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Version
7.4
Titre :
Comportements élasto viscoplastiques mono cristallins
Date :
19/04/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, T. KANIT, O. DIARD Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, MMC
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Fascicule R5.03 : Mécanique non linéaire
Document R5.03.11
Comportements élastoviscoplastiques mono et
polycristallins
Résumé :
Le but de ce document est de décrire l'intégration des comportements mono et polycristallins, en spécifiant de
façon indépendante le critère, l'écoulement, l'écrouissage etc.
On traite ici de l'intégration de ces lois de comportement associées à des systèmes de glissement
correspondant aux familles cristallines habituelles. Cette intégration peut se faire de façon explicite (méthode
de Runge_Kutta avec contrôle de la précision et redécoupage local du pas de temps) ou de façon implicite
(méthode de Newton avec redécoupage local du pas de temps).
Ces comportements peuvent être employés pour le calcul de microstructures (maillage d'un agrégat, avec
représentation géométrique de chaque grain physique) ou pour le calcul de poly-cristaux, milieux
« homogénéisé » possédant en tout point matériel (ou point d'intégration ou de calcul) plusieurs phases
simultanées, dans des proportions variables.
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Table
des
matières
1 Introduction ............................................................................................................................................3
2 Formulation des comportements mono et poly-cristallins .....................................................................3
2.1 Relations de comportement du mono-cristal...................................................................................3
2.1.1 Exemples de relations d'écoulement .....................................................................................4
2.1.2 Exemples de relations d'écrouissage cinématique ................................................................5
2.1.3 Exemples de relations d'écrouissage isotrope.......................................................................5
2.2 Systèmes de glissement et comportement global du monocristal ..................................................5
2.3 Comportement du polycristal homogénéisé ....................................................................................6
2.3.1 Rappel de l'existant ................................................................................................................6
2.3.2 Comportement de type POLYCRISTAL.................................................................................6
2.3.2.1 Relation de changement d'échelle.............................................................................7
3 Intégration locale et mise en oeuvre numérique ....................................................................................8
3.1 Système d'équations à résoudre .....................................................................................................8
3.1.1 Comportement de type MONOCRISTAL ...............................................................................8
3.1.2 Comportement de type POLYCRISTAL.................................................................................9
3.2 Résolution implicite........................................................................................................................10
3.2.1 Opérateur de comportement tangent ...................................................................................11
3.3 Résolution explicite........................................................................................................................12
4 Variables internes ................................................................................................................................13
4.1 Cas du monocristal ........................................................................................................................13
4.2 Cas du polycristal ..........................................................................................................................13
5 Implantation numérique dans le Code_Aster ......................................................................................14
6 Utilisation .............................................................................................................................................15
6.1 Cas du monocristal ........................................................................................................................15
6.2 Cas du polycristal ..........................................................................................................................17
6.3 Exemple .........................................................................................................................................17
7 Bibliographie ........................................................................................................................................20
Annexe 1
Expression du Jacobien des équations élastoviscoplastiques intégrées ................21
Annexe 2
Evaluation de l'opérateur tangent cohérent .............................................................24
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1 Introduction
L'objectif général du développement des fonctionnalités « micro-macro » dans le Code_Aster est de
pouvoir intégrer de façon modulaire des modèles à plusieurs échelles (avec une possibilité de choix
des lois de comportements, des règles de localisation, des types de microstructures, du lien entre le
point d'intégration dans l'élément et le « module loi de comportement »). Ce qui peut mener à des
types de calcul différents (calculs poly-cristallins, utilisation d'une loi de type Berveiller-Zaoui ou d'une
loi type « règle en », calculs d'agrégats multi-cristallins avec maillage d'une microstructure, ...).
La démarche présentée ici consiste à permettre le découplage, par modularité, des différents éléments
qui constituent une loi de comportement. Cette souplesse est accessible directement à l'utilisateur. De
plus, pour le développeur, il est possible d'ajouter une loi de comportement (macroscopique ou
microscopique) en définissant simplement les dérivées partielles du problème, en termes de calcul des
contraintes et de variables internes. Ceci est suffisant si on se contente d'une intégration explicite ;
pour une intégration implicite, il faut définir en plus l'opérateur tangent.
Plus précisément, pour l'aspect comportement de monocristal, la modularité est totale au niveau du
calcul « point matériel » : le matériau, représenté par quelques équations homogènes dans le cas des
modèles phénoménologiques macroscopiques, est maintenant plus complexe : pour un élément fini
donné, il est constitué d'un monocristal possédant une orientation données, et possédant un certain
nombre de systèmes de glissement. Chaque famille de systèmes de glissement possède sa propre loi
de comportement locale.
Dans le cas d'un modèle poly-cristallin, on suppose qu'en un point matériel (point d'intégration d'un
élément fini), plusieurs phases métallurgiques sont présentes simultanément, chaque phase pouvant
être constituée de grains avec des orientations données, chaque grain possédant un certain nombre
de systèmes de glissement (pas forcément les mêmes pour chaque phase). La représentation du
matériau peut également inclure la forme des grains et le type de phases en présence, induisant tel ou
tel type de règle de transition d'échelle. Chaque famille de systèmes de glissement possède sa propre
loi de comportement locale. On trouve une séparation entre la structure cristallographique, la loi de
viscoplasticité cristalline et les règles de transition d'échelles. Ce mode de séparation est aussi étendu
à la loi de viscoplasticité proprement dite, avec une séparation entre l'élasticité, le critère et la loi
d'écoulement. La représentation du matériau peut également inclure la forme des grains et le type de
phases en présence, induisant tel ou tel type de règle de transition d'échelle.
