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7.2

Titre :

SDLS109 - Fréquences propres d'un anneau cylindrique épais
Date :
06/02/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, S. CAILLAUD Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
Document : V2.03.109





SDLS109 - Fréquences propres d'un anneau
cylindrique épais



Résumé :

Ce test est inspiré d'une étude vibratoire réalisée sur le collecteur VVP des tranches N4. Ce collecteur est
épais et présente un rapport maximum épaisseur sur rayon moyen de 0,13. Cette valeur, pouvant être typique
d'une structure industrielle, est légèrement supérieure à la valeur limite de validité habituellement reconnue
pour les plaques et coques. Dans cette étude, la modélisation du collecteur en coques est alors évaluée par
comparaison avec un modèle volumique sur un anneau.

Ce test permet d'évaluer l'algorithme de recherche de valeurs propres MODE_ITER_SIMULT [U4.52.03] avec
les opérateurs de rigidité et de masse correspondant aux modélisations suivantes :

1) plaques de type DKQ (élément fini MEDKQU4) et DSQ (élément fini MEDSQU4),
2) plaques de type DKT (élément fini MEDKTR3) et DST (élément fini MEDSTR3) avec un maillage en épis
et en maillage en étoiles,
3) coques tridimensionnelles de type COQUE_3D (éléments finis MEC3QU9H et MEC3TR7H),
4) tranches de coque en contraintes planes de type COQUE_C_PLAN (élément fini METCSE3),
5) éléments filaires à cinématique de poutre et modes de Fourier TUYAU (élément fini METUSEG3) et
TUYAU_6M (élément fini MET6SEG3).

Les résultats obtenus sont comparés avec la solution issue d'une modélisation volumique de l'anneau (élément
fini MECA_HEXA8) faisant apparaître les modes de Fourier d'ordre 2 (ovalisation) et 3 (trifolié) ainsi que 2
modes hors plan. Les écarts sur les fréquences des modes d'ovalisation et trifolié sont voisins de :

·
0.4% en DSQ et COQUE_3D en QUAD9,
·
0.7% en COQUE_3D en TRIA7, COQUE_C_PLAN, TUYAU et TUYAU_6M,
·
1% pour les DKQ, DKT et DST.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Rm
L
t


Il s'agit d'un anneau cylindrique, de rayon moyen Rm = 0.369 m, d'épaisseur t = 0.048 m et de
longueur L = 0.05 m.

1.2
Propriétés du matériau

Le matériau est homogène, isotrope, élastique linéaire. Les coefficients élastiques sont :
E = 185 000 MPa et = 0.3.
La masse volumique est constante et vaut : = 7800 kg.m­3.

1.3
Conditions aux limites et chargements

La structure est libre dans l'espace.

1.4
Ordre de grandeur des fréquences propres

Les modes propres recherchés correspondent aux modes de Fourier d'ordre 2 et 3 de l'anneau. Les
fréquences d'un anneau peuvent être estimées à partir d'un modèle analytique de poutre courbe
d'Euler [bib1]. Pour un mode de Fourier d'ordre n, la fréquence vaut :

n(n2 - )
1
E I
f
y
=
n
2

R2
2
m
m(n + )
1

Lt3
où : I =
=
y
et m
Lt
12

Pour les modes d'ovalisation (n = 2) et trifolié (n = 3), les fréquences correspondantes valent
respectivement 211.65 Hz et 598.64 Hz. La recherche de modes propres est effectuée sur la bande
200 - 800 Hz afin de capter ces 2 modes de Fourier.

1.5 Référence
bibliographique

[1]
Blevins R.D., Formulas for natural frequency and mode shape, N.Y. : Van Nostrand Reynhold
Company, 1979, 492 p.
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2
Modélisation de référence

2.1
Caractéristiques de la modélisation de référence

Eléments volumiques 3D


La géométrie discrétisée est représentée ci-dessus. Les éléments 3D sont volumiques à 8 noeuds de
type HEXA8. Le nombre de noeuds sur la circonférence est 600, sur l'épaisseur 9 et sur la longueur 9.


2.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 48600
Nombre de mailles et type : 38400 HEXA8


2.3 Fonctionnalités
testées

Commandes
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `3D'
CALC_MATR_ELEM OPTION `RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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3
Résultats de la modélisation de référence

3.1
Valeurs de référence testées

Fréquences des modes propres d'ovalisation, trifolié et hors plan.

