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SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.111
SSLV111 - Estimateur d'erreur sur une plaque
trouée en élasticité linéaire
Résumé :
Ce test valide et compare les 2 versions de l'estimateur d'erreur de Zhu-Zienkiewicz (version 1 de 1987, notée
ZZ1, et version 2 de 1992, notée ZZ2) appliquée au système de l'élasticité linéaire, en statique.
Il comporte 5 modélisations en contraintes planes, correspondant chacune à un type d'élément fini (TRIA3,
QUAD4, TRIA6, QUAD8, QUAD9).
La solution analytique est connue et permet de comparer les erreurs estimées avec l'erreur exacte.
L'intérêt du test réside :
·
dans la comparaison entre les contraintes lissées avec ZZ1 (lissage global continu) et ZZ2 (lissage
local à des patchs d'éléments),
·
dans la comparaison des estimateurs entre eux,
·
dans l'analyse qualitative et quantitative des résultats (erreurs relatives globale et locale).
Le test met en évidence le bon comportement de ZZ2 sur tous les types d'éléments et les mauvais résultats de
ZZ1 sur des éléments quadratiques lorsque la solution ne présente pas de forte singularité, ce qui est le cas.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
A
B
C
D
E
a
( )
y
x
=
1.0
=
1.0
A
B
C
D
E
y
x
1.0
3.0
r
(h)
1.2
Propriétés de matériaux
E = 1 000 MPa
= 0.3.
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Sur AB,
u
X
=
0
Sur ED,
u
y
=
0
Sur CD tractions
(
)
(
)
F
x
F
x
x
xx
y
xy
=
=
=
=





4
4
.
.
Sur BC tractions
(
)
(
)
F
y
F
y
x
xy
y
yy
=
=
=
=




4
4
.
.
Selon la solution analytique [2].
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
On considère une portion d'une plaque infinie avec un trou central circulaire, soumise à un chargement
unitaire unidirectionnel dans la direction
Ox
e
e
x
x
=
1 &
&
.
La solution analytique de ce problème est [bib1] :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xx
yy
xy
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
=
-
+




