Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 1/44

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
Document : R5.05.05





Algorithme non-linéaire dynamique du Code_Aster
(opérateur DYNA_NON_LINE)



Résumé :

L'opérateur DYNA_NON_LINE [U4.53.01] du Code_Aster s'emploie pour l'analyse dynamique non-linéaire des
structures par une intégration directe en temps. Les non-linéarités peuvent provenir du comportement du
matériau, des liaisons (contact-frottement), ou de grandes transformations géométriques (grands déplacements
et grandes rotations).

L'organisation de DYNA_NON_LINE s'apparente fortement à celle de l'opérateur quasi-statique non-linéaire
STAT_NON_LINE [R5.03.01]. A priori, toutes les relations de comportement développées dans le cadre de
STAT_NON_LINE fonctionnent dans celui de DYNA_NON_LINE.

On présente ici la formulation générale du problème dynamique non-linéaire afin de préciser les articulations
entre les aspects purement dynamiques et ceux déjà traités dans d'autres opérateurs ou formulations
disponibles dans Code_Aster : gestion des conditions aux limites, des couplages fluide-structure, de
l'amortissement, du calcul en repère relatif, puis les propriétés du schéma d'intégration numérique temporel, qui
s'élabore indépendamment de toute relation de comportement. On expose comment celui-ci s'articule avec
l'algorithme de Newton pour traiter les non-linéarités matérielles et géométriques. Code_Aster propose deux
schémas implicites en temps efficaces en terme de précision et stabilité : celui de Newmark et la méthode
« d'accélération moyenne modifiée » (dite « HHT » dans la commande DYNA_NON_LINE). On donne quelques
conseils et choix pour un bon usage.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 2/44


Table
des
matières

1 Notations................................................................................................................................................3
2 Dynamique non-linéaire : discrétisation spatiale du problème continu .................................................4
2.1 Discrétisation du problème de dynamique linéaire..........................................................................4
2.2 Discrétisation du problème de dynamique non-linéaire ..................................................................5
2.2.1 Amortissement........................................................................................................................6
2.2.2 Inertie ...................................................................................................................................7
2.2.3 Liaisons...................................................................................................................................7
2.2.4 Problème dynamique discrétisé .............................................................................................8
2.2.5 Conditions initiales..................................................................................................................9
2.2.6 Pilotage temporel implicite de chargements extérieurs..........................................................9

2.3 Prise en compte d'un état initial précontraint.................................................................................10
2.4 Problèmes couplés fluide-structure vibro-acoustique....................................................................11
2.5 Prise en compte de lois de comportement visqueux et amortissement ........................................14
2.6 Equations en mouvement « relatif » [R4.05.01] ............................................................................14

3 Schéma d'intégration temporelle : schéma de NEWMARK et méthode de NEWTON........................21
3.1 Schéma de NEWMARK.................................................................................................................21
3.2 Phase de prédiction .......................................................................................................................24
3.2.1 Pas de temps général...........................................................................................................24
3.2.2 Premier pas de temps ..........................................................................................................26
3.3 Phase de correction par la méthode de NEWTON .......................................................................27
3.4 Mise à jour .....................................................................................................................................29
3.5 Critère d'arrêt.................................................................................................................................29

4 Qualités et défauts du schéma de NEWMARK ...................................................................................30
4.1 Propriétés du schéma de NEWMARK...........................................................................................30
4.2 Point de vue énergétique...............................................................................................................33
4.3 Propriétés du schéma de NEWMARK pour les problèmes non-linéaires .....................................34
4.4 Choix des pas de temps ................................................................................................................34

5 Une variante du schéma de NEWMARK : le schéma d'accélération moyenne modifiée ...................35
5.1 Motivation.......................................................................................................................................35
5.2 Schéma HHT et méthode d'accélération moyenne modifiée ........................................................36
5.3 Propriétés du schéma d'accélération moyenne modifiée..............................................................37
6 Exemple ...............................................................................................................................................40
7 Conclusion ...........................................................................................................................................42
8 Bibliographie ........................................................................................................................................43
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 3/44


1 Notations


u
champ de déplacement absolu continu

K , n
Ki
matrice de rigidité, matrice tangente
M
matrice d'inertie
R
vecteur des forces intérieures
L
vecteur second membre de chargements (forme linéaire)
abso
L
seconds membres respectivement dus à une frontière absorbante, aux termes inertiels
, iner
LGR , non-linéaires en grandes rotations de poutre, à des chaînages anélastiques (provenant de
anél
L

variables de commande : température...)
C
matrice d'amortissement
Q
matrice de déformation assemblée

t V ...
transposé d'un vecteur V : forme linéaire duale...
t ; t
temps ; pas de temps

paramètre du schéma d'intégration temporelle méthode (HHT)
,
paramètres du schéma d'intégration temporelle de NEWMARK

incrément de grandeurs diverses au cours du pas de temps

variation virtuelle d'un champ ;
incrément de grandeurs diverses au cours des itérations de correction
i ; n ; j
indice du pas de temps ; indice de l'itération de NEWTON ; indice de composante
, µ
paramètres de LAGRANGE : réactions de liaison, réactions de contact

U,U&,U
&
vecteur ddl déplacement et dérivées successives par rapport au temps
P
vecteur ddl de perturbations de pression fluide barotrope

vecteur ddl potentiel de perturbations de déplacement fluide barotrope

configuration : vecteur position : x, y, z et éventuellement vecteur rotation, et autres
champs paramétrant le système
&
dérivée temporelle de la configuration par rapport au temps : vitesse de translation et
éventuellement vitesse angulaire
&
dérivée temporelle de
& par rapport au temps : accélération de translation et
éventuellement accélération angulaire

k
k
Convention des indices répétés : U (t) = U
k
d (t
d
)

k

k

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 4/44


2 Dynamique non-linéaire
: discrétisation spatiale du
problème continu

Résoudre un problème de dynamique non-linéaire nécessite de décrire tout d'abord les équations du
problème continu, puis de présenter leur discrétisation spatiale, ici en éléments finis, et enfin de décrire
la méthode d'intégration temporelle, associée au traitement des non-linéarités matérielles et
géométriques.

2.1
Discrétisation du problème de dynamique linéaire

On note u le champ de déplacements absolus par rapport à la configuration de référence, et
paramétré par l'instant t , appartenant à l'espace affine des champs admissibles Vadm .

La méthode directe consiste à résoudre le problème issu de la discrétisation par éléments finis de la
formulation en déplacement.

La discrétisation de la variation virtuelle de l'énergie cinétique donne le travail virtuel des forces
d'inertie, dans un champ
0
v Vadm , l'espace vectoriel directeur de Vadm :

1

(u&)2d =
u
.

2
&v
t
d =
V.M.U&


La discrétisation de la variation virtuelle du travail dissipé en viscosité (amortissement apporté par une
dépendance des contraintes en fonction des vitesses de déformation) est :


u
c
&.vd =
u
c


&.v
t
d =

U
V.C. &


On précise au [§2.2.1] comment l'opérateur d'amortissement C est construit dans DYNA_NON_LINE.

La discrétisation de la variation de l'énergie élastique en linéaire donne le travail virtuel des efforts
intérieurs :
1
(u).A.(u)d =

2
(u).A.(v)
t
d =
V.K.U


Enfin, L désigne le second membre issu de la discrétisation du travail virtuel des forces extérieures.

En élasticité linéaire, cela aboutit donc à considérer le système différentio-algébrique hyperbolique
suivant, pour les ddl U , avec les conditions initiales :

U IR n
Trouver
:
M.U& + U
C. & + K.U = L


U(t0 ) = U0

U&(t
&
0 ) = U 0

accompagnées de conditions aux limites.

Les conditions initiales sont fournies à l'algorithme par le mot-clé ETAT_INIT (opérandes DEPL et
VITE).
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 5/44


Si l'état initial résulte d'une simulation en statique linéaire ou non-linéaire, on ne prend pas en compte
de vitesse initiale, et le déplacement, ainsi que les variables d'état (contraintes, variables internes),
sont extraits du résultat de cette simulation à l'instant de départ considéré.

Le système d'équilibre dynamique devient instable si on peut trouver une pulsation complexe qui ne
soit pas réelle positive pour laquelle on peut annuler le déterminant de : - 2M +
i C + K .

2.2 Discrétisation
du
problème
de dynamique non-linéaire

On se place maintenant dans un cadre mécanique non-linéaire.

On note le travail virtuel (u,u&,t).(v)
d de déformation (dit aussi des forces internes) du

problème de mécanique non-linéaire, qui s'écrit après discrétisation :

t (
V. R(U, U&,t) + U
C. & )= t (
V. t Q(U).(U,U&,t)+ U
C. & )

où l'on a volontairement distingué les forces visqueuses linéaires (opérateur C ) des autres forces
internes. Dans le cas des petits déplacements, l'opérateur de déformation assemblé t Q est constant
(et défini sur la configuration initiale confondue avec la déformée).

Le bilan d'énergie mécanique s'écrit :

L.v = u.&v
d + u,u&,t . v
d

(
) ( )


Le champ de contraintes à l'instant t s'écrit de façon générale (u,u&, Z,t, H) , si l'on note Z le
champ de variables de commande, comme par exemple T le champ de températures, et H l'histoire
passée de la structure jusqu'à l'instant t . Pour les comportements incrémentaux, l'histoire est
l'ensemble des états (champs de déplacements, contraintes et variables internes) à l'instant précédent.

Dans le cas linéaire (cf. [§ 2.1]), on aboutit à R(U, U&)+ U
C. & = K.U + U
C. & , où K est la matrice de
rigidité élastique de la structure et C la matrice d'amortissement.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 6/44


2.2.1 Amortissement

Il est loisible d'utiliser des éléments discrets sur lesquels on fait porter un comportement
d'amortissement via une matrice agissant sur les ddl, cf. [U4.42.01], mais l'amortissement peut aussi
concerner les modèles massifs ou de structures. L'opérateur d'amortissement C de ces derniers peut
être dans Code_Aster défini de deux façons dans DYNA_NON_LINE, cf. aussi [R5.05.04], [U2.06.03] :


1) une façon globale sur une base de modes propres
(k ) établie au préalable sur la structure
élastique, exprimés sur la base « physique » de la modélisation par éléments finis. On définit ainsi
un coefficient par mode choisi. Le mot-clé : AMOR_MODAL de l'opérateur DYNA_NON_LINE permet
de lui fournir la base de modes et les coefficients d'amortissement réduit (selon l'hypothèse de
BASILE). En effet, les amortissements sont déterminés expérimentalement par analyse modale
sur les résonances.
Les déplacements U sont donc projetés sur les modes pour obtenir leurs coordonnées
généralisées : k t
= k .U . La matrice d'amortissement modal est :

C = (K
k
k
k )
k
t
.Cmodal . (Kk ) avec Cmodal = 2
où est le facteur
t

k
k . k

.K. k
d'amortissement modal à la pulsation
t
k et kk = k

.K. k est la raideur généralisée du
mode k . Malheureusement cette matrice peut avoir un profil très plein et rendre onéreuse (les
matrices C et K n'ayant pas le même profil), comme on va le voir au [§ 3.1], son intégration
dans le premier membre : on choisira alors de traiter ces forces d'amortissement modal -
U
C. & (t)
au second membre par un schéma explicite.


2) une façon globale/locale dite amortissement visqueux proportionnel (selon l'hypothèse de
RAYLEIGH) à partir des matrices de raideur élastique K et de masse M . Les paramètres sont
donnés par le matériau sur les éléments finis du modèle (mots-clé AMOR_ALPHA/AMOR_BETA de
la commande DEFI_MATERIAU). La matrice d'amortissement visqueux est C = K
+ M
. Elle
est diagonalisable sur la base des modes propres réels, ce qui rend possible de faire un calcul
transitoire sur base modale en découplant les modes : voir [R5.06.04]. Cette formulation, en
linéaire, conduit à un facteur d'amortissement lié à la fréquence f : = f
+ /(4 f
). Dans le
cas non-linéaire, cette évaluation n'a plus cours.
On ajuste en pratique les coefficients , de telle sorte que l'amortissement soit quasiment
uniforme dans la plage [ f1, f2 ] de fréquence d'intérêt pour la structure étudiée. D'où ainsi de
manière raisonnable :

=


.2 . f f
et
1. 2
=

2 ( f1 + f2 )
f1 + f2
Si la loi de comportement du matériau est non-linéaire dissipative, le choix des paramètres
d'amortissement concerne la plage où la structure reste quasiment élastique.
De plus, il faut noter que, au cours de l'intégration des non-linéarités (cf. [§ 3.2] et [§ 3.3]),
Code_Aster produit des matrices tangentes et l'amortissement visqueux proportionnel devient :
C = K
T + M

la matrice de masse M initiale étant, quant à elle, conservée. Ceci rend délicat l'interprétation de
l'effet de l'amortissement proportionnel. Notamment en cas d'apparition de valeurs propres
négatives de la matrice
T
K (par exemple en cas d'endommagement du matériau),
l'amortissement peut devenir négatif et renforcer les instabilités !

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 7/44


2.2.2 Inertie

On note t V.M(U, U&, U&) après discrétisation, le travail virtuel & .
u vd des forces d'inertie du

système.

