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Modèle de thermique pour les coques minces
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Manuel de Référence
Fascicule R3.11 : Eléments thermiques à surface moyenne
Document : R3.11.01
Formulation d'un modèle de thermique
pour les coques minces
Résumé :
Le modèle présenté ici est issu de l'analyse asymptotique des équations de la thermique lorsque l'épaisseur de
la structure tend vers zéro.
La température est décrite par 3 champs définis sur la surface moyenne de la coque.
On montre sur quelques exemples, les capacités du modèle par référence à des solutions 3D.
Les applications visées sont les calculs de coques thermomécaniques, la restitution thermique de paroi pour la
thermohydraulique des tuyauteries, les problèmes d'identification.
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Table des matières
1 Introduction............................................................................................................................................ 3
2 Présentation du modèle......................................................................................................................... 5
2.1 Position du problème thermique dans les coques .......................................................................... 5
2.1.1 Description de la géométrie ................................................................................................... 5
2.1.2 Equation de la chaleur ........................................................................................................... 6
2.1.3 Thermique pour une structure mince..................................................................................... 7
2.2 Rappel des résultats issus du développement asymptotique ......................................................... 8
2.2.1 Le modèle limite obtenu......................................................................................................... 8
2.2.2 Une application ...................................................................................................................... 9
2.3 Formulation du modèle de thermique stationnaire de coque ........................................................ 11
2.3.1 Equations du modèle ........................................................................................................... 11
2.3.2 Cas d'une plaque homogène ............................................................................................... 13
2.3.3 Lien avec le modèle asymptotique....................................................................................... 15
2.3.4 Généralisation aux problèmes d'évolution thermique .......................................................... 17
2.3.5 Equations du modèle avec des variables usuelles .............................................................. 19
2.3.5.1 Cas d'une plaque homogène................................................................................... 21
2.3.5.2 Relation entre les variables des deux représentations ............................................ 22
2.3.6 Synthèse .............................................................................................................................. 22
3 Validation du modèle sur quelques exemples..................................................................................... 24
3.1 Le cylindre infini soumis à un flux intérieur uniforme .................................................................... 24
3.2 La plaque infinie sous un couple de flux antisymétriques ............................................................. 26
3.3 La plaque infinie sous un couple de flux symétriques ................................................................... 28
3.4 Le cylindre infini soumis à une stratification horizontale ............................................................... 32
4 Remarques sur la discrétisation numérique........................................................................................ 35
4.1 Résolution par éléments finis ........................................................................................................ 35
4.2 Blocage numérique d'un élément fini de coque thermique ........................................................... 36
5 Conclusion........................................................................................................................................... 39
6 Références .......................................................................................................................................... 40
Annexe 1
Plaque infinie sous un couple de flux symétriques ................................................. 41
Annexe 2
Formulation mixte du problème stationnaire pour la plaque................................... 43
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1 Introduction
Les modèles mécaniques de structures minces (coques et plaques) sont arrivés à un stade de
développement extrêmement avancé du moins pour les structures élastiques homogènes dans
l'épaisseur. Le problème est connu depuis fort longtemps et diverses théories ont vu le jour,
généralement dédiées à des problèmes spécifiques (coques épaisses, flambage etc...). Cependant un
modèle de base, celui de LOVE-KIRCHHOFF, fait l'unanimité dans les applications les plus courantes.
Les difficultés résident plutôt dans le calcul numérique de celui-ci du fait, d'une part, de la nécessité
d'approcher correctement la surface de la coque (en particulier sa courbure), et d'autre part de l'ordre
élevé des équations aux dérivées partielles qu'il faut résoudre (4ème ordre).
En thermique en revanche, la situation est beaucoup moins nette et un grand nombre d'approches
coexistent. Ce n'est en effet que récemment que le problème s'est posé avec les possibilités (et la
nécessité) de calculs thermomécaniques. Les premiers modèles négligent la conduction parallèlement
à la surface moyenne pour ne retenir que les transferts thermiques dans l'épaisseur de la coque, cette
démarche est tout à fait antinomique de celle des structures minces où, au contraire, la faible épaisseur
de la structure conduit à des hypothèses simplificatrices sur la variation dans l'épaisseur des champs
de grandeurs physiques.
Les modélisations les plus récentes s'inspirent des idées mécaniques de coques minces se rattachant
à la deuxième approche, on peut les classer selon un ordre tout à fait similaire.
1) Modèles faisant intervenir un développement polynômial plus ou moins poussé de la température
dans l'épaisseur [bib2], [bib9], [bib10]. Il s'agit essentiellement de formulation d'éléments finis.
2) Modèles associés aux théories de surfaces à directeurs (Surfaces de COSSERAT) [bib5], [bib8].
Le directeur est ici le gradient de la température dans l'épaisseur. Le problème de ces approches
réside dans la loi de comportement à introduire. La cohérence avec la loi tridimensionnelle conduit
à des choix qui s'interprètent comme une hypothèse de répartition linéaire de la température dans
l'épaisseur. Ce formalisme rejoint donc pratiquement les modèles précédents (l'introduction de
plusieurs directeurs s'identifiant à divers ordres de développement des polynômes).
3) Modèles d'éléments finis dégénérés [bib11] : partant d'un élément fini tridimensionnel, l'introduction
de contraintes entre les degrés de libertés situés sur une même normale à la surface moyenne
permet par condensation de déduire un élément de "coque thermique". Pratiquement, là encore,
l'élément de base utilisant une interpolation parabolique selon l'épaisseur, l'élément de coque
correspond à une répartition linéaire dans l'épaisseur.
Parallèlement à ces approches numériques (1) et (3) ou basées sur des hypothèses a priori (2), des
résultats sur la forme du champ de température d'une plaque mince et du problème dont elle est
solution ont été obtenus par des méthodes asymptotiques [bib3], [bib1].
Comme pour le modèle mécanique, celles-ci permettent de justifier les hypothèses a priori faites dans
les théories de coques minces, voire d'obtenir les équations du problème de coque. Les résultats de
[bib 1] sont rappelés plus bas et serviront de base au modèle proposé. Notons simplement ici que l'idée
sous-jacente à toute démarche de type asymptotique est d'introduire un petit paramètre (ici le rapport
épaisseur de la plaque sur une dimension caractéristique de celle-ci), puis ayant obtenu le problème
limite lorsque tend vers zéro à partir du problème tridimensionnel, d'approcher dans les applications
(où prend évidemment une valeur non nulle) la solution par sa limite.
D'un point de vue pratique, la limite obtenue pour les équations de la thermique stationnaire semble
être trop "pauvre" pour être d'un réel intérêt, (on en donnera une illustration en [ß2.2.2]). Plus
précisément les valeurs de à atteindre pour identifier la solution à sa limite sont très petites dans les
situations réelles rencontrées.
C'est la raison pour laquelle on se propose dans cette note de garder la forme de la solution limite
(répartition parabolique dans l'épaisseur) mais d'en disposer comme d'une hypothèse a priori sur
la solution tridimensionnelle permettant de se ramener à un problème posé sur la surface moyenne.
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On dispose ainsi d'un modèle approché de structure mince convergeant vers le modèle limite des
équations tridimensionnelles. En ce sens, il est "optimal" puisqu'une hypothèse de répartition linéaire
dans l'épaisseur conduit à un modèle ne convergeant pas vers la solution limite et qu'un modèle
basé sur un développement plus riche dans l'épaisseur voit ses termes d'ordre supérieur à deux
converger vers zéro lorsque la coque est mince.
Le plan de la note est le suivant :
· on commence par rappeler les équations du problème thermique stationnaire pour le solide
tridimensionnel et leurs expressions dans un système de coordonnées adapté aux cas où le solide
est une "coque mince",
· puis, ayant rappelé les résultats d'une étude asymptotique de ces équations réalisée dans le cas
d'une plaque, on donne la description complète du modèle proposé,
· on applique alors le modèle à un certain nombre de géométries et de chargements thermiques et
une comparaison est faite par rapport à des solutions analytiques ou des calculs numériques
tridimensionnels,
· enfin, on donne quelques indications sur les aspects numériques de l'utilisation du modèle dans un
calcul par éléments finis surfaciques et linéiques.
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2
Présentation du modèle
2.1
Position du problème thermique dans les coques
Dans ce paragraphe, nous allons tout d'abord rappeler la description de la géométrie des coques, vues
comme solides tridimensionnels minces. On posera ensuite le problème de conduction thermique.
2.1.1 Description de la géométrie
Une coque est définie comme étant un solide , mince perpendiculairement à une surface moyenne .
On note 2h l'épaisseur de la coque ; on choisit un système de coordonnées (x1,, x2) sur la surface .
On note g le tenseur métrique associé, n le vecteur normal, c le tenseur courbure de .
n
x1
x 2
+
2h
-
I = ]-h, h
Figure : 2.1.1-a
La coque est décrite par le système de coordonnées (x, x3), x3 selon n : = x ] - h, h [
(Les indices grecs , ß, sont dédiés aux coordonnées surfaciques sur ).
