Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLD104 - Extrapolation de mesures locales sur un modèle complet
Date :
04/03/02
Auteur(s) :
S. AUDEBERT, P. HERMAN Clé
:
V2.01.104-A Page :
1/12

Organisme(s) : EDF/RNE/AMV, CS SI
















Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
Document V2.01.104




SDLD104 - Extrapolation de mesures locales
sur un modèle complet (discret)



Résumé :

Il s'agit d'un test de dynamique linéaire discret.

Le but est de tester la commande PROJ_MESU_MODAL dans le cas d'un système discret. Cette commande
permet de projeter des réponses transitoires dynamiques expérimentales en un certain nombre de points sur
une base modale d'une modélisation numérique.

Ce test contient 2 modélisations :

·
la projection se fait sur un concept de base modale de type [mode_meca],
·
la projection se fait sur un concept de base modale de type [base_modale].

Pour les 2 modélisations, les mesures expérimentales fournies sont identiques et permettent de tester la
recherche des noeuds en vis-à-vis, la prise en compte d'une orientation locale et le traitement d'un
échantillonnage en temps constant ou non, pour des mesures en déplacement.

Dans les deux cas, la solution de référence est déterminée analytiquement (par Maple) ; la projection est
réalisée dans la configuration favorable où le nombre de modes est égal au nombre de mesures.
Les réponses en déplacement obtenues après projection sont identiques aux déplacements de référence
fournis en données.

Les valeurs des vitesses et des accélérations déduites des déplacements obtenus après projection sont
proches de celles obtenues analytiquement. Les faibles écarts constatés sont dus aux erreurs d'approximation
engendrées par la détermination via un schéma linéaire en temps des vitesses et accélérations.
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1
Problème de référence

1.1
Description du système

Nous considérons le système représenté par le schéma ci-dessous :



K

K
K

m
m


X1
X2


1.2
Masses et rigidité

Les trois ressorts sont de rigidité identique : k = 1000 N/m.
Les deux masses sont égales à m = 10 kg.


1.3

Conditions aux limites et chargement

Les deux extrémités sont encastrées.
Le chargement est une force axiale en traction appliquée sur la masse m1, sinusoïdale en fonction du
temps, de pulsation .
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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution analytique de ce problème est présentée ci-dessous.

·
Modes et fréquences de vibration :
Le système suivant caractérise la dynamique des masses :

mx& + 2kx - kx
1
1
2 = 0










éq 2.1-1
mx
& + 2kx - kx
2
2
1 = 0

Ce qui est équivalent au système suivant :


(
m x& + x
1
&2) + k(x + x
1
2 ) = 0










éq 2.1-2

(
m x& - x
1
&2) + k
3 (x - x
1
2 ) = 0

Les 2 fréquences propres du système sont donc données par :


k
k
=
et
3
1
2 =

éq
2.1-3
m
m

et les déformations modales associées sont :

1
1
= et
1
2 =



éq
2.1-4
1
- 1

Les matrices généralisées sont :

1
1m 01
1 2m
0
M = TM =


=

1 -
1 0

m 1 -
1
0
2
m

éq
2.1-5
1
1 2k - k1
1 2k
0
K = TK =


=

1 -
1 - k
2k 1 -
1
0 6k

·
Réponse transitoire :
1
L'effort sinusoïdal est appliqué sur la première masse : F =
(
sin t)


0
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Le système dynamique vérifié est le suivant :

MX
& + KX = F








éq 2.1-6

En projetant sur la base des modes propres, nous obtenons :

T & + T = T
M
K
F
éq
2.1-7

Soit :

2m
0 & 2k
0 1 1 1
1
1


+
=

(
sin t
)


éq
2.1-8
0
2m & 0 6k 1 - 10
2
2


Nous aboutissons donc au système découplé suivant :

1
m
& + k = si (
n t
)
1
1

2

éq
2.1-9
1
m

& + k
3 =
(
sin t
)
2
2

2

La solution de ce système est donnée par :

sin t
(t)
1
= 1
A
(
cos 1t) + 1
B si (
n 1t)
( )
+ 2

(m2 -2
1
)


éq
2.1-10
sin

(
t
t)
2
= 2
A
(
cos 2t) + 2
B s (
in 2t)
( )
+

2

(m2 -2
2
)

Les déplacements dans l'espace physique sont obtenus par la formule de Ritz :

x1
1

1 1
+
1
2

X = = =
=



éq
2.1-11
x2
1 -
1 2
-
1
2


On en déduit les expressions de :

x (t) et x (t)
1
2

éq
2.1-12


sin t

1
1

x (t) = A cos
sin
cos
sin


1
1
( t1)+ B1 ( t1)+ A2 ( t2)+ B2 ( t2)
( )
+
+
2m 2
2
2
2



1
-
2 -


sin t

1
1

x (t) = A cos
sin
cos
sin


2
1
( t1)+ B1 ( t1)- A2 ( t2)+ B2 ( t2)
( )
+
-
2m 2
2
2
2



1
-
2 -

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A l'instant initial, le système est au repos, d'où les expressions finales de x (t)
1
et x (t)
2
:








(
sin t
) -
s (
in t
1 )
(
sin t
) -
s (
in t
2 )
1



x (t)
1
2


1
=
+

2m
2
2
2
2






1 -
2 -








éq
2.1-13






(
sin t
) -
s (
in t
1 )
(
sin t
) -
s (
in t
2 )

1


x (t)
1
2


2
=
-
2m
2
2
2
2







1 -
2 -







Les vitesses des deux masses sont calculées en dérivant les déplacements par rapport au temps :



(
cos t
) - c (
os t


1 )
(
cos t) - c (
os
t
2 )
x (t)
&


1
=
+

2m
2
2
2
2



1
-
2 -



éq
2.1-14



(
cos t
) - c (
os t


1 )
co (
s t) - c (
os
t
2 )
x (t)
&


2
=
-
2m
2
2
2
2



1
-
2 -



Les accélérations des deux masses sont calculées en dérivant les vitesses par rapport au temps :



(
sin t
) - s




1
(
in
t
1 )
si (
n t) -
s
2
(
in
t
2 )
&x (t)


1
=
+

2m
2
2
2
2


1
-
2 -



éq 2.1-15


(
sin t
) - s




1
(
in
t
1 )
(
sin t) -
s
2
(
in
t
2 )
&x (t)


2
=
-
2m
2
2
2
2



1
-
2 -


2.2

Résultats de référence

La comparaison des résultats porte sur les déplacements, vitesses et accélérations suivant l'axe des
deux masses, à cinq instants différents.

2.3

Incertitude sur la solution

La solution de référence est exacte.
Le modèle discret représente parfaitement le problème posé (la base modale est complète ; il n'y a
donc pas d'approximation liée à une éventuelle troncature modale). Le nombre de modes de la base
de projection modale est égal au nombre de mesures, donc la solution de l'inversion est exacte (par
opposition à une solution approchée d'un problème inverse généralisé). Si la recherche des noeuds en
vis-à-vis est bonne, les déplacements obtenus après projection doivent être en parfaite adéquation
avec les valeurs expérimentales. Les vitesses et accélérations sont déterminées par dérivation des
contributions modales identifiées via un schéma d'approximation linéaire en temps, pouvant donc
générer quelques erreurs.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation et des maillages

·
Maillage numérique :
Le maillage numérique est réalisé directement au format ASTER. Il comporte 4 noeuds et 3
mailles discrètes.



k
m k
m
k
x

N1
N2
N3
N4

(x=0.) (x=0.1) (x=0.2) (x=0.3)


·
Maillage expérimental :
Le maillage de mesure ne comprend que 2 éléments ponctuels et 2 noeuds :



x

N2 N3

(x=0.12) (x=0.18)


3.2
Caractéristiques des mesures

Les mesures expérimentales fournies sont :

·
Au noeud N3 :
Les données sont les déplacements axiaux, multipliés par (­ 2 /2), et appliqués dans la direction
­X. L'orientation locale indiquée dans le fichier de commande est (45. 0. 0.)
L'échantillonnage du temps est constant : le temps initial est 0 s, le pas de temps est 10­3 s et le
nombre d'instants est 1001 (i.e. jusqu'à un temps final de 1 s).

·
Au noeud N2 :
Les données sont les déplacements axiaux, appliqués dans la direction x .
L'échantillonnage du temps est variable : tous les instants sont indiqués de 0 s à 1 s, par pas de
10­3 s (1001 instants au total).

Les valeurs sont issues du calcul analytique réalisé avec Maple.


3.3
Caractéristiques de la base modale

Les deux seuls modes sont stockés dans un concept de type [mode_meca] créé par la commande
MODE_ITER_SIMULT. Leurs fréquences propres sont identiques aux fréquences propres analytiques.
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3.4 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
CARA
'M_T_D_N



'K_T_D_L'
ORIENTATION
'ANGL_NAUT'

REPERE
'LOCAL'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT


NOEUD
AFFE_MODELE
TOUT
'MECANIQUE' 'DIST_T'

ASSE_MATRICE




CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA'


'RIGI_MECA'
MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
OPTION
'BANDE'

NUME_DDL




NUME_DDL_GENE




PROJ_MATR_BASE




PROJ_MESU_MODAL
MESURE



REGULARISATION
REST_BASE_PHYS TOUT_CHAM
'OUI'


TEST_RESU NOM_CHAM
'DEPL'


CRITERE
'VITE'
'ACCE'
'RELATIF'
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Code_Aster différence


