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Calcul de fluage propre avec le modèle UMLV
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Y. LE PAPE
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SSNV163 - Calcul de fluage propre
avec le modèle UMLV




Résumé :


Ce test permet de valider le modèle de fluage propre UMLV. Les résultats de ce test sont comparés avec la
solution analytique pour trois modélisations : 3D, axisymétrique et contraintes planes.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
x
y
l
h
e
hauteur :
h = 1,00 [m]
largeur :
l = 1,00 [m]
épaisseur :
e = 1,00 [m]
1.2
Propriétés du matériau
31
=
E
GPa
2
,
0
=
Ici on renseigne aussi la courbe sorption-désorption qui relie la teneur en eau
C
à l'hygrométrie
h
.
Dans ce cas on a supposé que les valeurs numériques de
C
et de
h
sont les mêmes.
Paramètres spécifiques au fluage propre :
5
0
,
2
+
=
E
k
sr
[MPa]
partie sphérique : rigidité apparente associée au squelette formé
par des blocs d'hydrates à l'échelle mésoscopique
4
0
,
5
+
=
E
k
si
[MPa]
partie sphérique : rigidité apparente associée intrinsèquement
aux hydrates à l'échelle microscopique
4
0
,
5
+
=
E
k
d
r
[MPa]
partie déviatorique : rigidité associée à la capacité de l'eau
adsorbée à transmettre des charges (load bearing water)
10
0
,
4
+
=
E
sr
[MPa.s]
partie sphérique :viscosité apparente associée au mécanisme
de diffusion au sein de la porosité capillaire
11
0
,
1
+
=
E
si
[MPa.s]
partie sphérique : viscosité apparente associée au mécanisme
de diffusion interlamellaire
10
0
,
1
+
=
E
d
r
[MPa.s]
partie déviatorique :viscosité associée à l'eau adsorbée par les
feuillets d'hydrates
11
0
,
1
+
=
E
d
i
[MPa.s]
partie déviatorique : viscosité de l'eau libre.
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Dans cet essai, on crée un champ de séchage homogène invariant dans la structure, l'humidité vaut
100% (condition d'une éprouvette scellée). Le chargement mécanique correspond à une compression
unidirectionnelle suivant le direction verticale (z en 3D ou y en 2D) ; son intensité est de 1 [MPa]. La
charge est appliquée en 1s et est maintenue constante pendant 100 jours.
1.4 Conditions
initiales
Le début du calcul est supposé l'instant ­1. A cet instant il n'y a ni champ de séchage, ni contrainte
mécanique.
A l'instant 0, on applique un champ de séchage correspondant à 100 % d'hygrométrie.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul
Cette section présente la résolution analytique complète du problème d'un corps d'épreuve soumis à
un champ de contraintes homogènes et unidirectionnelles appliquées instantanément à l'instant initial
et maintenues constantes par la suite (cas d'un essai de fluage en compression simple) :
z
z
e
e
=
0
éq 2.1-1
Dont la décomposition en partie sphérique et déviatorique s'écrit :
(
)
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
2
1
3
2
1
ue
déviatoriq
partie
sphérique
partie
y
y
x
x
z
z
e
e
e
e
e
e
+
-
+
=
0
0
0
3
1
3
2
1
3
1
éq
2.1-2
En opérant une décomposition sphérique/déviatorique identique à celle des contraintes, la
déformation axiale s'écrit sous la forme :
(
)
(
)
3
2
3
0
0
fd
fs
zz
+
=
éq
2.1-3
Il faut donc résoudre successivement la réponse à un échelon de contrainte sphérique et à un
échelon de contraintes déviatoriques.
2.2
Résolution des équations constitutives du fluage sphérique [bib2]
Le processus de déformation sphérique du fluage est gouverné par le système d'équations couplées
suivant (équations [éq 2.2-1] et [éq 2.2-2], cf. [R7.01.06]) :
[
]
fs
i
fs
r
sr
s
sr
fs
k
h
&
&
-
-
=
1
éq
2.2-1
sr
k
désigne la rigidité apparente associée au squelette formé par des blocs d'hydrates à l'échelle
mésoscopique ;
et
sr
la viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion au sein de la porosité capillaire.
(
)
[
] [
]
+
-
-
+
-
=
fs
r
sr
s
fs
i
si
sr
fs
sr
si
fs
i
k
h
k
k
k
1
&
éq
2.2-1
si
k
désigne la rigidité apparente associée intrinsèquement aux hydrates à l'échelle
microscopique ;
et
si
la viscosité apparente associée au mécanisme de diffusion interfoliaire.
Dans [éq 2.2-2], les crochets
+
désignent l'opérateur de Mac Cauley :
(
)
x
x
x
+
=
+
2
1
La résolution du système d'équations couplées précédent nécessite de distinguer deux cas selon le
signe de la quantité comprise entre les crochets de Mac Cauley. Dans la suite, on présente la
résolution analytique de la réponse à un échelon de contrainte
s
. L'humidité relative est supposée
invariante ; le milieu est saturé en eau.
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2.2.1 Cas du fluage à court terme
A l'instant initial, t = 0, on applique une contrainte sphérique
s
positive. Les déformations de fluage
réversibles et irréversibles sont égales à zéro (conditions initiales). L'équation du système [éq 2.2-2]
s'écrit donc :
(
)
[
]
[ ]
0
1
0
0
2
1
0
=
-
=
-
-
=
=
+
+
s
si
s
s
i
sr
si
fs
i
k
k
t
&
éq
2.2.1-1
La vitesse de déformation de fluage irréversible est donc égale à zéro. On en déduit que la
déformation de fluage irréversible est aussi égale à zéro. La vitesse de déformation irréversible reste
égale à zéro jusqu'à l'instant
0
t
t
=
, défini par la relation [éq 2.2.1-2] :
( )
( )
sr
s
fs
r
s
fs
r
sr
k
t
t
k
=
=
-
2
0
2
0
0
éq
2.2.1-2
Jusqu'à l'instant
0
t
t
=
, la déformation de fluage réversible est définie par la relation suivante :
[
]
( )








