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Version
5.0

Titre :

SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme mode 1

Date :
23/09/02
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
V3.04.109-C Page :
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Organisme(s) : EDF/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.109





SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme
mode 1




Résumé :

Ce test valide tous les éléments de Fourier (triangles et quadrangles de degrés 1 et 2) en élasticité. Les
fonctionnalités sont les suivantes :

· pression variable en espace,
· déplacements imposés,
· matrices de rigidité Fourier mode 1,
· contraintes aux noeuds Fourier mode 1,
· recombinaison de Fourier sur les déplacements et contraintes (modélisation A),
· matériau isotrope transverse (modélisation F).

Le test a une solution analytique quadratique en déplacements.

L'intérêt du test réside dans :

· la comparaison entre solution calculée et solution analytique sur les différents éléments finis,
· la comparaison des résultats avec le Code PERMAS sur les éléments TRIA6 (modélisation A).

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

l = 12
A
C
p = r
z
R = 1
r
B
D


Le domaine modélisé est ACDB (plan = 0).



1.2
Propriétés de matériaux

E = 72 N/m2

= 0.3



1.3
Conditions aux limites et chargements

ur( )
A
= uz( )
A
= uq( )
A
= 0
uz( A )
B
= 0

r
p = p
cos
R

avec p = 1. et R = 1 appliqué en z = 12



1.4 Conditions
initiales

Sans objet pour l'analyse statique.

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

M
p
2

u
, ,
=
,
cos avec
,
=
+
2
r (r z
)
(ur z)
(ur z)
z
r
2EI
2ER
p
u
, ,
=
,
cos avec
,
= -

z (r z
)
v(r z)
v(r z)
rz
2EI
M
p
2

u
2
(r, z, )
=
(wr, z)(- sin) avec (wr, z) =
z -
r
2EI
2ER

p
Toutes les contraintes sont nulles sauf zz(r, z) = - r .
R

Les données ont été choisies de telle façon que (
u c) = (
u 0, l) = 1.

Les déplacements s'écrivent donc ici :

(
z2
r 2
r z
z2
r 2
u r, z) =
+
v(r, z) = -
(
w r, z) =
-

144
480
72
144
480

et :

zz(r, z) = - r


2.2
Résultats de référence

u,v,w,zz
en
r = 0., 0.5, 1.
z = 0., 6., 12.

u ,u ,u
r
z

en r = 0., z = 6., 12., = 45°


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
PERMAS-HS. Axisymmetric Continua with arbitrary loads. Stuttgart 1985. INTES publication
n°224 pp 42 - 49.

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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13


D = N15
E = N7
F = N8
G = N9

noeud bloqué
A
E
C
face
bloquée
F
y (z)
en z
B
G
D
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face CD : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(X) = ­X


3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 15

Nombre de mailles et types : 4 TRIA6, 1SEG3 sur segment CD


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

COMB_CHAM_NO
COMB_FOURIER

COMB_CHAM_ELEM
COMB_FOURIER



3.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM (par défaut, il est considéré comme valant 0).
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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence

B
u
2.0833 10­3 2.0835
10­3 9.10­3
v
0.
DDL_IMPO

w
­2.0833 10­3
­2.0834 10­3 3.10­3

zz
­1. ­1.000001
6.10­4

E
u 0.25
0.250001
5.10­4
v
0.
­4.10­6

w
0.25
0.250000
2.10­4

zz
0.
­1.10­4


F
u 0.250521
0.250522
4.10­4
v
­0.04166 ­0.041668 3.10­3
w
0.0249479
0.0249479
­6.10-3

zz
­0.5 ­0.50005 1.10­2

G
u 0.252083
0.252084
3.10­4
v
­0.083333
­0.083333 ­7.10­3
w
0.247917 0.247916
1.10­4

zz
­1. ­1.
9.10­3

C
u 1. 1.0006
6.10­3
v
0.
­5.10­5

w
1.
1.00006
6.10­3

zz
0.
­1.1 10­3


D
u 1.00208
1.00215
7.10­3
v
­0.16666 ­0.166691 1.5 10­2
w
0.99791 0.997981
1.9 10­2

zz
­1. ­0.999 0.1


4.2 Remarques

La solution analytique est trouvée avec une précision < 0.02 % pour les déplacements et < 0.1 %
pour les contraintes.

