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HSNV121 - Traction en grandes déformations plastiques d'un barreau
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V. CANO, E. LORENTZ,P. MASSIN
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document : V7.22.121



HSNV121 - Traction en grandes déformations
plastiques d'un barreau sous chargement
thermique




Résumé :

Ce test thermomécanique quasi-statique consiste à chauffer uniformément un barreau de section rectangulaire
(3D) ou cylindrique (2D axisymétrique) puis à le soumettre à une traction. On valide ainsi la cinématique des
grandes déformations en plasticité (commande
STAT_NON_LINE
, mot-clé
deformation : 'SIMO_MIEHE'
ou 'PETIT_REAC'
) pour une relation de comportement en grandes déformations avec écrouissage isotrope
linéaire (commande
STAT_NON_LINE
, mot-clé
relation
: 'VMIS_ISOT_LINE' et
'VMIS_ISOT_TRAC'
) avec chargement thermomécanique. Avec des modélisations coque ou plaque, les
grandes déformations en plasticité sont accessibles grâce au mot-clé
deformation : 'PETIT_REAC'
pourvu que les rotations restent faibles.

Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA20, modélisation A) ou quadrangulaire (QUAD4, pour
une modélisation axisymétrique, modélisation B) ou par des éléments de plaque ou de coque (DKT pour la
modélisation C et COQUE_3D pour la modélisation D).

La solution est analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
1 000 (mm)
1
2
3
4
1 000 (mm)
y
x
z

1.2
Propriétés du matériau
Le matériau obéit à une loi de comportement en grandes déformations plastique avec écrouissage
isotrope linéaire, dont les caractéristiques dépendent de la température.
La courbe de traction est donnée dans le plan déformation logarithmique - contrainte rationnelle.
=
=
F
S
F
S
l
l
o
o
.

E
E
T
y
ln( /
)
l l
o


=
=
=
=
°
=
=
=
°
=
=
-
-
0 3
10
1000
20
250000
2500
120
200000
2000
4
1
.
K
T
E
E
T
E
E
y
T
T
MPa
à
C
MPa
MPa
à
C
MPa
MPa
l
o
et
l
sont, respectivement, la longueur initiale et la longueur actuelle de la partie utile de
l'éprouvette.
S
o
et
S
sont, respectivement, la surface initiale et actuelle. Entre les températures 20°C et 120°C,
les caractéristiques sont interpolées linéairement.
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Le barreau, de longueur initiale
l
o
, bloqué dans la direction
Ox
sur la face [1,2] est soumis à une
température uniforme
T
et à un déplacement mécanique de traction
u
meca
sur la face [3, 4]. Les
séquences de chargement sont les suivantes :
1
4
2
3
T
unif
l
o
u
meca
0
120
1
2
0
293.3 mm
1
2
t(s)
t(s)
20
T ( )
u
°
C
Température de référence :
T
réf
= 20°C.
Remarque :
Le déplacement mécanique est mesuré à partir de la configuration déformée par le
chargement thermique (t = 1s). Pour avoir le déplacement total, il faut donc additionner le
déplacement thermique obtenu au temps t = 1s.
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2
Solution de référence
2.1
Résultat de la solution de référence
Pour un essai de traction suivant la direction
x
, le tenseur de Kirchhoff
est de la forme :
=




0 0
0 0 0
0 0 0
Les tenseurs gradients de la transformation
F
et
F
et le tenseur isochore de déformations plastiques
G
p
sont de la forme :
F
F
F
F
F
G
G
=




