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Fascicule R7.10 : Traitements statistiques
Document : R7.10.01

Dépouillement des réponses aléatoires
Résumé :
L'introduction d'une "approche stochastique du calcul sismique" pour résoudre un problème de mécanique
vibratoire sous excitation aléatoire nécessite un post-traitement particulier.
La commande POST_DYNA_ALEA [U4.76.02] permet, à partir de la densité spectrale de puissance d'un
interspectre-réponse, d'évaluer son écart-type, sa fréquence apparente, la distribution de ses pics. Elle permet
également, dans une première approche, de calculer la fonction de Vanmarcke utile dans le cas d'une analyse
sismique.
NB :
Cette commande permet également d'effectuer les estimations statistiques pour tout type d'interspectre
de réponse à une excitation aléatoire non nécessairement sismique (par exemple : effet de la houle ou
d'un écoulement turbulent).

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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Spectre - Interspectre - Matrice Interspectrale....................................................................................... 3
2.1 Traitement du signal - Conventions retenues.................................................................................. 3
2.1.1 Introduction............................................................................................................................. 3
2.1.2 Transformation de Fourier...................................................................................................... 4
2.2 Notion de Puissance - Densité Spectrale de Puissance ................................................................. 4
2.2.1 Puissance d'un signal - Spectre de Puissance d'un signal .................................................... 4
2.2.2 Puissance d'interaction - Densité spectrale d'interaction de deux signaux - Interspectre ..... 5
2.2.3 Matrice interspectrale ............................................................................................................. 5
2.3 Implantation dans Aster................................................................................................................... 5
3 Rappels sur les lois statistiques [bib4] ................................................................................................... 6
3.1 Définitions........................................................................................................................................ 6
3.2 Hypothèses en dynamique aléatoire ............................................................................................... 6
3.2.1 Processus stationnaires à moyenne nulle - variance............................................................. 7
3.2.2 Ergodicité ............................................................................................................................... 7
3.3 Densité spectrale de puissance ...................................................................................................... 7
3.4 Moments spectraux ......................................................................................................................... 8
4 Les mesures de dépassement de seuil et la fiabilité ............................................................................. 8
4.1 Moments spectraux et paramètres caractéristiques ....................................................................... 8
4.1.1 Formules de Rice ................................................................................................................... 9
4.2 Distributions des pics positifs ........................................................................................................ 10
4.2.1 Signal à large bande : loi de Gauss ou loi normale.............................................................. 11
4.2.2 Signal à bande étroite : loi de Rayleigh ................................................................................ 11
4.2.3 Calcul des valeurs dans le Code_Aster ............................................................................... 12
4.3 Réponse sismique : loi de Vanmarcke [bib8] ................................................................................ 12
4.3.1 Hypothèse des franchissements indépendants ................................................................... 12
4.3.2 Loi de Vanmarcke ................................................................................................................ 13
4.3.3 Implantation dans le Code_Aster ......................................................................................... 14
5 Remarques .......................................................................................................................................... 15
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 15
Annexe 1 Conventions pour les Densités Spectrales de Puissance ...................................................... 16
Annexe 2 Transformation de Hilbert ....................................................................................................... 20
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1 Introduction
Pour une structure soumise à une excitation aléatoire de type houle, écoulement turbulent, ou
séisme... le chargement n'est pas connu de manière déterministe, mais est le plus souvent décrit par
des informations probabilistes ou spectrales comme la densité spectrale de puissance. Pour les
structures linéaires il est possible d'utiliser une méthode de calcul stochastique qui permet de
déterminer les densités spectrales de puissance de réponse à ces excitations aléatoires.
L'opérateur POST_DYNA_ALEA a pour fonction d'effectuer les analyses statistiques de la densité
spectrale de puissance de réponse. Il fournit donc les informations probabilistes de la réponse de la
structure. Les calculs de paramètres statistiques sont effectués sur la base du calcul des moments
spectraux de la densité spectrale de puissance considérée.
Ces paramètres statistiques sont : l'écart-type, la fréquence apparente, la distribution des pics. Il est
également possible dans l'opérateur de calculer, dans une première approche, la fonction de
VANMARCKE utile dans le cas d'une analyse sismique.
Remarque :
L'opérateur POST_DYNA_ALEA, conçu initialement pour l'approche sismique, après un calcul avec
l'opérateur DYNA_ALEA_MODAL [U4.56.06] ([bib1], [bib2]), peut aussi effectuer les post-traitements
de l'opérateur DYNA_SPEC_MODAL développé par le département TTA dans le cadre de la
résorption de FLUSTRU. Cet opérateur effectue le calcul de la réponse d'une structure de type
tube GV uniformément excitée par un écoulement transverse.

