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5.0
Titre :
SDLD103 Réponse sismique d'un système 3 masses et 4 ressorts
Date :
30/08/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL Clé
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V2.01.103-B Page :
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Organisme(s) : EDF/RNE/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.103
SDLD103 - Réponse sismique d'un système
3 masses et 4 ressorts multi-supporté
Résumé
Le problème consiste à analyser la réponse d'une structure mécanique de type poutre encastrée-encastrée et
non amortie, modélisée par un système 3 masses et 4 ressorts et soumise à un chargement sismique
quelconque.
On teste l'élément discret en traction et rotation, le calcul des modes propres et des modes statiques et le calcul
de la réponse transitoire par superposition modale d'une structure soumise à un accélérogramme de translation
(modélisation A) ou de rotation (modélisation B).
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats de référence (résultats analytiques).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La poutre est modélisée par un ensemble de 4 ressorts et de 3 masses ponctuelles.
2
x
k 1
k
k
k
2
3
4
z
1
m 1
m
m
1
m
2
3
NO1
NO2
NO3
NO4
NO5
1.2
Propriétés de matériaux
Raideur de liaison : k = k1 = k2 = k3 = k4 = 104 N/m ;
masse ponctuelle : m = m1 = m2 = m3 = 10 kg.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Conditions aux limites :
Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l'axe x.
Les points NO1 et NO5 sont encastrés : dx = dy = dz = drx = dry = drz = 0.
Les autres points sont libres en translation selon la direction x : dy = dz = drx = dry = drz = 0.
Chargement :
Les points d'ancrage NO1 et NO5 sont chacun soumis à une accélération transversale (t)
2
1
= at
avec a = 2. 105 m/s4 en NO1 et ( )
2 t = 0 m/s2 en NO5.
1.4 Conditions
initiales
Le système est au repos : à t = 0, dx( )
0 = 0, dx / dt( )
0 = 0 en tout point.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Le problème consiste à calculer la réponse d'un système à cinq degrés de liberté soumis à deux
accélérations (
1 t) et (
2 t) distinctes de forme quelconque. Il est exposé en détail dans la référence
[bib2].
On calcule dans un premier temps les fréquences propres fi, les vecteurs propres associés normalisés
par rapport à la masse modale Ni et les modes statiques du système (valeurs analytiques). On
calcule ensuite la réponse généralisée du système multi-supporté en résolvant analytiquement
l'intégrale de Duhamel [bib1]. Enfin, on restitue sur la base physique le vecteur des déplacements
relatifs (sur les degrés de liberté actifs) Xr , ce qui nous permet, après avoir calculé le vecteur des
déplacements d'entraînement Xe , de calculer le vecteur des déplacements absolus
X = X
+ X
a
r
e .
2.2
Résultats de référence
·
Calcul des trois fréquences propres fi, des vecteurs propres associés normalisés par rapport à la
masse modale Ni et des modes statiques du système
1
f
1 =
= 3 85 Hz
2 (2 + 2)
,
m/ 2k
1 - 2
- 1
3 1
1
1
1
f =
= 7,12
2
Hz
,
=
2
0
- 2 et =
2 2 .
2 m/ 2k
N
2 m
4 1 3
1
2
1
1
f3 =
= 9 3 Hz
2 (2 - 2)
,
m/ 2k
·
Calcul de la réponse généralisée du système multi-supporté
L'équation fondamentale de la dynamique, dans le repère relatif sur les degrés de liberté actifs s'écrit :
at2
M X
& + K X
r
r = (M
+ M xs )X&s avec &Xs =
, le vecteur des accélérations imposées au
0
niveau des différents points d'ancrage.
L'équation du mouvement projetée sur la base des modes dynamiques normalisés par rapport à la
masse modale s'écrit, en ne considérant que les degrés de liberté actifs :
N
2 + 2
a m t2
&
q(t) + K q(t)
T
= -
M X = -
2
.
G
N
& s
4
2 -
2
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La réponse de ce système linéaire, à un instant t, consiste alors à calculer l'intégrale de Duhamel :
(3+ 2 2)(t2 +(2+ 2)(cos t -
1
)m
1
3
k)
a m
q(t) = -
(t2 +(cos t -
2
)m
1
2
k)
.
4 k
(
3 - 2 2) 2 2
2
1
(t +( - )(cos t -
3
)mk)
·
Calcul du déplacement relatif aux degrés de liberté actifs : Xr = Ni qi , soit :
i
2
m
7 t + 10 + 7 2
(
) (cos t-1 )1+(cos t-
2
)1 + (10- 7 2)(cos t-
3
)1 m
k
k
a m 2
m
= -
8
X
r
t + 10 2 + 14
(
) (cos t-1 )1+(-10 2 +14)(cos t-3 )1 m
.
