Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

HSNV129 - Essai de compression-dilatation


Date :
14/10/02
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V7.22.129-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non-linéaire des structures volumiques
Document : V7.22.129-A





HSNV129 - Essai de compression-dilatation pour
étude du couplage thermique-fissuration





Résumé :

On applique à un élément de volume obéissant à la loi de Mazars (version locale et non-locale) un chargement
thermo-mécanique de façon à vérifier la bonne prise en compte de la dépendance des paramètres matériaux
avec la température ainsi que la prise en compte de la dilatation thermique. Le chargement est homogène et se
décompose aussi : compression à déplacement imposé et température constante, puis application d'un cycle
de chauffage-refroidissement.
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1
Problème de référence

1.1
Géométrie et conditions aux limites

Elément de volume matérialisé par un cube de côté unitaire (m) :

z
F
G
E
y
B
C
A
D
x

Figure 1.1-a : Géométrie

Le chargement est tel qu'on obtient un état de contrainte et de déformation uniforme dans le volume.
Les blocages sont les suivants :
face ABCD : DZ = 0.
face BCGF : DX = 0.
face ABFE : DY = 0.
face EFGH : déplacement Uz(t)
La température T(t) est supposée uniforme sur le cube ; la température de référence vaut 0°C.
Uz et T varient en fonction du temps de la façon suivante :

instant t
0 100 200 300
Uz(t)
0 m.
­10­3 m.
­10­3 m.
­10­3 m.
T(t)
0°C 0°C
200
°C
0°C

On réalise donc un chargement purement mécanique, puis on chauffe en bloquant la direction Uz,
avant de refroidir. Ceci permet de vérifier la séparation des déformations thermiques et mécaniques
ainsi que la non-recouvrance des propriétés mécaniques après chauffage.

1.2
Propriétés du matériau

Pour le modèle de Mazars, les paramètres suivants ont été utilisés (valeur à 0°C) :

Comportement élastique :
5
-
1
E = 32 000 MPa , = 0. ,
2 = 1.2 10
-
°C
Caractéristiques thermiques :
1
-
1
-
6
3
-
1
= 2
.
2 W m K
, C p = 2
.
2 10
-
J m
K
Comportement endommageant :
d = 0
.
1 10 4
- ; c
A = 15
.
1
; t
A = 0 8
. ; c
B =
.
2000 ; t
B = 10 000 ;
06
.
1
0
=


On considère par ailleurs que E et Bc varient avec la température. Leur évolution est donnée sur les
figures [Figure 1.2-a] et [Figure 1.2-b].
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35000
30000
25000
a) 20000
(MP
E
15000
10000
5000
0
0
50
100
150
200
T (°C)

Figure 1.2-a : Evolution du module d'Young avec la température


2500
2000
1500
Bc
1000
500
0
0
50
100
150
200
T (°C)

Figure 1.2-b : Evolution de BC avec la température

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2
Solution de référence

On peut déterminer analytiquement la solution du problème posé.
On note :
· 0 la déformation appliquée dans la direction z,
· 1, 2 et 3 les déformations principales

2.1
Première étape du chargement : compression simple

- 0
0
0


· Le tenseur des déformations vaut : 0
- 0 0 avec 0 < 0


0
0
0
· La déformation équivalente vaut par conséquent
:
~
2
2
2
=
e

+ e

+ e

= -

2
1
2
3
0

+
+
+
· Dès lors que ~
> d0, il y a évolution de l'endommagement qui vaut :
d0(1- c
A )
A
D = 1
c
-
~
-


[ ~
exp B ( - )
c
d 0 ]
· Enfin la contrainte zz vaut : zz = E 1(-D)0

2.2 Deuxième étape du chargement
: dilatation thermique en
déformations planes

· Le tenseur des déformations totales vaut :

- 0 + (T - T
1
)(
ref
+ )
0
0



0
- 0 + (T -T
1
)(
ref
+ ) 0 avec 0 < 0 fixe



0
0
0

· La déformation élastique valant e
= - T
( - ref
T
)Id , la déformation équivalente vaut :
~
= 2((T -
)
ref
T
- 0 )

· L'endommagement vaut :

-
d0(1- c
A )
A

D = MAX D 1,-
-
c


~

[ ~
exp B (
c -
)
d 0 ]
· Enfin la contrainte zz vaut :

zz = E(1- D)[ - (T -T )
0
ref ]
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Remarque :

