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Titre :

Elément de coque volumique SHB8


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04/08/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, S. BAGUET, A. COMBESCURE Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, INSA-LYON
















Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document : R3.07.07






Code_Aster : Elément de coque volumique SHB8



Résumé :

Nous présentons dans ce document la formulation théorique de l'élément SHB8PS et son implantation
numérique pour des analyses incrémentales non-linéaires implicites (grands déplacements, petites rotations,
petites déformations).

Il s'agit d'un élément cubique tri-dimensionnel à 8 noeuds avec une direction privilégiée appelée épaisseur.
Ainsi, il peut être utilisé pour représenter des structures minces tout en prenant correctement en compte les
phénomènes à travers l'épaisseur (flexion, élasto-plasticité), grâce une intégration numérique à 5 points de
Gauss dans cette direction privilégiée.

Afin de réduire considérablement le temps de calcul et d'écarter les différents blocages susceptibles
d'apparaître, cet élément est sous-intégré. Il nécessite par conséquent un mécanisme de stabilisation afin de
contrôler les modes de déformation à énergie nulle (modes de Hourglass).

Outre son coût de calcul relativement faible et ses bonnes performances en élasto-plasticité, cet élément
possède un autre avantage. Puisqu'il est basé sur une formulation tri-dimensionnelle et qu'il ne possède que
des degrés de liberté de translation, il est très facile de le coupler avec des éléments 3D volumiques, ce qui est
très utile dans des systèmes où coques et éléments volumiques doivent cohabiter.

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Table
des
matières

1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Cinématique de l'élément ......................................................................................................................4
3 Formulation variationnelle......................................................................................................................4
4 Discrétisation .........................................................................................................................................5
4.1 Discrétisation du champ de déplacement .......................................................................................5
4.2 Opérateur gradient discrétisé ..........................................................................................................5
4.3 Matrice de rigidité ............................................................................................................................7
4.4 Matrice de rigidité géométrique K..................................................................................................8
4.5 Matrice de pression Kp.....................................................................................................................9
5 Stabilisation de l'élément .....................................................................................................................10
5.1 Motivations.....................................................................................................................................10
5.2 Modes de "Hourglass" ...................................................................................................................11
5.3 Stabilisation du type "Assumed Strain Method" ............................................................................11

6 Stratégie pour les calculs non-linéaires...............................................................................................13
6.1 Non-linéarités géométriques..........................................................................................................13
6.2 Petits déplacements ......................................................................................................................14
6.3 Forces de stabilisation...................................................................................................................14
6.4 Plasticité.........................................................................................................................................15
7 Implantation de l'élément SHB8 dans le Code_Aster .........................................................................15
7.1 Description.....................................................................................................................................15
7.2 Utilisation .......................................................................................................................................15

7.2.1 Maillage ................................................................................................................................15
7.2.2 Modélisation .........................................................................................................................15
7.2.3 Matériau................................................................................................................................16
7.2.4 Conditions aux limites et chargement ..................................................................................16
7.2.5 Calcul en élasticité linéaire...................................................................................................16
7.2.6 Calcul en flambement linéaire ..............................................................................................16
7.2.7 Calcul en " élasticité " non linéaire géométrique ..................................................................16
7.2.8 Calcul non linéaire plastique ................................................................................................16

7.3 Implantation ...................................................................................................................................17
7.4 Validation .......................................................................................................................................17

8 Bibliographie ........................................................................................................................................18

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1 Introduction

De nombreux travaux récents ont proposé d'utiliser une formulation volumique pour les structures
minces. Deux familles principales de méthodes, qui reposent toutes sur l'introduction d'un champ de
déformation postulée (« assumed strain »), se dégagent. Les méthodes de la première famille
consistent à utiliser une intégration numérique conventionnelle avec un contrôle adéquat de tous les
modes de blocage et de verrouillage (volume, cisaillement transverse, membrane). Les méthodes de
la seconde famille consistent à sous-intégrer les éléments pour supprimer les blocages et à contrôler
les modes de Hourglass qui découlent de cette sous-intégration (voir [bib3] [bib4]). Les deux
approches ont été étudiées en détails dans le cas d'un comportement élastique. Par contre, très peu
de travaux traitent du cas élasto-plastique.

