Code_Aster ®
Version
7.2
Titre :
SSLV130 - Cylindre creux en incompressible
Date :
23/09/03
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V3.04.130-C Page :
1/14
Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.130
SSLV130 - Cylindre creux en incompressible
Résumé :
Ce test permet de valider les éléments quasi-incompressibles en statique pour un problème tridimensionnel,
axisymétrique ou bidimensionnel (déformations planes). On considère un cylindre creux soumis à une pression
interne. Le matériau a un coefficient de POISSON égal à 0.4999 et on utilise les éléments quasi-
incompressibles (modélisation INCO). Dans tous les cas de modélisation, on réalise le test en imposant ou non
la condition d'incompressibilité parfaite (DDL_IMPO et GONF=0)
Quatre modélisations sont effectuées pour ce problème. Les modélisations A et B permettent de tester la
modélisation quasi-incompressible 3D (3D_INCO), d'une part avec des HEXA20 (A) et d'autre part avec des
TETRA10 (B). Les modélisations C et D sont des études 2D s'appuyant sur des maillages mixtes QUAD8 et
TRIA6. La modélisation C est l'étude en déformations planes (D_PLAN_INCO), la modélisation D est une étude
axisymétrique (AXIS_INCO).
Ce test est similaire au test SSLV100.
Les résultats numériques sont satisfaisants pour toutes les modélisations. Le fait d'imposer explicitement la
condition d'incompressibilité n'influence que très peu les résultats.
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
r
E
F
C
45°
D
P
A
B
z
x
Rayon interne
a = 0.1 m
Rayon externe
b = 0.2 m
Coordonnées des points
A B
E
F
C
D
x 0.1 0.2 0.1*cos(45) 0.2*cos(45) 0.1*cos(22.5) 0.2*cos(22.5)
y
0 0 0.1*sin(45)
0.1*sin(45)
0.1*sin(22.5) 0.1*sin(22.5)
z
0 0
0
0
0
0
1.2
Propriétés du matériau
E = 2.105 MPa
= 0.4999
1.3
Conditions aux limites et chargements
Pression interne P = 60 MPa.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul
La solution générale en déplacement est la suivante :
2
Pa
2
b
u =
1
( + )
r
1
( - 2 )r +
E( 2
b - 2
a )
r
u = u = 0
z
En déformations :
2
Pa
2
b
=
1
( + )
rr
1
( - 2 ) -
E( 2
b - 2
a )
2
r
2
Pa
2
b
=
1
( +
) 1
( - 2 ) +
E( 2
b - 2
a )
2
r
=
= 0
r
zz
En contraintes :
2
a
2
b
= P
rr
2
2 1 -
2
b - a
r
2
2
a
b
= P
1+
2
2
2
b - a
r
2
a
= 2 P
zz
2
b - 2
a
= 0
r
On obtient pour un cylindre parfaitement incompressible ( = 0.5) :
en r = 0 1
. : u = 6. 105
en r = 0.2 :
= 3. 105
r
ur
= 6
- . 10-4
= 1
- 5
. 10-4
rr
rr
= 6. 10-4
= 1 5
. 10-4
= 60
- .
= 0.
rr
rr
= 100.
= 40.
= 20.
= 20.
zz
zz
Le passage dans le système cartésien se fait à l'aide des relations suivantes :
= cos2 +
2
xx
rr
sin - 2 sin cos
r
= sin2 +
2
yy
rr
cos + 2 sin cos
r
= sin cos -
2
2
xy
rr
sin cos - 2
r (cos - sin )
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2.2
Grandeurs et résultats de référence
On compare aux valeurs de référence :
·
les déplacements (u,v) aux points A et F,
·
les déformations (xx, yy, xy) et les contraintes (xx, yy, zz ,xy) aux points A et F,
·
les déformations équivalentes et les contraintes équivalentes au point A.
Enfin, pour tester le passage des grandeurs des points de Gauss aux noeuds pour les noeuds milieux,
on teste également les déformations et les contraintes non nulles en un noeud milieu de la structure.
2.3 Références
bibliographiques
[1]
Y.C. FUNG : Foundations of solid mechanics. Prenctice-hall, inc. Englewood Cliffs.