Cette description convient bien entendu pour une coque d'épaisseur 2h inférieure au plus petit rayon de
courbure de .
En un point quelconque (x, x3) de la coque , le tenseur métrique G s'exprime en fonction des
tenseurs fondamentaux g et c de la surface moyenne par :
G x, x3 = g x - 2 x3 c x
G 3 = 0 , G33 = 1
éq 2.1.1-1
et det G = det g 1 - x3 tr c
= det g 1 + x3 1 + 1
R 1
R 2
où R1, R2 sont les rayons de courbure principaux de au point x considéré.
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Remarque :
On sait en effet que la trace (tr) d'un tenseur est un invariant (par changement de base). On a
l'habitude cependant d'écrire les grandeurs en base physique c'est-à-dire orthonormée. Ainsi :
phy
phy
G x,x3 = - 2x3 C x .
phy
1
C = -
Et si la base est principale de courbure :
R
(sans sommation).
1 + 1 = H
1
1
- 1 = H 2
On notera : R
.
1
R 2
et R1
R 2
On s'est limité ici aux termes du premier ordre en x3 tr C ; comme on le fera dans toute la suite. En
pratique, en effet, la minceur de la coque permet une telle simplification. On aura avantage aussi à se
placer dans un repère principal de courbure, orthonormé. Le tenseur g est alors l'identité, C est
diagonal. C'est ce qu'on fera dorénavant.
2.1.2 Equation de la chaleur
Les équations de la conduction thermique tridimensionnelle s'écrivent (pour un conducteur rigide) :
- div
K grad T + C T =
t
éq 2.1.2-1
où K désigne le tenseur de conductivité, C la capacité calorifique et r les sources éventuelles.
On a avantage à écrire l'expression de l'opérateur différentiel selon la métrique G engendrée par la
surface moyenne . On considérera en effet des tenseurs de conductivité K isotropes transverses
selon ces axes de coordonnées (cf. matériaux multicouches).
i
k
0
K = ,
k
,
x ,
x .
j
et K pouvant varier avec
x
1
2
3
0
K
L'expression de l'opérateur :
1/2
i
i j
- div
K
grad T =
- det G..
- 1/2 .
det G.. K G T
i
j
j
s'écrit alors au premier ordre en x3/tr c, pour une conductivité orthotrope selon les directions de
courbure principales :
- 1 - x H . 1 - x H k T + 1 + x H k T + H K T
3
1
1
3
2
11
1
2
3
2
22
2
1
3
-
K T
3
3
éq 2.1.2-2
Si les courbures sont constantes, ceci devient :
- 1 - 2x3/R1 .
1 k11 1 T - 1 - 2x3/R2 . 2 k22 2 T - H1 1 - x3 H1 K 3 T - 3 K 3 T
L'effet de la courbure est donc de même type qu'une répartition modifiée de conductivité dans
l'épaisseur.
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2.1.3 Thermique pour une structure mince
Les équations de la thermique stationnaire sur la coque peuvent être écrites sous la forme d'un
problème de minimisation.
On suppose notamment que les conditions aux limites sur les extrémités x I de la coque sont de
même type sur toute l'épaisseur I. On partitionne x I en :
x I (zone à température imposée),
T
et x I (zone à condition d'échange ou flux imposé).
Trouver le champ de température T :
1
T =
Arg Min J(), avec J(
) = A(, ) - F(), avec :
V
2
A(T,
) = K .
T .
d +
T .
d± +
T .
dS
+ -
x I
F() =
.
d± +
.
dS.
+ -
x I
éq 2.1.3-1
On note :
1
·
V
= H ( x I),
= 0 sur
x I.
T
· Les conditions aux limites sur + - ( x I) sont du type échange ou flux imposé :
. n = T - = - (K T) .
n étant un coefficient d'échange.
Le terme de conductivité dans A(T, ) s'écrit :
K
T .
d
= k 1 - x 1 + 1
T .
1 + x H dx dx dx ,
3
T .
+ K3
3
3
1
1
2
3
I
R
R
ce, dans un repère principal orthonormé de courbure de (k et K sont alors les composantes
physiques du tenseur de conduction K ).
Les termes d'échange sur les surfaces + et - sont :
±
T . d ± = ± T ± . 1 ± h . H 1 dx1 . dx2
+ -
L'objet d'un modèle de coque thermique est donc de ramener de trois à deux variables d'espace la
dépendance du champ de température T dans l'expression de l'opérateur différentiel correspondant à
[eq 2.1.2-2] ou [eq 2.1.3-1], moyennant le choix et la justification d'hypothèses appropriées.
Le modèle proposé en [§2.3] repose sur les résultats du développement asymptotique des équations
de la thermique présentés en [§2.2] ci-après.
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2.2
Rappel des résultats issus du développement asymptotique
2.2.1 Le modèle limite obtenu
On résume ici les principaux résultats obtenus en [bib1] par une technique de développement
asymptotique. On considère le cas d'une plaque : x I, d'épaisseur 2 h. La température est fixée à 0
sur le bord x I, et des flux +, - sur les faces + et -.
On cherche à étudier la dépendance de la solution T du problème thermique [éq 2.1.3-1] vis-à-vis de
l'épaisseur de la plaque 2 h. On utilise pour cela une technique de changement d'ouvert qui ramène le
problème à un domaine fixe x I, avec I = ]- h, + h[. Le paramètre apparaît alors explicitement dans
les équations du problème transporté (P), de x I à x I.
Sur x I, le problème initial s'écrit sous forme variationnelle :
1
Trouver :
T V = H x
I , = 0 sur
x I
tel que :
k .
T, .
, + k T, .
, = + + + - - ,
V .
33
3
3
x I
éq 2.2.1-1
Les résultats du développement asymptotique [bib 1] consistent en les propriétés suivantes vérifiées
par T(), la solution du problème transporté (P), posé sur x I :
1
(i) 1
T() tend vers T1 x ; x3 = T1 x dans H ( x I).
T1 x apparaît com m e une tem pérature m oyenne sur l'épaisseur I, au point x.
(ii) T, 3(), qui est la dérivée de T() selon la variable d'épaisseur x3 I, tend vers la
2
1
1
dérivée selon x3 du cham p x ; x3 dans L ( ) x H m (I), où H m (I) désigne l'espace des
1
fonctions de H (I) à m oyenne nulle.
éq 2.2.1-2
En conclusion, la solution T du problème initial sur x I peut se représenter par les deux premiers
termes de son développement :
T x, x 3 = 1
T1 x + x, x3 = x 3/ + ...
éq 2.2.1-3
Cependant le gradient de T ne se représente pas par le gradient de la représentation de T. Cette
situation est générique des problèmes de perturbations singulières rencontrés dans l'étude des
structures minces (plaques, poutres...) :
T x, x = 1
/ ,
3
T1 x , . e + x, x3 = x 3
3
e3.
éq 2.2.1-4
Le champ du "gradient de T" n'est donc pas un champ de gradient !
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Les champs T1 et se calculent sur la surface moyenne . Dans le cas où la conductivité est
homogène dans l'épaisseur, on a :
1
T1 H 0( ), solution de :
1
h k T
1
1, . , =
+ + - , H 0( )
2
éq 2.2.1-5
2
+ x + - x
x
+ x - - x
x, x
3
3
=
.
- h +
. x3.
4 K x
h
3
2 K x
éq 2.2.1-6
On constate que T1 est la solution d'un problème posé sur , alors que s'obtient explicitement en
fonction des flux imposés. Ces deux équations constituent le modèle "limite" obtenu par le
développement asymptotique.
Remarque :
· Dans un langage plus imagé et plus flou, les résultats précédents s'interprètent en disant
que pour une plaque mince, la température moyenne est régie par le flux moyen reçu et la
conduction dans le plan de la plaque. La répartition dans l'épaisseur n'est fonction, en un
point donné, que des flux imposés en ce point sur les faces supérieure et inférieure, elle
n'est pas affectée par la présence des points voisins.
· La répartition de température dans l'épaisseur est "parabolique" selon la représentation
[éq 2.2.1-6].
2.2.2 Une
application
On peut illustrer les résultats du développement asymptotique par un exemple simple, qui montre aussi
les limitations du modèle obtenu en utilisant la représentation de la température [éq 2.2.1-3] à l'aide des
champs T1 et , [éq 2.2.1-5] et [éq 2.2.1-6].
On considère une plaque infinie soumise sur sa moitié x2 < 0 à un couple de flux constants (+ = , - =
- ) équilibrés, et isolée sur l'autre moitié x2 > 0.
x3
+ =
= 0
x1
x 2
- = -
= 0
T
i
(0 , 0 ) = 0
Figure : 2.2.2-a
Le problème [eq 2.2.1-5] de détermination de la température moyenne T1 est ici une équation
2
différentielle en x
2 T1(x2) = 0
2 : x2
puisque le flux moyen j+ + j- est nul. La solution est alors T1 = 0
partout.
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Le champ (x2, x3) se calcule aisément par [éq 2.2.1-6] :`
pour x
x2, x3 = . x3
2 < 0,
K
= 0
pour x2 > 0.