2
Spectre - Interspectre - Matrice Interspectrale
2.1
Traitement du signal - Conventions retenues
2.1.1 Introduction
Un signal peut avoir deux représentations : une représentation temporelle de la forme x = f(t) ou une
représentation fréquentielle de la forme X = (
F f ) . Ces deux représentations sont reliées entre elles
par la Transformation de Fourier.
Il existe dans le domaine numérique et dans le domaine expérimental différentes manières de calculer
les grandeurs spectrales relatives à un signal temporel x(t) (représentation dimensionnelle ou non,
facteur 1/2 ou non pour la Transformation de FOURIER).
Or, si les différentes définitions de la DSP (cf. [§2.2.2] et [Annexe1]) à partir de la Transformation de
Fourier du signal ne changent rien au calcul effectué par CALC_INTE_SPEC [U4.56.03], il importe en
revanche, dans les calculs effectués par l'opérateur de post-traitement POST_DYNA_ALEA, que les
données soient cohérentes pour que les résultats produits par cet opérateur soient à la dimension
physique du signal de départ.
Il est également nécessaire de savoir, pour une comparaison quantitative entre calcul et expérience,
quelles sont les conventions adoptées pour le calcul des quantités spectrales. L'ensemble de ces
conventions est rappelé dans [Annexe1] pour chaque type de signaux. Nous ne redonnons ici que les
formules générales.
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2.1.2 Transformation de Fourier
Pour la Transformation de FOURIER en fréquence ( f ) d'un signal (d'unité u), exprimée en u/Hz
+
nous adoptons la définition suivante : (
X f )
(
x t) e i ft
=
-
dt

2
-
+
La transformation inverse s'exprime alors par : (
x t)
(
X f ) e 2i ft
=
+
df
-
On peut aussi exprimer la Transformation de Fourier en pulsation ( = 2 f ) , par la définition
suivante :
+
1
X p ()
(
x ) e i t
t

=
-
dt

2
-
+
La transformation inverse s'exprime par : (
x t)
X p ( ) e it
=
+
d


-
1
Ce qui mène à l'équivalence : X p () = X p (2 f ) =
(
X f )

2
2.2
Notion de Puissance - Densité Spectrale de Puissance
2.2.1 Puissance d'un signal - Spectre de Puissance d'un signal
Tout comme le signal lui-même, la puissance du signal peut être exprimée en fonction du temps ou de
la fréquence :
· la puissance temporelle instantanée est simplement appelée puissance :
(
p t) = (
x t). x*(t)
où x* (t) est la quantité complexe conjuguée de (
x t) .
· la puissance fréquentielle est communément appelée densité spectrale de puissance ou
spectre :
2
S ( ) = (
X ).X*( ) = (
X
xx f
f
f
f )
Cette définition n'est possible que lorsque la transformée de Fourier du signal existe.
+
+
2
On peut alors exprimer l'énergie totale du signal par E = S ( f ) df = (
X f ) df
xx
-
-
L'expression de cette DSP pour les différents types de signaux est donnée en [Annexe1]. On verra
ultérieurement [§3.3] une autre définition - équivalente d'après le théorème de Wiener-Kinchine - mais
plus générale, de la densité spectrale de puissance basée sur l'approche statistique.
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2.2.2 Puissance d'interaction - Densité spectrale d'interaction de deux signaux -
Interspectre
· On définit aussi la puissance instantanée d'interaction de deux signaux x(t) et y(t) :
pxy (t) = (
x t).y*(t) et pyx (t) = x*(t) (
.y t)
reliées par pxy (t) = p *
yx (t)
· Si les deux signaux admettent une transformée de Fourier (
X f ) et (
Y f ) , on peut exprimer
la puissance fréquentielle d'interaction ou interspectre par S
( ) = (
X ).Y*
XY f
f
(f )
· Si
les
deux signaux sont réels alors la puissance d'interaction p (t) = p (t) = (
x t).
xy
yx
y(t)
est réelle. Mais il n'y a aucune raison pour que S XY ( f ) soit aussi réelle ; en revanche
S XY ( f ) est complexe à symétrie hermitienne, à savoir :
partie réelle paire et partie imaginaire impaire ou module pair et phase impaire
· Si (
X f )= (
Y f ), on parle alors d'autospectre.
2.2.3 Matrice
interspectrale
Une matrice interspectrale d'ordre N est une matrice N, N complexe, dont chaque terme dépend de
la fréquence sous la forme d'une fonction de f . Les termes diagonaux sont les autospectres, les
termes extra-diagonaux sont les interspectres entre les points considérés (chaque ligne ou colonne
représentant un point en maillage physique ou un mode en calcul modal). Les interspectres manipulés
N(N+ )
1
en pratique étant hermitiens, seuls les
termes de la triangulaire supérieure (ou inférieure)
2
sont suffisants pour définir complètement la matrice interspectrale.
2.3 Implantation
dans
Aster
Les matrices interspectrales manipulées par l'opérateur POST_DYNA_ALEA sont constituées de
fonctions complexes de la fréquence : S XY ( f ).
Ces matrices sont stockées dans des tables de concept tabl_intsp.
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3
Rappels sur les lois statistiques [bib4]
3.1 Définitions
t paramètre discret (tn)
ou continu (le temps ou une variable d'espace).
n 1
= ,N
X (t) processus aléatoire.
A chaque instant tn est associée une variable aléatoire Xn , variable aléatoire de réalisation xn .
Alors (
x t) = (x = x(t
n
n )
est une réalisation du processus (
X t) , processus constitué de N
n 1
= ,N
variables aléatoires a priori indépendantes.
Chaque variable Xn est caractérisée par sa fonction de répartition F (x,t ) = Prob
n
n
(Xn x) ou
F
par sa densité de probabilité (
p x,t )
n
=
(x,t
n
n )

