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SSNS100 Comportement non linéaire d'une nappe d'armatures
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Manuel de Validation
Fascicule V6.05 : Statique non linéaire
Document : V6.05.100




SSNS100 - Comportement non linéaire d'une nappe
d'armatures sous chargement thermique




Résumé :

Une nappe d'armatures non excentrée par rapport au feuillet moyen et encastrée sur ses quatre côtés est
soumise à un chargement thermique. Les orientations des armatures sont confondues avec les axes (X,Y) du
repère global.

L'intérêt principal de ce test est de valider l'intégration numérique des modèles de comportement
élasto-plastique GRILLE_ISOT_LINE, GRILLE_CINE_LINE et GRILLE_PINTO_MEN d'une nappe d'armatures
associée à l'élément fini GRILLE (plaque orthotrope avec excentrement par rapport au plan de référence), dans
l'algorithme général STAT_NON_LINE.

Afin d'obtenir des solutions de référence, des solutions analytiques ont été établies pour les deux
comportements élasto-plastiques à écrouissage isotrope linéaire et cinématique linéaire. Le comportement de
Pinto-Menegotto est validé par non régression des résultats numériques obtenus avec Aster en version 5-3
(cf. [§1.3.3]).
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1
Problème de référence

1.1
Géométrie de la plaque

Y
NO4
NO3
X
X
1m
ref
NO 1
1 m
N O2


Z
Y
X
e


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1.2
Caractéristiques des modélisations

Ce cas test est composé de 7 modélisations. Le tableau ci-dessous résume leur caractéristiques :

Excentrement = 0 Epaisseur = 0,01m
Orientation des armatures
direction longitudinale (L) : OX
direction transversale (T) : OY

Modélisation Loi de comportement
% armature
% armature
Mode d'application de
longitudinale
la température
L
transversale T
A
isotrope linéaire
1
0,1
aux noeuds
B
cinématique linéaire
1
0,1
aux noeuds
C
Pinto Menegotto
1
0,1
aux noeuds
D
Pinto Menegotto
1
0,1
aux éléments
E
Pinto Menegotto
1
0
aux éléments
F
isotrope linéaire
1
0
aux noeuds
G
cinématique linéaire
1
0
aux noeuds

1.3
Propriétés des matériaux

1.3.1 Propriétés communes à toutes les modélisations


Module d'Young :
E = 2 1011
.
MPa

Coefficient de Poisson :
= 0

Limite d'élasticité :
y = 2 108
.
MPa

Coefficient de dilatation thermique : =
-
10 5 (°C-1)

1.3.2 Comportement
plastique isotrope et cinématique

Pour les comportements isotrope (GRILLE_ISOT_LINE) et cinématique (GRILLE_CINE_LINE)
Pente d'écrouissage: ET = 2 1010
.
MPa

1.3.3 Comportement de Pinto Menegotto

Pour le comportement PINTO MENEGOTTO (GRILLE_PINTO_MEN)

EPSI_ULTM : 3,0.
10­2
SIGM_ULTM : 2,58.
108
EPSP_HARD : 0,0023
R_PM
: 20,0
EP_SUR_E
: 0,01
A1_PM
: 18,5
A2_PM
: 0,15
ELAN
: 4,9
A6_PM
: 620,0
C_PM
: 0,5
A_PM
: 0,008

1.4
Conditions aux limites et chargement

La plaque est entièrement encastrée.
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Le chargement est d'origine thermique. L'évolution de la température en fonction du temps est donnée
pour chaque modélisation dans le tableau suivant. La température est appliquée aux noeuds ou aux
éléments, selon la modélisation.

Instant Evolution
A Evolution B
Evolution C



0 50 50 50
1 ­50 ­50 ­300
2 ­250 ­250 ­100
3 ­150 ­150
50
4 ­250 ­250 ­150
5 ­50 ­50 ­350
6 350 350 ­200
7 50 150

8 ­450 ­450

9 ­110 ­250

10 550 650

11 50 450


600
Evol_A
400
Evol_B
Evol_C
200
.
éf
Tr
0
T-
-200
-400
-600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12


On a pris pour tous les tests une température de référence de 50°.
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2
Solutions de référence

2.1
Comportement plastique isotrope

La solution de référence se calcule analytiquement.
On note T +
+
, p+
+
, p
, la température, la déformation plastique, la déformation plastique cumulée
et la déformation totale à l'instant de calcul, et T -
-
, p-
, p
les mêmes quantités à l'instant
précédent. Tréf désigne la température de référence.