-
-
=
-
=
sr
sr
s
sr
sr
sr
s
sr
sr
t
k
t
k
exp
1
1
&
éq
2.2.1-3
sr
sr
sr
k
=
est le temps caractéristique associé à la déformation de fluage réversible. L'instant
0
t
est
donc défini par la relation [éq 2.2.1-4] :
( )
( )
sr
sr
sr
sr
s
sr
s
fs
r
t
t
k
k
t
=








-
-
=
=
69
.
0
2
ln
exp
1
2
0
0
0
éq
2.2.1-4
Les déformations de fluage réversibles et irréversibles sont donc déterminées par :
( )
( )




=








-
-
=
0
exp
1
t
t
k
t
fs
s
s
s
fs
i
r
r
r
éq
2.2.1-5
Lors du calcul des déformations de fluage pour
0
t
t
>
, les nouvelles conditions initiales sont donc :
( )
( )




=
=
0
2
0
0
t
k
t
fs
s
s
fs
i
r
r
éq
2.2.1-6
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2.2.2 Cas du fluage à long terme
En exprimant les vitesses de déformations de fluage réversibles et irréversibles en fonction des
déformations de fluage, on obtient alors la relation :








-
+




-
+




=




+
+




+




-
-
=
s
si
fs
i
si
i
fs
r
si
sr
fs
i
s
si
sr
fs
i
si
si
fs
r
si
sr
sr
sr
fs
k
k
k
k
k
r
1
2
2
1
2
4
&
&
éq 2.2.2-1
Afin de simplifier les calculs, on définit les variables intermédiaires suivantes :
i
r
ri
i
i
i
ii
r
r
r
rr
k
u
k
u
k
u
=
=
=
=
=
:
1
:
,
1
:
et
éq
2.2.2-2
Le système d'équations [éq 2.2.2-1] peut se mettre alors sous la forme matricielle suivante :
4
4 3
4
4 2
1
3
2
1
4
4
4
3
4
4
4
2
1
&
&
&
B
ri
ri
rr
sr
s
fs
i
fs
r
A
ii
ri
ii
ri
rr
fs
i
fs
r
fs
u
u
u
k
u
u
u
u
u
s


