Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :
Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte du gauchissement
Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.L. FLEJOU, J.M. PROIX Clé
:
R3.08.04-B
Page :
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document R3.08.04





Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte
du gauchissement




Résumé :

Ce document présente l'élément POU_D_TG qui est un élément fini de poutre droite avec prise en compte du
gauchissement des sections. Il permet le calcul des poutres à sections transverses minces et profil ouvert, avec
torsion gênée ou libre.

En ce qui concerne la flexion, les efforts normaux et tranchants, cet élément est basé sur l'élément POU_D_T,
qui est un élément de poutre droite avec cisaillement transverse (modèle de Timoshenko).

Pour l'élément POU_D_TG, la section est supposée constante (de forme quelconque) et le matériau est
homogène et isotrope, de comportement élastique linéaire ou élastoplastique (comportements
VMIS_POU_LINE et VMIS_POU_FLEJOU).

Cette documentation de référence s'appuie sur la documentation de référence générale des poutres, en
élasticité linéaire [R3.08.01] et en élasto - plasticité [R5.03.30]. Elle décrit les spécificités de l'élément de poutre
droite avec gauchissement POU_D_TG.
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Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte du gauchissement
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Table
des
matières

1 Domaine d'utilisation ..............................................................................................................................3
2 Notations ................................................................................................................................................3
3 Cinématique spécifique à la torsion avec gauchissement .....................................................................4
4 Elément de poutre droite avec gauchissement : matrices de rigidité et de masse................................7
4.1 Traction - compression les degré de liberté sont u ou DX ..............................................................8
4.2 Flexion dans le plan (Gxz) les degrés de liberté concernés sont w, y ou DZ, DRY......................8
4.3 Flexion dans le plan (Gxy) les degrés de liberté concernés sont , z ou DY, DRZ ....................10
4.4 Torsion et gauchissement les degrés de liberté sont x, x,x ou DRX, GRX ...............................11
4.5 Excentricité de l'axe de torsion par rapport à l'axe neutre.............................................................12
5 Rigidité géométrique - Structure précontrainte ....................................................................................14
6 Chargements ........................................................................................................................................18
6.1 Chargements répartis : options CHAR_MECA_FR1D1D et CHAR_MECA_FF1D1D..........................18
6.2 Chargement de pesanteur : option "CHAR_MECA_PESA_R"..........................................................19
6.3 Chargement thermique : option : "CHAR_MECA_TEMP_R".............................................................20
6.4 Chargement par déformation imposée option "CHAR_MECA_EPSI_R".........................................21
7 Torseur des efforts - Forces nodales et réactions ...............................................................................21
7.1 Options disponibles .......................................................................................................................21
7.2 Le torseur des efforts.....................................................................................................................22
7.2.1 Efforts généralisés, option : "EFGE_ELNO_DEPL" ................................................................22
7.2.2 Efforts généralisés, option : "SIEF_ELGA_DEPL" ................................................................22

7.3 Calcul des forces nodales et des réactions...................................................................................22
7.3.1 Forces nodales, option : "FORC_NODA" ................................................................................22
7.3.2 Réactions nodales, option : "REAC_NODA" ...........................................................................23
8 Bibliographie.........................................................................................................................................23

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1 Domaine
d'utilisation

Le développement des éléments de poutre de Timoshenko avec gauchissement (modélisation
POU_D_TG) dans le Code_Aster a été effectué initialement dans le but de calculer le comportement
des pylônes. Le premier développement a été fait dans le cadre d'une thèse au Département MMN. Il
s'agissait principalement de calculer des structures formées de poutres à profil mince ouvert
(cornières), pour lesquelles le gauchissement est important. La plasticité a été introduite dans
l'élément POU_D_TG [R5.03.30], mais le comportement non linéaire ne porte que sur la traction, la
flexion et la torsion. Le cisaillement dû à l'effort tranchant, ainsi que le gauchissement et le bi-moment
(effort lié au gauchissement) restent liés par un comportement élastique, faute de pouvoir exprimer un
comportement non linéaire sur ces grandeurs. C'est pourquoi la description de la torsion avec
gauchissement est valable pour l'utilisation de l'élément POU_D_TG avec les opérateurs linéaires
(MECA_STATIQUE, DYNA_LINE_TRAN,...) ou non linéaire (STAT_NON_LINE, DYNA_NON_LINE,...).

2 Notations

Les notations utilisées ici correspondent à celles utilisées dans [R3.08.01] et [R3.08.03]. On donne ici
la correspondance entre cette notation et celle de la documentation d'utilisation.
DX , DY, DZ, DRX , DRY, DRZ et GRX sont les noms des degrés de liberté associés aux
composantes du déplacement u v
, ,w,x, y,z ,x,x .Ils sont exprimés en repère global, sauf le degré
de liberté associé au gauchissement GRX, qui s'exprime en repère local.
Notation utilisée
Signification
Notation
de
la
documentation
d'utilisation

S
aire de la section

A
I
moments géométriques de flexion par rapport aux axes IY, IZ
y ,I z
x et y.
C
constante de torsion
JX
I
constante de gauchissement
JG

k
coefficients de cisaillement
1 1
y k
, z


AY AZ
e
EY ,EZ
y e
, z
excentricité du centre de torsion/cisaillement par
rapport au centre de gravité de la section droite
N
effort normal à la section
N

V
efforts tranchants suivant les axes y et z
VY VZ
,

y V
, z
M
moments autour des axes x, y et z
MT ,MFY ,MFZ
x ,M y ,M z
M
bi-moment
BX

u v
, ,w
translations sur les axes x, y et z
DX DY DZ

rotations autour des axes x, y et z
DRX DRY DRZ
x
, y
, z

dérivée de la rotation de torsion selon x
GRX
x,x
E
module d'Young
E


coefficient de Poisson

NU
module de Coulomb (identique au coefficient de Lamé) G
=
E

G
(

2 1+ ) = µ

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3
Cinématique spécifique à la torsion avec gauchissement

La cinématique utilisée pour représenter le déplacement des sections de poutre est identique à celle
des poutres droites de Timoshenko [R3.08.01] en ce qui concerne la traction - compression, et la
flexion - cisaillement. On ne détaille ici que la torsion.

