
voisinage d'un point particulier. Ainsi, la matrice A est très creuse, ne contenant que les termes
d'interaction entre "points voisins", ce qui réduit le temps de calcul et la place mémoire nécessaire au
stockage. De plus, la matrice A et le vecteur L peuvent être construits par assemblage de matrices et
vecteurs élémentaires, calculés localement.
2
Obtention d'une formulation variationnelle
On peut obtenir la formulation variationnelle d'un problème à partir des équations aux dérivées
partielles, en multipliant celles-ci par des fonctions tests et en intégrant par parties. En mécanique des
solides, la formulation faible alors obtenue est identique à celle donnée par le Principe des Travaux
Virtuels ou dans certains cas la minimisation de l'énergie potentielle totale de la structure. Notons
cependant que pour certains problèmes, les équations du modèle sont plus faciles à établir dans le
cadre variationnel (cas des plaques et des coques par exemple).
2.1 Formulation
forte
Prenons un exemple issu de la mécanique des solides. Les équations locales d'équilibre statique d'une
structure , soumise à des forces de volume f, des déplacements imposés uD sur une partie de sa
frontière D et des forces imposées g sur une partie N de sa frontière, s'écrivent :
div

+ f = 0

dans

u = uD sur D
.n =

g sur N
où est le tenseur des contraintes et n la normale sortante sur la frontière . Les relations qui lient
le tenseur des contraintes aux déplacements u s'appellent relations de comportement.
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Les conditions aux limites s'appliquant aux inconnues primales (les déplacements ici) sont appelées
conditions aux limites de DIRICHLET, ou encore "essentielles". Les conditions aux limites portant sur
les forces (ou les flux en thermique) sont appelées conditions aux limites de NEUMANN, ou
"naturelles".
2.2 Formulation
faible
2.2.1 Fonctions
tests
Soit un espace V de fonctions appelées fonctions tests, "suffisamment" régulières et s'annulant sur
D . En mécanique, cet espace s'appelle l'espace des déplacements virtuels cinématiquement
admissibles. En multipliant les équations locales par une fonction test v appartenant à l'espace V et en
intégrant sur le domaine , on obtient une forme variationnelle du problème, rigoureusement
équivalente à la forme précédente, dite aussi opérationnelle :
V D = {
D
v "régulière" , v = u sur D
}
V = {v "régulière", v = 0 s
ur D
}
v

V : (div + f )v d = 0
D


Trouver u V
tel que

:

éq 2.2.1-1
.n = g sur


N
Dans ce qui suit, on supposera pour simplifier que les conditions de DIRICHLET sont homogènes,
c'est-à-dire que uD = 0 ; ainsi, les espaces V D et V sont confondus. Le traitement des conditions
aux limites de DIRICHLET non homogènes est exposé dans le document [R3.03.01].
Remarque :
On ne discutera pas dans ce document des espaces fonctionnels auxquels doivent appartenir
les fonctions tests (cf. [bib1]).
2.2.2 Formule de GREEN
L'analogue de l'intégration par parties pour un domaine quelconque de frontière s'appelle la
formule de GREEN et s'énonce comme suit, dans sa forme la plus simple :

id =
in d ,


où i désigne la dérivée par rapport à la direction i , et n la normale sortante au domaine.
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Lorsque = q , où q est un vecteur et un scalaire, elle s'exprime de la façon suivante :
i iq d = iq in d - i q




d ,



i
soit, en utilisant des notations vectorielles (le . désigne le produit scalaire) :
div(q)d + gra
d( ). q
d =
(q.n)



d



2.2.3 Formulation
variationnelle
En appliquant la formule de GREEN à l'intégrale [éq 2.2.1-1] et en tenant compte de la condition aux
limites de NEUMANN

ijn j = i
g sur N et de la condition v = 0 sur D , on obtient la forme dite
variationnelle du problème :
Trouver u V D tel que :
v

V
v d
ij j i =
f v d
i i +




g v d
i i
N
Comme le tenseur des contraintes est symétrique, l'équation peut également s'écrire :
ij (u)ij (v)d =
fi iv d +
i
g iv d