· A un état donné, les paramètres matériaux utilisés sont ceux définis à la température
maximale vue par le matériau et pas à la température courante.
· L'évaluation de l'endommagement D fait intervenir la notion de maximum atteint au cours
de l'histoire du chargement ; la solution n'est donc pas complètement analytique mais
implique une discrétisation. Dans le cas où il n'y a pas d'influence de la thermique, il
suffit de prendre
~ équivalent à la déformation équivalente maximale atteinte. Lorsqu'on
prend en compte l'aspect thermique, le chauffage peut contribuer à « diminuer » ou
« retarder » l'endommagement à déformation donnée ; c'est le cas avec l'évolution de Bc
retenue. Dans ce cas, il faut en fait discrétiser assez finement le chargement pour avoir
la bonne valeur d'endommagement D (qui présente en effet un maximum dans notre
cas).

3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 3D
Elément MECA_HEXA8

3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 HEXA8

3.3 Fonctionnalités
testées

La loi de comportement MAZARS_FO combinée avec ELAS_FO.


4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

On compare l'endommagement D et la contrainte zz à différents instants

Identification Référence
Aster
% différence
t = 50
D
0
0
-

­16.0
­16.0
2.33 10­14
zz (MPa)
t = 100
D
0.1702
0.1702
0.007

­26.5532
­26.5532
6.46 10­5
zz (MPa)
t = 150
D
0.4247
0.4247
­0.005

­30.3768
­30.3769
2.91 10­4
zz (MPa)
t = 200
D
0.4626
0.4625
­0.014

­29.2327
­29.2382
0.019
zz (MPa)
t = 250
D
0.4626
0.4625
­0.014

­18.9153
­18.9188
0.019
zz (MPa)
t = 300
D
0.4626
0.4625
­0.014

­8.5979
­8.5994
0.018
zz (MPa)

4.2 Remarque

En réalité, l'endommagement maximum, c'est-à-dire 0.4626 est atteint au temps t 180 s. Ensuite, il
n'évolue plus à cause de la diminution de Bc quand la température augmente.
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

L'utilisation de la version délocalisée du modèle de Mazars passe par l'utilisation de la modélisation
3D_GRAD_EPSI et implique l'utilisation d'éléments quadratiques.
Le test est réalisé avec une longueur caractéristique nulle.

Modélisation 3D_GRAD_EPSI
Elément MGCA_HEXA20

5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20

5.3 Fonctionnalités
testées

La loi de comportement MAZARS_FO combinée avec ELAS_FO dans le cadre de la modélisation
non-locale 3D_GRAD_EPSI.



6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

On compare l'endommagement D et la contrainte zz à différents instants

Identification Référence
Aster %
différence
t = 50
D
0
0
-

­16.0
­16.0
2.33 10­14
zz (MPa)
t = 100
D
0.1702
0.1702
0.007

­26.5532
­26.5532
6.46 10­5
zz (MPa)
t = 150
D
0.4247
0.4247
­0.005

­30.3768
­30.3770
8.06 10­4
zz (MPa)
t = 200
D
0.4626
0.4625
­0.014

­29.2327
­29.2382
0.019
zz (MPa)
t = 250
D
0.4626
0.4625
­0.014

­18.9153
­18.9188
0.019
zz (MPa)
t = 300
D
0.4626
0.4625
­0.014

­8.5979
­8.5994
0.018
zz (MPa)


6.2 Remarque

En réalité, l'endommagement maximum, c'est-à-dire 0.4626 est atteint au temps t 180 s. Ensuite, il
n'évolue plus à cause de la diminution de Bc quand la température augmente.
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7
Synthèse des résultats

On obtient la solution analytique avec une précision inférieure à 0.02 % ce qui permet d'être assuré de
la bonne implantation du modèle de Mazars y compris lorsqu'intervient la température. Rappelons les
choix qui ont été faits pour le couplage fissuration-thermique et qui sont vérifiés ici :

· dilatation thermique linéaire,
· évolution de l'endommagement uniquement sous l'effet de la déformation élastique et pas
thermique,
· dépendance des paramètres matériaux avec la température maximale, c'est-à-dire la non-
réversibilité des modifications des propriétés mécaniques lorsque le béton est chauffé puis
refroidi.
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