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SSLP310 - Biblio_18. Fissure pressurisée dans un domaine plan illimité
Date :
05/11/02
Auteur(s) :
S. GRANET, I. CORMEAU, B. KURTH
Clé : V3.02.310-A Page : 1/10

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, CS SI















Manuel de Validation
Fascicule V3.02 : Statique linéaire des systèmes plans
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SSLP310 - Biblio_18. Fissure pressurisée dans un
domaine plan illimité





Résumé :

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.

Il s'agit d'un test bidimensionnel en statique (déformations ou contraintes planes) qui a pour objectif la
vérification de G et KI sous chargement par pression répartie non uniforme sur les lèvres, en milieu illimité. On
vérifie également la nullité de KII avec l'option CALC_K_G.

Le comportement de la structure est élastique linéaire isotrope.

Le cas test comprend une seule modélisation 2D plane dans laquelle on étudie l'influence du paramètre c
intervenant dans le chargement.


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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

y
p(x,c)
x
-1
1


On considère la fissure rectiligne -1 x 1 dans le domaine plan illimité.


1.2
Propriétés du matériau

Le matériau est élastique linéaire homogène de module d'Young E et de coefficient de Poisson .
E = 1000 Mpa , = 0,3


1.3
Conditions aux limites et chargements

Le chargement étant auto-équilibré, le modèle est limité au demi-espace y 0.

Conditions aux limites

Relation linéaire UX(-1,0) + UX(1,0) = 0

Condition de symétrie UY = 0 pour x -1, x 1 et y = 0.

Chargement n° 1

p(x) = 1

Chargement n° 2

p(x,c) = exp(cx) où c est un paramètre

Chargement n° 3

p(x,c) = Sh(cx) où c est un paramètre

Chargement n° 4

p(x,c) = Ch(cx) où c est un paramètre

Chargement n° 5

p(x,c) = cos(cx) où c est un paramètre
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Calcul symbolique exact à l'aide du logiciel MAPLE V [bib1].


2.2
Résultats de référence

Chargement n° 1

K (x = )
1 =
I

Chargement n° 2

K (x = 1,c) = (I
où I et I sont les fonctions de Bessel modifiées de première
0 (c) + I1 (c
I
))
0
1
espèce d'indices 0 et 1 [bib2].

Chargement n° 3

K (x = 1,c) = I

1 (c
I
)

Chargement n° 4

K (x = 1,c) = I

0 (c
I
)

Chargement n° 5

K (x = 1,c) = J
où J est la fonction de Bessel de première espèce d'indice 0 [bib2].
0 (c
I
)
0

Dans tous les cas de chargement

K 2
G
I
=
en contraintes planes
E

(1- 2)K2

G
I
=
en déformations planes
E


2.3 Références
bibliographiques

[1]
On the evaluation of stress intensity factors for a simple crack under parametric loading.
Technical note. N.I. IOKADIMIS et G.T. ANASTASSELOS. Computers and Structures, 51,
n°6, 791-794, 1994.
[2]
Handbook of mathematical functions, Chapitre 9. M. ABRAMOWITZ et I.A. STEGUN
(Editeurs). United States Dept. of Commerce, National Bureau of Standards.
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3 Modélisation
A


3.1
Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est limité au demi-espace y 0 et à la région finie -x
x x
,
max
max
0 y ymax avec x = y = 15.
max
max

Il est constitué de 578 quadrangles à 8 noeuds et de 1699 triangles à 6 noeuds.
Il comporte 5230 noeuds.

On utilise l'hyphotèse des contraintes planes.

3.2
Caractéristiques du maillage

Utilisation de la procédure FISS2D_V1.

Les paramètres topologiques concernant le raffinement autour du fond de fissure sont:

· nc = 4 (nombre de couronnes)
· ns = 8 (nombre de secteurs)
· nt = 1 (nombre de couronnes de déraffinement)

Le maillage fin rayonnant est limité à l'extrémité droite de la fissure.
La densité du maillage en partie courante de la fissure est choisie de façon à pouvoir discrétiser
convenablement le chargement p(x,c).




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3.3 Fonctionnalités
testées

Calcul du taux de restitution d'énergie G par la méthode THETA pour différentes couronnes.

