Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

SDLL311 - Réponse dynamique transitoire d'une poutre en traction
Date :
13/06/03
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
:
V2.02.311-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IRCN
















Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.311




SDLL311 - Réponse dynamique transitoire d'une
poutre en traction sous déplacement imposé







Résumé :

Ce problème-test correspond à une analyse transitoire linéaire d'une barre sollicitée en traction par application
d'un déplacement imposé à une extrémité, l'autre extrémité étant encastrée. Le déplacement fonction du temps
est de type « Heaviside » imposé à partir de l'instant initial.

Les résultats obtenus au milieu de la poutre pour une modélisation à quatre éléments sont comparés à la
solution analytique du problème discrétisé par quatre éléments en ne prenant pas en compte les pics
instantanés de vitesse et d'accélération à l'instant initial au niveau de l'extrémité où le déplacement est imposé.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

y,v
A
B
C
/2
/2
x,u
u(C) = f(t).u
R
f
R = 0,05 m
= 1 m
1
t


1.2
Propriétés de matériaux

E = 98 696,044 MPa

= 0

= 3.106 kg/m3

Amortissement proportionnel de Rayleigh : C = K
+ µM , =
-
510 4
.
, µ = 5

1.3
Conditions aux limites et chargements

Déplacement imposé à l'extrémité C : u (C) = u f (t) avec u = -
10 3 m et f (t) évolution en fonction
du temps de type Heaviside : f (t ) = ,
1 t 0 .

Extrémité A encastrée.

1.4 Conditions
initiales

Déplacement initial nul en tout point.

Vitesse initiale nulle en tout point.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le problème discrétisé vérifie :

M
M
ll
ld u
C
C

ll
ld
&
u
K
K

ll
ld
&
u 0
l
l
l

+
+
= ,
M T
M u
T
T
& d
& C
C u
&d K
K u
F
ld
dd
ld
dd
ld
dd d
d



avec indice l : ddl libre
indice d : ddl imposé

F (t
d
) chargements extérieurs appliqués aux noeuds extrémités et conduisant aux déplacements
imposés ud sont inconnus, on élimine donc ces équations et on obtient :

[M ]{u& } +[C ]{u& } +[K ]{u } = -[M ]{u& } -[C ]{u& } -[K ]{u
ll
l
ll
l
ll
l
ld
d
ld
d
ld
d } .

Les seuls termes non nuls du second membre de ce système sont liés aux variables cinématiques
relatives au noeud extrémité où le déplacement est imposé. Or, à t=0, udC
&
et u&dC ne sont pas
définies mais à t=0- et t=0+, udC
&
et u&dC sont nulles. Toute la complexité du problème vient de cela.

Pour obtenir une solution de référence, nous avons considéré udC
&
et u&dC uniformément nulles ce
qui revient à ne considérer que les forces internes élastiques à l'extrémité C. Ceci est discutable d'un
point de vue physique mais, en adoptant les mêmes hypothèses lors de la modélisation du problème,
la validation du Code_Aster peut être menée à bien.

On calcule la solution de référence en traitant le problème suivant :

[Mll ]{ul&}+[Cll ]{u&l}+[Kll ]{ul}= [-Kld ]{u (
d t }
) avec {ul (0)}= 0 et {u&l (0)}= 0 .

Pour ce faire, on transporte le problème dans la base modale du système qui vérifie :

[M ]{u& } +[K ]{u
ll
l
ll
l } = 0 .

L'amortissement étant diagonal, on obtient le système diagonal :

[mg]{X&}+[cg]{X&}+[kg]{X}={g(t)} où {g(t)}={g}pour t 0 ,

avec {X (0)} = 0 et {X& (0)}= 0 .

Dans l'espace modal, on résout donc trois équations (3 ddls libres) différentielles du second ordre puis
on revient dans l'espace physique. On obtient alors le déplacement du point milieu :

3
u (t) = e-it (a
~
~
i
(
cos t
i ) + bi sin( t
B
i ) ,
i=1

~
avec i : ième pseudo-pulsation propre du système amorti.
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2.2
Résultats de référence

Déplacement, vitesse et accélération du point milieu B de la poutre.