La discontinuité de la condition aux limites de NEUMANN sur ± se reporte donc directement sur le
champ de température : en face supérieure la température T est la suivante :
+
T
h/K
0
x 2
Figure : 2.2.2-b
Cette discontinuité apparaît de plus indépendante de l'épaisseur h dans ce modèle limite, une fois le
flux apporté normalisé par h.
Cette limitation du modèle limite obtenu par développement asymptotique est inhérente à la
détermination purement locale du terme complémentaire parabolique (x, x3). Les discontinuités
induites seront gênantes pour les applications, notamment en thermomécanique.
On est ainsi amené à formuler autrement le modèle de thermique de coque, tout en gardant les
résultats de ce développement asymptotique.
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2.3
Formulation du modèle de thermique stationnaire de coque
On a vu sur les résultats de l'étude asymptotique des équations tridimensionnelles sur le solide = x
I, que le modèle limite obtenu comportait une température moyenne solution d'un problème du 2ème
ordre posé sur , et que le terme parabolique supplémentaire n'était déterminé que localement (point
par point sur ). Ceci avait donc l'inconvénient de fournir des solutions discontinues lorsque les
"chargements" thermiques le sont.
On présente donc dans ce paragraphe une représentation de la température, toujours parabolique
dans l'épaisseur, mais évitant l'écueil précédent. On décrit les équations obtenues, et leurs propriétés.
2.3.1 Equations du modèle
Suite aux résultats du développement asymptotique, on choisit la représentation dans l'épaisseur
suivante sur = x I :
T x, x =
T x
x
x +
T x
x
3
1
+
T2
.
w 2
3
3
.
w 3
3
éq 2.3.1-1
avec (w1 = 1, w2, w3) une base donnée des polynômes de degré 2.
On remplace ainsi la détermination du champ T à trois variables d'espace par celle de trois champs
scalaires T1, T2, T3 à 2 variables surfaciques sur . Cette décomposition [éq 2.3.1-1] est pratique pour
montrer son lien avec le modèle asymptotique. Mais on utilisera une autre représentation pour le
modèle numérique : voir [§ 2.3.5].
On va injecter cette représentation de la température T(x, x3) directement dans le problème thermique
[éq 2.1.3-1] posé sur = x I.
De par la définition de l'espace v en [éq 2.1.3 - 1], on adopte pour les champs Ti :
1
3
W = V = 1, 2, 3 H ( ) , i = 0 sur
T .
En posant T = (T1, T2, T3) la formulation du problème thermique sur devient :
Trouver
T W ,
1
T =
Arg Min J(), avec
J() = A(, ) - F(), et
2
V W
t
t
A(T , ) = T .
A .
+ T .
B .
d
t
t
F() = C .
d +
D .
ds
éq 2.3.1-2
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En effet, de [éq 2.3.1-1] on déduit les expressions :
1
( T ) =
T . w 2
w 3
0
T =
T .
3
w'2
w'3
Le tenseur A d'ordre 4 correspond aux conductivités moyennes surfaciques :
A
x
k
.
w .
1 - x . 1 + 1
1 + x H dx
i j =
w i
j
3
3
1
3
I
R
R
éq 2.3.1-3
(en utilisant la métrique vue en [éq 2.1.1-1]).
La dépendance de A suivant (x) provient de celle de k ß et de celle de la courbure moyenne H1 de la
surface .
Le tenseur B d'ordre 2 décrit la conduction transversale ainsi que les échanges sur les faces + et - :
'
'
B x = K w .
w 1 + x H dx + + w (h) .
w (h) 1 + h
H
ij
i
j
3
1
3
i
j
1
I
+ - w (
(
i - h) .
w j - h) 1- h H 1
éq 2.3.1-4
En ce qui concerne le second membre F, le vecteur C est :
1
1
C x =
1 + h
H +
1 - h
H
+
w (h)
w (-h)
2
1
-
2
1
w (h)
3
w (-h)
éq 2.3.1-5
3
(On suppose l'absence de sources de chaleur dans l'épaisseur pour simplifier.)
Enfin :
1
D x = w x
.
1 + x H
dx , pour
x
2
3
3
1
3
I
w x
éq 2.3.1-6
3
3
A l'examen de la formulation [éq 2.3.1-2] obtenue pour la thermique de coque, on constate que
l'opérateur différentiel reste d'ordre 2, contrairement à la mécanique où celui-ci passe à 4. En
thermique la courbure de la surface moyenne n'intervient que dans une modification de métrique, et
non directement dans les opérateurs, ainsi que le ferait une inhomogénéité des conductivités dans
l'épaisseur.
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2.3.2 Cas d'une plaque homogène
Dans le cas où l'on considère une plaque, ou si on néglige la variation de métrique dans l'épaisseur de
la coque (1 >> hH1) et en supposant le matériau homogène dans l'épaisseur pour simplifier, on peut
proposer le choix d'une base (1, w2, w3) des polynômes de degré 2 (polynômes de Legendre), de sorte
que les tenseurs de conduction A et B se diagonalisent sur les indices i, j (en Ui, Vj) :
x2
w x =
x /h ;
w x =
3 3 - 1
2
3
3
3
3
2
2
h
3
éq 2.3.2-1
soit : w (h) = 1,
i ;
w (- h) =
- 1 =
- w (- h)
i
2
3
et :
w = 0 = w = w .
w = w ' .
w '
2
3
2
3
2
3
I
I
I
I
w 2 =
2h ; w 2 = 2h ; w '2 = 2 ; w '2 = 6
2
3
2
3
3
5
h
h
I
I
I
I
Ainsi T1 sera la température moyenne, T2 sera associé au gradient dans l'épaisseur.
On trouve alors :
1 1
2 2
3 3
i j
A = 2 kh
;
A = 2 kh ;
A = 2 kh ;
A = 0 si i
j
3
5
0 0 0
1 0 1
0 1 0
B =
2K 0 1 0 + + + - 0 1 0 + + - - 1 0 1
h
De plus :
0 0 3
1 0 1
0 1 0
1
0
C = + + - 0 + + - - 1
1
0
I
D
=
.
x /h
3
I
2
3 x2/h - 1/3
3
2
I
, sur
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En écrivant la formulation variationnelle du problème [éq 2.3.1-2] :
T1
3
3
Trouver U = T H ( ) tel que,
V H () :
2
1
1
T3
t
t
t
t
U .
A .
V + U .
B . V
dx dx = C . V
dx dx +
D . V
1
2
1
2
on établit les équations locales à résoudre dans :
- 2 kh
T +
+ + - T + T + + - - T =
+ + -
1
1
3
2
- 2 kh
T + 2 K T + + + - .
T +
+ - - T + T = + - -
2
2
2
1
3
3
h
- 2 kh
T + 6K T + + + - T + T + + - - T =
+ + -
3
3
1
3
2
5
h
éq 2.3.2-2
avec les conditions aux limites suivantes :
T1, T2, T3 donnés sur T
T
1,
= 12 2
4k h
I
T
x /h
sur
2,
= 9
3
2 2
4k h
I
2
T
.
3 .
x2/h - 1/3
3,
= 25
3
2 2
4k h
I
2
Les équations [éq 2.3.2-2] sont donc valables pour les plaques et les coques minces dont on néglige
les termes de courbure dans la métrique (1 >> hH1), et pour un matériau homogène dans l'épaisseur.
Les solutions générales [Ti] de [éq 2.3.2-2] comportent des exponentielles de type e x a
- /! avec des
k
± h
longueurs d'amortissement !a dépendant des valeurs de K et k . Par exemple, en l'absence de
conditions de type échange sur les parois + - (± = 0), on obtient pour les champs T2 et T3 les
longueurs d'amortissement respectives :
= h
k
= h
k
.
!a
a
2
3K
!3
15K
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Il arrive en pratique fréquemment que négliger les termes de courbure (hH1 << 1) dans l'opérateur ne
détériore que peu la solution ; par contre, on a souvent intérêt à garder l'expression complète dans le
second membre. En effet ceci permet de calculer la vraie quantité de chaleur apportée par les flux
appliqués sur les faces ± (cf. exemple en [§3.1]). Dans ce cas, il faut prendre C dans [éq 2.3.1-2] et
[éq 2.3.2-2].
1
h H 1
C =
+ + - h H + + - -
1
1
1
h H 1
éq 2.3.2-3
2.3.3 Lien avec le modèle asymptotique
On peut vérifier facilement que le modèle proposé ici a bien pour limite quand l'épaisseur h tend vers 0
les résultats du développement asymptotique présentés en [éq 2.2.1-5] et [éq 2.2.1-6].
En effet l'épaisseur h intervient ici explicitement dans les coefficients de l'opérateur différentiel dans les
équations locales [éq 2.3.2-2], qui sont résolues sur la surface moyenne .
