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T1phvmn

Tutorial 2 :
Modélisation statique linéaire exploitant la symétrie cyclique de la pièce
Utilisation des GROUP_MA plutôt que GROUP_NO pour l'application des conditions aux limites
Version 1


Date: 21 février 2007


Table des matières

Table des évolutions

Version Date Modifications Auteur(s)
01 28/01/2007 Création PC
       
       
       

Mots clefs : Symétrie cyclique, booléens, GROUP_MA, LIAISON_OBLIQUE, MECA_STATIQUE.

Avant propos

Dans l'esprit des exercices présents sur CAELINUX, le propos est ici de guider les débutants dans l'utilisation de Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ aussi bien dans la mise en donnée que dans la démarche. Nombre d'explications apparaîtrons triviales rendant le style « lourd », nous espérons cependant qu'elles seront claires.

Ce document se voulant interactif, le signalement de toute erreur est le bienvenu $ \ldots$ il en va de même pour les améliorations.

Le lecteur est invité à lire le tutorial 1 (CAELINUX_post-traitement.pdf) traitant spécifiquement du post-traitement (graphique) des résultats ; il y trouvera quelques façons de visualiser les résultats (déplacements, champs de contraintes, courbes, etc. ...). De cette façon, les différents tutoriaux se concentreront sur le thème de la note.

Introduction

Nombre de pièces industrielles présentent des symétries qui convient d'utiliser en statique1 de façon à alléger le modèle numérique, d'où des gains de taille, de temps et de ressources informatiques.

Au travers d'un exemple, nous nous proposons ici :

$ \triangleright$
d'exploiter la symétrie cyclique d'une pièce assez simple,
$ \triangleright$
de mettre en place des conditions aux limites utilisant des groupes de mailles plutôt que des groupes de noeuds (possibilité d'utiliser HOMARD $ ^{\tiny {\textregistered }}$ par exemple ou tout simplement d'augmenter/diminuer l'ordre des éléments du maillage),

NOTA : L'utilisation de HOMARD $ ^{\tiny {\textregistered }}$ permet de raffiner/déraffiner les maillages ; son utilisation fera ultérieurement l'objet d'un tutorial.

Les calculs ont été réalisés sous Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ V8.3.

Préparation du modèle numérique/définition du maillage

La figure 1 présente la maquette 3D de la pièce d'étude. Cette dernière présente une symétrie cyclique à 60$ ^{\circ}$ (Schéma élémentaire : $ \frac{1}{6}$ de la pièce).

Figure 1: Maquette 3D

Maillage

Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ ne dispose d'aucun mailleur ; aussi cette étape requière des outils comme SALOME, GMSH, CGX (licence GPL), GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$(libre) ou tout autre outil propriétaire. La figure suivante montre un maillage constitué d'éléments volumiques de degré 2, en majorités des hexaèdres (figures 2).

Figure: Maillages réglés : linéaire avec GMSH (gauche) et quadratique avec GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ (droite)
Image maillages_gmsh_gibi

Chronologie de mise en données

La mise en données est somme toute assez logique ; EFICAS $ ^{\tiny {\textregistered }}$ est d'une aide appréciable pour cela dans le sens ou il impose une chronologie ``minimale''. L'exemple ci-après est assez général :

  1. Lecture du maillage,
  2. Définition du modèle, c'est-à-dire du type d'éléments qui composent le maillage (éléments de volume, de coque, axisymétrique, de poutre, etc. ...),
  3. Affectation du modèle au maillage,
  4. Définition des propriétés du(des) matériau(x),
  5. Affectation du(des) matériau(x) au maillage,
  6. Définition des conditions aux limites (CL) et des chargements,
  7. Résolution (choix du type de calcul, du solveur, etc. ...),
  8. Post-traitement des résultats,

Remarque préalable sur les unités

Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ (comme la plupart des solveurs du commerce) ne traite pas des unités des grandeurs physiques (unités métriques, anglo-saxones, etc. ....) ; c'est à l'utilisateur de s'assurer qu'elles sont cohérentes.

