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Loi de comportement grandes déformations avec transformations
Date :
20/01/03
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V. CANO
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Manuel de Référence
Fascicule R4.04 : Comportement métallurgique
Document : R4.04.03




Loi de comportement élasto(visco)plastique
en grandes déformations avec transformations
métallurgiques



Résumé

Ce document présente un modèle de comportement thermo-élasto-(visco)plastique à écrouissage isotrope
avec effets des transformations métallurgiques écrit en grandes déformations. Ce modèle peut s'utiliser pour
des modélisations tridimensionnelles, axisymétriques et en déformations planes.

On présente l'écriture de ce modèle et son traitement numérique.

Pour comprendre ce document, il est pratiquement indispensable de lire les deux notes [R5.03.21] et [R4.04.02]
consacrées aux modèles de comportement écrits, respectivement, en grandes déformations sans effets
métallurgiques et en petites déformations avec effets métallurgiques.

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Table
des
matières


1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Notations................................................................................................................................................4
3 Rappels du modèle métallurgique et du modèle grandes déformations ...............................................5
3.1 Modèle avec transformations métallurgiques..................................................................................5
3.2 Modèle écrit en grandes déformations ............................................................................................6
3.2.1 Présentation générale ............................................................................................................6
3.2.2 Cinématique ...........................................................................................................................6

4 Extension du modèle grandes déformations .........................................................................................8
4.1 Aspect thermodynamique................................................................................................................8
4.2 Extension .........................................................................................................................................9
4.3 Relations de comportement.............................................................................................................9
4.4 Les différentes relations ................................................................................................................12
4.5 Contraintes et variables internes ...................................................................................................13
5 Formulation numérique........................................................................................................................14
5.1 Intégration des différentes relations de comportement .................................................................14
5.2 Expression de la matrice tangente ................................................................................................18
6 Bibliographie ........................................................................................................................................20

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: 3/20


1 Introduction

Ce document présente une loi de comportement thermo-élasto-(visco)plastique à écrouissage isotrope
en grandes déformations qui prend en compte les effets des transformations métallurgiques. Ce
modèle peut s'utiliser pour des problèmes tridimensionnels, axisymétriques et en déformations planes.

Cette loi représente un « assemblage » de deux modèles implantés dans le Code_Aster, à savoir un
modèle thermoélastoplastique avec écrouissage isotrope écrit en grandes déformations (mot-clé
facteur DEFORMATION : 'SIMO_MIEHE', cf. [R5.03.21]) et un modèle petites déformations
thermo-élasto-(visco)plastique avec effets des transformations métallurgiques (mot-clé facteur
'META_P_**_**' ou 'META_V_**_**' de COMP_INCR de l'opérateur STAT_NON_LINE). Le premier
modèle de grandes déformations a donc été étendu pour tenir compte des conséquences des
transformations métallurgiques sur la mécanique.

Pour comprendre ce document, il est pratiquement indispensable de lire les documents de référence
[R5.03.21] et [R4.04.02] qui concernent, respectivement, le modèle grandes déformations sans effets
métallurgiques et le modèle petites déformations avec effets métallurgiques. Néanmoins, pour faciliter
la lecture de cette note, nous faisons quelques rappels sur ces deux modèles.

Pour justifier l'extension du modèle écrit en grandes déformations au modèle grandes déformations
avec effets métallurgiques, nous reprenons quelques aspects théoriques extraits de [bib1] liés à
l'écriture du modèle grandes déformations.

On présente ensuite les relations de comportement du modèle complet, son intégration numérique et
les expressions de la matrice tangente (options FULL_MECA et RIGI_MECA_TANG).

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2 Notations

On notera par :

Id
matrice identité
tr A
trace du tenseur A
AT
transposé du tenseur A
det A
déterminant de A
X
partie positive de X
~
~
1
A
partie déviatorique du tenseur A définie par A = A - ( tr A)Id
3

T
:
produit doublement contracté : A:B = A B
ij ij = tr(AB )
i, j

produit tensoriel : (A B)ijkl = ij
A kl
B

3
A
~ ~
eq
valeur équivalente de von Mises définie par Aeq =
:
A A
2

A
XA
gradient : XA =
X

ij
A
divx A
divergence : (div
)
x A i =
x
j
j
, µ

E
E
coefficients de Lamé : =
, µ =

(1 + )(1-
2 )
2(1 + )

module d'Young

coefficient de Poisson

E
module de rigidité à la compression : 3K = 3 + 2µ =

(1 - 2 )
T
température
Tref
température de référence
Z
proportion d'austénite
Zi
proportion des quatre phases : ferrite, perlite, bainite et martensite


Par ailleurs, dans le cadre d'une discrétisation en temps, toutes les quantités évaluées à l'instant
précédent sont indicées par - , les quantités évaluées à l'instant t + t
ne sont pas indicées et les
incréments sont désignés par . On a ainsi :

Q = Q - Q-
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3
Rappels du modèle métallurgique et du modèle grandes
déformations


3.1
Modèle avec transformations métallurgiques

Nous présentons uniquement ici les conséquences des transformations métallurgiques sur le
comportement mécanique.

