Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 1/18

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, TESE, EDF-Pôle Industrie/CNPE du Tricastin
















Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
Document : R5.06.04



Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur
DYNA_TRAN_MODAL





Résumé

Ce document décrit les schémas d'intégration temporelle qui sont utilisés pour résoudre dans l'espace des
modes des problèmes de dynamique transitoire en mécanique linéaire, avec, pour certains schémas, la prise
en compte possible de non linéarités localisées de type chocs, frottements ou lame fluide, et l'utilisation
possible de la sous-structuration. Les schémas de NEWMARK, EULER, DEVOGELAERE, et un schéma à pas de
temps adaptatif, ADAPT, sont présentés.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 2/18


Table
des
matières

1 Introduction.............................................................................................................................................3
2 Méthode d'intégration temporelle d'un problème dynamique ................................................................3
2.1 Introduction ......................................................................................................................................3
2.2 Méthodes d'intégration implicite ......................................................................................................5
2.2.1 Introduction .............................................................................................................................5
2.2.2 La méthode de NEWMARK [bib1] ..........................................................................................5
2.2.2.1 Présentation du schéma.............................................................................................5
2.2.2.2 Algorithme complet de la méthode de NEWMARK....................................................6
2.2.2.3 Conditions de stabilité du schéma de NEWMARK ....................................................6
2.2.2.4 Emploi.........................................................................................................................7
2.2.2.5 Amortissement numérique des schémas implicites ...................................................7
2.3 Méthodes d'intégrations explicite ....................................................................................................7
2.3.1 Introduction .............................................................................................................................7
2.3.2 Schéma explicite d'Euler modifié d'ordre 1 ............................................................................7
2.3.2.1 Présentation ...............................................................................................................7
2.3.2.2 Ordre et stabilité du schéma ......................................................................................8
2.3.3 Méthode de Devogelaere-Fu..................................................................................................9
2.3.3.1 présentation................................................................................................................9
2.3.3.2 Ordre et stabilité du schéma ......................................................................................9
2.3.3.3 Emploi.......................................................................................................................10
2.3.4 Schéma d'intégration à pas de temps adaptatif ...................................................................10
2.3.4.1 Introduction : intérêt d'un pas de temps adaptatif ....................................................10
2.3.4.2 Schéma des différences centrées à pas constant ...................................................10
2.3.4.3 Adaptation du schéma au pas de temps variable ....................................................11
2.3.4.4 Stabilité et précision du schéma ..............................................................................12
2.3.4.5 Critères d'adaptation du pas de temps ....................................................................13
2.3.4.6 Algorithme du schéma des différences centrées à pas adaptatif ............................15
2.3.4.7 Commentaires sur les paramètres de l'algorithme ..................................................16
2.3.4.8 performance de l'algorithme.....................................................................................17
3 Conclusion............................................................................................................................................17
4 Bibliographie.........................................................................................................................................18
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 3/18


1 Introduction

Le but de l'analyse dynamique transitoire est de déterminer en fonction du temps la réponse d'une
structure, étant donné un chargement extérieur ou des conditions aux limites fonctions du temps, dans
des cas où les effets d'inertie ne peuvent être négligés.

Dans un certain nombre de configurations physiques, on ne peut se contenter d'une analyse modale
ou harmonique et l'on doit réaliser une analyse transitoire. C'est notamment le cas si :

· l'histoire du phénomène a une importance dans l'étude,
· si le chargement extérieur est complexe (séisme, excitations multi-composantes, etc ...),
· si le système est non linéaire (plasticité, chocs, frottements, etc ...).

Les méthodes d'analyse transitoire qui peuvent être alors utilisées se divisent en deux grandes
catégories :

· les méthodes dites d'intégration directe,
· les méthodes de Ritz, qui comprennent entre autres la recombinaison de projections
modales.

Les méthodes d'intégration directe sont dénommées ainsi car aucune transformation n'est effectuée
sur le système dynamique après la discrétisation par éléments finis. Elles sont présentées dans le
document [R5.05.02], algorithmes d'intégration directe de l'opérateur DYNA_LINE_TRAN.
Les méthodes de Ritz, en revanche, procèdent à une transformation du système dynamique initial, par
une projection sur un sous-espace de l'espace de discrétisation départ. La résolution se fait alors sur
un système modifié, qui, s'il est réduit, ne permet d'accéder qu'à une approximation de la réponse du
système réel.

Des algorithmes d'intégration temporelle sur un système en coordonnées généralisées sont utilisés
pour résoudre les problèmes dynamiques en mécanique pour des structures linéaires, avec prise en
compte éventuelle des non linéarités localisées telles les chocs, les frottements ou les lames fluides.
Certains algorithmes permettent en outre la sous-structuration.
Ces algorithmes sont programmés dans l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL du Code_Aster [U4.53.21].


2
Méthode d'intégration temporelle d'un problème dynamique

2.1 Introduction

On suppose que les équations régissant l'équilibre dynamique des solides ont été discrétisées par
éléments finis. On obtient un système discret d'équations qu'il s'agit d'intégrer dans le temps. Pour
cela on choisit une discrétisation {t , i N de l'intervalle de temps de l'étude [0,T] et on écrit
i
}
l'équilibre de la structure aux instants t .
i

De façon générale ces équations prennent la forme suivante :

M X
& + CX +
=
t +

t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t )

·
M X
& + CX +
=
t +
t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t ) est la matrice de masse du système,
·
M X
& + CX +
=
t +
t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t ) est la matrice de rigidité du système,
·
M X
& + CX +
=
t +
t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t ) est la matrice d'amortissement du
système,
·
M X
& + CX +
=
t +
est le vecteur des forces extérieures,
t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t )
·
M X
& + CX +
=
t +
est le vecteur des forces non linéaires.
t
&
K X
R
t
t
ext ( )
R nl (X ,X
t
& ,X
t & t )
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 4/18


La matrice d'amortissement C est en général difficile à évaluer car l'amortissement est souvent
fonction de la fréquence. Il est toutefois fréquent de simplifier la prise en compte de l'amortissement en
employant le modèle d'amortissement proportionnel, ou modèle de Rayleigh : .

