Code_Aster ®
Version
8.2

Titre :

SDLS114 ­ Calcul des facteurs d'intensité de contraintes modaux
Date :
07/11/05
Auteur(s) :
E. GALENNE, S. DI DOMIZIO Clé
:
V2.03.114-A Page :
1/10

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
Document : V2.03.114





SDLS114 ­ Calcul des facteurs d'intensité de
contrainte d'une plaque fissurée par recombinaison
modale





Résumé

Ce test vise à valider le calcul des facteurs d'intensité d'une plaque fissurée par recombinaison modale. Les
facteurs d'intensité modaux, i.e. associés à chaque mode propre de vibration de la structure, sont calculés avec
les opérateurs CALC_G_THETA_T (option K_G_MODA) en 2D et CALC_G_LOCAL_T (option K_G_MODA) en 3D.

Ce test contient une modélisation 2D et une modélisation 3D. La solution de référence est issue d'une
résolution temporelle directe du problème transitoire.

Les deux modélisations illustrent la possibilité de recombiner les facteurs d'intensité modaux directement dans
le fichier de commande par des instructions python.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

On considère une plaque de hauteur h = 0,1 m, de largueur l = 0,05 m et d'épaisseur e = 0.005 m. Une
fissure est positionnée au milieu de la hauteur de la poutre, avec une profondeur de 0,1 l.



F
y
x
z


1.2
Propriétés de matériaux

On considère les propriétés classiques d'un acier :

Module d'Young :
E = 2.10+5 MPa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
Masse volumique
= 7800 kg/m3


1.3
Conditions aux limites et chargements

La plaque est :

· encastrée sur la surface S1 ;
· soumise à une force F(t) sur la surface S2.

L'évolution de la norme de F(t) est tracée sur la figure ci-dessus. On prend = 0,001 s. La direction de
la force F(t) est la suivante :

· F(t) = f(t).ex pour la modélisation A ;
· F(t) = (aex + bey +cez)f(t) pour la modélisation B, avec b = 2a et c = 0.4 a.

Pour la modélisation A, on bloque les déplacements dans la direction z (problème plan).
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est celle obtenue par une résolution temporelle directe du problème
transitoire. L'opérateur DYNA_TRAN_EXPLI est utilisé pour identifier le champs de déplacement, avec
un schéma d'intégration en temps de Newmark.
L'évolution des facteurs d'intensité de contraintes en fonction du temps est ensuite calculée par
interpolation des sauts de déplacements (opérateur POST_K1_K2_K3).

2.2
Résultat de référence ­ Modélisation A

Pour la modélisation A, la plaque est sollicitée par une force dans le plan (O,x,y) et les déplacements
dans la direction z sont bloqués. Le résultat de référence, calculé par résolution temporelle directe sur
un maillage 2D, est tracé sur la figure suivante. Le déplacement horizontal du haut de la plaque et le
facteur d'intensité des contraintes oscillent avec une fréquence correspondant au premier mode propre
de la structure.



2.3
Résultat de référence ­ Modélisation B

L'évolution des trois facteurs d'intensité des contraintes est tracée sur la figure suivante pour le noeud
situé au milieu du fond de fissure. Les oscillations des facteurs d'intensité des contraintes montrent la
contribution prépondérante du premier mode de flexion de la plaque dans la direction x et du premier
mode de flexion dans la direction z.
1,6E+06
KI
1,4E+06
KII
1,2E+06
KIII
1,0E+06
8,0E+05
6,0E+05
4,0E+05
2,0E+05
0,0E+00
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
Temps (s)

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2.4
Incertitude sur la solution

La résolution directe explicite du problème transitoire peut être considérée comme exacte. L'incertitude
sur l'identification des facteurs d'intensité des contraintes par interpolation des sauts de déplacements
est de l'ordre de 5 %.


2.5 Références
bibliographiques

[1]
E. GALENNE, S. DI DOMIZIO : Méthode thêta en mécanique de la rupture : développement
de la forme bilinéaire g en 3D et application au cas de la dynamique basse fréquence,
Note EDF HT-65/05/024/A, 2005
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Il s'agit d'une modélisation 2D ­ déformations planes. Le calcul de l'évolution des facteurs d'intensité
des contraintes en fonction du temps est réalisé en plusieurs étapes :

· calcul des 15 premiers modes propres de la structure ;
· calcul des facteurs d'intensité des contraintes modaux associés à ces modes par deux
méthodes ;
· résolution du problème dynamique transitoire par projection sur base modale ;
· recombinaison des K modaux.


3.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage est composé d'éléments quadratiques. Il comporte 2000 noeuds et 700 mailles et est
raffiné autour du fond de fissure.