La détermination de l'évolution mécanique associée à un processus mettant en jeu des
transformations métallurgiques nécessite au préalable un calcul thermo-métallurgique. Ce calcul
thermo-métallurgique est découplé et permet la détermination des évolutions thermiques puis
métallurgiques. Pour les modèles de comportement métallurgiques des aciers, on pourra consulter la
note [R4.04.01].

Pour l'étude des transformations métallurgiques de l'acier, il existe cinq phases métallurgiques : la
ferrite, la perlite, la bainite, la martensite (phases ) et l'austénite (phase ).

Les effets des transformations métallurgiques (à l'état solide) sont de quatre types :

· les caractéristiques mécaniques du matériau qui subit les transformations sont modifiées.
Plus précisemment, les caractéristiques élastiques (module d'YOUNG E et coefficient de
Poisson ) sont peu affectées alors que les caractéristiques plastiques, telle que la limite
d'élasticité, le sont fortement,
· l'expansion ou la contraction volumique qui accompagne les transformations métallurgiques
se traduit par une déformation (sphérique) de « transformation » qui se superpose à la
déformation d'origine purement thermique. En général, on regroupe cet effet avec celui dû à
la modification du coefficient de dilatation thermique ,
· une transformation se déroulant sous contraintes peut donner naissance à une déformation
irréversible et ce, même pour des niveaux de contraintes très inférieurs à la limite d'élasticité
du matériau. On appelle « plasticité de transformation » ce phénomène. La déformation totale
s'écrit alors :

= e + th + p + pt

e , th , p et pt sont, respectivement les déformations élastiques, thermiques,
plastiques et de plasticité de transformation,
· on peut avoir lors de la transformation métallurgique un phénomène de restauration
d'écrouissage. L'écrouissage de la phase mère n'est pas totalement transmis aux phases
nouvellement créées. Celles-ci peuvent alors naître avec un état d'écrouissage vierge ou
n'hériter que d'une partie, voire de la totalité, de l'écrouissage de la phase mère. La
déformation plastique cumulée p n'est plus alors caractéristique de l'état d'écrouissage et il
faut définir d'autres variables d'écrouissage pour chaque phase, notées rk qui tiennent
compte de la restauration. Les lois d'évolution de ces écrouissages diffèrent des lois
habituelles de manière à permettre un « retour vers zéro » total, ou partiel, de ces paramètres
lors des transformations.

On pourra trouver dans le document [R4.04.02] les expressions des différentes relations de
comportement.
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3.2
Modèle écrit en grandes déformations

3.2.1 Présentation
générale

Ce modèle est une loi de comportement eulérienne thermo-élasto-plastique écrite en grandes
déformations qui a été proposée par Simo et Miehe ([bib2]) qui tend sous l'hypothèse des petites
déformations vers le modèle avec écrouissage isotrope et critère de von Mises décrit dans [R5.03.02].
Il permet de traiter non seulement les grandes déformations, mais également, de manière exacte, les
grandes rotations.

Les caractéristiques essentielles de cette loi sont les suivantes :

· tout comme en petites déformations, on suppose l'existence d'une configuration relâchée,
c'est-à-dire localement libre de contrainte, qui permet de décomposer la déformation totale en
une partie thermoélastique et une partie plastique,
· la décomposition de cette déformation en des parties thermoélastique et plastique n'est plus
additive comme en petites déformations (ou pour les modèles grandes déformations écrits en
taux de déformation avec par exemple une dérivée de Jaumann) mais multiplicative,
· comme en petites déformations, les contraintes dépendent uniquement des déformations
thermoélastiques,
· pour écrire la loi de comportement, on utilise le tenseur des contraintes de Kirchhoff , qui est
relié au tenseur de Cauchy par la relation J = où J représente la variation de volume
entre les configurations initiale et actuelle,
· les déformations plastiques se font à volume constant. La variation de volume est alors
uniquement due aux déformations thermo-élastiques,
· ce modèle conduit lors de son intégration numérique à un modèle incrémentalement objectif
ce qui permet d'obtenir la solution exacte en présence de grandes rotations.


