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7.4
Titre :
Modélisation des excitations turbulentes
Date :
05/04/05
Auteur(s) :
A. ADOBES, L. VIVAN Clé
:
R4.07.02-B Page
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Organisme(s) : EDF-R&D/MFTT, CS
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
Document : R4.07.02
Modélisation des excitations turbulentes
Résumé :
On décrit la modélisation des excitations turbulentes disponible dans Code_Aster et la manière dont ces
dernières sont prises en compte dans un calcul de dynamique. Les excitations turbulentes sont caractérisées
par une densité spectrale d'efforts, spécifiée à l'aide de l'opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31]. Leur prise en
compte dans un calcul de dynamique se fait par projection du spectre sur la base modale de la structure dont
on veut calculer la réponse. Les opérations de projection sont effectuées à l'aide de l'opérateur
PROJ_SPEC_BASE [U4. 63.14].
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Table
des
matières
1 Principe du calcul...................................................................................................................................3
1.1 Détermination d'une base modale du système sous écoulement et projection de l'excitation .......3
1.2 Calcul de la réponse à l'excitation turbulente : résolution fréquentielle ..........................................4
1.2.1 Introduction.............................................................................................................................4
1.2.2 Calcul des interspectres d'excitations modales .....................................................................4
1.2.3 Calcul des interspectres de réponse modale.........................................................................4
1.2.4 Recombinaison sur base physique ........................................................................................5
1.2.5 Eléments statistiques..............................................................................................................5
1.3 Calcul de la réponse à l'excitation turbulente : résolution temporelle .............................................6
1.3.1 Factorisation de la densité interspectrale...............................................................................6
1.3.2 Génération des excitations modales aléatoires .....................................................................6
1.3.3 Modification d'une base modale et projection ........................................................................6
1.3.4 Définition des obstacles .........................................................................................................6
1.3.5 Résolution dynamique............................................................................................................6
1.3.6 Projection de Ritz ...................................................................................................................6
2 Modèles d'excitation turbulente applicables aux structures filaires.......................................................7
2.1 Principes généraux ..........................................................................................................................7
2.1.1 Hypothèses.............................................................................................................................7
2.1.2 Calcul des interspectres d'excitations modales .....................................................................7
2.2 Spectres de type "longueur de corrélation" .....................................................................................9
2.2.1 Mots-clés ................................................................................................................................9
2.2.2 Définition du modèle...............................................................................................................9
2.2.2.1 Densité interspectrale ................................................................................................9
2.2.2.2 Modélisation du spectre de turbulence par une expression à variables séparées..10
2.3 Modèle d'excitation turbulente répartie..........................................................................................17
2.3.1 Mots-clés ..............................................................................................................................17
2.3.2 Décomposition sur une famille de fonctions de forme .........................................................17
2.3.3 Mise en équations ................................................................................................................18
2.3.3.1 Application d'une excitation turbulente répartie .......................................................18
2.3.3.2 Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1.....................................18
2.3.3.3 Projection de l'excitation sur base modale ..............................................................19
2.4 Modèle d'excitation turbulente localisée........................................................................................21
2.4.1 Mots-clés ..............................................................................................................................21
2.4.2 Fondements..........................................................................................................................21
2.4.3 Mise en équations ................................................................................................................22
2.4.3.1 Application d'une excitation turbulente localisée .....................................................22
2.4.3.2 Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE2.....................................24
3 Bibliographie ........................................................................................................................................25
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1
Principe du calcul
1.1 Détermination d'une base modale du système sous écoulement et
projection de l'excitation
Le calcul de la réponse dynamique d'un système à une excitation turbulente induite par un écoulement
fluide s'effectue en respectant les étapes suivantes :
1) dans un premier temps, on calcule la base modale du système hors écoulement à l'aide de
l'opérateur MODE_ITER_SIMULT [U4.52.03],
2) on définit ensuite les caractéristiques de la configuration étudiée, pour prise en compte du
phénomène de couplage fluide-structure, à l'aide de l'opérateur DEFI_FLUI_STRU [U4.25.01].
Cet opérateur permet par exemple de renseigner les profils de vitesse associés aux zones
d'excitation fluide, pour des configurations du type "faisceau de tubes sous écoulement
transverse". Il produit un concept de type [type_flui_stru] destiné à être utilisé par les
opérateurs mis en oeuvre en aval dans le fichier de commandes,
3) les caractéristiques modales du système sous écoulement sont alors calculées à l'aide de
l'opérateur CALC_FLUI_STRU [U4.66.02]. On dispose en sortie d'une base modale pour
chaque vitesse d'écoulement,
4) la définition de l'excitation turbulente se fait ensuite par un appel à l'opérateur
DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31]. Les modélisations disponibles sont les suivantes :
·
spectres de type "longueur de corrélation", spécifiques des configurations du type
"faisceau de tubes sous écoulement transverse", pour l'application aux vibrations de
tubes de GV. Les mots-clés facteurs correspondants sont SPEC_LONG_COR_1,
SPEC_LONG_COR_2, SPEC_LONG_COR_3 et SPEC_LONG_COR_4. Ces spectres sont
prédéfinis ; toutefois, l'utilisateur peut en ajuster les paramètres. Cette partie est
développée au paragraphe [§2.2],
·
modèle d'excitation turbulente répartie. Le mot-clé facteur correspondant est
SPEC_FONC_FORME. Le spectre d'excitation est défini par sa décomposition sur une
famille de fonctions de forme en fournissant, d'une part une matrice interspectrale, et
d'autre part une liste de fonctions de forme associées à cette matrice. Les concepts
[interspectre] et [fonction] associés doivent être générés en amont. Dans le cas
du composant "grappe de commande", l'utilisateur peut également utiliser un spectre de
turbulence prédéfini, identifié sur la maquette GRAPPE1. Cette partie est développée au
paragraphe [§2.3],
·
modèle d'excitation turbulente localisée. Le mot-clé facteur correspondant est
SPEC_EXCI_POINT. Il s'utilise dans le cas d'un spectre d'excitation associé à une ou
plusieurs forces et moments ponctuels. La définition de l'excitation se fait alors en
fournissant :
-
une matrice interspectrale d'excitations (le concept [interspectre] associé
doit être généré en amont),
-
la liste des noeuds d'application de ces excitations,
-
la nature de l'excitation appliquée en chacun de ces noeuds (force ou moment),
-
les directions d'application des excitations ainsi définies.