Les méthodes de réduction de Rayleigh-Ritz sont présentées dans le document [R5.06.01], Méthodes
de Ritz en dynamique linéaire et non linéaire.
Dans le cas où le terme R (X , X& , X
& n'est pas nul, la technique des pseudo-forces consiste à
nl
t
t
t )
projeter sur la base du système linéaire et à maintenir les forces non linéaires au second membre. La
technique des pseudo-forces est toujours associée à un schéma d'intégration explicite. De ce fait la
prise en compte des non linéarités n'est disponible que pour des schémas explicites. L'ajout des non
linéarités ne modifie pas la forme des équations.
Dans la méthode de Ritz, le champ de déplacement X est remplacé par sa projection sur la base
t
modale telle que X = où est le vecteur des coordonnées généralisées et est la base
t
t
t
modale, le plus souvent réduite.
Le système dynamique projeté prend la forme suivante :

tM
t
t
t
t
& + C & + K
= R
t + R
,
avec
p

t
t t ext ( ) nl (t & ,t&t& )
t

Lorsque l'hypothèse de Basile ne s'applique pas (amortissement non proportionnel), la matrice
d'amortissement projetée n'est pas diagonale. L'intégration du système couplé se fait alors
obligatoirement avec l'un des trois schémas suivants : le schéma implicite NEWMARK, le schéma
explicite EULER ou le schéma explicite ADAPT.

L'équation obtenue en est de la même forme que l'équation en X . De ce fait, dans la suite du
t
t
document, on utilisera la notation X aussi bien pour le déplacement en coordonnées généralisées
t
que pour le déplacement dans l'espace physique. Dans le cas de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL, il
s'agit de coordonnées généralisées.

Deux classes de méthode peuvent être distinguées dans l'intégration pas à pas des équations
d'équilibre, les méthodes d'intégration explicite et les méthodes d'intégration implicite.

Soit le système dynamique linéaire suivant à intégrer dans le temps :

M X
& + CX +
=
t
t
&
K X
R
t
t
ext ( )

Ce système différentiel du second ordre peut être ramené à un système du premier ordre :

N U& = H U + F
t
t
t
X
I 0
0
I
0
t
U =

=
, H =
, F =

t
X& , N 0 M
- K - C
t
R
t
t

Pour intégrer cette équation différentielle, on utilise une discrétisation {t , i N , ainsi qu'une
i
}
formule de différences finies pour exprimer la dérivée U
& .
t
On appellera méthodes d'intégration explicite les méthodes où seule la dérivée U
& fait intervenir des
t
inconnues au temps t
. De cette façon la détermination des grandeurs cherchées à l'instant t
ne
i 1
+
i 1
+
résulte pas d'une inversion de système faisant intervenir l'opérateur H . Si de plus, on réalise un
« mass-lumping » de façon à rendre la matrice M diagonale, la détermination de est
particulièrement simple. Ce sont là les principales caractéristiques des méthodes d'intégration
explicite.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 5/18


Les méthodes implicites ou semi-implicites font intervenir la discrétisation de U à un instant
t
postérieur à t , généralement t
. La détermination des variables passe donc par la résolution d'un
i
i 1
+
système faisant intervenir l'opérateur H .

Deux notions sont importantes : la consistance, ou l'ordre du schéma d'intégration, et la stabilité.

Les approximations utilisées pour obtenir les opérateurs différentiels définissent la consistance, ou
l'ordre du schéma d'intégration. On peut en effet considérer que l'approximation avec laquelle on
obtient le déplacement à chaque pas de temps est liée à l'ordre d'approximation des dérivées
premières et secondes par rapport au temps.

L'étude de stabilité d'un schéma consiste à analyser la propagation des perturbations numériques au
cours du temps. Un schéma stable conserve une solution finie, malgré les perturbations, alors qu'un
schéma instable conduit à une explosion numérique ou divergence de la solution.

Pour réaliser une étude de stabilité d'un schéma d'intégration, on met ce dernier sous la forme d'un
système récursif linéaire et on détermine les caractéristiques propres de ce système. Si toutes les
valeurs propres de l'opérateur de récursivité sont plus petites que 1 en module, le schéma est stable.
Sinon il est instable.
Les schémas d'intégration explicite sont généralement conditionnellement stables, ce qui signifie que
le pas de temps doit être suffisamment petit pour assurer la stabilité de l'intégration temporelle.
Certains algorithmes implicites ont la propriété d'être inconditionnellement stables, ce qui fait leur
intérêt et permet d'utiliser un pas de temps arbitrairement grand.

Les schémas retenus pour l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL sont un schéma implicite, NEWMARK, et
trois schémas explicites, EULER, DEVOGELAERE et ADAPT (à pas de temps adaptatif). Le choix se fait
par le mot clef METHODE : `EULER', `DEVOGE', `NEWMARK', ou `ADAPT'.

