Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL401 Poutre droite inclinée à 20°, soumise à des efforts sinusoïdaux
Date :
01/12/98
Auteur(s) :
J.M. PROIX, M.T. BOURDEIX, P. HEMON, O. WILK
Clé :
V2.02.401-A Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, IAT, CNAM
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document : V2.02.401

SDLL401 - Poutre droite inclinée à 20°, soumise
à des efforts sinusoïdaux

Résumé :
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 4 des modèles de poutres.
Il permet de vérifier les efforts internes sur une poutre inclinée, pour des chargements sinusoïdaux en fonction
du temps (une modélisation avec des éléments POU_D_T, poutre droite de Timoshenko).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
B
A
20°
x
Figure 1.1-a
B
A
20°
x
Figure 1.1-b
Poutre droite de longueur 1 m.
inclinaison 20° par rapport à x (sens trigonométrique).
Caractéristiques de la section :
S = *0.01² m ²
1.2
Propriétés des matériaux
Module d'Young
E = 2. 1011 Pa
Coefficient de Poisson
= 0,3
Masse volumique
= 7800 kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargement
Condition aux limites :
· Pour le chargement réparti [fig 1.1-1]
Noeuds A et B encastrés : DX, DY, DZ, DRX, DRY, DRZ bloqués
· Pour le chargement ponctuel [fig 1.1-2]
Noeud A encastré : DX, DY, DZ, DRX, DRY, DRZ bloqués
Chargements :
·
f (t) = 1000 * cos (t) suivant la direction AB
soit réparti soit appliqué à l'extrémité B
·
M
t = 1000
(t)
T ( )
* cos
appliqué à l'extrémité B
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
2.1.1 Chargement réparti de traction-compression
Une poutre droite de longueur L travaillant uniquement en traction-compression est soumise à un
chargement réparti constant suivant x mais variant de façon sinusoïdale en fonction du temps. Elle est
encastrée à ses deux extrémités.

2u
2

u
S
- E S
= f (t

)
t2
x2
u (0


) = 0, u( L) = 0 .
Pour résoudre, on applique à l'équation la transformée de Fourier en temps :
2 u

=
2
1
4
2
-
u +
f
( )
2
x
E
E S
u : transformée de Fourier de u,
f : transformée de Fourier de f.
Ainsi, nous avons pour f (t ) = F cos (2 t
o ) :

2 o
sin
x
2

a
F

2



a


u (x,t
o
) =

cos
L
1
2
2


ES 4

a

-


2 o
o
sin
L


a




2


o
-

cos
x
1
cos


(2 t
o ) .

a

-


E
2
avec : a
= .
L'utilisation de la loi de comportement nous donne l'effort de traction compression :


2 o
cos
x

a F

2


a


N (x, t
o
) =
1 -

cos
L
2



a


2 o
o

sin
L


a



2

o
+ sin
x
cos 2 t .

a


o


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2.1.2 Chargements
ponctuels
Une poutre console de longueur L travaillant uniquement en traction compression (ou en torsion) est
soumise à une force sinusoïdale en temps, (ou un moment) appliquée à son extrémité libre.
2.1.2.1 Traction

2u
2

u
S
- ES
= 0

t2
x2

u
1
u(0) = 0


, ( )
L =
f(t) .
x
ES
La technique de résolution est équivalente à celle du paragraphe [§2.1.1.1].
Pour f (t ) = F cos (2 t
o ) , nous avons :
2

sin
o x
a F

a


u ( ,
x t) =

cos(2

o t)
ES 2
2


o
cos
o L

a


E
2
avec a
=
2

cos
o x

a


et N ( ,
x t) = F
cos(2
o t)
2

cos
o L

a


2.1.2.2 Torsion

2 x


2
G
I
- I
x = f (t
p
)
2


x
x

t2
u(0) = 0, u( L) = 0


E
G = (21+)

2
0
4
sin
x
0 0
, 1
b F
4
b
I
=
m ,

,
=
p
x (x t )
(
cos 2
t
0 )
2
G I

2


2
p
0
0
cos
L
b

2

0
cos
x

b
I = I
M
,
=
cos
p
T (x t )
F
2
x
(
t
0 )

2

0
cos
L

b
G
avec b =
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2.2
Résultats de référence
Les efforts intérieurs (N et MT)
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Rapport n° 2314/A de l'Institut Aérotechnique « Proposition et réalisation de nouveaux cas
tests manquant à la validation des poutres ASTER »
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé de 2 éléments poutre droite de Timoshenko.
3.2
Caractéristiques du maillage
2 éléments POU_D_T
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DYNA_LINE_TRAN
NEWMARK
[U4.54.01]
EXCIT
CHARGE
FONC_MULT
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Résultats
4.1.1 Charge répartie en traction
Résultats analytiques
Résultats Aster
Ecart (%)
Effort normal pour x = 0
t = 1/3 s
4.7247E+02
4.7247E+02
9.12E­07
t = 2/3 s
3.92944E+02
3.9294E+02
­6.08E­07
Effort normal pour x = L/2
t = 1/3 s
0.0000E+00
2.1985E­12
2.20E­12*
t = 2/3 s
0.0000E+00
2.5087E­12
2.51E­12*
* Ecart absolu
4.1.2 Charge
ponctuelle
4.1.2.1 Chargement en traction
Effort normal pour x = 0
Résultats analytiques
Résultats Aster
Ecart (%)
t = 1/3 s
9.44957E+02
9.44956E+02
­7.59E­07
t = 2/3 s
7.8588E+02
7.8588E+02
3.01E­06
4.1.2.2 Chargement en torsion
Moment de torsion pour x = 0
Résultats analytiques
Résultats Aster
Ecart (%)
t = 1/3 s
9.4495E+02
9.4495E+02
­1.88E­06
t = 2/3 s
7.8588E+02
7.8589E+02
7.29E­06
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 4.02
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU user :
10 secondes
5
Synthèse des résultats
Ce test permet de vérifier que les efforts internes des éléments de poutre en dynamique sont corrects.
Les résultats montrent un très bon accord avec la solution analytique, pour un maillage composé
seulement de deux éléments POU_D_T.
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