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SSLV134 - Calcul de G, fissure circulaire en milieu infini

Date :
15/02/06
Auteur(s) :
E. GALENNE, J.M. PROIX Clé
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Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.134





SSLV134 - Fissure circulaire en milieu infini





Résumé

Ce test permet, après obtention du champ de déplacement par MECA_STATIQUE, le calcul du taux de
restitution de l'énergie local pour une fissure circulaire plongée dans un milieu supposé infini.

Pour la première modélisation, seul un demi-espace défini par le plan de la fissure est représenté. Le fond de
fissure est alors une courbe fermée (un cercle) et est défini en tant que tel dans DEFI_FOND_FISS. Le taux de
restitution local et global est comparé à la solution analytique de référence.

Les trois modélisations suivantes permettent de calculer les facteurs d'intensité de contraintes K1 et K3, en 3D
et axisymétrique, calculés par POST_K1_K2_K3.

·
La modélisation B teste K1 pour un maillage 3D,
·
La modélisation C teste K1 pour un maillage axisymétrique,
·
La modélisation D teste la combinaison de K1 et K3 pour un maillage 3D.

Enfin, la modélisation E permet de valider le calcul de la forme bilinéaire de G sur le même problème, et la
modélisation F de valider le même calcul pour G local.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

z
= 1.MPa
y
a
x
= 1.MPa


La fissure est circulaire (penny shaped crack) de rayon a, dans le plan Oxy. Pour que le milieu soit
considéré comme infini, les grandeurs caractéristiques du massif sont de l'ordre de 5 fois supérieures
au rayon a.

1.2
Propriétés de matériaux

Module d'Young : E= 2.105 MPa

Coefficient de Poisson : = 0.3

1.3
Conditions aux limites et chargements

Face inférieure
: contrainte uniforme de traction z = 1. MPa
Face supérieure
: contrainte uniforme de traction z = 1. MPa

Suivant la modélisation, on a également des conditions aux limites de symétrie et de blocage des
mouvements de corps rigide.

Dans la modélisation D où on ne représente que le quart du parallélépipède, on utilise des conditions
aux limites d'antisymétrie pour le chargement de torsion : elles reviennent à imposer nuls les
déplacements tangentiels à une face. Le chargement de torsion est introduit sous forme d'une force
surfacique tangentielle (cisaillement réparti) appliquée sur les lèvres de la fissure.

Y
X
·
Lèvre supérieure : F = -
= +
X
et F

a
Y
a
Y
X
·
Lèvre inférieure : F = +
= -
X
et F

a
Y
a
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour une fissure circulaire de rayon a dans un milieu infini, soumise à une traction uniforme suivant
la normale au plan des lèvres, le taux de restitution d'énergie local G(s) est indépendant de
l'abscisse curviligne s et vaut [bib1] :

(1- 2
)
G(s) =
4 2
a


E

alors le coefficient d'intensité de contrainte K1 est donné par la formule d'Irwin :

(1- 2
)
2 a
G(s) =
K 2 soit K =

E
1
1

r
Si cette fissure est soumise à un cisaillement réparti sur les lèvres :
=
Z

a
(ce qui équivaut à une torsion à l'infini), alors on est en mode 3 pur et le facteur d'intensité de
contraintes correspondant vaut :
4 a
(1+)
K =
=
2
3
donc par la formule d'Irwin G( s)
K
3
E
3
En présence des deux modes combinés, on aura :

(1- 2
)
(1+)
G(s) =
K 2 +
K 2
E
1
E
3

La théta-méthode relie les taux de restitution d'énergie global et local par l'équation
variationnelle suivante :

G
() =
réf .
G(s) .m(s)ds


m(s) est la normale au fond de fissure et est le champ de vitesse d'une propagation virtuelle
de la fissure.

Si on choisit pour le champ unitaire normal au fond de fissure, on obtient, puisque G(s) est
constant sur tout le fond de fissure :

G
( ) = G(s 2
).
a
réf

.


2.2
Résultats de référence

Application Numérique (cas avec chargement de traction uniquement) :

On considère que la fissure est circulaire de rayon a = 2. m
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Pour le chargement considéré, on obtient alors :

G(s) =
11.586 J/m2

Gréf = 145.060
J/m

K3
=
1.5958E6 J/m2



Application Numérique (cas avec chargement de torsion uniquement) :

G(s) =
7.3565 J/m2

Gréf = 92.44
J/m

K1
=
1.0638E6 J/m2



2.3 Référence
bibliographique

[1]
Solution de Sneddon (1946) dans G.C. SIH : Handbook of stress-intensity factors Institute of
Fracture and Solid Mechanics - Lehigh University Bethlehem, Pennsylvannie

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3
Modélisation A : Fond de fissure fermé, calcul de G.

