Code_Aster ®
Version
8.1

Titre :

SSNA115 ­ Arrachement d'une armature rigide

Date
:

25/11/05
Auteur(s) :
J. LAVERNE Clé
:
V6.01.115-A Page :
1/6

Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document : V6.01.115




SSNA115 ­ Arrachement d'une armature rigide avec
des éléments à discontinuité



Résumé :

Ce cas test a pour objet l'étude numérique de l'arrachement d'une armature rigide encastrée dans un cylindre
creux. La décohésion est modélisée à partir d'éléments à discontinuité interne avec une loi cohésive CZM_EXP
(voir documentation [R7.02.12]) en utilisant la modélisation AXIS_ELDI. Pour valider les résultats nous nous
appuierons sur la solution analytique développée dans [bib3]. Le lecteur intéressé pourra également s'y se
reporter pour une étude plus approfondie de ce cas test.

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1
Problème de référence

1.1 Géométrie
et
chargement

Soit un cylindre creux de longueur L , de rayon intérieur Rf et de rayon extérieur R . Soit une
armature rigide de section circulaire de rayon Rf encastrée en son centre. On note i et e les
surfaces intérieure et extérieure du cylindre creux (voir [Figure 1.1-a]). Le chargement consiste à
appliquer, au sommet de l'armature rigide, un déplacement i
U e
i
z (U > 0 ) ainsi qu'un déplacement
nul sur le bord extérieur e .


=

u
A
r
0





i
u = U e

z

L




i
e



e

z


ur = 0
e

A
r

R f


R

Figure 1.1-a : Schéma du domaine et chargement

On fait l'hypothèse d'une solution axisymétrique ce qui nous permet de restreindre notre étude a un
domaine 2D rectangulaire . Les dimensions du domaine sont les suivantes
:
Rf = 0.5mm , R = 5.5mm , L = 10mm . Le chargement sur l'armature rigide sera pris en compte
en appliquant le déplacement imposé i
U ez sur tout le côté i du domaine 2D ainsi qu'un
déplacement nul sur le côté e pour prendre en compte l'encastrement du cylindre. Enfin on impose
un déplacement radial nul sur les faces inférieure et supérieure du domaine afin d'éviter une singularité
liée à un changement de condition aux limites aux points A et A (voir [Figure 1.1-a]). Ces conditions
aux limites vont conduire à une solution anti-plane (indépendante de z ) ce qui permet d'obtenir plus
simplement une solution analytique.

1.2 Paramètres
Matériau

Les valeurs du module d'Young, du coefficient de Poisson, de la contrainte critique et de la ténacité du
matériau sont prises de la façon suivante :

-1
E = 1.5 MPa , = 0 , c = 1.1 Mpa , c
G = 0.9 N.mm

(Ce sont bien entendu des valeurs « tests » qui ne correspondent à aucun matériau en particulier.)
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2
Solution de référence

La solution de référence est une solution analytique tirée de [bib3], elle même inspirée d'une étude
unidimensionnelle proposée dans [bib1] et d'une manière plus générale s'appuyant sur l'approche
énergétique de la rupture proposée par G. A. Francfort et J. J. Marigo [bib2]. Nous ne rentrerons pas
dans les détails du calcul de cette solution, nous présenterons juste la valeur analytique de la réponse
globale de la structure : déplacement imposé U en fonction de la force correspondante F :

( )
F l
U F =
+ sign( F )
1
F
-



éq
2-1
2 R µ


f L
2 R

f L

où µ désigne le coefficient de Lamé ( µ = E 2 ici), la densité d'énergie de fissuration (voir
documentation [R7.02.12]) et où l = Rf ln ( R Rf ) est une longueur caractéristique de la structure
décisive pour l'évolution brutale ou progressive de la décohésion.


