Code_Aster ®
Version
3
Titre :
Efforts extérieurs de pression en grands déplacements
Date :
05/02/96
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
R3.03.04-A
Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R3.03 : Conditions aux limites et chargements
Document : R3.03.04
Efforts extérieurs de pression en grands
déplacements
Résumé :
Un chargement de pression en grands déplacements est un chargement suiveur. En employant des éléments
de peau, on est amené à calculer, d'une part, un second membre dont le calcul est proche de celui en petits
déplacements, et d'autre part, un terme de rigidité supplémentaire, qui n'est en général pas symétrique. On
choisit néanmoins de le symétriser, escomptant un gain de temps appréciable même si quelques itérations
supplémentaires peuvent être nécessaires pour converger.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Travail virtuel des efforts extérieurs de pression ................................................................................... 3
3 Variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression ................................................................ 4
4 Adoption d'un paramétrage curviligne de la surface.............................................................................. 5
5 Introduction dans le Code_Aster............................................................................................................ 6
6 Cas particulier d'une structure soumise à une pression interne ou externe constante ........................ 7
7 Bibliographie .......................................................................................................................................... 8
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1 Introduction
La prise en compte de chargements de type pression (mot-clé PRES_REP dans la commande
AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01]) pose un certain nombre de difficultés en l'absence de l'hypothèse de
petits déplacements. En effet, à la différence des charges mortes évoquées au [R5.03.20], la pression
dépend des déplacements puisqu'il s'agit d'un effort dont la direction est normale au domaine ; on parle
alors de forces suiveuses, activées par le mot-clé TYPE_CHARGE: 'SUIV' dans la commande
STAT_NON_LINE [U4.32.01]. Néanmoins, le choix de la configuration actuelle comme configuration de
référence (lagrangien actualisé) conduit à des expressions simples - moyennant quelques notions de
géométrie différentielle - du travail des efforts de pression et de sa variation première par rapport au
déplacement, cette dernière étant une forme bilinéaire non symétrique.
2
Travail virtuel des efforts extérieurs de pression
R
x = (X)
= F
R
n
p
nR
p
P(X)
p(x)
Figure 2-a : Configuration de référence et configuration actuelle
Dans la configuration actuelle, le travail virtuel des efforts extérieurs de pression s'écrit simplement
[Figure 2-a] :
W ( ). =
- p
p u
v
n v
ds
éq 2-1
p(u)
De plus, on suppose dorénavant que la valeur de la pression ne dépend pas explicitement du
déplacement mais seulement du point matériel d'application :
(
p x) = P((X))
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Dans ce cas, on peut alors exprimer le travail virtuel des efforts de pression dans la configuration de
référence :
R
W ( ). =
- P det ( )
-1. R
p u
v
F F
n
v
T
((X))ds
éq 2-2
R
p
Sur le plan pratique, on utilisera la formule [éq 2-1] pour calculer le travail des efforts de pression.
Toutefois, la formule [éq 2-2] est la mieux adaptée à une dérivation par rapport au déplacement, dont
on va voir la nécessité au paragraphe suivant.
3 Variation du travail virtuel des efforts extérieurs de
pression
Dans l'optique d'une résolution du problème d'équilibre de la structure par une méthode de Newton, on
est amené à exprimer la variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression par rapport au
déplacement, de manière similaire à ce qui a été fait pour le travail virtuel des efforts intérieurs au
[R5.03.20]. Le domaine d'intégration étant fixe dans l'expression [éq 2-2], la dérivation sous le signe
somme est licite, (cf. [bib2]) :
Wp (u)
. u
. v
=
- P
[det(F)TF-1]
R
R
u
n
v
ds
u
R
.
.
u
p
Nous décidons de choisir comme configuration de référence la configuration actuelle, pour laquelle
F = Id . Ce choix conduit à une expression simple de la dérivée du terme entre crochets :
[det(F)F-T]. u =div( u) -T
Id
u
u
Finalement, la variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression s'écrit dans la configuration
actuelle :
Wp (u) . u . v = - p
[div( u
) Id-T u
]
. n v
ds
éq 3-1
u
p(u)
Dans l'expression [éq 3-1] subsiste une difficulté. En effet, on s'attend à obtenir une grandeur
essentiellement surfacique alors que l'intégrande fait apparaître des termes de dérivation normale à la
surface. Autrement dit, il faut connaître l'expression des déplacements virtuels non seulement sur la
surface du domaine mais aussi à l'intérieur de celui-ci (dans un voisinage de la surface pour pouvoir
exprimer les dérivées normales). Cet inconvénient n'est pas anodin puisque dans le Code_Aster, pour
calculer les termes élémentaires dus aux efforts surfaciques, on emploie des éléments de peau pour
lesquels une variation normale n'a pas de sens.
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Adoption d'un paramétrage curviligne de la surface
Pour remédier au problème mentionné précédemment, il faut chercher à exprimer la relation [éq 3-1] à
l'aide de grandeurs surfaciques uniquement. Pour cela, on a recours à des éléments de géométrie
différentielle, [bib1], dont on adopte les notations (en particulier, on adopte la convention de sommation
des indices répétés où les indices grecs prennent les valeurs 1 et 2 tandis que les indices latins
prennent les valeurs 1 à 3).
