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Titre :
Modélisation élasto(visco)plastique en grandes déformations
Date :
14/04/05
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V. CANO, E. LORENTZ Clé
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Manuel de référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.21
Modélisation élasto(visco)plastique avec
écrouissage isotrope en grandes déformations
Résumé
On décrit ici une relation de comportement thermoélastoplastique avec écrouissage isotrope écrite en grandes
déformations et proposée par Simo et Miehe. Ce modèle est disponible dans la commande STAT_NON_LINE
par l'intermédiaire du mot-clé RELATION : 'VMIS_ISOT_TRAC' ou 'VMIS_ISOT_LINE' sous le mot-clé
facteur COMP_INCR et avec le mot-clé DEFORMATION : 'SIMO_MIEHE'. Une version visqueuse de ce modèle
est également proposée : 'VISC_ISOT_TRAC' et 'VISC_ISOT_LINE'.
Ce modèle est implanté pour les modélisations tridimensionnelles (3D), axisymétrique (Axis) et en déformations
planes (D_PLAN).
On présente l'écriture et le traitement numérique de cette loi, ainsi que la formulation variationnelle associée. Il
s'agit d'une formulation variationnelle eulérienne, avec réactualisation de la géométrie et qui tient compte de la
rigidité de comportement et de la rigidité géométrique.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Notations................................................................................................................................................4
3 Rappels sur les grandes déformations ..................................................................................................5
3.1 Cinématique.....................................................................................................................................5
3.2 Contraintes ......................................................................................................................................6
3.3 Objectivité ........................................................................................................................................7
4 Présentation du modèle de comportement............................................................................................7
4.1 Aspect cinématique .........................................................................................................................7
4.2 Relations de comportement.............................................................................................................8
4.3 Choix de la fonction d'écrouissage................................................................................................10
4.4 Contraintes et variables internes ...................................................................................................10
4.5 Domaine d'utilisation......................................................................................................................11
4.6 Intégration de la loi de comportement ...........................................................................................11
5 Formulation variationnelle....................................................................................................................14
5.1 Cas du milieu continu ....................................................................................................................14
5.2 Discrétisation par éléments finis....................................................................................................14
5.3 Expression de la matrice tangente du comportement...................................................................16
6 Bibliographie ........................................................................................................................................18
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1 Introduction
Nous présentons ici une loi de comportement thermoélastoplastique écrite en grandes déformations
proposée par SIMO J.C. et MIEHE C. [bib1] qui tend en petites déformations vers le modèle de
comportement élastoplastique à écrouissage isotrope et critère de Von Mises, décrit en [R5.03.02].
Les choix cinématiques permettent, comme avec la simple réactualisation disponible via le mot-clé
PETIT_REAC, de traiter des grands déplacements et des grandes déformations mais également des
grandes rotations de manière exacte.
Les spécificités de ce modèle sont les suivantes :
·
tout comme en petites déformations, on suppose l'existence d'une configuration relâchée,
c'est-à-dire localement libre de contrainte, qui permet de décomposer la déformation totale en
une partie thermoélastique et une partie plastique,
·
la décomposition de cette déformation en des parties thermoélastique et plastique n'est plus
additive comme en petites déformations (ou pour les modèles grandes déformations écrits en
taux de déformation avec par exemple une dérivée de Jaumann) mais multiplicative,
·
les déformations élastiques sont mesurées dans la configuration actuelle (déformée) tandis
que les déformations plastiques sont mesurées dans la configuration initiale,
·
comme en petites déformations, les contraintes dépendent uniquement des déformations
thermo-élastiques,
·
les déformations plastiques se font à volume constant. La variation de volume est alors
uniquement due aux déformations thermo-élastiques,
·
ce modèle conduit lors de son intégration numérique à un modèle incrémentalement objectif
(cf. [§3.3]) ce qui permet d'obtenir la solution exacte en présence de grandes rotations.
Une version visqueuse de ce modèle est également disponible (loi en sinus hyperbolique comme dans
le cas du modèle de Rousselier ROUSS_VISC, cf. [R5.03.07]).
