Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
1/16
Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
Document : R4.06.04
Réponse transitoire par sous-structuration
dynamique classique
Résumé :
Ce document présente les bases théoriques des deux méthodes de calcul de réponse transitoire par
sous-structuration dynamique implémentées dans le Code_Aster.
La première méthode consiste à réaliser un calcul transitoire par sous-structuration pour lequel les équations du
problème sont projetées sur les bases associées à chaque sous-structure. La seconde méthode consiste à
déterminer les modes propres de la structure complète par sous-structuration et à projeter sur cette base les
équations du problème transitoire.
Dans les deux cas, seul le cas d'une excitation par force imposée sur les sous-structures est actuellement
disponible.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
2/16
Table des matières
1 Introduction............................................................................................................................................ 3
2 Calcul transitoire par projection sur les bases des sous-structures ...................................................... 5
2.1 Equations dynamiques vérifiées par les sous-structures séparément............................................ 5
2.2 Assemblage des sous-structures .................................................................................................... 6
2.3 Equations dynamiques vérifiées par la structure globale ................................................................ 6
2.4 Double dualisation des conditions aux limites................................................................................. 7
2.5 Traitement de la matrice d'amortissement...................................................................................... 8
2.6 Traitement des conditions initiales .................................................................................................. 8
3 Calcul transitoire sur une base modale calculée par sous-structuration............................................... 9
3.1 Calcul des modes propres de la structure complète par sous-structuration................................... 9
3.2 Equation dynamique vérifiée par la structure globale ..................................................................... 9
4 Etude comparative des deux méthodes développées......................................................................... 11
5 Mise en oeuvre dans le Code_Aster .................................................................................................... 12
5.1 Etude des sous-structures séparément ........................................................................................ 12
5.2 Assemblage du modèle généralisé ............................................................................................... 12
5.3 Calcul de la base modale de la structure complète et projection.................................................. 13
5.4 Résolution et restitution sur base physique................................................................................... 13
6 Conclusion........................................................................................................................................... 14
7 Bibliographie........................................................................................................................................ 15
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
3/16
1 Introduction
Les composants de centrale nucléaire sont souvent de taille importante, de géométrie complexe et
parfois constitués d'un assemblage de plusieurs éléments. Pour modéliser la dynamique de ces
structures, les outils d'analyse vibratoire classiques sont alors mal adaptés et il est nécessaire d'avoir
recours à des méthodes de réduction telles les techniques de synthèse modale qui ont été
développées dans le Code_Aster.
Les méthodes de synthèse modale associent des techniques issues de la sous-structuration et de la
recombinaison modale [bib4]. Ainsi, le domaine d'étude est découpé en plusieurs sous-structures et le
comportement vibratoire de la structure complète est déterminé en fonction des caractéristiques
vibratoires de chacune d'entre elles. Par ailleurs, chaque sous-structure, est représentée par une base
de projection particulière, composée de modes propres et de déformées statiques d'interface, sur
laquelle sont projetées les équations du problème ([R4.06.02], [R4.06.03] et [bib4]).
Du point de vue purement informatique, ces méthodes présentent deux avantages importants. D'une
part, elles permettent de limiter la taille mémoire nécessaire au stockage des grandeurs utilisées lors
du calcul et d'autre part, les temps de calcul sont généralement très réduits. Du point de vue de
l'organisation d'un projet d'étude, les techniques de sous-structuration sont particulièrement
intéressantes car elles permettent de valider, étape par étape, les modèles des sous-structures. Les
difficultés liées à la modélisation d'une structure complexe peuvent donc être abordées séparément, ce
qui en rend les résolutions plus aisées.
Plusieurs outils de calcul par sous-structuration dynamique sont actuellement disponibles dans le
Code_Aster. Ils permettent de réaliser des calculs modaux [R4.06.02] et des calculs de réponse
harmonique [R4.06.03]. Les travaux réalisés pour implanter le calcul de réponse harmonique par
sous-structuration dynamique dans le Code_Aster, ont conduit à définir le traitement du vecteur des
forces extérieures et de la matrice d'amortissement visqueux.
