Code_Aster ®
Version
7.3

Titre :

SSNP116 - Couplage fluage/fissuration - Traction uniaxiale
Date
:
30/09/04
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V6.03.116-B Page :
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Organisme(s) : EDF-R&D/AMA
















Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
Document V6.03.116




SSNP116 - Couplage fluage/fissuration - Traction
uniaxiale





Résumé :

Ce cas de validation est destiné à vérifier le modèle de couplage des lois de fluage de Granger avec les lois de
plasticité/fissuration. Le couplage, restreint dans un premier temps à quelques lois de l'environnement non
linéaire du Code_Aster, pourra être étendu par la suite à davantage de lois. Les paramètres des modèles de
plasticité/fissuration sont choisis de façon particulière pour modéliser un comportement élasto-plastique quasi
parfait, et se ramener à un problème présentant une solution analytique relativement simple.

La géométrie est constituée de trois éléments linéaires (cubes et prismes en 3D, carrés et triangles en 2D), et
trois éléments quadratiques, reliés aux précédents par des relations linéaires. Les modélisations testées ici sont
les modélisations 3D, C_PLAN, et D_PLAN.

Le chargement est une traction uniaxiale en déplacement imposé.

On teste le couplage du modèle de fluage de Granger avec BETON_DOUBLE_DP (ou NADAI_B en C_PLAN),
VMIS_ISOT_LINE et CHABOCHE. On dispose de la solution analytique en 3D et C_PLAN, lorsqu'il n'y a pas
variation de la température et du séchage. Dans les cas 3D et D_PLAN, on teste également les solutions
obtenues lorsqu'il y a variation de la température et du séchage et activation des retraits correspondants (avec
effet opposé). Il s'agit alors de tests de non-régression.

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Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie








y
A1
B1
C1
D1
E1
F1 Ux

Relations

linéaires

x

1.2
Propriétés de matériaux

Les paramètres des lois de comportement sont les suivants :

Pour les caractéristiques mécaniques en élasticité linéaire (ELAS) :

Module d'Young :
E = 31 000 MPa


Coefficient de Poisson :
= 0.2


Coefficient de dilatation thermique :
= 10-5


Coefficient de retrait de dessiccation : = 10-5




Pour les caractéristiques mécaniques non linéaires du modèle BETON_DOUBLE_DP :

Résistance en compression uniaxiale :
f'c = 40 N/mm²


Résistance en traction uniaxiale :
f't = 4 N/mm²


Rapport des résistances en compression = 1.16


biaxiale/compression uniaxiale :
Énergie de rupture en compression :

Gc =10 Nmm/mm²


Énergie de rupture en traction :
Gt =10000 Nmm/mm² pour simuler un écrouissage
quasi nul

Rapport de la limite d'élasticité à la résistance 33.33%

en compression uniaxiale :

Pour les caractéristiques mécaniques non linéaires du modèle NADAI_B :

Résistance en compression uniaxiale :
f'c = 40 N/mm²
Résistance en traction uniaxiale :
f't = 4 N/mm²
Seuil initial d'élasticité :
= 1
Déformation plastique au pic en compression :
Epsp_p_c = 9.64705
Déformation plastique à rupture en compression : Epsp_r_c = 5
Déformation à rupture en traction :

Epsi_r_t =5000 pour simuler un écrouissage quasi
nul


Pour les caractéristiques mécaniques du modèle à écrouissage linéaire VMIS_ISOT_LINE :

Limite élastique :
Sy = 4 N/mm²


Pente d'écrouissage :
D_sigm_epsi =0.1 N/mm²


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Pour les caractéristiques mécaniques du modèle de CHABOCHE :

Rayon de plasticité initial :
R_0 = 4.0 N/mm²
Rayon de plasticité à l'infini:
R_I = 4.1 N/mm²
Coefficient d'évolution du rayon de plasticité :
Gc =0.1 N/mm²
Les paramètres caractérisant l'écrouissage cinématique sont nuls pour simuler un écrouissage quasi
nul : A1 = A2 = C1 = C2 = W = 0 et K = 1.