On note M la matrice de masse du système en petites transformations. En grandes rotations de
structure (comme par exemple les poutres, cf. [R5.03.40]), ce travail virtuel est une fonction
non-linéaire de U(t) et de ses dérivées temporelles (spécifiquement des degrés de liberté de
rotation) ; on fait donc apparaître le terme d'accélération habituel avec une correction non-linéaire :
M(U,U&,U&)= M(U) U
. & + Liner
GR (U, U
& ,U&). Dans les autres cas, M(U,U&,U&)= M(U) U
. & , qui peut
varier si on réactualise la géométrie, ou qui est constante en petits déplacements.

2.2.3 Liaisons

En pratique, on peut avoir des conditions de liaison bilatérales ou unilatérales, ou des liaisons de type
« impédance » ou « absorbantes », cf. [R4.02.05].

Liaisons bilatérales

Les liaisons bilatérales s'écrivent sous forme de la relation suivante :
d
B.u = u (t). Les champs de
déplacements virtuels cinématiquement admissibles vérifient : B.v = 0 . L'opérateur B(u) peut
dépendre de la configuration en présence de grands déplacements par réactualisation à chaque pas
de temps.

Elles sont parfaites : elles ne dissipent pas d'énergie. Ce sont des liaisons « holonomes », où la
vitesse &
U n'intervient pas. Ces liaisons sont en général dualisées par Code_Aster, cf. [R3.03.01].

Liaisons unilatérales

Le système mécanique objet de la simulation par éléments finis peut entrer en contact (liaisons
unilatérales) avec un « obstacle », qui est un solide dont on connaît a priori le mouvement, d'où la
définition d'un jeu d0(t) . Les liaisons unilatérales (par exemple le contact unilatéral) s'écrivent sur la
configuration à tout instant t : A(u).u(t) d0 (t) (non-pénétration ou vérification que le jeu effectif
reste positif ou nul dans toute configuration). L'opérateur A(u) peut dépendre de la configuration en
présence de grands déplacements par réactualisation à chaque pas de temps.

On ne considérera que des liaisons « holonomes », du type A(U,t) = 0, qui ne font intervenir que les
valeurs des degrés de liberté U(t) et le temps explicitement si l'obstacle est mobile. On ne
considérera pas de liaisons « non-holonomes », par exemple du type roulement sans glissement, qui
font intervenir la vitesse explicitement et s'écrivent A1(U,t) U
. & + A2(U,t) = 0 , A2 et la dépendance
directe en temps n'étant présente que s'il y un obstacle mobile.

Si l'obstacle est immobile, la liaison en tant que telle sera explicitement indépendante du temps (on dit
aussi « scléronome »).

Ces « charges de contact » sont définies par l'opérateur AFFE_CHAR_MECA. La présence de liaisons
unilatérales exige de définir les vitesses du solide dans un espace fonctionnel particulier afin d'assurer
l'existence de solutions du système de la dynamique. En effet, lors des instants (dénombrables)
d'impact, les vitesses &
U(t-) et &U(t+) peuvent ne pas coïncider. Il est nécessaire pour garantir ce
résultat que les données (chargement, équations de liaisons) vérifient une propriété d'analycité, qui est
acquise en pratique avec la discrétisation par éléments finis choisie (voir [bib6]).
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 8/44


On n'introduit pas a priori de relation constitutive des impacts (comportement dissipatif en rebond
simple, exprimé à l'aide d'un coefficient de restitution normale e [
0 ]
1
, ), exprimée sur les différentiels
de vitesses des deux points en impact :

&U+
+
-
-
_norm(t) = &
U _norm(t) - (e &U _norm(t) - &U
2
1
2
_
1 norm(t ))

Ce type de comportement est introduit d'habitude en effet pour traiter le contact-impact de corps
rigides, alors que la modélisation numérique avec solides déformables permet de représenter
directement le comportement vibratoire sous le choc et les non-linéarités matérielles. Mais il est
possible d'ajouter dans la modélisation des éléments discrets de contact-choc placés sur l'interface en
contact, munis de la loi DIS_CHOC, qui apportent une dissipation d'amortissement (à condition de
supposer de petits mouvements...).

On peut adjoindre aux liaisons unilatérales un comportement de frottement (critère de COULOMB), qui
dissipe de l'énergie en glissement relatif des surfaces en contact.

On fait parfois référence au fait que le coefficient de frottement dynamique est plus faible que celui
mesuré en quasi-statique (adhérence). Cela provient du fait qu'en dynamique des vibrations de haute
fréquence sur la réaction normale apparaissent et affaiblissent la valeur du seuil de frottement de
COULOMB. On n'aurait donc pas besoin de fournir deux valeurs de coefficients au Code_Aster,
puisqu'on modélise les solides déformables en contact-frottement (à condition de pouvoir simuler ces
vibrations haute fréquence...).

On sait que la dissipation est une condition nécessaire pour l'existence de solutions théoriques au
problème de dynamique avec impact. L'emploi du schéma HHT, voir [§ 5], qui introduit de la
dissipation numérique peut s'avérer nécessaire.

Liaisons dissipatives locales

Des relations spécifiques (comme DIS_CONTACT, DIS_CHOC) sont conçues pour traiter certains types
de liaisons ponctuelles dissipatives, agissant directement sur les ddls d'éléments discrets du système,
voir [R5.03.17]. Elles constituent une loi de comportement en forces généralisées fonction de
déplacements généralisés intégrée comme l'ensemble des forces internes R(U,U
& ,t) des structures
étudiées.

Liaisons absorbantes

Les liaisons de type « absorbantes », cf. [R4.02.05], permettent de simuler le « filtrage » d'une partie
de la réponse dynamique, en empêchant la sortie d'ondes diffractées, au profit d'un champ « incident »
sur une frontière du modèle : voir le [§ 2.6]. Elles introduisent des termes amortissants du type
A
(u
abso & ) sur une frontière du solide considéré.

2.2.4 Problème dynamique discrétisé

La dualisation des conditions aux limites de DIRICHLET
d
B.u = u (t) et des conditions unilatérales
conduit après discrétisation à définir les inconnues à tout instant t : (U,, µ) , où représente les
« multiplicateurs de LAGRANGE » des conditions aux limites de DIRICHLET [R3.03.01], et µ
représente les « multiplicateurs de LAGRANGE » des conditions unilatérales.

Le problème dynamique non-linéaire s'écrit, avec les conditions initiales [R3.03.01], [R5.03.50] :
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 9/44


Trouver la trajectoire U(t) :
M(U,U&,U&)+ R(U,U&,t)+ U
C. & +t B. +t A.µ = L(t)

B.U = Ud (t)
.
A U d0 (t)


j, µ j 0

éq 2.2.4-1

j, (A.U - d0 ) .
j µ j = 0
U(t0)

= U0

U&(t
&
0 ) = U 0

L représente le vecteur des forces externes (chargements mécaniques). Ces forces peuvent
dépendre du temps et de l'espace. On suppose que, comme les liaisons, elles dépendent de façon
régulière des paramètres, ce qui assure l'existence de la solution du problème (théorème de
CAUCHY). On peut considérer des forces « suiveuses » L(U,t), par exemple la pression, si on prend
en compte les changements de géométrie.

Le vecteur t B. s'interprète comme l'opposé des réactions d'appui aux noeuds correspondants ( B
est l'opérateur linéaire exprimant le passage aux degrés de liberté des appuis). Le vecteur t A.µ
s'interprète comme les forces nodales dues au contact ( A est l'opérateur linéaire exprimant le
passage aux degrés de liberté des zones en contact).

L'analyse de stabilité du système d'équilibre dynamique [éq 2.2.4-1] est plus complexe qu'en linéaire,
mais une condition suffisante de perte de stabilité est la possibilité de trouver une pulsation pour
laquelle on peut annuler le déterminant de :
T
T
- 2M + i C

+ K , défini sur les opérateurs
tangents, à l'instant considéré.

2.2.5 Conditions
initiales

Les conditions initiales U ,U
0 & 0 sont fournies au code par le mot-clé ETAT_INIT (opérandes DEPL et
VITE).

Si l'état initial résulte d'une simulation en statique linéaire ou non-linéaire, le déplacement, ainsi que les
variables d'état (contraintes, variables internes), sont extraits du résultat de cette simulation, et la
vitesse initiale est par défaut supposée nulle.

2.2.6 Pilotage temporel implicite de chargements extérieurs

En général, les charges, définies dans AFFE_CHAR_MECA ou AFFE_CHAR_MECA_F, sont de type
« FIXE_CSTE » si leur intensité et direction sont connues a priori.

On peut aussi considérer qu'une part des sollicitations extérieures est pilotée (type« FIXE_PILO »),
pilo
pilo
c'est-à-dire que son intensité est paramétrée : Fimp et/ou Uimp , et contrôlée par une relation
scalaire, exprimée sur un noeud (ou groupe de noeuds), sur la solution : P(u) = t = ~
P() , cette
dernière étant implicite. Comme on le voit, cette équation fait référence au temps, qui contrairement à
la statique où il ne sert qu'à donner une chronologie sur les incréments de charge, a un rôle physique
en dynamique. On devra s'assurer donc de la signification précise du pilotage temporel.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 10/44


On ajoute donc dans le système non-linéaire [éq 3.1-7] cette dernière équation qui sera résolue avec
les autres par la méthode itérative de NEWTON. On ne peut pas piloter les forces de pesanteur, de
force centrifuge, de LAPLACE, les déformations thermiques ou anélastiques.

On pourra utilement se reporter à [R5.03.80].

2.3
Prise en compte d'un état initial précontraint

Si le problème dynamique à résoudre « suit » un état mécanique initial, deux principales situations
s'offrent à nous :

· {}
1 on souhaite calculer les déplacements u et les contraintes dynamiques à partir de l'état
« vierge » nul initial,
· { }
2 on souhaite calculer les déplacements u et les contraintes dynamiques en « différentiel »
à partir d'un état pré-chargé.

Dans la première situation {}
1 , il convient de faire au préalable le calcul de l'état statique,
éventuellement non-linéaire (matériau, grandes transformations), préalable à la dynamique.

Ainsi, si la structure a un comportement non-linéaire, on doit procéder directement en dynamique
non-linéaire, après avoir évalué l'état initial par simulation en statique, éventuellement non-linéaire
(avec l'opérateur STAT_NON_LINE), et le champ de déplacement est évalué depuis le début de
l'historique. Il peut être nécessaire de prendre en compte les variations de géométrie. Les informations
nécessaires pour décrire l'état initial (résultats d'une simulation précédente via le concept résultat
EVOL_NOLI ou champs mécaniques nécessaires : DEPL, SIGM, VARI) sont fournies par le mot-clé
ETAT_INIT, par exemple si on se trouve dans le cadre d'un comportement incrémental (COMP_INCR),
voir [U4.51.03].

L'état initial peut être obtenu aussi par une simulation en dynamique « très lente », en ayant soin de
mettre une rampe « lente » de dépendance au temps sur les efforts statiques appliqués, ainsi qu'un
fort amortissement (physique, cf. [§ 2.2.1] ou/et numérique cf. [§ 5]). Cette manière de procéder a
l'avantage d'injecter tant dans l'opérateur de la phase de prédiction [éq 3.2.1-4] de l'algorithme de
NEWTON, que dans celui de la phase de correction [éq 3.3-1] des termes $
K venant de la matrice de
masse et de celle d'amortissement, pour établir l'état mécanique statique. Cela est précieux dans des
situations de contact-frottement, d'endommagement... pour améliorer la convergence.

La seconde situation { }
2 concerne le cas d'une structure qui a subi un pré-chargement
thermo-mécanique « ordinaire », conduisant à un état d'équilibre élastique linéaire. Si l'on mesure
par u le déplacement à partir de cet état pré-chargé, qui a engendré un état de contraintes 1 , alors
l'énergie de déformation élastique est complétée par un terme de raideur géométrique :

(u).A.(v)d + .1u




( v)
t
d =
(
V. K + K g ).U


On assemble alors simplement les matrices K et K g , et on effectue la résolution en dynamique
linéaire, comme au [§ 2.1]. Ça peut être par exemple le cas d'une étude sismique sur un barrage
voûte. Avec DYNA_NON_LINE, il est nécessaire de fournir par le mot-clé ETAT_INIT, le champ de
contraintes SIGM résultat de l'état pré-chargé et de préciser au mot-clé DEFORMATION sous
COMP_INCR la prise en compte des termes non-linéaires de déformation.

Il est fréquent que la contribution de K g soit négligeable : on peut alors se contenter d'une analyse
dynamique sur la base d'un état initial totalement vierge. On notera aussi que le calcul de la matrice
K g n'est pas disponible pour tous les éléments finis proposés par Code_Aster.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 11/44


2.4
Problèmes couplés fluide-structure vibro-acoustique

On pourra pour plus de détails se reporter aux documents [R4.02.02], [R4.02.04], [R4.02.05].

