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6.4

Titre :

Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
:

18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
: 1/18

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, LMT Cachan
















Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document : R3.08.08





Elément de poutre multifibre (droite)




Résumé :

Ce document présente les éléments de poutre multifibre du Code_Aster basés sur une résolution d'un problème
de poutre pour lequel chaque section d'une poutre est divisée en plusieurs fibres. Chaque fibre se comporte
alors comme une poutre d'Euler.
Les poutres sont droites (Elément POU_D_EM). La section peut être de forme quelconque.
Les hypothèses retenues sont les suivantes :

· hypothèse d'Euler : le cisaillement transverse est négligé (cette hypothèse est vérifiée pour de forts
élancements),
· les éléments de poutre introduit ici ne permettent pas de faire de calcul correct en torsion.

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Table des matières

1 Introduction............................................................................................................................................4
2 Elément de théorie des poutres (rappels) .............................................................................................5
3 Les équations du mouvement des poutres ...........................................................................................6
4 Elément de poutre droite multifibre........................................................................................................6

4.1 Elément poutre de référence...........................................................................................................6
4.2 Détermination de la matrice de rigidité de l'élément multifibre........................................................8
4.2.1 Cas général (poutre d'Euler) ..................................................................................................8
4.2.2 Cas de la poutre multifibre .....................................................................................................9
4.2.3 Discrétisation de la section en fibres ­ Calcul de Ks............................................................12
4.2.4 Intégration dans le cas élastique linéaire (RIGI_MECA)......................................................12

4.2.5 Intégration dans le cas non-linéaire (RIGI_MECA_TANG) ...................................................13
4.3 Détermination de la matrice de masse de l'élément multifibre......................................................14
4.3.1 Détermination de Melem.........................................................................................................14
4.3.2 Discrétisation de la section en fibres - Calcul de Ms ............................................................16
4.4 Calcul des forces internes .............................................................................................................16
4.5 Modèles de comportement non linéaires utilisables .....................................................................18
5 Bibliographie........................................................................................................................................18

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Notations

On donne la correspondance entre cette notation et celle de la documentation d'utilisation.

DX, DY, DZ et DRX, DRY, DRZ sont en fait les noms des degrés de liberté associés aux composantes
du déplacement u, v, w, x , y , z .


E
module d'Young
E


coefficient de Poisson
NU
G
E
G
module de Coulomb = (

2 1+ )
I
y,
y , I z
moments géométriques de flexion par rapport aux axes
z
IY, IZ
J X
constante de torsion
JX
K
matrice de rigidité


M
matrice de masse

M
x, y,
x , M y , M z
moments autour des axes
z
MT, MFY, MFZ
N
effort normal à la section
N

S
aire de la section
A
u,v, w
translations sur les axes x, y, z
DX DY DZ
V
efforts tranchants suivant les axes y, z
y ,Vz
VY ,VZ

masse volumique
RHO

rotations autour des axes x, y, z
x , y , z
DRX DRY DRZ



qx ,qy ,qz
Efforts linéiques extérieurs


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1 Introduction

L'analyse des structures soumises à un chargement dynamique nécessite des modèles de
comportement capables de représenter les non-linéarités du matériau.
De nombreux modèles analytiques ont été proposés. Ils peuvent être classé selon deux groupes : a)
des modèles détaillés fondés sur la mécanique du solide et leur description du comportement local du
matériau (approche microscopique) et b) des modèles fondés sur une modélisation globale du
comportement (approche macroscopique). Dans le premier type de modèles, nous pouvons trouver les
modèles classiques E.F. ainsi que les modèles de type "fibre" (ayant un élément de type poutre
comment support).

