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Titre :
SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme mode 1
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23/09/02
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X. DESROCHES
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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EDF/AMA















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Document : V3.04.109



SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme
mode 1



Résumé :

Ce test valide tous les éléments de Fourier (triangles et quadrangles de degrés 1 et 2) en élasticité. Les
fonctionnalités sont les suivantes :
·
pression variable en espace,
·
déplacements imposés,
·
matrices de rigidité Fourier mode 1,
·
contraintes aux noeuds Fourier mode 1,
·
recombinaison de Fourier sur les déplacements et contraintes (modélisation A),
·
matériau isotrope transverse (modélisation F).

Le test a une solution analytique quadratique en déplacements.

L'intérêt du test réside dans :
·
la comparaison entre solution calculée et solution analytique sur les différents éléments finis,
·
la comparaison des résultats avec le Code PERMAS sur les éléments TRIA6 (modélisation A).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
R = 1
p = r
l = 12
A
B
D
C
z
r
Le domaine modélisé est ACDB (plan
= 0).


1.2
Propriétés de matériaux
E = 72 N/m
2
= 0.3


1.3
Conditions aux limites et chargements
( )
( )
( )
( )
u A
u A
u A
u AB
r
z
q
z
=
=
=
=
0
0
p
p rR
=
cos
avec
p
=
1.
et
R
=
1
appliqué en
z
=
12


1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'analyse statique.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
u r z
u r z
u r z
M
EI z
p
ER r
u r z
v r z
v r z
p
EI rz
u r z
w r z
w r z
M
EI z
p
ER r
r
z
, ,
,
cos
,
, ,
,
cos
,
, ,
,
sin
,
=
=
+
=
= -
=
-
=
-
avec
avec
avec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Toutes les contraintes sont nulles sauf
( )
zz
r z
p
R r
,
= -
.
Les données ont été choisies de telle façon que
( )
( )
u c
u
l
=
=
0
1
,
.
Les déplacements s'écrivent donc ici :
( )
( )
( )
u r z
z
r
v r z
r z
w r z
z
r
,
,
,
=
+
= -
=
-
2
2
2
2
144
480
72
144
480
et :
( )
zz
r z
r
,
= -

2.2
Résultats de référence
u v w
u u u
zz
r
z
, , ,
, ,
en
r
0., 0.5, 1.
z 0., 6., 12.
en r
0., z 6., 12.,
45
=
=
=
=
=
°

2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.

2.4 Références
bibliographiques
[1]
PERMAS-HS. Axisymmetric Continua with arbitrary loads. Stuttgart 1985. INTES publication
n°224 pp 42 - 49.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13
D = N15
E = N7
F = N8
G = N9
A
B
D
C
F
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
G
X (r)
y (z)
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face CD :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(X) = ­X

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 15
Nombre de mailles et types : 4 TRIA6, 1SEG3 sur segment CD

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER
COMB_CHAM_NO
COMB_FOURIER
COMB_CHAM_ELEM
COMB_FOURIER

3.4 Remarques
Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé
MODE_FOURIER
n'est pas
nécessaire dans la commande
CALC_VECT_ELEM
(par défaut, il est considéré comme valant 0).
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence
B
u
2.0833 10
­3
2.0835
10
­3
9.10
­3
v
0.
DDL_IMPO
w
­2.0833 10
­3
­2.0834 10
­3
3.10
­3
zz
­1. ­1.000001
6.10
­4
E
u 0.25
0.250001
5.10
­4
v
0.
­4.10
­6
w
0.25
0.250000
2.10
­4
zz
0.
­1.10
­4
F
u 0.250521
0.250522
4.10
­4
v
­0.04166 ­0.041668 3.10
­3
w
0.0249479
0.0249479
­6.10
-3
zz
­0.5 ­0.50005 1.10
­2
G
u 0.252083
0.252084
3.10
­4
v
­0.083333
­0.083333 ­7.10
­3
w
0.247917 0.247916
1.10
­4
zz
­1. ­1.
9.10
­3
C
u 1. 1.0006
6.10
­3
v
0.
­5.10
­5
w
1.
1.00006
6.10
­3
zz
0.
­1.1 10
­3
D
u 1.00208
1.00215
7.10
­3
v
­0.16666 ­0.166691 1.5 10
­2
w
0.99791 0.997981
1.9 10
­2
zz
­1. ­0.999 0.1

4.2 Remarques
La solution analytique est trouvée avec une précision < 0.02 % pour les déplacements et < 0.1 %
pour les contraintes.
Avec une formule d'intégration numérique à 6 points de GAUSS (au lieu de 3) pour calculer la raideur,
on trouverait la relation à 10
­10
près (comme PERMAS).
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13
D = N15
E = N7
F = N8
G = N9
A
B
D
C
F
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
G
X (r)
y (z)
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face CD :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(X) = ­X