Dans le cas sans échange thermique (+ = - = 0) considéré dans l'étude asymptotique, ces équations
[éq 2.3.2-2] ont la forme :
- 2 k T1 = 1 + + -
h
- 2 kh
2
2 . T2 + 2 K T2 = h + - -
3
- 2 kh
2 . 2 T3 + 6 K T3 = h + + -
5
Après un développement asymptotique formel de la solution (Ti) selon l'épaisseur dans ces
équations, on vérifie bien que :
· T1 est solution du problème [éq 2.2.1-5] donnant le terme principal du développement
asymptotique (cf. [§2.2]).
1
et 1
sont :
·
T2 T3
1
(+ - -)
h (+ + -), ce qui correspond bien à la définition
T2 = h
; 1
2 K
T3 =
6 K
[éq 2.2.1-6] du champ complémentaire .
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Le modèle [éq 2.3.1-1] à trois champs scalaires T1, T2, T3 , parabolique dans l'épaisseur, apparaît en
quelque sorte le modèle optimal vis-à-vis du comportement asymptotique des équations de la
thermique stationnaire dans les structures minces. Le schéma suivant indique l'imbrication des
différents modèles possibles, avec leur comportement quand l'épaisseur tend vers zéro (flèches ) :
Modèle à
Modèle limite
Modèle à 3 champs
Modèles plus
2 champs (affine)
asymptotique
(parabolique)
riches
T
1
1 x
x
T
T1 x
T1
1 x
+
+
+
+
T2 x w 2 x3
T2 x w 2 x3
x
T x
x3
x
3
+
+
2
,
h
T3 x w 3 x3
T3 x w 3 x3
+
+
2 ... + ...
T x
x
i
w i
3
+
:
On a vu l'intérêt du terme supplémentaire pour décrire les évolutions de température dans l'épaisseur
x3 (alors que T (x
1
) est constant sur l'épaisseur).
Or le résultat précédent prouve que le terme T2 du modèle à 2 champs ne converge pas vers : il faut
au moins une représentation à 3 champs pour cela. Pourtant, sachant que les modèles mécaniques de
coques considèrent des déformations thermiques affines dans l'épaisseur, on aurait pu croire suffisant
un modèle thermique à 2 champs. On verra en [§3.3] un exemple illustrant (pour une épaisseur
donnée) l'effet du terme parabolique T3 sur la température moyenne T1 entre les différents modèles.
D'autres auteurs proposent des modèles de thermique plus riches (cf. par exemple [bib9], [bib10],
[bib2], probablement intéressants pour des coques épaisses, mais dont les termes supérieurs à l'ordre
2 deviennent inutiles pour les structures minces.
En effet, comme le montre le schéma précédent, les termes d'ordre supérieur viennent uniquement
corriger (lorsque 0) des expressions dont les parties principales sont données par T1 d'une part, T2
et T3 d'autre part. Qualitativement, ils n'apportent donc rien (contrairement à T2 et T3), quantitativement
leur contribution devient vite négligeable en général devant les parties principales.
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2.3.4 Généralisation aux problèmes d'évolution thermique
Le modèle de thermique dans les coques présenté précédemment a été justifié à partir des résultats du
développement asymptotique des équations tridimensionnelles de la thermique stationnaire. On ne
dispose cependant pas de résultats sur le problème d'évolution, hormis la convergence du terme en
température moyenne <T> (cf. [bib3]) (voir aussi la remarque faite ci-après en [éq 2.3.4-5]).
On peut cependant donner quelques indications sur la résolution du problème d'évolution, notamment
dans le cadre d'une approche modale (contrairement à une intégration directe en temps).
Les équations tridimensionnelles sont :
- K
T + C T = r sur
t
avec :
T =
T sur
,
- k
T =
sur
d
T
n
0
T(x, t = 0) =
T (x) sur
éq 2.3.4-1
On note : (µ , T
q
q) les valeurs propres et les vecteurs propres du problème suivant :
K T + µCT = 0 sur
;
T = 0 sur
, T = 0 sur
T
n
éq 2.3.4-2
La solution (tridimensionnelle) de [eq 2.3.4 - 1] est alors donnée par :
t
0
- µqt
- µq(t - s)
T(x, t) =
T . T
q
e
+
r(s) .
Tq +
(s) .
Tq e
ds .
Tq(x)
q = 1
0
éq 2.3.4-3
Les µq, inverses de temps de relaxation, sont caractéristiques des modes spatiaux du problème
[éq 2.3.4-2]. Pour résoudre les équations [éq 2.3.4-1] sur une coque mince, on peut adopter comme en
stationnaire la représentation [éq 2.3.1-1] pour le champ de température dans la coque :
3
T x ; x3, t = Ti x . fi (t) . w i x3 .
i = 1
On obtient alors le problème de modes propres, posé sur la surface moyenne , sous forme
variationnelle :
3
3
3
Trouver µ , T
R x
H ( ) tels que,
H () :
q
q
+
1
1
µ1 0 0
q
t
t
T
.
A .
+ T . B - 2h
C .
2
.
d = 0
q
q
0 µ 0
q
0 0 µ3q
éq 2.3.4-4
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Note : l'opérateur t(.) .
A .
(.) + (.) .
B. (. est bien elliptique ; on rappelle que B décrit la
conduction transversale (coefficient k) ainsi que les échanges sur les deux parois de la coque, alors
que A correspond à la conduction surfacique (coefficient K). On a supposé ici que c était homogène
dans l'épaisseur.
Par exemple, si on néglige l'effet de courbure dans l'épaisseur, en l'absence de condition d'échange sur
les parois +, -, et avec un matériau homogène, on obtient les équations aux dérivées partielles
suivantes, à résoudre sur (cf. [éq 2.3.2-2]) :
c
T1 + µ1 T1 = 0
k
c
T2 + 3 - K + µ2 T2 = 0
k
2
h c
c
T3 + 5 - 3 K + µ3 T3 = 0 avec µ i > 0
k
2
h c
éq 2.3.4-5
On constate ici que l'épaisseur h n'affecte pas les modes de température moyenne T1. Par contre, une
augmentation relative de conductivité transversale K/k ou une diminution d'épaisseur h ont pour effet de
diminuer les temps caractéristiques pour les modes de "températures" T2 et T3.
La solution complète selon cette représentation apparaît donc sous la forme :
t
1
1
0
- µ t
- µ (t - s)
T x
q
q
; x 3, t =
2h T1 . T1q e
+
+(s) + - (s) . T1q e
ds . T1q x
q=1
0
t
2
2
0
- µ t
- µ (t - s)
x
+ 2h T
q
q
3
2 . T2q e
+
+(s) - - (s) . T2q e
ds . T2q x
q=1
3
h
0
t
3
3
2
0
- µ t
- µ (t - s)
x
+ 2h T
q
q
3
3 . T 3q e
+
+(s) + - (s) . T3q e
ds . T 3q x 3
- 1
2
q=1
5
2
3
0
h
éq 2.3.4-6
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où on a considéré une température initiale :
T0 (x ; x3) = T0i (x) . wi (x3)
et où on a supposé l'absence de sources de chaleur dans l'épaisseur.
En comparant la solution 3D [éq 2.3.4-3] et le modèle de coque [éq 2.3.4-6], on constate que dans ce
dernier les modes transversaux Tq selon x3 ne sont représentés que par les fonctions wi(x3) données ;
ce qui revient à tronquer la série Tq. Mais une autre limitation apparaît dans le produit de convolution
1
pour les temps de relaxation µq caractéristiques des modes transversaux dans [éq 2.3.4-3] qui
disparaissent dans le modèle [éq 2.3.4-6] au-delà d'un "mode" parabolique.
Dans une diffusion de chaleur purement transversale (décrite par les (T , µ )
i0
i0 dans le modèle
[éq 2.3.4-6]), la valeur propre la plus faible étant K/h2 C on peut espérer une solution correcte avec le
modèle de coque si les temps de relaxation tc des chargements appliqués sont tels que :
c 2
tc > h
K
éq 2.3.4-7
Cette inégalité peut servir de limite pratique d'application du modèle.
2.3.5 Equations du modèle avec des variables usuelles
Le choix des variables T1, T2, T3 de la représentation [éq 2.3.1-1] correspondait au développement de
la température selon l'épaisseur.
Pour les applications, il est cependant plus commode de les remplacer par les variables : Tm, Ts, Ti :
Tm désigne la température sur la surface moyenne de la coque,
Ts la température sur la surface "extérieure" (x3 = + h),
Ti la température sur la surface "intérieure" (x3 = - h).
La représentation dans l'épaisseur utilise alors les polynômes de LAGRANGE : P1, P2, P3 :
m
s
i
T x ;
x =
T x
x + T x
x + T x
x
3
.
P 1 3
.
P 2 3
.
P 3 3
avec :
2
P x = 1 -
x /h
1
3
3
x
P x = 3 1 + x /h
2
3
3
2hx
P x = - 3 1 - x /h
3
3
3
2h
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La formulation du problème thermique sur est similaire à [éq 2.3.1-2], mais où l'on considère :
T
m
s
i
= T ,
T ,
T
P
'
1
P 1
T = T
'
. P
;
T =
T .
