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6.4
Titre :
Eléments finis de tuyau droit et courbe
Date :
12/12/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. BEN HAJ YEDDER Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
Document R3.08.06
Eléments finis de tuyau droit et courbe
avec ovalisation, gonflement et gauchissement
en élasto-plasticité
Résumé :
Ce document présente la modélisation d'un élément fini de tuyau utilisable dans des calculs de tuyauteries en
élasticité ou en plasticité. Les tuyaux, courbes ou droits, peuvent être relativement épais (rapport épaisseur sur
rayon de la section transverse jusqu'à 0.2) et sont soumis à divers chargements combinés - pression interne,
flexions planes et anti-planes, torsion, extension - et peuvent avoir un comportement non linéaire.
Cet élément linéique combine à la fois des propriétés de coques et de poutres. La fibre moyenne du tuyau se
comporte comme une poutre et la surface du tuyau comme une coque. L'élément réalisé est un élément de
tuyau droit ou courbe en petites rotations et déformations, avec un comportement élasto-plastique en
contraintes planes.
Trois modélisations, correspondant à trois différents types d'éléments, sont disponibles :
· TUYAU_3M, qui prend en compte 3 modes de Fourier au maximum, et qui peuvent s'appuyer sur des
mailles à 3 noeuds ou à 4 noeuds.
· TUYAU_6M, qui prend en comte jusqu'à 6 modes de Fourier, et s'appuie sur des mailles à 3 noeuds.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................4
2 Les différentes théories de coques et de poutres pour les éléments finis de tuyaux droits ou coudés 4
2.1 Le tuyau en théorie de poutre..........................................................................................................4
2.1.1 Cas d'un tuyau coudé.............................................................................................................4
2.1.2 Cas du tuyau droit ..................................................................................................................8
2.1.3 Remarques .............................................................................................................................9
2.2 Le tuyau en théorie linéarisée de coque .......................................................................................10
2.2.1 Cas général ..........................................................................................................................10
2.2.2 Cas du tuyau droit ................................................................................................................12
2.2.3 Remarque.............................................................................................................................13
2.3 Analyse des tuyaux droits et coudés .............................................................................................15
3 Eléments mixtes coque-poutre pour les tuyaux droits et courbes.......................................................17
3.1 Cinématique...................................................................................................................................17
3.2 Loi de comportement .....................................................................................................................18
3.3 Travail de déformation ...................................................................................................................19
3.4 Energie interne élastique du coude...............................................................................................19
3.5 Travail des forces et couples extérieurs........................................................................................19
3.6 Principe du travail virtuel................................................................................................................20
3.6.1 Partie efforts et couples extérieurs pour la partie poutre .....................................................20
3.6.2 Partie efforts et couples extérieurs pour la partie coque......................................................21
3.7 Efforts généralisés .........................................................................................................................22
4 Discrétisation numérique des formulations variationnelles .................................................................23
4.1 Discrétisation des champs de déplacement et de déformation pour la partie poutre ...................23
4.1.1 Poutre courbe .......................................................................................................................23
4.1.2 Poutre droite .........................................................................................................................25
4.2 Discrétisation des champs de déplacement et de déformation pour la partie supplémentaire ....26
4.2.1 Coude 27
4.2.2 Tuyau droit............................................................................................................................29
4.3 Discrétisation du champ de déformation totale .............................................................................32
4.4 Matrice de rigidité ..........................................................................................................................32
4.5 Matrice de masse ..........................................................................................................................33
4.6 Fonctions de forme ........................................................................................................................35
4.7 Intégration numérique....................................................................................................................35
4.8 Discrétisation du travail extérieur ..................................................................................................36
5 Caractéristiques géométriques de l'élément de tuyau ........................................................................37
6 Raccord tuyau-tuyau............................................................................................................................38
6.1 Construction d'une génératrice particulière...................................................................................38
6.2 Raccord d'un élément à l'autre......................................................................................................39
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6.3 Implantation numérique.................................................................................................................40
7 Raccords coque-tuyau et 3D-tuyau.....................................................................................................40
7.1 Démarche suivie............................................................................................................................40
7.2 Cinématique du tuyau. ..................................................................................................................42
7.3 Cinématique de coque ..................................................................................................................43
7.4 Calcul du déplacement moyen sur la section S ............................................................................44
7.5 Calcul de la rotation moyenne de la section S..............................................................................44
7.6 Calcul du gonflement moyen de la section S................................................................................45
7.7 Calcul des coefficients de Fourier sur la section S .......................................................................45
7.8 Implantation de la méthode ...........................................................................................................47
8 Implantation de l'élément TUYAU dans le Code_Aster ......................................................................49
8.1 Description.....................................................................................................................................49
8.2 Utilisation et développements introduits........................................................................................49
8.3 Calcul en élasticité linéaire............................................................................................................50
8.4 Calcul en plasticité ........................................................................................................................51
8.5 Test : SSLL106A ...........................................................................................................................51
9 Conclusion...........................................................................................................................................52
10
Bibliographie..................................................................................................................................53
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1 Introduction
Il existe une importante bibliographie sur la modélisation des tuyauteries et de nombreux éléments
finis de tuyaux droits et coudés sont disponibles dans les grands codes d'éléments finis. Des
synthèses ont déjà été réalisées [bib1], [bib5], [bib6], par le passé que l'on a complétées en
incorporant les derniers développements connus dans le domaine [bib11]. Les effets importants à
prendre en compte sont le gonflement dû à la pression interne et l'ovalisation des sections transverses
par flexions combinées plane et anti-plane. On se place dans l'hypothèse des petites rotations et
déformations dans le cadre de ce document.
Il s'agit d'un élément linéique à 3 ou 4 noeuds, de type poutre courbe ou droite avec plasticité locale
prenant en compte l'ovalisation, le gauchissement et le gonflement. La cinématique de poutre est
enrichie d'une cinématique de coque pour la description du comportement des sections transverses.
Cette cinématique est discrétisée en M modes de Fourier dont le nombre M doit à la fois être suffisant
pour obtenir de bons résultats en plasticité et pas trop grand pour limiter le temps de calcul. La
littérature nous incite à utiliser M=6 [bib9], [bib13] en plasticité. En élasticité, pour des tuyaux épais, on
peut se contenter de M=2 ou 3.
2
Les différentes théories de coques et de poutres pour les
éléments finis de tuyaux droits ou coudés
On présente dans ce chapitre les éléments de cinématique en géométrie curviligne tridimensionnelle,
ainsi que leurs restrictions dans le cadre des modèles de poutre et de coque. En effet, pour bâtir
l'élément fini de tuyauterie enrichi qui répond au cahier des charges défini en introduction, on exploite
une technique de décomposition de la cinématique tridimensionnelle. La cinématique de coque y
apporte la description de l'ovalisation, du gonflement et du gauchissement, tandis que la cinématique
de poutre y décrit le mouvement général de la ligne de tuyauterie.
Les différentes théories de coques et de poutres utilisées pour chacun des éléments traduisent les
hypothèses choisies a priori sur le type de déformations et de comportements.
2.1
Le tuyau en théorie de poutre
2.1.1 Cas d'un tuyau coudé
Une première approche relativement simple revient à considérer le coude représenté ci-dessous
comme une poutre creuse de section circulaire. La poutre est obtenue par rotation d'angle de la
section circulaire autour de OZ. Un point de la poutre est repéré par sa distance r par rapport à l'axe
de la poutre et par les deux angles , où est l'angle longitudinal avec OY indiqué ci-dessus et
l'angle trigonométrique avec OZ mesuré sur la section circulaire.
Z
Z
z
x
2
2
·
x
ux
·
()
x
e
uz
r
e
u ·
y
·
1
·
1
er
z
·
z
y
Z
Z
Y
R
y
Y
R
y
X
X
O
O
Figure 2.1.1-a : Géométrie et cinématique du coude en théorie de poutre
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Dans le système de coordonnées curvilignes ( r , , ), les relations entre les déplacements u des
points du coude de position r = OM = - e
R (
0
y ) + re (
r , ) et les déformations de
Green-Lagrange sont données par le tenseur suivant dans la base naturelle ( r , , ) :
( 0
r + u) ( 0
r + u) 0
r 0
r
2 f =
.
-
.
, (, ){r, ,}.
Les vecteurs unités dans les directions ( r , , ) sont :
0
r
1 0
r
1 0
r
0
r 0
r
0
r r
e
0
r =
e
,
=
, e =
où A =
.
et B =
.
.
r
A
B
Si l'on exprime la position d'un point du coude dans la base orthonormée torique locale ( e e
r , , e )
par ( yr ,
y ,
y ) on a les relations suivantes :
0
r
0
r
0
r
er =
e
, =
, e =
.
yr
y
y
L'expression du tenseur des déformations de Green-Lagrange dans cette base est alors :
( 0
r + u) ( 0
r + u) 0
r
0
r
2 =
.
-
.
.
y
y
y y
Les relations de passage entre l'expression des déformations de Green-Lagrange dans le système de
coordonnées curviligne et dans la base torique locale précédemment définie sont :
= f
rr
rr
f
= A2
f
= B2
f
= AB
f r
r = A
f r
r = B
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L'utilisation de cette base est particulièrement intéressante car les relations de comportement dans la
base torique orthonormée sont simples d'utilisation. Pour le coude ci dessus, si l'on considère que les
déformations restent petites, on obtient alors [bib4] après linéarisation des déformations de
Green-Lagrange :
u
r
rr = r
1 u
u
A
ur
=
+
+
A
AB R
1 u
ur
=
+
B
R
1 u
1 u
u A
2 = =
+
-
B
A
AB
1 u
u
u
r
2 r
= r
=
-
+
A
R
r
1 u
u
u
r
2 r
= r
=
-
+
B
R
r
avec :
R + r sin
A = R + r sin, B = r, R =
, R = r.
sin
Les expressions des déformations établies ci-dessus s'écrivent alors :
u
r
rr = r
1
u
=
(
+ u
cos + u sin )
R + r
r
sin
1 u
= (
+ u
)
r
r
1
u
1 u
2 = =
(
- u
cos
) +
R + r sin
r
1
u
u
r
2 =
=
(
- u
r
r
sin ) +
R + r sin
r
1 u
u
r
2 = = (
- u
r
r
) +
r
r
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Le déplacement ur ,
u ,
u d'un point du coude dans la base torique associée à la section transverse
d'observation peut facilement s'exprimer en fonction des déplacements et des rotations associés au
centre de la section transverse. En effet, si on note 1
u ,u2,u3 le déplacement dans la base curviligne
locale (o( ), x( ), y( ), z( ) associée à la section transverse comme indiqué sur la [Figure 2.1.1-a]
on a les relations suivantes, valables dans le cadre de la cinématique des poutres de Timoshenko
[R3.08.01] :
u (r,
1
,) = ux
( ) + z
( )r sin - y
( )r cos
u (r,
2
,) = u y
( ) + x
( )r cos
u (r,
3
,) = uz
( ) - x
( )r sin
où ux ,u y ,uz est le déplacement de translation de la section et x , y , z la rotation de son centre
o . L'expression des composantes du déplacement dans la base orthonormée torique locale
( e e
r , , e ) s'obtient par changement de repère :
u (r,
,) = u (r,,) = u (
x ) + (
z )r sin - (
y )r cos
1
u (r,
,) = u (r,,) sin - u (r,,) cos = u (
z ) sin - u (
y ) cos - (
x )
3
2
r
u (r,
r
,) = [
- u (r,,) cos + u (r,,) sin ] = [
- u (
z ) cos + u (
y ) sin ]
3
2
L'introduction de ce champ de déplacement dans l'expression des déformations linéarisées nous
permet d'obtenir l'expression des déformations tridimensionnelles associées à la cinématique de
poutre :
rr = 0
1
=
(u x - u y - r cos
x
+ r sin
z
- r cos
y
)
R + r sin
,
,
,
= 0
1
2 =
(-u cos
x
- u
cos
y
+ u
sin
z
- r x + r cos2
y
- r sin
z
cos)
R + r sin
,
,
,
+ ( cos
z
+ sin
y
)
1
2 r =
(-u sin
x
- u
sin
y
- u
cos
z
+ r sin
y
cos - r sin 2
z
)
R + r sin
,
,
+ ( sin
z
- cos
y
)
2 r = 0
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2.1.2 Cas du tuyau droit
Les expressions des déformations établies ci-dessus s'appliquent aussi au cas du tuyau droit, où l'on
remplace par s où s est l'abscisse curviligne le long de la fibre moyenne du tuyau, avec :
A = ,
1 B = r 1
, / R = ,0 R = r.
