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7.4

Titre :

WTNV100 - Essai triaxial non drainé avec le modèle CJS (niveau 1)
Date :
05/07/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
V7.31.100-B Page :
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, CNEPE
















Manuel de Validation
Fascicule V7.31 : Thermo hydro mécanique en milieu poreux de structures volumiques
Document : V7.31.100




WTNV100 - Essai triaxial non drainé avec le modèle
CJS (niveau 1)




Résumé

Ce test permet de valider le niveau 1 du modèle CJS. Il s'agit d'un essai triaxial en condition non drainée.
Dans les deux premières modélisations, les calculs sont effectués uniquement sur la partie solide du sol,
l'aspect non drainé étant modélisé par une déformation volumique nulle du squelette, ce sont des modélisations
3D qui diffèrent l'une de l'autre uniquement par le maillage.
Dans la troisième modélisation, le couplage hydraulique est pris en compte, l'échantillon est totalement saturé,
le squelette et le fluide sont supposés incompressibles.
Par raison de symétrie, on ne s'intéresse qu'au huitième d'un échantillon soumis à un essai triaxial.
Le niveau de confinement est de 100 kPa.
Les résultats obtenus avec le modèle CJS1 sont comparés à une solution analytique.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z
e
hauteur :
h = 1 m
largeur :
l = 1 m
épaisseur : e = 1 m
C
h
A
B
y
x
l


Coordonnées des points (en mètres) :

A
B
C
x 0. 0.
0.5
y 0. 1.
0.5
z 0. 0.
0.5

1.2
Propriété de matériaux

E = 22,4 103 kPa
= 0,3
Coefficient de biot b : 1
L'eau est supposée incompressible : UN_SUR_K = 0

Paramètres CJS1 : = - 0,03
= 0,82
Rm = 0,289
Pa = -100 kPa

1.3
Conditions initiales, conditions aux limites, et chargement

1.3.1 Modélisation mécanique pure

Phase 1 :
On amène l'échantillon à un état homogène : 0
0
0
xx = yy = zz , en imposant la pression de
confinement correspondante sur les faces avant, latérale droite et supérieure. Les déplacements sont
bloqués sur les faces arrière ( ux = 0 ), latérale gauche ( uy = 0 ) et inférieure ( uz = 0).

Phase 2 :
On maintient les déplacements bloqués sur les faces arrière ( ux = 0 ), latérale gauche ( uy = 0 ) et
inférieure ( uz = 0). On applique un déplacement imposé sur la face supérieure : u (t
z
) , de façon à
obtenir une déformation zz = -20 % (comptée à partir du début de la phase 2). Sur les faces avant
et latérale droite, on impose respectivement les déplacements u (t
x
) et u (t
y
) , de façon à avoir une
déformation volumique nulle pour l'échantillon, c'est à dire finalement que l'on impose


zz
xx = yy = -
. C'est la manière de reproduire le comportement de la phase solide lors d'un essai
2
triaxial non drainé.
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1.3.2 Modélisation couplée avec hydraulique

Phase 1 :
On amène l'échantillon à un état homogène de contraintes effectives: 0
0
0
xx = yy = zz , en imposant
la pression totale correspondante sur les faces avant, latérale droite et supérieure et en imposant
partout des pressions d'eau nulles. Les déplacements sont bloqués sur les faces arrière ( ux = 0 ),
latérale gauche ( u y = 0 ) et inférieure ( uz = 0).

Phase 2 :
On maintient les déplacements bloqués sur les faces arrière ( ux = 0 ), latérale gauche ( uy = 0 ) et
inférieure ( uz = 0).
Sur toutes les faces, les flux hydrauliques sont nuls.
On applique un déplacement imposé sur la face supérieure de façon à obtenir une déformation
zz = -20 % (comptée à partir du début de la phase 2). Sur les faces avant et latérale droite, on
impose des conditions aux limites en contrainte totale :

.n = 0 (= 100kPa)

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2
Solution de référence

2.1
Solution de référence pour la pression d'eau en linéaire

0, 0 p0 désignant les contraintes ,déformations et pressions d'eau obtenues dans la phase on a :
-0 = tr( - 0) + 2µ( - 0) - (
b p - 0
p )
m
p - p

=
0 + btr
fl
( -0)

M
1
Dans cette écriture, M désigne le module de biot et N =
.
M
Les conditions aux limites de flux nul et la conservation de la masse d'eau donnent m = 0
Les conditions aux limites sur les parois latérales et le fait que l'état de contrainte est homogène
donnent :
xx -xx = 0
0

On a donc finalement à résoudre les deux équations :