Cette partie est développée au paragraphe [§2.4].
5) La projection du spectre d'excitation turbulente précédemment défini, sur la base modale de la
structure sous écoulement, est ensuite réalisée à l'aide de l'opérateur PROJ_SPEC_BASE
[U4.63.14].
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1.2 Calcul de la réponse à l'excitation turbulente
: résolution
fréquentielle
1.2.1 Introduction
Le calcul de la réponse fréquentielle de la structure ou du système couplé fluide-structure se fait en
trois étapes :
1) calcul des interspectres d'excitations modales,
2) calcul des interspectres de réponse modale,
3) recombinaison sur la base physique.
Dans un premier temps, on introduit pour chaque mode la fonction de transfert du système mécanique
(structure seule ou système couplé fluide-structure). Chacune des trois étapes ci-dessus est ensuite
détaillée.
1.2.2 Calcul des interspectres d'excitations modales
Les interspectres d'excitations modales S
( f U
QiQj
, ) sont déterminés par projection du spectre
d'excitation turbulente sur la base modale du système mécanique (structure seule ou système couplé
fluide-structure). Cette étape de projection est détaillée en paragraphe [§2] pour les différents modèles
applicables à des structures filaires.
1.2.3 Calcul des interspectres de réponse modale
Les interspectres de déplacements modaux S
( f U
qiqj
, ) se déduisent ensuite des interspectres
d'excitations modales S
( f U
QiQj
, ) à l'aide de la relation suivante :
S
*
q q
( f ,U ) = Hi (f ,U)SQiQj(f ,U)H j(f ,U) éq
1.2.3-1
i j
où H *i ( f ,U ) désigne le complexe conjugué de la fonction de transfert H ( f U
i
, ) du système
mécanique considéré. Etant données une fréquence f et une vitesse d'écoulement U , la fonction de
transfert H ( f U
i
, ) du système mécanique pour le mode i est définie par :
1
H ( f ,U
i
) =
éq
1.2.3-2
f 2
f
M
2
- + 2 j
i i
+
1
f
i
f
i
i
où Mi désigne la masse modale du mode i, et f
i
i désignent respectivement, à la vitesse U , la
pulsation et la fréquence propre du mode i,i désigne, à la vitesse U , l'amortissement réduit du
mode i , et J désigne le nombre complexe tel que J 2 = -1.
Le calcul des interspectres de déplacements modaux à partir des interspectres d'excitations modales
et des fonctions de transfert est effectué à l'aide de l'opérateur DYNA_SPEC_MODAL [U4.53.23].
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On déduit en particulier de [éq 1.2.3-2] la relation liant les autospectres de déplacements modaux aux
autospectres d'excitations modales :
S
2
qiqi ( f ,U ) = Hi ( f ,U ) SQiQi ( f ,U )
éq
1.2.3-3
2
où H ( f U
i
, ) désigne le carré du module de H ( f U
i
, )
1.2.4 Recombinaison sur base physique
Etant donnée une vitesse d'écoulement U , l'interspectre de déplacement physique Su u (x , x , f
1
2
)
1 2
aux points d'abscisses x et x
1
2 , à la fréquence f , est obtenu par recombinaison modale. Cette
opération s'écrit :
N N
S
(x ,x , f ) = (x ) (x )S
j
2
q q ( f ,U
u u
i
)
éq
1.2.4-1
1 2
1
2
1
i j
i 1
= j 1
=
Où N désigne le nombre de modes de la base ; i (xk ) est la composante au point de discrétisation
xk de la déformée du ième mode suivant la direction d'espace considérée.
La recombinaison sur base physique est effectuée à l'aide de l'opérateur REST_SPEC_PHYS
[U4.63.22]. La direction d'espace considérée est spécifiée au moment de l'appel à cet opérateur.
1.2.5 Eléments
statistiques
La variance modale 2 ( )
i U , associée à la vitesse U , s'exprime comme suit :
2i U
( ) = 2 S
q q ( f ,U)df
éq
1.2.5-1
i j
0
A la vitesse d'écoulement U , la valeur RMS
( )
RMS x de réponse en un point x de la structure est
donnée par :
N
(x)
2
= (x) 2
(U )
RMS
i
i
éq
1.2.5-2
i 1
=
Où N désigne le nombre de modes de la base et ( )
i x est la composante au point x de la
déformée du ième mode suivant la direction d'espace considérée.
Cette opération est effectuée par l'opérateur POST_DYNA_ALEA [U4.84.04].
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1.3
Calcul de la réponse à l'excitation turbulente : résolution temporelle
La résolution temporelle se déroule suivant l'enchaînement des opérations suivantes :
1.3.1 Factorisation de la densité interspectrale
L'opérateur FACT_INTE_SPEC [U4.36.04] réalise la factorisation de la densité interspectrale
d'excitations modales S
( f U
QiQj
, ) , avant application de la méthode de Monte-Carlo.
1.3.2 Génération des excitations modales aléatoires
L'opérateur GENE_FONC_ALEA [U4.36.05] génère des excitations modales aléatoires Q (t)
i
en
effectuant des tirages par la méthode de Monte-Carlo. L'opérateur RECU_FONCTION [U4.32.03]
permet de récupérer chacune des évolutions Q (t)
i
.
1.3.3 Modification d'une base modale et projection
L'opérateur MODI_BASE_MODALE [U4.66.21] modifie la base modale de la structure en substituant aux
caractéristiques initiales celles obtenues pour une vitesse d'écoulement considérée.
L'opérateur PROJ_MATR_BASE [U4.63.12] permet la projection des matrices de masse et de raideur
assemblées sur la nouvelle base modale précédemment définie.
1.3.4 Définition des obstacles
La définition de la géométrie des obstacles est effectuée, le cas échéant, à l'aide de l'opérateur
DEFI_OBSTACLE [U4.44.21].
1.3.5 Résolution
dynamique
Le calcul dynamique transitoire pour le mode i(1 i N ) est effectué à l'aide d'un schéma
d'intégration numérique avec l'opérateur DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21].
