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Version
3
Titre :
Raccord 3D - Poutre
Date :
19/12/95
Auteur(s) :
J. PELLET
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R3.03.03-A
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.03 : Conditions aux limites et chargements
Document : R3.03.03

Raccord 3D - Poutre
Résumé :
Ce document explique le principe retenu dans Aster pour relier une modélisation milieu continu 3D et
une modélisation poutre.
Ce raccord se traduit par 6 relations linéaires reliant les déplacements de l'ensemble de noeuds "3D"
(3 degrés de liberté par noeud) liés avec le noeud de poutre avec les 6 degrés de liberté de ce noeud.
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Table des matières
1 Présentation du document ..................................................................................................................... 3
2 Le raccord 3D-poutre ............................................................................................................................. 3
2.1 Objectifs et solutions exclues .......................................................................................................... 3
2.2 Orientation ....................................................................................................................................... 4
2.3 Décomposition du déplacement 3D sur l'interface .......................................................................... 5
2.4 Expression de la condition statique de raccord............................................................................... 8
3 Implantation de la méthode de raccord.................................................................................................. 9
4 Quelles utilisations peut-on faire de cette modélisation ?.................................................................... 10
5 Bibliographie ........................................................................................................................................ 10
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1
Présentation du document
Ce document est repris d'une note de S. ANDRIEUX [bib1] en cours de parution. Nous y avons ajouté
quelques précisions concernant l'implantation de la modélisation "raccord 3D/Poutre". Commande
AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01] mots clé LIAISON_ELEM et OPTION : '3D_POU'.
2
Le raccord 3D-poutre
2.1
Objectifs et solutions exclues
Lorsque l'on désire analyser finement une partie d'une structure élancée complexe [Figure 2.1-a], on
peut, pour minimiser la taille du maillage à manipuler, vouloir représenter la structure par une poutre
"loin" de la partie à analyser. Le but de la schématisation par une poutre est d'amener des conditions
aux limites réalistes aux bords de la partie modélisée et maillée en milieu continu 3D. Le raccord
3D-Poutre doit donc satisfaire les exigences suivantes :
P1
Pouvoir transmettre les efforts de poutre (torseur) au maillage 3D
P2
Ne pas engendrer de contraintes "parasites" (voire de concentration de contraintes), car il
faudrait alors placer le raccord suffisamment loin de la zone à analyser pour que ces
perturbations soient atténuées dans la zone d'étude.
P3
Ne pas favoriser les conditions cinématiques ou les conditions statiques de raccord l'une par
rapport à l'autre. Il doit être équivalent de ramener un torseur d'effort ou de déplacement aux
limites du domaine 3D.
P4
Admettre des comportements quelconques de part et d'autre du raccord (élasticité,
plasticité ...) et permettre également une analyse dynamique.
modélisation 3D
modélisation poutre
modélisation poutre
fissure
Figure 2.1-a
Si ces objectifs sont atteints on pourra également utiliser les règles de raccord pour traiter le problème
de l'encastrement d'une poutre dans un massif 3D. Cependant la répartition des contraintes dans le
massif autour de l'encastrement restera assez grossière et devra être utilisée avec précaution. Il est
préférable de mailler le raccord en 3D puis de prolonger l'amorce du maillage 3D de la section de
poutre par un des éléments de poutre avec raccord 3D/Poutre [Figure 2.1-b].
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modélisation poutre
modélisation 3D
Figure 2.1-b
Au vu des objectifs 1 à 4, on peut d'ores et déjà éliminer deux techniques de raccord courantes :
1) la première qui ramène tout le raccord au traitement de conditions de liaisons entre les points
en vis-à-vis à l'intersection de l'axe neutre de la poutre et du solide 3D. Hormis la difficulté de
définir correctement la rotation "ponctuelle" du point matériel appartenant au solide 3D, on
concentre les efforts (réaction concentrée, couple) en ce point et on brise la symétrie
cinématique/statique en privilégiant une cinématique particulière.
2) la seconde solution qui impose totalement un déplacement de poutre (NAVIER-BERNOULLI)
aux points du massif 3D se trouvant à l'intersection du solide 3D et de la section de la poutre.
En élasticité, on sait que l'hypothèse d'indéformabilité des sections dans leur plan n'est qu'une
approximation. Correcte du point de vue énergétique pour la poutre, elle conduit à des
concentrations de contraintes au voisinage des limites de la section de jonction pour le solide
3D.
Remarque :
Il va sans dire que tout ce qui est présenté ici n'est valable que dans l'hypothèse des
petites perturbations (petits déplacements).

