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5.0

Titre :

SSNV115 - Tôle ondulée en comportement non linéaire

Date :
16/11/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, D.BUI, A. LAULUSA Clé
:
V6.04.115-B Page :
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Organisme(s) : EDF/MTI/MMN, EDF/UTO/SIS, SAMTECH
















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.115





SSNV115 - Tôle ondulée en comportement
non linéaire





Résumé :

Ce problème valide la loi de comportement élasto-plastique avec critère de Von Misès à écrouissage linéaire
isotrope pour les modélisations de plaques [R3.07.03] et de coques volumiques [R3.07.04] où les effets de
membrane et de flexion sont également importants.

La géométrie du modèle respecte 3 contraintes :

·
l'épaisseur est faible pour respecter l'hypothèse des coques minces,
·
le problème doit être en déformation plane selon Oz,
·
la courbure selon Oy est choisie pour que la "flexion" et la "membrane" soient toutes deux
significatives.

Il n'y a pas de solution analytique. La modélisation A (2D D_PLAN) sert de référence. Le test n'a pas de
signification physique et les valeurs des déplacements obtenus sont très importantes par rapport aux
dimensions de la structure initiale. Ce test est donc plutôt un test de non-régression et de comparaison
inter-modélisations.

Les résultats (en déplacement) diffèrent de 2 à 3% entre les modélisations plaque et la référence 2D. Cet écart
se réduit à 0.5% entre les modélisations coques volumiques et la référence 2D.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
y
B
D
A
C
x
X
01
z
y vue en "coupe"

R
R
h
A
C
x
X
R
R


0


Caractéristiques de la coque :

·
épaisseur h = 0.05 mm,
·
rayon de courbure R = 1 mm,
·
largeur L= AB = CD = 0.1 mm,
·
position du premier centre de courbure : 0 = (0,-R) et OA = R = 01
. ,
·
l'angle est choisi de façon à ce que la surface supérieure de la coque au point X soit à
(y = 0), c'est-à-dire alignée avec A et C,

1 h
cos = 1 - 4 R


h
·
position du second centre de courbure : 0 2 cos , -
et 0
1
R
R
, x
R


.
2
=

1.2
Propriétés de matériaux

E = 2 000 MPa
= 0.3
On utilise une loi de comportement élasto-plastique avec critère de Von Misès à écrouissage
isotrope linéaire : y = 100 MPa ET : 200 MPa.
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1.3
Conditions aux limites et chargements

·
sur AB : encastrement : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0,
·
sur toute la coque : déformation plane selon Oz => DZ = DRX = DRY = 0,
·
sur CD : effort linéique (par unité de longueur Oz) suivant Ox donné par : fx = 50 N/mm Il est
équivalent à une pression de pX = fx /h = 100 MPa s'exerçant sur le côté CD,
·
le chargement est appliqué progressivement à la structure. Le trajet de chargement est
découpé en 10 incréments égaux.

fx 5.
0.
1. t



2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La modélisation A (2D D_PLAN) sert de référence pour les modélisations de coque.


2.2
Résultats de référence

Déplacements suivant Ox et Oy du point X en mm.


2.3
Incertitude sur la solution

L'expérience montre que si l'on double le nombre d'éléments dans les deux directions, le résultat varie
de moins de 2%.

Les critères de convergence choisis doivent également permettre d'atteindre la précision estimée pour
ce calcul 2D : (2 ou 3%).



3 Bibliographie

[1]
F. VOLDOIRE, C. SEVIN :Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D. Documentation de
Référence du Code_Aster [R3.07.02].
[2]
P. MASSIN : Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4. Documentation de
Référence du Code_Aster [R3.07.03].
[3]
P. MASSIN, A. LAULUSA : Eléments de coque tridimensionnelle. Documentation de
Référence du Code_Aster [R3.07.04].
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4 Modélisation
A

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Discrétisation : 20 x 4 éléments QUAD8 avec modélisation D_PLAN.

Conditions aux limites :

y
h
bout1
0
bout2
x
0 :
DX = DY = 0.
bout1 : DX = 0.


Nom des noeuds : point X = group_no X = N148

Chargement : force linéique (par unité de longueur Oz) FX répartie sur le group_ma bout2
FX = 5./h = 100. Ce chargement est équivalent à une pression de 100 MPa.

4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
289
Nombre de mailles et type :
80 QUAD8

4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'



5
Résultats de la modélisation A

5.1 Valeurs
testées

Au numéro d'ordre 10

Identification
Aster (mm)
DX(X) à t = 1.
0.02743
DY(X) à t = 1.
­0.2804

5.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.22


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8
Encombrement mémoire :
100 Mo
Temps CPU User :
12.5 secondes
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6 Modélisation
B

6.1
Caractéristiques de la modélisation


B
x
Fx
D
A
C
Fx
z



On cherche un mouvement indépendant de z ; une seule "rangée" d'éléments triangulaires suffit donc.