M q& (t) + C q& (t) + K q (t) = Q (t
ii i
ii i
ii i
i
) éq
1.3.5-1
Où M ,C et K
ii
ii
ii désignent respectivement les masse, amortissement et raideur généralisés
associés au ième mode ; q (t) et Q (t)
i
i
désignent respectivement le déplacement et l'excitation
généralisés associés au ième mode.
1.3.6 Projection de Ritz
La restitution sur base physique est effectuée à l'aide d'une projection de Ritz :
N
U(x,t) = u (x)q (t)
i
i
éq
1.3.6-1
i=1
U(x,t) désigne le vecteur assemblé des déplacements physiques ; u (x)
i
est le vecteur assemblé
définissant la ième forme modale et q (t)
i
le déplacement généralisé suivant le ième mode.
Cette dernière opération est effectuée à l'aide de l'opérateur REST_BASE_PHYS [U4.63.21].
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2
Modèles d'excitation turbulente applicables aux structures
filaires
2.1 Principes
généraux
2.1.1 Hypothèses
On suppose que l'excitation linéique induite sur la structure filaire par la turbulence de l'écoulement
peut être modélisée sous la forme d'un processus aléatoire stationnaire ergodique gaussien de
moyenne nulle. Cette excitation turbulente est donc entièrement caractérisée par sa densité
interspectrale S (x , x
f
1
2 , ) , où x et x
1
2 sont deux points quelconques de la poutre et désigne
la pulsation. L'excitation turbulente appliquée à la structure est donc caractérisée par sa densité
interspectrale S f .
De plus, on suppose que les forces turbulentes sont indépendantes du mouvement de la structure.
L'excitation turbulente est identifiée expérimentalement sur une maquette de référence. Elle est
ensuite applicable à tout composant réel en similitude géométrique avec la maquette de référence.
2.1.2 Calcul des interspectres d'excitations modales
On désigne par f (x s
t
, ) la densité linéique d'excitation turbulente exercée sur la poutre ; x est
l'abscisse courante d'un point de la poutre et s la pulsation complexe (variable de Laplace). On fait les
hypothèses supplémentaires H1 et H2 suivantes :
H1. La longueur excitée Le est inférieure à la longueur totale L de la poutre.
H2. L'expression de f (x s
t
, ) ne dépend pas de l'origine de la zone excitée xe ; cela se traduit
par f (x, s) = f (x - x , s
t
t
e
).
Dans ce cas, on peut exprimer la densité linéique ft sous la forme suivante :
1
D D
f (x, s) =
U 2
D C ,
,
, s
t
f
, Re
éq
2.1.2-1
2
D
L
r
h
e
x - x
sD
UD
avec : =
e
s =
=
L
r
Re
U
e
Où désigne la masse volumique du fluide, U est la vitesse moyenne d'écoulement du fluide, D et
Dh sont respectivement le diamètre de la structure et le diamètre hydraulique, C f représente le
coefficient adimensionnel de force turbulente, x est l'abscisse courante d'un point de la poutre, xe
désigne l'abscisse de l'origine de la zone excitée, Le représente la longueur excitée, est la variable
d'espace réduite, s est la pulsation complexe (variable de Laplace), sr est la pulsation complexe
réduite, est la viscosité cinématique du fluide, enfin " Re " désigne le nombre de Reynolds.
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Par hypothèse de similitude géométrique du composant réel avec la maquette de référence, on
obtient :
1
f (x, s) =
U 2
D C (,s
t
f
r , Re)
éq
2.1.2-2
2
Ainsi, l'excitation turbulente modale Q ( s)
i
peut s'écrire dans le domaine de Laplace (hypothèse H2) :
x + L
e
e
1
Q (x) =
f
(x,s) (x)dx = L f
(L ,s) ( L
+ x )d
i
t
i
e
t
e
i
e
e
éq
2.1.2-3
xe
0
où ( )
i x est la composante de la ième déformée modale suivant la direction d'espace dans laquelle
agit l'excitation turbulente.
Au moyen de l'expression [éq 2.1.2-2], on déduit :
1
1
Q (s) = U 2 DL C
(,s ,Re) (L + x )d
i
e
f
r
i
e
e
éq
2.1.2-4
2
0
Les densités interspectrales d'excitations turbulentes modales s'expriment alors sous la forme :
1
2
1 1
2
D
S
( f ,U) = U DL
t( , , f
1
2
r , Re) ( L
x ) ( L
x )d d
Q Q
e
2
+
+
U
i
1 e
e
j
2 e
e
i j
1
2
0 0
éq 2.1.2-4
avec
1 i, j N , où N est le nombre de modes retenus pour déterminer la réponse de la
structure ;
t : interspectre de Cf entre et
1
2 ;
fD
fr =
: fréquence réduite.
U
Remarque :
Dans ce qui suit, on conserve les hypothèses H1 et H2 et on note I ( f
ij
r , Re) l'intégrale :
1 1
Iij ( f ,Re
r
) =
t (1,2, f ,Re
r
) (
i
1L + x ) (
e
e
j
2 L + x )
d
e
e
1
d 2 éq
2.1.2-5
0 0
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A l'aide de cette notation, les interspectres d'excitations modales s'écrivent :
1
2
2
D
S
( f ,U) = U DL
I ( f
Q Q
e
ij
r , Re)
éq
2.1.2-6
i j
2
U
L'expression des autospectres d'excitations modales est analogue :
1
2
2
D
S
( f ,U) = U DL
I ( f
Q Q
e
ii
r , Re)
éq
2.1.2-7
i i
2
U
2.2
Spectres de type "longueur de corrélation"
2.2.1 Mots-clés
Les mots-clés facteurs SPEC_LONG_COR_i (i variant de 1 à 4) de l'opérateur DEFI_SPEC_TURB
[U4.44.31] permettent d'accéder à des spectres de type "longueur de corrélation". Ces spectres,
spécifiques des configurations du type "faisceau de tubes sous écoulement transverse", sont
prédéfinis mais l'utilisateur peut en ajuster les paramètres.
