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SSNL502 - Poutre en flambement


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Document : V6.02.502





SSNL502 - Poutre en flambement





Résumé :

Ce test représente un calcul de stabilité d'une poutre console soumise à un effort de compression à une
extrémité. Il permet de valider les modélisations éléments finis COQUE_3D avec les mailles TRIA7 et QUAD9 et
la modélisation POU_D_T_GD avec les mailles SEG2 dans le domaine quasi-statique non-linéaire en grands
déplacements et en grandes rotations en présence d'instabilité (Flambement d'Euler)

Les déplacements et les moments obtenus sont comparés à une solution de référence analytique.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z, w
P
z
C
B
h
Longueur :
L = 0.5 m
Largeur :
b = 0.075 m
b
L
Epaisseur :
h = 0.0045 m
Moment d'inertie I = 5.7 10-10 m4 (bh3/12)
y
y, v
D
y
A
x, u
x



1.2
Propriétés du matériau

Les propriétés du matériau constituant la plaque sont :

E = 2. 1011 Pa
Module d'Young


= 0.3
Coefficient de poisson


1.3
Conditions aux limites et chargements

- C.L. : Côté AD encastré

- On cherche les états successifs d'équilibre sous le chargement imposé sur le côté BC :

p(t) = p t
cr


avec
t pseudo_temps

p

cr charge critique d'Euler
2EI
La charge appliquée correspond à la charge critique d'Euler P =
1124 21
.

2
=
N
cr
4L

1.4 Conditions
initiales

Sans objet
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution du problème dit de l' ''élastique'' est présentée en [bib1] en faisant l'hypothèse de non
extension de l'axe moyen. La solution analytique est obtenue en considérant des intégrales
elliptiques.


2.2
Résultats de référence

Les résultats de référence retenus pour les vérifications sont indiqués en caractères gras dans le
tableau ci-dessous. Les déplacements sont définis dans le repère de définition de la géométrie [§1.1].

P/Pcr
uB/L wB/L
°
MAL/EI
Charge
P uB
wB
MA
(N)
(m)
(m)
(N.M)
1,015 0,220 0,030 20°
0,56 1141.07
0.1100
0.0150
127.58
1,063 0,422 0,119 40°
1,09 1195.03
0.2110
0.0595
248.32
1,152 0,593 0,259 60°
1,67 1295.09
0.2965
0.1295
380.45
1,293 0,719 0,440 80°
2,28 1453.60
0.3595
0.2200
519.41
1,518 0,792 0,651 100°
2,96 1706.55
0.3960
0.3255
674.33
1,884 0,803 0,877 120°
3,73 2118.01
0.4015
0.4385
849.74
2,541 0,750 1,107 140°
4,70 2856.62
0.3750
0.5535
1070.72
4,029 0,625 1,340 160°
6,20 4529.44
0.3125
0.6700
1412.44
9,116 0,421 1,577 176°
9,44 10248.29
0.2105
0.7885
2150.55

10
P/Pcr
9
10
W
P/Pcr
8
U
9
Moment
7
8
6
7
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
Déplacement (m)
0
1
Moment fléchissant (N.m)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000

2.3
Incertitudes sur la solution

Solution analytique

2.4 Références
bibliographiques

[1]
S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE : Théorie de la stabilité élastique, deuxième édition, DUNOD
1966.
[2]
J.L. BATOZ : Grands déplacements et grandes rotations de poutres minces élastiques,
Département de génie mécanique Université de Technologie de Compiègne 1981.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation


z, w
C
2
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
z
B
Conditions aux limites :
- Coté AD :
u = v = w = = = = 0
y, v
x
y z
10
y
D
A
0.03

x,u
x




3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 145
Nombre de mailles et type : 40 TRIA7


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'COQUE_3D'

AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS

COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_ARETE
FX , FZ

STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'



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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.0150
DX
1.04532 0.1100
0.1025 0.230

DZ
1.04532 ­0.0150 ­0.0154 2.498

ETA_PILOTAGE
1.04532 1.015
1.0380 2.271






­0.0595
DX
1.09778 0.2110
0.2081 ­1.340
DZ
1.09778 ­0.0595 ­0.0580 ­2.572

ETA_PILOTAGE
1.09778 1.063
1.098 3.274












­0.22
DX
1.20824 0.3595
0.3579 ­0.451
DZ
1.20824 ­0.22
­0.22 ­0.010

ETA_PILOTAGE
1.20824 1.293
1.39
7.483












­0.3255
DX
1.26646 0.396
0.3937 ­0.581
DZ
1.26646 ­0.3255 ­0.3298
1.32

ETA_PILOTAGE
1.26646 1.518
1.688 11.182












­0.5535
DX
1.38521 0.375
0.3668 ­2.186
DZ
1.38521 ­0.5535
­0.554
0.094

ETA_PILOTAGE
1.38521 2.541
3.038 19.562












­0.67
DX
1.46121 0.3125
0.2971 ­4.924
DZ
1.46121 ­0.67 ­0.6711 0.166

ETA_PILOTAGE
1.46121 4.029
5.28 31.053


4.2 Remarques

La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :

· Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
· Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement DZ (option DDL_IMPO dans STAT_NON_LINE) pour
déterminer le comportement post-flambement.

