Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
1/6
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.009
SDLL09 - Vibration d'une poutre élancée
de section rectangulaire variable (encastrée-libre)
Résumé :
Ce problème plan consiste à chercher les fréquences de vibration d'une poutre encastrée libre à section
variable rectangulaire. Ce test comporte une seule modélisation.
La variation de section de la poutre est soit homothétique, soit non homothétique. Les caractéristiques de la
section de la poutre sont données selon les mailles de deux façons différentes :
· section et inerties,
· hauteur et largeur.
Ce problème permet donc de tester l'élément de poutre à section variable pour une structure prismatique ainsi
que le calcul des fréquences de vibration par itérations inverses. Par ailleurs, dans l'opérateur
AFFE_CARA_ELEM [U4.24.01], on teste la rémanence de certains mots-clés.
Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux donnés dans le guide VPCS.
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
2/6
1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y,v
L
y
y
bo
b1
B
h
h
o
h1
h
A
1
z
o
x,u
z
b
z,w
1
bo
Sections rectangulaires
Longueur de la poutre :
L = 1 m
Section rectangulaire :
Section droite initiale
Section droite finale
Cas 1
Cas 2
hauteur :
ho = 0.04 m
= 0.04 m
h1 = 0.01 m
largeur :
bo = 0.04 m
= 0.05 m
b1 = 0.01 m
aire :
Ao = 1.6 103 m2
= 2.103 m2
A1 = 1.104 m2
inertie :
lzo = 2.1333 107 m4
= 2.6667 107 m4
Iz1 = 8.3333 1010 m4
Coordonnées des points (m) :
A
B
x
0.
1.
y
0.
0.
z
0.
0.
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1011 Pa
= 7 800 kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Point A : encastré u = v = 0 = 0.
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
3/6
2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL09/89 du guide VPCS qui présente la
méthode de calcul de la façon suivante :
Calcul exact par intégration numérique de l'équation différentielle de la flexion des poutres (Théorie
d'Euler-Bernouilli).
2
2
v
E
I
z
x2
2
= -
v
A
x2
t2
où Iz et A varient avec l'abscisse.
On obtient :
E
f
=
1
( ) h1
i
,
2 i
L2
12
avec :
= h0 = 4
h1
= b0 = 4 ou 5
b1
1
2
3
4
5
= 4
23.289
73.9
165.23
299.7
478.1
= 5
24.308
75.56
167.21
301.9
480.4
2.2
Résultats de référence
5 premiers modes propres de flexion.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution semi-analytique.
2.4 Références
bibliographiques
H.H. MABIE, C.B. ROGERS, Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams - Journal of the
Acoustical Society of America, n° 51, p. 1771-1774 (1972).
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
4/6
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation : Eléments de poutre POU_D_E
y
B
A
x
Découpage :
poutre AB : 30 mailles SEG2 de section variable
15 mailles en "section Générale"
15 mailles en "section Rectangulaire"
Conditions limites :
en tous les noeuds
DDL_IMPO: ( TOUT:'OUI' DZ: 0., DRX: 0., DRY: 0. )
à l'extrémité A
( Noeud: A DX: 0., DY: 0., DRZ: 0. )
Noms des noeuds :
Point A = N100
Point B = N200
3.2
Caractéristiques du maillage
Maillage :
Nombre de noeuds : 31
Nombre de mailles et types : 30 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'GENERALE'
MAILLE
[U4.24.01]
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'RECTANGLE'
MAILLE
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
[U4.25.01]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_E'
[U4.22.01]
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_INV
OPTION
'AJUSTE'
[U4.52.01]
Test de la rémanence d'un mot-clé (SECTION et CARA).
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
5/6
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
fréquence en HZ
Cas 1 ho/h1 = 4 bo/b1 = 4
homothétique
flexion 1
54.18
54.1354
0.08
flexion 2
171.94
171.7122
0.13
flexion 3
384.40
383.8764
0.14
flexion 4
697.24
696.1877
0.15
flexion 5
1112.28
1110.4727
0.16
Cas 2 ho/h1 = 4 bo/b1 = 5
non homothétique
flexion 1
56.55
56.4984
0.09
flexion 2
175.19
175.5306
+0.19
flexion 3
389.01
388.3426
0.17
flexion 4
702.36
700.9879
0.20
flexion 5
1117.63
1115.4275
0.20
4.2 Remarques
Calculs par
MODE_ITER_INV (...
CALC_FREQ: ( FREQ: (53. , 1150.))) ;
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : NEW3.03.15
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
7.72 secondes
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A
Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL09 Vibration d'une poutre élancée de section rectangulaire
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, A. PENET
Clé :
V2.02.009-A Page :
6/6
5
Synthèse des résultats
Bonne implantation de l'élément de poutre de section variable avec un maillage fin.
Une modélisation plus grossière serait suffisante.
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
HI-75/96/035 - Ind A