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Titre :

SSNV185 ­ Fissure débouchante en 3D avec X-FEM

Date :
25/11/05
Auteur(s) :
P. MASSIN, S. GENIAUT Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.185





SSNV185 ­ Fissure débouchante dans une plaque
3D de largeur finie avec X-FEM




Résumé

Ce test a pour but de valider la méthode X-FEM [bib1] sur un cas académique 3D, dans le cadre de la
mécanique de la rupture élastique linéaire.

Ce test met en jeu une plaque 3D comportant une fissure débouchante plane à fond droit. Le calcul complet
ainsi que l'extraction des facteurs d'intensité de contraintes est réalisé dans le cadre de la méthode X-FEM. Le
maillage est sain, la fissure étant représentée virtuellement avec des level sets.

Plusieurs configurations de maillage sont testées et comparées avec la solution analytique. Le même problème
traité de manière classique (avec un maillage fissuré) sert de référence afin de comparer les précisions des
deux méthodes.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

La structure est une plaque 3D de dimensions LX = 1 m, LY = 10 m et LZ = 30 m, comportant une
fissure plane débouchante de longueur a = 5 m, se situant à mi-hauteur (voir [Figure 1.1-a]).

Dans le cas où le problème est traité par une méthode classique, la fissure est maillée. Par contre,
dans le cas où la méthode X-FEM est employée, la fissure n'est pas maillée, et la géométrie est en fait
une plaque saine sans fissure. La fissure sera alors introduite par fonctions de niveaux (level sets)
directement dans le fichier commande à l'aide de l'opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. La level
set normale (LSN = distance au plan de fissuration) permet de définir le plan de fissure et la level set
tangente (LST = distance au fond de fissure) permet de définir la position du fond de fissure.

Figure 1.1-a : Géométrie de la plaque fissurée

On définit les points A (1, 0, 15), B (0, 0, 15) et C (1, 3, 15) qui serviront à bloquer les modes rigides.

1.2
Propriétés du matériau

Module d'Young : E= 205 000 MPa (sauf mention contraire)
Coefficient de Poisson : = 0.

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2
Modélisation A : fissure maillée (cas classique)

Dans cette modélisation, le fissure est maillée, et on utilise la méthode standard des éléments finis
pour réaliser le calcul. Cette modélisation servira de référence et permettra la comparaison avec la
méthode X-FEM.

2.1
Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage régulier composé de 5x30x50 HEXA8, respectivement
suivant les axes x, y, z (voir [Figure 2.1-a]). Les deux surfaces superposées sont les lèvres de la
fissure.
face supérieure
fissure
face inférieure
Figure 2.1-a : Maillage fissuré

2.2
Conditions aux limites et chargements

Deux types de chargement vont être étudiés : un chargement de traction sur les faces inférieure et
supérieure de la structure, puis un chargement qui consiste à imposer un champ de déplacement en
tout noeud, identique au le champ de déplacement asymptotique en mode I (solution de Westergaard
pour un milieu infini [bib2]).

2.2.1 Chargement de traction

Une pression répartie est imposée sur les faces inférieure et supérieure de la structure (voir
[Figure 2.1-a]). La pression est
6
p = 10
-
Pa (
= p
zz
- ), ce qui permet de solliciter la fissure en
mode d'ouverture I pur.
Les modes rigides sont bloqués de la manière suivante :

N4265
DX
= 0



N4265
· Le point A est bloqué suivant les 3 directions :
DY
= 0

N4265
DZ
= 0

· Le point B est bloqué suivant l'axe Oz :

N3751
DZ
= 0

N4256

DX
= 0
· Le point C est bloqué suivant les axes Ox et Oz :


N4256

DZ
= 0
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2.2.2 Chargement avec le champ asymptotique en mode I

Le champ asymptotique en mode I pur, solution d'un problème de rupture élastique linéaire est connu
de manière analytique [bib2]. Dans le repère défini, ce champ prend la forme suivante :
u = 0











