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Version
5.0
Titre :
Calcul des états limites cycliques avec Méthode ZAC
Date :
11/05/01
Auteur(s) :
S. TAHERI, J. ANGLES
Clé :
R7.06.01-A
Page :
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN
Manuel de Référence
Fascicule R7.06 :
Document : R7.06.01
Calcul des états limites cycliques avec Méthode
ZAC
Résumé
Cette méthode est basée sur l'écrouissage cinématique linéaire. Elle donne une approximation pour l'état adapté
et deux approximations pour l'état accommodé des caractéristiques en contrainte et en déformation des cycles
limites, pour une structure sous chargement périodique thermo-mécanique dans le domaine de plasticité. Cela
est fait à l'aide de trois calculs thermo-élastiques pour des coûts calcul faibles.
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Fascicule R7.06 :
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1 Introduction
Sous un chargement périodique, l'évolution de la déformation, ou du déplacement, en fonction du
nombre de cycles des différents points d'une structure se concrétise sous trois formes : l'adaptation, où
tous les points de la structure atteignent un état limite stable élastique ; l'accommodation, où au moins
un point de la structure atteint un état limite stable élastoplastique ; et le rochet où pour au moins un
point il y a un incrément constant de la déformation à chaque cycle. Pour un matériau décrit par une loi
d'écrouissage cinématique linéaire on ne peut obtenir que de l'accommodation ou de l'adaptation.
Pour étudier les problèmes de fatigue ou de déformation progressive, pour une structure, on a
généralement besoin de connaître l'état de contraintes et de déformations à l'état limite, c'est-à-dire les
valeurs des amplitudes de déformation et de contrainte ainsi que la contrainte moyenne pour la fatigue,
et la valeur de la déformation maximale pour la déformation progressive. Ces valeurs peuvent être
obtenues à l'aide d'une loi de comportement cyclique. Néanmoins si l'état limite est obtenu après un
nombre important de cycles les calculs peuvent être très longs.
Le post-processeur POST_ZAC fournit une approximation des caractéristiques en contrainte et en
déformation citées ci-dessus. Plus précisément il propose deux estimations pour chaque
caractéristique en contrainte ou en déformation. La durée des calculs correspond à 3 ou 4 calculs
élastiques. Il faut noter que dans le modèle proposé les constantes sont indépendantes de la
température. Dans le cas où la température varie il faut choisir les constantes du matériau à une
température optimale pour les calculs.
2 Matériaux à écrouissage cinématique linéaire sous
chargement périodique
On se place dans le cas d'une structure élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire strictement
positif et l'on fait les hypothèses suivantes :
· Evolution quasi-statique ;
· Déformations infinitésimales ;
· Le matériau est à élasticité linéaire indépendante de la température ;
· Chargements périodiques (thermique T , forces internes f , forces externes F sur ,
F
déplacements imposés U sur ) sur la structure et de frontière ;
U
· D'autre part, on suppose que le domaine d'élasticité est défini par le critère de Von Mises :
3 ( ~ - )( ~ - )
~
y -
2
y ,
avec le déviateur des contraintes ~
= ij -1 3tr()ij , la limite d'élasticité , la variable interne
y
= C p où C = 2 3 h ( h = E E / (E - E ) où E est la pente de la courbe de traction
T
T
T
pendant l'écrouissage et où p est la déformation plastique.
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f
F
U
Figure 2-a : Types de chargements de la structure
Dans ce cadre et sous les hypothèses ci-dessus on a le théorème suivant [bib1] :
Théorème : (Melan généralisé). Toute solution du problème d'évolution tend vers une solution
périodique en contrainte et en déformation. Si l'amplitude locale de déformation plastique est nulle on
dit qu'il y a adaptation locale, sinon on dit qu'il y a accommodation locale. Si au moins un point de la
structure est accommodé on dit que la structure est accommodée.
3
Présentation de la méthode simplifiée, ZAC
La méthode ZAC [bib2], [bib3] est une méthode qui est basée sur le modèle d'écrouissage cinématique
linéaire et qui donne de façon simplifiée et peu coûteuse des approximations des caractéristiques du
cycle limite en contrainte et en déformation plastique.