Mode
Fréquences propres (Hz)
ovalisation 210.55
210.55
trifolié 587.92
587.92
hors plan
205.89
205.89
588.88
588.88

3.2 Remarques

Le problème axisymétrique possède des modes doubles dans le plan et hors plan.
Les modes hors plan ont les déformées suivantes :

205.89 Hz :
588.88 Hz :



3.3 Incertitudes

L'incertitude est issue de l'analyse de convergence du maillage où les fréquences propres avec la
maillage de référence 600x8x8 sont comparés à celles du maillages 500x7x9.

Nombre d'éléments
Fréquences propres (Hz)
Circonférence Epaisseur
Longueur
Ovalisation Trifolié
100
3
3
232.03
648.62
200
3
3
225.20
628.74
400
5
8
221.02
616.34
500
7
9
210.64
588.18
600
8
8
210.55
587.92

L'incertitude est de 0.05% sur la fréquence.

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4 Modélisation
A

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Plaques DKQ et DSQ.



La géométrie discrétisée est représentée ci-dessus. Les éléments DKQ et DSQ sont des facettes
planes à quatre noeuds de type QUAD4. Le nombre de noeuds sur la circonférence est 100 et sur la
longueur 5.

4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 500
Nombre de mailles et type : 400 QUAD4

4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `DKT' ou `DST'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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5
Résultats de la modélisation A

5.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Aster
DKQ %
différence Aster
DSQ %
différence
ovalisation 210.55 211.48
0.44
209.57
­0.46
210.55
211.48
0.44
209.57
­0.46
trifolié 587.92
598.23
1.75
586.30
­0.27
587.92
598.23
1.75
586.30
­0.27
hors plan
205.89
234.70
13.99


205.89
234.70
13.99


588.88
646.34
9.75
533.02
­9.49
588.88
646.34
9.75
533.02
­9.49


5.2 Remarques

Les modélisations en plaques DKQ et DSQ ne permettent pas de représenter correctement les modes
hors plan. On peut penser que cela est dû au nombre de mailles sur la longueur trop faible (4 au lieu
de 8 dans la modélisation de référence). La première fréquence hors plan en plaques DSQ doit être
inférieure à 200 Hz.


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6 Modélisation
B

Plaques DKT et DST - maillage en épis



La géométrie discrétisée sur le rayon moyen Rm = 0.369 m est représentée ci-dessus. Les éléments
DKT et DST sont des facettes planes à trois noeuds de type TRIA3 disposées en épis. Le nombre de
noeuds sur la circonférence est 100 et sur la longueur 5.


6.1
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 500
Nombre de mailles et type : 800 TRIA3


6.2 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `DKT' ou `DST'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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7
Résultats de la modélisation B

7.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Aster
DKT %
différence Aster
DST %
différence
ovalisation 210.55 211.54
0.47
203.69
­3.25
210.55
211.54
0.47
203.69
­3.25
trifolié 587.92
598.64
1.82
568.70
­3.27
587.92
598.64
1.82
568.70
­3.27
hors plan
205.89
254.89
23.80
202.38
­1.70
205.89
254.89
23.80
202.38
­1.70
588.88
707.53
20.14
617.18
4.81
588.88
707.53
20.14
617.18
4.81


7.2 Remarques

La modélisation en plaques DKT ne permet pas de représenter correctement les modes hors plan.
Les erreurs sur les fréquences en plaques DST sont relativement importantes.

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8 Modélisation
C

Plaques DKT et DST - maillage en étoiles



La géométrie discrétisée sur le rayon moyen Rm = 0.369 m est représentée ci-dessus. Les éléments
DKT et DST sont des facettes planes à trois noeuds de type TRIA3 disposées en étoiles. Le nombre
de noeuds sur la circonférence est 100 et sur la longueur 5.


8.1
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 500
Nombre de mailles et type : 800 TRIA3


8.2 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `DKT' ou `DST'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)

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9
Résultats de la modélisation C

9.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Aster
DKT %
différence Aster
DST %
différence
ovalisation 210.55 211.54
0.47
208.20
­1.11
210.55
211.54
0.47
208.20
­1.11
trifolié 587.92
598.58
1.81
581.00
­1.18
587.92
598.58
1.81
581.00
­1.18
hors plan
205.89
284.38
38.12
225.23
9.39
205.89
284.38
38.12
225.23
9.39
588.88
797.24
35.38
690.73
17.29
588.88
797.24
35.38
690.73
17.29


9.2 Remarques

Les modélisations en plaques DKT et DST ne permettent pas de représenter correctement les modes
hors plan.

