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Version
7.2
Titre :
Post-traitement en sensibilité
Date :
07/09/04
Auteur(s) :
P. de BONNIERES, X.DESROCHES Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
Document : R4.03.07
Post-traitement en sensibilité
Résumé :
Classiquement, les simulations numériques fournissent la réponse d'une structure à une sollicitation. On
cherche ici à déterminer en plus de cette réponse la tendance de la réponse à une modification de paramètres
d'entrée de la simulation (matériau, chargement...). Cette tendance est obtenue en calculant la dérivée de la
réponse par rapport à un paramètre p donné.
Dans ce document, on se place dans le cas de l'élasticité linéaire et on suppose que la variable principale du
calcul (le déplacement u ) a été calculée ainsi que sa dérivée u
/ p
. Après avoir donné quelques indications
sur ce calcul de u et de u
/ p
(pour plus de détail voir [R4.03.03]), on s'intéressera à la dérivée des
variables qui en découlent (déformations et contraintes) ainsi qu'à la dérivée du taux de restitution d'énergie G.
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Table
des
matières
1 Rappel du calcul de sensibilité pour la variable principale (déplacement)............................................3
1.1 Problème direct................................................................................................................................3
1.2 Problème dérivé...............................................................................................................................3
2 Calcul des dérivées des déformations et des contraintes .....................................................................4
2.1 Dérivée des déformations................................................................................................................4
2.2 Dérivée des contraintes dans le cas où p ne dépend pas du matériau ..........................................4
2.3 Dérivée des contraintes dans le cas où p dépend du matériau ......................................................4
3 Calcul des dérivées de G.......................................................................................................................5
3.1 Rappel de la formulation de G.........................................................................................................5
3.2 Dérivées de G..................................................................................................................................6
3.2.1 Dérivée de G par rapport au module d'Young .......................................................................6
3.2.1.1 Dérivée du terme classique .......................................................................................6
3.2.1.2 Dérivée du terme thermique ......................................................................................7
3.2.1.3 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales..............................................8
3.2.1.4 Dérivée du terme force volumique .............................................................................9
3.2.1.5 Dérivée du terme force surfacique.............................................................................9
3.2.2 Dérivées de G par rapport au chargement.............................................................................9
3.2.2.1 Dérivée du terme classique .....................................................................................10
3.2.2.2 Dérivée du terme thermique ....................................................................................11
3.2.2.3 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales............................................12
3.2.2.4 Dérivée du terme force volumique ...........................................................................12
3.2.2.5 Dérivée du terme force surfacique...........................................................................13
4 Bibliographie ........................................................................................................................................14
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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1
Rappel du calcul de sensibilité pour la variable principale
(déplacement)
On s'intéresse dans ce paragraphe à la sensibilité du déplacement u par rapport à un paramètre p
donné : chargement (déplacement imposé ou force imposée) ou caractéristique matériau (module
d'Young, coefficient de Poisson, ou caractéristiques anisotropes).
1.1 Problème
direct
Dans le cas de l'élasticité, le problème direct s'écrit de façon simplifiée (cf [bib1]) :
R u
( ) = L
avec :
[R u()] =
k
A u(): (wk )
d
où :
A est la matrice d'élasticité
k
w est la fonction de forme du k-ième degré de liberté de la structure modélisée
Cela s'écrit sous forme matricielle :
KU = L
1.2 Problème
dérivé
La dérivation de l'écriture matricielle ci-dessus donne :
( K
/ p
)U + K( U
/ p
) = L
/ p
D'où :
K ( U
/ p
) = L
/ p
- ( K
/ p
)U
Si p est de type chargement, on a : K / p = 0 et le second membre se réduit à L
/ p
.
Si p est de type matériau, on a L / p = 0 et le second membre vaut : - ( K
/ p
)U . On a
notamment de façon plus précise :
K
A
-
U = -
u
( ) : (w )d
k
p
p
k
Le terme A
/ p
est calculé dans la routine DMATMC.
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2
Calcul des dérivées des déformations et des contraintes
On considère dans ce paragraphe la dérivation par rapport à un paramètre p donné, p pouvant être
un chargement ou une caractéristique du matériau. On suppose également que le champ de
déplacement u et sa dérivée u
/ p
, tous les deux résultant d'un calcul mécanique (via
MECA_STATIQUE), sont connus.
