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Version
6.0
Titre :
SSLS120 - Coque mince sous pression hydrostatique
Date :
12/12/02
Auteur(s) :
J. M. PROIX Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V3.03 : Statique linéaire des plaques et des coques
Document : V3.03.120
SSLS120 - Coque mince cylindrique sous pression
hydrostatique
Résumé :
Ce test représente un calcul statique de réservoir cylindrique mince rempli d'eau. Il permet de valider la bonne
prise en compte des pressions fonction de la géométrie, ainsi que les matériaux élastique orthotropes. 3
modélisations éléments finis sont utilisées : AXIS, COQUE_3D avec des mailles QUAD9, COQUE_3D avec des
mailles TRIA7 et DKT avec des mailles QUAD4. Les déplacements et les contraintes obtenus sont comparés à
une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Réservoir cylindrique de rayon moyen R = 5.7 m, d'épaisseur e = 0.04 m et de hauteur L = 16 m,
simplement appuyé à sa base (la rotation est libre), et soumis à une pression hydrostatique interne.
Rayon moyen : R
= 5.7 m
Epaisseur :
e = 0.04 m
Hauteur :
L = 16 m
1.2
Propriétés de matériaux
Les propriétés des matériaux constituant la plaque sont :
Matériau 1 : élastique isotrope :
Module d'Young
E = 2.1 1011 Pa
Coefficient de poisson
= 0.3
Matériau 2 : élastique orthotrope :
E_L = 1.E10 Pa
E_T = 2.1E11 Pa
G_LT = 0.45E10 Pa
G_TN = 0.35E10 Pa
NU_LT = 0.075
L'axe L est confondu avec l'axe Z.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Base z = 0 simplement appuyée
pression interne variant linéairement suivant z : p(z) = P0.(L-z)/L
avec P0 = 15000 Pa.
1.4 Conditions
initiales
Sans objet.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
· Matériau isotrope : Solution analytique [bib1], obtenue avec l'hypothèse de coque mince :
= 0
zz
( L - z)
= PoR
Le
PoR2
z
u =
1 -
r
Ee
L
PoRLvz
z
u =
1 -
z
Ee
2L
PoR2
Déplacement radial à la base du cylindre : u (z = )
0 =
r
Ee
PoRLv
Déplacement vertical en haut du cylindre : u (z = L) = -
z
2Ee
PoR
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre (z = )
0 =
Le
· Matériau orthotrope : La solution peut être déduite de la précédente : les contraintes étant
statiquement déterminées, il suffit de modifier la loi de comportement, et d'intégrer les
déformations.
PoR2
Déplacement raidal à la base du cylindre : u (z = )
0 =
r
E e
T
PoRLv
Déplacement vertical en haut du cylindre : u (z = L
LT
) = -
z
2E e
T
PoR
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre (z = )
0 =
Le
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2.2
Résultats de référence
Matériau isotrope :
Déplacement radial à la base du cylindre :
Ur(A1) = 5.8017857E05 m
Déplacement vertical en haut du cylindre :
Uz(A3)= 2.442857E05 m
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre :
Stt(A1) = 2.1375E+06 Pa
Matériau orthotrope :
Déplacement radial à la base du cylindre :
Ur(A1) = 5.8017857E05 m
Déplacement vertical en haut du cylindre :
Uz(A3) = 6.107143E06 m
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre :
Stt(A1) = 2.1375E+06 Pa
2.3
Incertitude sur la solution
· Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
PILKEY W.D. : « Formulas for stress, Strain and Structural Matrices ». Wiley & Cons,
New York, 1994.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation AXIS. On maille seulement une génératrice du cylindre. 2 mailles QUAD8 dans
l'épaisseur et 400 sur la hauteur.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 3206
Nombre de mailles et types : 800 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `AXIS`
AFFE_CARA_ELEM MASSIF
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_CONTOUR
FX
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
3.4 Valeurs
testées
Matériau isotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DX (PM)
5.8018E05
5.7875E05
0.25
Uz (z=L)
DY (A3)
2.4429E05
2.433E05
0.4
Uz (z=L)
DY (A4)
2.4429E05
2.4185E05
1
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM)
2.1375E+06
2.13 E6
0.4
Matériau orthotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.7828E05
0.33
Uz (z=L)
DY (A3)
6.10714E06
5.992E06
1.9
Uz (z=L)
DY (A4)
2.4429E05
6.1367E06
0.5
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM)
2.1375E+06
2.13E6
0.4
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan y=0)
10 mailles QUAD9 dans la hauteur et 20 sur la demi-circonférence.
