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5.0
Titre :
Eléments de frontière absorbante
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02/04/01
Auteur(s) :
G. DEVESA, V. FAUCHER
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Organisme(s) : EDF/RNE/AMV
Manuel de Référence
Fascicule R4.02 : Acoustique
Document : R4.02.05
Eléments de frontière absorbante
Résumé
Ce document décrit l'implantation dans le Code_Aster des éléments de frontière absorbante. Ces éléments de
type paraxiaux, dont on décrit ici la théorie, sont affectés à des frontières de domaines élastiques ou fluides pour
traiter des problèmes 2D ou 3D d'interaction sol-structure ou sol-fluide-structure. Ils permettent de satisfaire la
condition de Sommerfeld vérifiant l'hypothèse d'anéchoïcité : l'élimination des ondes planes élastiques ou
acoustiques diffractées et non physiques venant de l'infini.
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1 Introduction
1.1
Problématique d'un milieu semi-infini pour l'ISS
Les problèmes standard de réponse sismique et d'interaction sol-structure ou sol-fluide-structure
amènent à considérer des domaines infinis ou supposés tels. Par exemple, dans le cas de barrages
soumis au séisme, on a souvent affaire à des retenues de grande taille qui nous permettent de faire
l'hypothèse d'anéchoïcité : les ondes qui partent vers le fond de la retenue ne "reviennent" pas. Ceci a
pour but de réduire la taille de la structure à mailler et de permettre de passer des calculs complexes
avec les moyens informatiques actuels. On propose sur la [Figure 1.1-a] ci-dessous un schéma qui
décrit le type de situations envisagées.
Domaines modélisés aux éléments finis :
F
domaine fluide (par exemple retenue de barrage)
B
domaine structure (par exemple voûte de barrage)
S
domaine sol non-linéaire
Surface absorbante
fluide
'S domaine sol linéaire
F
B
S
'S
Surface absorbante
élastique
Figure 1.1-a : Domaine pour l'interaction sol-fluide-structure
Dans tout le document, on considère que la frontière du maillage éléments finis du sol se trouve dans
un domaine au comportement élastique.
La théorie des systèmes elliptiques assure simplement l'existence et l'unicité de la solution des
problèmes acoustiques ou élastoplastiques dans les domaines bornés, sous l'hypothèse de conditions
aux limites assurant la fermeture du problème. Il en va différemment pour les domaines infinis. On doit
avoir recours à une condition particulière, dite de Sommerfeld, formulée dans les directions infinies du
problème. Cette condition assure notamment, dans le cas de la diffraction d'une onde plane (élastique
ou acoustique) par une structure, l'élimination des ondes diffractées non physiques venant de l'infini
que les conditions classiques sur les bords du domaine à distance finie ne suffisent pas à assurer.
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1.2
Etat de l'art des approches numériques
La méthode privilégiée pour traiter des domaines infinis est celle des éléments finis de frontière (ou
équations intégrales). La solution fondamentale utilisée vérifie automatiquement la condition de
Sommerfeld. Seulement, l'utilisation de cette méthode est conditionnée par la connaissance de cette
solution fondamentale, ce qui est impossible dans le cas d'un sol à géométrie complexe, par exemple,
ou lorsque le sol ou la structure sont non linéaires. Il faut donc alors avoir recours aux éléments finis.
Dès lors, des conditions particulières à la frontière du maillage éléments finis sont nécessaires pour
interdire la réflexion des ondes diffractées sortantes et reproduire ainsi artificiellement la condition de
Sommerfeld.
Plusieurs méthodes permettent d'identifier des conditions aux limites répondant à nos exigences.
Certaines conduisent à une résolution exacte du problème : on les appelle "frontières consistantes".
Elles sont fondées sur une prise en compte précise de la propagation des ondes dans le domaine infini.
Par exemple, si ce domaine peut être supposé élastique et avec une stratigraphie simple loin de la
structure, on peut envisager un couplage éléments finis - équations intégrales. Un des problèmes de
cette solution est qu'elle n'est pas locale en espace : il faut faire un bilan sur toute la frontière séparant
le domaine fini du domaine infini, ce qui nous conduit obligatoirement à un problème de
sous-structuration. Cette non-localité en espace est caractéristique des frontières consistantes.
Pour aboutir à des termes de frontière locaux en espace, on peut utiliser la théorie des éléments infinis
[bib1]. Ce sont des éléments de dimension infinie dont les fonctions de base reproduisent au mieux la
propagation des ondes élastiques ou acoustiques à l'infini. Ces fonctions doivent être proches de la
solution car les théorèmes mathématiques classiques n'assurent plus la convergence du résultat de
calcul vers la solution avec de tels éléments. En fait, on peut trouver une analogie entre la recherche de
fonctions de base satisfaisantes et celle d'une solution fondamentale pour les équations intégrales. Les
contraintes géométriques sont assez voisines mais surtout, cette recherche présente un inconvénient
de taille : elle dépend de la fréquence. Par conséquent, de telles frontières, locales ou non en espace,
ne peuvent être utilisée que dans le domaine de Fourier, ce qui interdit une certaine catégorie de
problèmes, avec des non-linéarités de comportement ou des grands déplacements par exemple.
