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SDNS01 - Modèle probabiliste non paramétrique
Date :
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Fascicule V5.06 : Dynamique non linéaire des coques et plaques
Document : V5.06.001



SDNS01 - Modèle probabiliste non paramétrique -
paramétrique d'une plaque en flexion avec non
linéarités localisées de choc




Résumé :

Ce cas-test concerne les modèles probabilistes non paramétriques et paramétriques des incertitudes en
dynamique linéaire avec éventuellement des non linéarités localisées. Le modèle mécanique utilisée est une
plaque rectangulaire avec une butée élastique de choc. Les générateurs de matrices aléatoires et de variables
aléatoires (opérateurs
GENE_MATR_ALEA
et
GENE_VARI_ALEA
) sont testés et validés dans ce cas test. Les
post-traitements statistiques (
CALC_FONCTION
) sont également testés.
Ce cas-test possède deux modélisations. La première utilise un amortissement proportionnel. La deuxième
utilise un amortissement réduit défini par le mot-clé
CALC_AMOR_GENE
de
COMB_MATR_ASSE
testant ainsi cette
fonctionnalité.
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0.50 m
X
1
X
2
X
3
0.23
0.15
0.06
0.21
0.31
0.40
0.15
Stop
O
P
Q
1
Problème de référence
1.1 Géométrie





























Epaisseur de la plaque : e = 0.0004 m.
Jeu entre les butées : jeu = ±0.002 m.

1.2
Propriétés de matériaux
Plaque :
Coefficient de Poisson : 0.3
Module d'Young : 2.1 10
11
N/m
2
Masse volumique : 7800 kg/m
2
Raideur concentrée : 2.388 10
7
N/m
Masse concentrée : 4 kg
Raideur de choc : 25000 N/m
R
Raideur concentrée
Masse
concentrée
Charge impulsionnelle
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1.3
Conditions aux limites et chargements
La plaque en flexion est en appui simple sur 3 bords et libre sur son 4
e
bord OR. Les degrés de
libertés bloqués sont donc:
·
sur OP et QR, les déplacements selon X
1
, X
2,
X
3
et les rotations selon X
1
, X
3
.
·
sur PQ, les déplacements selon X
1
, X
2,
X
3
et les rotations selon X
2
, X
3
.
·
sur OR, les déplacements selon X
1
, X
2
.
La plaque est soumise à une charge impulsionnelle verticale e(t) sur 9 noeuds de la plaque selon la
direction X
3
. Le chargement e(t) est tel que, pour t<0 et t>2t
1
, e(t)=0 et pour 0
t
2t
1
:
e(t)= (
(t-t
1
))
-1
{sin{(
c
+
/2)(t-t
1
)}-sin{(
c
-
/2)(t-t
1
)}}.
avec t1= 2
/
,
=2
×
40 rad/s,
c
=2
×
20 rad/s.
L'énergie de la fonction e(t) est principalement répartie dans la bande fréquentielle [0,60]Hz, laquelle
contient 8 modes élastiques du système dynamique linéarisé.

1.4 Conditions
initiales
Le système dynamique est initialement au repos.



2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Nous étudions la réponse transitoire d'un système dynamique non linéaire soumis à une charge
impulsionnelle déterministe due à un choc sur la structure. La non linéarité du système est due à une
butée élastique de haute rigidité comportant un certain jeu. Les spectres de réponse en fréquence
normalisés sont utilisés afin d'étudier la réponse transitoire de ce système. Les équations de la
dynamique sont discrétisées par la méthode aux éléments finis. Le maillage de la structure est supposé
suffisamment fin pour capter tous les phénomènes dynamiques de ce système mécanique en terme de
champ de déplacement pour le chargement impulsionnel considéré. Les incertitudes aléatoires du
système dynamique sont modélisées en utilisant le modèle probabiliste non paramétrique des
incertitudes. Par conséquent, la réponse transitoire est un processus stochastique non stationnaire
dont des estimations statistiques sont évaluées.
Les résultats de référence sont donnés sous forme de graphes dans l'article référencé ci-dessous,
consultable sur
http://www.resonance-pub.com
.

