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Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.122
SSNV122 - Rotation et traction suiveuse
hyper-élastique d'un barreau
Résumé :
Ce test de mécanique quasi-statique consiste à faire tourner de 90° un barreau parallélépipédique et à le
soumettre à une traction importante au moyen de forces suiveuses. On valide ainsi la cinématique des grandes
déformations hyper-élastiques (commande STAT_NON_LINE [U4.32.01], mot-clé COMP_ELAS), et donc en
particulier les grandes rotations, pour une relation de comportement élastique linéaire, ainsi que la prise en
compte de forces suiveuses (commande STAT_NON_LINE [U4.32.01] mot clé TYPE_CHARGE:'SUIV').
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA8, modélisation A).
Les résultats obtenus par le Code_Aster ne diffèrent pas de la solution théorique.
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
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SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
1 000 (mm)
1
2
3
4
x
1 000 (mm)
1.2
Propriétés de matériaux
Comportement hyper-élastique de SAINT VENANT - KIRCHHOFF :
E
E
E = 200 000. MPa
S
= (
tr
+
1 + )(1-
2 )
(E) 1
E
1 +
= 0 3
.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le chargement est appliqué en deux temps : tout d'abord, une rotation d'ensemble de la structure,
suivie par une traction exercée par des forces suiveuses.
Rotation d'ensemble (0 < t < 1 s)
Traction (1 s < t < 2 s)
T = p N
N : normale
extérieure à la
face [2, 4].
2'
4'
1
2
2'
4'
3
4
1'
1'
3
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Il s'agit d'un problème plan. On peut chercher la solution sous la forme d'une rotation rigide suivie d'une
dilatation d'un facteur a dans une direction et b dans l'autre :
X
- Y
(
b - Y)
- X - bY
rotation
traction
Y
X
a X
soit u = AX
- Y
Z
Z
Z
0
Le gradient de la transformation et la déformation de Green-Lagrange sont alors :
2
0
- b
0
e
0
a -
0
1
x
ex =
F
=
a
0
0 E
= 0 ey
0
2
où
2
b - 1
0 0
1
0
0
0
e y =
2
La relation de comportement conduit à un tenseur de contraintes lagrangiennes diagonal (avec
et µ les coefficients de Lamé) :
S
= + 2µ
+
xx
(
) e
e
x
y
E
= 1+ 1- 2
S
= e
+ + 2µ
yy
x
(
)
(
)(
)
e y
où
E
µ = (21+)
S
= e
+ e
zz
x
y
On en déduit le tenseur des contraintes de Cauchy, lui aussi diagonal :
b
a
=
=
= 1
x
S y
y
S x
z
S z
a
b
a b
Enfin les conditions aux limites s'écrivent :
= 0 (bord libr )
e
= -
x
(traction)
y
p
On peut en outre calculer les efforts exercés sur les faces :
[1, 3]
F = - b S
y
y
o[1, 3]
[3, 4]
F = 0
x
[
- ab S
sur le côté inférieur de la face
z
o 1, 2, 3,4
1, 2, 3, 4]
[
]
F =
z
z ab So
[1, 2, 3,4] sur le côté supérieur de la face
où So[ ] représentent les surfaces initiales des faces.
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2.2
Résultats de référence
On adopte comme résultats de référence les déplacements, les déformations de Grenn-Lagrange, les
contraintes de Cauchy et les forces exercées sur les faces [1, 3], [3, 4] et [1, 2, 3, 4] en fin de
chargement (t = 2 s).
On cherche p tel que la dilatation a = 1,1
==> p = 26610.3 MPa.
La dilatation b et les déplacements sont alors :
b = 0.9539 e = 0.105 e = -
x
y
0.045
Les contraintes de Cauchy vallent :
= 0
= 26610.3 MPa
=
x
y
z 6597.6 MPa
Enfin, les forces exercées sont :
F
=
x
0
F
= -
y
25384 So[1, ] N
3
F
= -
9
z
6.9228 10
N
(côté inférieur)
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Eric LORENTZ "Une relation de comportement hyperélastique non linéaire" Note interne
EDF/DER HI-74/95/011/0
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation volumique :
1 maille HEXA 8
1 maille QUAD4
z
5
6
y
7
8
1
2
1 000 (mm)
3
4
x
· phase de rotation rigide 0 t 1 s
[3,7] DX = 0
DY = 0
DZ = 0
[
t
t
1,5] DX = 1000
-
sin
DY
1000 1 cos
DZ
0
2
= -
-
2
=
[2,6]
DZ = 0
[4,8]
DZ = 0
· phase de traction : 1s t 2s
-
conditions aux limites (TYPE_CHARGE: 'DIDI')
[3,7] DX = 0 DY = 0 DZ = 0
[1,5]
DY = 0 DZ = 0
[2,6]
DZ = 0
[4,8]
DZ = 0
-
chargement : pression (négative) sur la face [2, 4, 8, 6]
(PRES_REP) : maille [2, 4, 8, 6] (QUAD4) : PRES = 26610.3 (t1).
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 2
1 HEXA8
1 QUAD4
3.3 Fonctionnalités
testées
Commande
Clés
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
DEFORMATION : 'GREEN'
[U4.32.01]
EXCIT
TYPE_CHARGE : 'DIDI'
EXCIT
TYPE_CHARGE : 'SUIV'
CALC_NO
OPTION : 'FORC_NODA'
GEOMETRIE : 'DEFORMEE' [U4.61.03]
CALC_ELEM
OPTION : 'EPSG_ELNO_DEPL'
[U4.61.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Les valeurs sont testées en fin de chargement (t = 2s)
Identification
Référence
Aster
% différence
Déplacement DX (NO2)
1953.94
1953.92
0
Déplacement DY (NO2)
100.
100.
0
Contraintes SIXX (PG1)
0
8. 1010
Contraintes SIYY (PG1)
26610.3
26610.3
0
Contraintes SIZZ (PG1)
6597.6
6597.6
0
Contraintes SIXY (PG1)
0
1026
Contraintes SIXZ (PG1)
0
1011
Contraintes SIYZ (PG1)
0
1010
Déformation EPXX (PG1)
0.105
0.105
0
Déformation EPYY (PG1)
0.045
0.045
0
Déformation EPZZ (PG1)
0
1016
Déformation EPXY (PG1)
0
1014
Déformation EPXZ (PG1)
0
1014
Déformation EPYZ (PG1)
0
1016
Réaction nodale DX (NO3)
0
103
Réaction nodale DY (NO3)
6.3462 109
6.3461 109
0.001
Réaction nodale DZ (NO3)
1.7307 109
1.7307 109
0.004
4.2 Remarques
Calcul de la force nodale :
La force appliquée F sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par :
1/4
1/4
F
= 1
noeud
F
4
1/4
1/4
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.32
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
33.59 secondes
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5
Synthèse des résultats
Il apparaît à l'issue de ce test que la solution numérique coïncide remarquablement avec la solution
analytique. On remarquera cependant que la forte non linéarité due aux grandes rotations nécessite
une discrétisation en temps relativement fine, sans être pénalisante sur la précision puisque,
contrairement à une relation de comportement incrémentale, les erreurs ne se cumulent pas d'un pas
de temps sur l'autre.
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