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4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
Document : V3.90.001
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Résumé :
Le but de cette note est d'exposer la méthode de calcul utilisée pour déterminer la solution de référence du
cas-test SSLL 14, intitulé : "Portique plan articulé en pied".
On utilise la méthode des forces (hyperstaticité 1), en ne tenant compte que de l'énergie de flexion : hypothèse
poutres élancées.
On considère quatre cas de charge séparément.
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Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
Table des matières
1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie
p
sur
C C
1
.......................................................4
1.1 Réactions d'appuis isostatiques .......................................................................................................4
1.2 Sollicitations .....................................................................................................................................5
1.3 Diagrammes.....................................................................................................................................6
2 Sollicitations sous force concentrée
F
1
(vers le bas).............................................................................7
2.1 Réactions d'appui.............................................................................................................................7
2.2 Sollicitations .....................................................................................................................................7
2.3 Diagrammes (
F
1
vers le bas) ..........................................................................................................8
3 Sollicitations sous la force concentrée
F
2
(vers la gauche)...................................................................8
3.1 Réactions d'appui.............................................................................................................................8
3.2 Sollicitations .....................................................................................................................................9
3.3 Diagrammes.....................................................................................................................................9
4 Sollicitations sous le couple concentré
(positif) ...............................................................................10
4.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................10
4.2 Sollicitations ...................................................................................................................................10
4.3 Diagrammes (
positif).................................................................................................................11
5 Sollicitations sous le moment
X
hyperstatique ...................................................................................12
5.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................12
5.2 Sollicitations ...................................................................................................................................12
5.3 Diagrammes...................................................................................................................................13
6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en
C
..........................................................................13
6.1 Réactions d'appui...........................................................................................................................13
6.2 Sollicitations ...................................................................................................................................14
6.3 Diagrammes...................................................................................................................................14
7 Détermination du moment
X
hyperstatique ........................................................................................15
7.1 Charge répartie
p
sur
C C
1
.........................................................................................................16
7.2 Charge ponctuelle
F
1
en
C
..........................................................................................................17
7.3 Charge ponctuelle
F
2
en
C
1
.........................................................................................................18
7.4 Couple ponctuel
en
C
1
.............................................................................................................19
7.5 Récapitulatif ...................................................................................................................................20
8 Calcul du déplacement en
C
...............................................................................................................20
8.1 Charge répartie
p
sur
C C
1
.........................................................................................................20
8.2 Charge ponctuelle
F
1
en
C
..........................................................................................................21
8.3 Charge ponctuelle
F
2
en
C
1
.........................................................................................................21
8.4 Couple ponctuel
en
C
1
.............................................................................................................22
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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8.5 Calcul de
d
m M
EI
=
1
................................................................................................................ 22
8.6 Récapitulatif des déplacements
u
C
et
v
C
.................................................................................... 23
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"
y
p
C
C
1
C
2
F
1
a
h
x
B
A
F
2
On considère le portique ci-contre,
soumis à diverses charges.
Hyperstaticité de degré 1.
Inconnue hyperstatique :
X
:
moment en
C
.
Chargement vertical réparti
p
sur
C
1
C
.
Deux forces
F
1
, F
2
, et un couple
en
C
1
.
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
tg
=
2a
"
=
0, 4
cos
(
)
-
1
=
1,16
=
1, 077033
(
)
tg
=
"
2 a
+
h
(
)
=
1
1,2
b
=
"
2cos
; sin
=
a b
1
Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie
p
sur
C C
1
1.1
Réactions d'appuis isostatiques
H
H
V
V
p
V
p
A
B
A
B
B
+
=
+
=
=
0
2
8
2
;
cos
;
cos
"
"
"
La partie
CB
est articulée et chargée seulement à ses extrémités :
H
V
H
V
B
B
B
B
=
= -
BC
0
tg
D'où les réactions isostatiques :
H
p
V
p
H
p
V
p
A
A
B
B
=
=
= -
=
"
"
"
"
8
3
8
8
8
cos
tg
;
cos
;
cos
tg
;
cos
Remarque :
(
)
"
"
tg
cos
8
8
=
+
b
a
h
.
