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SDND102 - Réponse sismique d'un système multi-supporté
Date
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G. DEVESA, Fe WAECKEL, E. BOYERE
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Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
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SDND102 - Réponse sismique d'un système
masse-ressort non linéaire multi-supporté




Résumé

Le problème consiste à analyser la réponse d'une structure mécanique, modélisée par deux systèmes
masse-ressort non amortis, soumis à un chargement sismique de type harmonique, avec possibilité de choc.

On teste l'élément discret en traction-compression, le calcul des modes propres et des modes statiques, le
calcul de la réponse transitoire par recombinaison modale non linéaire d'une structure soumise à un
accélérogramme (modélisation A) ainsi que le calcul de la réponse sismique transitoire directe d'une structure
non linéaire (modélisation B).
Ce cas test sert aussi à valider un calcul avec résolution explicite sur les accélérations et choc (modélisation C)
en comparant les résultats issus de DYNA_NON_LINE et DYNA_TRAN_EXPLI.

Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats de référence.
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1
Problème de référence

1.1 Géométrie

On compare la réponse sismique d'un système masse-ressort à un degré de liberté pouvant impacter
une paroi fixe (problème 1) à celle de deux systèmes masse-ressort identiques pouvant
s'entrechoquer et soumis à la même sollicitation sismique (problème 2).



A

k
m
B
C
x
k
m
m k
x
1
1
2= -

Problème 1
Problème 2


1.2
Propriétés de matériaux

Raideur des ressorts : k = 98696 N/m.
Masse ponctuelle : m = 25 kg.

Pour le problème 1 (impact sur une paroi rigide), la rigidité normale de choc vaut Kchoc = 5,76 107 N/m.
Quant au problème 2 (choc de deux structures déformables), elle vaut Kchoc = 2,88 107 N/m.
Dans les deux cas, l'amortissement de choc est nul.


1.3
Conditions aux limites et chargements

Conditions aux limites

Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l'axe x.
Les points A, B et C sont encastrés : dx = dy = dz = 0.

Chargement

Les points d'ancrage A et B sont soumis à une accélération suivant la direction x : 1(t) = sin t
avec = 20. s­1 et le point C à une accélération 2(t) = - sin t.


1.4 Conditions
initiales

Dans les deux cas, les systèmes masse-ressort sont initialement au repos :
à t = 0, dx(0) =0, dx/dt(0) = 0 en tout point.
Pour le problème 1, la masse est séparée de la paroi fixe du jeu j = 5. 10­4 m. Quant au problème 2,
les masses sont séparées du jeu J = 2 j = 10­3 m.
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2
Solution de référence

2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Il s'agit de comparer la réponse d'un système symétrique constitué par deux systèmes masse-ressort
identiques à la réponse d'un système masse-ressort. Les deux problèmes, exposés en détail dans la
référence [bib2], sont sollicités par le même accélérogramme.

On calcule dans un premier temps les fréquences propres fi, les vecteurs propres associés normalisés
par rapport à la masse modale Ni et les modes statiques du système (valeurs analytiques). On
calcule ensuite la réponse généralisée du système multi-supporté en résolvant analytiquement
l'intégrale de Duhamel [bib1]. Enfin, on restitue sur la base physique le déplacement relatif des noeuds
de choc ce qui nous permet, après avoir calculé le champ des déplacements d'entraînement, de
calculer le champ des déplacements absolus.

On calcule la fonction diff définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
choquant sur un obstacle mobile et celui du noeud choquant sur un obstacle fixe. On vérifie qu'elle est
bien nulle pour différents instants.


2.2
Résultats de référence

Déplacements relatifs et absolus aux noeuds de choc.


2.3
Incertitude sur la solution

Comparaison entre deux modélisations équivalentes.


2.4 Références
bibliographiques

[1]
J.S. PRZEMIENIECKI : Theory of matrix structural analysis New York, Mac Graw - Hill, 1968,
p. 351-357.
[2]
Fe. WAECKEL : Utilisation et validation des développements réalisés pour calculer la
réponse sismique de structures multi-supportées - HP52/96.002.
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3 Modélisation
A

3.1
Caractéristiques de la modélisation

Les systèmes masse-ressort sont modélisés par des éléments discrets à 3 degrés de liberté DIS_T.

