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Version
7.3
Titre :
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction et flexion pure
Date :
25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
Clé : V6.02.106-C Page : 1/16
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document V6.02.106
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction
et flexion pure
Résumé :
Ce test valide l'élastoplasticité dans une poutre droite en traction et flexion, pour un comportement
élastoplastique parfait ou à écrouissage linéaire.
·
Analyse statique
·
Comportement élastoplastique de poutre : VMIS_POUTRE ou de TUYAU
·
3 sections : rectangulaire, circulaire pleine, circulaire creuse
·
3 types d'écrouissage : nul, linéaire (ECRO_LINE), non linéaire (ECRO_FLEJOU)
8 modélisations permettent de tester les éléments POU_D_TG, POU_D_E, POU_D_T, TUYAU (3 et 4 noeuds)
COQUE_3D, POU_D_EM et POU_D_T_GM.
Le test permet de valider le fonctionnement de l'intégration de ces lois de comportement et de l'algorithme de
résolution jusqu'à la plastification complète de la poutre.
On teste également la plastification en flexion alternée. De plus, les deux méthodes de résolution sont testées
pour les modélisations de poutres à plasticité globale (POU_D_TG, POU_D_E, POU_D_T) : intégration implicite ou
par Runge-Kutta d'ordre 4.
Une neuvième modélisation permet de tester le fonctionnement de DYNA_NON_LINE sur un calcul
quasi-statique de traction d'une poutre modélisée en POU_D_TG.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Poutre droite de longueur L = 1, de direction x.
y
L
O
x
O
B
L = 1
z
On calcule simultanément 2 types de section :
y
1 section rectangulaire
2 v = 0.2
z
b = 0.1
1 section circulaire
R
R = 0.1
R = 0.1
e
Pour la modélisation D, on calcule 1 section de tube mince :
e = 0.001
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2. 1011 Pa
= 0.3
ECRO_LINE :
ECRO_FLEJOU :
SY = y = 150 106 Pa
EP = 2.E10
H = D_SIGM_EPSI = 2 109 Pa ou 0
SY = 150.E6
SU = 160.E6
PUISS = 1
VMIS_POUTRE : section rectangulaire :
effort normal limite NP
= 3. 106 N
moment élastique MEZ
= 105 Nm
moment limite MPZ
= 1.5 105 Nm
coefficient AZ
= 0.84
coefficient BZ =
0.0013
MEY, MPY, MT, AY, BY
= sans objet
VMIS_POUTRE : section circulaire :
effort normal limite NP
= 4.712389 106 N
MEZ = MEY
= 117809.72 Nm
MPZ = MPY
= 200 000 Nm
MT =
sans
objet
AY = AZ
= 0.84
BY = BZ
= 0.0012
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Encastrement en O
Déplacement imposé en B
L.
DX e
y
=
= 0.75 10 3 m
E
DX vari
DX e
e de
à 3DX e
Rotation imposée en B
DRZ e = 0.75 10 2 m
DRZ varie
D
de RZ e à 20 × DRZ e puis décroit jusqu' à - 2 × DRZ e
Remarque :
En flexion pure, MZ et DRZ ne dépendent pas de x . La courbure
d(DRZ)
=
= DRZ
dx
l
comme l = 1
= DRZ( )
B
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
2.1.1 Flexion pure - Ecrouissage linéaire
Solution analytique :
y
v
v
xx
u
xx
0
x
0
x
u
v
v
xx= . y :courbure
Calcul du moment par :
M(u) = xx(y). y ds
s
= E pour 0 y u
xx
xx
= + H
y
xx
y
xx -
E
pour u < y v
On obtient :
pour la section rectangulaire :
M
H 3 1 2
H
e
=
1 -
M
E
-
2 2 + E
e
e
M
I
y
e
.
av
ec
=
M
z
e
=
EI
e
v
pour la section circulaire :
R3 y
H 4
3/2
M(µ) =
+ (E - H)(1- µ2)
E
4 µ
3
E - H
+
sin µ - µ 1 - 2µ 2 1 - µ 2
2µ ( Arc
(
)
)
u
y
e
av
µ
ec =
=
=
R
ER
En décharge, après avoir atteint la charge limite en charge, on obtient une charge limite de signe
contraire.