à t = 0.1 s
1.745 10­4 1.745
10­4 0.01
%


à t = 0.3 s
6.797 10­4 6.797
10­4 0.01
%
DEPL_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
­1.217 10­3 ­1.217
10­3 0.01
%
(m) (masse
1)
à t = 0.7 s
5.214 10­4 5.214
10­4 ­0.01
%


à t = 0.9 s
9.031 10­4 9.031
10­4 0.00
%


à t = 0.1 s
9.154 10­6 9.154
10­6 0.00
%


à t = 0.3 s
6.414 10­4 6.414
10­4 0.00
%
DEPL_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
­8.636 10­4 ­8.636
10­4 0.00
%
(m) (masse
2)
à t = 0.7 s
­1.107 10­4 ­1.107
10­4 0.03
%


à t = 0.9 s
1.633 10­3 1.633
10­3 0.02
%


à t = 0.1 s
4.586 10­3 4.616
10­3 0.65
%


à t = 0.3 s
­7.598 10­3 ­7.663
10­3 0.85
%
VITE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
­1.581 10­4 ­8.000
10­5 7.81
10­5 m/s
(m/s) (masse
1)
à t = 0.7 s
9.382 10­3 9.354
10­3 ­0.30
%


à t = 0.9 s
­7.481 10­3 ­7.537
10­3 0.75
%


à t = 0.1 s
4.328 10­4 4.405
10­4 1.79
%


à t = 0.3 s
3.671 10­3 3.640
10­3 ­0.84
%
VITE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
­1.539 10­2 ­1.536
10­2 ­0.20
%
(m/s) (masse
2)
à t = 0.7 s
2.453 10­2 2.457
10­2 0.15
%


à t = 0.9 s
­1.899 10­2 ­1.912
10­2 0.68
%


à t = 0.1 s
6.112 10­2 6.100
10­2 ­0.20
%


à t = 0.3 s
­1.306 10­1 ­1.300
10­1 ­0.46
%
ACCE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.571 10­1 1.600
10­1 1.85
%
(m/s2) (masse
1) à t = 0.7 s
­5.657 10­2 ­5.800
10­2 2.53
%


à t = 0.9 s
­1.124 10­1 ­1.130
10­1 0.53
%


à t = 0.1 s
1.562 10­2 1.618
10­2 3.58
%


à t = 0.3 s
­6.031 10­2 ­6.223
10­2 3.18
%
ACCE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
5.102 10­2 5.374
10­2 5.33
%
(m/s2) (masse
2) à t = 0.7 s
7.428 10­2 7.043
10­2 ­5.19
%


à t = 0.9 s
­2.364 10­1 ­2.263
10­1 ­4.28
%

Remarque :

La vitesse au noeud N2 à l'instant t = 0.5 s étant relativement proche de zéro, la comparaison
est réalisée pour ce cas en valeur absolue.


4.2 Paramètres
d'exécution

Version : STA5 (5.05)

Machine : CLASTER

Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 9.05 secondes
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation et des maillages

·
Maillage numérique :
Le maillage numérique est réalisé directement au format ASTER. Il comporte 4 noeuds et 3
mailles discrètes.



k
m k
m
k
x

N1
N2
N3
N4

(x=0.) (x=0.1) (x=0.2) (x=0.3)


·
Maillage expérimental :
Le maillage de mesure ne comprend que 2 éléments ponctuels et 2 noeuds :


x

N2

N3

(x=0.12) (x=0.18)


5.2
Caractéristique des mesures

Les mesures expérimentales fournies sont :

·
Au noeud N3 :
Les données sont les déplacements axiaux, multipliés par (­ 2 /2), et appliqués dans la direction
­ x . L'orientation locale indiquée dans le fichier de commande est (45. 0. 0.)
L'échantillonnage du temps est constant : le temps initial est 0 s, le pas de temps est 10­3 s et le
nombre d'instants est 1001 (i.e. jusqu'à un temps final de 1 s).

·
Au noeud N2 :
Les données sont les déplacements axiaux, appliqués dans la direction X.
L'échantillonnage du temps est variable : tous les instants sont indiqués de 0 s à 1 s, par pas de
10­3 s (1001 instants au total).

Les valeurs sont issues du calcul analytique réalisé avec Maple.