3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes
MODE_ITER_SIMULT
POST_K1_K2_K3
CALC_G_THETA_T
Option K_G_MODA
DYNA_TRAN_MODA

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Valeurs modales : cas test de non-régression

Numéro du
KI (POST_K1_K2_K3)
KI (K_G_MODA)
% différence
mode
1 -1,921.E+10 -1,898.E+10 1,2
2 -1,166.E+11 -1,152.E+11 1,3
3 8,039.E+10
7,948.E+10 1,1
4 -1,188.E+11 -1,174.E+11 1,2
5 1,723.E+11
1,705.E+11 1,1


Valeurs temporelles K1(t) : comparaison à la résolution explicite

Instant Référence Aster
% différence
0,0005 24055,6
24337,0
1,2
0,001 44676,8
45159,3
1,1
0,002 90592,3
91679,4
1,2
0,003 134065,3
135633,9
1,2
0,004 181113,3
183286,7
1,2


4.2 Remarque

La différence entre les valeurs modales calculées par interpolation des sauts de déplacement ou par la
méthode thêta est faible et cohérente avec celle observée sur les problèmes statiques.

La valeur de K I (t) est calculée à partir des K I modaux (méthode K_G_MODA) et des coefficients de
la résolution sur base modale directement dans le cas test par des lignes de commande en python :

M
K (t) = (t). i
K
I
i
I
i 1
=

où les coefficients (t
i ) sont les coefficients de participation modale, extraits du résultat de
l'opérateur DYNA_TRAN_MODA, et les i
K sont les facteurs d'intensité des contraintes modaux.
I

La précision obtenue est satisfaisante compte tenu du nombre d'éléments retenus dans la base
modale. La précision augmente rapidement avec le nombre de modes [bib1].

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Il s'agit d'une modélisation 3D. Le calcul de l'évolution des facteurs d'intensité des contraintes en
fonction du temps est réalisé en plusieurs étapes :

· calcul des 50 premiers modes propres de la structure ;
· calcul des facteurs d'intensité des contraintes modaux associés à ces modes par deux
méthodes ;
· résolution du problème dynamique transitoire par projection sur base modale ;
· recombinaison des K modaux.


5.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage est composé d'éléments linéaires. Il comporte 8200 noeuds et 8900 mailles et est raffiné
autour du fond de fissure.




5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes
MODE_ITER_SIMULT
DEFI_FOND_FISS
POST_K1_K2_K3
DEFI_FISS_XFEM
CALC_G_LOCAL_T
Option K_G_MODA
DYNA_TRAN_MODA
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Les valeurs indiquées sont celles trouvées au noeud qui est au milieu du fond de fissure.

Valeurs modales : cas test de non-régression

Numéro du
KI (POST_K1_K2_K3)
KI (K_G_MODA)
% différence
mode
1 5,631E+09
4,790E+09
14,9
2 8,599E+09
7,291E+09
15,2
3 6,940E+10
5,897E+10
15,0
4 -2,702E+11
-2,897E+11
-7,2
5 -9,637E+10
-8,165E+10
15,3


Valeurs temporelles KI(t) : comparaison à la résolution explicite

Instant (s)
Référence (Pa.m)
Aster (Pa.m)
% différence
0.0005 696752,4
721825,9
3,6
0.001 1153703,3
1239061,8 7,4
0.002 997675,6
1110569,6
11,3
0.003 1305429,9
1364524,8
4,5
0.004 870347,2
1004735,2
15,4


6.2 Remarque

La différence entre les valeurs modales calculées par interpolation des sauts de déplacement ou par la
méthode thêta est élevée : cela s'explique par le maillage linéaire très peu raffiné dans l'épaisseur de
la plaque.

La valeur de K I (t) est calculée à partir des K I modaux (méthode K_G_MODA) et des coefficients de
la résolution sur base modale directement dans le cas test par lignes de commande en python :

M
K (s,t) = (t). i
K (s)
I
i
I
i 1
=

où les coefficients (t
i ) sont les coefficients de participation modale, extraits du résultat de
l'opérateur DYNA_TRAN_MODA, et les i
K (s) sont les facteurs d'intensité des contraintes modaux.
I

La précision obtenue est satisfaisante compte tenu du nombre d'éléments retenus dans la base
modale (50) et la taille du maillage. La précision augmente rapidement avec le nombre de modes
[bib1].

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7
Synthèse des résultats

Ce test permet de valider le calcul des facteurs d'intensité modaux par les opérateurs
CALC_G_LOCAL_T et CALC_G_THETA_T (option K_G_MODA) et illustre leur utilisation pour la résolution
d'un problème de mécanique de la rupture en dynamique basse fréquence par recombinaison modale.
Le rapport entre les temps de calcul de la résolution explicite et de la résolution sur base modale sont
compris entre 10 et 50 selon le type de maillage, et la précision de la méthode de recombinaison
modale est pleinement satisfaisante.

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