2
3
P 2
P
'
3
P 3
Le tenseur A d'ordre 4 s'écrit alors :
A x
P 1 + x .H
1 - x 1 + 1
dx
ij
=
k Pi j
3
1
3
3
R
R
i
Le tenseur B d'ordre 2 est :
B
' '
x = KP P 1 + x H dx + +P h P h 1 + hH + - P -h P -h 1 - hH
ij
i j
3
1
3
i
j
1
i
j
1
i
Pour le second membre, C devient :
0
0
C x = + 1 1 + hH + -
1 - hH
1
0
1
0
1
Et D :
P x
1
3
D x = P x
.
1 + x H
, pour
x
2
3
3
1 dx3
.
I
P x
3
3
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2.3.5.1 Cas d'une plaque homogène
Les différentes intégrales sur I = ] -h, h [ nécessaires au calcul de A et B sont rassemblées ci-après :
2
16h
2
2
4h
P
dx =
; P
dx =
P
dx =
1
3
2
3
3
3
15
15
I
I
I
2h
h
P .P
dx =
P .P
dx =
; P .P
dx = -
1
2
3
1
3
3
2
3
3
15
15
I
I
I
2
2
2
'
8
'
'
7
P
dx =
;
P
=
P
=
1
3
2
3
3h
6h
I
I
I
'
'
'
'
4
'
'
1
P .P
dx =
P .P
dx = - ; P .P
dx =
1
2
3
1
3
3
2
3
3
3h
6h
I
I
I
On trouve alors (en négligeant la correction de courbure) :
A 11
22
33
= 16hk ; A = A = 4hk
15
15
A 12
21
13
31
23
32
= A = A = A = 2hk ;
A = A = - hk
15
15
Puis :
16
-8
-8
0 0 0
B = K -8
7
1
+ 0 + 0
6h
-8
1
7
0 0 -
0
C = +
-
2
1 - x /h
.dx
3
3
I
x3
D
=
. .
1 + x /h dx
3
3
sur
2h
I
-x
. 3 1 - x /h dx
3
3
2h
I
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2.3.5.2 Relation entre les variables des deux représentations
m
T x = T x
T x
1
- 1
3
2
s
T x = T x
x
x
1
- T2
+ T3
i
T x = T x
x
x
1
+ T2
+ T3
et :
m
s
i
T x
4 T x
x
x
1
= 1
+ T
+ T
6
s
i
T x
T x
x
2
= 1
+ T
2
m
s
i
T x
- 2 T x
x
x
3
= 1
+ T
+ T
3
2.3.6 Synthèse
Le problème à résoudre sur la coque , d'épaisseur 2h s'écrit :
m
s
i
1
3
Trouver
T = T ,
T ,
T W = = m ,
s, i H () , m = s = i = 0 sur
T
tel que :
t
t
t
t
T .
A .
+ T .
B .
. d
= C .
d +
D .
ds ,
W
avec :
h
A x
k
.
P 1 + x H 1 - x 1 + 1
dx
ij =
Pi
j
3
1
3
3
- h
R
R
h
B
'
'
x
K P .
P 1 + x H
dx + ± .
P (± h) .
P (± h) 1 ± h H
ij =
i
j
3
1
3
i
j
1
- h
h
C x
(± h) 1 ± h H +
r .
P 1 + x H dx
i =
± .
P i
1
i
3
1
3
- h
h
D x
.
P 1 + x H dx , pour
x
i =
i
3
1
3
- h
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F. VOLDOIRE, S. ANDRIEUX
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et :
m
s
i
T x ;
x =
T x
x + T x
x + T x
x
3
.
P 1
3
.
P 2
3
.
P 3
3
Pi(x3) :
les trois polynômes de LAGRANGE dans l'épaisseur [- h, h] :
2
x
x
P x = 1 -
x /h ;
P x = 3 1 + x /h ;
P x = - 3 1 - x /h
1
3
3
2
3
3
3
3
3
2h
2h
H
+ 1
H
1 = 1
1 :
courbure moyenne :
R 1
R 2 ;
(x1, x2) :
système de coordonnées orthonormées selon les courbures principales de ; d = dx1 . dx2 ;
kß :
composantes surfaciques du tenseur K de conductibilité ;
K :
composante transversale du tenseur K de conductibilité ;
± :
coefficients d'échange sur les faces + et - ;
± :
flux appliqués sur les faces + et - ;
r :
sources réparties dans l'épaisseur ;
:
flux imposé sur l'extrémité de la coque.
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3
Validation du modèle sur quelques exemples
On présente ici des applications sur des cylindres et des plaques. La première traite en fait d'un cas
unidimensionnel dans l'épaisseur et permet d'évaluer l'effet des termes de courbure, notamment dans
le second membre des équations. Les autres permettent de juger la capacité du modèle à traiter le cas
de chargements thermiques discontinus, par référence à des solutions 3D.
3.1
Le cylindre infini soumis à un flux intérieur uniforme
On considére un cylindre infini (rayon R, épaisseur 2h), soumis à un flux uniforme à l'intérieur : i, et à
une condition d'échange en peau externe + (T - Text) = +T - e.
On note K le coefficient de conductivité transversale.
La solution analytique de ce problème axisymétrique 1D est :
T x3 =
T1 + T0 ln
1 + x3 /R
x 2
R
R - h
R + h
x
+
1
T -
R
e = - KT,3
z
- KT,3 = i > 0
x3
2h
avec :
R
T = - i 1 -
h
0
K
R
R i
h
h
1 - h/R
1
T = 1 - ln
1 + +
+
.
1
i
e
K
R
R
1 + h/R
+
Un développement limité au 2ème ordre en x3 /R est :
2
+
x2
T(x
i
+ e
i
R
3
3)
-
. h 1 - h -
1 - 3h -
1 - h x3 -
. h + ...
i h
+
+
R
R
2 K
2 R
K
R
h
2
2 h
R
Utilisons maintenant le modèle à 3 champs T = (T1, T2, T3) défini au [§ 2.3.2]. A cause de
l'indépendance en x1 et x2 de la solution, on se ramène à la résolution de : B T = C.
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2
Pour la représentation
x
T(x
3
on a :
3)
= T1 + T2 x3 + 3 . T3
- 1
h
2
2
h
3
0
0
0
1 1 1
B =
2K 0
1
h/R + + 1 + h 1 1 1
h
R
0
h/R
3
1 1 1
1
1
C =
1 - h
+ 1 + h
pour le second membre.
i
- 1
e
1
R
R
1
1
h
Dans le cas où on néglige l'intervention de la courbure dans la métrique, on supprime les termes en R
dans les expressions précédentes.
1 >> h
La solution est, si on néglige complètement la courbure
R :
T x
i
+ e
i
. h
3
=
+
1 - x3 c'est-à-dire la solution du "mur" plan.
+
K
h
Si on tient compte de la courbure dans le second membre ainsi que dans les termes d'échange +
(vraies surfaces d'application des flux) :
+
2
+ R
x
T x =
i
e - i .
h 1 - h
-
1 - h
- h 1 - h .
3 + 0
3
+
+
i
R
R
2K
R
K
R
h
On retrouve la solution analytique développée au 1er ordre en x3/R. La prise en compte de la courbure
dans les termes de conductivité dans B interviendrait au niveau des termes en (x3/R)2.
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3.2
La plaque infinie sous un couple de flux antisymétriques
Reprenons le cas de la plaque infinie soumise sur sa moitié x2 < 0 à un couple de flux constants (+ =
, - = - ) équilibrés, et adiabatique sur l'autre moitié x2 > 0.
L'antisymétrie du chargement impose que : T(x1, x2, 0) = 0. On peut montrer aussi que T est linéaire
dans l'épaisseur en x2 = - , 0, + .
Les équations [éq 2.3.2-2] se réduisent ici à :
"
1
0
0
T
T
1
0 0 0
1
0
- 2kh 0
1/3
0
T
+ 2K
T =
2
0 1 0
2
2
h
0
0
1/5
T
T
3
0 0 3
3
0
x3
= 0
x1
x 2
= 0
T (0, 0) = 0
i
Les dérivées Ti, 2 s'annulant à l'infini, T1 et T3 sont identiquement nulles partout. Il reste à déterminer T2
(ne dépendant que de x2) telle que :
3K
3
- T"2 +
.T =
dont la solution est de la forme :
kh2 2
kh
T2 x2 = a e 3K/k . x 2/h + h si x2 < 0,
K
T2 x2 = b e- 3K/k . x2/h si x2 > 0.
La continuité de T
'
2 et T2 en 0 donne :
T2 x2 = h 2 - e 3K/k . x 2/h si x2 0,
2K
T2 x2 = h . e- 3K/k . x2/h si x2 0.
2K
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Après changement pour les variables Tm, Ts, Ti, on trouve :
m
s
i
T x = 0 ;
T x =
T x ;
T x = -
T x
2
2
2
2
2
2
2
La température de la plaque, calculée dans le cadre de ce modèle est donc linéaire dans l'épaisseur et
s'exprime avec T2(x2), ou Ts (x2) et Ti (x2) par :
x
s
x
i
x
T x ,
x ,
x =
T x .