L'élément présenté ici repose sur une formulation sous-intégrée spécialement développée pour le
comportement élasto-plastique des structures en flexion. L'idée de base consiste tout d'abord à
s'assurer qu'il y a suffisamment de points de Gauss dans l'épaisseur pour représenter correctement le
phénomène de flexion, puis à calculer des rigidités de stabilisation de manière adaptative suivant l'état
plastique de l'élément. Cela représente une amélioration certaine par rapport aux formulations
classiques pour les forces de stabilisation, car ces dernières reposent sur une stabilisation élastique
qui devient trop rigide lorsque les effets de la plasticité dominent la réponse de la structure.

L'élément SHB8 est un cube tri-dimensionnel continu à huit noeuds, dans lequel une direction
privilégiée, appelée épaisseur, a été choisie. Il peut ainsi être utilisé pour modéliser les structures
minces et pour prendre en compte les phénomènes qui se développent dans l'épaisseur dans le cadre
de la mécanique des milieux continus tri-dimensionnelle. Etant donné que cet élément est sous-
intégré, il exhibe des modes de Hourglass qui doivent être stabilisés. Nous avons choisi la méthode de
stabilisation introduite par Belytschko, Bindeman et Flanagan [bib3] [bib4]. Cet élément et cette
méthode de stabilisation ont déjà été mis en oeuvre dans une formulation explicite par Abed-Meraim
and Combescure [bib2]. Cette documentation décrit la formulation de cet élément, sa mise en oeuvre
numérique pour la prédiction des instabilités structurelles élastiques et élasto-plastiques, ainsi que son
implantation dans le Code_Aster. Pour les problèmes non-linéaires, une formulation incrémentale
implicite de type Newton-Raphson est utilisée [R5.03.01]. Les équations d'équilibre sont résolues par
la méthode du Lagrangien mise à jour. Le contrôle des incréments de charge et de déplacement est
basé sur une méthode de pilotage proche de l'algorithme de Riks [bib5]. La mise en oeuvre numérique
de cet élément dans un cadre non-linéaire a été proposée par Legay et Combescure dans [bib1].
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2
Cinématique de l'élément

L'élément SHB8 est un hexaèdre à 8 noeuds. Les cinq points d'intégration sont choisis le long de la
direction dans le repère des coordonnées locales. La forme de l'élément de référence ainsi que les
points d'intégration sont représentés sur la [Figure 2-a].


7
8
6
5

4
5

3
2
3
1
4
2
1

Figure 2-a : Géométrie de l'élément de référence et points d'intégration

Cet élément est iso-paramétrique et possède la même interpolation linéaire et la même cinématique
que les éléments hexaèdraux à 8 noeuds standard.



3 Formulation
variationnelle

La formulation utilisée pour la construction de l'élément SHB8PS se différencie d'une formulation
classique simplement par le choix d'une déformation postulée & , donc d'un opérateur gradient
discrétisé, permettant d'éviter les modes parasité induits par la sous intégration.

Ainsi, le principe variationnel s'écrit :

(v, &) = (&): dV -
ext
u& f
= 0
V

où représente la puissance virtuelle totale, la variation, v le champ de vitesse, u& les vitesses
nodales, & le taux de déformation postulée (assumed strain rate), la contrainte de Cauchy, V le
volume actualisé et ext
f
les forces extérieures.

Les équations discrétisées nécessitent donc la seule interpolation de la vitesse v et du taux de
déformation postulée & dans l'élément. Nous allons maintenant construire l'élément SHB8PS à partir
de cette équation. Les développements complets et les démonstrations concernant cet élément sont
exposés en détails dans [bib2].
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4 Discrétisation

4.1
Discrétisation du champ de déplacement

Les coordonnées spatiales x de l'élément sont reliées aux coordonnées nodales x au moyen des
i
iI
fonctions de formes iso-paramétriques N par les formules :
I

8
x = x N (,, ) = N (,, )x
i
iI
I
I
iI
I 1
=

Dans la suite, et sauf mention contraire, on adoptera la convention de sommation pour les indices
répétés. Les indices en minuscules i varient de un à trois et représentent les directions des
coordonnées spatiales. Ceux en majuscules I varient de un à huit et correspondent aux noeuds de
l'élément.