Découpage : 20 quadrangles => 40 triangles DKT. Modélisation DKT.

L'épaisseur des éléments est divisée en 17 couches pour le calcul non linéaire [R3.07.03]. Chaque
couche comporte 3 points d'intégration en peau supérieure de couche, au milieu de chaque couche et
en peau inférieure de couche. Le modèle ici étudié comprend donc 15 points d'intégration dans
l'épaisseur de la plaque.


Conditions aux limites :



AB (GROUP_NO : bout1) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0


TOUT: 'OUI' : DZ = DRX = DRY = 0


Chargement : forces nodales en C et D FX = p Lh/2 = 0.25 N.
X


6.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
42
Nombre de mailles et type :
40 TRIA3


6.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE

MODELISATION
DKT
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'
'COQUE_NCOU'
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7
Résultats de la modélisation B

7.1 Valeurs
testées

Au numéro d'ordre 10 soit t = 1.


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.02681 ­2.275
DY(X)
­0.2804 ­0.2886
2.937
FX(A)
­0.25 ­0.249 ­0.054


Remarque :

Si on augmente encore le nombre de couches pour l'intégration dans l'épaisseur, l'erreur relative
sur DX(X) passe en dessous de 2%. Pour 19 couches on trouve ainsi une erreur de 1.29%. Celle
sur DY(X) reste inchangée.


7.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.22


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8
Encombrement mémoire :
100 Mo
Temps CPU User :
13.7 secondes
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8 Modélisation
C

8.1
Caractéristiques de la modélisation

z
B
x
Fx
D
A
C
Fx
z



On cherche un mouvement indépendant de z ; une seule "rangée" d'éléments quadrangulaires suffit
donc.


Découpage : 40 quadrangles DKQ. Modélisation DKT.

L'épaisseur des éléments est divisée en 7 couches pour le calcul non linéaire [R3.07.03], de façon à
avoir une très grande précision sur l'état de contraintes dans l'épaisseur de la plaque. Chaque couche
comporte 3 points d'intégration en peau supérieure de couche, au milieu de chaque couche et en peau
inférieure de couche. Le modèle étudié ici comprend donc 15 points d'intégration dans l'épaisseur de
la plaque.


Conditions aux limites :



AB (GROUP_NO : bout1) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0


TOUT: 'OUI' : DZ = DRX = DRY = 0


Chargement : forces nodales en C et D FX = p Lh/2 = 0.25 N.
X

8.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
82
Nombre de mailles et type :
40 QUA4


8.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE

MODELISATION
DKT
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'
'COQUE_NCOU'
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9
Résultats de la modélisation C

9.1 Valeurs
testées


Au numéro d'ordre 10 soit, t = 1.


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.0270
­1.44
DY(X)
­0.2804 ­0.288
2.966
FX(A)
­0.25 ­0.25
0


Remarque :

Si on augmente encore le nombre de couches pour l'intégration dans l'épaisseur l'erreur relative
sur DX(X) passe en dessous de 1%. Celle sur DY(X) reste inchangée.


9.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.20


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
100 Mo
Temps CPU User :
15.9 secondes
Manuel de Validation
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10 Modélisation
D

10.1 Caractéristiques de la modélisation

z
B
x
D
A
E
C
z


On cherche un mouvement indépendant de z ; une seule "rangée" d'éléments quadrangulaires suffit
donc.

Découpage : 8 quadrangles MEC3QU9H. Modélisation COQUE_3D.

L'épaisseur des éléments est divisée en 3 couches pour le calcul non linéaire [R3.07.04]. Chaque
couche comporte 3 points d'intégration en peau supérieure de couche, au milieu de chaque couche et
en peau inférieure de couche. Le modèle ici étudié comprend donc 7 points d'intégration dans
l'épaisseur de la plaque.

Conditions aux limites :



AB (GROUP_NO : AB) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0


TOUT: 'OUI' : DZ = DRX = DRY = 0

Chargement : deux types de chargement sont appliqués :
·
forces nodales en C et D et E (noeud milieu du côté CD) FX(C) = FX(D)=pxLh/6 =0.08333N.

FX(E)=2pxLh/3=0.33N.
·
force répartie sur le côté CD FX = 5N/mm.


10.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
43 externes + 8 internes
Nombre de mailles et types :
8 QUA9 + 1 SEG3


10.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE

MODELISATION
COQUE_3D
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS

A_CIS
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE


FORCE_ARETE
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'
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11 Résultats de la modélisation D

11.1 Valeurs
testées


Au numéro d'ordre 10 soit t = 1. Les résultats sont identiques avec FORCE_NODALE ou
FORCE_ARETE.