Les expressions données pour le coude s'écrivent alors pour le tuyau droit :
u
r
rr = r
u
x
xx = x
1 u
= (
+ u
)
r
r
u
1 u
x
2 x = x =
+
x
r
u
u
r
x
2 rx = rx =
+
x
r
1 u
u
r
2 = = (
- u
r
r
) +
r
r
2
Z
Z
·
u
u r
x
A
z
x
u
x
ux=u1
u 2
o
u
·
3
x
z
u
1
u
y
y
y
y
z
Z
Y
z
X
Section transverse : vue de 1 vers 2
O
Figure 2.1.2-a : Géométrie et cinématique d'un tuyau droit en théorie de poutre
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Comme précédemment, le déplacement ur , u u
x , d'un point du tuyau dans la base torique associée
à la section transverse d'observation peut facilement s'exprimer en fonction des déplacements et des
rotations associés au centre de la section transverse. En effet, si on note 1
u ,u2,u3 le déplacement
dans la base curviligne locale (o, x, y, z) associée à la section transverse comme indiqué sur la figure
ci-dessous on a les relations suivantes :
u (r, x,
1
) = u (x)
x
+ (x)r sin
z
- (x)r cos
y
u (r, x,
2
) = u (x)
y
+ (x)r cos
x
u (r, x,
3
) = u (x)
z
- (x)r sin
x
et :
u (r, x,
x
) = u (r, x,) = u (x)
x
+ (x)r sin
z
- (x)r cos
1
y
u (r, x,
) = u (r, x,) sin - u (r, x,) cos = u (x) sin
z
- u (x) cos
y
- (x)
3
2
r
x
u (r, x,
r
) = [
- u (r, x,) cos + u (r, x,) sin ] = [
- u (x) cos
z
+ u (x) sin
y
]
3
2
L'introduction de ce champ de déplacement dans l'expression des déformations données ci-dessous
nous permet d'obtenir l'expression des déformations associées à la cinématique de poutre :
rr = 0
xx = ux x + r sin
z x
- r cos
,
,
y,x
= 0
2
x
= -r x x + ( y + u )sin
z x
+ ( z -u ) cos
,
,
y,x
2 rx = ( z - u ) sin
y x
- ( y + u ) cos
,
z,x
2 r = 0
2.1.3 Remarques
Le fait que rr , et r soient simultanément nuls montre que la cinématique de poutre ne peut
représenter les déformations des sections transverses à la fibre moyenne du tuyau. En effet, les
sections transverses sont animées d'un mouvement de corps rigide, ce qui interdit de modéliser le
gauchissement, le gonflement et l'ovalisation.
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2.2
Le tuyau en théorie linéarisée de coque
2.2.1 Cas
général
Le tuyau coudé est considéré comme une coque mince de révolution (portion de tore). La surface
moyenne est obtenue par rotation d'angle d'un cercle de rayon a dont le centre est à une distance
R de l'axe de révolution Oz. On désigne par h l'épaisseur du coude. On impose à cette épaisseur de
rester constante ainsi qu'à la section du coude d'être parfaitement circulaire. Un point sur la surface
moyenne est caractérisé par les deux angles , et sa position - h / 2 +h / 2 par rapport à la
surface moyenne, où est l'angle longitudinal, variant entre 0 et , et l'angle mesuré sur la
section transverse.
v y
h
w
r
O
u : Déplacement axial de la surface moyenne
u
y
v : Déplacement orthoradial de la surface moyenne
e
R
z
w : Déplacement radial de la surface moyenne
er
: Rotation de la surface moyenne par rapport à e
e
: Rotation de la surface moyenne par rapport à e
O
z
e
x
R : Rayon de courbure
r : Rayon de la section transversale
h : Epaisseur du coude
: A
ngle longitudinal
:
Angle de section transversale
x
Figure 2.2.1-a : Géométrie et cinématique du coude en théorie de coque
On se place tout d'abord dans le cadre de la théorie linéarisée des coques avec cisaillement
transverse telle qu'elle a été décrite par exemple dans Washizu [bib14]. Ce choix avait déjà était fait
pour les éléments de coques linéiques [R3.07.01]. Il limite notre étude au cadre des petites
déformations. En outre, les grandes rotations de la surface moyenne ne sont pas prises en compte.
Les déplacements et rotations sont ainsi définis par rapport à la géométrie initiale du coude. Si les
déplacements des points de la surface moyenne dans les trois directions axiale,
orthoradiale et radiale sont notés u, v et w ceux de n'importe quel point du coude
s'écrivent de la manière suivante :
u = u(
,) + (
,)
u = v(
,) - (
,)
u = (
w ,)
où et sont les rotations par rapport aux vecteurs
e et
e respectivement.
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Les déformations en tout point sont ainsi données par [bib14] :
E
+
= 1+ / R
E +
= 1+ / R
2
E
+
2
2 = = (
1+ /
R )(1+ /
R )
2
E
2 = = (1+ / R )
2E
2 = = (1+ / R )
avec :
R + a sin
A = R + a sin, B = a, R =
, R = .
a
sin
où
E , E et
E sont les déformations membranaires de la surface moyenne, , , les
déformations de flexion de la surface moyenne et
E , E les distorsions transverses. Les
déformations de la surface moyenne sont reliées aux déplacements de la surface moyenne en
remplaçant le champ de déplacement du paragraphe précédent par celui donné ci-dessus. On trouve
alors :
1 u
v A
w
E
=
+
+
A
AB
R
1 v
w
E =
+
B
R
1 u
1 v
u A
2
E
=
+
-
B
A
AB
1
A
=
-
A
AB
1
= - B
1
A 1
1 1 u
1
1 v
u
A
2 =
-
-
+[
+
(
-
)]
B
AB A
R B
R
A
AB
1 w
u
2
E
= +
-
A
R
1 w
v
2E = - +
-
B
R
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Soit encore :
1
u
E =
(
+ v cos + wsin)
R + a sin
1
v
E = (
+ )
w
a
1
v
1 u
=
(
- u cos) +
R + a sin
a
1
=
(
- cos
)
R + a sin
1
= -
a
1
1
sin
1 u
1
1
v
=
-
(
+ cos
) +[
+
(
- u cos)]
a
R + a sin
R + a sin a R + a sin a
1
w
= +
(
- u sin )
R + a sin
1
w
= - + ( - v)
a
Dans cette théorie il y a donc cinq inconnues ; 3 déplacements u, v et w ainsi que deux
rotations
,
. Si l'hypothèse de Love-Kirchhoff est appliquée (tube mince) les cisaillements
transverses sont nuls et il n'y a plus que les 3 déplacements u, v et w puisque :
1
w
= -
(
- u sin )
R + a sin
1
w
= ( - v)
a
2.2.2 Cas du tuyau droit
Si l'on applique ces équations au cas du tuyau droit avec :
A = ,
1 B = a 1
, / R = ,
0 R = .
a
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On retrouve l'expression plus habituelle pour ce genre de géométrie :
u
Exx = x
1
v
E = (
+ )
w
a
v
1 u
2Ex =
+
x
a
xx =
x
1 x
= - a
1
x
1 v
2 =
-
+[
]
x
a
x
a x
w
2Ex = + x
1
w
2E = - + (
- v)
x
a
Dans cette théorie il y a donc cinq inconnues ; 3 déplacements u, v et w ainsi que deux
rotations ,
x
. Si l'hypothèse de Love-Kirchhoff est appliquée (tube mince) les cisaillements
transverses sont nuls et il n'y a plus que les 3 déplacements u, v et w puisque :
w
= - x
1
w
= (
v)
x
-
a
2.2.3 Remarque
On peut introduire directement la cinématique de coque dans le champ de déformation 3D. Dans ce
cas on a :
=
E
+
= E +
2 = = 2E +
2
2 = = 2E
2 = = 2E
où les expressions
E , E et
E pour les déformations membranaires, , , pour les
déformations de flexion et
E , E pour les distorsions transverses sont données par l'expression
suivante dans le cas général :
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1
u
E =
(
+ v cos + wsin)
R + r sin
1
v
E = (
+ )
w
r
1 u
1
v
2E =
+
(
- u cos)
r R + r sin
1
=
(
- cos
)
R + r sin
1
= -
r
1
1
2 =
-
(
+ cos
)
r
R + r sin
R + a sin
1
w
2E =
+
(
- u sin )
R + r sin
R + r sin
a 1 w
2E = - + (
- v)
r
r
On remarque qu'à l'ordre 1 en les deux façons de procéder donnent des résultats identiques. C'est
la définition de la déformation de membrane ou de flexion qui change. Dans le premier cas elle est
indépendante de la position dans l'épaisseur et est calculée pour le rayon moyen de la section
transverse du tuyau, alors qu'elle en dépend dans le cas de l'approche 3D. Le terme entre crochet
dans l'expression du [§2.2.1]. représente un couplage entre la flexion et la membrane qui apparaît
lorsque l'on exprime R + r sin et r en fonction de R + a sin et a . Dans la suite de notre analyse
nous utiliserons cette expression 3D dégénérée de la cinématique de coque.
Si en outre nous utilisons l'hypothèse de Love-Kirchhoff pour les cisaillements transverses,
E
=
E
= 0 on retrouve bien les expressions suivantes des rotations :
1
w
= -
(
- u sin )
R + a sin
1
w
= ( - v)
a
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et :
1
1
2
w u
cos
w
=
[-
(
-
sin
) -
(
- v)]
R + r sin
R + a sin
2
a
1
2
w
v
= -
(
-
)
2
ar
w
cos
a cos
2
= (
- u sin
)[
+
]
(R + r sin )(R + a sin ) r(R + a sin )2
2
w
1
1
-
[
+
]
a(R + r sin ) r(R + a sin )
v
1
u
1
+
+ (
sin + u cos)
a(R + r sin)
r(R + a sin )
les expressions pour
E ,
E
et
E restant inchangées.
On peut étendre aisément cette remarque au cas du tuyau droit.
2.3
Analyse des tuyaux droits et coudés
En conclusion des deux analyses précédentes on peut modéliser le tuyau comme un élément de
poutre dont la section est une coque mince. Cette interprétation est faite dans la plupart des codes
([bib2], [bib8], [bib9], [bib10], [bib12], etc...). En l'absence de gauchissement des sections transverses
(i.e. les sections transverses restent planes) le déplacement axial de poutre donne la nouvelle position
de la section transverse et les déplacements d'ovalisation (il suffit de prendre alors u=0 dans les
équations de coques minces) permettent de savoir comment celle-ci se déforme. La déformation totale
est obtenue comme superposition des déformations de poutre et des déformations d'ovalisation. Le
champ de déplacement que l'on représente sur la figure ci-dessous s'écrit :
p
s
U = U +U .
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Dans le premier champ de déplacement l'image de la section transverse est une section transverse
identique obtenue par translation et rotation de la première. Dans le second champ de déplacement, la
section transverse est déformée.
M
M
flexion-torsion d'une poutre droite
En théorie des poutres-Euler
En théorie des coques
u
v
w
Coupe
Section transverse
Coupe
Section transverse
gauchissement
ovalisation
Figure 2.3-a : Décomposition du déplacement en champs de poutre et de coque
La modélisation élément fini doit donc rendre compte de deux réponses mécaniques différentes : celle
de la poutre et celle de la coque pour l'ovalisation, le gonflement et le gauchissement. Ces trois
dernières modélisations font intervenir des degrés de liberté qui ne sont pas nodaux (décomposition
en série de Fourier par exemple).
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3
Eléments mixtes coque-poutre pour les tuyaux droits et
courbes
3.1 Cinématique
On décompose le champ de déplacement en une partie macroscopique de «poutre» et une partie
supplémentaire locale de «coque». V est l'espace utile des champs de déplacements
tridimensionnels définis sur une section quelconque de tuyau.
Pour la partie poutre, comme en [R3.03.03], on introduit l'espace T des champs associés à un torseur
(défini par deux vecteurs) :
T = {vV / (T ,)
que
tel
v(M ) = T + GM}
Pour les champs de déplacement de T , T est la translation de la section (ou du point G ), la
rotation infinitésimale et les champs v sont les déplacements conservant la section S plane et non
déformée (On utilise là encore les hypothèses de NAVIER-BERNOULLI).
T est un sous-espace vectoriel de dimension finie égale à 6. Il possède un supplémentaire orthogonal
pour le produit scalaire sur V :
T = v V / v w
. =
0 w
T .
S
Tout champ u de V se décompose alors de manière unique en somme d'un élément de T et d'un
élément de T :
p
s p
s
u = u + u u T u
,
T .