Pour les caractéristiques mécaniques du modèle de fluage de GRANGER :

Coefficient J1 :
J1 = 0.2 MPa-1
Coefficient 1:
1 = 4 320 000 s
Coefficient Q/R :
QsR_K = 0. K
La courbe de désorption vaut 1 pour toutes valeurs de l'hygrométrie, pour simplifier la solution
analytique.



1.3
Conditions aux limites et chargements mécaniques

Pour les calculs en 3D :

·
Face en x = 0 du premier cube (sa) :
bloquée suivant ox,
·
Noeuds des faces en y = 0 :
bloquée suivant oy,
·
Noeuds des faces en z = 0 :
bloquée suivant oz,
·
Relation linéaire (LIAISON_DDL) entre les noeuds extrémité des faces confondues des
éléments linéaires et quadratiques adjacents (noeuds c1, c2, c3, c4 liés avec les noeuds d1,
d2, d3, d4),
·
Relation linéaire (LIAISON_UNIF) sur la face sd pour lier les déplacements suivant x des
noeuds quadratiques de cette face à ceux des noeuds sommet,
·
Face en x = xmax du dernier cube (sf) :
Traction exercée suivant ox.

Pour les calculs en 2D :

· Ligne en x = 0 du premier carré (la) :
bloquée suivant ox,
· Noeuds des lignes en y = 0 :
bloquée suivant oy,
·
Relation linéaire (LIAISON_DDL) entre les noeuds extrémité des lignes confondues des
éléments linéaires et quadratiques adjacents (noeuds c1, c2 liés avec les noeuds d1, d2),
·
Relation linéaire (LIAISON_UNIF) sur la ligne ld pour lier les déplacements suivant x des
noeuds quadratiques de cette ligne à ceux des noeuds sommet,
· Ligne en x = xmax du dernier carré (lf) :
Traction exercée suivant ox.

Le champ de température est soit constant (premier calcul), soit croissant de 0°C à 20°C pour tous les
autres calculs. Dans le cas où la température varie, on suppose que le champ de séchage varie de 1
à 0. Les caractéristiques matériau sont constantes. De plus, on applique un coefficient de retrait de
dessiccation non nul, de telle façon que le retrait de dessiccation compense la dilatation thermique,
pour vérifier que ces 2 phénomènes sont bien pris en compte.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour pouvoir calculer une solution analytique simple, les choix suivants ont été réalisés, l'objectif étant
de valider le couplage et non les lois de plasticité/fissuration ou de fluage :

·
une loi de fluage de Granger avec un seul modèle de Kelvin en série,
·
une loi de plasticité/fissuration modélisant une loi élastoplastique parfaite,
·
un chargement de traction uniaxiale.

La solution de référence est calculée de façon analytique, sachant qu'en traction, seul le critère de
traction est activé. Les équations du modèle se ramènent à des équations scalaires permettant de
calculer la solution analytique. Le seule difficulté vient de la détermination du début de la plasticité
(instant et déformation de fluage) qui nécessite de résoudre par une méthode numérique une équation
non linéaire à une inconnue.

Dans le cas où la température n'est pas constante, le fluage est plus complexe à résoudre, la solution
analytique n'a pas été calculée. Il s'agit donc de tests de non-régression. Toutefois, dans les cas 3D et
D_PLAN, on peut vérifier que l'on obtient les mêmes résultats avec les 3 modèles.

La déformation imposée (déplacement d'une extrémité de la structure) est une fonction linéaire du
temps permettant de mettre en jeu fluage et plasticité.


2.2
Calcul de la solution de référence

On note , la composante xx de la déformation totale, e la composante xx de la déformation
élastique, fl la composante xx de la déformation de fluage de Granger, et pl la composante xx de
la déformation plastique, la composante xx de la contrainte, et E le module d'Young.
Le modèle de fluage retenu ne comporte qu'un seul modèle de Kelvin en série et le modèle de
plasticité/fissuration est une loi élastoplastique quasi parfaite (pente d'écrouissage quasi nulle), ce qui
permet de calculer aisément la solution analytique du couplage fluage/plasticité, dans le cas d'une
traction simple uniaxiale. La loi élastoplastique quasi parfaite peut être obtenue à partir des lois du
Code_Aster BETON_DOUBLE_DP ou NADAI_B, VMIS_ISOT_LINE ou CHABOCHE, en choisissant le
jeu de paramètres qui convient (écrouissage quasi nul).

