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®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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EDF/MTI/MMN
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Fascicule V7.22 :Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document : V7.22.122
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie
en grandes déformations en traction simple
Résumé :
On traite la détermination de l'évolution mécanique d'un barreau cylindrique soumis à des évolutions thermiques
et métallurgiques connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique) et à un
chargement mécanique de traction.
La relation de comportement est un modèle de plasticité en grandes déformations (commande
STAT_NON_LINE
, motclé
DEFORMATION : 'SIMO_MIEHE'
) avec écrouissage isotrope linéaire et plasticité
de transformation (commande
STAT_NON_LINE
, motclé
RELATION : 'META_EP_PT'
).
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition
métallurgique. Le coefficient de dilatation dépend de la composition métallurgique.
Le barreau est modélisé par des éléments axisymétriques.
Le chargement mécanique appliqué est une pression suiveuse.
Ce cas test est identique au cas test HSNV101 (modélisation B, [V7.22.101]) dans le sens où il s'agit du même
matériau, du même chargement et des mêmes évolutions thermiques et métallurgiques mais dans une version
en grandes déformations.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
C
D
h
A
B
a
z
r
P
Rayon : a = 0.05 m
Hauteur : h = 0.2 m
1.2
Propriétés du matériau
Le matériau obéit à une loi de comportement en grandes déformations avec écrouissage isotrope
linéaire et plasticité de transformation. Pour chaque phase métallurgique, la pente d'écrouissage est
donnée dans le plan déformation logarithmique - contrainte rationnelle.
E
=
=
F
S
F
S
l
l
o
o
.
ln( /
)
l l
o
yphase
E
T
phase
l
o
et
l
sont, respectivement, la longueur initiale et la longueur actuelle de la partie utile de
l'éprouvette.
S
o
et
S
sont, respectivement, les surfaces initiale et actuelle.
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C
E
T T
.
T T
h
T T
p
yaust
o
yfbm
o
fbm
aust
o
=
J m
C
W m
C
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
C
Pa
Pa
3
1
=
=
=
=
+
-
=
+
-
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
2000000
9999 9
200000 10
400 10
0 5
10
0 3
530 10
0 5
10
15 10
1250 10
5
10
1
1
6
6
6
6
6
6
1
6
6
.
.
.
.
. (
)
.
. (
)
.
.
. (
)
!
!
!
aust
fbm
o
fbm
ref
f
ref
b
M
fbm
fbm
h
T T
K
T
K
K
F
Z
=
= -
-
-
=
=
=
=
=
=
-
-
-
-
-
-
235 10
50 10
5
10
2 52 10
0
900
10
2
6
1
6
6
3
1
10
.
.
. (
)
.
.
.
)
(1-
C
Pa
Pa
Pa
C
Pa
1
!
!
avec
C
p
=
capacité calorifique
=
conductivité thermique
E
=
module d'YOUNG
=
coefficient de Poisson
*
aust
=
caractéristiques relatives à la phase austénitique
*
fbm
=
caractéristiques relatives aux phases ferritique, bainitique et
martensitique
=
coefficient de dilatation thermique
fbm
ref
=
déformation des phases ferritique, bainitique et martensitique
à la température de référence, l'austénite étant considérée comme
non déformée à cette température
y
=
limite élastique
h
=
EE
E E
T
T
-
K
=
coefficient relatif à la plasticité de transformation
F
=
fonction relative à la plasticité de transformation
Le TRC utilisé permet de modéliser une évolution métallurgique de type bainitique, sur toute la
structure, de la forme :
Z
t
t
t
.
t
fbm
=
=
-
-
<
=
0
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
.
si 60s
si 112 s
si
1.3
Conditions aux limites et chargements
·
u
Z
= 0 sur la face AB (condition de symétrie).
·
traction imposée (pression suiveuse) sur la face CD :
( )
p t
p t
t
t
p
o
o
=
=
=
360 10 Pa
pour
pour
6 10 Pa
60s
6
6
1
1
1
Remarque :
En grandes déformations, il est indispensable d'utiliser la pression suiveuse pour tenir
compte de la surface actuelle et non de la surface initiale (avant déformation).
·
T
T
t
o
=
+ µ
,
µ
= 5°C.s
1
sur toute la structure.
