Code_Aster ®
Version
6.2
Titre :
Loi de comportement en grandes rotations et petites déformations
Date :
05/08/03
Auteur(s) :
V. CANO Clé
:
R5.03.22-A Page
: 1/4
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.22
Loi de comportement en grandes rotations et
petites déformations
Résumé :
On décrit ici la formulation adoptée pour traiter des grandes rotations et des petites déformations. Cette
formulation est valable pour toutes les lois de comportement définies sous COMP_INCR de la commande
STAT_NON_LINE et munies des modélisations tridimensionnelle (3D), axisymétrique (AXIS), en déformations
planes (D_PLAN) et en contraintes planes (C_PLAN).
Cette fonctionnalité est choisie par l'intermédiaire du mot-clé DEFORMATION = 'GREEN' sous COMP_INCR.
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V. CANO Clé
:
R5.03.22-A Page
: 2/4
Table
des
matières
1 Quelques définitions ..............................................................................................................................3
2 Hypothèse des petites déformations et grandes rotations ....................................................................3
3 Bibliographie ..........................................................................................................................................4
Manuel de Référence
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Loi de comportement en grandes rotations et petites déformations
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: 3/4
1 Quelques
définitions
On rappelle ici quelques définitions de tenseurs liés aux grandes déformations.
On appelle tenseur gradient de la transformation F, le tenseur qui fait passer de la configuration initiale
0 à la configuration actuelle déformée (t) .
x$
F =
= Id + u
avec x = x$(X,t) = X + u
éq
1-1
X
X
où X est la position d'un point dans 0 , x la position de ce même point après déformation dans
(t) et u le déplacement.
Différents tenseurs de déformations peuvent être obtenus en éliminant la rotation dans la
transformation locale. Ceci peut se faire de deux manières, soit en utilisant le théorème de
décomposition polaire, soit en calculant directement les variations de longueur et d'angle (variation du
produit scalaire).
On obtient en description lagrangienne (c'est-à-dire sur la configuration initiale) :
· Par la décomposition polaire :
F = RU
éq 1-2
où R est le tenseur de rotation (orthogonal) et U le tenseur de déformations pures droit
(symétrique et défini positif).
· Par un calcul direct des déformations :
1
E = (C - Id) avec C = FTF
éq 1-3
2
où E est le tenseur de déformation de Green-Lagrange et C le tenseur de Cauchy-Green droit.
Les tenseurs U et C sont reliés par la relation suivante :
2
C = U
éq 1-4
2
Hypothèse des petites déformations et grandes rotations
Lorsque les déformations sont petites, il n'y a pas de difficultés fondamentales pour écrire les lois de
comportement : les différents modèles « grandes déformations » conduisent au même modèle
« petites déformations », et ce aussi bien pour des comportements isotropes qu'anisotropes. Seule la
difficulté d'ordre géométrique liée à la rotation finie subsiste.
Pour écrire le modèle en grandes rotations et petites déformations, on part de la décomposition polaire
de F soit F = RU . Comme le tenseur U est un tenseur de déformation pur et de surcroît petit, on
peut calculer, par une loi de comportement petites déformations, le tenseur des contraintes *
associé à cette l'histoire en déformation U. Il suffit ensuite de faire subir à ce tenseur *
, la rotation R
pour obtenir le tenseur des contraintes associé à l'histoire en déformation F, comme suit :
* T
= R R
éq 2-1
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On peut résumer ce schéma comme suit :
ldc HPP *
* T
F U
= Id +
= R
R
éq 2-2
L'inconvénient de cette chaîne de calcul est qu'elle nécessite la décomposition polaire de F. Deux
hypothèses sont faites alors pour l'éviter.
D'une part, pour éviter le calcul de U, on peut approcher la déformation HPP , par la déformation de
Green E, en tirant profit du fait que les déformations sont petites :
1
1
1
E =
FTF - Id =
U - Id U + Id = +
2
(
)
(
)(
)
éq
2-3
2
2
2
On en déduit alors par la loi de comportement « petites déformations ».
D'autre part, de la même manière pour éviter le calcul de R, on peut approcher le tenseur des
contraintes HPP par le second tenseur de Piola-Kirchhoff S :
S = F-1 F- = Det(U) U-1 -1
=
+
(
O )
J
U
éq
2-4
On en déduit alors par :
= 1
T
FSF
éq 2-5
J
Finalement, en présence de grandes rotations et de petites déformations, il suffit d'écrire la loi de
comportement « petites déformations » avec, en entrée, l'histoire des déformations de Green E, et en
sortie, l'histoire des contraintes de Piola-Kirchhoff S. Cette approche est valable aussi bien pour des
lois de comportement isotropes qu'anisotropes.
Quant à la formulation variationnelle appropriée, il s'agit de celle adoptée en hyper-élasticité
(comportement ELAS, ELAS_VMIS_XXX sous COMP_ELAS avec les déformations de type GREEN). Pour
plus de détails, on se reportera au document de référence associé [R5.03.20]. Il faut cependant être
sûr que le problème étudié induit bien des petites déformations car sinon on ne peut plus faire les
simplifications [éq 2-3] et [éq 2-4]. Sans cette hypothèse, l'écart avec un comportement plastique
s'accroît rapidement avec l'intensité des déformations.
3 Bibliographie
[1]
CANO V., LORENTZ E., "Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastiques avec écrouissage isotrope", Note interne EDF DER,
HI-74/98/006/0, 1998
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