.
x
Le processus aléatoire est aussi caractérisé par ses fonctions moments, les deux premiers moments
ont une importance particulière. Il s'agit de l'espérance mathématique ou moyenne µ(t) notée
aussi E[ (
X t)] et pour tout couple (t ,t
1 2 ) de la fonction d'autocorrélation R(t , t
1 2 ) ou
R
(t ,t
E[X t X t
1
2 ]
XX 1 2 ) notée aussi
( ) ( ) .
µ(t) = [
E (
X t)] = x
(px,t) dx
R
(t ,t
1 2 ) = [
E (
X t1) (
X t2 )] =
x x

p
1 2
(x , t ; x , t
1
1
2
2 ) dx dx
XX
1
2
On définit aussi une fonction d'intercorrélation pour deux processus X (t) et Y(t) .
R XY (t ,t ) = [
E (
X t ) (
Y t )] = x y

(px , t ; y ,
1
2
t ) dx dy
1 2
1 2
1
1
2
2
1
2
L'"étalement" du processus est caractérisé par la variance :
2 ( ) = E ( (
X ) - µ( )
[
)2
t
t
t
]
Pour un processus à moyenne nulle (µ = 0.), la variance qui caractérise alors l'"intensité du
phénomène" (carré de l'écart type ou valeur quadratique moyenne) est égale à la fonction
d'autocorrélation au temps t = t1 = t2 :
2 ( ) = E[ (
X ) (
X )] = R
( )
2
t
t
t
t,t = x
p(x,t)dx
XX
3.2
Hypothèses en dynamique aléatoire
Très classiquement plusieurs hypothèses sont posées dans le cadre de la dynamique aléatoire. On
admet ainsi que les processus étudiés sont stationnaires, à moyenne nulle et ergodiques.
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3.2.1 Processus stationnaires à moyenne nulle - variance
Un processus est dit stationnaire si l'ensemble de ses "caractéristiques probabilistes" est invariant
lors d'une translation t0 du paramètre t. Ce qui implique :
µ(t) = Cte
R
(t ,t )= R (t -t
XX
XX
)= RXX () = R
1 2
2
1
XX (- )
Pour un processus à moyenne nulle 2 = R XX ( )
0 .
3.2.2 Ergodicité
Cette notion provient d'un raisonnement de Gibbs (1839-1903) pour lequel le temps d'observation d'un
phénomène physique peut être considéré comme infini devant l'échelle de temps au niveau
moléculaire. Le système passe alors par tous les états possibles en restant le plus longtemps possible,
ou en passant le plus souvent, dans les états qui sont le plus probables, de telle sorte que la moyenne
temporelle
devient égale à la moyenne statistique sur les états, c'est-à-dire l'espérance
mathématique. Ceci se prolonge pour les fonctions de corrélation et d'intercorrélation.
+T/
1
2
µ = lim
(
x t) dt
T
T+
-T/2
+T/
1
2
R XX( ) = lim
(
x t - ) (
x t)dt
T
T+
-T/2
Remarque :
Pour la suite du document on supposera que le processus aléatoire est stationnaire à moyenne
nulle et ergodique. L'ensemble des développements effectués dans le Code_Aster vérifie ces
hypothèses.

3.3
Densité spectrale de puissance
Dans le cadre de cette approche statistique, on peut donner une définition très générale de la densité
spectrale de puissance
ou DSP. On retiendra pour le Code_Aster les définitions suivantes exprimées
en fréquence ou en pulsation :
+
+
S
-2i f

-2if
XX ( f ) = R XX ( )e
d
; GXX( f ) = R XX ()e
d
-
.
0
+
+
1
1
Sp
-i
p
-i
XX ( ) =
;

2
RXX ()e d
G XX ( ) = 2 R XX ()e
d


-
.
0
1
GpXX () =
GXX( f )
qui conduisent aux relations suivantes :
2
S
f = 2
p
p
XX ( )
GXX( f ) SXX() = 2 G XX()
On peut démontrer que GXX ( f ), qui est égale à la Transformation de Fourier de R XX (t) , est réelle,
positive. On se reportera à [Annexe1] qui contient toutes les conventions adoptées pour assurer la
cohérence des résultats.
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3.4 Moments
spectraux
On appelle moments spectraux les quantités suivantes (que l'on a définies en pulsation ) :
+
+