On en arrive donc à devoir trouver des frontières absorbantes performantes qui soient locales en
espace et en temps pour traiter aux éléments finis des problèmes transitoires posés sur des domaines
infinis.
Nous allons présenter dans la suite la théorie des éléments paraxiaux qui réalisent l'absorption
cherchée avec une efficacité inversement proportionnelle à leur simplicité d'implémentation ainsi que la
description des contraintes d'implémentation dans le Code_Aster. On présente les développements
pour traiter des problèmes 3D. Ceux pour les cas 2D ont été réalisés et leur théorie se déduit
simplement de la modélisation 3D.
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2
Théorie des éléments paraxiaux
On présente dans cette partie le principe de l'approximation paraxiale dans le cas de l'élastodynamique
linéaire. Deux approches théoriques permettent de cerner l'esprit et la mise en pratique des éléments
paraxiaux élastiques : on doit la première à Cohen et Jennings [bib2] et la seconde à MODARESSI
[bib3]. L'application de la théorie des éléments paraxiaux au cas fluide sera faite dans la partie
suivante.
Dans toute la suite, comme présenté sur la [Figure 1.1-a], on suppose que la frontière du maillage du
sol est située dans un domaine au comportement élastique.
L'approche de Modaressi implantée dans le Code_Aster permet à la fois de construire des frontières
absorbantes et d'introduire la champ sismique incident.
2.1
Impédance spectrale de la frontière
Pour obtenir l'équation paraxiale, il nous faut d'abord déterminer la forme du champ de déplacement
diffracté au voisinage de la frontière. Pour cela, on part des équations de l'élastodynamique 3D :
2
2
2
2
u
2 u
2
u
2 u
- E c
- E c
- E c
= 0
2
11
t
2
12
x'
x'
22
2
x3
x3
u'
2
1 c
0
1
0 1
Avec : u = E =
P
E
2
2
12 =
cP - c
2 (
S )
u
11
2
2
3
c 0
c
c
1 0
S
2
1 c
0
E
S
22 =
2
2
c 0
cP
La constante c , homogène à une vitesse, est introduite pour rendre certaines quantités
adimensionnelles. Les équations et leurs solutions sont bien entendu indépendantes de cette
constante.
On appelle x' et u' les directions et les composantes du déplacement dans le plan tangent et x3 et
u3 selon e3 , la direction normale à la frontière.
On procède à deux transformées de Fourier, l'une par rapport au temps, l'autre par rapport aux
variables d'espace dans le plan à la frontière. On se limite au cas d'une frontière plane et sans coin :
Les équations s'écrivent alors :
(
2
!u
c2 - c2
3
2
2
2
P
S )- . !u + i
c - +
!u + !u = 0
x + S
2
3
x
3
(
2
2
!u u
!
c2 - c2
3
2
2
2
P
S )- i.
+
+ c - +
!u + !u =
x
2
2
3
3
0
3
x
S
x
3
3
où !u et !u3 désignent les transformées de Fourier et le vecteur d'onde associé à x' .
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Il s'agit d'un système différentiel en x3 que l'on sait résoudre en le diagonalisant. On en déduit :
(!u ).e3 = A (
exp - i x
S
3 )
!u. = [A exp(- i x3) + A
(
exp - i x
P
P
S
S 3)]
!u3 = - A
(
exp - i 3
x ) - A e (
xp - i 3
x
P P
P
S S
S
)
2
2
2
2
Avec : P =
- et =
-
c2
S
2
P
S
c
Pour déterminer les constantes A, A et A
S
P , on suppose connu ! (
u ', )
0 sur la frontière du domaine
éléments finis. On les exprime en fonction de ! (', )
0 = ! '
u'
u et !u (', )
0
0
3
= !u30 .
On va maintenant évaluer le vecteur contrainte sur une facette de normale e3 en x3 = 0, ce qui nous
donnera l'impédance de la frontière. On fait subir à t(x', x3) la même transformée de Fourier en
espace que pour les équations de l'élastodynamique, si bien que :
!
u
u
t(,x )
! 3
!
= i !u . + ( + 2µ)
e
3 +
µ
+ i
3
!u3
x3
x3
On souhaite s'affranchir en x3 = 0 des termes contenant des dérivées en x3. Le système obtenu
précédemment nous le permet en fonction de !'
u et !u
0
30 :
!u0 . = i 2 u
!30
3
x
!u
0 .e3 = -iS(!u0 ).e
3
3
x
!u
30
=
i- P !u .
0
S
+
+
2
(P S)u
!30
3
x
On obtient ainsi l'impédance spectrale de la frontière :
!
t = a0 e + b0 + c0 e
0
3
3
où a0, b0
c0
et
sont des fonctions de et de qui dépendent linéairement de ! '
u et !u
0
30
On peut alors écrire : !t = (
A ,) !u
0
0(, )
où A désigne l'opérateur impédance spectrale globale. On revient à l'espace physique par deux
transformées de Fourier inverses.