Par la suite, on rappelle brièvement quelques notions de mécanique en grandes déformations, puis on
présente les relations de comportement du modèle et son intégration numérique pour traiter les
équations d'équilibre.
On propose une formulation variationnelle eulérienne, avec réactualisation de la géométrie. A ce titre,
on exprime le travail des efforts intérieurs et sa variation (dans le but d'une résolution par la méthode
de Newton) pour le problème continu, qui fournissent respectivement après discrétisation par éléments
finis le vecteur des forces intérieures et la matrice tangente.
Nota Bene :
On trouvera dans [bib2] ou [bib3] une présentation approfondie sur les grandes déformations.
Ce document est extrait de [bib4] où l'on fait une présentation plus détaillée du modèle
élastoplastique, de son intégration numérique et où l'on donne quelques exemples de
validation.
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2 Notations
On notera par :
Id
matrice identité
tr A
trace du tenseur A
AT
transposé du tenseur A
det A
déterminant de A
X
partie positive de X
~
A
~
1
partie déviatorique du tenseur A définie par A = A - (
A
tr )Id
3
:
produit doublement contracté : A:B = A B = tr(ABT )
ij ij
i, j
produit tensoriel : (A B)
=
ijkl
ij
A kl
B
3
A
~ ~
eq
valeur équivalente de von Mises définie par Aeq =
:
A A
2
A
XA
gradient :
=
XA
X
ij
A
div
=
x A
divergence : (divxA)i
x
j
j
, µ, E, , K
coefficients de l'élasticité isotrope
y
limite d'élasticité
coefficent de dilatation thermique
T
température
Tref
température de référence
Par ailleurs, dans le cadre d'une discrétisation en temps, toutes les quantités évaluées à l'instant
précédent sont indicées par - , les quantités évaluées à l'instant t + t
ne sont pas indicées et les
incréments sont désignés par . On a ainsi :
Q = Q - Q-
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3
Rappels sur les grandes déformations
3.1 Cinématique
Considérons un solide soumis à des grandes déformations. Soit 0 le domaine occupé par le solide
avant déformation et (t) le domaine occupé à l'instant t par le solide déformé.
Configuration initiale
Configuration actuelle déformée
F
0
(t )
Figure 3.1-a : Représentation de la configuration initiale et déformée
Dans la configuration initiale 0 , la position de toute particule du solide est désignée par X
(description lagrangienne). Après déformation, la position à l'instant t de la particule qui occupait la
position X avant déformation est donnée par la variable x (description eulérienne).
Le mouvement global du solide est défini, avec u le déplacement, par :
x = x$(X,t) = X + u
Pour définir le changement de métrique au voisinage d'un point, on introduit le tenseur gradient de la
transformation F :
x$
F =
= Id + u
X
X
Les transformations de l'élément de volume et de la masse volumique valent :
d = J d o avec J
o
= det F =
où o et sont respectivement la masse volumique dans les configurations initiale et actuelle.
Différents tenseurs de déformations peuvent être obtenus en éliminant la rotation dans la
transformation locale. Par exemple, en calculant directement les variations de longueur et d'angle
(variation du produit scalaire), on obtient :
1
E = (C - Id) avec C = FTF
2
1
A =
Id - b-1
(
) avec b = FFT
2
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E et A sont respectivement les tenseurs de déformation de Green-Lagrange et d'Euler-Almansi et C
et b, les tenseurs de Cauchy-Green droit et gauche respectivement.
En description lagrangienne, on décrira la déformation par les tenseurs C ou E car ce sont des
quantités définies sur 0 , et en description eulérienne par les tenseurs b ou A (définis sur ).
Remarque :
Soit un solide subissant deux transformations successives, par exemple la première
transformation fait passer le solide de la configuration initiale 0 à une configuration 1
(tenseur gradient F1/0 et vecteur déplacement u1/0 ), puis la seconde transformation de la
configuration 1 à 2 (tenseur gradient F2 1/ et vecteur déplacement u2 1/).