Le chargement est une traction uniaxiale en déplacement imposé. On impose donc une déformation
totale proportionnelle au temps écoulé, de la forme
= t
xx
.
0
. Comme il n'y a pas d'effort exercé
dans les autres directions, le champ de contraintes est uniaxiale. On peut donc se ramener à un
problème 1D pour la résolution, ce qui permet de calculer dans un deuxième temps des déformations
dans les directions transverses au chargement (yy et zz).
= (
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
xx
) et = ( , ,
0
,
0
,
0
,
xx
yy
zz
)
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Les équations du modèle de fluage et du modèle de plasticité se confondent avec les équations
scalaires suivantes, en omettant l'indice xx correspondant à la première composante des tenseurs :

= 0.t (traction imposée)
= + +
e
fl
pl

1
=
µ & fl + K fl avec µ = s et K =

Js
Js
=
E e
= E[ - -
pl
fl ]

Résolution en élasticité linéaire
Avant d'atteindre le seuil de plasticité, la déformation plastique est nulle, ce qui conduit à :

= 0.t (traction imposée)
=
pl
0
= +
e
fl

1
= µ& fl + K fl avec µ = s et K =

Js
Js
=
E e
= E[ - fl]

On obtient l'équation différentielle permettant de calculer la déformation de fluage :

= E[ - ] = µ& +
K
=
fl
fl
fl avec
0.t
La déformation de fluage s'exprime donc comme la somme d'une fonction linéaire du temps et d'une
fonction exponentielle, du type :

(t) a.t b t.
=
+ +
-
fl
e


qui donne dans l'équation différentielle :
0 = µ.& (t) + K. (t) + E. (t) - E.0.
fl
fl
fl
t
Soit :
0 = [( + ) +
]+ ([ + ) -
t + K + E
-
-
K E b
a
K E a E 0] [(
)
]e t
µ

µ

.
.
. .
.
d'où :
E.
µ
E.
K + E
a =
0 b = -
0 =

K + E
K + E K + E
µ
A l'instant initial, on part d'une déformation de fluage nulle, ce qui conduit à :
µ
E.
=
0
K + E K + E
On obtient finalement l'expression de la déformation de fluage en fonction du temps :
K + E


-
t
xx
.E
µ

(t) =
0


µ
=
-
1 -

fl
fl (t )
t
e

K + E
K + E





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La composante xx de la déformation élastique vaut : e = - fl
Soit :


K +
-
E t
xx
.K
.E µ
.
0
0

µ


t
( ) = t
( ) =
t +
1-
e
e
e

K + E
(K + E)2





Les composantes yy et zz des déformations élastique et de fluage sont obtenues par multiplication de
la composante xx par le coefficient de Poisson.
La composante xx de la contrainte vaut : = E
. e = E( - fl )
Soit :
2

K +
-
E t
.K.E
.E µ
.
0
0

µ


t
( ) = t
( ) =
t +
1-
xx
e

K + E
(K + E)2




Seuil d'élasticité
Le comportement reste élastique jusqu'à ce qu'on atteigne la limité d'élasticité. Dans le cas d'une
traction uniaxiale, la contrainte équivalente est égale à la composante non nulle de la contrainte. La
plasticité intervient donc quand xx t
( ) = eq = ft (résistance en traction), soit :
K +E
2

-
t
.K.E
.E µ
.
0
0

µ

t +
1-
=

K + E
(K + E)
e
ft
2




Cette équation, résolue par une méthode numérique, permet d'obtenir l'instant du début de
plastification tplas et la déformation de fluage à cet instant :


K +
-
E t

plas
.E
0

µ
plas
µ


= t(
) =
fl
fl
plas
t
1 e

K + E
-
-
plas
K + E









Résolution en plasticité
Le modèle de plasticité a été choisi afin d'obtenir une résolution analytique simple. Il s'agit d'une loi de
plasticité quasi parfaite, obtenue en prenant un jeu particulier de paramètres pour le modèle de
comportement conduisant à une pente d'écrouissage quasi nulle. Donc, en phase plastique, la
contrainte (composante xx), égale à la contrainte équivalente vaut la résistance en traction. Les
équations du modèle sont alors :
= 0.t (traction imposée)
= + +
e
fl
pl

