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4.0
Titre :
Thermique non linéaire en repère mobile
Date :
25/03/98
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F. WAECKEL, B. NEDJAR
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Manuel de Référence
Fascicule R5.02 : Thermique
Document : R5.02.04

Thermique non linéaire en repère mobile
Résumé
On présente la formulation et l'algorithme du problème de convection-diffusion en thermique non linéaire
stationnaire introduit au sein de la commande THER_NON_LINE_MO [U4.33.04].
Le but est de résoudre l'équation de la chaleur dans un référentiel mobile lié à un chargement et se déplaçant
dans une direction et à une vitesse données.
Les non linéarités du problèmes proviennent aussi bien des caractéristiques du matériau qui dépendent de la
température, que des conditions aux limites de type rayonnement.
Les problèmes de ce type peuvent être traités avec des modèles utilisant des éléments finis de structure plans,
axisymétriques et tridimensionnels.
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Table des matières
1 Présentation du problème...................................................................................................................... 3
2 Conditions aux limites. Problème de référence à résoudre ................................................................... 5
3 Formulation variationnelle du problème................................................................................................. 6
4 Traitements des non linéarités............................................................................................................... 7
4.1 Traitement de la non linéarité liée à l'enthalpie ............................................................................... 7
4.2 Traitement des non linéarités liées à la condition de Fourier non linéaire et à la conductivité
thermique ........................................................................................................................................ 8
5 Algorithme implanté dans le Code_Aster............................................................................................... 9
6 Principales options de calcul dans le Code_Aster ............................................................................... 10
7 Bibliographie ........................................................................................................................................ 11
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1
Présentation du problème
L'équation de la chaleur présente de fortes non linéarités sous certaines conditions. C'est le cas
lorsque le matériau subit des changements de phases : ceux-ci s'accompagnent d'une brusque
variation des grandeurs caractéristiques (capacité calorifique, enthalpie). Cette non linéarité est
d'autant plus accentuée lorsque l'on traite le problème de convection-diffusion, où apparaît le terme de
transport dépendant de la fonction enthalpie. Le but de cette modélisation est de traiter ce dernier
problème en régime permanent (cas stationnaire).
Dans tous les cas, on suppose que le champ de vitesse est connu à priori. Le cas d'un solide mobile
est assez fréquent en pratique. Il concerne en particulier les applications de soudage ou le traitement
de surface qui mettent en jeu une source de chaleur se déplaçant dans une direction et à une vitesse
données. Le problème de thermique est alors étudié dans un référentiel lié à la source.
Le problème aux dérivées partielles résulte de l'équation du bilan thermique global sur tout domaine
qui s'écrit :
d
d =
Qd -
q.n d



dt


éq 1-1
accumulation
création + entrée - sortie
Dans cette équation, représente un domaine connexe, intérieur au système étudié, que l'on suit
dans son mouvement, représente l'enthalpie spécifique du matériau et désigne sa masse
volumique. Q est une source de chaleur volumique, q est le flux de chaleur à travers la frontière
( n étant la normale extérieure), et d / dt est la dérivée particulaire.
Le premier terme de [éq 1-1] s'écrit (voir par exemple [bib1]) :
d
( )

d =
+ div


( V) d
éq 1-2
dt
t






ou encore, compte tenu de la conservation de masse
+ div( V) =




0 [bib1] :
t


d

d =

+ V.grad d


éq 1-3
dt



t





V est le vecteur vitesse de déplacement du domaine . V est renseigné sous le mot clé simple
CONVECTION des commandes AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F.
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Le deuxième terme du second membre de [éq 1-1] s'écrit, compte tenu du théorème de la divergence
et de la loi de Fourier (q = -k(T) gradT) :
q.n d = d q
iv d = - div


(k(T)gradT)d
éq 1-4




T est la température et k(T) est la conductivité thermique du matériau, fonction de la température.
L'équation [éq 1-1] devant être satisfaite pour tout domaine , il vient alors :


+ V.grad - div(k(T)
T
grad )