,


N
où
1
ij(v) = (i vj +j iv)
2
est le tenseur des déformations linéarisées. On retrouve donc exactement l'expression donnée par le
Principe des Travaux Virtuels en petits déplacements. La relation entre le tenseur des contraintes de
CAUCHY et les déplacements u sera donnée par une relation de comportement, et est
indépendante de l'écriture de la formulation variationnelle (dans le cas élastique, on a par exemple
ij(u) = ijklkl (u) ).
Un des avantages de la formulation variationnelle est qu'elle intègre toutes les conditions aux limites :
les conditions de DIRICHLET sont prises en compte dans la définition de l'espace V des fonctions
tests, tandis que les conditions de NEUMANN apparaissent naturellement après intégration par parties.
Cette intégration par parties permet également d'abaisser l'ordre de dérivation sur les inconnues. De
plus, dans un certain nombre de cas, elle symétrise le problème en u et v.
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Deux choses restent à faire lorque l'on a écrit la formulation variationnelle (ou le Principe des Travaux
Virtuels) : prendre en compte la relation de comportement et mettre en place l'algorithmique de
résolution. Pour ce dernier point, donnons quelques exemples : écriture d'un algorithme de résolution
de système non linéaire (méthode de NEWTON par exemple) pour les problèmes non linéaires,
écriture d'un schéma d'intégration en temps pour les problèmes d'évolution en dynamique (méthode de
NEWMARK par exemple)... Dès lors, la plupart des problèmes variationnels se ramènent à trouver
u V D tel que :
v V , a(u, v) = l(v) ,
où a(·,·) est une forme bilinéaire, symétrique ou non, et l(·) une forme linéaire. Dans le cas où la
forme bilinéaire est symétrique et positive, le problème posé est équivalent à un problème de
minimisation d'une fonctionnelle, qui en mécanique statique des solides est l'énergie potentielle totale
de la structure.
2.3
Méthode de résolution
Dans ce document, on présente uniquement la méthode d'éléments finis en déplacements, où les
inconnues sont, comme son nom l'indique, les variables dites primales (déplacements en mécanique),
par opposition aux méthodes en contraintes, ou aux méthodes mixtes. L'espace V est représenté par
un espace discret V h . Pour les méthodes d'éléments finis conformes auxquelles nous nous
restreignons ici, l'espace V h est inclus dans V : la solution approchée est donc "plus rigide" que la
solution exacte (elle surestime l'énergie).
On rappelle que l'on se place ici dans le cas où les conditions aux limites de DIRICHLET sont
homogènes. D'autre part, on se cantonne aux éléments finis de LAGRANGE pour lesquels les
variables sont les valeurs des champs inconnus.
Pour la méthode des éléments finis de GALERKIN décrite dans ce document, les inconnues et les
fonctions tests sont représentées de la même façon, en définissant une base de fonctions {wi (x }
) de
l'espace V h .
On appelle noeuds les points du domaine où les inconnues sont calculées, et variables nodales ou
degrés de liberté les inconnues scalaires aux noeuds (composantes du déplacement par exemple). Le
nombre de fonctions de base nécessaires est égal au nombre de variables nodales : pour un problème
tridimensionnel où les inconnues sont les trois composantes du vecteur déplacement, la dimension de
la base est trois fois le nombre de noeuds.
On utilisera les indices I , J , ... pour désigner les numéros des noeuds (N au total), et les indices
, , ... pour désigner les numéros des inconnues (M inconnues par noeud). Ainsi, le vecteur
déplacement discrétisé V h s'écrit : uh (x
h
) = u (x)e

, où les vecteurs e sont les vecteurs de la

base cartésienne. Par la suite, on omettra l'indice h des écritures.
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La fonction de base associée au noeud I pour l'inconnue numéro sera notée wI (x) . Dans cette
base {wI (x }
) 1IN , le champ inconnu s'écrit :
1
M
N
u (x) = uI w

I (x) .
I =1
où uI sont les variables nodales.
Ainsi, le problème revient à trouver u V D tel que :
N M
v V , a(w e ,v) uI = l(v
I
)


.
I=1=1
Chaque choix de v permet d'obtenir une équation. Dans la méthode des éléments finis, on prend
comme fonction test v successivement chacune des fonctions w
D
je (lorsque V
= V ). Grâce à la
linéarité de a(·,·) et l (·) , on peut écrire le problème discret comme :
N M
J, , a(w e ,w e ) uI


= l(w
I
J
J e ) ,

I=1 =1
d'où le système matriciel à résoudre : AU = L ,
avec :
A
= a(w e ,w e ), L
1
1

= l(w




e ), et U


=

{u ...u .....uI
...u I ...u I .....u N ...u N T
J I
I
J
J
J
1
M
1

M
1
M } ,

où N est le nombre de noeuds et M le nombre d'inconnues scalaires par noeud (3 pour des
déplacements en 3D).
En fait, on "condense" les indices deux par deux : chaque nouvel indice i contient à la fois l'information
sur le numéro du noeud I et sur le numéro local de l'inconnue (l'indice condensé i s'appelle le
numéro de degré de liberté). Un terme Aeij de la matrice contient donc l'information sur l'interaction
entre les degrés de liberté i et j (par exemple, i représente le déplacement selon y au noeud 12 et j le
déplacement selon z au noeud 23).
Dans de nombreux cas, les fonctions de base utilisées pour les diverses inconnues en un noeud donné
sont les mêmes : w
= w
I
I . On appelle alors la fonction de base commune la fonction associée au
noeud I, et on la note wI . Dans toute la suite, on supposera pour simplifier les écritures qu'il n'y a
qu'une seule fonction de base scalaire associée à chaque noeud.
N.B. :
Notons que certains auteurs, de culture anglo-saxonne pour la plupart, décrivent pour des raisons
historiques la méthode des éléments finis comme une méthode de RITZ par morceaux.
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3 Discrétisation
La discrétisation consiste à choisir une base de l'espace V h et à calculer numériquement les termes
de la matrice A et du vecteur L. Pour cela, on exprime la forme bilinéaire a(·,·) et la forme linéaire
l(·) comme une somme sur des éléments, définis par découpage du domaine de base. Si l'on reprend
le problème mécanique présenté dans le paragraphe [§1.2], cela donne :
a
(w ,w ) = (w ) (w
i
j
kl i kl j)