Deux possibilités sont à envisager pour la modélisation du comportement en torsion des sections non
circulaires [bib1], qui produit toujours un gauchissement de la section droite.

·
la torsion est libre (torsion de Saint-Venant) : le gauchissement des sections droites est non
nul (il peut même être important pour une section mince ouverte), mais il est indépendant de
la position sur l'axe x de la poutre, (constant en fonction de x) et il n'y a pas de contrainte
axiale due à la torsion.
·
La torsion est gênée (Vlassov) : le gauchissement est non nul, et de plus des contraintes
axiales non uniformes (dont l'effort résultant est appelé bi-moment) existent dans la poutre.

L'élément POU_D_TG permet de traiter ces deux configurations : la torsion peut être libre ou gênée.
L'utilisateur aura accès au gauchissement dans les deux cas, par contre le bi-moment ne sera non nul
que dans le cas de la torsion gênée. A noter qu'à l'endroit du raccordement des poutres, la
transmission du gauchissement dépend du type de liaison. En général, la torsion dans un assemblage
de poutres est gênée. Le gauchissement peut alors être bloqué aux points de raccordement.

Remarque :

Avec des éléments sans modélisation du gauchissement (POU_D_T, POU_D_E), on peut
traiter le cas de la torsion libre (les déplacements autres que le gauchissement seront
corrects), mais pas le cas de la torsion gênée.


On peut découpler les effets de torsion et de flexion dans un repère local (translaté du repère principal
d'inertie) ayant pour origine le centre de torsion. Le centre de torsion est le point qui reste fixe lorsque
la section est soumise au seul moment de torsion. Il est aussi appelé centre de cisaillement car un
effort appliqué en ce point ne produit pas de rotation autour de x.

Les déplacements dans le plan de la section seront donc exprimés dans ce repère. Les déplacements
axiaux restent exprimés dans le repère principal d'inertie lié au centre de gravité G, pour garder un
découplage des déplacements de flexion et de traction - compression.

Le déplacement d'un point quelconque de la section droite s'écrit alors sous forme générale (torsion
libre ou gênée) :

u (x, y, z) uG (x) z y (x) - yz (x) (y, z)x,x (x)

v (x, y, z)



= 0 + 0 + v(x) + - (z - zc ) x (x)


w (x, y, z)




0 w(x)
0
(y - yc ) x (x)
déplacement = membrane + flexion/y + flexion/z +
avec

torsion
gauchissement

Les composantes sont exprimées dans le repère principal d'inertie (centré en G) : x est dirigé suivant
l'axe de la poutre, y et z sont les deux autres axes principaux d'inertie.
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Le terme (y, z) x,x (x) représente le déplacement axial dû au gauchissement de la section droite.
(y, z) est la fonction de gauchissement (exprimée en m², mais qui n'a pas d'interprétation physique
évidente).

Les déformations d'un point quelconque de la section sont alors :


, ,


,
,
,
-
,


xx (x y z)
uG (x)
z
x
y
x
y z
x
x
y x ( )
z x ( )
( ) x,xx( )







2 xy (x, y, z) = 0 +
0
+ xy (x) + (,y - (z - zc )) x,x (x)






2 xz (x, y, z)
0


xz (x)
0

(
,z + (y - yc ) x,x (x)
xy (x) = v,x -z

xz (x) = w,x + y

Déformation = membrane + flexion / y + flexion / z + torsion avec gauchissement

Le terme (y, z) x,xx (x) est nul dans le cas de la torsion libre : on a en effet x (x
xx
) 0
,
= , puisque
le gauchissement est indépendant de x. Il est non négligeable dans le cas de la torsion gênée.

La loi de comportement élastique isotrope s'écrit (en faisant l'hypothèse des contraintes planes dans
les directions y et z) :

xx (x, y, z) E. xx (x, y, z)

xy (x, y, z)
= G.2 xy (x, y, z)

xz (x, y, z)
G.2 xz (x, y, z)

Les efforts généralisés dans la section s'expriment en fonction des contraintes pour une section
homogène par [bib1] :

N(x) = xx(x, y, z)ds
normal

effort

S
V (x) =
y
xy(x, y, z)ds
y
suivant

tranchant

effort

S
V (x) =
z
xz(x, y, z)ds
z

suivant

tranchant

effort

S
M (x) =

y
z. xx(x, y, z)ds
y
de

autour

flexion

de

moment


S
M (x) = -
z
y. xx(x, y, z)ds
z

de

autour

flexion

de

moment

S
M (x) =
x
(
( y - yc).xz(x, y,z)-(z - zc).xy(x, y,z))ds
torsion

de

moment
S
M (x) =
.

xx(x, y, z)ds
bi -
ent)
gauchissem

au

(associé

moment

S
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M (x)

représente l'effort généralisé associé au gauchissement. Il s'exprime en N.m2. On peut en
donner une illustration comme dans [bib1] pour une poutre à section en I (le bi-moment agit ici suivant
z uniquement) :
Z
Z
xx+
Y
xx -
Y
M
X
X
xx -
xx +



Pour un comportement élastique isotrope et homogène dans la section, les efforts généralisés
s'expriment donc directement en fonction des déplacements par les relations suivantes :

N (x) = E S
. u
. ,x
Vy (x) = GkyS(v,x -z )
Vz (x) = GkzS(w,x + y )
M y (x) = E I. yy,x

M z (x) = E I. zz,x
M x
(x) = G.J .x,x
M (x) = E I

. .x,xx

k y k
, z sont les coefficients de cisaillement. Le gauchissement n'intervient pas au niveau des efforts
tranchants, car ceux-ci sont exprimés dans le repère lié au centre de cisaillement. En effet, la fonction
de gauchissement est telle que :

(y, z)ds = 0

S
.
y (y, z)ds = 0


S
z.(y, z)ds = 0

S

Et la constante de gauchissement s'exprime en fonction de par : 2 (y z)ds = I

,

S
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4
Elément de poutre droite avec gauchissement : matrices de
rigidité et de masse


Les matrices élémentaires de rigidité et de masse pour l'élément POU_D_TG sont identiques à celles
de l'élément de poutre droite de Timoshenko (POU_D_T) en ce qui concerne les termes de traction -
compression et de flexion - cisaillement [R3.08.01]. La démarche est identique, on rappelle
simplement le résultat.