+
= -
-




-
= -
+




+
1
3
2
4
3
2
4
1
2
2
4
3
2
4
1
2
2
4
3
2
4
2
2
4
4
2
2
4
4
2
2
4
4
cos
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
sin
où :
·
a
est le rayon du trou,
·
( )
r,
les coordonnées polaires.
2.2
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.3 Références
bibliographiques
[1]
Zhu-Zienkiewicz : The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates -
Part 1 : the recovery technique (Int. J. for Num. Methods in Engineering vol. 33, p. 1355
(mai 1992)).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 640 TRIA3.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A
xx
ZZ1
3.
2.823
­5.91
0.1
xx
ZZ2
3.
2.884
­3.85
0.1
yy
ZZ1
0.
0.261
-
0.3
yy
ZZ2
0.
0.207
-
0.3
xy
ZZ1
0.
­7.4 10
­3
-
0.1
xy
ZZ2
0.
­6.1 10
­2
-
0.1
P
xx
ZZ1
1.15625
1.152
­0.37
0.1
xx
ZZ2
1.15625
1.145
­0.98
0.1
yy
ZZ1
­0.15625
­0.150
­3.81
0.1
yy
ZZ2
­0.15625
­0.145
­7.00
0.1
xy
ZZ1
­0.125
­0.117
­6.11
0.1
xy
ZZ2
­0.125
­0.124
­0.68
0.1
Maille M1
e
abs
ZZ1
1.33 10
­4
1.10
­3
e
abs
ZZ2
8.13 10
­5
1.10
­3
e
rel
ZZ1
6.63%
0.1
e
rel
ZZ2
4.05%
0.1
e
abs
ZZ1
0.445 10
­2
0.424 10
­2
­4.76
e
abs
ZZ2
0.445 10
­2
0.451 10
­2
+1.31
e
rel
ZZ1
3.44%
3.28%
e
rel
ZZ2
3.44%
3.49%
ZZ1
0.952
ZZ2
1.013
4.2 Remarques
=
erreur estimée
erreur exacte est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
Contenu du fichiers résultats :
·
erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
·
valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
·
listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
19.0 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 320 QUAD4.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A
xx
ZZ1
3.
3.017
0.57
0.1
xx
ZZ2
3.
2.971
- 0.95
0.1
yy
ZZ1
0.
0.17
-
0.3
yy
ZZ2
0.
0.136
-
0.3
xy
ZZ1
0.
2.8 10
­3
-
0.1
xy
ZZ2
0.
­1.04 10
­2
-
0.1
P
xx
ZZ1
1.15625
1.168
0.98
0.1
xx
ZZ2
1.15625
1.153
­0.26
0.1
yy
ZZ1
­0.15625
­0.158
1.28
0.1
yy
ZZ2
­0.15625
­0.152
­2.83
0.1
xy
ZZ1
­0.125
­0.121
­2.99
0.1
xy
ZZ2
­0.125
­0.124
­0.94
0.1
Maille M1
e
abs
ZZ1
1.57 10
­4
1.10
­3
e
abs
ZZ2
2.40 10
­4
1.10
­3
e
rel
ZZ1
5.79%
0.1
e
rel
ZZ2
8.83%
0.1
e
abs
ZZ1
0.320 10
­2
0.294 10
­2
­8.1
e
abs
ZZ2
0.320 10
­2
0.307 10
­2
­4.2
e
rel
ZZ1
2.48%
2.28%
e
rel
ZZ2
2.48%
2.37%
ZZ1
0.919
ZZ2
0.958
6.2 Remarques
=
erreur estimée
erreur exacte est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
Contenu du fichiers résultats :
·
erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
·
valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
·
listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
13.4 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 160 TRIA6.
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A
xx
ZZ1
3.
2.975
­0.83
0.1
xx
ZZ2
3.
2.957
­1.43
0.1
yy
ZZ1
0.
6.86 10
­2
-
0.3
yy
ZZ2
0.
7.52 10
­2
-
0.3
xy
ZZ1
0.
­3.12 10
­2
-
0.3
xy
ZZ2
0.
­0.155
-
0.3
P
xx
ZZ1
1.15625
1.166
0.85
0.1
xx
ZZ2
1.15625
1.153
­0.25
0.1
yy
ZZ1
­0.15625
­0.167
6.92
0.1
yy
ZZ2
­0.15625
­0.153
­1.87
0.1
xy
ZZ1
­0.125
­0.127
1.52
0.1
xy
ZZ2
­0.125
­0.124
­0.58
0.1
Maille M1
e
abs
ZZ1
1.81 10
­4
1.10
­3
e
abs
ZZ2
2.92 10
­4
1.10
­3
e
rel
ZZ1
4.69%
0.1
e
rel
ZZ2
7.56%
0.1
e
abs
ZZ1
0.152 10
­2
0.123 10
­2
­19
e
abs
ZZ2
0.152 10
­2
0.167 10
­2
+9.9
e
rel
ZZ1
1.17%
0.95%
e
rel
ZZ2
1.17%
1.29%
ZZ1
0.810
ZZ2
1.099
8.2 Remarques
=
erreur estimée
erreur exacte est l'indice d'effectivité de l'estimateur.
Contenu du fichiers résultats :
·
erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
·
valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
·
listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
8.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
10.4 secondes
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 277.
Nombre de mailles et types : 80 QUAD8.
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
