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Version
6.2
Titre :
SSLL111 - Eléments de poutre multifibre (droites)
Date :
05/11/02
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F.GATUINGT Clé
:
V3.01.111-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, LMT Cachan
Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document : V3.01.111
SSLL111 - Réponse statique d'une poutre béton
armé (section en T) à comportement linéaire
Résumé :
Le problème consiste à analyser la réponse d'une poutre en béton armé par l'intermédiaire d'une modélisation
poutre multifibre. Ce test correspond à une analyse statique d'une poutre ayant un comportement linéaire.
Trois cas de charge successifs sont testés : une force ponctuelle, le poids propre et une élévation de
température. Pour le premier cas de charge, deux maillages de la section, l'un grossier et l'autre plus fin sont
testés.
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1 Caractéristiques
générales
1.1 Géométrie
Poutre en flexion trois points, définie par :
y
x
A
B
5 m
Avec une section en double T :
30 cm
10 c m
10 c m
5 cm
y
12, 5 cm
O
20 c m
z
10 cm
12,5 cm
8 cm
8 cm
5 cm
20 cm
Sur ce schéma, O est situé à mi-hauteur de la section.
La section totale des aciers supérieurs est 3.104 m2 et celle des aciers inférieurs est 4.104 m2.
1.2
Propriétés de matériaux
· béton : E = 2. 1010 Pa ; = 0.2 ; = 2400 kg.m3 ; = 10-5 K1
· acier : E = 2,1. 1011 Pa ; = 0.33 ; = 7800 kg.m3 ; = 10-5 K1
1.3
Conditions aux limites
Appui simple en B : dy = 0
Appui "double" en A : dx = dy = dz = 0 de même que rx = ry = 0.
1.4 Chargements
Trois cas de charge sont testés successivement :
Chargement 1 : effort concentré au milieux de la poutre, F = 10000 N
Chargement 2 : poids propre de la poutre, g = 9,8 m.s2
Chargement 3 : échauffement homogène de la poutre T = 100 K
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2
Solution de référence
Les calculs de référence sont effectués à partir d'un simple calcul élastique en RdM.
2.1 Centre
élastique
En flexion simple, pour un comportement élastique, l'axe neutre passe par le centre élastique
(barycentre des sections pondéré par les modules des matériaux) :
C tel que E CM dS = 0
S
On détermine d'abord la position des centres de gravité du béton seul G et de l'acier seul G par
b
a
rapport au point O.
y = 0,125 × 0,3 ×0,05 -0,125 × 0,2 ×0,05 =1,38888.10-2 m
G b
0,2 × 0,05 + 0,1×0,2 + 0,3× 0,05
y = 0,125 × 3 -0,125 × 4 = -1,78571.10-2 m
G a
3+ 4
z = z = 0 m
Ga
Gb
On peut ensuite déterminer la position par rapport à O du centre élastique C .
EaSa OGa + EbSb
b
OG
OC =
EaSa + EbSb
La section de béton S est 0,045 m2 et la section d'acier S est 7.104 m2. Le module d'Young du
b
a
béton est 2.1010 MPa et celui de l'acier 21.1010 MPa. On a donc
y = 2 × 0,045 ×1,38888 -21× 7.10-4 ×1,78571 = 0,94317.10-2 m
C
2 ×0,045 + 21× 7.10-4
z = 0 m
C
2.2 Moments
quadratiques
Les moments quadratiques des sections rectangulaires de béton sont calculées par la formule
suivante :
3
bh
2
+ b × h × d
12
Où, b représente la largeur, h la hauteur et d la distance du centre de gravité de la section par rapport
à l'axe pour lequel on calcule le moment.
On obtient alors le moment quadratique de la section de béton par rapport à l'axe z passant par le
centre élastique :
3
3
,
0 × 05
,
0
×
I
-
-
béton =
+ ( 3
,
0 × 05
,
0
)( 125
,
0
-
10
.
94317
,
0
)
3
2
2
1
,
0
,
0 2
+
+ ( 1,
0 × ,
0 2)(
.
94317
,
0
10 )2
2
12
12
3
,
0 2 × 05
,
0
+
+ ( ,
0 2 × 05
,
0
)( 125
,
0
+ 94317
,
0
10
. - )2
2
3
-
4
= ,
0
.
4547 10
m
12
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Les inerties des aciers sont calculées par la formule suivante :
4 + S ×d2 S×d2
64
Où, représente le diamètre de l'acier, S la section d'acier et d la distance du centre de gravité de la
section par rapport à l'axe pour lequel on calcule le moment. Le diamètre des aciers étant petit, on
néglige le premier terme.
On obtient alors le moment quadratique des sections d'acier par rapport à l'axe z passant par le centre
élastique :
3.10-4 × (0,125 - 0,94317.10-2)2 + 4.10-4 ×(0,125 + 0,94317.10-2)2 = 0,1124.10-4 m4
Pour le section complète de la poutre, le moment quadratique pondéré par les modules d'Young des
matériaux est :
EI = 2.1010 × 0,4547.10-3 + 21.1010 × 0,1124.10-4 = 11,4544.106 Pa.m4
2.3
Cas de charge 1
Pour le cas de charge 1 (charge concentrée au milieu de la poutre), la flèche est calculée par la
formule de RDM suivante :
F l 3
×
f =
48EI
Ce qui donne la flèche :
f =
10000 × 53
= 2,2735.10-3 m
48 ×11,4544.106
On peut également calculer les efforts généralisés suivants :
F
· l'effort tranchant au début de la poutre (partie gauche) vaut
= 5000 N ,
2
F × l
· le moment fléchissant au milieu de la poutre vaut :
=1,25.104 N.m.