Pour le cas adapté, on a pour chaque composant les valeurs de : l'amplitude de contrainte, de la
contrainte moyenne et de la déformation plastique limite.
Pour le cas accommodé pour chaque composant, on a deux valeurs pour l'amplitude de la contrainte,
deux valeurs pour l'amplitude de la déformation plastique, une valeur pour la contrainte moyenne et
une valeur pour la déformation plastique moyenne.
On peut résumer la méthode de la manière suivante :
On décompose la contrainte comme la somme d'un premier terme représentant la contrainte calculée
avec un comportement élastique el et d'un second appelé contrainte résiduelle . En terme de
déviateurs, cela s'écrit :
~
~el
~
= + .
L'usage du paramètre interne modifié permettra de construire en chaque point l'état limite de la
structure, indépendamment de ce qui se passe pour les autres points.
Le critère de plasticité étant :
~
- y
l'idée-clé de la méthode est de faire des calculs découplés en chaque point de la structure. Pour ce
faire, on introduit le paramètre modifié :
!
~
= - .
s'écrit alors :
~
el - ! y .
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La simplification introduite par la méthode ZAC réside dans la façon de calculer !
à l'état limite, en
chaque point indépendamment les uns des autres et de ramener le calcul à 3 ou 4 calculs élastiques.
L'approximation de !
à l'état limite, !lim , est déterminée différemment selon qu'il y a adaptation ou
accommodation. Cette approximation est obtenue à partir de la valeur initiale du tenseur !
, qui est
noté !
.
0
Ainsi, pour résumer, si le problème thermo-élastoplastique d'origine s'écrit :
div = f ,
n = F , sur F
( P )
1
= 1 (
2 U
t
+ U ), U = 0 sur U
= K(
p
- - ),
th
+ loi standard de comportement élasto-plastique en cinématique linéaire.
Le problème thermo-élastique associé s'écrit :
div el
= f ,
el
n = F , sur F
( P2)
el
= 1 (
2 U el
t
+ U el ), U el = 0 sur U
el
= K( el
- ),
th
Et en faisant la différence entre ces deux ensembles d'équations en utilisant la relation !
p
~
= C - ,
ainsi que les définitions suivantes :
= - el , ine el
= -
et U ine
U U el
= -
on retrouve le problème suivant :
div = 0,
n = 0, sur F
( P)
ine
= 1 (
2 U ine
t
+ U ine ), U ine = 0 sur U
ine
-1
= (
~
!
K + / C)
el
+
= - = K(
el
p
- - )
C
!
C'est un problème élastique avec une déformation initiale égale à
où , ine et U ine sont les
C
inconnues.
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4 Passage dans l'espace des paramètres modifiés et
construction locale de la solution
Dans la suite on distinguera les cas où il y a un état initial nul ou non au sens de la méthode ZAC.
Dans le cas d'un état initial nul le tenseur !
est pris égal à zéro. On distinguera de même les cas où
0
le trajet chargement en chaque point du solide est affine (souvent nommé radial dans le cas de cette
méthode) ou non affine. Par conséquent, on donne la définition de ces deux notions.
Définition 1 : Etat initial non nul au sens de la méthode ZAC.
On dit que l'on a un état initial non nul lorsque l'on fait un calcul incrémental élastoplastique jusqu'à un
niveau de chargement donné et que l'on calcule !
p
~
0 = C - . Le niveau du chargement considéré
est généralement le niveau du chargement maximal (Il est souhaitable de prendre en compte un état
initial non nul lorsque, par exemple, le premier cycle de chargement entraîne une déformation
importante de la structure.)
Définition 2 : Trajet de chargement affine au sens de la méthode ZAC.
On dit qu'un trajet chargement est affine si en chaque point de la structure, pour un comportement
élastique, le trajet des contraintes est affine.
