Code_Aster ®
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6.4

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Eléments de contacts dérivés d'une formulation hybride continue Date
:

24/03/04
Auteur(s) :
P. MASSIN, H. BEN DHIA, M. ZARROUG Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, ECP
















Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.52




Eléments de contacts dérivés d'une formulation
hybride continue





Résumé :

Ce document décrit la manière dont les éléments de contact frottant sont dérivés d'une formulation hybride
continue de problèmes de contact entre solides (2D ou 3D) en grandes transformations et précise la stratégie
de résolution utilisée [bib1], [bib2].

L'approche est implémentée dans le Code_Aster. Elle est utilisable avec la modélisation STAT_NON_LINE en
affectant au mot clé CONTACT, sous AFFE_CHAR_MECA, le mot-clé METHODE='CONTINUE'.


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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Formulation continue hybride du problème de contact..........................................................................3

2.1 Principe des Travaux Virtuels ..........................................................................................................4
2.2 Appariement et condition cinématique de non interpénétration ......................................................5
2.3 Principe de l'Action et de la Réaction ..............................................................................................6
2.4 Lois de contact.................................................................................................................................7
2.5 Formulation hybride quasi-statique .................................................................................................9
3 Stratégie de résolution.........................................................................................................................10
4 Eléments de contact ............................................................................................................................12
4.3 Matrices tangentes de contact.......................................................................................................15
4.4 Matrices tangentes de frottement ..................................................................................................16
4.5 Expression des seconds membres de contact-frottement ............................................................17
4.6 Calcul des matrices et des seconds membres ..............................................................................18
5 Implémentation ....................................................................................................................................19
6 Bibliographie ........................................................................................................................................20

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1 Introduction

Il existe, pour le traitement du problème de contact-frottement, un "gap" important entre les
formulations discrètes et la formulation continue. Les implémentations dans les codes de calcul sont
(souvent) fondées sur des modèles discrets tels ceux développés par [bib3], [bib4], [bib5] ou, plus
récemment, [bib6]. Ces derniers sont sans liens clairs avec la formulation continue. Cela pose la
question de la précision et de la nature des résultats obtenus : vers quoi converge-t-on ?

Les deux objets essentiels de ce document sont d'une part la description de la dérivation d'éléments
de contact à partir d'une formulation hybride continue d'un problème de contact entre des solides
tridimensionnels, déformables, subissant de grandes transformations, et d'autre part le détail de la
stratégie de résolution [bib1], [bib2], [bib7].

La section 2, consacrée à la formulation hybride continue, comporte cinq paragraphes. Dans le
paragraphe [§2.1], on rappelle un formalisme lagrangien du Principe des Travaux Virtuels pour deux
solides déformables qui peuvent entrer en contact. Grâce à une application d'appariement et au
Principe de l'Action et de la Réaction détaillés dans les paragraphes [§2.2] et [§2.3],
respectivement, on donne une expression simplifiée des travaux virtuels des forces de contact. Le
paragraphe [§2.4] est consacré à des écritures équivalentes des lois de contact et de frottement qui se
prêtent à des formulations faibles. La formulation hybride continue du problème est précisée dans le
paragraphe [§2.5]. On précise la stratégie de résolution dans la section 3. Cette dernière est fondée
sur des algorithmes de point fixe et de module tangent. Dans la section 4, on discrétise, par la
méthode des éléments finis, la formulation hybride continue proposée au paragraphe [§2.5] et on
évoque les difficultés dues à l'incompatibilité des modèles discrets d'interfaces. Les mots-clés
concernant l'implémentation de cette approche dans le Code_Aster sont donnés dans la section 5.


2
Formulation continue hybride du problème de contact

On considère deux solides i
B (i = ,
1 2) déformables, supposés élastiques (pour la clarté du
document), en contact frottant. Ces deux solides occupent dans leur configuration initiale l'adhérence
de deux domaines 1
et 2
de 3
R et dans leur configuration courante (à l'instant t) l'adhérence de
1
et 2
, respectivement. On suppose que, dans leur configuration initiale, ces deux solides sont
t
t
dans un état naturel, tel que sans contraintes résiduelles ou pré-déformations. Au cours de leur
mouvement, ils peuvent entrer en contact, comme indiqué sur la [Figure 2-a]. La frontière de chaque
solide
i
B est décomposée en parties i
, i
et i
dans la configuration initiale, dont les
0
g
c
intersections sont vides 2 à 2, et en i
, i
et i
, déformées des précédentes, dans la configuration
0
g
c
courante. La description de cette partitition est donnée au [§2.1]. Le solide i
B est encastré sur i
et
0
soumis à une densité nominale de forces surfaciques notée i
g sur la partie i
. Par ailleurs, on note
g
i
f le champ de densité volumique d'efforts appliqués sur le solide i
B (i = ,
1 2) . Les parties des
surfaces
i

, susceptibles d'entrer en contact lors de la déformation des deux solides, sont notées
i
. On suppose l'existence de cartes régulières notées i
décrivant les surfaces i
. Ces cartes sont
c
c
définies comme suit :
i
i
3
: R
(