3.2.2 Cinématique

Nous faisons ici quelques rappels de base de mécanique en grandes déformations et sur le modèle de
comportement.

Considérons un solide soumis à des grandes déformations. Soit 0 le domaine occupé par le solide
avant déformation et (t) le domaine occupé à l'instant t par le solide déformé. Dans la configuration
initiale 0 , la position de toute particule du solide est désignée par X (description lagrangienne).
Après déformation, la position à l'instant t de la particule qui occupait la position X avant déformation
est donnée par la variable x (description eulérienne).

Le mouvement global du solide est défini, avec u le déplacement, par :

x = x$(X,t) = X + u

Pour définir le changement de métrique au voisinage d'un point, on introduit le tenseur gradient de la
transformation F :

x$
F =
= Id + u


X
X
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Les transformations de l'élément de volume et de la masse volumique valent :


d = Jdo avec J
o
= det F =

o et sont respectivement la masse volumique dans les configurations initiale et actuelle.

Pour écrire maintenant le modèle grandes déformations, on suppose l'existence d'une configuration
relâchée r , c'est-à-dire localement libre de contrainte, qui permet alors de décomposer la
déformation totale en des parties thermoélastique et plastique, cette décomposition étant
multiplicative.

On notera par F le tenseur gradient qui fait passer de la configuration initiale 0 à la configuration
actuelle (t) , par F p le tenseur gradient qui fait passer de la configuration 0 à la configuration
relâchée r , et Fe de la configuration r à (t) . L'indice p se réfère à la partie plastique, l'indice
e à la partie thermoélastique.

Configuration initiale
Configuration actuelle
F

(t )
0
F p
F e
T = Tref
r
= 0
Configuration relâchée

Figure 3.2.2-a : Décomposition du tenseur gradient F en une partie élastique Fe et plastique F p

Par composition des mouvements, on obtient la décomposition multiplicative suivante :

F = FeF p

Les déformations thermoélastiques sont mesurées dans la configuration actuelle avec le tenseur
eulérien de Cauchy-Green gauche be et les déformations plastiques dans la configuration initiale par
le tenseur G p (description lagrangienne). Ces deux tenseurs sont définis par :

be
FeFeT
=
, G p
F pTF p
=
-
(
) 1 d'où be
FG pFT
=


Le modèle présenté est écrit de telle manière à distinguer les termes isochores des termes de
changement de volume. On introduit pour cela les deux tenseurs suivants :

F = -
J 1/ F
3 et be = -2/ b
3 e
J
avec J = det F
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Par définition, on a : det F = 1 et det be = 1.

Dans ce modèle, les déformations plastiques se font à volume constant si bien que :

J p
p
= det F = 1 d'où J Je
e
=
= det F

On trouvera dans le document de référence ([R5.03.21]) les expressions des relations de
comportement.


4
Extension du modèle grandes déformations

L'objectif de ce paragraphe est de justifier l'extension du modèle écrit en grandes déformations pour
tenir compte des transformations métallurgiques. En particulier, pour tenir compte de la plasticité de
transformation, nous ne pouvons pas additionner comme en petites déformations un terme
supplémentaire de déformation lié à la plasticité de transformation. En fait, sur l'aspect décomposition
cinématique, la prise en compte de la plasticité de transformation ne change rien. On a toujours la
décomposition F = FeF p F p contient toute l'information sur la déformation « anélastique » (donc
y compris celle liée à la plasticité de transformation). C'est seulement au niveau comportement que se
fait, en particulier, le traitement de la plasticité de transformation.

Dans un premier temps, nous rappelons quelques éléments théoriques qui permettent d'écrire le
modèle sans effets métallurgiques puis nous montrons les modifications à apporter pour tenir compte
des effets métallurgiques et de la plasticité de transformation en particulier.

4.1 Aspect
thermodynamique

L'écriture de la loi de comportement grandes déformations est issue du cadre thermodynamique avec
variables internes. Le formalisme thermodynamique repose sur deux hypothèses. La première est que
l'énergie libre ne dépend que des déformations élastiques be et des variables internes liées à
l'écrouissage du matériau (ici la déformation plastique cumulée associée à la variable d'écrouissage
isotrope R). Ceci permet, grâce à l'inégalité de Clausius-Duhem, d'obtenir les lois d'état. La seconde
hypothèse est le principe de dissipation maximale, qui correspond à la donnée d'un potentiel de
dissipation, qui permet alors de déterminer les lois d'évolution des variables internes.

