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Version
5.0
Titre :
SDLD104 - Extrapolation de mesures locales sur un modèle complet
Date :
04/03/02
Auteur(s) :
S. AUDEBERT, P. HERMAN Clé
:
V2.01.104-A Page :
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Organisme(s) : EDF/RNE/AMV, CS SI
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.104
SDLD104 - Extrapolation de mesures locales
sur un modèle complet (discret)
Résumé :
Il s'agit d'un test de dynamique linéaire discret.
Le but est de tester la commande PROJ_MESU_MODAL dans le cas d'un système discret. Cette commande
permet de projeter des réponses transitoires dynamiques expérimentales en un certain nombre de points sur
une base modale d'une modélisation numérique.
Ce test contient 2 modélisations :
·
la projection se fait sur un concept de base modale de type [mode_meca],
·
la projection se fait sur un concept de base modale de type [base_modale].
Pour les 2 modélisations, les mesures expérimentales fournies sont identiques et permettent de tester la
recherche des noeuds en vis-à-vis, la prise en compte d'une orientation locale et le traitement d'un
échantillonnage en temps constant ou non, pour des mesures en déplacement.
Dans les deux cas, la solution de référence est déterminée analytiquement (par Maple) ; la projection est
réalisée dans la configuration favorable où le nombre de modes est égal au nombre de mesures.
Les réponses en déplacement obtenues après projection sont identiques aux déplacements de référence
fournis en données.
Les valeurs des vitesses et des accélérations déduites des déplacements obtenus après projection sont
proches de celles obtenues analytiquement. Les faibles écarts constatés sont dus aux erreurs d'approximation
engendrées par la détermination via un schéma linéaire en temps des vitesses et accélérations.
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1
Problème de référence
1.1
Description du système
Nous considérons le système représenté par le schéma ci-dessous :
K
K
K
m
m
X1
X2
1.2
Masses et rigidité
Les trois ressorts sont de rigidité identique : k = 1000 N/m.
Les deux masses sont égales à m = 10 kg.
1.3
Conditions aux limites et chargement
Les deux extrémités sont encastrées.
Le chargement est une force axiale en traction appliquée sur la masse m1, sinusoïdale en fonction du
temps, de pulsation .
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution analytique de ce problème est présentée ci-dessous.
·
Modes et fréquences de vibration :
Le système suivant caractérise la dynamique des masses :
mx& + 2kx - kx
1
1
2 = 0
éq 2.1-1
mx
& + 2kx - kx
2
2
1 = 0
Ce qui est équivalent au système suivant :
(
m x& + x
1
&2) + k(x + x
1
2 ) = 0
éq 2.1-2
(
m x& - x
1
&2) + k
3 (x - x
1
2 ) = 0
Les 2 fréquences propres du système sont donc données par :
k
k
=
et
3
1
2 =
éq
2.1-3
m
m
et les déformations modales associées sont :
1
1
= et
1
2 =
éq
2.1-4
1
- 1
Les matrices généralisées sont :
1
1m 01
1 2m
0
M = TM =
=
1 -
1 0
m 1 -
1
0
2
m
éq
2.1-5
1
1 2k - k1
1 2k
0
K = TK =
=
1 -
1 - k
2k 1 -
1
0 6k
·
Réponse transitoire :
1
L'effort sinusoïdal est appliqué sur la première masse : F =
(
sin t)
0
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Le système dynamique vérifié est le suivant :
MX
& + KX = F
éq 2.1-6
En projetant sur la base des modes propres, nous obtenons :
T & + T = T
M
K
F
éq
2.1-7
Soit :
2m
0 & 2k
0 1 1 1
1
1
+
=
(
sin t
)
éq
2.1-8
0
2m & 0 6k 1 - 10
2
2
Nous aboutissons donc au système découplé suivant :
1
m
& + k = si (
n t
)
1
1
2
éq
2.1-9
1
m
& + k
3 =
(
sin t
)
2
2
2
La solution de ce système est donnée par :
sin t
(t)
1
= 1
A
(
cos 1t) + 1
B si (
n 1t)
( )
+ 2