L'objet de cette documentation de référence est de présenter les bases théoriques des deux méthodes
de calcul de réponse transitoire par sous-structuration dynamique disponibles dans le Code_Aster. La
première consiste à réaliser un calcul transitoire par sous-structuration pour lequel les équations du
problème sont projetées sur les bases associées à chaque sous-structure. La difficulté réside dans la
double dualisation des conditions aux limites qui aboutit à une matrice de masse singulière. Pour
utiliser les schéma d'intégration explicites (qui nécessitent l'inversion de la matrice de masse), il faut
donc modifier le traitement des interfaces dans l'opérateur de calcul de la réponse transitoire. La
seconde méthode consiste à déterminer les modes propres de la structure complète par
sous-structuration et à projeter sur cette base les équations du problème transitoire. L'étape de
restitution sur base physique des résultats généralisés finaux doit donc tenir compte de cette double
projection.
L'opérateur de calcul de réponse transitoire qui reçoit la sous-structuration est l'opérateur
DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03]. S'appuyant sur des méthodes de recombinaison modale, il a été
conçu pour résoudre des problèmes transitoires en coordonnées généralisées et il est très efficace
pour les problèmes de grande taille dont il permet de réduire le nombre de degrés de liberté. D'autre
part, il supporte la prise en compte de non-linéarités localisées (aux noeuds) que l'on souhaite
généraliser au cas de la sous-structuration.
Dans ce rapport, nous présentons les deux méthodes de calcul transitoire par sous-structuration
disponible dans le Code_Aster, ainsi que leur mise en oeuvre.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
4/16
Notations générales :
N
:
Nombre de sous-structures
s
M
:
Matrice de masse issue de la modélisation éléments finis
K
:
Matrice de rigidité issue de la modélisation éléments finis
C
:
Matrice d'amortissement issue de la modélisation éléments finis
q
:
Vecteur des degrés de liberté issus de la modélisation éléments finis
f
:
Vecteur des forces extérieures au système
ext
f
:
Vecteur des forces de liaison appliquées au système
L
:
Matrice des vecteurs de la base des sous-structures
:
Vecteur des degrés de liberté généralisés
B
:
Matrice d'extraction des degrés de liberté d'interface
L
:
Matrice de liaison
Id
:
Matrice identité
:
Multiplicateurs de Lagrange
Remarque :
L'exposant k caractérise les grandeurs relatives à la sous-structure S k et les grandeurs
généralisées sont surmontées d'une barre : par exemple M k est la matrice de masse généralisée
de la sous-structure S k .
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
5/16
2
Calcul transitoire par projection sur les bases des sous-
structures
2.1
Equations dynamiques vérifiées par les sous-structures séparément
Soit une structure S composée de Ns sous-structures notées S k . Nous supposons que chaque
sous-structure est modélisée en éléments finis. Le comportement vibratoire des sous-structures résulte
des forces extérieures qui lui sont appliquées et des forces de liaison qu'exercent sur elles les autres
sous-structures. Ainsi, pour S k , nous avons :
M k qk + Ck qk + K k qk = f k + f k
!
!
ext
L
éq 2.1-1
où :
Mk
est la matrice de masse issue de la modélisation éléments finis de S k ,
Ck
est la matrice d'amortissement issue de la modélisation éléments finis de S k ,
K k
est la matrice de rigidité issue de la modélisation éléments finis de S k ,
f kext
est le vecteur des forces extérieures appliquées à S k ,
f kL
est le vecteur des forces de liaison appliquées à S k ,
qk qk et qk
, !
!
sont les vecteurs déplacement, vitesse et accélération issus de la modélisation
éléments finis.
Le champ de déplacement inconnu, issu de la modélisation éléments finis, est recherché sur un espace
approprié, de dimension réduite (transformation de Ritz) selon la formule :
qk
k k
=
éq 2.1-2
où :
k
est le vecteur des coordonnées généralisées de S k ,
k
est la matrice contenant les vecteurs modaux associés aux modes propres dynamiques et
aux déformées statiques d'interface de S k .
