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7.0
Titre :
ADLS102 - Oscillateur fluidélastique méridien
Date
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06/08/03
Auteur(s) :
G. DEVESA, F. STIFKENS
Clé
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Fascicule V8.21 : Acoustique HT-66/03/008/A
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EDF-R&D/AMA















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Fascicule V8.21 : Acoustique
Document : V8.21.102



ADLS102 - Oscillateur fluidélastique méridien



Résumé :

L'objectif est de calculer le déplacement du piston d'un « oscillateur fluide-élastique méridien ».
Il s'agit d'un piston-ressort couplé avec un fluide contenu dans un canal à parois rigides et fixes ; le canal est
traversé par une onde de dépressurisation.

On considère le problème plan de ce modèle méridien. Ce problème bidimensionnel est ramené à un problème
monodimensionnel en considérant par approximation que les vitesses d'écoulement transversal induites par le
mouvement du piston se transmettent instantanément en vitesses axiales.

Une seule modélisation est utilisée. Le calcul des modes est en formulation u, p,
.
On utilise donc des éléments 2D ; ces éléments sont basés sur des mailles QUAD4 pour le fluide et pour le
piston, sur des mailles SEG2 pour l'interface entre fluide et piston pour prendre en compte l'interaction fluide
structure (
PHENOMENE=`MECANIQUE', MODELISATION='2D_FLUI_STRU'
).

Les conditions aux limites de non retour de l'onde sont réalisées en modélisant un piston amortisseur à chaque
extrémité ; l'excitation est réalisée en appliquant une dépression sur le piston d'entrée.

Le fluide que l'on considère est l'eau (chaude), le modèle schématisant l'interaction fluide-structure dans
l'espace annulaire entre cuve et enveloppe de coeur lors d'une dépressurisation rapide.

Une solution analytique exacte existe. Sa comparaison avec les résultats produits par Code_Aster permet de
valider la prise en compte du couplage fluide structure en 2D.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On décrit ci-dessous le modèle d'oscillateur fluidélastique méridien schématisant l'interaction
fluide-structure dans l'espace annulaire cuve-enveloppe de coeur.
L'oscillateur fluide élastique méridien est un modèle de l'espace annulaire cuve-enveloppe de coeur de
réacteur; il est constitué d'un oscillateur (piston latéral-ressort figurant une paroi mobile) couplé avec
un fluide compressible contenu dans un canal à parois rigides et fixes.
Le canal est traversé par une onde de dépressurisation.
La figure [Figure 1.1-a] ci-dessous illustre le modèle décrit.
H
e
z
d x
Figure 1.1-a : Schéma global de l'oscillateur fluide-élastique méridien
Le canal est de section rectangulaire de dimensions
e H
×
le piston latéral rigide se déplace selon
z
perpendiculairement à une paroi.
Une onde de dépressurisation arrive par la gauche ; en se dirigeant vers la droite (sans possibilité de
retour) cette onde aspire le piston qui, par son déplacement résultant, génère des ondes se
propageant vers les extrémités du conduit, supposé infiniment long pour qu'il n'y ait pas de réflexion.
On conçoit une modélisation bidimensionnelle de ce système, représentée à la figure [Figure 1.1-b]
ci-dessous :
O
L
-L
z
e
dx
K
M
x
(d
)
V
V
2L
Figure 1.1-b : Représentation mécanique bidimensionnelle théorique
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Ses caractéristiques géométriques sont les suivantes :
longueur piston de paroi
2L = 5,0 m,
hauteur de fluide
e = 0,5 m,
largeur de fluide
H = 1,0 m,
section de fluide
S =
e H
.

1.2
Propriétés des matériaux
Les caractéristiques physiques du matériau fluide (eau chaude) dans le tube sont les suivantes :
masse volumique
f
3
3
= 0,75 10 kg/m
,
célérité du son
c
f
=
1,0 10 m/s
3
.
Les caractéristiques physiques des matériaux constituant le piston de paroi et les pistons d'extrémité
n'ont qu'un rôle formel dans le calcul de Code_Aster.
Ces caractéristiques physiques de matériau sont les suivantes :
module d'Young
E = 2,0 10 Pa
12
,
coefficient de Poisson
= 0,3
,
masse volumique
s
3
= 0 kg/m
.