3 = T x . 3 1 + x /h -
T x . 3 1 - x /h
1
2
3
2
2
2
3
2
3
h
2h
2h
La [Figure 3.2-a] permet de comparer les températures en peau supérieure (x3 = + h) de la plaque sous
un flux extérieur normalisé ( = K/h, avec k = K = 1, h = 1), obtenues par un calcul numérique 3D
(Code Aster), le modèle coque, et le modèle limite asymptotique (avec la discontinuité observée en
[§2.2]).
On constate la bonne capacité du modèle à décrire la couche limite apparaissant au voisinage d'une
discontinuité de flux extérieur.
Température en peau supérieure de la plaque pb1
Plaque homogène
h = 1 ; k = K = 1
Flux unitaires
Opposé sur x < 0
Flux nuls sur x > 0
Légende :
0 = modèle 3D
= modèle de Coque
X = modèle Asymptot.
Figure 3.2-a : Température comparée en peau supérieure de la plaque
soumise à des flux antisymétriques.
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3.3
La plaque infinie sous un couple de flux symétriques
Dans l'exemple précédent, l'antisymétrie du chargement entraînait la nullité des termes pairs en x3
(T1 = T3 = 0). On traite maintenant un autre cas de chargement, symétrique, (par rapport à x3 = 0)
permettant de juger l'effet du terme T3, notamment sur T1, ce qui nécessite de prendre des conditions
aux limites du type échange, pour dédiagonaliser B [§ 2.3.2].
En x3 = + h, on a comme condition :
- KT
= T + si x2 < 0
= T - si x2 > 0
En x3 = - h, on a :
- KT
=
T + si x2 < 0
= T - si x2 > 0
x 3
T +
T -
x 2
T +
T -
T (0, 0) = 0
i
Les conditions de symétrie et d'antisymétrie imposent à la solution de vérifier :
- T(x1, - x2, x3) = T(x1, x2, x3) = T(x1, x2, - x3)
d'où : T(x1, 0, x3) = 0, et 3 T(x1, x2, 0) = 0.
Les équations (18) s'écrivent dans notre cas (Ti ne dépend que de x2) :
- kh .T"1 + T1 + T3
= pour x2 < 0 ou - pour x2 >
0
K
- kh / 3 .T"2 + +
T
0
h
2
=
3K
- kh / 5 .T"3 + T1 +
+
T
pour x
0 ou
pour x
0
h
3 =
2 <
-
2 >
T2 est donc identiquement nulle (ce qui est cohérent avec les conditions de symétrie).
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Les solutions T1 et T3 sont données par (cf. [An 1]) :
2
2
/kh - s
2
- s
/kh
1 x2
- s1
- s2 x2
T1 x1,
x2 =
- 1 -
.
e
+
.
e
sgn
x
2
2
2
2
2
s1 - s2
s1 - s2
2
2
kh
/kh - s1 /kh - s2
- s1 x2
- s2 x2
T3 x1,
x2 =
- . .
e
-
e
sgnx
2
2
2
s1 - s2
s1 et s2 étant les racines positives du polynôme caractéristique.
Après changement pour les variables Tm, Ts, Ti, on trouve :
m
T x ,
x =
T x ,
x
1
2
1
1
2
s
T x ,
x =
T x ,
x + T x ,
x
1
2
1
1
2
3
1
2
i
s
T x ,
x =
T x ,
x
1
2
1
2
Si on adopte pour résoudre le problème thermique un modèle à 2 champs (T , T )
1
2
, avec une
représentation affine dans l'épaisseur, on obtient comme solution :
T
/kh . x2
1 x1,
x2 = / 1 - e
si x2 < 0
= - / 1 - e- /kh . x2 si x2 > 0
T2 x1, x2 = 0
Dans un tel modèle la température apparaît constante dans l'épaisseur. Le modèle limite asymptotique
produit la même solution.
On compare la solution numérique 3D et celle d'un modèle à 2 champs (T1). Cette dernière
comparaison permet de juger de l'effet du terme parabolique sur la répartition de la température
moyenne. En effet c'est cette dernière qui, en théorie mécanique des coques, engendre une
déformation membranaire.
Ces comparaisons sont faites pour des valeurs unitaires de k, K, , h, en unités Si. On visualise les
isovaleurs 3D dans l'épaisseur sur la [Figure 3.3-a].
Les températures moyennes T1 et T1 sont représentées [Figure 3.3-b]. Enfin la [Figure 3.3-c] montre
l'évolution de la température en peau supérieure (x3 = + h) de la plaque, pour les trois solutions
envisagées, ainsi que par celle du modèle limite asymptotique ; la [Figure 3.3-d] présente la même
comparaison pour le feuillet moyen de la plaque.
On constate sur ces résultats la bonne adéquation entre la solution complète 3D (points 0) et celle
obtenue avec le modèle de coques à 3 champs (points ), alors que le modèle à 2 champs (points +)
paraît insuffisant.
linéaire
Ces observations restent valables pour d'autres choix de k, K, , h, , puisque le problème est
en , et que la variable d'espace x2 apparaît normalisable par
kh dans les équations.
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Figure : 3.3-a : Isovaleurs de température par calcul numérique 3D
modèle de coque
modèle à 2 champs
Figure : 3.3-b : Comparaison des températures moyennes : effet du terme parabolique
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modèle à 2 champs
modèle 3D
modèle de coque
modèle asymptotique
Figure : 3.3-c : Température comparée en peau supérieure de la plaque
soumise à des échanges symétriques
m odèle 3D
m odèle de coque
m odèle à 2 cham ps
m odèle asym ptotique
Figure : 3.3-d : Température comparée sur le feuillet moyen
de la plaque soumise à des échanges symétriques
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3.4
Le cylindre infini soumis à une stratification horizontale
On s'intéresse dans ce paragraphe à une situation plus industrielle que les cas précédents. Il s'agit d'un
problème de stratification thermique dans un tuyau horizontal [bib12]. Sous certaines conditions
thermohydrauliques, la température du fluide peut varier très rapidement avec la cote z (cf. figure
ci-dessous). On peut pratiquement considérer qu'il existe deux zones à températures constantes de
part et d'autre d'une interface horizontale.
z
0
y
0
· Caractéristiques géométriques :
R = 1.0m
h = 0.075m
0 = - 30 °
· Caractéristiques physiques :
Conductivité
k = 17 W/m/°C
Echanges :
extérieur (air)
= e
= 12 W/m2/°C
intérieur (eau chaude)
= c
= 1000 W/m2/°C
intérieur (eau froide)
= h
= 1000 W/m2/°C
Températures : extérieure : 25 °C
intérieure : chaude 250 °C
froide 50 °C
La détermination de la température dans le tuyau présente deux intérêts, le premier est de pouvoir
conduire à la répartition de contrainte au voisinage de la stratification, le second est d'estimer les
échanges de chaleur entre la zone d'eau "froide" et la zone d'eau "chaude" via la conduction dans le
tube.
Le problème étant indépendant de la variable x, il devient unidimensionnel dans le cadre du modèle de
coque. Pour le résoudre, on cherche tout d'abord les solutions générales de l'équation sans second
] - , 0 [ et ] 0, [
membre sur chacun des segments
2
2
:
T
T
1
1
- A T
+ B
T = 0
2
2
T
T
3
3
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Résolvant pour cela numériquement une équation du troisième degré (polynôme caractéristique en s),
on écrit ensuite les conditions de continuité des champs Ti et de leurs dérivées tangentielles à
l'interface, en exprimant ceux-ci par la combinaison des solutions générales et des solutions
particulières dans chacun des domaines. Le système linéaire à résoudre (12 x 12) est ramené à un
système de dimension 6 x 6 par des considérations de symétries, puis résolu numériquement.
On dispose ainsi d'une solution semi-analytique [bib4] (résolution numérique de l'équation du troisième
degré et du système linéaire) bien que la situation soit complexe. La comparaison avec un calcul 2D
par éléments finis est donnée sur les [Figure 3.4-a] et [Figure 3.4-b] : la différence entre les deux
solutions est indiscernable.
Valeurs extrêmes
47.3717
247.6520
Figure 3.4-a : Tuyauterie stratifiée : solution analytique par le modèle de coque thermique
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valeurs extrêmes
47.1831
247.2360
Figure 3.4-b : Tuyauterie stratifiée : solution éléments finis thermique 2D Aster
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4
Remarques sur la discrétisation numérique
Dans ce paragraphe on se limite à quelques observations quant à la résolution numérique des
équations du modèle thermique de coque : tout d'abord sur l'utilisation d'une méthode d'éléments finis
et ensuite sur le blocage numérique apparaissant lorsque l'épaisseur 2h est faible. Ce dernier provient
de l'intervention de h à des puissances différentes dans les coefficients des équations.
