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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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Organisme(s)
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Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document
V
V
6
6
.
.
0
0
2
2
.
.
1
1
1
1
2
2



SSNL112 - Barre soumise a un chargement
thermique cyclique



Résumé :

Ce cas test entre dans le cadre de la validation des relations de comportement en élastoplasticité des éléments
barre pour la mécanique quasi-statique des structures.
Une barre encastrée a ces deux extrémités subit un chargement thermique cyclique induisant des efforts de
traction-compression.

Chaque modélisation permet de valider une des relations de comportement non-linéaire introduite :
Ecrouissage isotrope linéaire avec critère de Von Mises (modélisation A), écrouissage cinématique linéaire
avec critère de Von Mises (modélisation B), ainsi qu'un modèle dit de Pinto-Menegotto, représentant le
comportement cyclique des armatures en acier dans le béton armé (modélisations C et D).
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
N1
N2
y
x
z


Longueur de la barre : 1 m
Section de la barre
: 5 cm
2

1.2
Propriétés des matériaux
1.2.1 Ecrouissages isotrope et cinématique linéaires
E
E
y
t
Module d'Young :
E = 2. 10
11
Pa
Pente d`écrouissage :
E
t
= 2.10
9
Pa
Limite d'élasticité :
= 2.10
8
Pa
Coefficient de Poisson :
= 0,3
Coefficient de dilatation thermique :
= 1.10
-5
K
-1
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1.2.2 Modèle de Pinto-Menegotto
E
u
h
u
y
0
y
0
Module d'Young :
E
=
2. 10
11
Pa
Limite d'élasticité :
y
0
=
2.10
8
Pa
Coefficient de Poisson :
=
0,3
Coefficient de dilatation thermique :
=
1.10
-5
K
-1
Déformation d'écrouissage :
h
=
2.3 10
-3
Contrainte ultime :
u
=
2.58 10
8
Pa
Déformation ultime :
u
=
3.10
-2
Coefficient définissant la courbe
:
R
0
=
20
Coefficient définissant la courbe
:
A
1
=
18.5
Coefficient définissant la courbe
:
A
2
=
0.15
Coefficient de flambage :
C
=
0.5
Coefficient de flambage :
A
=
0.008
1.3
Conditions aux limites et chargement
Conditions aux limites :
La barre est encastrée. Les déplacements sont donc bloqués dans les trois directions.
En N1 et N2 : DX = DY = DZ = 0
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Chargement :
Le trajet de chargement est décrit par l'évolution de la température, uniforme dans la barre :


t 0
1 2 3 4 5 6 7
T(°C)
50
­50
­300
­100 50 ­150 ­350 ­200


















La température de référence est prise à 0
o
C
Températures
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-500
50
0
1
2
3
4
5
6
7
Temps
T (degrés
C)
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
2.1.1 Ecrouissages
linéaires
Ecrouissage isotrope
Pour une traction uniaxiale, le critère de plasticité s'écrit :
L
R p
-
( ) 0
où p est la déformation plastique cumulée
R p
R p
y
( )
= +
et
=
-
R
E E
E E
t
t
Le critère s'écrit alors :
L
y
R p
- -
0
Le tenseur des contraintes s'obtient par :
(
)
(
)
=
-
-
-
A
u
Id
. ( )
p
ref
K T T
3
On en déduit donc l'expression de
L
:
(
)
L
p
ref
E
T
E
T
=
-
-
=
(
)
0
Dans notre cas,
= 0
donc :
L
L
p
L
E
E
T
=
-
= -
avec
Donc :
·
Si
L
R p
-
<
( ) 0
:
p=0
et
L
L
E
=
·
Si
L
R p
-
=
( ) 0
:
p
R
y
=
-