(2
xx +
zz ) + 2µ
xx = bp



(
p
b 2
xx +
zz ) = -
= -Np

M

Et on obtient :



2
zz
b + N
xx = -

2 b2 + ( + µ)N



µ
b zz
p = -

b2

+ ( + µ)N

Dans notre cas,


zz
xx = -
;
p = -
µ zz
2

2.2
Développement de la solution analytique CJS

On a en permanence :
zz
pour les déformations : xx = yy = -

2
pour les contraintes : xx = yy

Phase élastique :
En écrivant simplement la loi élastique, il vient :


0
xx = xx - µ zz

0
zz = zz + 2 µ zz
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Par ailleurs, on sait aussi que pendant cette phase I1 (= trace()) reste constant car v = 0 . On en
déduit pour les composantes du déviateur :

I
I 0
I
I 0
s
1
0
1
1
0
1
xx = xx -
= xx -
- µ zz = -µ zz et s = -
= -
+ 2 µ = 2 µ
3
3
zz
zz
zz
zz
zz
3
3
soit : sII = - 6 µ zz et det(s) = 2 3 3
µ zz

1/6
Par conséquent : (
h = 1-
s )
( )
Ainsi lorsqu'on atteint le critère f d = 0 , on a :

s (1 )1/6 R I 0 = - 6
1/6
0
-
+
1
µ (1- ) + R I
II
m
zz
m
= 0
1


C'est-à-dire que la transition entre les états élastique et parfaitement plastique se fait pour une
déformation axiale égale à :
0
trans
m
R I1
zz
=

µ ( - )1 6
6
1
/
L'état de contraintes correspondant est noté :
R I 0
R I 0
trans
0
m 1
trans
0
m 1
xx
= xx - µ
et zz
= zz + 2 µ

µ ( - )1 6
6
1
/
6 µ (1- )1/6

Phase plastique :
On note s-d le déviateur de l'inverse du tenseur s
D'une façon générale, on a les grandeurs suivantes :

1
1
- 3
- 3
s
= - ( - ) = s
-
-d
xx
zz
xx
yy s
=
s
=

3
xx

xx
zz -

xx
2 (zz - xx )
2
3
s
-1
3
-d
zz =
(zz -xx) s =
s
=
3
zz
2 (
zz
-
zz - xx )
zz
xx

2
2
3
soit : sII = -
(zz -xx) et det(s) = (zz -xx)
3
33

1/6
Par conséquent : (
h s ) = (1- )

On en déduit :
1
2
Q
1/6
1/6
xx =
(1- ) et Qzz = - (1- )
6
3

f d
1
d
1/6
f
2
1/6
en outre :
=
(1- ) +
= -
1-
+

Rm et
(
)
Rm
xx
6
zz
3

s

R

Comme on a : =
(
signe s
II
m
ij i
& j )
-
1


1 =

scII =
-
Rc

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alors le tenseur n s'écrit :

1
1

1

2

n


xx =

+
1 et n
-
+1
2

zz =
+ 6

3
2
+
3

3

Il vient alors pour G d :

1/6
1
1/6
1-
+ 3
d
m 1

xx =
(1- )
( )
R
G
+ Rm -

+
1
6
2
+ 3
6

1/6
2
1/6
1-
+ 3

2

d
m
1


zz = -
( - )
( )
R
G
+ Rm -
-
+1
3
2
+ 3

3


On a également d'après la loi élastique :


trans
trans
xx = xx
+
xx et zz = zz +
zz
où :


d
d
d
d
d
d
d
d
d
xx = 2 µ (xx - Gxx ) + (v - tr(G ) = -µ zz - 2 µ Gxx - (2 Gxx + Gzz )


d
d
d
d
d
d
d
d
d
zz = 2 µ (zz - Gzz ) + (v - tr(G ) = 2 µ zz - 2 µ Gzz - (2 Gxx + Gzz )

et avec :
trans
trans
xx = xx - xx
et zz = zz - zz


soit, d'après ce qui précède, on a pour sII :
2
s
trans
trans
trans
d
d
d
II = -


3 µ

2 µ

3 [( zz
- xx )+
( zz - zz )-
(G -G
zz
xx )]
2
= strans
trans
d
d
d
II
-
3 µ

2 µ

3 [
( zz - zz )-
(G -G
zz
xx )]
et pour I1 :
I = I trans - ( + µ)
d


( Gd +Gd
1
1
3
2
2 xx
zz )

On en déduit que la fonction de charge déviatoire s'écrit :

