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SSNV121 Rotation et traction hyper-élastique d'un barreau
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23/07/99
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E. LORENTZ
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
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EDF/IMA/MMN
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.121
SSNV121 - Rotation et traction hyper-élastique
d'un barreau
Résumé :
Ce test de mécanique quasi-statique consiste à faire tourner de 90° un barreau parallélépipédique, à le
soumettre à une traction importante pour finalement le laisser revenir dans un état déchargé. On valide ainsi la
cinématique des grandes déformations hyper-élastiques (commande
STAT_NON_LINE
[U4.32.01], mot-clé
COMP_ELAS
), et donc en particulier les grandes rotations, pour une relation de comportement élastique linéaire.
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA8, modélisation A) ou bien plan (QUAD4, hypothèse
de déformations planes, modélisation B).
Les résultats obtenus par le
Code_Aster
ne diffèrent pas de la solution théorique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
1
2
3
4
1 000 (mm)
1 000 (mm)
y
x
1.2
Propriétés de matériaux
Comportement hyper-élastique de St Venant - Kirchhoff :
(
)(
) ( )
S
E 1
E
=
+
-
+ +
=
E
E
E
1
1 2
1
200 000
0 3
tr
.
MPa
= .
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le chargement est appliqué en deux temps : tout d'abord, une rotation d'ensemble de la structure,
suivie par une traction dans la nouvelle configuration :
1
2
3
4
1'
2'
4'
Rotation d'ensemble (0 < t < 1 s)
2'
4'
1'
3
T
Traction (1 s < t < 2 s)
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Il s'agit d'un problème plan. On peut chercher la solution sous la forme d'une rotation rigide et d'un
allongement d'un facteur
dans la direction
y
.
(
)
(
)
U X Y Z
X
Y
X
Y
, ,
=
- -
+
-




1
0
Le gradient de la transformation et la déformation de Green-Lagrange sont alors :
(
)
F
E
=
-
+




=




=
+
0
1 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
e
e
avec
La relation de comportement conduit alors à un tenseur de contraintes lagrangiennes diagonal :
(
)
(
)(
)
(
)(
)
S
E
e
S
S
E
e
xx
yy
zz
=
-
+
-
=
=
+
-




1
1
1 2
1
1 2
La condition aux limites de l'équation d'équilibre nous permet alors de déterminer la valeur de
l'allongement
:
( )
(
)
(
)
(
)(
) (
)(
)
T
S
E
T
yx
xx
=
=
+
-
+
-
+
+
=
FS
1
1
1
1 2
1
2
2
La contrainte de Cauchy est donnée par :
(
)
=
=
=
+
=
+



1
1
1
Det F F S F
T
xx
zz
yy
yy
xx
S
S
Enfin, la force exercée sur les faces :
·
[2,4] :
[ ]
[ ]
F
y
yy
yy
o
S
S
=
=
2 4
2 4
,
,
·
[4,3] :
[ ]
(
)
[ ]
F
x
xx
xx
o
S
S
=
=
+
4 3
4 3
1
,
,
·
[1,2,3,4] :
[
]
(
)
[
]
F
z
zz
zz
o
S
S
=
=
+
1 2 3 4
1 2 3 4
1
, , ,
, , ,
[ ]
S
o
représentent les surfaces initiales des faces.
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2.2
Résultats de référence
On adopte comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy et la force
exercée sur les faces [2,4] et [4,3].
Au temps t = 2 s :
On cherche
T
tel que l'allongement
=
0 1
.
==>
T
= 31 096.154 MPa.
La contrainte de Cauchy est alors :
xx
zz
yy
=
=
=


11 013.986 MPa
31 096.154 MPa
Les forces exercées sont :
[ ]
[ ]
[
]
F
F
F
x
o
y
o
z
o
S
N
S
N
S
N
=
×
=
×
=
×
12 115 385
31 096.154
12 115.385
.
,
,
, , ,
4 3
2 4
1 2 3 4
Au temps t = 3 s :
Le barreau est revenu dans son état initial :
=
=
=