éq 2-1
,
i
i
p = ,
1
2 )
( 1 2)
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i
est un domaine borné (de référence) contenu dans 2
R . Par ailleurs, on désigne par i
la
transformation du solide i
B , définie par :

i
i
i
: t éq 2-2
i
i
p x

On note i
n la normale unitaire à i
extérieure à i
et on note i
n son vis-à-vis dans la configuration
p
c
x
courante (cf. [Figure 2-a]). On désigne par i
u le champ de déplacements du solide i
B et par i
F le
tenseur gradient de déformation, défini par :

Fi =
i
p ,t

éq
2-3
p
( i )= ui +Id
p

Figure 2-a : Description du problème mécanique


2.1
Principe des Travaux Virtuels

En utilisant les notations introduites précédemment, les équations locales d'équilibre, les conditions
initiales et les conditions aux limites du problème considéré s'écrivent sous la forme suivante :

2 i

i
i
i
u
i
Div + f
=


dans
p
t
2
i i
i
i
n
= g

sur
p
g
i
i
u
= 0

sur
éq
2.1-1
0
i i
i
i
n
= r

sur
p
c
i
u (p 0
, )
i
i
i
i
i
u (p 0
, ) = u (p) et
u (p 0
, ) = v (p)


dans

p.p
0
t

0


i
désigne le premier tenseur des contraintes de Piola Kirchoff, i
est la masse volumique sur la
p
configuration initiale, i
u est le champ des déplacements et i
r est la densité des efforts, due aux
interactions de contact frottant éventuelles entre les deux solides, inconnue du problème. En outre,
sauf mention explicite contraire, l'exposant i prend ici, et dans toute la suite, la valeur 1 ou 2. Nous
supposons, entre autres, pour nous concentrer sur le problème de contact, que la densité des forces
volumiques ainsi que celle des efforts surfaciques appliqués sur les deux solides sont nulles, i.e.,
f i = 0 et gi = .
0
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On désigne par
i
(CA) l'espace des champs des déplacements cinématiquement admissibles pour le
solide i
B . Le Principe des Travaux Virtuels s'écrit :

Pour tout
i
i
w (CA) ,
2 i

u
i
-
i

w
. d =
i i
Tr F S
T
i
w
d
i
p
2
i ( ( p( ) )

t

éq
2.1-2
- i
i
r p
( ,t w
). di
i
c
c
Dans [éq 2.1-2], le point en gras (.) représente le produit scalaire euclidien dans
3
R et
T
(*) est la
transposée de (*). La trace d'un tenseur d'ordre 2 est notée Tr et i
S désigne le second tenseur des
contraintes de Piola-Kirchhoff, lié au premier tenseur par la relation suivante :

i
S = ( i
F ) 1- i
éq
2.1-3

Sans restreindre la généralité concernant la mécanique de contact (objet du présent document), on
supposera que les matériaux constituant les deux solides sont hyperélastiques, i.e.,

i

i
i
W ( i
F )
=

éq
2.1-4
p
i
F


i
W est la densité massique d'énergie interne locale définie sur le solide i
B .


2.2
Appariement et condition cinématique de non interpénétration

Pour traduire la non interpénétration, on procède comme suit :

1) on couple les points des deux surfaces de contact : c'est l'appariement,
2) on impose entre les deux points d'un couple de points appariés la non pénétration suivant une
direction donnée.

La première étape peut être modélisée en recherchant, pour tout point 1
x t
( )
1
= ( 1
p ,t) de la frontière
1
, le point de 2
qui est le plus proche de lui. Ceci revient à résoudre les problèmes d'optimisation,
c
c
sous contraintes, suivants :

Pour tout 1
1
p (donc 1
1
p = ( )
1
, ) et tout t 0 ,
c

Trouver ( ,t) = ( , tel que :
1
) 2
2

( ,t =
1
)
ArgMin ( 1
(1( ),t)- 2
(2 ( )
2
,t) )
2
,
éq 2.2-1
2

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La solution de ce problème permet formellement de définir, à tout instant t , une application
d'appariement,

A : 1
2

t

éq
2.2-2
( ,t)

1
Cette application définit, également, le point 2
p ( 1
p ,t)
2
= (( 1
p ,t) , noté p , apparié à 1
p , à l'instant
1
t . Elle définit aussi le point x , apparié au point 1
x .

1
La condition de non interpénétration entre 1
x de 1
et x de 2
est écrite dans la direction de
c
c
1
n = n
-
, la normale unitaire à 2
, en x , intérieure à 2
, sous la forme :
x ( 1
2 x )
c
t

d =

éq
2.2-3
n
( 1
1
x - x ).n 0

Une deuxième approche (cf [bib8] pour des commentaires) consiste à introduire une direction de
recherche admissible [bib9]. Une de ces directions (cf. [bib8], [bib2]) est le champ des vitesses
normalisées V .

