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7.2
Titre :
SDND102 - Réponse sismique d'un système multi-supporté
Date
:
08/10/03
Auteur(s) :
G. DEVESA, Fe WAECKEL, E. BOYERE
Clé :
V5.01.102-C
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Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
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Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
Document V5.01.102
SDND102 - Réponse sismique d'un système
masse-ressort non linéaire multi-supporté
Résumé
Le problème consiste à analyser la réponse d'une structure mécanique, modélisée par deux systèmes
masse-ressort non amortis, soumis à un chargement sismique de type harmonique, avec possibilité de choc.
On teste l'élément discret en traction-compression, le calcul des modes propres et des modes statiques, le
calcul de la réponse transitoire par recombinaison modale non linéaire d'une structure soumise à un
accélérogramme (modélisation A) ainsi que le calcul de la réponse sismique transitoire directe d'une structure
non linéaire (modélisation B).
Ce cas test sert aussi à valider un calcul avec résolution explicite sur les accélérations et choc (modélisation C)
en comparant les résultats issus de
DYNA_NON_LINE
et
DYNA_TRAN_EXPLI
.
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats de référence.
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SDND102 - Réponse sismique d'un système multi-supporté
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On compare la réponse sismique d'un système masse-ressort à un degré de liberté pouvant impacter
une paroi fixe (problème 1) à celle de deux systèmes masse-ressort identiques pouvant
s'entrechoquer et soumis à la même sollicitation sismique (problème 2).
Problème 1
Problème 2
1.2
Propriétés de matériaux
Raideur des ressorts : k = 98696 N/m.
Masse ponctuelle : m = 25 kg.
Pour le problème 1 (impact sur une paroi rigide), la rigidité normale de choc vaut K
choc
= 5,76 10
7
N/m.
Quant au problème 2 (choc de deux structures déformables), elle vaut K
choc
= 2,88 10
7
N/m.
Dans les deux cas, l'amortissement de choc est nul.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Conditions aux limites
Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l'axe x.
Les points A, B et C sont encastrés : dx = dy = dz = 0.
Chargement
Les points d'ancrage A et B sont soumis à une accélération suivant la direction x :
1
(t) = sin
t
avec
= 20.
s
1
et le point C à une accélération
2
(t) = - sin
t.
1.4 Conditions
initiales
Dans les deux cas, les systèmes masse-ressort sont initialement au repos :
à t = 0, dx(0) =0, dx/dt(0) = 0 en tout point.
Pour le problème 1, la masse est séparée de la paroi fixe du jeu j = 5. 10
4
m. Quant au problème 2,
les masses sont séparées du jeu J = 2 j = 10
3
m.
k
m
1
A
x
k
m
1
k
m
2= -
B
C
x
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Il s'agit de comparer la réponse d'un système symétrique constitué par deux systèmes masse-ressort
identiques à la réponse d'un système masse-ressort. Les deux problèmes, exposés en détail dans la
référence [bib2], sont sollicités par le même accélérogramme.
On calcule dans un premier temps les fréquences propres f
i
, les vecteurs propres associés normalisés
par rapport à la masse modale
Ni
et les modes statiques
du système (valeurs analytiques). On
calcule ensuite la réponse généralisée du système multi-supporté en résolvant analytiquement
l'intégrale de Duhamel [bib1]. Enfin, on restitue sur la base physique le déplacement relatif des noeuds
de choc ce qui nous permet, après avoir calculé le champ des déplacements d'entraînement, de
calculer le champ des déplacements absolus.
On calcule la fonction
diff
définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
choquant sur un obstacle mobile et celui du noeud choquant sur un obstacle fixe. On vérifie qu'elle est
bien nulle pour différents instants.
2.2
Résultats de référence
Déplacements relatifs et absolus aux noeuds de choc.
2.3
Incertitude sur la solution
Comparaison entre deux modélisations équivalentes.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
J.S. PRZEMIENIECKI : Theory of matrix structural analysis New York, Mac Graw - Hill, 1968,
p. 351-357.
[2]
Fe. WAECKEL : Utilisation et validation des développements réalisés pour calculer la
réponse sismique de structures multi-supportées - HP52/96.002.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Les systèmes masse-ressort sont modélisés par des éléments discrets à 3 degrés de liberté
DIS_T
.
Modélisation du problème 1 :
Figure 3.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide
Le noeud no1 est soumis à une accélération imposée
1
(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
no2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un obstacle de type
PLAN_Z
(deux plans parallèles) est retenu pour simuler l'impact du système
masse-ressort sur une paroi rigide. La normale au plan de choc est l'axe Z,
NORM_OBST : (0. 0.
1.)
