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Titre :
SDLD325 - Réponse dynamique transitoire d'un système masse-ressort
Date :
16/02/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, IRCN
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Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.325
SDLD325 - Réponse dynamique transitoire d'un
système masse-ressort amorti à 2 ddl
Résumé :
Ce problème consiste à analyser la réponse dynamique d'un système composé d'un ensemble de
masses-ressorts-amortisseurs à 2 ddl dont les raideurs des ressorts sont très différentes sous excitation de
type créneau en 1 ddl.
Par l'intermédiaire de ce problème, on teste la sensibilité de schémas d'intégration sur l'espace physique
(DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02]) ou l'espace modal (DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21]) vis-à-vis du rapport des
rigidités.
Les résultats en déplacement et vitesse sont comparés à une moyenne de résultats provenant de codes
industriels et d'une méthode d'intégration numérique de type -Newmark améliorée.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y,v
k
c
k
B
1
2
A
m
m
F
x,u
0 (t)
c
c
t(s)
0
1
1.2
Propriétés de matériaux
Raideurs de liaison : k = 28.103 N.m1
2 cas :
·
k1 = k/10, k2 = 10k
·
k1 = 10k, k2 = k/10
Masse ponctuelle : m = 10 kg
Amortissement visqueux unidirectionnel : c = 50 kg.s1
1.3
Conditions aux limites et chargements
Extrémité A encastrée.
(t) = 1 si 0 t s
1
Force appliquée à l'extrémité B : F(t) = F0 (t) avec
et F0 = 5N.
(t) = 0 sinon
1.4 Conditions
initiales
du
Le système est au repos à t = 0 : (
u )
0 = 0 et
( )
0 = 0 .
dt
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel peut être
menée par intégration numérique dans l'espace réel :
[M]{u& } +[C]{u& } +[K]{u } = {F
n
n
n
}.
Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :
·
PERMAS : Schéma d'intégration de Newmark ( = 0,25 et = 0,5) t = 104s ;
·
ABAQUS : Schéma d'intégration de Hilbert-Hugues-Taylor [bib1] ( = 0,05) t = 104s ;
et la méthode d'intégration de -Newmark améliorée [bib2] :
[ M] [C] [K]
+
+
+
+
+
+
{
F
F
F
2 M
K
u
n 2
n 1
n
n+2}
{
} {
} { }
[ ] [ ]
=
+
-
{u
n+ }
t2
2t
3
3
t2
1
3
[ M] [C] [K]
+ -
+
-
{u
n}
t2
2t
3
où n, n+1, n+2 désignent respectivement les calculs effectués aux temps tn, tn+1 = tn+t et tn+2 = tn+2t
où t est l'incrément de temps retenu.
Pour démarrer, on prend :
·
u0 et u 1 = u
-
0 - t
u&0
·
F
2F
F
- =
-
1
0
1
Le pas de temps adopté est t = 105s.
2.2
Résultats de référence
Déplacement et vitesse du point extrémité B.
Déplacement du point B pour k2/k1=100
3,20E-03
2,40E-03
1,60E-03
(m) 8,00E-04
u B
0,00E+00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-8,00E-04
-1,60E-03
temps (s)
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Déplacement du point B pour k2/k1=0,01
3,00E-03
2,50E-03
2,00E-03
1,50E-03
1,00E-03
(m)
u B 5,00E-04
0,00E+00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
-5,00E-04
-1,00E-03
-1,50E-03
temps (s)
2.3
Incertitude sur la solution
Moyenne de solutions numériques.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
H.M. HILBERT, T.J.R HUGUES and R.L. TAYLOR « Improved numerical dissipation for time
integration algorithms in structural dynamics » Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292
[2]
N.M. NEWMARK « A method of computation for structural dynamics » Proceeding ASCE
J.Eng.Mech. DIV E-3, July 1959, pp. 67-94
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
B
C
A.
.
.
x
N1
N2
N3
Caractéristiques des éléments :
DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire
K_T_D_L (kN1N2 = k/10, kN2N3 = 10k)
amortissement
linéaire
A_T_D_L
Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des noeuds : A = N1 , C = N2 , B = N3.
