Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
1/32
Organisme(s) : EDF/MTI/MMN, RNE/AMV
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
Document R3.07.02

Modélisation numérique des structures minces :
coques thermoélasto-plastiques axisymétriques
et 1D

Résumé :
On présente une formulation numérique pour la modélisation des structures à surface moyenne de géométrie
particulière :
· coques à symétrie de révolution autour de l'axe 0y,
· coques à section quelconque invariantes le long de l'axe 0z.
On décrit complètement le cas thermoélasto-plastique isotrope, dans le cadre des théories de
LOVE-KIRCHHOFF et de HENCKY-MINDLIN-REISSNER, ainsi que les divers chargements étudiés, pour
l'élément fini isoparamétrique choisi.
Les exemples de validation proposés montrent les qualités de l'élément fini.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
2/32
Table des matières
1 Introduction ............................................................................................................................................ 3
2 Problème continu ................................................................................................................................... 3
2.1 Description de la géométrie, de la cinématique .............................................................................. 4
2.2 Equilibre thermoélasto-plastique ..................................................................................................... 8
3 Formulation de l'élément fini. Discrétisation ........................................................................................ 13
3.1 Description de l'élément fini choisi ................................................................................................ 13
3.1.1 Motivations ........................................................................................................................... 13
3.1.2 Présentation générale de l'élément...................................................................................... 14
3.1.3 Transformations élément fini / élément fini de référence..................................................... 14
3.1.4 Intégration numérique surfacique......................................................................................... 15
3.1.5 Intégration numérique dans l'épaisseur ............................................................................... 16
3.2 Formulation des termes élémentaires........................................................................................... 17
3.2.1 Masse, centre de gravité, matrice d'inertie .......................................................................... 17
3.2.2 Matrice de masse................................................................................................................. 18
3.2.3 Second membre de force centrifuge.................................................................................... 19
3.2.4 Second membre de pesanteur............................................................................................. 19
3.2.5 Second membre de charges réparties ................................................................................. 19
3.3 Calcul des déformations et des contraintes .................................................................................. 20
4 Validation - Cas test ............................................................................................................................. 21
4.1 Cylindre sous pression interne ...................................................................................................... 21
4.2 Plaque circulaire encastrée sous pression uniforme [V3.03.100] ................................................. 25
4.3 Analyse modale axisymétrique d'une enveloppe sphérique mince [V2.03.007]............................ 30
5 Conclusion ........................................................................................................................................... 31
6 Bibliographie ........................................................................................................................................ 32
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
3/32
1 Introduction
On s'intéresse dans ce qui suit à la modélisation mécanique de structures minces à surface moyenne
de géométrie particulière :
· coques à symétrie de révolution autour de l'axe 0y ,
· coques à sections quelconques invariantes le long de l'axe 0z .
Plus particulièrement, on se limite au cas où les paramètres mécaniques (matériaux, chargements)
sont indépendants d'une direction d'espace (la circonférence pour les coques de révolution, l'axe 0z
pour les coques C_PLAN et D_PLAN).
Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser auparavant l'élément fini
de coque thermique décrit en [R3.11.01] selon le cas dans sa version axisymétrique, ou sa version
plane invariante selon 0z .
On fait ci-après tout d'abord un point sur la description du modèle mécanique : cinématique, loi de
comportement thermoélasto-plastique. Puis on présente l'élément fini choisi, l'interpolation et la
méthode d'intégration.
On donne enfin quelques résultats numériques d'application, par comparaison à des solutions
analytiques.
2 Problème
continu
La géométrie est définie de façon uni-dimensionnelle :
· par le méridien dans le plan (0xy) pour une coque de révolution,
· par la section de la coque dans le plan (0xy) pour une coque invariante en z .
Dans ce dernier cas, par analogie avec les problèmes bidimensionnels, on envisage deux cas :
· le cas « contraintes planes », c'est-à-dire celui d'une coque libre selon la direction 0z , ou
celui d'un arc dans le plan 0xy ,
· le cas « déformations planes », c'est-à-dire quand les déplacements selon la direction 0z
sont nuls.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
4/32
2.1
Description de la géométrie, de la cinématique
On considère une coque de révolution d'axe 0y , ou une coque invariante selon l'axe 0z . Pour toutes
deux, la surface moyenne est définie par la courbe = AB dans le plan 0xy : est un méridien
pour la coque de révolution, ou la section pour la coque invariante selon 0z .
y
O
x
z
Figure 2.1-a : Coque de révolution
y
t
B
n
m

!!

e
s
y O
·
e
x
A
z
ex
Figure 2.1-b : Méridien
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
5/32
y
O
x
z
Figure 2.1-c : Coque à section invariante selon 0z

La courbe = AB est paramétrée par l'abscisse curviligne s . On notera les dérivées partielles s
par : , s .
En un point m de on définit le repère local ( n , t , ez ) par :
Om
t =
,s ; n t = ez .
Om,s
On note aussi l'angle tel que :
n = cos e


x + sin e y .
La courbure de est définie par :
1 = -n.t =
R
,s
,s
Dans le cas de la coque de révolution, la position sur le parallèle passant par m est notée . Le
vecteur tangent sur ce parallèle est e . Pour le méridien situé dans le plan 0xy , = 0 et
e
= - e


z . Le rayon de courbure du parallèle en m est :
r
R =
r est l'abscisse x du point m de .
cos
Par contre, pour une coque invariante selon z ce parallèle est une génératrice droite, dirigée selon ez ,
de courbure nulle.
Les transformations cinématiques de la coque sont définies par le déplacement U du point m de la
surface moyenne, ainsi que par la rotation s de la normale n au point m . Le vecteur U peut être
exprimé en base locale :
U( ) = U( ) .t( ) + (
W ) .n
s
s
s
s
(s) .
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
6/32
Ou en base cartésienne :
U( ) = u (s) e + u (s) e
s
x
x
y
y .
Les déformations de la coque associées à cette transformation (U, s ) sont déterminées par :
· un tenseur de déformation membranaire E ,
· un tenseur de variation de courbure K ,
· un vecteur de déformation de distorsion tranverse .
Ce dernier apparaît dans la théorie de coques de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI et pas dans celle de
LOVE. En fonction du déplacement U et de la rotation s , ces grandeurs s'expriment (cf. [bib1]) :
Cas
Coque de révolution
Coque invariante selon 0z
U exprimé en
W
W
base locale
E = U
ss
s +
,
E = U +
R
ss
,s
R
( n , t , ez )
1
E
= ( -U sin + W cos )
r
Kss = s
,s
Kss = s
,s
sin
K = -

