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3
Titre :
HSNV120 - Traction hyperélastique d'un barreau
Date :
21/05/96
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V7.22.120-A Page :
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Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaires des structures volumiques
Document : V7.22.120
HSNV120 - Traction hyperélastique
d'un barreau sous chargement thermique
Résumé :
Ce test thermomécanique quasi-statique consiste à chauffer uniformément un barreau parallélépipédique, le
soumettre à une traction importante pour finalement le laisser revenir dans un état déchargé. On valide ainsi la
cinématique des grandes déformations hyperélastiques (commande STAT_NON_LINE, mot-clé COMP_ELAS)
pour une relation de comportement élastique non-linéaire (ELAS_VMIS_LINE et ELAS_VMIS_TRAC) avec
chargement thermique.
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA20, modélisation A) ou bien quadrangulaire (QUAD8,
hypothèse des contraintes planes, modélisation B).
Les résultats obtenus par Aster ne diffèrent pas de la solution théorique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
1 000 (mm)
1
4
2
3
z
1 000 (mm)
x
1.2
Propriétés de matériaux
Le matériau obéit à une loi de comportement hyperélastique non linéaire isotrope à écrouissage
linéaire isotrope.
S
E
= 2.105 MPa
ET = 2.103 MPa
y
ET
y = 103 MPa
E
= 0,3
= 104 K1
E
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Le barreau bloqué dans la direction Ox sur la face [1,2] est soumis à une température uniforme T et
un effort de traction F réparti sur la face [3,4]. Les séquences de chargement sont les suivantes :
1
4
Tunif
F
2
3
T °
( C)
F (MPa)
120
1298
20
t(s)
0
1
2
3
t(s)
0
1
2
3
Température de référence : Tréf = 20°C.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
On cherche le champ de déplacement U sous la forme :
ux
U(x, y,z) =
vy
vz
Le gradient de la transformation, la déformation et sa part mécanique sont alors :
1+ u
0
0
F =
0
1+
v
0
0
0
1+ v
(
u u + 2)
0
0
2
1
v v
T
+
2
E =
(F F- )
(
)
1
=
0
0
2
2
v(v + 2)
0
0
2
a 0
0
Em = E - T
1 = 0 b 0
0 0 b
avec :
u(u + 2)
a
=
- T
2
v(v + 2)
b
=
- T
2
Remarque :
(Em) = a-b = a-b (on suppose que a >b)
eq
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La relation de comportement s'écrit :
2
S
= K
xx
(a + b
2 ) + G(a - b)
3
1
S
= S
= K
yy
zz
(a + b
2 ) - G(a - b)
3
avec :
E
3K = 1-2
module de compressibilité
Pour déterminer G en tenant compte de l'écrouissage linéaire, on introduit :
E
· le module de cisaillement : 2µ = 1+
E E
· le module d'écrouissage : R
T
' = E - ,
ET
La "pseudo variable interne" p vaut alors :
2µ (Em)
y
-
y
eq
2µ (a - b) -
p =
=
R' + 3µ
R' + 3µ
Finalement, G s'écrit :
y
+ R' p
G =
a - b
En tenant compte des conditions aux limites :
F
Sxx =
(charge morte)
1+ u
Syy =
0 (bord libre)
Le système à résoudre s'écrit :
2
2µ a - b
y
-
F
K(a + b
2 )
(
)
y
+ + R'
=
3
R
' + 3µ
1+ u
1
2µ a - b
y
-
K(a + b
2 )
(
)
y
-
+ R'
= 0
3
R
' +
3µ
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Il s'écrit aussi :
F
3K(a + 2b) =
1+ u
F
3µ
3
µ
2 (a - b) =
1
y
+
µ
1
+ u
R' -
R'
A F fixé, il s'agit donc d'un système non linéaire en u et v , puisque a est quadratique en u et b
quadratique en v .
Néanmoins, on peut choisir de fixer u (donc a ) et résoudre un système linéaire en F et b (duquel on
déduit p et v ) :
(
u u + 2)
·
a =
- T
2
1 F -6 K b = 3
K a
1+ u
·
3µ
1
3
µ
1+
F + 2µ b = 2
y
µ a
R'
+
1
+ u
R'
2µ (a - b)
y
-
·
p =
R' + 3µ
·
v =
1+ (
2 b + a T
) -1
Il reste alors à exprimer la contrainte de Cauchy :
=
1
F S FT
Det(F)
Soit ici :
1+ u
xx =
(
S
1+ v)2 xx
yy = zz =
0
Quant à la force exercée sur la face [3,4], du fait de l'hypothèse de charges mortes, elle s'écrit
simplement :
F
x = F So
où So : surface initiale de la face [
3,4]
F
y = 0
F
z = 0
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2.2
Résultats de référence
On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy et la force
exercée sur la face [3,4] (en 3D seulement) :
Au temps t = 2 s ( T = 100°C, traction F )
En fait, on cherche F tel que l'allongement :
u = 0 1
,
·
K = 166 666 MPa µ = 76 923 MPa R' = 2 020 MPa
·
a = 0.095
0.90909
F - 106 b = 47 500
104.76 F +153.85 103 b = 128.85 103
·
F = 1 298 MPa
b = - .
