Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

SSNL126 - Flambement élastoplastique d'une poutre droite
Date :
28/10/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, N. GREFFET, L. SALMONA Clé
:
V6.02.126-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA














Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.126





SSNL126 - Flambement élastoplastique d'une
poutre droite





Résumé :

Une poutre droite élancée de section circulaire est soumise à une force de compression à une extrémité, et est
encastrée à l'autre extrémité. Le comportement du matériau est élastoplastique, avec un écrouissage isotrope
linéaire. Au cours de la montée en charge, on calcule les charges critiques de flambement élastique, puis
plastique.

Deux modélisations permettent de tester le critère de flambement en élastoplasticité :

Modélisation A : maillage volumique, petites déformations et petits déplacements.
Modélisation B : maillage volumique, petites déformations et grands déplacements (GREEN).
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
Force surfacique

Poutre droite, de longueur L = 1m
Section circulaire de rayon R = 0.01m.






Encastrement


1.2
Propriétés de matériaux

Matériau élastoplastique à écrouissage linéaire isotrope :

Module d'Young : E = 210000 MPa
Coefficient de Poisson : = 0. (hypothèse de poutre d'Euler-Bernoulli)
Limite d'élasticité :Y = 4 MPa
Module tangent : ET = 70000 MPa



1.3

Conditions aux limites et chargements

·
C.L. : encastrement sur toute la surface de base
·
Force surfacique sur la face supérieure : à t = 1s, F = 6.5 MPa

Cette charge est appliquée en 10 pas de temps équirépartis.


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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Solution analytique :

En petits déplacements :

· en régime élastique (pour F< Y) la valeur critique théorique correspond à la charge d'Euler.
Dans le cadre d'une cinématique de poutre, la charge critique vaut :

2
EI
2 EI
F =
cr
, donc la pression critique : P =

2
cr

4 L
2

4 SL
4
R
2
ER 2
avec I =
et
2
S = R soit P =
4
cr

2
16 L

· en régime élastoplastique, comme on considère une compression uniforme sans décharge
élastique et du fait de la loi de comportement, la charge critique de flambement vaut :

2
Et.I
2
EtR2
F =
cr
soit une pression critique de : P =
2
cr


4 L
2
16L


2.2
Résultats de référence

Valeurs de la charge critique pour les deux cas de charge.

En régime élastique, pour F < 4 MPa, soit t < 0.61538462, on doit obtenir : Pcr = 12.95 MPa.


En régime plastique la valeur de pression critique de flambage est : 4,32 MPa.


Les coefficients critiques en fonction du chargement sont :


Pas de temps
Force surfacique
Coefficient critique
Charge critique
(en MPa)
( en MPa)
1
0.65
19.9290 12.9539
2
1.3
9.9645 12.9539
3
1.95
6.6430 12.9539
4
2.6
4.9823 12.9539
5
3.25
3.9858 12.9539
6
3.9
3.3215 12.9539
7
4.55
0.9490
4.3180
8
5.2
0.8304
4.3180
9
5.85
0.7381
4.3180
10
6.5
0.6643
4.3180

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Maillage 3D volumique.



3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 600
Nombre de mailles et types : 90 HEXA20



3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



STAT_NON_LINE CRIT_FLAMB


STAT_NON_LINE COMP_INCR DEFORMATION
GREEN
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
VMIS_ISOT_LINE





4
Résultats de la modélisation A


4.1 Valeurs
testées


Instant Référence Aster %
différence
0.2 ­9.9645
­9.9763
0.16
1 ­0.6643
­6.752
2.3



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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Maillage 3D volumique. Grands déplacements et déformations (mais petites rotations)


La force surfacique appliquée vaut ici ­20 MPa à t = 1s, afin de passer, pendant l'évolution du
chargement, par le point critique.

Cette charge est appliquée en 10 pas de temps équirépartis.

Deux calculs complets sont effectués : l'un avec un comportement purement élastique, afin de pouvoir
comparer le résultat à la solution élastique de référence, et l'autre avec un comportement
élastoplastique.


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 600
Nombre de mailles et types : 90 HEXA20


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




STAT_NON_LINE CRIT_FLAMB


STAT_NON_LINE COMP_INCR DEFORMATION
GREEN

STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
VMIS_ISOT_LINE
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
ELAS



6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

En comportement élastique

On teste la valeur finale du coefficient critique : (test de non régression)


Instant Référence Aster %
différence
1 ­19.0657
­19.0657
0


Dans le cas de grands déplacements ou grandes déformations, la valeur du coefficient critique doit
être interprétée différemment du cas petits déplacements : la structure devient instable lorsque la
« charge critique » s'annule.
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L'évolution de ce coefficient au cours du temps est la suivante :

Pas de temps
Force surfacique
Coefficient critique
Charge critique Euler
(en MPa)
Aster
1
2
27.5797 12.9539
2
4
22.8250 12.9539
3
6
17.9808 12.9539
4
8
13.0407 12.9539
5
10
7.9975 12.9539
6
12
2.8434 12.9539
7
14
­2.4301
12.9539
8
16
­7.8324
12.9539
9
18
­13.3738
12.9539
10
20
­19.0657
12.9539


Le coefficient critique passe donc bien par 0 entre les instants 6 et 7, et plus précisément (cf. courbe
suivante) aux alentours de l'instant 6.5, ce qui correspond bien à la charge critique en élasticité.

Coefficient critique Aster
30.0000
20.0000
10.0000
0.0000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10.0000
-20.0000
-30.0000



En élastoplasticité, on teste les instants où le coefficient critique change de signe. Les tests sont de
non régression puisque l'on ne dispose pas de solution analytique dans ce cas.

Instant Référence Aster %
différence
0.4 4.9917
4.9917
0
0.5 ­1.3186
­1.3186
0



7
Synthèse des résultats

Les résultats des la modélisation en petits déplacements est conforme à la référence analytique
(moins de 2% d'écart en plasticité). Les résultats en grands déplacements ne peuvent pas être
comparés à une solution de référence, mais le changement de signe du coefficient critique est
conforme à la solution attendue.
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