Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Conditions de liaison de corps solide
Date :
12/02/01
Auteur(s) :
J. PELLET
Clé :
R3.03.02-A
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.03 : Conditions aux limites et chargements
Document : R3.03.02

Conditions de liaison de corps solide
Résumé
On présente dans cette documentation une manière de modéliser des parties indéformables de structure, en
petits déplacements et rotations, grâce au mot clé LIAISON_SOLIDE de AFFE_CHAR_MECA.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Principe de l'utilisation du mot clé .......................................................................................................... 3
3 Quels sont les cas de figure traités ?..................................................................................................... 4
4 Traitement des cas 2DA et 3DA ............................................................................................................ 5
4.1 Cas 2DA .......................................................................................................................................... 5
4.2 Cas 3DA .......................................................................................................................................... 5
5 Traitement du cas 2DB .......................................................................................................................... 6
5.1 Cas général ..................................................................................................................................... 6
5.2 Cas particuliers................................................................................................................................ 6
6 Traitement du cas 3DB .......................................................................................................................... 7
6.1 Cas général ..................................................................................................................................... 7
6.1.1 Traitement des points A, B, C et détermination du vecteur rotation .................................... 7
6.1.2 Relations concernant un point M (A, B, C).......................................................................... 8
6.1.3 Résumé des équation à écrire ............................................................................................... 9
6.2 Cas particuliers................................................................................................................................ 9
7 Comment détecter les cas particuliers ?.............................................................................................. 11
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1 Introduction
Le mot clé LIAISON_SOLIDE des commandes AFFE_CHAR_MECA et (AFFE_CHAR_MECA_F) permet
de modéliser une partie indéformable d'une structure.
Le principe retenu est d'écrire des relations linéaires entre les ddls de la partie "solide" ; ces relations
exprimant le fait que les distances entre les noeuds sont invariables.
Remarque importante :
Les relations exprimant l'indéformabilité d'un solide ne sont en général pas linéaires. La
linéarisation du problème suppose que le problème peut être résolu en théorie des "petits
déplacements". Pour s'en convaincre, prenons l'exemple d'un segment AB en 2D :

B
A
L'indéformabilité de AB s'écrit :
([
2
2
2
2
x + dx
A
A ) - (x + dx
B
B )] + (
[ y +dy
A
A ) - (y + dy
B
B )] = (x - x
A
B ) + (y - y
A
B )
(
2
2
dx - dx
B
A ) + (
2 x - x
B
A )(dx - dx
B
A ) + (dy - dy
B
A ) + (
2 y - y
B
A )(dy - dy
B
A ) = 0
x , y ,x , y
A
A
B
B les coordonnées de A et B
en notant dx ,dy ,dx ,dy
A
A
B
B les déplacements de A et B
on voit que l'expression est quadratique en dx ,dx ,dy et dy
A
B
A
B . Pour pouvoir la linéariser,
il faut éliminer les termes quadratiques et pour cela, on est obligé de supposer que les
éléments dx
,dx ,dy et dy
A
B
A
B sont petits en regard de la longueur de AB.
Cette remarque veut dire que l'on ne peut pas utiliser ce mot clé lorsque la structure se déforme (ou
tourne) trop. Dans de telles situations, pour "rigidifier" une partie solide, on est obligé d'utiliser un
matériau "dur" (par rapport au reste de la structure).
2
Principe de l'utilisation du mot clé
Le mot clé LIAISON_SOLIDE est un mot clé facteur répétable à volonté. A chaque occurrence du mot
clé, l'utilisateur définit un "morceau de modèle" qu'il souhaite rigidifier.
De ce "morceau de modèle" défini par les mots clés GROUP_MA, GROUP_NO, MAILLE et NOEUD, on
déduit la liste des noeuds à rigidifier.
Une fois cette liste établie, on écrit les relations linéaires nécessaires pour exprimer que le "morceau
rigide" n'a plus que les degrés de liberté d'un solide (3 en 2D ou 6 en 3D).
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Quels sont les cas de figure traités ?
Selon les ddls portés par les noeuds de la liste des noeuds à rigidifier, on se place dans un des quatre
cas de figure suivants. Si on ne se retrouve pas dans l'un de ces cas de figure, le code s'arrête en
erreur fatale
Les cas 2DA et 2DB correspondent à des problèmes "plans" ou axisymétriques.
Les cas 3DA et 3DB correspondent à des problèmes 3D.
Cas 2DA :
Tous les noeuds de la liste des noeuds à rigidifier portent les ddls DX, DY (et éventuellement
DRZ) mais ils ne portent pas DRX, DRY et DZ et il existe au moins un noeud de la liste des
noeuds à rigidifier qui porte DRZ.
Cas 2DB :
Tous les noeuds de la liste des noeuds à rigidifier portent DX, DY mais ils ne portent pas DRX,
DRY et DZ.
Cas 3DA :
Tous les noeuds de la liste des noeuds à rigidifier portent DX, DY, DZ (et éventuellement DRX,
DRY,DRZ) et il existe un noeud de la liste des noeuds à rigidifier qui porte DRX, DRY, DRZ.
Cas 3DB :
Tous les noeuds de la liste des noeuds à rigidifier portent DX, DY, DZ et il n'existe pas de noeud
de la liste des noeuds à rigidifier portant à la fois DRX, DRY, DRZ.
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Traitement des cas 2DA et 3DA
Dans ces 2 cas de figure, on a pu trouver un noeud de la liste des noeuds à rigidifier qui portait tous
les degrés de liberté du solide. Soit A ce noeud.
en 2D : DX, DY, DRZ
en 3D : DX, DY, DZ, DRX, DRY, DRZ
Soit un noeud M de la liste des noeuds à rigidifier quelconque.
En théorie des petits déplacements, le mouvement d'un corps solide s'exprime par :
U est de déplacement de A
U
= U + AM
A
M
A