3.1
Caractéristiques de la modélisation

L'intérêt de cette modélisation est de représenter l'intégralité du fond de fissure qui est une courbe
fermée, sans tirer parti des symétries du problème.

Seul le chargement de traction est pris en compte.

3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 11114
Nombre de mailles et type : 2432 PENTA 15

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_FOND_FISS FOND_FERME



CALC_THETA



CALC_G_THETA_T SYME_CHAR='SYME'


CALC_G_LOCAL_T SYME_CHAR='SYME'


POST_K1_K2_K3 SYME_CHAR='SYME'




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3.4 Remarque

On utilise le mot clé SYME_CHAR dans les opérateurs CALC_G_THETA_T et CALC_G_LOCAL_T pour
multiplier automatiquement par deux le taux de restitution d'énergie calculé sur une seule lèvre de la
fissure.

De même dans POST_K1_K2_K3, le mot clé SYME_CHAR permet de calculer les facteurs d'intensité
des contraintes et le taux de restitution de l'énergie G_IRWIN par interpolation des déplacements
d'une lèvre unique de la fissure. Le déplacement des noeuds milieux des arêtes des éléments
touchant le fond de fissure au quart de ces arêtes permettrait d'améliorer la précision du calcul.



4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
G global
145.6
146.2
0.4
G local Noeud A - G Lagrange
11.586
11.82
2.0
G local Noeud B - G Lagrange
11.586
11.56
-0.2
G local Noeud C - G Lagrange
11.586
11.83
2.1
G local Noeud D - G Lagrange
11.586
11.81
1.9
G local Noeud A - G Lagrange_no_no
11.586
11.71
1.0
G local Noeud B - G Lagrange_no_no
11.586
11.60
0.2
G local Noeud C - G Lagrange_no_no
11.586
11.72
1.2
G local Noeud D - G Lagrange_no_no
11.586
11.70
1.0
G (POST_K1_K2_K3 Méthode 3) - Noeud A
11.586
10.45
9.8
G (POST_K1_K2_K3 Méthode 3) - Noeud B
11.586
10.49
9.4
G (POST_K1_K2_K3 Méthode 3) - Noeud C
11.586
10.45
9.8
G (POST_K1_K2_K3 Méthode 3) - Noeud D
11.586
10.52
9.2

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5
Modélisation B : Post_K1_K2_K3 en 3D

5.1
Caractéristiques de la modélisation


Cette modélisation permet de tester le calcul de K1 à l'aide de POST_K1_K2_K3 (méthode
d'extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure). Le paramètre ABSC_CURV_MAXI de
l'opérateur est choisi de manière à retenir 5 noeuds sur le segment d'extrapolation (dmax = 0,35).

Seul le chargement de traction est pris en compte.

5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 6536
Nombre de mailles et type : 432 PENTA 15 et 987 HEXA 20

Les noeuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces
arêtes, pour obtenir une meilleure précision.

5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

DEFI_FOND_FISS

CALC_G_LOCAL_T

CALC_THETA THETA_3D

CALC_G_THETA_T

POST_K1_K2_K3


5.4 Remarque

On ne représente que le quart du bloc tridimensionnel complet et donc le quart de la fissure. Ainsi, il
faut diviser la valeur théorique de référence du taux de restitution global par 4 :
G
= 145.60 / 4 = 36.40 J/m
glob
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

6.1.1 Résultats
de
CALC_G_THETA_T et CALC_G_LOCAL_T

Identification Référence
Aster %
différence
G local Noeud 49
11.59
11.74
1,30
G local Noeud 1710
11.59
11.76
1,49
G local Noeud 77
11.59
11.73
1,22
G global
36.40
36.82
1,16

