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Version
7.4

Titre :

Eléments finis traitant la quasi-incompressibilité


Date :
14/04/05
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE, E. LORENTZ Clé
:
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Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document R3.06.08





Eléments finis traitant la quasi-incompressibilité





Résumé :

Dans certaines situations, le comportement mécanique du matériau impose que la dilatation volumique reste
nulle, autrement dit que la déformation se fasse à volume constant : élasticité isotrope avec coefficient de
POISSON égal à 0.5, écoulements plastiques parfaits en analyse limite ...

On propose ici de traiter cette condition d' « incompressibilité » ou de « quasi-incompressibilité » en utilisant
une formulation valable aussi bien dans le cas compressible que dans le cas quasi-incompressible. Pour cela,
on utilise une formulation variationnelle à 3 champs où les inconnues sont le déplacement, la déformation
volumique et le multiplicateur de Lagrange associé (qui correspondrait à la pression dans le cas
incompressible). On propose deux versions de cette formulation : l'une pour les petites déformations, l'autre
valable en présence de grandes déformations.
Après quelques rappels sur les difficultés que posent la résolution des problèmes incompressibles, on décrit
l'élément fini mixte implanté (en 3D et en 2D, plan et axisymétrique), et on présente également les grandes
lignes de l'intégration dans le Code_Aster (modélisation INCO).


Cette modélisation est nécessaire pour pratiquer les analyses limites et pour modéliser des comportements
élastiques pour des coefficients de Poisson proche de 0.5. Elle peut aussi être utile dans le cas de
modélisations engendrant de fortes déformations plastiques et pour lesquelles les modélisations traditionnelles
peuvent être insuffisantes et engendrer des oscillations de contraintes.

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Table
des
matières


1 Difficultés liées au traitement de l'incompressibilité ..............................................................................3
1.1 Les comportements «incompressibles» et «quasi-incompressibles» .............................................3
1.2 Quelques solutions numériques possibles ......................................................................................4
1.3 Option retenue et cadres d'application............................................................................................5
2 Formulation variationnelle mixte du problème.......................................................................................6
2.1 Formulation dans le cadre des petites déformations ......................................................................6
2.2 Formulation en grandes déformations.............................................................................................7
3 Discrétisation par éléments finis mixtes ................................................................................................8
3.1 Choix de la discrétisation.................................................................................................................8
3.2 Ecriture du problème discret............................................................................................................9
3.2.1 Ecriture en petites déformations.............................................................................................9
3.2.2 Ecriture en grandes transformations ....................................................................................10
4 Intégration dans le Code_Aster des éléments finis incompressibles ..................................................11
4.1 Présentation générale de l'élément incompressible......................................................................11
4.2 Emploi de la modélisation..............................................................................................................12
4.3 Formulation des termes élémentaires du second membre ...........................................................12
4.4 Calcul des déformations et des contraintes ..................................................................................12

5 Validation .............................................................................................................................................13
5.1 Cas élastique incompressible........................................................................................................13
5.2 Cas élasto-plastique ......................................................................................................................13

6 Bibliographie ........................................................................................................................................15


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1
Difficultés liées au traitement de l'incompressibilité

Dans certaines situations, la comportement mécanique du matériau impose que la déformation se
fasse à volume constant. Les matériaux possédant cette propriété de non-dilatance sont souvent
qualifiés de matériaux « incompressibles ». Nous allons voir que ces problèmes posent deux types de
difficultés. La première difficulté est liée à l'écriture de la condition d'incompressibilité, la deuxième est
liée aux problèmes numériques qu'engendre cette contrainte. Ces difficultés se retrouvent lorsque le
matériau est quasi-incompressible.
On raisonne ici en petites perturbations mais le problème reste le même dans le cadre des
transformations finies.