4.1
Résolution par éléments finis
Le modèle de thermique de coque décrit en [§ 2.3] présente les caractéristiques suivantes :
· il conduit à un opérateur d'ordre 2 agissant sur les trois champs scalaires T = (Tm, Ts, Ti) ;
· ces trois champs sont définis sur un domaine surfacique, plongé dans IR3 ;
· la courbure de la surface n'intervient, éventuellement, que dans l'expression des coefficients
A, B, C, D.
Dans le cas général d'une coque de forme quelconque plongée dans IR3, on peut discrétiser la
géométrie de sa surface moyenne par un maillage en éléments triangulaires plans (cette méthode
présente certes le défaut de ne pas pouvoir prendre en compte explicitement la courbure de ).
Le problème thermique (voir [§ 2.3.6]) étant scalaire, à 3 champs, du second ordre, on propose les
éléments finis usuels : les triangles plans P1 (à 3 noeuds) ou P2 (à 6 noeuds).
Leur formulation est la même, que soit plane ou courbée : on néglige ainsi les corrections de
métrique dans les opérateurs de rigidité A et B, (on a vu dans les cas de validation que cela avait peu
d'effet en pratique). Par contre l'utilisateur, s'il connait l'expression de la courbure, aura intérêt à en
tenir compte dans les valeurs des coefficients ± et des flux ±, comme dans les expressions
[éq 2.3.1-4] et [éq 2.3.1-5].
Dans le cas des matériaux composites (de même que si l'on voulait tenir compte de la courbure), on a
à prévoir un pré-traitement fournissant les coefficients A, B, C, D, ainsi qu'un post-traitement
permettant de reconstituer la température et les flux en tout point de l'épaisseur.
Il existe des situations où le problème ne dépend plus que d'une variable d'espace : il s'agit des coques
de révolution chargement axisymétrique, ou des "tranches de coques", d'axe e3.
La géométrie est alors représentée par un méridien : (voir [Figure 4.1-a]).
Y
La courbe moyenne est alors :
1 cos
B
s
- cas révolution : H1 =
+
x
R
x
3
1
- cas "tranche", ou arc : H1 =
t
t
R
y
t
n
où R désigne le rayon de courbure de la ligne
méridienne A B.
A
R
X
x
Z
Figure : 4.1-a
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Pour ces types de problèmes, on propose aussi un élément fini P2 à 3 noeuds, utilisant la même
formulation, où on néglige la correction de métrique dans l'épaisseur, pour les coefficients A et B. On
utilise une formule de quadrature à 4 points de GAUSS.
Cet élément est exactement associé à celui proposé en mécanique pour des études
thermomécaniques chaînées [R3.07.02].
4.2
Blocage numérique d'un élément fini de coque thermique
Le blocage est un phénomène apparaissant dans la résolution numérique par éléments finis de
certains problèmes tels que celui des coques minces ou des arcs lorsque l'élément est courbe (blocage
de membrane), celui des coques ou des poutres avec prise en compte du cisaillement (blocage de
cisaillement), ou encore celui de la plasticité (blocage d'incompressibilité plastique [bib7]). Il a été
rencontré initialement en mécanique des fluides incompressibles et c'est dans ce cadre que son étude
théorique a débuté [bib6].
Ce phénomène de blocage se manifeste par une très grande perte de précision et des oscillations
importantes sur certaines quantités calculées lorsqu'un paramètre physique du modèle devient "petit".
L'illustration de ces désagréments est donnée dans la note HI-71/7131, (§4.2). L'origine de ces
problèmes réside dans la différence d'ordre de grandeur qui apparaît entre certaines composantes de
la forme bilinéaire de "rigidité" quand le paramètre physique ou géométrique tend vers zéro (épaisseur
de la coque pour le blocage de membrane, inverse du module de compressibilité tangent pour le
blocage plastique par exemple). Ici, c'est l'épaisseur de la coque qui va jouer le rôle de petit paramètre.
Reprenons les équations du problème thermique stationnaire posé sur une plaque sous forme
variationnelle ; notons 2 h son épaisseur ( réel sans dimension) :
3
1
Trouver
T = T ,
T ,
T
W
= H ( )
tel que
1
2
3
0
1
A(T ,
) + B(T, ) = F()
= ( , , ) W
1
2
3
éq 4.2-1
avec :
1 0 0
A(T ,
) = 2kh T .
0 1 0
.
d
3
0 0 1
5
Le . désignant le produit scalaire usuel,
0 0 0
B( T ,
) = 2K T .
0 1 0 .
d
h
0 0 3
= , , (gradients surfaciqu
1
2
3
Une formulation mixte équivalente de ce problème est obtenue avec les variables q2 et q3 , flux de
chaleur dans l'épaisseur (cf. [An 2]) : on note = (L2 ())2 .
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Trouver (
T , p ) W x Q tels que
A(T , ) - M(, p) = F(
)
W
- B (p, q)
- M(, q) = 0
q Q
éq 4.2-2
où :
q = (
q ,
q )
2
3
M( , q) = q + q d
2
2
3
3
1 0
B (p, q) =
h p
q d
2K
0 1
3
Sur cette formulation, le blocage numérique apparaît clairement (du moins formellement). En effet, la
discrétisation de W x Q étant effectuée, (on la note Wd x Qd), le problème tend formellement lorsque
tend vers zéro vers le problème suivant :
A(T ,
)
) = F(
) W
d
- M(,
pd
d
M(T , q) = 0
q Q
d
d
Ce qui revient à résoudre sur le noyau de M :
A(T ,
) = F()
W
d
d
éq 4.2-3
Le blocage apparaît lorsque le noyau discrétisé de M est trop petit ou réduit à zéro : la résolution de
[éq 4.2-3] se fait sur un espace très petit voire réduit à zéro. Même si le maillage est fin, la solution est
alors de très mauvaise qualité.
Le noyau de M dans Wd étant par définition, l'espace :
Ker M = W
d
d
| M(, q) = 0
q
Qd
On voit que le choix de la discrétisation de Q n'est pas innocent et conditionne fortement le
comportement de la solution lorsque tend vers zéro. Il existe une condition de convergence portant
sur les espaces Wd et Qd qui assure le bon comportement numérique de la solution avec petit, c'est la
condition dite LBB discrète, version adaptée au cas discret de la condition LBB continue
(LADYJENSKAIA - BREZZI - BABUCHKA). Nous renvoyons à [bib 7] pour une étude de cas (plasticité)
et une bibliographie sur ce sujet.
Parallèlement aux études théoriques rapidement mentionnées ci-dessus, un remède pratique au
blocage, apparaissant une fois la discrétisation en Wd choisie si ce choix a été malheureux, consiste à
sous-intégrer le terme "bloquant" dans la construction de la rigidité, c'est-à-dire le terme B ici. Certains
choix de sous-intégration, dans la formulation primale [éq 4.2-1] s'interprètent comme des choix
d'interpolation de Wd et Qd dans la formulation mixte et peuvent ainsi, via la vérification (parfois
laborieuse) de la condition LBB discrète, être justifiés sur le plan théorique.
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Considérons en effet, un élément fini triangulaire à 3 noeuds et interpolation P1 pour résoudre le
problème [éq 4.2-2]. Choisissons alors pour discrétisation de Q une interpolation P0 discontinue, c'est-
à-dire une représentation de [q] constante par élément.
La seconde équation de [éq 4.2-2] est alors une équation locale, i.e. à résoudre sur chaque élément
séparément puisque p est quelconque sur chaque élément E.
- h p q + 1 p q - T q + T q = 0
(q ,
q )
2
2
3
3
2
2
3
3
2
3
2K
3
E
E
d'où la solution immédiate si |E| est la surface de E.
p =
- 2K 1 T
2
2
h
E
E
p =
- 6K 1 T
3
3
h
E
E
En reportant ces résultats dans la forme M, on a sur l'élément E :
2K
1
3
M( , p) =
T +
T pour tout
W
2
2
3
3
d
h
E
E
E
E
E
E
ayant ainsi éliminé p, on est ramené à une formulation primale sur T uniquement :
2K
1
3
M( , p) =
T
T
2
2 +
3
3 pour tout
W d
h
E E
E
E E
E
qui correspond très exactement à la formulation [éq 4.2-1] dans laquelle le terme élémentaire :
B (T ,
) = 2K T + 3 T
E
2
2
3
3
h
E
est sous-intégré par un schéma à un point de GAUSS :
f . g
1 . f . g
E
E
E
E
L'examen de la condition LBB discrète reste à faire pour cette discrétisation afin de conclure à sa
convergence (cf. [bib7]).
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5 Conclusion
Une analyse asymptotique des équations de la thermique dans une structure mince quand l'épaisseur
tend vers zéro aboutit à un modèle limite caractérisé par une température moyenne, solution d'un
problème aux limites, et un terme complémentaire parabolique dans l'épaisseur, défini localement.
On en a déduit la formulation d'un modèle à 3 champs scalaires définis sur la surface moyenne de la
coque, donnant une représentation parabolique de la température dans l'épaisseur. L'opérateur
différentiel obtenu est d'ordre 2 ; l'épaisseur de la coque apparaît dans ses coefficients.