On considère les petits mouvements en approche eulérienne d'un fluide parfait compressible,
éventuellement baignant une paroi d'une structure solide. Le fluide est dit barotrope :

· on considère de petites perturbations irrotationnelles autour de l'état initial (hydrostatique) :
r
r0 r
U = u + u
fl
fl
fl , P = P0 + p et f = 0 + , l'indice 0 désigne la partie permanente des
champs),
· la loi de comportement du fluide donne les contraintes «
fluctuantes
»
:
= - Id
p
= -c2Id =
c2
0
0 0 ( ur
div fl )Id ,

r
r
· les vitesses fluides dérivent d'un potentiel v fl = &u fl = & et sont modélisées à l'aide des
champs ( p,) : pression fluctuante et potentiel de déplacement, qui ne sont pas
indépendants car
: &p = - c2
0 0 &
(en combinant équation de continuité et loi de
comportement).

r
On admet que l'on ne considère pas de forces fluctuantes de volume f s'exerçant sur le fluide.
r
L'équilibre dynamique du fluide s'écrit : p + &r
f u fl = 0 (équation d'Euler linéarisée), qui est valable
pour un fluide non-pesant compressible ou pesant incompressible ; par contre pour un fluide pesant
compressible les approches eulérienne et lagrangienne ne coïncident pas même en petits
mouvements : ce cas n'est pas traité par Code_Aster.

L'équilibre dynamique du fluide va être écrit sous forme variationnelle sous l'action d'une pression
fluctuante pimp imposée sur une partie de la frontière. En régime harmonique, l'équilibre dynamique
du fluide se traduit par la formulation variationnelle de l'équation de Helmholtz.

Code_Aster possède une formulation symétrisée, voir [R4.02.02], avec des éléments (P,) notant le
vecteur des ddl de pression et de potentiel fluctuant pour décrire les perturbations dans le fluide,
r
sachant que p + &
= 0
0
. Une équation en P résout l'équilibre dynamique dans le domaine
fluide, celle en traduisant l'équation de continuité dérivée combinée à la loi de comportement fluide.
Des conditions aux limites en P et complètent le système d'équations pour décrire les évolutions
du fluide. Ainsi, sur une frontière
f _ p du domaine fluide, une pression fluctuante peut être
appliquée : P =
(t
imp
P
), cependant à cause de la formulation (P,), on doit aussi y imposer une
condition sur : (t) = imp (t), vérifiant &
0 imp (t ) = imp
P
(t).

r
Comme on envisage une frontière commune fluide-structure
FS , où on définit la normale n
sortante du domaine structure vers le fluide, le chargement de paroi du fluide est couplé avec le
r
r 0 r r r
déplacement de la structure. Les déplacements normaux sont continus : (u + u
fl
fl ) n
. = u n
.
st
sur


r0
FS , u fl désignant la partie permanente du déplacement fluide. En utilisant le potentiel fluide, on
r r r
a : &
n
. = u& n
.
st
sur
FS . De manière duale, les vecteurs contraintes sont continus :
- nr
p = n
.r sur
FS . La structure reçoit ainsi le chargement fluctuant du fluide :

p vr
(.- nr)dS .

FS
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 12/44


Si on envisage une surface libre (soumise à une pression constante), traitée aussi en description
eulérienne, voir [R4.02.04], on note par z (et Z les ddl associés après discrétisation) l'altitude
fluctuante (petite) de la surface libre
SL et la fluctuation de pression eulérienne dans le fluide
vérifie :
(p -

gz)zdS 0
0
= , dans toute altitude virtuelle z . C'est la seule conséquence de la

SL
pesanteur que l'on puisse prendre ne compte dans cette formulation.

Par ailleurs, on peut avoir besoin de prendre en compte une frontière artificielle avec un milieu infini
(qui doit traiter la condition de radiation à l'infini) : Code_Aster propose des éléments finis de frontière
absorbante (éléments paraxiaux ou anéchoïques), voir [R4.02.05]. Comme ils apportent a priori un
terme en dérivée troisième du temps, à cause de l'introduction du champ , on préfère le traiter à
l'aide d'une transformation en un terme non-symétrique en P& qui sera reporté au second membre, de
manière explicite.

Au total on obtient les équations semi-discrètes différentio-algébriques du problème couplé :


M
0
M
0
U&


C
0
0 0
U& K
0
0
0
U L
structure
FS
st











0
0
M fl
0 P&


0
0
0 0
P& 0 Q
0
0
P 0
fluide
fl

t
t
+
M
M
H
M



+
=





FS
fl
fl
z
&
&
0
0
0
0



0
fluide
0 A fa 0 0





t
0
0
M
0












Z&
0
0
0 0 Z&
0
0
0 K
Z
0
surf libre
z




z
.




éq 2.4-1
accompagné des conditions initiales :

U(t0) = U0 , U&(t0 ) = U&0 , P(t0 ) = 0
P , (t0 ) = 0 et Z(t0 ) = 0,

et des conditions aux limites : U(t) = Uimp sur le bord
S _u de la structure, des éventuelles
conditions unilatérales, et P(t) = imp
P
(t) avec (t)= imp(t), vérifiant &
0 imp (t ) = imp
P
(t) sur le
bord
f _ p du fluide.

Remarque :

On note que dans le cas non-linéaire, on remplace dans [éq 2.4-1] le terme K.U par les forces
internes non-linéaires
R(U, U&, Z,t).

Les différents opérateurs sont :

· les matrices K , M , C définies plus haut pour la structure solide,
1
· Q fl est la matrice construite à partir de
p.
qd , qui a le sens physique d'une

2
f c
0 0
énergie élastique du fluide,


· H fl est construite à partir de - .
0

d , et décrit le transport de masse fluide,
f
1
· M fl est construite à partir de
.
qd , et décrit l'inertie du fluide,

2
f c0
· M
r
r
r
FS est construite à partir de

0
. v (.- n)dS ( n est la normale du domaine

FS
structure vers le fluide), et décrit le débit massique eulérien à l'interface fluide-structure,
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 13/44

· A fa est construite à partir de 0p
. d , et désigne l'opérateur frontière absorbante,
f
agissant sur &P , modifiant l'équation en de la paroi absorbante : les éléments (modèle
3D_FLUI_ABSO) absorbants dé-symétrisent le système issu de la formulation (P, ) et on va
reporter ce terme au second membre, qui sera noté abso
L
, par discrétisation temporelle
explicite à chaque itération, voir le § 3,
· K z est la « raideur » de surface libre, construite à partir de
gz
0
.zdS ,

SL
· Mz provient du travail de la pression fluctuante en surface libre, construite à partir de

z. dS
0
,

SL
· le terme Lst contient, entre autres chargements, l'effet de la pression hydrostatique exercée
par le fluide sur la structure.

En résumé, la prise en compte d'un domaine fluide en évolution fluctuante barotrope, interagissant
avec la structure conduit à considérer dans le système dynamique non-linéaire [éq 2.2.4-1] enrichi sur
des ddls particuliers (P,) et Z :

· un opérateur de forces d'inertie M(U).U
& enrichi par :

U&

0
0
M
0
U&


FS





P&
0
0
M
0
fl
P&
fs


M = t
t

M
M
H
M
;
&
FS
fl
fl
z &



0
0
t M
0



Z&


z

Z&

· un opérateur de forces intérieures R(U,U&) enrichi par :

U
U
0
0
0
0


P

fs

0 Q
0
0
fl

P
K
=



;


0
0
0
0


0 0 0 Kz
Z
Z

· un second membre enrichi par le report au second membre par discrétisation temporelle
explicite de - A P&
fa
sur les ddls .

Le fluide doit rester en petits mouvements (hypothèse de base de cette modélisation), mais on peut
considérer des grands mouvements de la structure, baignée par le fluide, via une réactualisation de la
géométrie X X + U
(via le mot-clé COMP_INCR, opérande DEFORMATION : 'PETIT_REAC',
valable si on considère de petites rotations) des frontières
FS , ce qui fait recalculer le terme MFS
mais aussi tous les autres puisque le domaine f a évolué ; les champs scalaires (P,) sont alors
simplement transportés à l'identique sur la géométrie réactualisée. Voir aussi le cas-test FDNV100
[V8.03.100].
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 14/44


2.5 Prise en compte de lois de comportement visqueux et
amortissement

Une loi de comportement visqueux, voir [R5.03.08], se traduit comme une loi élastoplastique par une
évolution du travail des forces intérieures R(U,U
& ,t) . Ainsi, tout en amenant un amortissement
« physique » dans l'équilibre dynamique, elle ne produit pas de contribution directe au terme
d'amortissement C.U
& de l'équation d'équilibre dynamique, mais cependant de manière indirecte si on
a choisi un amortissement de Rayleigh (cf. [§ 2.2.1]) via la matrice de raideur tangente du schéma
d'intégration.

En effet avec une loi de comportement visqueux, le tenseur des déformations comporte une partie
élastique, une partie thermique, une partie anélastique (connue) et une partie visqueuse, déviatorique
(déviateur des contraintes noté ~
), par exemple vérifiant :

tot = e + th + a + v
= A(T ).e

3 ~
&v = g(eq ,,T )2 eq

Pour la relation de comportement visqueux LEMAITRE, la fonction g est explicite, mais ce n'est pas
toujours le cas. Après discrétisation implicite en temps, l'écoulement visqueux est :


~
v
3
-

= g eq, +


(v) ,T


eq
t


2
eq

On peut adopter aussi un schéma semi-implicite, qui semble donner de meilleurs résultats :


~
~-




+
3



2
v


-

(v)eq


T
= g +
-
-

,
,T


t

2


2
+
+

2
2
-
eq

+



2 eq

Après résolution d'une équation non-linéaire locale par élimination de v pour calculer

-
-
eq = ( +
) , on obtient ainsi la contrainte à la fin du pas de temps courant = +
.
eq

2.6
Equations en mouvement « relatif » [R4.05.01]

Dans plusieurs applications, notamment en séisme, on souhaite calculer directement le champ de
déplacement de la structure déduit du mouvement d'« entraînement » provenant des déplacements
imposés Ud (t) des supports de la structure.

On note alors ua le déplacement absolu de la structure : ua = uent + u , uent étant le déplacement
d'entraînement (par exemple, uent peut être un champ incident : il est appelé alors « déplacement
pseudo-statique »)) ; il peut être de corps rigide (cas MONO_APPUI), mais pas nécessairement (cas
MULTI_APPUI).
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 15/44


Et on appelle u le déplacement « relatif » (appelé ainsi par abus de langage si uent n'est pas de
corps rigide).

En effet la codification (RCC-M, ASME...) introduit la distinction entre « contraintes primaires » dues
au mouvement vibratoire « relatif » et « contraintes secondaires » dues au mouvement vibratoire
d'« entraînement ». La pertinence de cette distinction disparaît a priori évidemment dès qu'on envisage
un comportement non-linéaire du matériau.

Si l'on traite le problème d'interaction avec le sol (qui est un demi-espace infini) en séisme par
exemple, le champ de déplacement relatif u vérifie : lim u(x) = 0 : seul le champ incident uent est
x
perceptible à l'infini ­ c'est la donnée de chargement sismique. On utilise pour définir ce chargement
de déplacement imposé la commande AFFE_CHAR_MECA et le mot clé facteur ONDE_PLANE, sur une
frontière donnée du maillage considéré.

Dans ce cas de problème d'interaction avec le sol, on ne connaît pas a priori le déplacement
d'« entraînement » directement appliqué à la structure, puisqu'il résulte de la réponse totale couplée :
aussi le cas MULTI_APPUI n'a-t-il pas de sens.

Par contre, ne pouvant pas simuler en éléments finis avec Code_Aster le champ dans tout le demi-
espace infini (le sol), on est conduit à placer des frontières « absorbantes », cf. [R4.02.05], au bord du
maillage de sol. Le travail virtuel associé à ces frontières absorbantes, de normale sortante n , est
traité comme un second membre (pour les éléments finis absorbants paraxiaux d'ordre 0), car il est
intégré de façon explicite dans le schéma d'intégration temporelle (cf. [§3]) de DYNA_NON_LINE. La
forme linéaire associée vaut :
abso
L
(uent,u&ent,u&).v =
(Aabso(u&)+(uent ).n - Aabso(u&ent ) . dS
v

éq 2.6-1

abso
Après discrétisation, on déduit le second membre :
t
abso
V.L
(Uent,U&ent,U&) t
t
= V.Aabso U
. & + V.(U& ) t
ent - V.A abso U
. & ent éq 2.6-2

Remarque : cas d'un problème avec interaction fluide-structure :

Pour une structure subissant des déplacements imposés, en présence d'interaction fluide-
structure, où le domaine fluide n'est pas directement lié au « support » imposant le signal
d'entraînement, il est possible de résoudre le système d'équilibre dynamique en terme de
déplacement « relatif »
U de la structure et de variables fluides (P,) « absolues » et de cote de
surface libre du fluide
Z « absolue », cf. [§ 2.4]. En effet, on peut montrer que (Pent , ent ) = 0 et
Zent = 0, sur la base de [eq 2.4-1]. On pourra se reporter à [R4.02.05].

On ne pourra pas considérer un tel type de décomposition champ d'« entraînement » ­ champ
« relatif » en cas de chargements de type pression imposée fluctuante sur une paroi du domaine fluide.

