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HPLV103 - Calcul de G thermo-élastique 3D pour une fissure circulaire
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Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
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HPLV103 - Calcul de K
I
et de G thermo-élastique 3D
pour une fissure circulaire





Résumé

Il s'agit d'un test de mécanique de la rupture en thermo-mécanique pour un problème tridimensionnel. On
considère une fissure circulaire plongée dans un milieu thermo-élastique. On impose une température uniforme
sur les lèvres de la fissure. Ce test permet de calculer le taux de restitution d'énergie global G et le facteur
d'intensité des contraintes local KI en différents points du fond de fissure.

L'intérêt du test est l'invariance de G et de KI selon différentes couronnes et la comparaison à une solution
analytique.

Ce test contient deux modélisations 3D.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On considère une fissure circulaire plongée dans un milieu thermo-élastique. Compte tenu des
symétries du problème, seul un huitième de la structure est représenté :
x
y
z
H
D
E
P
F
C
B
O
G
R
Q
Les dimensions de la fissure sont les suivantes :
OP = OR = 1.0

Le milieu est modélisé par un parallélépipède de dimensions :
OB = OD = OC = 30.0
1.2
Propriétés de matériaux
Conductivité thermique :
= 1.
Coefficient de dilatation thermique :
= 10
-6
/°C
Module d'Young :
E = 2.10
+5
MPa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
1.3
Conditions aux limites et chargements
·
Mécanique : déplacements imposés (
DDL_IMPO
) sur les groupes de mailles suivants :
­ DX = 0 sur ODHE ;
­ DY = 0 sur OEFB ;
­ DZ = 0 sur PBCDRQ (i.e. face inférieure du parallélépipède, sans la lèvre de la fissure).
·
Thermique : température imposée (
TEMP_IMPO)
sur les groupes de mailles suivants :
­ TEMP = 0 sur BCGH, CDHG et EFGH (faces extérieures du parallélépipède) ;
­ TEMP = -1 sur OPQR.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est issue du recueil de MURAKAMI [bib1] :

O
Y
Z
X
a
T
0
= constante = - 1

L'expression du taux de restitution de l'énergie est la suivante :
(
)
(
)
)
(
1
1
0
1
2
1
2
avec
F
a
T
E
K
K
E
G
-
=
-
=
, avec
= a/b et,
F( )
.
.
.
.
.
.
.
= -
-
+
-
-
+
+
1 0 6366
0 4053
2 0163
0 6773
38523
4 1687
3 2741
2
3
4
5
6
7
.

Remarque :
Pour
= 0 (milieu infini), la solution est exacte. Pour un milieu fini, l'incertitude sur la solution
est inconnue. Dans ce test,
= 1/30.

2.2
Résultat de référence
Le résultat de référence est donc : KI = 157.73 10
3
Pa m
1/2
et G = 1.132 10
-1
J/m
2

2.3 Références
bibliographiques
[1]
Stress intensity factors Handbook (Y. MURAKAMI), case 11.39, pp. 1089-1090, the Society
of Material Science, Japon, Pergamon Press, 1987.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Il s'agit d'une modélisation tridimensionnelle. Le maillage a été réalisé à l'aide de la procédure GIBI de
bloc fissuré 3D [bib1]. On n'a représenté que le huitième de la structure (et donc un quart du front de
la fissure), le quart de ce front étant discrétisé en 16 secteurs.

3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage est composé d'éléments quadratiques
Nombre de mailles et types : 624 PENTA 15, 5600 HEXA 20