Avec une formule d'intégration numérique à 6 points de GAUSS (au lieu de 3) pour calculer la raideur,
on trouverait la relation à 10­10 près (comme PERMAS).
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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13


D = N15
E = N7
F = N8
G = N9

noeud bloqué
C
A
E
y (z)
face
bloquée
F
en z
B
G
D
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face CD : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(X) = ­X


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 15

Nombre de mailles et types : 2 QUAD8, 1 SEG3 sur segment CD


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER



5.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM (par défaut, il est considéré comme valant 0).
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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur Référence
Aster %
différence

B
u
2.0833 10­3 2.0833
10­3 10.10­11
v
0.
DDL_IMPO

w
­2.0833 10­3
­2.0833 10­3
10.10­11

zz
­1. ­1 10.10­11

E
u 0.25
0.25
10.10­11
v
0.
­3.9 10­14

w
0.25
0.25
10.10­11

zz
0.
­4.10­12


F
u 0.250521
0.250521
10.10­11
v
­0.04166 ­0.04166 10.10­11
w
0.0249479
0.0249479
10.10­11

zz
­0.5 ­0.5 10.10­11

G
u 0.252083
0.252083
10.10­11
v
­0.08333 ­0.08333 10.10­11
w
0.247917 0.247917
10.10­11

zz
­1. ­1. 10.10­10

C
u 1. 1. 10.10­11
v
0.
­4.3.10­14

w
1.
1
10.10­11

zz
0.
6.10­12


D
u 1.00208
1.00208
10.10­11
v
­0.16666 ­0.16666 10.10­11
w
0.99791 0.99791
10.10­11

zz
­1. ­1. 10.10­11


6.2 Remarques

La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.


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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13


D = N15
E = N7
F = N8
G = N9

noeud bloqué
A
E
C
face
y (z)
bloquée
F
en z
B
G
D
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face CD : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(x) = ­x


7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds :15

Nombre de mailles et types : 2 QUAD9, 1 SEG3 sur segment CD


7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER



7.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM (par défaut, il est considéré comme valant 0).

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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence

B
u
2.0833 10­3 2.0833
10­3 10.10­11
v
0.
DDL_IMPO

w
­2.0833 10­3
­2.0833 10­3
10.10­11

zz
­1. ­1 10.10­10

E
u 0.25 0.25 10.10­11
v
0.
­3.9 10­14

w
0.25
0.25
10.10­11

zz
0.
­4.10­12


F
u 0.250521
0.250521
10.10­11
v
­0.04166
­0.04166
10.10­11
w
0.0249479
0.0249479
10.10­11

zz
­0.5 ­0.5 10.10­11

G
u 0.252083
0.252083
10.10­11
v
­0.08333
­0.08333
10.10­11
w
0.247917
0.247917
10.10­11

zz
­1. ­1. 10.10­11

C
u 1.
1.
10.10­11
v
0.
­4.3.10­14

w
1.
1.
10.10­11

zz
0.
6.10­12


D
u 1.00208
1.00208
10.10­11
v
­0.16666
­0.16666
10.10­11
w
0.99791
0.99791
10.10­11

zz
­1. ­1. 10.10­11


8.2 Remarques

La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.


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9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N1129
C = N1369


D = N2169
E = N141
F = N705
G = N1269

noeud bloqué
A
E
C
face
y (z)
bloquée
F
en z
B
G
D
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face CD : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(x) = ­x


9.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2169

Nombre de mailles et types : 1920 QUAD4, 8 SEG2 sur segment CD


9.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER



9.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM (par défaut, il est considéré comme valant 0).
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10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence

B
u
2.0833 10­3 2.0919
10­3
0.41
v
0.
DDL_IMPO

w
­ 2.0833 10­3
­ 2.0674 10­3
0.76

zz
­1. ­1.00974
0.97

E
u 0.25 0.2498 0.07
v
0.
­2.7.10­10

w
0.25
0.2498 0.07

zz
0. 0.0090
0.90

F
u 0.250521
0.250347
0.07
v
­0.04166
­0.04164
0.07
w
0.0249479
0.0249317 0.06

zz
­0.5 ­0.51005
2.01

G
u 0.252083
0.251911
0.07
v
­0.083333
­0.083273
0.07
w
0.247917
0.247752 0.07

zz
­1. ­1.0103
1.03

C
u 1.
0.99927
0.07
v
0.
­2.3.10­7

w
1.
0.99928 0.07

zz
0. 0.0088


D
u 1.00208
1.001357
0.07
v
­0.16666
­0.16653
0.08
w
0.99791
0.997208 0.06

zz
­1. ­1.0027
0.27


10.2 Remarques

Pour obtenir une précision de l'ordre de 1 % sur les contraintes, il est nécessaire de modéliser la
structure très finement (8 éléments radialement et 240 axialement).