On cherche à exploiter cette distinction dans le système dynamique non-linéaire discret [éq 2.2.4-1]
pour simplifier la prise en compte des déplacements imposés Ud (t) .
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 16/44




U a
Us déplacement imposé des supports
U ent
mouvement absolu
U
Ua
mouvement d'entraînement U ent
mouvement relatif
U
( R a )


Toutes les conditions de liaison, voir [éq 2.2.4-1], ne sont pas nécessairement des conditions
d'« entraînement » par les supports :
d
Bs .Ua = U (t) ; on note par B .U
L
a = 0 les conditions de
liaisons que l'on souhaite imposer directement au déplacement Ua de la structure (par exemple des
liaisons internes comme « 3D_POU »...) et L les paramètres de LAGRANGE associés. On envisage
donc par la suite ces deux familles : B s pour les mouvements d'« entraînement » par les supports et
BL pour les liaisons bilatérales « ordinaires ».

Si les supports sont en nombre fini (ce qui sera le cas après discrétisation de toute manière), on note
Ve l'espace vectoriel des champs de déplacements de la structure « entraînée » uent , de dimension
finie Ns , que l'on va définir ci-après. On décompose les conditions de DIRICHLET Ud (t) , sur une
base (X
d
k
ks ) de déplacements des supports : U (t) = Ud (t)Xks , k = 1 Ns parcourant tous les
« degrés de liberté entraînés » par les supports.

On construit un « relèvement élastostatique », c'est-à-dire une base de Ve à partir des solutions
statiques élastiques linéaires de la structure sous les seuls déplacements imposés de base (Xks) des
supports (aucun chargement en force imposée). Après discrétisation par éléments finis, cela revient à
résoudre k = 1 N s problèmes d'élastostatique (matrice de raideur K ) :

Trouver ( k
, s ,
tels que
k

L k
)
K
. k +t B
t
s .

s
+ B
L . L
k
= 0


k
Bs
. k = Xks

éq
2.6-3

BL
. k = 0


On appelle « modes statiques » ces Ns solutions k (renseignés via l'opérande « MODE_STAT » de
DYNA_NON_LINE). Ils sont calculés au préalable par l'opérateur MODE_STATIQUE [U4.52.04] avec
l'option MODE_STAT.

On a nécessairement avec [éq 2.6-3] : t .K. +t
k
X s
. s
,
l =
l
l
= 0 ,
k 1 N .
k
s

Le champ de déplacements de la structure « entraînée » uent , après discrétisation par éléments finis,
est donc décrit par les
k
U
k
ent = U ent (t ) k
, vérifiant notamment Bs U
. ent = Ud (t)Xks sur les
supports, parcourant le sous-espace discret Ve , des « degrés de liberté entraînés » par les supports.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 17/44


Le sous-espace discret Ve est donc engendré par la base (k ) . On a nécessairement :

U k (t) U k
= d (t)
,k
e


Les degrés de liberté de déplacements de la structure « entraînée » sont donc directement donnés par
la valeur des Ud (t) .

Ayant caractérisé le sous-espace discret Ve à partir des modes statiques, après discrétisation,
étudions un champ de déplacement W de la structure, cinématiquement admissible quelconque, mais
nul sur les supports : B W
0
s.
= et vérifiant les liaisons « ordinaires » B W
.
L
= 0 . En vertu de
[éq 2.6-3], on a nécessairement :

t W.K
. k +t W.t B .
t
t
s
s
+ W. B .
L L
k
= 0
k


t W.Bs
. k =t W.X
W
ks
, tel que B W
.
s
= 0
t W.B

L
. k = 0


D'où simplement :

t W.K
. k = 0

W
, tel que B W
.
s
= 0 et B W
.
L
= 0
éq
2.6-4
t W.X

ks = 0

L'opérateur de raideur élastique K étant défini positif (ayant éliminé les modes de corps rigides), on
constate que tout champ de déplacement absolu Wa cinématiquement admissible de la structure,
après discrétisation, peut s'écrire par décomposition unique :

W = W + W
a
e sur la somme des sous-espaces supplémentaires Va = V Ve éq
2.6-5

avec Ve engendré à partir des modes statiques (k ) , et V contenant les champs dits « ddls actifs »
tels que B W
0
s.
= (nuls sur les supports). On appelle V le sous-espace discret des « degrés de
liberté actifs ».

Pour un chargement de type MONO_APPUI, les modes statiques sont les modes de corps rigides de la
structure : K
. k = 0 , vérifiant les liaisons « ordinaires » BL
. k = 0 .
Si le chargement est MULTI_APPUI, les modes statiques (k ) sont quelconques.

Cette décomposition sur deux sous-espaces supplémentaires Va = V Ve de tout champ
cinématiquement admissible bâtie à l'aide de l'opérateur d'élasticité K est applicable dans toute
évolution non-linéaire de la structure, y compris avec des chocs..., à condition que les liaisons
bilatérales restent les mêmes au cours de l'historique.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 18/44


Exploitons cette décomposition et projetons maintenant le problème dynamique non-linéaire
[éq 2.2.4-1] séparément sur le sous-espace V puis sur le sous-espace Ve , en exploitant [éq 2.6-3].
Le résultat se simplifie (un peu seulement) car B W
0
s.
= (d'où les « ddls actifs » ne travaillent pas
dans les réactions des appuis supports Bs ), B . = 0
L
k
(d'où les modes statiques ne travaillent pas
dans les réactions de liaison B L ), B . = X
s
k
ks :

Trouver U = U + U
a
e
, s , L ,µ tels que :
Ue = l
U d (t)

l
t
(
W.M. U+U , U&
e
+U& ,U&
e
+U& )+t
e
(
W.C. U&+U&e )+t W.R(U,U&+U& ,t)
e
=


t
(
W. L(t)+ Labso (U ,U& ,U&
e
e
) -tW.tB .LL -tW.tA.µ WV

t .M
k
(U+U ,U&
e
+U& ,U&
e
+U& )+t
e
k (
.C. U&+U& )+t
e
.R(U,U&
k
+U& ,t)
e
=

t
abso
t
t
t

k (.L(t)+ L (U ,U& ,U&
e
e
) - X .kss - . A.
k
µ
k

B .U
s
=0

B .U
L
=0

(
A. U+Ue ) d0 (t)

µ 0
j, ( (
A. U+Ue )- d0 ) .jµ j = 0

(U+Ue )(t0 ) = U0

(U&+U&e )(t0 ) = U&0
éq 2.6-6

On constate que cela est assez compliqué.

Restreignons-nous d'abord au problème dynamique où les opérateurs d'inertie M et de forces
intérieures R sont linéaires, et en absence de frontières absorbantes : Labso (U , U& , U&
e
e
)= 0.

On fait l'hypothèse dans Code_Aster que : C.U
&
0
e =
, y compris en multi-appui (alors que cela n'est
exact qu'en mono-appui, où les modes statiques sont les modes rigides K.
0
k =
sans déformation).
Cela revient à négliger la contribution des déplacements d'entraînement de la structure à
l'amortissement visqueux.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 19/44


Les modes statiques k vérifiant [éq 2.6-3], le système [éq 2.6-6] se restreint à :

t W.M.U& +t
U
W.C. & +t W.K.U =t W.L(t)- t W.t B .
L L - t W.t A.µ - t W.M.U
& e
W V

t .M.
k
(U&+ &l
U d (t)
t
t
t
t
t
t

µ
l )+
U
.C. &
k
+ l
U d (t) .K.
k
= .L
k
(t)- X .
ks
s - . A.
k
k

l
Ue = U kd (t)k

B .U
s
=0

B .U
L
=0


(
A. U+U kd (t)k ) d0(t)

µ 0
j, ( (
A. U+U kd (t)k )- d0 ) .µ
j
j = 0

(U+Ue )(t0 ) = U

0

(U&+U&e )(t0 ) = U&0
éq 2.6-7
On constate sur la première de ces équations [éq 2.6-7], que grâce aux hypothèses faites, on peut se
restreindre à résoudre un problème dynamique sur le champ de déplacement « relatif » U , ayant
bloqué les degrés de liberté sur les supports ( B U
0
s.
= ), à condition de fournir au préalable le
terme t W.M.U
& e , ainsi que les modes statiques (k ) .

L'objet de l'opérateur
t
CALC_CHAR_SEISME [U4.63.01] est justement de calculer le terme - W M
.
U
. & e ,
transformé en un concept de type « charge », à l'aide de l'opérateur AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01].
On peut aussi simplement introduire une charge de « pesanteur » unitaire dans la direction voulue, et
amplifiée par le signal temporel d'accélération. L'avantage est d'exploiter directement la donnée en
accélérogramme (par exemple produit à partir d'un spectre), sans avoir à l'intégrer deux fois en temps
avec les incertitudes que cette opération engendre. On peut produire directement les contraintes dites
« primaires » induites par la dynamique en « mouvement relatif ».

Cet avantage est perdu si des liaisons unilatérales sont présentes, puisque la condition
A.(U+U k
k
d (t) k
) d (t)
0
demande la valeur de U (t
d
) pour être exprimée correctement, excepté si
on a la chance que le mouvement d'entraînement n'ait pas de composante sur l'interface où le jeu de
la liaison unilatérale est calculé !

La seconde équation de [éq 2.6-7] fournit les réactions sur les supports s (le reste étant déterminé
par la résolution du problème en déplacement « relatif » U ) ; mais on constate là aussi qu'il est
nécessaire de connaître U k (t
d
) .

C'est la même chose si l'on veut reconstituer la solution complète pour le post-traitement en
contraintes avec leur contribution dite « secondaire », liée à U
k
e = Ud (t ) k
.

Maintenant on considère le problème dynamique d'une structure interagissant avec un sol (milieu
« infini »), source d'une onde sismique incidente, cf. [R4.05.01] et [R4.02.05]. On est nécessairement
dans un cadre « MONO_APPUI », où les modes statiques sont les modes rigides de la structure, d'où :
K.
0
k =
et t k
.C.U& = 0 . On utilise donc des éléments de frontière absorbante, et le terme
L
(U ,U& ,U
abso
e
e & ) est présent dans [éq 2.6-7]. L'onde incidente est fournie directement par le signal
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 20/44

U r
d (x, t) . On construit donc les termes de
[éq 2.6-2], ainsi que le terme tW.M.U
& e . Le
système [éq 2.6-7] devient :
t
t
t
W.M.U& + W.C.U& + W.K.U =

t

W.L(t) t
abso
+ W.A
.
0
(
t
t
t
t
t
t
U& - U&e) + W.(U&e) - W. BL. L - W. A.µ - W.M.U&e
W
V
t
t
t
abso
t
t
t
t
l
k
.M.(U& U
+ & d& (t)l) = k
.L(t) + k
.A
.
0
(U& -U&e)+ k
.(U&e)- Xks.s - k
. A
k

k
Ue = Ud (t) k

Bs.U = 0


B .U

L
= 0

A.(U+ k
Ud (t) k
) d (t)
0
µ

0

k
j, (A.(U+Ud (t) k
)- d0) .µ = 0
j
j

(U U
+ e)(t0) = U0


( &U+ &Ue)(t0) = &U0
éq 2.6-8
Revenons maintenant au problème général non-linéaire [éq 2.6-6]. On constate que la première
équation sur les degrés de liberté « actifs » comporte nécessairement un couplage avec le champ
U
k
e = Ud (t ) k
dans l'opérateur d'inertie comme dans celui de forces internes. On doit donc,
conformément au schéma d'intégration temporelle et de résolution non-linéaire, développé au [§ 3],
reconstituer à chaque instant de calcul la valeur de déplacement absolu U = U + U
a
e
, les
contraintes...

En conclusion, on peut traiter le problème dynamique en mouvement relatif (en admettant que les
forces d'amortissement ne dépendent que de lui) :

· si on est en MONO_APPUI ou MULTI_APPUI, à condition que le comportement soit linéaire en
petites transformations, sans frontière absorbante, avec des conditions unilatérales telles que
les jeux ne soient pas modifiés par le mouvement d'entraînement, que le domaine fluide ne
soit pas directement chargé, et avec un chargement d'accélération imposée, cf. [éq 2.6-7] ;
· si on est en MONO_APPUI, avec un comportement quelconque et avec frontière absorbante,
avec des conditions unilatérales telles que les jeux ne soient pas modifiés par le mouvement
d'entraînement, et avec un chargement d'accélération imposée.

Sinon, on ne peut que traiter le problème dynamique en mouvement absolu.

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 21/44


3
Schéma d'intégration temporelle : schéma de NEWMARK et
méthode de NEWTON

Le problème mécanique à analyser étant modélisé en éléments finis, selon la démarche décrite au
[§ 2], on calcule les champs de déplacements, vitesses et accélérations aux noeuds en une suite
discrète d'instants de calcul t ,t
t ,t
t
1 2K i 1
-
iK N : { ti }
.
1i N
L'utilisateur de DYNA_NON_LINE peut actuellement choisir entre deux schémas temporels implicites à
deux pas : celui de NEWMARK (1959) ou sa variante dite « accélération moyenne modifiée », de
HILBER-HUGUES-TAYLOR (HHT, 1977) : voir le paragraphe [§5]. L'état de la structure étant connu à
l'instant ti-1 , on en déduit son état à l'instant ti par une méthode de prédiction-correction.