éléments
e


e
l
 (w ) =
f w +
g w
i
i i i i


éléments
e
e




e
Les termes Aij , qui représentent l'interaction entre deux degrés de liberté i et j sont construits en
"assemblant" les contributions provenant de chacun des éléments qui contiennent les noeuds
correspondants ; on procède de la même façon pour construire le vecteur L. Ces contributions,
appelées termes élémentaires, sont calculées lors d'une boucle sur les éléments et ne dépendent que
des seules variables de l'élément e .
3.1
Découpage en éléments finis
La structure est découpée en "morceaux" appelés éléments. La donnée des coordonnées des noeuds
des éléments et des connectivités (liste des sommets de chaque élément) constitue un maillage. Le
découpage doit respecter un certain nombre de règles : en particulier, il ne doit y avoir ni recouvrement
ni trou.
Rappelons que l'on appelle noeuds les points où sont calculées les inconnues. Les noeuds peuvent être
des sommets du maillage ou non (milieux des côtés par exemple). Le nombre d'inconnues scalaires
(ou variables nodales) dans un élément est appelé le nombre de degrés de liberté de l'élément.
3.2
Choix des fonctions tests
Les fonctions tests (ou fonctions de la base {wi (x }
) ) doivent être denses dans l'espace V des
fonctions inconnues, être continues d'un élément à l'autre, permettre de calculer simplement les termes
élémentaires Aij et Li , et générer une matrice A creuse et bien conditionnée. Les trois premières
conditions sont remplies en particulier par le choix de fonctions polynomiales. De plus, pour avoir une
matrice A creuse, on va faire en sorte que les supports de deux fonctions de base associées à deux
noeuds "éloignés" soient disjoints : ainsi, les termes correspondants de la matrice seront nuls.
On rappelle que l'on se place pour simplifier les écritures dans le cas où l'on utilise une seule fonction
de base par noeud I pour toutes les inconnues. Dans ce cas : w = w = w
i
I
I
, où i est le
numéro condensé de degré de liberté pour l'inconnue du noeud I.
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Le choix des fonctions de base est alors le suivant : on associe à chaque noeud I une fonction de base
wI qui est un polynôme par morceaux s'annulant sur tous les éléments ne contenant pas le noeud I
[Figure 3.2-a]. De ce fait, a(w , w
i
j ) = 0 si les ddl de numéros i et j sont portés par des noeuds I et J
qui n'appartiennent pas à un même élément. On impose de plus à ce polynôme de valoir 1 au noeud I,
et 0 en tous les autres noeuds. En d'autres termes, w (x J
J
I
) = I . Ainsi, les valeurs nodales des
inconnues seront les valeurs prises aux noeuds par la solution exacte : u x J
uJ
(
) =
.
Figure 3.2-a : Fonction de base associée à un noeud
Dans la suite, on appellera fonction de forme associée au noeud I la trace (ou restriction) sur l'élément
considéré de la fonction de base wI , et on la notera NI .
3.3
Représentation de la géométrie
Le calcul des fonctions de forme pour un élément quelconque peut être assez compliqué. Dans le cas
des triangles, on peut par exemple utiliser la notion de coordonnées barycentriques d'un point par
rapport aux trois sommets. Cependant, dans le cas des quadrangles, une telle notion est moins
courante et les calculs peuvent être délicats à mener analytiquement. C'est pourquoi on préfère
souvent se ramener à un élément dit de référence, de forme simple, et à partir duquel on peut générer
tous les éléments d'une même famille par une transformation géométrique. Les fonctions de forme
sont alors calculées sur cet élément générique noté r , et le transport des grandeurs sur l'élément
réel e est effectué grâce à la connaissance de la transformation géométrique. Notons cependant que

le code de thermo-hydraulique N3S utilise pour des raisons de performance des formules analytiques
explicites et non pas la notion d'élément de référence.
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3.3.1 Elément de référence
Notons x les coordonnées d'un point x dans le repère absolu. Les points de l'élément de référence
seront décrits en termes de coordonnées dites paramétriques . La figure [Figure 3.3.1-a] donne pour
un élément triangulaire en 2D l'élément de référence et l'élément réel. La transformation doit être
bijective et transformer les sommets et côtés de l'élément de référence en sommets et côtés de
l'élément réel.
2
x2
1
élément de référence
élément réel
0
1
1
x1
Figure 3.3.1-a : Transformation géométrique
3.3.2 Fonctions d'interpolation géométrique
La géométrie de l'élément va être approchée par le biais de fonctions dites d'interpolation géométrique :
ainsi par exemple, les lignes courbes de l'élément réel peuvent être représentées par des segments
sur l'élément de référence.
Ces fonctions notées N () sont définies sur l'élément de référence ; elles permettent de connaître les
coordonnées x d'un point quelconque de l'élément réel à partir de ses coordonnées de son
antécédent dans l'élément de référence et des coordonnées x I des noeuds (de numéro local I ) de
l'élément réel :
n
x = N ()xI

I
,
I =1
où n est le nombre de noeuds de l'élément, et I le numéro de chaque noeud localement à l'élément.
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3.3.3 Matrice jacobienne de la transformation
La jacobienne de la transformation est la matrice des dérivées partielles des coordonnées réelles x
par rapport aux coordonnées dans l'élément de référence :
x
J

=
.