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10 Modélisation
D

10.1 Caractéristiques de la modélisation

COQUE_3D maillage en QUAD9.


La géométrie discrétisée sur le rayon moyen Rm = 0.369 m est représentée ci-dessus. Les éléments
COQUE_3D sont des mailles à 9 noeuds de type QUAD9 permettant de prendre en compte le rayon de
courbure de l'anneau. Les noeuds milieux sont bien sur la circonférence moyenne. Le nombre de
noeuds sur la circonférence est 40 et sur la longueur 5.

10.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 200
Nombre de mailles et type : 40 QUAD9

10.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

CREA_MAILLAGE
MODI_MAILLAGE
OPTION = `QUAD8_9'
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
A_CIS = 0.833333
COEF_RIGI_DRZ = 1.E-5
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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11
Résultats de la modélisation D

11.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Code_Aster %
différence
ovalisation 210.55
209.91
­0.30
210.55
209.91
­0.30
trifolié 587.92
586.51
­0.24
587.92
586.51
­0.24
hors plan
205.89
205.14
­0.36
205.89
205.14
­0.36
588.88
587.55
­0.23
588.88
587.55
­0.23


11.2 Remarques

Toutes les fréquences sont correctement estimées.


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12 Modélisation
E

12.1 Caractéristiques de la modélisation

COQUE_3D maillage en TRIA7.


La géométrie discrétisée sur le rayon moyen Rm = 0.369 m est représentée ci-dessus. Les éléments
COQUE_3D sont des mailles à 7 noeuds de type TRIA7 permettant de prendre en compte le rayon de
courbure de l'anneau. Les noeuds milieux sont bien sur la circonférence moyenne. Le nombre de
noeuds sur la circonférence est 40 et sur la longueur 5.

12.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 280
Nombre de mailles et type : 160 TRIA7

12.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

CREA_MAILLAGE
MODI_MAILLAGE
OPTION = `TRIA6_7'
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
A_CIS = 0.833333
COEF_RIGI_DRZ = 1.E-5
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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13
Résultats de la modélisation E

13.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Code_Aster %
différence
ovalisation 210.55 211.19
0.30
210.55
211.19
0.30
trifolié 587.92
590.98
0.52
587.92
590.98
0.52
hors plan
205.89
205.81
­0.04
205.89
205.81
­0.04
588.88
595.38
1.10
588.88
595.38
1.10


13.2 Remarques

Les fréquences sont moins bien estimées qu'avec les éléments QUAD9.


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14 Modélisation
F

14.1 Caractéristiques de la modélisation

COQUE_C_PLAN.



La géométrie discrétisée sur le rayon moyen Rm = 0.369 m est représentée ci-dessus. Les éléments
COQUE_C_PLAN sont des mailles à 3 noeuds de type SEG3 permettant de prendre en compte le rayon
de courbure de l'anneau. Les noeuds milieux sont bien sur la circonférence moyenne. Le nombre de
noeuds sur la circonférence est 100.

14.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 100
Nombre de mailles et type : 50 SEG3

14.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
A_CIS = 0.833333
MODI_METRIQUE = `NON'
EPAIS = 0.048
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
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15
Résultats de la modélisation F

15.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Code_Aster %
différence
ovalisation 210.55
209.14
­0.67
210.55
209.14
­0.67
trifolié 587.92
583.28
­0.79
587.92
583.28
­0.79
hors plan
205.89


205.89
588.88
588.88


15.2 Remarques

La modélisation en contraintes planes ne permet pas de faire apparaître les modes hors plan de
l'anneau.

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16 Modélisation
G

16.1 Caractéristiques de la modélisation

TUYAU et TUYAU_6M.

AXE en SEG3


La géométrie discrétisée sur l'axe de l'anneau est représentée ci-dessus. Les éléments TUYAU et
TUYAU_6M sont des mailles à 3 noeuds de type SEG3 représentant l'axe de l'anneau. Le nombre de
noeuds sur l'axe est 5.