L
L
p
E
E
=
-
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Application au trajet de chargement
Instant 1 :
el
E
MPa
=
= 200
et
R p
R p
MPa
y
( )
= +
=
100
car
p=0
.
On a bien
L
R p
-
( ) 0
.
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique :
L
MPa
= 100
et
N
kN
= 100
Instant 2 :
Le critère est atteint :
(
)
(
)
L
L
y
E
E R R
MPa
N
kN
=
+
+
=
+
×
+
=
=
-
2 10
2 10
2 02 10 2 02 10
35 10
2 10
205
102 5
11
11
9
9
3
8
.
.
.
.
et
p
=
-
2 475 10
3
.
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
L
L
p
E
E
MPa
N
kN
=
-
=
-
= -
= -
-
-
2 10 15 10
2 475 10
195
97 5
11
3
3
( .
.
)
.
Instant 4 :
On plastifie à nouveau :
Le critère s'écrit :
- -
=
R p
y
0
avec
p
p
p
=
+
1
2
p
1
3
2 475 10
=
-
.
On obtient donc :
(
)
p
R
p
E
E p
p
R
R
E
E p
E
R
MPa
y
p
y
2
1
1
2
1
2
207 9
=
-
-
= -
= -
-
=
+




-
-




= -
.
Et donc
N
kN
= -103 95
.
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
L
L
p
E
E
MPa
N
kN
=
-
=
-
=
=
-
-
2 10 2 10
10395 10
192 1
96 05
11
3
3
(
.
)
.
.
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
kN
N
kN
inst
inst
(
. )
(
. )
.
.
6
7
10587
44 13
=
= -
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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Ecrouissage cinématique
La méthode de calcul est identique, mais dans ce cas, le critère de plasticité s'écrit :
(
)
-
-
X
eq
y
0
avec
X
C
C
E E
E E
eq
p
eq
p
t
t
p
=
=
=
-
( )
3
2
Avec les notations précédentes, le critère s'écrit :
L
p
y
R
-
-
0
Et
L
p
y
R
=
±
(suivant le sens de l'écoulement).
Application au trajet de chargement
Instant 1 :
Le critère n'est pas franchi, l'évolution est élastique :
L
MPa
= 100
et
N
kN
= 100
Instant 2 :
Le critère est atteint :
L
p
y
R
-
-
= 0
L
p
y
R
MPa
=
+
=
×
+
=
-
2 02 10
2 475 10
2 10
205
9
3
8
.
.
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
L
L
p
E
E
MPa
N
kN
=
-
=
-
= -
= -
-
-
2 10 15 10
2 475 10
195
97 5
11
3
3
( .
.
)
.
Instant 4 :
On a :
-
-
=
=
-
R
p
p
p
y
p
0
1
2
avec
p
1
3
2 475 10
=
-
.
(
)
p
p
R
E
E p
p
E
R
MPa
N
kN
y
p
y
2
1
1
2
198
99
=
-
+
= -
= -
-
= -
+


= -
= -
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
L
L
p
E
E
MPa
N
kN
=
-
=
-
=
=
-
-
2 10 2 10
9 9 10
202
101
11
3
4
(
.
)
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique
On trouve :
N
kN
N
kN
inst
inst
(
. )
(
. )
6
7
103
47
=
= -
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Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
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:
C. CHAVANT
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
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2.1.2 Modèle de Pinto-Menegotto
Ce modèle est décrit dans le Manuel de Référence du Code_Aster [R5.03.09] [bib1]. La loi constitutive
des aciers est composée de deux parties distinctes : le chargement monotone composé de trois zones
successives (élasticité linéaire, palier plastique et écrouissage) et le chargement cyclique où le trajet
entre deux points d'inversion (demi-cycle) est décrit par une courbe d'expression analytique du type
= f ( )
.
Comme précédemment les déformations imposées sont des déformations thermiques :
= - T