F
F2/1
1/0
0
1
2
F2/0
Le passage de la configuration 0 à 2 est donné par le tenseur gradient F2/0
(déplacement u
= u
+ u
2/0
2 1
/
1/0 ) tel que :
F
= F F
2/0
2 1
/
1/0
On obtient alors, par exemple, pour le tenseur de déformation de Green-Lagrange E
E
= FT E F + E
2/0
1/0 2 1
/
1/0
1/0
où E2/0 , E1/0 et E2/1 sont les déformations de Green-lagrange des configurations 2 par
rapport à 0 associées à F2/0 , 1 par rapport à 0 associées à F1/0 et 2 par rapport
à 1 associées à F2 1/ , respectivement.
Ceci constitue une des difficultés rencontrées lors de l'écriture d'une loi de comportement en
grandes déformations car on ne peut plus écrire une formule analogue à celle écrite en
petites déformations, à savoir 2/0 = 2/1 + 1/0 où est le tenseur de déformation totale
linéarisé.
Pour retrouver 2/0 = 2/1 + 1/0 en petites déformations à partir de l'expression de E2/0 ,
il faut négliger tous les termes d'ordre 2 de u2/0 , u1/0 et u2 1/. Dans ce cas, on a
E
~
E
~
T
F E
F
~
2/ 0 - 2/ 0 , 1/ 0 - 1/ 0 et 1/ 0 2/1 1/ 0 - 2/1 .
3.2 Contraintes
Pour le modèle décrit ici, le tenseur des contraintes utilisé est le tenseur eulérien de Kirchhoff défini
par :
J =
où est le tenseur eulérien de Cauchy. Le tenseur résulte donc d'une « mise à l'échelle » par la
variation de volume du tenseur de Cauchy ; ceci n'est pas le cas d'autres tenseurs de contraintes
utilisés (premier et second tenseur de Piola-Kirchhoff).
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En description eulérienne, les équations d'équilibre sont données par :
div + f = sur
0
x
d
f
n
. = t sur
où f est la force volumique appliquée sur le domaine , n la normale extérieure à la frontière f et
f la partie de la frontière du domaine où sont appliquées les forces surfaciques td .
3.3 Objectivité
Lorsqu'on écrit une loi de comportement en grandes déformations, on doit vérifier que cette loi est
objective, c'est-à-dire invariante par tout changement de référentiel spatial de la forme :
x* = c(t) + Q(t)x
où Q est un tenseur orthogonal qui traduit la rotation du référentiel et c un vecteur qui traduit la
translation.
Plus concrètement, si on réalise un essai de traction dans la direction e1 , par exemple, suivi d'une
rotation de 90° autour de e3, ce qui revient à effectuer un essai de traction selon e2 , alors le danger
avec une loi de comportement non objective est de ne pas retrouver un tenseur des contraintes
uniaxial dans la direction e2 (ce qui est notamment le cas avec la cinématique PETIT_REAC).
4
Présentation du modèle de comportement
4.1 Aspect
cinématique
Ce modèle suppose, tout comme en petites déformations, l'existence d'une configuration relâchée
r , c'est-à-dire localement libre de contrainte, qui permet alors de décomposer la déformation totale
en des parties élastique et plastique, cette décomposition étant multiplicative.
Par la suite, on notera par F le tenseur gradient qui fait passer de la configuration initiale 0 à la
configuration actuelle (t) , par F p le tenseur gradient qui fait passer de la configuration 0 à la
configuration relâchée r , et Fe de la configuration r à (t) . L'indice p se réfère à la partie
plastique, l'indice e à la partie élastique.