Déplacement du point milieu B
1,00E-03
8,00E-04
6,00E-04
(m) 4,00E-04
u B
2,00E-04
0,00E+00
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
-2,00E-04
temps (s)



2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique du problème discrétisé en quatre éléments de longueur égale en considérant
vitesse et accélération uniformément nulles au point C où le déplacement est imposé.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation en élément de poutre 3D : POU_D_T


y
A .
.
.B
.
.C
x
N 1
N 2
N 3
N 4
N 5



Découpage :
AC = 4 mailles SEG2 de longueur égale

Conditions limites :
· Noeud N1(A) encastré
DDL_IMPO DX=DY=DZ=DRX=DRY=DRZ=0
· Noeud N5(C) en déplacement imposé suivant x
DDL_IMPO DY=DZ=DRX=DRY=DRZ=0 DX(t)= u

Résolution :
Algorithme d'intégration directe de Newmark
Pas de temps : t = 10­5 s
Durée d'observation : 0,03 s


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeud s : 5
Nombre de mailles et type : 4 mailles SEG2


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes

DYNA_LINE_TRAN NEWMARK
C.L. DE DIRICHLET PAR VECTASS

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

· Déplacement au point milieu B

Temps
Déplacement
Déplacement
Différence
(s)
Référence (m)
Aster (m)
(%)
0,0054
87,376 e­3
87,3763 e­3
28,6 e­3 %
0,0055
87,360 e­3
87,3598 e­3
­21,9 e­3 %
0,0108
26,818 e­3
26,8178 e­3
­57,0 e­3 %
0,0109
26,800 e­3
26,8000 e­3
­10,3 e­3 %
0,0163
64,386 e­3
64,3865 e­3
84,9 e­3 %
0,0164
64,366 e­3
64,3663 e­3
42,7 e­3 %
0,0217
41,083 e­3
41,0828 e­3
­49,6 e­3 %
0,0218
41,084 e­3
41,0844 e­3
94,0 e­3 %
0,0271
55,525 e­3
55,5247 e­3
­62,6 e­3 %
0,0272
55,530 e­3
55,5305 e­3
93,3 e­3 %


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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

idem que la modélisation A

5.2
Caractéristiques du maillage

idem que la modélisation A

5.3
Fonctionnalités testées

Commandes

DYNA_LINE_TRAN NEWMARK
C.L. DE DIRICHLET PAR CHARGE



6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

· Déplacement au point milieu B

Temps
Déplacement
Déplacement
Différence
(s)
Référence (m)
Aster (m)
(%)
0,0054
87,376 e­3
87,3763 e­3
28,7 e­3 %
0,0055
87,360 e­3
87,3598 e­3
­21,9 e­3 %
0,0108
26,818 e­3
26,8178 e­3
­56,9 e­3 %
0,0109
26,800 e­3
26,8000 e­3
­10,4 e­3 %
0,0163
64,386 e­3
64,3865 e­3
85,0 e­3 %
0,0164
64,366 e­3
64,3663 e­3
42,9 e­3 %
0,0217
41,083 e­3
41,0827 e­3
­49,6 e­3 %
0,0218
41,084 e­3
41,0844 e­3
94,0 e­3 %
0,0271
55,525 e­3
55,5247 e­3
­62,6 e­3 %
0,0272
55,530 e­3
55,5305 e­3
93,2 e­3 %


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7
Synthèse des résultats

Les résultats donnés par Code_Aster sont en parfait accord avec les résultats du modèle analytique,
que le déplacement en bout poutre soit imposé par un VECTEUR ASSEMBLE ou par une CHARGE.

Attention : les questions de Dirichlet dans DYNA_LINE_TRAN ne sont compatibles qu'avec la
méthode d'intégration de NEWMARK.
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