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6.4
Titre :
HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
Date :
03/11/03
Auteur(s) :
J.M. PROIX, I. DEBOST-EYMARD, F.VOLDOIRE
Clé
:
V7.22.100-C
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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EDF-R&D/AMA















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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
Document V7.22.100



HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple




Résumé :

Ce test traite la thermo-plasticité de Von Mises avec écrouissage isotrope sur un problème tridimensionnel
(modélisation A en axisymétrique) et bidimensionnel (modélisation B en contraintes planes). L'intérêt du test
tient à la dépendance de la limite d'élasticité avec la température. Il permet également de tester l'orthotropie en
thermo-élasticité car il s'applique à un matériau isotrope puis à un matériau isotrope déclaré orthotrope.
Ceci permet de tester les fonctionnalités de l'orthotropie. On y teste aussi le calcul de l'énergie de déformation.

Deux modélisations (C avec élément TUYAU, D avec élément TUYAU_6M) sont ajoutées pour tester la
thermoplasticité dans ces éléments.

Une modélisation (E) permet de tester la bonne prise en compte de la variation des coefficients du
comportement VMIS_CINE_LINE avec la température.

Une modélisation (F) permet de tester le calcul de l'énergie de déformation thermoélastique dans les poutres.

La modélisation (G) permet de tester les mêmes fonctionnalités que les modélisations A et B, mais en 3D.


La solution est analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Cylindre axisymétrique (modélisation A) ou plaque rectangulaire (modélisation B) ou tuyau droit
(modélisations C et D)
z ou y
r ou x
A
B
D
C
b
a
H
0
Figure 1.1-a : Géométrie de la structure
Rayon intérieur : a = 1 mm
rayon extérieur : b = 2 mm (largeur AB : 1 mm)
hauteur : H = 4 mm
1.2
Propriété des matériaux
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
E
E
T
s T T
T
s
C
C
C
J
mm C
W
mm C
T
y
y
p
=
=
=
=
-
-
=
=
=
°
=
°
=
°
=
°
-
-
-
-
-
200 000
50 000
0 3
1
400
10
10
0
10
0
0
0
0
2
1
5
1
3
3
MPa module d' Young
MPa module tangent
limite d' élasticité
MPa
coefficient de dilatation thermique
chaleur volumique
conductivité thermique

.
/
/
Pour le matériau isotrope déclaré orthotrope, il vient :
E_L
=
E_T
=
E_N
=
E
Nu_LT = Nu_LN
=
Nu_TN
=
Nu
=
G_LT
=
G_LN
=
G_TN
=
(
)
E
2 1
+
= 76923,077
ALPHA_L
=
ALPHA_T
ALPHA_N
=
ALPHA
=
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y
T
( )
E
E
T
0
E
T
Figure 1.2-a : Courbe de traction du matériau
1.3
Conditions aux limites et chargements
Modélisation A en axisymétrique : u
z
= 0 sur les côtés AB et CD (Axe Oz fixe)
Modélisation B en contraintes planes : u
y
= 0 sur les côtés AB et CD, u
x
= 0 en A
T(t) =
t + T
0
= 1°C/s T
0
= 0°C.
Modélisations C et D : encastrement en A, Dy = 0 en C

2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Cas axisymétrique (2D)
( )
(
)
( )












=














=
=
z
r
z
r
r
u
u
z
r
u
L
r
r
r
r
selon
limites)
aux
conditions
(cf.
:
s
contrainte
de
Champs
selon
n
déformatio
de
Champs
en
blocage
:
t
déplacemen
de
Champs
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
'
:
u
e
u
Cas parallélépipédique
( )
( )
(
)
( )












=












=
+
=
y
z
x
y
z
x
u
u
z
y
u
x
u
L
y
x
y
y
x
x
selon
limites)
aux
conditions
(cf.
:
s
contrainte
de
Champs
selon
n
déformatio
de
Champs
en
blocage
:
t
déplacemen
de
Champs
0
0
0
0
1
0
0
0
0
'
0
0
0
0
0
0
0
'
:
u
e
e
u
Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en 3D.
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E
T
E
y
2
µ
=
E
1
+
3K
=
E
1
- 2
La loi de comportement s'écrit (variable interne scalaire
p
) :
(
)
(
)
( )
( )
( )
µ
=
+
+
+
-
=
-
=
=
=
=
-
<
=