2.2 Orientation
Nous partirons des éléments mécaniques du raccord :
· le champ de vecteur contraintes .n défini sur la trace de la section S de la poutre sur le
massif 3D, n étant la normale au plan de S ,
· et le champ de déplacement u3D défini sur ce même domaine,
pour le solide tridimensionnel, ainsi que :
· le
torseur
T des efforts de poutre au centre d'inertie géométrique G de S ,
· et le torseur D des déplacements de poutre en ce même point,
pour la poutre.
Ces grandeurs mécaniques sont reliées par :
· les conditions de continuité cinématique,
· les conditions d'équilibre du raccord.
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Les premières conditions sont les conditions de liaisons à imposer dans une approche "déplacement",
les secondes se déduisent de la formulation faible de l'équilibre via le travail virtuel des actions de
contact entre poutre et massif (qui n'est autre que l'expression du "principe" de l'action et la réaction
écrit pour l'interface S ). Sur la surface S , on a en effet pour tout déplacement virtuel (v, T , ) licite :
. .
n v dS =
.
+

F T M .
éq 2.2-1
S
où :
· T et sont respectivement la translation et la rotation infinitésimale de la poutre : D = (T , )
· F
M
et
sont respectivement la résultante et le moment dans la poutre au point de raccord :
T = (F , M )
Le premier membre de cette égalité va fournir le produit scalaire grâce auquel on définira la
"composante poutre" d'un champ de déplacement 3D défini sur S . En utilisant ce produit scalaire, on
assurera la symétrie de l'approche entre conditions cinématiques et statiques de raccord (P3) ainsi que
la possibilité de traiter des comportements quelconques de part et d'autre du raccord (P4) puisqu'aucun
aspect de comportement n'apparaît dans l'égalité d'équilibre utilisée.
La démarche :
On va décomposer le champ de déplacement 3D en une partie "poutre" et une partie
"complémentaire". Ceci nous amènera à définir assez naturellement les conditions de raccord
cinématique entre poutre et solide 3D comme l'égalité du déplacement (torseur) de poutre et de la
partie poutre du champ de déplacement 3D [(§ 2.3)]. Une fois ceci fait, l'égalité [éq 2.2-1] nous
permettra d'interpréter en terme statique les conditions de raccord et d'accéder ainsi aux conditions de
raccord statique [(§2.4)].
2.3
Décomposition du déplacement 3D sur l'interface
La jonction entre le solide tridimensionnel B et la poutre de section S est supposée plane et de
normale n parallèle à la tangente à la poutre au point de contact G , centre d'inertie géométrique
de la section S [Figure 2.3-a].

n =
G
G
n
S
(a) Normale au solide = tangente à la poutre
(b) Normale au solide ° tangente à la poutre
Figure 2.3-a
On exclut donc le cas (b) où la poutre ne "sort" par perpendiculairement à la surface du solide. Il faut
bien comprendre que cette restriction est nécessaire à la cohérence du raccord tel qu'il est envisagé ici
puisque la théorie des poutres ne connaît que des coupures normale à la fibre moyenne : la condition
d'équilibre [éq 2.2-1] n'a aucun sens si S n'est pas la section droite de la poutre. Dans le cas où cette
condition est violée, on pourra modifier le maillage pour la réaliser comme l'indique le schéma
ci-dessous.
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n =
S
G
Figure 2.3-b
On note :
x2
x1
G
S
·
(G,e ,e
1
2 ) un repère principal d'inertie géométrique de S ayant pour origine le centre
d'inertie G , et (x , x
1
2 ) les coordonnées associées,
·
n ou e3 la normale au plan S , sortante au massif 3D,
·
3 = (
e ,e ,e3) la forme alternée du produit mixte des vecteurs de base,
enfin I le tenseur d'inertie géométrique de S (diagonal dans le repère (e , e
1
2 )) et A = S l'aire
de la section S .
Rappelons que le tenseur d'inertie I peut être défini de manière équivalente par une application
linéaire (représentant mixte) :
(IU) = GM(x) (U GM(x)) dx
S
ou une application bilinéaire symétrique (représentant covariant) :
(IU,V) = (U GM(x)).(V GM(x)) dx
S
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Ces deux expressions seront utiles, dans le repère (G,e ,e ,e
1
2
3 ) la matrice représentative de I est :
I
0
0
1
[