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 15
Nombre de mailles et types : 2 QUAD8, 1 SEG3 sur segment CD

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

5.4 Remarques
Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé
MODE_FOURIER
n'est pas
nécessaire dans la commande
CALC_VECT_ELEM
(par défaut, il est considéré comme valant 0).
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur Référence
Aster %
différence
B
u
2.0833 10
­3
2.0833
10
­3
10.10
­11
v
0.
DDL_IMPO
w
­2.0833 10
­3
­2.0833 10
­3
10.10
­11
zz
­1. ­1 10.10
­11
E
u 0.25
0.25
10.10
­11
v
0.
­3.9 10
­14
w
0.25
0.25
10.10
­11
zz
0.
­4.10
­12
F
u 0.250521
0.250521
10.10
­11
v
­0.04166 ­0.04166 10.10
­11
w
0.0249479
0.0249479
10.10
­11
zz
­0.5 ­0.5 10.10
­11
G
u 0.252083
0.252083
10.10
­11
v
­0.08333 ­0.08333 10.10
­11
w
0.247917 0.247917
10.10
­11
zz
­1. ­1. 10.10
­10
C
u 1. 1. 10.10
­11
v
0.
­4.3.10
­14
w
1.
1
10.10
­11
zz
0.
6.10
­12
D
u 1.00208
1.00208
10.10
­11
v
­0.16666 ­0.16666 10.10
­11
w
0.99791 0.99791
10.10
­11
zz
­1. ­1. 10.10
­11

6.2 Remarques
La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.

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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13
D = N15
E = N7
F = N8
G = N9
A
B
D
C
F
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
G
X (r)
y (z)
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face CD :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(x) = ­x

7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :15
Nombre de mailles et types : 2 QUAD9, 1 SEG3 sur segment CD

7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

7.4 Remarques
Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé
MODE_FOURIER
n'est pas
nécessaire dans la commande
CALC_VECT_ELEM
(par défaut, il est considéré comme valant 0).
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence
B
u
2.0833 10
­3
2.0833
10
­3
10.10
­11
v
0.
DDL_IMPO
w
­2.0833 10
­3
­2.0833 10
­3
10.10
­11
zz
­1. ­1 10.10
­10
E
u 0.25 0.25 10.10
­11
v
0.
­3.9 10
­14
w
0.25
0.25
10.10
­11
zz
0.
­4.10
­12
F
u 0.250521
0.250521
10.10
­11
v
­0.04166
­0.04166
10.10
­11
w
0.0249479
0.0249479
10.10
­11
zz
­0.5 ­0.5 10.10
­11
G
u 0.252083
0.252083
10.10
­11
v
­0.08333
­0.08333
10.10
­11
w
0.247917
0.247917
10.10
­11
zz
­1. ­1. 10.10
­11
C
u 1.
1.
10.10
­11
v
0.
­4.3.10
­14
w
1.
1.
10.10
­11
zz
0.
6.10
­12
D
u 1.00208
1.00208
10.10
­11
v
­0.16666
­0.16666
10.10
­11
w
0.99791
0.99791
10.10
­11
zz
­1. ­1. 10.10
­11

8.2 Remarques
La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.

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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N1129
C = N1369
D = N2169
E = N141
F = N705
G = N1269
A
B
D
C
F
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
y (z)
X (r)
G
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face CD :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(x) = ­x

9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2169
Nombre de mailles et types : 1920 QUAD4, 8 SEG2 sur segment CD

9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

9.4 Remarques
Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé
MODE_FOURIER
n'est pas
nécessaire dans la commande
CALC_VECT_ELEM
(par défaut, il est considéré comme valant 0).
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10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence
B
u
2.0833 10
­3
2.0919
10
­3
0.41
v
0.
DDL_IMPO
w
­ 2.0833 10
­3
­ 2.0674 10
­3
0.76
zz
­1. ­1.00974
0.97
E
u 0.25 0.2498 0.07
v
0.
­2.7.10
­10
w
0.25
0.2498 0.07
zz
0. 0.0090
0.90
F
u 0.250521
0.250347
0.07
v
­0.04166
­0.04164
0.07
w
0.0249479
0.0249317 0.06
zz
­0.5 ­0.51005
2.01
G
u 0.252083
0.251911
0.07
v
­0.083333
­0.083273
0.07
w
0.247917
0.247752 0.07
zz
­1. ­1.0103
1.03
C
u 1.
0.99927
0.07
v
0.
­2.3.10
­7
w
1.
0.99928 0.07
zz
0. 0.0088
D
u 1.00208
1.001357
0.07
v
­0.16666
­0.16653
0.08
w
0.99791
0.997208 0.06
zz
­1. ­1.0027
0.27

10.2 Remarques
Pour obtenir une précision de l'ordre de 1 % sur les contraintes, il est nécessaire de modéliser la
structure très finement (8 éléments radialement et 240 axialement).