8 k
k
k
2
m
5 t + 10 + 7 2
(
) (cos t-1 )1-(cos t-
2
)1 + (10- 7 2)(cos t-
3
)1 m
k
k
3
t 4
·
Calcul des déplacements d'entraînement aux degrés de liberté actifs : X = X
e
s = a
2 .
48 1
·
Calcul des déplacements absolus aux degrés de liberté actifs : X = X
+ X
a
r
e .
2.3
Incertitude sur la solution
Aucune si l'on calcule l'intégrale de Duhamel analytiquement [bib1].
2.4 Références
bibliographiques
[1]
J.S. PRZEMIENIECKI : Theorie of matrix structural analysis. New York, Mac Graw-Hill, 1968,
pages 351-357.
[2]
Fe WAECKEL : Documentations utilisation et validation des développements réalisés pour
calculer la réponse sismique de structures multi-supportées. HP-52/96/002
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Les éléments sont modélisés par des éléments discrets à 3 degrés de liberté DIS_T.
X
2
k 1
k2
k3
k4
Z
1
NO1
NO2
NO3
NO4
NO5
Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée (
1 t) , le noeud NO5 à (
2 t) . On calcule le
déplacement relatif des noeuds NO2, NO3 et NO4 par rapport à leur déformée statique, leur
déplacement d'entraînement et leur déplacement absolu.
L'intégration temporelle est réalisée avec les algorithmes d'Euler (pas de temps : 10-3 seconde), de
Devogelaere (pas de temps : 10-3 seconde) et avec un algorithme à pas de temps adaptatif.
3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage est constitué de 5 noeuds et de 4 éléments discrets (DIST_T).
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés doc V5
AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
[U4.41.01]
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
NOEUD
M_T_D_N
[U4.42.01]
MAILLE
K_T_D_L
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
[U4.44.01]
MACRO_MATR_ASSE
[U4.61.21]
MODE_ITER_INV CALC_FREQ
AJUSTE
[U4.52.04]
CALC_FONC_INTERP
[U4.32.01]
MODE_STATIQUE DDL_IMPO
[U4.52.14]
CALC_CHAR_SEISME NOEUD
[U4.63.01]
MACRO_PROJ_BASE
[U4.63.11]
DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
MULT_APPUI
'OUI' [U4.53.21]
METHODE
EULER
DEVOGE
ADAPT
REST_BASE_PHYS MULT_APPUI
'OUI'
[U4.63.21]
MULT_APPUI
`NON'
RECU_FONCTION RESU_GENE
[U4.32.03]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1
Valeurs testées de la modélisation A
4.1.1 Déplacements
relatifs
des noeuds NO2, NO3 et NO4
·
Déplacements relatifs du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 8,47734E01
8,47725E01
0,001
0,3 1,55202E+01
1,55201E+01
0
0,5 4,36449E+01
4,36450E+01
0
0,7 8,50830E+01
8,50832E+01
0
1,0 1,74790E+02
1,74790E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 8,47734E01
8,47734E01
0
0,3 1,55202E+01
1,55202E+01
0
0,5 4,36449E+01
4,36449E+01
0
0,7 8,50830E+01
8,50830E+01
0
1,0 1,74790E+02
1,74790E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 8,47734E01
8,47761E01
0,003
0,3 1,55202E+01
1,55201E+01
0
0,5 4,36449E+01
4,36450E+01
0
0,7 8,50830E+01
8,50832E+01
0
1,0 1,74790E+02
1,74790E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,01 9,87666E10
7,32629E05
0
*
0,02 2,49501E07
1,46526E04
0
*
0,03 6,25468E06
2,19789E04
0
*
0,04 6,05829E05
2,93052E04
0
*
0,05 3,47191E04
3,66314E04
0
*
0,06 1,42349E03
1,32757E02
0,012
*
0,07 4,62144E03
2,61852E02
0,022
*
0,08 1,26245E02
3,90946E02
0,026
*
0,09 3,01825E02
5,20040E02
0,022
*
0,1 7,68449E01
7,68420E01
0,004
0,3 1,76923E+01
1,76922E+01
0
0,5 4,99310E+01
4,99311E+01
0
0,7 9,70711E+01
9,70714E+01
0
1,0 1,99722E+02
1,99722E+02
0
* erreur absolue
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·
Déplacements relatifs du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,68449E01
7,68449E01
0
0,3 1,76923E+01
1,76923E+01
0
0,5 4,99310E+01
4,99310E+01
0
0,7 9,70711E+01
9,70711E+01
0
1,0 1,99722E+02
1,99722E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,68449E01