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2.2
Approximation paraxiale de l'impédance
L'impédance spectrale calculée précédemment n'est locale ni en espace ni en temps puisqu'elle fait
intervenir !u0(',), transformée de Fourier de u0(x',t) pour tout x' et tout t .
L'idée est alors de développer P et S selon les puissances de . Cette approximation sera bonne
soit à haute fréquence, soit pour petit.
Examinons la dépendance en x3, par exemple de !u3 : on aura, pour u3(x', 3
x ,t) des termes de la
forme :
[
exp i ( x + t - x
P 3 )]
2
c
Avec le développement de
P
1
P :
P =
-
+...
cP
On montre que pour petit, on aura des ondes se propageant selon des directions voisines de la
normale e3 à la frontière, car l'exponentielle s'écrit :
x
3
exp i
t -
+ i o
c
P
Dès lors, avec un développement asymptotique de P et S , en multipliant par une puissance
convenable de pour supprimer cette quantité au dénominateur, on obtient :
A0(,)!t = A
0
1(, ) !
u0
où A0 et A1 sont des fonctions polynomiales en et .
Soit, après les deux transformées de Fourier inverses :
A
,
t = A
,
0
0
1
u0
x t
x t
On obtient ainsi la forme finale de l'impédance locale transitoire approchée en fonction du dernier terme
en retenu. On peut trouver le calcul détaillé des Ai dans [bib5].
Par exemple, pour l'ordre 0 :
u
u
t
3
= c
e
0
P
3 +
c
t
S t
Ceci correspond à des amortisseurs visqueux distribués le long de la frontière du domaine éléments
finis.
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A l'ordre 1 :
t
2
2
2
2
0 = u
u
u
u
3
c
e
P
+
cS
+
3
c 2c - c
+ c -
2c
2
3
2
S (
S
P )
e3 ( P
S )
t
t
t
x
t
x
t
2
2
.
+ 2
cP u e
3 3
c
c c
S
P
S -
+ 2
u
c c
-
2 2
x
S
P
2 2
x
On voit apparaître la dérivée par rapport au temps du vecteur contrainte. Dans le traitement numérique,
il faudra avoir recours à une intégration de ce terme sur les éléments de la frontière.
Pour conclure, on retiendra que l'approximation paraxiale conduit à une impédance locale transitoire ne
faisant intervenir que des dérivées en temps et dans le plan tangent à la frontière. De façon
symbolique, on écrit :
u
t0 =
A0
à l'ordre 0
t
t
2
u u
0 = A
,
,u
1
2
à l'ordre 1
t
t
t
2.3
Prise en compte du champ sismique incident
On rappelle que le comportement du sol est supposé élastique au moins au voisinage de la frontière. A
l'infini, le champ total u doit être égal au champ incident ui (une des conséquences de la condition de
radiation de Sommerfeld). On introduit donc le champ diffracté ur tel que :
u = ui + ur
lim ur = 0
x
A la frontière du maillage éléments finis, on écrit la condition d'absorption pour le champ diffracté :
u
t
r
0(ur ) =
A0
à l'ordre 0
t
t
2
0 (
u
u
u
r
r
r ) = A
,
,u
1
2
r
à 'ordre 1
t
t
t
On en déduit le vecteur contrainte total sur la frontière du maillage éléments finis :
u
u
t
i
0(u) = t0(ui ) + t0(ur ) = t0(ui ) + A0
- A0
t
à l'ordre 0
t
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On obtient ainsi la formulation variationnelle du problème au voisinage de la frontière pour l'ordre 0 :
2u
u
u
v + u : v - A
v = t u
i
- A
v
2 ( ) ( ) 0
( i)
t
0
t
t
Pour tout champ v cinématiquement admissible
Pour l'ordre 1, on conserve la formulation classique :
2
u v + u : v - t u v = 0
2 ( ) ( ) ( )
t
où (
t u) suit la loi d'évolution suivante :
t(u) t(u
2
2
i )
u
u
u
u
=
+ A
,
,u
i
i
1
- A
,
,u
t
t
t2 t
1 t2 t i
La sollicitation due au champ incident apparaît explicitement dans le cas de l'ordre 0, mais elle est
contenue dans la loi d'évolution de (
t u) pour l'ordre 1.
3
Eléments fluides anéchoïques en transitoire
Cette partie présente l'essentiel des contraintes générales d'implémentation d'éléments fluides
anéchoïques de frontière absorbants avec l'approximation paraxiale d'ordre 0 dans le Code_Aster.
Pour des raisons de simplicité liées à la manipulation de grandeurs scalaires telles que la pression ou
le potentiel de déplacement, en opposition aux grandeurs vectorielles comme le déplacement, on
s'intéresse d'abord aux éléments fluides.
3.1 Formulation
standard
On reprend ici le raisonnement de Modaressi en l'adaptant à un domaine fluide acoustique. Dans un
premier temps, on s'intéresse à la seule donnée de la grandeur pression dans ce fluide. On reviendra
ensuite sur cette modélisation pour s'adapter aux contraintes du Code_Aster, en soulignant les
ajustements à faire.
