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5.0
Titre :
SSLV131 - Orthotropie dans un repère quelconque
Date :
16/11/01
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C. DURAND
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V3.04.131
SSLV131 - Orthotropie dans un repère quelconque
Résumé
Ce cas test valide les modélisations relatives à l'élasticité linéaire qui mettent en oeuvre des matériaux
orthotropes dont les propriétés sont connues dans un repère défini par l'utilisateur différent du repère global.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Le repère global est le repère (A,X,Y,Z). Dans ce repère les coordonnées des noeuds sont :
A (0., 0., 0.)
B (3., 1., 0.)
C (2., 3., 0.)
D (3.1, - 1)
Pour le 2D, on étudiera le comportement du triangle ABC dont les propriétés matérielles sont définies
dans le repère global (A, x, y) représenté sur la figure ; ce repère est tourné d'un angle
de 30° autour
de Z par rapport au repère global.
Pour le 3D, on étudiera le comportement du tétraèdre ABCD dont les propriétés matérielles sont
définies dans un repère local (A, x, y, z) obtenu par rotation du repère global selon les angles
nautiques (
= 30°, = 20°, = 10°).
Ce repère n'est pas représenté sur la figure.
1.2
Propriétés du matériau
Les matériaux utilisés sont orthotrope et isotrope transverse.
On adopte la convention de terminologie utilisée dans ASTER, i.e. les suffixes L, T et N signifient
Longitudinal, Transversal et Normal.
Les unités ne seront pas précisées.
13000
,
7000
,
10500
,
11
.
0
,
15
.
0
,
18
.
0
8000
;
5000
;
11000
11
.
0
,
15
.
0
,
18
.
0
,
8000
,
5000
,
11000
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
TN
LT
LT
TN
LT
LT
TN
LN
LT
G
G
G
EN
ET
EL
EN
ET
EL
(On sait que
TN
NT
LN
NL
LT
TL
x
EN
ET
x
EN
EL
x
ET
EL
=
=
=
,
,
,
soit
06875
.
0
,
62
.
020
0.396,
=
=
=
NT
NL
TL
Pour l'isotropie transverse, on garde les mêmes valeurs en sachant que :
)
2(1
EL
LT
TL
LT
G
et
,
+
=
=
=
LN
EL
ET
On rappelle que ces coefficients sont définis dans un repère local (A, L, T, N) tourné de 30° dans le
plan (L, T) par rapport au repère global pour le 2D et tourné avec les angles nautiques (30°, 20°, 10°)
par rapport au repère global pour le 3D.
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1.3
Conditions aux limites et chargements
Les conditions aux limites sont de type Dirichlet. On fait l'hypothèse d'un champ de déplacement
linéaire en x et y de telle sorte que le champ de déformation est constant.
Pour le 2D on prend
dX = 2x + 4y
dY = 4x + 3y
Pour le 3D on prend
dX = 2x + 3y + 4z
dY = 3x + 5y + 6z
dZ = 4x + 6y + 7z
Pour le 2D, on va donc imposer :
·
pour le noeud A
dX = 0, dY = 0
·
pour le noeud B
dX = 10, dY = 15
·
pour le noeud C
dX = 16, dY = 17
et pour le 3D :
·
pour le noeud A
dX = 0, dY = 0, dZ = 0
·
pour le noeud B
dX = 9, dY = 14, dZ = 18
·
pour le noeud C
dX = 13, dY = 21, dZ = 26
·
pour le noeud D
dX = 5, dy = 8, dZ = 11
2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul
Le calcul est analytique.
On a utilisé le programme de calcul formel Mathématica pour le réaliser.
On en expose le principe seulement pour le 3D.
On sait que le champ de déplacement est :
dX = 2x + 3y + 4z
dY = 3x + 5y + 6z
dZ = 4x + 6y + 7z
Le champ de déformations
G
dans le repère global est donc constant et égal à :
G
=
2 3 4
3 5 6
4 6 7
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Soit P la matrice de passage permettant de faire passer un vecteur du repère global (A, X, Y, Z) au
repère local (A, L, N, T).
Soit
L
le tenseur de déformation dans le repère local. On a :
L
= P
P
G
T
.
.
Le tenseur de Hooke
H
L
est connu dans le repère local, soit
L
le tenseur des contraintes dans ce
repère. On a :
L
L
L
H
=
.
On obtient le tenseur
G
des contraintes dans le repère global par :
G
T
L
P
P
=
.
.
2.2
Résultats de référence
Ils sont obtenus en effectuant les opérations décrites ci-dessus avec Mathematica.
2.3
Incertitudes sur la solution
L'incertitude est nulle car la solution est analytique.
2.4 Références
bibliographiques
Pour la description des matrices de Hooke pour des matériaux isotrope transverse et orthotrope pour
les modélisations 3D, contraintes planes et déformations planes, la référence choisie a été :
`Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes`. Rapport interne applications en Mécanique
n° 79-018 de Jean-Claude Masson CISI.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Les modélisations suivantes sont mises en oeuvre :
·
2D :
- axisymétrique
- contraintes
planes
- déformations
planes
·
3D.
Pour chacune de ces modélisations, on teste les matériaux isotrope transverse et orthotrope.
Remarques :
a) L'isotropie transverse n'est pas testée pour les contraintes planes car ce cas correspond à
l'isotropie.
b) Pour le cas axisymétrique le champ de contraintes dépend du point de calcul.