2.1
Dérivée des déformations
Dans ce cas, la démarche est toujours la même, quelle que soit la nature de p . En effet, dans
l'hypothèse des petites perturbations, on a :
= (u + ut )/ 2 = Bu
D'où en dérivant par rapport à p :
1
u
u
t
u
=
+
(
)
= B
p
2
p
p
p
Il suffit donc dans la routine de l'opérateur CALC_ELEM de fournir en entrée au sous-programme
calculant les déformations le champ u
/ p
à la place du champ u .
2.2
Dérivée des contraintes dans le cas où p ne dépend pas du matériau
En notant A le tenseur d'élasticité, on a :
= ABu
Sachant que A et B ne dépendent pas de p , on a :
/ p
= AB( u
/ p
)
Comme au paragraphe précédent, dans l'opérateur CALC_ELEM, on fournit en entrée au
sous-programme calculant les contraintes le champ u
/ p
à la place du champ u .
2.3
Dérivée des contraintes dans le cas où p dépend du matériau
B ne dépendant pas de p , on a :
/ p
= ( A
/ p
)Bu + AB( u
/ p
)
Le terme AB( u
/ p
) se calcule de la même façon qu'au paragraphe [§2.2].
Pour l'autre terme, il faut calculer A
/ p
, c'est-à-dire réutiliser la routine DMATMC qui avait été
développée pour le calcul de u
/ p
dans le cas où p dépend du matériau (cf [§1.2]).
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3
Calcul des dérivées de G
3.1
Rappel de la formulation de G
On considère un solide élastique fissuré occupant le domaine de l'espace R2 ou R3. Soit :
·
u le champ de déplacement,
·
T le champ de température,
·
f le champ de forces volumiques appliquées sur ,
·
g le champ de forces surfaciques appliquées sur une partie S de
,
·
U le champ de déplacements imposés sur une partie Sd de
.
f
S
g
Sd
Figure 3.1-a : Solide élastique fissuré
Pour simplifier, on se place en élasticité linéaire et en petites déformations, mais cette approche se
généralise sans peine à la plasticité, aux grandes déformations....
On désigne par :
·
le tenseur des déformations,
·
0
le tenseur des déformations initiales,
·
th
le tenseur des déformations d'origine thermique,
·
le tenseur des contraintes,
·
0
le tenseur des contraintes initiales,
· (, 0
, 0
,T ) la densité d'énergie libre.
Alors le taux de restitution d'énergie associé à un champ de propagation virtuel de la fissure
s'écrit :
G( )
=
1
1
(
u
)
[(
)
(
)
]
, ,
,
0
,
0,
0 0,
ij
i p
p j -
k k
d
-
T
d
k
k
+
ij -
ij
ij k
k -
ij -
th
ij -
ij
ij k
k
d
T
2
2
+ ( f u
)
[
]
,
,
,
,
,
i
i
k k + f
u
i k
k
i
d
+ g
u
i k
k
i + g u
i
i
k k -
nk
d
-
n U
ij
j
i k
k
d
n
s
k
Sd
Le dernier terme associé à une condition aux limites de Dirichlet n'est pas implanté dans le
Code_Aster. On ne le prendra donc pas en compte.
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3.2
Dérivées de G
3.2.1 Dérivée de G par rapport au module d'Young
On suppose connues les dérivées des déplacements, des déformations et des contraintes par rapport
à E (voir [§1] et [§2]).
G est en fait la somme de 5 termes : G( ) = CLA
T
+ THER
T
+ TEPSINI + TFVOL + TFSUR
les 5 termes étant donnés dans l'ordre de [§3.1].
