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Version
7.2
Titre :
HPLP101 - Plaque fissurée en thermoélasticité (contraintes planes)
Date :
11/05/04
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé
:
V7.02.101-B
Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes plans
HT-66/04/005/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA















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Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes plans
Document : V7.02.101



HPLP101 - Plaque fissurée en thermoélasticité
(contraintes planes)




Résumé :

Ce test est issu de la validation indépendante du Code_Aster en mécanique de la rupture (référence issue du
Murakami : Mura11-17). Il permet de valider les opérateurs de mécanique de la rupture pour un problème
bidimensionnel (hypothèse des contraintes planes) en thermoélasticité linéaire isotrope.

Ce test comprend une première modélisation en contraintes planes dans laquelle sont calculés :
·
le taux de restitution d'énergie
G
(calcul classique par la méthode théta),
·
les coefficients d'intensité de contraintes
K
I
et
K
II
.

Ces deux calculs sont réalisés sur 6 couronnes d'intégration différentes.

L'intérêt du test est de comparer les valeurs de
G
et
K
II
par rapport à la solution de référence et de tester
l'invariance des calculs par rapport aux différentes couronnes d'intégration.

Une deuxième modélisation permet de calculer les dérivées de
G
par rapport au module d'Young et à un
chargement en forces volumiques et de les comparer à une solution analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Largeur de la plaque:
W = 0.6 m
Longueur de la plaque:
L = 0.3 m
Longueur de la fissure:
2a = 0.3 m

1.2
Propriétés du matériau
Notation pour propriétés thermoélastiques :
(
)


x
y
xy
x
y
xy
ref
x
y
x
x
y
y
xy
x
y
S
S
S
S
S
T T
S
E
S
E
S
E
E
S
G




=








+






·
-
=
=
= -
= -
=
=
=
11
12
12
22
66
11
22
11
22
12
66
11
22
0
0
0
0
0
1
1
1
On se limite au matériau isotrope, tant du point de vue thermique que mécanique :
E
E
x
y
=
= 2. 10
5
MPa
x
y
=
= 0.3
x
y
=
= 1.2 10
­5
°C
­1
x
y
=
= 54. W/m °C
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1.3
Conditions aux limites et chargement
On considère deux modèles:
·
le demi-modèle x = 0
·
le modèle complet
Conditions aux limites mécaniques :
·
demi-modèle
UX = 0 le long de l'axe de symétrie X = 0
UY = 0 au point (W/2.)
·
modèle complet
UX = 0 au point (0,L/2.)
UY = 0 aux points (-L/2.) et (L/2.)
Conditions aux limites thermiques :
·
demi-modèle
T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2.
T = -100°C sur le bord inférieur Y = -L/2.
flux nul sur l'axe de symétrie, sur le bord libre X = W/2. et sur le bord de la fissure
·
modèle complet
T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2.
T = -100°C sur le bord inférieur Y = -L/2.
flux nul sur les bords libres X = ± W/2. et sur le bord de la fissure
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Potentiel complexe [bib1].
2.2
Résultats de référence
=
=
=
·
·
2
2
11 0
11
a
W
L
W
K
T
S
W F
II
II
où le facteur de correction géométrique
F
II
est donné en fonction de
pour chaque matériau, dans le
cas particulier
= 0.5 sur les courbes ci-dessous.
Le matériau isotrope étant représenté par la courbe I
2.3
Incertitude sur la solution
Précision non définie.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Y. MURAKAMI : Stress Intensity Factors Handbook, case 11.17, pages 1045-1047. The
Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.
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2.5
Solution de référence pour les dérivées de G (modélisation B)
En faisant varier le module d'Young et le chargement Fy, on constate que :
2
Y
F
G
=
avec
3
310
.
5
-
=
soit
Y
Y
F
F
G
2
=
E
G
=
avec
3
310
.
5
-
=
soit
E
G
E
G
-
=

3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour cette modélisation, les 3 paramètres topologiques du bloc fissure sont :
·
NS : nombre de secteurs sur 90°
·
NC : nombre de couronnes
·
rt : le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure)
NS = 8
NC = 4
rt = 0,001*a
Les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser dans la commande
CALC_THETA
sont :
Couronne 1
Couronne 2
Couronne 3
Couronne 4
Couronne 5
Couronne
6
Rinf
3,75E­5
7,500E­5
1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4
Rsup 7,50E­5 1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4 3,000E­4

3.2
Caractéristiques du maillage
Demi-maillage ; maillage rayonnant à l'extrémité droite de la fissure.
3831 noeuds,
1516 éléments,
884
TRI6
,
632
QUA8
.