La transformation de Ritz [éq 2.1-2], appliquée à l'équation dynamique transitoire de la sous-structure
[éq 2.1-1], permet d'écrire :
M k k
+ Ck k
+ K k k
= f k + f k
!
!
ext
L
éq 2.1-3
où :
Mk
k T Mk k
=
est la matrice de masse généralisée de Sk ,
Ck
k TCk k
=
est la matrice d'amortissement généralisé de S k ,
K k
k T Kk k
=
est la matrice de rigidité généralisée de S k ,
f k
k T
= f k
est le vecteur des forces extérieures généralisées appliquées à S k ,
ext
ext
f k
k T
= f k
est le vecteur des forces de liaison généralisées appliquées à S k ,
L
L
k k et k
, !
!
sont les vecteurs déplacement, vitesse et accélération généralisés.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
6/16
Le problème défini par l'équation [éq 2.1-3] est symétrique. D'autre part, sa dimension est déterminée
par le nombre de modes pris en considération (modes dynamiques et déformées statiques). On est
donc amené à résoudre un problème transitoire classique mais de taille réduite.
2.2
Assemblage des sous-structures
Après avoir étudié chaque sous-structure séparément, on se propose d'établir les équations qui
régissent leur assemblage. Considérons deux sous-structures S k et Sl reliées entre elles au niveau
de l'interface S k
Sl
. On admet que leurs maillages respectifs sont compatibles [R4.06.02]. Ainsi, au
niveau de l'interface, les noeuds coïncident et les mailles en vis à vis sont identiques. Dès lors, la loi
d'action-réaction et la continuité des déplacements aux interfaces, qui traduisent l'assemblage de S k
et Sl , s'écrivent :
f k
= -f l
k
l
L
L
q k
l = q k
l
S k S l
S k Sl
S S
S S
où :
f kL
est le vecteur des forces de liaison appliquées à la sous-structure S k , au niveau de
S k S l
l'interface S k
Sl
.
qk
k
l
issus de la modélisation
S k Sl
est le vecteur des degrés de liberté de l'interface S
S
éléments finis de la sous-structure S k .
Introduisons les matrices d'extraction des degrés de liberté de l'interface S k
Sl
:
qk k
l = B k k
l qk
S S
S S
ql k
l = Bl k
l ql
S S
S S
En utilisant la transformation de Ritz et la formulation ci-dessus appliquées aux deux sous-structures,
on obtient :
Bk
k k
k
l
= Bl
l l
S
S
S k Sl
Soit :
Lk
k
k
l
= Ll
l
S
S
S k Sl
où : Lk
k
l
de Sk .
S k Sl
est la matrice de liaison associée à l'interface S
S
2.3
Equations dynamiques vérifiées par la structure globale
L'écriture matricielle de l'équation dynamique vérifiée par la structure globale, s'écrit simplement à partir
des équations dynamiques vérifiées par chaque sous-structure :
M1
1
! C1
1
! K1
1 1
f
1
f
ext
L
...
...
..
...
...
... ... ...
k
k
k k k
Mk
! +
Ck
! +
K k
= f
+ f
ext L
...
...
...
...
...
... ... ...
M N
N
N
N
N
s
s
!
C N
!
K N
s
s
s
Ns f s
s
ext
fL
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
7/16
Auxquelles, il faut ajouter les équations de liaison :
k,l
k
k
L
= l
l
k
l
k
l
L k
l
f L
= -f
S S
S S
L
S k Sl
S k S l
Ce système peut s'écrire sous la forme condensée :
M! + C ! + K = fext + fL
éq 2.3-1
L = 0
éq 2.3-2
k,l
k
l
f L
= -fL
éq 2.3-3
S k S l
S k Sl
2.4
Double dualisation des conditions aux limites
Le problème condensé, donné ci-dessus, se présente sous la forme d'un système transitoire auquel est
associée une équation de contrainte linéaire (en force et déplacement). Dans le Code_Aster, ce type
de problème est classique et il est résolu par double dualisation des conditions aux limites [R3.03.01],
c'est à dire par l'introduction de variables auxiliaires encore appelées multiplicateurs de Lagrange pour
dualiser les conditions aux limites. Après introduction des multiplicateurs de Lagrange, le système
matriciel se met sous la forme :
0
0
0!
