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Version
7.0

Titre :
SDLD21 - Système masse-ressort à 8 ddl avec amortisseur visqueux
Date :
23/06/03
Auteur(s) :
O. NICOLAS

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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA















Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.021





SDLD21 - Système masse-ressort à 8 ddl
avec amortisseur visqueux





Résumé :

Ce problème unidirectionnel consiste à effectuer une analyse harmonique d'une structure mécanique
composée d'un ensemble de masses-ressorts avec amortisseurs visqueux et soumise à une excitation
sinusoïdale. Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d'un modèle discret
ayant un comportement linéaire. Il comprend trois modélisations.

Par l'intermédiaire de ce problème, on teste les éléments discrets en translation (masse, ressort, amortisseur),
la définition d'une force d'excitation ponctuelle harmonique, l'opérateur de calcul modale (MODE_ITER_SIMULT
[U4.52.03]) en quadratique et l'opérateur de calcul de réponse harmonique (DYNA_LINE_HARM [U4.54.02]).
Par ailleurs, on teste plusieurs opérateurs de post-traitement : RECU_FONCTION [U4.62.03], TEST_FONCTION
[U4.72.02], RECU_CHAMP [U4.62.01].

Les résultats obtenus (champ de déplacement, vitesse et accélération pour différentes fréquences d'excitation)
sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS.


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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

U1
U2
U3
U8
k
k
k
k
A
m
m
m
m
B
x,u
P1
P2
P3
P8
c
c
c
c



Masses ponctuelles :
mP = m = m = ...... = m = m
1
P2
P3
P8

Raideurs de liaison :
kAP1 = kP1P2 = kP2P3 = ...... = kP8B = k

Amortissement visqueux :
cAP1 = cP1P2 = cP2P3 = ...... = cP8B = c


1.2
Propriétés de matériaux

Ressort de translation élastique linéaire
k =
105 N/m
Masse ponctuelle
m =
10 Kg
Amortissement visqueux unidirectionnel
c =
50 N/(m/s)


1.3
Conditions aux limites et chargements

Conditions aux limites :
Points A et B : encastrés (u = 0).

Chargement : Force concentrée sinusoïdale de fréquence variable au point P4

Point P
=
4
Fx
F
4
0 sin t
= 2 f 5 Hz f 40 Hz
F0 = constante = 1 N
Autres points P
F = 0
i
xi



1.4 Conditions
initiales

Sans objet pour l'étude du régime harmonique permanent.

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le système d'équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :

M u&+ C u& + K u = F
2 - 1

10





- 1 2
- 1


10



-
avec M


1
2
.
=
.
C = 50




.
.
.


10





10

.
.
- 1



- 1 2


2 - 1



- 1 2
- 1



5
-
+
1
2
.
K = 10



.
.
.




.
.
- 1

- 1 2


La solution à une excitation harmonique F = F0 e j t j2 = -1
(
) est de la forme u =u0 ejt, ce
qui conduit à : K - M 2 + j C
(
)u0 =F0
Ce système peut être résolu pour tout , soit directement, soit en utilisant la transformation modale à
partir des modes propres réels obtenus par le système conservatif associé K - M 2
(
) =0.
Il admet n solutions propres (8 dans ce cas) 2i et vecteurs associés i regroupés dans la
2
matrice spectrale =
[ ]
[ ]
i et la matrice modale = i .
La transformation modale consiste à écrire : u0 = q ce qui conduit à :

[ -2 I+ j ]q = t F0
I est l'identité,
ici est diagonale =
[ ]
(
)
ii car l'amortissement est proportionnel C = K .
n
t
La réponse s'écrit : u
i
i

0 =
F
2
0
i=1 i - 2 + j ii
On obtient la solution exacte en prenant tous les modes propres.
On en déduit : &u = j u
et
&u
2
= - u
0
0
0
0

2.2
Résultats de référence

Déplacement selon x du point P4 pour certaines fréquences.

2.3
Incertitude sur la solution

Solution semi-analytique.

2.4 Référence
bibliographique

[1]
J. PIRANDA : Notice d'utilisation du logiciel d'analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990).
Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté - Besançon (France).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret de rigidité en translation

y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8


Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N

et matrices de rigidité
K_T_D_L

et matrices d'amortissement
A_T_D_L

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités

( GROUP_NO: AB DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............

