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5.0
Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT
Clé : V6.02.112-A Page : 1/14
Organisme(s) : EDF/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document V6.02.112
SSNL112 - Barre soumise a un chargement
thermique cyclique
Résumé :
Ce cas test entre dans le cadre de la validation des relations de comportement en élastoplasticité des éléments
barre pour la mécanique quasi-statique des structures.
Une barre encastrée a ces deux extrémités subit un chargement thermique cyclique induisant des efforts de
traction-compression.
Chaque modélisation permet de valider une des relations de comportement non-linéaire introduite :
Ecrouissage isotrope linéaire avec critère de Von Mises (modélisation A), écrouissage cinématique linéaire
avec critère de Von Mises (modélisation B), ainsi qu'un modèle dit de Pinto-Menegotto, représentant le
comportement cyclique des armatures en acier dans le béton armé (modélisations C et D).
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
N1
y
x
N2
z
Longueur de la barre : 1 m
Section de la barre
: 5 cm2
1.2
Propriétés des matériaux
1.2.1 Ecrouissages isotrope et cinématique linéaires
E
t
y
E
Module d'Young :
E = 2. 1011 Pa
Pente d`écrouissage :
Et = 2.109 Pa
Limite d'élasticité :
= 2.108 Pa
Coefficient de Poisson :
= 0,3
Coefficient de dilatation thermique :
= 1.10-5 K-1
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1.2.2 Modèle de Pinto-Menegotto
u
0y
E
0y
h
u
Module d'Young :
E
=
2. 1011 Pa
Limite d'élasticité :
0
=
2.108 Pa
y
Coefficient de Poisson :
=
0,3
Coefficient de dilatation thermique :
=
1.10-5 K-1
Déformation d'écrouissage :
h
=
2.3 10-3
Contrainte ultime :
u
=
2.58 108 Pa
Déformation ultime :
u
=
3.10-2
Coefficient définissant la courbe :
R0
=
20
Coefficient définissant la courbe :
A1
=
18.5
Coefficient définissant la courbe :
A2
=
0.15
Coefficient de flambage :
C
=
0.5
Coefficient de flambage :
A
=
0.008
1.3
Conditions aux limites et chargement
Conditions aux limites :
La barre est encastrée. Les déplacements sont donc bloqués dans les trois directions.
En N1 et N2 : DX = DY = DZ = 0
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Chargement :
Le trajet de chargement est décrit par l'évolution de la température, uniforme dans la barre :
t 0
1 2 3 4 5 6 7
T(°C)
50
50
300
100 50 150 350 200
Températures
0
1
2
3
4
5
6
7
50
0
-50
C) -100
-150
-200
-250
T (degrés -300
-350
-400
Temps
La température de référence est prise à 0oC
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
2.1.1 Ecrouissages
linéaires
Ecrouissage isotrope
Pour une traction uniaxiale, le critère de plasticité s'écrit :
L - R( p) 0
où p est la déformation plastique cumulée
E E
R p
R p
y
( ) = + et R =
t
E - Et
Le critère s'écrit alors :
- R p
- y
L
0
Le tenseur des contraintes s'obtient par :
= A.((u) - p) - 3 ( - ref
K T T )Id
On en déduit donc l'expression de :
L
= E( - T) - E p
ref
L
(T = )0
Dans notre cas, = 0 donc :
= E - E p
avec =
L
L
L
- T
Donc :
·
Si L - R( p) < 0 :
p=0 et = E
L
L
·
Si L - R( p) = 0 :
y
-
p =
R
= - p
E
E
L
L
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Application au trajet de chargement
Instant 1 :
= E = 200MPa et R p
R p
y
( ) = + = 100MPa car p=0.
el
On a bien - R( p) 0 .
L
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique : = 100 MPa et N = 100kN
L
Instant 2 :
Le critère est atteint :
11
E
2
=
(
10
R
+ y =
2 0
. 2 109 × 35
. -
10 3 + 2 108 = 205MPa
L
L
)
11
9 (
)
E + R
2 10 + 2 02
. 10
N = 102 5
. kN
et p =
-
2 475 10 3
.
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11
-3 -
-
2 10 15 10
2 475 10 3
( .
.
) = -195MPa
L
L
N = -97. k
5 N
Instant 4 :
On plastifie à nouveau :
Le critère s'écrit : - Rp - y = 0 avec p = p + p où p
-3
= 2 475
.
10
1
2
1
On obtient donc :
y
-
p =
- p
2
R
1
= -E p
= -E ( p - p
1
2 )
R
E y
=
2 E p
= -207 9
. MPa
R + E
1
-
-
R
Et donc N = -103
k
95
.
