Code_Aster ®
Version
6.0

Titre :

SSLP304 - Plaque carrée orthotrope en traction


Date :
12/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J.F. BILLAUD Clé
:
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, CETIM
















Manuel de Validation
Fascicule V3.02 : Statique linéaire des systèmes plans
Document V3.02.304





SSLP304 - Plaque carrée orthotrope en traction
uniaxiale hors des axes d'orthotropie





Résumé :

Ce test représente le calcul statique d'une plaque carrée, en matériau élastique orthotrope, dont les axes
d'othotropie sont inclinés de 30 degrés par rapport à l'arête de base, soumise à une traction uniaxiale. Il permet
de valider la bonne prise en compte des matériaux élastiques orthotropes et du changement de repère associé.
4 modélisations sont utilisées : C_PLAN avec des mailles QUAD8 et TRIA6, dans un premier repère, C_PLAN
dans un second repère, COQUE_3D avec des mailles QUAD9 et TRIA7, en petits déplacements et COQUE_3D en
grands déplacements. Les déplacements et les contraintes obtenus sont comparés à une solution de référence
analytique.

Les deux premières modélisations de ce test sont issues de la validation indépendante de la version 3 du
Code_Aster (lot statique linéaire).

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Une plaque carrée, constituée d'un matériau orthotrope incliné de 30 degrés par rapport à l'arête AB.



y

D
C



b



y
L






A
B
x


b


Avec b = 1 m, épaisseur quelconque (contraintes planes), angle d'orthotropie : = 30 degrés.


1.2
Propriétés des matériaux

Les propriétés des matériaux constituant la plaque sont :

élastique orthotrope :
E_L = 4.E10 Pa
E_T = 1.E10 Pa
G_LT = 0.45E10 Pa
G_TN = 0.35E10 Pa
NU_LT = 0.075

L'axe L est incliné de 30 degrés par rapport à AB.


1.3
Conditions aux limites et chargements

· Au point A : DX = 0, DY = 0
· Au point B : DX = 0,

· Chargement linéique réparti : Fx = 104 Pa sur BC
· Chargement linéique réparti : Fx = -104 Pa sur DA


1.4 Conditions
initiales

Sans objet.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Solution analytique, obtenue avec l'hypothèse d'uniaxialité des contraintes :

(x, y)




xx
= F
(x, y)
x
xy
=
(x, y)
yy
=
(x, y)
zz
= 0

soit dans le repère (A,L,T) :

(x, y) = c2F , (x, y) = s2F
(x, y) = -csF
LL
x
TT
x
LT
x

Par la loi de comportement élastique orthotrope, en utilisant les conventions du Code_Aster en ce qui
concerne NU_LT, (cf. document d'utilisation de la commande DEFI_MATERIAU [§3.5.2]), on obtient
directement (voir par exemple [bib1]) :



(x, y) Fx
=
xy
, (x, y) = -
F , 2
x
(x, y) =
F
xx
E
yy
x
E
xy
x
E
x
x
x

avec :

1
4
4
c
s
1


1
1
1
xy
4
4

2 2
=
+
+ c s
- 2 LT
LT
= (c + s )
- c2s2
+
-

E ()
E
E
G
E
E ( )
E
E
E
G
x
x
L
T
LT
T
T
L
T
LT



2
2

y
c
s


= - cs
-
+



(

2
2
c - s )
1
2
LT -
Ex




( )
E
E
E
2
L
T

G
T
LT
avec
c = cos
s = sin

Comme les déformations sont uniformes dans la plaque on obtient, par intégration, les déplacements
dans le repères (A, x, y) :

u (x, y) = . x
x
xx

u (x, y) = . y + 2 . x
y
yy
xy


2.2
Résultats de référence

Déplacements dans le repère (A, x, y) (en m) :

Point B
C
D
u
0.
5.917 10­7 5.917
10­7
x
u
­2.292 10­7 ­5.028
10­7 ­7.319
10­7
x

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Contraintes dans le repère lié à l'orthotropie :


(x, y) = 7500Pa, (x, y) = 2500Pa, (x, y) = 4330.127Pa
LL
TT
LT


2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique


2.4 Références
bibliographiques

[1]
GAY D : « Matériaux composites » ; 3ème édition, Hermès


3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation C_PLAN. La plaque est tournée de -30 degrés autour de Z, c'est-à-dire que l'axe X global
est colinéaire à l'axe d'orthotropie L. Les conditions aux limites et chargements, à appliquer dans le
repère (A, x, y) lié à la plaque, sont donc projetées sur le repère global (A,X,Y) (utilisation de
LIAISON_DDL en B).