On postule alors pour les déplacements de surface du tuyau définis au [§2.2] la décomposition en
série de Fourier suivante qui vérifie le principe d'orthogonalité précédent avec les déplacements de
poutre jusqu'à l'ordre 3 en l'épaisseur du tuyau :
M
u(x,) = i
um (x) cos m
m=2
M
+ o
um (x) sin m
m=2
M
v(x,) = i
wn (x
1
) sin + i
vnm (x) sin m
m=2
M
............ - o
wn (x
1
) cos + o
vnm (x) cos m
m=2
(
w x,) = wo (x)
n
(expansion radiale uniforme)
M
......... + i
wnm (x) cos m
m=1
M
......... + o
wnm (x) sin m
m=1
où x est l'abscisse curviligne le long du coude ou du tuyau droit, indifféremment, et M le nombre de
modes de Fourier. Les rotations (x,
x
) et ( ,
x ) se déduisent de u(x, ), v(x, ) et (
w x,) par
les relations de Love-Kirchhoff du [§2.2.1].
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Remarque :
On peut noter que dans la décomposition de v(x, ) et (
w x,)les termes en cos et sin
ne sont pas complètement indépendants du fait de l'orthogonalité avec les déplacements de
poutre. Ceci permet en outre d'éviter les mouvements de corps rigide, car si
i
o
i
o
vn ,v
1
n1 et
n
w 1, n
w 1 sont indépendants, on peut trouver une solution non nulle donnant des
déformations nulles. Par ailleurs dans l'expression de u(x, )on note l'absence des termes
en cos et sin déjà présents dans la partie poutre.
Si l'on néglige la variation de métrique avec l'épaisseur du tuyau les conditions d'orthogonalité
rigoureuse entre les déplacements de poutre et ceux de la surface du tuyau sont satisfaites.
Dans le cas contraire, pour satisfaire rigoureusement cette condition il faudrait un
développement en série de Fourier des rotations (x,
x
) et ( ,
x ) commençant à
l'ordre 2. Ceci est incompatible avec les hypothèses de Love_Kirchhoff pour ces rotations.
3.2
Loi de comportement
Le comportement du nouvel élément est un comportement 3D en contraintes planes, car le
comportement global de la structure est celui d'une coque mince. Il en résulte que = 0 et la loi de
comportement s'écrit de façon générale de la manière suivante :
xx
pxx + s
xx xx
p
s
+
p
s
x =
C
+
x
x =
C
x
p
s
+
r
x
p
s
xr +
x
x
Dans notre cas on négligera les cisaillements transverses pour la partie coque de notre champ de
déplacement. Il en résulte donc que s
x = s
= 0 . Comme par ailleurs [§2.1.2] on a montré que
p
= 0
=
r
il en résulte que
0
. Pour un comportement élastique on a ainsi :
1
0
0
1
0
0
xx
xx
1
0
0
1
0
0
E
1- v
E
1- v
=
0 0
0
et C =
0 0
0
.
2
x 1- v
2
x
1
2
v
2
-
1- v
1- v
x
0 0
0
x
0 0
0
2
2
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3.3
Travail de déformation
L'expression générale du travail de déformation 3D pour l'élément de coude avec le type de
comportement précité vaut :
l 2 h / 2
W
=
(
+ + + dV
def
xx xx
x
x
x
x )
0 0 -h / 2
où l est l'abscisse curviligne qui vaut l = (R + r sin
) pour un coude où est l'angle parcouru
pour décrire le coude. Dans le cas d'un coude, on a ainsi dV = (R + r sin )
d
rd
d et pour un
tuyau droit dV =
dxrd
d où . est la position dans l'épaisseur du coude qui varie entre -h/2 et
+h/2. Dans la suite, afin d'alléger les notations, on emploiera la seconde expression.
3.4
Energie interne élastique du coude
Dans le cas d'un comportement élastique, l'énergie interne élastique du coude s'exprime de la façon
suivante :
l 2 h
1
/ 2
E
int =
(
( 2
2
+ + 2 ) + G( 2
2
+ ))dV
xx
xx
x
x
2
2
-
0 0 -h
1
/ 2
Cette énergie peut être décomposée en une partie d'énergie de poutre, une partie d'énergie pour la
h / 2 l 2
surface du tuyau et des termes de couplage du type p
. s
xx xx dV .
-h / 2 0 0
3.5
Travail des forces et couples extérieurs
Avec la décomposition des déplacements énoncée en tête de paragraphe, le travail des forces
s'exerçant sur le tuyau s'exprime de la manière suivante :
l +h / 2
2
l
2
+h / 2
2
P
S
P
S
P
S
W
=
F
ext
v.(U + U dV
)
+ s
F .(U + U )(a ± h / )
2 d dx
+ c
F .(U + U )rd d
=
0 -h / 2 0
0 0
-h / 2 0
l +h / 2
2
l
2
+h / 2
2
p
p
p
F
v U
.
dV + s
F U
.
(a ± h / )
2 d dx
+ c
F U
.
rd d
+
0 -h / 2 0
0 0
-h / 2 0
l +h / 2
2
l
2
+h / 2
2
s
s
s
p
s
F
v U
.
dV + s
F U
.
(a ± h / )
2 d dx
+ c
F U
.
rd d
= Wext +Wext
0 -h / 2 0
0 0
-h / 2 0
par simple décomposition linéaire, où v
F , s
F , c
F sont les efforts volumiques, surfaciques et de contour
s'exerçant sur le tuyau, respectivement. On détermine ainsi :
l +h / 2
2
l
2
+h / 2
2
W p
p
=
F U
.
dV
p
+
F U
.
(a ± h
p
ext
v
s
/ )
2
d dx + c
F U
.
rd
d
0 -h / 2 0
0 0
-h / 2 0
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et :
l +h / 2
2
l
2
+h / 2
2
W s
s
=
F U
.
dV
s
+
F U
.
(a ± h
s
ext
v
s
/ )
2
d dx + c
F U
.
rd
d
0 -h / 2 0
0 0
-h / 2 0
Le travail des forces extérieures peut donc être séparé en deux contributions distinctes des mêmes
forces, sur la cinématique de poutre et son supplémentaire.
3.6
Principe du travail virtuel
Il s'écrit de la manière suivante :
p
s
ext
W
= ext
W
+ ext
W
= int
W avec :
l 2 h / 2
W
=
( +
+
+ )dV
int
xx xx
x
x
x
x
0 0 -h / 2
3.6.1 Partie efforts et couples extérieurs pour la partie poutre
La discrétisation du principe du travail virtuel pour les efforts extérieurs donne :
l
W
pext = ( f
x u
x + f y u
y + f z u
z + mxx + my y + mzz dx
) +
0
[x u
x +y u
y +z u
z + µxx + µ y y + µzz ]0,l
f x , f y , f z : forces linéiques agissant suivant x , y et z passant par le centre de gravité des
sections transverses :
+h / 2
2
2
fi =
F .
v e i
rd
d + F .e (a
s
i
± h / )
2
d
où ex ,ey ,ez sont les vecteurs de la base
-h / 2 0
0
curviligne locale.
mx, my, mz : couples linéiques agissant autour des axes x , y et z :
+h / 2
2
2
mi =
(rxF .)
v ei
rd
d + (rxF .)e (a
v
i
± h / )
2
d
où ex ,ey ,ez sont les vecteurs de la base
-h / 2 0
0
curviligne locale.
x ,y ,z : forces concentrées agissant suivant x , y et z passant par le centre de gravité des
sections transverses :
+h / 2
2
i =
F .
c e i
rd
d
où ex ,ey ,ez sont les vecteurs de la base curviligne locale.
-h / 2 0
µx, µy, µz : moments concentrés autour des axes x , y et z :
+h / 2 2
µi = (rxF .) rd d
c ei
où ex,ey ,ez sont les vecteurs de la base curviligne locale.
-h / 2 0
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3.6.2 Partie efforts et couples extérieurs pour la partie coque
On suppose que les efforts extérieurs appliqués sur le coude sont indépendants de l'épaisseur du
coude :
l
2
W s =
(F
ext
xu + Fv + Frw+ Mx + M
x
)
d
d
0 0
2
+ [xu + v + rw + + ]0 l,
d
0
où :
Fx , F ,
r
F : forces surfaciques agissant suivant x , et r :
+h / 2
F =
F .e rd
v
i
+ F .e (a h / )
2
i
s
i
±
où ex ,e ,e
r sont les vecteurs de la base torique locale.
-h / 2
M M
x ,
: couples surfaciques agissant autour de x et :
+h / 2
M =
(e xF ).e rd
r
v
i
+ (± h / 2e xF ).e (a h / )
2
i
r
s
i
±
où ex ,e ,e
r sont les vecteurs de la base
-h / 2
torique locale.
x , ,
r : forces linéiques agissant suivant x , et r :
+h / 2
i = F . rd
c ei
où ex,e ,e
r sont les vecteurs de la base torique locale.
-h / 2
,
x : couples linéiques agissant autour de x et :
+h / 2
i = (e xF ).e rd
r
c
i
où ex,e ,e
r sont les vecteurs de la base torique locale.
-h / 2
Remarque :
Lorsque les forces extérieures appliquées sont indépendantes de le travail extérieur sur la
cinématique de coque est nul excepté celui des forces de pression correspondant aux forces
suivant er . On remarque aussi que les expressions des moments linéique et concentré par
rapport à r sont nulles. On retrouve bien qu'il n'y a pas de moment exercé
perpendiculairement au plan de la coque.
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3.7 Efforts
généralisés
Si S est l'aire de la section transverse S du tuyau, on pose :
N = dS
xx : effort normal au centre de gravité de la section transverse.
S
T = dS = - (sin
+ cos
)dS
y
xy
x
x
et
S
S
T = dS = (sin
- cos
)dS
z
xz
x
x
les efforts tranchants suivant y et z .
S
S
M = ( y - z )dS = - dS
x
xz
xy
x : moment de torsion autour de x .
S
S
M = z dS = - r cos dS
y
xx
xx
: moment de flexion autour de y .
S
S
M = - y dS = r sin dS
z
xx
xx
: moment de flexion autour de z .
S
S
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4
Discrétisation numérique des formulations variationnelles
4.1 Discrétisation des champs de déplacement et de déformation pour
la partie poutre
En un point de la fibre moyenne, le champ de déplacement de poutre est dans le repère curviligne
u
x
u y
local défini au [§2.1] :
p
u
U = z
x
y
z
Ce champ peut être discrétisé de la manière suivante :
N
N
u = H
k
k
k
k ( ) k
u
[ x xk + k
u y y k + k
uz zk ] et = Hk ( )[x xk + y yk + z zk ]
k =1
k =1
Il est à noter que les valeurs nodales sont données dans les repères locaux attachés aux noeuds et
que u et doivent être exprimés dans le repère local associé au point courant.
4.1.1 Poutre
courbe
On obtient alors :
u
u (x .x) u (y .x)
(x .x) (y .x)
x
kx k + k
x
k
x
k
+ k
N
y
k
N
y
k
u
y =
H k
k
x (xk .y) + k
(y .y)
y = H k ( ) k
ux (xk .y) + k
u (y .y)
y
k
et
( )
y
k
k =
u
1
k
u z
k =1
k
z
z
z k
z
z
k
D'après la cinématique de poutre présentée plus haut au [§2.1] :
rr = 0
1
=
(u x - u y - r cos
x
+ r sin
z
- r cos
y
)
R + r sin
,
,
,
= 0
1
2 =
(-u cos
x
- u
cos
y
+ u
sin
z
- r x + r cos2
y
- r sin
z
cos)
R + r sin
,
,
,
+ ( cos
z
+ sin
y
)
1
2 r =
(-u sin
x
- u
sin
y
- u
cos
z
+ r sin
y
cos - r sin 2
z
)
R + r sin
,
,
+ ( sin
z
- cos
y
)
2 r = 0
Sachant que x , = -yety , = x avec de plus
.
x xk = .
y y k = cos( -k ) = Ck et .
y xk = - .
x y k = sin( -k ) = Sk .