2.2
Méthodes d'intégration implicite

2.2.1 Introduction

Les méthodes implicites font intervenir la résolution d'un système matriciel avec l'opérateur
précédemment défini. Si les solides sont supposés élastiques linéaires, cela se traduit par la résolution
d'un système linéaire à chaque pas de temps.
L'avantage de ces méthodes est leur stabilité inconditionnelle, qui leur permet d'intégrer les équations
de la dynamique avec un pas de temps relativement important tout en représentant correctement le
comportement des modes les plus bas en fréquence de la structure.
Un version implicite de la méthode de NEWMARK, qui a été programmée dans DYNA_TRAN_MODAL pour
les problèmes linéaires.

2.2.2 La méthode de NEWMARK [bib1]

2.2.2.1 Présentation du schéma

NEWMARK a introduit deux paramètres et pour le calcul des positions et vitesses au pas
t + t
:

&X


= X +
&
t
.
+
[(1-).&X + .&X
t
t
t
t
t+ t
]
2

1


X = X + t
.X& + t


-
.

X

. & .X
t+ t
t
t
t
& t+ t



2


+




Considérons les équations d'équilibre au temps t + t
:

M.X
&

+ C.X
t+ t
& +

K.X =

R
t + t
t+ t
t +t
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 6/18


Reportons les relations précédentes en éliminant &
Xt t
+ et &Xt
t
+ , il vient :

~
~
~
K . X

R où : K
K
.M
.C
t
t
a
a
+
=
=
+ 0
+ 1
~
R = R

t+ t
+ C.{a .X
1
t + a .
4 &
X
t + a .
5 &Xt } + M .(a . X
0
t + a .
2 &
X
t + a .
3 &Xt )

1

1
1
a =
=
=
=
- 1
0
(
a
a
a
. t2
)
1
(. t
)
2
(. t
)
3
2
avec :

t

a =
a =
=

a
t
. 1-
=

.
4
5
6
(
) a
t
7
- 1


2.
- 2







2.2.2.2 Algorithme complet de la méthode de NEWMARK

a) initialisation
1) conditions
initiales
X , X
0
& 0 et &X0
2) choix
de
t et , et calcul des coefficients a1,... a8 (cf ci-dessus)
3) assembler les matrices de raideur K , de masse M et d'amortissement C
~
4) former la matrice de rigidité effective K = K + a .M
0
+ a .C
1

~
5) factoriser
K

b) à chaque pas de temps
~
1) calculer le chargement effectif R :
~
R = Rt+ t + M.(a .X
0
t + a .
2 &
Xt + a .
3 &Xt ) + C.{a . X
1
t + a .
4 &
Xt + a .
5 &Xt }
~
~
2) résoudre
K .
X

t+t = R

3) calculer les vitesses et accélérations au temps t + t

&X =

a .
t+ t
0 (X -

X
-

t+ t
t )
a .
2 &
X - a .
t
3 &Xt
&X


=
t+ t
&X + a .
t
6 &X + a .
t
7 &Xt+ t


4) calcul du pas de temps suivant : retour en b)1)


2.2.2.3 Conditions de stabilité du schéma de NEWMARK

La méthode de NEWMARK utilisée de façon assez répandue dans le domaine de la mécanique, car il
permet de choisir l'ordre de l'intégration, d'introduire ou non de l'amortissement numérique, et possède
une très bonne précision.
(
2 + )
1 2
Il est inconditionnellement stable si : > .
0 5 et >

4
On introduit un amortissement numérique positif si > 12 et négatif si < 12 .
Lorsque = 12 et = 0 , la formule de NEWMARK se réduit au schéma des différences
centrées. C'est donc alors un schéma explicite.
Une combinaison très souvent employée est = 12 et = 14 , car elle conduit à un schéma
d'ordre 2, inconditionnellement stable sans amortissement numérique. C'est le choix qui a été fait dans
l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL. Le schéma de Newmark de cet opérateur est donc implicite.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 7/18


2.2.2.4 Emploi

Dans DYNA_TRAN_MODAL, ce schéma ne permet l'intégration que de problèmes linéaires. Dans le
cadre de la sous-structuration dynamique, il permet d'employer une base modale calculée par sous-
structuration mais il ne supporte pas le calcul direct sur les bases modales des sous-structures.

2.2.2.5 Amortissement
numérique des schémas implicites

L'avantage numérique des schémas d'intégration implicite directs réside dans le fait que le pas de
temps peut être substantiellement grand par rapport à la plus petite période propre du système sans
risquer de causer une instabilité des résultats.

Pour des modes de période propre de l'ordre du pas de temps ou inférieure au pas de temps, les
algorithmes d'intégration introduisent un fort amortissement qui contribue à effacer la contribution de
des modes élevés (cf [R5.05.02]).
Il n'y pas d'amortissement numérique dans le cas particulier de l'algorithme de NEWMARK avec = 14
et = 12 .
En revanche, les algorithmes implicites on un effet sensible d'allongement des périodes de la réponse
de la structure.
On constate que pour garantir une bonne précision sur l'amplitude et la phase des déplacements
calculés, il faut respecter un critère voisin de :

1
1
t < (
à

10 * F
100
max )
( *Fmax)

F
est la plus haute fréquence du mouvement que l'on souhaite capturer.
max


2.3
Méthodes d'intégrations explicite

2.3.1 Introduction

Trois méthodes d'intégration explicite sont présentées : un schéma d'Euler modifié d'ordre 1, un
schéma de Devogelaere-Fu d'ordre 4 et un schéma à pas de temps adaptatif ADAPT. Ces trois
méthodes sont disponibles dans l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL. Les schémas sont présentés en ne
considérant que des forces linéaires. Cependant la prise en compte des forces non linéaires s'en
déduit facilement avec la technique des pseudo-forces.

