Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 1/66
Organisme(s) : EDF-R&D/SINETICS
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
Document : R4.03.02
Calcul de sensibilités en thermique
Résumé :
Lors de simulations numériques l'obtention d'un résultat brut n'est plus suffisante. L'utilisateur est de plus en
plus demandeur de calcul de sensibilité par rapport aux données d'entrée du problème. Cela lui permet
d'estimer l'incertitude à laquelle répond le champ résultat en fonction de la loi de variation des données. Cette
dérivée est aussi le substrat de base de problèmes inverses (recalage de paramètres...) et de problèmes
d'optimisation.
Cette sensibilité peut être obtenue « manuellement », mais l'expérience montre que ces études paramétriques
sont souvent coûteuses, peu mutualisables et moins fiables qu'un calcul analytique implanté dans le logiciel de
calcul.
Dans cette note, on se place dans le périmètre d'utilisation des opérateurs thermiques standards du
Code_Aster et on s'intéresse à cette sensibilité analytique du champ de température et de son flux par
rapport aux caractéristiques matériau et aux chargements. On y décrit le processus permettant d'exhumer
le système linéaire que vérifie cette dérivée. Afin de minimiser le surcoût calcul, un effort particulier a été
apporté pour lier sa résolution à celle du problème initial.
On détaille les travaux théoriques, numériques et informatiques qui ont présidé à l'implantation de ces
calculs de sensibilité dans le code. On spécifie leurs propriétés et leurs limitations tout en reliant ces
considérations à un paramétrage précis des opérateurs incriminés et aux choix de modélisation du code. On a
essayé de constamment lier les différents items abordés tout en détaillant, a minima, les démonstrations un peu
techniques.
L'environnement requis, le paramétrage et le périmètre d'utilisation de cette nouvelle fonctionnalité
sont décrits. Un exemple extrait d'un cas-test officiel est explicité.
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Calcul de sensibilités en thermique
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Table des matières
1 Problématique .......................................................................................................................................4
2 Thermique linéaire.................................................................................................................................8
2.1 Dérivée par rapport à la chaleur volumique ..................................................................................10
2.1.1 Eléments théoriques ............................................................................................................10
2.1.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................13
2.2 Dérivée par rapport à la conductivité thermique ...........................................................................15
2.2.1 Eléments théoriques ............................................................................................................15
2.2.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................16
2.3 Dérivée par rapport à la source.....................................................................................................18
2.3.1 Eléments théoriques ............................................................................................................18
2.3.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................18
2.4 Dérivée par rapport à la température imposée .............................................................................19
2.4.1 Eléments théoriques ............................................................................................................19
2.4.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................20
2.5 Dérivée par rapport au flux normal imposé...................................................................................22
2.5.1 Eléments théoriques ............................................................................................................22
2.5.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................22
2.6 Dérivée par rapport au coefficient d'échange convectif................................................................24
2.6.1 Eléments théoriques ............................................................................................................24
2.6.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................25
2.7 Dérivée par rapport à la température extérieure...........................................................................26
2.7.1 Eléments théoriques ............................................................................................................26
2.7.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................27
3 Thermique non linéaire........................................................................................................................28
3.1 Dérivée par rapport à la chaleur volumique ..................................................................................29
3.1.1 Eléments théoriques ............................................................................................................29
3.1.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................34
3.2 Dérivé par rapport à la conductivité thermique .............................................................................37
3.2.1 Eléments théoriques ............................................................................................................37
3.2.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................38
3.3 Dérivée par rapport à la source.....................................................................................................38
3.3.1 Eléments théoriques ............................................................................................................38
3.3.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................39
3.4 Dérivée par rapport à la température imposée .............................................................................39
3.4.1 Eléments théoriques ............................................................................................................39
3.4.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................40
3.5 Dérivée par rapport au flux normal imposé linéaire ......................................................................41
3.5.1 Eléments théoriques ............................................................................................................41
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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3.5.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................42
3.6 Dérivée par rapport au flux normal imposé non-linéaire...............................................................42
3.6.1 Eléments théoriques ............................................................................................................42
3.6.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................43
3.7 Dérivée par rapport au coefficient d'échange convectif................................................................43
3.7.1 Eléments théoriques ............................................................................................................43
3.7.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................44
3.8 Dérivée par rapport à la température extérieure...........................................................................45
3.8.1 Eléments théoriques ............................................................................................................45
3.8.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................46
3.9 Dérivée par rapport à l'émissivité/constante de Stefan-Boltzmann ..............................................46
3.9.1 Eléments théoriques ............................................................................................................46
3.9.2 Implantation dans le Code_Aster.........................................................................................47
3.10
Dérivée par rapport à la température à l'infini......................................................................48
3.10.1
Eléments théoriques ................................................................................................48
3.10.2
Implantation dans le Code_Aster ............................................................................49
4 Récapitulatif des sensibilités de la température..................................................................................50
5 Sensibilité du flux de chaleur...............................................................................................................54
6 Mise en oeuvre dans le Code_Aster....................................................................................................56
6.1 Difficultés particulières ..................................................................................................................56
6.2 Environnements nécessaires/paramétrages.................................................................................56
6.3 Périmètre d'utilisation ....................................................................................................................60
6.4 Exemple d'utilisation......................................................................................................................61
7 Conclusion/Perspective.......................................................................................................................63
8 Bibliographie........................................................................................................................................64
Annexe 1
Notion de dérivée « au sens des distributions »......................................................65
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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1 Problématique
Lors de simulation numérique, l'obtention d'un résultat à partir d'un jeu de données n'est plus suffisant.
Compte-tenu des incertitudes qui pèsent sur l'évaluation des chargements, des géométries et des
caractéristiques matériau, compte-tenu aussi des approximations numériques dues aux modélisations
employées, à leurs discrétisations spatio-temporelles et aux algorithmes de résolution, l'utilisateur est
de plus en plus demandeur de calculs de sensibilité [bib5]. On cherche alors à évaluer la
sensibilité d'une variable par rapport à une donnée d'entrée du problème. Elle permet d'estimer
l'incertitude (la fonction probabiliste) à laquelle répond le champ résultat en fonction de la loi de
variation de certaines données.
Cette dérivée peut être estimée « manuellement », mais ces d'études paramétriques sont souvent
coûteuses, peu mutualisables et moins fiables qu'un calcul analytique implanté dans le code.
Remarques :
· Les sensibilités par différences finies sont bien sûr dépendantes du paramètres de
décalage et du maillage, mais en non-linéaire, un autre facteur aggravant se superpose : le
degré de convergence de la solution. En toute rigueur, celui-ci intervient aussi sur la qualité
des sensibilités analytiques, car on utilise le champ de température solution pour
assembler le système linéaire « dérivé ».
· La troisième voie regroupe les techniques de différentiation automatique (ODYSSEE [bib7],
[bib9] ...) mais elles ne sont pas implantables dans le Code_Aster du fait de son
architecture logicielle (transmission d'arguments entre les routines par pointeur ...). De
toute façon ces produits sont encore « relativement embryonnaires » et leur utilisation
semble contingentée à des problèmes modèles ou à des parties de logiciels bien
spécifiques. L'idéal serait bien sûr d'incorporer cette problématique dès le compilateur...
Récemment, l'introduction de calculs de sensibilité de champs thermo-mécaniques [R4.03.01] et du
taux de restitution d'énergie [R7.02.01] par rapport à une variation de domaine, a montré la
pertinence et la faisabilité de ce type d'approche dans le Code_Aster. En couplant ce dernier avec le
logiciel PROBAN, on peut ainsi connaître la probabilité d'amorçage de la rupture pour une distribution
de variation de domaine donnée. Ce type d'études mécano-fiabilistes a été, par exemple, mené dans
le cadre du projet PROMETE [bib4] pour déterminer la probabilité de rupture d'une cuve REP en
considérant la variabilité de l'épaisseur de son revêtement intérieur.
Ces sensibilités peuvent aussi intervenir de manière cruciale dans la résolution de problèmes inverses
(recalage de paramètres...) et dans de nombreux problèmes d'optimisation.
Dans ce document, on se restreint aux problèmes thermiques linéaires et non-linéaires du
Code_Aster et donc aux sensibilités analytiques du champ de température T (et de son flux) par
rapport aux caractéristiques matériau et aux chargements. On se place dans le périmètre
d'utilisation des opérateurs thermiques standards (les chargements sont supposés fixes, on ne
s'intéresse donc pas aux phénomènes de convection-diffusion en repère mobile de
THER_NON_LINE_MO [R5.02.04]) pour des éléments finis isoparamétriques (on ne traite pas le
problème thermique pour les coques minces [R3.11.01] (modélisation COQUE_*) et pour les
éléments de Fourier (resp. AXIS-FOURIER)) (THER_LINEAIRE [R5.02.01] et THER_NON_LINE
[R5.02.02]) et aussi dans celui des opérateurs de pré-traitement des données (DEFI_MATERIAU
[U4.44.01], AFFE_MATERIAU [U4.44.03] et AFFE_CHAR_THER [U4.44.02]).
On ne s'intéresse qu'à la dérivation de T et de son flux, champs dépendant des variables d'espace
x et de temps t et de paramètres matériaux et chargements, par rapport à un de ces paramètres
(qui doit être un scalaire constant par zones géométriques (ces sous-parties sont supposées distinctes
et immobiles, on néglige ainsi notamment les phénomènes de dilatation)). Ainsi considérons, par
exemple, un bi-matériau dont la conductivité thermique isotrope est un réel constant par zones : 1 sur
1 et 2 sur 2
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1
2
1
2
Figure 1-a : Désignation des conductivités thermiques pour un bi-matériau
On modélise donc la conductivité thermique globale sous la forme :
(x):= I x + I x
,
éq
1-1
1 1 ( )
2 2 ( )
( 1 )
2
2
1 si x
avec I
i
i la fonction indicatrice de la ième partie ( I x
). On s'intéresse à la sensibilité
i ( ) =
: 0 sinon
T
du champ de température par rapport à l'un des deux paramètres
( ,xt)
. Le problème se
i
0
i= i
formule de la même manière pour un chargement ou pour une condition limite.
En paramétrant à bon escient les « chargements et matériaux dérivés » (cf. [§6.2], [§6.4]) les calculs
développés par la suite et les développements informatiques qu'ils sous-tendent peuvent aussi
prendre en compte des modélisations plus sophistiquées avec plusieurs dépendances spatiales et
temporelles. Par exemple, considérant une source thermique,
s (x,t):= s I x x +
x x
éq
1-2
1 1 ( )
1 ( , t )
s I
2 2 ( ) 2 ( , t )
T
s
sur
1
on peut calculer
1
( ,xt) en paramétrant
= I
et
1
1 =
s
s
0 sur
1
i
s
0
2
i =si
s
0 sur
= I
dans la définition des sources dérivées. Dans le reste du document,
2
2 =
1
s
sur
2
2
2
nous nous restreignons à la première modélisation [éq 1-1], afin de ne pas surcharger les
développements théoriques ultérieurs, mais aussi parce qu'elle paraît plus proche des besoins réels
des utilisateurs. Au cas par cas, nous spécifions toutefois les dérivations plus sophistiquées qui sont
accessibles compte-tenu des nouvelles fonctionnalités introduites et du périmètre d'utilisation du code.
Afin de pouvoir plus facilement commuter la dérivation spatiale ou temporelle avec la dérivation par
rapport à un des paramètres, on travaille avec une dérivation « au sens des distributions » sur le
problème parabolique initial (dérivation explicitée en annexe 1). Mais le même exercice aurait pu
être mené à partir de sa version semi-discrétisée en temps, de la formulation variationnelle ou du
système linéaire (on prend alors la « dérivée discrète » c'est-à-dire par rapport aux composantes du
paramètre discrétisé) résultant de sa discrétisation. En thermique linéaire, on montre que ces
dérivations, à chaque étape du processus numérique, conduisent au même résultat. Le problème
dérivé discrétisé étant identique au problème dérivé discret, les résultats théoriques exhumés sur le
problème continu peuvent s'appliquer au problème effectivement mis en oeuvre.
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L'approche retenue pour le calcul des sensibilité est donc purement analytique. On aurait pu lui
préférer une méthode semi-analytique (c'est la démarche en partie retenue par les codes
MSC/NASTRAN, FEMtools et ABAQUS (cf. [§9] [bib8])) : globalement analytique pour la détermination
du problème dérivé et utilisant des différences finies au niveau local pour déterminer les dérivées des
matrices et des seconds membres dérivés élémentaires. Mais cette dernière, bien que plus facile à
implanter et à maintenir, est aussi plus coûteuse et elle introduit une dépendance vis-à-vis du
paramètre de décalage.
Pour la thermique linéaire, le problème « dérivé » est très similaire au problème initial. Le
premier membre du système linéaire résultant est conservé. Il n'a donc pas à être réassemblé,
seul le second membre est à étoffer par un terme source idoine. Les résultats théoriques d'existence,
d'unicité et de convergence de la solution ne sont pas sensiblement modifiés. L'obtention de la dérivée
en température requiert les mêmes processus numériques (dualisation et inversion du système
linéaire résultant).
Par contre, en thermique non-linéaire, le problème dérivé est métamorphosé : l'opérateur
parabolique est modifié. Il est devenu linéaire, tout comme les conditions limites. Ces dernières ne
sont plus que de deux types : Dirichlet ou Robin, exit les conditions de Neumann et de rayonnement.
Du fait de son caractère linéaire, les résultats théoriques habituels sont donc beaucoup plus faciles à
exhumer. D'autre part la résolution du problème dérivé est plus rapide et plus robuste que celle du
problème initial. On n'a pas besoin d'avoir recours à un algorithme de Newton-Raphson pour
déterminer l'incrément de température entre deux instants contigus. Un solveur linéaire suffit : nul n'est
besoin d'assembler une matrice tangente à chaque sous-itération.
Cette fois les deux membres de cette équation sont foncièrement différents de ceux du problème en
température. Cependant, après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on n'a pas
à réassembler toute la matrice du système linéaire et son second membre associé. Il suffit de
compléter la première matrice tangente du pas de temps suivant par le terme dû à la non-linéarité de
la conductivité thermique. On part aussi du second membre du problème en température pour
constituer celui qui nous intéresse : on l'étoffe par les termes d'implicitation des non-linéarités de la
conductivité thermique et des conditions limites.
On détaille les travaux théoriques, numériques et informatiques qui ont présidé à l'implantation de ces
calculs de sensibilités dans le code. On spécifie leurs propriétés et leur limitations tout en reliant ces
considérations à un paramétrage précis des opérateurs incriminés et aux choix de modélisation du
code. On a essayé de constamment lier les différents items abordés tout en détaillant, a minima, les
démonstrations un peu techniques.
En bref, le périmètre d'utilisation de cette fonctionnalité regroupe la thermique, linéaire ou non,
isotrope ou anisotrope, stationnaire ou transitoire, s'appuyant sur des éléments finis isoparamétriques
lumpés ou non. Dans ce cadre là, elle recouvre le même périmètre que celui des opérateurs
thermiques incriminés.
La demande d'une ou plusieurs sensibilités ne fait qu'enrichir la structure de données
thermique (EVOL_THER) et fournit aussi le champ thermique dont elles sont la dérivée. En terme
de performance, le calcul d'une sensibilité analytique est bien moins coûteux qu'un calcul
standard puisqu'on réutilise la même matrice factorisée.
Outre le calcul de sensibilités en thermique, le Code_Aster propose leurs pendants en mécanique
statique ou quasi-statique [R4.03.03] et en dynamique [R4.03.04]. Toutes ces fonctionnalités et leurs
post-traitements associées (impressions, tests...) sont reprises dans la documentation utilisateur
[U4.50.02] et font partie des livrables du projet « Incertitudes des calculs numériques »[bib5].
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Ce document s'articule autour des parties suivantes :
· dans un premier temps, on s'intéresse aux différentes problématiques résultants de la
dérivation du problème de thermique linéaire (THER_LINEAIRE) par rapport aux paramètres
des caractéristiques matériau et des chargements,
· puis on réitère ce processus sur le problème de thermique non linéaire (THER_NON_LINE),
· les différents systèmes linéaires « dérivés »,- directement implantables dans le Code_Aster
pour déterminer telle ou telle sensibilité -, sont récapitulés dans la troisième partie,
· dans le paragraphe suivant, on décrit les post-traitements requis pour obtenir les sensibilités
du flux de chaleur (CALC_ELEM/CALC_NO),
· on conclut en abordant les difficultés pratiques de mise en oeuvre, l'environnement, le
paramétrage et le périmètre d'utilisation. Un exemple d'utilisation extrait d'un cas-test officiel
(SENST04A) est aussi détaillé.
Avertissement :
Le lecteur pressé et/ou peu intéressé par les ressorts théoriques de la genèse de ces
sensibilités et les détails de modélisation du code peut, d'emblée, sauter aux [§4] et [§6] qui
récapitulent les principaux apports théoriques et pratiques des chapitres précédents.
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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2 Thermique
linéaire
On considère un corps occupant un ouvert borné connexe de Rq (q=2 ou 3) de frontière
lipschitzienne caractérisé par sa chaleur volumique à pression constante Cp(x) (la variable
vectorielle x symbolise ici le couple (x,y) (resp. (x,y,z)) pour q=2 (resp. q=3)) et son coefficient de
conductivité thermique isotrope (x). Ces données matériaux sont supposées indépendantes du
temps (modélisation THER du Code_Aster) et constantes par élément (discrétisation P0).
Remarque :
Avec la modélisation THER_FO ces caractéristiques peuvent dépendre du temps. Dès les
premières versions du code et avant la mise en place de THER_NON_LINE, elle permettait de
simuler des « pseudo » non-linéarités. Compte-tenu de son utilisation plutôt marginale, nous
nous intéresserons pas, dans un premier temps, à sa dérivation.