Les mêmes fonctions de formes sont utilisées pour définir le champ de déplacement de l'élément u en
i
fonction des déplacements nodaux u :
iI

u = u N (
, , )
i
iI
I

On choisit des fonctions de forme iso-paramétriques tri-linéaires :


1
N (
, , ) = (1+ )(1+ )(1+ )
I

8
I
I
I




, , [ 1
- ,1],
I = 1,...,8

Ces fonctions de forme transforment un cube unitaire dans l'espace (
, , ) en un hexaèdre
quelconque dans l'espace (x , x , x ) .
1
2
3

4.2
Opérateur gradient discrétisé

Le gradient u
U du noeud I dans la
i, du champ de déplacement est une fonction du déplacement
j
iI
direction i :
u = U N
i, j
iI
I , j

Le tenseur de déformation linéaire est donné par la partie symétrique du gradient de déplacement :

1
= (u + u )
ij
2 i, j
j,i

Introduisons les trois vecteurs b , dérivées des fonctions de forme aux points de Gauss P :
i
k

N

T
b (P ) =

i
k
x
i =0,=0, =k
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Introduisons également les vecteurs suivants :

T
s
=( 1
1
1
1
1
1 1 1
)
T
h
=( 1
1
-1
1
-
1
-
-1 1 1 )
1
T
h
=( 1
1
-
-1 1
1
-
1 1 -1 )
2
T
h
=( 1
1
-
1
1
-
1
1
-
1 -1 )
3

T
h
=(
1
-
1
-1 1
1
1
-
1 -1 )
4
T
X
=(
1
-
1
1
1
-
1
-
1 1 -1 )
1
T
X
=(
1
-
1
-
1
1
1
-
-1 1 1 )
2
T
X
=(
1
-
1
-
-1 -1 1
1 1 1
)
3

Les trois vecteurs T
X représentent les coordonnées nodales des huit noeuds. Les quatre vecteurs T
i

h
représentent respectivement les fonctions h , h , h et h pour chacun des huit noeuds, qui sont
1
2
3
4
définies par :

h =
h =
h =
h =
1
2
3
4

Introduisons enfin les quatre vecteurs suivants :


3
= 1

h -

( T
h .X

j )

b
8
j
j=1




Le gradient du champ de déplacement peut maintenant s'écrire sous la forme (sans aucune
approximation [bib3]) :


4

T
T
T
T
u = b + h .U = b + h .U
i j
j
j
i
j
j
,
,
,
i





1
=


Ou encore, sous forme de vecteur :


u


x,x




u


y, y


u



z,z


u =

s
u + u
x y
y x
,
,


u + u
x z
z x
,
,


u + u
y,z
z, y




avec U le déplacement nodal dans la direction i . L'opérateur gradient symétrique (noté )
i
s
discrétisé reliant le tenseur de déformation au vecteur des déplacements nodaux

u = .
B u
s
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prend alors la forme matricielle :

T
T
b + h
0
0

x
x

,



0
T
T
b + h
0


y
, y




0
0
T
T
b + h

z
,z
B =


T
T
T
T
b +h
b +h
0


y
, y
x
,x

T
T
b + h
0
T
T
b + h


z
,z
x
,x



0
T
T
T
T
b + h
b +h

z
z
y
y
,
,



La formulation détaillée a été présentée par Belytschko dans [bib3].

4.3
Matrice de rigidité

La matrice de rigidité de l'élément est donnée par :

T
K =
B CB d
e
e

Les cinq points d'intégration considérés se trouvent sur la même droite verticale. Leurs coordonnées
sont (
, , ) et leurs poids d'intégration sont les racines du polynôme de Gauss-Legendre :




P(1)
0 0
= 0 9
. 1
= 0 2
. 4
1
1
P(2)
0 0
= 0 5
. 4
= 0 4
. 8
2
2
P(3)
0 0
0
0.57
P(4)
0 0

-

2
2
P(5)
0 0

-

1
1
Ainsi, l'expression de la rigidité K est :
e

5
K = ( )J( ) T
B ( ) CB( )
e
j
j
j
j
j 1
=

J ( ) est le Jacobien, calculé au point de Gauss j , de la transformation entre la configuration
j
unitaire de référence et un hexaèdre arbitraire. La matrice de comportement élastique C choisie a la
forme suivante :
+ 2µ

0
0
0
0



+ 2µ 0 0 0 0


0
0
E 0
0
0
C =

0
0
0 µ 0 0


0
0
0
0 µ 0



0
0
0
0
0 µ

E
E est le module d'Young, le coefficient de Poisson, µ = (
le module de cisaillement et
2 1+ )

= E
le coefficient de Lamé modifié. Cette loi est spécifique à l'élément SHB8. Elle ressemble
2
1-
à celle que l'on aurait dans le cas de l'hypothèse des contraintes planes, mis à part le terme (3,3). On
peut noter que ce choix entraîne un comportement anisotropique artificiel.
Ce choix permet de satisfaire tous les tests sans introduire de blocage.
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4.4
Matrice de rigidité géométrique K