3
1
n
2
p
S
M
Figure 4-a : Paramétrage curviligne du voisinage de la surface soumise
à la pression
Soit (1 2
,
) un paramétrage admissible de la surface. Pour décrire le volume constitué d'un
voisinage de cette surface, on lui adjoint une troisième variable, 3 , qui mesure la progression suivant
la normale unitaire n en (1 2
,
). On a ainsi [fig 4-a] :
OM(1 2 3) =
(
OS 1 2 )+3 (
n 1 2
,
,
,
,
)
Avec ce choix de paramétrage, la base naturelle covariante (g ,g ,g
1
2
3) et le tenseur métrique g
sont :
g
g
0
OM
OM
OM
11
12
g =
g =
g =
= n
gij = g .g
1
i
j = g
g
0
1
2
2
3
3
21
22
0
0
1
Dans ce paramétrage curviligne, l'intégrande [éq 3-1] a pour expression :
- p g ni[ uk v j
j
k
k
- u
v
ij
k
]
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Ce terme se simplifie considérablement. En effet, on peut déjà noter que lorsque j = k , le terme entre
crochet est nul. En outre, dans le système curviligne adopté, les composantes contravariantes de n
sont : n1 = , n2 = , n3
0
0
= 1. Enfin, en tenant compte de la forme particulière de g , la variation du
travail s'écrit simplement :
W
p (
3
3
u) . u
. v
=
- p
u v - u
v
ds
éq 4-1
u
p(
u)
Sur cette expression, on constate que seuls interviennent des opérateurs différentiels surfaciques
(dérivation covariante par rapport à 1 et 2 seulement), ce qui est bien le but recherché. En
introduisant la base contravariante (g ,g ,g = n
1
2
3
), appelée aussi base duale et qui s'exprime à partir
ij
de la base covariante par gi = [g-1] g j , on peut s'affranchir des composantes curvilignes :
Wp (
u
u
u)
. u
. v
p
=
-
. g
( v . n) . n ( v . g ) ds
éq 4-2
u
-
p(u)
C'est dorénavant l'expression [éq 4-2] qui sera utilisée pour calculer la variation du travail virtuel des
efforts de pression.
5
Introduction dans le Code_Aster
Dans le Code_Aster, des éléments finis de peau (éléments surfaciques plongés dans un espace
tridimensionnel) sont employés pour discrétiser les déplacements réels et virtuels intervenant dans des
expressions surfaciques telles que [éq 2-1] et [éq 4-2]. Ces dernières permettent d'exprimer
respectivement le vecteur second membre et la matrice de rigidité dus à la pression, dont l'emploi par
l'algorithme de STAT_NON_LINE est précisé en [R5.03.01] et qui appellent quelques remarques :
· Le calcul du travail virtuel des efforts de pression [éq 2-1] est en fait identique à celui effectué
en petits déplacements, moyennant une réactualisation préalable de la géométrie. Rappelons
qu'il est effectué à chaque itération.
· Le calcul de la variation du travail virtuel des efforts de pression [éq 4-2], effectué à chaque
construction de la matrice de rigidité, s'avère un peu plus délicat dans la mesure où il
nécessite la connaissance de la métrique de l'élément de peau en chacun de ses points de
Gauss. Si on appelle Nn les fonctions de forme et xn la position des noeuds de l'élément,
alors la métrique est calculée comme suit :
N
g
n
n
1 g
g =
x
n =
2
[g] = g g g
µ
= -1
.
[g ] g
n
g1 g
µ
2
En outre, cette variation se comporte comme un terme complémentaire de la matrice de
rigidité tangente ; en général, il n'est pas symétrique (sauf cas particulier d'une structure
soumise à une pression interne ou externe constante, cf. [§6]). Il est alors souhaitable
d'échelonner la stratégie de résolution. Dans un premier temps, on ne considère que la partie
symétrique de ce terme complémentaire : le problème reste symétrique, même s'il nécessite
(peut-être) quelques itérations supplémentaires. C'est le choix effectué dans le Code_Aster.
En cas de problèmes de convergence, on pourrait considérer ce terme complémentaire dans
son intégralité en étant prêt à payer le prix d'une résolution non symétrique.
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6 Cas particulier d'une structure soumise à une
pression interne ou externe constante
v = 0
n
p
p
n
p
p
Figure 6-a : Structure sous pression interne ou externe constante
Dans le cas particulier d'une pression constante dans une cavité [Figure 6-a], on montre que les efforts
de pression dérivent d'un potentiel qui n'est autre que le produit de la pression par le volume de la
cavité. Ce résultat s'étend au cas d'une structure plongée dans un fluide à pression constante.
R
P = p
d = p det(F)
d
p
pR
A nouveau, on choisit comme configuration de référence la configuration actuelle. La variation de P
conduit alors bien au travail virtuel des efforts extérieurs de pression :
P v= p div( v
)d = - p
dS = W
p
v
n
v
u
p
p
Dans ce cas particulier, la variation du travail virtuel est aussi la seconde variation du potentiel P ,
c'est-à-dire une forme bilinéaire symétrique :
W
2
p (
P
u)
. u
. v
=
(u)
. u
. v
u
u2
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7 Bibliographie
[1]
Fung Y. C. : Foundations of solid mechanics. Prentice Hall. 1965, pp 31-57.
[2]
Mialon P. : Calcul de la dérivée d'une grandeur par rapport à un fond de fissure par la
méthode . EDF - Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches - Série C - n° 3. 1988,
pp 1-28.
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