2.3.2 Schéma explicite d'Euler modifié d'ordre 1

2.3.2.1 Présentation

Ce schéma est communément appelé « Euler modifié » car il s'agit d'une variante très simple mais
conditionnellement stable du schéma d'Euler d'ordre 1, qui est, lui, instable. C'est donc un schéma
souvent employé en explicite pour la mécanique. Dans Code_Aster, il est tout simplement appelé
EULER.
Ce schéma fut utilisé dans le module TRANSIS de POUX [bib3], code éléments finis de poutre, et
dans le code CADYRO [bib4] pour le calcul des lignes d'arbre en rotation.
Le schéma utilise le formule d'Euler d'ordre 1 pour estimer la dérivée en temps, avec une formule
d'Euler avant pour la vitesse et une formule d'Euler arrière pour le déplacement, comme suit :

&X
1


1
&X
t M -
=
+
-
-
+
+
(R K X C &X o t
n
n
n
n )
( )
X
&

1 = X
+ t X 1 + o t
n+
n
n+
( )
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 8/18


l'algorithme est donc le suivant :

a) initialisation : X , X
& donnés
0
0
b) à chaque pas de temps :
&X
1


1
&X
t M -
=
+
-
-
+
(R K X C &X
n
n
n
n )
X
&

1 = X
+ t X
n+
n
n+1


2.3.2.2 Ordre et stabilité du schéma

les approximations utilisées dans l'obtention de ce schéma sont d'ordre 1. On peut donc considérer
que l'approximation avec laquelle on obtient le déplacement à chaque pas de temps est d'ordre 1. Il
s'agit de la consistance du schéma.

Si l'on met le schéma d'intégration sous forme récursive en éliminant les termes de vitesse, on obtient
la relation de récurrence suivante (sans force extérieure, ni amortissement) :
X
1
2

2
0
1 + (M - K
t -
+
1 =
+
)X X
n
n
n-

Les valeur propres de ce schéma sont pour un système à un degré de liberté :
- -1
2
t ±
-1
2
i
t ( - -
2
4
1
2
M K
M K
M K t )

2
=
si t <
.
2
-1
M K
Le module des valeurs propres vaut 1. On se rend compte que l'on est dans une situation limite
mais favorable. Il n'y aura pas augmentation incontrôlée de l'erreur. Sans amortissement, on est juste
à la borne de stabilité. Ce peut être un atout pour le schéma : il n'introduit pas de dissipation
numérique.

2
Si t >
-
on peut montrer qu'une des deux valeurs propres a un module plus grand que l'unité
1
M K
et donc que le schéma est instable.
2
Le critère de stabilité du schéma EULER est donc t <
-
.
1
M K
Cette étude peut être étendue à un système à nombre fini de degrés de liberté. Dans ce cas, le critère
de stabilité devient :
2
t < .
max

L `analyse peut être affinée en considérant un système avec amortissement [bib13].
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 9/18


2.3.3 Méthode de Devogelaere-Fu

2.3.3.1 Présentation

Pour présenter l'algorithme de Devogelaere-Fu, abrégé en DEVOGE dans Code_Aster, on met le
problème dynamique sous la forme :

M X
& + CX =
t
où la matrice C est supposée diagonale.
t
& t
(
G , Xt )

Les déplacements et les vitesses sont calculés comme suit :

a) initialisation

2
t
t
X
X
X
1
1
1
&
4
t ,
t ,
&

1
0
0
( M- G( X
0
0 )
M-
(
G
X
0
0 )
M -
=
-
+
-
-
CX0 )
-
2
8
2




&
-
-
X
1
1
1
1
4 4
t
4
t
t
t
t

1 =
( I- M- )C

( I +
M -
)C &X0 - G ,X


1
1 +
(
G
, X
0
0 )

-
-
-
2

2
2


b) à chaque pas de temps

t

t 2





X
1
1
1
&
4
,
,
4 &
&

1 = X
+
X +
M-
t
-
-
t
-



n
n

(
G
X
n
n )
M G
X
M C
X
X
1
1 -
-

n
1
n+
2
24
n-
n-
n-
2

2
2

2





&
-
t

X
1
1
1
4 4


1
( I tM- )C &X
G t
t
-
=
+
+
+


n

( , X
n
n )
G
, X
M C
1
1
&X

-
n
n+
4
n+
n+
2


2
2

t

t 2





X
1
1
1
&
4
,
2
,
&
2 &

1 = X
+
X +
M-
-
-
+




+

(
G t X )
M G t
X
M C X
X
n
n
n
n
n
1
1 -
+
n
1
2
6
n-
n-
n+

2
2

2






&
t

X
-
-
1
1
-1
6 6

4
4
1 =
+
+

1
1 +




+
( I tM )C &X

(
G t , X
+
+ )
G t
, X
M C
1
1
&X 1 &X
n
n
n
n

-
+

n
6
n+
n+
n+


2
2

2



2.3.3.2 Ordre et stabilité du schéma

Le schéma est d'ordre 4, les approximations dans l'écriture des dérivées temporelles étant en
(o t4).
Il possède donc une excellente aptitude à l'intégration de solutions régulières. Son intérêt est en
revanche moins manifeste si les fonctions à intégrer présentent des discontinuités (chocs, frottement,
etc.)