0
0 0 ! - Id L
Id 0
1
1
1
T
T
0 M 0 ! + 0 C 0 ! + L
K
L
= f
ext
éq 2.4-1
0
0
0
!
0
0 0
!
Id L
- Id
0
2
2
2
où : 1 et 2 sont les multiplicateurs de Lagrange.
On le constate, l'introduction des multiplicateurs de Lagrange rend singulière la matrice de masse. Dès
lors, l'utilisation des schéma d'intégration explicites développés dans l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL
[U4.54.03] du Code_Aster est impossible car ils nécessitent l'inversion de la matrice de masse.
Pour rendre la matrice non singulière, il suffit de dualiser avec les mêmes multiplicateurs de Lagrange,
la condition sur la dérivée seconde des équations de liaison.
Ainsi la condition de continuité des déplacements [éq 2.3-2] est modifiée par le système équivalent
[éq 2.4-2] :
L( +
! ) = 0
t L = 0
éq 2.4-2
L °=
0 et L! °=
0
où
° et !° sont les déplacement et vitesse généralisées initiales.
Le système matriciel qui en découle est de la forme [bib7] :
- Id L
Id ! 0 0
0 !
1
1
- Id L
Id 0
1
T
T
T
T
L
M
L ! + 0 C
0 ! + L
K
L = fext éq 2.4-3
Id L - Id!2 0 0 0!2 Id L - Id2 0
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
8/16
On constate que la matrice de masse a la même forme que la matrice de raideur. Elle est donc
inversible. Ce système est donc parfaitement équivalent à l'équation [éq 2.4-1] (il vérifie à tout instant
les conditions de liaison) et il peut être traité, sous cette forme, par l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL.
2.5
Traitement de la matrice d'amortissement
On constate que la condition de continuité des déplacements, formulée dans l'équation [éq 2.4-2], se
traduit par une équation du second ordre non amortie. Lors de la résolution par pas de temps d'un
problème transitoire, toute erreur numérique risque de s'auto-entretenir, diminuant ainsi la stabilité de
l'algorithme. Pour optimiser l'amortissement de l'erreur numérique, il suffit de dualiser la condition sur la
dérivée première des équations de liaison avec les mêmes multiplicateurs de Lagrange multipliés par 2
(de manière à rendre cet amortissement critique) :
L( + 2! + !) = 0
t L = 0
éq 2.5-1
L °=
0 et L! °=
0
Le système matriciel qui en découle est de la forme [bib7] :
- Id L
Id !
1
- .
2 Id
.
2 L
.
2 Id !
1
- Id L
Id 0
1
T
T
T
T
T
T
L
M
L ! + .2L
C
.
2 L ! + L
K
L = fext
Id L - Id!2 .2Id .2L - .2Id!2 Id L - Id2 0
On constate donc que le traitement de l'erreur numérique sur les équations de liaison conduit à modifier
la matrice d'amortissement du problème transitoire. Cette modification est tout à fait comparable à celle
qui est réalisée sur la matrice de masse.
Par contre, nous n'avons pas souhaité généraliser ce traitement au cas de la résolution des problèmes
transitoires non amortis. Cela nous aurait conduit à créer une matrice d'amortissement temporaire. On
aurait pu craindre d'augmenter les temps de calcul, sans réel bénéfice. D'ailleurs, il est tout à fait
possible à l'utilisateur de définir une matrice d'amortissement dont les coefficients sont nuls. La
modification de celle-ci étant automatique, le système transitoire non amorti sera effectivement résolu,
tout en optimisant le traitement de toute erreur numérique intervenant sur les équations de liaison.