2
Formulation des comportements mono et poly-cristallins
2.1
Relations de comportement du mono-cristal
Le comportement lié à chaque système de glissement d'un monocristal est (dans l'ensemble des
comportements envisagés) de type élasto-visco-plastique. Du fait que l'on s'intéresse à chaque fois à
une seule direction de glissement, le comportement est mono dimensionnel. Il peut se décomposer en
trois types d'équations :
· Relation d'écoulement :
& = g( , , , p ), avec, p& = et
s
s
s
s
s
s
& s
pour un comportement élastoplastique un critère du type : F ( , , , p )
et F.p&
s = 0
s
s
s
s
0
pour un comportement élasto-viscoplastique, p& = f , , , p
s
( s s s s)
· Evolution de l'écrouissage cinématique : & = h( , , , p )
s
s
s
s
s
· Evolution de l'écrouissage isotrope défini par une fonction : R ( p )
s
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Ces relations deviennent, après discrétisation en temps:
· Relation d'écoulement :
= g( , , , p ), avec, p
=
s
s
s
s
s
s
s
pour un comportement élastoplastique un critère
du type
: F ( , , , p )
et
s
s
s
s
0
F.p
s = 0
et pour un comportement élasto-viscoplastique, p
= f , , ,
s
(
p
s
s
s
s ) t
· Evolution de l'écrouissage cinématique :
= h( , , , p )
s
s
s
s
s
· Evolution de l'écrouissage isotrope : R ( p )
s
Les quantités ( , , , p ) sont évaluées à l'instant courant pour une discrétisation implicite et à
s
s
s
s
l'instant précédent pour une discrétisation explicite.
Pour fixer les idées, voici des exemples de relations d'écoulement viscoplastique ou élastoplastique, et
d'écrouissage. Les noms de ces relations correspondent à leur appellation dans la commande
DEFI_MATERIAU [U4.43.01].
2.1.1 Exemples de relations d'écoulement
ECOU_VISC1
- c
s
s
= g( , , , p ) = p
s
s
s
s
s
s - c
s
s
n
- c - R ( p )
s
s
s
s
p
= t
.
s
k
Les paramètres sont : c, k, n .
ECOU_VISC2
- c - a
s
s
s
= g( , , , p ) = p
s
s
s
s
s
s - c - a
s
s
s
n
d
- c - a - R ( p ) +
(c
2
)
s
s
s
s
s
s
c
p
2
=
s
k
Les paramètres sont : c, k, ,
n a, d.
ECOU_VISC3
-
-
*
G
V *
0
= g , , , p
s
=
s
µ
& exp
exp
.
,
s
( s s s s ) 0 kT
kT
s
Les paramètres sont : k,
*
,
µ & , G
, V
0
0
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ECOU_PLAS1
F( , , , p )
c
R p
,
s
s
s
s
= s - s - ( )
s
s
0
F.p
,
s = 0
F
= p
s
s
s
Le paramètre associé est : c .
2.1.2 Exemples de relations d'écrouissage cinématique
ECRO_CINE1
= h
( , , , p ) = - d p
s
s
s
s
s
s
s
s
Le paramètre est : d .
ECRO_CINE2
c
s
m
s
= h
( , , , p ) =
- d p
- (
)
s
s
s
s
s
s
s
s
M
s
Les paramètres étant alors : d, M , m, c .
2.1.3 Exemples de relations d'écrouissage isotrope
On prenant une forme très simple de la matrice h traduisant l'interaction entre les systèmes de
glissement actifs, l'écrouissage isotrope peut être de la forme :
ECRO_ISOT1
N
r
R ( p ) R
Q(
h 1
(
e
))
s
s
= 0 +
-
- bp
sr
r=1
avec :
h = 1
( - ) +
sr
sr
sr
Les paramètres sont : R ,Q,b, h .
0
ECRO_ISOT2
1s
2s
R ( p) = R + Q (h q ) + Q q
s
0
1
rs
2
sg
avec :
dqis = b 1
( - qis )dp
i
Les paramètres sont : R ,Q ,b , ,
h Q .
0
1
1
2
2.2
Systèmes de glissement et comportement global du monocristal
Un monocristal est composé de une ou plusieurs familles de systèmes de glissement, (cubique,
octaédrique, basal, prismatique,... ), chaque famille comprenant un certain nombre de systèmes
(12 pour la famille octaédrique par exemple).
A chaque famille de système de glissement sont associés une loi d'écoulement, un type d'écrouissage
cinématique et isotrope, et des valeurs des paramètres pour ces lois. En d'autres termes, on ne prévoit
pas de faire varier les relations de comportement ou les coefficients au sein d'un même famille de
systèmes de glissement. Par contre, d'une famille à l'autre, les lois de comportement peuvent changer,
ainsi que les valeurs des paramètres.
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Un système de glissement est déterminé par le tenseur d'orientation
s
m , construit à partir des
définitions cristallographiques de :
· la direction de glissement (définie par le vecteur unitaire l )
· et de la normale au plan qui glisse (définie par le vecteur unitaire n ).
s
1
m = (n l + l n )
ij
2
i
j
j
i
Du point de vue du comportement au point matériel, ce tenseur intervient pour le calcul de la scission
réduite s
s
= m
:
et celui de la vitesse de déformation viscoplastique globale vp
E , définie à partir
ij
ij
de la connaissance des vitesses de glissement s
& pour tous les systèmes de
glissement : vp
E&
s
m
ij
ij
=
s
&
s g
De plus, le monocristal peut être orienté par rapport aux axes globaux de définition des coordonnées.
Cette orientation est définie pour chaque maille ou groupe de mailles (typiquement pour chaque grain)
par la donnée de 3 angles nautiques. Les composantes du tenseur d'orientation
s
m , défini dans le
repère lié au monocristal, sont alors exprimées dans le repère global en utilisant ces angles nautiques.
2.3
Comportement du polycristal homogénéisé
Dans le cas de poly-cristal homogénéisé, il faut définir chaque phase mono-cristalline par son
orientation, sa proportion (fraction volumique) et le comportement associé. Il faut de plus définir une
règle de localisation.
Le comportement mono-cristallin est construit comme précédemment à partir du comportement
elasto-visco-plastique précédent et de la donnée de familles de systèmes de glissement.