7,68462E01
0,002
0,3 1,76923E+01
1,76922E+01
0
0,5 4,99310E+01
4,99311E+01
0
0,7 9,70711E+01
9,70715E+01
0
1,0 1,99722E+02
1,99722E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,09632E01
4,09604E01
0,007
0,3 1,10372E+01
1,10371E+01
0
0,5 3,12415E+01
3,12416E+01
0
0,7 6,05833E+01
6,05835E+01
0
1,0 1,24803E+02
1,24804E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,09632E01
4,09632E01
0
0,3 1,10372E+01
1,10372E+01
0
0,5 3,12415E+01
3,12415E+01
0
0,7 6,05833E+01
6,05833E+01
0
1,0 1,24803E+02
1,24803E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,09632E01
4,09630E01
0
0,3 1,10372E+01
1,10371E+01
0
0,5 3,12415E+01
3,12416E+01
0
0,7 6,05833E+01
6,05835E+01
0
1,0 1,24803E+02
1,24804E+02
0
4.1.2 Déplacements absolus des noeuds NO2, NO3 et NO4
·
Déplacements absolus du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,02266E01
4,02275E01
0,002
0,3 8,57298E+01
8,57299E+01
0
0,5 7,37605E+02
7,37605E+02
0
0,7 2,91617E+03
2,91617E+03
0
1,0 1,23252E+04
1,23252E+04
0
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·
Déplacements absolus du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,02266E01
4,02266E01
0
0,3 8,57298E+01
8,57298E+01
0
0,5 7,37605E+02
7,37605E+02
0
0,7 2,91617E+03
2,91617E+03
0
1,0 1,23252E+04
1,23252E+04
0
·
Déplacements absolus du noeud NO2 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,02266E01
4,02239E01
0,007
0,3 8,57298E+01
8,57299E+01
0
0,5 7,37605E+02
7,37605E+02
0
0,7 2,91617E+03
2,91617E+03
0
1,0 1,23252E+04
1,23252E+04
0
·
Déplacements absolus du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 6,48847E02
6,49134E02
0,044
0,3 4,98077E+01
4,98078E+01
0
0,5 4,70902E+02
4,70902E+02
0
0,7 1,90376E+03
1,90376E+03
0
1,0 8,13361E+03
8,13361E+03
0
·
Déplacements absolus du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 6,48847E02
6,48847E02
0
0,3 4,98077E+01
4,98077E+01
0
0,5 4,70902E+02
4,70902E+02
0
0,7 1,90376E+03
1,90376E+03
0
1,0 8,13361E+03
8,13361E+03
0
·
Déplacements absolus du noeud NO3 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 6,48847E02
6,48714E02
0,021
0,3 4,98077E+01
4,98078E+01
0
0,5 4,70902E+02
4,70902E+02
0
0,7 1,90376E+03
1,90376E+03
0
1,0 8,13361E+03
8,13361E+03
0
·
Déplacements absolus du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique d'Euler :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,03506E-03
7,06261E-03
0
0,3 2,27128E+01
2,27129E+01
0
0,5 2,29175E+02
2,29175E+02
0
0,7 9,39833E+02
9,39833E+02
0
1,0 4,04186E+03
4,04186E+03
0
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·
Déplacements absolus du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique de Devogelaere :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,03506E03
7,03504E03
0
0,3 2,27128E+01
2,27128E+01
0
0,5 2,29175E+02
2,29175E+02
0
0,7 9,39833E+02
9,39833E+02
0
1,0 4,04186E+03
4,04186E+03
0
·
Déplacements absolus du noeud NO4 avec l'algorithme d'intégration numérique à pas de temps
adaptatifs :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,03506E03
7,03655E03
0
0,3 2,27128E+01
2,27129E+01
0
0,5 2,29175E+02
2,29175E+02
0
0,7 9,39833E+02
9,39833E+02
0
1,0 4,04186E+03
4,04186E+03
0
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA 5.02
Machine : SGI Origin 2000
Temps CPU user : 16,4 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
SDLD103 Réponse sismique d'un système 3 masses et 4 ressorts
Date :
30/08/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL Clé
:
V2.01.103-B Page :
10/12
5 Modélisation
B
C'est la même modélisation que la précédente à l'exception du chargement qui est un
accélérogramme de rotation.
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Les éléments sont modélisés par des éléments discrets à 3 degrés de liberté DIS_T.