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1.4 Conditions
initiales
T
T
o
ref
=
° =
900
C
2
Solution de référence
2.1
Calcul de la solution de référence (cf. bib [1] et [3])
Pour un essai de traction suivant la direction
x
, les tenseurs de Kirchhoff
et de Cauchy
sont de la
forme :
=
0 0
0 0 0
0 0 0
et
=
0 0
0 0 0
0 0 0
avec
=
J
La variation de volume
J
est donnée par la résolution de
J
K J
J
th
th
3
2
3
2
3
3
0
-
+
- -
=
(
)
où
th
est la déformation thermique. Celleci vaut pour une transformation austénitique bainitique :
[
]
th
aust
aust
ref
b
fbm
ref
fbm
ref
Z
T T
Z
T T
=
-
+
-
+
(
)
(
)
Remarque :
Le coefficient
K
est le module de compression (à ne pas confondre avec les coefficients
K
phase
relatifs à la loi de plasticité de transformation)
En charge plastique, pour un écrouissage isotrope
R
linéaire, tel que :
R
Z
h
Z h
p
aust aust
b
fbm
=
+
(
)
la déformation plastique cumulée
p
vaut
p
J
Z
h
Z h
y
aust aust
b
fbm
=
-
+
avec
y
aust
y
aust
b
yfbm
Z
Z
=
+
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Les tenseurs gradients de la transformation
F
et
F
et le tenseur de déformations plastiques
G
p
sont de la forme :
F
F
F
F
F
G
G
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-
=
et
et
et
F
F
F
J=
FF
F
J F
J
F
F
F
F
J
F
F
F
G
G
G
G
yy
yy
yy
yy
- /
yy
yy
- /
yy
p
p
yy
p
yy
p
p
yy
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
1 3
1 3
1 2
det
/
det
det
/
p
p
G
=
-
(
)
/
1 2
La loi d'évolution de la déformation plastique
G
P
s'écrit :
" /
"
(
)
"
G
G
p
K
Z
Z
p
p
b
b
b
= -
-
-
2
4
1
·
Pour
0
60
s
s
t
, on a
"Z
b
=
0
. Il n'y a pas de plasticité de transformation. On obtient
alors :
G
e
p
p
=
-
2
·
Pour
60
176
s
s
t
, on a
=
constante
.
Pour intégrer la loi d'évolution de la déformation plastique, il faut supposer que la contrainte de
Kirchhoff
varie très peu, c'estàdire que la variation de volume
J
est très petite. Sous cette
hypothèse, on obtient
(
)
G
e
e
p
p
K Z
Z
b
b
b
=
-
-
-
2
4
2
2
/
La composante
F
du gradient de la transformation est donnée par la résolution de :
F
G F
G
p
p
3
3 2
1
0
-
-
=
µ
(
)
/
Enfin, le champ de déplacement
u
(dans la configuration initiale) est de la forme
u
X + Y + Z
=
u
u
u
x
y
z
. Les composantes sont données par :
(
)
(
)
(
)
u
F
X
u
J F
Y
u
J F
Z
x
y
z
=
-
=
-
=
-
1
1
1
/
/
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2.2 Remarque
Dans le cas test HSNV101 (modélisation B), les coefficients du matériau ont été choisis de telle
manière à ne pas avoir de plasticité classique
"p
=
0
pendant la transformation métallurgique qui a lieu
entre les instants 60 et 122s. En effet si on écrit le critère de chargedécharge dans cet intervalle de
temps, on obtient
f
p
= -
2750 - 250
avec
=
MPa
360
qui ne s'annule que pour une seule valeur de la déformation plastique cumulée
p
.
Pour la loi de comportement écrite en grandes déformations, le critère de chargedécharge s'écrit
entre ces deux instants
f
J t
p
=
-
( )
2750 - 250
avec
=
MPa
360
Dans ce cas, tant que la variable
J
reste inférieure à la valeur obtenue au temps
t
= 60s, on aura
"p
=
0
. Or la valeur de
J
est fonction uniquement de la valeur de la déformation thermique (la
contrainte
est constante et le coefficient
K
est indépendant des phases métallurgiques et de la
température).
Dans cet intervalle de temps, la déformation thermique
th
est donnée par l'équation suivante :
th
t
t
=
-
-
-
-
-
8173 10
11807 10
2 90763 10
7 2
4
3
.
.
.
On trace cidessous la déformation thermique ainsi que la variation de volume
J
, solution de
l'équation du 3
ème
degré, en fonction du temps.
Temps (s)
Déformation thermique
EDF
Electricité
de France
Département Mécanique et Modèles Numériques
Evolution de la déformation thermique entre les instants 60 et 112s
agraf 08/11/1999 (c) EDF/DER 1992-1999
-7.0
-6.8
-6.6
-6.4
-6.2
-6.0
x
-3
10
60
70
80
90
100
110
Déformation thermique en fonction du temps
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Temps (s)
J
EDF
Electricité
de France
Département Mécanique et Modèles Numériques
Variation de J entre les instants 60 et 112s
agraf 08/11/1999 (c) EDF/DER 1992-1999
9.790
9.795
9.800
9.805
9.810
9.815
9.820
9.825
x
-1
10
60
70
80
90
100
110
Variation du volume
J
en fonction du temps
On constate que la variable
J
diminue et augmente de la même manière que la déformation
thermique. Dans ce cas, pour connaître l'instant à partir duquel la variable
J
est supérieure à la valeur
obtenue au temps 60s, il suffit de connaître l'instant pour lequel la déformation thermique est identique
à celle obtenue au temps
t
= 60s. On trouve par la résolution de l'équation cidessus
t
= 84.46s.