Soit donc la configuration suivante, en reprenant les conventions de la partie précédente au voisinage
de la frontière :
Frontière localement orthogonale à l'axe x3
x2
Maillage éléments
Domaine fluide
x3
finis
infini
x1
La définition d'un repère local au niveau de l'élément permet de nous ramener systématiquement dans
une telle situation.
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3.1.1 Formulation éléments finis
La pression p vérifie l'équation d'Helmholtz dans tout le domaine modélisé aux éléments finis, ce
qui donne, pour tout champ de pression virtuel q :
1
2
p
- p.q -
pq +
q =
2
2
0
c t
n
représente la frontière du domaine .
p
La grandeur à estimer sur grâce à l'approximation paraxiale est ici .
n
3.1.2 Approximation
paraxiale
p
p
Dans la configuration proposée, le terme correspond à
.
n
x3
Considérons dès lors une onde plane harmonique se propageant dans le fluide :
p = A
[
exp i (k x
1 1 + k x
2 2 + k x
3 3 - t)]
En remplaçant dans l'équation d'Helmholtz, on obtient :
c 2
k
2
2
=
1-
+
2 (k
k
3
1
2 )
c
On obtient alors le développement suivant, pour des hautes fréquences ( grand) ou au voisinage de
la frontière ( k1 et k2 petits) :
c 2
k
2
2
= 1-
+
2 (k
k
3
1
2 )
c
2
Soit, en multipliant par pour faire disparaître cette quantité au dénominateur et après une
transformée de Fourier inverse en espace et en temps :
2 p
1 2 p 1 2 p 2 p
= -
+
+
c
x
2
2
2
3 t
c t
2 1
x
x2
Comme l'avait présenté Modaressi, cette équation fait intervenir la dérivée par rapport au temps du
terme surfacique. Dans le cadre de cette partie, on ne s'intéresse qu'au terme d'ordre 0, soit, après une
intégration en temps, ce qui fait disparaître la dérivée gênante :
p
1 p
p
1 p
= -
ou plus généralement :
= -
x
c t
3
n
c t
C'est cette relation d'impédance que nous allons discrétiser sur la frontière du domaine éléments finis.
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Remarque :
Compte tenu de la disparition du terme d'ordre 1 dans le développement de la racine carrée, l'ordre
minimal d'approximation pour les paraxiaux fluides est en fait 1 et non 0. Nous conserverons
l'appellation d'éléments d'ordre 0 pour la cohérence avec le solide. Toutefois, on parle d'éléments
fluides d'ordre 2 au moment de considérer des éléments d'ordre strictement positif.
3.2
Impédance des éléments vibro-acoustiques dans le Code_Aster
Le Code_Aster dispose d'éléments vibro-acoustiques. On rappelle dans ce paragraphe les choix de
formulation faits au moment de leur implémentation. On s'inspire pour présenter l'existant de la
documentation de référence du Code_Aster [bib6].
3.2.1 Limites de la formulation en p
Dans le cadre de l'interaction fluide-structure en harmonique, la formulation en pression uniquement du
fluide acoustique conduit à des matrices non symétriques. En effet, le système global s'exprime, sous
forme variationnelle, de la façon suivante :
C .u
v
- 2 u v - p v .n
ijkl k l, i,j
s i i i i = 0 pour la structure
s
s
1
2
p. q
- k
p q - u .n q = 0
2
pour le fluide
i
i
f
f
f
avec k =
, nombre d'onde pour le fluide, v et q deux champs virtuels dans la structure et dans le
c
fluide respectivement.
Après discrétisation par éléments finis, on obtient le système matriciel suivant :
K - C u
M
0 u
2
T
Q
0
0
H -
C
=
p
f
2
p
c
où :
K et M sont les matrices de rigidité et de masse de la structure
H et Q sont les matrices fluides obtenues respectivement à partir des formes bilinéaires :
.
p q et pq
f
f
C est la matrice de couplage obtenue à partir de la forme bilinéaire : p u .n
i i
Le caractère non symétrique de ce système ne permet pas d'utiliser les algorithme de résolution
classiques du Code_Aster. Ceci motive l'introduction d'une variable supplémentaire dans la description
du fluide.
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3.2.2 Formulation symétrique en p et phi
La nouvelle grandeur introduite est le potentiel des déplacements , tel que x = . D'après [bib6],
on obtient la nouvelle forme variationnelle du système couplé fluide-structure :
C .u
v
- 2 u v - 2 v .n
ijkl k l, i,j
s i i f i i = 0 pour la structure
s
s
1
1
2
pq -
f
q + p -
.