On peut montrer que pour un système linéaire non amorti le pas de temps garantissant la stabilité
2 2
vaut : t < .
max
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 10/18


2.3.3.3 Emploi

Cette méthode est coûteuse en temps de calcul car elle nécessite deux fois l'évaluation du vecteur des
forces internes G , opération particulièrement lourde. Par conséquent elle est peu utilisée en
mécanique pour l'intégration directe. Par contre elle est employée par le CEA [bib2] dans le cas des
systèmes projetés sur base modale.
Ce schéma permet la prise en compte de non linéarités localisées de type chocs et frottements.
Dans le cadre de la sous-structuration dynamique, il permet d'employer une base modale calculée par
sous-structuration mais il ne supporte pas le calcul direct sur les bases modales des sous-structures.


2.3.4 Schéma d'intégration à pas de temps adaptatif

2.3.4.1 Introduction : intérêt d'un pas de temps adaptatif

Réaliser l'intégration temporelle du transitoire d'une structure dans une phase non linéaire pose
toujours des problèmes quant au choix du pas temps. L'estimation de l'erreur est rarement accessible
lors de l'intégration.
Les schémas d'intégration explicite obligent à respecter un pas de temps maximal pour ne pas
diverger. Dans le cas de comportement non linéaire, ce pas ne peut être déterminé a priori et peut
changer à chaque itération. Lorsque la rigidité varie très fortement, un pas de temps constant et très
fin pour conserver la stabilité du schéma conduit à un nombre d'itérations très grand et à un temps de
calcul considérable.
Un algorithme d'intégration à pas de temps adaptatif a donc été développé pour DYNA_TRAN_MODAL
et a été nommé ADAPT. Il s'appuie sur le schéma de différences centrées, d'ordre 2.

On peut remarquer que ce type de schéma a aussi été programmé dans DYNA_LINE_TRAN
(cf. [R5.05.02]).

2.3.4.2 Schéma des différences centrées à pas constant

On présente d'abord le schéma des différences centrées à pas constant sur lequel le schéma ADAPT
se base.
Il s'écrit ainsi :
&X
2



1 = &
X 1 + t &X t
+ o t
n (
, X ,
n
n
&Xn ) (
)
n+
n-
2
2
X
2
&


1 = X
+ t X 1 + o t
n+
n
( )
n+ 2

avec les notations suivantes :
xn
&x
-1
x
&x
n-1
x
2
n
n+12
n +1
t
t 1
t
t
n-1
n-
n
1
t
2
n + 2
n+1
t
t

Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 11/18


On constate que la vitesse est exprimée à des indices demi entiers de la discrétisation en temps alors
que les déplacements et accélérations sont exprimés aux indices entiers. Ecrit de cette façon le
schéma est d'ordre 2. Toutefois l'accélération n'est pas immédiatement calculable car la vitesse n'est
connue qu'au demi pas précédent. Pour contourner cette difficulté, on peut utiliser plusieurs
approximations de la vitesse au pas de temps entier.



· méthode 1 : supposer que &X
t

t ce qui constitue une
n (X ,
n
&X ,
n
n )
&X X ,
x
n
&X
,
1
n
n

- 2

approximation valide si l'amortissement est suffisamment faible ( &
X =
1 ). Si
1 + o
n
&X
( )
n- 2
l'amortissement est important, le schéma perd alors sa précision d'ordre 2.

· méthode 2
: utiliser une approximation d'ordre 1 pour la vitesse
:
&
t

X =
ce qui permet de conserver l'ordre 2 du schéma.
1 +
-1 + o
t
n
&X
&X
( )
n
n-
2
2
· méthode 3 : utiliser un schéma de type prédicteur/correcteur
&X p = &X

1 +
t &X
n
n

-1
prédicteur :
n

- 2

&X p
p
=
t

n
& (
X
, X ,
n
n
&Xn )


&
t
X
p
=

1
1 +
+ -
n
&X
( &Xn ( )&Xn-1)
correcteur :
n

-
2

2
&X =
t


n
& (
X
, X ,
n
n
&Xn )
où et sont deux paramètre à choisir. Park et Underwood [bib6] rapportent qu'effectuer des
itérations supplémentaires n'améliore pas de façon sensible la stabilité du schéma.


2.3.4.3 Adaptation du schéma au pas de temps variable

Lorsque le pas de temps varie, les expressions du paragraphe précédent ne sont plus valables,


l'accélération &X n'étant plus nécessairement exprimée au centre de l'intervalle &
X
,
,
1
&X

n
1
n-
n+


2
2

comme on le voit sur le schéma ci-dessous :
t 1 +
-
t
n
n
2
x
x
n-1
&x
n
&x
n-1
n + 1
x
2
2
n + 1
t
t
t
n-1
1
t
1
t
n-
n+
n+1
2
n
2
t
t

n-1
n

Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 12/18


Pour tenir compte de ceci, la vitesse est calculée ainsi :

t


1 +
t
&X
.
1 = &
X
n-
n
1 +
&Xn
n+
n-
2
2
2

Le schéma ADAPT complet s'écrit alors ainsi :


1. estimation de &
X selon les méthodes 1, 2 ou 3
x

t


1 +
t
2.
&X
2


1 = &
X
n-
n
1 +
&X t
+ o t
n (
, X ,
n
n
&Xn ) (
)
n+
n-
2
2
2

3.
X
2
&


1 = X
+ t X 1 + o t
n+
n
( )
n+ 2

L'ordre du schéma n'est plus rigoureusement égal à 2, le schéma ayant perdu son caractère centré.
Plus t et t
sont différents, plus l'ordre du schéma tend vers 1. De fortes variations du pas de
n
n+1
temps conduisent donc à une perte de précision.
Il est possible de trouver des expressions plus complexes, qui utilisent la vitesse ou l'accélération à
l'itération précédente [bib7]. Toutefois la formule présentée ici donne des résultats satisfaisants
lorsque le pas de temps diminue mais elle fait baisser la limite de stabilité lorsque le pas de temps
augmente. Le remède est de réguler le pas afin qu'il ne s'accroisse que lentement.


