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SSNP108 - Elément de béton précontraint en compression
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C. CHAVANT, X. DESROCHES, L. VIVAN
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Document : V6.03.108



SSNP108 - Elément de béton précontraint
en compression




Résumé :

On considère une structure élémentaire constituée d'une plaque de béton carrée traversée par un câble de
précontrainte dont la fibre neutre est confondue avec l'axe de symétrie horizontal de la plaque. Le bord vertical
gauche de la plaque est fixe. Le câble est mis en traction à ses deux extrémités afin de précontraindre la
plaque en compression. Les pertes de tension le long du câble sont négligées.

Le but de ce cas-test est de valider, sur une configuration simple, la méthode de calcul de l'état d'équilibre
d'une structure de béton précontrainte. Les résultats sont validés par comparaison à une solution analytique.

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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La plaque de béton est carrée ; les côtés ont même longueur L = H = 2 m.
L'épaisseur de la plaque vaut e = 0,6 m.
Le câble traverse la plaque horizontalement, à mi-hauteur, sans excentricité dans l'épaisseur. L'aire de
la section droite du câble vaut S
a
= 1,5.10
­4
m
2
.
2 m
y
A
B
H = 2 m
L = 2 m
x
0
1 m


1.2
Propriétés des matériaux
Matériau béton constituant la plaque :
Module d'Young E
b
= 3.10
10
Pa
Matériau acier constituant le câble :
Module d'Young E
a
= 2,1.10
11
Pa
Le coefficient de Poisson est pris égal à 0 pour les deux matériaux ; on privilégie ainsi la direction
d'application de l'effort normal (direction
x
).
Les pertes de tension étant négligées, les divers paramètres servant à leur estimation sont fixés à 0.


1.3
Conditions aux limites et chargements
Le sommet inférieur du bord gauche de la plaque, c'est-à-dire le noeud origine(0;0), est encastré : tous
les DDLs de translation et de rotation sont bloqués.
Le sommet supérieur de ce même bord gauche, c'est-à-dire le noeud (0;2), est appuyé bi-
latéralement : les DDLs de translation bloqués sont
DX
et
DZ
.
On applique aux deux extrémités du câble (qui sont fixés sur le béton en A et B) un effort normal de
traction : (­F
0
;0) au noeud A (0;1) et (F
0
;0) au noeud B (2;1), avec F
0
= 2.10
5
N.
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2
Solution de référence
2.1 Solution
formelle
Les déplacements dans le câble et dans le béton sont continus et homogènes. Ainsi le déplacement
horizontal sur l'intervalle [0;L] vaut
u x
u
L x
L
( )
=
Les contraintes normales dans la plaque de béton et le câble d'acier s'écrivent respectivement
(hypothèse d'élasticité) :




+
=
+
=
=
=
0
0
L
u
E
x
u
E
L
u
E
x
u
E
L
a
a
a
L
b
b
b
0
0
= FS
a
est la précontrainte initiale dans le câble
et
u
L
est le déplacement horizontal à l'abscisse
L
.
L'équilibre de l'ensemble plaque et câble s'écrit :
b b
a a
L
b
a a
S
S
u
LF
E eH E S
+
=
=
-
+
0
0
L'effort normal dans le câble vaut :
a
a a
L
b
b
a a
N
E S uL F F
E eH
E eH
E S
=
+
=
+
0
0
L'effort total sur la section verticale de la plaque de béton vaut :
b
b
L
b
b
a a
N
E eH uL
F
E eH
E eH
E S
=
= -
+
0
On en déduit la densité linéique d'effort normal sur la plaque de béton
xx
b
b
a a
N
F
E e
E eH
E S
= -
+
0