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1.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
N
M
V
V
A
H
A
y
0
+
N
p
V
p
M
p
y
iso
iso
iso
= -
=
= -
3
8
8
8
"
"
"
cos
cos
tg
cos
tg
Poutre
C B
2
N
M
V
+
H
B
V
B
y
0
N
p
V
p
M
p
y
iso
iso
iso
= -
= -
= -
"
"
"
8
8
8
cos
cos
tg
cos
tg
Poutre
C C
1
V
A
H
A
x
y
V
M
N
+
p
(
)
(
)
N
H
V
px
p
x
V
H
V
px
p
x
M
px
V x
H y
p
x
x
y
C
iso
A
A
iso
A
A
iso
A
A
= -
-
+
= -
+
-
=
-
+
=
- +
= -
+
-
=
-
+
-
=
cos
sin
cos
sin
tg
tg
tg
sin
cos
cos
cos
tg
tg
/
cos
cos
tg
!
"
"
"
"
"
"
8
3
8
8
3 8
2
2
3
8
8
0
2
2
en
(
)
(
)
[ ]
M
p
a
h
s
a
h
b
s a
h
bh
s
x
b
iso
= -
+
+
-
+
+
=
"
8
2
2
3
0
2
avec
cos
,
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Poutre
C C
2
+
M
N
V
V
B
H
B
x
y
"
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
N
H
V
p
V
H
V
p
M
H y
V
x
p
y
x
C
iso
B
B
iso
B
B
iso
B
B
=
-
= -
+
=
+
= -
-
=
+
-
= -
- -
=
cos
sin
tg
tg
sin
cos
tg
. tg
cos
tg
!
"
"
"
"
"
8
8
1
8
0
en
1.3 Diagrammes
b
=
"
2 cos
+
-
3
8 cos
-
8cos
tg
8cos
-
tg
8cos
N
iso
V
iso
M
iso
-
tg
8cos
h
-
tg
8cos
= -
pbh
8
h
(a+h)
"
"
"
p
"
p
p
p
"
p
"
p
"
+
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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2
Sollicitations sous force concentrée
F
1
(vers le bas)
2.1 Réactions
d'appui
H
H
V
V
F
H
V
H
V
A
B
A
B
A
A
B
B
+
=
+
=
=
=
0
1
;
;
AC
0
BC
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
F
1
C
1
C
2
D'où :
H
F
V
F
H
F
V
F
A
A
B
B
=
=
= -
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
tg
;
;
tg
;
2.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
:
tg
tg
N
F
V
F
M
F y
iso
iso
iso
= -
=
= -
1
2
1
2
1
2
1
1
1
Poutre
C B
2
:
tg
tg
N
F
V
F
M
F y
iso
iso
iso
= -
= -
= -
1
2
1
2
1
2
1
1
1
Poutre
C C
1
:
(
)
(
)
(
)
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
N
F
V
F
M
F y
x
iso
iso
iso
= -
+
=
-
= -
-
1
2
1
2
1
2
1
1
1
Poutre
C C
2
:
(
)
(
)
(
)
(
)
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
N
F
V
F
M
F y
x
iso
iso
iso
= -
+
= -
-
= -
- -
1
2
1
2
1
2
1
1
1
"
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Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
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2.3 Diagrammes
(
F
1
vers le bas)
N
iso
V
iso
M
iso
-
F
1
-
F
1
-
F
1
2
tg
h
F
1
2
tg
h
= -
F
1
lh
4 (a+h)
/2
/2
-
3
Sollicitations sous la force concentrée
F
2
(vers la gauche)
3.1 Réactions
d'appui
·
+
=
+
=
+
=
·
=
H
H
F
V
V
V
h F
H
V
A
B
A
B
B
B
B
2
2
0
0
;
;
"
BC
0
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
C
1
C
2
F
2
D'où :
H
F
h
V
F h
H
F h
V
F h
A
A
B
B
=
-
=
=
= -
1
2
1
2
1
"
"
"
"
tg
;
;
tg
;
Remarque :
(
)
(
)
h
h
a
h
h
a
h
a
h
"
"
tg
;
tg
=
+
-
=
+
+
2
1
2
2
(
)
(
)
(
)
tg
sin
cos
;
tg
cos
sin
-
= -
+
-
=