6.1.2 Résultats
de
POST_K1_K2_K3

Identification Méthode
Référence
Aster %
différence
K1_MIN
Noeud 77
méthode 1
16.0E+05
15.9E+05
-0,04
K1_MAX
Noeud 77
méthode 1
16.0E+05
16.1E+05
0,66
G_MIN
Noeud 77
méthode 1
11.6E­00
11.6E­00
­0,08
G_MAX
Noeud 77
méthode 1
11.6E­00
11.7E­00
1,32
K1_MIN
Noeud 49
méthode 1
16.0E+05
15.9E+05
­0,03
K1_MAX
Noeud 49
méthode 1
16.0E+05
16.1E+05
0,66
G_MIN
Noeud 49
méthode 1
11.6E­00
11.6E­00
­0,06
G_MAX
Noeud 49
méthode 1
11.6E­00
11.7E­00
1,32
K1_MIN
Noeud 1710 méthode 1
16.0E+05
15.9E+05
­0,07
K1_MAX
Noeud 1710 méthode 1
16.0E+05
16.1E+05
0,61
G_MIN
Noeud 1710 méthode 1
11.6E­00
11.6E­00
­0,15
G_MAX
Noeud 1710 méthode 1
11.6E­00
11.7E­00
1,22
K1_MIN
Noeud 77
méthode 2
16.0E+05
15.3E+05
­4,02
K1_MAX
Noeud 77
méthode 2
16.0E+05
15.9E+05
­0,21
G_MIN
Noeud 77
méthode 2
11.6E­00
10.7E­00
­7,87
G_MAX
Noeud 77
méthode 2
11.6E­00
11.5E­00
­0,42
K1_MIN
Noeud 49
méthode 2
16.0E+05
15.3E+05
­4,04
K1_MAX
Noeud 49
méthode 2
16.0E+05
15.9E+05
­0,40
G_MIN
Noeud 49
méthode 2
11.6E­00
10.6E­00
­7,92
G_MAX
Noeud 49
méthode 2
11.6E­00
11.5E­00
­0,63
K1_MIN
Noeud 1710 méthode 2
16.0E+05
15.3E+05
­4,09
K1_MAX
Noeud 1710 méthode 2
16.0E+05
15.9E+05
­0,25
G_MIN
Noeud 1710 méthode 2
11.6E­00
10.6E­00
­8,08
G_MAX
Noeud 1710 méthode 2
11.6E­00
11.5E­00
­0,49
K1
Noeud 77
méthode 3
16.0E+05
15.5E+05
­2,62
G
Noeud 77
méthode 3
11.6E­00
11.0E­00
­5,16
K1
Noeud 49
méthode 3
16.0E+05
15.5E+05
­2,63
G
Noeud 49
méthode 3
11.6E­00
11.0E­00
­5,19
K1
Noeud 1710 méthode 3
16.0E+05
15.5E+05
­2,68
G
Noeud 1710 méthode 3
11.6E­00
11.0E­00
­5,29

Remarque :

La méthode 3 calcule une valeur unique pour chaque paramètre (K1_MAX = K1_MIN dans le
fichier résultat).

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7
Modélisation C : Post_K1_K2_K3 en axisymétrique

7.1
Caractéristiques de la modélisation

Cette modélisation permet de tester le calcul de K1 à l'aide de POST_K1_K2_K3 (méthode
d'extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure) en axisymétrique.

Seul le chargement de traction est retenu dans cette modélisation.

Puisqu'on est en modélisation axisymétrique, la relation entre les taux de restitution d'énergie global et
local est [R7.02.01] :

G
() G(s a
réf
).
.
=
soit ici G
= 23.17 J/m
réf .

7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1477
Nombre de mailles et type : 402 QUAD 8 et 60 TRIA 6

Les noeuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces
arêtes, pour obtenir une meilleure précision.

7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

DEFI_FOND_FISS

CALC_G_LOCAL_T

CALC_THETA THETA_3D

CALC_G_THETA_T

POST_K1_K2_K3

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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Identification
Méthode
Référence
Aster
% Différence
G
CALC_G_THETA
232E­01
236E­01
1,662





K1_MAX
POST_K1_K2_K3 méthode 1
160E+04
162E+04
1,514
K1_MIN
POST_K1_K2_K3 méthode 1
160E+04
160E+04
0,15
G_MAX
POST_K1_K2_K3 méthode 1
116E­01
119E­01
3,05
G_MIN
POST_K1_K2_K3 méthode 1
116E­01
116E­01
0,301





K1_MAX
POST_K1_K2_K3 méthode 2
160E+04
160E+04
0,569
K1_MIN
POST_K1_K2_K3 méthode 2
160E+04
150E+04
­6,239
G_MAX
POST_K1_K2_K3 méthode 2
116E­01
117E­01
1,141
G_MIN
POST_K1_K2_K3 méthode 2
116E­01
102E­01
­12,088

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9
Modélisation D : Post_K1_K2_K3 en 3D modes 1 et 3

9.1
Caractéristiques de la modélisation

Les conditions aux limites suivantes sont successivement appliquées :

·
traction : comme pour la modélisation B ;
·
torsion.

