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3
Titre :
FDLV101 Deux cylindres séparés par un fluide incompressible
Date :
24/08/99
Auteur(s) :
G. ROUSSEAU
Clé :
V8.01.101-A
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Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
HP-51/96/031 - Ind A
Organisme(s) :
EDF/EP/AMV
Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
Document V8.01.101
FDLV101 - Deux cylindres séparés par un fluide
incompressible
Résumé :
Ce test du domaine des fluides (couplage fluide/structure) valide le calcul de matrice de masse ajoutée dans le
cas où l'on a plusieurs structures immergées dans un même fluide.
Par une analyse modale, on détermine ainsi les modes couplés des deux structures à cause de la masse de
fluide qui les sépare. On adopte une modélisation plane (thermique pour le fluide, et déformation plane pour les
cylindres).
On retrouve les modes couplés du système à moins de 0.1% du résultat analytique.
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FDLV101 Deux cylindres séparés par un fluide incompressible
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
r
x
R
2
R
1
M
1
( )
2
( )
r
n
Deux cylindres séparées par du fluide incompressible :
rayon intérieur
R
1
= 1.0 m rayon extérieur
R
2
= 1.1 m
1.2
Propriétés de matériaux
Fluide :
Eau :
o
=
1000.0 Kg.m
­3
Solide :
Acier :
s
=
7800.0 Kg.m
-3
;
E
= 2.E11 Pa ;
= 0.3
Ressort reliant le piston au massif :
On place un élément discret sur maille POI1 au centre du cylindre
1
de raideur
K1
et deux
éléments discrets sur maille POI1 sur le cylindre
2
au niveau de l'axe Ox dont la raideur vaut
K2
.
Elements discrets du type
K_T_D_L
:
K1
= (1.E7, 1.E7, 1.E7) N/m
K2
= (5.E6, 5.E6, 5.E6) N/m
1.3
Conditions aux limites et chargement
On impose une pression (ie par analogie thermique une température nulle [R4.07.03]) en un noeud
quelconque du fluide.
On impose un déplacement nul des cylindres selon Oy.
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour le calcul de masse ajoutée et l'analyse modale.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Calcul analytique :
On va supposer que les mouvements des cylindres et du fluide sont essentiellement plans. Les effets
longitudinaux seront négligés devant les effets transversaux. Le problème est bidimensionnel. Compte
tenu de la symétrie, le repère utilisé est un repère cylindrique
( )
r,
lié au cylindre central (voir figure
ci-dessus). Dans ce système de coordonnées et avec cette géométrie particulière, la dérivée normale
n
est égale à la dérivée
r
par rapport à
r
.
Dans toute cette partie, la variable
p
désigne le champ de pression hydrodynamique dans le fluide
créé par les vibrations propres des structures,
X
1
2
ou
désigne les modes propres du cylindre 1 ou 2
respectivement.
Les modes propres des coques de frontière
( )
1
et
( )
2
en l'absence de fluide sont de la forme (
n
désigne l'ordre du mode) :
1n
2 n
X
( ) cos
sin
X
( ) cos
sin
r
r
n
n
n
n
ou
et
ou
0
0




est l'angle azimutal. Ces modes sont découplés bien entendu. La 1ère composante correspond au
déplacement normal de la coque intérieure, la 2ème à celui de la coque extérieure. Dans le volume
fluide, on a donc deux problèmes à résoudre :
1
1
1
0
0
1
2
n
n
f
n
p
p
n
n
p
=




= -







=
n
cos
sin
n
ou
éq 2.1-1
et :
2
2
2
0
0
1
2
n
n
n
f
p
p
p
n
n
=




=




=



n
n
cos
sin
ou
éq 2.1-2
Le champ
p
n
1
correspond au champ de pression engendré dans le fluide si la coque centrale
1
vibre
seule, le champ
p
n
2
est celui créé par la coque externe
2
si elle vibre seule. La linéarité de
l'équation de Laplace permet de résoudre indépendamment chaque problème et ensuite de les
superposer pour trouver le champ de pression total.
La solution du problème [éq 2.1-1] est, en coordonnées polaires, du type [bib1] :
1n
p ( , )
cos
sin
r
Ar
B r
n
n
n
n
=
+














1
ou
On doit avoir
n
0
, car sinon on a la non-conservation du volume du fluide.
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Les constantes A et B sont déterminées par les conditions aux limites :
1
2
1
1
0
R
p
n
n
R
p
n
f
n
n
cos
sin
n




= -










=
ou
et
On trouve alors que le champ de pression pour chacun des deux problèmes s'écrit :
( ) (
) ( )
(
)
1n
p ( , )
cos
sin
r
R
n
r R
R R
R r
R R
n
n
f
n
n
n
n
=
+
-



1
1
2
1
2
2
2
1
1
ou
et :
(
) ( ) ( )
(
)
2 n
p
( , )
cos
sin
r
R
n
R R
r R
R r
R R
n
n
f
n
n
n
n
=
+
-