-
+
+
h
b a
h
a
ah
b a
h
"
"
2
4
4
2
2
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3.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
:
/
tg
tg
N
F h
V
F
h
M
F y
h
iso
iso
iso
= -
=
-
= -
-
2
2
2
1
1
"
"
"
Poutre
C B
2
:
/
tg
tg
N
F h
V
F h
M
F h y
iso
iso
iso
=
=
= -
2
2
2
"
"
"
Poutre
C C
1
:
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
N
F
h
h
V
F
h
h
M
F
h x
h
y
iso
iso
iso
= -
-
+
=
-
-
=
- -
2
2
2
1
1
1
"
"
"
"
"
"
Poutre
C C
2
:
(
)
(
)
(
)
(
)
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
N
F h
V
F h
M
F h y
x
iso
iso
iso
=
+
=
-
=
- -
2
2
2
"
"
"
"
3.3 Diagrammes
N
iso
V
iso
+
M
iso
-
F
2
h
-
F
2
h 2a
+
h
(
)
2 a
+
h
(
)
F
2
h
2
2 a
+
h
(
)
"
-
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4
Sollicitations sous le couple concentré
(positif)
4.1 Réactions
d'appui
·
+
=
+
=
+
=
·
=
H
H
V
V
V
H
V
A
B
A
B
B
B
B
0
0
0
;
;
"
BC
0
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
C
2
D'où :
H
V
H
V
A
A
B
B
= -
=
=
= -
tg
;
tg
;
"
"
"
"
Remarque :
(
)
tg
"
=
+
1
2 a
h
4.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
:
N
V
M
y
iso
iso
iso
= -
= -
=
"
"
"
tg
tg
Poutre
C B
2
:
N
V
M
y
iso
iso
iso
=
=
=
"
"
"
tg
tg
Poutre
C C
1
:
(
)
(
)
(
)
N
V
M
x
y
iso
iso
iso
=
-
= -
+
=
+
-
"
"
"
"
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
Poutre
C C
2
:
(
)
(
)
(
)
(
)
N
V
M
y
x
iso
iso
iso
=
+
=
-
=
- -
"
"
"
"
tg
cos
sin
tg
sin
cos
tg
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4.3 Diagrammes
(
positif)
N
iso
V
iso
M
iso
-
/
/
-
tg
-
h
+
2 a
(
)
2 a
+
h
(
)
h
2 a
+
h
(
)
h
2 a
+
h
(
)
"
"
"
-
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5
Sollicitations sous le moment
X
hyperstatique
5.1 Réactions
d'appui
(
)
H
H
V
V
V
H
a
h
X
A
B
A
B
B
B
+
=
+
=
=
+ -
=
0
0
0
0
;
;
;
"
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
C
1
C
2
+
X
X
D'où les réactions :
H
X
a
h
V
H
X
a
h
V
A
A
B
B
= - +
=
=
+
=
;
;
;
0
0
5.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
:
N
V
X
a
h
M
X
a
h y
X
X
X
=
= - +
=
+
0
Poutre
C B
2
:
N
V
X
a
h
M
X
a
h y
X
X
X
=
=
+
=
+
0
Poutre
C C
1
:
(
)
cos
sin
tg
N
X
a
h
V
X
a
h
M
X
a
h y
X
a
h h
x
X
X
X
=
+
= - +
=
+
=
+
+
Poutre
C C
2
:
cos
sin
N
X
a
h
V
X
a
h
M
X
a
h y
X
X
X
=
+
=
+
=
+
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Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
5.3 Diagrammes
+
X
X
X h
a
+
h
X h
a
+
h
X
a
+
h
X sin
a
+
h
X cos
a
+
h
N
X
V
X
M
X
O
O
6
Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en
C
Afin de calculer les déplacement en
C
, à l'aide du Principe des travaux Virtuels (cf.
le
paragraphe [§8]), il est nécessaire d'établir les diagrammes de sollicitations sous l'action de deux
forces "fictives"
f
et
g
appliquées en
C
.