2.1.2.1 Cas sans flambage
Premier chargement
·
Elasticité linéaire :
= E
Instant 1 :
N
E S
kN
=
=
×
×
=
-
-
2 10
1 10
5 10
100
11
3
4
·
Palier plastique :
=
y
·
Polynôme de degré 4 :
=
-
-
-
-




u
su
u
u
h
y
(
)
0
4
Instant 2 :
=
>
=
-
-
3510
2 310
3
3
.
.
h
, on utilise le polynôme de degré 4 :
= 209 416
.
MPa
et
N
kN
= 104 708
.
Cycles
Demi-cycle 1 :
On détermine
p
0
:
p
r
y
0
0
0
3
3
3
3510
1 10
2 510
=
-
=
-
=
-
-
-
.
.
.
car
r
inst
0
2
=
(
. )
.
Puis
0
:
0
0
9
3
2 10
2 5 10
5
=
=
×
=
-
E
MPa
h
p
.
D'où
y
y
p
sign
MPa
1
0
0
0
200 5
195
=
-
+
= -
+ = -
(
)
·
On calcule ensuite
y
1
:
y
r
y
r
E
1
0
1
0
3
6
11
3
3510
195 209 416 10
2 0 10
1477 10
=
+
-
=
+ -
-
=
-
-
.
(
.
)
.
.
On détermine ainsi
= f ( )
, définie par :
(
)
=
+
-
+


=
b
b
b
E
E
R
R
h
1
1
1
( )
,
avec
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=
-
-
r
y
r
0
1
0
=
-
-
r
y
r
0
1
0
p
p
y
r
0
0
1
0
=
-
et
R
R
A
A
p
p
1
0
1
0
2
0
=
-
+
On obtient
p
0
123
= - .
et
R
1
351
= .
On peut alors calculer la valeur de
aux instants 3 et 4 :
Instant 3 :
-
-
-
-
=
-
-
=
-
-
=
(
. )
.
.
.
.
.
inst
r
y
r
3
0
1
0
3
3
3
3
15 10
35 10
1477 10
35 10
0 988
(
)
=
+
-
+


=
×
+
-
+




=
b
b
R
R
1
1
0 01 0 988
1 0 01
1
0 988
0 82
1
3 51 1 3 51
( )
.
.
.
(
( .
)
)
.
.
/ .
et
=
-
+
=
× -
-
+
= -
(
)
.
(
.
)
.
y
r
r
MPa
1
0
0
0 82
195 209 416
209 416
122
d'où
N
kN
= -61
Instant 4 :
On utilise la même méthode, avec
= 0
.

=
=
= -
= -
173
0 56
20
10
.
.
MPa
N
kN
Demi-cycle 2 :
Instant 5 et 6 :
La méthode de calcul est identique, on détermine :
p
1
,
y
2
,
y
2
,
p
1
,
R
2
, puis
(
. )
(
. )
(
)
inst
inst
f
5
5
=
et
(
. )
(
. )
(
)
inst
inst
f
6
6
=
et finalement
(
. )
inst
5
et
(
. )
inst
6
.
Demi-cycle 3 :
Instant 7 : Idem
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2.1.2.2 Cas avec flambage
Premier chargement
Identique au cas précédent.
Cycles
Demi-cycle 1 (compression) :
La méthode de calcul est identique, mais la valeur de la pente de l'asymptote est modifiée :
On calcule un nouveau coefficient
b
c
:
b
a
L D e
e
c
b
E
y
=
-
=
×
-
= -
-




×
-






-
( .
/ )
.
( .
. )
.
.
.
.
5 0
0 006
5 0 5 9
0 0057
0 01 1 477 10
2 10
2 10 1 36 10
3
11
8
8
Il faut ensuite, comme dans le modèle sans flambage, déterminer
y
n
. La raisonnement est identique,
mais on ajoute une contrainte complémentaire
s
afin de positionner correctement la courbe par
rapport à l'asymptote.
s
s
c
c
b E b b
b
MPa
=
-
-
=
×
×
×
+
+
=
1
0 028 0 01 2 10
0 01 0 0057
1 0 0057
0 87
11
.
.
.
.
.
.
s
est donné par :
(
)
s
c L D
L D
e
=
-
-
=
110
10
10
0 028
.
/
.
.
( / )
Demi-cycle 2 (traction) :
·
En traction, on adopte un module d'Young réduit :
(
)
(
)
E
E a
a e
e
MPa
r
a
=
+
-