i
p
i
i =

S XX ()
d =

SXX (f ) df
-
-
On a en particulier :
2
2
2
0 =
2 =

! !
XX
4 = !X !X qui sont les écarts type de X et de ses
premières dérivées.
Ces moments sont systématiquement calculés jusqu'à l'ordre 4 ; à l'aide du mot-clé MOMENT il est
possible de demander le calcul des modes supérieurs. Dans le Code_Aster, le calcul est effectué pour
une DSP exprimée en fonction de la fréquence f .
Le Code_Aster calcule les moments spectraux sur la base du domaine de définition des fonctions
telles qu'elles lui sont fournies.
4
Les mesures de dépassement de seuil et la fiabilité
Les méthodes classiques ne permettent d'accéder qu'au maximum du déplacement (ou de
l'accélération) par sommation "adaptée" des maximums sur chaque mode. L'intérêt essentiel de
l'approche stochastique du calcul vibratoire aléatoire réside dans la connaissance statistique de la
réponse de la structure qui peut donc être convertie en une information statistique de la fiabilité. A ce
titre, deux modes de ruine peuvent être pris en considération :
· la ruine par dépassement de seuil : ce type de ruine survient lorsque la réponse du système
dépasse une valeur limite. Cela revient à chercher la probabilité que les valeurs du processus
restent en dessous d'une valeur extrême (peak factor ou facteur de pics) durant la durée
d'observation T.
· la ruine par fatigue ou accumulation de dommages.
Cette seconde approche pourra aussi être traitée à partir des premiers éléments statistiques calculés
dans POST_DYNA_ALEA. Elle est réalisée dans la commande POST_FATI_ALEA [U4.67.05]
[R7.04.02].
Dans le cadre des études sous excitations sismiques, nous nous intéressons essentiellement au
problème de dépassement de seuil. D'où dans un premier temps le calcul d'un certain nombre de
paramètres statistiques qui permettent de caractériser le signal à étudier (moments spectraux et
formules de Rice [§4.1]), munis de ces caractéristiques nous pourrons alors estimer les probabilités de
dépassement de seuil à l'aide de modèles classiques de probabilité [§4.2], ainsi qu'un critère de
fiabilité (loi de Vanmarcke [§4.3]).
4.1
Moments spectraux et paramètres caractéristiques
+
Les moments spectraux sont définis par :
i
i =

SXX (f ) df
-
L'ensemble infini de ces moments spectraux caractérisent parfaitement l'interspectre et permettent
ainsi d'établir un certain nombre de résultats numériques. Dans le cas particulier d'un oscillateur à 1
ddl ou d'un signal à un seul pic, les trois premiers moments spectraux suffisent à retrouver
l'autospectre S XX . C'est le cas que nous retenons dans le Code_Aster puisqu'il est supposé que les
valeurs sont distribuées suivant une loi de GAUSS.
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4.1.1 Formules de Rice
Pour un signal aléatoire tel que défini précédemment : stationnaire à moyenne nulle (centré) et
ergodique, on suppose de plus que les valeurs mesurées sont distribuées selon une loi normale profil
de type Gauss
(cf. [§4.2.1]).
L'analyse d'un chargement aléatoire gaussien stationnaire présente l'avantage de conduire à des
expressions analytiques simples [bib8] - connues sous le nom de formules de Rice - et de représenter
de nombreux phénomènes réels.
Les paramètres statistiques suivants sont obtenus à partir des différents moments spectraux reliés aux
différentes dérivées de X (cf. [§3.4]) :
· Ecart-type
:
X = 0
Remarque :
Si seule la partie positive du spectre est fournie, le Code_Aster multiplie par 2 le 1er moment
spectral
X = 20 .
Un extremum (maximum ou minimum) d'amplitude X est défini par la probabilité d'avoir une dérivée
nulle !
X = 0 associée à une dérivée seconde !X quelconque.
1
1 4
·
!

Nombre moyen d'extrema par seconde : N
X
e =
=


X!
2
Le dépassement d'un niveau X0 est défini par la probabilité d'avoir X = X0 avec une pente !X
quelconque : on compte donc les passages de ce niveau avec les pentes positives et négatives.
Compte tenu des hypothèses de lois gaussiennes, le nombre de passage par X0 et par seconde
2
X0
1
-

2
!
s'exprime par : N
X
=
e 2X
X0
X
Ce qui conduit aux expressions suivantes :
1
· Nombre de dépassements de niveau avec pente positive par seconde : N + = N
X
X
0
0
2
1
1 2
·
!

Nombre de passages par zéro ( X 0 = 0) par seconde : N
X
0 =
=
X 0
· Nombre de passages par zéro avec pente positive par seconde :
1
1
2
N + = N
0
0 =
2
2 0
N +
0 représente une fréquence statistique moyenne de passage par zéro avec pente positive.
Dans le cas d'un signal "simple", c'est-à-dire avec un seul pic, N +
0 , nombre de passages par zéro
peut être assimilé à une fréquence apparente aussi notée fe . Dans le cas beaucoup plus général
d'un signal quelconque, l'interprétation physique de la valeur N +
0 est davantage sujette à caution !
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Le facteur d'irrégularité traduit l'allure fréquentielle du signal. Compris entre 0 et 1, il tend vers 1
lorsque le processus est à bande étroite, en revanche il tend vers 0 pour un processus large bande.
Son expression est :
N
2
2
!