dG
dT
dT
dT
dT
dT
CLA
THER
EPSINI
FVOL
FSUR
=
+
+
+
+
dE
dE
dE
dE
dE
dE
3.2.1.1 Dérivée du terme classique
dT
d
du
CLA
ij
i, p
d
TCLA= ( u
ij i, p p, j - k,k )
d
= (
ui,p p, j + ij
p, j -
k,k )
d
dE
dE
dE
dE
avec en 3D et en axi :
((
9
u),T ) =
2
2
kk + µijij - th
avec th = 3K (T - ré
T f )kk - K (T - ré
T f )
2
2
E
E
E
où 3K
=
; =
; 2
=
1-
2
(1+ )(1- 2 )
µ
1+
il vient :
d
d
d
µ
(T - T )
2
kk
ij
ref
d kk
3
=
+
+ + 2µ
-
( + E
- (T - T ))
dE
2
kk
kk
ij ij
ij
E
dE
E
dE
1 - 2
kk
dE
2
ref
en déformations planes :
(, )
(1- )E
2
2
T =
(
E
E
+ +
+
2 -
xx
yy )
(21+ )(1-
2 )
(1+ )(1-
2 ) xx yy (1+ ) xy
th
soit :
d
1
( - )E
d
d
E
d
xx
yy
1
d
=
(
+
+
( 2
2
+ )) +
(
yy
xx
xx yy
+
+
)
dE
1
( + 1
)( - 2 ) xx
yy
dE
dE
2
xx
yy
E
1
( + 1
)( - 2 ) xx
yy
dE
dE
E
2E
d xy
1
(T - T )
2
ref
d kk
3
+
+
-
( + E
- (T - T ))
1
xy
+
dE
1
xy
+
1 - 2
kk
dE
2
ref
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en contraintes planes :
(, )
E
2
2
T =
2 (
E
E
+ +
+
2 -
xx
yy )
(21- )
(1- )2 xx yy (1+ ) xy
th
d
E
d
d
E
d
xx
yy
1
d
:
soit
=
(
+
+
( 2
2
+ )) +
(
yy
xx
xx yy
+
+
)
xx
yy
xx
yy
xx
yy
dE
1
( - )2
dE
dE
2E
1
( - )2
dE
dE
E
2E
d xy
1
(T - T )
2
ref
d kk
3
+
+
-
( + E
- (T - T ))
1
xy
+
dE
1
xy
+
1 - 2
kk
dE
2
ref
3.2.1.2 Dérivée du terme thermique
TTHER =-
T,kk
d
T
((
1
u),T )
dK(T )
=
(
d T
-
3 T - T
- 3K T
(
) +
T - T
-
3 T - T
kk
( réf )
( )( réf ) ( kk ( réf )
T
2 dT
dT
dTTHER
=- d (
T
) ,kk
d
dE
dE
T
en 3D et en axi :
d
1
( + 2 2
)
2
d
d
+
kk
kk
dE
E 1
(
2 2 )
d
(
)=
+
(
+
)
dE T
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT 2
kk
dE
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
d
1
dij 1
dE
E d
-
+
(
-
)
ij ij dT 1
(
2 + )2
ij dE 1+ dT 1+ dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1- 2
dT
ref
kk
dE
1- 2
1- 2 dT kk
dT
1- 2 dT dE
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
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en déformations planes :
d
(2 - )
d
d
d
-
dE
- E
d
2
2
1
2 (2
)
(
)=
(
+ ) + (
XX
YY
+
)(
+
)
dE T
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
XX
YY
XX
dE
YY
dE
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
1 + 2 2
d
d
d
+
YY
XX
dE
1
(
2 2 )E
d
+ (
+
)(
+
)
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT XX YY
XX
dE
YY
dE
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
1
d
d
XY
dE
E
d
2
1
-
+ 2
(
-
)
1
( + )2 dT XY
XY
dE
1
( + ) dT
1
( + )2 dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1- 2
dT
ref
kk
dE
1 - 2
1- 2 dT kk
dT
1- 2 dT dE
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
en contraintes planes :
d
d
d
d
XX
YY
dE
E
d
2
2
1
2
(
)=
(
+ ) + (
+
)(
+
)
dE T
1
(
2
- )2 dT XX
YY
XX
dE
YY
dE
1
(
2
- ) dT
1
(
2
- )2 dT
1
2
+
d
d
d
+
YY
XX
dE
1
(
2 )E d
+ (
+
)(
+
)
1
(
2
- )2 dT XX YY
XX
dE
YY
dE
1
(
2
- ) dT
1
(
2
- )2 dT
1
d
d
XY
dE
E
d
2
1
-
+ 2
(
-
)
1
( + )2 dT XY
XY
dE
1
( + ) dT
1
( + )2 dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1- 2
dT
ref
kk
dE
1 - 2
1- 2 dT kk
dT
1- 2 dT dE
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
3.2.1.3 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales
1 0 0
1
T
0
EPSINI = [(
0
ij - ij )ij,kk - (ij - th
ij - ij ) ij,kk )]
d
2
2
dT
d
d
EPSINI =
ij
(
0,
0,
)
ij
-
ij
k
ij k
k
d
dE
dE
dE
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3.2.1.4 Dérivée du terme force volumique
T
(
)
FVOL =
f u
i
i
k ,k + f
u
i,k
k
i
d
dT
du
du
FVOL = ( f
i
)
i
k ,k + f
i
i,k
k
d
dE
dE
dE
3.2.1.5 Dérivée du terme force surfacique
T
[
]
FSUR =
g
u
i,k
k
i + g u
i
i
k ,k -
nk
d
s
nk
dT
du
du
FSUR = [g
i
]
i,k
k
+ g
i
i
k ,k -
nk
d
dE
dE
dE
s
nk
3.2.2 Dérivées de G par rapport au chargement
Le paramètre sensible peut être une (ou plusieurs) composante de forces F volumique, surfacique ou
i
nodale, et(ou) une (ou plusieurs) pression sur un bord, ce qui revient à une force surfacique.