0 046
·
p = 8.91 10 2
·
v = - 3.70 10 2
9
xx
= 1 399.66 MPa
xy = 0
Fx = 1 298 10 N
·
yy = 0
xz = 0
Fy = 0
zz = 0
yz = 0
Fz = 0
Au temps t = 3 s (T = 0, F = )
0
Le barreau est revenu dans son état initial :
U
= 0
= 0
p =
0
2.3
Incertitude sur la solution
La solution est analytique. Aux erreurs d'arrondis près, on peut la considérer exacte.
2.4 Références
bibliographiques
On pourra se référer à :
[1]
E. LORENTZ : Une relation de comportement hyperélastique non linéaire - Note interne EDF
DER HI-74/95/011/0
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation volumique :
1 maille HEXA20
1 maille QUAD8
z
5
20
8
17
19
18
7
6
16
13
y
15
1
12
4
1 000 (mm)
9
11
2
10
3
x
Conditions aux limites :
N2 :
U = U = U
x
y
z = 0
N9, N13, N14, N5, N17 : U x = 0
N1 :
U = U
x
z = 0
N6 :
U = U
x
y = 0
Charge : Traction sur la face [3 4 8 7 11 16 19 15]
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles : 2
1 HEXA20
1 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS :
DEFORMATION :
'GREEN'
[U4.32.01]
RELATION :
'ELAS_VMIS_LINE'
'ELAS_VMIS_TRAC'
EXCIT :
CHARGE :
THERMIQUE
CALC_NO
OPTION :
'FORC_NODA'
[U4.61.03]
GEOMETRIE :
'DEFORMEE'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t = 2 Déplacement DX (N8)
100
100.
0.
t = 2 Déplacement DY (N8)
37
37.005
0.013
t = 2 Déplacement DZ (N8)
37
37.005
0.013
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1)
1399.66
1399.67
0.001
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1)
11013.986
1010
/
t = 2 Contraintes SIGZZ (PG1)
0
1010
/
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1)
0
1012
/
t = 2 Contraintes SIGXZ (PG1)
0
1012
/
t = 2 Contraintes SIGYZ (PG1)
0
1011
/
t = 2 Variable p VARI (PG1)
8.91102
8.91 102
0.
t = 3 Déplacement DX (N8)
0
1013
/
t = 3 Déplacement DY (N8)
0
1013
/
t = 3 Déplacement DZ (N8)
0
1014
/
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1)
0
1010
/
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1)
0
1011
/
t = 3 Contraintes SIGZZ (PG1)
0
1011
/
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1)
0
1011
/
t = 3 Contraintes SIGXZ (PG1)
0
1011
/
t = 3 Contraintes SIGYZ (PG1)
0
1011
/
t = 3 Variable p VARI (PG1)
0
0
/
t = 2 Force nodale DX (N8)
1.0817108
1.0817 108
0.003
t = 2 Force nodale DY (N8)
0
105
/
t = 2 Force nodale DZ (N8)
0
106
/
4.2 Remarques
Calcul de la force nodale :
La force appliquée sur la face [3,4], Fx , se répartit entre les différents noeuds suivant la pondération
suivante :
· noeuds sommets : 1/ 12Fx
· noeuds milieux : 4 / 12Fx
4/12
1/12
1/12
4/12
4/12
1/12
1/12
4/12
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : NEW 3.03.15
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
47.2 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D contraintes planes :
1 maille QUAD8
1 maille SEG3
y
8
1
4
5
7
2
x
6
3
Conditions aux limites :
N2 :
U x = 0
U y = 0
N1 :
U x = 0
N5 :
U x = 0
Chargement :
Traction sur la face [3 4 7] (maille SEG3)
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 2
1 QUAD8
1 SEG3
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS :
DEFORMATION :
'GREEN'
[U4.32.01]
RELATION :
'ELAS_VMIS_LINE'
'ELAS_VMIS_TRAC'
EXCIT :
CHARGE :
THERMIQUE
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t = 2 Déplacement DX (N4)
100
100
0
t = 2 Déplacement DY (N4)
37
37.004
0.013
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1)
1399.66
1399.67
0.001
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1)
0
1012
/
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1)
0
1012
/
t = 2 Variable p VARI (PG1)
8.91102
8.91 102
0
t = 3 Déplacement DX (N4)
0
1014
/
t = 3 Déplacement DY (N4)
0
1013
/
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1)
0
1010
/
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1)
0
1010
/
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1)
0
1010
/
t = 3 Variable p VARI (PG1)
0
0
/
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.03.13
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
123,8 secondes
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7
Synthèse des résultats
Les résultats numériques et analytiques coïncident remarquablement. On peut toutefois s'étonner du
temps d'exécution notoirement plus long pour la modélisation en contraintes planes (123,8 s) que pour
le 3D (47,2 s). La différence s'explique par une discrétisation en temps beaucoup plus fine pour les
contraintes planes, liée à des problèmes de convergence (l'algorithme de résolution de l'équation
scalaire non linéaire en p est encore rudimentaire).
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