Code_Aster ®
Version
5.4
Titre :
Comportements non linéaires en contraintes planes
Date :
06/03/01
Auteur(s) :
J. M. PROIX, E. LORENTZ
Clé :
R5.03.03-A
Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document : R5.03.03

Prise en compte de l'hypothèse des contraintes
planes dans les comportements non linéaires

Résumé :
Ce document décrit une méthode générale d'intégration des modèles de comportements non linéaires
(élastoplastiques, viscoplastiques, endommageants,...) en contraintes planes.
Ceci est réalisé par une méthode de condensation statique due à R. de Borst.
Cette méthode permet d'utiliser la modélisation C_PLAN, ou bien les modélisations COQUE_3D, DKT et TUYAU
pour tous les modèles de comportements incrémentaux de STAT_NON_LINE disponibles en axisymétrique ou
en déformations planes. Il n'est pas opérationnel pour le moment dans DYNA_NON_LINE.
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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06/03/01
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1 Introduction
On présente ici une méthode générale d'intégration des modèles de comportements non linéaires
(plasticité, viscoplasticité, endommagement) en contraintes planes. Elle est activée par le mot clé
ALGO_C_PLAN : `DEBORST' de l'opérande des comportements non linéaires incrémentaux
COMP_INCR de STAT_NON_LINE, pour les modélisation C_PLAN, DKT, COQUE3D et TUYAU.
2
Difficulté d'intégration des comportements non linéaires en
contraintes planes

La modélisation C_PLAN, (ainsi que les modélisations COQUE_3D, DKT, TUYAU) suppose que l'état de
contraintes local est plan, c'est à dire que = 0 , z représentant la direction de la normale à la
zz
surface. Les tenseurs de contraintes et de déformations ont donc l'allure suivante (en C_PLAN) :


0

Dn . Dn
xx
xy



K n = BT Dn - 12 21 B
!
!
11


0


Dn

= xy
yy
22




0
0
zz
Remarque :
Pour les coques, il faut ajouter des termes dus au cisaillement transverse ( ,
), mais
xz yz
ceux-ci sont traités élastiquement et n'interviennent pas dans le résolution du comportement
local.

Cette hypothèse implique que la déformation correspondante est a priori indéterminée (contrairement
aux autres modélisations bidimensionnelles où l'on fait une hypothèse directement sur ). Elle ne
zz
peut être déterminée qu'à l'aide de la relation de comportement. Or la condition = 0 n'est pas
zz
anodine pour l'intégration du comportement où l'on calcule un accroissement de contrainte en
fonction de l'accroissement de déformation fourni par l'algorithme de Newton. Dans le cas de
l'élasticité linéaire, la prise en compte de cette condition est simple et permet de trouver :


= -
+
zz
(xx yy)
1 -
Mais si le comportement est non linéaire, ne peut pas être calculé uniquement à partir de u et
zz
ne se déduit pas simplement des autres composantes du tenseur des déformations. La prise en
compte de cette hypothèse doit alors être faite (quand c'est réalisable) d'une façon spécifique à chaque
comportement, et amène bien souvent à des difficultés de résolution supplémentaires : c'est le cas en
particulier pour le comportement de Von Mises à l'écrouissage isotrope [R5.03.02]. De ce fait,
beaucoup de modèles de comportement ne sont pas disponibles en contraintes planes.
La méthode présentée ici a le gros avantage de ne nécessiter aucun développement particulier dans
l'intégration du comportement pour satisfaire à l'hypothèse des contraintes planes. Elle est utilisable
dès que le modèle de comportement est disponible en axisymétrique ou en déformations planes.
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3
Principe du traitement des contraintes planes par la
méthode De Borst