1.1
Les comportements «incompressibles» et «quasi-incompressibles»

Dans le cadre de la mécanique des milieux continus, une déformation de type isochore est
caractérisée par le fait que le gradient de la transformation F est tel que det F = 1 . Si on se place
dans le cadre des petites perturbations, la condition précédente se ramène à :

div u = 0 = tr()

Le tenseur est donc uniquement déviatorique :
D
= .

Il en résulte que dans le cas de matériaux isotropes, l'invariant tr (ou det F ) n'intervient pas dans
l'expression de la densité d'énergie libre ; ainsi dans le cas de l'élasticité incompressible en HPP,
on a simplement :
D
D

( ) = µ .
Cette densité permet d'exprimer uniquement la partie déviatorique du tenseur des contraintes :
D
D
= 2µ
De fait, la contrainte est définie à une constante près p, qui est l'opposée de la pression moyenne :
= 2µ D + pId







éq 1.1-1
Remarque :

· l'élasticité isotrope incompressible est bien sûr un cas limite de l'élasticité isotrope avec
un coefficient de Poisson = E - 1 tendant vers 0.5.

· il n'y a pas que les matériaux élastiques dont le coefficient de Poisson est égal ou
légèrement inférieur à 0.5 qui font intervenir la condition d'incompressibilité. Ainsi, elle
g

intervient également dans le cas de matériau rigide plastique
= 0 . En effet, on
tr

g
a dans ce cas : & =
; 0 ; g 0 ; g = 0

Ce qui conduit à la condition d'incompressibilité tr& = 0 .

Par ailleurs, dans le cas de l'élastoplasticité, lorsque les déformations plastiques

deviennent largement supérieures aux déformations élastiques, on se retrouve dans un
cas quasiment incompressible avec
tr 0 .

Enfin, les matériaux vérifiant une relation de comportement de type NORTON-HOFF (loi

utilisée pour les calculs d'analyse limite [R7.07.01]) présentent aussi la caractéristique
d'incompressibilité :
n-
(
1
v) = (
D
eq )
.
avec n 1 et > 0
3

=
. D . D
eq
est la contrainte équivalente de Von Mises.
2
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1.2
Quelques solutions numériques possibles

Si l'on veut traiter exactement la condition d'incompressibilité, nous l'avons vu, la contrainte n'est pas
totalement déterminée à partir de la déformation (cf. [éq 1.1-1]). Il est donc nécessaire d'utiliser une
formulation mixte, c'est-à-dire d'introduire (au moins) une autre inconnue du problème qui permettra
de déterminer complètement le tenseur des contraintes. Plusieurs variantes sont possibles, la plus
simple consistant à imposer la condition d'incompressibilité à l'aide d'un multiplicateur de Lagrange,
qui est alors la pression p .

Remarque :

Si l'on opte pour une procédure de pénalisation, on se ramène au cas quasi-incompressible
et donc aux difficultés évoquées ci-dessous.

On peut également, notamment dans le cas de l'élasticité linéaire, choisir de rendre le matériau
légèrement compressible. De cette façon, la contrainte est entièrement définie à partir du déplacement
et l'utilisation d'une formulation mixte n'est plus indispensable. En revanche, la résolution de ces
problèmes avec les éléments finis classiques en déplacement, pose des difficultés numériques. En
effet, la contrainte cinématique que représente une déformation à volume constant est très forte, voire
trop forte si les degrés de liberté de l'élément ne sont pas assez importants. Ainsi, le triangle à
3 noeuds peut présenter des phénomènes de blocage, c'est-à-dire que le « maillage » ne peut pas se
déformer. De façon moins extrême, la plupart des éléments classiques, notamment linéaires, se
comporte de manière anormalement rigide. De nouveaux éléments doivent donc être utilisés afin de
« relâcher » le système. Ces éléments peuvent s'appuyer sur différents types de formulation :

·
uniquement en déplacement
·
mixte : déplacements / contraintes, déplacements / pressions, déformations / contraintes,
déplacements / pressions / dilatations volumiques ...