r
s
U
U
s = s + Ws -
,
s = + W -
R
s
,s
R
U exprimé en
E = u
ss
y,s cos - ux,s sin
E = u
ss
y,s cos - ux,s sin
base globale
(
u
e , e
, e
E
x
=
x
y
z
)


r
Kss = s
,s
Kss = s
,s
sin
K = -

r
s
s = s + ux,s cos + uy,s sin
s = s + ux,s cos + uy,s sin
Remarque :
Le changement de sens de l'abscisse curviligne s ne modifie pas les valeurs de :
s, Ess
E
,
,
mais change le signe de ,
U ,
W,
R,
K ,
K
ss
.
Dans le cadre de la théorie de LOVE, la condition s = 0 (les normales à la coque le restent après
déformation) se traduit par une relation directe entre les rotations s et la pente W,s . Les
composantes du tenseur variation de courbure sont en fonction du déplacement dans la base locale :
U
R
K = - W
,s
+
- U
,s
ss
ss

,
R
R2
sin
U
K

=
W

-
r
,s



R
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
7/32
Si le déplacement est exprimé en base globale :
1
K
=
u

sin - u
cos - u

cos
- u
ss

sin
R ( x,s
y,s
) x,ss
y,ss
sin
K =
(u cos + u
x s
y
s sin
,
,
)
r
On remarque que l'expression des variations de courbure en fonction du déplacement en théorie de
LOVE est assez compliquée et qu'elle fait intervenir des dérivées secondes. Si on exige une
interpolation conforme c'est-à-dire ici C1 , ceci nécessite l'emploi d'éléments finis de degré élevé.
Les tenseurs E, K
,
permettent d'exprimer la déformation tridimensionnelle dans l'épaisseur.
h h
Sur la [Figure 2.1-d], on désigne par x3 la position dans l'épaisseur - ,
par rapport à la fibre

2 2
moyenne, au point m , d'abscisse curviligne s sur .
s
!!

t

x3

n
!!

m
h
+
2
R
h
- 2

Figure 2.1-d
En un point de l'épaisseur, le déplacement s'exprime en repère global :
U(s, x )
3
= ( u (s)
-
(s).x
sin
3
(s)
).e + (
u (s)
+ (s).x cos
3
(s
x
s
x
y
s
)).ey
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
8/32
Afin de tenir compte de la variation de métrique dans l'épaisseur (due à la courbure de la surface
moyenne), on définit les fonctions :
x
x

3
3
s (x3 ) = 1 +
; (x3) = 1 +
.cos
R
r
Pour une coque suffisamment mince, cette correction est négligeable :
s
1


;


1
En pratique cette correction effectuée si MODI_METRIQUE :'OUI' dans AFFE_CARA_ELEM
[U4.42.01] est inutile si les rapports h R et h R , quand ils existent, sont inférieurs à 1

15.
En théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, les composantes du tenseur de déformation sont :

1

ss(s, x3) =
(Ess + x K
3 ss )
s


1

(s, x3) =
(E + x3
K )

(uniquement dans le cas coque de révolution)



1
sx
=
3 (s, x3)


2
s

s
2.2 Equilibre
thermoélasto-plastique
On considère que le matériau constitutif de la coque est thermoélasto-plastique isotrope. On fait
l'hypothèse couramment admise que la contrainte normale transverse est nulle : x x 0 . La loi de
3 3
comportement la plus générale s'écrit alors :

th



11
11
C 11
11
C 22
0
11 - 11





th
22 = C2211
C2222
0
22 - 22




1
0
0
x

11
C x x 1

3
3 3
3
x
C(, µ) de composantes Cijkl est la matrice de comportement locale en contraintes planes et µ
représente l'ensemble des variables internes lorsque le comportement est non linéaire. Dans la suite
l'indice 1 fait référence à l'abscisse curviligne et 2 à ou z. Aux déformations tridimensionnelles
définies ci-dessus, on associe alors les composantes du tenseur contraintes :
· dans le cas d'une coque de révolution :

=

th
th
ss
Cssss (ss -
+
ss )
Css ( -
)


=

th
th


C ss (ss - ss +
)

C
( - )

sx = C
ssx
x sx
3
3 3
3
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
9/32
· dans le cas coque invariante selon la direction z et libre en z (« contraintes planes ») :

C
C


sszz zzss
th
ss = (Cssss -
)(ss - ss )
Czzzz


zz = 0

sx = C
ssx
x sx
3
3 3
3

· dans le cas coque invariante selon la direction z et bloquée en z (« déformations planes ») :

=

th
ss
Cssss (ss - ss )


=

th
zz
Czzss (ss - ss )

sx = Cssx x sx
3
3 3
3
On en tire l'expression de l'énergie élastique de déformation, dont on déduira la matrice de rigidité en
fonction de la cinématique de coque vue au paragraphe [§2.1] :
· dans le cas coque de révolution :
1
2 h

/2
W él =
2
2



(
)




2
2





1 .