On s'intéresse aux évolutions de la température en tout point x de l'ouvert et à tout instant
t [ ,
0 [ ( > 0), lorsque le corps est soumis à des conditions limites et à des chargements
indépendants de la température mais pouvant dépendre du temps. Il s'agit de source volumique s(x,t),
de conditions aux limites de type température imposée f(x,t) (sur la portion de surface externe ),
1
flux normal imposé g(x,t) (sur ) et échange convectif h(x,t) et T
).
2
ext(x,t) (sur 3
On se place ainsi dans la cadre d'application de l'opérateur THER_LINEAIRE [R5.02.01] du
Code_Aster en ne retenant que les aspects conductifs de ce problème thermique linéaire.
Ce problème aux limites mêlé (de type Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin (appelée aussi condition de
Fourier) inhomogène, linéaire et à coefficients variables) se formule
T
C
p
- div( T ) = s
× ] ,
0 [
t
T = f
1 × ] ,
0 [
T
= g
éq
2-1
2 × ] ,
0 [
n
T
+ hT = hT
ext
3 × ] ,
0 [
n
T (x )
0
, = 0
T (x)
Remarques :
· La condition de Robin modélisant l'échange convectif (mot-clé ECHANGE) sur une portion de
bords du domaine, peut se dédoubler pour tenir compte d'échanges entre deux sous-
parties de la frontière en vis-à-vis (mot-clé ECHANGE_PAROI). Cette condition limite
modélise une résistance thermique d'interface
T
1 + hT
hT
1 =
2
12 × ] ,
0 [
Avec
n
T
T
a
on
éq
2-2
3 = 12
,
21
i =
ij
T2 + hT
hT
2 =
1
21 × ] ,
0 [
n
· La condition de Dirichlet peut se généraliser sous forme de relations linéaires entre les ddls
(mot-clés LIAISON_*) pour simuler, notamment, des symétries géométriques de la
structure.
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Avec = , T
a
on
i = T
ROUP)
(LIAISON_G
1
12
21
ij
T i x t
x
x
éq
2-3
i
+
T j
t
j
=
t
sur ×
1
1 ( , )
2 2 ( , ) ( , )
1
] ,0[
i
j
ou
simplement
plus
T x
x
i
i ( , t )
= ( ,t) sur ×
1
] ,0[
DL)
(LIAISON_D
i
· On ne parlera pas des fonctionnalités LIAISON_UNIF et LAISON_CHAMNO qui permettent
d'imposer une même température (inconnue) à un ensemble de noeuds, car elles ne sont
qu'une surcouche des conditions précédentes imposant des couples (,) particuliers.
· Lorsque le matériau est anisotrope (modélisation THER_ORTH), la conductivité est
modélisée par une matrice diagonale exprimée dans le repère d'orthotropie du matériau.
Cela ne change pas fondamentalement les calculs suivant qui ne tiennent compte que du
cas isotrope. Il faut juste prendre garde de ne plus commuter, dans les conditions limites de
Neumann et de Robin, le produit scalaire avec la normale et la multiplication par la
conductivité. En pratique, dans les calculs élémentaires, on ne s'intéresse pas aux dérivées
normales. Le problème ne se pose donc que dans la partie théorique préliminaire.
La sensibilité par rapport à une des composantes de la conductivité anisotrope n'est
pas encore disponible. Ces calculs ont été mis en place dans les subroutines incriminées
(calculs élémentaires TE..), ils n'attendent plus que l'évolution logicielle consistant à
étendre la prise en compte de l'anisotropie aux fonctions (une modélisation
THER_ORTH_FO). En effet, d'un point de vue architecture (cf. DEFI_PARA_SENSI [bib6]), la
variable ASTER représentant le paramètre sensible se doit d'être un objet informatique de
type fonction.
· Dans tous les calculs de sensibilités suivants, on ne calcule que la dérivé par rapport
à un paramètre constant par zone. Sinon, il faudrait introduire une notion de dérivée
directionnelle !
Ceci n'exclut pas une dépendance temporelle ou spatiale de caractéristiques matériau ou
de chargements. En paramétrant à bon escient les chargements et matériaux « dérivés »
dans le fichier de commande, on peut aussi avoir accès à certaines dérivés composées
(cf. [§6.2]/[§6.4]).
· Pour un calcul transitoire, la température initiale peut être choisie de trois manières
différentes : en effectuant un calcul stationnaire sur le premier instant, en la fixant à une
valeur uniforme ou quelconque créée par un AFFE_CHAM_NO et en effectuant une reprise à
partir d'un calcul transitoire précédent. Ce choix va avoir une incidence sur l'initialisation du
problème dérivé.
· Nous ne traiterons pas le cas où (presque) tous les chargements sont multipliés par une
même fonction dépendante du temps (option FONC_MULT (cette fonctionnalité bien adaptée
pour certains problèmes mécaniques est déconseillée en thermique, car elle peut rentrer en
conflit avec la dépendance temporelle des chargements et, d'autre part, elle s'applique
sélectivement à chacun d'eux. Elle n'a d'ailleurs pas été reprise dans THER_NON_LINE)).
Afin de pouvoir envisager les différentes dérivées de la température dans des configurations
multimatériau et multichargement on introduit les notations suivantes :
=
U i
i
i = ij (i = 1, 2ou 3)
Ui
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Les caractéristiques matériau et les chargements seront indicés pour notifier leur appartenance à tel
ou tel ouvert ou portion de frontière. Ainsi, si on s'intéresse à un bi-matériau, 1 modélise la chaleur
volumique du matériau occupant le premier ouvert et
1
2 celle du matériau occupant le second
ouvert .
2
1
2
1
2
Figure 2-a : Désignation des chaleurs volumiques pour un bi-matériau
2.1
Dérivée par rapport à la chaleur volumique
2.1.1 Eléments
théoriques
On modélise la chaleur volumique globale sou la forme C x
I x
. Tous les
p ( ) = i
i ( )
( i )
i
C
ouverts étant figés, on a
p = I la fonction indicatrice de la ième partie . La dérivation de
i
i
i
[éq 2-1] nous conduit alors « trivialement » (cf Annexe 1) au nouveau problème aux limites dont est
T
solution la sensibilité recherchée, notée u =
,
i
u
~
C
p
- div( u)= s
× ] ,
0 [
~ t
u = f
,
0
1 × ]
[
u
= ~g
,
0
éq
2.1.1-1
2 × ]
[
n
u
+ hu = ~h
,
0
3 × ]
[
n
u(x
= ~
)
0
,
u0
avec la nouvelle source volumique et les nouvelles conditions limites et initiale
~
~
~
~
T
~
f = g = h = ,
0
s = -I
et
u
éq
2.1.1-2
i
= 0
0
t
On est donc amené à résoudre un problème homogène en u similaire à celui auquel répond T. On fixe
un pas de temps t
tel que
soit un entier N . La semi-discrétisation en temps de [éq 2.1.1-1],
t
[éq 2.1.1-2] par la -méthode mène au problème suivant : trouver une suite.
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Remarque :
En utilisant une adaptation du théorème de Lax-Milgram aux problèmes paraboliques
([R4.10.03 §1] ou [bib1] théorèmes 1 & 2 chap XVIII pp615-620 ou [bib3] pp220-241) on
montre, sous certaines conditions de régularité sur l'ouvert, les matériaux, les chargements et
la condition initiale, que ce problème admet une solution unique.
(u
éq
2.1.1-3
n )
V = u H u =
0nN
{ 1
0
( )/ 1 }
0
Cet espace comporte aussi les conditions de Dirichlet « généralisées » de type relations linéaires
entre ddls lorsqu'elles existent.
telle que :
n+1
u
- n
~n+1 ~
u
n
n+1
n
s
- s
C
p
- div( u )-(1- )div( u )=
0 n N -1
t
n
~
t
+1
u
= n+1
f
0 n N 1
1
-
n+1
u
= ~n+1
g
0 n N 1
2
-
n
n+1
u
n+
n
~
1
+1
n+1
+ h u = h
0 n N 1
3
-
n
0
u (x = ~
) u0
éq 2.1.1-4
en posant :
~
~
~
~
n
C
u = u ,
x n
, s n = -
p (x)
n
n
n
n
T ,
x n
, f = g = h = 0 et h =
h ,
x n
N
i
N
N
éq 2.1.1-5
En appliquant le théorème de Green à [éq 2.1.1-3], [éq 2.1.1-4], [éq 2.1.1-5] et en introduisant les
notations suivantes
+
-
= ,
x (n + )
1
et = ,
x n
avec {u,T, }
h et 0 n N -1
N
N
on est amené à résoudre le problème variationnel suivant :
±
±
-
Etant donn
és h
,T et u
+
Calculer u V
que
tel
éq
2.1.1-6
0
v
+
V
a
0
( +u,v)= ±l(v)
avec la forme bilinéaire dépendant de l'instant courant (via h+)
+
a ( +
u v) = 1
,
+
C u v dx
éq
2.1.1-7
p
+
+
u v dx + + +
h u v
d
t
3
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et la forme linéaire paramétrée par les instants courant et précédent (via h, u et T)
±
1
l (v) =
-
C u v dx 1
1
p
+ ( - )
-
u v dx + ( - ) - -
h u v d +
t
3
éq 2.1.1-8
1 Ii( - +
T - T )v dx
t
Remarques :
· Contrairement au problème initial, le champ inconnu et la fonction test appartiennent au même
espace fonctionnel, ce qui est plus confortable d'un point de vue théorique et numérique.
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on s'appuie
aussi sur h-, h+ et u- pour déterminer u+. La matrice du système linéaire correspondant n'a
pas à être réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température [R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8].
· Pour une condition d'échange entre parois, le terme d'échange usuel est bien sûr remplacé
par (en reprenant les notations du [éq 2-2]) ±
h ( ±
±
u
.
i - u j ) v d
ij
· Cette problématique d'initialisation idoine du problème dérivée est récurrente. On l'a retrouvée
dans le calcul des dérivées lagrangiennes du champ de température par rapport à une
variation de domaine (cf. [R4.03.01] opérande DEUL_INIT).
· Le lecteur intéressé par une étude théorique du problème thermique effectivement mis en
place dans le code, qui souligne ces tenants et aboutissants et leurs liens avec les choix de
modélisation, pourra se reporter au [§1] de la doc. R : « Indicateur d'erreur en résidu pour la
thermique transitoire » [R4.10.03]. Elle concerne un domaine connexe d'amélioration et de
calibration des études, celui des erreurs spatiales dues aux maillages éléments finis.
Pour résoudre numériquement ce problème on le discrétise spatialement en considérant un
sous-espace h
V de V de dimension fini
0
0
n
u ± = u± N V h
0
= ±
:
/
0
±
h
i
i
{u V K
u
h
h
h K
k (K )}
i=1
en notant (Th)h une famille régulière de triangulations du domaine polygonal ou polyédrique discrétisé
, P
h
k(K) l'espace des polynômes de degré < (k+1) sur K et Ni la fonction de forme associée au
noeud n°i. D'où le problème variationnel discrétisé
Remarque :
Cette propriété de continuité globale des éléments et de maximisation de leurs caractéristiques
géométriques (qui assure la convergence de la méthode des éléments finis) est vérifiée pour
tous les éléments isoparamétriques du code : segment, triangle, quadrangle, tétraèdre,
pentaèdre et héxaèdre.
± ±
-
Etant donn
és h ,T et u
h
h
h
+
Calculer u h
V
que
tel
éq
2.1.1-9
h
0
v V a u ,v l v
h
h
+
0
h ( +
h
h ) = ±
h ( h )
conduisant au système linéaire d'ordre n.
A U+ = L
éq
2.1.1-10
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Les p conditions aux limites de type Dirichlet sont prises en compte dans le Code_Aster par une
technique de double dualisation [R3.03.01] via des « ddls (degrés de liberté) » de Lagrange
= (
. Soit J l'ensemble des noeuds appartenant à la portion de frontière sur laquelle
i )i ,
1
= p
s'applique la condition de Dirichlet (card(J) = p), on considère le nouveau vecteur inconnu
~
U [ +
= U
]t
et l'opérateur B (d'ordre p x n) vérifiant
( +
B U ) = u+ avec i J
i
i
La condition de Dirichlet homogène de [éq 2.1.1-1], [éq 2.1.1-2] est réalisée en imposant
B U+ = C = 0
Le problème dualisé consiste alors à inverser le système d'ordre n+2p
A Bt
Bt +
U
L
~ ~ +
~
A U = L
B - Id
Id
=
0
éq
2.1.1-11
B Id - Id 0
Remarque :
· On effectue l'éventuelle prise en compte de conditions limites de Dirichlet généralisées comme
dans le problème en température (ici p=1) mais avec un second membre nul
+
B U =
+
u
avec j
J et C
j
j
=
= 0
j
i
Nous allons maintenant voir comment ces calculs se déclinent dans le code.
2.1.2 Implantation dans le Code_Aster
La matrice de ce système résulte de l'assemblage des termes élémentaires suivants, dus à la
contribution des noeuds (i,j) au point de gauss (de poids (ce poids regroupe en fait le « vrai
g
g
poids » de la formule de quadrature multiplié par le jacobien de l'élément considéré et éventuellement
par le rayon du point de gauss rg (en modélisation AXIS ou AXIS_DIAG))) de l'élément courant K
(dans le Code_Aster les conditions limites sont affectées sur des éléments de peau particuliers de
dimension q-1. Aucune confusion n'étant vraiment possible, on ne fera pas ici de distinguo formel
entre ceux-ci et les éléments de volume qui les supportent).
A K
A K
éq
2.1.2-1
ij (
, g )
3
= iij ( , g )
i=1
avec
· le terme de masse thermique (calculé par l'option MASS_THER)
A1 K, =
C K N N
ij (
) g
g
p (
) j ( g ) i ( g )
t
· le terme de rigidité thermique (RIGI_THER)
A2 K, = K N . N
ij (
g )
g
( ) j( g ) i ( g )
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· le terme de rigidité dû aux conditions limites d'échange (RIGI_THER_COEF_F/R)
A3 K
,
=
+
3
h
K
N
3
N
ij (
g )
g
(
) j( g ) i ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par (RIGI_THER_PARO_F/R)
A3 K
,
3
= h+ K
N
3
- N
N
ij (
g )
g
(
)( j( g ) f j ( g ) i ( g )
( )
en notant f la bijection mettant en vis-à-vis les deux parois.
Le second membre s'écrit, avec les mêmes notations,
L K
L K
éq
2.1.2-2
j (
, g )
3
= ij ( , g )
i=1
où
· le terme résultant de l'implicitation de la matrice de rigidité et de masse (nouvelle option
CHAR_SENS_EVOL, copie de CHAR_THER_EVOL avec u- au lieu de T-, le champ matériau
dérivé et standard et le nouveau terme source)
L1 K, =
C K u- N + -1 K u-
. N
j (
) g
g
p (
) ( g ) j ( g ) ( ) g ( ) ( g )
j ( g )
t
· le terme résultant de l'implicitation des conditions limites d'échange
(CHAR_THER_TEXT_F/R avec Text=0 et u- au lieu de T-)
L2 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
N
j (
g )
g (
) (
) ( g ) j ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par (CHAR_THER_PARO_F/R avec u-
au lieu de T-)
L2 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
-u- f
N
j (
g )
g (
) (
)( ( g ) ( ( g )) j ( g )
· le terme dû à la « nouvelle source » comportant le champ matériau dérivé (cf.
CHAR_SENS_EVOL ci-dessus)
L3 K, = -
I K T + - T -
N
j (
)
g
g
i (
) ( ( g )
( g ) j ( g )
t
Comme on l'a déjà précisé tous les termes élémentaires de la matrice font l'objet d'une option
de calcul et auront déjà été évalués pour la calcul de T+. Il reste donc à estimer le second membre
en réutilisant (avec un paramétrage différent) les options de calcul existantes ou en introduisant une
nouvelle (CHAR_SENS_EVOL). Cette nouvelle option est commune avec l'autre dérivée matériau
(conductivité thermique) et elle redirige vers la même routine de calcul élémentaire (TE..). La chaîne
de caractère centrale (SENS au lieu de THER) joint à une détection de la nullité du champ matériau
dérivé, permet de paramétrer cette routine vers l'une de ses trois orientations possibles : calcul du
terme de masse et de rigidité implicités standard, idem en sensibilité par rapport à une des deux
caractéristiques matériau qui rajoute donc un nouveau terme source.
Conformément aux principes d'architecture mis en place dans le code pour traiter les calculs
de sensibilité [bib6], l'assemblage et la résolution de [éq 2.1.1-11] sont déclenchés par l'analyse de la
table de correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un
calcul thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f =
T
,
0
g = ,
0 T
et
ext =
,
0
0
s = -I
u
i
= 0
t
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Cette remontée d'information s'effectue via la succession de commandes
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur de i > )
ma = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = v ))
affe = AFFE_MATERIAU ( AFFE = _F( GROUP_MA = < définition de i >,
MATER = ma ))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `ma' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `ma_v'))
ma_v = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = un ))
MEMO_NON_SENSI ( NOM = _F( NOM_SD = `affe' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `affe_v'))
affe_v = AFFE_MATERIAU ( AFFE = _F( GROUP_MA = < i >, MATER = ma_v ))
...
resu = THER_LINEAIRE ( CHAM_MATER = affe ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
· Dans son fichier de commande, l'utilisateur n'aura bientôt plus qu'à préciser le premier et le
troisième blocs d'instruction. Le bloc du milieu sera généré automatiquement par le
superviseur grâce à l'arbre de dépendance qu'il construit entre les différentes commandes.
C
· La donnée essentielle de ce calcul, la chaleur volumique dérivée
p
I =
, est fournie par
i
i
ma_v.
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la chaleur volumique
C x
I x x
p ( ) = i
i ( )
i ( )
( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
C
source
p = I dans la définition du champ matériau dérivé
i
i
ma_v.
i
Nous allons dérouler le même processus pour les différentes sensibilités, à commencer par celle
concernant l'autre caractéristique matériau : la conductivité thermique.