1.3
Caractéristiques des ressorts, masses et amortisseurs
Les caractéristiques du piston de paroi en tant qu'oscillateur sont les suivantes :
Raideur
K = 5,0 10 N/m
10
,
Masse
M = 200,0 10
3
kg
.
Amortissement
A = 0 N /m
s
Les caractéristiques des pistons d'extrémité en tant qu'oscillateurs sont les suivantes :
Raideur
k = 0 N/m
,
Masse
m = 0 kg
,
Amortissement
a = c S = 37,5 10 N /m
f
f
4
s
.

1.4
Conditions aux limites et chargements
Piston de paroi infiniment rigide et à déplacement uniquement selon l'axe vertical.
Longueur de fluide infinie donc pas de réflexion d'extrémité des ondes : cette C.L. est simulée dans le
modèle par un piston à chaque extrémité, de masse nulle, se déplaçant uniquement selon l'axe des x
et muni d'un amortisseur à amortissement adéquat ; ces pistons sont de plus infiniment rigides.
Réflexion totale des ondes sur des parois infiniment rigides du tube de fluide : réalisé simplement en
omettant de modéliser la paroi par des éléments de structure.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Le but est de déterminer le déplacement temporel
)
(t
z
du piston de paroi.
On considère le problème plan de ce modèle méridien dont les caractéristiques géométriques,
mécaniques et fluides sont décrites sur la figure [Figure 1.1-a] ; le piston latéral est de longueur 2L.
Le problème bidimensionnel est ramené à un problème monodimensionnel en considérant par
approximation que les vitesses d'écoulement transversal
z&
induites par le mouvement du piston se
transmettent instantanément en vitesses axiales dans le canal.
Dans le volume de contrôle
d
edx
=
d'étendue
dx
sous le piston de paroi on peut écrire:
d V
dxd
e
(
)
&z
=
1
2
Dans le fluide variation de vitesse et variation de pression en évolution adiabatique sont reliées par :
P
c V
=
La pression à l'instant
t
en un point d'abscisse
x
résulte de la superposition de la propagation de
toutes les sources élémentaires distribuées sur le piston :
Le couplage consiste donc en ceci: le mouvement du piston d'accélération
&&z( )
t
induit dans le canal un
champ de pression
)
,
P( t
x
dont l'effort résultant sur l'étendue du piston lui-même agit en retour sur la
dynamique de l'oscillateur.
Les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides du modèle sont présentées sur la figure
[Figure 1.1-b].
On considère d'abord que le piston et le fluide sont au repos et on effectue un lâcher de l'oscillateur à
l'instant t = 0 en lui imposant une vitesse initiale.
L'expression de la pression
)
,
P( t
x
en un point du canal se développe :
P( , )
&&z(
)
&&z(
)
x t
x u
c
du
u x
c
du d
c
e
x
L
L
x
t
=
- -
+
- -



+
-
2
0
Or on a
z( )
0
0
=
et
z( )
t
=
0
pour t négatif, et
z(
)
- -
=
L x
c
0
puisque en amont du piston (
x
compris entre
L
-
et
L
) la quantité entre
parenthèse est toujours négative ; pour la même raison on a
z(
)
- +
=
L x
c
0
.
Finalement il vient :
P( , )
z( ) z(
) z(
)
x t
t
t
L x
c
t
L x
c
c
e
=
-
- -
-
- +



2
2
2
On intègre cette expression sur x afin d'obtenir la résultante des forces de pression sur le piston :
R( )
P( , )
P( , )
t
H
x t dx
H
x t dx
L
L
L
= -
= -
-
+
2
0
:
En effet
P( , )
x t
est paire en
x
; il suffit donc d'intégrer sur la moitié du piston.
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D'où l'expression de la résultante des forces de pression sur le piston dans l'hypothèse des petits
mouvements :
R( )
z( )
z( )
t
L t
c
u du
H c
e
t
t
L
c
= -
-