= Q, dans ,
éq 1-5
t
Remarque :
Notons que le cas classique avec, k(T) = k (constante) et V = 0 , et où l'enthalpie spécifique est
une fonction linéaire de la température,
(T) = CT redonne l'équation classique bien connue :
T
C
- = , dans

k T
Q
,
t
est le Laplacien et C (constante) représente la chaleur spécifique.
Le problème aux dérivées partielles traité par la commande THER_NON_LINE_MO [U4.33.04], consiste
à résoudre l'équation [éq 1-5] dans le cas stationnaire (directement à l'état permanent) avec des
conditions aux limites sur la frontière .
Ce problème est formellement écrit sous la forme suivante :
V.grad (
u T) - div(k(T)gradT) = Q, dans ,
éq 1-6
+ conditions aux limites
sur
où nous avons adopté la notation, valable pour toute la suite, (
u T) = (T) où est constant,
définissant l'enthalpie volumique.
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Conditions aux limites. Problème de référence à résoudre
On se reportera, par exemple, à [R5.02.01] pour plus d'informations sur les conditions aux limites
thermiques de type Dirichlet, Neumann et Fourier linéaire, et à [R5.02.02] pour les conditions aux
limites de type flux normal non linéaire (Fourier non linéaire).
En formulation enthalpique, le problème de thermique stationnaire consiste donc à résoudre dans un
domaine de frontière sur .
V.grad (
u T) - div(k(T)gradT) = Q, dans ,
éq 2-1
T

avec k(T)
= (T - T
ext
) sur
n
1,
éq 2-2
T
k(T)
= q0
sur

,
éq 2-3
n
2
T
k(T)
= (T)
sur
n
3,
éq 2-4
T = T0
sur
4
,
éq 2-5
où :
·
T0 : est la température imposée sur 4 ;
·
q0 : est le flux normal imposé sur 2 ;
·
: est le coefficient d'échange thermique ;
·
Text : est la température extérieure ;
·
(T) : est le flux normal de type Fourier non linéaire (rayonnement).
Les équations [éq 2-2], [éq 2-5] représentent les conditions aux limites de types, respectivement :
Fourier linéaire, Neumann, Fourier non linéaire et Dirichlet.
Le problème de référence [éq 2-1], [éq 2-5] est fortement non linéaire en raison des non linéarités sur
k(T), (
u T) (changement de phase) et (T) (rayonnement).
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3
Formulation variationnelle du problème
Soit un ouvert de R 3 , de frontière = 1 2 3 4 telle que,
pour i j et i, j = 1, ... , 4, on a : i j = .
Soit encore une fonction suffisamment régulière qui s'annule sur 4 :
V = { régulière et = 0

.
4
}
Multiplions par les deux membres de l'équation [éq 2-1], puis intégrons sur . Une intégration par
parties donne alors :
Q d = V.grad (
u T) d -
div


(k(T)gradT) d





= V.grad (
T
u T) d +
k(T) gradT.grad d -
k(T)
d





n


-4
éq 3-1
puisque est nul sur 4 .
D'où, en tenant compte des conditions aux limites [éq 2-2], [éq 2-3] et [éq 2-4], la formulation
variationnelle du problème de référence qui est donnée par l'équation suivante :
V
k(T) gradT.grad d + V.gradu(T) d +
T
d - (T) d