Le lecteur se reportera à l'annexe 1 pour trouver les unités à utiliser en fonction du dimensionnel du maillage. Dans le cas présent, la CAO étant en millimètre, les unités principales sont le MPa (N/mm$ ^{2}$), le mm et la T/mm$ ^{3}$ ; les résultats seront donc dans les mêmes unités.

définition et affectation du modèle

Nous lisons ici un maillage au format IDEAS $ ^{\tiny {\textregistered }}$(.unv). Les éléments choisis sont des éléments de volume sous-intégrés (3D_SI) 2. 

PRE_IDEAS();

MAIL=LIRE_MAILLAGE();

MODELE=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MAIL,
                   AFFE=_F(TOUT='OUI',
                           PHENOMENE='MECANIQUE',
                           MODELISATION='3D_SI',),);

Définition du matériau

Nous avons choisi comme matériau un acier inoxydable X2 CrNi 18-10 (AISI 304L) avec un module d'Young de 193 GPa, un coefficient de Poisson de 0.3 et une masse volumique de 8.03E-9 T/mm$ ^{3}$. Ces propriétés sont affectées à l'ensemble du maillage. 

SS304L=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E=193000,
                             NU=0.3,
                             RHO=8.03e-009,),);

MATERIAU=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,
                       AFFE=_F(TOUT='OUI',
                               MATER=SS304L,),);

Conditions aux limites et chargement

Les figures suivantes montrent les groupes de mailles sur lesquelles les conditions aux limites et le chargement en pression seront appliqués (figure 3), de même que les repères global (X$ _{1}$) et local (X$ _{2}$) (figure 4).

La définition du repère local se fait au travers de LIAISON_OBLIQUE dans AFFE_CHAR_MECA (nous retrouvons les 60$ ^{\circ}$ dans la définition de l'angle nautique3).

Les CL s'appliquent sur des noeuds ; nous avons cependant choisi d'utiliser ici des groupes de mailles (que nous transformons en groupe de noeuds avec CREA_GROUP_NO dans DEFI_GROUP). En dehors de toute modification/raffinement du maillage (avec Homard $ ^{\tiny {\textregistered }}$ par exemple) , le résultat est le même. En revanche si les faces seront bien raffinées par Homard $ ^{\tiny {\textregistered }}$ se traduisant par une augmentation du nombre de noeuds sur lesquels les CL s'appliquent, il n'en ira pas de même si les conditions aux limitent s'opèrent dès le début sur les GROUP_NO $ \ldots$ les CL seront alors incomplètes4.

Figure 3: Vue des groupes de mailles servant aux CL
Figure 4: Conditions aux limites - Repères global et local
Image GROUPES_MA

Image reperes

Contrairement aux éléments de coque ou de poutre (6 DDL), les éléments volumiques sont définis par 3 DDL (les 3 translations - comme pour les membranes et les barres) qu'il convient de bloquer sous peine d'avoir des pivots nuls (signe que le système est hypostatique et donc insoluble).

Le système reste isostatique en bloquant les noeuds des groupes (cf. fig. 3) :

$ \triangleright$
PLAN_YOZ selon DX (repère global),
$ \triangleright$
ENCASTRG selon DY (repère global),
$ \triangleright$
PLAN_12 selon DX (repère local),
$ \triangleright$
ENCAS_LO selon DY (repère local),

NOTA :

  1. les groupes de mailles ENCASTRE et PLAN_12 possèdent des noeuds communs alors qu'ils sont définis l'un dans le repère local, l'autre dans le repère global ; bloquer des translations aux 2 sans précaution conduit à une surabondance des CL5,
  2. Bloquer DX dans le repère local équivaut à bloquer DX & DZ dans le repère global $ \ldots$ sachant que DY$ _{local}$ équivaut à DY$ _{global}$, les 3 translations sont biens bloquées.