Dans tous les cas, si on n'y prend pas garde, on peut avoir des difficultés numériques. Plusieurs pistes
sont utilisées pour faciliter la déformation des éléments :

·
utiliser la sous-intégration permet d'améliorer les résultats mais elle présente un
inconvénient : elle peut conduire à l'apparition de modes parasites ou hourglass. Pour
résoudre ce problème, on peut soit enrichir la matrice de rigidité grâce à des matrices de
stabilisation qui viennent neutraliser les modes hourglass, soit utiliser des méthodes de
projection qui consistent à projeter dans un espace plus petit la condition d'incompressibilité
de façon à éliminer les phénomènes de blocage. La plus connue est la méthode B-Bar [bib1],
·
enrichir l'élément à l'aide de degrés de liberté supplémentaires : on parle alors de méthodes à
déformations augmentées, modes incompatibles,] [bib2] ...
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1.3
Option retenue et cadres d'application

Nous avons choisi ici d'opter pour une formulation qui couvre aussi bien le quasi-incompressible
(jusqu'à l'incompressible) que le compressible. Pour cela, le terme tr est traité comme une variable
indépendante. Avec le multiplicateur de Lagrange associé, cela conduit à une formulation à 3 champs.
Une version grandes déformations a également été développée sur le même principe. Dans ce cas, la
variable indépendante liée à la condition d'incompressibilité n'est plus tr mais det F .

L'avantage de cette formulation est qu`elle permet d'utiliser de façon transparente toutes les lois de
comportement élasto-plastiques disponibles dans Aster (pas besoin de séparer la partie déviatorique
et la partie sphérique du tenseur des contraintes) . Elle n'est donc pas limitée à l'élasticité ou à
l'élastoplasticité de Von Mises. En revanche, on ne pourra pas traiter le cas où le coefficient de
Poisson est strictement égal à 0.5, car on utilise pour le calcul de la contrainte élastique le terme

E
tr , dont le dénominateur est nul quand = 0.5.
1
( + 1
)( - 2 )


En conséquence, cette formulation INCO doit être utilisée :

·
pour traiter les problèmes d'analyse limite pour lesquels on suppose que l'écoulement se fait
à volume constant [R7.07.01],
·
pour traiter des problèmes élastiques dont le coefficient de Poisson est supérieur à 0.45.

Cette formulation peut aussi être utilisée :

·
pour traiter les problèmes où les déformations plastiques sont importantes, ce qui engendre
des oscillations au niveau des contraintes (exemple : dans le cas de calculs sur éprouvettes
entaillées). Bien sûr, cette formulation étant plus coûteuse que la formulation en déplacement
classique, elle est à réserver aux cas posant problème et où on s'intéresse aux valeurs des
contraintes.

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2
Formulation variationnelle mixte du problème

2.1
Formulation dans le cadre des petites déformations

Soit un solide soumis à :

·
un champ de déplacement D
u sur D
·
un champ d'effort g sur N
·
un champ volumique d'effort f sur

Dans le cas classique des éléments finis en déplacement (modélisation 3D ou D_PLAN ou AXIS dans
Code_Aster), lorsque le problème dérive d'une énergie, le problème résolu est le suivant :

trouver
D
u V avec vérifiant la relation de comportement, qui minimise l'énergie potentielle :


1
u
( ) =
.
d - fu
d - gud
2

N

Comme nous l'avons expliqué au [§1], cette formulation ne convient pas lorsqu'on cherche à se
rapprocher de la solution incompressible, c'est-à-dire de la condition div u = 0 ou tr = 0. Pour
contourner cette difficulté, une solution est de traiter séparément la partie sphérique du tenseur des
déformations (la partie qui pose des problèmes numériques) et sa partie déviatorique. On aura
donc :
g
1
(u,g) = D(u) + I D(u) = (u)
d
- (tr (u))I et g = tr (u)
d

