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Version
6.0
Titre :
SSLA100 - Cylindre infini soumis à un champ de forces volumiques
Date :
30/11/01
Auteur(s) :
B. RIOU
Clé
:
V3.06.100-A
Page :
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Fascicule V3.06 : Statique linéaire des structures axisymétriques
HM-77/01/149/A
Organisme(s) :
EDF/ERMEL/PEL
Manuel de Validation
Fascicule V3.06 : Statique linéaire des structures axisymétriques
Document : V3.06.100
SSLA100 - Cylindre infini soumis à un champ de
forces volumiques et surfaciques
Résumé :
Ce test de mécanique quasi-statique linéaire permet de valider l'affectation d'un chargement de champ de
forces, surfacique ou volumique.
La structure étudiée est cylindrique. Les champs aux noeuds de densité volumique et surfacique de forces sont
lus dans un fichier au format Ideas. Pour le chargement volumique, le champ lu varie quadratiquement en
fonction de la distance à l'axe ; pour le chargement surfacique, le champ lu correspond à une pression interne.
Trois modélisations du même problème sont réalisées :
·
modélisation 3D ;
·
modélisation 2D axisymétrique ;
·
modélisation 2D déformations planes ;
La solution de référence est analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
y
x
Les dimensions géométriques choisies sont les suivantes :
·
hauteur
= 0.5 m ;
·
rayon intérieur
= 1 m ;
·
rayon extérieur = 1.2 m .
1.2
Propriétés du matériau
Le cylindre est constitué d'un matériau homogène qui suit une loi de comportement élastique linéaire :
·
E = 10 Pa ;
·
= 1 Kg/m
3
;
·
= 0.3 .
1.3
Conditions aux limites et chargements (Cf. [Figure 1.3-a])
La force volumique considérée est radiale, elle varie de manière quadratique avec le rayon : F
V
=
.r²
avec
= 1 N/m
3
.
La force surfacique considérée est appliquée sur la paroi interne du cylindre, perpendiculairement à la
paroi (équivaut à une pression interne imposée au cylindre) : F
S
(r = R
int
) = 1N/m².
Les conditions aux limites permettent de se placer dans l'hypothèse des déformations planes sur une
section du cylindre : déplacements verticaux bloqués sur les sections haute et basse du cylindre.
Remarque :
Pour la modélisation 3D, la suppression des modes propres est assurée par les conditions du
2D plan appliquées sur la section basse du cylindre. Ce type de conditions aux limites permet
d'obtenir une solution axisymétrique en déplacement, directement comparable avec la
solution analytique.
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F
S
Uz = 0
F
V
Uz = 0
Uz = 0
F
S
Uz = 0
F
V
F
V
U
Y
= 0
F
S
U
X
= 0
U
Y
= 0
U
X
= 0
Modélisation 3D :
Modélisation 2D axisymétrique :
Modélisation 2D plan :
Figure 1.3-a : Conditions aux limites et chargements
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Le problème de mécanique statique linéaire axisymétrique considéré peut être résolu de manière
analytique. On résout indépendamment la réponse à la sollicitation force volumique et force surfacique
pour les sommer ensuite.
Force volumique quadratique F
V
(r) =
r²
On considère les équations d'équilibre en coordonnées cylindriques :
r
r
rz
r
r
z
r
r
zz
rz
z
r
z
r
r
z
r
f
r
z
r
r
f
z
r
r
r
f
+
+
+
-
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
1
0
1
2
0
2
0
qui se simplifient étant donnée la symétrie axiale
en :
r
r
r
r
r
f
+
-
+
= 0
En utilisant la loi de comportement puis les relations déformations-déplacements, on aboutit à
l'équation différentielle suivante :
u
u
r
u
r
f
E
V
''
'
²
(
)
(
)(
)
+ -
+
-
+
-
=
1
1
1 2
0
La force volumique appliquée est du type : f
V
=
.r²
La solution de l'équation différentielle s'écrit alors :
u
c
r
r
E
c r
= -
-
+
-
-
+
1
4
2
2
1
1 2
15
1
(
)(
)
(
)
éq
2.1-1
Les deux constantes d'intégrations c
1
et c
2
sont déterminées grâce aux conditions aux limites :
(
)
(
)
int
R
R
ext
=
=
0
0
On obtient :
c
E
R R
R
R
R
R
c
E
R
R
R
R
R
R
ext
ext
ext
ext
ext
ext
1
2
2
3
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
4 3
1
2
15
1
1
1 2
4 3
1
15
= -- +
-
-
=
+
-
--
-
-
-
int
int
int
int
int
int
(
)
(
)(
)
(
)
Force surfacique type pression F
S
(R
int
) = P
Le problème à résoudre est de même nature, mais avec une force volumique appliquée nulle : f
V
= 0
= 0.