1
= µ& +
K
= µ
= s
=
fl
fl
& +
fl
K[ - -
e
pl ] avec µ
et K

Js
Js
=
E e
= E[ - - ] = f
pl
fl
t
avec comme conditions initiales :
t = t plas
plas
fl t( plas ) = fl


ce qui conduit à l'équation différentielle permettant de calculer la déformation de fluage :

= ft =
µ & fl + K fl
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La déformation de fluage s'exprime donc sous la forme :

(t) a t.
= +
-
fl
e

qui donne dans l'équation différentielle :
0 =
t + K
t - f = [K a - f ]+[K -
] -
µ

µ

. & ( )
.
( )
.
.
. .
.t
fl
fl
t
t
e
d'où :
f
K
a
t
=
=

K
µ
A l'instant t
plas
plas , la déformation de fluage vaut fl
, ce qui conduit à :
plas
ft
=
-
t

fl
e .
K
On obtient finalement l'expression de la déformation de fluage en fonction du temps :
K
f

f - (t-t )
xx
t
t
plas
t
µ
fl
fl
e
plas
( ) =
+
-

K


K

avec = 0.t

f
La composante xx de la déformation élastique vaut :
t
=
=
e

E
E
La composante xx de la déformation plastique vaut : = - - = t - -
pl
e
fl
0.
e
fl
Soit :
K
f
f

f - (t-t )
xx t =
t
t
t -
-
- plas
t
µ
-
plas
0
fl
e
plas
( )
.

E
K


K
Les composantes yy et zz des déformations élastique et de fluage sont obtenues par multiplication de
la composante xx par le coefficient de Poisson.
La composante xx de la contrainte vaut : = ft

Application numérique :
On impose une déformation de 10­3 en 100 secondes, ce qui donne 0 = 10­5
La seule difficulté consiste à calculer l'instant de la plastification t plas , et la déformation de fluage
plas
fl
qui lui correspond, par dichotomie par exemple.
On obtient finalement les paramètres :
tplas = 13.024296
plas
fl
= 1.20969985.10­6
= 1.2903226.10­4
qui permettent d'obtenir les valeurs de référence après plastification du béton.

A 10 secondes, le comportement est un couplage fluage/élasticité. A 100 secondes, le comportement
est un couplage fluage/plasticité :

temps 10 100

3.0778607 4.0

1.10­4 1.10­3
fl
7.1417140.10­7 1.7316168.10­5

e
9.9285829.10­5 1.2903226.10­4

0.0
pl
8.5365157.10­4

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2.3
Incertitude sur la solution

Elle est négligeable, de l'ordre de la précision machine.


2.4 Références
bibliographiques

Le modèle a été défini dans le document de spécification :

[1] CS
SI/311-1/420AL0/RAP/00.019
Version 1.1, «
Développement du couplage
fluage/fissuration dans le Code_Aster - Spécifications »
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

3D (1 HEXA8, 2 PENTA6, 1 HEXA20, 2 PENTA15)

Il s'agit d'un cube à 8 noeuds et de deux prismes à 6 noeuds liés par des relations linéaires à un cube
à 20 noeuds et de deux prismes à 15 noeuds. L'ensemble est soumis à une traction uniaxiale suivant
la direction x. Les dimensions suivant y et z sont unitaires. Les dimensions suivant la direction x sont
choisies de telle sorte que tous les éléments aient la même longueur caractéristique (celle-ci vaut la
racine cubique du volume pour les éléments quadratiques, et la racine cubique du volume multipliée
par 2 pour les éléments linéaires).