Par la suite on notera x la quantité qui représente le produit scalaire x n
. ou encore la projection de
n
x sur n .

On continue cependant à imposer la non pénétration comme précédemment. L'influence, en pratique,
du choix de la stratégie d'appariement sur la résolution des problèmes de contact est montrée dans
[bib10], [bib8].

Remarque 1 :

On rappelle que, sous l'hypothèse des petits déplacements, l'appariement n'est fait qu'une
seule fois. En grandes transformations, l'appariement dépend de la déformation et introduit la
non linéarité géométrique de contact.


Remarque 2 :

Bien que l'appariement semble introduire une dissymétrie de traitement entre les deux
surfaces constituant l'interface de contact, l'approche reste "démocratique", en continu. La
dissymétrie est en fait due à la discrétisation (par la méthode des éléments finis) et a inspiré à
certains auteurs le concept maître/esclave [bib11] ou de surfaces géométriques/cinématiques
[bib1].



2.3
Principe de l'Action et de la Réaction

En utilisant la procédure d'appariement, décrite au paragraphe [§2.2], le Principe de l'Action et de la
Réaction (PAR)
s'écrit sous la forme locale suivante :

1
r ( 1
p ,t) 1
2

d
+ r p t d
éq
2.3-1
c
( 1, ) 2 = 0
c
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En tenant compte du principe de l'action et de la réaction [éq 2.3-1] et de l'hypothèse faite sur
l'appariement, on écrit l'équilibre faible des efforts comme suit :
( 1 2
w , w )(CA)1 ×(CA)2

2
2 i
2

u
i
-
i

w
.

d
=
i i
r F S
i
w

d
i
p
2
i ( ( p( ))
i=1
(t)

i=1

éq

2.3-2
- r(p,t). [w]


d

c
c

Dans [éq 2.3-2], on a utilisé la notation suivante :

[ ]*( 1p)= ( )1
* ( 1
p ) ( )
-
1
2
*
p


éq

2.3-3



En outre, on a posé
1
= et
1
r = r . On signale, enfin, que la densité d'efforts 2
r est prolongée par
c
c
zéro aux points de 2
sans vis-à-vis sur 1
.
c
c


2.4
Lois de contact

On décompose la densité d'effort de contact r en une partie normale qui désigne la pression
normale de contact et une autre tangentielle
r . Ainsi, l'effort de contact r s'écrit :

r = n + r
éq
2.4-1

n est la normale unitaire, définie dans le paragraphe [§2.2].

Les lois de Signorini s'écrivent sous la forme suivante :

,
0
d ,
0
d
= 0
éq
2.4-2
n
n
d est la distance orientée, définie par [éq 2.2-3].
n

En introduisant la fonction caractéristique de
-
R , notée :

(
si
x) ,1 x 0
=

éq
2.4-3
,
0 si x > 0

et le multiplicateur (dit de contact augmenté [bib3]), noté g , défini par :
n

g = - d









éq 2.4-4
n
n
n
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où est un réel strictement positif (noté
n
COEF_REGU_CONT dans les fochiers de commande), les lois
de contact [éq 2.4-2] s'écrivent comme suit :

- (g g
éq
2.4-5
n )
= 0
n

Pour les phénomènes de frottement, on utilise les lois isotropes de Coulomb qui s'écrivent comme
suit :

r
µ
(p, t )
(p,t)
Si r
< µ
=
(p, t )
(p,t)

alors
v (p,t) 0

éq 2.4-6
Si r
= µ

=
-
(p, t )
(p,t)

alors
0; v (p,t)
r (p,t)

où µ est le coefficient de frottement de Coulomb et v est la vitesse relative tangente. On définit
cette vitesse v , en un point donné de la surface de contact, par :






v (
1
1
1
1
p ,
2 p ,
p ,t)= (Id - n n)
( t)
( t)

-
= (Id - n n)v( 1
p ,t) éq
2.4-7

t

t





On note par la suite
x la projection de x sur le plan tangent à la surface de contact, définie par
x = (Id - n n)x

, où le symbole désigne le produit tensoriel.
Une formulation équivalente des lois [éq 2.4-6] est la suivante [bib12] :

r =

µ


éq
2.4-8
-
g =
éq
2.4-9
0, ( )
( )
0
1
g = +

v







éq 2.4-10

Dans ces quantités, définies sur , est un paramètre strictement positif, est un
c

semi-multiplicateur (vectoriel) de frottement, g est le semi-multiplicateur (vectoriel) de frottement
augmenté et
est la projection sur la boule unité.
(0 1
, )

Les lois de frottement sont complétées par l'équation (de type exclusion) suivante :

d = 0 ou
g
éq
2.4-11
n
( 1- ( )n) = 0
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2.5
Formulation hybride quasi-statique

Dans la suite du document, on adopte l'hypothèse de quasi-staticité du mouvement. On néglige les
termes d'inertie. A une étape de chargement donnée (k ), correspondant à l'instant fictif t , on
k
suppose connus les champs à l'instant t
notés i
u , et
, et on cherche les nouveaux
k 1
-
k 1
-
k 1
-
k 1
-
champs à l'instant t .
k