2.3.4.4 Stabilité et précision du schéma

Pour étudier le schéma, on s'est contenté de l'analyse d'un système à un seul degré de liberté, libre et
linéaire, de pulsation propre et d'amortissement réduit :
&
x + 2
&x + 2

x = 0 .
La solution approchée, en utilisant le schéma à pas de constant, s'obtient par la relation de récurrence
suivante :
A Y + B Y -
0
1 =
n
n


x
& n&
avec Y = x

n
& 1
n+

2
x


n+1

A et B sont deux matrices qui dépendent de la méthode choisie pour calculer la contribution du
terme d'amortissement.
On cherche une solution de la forme : Y = Y .
n
n-1
est une valeur propre de A-1 B et peut s'écrire sous la forme suivante :
= exp
t
- ± i 1- 2 où et sont la pulsation et l'amortissement réduit calculés
c
(c ( c
c )
c
c
par l'algorithme.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 13/18


On peut les comparer à la solution exacte, = exp
t
- ± i 1- 2 , ce qui permet
e
( (
)
-
-
c

c

d `évaluer l'erreur sur la pulsation et l'erreur sur l'amortissement :

et
.

On a étudié [bib 8] et [bib10] les propriétés du schéma selon la méthode employée pour estimer la
vitesse aux pas entiers. Il a été empiriquement trouvé que la méthode 3 est à la fois plus précise et
plus stable que les méthodes 1 et 2. La méthode, sans surcoût de calcul, permet d'accroître l'ordre du
schéma et donne dans la plupart des cas une meilleure précision, sauf en cas d'amortissement faible.
Elle est cependant moins stable que la méthode 1. C'est la méthode 2 qui a été finalement retenue
dans le schéma ADAPT. Ces études ont permis en outre d'estimer le nombre de points par période
nécessaire pour garantir une intégration stable. 20 est une valeur qui donne une bonne marge de
sécurité. C'est la valeur choisie par défaut.

2.3.4.5 Critères d'adaptation du pas de temps

Les développements précédents permettent de quantifier les erreurs introduites lors du calcul d'un
système libre et linéaire. Ces critères ne permettent cependant pas d'adapter le pas de temps. Ils sont
en effet délicats à mettre en oeuvre dans les cas non linéaires et ne tiennent pas compte des variations
de l'excitation.

Un autre approche consiste à étudier l'erreur locale introduite par le schéma à l'aide de
développements limités.

La solution exacte d'un système à un degré de liberté vérifie :

t

t

t
2
t
3
X t +
X (t)
X& (t)
X& (t)
X
& (&t)
(o t3)

2 =
+
+
+
+
2
8
48

t

t

t
2
t 3


X t -
X (t)
X& (t)
X& (t)
X
& (&t)
(o t3)


2 =
-
+
-
+

2
8
48

t


t

t
3
X t +
X t
t
X& (t)
X
& (&t)
(o t3)


2 =
-


2 +
+
+
24

La formule d'intégration des différences conduit donc à une erreur de troncature valant :

t
3
t
2
E =
X
& (&t )
(X& - X&
n
n
n
n-1 )
24
12

On peut normer cette erreur pour obtenir une erreur relative :

t
2 X& - X&
e
n
n
=
-1
X 0
n
12
X
n
n

Park et Underwood [bib7] ont interprété cette erreur en définissant une « pulsation apparente » :

X&
2
n
=

A n
X n
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 14/18


Appliquée au schéma à différence centrée, cette définition permet d'interpréter l'erreur relative e
n
comme une variation de la pulsation apparente :

t
2
e
2

-
2


n
A n
A n-1
12

De nombreux algorithmes utilisent un critère d'adaptation du pas de temps fondé sur l'erreur de
troncature ([bib9], [bib11]). Cependant dans le cas d'un schéma conditionnellement stable, cette
méthode ni de s'assurer de la stabilité de l'intégration, ni de garantir une précision pour le calcul des
transitoires.
D'autres méthodes utilisent une approximation de la pulsation propre instantanée du système [bib12],
à l'aide des matrices de masse et de raideur. Elles ont le défaut de ne pas s'adapter aux forces
extérieures et à leurs fluctuations en fréquence.
Il est donc utile de trouver un critère qui tienne compte des deux approches. C'est pourquoi Park et
Underwood ont introduit la notion de « fréquence apparente perturbée » :

1
X& - X&
f
n
n
=
-1
AP n
2
X - X
n
n-1

Cette grandeur s'interprète comme la fréquence « instantanée » du système.
Dans le cas d'un système à plusieurs degrés de liberté, il faut calculer une fréquence apparente pour
chaque degré de liberté et prendre le maximum. Le pas de temps peut être alors choisi pour respecter
un minimum de points par période apparente.