En tenant compte de la définition des coordonnées x en fonction des coordonnées xI des noeuds,
on obtient une expression équivalente de la matrice jacobienne :
n N
J
I
=
xI



,
I =1

N
N T
où
I
sont les termes du tenseur
, dont le nombre de lignes est le nombre de directions


de l'espace, et le nombre de colonnes le nombre de noeuds de l'élément.
N T
Notons que le tenseur
ne dépend que de la définition de l'élément de référence et non de

celle de l'élément réel.
Le déterminant de la matrice jacobienne, utile dans les calculs qui vont suivre, s'appelle le jacobien de
la transformation géométrique. Il est non nul lorsque la transformation qui fait passer de l'élément de
référence à l'élément réel est bijective, et positif lorsque respecte l'orientation de l'espace.
3.4
Représentation des inconnues
Il y a deux façons équivalentes de représenter les inconnues (composantes du déplacement dans
l'exemple mécanique) dans un élément : par les coefficients de leur approximation polynomiale, ou par
leurs valeurs nodales. Ces deux possibilités correspondent aux deux manières complémentaires de
définir un élément : par la donnée d'une base de monômes, ou par la donnée des fonctions de forme
associées aux noeuds. Par ailleurs, notons qu'un élément est dit isoparamétrique lorsque ses fonctions
de forme sont identiques à ses fonctions d'interpolation géométrique. Dans le Code_Aster, tous les
éléments finis de milieu continu (2D et 3D) sont isoparamétriques.
3.4.1 Base
polynomiale
La façon la plus simple de définir un élément est de choisir une base polynomiale composée d'un
certain nombre de monômes indépendants. Pour une inconnue donnée, le nombre de monômes
utilisés doit être égal au nombre de variables nodales, c'est-à-dire au nombre de noeuds utilisés pour
représenter l'inconnue. Dans le cas d'un élément fini triangulaire où l'on souhaite avoir les
déplacements linéaires et la pression constante dans chaque élément, les bases polynomiales utilisées
sont respectivement {1, x ,
1 x2} et { }
1 . Par conséquent, on peut choisir de calculer les déplacements
aux 3 noeuds sommets et la pression au noeud central.
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On définit généralement la base polynomiale sur l'élément de référence ; elle contient des monômes de

la forme
1 2 3 , où , et sont des exposants entiers positifs ou nuls. Le degré d'un tel
monôme est l'entier + + . La base est dite complète de degré n lorsque tous les monômes de
degré n sont présents. Dans certains cas, on emploie des bases incomplètes. Par exemple, pour le
quadrangle Q1 en 2D, les déplacements sont linéaires par rapport à chacune des directions : la base
utilisée est {1, , ,
1 2 1
2
}. Les composantes u1 et u2 du déplacement s'écrivent donc :
u
( , ) = a + a + a + a
1 1 2
1
2 1
3 2
4 1
2

u ( , ) = b +b +b +b
2 1 2
1
2 1
3 2
4 1
2

On note Pi () le ième monôme de la base (qui en comprend m ). Les composantes du vecteur
déplacement (
u ) dans l'élément sont alors données par la formule :
m
u () = ai P

i ()
i=1
On notera la matrice donnant les valeurs prises par les monômes de la base polynomiale sur les
noeuds de l'élément de référence :

I
Ii = i
P ( ) ,
où i est le numéro d'ordre du monôme dans la base, I le numéro du noeud localement à l'élément et
I les coordonnées du noeud I dans l'élément de référence. Cette matrice est carrée, sa dimension
est le carré du nombre de noeuds de l'élément.
3.4.2 Fonctions de forme
Une façon équivalente de définir un élément fini est de donner, pour chaque inconnue, l'expression des
fonctions de forme de l'élément. Pour une inconnue scalaire donnée (composante du déplacement
selon y par exemple), il y en a autant que de noeuds où l'inconnue doit être calculée. Dans beaucoup
de cas, on utilise les mêmes fonctions de forme pour toutes les composantes d'un vecteur inconnu,
mais ce n'est pas obligatoire. Dans ce qui suit, on supposera cependant pour simplifier les écritures
que c'est le cas.
Les fonctions de forme peuvent être définies sur l'élément réel e : on les note alors N e (x) , elles
dépendent de la géométrie de l'élément réel, et sont donc différentes d'un élément à l'autre. Il est plus
simple de les exprimer sur l'élément de référence, ce qui donne les fonctions N () indépendantes de
la géométrie de l'élément réel. Rappelons que ces fonctions sont polynomiales sur l'élément, et que la
fonction de forme associé à un noeud donné y prend la valeur 1, alors qu'elle s'annule en tous les
autres noeuds de l'élément.
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Les inconnues s'expriment alors comme combinaison linéaire des fonctions de forme, les coefficients
uI de la combinaison étant appelés les variables nodales :
n
u () = N ()uI