En utilisant [éq 2.3-2], [éq 2.4-5], [éq 2.4-9] et [éq 2.4-11], on dérive la formulation faible, hybride (à
trois champs : u = ( 1
u , 2
u ),


et
) et quasi-statistique du problème de contact, suivante :

Trouver (u1 ,u2
1
2
, ,
;
k
k
k
k ) (CA) × (CA) × H × H
(
w1, w2
, , )(CA)1 ×(CA)2 × H × H

2 Tr F S
w

i
( i i( ( i d
g
g
w
d
p
)) - ( nk) nk [ ]

c
nk
c
i=1

éq
2.5-1
-
µ(g
g . w
d
0
nk ) k
0,1 ( k ) [
]

( )
=


c
k
c
-1{ - g g *d 0 éq
2.5-2
k
( nk ) nk}

=
c
c
n
- µ(g
nk )

k { -
g
. d
k
0,1 (
k
)}

( )


c
c


éq
2.5-3
+
(1- (g d
,
0
nk )

=
c
k
c
g = - d










éq 2.5-4
nk
k
n
nk
g = + Id - n n x

éq
2.5-5
k

k
k
(
k
) [ k
k
]


où =
est un coefficient positif ( est noté
k

COEF_REGU_FROT dans les fichiers de
t


k
commande Code_Aster) et ( k
* ) est l'incrément de (*), à l'instant t . On note qu'un schéma d'Euler a
k
été utilisé pour discrétiser en temps le champ des vitesses.
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3
Stratégie de résolution

Le problème décrit par la formulation [éq 2.5-1] à [éq 2.5-5] est fortement non linéaire. En effet, outre la
non linéarité "classique" due au cadre des grandes déformations (et à celle éventuellement due aux
comportements non-linéaires des matériaux), plusieurs niveaux de non-linéarités inhérentes aux
phénomènes de contact frottant, peuvent être distingués :

·
La non-linéarité due à la méconnaissance de la surface effective de contact.
Elle est résolue par une stratégie itérative qui peut être rapprochée de la méthode des
contraintes actives implémentée dans le Code_Aster (cf. [bib13] (cadre linéaire), [bib14]
(cadre non-linéaire)).
·
La non-linéarité géométrique de contact définie en remarque 1 du paragraphe [§2.2]).
Elle est résolue par un algorithme de point fixe sur la géométrie.
·
La non-linéarité liée au seuil de frottement (dépendante du champ , inconnu).
Cette non-linéarité est également résolue par la méthode du point fixe.

Les autres non-linéarités sont traitées par un algorithme de type module tangent (ou Newton
généralisé). Le schéma général de l'algorithme est donc le suivant :

I. Boucle sur les étapes de temps :
champs u, et connus à l'étape précédente
II. Boucle sur la géométrie :
n = nd , = d

et

t = d (nouvel appariement)
III. Boucle sur les seuils pour le frottement :
= s (seulement pour les termes de frottement)
IV. Boucle sur la surface des contacts avec une méthode de type contraintes actives :
= d
V. Boucle de module tangent :
linéarisation généralisée
VI. Fin de la boucle de module tangent
VII. Fin de la boucle de la méthode des contraintes actives
VIII. Fin de la boucle sur les seuils
IX. Fin de la boucle sur non linéarité géométrique
X. Fin de la boucle sur les étapes de temps.

Remarque 3 :

Par défaut dans Code_Aster le statut initial des noeuds esclaves est non contactant. Par ailleurs
est initialisé à zéro. Cela revient à commencer par résoudre le problème sans contact à la
s
première itération, puis ensuite avec contact mais sans frottement, puis ensuite à activer le
frottement avec des pressions de contact
fixes, c'est-à-dire à résoudre un problème de Tresca.
s

Remarque 4 :

Le test d'arrêt des boucles géométriques et de seuil est basé sur les variations relatives des
champs de déplacements relatifs. Trois mots clés : ITER_FROT_MAX, ITER_CONT_MAX et
ITER_GEOM_MAX permettent à l'utilisateur de contrôler le déroulement du calcul.


Remarque 5 :

La boucle de géométrie est nécessaire surtout pour les problèmes avec des surfaces de contact
gauches. En pratique une seule correction est souvent suffisante et conseillée
(ITER_GEOM_MAX=1) s'il y a peu de modifications géométriques et cinématiques des surfaces de
contact.