-
2
2
2
Le mouvement de l'oscillateur obéit donc à l'équation :
M
K
HL c
e
HL c
e
c
u du
t
t
L
c
&&z
z
z
z( )
+
+
-
=
-
2
2
0
2
2
2
ou encore :
M
coupl
&&z F
F
int
-
-
=
0
si on pose :
F
z
z
int
= -
-
K
HL c
e
2
2
et
-
=
t
t
coupl
c
L
du
u
c
e
c
HL
2
)
z(
2
F
2
On considère maintenant le cas de la propagation d'une onde de décompression à front raide
d'amplitude
P
0 le long du conduit. A l'instant t = 0, cette onde attaque le piston de paroi encore au
repos, créant sur ce piston une force d'excitation telle que :
F
excit
Hct P
t
L
c
HL P
t
L
c
=
<



0
0
2
2
2
si
si
L'équation du mouvement s'écrit alors :
M
coupl
excit
&&z F
F
F
int
=
+
+
Cette équation est résolue numériquement avec le logiciel Matlab pour les caractéristiques présentées
de l'oscillateur méridien.
2.2 Résultat
de
référence
Déplacement
)
(t
z
du piston de paroi.
2.3
Incertitude de la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
F. STIFKENS : «Calcul transitoire dans le Code_Aster avec les éléments vibro-acoustiques».
Note interne R&D HP-51/97/026/A.
[2]
F. TEPHANY, A. HANIFI, C. LEHAUT : «Eléments d'analyse de l'interaction fluide-structure
dans l'espace annulaire cuve-enveloppe de coeur en cas d'APRP» - Note interne SEPTEN
ENTMS/94.057.
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3 Modélisation
3.1
Caractéristiques de la modélisation
3.1.1 Système
vibro-acoustique équivalent à modéliser
Afin d'éviter les ondes de retour provenant des extrémités d'une modélisation forcément de dimension
finie on munit ces extrémités de systèmes «piston-amortisseur» comme sur la figure [Figure 3.1.1-a].
Le canal est modélisé sur une longueur totale de 28 m suffisante pour obtenir avec certitude, au moins
les deux premiers extrema de la courbe de déplacement du piston sans perturbation d'une onde de
réflexion aux extrémités.
fluide
P
raideur
K
masse
M
masse volumique
célérité
c
=
S
c
=
S
c
m
=

0
m =

0
piston
paroi
piston
excitateur
piston
anechoïque
paroi rigide
fluide
28 m
5 m
0,5 m
Figure 3.1.1-a : Système vibro-acoustique équivalent
3.1.2 Modélisation
numérique en éléments finis de Code_Aster
On a choisi de modéliser en 2D.
Pour le fluide : la modélisation est en formulation p,
.
Elle est réalisée par l'affectation sur des mailles de type
QUAD4
(quadrilatères à 4 noeuds) d'éléments
PHENOMENE ='MECANIQUE', MODELISATION ='2D_FLUIDE'
.
Pour les structures : la modélisation est en formulation u.
Elle est réalisée par l'affectation sur des mailles de type
QUAD4
(quadrilatères à 4 noeuds) d'éléments
PHENOMENE ='MECANIQUE', MODELISATION ='D_PLAN'
.
Pour les éléments discrets d'oscillateurs : la modélisation est en formulation u.
Elle est réalisée par l'affectation sur des mailles de type ponctuel
POI1
d'éléments
PHENOMENE ='MECANIQUE', MODELISATION ='DIS_T'
.
Pour les interfaces fluide-structure : la modélisation est en formulation u, p,
.
Elle est réalisée par l'affectation sur des mailles de type
SEG2
(segments à 2 noeuds) d'éléments
PHENOMENE ='MECANIQUE', MODELISATION ='2D_FLUIDE_STRU'
.
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3.2
Caractéristiques du maillage
560 X 10 éléments 2D de fluide
50 éléments de structure
élément ponctuel raideur
élément ponctuel amortisseur
10 élém. 2D de structure
10 élém. 1D de structure
50 élém. 1D flui-stru
10 élém. 1D flui-stru
10 élém. 2D de structure
10 élém. 1D flui-stru
Figure 3.2-a : Maillage bidimensionnel du modèle d'oscillateur fluidélastique