I] = 0 I2
0

0 0 I1 + I2
avec I moment d'inertie géométrique de S par rapport à l'axe (G,e ) . Par convention les indices
grecs prennent les valeurs 1 ou 2.
L'espace utile pour les champs de déplacements et de vecteurs contraintes définis sur
S es V
t
= L2(S)3. On introduit l'espace T des champs associés à un torseur (défini par deux
vecteurs) :
T = {v V / (T ,) tel
v
que ( M ) = T + G }
M
éq 2.3-1
Pour les champs de déplacement de S,T est la translation de la section (ou du point G ), la
rotation infinitésimale et les champs v sont les déplacements conservant la section S plane et non
déformée (Hypothèses de NAVIER-BERNOULLI).
Pour les champs de vecteurs contraintes, S T est la résultante F des actions appliquées à S , et
(I) est le moment résultant M en G . Les champs v correspondent alors à des répartitions de
contraintes affines dans la section. En effet, on a :
F ( ) .n dS =

T dS = S T
S
S
M ( ) GM(x) .n dS = GM(x) ( GM)dS = (
I )
S
S
On a utilisé ici le fait que G est centre d'inertie géométrique donc :
x dS
S
=

0 . Le sous-espace
vectoriel T étant de dimension finie (égale à 6) possède un supplémentaire orthogonal pour le produit
scalaire défini sur V :
T = {v V / v.wdS = 0 w

éq 2.3-2
S
}T
Soit, de façon plus explicite :
T = {v V / vdS = 0 et GM vdS =

0
éq 2.3-3
S
S
}
Tout champ de V se décompose de façon unique en somme d'un élément de T et d'un élément de
T .
u up us up T
us
=
+

T
,
éq 2.3-4
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On a de plus la propriété suivante :
Pour tout couple de champ 3D (u, v) définis sur S ,
u = up + us

v. w dS = vp . wp dS + vs. ws



dS
éq 2.3-5
S
S
S
v = vp + vs
La définition suivante est donc naturelle :
Définition :
On appelle composante de déplacement de poutre d'un champ u défini sur la section la
composante
up
u
de sur le sous-espace.
Le calcul de la partie poutre d'un champ 3D u s'opère en utilisant la propriété de projection
orthogonale puisque T et T sont orthogonaux par définition.
Si on note up = T + GM
u
u
, alors :
(
Argmin
2
Tu,u) = (
u -
- GM
T ,) ( T
)
éq 2.3-6
S
On notera au passage l'interprétation de la composante poutre de u : c'est le champ de déplacement
de poutre le plus proche de u au sens des moindres carrés. Le calcul du minimum conduit
immédiatement à la caractérisation :
1
T
-1
u =
u dS,
= I
GM u



dS
éq 2.3-7
S
u
S


S

La condition de raccord cinématique cherchée est donc la liaison linéaire suivante entre le champ 3D
sur S et les éléments du torseur de déplacement de la poutre en G :
S T - u dS,
(I) - GM udS =


0
éq 2.3-8
S
S
2.4
Expression de la condition statique de raccord
En revenant à la formulation faible de l'équilibre de l'interface [éq 2.2-1], on peut en déduire les
conditions nécessaires et suffisantes de raccord statique. En effet, on a :
. .
n v dS = R.T + M.
v V