-
+
+






-
-
-
=




=
2
1
2
2
4
éq
2.2.2-3
C'est-à-dire :
B
A
s
fs
fs
+
=
&
éq
2.2.2-4
Supposons que la matrice
A
soit diagonalisable (cette propriété sera vérifiée par la suite) :
1
-
=
P
D
P
A
D
désigne la matrice diagonale des valeurs propres de la matrice
A
,
P
la matrice des vecteurs propres de la matrice
A
et
1
-
P
la matrice inverse de la matrice
P
. En
effectuant terme à terme le produit par la quantité
1
-
P
, [éq 2.2.2-4] peut se mettre sous la
forme :
B
P
B
P
B
D
fs
fs
s
fs
fs
=
=
+
=
-
-
1
*
1
,*
*
,*
,*
et
avec
&
éq
2.2.2-5
Soit
1
et
2
les valeurs propres de la matrice
A
. On définit les quantités :




=




=
*2
*
1
*
*2
*
1
,*
:
:
b
b
B
fs
et
[éq 2.2.2-5] s'écrit alors :
( )
( )
( )
( )



+
=
+
=
*2
*2
2
*2
*
1
*
1
1
*
1
b
t
t
b
t
t
s
s
&
&
éq
2.2.2-6
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Système dont la solution s'écrit :
( )
(
)
( )
(
)








+
-
=
+
-
=
0
0
exp
exp
2
1
2
2
2
*2
*2
1
1
1
*
1
*
1
µ
µ
t
b
t
t
b
t
s
s
éq
2.2.2-7
On peut alors revenir à l'espace initial, par le biais de la matrice de passage ; les déformations de
fluage réversibles et irréversibles sont des combinaisons linéaires de
*
1
et
*2
. Les valeurs propres
de la matrice
A
,
1
et
2
sont obtenues en résolvant :
(
)
(
)
0
4
0
2
2
4
0
1
det
2
=
+
+
+
+
=
-
-
-
-
-
=
-
ii
rr
i
ii
ri
rr
i
i
ii
ri
ii
i
ri
rr
i
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
A
éq 2.2.2-8
En remarquant que
rr
u
,
ri
u
et
ii
u
sont strictement positifs, le discriminant est donc toujours
strictement positif. Les valeurs propres sont donc réelles et distinctes, la matrice
A
est donc
diagonalisable. Par ailleurs, aucune des deux valeurs propres n'est égale à zéro
(
)
0
2
1
=
ii
rr
u
u
. Les deux valeurs propres sont définies par :
(
)
(
)




+
+
+
-
=
-
+
+
-
=
2
4
2
4
2
1
ii
ri
rr
ii
ri
rr
u
u
u
u
u
u
éq
2.2.2-9
On peut montrer que les deux valeurs propres sont effectivement négatives. Montrons que la
deuxième valeur propre est négative. La déformation de fluage sphérique est donc asymptotique,
hypothèse émise dans le modèle de fluage propre sphérique [bib1]. Déterminons maintenant une
base des vecteurs propres
(
)
2
1
,
X
X
associés aux valeurs propres
1
et
2
. Elle se détermine en
résolvant l'équation
(
)
0
1
=
-
i
i
X
A
.
Une base particulière de vecteurs propres s'écrit :
ii
ri
ri
ii
u
u
x
u
u
x
x
X
x
X
+
=
+
=


=


=
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
et
avec
et
éq
2.2.2-10
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Après avoir vérifié que
P
peut effectivement être inversée, on en déduit la solution dans l'espace
physique :
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]




-
+
-
-
=
+
+
-
=








+
+




+
-
=




+
+




+
-
=
ri
ri
rr
ri
ri
rr
s
fs
i
s
fs
r
u
x
u
u
x
x
b
u
u
u
x
x
x
b
t
x
t
b
x
b
t
t
t
x
b
b
x
t
1
2
1
*2
2
2
1
*
1
2
2
2
1
1
2
*2
2
1
*
1
2
2
1
1
1
2
*2
1
*
1
1
2
1
1
2
1
1
exp
exp
exp
exp
avec
µ
µ
µ
µ
éq 2.2.2-11
Enfin,
1
µ
et
2
µ
sont définis par les relations :
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)






+
-
+
-
-
=


-
+
-
-
=
0
1
1
0
1
0
2
1
2
1
2
0
2
0
2
2
0
2
1
2
1
1
exp
1
exp
2
1
exp
1
1
exp
1
exp
2
1
exp
1
1
t
x
k
t
k
t
x
x
t
k
t
x
k
t
x
x
i
r
i
r
µ
µ
éq
2.2.2-12

