Code_Aster ®
Version
6.2

Titre :

SSLL102 - Poutre encastrée soumise à des efforts unitaires
Date :
20/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J. PELLET, F. LEBOUVIER
Clé : V3.01.102-D Page : 1/18

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA, DeltaCAD















Manuel de Validation
Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
Document : V3.01.102





SSLL102 - Poutre encastrée soumise à des efforts
unitaires





Résumé :

Ce test permet une vérification simple des calculs de poutres droites et coque 1D en mécanique des structures
statique linéaire. Le modèle est linéique.

· 7 modélisations permettent de tester les différents types d'éléments de poutres droits dans le Code_Aster.
Pour chaque modélisation, on calcule simultanément 3 poutres de sections différentes : rectangle, cercle,
cornière.

La modélisation A permet de plus de tester le changement de repère : la poutre est orientée suivant la
trissectrice au repère global.

La modélisation E teste le chargement réparti sur des arêtes d'éléments volumiques.

La modélisation F correspond à un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation
POU_D_E.

La modélisation G correspond à un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation
POU_D_TG.

· La modélisation H permet de tester l'élément de coque 1D (COQUE_C_PLAN) soumise à des charges
unitaires.
· La modélisation I permet de tester un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation
TUYAU_3M.

Les valeurs testées sont les déplacements, les efforts généralisés et les contraintes.
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SSLL102 - Poutre encastrée soumise à des efforts unitaires
Date :
20/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J. PELLET, F. LEBOUVIER
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

Poutre droite de longueur L , de direction x.

y
L
O
x
O
B
L = 2
z


On calcule simultanément 3 types de sections transversales différentes :


b = 0.1
1 section rectangulaire
a = 0.2




G

0.008
z
1 section cornière à ailes égales
0.12
Gy
0.008
h = 0.12





1 section circulaire

1.2
Propriétés de matériaux

E = 2. 1011 Pa = 0.3

1.3
Conditions aux limites et chargements

Encastrement en O

· 6 chargements unitaires en B :

Fx = 1
Mx = 1
Fy = 1
My = 1
Fz = 1
Mz = 1

· 1 chargement combiné flexion + traction : Fx = 1 My = 1 Mz = 1
· 1 chargement combiné efforts tranchants + torsion : Fy = 1 Fz = 1 Mx = 1
· 1 chargement réparti linéaire : Fy = 1000.x section circulaire (modélisations F, G, I) (avec
appui simple en A et B dans ce cas)

1.4
Notation des caractéristiques de sections transversales

Les caractéristiques géométriques des sections transversales sont notées :`

A :
aire de la section
I , I
y
z :
moments d'inertie géométriques par rapport aux axes principaux
d'inertie de la section
JX :
constante de torsion
ay, az :
coefficients de cisaillement dans les directions Gy et Gz
A
A

A' =
et A'
y
=
:
aires réduites équivalentes
ay
z
az
e , e
excentricité du centre de torsion
y
z :
JG :
constante de gauchissement

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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence


· Solution analytique [bib1] et [bib2] : déplacements en B

L
Traction simple
u = F
x
x E S
F L3
2



y
(4+ y)
L Fy
Flexion simple
uy =
=
12 E I
z
2E I
z
z
3
2
L
L F
Flexion simple
u =
4 +
= -
z
F
12 E I
z (
z )
z
y
2E I
y
y
M L
Torsion
x
x
=

G Jx
M L2
M L
y
y
Flexion pure
uz = -
=
2 E I
y
E I
y
y
M 2
M
Flexion pure
z L
z L
uy =
= +
2 E I
z
z
E Iz
12 E I
12 E I
avec y
=
=
L2 GA'
z
2
'
y
L GAz


Remarque 1 :

Pour la section cornière, comme le centre de cisaillement n'est pas confondu avec le centre
de gravité (ey )
0 , il faut ajouter le moment de torsion :

M = F .e
x
z
y au chargement Fz = 1

Ceci modifie le déplacement :

L3
u =
F
z
z (4 + z
)+ .e
12E I
x
y
y

M . L
x
x
= G.Jx

De la même façon, le chargement Mx
= 1 entraîne un déplacement u = + .e
z
x
y .

