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Titre :
Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
Date :
19/06/92
Auteur(s) :
D. SELIGMANN, R. MICHEL
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Manuel de Référence
Fascicule R5.01 : Analyse modale
Document : R5.01.02

Algorithmes de résolution pour le problème
quadratique aux valeurs propres

Résumé :
Dans ce document, nous fixons le cadre théorique des méthodes de recherche de valeurs propres du problème
quadratique qui sont développées dans le code de mécanique Aster.
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Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 4
1.1 Position du problème....................................................................................................................... 4
1.2 Propriétés des matrices................................................................................................................... 4
1.3 Problème aux valeurs propres associé ........................................................................................... 4
1.4 Quelques cas particuliers classiques. ............................................................................................. 5
2 Réductions à une forme linéaire ............................................................................................................ 6
2.1 Réductions à une forme linéaire...................................................................................................... 6
2.1.1 Un choix particulier pour la matrice Z : ±M............................................................................. 7
2.1.2 Cas particulier de la matrice M définie positive...................................................................... 7
2.1.3 Cas de la réduction symétrique pour une matrice M singulière ............................................. 8
2.2 Propriété d'orthogonalité des vecteurs propres............................................................................... 9
3 Méthode de déterminant ...................................................................................................................... 10
3.1 Généralités. ................................................................................................................................... 10
3.2 Méthode de Muller......................................................................................................................... 10
3.2.1 Développement de la méthode ............................................................................................ 10
3.2.2 Convergence de la méthode ................................................................................................ 12
3.2.3 Application de la méthode pour la recherche de valeurs propres ........................................ 12
3.2.3.1 Développement........................................................................................................ 12
3.2.3.2 Coût de la méthode en terme de factorisation......................................................... 13
4 Méthodes d'itération inverse ................................................................................................................ 14
4.1 Méthode d'itération inverse proposée par Wilkinson..................................................................... 14
4.2 Variante développée par Jennings ................................................................................................ 14
4.3 L'algorithme d'itération inverse d'Aster.......................................................................................... 15
4.3.1 Mise en oeuvre ..................................................................................................................... 15
4.3.2 Critère d'arrêt ....................................................................................................................... 15
5 Méthode Lanczos appliquée au problème quadratique ....................................................................... 16
5.1 Choix d'un problème à approcher ................................................................................................. 16
5.1.1 Forme inverse standard ....................................................................................................... 16
5.1.2 Stratégies de décalage......................................................................................................... 16
5.2 Méthode d'approximation .............................................................................................................. 17
5.2.1 Problème approché et algorithme de Lanczos..................................................................... 17
5.2.2 Choix d'un pseudo produit scalaire ...................................................................................... 19
5.3 Application au Problème quadratique............................................................................................ 19
5.3.1 Opérateur spectral................................................................................................................ 19
5.3.2 Opérateur de pseudo produit scalaire.................................................................................. 20
5.3.3 Coût de la phase Lanczos.................................................................................................... 21
5.4 Mise en oeuvre dans Aster ............................................................................................................ 21
5.4.1 Paramètres de la mise en oeuvre......................................................................................... 22
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5.4.2 Sous espace d'approximation...............................................................................................22
5.4.3 Stratégie de réorthogonalisation ...........................................................................................22
5.4.4 Implémentation de la phase Lanczos ...................................................................................22
5.4.5 Restoration des approximations pour le problème quadratique ...........................................23
6 Bibliographie .........................................................................................................................................24
Annexe 1 Interprétation des valeurs propres complexes ........................................................................25
Annexe 2 Réductions linéaires ................................................................................................................26
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d
2
u
(
2n
t )
M
d
t
2


.

u

j
+
G

M
(

.
(
k
j
=
x

e
t

+
x
t
1
(
C

+
)
)
(

=

K
=
+

0
E
+

)


(
u
K
(
+
t
E
)
= f ( t )
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1 Introduction
1.1
Position du problème
L'analyse dynamique ou l'étude de la stabilité de l'équilibre d'une structure mécanique conduit, dans le
cadre de la théorie linéarisée, à résoudre l'équation différentielle matricielle du second ordre

M
est la matrice de masse et d'inertie de la structure,
G
est la matrice induite par l'effet gyroscopique (cas des machines tournantes),
est un paramètre réel significatif de la vitesse de rotation,

C
est la matrice d'amortissement induite par des forces dissipatives.
K
est la matrice de rigidité de la structure,
E
est la matrice d'amortissement visqueux interne de la structure,
f
est la force extérieure (qui est nulle dans le cas de la recherche d'équilibre).
1.2
Propriétés des matrices
Les matrices considérées sont à coefficients réels.
Classiquement, on considère :
M
est symétrique (semi-) définie positive,
G
est anti-symétrique,
C
est symétrique,
K
est symétrique non nécessairement définie positive,
E
est anti-symétrique.
Dés lors, on s'aperçoit que la présence simultanée de la matrice d'amortissement et de la matrice
d'effet gyroscopique détruit la symétrie ou l'antisymétrie du terme de vitesse ; pareillement
l'amortissement interne produisant une matrice antisymétrique, détruit la propriété de symétrie de la
matrice de rigidité.
D'autre part, l'introduction de relations linéaires modifie le caractère de positivité des matrices : la
matrice K est indéfinie (à valeurs propres positives ou négatives).
1.3
Problème aux valeurs propres associé
Les solutions cherchées sont de la forme (séparation des variables d'espace et de temps).
u(t) = e t.x avec IC et x ICN