I
0
X
=
=
=
2
Ne X

X!
0
4
Les trois paramètres - N
N , I
0 ,
e
- caractérisent en totalité le signal. On peut, en particulier, estimer
le nombre moyen de pics positifs par seconde : N
+ = 1/ (
4 1+ I ) N
pic
e .
L'ensemble de ces paramètres est calculé et stocké dans une table "imprimable" sur le fichier
RESULTAT à l'aide de la commande IMPR_TABLE.
4.2
Distributions des pics positifs
Une des connaissances principales intéressant les concepteurs de structures à partir de sa réponse
estimée à une excitation aléatoire est la détermination des dépassements de seuil et en particulier les
probabilités de dépassements
de certains seuils critiques.
Les formules de Rice (paragraphe précédent) permettent de connaître le taux moyen des
franchissements de certains niveaux. L'approche suivante permet de donner une loi de probabilité de
présence de tel ou tel pic. On s'intéresse donc aux maxima positifs de la réponse.
Un maximum se produit quand !x(t) = 0 avec !x(!t) < 0 . On s'intéresse donc à la densité de probabilité
conjointe (
p x, x! = ,
0 x!,t) de X (t), X!(t), X! (t) . (Il faut donc que le processus soit deux fois dérivable,
ce qui est acquis lorsque l'on admet une répartition gaussienne du signal.)
Cette densité de probabilité des pics positifs permet par exemple de calculer la proportion de pics
compris entre a et b (ou la probabilité que le prochain pic soit compris entre a et b) qui vaut :
b
(px, ,0x!,t)dx
a
Le signal étant gaussien stationnaire, centré par rapport à sa valeur moyenne (nulle en analyse
sismique), la distribution des pics est symétrique par rapport à cette moyenne. On s'intéresse donc à la
répartition des pics positifs. Dans le cas général, la distribution des pics d'amplitude X positive
s'écrit sous la forme [bib5] :

X2
X2
2

-
t
2

2
2
2
2
2
X -
-
1 I
IX
-

p+
2

X
2
pic (X)
( )
=
1
2

X (
- I e
+
e
e
dt


1 + I)
-

X




2

I
X
=
!


X
Si
< 0 alors p+
X
X!
pic ( X ) = 0
avec
X
I
=

X

1- I 2
Il s'agit de la formule aussi connue sous le nom de LONGUET-HIGGINS [bib7], dont la démarche est
aussi explicitée dans [bib11]. Nous présentons, ci après, la représentation graphique de cette formule
pour 4 valeurs de I .
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Probabilité
0,80
I = 0 loi de Gauss
0,70
I = 0.4
0,60
I = 0.7
I = 1 loi de Rayleigh
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Amplitude/Ecart-type
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
2,80
3,20
3,60
4,00
Figure 4.2-a : Distribution de pics d'amplitude positive normalisée
par rapport à l'écart-type du signal
Cette distribution des pics positifs se simplifie dans le cas des signaux pour lesquels le facteur
d'irrégularité vaut I = 0 ou I = 1.
4.2.1 I = 0 Signal à large bande : loi de Gauss ou loi normale
Dans le cas d'un signal large bande, les pics positifs sont distribués suivant une loi de GAUSS :
X 2
-
2
2
p+ ( X ) =
e 2 X
pic
2
2
X
4.2.2 I = 1 Signal à bande étroite : loi de Rayleigh
Dans le cas d'un signal à bande étroite, les pics positifs sont distribués suivant une loi de RAYLEIGH :
X 2
X
-
2
p+ ( X ) =
e 2 X
pic
2
X
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4.2.3 Calcul des valeurs dans le Code_Aster
Les valeurs de ces deux lois sont calculées dans le Code_Aster sous les mots-clé facteur RAYLEIGH
ou GAUSS.
A partir de l'écart type X = 0 calculé précédement on calcule les valeurs de probabilité des pics
6
p+ ( X ) pour X
X
pic
[0 6,X ] avec un pas par défaut de
.
200
Si l'utilisateur désire affiner son analyse, il peut fournir les valeurs VALMIN et VALMAX du domaine de
variation de X . Il peut aussi fournir la valeur du pas de calcul, sinon celle-ci sera prise au 200ème de la
bande retenue.
La figure [Figure 4.2-a] montre que le domaine choisi par défaut, jusqu'à 6 X , couvre bien la totalité
des valeurs de X à probabilités non nulles.
4.3
Réponse sismique : loi de Vanmarcke [bib8]
Dans le cas de la réponse à un séisme d'une structure primaire (c'est-à-dire excitée à sa base par le
sol) ayant un mode prépondérant, ie qui répond (compte-tenu des fréquences excitatrices) sur un
seul mode, on utilise la loi de fiabilité de VANMARCKE [bib8] qui permet d'estimer, sur une durée de
fonctionnement T
la probabilité que le processus dépasse le seuil de ruine.
La notion de mode prépondérant est ici très importante, si la structure répond sur plusieurs modes la
formule dans son expression actuelle ne convient plus.

