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Version
5.0
Titre :
Eléments de Fourier pour les structures axisymétriques
Date :
21/12/00
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
R3.06.04-A
Page :
1/12
Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.04

Eléments de Fourier pour les structures
axisymétriques

Résumé
Les éléments de Fourier sont destinés à calculer la réponse de structure à géométrie axisymétrique sollicitées
par des chargements non axisymétriques décomposés en séries de Fourier.
On expose dans ce document une théorie générale d'Analyse de Fourier avec couplage des modes symétriques
et antisymétriques dans le cas anisotrope. Le cas des matériaux isotropes, ou orthotropes d'axe Oz, où les
modes sont découplés, est étudié à part.
Les éléments de Fourier sont utilisables dans le Code_Aster à partir de la modélisation AXIS_FOURIER. Les
mailles supports de ces éléments sont des triangles et quadrangles de degré 1 et 2.
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1 Introduction
L'analyse de Fourier est destinée à calculer la réponse de structures à géométries axisymétriques
soumises à des chargements non axisymétriques. Dans ce cas, il est nécessaire de développer les
chargements en séries de Fourier. Généralement la convergence est atteinte pour 4 ou 5 harmoniques,
mais la rapidité de cette convergence dépend de la nature du chargement : plus le chargement est
régulier et plus la série correspondante converge rapidement. Le cas le plus défavorable est celui d'une
force concentrée pour laquelle la pratique montre qu'il faut aller au delà (au moins 7 harmoniques).
Dans le Code_Aster, la décomposition du chargement en séries de Fourier est supposée avoir été faite
au préalable par l'utilisateur. Le Code_Aster permet de calculer les réponses à ce chargement,
harmonique par harmonique (modélisation AXIS_FOURIER), et globalement après recombinaison des
harmoniques entre elles (opérateurs COMB_CHAM_NO et COMB_CHAM_ELEM).
On exposera dans un premier chapitre le cadre général de l'anisotropie, en insistant sur le découplage
des modes dans le cas orthotrope. Le deuxième chapitre explicite le calcul de la matrice de rigidité
dans le cas isotrope.
Pour l'utilisation des éléments de Fourier dans le Code_Aster, on renvoie à la notice d'utilisation de la
modélisation Fourier [U1.01.07].
2
Analyse de Fourier anisotrope
2.1 Théorie
générale
Tous les champs considérés (forces, déplacements, déformations, contraintes) sont exprimés en
coordonnées cylindriques avec la convention suivante sur l'ordre des composantes :
1 composante radiale suivant r
2 composante axiale suivant z
3 composante tangentielle suivant
Exemple : (ur, uz, u), (fr, fz, f)
z
r

uz
M
u
u

r
Le maillage est localisé dans le plan (r, z), la symétrie de révolution se faisant autour de l'axe Oz. Le
trièdre (r, z, ) est orienté dans le sens direct.
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z
rez
r

er
C
On décompose le déplacement u (ou le chargement f ) suivant u = us + ua
us

(resp. ua )
désigne la partie symétrique (resp. antisymétrique) du développement en série de Fourier de u par
rapport à la variable .
On obtient :


us = us
r
l (r, z)cosl

l=0




us =
v s
s
z
l (r,z)cosl partie symétrique u
l=0



us =
ws ,
sin
l (r z)(- l )
l=0



ua = ua
r
l (r, z)sin l
l=0




ua = va
a
z
l (r, z)sin l partie antisymétriqu u
e
l=0



ua = wa , cos
l (r z)
l
l=0

A noter le choix du signe ­ pour us , qui permet de simplifier les calculs ultérieurs. Si on note
Us = ( s s s
a
l
u , lv , l
w ) (resp.U
l
l ) la l - ième composante symétrique (resp. antisymétrique) du
développement en série de Fourier de u , on obtient :

cosl
0

sinl
0






s
a
u =

cosl
Ul +
sin l
Ul
éq 2.1-1
l=0

0
- sinl

0
cosl



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Si l'on désigne par le vecteur déformation linéarisé, on s'aperçoit que peut être décomposé en
série de Fourier suivant :
cosl I
0

sinl
4
4 2
I
0

=
,


4
4,
s
2
a
l +

éq 2.1-2
0
- sinl
2 4
I
0
cosl
2
2 4
I
l
l=
,
,
2
0

avec = {r ,z, ,rz,r , z}
s
s
s
a
a
a
l =
l
B Ul
l = l
B Ul
avec (voir [bib1]) :



