Code_Aster ®
Version
6.4

Titre :

TPNA01 - Problème axisymétrique stationnaire avec rayonnement Date
:

02/06/03
Auteur(s) :
J.P. LEFEBVRE Clé
:
V4.41.001-C Page :
1/8

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA














Manuel de Validation
Fascicule V4.41 : Thermique stationnaire avec rayonnement
Document : V4.41.001





TPNA01 - Problème axisymétrique stationnaire
avec rayonnement





Résumé :

Ce test élémentaire permet de traiter un problème axisymétrique en thermique stationnaire avec une condition
aux limites de type rayonnement. La solution est analytique. Le problème est traité en axisymétrique et en
volumique.

Pour les modélisations présentées ici, les écarts des résultats obtenus par le Code_Aster se situent entre 1 et
2% de la référence calculée analytiquement.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
z
Re = 0.391 m
Re = 0.300 m
r


Le cylindre creux est supposé infiniment long.

1.2
Propriétés de matériaux

Seul le coefficient de conductivité intervient. Le Code_Aster rend obligatoire la fourniture d'une fonction
représentant l'enthalpie volumique déterminée à partir du coefficient de chaleur volumique.

chaleur volumique
C
1.00 J / m3 ° C
p =

conductivité thermique
k = 40 W / m° C

1.3
Conditions aux limites et chargements

Condition de type rayonnement sur la surface interne du cylindre, condition de type convection
(échange avec le milieu extérieur) sur la surface externe.

Pas de condition aux limites sur les extrémités du cylindre (ce qui revient à imposer un flux nul).

T
4

i

interne

surface
k
= (T+ 273.15)4

- (T + 273.15
ext
)
n


avec = 0.6, =
10
5.73
-8 W / 2 4
m K
et iext
T
= 500.0°
C, T

en

exprimée

Celsius
°
T

externe

surface
k
= he[ eext
T - T]
n
avec h e = 142.0
2
W/m C
°
et eext
T
= 20.0 C
°
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

On dispose d'une solution analytique dans le cas d'un cylindre de longueur infinie :

T - T
T Log(Re) - T Log(Ri)
T(r)
e
i
=
Log(r
i
e
) +

Re
Log(Re) - Log(Ri)
Log

Ri


2.2
Résultats de référence

r (m)
T (°C)
.30000
105.55
.32275
99.21
.34550
93.30
.36825
87.76
.39100
82.56

Valeur de la température en fonction de r


r (m)
(W / m2)
.300
11577.49
.391
8822.98

Valeur du flux en fonction de r


2.3
Incertitude sur la solution

Solution exacte.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
Guide de validation des progiciels de calcul de structures. Société Française des Mécaniciens
AFNOR 1990 ISBN 2-12-486611-7
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 2D :

N1
N3
N6
N11
N9


3.2
Caractéristiques du maillage

2 QUAD8


3.3
Fonctionnalités testées


Commande Mot-clé Mot-clé
Argument
facteur
simple
DEFI_MATERIAU THER_NL
LAMBDA



BETA

THER_NON_LINE TEMP_INIT
STATIONNAIRE 'OUI'

CONVERGENCE
RESI_GLOB_RELA
1.E-2


ITER_GLOB_MAXI
9


CRIT_LAGR_RELA
1.E-3


OPTION
'FLUX_ELNO_TEMP'

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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Les noeuds observés ont pour coordonnée z = 0.0

Identification
Référence
Aster %
différence
température
N1 (r=.30000)
105.55
105.52
­0.03
N3 (r=.32275)
99.21
99.17
­0.04
N6 (r=.34550)
93.30
93.26
­0.04
N11 (r=.36825)
87.76
87.73
­0.04
N9 (r=.39100)
82.56
82.53
­0.04

Identification
Référence
Aster %
différence
flux
maille M1 noeud N1
11577.49
11533.37
­0.38
maille M2 noeud N9
8822.98
8855.97
­0.37


4.2 Remarques



La condition aux limites de type rayonnement est fournie sous la forme d'une fonction de la
température interpolée linéairement entre chaque point (on a discrétisé ici la courbe à l'aide de 101
points).
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation 3D :





5.2
Caractéristiques du maillage

32 HEXA20


5.3
Fonctionnalités testées

Commande Mot-clé
Mot-clé
Argument
facteur
simple
DEFI_MATERIAU THER_NL
LAMBDA



BETA


THER_NON_LINE TEMP_INIT
STATIONNAIRE
'OUI'

CONVERGENCE
RESI_GLOB_RELA
1.E-2


ITER_GLOB_MAXI
10


CRIT_LAGR_RELA
1.E-3


OPTION
'FLUX_ELNO_TEMP'
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Les noeuds observés ont pour coordonnées : y = z = 0.0


Identification
Référence
Aster
% différence
température
NO106 (x=.30000)
105.55
105.51
­0.03
NO105 (x=.32275)
99.21
99.17
­0.04
NO115 (x=.34550)
93.30
93.26
­0.04
NO125 (x=.36825)
87.76
87.73
­0.04
NO123 (x=.39100)
82.56
82.52
­0.04


Identification
Référence
Aster
% différence
flux
maille MA17 noeud NO106
11577.49
11680.50
+0.89
maille MA16 noeud NO123
8822.98
8968.85
+1.65


6.2 Remarques

La fonction de flux utilisée dans la modélisation A est aussi utilisée ici.

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7
Synthèses des résultats

La prise en compte des conditions de rayonnement est tout à fait correcte dans ce cas stationnaire.
Notons que ce test fait intervenir un coefficient de conductivité thermique constant, la seule
non-linéarité porte donc sur les conditions aux limites.

Les erreurs sont plus élevées sur le calcul du flux, ce que l'on peut expliquer par l'utilisation des
lissages aux noeuds, effectués à partir des valeurs calculées aux points d'intégration (points de
GAUSS).


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