Les champs de contraintes et déformations sont uniformes.
En 3D, on valide le couplage de la loi BETON_DOUBLE_DP avec la loi GRANGER_FP. On teste aussi le
couplage des lois VMIS_ISOT_LINE et CHABOCHE avec la loi GRANGER_FP.








z
B1
E1

y
C1
D1
Ux
A1

Eléments
Relations
Eléments
F1

x
linéaires
linéaires
quadratiques




3.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 46
Nombre de mailles et type : 1 HEXA8, 2 PENTA6, 1 HEXA20, 2 PENTA15


3.3
Fonctionnalités testées

Commandes Options


AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'

DEFI_MATERIAU 'BETON_DOUBLE_DP'


DEFI_MATERIAU `VMIS_ISOT_LINE'


DEFI_MATERIAU `CHABOCHE'

AFFE_CHAR_MECA 'SECH_CALCULEE'


STAT_NON_LINE `RELATION' `KIT_DDI'
CALC_ELEM `OPTION' `EPSP_ELNO'

CALC_ELEM `OPTION' `EPGR_ELNO'


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4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

On teste les composantes xx du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA, du champ de déformations
de fluage EPGR_ELNO, et du champ de déformation plastique EPSP_ELNO.
Pour le couplage avec la loi BETON_DOUBLE_DP, dans le cas où la température et le séchage sont
constants et la solution analytiques connues, ces valeurs ont été testées au point C1 situé à l'interface
entre les éléments linéaires et les éléments quadratiques, et au point F1 situé à l'extrémité de la
structure, où est appliqué le déplacement imposé (en xmax).
Lorsque la température et le séchage varient, la solution analytique n'a pas été calculée : on teste
donc les mêmes composantes que précédemment mais uniquement au point F1 situé à l'extrémité de
la structure. La solution obtenue avec BETON_DOUBLE_DP est testé en tant que non-régression, mais
les valeurs obtenues servent ensuite de référence pour les autres modèles (VMIS_ISOT_LINE et
CHABOCHE).

Les tests sont effectués à l'instant 10, lorsque la plasticité n'a pas commencée, seul le fluage est
présent, et à l'instant 100, après le début de la plastification du béton.


4.2
Calcul avec la loi BETON_DOUBLE_DP en isotherme (Référence)

Couplage GRANGER_FP/BETON_DOUBLE_DP

·
au point C1

Identification Référence
Aster
% différence

-4
xx pour xx 10­4
3.07786 3.07787
1.9.10
fl
xx pour xx 10­4
7.14171 10-7
7.140035 10-7
-0.023

-5
xx pour xx 10­3
4.0 3.999999
-2.0.10
fl
xx pour xx 10­3
1.73162 10-5
1.731596 10-5
-0.001
p
xx pour xx 10­3
8.53652 10-4
8.536546 10-4
3.1 10-4


·
au point F1

Identification Référence
Aster
% différence

-4
xx pour xx 10­4
3.07786 3.07787
1.9.10
fl
xx pour xx 10­4
7.14171 10-7
7.140035 10-7
-0.023

-5
xx pour xx 10­3
4.0 3.999998
-6.0.10
fl
xx pour xx 10­3
1.73162 10-5
1.731596 10-5
-0.001
p
xx pour xx 10­3
8.53652 10-4
8.536023 10-4
-0.006

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4.3 Calcul avec la loi BETON_DOUBLE_DP en non isotherme (Non
régression)

·
au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077193
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
3.999998
fl
xx pour xx 10­3
2.140534 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.495132 10-4



4.4

Calcul avec la loi VMIS_ISOT_LINE en non isotherme

·
au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077193
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.000009
fl
xx pour xx 10­3
2.140537 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.495621 10-4



4.5
Calcul avec la loi CHABOCHE en non isotherme

·
au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077193
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.
fl
xx pour xx 10­3
2.140535 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.495624 10-4

Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
HT-66/04/005/A

Code_Aster ®
Version
7.3

Titre :

SSNP116 - Couplage fluage/fissuration - Traction uniaxiale
Date
:
30/09/04
Auteur(s) :
S. MICHEL-PONNELLE Clé
:
V6.03.116-B Page :
12/18


5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

D_PLAN (1 QUAD4, 2 TRI3, 1 QUAD8, 2 TRI6)

Il s'agit d'un carré à 4 noeuds et de deux triangles à 3 noeuds liés par des relations linéaires à un carré
à 8 noeuds et de deux triangles à 6 noeuds. L'ensemble est soumis à une traction uniaxiale suivant la
direction x. Les dimensions suivant y sont unitaires. Les dimensions suivant la direction x sont
choisies de telle sorte que tous les éléments aient la même longueur caractéristique (racine de la
surface pour les éléments quadratiques, et racine de la surface multipliée par 2 pour les éléments
linéaires).