+ u n
2
(
)
0
2
pour le fluide
i i =
f c
f c
f
f
f
Avec : p =
2
f dans le fluide et un champ de potentiel de déplacement virtuel
Ceci nous conduit au système matriciel symétrique :
K
M
0
M
0
0
f
u
u
M
M
0
f
0
2
p - 0
0
fl p = 0
2
2
f c
c
0
0
0
MT
MT
fl
H
f
2
f
c
où : K et M sont les matrices de rigidité et de masse de la structure
M est la matrice de couplage obtenue à partir de la forme bilinéaire u n
i i
M ,M
f
fl et H sont les matrices fluides obtenues à partir des formes bilinéaires :
pq
, p
f
f
(ou
q
) et .
f
f
3.2.3 Imposition d'une impédance avec la formulation en p et phi
D'une manière générale, une relation d'impédance à la frontière du fluide s'exprime ainsi :
p = Z v.n
où :
Z est l'impédance imposée
v.n est la vitesse normale sortante des particules fluides
On en déduit, d'après la loi de comportement du fluide, qui relie la pression au déplacement des
2u
particules fluides pour un fluide acoustique p - f
= 0 :
t2
f p p
=
Z t
n
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La discrétisation d'un telle équation conduit à un terme non symétrique dans une formulation en p et
. On préfère formuler la condition par rapport au potentiel de déplacement, soit :
f
+
= 0
Z t
On obtient alors comme expression pour le terme de bord associé à la relation d'impédance :
2
3 2
f
f
=
t 2
n
t3 Z
On constate alors l'apparition (quelque peu artificielle) d'un terme en dérivée troisième par rapport au
temps. En harmonique, qui est le domaine d'application privilégié des éléments vibro-acoustiques dans
le Code_Aster, cela ne pose pas de problème. On traite un terme en 3 sans difficulté. Pour le calcul
transitoire, plutôt que d'introduire une approximation d'une dérivée troisième dans le schéma de
Newmark implémenté dans les opérateurs d'intégration directe en dynamique dans le Code_Aster
DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01], on préfère opérer une simple correction
du second membre, ce qui revient en fait à considérer l'impédance de façon explicite. Les conditions de
stabilité du schéma de Newmark ne sont plus rigoureusement les mêmes, mais l'expérience nous a
montré qu'il est simple de parvenir à la convergence à partir des anciennes conditions.
Ce choix d'une correction explicite du second membre sera également justifié au moment de
l'implémentation d'éléments paraxiaux d'ordre 1, qu'il rend nettement plus aisée.
3.2.4 Formulation
détaillée
On propose ici la formulation précise pour un fluide acoustique modélisé sur un domaine avec une
condition anéchoïque sur une partie a de la frontière du domaine. En dehors de cela, on
décompose la frontière en une surface libre et une partie en contact avec un solide rigide. L'introduction
de sollicitations extérieures ou la présence d'une structure élastique se modélise aisément par les
méthodes courantes. Les éléments de volume et de surface sont formulés en p et .
Les équations dans le fluide sont :
1
f
+
p = 0
c2
dans le volume
éq 3.2.4-1
2
p = f t2 dans le volume
éq 3.2.4-2
p = 0 sur la surface libre
éq 3.2.4-3
= 0
sur la paroi rigide
éq 3.2.4-4
n
p
1 p
= -
sur la partie de la frontière avec condition anéchoïque
éq 3.2.4-5
n
c t
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On multiplie l'équation [éq 3.2.4-1] par un champ de potentiel virtuel et on intègre dans :
1
2
2
p + f
.
+
=
d'après la formule de Green
2 (
)
0
2
f 2
c
t
t n
f
Soit, avec les conditions aux limites sur et l'équation [éq 3.2.4-2] :
1
2
p
p + f
.
+
=
2 (
)
0
2
c
t
f
n
f
a
On peut dès lors appliquer la condition d'impédance formulée en pression :
p
1
p
f
= -
f
n
c
t
a
a
De plus, pour parvenir à une formulation symétrique des termes de volume, on multiplie l'équation
[éq 3.2.4-2] par un champ de pression virtuel q et on intègre dans :
pq
2
q
-
= 0
c2 t 2
c2
f
f
f
En sommant les deux équations variationnelles, on obtient :
1
2
1
p
pq +
f
q + p - .
=
2
2
(
)
1
0
2
-
t
f
c
c
c
t
f
f
f
f
f
a
Matriciellement :
M fl
M
0p
0
1 0 A
f
p"
c2 p
" 0
0 0 -
c 0 0 +
"
MT
=
fl
"
H
2
f
c
où les sous-matrices M ,M
et H
f
fl
discrétisent les mêmes formes bilinéaires que précédemment.
p
La sous-matrice A discrétise le terme
f . La matrice d'amortissement obtenue n'est pas
t
a
symétrique, comme on l'avait prédit plus haut. C'est pourquoi on rejette ce terme au second membre.
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3.2.5 Intégration temporelle directe
Dans notre cas, en raison de la non symétrie de la matrice d'impédance, on choisit de considérer le
terme anéchoïque de façon explicite comme nous l'avons évoqué auparavant. Cela revient à le calculer
à l'instant t et à le placer parmi les sollicitations lors de l'expression de l'équilibre dynamique à l'instant
t + t
.