2
2
1
1
2
2
2
1
1
ou
Les coefficients de masse ajoutée modaux
m
ijnm
A
se calculent à partir de la formule suivante
[R4.07.03] si
( )
i
j
n m
=
=
1 ou 2
1 ou 2
appartient à
,
,
,
¦
2
.
( )
m
p
d
ijnm
A
jn
j
j
=
im
j
X
r
n
( )
L'indexation est ici un peu plus complexe que dans la formule présentée en [R4.07.03] : les indices i et
j font référence aux coques
1
et
2
, et les indices
m
et
n
sont associés aux modes de coque. On
remarque qu'il y a couplage des modes des différentes coques, externe et interne.
On remarque, d'une part, que le fluide ne couple pas les modes d'indices
n
différents car les
intégrales
cos
cos
n
m d
s'annulent ; d'autre part, le fluide ne couple pas non plus les modes
( )
cos
sin
cos
sin
n
n
n
n d
et
car
=
0
. Le seul couplage existant est un couplage entre les
deux coques pour les modes de même nature.
A chaque mode
n
, on associe une matrice d'ordre 4 symétrique. Une sous-matrice correspondant à la
projection sur le mode
n
s'écrit :
1
A
M
=


11
12
21
22
nn
A
nn
A
nn
A
nn
A
m
m
m
m
La matrice globale s'écrit :
1
A
2
A
1
A
A
M
M
M
M
0
0
2




=
avec
avec
(
)
11
1
1
0
2
nn
A
m
LR
R
n
n
d
=






1
p
,
cos
sin
ou
Soit :
(
)
(
)
11
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
nn
A
f
n
n
m
n
R L R R
R R
=
+
-
éq 2.1-3
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on obtiendra :
(
)
(
)
22
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
nn
A
f
n
n
m
n
R L R R
R R
=
+
-
éq 2.1-4
et :
(
)
(
)
21
12
1
2
2
1
2
2
1
2
1
nn
A
nn
A
f
n
n
m
m
n
R R L
R R
R R
=
= -
-
éq 2.1-5
L
désigne ici la hauteur des coques cylindres dans la direction longitudinale.
Dans notre cas, on ne considère que les modes d'ordre
n
=
1
des coques : ils correspondent
respectivement aux modes de translation de chacune des coques suivant un axe passant par le centre
du tube central : on prend ceux correspondant à l'axe Ox arbitrairement : les coefficients de masse
ajoutée linéique s'écrivent :
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
11
1
2
2
2
1
2
2
1
22
2
2
2
2
1
2
2
1
21
12
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
1
A
f
A
f
A
A
f
m
R
R R
R R
m
R
R R
R R
m
m
R R
R R
R R
=
+
-
=
+
-
=
= -
-
L'équation du mouvement généralisé des deux coques couplées s'écrit :
m
m
x
x
k
k
x
x
m
m
m
m
x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
11
12
12
22
1
2
0
0
0
0




+


= -


Les pulsations propres du système couplé sont données par l'équation de degré 4 :
det
m
m
m
m
m
m
k
k
1
11
12
12
2
22
2
1
2
0
0
0
+
+




-






=
Application numérique :
K
1
= 10
7
N/m
K
2
= 10
7
N/m
m
11
= 33 060 kg/m
m
22
= 40 004 kg/m
m
12
= ­36 200 kg/m
On obtient deux fréquences propres :
f
1
= 1.696 Hz
f
2
= 4.128 Hz
2.2
Résultats de référence
Analytique
2.3 Références
bibliographiques
[1]
R.J GIBERT. Vibrations des Structures . Interactions avec des fluides. Eyrolles (1988).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Formulation thermique plane pour le fluide (QUAD4 et SEG2)
Formulation déformation plane et discrète pour le solide (TRIA3, QUAD4 et POI1)
Cette modélisation est prévue pour déterminer les modes d'ordre
n
=
1
des cylindres. Les modes de
coques d'ordre supérieur ne peuvent pas être simulés par ce type de modèle, mais par une
modélisation de type
COQUE_CYL
[U4.22.01].
Découpage =
64 mailles QUAD4 sur le pourtour des cylindres
64 mailles TRIA3 sur l'intérieur du cylindre intérieur
64 mailles SEG2 sur l'interface fluide/cylindres
2 mailles QUAD4 suivant l'épaisseur du fluide
2 mailles QUAD4 suivant l'épaisseur du cylindre extérieur
Conditions aux limites :
DDL_IMPO: (Group_no: ACCROCHE DY: 0. )
DDL_IMPO: (Group_no: ACCREXT DY:0. )
TEMP_IMPO: (Group_no: TEMPIMPO TEMP: 0.)
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3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 356 QUAD4
Nombre de mailles et types : 64 TRIA3, 128 SEG2, 3 POI1
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_MODELE
'THERMIQUE'
'PLAN'
[U4.22.01]
CALC_MASS_AJOU
MODE_MECA
[U4.??.??]
NUME_DDL_GENE
NUME_DDL_GENE
'PLEIN'
STOCKAGE
[U4.55.07]
MODE_MECA
MODE_ITER_SIMULT
'BANDE'
FREQ
[U4.52.01]
concept
'matr_asse_gene_R'
COMB_MATR_ASSE
COMB_R
[U4.53.01]
concept
'matr_asse_gene_R'
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence (Hz)
Aster
(Hz)
% différence
Ordre du mode propre i : 1
1.696
1.695808
­0.011
Ordre du mode propre i : 2
4.128
4.12473
­0.079
4.2 Remarques
Calculs de modes effectués par :
MODE_ITER_SIMULT OPTION : 'PLUS_PETITE' NMAX_FREQ: 2.
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.24
Machine : CRAY C98
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
8 mégamots
Temps CPU User :
10.28 secondes
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