2

0
- /2[Cssss ss + C
+ Css + C ss ss
+ Cssx x sx
+
- rdsd dx
h
3 3
3 ]( s
)
3

· dans le cas coque invariante selon z , en "contraintes planes" :
h/2
1

C
C

=

W él
sszz zzss

(C


2
2
ssss -
)ss + 2Cssx x
.dsdx

3 3
sx
s
3
2
C
3

- 2
zzzz
h/

· dans le cas coque invariante selon z, en "déformations planes" :
h
1
/2
W él =
2




2
2

.
2

- /2 [Cssss ss + Cssx x
3 3
sx
s dsdx3
h
3 ]
Remarque :
En thermoélasticité, si on note E le module d'YOUNG et le coefficient de POISSON, on a :
E
E
E
C
=
; C
=
i(, j
iiii
iijj
) {1, }
2 ; C
=
1 - v2
1 - v
x x
2
11 3 3
1 + v
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
10/32
On définit les grandeurs suivantes :
· la rigidité membranaire d'une coque de révolution :
[
h/
2 + - 1
C
C
C ]
s
ssss
ss
=
.
dx
ij

; qui vaut :



C
C

3

-h/2
i
j

ss


Eh 1


1
2
-
en élasticité et en absence de correction de métrique dans l'épaisseur ;
1


· la rigidité de couplage membrane-flexion d'une coque de révolution :
h
[
2
+ -1 C
C
B ] =
x
s
ssss
ss
.
.
dx
ij
3


, qui est nulle en élasticité et en
h

C
C
3


i
j
-

ss


2
absence de correction de métrique dans l'épaisseur ;
· la rigidité de flexion d'une coque de révolution :
h
[
2
+ - 1 C
C
D ]
=
x2
s
ssss
ss
.
.
dx
ij
3


, qui vaut :
h

C
C
3


i
j
-

ss


2
Eh3
1
2

12 1
( - )
en élasticité et en absence de correction de métrique dans l'épaisseur ;
1


· la rigidité de distorsion transverse d'une coque de révolution :
h
2
+ - 1
G
s

=


. C
dx
sx
, qui vaut :
h
ssx x
3
3
2
3 3

-
s
2
Eh
1
+ en élasticité et en absence de correction de métrique dans l'épaisseur.
Pour une coque invariante selon la direction z , on ne considère dans ces expressions que les termes
ij = ss ; de plus on doit y remplacer (s + - )
1 par s : on définit ainsi les coefficients
C D , B D
, D D
C
C
C
ss
ss
ss
et C , B
, D
ss
ss
ss
pour le cas, respectivement, de déformations planes ou de
contraintes planes. En élasticité, les coefficients CC , B C
, DC
ss
ss
ss
, sont les produits des coefficients
C D , B D
, D D
ss
ss
ss
par 1
2
- . Enfin, le coefficient de rigidité de distorsion transverse Gsx est
3
identique pour les trois modélisations à la correction de métrique près.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
11/32
On peut ainsi exprimer l'énergie élastique en fonction des tenseurs de déformations de coque :
E, K
,
par :
· pour une coque de révolution :
1
2
W él =
2

2
2
2
2
2
2 0 [Css Ess + Bss Ess Kss + Dss Kss + C E
+ B E
K
+ D K


+ 2 (Cs E
ss E + Bs (E

ss K + E
K
ss ) + Ds K
ss . K )
Gsx3 2
+
s r.ds.d
2


· pour une coque invariante selon z en « contraintes planes » :
1
Gsx

W él
C
2
C
C

=
C

2
3
2
ss E ss + 2Bss E ss . Kss + Dss Kss +
s .ds
2
2

· pour une coque invariante selon z en « déformations planes » :
1
Gsx

W él
D
2
D
D

=
C

2
3
2
ss E ss + 2Bss E ss . Kss + Dss Kss +
s .ds
2
2

A ces expressions, il faut ajouter le potentiel associé aux contraintes thermiques, qui sera une
contribution au second membre (que l'on exprimera ci-dessous en repère global) :
· dans le cas coque de révolution :
2 h

/2
(
Lth
réf
) =








T - T
C
+ C
+ C
+ C
rd dx ds
V
3
0
-h/ [ (
) ( ssss ss ) ss ( ss
) )]

2
expression qui pour un comportement élastique isotrope devient :
2
h
/2
sin

th
E
réf vx


(
L



3


V) =


sin
cos


(T -T ) -vx,s
+ vy,s
+ x
s,s -
s
rd dx ds
1-

r



r


3

0
-h/2


· dans le cas invariant selon z en "contraintes planes" :
h
/2



th
réf
CsszzCzzss
(
L

V) =

(T - T )Cssss -
ss dx ds


C
3


- /2
zzzz

h

expression qui pour un comportement élastique isotrope devient :
h/2
th

réf
(
L V) =

sin cos 3



E T - T
- v ,
+ v ,
+ x
dx ds
3
-
,
h/2[
(
)( x s
y s
s s )]
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
12/32
· dans le cas invariant selon z en "déformations planes" :
h

/2
Lth
réf
(
=

T - T
C
dx ds
V)


3
- /2[ (
) ssss ss
h
]
expression qui pour un comportement élastique isotrope devient :
h

/2
th

E
réf

(
L


3
V) =

(T -T )
1
(-vx,ssin +vy,scos + x s,s) dx
ds


3

-

/2 -
h


Dans ces trois expressions, on a délibérément négligé la correction de métrique dans l'épaisseur
(termes en s , vus pour la rigidité). De plus la température T qui apparaît est définie par le
modèle de coque thermique à trois champs (cf. [R3.11.01]) :

x 2

x
x
x
x
T(s x ) = T m(s)
3
1-

T s (s) 3
3
1
T i
,
.