éq 2.1-1
3
3
Le problème précédent se ramène donc à la résolution d'un problème à 2 variables, u et g, sous la
contrainte g = tr . Il peut être ramené à la résolution d'un problème sans contrainte en introduisant un
multiplicateur de Lagrange p ; il s'écrit :

trouver
D
u V , p et g (problème de point-selle), tels que :
(

g


L u, p, g)
D
=
.
(u) + I

d
(pdivu g) d f ud
gu d


éq 2.1-2
3

+
-





-
-


N
Ce problème peut être résolu, en écrivant les conditions d'optimalité :
L

= ( D
+ pI ). d - f u
d - g u
d =

d


0
u

N

L

= (divu - g) p d =

0

éq
2.1-3
p

L

=
1 tr - p

g d =

0

g
3



Remarques :

·
la première équation correspond à l'équation d'équilibre,
·
la deuxième équation traduit la relation cinématique liant g à u ,
·
la troisième équation donne l'expression du multiplicateur de Lagrange p ,
·
lorsque le problème ne dérive pas d'une énergie, on peut directement utiliser le système
d'équations [éq 2.1-3].
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2.2
Formulation en grandes déformations

Il est possible d'étendre la formulation variationnelle précédente [éq 2.1-2] aux grandes déformations.
Le principe est identique, mais on s'appuie dans ce cas sur la décomposition du tenseur gradient de la
transformation F proposée par Flory [bib3] :
1
1
F = s
s
-
F F avec F
3
= J I
et F
3
= J
F et J = det F
d


Le problème se ramène là encore à un problème de point selle :
trouver
D
u V , g et p point selle du lagrangien :

L(u, p, g) = [W( 13
g F)] -

d
+ p(J - g)



d
- fud
u
g d
éq 2.2-1
0
-
0

-




0
0
N
W est l'énergie de déformation exprimée en fonction de la variation du gradient de la
transformation F.
Le choix qui a été fait ici est d'écrire l'énergie de déformation sur la configuration - c'est-à-dire au
début du pas de temps. On note classiquement :
· F- le gradient de la transformation de 0 à -
· F le gradient de la transformation de -à .

-
-
On a alors : F = F F et J = J J

Ce problème peut être résolu comme en petites déformations en écrivant les conditions d'optimalité.
La dérivation ne pose pas de difficultés particulières à condition de se rappeler que :
W

1
t
= et = F , étant le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff.
F

J
Le système à résoudre est donc le suivant :



13

L


= g


D
+ pI . u d - f ud - g u d =

d
x


0
u
J





N
L

= (J - g) p
d
=

0
0

p

0


-
23

L
J J
1

=
Tr - p g d =

0
g


-


0
3 g g



0


En ce qui concerne l'obtention de la matrice tangente, elle demande bien sûr un peu plus de calcul
qu'en petites déformations.
K
K
K

uu
up
ug
K = Kup K pp K pg
K
K
K

ug
pg
gg

Pour le terme Kuu, la méthode utilisée est la même que celle utilisée dans [bib4] ou [R5.03.21]. Le
principe consiste à dériver à configuration fixe, puis à choisir comme configuration celle qui coïncide
avec la configuration actuelle à l'instant de calcul, c'est-à-dire . Cette matrice n'est a priori pas
symétrique. Mais en pratique, on utilise une matrice tangente symétrique. Les autres dérivations ne
posent pas de problèmes particuliers.
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Pour simplifier l'écriture des différents termes, on est amené à définir les tenseurs suivants :

=

H
la matrice tangente algorithmique donnée par la loi de comportement

1
g
3






F
J



1
P = H - I
(I : H) qui correspond en quelque sorte à la partie déviatorique de la matrice
3 d
d
tangente algorithmique

1
J 3

D
T = P : F
+




g


Finalement, la matrice tangente est composée des termes suivants :

