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Version
7.2
Titre :
Loi de comportement de Barenblatt et pilotage
Date :
12/03/04
Auteur(s) :
J. LAVERNE Clé
:
R7.02.11-B Page
: 1/8
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R7.02 : Mécanique de la rupture
Document : R7.02.11
Loi de comportement de Barenblatt
Résumé :
La loi de comportement de Barenblatt est une loi d'interface permettant de modéliser l'ouverture d'une fissure
en tenant compte d'une force de cohésion entre les lèvres de celle-ci. Une énergie de surface permet de
prendre en compte le coût énergétique de l'ouverture de la fissure. Cette dernière sera représentée par des
éléments finis de type joint. Une énergie de pénalisation permettra de prendre en compte la condition de non
interpénétration des lèvres de la fissure.
Nous présentons ici la forme de l'énergie et de la contrainte qui en dérive en fonction du saut de déplacement
ainsi que les variables internes. L'existence d'instabilité nécessite un pilotage par la prédiction élastique dont on
détaillera les éléments spécifiques à cette loi.
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:
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Table
des
matières
1 Loi de comportement Barenblatt............................................................................................................3
1.1 Energie de surface...........................................................................................................................3
1.2 Contrainte dans l'élément de joint ...................................................................................................5
1.3 Variables internes ............................................................................................................................6
2 Pilotage ..................................................................................................................................................7
3 Mots clés................................................................................................................................................8
4 Bibliographie ..........................................................................................................................................8
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1
Loi de comportement Barenblatt
Pour lever le problème de contraintes infinies sur le front de fissure Barenblatt introduit des forces de
cohésion entre les lèvres de la fissure. Ce sont des forces attractives s'exerçant entre les particules de
part et d'autre du plan de séparation de la fissure.
On considère que l'ouverture de la fissure coûte une énergie définie sur la surface de discontinuité de
la fissure. On l'appelle énergie de surface. Le problème est résolu en minimisant la somme de cette
énergie et de l'énergie élastique.
La surface de discontinuité est modélisée par un élément fini de joint (doc [R3.06.09]) seul élément du
code supportant cette loi de comportement.
La condition de non interpénétration des lèvres de la fissure est prise en compte par une méthode de
pénalisation.
Pour conserver un traitement local des conditions d'ouverture, on a effectué une régularisation de
l'énergie de surface pour des sauts proches de zéro. Pour ce faire on a introduit un petit paramètre
(mot clé : SAUT_C) définissant l'ampleur de ces « petits » sauts.
1.1
Energie de surface
Sur la surface de discontinuité () modélisée par des éléments de type joint (QUAD4)
(voir doc [R3.06.09]) on définit une énergie de surface Es dépendant de la norme du saut de
déplacement.
E = ( U ) d + I + u
S
[ ]
([ ]n)
R
Le premier terme correspond à l'énergie nécessaire pour l'ouverture de la fissure, le second est une
énergie de pénalisation qui va permettre de prendre en compte la condition de non interpénétration
des lèvres de la fissure.
+ si u < 0
On définit la fonction :
n
I
u
+
[( ]
n )
[ ]
=
R
0
si [u] 0
n
Autrement dit, vouloir imposer l'interpénétration des lèvres va coûter une énergie infinie. Dans la
pratique, on approchera cette fonction par une fonction continue qui tend rapidement vers l'infini
quand le saut normal devient négatif :
1
2
I
u
~
C u
d
.
+ ([ ]
avec C coefficient de pénalisation et
partie négative.
n )
[ ]
R
n -
2
-
Remarque :
C est ajustée à partir du saut critique SAUT_C entré par l'utilisateur, c'est le même coefficient
que celui pris pour la régularisation : cf. pente de la contrainte en 0+.
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2
De plus on pose [U ] =
[u] + u de façon à ce qu'un saut normal négatif n'influence pas
n
[ ]2t
+
l'énergie de surface et ne fasse pas évoluer le seuil du critère.
On définit l'énergie de surface en fonction des cas de figure :
·
Si [U ] [SAUT_C , + [ et [u] 0 :
n
- C U
E = ( U )
avec ( [U]
[ ]
C
G
) =G 1- e
S
[ ] d
C
G
c est le taux de restitution d'énergie critique et
c la contrainte critique à l'origine.