Suite aux remarques précédentes, des opérations booléennes sont opérées de façon à retirer les noeuds communs aux 2 groupes de ENCASTRE selon le schéma :

$ \triangleright$
ENCAS_LO = PLAN_12 intersection ENCASTRE,
$ \triangleright$
ENCASTRG = ENCASTRE moins ENCAS_LO,
$ \triangleright$
il est nécessaire de créer de nouveaux groupes $ \ldots$ ici ENCAS_LO pour ENCAS_LO(cal) et ENCASTRG pour ENCASTRG(lobal) respectivement définis dans le repère local et global.

Ce qui donne : 

MAIL=DEFI_GROUP(reuse =MAIL,
                MAILLAGE=MAIL,
                CREA_GROUP_NO=(_F(GROUP_MA='ENCASTRE',),
                               _F(GROUP_MA='PLAN_12',),
                               _F(GROUP_MA='PLAN_YOZ',),),);

MAIL=DEFI_GROUP(reuse =MAIL,
                MAILLAGE=MAIL,
                CREA_GROUP_NO=(_F(INTERSEC=('ENCASTRE','PLAN_12',),
                                  NOM='ENCAS_LO',),
                               _F(DIFFE=('ENCASTRE','ENCAS_LO',),
                                  NOM='ENCASTRG',),),);

Le blocage des CL devient alors : 

CL=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODELE,
                  DDL_IMPO=(_F(GROUP_NO='ENCASTRG',
                               DY=0,),
                            _F(GROUP_NO='PLAN_YOZ',
                               DX=0,),),
                  LIAISON_OBLIQUE=(_F(GROUP_NO='PLAN_12',
                                      ANGL_NAUT=(0,-60.0,0,),
                                      DX=0,),
                                   _F(GROUP_NO='ENCAS_LO',
                                      ANGL_NAUT=(0,-60,0,),
                                      DY=0,),),);

Pour le chargement, nous cherchons à modéliser un pseudo-serrage6 sous la forme d'une pression (correspondant à une vis ChC de M6 serrée à 10 NM). Pour le fun, nous supposons une gravité de 100G.

Rappelons que toute pression s'exerce en sens inverse de la normale (sortante) des faces (cette dernière est définie par la topologie des éléments) ; il est préférable de demander à Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ de réorienter les normales des groupes de mailles utilisés (au pire il ne réoriente aucune maille ; au mieux il évite une erreur) : 

MAIL=MODI_MAILLAGE(reuse =MAIL,
                   MAILLAGE=MAIL,
                   ORIE_PEAU_3D=_F(GROUP_MA='PRESSION',),
                   MODELE=MODELE,);


CHARGMNT=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODELE,
                        PESANTEUR=(0,-1,0,981000,),
                        PRES_REP=_F(GROUP_MA='PRESSION',
                                    PRES=172.81,),);

Type de calcul

Nous faisons ici un classique calcul statique linéaire et nous pointons sur le modèle (MODELE), les caractéristiques du matériau (CHAM_MATER) et les chargements/CL (EXIT). 

RESOL=MECA_STATIQUE(MODELE=MODELE,
                    CHAM_MATER=MATERIAU,
                    EXCIT=(_F(CHARGE=CHARGMNT,),
                           _F(CHARGE=CL,),),);

Déroulement des calculs

Je pense qu'il est plus pertinent de lancer les simulations en 2 temps :
$ \triangleright$
Le calcul à proprement parlé (MECA_STATIQUE),
$ \triangleright$
Le post-traitement,

Il est en effet dommage de relancer tout un calcul (particulièrement si celui-ci est long) pour une problématique de post-traitement (recherche d'un instant particulier, calcul d'une grandeur supplémentaire $ \ldots$ ou tout simplement une erreur de post-traitement).