La solution se calcule de la façon suivante :


+
+
-
e = E[ - (T - r
T ef ) - p ]
E. ET
R( p) =
p + y
E - ET
si
-
e R( p )
+ = - ; p+ = p- ; + =
p
p
e
sinon
si
-
e > R( p )
E - E

+
T
=

+ -
y
E
+
T
-
-
p
(T - reTf )- + [p - p ]
E
E
E


p+ = p- + + - -
p
p
+ = R( p+ )
sinon
E - E

+
T
E
=
+

- +
y
T
+
[ - -
p + p ]
p
(T - reTf )+
E
E
E



p+ = p- - +
-
p + p
+
= -R( p+ )

Ce calcul est fait dans chaque direction. Pour le cas traité, + = 0 à tout instant.
Dans la direction longitudinale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant
dans chaque grille de cette direction.
Dans la direction transversale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant

dans chaque grille de cette direction multipliée par le coefficient T
.
L
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2.2
Comportement plastique cinématique

La solution de référence se calcule analytiquement.
On note T +
+
+
, , X +
, p
la température, la déformation plastique et la variable d'écrouissage
cinématique à l'instant de calcul, et T -
- X -
, p
les mêmes quantités à l'instant précédent.

La solution se calcule de la façon suivante :



+
+
-
e = E[ - (T - r
T ef ) - p ]
si - X -
e
y
+ = - ; X + = X - ; + =
p
p
e
sinon
si - X - >
e
y
E - E

+
T
=

+ -
y
+
p
(T - reTf )-
E
E




X + = E
+ -
y
+
T
(T - rTef )-
E


E - E
+
+
+
T
= ET [ -(T - rTef )]+
y
E
sinon
E - E

+
T
=
+

-
y
+
p
(T - reTf )+
E
E



y
+
X = ET +
- ( +
T - Tref ) +



E
E -
+
E
= E
T
T [ +
- ( +
T - Tref )] -

E
y

Ce calcul est fait dans chaque direction. Pour le cas traité, + = 0 à tout instant.
Dans la direction longitudinale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant
dans chaque grille de cette direction.
Dans la direction transversale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant

dans chaque grille de cette direction multipliée par le coefficient T
.
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2.3
Comportement Pinto Ménégotto

La solution de référence est celle obtenue par un calcul Aster avec le même maillage sur lequel on
applique des cycles de charge/décharge, en déplacement imposé, permettant de recréer les
déformations issues des calculs thermo-mécaniques présentés ci-après. Le test correspondant n'est
donc qu'un test de non régression, en comparant les contraintes obtenues par ces deux types de
modélisation : d'une part mécanique, et d'autre part thermo-mécanique.

Dans la direction longitudinale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant
dans chaque grille de cette direction.
Dans la direction transversale, la contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant

dans chaque grille de cette direction multipliée par le coefficient T
.
L



3 Modélisation
A

L'éprouvette est maillée avec deux éléments `GRILLE` à trois noeuds.

NO3
NO4
NO1
NO2



4 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM GRILLE


DEFI_MATERIAU ECRO_LINE



PINTO_MENEGOTTO
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
`GRILLE_ISOT_LINE'
`GRILLE_CINE_LINE'
`GRILLE_PINTO_MEN'
NEWTON
MATRICE
`TANGENTE'

CALC_ELEM OPTION
SIGM_ELNO_VARI

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5

Résultats modélisation A (écrouissage isotrope linéaire)

5.1
Chargement thermique pour la modélisation A

Température de référence : 50
Histoire du chargement : Evolution_A (cf. [§1.4])
Les températures sont rentrées comme un champ aux noeuds.