4
2.4
Cas de charge 2
Pour le cas de charge 2 (poids propre de la poutre), la flèche est calculée par la formule de RDM
suivante :
f = 5 × p × l4
384 EI
où p est la charge linéique due au poids des matériaux :
p = g( S + S ) = 9,8 ×(2800 × 7.10-4 + 2400 × 0,045) =1111,9 N .m-1
a a
b b
Ce qui donne la flèche :
f = 5 ×1111,9 × 54 = 7,9.10-4 m
384 ×11,4544.106
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2.5
Cas de charge 3
Pour le cas de charge 3 (élévation homogène de température), la poutre étant isostatique et les
coefficients de dilatation du béton et de l'acier étant identiques, la solution est simple :
Les contraintes et efforts généralisés sont nuls.
L'allongement de la poutre est : l = × l ×T
Ce qui donne avec les valeurs de notre cas :
l =10-5 ×5 ×100 = 5.10-3 m
3 Modélisation
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage longitudinal de la poutre :
Nous avons 3 noeuds et deux éléments (POU_D_EM).
A
C
B
La partie béton de la section transversale de la poutre est maillée (AFFE_SECT) tandis que les aciers
sont donnés directement sous forme de 4 fibres ponctuelles dans AFFE_CARA_ELEM (AFFE_PONCT).
Deux maillages de la partie béton sont testés pour le cas de charge 1. Le maillage fin est constitué de
120 fibres et le maillage grossier est constitué de 16 fibres :
Remarque :
Le problème étant 2D, une seule fibre dans la largeur pourrait sembler suffisante
(multicouches), mais cela conduirait à avoir des termes nuls dans la matrice de rigidité
(l'inertie propre des fibres n'étant pas prise en compte) et à une erreur lors de la résolution du
système d'équations.
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3.2 Fonctionnalités
testées
Commandes
CREA_MAILLAGE
CREA_GROUP_MA
AFFE_MODELE
MAILLAGE
'MECANIQUE'
'POU_D_EM'
DEFI_MATERIAU
'ELAS'
AFFE_MATERIAU
GROUP_MA
MATER
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
GROUP_MA
SECTION
ORIENTATION
GROUP_MA
CARA
'ANGL_VRIL'
AFFE_SECT
GROUP_MA
MAILLAGE_SECT
TOUT_SECT
'OUI'
COOR_AXE_POUTRE
NOM
AFFE_FIBRE
GROUP_MA
'SURFACE'
CARA
VALE
COOR_AXE_POUTRE
NOM
AFFE_CHAR_MECA
MODELE
DDL_IMPO
GROUP_NO
FORCE_NODALE
GROUP_NO
PESANTEUR
TEMP_CALCULEE
MECA_STATIQUE
MODELE
CHAM_MATER
CARA_ELEM
EXCIT
CHARGE
CALC_ELEM
REUSE
RESULTAT
MODELE
CHAM_MATER
CARA_ELEM
OPTION
EFGE_ELNO_DEPL
EXCIT
CALC_NO
REUSE
RESULTAT
OPTION
EFGE_NOEU_DEPL
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4 Résultats
4.1
Cas de charge 1
Référence
Modélisation Ar
Erreur relative %
Flèche
(maillage fin)
2,2735 103 2,2740
103 0,02
Flèche
(maillage grossier)
2,2735 103 2,2956
103 1,0
(1)
Effort tranchant
(appuis A)
5000
2500
0,0 (2)
Moment fléchissant
(Milieu) 1,25
104 6,25
103 0,0
(2)
1) Les calculs sont effectués sans prendre en compte l'inertie propre de chaque fibre. Les résultats
montrent qu'il n'est néanmoins pas très utile d'en tenir compte car la différence entre un
maillage grossier et un maillage fin n'est pas flagrante.
Le maillage de la section n'a pas besoin d'être très fin pour avoir des résultats précis (en
élasticité).
2) L'option EFGE_NOEU_DEPL utilisée pour calculer les efforts généralisés aux noeuds fait une
moyenne des efforts généralisés de tous les éléments connectés au noeud. Dans notre cas,
nous avons 2 éléments de poutre superposés (un pour le béton, un pour l'acier), les efforts
calculés sont donc divisés par 2.
Si l'on additionne les valeurs d'efforts par élément (EFGE_ELNO_DEPL) de l'élément béton et de
l'élément acier, on retrouve bien les valeurs théoriques.
Remarque :
Si on fait un calcul de flèche en prenant O (mi-hauteur) comme axe de référence à la place
du centre élastique (COOR_AXE_POUTRE), l'erreur relative sur la flèche est de 0,2% (car ici le
centre élastique est pratiquement à mi-hauteur (voir 1.2.1).
4.2
Cas de charge 2
Référence
Modélisation Ar
Erreur relative %
Flèche
(maillage fin)
7,900 104 7,902
104 0,02
4.3
Cas de charge 3
Référence
Modélisation Ar
Erreur relative %
Allongement 5,00
103 5,00
103 0,0
Efforts 0,00
0,00
0,0
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5
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats de référence.
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