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SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
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19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER
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EDF/MTI/MMN, DeltaCAD















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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.501



SSNL501 - Poutre encastrée aux deux extrémités
soumise à une pression uniforme




Résumé :

Ce test représente un calcul quasi-statique d'une poutre encastrée soumise à une pression uniforme,
constituée d'un matériau élastique parfaitement plastique. Ce test permet de valider les modélisations éléments
finis suivantes :
·
COQUE_C_PLAN (SEG3),
·
DKT (TRIA3 et QUAD4),
·
COQUE_3D (TRIA7 et QUAD9),
·
POU_D_T (SEG2).

La pression limite est comparée à une solution de référence analytique.
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SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
A
B
D
C
z
y
x
h
p
L
L = 1.5 m
b = 0.15m
h = 0.025 m
b
,x
,z
,y
E
F

1.2
Propriétés du matériau
Les propriétés du matériau constituant la poutre sont :
E
= 2. 10
11
Pa
Module d'Young
= 0.3
Coefficient de poisson
Le matériau suit une loi de comportement élastique parfaitement plastique :
e
= 2.35 10
8
Pa
Limite élastique
e
= 1.175 10
-3
Déformation élastique limite

1.3
Conditions aux limites et chargements
-
C.L. : Cotés AB et CD encastrés
-
Déplacement imposé suivant Z en E (x=L/2) :
DZ
e
= 6.60910
-3
m (
DZ
q L
EI
e
e
=
4
384
)
DZ(E) varie de 0 à 30 DZ
e

1.4 Conditions
initiales
Sans objet
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
A
D
q = p b
L
A
D
M
p
M
p
L/2
q
(a)
(b)
(c)
E
E
A
E
La ruine de la poutre apparaît lorsqu'il y a des rotules plastiques aux points A, D et E (figure b).
L'équilibre statique de la moitié gauche de la poutre, permet de déterminer la pression limite (figure c)
M
M
q
L L
A
p
L
=
-
=
2
2 4
0
( )( )
=>
q
M
L
L
p
= 16
2
où :
q
L
représente la pression limite
M
p
représente le moment plastique (
M
bh
p
e
=
2
4
)
L'apparition du premier point plastique sur la fibre extérieure de la poutre a lieu aux points A et D, les
autres fibres étant en régime élastique. La pression limite élastique est de
q
bh
L
e
e
= 2
2
2
.
2.2
Résultats de référence
Pression limite q
L
= 39 166.67 N/m
2.3
Incertitudes sur la solution
Solution analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
WILLIAM A. NASH : Theory and problems of Strength of material, Schaum's outline series,
2/ed, McGRAW-HILL
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_C_PLAN
Point A (2.1 ; 0.7) (noeud n1)
E
A
y
x
z
78.5°
Conditions aux limites : Point A : u = v =
z
=
0
Conditions de symétrie : Point E
:
z
=
0
la poutre étant inclinée à 78.5°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(78.5°)
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 21
Nombre de mailles et type : 10 SEG3
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_C_PLAN'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS =0.833333
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'

4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
10
ETA_PILOTAGE
10 1.0 1.0699
6.9
12
ETA_PILOTAGE
12 1.0 1.0699
6.9
4.2 Remarques
La largeur pour la modélisation COQUE_C_PLAN est imposée à 1 dans le Code_Aster. En
conséquence, nous avons multiplié par 1/b le chargement pour tenir compte de la largeur réelle de la
poutre.
Dans cette analyse on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
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4.3
Influence du raffinement du maillage
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 20 éléments, on observe une
amélioration des résultats COQUE_C_PLAN lorsque l'on raffine le maillage.

4.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 16.26 secondes
déplacement (m)
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
COQUE1D mail 20
COQUE1D mail 10
POUTRE mail 20
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA SOLUTION COQUE1D
COMPARAISON AVEC
LA SOLUTION POUTRE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
2
4
6
8
10x10-2
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation DKT (TRIA3)
OE = OA =
L / 2 2
AB // EF // axe Z
y
x
z
A
E
F
B
O
Conditions aux limites (repère gobal)
- côté AB: u = v =w =
x
=
y
=
z
=
0
Conditions de symétrie
- côté EF: u =
0 (repère local x
1
y
1
z
1
)
- côté EF:
z
=
0 (repère global)
x
l
y
l
z
l
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(45°)
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 43
Nombre de mailles et type : 20 TRIA3
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='DKT'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'

6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.11133 11.11
25
ETA_PILOTAGE
15 1.0
1.142 11.42
6.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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6.3
Influence du raffinement du maillage
déplacement (m)
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
DKT 10
DKT 20
DKT 50
DKT 100
POU_D_T 50
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
DKT TRIA3
COMPARAISON AVEC
LA SOLUTION POUTRE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats DKT TRIA3 lorsque l'on raffine le maillage.

6.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 20.48 secondes
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation DKT (QUAD4)
OE = OA =
L / 2 2
AB // EF // axe Z
y
x
z
A
E
F
B
O
Conditions aux limites (repère gobal)
- côté AB: u = v =w =
x
=
y
=
z
=
0
Conditions de symétrie
- côté EF: u =
0 (repère local x
1
y
1
z
1
)
- côté EF:
z
=
0 (repère global)
x
l
y
l
z
l
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(45°)
7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 43
Nombre de mailles et type : 10 QUAD4
7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='DKT'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'

