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Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
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F. VOLDOIRE
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
Document : V3.90.001

Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Résumé :
Le but de cette note est d'exposer la méthode de calcul utilisée pour déterminer la solution de référence du
cas-test SSLL 14, intitulé : "Portique plan articulé en pied".
On utilise la méthode des forces (hyperstaticité 1), en ne tenant compte que de l'énergie de flexion : hypothèse
poutres élancées.
On considère quatre cas de charge séparément.
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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Table des matières
1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie p sur C C
1
.......................................................4
1.1 Réactions d'appuis isostatiques .......................................................................................................4
1.2 Sollicitations .....................................................................................................................................5
1.3 Diagrammes.....................................................................................................................................6
2 Sollicitations sous force concentrée F1 (vers le bas).............................................................................7
2.1 Réactions d'appui.............................................................................................................................7
2.2 Sollicitations .....................................................................................................................................7
2.3 Diagrammes ( F1 vers le bas) ..........................................................................................................8
3 Sollicitations sous la force concentrée F2 (vers la gauche)...................................................................8
3.1 Réactions d'appui.............................................................................................................................8
3.2 Sollicitations .....................................................................................................................................9
3.3 Diagrammes.....................................................................................................................................9
4 Sollicitations sous le couple concentré (positif) ...............................................................................10
4.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................10
4.2 Sollicitations ...................................................................................................................................10
4.3 Diagrammes ( positif).................................................................................................................11
5 Sollicitations sous le moment X hyperstatique ...................................................................................12
5.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................12
5.2 Sollicitations ...................................................................................................................................12
5.3 Diagrammes...................................................................................................................................13
6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en C ..........................................................................13
6.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................13
6.2 Sollicitations ...................................................................................................................................14
6.3 Diagrammes...................................................................................................................................14
7 Détermination du moment X hyperstatique ........................................................................................15
7.1 Charge répartie p sur C C
1
.........................................................................................................16
7.2 Charge ponctuelle F1 en C ..........................................................................................................17
7.3 Charge ponctuelle F2 en C1 .........................................................................................................18
7.4 Couple ponctuel en C1 .............................................................................................................19
7.5 Récapitulatif ...................................................................................................................................20
8 Calcul du déplacement en C ...............................................................................................................20
8.1 Charge répartie p sur C C
1
.........................................................................................................20
8.2 Charge ponctuelle F1 en C ..........................................................................................................21
8.3 Charge ponctuelle F2 en C1 .........................................................................................................21
8.4 Couple ponctuel en C1 .............................................................................................................22
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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m M
8.5 Calcul de d =
1 ................................................................................................................22
EI
8.6 Récapitulatif des déplacements uC et vC .................................................................................... 23
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y
C
On considère le portique ci-contre,
p
soumis à diverses charges.

a

C
C
1

2
Hyperstaticité de degré 1.
F
Inconnue hyperstatique : X :
1
F

2
moment en C .

Chargement vertical réparti p sur

h
C1 C .
Deux forces F1, F2, et un couple
A
en C1.
B
x
"

tg
= 2a = 0,4 cos

( )-1 = 1,16 =1, 077033
(
)
"


C
tg
=
"
=
1
2 a
( + h)
1,2
VA
VB
b
=
"
A
B

2cos
; sin
= a b
H
H
A
B
1
Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie p sur
C C
1
1.1
Réactions d'appuis isostatiques
p"
p 2
"
H + H
= 0 ; V + V
=
;
" V
=
A
B
A
B
B
2 cos
8 cos
La partie CB est articulée et chargée seulement à ses extrémités :
H
B

BC = 0

H = -V

tg
V
B
B

B
D'où les réactions isostatiques :
p"
3 p"
p"
p"
H
=
tg ; V
=
;
H
= -
tg ; V
=
A
A
B
B
8 cos
8 cos
8 cos
8 cos
Remarque :
" tg
"
=
b
.
8 cos
(
8 a + h)
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1.2 Sollicitations
Poutre
A C1
M
N

