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Version
4.0
Titre :
SHLL101 Poutre droite. Analyse harmonique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
B. QUINNEZ, G. DEVESA
Clé :
V2.06.101-B Page :
1/8
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN, EP/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V2.06 : Réponse harmonique des structures linéiques
Document : V2.06.101

SHLL101 - Poutre droite. Analyse harmonique
Résumé :
Ce problème bidimensionnel consiste à calculer les efforts présents dans une poutre soumise à une traction ou
à une flexion lors d'une analyse harmonique. La solution de référence est obtenue à partir des équations
discrétisées.
Ce test comporte deux modélisations.
Pour la première modélisation, quatre sollicitations sont testées :
· force de traction,
· force de traction et matériau présentant un amortissement,
· force de flexion,
· force de flexion et matériau présentant un amortissement.
Pour la deuxième modélisation, deux sollicitations sont testées :
· force de traction,
· force de traction et matériau présentant un amortissement.
La deuxième modélisation permet de tester les chargements complexes imposés par la commande
AFFE_CHAR_MECA_C.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
y
y
y, v

x, u
A
B
x
z
Les caractéristiques géométriques de la poutre constituant le modèle mécanique sont les suivantes :
Longueur : L = 10 m
Section transversale
Aire
IZ = IY
JX
3.439 10­3 m2
1.377 10­5 m4
2.754 10­5 m4
Les coordonnées (en mètres) des points caractéristiques de la poutre sont :
A
B
x
0.
10.
y
0.
0.
1.2
Propriétés de matériaux
Les propriétés du matériau constituant la poutre sont :
E = 1.658 1010 Pa
= 0.3
= 1.3404106 104 kg/m3
= Amor_alpha = 0.001
= Amor_beta = 0.
1.3
Conditions aux limites et chargements
La condition aux limites qui caractérise ce problème est l'encastrement du point A et s'écrit :
u = v = 0.
= 0.
Pour le chargement on a :
Fx = 3000. N
Fy = Fz = 0.
(effort de traction)
Fx = 0.
Fy = 3000. N
Fz = 0.
(effort de flexion)
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Si la poutre est modélisée par une poutre d'Euler-Bernoulli et par un seul élément fini, le problème
harmonique peut s'écrire de la façon suivante :
problème en traction :
(
ES
SL
1 + i)
(
u
)
2
B -
(
u
)
B = F ( )
B
L
6
x
d' où
(
F B
u
)
( )
B = ES
SL
ES
2
-
+ i
L
6
L
problème en flexion :

13L
-
2
11 L

- L




12E I 1

y
2
v( )
B
F ( )

B
y

- 2 35
210

+ (1+ i)


2

=


-
2
3
11 L
L

3
L
- L
L ( )


B
0


210
105
2
3



Remarque :
Si le matériau ne présente pas d'amortissement, on a alors : Amor_alpha = = 0.
Les efforts au point B se calculent de la manière suivante :
problème en traction :
ES
2 SL
N( )
B =
-
(
u
)
B



L
6
problème en flexion :