2.2
Valeurs numériques de référence
Les valeurs numériques de référence sont :
u
L
= ­1,11013974.10
­5
m
N
a
= 1,99825153.10
5
N
N
b
= ­1,99825153.10
5
N
N
xx
= ­9,99125765.10
4
N/m
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage.
Y
X
NB002001
NC001001
NB001001
NB002002
NC001005
NB001002
La plaque de béton est représentée par un élément
DKT
, supporté par une maille quadrangle à 4
noeuds.
Une épaisseur e = 0,6 m lui est affectée, ainsi qu'un matériau béton pour lequel sont définis les
comportements
ELAS
(module d'Young E
b
= 3.10
10
Pa) et
BPEL_BETON
: les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de
précontrainte.
Le noeud
NB001001
est encastré :
DX
,
DY
,
DZ
,
DRX
,
DRY
et
DRZ
sont bloqués. Le noeud
NB002001
est
appuyé bi-latéralement :
DX
et
DZ
sont bloqués.
Le câble est représenté par 4 éléments
MECA_BARRE
, supportés par 4 mailles segments à 2 noeuds.
Une aire de section droite S
a
= 1,5.10
­4
m
2
leur est affectée, ainsi qu'un matériau acier pour lequel sont
définis les comportements
ELAS
(module d'Young E
a
= 2,1.10
11
Pa) et
BPEL_ACIER
: les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception de la
contrainte limite élastique pour laquelle une valeur nulle est illicite (f
prg
= 1,77.10
9
Pa).
La tension F
0
= 2.10
5
N est appliquée aux noeuds
NC001001
et
NC001005
. Cette valeur de tension est
cohérente avec les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type
toron.
Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble plaque et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique.
3.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées
Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :
·
opérateur
DEFI_MATERIAU
: définition des relations de comportement
BPEL_BETON
et
BPEL_ACIER
, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur
DEFI_CABLE_BP
: détermination d'un profil de tension constant le long du câble de
précontrainte, les pertes étant négligées ; calcul des coefficients des relations cinématiques
entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la plaque de béton ;
·
opérateur
AFFE_CHAR_MECA
: définition d'un chargement de type
RELA_CINE_BP
;
·
opérateur
STAT_NON_LINE
, option
COMP_INCR
: calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type
RELA_CINE_BP
.
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
4.1.1 Densité linéique d'effort normal sur la section verticale de la plaque de béton
On compare les valeurs extraites du champ
SIEF_ELNO_ELGA
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs
théoriques de référence. L'extraction se fait sur la maille
QD001001
représentant la plaque de béton.
La composante sur laquelle portent les tests est
NXX
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 10
­6
%.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001001
­9,99125765.10
4
N/m
­9,9912576495569.10
4
N/m
­4,43.10
­11
%
NB001002
­9,99125765.10
4
N/m
­9,9912576495569.10
4
N/m
­4,43.10
­11
%
NB002001
­9,99125765.10
4
N/m
­9,9912576495569.10
4
N/m
­4,43.10
­11
%
NB002002
­9,99125765.10
4
N/m
­9,9912576495569.10
4
N/m
­4,43.10
­11
%

4.1.2 Déplacement horizontal des noeuds de la plaque de béton
On compare les valeurs extraites du champ
DEPL
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs théoriques de
référence.
La composante sur laquelle portent les tests est
DX
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 10
­6
%.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001002
­1,11013974.10
­5
m
­1,1101397388397.10
­5
m
­1,05.10
­9
%
NB002002
­1,11013974.10
­5
m
­1,1101397388397.10
­5
m
­1,05.10
­9
%

4.1.3 Effort normal dans le câble
On compare les valeurs extraites du champ
SIEF_ELNO_ELGA
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs
théoriques de référence. L'extraction se fait sur les mailles
SG001001
pour le noeud
NC001001
,
SG001002
pour le noeud
NC001002
,
SG001003
pour le noeud
NC001003
, et
SG001004
pour les
noeuds
NC001004
et
NC001005
.
La composante sur laquelle portent les tests est
N
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 10
­6
%.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC001001
1,99825153.10
5
N
1,9982515299113.10
5
N
­4,44.10
­11
%
NC001002
1,99825153.10
5
N
1,9982515299113.10
5
N
­4,44.10
­11
%
NC001003
1,99825153.10
5
N
1,9982515299113.10
5
N
­4,44.10
­11
%
NC001004
1,99825153.10
5
N
1,9982515299113.10
5
N
­4,44.10
­11
%
NC001005
1,99825153.10
5
N
1,9982515299113.10
5
N
­4,44.10
­11
%
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4.1.4 Déplacement horizontal des noeuds du câble
On compare les valeurs extraites du champ
DEPL
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs théoriques de
référence.
La composante sur laquelle portent les tests est
DX
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 10
­6
%.
Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NC001002
­2,77534935.10
­6
m
­2,7753493470988.10
­6
m
­1,05.10
­9
%
NC001003
­5,55069869.10
­6
m
­5,5506986941982.10
­6
m
7,56.10
­10
%
NC001004
­8,32604804.10
­6
m
­8,3260480412974.10
­6
m
1,56.10
­10
%
NC001005
­1,11013974.10
­5
m
­1,1101397388389.10
­5
m
­1,05.10
­9
%

4.2 Remarques
Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de compression pour la plaque de béton.
On observe une différence infinitésimale entre le déplacement horizontal au noeud
NC001005
appartenant au câble et le déplacement horizontal aux noeuds
NB001002
et
NB002002
de la plaque
de béton. Les valeurs relevées devraient être identiques, mais les erreurs d'arrondis apparaissant
dans les coefficients des relations cinématiques expliquent cette différence infinitésimale.

