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HPLA100 - Cylindre creux thermoélastique pesant en rotation uniforme
Date :
18/03/96
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F. VOLDOIRE
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Fascicule V7.90 : Références théoriques de tests en thermo-mécanique
Document V7.90.03
HPLA100 - Une solution analytique pour le cylindre
creux thermoélastique pesant en rotation uniforme
Résumé :
On donne ici la solution analytique 2D axisymétrique et en coque du problème du cylindre creux mince
thermoélastique pesant et en rotation uniforme, soumis à un champ de température linéaire dans l'épaisseur. Le
matériau est supposé de caractéristiques indépendantes de la température.
Cette solution correspond au test HPLA100 [V7.01.100].
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1
Chargement de rotation uniforme autour de OZ
1.1
Modèle 2D axisymétrique
La densité de force centrifuge est : 2 r er .
On envisage les conditions aux limites suivantes :
uz r
( ,z)= 0 en z = 0 et z = L
On postule le déplacement sous la forme :
ur = u r
( ) ; uz = u = 0
Ainsi :
u
rr = u' ; =
;
r
zz = rz = z = r = 0
Z
B1 B B2
L
!!
0
r
A1 A A2
h
R
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Les contraintes élastiques s'expriment :
E
u
rr = (
1 - u'
+
1+ )(1-
2 ) (
)
r
E
u
= (
1 -
+ '
1 + )(1-
2 ) (
)
u
r
E
u
zz =
'
(
+
1+ )(1-
2 )
u
r
L'équation d'équilibre radial s'écrit :
(r ) -
2
= - 2 r
rr r,
Ainsi :
(ru)' '
(1+)(1- 2)
2
r
éq 1.1-1
r
= -
(1-) E
Note :
u
ru
( )'
+ u' =
r
r
D'où la solution générale :
3
(
1+ 1- 2
r
B
u r)
(
)(
)
= -
2
(
+
+
éq 1.1-2
1- )
Ar
E
8
r
Les contraintes sont alors :
3 -
2
r2
E
2
B
rr (r)
= -
.
+
A - 1 -
2
1-
8
(1+)(1-
2 )
(
)
r2
1 +
2
r2
E
2
B
(r) = -
.
+
A + 1 -
2
éq 1.1-3
1 -
8
(1+)(1-
2 )
(
)
r2
r2
2
2
E
zz(r) = -
.
+
A
1 -
2
(1+)(1-
2 )
Les conditions aux limites en contraintes sont :
h
rr = 0 en r = R ± 2
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On note :
h
x = 2R
On obtient grâce à [éq 1.1-3] :
3
( - 2) 1( + )
B =
2 R4 1- x2
( )2
8 1
( - ) E
puis :
(3 - 2) 1
( + ) 1(- 2)
A =
2 R2 1 + x2
( )
4 1
( - ) E
Application numérique :
R = 20 mm ; h = 1 mm ; = 8.106 kg/mm3 ; = 1 s1
E = 2.105 N/mm2 ; = 0.3.
D'où : A = 7.13588.109 ; B = 3.561258.106 mm2
Note :
1
( + ) 1( - 2) 2 = 3.714286.10-12 mm-2
1
( - ) E
8
2 = 1.714286.10-6 MPa.mm-2
1-
2
Ainsi :
· en peau interne :
ur = 2.9424.10-7 mm ;
zz = 0.99488.10-3 MPa
· en peau externe :
ur = 2.8801.10-7 mm ;
zz = 0.92631.10-3 MPa
1.2
Modèle coque axisymétrique
La force centrifuge équivaut à une pression répartie :
h2
p = 2 h R 1
+
12 R2
La solution est membranaire, l'équilibre normal s'écrit :
N = p R
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w
La déformation membranaire est : E =
, alors que E
R
zz = 0 = K = Kzz . En élasticité :
E h
N =
E
1 - v2 ; Nzz = v N ; M = 0
D'où la solution (flèche et effort normal circonférentiel) :
1 - 2
( ) 2 h2
h2
w =
R3 1
+
; N
E
12 R2
= 2R2 h 1 +
12 R2
La contrainte axiale vaut :
h2
zz
= 2R2 1+
constant dans l
(
'épaisseur)
12 R2
h2
Si on ne tient pas compte de la correction de métrique, il faut ôter le terme 1
+
dans les
12R2
expressions précédentes.