Dans tous les cas on peut écrire :
G
ncha n
dim
G
F icha
i
=
l'additivité venant du fait que les contributions des chargements de
ps
icha
=1 =1
icha
i
F
ps
i
G se cumulent
F icha
avec
i
= 1
si le paramètre sensible intervient dans la composante i du
ps
chargement icha
F icha
i
= 0
sinon
ps
Exemple :
L'utilisateur définit un paramètre sensible valant 1. Ce paramètre sensible sert à définir une force
volumique F , une force surfacique de composantes ( f , f ) et une pression p .
Z
X
Y
G
G
G
G
G
alors
=
+
+
+
ps
F
f
f
p
Z
X
Y
De la même façon que pour la dérivée de G par rapport à E, on dérive terme à terme.
La dérivée des termes classique et thermique comprend moins de termes car les coefficients de Lamé
et K ne dépendent pas du chargement (alors qu'ils dépendent de E).
Par contre les termes forces volumiques et forces surfaciques comportent un terme de plus si le
paramètre sensible intervient dans le chargement correspondant.
Pour simplifier, on notera f la composante du chargement par rapport auquel on dérive.
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3.2.2.1 Dérivée du terme classique
dT
d
du
CLA
ij
i, p
d
T
(
)
= (
u
)
i, p
p, j +
ij
p, j -
d
k ,k
CLA =
u
ij
i, p
p, j -
k ,k
d
df
df
df
df
avec en 3D et en axi :
( (
u),T )
2
=
+ µ - 3K T - T + K T - T
kk
ij ij
( réf )
9
2
kk
( réf )2
2
2
E
E
E
où 3K
=
; =
; 2µ =
1-
2
(1+ )(1-
2 )
1+
d
d
d
kk
ij
d
il vient :
=
+ 2µ
- 3K
kk
ij
(T -Tréf ) kk
df
df
df
df
en déformations planes :
(, )
(1- )E
2
2
T =
(
E
E
+ +
+
2 -
xx
yy )
(21+ )(1-
2 )
(1+ )(1-
2 ) xx yy (1+ ) xy
th
d
1
( - )E
d
d
xx
yy
E
d yy
d xx
soit
=
(
+
) +
(
+
)
df
xx
1
( + 1
)( -
2 )
df
yy
df
xx
1
( + 1
)( -
2 )
df
yy
df
2E
d
T
( - T
xy
ref )
d
+
-
E
kk
xy
1 +
df
1 -
2
df
en contraintes planes :
(, )
E
2
2
T =
2 (
E
E
+ +
+
2 -
xx
yy )
(21- )
(1- )2 xx yy (1+ ) xy
th
d
E
d
d
xx
yy
E
d yy
d xx
soit
=
(
+
) +
(
+
)
df
xx
1
( - )2
df
yy
df
xx
1
( - )2
df
yy
df
2E
d
T
( - T
xy
ref )
d
+
-
E
kk
xy
1 +
df
1 -
2
df
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HT-66/04/002/A
Code_Aster ®
Version
7.2
Titre :
Post-traitement en sensibilité
Date :
07/09/04
Auteur(s) :
P. de BONNIERES, X.DESROCHES Clé
:
R4.03.07-B Page
: 11/14
3.2.2.2 Dérivée du terme thermique
T
,
THER =-
T k k
d
T
(
1 dK T
d
(
T
u),T)
( )
=
kk -
3 T - T
- 3K
réf
+
T - Tréf kk -
3 T - T
T
2 dT (
(
)
( )
dT (
) (
( réf )
dT
THER =- d (
T
) , d
k
k
df
df T
en 3D et en axi :
d
d
+
kk
dE
E 1
(
2 2 )
d
(
)=
(
+
)
df T
kk
df
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
dij 1
dE
E d
+
(
-