K
=
uu
[div u
-
u
eq
eq
x ]:
v

d
x
(
géométriqu

rigidité
e)

g 2/3
1

+

P : - u
- div u
T :
v




d
(
comporteme

de

rigidité
nt)
J

3

x
x

K
= tr
up
( u
x ) p



d

1 g 2/3
K
=
ug


T : + u
g



d

3 J
x

K
=
pp
0
K
= - p
g


pg

d o
o
1 g 2/3 -
g
1/ 3



K
=


g
gg





- 2tr + Id : H F ×



d
-
9g J
J
J









3
Discrétisation par éléments finis mixtes

3.1
Choix de la discrétisation

Lorsqu'on utilise une formulation mixte, il est nécessaire de discrétiser à la fois l'espace des
déplacements, du multiplicateur de Lagrange p et du « gonflement » g. L'expérience acquise sur les
éléments mixtes, notamment à 2 champs pour les éléments incompressibles, permet de savoir que la
discrétisation de ces champs ne peut être quelconque, sous peine d'obtenir des phénomènes
d'oscillations (notamment au niveau des pressions) ou des phénomènes de blocage (éléments ne
pouvant pas se déformer ou trop rigides). Ainsi il est nécessaire d'avoir un nombre de points de Gauss
de pression suffisamment important pour vérifier la condition d'incompressibilité presque partout et un
nombre de points de Gauss de pression suffisamment faible pour avoir plus de degrés de liberté à
calculer que de contraintes à vérifier. Une des conditions nécessaires pour obtenir des résultats
satisfaisants est la vérification par l'élément fini considéré de la condition LBB (LADYJENSKAIA,
BREZZI, BABUSKA). On peut trouver dans [bib5] et [bib6] des exemples d'éléments satisfaisant la
condition LBB.
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Ici le problème est un peu différent puisque la formulation contient 3 champs. Nous nous sommes
inspirés des usages de ce genre de formulation (ex. [bib7]), en utilisant un élément de type P2/P1/P1.
Autrement dit, le déplacement est quadratique, la pression et le gonflement sont tous les deux
linéaires.
Les éléments finis utilisés sont donc les suivants :

en 2D :
u
triangle à 6 noeuds
\
quadrilatère à 8 noeuds

p, g
triangle à 3 noeuds
\
quadrilatère à 4 noeuds





en 3D :
u
tétraèdre à 10 noeuds
\
cube à 20 noeuds \ pentaèdre à 15 noeuds

p, g
tétraèdre à 4 noeuds
\
cube à 8 noeuds \ pentaèdre à 6 noeuds

Pour chaque type d'élément, on utilise une seule famille de points de Gauss :

·
3 points pour les triangles
·
9 points pour les quadrilatères
·
4 points pour les tétraèdres
·
27 points pour les cubes
·
6 points pour les pentaèdres


3.2
Ecriture du problème discret

Soit U e , pe et ge , les vecteurs des inconnues nodales élémentaires (resp. déplacement, pression et
gonflement). Si Nq et Nl sont les fonctions de formes (respectivement quadratique et linéaire)
associées à l'élément fini considéré :

e
u = N U
q
e
p = N p
l
e
g = N g
l
3.2.1 Ecriture en petites déformations
B est la matrice de dérivation classique permettant de passer de
e
U à :

e
= BU

Dans la formulation, on distingue dev et dil , ce qui nous amène à définir les opérateurs Bdev et
tr
B
D
dil tels que :
e
= B
U
dev
et
e
= B U
dil

3


La forme discrétisée des équations du problème [éq 2-3] s'écrit :

T
D
u
F = B
(
+ pI

d ) d =
ext
F

F =
T
N ( dil
B U - l
N g) d = 0
p
l


F =
T
N (1 tr - p) d = 0
g
l

3

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La matrice tangente du problème est symétrique et s'appuie sur les termes suivants :