Application numérique (sans correction de métrique) :
p = 1,600000.104 MPa
w = 2,912000.107 mm
Nzz = 0,96000.103 N/mm
zz = 0,96000.103 MPa
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2
Chargement de pesanteur
2.1
Modèle 2D axisymétrique
La densité de force est : - g ez (pesanteur verticale).
On envisage les conditions aux limites suivantes :
uz r
( ,z)= 0 en r = R et z = 0
(cercle d'appui)
avec la traction uniforme : zz r
( ,z) = g L en z = L, équilibrant le poids.
On postule la solution élastique du type :
0 0
0
= 0 0 0
0 0 zz
de sorte que :
rr = = - zz = - uz,z = - zz ;
E
rz = 0 = r = z
On observe ainsi :
ur,r = ur u ( ) = - A' (z) r
r
r r, z
Puis :
- A' (z) =
( )
rr = - zz
uz,z r,z = A' z
( )
u ( )
( )
z r, z = A z + B r
( )
De rz = 0 , on tire :
B r
( )- r A"(z) = 0
soit :
A z
( ) = cste = ;
B r
( ) = r
Des conditions aux limites en effort, on obtient :
g z2
g r2
A(z) =
+ ; B r
( ) =
2E
2E
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R2
Enfin, vérifie : = - g 2E
Ainsi :
- g z r
g
u
2
2
2
r (r, z)
=
; uz (r,z) =
z + r - R
E
2E (
(
)
éq 2.1-1
zz(r,z) = g z
Application numérique
g = 10 N/kg ; = 8.10-6 kg/mm3 ; R = 20 mm ; L = 10 mm
E = 2.105 N/mm2 ; = 0.3 ; h = 1 mm
· en peau interne :
u ( )
r L = -2.34000.108 mm ;
( )
zz L = 8.0000.104 MPa ;
uz O
( ) = -1.185000.109 mm
· en peau externe :
u ( )
r L = -2.46000.108 mm ;
( )
zz L = 8.0000.104 MPa ;
uz O
( ) = 1.215000.109 mm
2.2
Modèle coque axisymétrique
Une traction verticale est exercée en z = L :
F = g h L
La pesanteur conduit à une force verticale :
f = - g h ez
La condition aux limites sur le cercle d'appui est : uz z
( )= 0 en z = 0
La solution est membranaire, l'équilibre vertical s'écrit :
Nzz,z = g h
De plus : N = 0 . En élasticité, on déduit alors :
- N
g z
g
E
zz
= w =
= -
; E
u ( ) =
z 2
R
E h
E
zz = uz,z = Nzz
E h
z z
2E
La contrainte axiale est :
(
)
zz
= g z
constant dans l'épaisseur
Application numérique :
F = 8.104 N/mm
w L
( ) = -2.4000.10-8 mm
Nzz (L) = 8.0000.104 N/mm
zz (L) = 8.0000.104 N/mm
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3 Chargement
thermomécanique
3.1
Modèle 2D axisymétrique
T + T
-
s
i
(T T
s
i )
T(r) - T (r) =
+
(r - R
réf
)
éq 3.1.-1
2
h
Z
h
Ts
r
Ti
R
On postule le déplacement sous la forme :
ur = u r
( ) ; uz = u = 0
avec les conditions aux limites idoines. Ainsi, les contraintes élastiques s'expriment :
E
u
E
rr = (
1- u +
T - T
1 + )(1-
2 ) (
)
( réf)
r - 1-
2
E
u
E
= (
1-
+ u
T - T
1 + )(1-
2 ) (
)
( réf)
r
- 1-
2
E
u
E
zz =
(
+ u
T - T
1 + )(1-
2 )
( réf)
r
- 1-
2
L'équation d'équilibre radial r
( )
rr
-
,r
= 0 donne :
(ru)
(1+ )
=
T - T
éq 3.1-2
r
1
( réf)
( -)
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D'où la solution générale :
1+ (T - T
2
s
i )
(
r
B
u r)
(
)
=
(
+
+
éq 3.1-3
1- )
Ar
h
3
r
Les contraintes sont alors :
E( s
T - i
T ) R
r
E T + T
s
i
rr (r)
=
-
h
1-
2
(
3 1- ) - 1-
2
2
E
B
+
(
A - 1 -
2
1 + )(1-
2 )
(
)
r2
E
( sT - iT) R
2r
E T + T
s
i
(r) =
-
-
h
1-
2
(
3 1- ) 1-
2
2
éq 3.1-4
E
B
+
(
A + 1-
2
1 + )(1-
2 )
(
)
r2
E( s
T - i
T ) R
r
E T + T
s
i
zz (r)
=
-
h
1
-
2
1 - - 1 - 2
2
2 E
+
(
1 + )(1- 2) A
h
h
Les conditions aux limites en efforts sont : en r = R ±
. On obtient
2
rr = 0. On note : x = 2R
grâce à [éq 3.1-4] :
T
(
)
B =
s - Ti (
) R3 1- x2
( )2
6 h 1
( - ) 1+
puis :
(T - T
s
i ) R
T
2
+ T
A
(1 )
s
i
=
+ -
3
1
2
6 (
- -
x
+
h 1 - ) (
(
) )
2
Application numérique :
R = 20 mm ; h = 1 mm ; = 10-5°C-1 ; Ts = -Ti = 0.5°C ; = 0.3 ;
E = 2.105 N/mm2.