0
0
r




0
0
z



1
l

0
-



Bs
r
r
l =



0
z r


l

1
0
-
r
r r

l

0


r
z

On a Ba
Bs
=
l
l
l
(ceci est dû au choix du développement symétrique de u en (cos, cos, ­sin) au lieu
de (cos, cos, sin)). On omettra à partir de maintenant les indices a et s et on notera Bl l'opérateur
permettant de calculer les déformations correspondant à l'harmonique l .
2.2
Couplage et découplage des modes symétriques et antisymétriques
En reprenant les notations précédentes, on a :
cosl I
0

sin
2
2,
l
1
I2
02,1
u =
us +
ua
0
- sinl
l
1 2

0
cos
l
,
,
l
1 2

l
l

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ce qui s'écrit, en introduisant des matrices M s et M a
l
l :
u = (M sUs
a
a
l
l + M U
l
l )
l
u
s
s
a
a
l = M U
l
l + M U
l
l
On en déduit que :
s s
a a
l = M 'l l + M 'l l
cosl I4
04,2

avec
M s'l =

02 4
- sinl I
,
2
sinl I4
04 2
M a
'
,
l =

0
cosl
2 4
I
,
2
Calcul de l'énergie de déformation
2
W
t
=
D dsd
avec ds = rdrdz
l
l l
0 s
2
2
= d
t s t
M s' DM s s
' ds + d
t a t
M a' DM a a
' ds
l
l
l l
l
l
l
l
0
s
0
s
2
2
+ d
t a t
M a' DM s s
' ds + d
t s t
M s' DM a a
' ds
l
l
l l
l
l
l
l
0
s
0
s
sinl I4
0
D
D
1
3 cosl I4
0

Puisque M a
' DM s
l
'l =
t



0
cosl I2 D
D
3
2
0
- sinl I2

2
a
s
D sin l cosl
1

- D3(sinl)
M ' DM
l
'l =


t D
2
3 (cos l )
- D sinl cosl
2

2
et que
sin l cosl d =
, si D

=

0
0
t a
s
t s
a
3
il n'y a donc pas de terme ( l , l ) ou ( l , l ) dans W .
0
Il n'y a alors pas de couplage (U a U s) ou (U s U a
,
,
).
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2.3
Calcul des contraintes
De même que , peut être décomposé en séries de Fourier suivant :
= (M s' s
a
a
l + M
l
'l l )
l
De la loi de Hooke = D , on déduit :

l D1 -
l D3
sinl D
cosl
1
D3
= cos
sin

s
a
t
l +
t

cosl D3 - sinl D2
sinl D
cosl
3
D2 l
l
Soit, en faisant apparaître les matrices M s et M a
'l
'l :

D1 04,2
0
D
4,4
3

= M s
s
a
'l


l +
t
l
0
0
l


D
2,4
2
- D3
2,2




04,4 - D3
D1 04,2

+ M a'
s
a
l
t

l +
l

D3
02,2
0
D
2,4
2



D
0
0
D
1
4,2
4,4
3
En posant Ds
et Da =
, on en déduit les parties symétrique et
0
D
- Dt
2,4
2
3
02,2
antisymétrique de la contrainte relative à l'harmonique l :

s
s s
a a
s
s
a
a
l = D l + D l = D
l
B ul + D l
B ul

éq 2.3-1

a
a s
s a
a
s
s
a
l = - D l + D l = - D
l
B ul + D l
B ul
Remarque :
Dans le cas de l'orthotropie par rapport à Oz, on a Da = 0 et [éq 2.1-1] se réduit à :

s
s
s
l = D
l
B ul


a
s
a
l = D
l
B ul
C'est-à-dire que si les déplacements sont symétriques (ou antisymétriques), les contraintes le sont
aussi.

