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Version
8.1
Titre :
SSNP128 ­ Validation de l'élément à discontinuité sur une plaque plane
Date
:
25/11/05
Auteur(s) :
J. LAVERNE
Clé
:
V6.03.128-A
Page :
1/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
HT-66/05/005/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA















Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
Document : V6.03.128



SSNP128 ­ Validation de l'élément à discontinuité
sur une plaque plane


Résumé :

Le but de ce test est d'exhiber une solution analytique afin de valider la qualité de l'élément à discontinuité (voir
documentation [R7.02.12] pour des détails sur cet élément). L'objectif de ce test est de vérifier que ce modèle
conduit à une bonne prédiction de la valeur du saut de déplacement le long d'une fissure. Pour ce faire, on
cherche une solution analytique présentant un saut non constant le long d'une discontinuité que l'on compare
avec la solution obtenue numériquement. Par ailleurs lorsqu'on cherche à valider une méthode numérique il est
préférable de s'assurer de l'unicité de la solution recherchée. Nous verrons que c'est le cas pour la solution
analytique présentée si une condition portant sur la taille maximum du domaine étudié en fonction des
paramètres du modèle est vérifiée.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Dans le système de coordonnées cartésiennes
( )
,
x y
, considérons une plaque plane rectangulaire
élastique notée
] [ ]
[
0,
0,
L
H
=
×
(voir [Figure 1.1-a]). Notons
{ }
]
[
0
0
0, H
=
×
la face gauche du
domaine et
0
la partie complémentaire du bord.













Figure 1.1-a : Schéma de la plaque

Dimensions du domaine
:
1 mm , H=2 mm
L
=

1.2
Propriétés de matériaux
Le matériau est élastique avec une contrainte critique et une ténacité choisies arbitrairement :
-1
10 MPa ,
0 ,
1.1 MPa ,
0.9 N.mm
c
c
E
G
=
=
=
=

1.3
Conditions aux limites et chargements
Les conditions aux limites sont déterminées par la solution analytique présentée dans la partie
suivante de telle sorte qu'elles conduisent à une fissure possédant un saut non constant le long de
0
. Le chargement correspond à un déplacement imposé sur les bords de la plaque : (voir
[Figure 1.3-a]).
(
)
,
x y
sur
=
u
U
( )
( )
0
0
0
y
y
sur

=
-
u U
0
H
L
X
Y
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Figure 1.3-a : Schéma du chargement

Les valeurs
0
,
U U
et
sont définies lors de la construction de la solution de référence dans la partie
suivante.
0
0
=
-
u U
=
u U
=
u U
=
u U
X
Y
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2
Solution de référence
Dans cette partie on exhibe une solution analytique avec un saut non constant le long de
0
, puis on
donne une condition d'unicité de la solution.

2.1 Solution
analytique
La fonction d'Airy
( )
,
x y
gouvernée par l'équation
0
=
sur
, dans le cas où les efforts
extérieurs sont nuls, conduit à des contraintes satisfaisant les équations d'équilibre et de compatibilité
en élasticité (voir
F
ung [bib1]). Les composantes de la contrainte
,
xx
yy
et
xy
dérivent de
( )
,
x y
de la façon suivante :
2
2
2
2
2
,
et
xx
yy
xy
y
x
x y
=
=
= -
éq
2.1-1
Choisissons une fonction bi-harmonique
( )
,
x y
définie par :
(
)
(
)
3
2
,
6
2
y
y
x y
x
xy
=
+
+
+
avec
, ,
et
constantes réelles arbitraires. On en déduit d'après [éq 2.1-1] le champ de
contrainte :
0
xx
yy
xy
x
y
y

=
+
+
=

= -
-
éq
2.1-2
En intégrant la loi élastique, si on note
E
le module d'Young et
le coefficient de Poisson (que l'on
prend nul), on en déduit le champ de déplacement dans
vérifiant l'équilibre :
( )
( )
(
)