. Pour ne pas être gêné par le rebond de l'oscillateur sur le plan symétrique, on repousse celui-ci
très loin (cf. [Figure 3.1-a]).
D'où :
·
l'origine de l'obstacle
ORIG_OBST
: (1. 0. 0.) ;
·
et le jeu correspondant
jeu
:
1.1005
Modélisation du problème 2 :
Figure 3.1-b : Modélisation de deux systèmes masse-ressort qui s'entrechoquent
Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée
1
(t), le noeud NO4 à
2
(t) =
1
(t). On calcule
le déplacement relatif des noeuds NO2 et NO3, leur déplacement d'entraînement et leur déplacement
absolu.
k
m
1
Y
X
k
m
2= -1
J
dist_1
dist_2
NO2
NO1
NO3
NO4
k
m
1
Y
X
Yloc
Zloc
je
orig_
j
no2
no1
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Les conditions de choc entre les deux systèmes masse-ressort sont simulées par un obstacle de type
BI_PLAN_Z
(obstacle plan entre deux structures mobiles). La normale au plan de choc est choisie
selon l'axe Z, soit
NORM_OBST : (0. 0. 1.).
Les épaisseurs de matière entourant les noeuds de choc dans la direction considérée sont précisées
par les opérandes
DIST_1
et
DIST_2
. Dans le cas traité, on choisit
DIST_1
=
DIST_2 = 0.4495
pour
qu'à l'instant initial, les deux noeuds de choc soient séparés du jeu J = 2 j = 10
3
mm (cf. [Figure 3.1-
b]).
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler et un pas de temps de 2,5. 10
4
s. Les
calculs sont archivés tous les 8 pas de temps.
On considère un amortissement réduit
de 7% pour l'ensemble des modes calculés.
3.2
Caractéristiques du maillage
On appelle
modele
le maillage associé au problème composé d'un système masse-ressort butant
contre une paroi fixe et
bichoc
celui qui est associé au problème 2.
Maillage associé au modèle
modele :
nombre de noeuds : 2 ;
nombre de mailles et types : 1
DIS_T.
Maillage associé au modèle
bichoc :
nombre de noeuds : 4 ;
nombre de mailles et types : 2
DIS_T.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET GROUP_MA M_T_D_N
GROUP_MA
K_T_D_L
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
MACRO_MATR_ASSE
MODE_ITER_SIMULT METHODE
JACOBI
CALC_FREQ
BANDE
NORM_MODE NORME
MASS_GENE
MODE_STATIQUE DDL_IMPO
CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI
MULTI_APPUI
MACRO_PROJ_BASE
DEFI_OBSTACLE PLAN_Z
BI_PLAN_Z
DYNA_TRAN_MODAL EXCIT
MULT_APPUI 'OUI'
AMOR_REDUIT
METHODE
EULER
REST_BASE_PHYS MULT_APPUI
'OUI'
RECU_FONCTION RESU_GENE
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4
Résultats de la modélisation A
4.1
Valeurs testées de la modélisation A
On calcule la fonction
diff
définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
NO2 et celui du noeud no2. Et on vérifie qu'elle est bien nulle pour différents instants.
Temps (s)
Référence
Aster
Erreur absolue
0,1 0,0
5,8884E-07
5,89E-07
0,3 0,0
1,8891E-06
1,89E-06
0,5 0,0
1,5586E-07
1,56E-07
0,7 0,0
1,8213E-06
1,82E-06
1 0,0
1,7231E-06
1,72E-06
On teste également la valeur du déplacement absolu du noeud NO2 pour différents instants.
Temps (s)
Référence
(problème 2)
Aster
Erreur absolue
0,05 3,58082E-04
3,5808E-04
1,71E-10
0,156 1,22321E-04 1,2232E-04
4,72E-10
0,25 1,8876E-04 1,8876E-04
1,96E-11
0,4 1,89772E-04
1,8977E-04
1,22E-10
0,5 6,84454E-05
6,8445E-05 4,72E-11
0,8 1,11982E-04
1,1198E-04
1,71E-11
0,9 1,20103E-04
1,2010E-04
1,37E-10
1 1,07178E-04
1,0718E-04
3,31E-10
On représente ci dessous l'allure des déplacements relatifs et absolus au noeud NO2 :
Déplacements absolus
Déplacements relatifs
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Les systèmes masse-ressort sont modélisés, comme dans la modélisation A, par un élément discret à
3 degrés de liberté
DIS_T
.