éq 2.2.2-1
x
1+
r

u = -
cos
éq
2.2.2-2
y
(3- 4 -cos)
E
2
2
1+

u =
r sin

éq
2.2.2-3
z
(3- 4 -cos)
E
2
2

Ce champ est imposé sur tous les noeuds de la structure par le biais de formules dans l'opérateur
AFFE_CHAR_MECA_F [U4.44.01]. Ces formules font intervenir les coordonnées polaires (r, ) dans la
base locale au fond de fissure :
15
r = (5 - y)
z -
² + (z - )²
15 , = arctan





éq 2.2.2-4
5 - y

Cependant, il convient de traiter à part les noeuds appartenant aux lèvres de la fissure. En effet, pour
les noeuds de la lèvre inférieure, la formule servant à calculer l'angle n'est pas valable (elle
donnerait alors que théoriquement, vaut ­). Pour les noeuds de la lèvre inférieure, la valeur de
l'angle n'est donc pas calculé par l'équation [éq 2.2.2-4] mais est directement mise à ­. Pour les
noeuds de la lèvre supérieure, la formule est néanmoins valable.


2.3
Solutions du problème

2.3.1 Chargement de traction

Le facteur d'intensité de contrainte en mode I est donné [bib3] par :
a
K =
a
f
I
zz










éq 2.3.1-1
LY


a 3

a
1 2
752
.
0
+ 37
.
0
1- sin
+ 02
.
2
a b
2
a


b
2
b
f =
tan




éq 2.3.1-2
b a

b
2
a


cos b
2

a
La précision de cette formule atteint 0.5% quel que soit le rapport
.
b

2.3.2 Chargement avec le champ asymptotique en mode I

En présence d'un tel chargement, la valeur théorique est

K = 1









éq 2.3.2-1
I
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2.4 Fonctionnalités
testées

L'option CALC_K_G de l'opérateur CALC_G_LOCAL_T [U4.82.04] permet le calcul des facteurs
d'intensité de contraintes par la méthode énergétique « G-theta ». Cette fonctionnalité est testée avec
le chargement n°1. Ce cas de chargement sert de base de comparaison pour la méthode X-FEM.
Lorsqu'une des charges est une fonction ou une formule (provenant de AFFE_CHAR_MECA_F
[U4.44.01]), l'option devient CALC_K_G_F. Cette fonctionnalité est testée avec le chargement n°2.

Commandes



CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G



CALC_K_G_F





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3
Résultats de la modélisation A

3.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5
Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2 3 4 3.9
Tableau 3.1-1

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

3.1.1 Chargement de traction

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.1
Couronne 1 : MIN(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.1
Couronne 2 : MAX(KI)
1.049 107 1.120
107 -6.3
Couronne 2 : MIN(KI)
1.048 107 1.120
107 -6.3
Couronne 3 : MAX(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.2
Couronne 3 : MIN(KI) 1.051
107 1.120
107 -6.2
Couronne 4 : MAX(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.2
Couronne 4 : MIN(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.2
Couronne 5 : MAX(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.2
Couronne 5 : MIN(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.2
Couronne 6 : MAX(KI)
1.051 107 1.120
107 -6.1
Couronne 6 : MIN(KI) 1.051
107 1.120
107 -6.1

3.1.2 Chargement avec le champ asymptotique en mode I

Identification
Aster Référence
%
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
0.999987 1.0
-0.001
Couronne 1 : MIN(KI)
0.999987 1.0
-0.001
Couronne 2 : MAX(KI)
0.998279 1.0
-0.172
Couronne 2 : MIN(KI)
0.998279 1.0
-0.172
Couronne 3 : MAX(KI)
1.000162 1.0
0.016
Couronne 3 : MIN(KI) 1.000162
1.0
0.016
Couronne 4 : MAX(KI)
1.000058 1.0
0.006
Couronne 4 : MIN(KI)
1.000058 1.0
0.006
Couronne 5 : MAX(KI)
1.000045 1.0
0.005
Couronne 5 : MIN(KI)
1.000045 1.0
0.005
Couronne 6 : MAX(KI)
0.999981 1.0
-0.002
Couronne 6 : MIN(KI) 0.999981
1.0
-0.002