Tandis que les modèles "classiques" E.F. sont des outils puissants pour la simulation du
comportement non linéaire des parties complexes des structures (joints, assemblages, ...), leur
application à la totalité d'une structure peut s'avérer peu pratique à cause d'un temps de calcul
prohibitif ou de la taille mémoire nécessaire à la réalisation de ce calcul. Par contre, une modélisation
de type poutre multifibre (voir [Figure 1-a]), possède les avantages des hypothèses simplificatrices
d'une cinématique de type poutre d'Euler - Bernoulli tout en offrant une solution pratique et efficace
pour une analyse non linéaire complexe d'éléments de structures composites tels que ceux que l'on
peut rencontrer par exemple en béton armé.
De plus, cette modélisation "intermédiaire" est relativement robuste et peu coûteuse en temps calcul
du fait de l'utilisation de modèles de comportement non linéaires 1D.




Figure 1-a : Description d'une modélisation de type poutre multifibre
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2
Elément de théorie des poutres (rappels)

On reprend ici les éléments développés dans le cadre des éléments de poutre d'Euler ([bib4]).

Une poutre est un solide engendré par une surface d'aire S dont le centre d'inertie géométrique G
décrit une courbe C appelée la fibre moyenne ou fibre neutre. L'aire S est la section droite (section
transversale) ou profil, et l'on suppose que si elle est évolutive, ses évolutions (taille, forme) sont
continues et progressives lorsque G décrit la ligne moyenne.

Pour l'étude des poutres en général, on fait les hypothèses suivantes :

· la section droite de la poutre est indéformable,
· le déplacement transversal est uniforme sur la section droite.

Ces hypothèses permettent d'exprimer les déplacements d'un point quelconque de la section, en
fonction des déplacements du point correspondant situé sur la ligne moyenne, et en fonction d'un
accroissement de déplacement dû à la rotation de la section autour des axes transversaux.

La discrétisation en éléments "exacts" de poutre s'effectue sur un élément linéique à deux noeuds et
six degrés de liberté par noeuds. Ces degrés de liberté sont les trois translations u, v, w et les trois
rotations x , y , z [Figure 2-a]).



z
y
1
2
x
u x
u x
v y
v y
w z
w z
Figure 2-a : Elément poutre


Attendu que les déformations sont locales, il est construit en chaque sommet du maillage une base
locale dépendant de l'élément sur lequel on travaille. La continuité des champs de déplacements est
assurée par un changement de base, ramenant les données dans la base globale.

Dans le cas des poutres droites, on place traditionnellement la ligne moyenne sur l'axe x de la base
locale, les déplacements transversaux s'effectuant ainsi dans le plan (y, z).

Enfin lorsque nous rangeons des grandeurs liées aux degrés de liberté d'un élément dans un vecteur
ou une matrice élémentaire (donc de dimension 12 ou 122), on range d'abord les variables pour le
sommet 1 puis celles du sommet 2. Pour chaque noeud, on stocke d'abord les grandeurs liées aux
trois translations, puis celles liées aux trois rotations. Par exemple, un vecteur déplacement sera
structuré de la manière suivante :

u ,v , w , , , ,u ,v , w , , ,
11 1 4
4
4 1 21x y 4
4
4 1 31z 12 2 4
4
4
4
2 22x y2 4
4
4
4
3
z2
sommet 1

sommet 2

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3
Les équations du mouvement des poutres

Nous ne reprendrons pas dans ce document toutes les équations du mouvement des poutres. Pour
plus de compléments concernant cette partie on peut se référer à la documentation concernant les
éléments POU_D_E et POU_D_T ([bib4]).



4
Elément de poutre droite multifibre

On décrit dans ce chapitre l'obtention des matrices élémentaires de rigidité et de masse pour l'élément
de poutre droite multifibre, selon le modèle d'Euler. Les matrices de rigidité sont calculées avec les
options 'RIGI_MECA' ou 'RIGI_MECA_TANG', et les matrices de masse avec l'option 'MASS_MECA'
pour la matrice cohérente, et l'option 'MASS_MECA_DIAG' pour la matrice de masse diagonalisée.
Nous présentons ici une généralisation [bib3] où l'axe de référence choisi pour la poutre est
indépendant de toute considération géométrique, inertielle ou mécanique. L'élément fonctionne pour
une section quelconque (hétérogène est sans symétrie) et est donc adapté à une évolution non
linéaire du comportement des fibres.
On décrit également le calcul des forces nodales pour les algorithmes non linéaires : 'FORC_NODA' et
'RAPH_MECA'.