2.3
Incertitude sur la solution
La solution est analytique. Deux erreurs sont commises sur cette solution. La première porte sur le
calcul de la proportion de phase bainitique créée. Le calcul métallurgique préalable ne restitue pas
exactement l'équation du [§1.2] donnant
Z
fbm
en fonction du temps, c'est pourquoi les résultats de
référence présentés cidessous sont calculés avec la proportion de phase bainitique calculée par le
Code_Aster.
La seconde erreur est l'hypothèse faite sur la contrainte de Kirchhoff
qui n'est pas constante sur
l'intervalle de temps compris entre 60 et 176s. Ceci impactera le calcul du déplacement
u
x
et de la
déformation plastique
G
P
.
2.4
Résultats de référence
On adoptera comme résultats de référence le déplacement dans la direction du chargement de
traction, la contrainte de Cauchy
, l'indicateur booléen de plasticité
et la déformation plastique
cumulée
p
. Les différents instants de calculs sont
t
= 47, 48, 60, 83, 84, 85 et 176s. Pour le calcul du
déplacement, la longueur initiale du barreau dans la direction de chargement est de 0.2m.
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Dans tous les cas, on a
·
3K
= 500 000 MPa (module de compression)
µ
= 76923.077 MPa
Au temps
t
= 47s , on a
Z
b
=
0
,
T
C
=
°
665
,
=
282
MPa
th
y
p
J
p
G
F
u
= -
=
=
=
=
=
=
= -
-
-
55225 10
0 983855
277 45
282 5
0
0
1
10012
8 4347 10
3
4
.
.
.
.
.
.
=
MPa
MPa
m
Au temps
t
= 48s, on a
Z
b
=
0
,
T
C
=
°
660
,
=
288
MPa
th
y
p
J
p
G
F
u
= -
=
=
=
=
=
=
= -
-
-
-
5 64 10
0 983508
283 25
280
1327 10
1
0 997
100256
5 9639 10
3
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
=
MPa
MPa
m
Au temps
t
= 60s, on a
Z
b
=
0
,
T
C
=
°
600
,
=
360
MPa
th
y
p
J
p
G
F
u
= -
=
=
=
=
=
=
=
-
-
-
7 05 10
0 979337
352 56
250
3 7295 10
1
0 9281
103959
6 47595 10
3
2
3
.
.
.
.
.
.
.
.
=
MPa
MPa
m
Au temps
t
= 83s, on a
Z
b
=
0 442138
.
,
T
C
=
°
485
,
=
360
MPa
th
y
-
p
-
J
.
.
p
.
G
F
.
u = .
= -
=
=
-
7 07867 10
0 979249
352 53
249 978
3 7295 10
0
0 8841277
106514
115441 10
3
2
2
.
.
.
=
=
=
=
=
MPa
MPa
m
Au temps
t
= 84s, on a
Z
b
=
0 461361
.
,
T
C
=
°
480
,
=
360
MPa
th
y
-
p
-
.
J
.
.
p
.
G
F
.
u
.
= -
=
=
-
7 06031 10
0 979305
352 55
249 977
3 7296 10
1
0 8828104
106593
117051 10
3
2
2
=
=
=
=
=
=
MPa
MPa
.
.
Au temps
t
= 85s, on a
Z
b
=
0 480584
.
,
T
C
=
°
475
,
=
360
MPa
th
y
-
p
-
J
.
.
p
.
G
F
.
u
.
= -
=
=
-
7 04032 10
0 979367
352 57
249 976
3 73044 10
1
0 8815276
106671
118644 10
3
2
2
.
.
.
=
=
=
=
=
=
MPa
MPa
Au temps
t
= 176s, on a
Z
b
=
1
,
T
C
= °
20
,
=
360
MPa
th
y
p
J
p
G
F
u
= -
=
=
=
=
=
=
=
-
-
-
1068 10
0 968132
348 527
90
5 9432 10
1
0 82814
110053
17743 10
2
2
2
.
.
.
.
.
.
.
.