3.2 Commentaires

Le 1er chargement de cette modélisation sert de base de comparaison pour la méthode X-FEM. Le
2ème cas de chargement permet de valider l'option CALC_K_G_F pour les éléments 3D.
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4
Modélisation B : fissure non maillée (cas X-FEM)

Dans cette modélisation, la fissure n'est plus maillée, mais elle est représentée par des level sets :

LSN = z -15








éq 4-1
LST = LY - a - y







éq 4-2

4.1
Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage sain, régulier composé de 5x30x50 HEXA8, respectivement
suivant les axes x, y, z de façon à avoir le même nombre d'éléments que pour le maillage de la
modélisation A (voir [Figure 4.1-a]). Ainsi, le plan de fissure est en correspondance avec des faces
d'HEXA8 et le fond de fissure avec des arêtes d'HEXA8.

Figure 4.1-a : Maillage sain

4.2
Conditions aux limites et chargements

Un seul type de chargement est étudié ici : il s'agit d'une pression répartie imposée sur les faces
inférieure et supérieure de la structure (identique au 1er cas de chargement de la modélisation A).
Les modes rigides sont bloqués de la manière suivante :

N3751
DX
= 0



N3751
· Le point A est bloqué suivant les 3 directions :
DY
= 0

N3751
DZ
= 0

· Le point B est bloqué suivant l'axe Oz :

N9276
DZ
= 0

N3760

DX
= 0
· Le point C est bloqué suivant les axes Ox et Oz :


N3760

DZ
= 0
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4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FISS_XFEM



CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G






5
Résultats de la modélisation B

5.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5 Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2
3
4 3.9
Tableau 5.1-1

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 1 : MIN(KI)
1.110 107 1.120
107 -0.9
Couronne 2 : MAX(KI)
1.112 107 1.120
107 -0.8
Couronne 2 : MIN(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.9
Couronne 3 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 3 : MIN(KI) 1.110
107 1.120
107 -0.9
Couronne 4 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 4 : MIN(KI)
1.110 107 1.120
107 -0.9
Couronne 5 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 5 : MIN(KI)
1.110 107 1.120
107 -0.9
Couronne 6 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 6 : MIN(KI) 1.110
107 1.120
107 -0.9


5.2 Commentaires

Les résultats sont stables pour n'importe quelle couronne choisie.
À même nombre d'éléments, la précision des résultats obtenus avec X-FEM est bien meilleure que
celle obtenue dans le cas classique (moins de 1% pour X-FEM contre 6% pour une méthode
classique).
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6
Modélisation C : fissure non maillée (cas X-FEM)

Dans cette modélisation, la fissure n'est pas maillée, mais elle est représentée par des level sets :

LSN = z -15








éq 6-1
LST = LY - a - y







éq 6-2


6.1
Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage sain, régulier composé de 5x31x51 HEXA8, respectivement
suivant les axes x, y, z. De cette manière, le fond de fissure se trouve au centre d'éléments et le plan
de fissure ne correspond plus à des faces d'éléments. La [Figure 6.1-a] représente en coupe Oyz
l'enrichissement dans une zone à proximité de fond de fissure.


Figure 6.1-a : Différents enrichissements en fond de fissure


6.2
Conditions aux limites et chargements

De même que précédemment, une pression répartie est imposée sur les faces inférieure et supérieure
de la structure (identique au 1er cas de chargement de la modélisation A).

Afin de reproduire les cas précédents, il est nécessaire de bloquer les mêmes points A, B et C.
cependant ici, il n'y a pas de noeuds dans le plan médian. Pour bloquer les modes rigides, il faut alors
imposer des relations entre les ddls des noeuds juste au-dessus et au-dessous du plan médian
[Figure 6.2-a] :


N 4031
DX
+
N 3876
DX
= 0



N 4031
N 3876
· le point A est bloqué suivant les 3 directions :
DY
+ DY
= 0

N 4031
N 3876
DZ
+ DZ
= 0
·

· le point B est bloqué suivant l'axe Oz :

N 3886
4041
DZ
+
N
DZ
= 0





N 9768
DX
+
N 9767
DX
= 0
· le point C est bloqué suivant les axes Ox et Oz :




N 9768
DZ
+
N 9767
DZ
= 0
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Figure 6.2-a : Conditions de Dirichlet autour du plan médian

La [Figure 6.2-a] est une vue schématique du plan Oyz, sur laquelle le nombre d'éléments finis n'est
pas respecté. Elle sert simplement à comprendre les relations linéaires imposées afin de bloquer les
déplacements des points A et C. Pour le point B, on agit de la même manière.


