Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

FDLV107 - Rigidités ajoutées sous écoulement annulaire

Date :
01/03/04
Auteur(s) :
N. GREFFET, G. ROUSSEAU Clé
:
V8.01.107-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, EDF-DPN/UTO
















Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
Document : V8.01.107





FDLV107 - Rigidités ajoutées sous écoulement
annulaire





Résumé :

Ce test du domaine de l'interaction fluide-structure, valide le calcul de rigidité ajoutée sur un cylindre circulaire
excité sur son premier mode de flexion rotulé-rotulé et soumis à des écoulements annulaires de différentes
vitesses.

On calcule la rigidité ajoutée (fonction de la vitesse) sur le premier mode de flexion du cylindre. On vérifie la
décroissance de la fréquence propre du mode, jusqu'à la valeur zéro pour une vitesse critique d'écoulement du
fluide.

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Fascicule V8.01 : Fluide HT-66/04/005/A

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


fluide
u

u
z
R

e
R i
y
x
A
B
L


Le système représenté sur le schéma ci-dessus est composé de deux cylindres coaxiaux et d'un fluide
en écoulement à la vitesse u dans l'espace annulaire entre les deux cylindres. Les dimensions sont :

·
rayon intérieur : Ri = 1 m ;
·
rayon extérieur : Re = 1.05 m ;
·
longueur : L = 100 m.


1.2
Propriétés des matériaux

Structure :

module d'Young : E = 2.1011 Pa ;
coefficient de Poisson : = 0.3 ;
masse volumique : s = 7800 kg/m3.

Fluide :

masse volumique : = 1000 kg/m3.

1.3
Conditions aux limites et chargements

Structure :

blocage des noeuds du cylindre intérieur ;
rotule aux points A et B du cylindre externe.

Fluide :

on impose différentes vitesses en entrée du domaine fluide avec des flux thermiques normaux égaux
à 4 m/s, 0.5 m/s, 1.5 m/s, 2 m/s, 2.2 m/s et 2.688 m/s (vitesse critique).


1.4 Conditions
initiales

Sans objet.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est une solution analytique approchée. Les potentiels fluctuants analytiques
approchés pour calculer la rigidité ajoutée s'écrivent [bib1] :

2
2

R

R
y l
+

e
i
2



1(r, , y)
(
)
=
r +
sin sin
2
2

R - R
r
l
e
i


2
2

R

R
y l
+

e
i
2


2 (r, , y)
(
)
=
r +
sin cos

2
2
R - R
r
l

e
i

La rigidité ajoutée sur le premier mode de flexion du cylindre extérieur considéré comme une poutre
rotulé-rotulé s'écrit [bib1] :

V 2 3R3
R2
K
0
e
i


A = -

2 (
R +
R2 - R
e
2


e
i ) l
Re

Cette rigidité, calculée sur une géométrie cylindrique, est ensuite affectée à un modèle à un degré de
liberté équivalent.

Le système à 1 ddl équivalent est un système masse-ressort équivalent auquel on affecte une masse
égale à la masse du système augmentée de la masse ajoutée par le fluide et une rigidité égale à la
rigidité du système augmentée de la rigidité ajoutée par l'écoulement pour différentes vitesses.

La masse du système en air est de :

M = 10292 kg

pour une coque cylindrique externe d'épaisseur :

C = 2.10­3 m

Pour rigidité équivalente en air du système "coque externe", on prend la rigidité d'une poutre soumise
à une force répartie sur toute sa longueur :

F
d3e
K = 384EI
= 1.649 10-3 m
5L3
avec
I =
8


ainsi K = 2 533 104
.
N / m

Le système équivalent couplé à l'écoulement est représenté par le schéma suivant :

m
k

avec m = M + M
k = K + K
A
A

La pulsation propre du système couplé évolue en fonction du carré de la vitesse d'écoulement. Si on
appelle V c0 la vitesse critique d'écoulement pour laquelle la rigidité k s'annule :

2 e
R - i
R lK
0
V , K + K A( 0
V )
2
( 2 2)
= 0 avec 0
V
=

c
c
c
2


i
R
3 3

+

e
R
e
R



e
R
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alors on montre que :

(V
2
0 ) = ( )
0
1- x
e


où l'on a posé :

e
(0)
K
=

(
repos

au

fluide

en

système

du

propre

pulsation
)
M + M A

V
x = 0
(
l'

de

réduite

vitesse
écoulement )
V0c

La pulsation du fluide au repos vaut : = 0.085 rad/s.


2.2
Résultats de référence

On calcule pour différentes vitesses d'écoulement la fréquence propre du système.

V (m s)
0
/

0.5 1.5 2. 2.2
2.688
M A (kg)
3.486E6 3.486E6 3.486E6 3.486E6
3.486E6
KA (N/m)
­876.5 ­7888.50
­14023.95
­16968.98
­25330
Mtotal (kg)
3.491E+6 =
=
= =
Ktotal (N/m)
24453.5 17441.5 11306.05
8361.00 0.
f (V
1.318 1.112 0.896 0.772
0.
0 ) x 10­2 (Hz)


2.3
Incertitude sur la solution

Solution semi-analytique.


2.4 Références
bibliographique

[1]
ROUSSEAU G., LUU H.T. - Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure
vibrante placée dans un écoulement potentiel - Note interne EDF/DER, HP-61/95/064/A
(1995).

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Pour la géométrie sur laquelle on évalue les coefficients ajoutés :

Fluide : 1800 éléments THER_HEXA8 thermiques 1560 éléments thermiques THER_FACE4
d'interface ;

Structure : 1200 éléments de coque QUAD4 modélisation 'DKT'.

Pour le système à 1 ddl équivalent : 2 éléments finis discrets modélisation 'DIS_T'.


3.2
Caractéristiques du maillage

Maillage 1 (coques cylindres) :
1800 mailles HEXA8 1560 mailles QUAD4


Maillage 2 (système discret) :
1 maille SEG2 1 maille POI1


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


CALC_MATR_AJOU OPTION
'RIGI_AJOU'


POTENTIEL



CHAM_NO






4
Résultats de la modélisation A


4.1 Valeurs
testées


Identification Référence
Aster
% différence
x 10­2
x 10­2
fréquence à 0.5 m/s
1.318
1.332
+1
fréquence à 1.5 m/s
1.112
1.130
+1.6
fréquence à 2 m/s
0.896
0.917
+2.3
fréquence à 2.2 m/s
0.772
0.795
+2.9
fréquence à 2.688 m/s
0.
0.192


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5
Synthèse des résultats

L'écart sur les fréquences propres augmente du fait que lorsque l'on est voisin de la vitesse critique de
flambage, la rigidité du système équivalent doit tendre vers zéro. Cependant, avec les erreurs
d'arrondi (puisqu'on affecte "à la main" les valeurs de rigidité ajoutée calculées par l'opérateur à un
modèle discret) ne permettent pas d'obtenir une pulsation propre du système nulle à la vitesse
critique.
Des écarts sur les valeurs de rigidité ajoutées subsistent aussi car la solution de référence est bâtie
sur une solution semi-analytique qui part de l'approximation selon laquelle la séparation des variables
entre la cote y et les coordonnées orthoradiales est possible. On remarquera que les potentiels choisis
pour décrire la perturbation engendrée par la vibration de la structure dans le fluide ne vérifient pas
l'équation de Laplace compète mais seulement dans une section transverse du fluide en coordonnées
orthoradiales. Cette approximation effectuée sur la solution de référence peut expliquer certains écarts
avec le calcul numérique.

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