2.2
Dérivée par rapport à la conductivité thermique
2.2.1 Eléments
théoriques
T
On pose (x) = I x
et u =
la sensibilité recherchée. Tous les ouverts
i
i ( )
(
i
)
i
i
étant figés, on a
= I la fonction indicatrice de la ième partie . La dérivation de [éq 2-1] nous
i
i
i
conduit à un problème aux limites identique à [éq 2.1.1-1] mais avec une source volumique non nulle
et des nouvelles conditions de Neumann et de Robin
~
T
~
g = h = -I
et
s~ = div
éq
2.2.1-1
i
(I T
i
)
n
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C'est un problème de Cauchy-Dirichlet homogène et de Neumann-Robin inhomogène similaire à celui
auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une suite (u
n )
V
0nN
0
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-4] dont la première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- ) ( un) ~
div
n 1
=
+
s
+ ( - )~
1
s n
0 n N -1
t
éq 2.2.1-2
avec le nouveau terme source
~sm = div(I T m
éq
2.2.1-3
i
) m{ ,nn+ }1
et les nouvelles conditions limites
+
~
~ 1
+1
n
n
T n
g
= h
= -I
éq
2.2.1-4
i
n
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] comportant la
même forme bilinéaire [éq 2.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-7] dont seule la quatrième
intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source
±
l (v) =
- I
1
L
éq
2.2.1-5
i (
+
T + ( - ) -
T )vdx
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on s'appuie sur
h-, h+ et u- pour déterminer u+. La matrice du système linéaire correspondant n'a pas à être
réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température [R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.2.1-5].
· En régime stationnaire ce terme source complémentaire est réduit à
l(v) =
- I
.
L
i T
v dx
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
2.2.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
L3 K, =
- I K T + + 1- T -
N
éq
2.2.2-1
j (
g )
g i (
) (
( g ) ( ) ( g )
j ( g )
Ce qui est fait dans la nouvelle option de calcul CHAR_SENS_EVOL avec le champ matériau dérivé et
standard.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f =
T
,
0
g = hT
et
ext = -I
, s
i
= div(IiT )
0
u = 0
n
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Cette remontée d'information s'effectue via la même succession de commandes qu'au [§2.1.2] en
substituant LAMBDA (ou LAMBDA_L/T/N en orthotrope) à RHO_CP dans les DEFI_MATERIAU.
Remarques :
· La donnée essentielle de ce calcul, la conductivité thermique dérivée I =
, est fournie
i
i
par ma_v.
· Lorsque le matériau est anisotrope la matrice de conductivité thermique est exprimée dans le
repère d'orthotropie du matériau : elle est donc diagonale (dans notre exemple q=2)
0
1
=
0 2
On peut alors dissocier la dérivation par rapport à une valeur d'un de ses termes diagonaux
de la dérivation par rapport à une valeur de cette diagonale. Les formules détaillées ici sont
identiques quelle que soit la configuration retenue. Seule l'évaluation de
ij
ij
ou
doit
k
kl
tenir compte de ces particularités.
· En pratique, on a accès à la sensibilité par rapport à une conductivité isotrope
constante par zone. La sensibilité par rapport à une composante de la conductivité
anisotrope n'est pas encore disponible. Ces calculs ont été mis en place dans les
subroutines incriminées (calculs élémentaires TE..), ils n'attendent plus que l'évolution
logicielle consistant à étendre la prise en compte de l'anisotropie aux fonctions (une
modélisation
THER_ORTH_FO). En effet, d'un point de vue architecture
(cf. DEFI_PARA_SENSI [bib6]), la variable ASTER représentant le paramètre sensible se
doit d'être un objet informatique de type fonction.
· On a raisonné ici comme si la condition de Cauchy du problème initiale avait été fixée
uniforme ou quelconque. Si elle est déterminée en effectuant un calcul stationnaire sur le
premier instant il faut réitérer ce processus avec le problème dérivé. Par contre, si il résulte
d'une reprise à partir d'un calcul transitoire précédent, le problème dérivé doit être initialisé à
partir de la valeur de la même dérivée au même instant de reprise.
En bref, les deux initialisations (celle du problème en température et celle du problème
dérivée) doivent être homogènes. Par contre, contrairement à un calcul de thermique
standard, on ne peut donc pas modifier les conditions limites et il faut effectuer une reprise à
partir d'un calcul de même nature.
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la conductivité thermique
(x) = I x x
i
i ( )
i ( )
( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau
terme source
= I dans la définition du champ matériau dérivé
i
i
ma_v.
i
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2.3
Dérivée par rapport à la source
2.3.1 Eléments
théoriques
T
On pose s(x) = s I x
s
et u =
la sensibilité recherchée. Tous les ouverts étant
i
i ( )
( i )
i
si
s
figés, on a
= I la fonction indicatrice de la ième partie . La dérivation de [éq 2-1] nous conduit
i
s
i
i
à un problème aux limites identique à [éq 2.1.1-1] mais avec une autre source volumique
s~ = I
éq
2.3.1-1
i
C'est un problème homogène similaire à celui auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps
conduit à chercher une suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-4] dont la
n )
V
0nN
0
première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
éq
2.3.1-2
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- ) ( un) ~
div
= s
0 n N -1
t
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] comportant la
même forme bilinéaire [éq 2.1.1-7] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-8] dont seule la quatrième
intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source
±
l (v) = L + I v dx
éq
2.3.1-3
i
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on s'appuie
aussi sur h-, h+ et u- pour déterminer u+. La matrice du système linéaire correspondant n'a
pas à être réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température[R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.3.1-3].
· En régime stationnaire ce terme source complémentaire n'est pas modifié.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
2.3.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
L3 K, = I K N
éq
2.3.2-1
j (
g )
g i (
) j ( g )
Il suffit de réutiliser l'option standard CHAR_THER_SOUR_F/R avec le champ source dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f = g = T
et
ext =
,
0
0
s = I
u
i
= 0
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Titre :
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Cette remontée d'information s'effectue via la succession de commandes
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur de si > )
chth = AFFE_CHAR_THER_F ( SOURCE = _F ( GROUP_MA = < définition de i >,
SOUR = v ))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `chth' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `chth_v'))
chth_v = AFFE_CHAR_THER_F ( SOURCE = _F ( GROUP_MA = < i >, SOUR = un ))
...
resu = THER_LINEAIRE ( EXCIT = chth ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
s
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ source dérivé I =
, est fournie par
i
chth_v.
s
i
· Ce calcul est indépendant des trois types de modélisation de la source : constante par maille
(AFFE_CHAR_THER + SOUR), constante par point de Gauss (AFFE_CHAR_THER +
SOUR_CALCULEE) et constante par maille et dépendante du temps (AFFE_CHAR_THER_F +
SOUR). Ces considérations ne rentrent même pas en ligne de compte lors du calcul effectif de
s
dans chth_v, car cette grandeur représente la dérivation d'une fonction paramétrée par
s
i
un de ses paramètres constants. On ne s'intéresse pas ici à des dérivées du type
s
s
x,
o
x, .
s
x,
i ( jg )(
t) u si( tj)( t)
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la source
s( ,
x t) = s I x ,
x t
s
i
i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
s
source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
si
2.4
Dérivée par rapport à la température imposée
2.4.1 Eléments
théoriques
T
On pose f (x) = f I x
f
et u =
la sensibilité recherchée. Les portions de
i
i ( )
( i )
i
fi
f
frontière externe étant figées, on a
= I la fonction indicatrice de la ième portion . La
1 j
i
f
i
1
i
dérivation de [éq 2-1] nous conduit à un problème aux limites identique à [éq 2.1.1-1] mais avec une
autre source volumique et une nouvelle condition de Dirichlet
~
~
f = I
et
s
éq
2.4.1-1
i
= 0
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C'est un problème de Dirichlet inhomogène et de Cauchy- Neumann-Robin homogène similaire à celui
auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une suite (cet espace peut
comporter, si nécessaire, aussi des conditions de Dirichlet « généralisés » de type relations linéaires
entre ddls)
(u
V = u H1
éq
2.4.1-2
0
1
/u = I
n ) nN
{
( ) i
1
}
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-3] dont la première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
éq
2.4.1-3
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- )div( un)= 0
0 n N -1
t
avec la nouvelle condition limite
~n
f +1 = I
éq
2.4.1-4
i
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] avec la même forme
bilinéaire [éq 2.1.1-7] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-8] dont la quatrième intégrale est nulle.
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on s'appuie
aussi sur h-, h+ et u- pour déterminer u+. La matrice du système linéaire correspondant n'a
pas à être réassemblée. Par contre cette fois il faut constituer la partie lagrangienne du
second membre dualisé afin d'approximer le nouvel espace fonctionnel V1.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température[R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.4.1-3], [éq 2.4.1-4].
La discrétisation spatiale dans un sous-espace h
V et la prise en compte de la condition de Dirichlet
1
inhomogène conduisent à un système linéaire dualisé similaire à [éq 2.1.1-11]
A Bt
Bt +
U
L
~ ~ +
~
A U = L
B - Id
Id
=
C
éq
2.4.1-5
B Id - Id C
avec
f
j
C =
= éq
2.4.1-6
k
ij
f
i
en notant fj la valeur de la condition de Dirichlet au noeud n°k (numérotation local) de 1.
2.4.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le second membre est modifié puisque
3
L K
éq
2.4.2-1
j (
, g )= 0
On n'a donc pas d'option de calcul particulière à prévoir, il faut juste assembler le système linéaire
dualisé associé aux températures imposées dérivées.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f = I , g
et
i
= Text = s = 0
0
u = 0
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Cette remontée d'information s'effectue via la succession de commandes
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur de fi > )
chth = AFFE_CHAR_THER_F ( TEMP_IMPO = _F ( GROUP_MA = < définition de i1 >,
TEMP = v ))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `chth' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `chth_v'))
chth_v = AFFE_CHAR_THER_F (TEMP_IMPO = _F ( GROUP_MA = < i1 >, TEMP = un ))
...
resu = THER_LINEAIRE ( EXCIT = chth ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
f
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ température imposée dérivé I =
, est
i
f
i
fournie par chth_v.
· Ce calcul est indépendant des trois types de modélisation de la température imposée :
constante par maille (AFFE_CHAR_THER + TEMP), plus la dépendance en temps fournie par
une fonction (AFFE_CHAR_THER_F + TEMP) ou fournie par une structure de données
`EVOL_THER' (AFFE_CHAR_THER_F + EVOL_THER + `TEMP'). Ces considérations ne
f
rentrent même pas en ligne de compte lors du calcul effectif de
dans chth_v, car cette
f
i
grandeur représente la dérivation d'une fonction paramétrée par un de ses paramètres
f
constants. On ne s'intéresse pas ici à la dérivée
x, .
f
x,
i (
t j )( t)
· Le calcul de la dérivée de T par rapport à un des paramètres des relations de Dirichlet
généralisées [éq 2-3] s'effectuerait de la même manière. Un distinguo apparaîtrait seulement
au niveau des composantes lagrangiennes du système dualisé :
T
+
Avec u =
B U =
+
u
avec j
J et C
T éq
2.4.2-2
j
j
= - j +
j
i
j
j
i
T
+
+
Avec u =
B U = u
avec j J et C =
éq
2.4.2-3
j
j
i
j
i
La prise en compte informatique de ces calculs s'effectuerait, comme ci-dessus, via les mot
clés COEF_MULT_1/2 et COEF_IMPO des mots-clé facteurs LAISON_GROUP et
LIAISON_CHAMNO.
· La sensibilité par rapport à un coefficient multiplicateur de cette condition de Dirichlet
généralisée n'est pas disponible [éq 2.4.2-2] car elle a peu de sens avec des coefficients
souvent discrets. On n'a accès, en paramétrant à bon escient la condition de Dirichlet
généralisée dérivée, qu'à la dérivation par rapport au coefficient total [éq 2.4.2-3].
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée d'une condition de Dirichlet
f ( ,
x t) = f I x ,
x t
f
i
i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau
f
terme source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
fi
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2.5
Dérivée par rapport au flux normal imposé
2.5.1 Eléments
théoriques
T
On pose g(x) = g I x
g
et u =
la sensibilité recherchée. Les portions
i
i ( )
( i )
2 j
i
gi
g
étant figées, on a
= I la fonction indicatrice de la ième portion . La dérivation de [éq 2-1]
i
g
2i
i
nous conduit à un problème aux limites identique à [éq 2.1.1-1] mais avec une autre source volumique
et une nouvelle condition de Neumann
~
~
g = I
et
s
éq
2.5.1-1
i
= 0
C'est un problème de Neumann inhomogène et de Cauchy-Dirichlet-Robin homogène similaire à celui
auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une suite (u
n )
V
0nN
0
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-3] dont la première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
éq
2.5.1-2
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- )div( un)= 0
0 n N -1
t
avec la nouvelle condition limite
~n
g +1 = I
éq
2.5.1-3
i
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] comportant la
même forme bilinéaire [éq 2.1.1-7] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-8] dont seule la quatrième
intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I v dx
éq
2.5.1-4
i
2
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à partir de T-, on s'appuie
aussi sur h-, h+ et u- pour déterminer u+. La matrice du système linéaire correspondant n'a
pas à être réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température[R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.5.1-4]
· En régime stationnaire ce terme source n'est pas modifié.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
2.5.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
L3 K
,
=
éq
2.5.2-1
2
I K
N
2
j (
g )
g i (
) j ( g )
Il suffit de réutiliser l'option standard CHAR_THER_FLUN_F/R avec le champ flux dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f = s = T
et
ext =
,
0
0
g = I
u
i
= 0
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Cette remontée d'information s'effectue via la succession de commandes
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur de gi > )
chth = AFFE_CHAR_THER_F ( FLUX_REP = _F ( GROUP_MA = < définition de 2i >,
FLUN = v ))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `chth' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `chth_v'))
chth_v = AFFE_CHAR_THER_F ( FLUX_REP = _F ( GROUP_MA = < 2i >, FLUN = un ))
...
resu = THER_LINEAIRE ( EXCIT = chth ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
g
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ flux normal dérivé I =
, est fournie par
i
g
i
chth_v.
· Ce calcul est indépendant des trois types de modélisation de la condition de Neumann :
constante par maille (AFFE_CHAR_THER + FLUN), plus la dépendance en temps fournie par
une fonction (AFFE_CHAR_THER_F + FLUN) ou les composantes du flux vectoriel
dépendantes du temps et constantes par mailles (AFFE_CHAR_THER_F + FLUN_X/Y/Z).
On peut alors dissocier la dérivation par rapport au q-uplet des composantes de la dérivation
par rapport à une de ses composantes. Les formules détaillées ici sont identiques quelle que
soit la configuration retenue. Seule éventuellement l'évaluation de
g l
g l
i
i
ou
, ,
doit tenir compte de ces particularités.
k
(l {x y z})
g
g
j
j
· La dépendance en temps de la condition de Neumann n'est pas prise en compte lors du
g
calcul de
car cette grandeur représente la dérivation d'une fonction paramétrée par un
g
i
g
de ses paramètres constants. On ne s'intéresse pas ici à la dérivée
x, .
g
x,
i (
t j )( t)
· En pratique, on a donc accès à la sensibilité par rapport à un flux scalaire ou vecteur,
constant par zone. En paramétrant à bon escient le vecteur flux dérivé, on peut aussi
T
obtenir la sensibilité par rapport à une de ses composantes
,
x
.
j (
t)
g
i
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée d'un flux normal
g( ,
x t) = g I x ,
x t
g
i i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau
g
terme source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
gi
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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2.6
Dérivée par rapport au coefficient d'échange convectif
2.6.1 Eléments
théoriques
T
On pose h(x) = h I x
h
et u =
la sensibilité recherchée. Les portions étant
i
i ( )
( i )
3 j
i
hi
h
figées, on a
= I la fonction indicatrice de la ième portion . La dérivation de [éq 2-1] nous
i
h
3i
i
conduit à un problème aux limites identique à [éq 2.1.1-1] mais avec une autre source volumique et
une nouvelle condition de Robin
~
h = I
et
éq
2.6.1-1
i (Text - T )
~s = 0
C'est un problème de Robin inhomogène et de Cauchy-Dirichlet-Neumann homogène similaire à celui
auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une suite (u
n )
V
0nN
0
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-3] dont la première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
éq
2.6.1-2
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- )div( un)= 0
0 n N -1
t
avec la nouvelle condition limite
~n 1+
h
= I T
T
éq
2.6.1-3
i ( n 1
+
n 1
+
ext
-
)
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] comportant la
même forme bilinéaire [éq 2.1.1-7] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-8] dont seule la quatrième
intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I
éq
2.6.1-4
i { ( +
+
Text -T )+ (1- )( -
-
Text -T )}vdx
3
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé +
T à partir de -
T , on s'appuie
aussi sur -
h , +
h et -
u pour déterminer +
u . La matrice du système linéaire correspondant
n'a pas à être réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température [R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.6.1-4].
· Ces calculs se généralisent sans peine à la condition d'échange entre parois du [éq 2-2]. Il
suffit de remplacer les termes ±
( ±
±
T
par
ext - T
) v d
3i
± (u± -u± v d avec h , I , 1- I .
i
j )
{
i (
) i}
ij
· En stationnaire ce terme source complémentaire est réduit à
l(v) = L + I
i (Text - T ) v dx
3
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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2.6.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
T + K
3 -T
3
+ +
L
K
,
éq2.6.2-1
3
= I K
3
N
j (
g )
( ext(
)
( g)
g i (
)
-
-
(1- )(T K
3 -T
ext (
)
( g) j( g)
Ce qui est fait dans la nouvelle option de calcul CHAR_SENS_TEXT_F avec les champs coefficient
d'échange standard et dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f = s = g = ,
0
hT
et
ext = I i (Text - T )
0
u = 0
Cette remontée d'information s'effectue via la succession de commandes
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = < valeur de hi > )
chth = AFFE_CHAR_THER_F ( ECHANGE = _F ( GROUP_MA = < définition de 3i >,
COEF_H = v , TEMP_EXT = w))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
zero = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 0. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `chth' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `chth_v'))
chth_v = AFFE_CHAR_THER_F ( ECHANGE = _F ( GROUP_MA = < 3i >,
COEF_H = un , TEMP_EXT = zero))
...
resu = THER_LINEAIRE ( EXCIT = chth ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
h
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ coefficient d'échange dérivé I =
, est
i
h
i
fournie par chth_v.