Ce qui nous conduit au problème quadratique aux valeurs propres suivant :
la solution u(t) peut se réécrire sous la forme :
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d

u
dt
(
x
0
X


d
g
)

k

=

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que l'on peut mettre sous forme matricielle :
u(t) = [X] [e t] [k]


[X]
est la matrice modale
[n x 2n]
[e t] est une matrice diagonale
[2nx2n]

[k]
est une matrice unicolonne
[2nx1]
Proposition :
La matrice modale [X] ne peut-être utilisée comme matrice de transformation pour découpler les n
équations du problème quadratique d'origine, ses 2n colonnes ne sont pas linéairement
indépendantes.
Remarque :
On détermine [X], à l'aide des deux identités suivantes :
u(0) = [X] [k]
1.4
Quelques cas particuliers classiques.
Ces cas particuliers ont été longuement étudiés (cf par exemple [MEI.67],[ROS.84])
M
G
C
K
E
valeurs
vecteurs
propres
propres
droits
gauches
conservatif
0
0
0

IR
IR
conservatif

0
0

i IR
=
IC
gyroscopique



=

dissipatif
0
0

IC
=
IC




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Z
u
0

0
u
1
0
x
Z
u


-

u
A

-
K
-1
M
C

x
M
C

=
0
K
.
B


z
.
=

z

=


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2
Réductions à une forme linéaire
On s'intéresse aux possibilités de réduction du problème quadratique en un problème généralisé
équivalent.
Les principes de réduction sont applicables à des matrices quelconques, et si nous considérons le
problème en (M, C, K) ce n'est que pour simplifier l'exposé.
2.1
Réductions à une forme linéaire
Il existe plusieurs méthodes classiques pour transformer le problème quadratique en un problème
généralisé aux valeurs propres.
Nous développerons la méthode qui consiste à introduire la vitesse comme variable auxiliaire :
Pour cela nous introduisons une égalité supplémentaire :
Z (t) - Z (t) = 0
où Z est une matrice non identiquement nulle.
Notre système initial peut alors se réécrire sous la forme matricielle dans un espace de dimension
double de l'espace initial
Et le problème aux valeurs propres associé est sous sa forme inverse
En supposant K et Z régulières, le problème aux valeurs propres généralisé ainsi obtenu peut
formellement se mettre sous la forme standard:
Notation : on pose y = x

La forme standard associée au problème quadratique est indépendante de la matrice réguliére Z
choisie.
Définition
On appellera réduction linéaire du problème quadratique, tout problème généralisé dont tous les
éléments propres ( (x,y )) vérifient :
,

( x) est solution propre du problème quadratique,
·
,
et My = Mx (condition de couplage)
·

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M
y
0
1

0
y
0
T
1
T
QT
C
Q1
M
T
1

QT
K
Q1


x
-
q
(
Q
.
,
A

M
C



-
x
C
t
Q
.
0

=
0
K
M
K

)
.
q

.
(
)
=

+
t

)

= 0
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Proposition :
Si ( (x,y)T) est une solution de l'équation linéarisée et si Z est régulière alors ( ,x) est solution du
pr ,
oblème quadratique.

Ce résultat est immédiat.
2.1.1 Un choix particulier pour la matrice Z : ±M

on prend pour matrice Z la matrice -M du système initial, dés lors le système linéarisé (A.z = B.z)
·
s'écrit :
µ
Si les matrices M, C et K sont symétriques et si la matrice M est régulière, cette réduction linéaire
permet de construire un problème généralisé symétrique.

on prend pour matrice Z la matrice M du système initial, dés lors le système linéarisé (A.z = B.z)
·
s'écrit :
µ
Si M et K sont définies positives alors B l'est aussi, mais la matrice A n'est pas symétrique.
Proposition :
Si on choisit Z = ± M (matrice non identiquement nulle) et si ( ,(x,y)T), avec x non nul, est solution
propre de l'équation généralisé alors ( ,x) est solution propr
e du problème quadratique.

2.1.2 Cas particulier de la matrice M définie positive
Si la matrice de masse est définie positive alors elle admet une décomposition de Choleski
M = QT.Q
Si l'on introduit la transformation linéaire u(t) = Q-1.q dans l'équation de base du problème quadratique
après l'avoir pré-multipliée par Q-T = (Q-1)T , on obtient :
et en définissant v =
l'équation précédente, nous conduit au problème standard aux valeurs
propres A.v = .v avec


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T
M
K
C
x
M
11
0
1
1
1
M
Q

M
R
A
0
B
T
y
M
=
0
Q
R

-
-M

M
R
R
T
R

22

=
M
Q
Q
=


Q
=
=
Q


=
M

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2.1.3 Cas de la réduction symétrique pour une matrice M singulière
Dans ce paragraphe nous supposons les matrices M, C et K symétriques.
Si M est singulière et si la valeur propre est semi simple alors il existe une matrice orthonormale Q
telle que.
0
En effet, la valeur propre étant semi-simple , le noyau de M admet une base constituée de vecteurs
propres. Cette base est c 0
omplétée et orthonormalisée. La matrice Q admet pour vecteurs colonnes les
vecteurs de cette base.
Notons que M11 est symétrique (car M l'est) et régulière.
On introduit alors une régularisation de la matrice M représentée par la matrice MR et définie par :
où M22 est une matrice symétrique régulière (par exemple la matrice identité).
Propriété :
Le problème généralisé associé aux matrices

est une réduction linéaire symétrique du problème quadratique.
Démonstration :

la symétrie est assurée par construction.
· les matrices "tildées" vérifient
·
donc
, soit encore
Or si
est un vecteur propre associé à la valeur propre du problème généralisé on a

MR y = Mx, donc My = M
Mx. La condition de couplage est établie.