Cette modélisation permet de tester le calcul de K1 et K3 combinés à l'aide de POST_K1_K2_K3
(méthode d'extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure).

Les noeuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces
arêtes, pour obtenir une meilleure précision.

9.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 6536
Nombre de mailles et type : 432 PENTA 15 et 987 HEXA 20

Les noeuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces
arêtes, pour obtenir une meilleure précision.

9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

DEFI_FOND_FISS

CALC_G_LOCAL_T

CALC_THETA THETA_3D

CALC_G_THETA_T

POST_K1_K2_K3

AFFE_CHAR_MECA FORCE_FACE

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9.4 Remarque

Les deux cas de charge (traction et torsion) sont pris en compte. Il faut donc cumuler les valeurs de G
pour les deux chargements. De plus, on ne représente que le quart du bloc tridimensionnel complet et
donc le quart de la fissure, il faut donc diviser la valeur théorique de référence du taux de restitution
global par 4.

Ainsi

G(s) = ( 11.586 + 7.356 ) = 18.943 J/m2

G = ( 145.06 + 92.44) / 4 = 59.37 J/m

Seule la traction contribue à K1, seule la torsion contribue à K3.
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10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Identification
Méthode
Localisation
Référence
Aster
% Différence
G_LOCAL
CALC_G_LOCAL Legendre
Noeud 49
1,8943E+01 1,9055E+01
0,59
G_LOCAL
CALC_G_LOCAL Legendre
Noeud 1710
1,8943E+01 1,9089E+01
0,772
G_LOCAL
CALC_G_LOCAL Legendre
Noeud 77
1,8943E+01 1,9074E+01
0,694
G
CALC_G_THETA
5,937E+01 5,9849E+01
0,567






K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,5958E+06 1,5988E+06
0,189
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,5958E+06 1,5952E+06
­0,038
K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,5958E+06 1,5924E+06
­0,21
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,5958E+06 1,5620E+06
­2,116
K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,5958E+06 1,5990E+06
0,202
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,5958E+06 1,5953E+06
­0,029
K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,5958E+06 1,5925E+06
­0,202
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,5958E+06 1,5618E+06
­2,129
K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,5958E+06 1,5982E+06
0,155
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,5958E+06 1,5945E+06
­0,077
K1_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,5958E+06 1,5918E+06
­0,249
K1_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,5958E+06 1,5610E+06
­2,176






K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,0638E+06 1,0564E+06
­0,704
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,0638E+06 1,0589E+06
­0,464
K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,0638E+06 9,4420E+06
­11,246
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,0638E+06 1,0387E+06
­2,361
K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,0638E+06 1,0564E+06
­0,703
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,0638E+06 1,0589E+06
­0,464
K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,0638E+06 9,4421E+05
­11,245
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,0638E+06 1,0387E+06
­2,361
K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,0638E+06 1,0563E+06
­0,708
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,0638E+06 1,0589E+06
­0,468
K3_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,0638E+06 9,4413E+05
­11,253
K3_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,0638E+06 1,0387E+06
­2,366






G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,8943E+01 1,8866E+01
­0,406
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 49
1,8943E+01 1,8884E+01
­0,313
G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,8943E+01 1,6896E+01
­10,804
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 49
1,8943E+01 1,8551E+01
­2,069
G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,8943E+01 1,8868E+01
­0,395
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 1710
1,8943E+01 1,8887E+01
­0,296
G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,8943E+01 1,6893E+01
­10,819
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 1710
1,8943E+01 1,8553E+01
­2,058
G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,8943E+01 1,8856E+01
­0,457
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 1
Noeud 77
1,8943E+01 1,8875E+01
­0,358
G_MIN
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,8943E+01 1,6882E+01
­10,881
G_MAX
POST_K1_K1_K3 Méthode 2
Noeud 77
1,8943E+01 1,8541E+01
­2,12

Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A

Code_Aster ®
Version
8.1

Titre :