(s) 3

1 3
3


h +
+
2h
h +
-
+
2h
h




De l'ensemble de ces expressions, on déduit les tenseurs d'efforts généralisés N et M (efforts
normaux et moments de flexion) associés aux déformations généralisées E et K par le principe des
travaux virtuels. Ils sont liés au tenseur des contraintes tridimensionnelles par :
h/2
N
=
dx

-h
/
3
2
h/2
M
=
x .
3
dx

-h

/
3
2
(où l'on a négligé les variations de métrique dans l'épaisseur).
Remarque :
Energie de cisaillement transverse
Le modèle de coque présenté ci-dessus, dit de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, repose sur une
hypothèse cinématique : les paramètres W et
s désignent le déplacement normal du point
m de la surface moyenne et la rotation du vecteur normal n .
On trouve aussi fréquemment le modèle dit de REISSNER qui repose sur une hypothèse
statique de la répartition des contraintes de cisaillement transverse. Les paramètres
cinématiques déduits W et
s dans ce modèle sont des moyennes pondérées dans
l'épaisseur du déplacement normal et des rotations locales. Si l'on désire se placer dans ce
cadre, il suffit d'affecter le coefficient
= 5/6 au terme d'énergie de cisaillement transverse
(en
2s ). (cf. [bib7], [bib9]).
Enfin, si l'on veut, pour une coque mince, se situer dans le cadre du modèle de
LOVE-KIRCHHOFF, on peut neutraliser l'énergie de cisaillement avec une grande valeur de

(qui pénalise la condition s = 0 ), par exemple 106 h / R , où h est l'épaisseur et R
un rayon de courbure caractéristique ou une distance caractéristique des chargements :
(cf. [bib 2]). En pratique l'utilisateur peut renseigner la valeur de
sous le mot-clé A_CIS de
la commande AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01].
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
13/32
3
Formulation de l'élément fini. Discrétisation
3.1
Description de l'élément fini choisi
3.1.1 Motivations
Le choix du cadre HENCKY-MINDLIN-NAGHDI pour décrire la cinématique de coque, présentée au
paragraphe [§2], conduit à des expressions des déformations où les dérivées se limitent à l'ordre 1,
contrairement au modèle de LOVE-KIRCHHOFF. Ceci offre l'avantage de pouvoir utiliser un élément
fini d'ordre limité tout en assurant la conformité. Le choix naturel est l'élément de LAGRANGE P2,
isoparamétrique, qui permet d'avoir une représentation fine d'une géométrie courbe et de bonnes
estimations des contraintes.
Les degrés de liberté sont bien sûr les déplacements et les rotations.
Comme il est dit précédemment, le modèle de LOVE-KIRCHHOFF peut être recouvré par pénalisation
pour un paramètre très grand affectant l'énergie de cisaillement transverse.
Cette formulation rejoint la catégorie des éléments finis de coques dits « dégénérés », c'est-à-dire bâtis
en injectant la cinématique de coque dans des éléments de milieux continus tridimensionnels :
cf. [bib10].
Comme pour tous les éléments finis de coques, des aspects particuliers doivent être analysés : la prise
en compte des modes rigides et des risques de blocage de membrane ou de cisaillement.
Dans le cas de la coque de révolution axisymétrique, il n'y a qu'un mode rigide : la translation selon
l'axe de symétrie 0y .
Par contre, dans le cas de la coque invariante selon la direction 0z , on a trois modes rigides : deux
translations dans le plan (x 0y) et la rotation autour de 0z .
Pour que l'élément fini soit performant, il est nécessaire que les approximations retenues pour la
description du déplacement assurent une représentation exacte de l'état de déformations nulles (mode
rigide). En pratique, comme la notion de mode rigide est définie par rapport au repère global on décide
donc de décrire les déplacements en base globale (e , e
x
y ) , dans laquelle les modes rigides
(fonctions affines) sont représentés par l'interpolation choisie.
Quant aux risques de blocage en membrane et en cisaillement transverse, le traitement habituel
consiste dans une intégration numérique sélective (cf. [bib2]), mais la pratique révèle que ces
phénomènes apparaissent rarement pour les coques de révolution.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
14/32
3.1.2 Présentation générale de l'élément
L'élément de référence choisi est quadratique, isoparamétrique à trois noeuds et trois degrés de liberté
par noeud. Ces degrés de liberté sont :
u , u
x
y :
composantes du déplacement U en repère global,
s :
la rotation autour de ez de la normale n .
Voir [Figure 3.1.2-a].
Cet élément est une généralisation de l'élément de poutre plane courbe. Il est bien adapté à la
discrétisation des coques à courbure méridienne R variable, cf. [bib2].
u
y

u x
N.1
N.3
N.2
·
·
·
t -1
0
+1
!!


n
Figure 3.1.2-a : Elément de référence
Les fonctions de forme (de base) sont les polynômes de LAGRANGE :
-1 +
+
"
1
N
2
1 () =
; "
N
2 () =
; "
N
3 () = 1-
2
2
3.1.3 Transformations élément fini / élément fini de référence
y
y
-1
0
+1
2
N2
·
·
·

y
N3
N1
N3
N2
3
y
N1
1
x
x
x
2
x3 1
La géométrie est interpolée à l'aide des coordonnées (x , y
i
i ) des trois noeuds N1, N 3, N 2 :
3
3
x() = x N"
i
i ()

y

; (
)
=
y N
i
i

" ()
i =1
i =1
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
15/32
De même à l'aide des ddl (u , u
x
y
,
s

sur les noeuds, on a :
i
i
i )
3
3
u
=
"
x ( )

u N
x
i ;
=
"
i
( ) uy ( )
u
N
y
i
i
( )
i =1
i =1
3
= "
s ( )

N
s
i
i
( )
i =1
On a besoin aussi du jacobien de la transformation :
(
ds
2
2
m ) =
() = (x , ) + (y , )
d
Et des vecteurs de la base locale :
1
t() =
x
y
m(


x +

) (
e
e

,

,
z )
(
1
n ) =
y
x
m(


x -

) (
e
e

,

,
z )
Enfin :
y,
- x,
cos
=
m(
=
)
;
sin
m()
La courbure méridienne s'obtient par :
1

= - (n.t, ) d
1
.
=
x . y


- y . x
3
R
ds
m () ( ,
,
,
, )
À cause de l'interpolation P2, les dérivées secondes qui apparaissent ci-dessous s'expriment à l'aide
des coordonnées des trois noeuds par :
x
= x
1 + x
2 - 2 . x y