1
9
1
2
1
3
3
2
3
2
0
0
0
0
K
T T
p
p
p
p
p
p
D
p
o
D
P
D
éq
éq
D
D
éq
tr
tr
&
&
,
&
f
,
&
f
,
Id
Id
Id
avec :
déviateur des contraintes
avec
si
si
R
( )
R
p
désigne la fonction d'écrouissage :
( )
R
p
E E
E E
p
y
T
T
=
+
-
Le taux
&p
peut être exprimé, lorsque
( )
f
,
p
= 0
. En effet, de
& f
p
identiquement nul, on tire :
& &f && f
p
p
+
= 0
. Ainsi, quand on est sur le critère
(
)
f
= 0
, nécessairement
&f = 0
. C'est-à-dire :
&
&
&
&
&
&
,
,
3
2
0
3
2
0
-
-
=
+
-
-
=
D
D
éq
T
p
D
D
éq
yo
T
T
T
p
s T
E E
E E
p
R
R
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D'où :
( )
(
)
&
&
&
&
,
p
E E
E E
s T
p
p
T
T
D
D
éq
yo
éq
=
-
+


=
3
2
0
si
pour
critère atteint, en " charge"
R
Le champ de contraintes étant uniaxial, on a :
D
L
=
-
-




3
1 0
0
0
2
0
0
0
1
Ainsi :
éq
L
=
et :
( )
&
& sgn
P
L
p
=
-
-




2
1 0
0
0
2
0
0
0
1
La relation de comportement conduit à :
( )
(
)
( )
&
&
&
& sgn
&
&
&
&
&
& sgn
&
rr
L
L
xx
yy
zz
L
L
E
p
T
E
p
T
=
= -
-
+
=
=
=
=
+
+




2
0
1
pour le cas du parallélépipède
D'où :
( )
( )
&
&
&
&
&
sgn
&
&
Max
;
&
&
rr
L
L
L
L
T
T
D
D
éq
yo
T
E
p
T
E
p
E E
E E
sT
=
=
+ -
=
-
-




=
<
=
-
+










3
2
1 2
2
0
0
3
2
si
sinon
R
C'est-à-dire, dans le cas
( )
L
p
=
R
(critère atteint) :
( )
(
)
&
Max
;
sgn
&
&
p
E E
E E
s T
T
T
L
L
yo
=
-
+




0
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2.1.1 Phase
élastique
Au début du chargement thermique,
L
étant inférieur à
y
,
&p
est nul.
D'où :
(
)
&
& ; &
&
&
L
rr
E
T
T
= -
=
=
+
1
.
Ainsi :
(
)
(
)
L
L
rr
E
t
t
= -
<
=
=
+




compression
0
1
Validité de la solution élastique
Le critère est :
( )
( )
(
)
L
Y
yo
t
t
E
t
s t
-
=
=
-
-
1
0
Le critère n'est pas franchi pour
[ ]
t
t
y
= 0,
, avec :
(
)
t
E
s
y
yo
yo
=
+
t
y
-
L
y
o
t
y
A l'instant
t
y
:
( )
L y
yo
yo
t
E
E
s
= -
+
La densité d'énergie de déformation vaut :
( )
( )
2
2
1
t
E
t
w
y
-
=
L'énergie de déformation totale vaut dans le cas parallélépipédique:
( )
( )
H
x
x
t
E
t
W
A
B
y
).
.(
2
1
2
-
-
=
L'énergie de déformation totale vaut dans le cas axisymétrique:
( )
( )
H
r
r
t
E
t
W
A
B
y
2
).
(
.
2
1
2
2
2
-
-
=
(pour 1 radian)
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2.1.2 Phase
élastoplastique
t t
y
. On est sur le critère. Alors :
( )
(
)
&
Max
;
& sgn
&
p
E E
E E
s T
T
T
L
L
yo
=
-
+




0
En admettant que l'on soit "en charge"
(
)
&p > 0
, alors on élimine
&p
pour avoir :
( )
&
&
sgn
L
T
L
T
T
yo
E T
E E
E E
s
= -
+
-




puis :
( )
&
&
sgn
p
E E
E
T
s
E
T
L
yo
=
-
-
+


A
t t
y
=
,
L
y
E
t
= -
< 0
; on intègre alors ces expressions pour
(
)
t t T
y
=
&
:
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
L
T
y
T
T
yo
L y
T
yo
y
t
E
t t
E E
E E
s
t
p t
E E
E
E s
t t
= -
-
- -




-
=
-
+
-


2
Soit, après réarrangement,
( )
t t
y
:
( )
( )
(
)
L
yo
T
y
yo
T
y
t
s t
E
E
t
t
p t
E E
E
t
t
=
- +
-






=
-
-








1
1
1
2
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s'assurer que
( )
L
t
reste négatif. Sachant que
s t
< 1
, et que
t t
y
>
, le résultat précédent
confirme que
( )
L
t
< 0
.
Enfin, on remarque que :
( )
(
)
sgn
& &
&
L
rr
p
T
1 2
2
1
-
+
=
+
d'où :
( )
( )
(
)
( )
[
]
rr
y
fin
t
t
t
p t
t
t t
=
=
+
+ -
1
1 2
2
,
,
(puisque
( )
L
t
< 0
).
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2.2
Résultats de référence
rr
xx
zz
y
p
t
ou et
en
,
et au delà :
Phase élastique : pour
t t
y
<
(
)
(
)
L
rr
xx
E
t
t
t
= -
=
=
+
=
+
1
1
en axisymétrique
en contraintes planes.
La limite élastique est atteinte en
(
)
t
E
s
y
=
+
=
0
0
66,666 s
d'où
( )
L y
t
s
E
= -
+