Supposons que le sous-vecteur x du vecteur propre
soit nul. Alors l'équation
·
MR y = Mx conduit à y = 0 car MR est régulière, ce qui est absurde.

La condition x 0 est donc établie.
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x

T
M
1
C
K
x
1
i
T
y
-M
R
-1
M
0
x
i
,


M
j
-

y


.
i

,
y
i

i
+

j

x
x
C
j
a
i

j

x
i
+
b



ij

a
i
b
+
i


ij
K
i


ij
=
A
B



.
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Remarque : Interprétation de la matrice régularisée MR :
Cette réduction linéaire symétrique se distingue de celle présentée précédemment par la
substitution de M par MR dans la matrice A.

Dans le cas où M est singuliére, cette substitution impose au vecteur y d'avoir une composante
nulle dans le noyau M. Ainsi la réduction linéaire symétrique conduit à un problème généralisé

posé dans le sous espace des
IR2n tels que y ker M - {0}.


Si K est régulière, le problème généralisé précédent admet une forme inverse standard
équivalente.

2.2
Propriété d'orthogonalité des vecteurs propres
Il est immédiat de montrer que les modes propres complexes vérifient les propriétés d'orthogonalité
issues du problème généralisé suivant si les matrices A et B sont symétriques :
Si l'on développe les expressions précédentes, en tenant compte des réductions linéaires utilisées on
obtient les expressions :
Remarque :

La première égalité est indépendante de la régularité de M,
· la seconde égalité s'obtient directement dans le cas où M est régulière et s'établit sinon en
·
utilisant le changement de base de la régularisation de M.
Les modes du problème quadratique ne sont donc pas M, C ou K orthogonaux.
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b
0
z
i
2

1

b
2
z
i
)


1

f

(
b
0
z
i

1
2


=
-
+
b
2

z
i
)
=

1

=
-
2


1
2
f
+
(

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3
Méthode de déterminant
3.1 Généralités.
La recherche de zéro du polynôme caractéristique, d'un problème quadratique aux valeurs propres,
pose les problèmes inhérent aux polynômes de la variable complexe à valeurs complexes.
Ne disposant pas de relation d'ordre dans IC, les méthodes usuelles, à deux points, de type dichotomie
ou sécante sont inapplicables.
Nous présentons ici la méthode la plus "populaire" pour la recherche de zéro de polynômes de la
variable complexe à valeurs complexes, la méthode de Muller.
3.2
Méthode de Muller.
La méthode proposée par Muller [MUL.56] est une méthode itérative utilisant comme courbe
d'interpolation une parabole à axe horizontal.
Cette méthode est relativement aisée à mettre en oeuvre mais elle se prête mal aux recherches de
zéros de fonctions réelles à racines réelles, car elle plonge l'interpolation dans le plan complexe et ceci
même en partant de valeurs réelles.
Son intérêt est lié à la classe de cette méthode "les méthodes par courbes d'interpolation", à savoir :

la sureté de la méthode par dichotomie, puisque la recherche s'effectue dans une boule "se
·
réduisant" progressivement,
que seul le calcul de la fonction est nécessaire (pas de calcul de dérivée comme dans la
·
méthode de Newton),

la convergence s'apparente à une convergence quadratique.
·
La méthode la plus répandue des méthodes par courbes d'interpolation est la méthode à deux points dit
de la sécante.
3.2.1 Développement de la méthode
Notons f(z) = a0zn + a1zn-1 + ... + an l'équation algébrique dont on recherche les zéros, les ai sont
complexes et nous supposons a0 non nul.
La formule d'interpolation quadratique de Lagrange nous donne :
Li(f(z)) = b0z2 + b1z +b2
et nous considérons la courbe qui passe par les trois derniers points (itérés) :
(zi, f(zi)), (zi-1, f(zi-1)), (zi-2, f(zi-2))
et donc les coefficients b0,b1 et b2 vérifient :
et en posant
et
et
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L
i
f

2
)
(
f(
z
i
z
i
)

2
z

2

f
)
f
1
(
(
i



)
2
g
z

f(
z
i
-
z
i
)

2

+
=
±
f(
)

i

2
-
+


)
1
)

i

f
1
4
2
+
(

(
+
f

(
f

f
(

(

+
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on peut réécrire la formule d'interpolation de Lagrange
le nouveau point est :zi+1 = z
On peut résoudre l'équation du second degré en , nous obtenons alors :

en prenant l'inverse de la solution classique d'une équation du second degré :
avec
A partir de i+1, on obtient :
hi+1 = i+1 hi ,

zi+1 = zi + hi+1 qui est un zéro de l'équation.
Le signe du dénominateur est alors pris de tel sorte qu'il soit de plus grand module possible et donc de
tel sorte que i+1 soit de plus grand module possible, et finalement zi+1 sera le racine la plus proche de

zi
Remarque :
Muller [MUL.56] propose un processus d'initialisation en utilisant :
les valeurs "arbitraires" z0 = -1., z1 =1., z2 = 0.
et les valeurs
an + an-1+ an-2
pour f(z0)
an - an-1+ an-2
pour f(z1)
an
pour f(z2)
Ce choix de valeurs conduit alors à considérer :
L2(f(z)) = = an + an-1z +an-2z2
qui est une approximation de f(x) au voisinage de l'origine.
L'avantage de ce processus de démarrage est qu'il ne requière aucune évaluation du polynôme f(x) et
qu'il est donc rapide.
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z
i

f
k
(
h
z
f
k
i


1
)
(

z
1
2
)

z
i
f

h
l
t


k
=
(
z
i
)
-
<
z-
z
i

=
1

-

1
,
=
2
k

+

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3.2.2 Convergence de la méthode
Proposition : Considérer que la convergence est assurée dès que
pour donné est un
critère acceptable.