=
=
=
=




=
=
=



=




=
=
-
-
-
-
F
F
F
J=
FF
F
J F
J
F
F
F
F
J
F
F
F
G
G
G
G
G
yy
yy
yy
yy
/
yy
yy
/
yy
p
p
yy
p
yy
p
p
yy
p
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
1 3
1 3
1 2
1 2
et
et
et
det
/
det
det
(
)
/
/
Par la loi de comportement, on obtient la relation suivante :
=
- -
-
+
3
2
1
9
2
1
2
K J
K T T
J
J
ref
(
)
(
) (
)
soit
J
T T
J
J
K
T T
ref
ref
3
2
3
1 2
3
3
0
-
-
-
+
-
-
=
(
)
(
)
(
)
La contrainte de Cauchy s'écrit :
J
=
En charge plastique pour un écrouissage isotrope
R
linéaire, tel que :
R p
EE
E E p
T
T
( )
=
-
on a :
p
E E
E E
T
T
y
=
-
-
(
)
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L'intégration de la loi d'écoulement de la déformation plastique
G
p
donne (sachant que
G
p
P
(
)
=
=
0
1
) :
G
e
P
p
=
-2
La composante
F
du gradient de la transformation est donnée par la résolution de :
F
G F
G
p
p
3
3 2
1
0
-
-
=
µ
(
)
/
Le champ de déplacement
u
(dans la configuration initiale) est de la forme
u
X
Y
Z
=
+
+
u
u
u
x
y
z
.
Les composantes sont données par :
(
)
u
u
l X
u
F
l
u
v
l Y
v
J
F
l
u
v
l Z
x
o
o
y
o
o
z
o
=
=
-
=
=
-




=
~
~
.
~
~
~
avec
avec
1
1
2.2
Résultats de référence
On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy
et la
déformation plastique cumulée
p
.
Au temps t = 2 s (
T
= 100°C, traction
u
)
On cherche le déplacement total (thermique + mécanique) tel que la contrainte
soit égale à :
= 1500 Mpa (à
T
= 120°C)
·
3K
= 500 000 MPa
µ
= 76923 MPa
·
J
= 103
.
·
= 1453 MPa
·
p
= 0,2475
·
G
p
= 0,609
·
F
= 1,289
·
F
= 1,303
·
~
u
= 303 mm
·
~
v
= ­110 mm
2.3
Incertitude sur la solution
La solution est analytique. Aux erreurs d'arrondis près, on peut la considérer exacte.
2.4 Références
bibliographiques
On pourra se référer à :
[1]
V. CANO, E. LORENTZ : Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope - Note interne EDF DER
HI-74/98/006/0
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation volumique :
1 maille HEXA20
1 maille QUAD8
1
2
3
4
1 000 (mm)
x
y
z
5
6
7
8
10
11
9
12
15
16
19
20
17
18
13
Conditions aux limites :
N2 :
N1 :
N6 :
U
U
U
x
y
z
=
=
= 0
U
U
x
z
=
= 0
U
U
x
y
=
= 0
N9, N13, N14, N5, N17 :
U
x
= 0
Charge : Traction sur la face [3 4 8 7 11 16 19 15] + affectation de la même température sur tous les
noeuds.
Le nombre total d'incréments est de 21 (1 incrément entre t = 0s et 1s, 20 incréments entre t = 1s et
2s)
La convergence est réalisée si le residu resi_glob_rela est inférieur ou égal à 10
­6
.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles : 2
1 HEXA20
1 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_INCR :
DEFORMATION :
'SIMO_MIEHE'
RELATION
:
'VMIS_ISOT_TRAC'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
t = 2 Déplacement DX (N8)
303
303.063
0.021
t = 2 Déplacement DY (N8)
­110
­109.852
­0.134
t = 2 Déplacement DZ (N8)
­110
­109.852
­0.134
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1)
1453
1458.51
0.379
t = 2 Variable
p
VARI (PG1)
0.2475
0.2504
1.182


4.2 Paramètres
d'exécution
Version : NEW 5.04.14
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
44.5 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D axisymétrique :
1 maille QUAD4
1 maille SEG2
4
1
2
3
y
x
Conditions aux limites :
N1 :
N2 :
U
y
= 0
U
y
= 0
Chargement :
Traction sur la face [3 4] (maille SEG2) + affectation de la même température sur tous les noeuds
Le nombre total d'incréments est de 21 (1 incrément entre t = 0s et 1s, 20 incréments entre t = 1s
et 2s)
La convergence est réalisée si le résidu resi_glob_rela est inférieur ou égal à 10
­6
.