L'énergie libre est donnée par :

= (be, ) = e(be) + p
p
( p)

On obtient par la première hypothèse, les lois d'état, soit :

e
p

=

2
e
0
b et R =

e
b
0 p

Il reste pour la dissipation :

1
:(-
& p T e-1
FG F b
) - &
Rp 0
2
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Moyennant l'introduction d'une fonction seuil telle que f ( , R) 0 , le principe de dissipation
maximale (ou de manière équivalente la donnée d'un pseudo-potentiel de dissipation [bib3]) permet
d'en déduire, par la propriété de normalité, les lois d'évolution, soit :

f
- 1
p T e-1
f
FG
& F b
= & et &p = - &
2


R

Il s'agit ici d'un modèle de plasticité associée.

4.2 Extension

Pour la restauration d'écrouissage, il n'y a pas de difficultés particulières liées aux grandes
déformations. Il suffit que l'énergie libre dépende, non plus de la déformation plastique cumulée, mais
des variables internes d'écrouissage rk associées aux variables d'écrouissages Z .R
k
k de chacune
des phases métallurgiques.

Pour tenir compte maintenant des déformations dues à la plasticité de transformation, on propose
d'additionner un terme supplémentaire dans la loi d'écoulement de la déformation plastique G p qui
dérive d'un potentiel de dissipation .

On obtient ainsi pour les lois d'état :

e
p

=

2
e
0
b et Z .R =

e
b
k
k
0 rk

et pour les lois d'évolution :

pt
- 1
p T e-1
f

FG
& F b
= & +

2


123
plasticité de transformation
r

&
r = - &
f
k


-

(Z .R )
(Z .R )
k
k
k
k
1 2
4
3
4
restauration d écrouissage
métallurgique et visqueux
= pt + r
( )


On choisit les potentiels pt et r , liés respectivement à la plasticité de transformation et à la
restauration d'écrouissage, de telle manière à retrouver, sous l'hypothèse des petites déformations, les
mêmes lois d'évolution que celles du modèle avec effets métallurgiques écrit en petites déformations.

4.3
Relations de comportement

On se place dans le cas d'un écrouissage isotrope linéaire.

La partition des déformations implique :

be
FG pFT
=
avec F = -
J 1/ F
3 , J = det F et be = -2/ b
3 e
J

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Les relations de comportement sont données par :

· Relation contrainte - déformation thermoélastique :

~
~
= µbe
3K
2
9K th
1
tr =
( J - )
1 -
(J + )
2
2
J
4
th
r
Tref
r
Tref
=
Z [ (T - re
T f ) - (1-
Z )
f ]+( iZ [) f (T - rTef ) + Z
f ]
i=1

où : Z r caractérise la phase métallurgique de référence
Zr = 1 lorsque la phase de référence est la phase austénitique,
Zr = 0 lorsque la phase de référence est la phase ferritique.
Tref
th
th
f
= f ( re
T f ) - ( re
T f ) traduit la différence de compacité entre les phases ferritiques
et austénitique à la température de référence Tref ,
f est le coefficient de dilatation des quatre phases ferritiques et celui de la phase
austénitique.

· Seuil de plasticité :

f = - R
eq
- y

R est la variable d'écrouissage du matériau multiphasé, qui s'écrit :
f ( Z ) 4
4
R = (1- f ( Z ))R +
Z .R , Z = Z
Z
i
i
i
i=1
i=1

Rk est la variable d'écrouissage de la phase k qui peut être linéaire ou non linéaire par
rapport à rk et f ( Z ) une fonction dépendant de Z telle que f ( Z ) [
0, ]
1 .
Dans le cas linéaire, on a R = R r
k
0k k R0k est la pente d'écrouissage de la phase k.
(i )
(i )
(i )
(i )
Dans le cas non linéaire, on écrit : R = R
+ R (r - r
k
k
k
k
)
0
où les significations de Rk ,
R(i )
(i )
0k et rk
sont représentées sur la figure ci-dessous.
Rk
( 3 )
Rk(2 )
( 2 )
Rk
R0 k
( 1 )
( 1 )
R
R
0 k
k
( 0 )
R0k
( 0 )
rk
Rk (0 ) (1)
( 2 )
( 3 )
r
r
k
rk
k
rk

Courbe d'écrouissage non linéaire
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La limite d'élasticité y vaut :
4
i
Z
y i
Si Z 0
=
,
i 1
y = (1 - f ( Z )
) y + f ( Z
) y ,
y
=

Z
Si Z = 0 , y = y

yi sont les quatre limites d'élasticité des phases ferritiques,
y celle de la phase
auténitique.