Chargement réparti linéaire :

4
2
2
4
max
00652
.
0
4
u
=
3
-10
+ 7
=
y ( )
px
x
( x
L x
L )
pL
u
360LEI
y
EI

en x = 519
.
0
L
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Remarque 2 :

1
1
En ce qui concerne la modélisation A, la poutre est portée par le vecteur e1 =
1. Les
3 1
autres vecteurs du repère local sont :
-1
-1
1
1
e2 =
1 et e =
-1
2
3
6
0
2
Les composantes du vecteur déplacement dans le repère global sont obtenues par :
1
-1 -1


3
2
6
1
1
-1
u =
u
G
local


3
2
6
1
2


0
3
6

· Efforts généralisés et contraintes en O :

N
N(O) = Fx
xx = S
M y
T
M
z
y
z (O) = T . L
T = F
y
y
y
xx(y) =
=
I
xy
k S
z
y
- M .z
y
T
M
z
y (O) = -T . L
T
z
z ( )
O = Fz xx(y) =
=
I
xz
k S
y
z
M R

M
x
T
x (O) = Mx ( )
B
xy = xz = Jx
M .z
M
y
y (O) = My ( )
B
xx(z) = Iy
M y
M
y
z (O) = Mz ( )
B
xx(y) = Iz

Chargement réparti linéaire :

1000
1000 L 2 1000 x2
M max. R
M
2
3
z
z ( x) = -
(L x- x ) V y(x) = +
-
max
xx
=
6
6
2
Iz

L 3
en x =
3

2.2
Résultats de référence

· Déplacement du point B,
· efforts généralisés au point O,
· contraintes du point O.
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2.3
Incertitude sur la solution

Solution analytique.

2.4 Références
bibliographiques

[1]
J.L. BATOZ, G. DHATT : "Modélisation des structures par éléments finis" - Volume 2
Ed. HERMES.
[2]
N.D. PIKLEY : "Formulas for Stress, Stain & Structural Matrices" Ed. John Wiley & Sons.



3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

2 éléments POU_D_E k = k
y
z = 1 = 0 par type de section

S1 : Section rectangulaire modélisée par SECTION : 'GENERALE'

A =
Iy =
-4
Iz =
-4
J
-
0 02
01666 10
0 6666 10
4
.
.
.
x = 0 45776
.
10
Ry = 01
.
Rz = 0 0
. 5
RT = 0 0892632
.
(Point de calcul des contraintes)


S2 : Section cornière

A =
-
1856
.
10 3
Iy =
-
4 167339
.
10 4 Iz =
-
1045547
.
10 4 J
-8
x = 03 9595
.
10
e =
-
41012
.
10 3 e
y
z = 0.

S3 : Section rectangulaire modélisée par SECTION : RECTANGLE

Hy = 0 2
.
Hz = 01
.

S4 : Section CERCLE R = 01
.


R4

I = I
-4
10
.

y
z =
=


4
4


3.2
Caractéristiques du maillage

4 x 2 éléments POU_D_E. La poutre est orientée selon le vecteur (1, 1, 1).

3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'


'RECTANGLE'


'CERCLE'

CALC_ELEM 'EFGE_ELNO_DEPL'


'SIGM_ELNO_DEPL'


'SIPO_ELNO_DEPL'


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées


Cas de charge
Poutre
Identification
Référence
Aster %
différence
Fx = 1
S1 = S3 ux (B)
2.887 10­10 2.887
10­10 0


xx (0)
50. 50.
0
S2
ux (B)
3.11 10­9 3.11
10­9 0
S4
ux (B)
1.838 10­10 1.838
10­10 0


xx
31.83 31.831
0
Fy = 1
S1 = S3 uy (B)
+1.414 10­7 1.414
10­7 0


z (B)
1.225 10­7 1.225
10­7 0


xx (0)
3000 3000
0
S2
uy (B)
9.017 10­8 9.017
10­8 0
S4
xx (0)
2546.479 2546.48
0
Fz = 1
S1 = S3 uz (B)
6.532 10­7 6.532
10­7 0


