Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
FDLV106 Calcul d'amortissement ajouté en écoulement annulaire
Date :
12/01/98
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
V8.01.106-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/EP/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
Document V8.01.106

FDLV106 - Calcul d'amortissement ajouté
en écoulement annulaire

Résumé :
Ce test du domaine fluide/structure met en oeuvre le calcul de masse et d'amortissement ajoutés sur une
structure cylindrique soumise à un écoulement annulaire qu'on suppose potentiel. On calcule dans un premier
temps masse et amortissement ajoutés par l'écoulement sur la structure pour différentes vitesses amont (4 m/s,
4.24 m/s et 6 m/s), ceci sur un modèle 3D pour le fluide et coque pour la structure. La structure a un
déplacement de rotation autour d'un pivot situé à l'extrémité aval du cylindre par rapport à l'écoulement .
Les coefficients déterminés, on les affecte à un modèle discret équivalent à 1 ddl masse-ressort-amortisseur,
sur lequel on effectue une analyse modale, afin de déterminer les fréquences propres complexes du système
pour les différentes vitesses d'écoulement :
4 m/s : amortissement,
4.24 m/s : vitesse critique, amortissement nul,
6 m/s : amortissement négatif, flottement.
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Fascicule V8.01 : Fluide
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
L
V0
z
entrée
n
Ri
n sortie
y
R
x
e
C
x
point de
pivotement
cylindre interne fixe
fluide
cylindre externe
mobile en rotation autour du pivot C
L = 50 m
Ri = 1 m
Re = 1.1 m
C : point pivot de la structure externe
1.2
Propriétés des matériaux
Fluide : masse volumique g = 1000 kg/m3 (eau).
Structure : s = 7800 kg/m3 ; E = 2.1011 Pa ; = 0.3 (acier).
1.3
Conditions aux limites et chargements
Fluide :
· pour simuler l'écoulement permanent, on impose sur la face d'entrée du fluide une vitesse
normale de ­4 m/s (par analyse thermique, on impose un flux de chaleur normal équivalent de
­4),
· pour calculer la perturbation fluide apportée par le mouvement du cylindre externe Dirichlet en
un noeud du fluide.
Structure :
&
L
&
on impose au cylindre externe un déplacement du type X =
- y z
i




aux noeuds du
2
maillage de ce cylindre.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Pour le calcul des coefficients ajoutés :
on montre [bib1] que les coefficients de masse et d'amortissements ajoutés dépendent du
potentiel permanent des vitesses fluides ainsi que de deux potentiels fluctuants 1 et 2 : ces
potentiels s'écrivent dans le cas du mouvement de rotation du cylindre externe autour du pivot C
[bib1] :


= V y

0

R2

R2

L
L
1 =
e
r + i y +
sin

avec X
y z

2
2
i
R
2
2
e - Ri
r



=
-






R2 V

R2


0
2 =
e
r + i sin

R2
2
e - Ri
r

Or les coefficients modaux ajoutés projetés sur ce mode de rotation s'écrivent :
M =
X . n dS

a
1
i
cylindre externe
C =


2 +

.
a
(
1)(Xi . n) dS
cylindre externe
soit :
V Re
2
0
3
R
C = -
R
i
+
L2
a
2
e
Re2 - R
R
i
e
R3

R2 L
3
M
e
= +
R
i
+

a
2
2
e
R - R
R 3
e
i
e
Pour le système à 1 degré de liberté équivalent :
Il s'agit d'un système masse-ressort-amortisseur représentant le mouvement de rotation du
cylindre autour du pivot C aval.

J
C
· l'inertie du système mécanique soumis à l'écoulement s'écrit : J = I + Ma
I est l'inertie du cylindre extérieur pivotant par rapport à l'axe Cx (cf figure ci-dessous) en air.
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On montre [bib2] que cette inertie vaut :
m
I =
(3R2 +2 L2
e
)
6
m est la masse du cylindre :
m = 2 R e L
s
e
e est l'épaisseur du cylindre, L sa longueur totale.
s est la masse volumique du cylindre.
z
C
0
y
x
x
m
R3

R2 L3
2
2
e
i
ainsi J =
(3R +2 L +

+

e
)
R
2
2
e
6
R - R
R 3
e
i
e
· l'amortissement du système mécanique soumis à l'écoulement s'écrit : = A + Ca
A est l'amortissement du système mécanique en air. Habituellement, A est égal à quelques
% de l'amortissement critique du système : A = 2 IK .
I est l'inertie du cylindre en air calculé ci-dessus et K la rigidité du ressort au point de
pivotement C . On prend l'amortissement réduit égal à 1 %.
Ainsi, l'amortissement total du système sous écoulement s'écrit :
R3
2
e