N
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11 -3 -
-
2 10 2 10
10395 10 3
(
.
) = 192 1
. MPa
L
L
N = 96. k
05 N
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
=
.
10587kN
(inst.6)
N
= - .
44
k
13 N
(inst.7)
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Ecrouissage cinématique
La méthode de calcul est identique, mais dans ce cas, le critère de plasticité s'écrit :
( - X) - y 0
eq
3
p
p
E E
avec X
C( )
C
t
p
=
=
=
eq
eq
2
E - Et
Avec les notations précédentes, le critère s'écrit :
- p
- y
R
0
L
Et = p ± y
R
(suivant le sens de l'écoulement).
L
Application au trajet de chargement
Instant 1 :
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique : = 100 MPa et N = 100kN
L
Instant 2 :
Le critère est atteint : - p - y
R
= 0
L
= p + y
R
=
9 ×
-
2 02 10
2 475 10 3 + 2 108
.
.
= 205MPa
L
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11
-3 -
-
2 10 15 10
2 475 10 3
( .
.
) = -195MPa
L
L
N = -97. k
5 N
Instant 4 :
On a :
- R
p - y = 0 avec
p
-3
= 2 475
.
10
1
p = p - p
1
2
y
+
p = p -
2
1
R
= -E p
= -E ( p - p
1
2 )
y
+
= -E
198MPa
R
= -
N = 99
- kN
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
= - p
E
E
= 11 -3 -
-
2 10 2 10
9 9 10 4
(
.
) = 202 MPa
L
L
N =
k
101 N
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
=
k
103 N
(inst.6)
N
= -47kN
(inst.7)
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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2.1.2 Modèle de Pinto-Menegotto
Ce modèle est décrit dans le Manuel de Référence du Code_Aster [R5.03.09] [bib1]. La loi constitutive
des aciers est composée de deux parties distinctes : le chargement monotone composé de trois zones
successives (élasticité linéaire, palier plastique et écrouissage) et le chargement cyclique où le trajet
entre deux points d'inversion (demi-cycle) est décrit par une courbe d'expression analytique du type
= f () .
Comme précédemment les déformations imposées sont des déformations thermiques : =
- T
2.1.2.1 Cas sans flambage
Premier chargement
·
Elasticité linéaire : = E
Instant 1 :
N = E S = 11 × -3 × -
2 10
1 10
5 10 4 = 100kN
·
Palier plastique : = y
- 4
·
Polynôme de degré 4 : = -
(
- 0 ) u
u
su
y -
u
h
Instant 2 :
=
-3
> =
-
3510
2 310 3
.
.
, on utilise le polynôme de degré 4 :
h
= 209 416
.
MPa
et N = 104 708
.
kN
Cycles
Demi-cycle 1 :
On détermine 0 :
p
0 = 0 - 0
-3
-3
-3
= 351
. 0 - 1.10 = 2 51
. 0 car 0 =
.
p
r
y
r
(inst.2)
Puis 0 :
0 = E 0
9
-3
= 210 × 2 5
. 10 = 5MPa
h
p
D'où 1 = 0 sign ( 0
- ) + 0
= -200 + 5 = -195MPa
y
y
p
·
On calcule ensuite 1 :
y
1 - 0
6
-
(-195 - 209 416
.
)10
1 = 0
y
r
3
-3
+
= 351
. 0 +
= 1477
.
10
y
r
E
11
2 0
. 10
On détermine ainsi
= f ( ) , définie par :
1 - b
E
b
=
+
h
,
1 R
avec b =
(
1 + ( R
) )
E
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- 0
=
r
1 - 0
y
r
- 0
=
r
1 - 0
y
r
0
A
0
p
0
1
p
1
p =
et R = R -
1 - 0
0
A
0
+
y
r
2
p
On obtient 0 = -12
. 3 et R1 = 35
. 1
p
On peut alors calculer la valeur de aux instants 3 et 4 :
Instant 3 :
- 0
-3
-3
(inst. )
3
r
.
1510
- .
3510
=
=
= .
0 988
1 - 0
-3
-
.
1477 10
- .
35
3
y
r
10
1 - b
1 - 0 0
. 1
b
=
+
0 0
. 1 0 988
.
0 8
. 2
1 R
=
×
+
=
3 51
.
1/3 51
.
(
1 + ( R
) )
1
( + (0 988
.
)
)
et =
( 1 - 0 ) + 0 = .
0 82 × (-195 -
.
209
)
416 +
.
209 416 = -
y
r
r
122 MPa
d'où N = - k
61 N
Instant 4 :
On utilise la même méthode, avec = 0 .