=
MPa
MPa
m
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2.5 Références
bibliographiques
On pourra se référer à :
[1]
V. CANO, E. LORENTZ : Introduction dans le Code_Aster d'un modèle de comportement en
grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope Note interne EDF DER
HI-74/98/006/0
[2]
A.M. DONORE, F. WAECKEL : Influence des transformations structurales dans les lois de
comportement élastoplastiques Note HI74/93/024
[3]
F. WAECKEL, V. CANO : Loi de comportement grandes déformations élasto(visco)plastique
avec transformations métallurgiques [R4.04.03]
3 Modélisation
3.1
Caractéristiques de la modélisation
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
N10
N11
N12
N13
A
B
C
D
y
A = N4, B = N5, C = N13, D = N12.
Charge : le nombre total d'incréments est de 102 (4 incréments de 0 à 46s, 2 incréments de 46 à 48s,
6 incréments de 48 à 60s, 26 de 60 à 112s, 4 de 112 à 116s et 60 incréments jusqu'à 176s). La
convergence est réalisée si le résidu (resi_glob_rela) est inférieur ou égal à 10
6
.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 13
Nombre de mailles et types : 2 mailles QUAD8, 6 mailles SEG3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
DEFI_MATERIAU
META_MECA_FO
[U4.23.01]
META_PT
AFFE_CHAR_MECA
PRES_REP
[U4.25.01]
STAT_NON_LINE
EXCIT
TYPE_CHARGE
SUIV
[U4.32.01]
COMP_INCR
RELATION
META_EP_PT
DEFORMATION
SIMO_MIEHE
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A
Page :
10/12
Manuel de Validation
Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/01/010/A
4
Résultats de la modélisation
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t =
47 Déplacement DY (N13)
8.4347 10
4
m
8.4303 10
4
m
0.052
t =
47 Variable
p
VARI (M1,PG1)
0.
0.
0.
t =
47
VARI (M1,PG1)
0
0
0
t =
47 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
282. 10
6
Pa
282. 10
6
Pa
1.47 10
7
t =
48 Déplacement DY (N13)
5.9639 10
4
m
5.9755 10
4
m
0.194
t =
48 Variable
p
VARI (M1,PG1)
1.3260 10
3
1.3263 10
3
0.024
t =
48
VARI (M1,PG1)
1
1
0.
t =
48 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
288. 10
6
Pa
288. 10
6
Pa
6.80 10
7
t =
60 Déplacement DY (N13)
6.476 10
3
m
6.4553 10
3
m
0.319
t =
60 Variable
p
VARI (M1,PG1)
3.7295 10
2
3.7294 10
3
0.002
t =
60
VARI (M1,PG1)
1
1
0
t =
60 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 10
6
Pa
360. 10
6
Pa
3.36 10
6
t =
83 Déplacement DY (N13)
1.1544 10
2
m
1.1449 10
2
m
0.826
t =
83 Variable
p
VARI (M1,PG1)
3.7295 10
2
3.7294 10
2
0.002
t =
83
VARI (M1,PG1)
0
0
0
t =
83 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 10
6
Pa
360. 10
6
Pa
2.05 10
6
t =
84 Déplacement DY (N13)
1.1705 10
2
m
1.1607 10
2
m
0.833
t =
84 Variable
p
VARI (M1,PG1)
3.7296 10
2
3.7294 10
2
0.005
t =
84
VARI (M1,PG1)
1
1
0
t =
84 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 10
6
Pa
360. 10
6
Pa
7.51 10
6
t =
85 Déplacement DY (N13)
1.1864 10
2
m
1.1762 10
2
m
0.859
t =
85 Variable
p
VARI (M1,PG1)
3.7304 10
2
3.7305 10
2
0.002
t =
85
VARI (M1,PG1)
1
1
0
t =
85 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 10
6
Pa
360. 10
6
Pa
7.64 10
6
t =
176 Déplacement DY (N13)
1.7743 10
2
m
1.7615 10
2
m
0.719
t =
176 Variable
p
VARI (M1,PG1)
5.943 10
2
5.9219 10
2
0.354
t =
176
VARI (M1,PG1)
1
1
0
t =
176 Contrainte SIGYY (M1,PG1)
360. 10
6
Pa
359.93 10
6
Pa
0.003
4.2 Paramètres
d'exécution
Version : 5.02.10
Machine : claster
Encombrement mémoire :
128 Mo
Temps CPU User :
146.5 secondes
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A
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HI-75/01/010/A
5
Synthèse des résultats
Les résultats trouvés avec le Code_Aster sont très satisfaisants avec des pourcentages d'erreur
inférieurs à 0.9%, sachant que la solution analytique de référence fait l'impasse sur certains aspects
que prend en compte justement la solution du Code_Aster. Ceci peut expliquer les différences
observées.
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations
Date :
18/02/00
Auteur(s) :
F. WAECKEL, V. CANO
Clé :
V7.22.122-A
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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