3
= y
1 + y
2 - 2 . y
,
,
3
3.1.4 Intégration numérique surfacique
Pour les intégrations numériques le long de l'élément on utilise une formule d'intégration numérique à
quatre points de GAUSS, unique pour tous les termes à intégrer. Cette formule fait apparaître les
blocages mentionnés au paragraphe [§3.1.1] en cas de plastification extrêmement localisée. On
conseille donc d'éviter l'utilisation de ces éléments en plasticité pour le moment. La formule
d'intégration numérique à quatre points de Gauss sera remplacée ultérieurement par une formule à
deux points de Gauss censée éviter ces désagréments.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
16/32
3.1.5 Intégration numérique dans l'épaisseur
Pour un comportement élastique, dans la mesure où on admet que l'on se limite à des caractéristiques
élastiques uniformes dans l'épaisseur, les rigidités [C ], [B ]
, [D
ij
ij
ij ]
et Gsx définies au paragraphe
3
[§2.2] sont calculées exactement.
Pour un comportement non-linéaire, on subdivise l'épaisseur initiale en N couches d'épaisseurs
identiques numérotées dans le sens de la normale à la surface moyenne de l'élément. Pour chaque
couche on utilise trois points d'intégration. Les points d'intégration sont situés en peau supérieure de
couche, au milieu de la couche et en peau inférieure de couche. Pour N couches, le nombre de points
d'intégration est de 2N+1. On conseille d'utiliser de 3 à 5 couches dans l'épaisseur pour un nombre de
points d'intégration valant 7, 9 et 11 respectivement.
Pour chaque couche, on calcule l'état des contraintes (11,22,12) et l'ensemble des variables
internes, au milieu de la couche et en peaux supérieure et inférieure de couche, à partir du
comportement plastique local et du champ de déformation local (11,22,12). Le positionnement des
points d'intégration nous permet d'avoir les estimations les plus justes, car non extrapolées, en peaux
inférieure et supérieure de couche, où l'on sait que les contraintes risquent d'être maximales. Le
comportement plastique ne comprend pas pour le moment les termes de cisaillement transverse qui
sont traités de façon élastique, car le cisaillement transverse est découplé du comportement
membranaire en contraintes planes.
Cordonnées des points
Poids

1/3
1 = -1

4/3
2 = 0

1/3
3 = +1
1
n
y()d =

i y (i)
-1
i=1
Formule d'intégration numérique pour une couche dans l'épaisseur en plasticité
Pour un comportement thermoélastique, on utilise l'intégration, par couche dans l'épaisseur
h
h
- , + décrite précédemment dans le domaine non-linéaire, des termes thermomécaniques vus

2
2
au paragraphe [§2.2]. Il est alors nécessaire d'utiliser STAT_NON_LINE avec un comportement
élastique.
Remarque :
On a déjà mentionné au [§2.2]. et en [R3.07.04] que la valeur du coefficient de correction en
cisaillement transverse pour les éléments de coque était obtenue par identification des
énergies complémentaires élastiques après résolution de l'équilibre 3D. Cette méthode n'est
plus utilisable en élasto-plasticité et le choix du coefficient de correction en cisaillement
transverse se pose alors. Les termes de cisaillement transverses ne sont donc pas affectés
par la plasticité et sont traités élastiquement, faute de mieux. Dans le cas où l'on se place en
théorie de Love-Kirchhoff pour une valeur de ce coefficient de 106 h/R (h étant l'épaisseur de
la coque et R son rayon de courbure moyen) les termes de cisaillement transverses
deviennent négligeables et l'approche est plus rigoureuse.

Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
17/32
3.2
Formulation des termes élémentaires
3.2.1 Masse, centre de gravité, matrice d'inertie
Dans le cas des coques de révolution, la masse vaut :
2 h/2 ( + - dx rd ds
2
2
3
=
hrd ds =
h r ds
-
1
2
h
s



)


0


/




0




où est la masse volumique supposée constante de l'élément.
La position du centre d'inertie est donnée dans le repère Oxyz du [§2.1] par :
xG = 0

h2
1 cos
yr ds +
sin
rds


+
12






R
r
y

G =
r ds

zG = 0
Les termes de la matrice d'inertie par rapport à O dans le repère Oxyz du [§2.1] ont alors pour
expression :
x2
h3
cos2

I
= 2 h(
+ y2 ) +
(sin2 +
+ x
cos + 2 y
sin)rds
xx/O
2
12
2



h3

1
cos
I
= 2 hx2 +
(cos2 + 2 x
cos)rds
yy/O
où =
+
.

R
r

12


x2
h3
cos2

I
= 2 h(
+ y2 ) +
(sin2 +
+ x
cos + 2 y
sin)rds
zz/O
2
12
2


Dans le cas des coques invariantes selon 0z , la masse vaut :
h/2
-
=
h/2
sdx ds
3
h ds .


La position du centre d'inertie est définie dans le repère Oxy du [§2.1] par :

h2
cos
x ds +

ds


12

R
x


G =
ds


h2
sin
y ds +

ds


12

R
y


G =
ds

Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
18/32
Les termes de la matrice d'inertie par rapport à O dans le repère Oxyz du [§2.1] ont alors pour
expression :

h3

I
= hy2 +
(sin2 + 2 y
sin)ds
xx/O

12




h3

I
= I
= hxy +
(sin cos + x
sin + y
cos)ds
xy/O
yx/O

12



1
où =
.

h3

R
I
= h
x2 +
(cos2 + 2 x
cos)ds
yy/O

12




h3

I
= h(x2 + y2 ) +
(1 + 2 x
cos + 2 y
zz/O
sin)ds

12



h2
h3
Les termes en
pour les centres d'inertie et
pour les matrices d'inertie ne sont pas pris en
12
12
compte dans la programmation. Cela revient à négliger la variation de métrique avec la courbure dans
le calcul de ces termes.
3.2.2 Matrice de masse
2 h/2