5.2 Résultats

Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1

SIGXX
SIGYY
Instant Référence Code_Aster
Ecart Référence Code_Aster
Ecart (%)
1 2,00000E+08 2,00000E+08 0 2,00000E+07 2,00000E+07 0
2 2,40000E+08 2,40000E+08 0 2,40000E+07 2,40000E+07 0
3 4,00000E+07 4,00000E+07 0 4,00000E+06 4,00000E+06 0
4 2,40000E+08 2,40000E+08 0 2,40000E+07 2,40000E+07 0
5 ­1,60000E+08 ­1,60000E+08 0 ­1,60000E+07 ­1,60000E+07
0
6 ­3,12000E+08 ­3,12000E+08 0 ­3,12000E+07 ­3,12000E+07
0
7 2,88000E+08 2,88000E+08 0 2,88000E+07 2,88000E+07 0
8 4,09600E+08 4,09600E+08 0 4,09600E+07 4,09600E+07 0
9 ­2,70400E+08 ­2,70400E+08 0 ­2,70400E+07 ­2,70400E+07
0
10 ­5,27680E+08 ­5,27680E+08 0 ­5,27680E+07 ­5,27680E+07
0
11 4,72320E+08 4,72320E+08 0 4,72320E+07 4,72320E+07 0

Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont égales aux contraintes SIGXX multipliées par le rapport des
pourcentages d'armature entre les directions transversale et longitudinale.
Le cas test étudié correspond au schémas suivant dans un plan contrainte déformation :


5,000E+08
4,000E+08
3,000E+08
2,000E+08
1,000E+08
0,000E+00
-1,000E+08
-2,000E+08
-3,000E+08
-4,000E+08
-5,000E+08
-6,000E+08
-6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00
2,00E-03
4,00E-03
6,00E-03

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6 Résultats modélisation B (écrouissage cinématique

linéaire)

6.1
Chargement thermique pour la modélisation B

Température de référence : 50°C
Histoire du chargement : Evolution_B (cf. [§1.4)
Les températures sont rentrées comme un champ aux noeuds.


6.2 Résultats

Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1

SIGXX
SIGYY
Instant Référence Code_Aster
Ecart Référence
Code_Aster Ecart
(%)
1 2,00E+08
2,00E+08 0 2,00E+07 2,00E+07
0
2 2,40E+08
2,40E+08 0 2,40E+07 2,40E+07
0
3 4,00E+07
4,00E+07 0 4,00E+06 4,00E+06
0
4 2,40E+08
2,40E+08 0 2,40E+07 2,40E+07
0
5 ­1,60E+08
­1,60E+08
0 ­1,60E+07 ­1,60E+07
0
6 ­2,40E+08
­2,40E+08
0 ­2,40E+07 ­2,40E+07
0
7 1,60E+08
1,60E+08 0 1,60E+07 1,60E+07
0
8 2,80E+08
2,80E+08 0 2,80E+07 2,80E+07
0
9 ­1,20E+08
­1,20E+08
0 ­1,20E+07 ­1,20E+07
0
10 ­3,00E+08 ­3,00E+08
0 ­3,00E+07 ­3,00E+07
0
11 1,00E+08 1,00E+08
0 1,00E+07 1,00E+07
0


Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont égales aux contraintes SIGXX multipliées par le rapport des
pourcentages d'armature entre les directions transversale et longitudinale.
Le cas test étudié correspond au schéma suivant dans un plan contrainte déformation :


3,00E+08
2,00E+08
1,00E+08
0,00E+00
-1,00E+08
-2,00E+08
-3,00E+08
-6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00
2,00E-03
4,00E-03
6,00E-03
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7

Résultats modélisation C (modèle de Pinto Menegotto)

7.1
Chargement thermique pour la modélisation C

Température de référence : 50°C
Histoire du chargement : Evolution_C (cf. [§1.4])
Les températures sont rentrées comme un champ aux noeuds.


7.2 Résultats

Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1

SIGXX
SIGYY
Instant Code_Aster


Code_Aster

1
2.00000E+08

2.00000E+07

2
2.09416E+08

2.09416E+07

3
­1.21555E+08
­1.21555E+07

4
­1.82862E+08
­1.82862E+07

5
1.52164E+08

1.52164E+07

6
2.02506E+08

2.02506E+07

7
­7.59307E+07
­7.59307E+06


Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont égales aux contraintes SIGXX multipliées par le rapport des
pourcentages d'armature entre les directions transversale et longitudinale.



