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Version
5.0
Titre :
SSNV150 - Tractiontriaxiale avec la loi BETON_DOUBLE_DP
Date :
22/01/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, B. CIREE Clé
:
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Organisme(s) : EDF/AMA, IPSN
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.150
SSNV150 - Traction triaxiale avec la loi
de comportement BETON_DOUBLE_DP
Résumé
Ce cas de validation est destiné à vérifier le modèle de comportement 3D BETON_DOUBLE_DP formulé dans le
cadre de la thermo-plasticité, pour la description du comportement non linéaire du béton, en traction, et en
compression, avec la prise en compte des variations irréversibles des caractéristiques thermiques et
mécaniques du béton, particulièrement sensibles à haute température.
La description de la fissuration est traitée dans le cadre de la plasticité, à l'aide d'une équivalence énergétique,
en identifiant la densité d'énergie de fissuration en mode I, avec le travail plastique d'un milieu homogène
équivalent, où la déformation plastique est uniformément répartie, dans une zone "élémentaire". Cette approche
préserve la continuité de la formulation du modèle, sur l'ensemble de son comportement, et contribue à éviter
les difficultés numériques possibles lors du changement d'état du matériau.
La sensibilité pathologique de la solution numérique à la discrétisation spatiale (maillage), engendrée par
l'introduction d'un comportement adoucissant du béton en traction et en compression, est partiellement résolue
en introduisant une énergie de fissuration ou de rupture, dépendant d'une longueur caractéristique lc, liée à la
taille des éléments.
La résolution des équations constitutives du modèle est effectuée par un schéma implicite.
Il s'agit d'un cube à 8 noeuds soumis à une traction triaxiale, en déplacement imposé. Ce chargement conduit
au cas particulier d'un état de contrainte hydrostatique, résolu par projection au sommet du cône de traction,
lorsque l'on se place dans un diagramme contrainte équivalente/contrainte hydrostatique. Il s'agit d'un cas test
avec solution analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Il s'agit d'un cube à 8 noeuds, dont trois faces ont un déplacement normal nul et les trois faces
opposées un déplacement normal imposé et identique.
Le cube fait 1 mm de côté. Dans la modélisation A, le cube est orienté suivant le repère Oxyz.
Modélisation A
U2
Face1xy
Face1xz
Face1yz
U1
U
Faceyz
3
Ux = 0
z
y
Uz = 0
N1
N2
x
Facexy
U
Facexz
2 = U1= U3
1.2
Propriétés de matériaux
Pour tester l'évolution irréversible des caractéristiques mécaniques avec la température, on applique
un champ de température décroissant. Certaines variables dépendent de la température, d'autres du
séchage. Enfin, on applique un coefficient de retrait de dessiccation non nul, égal au coefficient de
dilatation thermique, pour tester le fonctionnement "informatique". Les déformations thermiques seront
ainsi égales et opposées aux déformations de retrait de dessiccation. Ces dépendances
n'interviennent que pour des vérifications purement informatiques, les caractéristiques mécaniques
peuvent être considérées comme constantes.
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Pour les caractéristiques mécaniques linéaires usuelles :
Module d'Young :
E = 32 000 MPa
de
0°C à 20°C
E = 15 000 MPa
à
400°C (décroissance linéaire)
E = 5 000 MPa
à
800°C (décroissance linéaire)
Coefficient de Poisson :
n = 0.18
Coefficient de dilatation thermique :
a = 105 / °C
Coefficient de retrait de dessiccation : k = 105
Pour les caractéristiques mécaniques non linéaires du modèle BETON_DOUBLE_DP :
Résistance en compression uniaxiale f'c = 40 N/mm²
de
0°C à 400°C
:
f'c = 15 N/mm²
à
800°C (décroissance linéaire)
Résistance en traction uniaxiale :
f't = 4 N/mm²
de
0°C à 400°C
f't = 1.5 N/mm²
à
800°C (décroissance linéaire)
Rapport des résistances en compression
biaxiale/compression uniaxiale :
b = 1.16
Energie de rupture en compression :
Gc =10 Nmm/mm²
Energie de rupture en traction :
Gt =0.1 Nmm/mm²
Rapport de la limite d'élasticité à la résistance
en compression uniaxiale :
30%
1.3
Conditions aux limites et chargements mécaniques
Champ de température décroissant de 20°C à 0°C.
Face inférieure du cube (facexy) :
bloquée suivant oz.
Face supérieure du cube (face1xy) :
déplacement Uz = 0,15 mm
Face gauche du cube (faceyz) :
bloquée suivant ox.
Face droite du cube (face1yz) :
déplacement Ux = 0,15 mm
Face avant du cube (facexz) :
bloquée suivant oy.