On résout :
M fl
M
0p
0
2
+
p" + 1 0 A
f
t
t
c
t
t
"tp
0
0
+
MT
=
"
"
éq 3.2.5-1
t +t
fl
c 0 0
H t+t
t
2
f
c
Au lieu de :
M fl
M
0p
0
+
1 0
A
f
t
t
"tp+ t
c2 " t
p" +t
0
0 0
-
c 0
0
+
"
MT
=
"
t + t
t+t fl
H t+ t
2
f
c
Ainsi, on n'a pas de matrice non symétrique à traiter dans le système donnant X à l'instant t + t
.
Remarque :
Dans un calcul non linéaire, on réactualise le second membre à chacune des itérations internes.
Le calcul peut donc s'avérer plus exact et plus stable dans ce cas.
3.3
Utilisation dans le Code_Aster
La prise en compte d'éléments fluides anéchoïques et le calcul de leur impédance nécessite une
modélisation spécifique sur les frontières absorbantes :
· en 2D avec la modélisation '2D_FLUI_ABSO' sur les éléments finis de type MEFASEn (n=2
ou 3) sur les arêtes absorbantes à n noeuds.
· en 3D avec la modélisation '3D_FLUI_ABSO' sur les éléments finis de type MEFA_FACEn
(n=3, 4, 6, 8 ou 9) sur les faces absorbantes à n noeuds.
En analyse harmonique avec l'opérateur DYNA_LINE_HARM [U4.53.11], on calcule au préalable une
impédance mécanique par l'option IMPE_MECA de l'opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.61.01] et on la
renseigne dans DYNA_LINE_HARM (mot clé MATR_IMPE_PHI).
En analyse transitoire, la prise en compte de la force correctrice due aux termes d'impédance est
automatique avec les modélisations d'éléments absorbants dans les opérateurs DYNA_LINE_TRAN
[U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01].
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4
Eléments absorbants élastiques dans le Code_Aster
Cette partie présente l'essentiel des contraintes générales d'implémentation d'éléments élastiques de
frontière absorbants avec l'approximation paraxiale d'ordre 0 dans le Code_Aster. On rappelle la relation
d'impédance paraxiale d'ordre 0 telle qu'elle a été établie par Modaressi pour un domaine élastique
linéaire :
(
u
u
t u) =
c
/ /
p
+ cs
t
t
u devient u et u
/
T
devient u
3
//
4.1
Adaptation du chargement sismique aux éléments paraxiaux
On a présenté dans la première partie le principe de prise en compte du champ incident grâce aux
éléments paraxiaux. Il convient ici de présenter les méthodes de modélisation du chargement sismique
dans le Code_Aster pour pouvoir adapter les données aux exigences des éléments paraxiaux.
L'équation fondamentale de la dynamique associée à un modèle quelconque 2D ou 3D discrétisé en
éléments finis de milieu continu ou de structure et en l'absence de chargement extérieur s'écrit dans le
repère absolu :
MX
" + CX
a
" + KX
a
a = 0
On décompose le mouvement des structures en un mouvement d'entraînement Xe et un mouvement
relatif Xr .
X
X
s
a
Xe
Xr
X
X
s : déplacement imposé des supports
s
Xa : mouvement absolu
Xe : mouvement d'entraînement
(
Xr : mouvement relatif
a)
Figure 4.1-a : Décomposition du mouvement des structures
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Ainsi, X = X + X
a
r
e
·
Xa est le vecteur des déplacements dans le repère absolu,
·
Xr est le vecteur des déplacements relatifs, c'est-à-dire le vecteur des déplacements de la
structure par rapport à la déformée qu'elle aurait sous l'action statique des déplacements
imposés au niveau des supports Xs . Xr est donc nul aux points d'ancrage,
·
Xe est le vecteur des déplacements d'entraînement de la structure produit statiquement par
le déplacement imposé des supports Xs : X = X
e
s ,
·
est la matrice des modes statiques. Les modes statiques représentent la réponse de la
structure à un déplacement unitaire imposé à chaque degré de liberté de liaison (les autres
étant bloqués), en l'absence de forces extérieures. Ainsi, K = 0 , c'est-à-dire, K Xe = 0 .
Dans le cas du mono-appui (tous les appuis subissent le même mouvement imposé), est
un mode de corps rigide.
Hypothèse dans le Code_Aster :
On suppose que l'amortissement dissipé par la structure est de type visqueux c'est-à-dire que la
force d'amortissement est proportionnelle à la vitesse relative de la structure. Ainsi, CX
" e = 0.
L'équation fondamentale de la dynamique dans le repère relatif s'écrit alors :
MX
" + CX
r
" + KX = -M X
r
r
" s
L'opérateur CALC_CHAR_SEISME [U4.63.01] calcule le terme - M , ou plus exactement - M d
,
où d est un vecteur unitaire tel que X = d
s
.f(t) avec f une fonction scalaire du temps.
On distingue deux types de chargements sismiques introduits dans le Code_Aster grâce à l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME :
1) Le chargement de type MONO_APPUI, pour lequel est la matrice identité (les modes
statiques sont des modes de corps rigide),
2) Le chargement de type MULTI_APPUI, pour lequel est quelconque.