2.2 Référence
bibliographique
[1]
C. SOIZE : Non linear dynamical Systems with Nonparametric Model of Random
Uncertainties", Uncertainties in Engineering Mechanics(2001)1(1), 1-38,
http://www.resonance-pub.com
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation :
DKT
Le modèle moyen aux éléments finis de la plaque est constitué d'un maillage rectangulaire régulier
dont le pas est constant et vaut 0.01m dans les directions X
1
et X
2
. Il y a donc 41 noeuds dans la
largeur et 51 noeuds dans la longueur. Par conséquent, tous les éléments finis sont identiques et
chacun est un élément plaque à 4 noeuds. Ce modèle éléments finis moyen comporte 2000 éléments
finis et m=6009 degrés de liberté, en ne comptant que les translations en z et les rotations suivant X
1
et X
2
).
Les fréquences propres du système dynamique linéarisé (la plaque sans les butées de choc mais
avec les masses et raideurs concentrées) sont f
1
=1.94, f
2
=10.28, f
3
=15.47, ..., f
8
=53.5, f
9
=66,1,
f
10
=68.9, ..., f
30
=198.3, f
31
=206.0, f
32
=208.9, ..., f
50
=330.9, f
51
=336.3, ..., f
100
=670.8, f
120
=817.6Hz.
Modélisation :
DIS_T
Les masses concentrées et la raideur concentrée sont modélisées par des éléments
DIST_T
.
Amortissement
La matrice d'amortissement [D] du modèle moyen élément finis est définie comme étant une
combinaison linéaire des matrices éléments finis moyennes de masse [M] et de raideur [K]. On a donc
[D]=a [M] + b [K] avec
min
max
min
max
min
max
2
2
+
=
+
=
b
a
et
,
=0.04,
min
=4
rad/s et
min
=200
rad/s.
Modèle réduit et ddl observé
Pour ce cas test, le modèle éléments finis est projeté sur les 5 premiers modes élastiques de la
structure linéarisé, ce qui constitue la donnée du modèle réduit moyen. Il est à noter que les 5 premiers
modes ne suffisent pas pour obtenir la convergence par rapport au nombre de modes (cf. paragraphe
Commentaires des Résultats des modélisations).
Le degré de liberté observé est le D.D.L j
stop
correspondant au déplacement en translation suivant z du
noeud ou se trouvent les butées élastiques. C'est le noeud de coordonnées (0.31, 0, 0). Le spectre de
réponse normalisé pour ce D.D.L est construit pour une bande d'analyse fréquentielle J=2
[1, 100]
rad/s et dont la résolution fréquentielle est de 0.5Hz.
Réalisations des matrices aléatoires du modèle probabiliste non paramétrique ­ paramétrique
Les matrices de masses, de raideurs et de dissipation du modèle réduit moyens sont remplacées par
des réalisations des matrices aléatoires de masse, de raideurs et de dissipation suivant le modèle
probabiliste non paramétrique. Pour cela, nous utilisons le générateur de matrices aléatoires
GENE_MATR_ALEA
. Lors du premier appel à ce générateur, le mot clé
INIT
doit prendre la valeur
`OUI'
afin d'initialiser le générateur de variable aléatoire de loi uniforme de Python. Par la suite,
INIT
pourra prendre sa valeur par défaut (
INIT=`NON'
). L'initialisation du générateur de variable aléatoire
de Python n'est à faire qu'une et une seule fois par étude, en principe, sauf si l'utilisateur souhaite
explicitement réutiliser une même séquence pseudo aléatoire.
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Le niveau de dispersion des matrices aléatoires du modèle probabiliste non paramétrique est contrôlé
par un paramètre de dispersion
fixé à 20% (
=0.2). Le mot clé
DELTA
prend donc la valeur 0.2.
Enfin, pour chaque tirage des matrices aléatoires de masse, de raideur et de dissipation, il faut
renseigner la matrice moyenne correspondante du modèle réduit moyen par l'intermédiaire du mot clé
MATR_MOYEN
.
La raideur de choc est elle aussi rendu aléatoire due à des incertitudes. Pour construire une réalisation
de la raideur de choc suivant une loi gamma, nous utilisons le générateur aléatoire
GENE_VARI_ALEA
avec le mot clé
TYPE=`GAMMA'
. Nous supposons que l'ensemble des valeurs possible pour les
réalisations de la raideur de choc aléatoire est l'intervalle [0, +
[, que la valeur moyenne de l'ensemble
des réalisations des raideurs de choc correspond à la raideur de choc du modèle éléments finis moyen.
Le niveau de dispersion des réalisations de la raideur de choc est contrôlé par un paramètre
' fixé à
1% (
=0.01). Le mot clé
DELTA
prend donc la valeur 0.01.
Résolution du système dynamique non linéaire probabiliste.
L'opérateur
DYNA_TRAN_MODAL
est utilisé pour construire la réponse transitoire du système dynamique
non linéaire pour chaque réalisation de la raideur de choc aléatoire et des matrices aléatoire de masse,
de raideur et de dissipation. Il est à noter que nous effectuons pour ce cas test seulement n
s
=5
réalisations de chaque variable aléatoire (raideur de choc + matrices) ce qui correspond à 5 itération de
la méthode de simulation numérique de Monte Carlo (cf. paragraphe Commentaires des Résultats des
modélisations).
L'intervalle temporel de l'étude est T=[0,4] s, avec un pas de 5. 10
­5
s. Le schéma d'intégration
temporelle choisi est EULER.
Construction des estimations statistiques.
Après chaque appel à
DYNA_TRAN_MODAL
, nous disposons d'une réalisation du processus
stochastique des déplacements généralisés. Il est donc possible de construire l'accélération au noeud
de choc suivant le D.D.L. j
stop
par l'opérateur
RECU_FONCTION
. Le spectre de réponse normalisé est
ensuite construit par l'opérateur
CALC_FONCTION
.
Ces deux opérations sont classiquement effectuées lors d'études déterministes et nous donnent ici
une réalisation du processus stochastique du spectre de réponse normalisé. Il s'agit ensuite de
construire des estimations statistiques des n
s
réalisations de ce dernier. Les estimations envisagées
dans ce cas test sont les enveloppes min et max ainsi que la moyenne et le moment d'ordre deux des
spectres de réponse normalisés. A chaque tirage (itération de Monte Carlo) nous construisons ces
estimations à l'aide uniquement de l'opérateur
CALC_FONCTION
et des mots clé
ENVELOPPE
,
PUISSANCE
et
COMB
. A la fin des n
s
itérations de Monte Carlo, nous disposons des estimations
statistiques recherchées relatif au processus stochastique du spectre de réponses normalisé. Enfin la
norme L2 de la moyenne est calculée par le mot clé
NORME
de l'opérateur
CALC_FONCTION
. L'intérêt
d'évaluer une telle norme est de permettre des études de convergence suivant le nombre de modes du
modèle réduit moyen aléatoire et suivant le nombre d'itération de la méthode numérique de Monte
Carlo. Cette norme est ici calculée pour vérifier que la fonctionnalité marche, mais la convergence n'est
pas atteinte pour économiser le temps CPU.
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de degrés de liberté : 6009
Nombre d'éléments finis : 2000 QUA4 et 2 DIS_T
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot-clé
facteur
GENE_MATR_ALEA
GENE_VARI_ALEA
CALC_FONCTION PUISSANCE
CALC_FONCTION NORME
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4
Résultats de la modélisation A
4.1
Valeurs de référence Aster
La validité initiale du cas test a été établie par comparaison à la référence bibliographique donnée en
[§3.2].
On teste les valeurs suivantes en non régression (cf. commentaires) :
Statistiques sur les valeurs du spectre de réponse à 50Hz au ddl observé (cf. modélisation)
Identification Références
Aster %
Différence
Estimation de l'enveloppe
max
4.4433958494950E+02 4.4433958494950E+02
0
Estimation de l'enveloppe
min
1.2534278720661E+02 1.2534278720661E+02
0
Estimation de la moyenne
3.2330416710925E+02
3.2330416710925E+02
0
Estimation du moment
d'ordre 2
1.2260792008492E+02 1.2260792008492E+02
0
Estimation de la Norme L2
de la moyenne
2.0657959602609E+03 2.0657959602609E+03
0