où le vecteur rotation du solide
4.1 Cas
2DA
On écrit les relations linéaires :

x
M A :DX( M) - DX( )
A + y DRZ( )
A = 0
avec AM =

y
DY(M)

- DY( )
A - x DRZ( )
A = 0
+ si M
por DRZ
te
: DRZ( M) - DRZ( )
A = 0
4.2 Cas
3DA
DX ( M) - DX( )
A - DRY( )
A .z + DRZ( )
A . y = 0
M A :DY(M)- DY( )A- DRZ( )A.x + DRX(A).z = 0
DZ(M)

- DZ( )
A - DRX ( )
A . y + DRY( )
A .x = 0
DRX( M) - DRX( )
A = 0

+ si M
por DRX
te , DRY, DRZ : DRY( M ) - DRY( )
A = 0
DRZ(M) - DRZ( )
A =

0
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Traitement du cas 2DB
5.1 Cas
général
A et B dans la liste des noeuds à rigidifier / d(A,B) 0
· détermination
de
:
nx
Soit n = AB k =
( k vecteur unitaire selon O
n
z ).
y
(U

- U
B
A ). AB = 0
U - U - k AB
B
A
(U -U

B
A ).n - (k AB).n = 0
· puisque
AB 0, on peut déterminer :
1
= (
DX B .n
DX A .n
DY B .n
DY B .n
k AB) (
( ) x -
( ) x + ( ) y - ( ) y )
.n
'
n
1
Soit =
x
(
; n'
n

k AB)
=
=
.n

'
ny
· équations à écrire :
-
(U -U ).AB
B
A
= 0
(1 équation pour les 2 points A
et B)
x
-
M (A,B) :
AM =
y
DX( M) - DX( )
A + y
'
'
'
'

(DX(B).n - DX
x
( A).n + DY
x
(B).n - DY
y
( )
A ny ) = 0
DY(M)- DY( )A- x
'
'
'
'


(DX(B).n - DX
x
( )
A .n + DY
x
(B).n - DY
y
( )
A ny ) = 0
5.2 Cas
particuliers
· liste des noeuds à rigidifier = { }
A il n'y a rien à écrire A larme,
· liste des noeuds à rigidifier = {Ai} où tous les Ai ont les mêmes coordonnées.
Soit Ao le premier noeud de la liste des noeuds à rigidifier
DX

(Ai)- DX(A0)= 0
A A
i
o il faut écrire DY


(Ai)- DY(A0)= 0
Remarque :
est indéterminé
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Traitement du cas 3DB
6.1 Cas
général
A,B,C dans la liste des noeuds à rigidifier tels que ABC soit un triangle de surface non nulle
6.1.1 Traitement des points A, B, C et détermination du vecteur rotation
B
b = AB ; c = AC ; m = AM
b
Soit n = b c

b'= bn ; c'= c n

A
c
C
M , UM - UA = M
éq 6.1-1
U

- U = b

·
B
A

pour les points B et C : U - U = c
C
A

U - U .n = .
b
B
A
'
éq 6.1-2
U - U .c = .
n
B
A
éq 6.1-3
U - U .b
B
A
= 0
éq 6.1-4
U - U .n = .
c
C
A
'
éq 6.1-5
U - U .b = - .
n
C
A
éq 6.1-6
U - U .c
C
A
= 0
éq 6.1-7
U - U .c + U - U .b
B
A
C
A
= 0
éq 6.1-8
Des 6 équations concernant les points B et C,
-
3 sont à écrire : [éq 6.1-4], [éq 6.1-7] et [éq 6.1-8] (elles ne font pas intervenir )
-
3 servent à déterminer :
.b'= (UB - U A).n




.c'= (UC - U A ).n éq
6.1-9


.n'=

(UB - U A).c
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6.1.2 Relations concernant un point M (A, B, C)