4.1
Adaptation et accommodation dans le cas d'un chargement affine
En un point x de la structure , on définit F el (x) , tel que :
F el x
el
=
x t
el
( )
max ~ ( , )
~
el
el
0 -
(x,t )
~
1
(x)
~
max
-
(x)
min
,
t ,t
0 1
où ~
el (x,t) est le tenseur déviatorique des contraintes élastiques au point x et à l'instant t et où les
instants t0 et t1 correspondent aux extrema du cycle de chargement. L'instant t0 peut être égal à
zéro. On définit F el tel que :
F el
max F el (x
el
)
max ~
(x
~el
=
=
)
max
-
(x)
min
.
x
x
La comparaison de F el avec la valeur de la limite d'élasticité du matériau permet de savoir si l'état
limite de la structure est de type adapté ou accommodé :
F el 2 y
adaptation
F el > 2 y
accommodation.
4.1.1 Cas de l'adaptation
Si la structure est adaptée, il existe un champ limite, fixe en temps, de paramètres modifiés !
, noté
!
el
el
lim , tel que !
lim appartient à l'intersection CL des deux convexes de centre ~
min et ~
max et de
rayon y , voir la figure [Figure 4.1-a], [bib3], [bib4].
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y
y
~
el
~
el
min
CL
max
Figure 4.1-a : L'intersection des deux convexes C , dans le cas de l'adaptation.
L
Dans le cas de l'adaptation la valeur limite de !
, notée !lim est déterminée par la projection
orthogonale de initial, noté !
sur le convexe C selon les règles présentées sur les figures
0
L
[Figure 4.1-b], [Figure 4.1-c], [Figure 4.1-d].
CL
~ el
el
~
min
max
! =
lim
!0
Figure 4.1.b : Cas où !
0 est strictement inclus dans le convexe CL
!
el
lim
~
el
~
min
max
!0
CL
Figure 4.1-c : Cas où !
0 n'appartient pas au convexe CL ,
mais appartient au cône de sommet ~
el
el
max ,(ou ~
min ) !lim est sur le bord du convexe CL
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~ el
~ el
min
max
CL
!lim
!0
Figure 4.1-d : Cas où !
0 n'appartient ni au convexe CL ,
ni au cône de sommet ~
el
max , !
lim est sur le bord du convexe CL
Dans le cas de l'adaptation, on peut prendre un état initial nul !
0 = 0 , ou bien on fait un calcul
élastoplastique incrémental qui permet d'avoir un état initial non nul !
p
~
0 = C - pour trouver
souvent un meilleur résultat.
4.1.2 Cas de l'accommodation
Lorsque la structure est accommodée, c'est-à-dire qu'en au moins un des points de la structure les
deux convexes de centre ~
el
el
min et ~
max ont une intersection vide, on est conduit à définir les trois
grandeurs qui suivent, aux points où il y a accommodation :
1) le paramètre d'écrouissage interne modifié moyen, noté !
moy ;
2) l'amplitude du paramètre d'écrouissage interne modifié inférieure, notée !
inf ;
3) l'amplitude du paramètre d'écrouissage interne modifié supérieure, notée !
sup.
Ces trois grandeurs sont représentées sur la figure [Figure 4.1-e].
!max
!sup
el
~
el
~
min
max
!moy
!min
!inf
Figure 4.1-e : Représentation de !
moy , !inf et !sup
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On calcule les deux premières grandeurs !
moy et !inf comme suit :
~el
~
2
min + el
!
max
el
el
y
moy =
et
!inf = (~
~
max - min ) 1-
2
~el
~
el
max - min
Calcul de !
sup
Le calcul de !
sup représenté sur la figure [Figure 4.1-e] est donné ci-dessous :
En chaque point de la structure, si il y a plastification, on a :
~
p
-
" = ~
- avec > 0
On peut alors écrire, en terme de paramètre modifié, que :
el
p
! ~
-
" = -
, avec > 0 .
! ~
- el
Comme ~ -
! ~
- el = y , en chaque point où il y a plastification, ! est sur le bord d'une
boule de centre ~
el et de rayon y [Figure 4.1-e]. La grandeur "p est la normale intérieure à cette
boule au point !
.