Ceci implique que, dans le cas de la torsion libre, on conserve les propriétés d'exactitude de la solution
aux noeuds pour les degrés de liberté de flexion et de traction - compression.

Par contre, nous allons voir qu'en ce qui concerne la torsion gênée, on effectue une approximation qui
ne permet pas de retrouver cette propriété dans le cas général.

Les matrices de rigidité sont toujours calculées avec l'option 'RIGI_MECA', et les matrices de masse
avec l'option 'MASS_MECA'. Mais l'option 'MASS_MECA_DIAG' (matrice de masse diagonalisée) n'a
pas été réalisée pour cet élément (cette option est surtout utile pour les problème de dynamique
rapide, ce qui n'est pas le domaine d'utilisation préférentiel de cet élément).

Les degrés de liberté de l'élément sont ceux des poutres de Timoshenko, plus un degré de liberté par
noeud permettant de calculer les termes relatifs au gauchissement :

En chacun des deux noeuds de l'élément, les degrés de liberté sont :

u v
, ,w
translations sur les axes x,y,z
DX DY DZ

rotations autour des axes x,y,z
DRX DRY DRZ
x
, y
, z

dérivée de la rotation de torsion suivant x
GRX
x,x

Les coordonnées locales sont exprimées dans le repère principal d'inertie. L'élément POU_D_TG
comporte donc 14 degrés de liberté. L'élément de référence est défini par : 0 < x < L

Z
z

Z
w
y
v
Y

Y
x
X
X
u

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4.1
Traction - compression les degré de liberté sont u ou DX

ES 1
-
1
La matrice de rigidité de l'élément est : K =


L -1 1
SL 2 1
La matrice de masse (cohérente) s'écrit : M =




6 1 2

4.2 Flexion dans le plan (Gxz) les degrés de liberté concernés sont w,
y ou DZ, DRY

La matrice de rigidité s'écrit pour le mouvement de flexion dans le plan principal d'inertie (Gxz) :


L
L

1
-
-1
-


2
2

(4+y) 2L L (2-y)
2
L
12 EI



=
y
K

3
L (1+y )
12
2
12


L

Sym
1

2

(4+y)
2
L



12


12 EI y
Le cisaillement transverse est pris en compte par le terme : y =

2
k SGL
z
Pour la matrice de masse,
(
w t
x, ) et y ( t
x, ) sont discrétisés sur la base des fonctions tests
introduites pour le calcul de la matrice de rigidité, soit :

(
w x,t)
= 1(x) 1
w (t)

+ 2(x)

(t)
y


+ 3(x) 2
w (t)+ 4 (x)

(t)
1
y2


(x,t)
y

= 5(x) 1
w (t)

+ 6(x)

(t)
y
+ 7 (x) 2
w (t)+ 8(x)

(t)
1
y2
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Les fonction d'interpolation utilisées pour les translations ( 1
à 4) sont des polynômes d'Hermite de
degré 3, celle qui sont utilisées pour les rotations (5 à 8 ) sont de degré 2 : pour 0 < x < L, elles sont
définies par [R3.08.01] :


3
2

1
6
=
(x)
1
x
x
x
x
x

2 -
3 -
+
y
(1+y)



=
(x)
1
+
1
5
y L
L
L

(L +
1 y ) -
L L




L
x 3 4 +
2
2
y
x
2+



1
=
(x)


y
-
x
x
x
2
+
-



=
(x)

6

3 -(4+y )
+( +
1 y )
+
1 y L
2 L
2 L

+
1 y L
L






3
2

1
x
x
x
-6
x
x
=
(x)
3

-
2 +
3 +y

=
(x)
1
+
1
7
y
L
L
L

(L +
1 y ) -
L L



L
x 3 2 -
2



2

1
=
(x)
4

y x
y
-
x
x
x
+
+



=
(x)
8


3 +( 2+y )


-



+
1 y L
2 L
2 L

+
1 y L
L





éq 4.2-1

L'expression de la matrice de masse est :

2
2
2
2
2
2
2
13L 7L

2
2

9
3

13 2
3


y
L
11L
11L
y
y
L
L
L
L
L
L
L

+
+
y
-
-
-
+
y +
y
+
y +
y

35
10
3
210
120
24
70
10
6
420
40
24


2
3
3
2
2
3
3
2

L3
L

13 2
2

3


y
L
L
3L

y
y
L
L
L
L
y
y
y
S
+
+

-
-
-
-
-
-


M = (
105
60
120
420
40
24
140
60
120
2
2

2
2
2
1+
13L
7L
L
11L2
11L
L
y
y

y
y
y )
+
+
-
+
+


35
10
3
210
120
24
3
3
2

L3
L
L

y
y

sym
+
+


105
60
120

6
1

6
1



-
+ y
-
-
+ y

5L
10
2
5L
10
2



2L
L
L 2
2




y
y
1
y
L
L
L
y
y
I
+
+
-
-
-
+



+
y
15
6
3
10
2
30
6
6
(

2


1+
6
1
y
y)
-


5L
10
2


2L
L
L 2

sym
+
y +
y


15
6
3

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4.3
Flexion dans le plan (Gxy) les degrés de liberté concernés sont , z
ou DY, DRZ


De même, pour le mouvement de flexion autour de l'axe (Gz), dans le plan principal d'inertie (Gxy), la
matrice de rigidité s'écrit :


L
L

1
-1


2
2

(4+z ) 2
L
L (2 - z )

2
L
12 EI

-

z
12
2
12
=
K
3
L (1+z )


L
1
-


2


(4+z ) 2
L
sym


12


Le cisaillement transverse est pris en compte par le terme :


12 EI z
z =
2
k SGL
y

Pour calculer la matrice de masse, v( t
x, ) et ( t
x,
z
) sont discrétisés par :

v
( t
x, )
= 1(x)v
1(t)-
2(x)
z (t)