6.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FISS_XFEM



CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G




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7
Résultats de la modélisation C

7.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5 Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2
3
4 3.9
Tableau 7.1-1

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
1.084 107 1.120
107 -3.2
Couronne 1 : MIN(KI)
1.079 107 1.120
107 -3.7
Couronne 2 : MAX(KI)
1.087 107 1.120
107 -3.0
Couronne 2 : MIN(KI)
1.083 107 1.120
107 -3.4
Couronne 3 : MAX(KI)
1.083 107 1.120
107 -3.3
Couronne 3 : MIN(KI) 1.079
107 1.120
107 -3.7
Couronne 4 : MAX(KI)
1.084 107 1.120
107 -3.3
Couronne 4 : MIN(KI)
1.079 107 1.120
107 -3.7
Couronne 5 : MAX(KI)
1.083 107 1.120
107 -3.3
Couronne 5 : MIN(KI)
1.079 107 1.120
107 -3.7
Couronne 6 : MAX(KI)
1.084 107 1.120
107 -3.2
Couronne 6 : MIN(KI) 1.079
107 1.120
107 -3.7


7.2 Commentaires

Les résultats sont stables pour n'importe quelle couronne choisie.
La précision des résultats obtenus est moins bonne que pour la modélisation B. Cela peut s'expliquer
par le fait que la zone d'enrichissement est ici moins étendue.

Cependant, les résultats restent meilleurs que dans le cas classique.
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8
Modélisation D : fissure non maillée (cas X-FEM)

Cette modélisation est exactement la même que la modélisation B, sauf que la longueur de la fissure
est : a = 4.8333, de manière à ce que le fond de fissure ne coïncide pas avec des arêtes des
éléments.


Figure 8-a : Enrichissement dans une zone proche du fond de fissure

9
Résultats de la modélisation D

9.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5 Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2
3
4 3.9

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
1.020 107 1.045
107 -2.4
Couronne 1 : MIN(KI)
1.033 107 1.045
107 -1.1
Couronne 2 : MAX(KI)
1.021 107 1.045
107 -2.3
Couronne 2 : MIN(KI)
1.034 107 1.045
107 -1.1
Couronne 3 : MAX(KI)
1.021 107 1.045
107 -2.3
Couronne 3 : MIN(KI) 1.033
107 1.045
107 -1.1
Couronne 4 : MAX(KI)
1.021 107 1.045
107 -2.3
Couronne 4 : MIN(KI)
1.033 107 1.045
107 -1.1
Couronne 5 : MAX(KI)
1.021 107 1.045
107 -2.3
Couronne 5 : MIN(KI)
1.033 107 1.045
107 -1.1
Couronne 6 : MAX(KI)
1.020 107 1.045
107 -2.3
Couronne 6 : MIN(KI) 1.033
107 1.045
107 -1.1

9.2 Commentaires

Ces résultats confirment que la taille de la zone d'enrichissement influe sur la précision des résultats.
Ici, la zone d'enrichissement est intermédiaire entre le cas B et le cas C, et la précision de même.
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Version
8.2

Titre :

SSNV185 ­ Fissure débouchante en 3D avec X-FEM

Date :
25/11/05
Auteur(s) :
P. MASSIN, S. GENIAUT Clé
:
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10 Modélisation E : fissure non maillée (cas X-FEM)

Dans cette modélisation, la fissure n'est pas maillée, mais elle est représentée par des level sets :

LSN = z -15








éq 10-1
LST = LY - a - y







éq 10-2

Dans cette modélisation, le module d'Young est égal à 100 MPa.

10.1 Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage sain, régulier composé de 3x11x31 HEXA8, respectivement
suivant les axes x, y, z (voir [Figure 10.1-a]). Une telle discrétisation conduit à une configuration
d'enrichissement similaire à celle de la modélisation C.