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3
Calcul de la matrice de rigidité
3.1 Cas
général
Soient u et deux champs cinématiquement admissibles quelconques. En appliquant le principe des
travaux virtuels à l'élément de volume v , on peut écrire :
(t.)dv = (t u
. f ) dv
v
v
Après décomposition en série de Fourier et intégration par rapport à , on obtient, pour des champs
s a s a
l ,l , l
u , l
u C.A. quelconques et pour toute harmonique l :
(t s s t a a
t
s
s t
a
a
l
.l + l .l ) l
ds = ( lu . fl + lu . fl ) l
ds
s
s
l
l
Soit, en utilisant [éq 2.3-1] et en posant :
K s
t
=
B Ds B ds
l
l
l
l
sl
K a
t
=
B Ds B ds = K s = K
l
l
l
l
l
l
sl
K as
t
=
B Da B ds
l
l
l
l
sl
On obtient le système d'équations suivant :

K us + Kas ua = f s
l l
l
l
l

éq 3-1
t Kasus


+ K ua = f a
l
l
l l
l
t
as
as
Kl = -Kl on voit que si Da 0, le découplage des modes en harmoniques symétriques et
antisymétriques n'est plus possible. Par contre, si Da = 0 (orthotropie par rapport à Oz) alors
Kas
l
= 0 et [éq 3-1] se réduit à :

K us = f s
l
l
l
K ua = f a

l l
l
En prenant pour vecteurs déplacement (resp. force) correspondant à l'harmonique l les vecteurs :
u
s
s
s
a
a
a
l = { r
u , z
u ,u ,
r
u , z
u ,u }l
f
s
s
s
a
a
a
l = { fr , fz , f , f

r , f z , f }l
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On a alors :
as


g
g
K
K
K u = f
avec K
l
l


l
l
l
l = t
Kas
K
l
l
3.2 Calcul
de
K gl dans le cas isotrope
Dans ce cas on a donc K as
t
s
l
= 0 . On détaille dans la suite le calcul de K =
B D B ds
l

s
l
l
l
l
Dans la cas isotrope, on a :
D1 D2 D2
0

D2 D1 D


2
0


0
D2 D2 D1
0

D Ds
=
=

0
0
0
D

3

D

3
0

0
0
D



3
E(1- )
avec
D1 = (1+)(1- 2)
E
D2 = (1+)(1- 2)
E
D3 = (21+)
On peut écrire :

r



z
s


u


r
t



s
'
ur uz
u
ur uz
u
ur uz
u


= l
B u
z = l
B
,
,
,
,
,
,
,
,

rz
r r r r r r z z z




s

u




r





z
fcts de forme
dérivées des fcts de forme
0
0
0
1 0
0
0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 1 0


1
0
- l 0 0 0 0 0 0
avec B' l =

0
0
0
0 1
0
1 0
0


l
0
-1 0 0 1 0 0 0


0
l
0
0 0
0
0 0
1


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En désignant par {WJ }
les fonctions de forme de l'élément considéré, on a :
J =1 à n
ur
noeud J



r
W
"#$
J


!

0
0
!
u
r
z

W
r

J



!
0
0

!
u
r

W

J
r
!

0
0


r
!




u



r
W


J




0
0
r


!

r

!

u
r (J)


u

W

J


U
z
=
= !

0
0
!uz (J)


r
r


W




u
J

u ( J)


0
0





!

r
!



r



W
J


u

0
0

r
!

z
!

z

W



J



u

!
0
0
!
z


z

z

WJ


!
0
0


u
%&'
!
z

bloc P





J
z

On note ( P) = (P
P
1,
,
! N ) où N est le nombre de noeuds de l'élément.
Alors K
t
=
Pt B D B P ds
l

'
'
l
l
l
sl
I ,J
Kl est symétrique et formée de blocs (Kl ) 3× 3 :
( I,J
K )
t P t '
'
= I B D B P ds
l
l
l
J
l
sl
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I ,J
Le calcul des blocs (Kl ) est explicité ci-dessous :
D1+12 D3
0
- l(D1+ D )
3
D2
0
lD3
0
D2
0


0
l2 D3
0
0
0
0
0
0
lD

3
- l(D1+ D )3
0
l 2 D1+ D3
- lD2
0
- D3 0
- lD2
0



D2
0
- lD2
D1
0
0
0
D2
0
tB' D B'


l
l =
0
0
0
0
D3
0
D3
0
0



lD3
0
- D3
0
0
D3
0
0
0

0
0
0
0
D3
0
D3
0
0



D2
0
- lD2
D2
0
0
0
D1
0


0
lD3
0
0
0
0
0
0
D

3
I,J
I ,J
I ,J
K
K
K

I , J
11
12
13
'
'
I ,J
I ,J
I ,J
t
t
l
I
P
l
B D l
B
J
P = (Kij )
=
avec
3 ×
K
K
K
21
22
23
3 I,J
I ,J
I ,J
K
K
K
31
32
33