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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour cette modélisation, les noeuds « câble » et « béton » sont confondus.
La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage.
Y
X
N3
N5
N1
N4
N6
N2
La plaque de béton est représentée par 10 éléments
DKT
, supportés par 10 mailles
QUAD4
.
Une épaisseur e = 0,6 m lui est affectée, ainsi qu'un matériau béton pour lequel sont définis les
comportements
ELAS
(module d'Young E
b
= 3.10
10
Pa) et
BPEL_BETON
: les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de
précontrainte.
Les noeuds
N1, N5 et N3
sont encastrés :
DX
,
DY
,
DZ
,
DRX
,
DRY
et
DRZ
sont bloqués.
Le câble est représenté par 5 éléments
MECA_BARRE
, supportés par 5 mailles
SEG2
.
Une aire de section droite S
a
= 1,5.10
­4
m
2
leur est affectée, ainsi qu'un matériau acier pour lequel sont
définis les comportements
ELAS
(module d'Young E
a
= 2,1.10
11
Pa) et
BPEL_ACIER
: les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception de la
contrainte limite élastique pour laquelle une valeur nulle est illicite (f
prg
= 1,77.10
9
Pa).
La tension F
0
= 2.10
5
N est appliquée aux noeuds
N5
et
N6
. Cette valeur de tension est cohérente avec
les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type toron.
Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble plaque et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique.
5.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées
Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :
·
opérateur
DEFI_MATERIAU
: définition des relations de comportement
BPEL_BETON
et
BPEL_ACIER
, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur
DEFI_CABLE_BP
: détermination d'un profil de tension constant le long du câble de
précontrainte, les pertes étant négligées ; calcul des coefficients des relations cinématiques
entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la plaque de béton ;
·
opérateur
AFFE_CHAR_MECA
: définition d'un chargement de type
RELA_CINE_BP
;
·
opérateur
STAT_NON_LINE
, option
COMP_INCR
: calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type
RELA_CINE_BP
.
·
opérateur
POST_RELEVE_T
,
NOM_CMP=`N'
sur tout le champ
SIEF_ELNO_ELGA
.
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
6.1.1 Densité linéique d'effort normal sur la section verticale de la plaque de béton

Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
N1
­9,99125765.10
4
N/m
­9,8387753336725.10
4
N/m
1.526 %
N3
­9,99125765.10
4
N/m
­9,8387753336725.10
4
N/m
1.526 %

6.1.2 Effort normal dans le câble

Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
N5
1,99825153.10
5
N
1,9982248921222.10
5
N
­0.001 %
N6
1,99825153.10
5
N
1,9943932520206.10
5
N
­0.193 %

6.1.3 Effort normal dans le câble via la commande POST_RELEVE_T

Noeud
Valeur de référence
Valeur calculée
N5
1,998224892.10
5
N
1,9982248921222.10
5
N
N6
1,994393252.10
5
N
1,9943932520206.10
5
N

6.2 Remarques
Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de compression pour la plaque de béton.
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7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont validés par comparaison à une solution analytique de référence avec une
très bonne précision.
Les fonctionnalités particulières testées sont les suivantes :
·
opérateur
DEFI_MATERIAU
: définition des paramètres caractéristiques des matériaux acier
et béton permettant le calcul de la tension le long du câble de précontrainte, suivant les règles
du BPEL ;
·
opérateur
DEFI_CABLE_BP
: calcul de la tension le long du câble et des coefficients des
relations cinématiques entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins»
de la plaque de béton ;
·
opérateur
AFFE_CHAR_MECA
: définition d'un chargement de type
RELA_CINE_BP
;
·
opérateur
STAT_NON_LINE
, option
COMP_INCR
: calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type
RELA_CINE_BP
.

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