+
-




+
+




-
=




=
x
x
E
y
x
y
x
E
y
x
v
y
x
u
2
2
1
2
1
,
,
^
2
2
2
u
éq
2.1-3
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Notons respectivement
0
U
et
U
les déplacements sur
0
et
0
donnés par [éq 2.1-3]. Ces
derniers correspondent aux conditions aux limites conduisant au champs de contrainte [éq 2.1-2]. A
partir de ces données, il est facile de construire un champ de déplacement avec une discontinuité sur
le bord
0
. En effet, connaissant la contrainte normale
.n
sur
0
que l'on note
( )
y
F
, on obtient le
saut de déplacement
( )
y
en inversant la loi de comportement exponentielle de type Barenblatt :
CZM_EXP (voir documentation sur les éléments à discontinuité interne et leur comportement :
[R7.02.12]) :
( )
( )
( )
( )
ln
c
c
c
y
G
y
y
y
= -
F
F
F
pour tout
y
dans
[
]
0, H
. Ainsi, le nouveau déplacement imposé sur
0
générant un tel saut est égal
à
0
-
U
. On a donc construit une solution analytique de la plaque plane vérifiant les équations
d'équilibre et de compatibilité avec une discontinuité en
0
le long de laquelle le saut de déplacement
n'est pas constant. Rappelons les conditions aux limites du problème :
(
)
,
x y
sur
=
u
U
( )
( )
0
0
0
y
y
sur

=
-
u U
éq
2.1-4

2.2
Unicité de la solution
Après avoir construit une solution analytique il est important de s'assurer que cette dernière est unique
pour pouvoir la comparer avec la solution numérique. On montre, voir [bib2], que l'unicité est garantie
dès que la condition suivante, sur la géométrie du domaine ainsi que sur les paramètres matériau, est
vérifiée :
2
2
c
c
G
L
µ
<
.
éq 2.2-1
Les dimensions de la plaque et les paramètres matériau donnés précédemment vérifient cette
condition.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
L'idée est d'effectuer une simulation numérique correspondant au problème présenté dans la partie
précédente et de comparer les résultats obtenus. Les éléments à discontinuité permettent de
représenter la fissure le long de
0
. Ces derniers ont pour modélisation PLAN_ELDI et un
comportement CZM_EXP. Les autres éléments du maillage sont des QUAD4 élastiques en
modélisation D_PLAN.
Les valeurs des paramètres de la fonction d'Airy pour la construction de la solution analytique sont pris
de façon arbitraire :
-1
-1
0 MPa.mm ,
1 4
MPa.mm ,
1 2 MPa et
0 MPa
=
=
=
=

3.2
Caractéristiques du maillage
On effectue un maillage de la plaque structuré en quadrangles avec 20 mailles dans la largeur et
50 dans la hauteur. On dispose des éléments à discontinuité le long du coté
0
avec la normale
dirigée suivant
X
-uur
. Ceci est réalisé à l'aide du mot clé CREA_FISS de CREA_MAILLAGE (voir
documentation [U4.23.02]).

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
CZM_EXP
AFFE_MODELE MODELISATION PLAN_ELDI
DEFI_MATERIAU RUPT_FRAG
SIGM_C
SAUT_C
CREA_MAILLAGE CREA_FISS

3.4
Grandeurs testées et résultats
Grandeur testée
Théorie
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Différence (%)
Variable seuil : VI1
Sur l'élément MJ15
4.9315E-01 4.9363194272125E-01
0.098
Variable seuil : VI1
Sur l'élément MJ45
1.075 1.0757405707848
0.069
Contrainte normale : VI6
Sur l'élément MJ30
4.489E-01 4.4850081901631E-01
-0.089

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4
Synthèse des résultats
Ces résultats nous permettent de conclure que l'élément à discontinuité interne conduit à une bonne
approximation de la solution analytique. De plus, une étude sur la dépendance au maillage a été
réalisée dans [bib2]. On constate que l'erreur faite sur le saut de déplacement décroît quand on raffine
le maillage. Cela permet de conclure que, malgré un saut constant par élément, ce modèle permet de
reproduire correctement une fissure avec un saut non constant en raffinant le maillage.


5 Bibliographie
[1]
FUNG Y.C. : Foundation of Solid Mechanics, Prentice-Hall, (1979).
[2]
LAVERNE J. : Formulation énergétique de la rupture par des modèles de forces cohésives :
considérations théorique et implantations numériques, Thèse de Doctorat de l'Université
Paris 13, Novembre 2004.
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