Le terme : v , . ,
, d'énergie cinétique est traité en considérant la
-h/2
(s x3) v(s x3)rdx d
3 ds
0
masse volumique constante dans l'épaisseur et la correction de métrique due à la courbure
négligeable. L'intégrande est éclaté en trois termes :
·
h (u .u + u .u
énergie cinétique de
x
x
y
y )
translation
h3
·


énergie cinétique de
s. s
12
rotation
h3
·

sin
-
+

+
cos
+
énergie cinétique de
12
( (u u )
(u u
x s
x s
y s
y s )
couplage, avec :
1
cos
= +
R
r
pour le cas coque de révolution axisymétrique.
1
= pour le cas coque invariante selon 0z (de plus dans ce cas disparaît l'intégrale
R
2 rd

).
0
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
19/32
3.2.3 Second membre de force centrifuge
Dans le cas des coques de révolution, on considère un vecteur rotation : = .
2 e y , porté par
l'axe de révolution. Le terme du second membre correspondant est :
2

h/2
2
2 .r u -
x
.
x
s
3 sin
dx3rd ds



-h/2
(
)

0
= 2 h2 2
2
r .u d
x


ds
0
(on néglige la correction de métrique dans l'épaisseur).
Dans le cas des coques invariantes selon 0z , on considére un vecteur rotation : = .
3 e z ,
perpendiculaire au plan de la section .
Le second membre est alors :
h
2 .
+ .


3 (x u
y u ) ds
x
y
3.2.4 Second membre de pesanteur
Dans le cas des coques de révolution, la pesanteur est dirigée selon e y .
Le second membre est :
2 gh u r

y

d ds
0
Dans le cas des coques invariantes selon 0z , celle-ci est dirigée dans le plan
x 0y : g = g e + g
x
x
y e y .
Le second membre est :
h g .e + g .e d s

( x x
y
y )
3.2.5 Second membre de charges réparties
Ces charges réparties peuvent être deux forces dans le plan (x 0y) et le couple M z porté par l'axe
0z . Les deux forces, dont on considère qu'elles sont appliquées sur la surface moyenne , pourront
être fournies en repère global (e , e
x
y ) ou local (t, n) . Le second membre est :
2(F u + F u + M ) rdds
x
x
y
y
z
s
0
2
(en coque invariante selon z , l'intégrale
rd

disparaît).
0
Remarque :
Les actions ponctuelles sont traitées comme des forces nodales là où elles sont appliquées,
puisqu'elles travaillent dans les ddl de l'élément fini.

Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
20/32
3.3
Calcul des déformations et des contraintes
Après résolution, on a la possibilité avec l'opérateur CALC_ELEM [U4.81.01] de calculer aux noeuds les
champs élémentaires suivant :
· les déformations généralisées E
, K

: option DEGE_ELNO_DEPL,
· les déformations tridimensionnelles sur la fibre moyenne et en peaux interne et externe
(avec ou sans correction de courbure) : option EPSI_ELNO_DEPL,
· les contraintes tridimensionnelles sur la fibre moyenne et en peaux interne et externe
(avec ou sans correction de courbure) : option SIGM_ELNO_DEPL en élasticité linéaire,
· les efforts généralisés N
, M

(avec ou sans correction de courbure) : option
EFGE_ELNO_DEPL en élasticité linéaire.
Ces valeurs aux noeuds sont obtenues par extrapolation à partir des valeurs aux points de GAUSS de
l'élément, selon la méthode exposée en [bib4] [R3.06.03].
Enfin, on peut avoir aussi les valeurs N
, M

aux points de GAUSS de l'élément : option
SIEF_ELGA_DEPL en élasticité linéaire.
Aucun post-traitement de contraintes ou d'efforts généralisés n'est pour le moment disponible pour des
comportements matériaux non linéaires.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
21/32
4
Validation - Cas test
On considère ci-après, pour juger des capacités de cette formulation, quelques exemples d'application
(cf. [bib10]).
4.1
Cylindre sous pression interne
On étudie un cylindre vertical soumis à une pression interne p constante sur la partie y < 0 , et nulle
sur y > 0 : voir [Figure 4.1-a].
L/2
C
R
+ L/10
B2
B
x
- L/10
B1
p
- L/2
A
Figure 4.1- a : Cylindre sous pression axisymétrique
Le rayon est : R = 4 m, l'épaisseur t = 0.25 m, la longueur L = 10 m. Celle-ci est choisie pour que
les effets de bord libre en y = ± L / 2 soient négligeables sur la solution (en axisymétrique, L doit
1
vérifier :
L > 3 Rt = 3 m ici).
2
Le matériau est élastique (E
=
1 Pa
,

= .
0 )
3 .
Les conditions aux limites sont : p = 1N / m2 , déplacement vertical en A nul.
On choisit la solution obtenue par le modèle LOVE-KIRCHHOFF.
Pour l'atteindre numériquement, on prend comme coefficient de cisaillement : = 106 , pour inhiber
les distorsions s . La solution analytique est :
P
P
pour y
0 : u ( y)

(2 e y
cos y
y

=
-
),


cos sin
4
s (y) =
e
3
(
y -
y
x
)
8 D
8 D
P
P
pour y
0 : u ( y)

e- y
cos y
-y

=
,


cos
sin
4
s (y) =
e
3
(
y +
y
x
)
8 D
8 D
Et 3
Et
avec D = 12 1-2
( ), 44=DR2 .
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
22/32
Les efforts généralisées sont (sin = )

0 :
Et
p
N

= u

- y

x
(y) M

;
= Du
ss
x (y)
= e

sin y
R

4 2
Les contraintes tridimensionnelles sont :
N
M
x
M x




= +
3


; ss
=
ss 3
12
12
, d
':
t
t 3
t 3

pR
e y


x
3

(y, x ) = 1 -
cos y
3
+
2
sin y

3

t
2
t
1- 2

pour y 0 :


pR x
ss
3
(y, x
3
) = .

e y
sin y
3


t
t

1- 2

pR e- y


x
3

(y, x ) =
cos y
3
-
2

sin y
3


t
2

t
1 - 2

pour y 0 :
pR x
ss

3
( y, x
3
) = .