Etape 1 : 

F mess /symetrie_cyclique.mess R 6
F erre /symetrie_cyclique.erre R 9
R base /base_symetrie_cyclique R 0
F unv /symetrie_cyclique.unv D 19
F comm /symetrie_cyclique.comm D 1

Etape 2 (Post-traitement - sous Gibi ici) 

F comm /symetrie_cyclique_post.comm D 1
R base /base_symetrie_cyclique D 0
F mess /symetrie_cyclique_post.mess R 6
F erre /symetrie_cyclique_post.erre R 9
F resu /symetrie_cyclique_post.resu R 8
F pos /symetrie_cyclique_post.cast R 51

Post-traitement des résultats

Les contraintes équivalentes sont recalculées aux noeuds par extrapolation depuis les points de Gauss (point d'intégration). Les valeurs calculées subissent un "lissage locale".

Contrairement à GMSH par exemple, GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ prend en compte aussi bien les éléments linéaires que quadratiques.

Fichier de post-traitement de Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$

La mise en données sous Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ est du type : 
POURSUITE();

RESOL=CALC_ELEM(reuse =RESOL,
                RESULTAT=RESOL,
                OPTION=('SIGM_ELNO_DEPL','EQUI_ELNO_SIGM',),);

IMPR_RESU(FORMAT='CASTEM',
          UNITE=51,
          RESU=_F(MAILLAGE=MAIL,
                  RESULTAT=RESOL,
                  NOM_CHAM=('SIGM_ELNO_DEPL','EQUI_ELNO_SIGM','DEPL',),),);

FIN();

Fichier GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$

Le fichier ASCII contenant les informations pour GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ est de la forme : 

*************************************************************
* donner ici le nom du fichier de post traitement (*.cast)
fich='symetrie_cyclique.cast';

option rest form fich ;
rest form ;

*************************************************************
* donner ici le nom du maillage utilise dans le fichier de
* commandes ASTER et le nom du resultat

maya1 = MAIL ;
res1 = RESOL ;

*************************************************************
list res1.1;

oe1 = 0. -500. 1000. ;
oe2 = 0. 1000. 0. ;
oe3 = 0. 1000. 1000. ;

depl1 = res1 . 1 . depl ;

e1 = res1 . 1 . equi_elno_sigm ;

post1 = maya1 elem cu20;

* visualisation des  deformees 
defo1 = defo post1 depl1  rouge ;
defo0 = defo post1 depl1  0. vert ;

titre 'Deformee ' ;
trac cach oe1 (defo1 et defo0) ;
trac cach oe2 (defo1 et defo0) ;
trac cach oe3 (defo1 et defo0) ;

q1 = exco depl1 ux  ;
q2 = exco depl1 uy  ;
q3 = exco depl1 uz  ;

module = ((q1**2) + (q2**2) + (q3**2))**(0.5) ;

titre 'Isovaleurs des deplacements' ;
trac oe2 module post1 ;
trac oe1 module post1 ;

titre 'Visualisation des vecteurs deplacements' ;
VISU_VEC = VECT depl1 1000 ;
trac cach oe2 VISU_VEC post1 ;
trac cach oe1 VISU_VEC post1 ;

titre 'Contraintes équivalente de Von Mises' ;
modcast = mode post1 mecanique elastique  ;
vmi1 = exco vmis e1 ;
trac oe1 vmi1  modcast  ;
trac oe2 vmi1  modcast  ;
trac oe3 vmi1  modcast  ;

titre 'Contraintes équivalente de Von Mises sur déformée' ;
trac oe1 vmi1  modcast defo1 ;

Cartographie des contraintes

Les figures suivantes (de 5 à 7) montrent les contraintes de Von Mises sur le maillage (déformé ou non).