Ce point est choisi au point d'intégration du triangle (i.e. c'est le centre de gravité du triangle).
c) On rappelle que l'orthtropie dans un repère quelconque n'est pas disponible pour la modélisation
en Fourier car il y a alors couplage de toutes les composantes du tenseur de contraintes :
La mise en oeuvre actuelle permet de n'utiliser que les composantes symétriques à partir
desquelles on peut retrouver les composantes antisymétriques mais pour que ce soit possible, il
ne faut pas que les glissements induisent des contraintes de traction.
3.2
Caractéristiques du maillage
Pour le 2D, on a un élément triangle à 3 noeuds ABC.
Pour le 3D, on a un élément tétraèdre à 4 noeuds ABCD.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot-clé
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
DEFI_MATERIAU ELAS_ISTR
AFFE_CARA_ELEM MASSIF
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4
Résultat de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
Cas de l'isotropie transverse 3D
nom du résultat : Mest1
champ depl
dy (c)
21
21
0
champ epsielgadepl
Epxy 3
3
0
Epxz 4
4
0
Epyz 6
6
0
champ sief.elga.depl
Si xx
50461,97
50461,97
0
Si yy
80136,037
80136,037
0
Si zz
68682,137
68682,137
0
Si xy
39559,096
39559,096
0
Si xz
30622,542
30622,542
0
Si yz
84027,579
84027,579
0
champ sigmelnodepl
Si xx
50461,971
50461,971
0
champ emelelga Ep
1.23652.10
6
1.23652.10
6
Champ emelelnoelga Ep
1.23652.10
6
1.23652.10
6
Cas de l'orthotropie 3D
nom du résultat : Mest2
champ depl
dy (c)
21
21
0
champ epsielgadepl
Epxy 3
3
0
Epxz 4
4
0
Epyz 6
6
0
champ siefelgadepl
Si xx
23170,539
23170,539
0
Si yy
78600,676
78600,676
0
Si zz
78692,318
78692,318
0
Si xy
86435,100
86435,100
0
Si xz
16449,622
16449,622
0
Si yz
125577,226
125577,226
0
champ sigmelnodepl
si xx
2370,539
2370,539
0
champ enelelga Ep
1.55286.10
6
1.55286.10
6
0
champ enelelnoelga Ep
1.55286.10
6
1.55286.10
6
0
Cas de l'isotropie transverse en
axisymétrique
nom du résultat : Mest3
champ depl
dy (c)
17
17
0
champ epsielgadepl
Exxy 4
4
0
champ siefolgadepl
Si xx
42930,079
42930,079
0
Si yy
52252,113
52252,113
0
Si xy
37288,135
37288,135
0
champ enelelga Ep
4.15741.10
5
4.15741.10
5
0
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champ enelcluoelga Ep
4.15741.10
5
4.15741.10
5
0
Cas de l'orthotropie en axisymétrique
nom du résultat : Mest4
champ depl dy (c)
17
17
0
champ epsielgadepl
Epxy 4
4
0
champ siefelgadepl
Si xx
19438,248
19438,248
0
Si yy
75231,714
75231,714
0
Si xy
53867 ?974
53867 ?974
0
champ siefelgaelga Ep
4,9131710
5
4,9131710
5
0
champ enelchroelga Ep
4.9131710
5
4.9131710
5
0
Cas de l'isotropie transverse en
déformations planes
nom du résultat : Mest5
champ depl dy(c)
17
17
0
champ epsielgadepl Epxy
4
4
0
champ siefelgadepl
Si xx
31612,684
31612,684
0
Si yz
40934,718
8
0
Si xy
37288,135
37288,135
0
champ sigmelnodepl
si xx
31612,684
31612,684
0
champ enelelga Ep
2.42167.10
5
2.42167.10
5
0
champ enelelnoelga Ep
2.42167.10
5
2.42167.10
5
0
Cas de l'orthotropie en déformations
planes
nom du résultat : Mest6
champ depl dy(c)
17
17
0
champ epsielgadepl Epxy
4
4
0
champ siefelgadepl
Si xx
9931,422
9931,422
0
Si yy
68733,870
68733,870
0
Si xy
51262,119
51262,119
0
champ sigmelnodepl
si xx
9931,422
9931,422
0
champ Epenelelga Ep
3.180807.10
5
3.180807.10
5
0
champ enelelnoelga
3.180807.10
5
3.180807.10
5
0
Cas de l'orthotropie en contraintes
planes
nom du résultat : Mest7
champ depl dy(c)
17
17
0
champ epsielgadepl Epxy
4
4
0
champ siefelgadepl
Si xx
7454,007
7454,007
0
champ emelelga Eo
3.10347.10
5
3.10347.10
5
0
champ emelelnoelga Ep
3.10347.10
5
3.10347.10
5
0
Dans le cas asymétrique, les valeurs du champ des déformations et du champ des contraintes sont
données au point d'intégration du triangle (i.e. son centre de gravité) dont les coordonnées sont :
X = 1.666667
Y = 1.333334
Z = 0
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Synthèse des résultats
Les résultats fournis par Mathématica et Aster sont identiques pour toutes les modélisations utilisables
avec des matériaux isotrope transverse et orthotrope.
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Page laissée intentionnellement blanche.