Configuration initiale
Configuration actuelle
F
(t )
0
F p
F e
T = Tref
r
= 0
Configuration relâchée
Figure 4.1-a : Décomposition du tenseur gradient F en une partie élastique Fe et plastique F p
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Par composition des mouvements, on obtient la décomposition multiplicative suivante :
F = FeF p
Les déformations élastiques sont mesurées dans la configuration actuelle avec le tenseur eulérien de
Cauchy-Green gauche be et les déformations plastiques dans la configuration initiale par le tenseur
G p (description lagrangienne). Ces deux tenseurs sont définis par :
be
FeFeT
=
, G p
F pTF p
=
-
(
) 1 d'où be
FG pFT
=
Le modèle présenté est écrit de facon à distinguer les termes isochores des termes de changement de
volume. On introduit pour cela les deux tenseurs suivants :
F = -
J 1/ F
3 et be = -2/ b
3 e
J
avec J = det F
Par définition, on a : det F = 1 et det be = 1 .
4.2
Relations de comportement
La loi présentée est un modèle thermoélasto(visco)plastique avec écrouissage isotrope qui tend sous
l'hypothèse des petites déformations vers le modèle [R5.03.02] avec critère de Von Mises (il s'agit du
modèle plastique). Les déformations plastiques se font à volume constant si bien que :
J p
p
= det F = 1 d'où J J e
e
=
= det F
Les relations de comportement sont données par :
·
relation contrainte - déformation thermoélastique :
~
~
e
= µb
3K
2
9K
1
tr =
(J - )
1 -
(T - T )(J
)
2
2
ref
+ J
·
seuil de plasticité (on admet qu'il s'exprime avec les contraintes de Kirchhoff) :
f = eq - R( p) - y
où R est la variable d'écrouissage isotrope, fonction de la déformation plastique cumulée p.
·
lois d'écoulement :
~
~
p T
3
e
1
~
e
FG& F = -&
b
= -
3 &
tr b +
eq
3
µ eq
&p = &
Pour le modèle de plasticité, le multiplicateur plastique est obtenu en écrivant la condition de
cohérence f& = 0 et on a :
p& ,
0 f 0 et p& f = 0
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Dans le cas visqueux, on prend &p égale à :
m
f
p& = &0 sh
0
où & , et m sont les coefficients de viscosité. Signalons que cette loi se réduit à une loi de type
0
0
Norton lorsque les 2 paramètres matériaux & et sont très grands.
0
0
On rappelle que :
be = -2/ b
3 e
J
F = -
J 1/ F
3
et que la partition des déformations s'écrit :
be
FG pFT
=
Pour des matériaux métalliques où le rapport
µ
eq /
est petit devant 1, l'expression de la loi
d'écoulement peut être approchée par :
~
p T
e
eq
FG& F = -& tr b
+O
éq.4.2-1
eq
µ
eq
où O
est négligeable devant le premier terme.
µ
C'est cette dernière expression qui est implantée dans le Code_Aster.
Remarque :
Si les déformations sont petites, on a :
J 1+ tr
e
e
b Id +
2
p
p
G Id -
2
où est la déformation totale, e
la déformation élastique et p
la déformation plastique en
petites déformations.
En remplaçant ces trois expressions dans les équations de la loi de comportement présentée
ici, on retrouve bien le modèle classique thermo-élasto-plastique avec écrouissage isotrope et
critère de Von Mises.
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4.3
Choix de la fonction d'écrouissage
Cette relation de comportement est disponible dans l'opérateur STAT_NON_LINE, sous le mot-clé
facteur COMP_INCR et l'argument `SIMO_MIEHE' du mot-clé facteur DEFORMATION. On peut choisir
pour la fonction d'écrouissage, un écrouissage linéaire ou bien fournir une courbe de traction. Cinq
relations peuvent être utilisées.
RELATION =
/ `ELAS'
/
`VMIS_ISOT_TRAC'
[DEFAUT]
/
`VMIS_ISOT_LINE'
/
`VISC_ISOT_TRAC'
/
`VISC_ISOT_LINE'
Pour un comportement purement thermoélastique, l'utilisateur choisit l'argument 'ELAS' (le
comportement est alors hyperélastique) ; pour un écrouissage isotrope donné par une courbe de
traction, l'utilisateur choisit l'argument 'VMIS_ISOT_TRAC' dans le cas plastique ou
`VISC_ISOT_TRAC' dans le cas visqueux et pour un écrouissage isotrope linéaire, l'argument
'VMIS_ISOT_LINE' dans le cas plastique ou `VISC_ISOT_LINE' dans le cas visqueux.