(m2 -2
1
)
éq
2.1-10
sin
(
t
t)
2
= 2
A
(
cos 2t) + 2
B s (
in 2t)
( )
+
2
(m2 -2
2
)
Les déplacements dans l'espace physique sont obtenus par la formule de Ritz :
x1
1
1 1
+
1
2
X = = =
=
éq
2.1-11
x2
1 -
1 2
-
1
2
On en déduit les expressions de :
x (t) et x (t)
1
2
éq
2.1-12
sin t
1
1
x (t) = A cos
sin
cos
sin
1
1
( t1)+ B1 ( t1)+ A2 ( t2)+ B2 ( t2)
( )
+
+
2m 2
2
2
2
1
-
2 -
sin t
1
1
x (t) = A cos
sin
cos
sin
2
1
( t1)+ B1 ( t1)- A2 ( t2)+ B2 ( t2)
( )
+
-
2m 2
2
2
2
1
-
2 -
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A l'instant initial, le système est au repos, d'où les expressions finales de x (t)
1
et x (t)
2
:
(
sin t
) -
s (
in t
1 )
(
sin t
) -
s (
in t
2 )
1
x (t)
1
2
1
=
+
2m
2
2
2
2
1 -
2 -
éq
2.1-13
(
sin t
) -
s (
in t
1 )
(
sin t
) -
s (
in t
2 )
1
x (t)
1
2
2
=
-
2m
2
2
2
2
1 -
2 -
Les vitesses des deux masses sont calculées en dérivant les déplacements par rapport au temps :
(
cos t
) - c (
os t
1 )
(
cos t) - c (
os
t
2 )
x (t)
&
1
=
+
2m
2
2
2
2
1
-
2 -
éq
2.1-14
(
cos t
) - c (
os t
1 )
co (
s t) - c (
os
t
2 )
x (t)
&
2
=
-
2m
2
2
2
2
1
-
2 -
Les accélérations des deux masses sont calculées en dérivant les vitesses par rapport au temps :
(
sin t
) - s
1
(
in
t
1 )
si (
n t) -
s
2
(
in
t
2 )
&x (t)
1
=
+
2m
2
2
2
2
1
-
2 -
éq 2.1-15
(
sin t
) - s
1
(
in
t
1 )
(
sin t) -
s
2
(
in
t
2 )
&x (t)
2
=
-
2m
2
2
2
2
1
-
2 -
2.2
Résultats de référence
La comparaison des résultats porte sur les déplacements, vitesses et accélérations suivant l'axe des
deux masses, à cinq instants différents.
2.3
Incertitude sur la solution
La solution de référence est exacte.
Le modèle discret représente parfaitement le problème posé (la base modale est complète ; il n'y a
donc pas d'approximation liée à une éventuelle troncature modale). Le nombre de modes de la base
de projection modale est égal au nombre de mesures, donc la solution de l'inversion est exacte (par
opposition à une solution approchée d'un problème inverse généralisé). Si la recherche des noeuds en
vis-à-vis est bonne, les déplacements obtenus après projection doivent être en parfaite adéquation
avec les valeurs expérimentales. Les vitesses et accélérations sont déterminées par dérivation des
contributions modales identifiées via un schéma d'approximation linéaire en temps, pouvant donc
générer quelques erreurs.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation et des maillages
·
Maillage numérique :
Le maillage numérique est réalisé directement au format ASTER. Il comporte 4 noeuds et 3
mailles discrètes.
k
m k
m
k
x
N1
N2
N3
N4
(x=0.) (x=0.1) (x=0.2) (x=0.3)
·
Maillage expérimental :
Le maillage de mesure ne comprend que 2 éléments ponctuels et 2 noeuds :
x
N2 N3
(x=0.12) (x=0.18)
3.2
Caractéristiques des mesures
Les mesures expérimentales fournies sont :
·
Au noeud N3 :
Les données sont les déplacements axiaux, multipliés par ( 2 /2), et appliqués dans la direction
X. L'orientation locale indiquée dans le fichier de commande est (45. 0. 0.)
L'échantillonnage du temps est constant : le temps initial est 0 s, le pas de temps est 103 s et le
nombre d'instants est 1001 (i.e. jusqu'à un temps final de 1 s).
·
Au noeud N2 :
Les données sont les déplacements axiaux, appliqués dans la direction x .
L'échantillonnage du temps est variable : tous les instants sont indiqués de 0 s à 1 s, par pas de
103 s (1001 instants au total).
Les valeurs sont issues du calcul analytique réalisé avec Maple.
3.3
Caractéristiques de la base modale
Les deux seuls modes sont stockés dans un concept de type [mode_meca] créé par la commande
MODE_ITER_SIMULT. Leurs fréquences propres sont identiques aux fréquences propres analytiques.