Les champs de contraintes et déformations sont uniformes.
En 2D déformations planes (D_PLAN), on teste le couplage entre de la loi BETON_DOUBLE_DP avec
la loi GRANGER_FP. On teste aussi le couplage des lois VMIS_ISOT_LINE avec la loi CHABOCHE et
GRANGER_FP. La solution analytique n'a pas été calculée en D_PLAN.









E1
y
B1
C1
D1

A1
F1 Ux
Eléments
Relations
Eléments

linéaires
linéaires
quadratiques

x



5.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et type : 1 QUAD4, 2 TRI3, 1 QUAD8, 2 TRI6


5.3
Fonctionnalités testées


Commandes Options


AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'D_PLAN'

DEFI_MATERIAU 'BETON_DOUBLE_DP'


DEFI_MATERIAU `VMIS_ISOT_LINE'


DEFI_MATERIAU `CHABOCHE'


AFFE_CHAR_MECA 'SECH_CALCULEE'


STAT_NON_LINE `RELATION'
`KIT_DDI'
CALC_ELEM `OPTION' `EPSP_ELNO'

CALC_ELEM `OPTION' `EPGR_ELNO'


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6
Résultats de la modélisation B

6.1 Valeurs
testées

On teste les composantes xx du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA et du champ de
déformations de fluage EPGR_ELNO, et du champ de déformation plastique EPSP_ELNO au point F1
situé à l'extrémité de la structure, où est appliqué le déplacement imposé (en xmax).

La solution analytique n'a pas été calculée en déformation plane. On réalise donc uniquement le même
calcul avec les 3 modèles de fissuration à température et séchage variable. Les tests sont de type non-
régression.

Les tests sont effectués à l'instant 10, lorsque la plasticité n'a pas commencée, seul le fluage est
présent, et à l'instant 100, après le début de la plastification du béton.



6.2 Calcul avec la loi BETON_DOUBLE_DP en non isotherme (Non
régression)

Au point C1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.205409
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.382555
fl
xx pour xx 10­3
2.307822 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.217046 10-4


Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.205409
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.382555
fl
xx pour xx 10­3
2.307822 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.217039 10-4

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6.3 Calcul avec la loi VMIS_ISOT_LINE
en non isotherme (Non
régression)

Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.205409
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.614209
fl
xx pour xx 10­3
2.195353 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.429335 10-4



6.4

Calcul avec la loi CHABOCHE en non isotherme (Non régression)

Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.205409
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.614199
fl
xx pour xx 10­3
2.195350 10-5
p
xx pour xx 10­3
8.429339 10-4


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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

C_PLAN (1 QUAD4, 2 TRI3, 1 QUAD8, 2 TRI6)

Les champs de contraintes et déformations sont uniformes.
En 2D C_PLAN, on valide le couplage de la loi NADAI_B avec la loi GRANGER_FP (car
BETON_DOUBLE_DP n'est pas disponible en contraintes planes). On teste aussi le couplage des lois
VMIS_ISOT_LINE et CHABOCHE avec la loi GRANGER_FP.









E1
B1

y
C1
D1
A1
F1 Ux

Eléments
Relations
Eléments

linéaires
linéaires
quadratiques
x





7.2
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et type : 1 QUAD4, 2 TRI3, 1 QUAD8, 2 TRI6


7.3
Fonctionnalités testées

Commandes Options


AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'D_PLAN'

DEFI_MATERIAU 'BETON_DOUBLE_DP'


DEFI_MATERIAU `VMIS_ISOT_LINE'


DEFI_MATERIAU `CHABOCHE'


AFFE_CHAR_MECA 'SECH_CALCULEE'


STAT_NON_LINE `RELATION'
`KIT_DDI'
CALC_ELEM `OPTION' `EPSP_ELNO'

CALC_ELEM `OPTION' `EPGR_ELNO'


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8
Résultats de la modélisation C

8.1 Valeurs
testées

Ont été testées les composantes xx du champ de contraintes SIEF_ELNO_ELGA et du champ de
déformations de fluage EPGR_ELNO. Pour le couplage avec la loi NADAI_B, ces valeurs ont été testées
au point C1 situé à l'interface entre les éléments linéaires et les éléments quadratiques, et au point F1
situé à l'extrémité de la structure, où est appliqué le déplacement imposé (en xmax).