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée d'un coefficient d'échange
h( ,
x t) = h I x ,
x t
h
i i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer, à la fonction indicatrice, le nouveau
h
terme source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
hi
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
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R4.03.02-A Page
: 26/66
2.7
Dérivée par rapport à la température extérieure
2.7.1 Eléments
théoriques
Dans le cas d'échange convectif avec le milieu extérieur, on pose T
x
T
I x
T
ext ( ) = iext
i ( )
( iext )
i
T
T
et u =
la sensibilité recherchée. Comme précédemment
ext = I la fonction indicatrice de
i
T
i
i
T
ext
ext
la ième portion . La dérivation de [éq 2-1] nous conduit à un problème aux limites identique à
3i
[éq 2.1.1-1] mais avec une autre source volumique et une nouvelle condition de Robin
~
~
h = h I
et
s
éq
2.7.1-1
i
= 0
C'est un problème de Robin inhomogène et de Cauchy-Dirichlet-Neumann homogène similaire à celui
auquel répond T. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une suite (u
n )
V
0nN
0
vérifiant un système similaire à [éq 2.1.1-3] dont la première relation se réécrit
n 1
+
u
- un
C
éq
2.7.1-2
p
- div(
n 1
+
u
)-(1- )div( un)= 0
0 n N -1
t
avec la nouvelle condition limite
~n 1+
n
h
= h 1+ I
éq
2.7.1-3
i
D'où un problème variationnel identique à [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] comportant la
même forme bilinéaire [éq 2.1.1-7] joint à la forme linéaire [éq 2.1.1-8] dont seule la quatrième
intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I
éq
2.7.1-4
i {
+
h + (1- ) -
h }vdx
3
Remarques :
· Le premier membre de cette équation est formellement identique à celui de l'équation en
température. Après chaque pas de temps, une fois déterminé +
T à partir de -
T , on
s'appuie aussi sur -
h , +
h et -
u pour déterminer +
u . La matrice du système linéaire
correspondant n'a pas à être réassemblée. Seul le second membre est à étoffer par le terme
source idoine.
· En dérivant la formulation variationnelle (cf. [§5.1.3]) du problème en température [R5.01.02]
on retrouve bien [éq 2.7.1-4].
· En régime stationnaire ce terme source est réduit à
l(v) = L + I h vdx
i
3
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
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Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
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2.7.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§2.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
L3 K
,
=
+ + 1-
-
éq
2.7.2-1
3
I K
3
h K
3
h K
N
3
j (
g )
g i (
){ (
) (
) (
)} j( g )
Il suffit de réutiliser l'option standard CHAR_THER_TEXT_F avec les champs coefficient d'échange
-
standard et dérivé, et en la « bluffant » avec un champ T =0.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. On a vu que ce calcul est très proche d'un calcul
thermique linéaire standard, seule la condition initiale et les chargements sont modifiés
f = s = g = ,
0
0
T
et
ext = I
u
i
= 0
Cette remontée d'information s'effectue via la même succession de commandes qu'au [§2.6.2] en
substituant TEMP_EXT à COEF_H dans l' AFFE_CHAR_THER_F.
Remarques :
T
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ température extérieure dérivée
ext
I =
, est
i
i
T
ext
fournie par chth_v.
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la température extérieure
T
,
x t
T I x
,
x t
T
ext (
)= iext i( ) i( ) ( iext )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau
T
terme source
ext = I dans la définition du chargement dérivé chth_v.
i
i
i
Text
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Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
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3
Thermique non linéaire
En thermique non linéaire les caractéristiques matériaux Cp(x,T) et (x,T) peuvent dépendre de la
température (en thermique non-linéaire, on ne peut définir des matériaux anisotropes. Il n'existe pas
de modélisation THER_NL_ORTH. Modélisation THER_NL). Le corps est soumis aux mêmes types de
conditions limites et de chargements que le problème linéaire auxquelles se rajoutent deux conditions
non-linéaires : flux normal imposé i(x,T) (sur ) et rayonnement à l'infini d'un corps gris (sur ).
4
5
Cette dernière condition est modélisée (P0) par son émissivité (x,t), la constante de Stefan-
Boltzmann (x,,t) et la température à l'infini T (x,t).
L'opérateur du Code_Aster dédié à ce type de problème est THER_NON_LINE [R5.02.02]. Il
permet de résoudre le problème aux limites mêlé suivant (de type Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin-
Rayonnement inhomogène, non-linéaire et à coefficients variables)
C
p ( ) T
T
- div( (T )T )
= s
× ] ,
0 [
t
T = f
1 × ] ,
0 [
( )T
T
= g
2 × ] ,
0 [
n
( )T
T
+ hT = hT
ext
3 ×] ,
0 [
n
éq
3-1
( )T
T
= i(T )
4 × ] ,
0 [
n
( )T
T
= ([
4
4
T +
.
273 15) - (T +
15
.
273
) ] 5 ×] ,0 [
n
T (x )
0
, = 0
T (x)
Les non-linéarités posent des problèmes théoriques pour démontrer l'existence et l'unicité de
la solution [bib2]. Elles peuvent être aussi préjudiciables à la résolution numérique proprement dite.
Ainsi, en ce qui concerne la modélisation de la chaleur volumique Cp(x,T), au cours d'une itération,
soit parce que le transitoire thermique est violent, soit parce que la plage de changement de phase est
très petite (par exemple, pour un corps pur), les deux itérés successifs de la température peuvent se
situer de part et d'autre d'une de ses discontinuités. On a alors raté une grosse partie de l'information
relative au changement de phase.
Pour s'affranchir de ce type de problème on réécrit la première équation de [éq 3-1] en introduisant
une fonction enthalpie volumique qui va lisser ces non-linéarités (dépendante de T(x,t) et en notant
T*=T(x, t*) la valeur de la température à un instant t* < t arbitraire)
(T ) -div( (T)T)= s
× ] ,
0 [
t
T
éq
3-2
avec
(T ) = C d
p ( )
T *
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
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Remarques :
· De part sa définition (différence d'une primitive (en température) de la chaleur volumique
entre la température considérée et une température T * à un instant arbitraire), la fonction
enthalpie est connue à une constante d'intégration près. Il faudra donc veiller à ce que cette
constante s'élimine dans toutes les expressions manipulées.
· Les conditions généralisées de type échange parois [éq 2-2] ou relations linéaires entre ddls
[éq 2-3] sont aussi utilisables. Comme au [§2] on ne s'intéressera pas aux dérivées par
rapport aux paramètres des fonctionnalités LIAISON_*.
· Pour un calcul transitoire, comme pour le problème de thermique linéaire, trois stratégies
peuvent présider au choix du champ de température initiale et elles ont une incidence sur
l'initialisation du problème dérivé.
· Implicitement, THER_NON_LINE doit tolérer assez mal des conductivités fortement
non-linéaire. Car les matrices tangentes et la phase prédictive initiale ne comporte pas le
terme représentant leurs dérivées par rapport à la température. D'ailleurs ce terme
complémentaire aurait le mauvais goût de rendre non symétrique la matrice tangente du
système standard et la matrice du système dérivé ! Ce qui est problématique à prendre en
compte informatiquement dans la manipulation des structures de données.
En toute état de cause, vis-à-vis des caractéristiques matériau non-linéaires
généralement utilisés, le périmètre d'utilisation des calculs de sensibilité est le même
que celui du problème standard. Il ne prend pas en compte rigoureusement de
conductivité thermique non linéaire.
· D'autre part, comme en thermique linéaire, on a ne calcule que la sensibilité par rapport
à un paramètre constant par zone géométrique. Ce qui n'exclut pas une dépendance
temporelle, spatiale ou non-linéaire de caractéristiques matériau ou de chargements
non concernés par la dérivation. En paramétrant à bon escient les chargements et
matériaux « dérivés » dans le fichier de commande, on peut aussi avoir accès à
certaines dérivés composées (cf. [§6.4]).
· En non-linéaire, l'obtention d'une sensibilité par différences finies est encore moins fiable
qu'en linéaire, car elle peut être très sensible au degré de convergence de la solution. En
toute rigueur, cela influe aussi sur la qualité de la sensibilité analytique, le champ de
température solution intervenant dans l'assemblage du système linéaire « dérivé ».
· Dans le cadre de la thermique non-linéaire, la dérivée par rapport à l'enthalpie n'aura donc
pas de sens (une enthalpie n'est pas constante !).
· Par contre, connaissant la sensibilité u du champ de température par rapport à un paramètre,
on accède facilement à celle de l'enthalpie v par rapport à ce même paramètre, via la formule
(T )
T
T
v =
:
=
= C
= C u
T
p
p
3.1
Dérivée par rapport à la chaleur volumique
3.1.1 Eléments
théoriques
Soit C x
I x
, on va dériver par rapport au paramètre la formulation
p ( ) = i
i ( )
( i )
i
i
T
[éq 3-2]. La sensibilité recherchée est notée u =
. En remarquant que l'enthalpie peut se
i
modéliser comme une fonction du temps t et des j (considérés en fait comme des fonctions
indicatrices du type de matériau)
T (t,x, j )
: (t, ,x
=
-
j )
C
p ( ,
j )d
C p (
*
T T )
*
T (x, j )
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sa dérivée s'écrit
T
C
*
p
T
T
=
d +
Cp
-
*
i
T
i
i
i
*
=
*
T
T
I T T
C
i (
- )
+
p
-
i
i
C
En effet la quantité
p
I =
est indépendante de la température (et donc du temps) car on
i
i
suppose que les portions sont figées (les sous-parties du corps sont supposées immobiles, on
i
néglige notamment les phénomènes de dilatation). La dérivée en temps du premier terme en enthalpie
de [éq 3-2] vaut donc
(T )
u
i
T
T
= I
+
éq
3.1.1-1
t
i
t
t
D'autre part on a
(
T (t,x,
x
j )
T t
T
=
+ T
j
+
=
u avec { , }
i
T
t
i
i
i
j
T
{
{
j {i
0
0
ij
(
T + 273 15
. )4
x
= 4(T + 273.15)3 T t
T
+ T
j
+
= 4(T + 273 15
. )3u
t
i
{i
{i
j
j {i
0
0
ij
éq 3.1.1-2
La dérivation de [éq 3-2] nous conduit au nouveau problème aux limites en u
u
T
-
uT + u = ~
div
s
× ] ,
0 [
t
T
u = ~f
,
0
1 × ]
[
+
u
u
= ~g
,
0
2 × ]
[
n
n
u ~
+ hu +
= h
,
0 éq
3.1.1-3
3 × ]
[
n
n
i
u ~
-
u +
= i
,
0
4 × ]
[
n T
n
u
+ 4 (T +
)3
u +
= ~
15
.
273
,
0
5 × ]
[
n
n
u(x
= ~
)
0
,
u0
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avec la nouvelle source volumique et les nouvelles conditions limites et initiale
T ~
~
~
~
~
~
~
s = -I
, f
et
éq
3.1.1-4
i
= g = h = i = = 0
u = 0
0
t
Remarque :
· La dérivation de la formulation en chaleur volumique [éq 3-1] conduit bien sûr au même
résultat car la chaleur volumique est une fonction des j (considérés en fait comme des
fonctions indicatrices du type de matériau) et de la température (dépendant elle-même du
temps, de la variable d'espace et des j !)
C ,T t, ,
x
p ( j
(
j )
Sa dérivée par rapport à i s'écrit donc
C
C
C
x
p
p
j
p T
t
T
=
+
+ T
j
+
= I +
i
j
T
t
i
j
{i
{i
{i
j
j {i
0
0
ij
ij
d'où
u
C
p
T
u
T
Cp
u
T
T
+ C
= I
+
u + C
=
+ I
t
p
t
i
t
t
p
t
t
i
t
i
on retrouve bien la formulation [éq 3.1.1-1] du seul terme qui distingue ces deux
modélisations.
Contrairement à la thermique linéaire, le problème dérivé est complètement métamorphosé.
L'opérateur parabolique est modifié et il est devenu linéaire en u. Tout le problème est d'ailleurs
devenu linéaire car les conditions limites ont subi le même traitement. La condition de Dirichlet
est désormais homogène et celles de Neumann et de rayonnement ont laissé place à des conditions
de Robin. La condition de Cauchy est devenue homogène. Contrairement au problème en
température, les résultats théoriques d'existence et d'unicité de la solution u sont donc plus facile à
exhumer.
D'un point de vue pratique, on n'a pas besoin d'avoir recours, comme dans THER_NON_LINE, à un
algorithme de Newton-Raphson mâtiné d'une phase prédictive pour déterminer l'incrément de
température entre deux instants contigus. Un solveur linéaire suffit. Nul n'est besoin d'assembler une
matrice tangente à chaque sous-itération. La résolution du problème « dérivé » est donc plus
rapide et plus robuste que celle du problème initial.
La semi-discrétisation en temps de [éq 3.1.1-3] par la -méthode mène au problème suivant :
trouver une suite (u
telle que (avec les notations du [§2.1.1])
n )
V
0nN
0
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n+1
n
n+1
u
-
u n
T
T
n+1
-
n+1
div
u n+1
T
+ n+1
n+1
u
t
T
n
~ n
~
+1
n
- (
n
n
n
n
s
s
1 - )
-
div
u T + u
=
0 n N -
1
T
t
n
~
+1
u
= n+1
f
0 n N 1
1
-
n+1
n 1
n+
n
u
1
+1
+
~
u
+
= n+1
g
0 n N 1
2
-
n
n
n+1
n 1
n+
n
n
u
~
1
+1
1
+
+
n+1
+ h u +
= h
0 n N 1
3
-
n
n
n+1
n+1
i
n 1
n+
n
u
1
+1
+
~
-
u
+
= n+1
i
0 n N 1
4
-
n
T
n
n+1
n+1
3
n
n
n
n
n
u
+
+1
+1
4
( +1
T
+ 273.15) +1
+1
u
+
= ~n+1
0 n N 1
5
-
n
n
0
u (0 = ~
) u0
éq 3.1.1-5
en posant
~
~
n
n
~
~
~
u = u ,
x n
, T = T ,
x n
, s n = -I x
,
~
,
0
i ( ) T n
f n = g n = h n = i n = n =
N
N
in = i( ,
x T n )
n
, = ( ,
x T n )
n
, = ( ,
x T n )
n
, h =
h ,
x n
N
n
n
n
= ,
x n
, = x, n ,
T =
T x, n
N
N
N
éq 3.1.1-6
En appliquant le théorème de Green à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] et en introduisant les notations
suivantes
+
-
=
x,(n + )
1
et = x, n avec {u,T,h,T , ,,T
0
-1
ext
}
n
N
N
N
+
-
=
x,T x,
(n + )1 et = ,xT ,xn
avec
{ ,,i }
N
N
on est amené à résoudre le problème variationnel suivant
±
± ± ± ±
±
±
-
Etant donn
és , , i , h , , , T et u
+
Calculer u V
que
tel
éq
3.1.1-7
0
v
+
V
a
0
( +u,v)= ±l(v)
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avec la forme bilinéaire dépendant de l'instant courant
1
+
a ( +
u , v)
+
+
=
+
u v dx +
+
+ +
+
T u + u
. v dx +
t T
T
+
+ +
h u v d - i +
u v
d + 4 + +
( +
T +
15
.
273
)3 +uv
d
T
3
4
4
éq 3.1.1-8
et la forme linéaire paramétrée par les instants courant et précédent
1
±
l (v)
-
-
=
-
u v dx + ( - )
1
- -
-
-
T u + u
. v dx - 1
Ii( +
-
T - T )v dx
t T
T
t
+ ( - )
1 - -
h u v d
3
+ (
i
1 - )
-
-
u v d + (
4 - )
1 - -
( -
T +
15
.
273
)3 -u v
d
T
4
5
éq 3.1.1-9
Remarques :
· En posant dans [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] du problème linéaire.
D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du problème en température
[R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9].
· Contrairement au problème initial, le champ inconnu et la fonction test appartiennent au
même espace fonctionnel, ce qui est plus confortable d'un point de vue théorique et
numérique.
· Cette fois les deux membres de cette équation sont foncièrement différents de ceux du
problème en température. Cependant, après chaque pas de temps, une fois déterminé T+ à
partir de T-, on n'a pas à réassembler toute la matrice du système linéaire et son second
membre associé. Il suffit de compléter la première matrice tangente (en reprenant les
notations de [R5.02.02]) du pas de temps suivant (permettant de passer de +
++
T = T à ++
T )
1
2
par le terme dû à la non-linéarité de la conductivité thermique. On part aussi du second
membre du problème en température L( - ±
T ,t ) pour constituer celui qui nous intéresse : on
l'étoffe par les termes d'implicitation des non-linéarités de la conductivité thermique et des
conditions limites.
· Concernant l'initialisation du problème dérivé les remarques du cas linéaire s'appliquent in
extenso (cf. [§2.2.2].
· Contrairement au calcul en température (lors de la phase prédictive de THER_NON_LINE,
l'élimination de cette constante impose une reformulation idoine du terme élémentaire
CHAR_THER_EVOLNI), la constante d'intégration de l'enthalpie n'apparaît pas ici car on ne
manipule que sa dérivée en température.