+ 3(x)v
2(t)- 4 (x)
z (t)
1
2


z ( t
x, )=- 5(x)v
1(t)+6 (x)
z (t)- 7 (x)v
2(t)+8(x)
z (t)
1
2

Nous obtenons alors la matrice de masse suivante :


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
13L
7L
L
11L
11L
L
9L
3L
L
13L
3L
L


+
z +
z
+
z +
z
+
z +
z
-
-
z -
z

35
10
3
210
120
24
70
10
6
420
40
24

3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3 2
L
L
L
13L
3L
L
L
L
L


z
+
+
z
+
z +
z
-
-
z -
z

S

105
60
120
420
40
24
140
60
120
M = (
2
2
2
2
2
1+




z )

2
13L
7L
L
11L
11L
L
z
z
z
z


+
+
-
-


35
10
3
210
120
24
3
3
3 2


L
L
L
sym
+
z +
z


105
60
120

6
1
6
1
z
z


-
-
-

5L
10
2
5L
10
2
2
2

2L L
L

L
L
L
z
z

+
+
- 1 + z -
-
z
z
+

I
z
15
6
3
10
2
30
6
6
+ (

1+

z )

2
6
- 1 + z


5L
10
2


2
2L L
L
z
z
sym
+
+
15
6
3


Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/05/002/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :
Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte du gauchissement
Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.L. FLEJOU, J.M. PROIX Clé
:
R3.08.04-B
Page :
11/24


4.4 Torsion et gauchissement les degrés de liberté sont x, x,x ou
DRX, GRX

En ce qui concerne la torsion, la formulation est évidemment différente de celle des poutres sans
gauchissement de la référence [R3.08.01]. Le travail virtuel des efforts intérieurs s'écrit pour la
torsion [bib1] :

L
W
=
* G
. .J
.
* E
. I
.
int
+


.
dx
x,x
x,xx
x,xx

o
x,x

Les fonctions d'interpolation de la rotation de torsion doivent être de classe C2, puisqu'elles doivent
permettre d'interpoler la dérivée seconde de la rotation.

En utilisant les équations d'équilibre, on montre dans [bib1] que la solution analytique fait intervenir
des fonction d'interpolation hyperboliques en x. Ceci permet alors d'obtenir des résultats exacts aux
noeuds. Ce n'est pas le choix fait pour le Code_Aster : on a choisi, par souci de simplicité pour
l'intégration numérique ainsi que pour éviter les problèmes numériques d'évaluation des fonction
hyperboliques, des polynômes de degré 3 de type Hermite, du même genre que ceux utilisés pour la
flexion [éq 4.2-1]. On les écrit ici sur l'élément de référence [-1,1] suivant [bib1] (au lieu de 0<x<L
précédemment) :
2
= x -1
L

-1 1
N ( ) 1
= (1- )2
1
(2 + )
4
N ( ) = L

(1- )(
2
2
1- )
8

N ( ) 1
= (1+ )2
3
(2 - )
4
N ( ) = L

(1+ )(
2
4
-1+ )
8

L'interpolation pour la rotation de torsion et sa dérivée est :

( ) = N
x
( ) 1
1
+ N ( ) 1
2

+ N ( ) 2
3
+ N ( ) 2
4

x
x,x
x
x,x
x,x ( ) = N x ( ) 1
,
1
+ N2 x ( ) 1
,

+ N x ( ) 2
,
3
+ N4 x ( ) 2
,

x
x,x
x
x,x

La référence [bib1] note que cette approximation correspond à un cas limite de l'interpolation
GJ
hyperbolique, obtenu pour
0 . Toutefois, ce paramètre n'étant pas sans dimension, il est
EI
difficile de définir a priori les valeurs pour lesquelles l'approximation est acceptable. Les tests
numériques effectués montrent que l'on converge rapidement vers la solution quand la taille des
éléments diminue.
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La matrice de rigidité correspondant à cette approximation s'écrit alors :

36
3L
- 36
6L
12
6L
-12
6L




GJ


2
4L
- 3L - 2
L EI
2
4L
-
2
6L 2L
K = K + K =
+
T




3

30L
36
- 3L
L
12
- 6L


2


2
sym
4L
sym
4L

La matrice de masse peut être obtenue de plusieurs façons [bib1] :

·
la méthode la plus complète consisterait à calculer les termes d'inertie avec les fonctions
d'interpolation ci-dessus, en tenant compte du terme supplémentaire :
L
·
W
= -
* . .I .&& dx
iner


o
x, x
x, x
·
dans le Code_Aster, une méthode la plus simple a été choisie : la matrice de masse est
identique à celle de l'élément POU_D_T. On conserve les termes déjà définis pour la traction -
compression et la flexion - cisaillement et on utilise une approximation linéaire pour la torsion.
Les coefficients de la matrice de masse associés au gauchissement sont nuls avec cette
approche.

4.5
Excentricité de l'axe de torsion par rapport à l'axe neutre

Au centre de torsion C, les effets de flexion et de torsion sont découplés, on peut donc utiliser les
résultats établis au chapitre précédent.

Les coordonnées du point C sont à fournir à AFFE_CARA_ELEM : on donne les composantes du
vecteur GC (G étant le centre de gravité de la section droite) dans le repère principal d'inertie :

0

GC = ey

ez

On peut les déterminer numériquement à partir du maillage plan de la section à l'aide de l'opérateur
MACR_CARA_POUTRE [R3.08.03].

Une fois le point C déterminé, on retrouve comme en [R3.08.01] les composantes du déplacement au
centre de gravité G en considérant la relation de corps rigide :

u
=
(G)

u (C)+ GC
x



avec
= 0 vecteur

rotation



0
u
u

=

G
C
v
v

=

+ e
G
C
z x


w
w
=

- e .