En introduisant la déformation quadratique Q
e :



Q
1
e

=
u u


2
k ,i k, j



k 1 3

= ,


on peut définir cette matrice de rigidité géométrique par :

T
Q
u .K .u =
: e ( ,
u u) =
: (
T
d


u .u)d




0
0

Afin d'exprimer cette matrice dans l'espace discrétisé, introduisons les opérateurs gradient
quadratique discrétisés Q
B tels que :


Q

T
Q
Q
T
Q

Q
Q
e
e
e

U .B ( )
T
.U U .B ( ).U U .B ( ).U
xx
yy
zz
xx
j


yy
j
zz
j











Q
Q
Q
Q
e
e
e +e
T
U . Q
B ( )
T
.U U . Q
B ( )
T
.U U . Q
B ( ).U

yy
zz
xy
yx
yy
j
zz
j
xy
j












T
Q
T
Q
T

Q


Q
Q
e
e + Q
Q
e
e + Q
e
U .B ( ).U U .B ( ).U U .B ( ).U

zz
xy
yx
xz
zx
zz
j
xy
j
xz
j


Q
e (u( ),u( ))

=
=

j
j





Q
Q
Q
Q
Q
Q
T
Q
T
Q
T
Q
e +e
e +e
e +e
U .B ( ).U U .B ( ).U U .B ( ).U
xy
yx
xz
zx
yz
zy
xy
j
xz
j
yz
j














Q
Q
Q
Q

e +e
e +e
T
U . Q
B ( )
T
.U U . Q
B ( ).U
xz
zx
yz
zy

xz
j
yz
j














T
Q
Q
e + Q
e

U .B ( ).U

yz
zy


yz
j


Les différents termes Q
B sont donnés par les équations suivantes :
ij

b . T
b
0
0


x
x

q
B ( )
=
b . T
b

xx

0
0
j
x
x




0
0
T
b .b


x
x
b . T
b
0
0


y
y

q
B ( )
=
b . T
b

yy

0
0
j
y
y




0
0
T
b .b


y
y
b . T
b
0
0


z
z

q
B ( )
=
b . T
b

zz

0
0
j
z
z




0
0
T
b .b


z
z
b . T
b + b . T
b
0
0



x
y
y
x

q
B ( )
=
b . T
b + b . T
b

xy

0
0

j
x
y
y
x




0
0
T
T
b .b + b .b


x
y
y
x
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b . T
b + b . T
b
0
0



x
z
z
x

q
B ( )
=
b . T
b + b . T
b

xz

0
0

j
x
z
z
x




0
0
T
T
b .b + b .b


x
z
z
x
b . T
b + b . T
b
0
0



y
z
z
y

q
B ( )
=
b . T
b + b . T
b

yz

0
0

j
y
z
z
y




0
0
T
T
b .b + b .b


y
z
z
y


Avec ces notations, la matrice de rigidité géométrique k

au point de Gauss
est donnée par :
j

k ( ) = ( ). Q
B ( ) + ( ). Q
B ( ) + ( ). Q
B ( )


j
xx
j
xx
j
yy
j
yy
j
zz
j
zz
j

+
( ). Q
B ( ) + ( ). Q
B ( ) + ( ). Q
B ( )
xy
j
xy
j
xz
j
xz
j
yz
j
yz
j


et la matrice de rigidité géométrique de l'élément est donnée par :

5
K = ( )J( )k ( )


j
j

j
j 1
=

4.5
Matrice de pression Kp

Les forces de pression suiveuses sont présentes dans la matrice tangente via la matrice K , car les
P
forces externes suiveuses dépendent du déplacement. Les forces de pression suiveuses s'écrivent :

T
1
p .
n u dS =
p de [
t F(u)]
T
n .F
-
u
dS = p F - p K .


U
0
( )
0
0

0
P
F(u) = 1+ u

en utilisant les notations :

·
T
n = (n , n , n ) , normale à la surface extérieure de l'élément dans la configuration de
0
x
y
z
référence
·
b% , vecteur de dimension 4, dérive des fonctions de forme aux 4 noeuds de la face de
i
l'élément chargée en pression
·
S aire de la face chargée en pression
0
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La formulation précédente conduit à une matrice non-symétrique. On sait qu'on peut néanmoins
utiliser une formulation symétrique si les forces extérieures dues à la pression dérivent d'un potentiel.
C'est le cas si les forces de pression ne travaillent pas sur la frontière du domaine modélisé. On
considère donc que la partie symétrique de la matrice suffit. La matrice symétrisée prend la forme
suivante :