I
.
I =1
n
ou bien u (x) = N
-1

( (x))uI
I

I =1
3.4.3 Elément
isoparamétrique
Deux types d'interpolation interviennent donc dans la construction d'un élément fini : l'interpolation
géométrique (à l'aide des fonctions N () ) et l'interpolation des inconnues (à l'aide des fonctions
N () ). Un élément est dit isoparamétrique lorsqu'il est basé sur des interpolations identiques pour sa
géométrie et ses inconnues : N () = N () .
3.4.4 Correspondance entre base polynomiale et fonctions de forme
On a les relations :
u () = ai P
I

i () et u () = N () u

I
.
i
I
m
De plus, il est clair que l'on a : uI = ai P I
( ) = ai

i
Ii . On en déduit la relation suivante entre la
i=1
base polynomiale et les fonctions de forme : Ii NI () = i
P () .
Exemple : triangle P1 en 2D
On notera = (1,2) les coordonnées paramétriques dans l'élément de référence.
P () = 1, P () = , P
1
2
1
3() = 2
,
1 0

0
1 0

0




= 1 1
0
-1
,
= -1 1
0 ,

1 0 1

-1 0 1
d'où les fonctions de forme :
N1() = 1- 1 - 2


N2() = 1

N
3() = 2

On vérifie bien que N
J
J
I ( ) = I .
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3.5
Calcul des termes élémentaires
Les termes élémentaires à calculer sont de la forme :
u(x) 2u(x)
f(u(x),
,
,...) dx

2
.
e
x
x
Trois types d'opérations sont à effectuer : la transformation des dérivées par rapport à x en dérivées
par rapport à , le passage d'une intégration sur l'élément réel à une intégration sur l'élément de
référence, et la réalisation numérique de cette intégration qui est généralement faite par une formule de
quadrature.
3.5.1 Transformation des dérivées
La transformation des dérivées s'effectue grâce à la matrice jacobienne J , d'après la règle de
dérivation en chaîne :
u

T


u

1 N
-
nod
=
=

J
u
x x


où unod
est le vecteur des valeurs nodales de la composante du déplacement.
Les dérivées d'ordre supérieur s'obtiennent également en utilisant cette règle, même si cela donne lieu
à des expressions plus complexes que nous n'expliciterons pas ici.
3.5.2 Changement de domaine d'intégration
Le passage à l'intégration sur l'élément de référence s'effectue en multipliant l'intégrande par le
déterminant de la matrice jacobienne, appelé jacobien :
u(x) 2u(x)
u() 2u()
f(u(x),
,
,...) dx =
f(u(),
,
,...) det(J()) d


2

.

2
e
x
x
r


3.5.3 Intégration numérique : points de GAUSS
Dans certains cas particuliers, on peut calculer analytiquement les intégrales. Par exemple, pour un
triangle en 2D, le Jacobien est constant sur le triangle, et les intégrandes se ramènent à des monômes
que l'on sait intégrer exactement :
1 1
-

!!

1 2 d1d2 =
.
0 0

( + + 2)!
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Cependant, ces cas particuliers sont rares, et on préfère évaluer numériquement les intégrales en
faisant appel à des formules de quadrature. Celles-ci donnent une approximation de l'intégrale sous
forme d'une somme pondérée des valeurs de l'intégrande en un certain nombre de points de l'élément
appelés points d'intégration :
r
g(

) d g
g
(g ) .
r
g=1
Les scalaires g sont appelés les poids d'intégration, et les coordonnées g sont les coordonnées
des r points d'intégration dans l'élément de référence.
Dans les méthodes d'intégration de GAUSS, les points et poids d'intégration sont déterminés de
manière à intégrer exactement des polynômes d'ordre donné. C'est ce type de méthode que l'on utilise
dans le Code_Aster, les points d'intégration s'appellent alors des points de GAUSS.
Remarque :
Le nombre de points de GAUSS choisi permet d'intégrer exactement dans l'élément de
référence. En fait, à cause de la non-linéarité éventuelle de la transformation géométrique ou
de la dépendance spatiale des coefficients, l'intégration n'est pas exacte dans l'élément réel.
Cependant, il est démontré que l'erreur commise est d'un ordre inférieur à l'erreur de
discrétisation induite par la méthode des éléments finis.
Pour illustrer l'utilisation des points de GAUSS, prenons comme exemple le cas 3D, où l'on suppose
que l'on utilise r1 points dans la direction 1, r2 dans la direction
dans la direction