G
C
y
x
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Le changement de variables s'écrit de la même façon que pour POU_D_T, avec 2 degrés de liberté
supplémentaires :

u
ux
x
1
c

1




u
u y 1 0 0
0
0 0 0
y
1
c

1


u
e
u
z
0 1 0 -
0 0 0
z

c
z
1
1





0 0 1
e
0 0 0
0


x
y
x
1
c

1



0 0 0
1
0 0 0


y
y

1
c

1

0 0 0
0
1 0 0

z
z
1
c

1



0 0 0
0
0 1 0

x,x



c
1


0 0 0
0
0 0 1
x,x1


ux
=

c


u
2
x


1 0 0
0
0 0 0
u

2
y
c
u
2

0 1 0 - e
0 0 0
z
y2


uz


c
uz

2

0 0 1
e
0 0 0
y



2

x

c2

0
0 0 0
1
0 0 0 x2





y



c2
0 0 0
0
1 0 0 y2


z

c
0 0 0
0
0 1 0
2

z2





x,x

c

0 0 0
0
0 0 1



2 1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3 x,x2
P


A partir des matrices élémentaires de masse et de rigidité calculées précédemment dans le repère
(C, x, y, z) où les mouvements de flexion et de torsion sont découplés, on obtient ces matrices dans le
repère lié à l'axe neutre (G, x, y, z) par les transformations suivantes :

K = PT K P

c

M = PT M
.
P
c

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5
Rigidité géométrique - Structure précontrainte

Cette matrice est calculée par l'option : "RIGI_GEOM". Elle est utilisée pour traiter des problèmes de
flambement ou des vibrations de structures précontraintes. Dans le cas d'une structure précontrainte,
donc soumise à des efforts initiaux (connus et indépendants du temps), on ne peut pas négliger dans
l'équation d'équilibre les termes introduits par le changement de géométrie de l'état sans contrainte à
l'état précontraint. Ce changement de géométrie ne modifie l'équation d'équilibre que par l'ajout d'un
terme fonction des déplacements et de la précontrainte dont la matrice associée est appelée matrice
de rigidité géométrique et qui s'exprime par :

u3D

v3D

W
k
o
k
=

dV
G


x
ij

x
i
j
Vo

o
ij désigne le tenseur de précontrainte. Ce terme apparaît naturellement si l'on introduit le tenseur
des déformations de GREEN-LAGRANGE dans le travail virtuel de la déformation :


2
2
3D
3D
3D
2
u

1


3
x
u

u

x
y
u D


E
= + =
+




+
+
z

xx
xx
xx


2

x
x

x


x







u3D

u3D

3 3
3 3
3
3
x
y
u D u D
u D u D
D
D


2E
=
2
+
2
=
+
+ x
x
+
y
y
+ u
u
z
z

xy
xy
xy

y

x

x

y

x

y

x

y



3D
3D

u

u

u3D

u3D

u3D

u3D
3D
3D




2E
=
2
+
2
=
x
+
z
+ x
x
+
y
y
+ u
u
z
z

xz
xz
xz
z

x

x

z

x

z

x

z




Dans l'expression de ces déformations, les termes quadratiques
2
u3D


u3D

u3D

u3D

u3D
x
x
x
x
x

,

et

sont négligés ici, suivant l'hypothèse couramment effectuée
x

x

y

x

z



par la plupart des auteurs [bib.3]. Pour un modèle de poutre, le tenseur de contraintes initiales se
réduit dans les axes locaux de la poutre aux composantes xx
, xy

et

xz . On utilise la cinématique
introduite au [§2] :

u3D
x (x, y, z) = uG (x) + z y (x) - y z (x) + (y, z) x,x (x)


u3D
y (x, y, z) = vC (x) - (z - zc ) x (x)


u3D
z (x, y, z) = wC (x) + (y - yc ) x (x)


et l'expression des efforts généralisés en fonction des contraintes :

N 0 = o
ds
V 0 =
0
0
0
0
0
xx





y
o ds V =
xy
z
o ds
M =
xz
y
z ds M =
xx
z
- y ds
xx
S
S
S
S
S
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On suppose, de plus, que
0
N , 0
V , 0
V sont constants dans l'élément discrétisé (ce qui est inexact
y
z
par exemple pour une poutre verticale soumise à son poids propre). Les moments sont supposés
varier linéairement :
0
M

0
x
M
y
0
y = (
0
0
M y2 - M 1
y )
0
+ M 1
y
-V = 0
L
x
z

0
0
x
M

M
z
0
z = (
0
0
M z2 - M 1z )
0
+ M 1z
+V = 0
L
x
y


Ces hypothèses permettent d'exprimer G
W pour une poutre droite avec gauchissement de la façon
suivante :

L
I + I

0
0
2
2
=

+

+
+
+

G
W
N

(v,x v,x w,x w,x)
y
z
N
yc zc x,x x,x
o


A




+ z
0
0
c N (v,x x,x + x,x v
,x )- ycN (w,xx,x +x,x w
,x )
- M 0 (w
0
,x,x + ,x w
,x )- M (v,x,x +,x v
,x )
y
z
- y 0
0
0
cV
- z
°
cV° ( x,x x + x x,x )+ V (w,x x + x w
,x )

y
z

y






-V 0 (
I 2

0
I
v
+
+
-
+
2
0
-
+


,x x
x v
,x )
yr
zr
2yc
M
2zc
M
x,xx,x




z

I




z
y
I


y
z




0
0
I
dM
dM
yr2
I

z
zr2
y
+ -
+
(x,xx +xx,x )

I z
dx
I y
dx



avec les termes
I
= y 2
2
yr2
(y + z )ds
S

I
= z 2
2
zr2
(y + z )ds
S

qui représentent la non - symétrie de la section. Dans le cas où la section possède deux axes de
symétrie (donc C est confondu avec G), ces termes sont nuls.

Attention, ces termes (qui se nomment IYR2 et IZR2 dans la commande AFFE_CARA_ELEM) ne sont
pas calculés actuellement par MACR_CARA_POUTRE. L'utilisateur doit donc les renseigner à partir de
valeurs tabulées pour chaque type de section (cornière, rectangle, ...).

De plus, pour pouvoir traiter les problèmes de déversement de poutres minces, sollicitées
essentiellement par des moments de flexion et des efforts normaux, il faut ajouter l'hypothèse de
rotations modérées en torsion [bib2], [bib3].