Montrons d'abord que lors du déroulement de l'algorithme les trois itérés successifs sont distincts.
Si ce n'était pas le cas, en supposant que zi = zi-1 et que xi soit le 1er itéré pour lequel on ait
convergence et donc
.
Si l'on suppose que z

i = zi-2, on aurait alors i et i+1 identiquement nuls et donc on aurait zi+1= zi


d'où contradiction.
Puis en constant que la différence entre deux itérés ne peut que décroître, on obtient le résultat
annoncé.
3.2.3 Application de la méthode pour la recherche de valeurs propres
3.2.3.1 Développement
Soit à déterminer les valeurs propres du système ( 2M+ K+C)x = 0 ,
Nous recherchons donc les zéros du polynôme ca
ractér
istique que nous notons
f(z) = dét(z2M + zK + C)
Pour calculer en séquence les zéros du polynôme, nous utilisons une technique de déflation.
Dès lors le polynôme considéré est :

sont les k zéros déjà calculés.
L'utilisation de l'algorithme est immédiate, et nous profitons de cette adaptation pour le formuler de
façon légérement différente.
Notons
la valeur de la fonction à interpoler au point zi lors de la recherche du kième zéros.
Il est alors pratique, pour l'implémentation, de faire apparaître quelques quantités intermédiaires :
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2
f
i

f
i
t
2

2
1

i

g
0
f
1
±
2
z
+
,

g
1

i
=
-
f

t
0
l
.
h
R
1
i

,
+
=
-
e
Im
z
i

i

1
0
1
4

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l'itéré li+1 cherché étant solution de :
avec
On en déduit :
le signe du dénominateur étant pris de telle sorte que li+1 (et donc hi+1) soit de plus petit module
possible
par suite
Pour converger vers les valeurs propres à partie imaginaire positive (et donc à fréquence positive ), on
prend
Remarque sur la déflation :
Lorsque les valeurs propres apparaissent par paires conjuguées, il faut également éliminer la
conjuguée des valeurs propres trouvées et qui physiquement correspond à une fréquence négative

3.2.3.2 Coût de la méthode en terme de factorisation
A chaque itération de la méthode on fait :
Partie algèbre matricielle (évaluation du polynôme caractéristique)

une combinaison linéaire de trois matrices
O(n2)
· une factorisation LDLt de la matrice combinée
O(nb2), b largeur de
·
bande

le produit des termes diagonaux divisé par la déflation
O(n)
·
Partie méthode :

les opérations de la méthode à proprement parlé
O(1)
·
De plus il convient d'ajouter, en guise de prise en charge (puisque c'est une méthode à trois points)
deux fois la partie évaluation du polynôme caractéristique.
Globalement cette méthode coûte (i+2) factorisations, pour une solution calculée en i itérations.
Le coût de cette méthode est tel, qu'elle doit être réserver à des petits systèmes (cas de mise au point)
ou lorsqu'il est important d'avoir une très grande précision sur la fréquence cherchée.
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0

2
y
x
s
M
C

y
2

M
1


K
1
K



-
M
-1
K
-

µ

2
)

-1
y

-1
K
-
M
C

s
x
=
.
M
C

D(

)
-1
.
D
D(

)
-
2
µ

-
C

=

+
-
x
s
M

M
C
(
1
M)


1
+
y
-
2

1
2
-
+
K

K
-

K
2

=


0


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Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
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D. SELIGMANN, R. MICHEL
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4
Méthodes d'itération inverse
La méthode d'itération inverse s'étend immédiatement au problème quadratique en utilisant sa forme
"linéarisée".
La linéarisation du problème quadratique n'étant pas unique, il existe plusieurs variantes.
4.1
Méthode d'itération inverse proposée par Wilkinson
Wilkinson [WIL.65] propose de ramener le problème quadratique au problème standard suivant
En supposant M inversible, et en posant y = x

Etant donné une approximation de la valeur propre cherchée, on peut définir le processus itératif
suivant :

De l'équation matricielle, nous déduisons un système d'équations à deux inconnus (ys+1,xs+1) et par
combinaison de ce système nous déduisons l'expression de ys+1 et de xs+1.
4.2
Variante développée par Jennings
Lorsque M et/ou K sont singulières, on obtient une équation quadratique stable et équivalente en
introduisant un paramètre auxiliaire
pour un décalage spectral de .

En remplaçant par
dans l'équation quadratique, on obtient le problème quadratique en :

µ
En notant
la matrice dynamique qui est régulière par construction, on se
ramène au problème standard tel qu'il est proposé par Wilkinson tout en posant y = x
µ
Cette équation est stable dans le sens où pour strictement positif.
Ce procédé permet donc de "régulariser µ <
" les 1
ordres de grandeurs des matrices M,C, et K à travers la
matrice dynamique D( ).

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x
n
T
C
x
n
M

1
D(
0
)
0
2
T
K
1

C
MM
±
1

4


y
n

x

0
-
.

-
=
y
n
x
M
D(

0
)
x
n

+

0



2 x
T
1

-
M
+
M
x
n

1
C
.

-
.


M
.