2 et r3
3 , soit un
total de r = r r r
1 2 3 points de GAUSS. On montre alors que l'expression :
r
r
r
1
2
3
g(

) d g i j k
i
j k
( ,
1 ,
2 )

3
r
i=1 j=1 k =1



permet d'intégrer exactement des monômes du type (1) (2) (3) , avec
2 r - 1, 2 r - 1,
1
2
et 2 r3 - 1.
3.6 Exemple
On se propose de détailler le calcul de la formulation variationnelle, des fonctions de forme, de la
matrice élémentaire de rigidité thermique et du vecteur élémentaire chargement dans le cas de
l'équation de la chaleur (Laplacien) en 2D, pour des éléments de type quadrangle Q1 .
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3.6.1 Formulation
variationnelle
Si l'on appelle k le coefficient de conduction, et T la température, les équations locales d'équilibre sont
:
- div (k grad(T)) = f dans

T = 0 sur 0

- k grad(T).n =

su r 1
où - k grad(T) est le flux de chaleur et n la normale sortante au domaine. On impose une
température T0 = 0 sur le bord 0 du domaine, et un flux de chaleur sur le bord 1 .
Soit la variable virtuelle associée à la température. En multipliant l'équation d'équilibre par , en
intégrant par parties et en tenant compte des conditions aux limites, on obtient la formulation
variationnelle :
k grad(T) grad() d =
f d -
d





1
Les termes élémentaires que l'on va devoir calculer seront donc :
· la matrice de rigidité thermique élémentaire : Ae =
k
N ) grad( N ) d
ij
grad( i
j

e
· le vecteur élémentaire de chargement surfacique : Le =
f N d
s

i
i
e
· le vecteur élémentaire de chargement linéique : Le =
N d
l

i
i
1e
En fait, le terme correspondant au chargement linéique Lel est calculé dans le Code_Aster sur un
i
élément de bord particulier et non sur le bord de l'élément e . On utilise donc les fonctions de forme
de l'élément de bord (qui sont les traces sur le bord des fonctions de forme de l'élément surfacique). Il
faut donc toujours utiliser 2 éléments lorsqu'on souhaite imposer un chargement ou une
condition aux limites : un élément de "volume" (pour e ) et un élément de bord (pour e ).
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3.6.2 Fonctions de forme
On va utiliser des quadrangles Q1 , où les inconnues sont représentés sur la base polynomiale
{1, 1, 2, 1 2}. L'élément de référence est le carré représenté sur la figure [Figure 3.6.2-a] :
2
1
-1
1
1
-1
Figure 3.6.2-a : Carré de référence
On a donc :
1 -1 -1

1
1
1
1

1
1 1 -1 -

1
1 - 1
1
1 -
1
=
,
-1



,
1
1
1

=
1
4 -1 -1
1

1




1 -1
1 -
1
1 -1
1 -
1
et en utilisant la relation Ii NI () = i
P () , on obtient les expressions des quatre fonctions de forme
associées aux sommets :

1
N
1( 1
, 2
) = 1
( - 1
) 1
( - 2
)
4

1
N2( 1, 2) = 1(+ 1) 1(- 2)

4

1
N3( 1, 2) = 1(+ 1) 1(+ 2)

4

1
N4( 1, 2
) = 1
( - 1
) 1
( + 2
)

4
La matrice des dérivées des fonctions de forme dans l'élément de référence est :
NT N1
N
,
2,
,
,
1
1
1
1
1
1

N3
1

N4
1

1
- + 2
- 2
+ 2 - - 2


=
=

,

N1
N
,
2,
,
,
4
1
1
1
1
2

N3
2

N4
2
2
- + 1 - - 1
+ 1
- 1
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d'où la matrice jacobienne J qui permet de passer de l'élément de référence à un élément réel dont
4 N
les sommets ont les coordonnées (x , y
I
I
i
i ) , obtenue grâce à la relation J
=
x



:
I =1

1 1
( - 2
)( 2
x - 1
x ) + 1
( + 2
)(x3 - x ) 1
4
( - 2
)(y2 - 1
y ) + 1
( + 2
)( 3
y - y4)
J =

4 1
( - 1
)( 4
x - 1
x ) + 1
( + 1
)(x3 - x )
1
2
( - 1
)(y4 - 1
y ) + 1
( + 1
)( 3
y - 2
y )
Cette matrice d'ordre 2 pourra être calculée aux points de GAUSS lorsqu'on en aura besoin et
facilement inversée.
3.6.3 Calcul des termes élémentaires
La matrice élémentaire Ae =
k
N ) grad ( N ) d
ij
grad (x i
x
j
comprend 4 x 4 = 16 termes, mais
e
comme elle est symétrique, seuls 10 sont à calculer. Il est nécessaire d'effectuer trois opérations pour
évaluer chaque terme de la matrice élémentaire :
· somme pondérée sur les points de GAUSS,
· transformation des dérivées : grad ( N ) = -1 grad ( N )
x
J
i

i ,
· intégration sur l'élément de référence en multipliant par le jacobien (déterminant de J).
On note ici gradx le gradient dont les composantes sont les dérivées des fonctions par rapport aux
coordonnées x , et grad le gradient dont les composantes sont les dérivées des fonctions par
NT
rapport aux coordonnées (ce sont les colonnes de la matrice
).