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5.0
Titre :
SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme mode 1
Date :
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N2421
E = N121
F = N1331
G = N2541
A
B
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
F
X (r)
y (z)
G
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face EG :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(x) = ­x

11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 2541
Nombre de mailles et types : 4800 TRIA3, 20 SEG2 sur segment EG

11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

11.4 Remarques
Pour diminuer le nombre de noeuds, on a modélisé la structure pour y
6.
La précision sur les résultats est néanmoins moindre que pour les éléments QUAD4.
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12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence
B
u
2.0833 10
­3
2.0228
10
­3
2.90
v
0.
DDL_IMPO
w
­2.0833 10
­3
­2.1143 10
­3
1.49
zz
­1. ­1.0078
0.78
E
u 0.25 0.24949 0.20
v
0.
­2.4 10
­5
w
0.25
0.24950 0.20
zz
0.
­5.3 10
­2
F
u 0.250521
0.25003 0.19
v
­0.04166 ­0.04161
0.13
w
0.249479 0.24900 0.19
zz
­0.5 ­0.49738
0.52
G
u 0.252083
0.251605
0.19
v
­0.083333 ­0.083157
0.21
w
0.247917 0.247449 0.19
zz
­1. ­0.9814
1.86

12.2 Remarques
La précision sur les déplacements est inférieure à 3%, celle sur les contraintes inférieure à 2 %.
Sur cet exemple, les TRIA3 convergent nettement moins rapidement que les QUAD4 vers la solution
exacte.

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13 Modélisation
F
13.1 Caractéristiques de la modélisation

Numéro des noeuds :
A = N1
B = N3
C = N13
D = N15
E = N7
G = N9
A
B
D
C
E
noeud bloqué
face
bloquée
en z
G
X (r)
y (z)
N4
N2
N12
N14
N12
Conditions limites :
DDL_IMPO
:
(
NOEUD
:
A
DX = 0.
DY = 0.
DZ = 0.)
face
AB
(
GROUP_NO
:
AB
DY = 0.)
Pression sur la face CD :
PRES_REP
(
GROUP_MA
:
Bout
PRES
:
p
)
p étant défini par
AFFE_CHAR_MECA_F
par p(X) = ­X

13.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 15
Nombre de mailles et types : 2 QUAD8, 1SEG3 sur segment CD

13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MECANIQUE
'AXIS_FOURIER'
TOUT
DEFI_MATERIAU
ELAS_ORTH
DEFI_FONCTION
NOM_PARA
'X'
AFFE_CHAR_MECA_F
DDL_IMPO
NOEUD
PRES_REP
GROUP_MA
CALC_MATR_ELEM
'RIGI_MECA'
MODE_FOURIER
CALC_CHAM_ELEM
'SIGM_ELNO_DEPL'
MODE_FOURIER

13.4 Remarques
Le numéro du mode de Fourier n'affectant pas le chargement, le mot clé
MODE_FOURIER
n'est pas
nécessaire dans la commande
CALC_VECT_ELEM
(par défaut, il est considéré comme valant 0).
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14 Résultats de la modélisation F
14.1 Valeurs
testées
Noeud Grandeur
Référence
Aster %
différence
N2
u 2.6041666
2.6041666
1.10
­9
w
­2.6041666 ­2.6041666
1.10
­9
A
zz
0.
­1.10
­13
B
zz
­1. ­1. 3.10
­10
N4
u 0.0625 0.0625 4.10
­10
w
0.0625
0.0625
4.10
­10
E u
0.25
0.25
3.10
­10
w
0.25
0.25
3.10
­10
zz
0.
­1. 10
­14
G v
­0.083333 ­0.083333
2.10
­10
zz
­1. ­1. 2.10
­11
N10 u
0.5625 0.5625 2.10
­10
w
0.5625 0.5625 2.10
­10
N12 v
­0.125 ­0.125 1.10
­10
C u
1. 1. 1.10
­10
w
1. 1. 1.10
­10
zz
0.
7.10
­14
N14 v
­0.083333 ­0.083333 9.10
­11
D v
­0.166666 ­0.166666 9.10
­11
zz
­1. ­1. 1.10
­11
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15 Synthèse des résultats
Les éléments d'ordre 2 donnent la solution analytique.
Les éléments d'ordre 1 convergent lentement vers la solution et nécessitent des maillages très fins.
Les temps calculs restent toutefois raisonnables.