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pour la section tubulaire :
(hypothèse de poutre de Navier-Bernoulli)
La charge limite (H = 0) vaut :
M
4
=
Me
La solution complète pour un tube mince est [bib1] :
M(µ)
(
2 1 - )
=
+
arcsin µ + µ 1 - µ 2
µ
µ (
)
Me
E
H
T
avec =
=
E
E + H
2.1.2 Traction - Ecrouissage linéaire
H
HS
Solution analytique : on a immédiatement N = S
1 -
. DX
y
.
E + L
2.1.3 Traction - Ecrouissage non linéaire
La solution analytique est obtenue ici pour un cas particulier : le modèle d'écrouissage
(ECRO_FLEJOU) s'écrit en uniaxial :
-
avec = u
y
u
p
p
E . p
E
= +
y
1
p
E. H
p
1+
et
E =
E H
u
-
Dans le cas où = 1 , on trouve en fonction de en résolvant :
(
p
-
p
p
y )
1 +
= E .
u
Ce qui conduit à l'équation du 2ème degré en :
2 - (E( + u ) + u ) + E( +
y u
u ) = 0
Alors :
= (E( +
p
u ) - u )2 + 4E. E . 2u
et
1
= (E( + u ) + ±
u
)
2
La solution correspondant au début de plastification ( croissant à partir de y ) est celle
correspondant au signe -.
Donc l'effort normal dans la poutre est :
2
S (
u B)
(
u B)
2
N =
E
+
E
+ 4E E p
L
u
u
+
-
+
L
u
u
u
-
2
2.2 Références
bibliographiques
[1]
J.H. LAU et T.T. LAU : Journal of Pressure Vessel Technology Vol. 106 p188-195 - Mai 1984.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_TG par type de section. Il y a donc 2 groupes d'éléments comportant chacun 2
éléments.
Groupe GR1 :
section rectangulaire
GC1 :
section circulaire
Traction simple :
sur GR1 (ECRO_FLEJOU) et GC1 (ECRO_LINE)
Flexion pure :
sur GR1 et GC1 sans écrouissage
3.2
Caractéristiques du maillage
2 x 2 éléments POU_D_TG
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
:
'VMIS_POUTRE'
DEFI_MATERIAU VMIS_POUTRE
ECRO_LINE
ECRO_FLEJOU
STAT_NON_LINE CONVERGENCE
RESO_INTE
:
'RUNGE_KUTTA_4'
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DX e
(%)
2 11
GR1 N
3.123 106 3.123
106
0
3 21
GR1 N
3.1529 106 3.1532
106
0.01
2 21
GC1 N
4.75951 106 4.75951
106
0
3 31
GC1 N
4.80664 106 4.80664
106
0
Flexion
DRZ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1
GR1
MFZ
(Nm)
105 105
0
5 21
MFZ 1.48 105 1.477
105
0.23
10 31
MFZ 1.495 105 1.489
105
0.39
20 41
MFZ 1.499 105 1.495
105
0.26
1 1
GC1 MFZ 1.1781 105
1.1781 105
0
5 21
MFZ 1.9602 105
1.955 105
0.27
10 31
MFZ 1.99 105 1.98
105
0.53
20 41
MFZ 1.998 105 1.99
105
0.36
2 71 GR1 MFZ 1.5 105 1.499
105
0.08
2 71 GC1 MFZ 2. 105 1.994
105
0.32
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_T par type de section. Il y a donc 2 groupes d'éléments comportant chacun 2
éléments.