R
= IK - V
R
i
2
0
2
2
e +
L
Re - Ri
Re
· la rigidité du système mécanique soumis à écoulement s'écrit : K = K + Ka
K est la rigidité du ressort en air. Ka est la rigidité ajoutée par l'écoulement. On montre [bib1]
que celle-ci est nulle sur ce mode de rotation.
K =
a
0
Ainsi la rigidité totale du système est indépendante de la vitessse d'écoulement.
K = K
· On calcule ensuite les modes complexes de ce système mécanique sous écoulement (vibrations
libres amorties) :
J
+
+ C = 0
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Les fréquences propres complexes de ce système s'écrivent [bib3] :
R
2
= - ± -
1
2
i
1
ou

K
K
avec =
et
=
=
2
J
J
I + Ma
: amortissement réduit du système
: pulsation propre.
· Applications numériques :
On a fait trois calculs d'amortissement ajouté correspondant à trois vitesses d'écoulement qui
entraînent trois comportement vibratoires de la structure :
vitesse à 4 m/s
vitesse à 4.24 m/s
vitesse à 6 m/s
Les valeurs du système mécanique sont :
-
e = 2 1
. 0 2 m
L = 50 m
R = 1 m
R2 = 11
, m
i
I = 4 5
. 107 kg m2
8
-
A = 4 2
. 4 10 N.m rad s
1
13
-
K = 10
N.m rad 1
Les masse et amortissement ajoutés apportés par l'écoulement valent :
I = 16
. 6 1010 kg m2
a
(indépendant de la valeur de la vitesse d'écoulement)
Suivant la vitesse d'entrée du fluide, on a :
-
V = 4 m / s
C
8
= -4 00
.
10 N.m rad s
1
0
a
-
V = 4 2
. 4 m / s
C
8
= -4 24
.
10 N. m rad s
1
0
a
-
V = 6 m / s
C
8
= -594
.
10 N.m rad s
1
0
a
Les amortissements du système fluide/structure s'écrivent :
·
8
1
à V = 4 m s
=
-
/
:
0 24
.
10 N.m rad s
0
L'écoulement n'amplifie pas les vibrations. L'amortissement structural interne est
suffisamment important pour dissiper l'énergie apportée par l'écoulement à la structure.
Le système est encore amorti.
· à V = .
m / s :
0
4 24
0 (vitesse d' écoulement critique)
L'amortissement du système s'annule.
·
8
1
à V = 6 m s
= -
-
/
:
15
. 10 N.m rad s
0
(l' écoulement amplifie les vibrations)
L'amortissement du système à cette dernière vitesse est négatif : le système entre alors
en instabilité de flottement.
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Les amortissements réduits correspondants s'écrivent :
-
V = 4 m / s
4
=
0
11
. 10
= 0 (en théorie)
V = 4 2
. 4 m / s
0
5
=
-
1 380
.
10 (avec les erreurs d' arrondi)
-
V = 6 m / s
4
= -
0
6 6
. 10
La pulsation propre reste quant à elle inchangée : = 12 5
. Hz .
2.2
Résultats de référence
Résultat analytique.
2.3 Références
bibliographique
[1]
ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure
vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le
Code_Aster - HP-61/95/064
[2]
BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984
[3]
SELIGMANN D, MICHEL R : Algorithmes de résolution pour le problème quadratique
[R5.01.02], Manuel de Référence Aster.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour le système 3D sur lequel on calcule les coefficients ajoutés :
Pour le fluide :
480 mailles QUAD4
éléments de coques MEDKQU4
Pour le solide :
480 mailles QUAD4
éléments thermique THER_FACE4
sur les surfaces cylindriques
360 mailles QUAD4
éléments thermiques THER_FACE4
sur les faces d'entrée et de sortie du volume fluide
720 mailles HEXA8
éléments thermiques THER_HEXA8
dans le volume annulaire fluide
3.2 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
CALC_MATR_AJOU
OPTION
'MASS_AJOU'
[U4.55.10]
'AMOR_AJOU'
POTENTIEL
MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
FREQ
[U4.52.01]
MODE_ITER_SIMULT
APPROCHE
'REEL'
[U4.52.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
Mode n°1
à V = m / s
12.5 Hz
12.388
­0.889
0
4
fréquence
­0.445
amortissement réduit
1.1 10­4
1.095 10­4
Mode n°1
à V = .
m / s
12.5 Hz
12.388
­0.889
0
4 24
fréquence
+0.895
amortissement réduit
1.380 10­5
1.392 10­5
Mode n°1
à V = m / s
12.5 Hz
12.388
­0.889
0
6
fréquence
0.740
amortissement réduit
­6.60 10­4
­6.649 10­4
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.06.08
Machine : CRAY C98
Encombrement mémoire :
80 MW
Temps CPU user :
51.7 secondes
5
Synthèse des résultats
L'outil de calcul d'amortissement sous écoulement (hypothèse potentielle) a été validé sur le mode de
rotation d'une structure cylindrique soumise à un écoulement annulaire. Il faut cependant noter [bib1]
que la très bonne concordance entre le modèle semi-analytique proposé pour comparaison et le calcul
numérique n'est obtenue que si le cylindre est suffisamment long.
En effet, le modèle semi-analytique n'est en fait qu'une solution approchée du problème posé.
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