On suppose que dans le cas où l'on va très loin en écrouissage, on a : !"
~
= "
el , [bib3].
Pour un chargement affine, cela revient à dire que quand on passe de el
el
min à max on a
! ~el
~
=
el
el
max - min = ~
, c'est-à-dire que la direction de déplacement de ! est égale à ~
el .
De la résolution du problème élastique homogène ( P) avec les constantes modifiées et la déformation
initiale ~
el C , cf. [§3], on déduit p et donc une direction pour "p. En tenant le même
raisonnement lorsque l'on passe de ~
el
el
~el
max à ~
min , on obtient ! = - , ce qui donne à " p la
direction opposée au précédent cas, (cf. [Figure 4.1-e]). On prend finalement !
sup = !min - !max .
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4.2 Adaptation et accommodation dans le cas d'un chargement non
affine
Lorsque le chargement est non affine la méthode ZAC n'est opérationnelle que dans le cas de
l'adaptation.
Cas de l'adaptation
Au point x on considère l'intersection des boules de centre ~
el (x,t) sur une période. Dans le cas de
l'adaptation cette intersection est non vide et convexe. On définit donc, comme dans le cas affine, !
lim
par la projection de !
0 sur ce convexe, [bib3], [bib4]. La méthode de projection utilisée dans le
Code_Aster est la projection successive sur l'intersection deux à deux des sphères.
Cas de l'accommodation
Dans ce cas les règles proposées ne sont pas rigoureuses [bib5] et il n'y a pas d'option associée dans
le Code_Aster. On utilisera des approximations affines du chargement dans ce cas.
5
Retour dans l'espace des paramètres d'origine
Une fois que l'on a calculé !
lim, !moy , !inf et !sup on a une déformation initiale pour le
problème ( P) du [§3] qui pourra prendre tour à tour les valeurs suivantes :
!
!
!
!
lim
moy
inf
sup
,
,
et
.
C
C
C
C
On résout alors le problème ( P) avec les déformations initiales ci-dessus pour obtenir :
p
1) dans le cas de l'adaptation :U lim , lim , lim et lim ;
2) dans le cas de l'accommodation :U
p
moy , moy , moy , moy , U inf , inf , inf ,
p
p
inf , U sup , sup , sup et sup .
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6 Opérateur
POST_ZAC dans le Code_Aster
L'opérateur post-processeur POST_ZAC a besoin des données suivantes : le modèle, le matériau, et les
deux instants du chargement. Dans le cas où l'état initial est nul ( !
= 0) on utilise le concept
0
p
EVOL_ELAS. Dans le cas où l'état initial n'est pas nul, !
~
0 = C - étant obtenu à partir d'un calcul
élastoplastique, on utilise en plus le concept EVOL_NOLI.
p
A la sortie POST_ZAC donne :U lim , lim , lim et lim dans le cas où il y a adaptation et donne :
U
p
p
p
moy , moy , moy , moy , U inf , inf , inf , inf , U sup , sup , sup et sup dans le
cas où il y a accommodation. Le document U associé est [U4.74.05].
Le cas test associé à la méthode est : SSNA100 [V6.01.100].
7 Bibliographie
[1]
« Problèmes quasistatiques en viscoplasticité » de B. Halphen, Thèse de doctorat d'état ès
sciences mathématiques présentée à l'université Pierre et Marie Curie Paris VI, 1978.
[2]
J. Casier, Thèse de docteur-ingénieur, Paris 1977.
[3]
« Méthode ZAC » de S. TAHERI, Note EDF-DER HI-71/6139, 1989.
[4]
« Etudes sur la méthode ZARKA pour une analyse à la fatigue » de M.F. ROBBE et
B. AUTRUSSON, rapport CEA/DRN/DMT 93/361, 1993.
[5]
« Analyse simplifiée des structures élasto-visco-plastiques sous chargements cycliques » de
G. INGLEBERT, Thèse d'état Paris VI, 1983.
[6]
« RCC-MR Règles de conception et de construction des matériels des chaudières nucléaires
RNR AFCEN », édition 1985.
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