X
2
k 1
k2
k3
k4
Z
1
NO1
NO2
NO3
NO4
NO5
Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée 1(t), le noeud NO5 à 2(t). On calcule le
déplacement relatif des noeuds NO2, NO3 et NO4 par rapport à leur déformée statique, leur
déplacement d'entraînement et leur déplacement absolu.
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler (pas de temps : 103 seconde).
5.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage est constitué de 5 noeuds et de 4 éléments discrets (DIST_TR).
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés doc V5
AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
[U4.41.01]
AFFE_CARA_ELEM DISCRET NOEUD M_TR_D_N
[U4.42.01]
MAILLE
K_TR_D_L
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
[U4.44.01]
MACRO_MATR_ASSE
[U4.61.21]
MODE_ITER_INV CALC_FREQ
AJUSTE
[U4.52.04]
CALC_FONC_INTERP
[U4.32.01]
MODE_STATIQUE DDL_IMPO
[U4.52.14]
CALC_CHAR_SEISME NOEUD
[U4.63.01]
MACRO_PROJ_BASE
[U4.63.11]
DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
MULT_APPUI
'OUI'
[U4.53.21]
METHODE
EULER
REST_BASE_PHYS MULT_APPUI
'OUI' [U4.63.21]
MULT_APPUI
`NON'
RECU_FONCTION RESU_GENE
[U4.32.03]
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
SDLD103 Réponse sismique d'un système 3 masses et 4 ressorts
Date :
30/08/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL Clé
:
V2.01.103-B Page :
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6
Résultats de la modélisation B
6.1
Valeurs testées de la modélisation B
6.1.1 Déplacements
relatifs
des noeuds NO2, NO3 et NO4
·
Déplacements relatifs du noeud NO2 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 8,47734E01
8,47725E01
0,001
0,3 1,55202E+01
1,55201E+01
0
0,5 4,36449E+01
4,36450E+01
0
0,7 8,50830E+01
8,50832E+01
0
1,0 1,74790E+02
1,74790E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO3 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,68449E01
7,68420E01
0,004
0,3 1,76923E+01
1,76922E+01
0
0,5 4,99310E+01
4,99311E+01
0
0,7 9,70711E+01
9,70714E+01
0
1,0 1,99722E+02
1,99722E+02
0
·
Déplacements relatifs du noeud NO4 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,09632E01
4,09604E01
0,007
0,3 1,10372E+01
1,10371E+01
0
0,5 3,12415E+01
3,12416E+01
0
0,7 6,05833E+01
6,05835E+01
0
1,0 1,24803E+02
1,24804E+02
0
6.1.2 Déplacements absolus des noeuds NO2, NO3 et NO4
·
Déplacements absolus du noeud NO2 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 4,02266E01
4,02275E01
0,002
0,3 8,57298E+01
8,57299E+01
0
0,5 7,37605E+02
7,37605E+02
0
0,7 2,91617E+03
2,91617E+03
0
1,0 1,23252E+04
1,23252E+04
0
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Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
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Version
5.0
Titre :
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:
V2.01.103-B Page :
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·
Déplacements absolus du noeud NO3 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,01 9,87666E10
7,32627E05
0
*
0,02 2,49501E07
1,46525E04
0
*
0,03 6,25468E06
2,19788E04
0
*
0,04 6,05829E05
2,93051E04
0
*
0,05 3,47191E04
3,66313E04
0
*
0,06 1,42349E03
1,32757E02 0,012
*
0,07 4,62144E03
2,61852E02 0,022
*
0,08 1,26245E02
3,90946E02 0,026
*
0,09 3,01825E02
5,20040E02 0,022
*
0,10 6,48847E02
6,49134E02 0,044
0,30 4,98077E+01
4,98078E+01 0
0,50 4,70902E+02
4,70902E+02 0
0,70 1,90376E+03
1,90376E+03 0
1,0 8,13361E+03
8,13361E+03
0
* erreur absolue
·
Déplacements absolus du noeud NO4 :
Temps (s)
Référence
Code_Aster Erreur
(%)
0,1 7,03506E-03
7,06264E-03 0
0,3 2,27128E+01
2,27129E+01 0
0,5 2,29175E+02
2,29175E+02 0
0,7 9,39833E+02
9,39833E+02 0
1,0 4,04186E+03
4,04186E+03 0
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA 5.02
Machine : Sgi Origin 2000
Temps Cpu user : 14,3 secondes
7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus avec le Code_Aster sont conformes aux résultats de référence (l'erreur est en
générale inférieure à 0,03%).
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
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