1
0
Phase élastoplastique : pour
t t
y
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
L
T
y
T
y
rr
xx
t
s
t
E
E
t
t
p t
E E
E
t
t
t
p t
t
p t
=
- +
-






=
-
-




=
=
+
+ -
=
=
+
+ -
0
0
2
1
1
1
1
1 2
2
1
1 2
2
en axisymétrique
ou
en contraintes planes
E
MPa
C
s
MPa
T
C
s
C
t
s
E
MPa
yo
o
fin
T
=
=
=
°
=
=
= °
=
°
<
=




-
-
-
-
-
200 000
0 3
10
10
400
0
10
100
50 000
5
1
1
2
1
;
,
;
;
.
;
;
;
D'où :
( )
( )
( )
t
s
t
MPa
t
t
y
L y
rr
y
y
=
= -



=
=






-
66 6666
133 333
0 86666610
3
.
.
.
.
phase élastique
w=4.44410-²
W=0.17778 (PLAN ou 3D)
W=0.26666 (axi)
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Puis, phase élastoplastique :

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
à
à
t
s
t
s
=
= -
=
=
=
=
= -
=
=
=
-
-
-
80 :
90 :
L
rr
L
rr
MPa
p
MPa
p
80
100 0
80
0 300010
80
80
110010
90
75 00
90
0 525010
90
90
127510
3
3
3
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Axisymétrique
A
B
D
C
z
N3
N4
GRN03
GRN04
GRN02
N1
N2
GRN01
Figure 3.1-a : Modélisation A

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1
QUAD4
, 4
SEG2

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ELAS_ORTH
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE

3.4 Remarques
La fonctionnalité
AFFE_CARTE
est également testée mais ce n'est pas documenté dans le test.
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
relative
Tolérance
t = 66.666
8.6666 10
­4
8.66658
10
­4
0 0.1
rr
=
t = 80
1.1000 10
­3
1.10029
10
­3
0.026 0.1
t = 90
1.2750 10
­3
1.27529
10
­3
0.023 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10
­4
3.0000 10
­4
0 0.1
t = 90
5.2500 10
­4
5.2500 10
­4
0 0.1
t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
zz
t = 80
­100.000
­100.00
0
0.1
t = 90
­75.000
­75.000
0
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10
-2
4.444.
10
-2
0.00 0.1
ENER_TOTALE
t = 66.666
0.2666
0.2666
­0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.2666
0.2666
­0.00
0.1

4.2 Remarque
On obtient bien les mêmes résultats avec le matériau isotrope déclaré orthotrope qu'avec le matériau
isotrope en thermo-élasticité, c'est-à-dire pour le numéro d'ordre 1 à t = 66.666 s.
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HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple
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03/11/03
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Fascicule V7.22 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures volumiques
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Contraintes planes
A
D
y
N4
C
N3
B
N2
N1
Figure 5.1-a : Modélisation B


5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1
QUAD4
, 4
SEG2


5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE
POST_ELEM ENER_POT
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
relative
Tolérance
t = 66.666
8.6666 10
­4
8.66658
10
­4
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 10
­3
1.1000 10
­3
0 0.1
t = 90
1.2750 10
­3
1.2750 10
­3
0 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10
­4
3.0000 10
­4
0 0.1
t = 90
5.2500 10
­4
5.2500 10
­4
0 0.1
t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
yy
t = 80
­100.
­100.00
0
0.1
t = 90
­75.000
­75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10
-2
4.444.
10
-2
0.00 0.1
ENER_TOTALE
t = 66.666
0.17777
0.17777
­0.00
0.1
ENER_POT
t = 66.666
0.17777
0.17777
­0.00
0.1
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
1 élément TUYAU
A
C

7.2
Caractéristiques du maillage
1 élément TUYAU

7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
TUYAU_NCOU
1
TUYAU_NSEC
16


8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 10
­4
3.003 10
­4
0.1
t = 90
5.25 10
­4
5.2526
0.05
t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
yy
t = 80
­100
­99.82
­0.18
t = 90
­75
­74.85
­0.2
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
1 élément TUYAU 6M
A
C

