Code_Aster ®
Version
8.1
Titre :
SSNL130 Plaque indéformable sur un tapis de ressorts
Date
:
01/09/05
Auteur(s) :
J.L. FLEJOU Clé
:
V6.02.130-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.130
SSNL130 Plaque indéformable sur un tapis de
ressorts
Résumé :
L'objectif est de tester et de valider une des possibilités de la commande AFFE_CARA_ELEM, option
RIGI_PARASOL, couplé avec le comportement DIS_CHOC. Ce cas test modélise une plaque, considérée comme
indéformable, posée sur un tapis de ressorts.
· Les ressorts sont modélisés par des DIS_T (K_T_D_L), cela permet d'imposer des conditions aux
limites aux extrémités des ressorts qui ne sont pas liées au solide.
· Le comportement DIS_CHOC permet un comportement unilatéral des ressorts, ce qui laisse une
possibilité de décollement de la plaque vis-à-vis du tapis de ressort.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Une plaque rectangulaire de largeur "a" et de longueur "b", appuyée sur un tapis de ressorts.
z
A
ep B y
b
Figure 1.1-a : Schéma de la plaque et des ressorts dans le plan (y, z)
Dimensions :
a = 1m
b = 2 m
ep = 0.30m
1.2
Propriétés du matériau
Module d'Young : 2.0E+11 Pa
Coefficient de poisson : 0.3
Raideur globale du tapis de ressorts : K = 10000.0 N/m
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le chargement est un chargement de pression de la forme P = p.(y-b)2, avec p = 5N/m2
Déplacements imposés aux extrémités des ressorts non connectées à la plaque :
· dans l'intervalle de temps [0,1] le déplacement est imposé à 0.0 suivant DX, DY et DZ,
· dans l'intervalle de temps [1,2] le déplacement est imposé à 0.0 suivant DX et DY. Suivant DZ
il est imposé par la fonction Dz = (t-1.0)*0.5E-02.
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour une analyse statique.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul du problème continu
z
B
A
y
y 0
Figure 2.1-a : Schéma de la plaque et des ressorts après chargement
La résolution du problème consiste à calculer les déplacements verticaux des coins de la plaque et la
position du point de décollement vis-à-vis du tapis de ressorts.
Les équations d'équilibres sont les suivantes :
Effort résultant dû au chargement :
3
b
Fp =
.
P ds = .
a .
p
éq
2.1-1
3
s
Moment résultant au point "A" dû au chargement :
4
b
Mp =
.
P .
y ds = .
a .
p
A
éq
2.1-2
12
s
y
La plaque est considérée comme rigide, son déplacement est de la forme z( y) = Ua .1-
. Avec
y0
U a le déplacement vertical du point "A" et y0 la position du décollement.
Effort de réaction des ressorts :
K
y
y
Fr =
Ua
. . 1-
ds = K Ua
. . 0
éq
2.1-3
a b
.
y
b
.
2
s
0
Moment de réaction des ressorts au point "A" :
K
y
y2
Mr =
U
.
. 1-
.y ds
.
= K U
.
. 0
A
éq
2.1-4
a b
a
.
y
a
b
.
6
s
0
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La résolution des équations [éq 2.1-1], [éq 2.1-2], [éq 2.1-3], [éq 2.1-4] (équilibre des efforts et des
moments) donne le résultat suivant :
3.b
.
8 p a
. b
. 3
U
y =
U = -
on en déduit
a
U = -
0
4
a
K
.
9
b
3
2.2
Méthode de calcul du problème discrétisé
Dans cette analyse le tapis de ressorts n'est plus considéré comme continu. Les ressorts sont
régulièrement répartis. Comme précédemment les déplacements verticaux des coins de la plaque et la
position de la ligne de décollement vis-à-vis du tapis de ressorts vont être calculés.
z
A
B
y
y 0
Figure 2.2-a : Schéma de la plaque et des ressorts après chargement
k4
C
D
es
ag
k1
k2
p
u
éco
d
x
n
A
B
k3
ny découpages
Figure 2.2-b : Discrétisation de la plaque dans le plan (x, y)
La figure ci-dessus repère les ressorts en fonction de leur raideur. Cette raideur est calculée par
l'option RIGI_PARA_SOL de la commande AFFE_CARA_ELEM. L'affectation des valeurs se fait en
fonction de la surface de la zone qu'ils affectent. Si K est la raideur globale du tapis de ressort, on a
donc :
K
k4
K
k4
K
k4 =
k2 = k3 =
=
k1 =
=
nx ny
.