2.3
Résolution des équations constitutives du fluage déviatorique
Les contraintes déviatoriques comportent une partie réversible et une partie irréversible
(cf. [R7.01.06]) :
{
{
{
libre
eau
on
contributi
fd
i
absobée
eau
on
contributi
fd
r
totale
ue
déviatoriq n
déformatio
fd
+
=
éq
2.3-1
La j
ème
composante principale de la déformation déviatorique totale est régie par les équations
[éq 2.3-2] et [éq 2.3-3] :
j
d
j
d
r
d
r
j
d
r
d
r
h
k
,
,
,
=
+
&
éq
2.3-2
d
r
k
désigne la rigidité associée à la capacité de l'eau adsorbée à transmettre des charges (load
bearing water) ;
et
d
r
la viscosité associée à l'eau adsorbée par les feuillets d'hydrates.
j
d
j
d
i
d
i
h
,
,
=
&
éq 2.3-3
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d
i
désigne la viscosité de l'eau libre. Le système d'équations [éq 2.3-2] et [éq 2.3-3] est plus
simple à résoudre que celui régissant le comportement sphérique du fait qu'il est découplé. On
suppose toujours que l'humidité reste égale à 1 durant tout le chargement. L'équation [éq 2.3-2]
correspond au modèle visco-élastique de Kelvin dont le réponse à un échelon de contrainte est de
type exponentiel. Quant à l'équation [éq 2.3-3], la réponse en déformation est linéaire avec la temps.
La déformation de fluage totale s'écrit donc comme la somme de la contribution d'une chaîne de
Kelvin et de la contribution d'un amortisseur et série :
)
(
1
1
)
(
,
,
t
H
e
k
t
t
j
d
t
k
d
r
d
i
j
d
d
r
d
r










-
+
=
-
éq
2.3-4
2.4
Récapitulatif de la solution analytique
Pour un chargement uniaxial les solutions analytiques des deux composantes de déformation sont
connues. La contribution de la partie déviatorique s'écrit :
( )














-
-
+
=
d
r
d
r
d
r
d
i
fd
t
k
k
t
t
exp
1
1
3
2
0
éq
2.4-1
Quant à la contribution de la partie sphérique, la solution est définie sur deux intervalles :
( )
(
) ( )
(
) ( )




>




+
+
+
+




+








-
-
=
2
ln
exp
1
exp
1
1
1
3
2
ln
exp
1
3
2
2
2
1
1
1
0
0
sr
sr
s
i
sr
sr
sr
sr
sr
sr
fs
k
t
t
x
t
x
k
k
k
t
t
k
k
t
µ
µ

éq 2.4-2
La déformation axiale est une fonction linéaire des deux contributions précédentes :
(
)
(
)
3
2
3
0
0
fd
fs
zz
+
=
éq
2.4-3
2.5
Grandeurs et résultats de référence
L'essai est homogène. On teste la déformation en un noeud quelconque.
2.6
Incertitudes sur la solution
Résultat analytique exact.
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2.7 Références
bibliographiques
[1]
BENBOUDJEMA, F. : Modélisation des déformations différées du béton sous sollicitations
biaxiales. Application aux bâtiments réacteurs de centrales nucléaires, Mémoire de D.E.A.
Matériaux Avancés ­ Ingénierie des Structures et des Enveloppes, 38 p. (+ annexes) (1999).
[2]
BENBOUDJEMA, F., MEFTAH, F., HEINFLING, G., LE PAPE, Y. : Étude numérique et
analytique de la partie sphérique du modèle de fluage propre UMLV pour le béton, note
technique HT-25/02/040/A, 56 p (2002).
[3]
LE PAPE, Y. : Relation de comportement UMLV pour le fluage propre du béton,
Documentation de Référence de Code_Aster [R7.01.06], 16 p (2002).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 3D
z
x
y
NO2
NO1
NO3
NO4
NO8
NO7
NO5
NO6
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 1 de type HEXA 8
6 de type QUAD 4
On définit les mailles suivantes :
S_ARR
NO3 NO7 NO8 NO4
S_AVT
NO1 NO2 NO6 NO5
S_DRT
NO1 NO5 NO8 NO4
S_GCH
NO3 NO2 NO6 NO7
S_INF
NO1 NO2 NO3 NO4
S_SUP
NO5 NO6 NO7 NO8
Les conditions aux limites en déplacement imposées sont :
Sur les noeuds NO1, NO2, NO3 et NO4 : DZ = 0
Sur les noeuds NO3, NO7, NO8 et NO4 : DY = 0
Sur les noeuds NO2, NO6, NO7 et NO8 : DX = 0
Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même force nodale 1/4 appliquée
sur les quatre noeuds de S_SUP.
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3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot clé
DEFI_MATERIAU ELAS_FO
UMLV_FP
FONC_DESORP
K_RS
K_IS
K_RD
V_RS
V_IS
V_RD
V_ID
CREA_CHAMP `AFFE'