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11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N2421


E = N121
F = N1331
G = N2541

noeud bloqué
A
E
y (z)
face
bloquée
F
en z
B
G
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face EG : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(x) = ­x


11.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 2541

Nombre de mailles et types : 4800 TRIA3, 20 SEG2 sur segment EG


11.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER



11.4 Remarques

Pour diminuer le nombre de noeuds, on a modélisé la structure pour y 6.
La précision sur les résultats est néanmoins moindre que pour les éléments QUAD4.

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12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence

B
u
2.0833 10­3 2.0228
10­3
2.90
v
0.
DDL_IMPO

w
­2.0833 10­3
­2.1143 10­3
1.49

zz
­1. ­1.0078
0.78

E
u 0.25 0.24949 0.20
v
0.
­2.4 10­5

w
0.25
0.24950 0.20

zz
0.
­5.3 10­2


F
u 0.250521
0.25003 0.19
v
­0.04166 ­0.04161
0.13
w
0.249479 0.24900 0.19

zz
­0.5 ­0.49738
0.52

G
u 0.252083
0.251605
0.19
v
­0.083333 ­0.083157
0.21
w
0.247917 0.247449 0.19

zz
­1. ­0.9814
1.86


12.2 Remarques

La précision sur les déplacements est inférieure à 3%, celle sur les contraintes inférieure à 2 %.

Sur cet exemple, les TRIA3 convergent nettement moins rapidement que les QUAD4 vers la solution
exacte.


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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/02/001/A

Code_Aster ®
Version
5.0

Titre :

SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme mode 1

Date :
23/09/02
Auteur(s) :
X. DESROCHES Clé
:
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13 Modélisation
F

13.1 Caractéristiques de la modélisation


Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13


D = N15
E = N7
G = N9



noeud bloqué
A
N4
E
N12
C

y (z)
face
bloquée N2
N14
en z
B
G
N12
D
X (r)


Conditions limites :

DDL_IMPO :
(NOEUD : A DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face AB
(GROUP_NO : AB DY = 0.)

Pression sur la face CD : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)

p étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par p(X) = ­X


13.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 15

Nombre de mailles et types : 2 QUAD8, 1SEG3 sur segment CD


13.3 Fonctionnalités
testées

Commandes




AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT

DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH

DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'

AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD

PRES_REP
GROUP_MA

CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER

CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER



13.4 Remarques

Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n'est pas
nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM (par défaut, il est considéré comme valant 0).
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14 Résultats de la modélisation F

14.1 Valeurs
testées

Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence

N2
u 2.6041666
2.6041666
1.10­9
w
­2.6041666 ­2.6041666
1.10­9
A
zz
0.
­1.10­13

B
zz
­1. ­1. 3.10­10

N4
u 0.0625 0.0625 4.10­10
w
0.0625
0.0625
4.10­10
E u
0.25
0.25
3.10­10
w
0.25
0.25
3.10­10

zz
0.
­1. 10­14

G v
­0.083333 ­0.083333
2.10­10

zz
­1. ­1. 2.10­11
N10 u
0.5625 0.5625 2.10­10
w
0.5625 0.5625 2.10­10
N12 v
­0.125 ­0.125 1.10­10
C u
1. 1. 1.10­10
w
1. 1. 1.10­10

zz
0.
7.10­14

N14 v
­0.083333 ­0.083333 9.10­11
D v
­0.166666 ­0.166666 9.10­11

zz
­1. ­1. 1.10­11

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15 Synthèse des résultats

Les éléments d'ordre 2 donnent la solution analytique.

Les éléments d'ordre 1 convergent lentement vers la solution et nécessitent des maillages très fins.
Les temps calculs restent toutefois raisonnables.
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