· Pour une condition d'échange entre parois, le terme d'échange usuel est bien sûr remplacé
par (en reprenant les notations de [éq 2-2]) ±
h ( ±
±
u
.
i - u j ) v d
ij
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La discrétisation spatiale de [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] fournit le problème variationnel
discrétisé
±
± ± ± ±
±
±
-
Etant donn
és , , i , h , , , T et u
h
h
h
h
h
h
h
h
+
Calculer u h
V
que
tel
éq
3.1.1-10
h
0
v V
a u , v
l v
h
h
+
0
h ( +
h
h ) = ±
h ( h )
La prise en compte des conditions de Dirichlet conduit alors au système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
Nous allons maintenant voir comment ces calculs se déclinent dans le code.
3.1.2 Implantation dans le Code_Aster
Avec les mêmes notations qu'au [§2.1.1] on peut décomposer la matrice élémentaire en
A K
A K
éq
3.1.2-1
ij (
, g )
5
= iij ( , g )
i=1
avec
· le terme de masse et de rigidité thermique (option de calcul MTAN_RIGI_MASS en estimant les
-
caractéristiques matériau en T )
1
+
A K, =
N N + + N
. N
ij (
) g
g
( g ) j( g ) i ( g ) g ( g ) j( g ) i( g )
t
T
· un terme de rigidité thermique dû à la non-linéarité de la conductivité thermique (non introduit
car on suppose, dans le périmètre d'utilisation des sensibilités, que est indépendant de T)
2
+
A K, =
T + N . N
ij (
g )
g
( g )
( g ) j( g ) i ( g )
T
· le terme de rigidité dû aux conditions limites d'échange (MTAN_THER_COEF_F/R)
A3 K
,
=
+
3
h
K
N
3
N
ij (
g )
g
(
) j( g ) i ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par (RIGI_THER_PARO_F/R)
A3 K
,
3
= h+ K
N
3
- N
N
ij (
g )
g
(
)( j( g ) f j ( g ) i ( g )
( )
en notant f la bijection mettant en vis-à-vis les deux parois.
· le terme de rigidité dû à la condition de Neumann non-linéaire (MTAN_THER_FLUXNL en
-
estimant le flux non-linéaire en T )
4
i
+
A
K
,
4
= -
N N
ij (
g )
g
( g ) j( g) i ( g )
T
· le terme de rigidité dû à la condition de rayonnement (MTAN_THER_RAYO_F/R)
A5 K
,
= 4
+
+
+ 273.15
5
K
T
5
3 N N
ij (
g )
g
( ) (
)( ( g )
) j( g ) i ( g )
Le second membre s'écrit, avec les mêmes notations,
L K
L K
éq
3.1.2-2
j (
, g ) 6
= ij ( , g )
i=1
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 35/66
où
· le terme résultant de l'implicitation de la matrice de rigidité et de masse (nouvelle option
CHAR_SENS_EVOLNI copie de CHAR_THER_EVOLNI avec u- au lieu de T-, les champs
matériau dérivé et standard et le nouveau terme source)
1
-
L K, =
u- N + -1 - u-
. N
j (
) g
g
( g ) ( g ) j ( g ) g ( ) ( g ) ( g ) j( g )
t
T
· un terme résultant de l'implicitation de la non-linéarité de la conductivité thermique (non
introduit car on suppose, dans le périmètre d'utilisation des sensibilités, que est indépendant
de T)
2
-
L K, = -1
u- T - . N
j (
g )
g (
)
( g ) ( g )
( g ) i ( g )
T
· le terme dû à la « nouvelle source » (cf. CHAR_SENS_EVOLNI)
L3 K, = -
I K T + -T -
N
j (
)
g
g
i (
)( ( g )
( g) j ( g )
t
· le terme résultant de l'implicitation des conditions limites d'échange (CHAR_THER_TEXT_F/R
avec Text=0 et u- au lieu de T-)
L4 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
N
j (
g )
g (
) (
) ( g ) j ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par (CHAR_THER_PARO_F/R avec u- au
lieu de T-)
L4 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
- u- f
N
j (
g )
g (
) (
)( ( g ) ( ( g )) j ( g )
· le terme résultant de l'implicitation de la condition de Neumann non-linéaire (nouvelle option
CHAR_SENS_FLUNL)
5
i-
L
K
,
4
= 1-
u- N
j (
g )
g (
)
( g ) ( g) j ( g )
T
· le terme résultant de l'implicitation de la condition de rayonnement (nouvelle option
CHAR_SENS_RAYO_F)
L6 K
,
4
1
273.15
5
= -
- K
T -
5
+
3 u- N
j (
g )
g (
) ( ) (
)( ( g )
) ( g ) j ( g )
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
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6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
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O. BOITEAU Clé
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Remarques :
· Les termes élémentaires de la matrice du problème « dérivé » sont identiques à ceux de la
matrice tangente du problème initial. En effet le problème en température peut s'écrire en
faisant apparaître un vecteur résidu R [R5.02.02] et une fonction test vectorielle V
t
V . R( + +
T ,t )= t
V . L( - ±
T ,t )
En dérivant par rapport à un paramètre de calcul du résidu (par exemple une caractéristique
matériau) notée cette relation vectorielle et en la traduisant sous forme indicielle, on a
( +
V R =
V L±
k
k )
( k k )
R
+ T
+
L
±
k
j
k
V
= V
k
k
T
{j
Kkj
T
+
+
+
L
+
K T
=
avec V =
ij (
) j
i
(
k
ki )
4 4
3
2
1
A
{ {
ij
U +
L
j
i
On retrouve donc bien la formulation indicielle du système linéaire dérivé [éq 2.1.1-10].
· Par rapport au problème « dérivé » linéaire, la matrice élémentaire et le second membre sont
complétés par les termes incorporant les non-linéarités de la conductivité thermique et des
conditions limites. Par contre, la nouvelle source est identique dans les deux cas (on pourra
donc mutualiser l'option de calcul).
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la chaleur volumique
C
,
x T
I x ,
x T
p (
)= i i( ) i( ) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
C
source
p = I dans la définition du champ matériau dérivé
i
i
ma_v.
i
Comme on l'a déjà précisé, tous les termes élémentaires (sauf le deuxième) de la matrice font
l'objet d'une option de calcul et auront déjà été évalués pour la calcul de ++
T . Il reste donc à
2
estimer le second membre en réutilisant (avec un paramétrage différent) les options de calcul
existantes ou en introduisant de nouvelles (CHAR_SENS_EVOLNI/FLUNL/RAYO_F). Ces dernières
redirigent vers la même routine de calcul élémentaire (TE..) que leurs options standards associées
(CHAR_THER_EVOLNI/FLUNL/RAYO_F).
La chaîne de caractère centrale (SENS au lieu de THER) joint à une détection de la nullité du champ
matériau dérivé, permet de paramétrer ces routines vers l'une ou l'autre de leurs orientations
possibles: calcul d'un terme dérivée élémentaire (nouveau terme source) ou d'un terme « spectateur »
dû à la présence d'une condition d'échange, de rayonnement ou d'un flux non-linéaire.
Conformément aux principes d'architecture mis en place dans le code pour traiter les calculs
de sensibilité [bib6], l'assemblage et la résolution de [éq 2.1.1-11] sont déclenchés par l'analyse de la
table de correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la
même succession de commandes qu'au [§2.1.2] en substituant THER_NL à THER dans
DEFI_MATERIAU et en remplaçant bien sûr l'opérateur THER_LINEAIRE par THER_NON_LINE.
Nous allons dérouler le même processus pour les différentes sensibilités, à commencer par celle
concernant l'autre caractéristique matériau.
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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O. BOITEAU Clé
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3.2
Dérivé par rapport à la conductivité thermique
3.2.1 Eléments
théoriques
En reprenant les notations du [§2.2.1], on effectue la dérivation par rapport au paramètre , avec
i
T
u =
la sensibilité recherchée,
i
T
C
p
t
C
p
T
u
( C up)
=
u
+ C
=
T
t
p
t
t
i
(T )
(T )
u
t
T
=
t
i
La dérivation de [éq 3-2] nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
autre source volumique et de nouvelles conditions de Robin
~
~
~
~
s = div(I T ,
= = = ~ = -
éq
3.2.1-1
i
)
T
g h
i
Ii n
C'est un problème de Dirichlet-Cauchy homogène et de Robin inhomogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
0
se réécrit
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.2.1-2
n
- (
1- )
n
n
n
n
~
div
n 1
u T + u =
+
s +
n
( - )~
1
s
0 n N -1
T
avec le nouveau terme source
~sm = div(I T m
éq
3.2.1-3
i
) m{ ,nn+ }1
et les nouvelles conditions limites
1
+
~
~ 1
+1
~ +1
~ +1
+
n
n
n
n
T n
g
= h
= i
=
= -I
éq
3.2.1-4
i
n
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source
±
l (v) = L - I
1
éq
3.2.1-5
i (
+
T + ( - ) -
T )vdxL
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Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.2.1-5]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.2.1-5] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.2.1-5].
Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
· Pour l'instant, l'opérateur DEFI_MATERIAU ne permet pas de modéliser une conductivité
thermique non-linéaire orthotrope. On n'a donc pas les cas particuliers du problème linéaire.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.2.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K, que pour le cas linéaire (cf [éq 2.2.2-1]). Ce qui est fait dans la nouvelle option de calcul
j (
g )
CHAR_SENS_EVOLNI avec les champs matériau dérivé et standard.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.1.2] en substituant THER_NL/LAMBDA à THER/RHO_CP dans
DEFI_MATERIAU et en remplaçant bien sûr l'opérateur THER_LINEAIRE par THER_NON_LINE.
Remarque :
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la conductivité thermique
( ,
x T ) = I x ,
x T
i
i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
source
= I dans la définition du champ matériau dérivé
i
i
ma_v.
i
3.3
Dérivée par rapport à la source
3.3.1 Eléments
théoriques
En appliquant les formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au
paramètre s (cf. [§2.3.1]) nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
i
autre source volumique
s~ = I
éq
3.3.1-1
i
On peut donc reconduire les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et
les simplifications théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps
conduit à chercher une suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6]
n )
V
0nN
0
T
dont la première relation se réécrit, en notant u =
la sensibilité recherchée,
s
i
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n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq 3.3.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un = Ii 0 n N -1
T
L'application du théorème de Green à [éq 3.3.1-2] conduit à résoudre un problème variationnel
identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire [éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire
[éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle source
±
l (v) = L + I vdx
éq
3.3.1-3
i
L
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.3.1-3]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.3.1-3] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.3.1-3].
· Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.3.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K, que pour le cas linéaire (cf [éq 2.3.2-1]) et la même option de calcul.
j (
g )
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.3.2] en remplaçant l'opérateur THER_LINEAIRE par
THER_NON_LINE.
Remarque :
La prise en compte d'une modélisation plus sophistiquée du terme source s'effectue comme en
linéaire.
3.4
Dérivée par rapport à la température imposée
3.4.1 Eléments
théoriques
En appliquant les formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au
paramètre f (cf. [§2.4.1]) nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
i
source volumique nulle et une autre condition de Dirichlet
s~ =
~
0 et
f = I
éq
3.4.1-1
i
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C'est un problème de Dirichlet-Robin inhomogène et de Cauchy homogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
1
T
se réécrit, en notant u =
la sensibilité recherchée,
f
i
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.4.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un =0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n
f +1 = I
éq
3.4.1-3
i
L'application du théorème de Green à [éq 3.4.1-2], [éq 3.4.1-3] conduit à résoudre un problème
variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire [éq 3.1.1-8] joint à la forme
linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour s'adapter à la nouvelle
source : ici cette intégrale est nulle.
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
« source nulle » + [éq 3.4.1-3]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.4.1-2],
[éq 2.4.1-3], [éq 2.4.1-4] du problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation
variationnelle [éq 4.2-1] du problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-
7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] + « source nulle » + [éq 3.4.1-3].
· Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
· On retrouve le même système linéaire non dualisé que pour la dérivée en enthalpie. Seule la
prise en compte de la condition de Dirichlet via des Lagranges va faire la différence.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet inhomogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.4.1-5]. Les composantes de son second membre associées aux
Lagranges sont non nulles.
3.4.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
3
L K
que pour le cas linéaire (cf [§2.4.2]) et la même option de calcul pour assembler le
j (
, g )= 0
système linéaire dualisé associé aux conditions de Dirichlet « dérivées ».
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.4.2] en remplaçant l'opérateur THER_LINEAIRE par
THER_NON_LINE.
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Calcul de sensibilités en thermique
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R4.03.02-A Page
: 41/66
Remarques :
· Concernant les différentes modélisations de la température imposée et les conditions de
Dirichlet généralisées, il n'y a aucune différence entre le non-linéaire et le linéaire. Pour plus
d'informations on peut donc se reporter au [§2.4.2].
· La prise en compte d'une modélisation plus sophistiquée de la température imposée s'effectue
comme en linéaire.
3.5
Dérivée par rapport au flux normal imposé linéaire
3.5.1 Eléments
théoriques
En appliquant les formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au
paramètre g (cf. [§2.5.1]) nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
i
source volumique nulle et une autre condition de Robin sur
2
s~ =
et
g~
0
= I
éq
3.5.1-1
i
C'est un problème de Dirichlet-Cauchy homogène et de Robin inhomogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
0
T
se réécrit, en notant u =
la sensibilité recherchée,
g
i
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.5.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un =0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n
g +1 = I
éq
3.5.1-3
i
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I vdx
éq
3.5.1-4
i
L
2
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.5.1-4]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.5.1-4] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.5.1-4].
· Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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: 42/66
3.5.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K
,
que pour le cas linéaire (cf [§2.5.2]) et la même option de calcul.
2
j (
g )
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.5.2] en remplaçant l'opérateur THER_LINEAIRE par
THER_NON_LINE.
Remarques :
· Concernant les différentes modélisations de cette condition de Neumann linéaire il n'y a
aucune différence entre le problème dérivé linéaire et non-linéaire. Pour plus d'informations on
peut donc se reporter au [§2.5.2].
· La prise en compte d'une modélisation plus sophistiquée du flux normal imposé s'effectue
comme en linéaire.
3.6
Dérivée par rapport au flux normal imposé non-linéaire
3.6.1 Eléments
théoriques
T
On pose i(x) = i I x
i
et u =
la sensibilité recherchée. Les portions de frontière
i
i ( )
( i )
i
ii
i
externe étant figées, on a
= I la fonction indicatrice de la ième portion . En appliquant les
4 j
i
i
4i
i
formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au paramètre i nous livre
i
un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une source volumique nulle et une autre
condition de Robin sur
4
s~ =
~
0 et i = I
éq
3.6.1-1
i
C'est un problème de Dirichlet-Cauchy homogène et de Robin inhomogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
0
se réécrit
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.6.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un =0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n
i +1 = I
éq
3.6.1-3
i
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 43/66
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I vdx
éq
3.6.1-4
i
L
4
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.6.1-4]
±
±
±
±
=
i
g
C ,
= 0, = ,
=
±
0, i = ,
et
4 = 2
5 =
T
p
T
T
2
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.5.1-4] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.6.1-4].
· Ce nouveau terme source est identique, aux frontières près, au terme source de la dérivée
par rapport au flux normal linéaire.
· En régime stationnaire, il est bien sûr inchangé.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.6.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K
,
que pour le cas linéaire en remplaçant la frontière par (cf [éq 2.5.2-1]). Ce qui
4
j (
g )
2
4
est fait dans la nouvelle option de calcul CHAR_SENS_FLUNL avec le champ flux non-linéaire dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.5.2] en substituant FLUX_NL à FLUX_REP dans
AFFE_CHAR_THER_F et en remplaçant bien sûr l'opérateur THER_LINEAIRE par THER_NON_LINE.
Remarque :
Pour prendre en compte une modélisation véritablement non-linéaire
i( ,
x T ) = i I x ,
x T
i
i
i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
i
source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
ii
3.7
Dérivée par rapport au coefficient d'échange convectif
3.7.1 Eléments
théoriques
En appliquant les formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au
paramètre h (cf. [§2.6.1]) nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
i
source volumique nulle et une autre condition de Robin sur
3
s~ =
~
0 et h = I
-
éq
3.7.1-1
i (T
T
ext
)
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
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01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 44/66
C'est un problème de Dirichlet-Cauchy homogène et de Robin inhomogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
0
T
se réécrit, en notant u =
la sensibilité recherchée,
h
i
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.7.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un =0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n 1+
h
= I T
T
éq
3.7.1-3
i ( n 1
+
n 1
+
ext
-
)
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source
±
l (v) = L + I
éq
3.7.1-4
i { ( +
+
Text -T )+ (1- )( -
-
Text -T )}vdx L
3
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.7.1-4]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.6.1-4] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.7.1-4].
· Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.7.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K
,
que pour le cas linéaire (cf [éq 2.6.2-1]) et le même option de calcul.
3
j (
g )
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.6.2] en remplaçant l'opérateur THER_LINEAIRE par
THER_NON_LINE.
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Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
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: 45/66
Remarques :
· La prise en compte d'une modélisation plus sophistiquée du coefficient d'échange s'effectue
comme en linéaire.