2.3.1 Rappel de l'existant
Le Code_Aster dispose, depuis la version 4, d'un seule loi de comportement poly-cristalline
(POLY_CFC), spécifique aux aciers C.F.C, (donc possédant obligatoirement 12 systèmes de
glissement), et limitée à 40 grains (40 phases définies chacune par une fraction volumique et une
orientation). La loi de comportement est fixée (élasto-visco-plasticité, avec écrouissage cinématique
non linéaire), et les 2 méthodes de localisation et d'homogénéisation sont celle de Berveiller-Zaoui, et
celle de Pilvin-Cailletaud. L'introduction des orientations des phases, des fractions volumiques et des
orientations des systèmes de glissement se fait à l'aide de l'opérateur DEFI_TEXTURE. Cet opérateur
crée une table, qui est fournie à DEFI_MATERIAU, en compléments des paramètres de la loi de
comportement [R5.03.13]. Ceci est validé dans le test SSNV125.
2.3.2
Comportement de type POLYCRISTAL
En plus du comportement monocristallin décrit précédemment, on ajoute une échelle de modélisation,
qui représente celle des phases.
Au niveau d'un point de Gauss, on a toujours les relations d'élasticité sur les
tenseurs globaux (homogènes) :
· déformation totale macroscopique E
· déformation viscoplastique macroscopique VP
E
· contrainte macroscopique :
= D(
th
vp
E - E - E )
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· De plus, connaissant l'ensemble des variables internes relatives aux systèmes de glissement
de chaque phase, les paramètres de comportement de chaque phase, les orientations et
fractions volumiques de chaque phase, et le type de méthode de localisation,
pour chaque phase monocristalline (ou « grain »), définie par une orientation et une
proportion fg, une relation de localisation des contraintes, de la forme générale (à exprimer
dans le repère local de chaque phase)
= L , E , ,
g
( vp vpg g)
et pour chaque système de glissement de chaque phase, des relations de comportement
relatives à chaque système de glissement, similaires au cas du monocristal :
Relation d'écoulement :
& = g( , , , p ), avec, p& = et p& = f , , , p
s
( s s s s)
s
s
s
s
s
s
& s
Evolution de l'écrouissage cinématique : & = h( , , , p )
s
s
s
s
s
Evolution de l'écrouissage isotrope défini par une fonction : R ( p )
s
Déformations viscoplastiques de la phase : vpg
&
s
m
ij
ij
=
s
&
s g
Il reste alors les équations d'homogénéisation : vp
vp
E& = f
g &g
g
2.3.2.1 Relation de changement d'échelle
Deux relations de localisation de type = L , E , , sont disponibles dans la version
g
( vp vpg g)
actuelle :
· La relation de Berveiller-Zaoui [bib5] établie sur la notion d'autocohérence. Cette relation est
validée sous certaines conditions, à savoir : isotropie du matériau, comportement élastique
homogène et chargement monotone :
vp
E
1
3
g
vp
vp
ij
g
ij = ij + µ
Eij - ij
= 1+ µ
2
J2(ij )
· La deuxième relation, développée plus particulièrement pour des chargements cycliques
[bib4] permet de donner une bonne description pour schématiser les interactions entre les
grains :
g
g
g
ij = ij + µ(Bij - ij )
Bij = f gij
g
g
vp
g
vp
vp
& =
g
&
- (
D -
g
) ||
g
&
||
ij
ij
ij
ij
ij
où D et sont des paramètres caractéristiques du matériau et de la température.
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3
Intégration locale et mise en oeuvre numérique
3.1
Système d'équations à résoudre
3.1.1
Comportement de type MONOCRISTAL
Le comportement local du monocristal est défini, à un instant donné de la discrétisation en temps et au
niveau d'un point d'intégration d'un élément fini, par la donnée :
· du tenseur de contraintes macroscopiques à l'instant précédent
-
(t )
,
i 1
=
-
· des variables internes à l'instant précédent, pour chaque système de glissement :
t
t
p t
,
s (
,
,
i 1
- )
s ( i 1
- )
s ( i 1
- )
· et du tenseur d'accroissement de déformation totale fournie par l'itération n de l'algorithme
global de résolution
n
E
= E
(avec les notations de [R5.03.01]).
i
L'intégration consiste à trouver :
· le tenseur de contraintes macroscopique = (t )
i
· et les variables internes = (t ) , = (t ) , p = p (t )
s
s
i
s
s
i
s
s
i
vérifiant les équations de comportement dans chaque système de glissement (qui sont des relations
mono dimensionnelles), et les relations de passage entre les tenseurs macroscopique et l'ensemble
des directions de glissement. Notation : on écrit les équations sous forme discrétisée de façon :
· explicite, si les quantités notées +/-
A
sont évaluées à l'instant t : +/-
-
A
= A = (
A t
i 1
- )
i 1
-
· implicite, si elles sont évaluées à l'instant t : A+/- = A+ = (
A t
i )
i
Les équations à intégrer peuvent se mettre sous la forme générale suivante :
Etant donnés, en un point de Gauss, les tenseurs :
E
: variation de déformation à l'instant t ,
i
-
E t
(
)
: déformation à l'instant t ,
i 1
=
-
E
i 1
-
-
(t )
: contrainte macroscopique à l'instant t ,
i 1
=
-
i 1
-
t
t
p t
: variables internes pour chaque système de glissement à t ,
s (
,
,
i 1
- )
s ( i 1
- )
s ( i 1
- )
i 1
-
Il faut trouver :
= (t ) : contrainte macroscopique à l'instant t , dans le repère correspondant à l'orientation
i
i
globale
= (t )
s
s
i
= (t )
s
s
i
p = p (t )
s
s
i
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vérifiant :
1
D- = ( 1
D- )
-
- + (
th
vp
E
- E
- E
) , où D peut dépendre de la température, et peut correspondre à une
élasticité orthotrope.
vp
E = m
s s
s
pour chaque système de glissement (de l'ensemble des familles de systèmes) :
n équations :
+ /-
= : m
s
s
s
n relations d'écoulement : soit en viscoplasticité
g
p
s =
( +/- , +/- , +/-, +/- )
s
s
s
s
s
avec p
f
p
s =
( +/-, +/-, +/- , +/- )
s
s
s
s
soit en plasticité F ( +/-
, +/-
, +/-
, +/-
p
)
,
F p
,
s = 0
s
s
s
s
0
avec p
=
s
s
n équations d'évolutions de l'écrouissage cinématique :
h
p
s =
( +/- , +/- , +/-, +/- )
s
s
s
s
s
n équations d'évolution de l'écrouissage isotrope : R ( +/-
p
)
s
s
s
Ceci est résolu soit de façon explicite (Runge_Kutta), soit implicite (Newton).
