Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLL06 Réponse transitoire d'un poteau encastré-libre

Date : 14/09/01
Auteur(s) : Fe WAECKEL
Clé : V2.02.006-C Page : 1/8

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV














Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.006





SDLL06 - Réponse transitoire d'un poteau
encastré-libre





Résumé

Dans ce cas test, on analyse la réponse transitoire d'une poutre encastrée-libre non amortie, modélisée par un
système masse - ressort et soumise à un chargement dynamique quelconque.

On teste l'élément discret en flexion, le calcul des modes propres par la méthode de Lanczos et le calcul de la
réponse transitoire par recombinaison modale de la structure soumise soit à un accélérogramme (modélisation
A) soit à une force imposée équivalente (modélisation B).

Le schéma d'Euler est utilisé.

Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats de référence (résultats analytiques).
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

C'est un problème proposé initialement dans la référence [bib1] et repris dans [bib2].

xr(t)
Coordonnées
Fx(t)
B
m
des points (m)
0
0
A 0
B 10
Iz
0
0
I
y
y
x
A
x
(t)
(t)


· poutre AB : poutre élancée sans masse de longueur AB, l = 10 m et de moment d'inertie
IZ = 0,3285 m4.
·
3
masse ponctuelle en B : m = 43,8 10 kg

1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young :
10
E = 4. 10 Pa
Masse volumique :
= 0 kg/m3

1.3
Conditions aux limites et chargements

Conditions aux limites :
Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l'axe x.
Le point A est encastré : dx = dy = dz = drx = dry = drz = 0.

Chargements :
· modélisation A : accélération transversale au point A : (t)


Temps (s)


0 0.025 0.05
(t)
(m/s2)

Accélération suivant x (ms­2)
0 9.81 0
P0 = 9,81
t (s)
0
t0 = 0.025 0.05


· modélisation B : force transversale au point B : Fx(t) avec Fx(t) = ­m.(t)

1.4 Conditions
initiales

Le système est au repos : à t = 0, dx(0) =0, dx/dt(0) = 0 en tout point.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le problème est traité par un modèle à un degré de liberté. Le poteau est considéré comme une
poutre non amortie et non pesante élancée de rigidité k= 3EIZ/l3 = 3,942.107 N/m. La superstructure
3
située au sommet du poteau est modélisée par une masse ponctuelle m = 43,8 10 kg.

Les deux cas de charge conduisent au calcul de la réponse d'un système à un degré de liberté soumis
à une accélération (t) de forme quelconque :

k
3E.I
&
x + 2 x = - (t
z
r
r
) avec =
=
la fréquence propre du système et x
m
m.l3
r le
déplacement relatif du point B par rapport au point A. La solution est obtenue par intégration de
l'intégrale de Duhamel [bib3] :

t
m
x (t) = -
(t) sin (t - )d
r



0

2.2
Résultats de référence

Déplacement relatif au point B.

Pour une accélération imposée triangulaire, on peut calculer l'intégrale de Duhamel analytiquement
[bib3] :


P0
sin t

t
< t
: x
0
= -
t
r
-
2
t


0


P
2 sin
0
(t - t0) sin t

t
0 < t < 2t : x
0
= -
2t0 - t
r
-
-



2
t


0



P
t
> 2t
: x
0
0
r = -
2 sin
sin
2
sin
3
[
(t - t0) -
(t - t0) -
t]

t

0


2.3
Incertitude sur la solution

Aucune si l'on calcule l'intégrale de Duhamel analytiquement [bib3]. De l'ordre de la précision de la
méthode d'intégration numérique employée pour calculer l'intégrale de Duhamel ([bib1], [bib2]) :
méthode de Simpson avec 40 points par période.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
R.W. Clough et J. Penzien : Dynamics of structures New York, Mac Graw-Hill, 1975,
p. 102-105
[2]
Guide VPCS AFNOR Technique - 1990
[3]
J.S. Przemieniecki : Theorie of matrix structural analysis New York, Mac Graw-Hill, 1968,
p. 351-357
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Les éléments sont modélisés par des éléments discrets à 6 degrés de liberté "DIS_TR".


y
y
NO2
m
k
NO1
x
x
(t)
(t)



Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée (t). On calcule le déplacement relatif du noeud
NO2 par rapport au déplacement du noeud NO1 et on le compare au déplacement calculé
analytiquement.
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler (pas de temps : 5. 10­4 s).


3.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage est constitué de 2 noeuds et d'un élément discret (DIS_TR).