Remarque :

On doit noter que Code_Aster ne propose pas de méthode multi-domaine en temps et espace, qui
permettrait de définir un schéma par zone dans le solide étudié.


3.1 Schéma
de
NEWMARK

On présente ici ce schéma sous sa forme classique ([bib1] et [bib2]) relative à un mouvement de
translation ou de petite rotation. Pour les grandes rotations d'éléments de structure [bib3], les formules
sont plus compliquées, mais elles permettent de la même façon d'actualiser la vitesse et l'accélération
angulaires en fonction de l'accroissement de déplacement, qui est dans ce cas le vecteur-rotation.

On note ci-après par la configuration, c'est-à-dire le paramétrage du système par les ddl des
éléments finis : déplacements et rotations U , pression P , potentiel ...

Le schéma de NEWMARK repose sur les développements suivants du vecteur configuration fonction
du temps, où et sont deux paramètres :
2
(

t+ t
) (t)+ t
&( )
t
t +
(1- 2)&(t)+ 2&(t+ t
) éq
3.1-1
2
&(t+ t
) &(t)+ t
(1- )&(t)+ &(t+ t
)
éq
3.1-2
L'équation [éq 3.1-1] s'écrit aussi avec [éq 3.1-2] :

2
(


t+ t
) ( )
t
t +
( - )&(t)+&(t+ )
t
t +
( - 2)&(t)


2

Ces paramètres et sont fournis respectivement via les opérandes ALPHA et DELTA du mot-clé
NEWMARK de DYNA_NON_LINE.

Voir le [§ 4] pour les caractéristiques du schéma en fonction des valeurs de ces paramètres.

Les crochets aux seconds membres des équations [éq 3.1-1] et [éq 3.1-2] sont des moyennes
pondérées de &(t) et de &(t+ t
).

En pratique ces expressions ne sont pas utilisables car on va devoir exprimer les valeurs à l'instant
t + t
à partir de celles à l'instant t .
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 22/44


L'équation [éq 3.1-1] donne :
&(
1
1
2 -1
t + t
) =
[(t + t)- (t)]-
&(t)+
&(t)
t2

t

2

éq
3.1-3

&
1
=

1
-
&(
1
t)-
&(t)
t2

t

2
Et, d'après [éq 3.1-2] :


-
2 -
&(

t + t
) =
[(t + t)
- (t)]+
&( ) (
) t
t +
&(t)
t


2


éq
3.1-4
2 -

& =

- &( ) (
) t

t +
&(t)
t


2

On remarque qu'on ne peut avoir = 0 , ni = 0 . Au premier pas de calcul on exploite directement
les conditions initiales : (0) et &(0). Il faut aussi &(0), sauf si = 1 : voir la remarque faite au
[§ 3.2].

Dans le cas des grandes rotations d'éléments de structure les expressions homologues à [éq 3.1-3] et
[éq 3.1-4] sont plus complexes [bib5], mais les relations qui suivent sont assez aisément
transposables.

Au cours d'un pas de temps (de t à t + t
), où les valeurs à l'instant t sont figées, les équations
[éq 3.1-4] et [éq 3.1-3] définissent les accroissements de vitesse
& et d'accélération
&
correspondant à un accroissement de déplacement arbitraire
à partir de la position à l'instant t ,
dont on aura besoin lors des itérations de correction de NEWTON (au sein du pas de temps, voir le
[§ 3.3]) :


& =

éq
3.1-5
t



1
& =


éq
3.1-6
2
t


Plaçons-nous à l'instant t = ti-1, et on écrit l'équilibre [éq 2.2.4-1] après discrétisation spatiale à
l'instant t = t -1 + t
i
i
, éventuellement avec les éléments complémentaires apportés en [éq 2.2-6]. On
note Ui = U(ti ) les degrés de liberté au nouvel instant ti et en exploitant les termes du schéma
temporel [éq 3.1-4] et [éq 3.1-3], on aboutit au système non-linéaire d'équilibre dynamique :

^KUi + R(U ,iU& t)+ t
i

B.
+ t
i
µ
A. i = ^
,
L(ti )- iner
LGR (U ,U& ,
i
i U
& i )

B.U = d
i
U (ti )

A.Ui d (t )
0 i

éq 3.1-7

j, µ j 0

j, (A.Ui - d0 ) µ
.
i j
j = 0
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 23/44


avec :
1

K^ = K fs +

éq
3.1-8
2 (M + M fs )+
C
t

t

^

L(ti ) = L(t )+ abso
i
L
(
1
fs
2 1
2
ti-1)+
M M
U
tU&
t
U&
2 (
+
)
-



i-1+ i-1+
i-1

t

2
éq
3.1-9
1

+
2
2
.
C U
i-1 + t( - )
-




U&i-1 + t
U&i-1
t

2


Remarque :

On constate que la matrice $
K contribuant à la raideur généralisée du système à résoudre est
enrichie de termes provenant de la matrice de masse M du système (à condition que l'on ait
affecté une masse volumique sur tous les éléments finis du modèle) et de la matrice
d'amortissement
C . On verra plus loin que la linéarisation des forces internes R(U , U& ,t
i
i
)
contribue aussi à $
K . Ainsi, même si le système mécanique considéré comporte des modes
rigides, par exemple dans une étude où un solide est en chute libre, la matrice de masse vient
« éviter » que la matrice de « raideur »
$
K ne soit pas factorisable. En quelque sorte, ce sont les
forces d'inertie du corps solide (dans ses modes rigides) qui assurent l'équilibre avec les forces
extérieures, ce qui ne pourrait se faire en quasi-statique.
Cependant, on observe que le pas de temps t

apparaît aussi. S'il est trop grand, les termes de
masse ne seront pas assez importants face à ceux de raideur, et la matrice risque d'être quasi
non-factorisable (« pivots quasi-nuls »).


Remarque :

Les termes avec l'exposant fs apparaissent si le système contient des domaines fluides (voir
[§ 2.4] et les termes venant du domaine fluide dans [éq 2.4-1]) ; on rappelle qu'il n'est pas prévu

de chargement fluide fl
L .

Remarque :

Contrairement au cas d'amortissement de Rayleigh (voir [§ 2.2.1]), la matrice d'amortissement C
n'apparaît pas dans la matrice
$
K en présence d'amortissement modal (mot-clé AMOR_MODAL),
car dans ce cas, la force C.U
& i-1 est construite directement sans stockage de la matrice C, et est
reportée au second membre $
L(ti ).
Le terme abso
L
dans le second membre apparaît en présence de frontières absorbantes, voir le
[§ 2.6]. Il est traité selon un schéma explicite en fonction des champs solutions à ti-1 .

Remarque :

Contrairement au ­schéma utilisé en thermique, cf. [R5.02.01], où les dérivées sont écrites de
manière explicite, tandis que l'équation de conservation est écrite à un instant fictif résultant d'une
combinaison avec le paramètre
des valeurs aux instants ti 1
- et ti , les équilibres dynamiques
sont vérifiés sur les instants ti 1
- et ti , tandis que les dérivées sont des combinaisons
déterminées par le schéma [éq 3.1-1] et [éq 3.1-2].
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 24/44


Il reste encore à traiter les termes non-linéaires : les forces internes R(U ,U
i & i , t) et la contribution
non-linéaire des forces d'inertie en grandes rotations de structures Liner (U ,U& ,U
GR
i
i & i ) (cf. [§ 2.2.2]).

Au premier instant t1 , on voit dans [éq 3.1-9] que l'on a besoin de U ,U
0 & 0 , fournis par les conditions
initiales, mais aussi, à cause du schéma de NEWMARK, de &U0 : voir la remarque faite au [§ 3.2].

3.2
Phase de prédiction

Le système [éq 3.1-7] est non-linéaire et est intégré, après une prédiction d'EULER par linéarisation, à
l'aide d'une méthode itérative de NEWTON, comme en statique non-linéaire [R5.03.01]. Le calcul de
cette prédiction peut être légèrement erroné, tant que la phase de correction par itérations de
NEWTON [§ 3.3] est capable de corriger à convergence...

3.2.1 Pas de temps général

À la phase de prédiction, on exploite la solution au pas précédent ou les valeurs de l'état initial, et on
note la matrice de raideur tangente initiale du pas :


t
R
d Q
t

K i 1
- =
=
.
+ Q
.
éq 3.2.1-1
U (
U
,U&
,
U
i-
i- i
t -
i-
U
U&
t
dU
U
i 1,
-
i 1,
- i 1
- )
( 1 1 1)
( 1)
(
U
,U&
,t
Ui 1
- )
( i 1- i 1- i 1-)

Ces termes (cf. [§ 2.2]) sont évalués sur le pas précédent, le premier terme du second membre de
[éq 3.2.1-1] n'apparaissant qu'en grands déplacements ( Q n'étant alors pas constant).

Si le comportement est linéaire, la matrice Ki-1 est simplement la matrice de rigidité élastique K de
la structure.

On peut aussi décider pour économiser du temps calcul de ne pas réactualiser cette matrice, et de
prendre la matrice de rigidité élastique, voir [U4.51.03], mot-clé NEWTON, opérande PREDICTION,
valeur `ELASTIQUE', plutôt que `TANGENTE'. Si on ne spécifie rien, le choix par défaut fait par
Code_Aster est cohérent avec celui fait sur les itérations de correction de NEWTON décrites ci-après
au [§3.3].

Par ailleurs, en présence de grandes rotations (éléments de structure : poutres...), on doit aussi
dériver le terme non-linéaire d'inertie iner
LGR (Ui ,U&i ,U&i ) :

iner
1
M
LGR
K i 1
- =

éq
3.2.1-2
U (Ui 1,-U&i 1,-U&i 1-)

La matrice $
K ayant été établie par [éq 3.1-8], cette nouvelle matrice
1
M
K i 1
- est combinée à la matrice
$K + Ki-1, voir ci-dessous [éq 3.2.1-4].
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 25/44


On définit aussi les accroissements de chargement $L(ti ) à partir de [éq 3.1-9], de conditions
imposées
d
U

(t
anél
i ), et on regroupe dans L

(ti ) les dépendances des contraintes en fonction
des divers paramètres ou « variables de commande » Z de la loi de comportement du matériau
constitutif : tels que la température... :

anél
t
d
L

(ti )= - Q(Ui-1).
. Z

dZ (U ,U& ,U& ,Z
i-1
i-1
i-1
)

En présence d'amortissement modal les forces d'amortissement sont reportées au second membre.
On ajoute alors à $L(ti ) le terme correspondant : - .
C U&i 1
- .

Le terme abso
L
(ti )= -A faP&(
abso
ti 1
- ) + L
(U
, U&
,
ent
U&
i 1
-
ent i 1
-
i 1
- ) désigne la contribution
intégrée en explicite (pour simplifier) d'une frontière fluide absorbante et d'une frontière élastique
absorbante, cf. [éq 2.4-1] et [éq 2.6-2].

On note l'accroissement L
^
(ti ), L^ étant défini avec [éq 3.1-9] :

^
L(ti ) ^
= L(ti ) ^
- L(ti 1
- )
éq
3.2.1-3

On calcule alors des valeurs prédictives pour le pas de temps en cours (U0
0
0
i , i , µi ) :

Prédiction
^
1
M
0
t
0
t
0
^
anél
(K + Ki-1 + Ki-1 )Ui + B
. i + A
. µi = L(ti )+ L
(ti )
B . 0
U = d
i
U (ti )


A (. 0
Ui ) d (t )
0 i
éq
3.2.1-4

0
j, µi 0
j

j, ( . 0
A Ui - d0 .µ
i )
0

i
= 0
j
j

où on définit la prédiction
0
0
Ui = Ui 1
- + U
i pour le nouvel instant t = t -1 + t
i
i
.

Si on a choisi MATRICE = `ELASTIQUE' dans le mot-clé NEWTON, on ne réévalue pas à chaque pas de
temps
1
M
1
^
^
M
K + Ki 1
- + K i 1
- = K + K 0 + K 0 , ce qui évite le coût de ré-assemblage et d'inversion,
mais augmente le nombre d'itérations de correction.

Après l'établissement d'un candidat solution de [éq 3.2.1-4] sans vérifier le critère de contact, on lance
l'algorithme de contraintes actives pour satisfaire les conditions de contact : on corrige ainsi
U0 0 0
i , i , µi .
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 26/44


Remarque : matrice tangente singulière :

On vérifie sur [éq 3.2.1-4] que si la matrice tangente K i 1
- est singulière (cas d'un mode rigide,
d'un matériau endommagé, ou plateau ductile...), la dynamique est pilotée par les forces d'inertie,
et que, la matrice
K
^ étant en général régulière (cf. remarque faite au [§ 3.1]), l'on trouve malgré
tout bien un prédicteur 0
Ui , à condition que la précision dans la matrice K^ ne soit pas perdue
(pivot quasi-nul) à cause d'un choix de pas de temps trop grand qui joue en
2
1/
t


dans
[éq 3.1-8]. C'est par exemple le cas en dynamique de chute libre.

