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6.0
Titre :
SSNV148 - Modèle de Weibull en décharge mécanique
Date :
19/08/02
Auteur(s) :
R. MASSON, W. LEFEVRE, G. BARBIER
Clé
:
V6.04.148-A
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
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EDF/MMC















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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.148



SSNV148 - Modèles de Weibull et Rice-Tracey
en 3D et en décharge




Résumé :

Ce test de mécanique quasi - statique non linéaire permet de valider les modèles de Weibull et de Rice et Tracey
en 3D pour des cas de chargements mécaniques non monotones (cf.
POST_ELEM
[U4.61.04]).

A la température de ­50°C, une éprouvette cylindrique lisse est tout d'abord déformée jusqu'à 10%. Après l'avoir
légèrement déchargée, on maintient constant le niveau de déformation atteint tout en faisant décroître de façon
homogène la température de l'éprouvette jusqu'à ­150°C. A cette nouvelle température, on applique une
déformation supplémentaire pour atteindre 15% au total. La probabilité de rupture par clivage ainsi que le taux de
croissance des cavités de l'éprouvette sont calculés pour l'ensemble du trajet de chargement.

La modélisation de l'éprouvette est réalisée avec des éléments 3D (HEXA20, PENTA15).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On considère une demi - éprouvette cylindrique lisse.
1.2
Propriétés du matériau
On adopte une loi de comportement élasto - plastique de Von Mises à écrouissage isotrope linéaire
`VMIS_ISOT_LINE'
. Les déformations utilisées dans la relation de comportement sont les
déformations linéarisées.
E
E
t
Y
Le module d'Young E, le module tangent E
t
ainsi que le coefficient de Poisson ne dépendent pas de la
température. On prend : E=200 GPa, E
t
= 2000 MPa et
= 0,3.
L'évolution de la limite d'élasticité avec la température est donnée dans le tableau suivant :
Température [°C]
­150
­100
­50
Y
[MPa]
750 700 650
Enfin, on néglige la dilatation thermique (coefficient de dilatation thermique pris égal à 0).
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1.3
Conditions aux limites et chargements
En se rapportant à la figure du [§1.1] les conditions aux limites sont les suivantes :
·
sur la surface SSUP BC (Y=L
0
) déplacement
l
imposé suivant la direction OY,
·
sur la surface SINF OA (Y=0) déplacements bloqués suivant la direction OY,
·
déplacements de A bloqués suivant X et Z,
·
déplacements de B bloqués suivant Z.
Les évolution temporelles de la température (supposée homogène dans l'éprouvette) et de l'allongement
l
sont reportées dans le tableau suivant :
Temps
[s]
10 20 30 40
Température [°C]
­50
­50
­150
­150
Déplacement
0
L
l
-
[mm]
20,35 20,30 20,30 32,525
1.4 Conditions
initiales
Contraintes et déformations nulles.


2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul
En traction simple et avec l'hypothèse des petites déformations, la contrainte de traction
)
(u
ainsi que
le multiplicateur plastique
)
(u
p&
à l'instant
u
sont donnés dans le cas considéré par :
·
si
p
t
u
1
0
:


°
-
+
=
=
-
=
E
C
L
t
l
u
p
L
L
u
l
E
u
Y
p
)
50
(
1
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0
1
0
0
&
·
si
10
1
u
t
p
:
0
0
0
)
(
1
)
(
)
50
(
)
(
)
(
L
u
l
E
E
u
p
C
E
E
E
L
L
u
l
E
u
t
Y
t
t
&
&


-
=
°
-
-
+




-
=
,
·
si
20
10
u
:
0
)
(
)
(
)
10
(
)
10
(
)
(
0
=




-
=
-
=
=
u
p
L
u
l
u
l
E
u
u
&
,
·
si
30
20
u
:
0
)
(
)
20
(
)
(
=
=
=
u
p
u
u
&
,
·
si
40
30
u
:
0
0
)
(
1
)
(
)
20
(
)
(
)
20
(
)
(
L
u
l
E
E
u
p
L
u
l
u
l
E
u
u
t
t
&
&


-
=




=
-
+
=
=
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2.2 Weibull
La probabilité de rupture cumulée
f
P
à l'instant
t
est donnée par (cf.
POST_ELEM
[U4.61.04]) :






-
-
=
dV
m
u
I
t
u
t
f
V
dV
u
u
t
P
p
0
)
))
(
(
)
(
(
max
exp
1
)
(
.
La sommation porte sur les volumes de matière
i
V
plastifiés (à partir de l'instant
p
t
),
)
(u
I
et
)
(u
désignant la contrainte principale maximale et la température dans chacun de ces volumes aux
différents instants
)
(u
. Ici, le volume
0
V
de référence est égal à (50
µ
m)
3
. Le module de Weibull
m
est
égal à 24 tandis que la contrainte de clivage
u
dépend de la température selon :
Température [°C]
­50
­100
­150
u
[MPa]
2800 2700 2600
La probabilité de rupture cumulée varie en fonction de (
)
(
),
(
t
l
t
) selon :












-
-
=
0
))
(
(
)
(
max
exp
1
)
(
V
V
u
u
t
P
m
u
t
u
t
f
p
.

2.3
Rice et Tracey
En traction simple, le logarithme népérien du taux de croissance des cavités à l'instant
t
est donnée par
(cf.
POST_ELEM
[U4.61.04]) :
×
×
=




t
du
u
p
R
t
R
Log
0
0
)
(
)
5
,
0
exp(
283
,
0
)
(
&

2.4
Grandeurs et résultats de référence
f
P
et
0
R
R
pour les couples (température, déplacements = (l-l
0
)) suivants : (­50,0°C, 20,35 mm) ;
(­50,0°C, 20,30 mm) ; (­150,0°C, 20,30 mm) et (­150,0°C, 32,53 mm).

2.5
Incertitudes sur la solution
Solution analytique.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques du maillage

Nombre de noeuds : 1137
Nombre de mailles et types : 64 (PENTA15), 192 (HEXA20)

3.2 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU
WEIBULL_FO
M
VOLU_REFE
SIGM_REFE
SIGM_CONV
STAT_NON_LINE
COMP_INCR
RELATION
DEFORMATION
VMIS_ISOT_LINE
PETIT
CALC_ELEM
OPTION
EPSG_ELGA_DEPL
POST_ELEM
WEIBULL
COEF_MULT
OPTION
SIGM_ELMOY
POST_ELEM
RICE_TRACEY
OPTION
SIGM_ELMOY
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3.3
Grandeurs testées et résultats
Référence
Code_Aster
Référence
Code_Aster
T [°C]
l­L
0
[mm]
f
P
f
P
% diff.
0
R
R
0
R
R
% diff.
­50 20,35
0,01465
0,01481
1,1
1,0447
1,0458
0,1
­50 20,30
0,01465
0,01481
1,1
1,0447
1,0458
0,1
­150 20,30
0,01465
0,01481
1,1
1,0447
1,0458
0,1
­150 32,525 1,0 1,0 0,0
1,068
1,0701
0,2

3.4 Paramètres
d'exécution
Version : 6.2
Machine : SGI - ORIGIN 20 00 - R12000
Encombrement mémoire : 64 Mo
Temps CPU User : 201,81s



4
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus par Code_Aster sont très proches des solutions analytiques de référence.