Ce modèle apparaît comme "optimal" pour les structures minces :
· sa limite quand l'épaisseur tend vers zéro est identique au modèle limite asymptotique ;
· des termes supplémentaires éventuels tendraient vers zéro avec l'épaisseur.
Dans une version standard la courbure de la surface moyenne de la coque n'intervient pas directement.
Des exemples test montrent une bonne adéquation de la température obtenue avec des solutions
tridimensionnelles complètes.
Ce modèle paraît donc tout à fait habilité à :
· être utilisé dans une formulation éléments finis pour calculer la température dans une coque
mince de forme quelconque ; la solution obtenue pouvant être facilement injectée dans un
calcul thermomécanique de la coque ; on propose ainsi des éléments surfaciques et linéiques
pour les cas où une variable d'espace n'intervient pas ;
· être introduit directement (ou par couplage) dans une méthode de résolution des équations
régissant l'état thermohydraulique d'une tuyauterie par exemple, afin de tenir compte de la
restitution thermique de la paroi sur le fluide ;
· être utilisé comme modèle intégré dans la résolution de problèmes d'identification (problème
inverse) à partir de mesures expérimentales (par exemple pour des conduites stratifiées) ;
· rechercher des solutions analytiques dans des cas à géométrie simple.
Le modèle décrit ici peut aussi être utilisé dans les problèmes d'évolution thermique, à condition que
les chargements thermiques ne varient pas trop vite.
Enfin, il reste à étudier les méthodes numériques à utiliser pour éviter le blocage qui pourrait apparaître
dans un calcul par éléments finis, lorsque l'épaisseur devient faible.
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6 Références
[1]
ANDRIEUX S., MARIGO. J.J. : Application des méthodes asymptotiques au problème de la
conduction thermique dans les plaques minces. Note EDF-DER-MMN : HI-71/5963, 1987.
[2]
BLANCHARD J.L, CARNOY E. : Elément fini de coque thermique pour l'analyse
thermomécanique de coques minces. In "Calculs de structures et C.F.A.O".
[3]
FRANCFORT G. : Asymptotic transient thermoelastic behaviour in thermo-mechanical
couplings in solids. IUTAM. Bui and N'Guyen Eds. Elsevier 1987.
[4]
FAZOUANNE A. : Etude d'un problème thermique inverse. Rapport de stage scientifique,
ENPC. 1990.
[5]
GREEN A.E., NAGHDI P.M. : On thermal effects in the theory of shells. Proc. Roy. Soc.
London. A365, A367. 1979.
[6]
HUGHES T.J.R., MALKUS D.S. : "Mixed Finite Element Methods Reduced and selective
integration techniques. Computer Meth. Appl. Mech. Eng. 15-1, pp. 63-81, 1978.
[7]
MIALON P., THOMAS B. : Incompressibilité en plasticité : sous-intégration et autres
techniques numériques. Note EDF-DER-MMN : HI-72/6404, du 19 janvier 1990. Voir aussi :
Bull DER Série C, n°3, 1991.
[8]
RUBIN M.B. : Heat conduction in plates and shells with emphasis on a conical shell, in Int.
J. of Solids and Structures, Vol. 22, N° 5, pp. 527-551. 1986.
[9]
SURANA K., ABUSALEH G. : Curved shell elements for heat conduction with p-approximation
in the shell thickness direction. Computers and Structures, Vol. 34, N° 6, 1990.
[10]
SURANA K.S., ORTH N.J. : Axisymmetric shell elements for heat conduction with
p-approximation in the thickness direction, in Computers and Structures, Vol. 33, N° 3, pp.
689-705. 1989.
[11]
SURANA K., PHILLIPS R. : Three dimensional curved shell finite elements for heat
conduction. Computers and Structures, Vol. 25, N° 5. 1987.
[12]
SABATON M., BIMONT G., VIOLLET P.L., VOLDOIRE F., MASSON J.C., GRATTIER J. :
Stratifications dans les tuyauteries des réacteurs à eau pressurisée. Note EDF-DER :
HP/109/88/01. Fév. 1988.
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Annexe 1 Plaque infinie sous un couple de flux symétriques
En x3 = + h, les conditions aux limites sont :
- K 3 T
= T +
si x2 < 0
= T -
si x2 > 0
En x3 = - h, on a :
- K 3 T
= T +
si x2 < 0
= T -
si x2 > 0
x 3
T +
T -
x 2
T +
T -
T (0, 0) = 0
i
Les conditions de symétrie et d'antisymétrie imposent à la solution de vérifier :
T(x1, - x2, x3) = T(x1, x2, x3) = T(x1, x2, - x3)
et donc : T(x1, 0, x3) = 0, 3T(x1, x2, 0) = 0.
Les équations [éq 2.3.2-2] s'écrivent dans notre cas :
"
- kh T1 + T1 + T3 = pour x2 < 0 ou - pour x2 > 0
"
- kh/3 . T2 + K + T2 = 0
h
"
- kh/5 . T3 + T1 + 3K + T3 = pour x2 < 0 ou - pour x2 > 0
h
T2 est donc identiquement nulle (ce qui est cohérent avec les conditions de symétrie). Le système
précédent admet comme solution particulière :
-
T p
1 (x , x
1
2 ) =
si x < 0 et
si x
2
2 > 0
T p
2
3 (x ,x
1
2 ) = 0
sur R
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Le polynôme caractéristique en s du système homogène est :
2
2
k h s4 - k 6 h + 3K s2 + 3 K = 0 , dont les 4 racines si sont :
5
5
h
2
2
si = ± 1 .
3 .
h + 5 K ±
2 h + 25K + 10K h , s1 > s2 > 0 > s3 > s4
h
k
2
4
3
Les solutions T1(x1, x2) et T3(x1, x2) , finies en x2 = , s'expriment donc :
T1 x1, x2 = + es1 x2 + es2 x2
pour x2 > 0
= - - e- s1 x2 - e- s2 x2
pour x2 > 0
T3 x1, x2 = es1 x2 + es2 x2
pour x2 > 0
= - e- s1 x2 - e- s2 x2
pour x2 > 0
Les conditions de raccord en x2 = 0 sont naturellement exprimées par les conditions d'antisymétrie de
T, déjà utilisées ci-dessus. Les quatre constantes , ß, , sont déterminées par :
+ = - /
nullité de T en x2 = 0
+ = 0
2
- kh s1 + = 0
m odes T1 - T3 associés à s1, s2
2
- kh s2 + = 0
D'où :
2
/kh - s
=
- .
2
s2 - s2
1
2
2
/kh - s
=
.
1
s2 - s2
1
2
2 .
2
. kh
/kh - s
/kh - s
=
.
1
2
2
s2 - s2
1
2
2 .
2
. kh
/kh - s
/kh - s
=
.
1
2
2
s2 - s2
1
2
Les solutions T1 et T3 s'écrivent donc :
2
2
/kh - s
2
/kh - s1
T1 x1, x2 = - . 1 -
e- s1 x2 +
e- s2 x2 sgn x
2
2
2
2
2
s1 - s2
s1 - s2
2
2
kh
/kh - s1 /kh - s2
T3 x1, x2 = -
.
. e- s1 x2 - e- s2 x2 sgn x2
2
2
2
s1 - s2
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Annexe 2 Formulation mixte du problème stationnaire pour la
plaque
Dans le cas de la plaque, le problème variationnel [éq 4.2-1] est équivalent à un problème de
minimisation (en faisant apparaître explicitement l'épaisseur h dans B ) de la fonctionnelle :
J() =
1 A(
, ) + 1 B(, ) - F().
2
2
Pour obtenir la formulation mixte, remarquons que :
Proposition :
1
2
2
B (, ) =
Sup
- q2 2 + q3 3 - h q 1 + 1 q 3
2
2
2
4 K
3
q2, q3 L ( )
Démonstration :
Ecrivons la condition d'extrêmalité de la fonctionnelle entre crochets (son opposée est strictement
convexe, coercive et semi-continue inférieurement) et notons p le couple où le sup est atteint :
q
h
2
2 + q3 3 + q2 p2 + 1 q3 p3 = 0 q
2 K
3
p2 = - 2 K 2
h
p3 = - 6 K 3
d'où :
h
La valeur de la fonctionnelle en ce point est donc :
2
2
+ 2 K 2
2
h
2
2
2
2
2
+ 6 K 3 -
4 K 2 + 3 6 K 3 = 1 2 K 2 + 3 K 3
h
h
4 K
2 2
2
h
3 2 h
2
h
h
soit effectivement le résultat annoncé.
On a donc une formulation équivalente à la minimisation de J sur W :
1
Min Max A(,) -
B (q, q) - M(
, q)
- F().
W
q Q
2
2
en notant :
M( , q) = q + q ,
B (q, q) = h p q +
1
p q
2
2
3
3
2
2
3
3
2K
3
La condition de point-selle de ce Lagrangien conduit à la formulation [éq 4.2 - 2] :
A(T ,
) - M(,p) = F(
)
W ,
-
B (p, q)
- M(T , q) = 0
q Q
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