3 p"
N
= -
iso

y

8 cos
+

"
V
p
V

=

A
Viso
tg

8 cos
0

p"
H
M
= -
y tg
A
iso

8 cos
Poutre C B
2
M
N

p"
N
= -

+
iso
8 cos
y


"
V
p
V
= -
tg
V
iso
B

8 cos
0

p"
H
= -

B
M
y
iso
tg

8 cos
Poutre C C
1
M

px
= -
cos -
sin +


V
N
H
V
iso
A
A
sin

cos
p

"
x
N
= -
tg + 3 tg - 8 tg
+
p

y

8

"

px


V
= H sin - V cos +


iso
A
A

cos

cos

p"

=
(tg tg -3+8 x /")
VA

8
2
H

px
A
M
= -
+ V x - H y
iso
A
A
2 cos
x


p
x2 3 "x "y tg

=
-
+
-
(= 0 en C )!

cos
2
8
8


p"
2 a + h

M
= -
iso
(
2 s
s 2a
h
3
bh
8 a + h)
(
)





b -
+
+
avec
s
x
= cos [
0,b]
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Poutre C C2
N
N
= H cos - V

iso
B
B sin

p

"
= -
(tg + tg)
y
M


8
+
V
V
= H sin + V

iso
B
B

cos

p"
= -

(tg .tg - )1

8
M

= H y + V (" - x)
V
iso
B
B
B

p"
H

= -
(y tg -("- x)) (= 0 C
en
)!
B

8

x
cos
"
1.3 Diagrammes

"
b =



2 cos
+
+
p
"
-
- h tg

ph"
tg
8cos
8

cos
p "
"
p
=
"
p
"
p "
- pbh
- 3
-
tg

- tg

8(a+h)

8 cos
8cos

8cos

8cos

N
V
M
iso
iso
iso
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2
Sollicitations sous force concentrée F1 (vers le bas)
2.1 Réactions
d'appui
F1
H + H
=
A
B
0 ;
C
V + V
= F
A
B
1
;
C
C
1
2
H
H
A
B

AC = 0 =


BC
V
V
A
B
V
V

A
B
A
B
H
H
A
B
D'où :
1
1
1
1
H
=
F tg
; V

1
=
F
;
H
1
= - F tg
;
V
1
=
F
A
A
B
B
2
2
2
2 1
2.2 Sollicitations
Poutre
A C1 :

1
N
= - F
iso
1

2

1
tg
V
=
F

iso

2 1

1
M
= - F y tg
iso


2 1
Poutre C B
2
:

1
N
= - F
iso
1

2

1
tg
V
= - F

iso

2 1

1
M
= - F y tg
iso


2 1
Poutre C C
1
:

1
N
= - F



1
+
iso
(tg cos sin )

2

1
V
=
F



1
-
iso
(tg sin cos )

2

1
M
= - F

1
-
iso
(y tg x)


2
Poutre C C2 :

1
N
= - F



1
+
iso
(tg cos sin )

2

1
V
= - F



1
-
iso
(tg sin cos )

2

1
M
= - F
"
1
- -
iso
(y tg ( x))


2
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2.3 Diagrammes
( F1 vers le bas)
F1
- h tg
2
- F1h tg
= - F lh
1
2
4 (a+h)
-F1 /2
-F1/2
N
V
M
iso
iso
iso
3
Sollicitations sous la force concentrée F2 (vers la gauche)
3.1 Réactions
d'appui
· HA + HB = F2 ;
C
C
VA + VB = 0 ;
1
C
" V
2
B + h F2
= 0
F

2
HB

·
BC =
V
V

0
A
V
B
B
A
B
H
H
A
B
D'où :

h
h
h
h
H
= F


1 1 -
tg
;
V
F
;
H
F
tg
;
V
F
A
A
2
B
1
B



"


=
=
= - 2
"
"
"
Remarque :
h
h

h
2a + h
=
1 -

" tg
(
;
tg
2 a + h)



"

=
(
2 a + h)
2
2
h"
" - (
4 a + ah)
tg sin - cos
= - 2 (
-
=
b a + h)
;
tg cos
sin
4 (
b a + h)
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3.2 Sollicitations
Poutre A C1 :

N
= - F h / "
iso

2


h
V
= F

2 1 -
tg
iso



"





h
M
= - F y

2
1 -
tg
iso




"



Poutre C B
2
:

N
= F h / "
iso

2

h
V
= F
tg
iso

2 " h
M
= - F
y tg
iso


2 "
Poutre C C
1
:


h
h

N
= - F



2
1 -
tg
cos
sin
iso



"