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3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 391

Nombre de mailles et types : 50 QUAD8, 100 TRIA6


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes

AFFE-MODELE
`AFFE'
MODELISATION = `C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM
MASSIF
ANGL_REP = 0
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_CONTOUR FX,
FY
AFFE_CHAR_MECA_F LIAISON_DDL

DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH

MODI_REPERE
DEFI_REPERE
REPERE = `UTILISATEUR'


3.4 Valeurs
testées

Valeur Identification Référence
Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 10­7 5.9167
10­7
0.007
Uy(B) DY
(B)
­2.292 10­7 ­2.2916
10­7
0.01
Uy(C) DY
(C)
­5.028 10­7 ­5.0279
10­7
0.001
Uy (D)
DY (D)
­7.319 10­7 ­7.3196
10­7
0.008
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500.4
0.006
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500.3
0.01
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
433.06
0.01

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4 Modélisation
B

4.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation C_PLAN. La plaque est parallèle aux axes globaux, c'est-à-dire que l'axe X global est
colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter (à l'aide du mot-clé MASSIF de
AFFE_CARA_ELEM).



4.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 391

Nombre de mailles et types : 50 QUAD8, 100 TRIA6


4.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM
MASSIF
ANGL_REP = 30
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_CONTOUR
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH

MODI_REPERE
DEFI_REPERE
REPERE = `UTILISATEUR'
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4.4 Valeurs
testées

Valeur Identification
Référence
Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 10­7 5.9167
10­7
0.006
Uy(B) DY
(B)
­2.292 10­7 ­2.29166
10­7
0.015
Uy(C) DY
(C)
­5.028 10­7 ­5.0277
10­7
0.005
Uy (D)
DY (D)
­7.319 10­7 ­7.3194
10­7
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500
0.
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500
0.
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4330.127
0.


4.5 Remarques

Allure de la déformée : non symétrique à cause de l'orthotropie.



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5 Modélisation
C

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation COQUE_3D. La plaque est parallèle aux axes globaux, c'est-à-dire que l'axe X global est
colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter (à l'aide du mot-clé MASSIF de
AFFE_CARA_ELEM). Le maillage est identique à celui de la modélisation B.


5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 541

Nombre de mailles et types : 50 QUAD9, 100 TRIA7


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
ANGL_REP = 30
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 1
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_ARETE
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH



5.4 Valeurs
testées

Valeur Identification
Référence Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 10­7 5.9167
10­7
0.006
Uy(B) DY
(B)
­2.292 10­7 ­2.29166
10­7
0.015
Uy(C) DY
(C)
­5.028 10­7 ­5.0277
10­7
0.005
Uy (D)
DY (D)
­7.319 10­7 ­7.3194
10­7
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7500
0.
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2500
0.
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4330.127
0.

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6 Modélisation
D

6.1
Caractéristiques de la modélisation

Modélisation COQUE_3D en grands déplacements. La plaque est parallèle aux axes globaux,
c'est-à-dire que l'axe X global est colinéaire à l'axe x. C'est donc l'axe d'orthotropie L qui est à orienter
(à l'aide du mot-clé MASSIF de AFFE_CARA_ELEM). Le maillage est identique à celui de la
modélisation B.


6.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 541

Nombre de mailles et types : 50 QUAD9, 100 TRIA7


6.3 Fonctionnalités
testées

Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
ANGL_REP = 30
AFFE_CARA_ELEM
COQUE
EPAIS = 1
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_ARETE
FX,
FY
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH

STAT_NON_LINE COMP_ELAS
DEFORMATION='GRENN_GR'


6.4 Valeurs
testées

Valeur Identification
Référence Aster %
différence
Ux(c) = Ux(D)
DX (C)
5.917 10­7 5.9167
10­7
0.006
Uy(B) DY
(B)
­2.292 10­7 ­2.29166
10­7
0.015
Uy(C) DY
(C)
­5.028 10­7 ­5.0277
10­7
0.005
Uy (D)
DY (D)
­7.319 10­7 ­7.3194
10­7
0.006
Sigma LL
SIXX (tout point)
7500
7499.99
0.001
Sigma TT
SIYY (tout point)
2500
2499.93
0.003
Sigma LL
SIXY (tout point)
4300.127
4329.99
0.007

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7
Synthèse des résultats

Les résultats des quatre modélisations sont très proches de la solution analytique : au maximum 0.015
% d'écart pour les 4 modélisations.

Ce test valide donc la prise en compte de l'élasticité orthotrope.

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