2.2.2 Définition du modèle
2.2.2.1 Densité
interspectrale
Dans le cas de spectres de type "longueur de corrélation", la densité interspectrale caractérisant
l'excitation turbulente est supposée pouvoir être mise sous une forme à variables séparables telle
que :
S (x , x ,) = S () (x , x
i
1
2
0
0
1
2 )
éq
2.2.2.1-1
Dans cette expression, S ( )
0 représente l'autospectre de turbulence et 0 ( 1
x , x2 ) désigne une
fonction de corrélation spatiale définie par :
- x - x
2
1
0 ( 1
x , x2 ) = exp éq
2.2.2.1-2
c
où x et x
1
2 désignent les abscisses de deux points d'observation et c représente la longueur de
corrélation.
Quatre expressions analytiques sont disponibles dans l'opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31]. Ces
expressions correspondent chacune à une représentation particulière de S ( )
0 .
L'utilisateur définit un spectre de turbulence en choisissant l'une de ces formes analytiques, dont il
peut ajuster les paramètres.
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2.2.2.2 Modélisation du spectre de turbulence par une expression à variables séparées
·
Cas général
La fonction tt introduite dans la relation est modélisée par une forme à variables
séparées :
Ns
( , , f ,Re) = ( ,
1
2
1
2 )
t
r
n
n ( f r , Re)
éq
2.2.2.2-1
n 1
=
Où N s désigne le degré de la base des fonctions de forme n et n est une fonction
indépendante de la variable d'espace. Ces deux fonctions sont stockées dans la base de
données et peuvent être sélectionnées par l'utilisateur.
Les autospectres d'excitations modales sont donnés par [éq 2.1.2-7] en introduisant :
Ns
I ( f ,Re) = L2 ( f
ii
r
ni
n
r , Re) éq
2.2.2.2-2
n=1
1 1
avec : L2 = ( 1
,2 ) ( L + x
1
) ( L + x
2
)d d
ni
n
i
e
e
i
e
e
1 2
éq
2.2.2.2-3
0 0
Le principe de calcul est le suivant : on calcule tout d'abord les valeurs des L2ni en réalisant
le calcul des intégrales doubles ; on calcule ensuite n ( fr , Re) pour toutes les valeurs de
n ; on obtient finalement l'expression de S
( f ,U
Q Q
) à l'aide de l'équation [éq 2.1.2-4].
i i
·
Cas particulier : modèle utilisé pour les tubes de générateur de vapeur
Le cas particulier de l'étude des tubes de GV correspond à un cas particulier du cas général
présenté précédemment en posant Ns = 1 . L'interspectre d'excitation turbulente entre deux
points d'abscisses réduites et
1
2 est alors donné par :
-
( , , f
1
2
1
2
, Re) = exp -
L
t
r
e ( f r , Re) éq
2.2.2.2-4
c
où c représente la longueur de corrélation des forces turbulentes et Le est la longueur
excitée. En général, on prend c de l'ordre de 3 à 4 fois le diamètre extérieur du tube.
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Version
7.4
Titre :
Modélisation des excitations turbulentes
Date :
05/04/05
Auteur(s) :
A. ADOBES, L. VIVAN Clé
:
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: 11/26
Les spectres d'autocorrélation d'excitations modales, dans le cas de profils de vitesse et de
masse volumique constants, sont donnés par :
2
D
SQiQi( f U )
1
,
2
=
U
e
DL
Iii( f ,Re
r
) éq 2.2.2.2-5
2
U
avec :
1 1
-
I ( f ,Re) = ( f ,Re) .exp- 2
1 L
e .
i
( L + x
1 e
e ) i
( L + x
2 e
e ).d d
ii
r
r
1
2
c
0 0
éq 2.2.2.2-6
Dans le cas général de profils de masse volumique et de vitesse d'écoulement quelconques,
on a :
2
SQiQj ( f U )
1
D
,
= D S( fr )
2 U
x +L x +L
e
e e
e
x2 - 1
x
exp -
e ( 1
x )e (x )
2
2 U e (x ) 2
1 U e (x2 )i ( 1
x )i (x2 ) 1
dx dx2
x
x
c
e
e
éq 2.2.2.2-7
Où D est le diamètre de la structure, Le est la longueur de la zone excitée, xe est
l'abscisse de l'origine de la zone excitée, U est la vitesse moyenne de l'écoulement, S( fr )
est une densité spectrale d'excitation indépendante de la vitesse moyenne de l'écoulement
U , x et x
1
2 sont les abscisses curvilignes de deux points d'observation sur le tube, (x
e
)
est le profil de masse volumique du fluide le long du tube, U ( x)
e
est le profil de vitesse
transverse de l'écoulement le long du tube et c désigne la longueur de corrélation.
Les profils adimensionnels de masse volumique et de vitesse transverse de l'écoulement
externe sont définis de la manière suivante :
( )
e x désignant l'évolution de la masse volumique du fluide externe le long de la zone
immergée Limm du tube, on désigne par la masse volumique du fluide externe moyennée
sur la partie immergée du tube :
x
+ L
imm
imm
1
=
(x)dx éq 2.2.2.2-8
L
e
imm
ximm
On désigne par r( x) le profil adimensionnel de masse volumique tel que ( ) =
e x
r(x) .
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U ( x)
e
désignant l'évolution de la vitesse d'écoulement du fluide externe sur la longueur
excitée Le du tube, on désigne par U la vitesse d'écoulement du fluide moyennée sur la
longueur excitée du tube :
x + L
e
e
1
U =
U ( x)dx
éq 2.2.2.2-9
L
e
e
xe
On désigne par (
u x) le profil adimensionnel de vitesse transverse de l'écoulement externe,
tel que U
x = U u x
e ( )
( ) .
En introduisant les grandeurs moyennes et les profils adimensionnels dans l'expression
[éq 2.2.2.2-7], on obtient :
2
x + L x + L
1
2
D
e
e e
e
x - x
S
2
1
QiQj ( f ,U ) =
U D .
