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Version
6.4
Titre :
SDLD320 - Réponse transitoire d'un système libre de 3 masses et 2 ressorts
Date :
01/03/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IRCN
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.320
SDLD320 - Réponse transitoire d'un système libre
de 3 masses et 2 ressorts sous excitation
harmonique
Résumé :
On considère l'analyse transitoire d'un système discret masse/ressort linéaire à trois degrés de liberté
totalement libre. Ce système possède un amortissement non-proportionnel. Une excitation sinusoïdale est
appliquée à une extrémité du système.
Dans ce problème, on teste, au travers d'un modèle discret, le calcul de la réponse transitoire d'un système
dont les modes rigides ne sont pas fixés. On ne s'intéresse qu'au régime transitoire. Pour cela, on recherchera
la solution par une intégration sur la base modale complète (DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21]).
Les résultats obtenus (déplacement, vitesse et accélération) sont comparés à une moyenne de résultats
provenant de codes industriels et d'une méthode d'intégration numérique de type -Newmark améliorée.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
k1
k2
m1
m
m
2
3
F0 sin (t)
P1
P
P
2
3
C1
C2
1.2
Propriétés des matériaux
Raideurs de liaison : k1 = 4. 109 N.m1 , k2 = 5.33 108 N.m1
Masses ponctuelles : m1 = 106 kg, m2 = m3 = 12.106 kg
Amortissement visqueux unidirectionnel : C1 = 1.2566 106 kg.s1, C2 = 9.0478 106 kg.s1
1.3
Conditions aux limites et chargements
Système complètement libre.
Chargement au point P3 suivant l'axe x : F(t) 0=F0 sin (t) pour t 0 avec F0= 5.104 N et =19 rad.s
1.
1.4 Conditions
initiales
du
Le système est au repos à t=0 : (
u 0) = 0 et
( )
0 = 0 .
dt
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel, et où les
modes rigides ne sont pas fixés, peut être menée par intégration numérique dans l'espace réel :
[M]{u& } +[C]{u& } +[K]{u } = {F
n
n
n
} .
Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :
·
PERMAS : Schéma d'intégration de Newmark (=0,25, =0,5), t=104s,
Schéma d'intégration avec interpolation cubique d'Hermite [bib1], t=104s,
·
ABAQUS : Schéma d'intégration de Hilber-Hughes-Taylor [bib2] (=-0,05), t=104s,
et la méthode d'intégration de -Newmark améliorée [bib3] :
[ M ] [C] [K ]
+
+
+
+
+
+
{
F
F
F
2 M
K
u
n 2
n 1
n
n + 2}
{
} {
} { }
[ ] [ ]
=
+
-
{un+ }
t2
2t
3
3
t2
1
3
[ M ] [C] [K ]
+ -
+
-
{un}
t2
2t
3
où n, n+1, n+2 désignent respectivement les calculs effectués aux temps tn, tn+1=tn+t et tn+2=tn+2t où
t est l'incrément de temps retenu.
Pour démarrer, on prend :
·
u0 et u 1 = u
-
0 - t
u&0
·
F
2F
F
- =
-
1
0
1
Le pas de temps adopté est t=10-5s.
2.2
Résultats de référence
Déplacement, vitesse et accélération du point P3.
Différentiel de déplacement entre les points P3 et P1.
Déplacement relatif du point P3 par rapport au point P1
1,00E-05
5,00E-06
(m) 1 0,00E+00
-u
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
u 3
-5,00E-06
-1,00E-05
temps (s)
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2.3
Incertitude sur la solution
Moyenne de solutions numériques.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
J.H. ARGYRIS, P.C. DUNNE and T. ANGELOPOULOS « Non-linear oscillations using the
finite element technique » Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., Vol.2, 1972, pp. 203-254
[2]
H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES and R.L. TAYLOR « Improved numerical dissipation for time
integration algorithms in structural dynamics » Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292
[3]
N.M. NEWMARK « A method of computation for structural dynamics » Proceeding ASCE
J.Eng.Mech. Div E-3, July 1959, pp. 67-94
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
P
P2
P
1
3
.