K ayant les propriétés suivantes (choix effectué à partir de l'article [F&M]) :
K
GC
[ ]
G
U
C
(0) = 0
concave
SAUT_C
[U]
·
Si [U ] [0 , SAUT_C [ et [u] 0 :
n
E = ( U )
avec K continue et dérivable en
K' 0 = :
S
[ ] d
SAUT_C et tel que
( ) 0
1
2
~
~
( [U] ) = C [U ] + C
avec C constante
2
G
K
C
SAUT_C
[U]
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·
Si [u] < 0 et [u] = 0 :
n
t
1
2
Energie de pénalisation : E =
C
S
[u]
d
n -
2
K
GC
[u]n
1.2
Contrainte dans l'élément de joint
La contrainte dans l'élément de joint dérive de l'énergie de surface. Elle est donnée par :
u
n
[
]
n
=
=
t
[
u]
t
·
Si [U ] [SAUT_C , + [ et [u] 0 :
n
[
u] - c [u]
n
c
G
e
c [u]
=
c
[u]
- c [u]
t
G
e
c [
c
u]
SAUT_C
[ ]
U
·
Si [U ] [0 , SAUT_C [ et [u] 0 :
n
c
_
c
u e
c [ ]
-
SAUT C
G
c
=
n
c
_
c
u e
c [ ]
-
SAUT C
G
t
SAUT_C
[ ]
U
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·
Si [u] < 0 et [u] = 0 :
n
t
n
C[u]n
=
c
0
SAUT_C
[ ]
u n
Remarque :
La régularisation de l'énergie en zéro permet de définir une contrainte dans l'élément pour un
saut nul. Physiquement cela revient à dire que dès que la contrainte dans l'élément de joint
va augmenter, un petit saut va apparaître. Le comportement de type Barenblatt ne
s'effectuera que lorsque la norme du saut dans l'élément dépassera SAUT_C, avant le joint se
comporte comme un ressort.
1.3 Variables
internes
La loi de comportement Barenblatt à été implémenté avec trois variables internes.
La première 1
v est utilisée pour le pilotage et pour les décharges, c'est un seuil qui correspond au
plus grand saut (en norme) jamais atteint (voir : [§2] Pilotage) .
La seconde v2 permet de savoir si l'élément est en régime élastique ( [U] < SAUT_C) ou adoucissant
( [U] > SAUT_C).
La troisième correspond au pourcentage d'énergie de surface dissipée au cours du chargement :
c
v
1 exp
v
3 =
-
-
1
Gc
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2 Pilotage
Le pilotage recommandé avec la loi de comportement Barenblatt est de type PRED_ELAS [R5.03.80], il
permet de suivre des solutions dissipatives présentant des instabilités.
La mise en oeuvre de cette technique de pilotage requiert la résolution de l'équation locale suivante :
F U + U
- +
=
+ +
éq
2-1
el
[ 0] [ 1] ( n SAUT _C)
(l
n
SAUT _ C)
c
avec inconnue que l'on obtient par la résolution d'une équation du second degré, lc longueur
caractéristique du modèle, et n
seuil qui va permettre de garder en mémoire la norme du saut à
l'instant précédent (stocké dans la variable interne No 1 de la loi de comportement Barenblatt).
Le seuil évolue comme suit :
+
Si [U]n 1 + SAUT _ C alors
+
= -
Sinon
+
= [U]n 1
+ - SAUT _ C
Le pilotage impose en définitive que le saut de déplacement continue à s'accroître quelque part le long
de la fissure potentielle.
La mise en oeuvre de ce pilotage permet de suivre des branches d'équilibre instables de la courbe
globale force / déplacements imposés (voir [Figure 2-a]).
Figure 2-a : Courbe globale Force / Déplacements imposés avec branche instable
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3 Mots
clés
La loi de comportement Barenblatt est utilisée dans STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE avec le mot
clé BARENBLATT. Cette loi de comportement est utilisable sur des éléments de joint avec la
modélisation PLAN_FISSURE et AXIS_FISSURE.
Deux paramètres sont à saisir dans DEFI_MATERIAU :
SIGM_C : contrainte critique
SAUT_C : petit paramètre de régularisation
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
BARENBLATT
DYNA_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
BARENBLATT
AFFE_MODELE MODELISATION PLAN_FISSURE
AXIS_FISSURE
DEFI_MATERIAU RUPT_FRAG
SIGM_C
SAUT_C
Cette loi de comportement a été validée par le cas test SSNP118 (voir doc [V6.03.118]).
4 Bibliographie
[1]
M. CHARLOTTE, J.J. MARIGO , G. FRANCFORT , L. TRUSKINOVSKY : "Revisiting brittle
fracture as an energy minimization problem : Comparisons of Griffith and Barenblatt surface
energy models", Symposium on continuous damage and fracture.
[2]
J. LAVERNE, E. LORENTZ, J.J. MARIGO : "Un modèle de rupture avec énergie de
Barenblatt : considérations théoriques et implantations numériques. 16ème Congrès Français
de Mécanique, Nice 1-5 septembre 2003.
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