On a regroupé dans le tableau ci-après, les données caractérisant cette modélisation.
Type de maille
Nombre
QUAD4
SEG2
POI1
total

Nombre d'éléments
2870
80
3
2953

Nombre de noeuds générés
3164
0
0
3164
Tableau 3.2-1 : Caractéristiques du maillage bidimensionnel de l'oscillateur fluidélastique

3.3 Calcul
On souhaite valider les éléments d'interaction fluide-structure en régime transitoire par un chargement
d'excitation.
On effectue le calcul du déplacement du piston de paroi avec l'opérateur
DYNA_LINE_TRAN
.
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3.4 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE MECANIQUE
D_PLAN
2D_DIS_T
2D_FLUIDE
2D_FLUI_STRU
DEFI_MATERIAU FLUIDE
ELAS
RHO, CELE_R,
E, NU, ...
AFFE_CARA_ELEM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
LIAISON_SOLIDE
PRES_REP
DX, DY...
CALC_MATR_ELEM
CALC_VECT_ELEM
ASSE_MATRICE
ASSE_VECTEUR
DYNA_LINE_TRAN
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4
Résultat de la modélisation
4.1 Valeurs
testées
Les résultats du calcul avec Code_Aster sont présentés graphiquement sur la [Figure 4.1-a] en
superposition avec la solution de référence «analytique».
La courbe de Code_Aster paraît très proche de la référence pendant les 4 premières oscillations mais
les différences, à la fois en amplitude et en phase, sont de plus en plus perceptibles quand t s'accroît.
0
20
40
60
80
100
x 10
-3
temps (s)
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
x 10
-3
deplacement (m)
0
20
40
60
80
100
x 10
-3
temps (s)
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
x 10
-3
deplacement (m)
agraf 22/12/97 (c) EDF/DER 1992
Oscillateur fluidelastique meridien soumis a depressurisation
EDF
Electricité
de France
Département Acoustique et Mecanique vibratoire
Deplacements compares du piston de
paroi, entre calcul par Aster et
calcul analytique
Aster
analytique
depl. equilibre
-0.00136
-0
Figure 4.1-a : Comparaison entre calcul Code_Aster et référence semi analytique
Le test porte sur le déplacement du piston de paroi en deux instants donnés proches des deux
premiers extrema.
Le tableau présente un comparatif des 2 premiers extrema de la courbe de déplacement du piston
entre points analytiques et points calculés par Code_Aster.
Les valeurs obtenues des instants d'extrema dans l'un et l'autre cas sont des valeurs estimées
extraites sans interpolation des valeurs calculées brutes : elles ne correspondent pas exactement entre
la courbe analytique et la courbe de Code_Aster.
On estime la tolérance d'écart relatif par rapport à la valeur analytique à 1.%.
Référence
analytique
Code_Aster
Ecart relatif
Inst. (ms) Dépl. (mm)
Inst. (ms)
Dépl. (mm)
%
1
er
Extremum
20,13
­1,3530
20,15
­1,3536
0,05
2
me
Extremum
26,05
­0,4210
26,05
­0,42071
0,07
Test de non régression du code :
la tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.
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4.2 Remarque
Les valeurs de référence finalement retenues sont celles obtenues par Code_Aster lors de la
restitution du cas-test, ce qui permettra donc de vérifier la non régression ultérieure du code au cours
de son évolution.


5
Synthèse des résultats
Bonne précision sur les premières périodes puis légère erreur en amplitude et en phase due à
l'influence de l'intégration en temps numérique Newmark


=
=
2
1
,
4
1
.