5.3
Caractéristiques de la base modale

Les deux seuls modes sont stockés dans un concept de type [base_modale], créé par la commande
DEFI_BASE_MODALE. L'interface, de type Craig-Bampton, est placée sur le degré de liberté en
déplacement suivant x du noeud N2 (correspondant à la masse m 1). La base modale contient donc
un mode dynamique (avec N2 bloqué) et un mode statique.
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5.4 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_CARA_ELEM
DISCRET
CARA
'M_T_D_N



'K_T_D_L'

ORIENTATION
'ANGL_NAUT'


REPERE
'LOCAL'


AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT


NOEUD
AFFE_MODELE
TOUT
'OUI'


PHENOMENE
'MECANIQUE'
MODELISATION
'DIST_T'
ASSE_MATRICE




CALC_MATR_ELEM OPTION
'MASS_MECA'


'RIGI_MECA'
DEFI_BASE_MODALE CLASSIQUE



DEFI_INTERF_DYNA INTERFACE



MODE_ITER_SIMULT CALC_FREQ
OPTION
'BANDE'

NUME_DDL




NUME_DDL_GENE




PROJ_MATR_BASE




PROJ_MESU_MODAL
MESURE



REGULARISATION
REST_BASE_PHYS TOUT_CHAM
'OUI'


TEST_RESU NOM_CHAM
'DEPL'


CRITERE
'VITE'
'ACCE'
'RELATIF'
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Code_Aster différence


à t = 0.1 s
1.745 10­4 1.745
10­4 0.01
%


à t = 0.3 s
6.797 10­4 6.797
10­4 0.01
%
DEPL_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
­1.217 10­3 ­1.217
10­3 0.01
%
(m) (masse
1)
à t = 0.7 s
5.214 10­4 5.214
10­4 ­0.01
%


à t = 0.9 s
9.031 10­4 9.031
10­4 0.00
%


à t = 0.1 s
9.154 10­6 9.154
10­6 0.00
%


à t = 0.3 s
6.414 10­4 6.414
10­4 0.00
%
DEPL_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
­8.636 10­4 ­8.636
10­4 0.00
%
(m) (masse
2)
à t = 0.7 s
­1.107 10­4 ­1.107
10­4 0.03
%


à t = 0.9 s
1.633 10­3 1.633
10­3 0.02
%


à t = 0.1 s
4.586 10­3 4.616
10­3 0.65
%


à t = 0.3 s
­7.598 10­3 ­7.663
10­3 0.85
%
VITE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
­1.581 10­4 ­8.000
10­5 7.81
10­5 m/s
(m/s) (masse
1)
à t = 0.7 s
9.382 10­3 9.354
10­3 ­0.30
%


à t = 0.9 s
­7.481 10­3 ­7.537
10­3 0.75
%


à t = 0.1 s
4.328 10­4 4.405
10­4 1.79
%


à t = 0.3 s
3.671 10­3 3.640
10­3 ­0.84
%
VITE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
­1.539 10­2 ­1.536
10­2 ­0.20
%
(m/s) (masse
2)
à t = 0.7 s
2.453 10­2 2.457
10­2 0.15
%


à t = 0.9 s
­1.899 10­2 ­1.912
10­2 0.68
%


à t = 0.1 s
6.112 10­2 6.100
10­2 ­0.20
%


à t = 0.3 s
­1.306 10­1 ­1.300
10­1 ­0.46
%
ACCE_X
au noeud N2
à t = 0.5 s
1.571 10­1 1.600
10­1 1.85
%
(m/s2) (masse
1) à t = 0.7 s
­5.657 10­2 ­5.800
10­2 2.53
%


à t = 0.9 s
­1.124 10­1 ­1.130
10­1 0.53
%


à t = 0.1 s
1.562 10­2 1.618
10­2 3.58
%


à t = 0.3 s
­6.031 10­2 ­6.223
10­2 3.18
%
ACCE_X
au noeud N3
à t = 0.5 s
5.102 10­2 5.374
10­2 5.33
%
(m/s2) (masse
2) à t = 0.7 s
7.428 10­2 7.043
10­2 ­5.19
%


à t = 0.9 s
­2.364 10­1 ­2.263
10­1 ­4.28
%

Remarque :

La vitesse au noeud N2 à l'instant t = 0.5 s étant relativement proche de zéro, la comparaison
est réalisée pour ce cas en valeur absolue.


6.2 Paramètres

d'exécution

Version : STA5 (5.05)

Machine : CLASTER

Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 9.24 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SDLD104 - Extrapolation de mesures locales sur un modèle complet
Date :
04/03/02
Auteur(s) :
S. AUDEBERT, P. HERMAN Clé
:
V2.01.104-A Page :
12/12


7
Synthèse des résultats

Pour les deux modélisations, les réponses en déplacement obtenues après projection sont identiques
aux déplacements de référence calculés analytiquement avec Maple et fournis en données.

Les valeurs des vitesses et des accélérations déduites des déplacements obtenus après projection
sont proches de celles obtenues analytiquement. Les faibles écarts constatés sont dus aux erreurs
d'approximation engendrées par la détermination par un schéma linéaire en temps des vitesses et
accélérations.
Manuel de Validation
Fascicule V2.01 : Dynamique linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A

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