+ "





h
h

V
= F



2
1-
tg
sin
cos
iso



"


- "




h

h

M

= F
x

2
- 1- tg
y
iso

"

"



Poutre C C2 :

h
N
= F



2
+
iso
(tg cos sin )

"

h
V
= F



2
-
iso
(tg sin cos )

"h
M
= F
"
2

- -
iso
(y tg ( x))


"
3.3 Diagrammes
(
)
- h 2a + h
F2
+
2 a
( + h )
-
- h
h 2
F
F
2
2
"
2(a + h )
M
N
iso
iso
Viso
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4
Sollicitations sous le couple concentré (positif)
4.1 Réactions
d'appui
· HA + HB = 0 ;
V
C
A + VB
= 0 ;

"
C
V

2
B +
= 0
H

B
·
BC =

0
V
V
V
A
B
B
A
B
H
H
A
B
D'où :
H
= - tg " ; V
= "
A
A
H
= tg " ; V
= - "
B
B
Remarque :
tg
=
1
"
(
2 a + h)
4.2 Sollicitations
Poutre A C1 :
N
= - "
iso

V
= - tg "
iso
M
=
y

tg "
iso
Poutre C B
2
:
N
= "
iso

V
= tg "
iso
M
=
y

tg "
iso
Poutre C C

1
:
N
=
tg cos -


iso
(
sin )

"


V
= -
tg sin +

iso
(
cos )

"


M
=
+ tg -

"
iso
(x y
)

"
Poutre C C2 :


N
=
tg cos +


iso
(
sin )

"


V
=
tg sin -

iso
(
cos )

"


M
=
tg - " -
iso
(y
( x))

"
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4.3 Diagrammes
( positif)
(
)
- h +2a
2(a + h )
-
h
h
2 a
( +h )
2 (a + h )
- tg
- /
/
"
"
"


N
M
iso
Viso
iso
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5
Sollicitations sous le moment X hyperstatique
5.1 Réactions
d'appui
X
X
+
H + H
=
A
B
0 ;
C
V + V
=
C
C2
A
B
0 ;
1
" V
=
B
0 ;
V
V
H (a + h) - X
=
A
B
B
0
A
B
H
HB
A
D'où les réactions :
X
X
H
= -
;
V
= 0
; H
=
;
V
=
A
0
a + h
A
B
a + h
B
5.2 Sollicitations
Poutre A C1 :

N
=
X
0

X
V
= -
X
a + h

X
M
=
y
X


a + h
Poutre C B
2
:

N
=
X
0

X
V
=
X
a + h

X
M
=
y
X


a + h
Poutre C C
1
:

X
N
=
cos


X
a + h


X
V
= -
sin
X
a + h

X
X
M
=
y
=
+

X
(h x tg )


a + h
a + h
Poutre C C2 :

X
N
=
cos


X
a + h


X
V
=
sin
X
a + h

X
M
=
y
X


a + h
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5.3 Diagrammes
X
X
X sin
X cos
a + h
+
a + h
X h
X h
a
a
+ h
+ h
O
O
X
a + h
N
V
M
X
X
X
6
Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en C
Afin de calculer les déplacement en C , à l'aide du Principe des travaux Virtuels (cf.
le
paragraphe [§8]), il est nécessaire d'établir les diagrammes de sollicitations sous l'action de deux
forces "fictives" f et g appliquées en C .
6.1 Réactions
d'appui
H + H
= - f
g
A
B
;
V + V
= - g
f
A
B
;
H
H
C
A
B

AC = 0 =


BC
C
C
V
V
2
A
B
1
V
V

A
B
A
B
H
H
A
B
D'où :
1
1
H
= -
+

;
= -
+ cot g
A
(f g tg )
VA
(g f
)
2
2
1
1
H
= -
-

;
= -
- cot g
B
(f g tg )
VB
(g f
)
2
2
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6.2 Sollicitations
Poutre A C1 :

1
n
=

(g+ f cotg )

2

1
v = - ( f + g tg )

2

1
m
=
(f +g tg )y


2
Poutre C B
2
:

1
n
=

(g- f cotg )

2

1
v = - ( f - g tg )