4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 664
Nombre de mailles et type : 200 QUAD9
4.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = COQUE_3D
AFFE_CARA_ELEM COQUE
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_COQUE
PRES
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
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4.4 Valeurs
testées
Matériau isotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DX (PM)
5.8018E05
5.7982E05
0.06
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.7982E05
0.06
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05
5.7982E05
0.06
Uz (z=L)
DZ (A3)
2.4429E05 2.4429E05
2.E4
Uz (z=L)
DZ (A4)
2.4429E05 2.4429E05
2.E4
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06
2.1371E+06 0.02
Matériau orthotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DX (PM)
5.8018E05 5.8018E05 2.E5
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05 5.8018E05
2.E5
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05 5.8018E05
2.E5
Uz (z=L)
DZ (A3)
6.10714E06 6.10716E06
3.E4
Uz (z=L)
DZ (A4)
6.10714E06 6.10716E06
3.E4
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06
2.1371E+06 0.02
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5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan y=0)
10 mailles TRIA7 dans la hauteur et 20 sur la demi-circonférence.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 864
Nombre de mailles et types : 400 TRIA7
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = COQUE_3D
AFFE_CARA_ELEM COQUE
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_COQUE
PRES
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
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5.4 Valeurs
testées
Matériau isotrope
Valeur Identification Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DY (PM)
5.8018E05
5.799E05
0.4
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.793E05
0.15
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05
5.806E05
0.06
Uz (z=L)
DZ (A3)
2.4429E05
2.4428E05
0.004
Uz (z=L)
DZ (A4)
2.4429E05
2.4428E05
0.004
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06
2.1377E+06 0.008
Matériau orthotrope
Valeur Identification Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DX (PM)
5.8018E05
5.8013E05
0.008
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.7904E05
0.2
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05
5.8122E05
0.18
Uz (z=L)
DZ (A3)
6.10714E06
6.1044E06
0.045
Uz (z=L)
DZ (A4)
6.10714E06
6.1070E06
0.002
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06
2.1377E+06 0.008
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6 Modélisation
D
6.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation DKT. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan y=0) 30
mailles QUAD4 dans la hauteur et 60 sur la demi-circonférence.
6.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1894
Nombre de mailles et types : 1800 QUAD4
6.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = DKT
AFFE_CARA_ELEM COQUE
ANGL_REP
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_COQUE
PRES
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
DEFI_COQU_MULT COUCHE
ANGL_REP
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6.4 Valeurs
testées
Matériau isotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DY (PM)
5.8018E05
5.7916E05
0.18
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.7916E05
0.18
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05
5.7916E05
0.18
Uz (z=L)
DZ (A3)
2.4429E05
2.4420E05
0.03
Uz (z=L)
DZ (A4)
2.4429E05
2.4420E05
0.03
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06 2.1371E+06 0.02
Matériau orthotrope
Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ur (z=0)
DY (PM)
5.8018E05
5.798E05
0.06
Ur (z=0)
DX (A1)
5.8018E05
5.798E05
0.06
Ur (z=0)
DX (A2)
5.8018E05
5.798E05
0.06
Uz (z=L)
DZ (A3)
6.10714E06
6.105E06
0.03
Uz (z=L)
DZ (A4)
6.10714E06
6.105E06
0.03
SigmaTT (z=0)
SIZZ (PM) 2.1375E+06 2.1371E+06 0.02
6.5 Remarques
Pour obtenir un résultat correct, il faut prendre garde à la convention adoptée pour NU_LT pour les
coques multi couches (DEFI_COQU_MULT), qui est différente de celle utilisée pour ELAS_ORTH :
Ici, il faut prendre Nu_LT tel que NuTL=ET/EL*NuLT, soit NU_LT = 0.014285714).
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7
Synthèse des résultats
Les résultats des quatre modélisations sont très proches de la solution analytique : au maximum 0.4 %
écart pour les modélisations COQUE_3D et DKT, et moins de 2 % d'écart pour la modélisation
axisymétrique, ce qui s'explique par le fait que la solution analytique est une solution coque mince.
Ce test valide donc d'une part les efforts de pression variant linéairement avec la géométrie, pour des
coques minces, et d'autre part la prise en compte de l'élasticité orthotrope.
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