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Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.506




SSNV506 - Indentation élasto-plastique d'un bloc
par un indenteur sphérique élastique





Résumé :

Ce test concerne la modélisation de l'indentation d'une sphère élastique sur un demi-plan au comportement
élasto-plastique. L'objectif est de tester les fonctionnalités liées au contact sur un exemple comportant une
non-linéarité matériau.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


Rayon de la sphère
R = 500 mm
Déplacement imposé
100 mm


1.2
Propriétés du matériau

Deux modélisations différentes pour représenter la sphère rigide :

Rigidification matérielle : E=2,1E9 Mpa et = 0,3
Rigidification par conditions cinématiques

Bloc : Acier, loi de comportement élasto-plastique parfait.

Module Young
E=210000 MPa
Coefficient de Poisson
= 0,3
Module d'écrouissage
Et = 0
Limite élastique
y = 50 MPa


1.3
Conditions aux limites et chargements

Les déformations sont axisymétriques et le bloc formant le plan est supposé encastré sur sa base.

Un déplacement imposé est appliqué :

·
Chargement de 0 à ­100 mm sur la partie supérieure de la sphère dans les modèles A et D
·
Chargement de 0 à ­100 mm sur la surface de contact de la sphère dans les modèles B et C
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Les résultats de référence sont issus du livre cité ci-dessous [bib1].
pm = 3 0 avec pm la pression de contact (page 171).
Rjohnson = pm a = 3 0 a si a est la surface de contact.
Or en plasticité parfaite = 0,368 a²/R d'après l'analyse de Richmond (page 200)

Finalement, on obtient :
Rjohnson = 3 R 0 / 0,368

Rjohnson : Réaction normale de contact du massif sur la sphère
R : Rayon de la sphère
: Déplacement du sommet du massif
0 : Limite élastique du massif

Ce résultat est valable sous les hypothèses suivantes :
problème axisymétrique,
matériau parfaitement plastique (le coefficient 0,368 est issue de cette hypothèse)
petites déformations
sphère rigide.


2.2
Résultats de référence

Les résultats de référence sont obtenus à partir de la formule précédente. Elle est valable pour le
modèle complet en 3D.

Remarque :

Dans notre étude, Rjohnson dépend uniquement du déplacement, on peut écrire la relation sous
la forme suivante grâce aux données du problème : Rjohnson = 640 270
avec Rjohnson en
newton et
en millimètre. est directement relié à l'instant de calcul.

La valeur de la résultante normale de contact provenant de ASTER est donnée sur un quartier de
1 radian d'ouverture en 2D axisymétrique et sur un quartier de /2 pour le modèle 3D (par symétrie, il
suffit de modéliser le quart du problème).

Ainsi, les valeurs de référence sont :
en 2D axisymétrique : Rref = Rjohnson / 2 = 101902,1
en 3D
: Rref = Rjohnson / 4 = 160067,5


2.3
Incertitudes sur la solution

Solution analytique.


2.4 Référence
bibliographique

[1]
"Contact Mechanics" - K. L. JOHNSON - Cambridge University Press - chapitre 6 p. 153-201
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

La symétrie de révolution du problème permet une modélisation axisymétrique : La sphère et le bloc
sont représentés respectivement par un demi disque et la coupe de la moitié du bloc, maillés avec des
éléments 2D axisymétriques.
Un contact de type noeud-maille est défini entre les deux structures.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué à la partie supérieure de la sphère rigidifiée par
un module d'Young élevé.



Condition aux limites :

·
symétrie de révolution : les noeuds situés sur l'axe Y (groupe de noeuds « LB » et « LS ») sont
bloqués suivant la direction X (DX = 0),
·
encastrement de la base : les noeuds du groupe « PLANX » sont bloqués suivant les
directions X et Y (DX = DY = 0),
·
les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison suivant y entre le
noeud E appartenant à la sphère et le noeud D appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué sur la partie supérieure de la sphère (groupe de noeuds
« NDPL ») suivant la direction Y : Chargement de 0 à ­100. mm
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3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 916
Nombre de mailles et type : 625 QUAD4 et 289 SEG2

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'AXIS'

DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA CONTACT
METHODE = 'CONTRAINTE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Déplacement
(mm)
Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
20
­2.03804E+06
­2.06806E+06
1.473
Réaction (N)
40
­4.07608E+06
­4.04698E+06
­0.714
Réaction (N)
60
­6.11412E+06
­5.82730E+06
­4.691
Réaction (N)
80
­8.15217E+06
­7.66632E+06
­5.960
Réaction (N)
100
­1.01902E+07
­9.11899E+06
­10.512


4.2 Remarques

L'erreur la plus importante est pour le dernier résultat. Elle reste quand même acceptable.
Nous avons illustré la déformation du massif au pas de temps final :



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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

La symétrie de révolution du problème permet une modélisation axisymétrique : Le bloc est représenté
par la coupe de sa moitié et la sphère est représentée par sa surface potentiellement en contact, ils
sont maillés avec des éléments 2D axisymétriques.
Un contact de type noeud-maille est défini entre les deux structures.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué sur toutes les mailles représentant la sphère,
rigidifiée par des conditions cinématiques.

Condition aux limites :

·
Conditions de symétrie :
les noeuds du bâti situés sur l'axe Y (groupe de noeuds « LB »)
sont bloqués suivant la direction X (DX = 0).

Tous les noeuds appartenant à la sphère (groupe de noeuds
« MAT1 ») sont bloqués suivant la direction X (DX = 0).
·
Encastrement de la base : les noeuds de « PLANX » sont bloqués suivant les directions X
et Y (DX = DY = 0).
·
Les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison rigide, suivant y,
entre le noeud E appartenant à la sphère et le noeud D appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué sur la partie représentant la sphère (groupe de noeud « MAT1 »)
suivant la direction Y: Chargement de 0 à ­100. mm
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5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 458
Nombre de mailles et type : 419 QUAD4 et 171 SEG2.

5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'AXIS'

DEFI_MATERIAU ELAS


ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA CONTACT
METHODE = 'CONTRAINTE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Déplacement
(mm)
Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
d = -20 mm
­2.06771E+06
­2.31620E+06
1.456
Réaction (N)
d = -40 mm
­4.04742E+06
­4.23518E+06
­0.703
Réaction (N)
d = -60 mm
­5.82779E+06
­6.07847E+06
­4.683
Réaction (N)
d = -80 mm
­7.66673E+06
­7.91027E+06
­5.955
Réaction (N)
d = ­100 mm
­9.11942E+06
­9.79599E+06
­10.508


6.2 Remarques

Les résultats sont quasiment identiques à ceux de la modélisation A.
On remarque un temps de calcul réduit en ne modélisant que la surface de contact de la sphère
rigidifiée par conditions cinématiques.

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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

La symétrie du problème permet de ne représenter en 3D qu'un quart du modèle : la sphère et le bloc
sont représentés respectivement par la surface de contact de la sphère et un quart de cylindre, maillés
avec des éléments solides 3D CUB8 .
Un contact noeud-maille est défini entre la sphère et le bloc.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué sur toutes la surface de la sphère rigidifiée par
des conditions cinématiques.

Condition aux limites :

·
Conditions de symétrie :
les noeuds situés dans le plan (O,y,z) (groupe de noeuds
« SBYZ ») sont bloqués suivant la direction X (DX = 0),

les noeuds situés dans le plan (O,x,y) (groupe de noeuds
« SBXY ») sont bloqués suivant la direction Z (DZ = 0),

les noeuds de la sphère (groupe de noeuds « SPHSUP » ) sont
bloqués suivant les directions X et Z (DX = DZ = 0)
·
Encastrement de la base : les noeuds du groupe « BASE » (plan Y=0.) sont bloqués
suivant les directions X, Y, et Z (DX = DY = DZ = 0).
·
Les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison suivant y entre le
noeud E appartenant à la sphère et le noeud S appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué à toute la surface représentant la sphère (groupe de noeuds
« SPHSUP ») suivant la direction Y: Chargement de 0 à ­100. mm

7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 6852
Nombre de mailles et type : 5326 HEXA8, 387 PENTA6 et 183 QUAD4.
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7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = '3D'

DEFI_MATERIAU ELAS


ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA
CONTACT
METHODE = 'CONTRAINTE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Déplacements Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
d = ­20 mm
­3.201351E+06
­3.986829E+06
24.536
Réaction (N)
d = ­40 mm
­6.402702E+06
­7.608190E+06
18.828
Réaction (N)
d = ­60 mm
­9.604053E+06
­1.107936E+07
15.361
Réaction (N)
d = ­80 mm
­1.280540E+07
­1.355198E+07
5.830
Réaction (N)
d = ­100 mm
­1.600675E+07
­1.643281E+07
2.662