On en déduit l'expression finale du terme élémentaire Aeij :
NPG
Ae = k
-
J 1
N
-

J 1
grad (
(
))
grad ( N
ij
g
i
g
j ( g )) det(J( g ))


,
g=1
où NPG désigne le nombre de points de GAUSS. Une des familles de points de GAUSS possibles
(car elle intègre exactement les éléments Q1 )pour le carré de référence [-1, ]
1 × [-1, ]
1 est celle où
1
1
les points de GAUSS ont pour coordonnées (±
,±
) et où les poids d'intégration valent 1.
3
3
Les composantes du vecteur élémentaire correspondant au chargement surfacique Les sont calculées
i
de façon encore plus simple :
NPG
Le = f ( )N
s
g
g
i ( g ) det(J( g )) ,
i
g=1
où le chargement surfacique f est interpolé aux points de GAUSS de coordonnées paramétriques g .
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4 Système
matriciel
Pour chaque élément e , on a su calculer les termes dits élémentaires : matrice élémentaire Ae et
vecteur élémentaire Le . La matrice A et le vecteur L sont obtenus par une procédure que l'on appelle
l'assemblage des termes élémentaires, décrite ci-dessous. On expose ensuite le principe de
l'imposition des conditions aux limites, puis on donne une liste de méthodes utilisables pour résoudre le
système matriciel obtenu. Ces deux derniers points sont évoqués très brièvement car ils sont traités
dans d'autres fascicules de la documentation de référence [notamment R6].
4.1
Assemblage des matrices et vecteurs élémentaires
L'assemblage consiste à reporter les termes Ae
e
ij et Li de chaque matrice élémentaire Ae et de
chaque vecteur élémentaire Le dans les cases correspondantes AIJ et LI de la matrice A et du
vecteur L. La correspondance entre les numéros locaux i et j des degrés de liberté, et leurs numéros
globaux I et J est donnée par la table des connectivités faisant partie du maillage.
En effet, la table des connectivités donne, pour chaque élément, les numéros absolus de ses noeuds
(sommets ou non). L'ordre dans lequel sont décrits les noeuds de l'élément donne leurs numéros
locaux dans l'élément de référence (le k ième noeud décrit aura le numéro k localement). D'autre part,
on connaît pour chaque noeud l'ordre des degrés de liberté : par exemple, le déplacement selon x ,
puis le déplacement selon y , puis la pression. Cela permet de numéroter les degrés de liberté
localement dans chaque élément. Quant aux numéros des degrés de liberté du système global, ils sont
obtenus après renumérotation des inconnues [R2.02.03]. On sait donc, pour un élément donné,
associer aux numéros i et j des degrés de liberté locaux les numéros I et J des degrés de liberté
globaux.
Pour réaliser l'assemblage, on effectue une boucle sur les éléments. Pour chaque élément, on
détermine les noeuds qu'il comporte et donc les numéros globaux des degrés de liberté considérés, et
on ajoute au terme A
e
IJ le terme Aij lui correspondant.
4.2
Imposition des conditions aux limites cinématiques
Le traitement des conditions aux limites cinématiques du type u = uD est décrit en détail dans le
fascicule [R3.03.01]. Elles sont imposées par une méthode de dualité, en introduisant un vecteur de
multiplicateurs (ou paramètres) de LAGRANGE , ce qui conduit au système matriciel mixte :