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3.4 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
CARA
'M_T_D_N
'K_T_D_L'
ORIENTATION
'ANGL_NAUT'
REPERE
'LOCAL'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT
NOEUD
AFFE_MODELE
TOUT
'MECANIQUE' 'DIST_T'
ASSE_MATRICE
CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA'
'RIGI_MECA'
MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
OPTION
'BANDE'
NUME_DDL
NUME_DDL_GENE
PROJ_MATR_BASE
PROJ_MESU_MODAL
MESURE
REGULARISATION
REST_BASE_PHYS TOUT_CHAM
'OUI'
TEST_RESU NOM_CHAM
'DEPL'
CRITERE
'VITE'
'ACCE'
'RELATIF'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Code_Aster différence
à t = 0.1 s
1.745 104 1.745
104 0.01
%
à t = 0.3 s
6.797 104 6.797
104 0.01
%
DEPL_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.217 103 1.217
103 0.01
%
(m) (masse
1)
à t = 0.7 s
5.214 104 5.214
104 0.01
%
à t = 0.9 s
9.031 104 9.031
104 0.00
%
à t = 0.1 s
9.154 106 9.154
106 0.00
%
à t = 0.3 s
6.414 104 6.414
104 0.00
%
DEPL_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
8.636 104 8.636
104 0.00
%
(m) (masse
2)
à t = 0.7 s
1.107 104 1.107
104 0.03
%
à t = 0.9 s
1.633 103 1.633
103 0.02
%
à t = 0.1 s
4.586 103 4.616
103 0.65
%
à t = 0.3 s
7.598 103 7.663
103 0.85
%
VITE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.581 104 8.000
105 7.81
105 m/s
(m/s) (masse
1)
à t = 0.7 s
9.382 103 9.354
103 0.30
%
à t = 0.9 s
7.481 103 7.537
103 0.75
%
à t = 0.1 s
4.328 104 4.405
104 1.79
%
à t = 0.3 s
3.671 103 3.640
103 0.84
%
VITE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
1.539 102 1.536
102 0.20
%
(m/s) (masse
2)
à t = 0.7 s
2.453 102 2.457
102 0.15
%
à t = 0.9 s
1.899 102 1.912
102 0.68
%
à t = 0.1 s
6.112 102 6.100
102 0.20
%
à t = 0.3 s
1.306 101 1.300
101 0.46
%
ACCE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.571 101 1.600
101 1.85
%
(m/s2) (masse
1) à t = 0.7 s
5.657 102 5.800
102 2.53
%
à t = 0.9 s
1.124 101 1.130
101 0.53
%
à t = 0.1 s
1.562 102 1.618
102 3.58
%
à t = 0.3 s
6.031 102 6.223
102 3.18
%
ACCE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
5.102 102 5.374
102 5.33
%
(m/s2) (masse
2) à t = 0.7 s
7.428 102 7.043
102 5.19
%
à t = 0.9 s
2.364 101 2.263
101 4.28
%
Remarque :
La vitesse au noeud N2 à l'instant t = 0.5 s étant relativement proche de zéro, la comparaison
est réalisée pour ce cas en valeur absolue.
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA5 (5.05)
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 9.05 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation et des maillages
·
Maillage numérique :
Le maillage numérique est réalisé directement au format ASTER. Il comporte 4 noeuds et 3
mailles discrètes.
k
m k
m
k
x
N1
N2
N3
N4
(x=0.) (x=0.1) (x=0.2) (x=0.3)
·
Maillage expérimental :
Le maillage de mesure ne comprend que 2 éléments ponctuels et 2 noeuds :
x
N2
N3
(x=0.12) (x=0.18)
5.2
Caractéristique des mesures
Les mesures expérimentales fournies sont :
·
Au noeud N3 :
Les données sont les déplacements axiaux, multipliés par ( 2 /2), et appliqués dans la direction
x . L'orientation locale indiquée dans le fichier de commande est (45. 0. 0.)
L'échantillonnage du temps est constant : le temps initial est 0 s, le pas de temps est 103 s et le
nombre d'instants est 1001 (i.e. jusqu'à un temps final de 1 s).
·
Au noeud N2 :
Les données sont les déplacements axiaux, appliqués dans la direction X.
L'échantillonnage du temps est variable : tous les instants sont indiqués de 0 s à 1 s, par pas de
103 s (1001 instants au total).
Les valeurs sont issues du calcul analytique réalisé avec Maple.