1/6
2
f d = strans
trans
d
d
d
1/6
II
(1- ) -
3 µ

2 µ

1
3 [
( zz - zz )-
(G -G
zz
xx )] ( - )
+R I trans
1
- R
d
d
d
m
m (3 + 2 µ)

(2 G +G
xx
zz )
En tenant compte du fait que f d ( trans

) =0, on trouve alors pour le multiplicateur plastique :

3 µ 1- 1/6
d
( )
=
( trans
zz - zz
)
3
2 µ ( d
d
d
d
Gzz - Gxx ) -
Rm (3 + 2 µ) (2 Gxx + Gzz )
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ce qui donne avec les formules de G d
d
xx et Gzz précédentes :

2 µ (1- )1/6 (2 + )3
d =
3
(

trans
zz - zz

R
1/6
1/6
m - (1 - )
)(2µ(1-) -(3+2µ) Rm )(
)

On en conclut finalement l'expression analytique des contraintes :

En posant :
a = (1- )1/6 ;
b = ( 2

+ )3
On a :


trans
xx - xx
=


2
1
a + 3
1

R
- a
m
R
( m )

µ a b 2 µ
a +

1
3

m
R -
+ +

3

6
b

6


b



- µ
trans
+

-

(
zz zz
m
R - a) (2 µa - (3 + 2 µ) m
R )
(
)







trans
zz - zz
=


2

2
a + 3 R
2

R
- a
m
( m )

µ a b 2 µ


-
a + R


1 3

m -
-
+ +

3


3
b

3

b



2 µ
trans
-

-

(
zz zz
Rm - a) (2 µa - (3 + 2 µ) Rm )
(
)









2.3
Résultats de référence

Contraintes xx , yy et zz aux points A, B et C.


2.4
Incertitude sur la solution

Solution analytique exacte pour CJS1.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

3D :
z
B
y
x


Découpage : 1 en hauteur, en largeur et en épaisseur.

Chargement de la phase 1 :
Pression de confinement : 0
0
0
xx = yy = zz : ­100 kPa.
Niveau 1 du modèle CJS


3.2
Caractéristique du maillage

Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 HEXA8 et 6 QUA4


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_MATERIAU CJS



STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'CJS'


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Localisation Numéro Déformation
Contrainte
Référence
Aster %
différence
d'ordre axiale zz (%)
(kPa)
Point A et B
1
­0.25
xx
­78.461538 ­78.461538 <
10­5
2
­0.50
xx
­56.923077 ­56.923077 <
10­5
3
­0.75
xx
­53.606 ­53.606 <
10­5
4
­1.0
xx
­54.480 ­54.480 <
10­5
8
­5.0
xx
­68.467 ­68.467 <
10­5
23
­20.0
xx
­120.918 ­120.918
<
10­5
1
­0.25
yy
­78.461538 ­78.461538 <
10­5
2
­0.50
yy
­56.923077 ­56.923077 <
10­5
3
­0.75
yy
­53.606 ­53.606 <
10­5
4
­1.0
yy
­54.480 ­54.480 <
10­5
8
­5.0
yy
­68.467 ­68.467 <
10­5
23
­20.0
yy
­120.918 ­120.918
<
10­5
1
­0.25
zz
­143,07692 ­143,07692
<
10­5
2
­0.50
zz
­186.153846 ­186.153846
<
10­5
3
­0.75
zz
­196.818 ­196.818
<
10­5
4
­1.0
zz
­200.028 ­200.028
<
10­5
8
­5.0
zz
­251.383 ­251.383
<
10­5
23
­20.0
zz
­443.961 ­443.961
<
10­5



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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Cette modélisation diffère de la précédente par la finesse du maillage
3D :

z
B
y
x


Découpage : 2 en hauteur, en largeur et en épaisseur.

Chargement de la phase 1 :
Pression de confinement : 0
0
0
xx = yy = zz : ­100 kPa.
Niveau 1 du modèle CJS


5.2
Caractéristique du maillage

Nombre de noeuds : 27
Nombre de mailles et types : 8 HEXA8 et 24 QUA4


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




DEFI_MATERIAU CJS



STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'CJS'