Méthodes de calcul :
·
Intégration sur l'espace physique avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 103s
·
Intégration sur la base modale complète avec Euler
Pas de temps t = 103s puis recombinaison modale
·
Intégration sur la base modale complète avec t adaptatif
Pas de temps initial t = 103s puis recombinaison modale
Durée d'observation : 3 s.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et type : 2 mailles SEG2
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'
MAILLE
'A_T_D_L'
NOEUD
'M_T_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'
DYNA_LINE_TRAN NEWMARK
MATR_AMOR
DYNA_TRAN_MODAL EULER
AMOR_GENE
ADAPT
REST_BASE_PHYS
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
·
Déplacement (m) du point B
Déplacement Déplacement
Déplacement
Temps Référence
Aster Différence
Aster Différence
Aster Différence
(s)
NEWMARK
(%)
EULER
(%)
ADAPT
(%)
0,27 3,0927 E-3 3,09263 E-3
-0,002
3,09254 E-3
-0,005
3,09278 E-3
0,003
0,53 8,7953 E-4 8,79902 E-4
0,042
8,79515 E-4
-0,002
8,79583 E-4
0,006
0,80 2,4669 E-3 2,46677 E-3
-0,005
2,46666 E-4
-0,010
2,46688 E-4
-0,001
1,25 -1,0980 E-3 -1,09829 E-3
0,026
-1,09248 E-4
-0,502
-1,09844 E-4
0,040
1,51 7,8754 E-4 7,87625 E-4
0,011
7,82702 E-4
-0,614
7,87760 E-4
0,028
1,78 -5,6508 E-4 -5,65131 E-4
0,009
-5,61709 E-4
-0,597
-5,65265 E-4
0,033
2,05 4,0502 E-4 4,05155 E-4
0,033
4,02581 E-4
-0,602
4,05168 E-4
0,037
2,31 -2,9012 E-4 -2,90070 E-4
-0,017
-2,88252 E-4
-0,644
-2,90192 E-4
0,025
2,58 2,0831 E-4 2,08323 E-4
0,006
2,06960 E-4
-0,648
2,08376 E-4
0,032
2,85 -1,4943 E-4 -1,49462 E-4
0,022
-1,48425 E-4
-0,672
-1,49477 E-4
0,032
·
Vitesse (m.s1) du point B
Vitesse Vitesse Vitesse
Temps Référence
Aster Différence
Aster Différence
Aster Différence
(s)
NEWMARK
(%)
EULER
(%)
ADAPT
(%)
0,11 1,8347 E-2 1,82400 E-2
-0,583
1,84067 E-2
0,326
1,83510 E-2
0,022
0,39 -1,3140 E-2 -1,31120 E-2
-0,213
1,31472 E-2
0,055
-1,31407 E-2
0,006
0,66 9,3509 E-3 9,34550 E-3
-0,058
9,36556 E-3
0,157
9,35335 E-2
0,026
0,93 -6,7080 E-3 -6,71303 E-3
0,075
-6,70399 E-3
-0,060
-6,70788 E-3
-0,002
1,11 -1,5863 E-2 -1,57872 E-2
-0,478
-1,57871 E-2
-0,478
-1,58789 E-2
0,100
1,37 1,1157 E-2 1,12034 E-2
0,416
1,10701 E-2
-0,779
1,11521 E-2
-0,044
1,64 -7,9838 E-3 -7,97210 E-3
-0,147
-7,94957 E-3
-0,429
-7,98789 E-3
0,051
1,90 5,7108 E-3 5,71217 E-3
0,024
5,67244 E-3
-0,672
5,71139 E-3
0,010
2,17 -4,0998 E-3 -4,09898 E-3
-0,020
-4,07584 E-3
-0,584
-4,10120 E-3
0,034
2,44 2,9405 E-3 2,94126 E-3
0,026
2,92375 E-3
-0,576
2,94154 E-3
0,035
2,71 -2,1073 E-3 -2,10817 E-3
0,041
-2,09494 E-3
-0,586
-2,10808 E-3
0,037
2,97 1,5105 E-3 1,51036 E-3
-0,009
1,50087 E-3
-0,638
1,51084 E-3
0,022
4.2 Remarques
Les résultats sont testés au niveau des pics respectifs de déplacement et de vitesse où les valeurs
sont les plus significatives.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
y
B
C
A.
.
.
x
N1
N2
N3
Caractéristiques des éléments :
DISCRET : masse nodale
M_T_D_N
rigidité
linéaire
K_T_D_L (kN1N2 = 10k, kN2N3 = k/10)
amortissement
linéaire
A_T_D_L
Conditions aux limites : au noeud N1 DDL_IMPO DX=DY=DZ=0.
Noms des noeuds : A = N1 , C = N2 , B = N3.