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
THER_LINEAIRE
MECA_STATIQUE
CALC_THETA THETA_3D
CALC_G_THETA_T
CALC_G_LOCAL_T CALC_G
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont celles du taux de restitution de l'énergie G global et du taux de restitution de
l'énergie local aux points A et B à partir des différentes couronnes d'intégration et des deux méthodes
de définition des champs
:
Identification Référence
Aster %
différence
G global
Couronne 1 G
8.8910
-8
8.66
10
-8
2.53
Couronne 2 G
8.8910
-8
8.68
10
-8
2.31
Couronne 3 G
8.8910
-8
8.69
10
-8
2.17
Couronne 4 G
8.8910
-8
8.68
10
-8
2.31
G local Lagrange ­ Legendre (degré 7)
G local 1 en A
5.66 10
-8
6.13 10
-8
8.31
G local 2 en A
5.66 10
-8
6.19 10
-8
9.37
G local 3 en A
5.66 10
-8
6.42 10
-8
13.46
G local Lagrange ­ Legendre (degré 7)
G local 1 en B
5.66 10
-8
5.50
10
-8
2.75
G local 2 en B
5.66 10
-8
5.51
10
-8
2.62
G local 3 en B
5.66 10
-8
5.50
10
-8
2.84
G local Legendre ­ Legendre (degré 7)
G local 1 en A
5.66 10
-8
5.54 10
-8
2.07
G local 2 en A
5.66 10
-8
5.58 10
-8
1.39
G local 3 en A
5.66 10
-8
5.71 10
-8
1.01
G local Legendre ­ Legendre (degré 7)
G local 1 en B
5.66 10
-8
5.51
10
-8
2.62
G local 2 en B
5.66 10
-8
5.52
10
-8
2.46
G local 3 en B
5.66 10
-8
5.52
10
-8
2.52
Couronne 1 :
Rinf=0.07
Rsup=0.2
Couronne 2 :
Rinf=0.2
Rsup=0.4
Couronne 3 :
Rinf=0.4.
Rsup=0.6.
Couronne 4 :
Rinf=0.07
Rsup=0.6
Les supports du champ
local correspondent aux trois premières couronnes du champ global.
4.2 Remarques
·
La valeur de référence est la valeur du taux de restitution de l'énergie local :
G
réf
= 5.66 10
-8
J/m
2
. Le taux de restitution de l'énergie global fourni par le Code_Aster est :
G
G
a
Aster
réf
=
× 2 8
, puisque par raison de symétrie on ne modélise qu'un quart du plan de la
fissure et une seule lèvre.
·
Les résultats du G local ne sont donnés que pour les points A et B respectivement situés sur un
plan de symétrie et au milieu du front de fissure. Les résultats concernant le point B (milieu du
front) font apparaître un écart d'environ 3% par rapport au résultat de référence. Les résultats
concernant le point A sont moins bons (l'écart se situe entre 3% et 13.5%), ce qui est un constat
habituel pour l'estimation du G local pour les points situés sur un plan de symétrie.

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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation et du maillage
Il s'agit d'une modélisation tridimensionnelle. Pour calculer les KI locaux il est nécessaire de passer
par la commande DEFI_FISS_XFEM.
Un maillage composé d'éléments quadratiques, identique à celui de la modélisation A, est utilisé pour
le calcul thermique :
Nombre de mailles et types : 624 PENTA 15, 5600 HEXA 20
Après le calcul thermique les mailles quadratiques sont converties en mailles linéaires (opérateur
CREA_MAILLAGE, mot clé QUAD_LINE). La conversion du maillage est nécessaire car l'opérateur
DEFI_FISS_XFEM ne fonctionne pour le moment qu'avec des éléments linéaires.
Nombre de mailles et types : 624 PENTA 6, 5600 HEXA 8

5.2 Fonctionnalités
testées
Commandes
THER_LINEAIRE
CREA_MAILLAGE QUAD_LINE
MECA_STATIQUE
CALC_THETA THETA_3D
CALC_G_THETA_T
DEFI_FISS_XFEM
CALC_G_LOCAL_T CALC_K_G

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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Les valeurs testées sont celles du taux de restitution d'énergie global G et du facteur d'intensité des
contraintes local KI aux points A et B à partir des différentes couronnes d'intégration :
Identification Référence
Aster %
différence
G global
Couronne 1 G
1.7781 10
-1
1.686
10
-1
-5.2
Couronne 2 G
1.7781 10
-1
1.695
10
-1
-4.7
Couronne 3 G
1.7781 10
-1
1.696
10
-1
-4.6
KI local Lagrange - Lagrange
KI local 1 en A
157.73 10
3
158.8 10
3
0.7
KI local 2 en A
157.73 10
3
161.0 10
3
2.1
KI local 3 en A
157.73 10
3
161.9 10
3
2.7
KI local 1 en B
157.73 10
3
159.7 10
3
1.2
KI local 2 en B
157.73 10
3
162.1 10
3
2.7
KI local 3 en B
157.73 10
3
163.1 10
3
3.3
Couronne 1 :
Rinf=0.04
Rsup=0.2
Couronne 2 :
Rinf=0.08
Rsup=0.28
Couronne 3 :
Rinf=0.08
Rsup=0.36

Dans cette modélisation, l'utilisation du mot clé SYME_CHAR permet de multiplier automatiquement le
résultat par deux pour prendre en compte la symétrie par rapport aux lèvres de la fissure.
Les résultats de KI local ne sont donnés que pour les points A et B respectivement situés sur un plan
de symétrie et au milieu du front de fissure. Les résultats concernant le point A et le point B (milieu du
front) sont aussi satisfaisants, avec un écart d'environ 3% par rapport au résultat de référence.
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7
Synthèse des résultats
·
Le passage d'un maillage quadratique à un maillage linéaire pour le calcul mécanique diminue la
précision du résultat : les G globaux ont un écart de 4.8 % en moyenne avec la référence pour le
maillage linéaire contre 2.2 % pour le maillage quadratique.
·
Le lissage LEGENDRE-LEGENDRE conduit, sur ce cas test, aux résultats les plus précis pour les
valeurs locales de G. Pour le calcul des K locaux, on conseille le lissage LAGRANGE-LAGRANGE.
·
La précision sur le calcul de KI local est satisfaisante, l'écart moyen étant limité à 2.3 %.