0
0
0
F
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Eric LORENTZ "Une relation de comportement hyperélastique non linéaire" Note interne
EDF/DER HI-74/95/011/0
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation volumique :
1 maille HEXA 8
1 maille QUAD4
1
2
3
4
1 000 (mm)
x
y
z
5
6
7
8
Conditions aux limites :
0
1
1
2
3
R t
( )
t
(3,7) : DX = 0
DY = 0
(1,5) : DX = - 1 000 R(t)
DY = - 1 000 R(t)
(2,6) : DX = - 2 000 R(t)
(4,8) : DX = - 1 000 R(t)
Chargement : Traction sur la face [2,4,8,6]
maille [2,4,8,6] (QUAD4) : FY = 31 096.154 f(t) MPa
0
1
1
2
3
f t
( )
t
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 2
1 HEXA8
1 QUAD4
3.3 Fonctionnalités
testées
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
DEFORMATION : 'GREEN'
CALC_NO
OPTION : 'FORC_NODA'
GEOMETRIE : 'DEFORMEE'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t = 2 Déplacement DX (NO2)
100
100
0
t = 2 Déplacement DY (NO4)
1100
1100
0
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1)
11013.986
11013.986
0
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1)
31096.154
31096.154
0
t = 2 Contraintes SIGZZ (PG1)
11013.986
11013.986
0
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1)
0
10
­9
/
t = 2 Contraintes SIGXZ (PG1)
0
10
­10
/
t = 2 Contraintes SIGYZ (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Déplacement DX10 (NO2)
0
10
­11
/
t = 3 Déplacement DY (NO4)
0
10
­12
/
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1)
0
10
­9
/
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Contraintes SIGZZ (PG1)
0
10
­9
/
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1)
0
10
­11
/
t = 3 Contraintes SIGXZ (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Contraintes SIGYZ (PG1)
0
10
­11
/
t = 2 Force nodale DX (NO8)
3.0289 10
9
3.0288 10
9
­0.002%
t = 2 Force nodale DY (NO8)
7.774 10
9
7.774 10
9
0
t = 2 Force nodale DZ (NO8)
3.0289 10
9
3.0288 10
9
­0.002%
4.2 Remarques
Calcul de la force nodale :
La force appliquée
F
sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par :
1/4
1/4
1/4
1/4
F
noeud
=
1
4
F
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.03.30
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
62.3 secondes
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D déformations planes
1
2
3
4
y
x
Conditions aux limites :
0
1
1
2
3
R t
( )
t
3 :
DX = 0
DY = 0
1 :
DX = - 1 000 R(t)
DY = - 1 000 R(t)
2 :
DX = - 2 000 R(t)
4 :
DX = - 1 000 R(t)
Chargement :
Traction sur la face [2,4]
maille [2,4] : FY = 31 096.154 f(t) MPa
0
1
1
2
3
f t
( )
t
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles : 2
1 QUAD4
1 SEG2
5.3 Fonctionnalités
testées
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
DEFORMATION : 'GREEN'
CALC_NO
OPTION : 'FORC_NODA'
GEOMETRIE : 'DEFORMEE'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Référence
Aster
% différence
t = 2 Déplacement DX (NO2)
100
100
0
t = 2 Déplacement DY (NO4)
1100
1100
0
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1)
11013.986
11013.986
0
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1)
31096.154
31096.154
0
t = 2 Contraintes SIGZZ (PG1)
11013.986
11013.986
0
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1)
0
10
-10
/
t = 3 Déplacement DX (NO2)
0
10
­12
/
t = 3 Déplacement DY (NO4)
0
10
­12
/
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Contraintes SIGZZ (PG1)
0
10
­10
/
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1)
0
10
­10
/
t = 2 Force nodale DX (NO4)
6.0577 10
6
6.0577 10
6
0
t = 2 Force nodale DY (NO4)
15.5481 10
6
15.5481 10
6
0
6.2 Remarques
Calcul de la force nodale :
La force appliquée
F
sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par :
1/2
1/2
F
noeud
=
1
2
F
6.3 Paramètres
d'exécution
Version : NEW 3.03.30
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
48.3 secondes
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7
Synthèse des résultats
Il apparaît à l'issue de ce test que la solution numérique coïncide remarquablement avec la solution
analytique. On remarquera cependant que la forte non linéarité due aux grandes rotations nécessite
une discrétisation en temps relativement fine, sans être pénalisante sur la précision puisque,
contrairement à une loi de comportement incrémentale, les erreurs ne se cumulent pas d'un pas de
temps sur l'autre.