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Version
6.0

Titre :

SSLA100 - Cylindre infini soumis à un champ de forces volumiques
Date :
30/11/01
Auteur(s) :
B. RIOU Clé
:
V3.06.100-A Page :
1/10

Organisme(s) : EDF/ERMEL/PEL
















Manuel de Validation
Fascicule V3.06 : Statique linéaire des structures axisymétriques
Document : V3.06.100





SSLA100 - Cylindre infini soumis à un champ de
forces volumiques et surfaciques





Résumé :

Ce test de mécanique quasi-statique linéaire permet de valider l'affectation d'un chargement de champ de
forces, surfacique ou volumique.

La structure étudiée est cylindrique. Les champs aux noeuds de densité volumique et surfacique de forces sont
lus dans un fichier au format Ideas. Pour le chargement volumique, le champ lu varie quadratiquement en
fonction de la distance à l'axe ; pour le chargement surfacique, le champ lu correspond à une pression interne.

Trois modélisations du même problème sont réalisées :

·
modélisation 3D ;
·
modélisation 2D axisymétrique ;
·
modélisation 2D déformations planes ;

La solution de référence est analytique.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


z
y
x


Les dimensions géométriques choisies sont les suivantes :

·
hauteur
= 0.5 m ;
·
rayon intérieur
= 1 m ;
·
rayon extérieur = 1.2 m .

1.2
Propriétés du matériau

Le cylindre est constitué d'un matériau homogène qui suit une loi de comportement élastique linéaire :

·
E = 10 Pa ;
·
= 1 Kg/m3 ;
·
= 0.3 .

1.3
Conditions aux limites et chargements (Cf. [Figure 1.3-a])

La force volumique considérée est radiale, elle varie de manière quadratique avec le rayon : FV = .r²
avec = 1 N/m3.
La force surfacique considérée est appliquée sur la paroi interne du cylindre, perpendiculairement à la
paroi (équivaut à une pression interne imposée au cylindre) : FS(r = Rint) = 1N/m².

Les conditions aux limites permettent de se placer dans l'hypothèse des déformations planes sur une
section du cylindre : déplacements verticaux bloqués sur les sections haute et basse du cylindre.

Remarque :

Pour la modélisation 3D, la suppression des modes propres est assurée par les conditions du
2D plan appliquées sur la section basse du cylindre. Ce type de conditions aux limites permet
d'obtenir une solution axisymétrique en déplacement, directement comparable avec la
solution analytique.
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Modélisation 3D :
FS
Uz = 0
FV
Uz = 0
Modélisation 2D axisymétrique :
Uz = 0
FS
FV
Uz = 0
Modélisation 2D plan :
FV
UY = 0
FS
UX = 0
UX = 0
UY = 0

Figure 1.3-a : Conditions aux limites et chargements
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le problème de mécanique statique linéaire axisymétrique considéré peut être résolu de manière
analytique. On résout indépendamment la réponse à la sollicitation force volumique et force surfacique
pour les sommer ensuite.

Force volumique quadratique FV(r) =

On considère les équations d'équilibre en coordonnées cylindriques :


1

-
r
r
rz
r

+
+
+
+
=

f
0
r
r

r
z
r

1

z


r

r

+
+
+ 2
+ f = 0 qui se simplifient étant donnée la symétrie axiale
r
z


r
r




zz
rz


z

r
+
+
+ 2
+
= 0


f
z
r

z
r
r

-
r
r

en :
+
+
=

fr 0
r
r

En utilisant la loi de comportement puis les relations déformations-déplacements, on aboutit à
u'
u
f
l'équation différentielle suivante : u
V
''+
-
+
= 0
r
r²
E(1 - )
(1 + )(1 - 2)
La force volumique appliquée est du type : fV= .r²

La solution de l'équation différentielle s'écrit alors :

- c
1
( + ) 1
( - 2)r4
u =
1 -
+ c r
éq
2.1-1
r
15E 1
( -
2
2
)
Les deux constantes d'intégrations c1 et c2 sont déterminées grâce aux conditions aux limites :