Modélisation du problème 1 :
Figure 5.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide
Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée
1
(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
NO2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un élément de type
DIST_T
sur une maille
POI1
est retenu pour simuler l'impact de la poutre sur une
paroi rigide : les éventuels chocs entre la poutre et l'obstacle sont pris en compte comme étant des
forces internes à cet élément. On lui affecte un comportement non linéaire de type choc (raideur) via la
loi de comportement
DIS_CONTACT
de la commande
DEFI_MATERIAU
.
L'épaisseur de matière entourant le noeud de choc dans la direction considérée est précisée par
l'opérande
DIST_1
de la commande
DEFI_MATERIAU
. Dans le cas traité, on choisit
DIST_1
= 0.4495
et
JEU
= 0.45 pour qu'à l'instant initial, le noeud de choc et l'obstacle soient séparés du jeu j = 5. 10
4
mm (cf. [Figure 5.1-a]).
Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés du noeud NO1, est calculé par l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME
. On crée ensuite un concept
charge
à partir de l'opérande
VECT_ASSE
de la
commande
AFFE_CHAR_MECA
.
On utilise le schéma d'intégration de NEWMARK de
DYNA_NON_LINE
avec un pas de temps de 10
3
s
et les paramètres par défaut.
Modélisation du problème 2 :
Figure 5.1-b : Modélisation de deux systèmes masse-ressort qui s'entrechoquent
k
m
1
Y
Jeu
dist_1
NO2
NO1
elm1
k
m
1
Y
X
k
m
2= -1
J
dist_1
dist_2
NO2
NO1
NO3
NO4
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Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée
1
(t), le noeud NO4 à
2
(t) =
1
(t). On calcule
les déplacements relatif et absolus des noeuds NO2 et NO3, leur déplacement d'entraînement et leur
déplacement absolu.
Les éventuels chocs entre les deux poutres sont pris en compte comme étant des forces internes à un
élément à deux noeuds. On affecte à cet élément un comportement non linéaire de type choc (raideur)
via le mot clé
RIGI_NOR
de la loi de comportement
DIS_CONTACT
de la commande
DEFI_MATERIAU
.
La direction normale de contact est l'axe local x de l'élément discret à deux noeuds.
Les épaisseurs de matière entourant les noeuds de choc dans la direction considérée sont précisées
par les opérandes
DIST_1
et
DIST_2
de la commande
DEFI_MATERIAU
. Dans le cas traité, on
choisit
DIST_1
=
DIST_2
= 0.4495 pour qu'à l'instant initial, les deux noeuds de choc soient séparés
du jeu J = 2. j = 10
3
m (cf. [Figure 5.1-a]).
Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés des ancrages (noeud NO1 et NO4, est
calculé par l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME
. On crée un concept
charge
à partir de l'opérande
VECT_ASSE
de la commande
AFFE_CHAR_MECA
.
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme de Newmark et un pas de temps de 10
3
s. Les
calculs sont archivés tous les 8 pas de temps.
On considère un amortissement réduit
de 7% pour l'ensemble des modes calculés (mot-clé
AMOR_MODAL
de l'opérateur
DYNA_NON_LINE
).
5.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage associé au modèle
bichoc
est constitué de 4 noeuds et de 3 mailles de type
DIS_T
.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
GROUP_MA M_T_D_N
GROUP_MA
K_T_D_L
DEFI_MATERIAU DIS_CONTACT
DIST_1
DIST_2
JEU
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
VECT_ASSE
MODE_STATIQUE DDL_IMPO
CALC_CHAR_SEISME MULTI_APPUI
DYNA_NON_LINE AMOR_MODAL
MODE_STAT
EXCIT
MULT_APPUI
'OUI'
COMP_INCR
DIS_CHOC
RECU_FONCTION SIEF_ELGA
DEPL
DEPL_ABSOLU
CALC_FONCTION MAX
COMB
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6
Résultats de la modélisation B
6.1
Valeurs testées de la modélisation B
On calcule la fonction
diff
définie comme étant la différence entre le déplacement absolu du noeud
NO2 et celui du noeud no2. Et on vérifie qu'elle est bien nulle pour différents instants.
Temps (s)
Référence
Aster
Erreur absolue
0,1 0,0
1,7144E-17
1,71E-17
0,2 0,0
5,1386E-16
5,14E-16
0,3 0,0
5,1365E-16
5,14E-16
0,4 0,0
2,1570E-15
2,16E-15
0,5 0,0
2,7105E-19
2,71E-19
On teste également la valeur maximale de la force d'impact au noeud NO2.
Type d'impact
Référence
Aster
Erreur relative
contre une paroi rigide
6,29287E+02
6,29292E+02
7,21E-06
entre deux structures mobiles 6,29287E+02 6,29292E+02 7,21E-06
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
La modélisation C est avant tout un test de
DYNA_TRAN_EXPLI
, dont les résultats sont comparés
avec
DYNA_NON_LINE
.
