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6

Titre :

HPLP100 - Calcul du taux de restitution de l'énergie d'une plaque fissurée Date :
20/08/02
Auteur(s) :
O. BOITEAU Clé
:
V7.02.100-B Page :
1/8

Organisme(s) : EDF/SINETICS
















Manuel de Validation
Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes plans
Document : V7.02.100





HPLP100 - Calcul du taux de restitution de l'énergie
d'une plaque fissurée en thermo-élasticité



Résumé

Il s'agit d'un test en thermo-élasticité pour un problème bidimensionnel. On considère une plaque rectangulaire
fissurée et on se place dans l'hypothèse des déformations planes.

Dans la modélisation A, le taux de restitution de l'énergie est calculé en post-traitement par deux méthodes
différentes :

· calcul classique par la méthode thêta,
· calcul par la formule d'IRWIN à partir des coefficients d'intensité de contraintes KI et KII.

Ces deux calculs sont réalisés sur 4 couronnes d'intégration différentes. Leur intérêt est de comparer les
valeurs de G et de G (IRWIN) par rapport à la solution de référence et de tester l'invariance des calculs par
rapport aux différentes couronnes d'intégration.

Quant à la modélisation B, il s'agit d'un test fonctionnel et informatique du calcul de la dérivée du taux de
restitution d'énergie classique par rapport à une variation de domaine (pilotée par une fonction thêta
particulière). On utilise des chargements qui pour la plupart sont analytiques et qui n'interviennent qu'en post-
traitement du calcul de mécanique.
L'architecture du test permet de simuler une différence finie, on peut ainsi distinguer en terme de
non-régression informatique, les éventuelles modifications externes impactant le problème direct et/ou sa
dérivée.
D'un point de vue plus anecdotique, on peut s'inspirer des enchaînements de la commande CREA_CHAMP
utilisés dans cette modélisation pour construire des champs analytiques et pour translater un maillage
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Il s'agit d'une plaque rectangulaire fissurée (on ne représente que le quart de la structure) :

Y
I
v
h
u
A
O
C
X
a

Figure 1.1-a : Plaque rectangulaire fissurée

Les dimensions de cette plaque sont les suivantes :

Demi-hauteur de la plaque :
h = 200.0 mm
Demi-largeur de la plaque :
I = 100.0 mm
Demi-longueur de la fissure : a = 50.0 mm

1.2
Propriétés du matériau

Propriétés thermiques :
Cp = 0.

= 1.0 W/m°C
Propriétés mécaniques :
E = 200000 MPa

= 0.3

= 5.10­6/°C

Nous sommes dans l'hypothèse des déformations planes

1.3
Conditions aux limites et chargements

· Température imposée en X = 0. : T = - 100.0°C
· Température imposée en X = 100 : T = + 100.0°C
· Déplacement pour a < X < I , Y = 0. : u = 0.
· Déplacement pour 0 < X < I , Y = H : u = 0.
· Point fixe pour X = 0., Y = H : u = v = 0.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est issue de WILSON et YU [bib1] :


E T
K =
0 F a F
I
= 0154
.
1-

a en mm

E en N / mm2
KI = 92 0291
.

(1- 2)
En déformations planes, la formule d'IRWIN donne : G =
(K2 + K2
I
II )
E

soit numériquement : G =
-
38535 10 1
.




2.2
Résultats de référence

Les résultats de référence sont ceux issus de la solution de référence de WILSON et YU [bib1] :

G =
-
38535 10 1
.

KI = 92 0291
.

KII = 0.


2.3 Références
bibliographiques

[1]
The Use of J-Integrals in thermal stress crack problems - International Journal of Fracture
(1979) WILSON and YU.
[2]
Qualification complémentaire des codes INCA/MAYA en thermo-élasticité linéaire. Note
technique DRE/STRE/LMA 84/598
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Il y a 4 couronnes définies par la commande CALC_THETA :

Couronne 1 :
Rinf = 10.
Rsup = 40.
Couronne 2 :
Rinf = 15.
Rsup = 45.
Couronne 3 :
Rinf = 5.
Rsup = 47.
Couronne 4 :
Rinf = 3.
Rsup = 48.

