Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLL403 Flambement d'une poutre sous l'effet de son poids propre
Date :
22/01/98
Auteur(s) :
J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
Clé : V3.01.403-A Page : 1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, IAT St CYR
Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document : V3.01.403
SSLL403 - Flambement d'une poutre sous l'effet de
son poids propre
Résumé :
Ce test permet de valider en élasticité linéaire le chargement dû aux forces de pesanteur pour une modélisation
de type poutre droite d'Euler (POU_D_E). Il permet également la mise en oeuvre et la validation du calcul de la
matrice de rigidité géométrique.
La solution de référence est analytique et les résultats jugés satisfaisants.
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Date :
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Clé : V3.01.403-A Page : 2/6
1
Problème de référence
1.1 Géométrie
A
Z
0
X
repère global
Figure 1.1-A
Section rectangulaire : Hy = 0.01 m , Hz = 0.01 m
Longueur : L = 1 m
1.2
Propriétés des matériaux
Module d'Young :
E = 2. 1011 Pa
Coefficient de Poisson : = 0,3
Masse volumique :
= 7800 kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargement
Condition aux limites :
Extrémité encastrée (0) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0.
Chargement :
Force de pesanteur : p poids par unité de longueur avec g = (0 0 -9,81) (donné en repère global).
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
En repère local, x suivant l'axe OA de la poutre, le moment fléchissant, à l'abscisse x, a pour
expression :
L
M
(x) = p
[v ( ) - v (x)]d
Fy
.
x
La flèche v( x) satisfait donc l'équation :
L
L
d 2v
E I
= p
() - ( ) = -
() + ( - ) ( )
2
[v
v x ] d
p
v
d
L x v x
z dx
x
x
En dérivant les deux membres, on obtient l'équation différentielle :
d 3v
p
dv
+
( L - x)
= 0 .
dx3
E I
dx
z
dv
La fonction v'( x) =
satisfait l'équation différentielle linéaire et homogène du second ordre :
dx
d 2v'
p
+
( L - x) v' = 0 ,
dx2
E Iz
qui peut être résolue à l'aide des fonctions de Bessel.
On trouve alors la valeur du poids linéique critique égale à :
E I
p
z
c = 7 837
,
.
L3
La solution analytique donne numériquement :
-
10 8
p
11
3
c = 7 837
,
2 10 ·
= 1 3061667
,
10 .
12
2.2
Résultats de référence
La valeur critique du multiplicateur :
c
P
c =
Sg
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Rapport n° 2314/A de l'Institut Aérotechnique « Proposition et réalisation de nouveaux cas
tests manquant à la validation des poutres Aster »
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d'Euler.
3.2
Caractéristiques du maillage
Il est constitué de 10 éléments POU_D_E.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION
RECTANGLE
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA PESANTEUR
[U4.25.01]
CALC_CHAM_ELEM SIEF_ELGA_DEPL
[U4.61.01]
MODE_ITER_SIMULT METHODE
JACOBI
[U4.52.02]
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Valeur propre du système (K + KG) X = 0 :
Référence
Aster Ecart
%
170.701 170.0005
0.408
4.2 Remarque
Puisque p
S g
c =
, ( S g représente la pré-contrainte linéique), nous avons comme
chargement critique :
p
N m
c =
-
1300 84
1
,
.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 4.02.13
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU user :
5.8 secondes
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5
Synthèse des résultats
Les résultats sont très proches de la solution analytique (écart : 0,4% pour 10 éléments). Cet écart est
fonction de la finesse de discrétisation étant données les hypothèses utilisées pour la rigidité
géométrique (cf. [R3.08.01]). Ceci valide donc ce type de chargement pour le flambement d'Euler.
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