S( fr )
exp
2
-
U
c
x
x
éq
2.2.2.2-10
e
e
2
2
e
(x1) e
(x2 )Ue (x1)Ue (x2 ) i (x1)j (x2 )dx dx
1
2
x - x
Après avoir noté =
e , il vient :
Le
1 1
1
-
2
3
3 2
x2
1
x
S
( f ,U ) = U D L S( f ) × exp -
r
QiQj
e
r
(1 + x )r(2 + x )
4
e
L
e
e
L
e
0 0
c
2
u ( L + x
e
e ) 2
1
u (2L + x
e
e )i (1L + x
e
e )i ( 2 L + x
e
e )] d1d 2
éq 2.2.2.2-11
Où S( fr ) représente le spectre de turbulence, défini en fonction d'une fréquence réduite fr
(nombre de Strouhal). Pour un tube en interaction avec un écoulement transverse, f r
s'écrit :
fD
fr =
U
où f est la fréquence dimensionnée, D est le diamètre du tube et U est la vitesse
moyenne de l'écoulement.
L'intégrale double de l'expression [éq 2.2.2.2-11] est évaluée par l'opérateur
PROJ_SPEC_BASE [U4.63.14].
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·
Cas de zones d'excitation multiples
Dans le cas où il existe plusieurs zones d'excitations, on introduit les notations
supplémentaires suivantes :
La zone d'excitation k étant repérée par son abscisse de début xk et sa longueur Lk , on
note U ( x)
k
le profil de vitesse transverse de l'écoulement fluide au niveau de cette zone. La
vitesse transverse moyenne sur la zone d'excitation k est alors donnée par :
x + L
k
k
1
U =
U (x)dx
k
L
k
k
xk
On en déduit le profil adimensionnel de vitesse transverse, normalisé sur la zone k :
U (x)
u (x
k
k
) =
U k
K désignant le nombre total de zones d'excitation, la vitesse transverse moyenne sur
l'ensemble des zones d'excitation est définie par :
K
1
U =
U
K
k
k =1
Si Vgap est la vitesse intertube à l'entrée du GV (la plage de vitesses débitantes est définie
dans CALC_FLUI_STRU [U4.66.02] à l'aide du mot-clé VITE_FLUI), on procède à une
seconde normalisation ; la vitesse transverse en un point x situé dans la zone d'excitation k
est donnée par :
U (x)
U
V (x) = V
k
= V
k u (x
k
gap
)
U
gap U k
Grâce à cette normalisation, la moyenne arithmétique de vitesse transverse sur toutes les
zones d'excitation est égale à la vitesse intertube ; on a en effet :
+
1 K
1 x L
k
k
V (x)dx V
K
L
k
gap
=
k 1
=
k
x
k
Le calcul des interspectres d'excitations modales, réalisé par l'opérateur PROJ_SPEC_BASE
[U4.63.14], se fait en additionnant les contributions de chacune des zones d'excitation suivant
la relation :
2 K
1
D
S
,
=
i j ( f V
)
D
Lk
S
k
ij
(f
Q Q
gap
r )
2
×
×
V
k =1
k
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avec :
U
fD
V = V
k
k
k
gap ×
et f
=
U
r
Vk
x + L x + L
k
k k
k
- x - x
2
1
et Lk =
exp
(x ) (x V
) 2 (x V
) 2 (x ) (x ) (x )dx dx
ij
e 1 e 2 k 1 k
2
i
1
i
2
1
2
c
x
x
k
k
soit :
x + L x + L
k
k k
k
- x - x
Lk = V 4 ×
exp
2
1 (x ) (x )u2(x )u2(x ) (x ) (x )dx dx
ij
k
e 1 e 2 k 1 k 2 i 1 i
2
1
2
c
x
x
k
k
On pose :
x + L x + L
k
k k
k
- x - x
l k =
exp
2
1 (x ) (x )u2(x )u2(x ) (x ) (x )dx dx
ij
e 1 e 2 k 1 k 2 i 1 i
2
1
2
c
x
x
k
k
L'expression des interspectres d'excitations modales devient alors :
2 K
1
D
S
,
=
4
i j ( f V
)
D
V
l k
S
k
k
ij
(f
Q Q
gap
r )
2
×
×
×
V
k =1
k
d'où :
K
1
S
,
=
3 × 3 × ×
i j ( f V
) D
(V lk S(f k
Q Q
gap
k
ij
r )
4
k =1
·
Expressions analytiques des spectres disponibles pour l'utilisateur
Les différentes expressions analytiques des spectres disponibles dans l'opérateur
DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] sont les suivantes :
·
SPEC_LONG_COR_1
Chaque vitesse Ui définie par l'utilisateur en discrétisant la plage de vitesses
[U -U
kn
min
max ] explorée est d'abord normalisée sous la forme Ui en appliquant
l'équation :
U k
U kn = U
i
i
U
où U k et U désignent respectivement la vitesse moyennée sur la zone d'excitation " k ", et
la vitesse moyenne sur l'ensemble des zones d'excitation.
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Un nombre de Reynolds "local" Rik
e , associé à la zone " k " et à la vitesse Ui est ensuite
calculé à partir des caractéristiques locales de l'écoulement :
kn
U
D
Reik
i
=
Le spectre d'excitation turbulente associé à la zone " k " et à la vitesse Ui est déterminé sous
la forme d'un vecteur S ik , possédant autant de composantes que de points utilisés pour
discrétiser l'intervalle fréquentiel [ f
- f
min
max ] , support de l'excitation. La j-ième
composante S ikj de ce vecteur est fournie par l'expression :
Sik
0
j =
éq
2.2.2.2-12
2
f ik 2
f ik 2
rj
rj
1-
2
+ 4
f
f
rc
rc
f ik
rj est fournie par :
f D
f ik
j
rj =
U kn
i
où :
f j est la valeur de fréquence associée à la j-ième composante dans la discrétisation de
l'intervalle fréquentiel [ f
- f
min
max ] , f rc est une fréquence de coupure valant 0.2 ; o , ,
dépendent du nombre de Reynolds selon les équations fournies dans le tableau
ci-dessous :
Rik
e
o
]- ; 1.5 104]
2.83504 10-4 3
0.7
] 1.5 104 ; 3.5 104]
Idem Idem
20 42
.
- 14 10-4 Rik - 9 8
. 110-8
2
Rik
1
+ 19
. 7 10 12
3
-
ik
R
13
. 10-4
e
e
e
-
ik
-
ik
- 35 95
. 10 17
4
R
+ 34 69
.