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles : 2
1 QUAD4
1 SEG2

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_INCR :
DEFORMATION :
'SIMO_MIEHE'
RELATION
:
'VMIS_ISOT_LINE'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
t = 2 Déplacement DX (N3)
­110
­109.85
­0.134
t = 2 Déplacement DY (N3)
303
303.06
0.021
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1)
1453
1458.5
0.379
t = 2 Variable
p
VARI (PG1)
0.2475
0.2504
1.182


6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 5.04.14
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
32.7 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation plaques DKT d'épaisseur 1000 mm :
1 maille QUAD4, 2 mailles TRIA3
1 maille SEG2
1
2
3
4
y
x
6
5
Conditions aux limites :
N2 :
N1 :
U
U
U
x
y
z
x
y
z
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
U
U
x
z
=
=
0
0
Chargement :
Traction sur la face [3 4] (maille SEG2) + affectation de la même température sur tous les noeuds
Le nombre total d'incréments est de 21 (1 incrément entre t = 0s et 1s, 20 incréments entre t = 1s
et 2s)
La convergence est réalisée si le résidu resi_glob_rela est inférieur ou égal à 10
­6
.
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 4
1 QUAD4
2 TRIA3
1 SEG2
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_INCR :
DEFORMATION :
'PETIT_REAC'
RELATION
:
'VMIS_ISOT_TRAC'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE :
EPAIS
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
t = 2 Déplacement DX (N3)
­110
­108.81
­1.076
t = 2 Déplacement DY (N3)
303
303.4
0.132
t = 2 Effort NXX (PG1)
1453 E+03
1497.4 E+03
3.059
t = 2 Variable
p
VARI (PG1)
0.2475
0.246
-0.591

8.2 Paramètres
d'exécution
Version : 5.04.14
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
23.67 secondes
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation coques_3d d'épaisseur 1000 mm : 1 maille QUAD9, 2 mailles TRIA7
1 maille SEG3
1
2
3
4
y
x
5
10
6
12
8
14
7
13
9
11
17
16
15

Conditions aux limites :
N2 :
N5 :
N1 :
U
U
U
x
y
z
x
y
z
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
U
U
x
z
=
=
0
0
U
U
x
z
=
=
0
0
Chargement :
Traction sur la face [3 4] (maille SEG3) + affectation de la même température sur tous les noeuds
Le nombre total d'incréments est de 21 (1 incrément entre t = 0s et 1s, 20 incréments entre t = 1s
et 2s)
La convergence est réalisée si le residu resi_glob_rela est inférieur ou égal à 10
­6
.
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 17
Nombre de mailles : 4
1 QUAD9
2 TRIA7
1 SEG3
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE
COMP_INCR :
DEFORMATION :
'PETIT_REAC'
RELATION
:
'VMIS_ISOT_TRAC'
AFFE_CARA_ELEM
COQUE :
EPAIS
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10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
t = 2 Déplacement DX (N3)
­110
­108.38
­1.476
t = 2 Déplacement DY (N3)
303
303.4
0.132
t = 2 Contrainte SIXX (PG1)
1453
1496.6
3.001
t = 2 Variable
p
VARI (PG1)
0.2475
0.2458
­0.680

10.2 Paramètres
d'exécution
Version : 5.04.14
Machine : CLASTER
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
57.88 secondes
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11 Synthèse des résultats
Les résultats trouvés avec le Code_Aster et
deformation : 'SIMO_MIEHE'
sont très satisfaisants
avec des pourcentages d'erreur inférieurs à 0.4% sur la contrainte et à 1.2% sur la variable
d'écrouissage. Pour des éléments de plaque et de coque l'utilisation de
deformation :
'PETIT_REAC'
donne des résultats satisfaisants avec des pourcentages d'erreur de 3% sur l'effort
ou la contrainte et inférieurs à 0.7% sur la variable d'écrouissage.