8.2 Remarques

Les résultats sont moins précis que ceux issus des modélisations 2D. Le maillage en 3D fait perdre le
caractère exact du cas axisymétrique. De plus, en vue de gains de temps de calcul et d'espace
mémoire, le maillage 3D est moins raffiné que celui en 2D.
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9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

La symétrie du problème permet de ne représenter en 3D qu'un quart du modèle : La sphère et le bloc
sont représentés respectivement par un quart de sphère et un quart de cylindre, maillés avec des
éléments solides 3D CUB8 .
Un contact noeud-maille est défini entre la sphère et le bloc.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué sur la partie supérieure de la sphère rigidifiée par
un module d'Young élevé.


Condition aux limites :

·
Conditions de symétrie :
les noeuds situés dans le plan (O,y,z) (groupes de noeuds
« SBYZ » et « SSYZ ») sont bloqués suivant la direction X
(DX = 0),

les noeuds situés dans le plan (O,x,y) (groupes de noeuds
« SBXY » et « SSXY »)sont bloqués suivant la direction Z
(DZ = 0).
·
Encastrement de la base : les noeuds de « BASE » (plan Y=0.) sont bloqués suivant les
directions X, Y, et Z (DX = DY = DZ = 0).
·
Les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison suivant y entre le
noeud E appartenant à la sphère et le noeud S appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué sur la partie supérieure de la sphère (groupe de noeuds
« CHIMPO ») suivant la direction Y : Chargement de 0 à ­100. mm
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9.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 6993
Nombre de mailles et type : 5544 HEXA8, 407 PENTA6 et 191 QUAD4


9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = '3D'

DEFI_MATERIAU ELAS


ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA CONTACT
METHODE = 'CONTRAINTE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification Déplacements Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
d = ­20 mm
­3.201351E+06
­3.963968E+06
23.822
Réaction (N)
d = ­40 mm
­6.402702E+06
­7.653342E+06
19.533
Réaction (N)
d = ­60 mm
­9.604053E+06
­1.111985E+07
15.783
Réaction (N)
d = ­80 mm
­1.280540E+07
­1.337793E+07
4.471
Réaction (N)
d = ­100 mm
­1.600675E+07
­1.628419E+07
1.733


10.2 Remarques

Les résultats sont quasiment identiques à ceux de la modélisation C. Mais le calcul est encore plus
fastidieux car un quart de la sphère est maillé.
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11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation

La symétrie de révolution du problème permet une modélisation axisymétrique : Le bloc est représenté
par la coupe de sa moitié et la sphère est représentée par sa surface potentiellement en contact, ils
sont maillés avec des éléments 2D axisymétriques.
Un contact de type noeud-maille est défini entre les deux structures.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué à la partie supérieure de la sphère rigidifiée par
un module d'Young élevé.



Condition aux limites :

·
symétrie de révolution : les noeuds situés sur l'axe Y (groupe de noeuds « LB » et « LS ») sont
bloqués suivant la direction X (DX = 0),
·
encastrement de la base : les noeuds du groupe « PLANX » sont bloqués suivant les
directions X et Y (DX = DY = 0),
·
les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison suivant y entre le
noeud E appartenant à la sphère et le noeud D appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué sur la partie supérieure de la sphère (groupe de noeuds
« NDPL ») suivant la direction Y : Chargement de 0 à ­100. mm
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11.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 688
Nombre de mailles et type : 625 QUAD4 et 241 SEG2.

11.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'AXIS'

DEFI_MATERIAU ELAS


ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA CONTACT
METHODE = 'CONTINUE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

Identification Déplacement
(mm)
Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
20
­2.03804E+06
­2.09057E+06
2.577
Réaction (N)
40
­4.07608E+06
­4.09426E+06
0.446
Réaction (N)
60
­6.11412E+06
­5.84817E+06
­4.350
Réaction (N)
80
­8.15217E+06
­7.68357E+06
­5.748
Réaction (N)
100
­1.01902E+07
­9.13216E+06
­10.383


12.2 Remarques

Les résultats sont légèrement meilleurs que ceux de la modélisation A.
On remarque un temps de calcul 5 fois supérieur à cette dernière, utilisant la méthode CONTRAINTE.