y (B)
­4.243 10­7 ­4.243
10­7 0


xx (0)
6000 6000
0


xz (0)
50 50
0
S2
uz (B)
9.279 10­7 9.279
10­7 0


y (B)
1.553 10­5
1.553 10­5
0


x (B)
1.555 10­5 1.555
10­5 0
S4
uz (B)
1.386 10­7 1.386
10­7 0


y (B)
­9 10­8 ­9
10­8 0


xx (0)
2546.479 2546.479
0


xz (0)
31.831 31.831
0
Mx = 1
S1 = S3 x (B)
3.279 10­7 3.279
10­7 0


xy = xz (0)
1950 1950
0
S2
x (B)
3.791 10­4 3.791
10­4



uz (B)
2.199 10­5 2.199
10­5 0
S4
x (B)
9.556 10­8 9.556
10­8 0


xy = xz (0)
636.62 636.62
0
My = 1
S1 = S3 uz (B)
­4.899 10­7 ­4.899
10­7 0


y (B)
4.243 10­7 4.243
10­7 0


xx (0)
3000 3000
0
S2
uz (B)
­1.959 10­8 ­1.959
10­8 0


y (B)
1.697 10­8 1.697
10­8 0
S4
uz (B)
­1.04 10­7 ­1.04
10­7 0


y (B)
9 10­8
9 10­8
0


xx (0)
1273.2395 1273.2395
0
Mz = 1
S1= S3
uy (B)
1.061 10­7 1.061
10­7 0


z (B)
1.225 10­7
1.225 10­7
0


xx (0)
1500 1500
0
S2
uy (B)
6.763 10­8 6.763
10­8 0


z (B)
7.809 10­8 7.809
10­8 0
S4
uy (B) 9
10­7 9
10­7 0


z (B)
1.04 10­7
1.04 10­7
0


xx (0)
1273.2395 1273.2395
0
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My = 1
S1= S3
xx max (0)
4550 4550
0
M



z = 1

a b
1550
1550
0
F
,
x = 1
xx 2 2
S4
xx max (0)
1832.4636 1832.46
0
Fy = 1
S1, S3
xy (0)
2000 2000
0
Fz = 1

xz (0)
2000 2000
0
Mx = 1

xx max (0)
9000 9000
0


a b



S1, S3

­9000
­9000
0
xx
,

2 2
S4
xx max (0)
3601.27 3601.27
0


xy (0)
668.451
0

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

2 éléments POU_D_T.

Les coefficients de cisaillement sont :

S1 : Section rectangulaire

1
AY = AZ = 12
. =

ky

S2 : Section cornière

1
AY = AZ =

0 358
.

S4 : Section CERCLE

10
AY = AZ =

9



5.2
Caractéristiques du maillage

4 x 2 éléments POU_D_T



5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'


'RECTANGLE'


'CERCLE'

CALC_ELEM 'EFGE_ELNO_DEPL'


'SIGM_ELNO_DEPL'


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

On donne seulement les valeurs qui diffèrent de la modélisation A (à cause de la prise en compte du
cisaillement transverse).


Chargement Section
Identification Référence
Aster %
différence
Fy = 1
S1 = S3
uy (B)
2.0156 10­7 2.0156
10­7
0








xy (0)
60. 60.
0
S2
uy (B)
1.666552 10­7 1.666552
10­7
0
S4
uy (B)
1.70684 10­7 1.70684
10­7
0


xy (0)
35.367765 35.367765
0
Fz = 1
S1, S3
uz (B)
8.0156 10­7 8.0156
10­7
0


xz (0)
60. 60.
0
S2
uz (B)
1.17559754 10­6 1.17559754
10­6
0
S4
uz (B)
1.70684 10­7 1.70684
10­7
0


xz (0)
35.367765 35.367765
0


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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

2 éléments POU_D_TG.

Le gauchissement n'est pas gêné.

Les coefficients de cisaillement sont identiques à ceux de la modélisation B.

7.2
Caractéristiques du maillage

4 x 2 éléments POU_D_TG

7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes



AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'


'RECTANGLE'


'CERCLE'

CALC_ELEM 'EFGE_ELNO_DEPL'

'SIGM_ELNO_DEPL'



8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Chargement Section
Identification
Référence
Aster %
différence
Fy = 1
S1 = S3
uy (B)
2.0156 10­7 2.0156
10­7
0


xy (0)
60. 60.
0
S2
uy (B)
1.666552 10­7 1.666552
10­7
0
S4
uy (B)
1.70684 10­7 1.70684
10­7
0


xy (0)
35.367765 35.367765
0
Fz = 1
S1, S3
uz (B)
8.0156 10­7 8.0156
10­7
0


xz (0)
60. 60.
0
S2
uz (B)
1.17559754 10­6 1.17559754
10­6
0
S4
uz (B)
1.70684 10­7 1.70684
10­7
0


xz (0)
35.367765 35.367765
0

8.2 Remarque

Le gauchissement n'est pas gêné. Les résultats sont donc identiques à ceux de la modélisation B.
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9 Modélisation
D

9.1
Caractéristiques de la modélisation

· Eléments POU_D_TG,

· torsion gênée



- 8
·
5.5556 10
pour S1

JG =



- 11
4.439822 10
pour S2


· en 0 GRX = 0

9.2
Caractéristiques du maillage

· 10 éléments,
· raffinement vers l'encastrement.