Si le dénominateur de l'expression de la fréquence apparente tend vers zéro, celle-ci peut devenir très
grande et ne plus avoir de signification. Ceci mène à un raffinement injustifié lorsque la vitesse
s'annule. Pour y remédier on ajoute un critère du type :
X - X -
&
&
1
1
-
n
n
X
X
< X&
f
n
n
min
=
-1
t
AP n

2

X&
t
min

C'est un intermédiaire entre la fréquence apparente perturbée et l'erreur de troncature. La valeur
adéquate de &
X
est difficile à choisir a priori et une valeur inadaptée entraîne une diminution
min
artificielle de la fréquence apparente. Dans le cas d'un système à plusieurs degrés de liberté on
contourne cette difficulté en employant les degrés de liberté « voisins » :

1 X i
i

& n - X&
f
n
=

-1
max
AP n

1 inb dll 2

bi

n




bi
j
j
n = max max X n - X n-1 , X
&
t



min
i j lb


-
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 15/18


lb désigne par exemple la largeur de bande de la matrice de raideur et où &
X
peut être choisi
min
très petit.
Cette méthode se révèle très efficace dans le cas où les X i n désignent des composantes physiques
(déplacements). Dans le cas d'une projection sur base modale il n'est pas pertinent d'employer les
composantes voisines pour calculer la fréquence apparente. Dans ce cas il vaut mieux revenir au
premier critère et utiliser une des deux méthodes suivantes, spécifiées par le mot clef VITE_MIN :
&X
·
n
si VITE_MIN : `NORM' alors c'est un paramètre variable égal à

100
( &
X
i
=
X 2 ). Cette méthode donne de bons résultats lorsque le nombre de degrés
n
& n

1 inb ddl
de liberté est grand et est inapplicable au cas à un seul degré de liberté. Elle n'est plus
indiquée si l'ordre de grandeur de la vitesse est très différent d'un degré de liberté à un autre.
· si VITE_MIN : `NORM' alors c'est un paramètre variable et différent pour chaque degré de
&X jm
liberté, &
X
j = max
. Cette méthode a l'avantage de fonctionner quel que soit le
min

1 mn 1001
nombre de degré de liberté du système mais elle ne peut pas être utilisée si l'ordre de
grandeur de la vitesse varie trop au cours du calcul car, dans ce cas, on obtiendrait
X j
j
n - X n-1
systématiquement :
X j
&
.
t

min


2.3.4.6 Algorithme du schéma des différences centrées à pas adaptatif

Les règles évoquées plus haut permettent de fixer un nombre de pas de temps souhaité par période
de la réponse en fonction de la précision voulue, N . Il est ajustable par le mot clef
1
NB_POINT_PERIODE. Le pas de temps t doit alors être inférieur à
. Le mot clef
n
N f
PAS donne
AP n
à la fois le pas de temps initial, t , et le pas de temps maximal à ne pas dépasser, t
.
ini
max
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 16/18


L'algorithme est décrit schématiquement ci-dessous :

0) initialisation : X et &
X donnés
0
0
t
0 , t =
et &X = & (
X t , X , &X
0
0
0
0 )
0
t
1 =
-
ini
initialisation de &
X

min

à chaque pas de temps
1) initialisation de la recherche du pas de temps : N
= 0
iter
2) calcul de &
X
puis de X
:
1
n+1
n+ 2
t

estimation de la vitesse (méthode 2) : &
X = &X

1 +
&X
n
n-1
n-
2
2
t


1 +
t
vitesse au mi pas : &
X

1 = &
X
n-
n
1 +
&X t
n (
, X ,
n
n
&Xn )
n+
n-
2
2
2
déplacement : X
&

1 = X
+ t X
n+
n
1
n+ 2
3) calcul de l'accélération &X

n+1
4) calcul de la fréquence apparente :
X - X -
1
&
&
1
-
n
n
X
X
X&
f
n
n
min
=
-1
t
APn

2

X - X
n
n-1
X - X -
1
&
&
1
-
n
n
X
X
< X&
f
n
n
min
=
-1
t
APn

2

X&
t
min

5) vérification de l'adéquation entre le pas de temps et la fréquence apparente :
calcul de l'indicateur err = t
N f

n
AP n
· si err 1 et N
< N
alors réduction du pas de temps et nouvelle itération de recherche
itez
iter max
du pas : t 0 7
, 5t , N
N + 1, retour en 2)
n
n
iter
iter
· si err 0 7
, 5 depuis plus de 5 pas de temps consécutifs, alors accroissement du pas de temps
t 11
, t
n
n
6) archivage de la solution, calcul éventuel de &
X
et retour en 1) pour l'itération suivante.
min


2.3.4.7 Commentaires sur les paramètres de l'algorithme

Le fait de fixer une borne supérieure N
par le mot clef
iter
NMAX_ITER_PAS au nombre de
max
réductions du pas de temps permet de s'assurer de la convergence de l'algorithme dans les cas
difficiles (par exemple en cas de discontinuité dans les forces extérieures).
Lorsque l'indicateur err est supérieur à 1, le pas de temps est multiplié par un facteur fixe (0,75 par
défaut mais il peut être modifié par l'utilisateur grâce à l'opérande COEF_DIVI_PAS). Il aurait été
1
possible d'écrire directement : t
t = N f
, ce qui plus intuitif. Mais cette stratégie
n
err
n
AP n
conduit à un raffinement excessif, la fréquence apparente calculée étant souvent largement supérieure
à la fréquence réelle, lorsque l'erreur est grande. Toutefois, en un seul pas de temps, t peut être
n
considérablement réduit (facteur 0 7
, 5Niter ).
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 17/18


En revanche l'augmentation du pas de temps est toujours beaucoup plus lente (coefficient de
multiplication par défaut de 1,1 définissable par COEF_MULT_PAS) et n'a lieu que si l'indicateur est
inférieur à 1 pendant cinq pas de temps consécutif. Ces restrictions se justifient par les risques de
perte de stabilité ou de précision du schéma lorsque le pas de temps varie trop vite. Un coefficient de
1, 2 ou 1, 3 peut permettre un calcul plus rapide mais expose parfois à des risques d'erreur.
En résumé les valeurs par défaut ont été validées par de nombreux tests et donnent en général
satisfaction en termes de précision et de stabilité [bib8].