SSLV134 - Calcul de G, fissure circulaire en milieu infini

Date :
15/02/06
Auteur(s) :
E. GALENNE, J.M. PROIX Clé
:
V3.04.134-B Page :
14/18


11 Modélisation E : Calcul de la forme bilinéaire de G

11.1 Caractéristiques de la modélisation

Le maillage est identique à celui des calculs précédents, mais seul le huitième du bloc est retenu
(quadrant Oxyz)

1) Chargement 1 : Idem modélisation B.
2) Chargement 2 : Face x = 10. : contrainte uniforme de traction z = 1,

Face z = 10. : contrainte uniforme de traction x = 1 (cisaillement).
3) Chargement 3 : Chargement 1 + Chargement 2.
4) Chargement 4 : Chargement 2 ­ Chargement 1.

Quatre calculs sont statiques sont réalisés produisant respectivement les déplacements u, v, u+v, et
v-u.

11.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
2774
Nombre de mailles et type : 392 HEXA20 et 216 PENTA15

11.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO


DEFI_MATERIAU ELAS


DEFI_LIST_REEL


AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'

AFFE_MATERIAU TOUT


AFFE_CHAR_MECA FORCE_FACE
GROUP_MA

PRES_REP
PRES

STAT_NON_LINE


DEFI_FOND_FISS


CALC_THETA


CALC_G_THETA_T COMP_ELAS
`CALC_G'

CALC_G_THETA_T COMP_ELAS
`CALC_G_BILI'


11.4 Remarque

On ne représente que le huitième du bloc tridimensionnel complet et donc le huitième de la fissure.
Ainsi, il faut diviser la valeur théorique de référence du taux de restitution global par 8.

La forme bilinéaire g(u, v) vérifie les propriétés suivantes :

g(u,u) = G(u) (
.
form )
1

G(u + v) - G(u - v)
g(u,v) =
(
.
form )
2
.
4
d'où
G(2u) - G( 2
- v)
g(u - v,u + v) =
= G(u) - G(v)
(
.
form )
3
4
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SSLV134 - Calcul de G, fissure circulaire en milieu infini

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15/02/06
Auteur(s) :
E. GALENNE, J.M. PROIX Clé
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12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
G global : G(u)
1.82 10+1
1.8273 10+1
0.4
G bilinéaire : g(u, u)
1.82 10+1 1.8273
10+1 0.4
G global : G(v)
­
6.8612
­
G bilinéaire : g(v, v)
form.1
6.8612
0.
G global : G(u+v)
­
4.7526 10+1 ­
G bilinéaire : g(u+v, u+v)
form.1
4.7526 10+1 0.
G global : G(u­v)
­
2.7428
­
G bilinéaire : g(u­v, u­v)
form.1
2.7428
0.
G bilinéaire : g(v, u)
form.2
1.1195 10+1 0.
G bilinéaire : g(u­v, u+v)
form.3
1.1412 10+1 0.

On désigne par u le déplacement correspondant au chargement 1, et v le déplacement correspondant
au chargement 2. Les chargements 3 et 4 correspondant aux déplacements (u+v) et (v-u).

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13 Modélisation F : Calcul de la forme bilinéaire de G local

13.1 Caractéristiques de la modélisation

Le maillage est identique à celui de la modélisation E.

1) Chargement 1 : Idem modélisation B.
2) Chargement 2 : Face x = 10. : contrainte uniforme de traction z = 1,

Face z = 10. : contrainte uniforme de traction x = 1 (cisaillement).
3) Chargement 3 : Chargement 1 + Chargement 2.
4) Chargement 4 : Chargement 2 ­ Chargement 1.

Quatre calculs sont statiques sont réalisés produisant respectivement les déplacements u, v, u+v, et
v-u.

13.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
2774
Nombre de mailles et type : 392 HEXA20 et 216 PENTA15

13.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO


DEFI_MATERIAU ELAS


DEFI_LIST_REEL


AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'

AFFE_MATERIAU TOUT


AFFE_CHAR_MECA FORCE_FACE
GROUP_MA

PRES_REP
PRES

STAT_NON_LINE


DEFI_FOND_FISS


CALC_G_LOCAL_T COMP_ELAS
'CALC_G'

CALC_G_LOCAL_T COMP_ELAS
'G_BILINEAIRE'


13.4 Remarque

On ne représente que le huitième du bloc tridimensionnel complet et donc le huitième de la fissure.
Ainsi, il faut diviser la valeur théorique de référence du taux de restitution global par 8.