· Lois d'évolution :

3
4
FG
& pFT = - &p
b
~ e - 3 b
~ e K F (1- Z )
i i
&i
Z



eq
i=1
4
- &Z ( r -r )
i
i i

&r
=1
= &p
i
+
- (Cr )m
Z
si
> 0
Z
moy


1 2
4
3
4
uniquement en viscosité
&Z ( r
- r )
i
i
i
&r = &p +
- (Cr )m
Z
i
si > 0
Z
moy
i
i
1 2
4
3
4
uniquement en viscosité
5
5
5
r
= Z r
moy
k k , C = ZkCk , m = Zk k
m
k =1
k=1
k=1

Ki , Fi , i
C et i
m sont des données du matériau associées à la phase i, i le
coefficient de restauration d'écrouissage lors de la transformation en i (i [
0 ]
1
, ) et i
le coefficient de restauration d'écrouissage lors de la transformation i en ( i [
0 ]
1
, ).

Toutes les données matériau sont renseignées dans l'opérateur DEFI_MATERIAU ([U4.43.01]) sous les
différents mot-clé facteurs ELAS_META(_F0) et META_**.

Pour un modèle de plasticité, le multiplicateur plastique est obtenu en écrivant la condition de
cohérence &f = 0 et on a :

&p ,
0 f 0 et &pf = 0
Dans le cas visqueux, &p s'écrit :
n
f
&p =







ou de manière équivalente :
1/
4
f =
f
1
( - f (Z ))
n
1/ i
n
p&
+ Zii p&

Z i=1
in et i
sont les coefficients de viscosité du matériau associés à la phase i qui dépendent
éventuellement de la température.
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Le calcul de FG
& pFT donne :
~
~~
1


FG
& pFT = - (
e
eq
3 Aeq + &p)( tr b
+
)
3
2
eq
µ eq
4
où on a posé A = K F &
Z
i i
i .
i=1
Puisque ~
/
2
eq 1 et ~~
/ eq 1, le second terme de l'expression ci-dessus peut être négligé
(devant 1) pour des matériaux métalliques dans la mesure où :

eq R +y
-3
e
µ =
µ
10 << 1 tr b
tr be 1 car le tenseur be est symétrique, défini positif et det be = 1.
C'est cette simplification de la loi d'évolution de Gp qui permet d'intégrer aisément la loi de
comportement c'est-à-dire de la ramener à la résolution d'une équation scalaire non linéaire. On
prendra donc par la suite :
tr be
FG
& pFT -( &p +eq A)
~


éq
4.3-1
eq

4.4
Les différentes relations

Dans l'opérateur STAT_NON_LINE, on accède à ces différents modèles en utilisant les mot-clé facteurs
suivants :

| COMP_INCR : (
RELATION
:
/
'META_P_IL'
/
'META_P_INL'
/
'META_P_IL_PT'
/
'META_P_INL_PT'
/
'META_P_IL_RE'
/
'META_P_INL_RE'
/
'META_P_IL_PT_RE'
/
'META_P_INL_PT_RE'
/
'META_V_IL'
/
'META_V_INL'
/
'META_V_IL_PT'
/
'META_V_INL_PT'
/
'META_V_IL_RE'
/
'META_V_INL_RE'
/
'META_V_IL_PT_RE'
/
'META_V_INL_PT_RE'

DEFORMATION
:
/'SIMO_MIEHE'





)

Nous rappelons uniquement ici la signification des lettres pour les comportements META :

· P_IL : plasticité à écrouissage isotrope linéaire,
· P_INL : plasticité à écrouissage isotrope non linéaire,
· V_IL : viscoplasticité à écrouissage isotrope linéaire,
· V_INL : viscoplasticité à écrouissage isotrope non linéaire,
· PT : plasticité de transformation,
· RE : restauration d'écrouissage d'origine métallurgique.
Manuel de Référence
Fascicule R4.04 : Comportement métallurgique
HT-66/02/004/A

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Version
6.3

Titre :

Loi de comportement grandes déformations avec transformations
Date :
20/01/03
Auteur(s) :
V. CANO
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: 13/20


Exemple : 'META_V_INL_RE' = loi élastoviscoplastique à écrouissage isotrope non linéaire avec
restauration d'écrouissage mais sans prise en compte de la plasticité de transformation

Les différentes caractéristiques du matériau sont données dans l'opérateur DEFI_MATERIAU. On
renvoie le lecteur à la note [R5.04.02] pour la signification des mot-clé facteurs de cet opérateur.

