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SSLV110 - Fissure elliptique dans un milieu infini
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E. GALENNE, X. DESROCHES
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.110



SSLV110 - Fissure elliptique dans un milieu infini




Résumé :

Il s'agit d'un test en statique pour un problème tridimensionnel. Ce test permet de calculer le taux de restitution
d'énergie global et local sur le fond de fissure par la méthode
.

Les rayons des couronnes d'intégration sont variables le long de la fissure, et le taux de restitution d'énergie
local est calculé suivant 2 méthodes différentes (LEGENDRE et LAGRANGE).

L'intérêt du test est la validation de la méthode
en 3D et des points suivants :
·
comparaison des résultats avec une solution analytique,
·
stabilité des résultats suivant les couronnes d'intégration,
·
comparaison entre 2 méthodes différentes pour le calcul de g local,
·
2 cas de chargements équivalents (pression répartie et chargement volumique).

Ce test contient 4 modélisations différentes.

La 3-ème modélisation teste les dérivées de G par rapport aux paramètres matériau et chargement.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Il s'agit d'une fissure elliptique plongée dans un milieu supposé infini. On ne modélise qu'un huitième
d'un parallélépipède :

120 mm
6 mm
25 mm
725 mm
0
125
0 m
m
P
y
z
x
0
: fond de fissure elliptique

1.2 Propriétés
matériaux
E= 210 000.MPa
= 0.3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Symétrie par rapport aux 3 plans principaux :
U
x
= 0. dans le plan X = 0.
U
Y
= 0. dans le plan Y = 0.
U
Z
= 0. dans le plan Z = 0. hors de la fissure
Les conditions de chargements sont soit :
P = 1 MPa dans le plan Z = 1250 mm (modélisations A et B)
soit :
FZ = 8.10­4 N/mm
3
sur tous les éléments de volume (chargement équivalent au précédent)
(modélisations C et D).
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est une solution analytique issue de SIH [bib1] et [bib2].
On note que l'angle
désigne ici l'angle paramétrique du point M (angle par rapport à l'axe Ox du
projeté de M sur le cercle de rayon b) et non la coordonnée polaire de ce point.
( )
K
b
E k
b
a
k
b
a
I
=
+




=
-




1
1
2
2
2
2
1 4
2
2
1 2
sin
cos
/
/
avec
( )
(
)
E k
k
d
=
-
1
2
2
0
2
1 2
sin
/
/
Ici :
a
= 25 mm
b
= 6 mm, donc
k
= 0,9707728
Les valeurs de l'intégrales elliptiques
( )
k
E
sont tabulées dans [bib3], en fonction de asin
( )
k
qui vaut
ici 76,11°. On trouve alors :
( )
k
E
= 1,0672.
D'où le facteur d'intensité des contraintes en MPa.
mm :
4
/
1
²
cos
²
²
²
sin
0680
,
4
)
(


+
=
a
b
K
I
Puis, à partir de la formule d'Irwin (déformation plane) :
( )
( )
2
²)
1
(
I
K
E
g
-
=
Le taux de restitution global de l'énergie
ref
G
se calcule par intégration de
( )
g
:
ref
G
= 5,76.10
-3
J/mm.
Dérivées de G (modélisation C) :
Pour la dérivée de G par rapport au module d'Young E, on peut écrire :
E
G
=
(avec
4
,
302
=
) donc
E
G
E
G
-
=
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D'autre part, en faisant varier le chargement Fz, on trouve :
2
Z
F
G
=
avec
9
,
2276
=
donc
Z
Z
F
F
G
2
=