10 Résultats de la modélisation D

10.1 Valeurs
testées

Mêmes résultats que pour la modélisation C, sauf ceux qui concernent les effets de gauchissement.

Chargement Section
Identification Référence
Aster %
différence
Fz = 1
S2
x = DRX
2.62034 10­5 2.62021
10­5 5.
10­5


uz = DZ
1.14578 10­6 1.14573
10­6 5.
10­5

GRX
1.34652 10­5 1.34652
10­5 1.
10­5
Mx = 1
S1
x = DRX
5.52 10­7 5.52
10­7 5.
10­5

GRX
2.84 10­7 2.84
10­7
0
S2
uz
2.6203 10­5 2.6202
10­5 5.
10­5


x
6.3892 10­4 6.3889
10­4 5.
10­5

GRX
3.28324 10­4 3.28324
10­4
0

10.2 Remarques

Pour x la solution est (cf [bib1]) :

M . L
M

x
x

2 L
L
GJ
2
x =
+
1 - e
- 2e
=

3
2 L
G Jx
E JG(

1 + e
)(
)
E JG
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Fascicule V3.01 : Statique linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A

Code_Aster ®
Version
6.2

Titre :

SSLL102 - Poutre encastrée soumise à des efforts unitaires
Date :
20/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J. PELLET, F. LEBOUVIER
Clé : V3.01.102-D Page : 12/18


11 Modélisation
E

11.1 Caractéristiques de la modélisation

La poutre est maillée en éléments massifs quadratiques HEXA20.

fz
L2
b = 0.1
surf1
z
y
a = 0.2
x
L = 2


La poutre est encastrée au niveau de la section surf1. Elle est soumise à un effort tranchant unitaire
qui est modélisé par une densité linéique de charge fz s'appliquant sur les 4 mailles SEG3 constituant
l'arête supérieure L2.

11.2 Caractéristiques du maillage

La poutre est maillée avec 640 éléments massifs quadratiques HEXA20.

Le modèle comporte 3665 noeuds.

11.3 Fonctionnalités
testées

On teste la fonctionnalité FORCE_ARETE de AFFE_CHAR_MECA.



12 Résultats de la modélisation E

12.1 Valeurs
testées

On teste la valeur de la flèche selon z du noeud milieu de la section où l'on applique le chargement
(noeud N62).

Identification Référence Aster %
différence
dz du noeud N62
­8 10­7 ­7.9523
10­7
­0.596


12.2 Remarques

La valeur de référence correspond à la valeur donnée par la R.D.M.
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SSLL102 - Poutre encastrée soumise à des efforts unitaires
Date :
20/12/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, J. PELLET, F. LEBOUVIER
Clé : V3.01.102-D Page : 13/18


13 Modélisation
F

13.1 Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d'Euler. La section est circulaire pleine, de rayon
0.1m.

13.2 Caractéristiques du maillage

Il est constitué de 10 éléments POU_D_E. La longueur de la poutre est L = 6 m

13.3 Fonctionnalités testées

Commandes


AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO


CALC_ELEM EFGE_ELNO_DEPL


SIGM_ELNO_DEPL




14 Résultats de la modélisation F

14.1 Valeurs
testées

14.1.1 Efforts intérieurs

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
Vy(0) 6.0000E+03 6.0000E+03
0.0000
Vy(6) ­1.2000E+04 ­1.2000E+04
0.0000
MFZ (2 3)
­1.3856E+04 ­1.3856E+04
0.0000

14.1.2 Contrainte

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
SIXX (2 3)
1.7642E+07 1.7642E+07
0.0000
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15 Modélisation
G

15.1 Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite de Timoshenko avec gauchissement. La section
est circulaire pleine, de rayon 0.1m.