e- y
sin y
3


t
t

1 - 2
Pour un maillage régulier de cent mailles et deux cent un noeuds, on trouve :
Référence
Aster
% différence
Déplacement Ux
Point A
63.9488
63.922
­0.042
Point B
32.000
32.005
0.015
Point C
0.05120
0.08755
Rotation s
Point A
0.06583
0.04057
Point B
41.133
41.165
0.078
Effort normal N
Point B
2.0000
2.0003
0.015
Point B1(à ­L/10)
3.84429
3.8442
0.002
Moment Mss
Point B1
4.01497 10­2
4.013 10­2
0.05
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
23/32
Figure 4.1-b : Flèche du cylindre sous pression
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
24/32
Figure 4.1-c : Rotation du cylindre sous pression.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
25/32
Figure 4.1-d : Moments fléchissants axiaux du cylindre sous pression
4.2
Plaque circulaire encastrée sous pression uniforme [V3.03.100]
On considère la plaque de rayon R = 1 m, d'épaisseur t = 0,1 m (voir [Figure 4.2-a] ci-dessous)
encastrée sur son pourtour.
y
R
p
p
0
x
D
A
R/2
Figure 4.2-a
Le matériau est élastique (E
= 1 P
. a
,

= .
0 )
3 . La pression est : p
= 1 N
.
/ m2 .
Les conditions aux limites sont : en 0 :
. ,
s
= 0 en
A : u
= u
x
y = 0 . , s = 0 .
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
26/32

5
On s'intéresse aux solutions des modèles de REISSNER =


et de LOVE-KIRCHHOFF (on
6
prendra = 106 ).
La solution analytique est pour la flèche :
pR4
x 2
x 2

u
1
1

y ( x) = -
-



.
64D



R
-




R
+
Et 3
16 t 2
1
5
avec
D =



0 pour la solution
12(
=

=
=
1- 2
) ;

si
;

5
R
1-
6
LOVE-KIRCHHOFF.
pR2 x
La distorsion est en effet : s (x) = -
.
16D 2
pR2

x 2
La rotation
1

s est : s ( x) =
x
-

.
16D




R
Les variations de courbure sont (sin
= + )

1 :
pR2
x 2
K
x
1 3

ss ( ) =
-
-
16D



R
pR2
x 2
K (x) = -

1

-

16D



R
Les moments fléchissants sont (sin
= + )

1 :
pR2
x 2

M
x
3
1
ss ( ) =
(
+ )
(
)

16



R -
+
pR2
x 2

M (x)

=
(
1 + 3)
( 1 )


16



R -
+
Les contraintes s'écrivent :

E
ss ( x, x ) =
x [K
3
+
2
3
ss ( x)
K (x)]
1 -


E
(x, x ) =
x [
3
+
2
3

K (x) K (x)]
1 -
ss
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
27/32
On remarque l'indépendance en de la rotation, des variations de courbure et des moments
fléchissants. Au centre 0 de la plaque :
pR4
pR2
uy ( )
0 = -
( 1 + ), M ( )0 = M
ss

( )
0

= -
( 1 + ),
64D
16
pR2
K ( )
0 = K
ss

( )
0

= -
.
16D
2

E t pR
ss ( ,
0 ±t / 2) =
( ,
0 ±t / 2) = #
.
1 - 2 16D
On remarque que l'on est en compression en peau supérieure de plaque.
pR2
pR2
A l'encastrement A : M ss (R) =
; M (R) =
.
8
8
s
uy
Figure 4.2-b : Flèche, rotation d'une plaque circulaire encastrée
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
28/32
Pour un maillage régulier de 10 mailles (21 noeuds) on trouve :
Référence
Aster
% différence
Déplacement uy

5
­101.827
­101.7769
0.049
Point D =



6
LOVE­KIRCHHOFF
­95.9765
­95.0395
0.978

5
­178.424
­178.368
0.031
Point 0 =



6
LOVE­KIRCHHOFF
­170.625
­169.761
0.507
Rotation s

5
256.001
0.024
Point D =



6
LOVE­KIRCHHOFF
255.94
257.123
0.462
Variation de courbure Kss

5
173.406
1.60
Point D =

6
LOVE­KIRCHHOFF
170.625
162.765
4.61
Variation de courbure K

5
514.001
0.024
Point D =

6
LOVE­KIRCHHOFF
511.875
512.242
0.46
Moment Mss

5
­0.081751
+0.617
Point 0 =

6
­0.08125
LOVE­KIRCHHOFF
­0.081394
­0.18

5
0.12373
­1.02
Point A =

6
0.125
LOVE­KIRCHHOFF
0.10717
­14.3
Moment M

5
­0.081751
0.617
Point 0 =

6
­0.08125
LOVE­KIRCHHOFF
­0.081394
­0.18

5
0.037121
­1.01
Point A =

6
0.03750
LOVE­KIRCHHOFF
0.032146
­14.3
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
29/32
On remarque que la solution LOVE-KIRCHHOFF ( = 106 ) est moins bien approchée que celle par

5
REISSNER =


sur les variations de courbure et les moments fléchissants. Par contre, les
6
déplacements et rotations sont bien calculés.
Ces différences tiennent à la relative épaisseur de cette plaque, vis-à-vis de la grossièreté du maillage
choisi. Les figures ci-après montrent la comparaison des solutions analytiques et numérique, dans le
cas LOVE-KIRCHHOFF, sur des maillages de 10 et 100 éléments.
- K
Kss
Figure 4.2 - c : Variations de courbure d'une plaque circulaire encastrée
Le tracé des variations de courbure K
et K
ss
illustre le fait que ces deux composantes ne sont
pas approchées de la même manière : la première est linéaire puisque dérivée d'une fonction de forme
P2, tandis que la seconde est constante par morceaux.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
30/32
4.3 Analyse modale axisymétrique d'une enveloppe sphérique mince
[V2.03.007]
On considère une sphère, de rayon moyen Rm = 2.5 m, d'épaisseur t = 0.10 m.
Le matériau est élastique (E = 200000 MPa, = 0,3), de masse volumique = 7800 kg/m3.
y
R
x
Figure 4.3-a : Sphère
On étudie ses vibrations libres axisymétriques dans le cadre LOVE-KIRCHHOFF ( = 106) .
On utilise un maillage composé de 40 mailles et 81 noeuds. On s'intéresse aux fréquences comprises
entre 220 et 375 Hz. Par rapport à la solution de référence [V2.03.007] on trouve comme 5 premières
fréquences :