6.1 Réactions
d'appui
H
H
f
V
V
g
H
V
H
V
A
B
A
B
A
A
B
B
+
= -
+
= -
=
=
;
;
AC
0
BC
C
B
A
V
A
H
A
H
B
V
B
C
2
C
1
g
f
D'où :
(
)
(
)
(
)
(
)
H
f
g tg
V
g
f
H
f
g tg
V
g
f
A
A
B
B
= -
+
= -
+
= -
-
= -
-
1
2
1
2
1
2
1
2
;
cot
;
cot
g
g
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4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
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6.2 Sollicitations
Poutre
A C
1
:
(
)
(
)
(
)
cot
tg
tg
n
g
f
v
f
g
m
f
g
y
=
+
= -
+
=
+
1
2
1
2
1
2
g
Poutre
C B
2
:
(
)
(
)
(
)
cot
tg
tg
n
g
f
v
f
g
m
f
g
y
=
-
= -
-
= -
-
1
2
1
2
1
2
g
Poutre
C C
1
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
tg
cos
cot
sin
tg
sin
cot
cos
tg
cot
n
f
g
g
f
v
f
g
g
f
m
f
g
y
g
f
x
=
+
+
+
= -
+
+
+
= +
+
-
+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g
g
g
Poutre
C C
2
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
tg
cos
cot
sin
tg
sin
cot
cos
tg
cot
n
f
g
g
f
v
f
g
g
f
m
f
g
y
g
f
x
= -
-
+
-
= -
-
-
-
= -
-
-
-
-
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g
g
g
"
6.3 Diagrammes
Voici les diagrammes de sollicitations sous l'action des deux forces "fictives"
f
et
g
. On considère
ici :
f
g
f
0 , cotg
.
+
g
f
-
fh /2
+
4 a
+
h
(
)
fh
2
+
gh
4 a
+
h
(
)
m
v
n
"
"
gh
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Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
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7
Détermination du moment
X
hyperstatique
On se place en élasticité ; on ne considère que l'énergie de flexion, les poutres étant élancées. L'état
naturel est supposé vierge (pas de précontraintes ni de déplacement d'appui).
Le potentiel complémentaire est alors :
( )
(
)
(
)
F
* X
M
M
X
EI
M
M
X
EI
iso
poteaux
iso
charpentes
=
+
+
+
1
2
1
1
2
2
Il est stationnaire à l'équilibre, d'où :
=
+
= -
-
=
X
M
EI
M
EI
X
M M
EI
M M
EI
S
pot
charp
iso
pot
iso
charp
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
.
.
.
.
Le coefficient de souplesse
est la somme de :
(
)
M
EI
h
EI
h
a
h
M
EI
b
EI
h
a
h
a
a
h
ah
a
h
poteaux
charpentes
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
3
=
+
=
+
+
+
+ +
soit :
(
)
(
)
E
a
h
h
I
b h
a
ah
I
=
+
+
+
+
2
3
3
3
3
2
3
1
2
2
2
Application numérique :
Dans l'exemple considéré :
I
I
m
h
a
m
m
b
1
2
4
4
2
5 0 10
2
8
20
2 1 16
=
=
=
=
=
=
-
,
;
;
,
"
"
D'où :
(
)
=
+
+
2
3
19
2
2353 45347
2
1
2
3
E a
h
I
h
h
b
m
.
On étudie l'un après l'autre les divers chargements pour calculer les seconds membres
S
.
