Code_Aster ®
Version
4.0
Titre :
SDLL04 Poutre élancée sur deux appuis
Date :
07/01/98
Auteur(s) :
B. QUINNEZ
Clé :
V2.02.004-C Page :
1/6
Organisme(s) : EFD/IMA/MMN
Manuel de Validation
Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
Document V2.02.004
SDLL04 - Poutre élancée sur deux appuis,
couplée à un système masse-ressort
Résumé :
Ce problème plan consiste à chercher les fréquences de vibration d'une structure mécanique composée d'une
poutre encastrée-glissière et d'une masse reliée à la poutre par un ressort. La raideur du ressort et la masse
dépendent d'un paramètre variable, ce qui permettra de mettre en évidence le déplacement des fréquences
propres pour une petite perturbation du modèle. Ce test de Mécanique des Structures correspond à une analyse
dynamique d'un modèle linéique ayant un comportement linéaire. Il comprend une seule modélisation.
Ce problème permet de tester l'élément de poutre de Timoshenko en flexion, le calcul des fréquences propres
par la méthode des itérations inverses et par la méthode de Lanczos, la liaison élastique discrète entre une
masse ponctuelle et un noeud d'une poutre.
Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats donnés dans le guide VPCS. On observe bien le
dédoublement des fréquences propres induit par la perturbation du modèle initial (poutre élancée sur deux
appuis).
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Fascicule V2.02 : Dynamique linéaire des poutres
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
C
y,v
A
D
B
x,u
L/4
L
Longueur : L = 10
a
( = AD b = DB)
m =
e
A L = 780 Kg
k = 4
=
e
me
780 4 N/ m
Section droite :
aire
A=1.102 M2
moment d'inertie
Iz = 3.9 106 m4
3 cas à étudier :
= 0.
= 0.001
= 0.01
Coordonnées des points (mètres) :
A
B
C
D
x
0.
10.
2.5
2.5
y
0.
0.
qcq_0
0.
1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1011 Pa
= 7 800. kg/m3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Point A :
u = v = 0.
Point B :
v = 0.
Point C :
u = 0. = 0. glissière verticale
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'analyse modale.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL04/89 du guide VPCS qui présente la
méthode de calcul de la façon suivante :
L'équation aux pulsations propres du système complet s'écrit :
(
sin r a
i
) s (
in r b
i
) (
sh r a
i
) (
sh r b
i
)
r L
-
= 2 2 - 2
2
i
(
i
c
/ c
sin r L
i
)
(
sh r L
i
)
( )
avec :
= m
A
e
r 4 = 2
= ke
a + b = L
A L
i
i E I
c
me
En absence de système secondaire, k
=
e , me
0, on retrouve bien les fréquences propres de la poutre
élancée sur deux appuis.
1
EI
f = i2
= i2
i
2 L2
A
2
Quand le système secondaire est exactement accordé sur le premier mode de cette poutre, les
nouvelles fréquences propres du système peuvent être obtenues par les formules approchées :
m
*
e
f
= 1± 05
.
f
*
= ±
1 2
1
(1 05
,
.
)f
f
f
M
1
3
2
1
avec M1 masse modale de la poutre sans système secondaire pour un mode propre normé à 1
au point D.
2.2
Résultats de référence
Les deux premières fréquences propres pour = 0.
Les trois premières fréquences propres pour = 0.001 et = 0.01.
2.3
Incertitude sur la solution
< 4 % pour les premiers modes si le système est accordé au premier mode.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
NOUR-OMID, SACKMAN, KIUREGHIAN. Modal characterisation of equipment continous
structure system. Journal of Sound and Vibration, V.88 n°4, p. 459, 472 (1983).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
On utilise des poutres droites de Timoshenko POU_D_T et des éléments discrets DIS_T.
y
C
A
D
x
B
Découpage :
AD : 5 mailles SEG2
DB : 15 mailles SEG2
CD : 1 maille SEG2
Modélisation :
POU_D_T pour toutes les mailles de la poutre AB
DIS_T pour la maille CD et le point C
Pour toute la structure DZ = DRX = DRY = 0
Conditions limites :
en tous les noeuds de
la poutre AB :
DDL_IMPO: ( GROUP_NO: NPOUTRE DZ:0., DRX:0, DRY:0.)
aux noeuds
extrémités :
( GROUP_NO: A DX: 0., DY: 0. ) ( GROUP_NO: B DY: 0. )
en C :
( GROUP_NO: C DX: 0., DZ: 0. )
Noms des noeuds :
Point A = N1
Point C = N22
Point B = N21
Point D = N6
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
22
Nombre de mailles et types :
21 mailles SEG2
1 maille P0I1
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CARA_ELEM
POUTRE
'GENERALE'
TOUT
[U4.24.01]
GROUP_MA
DISCRET
'K_T_D_L'
'M_T_D_N'
AFFE_CHAR_MECA
DDL_IMPO
TOUT
[U4.25.01]
GROUP_NO
AFFE_MATERIAU
GROUP_MA
[U4.23.02]
AFFE_MODELE
'MECANIQUE'
'POU_D_T'
GROUP_MA
[U4.22.01]
'DIS_T'
DEFI_MATERIAU
ELAS
[U4.23.01]
MODE_ITER_SIMULT
METHODE
'TRI_DIAG'
[U4.52.02]
CALC_FREQ
OPTION
'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ
MODE_ITER_INV
CALC_FREQ
OPTION
'PROCHE'
[U5.52.01]
FREQ
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Fréquence (Hz)
Ordre du mode propre
Référence
Aster
% différence
0.
flexion 1
1.5707
1.5707
0.
flexion 2
6.2831
6.2812
0.03
0.001
1 flexion
1.5460
1.5460
0.
2 flexion
1.5958
1.5957
0.
3 flexion 2
6.2336
6.2817
0.77
0.01
1 flexion
1.4937
1.4936
0.
2 flexion
1.6506
1.6506
0.
3 flexion 2
6.2874
6.2854
0.03
4.2 Remarques
Pour
= 0, on a effectué :
MODE_ITER_SIMULT METHODE: 'TRI_DIAG'
OPTION: 'PLUS_PETITE'
NMAX_FREQ: 2
Pour = 0.001, on a effectué :
MODE_ITER_INV
OPTION: 'PROCHE'
LIST_FREQ: (1.5, 1.6, 6.5)
Pour = 0.01, on a effectué :
MODE_ITER_INV
OPTION: 'AJUSTE'
LIST_FREQ: (1. , 7.)
Contenu du fichier résultats :
Cas 1 : 2 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Cas 2 : 3 premières fréquences propres et paramètres modaux.
Cas 3 : 3 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.21
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8 secondes
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5
Synthèse des résultats
Le dédoublement des fréquences propres induit par la perturbation du modèle initial est parfaitement
représenté.
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