Le fond de fissure est défini par DEFI_FOND_FISS, et pour chaque couronne on effectue :

· un calcul de G classique (option CALC_G de CALC_G_THETA_T),
· un calcul de G par la formule d'IRWIN à partir des coefficients d'intensité de contraintes KI
et KII (option CALC_K_G de CALC_G_THETA_T).


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 853
Nombre de mailles et types : 359 mailles TRIA6 et 27 mailles QUAD8


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_MODELE
THERMIQUE
PLAN
TOUT

AFFE_MODELE
MECANIQUE
D_PLAN
TOUT

THER_LINEAIRE

MECA_STATIQUE

CALC_THETA
THETA_2D

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_G

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_K_G


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Les valeurs testées sont celles de G obtenues par la méthode classique et celle de G_IRWIN obtenues
par la formule d'IRWIN à partir des coefficients d'intensité de contraintes :

Identification Référence
Aster %
différence
Couronne 1 G
3.8535 10­1
3.6036 10­1
6.62
Couronne 1 G_IRWIN
3.8535 10­1
3.5964 10­1
6.67
Couronne 2 G
3.8535 10­1
3.6014 10­1
6.63
Couronne 2 G_IRWIN
3.8535 10­1
3.5958 10­1
6.68
Couronne 3 G
3.8535 10­1
3.6018 10­1
6.65
Couronne 3 G_IRWIN
3.8535 10­1
3.5602 10­1
6.68
Couronne 4 G
3.8535 10­1
3.6021 10­1
6.62
Couronne 4 G_IRWIN
3.8535 10­1
3.5962 10­1
6.67



4.2 Remarques

Les valeurs numériques sont stables par rapport aux différentes couronnes d'intégration et quasiment
identiques pour les deux méthodes de calcul. Néanmoins l'écart avec les valeurs de référence est de
l'ordre de 6 à 7%, ce qui semble élevé.


4.3 Paramètres
d'exécution

Version : 6.01.19

Machine : SGI CLASTER
Système IRIX64 6.5
Encombrement mémoire : 8 MW
Temps CPU User : 4.22 secondes

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Il s'agit d'un test fonctionnel et informatique du calcul de la dérivée du taux de restitution d'énergie
classique par rapport à une variation de domaine. Cette variation est pilotée par une fonction thêta
particulière, notée s, générée via CALC_THETA avec le mot-clé facteur THETA_BANDE.
On rappelle que cette fonction thêta bidimensionnelle décroît cubiquement de la valeur module (mot-
clé MODULE) à la valeur nulle, entre les abscisses x1= -50 et x2 = -30 (mots-clé R_INF et R_SUP) des
points délimitant son support vertical. Elle est nulle partout ailleurs (cf. [U4.82.03] §3.10).

La couronne délimitant la zone de calcul autour du fond de fissure (au point C matérialisant l'origine
du repère) est modélisée par la fonction thêta fissure classique, notée f, avec Rinf= 10 et Rsup= 45.


y









Champ f

Champ
fissure

s

sensibilité


x



x1= -50
x2= -20
x R
2 inf= 10

Rsup= 45
Figure 5.1-a : Dérivée de G(f) par rapport à une variation de domaine pilotée par s

Après avoir construit les modèles mo et moth en modélisation `D_PLAN' et le champ thêta sensibilité
s (thetas), on affecte des chargements thermiques de type températures imposées sur les bords
droit et gauche de la pièce, pour ensuite, effectuer le calcul thermique proprement dit. Ce dernier
utilise thetas, fourni via le mot-clé SENSIBILITE, pour calculer le champ de température et sa
dérivée lagrangienne.
Avant de réaliser le calcul thermo-élastique on affecte les chargements mécaniques. L'activation de
l'opérateur MECA_STATIQUE ayant été faite avec le mot-clé SENSIBILITE, on enrichit le résultat de
la dérivée lagrangienne des déplacements.
On rajoute par la suite des chargements analytiques qui n'interviennent qu'en post-traitement du
calcul de mécanique. Ils permettent de calculer deux valeurs de G, l'un avec une force de pesanteur,
une force interne et un champ de déformation initiale (G1), l'autre avec un champ de contraintes
initiales (G2). Le premier calcul s'effectue en petites déformations, le second en déformations de
Green-Lagrange. La couronne de calcul est définie par un appel à CALC_THETA avec l'option
THETA_2D.
Ces tests, purement informatiques et fonctionnels, n'ont que peu d'intérêt d'un point de vue
mécanique car la plupart des chargements ne vérifient pas d'équation à l'équilibre.
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Par la suite on réitère cette série de calculs avec un maillage décalé suivant la loi s (avec
s = -
10 3 ) qui, à un point P du domaine de référence fait correspondre un point M,