Figure: Contraintes de VON MISES (extrapolation aux noeuds) sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 1
Figure: Contraintes de VON MISES (extrapolation aux noeuds) sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 2
Image vmis_gibi_vue1

Image vmis_gibi_vue2

Figure: Contraintes de VON MISES (extrapolation aux noeuds) sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - sur maillage déformé
Image vmis_gibi_vue3

Cet exemple est intéressant à plus d'un titre. La présence de contraintes de Von Mises négatives devrait en effet faire réagir le calculateur sachant que :

  1. Dans l'espace des contraintes à 6 dimensions :
    $ \sigma_{eq}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \left(\sigma_{11} - \sigma_{22} \right)... ...{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{13}^2 \right) \right] \right \}^{ \frac{1}{2}}$,
  2. Dans l'espace des contraintes principales à 3 dimensions :
    $ \sigma_{eq}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \left(\sigma_1 - \sigma_2 \right)^2 + \... ...igma_3 \right)^2 + \left(\sigma_2 - \sigma_3 \right)^2 \right \}^{ \frac{1}{2}}$ (où les $ \sigma_{i}$ sont les contraintes principales).

Ceci signifie que l'extrapolation & le lissage des grandeurs peuvent induire des "approximation", chose qu'il faut avoir à l'esprit ; seules les valeurs calculées aux points d'intégration demeurent fiables.

Cartographie des déplacements

Les premières images (fig. 8 et fig. 9) présente le maillage déformé.
Figure: Maillage déformé VS Maillage non déformé sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 1
Figure: Maillage déformé VS Maillage non déformé sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 2
Image depl_deformee_gibi_vue1

Image depl_deformee_gibi_vue2

Les 2 suivantes (fig. 10 et fig. 11) montrent les isovaleurs de déplacements.

Figure: Isovaleurs de déplacements sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 1
Figure: Isovaleurs de déplacements sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ - vue 2
Image depl_gibi_vue1

Image depl_gibi_vue2

Enfin, les 2 dernières (fig. 12 et fig. 13) montrent les vecteurs déplacements.

Figure: Vecteurs déplacements sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ (amplification de 1000) - vue 1
Figure: Vecteurs déplacements sous GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ (amplification de 1000) - vue 2
Image depl_fleches_vue1

Image depl_fleches_vue2

Fichiers Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ complets

Partie calcul 

DEBUT();

PRE_IDEAS();

MAIL=LIRE_MAILLAGE();

MODELE=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MAIL,
                   AFFE=_F(TOUT='OUI',
                           PHENOMENE='MECANIQUE',
                           MODELISATION='3D_SI',),);

MAIL=MODI_MAILLAGE(reuse =MAIL,
                   MAILLAGE=MAIL,
                   ORIE_PEAU_3D=_F(GROUP_MA='PRESSION',),
                   MODELE=MODELE,);

MAIL=DEFI_GROUP(reuse =MAIL,
                MAILLAGE=MAIL,
                CREA_GROUP_NO=(_F(GROUP_MA='ENCASTRE',),
                               _F(GROUP_MA='PLAN_12',),
                               _F(GROUP_MA='PLAN_YOZ',),),);

MAIL=DEFI_GROUP(reuse =MAIL,
                MAILLAGE=MAIL,
                CREA_GROUP_NO=(_F(INTERSEC=('ENCASTRE','PLAN_12',),
                                  NOM='ENCAS_LO',),
                               _F(DIFFE=('ENCASTRE','ENCAS_LO',),
                                  NOM='ENCASTRG',),),);

SS304L=DEFI_MATERIAU(ELAS=_F(E=193000,
                             NU=0.3,
                             RHO=8.03e-009,),);

MATERIAU=AFFE_MATERIAU(MAILLAGE=MAIL,
                       AFFE=_F(TOUT='OUI',
                               MATER=SS304L,),);