Les systèmes masse-ressort sont modélisés, comme dans la modélisation A, par un élément discret à
3 degrés de liberté
DIS_T
. Seule la modélisation à un degré de liberté est testée.
Modélisation du problème :
k
m
1
Y
Jeu
dist_1
NO2
NO1
elm1
Figure 7.1-a : Modélisation d'un système masse-ressort impactant une paroi rigide
Le noeud NO1 est soumis à une accélération imposée
1
(t). On calcule le déplacement relatif du noeud
NO2, son déplacement d'entraînement et son déplacement absolu.
Un élément de type
DIST_T
sur une maille
POI1
est retenu pour simuler l'impact de la poutre sur une
paroi rigide : les éventuels chocs entre la poutre et l'obstacle sont pris en compte comme étant des
forces internes à cet élément. On lui affecte un comportement non linéaire de type choc (raideur) via la
loi de comportement
DIS_CONTACT
de la commande
DEFI_MATERIAU
.
L'épaisseur de matière entourant le noeud de choc dans la direction considérée est précisée par
l'opérande
DIST_1
de la commande
DEFI_MATERIAU
. Dans le cas traité, on choisit
DIST_1
= 0.4495
et
JEU
= 0.45 pour qu'à l'instant initial, le noeud de choc et l'obstacle soient séparés du jeu j = 5. 10
4
mm (cf. [Figure 5.1-a]).
Le chargement sismique, dû aux déplacements imposés du noeud NO1, est calculé par l'opérateur
CALC_CHAR_SEISME
. On crée ensuite un concept
charge
à partir de l'opérande
VECT_ASSE
de la
commande
AFFE_CHAR_MECA
.
On utilise le schéma d'intégration de NEWMARK explicite de type DIFFERENCES CENTREES avec
un pas de temps de 10
3
s. Le calcul par
DYNA_TRAN_EXPLI
est effectué dans l'espace modal, la
non-linéarité étant due au choc et donc demeurant locale.
7.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage associé au modèle est constitué de 2 noeuds, d'une maille
SEG2
de type
DIS_T
et d'une
maille ponctuelle
POI1
de type
DIS_T
.
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7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE GROUP_MA
'MECANIQUE'
'DIS_T'
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
GROUP_MA M_T_D_N
GROUP_MA
K_T_D_L
DEFI_MATERIAU DIS_CONTACT
DIST_1
DIST_2
JEU
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO GROUP_NO
VECT_ASSE
MODE_STATIQUE DDL_IMPO
CALC_CHAR_SEISME MONO_APPUI
'OUI'
DYNA_NON_LINE AMOR_MODAL
MODE_STAT
COMP_INCR
DIS_CHOC
DYNA_TRAN_EXPLI AMOR_MODAL
PROJ_MODAL
COMP_INCR
DIS_CHOC
RECU_FONCTION
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8
Résultats de la modélisation C
8.1
Valeurs testées de la modélisation C
Le calcul est non-linéaire à cause du choc et on ne dispose pas de solution analytique. On teste donc
le calcul sur des valeurs de non-régression sur le déplacement selon x du noeud NO2.
Temps (s)
Référence
Aster
Erreur relative
0,1 15,6520E-3
15,6520E-3 <1E-3%
0,2 51,4832E-3
51,4832E-3 <1E-3%
0,3 28,1291E-3
28,1291E-3 <1E-3%
0,4 44,9343E-3
44,9343E-3 <1E-3%
0,5 37,7508E-3
37,7508E-3 <1E-3%
On compare les déplacements absolus issus de
DYNA_TRAN_EXPLI
avec ceux donnés par
DYNA_NON_LINE
.
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G. DEVESA, Fe WAECKEL, E. BOYERE
Clé :
V5.01.102-C
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Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-66/03/008/A
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Synthèse des résultats
Les résultats obtenus avec le Code_Aster sont conformes à ceux attendus (erreur inférieure au
millième).
Sur cet exemple, le calcul non linéaire direct est beaucoup plus coûteux en temps de calcul, d'un
facteur 20, que celui sur base modale.
La modélisation C montre que l'on obtient bien des résultats semblables avec une méthode
d'intégration temporelle explicite (
DYNA_TRAN_EXPLI
) et implicite (
DYNA_NON_LINE
).
Code_Aster
®
Version
7.2
Titre :
SDND102 - Réponse sismique d'un système multi-supporté
Date
:
08/10/03
Auteur(s) :
G. DEVESA, Fe WAECKEL, E. BOYERE
Clé :
V5.01.102-C
Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-66/03/008/A
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