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SSNA302 - Plaque circulaire soumise à pression
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: EDF/IMA/MMN, SAMTECH SA














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Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document : V6.01.302



SSNA302 - Plaque circulaire simplement appuyée
soumise à pression



Résumé :

Ce test consiste à appliquer une pression transversale sur une plaque circulaire, simplement appuyée et
constituée d'un matériau élastique. Il est destiné à étudier la prise en compte des non linéarités géométriques
particulièrement en l'absence de courbure initiale quand la raideur transversale est uniquement due à l'effet de
plaque.

La modélisation est faite avec des éléments volumiques de type HEXA20 et PENTA15 et des éléments
surfaciques de type QUAD8 et TRIA6 pour l'application de la pression.

La référence est le logiciel SAMCEF. On présente pour information les résultats issus de la théorie des coques
minces.

La commande
COMP_ELAS
avec l'option `
GREEN
' est comparée à
COMP_INCR
avec l'option `
PETIT_REAC
'.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
pression p
rayon r
épaisseur h
A
B
axe de
symétrie

1.2
Propriétés de matériaux
Matériau élastique isotrope :
E = 200000 Mpa
= 0.3

1.3
Conditions aux limites et chargements
Point B :
u
x
=0
u
y
=0.
On applique une pression transversale p sur la plaque : p = 222.72 N/mm
2
. Cette pression correspond
à une flèche w
0
de 1.5 mm.
Rayon r = 10 mm
Epaisseur h = 1 mm
Le problème est axisymétrique.
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2
Solution de référence
2.1
Solution de référence
La référence est le logiciel SAMCEF. On présente, pour information, au paragraphe [§2.2], les
résultats théoriques liés à une hypothèse de type coque mince. Puis, sont présentés les résultats
obtenus avec SAMCEF selon que l'on choisisse une hypothèse de type coque épaisse ou de type
volume. C'est cette dernière qui est prise en considération pour l'évaluation du Code_Aster.

2.2
Solution analytique et résultats de référence
La formule suivante donne la flèche w
0
au centre de la plaque :
w
h
A wh
Bp
E
r
h
0
0 3
4
+ =
avec A = 1.852 et B = 0.696
Les contraintes à mi-épaisseur valent :
rr
r
t
E w
r
E w
r
=
=
02
2
02
2
Les contraintes en peau inférieure valent
rr
r
t
E w h
r
E w h
r
,
,
=
=
0
2
0
2
Les coefficients valent :
Au centre de la plaque :
r
t
=
= 0.905
r
t
=
= 1.778
Au bord de la plaque :
r
= 0.610
t
= 0.183
r
= 0
t
= 0.755
Pour une pression de 222.72 MPa, la flèche w
0
vaut 1.5 mm et on obtient les contraintes suivantes :
Position
rr
(MPa)
(MPa)
rr
`(MPa)
`(MPa)
Centre
4072.5 4072.5 5334.0 5334.0
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Ces résultats correspondent à une hypothèse de coque mince.
Le tableau suivant montre les résultats obtenus par SAMCEF pour une modélisation de type coque
épaisse et de type volume.
Identification Coque
épaisse
Volume
Flèche w0 (mm)
­1.43041 E­3
­1.441838 E­3
SIXX ( MPa ) centre, mi­épaisseur
3899.88
3850.88
SIYY ( MPa ) centre, mi­épaisseur
3899.53
3850.91
SIXX ( MPa ) centre, peau inf
8085.81
8133.60
SIYY ( MPa ) centre, peau inf
8083.32
8133.65
SIXX ( MPa ) r =R/2, mi­épaisseur
3596.91
3512.79
SIYY ( MPa ) r =R/2, mi­épaisseur
3056.37
2947.55
SIXX ( MPa ) r =R/2, peau inf
7798.18
7815.73
SIYY ( MPa ) r =R/2, peau inf
7264.69
7307.04
Les valeurs des contraintes sont des valeurs par élément extrapolées aux noeuds.
Les résultats obtenus avec SAMCEF sont proches l'un de l'autre.
Les écarts de résultats entre la théorie coque mince et le calcul élément fini utilisant l'hypothèse coque
épaisse sont importants.
On choisit de prendre comme référence le calcul volumique obtenu par SAMCEF.

2.3 Références
bibliographiques
[1]
Theory of Plates and Shells, Timoshenko S.P.,2
nd
edition, p 412
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation A





Face 1 :
Fixation sur x








Figure 3.1-A : Face 2 : Fixation sur y
On ne modélise qu'un quart de plaque. On introduit des conditions de symétrie sur les deux faces
montrées ci-dessus.
De plus on fixe suivant x, y, z tous les noeuds du bord situés à mi épaisseur.
Afin de représenter le plus fidèlement les hypothèses de coque mince, on introduit des contraintes
linéaires sur les degrés de liberté des noeuds du bord. Celles ci s'écrivent :
pour deux noeuds i et j situés de part et d'autre du feuillet moyen :
u
i
+ u
j
= 0
v
i
+ v
j
= 0
où u et v désignent les déplacements suivant les axes x et y.
La syntaxe utilisée dans le jeu de données du Code_Aster est la suivante :
LIAISON_DDL ( Noeud : Ni N
j
) , DDL : ( `DX', `DX' ) , COEF_MULT : ( 1 , 1 ) , COEF_IMPO : 0
On applique linéairement la pression en utilisant 6 incréments.

