Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SSLL103 Flambement élastique d'une cornière
Date :
19/01/98
Auteur(s) :
J. PELLET
Clé :
V3.01.103-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document : V3.01.103
SSLL103 - Flambement élastique d'une cornière
Résumé :
Une poutre droite (cornière à ailes égales) biarticulée est soumise à un effort normal (excentré ou non) ou à un
moment fléchissant.
On cherche les charges critiques de flambement élastique.
· mécanique élastique linéaire,
· flambement d'une poutre,
· excentricité du centre de torsion,
· intérêt du test : calcul de la matrice de rigidité géométrique des éléments POU_D_TG et POU_D_T,
· 2 modélisations.
Une incertitude persiste sur le nombre de modes de flambement de la solution de référence [§5].
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Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
M
y
M
P
A
A
P
1
2
x
L = 1200 mm
Caractéristiques de la section :
A = 1856 mm2
z
Iy = 4167339 mm4
Section A
I
1 et A2
z = 1045547 mm4
A
J = 39595 mm4
I = 44398819 mm6
G
I
C
yr2 = 84948392 mm5
y
yc = 41.012 mm
a
zc = 0
a = 120 mm
e
e = 8 mm
CG = 41.012 mm
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1 105 MPa
= 0.3
1.3
Conditions aux limites et chargements
C.L. :
A1 : DX = DY = DZ = DRX = 0
A2 : DY = DZ = DRX = 0
Chargement
· cas 1 : effort axial P en G
· cas 2 : effort axial P en C
· cas 3 : effort axial P en A
· cas 4 : moment fléchissant M
1.4 Remarques
Pour les cas 2 et 3, on applique en A2 un effort en G, puis on superpose en A1 et A2 un moment de
flexion (suivant oz pour cas 2 suivant oy pour cas 3) pour excentrer l'effort en C (ou en A).
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Avec prise en compte du gauchissement, les calculs faits par V. De Ville De Goyet [bib1] donnent :
soit :
I =
2
;
=
2
2
2
2
2
;
2 =
+
;
2 =
+
y
z dA Iz
A
y dA Iyr
A
(yy z )dA
Izr
A
z(y z )dA
A
Pcry = 2
E I / L2 ; Pcrz = 2
E I / L2 ; Pcrx =
+ 2
2
z
y
(GJ EI / L
)Ara
Arc = (I + I / + 2 + 2 +
/
- 2
+
2 /
-
y
z ) A y
z
y
c
c
c (I
I
y
yrz
z
c )
zc (I
I
2z
zr
y
c )
Ara = (I + I / + 2 + 2 +
/
- 2
+
(
-
zr
/ Iy
z
2
2 c )
y
z ) A y
z
y
c
c
a (I
I
y
yrz
z
c )
z
I
a
avec :
(y ,z
a
a ) : coordonnées du point d'application de l'effort
(y ,z
c
c ) : coordonnées du centre de torsion
Cas 1, 2, 3 :
On obtient 3 charges critiques en résolvant l'équation du 3° degré en P :
2
2
Ara(Pcry - P)(Pcrz - P)(Pcrx - P) - P2(Pcrz - P)(z - z ) - P2(Pcry - P)(y - y
=
c
a
c
a )
0
Cas 4 :
Le moment critique Mcr (autour de l'axe y) vaut :
1/2
Mcr = ± (GJ + 2E I / L2
)Pcry)
En négligeant le gauchissement : la solution analytique de référence est donnée dans [bib2] [bib3].
2.2
Résultats de référence
Valeurs des charges critiques correspondant aux premiers modes de flambage pour les différents cas
de charge.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique. Les valeurs de référence sont obtenues à l'aide de NAG (routine C0SAGF, EPS =
108).
2.4 Références
bibliographiques
[1]
V. DE VILLE DE GOYET "Analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis des
structures spatiales formées de poutres à section non symétrique" - Thèse de doctorat
Université de Liège, MSM, année académique (1988-1989).
[2]
P. PENSERINI "Instabilité élastique des poutres à profil mince ouvert : aspects théoriques et
numériques" Note EDF/DER/HM77/112.
[3]
J. CERISIER "Propagation de deux cas tests de modélisation du calcul des poutres en
flambement élastique dans le Code_Aster" HM77/184
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
8 éléments POU_D_TG
A
A
1
2
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 9
Nombre de mailles et types : 8 SEG2
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_GEOM'
[U4.41.01]
MODE_ITER_SIMULT
'PLUS_PETITE'
[U4.52.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
Cas 1
mode 1
6.92531E+05
6.92533E+05
0.000
mode 2
1.50487E+06
1.50492E+06
0.003
mode 3
1.00589E+07
1.00593E+07
0.003
Cas 2
mode 1
1.50487E+06
1.50492E+06
0.003
mode 2
5.99812E+06
5.99831E+06
0.003
mode 3
1.47904E+06
1.47904E+06
0.000
Cas 3
mode 1
5.72260E+05
5.72265E+05
0.001
mode 2
2.45950E+06
2.45957E+06
0.003
mode 3
1.85673E+07
1.85679E+07
0.003
Cas 4
mode 1
7.00631E+07
7.00642E+07
0.002
4.2 Remarques
La précision est excellente avec 8 éléments dans la longueur.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
11 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
8 éléments POU_D_T
A
A
1
2
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 9
Nombre de mailles et types : 8 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_GEOM'
[U4.41.01]
MODE_ITER_SIMULT
'PLUS_PETITE'
[U4.52.02]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
Cas 1
mode 1
6.796E+05
6.8E+05
0.06
mode 2
1.505E+06
1.50492E+06
0.005
mode 3
1.0055E+07
9.968E+07
0.816
Cas 2
mode 1
1.505E+06
1.50492E+06
0.005
mode 2
5.998E+06
5.99831E+06
+0.005
Cas 3
mode 1
5.638E+05
5.649E+05
0.2
mode 2
2.453E+06
2.443E+06
0.4
mode 3
1.8525E+07
1.7883E+07
3.5
Cas 4
mode 1
6.9376E+07
6.982E+07
0.064
6.2 Remarques
La précision est assez bonne avec 8 éléments dans la longueur. La solution diffère un peu de celle
obtenue avec gauchissement (modélisation A).
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.6
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
50 mégamots
Temps CPU User :
15 secondes
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4.0
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19/01/98
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7
Synthèse des résultats
La solution analytique nous donne 3 modes de flambement dont les charges critiques sont racines
d'une équation du 3° degré.
Y-a-t-il d'autres charges critiques intercallées entre les 3 valeurs trouvées ?
Aster retrouve les bonnes charges critiques, mais au milieu de beaucoup d'autres ... par exemple pour
le cas 3, les 3 charges critiques cherchées correspondent aux nume_mode : 1, 10 et 19 !
Ceci est vrai pour les deux modélisations.
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