2

1
m
= - (f - g tg ) y


2
Poutre C C
1
:

1
1
n
=

(f +g tg )cos + (g+ f cotg )sin

2
2

1
1
v = - ( f + g tg )sin + (g + f cot g )cos

2
2

1
1
m
= + (f + g tg ) y - (g + f cot g ) x


2
2
Poutre C C2 :

1
1
n
= -

(f -g tg )cos + (g- f cotg )sin

2
2

1
1
v = - ( f - g tg )sin - (g - f cot g )cos

2
2

1
1
m
= - ( f - g tg ) y - (g - f cot g )(" - x)


2
2
6.3 Diagrammes
Voici les diagrammes de sollicitations sous l'action des deux forces "fictives" f et g . On considère
ici : f 0 , g f
cotg .
g
+
f
-fh /2
fh
gh "
2
+
"
4

a
( + h )
+ gh
4 a
( + h )
n
v
m
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7
Détermination du moment X hyperstatique
On se place en élasticité ; on ne considère que l'énergie de flexion, les poutres étant élancées. L'état
naturel est supposé vierge (pas de précontraintes ni de déplacement d'appui).
Le potentiel complémentaire est alors :

(
2
2
M
+ M1 X

+ 1
iso
)
(M M X
iso
)
F *(X) =

+
EI

EI

1

2
poteaux
charpentes
Il est stationnaire à l'équilibre, d'où :


M2

2
M
1
1

M1 Miso
M1

M
X
=


+
X = -
iso
S


EI
pot
1


EI
charp
2


-
EI
pot
1


=
EI
charp
2
.
.
.
.
Le coefficient de souplesse est la somme de :

M2
2 h h
2
1
EI
3 EI

a
h


=
+
poteaux
1
1

M2
2 b
h 2 1 a 2
ah

1


EI
EI



a
h + 3

a

+ h
2


=
+

+
2
2
(a

+ h)
charpentes

soit :
3
2
2

2
h
(b h3 +a + a3h)
E
=


(
+
a + h)2 3I
3I
1
2


Application numérique :
Dans l'exemple considéré :
-
I = 2I
4
= 5 0
, 10
m4
1
2
"
h = 2 a = 8 m ; " = 20 m ; b =
1 1
, 6
2
D'où :
2
=
2
h
19 b
h
E(

+
a + h)2 I
3

2
1




2353 45347
3
.
m
On étudie l'un après l'autre les divers chargements pour calculer les seconds membres S .
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A

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4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
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V3.90.001-A Page :
16/24
7.1 Charge
répartie
p sur C C
1
Le second membre S dû à p est :
M M
2 h
h
3
"
"
1
iso
pb h
-

2
ph b


=

EI
3 EI



a
2
1
1
+ h (
8 a + h)
= E
24
poteaux
(a + h) I1
M M
pb2h
2
"
"
1
iso
1 h
1 a

1
phb ( h
3 + a)
-




=
EI
(
8 a
2
2
+ h)EI 2

a
2
+ h + 6

a + h
= E
48
C C
(a + h) I
2
2
"

+

-
M M
1
p


1
iso
b
a
h
a
2 2
s
s(2a 3h) bh
h
s
ds



=

EI
EI
(
8 a + h)2 0



b -
+
+


b
C C
2
2



+
1
1
2
p"b
2
2
=

h - ah - a
2
( 2
)
E(a + h) I
48
2
D'où :
3
2
2
2
2
p"b 4h
(
hb h
3 + a)
(bh - ah-a )
S
=


+
+

E(a + h)2
96 I
I
I
1
2
2


Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ;
p = 3 000 N / m
1
2
(vers le bas)
2
p"bh2
13
S
=

4h +
b
E(a + h)2 I
96


2


1



43 946 02189
.
N m4

D'où :
· le moment en C :
X
= 18 672 994
.
N m
· la réaction en A :
b"
X
pb" 8 - X
H
= p
-
=
A
(
8 a + h)
a + h
(a + h)
H
=
A
5 175 37
.
N
3pb
V
=
-
A
0
4
V
=
A
24 233 24
.
N
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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7.2 Charge
ponctuelle
F1 en C
Le second membre s'obtient à l'aide de :
M M
2 h
h
3
"
"
1
iso
F h
1