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Le problème résolu par l'algorithme du module tangent est un problème d'élasticité non linéaire (il
pourrait être d'élastoplasticité en grandes déformations ou autres) avec un terme de frottement de
Tresca et un appariement réactualisé. Il s'écrit :
d

Trouver ( 1
u , 2
u ,, )(CA)1 ×(CA)2 × H × H;
(
w1, w2 *
, , )(CA)1 ×(CA)2 × H × H

G1( 1
u , 1
w )-
g w1 d
d
n
( )
c
n
d
d

éq
3-1
-
µ
g . 1
w d
0
d
s
0 1 ( )
( )

( )
=
c
,
d
d
G2 ( 2
u , 2
w )+
g w2 d
d
n
n (
( )
c
d
d
d

éq
3-2
+
µ
g . 2
w
d
0
d
s
0,1 ( )
(
( )

( )
=
c
d
d
d
-1 ( - d g ) *d = 0 éq 3-3
c
nd
n
- µ
d
s ( -
g
. d
0 1 ( )

( )
+
c
,
d


éq
3-4
(1- )


d = 0
c
d


1
G (.,.) et 2
G (.,.) désignent les travaux virtuels des efforts internes aux solides 1
2
B et B
respectivement et où g
g

et

sont tels que :
d
n
d

g = - x









éq 3-5
n
n [ ]
d
nd
g = +
[u]







éq 3-6
d
d

La référence au temps " t " est omise pour alléger l'écriture. En outre, dans les intégrales sur la
k
surface de contact on a remplacé d par
d pour simplifier les notations.
c


Remarque 6 :

On résout le problème à l'itération i en utilisant les seuils de frottements µ obtenus à l'aide des
s
pressions de contact de l'itération i-1. A convergence, le critère d'arrêt sur le seuil est défini
s
par rapport aux variations relatives entre et .
s
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4
Eléments de contact

On décrit dans cette section la discrétisation spatiale du problème, défini par les équations [éq 3-1] à
[éq 3-6], dans le cadre de la méthode des éléments finis.

Les domaines i
sont supposés être approchés par des domaines i
h polygonaux et donc les
surfaces de contact par



. La frontière est composée de N éléments :
c
ch
ch
c

Nc
ch
= Uej
j 1
=

On introduit les espaces approchés suivants :

·
(CA)i : espace approché de ( )i
CA de dimension m . On désigne par i j
N , pour j = ,1 m
h
i
i
les fonctions de base. Ainsi, le champ approché des déplacements, noté i
u , s'écrit-il comme
h
suit :
i
m
i
u =
N ,
u








éq 4-1
h
i i j
j
j=1
i
u sont les composantes du vecteur des déplacements sur la base. Chaque i
u a deux
j
j
ou trois composantes suivant que le problème est 2D ou 3D dans la base cartésienne de
référence ( e ,e ,e ). On notera par la suite e
n le vecteur qui s'écrit :
1
2
3
d
ne = e n
. ,e n
. ,e n
.
qui n'est rien d'autre que le vecteur n exprimé dans la base
d
( 1 d 2 d 3 )T
d
d
( e ,e ,e ).
1
2
3

·
H : espace approché de H de dimension N . On note j
les fonctions de base. Ainsi, la
h
c
densité d'effort normal de contact approchée, notée se décompose sous la forme
h
suivante :
Nc
=
h

j
j éq 4-2
j=1
les

j étant les composantes de
sur la base.
h

·
H : espace approché de H , de dimension N . On note j
les fonctions de base. Ainsi le
h
m
semi-multiplicateur de frottement approché s'écrit :
h
Nm
=








éq 4-3
h

j
j
j=1
où les sont les composantes de sur la base.
j
h
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La discrétisation du problème, défini par les équations [éq 3-1], [éq 3-6], donne le système non
linéaire suivant :

Trouver 1
u , 2
u ,


et

tels que,
h
h
h
h
pour tous 1


w , 2
w ,

et

avec 1 j m 1
, k m 1
, l N
1

et

m
:
j
k
l
m
1
2
c
Nm
G1( 1
1
,
1 j
u , w N
g
1
w .n N ,1 d
h
j
)-
h
d
n (
j
) j
d
( )

d
ch

éq
4-4
-
µ
g . 1
w
N ,1 d
0
d
s
0,1 ( hd
) (
)
j
j
( )

( )
=

d
ch
G2 ( 2
2
2,k
u , w N
g
2
w .n N 2, A d
h
k
)+
h
d
n (
k
) k
d
( ( )

d
c
d
h

éq
4-5
+
µ
g .
2
w
N 2, A d 0
d
s
0,1 ( hd
) (
)
k
k
( ( )

( )
=

d
c
d
h

-1( -
h
g d 0







éq 4-6
h
d
n )
l
=

d
c
l
h n
- µ
d
s ( -
g
. d
h
0 1 ( h
,
)

m
( )
+

d
c
m
h


éq
4-7
(1- . d 0
d )


m
=
c
h
m
h

où :
h
g = - x n
.