Face arrière du cube (face1xz) :
déplacement Uy = 0,15 mm
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est calculée de façon analytique, sachant qu'en traction, seul le critère de
traction est activé, et que dans le cas d'un chargement hydrostatique, on se projette au sommet du
cône de traction. Il faut donc résoudre un système linéaire d'une équation à une inconnue, qui permet
d'obtenir la déformation plastique cumulée en traction. Celle-ci permet de calculer ensuite
déformations et contraintes.
2.2
Calcul de la solution de référence de référence
Pour plus de détail sur les notations et la mise en équation, on se reportera au document de référence
[R7.01.03]. Seules, les principales équations sont rappelées ici.
On note "a", le déplacement imposé suivant les directions x, y et z. Le tenseur de déformation est de la
forme (a, a, a, 0., 0., 0.) en prenant les notations usuelles du Code_Aster (trois composantes
principales, trois composantes de cisaillement).
Le tenseur de contrainte est de la forme (, , , 0., 0., 0.), dans la modélisation A.
Equations générales du modèle :
Les équations constitutives du modèle sont écrites en distinguant la partie isotrope de la partie
déviatorique des tenseurs de contraintes et de déformations.
1
1
1
1
=
()
= -
=
~
= - tr
H
tr
s
tr( ) I
( )
( )I
3
3
H
tr
3
3
= s + I
= ~ +
H
et
H I
3
La contrainte équivalente s'écrit alors : eq =
tr(s2)
2
Dans le cas d'une formulation incrémentale, et d'une loi de comportement variable, en notant avec un
exposant "e" les composantes élastiques de la contrainte et de la déformation, on obtient :
+
µ
K +
se =
s- +
+
2µ
~
e =
- +
+
-
3K
µ
et
H
-
H
H
K
Les critères en compression ( fcomp ) et en traction ( ftrac ) s'expriment de la manière suivante :
+ a.
2
a
f
oct
oct
=
- f
eq
=
+ -
c ( c )
f
comp
H
c ( c )
b
b
3
b
+ c.
2
c
f
oct
oct
=
- f
eq
=
+ -
t ( t )
f
trac
H
t ( t )
d
d
3
d
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tr(s2 )
avec oct =
3
tr( )
oct =
3
c : multiplicateur plastique en compression
T : multiplicateur plastique en traction
et a,b,c,d les coefficients du modèle
Les déformations plastiques en traction et en compression s'expriment :
s
a
~
p
c
p
c =
H =
2 eq
b
c
c
b
3
s
c
~
p
t
p
t =
H =
2 eq
d
t
t
d
3
On obtient pour la contrainte :
s = se -
+
2µ ( ~ p
~ p
e
+
p
p
c +
t )
=
- 3K (
c +
H
H
H
H t )
1
+
a
c
s
+
c
t
1 2µ
se
=
-
+
e
=
- 3K
+
H
H
c
t
b
2
2d eeq
b
3
d
3
pour la contrainte équivalente :
eq = eeq - 2µ +
c
t
+
b
2
2d
Les deux critères conduisent alors à un système de deux équations à deux inconnues c et t à
résoudre :
2
a
2 +
+ 2
µ
K a
2µ+ K +ac
e eq
e
+
-
+
-
+
- f - +
=
H
c
2
2
t
c ( c
c )
0
3b
b
3b
b
3bd
bd
2
c
2µ + K +ac
2 +
+ 2
µ
K c
e eq
e
+
-
+
-
+
- f - +
=
H
c
t
2
2
t ( t
t )
0
3d
d
3bd
bd
3d
d
De façon analogue, dans le cas du seul critère de traction activé, configuration du cas test, on
obtient un système d'une équation à une inconnue t à résoudre :
2
c
2 +
+ 2
µ
K c
e eq
e
+
-
+
- f -
+
=
H
t
2
2
t ( t
t )
0
3d
d
3d
d
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Résolution avec projection au sommet du cône de traction :
On cherche donc à résoudre ce système, en utilisant la forme particulière des tenseurs de contraintes
et de déformations, uniformes sur la structure.
En partant de = (a, a, a, 0., 0., 0.) et de = (, , , 0., 0., 0.). on obtient :
= 3 +
x
a( 2µ)
Le tenseur de contrainte élastique
= 3 +
y
a( 2µ)
= 3 +
z
a( 2µ)
s =
x
0
Le déviateur de contrainte élastique s =
y
0
s =
z
0
La contrainte hydrostatique élastique e H = (
3 + 2µ)(a) = a
3 K
La contrainte équivalente élastique eeq = 0
Dans le cas d'une courbe d'écrouissage post-pic linéaire en traction, l'expression du paramètre
d'écrouissage est la suivante :
p
2.G ()
f
f
p
t
,
= , = 1-
=
t (
t
) ( ) f ( )
t
() avec ( )
u
u
l . f ()
c
t
où désigne le maximum de température au cours de l'historique de chargement, f ( )
t
la
résistance en traction.