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4.3
L'algorithme d'itération inverse d'Aster
4.3.1 Mise en oeuvre
Cet algorithme est disponible dans Aster par l'opérateur MODE_ITER_INV.
Soit 0 une valeur approchée de la valeur propre cherchée, on construit la matrice dynamique D( ) que


l'on factorise sous forme LDLt.
On initialise le processus itératif par les vecteurs suivant :
x0 = {(1, 0)}
y0 = 0 x0

le processus itératif pour obtenir le n-ième itéré :

Normalisation de xn-1 et yn-1 pour éviter les débordements de capacité :
·

Résolution de :
·

Calcul de yn à partir de xn :
·
Evaluation
de
n :
·

Ce schéma peut se mettre sous la forme matricielle :
4.3.2 Critère
d'arrêt
Nous utilisons un résultat simple [GOH.&al.86] relatif aux polynômes de matrices de la forme :
D( ) = M 2 + C +K



Soit o une valeur propre de l'opérateur D( ) et xo un vecteur propre associé non nul vérifiant D( o)xo



= 0 alors nous avons l'égalité :
Le critère d'arrêt se fait sur la variation relative de 0

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K
0
x
1
1
C
M
A
0





-M
R

y


-M
0

=
-
=

B

B
z

=
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5
Méthode Lanczos appliquée au problème quadratique
Dans ce chapitre nous supposons les matrices M, C et K réelles symétriques, de sorte que le problème
quadratique associé peut être réduit à une forme linéaire symétrique Az = Bz



MR est une matrice régulière déduite de M qui coïncide avec M si cette dernière est régulière.
On cherche à développer une méthode préservant globalement l'arithmétique réelle de façon à obtenir
un problème réduit réel.
5.1
Choix d'un problème à approcher
5.1.1 Forme inverse standard
On cherche une approximation des couples ( ,x) d'éléments propres du problème quadratique qui
correspondent aux valeurs propres proches
d'un décalage complexe = +i donné.
L'approximation de Galerkin du pr
oblème spectral d'un opérateur

S dans
un s
ous-espace de Krylov Km
= span(r0, Sr0, ., Sm-1 r0) permet d'approcher les couples d'éléments propres de l'opérateur S
correspondant aux valeurs propres de plus grands modules.
Le passage à la forme standard inverse après décalage spectral de du problème généralisé
précédant, fournit le problème spectral :

(A - B)-1 B z = z


Ce problème admet les mêmes vecteurs propres que le problème généralisé et des valeurs propres
liées à celles du problème généralisé par la relation :

Ainsi, une approximation de Galerkin du problème spectral de l'opérateur :
S = (A - B)-1 B =

dans le sous espace de Krylov Km = span(r0, Sr0, ., Sm-1 r0) fournit l'approximation des couples
d'éléments propres du problème quadratique cherchée.
5.1.2 Stratégies de décalage
L'opérateur S précédent étant complexe, il appelle de façon naturelle l'utilisation de l'arithmétique
complexe. Il est néanmoins possible d'utiliser l'arithmétique réelle pour approcher les couples
d'éléments propres auxquels on s'intéresse. Il suffit d'utiliser un opérateur réel de même vecteurs
propres et dont les valeurs propres de plus grand module correspondent à celles du problème
quadratique les plus proches de .
La technique de double déc

alage spectral par et proposée par Francis dans le cadre de la méthode
QR permet de construire un tel opérateur

noté lui aussi S :
S = [(A - B) (A- B)]-1 B = [AB-1A - 2 A + I I2 B ]-1 B



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1
2


1

1

µ
-

1

2

2i

1


-

1

2i

-
=
-



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L'inconvénient majeur de cette technique est le remplissage de la matrice
AB-1A - 2 A + I I2 B dans le cas où B n'est pas diagonale.


Parlett et Saad [PAR.SAA.87] proposent une alternative qui utilise la partie réelle ou la partie imaginaire
de l'opérateur (A - B)-1B :

S+ = Re [(A - B)-1B]

S- = Im [(A - B)-1B]

dont les valeurs propres notées respectivement + et - sont liées aux valeurs propres du problème
µ
µ

quadratique par les relations :
+ et réalisent le maximum de leur module au voisinage de et .
µ
µ

Cette approche préserve globalement l'arithmétique réelle et évite l'inconvénient de la technique de
Francis, si le calcul d'un vecteur S± v, où v est réel, est effectué en arithmétique complexe.
En notant que :
Re [(A - B)-1B] = [(A - B)-1 + (A- B)-1] B


Im [(A - B)-1B] =
[(A - B)-1 - (A- B)-1] B


Cette approche peut être interprétée comme une technique de double décalage somme, par opposition
à l'approche du double décalage produit proposé par J-C.F. Francis.
5.2 Méthode
d'approximation
Désormais S désignera l'un des opérateurs réels S+ ou S- , une de ses valeurs propres et P la
µ
matrice d'un pseudo-produit scalaire (c'est à dire une forme bilinéaire symétrique non nécessairement
définie positive).
5.2.1 Problème approché et algorithme de Lanczos
Lorsque S est auto-adjoint pour le pseudo produit scalaire induit par P, c'est à dire
(u, Av)P = (Au, v)P u, v IR2n ,


la méthode de Lanczos est utilisée pour générer une base du sous espace de Krylov Km.
Le problème spectral est alors approché par projection P-orthogonal sur Km et le problème réduit ainsi
obtenu est représenté dans la base des vecteurs de Lanczos par une matrice tridiagonale réelle d'ordre
m.
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j
1
2
1
2
\
1
q
1

r
j

T
m

r
0
, r
j
P
+
\

m

=
,
r
0
P

1

r
j


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La méthode de Lanczos étendue aux pseudo-produits scalaires est définie par les formules de
récurrence suivantes Cf [R5.01.01] :

ro = arbitraire
·

o = , qo =
·

0
0
1 = Signe ((ro,ro)P)
1 =


0

pour j = 1, 2,..., m
·
j
=
(qj, Sqj)P

rj
=
Sqj - j j qj- j-1 j qj-1


j+1
=
signe ((rj,rj)P)
j+1 =

qj+1 =
Si on note Qm la matrice 2nxm des vecteurs de Lanczos qj ces formules s'écrivent sous la forme
matricielle réelle suivante :
Q T
m P Qm = Jm = diag ( 1, ..., m)