· La condition de flux normal imposé non-linéaire (cf. [§3.6]) permet de modéliser un échange
convectif avec un coefficient d'échange non-linéaire via un DEFI_FONCTION adéquat
i( ,
x T ) = j( ,
x T )(T
,
x
-
,
x
ext (
t) T ( t)
T
De la même manière, connaissant u =
on pourrait avoir accès « facilement » à
i
i
T
w =
. En effet,
j
i
T T i
i T
=
+
j
i j
T j
{
{
T
T
- j
ext -
d'où
u(T -T )
w
ext
= (
1+ ju)
3.8
Dérivée par rapport à la température extérieure
3.8.1 Eléments
théoriques
En appliquant les formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] par rapport au
paramètre i
T (cf. [§2.7.1]) nous livre un problème aux limites identique à [éq 3.1.1-1] mais avec une
ext
source volumique nulle et une autre condition de Robin sur
3
s~ =
~
0 et h = hI
éq
3.8.1-1
i
C'est un problème de Dirichlet-Cauchy homogène et de Robin inhomogène. On peut donc reconduire
les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et les simplifications
théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit à chercher une
suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la première relation
n )
V
0nN
0
T
se réécrit, en notant u =
la sensibilité recherchée,
i
T
ext
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.8.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un =0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n 1+
n
h
= h 1+I
éq
3.8.1-3
i
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Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
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O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 46/66
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) = L + I
éq
3.8.1-4
i {
+
h + (1- ) -
h }vdx L
3
Remarques :
· En posant dans le nouveau problème variationnel [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.8.1-4]
±
±
=
C ,
=
±
0, = et
4 = 5 =
T
p
T
on retrouve bien la formulation [éq 2.1.1-6], [éq 2.1.1-7], [éq 2.1.1-8] + [éq 2.6.1-4] du
problème linéaire. D'autre part, en dérivant la formulation variationnelle [éq 4.2-1] du
problème en température [R5.02.02] on retrouve bien [éq 3.1.1-7], [éq 3.1.1-8], [éq 3.1.1-9] +
[éq 3.8.1-4].
· Le nouveau terme source est identique en linéaire et en non-linéaire.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.8.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier. On prend le même
L3 K
,
que pour le cas linéaire (cf [éq 2.7.2-1]) et la même option de calcul.
3
j (
g )
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§2.6.2] en substituant TEMP_EXT à COEF_H dans
AFFE_CHAR_THER_F et en remplaçant, bien sûr, l'opérateur THER_LINEAIRE par THER_NON_LINE.
Remarque :
La prise en compte d'une modélisation plus sophistiquée de la température extérieure
s'effectue comme en linéaire.
3.9
Dérivée par rapport à l'émissivité/constante de Stefan-Boltzmann
3.9.1 Eléments
théoriques
On pose (x) = I x
(resp. (x) = I x
) le paramètre et
i
i ( )
( i )
i
i ( )
( i )
i
i
T
T
u =
(resp. u =
) la sensibilité recherchée. Les portions étant figées, on a
= I
5 j
i
i
i
i
(resp.
= I ) la fonction indicatrice de la ième portion . En appliquant les formules des
i
5i
i
paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] nous livre un problème aux limites identique à
[éq 3.1.1-3] mais avec une autre source volumique et une autre condition de Robin sur (resp. en
5
intervertissant le rôle de et de )
~
~
s = 0 et i = I
éq
3.9.1-1
i
({
T + 273.15)4 - (T + 273.15)4}
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 47/66
On peut donc reconduire les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et
les simplifications théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps conduit
à chercher une suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6] dont la
n )
V
0nN
0
première relation se réécrit
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.9.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un = 0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite (resp. en intervertissant le rôle de et de )
~ n 1
+
n 1
i
=
+
I
T
T
éq
3.9.1-3
i
({ n+
n
+
15
.
273
)4
1
- ( + +
15
.
273
)4
1
}
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source « surfacique » (resp. en intervertissant le rôle de et de )
l ± (v) = L + I
+
v
4
4
+
+ 273.15
- + + 273.15 -
i
({T
) (T
) }
5
éq 3.9.1-4
I
4
4
-1 -
-
+ 273.15
- - + 273.15
i (
) v ({T
) (T
) } dx
Remarques :
· La dérivation par rapport à la constante de Stefan-Boltzmann n'a certainement qu'un intérêt
pratique mineur. Mais son surcoût d'implantation numérique a été modique et elle permet des
validations croisées.
· En régime stationnaire, ce terme source se réduit à (resp. en intervertissant le rôle de et de
)
l(v) = L + I
i
({T +
4
15
.
273
- T +
4
) (
15
.
273
) }vdxL
5
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.9.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier (resp. en intervertissant le
rôle de et de )
L3 K
,
=
+
+
+
15
.
273
- +
+
15
.
273
+
5
I
K
T
K
4
T
5
5
4 N
j (
g )
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
(1- ) I - K
T - K
4
+
15
.
273
- T -
+
15
.
273
5
5
4 N
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
éq 3.9.2-1
Ce qui est fait dans la nouvelle option de calcul CHAR_SENS_RAYO_F avec les champs de
rayonnement standard et dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la
succession de commandes.
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 48/66
v = DEFI_VALEUR_SENSI ( VALE = < valeur de i > ) (resp. i)
chth = AFFE_CHAR_THER_F ( RAYONNEMENT= _F( GROUP_MA = < définition de 5i >,
SIGMA = v , EPSILON = w , TEMP_EXT = z))
...
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
zero = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 0. )
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `chth' , PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `chth_v'))
chth_v = AFFE_CHAR_THER_F (RAYONNEMENT = _F ( GROUP_MA = < 5i >,
SIGMA = un , EPSILON = zero , TEMP_EXT = zero))
...
resu = THER_NON_LINE ( EXCIT = chth ,
SENSIBILITE
=
(
v )
...)
Remarques :
· La donnée essentielle de ce calcul, le champ rayonnement dérivé
=
T
I ,
(resp.
= I ), est fournie par
i
= ,
0
= 0
i
chth_v.
i
i
i
i
· Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de l'émissivité (resp. constante
de Stefan-Boltzmann)
( ,
x t) = I x ,
x t
i
i ( )
i (
) ( i )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
source
= I dans la définition du chargement dérivé
i
i
chth_v.
i
3.10 Dérivée par rapport à la température à l'infini
3.10.1 Eléments théoriques
T
On pose T x
i
i
=
( ) =
T I x
T
le paramètre et u
la sensibilité recherchée. Les
i ( )
( )
i
i
T
T
portions étant figées, on a
= I la fonction indicatrice du ième portion . En appliquant les
5 j
i
i
T
5i
formules des paragraphes précédents, la dérivation de [éq 3-2] nous livre un problème aux limites
identique à [éq 3.1.1-3] mais avec une autre source volumique et une autre condition de Robin sur
5
~
~
s = 0 et i = 4I
éq
3.10.1-1
i
(
T +
.
273
)3
15
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 49/66
On peut donc reconduire les mêmes remarques concernant le caractère linéaire du problème dérivé et
les simplifications théoriques et numériques que cela implique. Sa semi-discrétisation en temps
conduit à chercher une suite (u
vérifiant un système similaire à [éq 3.1.1-5], [éq 3.1.1-6]
n )
V
0nN
0
dont la première relation se réécrit
n 1
+
n
n+
1
u
-
un
n 1
T
T
+
- div
n 1
+
n 1
+
n 1
+
n 1
+
u T
+ u
t
T
éq
3.10.1-2
n
- (
1- )div
unT n + n
un = 0 0 n N -1
T
avec la nouvelle condition limite
~n 1
+
i
= 4I
éq
3.10.1-3
i
(
T + 273.15)3
D'où un problème variationnel identique à [éq 3.1.1-7] comportant la même forme bilinéaire
[éq 3.1.1-8] joint à la forme linéaire [éq 3.1.1-9] dont seule la troisième intégrale est modifiée pour
s'adapter à la nouvelle source « surfacique »
±
l (v) =
3
3
L + 4 I
i { (
)+ ( +
T +
15
.
273
+ 1 -
T +
) ( )( )- ( -
15
.
273
) }vdxL
5
éq 3.10.1-4
Remarque :
En régime stationnaire, ce terme source est inchangé.
La discrétisation spatiale et la prise en compte de la condition de Dirichlet homogène conduisent au
système linéaire dualisé [éq 2.1.1-11].
3.10.2 Implantation dans le Code_Aster
Par rapport au [§3.1.2], seul le terme dû à la nouvelle source est à modifier
L3 K
,
= 4
+
+
+
+
15
.
273
+
5
I
K
T
K
3 N
5
5
j (
g )
g
( i
)(
)( (
)
) j( g ) éq 3.10.2-1
4
1 - I - - K
T - K
3
+
15
.
273
N
5
5
g (
)( i
)(
)( (
)
) j( g )
Ce qui est fait dans la nouvelle option de calcul CHAR_SENS_RAYO_F avec les champs de
rayonnement standard et dérivé.
L'assemblage et la résolution du système linéaire sont déclenchés par l'analyse de la table de
correspondance associée à la variable sensible. Cette remontée d'information s'effectue via la même
succession de commandes qu'au [§3.9.2] en substituant TEMP_EXT à SIGMA.
Remarque :
Pour prendre en compte une modélisation plus sophistiquée de la température à l'infini
T
,
x t
i
i
(
)=
T I x
,
x t
T
i ( )
i (
) ( )
i
dans ces calculs de sensibilité, il suffit de substituer à la fonction indicatrice le nouveau terme
T
source
= I dans la définition du chargement dérivé chth_v.
i
i
i
T
Nous allons maintenant récapituler tous les systèmes linéaires « dérivé » à assembler selon les
sensibilités souhaitées.
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
Code_Aster ®
Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 50/66
4
Récapitulatif des sensibilités de la température
Que l'on soit en thermique linéaire ou non linéaire, la sensibilité recherchée à l'instant courant U+ est
solution d'un système dualisé du type (avec les notations du [§2.1])
A Bt
Bt +
U
L
~ ~ +
~
A U = L
B - Id
Id
=
C
B Id - Id C
où
A K,
A K,
ij (
g ) = iij (
g )
i
L K,
L K,
j (
g ) = ij (
g )
i
On va dresser la nomenclature des termes élémentaires potentiels de ce système et de leur
option de calcul dans le Code_Aster. Afin d'être plus synthétique, on convient ici d'une numérotation
différente de celles pratiquées dans les paragraphes précédents.
Pour la matrice, on a les sept termes possibles suivants :
· MASS_THER (cf. [§2.1.2])
A1 K, =
C K N N
ij (
) g
g
p (
) j ( g ) i ( g )
t
· RIGI_THER (cf. [§2.1.2])
A2 K, = K N . N
ij (
g )
g
( ) j( g ) i ( g )
· RIGI_THER_COEF_F/R ou MTAN_THER_COEF_F/R (cf. [§2.1.2], [§3.1.2])
A3 K
,
=
+
3
h
K
N
3
N
ij (
g )
g
(
) j( g ) i ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par RIGI_THER_PARO_F/R ou
MTAN_THER_PARO_F/R (cf. [§2.1.2], [§3.1.2])
A3 K
,
3
= h+ K
N
3
- N
N
ij (
g )
g
(
)( j( g ) f j ( g ) i ( g )
( )
· MTAN_RIGI_MASS (cf. [§3.1.2])
4
A K, =
T +
N N + T +
N
. N
ij (
) g
g
( ( g ) j( g ) i ( g ) g ( ( g ) j( g ) i( g )
t
T
· Pas codée. (cf. [§3.1.2])
5
A K, =
T +
T + N . N
ij (
g )
g
( ( g )
( g ) j( g )
i ( g )
T
· MTAN_THER_FLUXNL (cf. [§3.1.2])
6
i
A
K
,
4
= -
T +
N N
ij (
g )
g
( ( g ) j( g ) i ( g )
T
· MTAN_THER_RAYO_F/R (cf. [§3.1.2])
A7 K
,
= 4
+
+
+ 273.15
5
K
T
5
3 N N
ij (
g )
g
( ) (
)( ( g )
) j( g ) i ( g )
Pour le second membre, il y a seize possibilités :
· CHAR_SENS_EVOL (cf. [§2.1.2])
L1 K, =
C K u- N + -1 K u-
. N
j (
) g
g
p (
) ( g ) j ( g ) ( ) g ( ) ( g )
j ( g )
t
Manuel de Référence
Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
HI-23/03/001/A
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Version
6.0
Titre :
Calcul de sensibilités en thermique
Date :
01/07/03
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
R4.03.02-A Page
: 51/66
· CHAR_THER_TEXT_F/R (cf. [§2.1.2])
L2 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
N
j (
g )
g (
) (
) ( g ) j ( g )
En cas d'échange entre parois ce terme est remplacé par CHAR_THER_PARO_F/R (cf.
[§2.1.2])
L2 K
,
1
3
= - h- K
u-
3
-u- f
N
j (
g )
g (
) (
)( ( g ) ( ( g )) j ( g )
· CHAR_SENS_EVOL (cf. [§2.1.2])
L3 K, = -
I K T + - T -
N
j (
)
g
g
i (
) ( ( g )
( g ) j ( g )
t
· CHAR_SENS_EVOL (cf. [§2.1.2])
L4 K, =
- I K T + + 1- T -
N
j (
g )
g i (
) (
( g) ( ) ( g )
j ( g )
· CHAR_THER_SOUR_F/R (cf. [§2.3.2], [§3.3.2])
L5 K, = I K N
j (
g )
g i (
) j ( g )
· CHAR_THER_FLUN_F/R (cf. [§2.5.2], [§3.5.2])
L6 K
,
=
2
I K
N
2
j (
g )
g i (
) j ( g )
· CHAR_SENS_TEXT_F (cf. [§2.6.2], [§3.7.2])
T + K
3 -T
7
+ +
L
K
,
3
= I K
3
N
j (
g )
( ext(
)
( g )
g i (
)
-
-
(1- )(T K
3 -T
ext (
)
( g ) j( g)
· CHAR_THER_TEXT_F (cf. [§2.7.2], [§3.8.2])
L8 K
,
=
+ + 1-
-
3
I K
3
h K
3
h K
N
3
j (
g )
g i (
){ (
) (
) (
)} j( g )
· CHAR_THER_TEXT_F (cf. [§2.7.2], [§3.8.2])
9
L K, =
T -
u - N + - 1 T -
u -
. N
j (
) g
g
( ( g ) ( g ) j ( g ) g ( ) ( ( g )
( g ) j( g )
t
T
· CHAR_SENS_EVOLNI (cf. [§3.1.2])
10
L K, = - 1
T -
u - T - . N
j (
g )
g (
) ( ( g ) ( g )
( g )
i ( g )
T
· CHAR_SENS_FLUNL (cf. [§3.1.2])
11
i
L
K
,
4
= 1-
T -
u - N
j (
g )
g (
) ( ( g ) ( g ) j ( g )
T
· CHAR_SENS_RAYO_F (cf. [§3.1.2])
L12 K
,
4
1
273.15
5
= -
- K
T -
5
+
3 u- N
j (
g )
g (
) ( ) (
)( ( g )
) ( g ) j ( g )
· CHAR_SENS_FLUNL (cf. [§3.6.2])
L13 K
,
=
4
I K
N
4
j (
g )
g i (
) j ( g )
· CHAR_SENS_RAYO (cf. [§3.9.2])
L14 K
,
=
+
+
+
15
.
273
- +
+
15
.
273
+
5
I
K
T
K
4
T
5
5
4 N
j (
g )
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
(1- ) I - K
T - K
4
+
15
.
273
- T -
+
15
.
273
5
5
4 N
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
L15 K
,
=
+
+
+
15
.
273
- +
+
15
.
273
+
5
I
K
T
K
4
T
5
5
4 N
j (
g )
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
(1- ) I - K
T - K
4
+
15
.
273
- T -
+
15
.
273
5
5
4 N
g ( i
) (
) ({ (
)
) ( ( g )
) } j( g )
· CHAR_SENS_RAYO (cf. [§3.10.2])
L16 K
,
= 4
+
+
+
+
15
.
273
+
5
I
K
T
K
3 N
5
5
j (
g )
g
( i
)(
)( (
)
) j( g )
4
1 - I - - K
T - K
3
+
15
.
273
N
5
5
g (
)( i
)(
)( (
)
) j( g )
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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L'opérateur B permettant de vérifier la condition de Dirichlet s'écrit
( +
B U ) = u+ avec i J
i
i
avec son second membre associé
C = 0
Remarques :
· L'éventuelle prise en compte de conditions limites de Dirichlet généralisées nécessite de
réécrire cet opérateur sous la forme
+
B U = u+ avec j J
j
j
j
· Comme on ne prend pas en compte rigoureusement de conductivité thermique non linéaire,
les termes A5 et L10 ne sont pas encore programmés.
Les dix-huit systèmes dualisés exhumés dans les paragraphes précédents peuvent alors se regrouper
dans le tableau suivant :
Type de
Variable
Matrice
Second
Mot-clé
Particularités
sensibilité
membre
Thermique
Matrice
THER_LINEAIRE Sensibilité par rapport à
linéaire
identique à
un paramètre constant
celle du
par zone
problème
(éventuellement dérivée
direct
composée cf. [§6.4])
Chaleur
T
A1+A2+A3
L1+L2+L3
THER/RHO_CP
volumique
u =
i
Conductivité
T
Idem
L1+L2+L4
THER/LAMBDA
Sensibilité par rapport à
thermique
u =
une caractéristique
i
orthotrope non
accessible
Source
T
Idem
L1+L2+L5
SOURCE
Trois types de
u =
modélisation
s
i
Température
T
Idem
L1+L2
TEMP_IMPO
f
imposée
u =
j
C =
=
f
k
ij
i
f
i
Trois types de
modélisation.
Sensibilité par rapport à
un coefficient
multiplicateur d'une
condition de Dirichlet
généralisée non
accessible
Flux normal
T
Idem
L1+L2+L6
FLUX_REP
Trois types de
imposé
u =
modélisation.
g
i
Sensibilité par rapport à
une composante du flux
vectoriel accessible.
Echange
T
Idem
L1+L2+L7
ECHANGE/COEF_H Pas d'ECHANGE_PAROI
convectif
u =
ou
h
en lumpé.
i
ECHANGE_PAROI
Température
T
Idem
L1+L2+L8
ECHANGE/
extérieure
u =
TEMP_EXT
i
T
ext
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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Type de
Variable
Matrice
Second
Mot-clé
Particularités
sensibilité
membre
Thermique
Matrice Les nouveaux THER_NON_LINE Sensibilité par rapport à
non linéaire
proche de la termes sources
un paramètre constant
matrice
sont similaires
par zone
tangente du en linéaire et en
(éventuellement dérivée
problème
non linéaire.
composée cf. [§6.4]).
direct.