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_TR'
AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
NOEUD
M_TR_D_N
MAILLE
K_TR_D_L
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
PROCHE
CALC_CHAR_SEISME
MONO_APPUI
MACRO_PROJ_BASE
DYNA_TRAN_MODAL
METHODE
EULER
REST_BASE_PHYS
RECU_FONCTION
RESU_GENE
FORMULE
CALC_FONC_INTERP

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Déplacement relatif du noeud NO1 (en mètres).

Temps (s)
Calcul analytique
Code_Aster Erreur
(%)
0,010 ­6,511E­05
­6,495E­05
0
0,015 ­2,185E­04
­2,183E­04
0
0,020 ­5,139E­04
­5,136E­04
­0,058
0,024 ­8,809E­04
­8,806E­04
­0,039
0,026 ­1,115E­03
­1,115E­03
­0,041
0,030 ­1,679E­03
­1,679E­03
­0,014
0,035 ­2,523E­03
­2,523E­03
­0,004
0,040 ­3,457E­03
­3,457E­03
0
0,045 ­4,412E­03
­4,412E­03
0,004
0,049 ­5,143E­03
­5,143E­03
0,005
0,051 ­5,485E­03
­5,485E­03
0,005
0,055 ­6,109E­03
­6,109E­03
0,005
0,060 ­6,765E­03
­6,765E­03
0,005
0,065 ­7,269E­03
­7,269E­03
0,005
0,070 ­7,610E­03
­7,610E­03
0,005
0,075 ­7,779E­03
­7,780E­03
0,005
0,080 ­7,774E­03
­7,775E­03
0,004
0,085 ­7,595E­03
­7,595E­03
0,004


4.2 Paramètres
d'exécution

Version :
STA 5.02


Machine :
SGI ORIGIN 2000

Temps CPU User :
3,16 secondes



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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Les éléments sont modélisés par des éléments discrets à 6 degrés de liberté "DIS_TR".


y
y
Fx(t)
Fx(t)
m
NO2
k
NO1
x
x



Le noeud NO2 est soumis à une force imposée Fx(t). On calcule le déplacement relatif du noeud NO2
par rapport au déplacement du noeud NO1 et on le compare au déplacement calculé dans les
références [bib1] et [bib2].
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler (pas de temps : 10­3 s).


5.2 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE
GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_TR'
AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
NOEUD
M_TR_D_N


MAILLE
K_TR_D_L
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
FORCE_NODALE
MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
PROCHE
CALC_CHAR_SEISME
MONO_APPUI
MACRO_PROJ_BASE
DYNA_TRAN_MODAL
METHODE
EULER
REST_BASE_PHYS
RECU_FONCTION
RESULTAT


5.3
Caractéristiques du maillage

C'est le même maillage que pour la modélisation A.

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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Déplacement relatif du noeud NO1 (en mètres).

Temps (s)
Références
Code_Aster Erreur
(%)
[bib1], [bib2]
0,01
­6,500E­05 ­6,447E­05 ­0,82
0,02
­5,130E­04 ­5,127E­04 ­0,064
0,03
­1,679E­03 ­1,678E­03 ­0,037
0,04 ­3,457E­03
­3,457E­03
0,013
0,05 ­5,316E­03
­5,317E­03
0,022
0,06 ­6,764E­03
­6,766E­03
0,035
0,07 ­7,609E­03
­7,611E­03
0,027
0,08 ­7,774E­03
­7,776E­03
0,024
0,09 ­7,244E­03
­7,246E­03
0,028
0,1 ­6,068E­03
­6,069E­03
0,014
0,12
­2,242E­03 ­2,242E­03 ­0,017
0,14
2,367E­03 2,369E­03 0,071
0,16
6,149E­03 6,152E­03 0,041
0,18
7,783E­03 7,785E­03 0,029
0,2
6,698E­03 6,699E­03 0,018


6.2 Paramètres
d'exécution

Version :
STA 5.02


Machine :
SGI ORIGIN 2000

Temps CPU User :
1,9 secondes


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7
Synthèse des résultats et remarques générales

Le modèle simplifié présenté dans ce cas test permet de valider la méthode de résolution numérique.
Pour traiter le problème physique réel, il faudrait prendre en compte les effets d'inertie (masse du
poteau, effet d'inertie de rotation autour de B de la superstructure) et de compression du poteau
(poids propre).

Pour la modélisation A, l'erreur commise avec un pas de temps de 5. 10­4 s est de l'ordre de 0,01% ;
pour la modélisation B (pas de temps de 10­3 s) elle est de l'ordre de 0,6%.

On pourra compléter ce cas test en vérifiant la convergence des résultats pour d'autres valeurs du pas
de temps et en comparant les résultats obtenus avec d'autres schémas d'intégration.
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