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7.1
Titre :
SDNL130 - Réponse sismique d'une poutre BA à comportement non linéaire Date :
15/10/03
Auteur(s) :
S. MOULIN, L. DAVENNE, F.GATUINGT
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, LMT Cachan
Manuel de Validation
Fascicule V5.02 : Dynamique non linéaire des systèmes linéiques
Document : V5.02.130
SDNL130 - Réponse sismique d'une poutre en
béton armé (section rectangulaire) à comportement
non linéaire
Résumé :
Le problème consiste à analyser la réponse sismique d'une poutre en béton armé par l'intermédiaire d'une
modélisation poutre multifibres [R3.08.08]. Le comportement de la poutre BA est non linéaire. Le béton est
modélisé avec la loi de comportement de La Borderie dans sa version 1D [R7.01.07].
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1 Caractéristiques
générales
1.1 Géométrie
La géométrie est identique à celle des cas test SSNL119 et SDLL130 sauf pour les armatures
longitudinales qui sont identiques : 4 HA32
y
x
5.400 mm
500 mm
Cadres HA8 espacés de 100 mm
5.000 mm
20 mm
44 mm
20 mm
32 mm
28
y
500 mm
z
Cadre HA8 espacé 100 mm
232
200 mm
44 mm
Figure 1.1-a : Géométrie de la structure
NB : les armatures transversales ne sont pas prises en compte dans les calculs
1.2
Propriétés de matériaux
· béton : E = 37 272 MPa, = 0.2,
1
ft = 3.9 MPa, fc = 38.3 Mpa, fc = 2.0.10-3, Gf = 110 J/m,
= 2400 kg/m3
· acier : E = 200 000 MPa, = 0.33, e = 400 MPa, ET = 3 280 MPa, = 7800 kg/m3
· Amortissement : de type Rayleigh (K+M), avec 5% sur les modes 1 et 2
1.3
Conditions aux limites et chargements
Appui simple en B : dy = 0
Appui "double" en A : dx = dy = 0
Pour éviter les modes propres hors plan, on bloque les degrés de liberté suivants sur toute la poutre :
rx = ry = dz = 0
Chargement : séisme ac_s2_c_1 [Figure 1.3-a], dans l'axe OY appliqué aux deux appuis (facteur
d'amplification du signal = 45).
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3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Temps (s)
Figure 1.3-a : Accélérogramme ac_s2_c_1 imposé à la structure
2
Solution de référence
La solution de référence est un calcul réalisé à l'aide du code de calcul EFICOS [bib1]. Il s'agit d'un
calcul multicouches (2D) avec les mêmes modèles pour les matériaux. Les éléments ne comportent
qu'un point de Gauss selon leur axe et la résolution globale est faite par un algorithme à matrice
sécante.
Pour avoir des résultats comparables en termes de localisation et en termes de résultats locaux
(contraintes et déformations au point de Gauss le plus proche du milieu de la poutre), le calcul avec
EFICOS (1 point par élément) est réalisé avec 10 éléments par demi-travée alors que le calcul avec
Code_Aster (2 points par élément) est réalisé avec 8 éléments par demi-travée.
Cette différence dans l'intégration est la principale source des différences constatées dans le
paragraphe [§4].
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3 Modélisation
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage longitudinal de la poutre :
Il est composé de 17 noeuds et 16 paires d'éléments POU_D_EM (16 éléments pour le béton et 16 pour
l'acier).
Section transversale de la poutre :
Le béton est modélisé par un maillage (AFFE_SECT) composé de 2 x 20 quadrilatères (40 fibres)
Figure 3.1-a : discrétisation de la section
L'acier est modélisé par 4 fibres ponctuelles (AFFE_FIBRE)
Les coefficients et pour l'amortissement sont calculés à l'aide de la formule suivante :
1 2
1
1 1
=
2
2
2
-
2
1
2
1
2
-
2
1
où
1
et 2 sont les deux premières pulsations propres ( f =
2
) et 1 et 2 sont les
amortissements désirés sur les deux premiers modes.
Avec f
9
,
39
Hz
1 =
et f
157,6 Hz
2 =
(calculées avec ASTER), pour des amortissements modaux
de 5%, nous trouvons :
5
10
.
8
-
=
et = 20 .
Pour le calcul de la réponse temporelle, le pas de temps choisi est 1/100ème de seconde.