éq 4-8
n
h
n [ h ]
d
d
h
g = +

u








éq 4-9
h

[ ]
d
h d

Soit encore trouver 1
u , 2
u ,

et

pour tous 1 i1 m 1
, i2 m 1
, p N 1
et q N ,
i1
i2
p
q
1
2
c
m
tels que pour tous 1


w , 2
w ,

et

avec 1 j m 1
, k m 1
, l N
1

et

m
:
j
k
l
m
1
2
c
Nm

1
1
G
m
1
,
1 i
u N 1 x , 1
w N ,1 x
i1
( )
j
j
( )


i =11

Nc
1
2
p
m
m
1
,
1 i1
2
2,i2


-

-
x N
-
x N
A
1
,
1 j
.n
w .n N
d

c
d p
n i1
( )
i2
( d ( )


d (
j
d )
( )


h
p=1
i =11
i2=1


Nm
m1
m2


q

1
,
1 i1
2
2,i2

-
µ
+
u N
-
u N
A
1
,
1 j
.
N
d = 0


w
c
d
s
0,1
q
i1 ( ) i2
( d ( )
( j)
( )

( )
d
h


q=1
i =11
i2=

1
d
éq 4-4bis
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2
2
G
m
2
2,i
u N 2 x , 2
w N 2, x
i2
( )
k
k
( )


i2=1

Nc
1
2
p
m
m
1
,
1 i1
2
2,i2


+

-
x N ( ) -
x N
A
2
2,k
.n
w .n N
A d

c
d
p
n i1
i2
( d ( )



d (
k
d )
( d ( )


h
p=1
i =11
i2=1


Nm
m1
m2


q

1
,
1 i1
2
2,i2

+
µ
+
u N ( ) -
u N
A
2
2,k
. w
N
d = 0


A
c
d
s
0,1
q
i1
i2
( d ( )
( k)
(

d ( )

( )
d
h


q=1
i =11
i2=

1
d
éq 4-5bis

-1
Nc
1
2
p
m
m
1
,
1 i1
1
,
1 i2


1
( - )
+
x N ( ) -
x N
A ( )
l
.n d = 0 éq
4-6bis
c


d p
d
n
i1
i2
( d )



d l
h n
p=1
i =11
i2=1


Nm
Nm
m1
m2

- µ
d
s
q

q

1
,
1 i1
2
,
1 i2

-
+
u N
-
u N
A
m
. d


c
q
0,1
q
i1 ( ) i2
( d ( )

( )
m
h





q=1
q=1
i =11
i2=


1
d

Nm
+
(1-
. d
0
d )

q

m
=
c
q
m
h
q=1
éq 4-7bis


La quantité non-différentiable est la projection sur la boule unité, définie par :
x si x (0, )
1








éq 4-10
0,1 (x)

( )
= x

sinon
x

La différentielle "généralisée" de cette application est la suivante :
x

si x (0, )
1


1
.
éq
4-11
x
0,1 (x)



( )
x =

x x

I -

x d
2 x sinon


x
On l'écrit sous la forme générique suivante :

x (0, )(x) x
= [K
1
(x)] x






éq 4-12
avec
Id
si x (0, )
1
[K(x)]

= 1
.
x x
éq
4-13

Id -
2 sinon
x


x

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Remarque 7 :

On peut généraliser [éq 4-13] comme suit [bib15] [bib16] :

Id
si x (0, )
1
[K(x)]

= 1
.
x x

éq
4-14

Id -
2 sinon
x


x


0 1 .


L'utilisation de l'algorithme du module tangent pour la résolution du problème non linéaire défini
par les équations [éq 4-4] à [éq 4-9], donne lieu, à chaque itération n + 1, à la résolution d'un
système linéaire de la forme :
n
+ n
+ n
nT
nT



n+
U 1 n
L
u
u

h
1

n
n


C
0

n+1

L éq
4-15
h
= n2


n
n

n+1
n


0
F


L
h
3


n
désigne la matrice de rigidité tangente classique des deux solides à l'état n . Les quantités
n 1
+
n 1
+
n 1
U ,
+



et
correspondent aux incréments des vecteurs composantes des champs
h
h
h
des déplacements approchés, du champ de densité d'effort normal approché et du champ
semi-multiplicateur de frottement approché à l'itération n + 1. Par ailleurs, [ n
],[ n
et
C
u ]
[ n]
[ n],[ nu] [ n

et
F ]
désignent les matrices assemblées de contact et
les matrices assemblées de
frottement. Les seconds membres du système [éq 4-15], notés n
n
n
L , L

et
L sont calculés de
1
2
3
manière classique en tenant compte de la contribution des termes de contact et de frottement.
Leur expression est donnée dans ce paragraphe après celle des matrices tangentes.


4.3
Matrices tangentes de contact

Les contributions élémentaires aux matrices tangentes de contact unilatéral sont données ci-dessous,
où, pour la clarté, les fonctions de base des espaces (CA)1
CA ont été renumérotées de 1 à
h
(
et

)2h
~
m + m et notées i
N avec pour convention :
1
2
~
Pour 1 i m
i
N ( )
,
1 i
= N ( )
1
~
Pour m i m + m
i
N ( )
2,i- 1
m
= -N
( eA ( )
d
)
1
1
2

· Pour [ ]
si le problème est 3D (la version 2D s'en déduit immédiatement en ne tenant pas
compte de la composante sur e ) on a alors pour i = ,
1 1
, j m
+ m
3
c
1
2
[ e
~
] *
= -
i
e