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7.1 Charge
répartie
p
sur
C C
1
Le second membre
S
dû à
p
est :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
=
+
+
=
+
-
=
+
+
+
+
=
+
+
-
=
M M
EI
h
EI
h
a
h
pb h
a
h
E a
h
I
ph b
M M
EI
pb h
a
h EI
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
phb
h
a
M M
EI
EI
p
iso
poteaux
iso
C C
iso
C C
1
1
1
2
1
3
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
8
2
24
8
1
2
1
6
1
3
48
1
2
1
"
"
"
"
"
(
)
(
)
(
)
(
)
8
2
2
3
1
48
2
2
2
0
2
2
2
2
2
a
h
s
a
h
b
s a
h
bh
h
s a
b ds
E a
h
I
p b
h
ah
a
b
+
+
-
+
+
+
=
+
-
-
"
D'où :
(
)
(
)
(
)
S
E a
h
p b
h
I
hb h
a
I
b h
ah
a
I
=
+
+
+ +
-
-
2
96
4
3
2
2
3
1
2
2
2
2
"
Application numérique :
(
)
I
I
h
a
p
N m
S
E a
h
I
p bh
h
b
N m
1
2
2
1
2
4
2
2
3 000
2
96
4
13
2
43 946 02189
=
=
=
=
+
+
;
;
/
.
(vers le bas)
"
D'où :
·
le moment en
C
:
X
18 672 994 N m
=
.
·
la réaction en
A
:
(
)
(
)
H
p
b
a
h
X
a
h
pb
X
a
h
H
V
pb
V
A
A
A
A
=
+ - +
=
-
+
=
=
-
=
"
"
8
8
3
4
0
5 175 37 N
24 233 24 N
.
.
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7.2 Charge
ponctuelle
F
1
en
C
Le second membre s'obtient à l'aide de :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
=
+
+
=
+
-
=
+
+
+
+
=
+
+
M M
EI
h
EI
h
a
h
F h
a
h
E a
h
I
F h
M M
EI
b
EI
F
h
a
h
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
F b h h
a
iso
poteaux
iso
charpentes
1
1
1
1
2
1
1
3
1
2
2
1
2
2
1
2
3
4
2
12
2
4
1
2
1
6
2
3
24
"
"
"
"
D'où :
(
)
(
)
S
E a
h
F h
h
I
b h
a
I
=
+
+
+
2
24
2
3
2
1
2
1
2
"
Application numérique :
(
)
[
]
I
I
h
a
F
N
S
E a
h
I
F h
h
b
N m
1
2
1
2
1
1
2
4
2
2
20 000
2
24
2
7
97 485 127 76
=
=
=
=
+
+
;
;
,
(vers le bas)
"
D'où
·
le moment en
C
:
X
41 422 161 N m
=
.
·
la réaction en
A
:
(
)
H
F a h
X
a
h
F
X
a
h
H
V
F
V
A
A
A
A
=
+ - +
=
-
+
=
=
-
=
1
4
4
1
2
0
1
1
1
"
"
4 881 4866 N
10 000 0 N
.
.
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Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
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F. VOLDOIRE
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7.3
Charge ponctuelle
F
2
en
C
1
Le second membre s'obtient à l'aide de :
(
)
(
)
(
)
(
)
-
=
+
+
+
=
+
+
M M
EI
h
EI
h
a
h
F h a
h
a
h
E a
h
I
F h
a
h
iso
A C
1
1
1
2
2
1
2
3
1
3
2
2
2
2
12
(
)
(
)
(
)
-
=
+
- +
=
+
-
M M
EI
h
EI
h
a
h
F h
a
h
E a
h
I
F h
iso
C B
1
1
1
2
2
2
1
2
4
2
3
2
2
12
(
)
(
)
(
)
(
)
-
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
M M
EI
b
EI
F h a
h
a
h
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
F bh h
ah
a
iso
C C
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
6
2
3
7
2
24
(
)
(
)
(
)
-
=
-
+
+
+
+
=
+
-
+
M M
EI
b
EI
F h
a
h
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
F bh
h
a
iso
C C
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
6
2
3
24
D'où :
(
)
(
)
S
E a
h
F ha
h
I
b
I
h
a
=
+
+
+
2
12
2
3
2
2
2
1
2
Application numérique :
I
I
h
a
F
N
1
2
2
2
2
10 000
=
=
=
;
;
(vers la gauche)
(
)
(
)
S
E a
h
I
F h a
h
b
N m
=
+
+
2
12
2
7
19 497 025 55
2
1
2
2
4
.