Modélisation du problème 1 :


Yloc
Y
je
j
Zloc
k
X
orig_
m
no1
no2
1
Figure 3.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide

Le noeud no1 est soumis à une accélération imposée 1(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
no2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un obstacle de type PLAN_Z (deux plans parallèles) est retenu pour simuler l'impact du système
masse-ressort sur une paroi rigide. La normale au plan de choc est l'axe Z, NORM_OBST : (0. 0.
1.). Pour ne pas être gêné par le rebond de l'oscillateur sur le plan symétrique, on repousse celui-ci
très loin (cf. [Figure 3.1-a]).
D'où :
· l'origine de l'obstacle ORIG_OBST : (­1. 0. 0.) ;
· et le jeu correspondant jeu : 1.1005

Modélisation du problème 2 :

Y
dist_1
dist_2
J
k
k
X
m
m
NO1
NO2
NO3
NO4
1
2= -1

Figure 3.1-b : Modélisation de deux systèmes masse-ressort qui s'entrechoquent

Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée 1(t), le noeud NO4 à 2(t) = ­1(t). On calcule
le déplacement relatif des noeuds NO2 et NO3, leur déplacement d'entraînement et leur déplacement
absolu.
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Les conditions de choc entre les deux systèmes masse-ressort sont simulées par un obstacle de type
BI_PLAN_Z (obstacle plan entre deux structures mobiles). La normale au plan de choc est choisie
selon l'axe Z, soit NORM_OBST : (0. 0. 1.).
Les épaisseurs de matière entourant les noeuds de choc dans la direction considérée sont précisées
par les opérandes DIST_1 et DIST_2. Dans le cas traité, on choisit DIST_1 = DIST_2 = 0.4495 pour
qu'à l'instant initial, les deux noeuds de choc soient séparés du jeu J = 2 j = 10­3 mm (cf. [Figure 3.1-
b]).

L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler et un pas de temps de 2,5. 10­4s. Les
calculs sont archivés tous les 8 pas de temps.
On considère un amortissement réduit de 7% pour l'ensemble des modes calculés.


3.2
Caractéristiques du maillage

On appelle modele le maillage associé au problème composé d'un système masse-ressort butant
contre une paroi fixe et bichoc celui qui est associé au problème 2.

Maillage associé au modèle modele :

nombre de noeuds : 2 ;
nombre de mailles et types : 1 DIS_T.

Maillage associé au modèle bichoc :

nombre de noeuds : 4 ;
nombre de mailles et types : 2 DIS_T.


3.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA M_T_D_N

GROUP_MA
K_T_D_L
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
MACRO_MATR_ASSE


MODE_ITER_SIMULT METHODE
JACOBI

CALC_FREQ
BANDE

NORM_MODE NORME
MASS_GENE

MODE_STATIQUE DDL_IMPO


CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI


MULTI_APPUI


MACRO_PROJ_BASE


DEFI_OBSTACLE PLAN_Z

BI_PLAN_Z


DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
MULT_APPUI 'OUI'
AMOR_REDUIT


METHODE
EULER

REST_BASE_PHYS MULT_APPUI
'OUI'

RECU_FONCTION RESU_GENE


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4
Résultats de la modélisation A

4.1
Valeurs testées de la modélisation A

On calcule la fonction diff définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
NO2 et celui du noeud no2. Et on vérifie qu'elle est bien nulle pour différents instants.

Temps (s)
Référence
Aster
Erreur absolue
0,1 0,0
5,8884E-07
5,89E-07
0,3 0,0
­1,8891E-06
­1,89E-06
0,5 0,0
­1,5586E-07
­1,56E-07
0,7 0,0
1,8213E-06
1,82E-06
1 0,0
1,7231E-06
1,72E-06

On teste également la valeur du déplacement absolu du noeud NO2 pour différents instants.

Temps (s)
Référence
Aster
Erreur absolue
(problème 2)
0,05 ­3,58082E-04
­3,5808E-04
1,71E-10
0,156 ­1,22321E-04 ­1,2232E-04
­4,72E-10
0,25 ­1,8876E-04 ­1,8876E-04
1,96E-11
0,4 ­1,89772E-04
­1,8977E-04
1,22E-10
0,5 ­6,84454E-05
­6,8445E-05 ­4,72E-11
0,8 ­1,11982E-04
­1,1198E-04
1,71E-11
0,9 ­1,20103E-04
­1,2010E-04
1,37E-10
1 ­1,07178E-04
­1,0718E-04
3,31E-10

On représente ci dessous l'allure des déplacements relatifs et absolus au noeud NO2 :




Déplacements absolus
Déplacements relatifs

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5 Modélisation
B

5.1
Caractéristiques de la modélisation

Les systèmes masse-ressort sont modélisés, comme dans la modélisation A, par un élément discret à
3 degrés de liberté DIS_T.