1
2
3
4
5
Référence
237.25
282.85
305.2
324.2
346.8
Aster
237.32
282.78
304.95
323.7
346.2
Tableau 4.3-a : Fréquences des modes axisymétriques
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
31/32
5 Conclusion
Les éléments finis que nous proposons ont été choisis dans un but bien particulier : calcul de structures
minces axisymétriques, ou de sections orthogonales de coques infinies avec indépendance dans la
direction z , avec le souci d'obtenir une bonne précision sur la solution membranaire et flexionnelle tout
en ayant un élément simple d'implantation et pas trop coûteux.
Le choix des degrés de liberté permet une bonne représentation des conditions aux limites. De plus,
cette formulation déplacement et rotation conduit à des éléments de degré plus faible : les éléments
sont P2 en membrane et P2 en flexion. Il apparaît qu'ils sont aisés à manipuler et que leur formulation
permet d'utiliser une structure de pré et post processeur simple, avantage non négligeable pour
effectuer des maillages assez fins (unidimensionnels) et pour visualiser facilement les résultats (sur
une simple courbe). La cinématique choisie : formulation de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, en
déplacements et rotations de la surface moyenne permet de faire intervenir l'énergie de cisaillement
transverse (intéressante pour les coques d'épaisseur moyenne).
Cette énergie peut être affectée d'un facteur de correction : si l'on veut se placer en théorie de
REISSNER, il suffit de choisir = 5 / 6 au lieu de 1 (mais bien sûr, la flèche W et les rotations
ne sont dans cette théorie que des moyennes pondérées dans l'épaisseur). De plus, la formulation de
coque de LOVE-KIRCHHOFF (pour les structures très minces) peut être simulée par pénalisation de la
condition de nullité de la distorsion transverse, en choisissant un facteur = 106 × h L , h étant
l'épaisseur et L une distance caractéristique (rayon de courbure, zone d'application des charges...).
Les comportements non-linéaires en contraintes planes sont disponibles pour ces éléments. On signale
cependant que les contraintes générées par la distorsion transverse sont traitées élastiquement, faute
de mieux. En effet, la prise en compte d'un cisaillement transverse constant non nul sur l'épaisseur et
la détermination de la correction associée sur la rigidité de cisaillement par rapport à un modèle
satisfaisant les conditions aux limites ne sont pas possibles et rendent donc l'utilisation de ces
éléments, lorsque le cisaillement transverse est non nul, rigoureusement impossible en plasticité. En
toute rigueur, pour des comportements non linéaires, il faudrait donc utiliser ces éléments dans le
cadre de la théorie de Love-Kirchhoff.
Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique ; les chaînages
thermomécaniques sont donc disponibles avec des éléments finis de coques thermiques à trois noeuds
décrits en [R3.11.01] selon le cas dans sa version axisymétrique, ou sa version plane invariante selon
0z .
Dans les cas-test traités, les phénomènes de blocage ne sont pas apparus. La décomposition de
l'énergie de déformation permettra, en cas de besoin, d'intégrer de façon sélective les termes
responsables du blocage, une telle modification ne devant pas poser de difficultés particulières. Une
étude plus détaillée doit bien sûr être menée sur ce sujet, quant aux méthodes numériques à utiliser
pour éviter ce blocage quand l'épaisseur devient faible.
Les développements envisageables sont :
· l'anisotropie afin de pouvoir traiter les coques multicouches,
· les problèmes de flambement,
· la décomposition en séries de FOURIER pour étudier des problèmes non axisymétriques de
coques de révolution,
· la prise en compte d'une épaisseur variable ...
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D
Date :
06/12/00
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. VOLDOIRE, C.SEVIN
Clé :
R3.07.02-B
Page :
32/32
6 Bibliographie
[1]
B. ALMROTH - D. BRUSH : Buckling of bars, plates and shells. Mc Graw-Hill 1975.
[2]
J.L. BATOZ - G. DHATT : Modélisation des structures par éléments finis. Tome 3 Coques.
Hermès 1992.
[3]
D. BUI - F. VOLDOIRE : Présentation d'un élément fini de coque cylindrique P2 en membrane
et Morley en flexion. Note EDF-DER-MMN, HI 71/6715, du 10.10.90.
[4]
X. DESROCHES : Calcul des contraintes aux noeuds par une méthode locale de lissage par
moindres carrés. Note EDF-DER-MMN du 20.01.92 [R3.06.03].
[5]
G. DHATT - G. TOUZOT : Une présentation de la méthode des éléments finis.2ème édition.
Maloine SA 1984.
[6]
GREEN - ZERNA : Theoretical elasticity. Univ. Oxford 1954.
[7]
TIMOSHENKO et WOINOWSKY-KRIEGER : Plaques et coques. Béranger 1961.
[8]
F. VOLDOIRE : Formulation et évaluation numérique d'un modèle de coque élastoplastique
axisymétrique enrichie. Note EDF-DER-MMN, HI-73/7518, du 04.02.92.
[9]
D. BUI : Le cisaillement dans les plaques et les coques : modélisation et calcul. Note
EDF-DER-MMN, HI-71/7784, du 20.02.92.
[10]
S. ANDRIEUX - F. VOLDOIRE : Modèles de coques. Applications en statique linéaire. Ecole
d'Eté CEA-EDF-INRIA d'Analyse Numérique 1992.
Manuel de Référence
Fascicule R3.07 : Eléments mécaniques à surface moyenne
HI-75/00/006/A

Document Outline