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/03/005/A
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Version
6.4
Titre :
Eléments finis de tuyau droit et courbe
Date :
12/12/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. BEN HAJ YEDDER Clé
:
R3.08.06-B Page
: 24/54
Cela implique pour le champ de déformation :
N
1
k
k
k
k
=
[H (kux
cos( - )
k - u y
sin( - )) + H (
k
k -u x
sin( - )
k - u y
cos( - ))
R + r sin
k
k 1
=
- H ( k
k u x
sin( - )
k
k + u y
cos( - )) - rH cos
k
k
( kx
cos( - )
k - ky
sin( - ))
k
- rH cos
k
( kx
sin( - )
k + ky
cos( - )) - rH cos
k
k
( kx
cos( - )
k - ky
cos( - ))
k
+ rH sin
k
k ]
z
= 0
N
1
k
k
=
[-H cos
k
(ux
cos( - )
k - u y
sin( - ))
R + r sin
k
k 1
=
- H cos
k
( k
ux
sin( - )
k
k + u y
cos( - )) - H cos
k
k
( k
u x
cos( - )
k
k - u y
sin( - ))
k
k
+ H u sin -
k z
rHk
( kx
cos( - )
k - ky
sin( - )) - rH (
k
k
k
- x
sin( - )
k - ky
cos( - ))
k
+ rH cos2
k
( kx
sin( - )
k + ky
cos( - ))
k
- rH k k sin
z
cos]
+ H sin
k
( kx
sin( - )
k + ky
cos( - ))
k
+ H k k cos
z
N
1
k
k
=
[-H sin
r
k
(ux
cos( - )
k - u y
sin( - ))
R + r sin
k
k 1
=
- H sin
k
( k
ux
sin( - )
k
k + u y
cos( - )) - H sin
k
k
( k
ux
cos( - )
k
k - u y
sin( - ))
k
k
- H u cos
k z
+ rH sin
k
cos
( kx
sin( - )
k + ky
cos( - ))
k
- rH k k sin 2
z
]
- H cos
k
( kx
sin( - )
k + ky
cos( - ))
k
+ H k k sin
z
Soit sous forme matricielle :
k
u
x
k
u y
P
N
k
u
P
p
U = z
= P P
Bk Uk où k
est le champ de déplacement au noeud k
k
P
k =
1
x
k
y
k
z
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
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6.4
Titre :
Eléments finis de tuyau droit et courbe
Date :
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Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. BEN HAJ YEDDER Clé
:
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: 25/54
et
H
k Ck
- Hk Sk
- r Hk Sk cos
- r HkCk cos
R + r sin
R + r sin
R + r sin
R + r sin
r H
k sin
-
0
2H
k Sk
- 2HkCk
- 2rH
cos
2
cos
R
+ r sin
k Ck
r Hk Sk
R + r sin
R + r
+
sin
R + r sin
R + r sin
0
0
0
0
0
0
- H
+ 2
k Sk cos
- HkC cos
H S (R sin
r)
H C (R sin + 2r
k
k k
k
k
)
B P = R + r sin
R + r sin
H sin
R + r sin
R + r sin
RH cos
k
k
k
- 2H
2
k Ck cos
H S
k k cos
R + r sin
r H
C
r H S
R + r sin
k
k
k k
+
R + r sin
R + r sin
-
+
R + r sin
R + r sin
- HS sin
- HC
k k
k
k sin
R + r sin
R + r sin
- H cos
k
- RH S cos
k k
- RH C cos
k
k
RH sin
k
- 2H C sin
2H S
k
k
k k sin
R + r sin
R + r sin
R + r sin
R + r sin
+
R + r sin
R + r sin
La matrice de passage des déformations au champ de déplacement s'écrit ainsi : P
B =( P
P
B
B
1 L
N )
4.1.2 Poutre
droite
u
k
u
k
x
x
x
x
N
N
u
k
y
= Hk (x) k
u y et y = H k (x)
y
k =
1
k
k =
1
k
uz
uz
z
z
D'après la cinématique de poutre présentée plus haut [§2.1] :
rr = 0
xx = ux x + r sin
z x
- r cos
,
,
y,x
= 0
2
x
= -r x x + ( y + u )sin
z x
+ ( z -u ) cos
,
,
y,x
2 rx = ( z - u ) sin
y x
- ( y + u ) cos
,
z,x
2 r = 0
cela implique pour le champ de déformation :
N
'
'
'
xx =
k
H kux - H k r cos() k
y + H kr sin() k
z
k=1
= 0
N
'
'
'
x = - Hk cos() k
u y + Hk sin() k
uz -
k
H k r x + H k sin() k
y + H k cos() k
z
k=1
N
'
'
rx = (- Hk sin() k
u y - Hk cos() k
uz - H k cos()k
y + H k sin( ) kz )
k=1
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Soit sous forme matricielle :
k
u
x
k
P
u
y
x
P
N
k
u
=
B U
p
U = z
P
P P
k
k où
est le champ de déplacement au noeud k
k
k
x
k =1
x
P
x
k
y
k
z
et :
H k
0
0
0
- rcos()H rsin()H
k
k
0
0
0
0
0
0
P
B
k =
0
-cos()H
sin()H
k
k
- rH k
sin()H k
cos()H k
0
-sin()H k -cos()H k
0
- cos()H k
sin()H k
La matrice de passage des déformations au champ de déplacement s'écrit ainsi : P
B =( P
P
B
B
1 L
N )
4.2 Discrétisation des champs de déplacement et de déformation pour
la partie supplémentaire
N
On discrétise le champ de déplacement pour la surface du tuyau sous la forme :
s
U = Hk (x) s
Uk
k =1
avec :
i
u
i
u
m
k m
i
v
vi
m
k m
i
w
wi
m
k m
o
o
u m
ukm
s
U = o
v et s
U =
k
vo
m = ,
2 M .
m
k m
o
w
o
m
wkm
i
i
w1
w
k1
o
w
o
1
wk1
o
w
o
w
k
On a ainsi :
u(x,) cos(m)
0
0
sin(m)
0
0
0
0
0
v(x,) =
0
sin(m)
0
0
cos(m)
0
sin() - cos() 0 s
U
w(x,) 0
0
cos(m)
0
0
sin(m) cos()
sin()
1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
m= ,
2 M
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si les indices m de s
Uk sont ordonnés de la façon suivante :
i
u
km=2
i
v
km=2
i
wkm=2
o
ukm=2
o
v
km=2
o
wkm=2
M
i
u
s
Uk = km=M
i
vkm=M
i
wkm=M
o
u
km=M
o
vkm=M
o
wkm=M
i
w
k1
o
wk1
o
wk
La cinématique de coque présentée plus haut au [§2.2] est :
=
E + x
= E +
= 2
E
+ 2
= 2
E
= 0
= 2E = 0
4.2.1 Coude
Avec :
1
u
E
=
(
+ v cos
+ wsin)
R + r sin
1 v
E
= (
+ )
w
r
1 u
1
v
2E
=
+
(
- u cos
)
r R + r sin
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et :
1
1
2
w u
cos
w
=
[-
(
-
sin
) -
(
- v)]
R + r sin
R + a sin
2
a
1
2
w
v
= -
(
-
)
2
ar
w
cos
a cos
2
= (
- u sin
)[
+
]
(R + r sin )(R + a sin ) r(R + a sin )2
2
w
1
1
-
[
+
]
a(R + r sin ) r(R + a sin )
v
1
u
1
+
+ (
sin + u cos)
a(R + r sin)
r(R + a sin )
permet de décomposer le champ de déformation de coque sur les modes de Fourier de la façon
suivante :
s
xx
s
N
=
B U
s
s s
k
k avec :
x k=1
s
x
s
Bk =( si
si
so
so
sg
Bkm
B
=2
L
k m=M
B km
B
=2
L
k m=M
Bk )
où
H
k cos m sin
Hk cosm
-
H
cos
sin
sin cos
R + r sin
(R + r sin)(R + a sin)
k
m
Hk
m
(1+
)
1+
R + r sin
(R + a sin)
R + r sin
a
H
k m sin m cos
+
a(R + r sin)
m
1
m2
0
H
1
cos
1
k
+
m
Hk
cosm
r
a
+
r
a
Bsi
km =
m
H cosm cos
-
H
k
k sin m -
r
R + r sin
mH
k sin m
mHk sinm
H 1+
+
k
sin m
cos sin
H
+
+
k cos m
aHk cosm
a
r(R a sin )
a(R r sin )
-
[
+
]
(R + a sin) (R + r sin) r(R + a sin)
R + r sin
cos
cosm H
a cosm H
+
[
k
k
+
]
(cosm cos - msin m sin)
R + a sin (R + r sin) r(R + a sin)
+ H
k
r(R + a sin)
0
0
0
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H
k sin m sin
Hk sinm
-
H
sin
sin
cos
R + r sin
(R + r sin)(R + a sin)
k
m
Hk
m
[1+
]
1+
cos
R + r sin
(R + a sin)
R + r sin
a
H
k m cos m
-
cos
a(R + r sin
)
m
1
m2
0
-
H 1
sin
1
k
+
m
Hk
sin m
r
a
+
r
a
Bso
km = m
H sin m cos
H
k
k cosm -
r
R + r sin
mH
k cosm
mHk cosm
H 1+
-
+
k
cosm
cos sin
H
+
+
k sin m
aHk sinm
a
r(R a sin )
a(R r sin )
-
[
+
]
R + a sin R + r sin
r(R + a sin)
R + r sin
cos
H
aHk sin
k sin m
+
m
[
+
]
(mcosm sin + sin m cos )
R + a sin
sin
(
sin )
+
R + r
r R + a
Hk
r(R + a sin)
0
0
0
et
2H
2
2
k cos sin
Hkcos
Hk (sin
- cos )
Hksin
Hk sin
-
-
R + r sin
(R + r sin)(R + a sin)
R + r sin
(R + r sin)(R + a sin) (R + r sin)
2 H
2
k cos sin
2 H
cos
H
k
k
+
-
a(R + r
-
sin)
a(R + r
(R
sin)
+ a sin)(R + r sin)
2
2
H
1+
H
1+
H
k
k
k
cos
sin
Bsg
r
a
r
a
r
k =
2
2
1+
H cos
k
+
a
1
a
H sin
(R + r sin)(R + a sin)
k
[
]
- H cos
k
[
]
R +
+
r sin r(R + a sin)
R +
+
r sin r(R + a sin)
Ha cos
k
H cos
k
cos
a cos
H sin
k
cos
a cos
+
+
[
+
]
+
[
+
]
r(R + a sin)2
R + a sin R + r sin r(R + a sin)
R + a sin R + r sin r(R + a sin)
0
0
0
4.2.2 Tuyau
droit
Avec :
u
Exx = x
1
v
E
= (
+ w
)
r
v
1 u
2Ex =
+
x
r
xx =
x
1 x
= - a
1
x
2 x =
-
r
x
w
= - x
1
w
= (
v)
x
-
a
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le champ de déformation de coque se décompose sur les modes de Fourier de la façon suivante :
N M
xx =
H (x)
n
(cos i
m unm + sin o
m unm )
x n 1=m=2
2
N
M
-
H (x)
n
o
wn +
i
m wnm +
o
m wnm
2
(cos
sin
)
x n 1
=
m 1
=
1 N
M
i
o
i
o
=
H (x) sin
n
wn - cos
1
w 1n + (sin
m vnm + cos
m vnm )
r n 1
=
m=2
1 N
M
+ H (x)
n
o
wn + (cos i
m wnm + sin o
m wnm )
r n 1
=
m 1
=
N
M
+
H (x) sin
n
i
wn - cos o
i
o
1
w 1n + (sin
m vnm + cos
m vnm )
ar n 1
=
m=2
2
N
M
-
H (x)
n
o
wn +
i
m wnm +
o
m wnm
2
(cos
sin
)
ar n 1
=
m 1
=
N
M
i
o
i
o
x =
H (x)
n
sinwn - cos
1
w 1n + (sin
m vnm + cos
m vnm )
x n 1=
m=2
1 N M
+
H (x)
n
(cos i
m unm + sin o
m unm )
r n 1
= m=2
N
M
+
H (x) sin
n
i
wn - cos o
i
o
1
w 1n + (sin
m vnm + cos
m vnm )
a x
n 1
=
m=2
2
N
M
- +
H (x)
n
o
wn + (cos i
m wnm + sin o
m wnm )
r
r
x n 1
=
m 1
=
x = 0
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Soit encore :
N M
xx = H (x)
n
(cos i
m unm + sin o
m unm )
n 1
= m=2
N
M
- H (x)
n
o
wn + (cos i
m wnm + sin o
m wnm )
n 1
=
m 1
=
1 N
M
i
o
i
o
= H (x)
n
coswn + sin
1
w 1n + (mcos
m vnm - msin
m vnm )
r n 1
=
m=2
1 N
M
+ H (x)
n
o
wn + (cos i
m wnm + sin o
m wnm )
r n 1
=
m 1
=
N
M
+
H (x)
n
cos i
wn + sin
o
i
o
1
w 1n + (mcos
m vnm - sin
m
m vnm )
ar n 1
=
m=2
N
M
+
H (x)
n
( 2
m cos
i
2
m wnm + m sin o
m wnm )
ar n 1
=
m 1
=
N
M
i
o
i
o
x = H (x) sin
n
wn - cos
1
w 1n (sin
m vnm + cos
m vnm )
n 1
=
m=2
1 N M
+ H (x)
n
(- sin
m
i
m unm + mcos o
m unm )
r n 1
= m=2
N
M
+ H (x) sin
n
i
wn - cos
o
i
o
1
w 1n (sin
m vnm + cos
m vnm )
a
n 1
=
m=2
N
M
- + H (x)
n
(- sin
m
i
m wnm + mcos o
m wnm )
r
a n 1
=
m 1
=
x = 0
Ceci donne sous forme matricielle :
s
xx
s
N
=
B U
s
s s
k
k avec :
x k=1
s
x
s
Bk =( si
si
so
so
sg
Bkm
B
=2
L
k m=M
B km
B
=2
L
k m=M
Bk )
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où :
H cos(
k
m )
0
- H cos(
k
m )
m
1
2
m
0
H cos(
k
m ) 1
H cos(m
k
) 1
+
+
si
Bkm
r
a
=
r
a ,
m
- H sin(
k
m )
H sin(
k
m
) 1 +
+ H
m sin(
k
m )
r
a
r a
0
0
0
H sin(
k
m )
0
- H sin(
k
m )
m
1
2
m
0
H sin(
k
m ) 1
H sin(m
k
) 1
-
+
+
so
Bkm
r
a
=
r
a
m
H cos(
k
m )
H cos(
k
m
) 1+
- + H
m cos(
k
m )
r
a
r
a
0
0
0
et
- H cos(
k
)
- H sin(
k
)
- H k
2
2
H k
1 + H cos(
k
)
1 + H sin(
k
)
sg
r
a
r
a
r
Bk
=
2
2
1 +
+ H sin(
k
) - 1 +
+ H cos(
k
)
0
a
r
a
r
0
0
0
4.3
Discrétisation du champ de déformation totale
P
s
xx xx xx
P
s
N
N
N
= + =
B U
B U
B U
B U
P
s
P P
k
k + s
s
k
k =
=
avec
x
x x
k
k
k =1
k =1
k =1
P s
x x x
P
U
B = ( P s
B
k
U =
k B k )k ,
1
= N et
s
Uk k ,1
= N
4.4
Matrice de rigidité
La formulation variationnelle du travail de déformation est :
xx
l
2 h / 2
W
=
def
(xx
x
x ) rd
dxd
0 0 -h / 2
x
x
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Eléments finis de tuyau droit et courbe
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soit encore :
xx
l
2
h / 2
W
=
C
def
(xx
x
x )
rd
dxd
0 0 -h / 2
x
x
l
T
2
h / 2 N
N
W
=
B U
C
B U
rd dxd
def
k k
k k
0 0 -h / 2 k=1
k=1
l
2
h / 2 N
T
T
N
= U B C B U
rd dxd
k
k
k k
0 0 -h / 2 k=1
k=1
2
/ 2
l h
U
1
T
T T
= U
U
B
C B
1
L
M
N
rd dxd
0 0 -h / 2
U
N
U
1
T
T
= U
U
K
1
L
N
M
U
N
Le principe des travaux virtuels s'écrit alors UT
KU = F U
où K est la matrice de rigidité qui
vaut :
l
2
h / 2
K = {BT }
CB rd
dxd
0 0 -h / 2
Remarque :
On ne fait aucune hypothèse sur la loi de comportement. Cette expression est donc en
particulier valide dans le cas des comportements non linéaires (plasticité).