3.1.2
Comportement de type POLYCRISTAL
Les relations de comportement discrétisées sont :
Etant donnés (en un point de Gauss) les tenseurs globaux :
· accroissement de déformation totale E
,
· déformation totale à l'instant précédent E(t
,
i 1 )
-
=
-
E
· contrainte à l'instant précédent : (t
i
=
- )
- ,
1
· l'ensemble des variables internes - -
-
, , p relatives aux systèmes de glissement de
s
s
s
chaque phase,
· les paramètres de comportement de chaque phase, les orientations et fractions volumiques de
chaque phase, et le type de méthode de localisation.
Il faut trouver = (t , = t , = t , p = p t vérifiant :
i )
s
s ( i )
s
s ( i )
s
s ( i )
· au niveau du point de Gauss : = D(D-1)- + D(
th
vp
E
- E
- E
), dans le repère global,
pour chaque phase (ou « grain »), définie par une orientation et une proportion fg, une
relation de localisation des contraintes, de la forme générale (à exprimer dans le repère
local de chaque phase)
= L , E , ,
g
( vp vpg g)
et pour chaque système de glissement de chaque phase :
vp
= m
g
s
s
s
n
s équations :
= : m
s
s
n
=
s relations d'écoulement :
g
, , , p , avec p
=
s
( s s s s)
s
s
n
=
s évolutions de l'écrouissage :
h
, , , p
s
( s s s s)
F( , , , p
F p
, (en plasticité indépendante du temps)
s
s
s
s )
,
0 . s = 0
· Il reste alors les équations d'homogénéisation :
vp
vp
E
=
f
g
g
g
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Les comportements viscoplastiques relatifs à chaque système de glissement sont identiques au cas de
la microstructure.
Dans la version actuelle du Code_Aster, ces relations de comportement sont intégrés uniquement de
façon explicite.
3.2 Résolution
implicite
Il faut donc résoudre un système de la forme générale suivante :
vp
+
+
+
1
-
1
-
-
th
vp
s(, E
, , , p )
D - (D ) - ( E
- E
- E
)
s
s
s
-
vp
vp
+
+
+
vp
R Y
( ) = R(, E
, , , p
) = e(, E
, , , p )
=
E
- m
= 0
s
s
s
s
s
s
s
s
s
vp
a( ,
E
, +
, +
, p+)
s
s
s
- h( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
vp
n g(, E
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
n - g( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
s
vp
p( ,
E
, +
, +
, p+)
s
s
s
p
- f ( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
+
+
= : m
s
s
De manière plus contractée, on pose :
s(y)
(ey)
vp
E
R(y) = 0 = (
a y)
avecy =
s
g(y)
s
p(y)
ps
Pour résoudre ce système de 6+6+3ns équations non linéaires (en 3D), on utilise une méthode de
Newton : on construit une suite de vecteurs solution de la façon suivante :
dR
Y
= Y - (
) 1
- R(Y )
k 1
+
k
k
dYk
dR
Il faut donc définir les valeurs initiales Y , et calculer la matrice jacobienne du système :
(celle-ci
0
dYk
est détaillée en annexe pour les comportements viscoplastiques décrits précédemment). Elle a la
forme suivante :
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s
s
s
s
s
vp
E
p
s
s
s
e
e
e
e
e
vp
E
p
s
s
s
a
a
a
a
a
J =
vp
E
p
s
s
s
g
g
g
g
g
vp
E
p
s
s
s
p
p
p
p
p
vp
E
p
s
s
s
R(Y )
Le critère d'arrêt des itérations porte sur la nullité du résidu :
k
< . Si la convergence n'est pas
R(Y )
0
atteinte après le nombre maximum d'itérations, on teste également la stationnarité de la solution :
Y
Y
k +1 - k <
La méthode utilisée permet un re-découpage local du pas de temps, soit systématique, soit en cas de
non convergence.
3.2.1 Opérateur de comportement tangent
Le système formé des équations du modèle écrit sous forme discrétisée (R(Y ) = 0) est vérifié en fin
d'incrément. Pour une petite variation de R , en considérant cette fois comme variable et non
comme paramètre, le système reste à l'équilibre et on vérifie dF l = 0 , c'est-à-dire :
R
+ R
+
R
E
R
R
R
vp
E +
p
vp
s +
s +
s = 0
E
E
p
s
s
s
Ce système peut encore s'écrire :
E
vp
E
0
R
(Y)= X,avecY = etX
s
= 0
Y
s
0
p
0
s
Par substitution et élimination successives (cf [§Annexe2]), on en déduit que la matrice jacobienne
calculée pour l'intégration implicite permet de calculer l'opérateur tangent sans intervention
supplémentaire dans le code.