4.1
Elément poutre de référence

La [Figure 4.1-a] nous montre le changement de variable réalisé pour passer de l'élément fini réel
[Figure 2-a] à l'élément fini de référence.

y
y
1
2
1
2
x
0
L
x
u1 1 x
u2 2 x
z
z
v1 1 y
v2 2 y
w1
1 z
w2 2 z
Figure 4.1-a : Elément de référence vs Elément réel

On considérera alors le champ de déplacements continu en tout point de la ligne moyenne par rapport
au champ de déplacements discrétisé de la façon suivante :

{Us}= [N]{U}.

L'indice s désigne les quantités attachées à la fibre moyenne.
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En utilisant les fonctions de formes de l'élément de référence, la discrétisation des variables
us (x),vs (x), ws (x),sx (x),sy (x),sz (x) devient :
1
u


1
v
w
1
u

s (x)


N1
0
0
0
0
0
N2
0
0
0
0
0 1
x
v

s (x)




0
N3
0
0
0
N4
0
N5
0
0
0
N6 1y

ws (x)





0
0
N3
0
- N4
0
0
0
N5
0
- N
0
6


=
1
z


sx 0
0
0
N1
0
0
0
0
0
N2
0
0 u2
0
0
sy
- N ,3
0
x
N4,
0
0
0
x
- N
0
N
0 v


,
5 x
6,x
2


N
N
N
N
w
sz
0
,
3
0
0
0
x
4,
0
x
,
5
0
0
0
x
6,x 2


x2
y2


z2
éq 4.1-1
Avec les fonctions d'interpolation suivantes :

x
1
N1 = 1-
; N ,1 = -
L
x
L
x
1
N2 =
; N2, =
L
x
L
2
3
x
x
6
x
N3 = 1- 3
+ 2
; N ,3 = -
+12
2
3
xx
2
3
L
L
L
L
2
3
x
x
4
x


éq
4.1-2
N4 = x - 2
+
; N4, = - + 6
2
xx
2
L
L
L
L
2
3
x
x
6
x
N5 = 3
- 2
; N ,5 =
-12
2
3
xx
2
3
L
L
L
L
2
3
x
x
2
x
N6 = -
+
; N6, = - + 6
2
xx
2
L
L
L
L

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4.2
Détermination de la matrice de rigidité de l'élément multifibre

4.2.1 Cas général (poutre d'Euler)

Considérons une poutre d'Euler, droite orientée dans la direction x , soumise à des efforts distribué
qx ,qy ,qz [Figure 4.2.1-a].



Y, v


X, u
Z, w

Figure 4.2.1-a : Poutre d'Euler 3D

Les champs de déplacements et de déformations prennent alors la forme suivante lorsque l'on écrit le
déplacement d'un point quelconque de la section en fonction du déplacement (us ) de la ligne de
moyenne :

u(x, y, z) = us (x)- ysz (x)+ zsy (x) éq
4.2.1-1
v(x, y, z) = vs (x)
éq
4.2.1-2
(
w x, y, z) = ws (x)
éq
4.2.1-3
= u'
'
'
xx
x (x) - y sz (x) + z sy (x)
éq
4.2.1-4
xy = xz = 0
éq
4.2.1-5


Remarques :

· La torsion est traitée globalement à part, on ne calcule pas yz ici.
· f'(x) désigne la dérivée de f (x) par rapport à x .