2.3.4.8 Performance de l'algorithme

A précision égale, le nombre d'itérations effectuées par le schéma ADAPT est au moins cinq fois plus
faible qu'avec un pas constant dans les phénomènes qui justifient l'utilisation d'un pas variable par
l'aspect irrégulier de leur évolution (chocs, lame fluide, excitations discontinues, etc.).
Les études empiriques ont montré que le pas de temps adaptatif permet dans les cas favorables de
gagner un facteur deux ou trois en temps de calcul. Ce schéma permet en outre de maîtriser la
précision de l'intégration par le moyen du contrôle du nombre de points par période de la réponse.
Dans le cas des systèmes très amortis, les gains peuvent être encore plus importants (calculs cinq à
dix fois plus rapides).
En revanche lorsque le pas de temps « idéal » est à peu près constant, l'utilisation du schéma ADAPT
se révèle inutile.
Il permet bien sûr la prise en compte des non linéarités localisées de type chocs ou frottements, ainsi
que les lames fluides.
En sous-structuration dynamique, il est compatible aussi bien avec l'analyse transitoire sur la base
modale restituée sur le système entier ou le calcul transitoire sur les bases distinctes des sous-
structures.



3 Conclusion

En guise de conclusion, voici résumés les différentes possibilités d'intégration temporelle qu'offre
l'opérateur :

· Euler (`EULER') explicite modifié pour assurer une stabilité conditionnelle,
· Schéma de Newmark (`NEWMARK') paramétré de façon à être implicite,
· Schéma de Devogelaere-Fu (`DEVOGE') d'ordre 4,
· Schéma adaptatif explicite (`ADAPT').

Le schéma par défaut est EULER mais ce n'est pas systématiquement le plus adapté. Le schéma de
NEWMARK disponible dans le Code_Aster est implicite et garantit une stabilité inconditionnelle mais
n'est valide que pour des problèmes purement linéaires. Le schéma DEVOGE est d'ordre 4 et donc est
plus précis mais est il est coûteux en temps de calcul. Le schéma ADPAT est plus particulièrement
indiqué pour les problèmes avec des non linéarités localisées, où le pas de temps « idéal » n'est pas
constant au cours du transitoire. C'est donc l'expérience de la modélisation qui permet de choisir le
schéma le mieux adapté au problème en fonction du rapport (temps de calcul)/précision.
Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Algorithmes d'intégration temporelle de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
Date :
28/02/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, A.C. LEGER, G. JACQUART Clé
:
R5.06.04-B Page
: 18/18


4 Bibliographie

[1]
K.-J. BATHE, E.-L. WILSON : « Numerical Methods in Finite Element Analysis », Prentice
Hall Inc.
[2]
J. ANTUNE, F. AXISA, H. BUNG, F. DOVEIL, E. de LANGRE : « Méthodes d'analyse en
dynamique non linéaire des structure » - IPSI
[3]
J.-R. LEVESQUE, P. LABBE et al. : « Module TRANSIS du code POUX in documentation de
référence du code POUX » - Rapport interne EDF
[4]
X. RAUD, P. RICHARD : « Structure et validation du calcul non linéaire des paliers
hydrodynamiques du code CADYRO » ­ Note HP-61/92/041
[5]
G.-D. HAHN : « A Modified Euler Method for Dynamic Analysis » - International Journal for
Numerical Methods in Engineering Vol. 32 (1991), pp 943-955
[6]
K.-C. PARK, P.-G. UNDERWOOD : « A Variable-Step Central Difference Method for
Structural Dynamic Analysis ­ Part II : Implementation and performance evaluation » -
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol. 23 (1980) pp 259-279
[7]
K.-C. PARK, P.-G. UNDERWOOD : « A Variable-Step Central Difference Method for
Structural Dynamic Analysis ­ Part I : Theoritical Aspects » - Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering Vol. 22 (1980) pp 241-258
[8]
G. JACQUART, S. GARREAU : « Algorithme d'intégration à pas de temps adaptatif dans le
Code_Aster » - Note HP-61/95/023
[9]
O.C.. ZIENKIEWICZ, Y.M XIE : « A Posteriori Local Error Estimation and Adaptative
Time-Stepping Procedure for Dynamic Analysis » Earthquake Engineering and Structural
Dynamics Vol. 20(1991) pp. 871-887
[10]
A.-C. LEGER, G. JACQUART : « Algorithmes d'intégration de l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
du Code_Aster : documentation de référence » - Note HP-51/96/072
[11]
R.M. THOMAS, I. GLADWELL : « Variable Order Variable Step Algorithms for Second Order
systems » - International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 26 (1998)
pp. 39-53
[12]
P.G. BERGAN, E. MOLLESTAD : «An Automatic Time-Stepping Algorithm for Dynamic
Problem » - Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol. 49 (1985)
pp. 299-318
[13]
N. GAY, S. GRANGER, T. FRIOU : « Présentation d'une méthode de simulation du couplage
fluidélastique en régime non linéaire » - Note HT-32/94/015




Manuel de Référence
Fascicule R5.06 : Dynamique en base modale
HT-66/03/005/A

Document Outline