N n d éq
4.3-1
, U
d
( ) j( )
i
j
e
d
où l'exposant e , rajouté à l'application d'appariement , renvoie au fait qu'en discret, on
d
travaille avec plusieurs cartes et que l'appariement doit en tenir compte.
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· Pour [ u
] (de type pénalisation) avec 1 < i, j m + m , on a :
1
2
[ e
~
~

N N e e
n n d
éq
4.3-2
u ]
=
i
w
, U
n
d
( ) j( )
i
j

T
e
d
d


· Pour [C] avec 1 i, j N :
c

[
1
(
)
e
C ]
-
d
i
j

=


éq
4.3-3
,
( ) ( )
i
j
-
d
e
n

4.4
Matrices tangentes de frottement

Avant de détailler l'expression des matrices de frottement, on désigne par t et t les deux vecteurs
1
2
covariants du plan tangent (en un point) et par ( )
* la partie tangentielle du vecteur (*).

On désigne par [P] l'opérateur de projection sur le plan défini par la normale n :

[]= [Id -nn]
auquel on associe la matrice P dans la base cartésienne de référence définie par :
1- 2
n - n n - n n
1
1 2
1 3
P = [
n n 1 n
n n
éq
4.4-1
1 2
3 ]

2

= -
-
-
1 2
2
2 3
- n n - n n 1- 2
n
1 3
2 3
3
où ( 1
n , n2 , n3 ) sont les composantes du vecteur normal n .

[ n
K ]
En notant
la quantité suivante (cf. [éq 4-13]) :
[ n
K ]= [K( hn
gd )]
avec
hn
n
gd = h +
[ n
u
h ]d

En notant :


i
= i
(t ,t


1
2 ) = (
i
i
1
2 )
pour 1 i N

m
éq
4.4-2

i
= i
t
pour 1 i N


m
On a ainsi :

N
N
N
N
m
m
m
m

q
=
t

1
t



q

q
+
q
=
q
1
1
2q
2
q q =
q



q

q=1
q=1
q=1
2q q=1

qui permet d'avoir les valeurs des semi-multiplicateurs dans la base cartésienne locale associée à la
surface de contact.
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En utilisant les notations établies précédemment, on déduit les contributions élémentaires suivantes
aux matrices tangentes de frottement :

· Pour [ n
B ] nous avons pour 1 < i N et pour 1 < j m + m :
m
1
2

[ ne 1
~
B ]
iT
j
n

= -


( )µ
( )

( )

éq
4.4-3
,
K P

N
d
U
i
j
d
s
[ ]
e

· Pour la contribution élémentaire dans la matrice tangente de frottement [ n
B nous
u ]
avons pour 1 < i, j m + m :
1
2

[
~
~
Bne
= -
( )
( )
( P
)
K P


éq 4.4-4
u ]
µ N i N j T n d
,

w U
d
s

[ ]
i
j
e


·
[ nF]
Pour
et ce quels que soient 1 < i, j N nous avons :
m

d ( )µs iT
= -


( [
n
) Id -K ]
[
j
( )
F ne

éq
4.4-5
u ]

d
e



i , j + (1-

( ) ( )M
d ( ) i j

d
e

M dont les composantes sont [M] =


t t. est la métrique de la base covariante courante.


4.5
Expression des seconds membres de contact-frottement

On explicite ici les seconds membres du système [éq 4-15], notés n
n
n
L , L

et
L en ne tenant compte
1
2
3
que de la contribution des termes de contact et de frottement. On a ainsi :

· Pour n
L :
1
Nc
m +

1 m2
~

n
L =
n
p

-
n
j
e ~ i

x .n N n N d
wi
c
d p
( )

n ( j
d )
( ) d ( )


h
p=1
j=1




éq 4.5-1
Nm
m +

1 m2
~

+
T
n
µ
~
P
+ P
n j
i
u N N d

0 1

c
d
s
,
q ( )
q
j ( ) ( )

( )


h
q=1
j=1


· Pour n
L :
2

Nc
m +
1
1 m2
~

n
n
p
n
j
i
L
1
(
)
( )
x .n N
( )
( )d
=


éq 4.5-2

d
p
d
n
j
d
i

-
+

ch






n
p=1
j=

1

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· Pour n
L :
3
Nm
Nm
m +
µ


1 m2
~

n
d
s
iT
q
n
q
n
n
j
L




P
u N
d
=

-
+



q
0,1
q

j
i
ch




( )

( )



q=1
q=1
j=

1


éq 4.5-3
Nm
-
(1-
d
d )

iT
q
n
c

q
h
q=1

Dans ces expressions, on notera que les quantités indicées n correspondent aux valeurs des champs
courants discrets 1
u , 2
u ,

et

à l'itération n du pas de temps auquel s'effectue le calcul. Seul
i1
i2
p
q
n
u
a une signification un peu particulière, puisqu'il correspond à l'incrément de déplacement depuis
j
le début du pas de temps considéré, c'est-à-dire à l'incrément de déplacement entre l'itération 1 et
l'itération n .