En introduisant les équations [éq 4.2.1-4] et [éq 4.2.1-5] dans le principe des travaux virtuels on
obtient :


L
xx xx 0
dV =
u
x q
v
x q
w

x q dx
éq
4.2.1-6
V
( s( ) x + s( ) y + s( ) z )
0
0

qx ,qy ,qz désignant les efforts linéiques appliqués.
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Ce qui donne en utilisant l'équation [éq 4.2.1-1] :

L(N u'
'
'
'
s (x)+ M xsx (x)+ M ysy (x)+ M zsz (x))dx =



0
L( us(x)qx + vs(x)qy + ws(x)qz )dx
0
éq 4.2.1-7

Avec :

N = xxdS ; M y = z dS ; M
y dS éq
4.2.1-8
S
xx
z =
S
-
S
xx

Remarques :

· Le moment de torsion M x n'est pas calculé par intégration mais calculé directement à
partir de la raideur en torsion (voir [éq 4.2.2-4]).
· La théorie des poutre associée à un matériau élastique donne : xx = E xx

4.2.2 Cas de la poutre multifibre

Nous supposons maintenant que la section S n'est pas homogène [Figure 4.2.2-a].
Sans adopter d'hypothèse particulière sur l'intersection de l'axe X avec la section S ou sur
l'orientation des axes Y , Z , la relation entre les contraintes "généralisées" et les déformation
"généralisées" Ds devient [bib2] :

s
F = KS Ds




éq 4.2.2-1
avec :
s
F = (N, M y , M z , M )T
x

éq
4.2.2-2
D
'
'
'
'
s = (us (x), sy (x), sz (x), (x))T
sx
Axe
Section droite
Matériau 1
Matériau 3
Matériau 2

Figure 4.2.2-a : Section S quelconque - poutre multifibre
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La matrice K s peut alors se mettre sous la forme suivante :

K 11
s
K 12
s
K 13
0
s




Ks22 Ks23
0
Ks

éq
4.2.2-3
K
0

s33

sym
Ks44

avec :
Ks11 = EdS ; Ks12 = Ezds ; K
Eyds
S

s13 = -
S
S

éq
4.2.2-4
K
2
2
s22 = Ez dS ; Ks23 = - Eyzds ; K
Ey ds
S

s33 =
S
S

E peut varier en fonction de y et z . En effet, il se peut que dans la modélisation plane de la
section [Figure 4.2.2-a]), plusieurs matériaux cohabitent. Par exemple, dans une section béton armée,
il y a à la fois du béton et des armatures.
La discrétisation de la section en fibres permet de calculer les intégrales des équations [éq 4.2.2-4].
Le calcul des coefficients de la matrice K s est détaillé dans le paragraphe [§4.2.3] suivant.

Remarque :

Le terme de torsion K s44 = GJ x est donné par l'utilisateur à l'aide de la donnée de J x .

L'introduction des équations [éq 4.2.2-1] à [éq 4.2.2-4] dans le principe des travaux virtuels conduit à :

L T
D
s KsDsdx -


0 éq
4.2.2-5
0
L( us(x)qx + vs(x)qy + ws(x)qz )dx =
0

Les déformations généralisées sont calculée par ( Ds est donnée à l'équation [éq 4.2.2-2]) :

Ds = {
B U}
éq
4.2.2-6
Avec la matrice B suivante :

N
0
0
0
0
0
N
0
0
0
0
0
,
1 x
2,x



0
0
- N
0
N
0
0
0
,
3 xx
4,xx
- N
0
N
0
,
5 xx
6,xx

B =

0
N
0
0
0
N
0
N
0
0
0
N


,
3 xx
4,xx
,
5 xx
6,xx

0
0
0
N
0
0
0
0
0
N
0
0
,
1 x
2,x


éq 4.2.2-7

La discrétisation de l'espace [ ,
0 L] avec des éléments et l'utilisation des équations [éq 4.2.2-5] rend
l'équation [éq 4.2.1-6] équivalente à la résolution d'un système linéaire classique :

KU = F éq
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La matrice de rigidité de l'élément [Figure 4.2.2-b] et le vecteur des efforts résultats sont finalement
donnés par :
L
K
=
BT K B dx
elem

s
0
éq
4.2.2-9
L
F =
N T Q dx
0

Axe
Section droite
Points d'intégration
Sous-points d'intégration
L

E ds
E y ds
T
S
S

K
B K B dx
elem =
K s =

s

2

0
E y ds
E y ds
S
S


Figure 4.2.2-b : Poutre multifibre ­ Calcul de Kelem

Avec le vecteur Q qui dépend du chargement extérieur : Q = (qx qy q 0 0 0)T
z


Si nous considérons que les efforts distribué qx , qy , qz sont constants, nous obtenons le vecteur
forces nodales suivant :