Soit X (t) la réponse à un bruit blanc gaussien, d'un oscillateur linéaire faiblement amorti. On définit la
probabilité W(T) que le processus reste dans le domaine de sécurité. W(T) représente la fraction
d'échantillon qui n'ont pas franchi le seuil de ruine après une durée T ; c'est une mesure de fiabilité.
dW T
Elle peut s'écrire sous la forme
(T) =
{X( ) < X0 0 t < T} p1(T)
( )
W
Prob
t
;
:
= -
est la
d T
densité de probabilité de franchissement du seuil.
Pour les valeurs élevées de T on prendra : p
-
1(T ) = A
T

e
A dépend des conditions initiales
et est le taux de décroissance limite.
4.3.1 Hypothèse des franchissements indépendants
Avec l'hypothèse que les dépassements de seuil avec une pente positive soient des événements
indépendants
, le nombre de franchissements sur [0, [
T constitue un processus de Poisson de taux
d'arrivage N
= 2 N +
X
X (nombre de dépassement de X
0
0
0 défini en [§4.1.1]). La probabilité que n
passages se produisent sur la durée T s'écrit par application de la loi de Poisson (voir [§4] de [bib8]) :
(
n
N
T
X0 )
{
- N T
X
P
0
passages sur [ ,
0 [
T }
n!
n
= e
La structure est "fiable" si le seuil n'est pas dépassé durant la durée T . La fiabilité W(T) correspond
donc à n = 0 passage d'où W(T) e N T
X
= - 0 .
Le taux de décroissance limite vaut donc ici =
=
+
N
2 N
X
X .
0
0
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4.3.2 Loi de Vanmarcke
Pour un processus stationnaire gaussien, la probabilité de dépasser la valeur X vaut [§4.1.1] :
X 2
-
2
N
= N e 2X
X
0
; on en déduit que la probabilité que la valeur initiale de l'enveloppe soit inférieure
2
X
-
N
2
au seuil X est : 1 -
X = 1
2
- e .
N0
On combine alors cette expression avec la loi de décroissance limite obtenue avec l'hypothèse de
franchissements indépendants, ce qui conduit à l'expression de la fiabilité :
( -1e-hs)
- N T
0
s2
2
W(T) = Ae- T = ( -s
1-
2 )e
e 2 -1
e
/
1
avec N
2
0 = taux de passage par 0 et T durée d'observation
0
X
2
1 2
.

1
s =
h =
= 1-

2
0
0
2
est un estimateur de largeur de bande de la DSP de X .
Cette relation a l'immense avantage de fournir un estimateur explicite de la fiabilité en fonction de la
valeur réduite du seuil s, du nombre de demi-cycles équivalents N0 , et du paramètre de largeur de
bande .
NB :
"L'accord entre l'estimateur et les simulations peut être amélioré si on remplace par 1.2 "
[bib8] "correction" introduite dans la formule écrite ci-dessus par rapport à l'expression du taux
de décroissance limite donnée dans le paragraphe précédent.

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La représentation graphique suivante est effectuée dans le cas d'un processus de fréquence
apparente 15 Hz, soit N0 = 30 Hz, pour une durée d'observation de T = 1s. L'estimateur de largeur
de bande est pris égal à 0.30. Comme dans les illustrations précédentes, l'amplitude est normalisée
par rapport à l'écart-type.
Fiabilité
1
0,9
0,8
0,7
Vanmarcke
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Amplitude/Ecart-type
Figure 4.3.2-a : Evolution de la fiabilité suivant le loi de Vanmarcke
en fonction de l'amplitude du processus normalisé
par rapport à l'écart-type du signal
Rappel :
Cette analyse statistique est effectuée à partir d'hypothèses relativement restrictives, à savoir
que le processus doit être à "bande étroite"; il faudra donc vérifier que le facteur d'irrégularité