P8 = N9


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'

GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'

GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
DYNA_LINE_HARM MATR_AMOR



DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ



TEST_FONCTION

TEST_RESU

IMPR_RESU

LIRE_RESU


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3.4
Résultats de la modélisation A

Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point P4.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
1.0237 E­4
1.02369 E­4
0.0004
­8.5187 E­6
­8.51874 E­6
5.50
4.5066 E­4
4.50662 E­4
0.0004
­7.7914 E­4
­7.79143 E­4
6.00
­9.4101 E­5
­9.41096 E­5
0.0002
­1.0585 E­5
­1.05851 E­5
10.00
8.4143 E­7
8.41427 E­7
0.0024
­1.0335 E­6
­1.03346 E­6
15.00
1.2656 E­5
1.26556 E­5
0.0032
­5.6652 E­6
­5.66517 E­6
20.00
2.9784 E­6
2.97844 E­6
0.0003
­6.6970 E­6
­6.69700 E­6
25.00
­1.2536 E­6
­1.25362 E­6
0.0008
­5.2703 E­6
­5.27033 E­6
30.00
­2.0904 E­6
­2.09042 E­6
0.0009
­5.4821 E­6
­5.48215 E­6
35.00
­4.5447 E­6
­4.54473 E­6
0.0011
­1.1190 E­6
­1.11903 E­6
39.50
­2.6895 E­6
­2.68949 E­6
0.0003
­3.0505 E­7
­3.05048 E­7


Parties réelle et imaginaire de la composante DX de la vitesse du point P4.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
2.6762 E­4
2.6762 E­4
0.000
3.2160 E­3
3.21603 E­3
5.50
2.6925 E­2
2.69252 E­2
0.001
1.5574 E­2
1.55737 E­2
6.00
3.9904 E­4
3.99052 E­4
0.000
­3.5475 E­3
­3.54752 E­3
10.00
6.4937 E­5
6.49347 E­5
0.002
5.2869 E­5
5.28685 E­5
15.00
5.3393 E­4
5.33929 E­4
0.003
1.1928 E­3
1.19276 E­3
20.00
8.4157 E­4
8.41570 E­4
0.001
3.7428 E­4
3.74282 E­4
25.00
8.2786 E­4
8.27862 E­4
0.001
­1.9691 E­4
­1.96919 E­4
30.00
1.0333 E­3
1.03334 E­3
0.001
­3.9403 E­4
­3.94035 E­4
35.00
2.4608 E­4
2.46089 E­4
0.001
­9.9943 E­4
­9.99439 E­4
39.50
7.5709 E­5
7.57086 E­5
0.000
­6.6749 E­4
­6.67494 E­4
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Parties réelle et imaginaire de la composante DX de l'accélération du point P4.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
­1.0103 E­1
­1.01035 E­1
0.000
8.4076 E­3
8.40766 E­3
5.50
­5.3819 E­1
­5.38190 E­1
0.000
9.3047 E­1
9.30470 E­1
6.00
1.3374 E­1
1.33738 E­1
0.000
1.5044 E­2
1.50439 E­2
10.00
­3.3218 E­3
­3.32182 E­3
0.002
4.0801 E­3
4.07996 E­3
15.00
­1.1242 E­1
­1.12415 E­1
0.003
5.0322 E­2
5.03217 E­2
20.00
­4.7033 E­2
­4.70337 E­2
0.001
1.0575 E­1
1.05755 E­1
25.00
3.0931 E­2
3.09320 E­2
0.001
1.3004 E­1
1.30040 E­1
30.00
7.4273 E­2
7.42739 E­2
0.001
1.9478 E­1
1.94780 E­1
35.00
2.1979 E­1
2.19788 E­1
0.001
5.4116 E­2
5.41178 E­2
39.50
1.6566 E­1
1.65662 E­1
0.000
1.8789 E­2
1.87898 E­2


3.5 Remarques

Contenu du fichier résultats :

Les valeurs du déplacement de la composante DX du point P4 pour toutes les fréquences de 5 à 40 Hz
par pas de 0.5 (Cas test initial de VPCS).

Les valeurs de la vitesse et de l'accélération de la composante DX du point P4 pour quelques
fréquences de vibration.