10 22
5
R
e
e
] 3.5 104 ; 5 104] Idem
4 0.3
] 5 104 ; 5.5 104] 50.18975
104 Idem
Idem
] 5.5 104 ; + ]
Idem
4 0.6
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·
SPEC_LONG_COR_2
Le spectre d'excitation turbulente s'écrit :
S( f
0
r ) =
éq
2.2.2.2-13
f
r
1 +
frc
Les valeurs par défaut des paramètres sont les suivantes :
-3
0 = 15
. 10
= 2 7
.
f = 01
.
rc
·
SPEC_LONG_COR_3
Le spectre d'excitation turbulente s'écrit :
S( f
0
r ) =
éq
2.2.2.2-14
f
r
avec :
=
0
0 ( f
)
rc
=
( f )
rc
Les valeurs par défaut des paramètres sont les suivantes : f rc = 2
Si f f
r
rc , on a :
3
-
0 = 510
= 05
.
sinon
-5
0 = 4 10
= 35
.
·
SPEC_LONG_COR_4
Le spectre d'excitation turbulente s'écrit :
S( f
0
r ) =
éq 2.2.2.2-15
f
r v
avec :
1
0 =
10
-2
6 8
. 10
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Les autres paramètres sont définis par :
=
A 0 5. -
B 15. -
C 2 5. -
D 35.
v
v
v
v
= 2
= 4
v désigne le taux de vide ; v
=
est le débit volumique défini par
v
mU ; m est le débit
massique et U désigne la vitesse moyenne de l'écoulement. Les valeurs des coefficients du
polynôme en v sont les suivantes :
A = 24 042
.
B = -50 421
.
C = 63 483
.
D = 33 284
.
2.3
Modèle d'excitation turbulente répartie
2.3.1 Mots-clés
Le mot-clé facteur SPEC_FONC_FORME de l'opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] permet de définir
un spectre d'excitation par sa décomposition sur une famille de fonctions de forme. L'utilisateur a la
possibilité de définir le spectre en fournissant une matrice interspectrale et une liste de fonctions de
forme associées. Les concepts [interspectre] et [fonction] doivent alors avoir été générés en
amont. Dans le cas du composant "grappe de commande", l'utilisateur peut également utiliser un
spectre de turbulence prédéfini, identifié sur la maquette GRAPPE1.
2.3.2 Décomposition sur une famille de fonctions de forme
Le modèle d'excitation turbulente répartie suppose que la densité linéique instantanée des forces
turbulentes f (x t
t
, ) peut être décomposée sur une famille de fonctions de forme ( )
k x de
dimension K de la façon suivante :
K
f (x,t) =
t
k (x)k t() éq
2.3.2-1
k=1
Les coefficients ( )
k t définissent à chaque instant la décomposition de l'excitation turbulente sur la
famille de fonctions de forme.
La densité interspectrale d'excitation turbulente entre deux points de la structure filaire d'abscisses x1
et x2 s'écrit alors :
K K
S (x , x ,) = (x ) (x )S
f
k
l
kl ()
1
2
1
2
éq
2.3.2-2
k 1
= k 1
=
Cette formulation permet de prendre en compte une excitation dont la répartition spatiale est
quelconque.
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2.3.3 Mise en équations
2.3.3.1 Application d'une excitation turbulente répartie
La longueur d'application L est caractérisée de manière intrinsèque par le domaine de définition des
fonctions de forme associées à l'excitation. La zone d'application est déterminée par la donnée du
nom du noeud autour duquel elle est centrée.
xn désignant l'abscisse repérant ce noeud, l'excitation turbulente est imposée sur le
domaine[x - L 2 , x + L
n
n
2].
L'excitation turbulente pouvant être, d'autre part, développée de manière corrélée dans les deux
directions Y et Z orthogonales à l'axe de la structure filaire, les fonctions de forme sont a priori des
vecteurs à deux composantes.
On renseigne donc, par convention, ces fonctions sur l'intervalle [0,2L] , le domaine [0, L] étant
associé à la direction Y et le domaine [ L,2L] étant associé à la direction Z .
2.3.3.2 Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1
Les fonctions de forme k sont les 12 premières déformées modales de flexion de la structure
identifiées expérimentalement, réparties selon les deux directions orthogonales à l'axe principal de la
poutre. L'expression analytique générale de ces déformées est la suivante :
r
(x)
Yk
k ( x) =
éq
2.3.3.2-1
Zk ( x)
avec :
n
n
n
n
Yk
Yk
Yk
Yk
Yk ( x) =
Yk
A cos
x
Yk
B
sin
x
Yk
C
ch
x
Yk
D
sh
x
L + L + L +
L éq 2.3.3.2-2
n
n
n
n
Zk
Zk
Zk
Zk
Zk ( x) =
Zk
A cos
x
BZk sin
x
CZk ch
x
Zk
D
sh
x
L +
L +
L +
L éq 2.3.3.2-3
où nYk et nZk désignent des nombres d'ondes, L est la longueur d'application de l'excitation et les
coefficients AYk , BYk , CYk , DYk , AZk , BZk , CZk , DZk sont des coefficients réels constants
caractéristiques de la fonction de forme considérée.
Les 6 premières fonctions de forme sont associées à la direction Y et AZk , BZk , CZk , DZk sont
donc nuls, pour 1 k 6.
Les 6 dernières fonctions de forme sont associées à la direction Z et AYk , BYk , CYk , DYk sont
donc nuls, pour 7 k 12.
Cette famille de fonctions de forme est donc caractérisée par 5x12 = 60 coefficients réels.
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L'excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1 est homogène dans les deux directions
orthogonales à l'axe de la structure filaire, la turbulence étant décorrélée entre ces deux directions.
La matrice interspectrale [Skl ] identifiée sur la maquette GRAPPE1 est donc une matrice de
dimension 12x12, constituée de deux blocs diagonaux identiques de dimension 6 :
[
S
0
S
o
k =
l ]
[ ( )] [ ]
[ ]
0
[S ()
o
]
Par propriété de symétrie hermitique, cette matrice est entièrement définie par la donnée de la partie
triangulaire supérieure (ou inférieure) de [S ( )
o ] , soit 21 interspectres. Pour chacun d'entre eux, les
paramètres caractéristiques sont le niveau de plateau, la fréquence de coupure et la pente du spectre
au-delà de cette fréquence.