D'où :
·
le moment en
C
:
X
8 284 4321 N m
=
.
·
la réaction en
A
:
(
)
(
)
(
)
H
F
a
h
a
h
X
a
h
F a
h
X
a
h
A
=
+
+ - +
=
+
-
+
2
2
2
2
2
/
H
A
=
5 976 297 N
.
V
F h
A
=
2
/
"
V
A
=
4 000 00 N
.
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7.4 Couple
ponctuel
en
C
1
Le second membre s'obtient à l'aide de :
(
)
(
)
-
= -
+
+
=
+
-
M M
EI
h
EI
h
a
h
h
a
h
E a
h
I
h
iso
poteaux
1
1
1
2
1
3
2
3
2
2
6
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
-
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
M M
EI
b
EI
h
a
a
h
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
h
a
h
a b
iso
C C
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
6
2
2
3
24
(
)
(
)
(
)
-
=
-
+
+
+
+
=
+
-
+
M M
EI
b
EI
h
a
h
h
a
h
a
a
h
E a
h
I
hb
h
a
iso
C C
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
6
2
3
24
D'où :
(
)
(
)
S
E a
h
h
I
ab h
a
I
=
+
-
-
+
2
12
2
3
2
3
1
2
Application numérique :
I
I
h
a
N m
1
2
2
2
100 000
=
=
= -
;
;
(sens aiguilles de montre)
(
)
(
)
[
]
S
E a
h
I
h
ab h
a
N m
=
+
-
-
+
2
6
3
11 571 281 93
2
1
3
4
.
D'où
·
le moment en
C
:
X
4 916 7243 N m
=
.
·
la réaction en
A
:
(
)
(
)
H
a
h
X
a
h
X
a
h
A
=
-
+ - +
= -
-
+
2
2
H
A
=
4 576 394 N
.
V
A
=
"
V
A
=
5 000 000 N
.
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7.5 Récapitulatif
CAS
Moment en
C
Réactions en
A
(N)
(N.m)
H
A
V
A
p
sur
C C
1
18672.994
5175.37
24233.240
F
1
en
C
41422.161
4881.487
10000.000
F
2
en
C
1
8284.432
5976.297
4000.000
en
C
1
4916.724
4576.394
5000.000
TOTAL
22033.31
43233.24
Remarque
Rappel : dans le poteau
A C
1
: effort normal =
-
V
A
, effort tranchant =
H
A
.
8
Calcul du déplacement en
C
On ne considère aussi que l'énergie élastique de flexion (poutres élancées). En appliquant le Principe
des Travaux virtuels sur la structure soumise aux forces fictives du paragraphe [§6], travaillant dans les
déplacements cherchés, on calcule les nombres
w
et
d
dépendant linéairement de
f
et
g
:
(
)
(
)
( )
f u
g v
m M
X M
EI
m M
X M
EI
w
Xd
f g
C
C
iso
pot
iso
charp
+
=
+
+
+
=
+
1
1
1
2
.
.
,
,
8.1 Charge
répartie
p
sur
C C
1
(
) (
)
(
)
m M
EI
h
EI
gh
a
h
pbh
a
h
E a
h
I
gpbh
iso
poteaux
=
+
-
+
=
+
-
1
1
2
1
3 2
2
3
4
8
2
96
"
"
"
(
)
(
)
(
)
(
)
m M
EI
E a
h
I
p hb
f a
h
g
h
a
iso
C C
=
+
-
+ +
-
2
2
2
2
1
2
384
2
"
"
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M
EI
b
EI
pbh
a
h
fh
g h
a
h
E a
h
I
pb
h g
f a
h
iso
C C
2
2
2
2
2
2
2
3
8
2
4
2
2
192
=
+
-
+
=
+
-
-
+
"
"
"
"
D'où :
(
)
(
)
(
)
w
E a
h
pbh
g h
I
g b h
a
fb a
h
I
=
+
-
+
- -
+
2
384
4
3
2
2
2
1
2
2
"
"
"
Application numérique :
I
I
h
a
p
N m
1
2
2
2
3 000
=
=
=
;
;
/
(vers le bas)
(
)
w
E a
h
I
g
h
b
fbh
p bh
N m
=
+
+
-
-
-
2
2
5
2
9
2
192
215406 5922
2
1
2
3
"
"
.