Pour le couplage avec les autres lois, (VMIS_ISOT_LINE et CHABOCHE), les champs ont été testés
uniquement au point F1 situé à l'extrémité de la structure.

Comme pour le cas 3D, on réalise un premier calcul avec température et séchage constant, qui permet
de valider NADAI_B en contraintes planes. Tous les modèles sont ensuite testés avec température et
séchage variables et activation des retraits correspondants. On vérifie qu'on retrouve bien les mêmes
résultats avec VMIS_ISOT_LINE et CHABOCHE qu'avec NADAI_B.


Les tests sont effectués à l'instant 10, lorsque la plasticité n'a pas commencée, seul le fluage est
présent, et à l'instant 100, après le début de la plastification du béton.

8.2
Calcul avec la loi NADAI_B en isotherme (Référence)

·
au point C1

Identification Référence
Aster
% différence

-4
xx pour xx 10­4
3.07786 3.07787
1.9.10
fl
xx pour xx 10­4
7.14171 10-7
7.140035 10-7
-0.023

-5
xx pour xx 10­3
4.0 3.999999
-2.0.10
fl
xx pour xx 10­3
1.73162 10-5
1.731597 10-5
-0.001


·
au point F1

Identification Référence
Aster
% différence

-4
xx pour xx 10­4
3.07786 3.07787
1.9.10
fl
xx pour xx 10­4
7.14171 10-7
7.140035 10-7
-0.023

-5
xx pour xx 10­3
4.0 3.999999
-2.3.10
fl
xx pour xx 10­3
1.73162 10-5
1.731597 10-5
-0.001

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8.3

Calcul avec la loi NADAI_B en non isotherme (Non régression)

Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077192
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
3.999942
fl
xx pour xx 10­3
2.140718 10-5



8.4

Calcul avec la loi VMIS_ISOT_LINE en non isotherme

Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077193
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.000009
fl
xx pour xx 10­3
2.140745 10-5



8.5
Calcul avec la loi CHABOCHE en non isotherme

Au point F1

Identification
Aster
xx pour xx 10­4
3.077192
fl
xx pour xx 10­4
7.357178 10-7
xx pour xx 10­3
4.000001
fl
xx pour xx 10­3
2.140743 10-5

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18/18


9
Synthèse des résultats

Dans le cas où l'on connaît la solution analytique (non-variation de la température et du séchage), ce
cas test offre des résultats très satisfaisants avec un écart inférieur à 0.02% pour tous les cas de
calcul. Le nombre d'itérations pour la phase plastique est généralement de l'ordre d'une dizaine ; pour
le modèle de CHABOCHE, la convergence est meilleure avec une matrice élastique. Ceci s'explique par
le choix de la loi de plasticité quasi parfaite, obtenue avec des modèles VMIS_ISOT_LINE et
CHABOCHE, et avec des jeux particuliers de paramètres. En fait, ces mêmes modèles utilisés sans le
couplage fluage/fissuration, dans les mêmes conditions de chargement et avec les mêmes
paramètres, présentent les mêmes difficultés de convergence.

On vérifie que sous l'effet de l'augmentation de la température les déformations de fluage sont
augmentées (+3 % environ dans la phase élastique, +23% dans la phase plastique ).
Enfin, en 3D et en C_PLAN, on vérifie que les 3 modèles qui ont été dégénérés donnent bien des
résultats quasi-similaires. En revanche, en D_PLAN, le modèle BETON_DOUBLE_DP n'est pas
équivalent aux deux autres modèles du fait de l'écriture du critère qui dépend de la trace du tenseur
des déformations et n'est donc pas équivalent au modèle parfaitement plastique.




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