.
.
x
N1
N2
N3
z
Caractéristiques des éléments :
DISCRET :
masses nodales
M_TR_D_N
rigidités
linéaires K_TR_D_L
amortissements
linéaires
A_TR_D_L
Pas de conditions aux limites, en tous les noeuds : DX, DY, DZ, DRX, DRY, DRZ libres.
Noms des noeuds : P1 = N1 , P2 = N2, P3 = N3.
Méthode de calcul :
Intégration sur la base modale complète avec Newmark (=0,25, =0,5),
Pas de temps : t=10-4s puis recombinaison modale.
Durée d'observation : 5s.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et type : 2 mailles SEG2
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE
'K_TR_D_L'
MAILLE
'A_TR_D_L'
NOEUD
'M_TR_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
(Option : 'CENTRE')
DYNA_TRAN_MODAL NEWMARK
REST_BASE_PHYS NOM_CHAM:'DEPL'
CALC_FONCTION COMB
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
·
Déplacement du point P3
Temps Déplacement
Déplacement
Différence
(s)
Référence (m)
Aster (m)
(%)
0,09
6,7395 E-6
6,73326 E-6
-0,093
0,32
1,1019 E-5
1,10002 E-6
-0,171
1,18
3,6683 E-5
3,66122 E-5
-0,193
4,92
1,6615 E-4
1,65849 E-4
-0,181
·
Vitesse du point P3
Temps Vitesse Vitesse
Différence
(s)
Référence
(m.s 1)
Aster (m.s 1)
(%)
0,05
1,3425 E-4
1,34131 E-4
-0,088
0,32
-6,4111 E-5
-6,41097 E-4
-0,002
1,18
1,6104 E-5
1,60598 E-5
-0,274
3,55
4,4262 E-5
4,41720 E-5
-0,203
·
Accélération du point P3
Temps Accélération
Accélération Différence
(s)
Référence
(m.s 2)
Aster (m.s 2)
(%)
0,09
-3,5694 E-3
-3,56634 E-3
-0,086
0,18
-4,3924 E-3
-4,38933 E-3
-0,070
0,55
4,3766 E-3
4,37283 E-3
-0,086
1,18
4,2459 E-3
4,24264 E-3
-0,077
4,92
-4,2233 E-3
-4,21962 E-3
-0,087
·
Déplacement relatif du point P3 par rapport au point P1
Temps u3-u1
u3-u1 Différence
(s)
Référence (m)
Aster (m)
(%)
0,18
8,0987 E-6
8,04800 E-6
-0,626
0,55
-6,2246 E-6
-6,21194 E-6
-0,203
0,82
5,3064 E-6
5,34121 E-6
0,656
1,18
-4,5552 E-6
-4,52071 E-6
-0,757
1,92
-3,0416 E-6
-3,04417 E-6
0,085
3,55
1,8448 E-6
1,82742 E-6
-0,942
4,92
1,4832 E-6
1,47526 E-6
-0,535
4.2 Remarques
En plus de la comparaison pour les valeurs testées, on vérifie que les variables cinématiques autres
que celles liées à la translation suivant x restent nulles.
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5
Synthèse des résultats
·
Pour obtenir une bonne précision des résultats, il est d'abord nécessaire d'obtenir une base
modale précise et parfaitement orthogonale (MODE_ITER_SIMULT) :
en évitant les modes multiples (rigidité différente sur les ddl non excités),
en calculant correctement les modes de corps rigides (préférer l'option 'Centre' dans
MODE_ITER_SIMULT aux autres options),
en spécifiant la méthode 'JACOBI' pour une extraction complète modale.
·
La précision des résultats est bonne aussi bien pour les déplacements que pour les vitesses et
les accélérations.
Pour la réponse élastique du système (déplacements relatifs u3-u1), la précision numérique est un
peu moins bonne du fait du cumul numérique des erreurs sur les valeurs absolues.
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