F
K
=
u =
T
uu
B
DB

e
dev
dev

d
U

F
K
=
u =
up
B
N

e
T
dil

d

l
p

F
1
K
=
u =
T
ug
(B
D)N

e
Tr dev

d

l
g
3
F
K
=
p = 0
pp

e
p
F
K
=
p = -
pg
N N

e
T

d

l
l
g

F
1
K
=
g =
gg
N
(D) N

e
Ttr

d

l
l
g
9

3.2.2 Ecriture en grandes transformations

On note D la matrice des dérivées des fonctions de forme (quadratiques) sur la configuration actuelle
et D- sur la configuration -, soit :
e
e
u = U
-
D
u D U
x
et
x-
=

Par ailleurs, on définit la contrainte d'équilibre eq et la grandeur Q par les relations suivantes :
1
2
g
3
-
3
D
1 J J

eq =
+ pId et Q =
tr - p
J

-


3 g g


est ici le tenseur des contraintes issu de la loi de comportement.

Le vecteur des forces intérieures s'écrit sous forme la forme discrétisée suivante :


F =
u
D d
eq


F =
p
T
N (J - l
N g)
d
l
0
0
F =
g
T
N Q
d
l
0
0
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4 Intégration dans le Code_Aster des éléments finis
incompressibles

4.1
Présentation générale de l'élément incompressible

Les éléments finis sont intégrés dans le Code_Aster en 2D déformations planes, en 2D axisymétrique
et en 3D. Les 3 modélisations sont accessibles en utilisant les options suivantes pour AFFE_MODELE :

·
'3D_INCO' pour le 3D,
·
'D_PLAN_INCO' pour le 2D en déformations planes,
·
'AXIS_INCO' pour le 2D axisymétrique.

Dans le catalogue des éléments, les éléments incompressibles peuvent s'appliquer sur les mailles :

Mailles
Nombre de noeuds en déplacements
Nombre de noeuds en pression
TRIA6 6
3
QUAD8 8
4
HEXA20 20
8
TETRA10 10
4
PENTA15 15
6

Dans les routines d'initialisations des éléments incompressibles, on définit :

·
1 seule famille de points de GAUSS (la première famille de points de GAUSS) [R3.01.01],
·
2 familles de fonctions de formes associées respectivement aux déplacements (fonctions de
formes de degré 2) et aux termes de pression (fonctions de formes de degré 1).

Prenons comme exemple l'élément tétraèdrique à 10 noeuds : les degrés de liberté en déplacement
sont portés par tous les noeuds, en revanche, seuls les 4 noeuds sommets possèdent les degrés de
liberté p et g.




Les composantes accessibles pour le champ DEPL sont donc

·
les déplacements : DX, DY et DZ en 3D à tous les noeuds,
·
la pression : PRES pour les noeuds sommet,
·
le gonflement : GONF pour les noeuds sommet.
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Version
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Titre :

Eléments finis traitant la quasi-incompressibilité


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Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE, E. LORENTZ Clé
:
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: 12/16


4.2
Emploi de la modélisation

Par choix, la modélisation INCO n'est accessible qu'avec STAT_NON_LINE et l'option COMP_INCR.
Sous ce mot-clé, la version petites déformations est accessible en utilisant DEFORMATION='PETIT',
la version grandes déformations en utilisant DEFORMATION='SIMO_MIEHE'.

Il n'est donc pas possible d'utiliser la modélisation INCO avec les commandes :

·
MECA_STATIQUE
·
CALC_MATR_ELEM/CALC_VECT_ELEM/ASSE_MATRICE/ASSE_VECTEUR / RESO_LDLT
·
STAT_NON_LINE(COMP_ELAS = ...)


Remarque :

Pour l'instant, seule la matrice tangente peut être utilisée pour la phase de prédiction.
Toutefois, de nouveaux développements dans Code_Aster, devrait rendre la matrice
élastique bientôt accessible.


4.3
Formulation des termes élémentaires du second membre

Les charges peuvent être la pesanteur, des forces surfaciques réparties, des pressions. Les termes
élémentaires sont calculés de façon classique pour les degrés de liberté de déplacement et on affecte
la valeur nulle pour les degrés de liberté de pression et de gonflement.