NJ. 1965, p. 243-245
[2]
[V3.04.100] Cylindre creux en déformations planes
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage avec des éléments 3D incompressibles de type HEXA20 uniquement
y
B
Face bloquée en dx
F
A
Face bloquée normalement
E
Face avec pression imposée
45°
x
Suivant l'axe z :
·
épaisseur totale e = 0.01
·
2 couches d'éléments
Pour les besoins de dépouillement en un noeud milieu, on définit le noeud NOEUMI = A + (0. 0. e/4) où
les déformations et les contraintes sont les mêmes qu'en A.
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Conditions limites :
DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP'
DZ =
0.
GROUP_NO
='FACINF'
DZ =
0.
faces AEFD (z=0 et z = 0.01)
GROUP_NO ='FACEAB' DX =
0.
face AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='FACEEF'
DNOR =
0.
face EF
PRES_REP = GROUP_MA ='FACEAE'
PRES =
60.
face AE
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1501 noeuds
Nombre de mailles : 240 HEXA20
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO
CRIT_NOEUD
`SOMMET'
AFFE_MODELE MODELISATION `3D_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA
PRES_REP
GROUP_MA
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION ELAS
NEWTON
REAC_ITER
1
3.4
Grandeurs testées et résultats
Pour A et F, on note le résultat obtenu
·
première colonne sans imposer GONF = 0
·
deuxième colonne en imposant GONF = 0
Identification
Référence
Aster
% différence
A u
0. 3.29
10-22 -1.39
10-21
- -
v
6. 105
5.9998 10-5
5.9995 10-5 0.003 -0.008
xx
100. 99.92
99.92
0.078
-0.078
yy
60. 59.91
-59.91
-0.155
-0.155
zz
20. 19.98
19.99
-0.076
-0.056
xy
0. -8.48
10-3 -8.48
10-3
- -
xx
6. 104
5.9948 10-4
5.9945 10-4 0.086 -0.091
yy
6. 104
-5.9915 10-5
-5.9918 10-4 -0.141 -0.136
xy
0. -6.36
10-8 -6.36
10-8
- -
INVA_2
6.9282 10-4
6.9211 10-4
6.9211 10-4 -0.102
-0.102
PRIN_1
6. 104
-5.9936 10-4
-5.9939 10-4 -0.107
-0.102
PRIN_2
0. 9.38
10-16
-1.3394 10-15
- -
PRIN_3
6. 104 5.9942
10-4
5.9939 10-4 -0.097
-0.102
VMIS
138.5641 138.1433 138.1433 -0.304
-0.304
TRESCA
160. 159.5142
159.5142
-0.304
-0.304
PRIN_1
-60. -59.7571
-59.7571
-0.405
-0.405
PRIN_2
20. 19.9961
20.0001
-0.019
0.0007
PRIN_3
100. 99.7571
99.7571
-0.243
-0.243
VMIS_SG
138.5641 138.1433 138.1433 -0.304
-0.304
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Identification
Référence
Aster
% différence
F u
2.1213 105 -2.1216
10-5 -2.1212 10-5
0.014 -0.006
v
+2.1213 105 2.1216
10-5 2.1212
10-5
0.014 -0.006
xx
20. 20.01
20.01
-0.104 0.04
yy
20. 19.99
19.99
-0.035 -0.035
zz
20. 19.999
19.999
-0.027 -0.007
xy
20. 20.02
20.02
0.087 0.087
xx
0. 1.01
10-7 7.11
10-8
- -
yy
0. -1.08
10-8 -4.07
10-8
- -
xy
1.5 104 1.5012
10-4 1.5012
10-4
0.08 0.08
Vérification du passage aux noeud pour les noeuds milieux (uniquement pour le résultat obtenu sans
imposer GONF = 0) - valeur au noeud NOEUMI :
Identification
Référence
Aster
% différence
xx
100. 99.92
0.076
yy
60. 59.92 -0.127
zz
20. 19.996
-0.076
xx
6. 104 5.9942
10-4 0.019
yy
6. 104 -5.9936
10-4 -0.107
3.5 Remarques
On obtient de très bons résultats puisque pour toutes les grandeurs examinées, la différence entre la
solution obtenue avec le code et la solution analytique est inférieure à 0.2 %. On voit que l'écart entre
les solutions obtenues en imposant ou non la condition tr = 0 est insignifiant.