Pas de sensibilité par
rapport à l'enthalpie.
On ne tient pas compte
d'une conductivité non-
linéaire
A5 et L10 non pris en
compte
Chaleur
T
A3+A4+A5
L2+L3+L9
THER_NL/RHO_CP
volumique
u =
+A6+A7
+L10+L11+L12
i
Conductivité
T
Idem
L2+L4+L9
THER_NL/LAMBDA Idem cas linéaire
thermique
u =
+L10+L11+L12
i
Source
T
Idem
L2+L5+L9
SOURCE
Idem cas linéaire
u =
s
+L10+L11+L12
i
Température
T
Idem
L2+ L9
TEMP_IMPO
Idem cas linéaire
imposée
u =
f
+L10+L11+L12
i
Flux normal
T
Idem
L2+L6+L9
FLUX_REP
Idem cas linéaire.
imposé
u =
+L10+L11+L12
linéaire
g
i
Flux normal
T
Idem
L2+L13+L9
FLUX_NL
Permet de modéliser la
imposé non
u =
+L10+L11+L12
sensibilité par rapport à
linéaire
i
i
un échange convectif
non linéaire
Echange
T
Idem
L2+L7+L9
ECHANGE/COEF_H Pas d'ECHANGE_PAROI
convectif
u =
+L10+L11+L12
ou
en lumpé.
linéaire
h
i
ECHANGE_PAROI
Température
T
Idem
L2+L8+L9
ECHANGE/
extérieure
u =
TEMP_EXT
i
T
+L10+L11+L12
ext
Emissivité
T
Idem
L2+L15+L9
RAYONNEMENT/
u =
+L10+L11+L12
EPSILON
i
Constante de
T
Idem
L2+L14+L9
RAYONNEMENT/
Stefan-
u =
+L10+L11+L12
SIGMA
Boltzmann
i
Température à
T
Idem
L2+L16+L9
RAYONNEMENT/
l'infini
u =
TEMP_EXT
i
T
+L10+L11+L12
Tableau 4-1 : Récapitulatif des systèmes linéaires « dérivés »
Nous allons clore maintenant la partie théorique ce document en calculant les sensibilités d'une
grandeur connexe au champ de température : le flux de chaleur.
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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5
Sensibilité du flux de chaleur
Après avoir effectué un calcul thermique, on a accès au flux de chaleur (le calcul est effectué soit aux
noeuds (champ aux noeuds par éléments via OPTION='FLUX_ELNO_TEMP'), soit aux points de Gauss
(champ aux points de Gauss par éléments via OPTION='FLUX_ELGA_TEMP')) via les opérateurs
CALC_ELEM/CALC_NO. Il est déterminé à partir du champ de température en utilisant la loi de Fourier
qui s'écrit en thermique linéaire avec des matériaux isotropes
q(x,t) = - (x)T(x,t)
Avec des matériaux anisotropes, la conductivité thermique est modélisée par une matrice diagonale
(exprimée dans son repère d'orthotropie). En non linéaire (forcément isotrope dans le Code_Aster) on
a par contre
q(x,t) = - (x,T )T(x,t)
En reprenant les notations et la démarche développées dans les paragraphes précédents, on
synthétise le calcul des dérivées du flux de chaleur dans le tableau suivant. La colonne intitulée
« formule » exprime la relation à mettre en place dans les opérateurs CALC_ELEM/CALC_NO pour
déterminer la sensibilité du flux de chaleur recherchée. Elle dépend du champ de température et
de sa sensibilité par rapport au même paramètre, tous les deux résultant d'un calcul thermique (via
THER_LINEAIRE ou THER_NON_LINE).
Remarque :
En pratique, les calculs de sensibilité du flux de chaleur ne tiennent pas compte de l'éventuelle
non-linéarité de la conductivité thermique. En thermique non-linéaire, le premier terme n'est
donc pas programmé.
Type de
Variables
Sensibilité
Formule /
sensibilité
de sortie de
recherchée
Options de calcul dans le Code_Aster
l'opérateur
thermique
Thermique
linéaire
Chaleur
T
v(x,t) = - (x)u(x,t)
volumique
u =
, T
= q
v
FLUX_ELGA/NO_TEMP
i
i
Conductivité
T
v( ,
x t) = -I x
,
x - x
,
x
i ( ) T (
t)
( ) u( t)
thermique
u =
, T
= q
v
FLUX_ELGA/NO_SENS
i
i
Source
T
v(x,t) = - (x)u(x,t)
u =
, T
= q
v
s
s
FLUX_ELGA/NO_TEMP
i
i
Température
T
Idem
imposée
u =
, T
= q
v
f
f
i
i
Flux normal
T
Idem
imposé
u =
, T
= q
v
g
g
i
i
Echange
T
Idem
convectif
u =
, T
= q
v
h
h
i
i
Température
T
Idem
extérieure
u =
, T
= q
v
T i
i
T
ext
ext
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Type de
Variables
Sensibilité
Formule /
sensibilité
de sortie de
recherchée
Options de calcul dans le Code_Aster
l'opérateur
thermique
Thermique
non linéaire
Chaleur
T
volumique
u =
, T
= q
v
v(x,t) = -
(x,T)(u T)(x,t)-
T
i
i
(x,T )u(x,t)
FLUX_ELGA/NO_TEMP
Conductivité
T
thermique
u =
, T
= q
v
v( ,
x t) = -
( ,xT)u( ,xt)+ I ,x ,x
i (
t) T ( t)
i
i
T
- ( ,
x T )u( ,
x t)
FLUX_ELGA/NO_SENS
Source
T
u =
, T
= q
v
v(x,t) = -
(x,T)(u T)(x,t)-
s
s
T
i
i
(x,T )u(x,t)
FLUX_ELGA/NO_TEMP
Température
T
Idem
imposée
u =
, T
= q
v
f
f
i
i
Flux normal
T
Idem
imposé
u =
, T
= q
v
linéaire
g
g
i
i
Flux normal
T
Idem
imposé non
u =
, T
= q
v
linéaire
i
i
i
i
Echange
T
Idem
convectif
u =
, T
= q
v
linéaire
h
h
i
i
Température
T
Idem
extérieure
u =
, T
= q
v
T i
i
T
ext
ext
Emissivité
T
Idem
u =
, T
= q
v
i
i
Constante
T
Idem
de Stefan-
u =
, T
= q
v
Boltzmann
i
i
Température
T
Idem
à l'infini
u =
, T
= q
v
T i
i
T
Tableau 5-1 Sensibilités du flux de chaleur
Remarque :
En posant dans les formules de la thermique non linéaire
(x,T)= 0 et (x,T)= (x)
T
on retrouve bien les formulations de la thermique linéaire.
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6
Mise en oeuvre dans le Code_Aster
6.1 Difficultés
particulières
La difficulté principale de ces calculs de sensibilité est de détecter la présence de paramètres
sensibles dans les chargements et les matériaux standards, et, de leur associer les champs
dérivés idoines. Pour se faire, toute une architecture (cf. [bib6] et [§6.2], [§6.4]) a du être mise en
place afin de notifier au superviseur l'affiliation d'un champ dérivé à telle ou telle variable sensible. Via
les commandes DEFI_PARA_SENSI et MEMO_NOM_SENSI et leurs utilitaires FORTRAN associés, on
peut ainsi faire la jointure au sein d'un opérateur thermique, entre un paramètre sensible, le champ où
il intervient et le champ dérivé associé.
Avec une mention particulière pour les matériaux qui ne sont connus que sous une forme codée. On
détecte la caractéristique sensible dudit matériau en testant la nullité du matériau dérivé (un problème
connexe se pose pour les caractéristiques du rayonnement).
Entre autres aménagements, il a fallut aussi :
· Insérer, au sein des opérateurs thermiques, une boucle sur les sensibilités demandées,
coincées entre les boucles temporelles et celles sur les chargements.
· Mettre en place la résolution d'un système linéaire dans le processus non-linéaire de
THER_NON_LINE.
· Organiser et gérer la mutualisation des matrices entre le problème standard et le (ou les)
problème(s) dérivé(s).
· Prendre en compte, de manière robuste et rapide, l'insertion d'éventuels paramètres
insensibles (création d'un CHAM_NO de composantes nulles pour les opérateurs thermiques et
d'un CHAM_ELEM de composantes nulles pour les post-traitements de calcul de flux).
· Eviter une prolifération intempestive d'option de calculs (et de leurs TE000 FORTRAN
associés) en mutualisant et « bluffant » l'existant (on peut visualiser le cheminement exact du
calcul (au niveau macroscopique des options) et les astuces déployées pour réutiliser
l'existant cf [§6.2]).
Au delà de ces développements pointilleux, un gros effort de validation « numérico-informatique »
a été déployé sur toutes les mailles supports, toutes les modélisations, tous les chargements, tous les
types d'initialisation des solveurs thermiques et pour toutes les sensibilités. Ces tests laborieux sur de
petits cas tests modèles (TPLL01A/H pour le 2D PLAN et 3D et TPNA01A pour le 2D AXIS) se sont
révélés fructueux (y compris pour le calcul thermique standard en lumpé !) et indispensables.
Car on dispose rarement de valeurs théoriques permettant de valider un calcul thermique
compliqué : « rien ne ressemble plus à une sensibilité... qu'une autre valeur de sensibilité ! ». En
croisant avec des différences finies convergées, on a donc essayé de dégager un maximum de
confiance en toutes les briques élémentaires constituant le système dérivé.
Pour être exhaustive sur l'aspect validation, notons que plusieurs cas-tests ont été livrés
(SENST<00>[V1.01.15*]) dont un analytique (SENST04 cf. [§6.4]).
6.2 Environnements
nécessaires/paramétrages
C
T
C
p=10
p=v=5
2
v
1
Figure 6.2-a Désignation des conductivités thermiques pour un bi-matériau
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Pour calculer la sensibilité du champ thermique par rapport à un paramètre constant par zone (ici une
valeur particulière de la conductivité dans une des zones d'un bi-matériau lors d'un calcul stationnaire),
il faut tout d'abord notifier ce paramètre sensible dans le fichier de commande via un
DEFI_PARA_SENSI
v = DEFI_PARA_SENSI ( VALE = 5. )
ainsi que les fonctions constantes égales à zéro et à l'unité qui serviront à définir l'indispensable
fonction indicatrice
zero = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 0. )
un = DEFI_CONSTANTE ( VALE = 1. )
Puis, comme pour un problème standard, on définie les champs matériau (ou les conditions limites)
associés. On n'a pas à modifier les autres chargements standards.
ma1 = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = v ))
ma2 = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = 10. ))
affe = AFFE_MATERIAU ( AFFE = (_F( GROUP_MA = < 1 >, MATER = ma1 ),
_F( GROUP_MA = < 2 >, MATER = ma2 ))
....
autres données matériau et conditions limites insensibles vis-à-vis de v
Il faut ensuite définir les champs matériau « dérivés » (ou les conditions limites « dérivées ») et
uniquement ceux concernés par cette dérivation. Ce sont eux qui fourniront l'information
essentielle à l'assemblage du problème dérivé : la fonction indicatrice du champ dérivé
Cp 1 sur
I =
=
1 .
1
v
0 sur 2
On notifie au superviseur leur affiliation au champ initial via la commande MEMO_NOM_SENSI (c'est elle
qui rempli une structure de données sensibilité idoine permettant de faire la jointure, au sein des
opérateurs thermiques, entre le paramètre sensible, le champ où il intervient et le champ dérivé
associé)
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `ma' ,
PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `ma_v'))
ma_v = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = un ))
mazero = DEFI_MATERIAU ( THER = _F( RHO_CP = zero ))
MEMO_NON_SENSI ( NOM = _F( NOM_SD = `affe' ,
PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `affe_v'))
affe_v = AFFE_MATERIAU ( AFFE = (_F( GROUP_MA = < 1 >, MATER = ma_v ),
_F( GROUP_MA = < 2 >, MATER = mazero ))
On conclut en demandant à l'opérateur thermique ledit calcul via le mot-clé sensibilité et notifiant au
superviseur la présence d'un champ sensibilité dans l'EVOL_THER resu (accessible dans le champ
symbolique resu_v de la SD résultat)
MEMO_NON_SENSI ( NOM =_F( NOM_SD = `resu' ,
PARA_SENSI = `v' ,
NOM_COMPOSE = `resu_v'))
resu = THER_LINEAIRE ( CHAM_MATER = affe,
....
SENSIBILITE = ( v ))
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Fascicule R4.03 : Analyse de sensibilité
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On peut bien sûr faire les mêmes post-traitements sur le champ dérivé que sur le champ standard, il
suffit de rajouter aux commandes idoines (CALC_ELEM pour le calcul du flux de ce CHAM_ELEM aux
noeuds, CALC_NO pour sa transformation en un CHAM_NO, POST_RELEVE pour le relevé de valeur,
IMPR_RESU pour l'impression et TEST_RESU pour la comparaison de valeurs) le mot-clé
SENSIBILITE et de le renseigner de la bonne valeur de paramètre de dérivation. L'opérateur
sélectionnera alors le bon champ sensibilité partageant la même SD que le champ standard. Par
exemple, on rempli ici la table rlresuv de certaines composantes de la dérivée de T par rapport à v
rlresuv = POST_RELEVE_T ( ACTION=_F( RESULTAT= resu,
....
SENSIBILITE = ( v ))
En imprimant la table on peut alors visualiser spécifiquement les composantes de la sensibilité
souhaitées.
--------------------------------------------------------------------------
ASTER 6.02.24 CONCEPT RLRESUV CALCULE LE 27/03/2002 A 14:56:43 DE TYPE
TABL_POST_RELE
INTITULE NOEUD RESU NOM_CHAM PAR_SENS NUME_ORDRE INST COOR_X/Y/Z TEMP
TEMPERAT NO1 RLRESUV TEMP v 0 0. 0. 1.1 -1.5 0. 1.69334E+01
TEMPERAT NO2 RLRESUV TEMP v 0 0. 0. 1.1 -1.0 0. 1.88532E+01
TEMPERAT NO3 RLRESUV TEMP v 0 0. 0. 1.1 -0.5 0. 1.19433E+01
TEMPERAT NO4 RLRESUV TEMP v 0 0. 0. 1.1 -0.0 0. 2.15978E+01
Exemple 6.2-1 : Tracé, via IMPR_TABLE, dans le fichier résultat
Pour de plus amples informations, le lecteur pourra consulter [bib6], [U4.50.02] ou les cas-tests du
type SENST<00>[V1.01.15*].
Remarques :
· En paramétrant à bon escient les chargements et matériaux « dérivés » dans le fichier de
commande, on peut aussi avoir accès à certaines dérivés composées. Cf la remarque du
[§6.3].
· La syntaxe des commandes spécifiques de la sensibilité (DEFI_PARA_SENSI,
MEMO_NOM_SENSI) peut être amené à changer suivant les choix architecturaux qui seront pris
(automatisation du processus de détection et de paramétrage des champs dérivés par le
superviseur ou non). La méthodologie ne sera pas par contre modifiée et on pourra toujours
passer en « manuelle ». L'utilisateur restant alors seul juge de la pertinence de ces calculs
« hors limites ».
· Lors de la construction des champs dérivés, dans AFFE_MATERIAU ou AFFE_CHAR_THER, on
n'a pas besoin de spécifier la « nullité » des champs insensibles. Ils sont initialisés par défaut
à zéro.
Pour être complètement exhaustif sur le paramétrage, concluons par une fonctionnalité qui peut
intéresser de futurs mainteneurs/développeurs ou des utilisateurs « pointus ». Le déroulement
exact du calcul (options calculées avec leur champ IN et OUT, chargements et matériaux pris en
compte...) ainsi que les astuces déployées pour réutiliser l'existant sont tracés dans le fichier
message si on notifie INFO=2 dans le solveur thermique incriminé et dans CALC_ELEM (pour les
options FLUX_ELGA/NO_TEMP).
*******************************************
CALCUL DE SECOND MEMBRE THERMIQUE: NXACMV
TYPESE/INST : 3 5.0000000000000
CALCUL LINEAIRE : F
......
--> CALCUL COMPLEMENTAIRE EN SENSIBILITE
--> BLUFF DE L'OPTION: T- EST REMPLACE PAR (DT/DS)-
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--> ET RAJOUT D'UN NOUVEAU TERME SOURCE
--> OPTION :CHAR_SENS_EVOLNI
LPAIN/LCHIN :PGEOMER MAIL .COORDO
LPAIN/LCHIN :PTEMPER &&OP0186VAR_____001
......
NBRE DE CHARGES : 6
BOUCLE SUR LES CHARGES DE TYPE NEUMANN LIN
CHARGE :CH3
EXICHA/NOMCHS : 1 ????????
CHARGE :CH4
EXICHA/NOMCHS : 1 ????????
--> CALCUL COMPLEMENTAIRE EN SENSIBILITE
--> ECHANGE/NUMCHM : 2
--> BLUFF DE L'OPTION: CARTE TEXT+/- NULLE
--> K : 1
--> OPTION :CHAR_THER_TEXT_F
LPAIN/LCHIN :PT_EXTF &&VECHTH.T_EXTNUL
LPAIN/LCHIN :PGEOMER MAIL .COORDO
Exemple 6.2-2 : Tracé de THER_LINAIRE ou THER_NON_LINE,
via INFO=2, dans le fichier message.