=
×
+ -
=
-
-
×
-
5
5
11
620 1 473 10
11
10
2 10
0 88
1 0 88
199 10
6
2
6
( .
)
( .
(
. )
)
.
.
avec
a
L D
5
10
5 0
7 5 0 88
=
+
-
=
.
( .
/ ) / .
.
Le reste de la méthode est identique.
2.2
Résultats de référence
Effort normal N constant sur la barre
2.3
Incertitude sur la solution
Aucune, la solution est analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Manuel de référence du Code_Aster [R5.03.09].
[2]
S. ANDRIEUX : TD 1 Trois barres thermoélastoplastiques Von Mises parfait. In « Initiation à
la thermoplasticité dans le Code_Aster », HI-74/96/013 novembre 1996 (manuel de référence
du cours).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (
BARRE
).
Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage isotrope linéaire - Critère de Von Mises
3.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_ISOT_LINE
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA


4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 10
5
1.0000 10
5
0
effort normal N
2
1.0250 10
5
1.0250 10
5
0
effort normal N
3
­9.7500 10
4
­9.7500 10
4
0
effort normal N
4
­1.0395 10
5
­1.0395 10
5
0
effort normal N
5
9.6050 10
4
9.6050 10
4
0
effort normal N
6
1.0587 10
5
1.0587 10
5
0
effort normal N
7
­4.4129 10
4
­4.4129 10
4
0
background image
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s)
:
C. CHAVANT
Clé :
V6.02.112-A
Page :
12/14
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A
5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (
BARRE
).
Loi de comportement : élastoplasticité avec écrouissage cinématique linéaire - Critère de Von Mises
5.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
5.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
VMIS_CINE_LINE
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA


6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 10
5
1.0000 10
5
0
effort normal N
2
1.0250 10
5
1.0250 10
5
0
effort normal N
3
­9.7500 10
4
­9.7500 10
4
0
effort normal N
4
­9.9000 10
4
­9.9000 10
4
0
effort normal N
5
1.0100 10
5
1.0100 10
5
0
effort normal N
6
1.0300 10
5
1.0300 10
5
0
effort normal N
7
­4.7000 10
4
­4.7000 10
4
0
background image
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s)
:
C. CHAVANT
Clé :
V6.02.112-A
Page :
13/14
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A
7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`un élément de barre (
BARRE
).
Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto sans flambage (valeur de
ELAN
inférieure à 5).
7.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
7.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
4.9
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA


8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 10
5
1.0000 10
5
0
effort normal N
2
1.0470 10
5
1.0470 10
5
0
effort normal N
3
­6.0777 10
4
­6.0777 10
4
0
effort normal N
4
­9.1430 10
4
­9.1430 10
4
0
effort normal N
5
7.6082 10
4
7.6082 10
4
0
effort normal N
6
1.0125 10
5
1.0125 10
5
0
effort normal N
7
­3.7965 10
4
­3.7965 10
4
0
background image
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique
Date :
09/04/02
Auteur(s)
:
C. CHAVANT
Clé :
V6.02.112-A
Page :
14/14
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HT-66/02/001/A
9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est composé d`1 élément de barre (
BARRE
).
Loi de comportement : modèle de Pinto-Menegotto avec flambage (valeur de
ELAN
supérieure à 5).
9.2
Caractéristiques du maillage
2 noeuds.
1 maille SEG2
9.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU PINTO_MENEGOTTO
ELAN
:
5.9
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PINTO_MENEGOTTO
OPTION
SIEF_ELNO_ELGA


10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster Ecart
%
effort normal N
1
1.0000 10
5
1.0000 10
5
0
effort normal N
2
1.0470 10
5
1.0470 10
5
0
effort normal N
3
­6.0556 10
4
­6.0556 10
4
0
effort normal N
4
­8.9078 10
5
­8.9078 10
5
0
effort normal N
5
7.6905 10
5
7.6905 10
5
0
effort normal N
6
1.0125 10
5
1.0125 10
5
0
effort normal N
7
­3.8119 10
4
­3.8119 10
4
0


11 Synthèse des résultats
Les résultats calculés par le Code_Aster sont en excellent accord avec les solutions analytiques.