4.2 Commentaires
Les différentes estimations statistiques ne sont ici pas convergées. Seules 5 simulations de
Monte-Carlo ont été faites. Il en aurait fallu au minimum 700. De plus, il faut augmenter le nombre de
modes à 50 pour obtenir la convergence du modèle projeté dans la bande de fréquences considérée.
Les calculs étant alors trop longs pour un cas test, nous avons préféré dégénérer volontairement les
deux convergences après validation de celles-ci sur une étude complète. Après convergence, les
estimations statistiques calculées à partir d'Aster correspondent très exactement aux résultats donnés
par l'article en référence.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Seule la modélisation de l'amortissement change par rapport à la modélisation A.
Amortissement
La matrice d'amortissement [D] du modèle moyen élément finis est définie comme correspondant à un
amortissement réduit modal constant de 4%.

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de degrés de liberté : 6009
Nombre d'éléments finis : 2000 QUA4 et 2 DIS_T

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Mot-clé
facteur
GENE_MATR_ALEA
GENE_VARI_ALEA
CALC_FONCTION PUISSANCE
CALC_FONCTION NORME
COMB_MATR_ASSE CALC_AMOR_GENE


6
Résultats de la modélisation B
6.1
Valeurs de référence Aster
On teste les valeurs suivantes en non régression, à 50Hz :
Statistiques sur les valeurs du spectre de réponse à 50Hz au ddl observé (cf. modélisation)
Identification Références Aster %
Différence
Estimation de l'enveloppe
max
2.7570639015302E+02 2.7570639015302E+02
0
Estimation de l'enveloppe
min
9.3629561795277E+01 9.3629561795277E+01
0
Estimation de la moyenne
1.9641139264813E+02
1.9641139264813E+02
0
Estimation du moment
d'ordre 2
4.3869049613023E+04 4.3869049613023E+04
0
Estimation de la Norme L2
de la moyenne
1.2384277999571E+03
1.2384277999571E+03
0

6.2 Commentaires
Mêmes commentaires que pour la modélisation A.
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7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont tout à fait conformes à ceux de la référence bibliographique [§2.2] obtenus
entièrement dans Matlab.