I n'est pas trop différent de 1 et que le signal ne comporte qu'un pic principal.
4.3.3 Implantation dans le Code_Aster
C'est exactement l'expression de W(T) qui est implantée dans l'opérateur POST_DYNA_ALEA, sous le
mot-clé facteur VANMARCKE. Le domaine de définition du calcul de la fonction de fiabilité est ici aussi
6
par défaut [0 6
,
X
X ] avec un pas de
. Comme pour les lois de GAUSS et de RAYLEIGH
200
[§ 4.2.3], il peut être restreint par l'utilisateur.
Le calcul de la fiabilité est fait pour une durée T (en s) de fonctionnement : elle est prise par défaut à
T = 10 s ce qui convient bien pour un calcul sismique.
La figure [Figure 4.3.2-a] montre bien que pour 6 X ,W(T) tend vers l'asymptote 1, le processus a
sûrement dépassé le seuil de ruine.
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5 Remarques
Ce post-traitement s'effectue sur des interspectres stockés dans des tabl_intsp. Il fournit des
éléments statistiques de la réponse de la structure qui peuvent donc être convertis en une information
statistique de la fiabilité, ou servir ensuite pour des calculs de dommage par fatigue
(POST_FATI_ALEA).
6 Bibliographie
[1]
C. DUVAL : Cahier des charges d'un module de calcul de réponse dynamique sous
excitations aléatoires pour le Code_Aster - Rapport EDF HP61/91.177
[2]
C. DUVAL : Réponse dynamique sous excitations aléatoires dans le Code_Aster : Principes
théoriques et exemples d'utilisation - Rapport EDF HP61/92.148
[3]
J. MAX et coll. : Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures
physiques
[4]
Françoise BROUAYE : "La modélisation des incertitudes" Chapitre 5 - Collection des Etudes
et Recherches d'EDF ESE n°8 - Eyrolles
[5]
P. MORILHAT : "Faïençage thermique. Estimation statistique du dommage mécanique" - EDF
Juillet 90 Rapport HP 14/90.07
[6]
P. LABBE et H. NOE : "Stochastic approach for the seismic design of nuclear power plant
equipements". Nuclear Engineering and Design 129 (1991) 367-379
[7]
D.E. CARTWRIGHT & M.S. LONGUET-HIGGINS : The statistical distribution of the maxima
of a random function - Proceedings of the Royal Society of London - Series A Vol 237 (1956)
[8]
A. PREUMONT "Vibrations aléatoires et analyse spectrale"- Presse polytechniques et
universitaires romandes Edition 1990- En particulier Chapitre 10
[9]
R.J. GIBERT : "Vibrations des structures. Interactions avec les fluides. Sources d'excitation
aléatoires" - Ch 17 : notions générales sur les processus aléatoires et la réponse des
systèmes linéaires - Ch 20 : Excitations sismiques des structures. Collection des Etudes et
Recherches d'EdF ESE n°69 - Eyrolles 1988
[10]
R.W. CLOUGH et J. PENZIEN dans "Dynamics of structures" 4ème partie : Vibrations
aléatoires, 5ème partie : Analyse de la réponse de structures aux séismes - Mc Graw Hill
1975
[11]
Y.K. LIN & G.Q CAI : Probabilistic structural dynamics (advanced theory and applications)
Mc Graw Hill
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Annexe
1
Conventions pour les Densités Spectrales de
Puissance

A1.1 Introduction
Afin de conserver la cohérence nécessaire pour l'ensemble des calculs et les comparaisons avec
l'expérience (cf [§2.3] et [§3.3]), nous développons ci-après les deux ensembles de définitions
cohérents avec les calculs de réponse aléatoire et de post-traitement tels qu'ils ont été retenus pour
Aster :
· le premier à partir de données spectrales exprimées en fonction de la fréquence. C'est cet
ensemble qui est cohérent avec le calcul réalisé dans l'opérateur CALC_INTE_SPEC
[U4.56.03].
· le second à partir de données spectrales exprimées en fonction de la pulsation.
Ces deux ensembles rendent valide le post-traitement tel qu'il est exprimé dans POST_DYNA_ALEA.
Nous préciserons à chaque fois l'unité dans laquelle sont exprimées les différentes quantités
manipulées en fonction de l'unité u du signal de référence. Les explications données sont succinctes.
On pourra pour plus de détails se référer à la référence [bib10].
A1.2 Types de signaux et définition de la puissance
Nous considérons quatre types de signaux :
· signaux d'énergie finie,
· signaux
périodiques,
· signaux de puissance finie et signaux déterministes,
· signaux aléatoires satisfaisant à l'hypothèse d'ergodicité et stationnaires.
En calcul dynamique aléatoire les signaux sont aléatoires. Pour l'interprétation de résultats
expérimentaux, les signaux sont soit périodiques, soit de puissance finie (déterministes).
Nous définissons pour chaque type de signal une quantité énergétique qui est soit une énergie, soit
une puissance et que nous désignerons dans les paragraphes suivants sous le terme unique de
puissance :
· Les
signaux d'énergie finie sont définis par leur énergie E exprimée en u2 s :
+
E =
x(t) dt < +
2
éq An1.2-1
-

· Les
signaux périodiques sont définis par la puissance P du signal exprimée en u2 :
1
P =
x(t) 2dt

éq An1.2-2
T [T]
T désigne la période du signal. [T] est un intervalle de longueur T .
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· Les
signaux de puissance finie sont définis par la puissance moyenne P du signal

exprimée en u2 :
+T

/
1
2

P = lim
x(t) 2 dt



< +
éq An1.2-3
T+ T
-T/2


· Les
signaux aléatoires sont définis par la puissance moyenne P du signal exprimée en u2 :
+T

/2
1

P = E[ (
X t) 2]= lim
x(t) 2dt



< +
éq An1.2-4
T+ T
-T/2

On se sert ici de l'hypothèse d'ergodicité qui sous-tend que les moyennes statistiques et temporelles
effectuées sur une réalisation d'un processus sont identiques.
A1.3 Autocorrélations
Compte tenu des rappels statistiques effectués dans le corps du texte on a pour chaque type de
signaux précédemment définis :
· Autocorrélation
des
signaux d'énergie finie, exprimée en u2/Hz :
R
( ) = x(t) x(t + ) dt
XX


éq An1.3-1
· Autocorrélation
des
signaux périodiques, exprimée en u2 :
1
R
() =
x(t) x(t + ) dt
XX

éq An1.3-2
T [T]
· Autocorrélation
des
signaux de puissance finie, exprimée en u2 :
+T/
1
2
R
() = lim
x(t) x(t + ) dt
XX