Celui-ci s'écrit directement (voir [§Annexe2]) :
=
= (
1
-
-
Y -Y Y Y
0
1 3
) 1
2
E
t
t
+
E t+t
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En écrivant la matrice jacobienne sous la forme :
Y
1
0
0
[ ] [ ]
J. Y
= [ ]
0
[ ]
vp
1
Y
1
E
Y
0
2
[
] Y
3
Z
Avec :
Y = D-1
0
s
Z
= ×n
s
s
p
s
Les sous-matrices ont pour dimensions :
dim(Y = D 1
-
0
)=[ 6,
6 ]
dimY1 = [ 3
,
6 * ns ]
dimY2 = [3* ns 6
, ]
dimY1 = [3* ns 3
, * ns ]
3.3 Résolution
explicite
Une autre méthode de résolution, très simple à mettre en oeuvre pour résoudre les équations
différentielles du comportement monocristallin est la résolution explicite. Pour qu'elle soit efficace
numériquement, il est indispensable de lui associer un contrôle de pas automatique. Comme dans
[R5.03.14], on utilise la méthode de Runge et Kutta. Le calcul des variables internes à l'instant t + h
dY
n'est fonction que des valeurs de leurs dérivés
= F (Y,t) :
dt
h( -
, -
, -
, p-)
s
s
s
s
s
g( -
, -
, -
, p-)
s
s
s
s
s
Y
=
=
= f ( -
, -
, -
, p-)
p
s
s
s
s
s
s
vp
E
m
s
s
s
avec = : m = - + D(
th
vp
E
- E
- E
)
s
s
On intègre selon le schéma suivant :
Yt+h = Y(2) si le critère de précision est satisfait
h
Y(2) = Y + [F(Y,t) + F(Y(1),t + h)] avec Y(1) = Y + h F(Y,t)
2
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( )
( )
La différence entre Y 2 (schéma d'ordre 2) et Y 1 (schéma d'ordre 1, Euler) fournit une estimation
de l'erreur d'intégration et permet de contrôler la taille du pas de temps h qui est initialisé à ti pour
la première tentative. La stratégie du contrôle du pas est définie à partir d'une norme de l'écart entre
les deux méthodes d'intégration : || Y(2) - Y (1)|| et de la précision requise par l'utilisateur (mot-clé :
RESI_INTE_RELA). Le critère retenu est le suivant, où l'on note Y = ( y1, y2 , ..., yN ) :
| y(2) - y(1)|
Y(t) = sup
j
j
<
j =1, N
max [
, | yj (t)|]
Le paramètre est fixé à 0,001. La précision d'intégration souhaitée doit être cohérente avec le
niveau de précision requis pour l'étape globale.
Si le critère n'est pas vérifié, le pas de temps est re-découpé selon une méthode heuristique (nombre
de sous-pas défini par l'utilisateur via le mot-clé ITER_INTER_PAS). Lorsque le pas de temps devient
trop faible (h < 1.1020), le calcul est arrêté avec un message d'erreur.
4 Variables
internes
4.1
Cas du monocristal
Les variables internes dans le Code_Aster sont dénommées V1, V2,... Vp.
Les six premières sont les 6 composantes de la déformation visco-plastique.
V7, V8, V9 sont les valeurs de p pour le système de glissement s = 1
1
1
1
V10, V11, V12 correspondent au système s = 2 , et ainsi de suite.
La dernière variable interne, Vp, (p=6+3n+1, n étant le nombre total de systèmes de glissement) est
un indicateur de plasticité (seuil dépassé en au moins un système de glissement au pas de temps
courant). S'il est nul, il n'y a pas eu d'accroissement de variables internes à l'instant courant. Sinon, il
contient le nombre d'itérations de Newton (pour une résolution implicite) qui ont été nécessaires pour
obtenir la convergence.
4.2
Cas du polycristal
Les variables internes dans le Code_Aster sont dénommées V1, V2,... Vp.
Les six premières sont les 6 composantes de la déformation visco-plastique. La septième est la
déformation viscoplastique équivalent cumulée (macroscopique).
Ensuite, pour chaque phase, on trouve :
Les déformations viscoplastiques ou le tenseur Beta
les valeurs de p pour chaque système de glissement
s
s
s
La dernière variable interne, Vp, (p=6+1+m(6+3n)+1), p = 7 + (6 + 3n
, m étant le nombre de
s ) + 2
g = ,
1 m
phases et n étant le nombre de systèmes de glissement de la phase g).
s
est un indicateur de plasticité (seuil dépassé en au moins un système de glissement au pas de temps
courant). S'il est nul, il n'y a pas eu d'accroissement de variables internes à l'instant courant. Sinon, il
contient le nombre d'itérations de Newton (pour une résolution implicite) qui ont été nécessaires pour
obtenir la convergence.
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5
Implantation numérique dans le Code_Aster
D'une façon générale, les comportements mono-cristallins sont intégrés aux méthodes de Runge-
Kutta pour l'intégration explicite [R5.03.14], et à l'environnement « plasti » pour l'intégration implicite
[R5.03.10]. Les tenseurs d'orientation des systèmes de glissement sont quant à eux tous définis dans
une routine, fournissant le tenseur en repère global pour le nième système de la famille fournie dont le
nom est fourni par la routine appelante.
Pour ajouter un nouveau comportement de mono-cristal, ou simplement une nouvelle loi
d'écroulement ou d'écrouissage, il convient de définir ses paramètres dans DEFI_MATERIAU. Suivant
le cas (écoulement, écrouissage isotrope ou cinématique), il faut ajouter la lecture de ces paramètres
dans les routines LCMAFL, LCMAEI, LCMAEC. Pour l'intégration, il suffit d'écrire la définition des
accroissements de variables internes dans les routines LCMMFL (écoulement), LCMMEC(écrouissage
cinématique) et LCMMEI(écrouissage isotrope), pour que l'intégration explicite fonctionne.
L'intégration implicite utilise également les routines LCMMFL, LCMMEC et LCMMEI. Elle demande en plus
de définir les dérivées des équations par rapport aux différentes variables. Les dérivées sont à écrire
dans les routines LCMMJF (dérivées de l `équation d'écoulement), LCMMJI (dérivées de la relation
d'écrouissage isotrope) et LCMMJC (dérivées de la relation d'écrouissage cinématique).
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6 Utilisation
Ces modèles sont accessibles dans le Code_Aster en 3D, déformations planes (D_PLAN), contraintes
planes (C_PLAN) et axisymétrie (AXIS).
6.1
Cas du monocristal
Dans le cas de microstructures maillées, les différents grains d'un monocristal étant représentés par
des groupes de mailles, il faut affecter les paramètres des matériaux et les comportements des
monocristaux ainsi que leurs orientations aux différents grains.