T
Lq Lq Lq
L2q L2q
Lq
Lq
Lq
L2q L2q

x
y
z
z
y
x
y
z
z
y
F

=
0 -
0
éq
4.2.2-10
2
2
2
12
12
2
2
2
12
12



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4.2.3 Discrétisation de la section en fibres ­ Calcul de Ks

La discrétisation de la section en fibres permet de calculer les différentes intégrales qui interviennent
dans la matrice de rigidité. Ainsi, si nous avons une section qui comporte n fibres nous aurons les
approximation suivantes des intégrales :

n
n
n
Ks11 = EiSi ; Ks12 = EiziSi ; Ks13 = Ei yiSi
i=1
i=1
i=1


éq 4.2.3-1
n
n
n
K
2
2
s22 = Ei zi Si
; Ks23 = - Ei yi ziSi ; Ks33 = Ei yi Si
i=1
i=1
i=1

avec Ei et Si le module initial ou tangent et la section de chaque fibre. L'état de contrainte est
constant par fibre.
Chaque fibre est également repérée à l'aide de yi et zi les coordonnées du centre de gravité de la
fibre par rapport à l'axe de la section défini par la commande 'COO_AXE_POUTRE' (document
'AFFE_SECT_MULTI').


4.2.4 Intégration dans le cas élastique linéaire (RIGI_MECA)

Lorsque le comportement du matériau est linéaire, l'élément poutre est homogène dans sa longueur,
l'intégration de l'équation [éq 4.2.2-9] peut être faite analytiquement.
On obtient alors la matrice de rigidité suivante :

K
K
K
s11
s12
s13
- Ks11
- Ks12
- Ks13

0
0
0
0
0
0

L
L
L
L
L
L


12Ks33 -12K
6K
6K
s23
s23
s33
-12K
12K
6K
6K
s33
s23
s23
s33
0
0
0


L3
L3
L2
L2
L3
L3
L2
L2


12Ks22
- 6Ks22 - 6K
12K
s23
s23
-12Ks22
- 6Ks22 - 6Ks23

0
0
0
3
2
2
3
3
2
2


L
L
L
L
L
L
L


Ks44
0
0
0
0
0
- Ks44
0
0


L
L


4K
4K
s22
s23
- Ks12 - 6K
6K
2K
2K
s23
s22
s22
s23

0
2
2


L
L
L
L
L
L
L


4Ks33
- Ks13 - 6K
6K
2K
2K
s33
s23
s23
s33
0


L
L
L2
L2
L
L

Kelem =
K
K
K


s11
s12
s13
0
0
0


L
L
L


12Ks33
-12Ks23
- 6Ks23 - 6Ks33
0


L3
L3
L2
L2


12K
6K
6K


SYM
s22
s22
s23
0
3
2
2


L
L
L


Ks44

0
0

L


4K
4K


s22
s23

L
L


4Ks33


L



éq 4.2.4-1
avec les termes suivants : K 11,
s
K 12,
s
K 13,
s
Ks22, Ks33, Ks23, Ks44 sont donnés à l'équation
[éq 4.2.2-4].
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/03/005/A

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Version
6.4

Titre :

Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
:

18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
: 13/18


4.2.5 Intégration dans le cas non-linéaire (RIGI_MECA_TANG)

Lorsque le comportement du matériau est non linéaire, pour permettre une intégration correcte des
efforts internes (voir paragraphe [§4.4]), il est nécessaire d'avoir au moins deux points d'intégration le
long de la poutre. Nous avons choisi d'utiliser deux points de Gauss.
L'intégrale de Kelem [éq 4.2.2-9] se calcule sous forme numérique :
L
2
T
Kelem =
B K

s B dx = j i
w B(x )T
i
Ks (xi ) B(xi ) éq
4.2.5-1
0
i=1
xi est la position du point de Gauss i dans un élément de référence de longueur 1,
1 ± 0,57735026918963)/2
i
w est le poids du point de Gauss i . On prend ici i
w = 0,5 pour chacun des 2 points
j est le Jacobien On prend ici j = L , l'élément réel ayant une longueur L et la fonction de forme
x
pour passer à l'élément de référence étant
.
L
Ks (xi ) est calculé à l'aide des équations [éq 4.2.2-3], [éq 4.2.2-4] (voir paragraphe [§4.2.3] pour
l'intégration numérique de ces équations)