L'idée de la méthode due à R. de Borst [bib1] consiste à traiter la condition de contraintes planes non
pas au niveau de la loi de comportement mais au niveau de l'équilibre. On obtient ainsi au cours des
itérations de l'algorithme de résolution globale de STAT_NON_LINE des champs de contraintes qui
tendent vers un champ de contraintes planes au fur et à mesure des itérations :
n
zz
0
où n désigne le numéro d'itération de Newton.
On obtient donc la condition de contrainte plane non pas exactement, mais de façon approchée, à
convergence des itérations de Newton, pour chaque incrément calculé. On vérifie, comme précisé par
la suite, que la composante ci-dessus est inférieure à une tolérance donnée.
La méthode consiste à décomposer les champs (de déformations ou de contraintes) en une partie
purement plane (spécifiée par un " chapeau ") et une composante suivant z. On fait alors apparaître
explicitement la composante zz dans l'expression de l'opérateur tangent en plasticité :
!
!
=
, =
zz
zz

! 11
D
D12
L'opérateur tangent d =
d D d devenant d =
.d
=



.
=

D
D
zz 21
22
d
11
D
D12
d et d désignent des accroissements infinitésimaux, et où par définition
=
est
d
D
D
21
22
la matrice tangente cohérente au comportement sans l'hypothèse de contraintes planes, soit en
axisymétrie, soit en déformation plane ­ voir par exemple [R5.03.02] pour les modèles de Von Mises).
4
Mise en oeuvre de la méthode
La méthode consiste en chaque point d'intégration de chaque élément à :
1) utiliser la relation de comportement axysimétrique ou déformation planes (elles sont
identiques) pour calculer les contraintes à partir des déformations,
2) effectuer une condensation statique sur la relation contrainte - déformation
3) écrire les accroissements infinitésimaux d et d qui sont reliés ci-dessus par l'opérateur
tangent sous la forme d'accroissement entre deux itérations de Newton n et n+1 :
d = n+1 n
-
n+1 (-

n) n+1 n
-
=
+
-
+
=
-
et de même pour d . A convergence, cet écart doit tendre vers zéro.
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En écrivant n+1
n
=
+
=
zz
zz dzz 0 on obtient, pour l'itération n+1 :
d
n
n
n+1
! ! -

-



+

+
11

n 1
! n
! n 1 ! n
D
D 12
d!
+1

.
d

= n
n =
n
=
n
n





-
-
zz
zz
zz
zz
D
n+1
21
D 22
d

zz
ce qui, en utilisant la dernière équation de ce système, nous permet de nous ramener à :
!n+1 = !n
n
+ D d
1
n 1
D

D
n 1
0
11 !
+
n
-
-
.

12 (
n
D22 ) ( n
n
+
d
21
=
zz
! + )
n
n
-1
n
n
d = - D

D
n 1
22
+
d
zz
( )


(
21 !
+
zz
)
avec le champ de contraintes qui s'écrit :
n

D D
D
1

. n
n
12
21
!n+
n
n 1
n
12
n
= D

11 -
d
-
n
! + + !
n
zz


D22
D

22
n
n
n


D
D
n+1
n
zz


=
-
+ 21
n
- 21
n 1

zz
zz
n
n
!
n
! +

D
D
D

22
22
22
En utilisant l'expression précédente du champ de contraintes , on trouve alors :
Bt n+
. dv
1
Bt n+
= ! . ! dv
1
= L


=

n
n
n



!
D .D
D
+

BT
Dn
12
21
n
12
n

11 -
d! n 1

+ !
zz dv




-


22
D

22
D


n
n
n




= !
D .D
D
BT Dn
12
21
-
!B.dun+1dv + !BT n
12
n



11

!
zz dv



-


22
D


22
D


Dn

= K ndun+1 + !BT

! n
12
n
-

zz dv



22
D

On constate donc que la prise en compte des contraintes planes intervient à deux niveaux :
· dans la matrice de rigidité tangente, par un terme correctif (deuxième terme de l'expression
ci-dessous) par rapport à l'expression 2D de la matrice tangente :

Dn Dn
n
12
21
K n
BT
=
D
dv
11 -
n
B
!
.
!