Ceci se traduit par la modification suivante du champ de déplacements (uniquement pour le calcul de
la rigidité géométrique) :

u3D
x (x, y, z) u
= G (x)+ z( y (x)+x (x)z (x))- y(z (x)-x (x) y (x))+ (y, z)x,x (x)
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L'origine de cette expression ne peut être détaillée ici. Elle fait l'objet de la thèse de DE VILLE DE
GOYET [bib2] sur le flambement des poutres à sections minces ouvertes. L'hypothèse des rotations
de torsion modérées (et non pas infinitésimales) permet de modéliser correctement le déversement
d'une poutre de section mince en torsion (couplage torsion - flexion).
L'hypothèse des rotations modérées conduit à rajouter à
0
W le terme 1
G
G
W

1 L
1
o
G
W =
- M

z ( x y,x + y x,x )
o
+ M y (xz,x +zx,x )
o
+ Vy (x y )
o
+ Vz (xz )
o
2

Finalement, on obtient la matrice de rigidité géométrique en discrétisant
0
1
W = W + W à l'aide des
G
G
G
mêmes fonctions d'interpolation que la matrice de rigidité du [§4.4]. Après avoir calculé ces matrices, il
faut effectuer un changement de repère comme au [§4.5]. On obtient alors une matrice de rigidité
géométrique de la forme :
A1 A2
K G =


A2 A3

Les blocs de la matrice sont explicités ci-après. On utilise pour simplifier les expressions :

o
o
N e
0
y
N e
0
z
Ney = 1 2
.
Nez = 2
.
1
L
L
M 0
0
0
0
+
0
y
M
1
y2
M
0
z + M
1
z
M
2
y =
M z =
L
L

M 0
0
0
0
-
0
y
M
1
y2
M
0
z - M
1
z
M
2
y =
M
z =
2
2
~
I + I

o
y
z
k = N
+ e2
2
y + ez


S




I
~
yr2
~
I zr
I
2
y = -
+ e
2 y I z =
- e
2 z
I z
I y

A1
2 1
v 3 1
w 4
1x 5
1y
6 z1 7
x,x1


0
0
0
2
0
0
+
-
1
v
N o

N o
e N
LM
M
1.2
M
M
0
y


z
y
y2
L
N
y
ez +
+ 1.2
2
L
10
10



3
0
0
o
0
0
0
1
w
N o

- e N + LM - M
.
1 2
0
M
M
z
-
+
+
N

-

y
z
z2
L
N
z
ey
1 2
.

2
L
10
10



0
0
0
0
0
0
~
0 ~
0 ~
4
.
1 2 (~
0~
0~
k - M

eyN + LM z + M z2
e N - LM - M
k + M I + M I
z I y - M y I z )
1
x
z
y
y2
z2 y
y2 z
L

10

10
10

I



0
yr2
0
I
M
0
-
+
+
zr2
0
e
+

1
z
-
M

y
M
e
M
1
y
2

z
z
I

2
y

+

2
z
I


y
2





5
2 L N o
2
0
(3 0 0
e LN
L M -
1
M
y
z
z2 )
1
y


15
-
15
30
sym

6
2 L N o
2
0
(3 0
0
e LN
L M -
1
M
z
y
y2 )
1
z

-

15
15
30
7
~
~
0
0
~
0
0
x, 1
x




4k L - LI (3M -
-
-
1
M 2 ) LI (3M 1 M
y
z
z
z
y
y2 )
30
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A2 9 : v2 10
:
w2 11
:
x2
12 : y2
13 : z2 14
:
x,x2
2
N o

M 0
M 0


0
0
0
0
y
y
N o
e N - LM + M
z
y
y1
v
- 12
.

- N +
-
ez
12
.


1
L
2
L
10
10

3

N o
M 0
M 0

- e N 0 - LM 0 +
0
0
z
z
N o
M
y
z
z1
w
- 12
.

N +
-


ey
12
.
-
1
L
2
L
10
10

4
M 0
M 0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
~
0 ~
0 ~
0
M
M
-
-
e N
LM
M
k - M I - M I
- N0 - y -
y
N
z
z
-
- 12
.

-A1(4,4)
e N
LM
M
y
z
z1
z
y
y1
y1 z
z1 y
ez
12
.
ey

x1
2
L
2
L
10
10
10

5

N o
- e N 0 - LM 0 - M 0

- e LN 0 + LM 0
2
0
y
z
L M


y
z
z2
- LN o
+
z
y1
10
10
30
30
60

6
N o

- e N 0 + LM 0 + M 0

e LN 0
L M 0

L2 M 0

-

z
y
y2
- LN o
-
-
z
y -
y
z1
10
10
30
30
60

7
-
~
0 ~
0 ~
e N 0 - LM 0 + M 0
0
0
0
-
+
- k - M I - M I
~
e LN 0
LM 0
- e LN 0 - LM 0
- kL +
0 ~
LM I

z
y
y2
e N
LM
M
y
z
z2
y2 z
z2 y
-
+
y
z
z
y


y z
x,x

10
10
10
30
30
30


L2 M 0
L2 M 0
0 ~
-
z

+
y
L M I
z
y
60
60
+
30

A3
9 : v2 10 :
11 : x2
12 : y2
13 : z2 14
:
x,x2
w2
2
N o
0
0

- e N 0 + LM 0 - M 0
12
.
M
M

N o
z
y
y1
v
0
y
y
L
N -
+12
.

2
ez
-

2
L
10
10
3

N o
0
0

0
0
0
12
.
0
M
M
z
z
N o
e N + LM - M
w
- N -
+
y
z
z1
L
ey
12
.