éq An1.3-3
T+ T -T/2
· Autocorrélation
des
signaux aléatoires, exprimée en u2 :
+T/
1
2
R
() = E[ (
X t) (
X t + )] = lim
x(t) x(t + ) dt
XX

éq An1.3-4
T+ T -T/2
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A1.4 Définition de la densité spectrale de puissance.
A1.4.1 Expression en fréquence
On définit la densité spectrale de puissance par :
+
+
S
(f )
R
() -2i f d ou G
-2i f
=

e
XX ( f ) =
R
XX () e
d
XX
XX
éq An1.4.1-1
-
0
Le mécanicien ne s'intéressant qu'aux valeurs positives de la fréquence et du temps, la fonction GXX
est plus souvent usitée.
On peut démontrer, dans le cas où les Transformations de Fourier des signaux existent, que cette
définition est équivalente (théorème de Wiener-Kinchine) aux définitions de la densité spectrale de
puissance suivantes.
· Pour les signaux d'énergie finie :
2
G
(f ) X (f
2
2
XX
=
) exprimée en u / Hz
éq An1.4.1-2
· Pour les signaux périodiques :
n=+
n=+
Si X ( f ) = C ( f - n f
2
0 ) alors G XX ( f ) = Cn ( f - n f
n
0 )
éq An1.4.1-3
n=-
n=-
G
(f
XX
) s'exprime en u2/Hz.
f0 est l'inverse de la période du signal.
Cn coefficient des fonctions Dirac.
· Pour les signaux de puissance finie :
1
2
G
(f ) =

lim
X
2
[T]( f
XX
) en u / Hz
éq An1.4.1-4
T



T


+
X[T] désigne la restriction de (
x t) à [- T/ 2 ; T/ 2].
· Pour les signaux aléatoires :
1
2
G
(f )=

lim E
X
2
[T]( f
XX
) en u / Hz
éq An1.4.1-5
T

T


+
X[T] désigne la restriction de x(t) à [- T / 2 ; T / 2].
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Lien entre la DSP et la puissance.
Avec les définitions données ci-dessus pour les densités spectrales de puissance, on a pour
tous les signaux, la relation :
+
P = G

(f ) df
XX
éq An1.4.1-6
-
Cette relation est établie en utilisant le théorème de PARSEVAL.
A1.4.2 Expression en pulsation
En pulsation, on définit la densité spectrale de puissance par :
+
1
G'
-i
XX () =
R


éq An1.4.2-1
2
XX ( ) e d
-
De même que pour l'expression en fréquence, on peut démontrer, dans le cas où les Transformations
de Fourier des signaux existent, que cette définition est équivalente (théorème de Wiener-Kinchine)
aux définitions de la densité spectrale de puissance suivantes
· Pour les signaux d'énergie finie :
2
G'
'
2
2
XX ( ) =
2 X () exprimée en u / Hz
éq An1.4.2-2
· Pour les signaux périodiques :
n=+
n=+
Si X ' ( ) = C ( - n
2
0 ) alors G '


XX ( ) = Cn ( - n
n
0) éq An1.4.2-3
n=-
n=-

2
G' XX () s'exprime en u2/Hz, et 0 =
T est la période du signal.
T
Cn coefficient des fonctions Dirac.
· Pour les signaux de puissance finie :

2
2
G'
'
2
XX ( ) =

lim
X [T]() en u / Hz
éq An1.4.2-4
T



T


+
X ['T] désigne la restriction de (
x t) à [- T/ 2 ; T/ 2].
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· Pour les signaux aléatoires :
2
2
G'
'
2
XX () =

lim E
X [T]() en u / Hz
éq An1.4.2-5
T

T


+
X ['T] désigne la restriction de x(t) à [- T/ 2 ; T/ 2].
Lien entre la DSP et la puissance.
De même, on a pour tous les signaux la relation - qui découle du théorème de PARSEVAL - :
+
P = G
'XX () d
éq An1.4.2-6
-
A1.4.1 Relation entre DSP en fréquence et DSP en pulsation
Pour les quatre types de signaux :
1
G' XX () =
GXX ( f )

éq An1.4.3-1
2
Annexe 2 Transformation de Hilbert
Soit X (t)
un signal réel de transformée de Fourier (
X ) .
Soit H( )
j
> 0

la fonction de Transfert : H( ) = j sign ( ) = - j < 0
0

= 0
H() transforme X (t) en sa transformée de Hilbert notée "X (t) . Le système de fonction de transfert
H() produit un déphasage de +90° pour les fréquences positives et de ­90° pour les fréquences
négatives. Il suit du théorème de convolution que "
X (t) peut aussi être définie comme la convolution de
X (t) par la réponse impulsionnelle correspondante, soit (
h t) = 1/ t .
"X (t) est également réelle, une seconde application de la transformée de Hilbert restitue le signal initial,
changé de signe et amputé de son éventuelle composante continue.
Exemple : x(t) = A cos t x"(t) = - A sin t
Cette propriété est à la base de l'utilisation de la transformée de Hilbert pour définir l'enveloppe d'un
processus en bande étroite.
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