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Titre :
HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau homogène
Date :
21/05/96
Auteur(s) :
I. EYMARD, F. VOLDOIRE
Clé :
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Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
HI-75/96/032/A
Organisme(s) :
EDF/IMA/MNN
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Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
Document V7.03.101
HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau
homogène
Résumé :
Ce test éprouve, dans une situation triviale où le matériau est homogène, la résolution des problèmes thermique
et mécanique stationnaires, avec des chargements correspondants à un gradient de température et à une
déformation imposée, voisins de ceux correspondant aux problèmes élémentaires de la méthode
d'homogénéisation périodique.
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HPLV101 - Homogénéisation d'un matériau homogène
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
1
z
N6
A
B
C
x
y
N5
N4
0
N7
N1
N2
N3
N8
1
16.410
x y z

N4
0 0 16.410
N8 1. 1. 16.410
N3 0.5 0 16.410
1.2
Propriétés de matériaux
E = 1.0 MPa
= 0.3
k = 1.0 W/(m.°C)
C
p
= 0 J/(°C.m
3
)
1.3
Conditions aux limites et chargements
·
Mécanique 3D :
Plan z = 0 :
dz = 0
dx = 0, dy = 0
pour le chargement membranaire ;
pour le chargement de flexion
Plans y = 0, y = 1 :
dy = 0
Plans x = 0, x = 1 :
dx = 0
Noeud : O
dz = 0
(pour le seul chargement de flexion)
Chargement :
déformation membranaire :
flexion uniforme imposée :
E
E
=




=




­ 1 0 0
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
z
·
Mécanique 2D, contraintes planes :
Axe : x = 0
Noeud : O
dx = 0
dy = 0
(ces conditions ne correspondent pas à l'application de la
méthode d'homogénéisation).
Chargement : déformation
E
=




­ 1 0 0
0
0 0
0
0 0
uniforme imposée
·
Thermique 3D et 2D :
Plan x = 0
temp = 0
(cette condition ne correspond pas à l'application de la
méthode d'homogénéisation).
Chargement : gradient
(
)
G
=
­ , ,
1 0 0
uniforme imposé.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
·
En thermique : on résout le problème thermique stationnaire :
=
=




T. .
. .
,
,
­
K
G K
G
V
avec
1
0
0
Remarque :
Les conditions aux limites choisies ici ne sont pas celles nécessaires à la méthode
d'homogénéisation : on trouverait en effet
T
=
0
partout.
La solution est alors (vérifiant les conditions définies en [§1.3]) :
(
)
T x y z
x
, ,
­
=
L'énergie potentielle est alors à l'équilibre :
W
th
T
T
=
=
­
. .
­
1
2
1
2
K
ici
·
En mécanique : on résout le problème d'élastostatique :
( )
( )
( )
u A
v
A
v
v
=
. .
. .
,
,
E
W
pour les cas :
chargement 3D
membranaire
chargement 3D
de flexion
chargement 2D
contraintes planes
E
=




­ 1 0 0
0
0 0
0
0 0
E
=




z 0 0
0 0 0
0 0 0
E
=




­ 1 0 0
0
0 0
0
0 0
Les solutions sont :
·
en 3D, chargement membranaire :
(
)
(
)
u x y z
z
, ,
, ,­
­
=


0 0
1
;
l'énergie potentielle à l'équilibre est :
( )
( )
(
)
W
pot
=
=



+
­
. .
­
­
.
1
2
1
2
2
2
µ
u A
u
·
en 3D, chargement de flexion :
(
)
(
)
u x y z
z
, ,
, ,
­
=
+