Les différentes caractéristiques du matériau sont renseignées dans l'opérateur DEFI_MATERIAU
([U4.23.01]) sous les mots-clés :
· ELAS quelque soit la loi (on donne le module d'Young, le coefficient de Poisson et
éventuellement le coefficient de dilatation thermique),
· TRACTION pour `VMIS_ISOT_TRAC' et `VISC_ISOT_TRAC' (on donne la courbe de
traction),
· ECRO_LINE pour `VMIS_ISOT_LINE' et `VISC_ISOT_LINE' (on donne la limite
d'élasticité et la pente d'écrouissage),
· VISC_SINH pour `VISC_ISOT_TRAC' et `VISC_ISOT_LINE' (on donne les trois
coefficients de viscosité).
Remarque :
L'utilisateur doit bien s'assurer que la courbe de traction « expérimentale » utilisée, soit
directement, soit pour en déduire la pente d'écrouissage est bien donnée dans le plan
contrainte rationnelle = F / S - déformation logarithmique ln(1+ l / l )
0 où l0 est la
longueur initiale de la partie utile de l'éprouvette, l la variation de longueur après
déformation, F la force appliquée et S la surface actuelle. On remarquera que
F l 1
F l
F l
= F / S =
0
d'où =
J =
0 . En général, c'est bien la quantité
0 qui est
S l J
S l
S l
0
0
0
mesurée par les expérimentateurs et ceci donne directement la contrainte de Kirchhoff
utilisée dans le modèle de Simo et Miehe.
4.4
Contraintes et variables internes
Les contraintes sont les contraintes de Cauchy , calculées donc sur la configuration actuelle (six
composantes en 3D, quatre en 2D).
Les variables internes produites dans le Code_Aster sont :
·
V1, la déformation plastique cumulée p,
·
V2, l'indicateur de plasticité (0 si le dernier incrément calculé est élastique, 1 sinon),
1
·
V3, la trace divisée par trois du tenseur de déformation élastique e
b soit
e
trb .
3
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Remarque :
Si l'utilisateur veut récupérer éventuellement des déformations en post-traitement de son
calcul, il faut tracer les déformations de Green-Lagrange E, qui représente une mesure des
déformations en grandes déformations. Les déformations linéarisées classiques mesurent
des déformations sous l'hypothèse des petites déformations et n'ont pas de sens en grandes
déformations.
4.5 Domaine
d'utilisation
Le choix d'une cinématique DEFORMATION : `PETIT_REAC' permet également de traiter une loi de
comportement thermo-élastoplastique avec écrouissage isotrope et critère de von Mises en grandes
déformations. La loi est écrite en petites déformations et la prise en compte des grandes déformations
se fait en réactualisant la géométrie.
Entre la loi présentée ici (SIMO_MIEHE ) et PETIT_REAC,
·
il n'y a pas de différence si les déformations sont petites
·
il n'y a pas de différence si les déformations sont grandes mais les rotations petites
·
il y a des différences si les rotations sont importantes.
En particulier, la solution obtenue avec la cinématique PETIT_REAC peut s'écarter notablement de la
solution exacte en présence de grandes rotations et ce quelle que soit la taille des pas de temps
choisie par l'utilisateur, contrairement à la cinématique SIMO_MIEHE.
4.6
Intégration de la loi de comportement
Dans le cas d'un comportement incrémental, mot-clé facteur COMP_INCR, connaissant la contrainte
-
, la déformation plastique cumulée p- , la trace divisée par trois du tenseur de déformations
1
élastiques
e-
tr b , les déplacements u- et u et les températures T - et T, on cherche à
3
1
déterminer (, , tr e
p
b ) .
3
Les déplacements étant connus, les gradients de la transformation de 0 à - , noté F- , et de -
à , noté F , sont connus.