CL=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODELE,
                  DDL_IMPO=(_F(GROUP_NO='ENCASTRG',
                               DY=0,),
                            _F(GROUP_NO='PLAN_YOZ',
                               DX=0,),),
                  LIAISON_OBLIQUE=(_F(GROUP_NO='PLAN_12',
                                      ANGL_NAUT=(0,-60.0,0,),
                                      DX=0,),
                                   _F(GROUP_NO='ENCAS_LO',
                                      ANGL_NAUT=(0,-60,0,),
                                      DY=0,),),);

CHARGMNT=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODELE,
                        PESANTEUR=(0,-1,0,981000,),
                        PRES_REP=_F(GROUP_MA='PRESSION',
                                    PRES=172.81,),);

RESOL=MECA_STATIQUE(MODELE=MODELE,
                    CHAM_MATER=MATERIAU,
                    EXCIT=(_F(CHARGE=CHARGMNT,),
                           _F(CHARGE=CL,),),);

FIN();

Partie post-traitement - extrapolation aux noeuds avec GIBI $ ^{\tiny {\textregistered }}$ 

POURSUITE();

RESOL=CALC_ELEM(reuse =RESOL,
                RESULTAT=RESOL,
                OPTION=('SIGM_ELNO_DEPL','EQUI_ELNO_SIGM',),);

IMPR_RESU(FORMAT='CASTEM',
          UNITE=51,
          RESU=_F(MAILLAGE=MAIL,
                  RESULTAT=RESOL,
                  NOM_CHAM=('SIGM_ELNO_DEPL','EQUI_ELNO_SIGM','DEPL',),),);

FIN();

Conclusion, remerciements, auteur(s)

Droit d'auteur(s) : L'utilisation de ce document sous quelque forme que ce soit est absolument libre au sens que la licence GPL donne à ce terme. Nous souhaitons simplement, si de larges extraits de cette publication sont utilisés dans d'autres documents, qu'il soit fait mention du nom du(des) auteur(s) du document initial.

Remerciements : L'auteur(s) souhaite(nt) remercier les personnes de la communauté de Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ et de Cast3M $ ^{\tiny {\textregistered }}$ qui ont fourni aides et informations précieuses : qu'ils en soient chaleureusement remercier. L'ensemble des notes présentes sur le site ne sont que la continuation de cet esprit "libre" qui vise entre-autres choses partager son savoir et son travail $ \ldots$

L'auteur : Paul CARRICO7.

Les commentaires sont à adresser à :


