Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL10 Poutre de section rectangulaire variable
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.02.010-C Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.010
SDLL10 - Poutre de section rectangulaire
variable (encastrée-encastrée)
Résumé :
Ce problème plan consiste à chercher les fréquences et les modes de vibration d'une structure mécanique
composée d'une poutre encastrée-encastrée dont l'aire de la section droite varie de façon exponentielle. Ce test
de Mécanique des Structures correspond à une analyse dynamique d'un modèle linéique ayant un
comportement linéaire. Il comprend une seule modélisation.
Par l'intermédiaire de ce problème, on teste l'élément de poutre en flexion de Timoshenko de section variable
ainsi que le calcul des fréquences et des modes de vibration par la méthode de Lanczos. On teste aussi la
fonctionnalité "norme à 1." au point d'amplitude maximale en translation" des modes de vibration.
En utilisant une discrétisation spatiale fine, les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats
analytiques donnés dans le guide VPCS.
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Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y,v
L
y
y
bo A
B
h
h
h
h
x,u
z
z
b1
bo
b1
initiale
finale
z,w
Longueur de la poutre : L = 0.6 m
Epaisseur constante : h = 0.01 m
Section rectangulaire :
Section droite initiale :
Variation de la section :
largeur :
b0 = 0.03 m
b = b0 e2x avec = 1.
aire :
A0 = 3.104 m2
A = A0 e2x
moment d'inertie :
Iz0 = 0.25 108 m4
Iz = Iz0 e2x
Coordonnées des points (m) :
A
B
x
0.
0.6
y
0.
0.
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1011 Pa
= 0.3
= 7 800. kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Points A et B : encastrés, u = v = 0., = 0.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL10/89 du guide VPCS qui présente la
méthode de calcul de la façon suivante :
La pulsation est donnée par les racines de l'équation :
i
1 - cos rL
( ) ch(sL)+ s2 - r2 sh(sL) sin(rL) = 0
2rs
avec :
A 2
4
0
i
2
2
2
2
2
2
=
;
=
+
;
=
si
>
i
r
i
s
i
(i ) 0
E Iz0
Les composantes de translation du mode F ( )
i x sont alors :
cos
- ch
( )
x
rL
sL
x = e
(
cos rx) - c (
h sx)
( )
( )
+
sin
-
i
(s rx r sh sx )
r
(
sh sL)
- s
(
sin rL)
( )
(
2.2
Résultats de référence
4 premières fréquences propres et modes propres normés à 1 pour la plus grande composante en
translation.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Groupe de travail Analyse Dynamique. Comité de Validation des Progiciels de Calcul de
Structure. Société Française des Mécaniciens (1988).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Elément de poutre POU_D_T (Poutre droite de Timoshenko)
y
B
A
x
Découpage : poutre AB : 120 mailles SEG2 de section variable.
Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO
( TOUT:'OUI' ,DZ: 0., DRX: 0., DRY: 0. )
aux noeuds
extrémités
( NOEUD: (AB) DX: 0., DY: 0., DRZ: 0. )
Noms des noeuds :
Point A
x = 0.
= N1
x = 0.1
= N21
x = 0.2
= N41
x = 0.3
= N61
x = 0.4
= N81
x = 0.5
= N101
Point B
x = 0.6
= N121
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
121
Nombre de mailles et types :
120 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'GENERALE'
MAILLE
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT
[U4.25.01]
NOEUD
AFFE_MATERIAU
TOUT
[U4.23.02]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_T'
TOUT
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ
NORM_MODE
NORME
'TRAN'
[U4.64.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Ordre du mode
Fréquence
Aster
% différence
% tolérance
propre
Référence
1
143.303
145.924
1.598
1.6
2
396.821
398.511
0.426
0.45
3
779.425
777.115
0.296
0.3
4
1289.577
1278.011
0.897
0.9
Les modes propres de Aster ont été normés à 1. au point d'amplitude maximum en translation comme
dans la référence.
Mode propre Fi(x) normé à 1 au point d'amplitude maximale
i
x = 0.1
x = 0.2
x = 0.3
x = 0.4
x = 0.5
Référence
0.2349
0.6962
0.98960
0.8505
0.3507
Aster
1
0.2363
0.6970
0.9895
0.8516
0.3529
% différence
0.583
0.119
0.
0.132
0.631
% tolérance
0.6
0.15
0.1
0.15
0.7
Référence
0.4653
0.7558
0.
0.9232
0.6941
Aster
2
0.4670
0.7555
2.9104
0.9226
0.6971
% différence
0.37
0.041
2.9104
0.063
0.435
% tolérance
0.4
0.1
1.103
0.1
0.45
Référence
0.6278
0.1969
0.7783
0.2406
0.9366
Aster
3
0.6290
0.1952
0.7782
0.2377
0.9387
% différence
0.192
0.89
0.014
1.226
0.228
% tolérance
0.2
0.9
0.1
1.23
0.25
Référence
0.666
0.4832
0.
0.5901
0.9937
Aster
4
0.6656
0.4840
4.6104
0.5919
0.9928
% différence
0.081
0.18
4.6104
0.31
0.089
% tolérance
0.1
0.2
1.103
0.35
0.1
4.2 Remarques
Calculs effectués par :
MODE_ITER_SIMULT METHODE: 'TRI_DIAG'
OPTION: 'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ: 4
Contenu du fichier résultats :
4 premières fréquences propres, vecteurs propres.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.21
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
9.8 secondes
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Synthèse des résultats
Modélisation convenable (fréquences et modes propres à moins de 2%) avec un maillage fin.
Un calcul effectué sur un maillage grossier (12 mailles) montre des écarts plus importants avec la
solution de référence. Ceci est surtout dû à la façon dont sont normés les modes.
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