5.3
Caractéristiques de la base modale
Les deux seuls modes sont stockés dans un concept de type [base_modale], créé par la commande
DEFI_BASE_MODALE. L'interface, de type Craig-Bampton, est placée sur le degré de liberté en
déplacement suivant x du noeud N2 (correspondant à la masse m 1). La base modale contient donc
un mode dynamique (avec N2 bloqué) et un mode statique.
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5.4 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
CARA
'M_T_D_N
'K_T_D_L'
ORIENTATION
'ANGL_NAUT'
REPERE
'LOCAL'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT
NOEUD
AFFE_MODELE
TOUT
'OUI'
PHENOMENE
'MECANIQUE'
MODELISATION
'DIST_T'
ASSE_MATRICE
CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA'
'RIGI_MECA'
DEFI_BASE_MODALE CLASSIQUE
DEFI_INTERF_DYNA INTERFACE
MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
OPTION
'BANDE'
NUME_DDL
NUME_DDL_GENE
PROJ_MATR_BASE
PROJ_MESU_MODAL
MESURE
REGULARISATION
REST_BASE_PHYS TOUT_CHAM
'OUI'
TEST_RESU NOM_CHAM
'DEPL'
CRITERE
'VITE'
'ACCE'
'RELATIF'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Code_Aster différence
à t = 0.1 s
1.745 104 1.745
104 0.01
%
à t = 0.3 s
6.797 104 6.797
104 0.01
%
DEPL_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.217 103 1.217
103 0.01
%
(m) (masse
1)
à t = 0.7 s
5.214 104 5.214
104 0.01
%
à t = 0.9 s
9.031 104 9.031
104 0.00
%
à t = 0.1 s
9.154 106 9.154
106 0.00
%
à t = 0.3 s
6.414 104 6.414
104 0.00
%
DEPL_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
8.636 104 8.636
104 0.00
%
(m) (masse
2)
à t = 0.7 s
1.107 104 1.107
104 0.03
%
à t = 0.9 s
1.633 103 1.633
103 0.02
%
à t = 0.1 s
4.586 103 4.616
103 0.65
%
à t = 0.3 s
7.598 103 7.663
103 0.85
%
VITE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.581 104 8.000
105 7.81
105 m/s
(m/s) (masse
1)
à t = 0.7 s
9.382 103 9.354
103 0.30
%
à t = 0.9 s
7.481 103 7.537
103 0.75
%
à t = 0.1 s
4.328 104 4.405
104 1.79
%
à t = 0.3 s
3.671 103 3.640
103 0.84
%
VITE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
1.539 102 1.536
102 0.20
%
(m/s) (masse
2)
à t = 0.7 s
2.453 102 2.457
102 0.15
%
à t = 0.9 s
1.899 102 1.912
102 0.68
%
à t = 0.1 s
6.112 102 6.100
102 0.20
%
à t = 0.3 s
1.306 101 1.300
101 0.46
%
ACCE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.571 101 1.600
101 1.85
%
(m/s2) (masse
1) à t = 0.7 s
5.657 102 5.800
102 2.53
%
à t = 0.9 s
1.124 101 1.130
101 0.53
%
à t = 0.1 s
1.562 102 1.618
102 3.58
%
à t = 0.3 s
6.031 102 6.223
102 3.18
%
ACCE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
5.102 102 5.374
102 5.33
%
(m/s2) (masse
2) à t = 0.7 s
7.428 102 7.043
102 5.19
%
à t = 0.9 s
2.364 101 2.263
101 4.28
%
Remarque :
La vitesse au noeud N2 à l'instant t = 0.5 s étant relativement proche de zéro, la comparaison
est réalisée pour ce cas en valeur absolue.
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA5 (5.05)
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 9.24 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
SDLD104 - Extrapolation de mesures locales sur un modèle complet
Date :
04/03/02
Auteur(s) :
S. AUDEBERT, P. HERMAN Clé
:
V2.01.104-A Page :
12/12
7
Synthèse des résultats
Pour les deux modélisations, les réponses en déplacement obtenues après projection sont identiques
aux déplacements de référence calculés analytiquement avec Maple et fournis en données.
Les valeurs des vitesses et des accélérations déduites des déplacements obtenus après projection
sont proches de celles obtenues analytiquement. Les faibles écarts constatés sont dus aux erreurs
d'approximation engendrées par la détermination par un schéma linéaire en temps des vitesses et
accélérations.
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
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