paul.carrico_at_free.fr

Correspondance dans les unités

Unités METRIQUE METRIQUE ANGLO-SAXONNE ANGLO-SAXONNE
  MKS mmNS FPS IPS
Longueur m mm ft in
Temps sec sec sec sec
Masse Kg tonne slug lbf-sec$ ^{2}$
Force N N lbf lbf
Température $ ^{\circ}$C $ ^{\circ}$C $ ^{\circ}$F $ ^{\circ}$F
Aire m$ ^{2}$ mm$ ^{2}$ ft$ ^{2}$ in$ ^{2}$
Volume m$ ^{3}$ mm$ ^{3}$ ft$ ^{3}$ (cu-ft) in$ ^{3}$ (cu-in)
Vitesse m/sec mm/sec ft/sec in/sec
Accélération m/sec$ ^{2}$ mm/sec$ ^{2}$ ft/sec$ ^{2}$ in/sec$ ^{2}$
Angle, rotation rad rad rad rad
Vitesse angulaire rad/sec$ ^{2}$ rad/sec$ ^{2}$ rad/sec$ ^{2}$ rad/sec$ ^{2}$
Masse volumique Kg/m$ ^{3}$ Tonne/mm$ ^{3}$ slug/ft$ ^{3}$ lbf-sec$ ^{2}$/in$ ^{4}$
Moment, couple N-m N-mm ft-lbf in-lbf
Force linéïque N/m N/mm lbf/ft lbf/in
Force répartie sur une surface N/m$ ^{2}$ N/mm$ ^{2}$ lbf/ft$ ^{2}$ lbf/in$ ^{2}$
(Contrainte, pression,Module d'Young) (Pa) (MPa)   (Psi)
Coefficient de Dilatation thermique /$ ^{\circ}$C /$ ^{\circ}$C /$ ^{\circ}$F /$ ^{\circ}$F
  (/K) (/K) (/K) (/K)
Moment Quadratique d'une poutre $ IG_{z}$ m$ ^{4}$ mm$ ^{4}$ ft$ ^{4}$ in$ ^{4}$
Moment d'inertie transverse d'une poutre Kg-m$ ^{2}$ tonne-mm$ ^{2}$ slug-ft$ ^{2}$ lbf-in-sec$ ^{2}$
Energie, Travail, Chaleur J mJ ft-lbf in-lbf
Puissance, taux de transfert thermique W mW ft-lbf/sec in-lbf/sec
Gradient de température $ ^{\circ}$C/m $ ^{\circ}$C/mm $ ^{\circ}$F/ft $ ^{\circ}$F/in
Flux thermique W/m$ ^{2}$ mW/mm$ ^{2}$ lbf/ft-sec lbf/in-sec
Conductivité thermique W/m-$ ^{\circ}$C mW/mm-$ ^{\circ}$C lbf/sec-$ ^{\circ}$F lbf/sec-$ ^{\circ}$F
Chaleur spécifique C$ _{p}$ J/Kg-$ ^{\circ}$C mJ/tonne-$ ^{\circ}$C ft-lbf/slug-$ ^{\circ}$F in$ ^{2}$/sec$ ^{2}$-$ ^{\circ}$F

Rappels :

$ \triangleright$
1 W $ \equiv$ 1 N-m/sec,
$ \triangleright$
1 mJ $ \equiv$ 1 N-mm,
$ \triangleright$
1 mW $ \equiv$ 1 N-mm/sec,
$ \triangleright$
1 N/m$ ^{2}$ $ \equiv$ 1 Pa,
$ \triangleright$
1 N/mm$ ^{2}$ $ \equiv$ 1 MPa,

À propos de ce document...

Tutorial 2 :
Modélisation statique linéaire exploitant la symétrie cyclique de la pièce
Utilisation des GROUP_MA plutôt que GROUP_NO pour l'application des conditions aux limites
Version 1

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Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html -split 0 CAELINUX_symetrie_cyclique.tex

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Notes

... statique1
Par opposition à la dynamique pour laquelle toute la pièce est modélisée 'sauf cas particuliers).
... (3D\_SI)2
Ces éléments donnent les mêmes résultats que les éléments 3D tout en présentant des gains de temps calculs appréciables $ \ldots$ particulièrement en dynamique ; ils ne sont cependant pas utilisables avec des éléments tétra ou penta.
... nautique3
cf. U4.42.01.pdf - mot clef ORIENTATION pour la définition et le signe de l'angle.
... incomplètes4
il en ira de même si l'ordre des éléments est modifié.
... CL5
ce que Code Aster $ ^{\tiny {\textregistered }}$ annoncera avec une erreur.
... pseudo-serrage6
Nous ne cherchons pas à réaliser un serrage dans les règles de l'art et nous supposons ici que la surface à bloquer sous la pièce est la même que celle sous la tête de vis $ \ldots$ c'est-à-dire un diamètre $ \phi$=10 mm.
... CARRICO7
Avant de travailler sur des outils propriétaires, j'ai fait mes premières armes sur Code Aster $ ^{\textregistered}$ que j'utilise encore ponctuellement. Ces tutoriaux sont pour moi l'occasion de coucher sur le papier une démarche (pas nécessairement exhaustive) qui est la mienne à la fois pour la partager et l'améliorer/corriger au grès des retours, et l'occasion de garder la main sur un code que considère comme rigoureux (par opposition aux boîtes noires qui fleurissent depuis un certain nombre d'années).
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2007-02-21