TYPE_CHAM='NOEU_TEMP_R'
NOM_CMP='TEMP'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
LIAISON_UNIF
FORCE_NODALE
SECH_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION=`UMLV_FP'

3.4
Grandeurs testées et résultats
La composante
xx
au noeud NO6 a été testée.
Instant Référence
Aster %
différence
0. 0. 0.
-
1.0000E+00 ­3.225814D-05
­3.225810D-05
­1.37E-04
9.7041E+04 ­3.867143D-05
­3.867140D-05
­8.95E-05
1.8389E+06 ­6.088552D-05
­6.088554D-05
3.25E-05
8.6400E+06 ­1.100478D-04
­1.100473D-04
­7.27E-06
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4 Modélisation
B
4.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D axisymétrique.
x
y
N1
N2
N4
N3
4.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles : 1 de type QUAD 4
4 de type SEG2
On définit les mailles suivantes :
L_INF NO1
NO2
L_DRT NO2
NO4
L_SUP NO4
NO3
L_GCH NO3
NO1
Les conditions aux limites en déplacement imposées sont :
Sur L_GCH : DY = 0
Sur L_INF : DX = 0
Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même force nodale 1/2 appliquée
sur les deux noeuds de L_SUP.
4.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot clé
DEFI_MATERIAU ELAS_FO
UMLV_FP
FONC_DESORP
K_RS
K_IS
K_RD
V_RS
V_IS
V_RD
V_ID
CREA_CHAMP `AFFE'


TYPE_CHAM='NOEU_TEMP_R'
NOM_CMP='TEMP'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
LIAISON_UNIF
FORCE_NODALE
SECH_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION=`UMLV_FP'
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4.4
Grandeurs testées et résultats
La composante
yy
au noeud NO3 a été testée
Instant Référence
Aster %
différence
0. 0. 0.
-
1.0000E+00 ­3.225814D-05
­3.225810D-05
­1.37E-04
9.7041E+04 ­3.867143D-05
­3.867140D-05
­8.95E-05
1.8389E+06 ­6.088552D-05
­6.088554D-05
3.25E-05
8.6400E+06 ­1.100478D-04
­1.100473D-04
­7.27E-06

5 Modélisation
C
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation en Contraintes Planes.
x
y
N1
N2
N4
N3
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles : 1 de type QUAD 4
4 de type SEG2
On définit les mailles suivantes :
L_INF NO1
NO2
L_DRT NO2
NO4
L_SUP NO4
NO3
L_GCH NO3
NO1
Les conditions aux limites en déplacement imposées sont :
Sur L_GCH : DY = 0
Sur L_INF : DX = 0
Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même force nodale 1/2 appliquée
sur les deux noeuds de L_SUP.
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5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot clé
DEFI_MATERIAU ELAS_FO
UMLV_FP
FONC_DESORP
K_RS
K_IS
K_RD
V_RS
V_IS
V_RD
V_ID
CREA_CHAMP `AFFE'


TYPE_CHAM='NOEU_TEMP_R'
NOM_CMP='TEMP'
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
LIAISON_UNIF
FORCE_NODALE
SECH_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION=`UMLV_FP'
ALGO_C_PLAN='DEBORST'

5.4
Grandeurs testées et résultats
La composante
yy
au noeud NO3 a été testée
Instant Référence
Aster %
différence
0. 0. 0.
-
1.0000E+00 ­3.225814D-05
­3.225810D-05
­1.40E-04
9.7041E+04 ­3.867143D-05
­3.867140D-05
­9.225E-05
1.8389E+06 ­6.088552D-05
­6.088554D-05
3.08E-05
8.6400E+06 ­1.100478D-04
­1.100478D-04
­8.22E-06
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6
Synthèse des résultats
Les valeurs obtenues avec le Code_Aster sont en accord avec les valeurs de la solution analytique de
référence. Ce même test a été tourné avec Castem au Laboratoire de Mécanique à L'Université de
Marne la Vallée, les mêmes résultats ont été obtenus.