~
p
c
p
+
c
t = 0
e
H
=
t
t
=
- 3K
d
3
H
H
t
d
3
L'équation caractérisant la projection au sommet du cône de traction est la suivante :
c
K +c2
l . f
e
-
- f
c
t
1-
= 0
éq
2.2-1
d H
t
d 2
t
t
2.G
t
Gt étant l'énergie de rupture en traction (caractéristique du matériau).
Ce qui permet d'obtenir le multiplicateur plastique :
c e
c
- f
( aK
3
) -
H
t
ft
d
d
=
=
t
2
2
K +c2
l .
+ 2
.
c ( f t )
K c
lc ( ft )
-
-
d 2
2.G
2
t
d
2.Gt
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+
c
c
Puis la contrainte :
= e - 3K
K 3.a
H
H
t
t
d
3 =
-
d
Connaissant a, le déplacement imposé, on obtient toutes les inconnues du problème.
2.3
Incertitude sur la solution
La solution étant analytique, l'incertitude est négligeable, de l'ordre de la précision de la machine.
2.4 Références
bibliographiques
Le modèle a été défini à partir des thèses suivantes et est décrit dans le rapport de spécification :
[1]
G. Heinfling, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation numérique du comportement du
béton et des structures en béton armé sous sollicitations thermo-mécaniques à haute
température",
[2]
J. F. Georgin, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation du béton sous sollicitation de
dynamique rapide. La prise en compte de l'effet de vitesse par la viscoplasticité".
[3]
SCSA/128IQ1/RAP/00.034 Version 1.2, Développement d'un modèle de comportement 3D
béton avec double critère de plasticité dans le Code_Aster - Spécifications ".
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
3D (HEXA8)
1 élément, champ de contrainte et déformation uniforme.
U2
Face1xy
Face1xz
Face1yz
U1
U
Faceyz
3
Ux = 0
z
y
Uz = 0
N1
N2
x
Facexy
Facexz
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et type : 1 HEXA8
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes Options
AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'
DEFI_MATERIAU 'BETON_DOUBLE_DP'
DEFI_MATERIAU 'ELAS_FO'
'K_DESSIC'
AFFE_CHAR_MECA 'SECH_CALCULEE'
STAT_NON_LINE 'BETON_DOUBLE_DP'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Ont été testées les composantes xx et zz du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA, et la
déformation plastique cumulée en traction (deuxième variable interne, deuxième composante du
champ VARI_ELNO_ELGA). Le déplacement étant imposé, le champ EPSI_ELNO_DEPL n'est pas
testé.
Les trois instants correspondent à un déplacement de 0.005, 0.01 et 0.015 mm.
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIXX
Identification Référence
Aster %
différence
Pour un déplacement imposé
1.9182065 1.9182066 7.106
en charge U1= U2= U3= 0.005
Pour un déplacement imposé
1.161
1.1616769 3.106
en charge U1= U2= U3= 0.010
6770
Pour un déplacement imposé
0.4051470 0.4051473 7.105
en charge U1= U2= U3= 0.015
Champ SIEF_ELNO_ELGA composante SIZZ
Identification Référence
Aster %
différence
Pour un déplacement imposé
1.9182065 1.9182066 7.106
en charge U1= U2= U3= 0.005
Pour un déplacement imposé
1.1616770 1.1616769 3.106
en charge U1= U2= U3= 0.010
Pour un déplacement imposé
0.4051470 0.4051473 7.105
en charge U1= U2= U3= 0.015
Champ VARI_ELNO_ELGA composante V2 (déformation plastique cumulée en traction)
Identification Référence
Aster %
différence
Pour un déplacement imposé
0.0099232717 0.0099232717 4.107
en charge U1= U2= U3= 0.005
Pour un déplacement imposé
0.0199535329 0.0199535329 1.107
en charge U1= U2= U3= 0.010
Pour un déplacement imposé
0.0299837941 0.0299837941 3.108
en charge U1= U2= U3= 0.015
4.2 Paramètres
d'exécution
Version: 5.04.22
Machine: Claster
Encombrement mémoire : 32 Mo
Temps CPU User : 17.66 secondes
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5
Synthèse des résultats
Ce cas test offre des résultats très satisfaisants par rapport à la solution analytique, inférieurs à
7.10-5 % avec un nombre d'itérations faible (1 ou 2 itérations). La solution est obtenue à partir d'une
équation linéaire dans le cas d'une courbe d'écrouissage linéaire en traction, mais la résolution utilise
un algorithme de Newton dans un cadre plus général.
On peut noter l'écrouissage du critère de traction qui a lieu au cours du chargement, entraînant une
diminution de la contrainte (composante xx, yy et zz) par ailleurs égale à la contrainte hydrostatique.
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