La discrétisation implicite de la loi donne :
F = FF-
J = det F
F = -
J 1/ F
3
be
FG pFT
=
J =
~
~
e
= µb
1
1
2
3
1
tr = K (J - )
1 - K (T - T
)(J
)
3
2
2
ref
+ J
f =
-
eq - R( p
+ p
) - y ~
~
p
p
T
e
e
p
T
F(G -
-
G
)F = - tr b
p
d'où b =
-
FG
F - tr e
b
p
eq
eq
Dans le cas plastique : p ,
0 f
0 et f
p = 0
1
-
- p m
Dans le cas visqueux :
1
- R( p + p) - - sh
0
eq
y
0
=
&0
t
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Remarque :
Cette formulation est incrémentalement objective car la seule quantité tensorielle
incrémentale qui intervient dans la discrétisation est &
G p . Comme G p et G p- sont
mesurées sur la même configuration, c'est-à-dire la configuration initiale, la discrétisation de
&G p , soit G p G p G p
=
-
- , est incrémentalement objective.
On introduit Tr
, le tenseur de Kirchhoff qui résulte d'une prédiction élastique (Tr : trial, en anglais
essai) :
~
~Tr
eTr
= µb
où
beTr
FG p-FT
Fbe-
FT
=
=
, F
=( J)-1/ 3F et J = det
(
)
F
On obtient be- à partir des contraintes -
par la relation contrainte - déformation thermoélastique et
de la trace du tenseur des déformations élastiques.
~-
e-
1
e-
b
=
+ tr b
-
µ
3
Remarque :
L'intérêt de cette formulation est qu'il n'est pas nécessaire de calculer la déformation
plastique G p- qui nous obligerait à inverser le gradient de la transformation F . On a besoin
uniquement de connaître FG p-FT .
Si Tr
-
eq < R( p ) + y , on reste élastique. Dans ce cas, on a :
1
1
1
p = p- , =~Tr + t r Id
et
e
eTr
tr b = tr b
3
3
3
sinon, on obtient :
e
eTr
tr b = tr b
Cette dernière relation n'est possible que si on fait la simplification sur la loi d'écoulement.
eTr
~Tr
µ tr
p
=
b
~(1+
)
eq
En calculant la contrainte équivalente, on se ramène à une équation scalaire non linéaire en p :
Tr - - µ
eTr
tr b
p = 0
eq
eq
Dans le cas plastique :
= + R( p- + p
)
eq
y
, ce qui conduit à p solution de l'équation :
Tr - -
-
R( p + p) - µ
eTr
tr b
p = 0
eq
y
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Modélisation élasto(visco)plastique en grandes déformations
Date :
14/04/05
Auteur(s) :
V. CANO, E. LORENTZ Clé
:
R5.03.21-C Page
: 13/18
1
-
-1 p m
Dans le cas viscoplastique :
= + R( p + p) +
eq
y
0 sh
, ce qui conduit à
& t
0
p solution de l'équation :
1
Tr
-
1
- p m
- - R( p + p) - sh
- µ
eTr
tr b
p 0
eq
y
0
=
&0
t
La résolution de cette dernière équation est faite dans Code_Aster par une méthode des sécantes
avec intervalle de recherche (cf. [R5.03.05]). L'intégration peut être contrôlée par les paramètres
RESI_INTE_RELA et ITER_INTE_MAXI sous STAT_NON_LINE mot-clé CONVERGENCE.