La matrice interspectrale d'excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1 est donc
caractérisée par 63 coefficients réels (3x21).
Remarque :
Les excitations GRAPPE1 sont disponibles à deux débits de référence. L'ensemble des
données caractérisant ces excitations représente donc 246 coefficients réels ([60+63]x2).
2.3.3.3 Projection de l'excitation sur base modale
On note :
DY (x)
i
i ( x) =
la i-éme déformée modale de la structure.
DZi (x)
Soient ik les coordonnées de la i-éme déformée modale de la structure sur la base des fonctions de
forme k (x) :
K
(x) =
i
ik
k ( x)
éq
2.3.3.3-1
k =1
Les interspectres d'excitations modales SQ Q () appliquées à la structure s'écrivent alors :
i j
K K
S
() =
S
Q Q
ik
jl
(
)
éq
2.3.3.3-2
i j
k l
k =1k =1
Pour chaque mode i de la structure, les coefficients ik sont déterminés en intégrant l'équation
[éq 2.3.3.3-1] prémultipliée par les fonctions j , sur le domaine d'application de l'excitation. On
obtient ainsi :
x + L
0
2
K
x + L
0
2
(x + L 2) (x) dx = (x + L 2)
j
i
ik
j
k ( x + L 2) dx
x - L 2
k =1
x - L
0
0
2
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x + L
0
2
K
L
(x + L 2) (x) dx = (x)
j
i
ik j
k ( x) dx
(
i, j)
éq
2.3.3.3-3
x - L 2
k =1
0
0
Pour chaque i , l'équation [éq 2.3.3.3-3] s'écrit sous forme matricielle :
[a ]( )=(b
jk
ik
ij )
éq
2.3.3.3-4
avec :
L
a
=
(x) (x) dx
jk
j
k
0
soit :
L
a
= ( (x) (x) + (x) (x))dx
jk
Yj
Yk
Zj
Zk
0
et
x + L
0
2
b =
(x + L 2) (x) dx
ij
j
i
x - L
0
2
soit :
x + L
0
2
b =
(DY (x) (x + L 2) + DZ (x) (x + L 2))dx
ij
i
Yj
i
Zj
x - L
0
2
La résolution de chacun des systèmes d'équations linéaires conduit aux ik .
Le calcul des produits scalaires s'effectue dans l'opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4. 63.14].
Remarques :
1) Les
fonctions
k (x) représentent, en pratique, les déformées modales relevées sur la
maquette. Le système (), à diagonale prépondérante, est donc bien conditionné. En
particulier, lorsque la structure filaire maquette a une masse linéique homogène, les
fonctions k (x) sont orthogonales et la matrice [a jk ] est diagonale.
2) Des tests comparant le domaine d'application de l'excitation au domaine de définition de
la structure sont effectués.
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2.4
Modèle d'excitation turbulente localisée
2.4.1 Mots-clés
Le mot-clé facteur SPEC_EXCI_POINT de l'opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] s'utilise dans le
cas d'un spectre d'excitation associé à une ou plusieurs forces et moments ponctuels. L'utilisateur
peut définir le spectre en fournissant :
·
une matrice interspectrale d'excitations (le concept [interspectre] associé doit être
généré en amont),
·
la liste des noeuds d'application de ces excitations,
·
la nature de l'excitation appliquée en chacun de ces noeuds (force ou moment),
·
les directions d'application des excitations ainsi définies.
Il peut également utiliser un spectre de turbulence prédéfini, identifié sur la maquette GRAPPE2.
2.4.2 Fondements
Le modèle d'excitation turbulente localisée est un cas particulier du modèle d'excitation turbulente
répartie. Ainsi, on suppose de même qu'en paragraphe [§2.3.2] que la densité linéique instantanée
des forces turbulentes f x t
t ( , ) peut être décomposée sur une famille de fonctions de forme
k (x) de la façon suivante :
K
f (x,t) = (x) (t
t
k
k
) éq
2.4.2-1
k =1
Les coefficients k (t) définissent à chaque instant la décomposition de l'excitation turbulente sur la
famille de fonctions de forme.
La densité interspectrale d'excitation turbulente entre deux points de la structure filaire d'abscisses x1
et x2 s'écrit alors :
K K
S (x , x ,) = (x ) (x ) S
f
k
l
(
)
1
2
1
2
éq
2.4.2-2
k l
k 1
= l 1
=
La particularité du modèle d'excitation turbulente localisée tient à la spécificité des fonctions de
forme k (x) :
(x) =
k
(x - xk ) permet de représenter une force ponctuelle appliquée au point d'abscisse
xk
(x) =
k
(x - xk ) permet de représenter un moment ponctuel appliqué au point d'abscisse
xk
(x - xk ) et (x - xk )désignent respectivement la distribution de Dirac et la dérivée de la
distribution de Dirac au point d'abscisse xk .
Manuel de Référence
Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
HT-66/05/002/A
Code_Aster ®
Version
7.4
Titre :
Modélisation des excitations turbulentes
Date :
05/04/05
Auteur(s) :
A. ADOBES, L. VIVAN Clé
:
R4.07.02-B Page
: 22/26
Compte tenu de la spécificité des fonctions de forme, la projection d'une excitation turbulente localisée
sur base modale est beaucoup plus simple que dans le cas général (excitation répartie), puisque l'on
peut calculer analytiquement l'expression de l'excitation projetée.
2.4.3 Mise en équations
2.4.3.1 Application d'une excitation turbulente localisée
On considère une excitation turbulente appliquée à une structure filaire et constituée de forces et de
moments ponctuels. Cette excitation est entièrement caractérisée par les données suivantes :
·
liste des noeuds d'application des forces et moments ponctuels,
·
nature de l'excitation appliquée en chaque noeud (force ou moment),
·
direction de l'excitation appliquée en chaque noeud.
K
M
Ainsi f (x,t) = F (s) (x - xk ) nk - Mm(s) (x - xm ) n
t
k
m
éq 2.4.3.1-1
k =1
m=1
est l'expression d'une excitation turbulente localisée, caractérisée par K forces et M moments
ponctuels, appliqués respectivement aux noeuds d'abscisses xk et xm dans les directions nk et
rnm .
