Code_Aster ®
Version
5.7
Titre :
Fonctions de forme et points d'intégration des éléments pyramide
Date :
16/02/02
Auteur(s) :
J. PELLET Clé
:
R3.06.06-B Page
: 1/8
Organisme(s) : EDF/AMA
Manuel de Référence
Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
Document : R3.06.06
Fonctions de forme et points d'intégration
des éléments pyramide à base carrée
Résumé :
Le mailleur libre de CASTEM 2000 créant dans certaines conditions des mailles de forme pyramidale à base
quadrangulaire, les éléments finis associés ont été implantés dans le Code_Aster.
Ces éléments ont la particularité d'avoir des fonctions de forme rationnelles, bien que garantissant un raccord
continu avec les tétraèdres ou les hexaèdres classiques.
L'expression des fonctions de forme et des formules d'intégration numérique nous ont été communiquées par le
CEA/DMT [bib1] et sont donc celles utilisées par CASTEM 2000.
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Fascicule R3.06 : Eléments mécaniques et thermiques pour les milieux continus
HT-66/02/004/A
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Fonctions de forme et points d'intégration des éléments pyramide
Date :
16/02/02
Auteur(s) :
J. PELLET Clé
:
R3.06.06-B Page
: 2/8
1 Généralités
Deux nouveaux éléments finis pyramide à base carrée ont été implantés dans le Code_Aster pour les
modélisations mécanique et thermique tridimensionnelles :
·
pyramide à 5 noeuds,
·
pyramide à 13 noeuds.
Les fonctions de forme associées à ces éléments sont des fonctions rationnelles qui permettent d'avoir
un raccord continu (C0) entre ces éléments et les tétraèdres et hexaèdres classiques.
Par exemple, la fonction de forme associée à un sommet de la base de la pyramide est le produit des
équations des plans passant par les autres noeuds, divisé par la distance à la base de la pyramide.
Sur une face triangulaire de la pyramide contenant ce sommet, la distance à l'axe se simplifie avec
l'équation du plan de la face opposée : l'expression de la fonction forme est alors celle des triangles
traditionnels.
Les fonctions de forme ne sont pas dérivables au sommet de la pyramide. L'intégration par points de
Gauss ne peut donc être exacte même pour l'élément de référence.
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: 3/8
2
Pyramide à base carrée
2.1 Dénominations
Les noms des éléments finis sont codés et respectent les conventions suivantes
·
les caractères en position 1 à 4 désignent le phénomène modélisé :
MECA : mécanique
THER : thermique
·
le caractère en position 5 est _,
·
à partir du caractère 6, le nom de la maille support :
PYRAM5
: pyramide à base carrée à 5 noeuds,
PYRAM13 : pyramide à base carrée à 13 noeuds.
Exemple :
MECA_PYRAM5 : pyramide à base carrée à 5 noeuds en mécanique.
2.2
Géométrie, topologie et fonctions de forme
2.2.1 Pyramide à 5 noeuds
z
N5
N3
N4
N2
y
N1
x
La base carrée est constituée par le quadrangle N1 N2 N3 N4 et N5 est le sommet de la pyramide.
x
y
z
N1 1. 0.
0.
N2 0. 1.
0.
N3 1. 0. 0.
N4 0.
1.
0.
N5 0. 0.
1.
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Fonctions de forme :
(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1
w1 =
4 (1 - z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1
w2 =
4 (1 - z)
(x + y + z - )1 (x - y + z - )1
w3 =
4 (1 - z)
(x + y + z - )1 (- x + y + z - )1
w4 =
4 (1 - z)
w = z
5
Formule d'intégration numérique à 5 points :
Point x y z Poids
1 0.5
0.
h1 2/15
2 0.
0.5
h1 2/15
3 0.5
0.
h1 2/15
4 0.
0.5
h1 2/15
5 0.
0.
h2 2/15
avec :
h1 = 0.1531754163448146
h2 = 0.6372983346207416
1 famille initialisée :
1ère famille : formule à 5 points.
2.2.2 Pyramide à 13 noeuds
z
N5
N12
N3
N13
N8
N7
N11
N10
N4
N2
y
N9
N6
N1
x
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La base carrée est constituée par la maille QUAD8 (N1 N2 N3 N4 N6 N7 N8 N9) et N5 est le sommet de
la pyramide.
x
y
z
N1 1. 0.
0.
N2 0. 1.
0.
N3 1. 0. 0.
N4 0.
1.
0.
N5 0. 0.
1.
N6 0.5
0.5
0.
N7 0.5 0.5
0.
N8 0.5
0.5
0.
N9 0.5
0.5
0.
N10 0.5
0.
0.5
N11 0. 0.5
0.5
N12 0.5 0. 0.5
N13 0.