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.02762
0.701
DY(X)
­0.2804 ­0.2807
0.091


11.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.20


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
100 Mo
Temps CPU User :
45.7 secondes
Manuel de Validation
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12 Modélisation
E

12.1 Caractéristiques de la modélisation


z
B
x
D
A
x E
xC
z



On cherche un mouvement indépendant de z ; une seule "rangée" d'éléments quadrangulaires suffit
donc.

Découpage : 12 triangles MEC3TR7H. Modélisation COQUE_3D.

L'épaisseur des éléments est divisée en 3 couches pour le calcul non linéaire [R3.07.04]. Chaque
couche comporte 3 points d'intégration en peau supérieure de couche, au milieu de chaque couche et
en peau inférieure de couche. Le modèle ici étudié comprend donc 7 points d'intégration dans
l'épaisseur de la plaque.

Conditions aux limites :



AB (GROUP_NO : AB) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0


TOUT: 'OUI' : DZ = DRX = DRY = 0

Chargement : deux types de chargement sont appliqués :
·
forces nodales en C et D et E (noeud milieu du côté CD) FX(C) = FX(D)=pxLh/6 =0.08333N.

FX(E)=2pxLh/3=0.33N.
·
force répartie sur le côté CD FX = 5N/mm.



12.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
75 externes + 24 internes
Nombre de mailles et types :
24 TRIA7 + 1 SEG3


12.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE

MODELISATION
COQUE_3D
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS

A_CIS
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE


FORCE_ARETE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'
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13 Résultats de la modélisation E

13.1 Valeurs
testées


Au numéro d'ordre 10 soit t = 1. Les résultats sont identiques avec FORCE_NODALE ou
FORCE_ARETE.


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.0275
0.244
DY(X)
­0.2804 ­0.2820
0.556


13.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.20


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 78.8 secondes
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14 Modélisation
F

14.1 Caractéristiques de la modélisation


y
0
x
C
Fx
z



Découpage : 20 segments => 20 segments SEG3. Modélisation COQUE_D_PLAN.

L'épaisseur des éléments est divisée en 7 couches pour le calcul non linéaire [R3.07.02]. Chaque
couche comporte 3 points d'intégration en peau supérieure de couche, au milieu de chaque couche et
en peau inférieure de couche. Le modèle ici étudié comprend donc 15 points d'intégration dans
l'épaisseur de la plaque.


Conditions aux limites :



(NOEUD : 0) : DX = DY = DZ = DRX = DRY = DRZ = 0


Chargement :
· force nodale en C : FX(C) = p h = 5N/mm.
X


14.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :
41
Nombre de mailles et type :
20 SEG3


14.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE

MODELISATION
COQUE_D_PLAN
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS

A_CIS
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
'VMIS_ISOT_LINE'
NEWTON
MATRICE
'ELASTIQUE'
'TANGENTE'
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15 Résultats de la modélisation F

15.1 Valeurs
testées


Au numéro d'ordre 10 soit t = 1. Les valeurs données en utilisant comme matrice tangente celle
calculée numériquement sont :


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.02753
0.381
DY(X)
­0.2804 ­0.2848
1.556


Au numéro d'ordre 10 soit t = 1. Les valeurs données en utilisant comme matrice tangente la matrice
élastique sont :


Identification Référence Aster (mm)
% différence
DX(X)
0.02743 0.02753
0.383
DY(X)
­0.2804 ­0.2848
1.558


Remarque :

Mettre 3 couches pour l'intégration dans l'épaisseur conduit à une erreur de 2.4% sur l'estimation
de DX(X).


15.2 Paramètres
d'exécution

Version :
5.02.20


Machine :
Origin 2000
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire : 100 Mo
Temps CPU User : 72.5 secondes



16 Synthèse des résultats

On remarque la bonne adéquation de la solution de référence Aster 2D déformation plane avec les
résultats obtenus par les modélisations en coques volumiques. L'écart sur les déplacements au point
de flèche maximale sur la géométrie initiale est en effet inférieur à 1%. L'écart avec la modélisation en
coque linéique est de l'ordre de 1.5% sur l'estimation de la flèche maximale de la tôle. Cet écart
devient plus important pour les modélisations en éléments de plaques qui ne prennent pas en compte
la courbure de la tôle ondulée. L'erreur relative sur l'estimation de la flèche maximale ne semble pas
vouloir descendre en dessous de 3%, et ce même en augmentant le nombre de couches pour
améliorer l'intégration de la plasticité dans l'épaisseur de l'élément. On remarque à ce titre qu'une
augmentation du nombre de couches dans l'épaisseur permet d'améliorer l'estimation du déplacement
DX au point où la flèche est maximale sans pour autant améliorer l'estimation de cette dernière, et ce,
pour l'ensemble des modèles étudiés. La différence de qualité de résultats entre les différents modèles
vient sans doute de la prise en compte de la courbure de la tôle ondulée.
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