3.2.2 Premier pas de temps

Si l'on se trouve au premier pas de temps, d'une étude ou d'une reprise (poursuite), le prédicteur est
calculé différemment pour tenir compte de l'état initial ( U0 , U&0 , 0 ) :
^
1
M
0
t
0
t
0
^
anél
t
(K + K0 + K0 )
. U1 + B
. 1 + A
. µ1 = L( 1t)+ L
( 1t)- Q.0
B . 0
d
U1 = X ( 1t)

- .
B U0

A( 0
U1 ) d (t )
0 1
éq
3.2.2-1

0
j, µ1 0
j

j, ( . 0
A U1 - d

1
0 )
0

1
= 0
j
j
avec :
^
fs

L(
1
1 2
1
t ) = L( 1t)+
M M
U
tU&
t
U&
2 (
+
)
2 -
0

0 + 0 +
0
t

2
éq
3.2.2-2
1

+
2
C U
0 + t( - )
2
-
0


U&0 + t
U&0
t

2



et l'accélération
0
U&0 évaluée par la résolution préalable du système (on simplifie en supposant les
liaisons de contact bloquées, les itérations de NEWTON se chargeront de corriger) :


0
M.U
t
t
anél
t
& 0 + B.0 + A.µ0 = L(t0 )+ L (t0 )- Q. 0



0
B.U0 = 0
éq
3.2.2-3


0
A.U0 = 0
Remarque :

Il serait plus exact de calculer :
0
MU&
t
t
anél
0 +
.
B
t
0 +
.
A µ0 = L(t0 )+ L
(t0)- .
Q 0 - U
C & 0 ,
mais pour simplifier sachant que cela n'aura que peu d'influence sur la suite des solutions, on
néglige
U
C & 0 dans le second membre de [éq 3.2.2-3].
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 27/44


On doit noter que :

· la matrice M doit être inversible : on devra affecter une masse volumique sur tous les
éléments finis du modèle,
· il peut être nécessaire d'établir par un calcul statique (éventuellement non-linéaire) l'état
d'équilibre sous le chargement initial, donc les contraintes 0 , avant l'imposition des
conditions dynamiques initiales U ,U
0 & 0 . En effet, sinon, l'accélération 0
U&0 pourrait être
« excessive » et conduire sur une branche non désirée d'équilibre,
· en présence de « charges cinématiques », cf. [U4.44.03], ces dernières sont mises à zéro à
cette étape de calcul de
0
U&0 .

Cependant, certains éléments finis ne possèdent pas de masse sur tous les degrés de liberté, par
exemple les poutres avec gauchissement POU_D_TG justement sur les ddl de gauchissement, ou en
couplage fluide/structure. Pour les éléments de couplage vibro-acoustiques [§ 2.4] en effet, la matrice
de masse du problème [éq 2.4-1] n'est pas inversible. Dans ces cas-là, la matrice M n'est pas
inversible, et on se contente de prendre une accélération initiale nulle sur l'ensemble du modèle et la
suite des itérations devra se charger de corriger cette prédiction moins « bonne ». On choisira alors un
petit pas de temps pour assurer la convergence au moins au début du transitoire.

Le terme abso
L
(t0) est évalué à partir de la vitesse initiale U&0 (cf. [R4.02.05]).

3.3
Phase de correction par la méthode de NEWTON

On cherche les valeurs (Ui , i, µ )
i des incréments de déplacements et paramètres de
LAGRANGE depuis les valeurs (U
, i- ,µ )
i-1
1
i 1
-
obtenues à l'équilibre précédent (instant ti-1 ). On
prend comme valeurs initiales (U0
0
0
i , i , µ )
i obtenues à l'issue de la phase de prédiction, avant de
commencer les itérations de la méthode de NEWTON.

À chaque itération n de NEWTON, on note par des les évolutions conduisant à l'estimation des
incréments à convergence des itérations
:
n 1
+
n
n 1
+
Ui = Ui + Ui - Ui 1
- et
n+1
n
n+1
i
= i +i - i-1 (de même pour les µ ). On doit résoudre alors un système permettant de
déterminer (Un+1
n+1
n+1
i
,i i ) , incréments des déplacements et des paramètres de LAGRANGE
depuis le résultat (Xn
n
n
, ,µ )
i
i
i
de l'itération précédente :

Correction (itération n° n )
^
n
Mn
n+1
t
n+1
t
n+1
^
n
abso
n
(K + Ki + Ki )Ui
+ B.i + A.µi = L(ti )+ L
i - i
F

n+1
B.Ui = 0



n+1
A.Ui
d (t )
0 i
éq
3.3-1

j, µ j 0

n+1
n+1
j, ( .
A Ui - d0
µ
.
i )
i
= 0

j
j
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 28/44


avec un second membre appelé « résidu », car il tend vers zéro à la convergence. On note
(cf. équilibre [éq 2.2.4-1]) :

n
t
i
F = Q( n
Ui )
. (
&
&
n
n
+ U
C.
+ M U .U - L
+

B.
+
µ
A.
éq
3.3-2
U ,U& ,
U ,U& ,U&
i
i i )
ni
t
( ni) n iner
i
GR ( n n n
i
i
i )
t
n
t
n
i
i
n
Le terme $
L(t
abso
n
abso
n
i ) est défini par [éq 3.1-9], le terme L
i = -A fa &i
P 1
- + L
(Uent ,U& ,U&
i 1
-
ent
i

i
1
1
-
- )
correspond aux frontières fluides et élastiques absorbantes, qui est traité en explicite [éq 2.4-1],
[éq 2.6-2] ; la matrice $
K est donnée par [éq 3.1-8].

En présence d'amortissement modal les forces d'amortissement sont reportées au second membre.
Selon la valeur donnée au mot clé AMOR_MODAL, REAC_VITE, on ajoute à L
^ (ti )le terme réactualisé :
n
- C U
. & i , ou non réactualisé - .
C U&i 1
- .

La matrice K ni est la matrice de l'application linéaire tangente de la partie « forces internes » du
système d'équations non-linéaires [éq 3.1-7] ; elle vaut donc :
méca
n
F
R
Li
K i =
=
-

éq
3.3-3
U
U

&
&
U
( n
U , n
U ,t )
( n
U , n
U ,t )
i
i i
i
i i
( n
U ,t )
i i
En l'absence de forces suiveuses, le dernier terme est nul. Les forces suiveuses peuvent être : la
pression exercée sur les bords d'éléments massifs, le chargement de pesanteur pour les éléments de
câble, la force centrifuge en grands déplacements, le chargement de pesanteur pour toutes les
modélisations THM des milieux poreux non-saturés [R7.01.10].

Si on envisage la réactualisation de la géométrie (en grands déplacements), on a plus précisément :

t
méca
n
t

Q U
L
K i = Q(U)
( )
.
i
+
. -

éq
3.3-4
U ( n
U
U
U , n
U& ,
i
i ti )
( nU, nU&,
i
i ti )
( n
U ,t )
i i
Le premier terme est la contribution du comportement comme en petites transformations, à la
différence que cette contribution est ici évaluée en configuration actuelle. Le second terme est la
contribution de la géométrie qui n'est pas présente en petites transformations. Dans le cadre de la
réactualisation PETIT_REAC, ce terme n'est pas présent dans le calcul de la matrice tangente.

La matrice
Mn
K i est la matrice de l'application linéaire tangente de la partie « forces d'inertie » du
système d'équations non-linéaires [éq 3.1-7] qui vaut donc :

iner
Mn
L
GR
K i =
éq
3.3-5
U

( n n n
Ui ,U&i ,U&i )

En pratique on peut utiliser la « vraie » matrice tangente, mais cela présente un coût calcul certain
(calcul et factorisation), ou se contenter d'une réactualisation de temps en temps : voir en [U4.51.03] le
mot-clé facteur NEWTON, mot-clé MATRICE.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 29/44


Remarque : matrice tangente singulière :

On vérifie sur [éq 3.3-1] que si la matrice tangente K ni est singulière (cas d'un matériau
endommagé, ou plateau ductile...), la dynamique est pilotée par les forces d'inertie, et que, la

matrice K
^ étant régulière, l'on trouve malgré tout bien un correcteur Un+1
i
(comme si on était
par exemple en situation de chute libre). Cependant, si le pas de temps est « trop élevé », la
matrice (
n
Mn
K^ + Ki + Ki ) peut être mal conditionnée et le solveur lui trouve un pivot quasi-nul.

Après chaque itération de NEWTON ayant établi un candidat solution de [éq 3.3-1] sans vérifier le critère
de contact, on lance l'algorithme de contraintes actives pour satisfaire les conditions de contact : on
corrige ainsi Un+1
i
.

3.4
Mise à jour

· Dans le cas des petites rotations, pour les modélisations habituelles (éléments massifs,
poutres, plaques, coques, éléments discrets...), la mise à jour s'appuie sur les formules
[éq 3.1-5] et [éq 3.1-6].
n+1
n
Ui = Ui +
n+1
U

i

n+1
n
Ui = Ui +
n+1
Ui


n+1
n

U&

éq
3.4-1
i
= Ui +
n+1
U


i
t

n+1
n
U&i = U&i + 1
n+1
U

i

2
t

· Dans le cas des grandes rotations des éléments de structure (poutres...) la mise à jour,
nettement plus complexe, est indiquée en [R5.03.40].

3.5 Critère
d'arrêt

Le critère de convergence globale de l'algorithme de NEWTON est identique à celui pratiqué dans
STAT_NON_LINE. Il traduit la vérification de l'équilibre dynamique.

À l'instant ti , on arrête les itérations au rang n , dès que l'inégalité suivante est satisfaite :

t Q( n
U
^
i ) n

. i +
n
U
C. & i + M( n
Ui ) n
U
. & i +t
n

B. i +t
n
µ
A. i - iner
LGR ( n n n L
Ui ,U&i ,U&i ) - (ti ) éq 3.5-1
L^(t )+ anél
i
L
(ti )-t n

B. i -t
n
µ
A. i

est une tolérance, introduite en donnée par l'utilisateur (mot-clé CONVERGENCE, opérande
RESI_GLOB_RELA), de l'ordre de 10­4 à 10­6, et .
est la norme du maximum sur les ddls.


Le dénominateur de [éq 3.5-1] est une norme du chargement à l'instant ti , à laquelle on rapporte le
numérateur, qui est une norme des forces non (encore) équilibrées.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 30/44


Tout comme en statique, on doit accorder de l'importance à une correcte convergence car sinon, les
estimations de forces intérieures et de réactions de contact, vérifiant les relations de comportement et
de liaison de contact-frottement s'éloignent de l'équilibre, et ce n'est pas une force d'inertie
M( n
Ui ) n
U
. & i trop éloignée de la valeur « exacte » qui va suffire à produire au pas de temps suivant une
bonne réponse dynamique transitoire.

On pourra aussi employer d'autres critères de convergence comme proposé dans STAT_NON_LINE.



4
Qualités et défauts du schéma de NEWMARK

4.1
Propriétés du schéma de NEWMARK

Ce paragraphe et le suivant reprennent partiellement certaines parties de [bib2]. On pourra aussi
consulter [bib24] et [bib27].

On définit à l'aide des méthodes d'analyse numérique plusieurs types de propriétés pour un schéma
d'intégration temporelle. Voici leur signification :

· Convergence : la solution tend vers une limite quand le pas de temps t
tend vers 0 ;
· Précision : taux de convergence quand le pas de temps t
tend vers 0 ;
· Consistance et ordre du schéma : le résidu est borné par ( ) 1
+
k
t
(exemple : k = 2 pour la
règle du trapèze) : un polynôme d'ordre k + 1 est intégré exactement ;
· Stabilité : une perturbation finie de l'état initial n'entraîne pas de perturbation exagérément
amplifiée (« explosion numérique ») à l'état ultérieur ; il faut que l'amplification (rayon spectral)
soit inférieure à 1 : pour un schéma de forme générale Ui = AU
+
i
L
-1
i , on doit avoir
(A) 1. C'est une condition nécessaire pour ne pas diverger ! Si (A) < 1 il y a
atténuation numérique.

L'erreur e induite par le schéma de NEWMARK [éq 3.1-1], [éq 3.1-2] est donnée par :

t
2
e
U
& i
éq
4.1-1
6

que l'on peut normaliser par le vecteur position X ou l'amplitude U . On peut aussi remplacer dans
[éq 4.1-1] la norme L
k
2 (
U
& i ) par la norme
L :
U
& i = Max
. Aujourd'hui

( U&i )
noeuds k
Code_Aster ne fournit pas l'information de cet estimateur.