D'où : A = -0.18569881.10-3 ; B = 0.02473096 mm2
Note :
1
( + ) Ts - Ti = 0.61904762.10-5
1-
3 h
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· en peau interne :
ur = 1.056145.106 mm ;
zz = 1.4321427 MPa.
· en peau externe :
ur = 1.110317.106 mm ;
zz = -1.4250001 MPa.
Dans le cas où l'on prend Ts = +Ti = 0.1°C :
A = 0,00130000.10-3 ; B = 0,0 mm2
Ainsi :
· en peau interne :
ur = 25.350000.106 mm ;
zz = -0.200000 MPa.
· en peau externe :
ur = 26.650000.106 mm ;
zz = -0.200000 MPa.
3.2
Modèle coque axisymétrique
Pour le champ de température dans l'épaisseur donné par [éq 3.1-1], on obtient l'expression suivante
de la loi de comportement :
E h
E h T + T
T - T
s
i
s
i
h
N
=
2 (E
+ E
zz ) -
+
1 -
1- 2
12
R
éq 3.2-1
E h
E h
T + T
T - T
s
i
s
i
h
Nzz =
2 ( E
+ E
zz ) -
+
1 -
1- 2
12
R
et :
E h3
E h2 T + T h
M =
2
(
+
-
+
-
12 1 - )(K
K
s
i
zz )
(
12 1- )
T
T
2
R
s
i
éq 3.2-2
E h3
E h2 T + T h
M
s
i
zz
=
2
12 1
2
(
+
-
+
-
12 1 - )( K
K
zz )
( -)
T
T
R
s
i
h
D'après ces expressions, les termes thermiques en
sont à négliger si l'on ne considère pas la
R
correction de métrique dans l'épaisseur, c'est-à-dire dans le cas des modèles habituels.
Dans notre situation :
w
E =
; E
R
zz = 0
; K = Kzz = 0
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L'équilibre normal à la coque s'écrit :
N = 0
d'où la flèche :
T
h
w = 1
( + ) T
s + Ti + s - Ti R
2
12
R
et :
T
N
s + Ti
zz
= E h
+ Ts - Ti h
2
12
R
M
zz
= - E h2 (
)+ Ts + Ti h
12 1
( - ) Ts - Ti
2
R
Comme le second membre de dilatation ne tient pas compte de la correction de métrique, les termes
en h / R ci-dessus sont négligés.
Application numérique
R = 20 mm ; h = 1 mm ; = 10-5°C-1 ; Ts = -Ti = 0.5°C ; = 0.3 ;
E = 2.105 N/mm2.
D'où :
Mzz = -0.2380952 N
en peau interne : zz = 1.449319 MPa * ;
ou
zz = 1.428571 MPa (sans correction de métrique)
Dans le cas où l'on prend Ts = +Ti = 0,1°C :
w = 26.00000.106 mm
Nzz = 0.2 N/mm
Mzz = 0.001190476 N
en peau interne : zz = -0.2122466 MPa * ;
ou
zz = -0.200000 MPa (sans correction de métrique)
* Les contraintes dans l'épaisseur avec correction de métrique sont données par :
( )
h2
12 x3
zz x3
=
Nzz - Mzz / R
h 1 - h2 / 12 R2
(
)+ Mzz -Nzz
12 R h3 1 - h2 / 12 R2
(
)
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