Les valeurs des paramètres des relations de comportement sont fournies à l'aide de la commande
DEFI_MATERIAU. Actuellement, ceci se définit à partir des mots clés ECOU_VISC1, ECOU_VISC2,
ECOU_VISC3 pour l'écoulement, ECRO_ISOT1, ECRO_ISOT2 pour l'écrouissage isotrope et
ECRO_CINE1, ECRO_CINE2 pour l'écrouissage cinématique [U4.43.01]. Par exemple [V6.04.172] :
MATER1=DEFI_MATERIAU(
ELAS_ORTH=_F( E_L=192500,
E_T=128900,
NU_LT=0.23,
G_LT=74520,),
# RELATIONS D'ECOULEMENT
ECOU_VISC1=_F(N=10, K=40,C=6333),
ECOU_VISC2=_F(N=10, K=40,C=6333,D=37,A=121),
ECOU_VISC3=_F(K=40,V=,GAMMA0=),
# ECROUISSAGE ISOTROPE
ECRO_ISOT1=_F(R_0=75.5,Q=9.77,B=19.34,H=2.54),
ECRO_ISOT2=_F(R_0=75.5,Q1=9.77,B1=19.34,H=2.54,Q2=-33.27, B2=5.345,),
# ECROUISSAGE CINEMATIQUE
ECRO_CINE1=_F(D=36.68),
ECRO_CINE2=_F(D=36.68, GM=, PM=,),
);
On peut ainsi dissocier, au niveau des données, l'écoulement de l'écrouissage isotrope et de
l'écrouissage cinématique.
Il faut maintenant définir le (ou les) type de monocristal étudié. Pour cela, on définit le comportement
de façon externe à STAT_NON_LINE, par l'intermédiaire de l'opérateur DEFI_COMPOR, par exemple :
MONO1=DEFI_COMPOR(MONOCRISTAL =(_F( MATER=MATER1,
ECOULEMENT=ECOU_VISC1,
ECRO_ISOT=ECRO_ISOT1,
ECRO_CINE=ECRO_CINE1,
FAMI_SYST_GLIS=('CUBIQUE1',),
_F( MATER=MATER1,
ECOULEMENT=ECOU_PLAS1,
ECRO_ISOT=ECRO_ISOT2,
ECRO_CINE=ECRO_CINE2,
FAMI_SYST_GLIS='CUBIQUE2',),
),
_F( MATER=MATER2,
ECOULEMENT=ECOU_PLAS1,
ECRO_ISOT=ECRO_ISOT2,
ECRO_CINE=ECRO_CINE2,
FAMI_SYST_GLIS='PRISMATIQUE',),
),
)
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La structure de donnée produite contient des noms de systèmes de glissement, associés à des noms
de paramètres de matériau, pour chaque comportement de monocristal .
FAMI_SYST_GLIS MATE_SYST
TYPE_LOI
ECOULEMENT
ECRO_ISOT
ECRO_CINE
`CUBIQUE'
MATER1
VISC ECOU_VISC1
ECRO_ISOT1
ECRO_CIN1
`BASAL' MATER1
VISC ECOU_VISC1
ECRO_ISOT1
ECRO_CIN1
`PRISMATIQUE'
MATER1
PLAS ECOU_PLAS1
ECRO_ISOT2
ECRO_CIN2
... ...
...
L'opérateur DEFI_COMPOR calcule le nombre total de variables internes associé au monocristal.
Enfin, pour réaliser un calcul de micro-structure, il faut donner, grain par grain, ou par groupe de
mailles (représentant des ensembles de grains) une orientation, à l'aide du mot-clé MASSIF de
AFFE_CARA_ELEM. Par exemple :
ORIELEM = AFFE_CARA_ELEM ( MODELE = MO_MECA,
MASSIF =(
_F ( GROUP_MA='GRAIN1',
ANGL_REP=(348.0,24.0,172.0),
),
_F ( GROUP_MA='GRAIN2',
ANGL_REP=( 327.0, 126.0, 335.0),
),
_F ( GROUP_MA='GRAIN3',
ANGL_REP=( 235.0, 7.0, 184.0),
),
_F ( GROUP_MA='GRAIN4',
ANGL_REP=( 72.0, 338.0, 73.0),
),
...)
Remarques :
· Contrairement à l'opérateur actuel DEFI_TEXTURE, on ne donne que le nom de la
structure cristallographique, sachant que les directions de glissement de chaque famille
de systèmes de glissement seront définis une fois pour toutes dans le source.
· Pour un même monocristal, les valeurs des paramètres peuvent être différentes d'une
famille de systèmes de glissement à l'autre. C'est pourquoi on peut définir un matériau
différent par occurrence du mot-clé facteur MONOCRISTAL. Mais dans ce cas, comment
fournir transmettre à STAT_NON_LINE l'information stipulant qu'en un point de gauss
(tous ceux du groupe de mailles concerné), on a plusieurs matériaux présents ? Ceci est
possible grâce à une évolution de AFFE_MATERIAU [U4.43.03] et de la structure de
données matériau [D4.06.18]) :
MAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,
AFFE =_F(GROUP_MA='GRAIN1',
MATER=(MATER1,MATER2),),
);
Les autres données du calcul sont identiques à un calcul de structure habituel.
Enfin, dans STAT_NON_LINE, le comportement issu de DEFI_COMPOR est fourni, sous le mot clé
COMP_INCR via le mot clé COMPOR, obligatoire avec le mot-clé RELATION='MONOCRISTAL'.
COMP_INCR = _F( RELATION ='MONOCRISTAL',
COMPOR
=
COMP1
Précisions que pour l'intégration explicite, (RESO_INTE='RUNGE_KUTTA'), il est inutile de demander
la réactualisation de la matrice tangente puisque celle-ci n'est pas calculée. Pour débuter des
itérations de Newton de l'algorithme global, il peut être utile de spécifier PREDICTION='EXTRAPOL'
[U4.51.03].
On pourra trouver un exemple d'utilisation dans les tests : SSNV171 et SSNV172.
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6.2
Cas du polycristal
Dans le cas de polycristaux multiphasés, chaque phase correspond à un monocristal. On utilisera
donc les paramètres définis précédemment dans DEFI_MATERIAU pour le monocristal. Ici, il s'agit de
définir, pour chaque phase, l'orientation, la fraction volumique, le monocristal utilisé, et le type de loi de
localisation. Ceci est effectué sous le mot-clé facteur POLYCRISTAL de DEFI_COMPOR.