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3.2 Fonctionnalités
testées
Commandes
CREA_MAILLAGE
CREA_GROUP_MA
AFFE_MODELE MAILLAGE
AFFE
TOUT
'OUI'
PHENOMENE
'MECANIQUE'
MODELISATION
'POU_D_EM'
DEFI_MATERIAU
'ELAS'
`LABORD_1D'
`ECRO_LINE'
AFFE_MATERIAU
GROUP_MA
MATER
AFFE_CARA_ELEM POUTRE
GROUP_MA
SECTION
ORIENTATION
GROUP_MA
CARA
'ANGL_VRIL'
AFFE_SECT
GROUP_MA
MAILLAGE_SECT
'OUI'
TOUT_SECT
AFFE_PONCT
GROUP_MA
'SURFACE'
CARA
VALE
AFFE_CHAR_MECA MODELE
DDL_IMPO
GROUP_NO
VECT_ASSE
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
`AMOR_MECA'
NUME_DDL MATR_RIGI
METHODE
`LDLT'
RENUM
`SANS'
ASSE_MATRICE MATR_ELEM
NUME_DDL
CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI
`OUI'
DIRECTION
DYNA_NON_LINE MODELE
CHAM_MATER
CARA_ELEM
INCREMENT
NEWMARK
NEWTON
MATRICE
`TANGENTE'
PREDICTION
`ELASTIQUE'
EXCIT
CHARGE
FONC_MULT
COMP_INCR
RELATION
`LABORD_1D'
`VMIS_CINE_LINE
'
CONVERGENCE
RESI_GLOB_RELA
ITER_GLOB_MAXI
ARCHIVAGE
CHAM_EXCLU
`VITE'
'ACCE'
LIST_INST
CALC_NO OPTION
`REAC_NODA'
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4 Résultats
Les courbes de réaction en fonction du temps et flèche au centre en fonction du temps sont
présentées sur les figures [Figure 4-a] à [Figure 4-d].
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
5
10
15
ASTER
EFICOS
Temps (s)
Figure 4-a : Réaction au premier appuis en fonction du temps
50
30
10
-10
-30
-50
-70
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
Temps (s)
ASTER
EFICOS
Figure 4-b : Détail de la réaction entre 1,6 et 3 secondes
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7
5
3
1
-1
-3
-5
-7
0
5
10
15
Temps (s)
ASTER
EFICOS
Figure 4-c : Flèche au centre en fonction du temps
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
Temps (s)
ASTER
EFICOS
Figure 4-d : Détail de la flèche entre 2,5 et 2,8 secondes
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Remarque :
La solution EFICOS est plus oscillante car le pas de temps choisi avec ce code était
1/1000ème de seconde.
60
2,87s
2,04s
40
20
0
-20
-40
-60
1,75s
-80
2,68s
-4
-2
0
2
4
6
Temps (s)
ASTER
EFICOS
Figure 4-e : Courbe réaction-flèche pour les 3 premières secondes
On effectue des tests de résultats (TEST_RESU) pour la réaction sur le premier appui et la flèche au
centre. On teste ces valeurs pour quelques extremums dans les 3 premières secondes de séisme,
c'est-à-dire aux alentours des temps 1,75s (tout début du domaine non linéaire), puis 2,04s, 2,68s et
2,87s lorsque la structure est déjà fortement endommagée.
Remarque :
Pour avoir un cas test ne consommant pas inutilement du temps CPU, seules les 3 premières
secondes de séisme sont testées.
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FLECHE
EFICOS
ASTER
Erreur relative %
1,75 s
1,5.10-3
1,7.10-3
13,3
2,04 s
1,3.10-3
1,1.10-3
13,1
2,68 s
5,2.10-3
4,7.10-3
9,6
2,87 s
3,4.10-3
3,1.10-3
7,9
REACTION
EFICOS
ASTER
Erreur relative %
1,75 s
3,7.104
4,2.104
14,3
2,00 s
3,5.104
3,5.104
0,3
2,69 s
6,8.105
6,7.105
1,7
2,87 s
4,8.105
4,8.105
0,2
On constate que les différences en effort dans le domaine non linéaire sont très faibles, alors qu'il y a
une différence certaine pour les déplacements. Cette différence est très certainement due aux effets
de l'amortissement qui joue un grand rôle sur les déplacements.
5 Bibliographie
[1]
GHAVAMIAN Sh., MAZARS J.
: Stratégie de calculs simplifiés pour l'analyse du
comportement des structures en béton armé: le code EFICOS. Revue française de génie civil
1998 ; 2 : 61-90.
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6
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus avec le Code_Aster sont en assez bon accord avec ceux du code EFICOS.
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