12
Soit U
le vecteur
ABCM
: (U A V
, A ,WA ,U B V
, B , ......., C
W ,U M V
, M ,WM )

R
le vecteur
3



(
x , y , z ) R
L'équation [éq 6.1-9] peut s'écrire : M . = M U
1
2
ABCM
b' b' b'
x
y
z
avec M = c'
c'
c'
x
y
z M est inversible car ABC est de surface non nulle
1
1


n
n
n
x
y
z
- nx - ny - n n n n 0 0 0 0 0 0

z
x
y
z

et
M2 = - nx - ny - n
0
0
0
n
n
n
0 0 0
z
x
y
z

- cx - cy - c c c c 0 0 0 0 0 0

z
x
y
z

= -
M M
1
U
1
2 .
ABCM
éq 6.1-10
L'équation [éq 6.1-1] U
- U - M
M
A
= 0 peut s'écrire :
M .U
M
4
ABCM +
3. = 0
éq 6.1-11
0
- M
M

z
y
avec
M = M
0

z
- M

M
3
x
= (M , M , M
x
y
z )
- M
M
0

y
x

- 1
1



et
M4 =
- 1
0
0
1




- 1
0
1
M .U
+ M M- M
1
.U
= 0 M .U
4
ABCM
3
1
2
ABCM
5
= 0
ABCM
M (A, B,C), il faut écrire les 3 équations correspondant aux 3 lignes de la matrice
M = M + M - M- M
1
5
4
3
1
2
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6.1.3 Résumé des équation à écrire
· calcul
de
b,c,n,b',c'
· calcul
de
M-1M
1
2
U - U b
B
A. = 0

· pour les points B et C : U - U .c
C
A
= 0
U - U .c + U - U b
B
A
C
A. = 0
·
M (A,B,C) :
- calcul
de
M = M + M M 1
- M
5
4
3
1
2
-
écriture des 3 équations correspondant à M
6.2 Cas
particuliers
· liste des noeuds à rigidifier = { }
A il n'y a rien à écrire A larme,
· liste des noeuds à rigidifier = {Ai} où tous les Ai ont les mêmes coordonnées.
Soit Ao le premier point de la liste des noeuds à rigidifier
DX(Ai)- DX(A0) = 0


A A DY(Ai)- DY(A0)
i
o
= 0

DZ

(Ai)- DZ(A0)= 0
est indéterminé, ce qui ne pose pas de problème.
· liste des noeuds à rigidifier = {Ai} où tous les Ai sont alignés (droite ).
Le solide {Ai} n'a plus alors que 5 mouvements de corps rigide possibles.
Il lui manque la rotation autour de .
Soit :
- deux
points
A et B /
AB 0
-
b = AB
-
n1 un vecteur non nul orthogonal à b (donc à )
-
n = bn
2
1
B
b
n1
A
n2
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· point B : U - U = b
B
A
(U - U ).b
B
A
= 0
éq 6.2-1
(U - U ).n1 = (n1).b
B
A
éq 6.2-2
(U - U ).n2 = (n2).b
B
A
éq 6.2-3
-
l'équation [éq 6.2-1] est à écrire
-
les équations [éq 6.2-2] et [éq 6.2-3] servent à calculer
La composante de sur b est indéterminée, on n'en tient pas compte :
= 1n1 + 2n2
(n1) = 2n1 n
2
soit k = n1n2.b
k 0

(



k 1 = - U B - U .n
A
2
n
2)
(
)
= 1n2 n
1





k 2 = -(U B - U A).n1
k =
k 1n1 +
k 2n2
a



Soit n
(
B ,
B
W ,U M V
, M ,WM )
1 = b
; n

2 =
;

U

ABM = U
V
,
,W ,U V
A
A
A
B ,
R9

c


k = M1 U ABM avec : M1 = [M ,
2 -M ,
2
]0

0
a
- b
a
- c
M2 =

b - a
0
b
- c


c
- a

c - b

0


M (A, B)
U M - U A - m
= 0
m = AM = (M , M , M
x
y
z )
M U
4
ABM + M3 = 0
0
- M
M
z
y
- 1 0
0
1





·
avec M3 = Mz
0
- Mx
M4 = 0 -

1
0
0
1

-

M
M
y
x
0

0
0
- 1


1
1
M U
5
ABM = 0
avec
M5 = M4 + M .M
k
3
1
pour chaque point M , il faut écrire les 3 équations correspondant aux 3 lignes de la matrice
M5 .
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· résumé des équations à écrire :
- calcul
de
b,n ,n ,
1
2 k
- calcul
de
M1
-
pour le point B : U - U b
B
A. = 0
-
M (A,B)
1
- calcul
de
M = M + M .M
5
4
3
1
k
-
écriture des 3 équations correspondant à M5
7
Comment détecter les cas particuliers ?
Dans les paragraphes [§6] et [§7], nous avons vu qu'il pouvait arriver des cas particuliers lorsque
certains noeuds étaient géométriquement confondus ou alignés sur une même droite.
Les critères numériques retenus pour détecter ces cas particuliers sont :
· 2 points A et B sont confondus si :
AB
-
10 6. DMIN
· 3 points A, B, C sont alignés si :
( AB AC

)1/2
-6
10 .DMIN
où : DMIN note la longueur de la plus petite arrête des mailles du maillage.
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