L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande TEST_RESU, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de DZ les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
et de DX que l'on devait obtenir pour les valeurs de DZ en question.
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation


z, w
C
2
Modélisation CO
Modélisation
QUE_3D (
COQUE_3D
QUAD9)
(QUAD9)
z
B
Conditions aux limites :
- Coté AD :
u = v = w = = = = 0
y, v
x
y z
10
y
D
A
0.03

x,u
x



5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 105
Nombre de mailles et type : 20 QUAD9


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'COQUE_3D'

AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS

COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_ARETE
FX , FZ

STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.0150
DX
1.03356 0.1100
0.1086
­1.255

DZ
1.03356 ­0.0150
­0.0149
­0.656

ETA_PILOTAGE
1.03356 1.015
1.028
1.366












­0.0595
DX
1.08921 0.2110
0.2115
0.228
DZ
1.08921 ­0.0595
­0.0599
0.689

ETA_PILOTAGE
1.08921 1.063
1.087
2.256












­0.22
DX
1.20259 0.3595
0.3618
0.653
DZ
1.20259 ­0.22
­0.226
2.932

ETA_PILOTAGE
1.20259 1.293
1.36
5.215












­0.3255
DX
1.25521 0.396
0.3944
­0.384
DZ
1.25521 ­0.3255
­0.3247
­0.231

ETA_PILOTAGE
1.25521 1.518
1.594
5.034












­0.5535
DX
1.37521 0.375
0.374
­0.099
DZ
1.37521 ­0.5535
­0.5501
­0.608

ETA_PILOTAGE
1.37521 2.541
2.6875
5.767












­0.67
DX
1.45321 0.3125
0.3088
­1.194
DZ
1.45321 ­0.67
­0.672
0.3

ETA_PILOTAGE
1.45321 4.029
4.388
8.903


6.2 Remarques

La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :

· Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
· Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement DZ (option DDL_IMPO dans STAT_NON_LINE) pour
déterminer le comportement post-flambement.

L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande TEST_RESU, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de DZ les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
et de DX que l'on devait obtenir pour les valeurs de DZ en question.
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7
Résultats graphiques des modélisations A et B




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8 Modélisation
C

8.1
Caractéristiques de la modélisation


z, w
Modélisation P
Modélisation
OU_D_T_G
POU_D_T_GD D (SEG
(SEG2) 2)
z
B
Conditions aux limites :

y, v
- Point A :
u = v = w = x= y = z= 0
y
10

x,u
A
x




8.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 11
Nombre de mailles et type : 10 SEG2


8.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'POU_D_T_GD'
AFFE_CARA_ELEM POUTRE
SECTION
RECTANGLE
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE
FX , FZ

STAT_NON_LINE
PILOTAGE
TYPE = 'LONG_ARC'



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9
Résultats de la modélisation C

9.1 Valeurs
testées

DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.22
DX
1.18684 0.3595
0.3587 ­0.64

DZ
1.18684 ­0.22
­0.2129 ­3.2

ETA_PILOTAGE
1.18684 1.293
1.292 ­0.09

MYY
1.18684 519.41
519.1
0.06






­0.3255
DX
1.24521 0.396
0.397
0.1
DZ
1.24521 ­0.3255
­0.321
­1.4

ETA_PILOTAGE
1.24521 1.518
1.5171 ­0.06

MYY
1.24521 674.3
676.5
0.3






­0.4385
DX
1.30521 0.4015
0.4038
0.56
DZ
1.30521 ­0.4385
­0.4362 ­0.54

ETA_PILOTAGE
1.30521 1.884
1.885 0.053

MYY
1.30521 849.74
854.73
0.6

9.2 Remarques


La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :

· Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
· Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement DZ (option DDL_IMPO dans STAT_NON_LINE) pour
déterminer le comportement post-flambement.
· Les résultats sont en bonne adéquation avec la solution de référence à partir de
ETA_PILOTAGE = 1.293. Avant cette valeur, la charge perturbatrice (nécessaire pour obtenir
le flambage) dégrade la solution, et les écarts avec les solution analytique sont importants
(jusqu'à 80%). Les valeurs correspondantes font l'objet de tests de non régression. Mais cet
écart est uniquement lié à la charge perturbatrice, puisque en augmentant le chargement
vertical, on retrouve la bonne solution.

9.3
Résultats graphiques de la modélisation C


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10 Synthèse des résultats

Déplacement suivant Z en fonction de la charge critique
Déplacement suivant X en fonction de la charge critique
2,0
2,0
1,8
1,8
1,6
r
)
1,6
/Pc
QUAD9
P
1,4
Référence
TRIA7
QUAD9
1,4
TRIA7
r
itique (
ge c
1,2
1,2
Charge critique (P/Pcr)
Char
1,0
1,0
Référence
0,8
0,8
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
Déplacement DX (m)

Déplacement DZ (m)


La charge critique est bien détectée. Les deux premiers résultats correspondant aux charges
P/Pcr =1.015 et 1.063 sont corrects, l'erreur maximum est de 3.5% pour la maille TRIA7 et de 2.2%
pour la maille QUAD9. La maille QUAD9 donne de meilleurs résultats.

Si l'on poursuit les calculs avec les éléments de coques la maille QUAD9 continue de donner de
meilleurs résultats. Dans la zone où les déplacements en DZ sont les plus importants, l'erreur
commise sur la charge atteint 9% sur les quadrangles et va jusqu'à 30% sur les triangles. Les erreurs
s'accroissent dans cette région du fait des pentes des courbes. La solution poutre du code fournit de
bons résultats par rapport à la solution poutre de référence.

Le coefficient de correction du cisaillement transverse A_CIS a été mis à 0.833, correspondant aux
coques épaisses. La valeur (9000=106xH/L) qui aurait du être prise en compte ne permet pas
d'effectuer les calculs. Elle introduit un mauvais conditionnement des matrices de rigidité en
accroissant leurs disparités.
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