S Qm - Qm Jm Tm = m+1 m+1 rm em T avec em T = ( , ..., , 1)


0
0
Tm la matrice tridiagonale réelle symétrique m x m :
Le produit Jm Tm est une matrice tridiagonale nonsymétrique dés que Jm n'est pas proportionnelle à
l'identité.
Les deux relations matricielles précédentes permettent d'écrire :
Q T
m P [ S Qm - QmJmTm] = 0
L'application de cette relation à un couple ( (m), s(m)) IC x ICm d'éléments propres de l'opérateur
représenté par la matrice J
µ

mTm donne :
Q T
(m)
m P [ S Qm s(m) -
Qm s(m)] =
µ
0
qui caractérise le couple ( (m), z(m) = Qm s(m)) IC x IC2n comme approximation de Galerkin par
µ

projection P-orthogonal sur Km d'un couple d'élément propre de l'opérateur S.
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0
D
x
1
0
C

u
4
)
1


M
R
I
e
m

(
z
A

B

M
R
0

y
B
-1
M
0


M
R
C
-1
M
u
4
)
-
M
R
-1
=
-

-1

M
-1

+

M
(
I

x
m
=
-
D


-


R
e
(
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5.2.2 Choix d'un pseudo produit scalaire
La symétrie des matrices A et B assure
que les formes bilinéaires associées aux matrices Re[(A - B)-1]-1, Im[(A - B)-1]-1 et B sont des
pseudo-produit scalaire,


que l'opérateur partie réelle S+ (respectivement partie imaginaire S- ) est autoadjoint pour le
pseudo-produit scalaire induit par Re[(A - B)-1]-1ou par B (respectivement par Im[(A - B)-1]-1 ou par
B).


Les pseudo-produits scalaire induits par Re [(A - B)-1]-1 et Im[(A - B)-1]-1 sont des extensions du
produit scalaire utilisé dans la variante de Pipano-
Neuman de l'algor

ithme Lanzcos.
Dans le cas où la matrice M est singulière, le pseudo produit scalaire induit par B fait des vecteurs
où y Ker M, des vecteurs quasi-nuls. Cet inconvénient existe aussi dans le cas des
pseudo-pr

oduits scalaires de type Pipano-Neuman (notamment si la matrice du pseudo-produit scalaire
admet des valeurs propres de somme nulle), mais l'occurrence d'un tel événement est rare dans la
pratique.

5.3
Application au Problème quadratique
L'utilisation de cette approche demande, à la méthode de Lanczos, le calcul des vecteurs réels Sz et
Pz pour z IR2n.

5.3.1 Opérateur
spectral
Soit la matrice dynamique D( ) associée au décalage spectral = + i définie par:

2


D( ) =
M + C + K



Si D( ) est régulière alors l'opérateur complexe (A - B)-1B peut s'écrire sous la forme


Le calcul de Sz pour S = Re [(A - B)-1B] et S = Im [(A - B)-1B] peut être effectué sans détruire la
structure creuse des matrices si l'ar
ithmétique complexe es
t partiellement utilisée dans l'algorithme :

Préparation en arithmétique complexe
·
former
D( ) = 2 M + C + K
- factoriser
D(
) sous
la forme LDLT

-
Calcul de Sz

·

u1 = Cx u2 = Mx u3 = My
dans IR
- u4 = D( )-1 u1+ u2 +u3
dans IC
-



suivant le choix de l'opérateur on obtient :
-
S+ z = Re [(A - B)-1B] z =

S- z = Im [(A - B)-1B] z =

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0
D
1
K
x
1
0
C
1
2

2
M
1
n
1


M
M
C


K
A

B

=
M
R

-

2
o
y



-1
M
0

-
0

M
R
C
-M
-1
B
B
ù
x

-
-1

M
-1


+

M
-M
C
+
-2

M

,
IR
k

+
z
y
e
D
K

z
y
r
C

=

M

=
B
-

z
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5.3.2 Opérateur de pseudo produit scalaire

Choix P = B
·
Ce choix est valable pour les opérateurs obtenus en approche partie réelle ou partie
imaginaire.
Les calculs peuvent être menés sans assemblage de B et en arithmétique réelle.

Choix P = Re [(A - B)-1] -1
·

Ce choix correspond à l'approche en partie réelle de l'opérateur S.
Si la matrice dynamique D( ), où est la partie réelle de est régulière alors l'opérateur réel
(A - B)-1B est défini par :

,

et le pseudo-produit scalaire s'écrit:
Re [(A - B)-1]-1 = (A - B) + 2 B (A - B)-1B




Dès lors le calcul de Pz peut s'effectuer comme celui de Sz en utilisant exclusivement
l'arithmétique réelle.
Cette approche nécessite l'emploi d'une matrice réelle auxiliaire pour stocker la factorisée de
la matrice dynamique D( ).


