Code_Aster ®
Version
4.0

Titre :

SDLV100 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
31/01/00
Auteur(s) :
D. GIRARDOT Clé
:
V2.04.100-A Page :
1/8

Organisme(s) : EDF/EP/AMV















Manuel de Validation
Fascicule V2.04 : Dynamique linéaire des structures volumiques
Document : V2.04.100





SDLV100 - Vibration d'une poutre élancée
de section rectangulaire variable (encastrée-libre)




Résumé :

La structure étudiée est une poutre en acier encastrée libre à section variable rectangulaire modélisée par des
éléments volumiques. On s'intéresse à ses fréquences propres en flexion. Le même problème est traité en
modélisation poutre dans le cas test SDLL09.

Ce problème permet de tester les éléments volumiques MECA_HEXA20 et MECA_PENTA15 en analyse modale.
Il permet également de tester l'option MASS_MECA_DIAG de calcul des matrices de masse diagonalisées pour
les modélisations volumiques.

La solution de référence est une solution numérique obtenue à l'aide du code de calcul par éléments finis
SAMCEF pour des modélisations similaires. Les résultats obtenus sont également en bon accord avec les
résultats semi-analytiques donnés dans le guide VPCS.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

y,v
L
y
y
bo
b1
B
h
h
o
h1
h
A
1
z
o
x,u
z
z,w
b1
bo
Sections rectangulaires


Longueur de la poutre :

L = 1 m

Section rectangulaire :


Section droite initiale
Section droite finale
hauteur :
ho = 0.04 m
h1 = 0.01 m
largeur :
bo = 0.04 m
b1 = 0.01 m
aire :
Ao = 1.6 10­3 m2
A1 = 1.10­4 m2
inertie :
lzo = 2.1333 10­7 m4 Iz1 = 8.3333 10­10 m4

Coordonnées des points (en mètres)


A B
x
0. 1.
y
0. 0.
z
0. 0.


1.2
Propriétés de l'acier

E = 2.1011 Pa

= 7 800 kg/m3


1.3
Conditions aux limites et chargements

Point A : encastré u = v = z = 0

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est obtenue à l'aide du logiciel de calcul par éléments finis SAMCEF pour des
modélisations identiques mais avec des matrices élémentaires de masse cohérentes.

On rappelle la solution analytique donnée dans la fiche SDLL09/89 du guide VPCS. L'équation
différentielle en flexion de la poutre considérée, en théorie d'Euler-Bernoulli s'écrit (Théorie
d'Euler-Bernoulli) :


2
2
v
E I

z

2
x
2 v
= - A

2
x
2
t

Iz et A varient avec l'abscisse.

Les fréquences propres sont alors de la forme :

1
h
E
f
1
i
=
i
(,)

2
L2

12

h
b
avec
=
0
= 4
et
=
0
= 4.
h
b
1
1

Pour cette valeur de et , les premières valeurs de la suite (i ) sont :


1
2
3
4
5
= 4
23.289 73.9 165.23 299.7 478.1


2.2
Résultats de référence

Les résultats de référence retenus sont les 5 premières fréquences propres des modes de flexion.


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique en théorie de poutre de Bernoulli, et solution numérique SAMCEF.

2.4 Références
bibliographiques

[1]
H.H. MABIE, C.B. ROGERS, Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams -
Journal of the Acoustical Society of America, n° 51, p. 1771-1774 (1972).

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments de volume MECA_HEXA20




Discrétisation :
poutre AB : 30 mailles HEXA20
(1 maille dans la section)

Conditions aux limites :


·
en tous les noeuds
DDL_IMPO: ( TOUT:'OUI' DZ: 0.)
·
à l'extrémité A (groupe de noeuds G_1) ( GROUP_NO : G_1 DX: 0., DY: 0)


3.2
Caractéristiques du maillage

Maillage :
Nombre de noeuds : 368
Nombre de mailles et type : 30 HEXA20


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


Clés
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO


[U4.25.01]
AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
`3D'

[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU ELAS


[U4.23.01]
CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA_DIAG'

[U4.41.01]
MODE_ITER_INV


[U4.52.01]


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Solution
poutre
Référence
Aster %
différence
analytique
SAMCEF
Aster-SAMCEF

fréquence
en HZ
en HZ





matrice cohérente





flexion 1
54.18
56.84
56.85
0.0176%
flexion 2
171.94
180.0
180.08
0.0444%
flexion 3
384.40
401.0
401.23
0.0574%
flexion 4
697.24
723.2
724.02
0.1134%
flexion 5
1112.28
1145.41
1147.51
0.1833%










matrice diagonale





flexion 1
54.18
56.84
56.78
­0.1033%
flexion 2
171.94
180.00
179.57
­0.2419%
flexion 3
384.40
401.00
399.24
­0.4408%
flexion 4
697.24
723.20
718.69
­0.6273%
flexion 5
1112.28
1145.41
1136.01
­0.8273%


4.2 Paramètres
d'exécution

Version : NEW4.03.06



Machine : CRAY C90



Encombrement mémoire : 8 MW,
temps CPU User : 32.08 secondes.

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Eléments de volume MECA_PENTA15




Discrétisation :
poutre AB : 60 mailles PENTA15
(2 mailles dans la section)

Conditions aux limites :


·
en tous les noeuds
DDL_IMPO: ( TOUT:'OUI' DZ: 0.)
·
à l'extrémité A (groupe de noeuds G_1) ( GROUP_NO : G_1 DX: 0., DY: 0)


5.2
Caractéristiques du maillage

Maillage :
Nombre de noeuds : 368
Nombre de mailles et type : 60 PENTA15


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


Clés
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO


[U4.25.01]
AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
`3D'

[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU ELAS


[U4.23.01]
CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA_DIAG'

[U4.41.01]
MODE_ITER_INV


[U4.52.01]


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Solution
poutre
Référence
Aster %
différence
semi-analytique
SAMCEF
ASTER-SAMCEF

fréquence
en HZ
en HZ






matrice consistante





flexion 1
54.18
56.84
56.82
­0.038%
flexion 2
171.94
180.00
179.96
­0.022%
flexion 3
384.40
401.00
400.93
­0.018%
flexion 4
697.24
723.20
723.41
0.029%
flexion 5
1112.28
1145.41
1146.41
0.088%










matrice diagonale





flexion 1
54.18
56.84
56.76
­0.149%
flexion 2
171.94
180.00
179.51
­0.272%
flexion 3
384.40
401.00
399.25
­0.437%
flexion 4
697.24
723.20
719.
­0.583%
flexion 5
1112.28
1145.41
1140.
­0.740%



6.2 Paramètres
d'exécution

Version : NEW4.03.06
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire : 8 MW,
temps CPU User : 47.09 secondes.

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7
Synthèse des résultats

Les écarts entre les résultats des calculs Aster et SAMCEF avec masses cohérentes sont inférieurs à
0.2%.

Les écarts entre les résultats de calculs Aster avec masses diagonales et SAMCEF avec masses
cohérentes restent inférieurs à 1%.

Ces résultats sont conformes à ce que l'on pouvait attendre, et valident d'une manière fiable les
calculs de fréquences propres dans Aster par MODE_ITER_INV et l'opérateur CALC_MATR_ELEM en
masses cohérentes comme en masses diagonales.

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