Figure 10.1-a : Maillage

10.2 Conditions aux limites et chargements

On souhaite appliquer le même chargement que le chargement n°2 de la modélisation A, c'est-à-dire
imposer sur tous les noeuds du maillage le champ de déplacement asymptotique en mode I pur.

Pour tous les noeuds classiques (non enrichis), on impose alors les champs précédemment définis.
Pour les noeuds enrichis en fond de fissure, on cherche à imposer chaque ddl enrichi.
Pour ce faire, on réécrit les expressions analytiques des champs de déplacements à imposer aux
noeuds dans la base des fonctions d'enrichissement :
u = 0








éq 10.2-1
x

1+
1


u = -
r cos

éq
10.2-2
y
(2-
4 )


+ r sin sin
E
2
2
2

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1+
1


u =
r sin
éq
10.2-3
z
(4- 4)


- r cos sin
E
2
2
2

On rappelle que la base des fonctions d'enrichissement est la suivante :






r sin , r cos , r sin sin , r cos sin éq
10.2-4

2
2
2
2

Pour les noeuds enrichis par la fonction Heaviside, il faut aussi procéder à un calcul au préalable.
Considérons un couple de noeuds A et B, et notons C+ et C- les points situés sur les lèvres supérieur
et inférieure de la fissure, celle-ci coupant un élément de façon symétrique. On se trouve dans la
configuration suivante :

Figure 10.2-a : Enrichissement Heaviside

Les noeuds représentés par des ronds [Figure 10.2-a] portent des ddls classiques a et des ddls
Heaviside h .
D'après l'approximation X-FEM, la fissure passant au milieu des éléments, les déplacements
s'écrivent :
u( )
A = A
a + A
h

u(B) = B
a - B
h

A
A
B
B

+
a + h
a + h
u(C ) =
+

éq
10.2-5

2
2

A
A
B
B

-
a - h
a - h
u(C ) =
+

2
2

En inversant ce système linéaire, on obtient les expressions des inconnues nodales en fonction des
déplacements connus analytiquement :
A u( A) - u(B)
a =
+ u( -
C )


2
A u( A) + u(B)
h =
- u( -
C )

2

éq
10.2-6
B
u(B) - u( A)
a =
+ u( +
C )

2
B -u(B) -u(A)
h =
+ u( -
C )

2

10.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G_F


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11 Résultats de la modélisation E

11.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5 Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2
3
4 3.9
Tableau 11.1-1

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
0.9996 1.0
-0.04
Couronne 1 : MIN(KI)
0.9996 1.0
-0.04
Couronne 2 : MAX(KI)
1.0272 1.0
2.7
Couronne 2 : MIN(KI)
1.0272 1.0
2.7
Couronne 3 : MAX(KI)
1.0053 1.0
0.53
Couronne 3 : MIN(KI) 1.0053
1.0
0.53
Couronne 4 : MAX(KI)
1.0023 1.0
0.23
Couronne 4 : MIN(KI)
1.0023 1.0
0.23
Couronne 5 : MAX(KI)
1.0015 1.0
0.15
Couronne 5 : MIN(KI)
1.0015 1.0
0.15
Couronne 6 : MAX(KI)
9.9969 1.0
-0.03
Couronne 6 : MIN(KI) 9.9969
1.0
-0.03


11.2 Commentaires

Les résultats sont stables pour n'importe quelle couronne choisie.
Ils permettent de valider l'option CALC_K_G_F pour les éléments 3D X-FEM.

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12 Modélisation F : fissure non maillée (cas X-FEM)

Cette modélisation est exactement la même que la modélisation C. La seule différence est que la zone
d'enrichissement en fond de fissure a maintenant une taille fixée par l'utilisateur, elle n'est donc plus
limitée à une seule couche éléments en fond de fissure.


12.1 Enrichissement en fond de fissure

Les noeuds se trouvant à une distance du fond de fissure égale ou inférieure à un certain critère sont
enrichis par les fonctions singulières. Ce critère est choisi comme dans [bib4], égal à un dixième de
taille de la structure. Ici, il vaut 1 m puisque LY vaut 10 m.