Attention :

Si l'écrouissage isotrope est linéaire, on renseigne sous le mot clé META_ECR0_LINE de
DEFI_MATERIAU, le module d'écrouissage c'est-à-dire la pente dans le plan contrainte ­
déformation.
Par contre, si l'écrouissage isotrope est non linéaire, on donne directement sous le mot clé
META_TRACTION de DEFI_MATERIAU, la courbe écrouissage isotrope R ( R
= - y ) en

fonction de la déformation plastique cumulée p ( p = -
).
E

Remarque :

L'utilisateur doit bien s'assurer que la courbe de traction « expérimentale » utilisée pour en
déduire la pente d'écrouissage est bien donnée dans le plan contrainte rationnelle
= F / S
- déformation logarithmique
ln(1+ l / l )
0 où l0 est la longueur initiale de la partie utile de
l'éprouvette, l la variation de longueur après déformation, F la force appliquée et S la
F l 1
F l
surface actuelle. On remarquera que = F / S =
d'où = J =
. En
S l J
0 0
S l
0 0
F l
général, c'est bien la quantité
qui est mesurée par les expérimentateurs et ceci donne
S l
0 0
directement la contrainte de Kirchhoff utilisée dans le modèle de Simo et Miehe.


4.5
Contraintes et variables internes

Les contraintes de sortie sont les contraintes de Cauchy , donc mesurées sur la configuration
actuelle.
Pour l'ensemble des relations META_**, les variables internes produites dans le Code_Aster sont :

· V1 : r1 variable d'écrouissage pour la ferrite,
· V2 : r2 variable d'écrouissage pour la perlite,
· V3 : r3 variable d'écrouissage pour la bainite,
· V4 : r4 variable d'écrouissage pour la martensite,
· V5 : r5 variable d'écrouissage pour l'austénite,
· V6 : indicateur de plasticité (0 si le dernier incrément calculé est élastique ; 1 sinon),
· V7 : R le terme d'écrouissage isotrope de la fonction seuil,
1
· V8 : la trace divisée par trois du tenseur de déformation élastique e
b soit
e
trb .
3

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5 Formulation
numérique

Pour la formulation variationnelle, il s'agit de la même que celle donnée dans la note [R5.03.21] et qui
se reporte à la loi de comportement grandes déformations. Nous rappelons uniquement qu'il s'agit
d'une formulation eulérienne, avec réactualisation de la géométrie à chaque incrément et à chaque
itération, et que l'on tient compte de la rigidité de comportement et de la rigidité géométrique.
Nous présentons maintenant l'intégration numérique de la loi de comportement et donnons
l'expression de la matrice tangente (options FULL_MECA et RIGI_MECA_TANG).

5.1
Intégration des différentes relations de comportement

Dans le cas d'un comportement incrémental, mot-clé facteur COMP_INCR, connaissant le tenseur des
contraintes - , les variables internes r -
k , la trace divisée par trois du tenseur de déformations
1
élastiques
e
trb , les déplacements u- et u , les températures T - et T, et les proportions des
3
1
différentes phases métallurgiques Z
e
k , Zk , on cherche à déterminer ( ,
r ,
b )
k
tr
.
3
Les déplacements étant connus, les gradients de la transformation de 0 à - , noté F- , et de -
à (t) , noté F , sont connus.
On posera par la suite :
4
- Z ( r- -r-)
4
i
i i

Z r-
- r-
(
)
A = K F Z
i=1
i
i
i
i i
i , G =
et Gi =
(i = 1, 4)
i=1
Z
Zi

La discrétisation implicite de la loi donne :

F = FF-


J = det F
F = -
J 1/ F
3
be = -2/ b
3 e
J

J =
~
~
= µbe
3K
9K
1
tr =
( 2
J - )
1 -
th
(J + )
2
2
J
4
th
r
Tref
r
Tref
=
Z [ (T - re
T f ) - (1-
Z )
f ]+( iZ [) f (T - rTef ) + Z
f ]
i=1
f 4
f = - (1- f )R -
Z R
eq
-
Z
i i
y
i=1
tr be
be = FG pFT = FG p-FT -
~ - tr be
p
A
~



eq
Si Z
-
m
-
> 0 alors r = p + G -
t(Crmoy)
, sinon r = 0 et r
1 2
4
3
4

= 0
uniquement en viscosité
Si Z
-
m
-
i > 0 , r = p + G -
t(Cr
i
i
moy )
, sinon r = 0 et r
1 2
4
3
4
i
i = 0
uniquement en viscosité
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Dans la résolution de ce système, seule la contrainte déviatorique ~
est inconnue car la trace de est
fonction uniquement de J (connue).
On introduit Tr , le tenseur de Kirchhoff qui résulte d'une prédiction élastique (Tr : trial, en anglais
essai) :

~
~
Tr
eTr
= µb




beTr
FG p-FT
Fbe-

FT
=
=
, F
=( J)-1/ 3F et J = det
(
)
F

On obtient be- à partir des contraintes - par la relation contrainte - déformation thermoélastique et
à partir de la trace du tenseur des déformations élastiques.