-

2
F h
1


=

EI
3 EI



a
2
1
1
+ h 4(a + h) = E
12
poteaux
(a + h) I1
M M
2b
F "
1
iso
1 h
1
h
1
a

-





=

EI
EI
4(a
2
2
+ h) 2

a + h + 6

a + h
charpentes
2
F b" (
h h
1
3 + a)
= E(

a + h)2 I
24
2
D'où :
2
F "h 2h2
(
b h
3
1
+ a)
S
=


+

E(a + h)2
24
I
I

1
2


Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; F = 20 000 N
1
2
1
(vers le bas)
2
F "h2
S
1
=

2 + 7
2
[ h b]
E(a + h) I
24
1





97 485 127 76
,
N m4

D'où
· le moment en C :
X
= 41 422 161
.
N m
· la réaction en A :
1
"
X
F " 4
1
- X
H
=
F1
-
=
A
4
a + h
a + h
(a + h)
H
=
A
4 881 4866
.
N
1
V
=
F1 -
A
0
2
V
=
A
10 000 0
. N
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7.3
Charge ponctuelle F2 en C1
Le second membre s'obtient à l'aide de :
M M
h
3
1
iso
h
F
(
h 2a
2
+ h)
2
F h (2a
2
+ h)
-
=



=

EI
3 EI



a
2
1
1
+ h 2(a + h)
E
12
A C
(a + h) I1
1
2
M M
h
4
1
h
(-F h
2
)
2
-
-
=
F h
iso
2


=

EI
3 EI



a
2
1
1
+ h (
2 a + h)
E
12
C B
(a + h) I
2
1
M M
b
F h 2
1
iso
2
( a+ h)1 h
1
a

-





=
EI
EI
(
2 a
2
2
+ h)
2

6
C C


a + h +

a + h
1
2
F bh
2
2
2
( h3 +7ah+2a )
= E(

a + h)2 I
24
2
M M
b
2
2
1
iso
- F h
2
1 h
1 a

2
- F bh ( h
2
3 + a)
-




=
EI
EI
(
2 a
2
2
2
+ h) 2

6
24
C C


a + h +

a + h = E(a + h) I2
2
D'où :
2
F ha 2h2
b

S
=
2

+
( h
3 + a)
E(a + h)2
12 I
I
1
2

Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; F = 10 000 N
1
2
2
(vers la gauche)
2
F h2 a
S
=
2
(2h + 7b)
E(a + h)2 I
12
1





19 497 025 55 N m
4
.
D'où :
· le moment en C :
X
= 8 284 4321
.
N m
· la réaction en A :
2a + h
X
F (a
2
+ h / 2) - X
H
= F2
-
=
A
(
2 a + h)
a + h
(a + h)
H
=
A
5 976 297
.
N
V
= F h
A
2
/ "
V
=
A
4 000 00
.
N
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7.4 Couple
ponctuel
en C1
Le second membre s'obtient à l'aide de :
M M
3


1
- 2h
h
h
2
-
-

=

h
iso


=
EI
3 EI



a
2
1
1
+ h (
2 a + h)
E
6
poteaux
(a + h) I1
M M
b

1
iso
(h + 2a) 1 h
1
a

-




=
EI
EI
(
2 a
2
2
+ h) 2

6
C C


a + h +

a + h
1
2
(h + 2a)( h
3 + a)
=
b
E(

a + h)2 I
24
2
M M
b


1
- h 1 h
1 a

2
- hb( h
3 + a
iso
)
-




=
EI
EI
(
2 a
2
2
2
+ h) 2

6
24
C C


a + h +

a + h = E(a + h) I
2
2
D'où :
2
- 2h3
(
ab h
3 + a)
S
=


-

E(a + h)2 12 I
I
1
2

Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; = -100 000 N m
1
2
(sens aiguilles de montre)
2
-
S
=

3
2
[h -a (b h3+a)]
E(a + h) I
6
1



11 571 281 93
.
N m
4
D'où
· le moment en C :
X
= 4 916 7243
.
N m
· la réaction en A :
-
X
- 2 - X
H
=
-
=
A
(
2 a + h)
a + h
(a + h)
H
=
A
4 576 394
.
N

