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HPLP311 - Murakami 11.17 Fissure au centre d'une plaque mince
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Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire
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Fascicule V7.02 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des systèmes plans
Document V7.02.311



HPLP311 - Murakami 11.17 Fissure au centre d'une
plaque mince rectangulaire faisant obstacle à un
flux de chaleur uniforme en milieu isotrope




Résumé :

Il s'agit d'un calcul statique thermo-élastique linéaire isotrope.

C'est un test de base en 2D plan pour un chargement thermique stationnaire calculé par éléments finis sur le
même maillage avec un matériau isotrope en mode II.

Objectif :
·
test de base en 2D plan, pour un chargement thermique stationnaire calculé par éléments finis sur le
même maillage, avec matériau isotrope, en mode II,
·
validation du calcul de K
II
,
·
variabilité de G en fonction de la topologie (secteurs, couronnes) du maillage rayonnant. Vérification
de l'invariance des résultats en mécanique de la rupture, à une extrémité de fissure, par rapport au
maillage de l'autre extrémité de la même fissure.

Le calcul est testé sur un maillage complet et un demi-maillage. Les paramètres L/W et 2A/W étant fixes.

On mesure un écart relatif sur K
II
, la précision est néanmoins mal définie.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Largeur de la plaque :
W = 0,6 m
Longueur de la plaque :
L = 0,3 m
Longueur de la fissure :
2a = 0,3 m

1.2
Propriétés du matériau
Notation pour propriétés thermoélastiques:
(
)
y
x
xy
y
y
x
x
y
x
ref
xy
y
x
xy
y
x
G
S
E
E
S
E
S
E
S
T
T
S
S
S
S
S
=
=
=
-
=
-
=
=
=
-




+








=




22
11
66
12
22
11
22
11
66
22
12
12
11
1
1
1
0
0
0
0
0
On se limite au matériau isotrope, tant du point de vue thermique que mécanique :
Ex = Ey = 2 105 MPa
x =
y = 0,3
x =
y = 1,2 10-5 °C-1
x =
y = 54 W/m °C
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1.3
Conditions aux limites et chargement
On considère deux modèles :
·
le demi-modèle x 0
·
le modèle complet
Conditions aux limites mécaniques:
·
demi-modèle
UX = 0 le long de l'axe de symétrie X = 0
UY = 0 au point (W/2,0)
·
modèle complet
UX = 0 au point (0,L/2)
UY = 0 aux points (­L/2,0) et (L/2,0)
Conditions aux limites thermiques:
·
demi-modèle
T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2
T = ­100°C sur le bord inférieur Y = ­L/2
flux nul sur l'axe de symétrie, sur le bord libre X = W/2 et sur le bord de la fissure
·
modèle complet
T = 100°C sur le bord supérieur Y = L/2
T = ­100°C sur le bord inférieur Y = ­L/2
flux nul sur les bords libres X = ± W/2 et sur le bord de la fissure
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Potentiel complexe.
2.2
Résultats de référence
=
=
=
·
·
2
2
11 0
11
a
W
L
W
K
T
S
W
F
II
II
où le facteur de correction géométrique FII est donné en fonction de
pour chaque matériau, dans le
cas particulier
= 0,5 sur les courbes ci-dessous.
Le matériau isotrope étant représenté par la courbe I
2.3
Incertitude sur la solution
Précision non définie.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Y. MURAKAMI : Stress Intensity Factors Handbook, case 11.17, pages 1045-1047. The
Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.
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3
Modélisations A, B, C, D, E et F
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Ces 6 modélisations correspondent à 6 maillages où on fait varier 3 paramètres topologiques. Le
tableau ci-dessous résume les différents cas étudiés :
NS = 8 , NC = 4
NS = 4 , NC = 3
rt = 0,001*a
A
B
rt = 0,01*a
C
D
rt = 0,1*a
E
F
Les paramètres topologiques qui varient sont :
NS :
nombre de secteurs sur 90°
NC :
nombre de couronnes
rt :
le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure)
3.1.1 Modélisations A et B
Demi maillage - Modélisation A
Zoom de la pointe de fissure - Modélisation A
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Demi maillage - Modélisation B

Zoom de la pointe de fissure - Modélisation B
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3.1.2 Modélisations C et D
Maillage complet - Modélisation C

Maillage complet - Modélisation D
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3.1.3 Modélisations E et F
Maillage complet - Modélisation E

Maillage complet - Modélisation F
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3.1.4 Définition des rayons des couronnes
Pour ces différents cas, nous définissons les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser
dans la commande
CALC_THETA
:
Modélisation A
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
4 ième couronne
rinf (m)
3,75E­5
7,500E­5 1,125E­4
1,500E­4
rsup (m)
7,50E­5
1,125E­4 1,500E­4
1,875E­4

Modélisation B
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
rinf (m)
5,00E­5
1,00E­4
1,50E­4
rsup (m)
1,00E­4
1,50E­4
2,00E­4

Modélisation C
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
4 ième couronne
rinf (m)
3,75E­4
7,500E­4 1,125E­3
1,500E­3
rsup (m)
7,50E­4
1,125E­3 1,500E­3
1,875E­3

Modélisation D
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
rinf (m)
5,00E­4
1,00E­3
1,50E­3
rsup (m)
1,00E­3
1,50E­3
2,00E­3