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13 Modélisation
F

13.1 Caractéristiques de la modélisation

La symétrie du problème permet de ne représenter en 3D qu'un quart du modèle : la sphère et le bloc
sont représentés respectivement par la surface de contact de la sphère et un quart de cylindre, maillés
avec des éléments solides 3D CUB8 .
Un contact noeud-maille est défini entre la sphère et le bloc.
Un chargement en déplacement imposé est appliqué sur toutes la surface de la sphère rigidifiée par
des conditions cinématiques.

Condition aux limites :

·
Conditions de symétrie :
les noeuds situés dans le plan (O,y,z) (groupe de noeuds
« SBYZ ») sont bloqués suivant la direction X (DX = 0),

les noeuds situés dans le plan (O,x,y) (groupe de noeuds
« SBXY ») sont bloqués suivant la direction Z (DZ = 0),

les noeuds de la sphère (groupe de noeuds « SPHSUP » ) sont
bloqués suivant les directions X et Z (DX = DZ = 0)
·
Encastrement de la base : les noeuds du groupe « BASE » (plan Y=0.) sont bloqués
suivant les directions X, Y, et Z (DX = DY = DZ = 0).
·
Les mouvements de corps rigides sont supprimés en imposant une liaison suivant y entre le
noeud E appartenant à la sphère et le noeud S appartenant au massif.

Chargements :

Un déplacement imposé est appliqué à toute la surface représentant la sphère (groupe de noeuds
« SPHSUP ») suivant la direction Y: Chargement de 0 à ­100. mm

13.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2236
Nombre de mailles et type : 1638 HEXA8, 126 PENTA6, 725 QUAD4, 27 TRIA3 et 26 SEG2.
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Version
8.2

Titre :

SSNV506 - Indentation élasto-plastique d'un demi-plan par un indenteur Date
:
15/02/06
Auteur(s) :
P. MASSIN, M. KHAM Clé
:
V6.04.506-B Page :
15/16


13.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = '3D'

DEFI_MATERIAU ELAS


ECRO_LINE
SY

D_SIGM_EPSI
AFFE_CHAR_MECA
CONTACT
METHODE = 'CONTINUE'

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
RELATION = 'ELAS'

COMP_INCR
RELATION = 'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE = 'TANGENTE'
REAC_ITER = 1



14 Résultats de la modélisation F

14.1 Valeurs
testées

Identification Déplacements Référence
Aster
% différence
Réaction (N)
d = ­20 mm
­3.201351E+06
­3.986829E+06
24.536
Réaction (N)
d = ­40 mm
­6.402702E+06
­7.608190E+06
18.828
Réaction (N)
d = ­60 mm
­9.604053E+06
­1.107936E+07
15.361
Réaction (N)
d = ­80 mm
­1.280540E+07
­1.355198E+07
5.830
Réaction (N)
d = ­100 mm
­1.600675E+07
­1.643281E+07
2.662


14.2 Remarques

Les résultats sont moins précis que ceux issus des modélisations 2D. Le maillage en 3D fait perdre le
caractère exact du cas axisymétrique. De plus, en vue de gains de temps de calcul et d'espace
mémoire, le maillage 3D est moins raffiné que celui en 2D.


Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A

Code_Aster ®
Version
8.2

Titre :

SSNV506 - Indentation élasto-plastique d'un demi-plan par un indenteur Date
:
15/02/06
Auteur(s) :
P. MASSIN, M. KHAM Clé
:
V6.04.506-B Page :
16/16


15 Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont bons. Cependant, un écart plus important entre la référence et les résultats
3D existe. Il est possible de le combler en raffinant encore plus le maillage mais il faut le payer en
place mémoire et en temps de calculs.

La taille des éléments est très importante. S'ils sont trop grands, on peut voir apparaître sur la courbe
de la réaction en fonction du déplacement des « vagues » (perte de linéarité de cette courbe). Chaque
« vague » correspond à la mise en contact d'un élément. De plus, si le maillage n'est pas suffisamment
raffiné, la réaction donnée par Aster s'éloigne sensiblement de celle de référence.

Ne modéliser que la sphère par sa surface de contact rigidifiée par des conditions cinématiques
permet un gain de temps.


Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A

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