(
)
int
R
= 0



(R )

ext = 0

4 - 3 2 1 + R2 R2 (R3 - R3 )

c
int ext
int
ext
1 =




1 -
15
E
R2 - R2
On obtient :
ext

int

1
( + ) 1
( - 2) 4 - 3
R3 - R3
c
=


(R3 - R2
int
ext
2


)
E
ext
1 - 15
int R2 - R2

ext
int
Force surfacique type pression FS(Rint) = P

Le problème à résoudre est de même nature, mais avec une force volumique appliquée nulle : fV= 0
= 0.
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- c
La solution en déplacement [éq 2.1-1] s'écrit alors : u =
1 + c r , devant respecter les conditions :
r
2
2

(
)
int
R
= - P


(R )

ext = 0

Ce qui donne :

1 +
R2
R2


u
P
int
ext
=


+ 1
( - 2) r
éq
2.1-2
E
R2 - R2int r
ext





2.2
Résultats de référence

Application Numérique :

·
hauteur
= 0.5 m ;
·
rayon intérieur
= 1 m ;
·
rayon extérieur
= 1.4 m ;
·
E
= 10 Pa ;
·

= 1 Kg/m3 ;
·

= 0.3 ;
·

= 1 N/m5 ;
·
P
= 1 N/m².
en injectant les valeurs numériques dans les solutions [éq 2.1-1] et [éq 2.1-2] on trouve après
sommation :

u( .
1 )
0 = .
0 52130982m


u( .
14) = .
0 44203108m



2.3
Incertitudes sur la solution

Nulle (solution de référence analytique).
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

La cylindre est modélisé en éléments 3D volumiques :

P2
P1


3.2
Caractéristiques du maillage

Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 20 noeuds contenant :

·
8 éléments ;
·
96 noeuds.

Le maillage contient 1 seul élément dans le sens radial et vertical et 8 découpages sur la
circonférence.

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_3D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_3D
AFFE_CHAR_MECA EVOL_CHAR


4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster %
différence
UX en P1
1
0.52130982
0.52097
6.54 10­2 %
UX en P2
1
0.44203108
0.44178
5.74 10­2 %


4.2 Paramètres
d'exécution

Version : 6.01.19

Machine : Origin 2000

Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 2.64 secondes
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Une coupe longitudinale du cylindre est modélisé en éléments 2D volumiques, en considérant
l'hypothèse d'axisymétrie.

P1
P2


5.2
Caractéristiques du maillage

Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 8 noeuds contenant :

·
4 éléments ;
·
21 noeuds.

Le maillage contient 2 découpages dans le sens radial et 2 découpages dans le sens vertical.

5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_2D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_2D
AFFE_CHAR_MECA
EVOL_CHAR


6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster %
différence
UX en P1
1
0.52130982
0.52129
4.07 10­3 %
UX en P2
1
0.44203108
0.44202
3.95 10­3 %

6.2 Remarque

Modélisation plus performante que le 3D car 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation
circonférencielle.

6.3 Paramètres
d'exécution

Version : 6.01.19

Machine : Origin 2000

Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 1.89 secondes
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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Une coupe transversale du cylindre est modélisée en éléments 2D volumiques, en considérant
l'hypothèse des déformations planes.
P1
P2


7.2
Caractéristiques du maillage

Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 8 noeuds contenant :

·
8 éléments ;
·
40 noeuds.

Le maillage contient 1 seul découpage dans le sens radial et 8 découpages dans le sens vertical
(comme le 3D).

7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_2D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_2D
AFFE_CHAR_MECA
EVOL_CHAR


8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster %
différence
UX en P1
1
0.52130982
0.52131
6.76 10­2 %
UX en P2
1
0.44203108
0.44204
5.74 10­2 %

8.2 Remarques

Modélisation de performance très voisine du 3D car mêmes discrétisations circonférencielle et radiale.

8.3 Paramètres
d'exécution

Version : 6.0

Machine : Origin 2000

Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 1.89 secondes
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9
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus par le code_Aster sont très proches de la solution analytique, malgré des
maillages très grossiers.

Les modélisations 3D et 2D plane fournissent des précisions très voisines car elles présentent les
mêmes discrétisations circonférencielle et radiale. La modélisation 2D axisymétrique est plus
performante car elle présente 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation
circonférencielle.

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