D'après la méthode de prise en compte du champ incident avec les éléments paraxiaux présentée
dans la première partie, il nous faut connaître sur la frontière le déplacement et les contraintes dus au
champ incident. Pour le chargement de type MULTI_APPUI, seul le déplacement est directement
accessible à tout instant. Il semble donc difficile de permettre l'utilisation d'un tel mode de chargement
avec des éléments paraxiaux dans le sol. D'ailleurs, si un tel chargement modélise les déplacements
imposés des appuis, il ne requiert pas une modélisation du sol puisque toute l'influence est prise en
compte par ces déplacements.
Le cas MONO_APPUI peut être perçu différemment. Il représente une accélération d'ensemble
appliquée au modèle. Dès lors, la propagation d'onde dans le sol peut avoir un rôle à jouer dans le
comportement de la structure, puisque les mouvements de l'interface sol-structure ne sont pas
imposés. De plus, les éléments paraxiaux sont utilisables avec ce type de chargement car il ne crée
pas de contraintes à la frontière du maillage (un mode de corps rigide ne crée pas de déformations).
Dès lors, on dispose de toutes les données nécessaires au calcul de l'impédance absorbante sur la
frontière.
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Remarque 1 :
Dans le cas d'une sollicitation sismique MONO_APPUI, le calcul dynamique se fait dans le
repère relatif. Si on revient sur le terme à discrétiser sur les éléments paraxiaux (voir première
partie), on remarque que ui correspond exactement au déplacement d'entraînement Xe
présenté plus haut. Ainsi, u - ui correspond au déplacement relatif calculé pendant le calcul.
Dès lors, la relation à prendre en compte sur les éléments paraxiaux dans une telle
configuration est simplement :
u
t(u) = A0
t
Remarque 2 :
Dans le cas d'un calcul d'interaction sol-fluide-structure avec fluide infini, la pression à prendre
en compte pour le calcul de l'impédance anéchoïque dans le fluide est bien la pression
absolue, si on n'a pas de champ incident dans le fluide (ce qui est souvent le cas). La
correction que l'on pouvait se dispenser de faire pour le sol doit alors être faite pour les
éléments paraxiaux fluides.
4.2
Implémentation des éléments en transitoire et en harmonique
4.2.1 Implémentation en transitoire
Le mode d'implémentation des éléments paraxiaux élastiques en transitoire est très voisin de celui
présenté pour les éléments fluides. La différence vient essentiellement de la nécessité de décomposer
le déplacement en une composante selon la normale à l'élément, correspondant à une onde P, et une
composante dans le plan de l'élément, correspondant à une onde S. On est alors à même de
discrétiser la relation d'impédance introduite dans la première partie :
u
/
3
u
t (u) = Cp
+ C
t
s t
On ne revient pas sur le schéma d'intégration temporelle que l'on a déjà décrit dans la partie
précédente, sachant qu'on considère toujours la relation d'impédance de façon explicite par une
correction du second membre.
4.2.2 Implémentation en harmonique
Les éléments acoustiques fluides du Code_Aster proposent déjà la possibilité de prendre en compte
une impédance imposée à la frontière du maillage en harmonique. Cela correspond au traitement d'un
terme en 3 dans les équations, comme cité plus haut. Il est tentant d'introduire la possibilité
d'imposer une impédance absorbante pour un problème élastique en harmonique.
Pour un calcul de réponse harmonique d'une structure infinie, la prise en compte de l'impédance
absorbante comme une correction du second membre n'est évidemment pas applicable. Cependant, la
relation d'impédance à l'ordre 0 exprime les termes surfaciques en fonction de la vitesse des noeuds
de l'élément. On peut donc construire une pseudo-matrice d'amortissement visqueux traduisant la
présence du domaine infini.
La décomposition de la relation d'impédance selon les composantes normale ou tangentielle du
déplacement sur l'élément nous contraint à construire la matrice d'impédance dans un repère local sur
l'élément. On définit ce repère local dans la routine élémentaire ainsi que la matrice de passage qui
permet le retour à la base globale.
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Remarque :
Dans le cas des éléments paraxiaux élastiques d'ordre 0, créer une matrice d'amortissement
aurait pu nous permettre de résoudre le problème en transitoire sans altérer la stabilité du
schéma de Newmark, contrairement à la prise en compte explicite que nous avons retenue.
Cependant, nous avons montré les problèmes que cela créait pour les éléments fluides et
nous avons souhaité garder l'homogénéité des modes d'implémentation. De plus, le traitement
des éléments d'ordre 1 rendant la voie explicite obligatoire, le tout semble cohérent. Cela
permet également de prendre en compte à la fois un domaine infini avec des éléments
paraxiaux et un amortissement de type amortissement modal pour la structure.
