Code_Aster ®
Version
7.3

Titre :

SDLL403 - Vibrations d'un pendule en rotation


Date :
04/10/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, G. ROBERT, F. SOULIE Clé
:
V2.02.403-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, SAMTECH
















Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.403




SDLL403 - Vibrations d'un pendule en rotation





Résumé

Le domaine d'application de ce test est l'analyse modale des structures. La structure étudiée est un pendule en
rotation autour d'un axe fixe et plongé dans un champ de gravité. Le pendule est lui-même articulé autour d'un
axe perpendiculaire à l'axe de rotation et situé à une certaine distance de celui-ci.
On s'intéresse aux six premières fréquences propres.

L'intérêt de ce test réside dans les aspects suivants :

·
analyse modale avec prise en compte de contraintes initiales (raideur géométrique)
·
analyse modale avec prise en compte du raidissement centrifuge
·
écart relatif important entre deux fréquences successives du spectre

Actuellement, la prise en compte du raidissement centrifuge n'est possible qu'avec des éléments volumiques.
L'élément utilisé est l'élément HEXA20 et on emploie la méthode de Sorensen pour le calcul des fréquences
propres.

La première fréquence propre est comparée à une référence analytique. Les fréquences suivantes sont
comparées à des valeurs numériques obtenues par un logiciel indépendant du Code_Aster et utilisant des
modélisations `poutre' et `contrainte plane'.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie



h
a
L



Caractéristiques :

Longueur du pendule
L = 0.6 m
Excentricité
a = 0.1 m
Hauteur du profil
h = 0.01 m
Largeur du profil
b = 0.004 m
Section
S = bh
Inertie de flexion
IZ = bh3 / 12


1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young
E = 7. E 10 N/m2
Coefficient de Poisson
= 0.3
Masse volumique
= 2700 kg/m3

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1.3
Conditions aux limites et chargement

La poutre est articulée au point A. L'axe de l'articulation est l'axe Y. L'état de contrainte initial qui
permet de réaliser le calcul des raideurs géométrique et centrifuge est obtenu en imposant une vitesse
de rotation et la pesanteur.

Accélération de la pesanteur
g = -9.81 m/s² (parallèle à l'axe Z)
Vitesse de rotation
= 10 rad/s

La position d'équilibre statique 0 correspondant à la mise en charge est calculée par la relation :

3
2
g cos = (3a + 2
0
L cos0)sin 0


On trouve 0 = 11.269931365°

Les conditions sur les déplacements au point A sont les suivantes :

u = v = w = 0 ; X = Z = 0

On considère de plus que la section passant par A reste rigide.


1.4 Conditions

initiales

Sans objet en analyse modale.

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

·
première fréquence propre

Les données du problème sont choisies de telle manière que les raideurs en flexion et en
extension sont grandes vis-à-vis des raideurs géométrique et centrifuge. Dans ces conditions,
la valeur de la première fréquence propre s'obtient analytiquement en considérant un pendule
rigide.

En prenant comme degré de liberté l'angle entre le pendule et l'axe X l'équation du
mouvement s'écrit :

2 &
= 3
2
L
g cos - (3a + 2L cos) sin

On considère ici les petites oscillations du pendule autour d'une position d'équilibre
statique 0 . En linéarisant l'équation du mouvement au voisinage de cette position, on obtient
l'équation aux petites perturbations :

2L &
+ [3
2
g sin + (3a cos + 2L cos2
0
0
)] = 0
0


On en déduit la pulsation du premier mode :

3g
3a

2

=
sin +
cos + cos
2

2
0
L

2
0
0
L




Cette pulsation propre peut encore s'écrire sous la forme

K( )+ K( 2
)
=

I

avec



K ( ) 1
2
2
2
a
L
2
=
SL

g sin + SL cos + cos
0
0
0
2
2
3

(
e
géométriqu
raideur
)
K ( 2
)
1
3
2
2
= -
SL

sin 0
3

(
centrifuge
raideur
)
1
3
I = SL
3
(
rotation
en

inertie
)
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·
autres fréquences propres

Les valeurs de référence des fréquences 2 à 6 sont obtenues numériquement au moyen de la
version 7 du logiciel SAMCEF. On a utilisé deux modélisations différentes : 20 éléments de
poutre déformable à l'effort tranchant et 20X4 éléments de membrane à 8 noeuds. Les
résultats obtenus dans les deux cas sont identiques si l'on se limite aux 4 premiers chiffres
significatifs. Vu que les corrections de raideur sont petites vis-à-vis des termes de raideur
linéaire, on peut vérifier que les fréquences 2 à 6 diffèrent peu des valeurs analytiques
obtenues pour une poutre élancée non déformable à l'effort tranchant. En fait, l'écart maximal
entre les valeurs numériques et analytiques n'excède pas 1 %.


2.2

Résultats de référence

Les 5 premières charges critiques sont classées par ordre de module croissant.


Mode
Fréquence propre (Hz)
1 1.75556
2 100.2
3 324.0
4 674.4
5 1150.
6 1748.


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique pour la première fréquence. Solution numérique pour les autres. La tolérance
estimée des résultats numériques est de 1 %.


2.4 Références
bibliographiques

Sans objet.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation


La poutre est maillée au moyen d'éléments HEXA20.

Conditions aux limites :

Au point A tel que X = 0.1, Y = 0 , Z= 0:

DX = DY = DY = DRX = DRZ = 0

D'autre part, tous les noeuds de la section passant par A sont liés rigidement.


3.2

Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
1077
Nombre de mailles :
160 HEXA20
8
QUAD8


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
`3D'

AFFE_CHAR_MECA PESANTEUR



ROTATION
DDL_IMPO
LIAISON_SOLIDE
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_GEOM'

`RIGI_ROTA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT METHODE
`SORENSEN'


CALC_FREQ
OPTION
PLUS_PETITE


NMAX_FREQ


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Fréquences en Hz

Mode Référence
Code_Aster
Ecart relatif (%)
1 1.75556
1.7871
2.121
2
100.2 100.272 0.072
3 324.0
324.65
0.200
4
674.4 677.1 0.407
5 1150.
1157.8
0.677
6 1748.
1766.7
1.072

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5
Synthèse des résultats

Bon accord avec la solution de référence (moins de 1. % d'erreur sur tous les modes sauf sur le
premier où l'erreur est de 2.2 %).

Ce test n'a pu être réalisé avec un élément de poutre car le calcul de la matrice de rigidité centrifuge
n'est pas disponible pour ce type d'élément. De même, comme elle n'est pas disponible pour les
éléments discrets, nous n'avons pas pu utiliser de liaison 3D-poutre. Afin de palier ce problème, tous
les noeuds de la surface contenant le point A ont été liés par un liaison solide.


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