Le calcul analytique de B(x )T
i
Ks (xi ) B(xi ) donne :

21
B K 11
s
- 1
B 2
B K 13
s
1
B 2
B K 12
0
s
- 1
B 3
B K 12
s
- 1
B 3
B K 13
s
- 21
B K 11
s
1
B 2
B K 13
s
- 1
B 2
B K 12
0
s
- 1
B 4
B K 12
s
- B B K

1 4
13
s


2
2
2
B Ks33
2
B Ks23
0
2
B 3
B Ks23
2
B 3
B Ks33
1
B 2
B K 13
s
- 2
2
2
B Ks33
2
B Ks23
0
2
B 4
B Ks23
2
B 4
B Ks33

2
2
2

2
B Ks22
0
- 2
B 3
B Ks22 - 2
B 3
B Ks23 - 1
B 2
B K 12
s
2
B Ks23
- 2
B Ks22
0
- 2
B 4
B Ks22 -

2
B 4
B Ks23

2
1
B Ks44
0
0
0
0
0
- 21
B Ks44
0
0


2
2


3
B Ks22
3
B Ks23
1
B 3
B K 12
s
- 2
B 3
B Ks23
2
B 3
B Ks22
0
3
B 4
B Ks22
3
B 4
B Ks23

2
3
B Ks33
1
B 3
B K 13
s
- B B K
B B K
0
B B K
B B K


2 3 s33
2 3 s23
3 4 s23
3 4 s33
2


1
B K 11
s
- 1
B 2
B K 13
s
1
B 2
B K 12
0
s
1
B 4
B K 12
s
1
B 4
B K 13
s


2
2
B Ks33
- 22
B Ks23
0
- 2
B 4
B Ks23 - B B K

2 4 s33

2
2
B Ks22
0
2
B 4
B Ks22
2
B 4
B Ks23

2

B K
0
0

1
s44


2
2
4
B Ks22
4
B Ks23

2


4
B Ks33

éq 4.2.5-2

où les i
B sont calculés à l'abscisse xi de l'élément de référence avec :
1
B = -N
= N
1
,
1 x
2,x = L
6
x
B = N
= -N
i
2
,
3 xx
,
5 xx = -
+12
L2
L2 éq
4.2.5-3
4
x
B = N
i
3
4,xx = -
+ 6
L
L
2
x
B = N
i
4
6,xx = -
+ 6
L
L
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Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
:

18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
: 14/18


4.3
Détermination de la matrice de masse de l'élément multifibre

4.3.1 Détermination de Melem

De même, le travail virtuel des efforts d'inertie devient [bib2]:

L

d 2u x, y
d 2v x, y
d 2w x, y
inert
W
= ,
,

,
0
u(x y)
( ) + v(x y) ( )+ (wx y) ( )dSdx
S

2
2
2


dt
dt
dt



2
= L
d U s
U
sM s
dx
0
dt 2
éq 4.3.1-1

avec U s le vecteur des déplacements "généralisés".


Ce qui donne pour la matrice de masse :

M 11
0
0
s
M 12
s
M 13
0
s




M 11
0
0
0
s
- M 12
s


M 11
0
0
s
- M

M s =
13
s
éq
4.3.1-2

M s22 M s23
0


M
0


s33


sym
M s22 + M s33

avec :

M s11 = ds ; Ms12 =
zds

; M
yds

S

s13 = -
S
S

éq
4.3.1-3
M
2
2
s22 = z
ds ; M s23 = -
yzds

; M
y
ds
S

s33 =
S
S

avec qui peut varier en fonction de y et z .
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Auteur(s) :
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Comme pour la matrice de rigidité, nous prenons en compte les déformations généralisées et la
discrétisation de l'espace [0, L]. Ce qui donne finalement pour la matrice de masse élémentaire :