Une fois p connu, on peut alors en déduire le tenseur de Kirchhoff, soit :
eq ~Tr K 2
3K
1
=
+
(J - )
1 -
(T - T
)(J + ) Id
Tr
ref
2
2
J
eq
Une fois calculée la déformation plastique cumulée, le tenseur des contraintes et la matrice tangente,
on effectue une correction sur la trace du tenseur des déformations élastiques e
b pour tenir compte
de l'incompressibilité plastique, qui n'est pas conservée avec la simplification faite sur la loi
d'écoulement [éq 4.2.1]. Cette correction s'effectue en utilisant une relation entre les invariants de e
b
~
et e
b et en exploitant la condition d'incompressibilité plastique p
J = 1 (ou de manière équivalente
det e
b = 1). Cette relation s'écrit :
x3- J ex- (1 - J e ) = 0
2
3
2
~
~
e
1
2
e
eq
e
e
1
avec J 2 = b
=
eq
, J = det b = det
= tr
2
2
3
et
e
x
b
2µ
µ
3
La résolution de cette équation du troisième degré permet d'obtenir
e
tr b et par conséquent la
déformation thermoélastique be- au pas de temps suivant. Dans le cas où cette équation admet
plusieurs solutions, on prend la solution la plus proche de la solution du pas de temps précédent. C'est
1
d'ailleurs pourquoi on stocke dans une variable interne
e
tr b .
3
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5 Formulation
variationnelle
Dans la mesure où les contraintes fournies par la loi de comportement sont eulériennes, on choisit une
formulation variationnelle écrite sur la configuration actuelle (eulérienne) et non sur la configuration
initiale, soit :
d =
v fv d +
d
x
t v dS v Cinématiquement admissible
f
14 2
4
3
44
1444 2
4
3
4444
F
. v
int
F
.v
ext
Nous nous intéressons uniquement ici au travail des forces intérieures et à sa variation dans l'optique
d'une résolution par la méthode de Newton. On trouvera dans [bib 4] la démonstration des expressions
présentées.
5.1
Cas du milieu continu
On réécrit ici le travail des efforts intérieurs sous forme indicielle, soit :
v
F .v
i
int
= ij
d
x j
Nous avons besoin également d'exprimer la variation des efforts intérieurs dans la configuration
actuelle soit :
u
u
p
j
v
F u v
i
int .
.
=
-
ij
ik
d rigidité géométriq
ue
x
p
xk
x j
u
ij
p v
+
i
d rigidité de comportement
pq
F
-
x
x
q
j
où x- sont les coordonnées d'un point sur la configuration - .
5.2
Discrétisation par éléments finis
On discrétise les déplacements u et les déplacements virtuels v par éléments finis. Les notations sont
les suivantes, en adoptant la convention de sommation des indices répétés :
u
u
u (x) = N n (x) U n
i = Dn(x) U n
i = D-n(x) U n
i
i
x
j
i
-
j
i
j
x j
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où :
N n (x) est la fonction de forme associée au noeud n
U ni , la composante i du déplacement nodal du noeud n
Dn (x
j
) , les composantes du gradient des fonctions de forme sur la configuration
D-n (x
j
) , les composantes du gradient des fonctions de forme sur la configuration -
On obtient pour le vecteur des forces intérieures :
(F
n
int ) = Dnd
i
ij
j
et pour la matrice tangente, qui n'est pas a priori symétrique :
Kn m
m
n
m
n
i p = [ D D - D D
p ij
j
k
ik
p ]d
+ D-n
ij
Dn d
q
F
j
pq
Dans le cas d'une modélisation bidimensionnelle (déformation plane), les expressions du vecteur des
forces intérieures et de la matrice tangente sont identiques à ceci prêt que les indices correspondants
aux composantes varient de 1 à 2 uniquement.
Dans le cas d'une modélisation axisymétrique, en numérotant les axes dans l'ordre (r, z, ), le vecteur
des forces intérieures s'écrit :
N n
(F axi n = Dn +
int )
33
1d , {1 }
2
, , {1 }
2
,
r
et la matrice tangente :
[Kaxi] [K] [Kcorr
=
+
]
avec :
[
n m
n
n
N
N
Kcorr
=
m
m
(1)
]
D d
-
D d
1
+
r
r 33
F
[
n m
m
m
N
n
N
Kcorr
n
= D
-
33
(2)
]
d
D
d
33
1
+
r
F
r
[
n m
n
m
N
N
Kcorr
33
(3)
] =
11
r- 33
F
r
D'un point de vue algorithmique, nous avons symétrisé la matrice élémentaire tangente K qui ne l'est
pas a priori.