*******************************************
CALCUL DE FLUX THERMIQUES
OPTION DE CALCUL FLUX_ELGA_TEMP
MODELE MOTH
SD EVOL_THER DONNEE TH
RESULTAT TH
MATERIAU PRIS EN COMPTE CMAT
NOMBRE DE NUMERO D'ORDRE 1
NOMBRE DE PARAMETRES SENSIBLES 7
*******************************************
OP0058 **********
INST/IAUX/IORDR 0. 1 0
NRPASS/TYPESE/NOPASE 1 3 PS1
CHTEMP/CHTESETH_PS1 .001.000000 / TH .001.000000
--> OPTION :FLUX_ELGA_TEMP
LPAIN/LCHIN :PGEOMER MAIL .COORDO
LPAIN/LCHIN :PMATERC CMAT .MATE_CODE
LPAIN/LCHIN :PTEMPER TH_PS1 .001.000000
LPAIN/LCHIN :PTEMPSR &&MECHTI.CH_INST_R
LPAIN/LCHIN :PTEREF
LPAIN/LCHIN :PMATSEN CMAT_PS1.MATE_CODE
LPAIN/LCHIN :PTEMSEN TH .001.000000
Exemple 6.2-3 : Tracé de CALC_ELEM,
via INFO=2, dans le fichier message.
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6.3 Périmètre
d'utilisation
Le périmètre d'utilisation des calculs de sensibilités thermiques peut se formuler en quelques points :
1. Les calculs de sensibilité thermiques s'appuie sur les opérateurs THER_LINEAIRE et
THER_NON_LINE. Ils traitent des problèmes thermiques, linéaires ou non, isotrope ou
anisotrope, stationnaire ou transitoire.
2. Ils n'ont pas été encore étendus aux problèmes de séchage et d'hydratation qui sont aussi
traité par THER_NON_LINE (option THER_HYDR ou SECH_* de COMP_THER_NL/RELATION).
Si ce type de problématique a été retenue pour un calcul de sensibilité, le calcul s'arrête en
ERREUR_FATALE après en avoir signifié la raison.
3. De manière exhaustive, ces calculs de sensibilités concernent toutes les mailles supports
(TRIA3/6, QUAD4/8/9, TETRA4/10, PENTA6/13/15, PYRAM5/10 et HEXA8/20/27)
et toutes les modélisations isoparamétriques (PLAN, PLAN_DIAG, AXIS, AXIS_DIAG, 3D
et 3D_DIAG). Si d'autres modélisations (seul THER_LINEAIRE accepte d'autres modélisations
que les habituels éléments isoparamétriques) sont présentes dans le maillage (COQUE_ ou
AXIS_FOURIER) le calcul s'arrête (option 1 devant la ligne des options idoines du catalogue
d'éléments) en ERREUR-FATALE, après en avoir signifié la raison.
4. En s'appuyant sur le périmètre d'utilisation du code, on n'a pas prévu le calcul de sensibilité
(de la température et de son flux) en présence de conductivité non-linéaire.
5. On a accès à la sensibilité du champ de température (et de son flux cf. [§5]) par rapport à
tous les paramètres de chargements et toutes les caractéristiques matériau. Ceux-ci ne
devant dépendre que des variables d'espace.
6. Les seules exceptions sont l'entropie (une entropie constante en fonction de la température,
cela n'aurait aucun sens !), les coefficients multiplicateurs des conditions de Dirichlet
généralisées (calcul de sensibilité non implanté car il a peu de sens avec des coefficients
souvent discrets) et les conductivités anisotropes (limitations informatiques, absence de la
modélisation THER_ORTH_FO).
7. On peut, par contre, calculer la sensibilité par rapport à une des composantes d'un flux normal
vectoriel.
8. Le calcul fournit, à la fois, le champ de température standard et les sensibilités de ce même
champ par rapport aux paramètres fournis au mot-clé SENSIBILITE de l'opérateur thermique.
Par contre, pour le calcul du flux (via CALC_ELEM et/ou CALC_NO), on ne calcule que la partie
sensibilité. Pour obtenir aussi celui du champ de température standard, il faut réitérer
l'opération sans le mot-clé SENSIBILITE.
9. Si l'utilisateur, involontairement ou non, demande un calcul de sensibilité par rapport à un
paramètre dit « insensible », c'est-à-dire non concerné par le calcul thermique en cours, un
message d'alarme le prévient. Aucun calcul n'est produit, la structure de données prévue pour
l'accueil de ce CHAMNO est initialisée à zéro, et le calcul se poursuit avec les autres sensibilités
démandées.
10. La demande d'une ou plusieurs sensibilités ne fait qu'enrichir la structure de données
thermique (EVOL_THER) et fournit aussi le champ de température dont elles sont la dérivée
(cf. n°8). En terme de performance, le calcul d'une sensibilité analytique est bien moins
coûteux qu'un calcul standard puisqu'on réutilise la même matrice factorisée.
11. Lors du calcul de la sensibilité du flux thermique via CALC_ELEM, il faut préciser non
seulement le champ matériau utilisé (comme pour le problème standard) mais aussi les
chargements incriminés par le ou les paramètres de dérivation.
12. Pour éviter toute confusion (au niveau superviseur, mais aussi au niveau utilisateur !), il ne
vaut mieux pas réutiliser plusieurs fois un paramètre sensible dans des chargements ou des
matériaux différents.
13. Le calcul de la sensibilité du flux thermique n'a pas été développé, comme pour le problème
standard, en COQUE_PLAN et en COQUE_AXIS.
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Remarque :
En paramétrant à bon escient les chargements et matériaux « dérivés » dans le fichier de
commande, on peut aussi avoir accès à certaines dérivés composées. Ainsi si un
chargement ou une caractéristique dépend, explicitement ou implicitement, du temps ou de
l'espace et que l'on est capable d'exhumer cette dépendance, on peut alors calculer la dérivée
de T (et de son flux) par rapport à ce coefficient de dépendance.
Le principal étant qu'il ne dépende pas aussi de la solution calculée (le champ de température).
Auquel cas, il faudra développer un véritable calcul de sensibilité composé.
En bref, le périmètre d'utilisation de cette fonctionnalité regroupe la thermique, linéaire ou non,
isotrope ou anisotrope, stationnaire ou transitoire, s'appuyant sur des éléments finis
isoparamétriques lumpés ou non. Dans ce cadre là, elle recouvre le même périmètre que celui
des opérateurs thermiques incriminés.
6.4 Exemple
d'utilisation
Pour se familiariser avec l'emploi de cette nouvelle fonctionnalité, on peut s'inspirer de cette
version expurgée du cas test SENST04A [V1.01.154]. Dans ce cas test analytique, il s'agit de
s'assurer de la validité des dérivés par rapport au coefficient d'échange-paroi et à la conductivité, dans
un calcul de réponse thermique transitoire linéaire de deux plaques séparées par un jeu dans lequel
on effectue un transfert de chaleur.
Le problème est bidimensionnel, mais les conditions limites font que le champ de température atteint
rapidement l'état stationnaire et ne dépend analytiquement que de l'abscisse et des données. On en
déduit alors aisément les expressions analytiques des sensibilités du champ de température et de son
flux par rapport aux paramètres thermiques qui nous intéressent.
# 1. Definition/memorisation des fonctions constantes
PS_UN=DEFI_CONSTANTE(VALE=1.0,);
MEMO_NOM_SENSI ( NOM_UN = PS_UN ) ;
PS_ZERO=DEFI_CONSTANTE(VALE=0.0,);
MEMO_NOM_SENSI ( NOM_ZERO = PS_ZERO ) ;
.........
# 2. Definition des parametres sensibles et des autres parametres
PS1=DEFI_PARA_SENSI(VALE=80.0,);
PS2=DEFI_PARA_SENSI(VALE=40.0,);
.........
# 3.1. Mise en place des materiaux (std et sensible)
MAT=DEFI_MATERIAU(THER_FO=_F(LAMBDA=PS2,RHO_CP=A5))
MEMO_NOM_SENSI(NOM=_F(NOM_SD='MAT',
PARA_SENSI=PS2,
NOM_COMPOSE='MAT_PS2'));
MAT_PS2=DEFI_MATERIAU(THER_FO=_F(LAMBDA = PS_UN,
RHO_CP = PS_ZERO))
CMAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,AFFE=_F(TOUT='OUI',MATER=MAT))
MEMO_NOM_SENSI(NOM=_F(NOM_SD='CMAT',
PARA_SENSI=PS2,
NOM_COMPOSE='CMAT_PS2'));
CMAT_PS2=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,AFFE=_F(TOUT='OUI',MATER=MAT_PS2))
.........
# 3.2.2 Chargements sensibles (echange_paroi)
CH_1=AFFE_CHAR_THER_F(MODELE=MODTHER,
ECHANGE_PAROI=_F(GROUP_MA_1='INTERG',
GROUP_MA_2='INTERD',COEF_H=PS1));
MEMO_NOM_SENSI(NOM=_F(NOM_SD='CH_1',
PARA_SENSI=PS1,
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NOM_COMPOSE='CH_1_PS1'));
CH_1_PS1=AFFE_CHAR_THER_F(MODELE=MODTHER,
ECHANGE_PAROI=_F(GROUP_MA_1='INTERG',
GROUP_MA_2='INTERD',COEF_H=PS_UN));
.........
# 4.1 Calcul standard + 2 calculs de sensibilite
MEMO_NOM_SENSI(NOM=(_F(NOM_SD='RESU',
PARA_SENSI=PS1,
NOM_COMPOSE='RESU_PS1'),
_F(NOM_SD='RESU',
PARA_SENSI=PS2,
NOM_COMPOSE='RESU_PS2')));
RESU=THER_LINEAIRE(MODELE=MODTHER,CHAM_MATER=CMAT,
EXCIT=(_F(CHARGE=CH_0),_F(CHARGE=CH_1)),
TEMP_INIT=_F(CHAM_NO=TEMPINIT),
SENSIBILITE=(PS1,PS2),
INCREMENT=_F(LIST_INST=LINST))
# 4.2 Calcul du flux aux noeuds
RESU=CALC_ELEM(reuse=RESU,MODELE=MODTHER,CHAM_MATER=CMAT,
RESULTAT=RESU,OPTION='FLUX_ELNO_TEMP',
EXCIT=(_F(CHARGE=CH_0),_F(CHARGE=CH_1)),
SENSIBILITE=(PS1,PS2))
RESU=CALC_NO(reuse=RESU,
RESULTAT=RESU,OPTION='FLUX_NOEU_TEMP',
SENSIBILITE=(PS1,PS2))
Exemple 6.4-1 : Mise en place d'un calcul de sensibilité en thermique linéaire
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7 Conclusion/Perspective
Lors de simulations numériques l'obtention d'un résultat brut n'est plus suffisante. L'utilisateur est de
plus en plus demandeur de calcul de sensibilité par rapport aux données d'entrée du problème. Cela
lui permet d'estimer l'incertitude à laquelle répond le champ résultat en fonction de la loi de variation
des données. Cette dérivée est aussi le substrat de base de problèmes inverses (recalage de
paramètres...) et de problèmes d'optimisation.
Cette sensibilité peut être obtenue « manuellement », mais l'expérience montre que ces études
paramétriques sont souvent coûteuses, peu mutualisables et moins fiables qu'un calcul analytique
implanté dans le logiciel de calcul.
Dans cette note, on se place dans le périmètre d'utilisation des opérateurs thermiques
standards du Code_Aster et on s'intéresse à cette sensibilité analytique du champ de
température et de son flux par rapport aux caractéristiques matériau et aux chargements. On y
décrit le processus permettant d'exhumer le système linéaire que vérifie cette dérivée. Afin de
minimiser le surcoût calcul, un effort particulier a été apporté pour lier sa résolution à celle du
problème initial.
On détaille les travaux théoriques, numériques et informatiques qui ont présidé à l'implantation
de ces calculs de sensibilité dans le code. On spécifie leurs propriétés et leurs limitations tout en
reliant ces considérations à un paramétrage précis des opérateurs incriminés et aux choix de
modélisation du code. On a essayé de constamment lier les différents items abordés tout en détaillant,
a minima, les démonstrations un peu techniques.
L'environnement requis, le paramétrage et le périmètre d'utilisation de cette nouvelle
fonctionnalité sont décrits. Un exemple extrait d'un cas-test officiel est explicité.
Par la suite, les perspectives de ce travail sont de plusieurs ordres :
· D'un point de vue fonctionnel, on pourrait étendre véritablement le périmètre d'utilisation
des calculs de sensibilité thermiques (et aussi celui du problème standard sur lequel ils
s'adossent) à des conductivités non-linéaires et/ou anisotropes et aux conditions d'échange
paroi en lumpé. A peu de frais, on pourrait aussi traiter les problèmes d'hydratation, de
séchage et de convection-diffusion.
· D'autre part, des développements restent encore à implanter pour pouvoir traiter
convenablement un large spectre de dérivées composées et, en particulier, pour effectuer des
chaînages thermo-mécanique (qui sont la véritable cible des développements actuels).
On pourra alors obtenir les sensibilités de variables mécaniques (déplacements, déformations
et contraintes) par rapport à des chargements ou des caractéristiques matériau du problème
thermique.
· D'un point de vue théorique, il reste à effectuer une étude « numérico-fonctionnelle »
similaire à celle de ce document, pour exhumer les mêmes sensibilités thermiques en
modélisation COQUE et FOURIER. Cela ouvrira alors un autre champ d'investigation : les
sensibilités par rapport aux caractéristiques géométriques des éléments structuraux.
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8 Bibliographie
[1]
R. DAUTRAY & J.L. LIONS et al. Analyse mathématique et calcul numérique pour les
sciences et les techniques. Ed. Masson, 1985.
[2]
J.L. LIONS. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires.
Ed. Dunod, 1969.
[3]
H. BREZIS. Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Ed. Masson, 1983.
[4]
V. VENTURINI et al. Etude probabiliste de la cuve par un couplage mécano-fiabiliste. Bilan du
projet P1-97-04 : PROMETE. Note HP-26/99/012, nov. 1999.
[5]
G. NICOLAS. Etude d'opportunité du projet I7-01-02. Note HI-72/00/020, 2000.
[6]
G. NICOLAS & J. PELLET. Architecture pour la sensibilité. Note HI-72/01/009.
[7]
G. CORLISS et al. AD of algorithms : from simulation to optimization. Ed. Springer Verlag,
2002.
[8]
S. CAMBIER. Sensibilités de grandeurs vibratoires. Théorie et algorithmes en vue d'une
implantation dans le Code_Aster. Note HT-62/01/011.
[9]
C. DUVAL et al. Applicabilité de la différentiation automatique à un système d'EDP régissant
les phénomènes thermohydrauliques dans un tube chauffant. Note 96NJ00017, 01/02/96.
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Annexe 1 Notion de dérivée « au sens des distributions »
Plaçons nous dans le cadre d'un bi-matériau et d'une dérivation par rapport à la chaleur volumique d'un de ces
matériaux, en thermique linéaire. Le même raisonnement peut être conduit en non-linéaire et par rapport à
n'importe qu'elle autre caractéristique matériau, chargement ou condition limite.
On considère la modélisation de la chaleur volumique globale suivante ( I la fonction indicatrice de la ième
i
partie )
i
C
éq
A1.1
p (x) :=
I x + I x
,
1 1 ( )
2 2 ( )
( 1
)
2
2
1
2
1
2
Figure A1-a : Désignation des chaleurs volumiques pour un bi-matériau
Soit la famille de distributions paramétrée par
(
*
D' × ,
0
+
T )
( ] [)
éq A1.2
T
telle que
T est la solution du problème aux limites
(
T
I I
T
s
1 (1 +
) 1 + 2 2 )
- div( ) =
× ] ,
0 [
t
T
= f
1 × ] ,
0 [
T
(P
)
= g
éq
A1.3
2 × ] ,
0 [
n
T
+ hT
= hText
3 × ] ,
0 [
n
T (x )
0
,
= 0
T (x)
On reconnaît bien sûr les solutions d'autant de problèmes de thermique linéaire légèrement décalés (cf. [éq 2-
T
1] afin de pouvoir approximer progressivement, lorsque le petit paramètre tend vers zéro,
.
1
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En écrivant que T0 et T vérifient, respectivement, (P0) et (P), et en soustrayant membres à membres les deux
EDP on obtient
(T - T
T
0 )
- div( (T -T
I
0 ) = -
1
1
× ] ,
0 [
t
t
T
- T0 = 0
1 × ] ,
0 [
(T -T0 )
(P- P0
= 0
éq
A1.4
2 × ] ,
0 [
)
n
(T - T0 )
+ h(T
- T0 ) = 0
3 × ] ,
0 [
( n
T - T x
0 )(
)
0
, = 0
Il ne reste plus qu'à diviser par
1 cette nouvelle EDP et à faire tendre vers zéro le paramètre . Le problème
au limite devient alors un simple problème mêlé de type Cauchy-Dirichlet-Neumann-Robin homogène similaire
au problème initial et comportant toutefois un terme source différent
u
T
- div( u) = -
0
I
1
× ] ,
0 [
t
t
u = 0
1 × ] ,
0 [
1
u
lim
(P - P = 0
éq
A1.5
2 × ] ,
0 [
0 )
0
1
n
u
+ hu = 0
3 × ] ,
0 [
n
u(x )
0
, = 0
1
dont on note u := lim
(T -T la solution. Celle-ci existe et est unique car elle hérite de toutes les
0 )
0
1
bonnes propriétés du problème initial. Par définition, on la désigne alors sous le vocable de « distribution
dérivée par rapport à la caractéristique 1 de la chaleur volumique » := T
u
.
1
Compte-tenu du processus d'obtention de ce type de dérivée (translation, passage à la limite puis définition
d'une distribution dérivé dès que l'on est assuré de son existence et son unicité), il apparaît que cela revient
« formellement » à dériver directement les termes du problème aux limites initial [éq A1-2], [éq A1-3].
C'est de cette façon que l'on a procédé pour toutes les dérivées exhumées dans ce document. D'ailleurs, pour
chacune d'entre elles, on a vérifié que cette dérivation « formelle » produisait le même résultat que le
processus décrit précédemment.
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