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4 Modélisation
B

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret de rigidité en translation

y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8


Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N

et matrices de rigidité
K_T_D_L

et matrices d'amortissement
A_T_D_L

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités

( GROUP_NO: AB DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............

P8 = N9


4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2


4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'

GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'

GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
MODE_ITER_SIMULT

MACRO_PROJ_BASE

DYNA_LINE_HARM MATR_AMOR



REST_BASE_PHY

DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ



TEST_FONCTION

TEST_RESU

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4.4
Résultats de la modélisation B

Parties réelle et imaginaire de la composante DX du déplacement du point P4.

Fréquence Référence
Aster %
Différence
5.00
1.0237 E­4
1.02369 E­4
0.0004
­8.5187 E­6
­8.51874 E­6
5.50
4.5066 E­4
4.50662 E­4
0.0004
­7.7914 E­4
­7.79143 E­4
6.00
­9.4101 E­5
­9.41096 E­5
0.0002
­1.0585 E­5
­1.05851 E­5
10.00
8.4143 E­7
8.41427 E­7
0.0024
­1.0335 E­6
­1.03346 E­6
15.00
1.2656 E­5
1.26556 E­5
0.0032
­5.6652 E­6
­5.66517 E­6
20.00
2.9784 E­6
2.97844 E­6
0.0003
­6.6970 E­6
­6.69700 E­6
25.00
­1.2536 E­6
­1.25362 E­6
0.0008
­5.2703 E­6
­5.27033 E­6
30.00
­2.0904 E­6
­2.09042 E­6
0.0009
­5.4821 E­6
­5.48215 E­6
35.00
­4.5447 E­6
­4.54473 E­6
0.0011
­1.1190 E­6
­1.11903 E­6
39.50
­2.6895 E­6
­2.68949 E­6
0.0003
­3.0505 E­7
­3.05048 E­7


4.5 Remarques

Contenu du fichier résultats :

Les valeurs du déplacement de la composante DX du point P4 pour toutes les fréquences de 5 à 40 Hz
par pas de 0.5 (Cas test initial de VPCS).

Les valeurs de la vitesse et de l'accélération de la composante DX du point P4 pour quelques
fréquences de vibration.

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5 Modélisation
C

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Elément discret de rigidité en translation

y
A
P
P
B
x
1
2
P3
P4
P5
P6
P7
P8


Caractéristiques des éléments
DISCRET :
avec masses nodales
M_T_D_N

et matrices de rigidité
K_T_D_L

et matrices d'amortissement
A_T_D_L

Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO:
( TOUT:'OUI' DY: 0. , DZ: 0. )
aux noeuds extrémités

( GROUP_NO: AB DX: 0. )

Noms des noeuds :
Point A = N1
P1 = N2
Point B = N10
P2 = N3
.............

P8 = N9


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA `K_T_D_L'

GROUP_MA
`A_T_D_L'
GROUP_MA
`M_T_D_N'
AFFE_MODELE TOUT `MECANIQUE' `DIS_T'

GROUP_NO
`DIS_T'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO


FORCE_NODALE
NOEUD
MODE_ITER_SIMULT MATR_AMOR


DYNA_LINE_HARM AMOR_REDUIT



DEFI_LIST_REEL DEBUT



INTERVALLE
RECU_FONCTION LIST_FREQ




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5.4
Résultats de la modélisation C

Fréquences propres de la structure pour les numéros d'ordre de 1 à 5.

Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
5.5271 5.5271848238694
0.002
2
10.8868 1.088524727521
­0.014
3
15.9155 1.5910519939851
­0.031
4
20.4606 20.449995091940
­0.052
5
24.384 24.366059022201
­0.074


Amortissement réduis de la structure pour les numéros d'ordre de 1 à 5.

Numéro d'ordre
Référence
Aster %
Différence
1
0.00868241 8.6824088833463D-03
­1.29E-05
2
0.017101 1.7101007166284D-02
4.19E-05
3
0.025 2.5000000000002D-02
9.19E-12
4
0.0321394 3.2139380484326D-02
­6.07E-05
5
0.0383022 3.8302222155950D-02
5.78E-05



6
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont excellents, ce qui est normal pour une intégration directe.

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