0 0 2 1
2
;
(
)
W
pot
h
=


+
­
­
.
.
µ
1
2
2
3
2
3
·
en 2D, chargement plan :
( )
(
)
u x y
x
,
­ ,
=
0
;
(
)
W
pot
=
­
­
2 1
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
y
N6
B
x
A
O
C
GRNM14
Conditions aux limites et chargement :
Thermique :
GROUP_NO : GRNM14 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : ­1.0
Mécanique :
(contraintes planes)
GROUP_NO : GRNM14 : DX : 0.0
NOEUD : O DY : 0.0
EPSI_INIT : EPXX : ­1.0
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 QUAD8
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
FLUX_X
'OUI'
[U4.25.02]
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
TOUT
EPXX
'OUI'
[U4.25.01]
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Point
Grandeur
CMP
Référence
Aster
% différence
Tolérance %
A
TEMP
­1.0000
­1.00000
0.000
10
­6
A
DX
­1.0000
­1.00000
0.000
10
­6
N6
DX
­0.5000
­0.50000
0.000
10
­6
Maille
Energie
potentielle
à l'équilibre
Référence
Aster
% différence
M1
Thermique
­0.500000000
­0.500000
10
­8
M1
Mécanique
­0.549450550
+0.549451
10
­8
4.2 Remarques
Le Code_Aster fournit la valeur de l'énergie de déformation, égale à l'opposé de l'énergie potentielle à
l'équilibre (cas élastique).
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.02.18
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
3.7 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
z
N2
N6
y
C
B
A
O
N8
N3
N4
x
Nom des mailles des faces :
ZEGAL0
YEGAL0
YEGAL1
XEGAL0
XEGAL1
Sommets :
B C O A
O A N2 N4 B C N6 N8
C O N4 N6 A B N8 N2
Conditions aux limites :
Thermique :
ZERO : DEFI_CONSTANTE (VALE : 0.0) ;
FCT1:DEFI_FONCTION(Nom_para:'Z',VALE: (0.0 0.0 1.0 1.0));
GROUP_NO : XEGAL0 : TEMP : 0.0
GRAD_TEMP_INIT : FLUX_X : -1.0
Mécanique :
GROUP_NO : YEGALO : DY = 0.0
XEGAL1 : DX = 0.0
YEGAL1 : DY = 0.0
XEGALO : DZ = 0.0
Cas membranaire :
GROUP_NO : ZEGALO : DZ = 0.0
EPSI_INIT : EPXX : -1.0
Cas flexion :
GROUP_NO : ZEGALO : DX = ZERO, DY = ZERO
NOEUD : 0 DZ = ZERO
EPSI_INIT : EPXX : FCT1
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés
AFFE_CHAR_THER
GRAD_TEMP_INIT
TOUT
FLUX_X
[U4.25.02]
AFFE_CHAR_MECA
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
AFFE_CHAR_MECA_F
EPSI_INIT
EPXX
[U4.25.01]
POST_ELEM
ENER_POT
TOUT
'OUI'
[U4.61.04]
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Cas
Grandeur
Point
Référence
Aster
% différence
Thermique
temp
N8
­1.000000
­1.000000
10
­10
temp
N3
­0.500000
­0.5000000
10
­10
Mécanique
dz
N4
­7.03285714
­7.03285714
10
­10
membrane
dz
N8
­7.03285714
­7.03285714
10
­10
Mécanique
dz
N4
57.70459285
57.70459285
10
­10
flexion
dz
N8
57.70459285
57.70459285
10
­10
Maille
Energie
potentielle
à l'équilibre
Référence
Aster
% différence
M1
Thermique
­8.20500
­8.20500
10
­7
M1
Mécanique
Membrane
Flexion
­2.0287088
­1.8210238 10
2
­2.02871
­1.82102 10
2
10
­7
10
­7
6.2 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.30
Machine : CRAY C90
Système :
UNICOS 8.0
Encombrement mémoire :
16 mégamots
Temps CPU User :
16.51 secondes
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Date :
21/05/96
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Fascicule V7.03 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes volumiques
HI-75/96/032/A
7
Synthèse des résultats
Les résultats sont exacts à des erreurs d'arrondi près, puisque les solutions cherchées font partie de
l'espace des éléments finis choisis pour la modélisation.