13L
-11L2

- L



12
1

VY ( )
B
E I

2


y
v( )
B

= - 2 35
210

+


2


MFZ( )
B

-11L2
L3

L3
- L
L ( )
B





210
105
2
3



On résout analytiquement les systèmes 2 x 2 pour obtenir la solution.
2.2
Résultats de référence
Les résultats de référence sont les déplacements, les vitesses, les accélérations et les efforts
généralisés obtenus au point B lors de l'analyse harmonique.
2.3
Remarque pour la modélisation B
Pour la modélisation B, on veut tester dans le cas du problème en traction le mot-clé FORCE_POUTRE
qui permet d'appliquer des efforts répartis. Pour obtenir la même solution que la poutre soumise à
force nodale en son extrémité, la relation entre l'effort réparti constant et la force nodale est :
f L
F ( )
B =
x
2
Avec les valeurs données au 1.3, on a : f = 600 N/m
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2.4
Incertitude sur la solution
Si les hypothèses sont vérifiées (poutre d'Euler-Bernoulli), la solution est analytique.
2.5 Références
bibliographiques
[1]
Documentation de Référence du Code_Aster : Eléments de poutres "exacts" (droits et
courbes) - [R3.08.01].
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
y, v
A
B
x, u
La poutre est constituée d'une seule maille.
La modélisation utilisée pour la poutre est celle d'Euler-Bernoulli (POU_D_E).
L'extrémité A est encastrée :
DX = DY = DZ = 0.
DRX = DRY = DRZ = 0.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et types : 1 maille de type SEG 2
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point A = A
Point B = B
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'GENERALE'
TOUT
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
NOEUD
[U4.25.01]
FORCE_NODALE
NOEUD
FX
FY
DEFI_MATERIAU
ELAS
E, RHO, NU
[U4.23.01]
AMOR_ALPHA
AMOR_BETA
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'MASS_MECA'
[U4.41.01]
'AMOR_MECA
'RIGI_MECA'
CALC_VECT_ELEM
OPTION
'CHAR_MECA'
[U4.41.02]
DYNA_LINE_HARM
MATR_MASS
[U4.54.02]
MATR_RIGI
MATR_AMOR
EXCIT
VECT_ASSE
CALC_ELEM
OPTION
'EFGE_ELNO_DEPL'
[U4.61.02]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1
Valeurs testées (forme réel-imaginaire)
Problème 1 : traction
Point/Grandeur
Référence
Aster
% différence
déplacement
B
DX
(5.318 10­5, 0.)
(5.318 10­5, 0.)
0.
vitesse
B
DX
(0., 3.341 10­3)
(0., 3.341 10­3)
0.
accélération
B
DX
(­2.099 10­1, 0.)
(­2.099 10­1, 0.)
0.
effort généralisé
B
N
(3000., 0.)
(3000., 0.)
0.
Problème 2 : flexion
Point/Grandeur
Référence
Aster
% différence
déplacement
B
DY
(1.828 10­2, 0.)
(1.828 10­2, 0.)
0.
DRZ (1.82 10­2, 0.)
(1.82 10­2, 0.)
0.
vitesse
B
DY
(0., 1.1489)
(0., 1.1489)
0.
DRZ (0., 1.1438)
(0., 1.1438)
0.
accélération
B
DY
(­7.219 10­1)
(­7.219 10­1, 0.)
0.
DRZ (­7.186 10­1, 0.)
(­7.186 10­1, 0.)
0.
effort généralisé
B
VY
(3000., 0.)
(3000., 0.)
0.
MFZ (0., 0.)
(­1.164 10­10, 0.)
0.
Problème 3 : traction + amortissement
Point/Grandeur
Référence
Aster
% diff
déplacement
B D
(5.296 10­5, ­3.363 10­3)
(5.296 10­5, ­3.363 10­3)
0.
X
vitesse
B D
(2.113 10­4, 3.327 10­3)
(2.113 10­4, 3.327 10­3)
0.
X
accélération
B D
(­2.091 10­1, 1.327 10­2)
(­2.091 10­1, 1.327 10­2)
0.
X
effort généralisé
B N
(2.987 103, ­1.8975 102)
(2.987 103, ­1.8975 102)
0.
Problème 4 : flexion + amortissement
Point/Grandeur
Référence
Aster
%
diff
déplacement
B DY
(1.746 10­2, ­4.469 10­3)
(1.746 10­2, ­4.469 10­3)
0.
DRZ (1.757 10­2, ­3.402 10­3)
(1.757 10­2, ­3.402 10­3)
0.
vitesse
B DY
(2.808 10­1, 1.097)
(2.808 10­1, 1.097)
0.
DRZ (2.138 10­1, 1.104)
