Code_Aster ®
Version
3
Titre :
HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau homogène
Date :
21/05/96
Auteur(s) :
I. EYMARD, F. VOLDOIRE
Clé :
V7.03.101-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
Document V7.03.101

HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau
homogène

Résumé :
Ce test éprouve, dans une situation triviale où le matériau est homogène, la résolution des problèmes thermique
et mécanique stationnaires, avec des chargements correspondants à un gradient de température et à une
déformation imposée, voisins de ceux correspondant aux problèmes élémentaires de la méthode
d'homogénéisation périodique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
N4
N5
N6
N3
x y z

N7
N4
0 0 16.410
N2
y
N8
N8 1. 1. 16.410
N3 0.5 0 16.410
0
N1
C
16.410
1
x
A
B
1
1.2
Propriétés de matériaux
E = 1.0 MPa
= 0.3
k = 1.0 W/(m.°C)
Cp = 0 J/(°C.m3)
1.3
Conditions aux limites et chargements
· Mécanique 3D :
Plan z = 0 :
dz = 0
pour le chargement membranaire ;
dx = 0, dy = 0
pour le chargement de flexion
Plans y = 0, y = 1 :
dy = 0
Plans x = 0, x = 1 :
dx = 0
Noeud : O
dz = 0
(pour le seul chargement de flexion)
­ 1 0

0


déformation membranaire :
E = 0
0

0


Chargement :
0 0

0
z 0

0


flexion uniforme imposée :
E = 0 0

0

0 0 0
· Mécanique 2D, contraintes planes :
Axe : x = 0
dx = 0
(ces conditions ne correspondent pas à l'application de la
Noeud : O
dy = 0
méthode d'homogénéisation).
­ 1 0

0


Chargement : déformation E = 0
0

0 uniforme imposée

0 0 0
· Thermique 3D et 2D :
Plan x = 0
temp = 0
(cette condition ne correspond pas à l'application de la
méthode d'homogénéisation).
Chargement : gradient G = (­ ,
1 ,
0 )
0 uniforme imposé.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
· En thermique : on résout le problème thermique stationnaire :
­
1

T.K. =
.
G K. , V , avec G

=

0





0
Remarque :
Les conditions aux limites choisies ici ne sont pas celles nécessaires à la méthode
d'homogénéisation : on trouverait en effet T
= 0 partout.
La solution est alors (vérifiant les conditions définies en [§1.3]) : T
(x, y, z) = ­x
1
1
L'énergie potentielle est alors à l'équilibre : W th = ­
T
.K. T
=
ici
2
­

2
· En mécanique : on résout le problème d'élastostatique :
(u).A. (v) = E.A. (v) , v


W
,


pour les cas :
chargement 3D
chargement 3D
chargement 2D
membranaire
de flexion
contraintes planes
­ 1 0

0
z 0

0
­ 1 0

0






E = 0
0

0
E = 0 0

0
E = 0
0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0
Les solutions sont :

z
· en 3D, chargement membranaire : u (x, y, z) = ,
0 ,
0 ­


(
;
1­ )
l'énergie potentielle à l'équilibre est :
1
2


W pot = ­
(u).A.(u) =
­
.
( 2µ)
2



1 ­


+
2


+ z2


· en 3D, chargement de flexion : u (x, y, z) = ,
0 ,
0
;


2 (1­ )

2
h3

W pot =
­
.
( 2µ)



.
1 ­
+
2
3
· en 2D, chargement plan : u (x, y) = (­ x, )
0 ;
­
W pot = 2(1­ 2)
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
y
N6
C
B
GRNM14
O
A
x
Conditions aux limites et chargement :
Thermique :
GROUP_NO : GRNM14 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : ­1.0
Mécanique :
GROUP_NO : GRNM14 : DX : 0.0
(contraintes planes)
NOEUD : O DY : 0.0
EPSI_INIT : EPXX : ­1.0
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
'OUI'
[U4.25.02]
FLUX_X
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
TOUT
'OUI'
[U4.25.01]
EPXX
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Point
Grandeur
Référence
Aster
% différence
Tolérance %
CMP
A
TEMP
­1.0000
­1.00000
0.000
10­6
A
DX
­1.0000
­1.00000
0.000
10­6
N6
DX
­0.5000
­0.50000
0.000
10­6
Maille
Energie
Référence
Aster
% différence
potentielle
à l'équilibre
M1
Thermique
­0.500000000
­0.500000
10­8
M1
Mécanique
­0.549450550
+0.549451
10­8
4.2 Remarques
Le Code_Aster fournit la valeur de l'énergie de déformation, égale à l'opposé de l'énergie potentielle à
l'équilibre (cas élastique).
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.18
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
3.7 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
z
N4
N6
N3
N2
N8
O
C
y
A
B
x
Nom des mailles des faces :
ZEGAL0
YEGAL0
YEGAL1
XEGAL0
XEGAL1
Sommets :
B C O A
O A N2 N4 B C N6 N8
C O N4 N6 A B N8 N2
Conditions aux limites :
ZERO : DEFI_CONSTANTE (VALE : 0.0) ;
FCT1:DEFI_FONCTION(Nom_para:'Z',VALE: (0.0 0.0 1.0 1.0));
Thermique :
GROUP_NO : XEGAL0 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : -1.0
Mécanique :
GROUP_NO : YEGALO : DY = 0.0
XEGAL1 : DX = 0.0
YEGAL1 : DY = 0.0
XEGALO : DZ = 0.0
Cas membranaire :
GROUP_NO : ZEGALO : DZ = 0.0
EPSI_INIT : EPXX : -1.0
Cas flexion :
GROUP_NO : ZEGALO : DX = ZERO, DY = ZERO
NOEUD : 0 DZ = ZERO
EPSI_INIT : EPXX : FCT1
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
[U4.25.02]
FLUX_X
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
AFFE_CHAR_MECA_F
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Cas
Grandeur
Point
Référence
Aster
% différence
Thermique
temp
N8
­1.000000
­1.000000
10­10
temp
N3
­0.500000
­0.5000000
10­10
Mécanique
dz
N4
­7.03285714
­7.03285714
10­10
membrane
dz
N8
­7.03285714
­7.03285714
10­10
Mécanique
dz
N4
57.70459285
57.70459285
10­10
flexion
dz
N8
57.70459285
57.70459285
10­10
Maille
Energie
Référence
Aster
% différence
potentielle
à l'équilibre
M1
Thermique
­8.20500
­8.20500
10­7
M1
Mécanique
Membrane
­2.0287088
­2.02871
10­7
Flexion
­1.8210238 102
­1.82102 102
10­7
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.30
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
16.51 secondes
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7
Synthèse des résultats
Les résultats sont exacts à des erreurs d'arrondi près, puisque les solutions cherchées font partie de
l'espace des éléments finis choisis pour la modélisation.
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