2
I ,J
D1 + l D3
W

W
W W

D2
W

W
J
I
K11 =

I
J
I
J +
WI
+ W
2
I
W
J
W + D1
+ D3


r

r

r
z z
r
r
J

r

2
I,J
l D3
W W

W W
K22 =
W W
I
J
I
J

2
I
J + D3
+ D1
r
r

r

z
z



2
I ,J
l D1 + D3
W W

W

W
I
J
I J
D3
W
W
J
I

K33 =
W W
2
I
J + D3
+
W
W


r


r r
z

z -
I
+
r
r
r
J




W

W

W

W
I ,J
D2
W

K
= D
I
J
2
+ D
I
J
3
+
W
J
12

r z
z r
r
I
z


W

W
W

W
I ,J
D2
W
K
= D
I
J
3
+ D
I
J
2
+
W
I
21
r
z

z r
r
J z

I,J
l
l
W
l
W

K
13 = -
(D1+ D )
3 W W - D2W
I + D W
J
3
r 2
I
J
r
J
r

r
I
r


I,J
l
l
W
l
J
W
K
I
31 = -
(D1+ D )
3 W W - D2W
+ D W

3
r 2
I
J
r
I
r
r
J r

I,J
l
W
l
I
W
K23 = - D2
W + D W
J

3
r
z
J
r
I
z
I,J
l
W
l
J
W
K32 = - D2W
+ D
I
3
W

r
I
z
r
z
J



Les blocs K I ,J ne sont pas symétriques sauf pour I = J (sur la diagonale de K ). On remarque en
fait que les blocs K I ,J peuvent s'écrire pour tout harmonique ( l = 0 compris).
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D3
K I,J = K I,J
0
+ l2
W W
11
11
r2
I
J

D3
KI,J = K I,J
0
+ l2
W W
22
22

r2
I
J

D1
KI,J = K I,J
0
+ l2
W W
33
33

r2 I J
KI,J

= K I,J
12
12
0

K I,J = K I,J
21
021
KI,J

= -l K I,J
13
13
0
KI,J = -l K I,J
31
031
KI,J = -l K I,J
23
023

KI,J = -l K I,J
32
032




où les blocs K I J
0 , sont indépendants de l'harmonique l .
4 Chargements
On suppose que le chargement a été décomposé suivant la même base que les déplacements, soit :

cosl
0

sinl
0






s
a
f =

cosl
Fl +
sin l
Fl
l=0

0
- sinl

0
cosl



Il n'y a pas couplage pour une même harmonique entre les parties symétrique et antisymétrique du
chargement du fait de l'orthogonalité des fonctions trigonométriques sin l et cosl , ceci pour tous
les types de chargement. Ceci veut dire en particulier que les forces nodales équivalentes sont les
mêmes pour les harmoniques symétrique et antisymétrique si les amplitudes F s et F a
l
l sont les
mêmes.
Pour la nature des chargements admissibles avec la modélisation Fourier, on renvoie à la notice
d'utilisation [U1.01.07].
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Eléments de Fourier pour les structures axisymétriques
Date :
21/12/00
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
R3.06.04-A
Page :
12/12
5
Conclusion et Perspectives
Actuellement, on suppose que la décomposition du chargement a été faite au préalable par l'utilisateur,
c'est-à-dire que {F s, Fa
l
l }
est connu. Cette décomposition pourrait être réalisée par un opérateur
l0
du Code_Aster qui projetterait le chargement sur les modes de Fourier.
Pour l'instant, seul le cas non anisotrope est implanté, c'est-à-dire qu'il n'y a jamais couplage des
modes. L'extension à l'anisotropie peut constituer un développement ultérieur.
6 Bibliographie
[1]
DUVAUT G. : "Mécanique des milieux continus" p282
[2]
ASKA HS. : "Structures axisymétriques en séries de Fourier", mai 1982, ISD
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HI-75/00/006/A

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