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La solution en déplacement [éq 2.1-1] s'écrit alors :
u
c
r
c r
= -
+
1
2
2
, devant respecter les conditions :
(
)
(
)
int
R
P
R
ext
= -
=
0
Ce qui donne :
u
P
E
R
R
R
R
r
r
ext
ext
= +
-
+ -
1
1 2
2
2
2
2
int
int
(
)
éq
2.1-2
2.2
Résultats de référence
Application Numérique :
·
hauteur
= 0.5 m ;
·
rayon intérieur
= 1 m ;
·
rayon extérieur
= 1.4 m ;
·
E
= 10 Pa ;
·
= 1 Kg/m
3
;
·
= 0.3 ;
·
= 1 N/m
5
;
·
P
= 1 N/m².
en injectant les valeurs numériques dans les solutions [éq 2.1-1] et [éq 2.1-2] on trouve après
sommation :
u
m
u
m
( . )
.
( . )
.
10
0 52130982
14
0 44203108
=
=
2.3
Incertitudes sur la solution
Nulle (solution de référence analytique).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La cylindre est modélisé en éléments 3D volumiques :
3.2
Caractéristiques du maillage
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 20 noeuds contenant :
·
8 éléments ;
·
96 noeuds.
Le maillage contient 1 seul élément dans le sens radial et vertical et 8 découpages sur la
circonférence.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_3D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_3D
AFFE_CHAR_MECA EVOL_CHAR
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster %
différence
U
X
en P1
1
0.52130982
0.52097
6.54 10
2
%
U
X
en P2
1
0.44203108
0.44178
5.74 10
2
%
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 6.01.19
Machine : Origin 2000
Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 2.64 secondes
P1
P2
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Une coupe longitudinale du cylindre est modélisé en éléments 2D volumiques, en considérant
l'hypothèse d'axisymétrie.
5.2
Caractéristiques du maillage
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 8 noeuds contenant :
·
4 éléments ;
·
21 noeuds.
Le maillage contient 2 découpages dans le sens radial et 2 découpages dans le sens vertical.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_2D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_2D
AFFE_CHAR_MECA
EVOL_CHAR
6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster %
différence
U
X
en P1
1
0.52130982
0.52129
4.07 10
3
%
U
X
en P2
1
0.44203108
0.44202
3.95 10
3
%
6.2 Remarque
Modélisation plus performante que le 3D car 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation
circonférencielle.
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : 6.01.19
Machine : Origin 2000
Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 1.89 secondes
P1
P2
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Une coupe transversale du cylindre est modélisée en éléments 2D volumiques, en considérant
l'hypothèse des déformations planes.
7.2
Caractéristiques du maillage
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d'éléments quadratiques à 8 noeuds contenant :
·
8 éléments ;
·
40 noeuds.
Le maillage contient 1 seul découpage dans le sens radial et 8 découpages dans le sens vertical
(comme le 3D).
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
LIRE_RESU NOM_CHAM
FVOL_2D
LIRE_RESU NOM_CHAM
FSUR_2D
AFFE_CHAR_MECA
EVOL_CHAR
8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster %
différence
U
X
en P1
1
0.52130982
0.52131
6.76 10
2
%
U
X
en P2
1
0.44203108
0.44204
5.74 10
2
%
8.2 Remarques
Modélisation de performance très voisine du 3D car mêmes discrétisations circonférencielle et radiale.
8.3 Paramètres
d'exécution
Version : 6.0
Machine : Origin 2000
Encombrement mémoire : 16 Mo
Temps CPU User : 1.89 secondes
P1
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Synthèse des résultats
Les résultats obtenus par le code_Aster sont très proches de la solution analytique, malgré des
maillages très grossiers.
Les modélisations 3D et 2D plane fournissent des précisions très voisines car elles présentent les
mêmes discrétisations circonférencielle et radiale. La modélisation 2D axisymétrique est plus
performante car elle présente 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation
circonférencielle.
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