4.5
Matrice de masse
Les termes de la matrice de masse sont obtenus après discrétisation de la formulation variationnelle
suivante des termes d'inertie non centrifuges :
u1(x,,r)
u2 (x,, r)
l
2 +h / 2
u3(x,,r)
W ac
u =
mass =
u&.v
rdxd
d
avec
.
u(x,,r)
0 0 -h / 2
v(x,,r)
(
w x,, r)
Les notations utilisées sont celles du [§2.1] : 1
u ,u2 et u3sont les déplacements de poutre en un point
de la section et u, v et w sont les déplacements de la fibre moyenne de cette section en ce même
point.
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La discrétisation donne alors :
uk
x
u k
y
u k
z
k
x
k
y
k
z
ui
N
km
u = H
k N k v i
km
k 1
=
wi
km
m = ,
2 M
u okm
vo
km
wo
km
wi
k1
wo
k1
wo
k
où les matrices Nk ont pour expression :
x .x y .x 0 - r cos(x .y) - r cos(y .y
k
k
k
k
) r sin
0
0
0
0
0
L
x .y y .y 0
r cos
(x .x)
r cos(y .x
k
k
k
k
)
0
0
0
0
0
0
L
0
0
1 - r sin(x .x) - r sin(y .x)
0
0
0
0
0
0
L
N
k
k
k = 0
0
cos(m
L
)
0
0
sin(m )
0
0
0
0
0
0
0
0
sin(m
L
)
0
0
cos(m )
0
sin( ) - cos( ) 0
0
0
0
0
L
cos(m )
0
0
sin(m ) cos( )
sin( )
1
144444444444 2
4 4
3
44444444444
m=2, M
La matrice de masse a alors pour expression :
l
2 +h / 2
M =
T
N N
rdxd
d
.
0 0 -h / 2
avec
N = (H k Nk )k ,1
= N .
Remarque :
Dans le cas du tuyau droit, on a x .x
k
= y .y
k
=1 et x .y
k
= y .x
k
= 0 .
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4.6
Fonctions de forme
On choisit des fonctions de forme au moins quadratiques pour la partie poutre (déplacements et
rotations) afin d'éviter les phénomènes de blocage numérique [bib3]. Ce choix implique l'utilisation d'un
élément fini à trois ou quatre noeuds. Dans le cas d'un élément à 3 noeuds, les fonctions de forme sont
quadratiques, et pour un élément à 4 noeuds, les fonctions de forme seront cubiques. Pour la partie
supplémentaire, on choisit de prendre les mêmes fonctions de forme que pour la partie poutre.
Les fonctions de forme quadratiques (élément à 3 noeuds) sont les suivantes :
x
x
H1(x) 2
=
-1 -1
l
l
x
x
H 2 (x) 2
=
-1
l l
x x
H3(x)
=- 4 -
1
l l
Les fonctions de forme cubiques (élément à 4 noeuds) sont les fonctions de Lagrange d'ordre 3 :
- - -
H1(x) (
2 )(
3 )(
4 )
= (1 -2)(1 -3)(1 -4)
- - -
H 2 (x)
(
1 )(
3 )(
4 )
= (2 -1)(2 -3)(2 -4)
- - -
H3(x) (
1 )(
2 )(
4 )
=(
3 - 1)(3 - 2 )(3 - 4 )
- - -
H 4 (x)
(
1 )(
2 )(
3 )
=(4 -1)(4 -2)(4 -3)
-1 1
4.7 Intégration
numérique
L'intégration se fait par la méthode de Gauss le long de la fibre moyenne, la méthode de Simpson
dans l'épaisseur et sur la circonférence. Pour l'intégration de Gauss, on utilise 3 points d'intégration
pour les éléments à 3 noeuds, comme pour les éléments à 4 noeuds (ceux-ci sont donc sous-intégrés).
L'intégration dans l'épaisseur est une intégration par couches dont le nombre pourra être fixé
ultérieurement par l'utilisateur. Pour chaque couche on prend 3 points de Simpson, les 2 points
extrémités étant communs avec les couches voisines. Ainsi pour n couches on utilise 2n+1 points. Le
nombre de secteurs pour l'intégration sur la circonférence, pourra aussi être fixé ultérieurement par
l'utilisateur. Actuellement les nombres de couches et de secteurs sont fixés à leur valeur maximale : 3
couches (7 points) et 16 secteurs (33 points), ce qui donne au total 693 points d'intégration.
L'intégration de Simpson revient à calculer la somme des valeurs de la fonction aux points
d'intégrations (les extrémités et le milieu de chaque couche ou secteur) affectées des poids donnés
par le tableau ci-dessous.
Cordonnées des points
Poids
- 3 / 5 = -0,77459 66692 41483
5/9=0,55555 55555 55556
0
8/9=0,88888 88888 88889
3 / 5 =0,77459 66692 41483
5/9=0,55555 55555 55556
Intégration de Gauss sur la fibre moyenne
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1
4
2
4
2
2
4
2
4
1
3
3
3
3
3
..... 3 3 3 3 3
Poids des points d'intégration pour la méthode de Simpson
Ainsi pour une fonction f (x,, ) sur une géométrie droite on a :
l 2 h / 2
1 2 h / 2
~
f (x,, )rdxd = l
d
f x~
( ,, r x
d~
)
dd
2
0 0 -h / 2
-1 0 -h / 2
NPG 2NCOU +1 2NSECT +1
= l
h
2
[
~
w
~
k wn wm rN
f (xNPG ,N
, N
)
COU
SECT
COU
]
2 2NCOU 2N SECT k=1 n=1
m=1
les
k
w
n
w
m
w étant respectivement les poids d'intégration sur la longueur, sur la circonférence et
dans l'épaisseur, ordonnés comme le montrent les deux tableaux ci-dessus.
4.8
Discrétisation du travail extérieur
La formulation variationnelle de l'énergie externe pour la partie poutre s'écrit
:
l
W
pext = ( f
x u
x + f y u
y + f z u
z + mxx + my y + mzz dx
) +
0
[x u
x +y u
y +z u
z + µxx + µ y y + µzz ]0,l
et pour la partie supplémentaire elle s'écrit en prenant en compte uniquement le chargement de
l
pression : W
sext = r
F dx
w +[ r w
]0,l
0
En tenant compte de la discrétisation des déplacements, on peut écrire :
N l
Wp = ( f H (x
k
k
k
k
k
ext
x k )(xk.xux +yk.xu )+ f H (x
y
y
k
)(xk .
y ux + yk .yu ) + f H (x
y
z
k
) uz +
k =1 0
m H (x
k
k
k
k
k
x
k
)(xk .
x x + yk.x ) + m H (x
y
y
k
)(xk .yx + yk .
y
) + m H (x
y
z
k
)
)dx
z
+
[ H (x
k
k
k
k
k
k
y Hk ( x
) uy + z Hk (x
) uz + µx Hk (x
) x + µy Hk (x
) y + µz Hk (x
)
x
k
) ux +
z ]0,l
N
l
l
l
= H
k (x)( f x (x .x)
k
+ f y (x .y)
k
)dx+ [xHk(x)]0,l H
k(x)(fx(y .x)
k
+ f y (y .y)
k
)dx+ [yHk(x)]0,l fzHk(x)dx+[µxHk(x)]0,l
k 1
= 0
0
0
l
l
l
H (x)
p
µ
µ
µ
k
(m (x .x)
k
+ m (x .y)
x
y
k
)dx+[ H (x)] H (x)
x
k
0,l
k (m (y .x)
k
+ m (y .y)
x
y
k
)dx+[ H (x)] m H (x)dx+[ H (x)]
y
k
0,l
z k
z
k
0,l
U k
0
0
0
N
P
p
P
p
=
k
F Uk = F U
k 1
=
et
N
l
W s =
F H (x o
o
ext
r
k
) w dx + [ H (x
k
r
k
) wk ]0,l
k =1 0
N
l
=
0 0 0 0 0 0
F H (x d
) x
+[ H (x
s
r
k
r
k
)]0,l U k
k =1
0
N
s
s
s
s
=
F
kUk = F U
k =1
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Remarque :
Pour les noeuds extrêmes du coude on a x .x
k
= y .y
k
=1 et x .y
k
= y .x
k
= 0 . Dans le cas du
tuyau droit, on a x .x
k
= y .y
k
=1 et x .y
k
= y .x
k
= 0 pour tout l'élément.
5
Caractéristiques géométriques de l'élément de tuyau
On présente dans ce chapitre quelques résultats utiles pour caractériser l'élément tuyau et qui sont
calculés par l'option de calcul MASS_INER du Code_Aster. Dans la suite l'indice d désigne les
résultats pour le tuyau droit et l'indice c pour le tuyau courbe.
l
2 h / 2
V =
rdxdd = 2 lah
d
·
0 0 -h / 2
Volume :
.
l
2 h / 2
2 h / 2
V =
rdxdd =
[R + (a + ) sin (
] a + )d dd = 2 R
ah
c
0 0 -h / 2
0 0 -h / 2
· Centre de gravité : La position de ce dernier est calculée à partir du point milieu aux deux
noeuds extrêmes de l'élément de tuyau, dans le repère associé au noeud interne de l'élément
(cf [§2.1.1]). Dans ce repère, les coordonnées du centre de gravité sont :
x
0
Gd
0
xGc
2
2
1
2
h
y
yGc = -R sin
1
( +
[a +
]) - cos
Gd = 0 et
2
2 2
R
4
2
zGd 0
z
Gc
0
· Matrice d'inertie : Il est relativement aisé de calculer la matrice d'inertie au centre de
courbure du coude O dans le repère défini ci-dessus. Pour avoir son expression on utilise
alors le fait que :
2
I (G) = I (O) - mb
xx
xx
I (G) = I (O)
yy
yy
2
I (G) = I (O) - mb
zz
zz
où b est la distance entre le centre de gravité et le centre de courbure qui vaut :
2
1
2
h
b = R
sin
1
( +
[ 2
a +
]) .
2
2 2
R
4
Dans le cas d'un tuyau droit, la notion de centre de courbure n'a pas de sens. O et G sont confondus
avec le noeud interne de l'élément et le milieu du segment joignant les deux noeuds sommet.