Choix P = Im [(A - B)-1] -1
·

Ce choix correspond à l'approche en partie imaginaire de l'opérateur S.
Formellement nous avons:
Im [(A - B)-1] -1 = [(A - B)B-1 (A- B) + 2 B B-1 B]




La matrice B est régulière sous la condition nécessaire et suffisante que M le soit et
On obtient alors :
Im [(A - B)-1] -1

Si M est singulière, on peut établir cette égalité en définissant une pseudo-inverse
de B
par

Le calcul de Pz peut alors s'effectuer sans assembler explicitement la matrice P et en utilisant
exclusivement l'arithmétique réelle.
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5.3.3 Coût de la phase Lanczos
Le coût mémoire correspond à l'allocation de vecteurs supplémentaires (3 réels et 1 complexe ou réel)
et à l'allocation des matrices dynamiques utilisées pour le calcul des opérateurs S et P.
Le tableau suivant résument ces allocations
= 0
= IR*
= i i IR
= i IC




+
Approche
S
K IRnxn
D( ) IRnxn
D( ) ICnxn
D( ) ICnxn
partie
P = B
-
-
-
-
réelle
P = Re (A -1)-1
-
-
K IRnxn
D( ) IRnxn

Approche
S


D( ) ICnxn
D( ) ICnxn
partie
P = B
-
-
Imaginaire
P = Im(A -1)-1
-
-

Le coût en opération se divise en un coup fixe et un coup dépendant du nombre de vecteur de Lanczos
à calculer.
Le coût fixe correspond à la factorisation LDLT des matrices supplémentaires (effectuée dans
l'arithmétique associée) et vaut O(b2n) si b est la largeur de bande commune aux matrices M, C et K.
Le calcul d'un vecteur de Lanczos demande :

2 produits scalaires de vecteur de IR2n :
2
O(2n)
· 1 combinaison linéaire de 3 vecteurs de IR2n :
3
O(2n)
· le calcul de Sz :
·
3 produits matrice-vecteur dans IRn :
3
O(2bn)
1 combinaison linéaire de 3 vecteurs dans ICn :
3
O(2n)
1 descente-remontée dans ICn :
O(2bn)
1 produit scalaire -vecteur dans ICn :
O(n).

Le calcul de Pz
·
Pour P = B :
3 produits matrice-vecteur dans IRn :
O(2bn)
Pour P = Re (A -1)-1:

5 produits matrice-vecteur dans IRn :
5
O(2bn)
2 combinaisons linéaire de 3 vecteurs de IRn :
6
O(n)
1 descente remontée dans IRn :
O(2bn)
1 combinaisons linéaires de 5 vecteurs de IRn :
5
O(n)
Pour P = Im (A -1)-1:

6 produits matrice-vecteur dans IRn :
6
O(2bn)
2 combinaisons linéaires de 4 vecteurs de IRn :
8
O(n)
Globalement le cout de la phase Lanczos est en O(b2n) + 10 m O(2bn).
5.4
Mise en oeuvre dans Aster
Les matrices M et C sont symétriques semi-définies positives et la matrice K est symétrique régulière
indéfinie. Le pseudo produit scalaire retenue correspond à l'extension de celui proposé par Neuman et
Pipano [R5.01.01].
Cet algorithme est disponible dans Aster par l'opérateur MODE_ITER_SIMULT.
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b
r
0
h
b
r
0

,

r
0
b
=

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5.4.1 Paramètres de la mise en oeuvre
Le problème spectral à opérateur réel est paramétré par :

valeur du décalage spectral IC,
· le choix de Re (A -1B)

ou de Im(A -1B)
·


Le pseudo produit scalaire est alors Re (A -1)-1 ou Im(A -1)-1 et les allocations et factorisations des


matrices supplémentaires sont effectuées a minima en type et nombre, ceci en accord avec le tableau
du paragraphe [§5.3.3].
5.4.2 Sous espace d'approximation
Le vecteur r0 IR2n engendrant le sous espace d'approximation se décompose en


Rn ; le choix retenu consiste à poser = 0 et à tirer aléatoirement les composantes de ,

tout en lui imposant des composantes nulles dans ker M.
Si la dimension du sous espace n'est pas précisée, elle est calculée par la formule empirique :
m = 2 Min (Max (p+7), 2p, n)
où p est le nombre de couples d'éléments propres à approcher.
la dimension du sous-espace d'approximation sont doublées car les couples d'éléments propres
complexes se présentent par paires conjuguées.
5.4.3 Stratégie de réorthogonalisation
L'utilisation de l'arithmétique à précision finie, détériore les propriétés d'orthogonalité des vecteurs de
Lanczos et avec elles le taux de convergence des couples approchés.
La stratégie de réorthogonalisation complète assure l'orthogonalité de tous les vecteurs de Lanczos, et
l'algorithme a alors un comportement proche de celui en arithmétique exacte.
Cette stratégie de réorthogonalisation impose de conserver les vecteurs P.qj j= 1,...,m.
La réorthogonalisation des vecteurs est effectuée par le procédé de Gram-Schmid modifié cf.
[R5.01.01].
5.4.4 Implémentation de la phase Lanczos
L'implémentation choisie est celle décrite dans [R5.01.01] dans le cadre du probléme généralisé.
El e se résume par :
Entrées
:
·

les matrices P et S : c'est à dire les matrices M, C et K et la factorisée LDLT des matrices
-
dynamiques supplémentaires.

m le nombre de vecteurs à générer,
- r0 le vecteur engendrant le sous espace de Krylov,
- la précision d'orthogonalisation et le nombre maximale de réorthogonalisation autorisée.
-
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(
m
(
)
m
)

j
,
µ
x


n
s

x
j
s

=
O

Q
m

s
j



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Sorties
:
·

les vecteurs de Lanczos (q1, q2, ..., qm),
- la diagonale ( 1, 2, ..., m) et la sur-diagonale ( 1, 2, ..., m) de la matrice tridiagonale
-