Groupe GR1 :
section rectangulaire
GC1 :
section circulaire
Traction simple :
sur GR1 (ECRO_FLEJOU) et GC1 (ECRO_LINE)
Flexion pure :
sur GR1 et GC1 sans écrouissage
5.2
Caractéristiques du maillage
2 x 2 éléments POU_D_T
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
:
'VMIS_POUTRE'
DEFI_MATERIAU VMIS_POUTRE
ECRO_LINE
ECRO_FLEJOU
STAT_NON_LINE CONVERGENCE
RESO_INTE
:
'IMPLICITE'
6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DX e
(%)
2 11
GR1 N
3.123 106 3.125
106
0.08
3 21
GR1 N
3.1529 106 3.15
106
0.09
2 21
GC1 N
4.75951 106 4.7596
106
0.004
3 31
GC1 N
4.80664 106 4.8068
106
0.004
Flexion
DRZ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1
GR1
MFZ
(Nm)
105 105
0
5 21
MFZ
1.48 105 1.477
105
0.20
10 31
MFZ
1.495 105 1.489
105
0.37
20 41
MFZ
1.499 105 1.495
105
0.24
2 71 GR1 MFZ
1.5 105 1.496
105
0.23
2 71 GC1 MFZ
2 105 1.993
105
0.33
1 1
GC1 MFZ
1.1781 105 1.1781
105
0
5 21
MFZ
1.9602 105 1.955
105
0.24
10 31
MFZ
1.99 105 1.98
105
0.50
20 41
MFZ
1.998 105 1.99
105
0.33
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_E par type de section. Il y a donc 2 groupes d'éléments comportant chacun 2
éléments.
Groupe GR1 :
section rectangulaire
GC1 :
section circulaire
Traction simple :
sur GR1 (ECRO_FLEJOU) et GC1 (ECRO_LINE)
Flexion pure :
sur GR1 et GC1 sans écrouissage
7.2
Caractéristiques du maillage
2 x 2 éléments POU_D_E
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
:
'VMIS_POUTRE'
DEFI_MATERIAU VMIS_POUTRE
ECRO_LINE
ECRO_FLEJOU
STAT_NON_LINE CONVERGENCE
RESO_INTE
'IMPLICITE'
'RUNGE_KUTTA_4'
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DX e
(%)
2 11
GR1 N
3.123 106 3.123
106
0
3 21
GR1 N
3.1529 106 3.1532
106
0.01
2 21
GC1 N
4.75951 106 4.75951
106
0
3 31
GC1 N
4.80664 106 4.80664
106
0
Flexion
DRZ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification Référence Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1
GR1
MFZ
(Nm)
105 105
0
5 21
MFZ
1.48 105 1.477
105
0.23
10 31
MFZ
1.495 105 1.489
105
0.39
20 41
MFZ
1.499 105 1.495
105
0.26
2 71 GR1 MFZ
1.5 105 1.499
105
0.08
2 71 GC1 MFZ
2 105 1.994
105
0.32
1 1
GC1 MFZ
1.1781 105 1.1781
105
0
5 21
MFZ
1.9602 105 1.955
105
0.27
10 31
MFZ
1.99 105 1.98
105
0.53
20 41
MFZ
1.998 105 1.99
105
0.36
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
2 éléments TUYAU pour la section tubulaire.
Traction simple :
(ECRO_LINE)
Flexion pure :
sans écrouissage
De plus, on bloque les DDL qui correspondent au mode 3 d'ovalisation : U03 V03 W03
9.2
Caractéristiques du maillage
2 éléments TUYAU (METUSEG3)
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
: 'VMIS_ISOT_LINE'
TUYAU_NCOU
:
3
TUYAU_NSEC
:
16
AFFE_MODELE
MODELISATION
:
TUYAU
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
U03 : 0.
V03 : 0.
W03 : 0.
10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre Identification Référence Aster Différence
DX e
(%)
2 11
N
9.47 104 9.47
104
0
3 21
N
9.565 104
9.565 0
Flexion
DRZ( B)
N°ordre Identification Référence Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1
MFZ
4.642 103 4.642
103
0
5 21
MFZ
5.9106 103 5.9365
103
0.4
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
2 éléments TUYAU à 4 noeuds pour la section tubulaire.
Traction simple :
(ECRO_LINE)
Flexion pure :
sans écrouissage
De plus, on bloque les DDL qui correspondent au mode 3 d'ovalisation : U03 V03 W03
11.2 Caractéristiques du maillage
2 éléments TUYAU (mailles SEG4)
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
: 'VMIS_ISOT_LINE'
TUYAU_NCOU
:
3
TUYAU_NSEC
:
16
AFFE_MODELE
MODELISATION
:
TUYAU
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
U03 : 0.