9.2
Caractéristiques du maillage
1 élément TUYAU

9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
TUYAU_NCOU
1
TUYAU_NSEC
16


10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
t = 66.666
0
0
0
p
t = 80
3. 10
­4
3.003 10
­4
0.1
t = 90
5.25 10
­4
5.2526
0.05
t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
yy
t = 80
­100
­99.82
­0.18
t = 90
­75
­74.85
­0.2
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
QUAD4 - Axisymétrique. Test de la variation des coefficients de VMIS_CINE_LINE en fonction de la
température, dans ce cas
E
T
(donné par D_SIGM_EPSI) varie comme :
E
T
= 10
5
(1­10
­2
(T­T
0
)). La
constante de Prager vaut :
C
E E
E E
T
T
=
-
2
3
.
A
B
D
C
z
N3
N4
GRN03
GRN04
GRN02
N1
N2
GRN01
Figure 3.1-a : Modélisation E
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1
QUAD4
, 4
SEG2
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE_FO D_SIGM_EPSI
DEFI_MATERIAU PRAGER_FO
C
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ECMI_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_CINE_LINE
11.4 Remarque
On teste la variation de
E
T
(D_SIGM_EPSI) avec la température par comparaison avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC où
C
(constante de Prager) varie avec la température de façon
similaire (pas de solution analytique).
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12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées

Variables
Instants (s)
Référence (Aster)
(VMIS_ECMI_TRAC)
Aster
(VMIS_CINE_LINE)
% erreur
relative
Tolérance
t = 66.666
8.6666 10
­4
8.66658
10
­4
0
0.1
rr
=
t = 80
1.112 10
­3
1.112
10
­3
0 0.1
t = 90
1.303 10
­3
1.303
10
­3
0 0.1
t = 66.666
­133.333
­133.332
0
0.1
zz
t = 80
­88
­88
0
0.1
t = 90
­47
­47
0
0.1

12.2 Remarque
On obtient bien les mêmes résultats avec le comportement VMIS_CINE_LINE qu'avec le
comportement VMIS_ECMI_TRAC ce qui valide la prise en compte de la température dans ce modèle.

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13 Modélisation
F
13.1 Caractéristiques de la modélisation
1 élément POU_D_T
A
C

13.2 Caractéristiques du maillage
1 maille SEG2

13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
MODELISATION TUYAU_6M
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
ELAS
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
POST_ELEM ENER_POT


14 Résultats de la modélisation D
14.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
différence
yy
t = 66.666
­1.333
­1.3313
­0.16
ENER_POT
t = 66.666
0.3555
0.3555
0.00
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15 Modélisation
G
15.1 Caractéristiques de la modélisation
3D, H=1
A
D
y
N4
C
N3
B
N2
N1
Figure 5.1-a : Modélisation G


15.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1
HEXA8


15.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU TRACTION
SIGM
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
TEMP_CALCULEE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
VMIS_ISOT_TRAC
CALC_ELEM OPTION
EPSI_ELNO_DEPL
CALC_ELEM OPTION
EPOT_ELEM_DEPL
CALC_ELEM OPTION
ENEL_ELGA
POST_ELEM ENER_TOTALE
POST_ELEM ENER_POT
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16 Résultats de la modélisation G
16.1 Valeurs
testées
Variables Instants
(s) Référence
Aster %
erreur
relative
Tolérance
t = 66.666
8.6666 10
­4
8.66658
10
­4
0 0.1
xx
t = 80
1.1000 10
­3
1.1000 10
­3
0 0.1
t = 90
1.2750 10
­3
1.2750 10
­3
0 0.1
t = 66.666
0
0
0
0.1
p
t = 80
3.0000 10
­4
3.0000 10
­4
0 0.1
t = 90
5.2500 10
­4
5.2500 10
­4
0 0.1
t = 66.666
­133.333
­133.332
­0.001
0.1
yy
t = 80
­100.
­100.00
0
0.1
t = 90
­75.000
­75.00
0.001
0.1
ENEL_ELGA
t = 66.666
4.444. 10
-2
4.444.
10
-2
0.00 0.1
ENER_TOTALE
t = 66.666
4.444. 10
-2
4.444.
10
-2
­0.00 0.1
ENER_POT
t = 66.666
4.444. 10
-2
4.444.
10
-2
­0.00 0.1


17 Synthèse des résultats
Les résultats sont satisfaisants et valident les comportements thermoplastique de Von Mises avec
écrouissage isotrope et cinématique linéaire. Les éléments finis utilisés sont les éléments 2D
(quadrilatères en contraintes planes ou axisymétrie) et les éléments TUYAU.
On constate en particulier une bonne modélisation de la variation de la limite d'élasticité et de la
constante de Prager avec la température.