Tm

le vecteur ( 1, 2, ..., m) des pseudo produits scalaires des vecteurs de Lanczos.
-


Algorithme :
·

Génération du premier vecteur q1 et des coefficients 1, 1 et 1
-



Boucle de génération de qj, j , j et j pour J = 2, ..., m
-


Pour j = 2,3, ..., m faire
Calcul de la direction de qj
Normalisation de qj , calcul de j et stockage de Pqj

Réorthogonalisation si nécessaire par rapport à qj pour i = 1,..., j-1
Réactualisation de qj, j , j et j en cas de réorthogonalisation,


Calcul de j et j


5.4.5 Restoration des approximations pour le problème quadratique
Les approximations
des couples propres du problème quadratique se déduisent des
couples propres
de la matrice JmTm par :

extraction de la partie "haute" du vecteur.
·
choix
de , racine de l'équation du second degré liant
à
qui vérifie la condition de
·
couplage M [O n ] Qm
=
M

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6 Bibliographie
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[CUL.WIL.85] J.K.CULLUM & R.A.WILLOUGHBY, Lanczos algorithms for large symetric
eigenvalue computations - VOL1 Theory, Birkhäuser, 1985.
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with a parameter, Advances in applied mathemetics 7, pp253-281, 1986.
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[JEN.77] A.JENNINGS, Matrix computation for engineers and scientists, John Wisley & Sons,
1977.
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[MEI.67] L. MEIROVITCH, Analytical methods in vibrations, The MacMillan Co. N.Y., 1967.
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[MUL.56] D.E. MULLER, A method for solving algebraic equations using an automatic
computer, Math. Tab. Wash. Vol 10, pp 208-215,1956.
[6]
[PAR. SAA.87] B.N. PARLETT & Y. SAAD, Complex shift and invert strategies for real
matrices, Linear algebra and its applications N°88/89, pp575-595, 1987.
[7]
[ROS. 84] M. ROSEAU, Vibrations des systèmes mécaniques, méthodes analytiques et
applications, Masson, 1984.
[8]
[WIL.65] J.H.WILKINSON, The algebraic eigenvalue problem, Oxford University Press,
London 1965.
[9]
[R5.01.01] D. SELIGMANN - Algorithmes de résolution pour le problème généralisé aux
valeurs propres. Note EDF- HI-75/7815 - Documentation Aster [R5.01.01].
Manuel de Référence
Fascicule R5.01 : Analyse modale
HI-75-7816/A

i
T

c
2
C
i
K
k
2
Re
i





i
*
T

m




d
k
,
M

i

=
m
±


2

i

i

±

1
i

i
c
i

=
i

i

+
+
1-

i
-
e
i

i


=
-
i
t

=
2

2



R e
Code_Aster ®
Version
2.0
Titre :
Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
Date :
19/06/92
Auteur(s) :
D. SELIGMANN, R. MICHEL
Clé :
R5.01.02-A
Page :
25/26
Annexe 1 Interprétation des valeurs propres complexes
Dans le cas d'un amortissement symétrique et en absence d'amortissement interne, des relations
d'orthogonalités et du fait que les éléments propres apparaissent par paires conjuguées, on a les relations
suivantes:
Si l'on note
, on peut alors définir :
et l'on peut écrire la valeur propre complexe sous la forme suivante :
pour laquelle on peut donner une interprétation physique de la valeur propre
La partie imaginaire représente la partie oscillatoire de la solution
est la pulsation du i-ème mode
le terme réel représente le caractère dissipatif du système
est l'amortissement du i-ème mode,
est l'amortissement réduit du i-éme mode.
Interprétation physique des vecteurs propres :

La signification physique de l'existence d'un vecteur propre complexe, réside dans le fait que si la
·
structure vibre sur un mode propre, ses différents degrés de liberté ne vibrent pas avec la même
phase les uns par rapport aux autres.
Les ventres et les noeuds modaux ne correspondent pas des points stationnaires, mais se
·
déplacent au cours du mouvement.
Remarques :
on retrouve la formulation classique des systèmes amortis à 1 degré de liberté
·

sont réels et sont bien des quantités intrinsèque à un mode (quantités modales) et
·
dépendante de la normalisation du mode.
Nous rappelons que les modes du problème quadratique ne diagonalisent pas les matrices M,K et
C.
Remarque sur le terme réel de la valeur propre :
Si la partie réelle de la valeur propre est négative, alors le mode propre est un mouvement
·
périodique amorti de pulsation
Si la partie r

éelle de la valeur propre est positive , alors le mode propre est un mouvement
·
périodique d'amplitude croissante et donc instable.
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2
M
0

1
C
C

x
M
0
0
n
M
1

K
K


x
1
0


M
C
0


n

.

-K

+
K

x

C

K
2n
-K
-1
M

-
+

0



-1
C
0
=

x
=
K

0
=
0

0
Code_Aster ®
Version
2.0
Titre :
Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
Date :
19/06/92
Auteur(s) :
D. SELIGMANN, R. MICHEL
Clé :
R5.01.02-A
Page :
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Annexe 2 Réductions linéaires
forme
problème
quadratique
généralisé
(1)
généralisé
(2)
standard
(1)
standard
(2)
Remarque : pour obtenir les formes standards il faut supposer :

M et K réguliéres pour la forme (1)
· M régulière pour la forme (2)
·
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