12.2 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FISS_XFEM RAYON_ENRI


CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G





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13 Résultats de la modélisation F

13.1 Valeurs
testées

On teste les valeurs de KI le long du fond de fissure, pour différentes couronnes de champs theta.
Les valeurs des rayons inf et sup du tore sont les suivantes :


Couronne 1 Couronne 2 Couronne 3 Couronne 4 Couronne 5 Couronne 6
Rinf 2 0.666 1 1 1 2.1
Rsup 4 1.666 2
3
4 3.9
Tableau 13.1-1

Pour tester tous les noeuds du fond de fissure en une seule fois, on teste les valeurs min et max de KI
sur tous les noeuds du fond de fissure.

Identification
Aster
Référence %
différence
Couronne 1 : MAX(KI)
1.109 107 1.120
107 -1.0
Couronne 1 : MIN(KI)
1.104 107 1.120
107 -1.5
Couronne 2 : MAX(KI)
1.111 107 1.120
107 -0.8
Couronne 2 : MIN(KI)
1.106 107 1.120
107 -1.2
Couronne 3 : MAX(KI)
1.110 107 1.120
107 -0.9
Couronne 3 : MIN(KI) 1.105
107 1.120
107 -1.4
Couronne 4 : MAX(KI)
1.110 107 1.120
107 -1.0
Couronne 4 : MIN(KI)
1.105 107 1.120
107 -1.4
Couronne 5 : MAX(KI)
1.110 107 1.120
107 -1.0
Couronne 5 : MIN(KI)
1.104 107 1.120
107 -1.4
Couronne 6 : MAX(KI)
1.109 107 1.120
107 -1.0
Couronne 6 : MIN(KI) 1.104
107 1.120
107 -1.5


13.2 Commentaires

Les résultats sont stables pour n'importe quelle couronne choisie.
La précision des résultats obtenus est meilleure que pour la modélisation C. Cela prouve l'influence
bénéfique de l'augmentation la taille de la zone d'enrichissement, à maillage identique.
Cependant, s'il on compare avec la précision de la modélisation B (inférieure à 1%) on pourrait
s'étonner de ne pas trouver de meilleurs résultats avec la zone fixe. L'explication se trouve dans [bib4].
En effet, sur la modélisation B, l'approximation du déplacement est exactement en r sur une
couche d'élément autour du fond. Par contre, dans la modélisation F, l'approximation est
r
elt enrichis
sur la zone d'enrichissement. Dans ce cas (maillage relativement grossier), l'approximation par une
somme de racines carrées sur une zone étendue est moins bonne que l'approximation par une seule
racine carrée sur une zone plus restreinte.


Toutefois, lorsque l'on raffine suffisamment le maillage, la précision obtenue avec un enrichissement
sur une zone fixe devient meilleure que celle obtenue avec un enrichissement sur une seule couche
éléments.
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14 Synthèses des résultats

Les objectifs de ce test sont atteints :

·
Valider sur un cas simple la prise en compte de l'enrichissement singulier en fond de fissure
avec la méthode X-FEM.
·
Valider le calcul des facteurs d'intensité de contraintes (ici seulement le mode I) pour les
éléments X-FEM, quelle que soit la charge (fixe ou fonction).

On retiendra que l'utilisation de la méthode X-FEM permet d'améliorer sensiblement la précision du
calcul de KI, et que celle-ci augmente lorsque la zone d'enrichissement n'est pas restreinte à une
seule couche d'éléments en fond de fissure.



15 Bibliographie

[1]
MASSIN P., GENIAUT S. : Méthode X-FEM, Manuel de référence du Code_Aster, [R7.02.12]
[2]
VISSE E. : Calcul des coefficients d'intensité de contraintes, Manuel de référence du
Code_Aster, [R7.02.05]
[3]
BARTHELEMY B. : Notions pratiques de la mécanique de la rupture, Eyrolles, 1980.
[4]
LABORDE P., POMMIER J., RENARD Y., SALÜN M. : "High-order extended finite element
method for cracked domains", International Journal for Numerical Methods in Engineering, 64
(3), 354-381, 2005.


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