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
2091
Nombre de mailles et types :
368 HEXA20, 28 PENTA15
92 QUAD8, 7 TRIA6

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DEFI_MATERIAU ELAS
[U4.23.01]
STAT_NON_LINE COMP_ELAS RELATION ELAS
[U4.32.01]
DEFORMATION
GREEN
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EXCIT
TYPE_CHARGE
`SUIV'
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster
% différence
Flèche w0 (mm)
­1.441838E­3
­1.43823E­3
­0.250
SIXX (MPa) centre, mi­épaisseur
3850.9
3901.8
1.322
SIYY (MPa) centre, mi­épaisseur
3850.9
3901.8
1.323
SIXX (MPa) centre, peau inf
8133.6
8341.0
2.550
SIYY (MPa) centre, peau inf
8133.6
8341.1
2.549
SIXX (MPa) r =R/2, mi­épaisseur
3512.8
3513.1
0.010
SIYY (MPa) r =R/2, mi­épaisseur
2947.5
3016.6
2.344
SIXX (MPa) r =R/2, peau inf
7815.7
7885.4
0.892
SIYY (MPa) r =R/2, peau inf
7307.0
7439.5
1.813

4.2 Remarques
On obtient la même précision sur les résultats en utilisant un seul incrément de chargement. Le temps
CPU est alors de 736.19 secondes.

4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 5.02
Machine : SGI ORIGIN 2000 - R12000
Encombrement mémoire : 64 mégamots
Temps CPU User :
475 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation B
Idem modélisation A, mais en traitant les non linéarités géométriques par la commande COMP_INCR
option PETIT_REAC.

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
2091
Nombre de mailles et types : 368 HEXA20, 28 PENTA15
92 QUAD8, 7 TRIA6

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DEFI_MATERIAU ELAS
[U4.23.01]
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION ELAS
[U4.32.01]
DEFORMATION
`PETIT_REAC'
EXCIT
TYPE_CHARGE
`SUIV'


6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster
% différence
Flèche w0 (mm)
­1.441838E­3
­1.3692E­3
­5.036
SIXX (MPa) centre, mi­épaisseur
3850.9
4219.3
9.568
SIYY (MPa) centre, mi­épaisseur
3850.9
4219.4
9.569
SIXX (MPa) centre, peau inf
8133.6
7950.5
­2.251
SIYY (MPa) centre, peau inf
8133.6
7950.5
­2.252
SIXX (MPa) r =R/2, mi­épaisseur
3512.8
3838.4
9.268
SIYY (MPa) r =R/2, mi­épaisseur
2947.5
3314.2
12.440
SIXX (MPa) r =R/2, peau inf
7815.7
7593.9
­2.839
SIYY (MPa) r =R/2, peau inf
7307.0
7123.7
­2.509

6.2 Remarques
On note un écart important entre la solution de référence et la solution fournie par le Code_Aster.
On vérifie que cet écart tend vers 0 lorsque l'on augmente le nombre d'incréments.

6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 5.02
Machine : SGI ORIGIN 2000 - R12000
Encombrement mémoire : 64 mégamots
Temps CPU User : 924 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation C
z
A
B
r

·
modélisation axisymétrique
·
conditions aux limites :
B :
DX = 0
DY = 0
Comme pour la modélisation A (3D), des contraintes linéaires sont introduites pour mieux représenter
une cinématique de coque. Elles portent sur les noeuds du bord extérieur du disque. Si i et j désignent
2 noeuds de part et d'autre du feuillet moyen, elles s'écrivent :
u
u
u
i
j
+
= 0
où désigne le déplacement radial

7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds :
149
Nombre de mailles et types : 40 QUAD8, 10 SEG3

7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DEFI_MATERIAU ELAS
[U4.23.01]
STAT_NON_LINE COMP_ELAS RELATION ELAS
[U4.32.01]
DEFORMATION
`GREEN'
EXCIT
TYPE_CHARGE
`SUIV'
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster
% différence
Flèche w0 (mm)
­1.430
­1.438
0.5
SIXX (MPa) centre, mi­épaisseur
3900
3909
0.2
SIZZ (MPa) centre, mi­épaisseur
3900
3896
0.1

8.2 Remarques
En l'absence d'un calcul de référence axisymétrique SAMCEF, on se fonde sur le calcul en coque
épaisse (toujours SAMCEF) et on ne compare que la flèche et les contraintes au centre à mi-
épaisseur.

8.3 Paramètres
d'exécution
Version : 5.02
Machine : SGI ORIGIN 2000 - R12000
Encombrement mémoire : 64 mégamots
Temps CPU User : 12 secondes
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9
Synthèse des résultats
Les performances en temps calcul et précision des résultats sont satisfaisantes en utilisant la
commande
COMP_ELAS
option «
GREEN
» . Par contre, le traitement des non linéarités géométriques
par la commande
COMP_INCR
option «
PETIT_REAC
» fournit des résultats assez éloignés de la
solution de référence en adoptant une discrétisation en 6 pas de temps qui conduit à des coûts en
temps calcul déjà importants.
Le tableau suivant récapitule les performances ( temps de calcul et nombre d'itérations ) entre le
Code_Aster et SAMCEF. Le nombre d'incréments imposés est identique dans les deux cas
(6 incréments).

GREEN
(A)
PETIT_REAC
(B)
Nombre d'itérations Code_Aster 27 67
Temps CPU Code_Aster (en s)
470
5108
Nombre d'itérations SAMCEF
26
-
Temps CPU SAMCEF (en s)
403
-