2
nx
.
2
ny
.
4
nx
.
4
ny
.
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Les équations d'équilibre sont les suivantes :
Effort de réaction des ressorts :
n
'
"
b
(
Fr
U . K
K .
1 j
éq
2.2-1
j ) =
a
x +
x -
j=1
ny.y0
Moment de réaction des ressorts le long de la ligne "AB" :
n
"
b
b
(
Mr
U K
.
.
1 j
. j
éq
2.2-2
j ) =
a
x -
j=1
ny.y0 ny
'
K
"
K
avec
K = ( k
.
2 1+ k .(
4 nx - ))
1 =
K = ( k
.
2 3 + k .(
4 nx
x
- ))
1 =
ny
x
.
2
ny
b
n.
y0 ( + ) b
n 1
ny
ny
La résolution des équations [éq 2.1-1], [éq 2.1-2], [éq 2.2-1], [éq 2.2-2] (équilibre des efforts et des
moments) donne la solution de l'équilibre :
3
.
p .
a b .ny (.3.ny - 8.n - 4)
.
b n (.1+ n)(.3.ny - 8.n - 4)
U =
y
a
o =
6.K (
2
.1 + n + n )
3.ny (.ny + 2.n (.ny - 2)
2
- 4.n )
ou n et y doivent respecter les conditions suivantes :
o
b
n.
y +
0
(
) b
n 1
ny
ny
0 y
0 b
n entier
2.3
Grandeurs et résultats de référence
Les grandeurs testées seront les déplacements verticaux aux 4 coins de la plaque.
2.4
Incertitudes sur la solution
Aucunes, la solution est analytique.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La plaque est modélisée par des éléments DKT. Les ressorts sont modélisés par des SEG2 affectés
d'une modélisation DIS_T dont les caractéristiques sont des K_T_D_L. Ce sont des discrets en
translation ayant une matrice diagonale, cf. la documentation de AFFE_CARA_ELEM.
3.2
Caractéristiques du maillage
La plaque est découpé avec ny = 16 et nx = 4. Les dimensions de la plaque sont a = 1m et b = 2m.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM COQUE
RIGI_PARA_SOL
K_T_D_L
'GLOBAL'
RIGI_PARA_SOL
GROUP_MA_SEG2
ORIENTATION
CARA
'ANGL_NAUT'
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_COQUE
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS
DIS_CONTACT
DIST_1
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'DIS_CHOC'
3.4
Grandeurs testées et résultats
Pour le pas de temps n°1, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque,
sont imposés à zéro. Les résultats de Code_Aster sont comparés avec la solution discrète, qui
correspond à la solution du problème modélisé. Cette solution est obtenue pour n = 12.
Nature des résultats
UA=UB
UC=UD
Solution continue
4
-
-
4
555555555
.
3
E - 03
185185185
.
1
E - 03
1125
3375
Solution discrète
208
-
-
176
532908705
.
3
E - 03
149763188
.
1
E - 03
58875
153075
Résultats Code_Aster -3.5334390124E-03
1.142045709828E-03
Erreur relative
1.50E-04 6.71E-03
Code_Aster / Solution discrète
Pour le pas de temps n°2, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque,
sont déplacés de +5.0E-03m. Les résultats de Code_Aster sont comparés avec la solution discrète, qui
correspond à la solution du problème modélisé.
Nature des résultats
UA=UB
UC=UD
Solution continue
1.444444444E-03
6.185185185E-03
Solution discrète (n=12)
1.467091295E-03
6.149763188E-03
Résultats Code_Aster 1.466560457E-03
6.142046322E-03
Erreur relative
3.62E-04
1.25E-03
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4
Synthèse des résultats
L'utilisation des éléments discrets, affectés sur des noeuds ou des segments, avec un matériau de type
DIS_CONTACT et utilisé avec STAT_NON_LINE (comportement COMP_INCR et relation DIS_CHOC)
permet de modéliser un comportement unilatéral des ressorts.
L'utilisation du mot clé RIGI_PARASOL de la commande AFFE_CARA_ELEM permet d'affecter aux
ressorts des raideurs proportionnelles à la surface des éléments auxquels ils sont connectés.
Le comportement étant unilatéral, il est nécessaire que Code_Aster fasse plusieurs itérations pour
trouver la position d'équilibre. Il est également possible de rencontrer des problèmes de convergence
liés à une perte de précision, dû à un mauvais conditionnement de la matrice de raideur au cours des
itérations. La raideur des ressorts pouvant s'annuler d'une itération à l'autre.
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