2.2 Bibliographie
[1]
G.C. SIH : Mathematical Theories of Brittle Fracture - FRACTURE, vol II - Academic Press -
1968
[2]
M.K. KASSIN et G.C. SIH : Three-dimensional stress distribution around an elliptical crack
under arbitrary loadings J. Appl. Mech., 88, 601-611, 1966.
[3]
H. TADA, P.PARIS, G. IRWIN : The Stress Analysis of Cracks Handbook - Third Edition -
ASM International - 2000
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
A = N01099 (s = 0.)
B = N01259 (s = 26.68)
C = N01179 (s = 17.8 ;
=/4)
C
1
A
B
C
C
2
C
3
Z
X
Y
Chargement : Pression unitaire répartie sur la face du bloc opposée au plan de la lèvre :
P = 1.MPa dans le plan Z = 1250.mm.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1716
Nombre de mailles et types : 304 PENTA15 et 123 HEXA20
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FOND_FISS LEVRE_SUP
GROUP_MA TOUT
CALC_THETA FOND_3D
THETA_3D
CALC_G_THETA_T RESULTAT
TOUT_ORDRE
NUME_ORDRE
LIST_ORDRE
CALC_G_LOCAL_T
'THETA_LEGENDRE'
DEGRE = 7
'G_LEGENDRE'
R_INF_FO / R_SUP_FO
AFFE_CHAR_MECA FORCE_FACE
3.4 Remarques
Le degré des polynômes de LEGENDRE utilisés pour calculer g(s) est 7 (valeur maximum Aster).
Pour les 3 couronnes d'intégration, les rayons
R_INF
et
R_SUP
varient linéairement le long du fond de
fissure.
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont :
·
le taux de restitution d'énergie global G,
·
le taux de restitution d'énergie local g en tous les noeuds du fond de fissure.
Le maillage ne comprend qu'une des lèvres de la fissure, il faut donc utiliser le mot-clé
'SYME_CHAR'
pour multiplier automatiquement par 2 dans le calcul Aster le taux de restitution de l'énergie calculé
par extension virtuelle de la lèvre unique.
De même, le G global calculé ici correspond au quart du G de référence défini précédemment, seul un
huitième de parallélépipède étant représenté.

Identification Référence
Aster %
différence
G Couronne C
1
1.44 10
­3
1.410
10
­3
-2.1
G Couronne C
2
1.44 10
­3
1.451
10
­3
0.8
G Couronne C
3
1.44 10
­3
1.424
10
­3
-1.1
g (A) couronne C
1
7.171
10
-5
6.829 10
­5
-4.8
g (A) couronne C
2
7.171
10
-5
7.239 10
­5
0.95
g (A) couronne C
3
7.171
10
-5
6.864 10
­5
-4.3
g (B) couronne C
1
1.721
10
-5
1.48 10
­5
-13.8
g (B) couronne C
2
1.721
10
-5
1.57 10
­5
-8.7
g (B) couronne C
3
1.721
10
-5
1.90 10
­5
-6.9
g (C) couronne C
1
5.215
10
-5
4.992 10
­5
-4.3
g (C) couronne C
2
5.215
10
-5
5.124 10
­5
-1.7
g (C) couronne C
3
5.215
10
-5
5.013 10
­5
-3.9

4.2 Remarque
Les résultats sont assez stables entre les couronnes sauf au point B où la variation de g(s) est plus
grande et les résultats éloignés de la solution de référence. On peut expliquer cet écart par le maillage
de qualité médiocre.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
A = N01099 (s = 0.)
B = N01259 (s = 26.68)
C = N01179 (s = 17.8)
C
1
A
B
C
C
2
C
3
Z
X
Y
Chargement : Pression unitaire répartie sur la face du bloc opposée au plan de la lèvre :
P = 1 MPa dans le plan Z = 1250 mm.
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1716
Nombre de mailles et types : 304 PENTA15 et 123 HEXA20
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FOND_FISS LEVRE_SUP
GROUP_MA
CALC_THETA FOND_3D
THETA_3D
CALC_G_THETA_T
CALC_G_LOCAL_T 'THETA_LAGRANGE'
'G_LEGENDRE'
DEGRE = 4
R_INF_FO / R_SUP_FO
AFFE_CHAR_MECA FORCE_FACE
5.4 Remarques
'THETA_LAGRANGE'
: le champ
est discrétisé à partir des fonctions de formes des noeuds du fond
de fissure, mais g(s) est toujours discrétisé à partir des polynômes de LEGENDRE.
Le degré des polynômes de LEGENDRE utilisés pour calculer g(s) est 4 [R7.02.01].
Pour les 3 couronnes d'intégration, les rayons
R_INF
et
R_SUP
varient linéairement le long du fond de
fissure.
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont :
·
le taux de restitution d'énergie global G,
·
le taux de restitution d'énergie local g en tous les noeuds du fond de fissure.
Le maillage ne comprend qu'une des lèvres de la fissure, il faut donc utiliser le mot-clé
'SYME_CHAR'
pour multiplier automatiquement par 2 dans le calcul Aster le taux de restitution de l'énergie calculé
par extension virtuelle de la lèvre unique.
De même, le G global calculé ici correspond au quart du G de référence défini précédemment, seul un
huitième de parallélépipède étant représenté.