Commandes


DEFI_FOND_FISS
FOND
GROUP_NO


NORMALE


CALC_THETA
THETA_2D
GROUP_NO


CALC_G_THETA_T
SYME_CHAR


CALC_K_G


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Couronne 0 (triangles)

Rinf = 0 mm , Rsup = 0,02 mm

Identification Référence
Aster %
différence
G, chargement n°1
3,14158E-3
3,04077E-3
-3,209
KII, chargement n°1
0
0
0
KI, chargement n°1
1,77245
1,6559
-6,574




G, chargement n°2, c=1
1,05349E-2
1,01411E-2
-3,738
KII, chargement n°2, c=1
0
0
0
KI, chargement n°2, c=1
3,24576
3,03108
-6,614
G, chargement n°2, c=5
8,356742
7,9065
-5,387
KII, chargement n°2, c=5
0
0
0
KI, chargement n°2, c=5
91,41522
85,4189
-6,559




G, chargement n°3, c=1
1,00344E-3
9,6006E-4
-4,323
KII, chargement n°3, c=1
0
0
0
KI, chargement n°3, c=1
1,00172
0,93505
-6,655
G, chargement n°3, c=5
1,86052
1,760148
-5,395
KII, chargement n°3, c=5
0
0
0
KI, chargement n°3, c=5
43,13380
40,33829
-6,481




G, chargement n°4, c=1
5,03571E-3
4,86064E-3
-3,477
KII, chargement n°4, c=1
0
0
0
KI, chargement n°4, c=1
2,24404
2,09602
-6,596
G, chargement n°4, c=5
2,331095
2,20566
-5,381
KII, chargement n°4, c=5
0
0
0
KI, chargement n°4, c=5
48,28142
45,08068
-6,629




G, chargement n°5, c=1
1,839487E-3
1,78707E-3
-2,849
KII, chargement n°5, c=1
0
0
0
KI, chargement n°5, c=1
1,356277
1,267569
-6,541
G, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,1738E-8
-
KII, chargement n°5, c=2,4048255577
0
0
0
KI, chargement n°5, c=2,4048255577
0
2,0383E-3
-
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Couronne 1 (quadrangles)

Rinf = 0,02 mm , Rsup = 0,04 mm

Identification Référence
Aster
% différence
G, chargement n°1
3,14158E-3
3,1669E-3
0,807
KII, chargement n°1
0
0
0
KI, chargement n°1
1,77245
1,78079
0,471




G, chargement n°2, c=1 1,05349E-2
1,056655E-2
0,30
KII, chargement n°2, c=1
0
0
0
KI, chargement n°2, c=1
3,24576
3,256597
0,334
G, chargement n°2, c=5
8,356742
8,25545
-1,212
KII, chargement n°2, c=5
0
0
0
KI, chargement n°2, c=5
91,41522
91,528
0,123




G, chargement n°3, c=1
1,00344E-3
1,000804E-3
-0,263
KII, chargement n°3, c=1
0
0
0
KI, chargement n°3, c=1
1,00172
1,003475
0,175
G, chargement n°3, c=5
1,86052
1,83815
-1,202
KII, chargement n°3, c=5
0
0
0
KI, chargement n°3, c=5
43,13380
43,2091
0,175




G, chargement n°4, c=1 5,03571E-3
5,06348E-3
0,552
KII, chargement n°4, c=1
0
0
0
KI, chargement n°4, c=1
2,24404
2,25312
0,405
G, chargement n°4, c=5
2,331095
2,302636
-1,221
KII, chargement n°4, c=5
0
0
0
KI, chargement n°4, c=5
48,28142
48,3188
0,078




G, chargement n°5, c=1 1,839487E-3
1,86066E-3
1,152
KII, chargement n°5, c=1
0
0
0
KI, chargement n°5, c=1
1,356277
1,363914
0,563
G, chargement n°5, c=2,4048255577
0
3,98377E-8
-
KII, chargement n°5, c=2,4048255577
0
0
0
KI, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,721938E-3
-
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Couronne 2 (quadrangles)

Rinf = 0,04 mm , Rsup = 0,06 mm

Identification Référence
Aster
% différence
G, chargement n°1
3,14158E-3
3,1678E-3
0,835
KII, chargement n°1
0
0
0
KI, chargement n°1
1,77245
1,78075
0,468




G, chargement n°2, c=1 1,05349E-2
1,056949E-2
0,328
KII, chargement n°2, c=1
0
0
0
KI, chargement n°2, c=1
3,24576
3,256529
0,332
G, chargement n°2, c=5
8,356742
8,257967
-1,182
KII, chargement n°2, c=5
0
0
0
KI, chargement n°2, c=5
91,41522
9,1527E1
0,123