16.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 5
Nombre de mailles et type : 2 SEG3


16.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `TUYAU' ou `TUYAU_6M'
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
SECTION = `CERCLE'
MODI_METRIQUE = `NON'
CARA = (`R' `EP')
VALE = (0.395,0.048)
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)

Manuel de Validation
Fascicule V2.03 : Dynamique linéaire des coques et plaques
HT-66/04/005/A

Code_Aster ®
Version
7.2

Titre :

SDLS109 - Fréquences propres d'un anneau cylindrique épais
Date :
06/02/04
Auteur(s) :
J.M. PROIX, S. CAILLAUD Clé
:
V2.03.109-B Page :
18/20


17
Résultats de la modélisation G

17.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Aster
TUYAU %
différence Aster
TUYAU_6M %
différence
ovalisation 210.55 209.02
­0.72
209.02
­0.72
210.55
209.02
­0.72
209.02
­0.72
trifolié 587.92
591.00
0.52
591.00
0.52
587.92
591.00
0.52
591.00
0.52
hors plan
205.89
259.74
26.15
259.74
26.15
205.89
259.74
26.15
259.74
26.15
588.88
649.57
10.31
649.57
10.31
588.88
649.57
10.31
649.57
10.31


17.2 Remarques

Les modélisations en TUYAU (limitée par construction à 3 modes de Fourier) et TUYAU_6M ne
permettent pas de représenter correctement les modes hors plan. En revanche, ils fournissent les
mêmes résultats sur les modes plans, proches de la référence.


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19/20


18 Modélisation
H

18.1 Caractéristiques de la modélisation

Modélisation SHB8



La géométrie discrétisée est représentée ci-dessus. Les éléments SHB8 s'appuient sur des mailles
HEXA8. Le nombre d'éléments sur la circonférence est 100 et sur la longueur 5.

18.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1000
Nombre de mailles et type : 400 HEXA8, 400 QUAD4

18.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `SHB8'
CALC_MATR_ELEM OPTION
`RIGI_MECA'
`MASS_MECA'
MODE_ITER_SIMULT
CALC_FREQ
BANDE FREQ = (200., 800.)
CREA_MAILLAGE COQU_VOLU

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Version
7.2

Titre :

SDLS109 - Fréquences propres d'un anneau cylindrique épais
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06/02/04
Auteur(s) :
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:
V2.03.109-B Page :
20/20


19
Résultats de la modélisation H

19.1 Valeurs
testées

(Fréquences en Hertz)

Mode Référence
Aster
DKQ %
différence
ovalisation 210.55 210.71
0.08
210.55
210.71
0.08
trifolié 587.92
590.84
0.5
587.92
590.84
0.5
hors plan
205.89
208.05
1.05
205.89
208.05
1.05
588.88
595.3
1.09
588.88
595.3
1.09





20
Synthèse des résultats

·
Même si les résultats obtenus sont honorables, les modèles DKQ, DSQ, DKT, DST,
COQUE_C_PLAN, TUYAU et TUYAU_6M ne permettent pas d'estimer les modes hors plan de
l'anneau. Seul le modèle COQUE_3D avec un maillage en QUAD9 fournit une bonne estimation
fréquentielle de ces modes avec une erreur inférieure à 0.4%.
·
Les modèles DSQ et COQUE_3D en QUAD9 donnent une erreur voisine de 0.3% pour les modes
d'ovalisation et trifolié. Pour les modèles COQUE_3D en TRIA7, COQUE_C_PLAN, TUYAU et
TUYAU_6M, cette erreur avoisine 0.7% et est supérieure à 1% pour les DKQ, DKT et DST.
·
Les meilleurs résultats des DSQ par rapport aux DKQ confirment que l'effet du cisaillement
transverse n'est pas négligeable dans les coques d'épaisseur notable.
·
Sur une géométrie développable comme celle du cylindre étudié ici, les éléments finis
quadrangulaires fournissent de meilleurs résultats que les éléments finis triangulaires. Les DST,
testés sur un maillage en épis et sur un maillage symétrique en étoiles, sont beaucoup moins
bons que les DSQ. La même remarque est également valable pour les COQUE_3D en TRIA7 par
rapport aux COQUE_3D en QUAD9.
·
Les performances des COQUE_3D sont bonnes quantitativement et en temps de calcul. La
richesse de l'interpolation, la prise en compte de la courbure du cylindre dans les éléments et la
correction métrique effectuée dans l'épaisseur de la coque semblent expliquer ces bons résultats.
·
Les éléments SHB8 permettent d'obtenir tous les modes avec un écart maximum de l'ordre de
1%.

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