0
On a : nk =
cos (k ) et nm défini de manière analogue.
sin (
k )
représente l'azimut donnant la direction d'application de la force (ou du moment) dans le plan P
orthogonal à la fibre neutre au noeud d'application, tel que défini dans la figure [Figure 2.4.3.1-a]
ci-dessous :
z
P
F
Nap
noeud d'application
x
fibre neutre
Figure 2.4.3.1-a : Définition de la direction d'application
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L'excitation généralisée associée au ième mode de la structure, Q s
i ( ) , étant définie par :
L
Q (s) = (x) f (x,t) dx
i
i
t
éq
2.4.3.1-2
0
où L représente la longueur de la poutre et i (x) la déformée du mode i , on obtient, compte tenu
de l'expression [éq 2.4.3.1-1] :
K
M
Q (s) = F (s) (x ) n - M (s) (x
i
k
i
k
k
m
i
k ) nm éq
2.4.3.1-3
k =1
m=1
Le calcul des interspectres d'excitations modales conduit alors à :
K
K
S
(s) = S
Q Q
(
).n
. (
).n
i j
F F (s)(
1
1
2
2
k
k
i xk
k )
j xk
k
k =1 k =
1
2
1
2 1
K
M
+ S
F M
(
).n
. (
).n
(s) (
1
1
2
2
k
m
i xk
k )
j xm
m
k =1 m =
1
2
1
2 1
éq
2.4.3.1-4
M
K
+ S
'
M F
(
).n
. (
).n
(s) (
x
i
m1
m1)
k
m
k
j xk 2
2
m =1 k =
1
2
1
2 1
M
M
+ S
M M
x
s ( ' (
).n
i
m1
m1).
(
).n
( )
m
2
m
m
m
j x
2
m 1
= m 1
1
2
1
2 =
Remarque :
Lorsque l'utilisateur définit le spectre d'excitation turbulente, il doit renseigner la matrice
interspectrale des excitations ponctuelles dont les termes interviennent ci-dessus. Cette
matrice a pour dimension K+M (nombre de forces et moments ponctuels appliqués).
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2.4.3.2 Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE2
L'excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE2 est représentée par une force et un
moment résultants, appliqués en un même noeud suivant les deux directions orthogonales à l'axe de la
structure. La densité linéique de cette excitation a pour expression :
0
1
f
2
2
t ( x, s) =
U
h
D [Lp tF ( rs ) (x - x0) - Lp Mt ( rs ) (x - x0)]
0
éq 2.4.3.2-1
2
1
Où est la masse volumique du fluide, U est la vitesse moyenne de l'écoulement, Dh est le
diamètre hydraulique, Lp est l'épaisseur de la plaque de logement (correspondant à la longueur
s D
excitée), x0 est l'abscisse du point d'application de l'excitation, sr =
est la fréquence complexe
U
réduite, F (s
t
r ) et M (s
t
r ) sont les coefficients adimensionnels représentant la force et le moment
résultants.
Les grandeurs , U , Dh et Lp permettent de dimensionner l'excitation.
En substituant l'expression [éq 2.4.3.2-3] dans la relation [éq 2.4.3.1-4] définissant l'excitation modale
Q s
i ( ) , on obtient :
0
0
1
2
2
Q (s)
U D L F (s )
(x
0 )
0 + L M (s ) '
=
(x
i
h
p
t
r
i
p
t
r
i
0 )
0
éq 2.4.3.2-2
2
1
1
La force et le moment ponctuels identifiés sur la maquette GRAPPE2 étant décorrélés, le calcul des
interspectres d'excitations modales conduit finalement à :
0
0
1
2
2
D
S
=
U
D
L2
Q Q
h
p i
(x0)
1 × j (x0)
1 SF F (sr )
i j
2
U
t t
1
1
éq
2.4.3.2-3
0
0
4
'
'
+ Lp i (x0)
1 × j (x0)
1 S M M (sr )
t
t
1
1
Dans cette expression, D est le diamètre extérieur de la structure, S
(s
F F
r ) et S
(s
M M
r )
t t
t
t
représentent respectivement les autospectres adimensionnels de force et de moment identifiés sur la
maquette GRAPPE2. L'opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4.63.14] calcule les interspectres d'excitations
modales suivant la relation [éq 2.4.3.2-3] ci-dessus.
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Fascicule R4.07 : Couplage fluide-structure
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Remarques :
1) Les autospectres adimensionnels GRAPPE2 sont utilisables pour simuler le
comportement de toute structure en similitude avec la maquette ; on fait alors intervenir
les paramètres géométriques caractéristiques de la structure pour dimensionner
l'excitation. La maquette GRAPPE2 ayant été construite en similitude avec la
configuration réacteur, les rapports suivants sont fixés et caractéristiques de cette
géométrie :
D
L
h
p
et
D
D
On rappelle que Dh et D désignent respectivement le diamètre hydraulique et le
diamètre extérieur de la structure ; Lp est l'épaisseur de la plaque de logement,
correspondant à la longueur excitée.
La donnée de , U et D est donc suffisante pour dimensionner de manière
univoque l'excitation turbulente à partir des autospectres adimensionnels.
2) Les autospectres adimensionnels S
(s
F F
r ) et S
(s
M M
r ) étant l'un et l'autre définis par
t t
t
t
trois coefficients réels (niveau de plateau, fréquence réduite de coupure et pente au-delà
de cette fréquence), seules six constantes permettent de caractériser l'excitation
turbulente adimensionnelle identifiée sur la maquette GRAPPE2.
Quatre configurations ayant été étudiées (écoulement ascendant ou descendant, tige de
commande centrée ou excentrée), l'ensemble des données caractérisant les excitations
GRAPPE2 représente donc 24 coefficients réels.
3 Bibliographie
[1]
N. GAY, T. FRIOU : Résorption du logiciel FLUSTRU dans ASTER. HT32/93/002/B
[2]
S. GRANGER, N. GAY : Logiciel FLUSTRU Version 3. Note de principe. HT32/93/013/B
[3]
L. PEROTIN, M. LAINET : Intégration d'un modèle général d'excitation turbulente dans le
Code_Aster : spécifications. HT32/96/003/A
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