4.3
Mode de chargement sismique par onde plane
En complément des méthodes de prise en compte du chargement sismique déjà disponible et en
raison de l'inadéquation du mode MULTI_APPUI avec les éléments paraxiaux, il semble intéressant
d'introduire un principe de chargement par onde plane. Cela correspond aux chargements
classiquement rencontrés lors des calculs d'interaction sol-structure par les équations intégrales.
4.3.1 Caractérisation d'une onde plane en transitoire
En harmonique, une onde plane élastique est caractérisée par sa direction, sa pulsation et son type
(onde P pour les ondes de compression, ondes SV ou SH pour les ondes de cisaillement). En
transitoire, la donnée de la pulsation, correspondant à une onde stationnaire en temps, doit être
remplacée par la donnée d'un profil de déplacement dont on va prendre en compte la propagation au
cours du temps dans la direction de l'onde.
Plus précisément, on va considérer une onde plane sous la forme :
(
u x,t) = f (k.x - C tp)k pour une onde P (avec k unitaire)
u(x,t) = f (k.x - C ts)k pour une onde S (avec toujours k unitaire)
f représente alors le profil de l'onde donné selon la direction k .
O
Front d'onde « principal »
k
correspondant à l'origine
du profil
H
Fonction f
H est la distance de l'origine au front d'onde principal. Pour initialiser le calcul, il faut donner la distance
H0 qui sépare le front d'onde principal de l'origine à l'instant 0.
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4.3.2 Données utilisateur pour le chargement par onde plane
Conformément à la théorie exposée en première partie, il nous faut calculer la contrainte à la frontière
du maillage due à l'onde incidente et le terme d'impédance correspondant au déplacement incident,
soit :
u
t(u
i
i ) et A0
t
Pour exprimer les contraintes, il nous faut disposer des déformations dues à l'onde incidente, la loi de
comportement du matériau nous permettant de passer des unes aux autres.
Sur les éléments de frontière, on peut exprimer le tenseur des déformations linéarisées en chaque
noeud par la formule classique :
1
(x t) = [u(x t) t
,
, + u(x,t)]
2
Finalement, pour estimer les contraintes dues au champ incident, il nous faut donc déterminer les
(ui )j
dérivées
pour j et k parcourant les trois directions de l'espace. On obtient ces quantités à
xk
partir de la définition de l'onde plane incidente :
(ui ) j = kk f(k.x-Cmt)k
j avec m = S ou P
xk
u
En ce qui concerne le terme d'impédance, il nous faut
i
. On l'obtient également à partir de l'onde
t
plane : ui = mCf(k.x- mCt)
k toujours avec m = S ou P
t
On voit alors que la fonction importante pour un chargement par onde plane avec des éléments
paraxiaux d'ordre 0 n'est pas le profil de l'onde f , mais sa dérivée f' . C'est donc cette fonction que
l'utilisateur doit entrer comme donnée du calcul.
On peut dès lors récapituler les paramètres à entrer pour la définition d'un chargement par onde plane
en transitoire :
Type de l'onde
: P, SV ou SH
Direction de l'onde
: kx, ky, kz
Distance du front d'onde principal à
l'origine à l'instant initial
: H0
Dérivée du profil de l'onde
: f'(x) pour x ]- ,+ [
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4.4
Utilisation dans le Code_Aster
La prise en compte d'éléments élastiques absorbants et le calcul de leur impédance nécessite une
modélisation spécifique sur les frontières absorbantes :
· en 2D avec la modélisation 'D_PLAN_ABSO' sur les éléments finis de type MEPASEn (n=2
ou 3) sur les arêtes absorbantes à n noeuds.
· en 3D avec la modélisation '3D_ABSO' sur les éléments finis de type MEAB_FACEn (n=3, 4,
6, 8 ou 9) sur les faces absorbantes à n noeuds.
En analyse harmonique avec l'opérateur DYNA_LINE_HARM [U4.53.11], on calcule au préalable un
amortissement mécanique par l'option AMOR_MECA de l'opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.61.01] et on
le renseigne dans DYNA_LINE_HARM (mot clé MATR_AMOR).
En analyse transitoire, la prise en compte de la force correctrice due aux termes d'impédance est
automatique avec les modélisations d'éléments absorbants dans les opérateurs DYNA_LINE_TRAN
[U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01].
5 Bibliographie
[1]
J. M. CREPEL, " Modélisation tridimensionnelle de l'interaction sol-structure par des éléments
finis et infinis.", Thèse docteur-ingénieur, Ecole Centrale de Paris (1983))
[2]
M. COHEN, P. C. JENNINGS, "Silent boundary methods for acoustic and elastic wave
equations.", S. S. A. (1977.
[3]
H. MODARESSI, " Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieux
poreux élastiques.", Thèse docteur-ingénieur, Ecole Centrale de Paris (1987.
[4]
D. CLOUTEAU, A. S. BONNET-BEN DHIA, " Propagation d'ondes dans les solides.", Cours
de l'Ecole Centrale de Paris
[5]
B. ENGQUIST, A. MAJDA, " Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of
waves.", Mathematics of Computation (1977)
[6]
Fe. WAECKEL, " Eléments vibro-acoustiques.", Document de référence. Code_Aster
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