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage avec des éléments 3D incompressibles de type TETRA10 uniquement
F
Face bloquée normalement
y
D
E
C
45°
A
B
x
Face avec pression imposée
Face bloquée en dy
AB est sur l'axe OX (contrairement à la modélisation A).
Découpage :
6 noeuds équidistants sur les segments AB, CD et EF,
5 noeuds équidistants sur les arcs ACE et BDF.
Suivant l'axe z :
·
épaisseur totale e = 0.01
·
2 couches d'éléments
Pour les besoins de dépouillement, on définit le noeud NOEUMI = A + (0. 0. e/4) où les déformations
et les contraintes sont les mêmes qu'en A.
Conditions limites :
DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP'
DZ =
0.
GROUP_NO
='FACINF'
DZ =
0.
faces AEFD (z=0 et z = 0.01)
GROUP_NO ='FACEAB' DY =
0.
face AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='FACEEF'
DNOR =
0.
face EF
PRES_REP = GROUP_MA ='FACEAE'
PRES =
60.
face AE
4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 703
Nombre de mailles : 356 TETRA10
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4.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO
CRIT_NOEUD
`SOMMET'
AFFE_MODELE MODELISATION `3D_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA
PRES_REP
GROUP_MA
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
NEWTON
REAC_ITER
1
4.4
Grandeurs testées et résultats
Pour les points A et F, on note le résultat obtenu sans imposer GONF = 0 (colonne 1) et en imposant
GONF = 0 (colonne 2)
Identification
Référence
Aster
% différence
A u
6. 105 6.011
10-5 6.011
105 0.19
0.18
v
0. 2.65
1023 -3.06
1022 - -
xx
60. -59.51
61.1452
-0.82
1.90
yy
100. 100.95
101.345
0.95
1.34
zz
20. 20.42
19.813
2.08
0.93
xy
0. -2.104
2.60
- -
xx
-6. 104 6.02
104 6.02
104 0.36
0.36
yy
+6. 104 6.01
104 6.01
104 0.20
0.19
xy
0. -1.58
10
5 1.58
105 - -
INVA_2
6.9282 10-4
6.9509 10-4
6.9509 10-4
0.328 0.328
PRIN_1
6. 104
-6.0241 10-4
-6.0244 10-4
0.401 0.406
PRIN_2
0. -2.85
10-6
-2.86 10-6
- -
PRIN_3
6. 104 6.0153
10-4
6.0150 10-4
0.255 0.250
VMIS
138.5641 137.4852
137.4852
-0.779 -0.779
TRESCA
160. 158.7541 158.7543 -0.779 -0.779
PRIN_1
-60. -58.6561 -58.6560 -2.240 -2.240
PRIN_2
20. 20.4167 20.4209 2.083 2.104
PRIN_3
100. 100.0980 100.0980 0.098 0.098
VMIS_SG
138.5641 137.4852
137.4852
-0.779 -0.779
Identification
Référence
Aster
% différence
F u
2.1213 105 2.1210
10-5
2.1206 10-5 0.02 0.04
v
2.1213 105 2.1210
10-5
2.1206 10-5 0.02 0.04
xx
20. 20.13 20.12 0.627 0.60
yy
20. 19.96 19.98
-0.209 0.11
zz
20. 20.025 20.035
0.127 0.17
xy
20. -19.98 19.97 0.105 0.13
xx
0. 6.85
10-7 6.55
107
- -
yy
0. -5.68
10-5 5.98
107
- -
xy
2.1213 105 2.1210
10-5
2.1206 10-5 0.02 0.04
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Vérification du passage aux noeud pour les noeuds milieux (uniquement pour le résultat obtenu sans
imposer GONF = 0) - valeur au noeud NOEUMI :
Identification
Référence
Aster
% différence
xx
-60. 58.988
1.687
yy
100. 100.501
0.501
zz
20. 20.685
3.424
xx
-6. 104 -5.97503
10-4 0.416
yy
6. 104 5.98584
10-4 -0.236
4.5 Remarques
Les résultats obtenus ici sont un peu moins bons que dans le cas de la modélisation A, mais la
discrétisation est plus grossière puisqu'il y a environ 2 fois moins de noeuds dans ce cas-test. Les
résultats sont tout de même satisfaisants puisque les écarts sont inférieurs à 0.2 % pour les
déplacements, inférieurs à 0.5 % pour les déformations et inférieurs à 1 % pour les contraintes. On
constate à nouveau qu'il n'y a pas d'amélioration significative du résultat lorsqu'on impose
explicitement tr = 0 .