1
M

elem
2
M

elem
3
M elem


4
M elem
5
M elem
6
M elem
M elem =

7

M elem
8
M

elem
9
M

elem
10
M elem


11
M elem
12
M elem
avec :

LM
M
M
LM
LM
LM
M
M
LM
LM
1

11
s
-
13
s
12
s
12
s
13
s
11
s
13
s
-
12
s
-
12
s
-
13
s

M elem =
0
0

3
2
2
2
12
6
2
2
12
12


LM
M
M
LM
M
L M
M
M
LM
M
M
LM
M
L M
M
2
13
6
11
s
s33 - 6
s23 - 7
11 2
12
s
s23
11
s
s33 -
9
6
6
13
s
11
s
s33
s23 - 3
12
s
s23 - 13 2

M
sym
elem =
+
+
-
11
s
+ s33

35
5L
5L
20
10
210
10
2
70
5L
5L
20
10
420
10

LM
M
LM
L M
M
M
M
M
LM
M
LM
L M
M
M
3
13
6
11
s
s22 - 7
s
-11 2
13
11
s
s22 -
6
9
6
s23
12
s
s23
11
s
s 22 - 3
13 2
13
s
11
s
s22 -

M
sym sym
elem =
+
-
-
-
s23

35
5L
20
210
10
10
2
5L
70
5L
20
420
10
10

LM
LM
L M
L M
LM
LM
LM
LM
L M
L M
4
s22 +
2
s33
s
- 2
13
12
s
- 3
12
s
- 3
13
s
s22 +
s33 -
2
2

M
sym sym sym
elem =
0
13
s
12
s


3
20
20
20
20
6
30
30

3
L M
LM
LM
LM
M
L M
M
L M
L M
LM
LM
5
2
2
11
s
s 22
s23 -
12
s
- s23 -13 2
2
11
s
s22
s
- 3
13
11
s
s 22 -

M
sym sym sym sym
elem =
+
+
-
-
s23

105
15
15
12
10
420
10
30
140
30
30


3
L M
LM
LM
L M
M
M
L M
LM
L M
LM
6
2
11
s
s33 -
13 2
13
s
11
s
s33
s
- 2
23
12
s
-
s23 -
3

M
sym sym sym sym sym
elem =
+
-
11
s
-
s33

105
15
12
420
10
10
30
30
140
30
LM
M
M
LM
LM
7

11
s
13
s
-
12
s
12
s
13
s

M
sym sym sym sym sym sym
elem =
0


3
2
2
12
12

LM
M
M
LM
M
L M
M
8
13
6
11
s
s33 - 6
s 23 - 7
12
s
- s23 -11 2

M
sym sym sym sym sym sym sym
elem =
+
11
s
- s33

35
5L
5L
20
10
210
10

LM
M
LM
L M
M
M
9
13
6
11
s
s22 - 7
11 2

M
sym sym sym sym sym sym sym sym
elem =
+
13
s
11
s
+
s22
s23

35
5L
20
210
10
10

LM
LM
L M
L M
10
s22 +
s33 -
2
2

M
sym sym sym sym sym sym sym sym sym
elem =
13
s
12
s


3
20
20

3
L M
LM
LM
11
2
2

M
=
11
s
sym sym sym sym sym sym sym sym sym sym
elem
+
s 22
s23

105
15
15


3
L M
LM
12
2

M
=
11
s
sym sym sym sym sym sym sym sym sym sym sym
elem
+
s33

105
15


éq 4.3.1-4
Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
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Titre :

Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
:

18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
: 16/18


avec les termes suivants : M
, M , M , M
, M , M
qui sont donnés à l'équation
11
s
12
s
13
s
s22
s33
s23
[éq 4.3.1-3].

Remarque :

La matrice de masse est réduite par la technique des masses concentrées ([bib4]). Cette
matrice de masse diagonale s'obtient par l'option 'MASS_MECA_DIAG' de l'opérateur
CALC_MATR_ELEM.