V
=
A
"
V
=
A
5 000 000
.
N
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7.5 Récapitulatif
CAS
Moment en C
Réactions en A (N)
(N.m)
HA
VA
p sur C C
18672.994
5175.37
24233.240
1
F1 en C
41422.161
4881.487
10000.000
F
8284.432
5976.297
4000.000
2 en C1
en C
4916.724
4576.394
5000.000
1
TOTAL
22033.31
43233.24
Remarque
Rappel : dans le poteau A C1 : effort normal = - VA , effort tranchant = HA .
8
Calcul du déplacement en C
On ne considère aussi que l'énergie élastique de flexion (poutres élancées). En appliquant le Principe
des Travaux virtuels sur la structure soumise aux forces fictives du paragraphe [§6], travaillant dans les
déplacements cherchés, on calcule les nombres w et d dépendant linéairement de f et g :

m (M + X M1


+
iso
)
m (M
X M
iso
1)
f u + g v
=
w
Xd

+
=
+
, (
f ,g
C
C
)
EI
EI

1

pot
charp
2
.
.
8.1 Charge
répartie
p sur C C
1

m M
2h
gh"
- pbh"
2
- gpbh3 2
"
iso

=



=

EI
3 EI
(
4 a
2
1
1
+ h) (
8 a + h)
E
+
96
poteaux
(a h) I1

m M
2
- p"hb2
iso

2
"
2
( f(a+h)+g )(h-a)


=
EI2
E
+
384
C C
(a h) I
1
2

M
b
pbh"
fh
g h
"

2
- pb2"h2 " - 2
+
iso
(g
f (a h))

-




=

EI
EI
3
(
8 a + h) 2
(
4 a + h) =
E
2
+
192
C C
2
2
(a h) I
2
2
D'où :
2
- pbh" 4g h2
"
g" (
b h
3 - a) - 2 fb(a + h)2
w
=


+
2



E(a + h)
384
I
I
1
2

Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ;
p = 3 000 N / m
1
2
(vers le bas)
2

5
9

- p bh2"
w
=
g" 2h + b
fbh
E(a + h)2 I



2 - 2


192
1



- 2154065922
.
N m
3
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21/24
8.2 Charge
ponctuelle
F1 en C

m M
h
gh"
- F h
3 2
2
"
"
1
2
- F gh
iso

=

1


=

EI
3 EI
(
4 a
2
1
1
+ h) (
4 a + h)
E
+
48
poteaux
(a h) I1

m M
b
gh"
- F h
2 2
2
"
"
1
2
- F gbh
iso

=

1


=

EI
3 EI
(
4 a
2
.
2
2
+ h) (
4 a + h)
E
+
48
charp
(a h) I2
D'où (on constate que w ne dépend pas de f pour ce chargement) :
2
- F gh2 2
" h
b
w
=

1
+
E(a + h)2
48
I
I
1
2
Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; F = 20 000 N
1
2
1
(vers le bas)
2g
- F h2 2
"
w
=

1
(h + 2b)
E(a + h)2 I
48
1




315 100 365 0
. N m
5
8.3 Charge
ponctuelle
F2 en C1

m M
h
F h

"
"
2
fh
gh

- fh
gh

iso
- 2a + h
+
h
+


=


EI
3 EI
(
2 a
1
1
+ h)
(
) 2 (4a

+ h) + 2
(
4 a + h)
poteaux

2
- F
3
2 h
=

2
" 2
2
(ag + f(a+h) )
E(a + h) I
24
1

m M
2
- F bh2
iso

2
2
" 2
2
(ag + f(a+h) )


=
EI
.
2
E
+
24
charp
(a h) I2
D'où :
2
- F h2
h
b
w
=

2
2
"
2
(ag +2f(a+h) ) +
E(a + h)
24
I
I
1
2
Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; F = 10 000 N
1
2
2
(vers la gauche)
2
-
3
2
+
=
"
2
(
F h h
2b
g + 9gh)
(
)
w
E(a + h) I
48
1




- 315100365
.
N m
4
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8.4 Couple
ponctuel
en C1

m M
h
h

fh
g h
"
fh
g"h
iso

+


=


EI
3 EI
(
2 a
1
1
+ h) 2
(
4 a

+ h) + -
+

2 (4a+h)
poteaux

2
h3"g
=

E(a + h)2 I
24
1

m M
b


fh
g"h
fh
g"h
iso
- 2a + h
+
h


=


EI
3 EI
(
2 a
.
2
2
+ h)
(
)