éq 2.4-1
S
v
v
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Grâce aux expressions [éq 2.3-7] et à la décomposition de l'espace V , et à la propriété [éq 2.3-5], on a
immédiatement les trois équations :
F = .ndS
S
M = GM(x)

.ndS
éq 2.4-2
S
(.n)s = 0
ou de manière équivalente
. .
n v dS = 0 v


T
S
Les conditions de raccord statique sont donc :
· transmission du torseur des efforts de poutre, (satisfait la propriété P1),
· nullité de la partie complémentaire ("non poutre") du champ de vecteur contrainte 3D sur la
section du solide 3D (satisfait la propriété P2).
On remarquera également la symétrie statique et cinématique (propriété P3) puisque les conditions de
raccord s'interprètent également comme :
· l'égalité au sens des moindres carrés entre le déplacement 3D et le déplacement de la poutre,
· l'égalité au sens des moindres carrés entre le champ de vecteur contrainte et les éléments de
réduction du torseur des efforts de poutre.
3
Implantation de la méthode de raccord
Pour chaque raccord, l'utilisateur doit définir :
S :
la trace de la section de la poutre sur le massif 3D : il le fait par les mots clés MAILLE_1 et/ou
GROUP_MA_1 ; c'est-à-dire qu'il donne la liste des mailles (lma) surfaciques (affectées
d'éléments "bord" de modélisation 3D) qui représentent géométriquement cette section.
P :
un noeud (mot clé NOEUD_1 ou GROUP_NO_1) portant les 6 ddl classiques de poutre : DX,
DY, DZ, DRX, DRY, DRZ
Remarque :
· le noeud P peut être un noeud d'élément de poutre ou d'élément discret,
· la liste des mailles lma doit représenter exactement la section de la poutre. C'est une
contrainte importante pour le maillage.
Pour chaque noeud, le programme calcule les coefficients des 6 relations linéaires [éq 2.3-8] qui
relient :
· les 6 ddl du noeud P,
· avec les ddl de tous les noeuds de lma.
Ces relations linéaires seront dualisées, comme toutes les relations linéaires issues par exemple du
mot clé LIAISON_DDL de AFFE_CHAR_MECA.
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Le calcul des coefficients des relations linéaires se fait en plusieurs étapes :
· calcul de quantités élémentaires sur les éléments de lma : (OPTION: CARA_SECT_POUT3)
- surface
= 1
;
x ;
y ;
x2




; !
elt
elt
elt
elt
· sommation de ces quantités sur (S) d'où le calcul de :
-
A = S
- position
de
G
- tenseur
d'inertie

· connaissant G , calcul élémentaire sur les éléments de lma de :
(OPTION:CARA_SECT_POUT4)
GM {x, y, }
z
Ni ;
xNi ;
yNi ;
zNi




=
où :
elt
elt
elt
elt
Ni = fonctions de forme de l'élément
· "assemblage" des termes calculés ci-dessus pour obtenir en chacun des noeuds de lma, les
coefficients des termes des relations linéaires.
4
Quelles utilisations peut-on faire de cette modélisation ?
Outre les deux utilisations visées au [§2] [Figure 2.1-a] et [Figure 2.1-b], ce raccord peut aussi être
utilisé pour :
· appliquer un torseur d'efforts sur une surface connue d'une modélisation 3D :
Pour cela, l'utilisateur définit la surface d'application de l'effort (lma), il la "raccorde" avec un
noeud (P) d'élément discret (DIS_TR_N) sans rigidité puis il applique le torseur voulu sur ce
noeud (FORCE_NODALE).
De cette façon, le torseur est appliqué en "douceur", sans engendrer de contraintes parasites
sur la surface.
· "retenir" une structure sans trop l'encaster :
Par exemple, si l'on a maillé en 3D un tuyau et que l'on veut empêcher ses mouvements de
corps solide
S
( )
P
on raccorde (S) à P puis on bloque les 6 ddls de P.
La structure est alors retenue, sans que (S) soit encastrée. En particulier, la section (S)
peut s'ovaliser.
5 Bibliographie
[1]
S. ANDRIEUX : "Raccords 3D/Poutre, 3D/Coques et autres fantaisies" (note à paraître).
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