2
2
L

10
10
4


~

~
0 ~
0 ~
0
0

M


- e N 0 + LM 0 + M 0
- e N 0 - LM 0 - M 0
- k + M I + M I

k
Mz ~
y ~
y
z
z1
z
y
y1
12
.
- 12
.
I +
I

y1 z
z1 y


x2
L
L y
L
z




10
10
10

M 0
0
z2
M

I


-
+
y2
yr2
0
Izr2
0
+ e +
M - e +
M
2
2
y

2I
z
z


2I
y
z
y
5



2 L N o

2
0
( 0 -3 0
e LN
L M 1
M
y
z
z2 )


-

y2
15
15
30

6




2 L N o
0
0
e LN
L M - 3 0
M


2 z
( y1
y2 )
+

z2
15
15
30

7
sym


~
~
~
4k L - LI ( 0
M - 3
0
0
0
-
-
1
M 2 ) LI (M
3
1
M
y
z
z
z
y
y2 )


x,x2
30

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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/05/002/A

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Version
7.4

Titre :
Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte du gauchissement
Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.L. FLEJOU, J.M. PROIX Clé
:
R3.08.04-B
Page :
18/24


6 Chargements

Les différents types de chargement disponibles pour l'élément POU_D_TG sont :

Types ou options

CHAR_MECA_FR1D1D
chargement réparti par valeurs réelles
CHAR_MECA_FF1D1D
chargement réparti par fonction
CHAR_MECA_PESA_R
chargement dû à la pesanteur
CHAR_MECA_TEMP_R
chargement "thermique"
CHAR_MECA_EPSI_R
chargement par imposition d'une déformation (de type stratification
thermique)

Les chargements sont calculés de la même façon que pour les éléments sans gauchissement
[R3.08.01]. Il n'y a donc rien de particulier à l'élément POU_D_TG. Les autres types de chargement
décrits dans [R3.08.01] ne sont pas disponibles pour cet élément.

En ce qui concerne le gauchissement, il est possible de donner des conditions aux limites faisant
intervenir le degré de liberté GRX (ce qui permet de modéliser la torsion gênée : GRX=0), mais par
contre, rien n'est prévu pour affecter un chargement de type bi-moment, dont l'interprétation physique
est difficile à établir.

A propos du raccordement entre éléments, la transmission du gauchissement est une question ouverte
comme le signale la référence [bib1] : la continuité de la variable GRX d'un élément à l'autre (dont
dépend directement le gauchissement) dépend en fait de la technologie de la liaison entre les
différentes poutres (soudure dans l'axe, auquel cas le gauchissement peut se transmettre
intégralement, liaison par gousset, ...).

Pour une structure assemblée telle qu'un treillis, il semble plus raisonnable de supposer que la torsion
est gênée, donc que le gauchissement est nul aux extrémités. Pour cerner l'influence de cette
hypothèse, on pourra se reporter au test SSLL102 (poutre de section cornière) dont les modélisations
C et D utilisent l'élément POU_D_TG, avec torsion libre pour la modélisation C, et torsion gênée pour
la modélisation D [V3.01.102B].
On constate que pour le chargement de flexion, l'écart sur le déplacement est faible (2.5%), mais pour
un chargement en torsion, on obtient pour cette section un déplacement latéral non nul (déversement)
dont la valeur diffère notablement suivant l'hypothèse prise :
5
u
2.2 10-
=
-
z
pour la torsion libre et
5
u = 2.62 10
z
pour la torsion gênée.
De même, la rotation varie fortement :
4

79
,
3
10-
=
-
x
pour la torsion libre et
4
= 39
,
6
10
x
pour la torsion gênée (GRX est nul aux
extrémités).

6.1 Chargements répartis
: options CHAR_MECA_FR1D1D et
CHAR_MECA_FF1D1D

Les chargements sont donnés sous le mot-clé FORCE_POUTRE, soit par des valeurs réelles dans
AFFE_CHAR_MECA (option CHAR_MECA_FR1D1D), soit par fonctions dans AFFE_CHAR_MECA_F
(option CHAR_MECA_FF1D1D). Le chargement n'est donné que par des forces réparties, pas par des
moments répartis.
Le second membre associé au chargement réparti de traction - compression est :

f1
1


avec
f = f

1 ext ( )
x
x 1- dx
f
2
0

L
1
f = f
2 ext ( ) x
x dx
0
L
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Titre :
Elément de poutre à 7 ddl pour la prise en compte du gauchissement
Date :
02/05/05
Auteur(s) :
J.L. FLEJOU, J.M. PROIX Clé
:
R3.08.04-B
Page :
19/24


Pour un chargement constant ou variant linéairement, on obtient :

1
n
n2
F
=

L
x

+
,
1
3
6
1
n
n2
F
=

L
x

+
.
2
6
3

1
n
n

et

2 sont les composantes du chargement axial aux points 1 et 2 provenant des données de
l'utilisateur replacées dans le repère local.

Si t
,
y t y2
, t 1z
et

t 2 sont celles de l'effort tranchant, on a :
1
z


7 t

3
y
t y
t y
t y
F =
1
L
+
2
2
M =L
1 + 2
1
y




1
z




20
20
20
30

3 t

7
y
t y
t y
t y
F =
1
L
+
2
M
- 2
= L
1 + 2 ,
y2




z2




20
20
30
20


7 t

3
z
tz
tz
tz
F =
1
L
+
2
,
M
- 2
= L
1 + 2 ,
1
z




1
y




20
20
20 30

3 t

7
z
tz
tz
tz
F =
1
L
+
2
,
2
M =L
1 + 2 .
z2




y2




20
20
30 20


6.2
Chargement de pesanteur : option "CHAR_MECA_PESA_R"

La force de pesanteur est donnée par le module de l'accélération g et un vecteur normé n indiquant la
direction du chargement.

Remarques (hypothèse simplificatrice) :

Les fonctions de forme utilisées pour ce calcul sont celles du modèle Euler-Bernoulli.

