Code_Aster ®
Version
8.1

Titre :

SSNA104 - Cylindre creux soumis à une pression, viscoélasticité linéaire
Date :
02/11/05
Auteur(s) :
Ph. De BONNIERES, S. LECLERCQ, L. SALMONA Clé
:
V6.01.104-B Page :
1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, EDF-R&D/MMC, CS SI















Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document : V6.01.104





SSNA104 - Cylindre creux soumis à une pression,
viscoélasticité linéaire




Résumé :

Ce cas-test permet de valider les lois de LEMAITRE et LEMA_SEUIL implantée dans le Code_Aster dans le cas
de comportement viscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie


Dimensions du cylindre :
R0
1 m
R1
2 m
Figure 1.1-a : Coupe du cylindre creux et chargement

1.2
Propriétés des matériaux

Module d'Young : E= 1 MPa
Coefficient de Poisson : =0.3

Loi de LEMAITRE :
n


1
1
1
g( ,,T ) =
avec
= ,
1
= ,
0 n = 1

K 1
K
m
m



Loi LEMA_SEUIL :



g( ,,T )
2
3
= A
avec A =
, = 1




sur tout le maillage
3
2
10
S 10-
=


Etant donné la valeur des différents paramètres matériaux, les deux lois sont absolument identiques et
peuvent donc être comparés à la même solution analytique.

1.3
Conditions aux limites et chargement

Conditions aux limites :
Le cylindre est bloqué en DY sur les côtés [AB] et [CD].


Chargement :
Le cylindre est soumis à une pression interne sur [DA] P0 =1.E-3 MPa
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2
Solutions de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence

L'ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].

Dans le cas d'un matériau isotrope viscoélastique linéaire, on peut décrire le comportement au cours
du temps à l'aide de deux fonctions I (t) et K (t) de telle sorte que les déformations et les contraintes
peuvent s'écrire :


d (t)
d(Tr( (t))
(t) = (I + K) *
- K *
I
3

d

d
I désigne la matrice identité de rang 3
3
t
et * le produit de convolution : ( f * g t
)( ) = f t( -)g()d
0
1

1
On trouve I t
( ) =
+ kt, K t() =
+ kt
E
E
2

On impose la pression P0 à l'instant t=0, la pression interne vaut
0 si t - < 0
p(t) = H (t)P où H (t) =
avec dans ce cas = 0
0

1 si t - 0

On utilise la transformée de Laplace Carson
+
f (n) = L( f (t)) = n
-
f (t)e nt dt
0
D'où +
p = P
0
La solution du problème élastique équivalent est :


r 2

1- 1
0
0

2
r




2

2
+

P r
=

r
0
1+ 1
0 où
0 0
=




2
r



2
2
r - r

1
0
+

0
0
Z





On détermine +
par la condition sur +
donnée par les conditions aux limites :
Z
Z

+
+
+
= 0 = (I + K +
+
)
- K (
2 + +
+
) = I +
+
- 2K
Z
Z
Z
Z

+

(2 - )1p
D'où = 1
.
Z

+



p + Ek
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-
On trouve par la transformée de Laplace inverse
(t ) = (1 - (1 -
2 ) Eht
e
Z
), de même en
appliquant la transformée de Laplace inverse sur et , on trouve
r



r 2

1- 1
0
0


2
r




2

+
=

r
0
1+ 1
0




2
r




0
0
(1- (1-
2 ) -Eht
e
)






On en déduit :
3 1-
2
r 2


-Ekt
k
e
- 1
0
0




2
2
3
r




2

3
1

& =
- 2
r
-Ekt
0
k
e
- 1
0

V



2
2
3
r





0
0
- k (1 -
2 ) -Ekt
e
)






et en intégrant avec ( )
0 = 0 ;
V
3 1- 2
r 2


-Ekt

e
- k 1 t
0
0




2


2
3E
r




2


=
3 1- 2
r

-Ekt
0

e
- k 1 t
0
.
V



2


2
3E
r




(1- 2 )

0
0
-
(1- -Ekt
e
)

E



On en déduit le déplacement radial
1
r 2
1- 2

2
3
w(r,t) =
1
Ekt
r
r (1+ )
+
(3-(1- 2) -e )

+

2

k 1 t
2


E
r
2
2 r

2.2
Résultats de référence

Déplacement DX sur le noeud B et les contraintes SIXX, SIYY et SIZZ en B

2.3
Incertitude sur la solution

0% : solution analytique

2.4 Références
bibliographiques

[1]
Ph. De BONNIERES : Deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en
viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le problème est modélisé en axisymétrie.


3.2
Caractéristiques du maillage

1000 mailles QUAD4


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU LEMAITRE



STAT_NON_LINE COMP_INCR
LEMAITRE





4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster Ecart
%
DX(B) 0.9
2.14498
E­3
2.14493496E­03
0.002 %

SIXX(B)
0.9
0.0
­4.8168 E­6
­4.8168 E­6
SIYY(B)
0.9
2.7912 E­4
2.759 E­4
1.5 %
SIZZ(B) 0.9 6.66 E­4
6.635 E­4
0.5 %


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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Le problème est modélisé en axisymétrie


5.2
Caractéristiques du maillage

1000 mailles QUAD4


5.3
Fonctionnalités testées

Commandes


DEFI_MATERIAU LEMA_SEUIL

STAT_NON_LINE COMP_INCR
LEMA_SEUIL




6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Identification Instants Référence
Aster Ecart
%
DX(B) 0.9
2.14498
E­3
2.14493496E­03
0.002 %

SIXX(B)
0.9
0.0
­4.81687 E­6
­4.8168 E­6
SIYY(B)
0.9
2.7912 E­4
2.759 E­4
1.5 %
SIZZ(B) 0.9 6.66 E­4
6.635 E­4
0.5 %



7
Synthèse des résultats

Les résultats calculés par le Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais
dépendent très fortement du raffinement du maillage.
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