2
(
4 a + h) +
-
+

2 (4a+h)
charp

- 2
bh
=


2
" 2
2
(ag + f(a+h) )
E(a + h) I
24
2
Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a ; = - 100 000 Nm
1
2
2
h2
w
=

"
2
(g (h-b)-9 fhb)
E(a + h) I
24
1

- 266 666 667
.
N m
3
m M
8.5 Calcul
de
d =
1
EI

m M
2h
g"h
h
2
g"h3
1

=



=

EI
3 EI
(
4 a
2
1
1
+ h) a + h
E
+
12
poteaux
(a h) I1

m M
2b
"
g"
1
1 h
1 a
g h
2
b (
h h
3 + a)
=



=
EI
EI
2

a
2
2
2

+ h + 6

a + h (
4 a + h)
E
+
24
charpente
(a h) I2
D'où (on constate que d ne dépend pas de f ) :
2
g h
" 2h2
(
b h
3 + a)
d
=


+

E(a + h)2 24 I
I
1
2

Application numérique :
I = 2I
;
h = 2 a
1
2
2
" h2
d
=
g
(2h + 7b)
E(a + h)2 I
24
1




4 874 2564
.
m4
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8.6
Récapitulatif des déplacements uC et vC
-
I
4
= 5 0
, 10
m4
1
E
= 210 000 MPa
CAS
X
X d
wV
pression sur C C
18672.994
91016960.3
­184930109.4
1
F1 en C
41422.161
201902233.4
­315100365.0
F
8284.432
40380445.6
­63020073.0
2 en C1
en C
4916.724
23965373.4
14775091.25
1
CAS
w
u
(m)
v
(m)
H
C
C
pression sur C C
83519999.94
0.0110476
­0.012422374
1
F1 en C
0.00
0.00
­0.01497330
F
­226872262.8
­0.03000956
­0.00299466
2 en C1
en C
206790328.5
0.0273532
­0.001215646
1
Note :
2
d
=
g d
4
, avec : d
= 4 874 2564
.
m
E(a + h)2 I1
2
w
=

2
(g w + f w
V
H ) voir plus haut
E(a + h) I1
2
2
u
=
w
;
v
=
2
2
(w + Xd
C
H
C
V
)
E(a + h) I
E(a
1
+ h) I1
2
10
-
1
-
-4
= .

N m
E(a + h)
1 32275132 10
2
1
I
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A

Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V3.90.001-A Page :
24/24
Comparaison Aster - référence analytique (R.)
CAS
Moment en C
Réaction
Réaction V
Déplacement
A
Déplacement vC
(N.m)
HA (N)
(N)
uC (m)
(m)
p sur
R :
18672.994
5175.37
24233.24
0.0110476
­0.012422374
C C
Aster :
18673.20
5175.36
24233.2
0.0110472
­0.0124233
1
F
41422.161
4881.487
10000.00
0.00000
­0.01497330
1 en C
R :
Aster :
41422.40
4881.47
10000.0
0.0000
­0.0
F
R :
8284.432
5976.297
4000.00
­0.03000956
­0.00299466
2 en C1
Aster :
8284.34
5976.31
4000.0
­0.0300098
­0.00299450
en C
R :
4916.724
4576.394
5000.00
0.0273532
­0.001215646
1
Aster :
4916.62
4576.38
5000.0
0.0273536
­0.00121583
Nota :
Le calcul Aster a été réalisé en prenant des éléments très élancés, de telle sorte que : S"2 << I . Ainsi,
l'énergie de flexion est prédominante. Les valeurs du calcul Aster sont issues du cas-test VPCS appelé SSLL14,
avec les données suivantes :
-
-
I
4
=
.
m4
;
I
4
=
.
m4
5 0 10
2 5 10
;
E
= 210 000 MPa
1
2
,
"
h = 2 a = 8 m ; " = 20 m ; b =
11
. 6 ,
2
p = 3 000 N / m (vers le bas) ,
F =
N
1
20 000
(vers le bas) ,
F =
N
2
10 000
(vers la gauche) ,
= - 100 000 Nm .
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A