2.6
Traitement des conditions initiales
Considérons une sous-structure S k caractérisée par sa base de projection k composée de modes
normaux et de déformées statiques. On suppose qu'initialement la sous-structure S k est soumise à un
champ de déplacement ou de vitesse (cela ne modifie en rien la démonstration) noté : qko . La
transformation de Ritz nous permet d'écrire :
qk
k k
o = o
où : ko est le vecteur des déplacements (ou vitesses) généralisé(e)s de S k à déterminer.
Le vecteur des déplacements (ou vitesses) généralisé(e)s initiaux(ales) est déterminé comme suit :
qk
k
k
k T
=
=> qk
k T
k
k
o
o
o = (
).o
éq 2.6-1
k
k T
k
k T
=> =
-
( ) 1 qk
o
o
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
9/16
3
Calcul transitoire sur une base modale calculée par sous-
structuration
3.1 Calcul des modes propres de la structure complète par
sous-structuration
La seconde méthode développée consiste à résoudre le problème transitoire sur la base modale de la
structure complète calculée par sous-structuration.
Chaque sous-structure S k est représentée par une base de projection, composée de modes propres
dynamiques et de déformées statiques, que nous avons notée : k . La base de projection de la
structure complète qui en résulte est notée : .
La base modale de la structure complète est calculée par sous-structuration. Chaque mode obtenu est
donc combinaison linéaire des vecteurs des bases de projection des sous-structures :
NS
k
k
p = =
éq 3.1-1
k =1
où :
est la matrice des modes propres de la structure complète,
p
est la matrice des coordonnées modales généralisées de la structure.
La projection des matrices et des vecteurs constitutifs du problème transitoire, sur la base des modes
propres de la structure complète calculés par synthèse modale permet de déterminer :
· la matrice de masse généralisée :
M = TM
· la matrice de rigidité généralisée :
K = T C
· éventuellement la matrice d'amortissement généralisé :
C = T C
· le vecteur des forces extérieures généralisées :
f
T
= f
ext
ext
Du fait de l'orthogonalité des modes propres de la structure calculés par synthèse modale, par rapport
aux matrices M et K , les matrices de masse et de rigidité généralisées obtenues ci-dessus sont
diagonales :
M = TM = (
T
) M = TM
p
p
éq 3.1-2
K = TK = (
T
) K = TK
p
p
3.2
Equation dynamique vérifiée par la structure globale
La structure complète est soumise aux forces extérieures qui lui sont appliquées. Ainsi, nous pouvons
écrire :
Mq
! + Cq! + Kq = fext
éq 3.2-1
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
10/16
Le champ de déplacement inconnu, issu de la modélisation éléments finis, est remplacé par sa
projection sur la base des modes propres de la structure, selon la formule :
q = p
éq 3.2-2
où : est le vecteur des coordonnées généralisées de la structure.
La transformation de Ritz [3.2-2], appliquée à l'équation dynamique transitoire de la structure [3.2-1],
permet d'écrire :
M! + C ! + K = fext
éq 3.2-3
L'étape de restitution sur base physique nécessite de tenir compte de la double projection (sur la base
modale de la structure complète, puis sur les bases de projection des sous-structures - cf. éq 3.2-4).
q = p =
éq 3.2-4
Le problème défini par l'équation [éq 3.2-3] est de forme tout à fait classique. On est amené à résoudre
un problème transitoire symétrique dont la dimension est déterminée par le nombre de modes calculés
par sous-structuration et dont les matrices de masse et de rigidité sont diagonales.
Notons enfin que le traitement des conditions initiales est identique au cas du calcul transitoire par
projection sur les bases des sous-structures (cf. § 2.6).
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
11/16
4
Etude comparative des deux méthodes développées
Les bases théoriques, associées aux deux méthodologies mises en oeuvre dans le Code_Aster pour
réaliser un calcul de réponse transitoire en utilisant les techniques de sous-structuration, ont été
présentées dans les chapitres précédents. Nous précisons, ici, leurs particularités essentielles.