0.5
0.5
Fonctions de forme :
(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1 (x -0. )5
w1 =
2 (1- z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1 (y -0. )5
w2 =
2 (1- z)
(x - y + z - )1 (x + y + z - )1 (- x -0. )5
w3 =
2 (1- z)
(x + y + z - )1 (- x + y + z - )1 (- y - 0. )5
w4 =
2 (1- z)
w = 2 z (z - 0. )
5
5
(- x + y + z - )1 (- x - y + z - )1 (x - y + z - )1
w6 = -
2 (1- z)
(- x - y + z - )1 (x - y + z - )1 (x + y + z- )1
w7 = -
2 (1- z)
(x - y + z - )1 (x + y + z - )1 (- x + y + z - )1
w = -
8
2 (1- z)
(
x + y + z - )
1 (- x + y + z - )
1 (- x - y + z - )
1
w = -
9
2 (1- z)
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z (- x + y + z - )
1 (- x - y + z - )
1
w10 =
1- z
z (- x - y + z - )
1 (x - y + z - )
1
w11 =
1- z
z (x - y + z - )
1 (x + y + z - )
1
w12 =
1- z
z (x + y + z - )
1 (- x + y + z - )
1
w13 =
1- z
Formule d'intégration numérique : formule à 6 points
Point x y z Poids
1 a 0.
h1
p1
2 0.
a
h1
p1
3
a 0. h1
p1
4 0.
a
h1
p1
5 0.
0.
h2
p2
6 0.
0.
h3
p3
avec :
p1 = 0.1024890634400000
p2 = 0.1100000000000000
p3 = 0.1467104129066667
a = 0.5702963741068025
h1 = 0.1666666666666666
h2 = 0.08063183038464675
h3 = 0.6098484849057127
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Formule à 27 points :
Point x y z Poids
1 0.
0.
1/2 a1
2
b
b
1 (
1
1- z)
1/2
b6
1
( - z)
2
2
3
b
b
- 1 1
( - z)
1 1
( - z)
1/2
b6
2
2
4
b
b
- 1 1
( - z)
- 1 1
( - z)
1/2
b6
2
2
5
b
b
1 (
1
1- z)
1/2
b6
-
1
( - z)
2
2
6
0.
0.
1 - b1
b
6
2
7
0.
0.
1 + b1
b
6
2
8
c (
z)
c
1 1 -
0.
(1-c )/2
8
1
9 0.
c (
z)
c
1 1 -
(1-c )/2
8
1
10
- c ( - z)
c
1 1
0.
(1-c )/2
8
1
11 0.
-c (
)
c
1 1 - z
(1-c )/2
8
1
12
c (
z)
c
1 1 -
0.
(1+c )/2
8
1
13 0.
c (
z)
c
1 1 -
(1+c )/2
8
1
14
-c (
)
c
1 1 - z
0.
(1+c )/2
8
1
15 0.
-c (
)
c
1 1 - z
(1+c )/2
8
1
16
d1
d
(
)
1
( - z)
1 - d / 2
1 1
( - z)
1
d12
2
2
17
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 - d / 2
1 1
( - z)
1
d12
2
2
18
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 - d / 2
- 1 1
( - z)
1
d12
2
2
19
d1
d
(
)
1
( - z)
1 - d / 2
- 1 1
( - z)
1
d12
2
2
20
d (
)
1 1 - z
0. 1/2 d12
21 0.
d (
)
1 1 - z
1/2 d12
22
- d ( - z)
1 1
0. 1/2 d12
23 0.
-d (
)
1 1 - z
1/2 d12
24
d1
d
d
1
( - z)
1 1
( - z)
(1+d )/2
12
1
2
2
25
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 + d / 2
1 1
( - z)
1
d12
2
2
26
d
d
- 1
(
)
1
( - z)
1 + d / 2
- 1 1
( - z)
1
d12
2
2
27
d1
d
(
)
1
( - z)
1 + d / 2
- 1 1
( - z)
1
d12
2
2
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Date :
16/02/02
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: 8/8
avec :
a1 = 0.788073483
b6 = 0.499369002
b1 = 0.848418011
c8 = 0.478508449
c1 = 0.652816472
d12 = 0.032303742
d1 = 1.106412899
Remarque :
Il s'est avéré en pratique, en particulier pour les éléments thermiques, que la formule
d'intégration à 6 points n'était pas satisfaisante. On n'utilise donc que la formule à 27 points.
1 famille initialisée :
1ère famille : formule à 27 points.
3 Bibliographie
[1]
F. DUBON : "Formulation d'un élément pyramide à base carrée". Rapport DEMT B4/310
(SMTS/LAMS/84-144). Commissariat à l'Energie Atomique.
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