La forme bilinéaire g(u, v) vérifie les propriétés suivantes :

g(u,u) = G(u) (
.
form )
1

G(u + v) - G(u - v)
g(u,v) =
(
.
form )
2
.
4
d'où
G(2u) - G( 2
- v)
g(u - v,u + v) =
= G(u) - G(v)
(
.
form )
3
4
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8.1

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14 Résultats de la modélisation F

14.1 Valeurs
testées

Noeud Lissage R_inf R_sup
Identification
Référence Code_Aster % écart
N2667 Lag-Lag
0.1
1.0
G local : G(u)
5.79
5.746
0.748
N2667 Lag-Lag
0.1
1.0
G bilinéaire : g(u, u)
5.79
5.746
0.748
N2667 Lag-Lag
0.1
1.0
G max : g(u, u)
-
1.4946E+01
-
N2667 Leg-Leg
0.5
1.5
G local : G(v)
-
2.1737
-
N2667 Leg-Leg
0.5
1.5
G bilinéaire : g(v, v)
-
2.1737
-
N2773 Leg-Leg
0.5
1.5
G max : g(v, v)
-
6.0334
-
N2667 Lag-Lag
0.2
2.0
G global : G(u+v)
-
1.5150E+01
-
N2667 Lag-Lag 0.2
2.0 G bilinéaire
: g(u+v,
- 1.5150E+01 -
u+v)
N2667 Lag-Lag
0.2
2.0
G max : g(u+v, u+v)
-
3.8910E+01
-

La [Figure 14.1-a] ci-dessous montre les valeurs de G local en fond de fissure obtenues à partir de la
forme bilinéaire de G. C'est le premier chargement qui est appliqué (traction simple), il sollicite le
premier mode d'ouverture de la fissure. Les champs ainsi que G sont discrétisés selon la méthode
de Lagrange. Les rayons inférieur et supérieur délimitant la couronne dans laquelle les champs
décroissent linéairement sont respectivement égal à 0.1 mm et 1mm. La valeur de référence est égale
à 5.79 J/m2, cf. modélisation A.
6,00E+00
5,00E+00
4,00E+00
i
re
a

G_BILI_LOCAL
3,00E+00
biline
G_REF
2,00E+00
G_
1,00E+00
0,00E+00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
+
-
01
-
01
-
01
-
01
-
01
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
00E
96E
93E
89E
85E
81E
18E
37E
57E
77E
96E
16E
36E
55E
75E
94E
0,
1,
3,
5,
7,
9,
1,
1,
1,
1,
1,
2,
2,
2,
2,
2,
Abscisse curviligne

Figure 14.1-a : G bilinéaire local en fonction de l'abscisse curviligne

On désigne par u le déplacement correspondant au chargement 1, et v le déplacement correspondant
au chargement 2. Le chargement 3 correspond au déplacement (u+v).

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15 Synthèses des résultats

Le triple objectif de ce test est atteint :

·
Il s'agit de valider la définition des fonds de fissure fermés et les aménagements conséquents
du calcul de G local. On vérifie en particulier l'indépendance de G local vis à vis de l'angle
pour une fissure et un chargement axisymétriques. On constate un écart de moins de 2% sur
l'ensemble du fond de fissure par les deux méthodes `LAGRANCE' et `LAGRANGE_NO_NO'.

·
De plus, ce test permet de valider la commande POST_K1_K2_K3 qui permet de calculer les
facteurs d'intensité de contraintes en exploitant le saut de déplacements sur les lèvres de la
fissure. Cette méthode, moins précise que G_THETA, permet d'obtenir ici (avec un maillage
approprié : noeuds milieux des arêtes touchant le fond de fissure déplacés au quart de ces
arêtes) des valeurs de K1 et K3 à moins de 1% de la référence (pour la méthode
d'extrapolation numéro 1). Avec la méthode d'extrapolation numéro 2, l'écart peut aller
jusqu'à 8%. La précision de la méthode d'extrapolation numéro 3, testée dans la modélisation
B, est comprise entre celles des deux précédentes méthodes. La méthode 3 est cependant
intéressante car elle fournit une valeur unique des facteurs d'intensité de contrainte et non
pas une valeur maximale et une valeur minimale.

·
Enfin, on valide le calcul de la forme bilinéaire de G.

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