AU + BT = L
BU


= UD
4.3
Résolution du système matriciel
Le système linéaire précédent peut être résolu par un certain nombre de méthodes numériques. Les
méthodes utilisées dans le Code_Aster sont la factorisation LDLT par blocs [R6.02.01], la méthode
multifrontale [R6.02.02], et le gradient conjugué préconditionné [R6.01.01].
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4.4
Estimation d'erreur et amélioration de la précision des calculs
Après avoir effectué un calcul par éléments finis, il est possible de faire un post-traitement permettant
d'estimer l'erreur commise : voir à ce sujet les documents [R4.10.01] et [R4.10.02].
Pour améliorer la précision des résultats, deux tactiques sont possibles :
· raffiner le maillage
· utiliser une approximation d'ordre plus élevé
- soit en augmentant le nombre de noeuds d'interpolation (famille des éléments de
LAGRANGE) ;
- soit en augmentant le nombre de variables nodales, en rajoutant par exemple les
dérivées des inconnues (famille des éléments de HERMITE) ; cette méthode n'est pas
utilisée dans le Code_Aster.
5 Organisation d'un calcul par éléments finis dans le
Code_Aster
On décrit très brièvement comment et à quel endroit les aspects évoqués dans ce document sont
implantés dans le Code_Aster.
5.1
Notion d'élément fini dans le Code_Aster
Un type d'élément fini est défini par :
· un type de maille
· une liste de noeuds
· des fonctions de forme
· des options de calcul
Un élément dans le maillage est défini par un type de maille, une géométrie (coordonnées des noeuds)
et une topologie (liste ordonnée des noeuds). C'est le type de modélisation choisi dans le fichier de
commande qui permet d'affecter à chaque maille du maillage un type d'élément fini. La commande
AFFE_MODELE [U4.22.01] affecte à chaque maille un type d'élément fini correspondant à la
modélisation spécifiée pour cette maille. Lorsque la même modélisation est retenue pour tout le
maillage, l'utilisation d'AFFE_MODELE est simple grâce à l'utilisation du mot-clé TOUT : 'OUI'.
Remarque importante :
Dans le cas contraire, il ne faut pas oublier d'affecter des éléments finis aux mailles de bord dont
on a besoin pour imposer les conditions aux limites et chargements, et qu'on aura pris soin de
créer lors de la fabrication du maillage.
L'opérateur AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01], qui affecte conditions aux limites et chargements, va
également créer des éléments finis, par exemple les éléments finis qui porteront les degrés de liberté
de LAGRANGE utilisés dans la dualisation des conditions aux limites [R3.03.01].
L'opérateur AFFE_CARA_ELEM [U4.24.01] permet de définir des caractéristiques supplémentaires pour
certains types d'éléments : par exemple, l'épaisseur des coques, l'orientation des poutres, les matrices
de masse et de rigidité des élements discrets.
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Une option de calcul indique le type de calcul élémentaire que l'élément est capable de calculer. Par
exemple RIGI_MECA concerne le calcul de la matrice élémentaire de rigidité mécanique :
Ae
e
e
= ijkl ij(N (x))kl(N (x))dx ,
r
Les "données" de cette option sont la géométrie (r ) et le matériau () , complétées par la
température si le matériau en dépend.
L'option CHAR_MECA se rapporte au calcul du vecteur élémentaire pour un chargement mécanique
imposé sur la frontière :
Le =
gN e


(x) dx .
r

Rappelons que pour appliquer les chargements de frontière, on utilise des éléments finis de bord
particuliers, et non pas les frontières des éléments finis de volume (3D) ou de surface (2D).
Remarque :
Un développeur peut parfois avoir le choix entre créer un nouvel élément fini ou ajouter une
option de calcul à un élément existant ; le choix entre ces deux solutions tient en général
compte de critères de facilité informatique (ex. éléments sous-intégrés).
5.2
Initialisations des éléments
L'utilisation d'éléments de référence permet d'effectuer un certain nombre de calculs une fois pour
toutes au début de l'exécution. Ces calculs sont réalisés dans les routines INI.... appelées routines
d'initialisation des éléments. On définit, pour chaque type d'élément de référence :
· le nombre de noeuds et leurs coordonnées ;
· le nombre de familles de points de GAUSS ;
· le nombre de points de GAUSS ;
· les poids d'intégration g ;
· les valeurs des fonctions de forme aux points de GAUSS Ni (g ) ;
Ni (g)
· les valeurs des dérivées des fonctions de forme aux points de GAUSS

.
Pour un élément donné, on n'intègre pas forcément tous les termes élémentaires avec le même
nombre de points de GAUSS : par exemple, on utilise en général plus de points de GAUSS pour la
matrice de masse que pour la matrice de rigidité, car les produits de fonctions de forme sont de degré
plus élevé que les produits de leurs dérivées. Un autre exemple est la sous-intégration utilisée dans
certains cas. On appelle famille de points de GAUSS chaque ensemble de points de GAUSS
susceptible d'être utilisé.
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5.3
Calcul des termes élémentaires
Lors du calcul des termes élémentaires (dans les routines TE....), on effectue pour chaque point de
GAUSS les opérations suivantes :
· calcul des dérivées des fonctions de forme Ne,x sur l'élément réel à partir des coordonnées
des noeuds de l'élément et des dérivées des fonctions de forme N, sur l'élément de
référence ;
· calcul de la matrice jacobienne ;
· récupération du poids d'intégration multiplié par le Jacobien au point de GAUSS considéré ;
· évaluation de l'intégrande (selon l'option calculée).
Le terme élémentaire est calculée par somme sur les points de Gauss en pondérant par les poids
d'intégration.
5.4 Résolution
globale
La résolution globale a lieu dans les routines OP.... de haut niveau correspondant aux commandes
utilisateur (MECA_STATIQUE [U4.31.01], STAT_NON_LINE [U4.32.01], THER_LINEAIRE [U4.33.02],
etc.).
6 Bibliographie
[1]
P.G. CIARLET, "The finite element method for elliptic problems", Studies in Applied
Mathematics, North Holland, 1978.
[2]
R. DAUTRAY, J.-L. LIONS, "Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et
les techniques", Tome 2, Masson, 1985.
[3]
G. DHATT, G. TOUZOT, "Une présentation de la méthode des éléments finis", Maloine S.A.,
Paris, 1984.
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