Si on note A l'aire du section transverse et I son inertie par rapport au centre de la section on peut
écrire :
c
I
2
I 1 sin
I (O) = R
( +[AR + 3 ][ +
])
xx
I d (O) = lI
2
2 2
4
xx
c
I
2
I 1 sin
I d (O) = l
(I / 2
2
+ Al /12)
yy
et I
(O) = R
( +[AR + 3 ][ -
])
yy
.
2
2 2
4
I d (O) = l(I / 2
2
+ Al / )
12
zz
c
I
I (O) = R
(
2
AR + 3 )
zz
2
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6 Raccord
tuyau-tuyau
Afin de pouvoir représenter correctement une ligne de tuyauterie où les coudes ne sont pas
coplanaires, il faut choisir une origine commune des . Ainsi pour deux coudes appartenant à deux
plans perpendiculaires entre eux, il faut pouvoir prendre en compte le fait que les déplacements dans
le plan du premier coude sont égaux aux déplacements hors plan du second dans la section droite de
raccordement.
· ·
Ligne génératrice
2
·
·
· ·
1
Figure 6-a : Représentation de deux coudes non coplanaires reliés par un tuyau droit
Dans [bib12], cette origine commune est définie par une ligne génératrice continue le long de la
tuyauterie comme indiqué ci-dessus. Cette génératrice intersecte chaque section transverse en un
point. L'angle entre Z défini sur la [Figure 2.1.1-a] et la droite passant par le centre de la section
transverse et ce point vaut .
6.1
Construction d'une génératrice particulière
Pour une section transverse extrémité de la ligne de tuyauterie, on définit un vecteur origine z1
unitaire dans le plan de cette section. L'intersection entre la direction de ce vecteur et la surface
moyenne du coude détermine la trace de la génératrice sur cette section. On appelle x1, y1, z1 le
trièdre direct associé à cette section où x1 est le vecteur unitaire perpendiculaire à la section
transverse construit à la [Figure 2.1.1-a]. Pour l'ensemble des autres sections transverses, le trièdre
xk ,yk ,zk est obtenu soit par rotation du trièdre xk 1,y
-
k 1 , z
-
k 1
- dans le cas des parties coudées,
soit par translation du trièdre xk 1, y
-
k 1 , z
-
k 1
- pour les parties droites de la tuyauterie. L'intersection
entre la section transverse et la droite issue du centre de cette section dirigée par zk est la trace
d'une génératrice représentée ci-dessous.
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Z
Z
B
z2
x2
génératrice
y2
o
Y
z
1
Z
x1
A
y1
X
Figure 6.1-a : Représentation de la génératrice de référence
L'origine des commune à tous les éléments est définie par rapport à la trace de cette génératrice
sur la section transverse. L'angle entre la trace de la génératrice et la position courante sur la section
transverse est alors appelé .
6.2
Raccord d'un élément à l'autre
La cinématique du [§3.1] est donnée dans le plan du coude. Celui-ci est déterminé par l'arc de cercle
généré par l'axe du coude. L'origine des angles est la normale au plan choisie comme au [§2.1].
Définir l'origine à partir d'une génératrice permet de lever les problèmes de continuité de
déplacements d'un élément à un autre. En effet si on postule que les déplacements relatifs des
M
sections transverses sont du type i
u p cos p + o
u p sin p où est l'angle avec la trace de la
p=1
génératrice sur la section transverse, la continuité des déplacements est automatiquement assurée
d'un élément à l'autre.
On note Z le vecteur perpendiculaire au plan du coude correspondant à l'origine des angles choisie
jusqu'ici. On remarque que les vecteurs Z et zk sont dans le plan de la section k . est l'angle
défini par rapport à Z . Si l'on introduit l'angle compté à partir de la trace de la génératrice sur la
section transverse (donc par rapport à zk ) on a la relation suivante : = - k où = (Z,
)
k
z k
angle entre Z et zk dans le plan de la section transverse. Ainsi les déplacements sont désormais du
M
type i
u p cos p( - k ) + o
u p sin p( - k ) . Il est à noter que pour un coude donné l'angle k
p=1
est identique quelle que soit la section transverse choisie. C'est lors du passage d'un coude à l'autre
que la valeur de k change.
Remarque :
Lorsque la tuyauterie est constituée d'éléments droits colinéaires, on choisit arbitrairement
= 0 .
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6.3
Implantation numérique
La ligne de tuyauterie est maillée par des éléments droits ou courbes à ordonner. Le premier élément
indique le commencement de la ligne de tuyauterie. On détermine pour cet élément le trièdre associé
x1,y1,z1 . Si cet élément est droit, on choisit
0
1 =
, sinon on calcule 1 comme indiqué au
paragraphe précédent. Si le premier élément est droit le trièdre associé à la première section
transverse du deuxième élément x2 , y2 , z2 est obtenu par translation de x1, y1, z1 . Si le premier
élément est courbe, le trièdre associé x2 , y2 , z2 est obtenu par rotation de x1, y1, z1 dans le plan
du coude. Dans ce cas
0
2
2 =
si le deuxième élément est droit et = (z ,
)
2
z2 si le deuxième
élément est courbe où 2
z est construit comme le z de la [Figure 2.1.1-a]. La suite de la construction
se déduit aisément par récurrence du schéma précédent.
7
Raccords coque-tuyau et 3D-tuyau
7.1 Démarche
suivie
On adopte ici un démarche similaire aux cas 3D-poutre [R3.03.03], et coque-poutre [R3.03.06] : il
s'agit de caractériser la liaison entre un noeud extrémité d'un élément tuyau et un groupe de mailles de
bord d'éléments de coques ou 3D. Ceci permet de mailler une partie de la tuyauterie (par exemple un
coude) en coques ou éléments 3D, et le reste en tuyaux droits.
Figure 7.1-a : Liaison entre un maillage COQUE_3D et des tuyaux droits [HI75-98/001]
Grâce à la cinématique introduite dans l'élément tuyau, les liaisons coque - tuyau et 3D - tuyau doivent
permettre de mailler en éléments de coques ou en 3D seulement le coude, sans parties droites,
puisque l'amortissement de l'ovalisation (et du gauchissement) est pris en compte dans l'élément
tuyau.
La liaison se traduit par des relations cinématiques entre les degrés de liberté des noeuds de S (qui
représente la section de raccordement, modélisée par des éléments de bord de coque ou de 3D), et le
noeud N de tuyau.
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Pour que la liaison soit efficace, il faut [R3.03.03] qu'elle vérifie les propriétés suivantes :
1) pouvoir transmettre des efforts de poutre au maillage coques ou 3D, et pouvoir transmettre
tous les degrés de liberté de l'élément tuyau (ou les efforts duaux de ceux-ci),
2) ne pas engendrer dans les éléments de coques ou 3D de contraintes parasites,
3) ne pas favoriser les relations cinématiques ou les conditions statiques les unes par rapport
aux autres,
4) admettre des comportements quelconques et fonctionner en dynamique.
Les relations linéaires auront la même forme que dans le cas coque-poutre, avec des équations
supplémentaires spécifiques aux degrés de liberté du tuyau.
On a déjà introduit au [§3.1] l'espace T des champs associés à un torseur (défini par deux vecteurs) :
T = {vV / (T ,)
que
tel
v(M ) = T + GM}
où pour les champs de déplacement de T , T est la translation de la section (ou du point G ), la
rotation infinitésimale et les champs v sont les déplacements conservant la section S plane et non
déformée (On utilise là encore les hypothèses de NAVIER-BERNOULLI).
Le déplacement du tuyau vaut alors :
t
p
s
p
s
u = u + u
u T u
,
T
où :
T = v V / v w
. =
0 w
T
S
La démarche consiste à décomposer le champ de déplacement de coque c
u ou le champ de
déplacement tridimensionnel 3d
u en trois champs :
c
p
s
u = u + u + u
· un champ de déplacement suivant une cinématique de poutre p
u (torseur),
· un champ de déplacement local de la section suivant la cinématique de tuyau s
u (série de
Fourier) définie au [§3.1],
· un champ supplémentaire
u orthogonal aux deux premiers au sens du produit scalaire.
Remarque :
Lorsque la décomposition en série de Fourier du [§3.1] est infinie on a
u = 0 .
Pour traduire l'équation ci-dessus en relations linéaires, on montre qu'il faut calculer les intégrales
suivantes, pour la coque (ou le 3D) et le tuyau :
· déplacement moyen : c
u dS
S
· rotation moyenne : GM c
u dS
S
GM
· gonflement moyen :
c
u
. dS
S GM
GM
· modes de Fourier
: c
u cos p dS
,
c
u sin p dS
, uc
cos pdS ,
S
S
S
GM
GM
GM
GM
uc
sin p dS
,
. c
u cos pdS ,
. c
u sin p dS
. Pour les
S
GM
S GM
S GM
modes de Fourier on choisira les relations les plus simples à exploiter puisque certaines sont
redondantes (voir remarque du [§6.7]).
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Remarque :
On passe facilement des expressions analytiques du raccord 3D - tuyau à celles du raccord
coque - tuyau. Il suffit de substituer 3d
u à c
u dans l'ensemble des intégrales de
raccordement proposées ci-dessus. On ne reparlera donc de ce raccord qu'au [§7.8] traitant
de l'implantation numérique.
7.2
Cinématique du tuyau.
Dans la base curviligne (o,x,y,z) associée à la section transverse du [§2.1] on note les déplacements
1
u ,u2 et u3 où :
u (r, x,
1
) = u (x)
x
- (x)r cos
y
+ (x)r sin
z
+ u(x,) + (x,)
u (r, x,
2
) = u (x)
y
+ (x)r cos
x
- v(x,) cos - (
w x,) sin + (x,) cos .
u (r, x,
3
) = u (x)
z
- (x)r sin
x
+ v(x,) sin - (
w x,) cos - (x,) sin
Une fois discrétisée cette expression devient :
N
u (r, x,) = H (x)(x .x)uk
k
+ H (x)(y .x)uk
k
- H (x
k
)(x .y)
k
r cos - H (x
k
)(y .y)
k
r cos + H (x k
) r sin + u(x,) + (x
1
k
x
k
y
k
y
k
y
k
z
, )
k =1
N
u (r, x,) = H (x)(x .y)uk
k
k
x r
+ Hk x
y r
- v x
- w x
+ x
k
+ H (x)(y .y)uk
k
+ H (x
2
k
x
k
y
k
)(xk .x)
cos
( )(yk .x)
cos
( , ) cos
( , ) sin
( , ) cos
k =1
N
u (r, x,
3
) = H (x) k
u - H (x)(x
k
k
k
z
k
x r - Hk x
y r + v x
- w x
- x
k .x)
sin
( )(yk .x)
sin
( , ) sin
( , ) cos
( , ) sin
k =1
où u(x, ),v(x, ), (
w x,), (x,) et (x,)sont discrétisés comme au [§3.1].
Le déplacement en un noeud k d'abscisse xk extrémité de tuyau s'écrit alors :
M
u (r, x ,) = uk
k
- r
k
cos + r sin + (ui cosm + uo sinm) + (x
1
k
x
y
z
km
km
k , )
m=2
M
M
u (r, x ,) = uk
k
+ r cos - cos(vi sinm + vo cosm) - sin(wi cosm + wo sinm
2
k
y
x
km
km
km
km
)
m=2
m=2
- wi sin2 + wo cos2 - wo
+
k1
k1
k sin
(
xk , ) cos
M
M
u (r, x ,
3
) = uk
k
- r sin + sin
(vi sin m + vo cosm) - cos
(wi cosm + wo sin m
k
z
x
km
km
km
km
)
m=2
m=2
- wi cos
1
2 - wo sin
1
2 - wo cos - (x
k
k
k
k , ) sin
GM
Pour le tuyau le vecteur moment cinétique GM u(M ) et le gonflement
.u(M ) ont pour
GM
expressions respectives :
-u (x)r sin
z
+ u (x)r cos
y
+ 2
r (x)
x
- rv(x,)
GM u(M ) =
- ru (r, x,
1
) cos
,
ru (r, x,
1
) sin
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et :
GM .u(M) = u
- (x) cos
z
- u (x) sin
y
+ (
w x,) .
GM
Remarque :
La première composante du champ de déplacement fait intervenir u(x, ) de façon isolée. Il
en va de même pour la première composante du vecteur rotation vis-à-vis de v(x, ) et du
gonflement vis-à-vis de (
w x,). Cette remarque sera utilisée au [§5.6] pour lier les modes de
Fourier aux degrés de liberté des bords de coque.