1

3
éq 3-2
= Q d +
T d
+ q0 d

ext
,



1
2
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4
Traitements des non linéarités
En vue de la résolution numérique du problème non linéaire que nous considérons, il est nécessaire de
traiter toutes les non linéarités.
Dans notre cas, citons la forte non linéarité liée à la fonction enthalpie (
u T) qui prend en compte le
changement de phase solide-liquide, ainsi que la non linéarité liée à la présence éventuelle d'une
condition aux limites de flux normal non linéaire (rayonnement).
Rappelons que dans le cas classique des problèmes de thermique transitoire non linéaires sans
convection, i.e. V = 0 , plusieurs méthodes de résolution sont proposées dans la littérature. Il existe
aussi bien des méthodes utilisant des formulations enthalpiques que des méthodes utilisant des
formulations en température, toutes ayant pour but de traiter au mieux la non linéarité liée à l'enthalpie
(changement de phase).
Nous renvoyons le lecteur à la référence [bib5] pour un résumé des principales méthodes rencontrées
dans la littérature. Toutefois, notons qu'en raison de la difficulté liée à la présence du terme de
transport '' V.grad (
u T)'' dans le problème, aucune de ces méthodes ne sera employée dans la
suite.
Comme dans tout processus itératif, le but du schéma numérique en vue est de trouver un champ de
température T n+1 à l'itération n + 1, à partir du champ de température T n , solution de l'itération
précédente.
4.1
Traitement de la non linéarité liée à l'enthalpie
Afin de traiter cette non linéarité, la stratégie employée dans cette étude a été inspirée d'une technique
de résolution des problèmes de frontières libres [bib3], qui, à l'origine a été proposée dans [bib4].
Considérons la fonction enthalpie (
u T) comme étant donnée sous une forme réciproque :
Température fonction de l'enthalpie (inverse de la fonction (
u T) ). En d'autre termes on aura à traiter la
relation Température-enthalpie suivante :
T = (u)
éq 4.1-1
La raison de ce choix sera plus claire dans ce qui suit. En effet nous aurons à traiter un problème à
deux champs : un champ de température et un champ enthalpie. La discrétisation de la fonction
inverse [éq 4.1-1] permet d'incrémenter le champ enthalpie en fonction du champ actuel de
température (et non l'inverse) comme suit :
Le développement au premier ordre de la fonction (u) est le suivant,
T n+1
(un) (un)(un+
=
+
1

'
- un ),
éq 4.1-2
où ' est la dérivée de la fonction définie par [éq 4.1-1] par rapport à son argument.
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Afin de prendre en compte cette non linéarité, et à partir de [éq 4.1-2], on remplace un+1 par une
approximation en fonction du champ de température inconnu T n+1 de la façon suivante :
un+1 un
(Tn+
-
=
1

- (un) ,
éq 4.1-3
où est un paramètre de relaxation, constant sur tout le domaine et durant toute le processus itératif,
1
représentant le terme
.
'(un)
En raison de la non-convexité de la fonction (u) , ce paramètre de relaxation doit nécessairement
vérifier la condition suivante [bib2], [bib3] :
1

éq 4.1-4
max '( n
u )
n
1
Dans la pratique on prend =
.
max '( n
u )
n
En prenant en compte l'approximation [éq 4.1-3], la discrétisation du deuxième terme de l'équation
[éq 3-2] est exprimée de la façon suivante :
V.gradun+1 d = V.gradun d +
V.gradT n+1



d
-
V.grad




(un) d,




éq 4.1-5
4.2 Traitement des non linéarités liées à la condition de Fourier non
linéaire et à la conductivité thermique
La non linéarité liée à la condition de flux normal non linéaire est traitée en considérant le
développement au premier ordre de la fonction (supposée suffisamment régulière) (T) qui est donné
par :
(Tn+1) (Tn) (Tn) (Tn+
=
+
1
'
- T n ),
éq 4.2-1
où (.)' désigne la dérivée de la fonction (.) par rapport à son argument.
Il est apparu nécessaire de décider d'une stratégie de discretisation du terme " k(T)grad T" dans
l'équation [éq 3-2] afin de pouvoir traiter cette non linéarité pour le problème stationnaire que nous
considérons. Pour cela, nous avons adopté l'approximation suivante :
k(Tn+1)
T n+1
k(Tn )
T n+1
[k(Tn) k(Tn-
=
-
-
1
grad
grad
)] gradTn
éq 4.2-2
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Cette discrétisation est en fait une simplification du développement au premier ordre du terme
k(T)gradT . Elle se trouve être efficace notamment en raison de la faible non linéarité de la fonction
k(T) dans la pratique.
Remarque :
Notons également que l'approximation purement explicite suivante :
k(Tn+1)
T n+1
k(Tn)
T n+

1
grad
grad
,
donne également des résultats satisfaisants. Cette observation a été vérifiée à partir de plusieurs
expériences numériques.