3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

La simulation s'effectue en axisymétrique. Les éléments à discontinuité interne permettent de
représenter la fissure le long de i . Ces derniers ont pour modélisation AXIS_ELDI et un
comportement cohésif CZM_EXP. Les autres éléments du maillage sont des QUAD4 avec un
comportement élastique ELAS en modélisation AXIS.

3.2
Caractéristiques du maillage

On effectue un maillage structuré en quadrangles du domaine avec 76 mailles dans la hauteur et
28 mailles dans la direction radiale. On dispose une couche d'éléments à discontinuité interne le long
de i à l'aide de la commande CREA_MAILLAGE et du mot clé CREA_FISS (voir documentation
[U4.23.02]). L'orientation des éléments à discontinuité est effectuée de telle sorte que la direction
normale soit dirigée suivant -er (la direction tangentielle est donc suivant -ez ). Le reste du domaine
est divisé en mailles linéaires QUAD4 (voir [Figure 3.2-a]).






ez





i
e
e

r




Eléments à discontinuité


QUAD4

Figure 3.2-a : Maillage du domaine
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3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
CZM_EXP
AFFE_MODELE MODELISATION AXIS_ELDI
DEFI_MATERIAU RUPT_FRAG
SIGM_C

SAUT_C

CREA_MAILLAGE CREA_FISS




3.4
Grandeurs testées et résultats

La contrainte tangentielle t le long de la fissure (i.e. dans les éléments à discontinuité) correspond à
l'opposé de la force F divisée par la surface de décohésion : 2 R f L . De plus en s'appuyant sur la
forme de la densité d'énergie de surface définie dans [R7.02.12] et d'après [éq 2-1] on déduit la
relation suivante :
( )
l

t
= -
+ sign( ) c
G
U

t
t
ln
t
µ



éq
3.4-1

c
c

Cette dernière va nous permettre d'effectuer des tests résumés dans le tableau ci-dessous.


Grandeur testée
Théorie
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Différence (%)
Contrainte tangentielle : VI7
7.69747E-01
7.6974726277784E-01
3.41E-05
PG1 de la maille MJ38
Instant : 6.00070E+00
Contrainte tangentielle : VI7
4.34935E-01
4.3493490987033E-01
-2.07E-05
PG1 de la maille MJ38
Instant : 1.20004E+01
Contrainte tangentielle : VI7
1.28483E-01
1.2848319446210E-01
1.51E-04
PG1 de la maille MJ38
Instant : 1.93334E+01
Déplacement DY
1.57674E+00
1.5767415306566E+00
9.71E-05
Noeud N5
Instant : 1.20004E+01



4
Synthèse des résultats

On constate que l'élément à discontinuité permet une bonne prédiction de la décohésion, en effet cette
dernière se développe de façon identique sur toute la hauteur du cylindre de plus les résultats
numériques sont très proches de la solution analytique. Par ailleurs la modélisation proposée permet
de reproduire correctement l'évolution brutale ou progressive de la fissuration en fonction des
longueurs caractéristiques l de la structure et c
G c du comportement. Ce dernier point n'est pas
mis en évidence ici mais le lecteur intéressé pourra se reporter à [bib3] pour plus de détails.
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5 Bibliographie

[1]
CHARLOTTE M., FRANCFORT G.A., MARIGO J. J. and TRUSKINOVSKY L. : Revisiting
brittle fracture as an energy minimization problem : comparison of Griffith and Barenblatt
surface energy models. Proceedings of the Symposium on "Continuous Damage and
Fracture" The data science library, Elsevier, edited by A. BENALLAL, Paris , pp. 7-18, (2000).
[2]
FRANCFORT G. A. and MARIGO J. J. : Revisiting brittle fracture as an energy minimization
problem. J. Mech. Phys. Solids, 46 (8), pp. 1319-1342 (1998).
[3]
LAVERNE J. : Formulation énergétique de la rupture par des modèles de forces cohésives :
considérations théorique et implantations numériques, Thèse de Doctorat de l'Université
Paris 13, Novembre 2004.

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