Code_Aster
®
Version
4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V3.90.001-A
Page :
21/24
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
8.2 Charge
ponctuelle
F
1
en
C
(
) (
)
(
)
m M
EI
h
EI
gh
a
h
F h
a
h
E a
h
I
F gh
iso
poteaux
=
+
-
+
=
+
-
1
1
1
2
1
1
3 2
2
3
4
4
2
48
"
"
"
(
) (
)
(
)
m M
EI
b
EI
gh
a
h
F h
a
h
E a
h
I
F gbh
iso
charp
=
+
-
+
=
+
-
2
2
1
2
2
1
2 2
2
3
4
4
2
48
.
"
"
"
D'où (on constate que
w
ne dépend pas de
f
pour ce chargement) :
(
)
w
E a
h
F gh
h
I
b
I
=
+
-
+
2
48
2
1
2 2
1
2
"
Application numérique :
I
I
h
a
F
N
1
2
1
2
2
20 000
=
=
=
;
;
(vers le bas)
(
)
(
)
w
g
E a
h
I
F h
h
b
N m
=
+
-
+
2
48
2
315 100 365 0
2
1
1
2 2
5
"
.
8.3 Charge
ponctuelle
F
2
en
C
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m M
EI
h
EI
F h
a
h
a
h
fh
gh
a
h
h
fh
gh
a
h
E a
h
I
F h
ag
f a
h
iso
poteaux
=
+ -
+
+
+
+ -
+
+
=
+
-
+
+
1
1
2
2
1
2
3
2
3
2
2
2
4
2
4
2
24
2
"
"
"
(
)
(
)
(
)
m M
EI
E a
h
I
F bh
ag
f a
h
iso
charp
=
+
-
+
+
2
2
2
2
2
2
2
24
2
.
"
D'où :
(
)
(
)
(
)
w
E a
h
F h
ag
f a
h
h
I
b
I
=
+
-
+
+
+
2
24
2
2
2
2
2
1
2
"
Application numérique :
I
I
h
a
F
N
1
2
2
2
2
10 000
=
=
=
;
;
(vers la gauche)
(
)
(
)
(
)
w
E a
h
I
g
gh
F h h
b
N m
=
+
+
-
+
-
2
9
2
48
3 151 003 65
2
1
2
3
4
"
.
Code_Aster
®
Version
4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V3.90.001-A
Page :
22/24
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
8.4 Couple
ponctuel
en
C
1
(
)
(
)
(
)
(
)
m M
EI
h
EI
h
a
h
fh
g h
a
h
fh
g h
a
h
E a
h
I
h g
iso
poteaux
=
+
+
+
+ -
+
+
=
+
1
1
2
1
3
3
2
2
4
2
4
2
24
"
"
"
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m M
EI
b
EI
a
h
a
h
fh
g h
a
h
h
fh
g h
a
h
E a
h
I
bh
ag
f a
h
iso
charp
=
+ -
+
+
+
+ -
+
+
=
-
+
+
+
2
2
2
2
2
3
2
2
2
4
2
4
2
24
2
.
"
"
"
Application numérique :
I
I
h
a
Nm
1
2
2
2
100 000
=
=
= -
;
;
(
)
(
)
(
)
w
E a
h
I
h
N m
g h
b
fhb
=
+
-
- -
2
24
266 666 667
9
2
1
2
3
.