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Localisation Numéro Déformation
Contrainte
Référence
Aster %
différence
d'ordre axiale zz (%)
(kPa)
Point A, B et C 5
­0.2
xx
­82.76923 ­82.76923 <
10­5
10
­0.4
xx
­65.53846 ­65.53846 <
10­5
20
­0.8
xx
­53.78079 ­53.78079 <
10­5
40
­1.6
xx
­56.578176 ­56.578176 <
10­5
60
­5.6
xx
­70.565109 ­70.565109 <
10­5
100
­20.0
xx
­120.918065 ­120.918065
<
10­5
5
­0.2
yy
­82.76923 ­82.76923 <
10­5
10
­0.4
yy
­65.53846 ­65.53846 <
10­5
20
­0.8
yy
­53.78079 ­53.78079 <
10­5
40
­1.6
yy
­56.578176 ­56.578176 <
10­5
60
­5.6
yy
­70.565109 ­70.565109 <
10­5
100
­20.0
yy
­120.918065 ­120.918065
<
10­5
5
­0.2
zz
­134.46154 ­134.46154
<
10­5
10
­0.4
zz
­168.92308 ­168.92308
<
10­5
20
­0.8
zz
­197.460849 ­197.460849
<
10­5
40
­1.6
zz
­207.731697 ­207.731697
<
10­5
60
­5.6
zz
­259.085935 ­259.085935
<
10­5
100
­20.0
zz
­443.961194 ­443.961194
<
10­5



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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

3D_HM :
z
B
y
x


Découpage : 1 en hauteur, en largeur et en épaisseur.

Chargement de la phase 1 :
Pression de confinement : 0
0
0
xx = yy = zz : ­100 kPa.
Niveau 1 du modèle CJS
Coefficient de biot : 1
UN_SUR_K de l'eau : 0



7.2
Caractéristique du maillage

Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20 et 6 QUA8


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_MATERIAU CJS



STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION 'KIT_HM'

`RELATION_KIT' :
`CJS' `LIQU_SATU' `HYDR_UTIL'

Manuel de Validation
Fascicule V7.31 : Thermo hydro mécanique en milieu poreux de structures volumiques
HT-66/05/005/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

WTNV100 - Essai triaxial non drainé avec le modèle CJS (niveau 1)
Date :
05/07/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
V7.31.100-B Page :
13/14


8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Localisation Numéro Déformation
Contrainte
Référence
Aster %
différence
d'ordre axiale zz (%)
(kPa)
Point A et B
1
­0.25
xx
­78.461538 ­7,8462E+01
<
10­5
2
­0.50
xx
­56.923077 ­5,6923E+01
<
10­5
3
­0.75
xx
­53.606 ­5,3606E+01 <
10­5
4
­1.0
xx
­54.480 ­5,4480E+01 <
10­5
8
­5.0
xx
­68.467 ­6,8467E+01 <
10­5
23
­20.0
xx
­120.918 ­1,2092E+02 <
10­5
1
­0.25
yy
­78.461538 ­7,8462E+01
<
10­5
2
­0.50
yy
­56.923077 ­5,6923E+01
<
10­5
3
­0.75
yy
­53.606 ­5,3606E+01 <
10­5
4
­1.0
yy
­54.480 ­5,4480E+01 <
10­5
8
­5.0
yy
­68.467 ­6,8467E+01 <
10­5
23
­20.0
yy
­120.918 ­1,2092E+02 <
10­5
1
­0.25
zz
­143,07692 ­1,4308E+02
<
10­5
2
­0.50
zz
­186.153846 ­1,8615E+02
<
10­5
3
­0.75
zz
­196.818 ­1,9682E+02 <
10­5
4
­1.0
zz
­200.028 ­2,0003E+02 <
10­5
8
­5.0
zz
­251.383 ­2,5138E+02 <
10­5
23
­20.0
zz
­443.961 ­4,4396E+02 <
10­5

1
­0.25
pression eau 2,1538E+04
2.15385E+04
< 10­5

2
­0.50
pression eau 4,3077E+04
4.30769E+04
< 10­5


Pour la pression d'eau, on a la référence tant que le comportement est élastique linéaire


Manuel de Validation
Fascicule V7.31 : Thermo hydro mécanique en milieu poreux de structures volumiques
HT-66/05/005/A

Code_Aster ®
Version
7.4

Titre :

WTNV100 - Essai triaxial non drainé avec le modèle CJS (niveau 1)
Date :
05/07/05
Auteur(s) :
C. CHAVANT, Ph. AUBERT Clé
:
V7.31.100-B Page :
14/14


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Synthèse des résultats

Les valeurs du Code_Aster sont en parfait accord avec les valeurs de référence. Concernant le
couplage avec l'hydraulique, ce test prouve qu'informatiquement, le couplage CJS/THM fonctionne et
que les équations d'hydraulique sont au moins capables de redonner la variation de volume nulle
quand l'eau est incompressible.
Manuel de Validation
Fascicule V7.31 : Thermo hydro mécanique en milieu poreux de structures volumiques
HT-66/05/005/A

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