Modélisation du problème 1 :
Y
Jeu
dist_1
k
m
NO1
NO2
1
elm1

Figure 5.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide

Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée 1(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
NO2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un élément de type DIST_T sur une maille POI1 est retenu pour simuler l'impact de la poutre sur une
paroi rigide : les éventuels chocs entre la poutre et l'obstacle sont pris en compte comme étant des
forces internes à cet élément. On lui affecte un comportement non linéaire de type choc (raideur) via la
loi de comportement DIS_CONTACT de la commande DEFI_MATERIAU.
L'épaisseur de matière entourant le noeud de choc dans la direction considérée est précisée par
l'opérande DIST_1 de la commande DEFI_MATERIAU. Dans le cas traité, on choisit DIST_1 = 0.4495
et JEU = 0.45 pour qu'à l'instant initial, le noeud de choc et l'obstacle soient séparés du jeu j = 5. 10­4
mm (cf. [Figure 5.1-a]).

Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés du noeud NO1, est calculé par l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME. On crée ensuite un concept charge à partir de l'opérande VECT_ASSE de la
commande AFFE_CHAR_MECA.

On utilise le schéma d'intégration de NEWMARK de DYNA_NON_LINE avec un pas de temps de 10­3 s
et les paramètres par défaut.

Modélisation du problème 2 :

Y
dist_1
dist_2
J
k
k
X
m
m
NO1
NO2
NO3
NO4
1
2= -1

Figure 5.1-b : Modélisation de deux systèmes masse-ressort qui s'entrechoquent
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Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée 1(t), le noeud NO4 à 2(t) = ­1(t). On calcule
les déplacements relatif et absolus des noeuds NO2 et NO3, leur déplacement d'entraînement et leur
déplacement absolu.

Les éventuels chocs entre les deux poutres sont pris en compte comme étant des forces internes à un
élément à deux noeuds. On affecte à cet élément un comportement non linéaire de type choc (raideur)
via le mot clé RIGI_NOR de la loi de comportement DIS_CONTACT de la commande DEFI_MATERIAU.
La direction normale de contact est l'axe local x de l'élément discret à deux noeuds.

Les épaisseurs de matière entourant les noeuds de choc dans la direction considérée sont précisées
par les opérandes DIST_1 et DIST_2 de la commande DEFI_MATERIAU. Dans le cas traité, on
choisit DIST_1 = DIST_2 = 0.4495 pour qu'à l'instant initial, les deux noeuds de choc soient séparés
du jeu J = 2. j = 10­3 m (cf. [Figure 5.1-a]).

Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés des ancrages (noeud NO1 et NO4, est
calculé par l'opérateur CALC_CHAR_SEISME. On crée un concept charge à partir de l'opérande
VECT_ASSE de la commande AFFE_CHAR_MECA.

L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme de Newmark et un pas de temps de 10­3 s. Les
calculs sont archivés tous les 8 pas de temps.
On considère un amortissement réduit de 7% pour l'ensemble des modes calculés (mot-clé
AMOR_MODAL de l'opérateur DYNA_NON_LINE).


5.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage associé au modèle bichoc est constitué de 4 noeuds et de 3 mailles de type DIS_T.


5.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
GROUP_MA M_T_D_N

GROUP_MA
K_T_D_L
DEFI_MATERIAU DIS_CONTACT
DIST_1


DIST_2


JEU

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
VECT_ASSE


MODE_STATIQUE DDL_IMPO

CALC_CHAR_SEISME MULTI_APPUI

DYNA_NON_LINE AMOR_MODAL


MODE_STAT


EXCIT
MULT_APPUI
'OUI'
COMP_INCR
DIS_CHOC

RECU_FONCTION SIEF_ELGA


DEPL


DEPL_ABSOLU


CALC_FONCTION MAX


COMB


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6
Résultats de la modélisation B

6.1
Valeurs testées de la modélisation B

On calcule la fonction diff définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
NO2 et celui du noeud no2. Et on vérifie qu'elle est bien nulle pour différents instants.