La première méthodologie consiste à faire un calcul de réponse transitoire par sous-structuration.
L'équation vérifiée par la structure complète est alors projetée sur les bases des sous-structures. La
précision de cette méthode est donc directement déterminée par l'étendue de ces bases. Ces
dernières peuvent être enrichies sans aboutir à des temps de calcul prohibitifs car les sous-structures
sont, en principe, de tailles relativement réduites. Quoi qu'il en soit, il est difficile d'estimer l'effet de
troncature modale à la seule connaissance des modes des bases des sous-structures. D'autre part, les
bases de projection des sous-structures sont composées de modes qui ne sont pas tous orthogonaux
entre eux (modes propres et déformées statiques). Les matrices de masse et de rigidité généralisées
constitutives du problème transitoire final sont donc non-diagonales. Globalement, leur largeur de
bande peut être déterminée à partir du nombre de déformées statiques des bases de projection des
sous-structures [R4.06.02]. La durée d'intégration dans l'opérateur de calcul transitoire
DYNA_TRAN_MODAL sera donc d'autant plus longue qu'il y aura de degrés de liberté d'interface. D'autre
part, le pas de temps d'intégration maximal admissible par les schéma d'intégration explicites est
déterminé à partir de la fréquence maximale de la base de projection. Dans le cas d'un calcul
transitoire par sous-structuration, cette fréquence résulte, en principe, des modes statiques dont les
termes diagonaux sont élevés dans la matrice de rigidité généralisée et faibles dans la matrice de
masse généralisée. Dès lors, le pas de temps d'intégration ne peut pas être déterminé a priori.
L'expérience montre qu'il est très faible, au regard des fréquences propres des bases des sous-
structures et que l'utilisation du schéma d'intégration à pas de temps adaptatif de DYNA_TRAN_MODAL
est très profitable.
La deuxième méthodologie consiste à faire un calcul transitoire sur la base modale de la structure
complète obtenue par sous-structuration. On sait que l'étape consistant à calculer les modes propres
de la structure peut être coûteuse en terme de temps de calcul. Ceci est d'autant plus vrai lorsqu'on
considère des forces non linéaires car la base de projection doit alors être suffisamment étendue pour
bien représenter la dynamique du système. D'autre part, la base modale sur laquelle est calculée la
réponse transitoire est de dimension inférieure à celle déterminée par les vecteurs propres des sous-
structures (modes propres et déformées statiques). Elle ne constitue donc pas un système générateur.
La double projection revient donc à introduire une fréquence de coupure. On doit donc s'attendre à ce
que cette méthode soit moins précise que la précédente. Cependant, le calcul des modes propres
permet d'estimer l'effet de troncature modale. D'autre part, il peut permettre de valider les modèles des
sous-stuctures si on dispose de résultats expérimentaux. Finalement, l'intérêt essentiel de cette
méthode est que les matrices de masse et de rigidité utilisées dans le calcul transitoire sont
diagonales. L'intégration numérique est donc très rapide.
Pour conclure, on constate que le calcul transitoire par sous-structuration s'identifie aux méthodes
directes de calcul transitoire. On n'a pas accès aux informations modales et les matrices sont non
diagonales. Dans ce cas, on peut dire que les vecteurs des bases de projection des sous-structures
jouent le même rôle que les fonctions de forme des éléments finis. Le calcul transitoire sur base
modale calculée par sous-structuration s'identifie, quant à lui, aux méthodes de recombinaison modale
classique.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
12/16
5
Mise en oeuvre dans le Code_Aster
5.1
Etude des sous-structures séparément
Si on souhaite introduire un amortissement de Rayleigh, les paramètres e et e de cet
amortissement sont définis, par l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.23.01].