4.3.2 Discrétisation de la section en fibres - Calcul de Ms

La discrétisation de la section en fibres permet de calculer les différentes intégrales qui interviennent
dans la matrice de masse. Ainsi, si nous avons une section qui comporte n fibres nous aurons les
approximation suivantes des intégrales :

n
n
n
M
S ; M
z S ; M
y S
s11 = i i
s12 = i i i
s13 = - i i i
i=1
i=1
i=1
éq
4.3.2-1
n
n
n
M
z 2S ; M
y z S ; M
y 2S
s22 = i i
i
s23 = - i i i i
s33 = i i
i
i=1
i=1
i=1

avec et S la masse volumique et la section de chaque fibre. y et z sont les coordonnées du
i
i
i
i
centre de gravité de la fibre définis comme précédemment.


4.4
Calcul des forces internes

Le calcul des forces nodales F dues à un état de contraintes internes données se fait par
int
l'intégrale :

L
F

éq
4.4-1
int =
BT F dx

s
0

B est la matrice donnant les déformations généralisées en fonction des déplacements nodaux
[éq 4.2.2-6] et où F est le vecteur des contraintes généralisées donné à l'équation [éq 4.2.2-2],
s


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Titre :

Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
:

18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
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Axe Section
Points d'intégration
Sous-points d'intégration
L
T


ds
F
B F
dx
int =
s int
F

s
= S
int

0

y ds
S


Figure 4.4-a : Poutre multifibre ­ Calcul de Fint

T
F = N M
M
M
éq
4.4-2
s
[
y
z
x ]

L'effort normal N et les moments fléchissant M et M sont calculés par intégration des contraintes
y
z
sur la section [éq 4.2.1-8].

Le comportement en torsion restant linéaire, le moment de torsion est calculé avec les déplacements
nodaux :

-
M = GJ
x2
x1
éq.
4.4-3
x
x
L

L'équation [éq 4.4-1] est intégrée numériquement :
2
F = L T
B F dx
j
w B x
F x éq
4.4-4
i
s
=
0
i ( )T
i
s ( i )
i=1
Les positions et poids des points de Gauss ainsi que le Jacobien sont donnés dans le paragraphe
[§4.2.5].

Le calcul analytique de B(x )T F x donne :
i
s ( i )

[B(x )T F x = -B N B M -B M 0 B M B M B N -B M B M 0 B M B M
i
s (
)]T
i
[ 1 2 z 2 y
3
y
3
z
1
2
z
2
y
4
y
4
z ]
éq 4.4-5

où le B sont donnés à l'équation [éq 4.2.4-1].
i
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Eléments de poutres multifibres (droites)

Date
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18/11/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F. GATUINGT Clé
:
R3.08.08-A Page
: 18/18


4.5
Modèles de comportement non linéaires utilisables

Les modèles supportés sont d'une part les relations de comportement 1D de type ECRO_LINE et
PINTO_MENEGOTTO [R5.03.09], d'autre part le modèle Labord_1D [R7.01.07] dédié au comportement du
béton en cyclique. Par ailleurs toutes les lois 3D sont utilisables grâce à une routine « aiguillage » qui
met toutes les déformations autres que la déformation axiale (le long de la fibre) à zéro.

Remarque :

Les variables internes, constantes par fibre, sont stockées dans les sous-points attachés
au point d'intégration considéré.




5 Bibliographie

[1]
J.L. BATOZ, G. DHATT : Modélisation des structures par éléments finis - HERMES.
[2]
J. GUEDES, P. PEGON & A. PINTO : A fibre Timoshenko bean element in CASTEM 2000 ­
Ispra, 1994
[3]
P. KOTRONIS : Cisaillement dynamique de murs en béton armé. Modèle simplifiés 2D et 3D
­ Thèse de Doctorat de l'ENS Cachan ­ 2000
[4]
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX : Eléments "exacts" de poutres (droites et
courbes), Documentation de Référence du Code_Aster [R3.08.01]
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