)
ij df 1+ dT 1+ dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1- 2
dT
ref
kk
df
1- 2
1- 2 dT kk
dT
1- 2 dT df
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
en déformations planes :
d
d
d
1-
dE
2 (2 - )E
d
(
)= (
XX
YY
+
)(
+
)
df T
XX
df
YY
df
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
d
d
+
YY
XX
dE
1
(
2 2 )E
d
+ (
+
)(
+
)
XX
df
YY
df
1
( + 1
)( - 2 ) dT
1
( + )2 1
( - 2 )2 dT
d
XY
1
dE
E
d
+ 2
(
-
)
XY
df
1
( + ) dT
1
( + )2 dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1 - 2
dT
ref
kk
df
1 - 2
1 - 2 dT kk
dT
1 - 2 dT df
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
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Titre :
Post-traitement en sensibilité
Date :
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Auteur(s) :
P. de BONNIERES, X.DESROCHES Clé
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R4.03.07-B Page
: 12/14
en contraintes planes :
d
d
d
XX
YY
1
dE
2 E
d
(
)= (
+
)(
+
)
df T
XX
df
YY
df
1
(
2
- ) dT
1
(
2
- )2 dT
d
d
+
YY
XX
dE
1
(
2 )E d
+ (
+
)(
+
)
XX
df
YY
df
1
(
2
- ) dT
1
(
2
- )2 dT
d
XY
1
dE
E
d
+ 2
(
-
)
XY
df
1
( + ) dT
1
( + )2 dT
1
d
d
(T - T )
kk
ref
2
d
dE
2E d
d
-
( +
(T - T ))( + E
) -
(
+ (
+
)
kk )
1 - 2
dT
ref
kk
df
1 - 2
1 - 2 dT kk
dT
1 - 2 dT df
3
d
d
+
(T - T )( + (T - T )
+
(T - T )
)
1 - 2
ref
ref
dT
1 - 2
ref
dT
3.2.2.3 Dérivée du terme déformations et contraintes initiales
1 0 0
1
T
[(
)
(
0
) 0
)]
EPSINI =
ij -
ij
ij,k
k -
ij -
th
ij -
ij
ij,k
k
d
2
2
dT
d
d
EPSINI =
ij
(
0,
0,
)
ij
-
ij
k
ij k
k
d
df
df
df
3.2.2.4 Dérivée du terme force volumique
T
(
)
FVOL =
f u
i
i
k ,k + f
u
i,k
k
i
d
si f = fl
est une composante de force volumique :
dT
du
du
FVOL = (( f
i
)
)
i
+ ul k,k + f
i
i,k
k
d
df
df
df
l
l
l
sinon :
dT
du
du
FVOL = ( f
i
)
i
k ,k + f
i
i,k
k
d
df
df
df
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: 13/14
3.2.2.5 Dérivée du terme force surfacique
T
[
]
FSUR =
g
u
i,k
k
i + g u
i
i
k ,k -
nk
d
s
nk
si f = gl
est une composante de force surfacique :
dT
du
du
FSUR = [g
i
(
)
]
i,k
k
+ g
i
i
+ ul
k ,k -
nk
d
dg
dg
dg
l
s
l
l
nk
sinon :
dT
du
du
FSUR = [g
i
]
i,k
k
+ g
i
i
k ,k -
nk
d
df
df
df
s
nk
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Titre :
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P. de BONNIERES, X.DESROCHES Clé
:
R4.03.07-B Page
: 14/14
4 Bibliographie
[1]
TARDIEU N. : Calcul de sensibilité en mécanique. Application au Code_Aster. note EDF-DER
HI-75/01/016-Indice A, 2001
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