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5.3
Expression de la matrice tangente du comportement
On donne ici l'expression de la matrice tangente (option FULL_MECA au cours des itérations de
Newton, option RIGI_MECA_TANG pour la première itération). Celle-ci est obtenue en linéarisant le
système d'équations qui régit la loi de comportement. Nous donnons ici le résultat final de cette
linéarisation. On trouvera dans [bib4] le détail de ce calcul.
On pose :
J = det F , J -
-
= det F et J = det F
·
Pour l'option FULL_MECA, on a :
( -
J ) /
1 3
-
1
J
A =
=
H -
(HF) B -
B
F
J
3
2
J J
J
-
J
3
-2
+
KJ - K(T - T
)(1- J
) Id B
ref
J
2
où B vaut :
B = F
F
- F
F
11
22
33
23 32
B = F
F
- F F
22
11
33
13
31
B = F
F - F F
33
11
22
12
21
B = F
F
- F F
12
31
23
33
21
B = F
F - F F
21
13
32
33
12
B = F
F
- F F
13
21
32
22
31
B = F
F
- F F
31
12
23
22
13
B = F
F
- F F
23
31
12
11
32
B = F
F
- F F
32
13
21
11
23
H et HF sont donnés par :
Dans le cas élastique (f < 0) :
2µ
H
= µ( b e- F + F b e- )-
F b e-
ijkl
ik lp
jp
ip pl
jk
ij
kp lp
3
et
~
HF = 2µbeTr
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Dans le cas plastique ( f = 0 ) ou viscoplastique :
µ
e-
e-
H
=
( b F + F b )
ijkl
ik
lp
jp
ip
pl
jk
a
R ~
p
ij
ij
e-
-
2µ
+
F b
eTr
kp
lp
3a R
( + µ tr b
)
eq
2
eTr
3µ tr b
R
( p- )
eq
~ ~
e-
+
F b
3
a
R
( +
eTr
ij kq
qp
lp
µ tr b )
eq
et
µ
2
2
p
µ
3
p
-
eTr
eTr Id
~
R
tr b eTr R
(
)
HF =
b
- µ
2 tr b
eq
+
+
~
( : b eTr ~
)
a
3a
R
( + µ tr b eTr )
a3 R
( + µ tr b eTr )
eq
eq
Tr
où a
eq
=
eq
1
-
2
2
p
1
1 -
et R = R'( p) +
0 × 1+
×
× (p)
1
m
, R ( p) étant la dérivée de
&
1
0
t
m(&0t)
1
4
4
4
4
4
4
4
4
2
m
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
uniquement
visqueux
cas
l'écrouissage isotrope par rapport à la déformation plastique cumulée p.
·
Pour l'option RIGI_MECA_TANG, il s'agit des mêmes expressions que celles données pour
FULL_MECA mais avec p = 0 et avec toutes les variables et coefficients du matériau pris à
l'instant t - (en principe, il faudrait dans le cas visqueux, prendre les expressions de FULL_MECA
dans le cas élastique, toutes les variables étant prises à l'instant t - ). En particulier, on aura
F = Id .
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Modélisation élasto(visco)plastique en grandes déformations
Date :
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V. CANO, E. LORENTZ Clé
:
R5.03.21-C Page
: 18/18
6 Bibliographie
[1]
SIMO J.C., MIEHE C. : "Associative coupled thermoplasticity at finite strains : Formulation,
numerical analysis and implementation", Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 98, pp. 41-104,
North Holland, 1992.
[2]
SIDOROFF F. : "Formulations élasto-plastiques en grandes déformations", Rapport Greco
n29, 1981.
[3]
SIDOROFF F. : "Cours sur les grandes déformations", Rapport Greco n51, 1982.
[4]
CANO V., LORENTZ E. : "Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastiques avec écrouissage isotrope", Note interne EDF DER,
HI-74/98/006/0, 1998
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