(2.138 10­1, 1.104)
0.
accélération
B DY
(­6.895 10­1, 1.764 10­1)
(­6.895 10­1, 1.764 10­1)
0.
DRZ (­6.94 10­1, 1.343 10­1)
(­6.94 10­1, 1.343 10­1)
0.
effort généralisé
B VY
(3.021 103, 1.212 102)
(3.021 103, 1.212 102)
0.
MFZ (­1.567 102, ­8.583 102)
(­1.567 102, ­8.583 102)
0.
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : NEW 3.06
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
5.9 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
y, v
A
B
x, u
La poutre est constituée d'une seule maille.
La modélisation utilisée pour la poutre est celle d'Euler-Bernoulli (POU_D_E).
L'extrémité A est encastrée :
DX = DY = DZ = 0.
DRX = DRY = DRZ = 0.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2
Nombre de mailles et types : 1 maille de type SEG 2
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point A = A
Point B = B
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'GENERALE'
TOUT
[U4.24.01]
AFFE_CHAR_MECA_C
DDL_IMPO
NOEUD
[U4.25.01]
FORCE_POUTRE
NOEUD
FX
DEFI_MATERIAU
ELAS
E, Rho, Nu
[U4.23.01]
Amor_alpha
Amor_Beta
CALC_MATR_ELEM
OPTION
'MASS_MECA'
[U4.41.01]
'AMOR_MECA
'RIGI_MECA'
DYNA_LINE_HARM
MATR_MASS
[U4.54.02]
MATR_RIGI
MATR_AMOR
EXCIT
CHARGE
FONC_MULT_C
CALC_ELEM
OPTION
'EFGE_ELNO_DEPL'
[U4.61.02]
EXCIT
CHARGE
FONC_MULT_C
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6
Résultats de la modélisation B
6.1
Valeurs testées (forme réel-imaginaire)
Problème 1 : traction (effort réparti réel : partie imaginaire nulle)
Point/Grandeur
Référence
Aster
% différence
déplacement
B
DX
(5.318 10­5, 0.)
(5.318 10­5, 0.)
0.
vitesse
B
DX
(0., 3.341 10­3)
(0., 3.3414 10­3)
0.
accélération
B
DX
(­2.099 10­1, 0.)
(­2.0994 10­1, 0.)
0.
effort généralisé
B
N
(3000., 0.)
(3000., 0.)
0.
Problème 2 : traction (effort réparti complexe : partie rélle nulle)
Point/Grandeur
Référence
Aster
% différence
déplacement
B
DX
(0., 5.318 10­5)
(0., 5.318 10­5)
0.
vitesse
B
DX
(-3.341 10­3 , 0.)
(-3.3414 10­3 ,0.)
0.
accélération
B
DX
(0., ­2.099 10­1)
(0., ­2.0994 10­1)
0.
effort généralisé
B
N
(0., 3000.)
(0., 3000.)
0.
Problème 3 : traction + amortissement (effort réparti réel : partie imaginaire nulle)
Point/Grandeur
Référence
Aster
% diff
déplacement
B
DX
(5.296 10­5, ­3.363 10­3)
(5.2966 10­5, ­3.3637 10­3)
0.
vitesse
B
DX
(2.113 10­4, 3.327 10­3)
(2.1135 10­4, 3.3279 10­3)
0.
accélération
B
DX
(­2.091 10­1, 1.327 10­2)
(­2.091 10­1, 1.3279 10­2)
0.
effort généralisé
B
N
(2.9879 103, ­1.897 102)
(2.987 103, ­1.8975 102)
0.
Problème 4 : flexion + amortissement (effort réparti complexe : partie réelle nulle)
Point/Grandeur
Référence
Aster
% diff
déplacement
B
DX
(3.363 10­3 , 5.296 10­5)
(5.296 10­5, ­3.363 10­3)
0.
vitesse
B
DX
(-3.327 10­3 , 2.113 10­4)
(-3.3279 10­3 , 2.1135 10­4)
0.
accélération
B
DX
(-1.327 10­2, -2.091 10­1)
(-1.3279 10­2, -2.091 10­1)
0.
effort généralisé
B
N
(1.897 102 , 2.9879 103)
(1.8975 102 , 2.98794 103)
0.
Quand l'effort réparti est appliqué en tant que partie imaginaire du chargement, la solution de référence est
obtenue à partir de celle de la modélisation A en échangeant partie réelle et partie imaginaire et en
changeant le signe des nouvelles parties réelles.
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : NEW 4.03
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
16 MW
Temps CPU User :
7.9 secondes
7
Synthèse des résultats
On retrouve bien les résultats analytiques.
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