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10
Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A
xx
ZZ1
3.
3.063
2.11
0.1
xx
ZZ2
3.
3.037
1.24
0.1
yy
ZZ1
0.
0.101
-
0.3
yy
ZZ2
0.
2.47 10
­2
-
0.3
xy
ZZ1
0.
­5.8 10
­3
-
0.3
xy
ZZ2
0.
­2.41 10
­2
-
0.3
P
xx
ZZ1
1.15625
1.170
1.19
0.1
xx
ZZ2
1.15625
1.153
­0.29
0.1
yy
ZZ1
­0.15625
­0.162
3.54
0.1
yy
ZZ2
­0.15625
­0.153
­1.87
0.1
xy
ZZ1
­0.125
­0.124
­1.09
0.1
xy
ZZ2
­0.125
­0.124
­0.84
0.1
Maille M1
e
abs
ZZ1
6.1 10
­5
1.10
­3
e
abs
ZZ2
2.1 10
­4
1.10
­3
e
rel
ZZ1
1.45%
0.1
e
rel
ZZ2
5.01%
0.1
e
abs
ZZ1
9.01 10
­4
2.90 10
­4
+67.9 (!)
e
abs
ZZ2
9.01 10
­4
8.88 10
­4
­1.5
e
rel
ZZ1
0.697%
0.22%
e
rel
ZZ2
0.697%
0.687%
ZZ1
0.321
ZZ2
0.985
10.2 Remarques
=
erreur estimée
erreur exacte est l'indice d'effectivité de l'estimateur
Contenu du fichiers résultats :
·
erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
·
valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
·
listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
10.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.6 secondes
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 357.
Nombre de mailles et types : 80 QUAD9.
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
MECA_STATIQUE
OPTION
'SIEF_ELGA_DEPL'
[U4.31.01]
CALC_ELEM
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ1'
[U4.61.02]
OPTION
'ERRE_ELEM_NOZ2'
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12
Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
tolérance
A
xx
ZZ1
3.
3.070
2.33
0.1
xx
ZZ2
3.
3.004
0.14
0.1
yy
ZZ1
0.
0.113
-
0.3
yy
ZZ2
0.
0.04
-
0.3
xy
ZZ1
0.
­1.4 10
­3
-
0.1
xy
ZZ2
0.
1.89 10
­2
-
0.1
P
xx
ZZ1
1.15625
1.170
1.19
0.1
xx
ZZ2
1.15625
1.152
­0.33
0.1
yy
ZZ1
­0.15625
­0.162
3.44
0.1
yy
ZZ2
­0.15625
­0.153
­2.11
0.1
xy
ZZ1
­ 0.125
­0.124
­1.06
0.1
xy
ZZ2
­0.125
­0.124
­0.94
0.1
Maille M1
e
abs
ZZ1
6.1 10
­5
1.10
­3
e
abs
ZZ2
2.1 10
­4
1.10
­3
e
rel
ZZ1
1.45%
0.1
e
rel
ZZ2
5.01%
0.1
e
abs
ZZ1
8.99 10
­4
2.75 10
­4
+69.4 (!)
e
abs
ZZ2
8.99 10
­4
8.55 10
­4
­4.9
e
rel
ZZ1
0.695%
0.21%
e
rel
ZZ2
0.695%
0.66%
ZZ1
0.306
ZZ2
0.951
12.2 Remarques
=
erreur estimée
erreur exacte est l'indice d'effectivité de l'estimateur
Contenu du fichiers résultats :
·
erreurs absolues et relatives globales par les 2 méthodes,
·
valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,
·
listes des mailles où l'erreur relative est supérieure à 10%.
12.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.11
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
8.8 secondes
background image
Code_Aster
®
Version
4.0
Titre :
SSLV111 Estimateur d'erreur sur une plaque trouée
Date :
26/01/98
Auteur(s) :
X. DESROCHES
Clé :
V3.04.111-A
Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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13
Synthèse des résultats
TRIA3
QUAD4
TRIA6
QUAD8
QUAD9
e
rel
exacte
3.44%
2.48%
1.17%
0.697%
0.695%
ZZ1
3.28%
2.28%
0.95%
0.22%
0.21%
ZZ2
3.49%
2.37%
1.29%
0.687%
0.66%
ZZ1
0.952
0.919
0.810
0.321
0.306
ZZ2
1.013
0.958
1.099
0.985
0.951
Les contraintes aux noeuds sont, dans l'ensemble, mieux approximées avec ZZ2, surtout pour les éléments
d'ordre 2. Si on fait tendre
h
vers 0, les taux de convergence avec h de
ex
-
*
sont supérieurs par la
méthode ZZ2 pour tous les types d'éléments à ceux de la méthode ZZ1 (
*
est la contrainte lissée).
L'estimateur ZZ1 n'est pas fiable pour les éléments d'ordre 2, les contraintes nodales restent correctes. On peut
vérifier dans ce cas particulier que
0
quand
h
0
, ce qui montre que le lissage global continu s'avère
insuffisant pour estimer l'erreur dans le cas d'une solution sans singularités (cas de ce test).
ZZ2 est par contre fiable et asymptotiquement exact (
1
quand
h
0
).
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Titre :
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