L'analyse numérique du schéma de NEWMARK se fait sur le traitement de l'équation de l'oscillateur
linéaire à un d.d.l., sans frottement :
x
m &+ kx = 0 éq
4.1-2
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 31/44


Les schémas temporels ne donnent pas la solution exacte de [éq 4.1-2] :

x = C

cos t C sint
1
+ 2

k
avec =
,
C dépendant des conditions initiales, mais une solution approchée :
m
1
C et 2
x
~
'
~
'
~
i = [
(
exp
- ti )](C1
cos ti + C2
sin ti )

Deux erreurs sont donc apportées :

· d'une part, il s'introduit un amortissement artificiel défini par le taux d'amortissement réduit ,
qui est le décrément logarithmique divisé par
2 ;
· d'autre part, la pulsation correspondant à la période exacte T est remplacée par la
~
pulsation ~ correspondant à une période T .
t
Ces erreurs dépendent du rapport
et du schéma lui-même.
T

En écrivant l'équilibre du système à 1 d.d.l. [éq 4.1-2] et les équations du schéma de NEWMARK
[éq 3.1-1], [éq 3.1-2] on obtient :


1
x

1
1
-

x

i+1



2

i

1

tx

&
2
2
2
2
1
2
2
i+1
=
- t
1+ t (- ) 1- - t ( -2 )
tx
2
2
&
+
1
i
2

2


t
t x&


2
2
2
2
2
2 1

2
i+1
- t
- t
- t ( -
2
)


t xi&

éq 4.1-3
d'où en terme d'accroissements :


2
2
1
x

- t
1
-

x




2

i

1

tx
&
=
-
t
- 2
t2 1- - 1 2
t2(-2 )
tx éq 4.1-4
2
2
2

&
+
1
i

2
t
2
2
2
2
1
2
2

2
t x&

- t
- t
- t -1


t xi&

2


Les propriétés de cette matrice servent à caractériser celles du schéma, en régime linéaire.

Les propriétés du schéma de NEWMARK sont résumées ci-après.

À cause de la manière choisie d'exprimer le schéma (cf. [éq 3.1-1] et [éq 3.1-2]), on ne peut pas
prendre = 0 ni = 0 .

Pour les problèmes linéaires, le schéma est inconditionnellement stable, même en présence
d'amortissement physique ­- une perturbation n'est pas amplifiée par le schéma ­ c'est-à-dire stable
quelle que soit la taille du pas de temps, si les paramètres satisfont aux inégalités :


2 1

2
éq
4.1-5

1
4 ( + 2 )
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 32/44


1
1
Si 2 1
et < +
le schéma est conditionnellement stable : le pas de temps doit être
4 (
)22
1
- /
2
min
T

1

choisi inférieur à : t

( +
- 4
­- cette relation étant valable en absence
2 )
2


d'amortissement physique = 0 mais aussi en présence d'amortissement physique ­- en fonction de
la plus petite période min
T
de vibration du système étudié, voir [bib24], [bib27].

En présence d'amortissement physique > 0 , on peut se permettre des t
légèrement supérieurs.

En présence de contact avec impact, on assure aussi la stabilité du schéma si 2 1/ 2 .

Le tableau suivant montre quelques cas particuliers :


méthode type
propriétés
1/12 1/ 2 « Fox-
implicite
schéma d'ordre 4 ; pas de dissipation numérique

Goodwin »
conditionnellement stable :
t
3/ 2 /( f

) 1-

max
, fmax étant la fréquence
vibratoire maximale « visée » dans la simulation, pas
de dissipation numérique
1/ 6 1/ 2 accélération implicite
schéma d'ordre 2, pas de dissipation numérique

« linéaire »
identique à la -
conditionnellement stable :
méthode WILSON,

-1
t 3 / (fmax) , f
avec = 1
max étant la fréquence
vibratoire maximale « visée » dans la simulation, pas
de dissipation numérique
1/ 4 1/ 2 « règle du
implicite
schéma d'ordre 2, pas de dissipation numérique

trapèze » ou
stabilité inconditionnelle en t ,
accélération
les fréquences sont décalées vers le bas, mais une
moyenne
matrice de masse consistante limite ce défaut
(puisque provoque l'effet inverse),
pas de dissipation numérique : pas d'atténuation
d'amplitude due au schéma

-méthode implicite
Voir [§ 5].

La règle du trapèze ( = 1/ 4 , = 1/ 2 ) est la plus communément adoptée, associée à une masse
consistante (option par défaut MASS_MECA). Si l'on souhaite utiliser un schéma où les fréquences sont
décalées vers le haut, il convient de choisir l'option MASS_MECA_DIAG.

Le schéma de NEWMARK est du second ordre en déplacement (au pire) si et seulement si = 1/ 2 .
Dès que 1
> / 2 , le schéma de NEWMARK est d'ordre 1, et introduit une dissipation numérique
proportionnelle à ( - 1 2
t . Afin d'assurer un amortissement numérique croissant avec la
4 )
( +1 2)2
/
fréquence, il convient de choisir :
, l'égalité étant le choix optimal, cf. le schéma HHT,
4
voir le [§ 5].

Si on choisissait < 1/ 2 , le schéma de NEWMARK apporterait un amortissement numérique négatif
qui amènerait une instabilité.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 33/44


En utilisant les accroissements [éq 4.1-4], on déduit l'erreur [éq 4.1-1] du schéma, moyennée sur une
période
2 / , et normalisée par rapport à l'amplitude, dans le cas de l'oscillateur à 1 d.d.l.,
cf. [bib28] :
3
3
t

enorm
+ t
moy
éq
4.1-6
2 (
4
2
2
1+
t
)
2
2
Cette expression peut servir d'erreur de référence au schéma appliqué à la réponse dynamique d'une
structure quelconque.

4.2
Point de vue énergétique

Dans le cas élastique linéaire en petites transformations, on peut facilement évaluer les variations des
différentes énergies au cours du pas de temps t
entre ti et ti 1
+ . Ainsi, respectivement pour
l'énergie cinétique, l'énergie de déformation, le travail des efforts extérieurs :

E = 1
.M.
E = 1
.K.

2 (t
déf
(t +1) t
i
- (ti )) ((ti+1)+ (ti )
2 (t
cin
&(t +1) t
i
- &(ti )) (&(ti+1)+ &(ti ) ;
t
Wext= &(ti+1).F(t +1) t
i
- &(ti ).F(ti )

En injectant les expressions du schéma [éq 3.1-1] et [éq 3.1-2], on trouve :

t

E =
(t
cin
&(t +1) t
i
+ &(t )+ (1- 2 ) t
i
&) (
.M. &(ti+1)+ &(ti )
4
t
t
2 -

Edéf =


& (t +1) t
i
+ &(ti )+
( t
t
&
t

- &(ti+1)) (
.K. (ti+1)+ (ti )
4


W = 1 (t
t

2 -

ext
(t +1) t
i
+ (t ))
t
i . F
+

&(t +1) t
i
+ &(ti )+
( t
t
&
t

- &(ti+1)) (.F(ti+1) F
+


(ti )
2
4



En utilisant l'équilibre aux instants ti et ti 1
+ sous l'action des efforts extérieurs, on vérifie que la
variation d'énergie totale E
tot = E
cin + E
déf - W
ext du système s'exprime :
t

E =
(1- 2 ) t
1
tot
&
(
.M. &(ti+1)+ &(t ) - (t
i
(t +1) t
i
+ (ti ))
. F
4
2

éq 4.2-1
t
(2 - )
+
( tt
&(t +1)
t
i
- &)(. (
M. &(ti+1)+ &(ti ) )
4
On vérifie que lorsque = 1/ 2 et = 1/ 4 (règle du trapèze), on n'a pas de dissipation numérique
d'énergie apportée par le schéma. On remarque aussi qu'un choix différent de et/ou 2
amène une dissipation proportionnelle au pas de temps.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 34/44


4.3 Propriétés du schéma de NEWMARK pour les problèmes non-
linéaires

Pour les problèmes non-linéaires (grandes déformations, non-linéarités matériau), le schéma est
1
inconditionnellement stable, si
et avec = 1/ 2 , cf. preuve en [bib25].
4

En présence de contact unilatéral, on trouve dans la littérature, cf. [bib26], le conseil de prendre
= (par exemple avec = = 1/ 2 ) ce qui assure la compatibilité des vitesses durant la phase
où le contact est maintenu entre deux solides. Cela s'obtient directement à partir des équations
[éq 3.1-1] et [éq 3.1-2] ; le saut []
. de vitesse entre les deux points restant en contact sur le pas t

( [(t )] = 0 et [(t+t)] = 0 ) à l'instant t+ t
est en effet :

[&(t+ t)]= (1- /)[&(t)]+(1- /(2) t[&(t)]

Cependant ce choix n'est pas compatible avec celui d'un optimum en terme de dissipation numérique,
tel que défini par la -méthode (cf. [§ 5]) : il faudrait prendre = 1
- - 2 qui donne un
amortissement numérique énorme ! On n'incite donc pas l'utilisateur à suivre cette recommandation.

4.4
Choix des pas de temps

Le pas de temps à choisir doit respecter un certain nombre de conditions.

La première, évidente, est qu'il doit être adapté à l'échantillonnage temporel des chargements
appliqués au système étudié. Accessoirement, il peut être opportun de reconsidérer une modélisation»
avec une dépendance temporelle trop « violente des chargements appliqués, en adoucissant des
ruptures de pente par exemple.

On conseille, pour des raisons de précision (à la critère de type « Shannon » sur la fréquence de
coupure), un pas de temps à choisir tel que :
t 0 1
, T
0 min éq
4.4-1
Tmin désigne la plus petite période de vibration du système que l'on souhaite étudier.

Le pas d'espace des mailles éléments finis choisi intervient aussi : le pas de temps t maximal à
choisir est de l'ordre de h / c , où c est la célérité des ondes de compression élastiques du matériau et
h une taille caractéristique des mailles, si l'on cherche à décrire partiellement des phénomènes en
haute fréquence, pour lesquels cependant cette formulation numérique de l'élasto-dynamique n'est
pas véritablement adaptée (il existe d'autres méthodes numériques pour ce faire).

Enfin dans le cas de solides présentant des modes rigides (chute libre par exemple), conformément à
la remarque faite au [§ 3.1], il convient de choisir un pas de temps t
suffisamment petit pour que les
termes de masse soient du même ordre que ceux de raideur (dans la matrice K
^ , cf. [éq 3.1-8]). Ainsi,
on pourra choisir :
L
t

éq
4.4-2
50g

L est le diamètre du solide considéré en « chute libre » sous l'accélération de pesanteur g . Ainsi
l'incrément de déplacement
2
g t
/ 2 lors de ce pas de temps est faible devant les dimensions du
solide, ou, d'une autre manière, similaire à un déplacement élastique sous un champ d'action de
même ampleur.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 35/44


Il est possible de faire se succéder plusieurs analyses dynamiques, sur des intervalles de temps
successifs, communiquant par des reprises en choisissant comme état initial le résultat du dernier pas
étudié auparavant, en utilisant des pas de temps très distincts selon l'idée a priori que l'on a de la
réponse du système étudié. On ne possède pas de résultat général avec ce type de choix en terme de
convergence...

On sait aussi que le traitement des collisions est sensible au cadencement des pas de temps, par
rapport aux instants « réels » de choc : on devra étudier la sensibilité de la réponse obtenue.

Cependant, un pas de temps « trop petit » peut exacerber les oscillations induites par la discontinuité.

Il est cependant conseillé de maintenir constant le pas de temps durant une phase de réponse
dynamique linéaire stationnaire, pour garder les propriétés énoncées précédemment.

Remarque :

On doit noter que Code_Aster ne propose pas aujourd'hui de méthode multi-domaine en temps et
espace, qui permettrait de définir un pas de temps par zone dans le solide étudié, ni de critère
d'erreur en dynamique.




5
Une variante du schéma de NEWMARK : le schéma
d'accélération moyenne modifiée


5.1 Motivation

En analyse mécanique, on souhaite que les basses fréquences soient reproduites le plus fidèlement
possible.

On souhaite par contre que les hautes fréquences soient atténuées par le calcul parce qu'elles
peuvent engendrer des instabilités numériques et que les contraintes mécaniques associées sont en
général faibles.
t
Les courbes donnant le facteur d'amortissement en fonction de
(période T = 2 / ) doivent
T
donc :

· partir de l'origine avec une tangente horizontale pour donner un très faible amortissement aux
basses fréquences,
· être des fonctions croissantes pour atténuer les hautes fréquences et ce d'autant plus qu'elles
sont plus élevées.

Pour tenter d'atteindre ces objectifs, Hilber, Hughes et Taylor (HHT) ont proposé dans [bib4] de définir
les paramètres et de NEWMARK en fonction d'un troisième paramètre négatif par les
relations suivantes, qui sont calquées sur les conditions de stabilité [éq 3.1-2] :
(1 )2
= 1 - ;
-
=
éq
5.1-1
2
4
Ce choix offre le meilleur compromis sur la précision et l'amortissement en hautes fréquences.

Ce paramètre , négatif, est fourni via l'opérande ALPHA du mot-clé HHT de DYNA_NON_LINE.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 36/44


5.2
Schéma HHT et méthode d'accélération moyenne modifiée

On obtient ainsi [bib4] :
2
-
&(
4
4
1
- 2
t + t
) =
[(t + t)-(t)]-
&(t) (
)
+
&(t)
(
éq
5.2-1
1- )2 t 2

(1-)2 t

(1-)2
2
2
-
+ -

&(
2 4
2
1

t + t
) =
[(t + t)- (t)] (
)
+
&( )
t
t +
&(t)
(
éq
5.2-2
1- )2 t

(1-)2
(21-)2
Par ailleurs, l'équilibre dynamique [éq 2.2.4-1], discrétisé en temps à l'instant t = t -1 + t
i
i
est modifié
en introduisant un « décalage », contrôlé aussi par le coefficient 0 , sur les forces intérieures :

M(Ui )U&i + (1+ ) U
C & i + (1+ )R(Ui ,U&i ,ti ) t
t
+ B.i + A µ
. i =
éq
5.2-3
L(ti 1
- + ) + R
(Ui ,U&
1
-
i
,t
1
-
i 1
- )
iner
+ U
C & i- - L
1
GR (Ui , U
& i,U&i )

où les forces extérieures sont évaluées à ti- +
1 = (1 + )t - t
-1 = t + t
i
i
i
.