Les traitements des sous-structures sont identiques au cas du calcul modal [R4.06.02] et harmonique
[R4.06.03]. Les modes propres dynamiques sont calculés avec les opérateurs : MODE_ITER_SIMULT
[U4.52.02] ou MODE_ITER_INV [U4.52.01]. Les conditions aux interfaces de liaison sont appliquées
avec l'opérateur AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01].
L'opérateur DEFI_INTERF_DYNA [U4.55.03] permet de définir les interfaces de connexion de la
sous-structure. L'opérateur DEFI_BASE_MODALE [U4.55.04] permet de calculer la base de projection
complète de la sous-structure (recopie des modes propres et calcul des déformées statiques).
L'opérateur MACR_ELEM_DYNA [U4.55.05] calcule les matrices généralisées de raideur, de masse et
éventuellement d'amortissement de la sous-structure, ainsi que les matrices de liaison.
L'amortissement de Rayleigh est pris en compte en complétant l'opérande MATR_AMOR.
L'amortissement proportionnel est introduit par l'opérande AMOR_REDUIT.
Le chargement transitoire est défini, au niveau de la sous-structure, par les opérateurs
AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01] (application de la force sur le maillage), CALC_VECT_ELEM [U4.41.02]
(calcul des vecteurs élémentaires associés) et ASSE_VECTEUR [U4.42.03] (assemblage du vecteur de
chargement sur le maillage de la sous-structure).
L'opérateur AFFE_CHAM_NO [U4.26.01] qui permet d'affecter un champ sur les noeuds d'un modèle
permet de décrire le champ de déplacement initial ou/et le champ de vitesse initial de la sous-structure.
5.2
Assemblage du modèle généralisé
Comme dans le cas du calcul modal [R4.06.02] et harmonique [R4.06.03], le modèle de la structure
complète est défini par l'opérateur DEFI_MODELE_GENE [U4.55.06]. Sa numérotation est réalisée par
l'opérateur NUME_DDL_GENE [U4.55.07]. Les matrices de masse, de raideur et éventuellement
d'amortissement généralisées de la structure complète sont assemblées en fonction de cette
numérotation avec l'opérateur ASSE_MATR_GENE [U4.55.08].
Les chargements sont projetés sur les bases des sous-structures auxquelles ils sont appliqués, puis
assemblés à partir de la numérotation issue de NUME_DDL_GENE [U4.55.07] par l'opérateur
ASSE_VECT_GENE [U4.55.09].
Les déplacements généralisés initiaux et les vitesses généralisées initiales pour chaque sous-structure,
sont calculés par l'opérateur ASSE_VECT_GENE [U4.55.09]. Cet opérateur réalise également
l'assemblage de ces vecteurs en fonction de la numérotation issue de NUME_DDL_GENE [U4.55.07].
Dans le cas d'un calcul transitoire projeté sur les "bases" des sous-structures, les matrices et vecteurs
assemblés généralisés obtenus à l'issu de cette étape sont directement utilisés pour le calcul
transitoire. Dans le cas d'un calcul sur la base modale de la structure complète calculée par
sous-structuration, il faut réaliser des opérations spécifiques qui sont présentées au § 5.3.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
13/16
5.3
Calcul de la base modale de la structure complète et projection
Ce chapitre est spécifique au calcul transitoire sur base modale calculée par sous-structuration.
La base modale de la structure complète est calculée avec les opérateurs classiques du Code_Aster :
MODE_ITER_SIMULT [U4.52.02] ou MODE_ITER_INV [U4.52.01]. On définit une numérotation du
problème généralisé final avec l'opérateur NUME_DDL_GENE [U4.55.07]. Les matrices de masse, de
raideur et éventuellement d'amortissement généralisées sont projetées sur la base des modes propres
de la structure avec l'opérateur PROJ_MATR_BASE [U4.55.01]. Les vecteurs généralisés correspondant
aux chargements extérieurs sont projetés sur la base des modes propres de la structure avec
l'opérateur PROJ_VECT_BASE [U4.55.02].