4.4
Calcul des déformations et des contraintes

Dans cette formulation, il convient de distinguer le champ de contrainte issu de la loi de comportement

D
=
ldc , du champ de contrainte qui vérifie l'équilibre et qui est défini par la relation
Id
p
ldc +

c'est ce dernier champ qui est stocké dans SIEF_ELGA ainsi que la relation liant le multiplicateur p et
ldc .
En résumé, les composantes de SIEF_ELGA sont :

· SIXX, SIYY, SIZZ, SIXY en 2D ainsi que SIXZ et SIYZ en 3D : composantes du tenseur
D
=
Id
p
ldc +
,

1

· SIP qui est égal à tr
- p
ldc
en petites déformations,
3


2
1 J - J
3
ou
tr
p en grandes transformations.
-
ldc -


3 g g


Il est également possible de recalculer EPSI_ELGA_DEPL, qui est le champ de déformation au sens
classique.

On peut également réaliser un calcul de charge limite avec POST_ELEM.
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5 Validation


5.1
Cas élastique incompressible

Le test SSLV130 (cf. [V3.04.130]) permet de vérifier la validité de la modélisation dans le cas d'un
cylindre élastique incompressible soumis à une pression interne. Son équivalent en grandes
déformations existent également : test SSNV112 (cf. [V6.04.112]).


5.2 Cas
élasto-plastique

Le but de cet exemple est d'illustrer l'apport de la modélisation INCO dans le cas où les déformations
plastiques sont importantes par rapport aux déformations élastiques. On étudie pour cela une
éprouvette entaillée en axisymétrique, soumis à un déplacement imposé. La géométrie et le
chargement sont représentés sur la figure ci-dessous. Le maillage est constitué de 548 TRI6.

U0
E
D
F
C
A
B

Figure 5.2-a : Géométrie et conditions aux limites

Le comportement du matériau est de type élastoplastique à écrouissage isotrope
linéaire (VMIS_ISOT_LINE). Les paramètres sont les suivants :

·
E = 200 000 MPa
·
= 0.3
·
y = 200 MPa
·
ET = 1000 MPa
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Sur la figure [Figure 5.2-b], on compare la contrainte yy obtenue sur le chemin FC (cf. [Figure 5.2-a])
avec la modélisation classique AXIS et la modélisation AXIS_INCO.
EDF
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Electricité
SIGMAyy
de France
300
250
200
150
AXIS
AXIS_INCO
100
50
0
0
1
2
3
4
5
agraf 26/02/2002 (c) EDF/DER 1992-1999

Figure 5.2-b : yy le long de la ligne FC

On voit très clairement que la solution obtenue avec la formulation INCO permet de s'affranchir des
oscillations parasites.
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6 Bibliographie

[1]
J.R. HUGUES : The finite element method, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N-J. 07632,
1987.
[2]
J.C. SIMO, M.S. RIFAI : A class of mixed assumed strain methods and the method of
incompatible modes, Int. Jnal Num. Meth. Engg, Vol. 29, pp1595-1638, 1990.
[3]
R.J. FLORY : Thermodynamic relations of high elastic materials. Trans. Faraday Soc., vol.57,
1961, pp. 829-838.
[4]
V. CANO, E. LORENTZ : Introduction dans le Code_Aster d'un module de comportement en
grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope. Note EDF/DER
HI-74/98/006/0 du 26/08/1998
[5]
M. GIRAULT, P. RAVIART : Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and
algorithms. Springer Verlag, 1986.
[6]
P. MIALON, B. THOMAS : Incompressibilité en plasticité : sous-intégration et autres
techniques numériques. Note EDF/DER HI-72/6404 du 19/01/1990.
[7]
A.G.K. JINKA, M. BELLET, L. FOURMENT : A new three-dimensional finite element model for
the simulation of powder forging processes : application to hot forming of P/M connecting
road. Int. Jnal Num. Meth. Engg, Vol. 40, pp3955-3978, 1997.

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