7.3
Cinématique de coque
La cinématique de coque de Love-Kirchhoff ou de Naghdi-Mindlin s'écrit dans l'épaisseur :
uc (M ) = uc (Q)+ ( c
(Q) n
).y3
·
c
u (Q) constitue le vecteur déplacement de la surface moyenne en Q ,
·
c
(Q) constitue le vecteur rotation en Q de la normale selon les directions t1 et t2 du plan
tangent à Q .
x3
y3
n
M
y3
h
Q
Q y
t =e
2
e
1
1
3
e
Section de coque :
2
G
e
S = l × I
1
x1 l : ligne des points Q sur le feuillet moyen
h
h h
I = - , intervalle décrivant l'épaisseur.
2 2
Ce déplacement et cette rotation sont calculés dans le repère global. Il est possible par changement
de repère d'avoir leurs expressions dans la base curviligne (o,x,y,z) du [§2.1] associée à la section
transverse de la jonction entre la coque et le tuyau.
Pour chaque noeud, le programme calcule les coefficients des 9+6(M-1) relations linéaires qui relient :
· les 6 ddl du noeud de poutre P du tuyau,
· les 2+3x2(M-1) ddl de Fourier du tuyau,
· le ddl de gonflement du tuyau,
· avec les ddl de tous les noeuds de la liste des mailles du bord de coque.
Ces relations linéaires seront dualisées, comme toutes les relations linéaires issues par exemple du
mot clé LIAISON_DDL de AFFE_CHAR_MECA. Elles sont construites comme pour la liaison 3D-poutre a
partir de l'assemblage de termes élémentaires.
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7.4
Calcul du déplacement moyen sur la section S
Il s'agit de calculer l'intégrale c
u dS , où c
u est le déplacement de coque (comportant 6 ddl par
S
noeud), S est le bord de coque.
Le déplacement moyen sur la section S s'écrit :
uc(
/ 2
M )dS =
h
h uc Q dl
c
Q n
y dy dl
S
( ) +
l
( ( ) )
l
3
3
-h/2
soit c
u (M )dS = h c
u Q dl .
S
( )
l
Par ailleurs on a aussi pour la partie tuyau :
k
u
k
u
x
x
uc(M )dS =
p
s
[u M
u M dS
]
u dS
S u
.
S
( )+ ( ) = k
y
= k
S
y
S k
u
k
u
z
z
On établit ainsi que le déplacement moyen de la section du tuyau au noeud k est égal au
déplacement de poutre du noeud k . On peut ainsi lier linéairement les degrés de liberté de poutre de
translation au noeud k avec la moyenne des degrés de liberté de déplacement du bord de la coque.
On néglige dans cette expression la variation de métrique dans l'épaisseur de la coque.
7.5
Calcul de la rotation moyenne de la section S
GM uc(
/ 2
M )dS =
h
GQ y n Q
u c Q
c
Q n Q y dldy
S
l ( + 3 ( ) ( ( )+ ( ) ( ) 3)
-h / 2
3
=
/ 2
hGQ uc(Q)dl +
h
GQ
c
Q n Q dl
y dy
l
( ( ) ( ))
l
-h/2 3 3
h
+ n(
/ 2
Q) uc (Q)
h
y dy dl
n Q
c
Q
n Q 2 y2 dy dl
.
l
3
3
+
-h/2
( ) ( ( ) ( ))
l
3
3
-h2
3
c
c
h
soit GMu (M )dS
.
= hGQu (Q)dl + c
(Q)dl .
S
l
l
12
Par ailleurs on a aussi pour la partie tuyau :
r2 k
k
x
x
GM uc
( M)dS = GM
2
2
k
k
[
]
cos
.
S
up( M) + us( M) ds =
S
r
y dS = I y
S r2
2
k
k
sin
z
z
où I est le tenseur d'inertie de la poutre. On établit ainsi que la rotation moyenne de la section du tuyau
au noeud k est égale à la rotation de poutre au noeud k . On peut ainsi lier linéairement les degrés de
liberté de poutre de rotation au noeud k avec les degrés de liberté de rotation du bord de la coque.
On néglige dans cette expression la variation de métrique dans l'épaisseur de la coque.
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7.6
Calcul du gonflement moyen de la section S
c
c GM
GM
GQ
Il s'agit de calculer l'intégrale u n
. dS = u .
dS , où n =
=
est la normale à la
S
S
GM
GM
GQ
surface moyenne de coque.
Le déplacement moyen sur la section S s'écrit :
/ 2
uc (M )n
. dS =
h
h uc Q n
. dl
c
Q n n
.
y dy dl
h uc Q n
. dl .
S
( ) +
l
( ( ) )
l
3
3
=
-h / 2
( )
l
Par ailleurs on a aussi pour la partie tuyau :
GM c
GM
.u (M )dS
p
=
.[u (M )
s
+ u (M ) dS
]
= wodS
k
S
S
GM
GM
S
On établit ainsi que le gonflement moyen de la section du tuyau au noeud k est égal au degré de
liberté de gonflement du tuyau au noeud k . On peut ainsi lier linéairement le degré de liberté de
gonflement de tuyau au noeud k avec les degrés de liberté de déplacement du bord de la coque.
On néglige dans cette expression la variation de métrique dans l'épaisseur de la coque.
7.7
Calcul des coefficients de Fourier sur la section S
GM
Il s'agit de calculer les six intégrales c
u cos p dS
, c
u sin p dS
, uc
cos pdS ,
S
S
S
GM
GM
GM
GM
uc
sin p dS
,
. c
u cos pdS et
. c
u sin p dS
, où c
u est le
S
GM
S GM
S GM
déplacement de coque (comportant 6 ddl par noeud), S est le bord de coque.
On a la relation suivante pour les déplacements sur la section S :
uc(
/ 2
M )cos p dS
=
h
h uc Q cos p dl
c Q n
y dy cos p dl
3
3
S
( )
+
l
( ( ) )
l
-h/2
soit c
u (M )cos p dS
= h c
u Q cos p dl
et c
u (M )sin p dS
= h c
u Q sin p dl
.
S
( )
S
( )
l
l
Par ailleurs on a aussi pour la partie tuyau :
u (r, x
1
k , )
c
u (M )cos p dS
= u (r, x ,
2
)cos p dS
k
.
S
S u (r, x
3
k , )
La première composante de cette relation nous permet alors de relier linéairement le coefficient de
Fourier i
ukp aux composantes des déplacements du bord de coque de la manière suivante :
- r k
cos2 dS
si p 1
=
y
c
h u (Q) cos
S
1
p dl
= u (r, x ,)cos
1
p dS
=
S
k
l
ui cos2 p dS
si p
kp
1
S
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u (r, x
1
k , )
De même c
u (M )sin p dS
= u (r, x ,
2
)sin p dS
k
d'où l'on en déduit que :
S
S u (r, x
3
k , )
r k
sin2 dS
si p
1
=
z
c
h u (Q)sin
S
1
p dl
= u (r, x ,)sin
1
p dS
=
S
k
l
uo sin 2 p dS
si p
kp
1
S
On a la relation suivante pour les rotations sur la section S :
+h / 2
uc(
GM
c
GQ
M ) .
cos p dS
= h u (Q)
cos p dl
+ ( c(Q) n) n( y dy )cos p
3
3
dl
.
S
l
l
GM
GQ
-h / 2
La première composante de cette relation nous permet alors de relier linéairement le coefficient de
Fourier o
vkp aux composantes des déplacements et des rotations du bord de coque de la manière
suivante :
- [ k
ru cos2
y
+
o
rw cos2 ]dS si p
1
k1
=
GQ
h[uc(Q)
] cos
S
1
p dl
=
l
GQ
o
rv cos2 ( p)dS
si p
kp
1
S
De même on a :
[ k
ru sin 2
z
+
i
rw sin 2 ]dS
si p 1
k1
=
GQ
h[uc(Q)
] sin
S
1
p dl
=
l
GQ
i
rv sin 2 ( p)dS
si p
kp
1
S
On a la relation suivante pour le gonflement sur la section S :
GM
GQ
. c
u (M ).cos p dS
= h
. c
u Q cos p dl
.
S
( )
l
GM
GQ
Cette relation nous permet de relier linéairement le coefficient de Fourier ikp
w aux composantes des
déplacements du bord de coque de la manière suivante :
[- k
u cos2
z
+
i
w cos2 ]dS si p
1
k1
=
GQ
h
. c
u (Q)
cos p dl
= S
.
l GQ
i
w cos2 ( p)dS
si p
kp
1
S
De même, on a :
- k
u sin 2
y
+
o
w sin 2 dS
si p 1
k1
=
GQ
h
. c
u (Q)
sin p dl
= S
l GQ
o
w sin 2 ( p)dS
si p
kp
1
S
On utilise pour toutes ces relations le fait que cos p cosq dS
= 0
si p q.
S
On néglige dans cette expression la variation de métrique dans l'épaisseur de la coque.
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Remarque :
On peut noter que certaines des relations établies dans ce paragraphe pour p=1 sont
redondantes avec celles établies aux paragraphes [§7.4] et [§7.5]. Sur les six relations
établies à partir du calcul des formes intégrales
uc cosdS
,
uc sindS
,
S
S
c
GM
c
GM
GM
GM
u
cos dS ,
u
sindS ,
uc
.
cos dS
et
uc
.
sindS
, seules
S
GM
S
GM
S GM
S GM
deux parmi les quatre dernières sont linéairement indépendantes des autres. Ainsi les deux
premières ont déjà été établies au [§7.4] et des combinaisons des quatre dernières redonnent
celles du [§7.5].
7.8
Implantation de la méthode
Le calcul des coefficients des relations linéaires se fait en trois temps :
· calcul de quantités élémentaires sur les éléments de la liste des mailles de bords de coques
(maille du type SEG2) :
- surface
=
1 ;
x ;
y ;
z .
elt
elt
elt
elt
-
sommation de ces quantités sur ( S ) d'où le calcul de :
-
A = S
- position
de
G .
· connaissant G , calcul élémentaire sur les éléments de la liste des mailles de bords de
coques de :
GM = {x, y, z}
Ni ;
xNi ;
yNi ;
zNi
:
où
elt
elt
elt
elt
Ni =
l'
de
forme
de
fonctions
élément
Il faut remarquer que dans le cas du raccord coque - tuyau, les intégrales sur les éléments de bord
sont à multiplier par l'épaisseur de la coque : N h N où l représente la fibre moyenne de
i =
i
elt
l
h3
l'élément de bord de coque. De plus, on ajoute le terme supplémentaire :
N .
i
12 l
· "assemblage" des termes calculés ci-dessus pour obtenir en chacun des noeuds de la section
de raccordement, les coefficients des termes des relations linéaires,
· liaison entre les modes de Fourier et les déplacements de coque comme montrée au début
du [§7].
Plus précisément :
· pour le raccord coque - tuyau, on effectue des calculs élémentaires sur tous les éléments de
bord de la section de raccordement S du type :
u c
c
n
u
2
2 x
Nb
éléments S 2
x
u
u
P
cm = 1
c cos(
1
c
1
m )d =
u cos
c
(m )d =
cos(m ) u d
y
c
n
0
0
=
u
1
n
c
1
u
r
z
et
u c
c
n
u
2
2 x
Nb
éléments S 2
x
u
u
P
sm = 1
c sin(
1
c
1
m )d =
u sin
c
(m )d =
sin(m ) u d
y
c
n
0
0
=
u
1
n
c
1
u
r
z
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si m > 1 où P est la matrice de passage du repère local de l'élément au repère global et la
1
position orthoradiale de l'élément. En exprimant le déplacement en fonction des degrés de liberté
nodaux :
i
u
n
n
U
m
Nbél
éments S 2
Nb _ noeuds
x
u
cm =
1
o
v
cos m P
N U
d
m =
( ) n( ) n
i
y
n=1
n
n=
w
1
1
n
U
m
z
et
o
u
n
n
U
m
Nb
éléments S 2
Nb _ noeuds
x
u
sm =
1
i
v
sin m P
N U
d
m =
( ) n( ) n
o
y
n=1
n
n=
w
1
1
n
U
m
z
où les N sont les fonctions de forme de l'élément, on obtient pour chaque calcul deux fois
9 coefficients aux noeuds de l'élément courant de S :
i
u
a
a
a
U
m
11
12
13
n
Nb _ noeuds
x
o
ucm = v
a
a
a
U
.
m =
21 22 23 n
i
y
éléments S
n=1
w
a
a
a
n
U
m
31
32
33
z
2
l
1
1
n
a
cos m P N d
cos mx P x N x dx
ij =
( ) ij( ) n( ) = ( ) ij( ) n( )
R
0
1
et une expression équivalente pour u
où I est la longueur de l'élément de bord de coque.
sm
· pour le raccord 3D - tuyau, on effectue des calculs élémentaires sur tous les éléments de
bord de la section de raccordement S du type :
u 3d
x
u
= 2 u3d
cm
(
2
cos m )dS = u 3d cos
(m )rd d
S
S
S
S u 3d
r
3
n n
d
U n
Nb
éléments S h
2 2
Nb _
x
noeuds
= 2
cos(m)P N (, ) U3 rdd
n
d
y
S
n=1
n n
n=
h
1
3d
1 1
U z
et
u 3d
x
usm = 2 3d
2
u c sin(m )dS = u 3d sin
(m )rd d
S
S
S
S u 3d
r
3
n n
d
U n
Nb
éléments S h
2 2
Nb _
x
noeuds
= 2
sin(m)P N (, ) U3 rdd
n
d
y
S
n=1
n n
n=
h
1
3d
1 1
U z
si m > 1 où P est la matrice de passage du repère local de l'élément au repère global, la position
1
orthoradiale de l'élément, h sa position radiale et les N sont les fonctions de forme de l'élément.