0
T
T
T
T
b%

y n - b
% n
n -
n
x
x
y
b%z x b%x z



0
T
T
T
T
b%

y n - b
% n
n -
n
x
x
y
b%z x b%x z



0
T
T
T
T
b%y n - b% n
n -
n
x
x
y
b%

z
x b
% x z


0
T
T
T
T

b%y n - b% n
n -
n
x
x
y
b%z x b%x z
T
T
n -

%
% n
0
T
T
b
b
b% n - b%
x
y
z
y n
y
x
y
z
T
T

n -
n
0
T
T
b%
b%
b% n - b%
x
y
z
y n
y
x
y
z
K = S
P
0

T
T
n -
n
0
T
T
b%
b%
b% n - b%
x
y
z
y n
y
x
y
z


Tn
T
T
T
b%
-
n
0
b%
b% n - %
y
z
by n
x
y
x
y
z
T
T
T
T
n
n
n
n
0

-
-
b%
%
%
x
z
bz x
by z b%z y


T
T

T
T
b% n
b% n
n
n
0

-
-
x
z
z
x
b%y z b%z y


T
T
T

T
b% n
b% n
n
n
0

-
-
x
z
z
x
b%y z b%z y


T
T
T

T
b% n
b% n
n
n
0

-
-
x
z
z
x
b%y z b%z y



C'est une matrice (12×12) , qu'il faut multiplier par les déplacements des 4 noeuds de la face sur
laquelle on applique une pression.



5
Stabilisation de l'élément

5.1 Motivations

La sous-intégration de l'élément SHB8 (5 points de Gauss seulement) vise à réduire considérablement
le temps de calcul (gradient déplacement, loi de comportement, ...). Elle permet également d'écarter
les différents blocages rencontrés dans la mise en oeuvre numérique des éléments finis.

Cependant, cette sous-intégration n'a pas que des avantages : elle introduit malheureusement des
modes parasites associés à une énergie nulle (mode de Hourglass ou de sablier). En statique, cela
peut conduire à une singularité de la matrice de raideur globale pour certaines conditions aux limites.
En dynamique transitoire, en revanche, cela conduit à des modes de sablier qui vont déformer le
maillage de façon irréaliste et qui finissent par faire exploser la solution. Cette déficience de la matrice
de raideur, due à la sous-intégration, doit donc être compensée en ajoutant à la rigidité élémentaire
une matrice de stabilisation. Le noyau de la nouvelle rigidité, ainsi obtenue, doit se réduire aux seuls
modes correspondant aux mouvements de solides rigides.
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5.2
Modes de "Hourglass"

Etant donné que les points d'intégration se trouvent sur la même droite verticale (direction privilégiée),
les dérivées des fonctions h et h s'annulent en ces points. L'opérateur gradient discrétisé est ainsi
3
4
réduit à :


2

T
T
b + h
0
0

x
x

,



1
=



2




0
T
T
b + h
0


y
, y


1
=




2




0
0
T
T
b + h
z
,z



1
=

B =



2
2



T
T
T
T
b +
h
b +
h
0



y
, y
x
,x



1
=
1
=




2
2

T
T

b + h
0
T
T
b + h
z
,z
x
,x

1
=
1
=




2
2




0
T
T
T
T
b + h
b +
h
z
,z

y
, y



1
=

1
=



Les modes de Hourglass sont des modes de déplacement à énergie nulle, i.e. ils vérifient Bu = 0 .
Les six modes, autres que les modes de solides rigides, qui vérifient cette équation sont :


h
0
0
h
0
0
3
4




0
h
0 0
h
0


3

4




0
0

h
0
0

h


3
4

5.3
Stabilisation du type "Assumed Strain Method"

Dans cette approche, inspirée des travaux de Belytschko, Bindeman et Flanagan [bib3] [bib4], les
dérivées b des fonctions de forme ne sont pas calculées aux points de Gauss mais moyennées sur
i
l'élément :
T
1
^ =
(,, )d , i = 1, 2,3
i
N
b
,i
V e

Ainsi, le nouvel opérateur gradient discrétisé peut s'écrire :

^
^
B = B + B

stab
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L'expression de ^
B
est donnée par :
stab
4


h ^T

,
0
0
x

=3


4


0
h ^T

,
0
y

=3
^


B
=

stab

0
0
h ^T
,
4 z
4


0
0
0



0
0
0



0
0
0

et celle des vecteurs ^
par :
3
1

^ = h - ( T
h .X ) ^

b
8


j
j

j 1
=


La nouvelle matrice de rigidité devient :