5
Algorithme implanté dans le Code_Aster
Le schéma numérique employé pour la résolution du problème de référence [éq 2-1], [éq 2-5] est
déduit de la formulation variationnelle [éq 3-2] et du traitement des différentes non linéarités, [éq 4.1-5],
[éq 4.2-1], [éq 4.2-2], discutées dans la section précédente.
L'algorithme de résolution est constitué par l'enchaînement de deux opérations successives à chaque
itération du calcul.
Connaissant les champs solutions à l'itération n : T n aux noeuds et un aux points de Gauss, on
cherche les solutions T n+1
un+1
et
à l'itération n + 1 comme suit :
V ,
k
(Tn) gradTn+1.grad d + V.grad

T n+1 d




+
T n+1 d

- '(Tn)Tn+1 d


1
3
= Q d
+
T d +
q d

ext
0

éq 5-1



1
2
+ ((Tn)-'(Tn)Tn) d + [k(Tn)- k(Tn-1)] gradTn.grad d


3
+
V.
grad

(un) d - V.gradun d

,


un+1
un
(Tn+
=
+
1

- (un)
éq 5-2
A chaque itération, un problème linéaire de convection-diffusion est résolu pour obtenir le champ aux
noeuds T n+1 [éq 5-1], et ensuite une simple correction locale est effectuée pour obtenir le champ aux
points de Gauss un+1 [éq 5-2].
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Le critère d'arrêt adopté dans le Code_Aster fait intervenir en même temps les deux champs solutions :
le champ de température, et le champ enthalpie.
L'algorithme continue les itérations tant que au moins une des variations relatives des itérés est
supérieure à la tolérance correspondante donnée par l'utilisateur :

1/2

1
2
(T n+ - T n
i
i )


i=1,.. ,nddl

> tole 1

1/2

1 2
(T n+
i
)


i=1,.. ,nddl


1/2

1
2
(un+ - T n
i
i )


i=1,.. ,npg

> tole 2

1/2

1 2
(un+
i
)


i=1,.. ,npg

où nddl est le nombre total des degrés de libertés aux noeuds, et npg est le nombre total des points de
Gauss.
tole 1 est renseigné sous le mot clé crit_temp_rela du mot clé facteur convergence de l'opérateur
ther_non_line_mo.
tole 2 est renseigné sous le mot clé crit_enth_rela du mot clé facteur convergence de l'opérateur
ther_non_line_mo.
6
Principales options de calcul dans le Code_Aster
On présente ci-dessous les principales options du Code_Aster spécifiques au déroulement de
l'algorithme [éq 5-1], [éq 5-2] ci-dessus. En revanche, nous ne mentionnerons pas les options non
spécifiques du Code_Aster et qui sont utilisées dans le calcul :
· Conditions aux limites :
Fourier Linéaire
RIGI_THER_COET_R
n+
RIGI_THER_COET_F
T d

1


1
Fourier Non Linéaire
'
(Tn) n+1
RIGI_THER_FLUTNL
T
d

3 ((Tn) (Tn)Tn
-

'
)
CHAR_THER_FLUTNL
d

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· Matrices élémentaires et second membre :
n
n+1
RIGI_THER_TRANS
k
(T )gradT .grad d

n+
RIGI_THER_CONV_T
V. gradT
d

1


n
n-1
n
CHAR_THER_TNL
[k(T )- k(T )]gradT .grad d

+ V.
grad(un) d - V.gradun d




7 Bibliographie
[1]
Duvaut, G., Mécanique des milieux continus, Masson, 1990.
[2]
Nochetto, R. H., Numerical methods for free boundary problems, Free Boundary Problems:
Theory ans Applications, éds. K. H. Hofmann et J. Spreckels, (Pitman, Boston, 1988).
[3]
Paolini, M., Sacchi, G. et Verdi, C., Finite Element approximations of singular parabolic
problems, Int. J. Numer., Meth. Engng., 26, pp. 1989-2007, 1988.
[4]
Friedman, A., Variational Principles and Free Boundary Problems, Pure and Applied
Mathematics (Wiley-Interscience, New york, 1982).
[5]
Tamma, K. K. et Namburu, R. R., Recent Advences, Trends and New Perspectives via
enthalpy-based finite element formulations for applications to solidification problems, Int.
J. Numer., Meth. Engng., 30, pp. 803-820, 1990.
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