MONO1=DEFI_COMPOR(MONOCRISTAL=_F(MATER=MATPOLY,
ECOULEMENT='ECOU_VISC2',
ECRO_ISOT='ECRO_ISOT2',
ECRO_CINE='ECRO_CINE1',
ELAS='ELAS',
FAMI_SYST_GLIS='OCTAEDRIQUE',),);
POLY1=DEFI_COMPOR(POLYCRISTAL=(_F(MONOCRISTAL=MONO1,
FRAC_VOL=0.025,
ANGL_REP=(-149.676,15.61819,154.676,),),
_F(MONOCRISTAL=MONO1,
FRAC_VOL=0.025,
ANGL_REP=(-150.646,33.864,55.646,),),
_F(MONOCRISTAL=MONO1,
FRAC_VOL=0.025,
ANGL_REP=(-137.138,41.5917,142.138,),),
......
_F(MONOCRISTAL=MONO1,
FRAC_VOL=0.025,
ANGL_REP=(-481.729,35.46958,188.729,),),),
LOCALISATION='BETA',
DL=321.5,
DA=0.216,);
Le mot-clé POLYCRISTAL permet de définir chaque phase par la donnée d'une orientation, d'une
fraction volumique, d'un mono-cristal (c'est-à-dire un modèle de comportement et des systèmes de
glissement).
Le mot-clé LOCALISATION permet de choisir la méthode de localisation pour l'ensemble des phases
du polycristal.
Enfin, dans STAT_NON_LINE, le comportement issu de DEFI_COMPOR est fourni, sous le mot clé
COMP_INCR via le mot clé COMPOR, obligatoire avec le mot-clé RELATION='POLYCRISTAL'.
COMP_INCR = _F( RELATION ='POLYCRISTAL',
COMPOR
=
COMP1
)
Ce comportement est testé par exemple dans SSNV125A (où l'on peut vérifier que les résultats sont
identiques à ceux obtenus avec POLY_CFC).
6.3 Exemple
A titre d'exemple de mis en oeuvre, on présente ici succinctement un calcul d'agrégat, de forme
cubique (volume élémentaire) comprenant 100 grains monocristallins, définis chacun par un groupe de
mailles. Le nombre total d'éléments est 86751. Avec des mailles d'ordre 1 (TETRA4) il comporte
15940 noeuds. Avec des mailles d'ordre 2 (TETRA10), il en comporte 121534.
Le chargement consiste en une déformation homogène, appliquée par l'intermédiaire d'un
déplacement normal imposé sur une face du cube (direction z). On atteint une déformation de 4% en
1s et 50 incréments.
Le calcul (tetra4) dure 140000 secondes soit 39 heures de CPU Alphaserveur.
ACIER=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E =145200.0,NU=0.3,),
ECOU_VISC1=_F( N=10., K=40.,C=10.,),
ECRO_ISOT2=_F(R_0=75.5,
B1 =19.34,
B2 =5.345,
Q1 =9.77,
Q2 =33.27,
H=0.5),
ECRO_CINE1=_F(D=36.68,),
);
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COEF=DEFI_FONCTION(NOM_PARA ='INST', VALE =(0.0,0.0,1.0,1.0,),);
MAT=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL, AFFE=_F(TOUT ="OUI", MATER=(ACIER),),);
COMPORT=DEFI_COMPOR(MONOCRISTAL=(
_F(MATER =ACIER,
ECOULEMENT="ECOU_VISC1",
ECRO_ISOT ="ECRO_ISOT2",
ECRO_CINE ="ECRO_CINE1",
ELAS="ELAS",
FAMI_SYST_GLIS='OCTAEDRIQUE',),
),);
ORIELEM = AFFE_CARA_ELEM ( MODELE = MO_MECA,
MASSIF =(
_F ( GROUP_MA='GRAIN1', ANGL_REP=(348.0,24.0,172.0), ),
_F ( GROUP_MA='GRAIN2', ANGL_REP=( 327.0, 126.0, 335.0), ),
_F ( GROUP_MA='GRAIN3', ANGL_REP=( 235.0, 7.0, 184.0), ),
.................
_F ( GROUP_MA='GRAIN99', ANGL_REP=( 201.0, 198.0, 247.0), ),
_F ( GROUP_MA='GRAIN100', ANGL_REP=( 84.0, 349.0, 233.0), ),
))
FO_UZ = DEFI_FONCTION ( NOM_PARA = 'INST',
VALE = ( 0.0, 0.0, 1.0, 0.04, ),)
CHME4=AFFE_CHAR_MECA_F(MODELE=MO_MECA,
DDL_IMPO=_F(GROUP_NO='HAUT', DZ=FO_UZ,),)
LINST = DEFI_LIST_REEL (DEBUT= 0.,
INTERVALLE =(_F ( JUSQU_A = 1.,NOMBRE= 50 ),) )
SIG=STAT_NON_LINE(MODELE =MO_MECA,
CARA_ELEM=ORIELEM,
CHAM_MATER =MAT,
EXCIT=(_F(CHARGE=CHME1),
_F(CHARGE=CHME2),
_F(CHARGE=CHME3),
_F(CHARGE=CHME4),),
COMP_INCR=(_F( RELATION
='MONOCRISTAL',
COMPOR =COMPORT,
TOUT ='OUI',),),
INCREMENT=(_F(LIST_INST=LINST,
SUBD_PAS =4,
SUBD_PAS_MINI=0.000001,
),),
NEWTON =_F(REAC_ITER =5,),),
);
Les figures suivantes représentent des isovaleurs des déformations les contraintes suivant z. On note
la non homogénéité des valeurs, et on peut même discerner le contour des grains.
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Pour pouvoir exploiter ce type de résultats, on peut par exemple calculer des champs moyens par
grains. Sur la figure suivante, on a représenté les contraintes équivalentes en fonction des
déformations plastiques équivalentes pour l'ensemble des grains.
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7.4
Titre :
Comportements élasto viscoplastiques mono cristallins
Date :
19/04/05
Auteur(s) :
J.M. PROIX, T. KANIT, O. DIARD Clé
:
R5.03.11-A Page
: 20/24
7 Bibliographie
[1]
MERIC L., CAILLETAUD G. : « single crystal modeling fort structural calculations » in Journal
of Engineering Material and Technology, janvier 1991, vol 113, pp171-182.