Identification Référence
Aster %
différence
G Couronne C
1
1.44 10
­3
1.410
10
­3
-2.1
G Couronne C
2
1.44 10
­3
1.451
10
­3
0.8
G Couronne C
3
1.44 10
­3
1.424
10
­3
-1.1
g (A) couronne C
1
7.171
10
-5
7.120
10
-5
-0.7
g (A) couronne C
2
7.171
10
-5
7.452
10
-5
3.9
g (A) couronne C
3
7.171
10
-5
7.431
10
-5
3.6
g (B) couronne C
1
1.721
10
-5
1.608
10
-5
-6.6
g (B) couronne C
2
1.721
10
-5
1.662
10
-5
-3.4
g (B) couronne C
3
1.721
10
-5
1.706
10
-5
-0.9
g (C) couronne C
1
5.215
10
-5
4.978
10
-5
-4.5
g (C) couronne C
2
5.215
10
-5
5.096
10
-5
-2.3
g (C) couronne C
3
5.215
10
-5
5.014
10
-5
-3.9

6.2 Remarque
Les résultats sont meilleurs que dans la modélisation A au point B, mais la disparité entre les
couronnes reste forte.
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
A = N01099 (s = 0.)
B = N01259 (s = 26.68)
C = N01179 (s = 17.8)
C
1
A
B
C
C
2
C
3
Z
X
Y
Chargement : Force volumique
FZ
équivalente à une pression unitaire sur la face du bloc opposée au
plan de la lèvre :
FORCE_INTERNE
:
FZ
= 8.10
­4
N/mm
3
sur tous les éléments de volume.
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1716
Nombre de mailles et types : 304 PENTA15 et 123 HEXA20
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FOND_FISS LEVRE_SUP
GROUP_MA
CALC_THETA FOND_3D
THETA_3D
CALC_G_THETA_T SENSIBILITE
CALC_G_LOCAL_T
'THETA_LEGENDRE'
DEGRE = 7
'G_LEGENDRE'
R_INF_FO / R_SUP_FO
AFFE_CHAR_MECA FORCE_INTERNE
7.4 Remarques
Le degré des polynômes de LEGENDRE utilisés pour calculer g(s) est 7 (valeur maximum Aster).
Pour les 3 couronnes d'intégration, les rayons
R_INF
et
R_SUP
varient linéairement le long du fond de
fissure.
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont :
·
le taux de restitution d'énergie global G,
·
le taux de restitution d'énergie local g en tous les noeuds du fond de fissure,
·
les dérivées de G par rapport à E et au chargement en force volumique Fz.
Le maillage ne comprend qu'une des lèvres de la fissure, il faut donc utiliser le mot-clé
'SYME_CHAR'
pour multiplier automatiquement par 2 dans le calcul Aster le taux de restitution de l'énergie calculé
par extension virtuelle de la lèvre unique.
De même, le G global calculé ici correspond au quart du G de référence défini précédemment, seul un
huitième de parallélépipède étant représenté.

Identification Référence
Aster %
différence
G Couronne C
1
1.44 10
­3
1.437
10
­3
-0.2
G Couronne C
2
1.44 10
­3
1.479
10
­3
2.7
G Couronne C
3
1.44 10
­3
1.450
10
­3
0.7
g (A) couronne C
1
7.171
10
-5
6.962
10
-5
­2.9
g (A) couronne C
2
7.171
10
-5
7.379
10
-5
+2.9
g (A) couronne C
3
7.171
10
-5
6.997
10
-5
­2.4
g (B) couronne C
1
1.721
10
-5
1.509
10
-5
­12.2
g (B) couronne C
2
1.721
10
-5
1.598
10
-5
­7.1
g (B) couronne C
3
1.721
10
-5
1.629
10
-5
­5.2
g (C) couronne C
1
5.215
10
-5
5.085
10
-5
­2.5
g (C) couronne C
2
5.215
10
-5
5.219
10
-5
0.1
g (C) couronne C
3
5.215
10
-5
5.107
10
-5
­2.1
DG/dE couronne C
1
-6.8610 10
­9
-6.842
10
­9
­0.2
DG/dE couronne C
2
-6.8610 10
­9
-7.041
10
­9
2.7
DG/dE couronne C
3
-6.8610 10
­9
-6.907
10
­9
0.7
DG/dFz couronne C
1
3.599 3.592
-0.1
DG/dFz couronne C
2
3.599 3.697
2.7
DG/dFz couronne C
3
3.599 3.629
0.9