Le système d'équations non-linéaires [éq 3.1-7], se récrit donc :

^KUi + (1+)R(U ,U& ,
i
i ti )+ t .
B + t
i
A µi = ^
.
L(ti )- iner
LGR (U ,U& ,
i
i U
& i )

.
B U = d
i
U (ti )

.
A Ui d (t )
0 i
éq
5.2-4

µ 0
j, ( .
A Ui - d ) .
0
µ
i j
j = 0

avec, en suivant [éq 3.1-8] et [éq 3.1-9] et et fonction du paramètre , cf. [éq 4.1-1] :
fs
1
fs

K^ = (1+ )K +
éq
5.2-5
2 (M + M
)+ (1+)C
t
t
^L(ti ) = L(ti )+ Labso(
fs
ti 1
- ) + K

.Ui 1
-
1
fs
1- 2

+
M + M
Ui + tU&i + t
U&i
+ R
U ,U& ,t
éq
5.2-6
2 (
)
2


1
-
1
-
1
-
( i 1- i 1- i 1-)
t

2

1

- 2

+
.
C U
i 1- + t( - )
2
U&i 1
- + t
U&i 1
-
+

U
C & i 1
t

2
-


Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 37/44


Les modifications que ce schéma apporte aux phases de prédiction et correction de la méthode de
NEWTON [§ 3.2] et [§3.3] sont les suivantes :

· phase de prédiction [éq 3.2.1-4] : mettre la nouvelle expression de K^ [éq 5.2-5], ainsi que
(1+)Ki 1- à la place de Ki-1 dans [éq 3.2.1-4] et ( - )1R(U -1,U
i
& i-1,ti-1) à la place de
- R(U - ,U
i
& i- ,t
1
1 i-1) dans l'expression de $
L(ti ) dans [éq 3.2.1-3] ;
· phase de correction [éq 3.3-1] : mettre (1+ )Kn
n
n
n
i et Fi à la place de Ki et Fi .

Quand = -1 (d'où = 1, = 3 / 2 ), le schéma HHT devient alors explicite (cf. [éq 5.2-3]) :
t
t
MU&i + .
B i + .
A µi = L(ti 1
- ) - R(U
, U& ,t
i 1
-
i 1
-
) éq
5.2-7
avec :

1
1
3
1
t

U&(t t

+ ) =
[U(t t
+ )-U(t)]-
U&(t) 1
+ U&(t) et U&(t t

+ ) =
[U(t t
+ )-U(t)]- U&(t)+ U&(t)
t 2

t
2

2 t
2

4

assurant en même temps la plus grande dissipation possible en hautes fréquences.

Remarque importante :

Dans cette version de Code_Aster, ni les termes de [éq 5.2-3] à [éq 5.2-6] « décalés » par (1+ )
ou
sur l'amortissement et les raideurs, ni l'évaluation à ti-1
+ des seconds membres ne sont
traités, ce qui fait perdre un ordre sur le schéma (de 2 à 1).
Il s'agit donc en réalité de ce qu'on note dans la littérature la « méthode d'accélération moyenne
modifiée », qui se limite donc à définir la relation optimale entre les paramètres du schéma de
Newmark selon les [éq 4.1-1] à [éq 4.1-3].


5.3
Propriétés du schéma d'accélération moyenne modifiée

Il faut :
0
éq
5.3-1

pour que les conditions de stabilité du schéma soient remplies, cf. [§4.3] : le schéma est
inconditionnellement stable.
2
Le schéma « d'accélération moyenne modifiée », amène donc = ( + 1 / 4 , ce qui est le choix
2 )
optimal pour apporter de l'amortissement croissant sur les hautes fréquences.

Quand = 0 , le schéma HHT ( -méthode) redevient la « règle du trapèze » et l'amortissement est
nul [Figure 5.3-a].

La valeur = 1
- , soit = 3/ 2 et = 1 produit la plus forte dissipation en haute fréquence, mais
détruit beaucoup la précision sur les modes de basse fréquence.

En pratique, dans le schéma HHT originel, on limite à [
-1/ 3, ]
0 , ce qui assure la monotonie de
l'accroissement de l'amortissement en fonction de la fréquence. Le choix =
10
,
0
-
semble être
efficace.

Cependant, dans le cadre de la méthode « d'accélération moyenne modifiée », qui est celle proposée
par Code_Aster, il est possible de prendre de valeurs de plus élevées en valeur absolue.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 38/44


t
La figure [Figure 5.3-a], extraite de [bib5], donne les variations de en fonction de
pour quelques
T
valeurs de . Cette figure appelle des commentaires suivants :

· la « règle du trapèze » ( = 0 ) est séduisante parce qu'elle n'apporte aucun amortissement
parasite, mais elle peut être instable en non-linéaire,
· quand 0, les courbes ne sont pas à tangente horizontale à l'origine. Comme le schéma
HHT ( -méthode) apporte un important amortissement artificiel, certains utilisateurs [bib5]
choisissent un pas de temps, puis déterminent la valeur du paramètre pour que, dans la
plage de fréquences qui les intéresse, le taux d'amortissement numérique soit du même ordre
que le taux d'amortissement mécanique réel qui, alors, n'est pas pris en compte.

(%)
30
, = - 1
T
20
H
H
10
HHT, = - 0.3
HHT, = - 0.1
Trapèze : HHT, = 0
00
0.1
0.2
t
T
Figure 5.3-a : Taux d'amortissement numérique en fonction du pas de temps du schéma HHT
t
On constate que l'on a pour les petits pas de temps
l'amortissement numérique suivant :
T

2
t
t
=
+ o









éq 5.3-2
T


T



ce qui permet d'estimer dans la gamme de fréquence visée l'amortissement numérique moyen apporté
par le schéma HHT ( -méthode), qui vient s'ajouter à l'amortissement physique éventuellement déjà
présent.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 39/44


La figure [Figure 5.3-b], également extraite de [bib4], donne les variations de l'erreur relative en
t
période en fonction de
. L'erreur est une fonction croissante de .
T

T- ~
T %
( )
T
20
T, = - 1
H
10
HHT, = 0
HHT, = - 0.3
H
00
0.1
0.2
t
T
Figure 5.3-b : Erreur relative sur la période en fonction du pas de temps du schéma HHT

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 40/44


6 Exemple

Il s'agit [Figure 6-a] du mouvement plan de pendulaison d'une barre extensible AB de longueur unité,
rotulée en A à un support fixe, libre en B et abandonnée sans vitesse dans le champ de pesanteur
terrestre à partir d'une position définie par l'angle 0. On néglige tous les phénomènes de dissipation
mécanique.

1
L
G
A
B
0
trajectoire de B

Figure 6-a : Pendule de grande amplitude

Comme l'amplitude 0. peut être grande ­ nous la prendrons de 90° ­ le point B subit de grands
déplacements et le problème est non-linéaire.

La période théorique est :
T = 6744
,
1
s

Le calcul du mouvement du pendule par le schéma HHT ( -méthode) avec = 0 (« règle du
trapèze ») constitue le cas-test SDNL100.

La figure [Figure 6-b] représente l'évolution pendant une période de la cote du point B calculée par le
schéma « d'accélération moyenne modifiée » avec trois valeurs de . La période est divisée en
40 pas de temps égaux.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 41/44


La courbe en trait plein est relative à = 0 . On n'observe pratiquement aucune erreur.

Cote du noeud b
0.0
ALPHA : 0
- 0.1
- 0.2
ALPHA : - 0.1
- 0.3
- 0.4
- 0.5
ALPHA : - 0.3
- 0.6
- 0.7
- 0.8
- 0.9
- 1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
temps
Figure 6-b : Schéma « d'accélération moyenne modifiée » , 40 pas de 0.0419 s

La courbe en trait d'axe est relative à = - 0 1
, . On observe un taux d'amortissement d'environ 2 %
t
alors que la figure [Figure 6-a], pour
= 0 025
,
, prévoit 0,8 %. C'est que cette courbe a été établie
T
en linéaire, alors que le mouvement de notre pendule est non-linéaire.

La courbe en pointillés est relative à = - 0 3
, . Le taux d'amortissement est d'environ 5,8 %, alors
que celui prévu par la figure [Figure 5.3-a] est d'environ 2,2 %. L'écart est encore dû à la non-linéarité
du problème.

Enfin, les courbes en trait d'axe et surtout en pointillés révèlent un raccourcissement de la période
calculée par rapport à la période théorique.

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 42/44


7 Conclusion

Le schéma d'intégration temporelle de Newmark et sa variante dite « accélération moyenne
modifiée », accompagnés de la méthode de Newton, permettent de traiter de nombreux types de
problèmes de dynamique non-linéaire, pour des non-linéarités matérielles ou géométriques.

Le traitement des problèmes dynamiques hautement non-linéaires et non-réguliers, tels que l'analyse
des structures en grands déplacements ou de contact-frottement, est sujet à l'instabilité numérique,
même avec des méthodes d'intégration temporelle inconditionnellement stables dans le domaine
linéaire. On ne parvient alors à intégrer les équations du mouvement par rapport au temps qu'en
introduisant de la dissipation artificielle. Tout l'art est de doser cette dissipation pour que, dans la
gamme des fréquences qui présentent un intérêt mécanique, elle soit à peu près équivalente à
l'amortissement naturel, sans trop décaler le spectre vibratoire de la structure.

Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 43/44


8 Bibliographie

[1]
K.J. BATHE : Finite element procedures in engineering analysis. Prentice-Hall (1982).
[2]
M. AUFAURE : Méthodes directes d'analyse dynamique des structures en non-linéaire. Note
HI-70/93/124 (27 janvier 1994).
[3]
M.AUFAURE : Modélisation statique et dynamique des poutres en grandes rotations.
[R5.03.40].
[4]
H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES and R.L. TAYLOR : Improved numerical dissipation for time
integration algorithms in structural dynamics. Earthq. Engng Struct. Dyn. 5, 283-292 (1977).
[5]
J.-L. LILIEN : Contraintes et conséquences électromécaniques liées au passage d'une
intensité de courant dans les structures en câbles. Thèse, Université de Liège (1983).
[6]
P. BALLARD : Dynamique des systèmes mécaniques discrets avec liaisons unilatérales
parfaites. C.R.Acad.Sci. Série IIb, Paris, pp.953-958, 1999.
[7]
[R5.02.01] Algorithme de thermique linéaire transitoire.
[8]
[R5.03.01] Algorithme non-linéaire quasi-statique (opérateur STAT_NON_LINE).
[9]
[R5.06.01] Méthodes de RITZ en dynamique non-linéaire.
[10]
[R3.03.01] Dualisation des conditions aux limites.
[11]
[R5.03.08] Intégration des relations de comportement viscoélastiques dans l'opérateur
STAT_NON_LINE.
[12]
[R5.03.50] Contact unilatéral par des conditions cinématiques.
[13]
[R5.03.80] Méthodes de pilotage du chargement.
[14] [R4.02.02]
éléments vibro-acoustiques.
[15]
[R4.02.04] Couplage Fluide - Structure avec Surface Libre.
[16] [R4.05.01]
Réponse
sismique par analyse transitoire.
[17]
[R5.03.40] Modélisation statique et dynamique des poutres en grandes rotations.
[18]
[R5.03.17] Relations de comportement des éléments discrets.
[19]
[R5.03.80] Méthodes de pilotage du chargement.
[20]
[R4.02.05] éléments de frontière absorbante.
[21] [U4.51.03]
Opérateur
STAT_NON_LINE.
[22] [U4.53.01]
Opérateur
DYNA_NON_LINE.
[23]
[R5.05.04] Modélisation de l'amortissement en dynamique linéaire.
[24]
P. SANS : Amortissement physique et amortissement numérique dans les schémas
d'intégration numériques des études structurales. Note HT-61/01/028/B, octobre 2002.
[25]
T.J.R. HUGHES : A note on the stability of Newmark's algorithm in non-linear structural
dynamics, pp. 383-386 (19/08/1975).
[26]
A. MILLARD : Contact, frottement, adhésion : bases et avancées récentes en modélisation et
simulation numérique. Cours IPSI 10/2004, ch.3-8.
[27]
N. GREFFET : Vers de nouvelles méthodes numériques pour l'intégration temporelle dans le
Code_Aster. Note EDF/AMA HT-62/04/016/A, 12/2004.
[28]
L. NOELS, et al. : Automatic time stepping algorithms for implicit numerical simulations of
non-linear dynamics, Adv. Eng. Software, vol. 33, pp. 589-603, 2002.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

Algorithme non linéaire dynamique du Code_Aster
Date
:

06/07/05
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE, G. DEVESA, M. AUFAURE Clé
:
R5.05.05-B Page
: 44/44


























Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Référence
Fascicule R5.05 : Dynamique transitoire ou harmonique
HT-66/05/002/A

Document Outline