~-
e-

1
e-
b
=
+ trb
-

µ
3

On obtient pour le tenseur de Kirchhoff :

eTr
~
~
tr b
eTr
~
= µb
- µ p

- µ A
tr eTr~


b



eq

Si f < 0, on a alors p = 0 et :
~Tr
~

=

1+ µ tr eTr
A b

sinon on obtient :

tr be
tr beTr
=



eTr

~
tr b
1
+ µp
+ A tr eTr
~

b
= Tr



µ
eq



En calculant la contrainte équivalente, on obtient l'équation scalaire en p suivante :


eTr
eTr
Tr
eq + µ p
tr b
+ µ
A eq tr b
= eq
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Expression de eq :

En plasticité :
-
eq = y + R p
+ D(r ;T,Z)
avec
f 4
R = (1- f )R0 +
Z R
Z
i 0i
i=1
4
f
et D(r - ;T,Z) = [1 - f ]R (r -
+ G )
+
Z R (r- + G )
Z
i i i
i
i=1

4
1/ n
f
En viscosité :
-

eq = y + R
p + D(r ;T,Z)+ 1
( - f (Z ))
1/ i
n

( p/t)
+ Zii
( p/t)

Z i=1
avec
D(r- ;T,Z) = [1- f ] R (r-
+ G - t(Cr- )m )
moy
4
f

+
Z R (r- + G - t(Cr- )m )
moy
Z
i i i
i
i=1

p vérifie :

Tr
eTr
4
1/ n
f
- µ p
tr b
1
( - f (Z
))
( p
/ t


1/

)
+ Z ( p
/ t n
eq
i
)
=
- D(r-;T,Z) - - R p


Z
i i
y
i=1
1+ µ A
eTr
'tr b


La résolution est faite dans le Code_Aster par une méthode des sécantes avec intervalle de recherche
[bib4].

Remarque :

Dans le cas d'un écrouissage isotrope non linéaire, les pentes d'écrouissage R0k et les
écrouissages R

-
k dans les expressions de R et D( r ;T ,Z ) correspondent aux variables
r
-
-
m
k prises à l'instant t , c'est-à-dire r = r + G + p - t( Cr
k
k
k
moy ) . Or, comme on ne
connaît pas à priori la valeur de ces variables rk , on résout l'équation en p en prenant les
pentes R

-
-
m
0k et les écrouissages Rk pour les quantités r + G

- t(Cr
k
k
moy ) . Une fois
résolue l'équation en p , on vérifie, pour chaque phase, que l'on se trouve bien dans le bon
intervalle lors du calcul de l'écrouissage et de la pente. Dans le cas contraire, pour la ou les
phases concernées, on prend l'intervalle suivant et on résout de nouveau l'équation en
p .
On continue ce processus jusqu'à trouver le bon intervalle pour toutes les phases.


On trouve alors pour le déviateur des contraintes :


eTr
~
1
p tr b
~
=
1- µ
Tr
1+ µA tr eTr
Tr
b


eq


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Une fois calculée la déformation plastique cumulée, le tenseur des contraintes et la matrice tangente,
on effectue une correction sur la trace du tenseur des déformations élastiques e
b pour tenir compte
de l'incompressibilité plastique, qui n'est pas conservée avec la simplification faite sur la loi
d'écoulement [éq 4.3.1]. Cette correction s'effectue en utilisant une relation entre les invariants de e
b
~
et e
b et en exploitant la condition d'incompressibilité plastique p
J = 1 (ou de manière équivalente
det e
b = 1). Cette relation s'écrit :

x3- J ex- (1- J e ) = 0
2
3

2
1 ~
( )
~
~
e
e 2
eq
e
e

1
avec J2 = (b )eq =
, J = det
3
b = det et
e
x = trb
2
2
(
2 µ)
µ
3
La résolution de cette équation du troisième degré permet d'obtenir
e
trb et par conséquent la
déformation thermoélastique be- au pas de temps suivant. Dans le cas où cette équation admet
plusieurs solutions, on prend la solution la plus proche de la solution du pas de temps précédent. C'est
1
d'ailleurs pourquoi on stocke dans une variable interne
e
trb .
3