M P + s s (P)

En simulant ainsi une différence finie, on peut distinguer en terme de non-régression informatique les
éventuelles modifications externes impactant le problème direct et/ou sa dérivée. On teste en dernier
G
G

ressort la précision des valeurs de G( f ) et de
(f ) (f )

obtenues, avant et
s
s
s=0
après la variation de domaine.


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 853
Nombre de mailles et types : 359 mailles TRIA6 et 27 mailles QUAD8


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



CREA_CHAMP
AFFE
ELNO_NEUT_F

ASSE
NOEU_DEPL_R

ASSE
ELNO_SIEF_R

DISC
ELNO_GEOM_R

EVAL
ELNO_NEUT_R

EXTR
NOEU_GEOM_R

EXTR
NOEU_DEPL_R

MODI_MAILLAGE
DEFORME
TRAN

AFFE_MODELE
THERMIQUE
PLAN
TOUT

AFFE_MODELE
MECANIQUE
D_PLAN
TOUT

THER_LINEAIRE
SENSIBILITE

MECA_STATIQUE
SENSIBILITE

CALC_THETA
THETA_BANDE

CALC_THETA
THETA_2D

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_G

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_DG
CHARGE

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_DG
ETAT_INIT

CALC_G_THETA_T
OPTION
CALC_DG
GREEN


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

On teste la non-régression informatique des valeurs de G (sur le maillage initial et sur celui décalé) et
de sa dérivée (sur le maillage initial) par rapport aux versions V6.0.19 des plateformes SGI et SUN. La
tolérance relative est donc très sévère (10­7 %).

Identification
Aster Tolérance
Maillage initial
G avec PESANTEUR,
­1.748581514 102
10­9
FORCE_INTERNE, EPSI_INI
DG avec PESANTEUR,
­4.422828409 10­1
10­9
FORCE_INTERNE, EPSI_INI
G avec SIGMA_INI + GREEN
3.672692719 10­1
10­9
DG avec SIGMA_INI + GREEN
1.102553167 10­2
10­9
Maillage décalé
G avec PESANTEUR,
­1.748585937 102
10­9
FORCE_INTERNE, EPSI_INI
G avec SIGMA_INI + GREEN
3.672692982 10­1
10­9


6.2 Remarques

Ces valeurs numériques varient si on modifie les paramètres des fonctions thêta car on utilise des
chargements mécaniques en post-traitement du calcul thermo-élastique. Ils ne respectent donc pas
d'équation à l'équilibre. En utilisant uniquement des chargements intervenant durant tout le processus
ces instabilités s'amoindrissent considérablement, en restant de l'ordre du pourcent.


6.3 Paramètres
d'exécution

Version : 6.0.19

Machine : SGI CLASTER
Système IRIX64 6.5
Encombrement mémoire : 8 MW
Temps CPU User : 9.6 secondes


Machine : SUN CLI75AS
Système SUNOS 5.6
Encombrement mémoire :8 MW
Temps CPU User : 25.6 secondes



7
Synthèses des résultats

Lors de la première modélisation, l'écart avec les valeurs de référence est de 6 à 7 %. La validation
indépendante du lot mécanique de la rupture devrait apporter des éléments de réponse sur la validité
de G en thermo-élasticité.

La seconde modélisation effectuant des tests de non-régression fonctionnelle et informatique du
calcul de la dérivée de G par rapport à une variation de domaine, ses résultats se doivent d'être
scrupuleusement respectés, d'où des critères de tolérance très sévères.
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