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5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage avec des éléments 2D incompressibles de type QUAD8 et TRIA6
y
B
Face bloquée en dx
F
A
Face bloquée normalement
E
Face avec pression imposée
45°
x
Conditions limites :
DDL_IMPO =
GROUP_NO ='GRNM11'
DX =
0.
côté AB
FACE_IMPO = GROUP_MA ='GRMA12'
DNOR =
0.
coté EF
PRES_REP = GROUP_MA ='GRMA13'
PRES =
60.
face AE
Nom des noeuds :
A = N2, B = N361, C = N121, D = N584, E = N155, F = N503
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 591
Nombre de mailles : 200 TRIA6, 50 QUAD8.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO CRIT_NOEUD
`SOMMET'
AFFE_MODELE MODELISATION
`D_PLAN_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA
PRES_REP
GROUP_MA
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION ELAS
NEWTON
REAC_ITER
1
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5.4
Grandeurs testées et résultats
Pour les points A et F, on note le résultat obtenu sans imposer GONF = 0 (colonne 1) et en imposant
GONF = 0 (colonne 2).
Identification
Référence
Aster
% différence
A u
0. 1.59
10-21
9.53 10-22
- -
v
6. 105
5.9935 10-5
5.9932 10-5 -0.108
-0.113
xx
100. 99.93 99.93
-0.071
-0.071
yy
60. -59.72 -59.72
-0.464
-0.464
zz
20. 20.09 20.10
0.470
0.490
xy
0. 0.224
0.224
- -
xx
6. 104
5.987 10-4
5.987 10-4 -0.212
-0.217
yy
6. 104
-5.986 10-4
-5.986 10-4 -0.237
-0.232
xy
0. 1.68
10-6
1.68 10-6
- -
INVA_2
6.9282 10-4
6.9127 10-4
6.9127 10-4 -0.224
-0.224
PRIN_1
6. 104
-5.9858 10-4 -5.9861 10-4 -0.237
-0.232
PRIN_2
0. 0.0
0.0
- -
PRIN_3
6. 104 5.9873
10-4
5.9870 10-4 -0.212
-0.217
VMIS
138.5641 138.1093 138.1093 -0.328
-0.328
TRESCA
160. 159.4749
159.4749
-0.328
-0.328
PRIN_1
-60. -59.6335
-59.6335
-0.611
-0.611
PRIN_2
20. 20.0940
20.0980
0.470
0.490
PRIN_3
100. 99.8414
99.8414
-0.159
-0.159
VMIS_SG
138.5641 138.1093 138.1093 -0.328
-0.328
Identification
Référence
Aster
% différence
F u
2.1213 105
-2.1195 10-5 -2.1191 10-5
-0.086
-0.106
v
+2.1213 105
2.1195 10-5
2.1191 10-5
-0.086
-0.106
xx
20. 20.03
20.03
0.153
0.153
yy
20. 19.97
19.97
-0.134
-0.134
zz
20. 19.99
19.997
-0.036
-0.016
xy
20. 20.01
20.01
0.051
0.051
xx
0. 2.84
10-7
2.54 10-7
-
-
yy
0. -1.46
10-7
-1.76 10-7
-
-
xy
1.5 104 1.5007
1.5007 0.044
0.044
5.5 Remarques
Comme pour la modélisation 3D, les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants.
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/03/008/A
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Version
7.2
Titre :
SSLV130 - Cylindre creux en incompressible
Date :
23/09/03
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V3.04.130-C Page :
12/14
6 Modélisation
D
6.1
Caractéristiques de la modélisation
Eléments axi incompressibles (TRIA6 + QUAD8)
Axe du cylindre
Noeud bloqué en dy
y
E
F
0.01m
C
D
A
B
x
Face avec pression imposée
Pour les besoins de dépouillement, on définit les noeuds :
·
NOEUMIA = A + (0. 0.01/4) où les déformations et contraintes sont les même qu'en A
·
NOEUMIB = B + (0. 0.01/4) où les déformations et contraintes sont les même qu'en B
Conditions limites :
DDL_IMPO =
GROUP_NO ='FACSUP'
DY =
0.
y=0.1
GROUP_NO
='FACINF'
DY =
0.
y=0
PRES_REP = GROUP_MA ='FACEAE'
PRES =
60.
face AE
6.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 175.