T
T

^
K =
B CBd +
B C B d





stab
e
e


^
T
^
T
^
+
B
CBd +
B
CB d


stab




stab
stab
e
e

144424443

stab
K

Le dernier terme de l'équation précédente (
stab
K
) suffit pour stabiliser l'élément. On peut donc réduire
la matrice de rigidité stabilisée à :

=
+ stab
K K
K

e

stab
^
T
^
K
=
B
CB d



stab
stab
e

Les nombreux cas qui ont été étudiés ont montré qu'il suffit de calculer les termes diagonaux de la
matrice de stabilisation
stab
K
, i = 1, 2,3 , qui sont donnés par :
ii
T
stab
1
K
=
( + 2 )[
T
H
µ + ]
11
11
$ $
$ $
3
3
4
4
3

T
stab
1
K
=
( + 2 )[
T
H

µ + ]
22
22
$ $
$ $
3
3
4
4
3

stab
H33
T
K
=
E

33
$ $
4
4
3

Les coefficients Hii sont eux-mêmes donnés par l'équation suivante, dans laquelle il n'y a pas de
sommation sur les indices répétés :
1 T

T

X X
X X
j
j
k
k
H



=

ii
3

T

X X
i
i


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6
Stratégie pour les calculs non-linéaires

6.1 Non-linéarités
géométriques

On traite ici le cas des grands déplacements, mais rotations faibles (voir plus loin) et petites
déformations. On adopte pour cela une formulation lagrangienne mise à jour.

En non linéaire nous cherchons à écrire l'équilibre entre forces internes et force externes à la fin de
l'incrément de charge (repéré par l'indice 2) :

int
extr
F
= F

2
2

L'expression des forces internes s'écrit :

int
T
F =
dV
2
B

2
2
2

Dans l'équation précédente l'opérateur B2 est l'opérateur permettant de passer du déplacement à la
déformation linéaire calculé sur la géométrie à la fin du pas, la contrainte est la contrainte de
2
Cauchy à la fin du pas et l'intégration est faite sur le volume déformé à la fin du pas.
2

Nous avons choisi cette formulation Lagrangienne mise à jour.

L'élément disponible à ce jour dans Aster est programmé en petites rotations. En effet l'incrément de
déformation est calculé en utilisant uniquement la déformation linéaire :

1
E
= (1(u)+ T1 (u))
2

L'opérateur gradient est calculé sur la géométrie de début de pas. Cette écriture de la déformation est
limitée aux petites rotations (<5 degrés).

On peut sans difficulté étendre la formulation aux grandes rotations en incluant dans la déformation les
termes de second ordre :

1
T
T
E =
u + u + u u
2 (
.
1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ))

En élasticité, la loi de comportement s'écrit :

= C'E

C est la matrice de Hooke. Remarquons que pour le SHB8 cette matrice est une matrice
orthotrope transverse qui s'écrit dans les axes du lamina :

+ 2µ
µ
0
0
0
0
µ
2µ 0 0 0 0
+


[C ] 0
0
E 0 0
0
' =

0
0
0 µ 0 0


0
0
0
0 µ 0


0
0
0
0 0 µ
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La formule permettant de calculer la contrainte de Cauchy à partir de la contrainte de
2
Piola Kirchoff II est :
2


= +

2
1



1
T


=
F F
2
det

(F)
2

F = I +
1


u


La combinaison des quatre dernières équations avec l'expression des forces internes donne la
formulation de l'élément en grandes déformations en Lagrangien mis à jour.

Remarquons que cette formulation Lagrangienne mise à jour est totalement équivalente à la
formulation Lagrangienne totale pour laquelle les forces internes s'écrivent :

int
T
NL
F =
B + B (u) dV
2
(
) 2
0
0

Dans ce cas toutes les intégrations sont faites sur la géométrie initiale la contrainte utilisée est
0
2
la contrainte de Piola Kirchoff II. Cette dernière méthode est probablement préférable lorsque le
maillage se déforme significativement et permet donc de traiter les problèmes en grandes
déformations mais nécessite le développement de l'opérateur NL
B (u) .

L'incrément de déformation en Lagrangien total est exprimé sur la géométrie initiale de la structure.

1
T
T
E =
u + u + u u
2 (
.
0 (
) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ))

La combinaison des deux équations précédentes donne la formulation de l'élément en grandes
déformations en comportement linéaire matériau.