D22
· dans l'écriture du second membre par un terme correctif (deuxième terme de l'expression ci-
dessous) par rapport à l'expression 2D du tenseur des contraintes :

Dn12 n
R( un 1) = BT
+
-

dv
n
zz
! !n

D22

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Pour mettre en oeuvre la méthode De Borst pour l'ensemble des comportements incrémentaux, il suffit
donc de calculer ces termes correctifs et de les ajouter aux contraintes et matrices tangentes obtenues
par l'intégration 2D (en fait axisymétrique ou déformation plane) de ces comportements. Pour ce faire, il
faut stocker quelques informations supplémentaires au cours des itérations de Newton. On ajoute donc
(de façon transparente pour l'utilisateur) 4 variables internes au comportement utilisé.
La réalisation informatique est la suivante :
1) au cours de l'itération n+1 de l'algorithme de Newton, on a en entrée de la routine calculant le
comportement : un+1, -
-
, et les 4 variables internes supplémentaires suivantes issues
n
n
D
Dn
de l'itération précédente : 1 variable scalaire -
zz
21
n
! et 3 variables - 21 ,
n
+ n
D
D
n
D
22
22
22
2) avant d'effectuer l'intégration des comportements non linéaires (qui sera faite en
n
n
n
D
D
n+1
n

axisymétrique), on calcule
zz
=
-
+ 21
n
- 21
n 1
!
! + ,
zz
zz


n
n
n
D
D
D
22
22
22
3) On laisse les routines d'intégration du comportement calculer les contraintes ainsi que le
!n+1
comportement tangent D à partir de
comme si la modélisation était axisymétrique ou
n+1
zz
de déformation plane,
4) on modifie en sortie le second membre et la matrice tangente (si la réactualisation de la

Dn Dn
n
12
21
matrice tangente a été demandée) de telle sorte que : K n
BT
=
D11 -
B
!
.
! dv et


n
22
D



Dn

R( un 1) = BT
+
- 12 n

! ! n
dv ,


n
zz
D22


n
n
D
Dn
5) on stocke les nouvelles variables internes -
zz + 21
n
! et - 21 .
n
n
D
D
n
D
22
22
22
Pour vérifier la convergence, on vérifie, toujours au niveau de chaque point d'intégration de chaque
élément fini si n+1 < , où
n 1
+
=
avec fourni par l'utilisateur sous le mot clé
zz

RESI_INTE_RELA. La valeur par défaut est 10-6.
Au moment de tester la convergence des itérations globales de Newton (définie par RESI_GLOB_RELA
et
n +1
RESI_GLOB_MAXI) on examine si tous les points d'intégration vérifient la condition
< . Si
zz

ce n'est pas le cas, on effectue des itérations de Newton supplémentaires jusqu'à vérification complète
de cette condition.
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5
Aspects pratiques d'utilisation
Pour utiliser cette méthode, il faut préciser sous le mot clé facteur COMP_INCR le mot clé
ALGO_C_PLAN :'DEBORST'. Il faut également que la modélisation (spécifiée dans AFFE_MODELE)
des éléments concernés par ce comportement soit " C_PLAN " ou un modèle de type coque à plasticité
locale : COQUE_3D, DKT, TUYAU.
En pratique, cela augmente (automatiquement) de 4 le nombre de variables internes du comportement.
Pour bien converger, il est conseillé de réactualiser la matrice tangente (si possible, à toutes les
itérations : REAC_ITER : 1, ou toutes les n itérations, avec n petit).
Cette méthode permet donc une grande souplesse d'utilisation par rapport aux comportements : il suffit
qu'un comportement soit disponible en axisymétrie ou en déformation plane pour qu'il soit aussi
utilisable en contraintes planes.
Comme pour toutes les intégrations de modèles de comportements non linéaire, il est vivement
conseillé de donner un critère de convergence petit (laisser la valeur par défaut à 10­6.).
6 Bibliographie
[1]
R de Borst " the zero normal stress condition in plane stress and shell elastoplasticity "
Communications in applied numerical methods, Vol 7, 29-33 (1991)
Manuel de Référence
Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
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