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7.2
Titre :
SSLV139 - Flambement d'une plaque circulaire soumise à une force
Date :
12/05/04
Auteur(s) :
X. DESROCHES, C. REZETTE
Clé
:
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EDF-R&D/AMA, DeltaCAD















Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
Document : V3.04.139



SSLV139 - Flambement d'une plaque circulaire
soumise à une force de compression uniformément
répartie sur son contour




Résumé :


Ce test représente un calcul de stabilité d'une plaque circulaire soumise à une force de compression
uniformément répartie sur son contour. Nous déterminons la charge critique conduisant au flambement
élastique d'Euler ainsi que la déformée modale associée.

Ce test valide la modélisation
AXIS_FOURIER
pour le flambement linéaire avec des mailles
QUAD8
et
TRIA6
(mode circonférentiel égal à zéro), et la modélisation
AXIS
avec des mailles
QUAD8
.

La charge critique obtenue est comparée à une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie

·
Epaisseur de la plaque : h = 0.0005 m
·
Rayon de la plaque : R = 0.115 m

1.2
Propriétés du matériau
Les propriétés du matériau constituant la plaque sont :
11
10
1
.
2
=
E
Pa
Module de Young
3
.
0
=
Coefficient de Poisson

1.3
Conditions aux limites et chargements
Conditions aux limites :
·
sur le contour de la plaque (point B) : déplacement suivant Y=0 et rotation autour de Z = 0
Chargement : on applique une force de compression uniformément répartie F sur le contour externe
de la plaque.

1.4 Conditions
initiales
Sans objet.
X
Z
F
cr
Z
X
Y
B
A
Y
.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul
La valeur de la charge critique est donnée en [bib1] par l'expression suivante :
2
68
.
14
R
D
F
cr
=
avec :
D
la rigidité à la flexion de la plaque (en N.m) définie par l'expression suivante :
)
1
(
12
2
3
-
=
Eh
D

Cette charge critique est associée à un mode circonférentiel égal à 0.

2.2
Grandeurs et résultats de référence
Pour les caractéristiques données, la charge critique vaut :
cr
F
= 2668.315 N/m

2.3
Incertitudes sur la solution
Solution analytique

2.4 Références
bibliographiques
[1]
S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE : Théorie de la stabilité élastique, deuxième édition, DUNOD
(1966)
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation AXIS_FOURIER (QUAD8) : 3 degrés de liberté par noeud (DX, DY,DZ)


Conditions limites :
·
groupe de mailles AD : DX = 0, DZ = 0
·
groupe de mailles BC : DY = 0, DZ = 0
Caractéristiques de la discrétisation
·
Côtés AB et CD : 460 éléments
·
Côtés AD et BC : 4 éléments

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 6449
Nombre de mailles : 1840 (QUAD8)

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `AXIS_FOURIER'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_MA
FORCE_CONTOUR
FX
MACRO_ELAS_MULT
CAS_CHARGE
MODE_FOURIER = 0
CALC_MATR_ELEM
OPTION = `RIGI_MECA'
OPTION = `RIGI_GEOM'
MODE_FOURIER = 0
MODE_ITER_SIMULT
METHODE = `SORENSEN'
TYPE_RESU = `MODE_FLAMB'
CALC_FREQ
OPTION = `PLUS PETITE'
NORM_MODE
NORME = `TRAN'

3.4
Grandeurs testées et résultats
Identification
Référence
Aster %
Différence
Pression critique (n=0)
8.4935 10
5
Pa
8.4847 10
5
Pa
­0.104
Déplacement
DY
au noeud D
1 9.99985
10
­1
­0.001
A
B
C
D
Z
X
Y
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3.5 Remarques
·
La pression critique P
cr
de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à
partir de la charge critique référencée au paragraphe [§2.2] :
2
/
94
.
849350
2
m
N
h
F
P
cr
cr
=
=
·
La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation
implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement DY au noeud D.
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation AXIS (QUAD8) : 2 degrés de liberté par noeud (DX, DY)


Conditions limites :
·
groupe de mailles AD : DX = 0
·
groupe de mailles BC : DY = 0
Caractéristiques de la discrétisation
·
Côtés AB et CD : 460 éléments
·
Côtés AD et BC : 4 éléments

4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 6449
Nombre de mailles : 1840 (QUAD8)

4.3 Fonctionnalités
testées
.
Commandes
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `AXIS'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_MA
FORCE_CONTOUR
FX
MACRO_ELAS_MULT CAS_CHARGE
CALC_MATR_ELEM
OPTION = `RIGI_MECA'
OPTION = `RIGI_GEOM'
MODE_ITER_SIMULT
METHODE = `SORENSEN'
TYPE_RESU = `MODE_FLAMB'
CALC_FREQ
OPTION = `PLUS PETITE'
NORM_MODE
NORME = `TRAN'

4.4
Grandeurs testées et résultats
Identification
Référence
Aster %
Différence
Pression critique (n=0)
8.4935 10
5
Pa
8.4847 10
5
Pa
­0.104
Déplacement
DY
au noeud D
1 9.99985
10
­1
­0.001
A
B
C
D
Z
X
Y
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4.5 Remarques
·
La pression critique P
cr
de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à
partir de la charge critique référencée au paragraphe [§2.2] :
2
/
94
.
849350
2
m
N
h
F
P
cr
cr
=
=
·
La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation
implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement DY au noeud D.

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5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation AXIS_FOURIER (TRIA6) : 3 degrés de liberté par noeud (DX, DY, DZ)


Conditions limites :
·
groupe de mailles AD : DX = 0, DZ = 0.
·
groupe de mailles BC : DY = 0, DZ = 0.
Caractéristique de la discrétisation
·
Côtés AB et CD : 690 éléments
·
Côtés AD et BC : 6 éléments

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 17 964
Nombre de mailles : 8 280 (TRIA6)

5.3 Fonctionnalités
testées
.
Commandes
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = `AXIS_FOURIER'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_MA
FORCE_CONTOUR
FX
MACRO_ELAS_MULT
CAS_CHARGE
MODE_FOURIER = 0
CALC_MATR_ELEM
OPTION = `RIGI_MECA'
OPTION = `RIGI_GEOM'
MODE_FOURIER = 0
MODE_ITER_SIMULT
METHODE = `SORENSEN'
TYPE_RESU = `MODE_FLAMB'
CALC_FREQ
OPTION = `PLUS PETITE'
NORM_MODE
NORME = `TRAN'

5.4
Grandeurs testées et résultats
Identification
Référence
Aster %
Différence
Pression critique (n=0)
8.4935 10
5
Pa
8.6943 10
5
Pa
2.364
Déplacement
DY
au noeud D
1 9.99986
10
­1
­0.001
A
B
C
D
Z
X
Y
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5.5 Remarques
·
La pression critique P
cr
de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à
partir de la charge critique référencée au paragraphe [§2.2] :
2
/
94
.
849350
2
m
N
h
F
P
cr
cr
=
=
·
La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation
implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement DY au noeud D.
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6
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont très satisfaisants pour les mailles
QUAD8
indépendamment de la
modélisation utilisée (
AXIS
ou
AXIS_FOURIER)
: les incertitudes sur la pression critique ne
dépassent pas 0.104 %.
Toutefois, on notera que la modélisation
AXIS_FOURIER
est nettement moins précise avec des
mailles
TRIA6
qu'avec des mailles
QUAD8
.
Ce test à permis de tester et comparer les modélisations
AXIS
et
AXIS_FOURIER
en flambement
linéaire d'Euler d'une structure mince circulaire soumise à une force externe de compression
uniformément répartie sur son contour.