6.2 Petits
déplacements

Dans le cas des petits déplacements on confond géométrie en début et fin de pas, contrainte de
Cauchy et de Piola Kirchoff II, de plus on utilise l'expression linéaire des déformations.

6.3
Forces de stabilisation

Les forces de stabilisation permettent d'éviter les modes de sablier et sont ajoutées dans le calcul des
résidus pour équilibrer la contribution de la matrice de raideur de stabilisation au premier membre. Les
forces de stabilisation stab
F
, à ajouter aux forces internes int
F , s'écrivent :
2

stab = stab
F
K
U
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Pour des raisons d'efficacité, on choisit de ne pas assembler à nouveau
stab
K
pour calculer stab
F
en
fin de pas, mais plutôt de construire stab
F
à partir de ^
B
qu'on a calculée précédemment. On doit
stab
pour cela se placer dans le référentiel corotationnel de milieu de pas proposé dans [bib3]. Pour cette
raison, on n'obtient pas une expression exacte de stab
F
, et quelques itérations supplémentaires sont
généralement nécessaires pour converger. Ces quelques itérations sont toutefois insignifiantes par
rapport au coût de calcul économisé en n'assemblant pas
stab
K
.

6.4 Plasticité

Le comportement élastoplastique de Von Mises, à écrouissage isotrope, est calculé en chacun des
5 points d'intégration. On utilise donc tout simplement les formules et la programmation usuelle de la
plasticité avec un état de contraintes tridimensionnel, mais la matrice de comportement linéaire C' est
orthotrope. Nous devons tout simplement modifier légèrement l'algorithme usuel d'écoulement
élastoplastique tridimensionnel en remplaçant la matrice de Hooke usuelle C par la matrice de
comportement orthotrope transverse C' .

Nous devons trouver la contrainte à la fin du pas qui vérifie l'équilibre. En grands déplacements le
problème s'écrit :

= +

2
1
(
p
C'
-
)

Cette équation est résolue dès que l'incrément de déformation plastique est connu. Cette déformation
se détermine en imposant à la contrainte finale d'être plastiquement admissible. Cette méthode est
complètement similaire à la méthode tridimensionnelle usuelle sauf qu'il n'y a pas de solution explicite
à ce problème si on utilise par exemple l'approximation efficace du retour radial pour calculer la
solution. Nous avons choisi de résoudre ce problème non linéaire par une méthode de Newton.


7
Implantation de l'élément SHB8 dans le Code_Aster

7.1 Description

Cet élément s'appuie sur les mailles 3D volumiques HEXA8.

7.2 Utilisation

Cet élément s'utilise de la façon suivante :

7.2.1 Maillage

Vérifie la bonne orientation des faces des éléments désignés (compatibilité avec la direction
privilégiée) en utilisant ORIE_SHB8 de l'opérateur MODI_MAILLAGE.

7.2.2 Modélisation

Pour affecter la modélisation SHB8 aux mailles HEXA8 désignées.
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7.2.3 Matériau

Pour un comportement élastique isotrope homogène dans l'épaisseur on utilise le mot-clé ELAS dans
DEFI_MATERIAU où l'on définit les coefficients E, module d'Young et NU, coefficient de Poisson.

Pour définir un comportement plastique on utilise le mot-clé TRACTION dans DEFI_MATERIAU où l'on
définit le nom d'une courbe de traction. Seul ce type de définition est disponible pour l'instant.

7.2.4 Conditions aux limites et chargement

DDL de volume 3D dans le repère global. On impose les conditions aux limites sur les ddl de volume
3D (AFFE_CHAR_MECA / DDL_IMPO), et les efforts dans le repère global (FORCE_NODALE).

Il s'agit des efforts dans le repère global.

On définit les efforts de pression répartie sur les faces de l'élément (sous le mot-clé PRES_REP). On
aura pris soin au préalable de définir des mailles de peau QUAD4 et d'orienter convenablement les
normales sortantes à ces mailles de peau à l'aide de la commande
MODI_MAILLAGE mot-clé ORIE_PEAU_3D

7.2.5 Calcul en élasticité linéaire

Commande MECA_STATIQUE
Les options de post-traitement disponibles sont SIEF_ELNO_ELGA et EQUI_ELNO_SIGM.

7.2.6 Calcul en flambement linéaire

L'option RIGI_MECA_GE étant activée dans le catalogue de l'élément, il est possible d'effectuer un
calcul de flambement classique après assemblage des matrices de rigidité élastique et géométrique.