"
8.5 Calcul
de
d
m M
EI
=
1
(
)
(
)
m M
EI
h
EI
g h
a
h
h
a
h
E a
h
I
g h
poteaux
=
+ +
=
+
1
1
1
2
1
3
2
3
4
2
12
"
"
(
)
(
)
(
)
m M
EI
b
EI
h
a
h
a
a
h
g h
a
h
E a
h
I
h
a
charpente
=
+
+
+
+
=
+
+
1
2
2
2
2
2
1
2
1
6
4
2
3
24
"
"
g bh
D'où (on constate que
d
ne dépend pas de
f
) :
(
)
(
)
d
E a
h
g h
h
I
b h
a
I
=
+
+
+
2
24
2
3
2
2
1
2
"
Application numérique :
I
I
h
a
1
2
2
2
=
=
;
(
)
(
)
d
E a
h
I
g
h
h
b
m
=
+
+
2
24 2
7
4 874 2564
2
1
2
4
"
.
Code_Aster
®
Version
4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V3.90.001-A
Page :
23/24
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
8.6
Récapitulatif des déplacements
u
C
et
v
C
I
m
E
MPa
1
4
4
5 0 10
210 000
=
=
-
,
CAS
X
X d
w
V
pression sur
C C
1
18672.994
91016960.3
184930109.4
F
1
en
C
41422.161
201902233.4
315100365.0
F
2
en
C
1
8284.432
40380445.6
63020073.0
en
C
1
4916.724
23965373.4
14775091.25
CAS
w
H
( )
u
m
C
( )
v
m
C
pression sur
C C
1
83519999.94
0.0110476
0.012422374
F
1
en
C
0.00
0.00
0.01497330
F
2
en
C
1
226872262.8
0.03000956
0.00299466
en
C
1
206790328.5
0.0273532
0.001215646
Note :
(
)
d
E a
h
I
g d
=
+
2
2
1
, avec :
d
m
=
4 874 2564
4
.
(
)
(
)
w
E a
h
I
g w
f w
V
H
=
+
+
2
2
1
voir plus haut
(
)
(
)
(
)
u
E a
h
I
w
v
E a
h
I
w
Xd
C
H
C
V
=
+
=
+
+
2
2
2
1
2
1
;
(
)
2
1 32275132 10
2
1
10
1
4
E a
h
I
N
m
+
=
-
-
-
.
Code_Aster
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Version
4.0
Titre :
Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Date :
01/09/99
Auteur(s) :
F. VOLDOIRE
Clé :
V3.90.001-A
Page :
24/24
Manuel de Validation
Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire
HI-75/96/037 - Ind A
Comparaison
Aster
- référence analytique (R.)
CAS
Moment en
C
(N.m)
Réaction
H
A
(N)
Réaction
V
A
(N)
Déplacement
u
C
(m)
Déplacement
v
C
(m)
p
sur
C C
1
R :
Aster
:
18672.994
18673.20
5175.37
5175.36
24233.24
24233.2
0.0110476
0.0110472
0.012422374
0.0124233
F
1
en
C
R :
Aster
:
41422.161
41422.40
4881.487
4881.47
10000.00
10000.0
0.00000
0.0000
0.01497330
0.0
F
2
en
C
1
R :
Aster
:
8284.432
8284.34
5976.297
5976.31
4000.00
4000.0
0.03000956
0.0300098
0.00299466
0.00299450
en
C
1
R :
Aster
:
4916.724
4916.62
4576.394
4576.38
5000.00
5000.0
0.0273532
0.0273536
0.001215646
0.00121583
Nota :
Le calcul
Aster
a été réalisé en prenant des éléments très élancés, de telle sorte que :
S
I
"
2
<<
. Ainsi,
l'énergie de flexion est prédominante. Les valeurs du calcul
Aster
sont issues du cas-test VPCS appelé SSLL14,
avec les données suivantes :
I
m
I
m
E
MPa
1
4
4
2
4
4
5 0 10
2 5 10
210 000
=
=
=
-
-
.
;
.
;
,
h
a
m
m
b
=
=
=
=
2
8
20
2 116
;
;
.
"
"
,
p
N m
=
3 000
/
(vers le bas) ,
F
N
1
20 000
=
(vers le bas) ,
F
N
2
10 000
=
(vers la gauche) ,
= -
100 000 Nm
.