V03 : 0.
W03 : 0.
MODI_MAILLAGE
OPTION
SEG3_4
12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DX e
(%)
2 11
N
9.47 104 9.47
104
0
3 21
N
9.565 104
9.565 0
Flexion
DRZ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1 MFZ 4.642 103 4.642
103
0
5 21 MFZ 5.9106 103 5.9365
103
0.4
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13 Modélisation
F
13.1 Caractéristiques de la modélisation
112 éléments COQUE_3D pour la section tubulaire, et 2 éléments tuyau pour appliquer les conditions
aux limites. La longueur du maillage coques est de 0.98m. La longueur de chaque élément tuyau est
de 0.01m.
Une liaison COQUE_TUYAU est appliquée à chaque extrémité du maillage coques, avec un élément
tuyau. De plus, on bloque les DDL des tuyaux qui correspondent au mode 3 d'ovalisation : U03 V03
W03
Traction simple :
(ECRO_LINE)
Flexion pure :
sans écrouissage
13.2 Caractéristiques du maillage
112 mailles QUAD9 et 2 mailles SEG3.
13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
: 'VMIS_ISOT_LINE'
COQUE_NCOU
:
1
AFFE_MODELE
MODELISATION :
COQUE_3D, TUYAU_3M
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
Ui3 : 0.
Vi3 : 0.
Wi3 : 0.
Uo3 : 0.
Vo3 : 0.
Wo3 : 0.
AFFE_CHAR_MECA LIAISON_ELEM
OPTION
'COQ_TUYAU'
14 Résultats de la modélisation F
14.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DX e
(%)
2 11
N
9.47 104 9.473
104
0.02
3 21
N
9.565 104
9.569 E+04
0.04
Flexion
DRZ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1 MFZ 4.642 103 4.6415
103
0.01
2.8 19
MFZ 5.7824 103 5.7836
103
0.02
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25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
Clé : V6.02.106-C Page : 12/16
15 Modélisation
G
15.1 Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_EM pour la section tubulaire.
La section est maillée en QUAD4 : elle est discrétisée par une maille dans l'épaisseur, et 90 mailles
sur la circonférence.
Traction simple :
(ECRO_LINE)
Flexion pure :
sans écrouissage
15.2 Caractéristiques du maillage
2 mailles SEG2 pour la poutre. 90 mailles QUAD4 pour la section.
15.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
: 'VMIS_ISOT_LINE'
AFFE_CARA_ELEM POUTRE SECTION
GENERALE
AFFE_SECT
MAILLAGE
AFFE_MODELE
MODELISATION
:
POU_D_EM
16 Résultats de la modélisation G
16.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DX e
(%)
2 11
N
9.47 104 9.471
104
0.01
3 21
N
9.565 104
9.5647 0.01
Flexion
DRZ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1 MFZ 4.642 103 4.641
103
0.01
5 21 MFZ 5.9106 103 5.90
103
0.02
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/04/005/A
Code_Aster ®
Version
7.3
Titre :
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction et flexion pure
Date :
25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
Clé : V6.02.106-C Page : 13/16
17 Modélisation
H
17.1 Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_TGM pour la section tubulaire.
La section est maillée en QUAD4 : elle est discrétisée par une maille dans l'épaisseur, et 90 mailles
sur la circonférence.
Traction simple :
(ECRO_LINE)
Flexion pure :
sans écrouissage
17.2 Caractéristiques du maillage
2 mailles SEG2 pour la poutre. 90 mailles QUAD4 pour la section.