[2]
LECLERCQ S., DIARD, O., PROIX J.M. : "Quel micro-macro dans Aster ? Etude d'impact de
l'implantation d'une bibliothèque de lois de comportement et de règles de transition
d'échelles » Note EDF R&D HT-26/03/053/A.
[3]
CAILLETAUD G. : "A micromechanical approach to inelastic behaviour of metals", Int. J. of
Plasticity, 8, pp. 55-73, 1992.
[4]
PILVIN P. : "The contribution of micromechanical approaches to the modelling of inelastic
behaviour of polycrystals", Int. Conf. on Biaxial / Multiaxial fatigue, France, ESIS/SF2M,
pp. 31-46, 1994.
[5]
BERVEILLER M., ZAOUI A. : "An extension of the self-consistant scheme to plasticity flowing
polycrystal" J. Mech. Phys. Solids, 6, pp. 325-344, 1979.
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Annexe
1
Expression du Jacobien des équations
élastoviscoplastiques intégrées
Le système à résoudre est de la forme :
vp
+
+
+
1
-
1
-
-
th
vp
s( ,
E
, , , p )
D - (D ) - ( E
- E
- E
)
s
s
s
-
vp
vp
+
+
+
vp
R Y
( ) = R(, E
, , , p
) = e( ,
E
, , , p )
=
E
- m
= 0
s
s
s
s
s
s
s
s
s
vp
a(, E
, +
, +
, p+)
s
s
s
- h( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
vp
n g( ,
E
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
n - g( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
s
vp
p(, E
, +
, +
, p+)
s
s
s
p
- f ( +
, +
, +
, p+)
s
s
s
s
s
+
+
= : m
s
s
Soit donc à évaluer les termes de l'hypermatrice jacobienne J à l'instant t + t
s
s
s
s
s
vp
E
p
s
s
s
e
e
e
e
e
vp
E
p
s
s
s
a
a
a
a
a
J =
vp
E
p
s
s
s
g
g
g
g
g
vp
E
p
s
s
s
p
p
p
p
p
vp
E
p
s
s
s
En ce qui concerne la première ligne de la matrice, indépendamment des équations d'écrouissage et
d'écoulement, on a :
s
1
= -
s
D
=
s
Id
=
s = s = 0
vp
E
p
s
s
s
La deuxième ligne peut s'écrire également indépendamment de l'écoulement et des écrouissages :
e = e
e
e
e
0
= Id
= 0
= -m
vp
s
= 0
E
p
s
s
s
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La première colonne des lignes correspondant aux équations (a), (g) et (p) s'écrit :
a
a
=
s
s
g
g
=
s
s
p
p
=
s
s
avec
s = (m )Ts
La deuxième colonne est identiquement nulle (du fait de l'équation (e) : les relations d'écoulement et
d'écrouissage ne peuvent s'exprimer qu'en fonction de
et non pas de
vp
E
.
s
Le dernier bloc d'équations, dépend quant à lui des comportements choisis :
a
a
a
p
s
s
s
g
g
g
p
s
s
s
p
p
p
p
s
s
s
Exemple
Choisissons la relation d'écoulement viscoplastique ECOU_VISC1
c
s -
(g)
p
s -
s
s
= 0
c
s -
s
c
R p
s -
s -
( ) n
( p) p
t
s - .
s
s
= 0
k
N
avec l'écrouissage isotrope
-bp
ECRO_ISOT1 :
r
R ( p ) R
Q(
h 1
(
e
)) , h = 1
( - ) +
s
s
= 0 + sr -
sr
sr
sr
r=1
et un écrouissage cinématique défini par ECRO_CINE1
(a)
d p
s - s +
s s = 0
alors :
a
= 0
s
g
= 0
s
p
- n t
-1 - c
=
- c - R p
n
s
s
s ( s ) n
s
K
- c
s
s
s
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a =
1+ d p
s
s
g
=
0
s
p
nc t
-1 - c
=
- c - R p
n
s
s
s ( s ) n
s
s
K
- c
s
s
s
a
= -1
s
g
= 1
s
p
= 0
s
a
=
ds
p
s
g
- c
s
s
=
p
- c
s
s
s
p
n t
-1 dR p
= 1+
- c - R p
n
s
s
s ( s ) n
s ( s )
p
K
d p
s
s
dR p
s ( s )
-bps
= Qbh e
ss
d p
s
et, concernant l'interaction entre systèmes de glissement, il y un seul terme non nul :
p
n t
-1 dR p
=1+
- c - R p
n
s
s
s ( s ) n
s ( s )
p
K
d p
r
r
dR p
s ( s )
-bpr
= Qbh e
sr
d p
r
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Annexe 2 Evaluation de l'opérateur tangent cohérent
Il s'agit de trouver l'opérateur tangent cohérent, c'est à dire calculé à partir de la solution de (R(Y ) = 0) en fin
d'incrément. Pour une petite variation de R , en considérant cette fois comme variable et non comme
paramètre, on obtient :
R
+ R
+
R
E
R
R
R
vp
E +
p
vp
s +
s +
s = 0
E
E
p
s
s
s
Ce système peut s'écrire :
E
vp
E
0
R
(Y)= X,avecY = etX
s
= 0
Y
s
0
p
0
s
En écrivant la matrice jacobienne sous la forme :
Y
1
0
0
[ ] [ ]
J. Y
= [ ]
0
[ ]
vp
1
Y
1 E
Y
0
2
[ ] Y
3
Z
Avec :
Y = D-1
0
s
Z
= ×n
s
s
p
s
En opérant par éliminations et substitutions successives, le troisième bloc du système d'équation donne :
Z
= -(Y3)-1Y2
Evp
= Y
-
Z
1
= Y1(Y3)-1Y2
(Y0 +Y1(Y3)-1Y2) = E
l'opérateur tangent recherché peut donc s'écrire directement :
=
= (
1
-
-
Y -Y Y Y
0
1 3
) 1
2
E
t
t
+
E t+t
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