7.2.7 Calcul en " élasticité " non linéaire géométrique

On choisit le comportement ELAS sous le mot-clé COMP_INCR de STAT_NON_LINE, en petites
déformations ('PETIT') ou en grandes déformations 'GREEN' sous le mot-clé DEFORMATION.

La stratégie utilisée étant basée sur l'utilisation d'une matrice de rigidité tangente au cours des
itérations (réactualisation en début de pas uniquement), on veillera à ne pas utiliser une autre option
que celle qui est activée par défaut, à savoir REAC_ITER = 0 sous NEWTON.

L'intégration numérique dans l'épaisseur est réalisée avec 5 points de Gauss, tout comme en non
linéaire matériel.

7.2.8 Calcul non linéaire plastique

Seul le critère de Von Mises est disponible à ce jour (RELATION = 'VMIS_ISOT_TRAC' sous
COMP_INCR). On définit le mode de calcul des déformations comme dans le cas de l'élasticité non
linéaire (DEFORMATION = 'GREEN' ou 'PETIT').

La stratégie utilisée étant basée sur l'utilisation d'une matrice de rigidité tangente au cours des
itérations (réactualisation en début de pas uniquement), on veillera à ne pas utiliser une autre option
que celle qui est activée par défaut, à savoir REAC_ITER = 0 sous NEWTON.
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7.3 Implantation

Les options RIGI_MECA, RIGI_MECA_GE, FORC_NODA, FULL_MECA, RIGI_MECA_TANG,
RAPH_MECA,
SIEF_ELGA_DEPL,
SIEF_ELNO_ELGA ont été activées dans le catalogue
gener_shb3d_3.cata. Elles dirigent toutes le calcul vers te0520.f, ensuite vers shb8.f.

Les forces de stabilisation de l'élément nécessitent le stockage d'un vecteur de taille 12 pour chaque
point de Gauss. Nous avons choisi de stocker ces termes comme composantes supplémentaires du
champ de contraintes.

Aucun développement n'a été nécessaire pour les forces de pression réparties et pour les forces de
pressions suiveuses. En effet, ces chargements s'appuient sur des mailles de peau identiques à celles
des éléments 3D volumiques.


7.4 Validation

Les tests validant cet élément sont, dans la version 7.2 du Code_Aster :

· SSLS108 C et D : poutre vrillée en flexion, test permettant de vérifier l'absence de blocage
[V3.03.108],
· SSLS105 C : hémisphère doublement pincée [V3.03.105] test classique pour vérifier la
convergence de l'élément,
· SSLS123 A : sphère sous pression externe [V3.03.123] pour valider les chargements de
pression et le comportement orthotrope particulier à cet élément,
· SSLS124 A et B : plaque mince en flexion avec divers élancements, pour délimiter le domaine
d'usage de l'élément [V3.03.124]. Les résultats sont corrects (moins de 1% avec la solution
analytique) pour des rapports d'élancement (épaisseur/largeur) allant de 1 à 5 10­3,
· SSLS125 A : flambage (modes d'Euler) d'un cylindre libre sous pression externe [V3.03.125]
ce test permet de valider la nature de rigidité géométrique,
· SSNS101 A, B et C : claquage d'un toit cylindrique [V6.03.101]. Ce test permet de valider le
calcul non linéaire géométrique et l'élastoplasticité,
· SSNS102 A : flambage d'une coque avec raidisseurs en grands déplacements et pression
suiveuse [V6.03.102].
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8 Bibliographie

[1]
LEGAY A. and COMBESCURE A. : "Elastoplastic stability analysis of shells using the
physically stabilized finite element SHB8PS", International Journal for Numerical Methods and
Engineering, Vol. 57, 1299-1322, 2003
[2]
ABED-MERAIM F. and COMBESCURE A. : " SHB8PS a new adaptative assumed strain
continuum mechanics shell element for impact analysis ", Computers and Structures, Vol. 80,
791-803, 2002
[3]
BELYTSCHKO T. and BINDEMAN L.P. : "Assumed strain stabilization of the eight node
hexahedral elements", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 105,
225-260, 1993
[4]
FLANAGAN D.P. and BELYTSCHKO T. : "A uniform strain hexahedron and equilateral with
orthogonal hourglass control", International Journal for Numerical Methods and Engineering,
Vol. 17, 679-706, 1981
[5]
RIKS E. : "An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems",
International Journal of Solids and Structures, Vol. 15, 524-551, 1979

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