17.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
: 'VMIS_ISOT_LINE'
AFFE_CARA_ELEM POUTRE SECTION
GENERALE
AFFE_SECT
MAILLAGE
AFFE_MODELE
MODELISATION
:
POU_D_TGM
18 Résultats de la modélisation H
18.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DX e
(%)
2 11
N
9.47 104 9.471
104
0.01
3 21
N
9.565 104
9.5647 0.01
Flexion
DRZ( B)
N°ordre Identification Référence
Aster Différence
DRZ e
(%)
1 1 MFZ 4.642 103 4.641
103
0.01
5 21 MFZ 5.9106 103 5.90
103
0.02
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/04/005/A
Code_Aster ®
Version
7.3
Titre :
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction et flexion pure
Date :
25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
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19 Modélisation
I
19.1 Caractéristiques de la modélisation
2 éléments POU_D_TG par type de section. Il y a donc 2 groupes d'éléments comportant chacun 2
éléments.
Groupe GR1 :
section rectangulaire
GC1 :
section circulaire
Traction simple :
sur GR1 (ECRO_FLEJOU) et GC1 (ECRO_LINE)
Flexion pure :
sur GR1 et GC1 sans écrouissage
19.2 Caractéristiques du maillage
2 x 2 éléments POU_D_TG
19.3 Fonctionnalités
testées
La particularité de la modélisation I est de tester le fonctionnement de DYNA_NON_LINE dans le calcul
de traction quasi-statique d'une poutre modélisée en POU_D_TG. Ce type de modélisation a pour
particularité de faire apparaître des pivots nuls sur les lignes de la matrice de masse correspondant
aux degrés de liberté de gauchissement. Dans ce cas, l'initialisation du schéma de NEWMARK ne se
fait plus par inversion de la matrice de masse, qui est singulière, mais par mise à zéro de l'accélération
initiale.
Commandes
DYNA_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
:
'VMIS_POUTRE'
DEFI_MATERIAU VMIS_POUTRE
ECRO_LINE
ECRO_FLEJOU
STAT_NON_LINE CONVERGENCE RESO_INTE
:
'RUNGE_KUTTA_4'
20 Résultats de la modélisation I
20.1 Valeurs
testées
Traction
DX ( B)
N°ordre
GROUP_MA
Identification
Référence
Aster Différence
DX e
(%)
2 11 GR1 N
3.123 106 3.123
106
0.009
3 21 GR1 N
3.1529 106 3.153
106
0.012
2 21 GC1 N
4.75951 106 4.760
106
0.0003
3 31 GC1 N
4.80664 106 4.807
106
0.0003
20.2 Observations
On remarque que les résultats en traction issus de DYNA_NON_LINE sont identiques à ceux donnés
par STAT_NON_LINE.
Une alarme avertit l'utilisateur que la matrice de masse est singulière, ce qui devrait attirer son
attention.
En effet pour la plupart des éléments finis la matrice de masse est définie positive. Un message l'invite
donc à vérifier les affectations de son modèle. Dans le cadre de cette modélisation, la présence des
degrés de liberté de gauchissement entraîne naturellement la singularité de la matrice de masse.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/04/005/A
Code_Aster ®
Version
7.3
Titre :
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction et flexion pure
Date :
25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
Clé : V6.02.106-C Page : 15/16
21 Synthèse des résultats
Les résultats obtenus pour une traction correspondent exactement à la solution analytique. Par contre
en flexion, la différence atteint 0.5%. Ceci est dû au critère de plasticité choisi, dont la forme ne permet
pas de retrouver exactement la solution analytique. Il faut ajuster au mieux les paramètres AY, BY, AZ,
BZ.
En ce qui concerne les modélisations tuyau et coque, les conclusions sont les mêmes, mais cette fois
la différence avec la solution analytique vient de cette solution qui est valable pour une poutre de
section tubulaire très mince, sans effet d'ovalisation. Cette ovalisation est bloquée aux extrémités, ce
qui permet d'obtenir une solution à moins de 0.4% de la solution analytique.
Les deux modélisations en poutres multi-fibres fournissent une solution à moins de 0.02% de la
solution analytique, pour un temps calcul très faible, en comparaison des modélisation tuyau et coque,
mais sans qu'il soit nécessaire d'ajuster des paramètres comme pour les modélisations de poutre à
plasticité globale. La seule approximation vient du maillage de la section.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/04/005/A
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Version
7.3
Titre :
SSNL106 - Poutre élastoplastique en traction et flexion pure
Date :
25/10/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.L. FLEJOU
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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