Modélisation E
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
4 ième couronne
rinf (m)
3,75E­3
7,500E­3 1,125E­2
1,500E­2
rsup (m)
7,50E­3
1,125E­2 1,500E­2
1,875E­2

Modélisation F
1 ère couronne
2 ième couronne
3 ième couronne
rinf (m)
5,00E­3
1,00E­2
1,50E­2
rsup (m)
1,00E­2
1,50E­2
2,00E­2
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3.2
Caractéristiques du maillage
Demi-maillage; maillage rayonnant à l'extrémité droite de la fissure.
Le tableau ci-dessous donne la constitution des maillages étudiés :
NS = 8 , NC = 4
NS = 4 , NC = 3

rt = 0,001*a
3831 noeuds,
1516 éléments,
884 TRI6,
632 QUA8.
3507 noeuds,
1388 éléments,
820 TRI6,
568 QUA8.

rt = 0,01*a
1179 noeuds,
400 éléments,
104 TRI6,
296 QUA8.
855 noeuds,
272 éléments,
40 TRI6,
232 QUA8.

rt = 0,1*a
659 noeuds,
240 éléments,
104 TRI6,
136 QUA8.
335 noeuds,
112 éléments,
40 TRI6,
72 QUA8.

3.3 Fonctionnalités
testées
Variation du résultat en fonction des paramètres topologiques et géométriques du maillage rayonnant
(nombre de couronnes, nombre de secteurs, diamètre de la plus grande couronne)
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4
Résultats des modélisations A, B, C, D, E et F
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
Diamètre couronne extérieure = 0,001*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation A
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,2814E7
2,09
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,2813E7
2,08
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,2814E7
2,09
KII , couronne n°4
2,2347E+7
2,2814E7
2,09
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation B
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,282E7
2,10
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,282E7
2,10
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,281E7
2,09
Diamètre couronne extérieure = 0,01*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation C
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,166 10
7
3,058
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
KII , couronne n°4
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation D
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,214 10
7
0,919
Diamètre couronne extérieure = 0,1*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation E
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,2632 10
7
1,276
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,2572 10
7
1,009
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,2572 10
7
1,008
KII , couronne n°4
2,2347E+7
2,2564 10
7
0,972
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation F
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,255E7
0,932
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,2568E7
0,988
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,2568E7
0,987
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Identification Référence
Aster %
différence
Diamètre couronne extérieure = 0,001*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation A
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,5984E+3
4,07
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,5990E+3
4,09
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,5992E+3
4,10
G , couronne n°4
2,4969E+3
2,5993E+3
4,10
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation B
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,600 10
3
4,134
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,5996 10
3
4,114
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,5996 10
3
4,111
Diamètre couronne extérieure = 0,01*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation C
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,451 10
3
1,842
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
G , couronne n°4
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation D
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,475 10
3
0,858
Diamètre couronne extérieure = 0,1*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
Modélisation E
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,5624E3
2,627
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,5503E3
2,139
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,5499E3
2,124
G , couronne n°4
2,4969E+3
2,5489 E3
2,084
Maillage rayonnant
NS= 4
NC= 3
Modélisation F
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,5470 E3
2,006
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,5497 E3
2,117
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,5491 E3
2,094
4.2 Remarques
Dans la référence, l'auteur suppose que KI = 0, mais il ne le vérifie pas a posteriori.
En ce qui concerne le taux de restitution d'énergie G, si nous supposons que KI = 0, nous tirons la
valeur de référence à partir de la formule d'IRWIN en contraintes planes :
G
ref
= (1/E)* KII
2
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5 Modélisation
G
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour cette modélisation, nous utilisons le modèle complet avec les meilleurs paramètres NS, NC et rt
calculés dans les modélisations précédentes. Nous avons donc utilisé les valeurs suivantes :
·
NS = 8,
·
NC = 4,
·
rt = 0,01*a.
Maillage complet

5.2
Caractéristiques du maillage
Modèle complet, avec maillage rayonnant seulement à l'extrémité droite de la fissure et maillage
régulier, non raffiné, à l'extrémité gauche.
Le maillage est constitué de 1718 noeuds et 568 éléments, dont 464 éléments QUA8 et 104 éléments
TRI6.

5.3 Fonctionnalités
testées
Indépendance de K
II
à l'extrémité de droite par rapport au maillage de l'extrémité de gauche.
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6
Résultats de la modélisation G
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
Diamètre couronne extérieure = 0,01*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
KII , couronne n°1
2,2347E+7
2,2640E7
1,31
KII , couronne n°2
2,2347E+7
2,2640E7
1,31
KII , couronne n°3
2,2347E+7
2,2640E7
1,31
KII , couronne n°4
2,2347E+7
2,2641E7
1,31
Identification Référence
Aster %
différence
Diamètre couronne extérieure = 0,01*a
Maillage rayonnant
NS= 8
NC= 4
G , couronne n°1
2,4969E+3
2,5620E3
2,610
G , couronne n°2
2,4969E+3
2,5626E3
2,631
G , couronne n°3
2,4969E+3
2,5627E3
2,635
G , couronne n°4
2,4969E+3
2,5628E3
2,640





7
Synthèse des résultats
Les écarts entre la solution de référence et les résultats du Code_Aster ne dépassent pas 3% sur les
coefficients d'intensité de contraintes et 4% pour le taux de restitution d'énergie. On vérifie l'invariance
des résultats par rapport aux différentes couronnes d'intégration.