Le cas test étudié correspond au schéma suivant dans un plan contrainte déformation :

2,50E+08
2,00E+08
1,50E+08
1,00E+08
5,00E+07
0,00E+00
-5,00E+07
-1,00E+08
-1,50E+08
-2,00E+08
0,0E+00 5,0E-04 1,0E-03 1,5E-03 2,0E-03 2,5E-03 3,0E-03 3,5E-03 4,0E-03

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8

Résultats modélisation D (modèle de Pinto-Menegotto)

La modélisation D est la même que la modélisation C, à la différence que les températures sont
définies par une carte.
Les résultats sont identiques.



9
Résultats modélisation E (modèle de Pinto-Menegotto)

La modélisation E se rapproche de la modélisation D, à la différence qu'il n'y pas d'armature
transversale ( T = 0).


9.1 Résultats


Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1


SIGXX SIGYY
Instant
Code_Aster


Code_Aster

1
2.00000E+08

0,0

2
2.09416E+08

0,0

3
­1.21555E+08

0,0

4
­1.82862E+08

0,0

5
1.52164E+08

0,0

6
2.02506E+08

0,0

7
­7.59307E+07

0,0



Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont nulle, puisqu'il n'existe plus d'armatures transversales.


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10 Résultats modélisation F (écrouissage isotrope linéaire)

La modélisation F se rapproche de la modélisation A, à la différence qu'il n'y pas d'armature
transversale ( T = 0).

10.1 Résultats

Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1


SIGXX SIGYY
Instant
Code_Aster


Code_Aster

1
2.00000E+08

0,0

2
2.40000E+08

0,0

3
4.00000E+07

0,0

4
2.40000E+08

0,0

5
­1.60000E+08

0,0

6
­3.12000E+08

0,0

7
2.88000E+08

0,0

8
4.09600E+08

0,0

9
­2.70400E+08

0,0

10
­5.27680E+08

0,0

11
4.72320E+08

0,0



Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont nulle, puisqu'il n'existe plus d'armatures transversales.



10.2 Paramètres
d'exécution

Version : 5.03.13

Machine : SGI ORIGIN 2000 - R 12000

Encombrement mémoire : 32 Mo
Temps CPU User : 6, 43 s

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11 Résultats modélisation G (modèle cinématique linéaire)

La modélisation F se rapproche de la modélisation B, à la différence qu'il n'y pas d'armature
transversale ( T = 0).


11.1 Résultats

Variable : SIGXX et SIGYY au noeud NO1

SIGXX
SIGYY
Instant
Code_Aster


Code_Aster

1
2,00E+08
0,0
2
2,40E+08
0,0
3
4,00E+07
0,0
4
2,40E+08
0,0
5
­1,60E+08
0,0
6
­2,40E+08
0,0
7
1,60E+08
0,0
8
2,80E+08
0,0
9
­1,20E+08
0,0
10
­3,00E+08

0,0

11
1,00E+08

0,0


Remarques :

Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence (Xref, Yref) faisant un angle de 0°
par rapport à (X, Y).
Les contraintes SIGYY sont nulle, puisqu'il n'existe plus d'armatures transversales.



11.2 Paramètres
d'exécution

Version : 5.03.13

Machine : SGI ORIGIN 2000 - R 12000

Encombrement mémoire : 32 Mo
Temps CPU User : 7, 52 s
Manuel de Validation
Fascicule V6.05 : Statique non linéaire
HT-66/02/001/A

Code_Aster ®
Version 5.0

Titre :

SSNS100 Comportement non linéaire d'une nappe d'armatures
Date :
05/02/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT Clé
:
V6.05.100-A Page :
14/14


12 Synthèse des résultats

Pour les comportements élasto-plastiques avec écrouissage linéaire, la solution analytique est
parfaitement retrouvée.

Le comportement de Pinto-Menegotto est validé par non régression.

Manuel de Validation
Fascicule V6.05 : Statique non linéaire
HT-66/02/001/A

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