Méthodes de calcul :
·
Intégration sur l'espace physique avec Newmark ( = 0,25, = 0,5)
Pas de temps t = 103s
·
Intégration sur la base modale complète avec Euler
Pas de temps t = 103s puis recombinaison modale
·
Intégration sur la base modale complète avec t adaptatif
Pas de temps initial t = 103s puis recombinaison modale
Durée d'observation : 2,5 s.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 3
Nombre de mailles et type : 2 mailles SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
MAILLE 'K_T_D_L'
MAILLE
'A_T_D_L'
NOEUD
'M_T_D_N'
MODE_ITER_SIMULT
OPTION : 'CENTRE'
DYNA_LINE_TRAN NEWMARK
MATR_AMOR
DYNA_TRAN_MODAL EULER
AMOR_GENE
ADAPT
REST_BASE_PHYS
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Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
·
Déplacement (m) du point B
Déplacement Déplacement
Déplacement
Temps Référence
Aster Différence
Aster Différence
Aster Différence
(s)
NEWMARK
(%)
EULER
(%)
ADAPT
(%)
0,19 2,9334 E-3 2,93325 E-3
-0,005
2,93308 E-3
-0,011
2,93355 E-3
0,005
0,38 1,0959 E-3 1,09605 E-3
0,014
1,09625 E-3
0,032
1,09573 E-3
-0,015
0,57 2,2468 E-3 2,24664 E-3
-0,007
2,24647 E-3
-0,015
2,24690 E-3
0,005
0,76 1,5260 E-3 1,52615 E-3
0,010
1,52627 E-3
0,017
1,52595 E-3
-0,003
0,95 1,9773 E-3 1,97725 E-3
-0,002
1,97718 E-3
-0,006
1,97739 E-3
0,005
1,19 -1,2107 E-3 -1,21113 E-3
0,036
-1,20839 E-3
-0,191
-1,21142 E-3
0,060
1,38 7,5880 E-4 7,59030 E-4
0,030
7,56994 E-4
-0,238
7,59422 E-4
0,082
1,57 -4,7553 E-4 -4,75637 E-4
0,023
-4,74180 E-4
-0,284
-4,75974 E-4
0,093
1,76 2,9796 E-4 2,98011 E-4
0,017
2,97002 E-4
-0,322
2,98273 E-4
0,105
1,95 -1,8668 E-4 -1,86695 E-4
0,008
-1,86012 E-4
-0,358
-1,86890 E-4
0,113
2,14 1,1694 E-4 1,16943 E-4
0,002
1,16489 E-4
-0,385
1,17076 E-4
0,116
2,33 -7,3246 E-5 -7,32415 E-5
-0,006
-7,29453 E-5
-0,411
-7,33309 E-5
0,116
·
Vitesse (m.s1) du point B
Vitesse Vitesse Vitesse
Temps Référence
Aster Différence
Aster Différence
Aster Différence
(s)
NEWMARK
(%)
EULER
(%)
ADAPT
(%)
0,09 2,4261 E-2 2,42719 E-2
0,045
2,42772 E-2
0,067
2,42563 E-2
-0,019
0,28 -1,5210 E-2 -1,52159 E-2
0,039
-1,52111 E-2
0,007
-1,52087 E-2
-0,009
0,47 9,5332 E-3 9,53598 E-3
0,029
9,52994 E-3
-0,034
9,53446 E-3
0,013
0,66 -5,9745 E-3 -5,97590 E-3
0,023
-5,97018 E-3
-0,072
-5,97614 E-3
0,028
0,85 3,7438 E-3 3,74438 E-3
0,015
3,73979 E-3
-0,107
3,74519 E-3
0,037
1,08 -2,6037 E-2 -2,60274 E-2
-0,037
-2,59908 E-2
-0,177
-2,60402 E-2
0,012
1,27 1,6302 E-2 1,62945 E-2
-0,046
1,62664 E-2
-0,218
1,63040 E-2
0,013
1,46 -1,0204 E-2 -1,01990 E-2
-0,049
-1,01797 E-2
-0,238
-1,02065 E-2
0,024
1,66 6,3887 E-3 6,39331 E-3
0,072
6,37778 E-3
-0,171
6,39477 E-3
0,095
1,85 -4,0059 E-3 -4,00851 E-3
0,065
3,99659 E-3
-0,232
-4,01048 E-3
0,114
2,04 2,5114 E-3 2,51292 E-3
0,061
2,50425 E-3
-0,285
2,51465 E-3
0,130
2,23 -1,5743 E-3 -1,57516 E-3
0,055
-1,56902 E-3
-0,355
-1,57652 E-3
0,141
2,42 9,8676 E-4 9,87206 E-4
0,045
9,82986 E-4
-0,382
9,88220 E-4
0,148
6.2 Remarques
Les résultats sont testés au niveau des pics respectifs de déplacement et de vitesse où les valeurs
sont les plus significatives.
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7
Synthèse des résultats
Pour les deux modélisations, les résultats sont précis avec une erreur inférieure à 1 %.
L'intégration sur base modale avec un schéma à pas adaptatif donne les meilleurs résultats pour un
temps de calcul restreint.
Pour information, voici les différents temps CPU User utilisés pour la résolution des modélisations A et
B.
CPU User
DYNA_LINE_TRAN DYNA_TRAN_MODAL DYNA_TRAN_MODAL
(sec) (NEWMARK) (EULER) (Adaptatif)
Modélisation A
69,82
0,50 *
0,81 *
Modélisation B
57,29
0,42 *
0,50 *
(*) : MODE_ITER_SIMULT = 0,23 s : temps de calcul de la base modale à ajouter.
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6.4
Titre :
SDLD325 - Réponse dynamique transitoire d'un système masse-ressort
Date :
16/02/04
Auteur(s) :
E. BOYERE, T. QUESNEL Clé
:
V2.01.325-A Page :
10/10
Page laissée intentionnellement blanche.
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-66/04/005/A
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