G, chargement n°3, c=1
1,00344E-3
1,001087E-3
-0,234
KII, chargement n°3, c=1
0
0
0
KI, chargement n°3, c=1
1,00172
1,0034589
0,174
G, chargement n°3, c=5
1,86052
1,838717
-1,172
KII, chargement n°3, c=5
0
0
0
KI, chargement n°3, c=5
43,13380
43,2088
0,174




G, chargement n°4, c=1 5,03571E-3
5,064887E-3
0,579
KII, chargement n°4, c=1
0
0
0
KI, chargement n°4, c=1
2,24404
2,25307
0,402
G, chargement n°4, c=5
2,331095
2,30333
-1,191
KII, chargement n°4, c=5
0
0
0
KI, chargement n°4, c=5
48,28142
48,31838
0,077




G, chargement n°5, c=1 1,839487E-3
1,86117E-3
1,179
KII, chargement n°5, c=1
0
0
0
KI, chargement n°5, c=1
1,356277
1,363877
0,560
G, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,0008E-8
-
KII, chargement n°5, c=2,4048255577
0
0
0
KI, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,711869E-3
-

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Couronne 3 (quadrangles)

Rinf = 0,06 mm , Rsup = 0,08 mm

Identification Référence
Aster
% différence
G, chargement n°1
3,14158E-3
3,16794E-3
0,839
KII, chargement n°1
0
0
0
KI, chargement n°1
1,77245
1,78078
0,471




G, chargement n°2, c=1 1,05349E-2
1,05699E-2
0,333
KII, chargement n°2, c=1
0
0
0
KI, chargement n°2, c=1
3,24576
3,2566
0,334
G, chargement n°2, c=5
8,356742
8,25837
1,177
KII, chargement n°2, c=5
0
0
0
KI, chargement n°2, c=5
91,41522
91,5293
0,125




G, chargement n°3, c=1
1,00344E-3
1,001132E-3
-0,230
KII, chargement n°3, c=1
0
0
0
KI, chargement n°3, c=1
1,00172
1,003481
0,176
G, chargement n°3, c=5
1,86052
1,838809
-1,167
KII, chargement n°3, c=5
0
0
0
KI, chargement n°3, c=5
43,13380
43,20984
0,176




G, chargement n°4, c=1 5,03571E-3
5,065103E-3
0,584
KII, chargement n°4, c=1
0
0
0
KI, chargement n°4, c=1
2,24404
2,25312
0,405
G, chargement n°4, c=5
2,331095
2,303447
-1,186
KII, chargement n°4, c=5
0
0
0
KI, chargement n°4, c=5
48,28142
48,31948
0,079




G, chargement n°5, c=1 1,839487E-3
1,86124E-3
1,183
KII, chargement n°5, c=1
0
0
0
KI, chargement n°5, c=1
1,356277
1,363907
0,563
G, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,00631E-8
-
KII, chargement n°5, c=2,4048255577
0
0
0
KI, chargement n°5, c=2,4048255577
0
4,71155E-3
-

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4.2 Remarques

La constante 2,4048... est le premier zéro de la fonction de Bessel J .
0

La couronne 0 (entourant le fond de fissure est constituée de triangles) donne des résultats médiocres
par rapport aux autres couronnes.

Les écarts relatifs maximums entre les couronnes 1,2 et 3 pour G et KI sont donnés ci-dessous pour
les divers chargements.


Chargement 1 Chargement 2 Chargement 3 Chargement 4 Chargement 5
Ecart sur G
0,03%
0,03% 0,03% 0,03% 0,03%
Ecart sur KI 0,002% 0,002% 0,002% 0,002% 0,002%

Les écarts sur G et KI sont négligeables.


Commentaire sur les résultats du chargement n°5 avec c = 2,4048....

Le chargement n°5 peut être comparé en ordre de grandeur au chargement n°1. En effet, l'amplitude
du chargement n°5 vaut 1 et sa résultante vaut 1,14 à comparer à la valeur constante unitaire du
chargement n°1.

L'écart absolu pour le chargement n°1 et la couronne n°1 est de :

· 2,53E-5 pour G
· 8,34E-3 pour KI

Pour le chargement n°5, les valeurs Aster qui sont comparées à une valeur de référence nulle sont :

· 3,98E-8 pour G
· 4,72E-3 pour KI

L'ordre de grandeur sur les écarts absolus est similaire pour les deux chargements.
On peut donc considérer comme corrects les résultats Aster.




5
Synthèse des résultats

A l'exception des résultats obtenus sur la couronne 0, les calculs de K et G sont très voisins de la
solution théorique exacte. En effet, les écarts sont toujours inférieurs à 1,2 % pour le calcul de G et
inférieurs à 0,6 % pour le calcul de KI.

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