Nombre de mailles et types : 20 QUAD8, 40 TRIA6.
6.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO
CRIT_NOEUD
`SOMMET'
AFFE_MODELE MODELISATION
`AXIS_INCO'
GROUP_MA
DEFI_MATERIAU ELAS
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
FACE_IMPO
GROUP_MA
PRES_REP
GROUP_MA
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
NEWTON
REAC_ITER
1
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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SSLV130 - Cylindre creux en incompressible
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S. MICHEL-PONNELLE Clé
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V3.04.130-C Page :
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6.4
Grandeurs testées et résultats
Pour A et F, on note les résultats obtenus sans imposer GONF = 0 (colonne 1) et en imposant
GONF = 0 (colonne 2).
Identification
Référence
Aster
% différence
A u
6. 105
6.0000 10-5 5.9996
10-5
-0.002 -0.007
v
0. 9.93
1024 -8.93
10-23
- -
xx
60. -59.91
-59.91
-0.150 -0.150
yy
20. 19.99
19.997 -0.036 -0.016
zz
100. 99.91
99.91
-0.086 0.086
xy
0. 3.73
10-9
3.73 10-9
- -
xx
6. 104
5.99 104 -5.99
10-4
-0.180 -0.123
yy
0. -1.69
1015 -1.69
10-15
- -
xy
0.
2.80 1014 2.80
10-14
- -
INVA_2
6.9282 10-4
6.9201 10-4
6.9201 10-4
-0.117 -0.117
PRIN_1
6. 104
-5.9923 10-4
-5.9926 10-4
-0.128 -0.123
PRIN_2
0. 6.45
10-16
6.40 10-16
- -
PRIN_3
6. 104 5.9937
10-4
5.9934 10-4
-0.105 -0.110
VMIS
138.5641 138.4116
138.4116
-0.110 -0.110
TRESCA
160. 159.8239 159.8239 -0.110 -0.110
PRIN_1
-60. -59.9101 -59.9101 -0.150 -0.150
PRIN_2
20. 19.9928 19.9968 -0.036 -0.016
PRIN_3
100. 99.9138 99.9138 -0.086 -0.086
VMIS_SG
138.5641
138. 4116
138. 4116
-0.110 -0.110
Identification
Référence
Aster
% différence
F u
3 105 3.0004
10-5
2.9998 10-5
0.014 0.006
v
0. -4.96
10-22
-5.69 10-22
xx
0. 2.59
10-2
2.58 10-2
- -
yy
20. 19.997 20.001 -0.014 0.006
zz
40. 39.99 39.99
-0.025 -0.025
xy
0. -4.87
10-3
-4.87 10-3
- -
xx
1.5 104 -1.498
10-4 -1.498
10-4
-0.129 -0.109
yy
0. -3.20
10-8 -3.20
10-8
- -
xy
0.
-3.65 10-8
-3.66 10-8
Vérification du passage aux noeud pour les noeuds milieux (uniquement pour le résultat obtenu sans
imposer GONF = 0)
NOEUMIA
Identification
Référence
Aster
% différence
xx
-60. -59.91 0.150
yy
20. 19.99
-0.036
zz
100. 99.91
-0.086
xx
-6. 104
-5.9923 10-4 0.128
zz
6. 104
5.9937 10-4 -0.105
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NOEUMIB
Identification
Référence
Aster
% différence
xx
0. -1.39
10-2
yy
20. 19.9999
-0.002
zz
40. 39.9993
-0.002
xx
-1.5 104 -1.4988
10-4 0.078
zz
1.5 104 1.4999
10-4 -0.008
6.5 Remarques
La précision obtenue est très bonne.
7
Synthèse des résultats
Avec un coefficient de Poisson très proche de 0.5, on retrouve les résultats de la solution
analytique incompressible avec une différence faible. On remarque qu'il n'est pas nécessaire
d'imposer explicitement la condition d'incompressibilité tr = 0 pour obtenir de bons résultats
puisque les résultats sont quasi-identiques que l'on active ou non, la condition GONF=0 avec
DDL_IMPO.
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