Remarque :

Dans le cas où la plasticité de transformation n'est pas prise en compte, les expressions
obtenues sont les mêmes en prenant
A = 0 .
Dans le cas où c'est la restauration d'écrouissage qui est négligée alors on a également les
mêmes expressions mais en prenant tous les
égaux à 1.
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5.2
Expression de la matrice tangente

Nous donnons uniquement ici les expressions de la matrice tangente (option FULL_MECA au cours
des itérations de Newton, option RIGI_MECA_TANG pour la première itération). Pour les hypothèses
concernant la partie métallurgique, ce sont les mêmes que celles du document [R4.04.02]. Pour la
partie grandes déformations, on trouvera en annexe de [bib1], le détail de la linéarisation de la loi de
comportement.

On pose :
J = det F , J -
-
= det F et J = det F

· Pour l'option FULL_MECA, on a :

-

( ) /
J 1 3
1
J -
A =
=
H -
(HF) B -
B
F

J
3
J J
J 2

J -
3
th
-2
+
KJ -

K
(1- J ) Id B
J
2



B vaut :
B = F

F

- F

F
11
22
33
23 32
B = F

F

- F

F
22
11
33
13 31
B = F

F

- F

F
33
11
22
12 21
B = F

F

- F

F
12
31
23
33 21
B = F

F

- F

F
21
13
32
33 12
B = F

F

- F

F
13
21
32
22 31
B = F

F

- F

F
31
12
23
22 13
B = F

F

- F

F
23
31
12
11 32
B = F

F

- F

F
32
13
21
11 23

et où H et HF sont donnés par :



Dans le cas élastique (f < 0) :

µ
2
H
( b e- F

+ F
b e- - F
b e- - 2 A
~ F
b e
=
- )
ijkl

(1+ µ A
eTr
ik lp
jp
ip pl
jk
tr b )
3 ij
kp lp
ij
kp pl

et

~
HF =
(beTr - A tr beTr~)
(1+
µ A tr beTr )
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sinon en charge plastique ou viscoplastique, on a :

µ
H
= ( b e- F

+ F
b e- )
ijkl
a ik lp
jp
ip pl
jk

R (

A
+ p
)~


ij
eq
ij
- 2µ
+
F
b e-
a
3
(R
eTr
+ µ tr b (1+ R A
))
kp lp

eq


2
eTr
µ
3
tr b
(R p
- )

eq
+
~ ~ F
b e-
a 3 (R
eTr
+ µ tr b (1+ R A
)) ij kq qp lp
eq

et


Id
R
(
A + p
)~

HF =
beTr - 2µ tr beTr
eq

+

a
3a (R
eTr

eq
+ µ tr b
1
( + R
A))
3 2
µ tr beTr (R
p -eq)
+
(~:beTr )~


3
a (R
eTr
eq
+ µ tr b
1
( + R
A))

avec

4
f
1
( -n ) / n
f


1
( - ) /
R = 1
( - f )
i
n
i
n
0
R +
Zi 0
R + 1
( - f (Z)) ( p
/ t
)
/ n t
+
Z ( p
/ t
)
/ n t

Z
i
i i
i
i= ,
1 4
Z
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
i 1
=
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
te
en viscosi

uniquement

Tr

a
eq
=
eq

· Pour l'option RIGI_MECA_TANG

pour le modèle plastique : il s'agit des mêmes expressions que celles données pour
FULL_MECA mais avec p = 0 et A = 0 , toutes les variables et coefficients du matériau
étant pris à l'instant t - . En particulier, on aura F = Id .

pour le modèle visqueux : on prend uniquement les expressions de FULL_MECA dans le cas
élastique avec A = 0 , toutes les variables étant prises à l'instant t - .

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6 Bibliographie

[1]
CANO V., LORENTZ E., "Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastiques avec écrouissage isotrope", Note interne E.D.F-
D.E.R., HI-74/98/006/0, 1998
[2]
SIMO J.C., MIEHE C. , "Associative coupled thermoplasticity at finite strains : Formulation,
numerical analysis and implementation", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 98, pp. 41-104,
North Holland, 1992.
[3]
LEMAITRE J., CHABOCHE J.L., Mécanique des milieux continus, Editions Dunod 1985
[4]
E. LORENTZ, Formulation numérique de la loi de comportement viscoplastique de Taheri,
Note interne E.D.F-D.E.R. HI-74/97/019/A [R5.03.05].

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