1
Manuel de Référence
Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
HT-66/03/005/A
Code_Aster ®
Version
6.4
Titre :
Eléments finis de tuyau droit et courbe
Date :
12/12/03
Auteur(s) :
P. MASSIN, J.M. PROIX, A. BEN HAJ YEDDER Clé
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R3.08.06-B Page
: 49/54
8
Implantation de l'élément TUYAU dans le Code_Aster
8.1 Description
Ce nouvel élément (de nom METUSEG3) s'appuie sur une maille SEG3 ou SEG4 curviligne. Il suppose
que la section du tuyau est circulaire. Contrairement aux éléments POU_D_E, POU_D_T, [R3.08.01] cet
élément n'est pas <<exact>> aux noeuds pour des chargements ou torseurs concentrés aux
extrémités. Il faut donc mailler avec plusieurs éléments pour obtenir des résultats corrects.
8.2
Utilisation et développements introduits
L'élément s'utilise de la façon suivante :
AFFE_MODELE ( MODELISATION = 'TUYAU_3M' ...)
Les mailles à 4 noeuds sont générées à partir des mailles à 3 noeuds à l'aide de :
MAIL =CREA_MAILLAGE( MAILLAGE=MAIL,
MODI_MAILLE=_F( OPTION = 'SEG3_4', TOUT = 'OUI')
)
On fait appel a la routine INI090 pour les fonctions de forme, leurs dérivées et leurs dérivées
secondes (pour la partie coque) aux points de Gauss, ainsi que les poids correspondants.
Les caractéristiques de la section sont définies dans AFFE_CARA_ELEM
AFFE_CARA_ELEM ( POUTRE = _F(SECTION = 'CERCLE' ,
CARA = ( 'R' 'EP' ),
VALE = (.......) , ) ,
ORIENTATION=_F(GROUP_NO=D,CARA='GENE_TUYAU',VALE=(X Y Z),),
TUYAU_NCOU ='NOMBRE DE COUCHES', TUYAU_NSEC ='NOMBRE DE SECTEURS',),
)
R et EP représentent, comme pour les éléments de poutres classiques, respectivement le rayon
externe et l'épaisseur de la section. On définit aussi sur l'un des noeuds extrémité de la ligne de
tuyauterie le vecteur dont la projection sur la section transverse est l'origine des angles pour la
décomposition en série de Fourier. Ce vecteur ne doit pas être colinéaire à la ligne moyenne du coude
au noeud extrémité considéré.
On définit aussi à ce niveau le nombre de couches et de secteurs angulaires à utiliser pour l'intégration
numérique.
AFFE_CHAR_MECA ( DDL_IMPO = _F (
DX =..,DY =..,DZ =..,DRX =..,DRY =..,DRZ =..,DDL de poutre
UI2 =..,VI2 =..,WI2 =..,UO2 =..,VO2 =..,WO2 =..,DDL liés au mode 2
UI3 =..,VI3 =..,WI3 =..,UO3 =..,VO3 =..,WO3 =..,DDL liés au mode 3
WO =..,WI1 =..,WO1 =..,
DDL de gonflement et mode 1 sur W
FORCE_NODALE = _F (FX =.., FY =.., FZ =.., MX =.., MY =.., MZ =.. )
Il s'agit des forces classiques de poutre, qui ne travaillent que sur les déplacements de poutre.
Ajout d'un mot-clé dans AFFE_CHAR_MECA(FORCE_TUYAU = _F (PRES =.. )) pour le calcul du
travail de la pression interne.
La pression travaille sur le DDL de gonflement WO, on calcule alors :
N
l
2
l
N
2
l
o
o
2
o
W
=
pw r ddx =
p
H w r ddx =
0 0
int
0 0
int
H
pr d dx w
pres
k
k
k
0
k
0
int
k =1
k =1
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Fascicule R3.08 : Eléments mécaniques à fibre moyenne
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Version
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Titre :
Eléments finis de tuyau droit et courbe
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8.3
Calcul en élasticité linéaire
La matrice de rigidité et la matrice de masse (respectivement les options RIGI_MECA et MASS_MECA)
sont intégrées numériquement dans le TE0582. Le calcul tient compte du fait que les termes
correspondant aux DDL de poutre sont exprimés classiquement en repère global, et que les DDL de
Fourier sont dans le repère local à l'élément. Dans le cas ou l'élément n'appartient à aucun coude, ce
repère local est défini par la génératrice et le vecteur directeur porté par la fibre moyenne de l'élément
comme indiqué sur la [Figure 8.3-a]. Dans le cas où l'élément appartient à un coude, le repère local
est défini à partir du plan du coude comme mentionné au [§2.1].
Z
y
z
x
Z
o
Y
génératrice
X
Figure 8.3-a : Repère local pour un tuyau droit
Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· EPSI_ELGA_DEPL et SIEF_ELGA_DEPL qui fournissent les déformations et les contraintes
aux points d'intégration dans le repère local de l'élément. Le calcul s'effectue dans le TE0584,
et donne actuellement les valeurs aux 693 points d'intégration (pour un élément à 3 modes de
Fourier). Ces champs sont appelés champs à « sous-points » d'intégration. On stocke ces
valeurs de la façon suivante :
-
pour chaque point de Gauss dans la longueur, (n=1, 3)
-
pour chaque point d'intégration dans l'épaisseur, (n=1, 2NCOU+1=7)
-
pour chaque point d'intégration sur la circonférence, (n=1, 2NSECT+1=33)
-
6 composantes de déformation ou de contraintes :
EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ
où X désigne la direction donnée par les deux noeuds sommets de
l'élément, Y représente l'angle décrivant la circonférence et Z représente
le rayon. EPZZ et EPYZ correspondant à ,
dans le cas des
rr
r
déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à ,
dans le cas des
rr r
contraintes sont prises égales à zéro.
· EFGE_ELNO_DEPL : qui donne les efforts généralises de poutre classiques : N, VY, VZ,
MT, MFY, MFZ. Ces efforts sont donnés dans le repère curviligne local de l'élément. Cette
option est calculée dans le TE0585.
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· SIGM_ELNO_TUYO, et VARI_ELNO_TUYO permettent, à partir des champs SIEF_ELGA ou
VARI_ELGA, et de la donnée d'une position angulaire et d'une position dans l'épaisseur, de
calculer les contraintes ou variables internes aux noeuds des éléments, à cette position. On
obtient alors un champ sans sous-points, c'est à dire un champ classique, utilisable pour des
opérations de post-traitement (par exemple le relevé d'une composante de contraintes le long
l'une ligne de tuyauterie).
· Les options EQUI_ELGA_SIGM et EQUI_ELGA_EPSI permettent le calcul des invariants, en
chaque point d'intégration (champs à « sous-points »)
· L'option VALE_NCOU_MAXI permet d'extraire, en chacun des 3 points de Gauss linéiques
d'un élément, les valeurs maximum et minimum d'une composante d'un champ.
· En version 7, on peut extraire d'autres champs en un point de la section : EPSI_ELNO_TUYO
pour les déformations, SIEQ_ELNO_TUYO pour les contraintes équivalentes,
EPEQ_ELNO_TUYO pour les déformations équivalentes.
Enfin le TE0585 calcule aussi l'option FORC_NODA pour l'opérateur CALC_NO.
8.4
Calcul en plasticité
La matrice de rigidité tangente(options RIGI_MECA_TANG et FULL_MECA) ainsi que le projection
plastique (options FULL_MECA et RAPH_MECA) sont intégrées numériquement dans le TE0586. On fait
appel à l'option de calcul STAT_NON_LINE. Toutes les lois de contraintes planes disponibles dans le
Code_Aster peuvent être utilisées : si elles ne sont pas intégrées directement, il est toujours possible
d'utiliser une loi de comportement formulée en déformation plane, et de traiter l'hypothèse de
contraintes planes à l'aide de la méthode de Borst :
STAT_NON_LINE (...
COMP_INCR = _F (RELATION =' ', ALGO_C_PLAN='DEBORST'),
.....)
Les calculs élémentaires (CALC_ELEM) disponibles actuellement correspondent aux options :
· SIEF_ELNO_ELGA qui permet d'obtenir les efforts généralisés par élément aux noeuds dans le
repère de la poutre. Cette option est calculée dans le TE0587.
· VARI_ELNO_ELGA qui calcule le champ de variables internes par élément aux noeuds pour
toutes les couches et tous les secteurs, dans le repère local de l'élément. Cette option est
calculée dans le TE0587.
8.5
Test : SSLL106A
Il s'agit d'un tuyau droit de vecteur directeur (4, 3, 0) fixé en son extrémité O et qui est maillé avec 18
éléments TUYAU.
y
B
x
Y
3
L
z
O
X
O
4
L = 5
Z
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Le tuyau est soumis à différent types de charge :
· un effort de traction,
· 2 efforts tranchants,
· 2 moments de flexion,
· 1 moment de torsion,
· une pression interne.
On calcule les déplacements au point B, les déformation et les contraintes en certains points
d'intégration de la section contenant B, ainsi que les premiers modes propres.
Ceci permet de tester les DDL de poutre, le DDL de gonflement et les modes 1 du développement en
série de Fourier.
9 Conclusion
Les éléments finis de coude que nous décrivons ici sont utilisables pour des calculs de tuyauterie en
élasticité ou en plasticité. Les tuyauteries peuvent être soumises à divers chargements combinés -
pression interne, flexions planes et anti-planes, torsion, extension.
Pour le moment, l'élément réalisé est un élément linéique de type poutre, droit ou courbe, à trois
noeuds, en petites rotations et déformations, avec un comportement élasto-plastique local en
contraintes planes. Il permet de prendre en compte l'ovalisation, le gauchissement et le gonflement. Il
combine les propriétés de coques et de poutres. La cinématique de poutre pour l'axe du coude est
augmentée d'une cinématique de coque, de type Love-Kirchhoff sans cisaillement transverse, pour la
description du comportement des sections transverses. Cette dernière cinématique est discrétisée en
M modes de Fourier, dont le nombre M, que la littérature nous incite à choisir égal à 6 [bib8], [bib13],
doit à la fois être suffisant pour obtenir de bons résultats en plasticité et pas trop grand pour limiter le
temps de calcul. En élasticité, pour des tuyauteries relativement épaisses (le rapport épaisseur sur
rayon de la section transverse supérieur à 0.1), on peut se contenter de M=2 ou 3.
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10 Bibliographie
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ABAQUS : "Theory manual" Hibbit, Karlsson and Sorensen Inc. (1984) chapitre 4.4.1
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K.J. BATHE and C.A. ALMEIDA : "A simple and effective pipe elbow element-linear analysis" ,
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Hermès, Paris, 1992.
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Vibration (1975) 39(2), pp.135-146.
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H.D. HIBBIT & E.K. LEUNG : "An approach to detailed inelastic analysis of thin-walled
pipelines", ASME Special Pub., "Nonlinear Finite Element Analysis of Shells"(1981).
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A. KANARACHOS, R.N. KOUTSIDES : "A new Approach of Shell displacements in a
Beam-Type pipe element ", Proc. 8th Int. Conf. SMIRT, paper B9/2, Bruxelles (1985).
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P. MASSIN, A. BEN HAJ YEDDER : "Bibliographie pour le développement d'un élément
coude avec pression interne et plasticité locale", Note HI-74/97/026, EDF-DER 1998.
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A. MILLARD : "An enriched beam finite element for accurate piping analysis ", Proc. 14th Int.
Conf. SMIRT, Lyon (1997).
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[15]
J. PELLET : "Raccord 3D-poutre", Documentation de Référence du Code_Aster [R3.03.03].
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J.M. PROIX
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F. VOLDOIRE, C. SEVIN : "Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D", Documentation
de Référence du Code_Aster [R3.07.01].
[18]
J.M. PROIX, P. MIALON, M.T. BOURDEIX : "Eléments exacts de poutres droites et courbes",
Documentation de référence du Code_Aster [R3.08.01].
Manuel de Référence
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