15.2 Caractéristiques du maillage

Il est constitué de 10 éléments POU_D_TG. La longueur de la poutre est L = 6 m

15.3 Fonctionnalités testées

Commandes


AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO


CALC_ELEM EFGE_ELNO_DEPL


SIGM_ELNO_DEPL




16 Résultats de la modélisation G

16.1 Valeurs
testées

16.1.1 Efforts intérieurs

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
Vy(0) 6.0000E+03 6.0000E+03
0.0000
Vy(6) ­1.2000E+04 ­1.2000E+04
0.0000
MFZ (2 3)
­1.3856E+04 ­1.3856E+04
0.0000

16.1.2 Contrainte

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
SIXX (2 3)
1.7642E+07 1.7642E+07
0.0000

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17 Modélisation
H

17.1 Caractéristiques de la modélisation


y
Modélisation COQUE_C_PLAN

4
x
- Section rectangulaire
O
B
- Conditions limites : Point O u = v = z = 0
z
- Chargement unitaire : Point B Fx , Fy et Mz

17.2 Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 9
Nombre de mailles et types : 4 SEG3

17.3 Fonctionnalités testées

Commandes

AFFE_MODELE AFFE
`COQUE_C_PLAN'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
CALC_ELEM OPTION
`EFGE_ELNO_DEPL'
`SIGM_ELNO_DEPL'
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE
FX FY MZ


18 Résultats de la modélisation H

18.1 Valeurs
testées

Cas de charge
Poutre Identification
Référence
Aster %
différence
Fx = 1
S1
ux (B)
5. 10­10 5.
10­10 0.


xx (0)
5.
5.
0.
Fy = 1
S1
uy (B)
2. 10­7 2.007
10­7 0.333


z (B)
1.5 10­7 1.5
10­7 0.


xx (0)
300. 289.27
­3.576
Mz = 1
S1
uy (B)
1.5 10­7 1.5
10­7 0.


z (B)
1.5 10­7
1.5 10­7
0.


xx (0)
150. 150.
0.

18.2 Remarques

La largeur pour la modélisation COQUE_C_PLAN est imposée à 1 dans le Code_Aster. En
conséquence, nous avons multiplié par 0.1 le module d'Young pour tenir compte de la largeur réelle de
la poutre. Cette largeur de 1 modifie l'inertie de la poutre et par conséquent la valeur de la contrainte
xx qui est 10 à fois inférieure à la valeur de référence. En outre, pour les déplacements, les résultats
diffèrent de la modélisation A à cause du changement de repère.
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19 Modélisation
I

19.1 Caractéristiques de la modélisation

Le modèle est composé de 21 éléments TUYAU_3M.

19.2 Caractéristiques du maillage

Il est constitué de 21 mailles SEG3. La longueur de la poutre est L = 6 m

19.3 Fonctionnalités testées

Commandes


AFFE_CARA_ELEM
POUTRE : SECTION
'GENERALE'

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO


AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_POUTRE


MECA_STATIQUE


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
CALC_ELEM
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA
CALC_NO
OPTION
FORC_NODA
CALC_NO
OPTION
REAC_NODA
CALC_NO
OPTION
EFGE_NOEU_DEPL


20 Résultats de la modélisation I

20.1 Valeurs
testées

20.1.1 Déplacements

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
Dy maxi
9.38888E-03
9.44033E-03
0.55

20.1.2 Efforts intérieurs

Résultats
analytiques
Résultats
Aster Ecart
(%)
Vy(x=0) 6.0000E+03
6.0076E+03
0.127
Vy(x=L=6) ­1.2000E+04 ­1.1995E+04
0.042
MFZ (2 3)
­1.3856E+04 ­1.388E+04
0.171



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21 Synthèse des résultats

Ce test permet de vérifier simultanément le bon fonctionnement des éléments POU_D_E, POU_D_T et
POU_D_TG sur 3 types de sections différentes. La coïncidence parfaite des résultats avec les solutions
analytiques (RDM) est normale, et doit toujours être observée, puisque la solution est contenue dans
les fonctions de forme des éléments.

De plus, la modélisation E permet de tester le chargement réparti sur des arêtes d'éléments
volumiques. L'écart à la solution analytique (RDM) est inférieur à 0.6%.

Les modélisations F,G et I permettent de tester le chargement réparti (variation linéaire) pour les
éléments de poutre POU_D_E, POU_D_TG et les éléments de TUYAU. L'écart à la solution analytique
(RDM) est inférieur à 0.6%.


Pour la modélisation COQUE_C_PLAN les résultats sont satisfaisants (déplacements et contraintes)
pour les chargements unitaires de type extension et flexion (moment imposé). Pour le chargement de
flexion (charge imposée à une extrémité) l'erreur sur le déplacement est faible 0.5%. Elle est plus
importante sur la contrainte : 3.6%.
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