8.2 Remarque
Les résultats sont assez stables entre les couronnes. On note toujours de moins bons résultats au
noeud B.
Les erreurs sur les dérivées de G sont comparables à celles sur G.
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
A = N01099 (s = 0.)
B = N01259 (s = 26.68)
C = N01179 (s = 17.8)
C
1
A
B
C
C
2
C
3
Z
X
Y
Chargement : Force volumique
Fz
équivalente à une pression unitaire répartie sur la face du bloc
opposée au plan de la lèvre :
FORCE_INTERNE : FZ
= 8.10
­4
N/mm
3
sur tous les éléments de volume.
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1716
Nombre de mailles et types : 304 PENTA15 et 123 HEXA20
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FOND_FISS LEVRE_SUP
GROUP_MA
CALC_THETA FOND_3D
THETA_3D
CALC_G_THETA_T
CALC_G_LOCAL_T 'THETA_LAGRANGE'
'G_LEGENDRE'
DEGRE = 7
R_INF_FO / R_SUP_FO
AFFE_CHAR_MECA FORCE_INTERNE
9.4 Remarques
'THETA_LAGRANGE'
: le champ
est discrétisé à partir des fonctions de formes des noeuds du fond
de fissure, mais g(s) est toujours discrétisé à partir des polynômes de LEGENDRE.
Le degré des polynômes de LEGENDRE utilisés pour calculer g(s) est 7.
Pour les 3 couronnes d'intégration, les rayons
R_INF
et
R_SUP
sont supposés varier linéairement sur
le fond de fissure.
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10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont :
·
le taux de restitution d'énergie global G,
·
le taux de restitution d'énergie local g en tous les noeuds du fond de fissure.
Le maillage ne comprend qu'une des lèvres de la fissure, il faut donc utiliser le mot-clé
'SYME_CHAR'
pour multiplier automatiquement par 2 dans le calcul Aster le taux de restitution de l'énergie calculé
par extension virtuelle de la lèvre unique.
De même, le G global calculé ici correspond au quart du G de référence défini précédemment, seul un
huitième de parallélépipède étant représenté.
Identification Référence
Aster %
différence
G Couronne C
1
1.44 10
­3
1.437
10
­3
-0.2
G Couronne C
2
1.44 10
­3
1.479
10
­3
2.7
G Couronne C
3
1.44 10
­3
1.450
10
­3
0.7
g (A) couronne C
1
7.171
10
-5
7.259
10
-5
1.2
g (A) couronne C
2
7.171
10
-5
7.597
10
-5
5.9
g (A) couronne C
3
7.171
10
-5
7.575
10
-5
5.7
g (B) couronne C
1
1.721
10
-5
1.636
10
-5
­4.9
g (B) couronne C
2
1.721
10
-5
1.992
10
-5
­1.7
g (B) couronne C
3
1.721
10
-5
1.734
10
-5
0.7
g (C) couronne C
1
5.215
10
-5
5.071
10
-5
­2.7
g (C) couronne C
2
5.215
10
-5
5.192
10
-5
0.4
g (C) couronne C
3
5.215
10
-5
5.108
10
-5
­2.1

10.2 Remarque
Les résultats sont meilleurs que dans la modélisation C au point B.
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Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSLV110 - Fissure elliptique dans un milieu infini
Date :
15/02/06
Auteur(s) :
E. GALENNE, X. DESROCHES
Clé
:
V3.04.110-C
Page :
13/14
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A
11 Synthèse des résultats
Calcul de g local :
·
les 2 méthodes (LEGENDRE et LAGRANGE) donnent sensiblement les mêmes résultats
(moins de 5 % d'erreur par rapport à la solution analytique) sauf au point B (point extrémité
de l'ellipse sur le grand axe) où la méthode Lagrange est la plus précise,
·
cas de charge : les valeurs obtenues avec le chargement volumique sont légèrement
supérieures à celles obtenues avec contraintes imposées (y compris pour les valeurs de G).
Les différences sont minimes et dues aux intégrations numériques différentes sur le terme de
volume et le terme de bord.
Calcul des dérivées de G :
·
les erreurs sur les dérivées de G sont faibles et comparables à celles sur G.
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8.2
Titre :
SSLV110 - Fissure elliptique dans un milieu infini
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15/02/06
Auteur(s) :
E. GALENNE, X. DESROCHES
Clé
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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