= 17
. 3
= 05
. 6
= -20MPa
N = -10kN
Demi-cycle 2 :
Instant 5 et 6 :
La méthode de calcul est identique, on détermine :
1 , 2 , 2 , 1 , R2 , puis
f (
=
) et
f (
=
)
p
y
y
p
(inst. )
5
(inst. )
5
(inst.6)
(inst.6)
et finalement (inst. )
5 et (inst.6) .
Demi-cycle 3 :
Instant 7 : Idem
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2.1.2.2 Cas avec flambage
Premier chargement
Identique au cas précédent.
Cycles
Demi-cycle 1 (compression) :
La méthode de calcul est identique, mais la valeur de la pente de l'asymptote est modifiée :
On calcule un nouveau coefficient bc :
11
E
210
-3
b
.
0 01 .
1 477 10
8
8
b
a ( .
5 0 L / D) e
y
=
-
-
×
= .
0 006 × ( .
5 0 - .
5 9) e
2 10 - .
1
36 10
c
= - .
0 0057
Il faut ensuite, comme dans le modèle sans flambage, déterminer n . La raisonnement est identique,
y
mais on ajoute une contrainte complémentaire afin de positionner correctement la courbe par
s
rapport à l'asymptote.
b - b
0 0
. 1 +
0 0057
.
=
c
11
s
sb E
= 0 028
.
× 0 0
. 1× 2 10 ×
= 0 8
. 7 MPa
1 - c
b
1 + 0 0057
.
110
. - L / D
où est donné par : =
= 0 028
.
s
s
10( c(L/D
e
) - 1. )
0
Demi-cycle 2 (traction) :
·
En traction, on adopte un module d'Young réduit :
(-a 2
6
6
)
11
(-620×1.47 -
3 10 )
E = E a + ( . - a ) e
( .
(
. ) e
11
10
2 10
0 88
1 0 88
) 19
. 9 10 MPa
r
5
5
=
×
+ -
=
avec a = 10
. + 5
( 0
. - L / D) / 7 5
. = 0 8
. 8
5
Le reste de la méthode est identique.
2.2
Résultats de référence
Effort normal N constant sur la barre
2.3
Incertitude sur la solution
Aucune, la solution est analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Manuel de référence du Code_Aster [R5.03.09].
[2]
S. ANDRIEUX : TD 1 Trois barres thermoélastoplastiques Von Mises parfait. In « Initiation à
la thermoplasticité dans le Code_Aster », HI-74/96/013 novembre 1996 (manuel de référence
du cours).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).
Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage isotrope linéaire - Critère de Von Mises
3.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_ISOT_LINE
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0250 105
1.0250 105 0
effort normal N
3
9.7500 104
9.7500 104 0
effort normal N
4
1.0395 105
1.0395 105 0
effort normal N
5
9.6050 104
9.6050 104 0
effort normal N
6
1.0587 105
1.0587 105 0
effort normal N
7
4.4129 104
4.4129 104 0
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).
Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage cinématique linéaire - Critère de Von Mises
5.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
5.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_CINE_LINE
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0250 105
1.0250 105 0
effort normal N
3
9.7500 104
9.7500 104 0
effort normal N
4
9.9000 104
9.9000 104 0
effort normal N
5
1.0100 105
1.0100 105 0
effort normal N
6
1.0300 105
1.0300 105 0
effort normal N
7
4.7000 104
4.7000 104 0
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (BARRE).
Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto sans flambage (valeur de ELAN inférieure à 5).
7.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
7.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
4.9
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0470 105
1.0470 105 0
effort normal N
3
6.0777 104
6.0777 104 0
effort normal N
4
9.1430 104
9.1430 104 0
effort normal N
5
7.6082 104
7.6082 104 0
effort normal N
6
1.0125 105
1.0125 105 0
effort normal N
7
3.7965 104
3.7965 104 0
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A
Code_Aster ®
Version
5.0
Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT
Clé : V6.02.112-A Page : 14/14
9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`1 élément de barre (BARRE).
Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto avec flambage (valeur de ELAN supérieure à 5).
9.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
9.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
5.9
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 105
1.0000 105 0
effort normal N
2
1.0470 105
1.0470 105 0
effort normal N
3
6.0556 104
6.0556 104 0
effort normal N
4
8.9078 105
8.9078 105 0
effort normal N
5
7.6905 105
7.6905 105 0
effort normal N
6
1.0125 105
1.0125 105 0
effort normal N
7
3.8119 104
3.8119 104 0
11 Synthèse des résultats
Les résultats calculés par le Code_Aster sont en excellent accord avec les solutions analytiques.
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A
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