4.6
Calcul des matrices et des seconds membres

Le calcul effectif des solutions des systèmes [éq 4-4] à [éq 4-7] nécessite :

~
· la définition des fonctions de base i
i
i
N
,
et .
· la formule d'intégration numérique utilisée pour les termes de contact et de frottement.

Le choix de fonctions de base définissant des espaces d'approximation et le choix d'une formule
d'intégration numérique (joints à la formulation globale du problème de contact) définit un élément de
contact
. Toutefois, ce choix n'est pas évident a priori. En effet, la formulation étant de type mixte, il
convient de faire attention à des considérations de compatibilité entre les éléments de la surface de
contact cible ou maître et ceux de la surface de contact contactante ou esclave. Dans Code_Aster on a
fait le choix de prendre les mêmes fonctions de forme pour le contact que pour les éléments finis sur
lesquels les surfaces de contact s'appuient. Les discrétisations des champs de densités d'efforts sont
opérées dans les espaces discrets correspondant aux traces des champs de déplacements du solide
dit esclave sur la surface de contact. Ce choix est, dans les cadres modèles au moins, étayé
mathématiquement [bib17] [bib18] [bib19].
Avec la configuration des éléments des surfaces de contact proposées à la [Figure 4.6-a] le choix de la
surface esclave et celui de la surface maître repose sur les considérations de compatibilité énoncées
précédemment. En effet, si l'on fait comme choix de la surface esclave, celle qui est maillée le plus
finement alors le produit des fonctions de forme 1 2
. intervenant dans les intégrations des rigidités
et des seconds membres reste polynomial pour cet élément. A contrario, si l'on choisit comme surface
esclave la surface la moins maillée le produit des fonctions de forme 1 2
. perd son caractère
polynomial ­ il existe un compact de mesure non nulle sur lequel le produit 1 2
. vaut zéro - ce qui
rend illicite les intégrations des contributions à la rigidité et au second membre du contact. La
convergence de l'algorithme n'est alors plus assurée.
D'un point de vue pratique, on conseille à l'utilisateur dont le calcul ne convergerait pas d'intervertir le
rôle des surfaces maître et esclave, de vérifier que la surface esclave qu'il choisit est discrétisée au
moins autant que la surface maître et d'utiliser le même type d'élément de part et d'autre de la surface
de contact.

Figure 4.6-a : Problème d'intégration numérique sur les surfaces de contact
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Par ailleurs, même en utilisant des fonctions de base linéaires, le calcul exact des termes des matrices
et des seconds membres issus du contact est délicat pratiquement. Les quantités que nous aurions à
intégrer sont, de par l'appariement, la fonction caractéristique et la projection, non régulières
(cf. [Figure 4.6-a]). On peut toutefois en donner une "approximation" par des méthodes d'intégration
numérique. On a implémenté différentes techniques d'intégration :

· intégration aux sommets,
· intégration aux points de Gauss,
· intégration de type simpson.

On conseille à l'utilisateur non satisfait de ces résultats de passer de l'une à l'autre de ces méthodes
dans l'ordre donné ci-dessus, l'intégration de type simpson étant la plus riche mais aussi la plus
coûteuse.



5 Implémentation

Cette formulation est utilisable avec la méthode 'METHODE' : 'CONTINUE' sous le mot clé
'AFFE_CHAR_MECA'. Les paramètres de la méthode et sont précisés par les mots clés
n

'COEF_REGU_CONT' et 'COEF_REGU_FROT', respectivement.

Derrière le mot clé 'INTEGRATION' on peut utiliser soit le mot 'GAUSS' soit le mot 'NOEUD'. Les
modélisations axisymétriques sont prises en compte par un autre mot clé 'MODEL_AXIS'. Ce dernier
est suivi du mot 'OUI' ou du mot 'NON'.

Remarque 8 :

Les choix 'GAUSS' ou 'NOEUD' doivent être toujours précisés même avec une modélisation
axisymétrique puisque le mot clé 'MODEL_AXIS' ne fait que préciser la modélisation. Le mot
clé 'NOEUD' est recommandé pour des surfaces de contact gauches (non-planes).


Notons que dans la formulation implémentée, le multiplicateur de contact et le semi-multiplicateur
de frottement sont des champs définis sur la surface esclave. Pour cela, une modélisation
'SURF_DVP_2D' dans le cas 2D ou 'SURF_DVP_3D' dans le cas 3D, doit être ajoutée dans la
version 6 de Code_Aster. On notera qu'en version 7, il n'est plus nécessaire de faire ce rajout et que
les surfaces de contact n'ont plus besoin d'être précisées au niveau de l'affectation du modèle.
Manuel de Référence
R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/04/002/A

Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

Eléments de contacts dérivés d'une formulation hybride continue Date
:

24/03/04
Auteur(s) :
P. MASSIN, H. BEN DHIA, M. ZARROUG Clé
:
R5.03.52-A Page
: 20/20


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Manuel de Référence
R5.03 : Mécanique non linéaire
HT-66/04/002/A

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