5.4
Résolution et restitution sur base physique
Le calcul de la réponse transitoire de la structure complète est réalisé par l'opérateur
DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03].
La restitution des résultats sur base physique fait intervenir l'opérateur REST_BASE_PHYS [U4.64.01] ;
elle est identique au cas du calcul modal [R4.06.02] et harmonique [R4.06.03]. On peut utiliser
l'opérateur DEFI_SQUELETTE [U4.75.01] pour créer un maillage "squelette". Plus grossier que le
maillage de calcul, il permet de réduire les durées des traitements graphiques.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
14/16
6 Conclusion
Nous avons présenté, dans ce rapport, les travaux réalisés pour introduire, dans le Code_Aster, le
calcul de réponse transitoire linéaire par sous-structuration dynamique. Les méthodes qui ont été
choisies consistent, pour la première d'entre elles, à projeter les équations transitoires sur les "bases"
de chaque sous-structure, composées de modes propres dynamiques et de déformées statiques et
pour la seconde, à calculer les modes propres de la structure complète par sous-structuration et à y
projeter les équations transitoires.
Nous avons débuté par un exposé des bases théoriques sur lesquelles s'appuient la première méthode
de sous-structuration transitoire pour aboutir à la formulation matricielle du problème final. En
particulier, un traitement original de l'équation de continuité des déplacements pour rendre la matrice
de masse inversible et pour assurer une stabilité optimale de l'algorithme d'intégration, nous a conduits
à modifier la forme des matrices de masse et d'amortissement du problème transitoire.
Pour la seconde méthode, la difficulté essentielle consiste à restituer les résultats obtenus en
coordonnées généralisées sur la base physique. En effet, il faut tenir compte de la double projection :
sur la base modale de la structure complète d'une part, et sur les bases des sous-structures d'autre
part.
Les développements réalisés se sont traduits par des modifications des opérateurs
DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03] et REST_BASE_PHYS [U4.64.01]. Leur syntaxe a été très peu modifiée,
de manière à ce que leur utilisation soit identique lors d'un calcul par sous-structuration et d'un calcul
direct par recombinaison modale.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
15/16
7 Bibliographie
[1]
C. VARE : "Code de Mécanique Aster - Manuel de référence : Méthodes d'analyse" Clé :
R4.06.02 "Calcul modal par sous-structuration dynamique classique et cyclique"
[2]
C. VARE : "Code de Mécanique Aster - Manuel de référence : Méthodes d'analyse" Clé :
R4.06.03 "Réponse harmonique par sous-structuration dynamique classique"
[3]
P. RICHARD : "Méthodes de sous-structuration cyclique en éléments finis" Rapport EDF
HP-61/91.156
[4]
P. RICHARD : "Méthodes de sous-structuration dans le Code_Aster" - Rapport EDF
HP-61/92.149
[5]
R. ROY, J. CRAIG & M. C. BAMPTON : "Coupling of Substructures for Dynamic Analysis" -
AIAA Journal, (July 1968), Vol. 6, N° 7, p. 1313-1319.
[6]
R. H. Mac Neal : "A hybrid method of component mode synthesis" Computers and Structures,
(1971), Vol. 1, p. 581-601.
[7]
C. VARE : "Cahier des charges de l'implémentation du calcul transitoire linéaire par
sous-structuration dynamique dans le Code_Aster" - Rapport D.E.R. HP-61/94.135/B
[8]
C. VARE : "Documentations Utilisateur et Validation des opérateurs de calcul transitoire par
sous-structuration" - Rapport D.E.R. HP-61/94.208/A
[9]
J. PELLET : "Code de Mécanique Aster - Manuel de référence : Les éléments finis dans Aster"
- Clé : R3.03.01 "Dualisation des conditions aux limites"
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Réponse transitoire par sous-structuration dynamique classique
Date :
17/10/95
Auteur(s) :
C. VARE
Clé :
R4.06.04-A
Page :
16/16
Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Référence
Fascicule R4.06 : Sous-structuration
HP-61/95/072/A
Document Outline