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE THERMIQUE
PLAN
TOUT
AFFE_MODELE MECANIQUE
C_PLAN TOUT
THER_LINEAIRE
MECA_STATIQUE
CALC_THETA THETA_2D
CALC_G_THETA_T OPTION
CALC_G
CALC_G_THETA_T OPTION
CALC_K_G
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
K
II
, couronne n°1
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
K
II
, couronne n°2
2,2347E+7 2,2813E+7
2,08
K
II
, couronne n°3
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
K
II
, couronne n°4
2,2347E+7 2,2814E+7
2,09
K
II
, couronne n°5
2,2347E+7 2,2817E+7
2,10
K
II
, couronne n°6
2,2347E+7 2,2818E+7
2,11
G
, couronne n°1
2,4969E+3 2,5984E+3
4,07
G
, couronne n°2
2,4969E+3 2,5990E+3
4,09
G
, couronne n°3
2,4969E+3 2,5992E+3
4,10
G
, couronne n°4
2,4969E+3 2,5993E+3
4,10
G
, couronne n°5
2,4969E+3 2,6013E+3
4,18
G
, couronne n°6
2,4969E+3 2,5985E+3
4,07

4.2 Remarques
Dans la référence, l'auteur suppose que
K
I
= 0, mais il ne le vérifie pas a posteriori. Aux vues des
déformées issues d'ASTER, le coefficient
K
I
est différent de zéro, mais il reste très faible par rapport
à
K
II
(la fissure glisse plus qu'elle ne s'ouvre).
En ce qui concerne le taux de restitution d'énergie
G
, si nous supposons que
K
I
= 0, nous tirons la
valeur de référence à partir de la formule d'IRWIN en contraintes planes :
(
)
2
*
/
1
II
ref
K
E
G
=

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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Mêmes caractéristiques que pour la modélisation A :
·
NS : nombre de secteurs sur 90°
·
NC : nombre de couronnes
·
rt : le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure)
NS = 8
NC = 4
rt = 0,001*a
Les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser dans la commande
CALC_THETA
sont :
Couronne 1
Couronne 2
Couronne 3
Couronne 4
Couronne 5
Couronne 6
Rinf
3,75E­5
7,500E­5
1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4
Rsup 7,50E­5 1,125E­4 1,500E­4 1,875E­4 2,250E­4 3,000E­4
5.2
Caractéristiques du maillage
Même maillage que pour la modélisation A :
Demi-maillage ; maillage rayonnant à l'extrémité droite de la fissure.
3831 noeuds,
1516 éléments,
884
TRI6
,
632
QUA8
.
5.3
Paramètres matériaux et chargement
Pour cette modélisation on a pris E=1Pa.
Le chargement est une force volumique Fy=1N sur toute la structure. Il n'y a pas de chargement
thermique.
5.4
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_MODELE MECANIQUE
C_PLAN TOUT
MECA_STATIQUE
CALC_THETA THETA_2D
CALC_G_THETA_T SENSIBILITE

6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
dg/dE , couronne n°1
-5.3E-3
-5.299E-3
-7.6E-4
dg/dE , couronne n°2
-5.3E-3
-5.301E-3
0.02
dg/dFy , couronne n°1
1.06E-2
1.0599E-2
-7.6E-4
dg/dFy , couronne n°2
1.06E-2
1.0602E-2
0.02
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11/05/04
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Clé
:
V7.02.101-B
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7
Synthèse des résultats
Les écarts entre la solution de référence et les résultats du Code_Aster ne dépassent pas 2% sur les
coefficients d'intensité de contraintes et 4 % pour le taux de restitution d'énergie. On vérifie
l'invariance des résultats par rapport aux différentes couronnes d'intégration.
Les résultats sur les dérivées de
G
sont inférieurs à 1% (mais sans chargement thermique).