Temps (s)
Référence
Aster
Erreur absolue
0,1 0,0
1,7144E-17
1,71E-17
0,2 0,0
­5,1386E-16
­5,14E-16
0,3 0,0
5,1365E-16
5,14E-16
0,4 0,0
2,1570E-15
2,16E-15
0,5 0,0
­2,7105E-19
­2,71E-19


On teste également la valeur maximale de la force d'impact au noeud NO2.


Type d'impact
Référence
Aster
Erreur relative
contre une paroi rigide
6,29287E+02
6,29292E+02
7,21E-06
entre deux structures mobiles 6,29287E+02 6,29292E+02 7,21E-06


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7 Modélisation
C

7.1
Caractéristiques de la modélisation

La modélisation C est avant tout un test de DYNA_TRAN_EXPLI, dont les résultats sont comparés
avec DYNA_NON_LINE.
Les systèmes masse-ressort sont modélisés, comme dans la modélisation A, par un élément discret à
3 degrés de liberté DIS_T. Seule la modélisation à un degré de liberté est testée.

Modélisation du problème :

Y
Jeu
dist_1
k
m
NO1
NO2
1
elm1

Figure 7.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide

Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée 1(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
NO2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un élément de type DIST_T sur une maille POI1 est retenu pour simuler l'impact de la poutre sur une
paroi rigide : les éventuels chocs entre la poutre et l'obstacle sont pris en compte comme étant des
forces internes à cet élément. On lui affecte un comportement non linéaire de type choc (raideur) via la
loi de comportement DIS_CONTACT de la commande DEFI_MATERIAU.
L'épaisseur de matière entourant le noeud de choc dans la direction considérée est précisée par
l'opérande DIST_1 de la commande DEFI_MATERIAU. Dans le cas traité, on choisit DIST_1 = 0.4495
et JEU = 0.45 pour qu'à l'instant initial, le noeud de choc et l'obstacle soient séparés du jeu j = 5. 10­4
mm (cf. [Figure 5.1-a]).

Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés du noeud NO1, est calculé par l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME. On crée ensuite un concept charge à partir de l'opérande VECT_ASSE de la
commande AFFE_CHAR_MECA.

On utilise le schéma d'intégration de NEWMARK explicite de type DIFFERENCES CENTREES avec
un pas de temps de 10­3 s. Le calcul par DYNA_TRAN_EXPLI est effectué dans l'espace modal, la
non-linéarité étant due au choc et donc demeurant locale.


7.2
Caractéristiques du maillage

Le maillage associé au modèle est constitué de 2 noeuds, d'une maille SEG2 de type DIS_T et d'une
maille ponctuelle POI1 de type DIS_T.
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7.3 Fonctionnalités
testées

Commandes


AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
GROUP_MA M_T_D_N

GROUP_MA
K_T_D_L
DEFI_MATERIAU DIS_CONTACT
DIST_1


DIST_2


JEU

AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
VECT_ASSE


MODE_STATIQUE DDL_IMPO

CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI
'OUI'
DYNA_NON_LINE AMOR_MODAL


MODE_STAT


COMP_INCR
DIS_CHOC

DYNA_TRAN_EXPLI AMOR_MODAL

PROJ_MODAL


COMP_INCR
DIS_CHOC

RECU_FONCTION




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8
Résultats de la modélisation C

8.1
Valeurs testées de la modélisation C

Le calcul est non-linéaire à cause du choc et on ne dispose pas de solution analytique. On teste donc
le calcul sur des valeurs de non-régression sur le déplacement selon x du noeud NO2.

Temps (s)
Référence
Aster
Erreur relative
0,1 ­15,6520E-3
­15,6520E-3 <1E-3%
0,2 ­51,4832E-3
­51,4832E-3 <1E-3%
0,3 28,1291E-3
28,1291E-3 <1E-3%
0,4 ­44,9343E-3
­44,9343E-3 <1E-3%
0,5 ­37,7508E-3
­37,7508E-3 <1E-3%


On compare les déplacements absolus issus de DYNA_TRAN_EXPLI avec ceux donnés par
DYNA_NON_LINE.
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9
Synthèse des résultats

Les résultats obtenus avec le Code_Aster sont conformes à ceux attendus (erreur inférieure au
millième).
Sur cet exemple, le calcul non linéaire direct est beaucoup plus coûteux en temps de calcul, d'un
facteur 20, que celui sur base modale.

La modélisation C montre que l'on obtient bien des résultats semblables avec une méthode
d'intégration temporelle explicite (DYNA_TRAN_EXPLI) et implicite (DYNA_NON_LINE).

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