La démarche est similaire à celle utilisée pour les forces réparties, à condition de transformer d'abord
le vecteur chargement dû à la pesanteur dans le repère local à l'élément. On obtient dans le repère
local de la poutre :
S
S
L
F
=
S g
F
= g
x L
+
point

au
1,

x

x
x




i

dx
o
i
1
3
6



x
x
d'où :

=1-

, =
S
S
1
2


L
L
F
= g
x L
+
point

au
2

2
x

6 3


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Flexion dans le plan (Gxz) :
7 S
3 S
F
= g
z L
+
1
z




20
20
S
S
M
= - g
2

z L
+
1
y




20 30
3 S
7 S
F
= g
z L
z
+
2




20
20
S
S
M
= g
2

z L
y
+
2




30
20

Flexion dans le plan (Gxy) :
7 S
3 S
F
= g
y L
+
1
y




20
20
S
S
M
= g
2

y L
+
1
z




20 30
3 S
7 S
F
= g
y L
y
+
2




20
20
S
S
M
= - g
2

y L
z
+
2




30 20

6.3
Chargement thermique : option : "CHAR_MECA_TEMP_R"

Pour obtenir ce chargement, il faut calculer les déplacements axiaux induits par la différence de
température T - référence
T
:

u
= -
1
L ( T - référence
T
)
u
=

2
L ( T - référence
T
)

( coefficien
:

thermique

dilatation

de
t
)

Ensuite, on calcule simplement les forces induites par F
= K u
.

Comme K est la matrice de rigidité locale à l'élément, on doit ensuite effectuer un changement de
repère pour obtenir les valeurs des composantes du chargement dans le repère global.
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6.4
Chargement par déformation imposée option "CHAR_MECA_EPSI_R"

On calcule comme pour les éléments POU_D_T le chargement à partir d'un état de déformation (cette
option a été développée pour prendre en compte la stratification thermique dans les tuyauteries). Le
modèle ne prend en compte qu'un travail en traction - compression et en flexion pure (pas d'effort
tranchant, pas de moment de torsion).
La déformation est donnée par l'utilisateur à l'aide du mot-clé EPSI_INIT dans AFFE_CHAR_MECA. En
u

y

se donnant
z
,

et
sur la poutre, on obtient le second membre élémentaire associé à ce
x

x

x

chargement :

u

:

1

noeud

au
F
= E S
x
,
1
1 x

M
= E I
y
y
y
,
1
1
x


M
= E I
z
z
z
,
1
1
x
u
:

2

noeud

au
F
= E S
x
,
2
2 x

M
= E I
y
y
y
,
2
2
x


M
= E I
z
z
z
2
2
x




7
Torseur des efforts - Forces nodales et réactions

7.1 Options
disponibles


Les différentes options de post-traitement disponibles pour l'élément POU_D_TG sont :

Types ou options

EFGE_ELNO_DEPL
torseur des efforts aux 2 noeuds de chaque élément
SIEF_ELGA_DEPL
champ d'efforts nécessaire au calcul des forces nodales (option
"FORC_NODA") et des réactions (option "REAC_NODA").
FORC_NODA
forces nodales exprimées dans le repère global
REAC_NODA
réactions nodales

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7.2
Le torseur des efforts

7.2.1 Efforts généralisés, option : "EFGE_ELNO_DEPL"

On cherche à calculer aux deux noeuds de chaque élément "poutre" constituant le maillage de la
structure étudiée, les efforts exercés sur l'élément "poutre" par le reste de la structure. Les valeurs
sont données dans la base locale de chaque élément. En intégrant les équations d'équilibre, on obtient
les efforts dans le repère local de l'élément :

R
=
e
e
e
K
u
+ M
u&
- f
LOC
LOC
LOC
LOC
LOC
LOC


où : R
=

-
,-
-
-
-
-
,-
,





LOC
( 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
N
V , V , M , M , M
M
N , V , V , M , M , M ,
Y
Z
T
Y
Z

M
Y
Z
T
Y
Z
)
e
K
matrice élémentaire de rigidité de l'élément poutre,

LOC
e
M
matrice élémentaire de masse de l'élément poutre,

LOC
e
f
vecteur des efforts "répartis" sur l'élément poutre,

LOC
u
vecteur "degré de liberté" limité à l'élément poutre,

LOC
u&
vecteur "accélération" limité à l'élément poutre.

LOC

On change ensuite les signes des efforts au noeud 1.

En effet, en prenant par exemple le cas de la traction - compression, on montre [R3.08.01] que les
efforts dans l'élément (option EFGE_ELNO_DEPL) s'obtiennent par :
- N(o)
u o f1

K

N(L)
=

[ ] ( )


u(L) -

f2

7.2.2 Efforts généralisés, option : "SIEF_ELGA_DEPL"

L'option "SIEF_ELGA_DEPL" est implantée pour des raisons de compatibilité avec d'autres options.
Elle ne sert qu'au calcul des forces nodales. Elle produit un champs d'efforts par éléments.

Elle est calculée par :
e
R
= K
u


LOC
LOC
LOC

7.3
Calcul des forces nodales et des réactions

7.3.1 Forces nodales, option : "FORC_NODA"

Cette option calcule un vecteur de forces nodales sur toute la structure, exprimées en repère global.
Elle produit un champ aux noeuds dans la commande CALC_NO par assemblage des termes
élémentaires.

Pour ce calcul, on utilise le principe des travaux virtuels et on écrit [R5.03.01] :

T
F = Q


T
Q représente symboliquement la matrice associée à l'opérateur divergence. Pour un élément, on
écrit le travail du champ de déformations virtuelles :

( T
Q ) *
u = (u)

( *
u )
*
u
cinématiquement admissible
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Pour les éléments de poutre, on calcule simplement les forces nodales par assemblage des forces
nodales élémentaires calculées par l'option SIEF_ELGA_DEPL, qui s'expriment par :

[F
= K
U

LOC ]
[ LOC ][ LOC ]


7.3.2 Réactions nodales, option : "REAC_NODA"

Cette option, appelée par CALC_NO, permet d'obtenir les réactions R aux appuis, exprimées dans le
repère global, à partir des forces nodales F par :

char
iner
R = F - F
+ F


char
iner
F
et F
étant les forces nodales associées respectivement aux chargements donnés
(ponctuels et répartis) et aux efforts d'inertie.



8 Bibliographie

[1]
J.L. BATOZ, G. DHATT. « Modélisation des structures par éléments finis » - HERMES.
[2]
V. DE VILLE DE GOYET. « L'analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis
des structures spatiales formées de poutres à sections non symétriques » Thèse de
l'Université de Liège. 1989.
[3]
J. SLIMI. « Simulation de ruine de pylône » Rapport SERAM N°14.033, ENSAM Juin 1993.
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