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Version
7.2
Titre :
FDLV107 - Rigidités ajoutées sous écoulement annulaire
Date :
01/03/04
Auteur(s) :
N. GREFFET, G. ROUSSEAU
Clé
:
V8.01.107-A
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Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide HT-66/04/005/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA, EDF-DPN/UTO















Manuel de Validation
Fascicule V8.01 : Fluide
Document : V8.01.107



FDLV107 - Rigidités ajoutées sous écoulement
annulaire




Résumé :

Ce test du domaine de l'interaction fluide-structure, valide le calcul de rigidité ajoutée sur un cylindre circulaire
excité sur son premier mode de flexion rotulé-rotulé et soumis à des écoulements annulaires de différentes
vitesses.

On calcule la rigidité ajoutée (fonction de la vitesse) sur le premier mode de flexion du cylindre. On vérifie la
décroissance de la fréquence propre du mode, jusqu'à la valeur zéro pour une vitesse critique d'écoulement du
fluide.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
z
y
x
fluide
L
R
i
u
R
e
u
B
A
Le système représenté sur le schéma ci-dessus est composé de deux cylindres coaxiaux et d'un fluide
en écoulement à la vitesse u dans l'espace annulaire entre les deux cylindres. Les dimensions sont :
·
rayon intérieur :
R
i
= 1 m ;
·
rayon extérieur :
R
e
= 1.05 m ;
·
longueur :
L
= 100 m.

1.2
Propriétés des matériaux
Structure :
module d'Young : E = 2.10
11
Pa ;
coefficient de Poisson :
= 0.3 ;
masse volumique :
s
= 7800 kg/m
3
.
Fluide :
masse volumique :
= 1000 kg/m
3.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Structure :
blocage des noeuds du cylindre intérieur ;
rotule aux points A et B du cylindre externe.
Fluide :
on impose différentes vitesses en entrée du domaine fluide avec des flux thermiques normaux égaux
à 4 m/s, 0.5 m/s, 1.5 m/s, 2 m/s, 2.2 m/s et 2.688 m/s (vitesse critique).

1.4 Conditions
initiales
Sans objet.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence est une solution analytique approchée. Les potentiels fluctuants analytiques
approchés pour calculer la rigidité ajoutée s'écrivent [bib1] :
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
y
R
R
R
r Rr
y
l
r
y
R
R
R
r Rr
y
l
e
e
i
i
l
e
e
i
i
l
, ,
sin sin
, ,
sin cos
=
-
+




+
=
-
+




+


La rigidité ajoutée sur le premier mode de flexion du cylindre extérieur considéré comme une poutre
rotulé-rotulé s'écrit [bib1] :
(
)
K
V
R
R
R l R
R
R
A
e
e
i
e
i
e
= -
-
+




2
02 3 3
2
2
2
Cette rigidité, calculée sur une géométrie cylindrique, est ensuite affectée à un modèle à un degré de
liberté équivalent.
Le système à 1 ddl équivalent est un système masse-ressort équivalent auquel on affecte une masse
égale à la masse du système augmentée de la masse ajoutée par le fluide et une rigidité égale à la
rigidité du système augmentée de la rigidité ajoutée par l'écoulement pour différentes vitesses.
La masse du système en air est de :
M = 10292 kg
pour une coque cylindrique externe d'épaisseur :
C = 2.10
­3
m
Pour rigidité équivalente en air du système "coque externe", on prend la rigidité d'une poutre soumise
à une force répartie sur toute sa longueur :
F
K
= 384EI
5L
3
avec
I
=
d
3
e
8
= 1.649 10
-3
m
ainsi
K
N m
= 2 533 10
4
.
/
Le système équivalent couplé à l'écoulement est représenté par le schéma suivant :
k
m
avec
m
M
M
k
K K
A
A
=
+
= +
La pulsation propre du système couplé évolue en fonction du carré de la vitesse d'écoulement. Si on
appelle
V
c
0
la vitesse critique d'écoulement pour laquelle la rigidité
k
s'annule :
( )
(
)
3
3
2
2
2
2
0
0
0
2
0
,
e
e
i
e
i
e
A
R
R
R
R
lK
R
R
V
V
K
K
V
c
c
c




+
-
=
=
+
avec
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alors on montre que :
( )
( )
V
x
e
0
2
0
1
=
-
où l'on a posé :
( )
(
)
(
)
écoulement
l'
de
réduite
vitesse
repos
au
fluide
en
système
du
propre
pulsation
=
c
V
V
x
M
M
K
A
e
0
0
0
+
=
La pulsation du fluide au repos vaut :
= 0.085 rad/s.

2.2
Résultats de référence
On calcule pour différentes vitesses d'écoulement la fréquence propre du système.
(
)
V m s
0
/
0.5 1.5 2. 2.2
2.688
M
A
(kg)
3.486E6 3.486E6 3.486E6 3.486E6
3.486E6
K
A
(N/m)
­876.5 ­7888.50
­14023.95
­16968.98
­25330
M
total
(kg)
3.491E+6 =
=
= =
K
total
(N/m)
24453.5 17441.5 11306.05
8361.00 0.
( )
f V
0
x 10
­2
(Hz)
1.318 1.112 0.896 0.772
0.

2.3
Incertitude sur la solution
Solution semi-analytique.

2.4 Références
bibliographique
[1]
ROUSSEAU G., LUU H.T. - Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure
vibrante placée dans un écoulement potentiel - Note interne EDF/DER, HP-61/95/064/A
(1995).
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Pour la géométrie sur laquelle on évalue les coefficients ajoutés :
Fluide : 1800 éléments
THER_HEXA8
thermiques 1560 éléments thermiques
THER_FACE4
d'interface ;
Structure : 1200 éléments de coque
QUAD4
modélisation
'DKT'.
Pour le système à 1 ddl équivalent : 2 éléments finis discrets modélisation
'DIS_T'
.

3.2
Caractéristiques du maillage
Maillage 1 (coques cylindres) :
1800 mailles HEXA8 1560 mailles QUAD4
Maillage 2 (système discret) :
1 maille SEG2 1 maille POI1

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
CALC_MATR_AJOU OPTION
'RIGI_AJOU'
POTENTIEL
CHAM_NO


4
Résultats de la modélisation A

4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
x 10
­2
Aster
x 10
­2
% différence
fréquence à 0.5 m/s
1.318
1.332
+1
fréquence à 1.5 m/s
1.112
1.130
+1.6
fréquence à 2 m/s
0.896
0.917
+2.3
fréquence à 2.2 m/s
0.772
0.795
+2.9
fréquence à 2.688 m/s
0.
0.192
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5
Synthèse des résultats
L'écart sur les fréquences propres augmente du fait que lorsque l'on est voisin de la vitesse critique de
flambage, la rigidité du système équivalent doit tendre vers zéro. Cependant, avec les erreurs
d'arrondi (puisqu'on affecte "à la main" les valeurs de rigidité ajoutée calculées par l'opérateur à un
modèle discret) ne permettent pas d'obtenir une pulsation propre du système nulle à la vitesse
critique.
Des écarts sur les valeurs de rigidité ajoutées subsistent aussi car la solution de référence est bâtie
sur une solution semi-analytique qui part de l'approximation selon laquelle la séparation des variables
entre la cote y et les coordonnées orthoradiales est possible. On remarquera que les potentiels choisis
pour décrire la perturbation engendrée par la vibration de la structure dans le fluide ne vérifient pas
l'équation de Laplace compète mais seulement dans une section transverse du fluide en coordonnées
orthoradiales. Cette approximation effectuée sur la solution de référence peut expliquer certains écarts
avec le calcul numérique.