8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.0837 8.37
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.0998 9.98
8.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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8.3
Influence du raffinement du maillage
déplacement
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
DKT 10 QUAD4
DKT 20 QUAD4
DKT 50 QUAD4
DKT 100 QUAD4
POUTRE POU_D_T 50
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
DKT (QUAD4)
COMPARAISON AVEC
LA SOLUTION POUTRE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats DKT QUAD4 lorsque l'on raffine le maillage.
8.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 27.55 secondes
background image
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
OE = OA =
L / 2 2
AB // EF // axe Z
y
x
z
A
E
F
B
O
Conditions aux limites (repère gobal)
- côté AB: u = v =w =
x
=
y
=
z
=
0
Conditions de symétrie
- côté EF: u =
0 (repère local x
1
y
1
z
1
)
- côté EF:
z
=
0 (repère global)
x
l
y
l
z
l
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(45°)
9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 83
Nombre de mailles et type : 20 TRIA7
9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_3D'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS =0
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'
10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.1143 11.43
15
ETA_PILOTAGE
15 1.0 1.1682 16.82
10.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
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10.3 Influence du raffinement du maillage
déplacement (m)
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
10 COQUE_3D TRIA7
20 COQUE_3D TRIA7
50 COQUE_3D TRIA7
100 COQUE_3D TRIA7
POUTRE POU_D_T 50
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
COQUE_3D TRIA7
COMPARAISON AVEC
LA SOLUTION POUTRE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats coques 3D TRIA7 lorsque l'on raffine le maillage.
10.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 72.54 secondes
background image
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11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
Modélisation COQUE_3D (QUAD9)
OE = OA =
L / 2 2
AB // EF // axe Z
y
x
z
A
E
F
B
O
Conditions aux limites (repère gobal)
- côté AB: u = v =w =
x
=
y
=
z
=
0
Conditions de symétrie
- côté EF: u =
0 (repère local x
1
y
1
z
1
)
- côté EF:
z
=
0 (repère global)
x
l
y
l
z
l
la poutre étant inclinée à 45°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(45°)
11.2 Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 54
Nombre de mailles et type : 10 QUAD9
11.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='COQUE_3D'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS = 10
5
AFFE_CHAR_MECA FORCE_COQUE PRES
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_ISOT_LINE
COQUE_NCOU
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'

12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.0978 9.78
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.1085 10.85
12.2 Remarques
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
background image
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Version
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Titre :
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Clé
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HI-75/01/010/A
12.3 Influence du raffinement du maillage
déplacement (m)
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
COQUE_3D 10 QUAD9
COQUE_3D 20 QUAD9
COQUE_3D 50 QUAD9
POUTRE POU_D_T 50
COQUE_3D 100 QUAD9
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
COQUE_3D (QUAD 9)
COMPARAISON AVEC LA
SOLUTION POUTRE
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10
12
14x10-2
La référence étant prise par rapport à la solution poutre avec 50 éléments, on observe une
amélioration des résultats coques 3D QUAD9 lorsque l'on raffine le maillage.

12.4 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 74.93 secondes
background image
Code_Aster
®
Version
5.0
Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
Date :
19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER
Clé
:
V6.02.501-A
Page :
14/16
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HI-75/01/010/A
13 Modélisation
F
13.1 caractéristiques de la modélisation
78.5°
Modélisation POU_D_T
A= 2.1 0.7
0.
AE =0.75 m
x
z
E
A
O
Conditions aux limites (repère gobal)
- noeud A: u = v =w = q
x
= q
y
= q
z
= 0
Conditions de symétrie
- noeud E: u = 0 , q
z
= 0
y
la poutre étant inclinée à 78.5°, la valeur du déplacement
imposé est alors : DX
e
=6.609 10
-3
m . sin(78.5°)
13.2 caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 21
Nombre de mailles et type : 10 SEG2
13.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION
='POU-D_T'
DEFI_MATERIAU ECRO_LINE
VMIS_POUTRE
D_SIGM_EPSI
SY
AFFE_CARA_ELEM POUTRE
SECTION
CARA
AFFE_CHAR_MECA FORCE_POUTRE
FY
STAT_NON_LINE COMP_INCR
PILOTAGE
VMIS_POU_LINE
TYPE : `DDL_IMPO'
TEST_RESU
RESU
PARA : `ETA_PILOTAGE'

14 Résultats de la modélisation F
14.1 Valeurs
testées
DX E DX
e
( )
Identification Instants Référence
Aster %
différence
5
ETA_PILOTAGE
5 1.0 1.1083 10.83
25
ETA_PILOTAGE
25 1.0 1.1107 11.07
Dans cette analyse, on utilise pour trouver la solution, une technique de résolution de type
déplacement imposé (`DDL_IMPO'). Cette méthode fournit pour chaque valeur de déplacement
imposé, un coefficient multiplicateur du chargement (`ETA_PILOTAGE'). La valeur du chargement
imposé dans `AFFE_CHAR_MECA' est égale à la pression limite, en conséquence la valeur de
référence du paramètre `ETA_PILOTAGE' est égale à 1.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée.
background image
Code_Aster
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Version
5.0
Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
Date :
19/10/01
Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER
Clé
:
V6.02.501-A
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HI-75/01/010/A
14.2 Influence du raffinement du maillage
déplacement (m)
E
T
A
_
P
I
L
OT
AGE
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
POU_D_T 10
POU_D_T 20
POU_D_T 100
POU_D_T 50
INFLUENCE DU MAILLAGE
SUR LA MODELISATION
POUTRE POU_D_T
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10x10-2
la solution poutre s'améliore sensiblement lorsque l'on raffine le maillage.
14.3 Paramètres
d'exécution
Version :
NEW 5.04.19
Machine :
SGI-Origin2000 R12000
Encombrement mémoire : 16 mégaoctets
Temps CPU User : 74.93 secondes
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Code_Aster
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Version
5.0
Titre :
SSNL501 - Poutre encastrée soumise à une pression uniforme
Date :
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Auteur(s) :
P. MASSIN, F. LEBOUVIER
Clé
:
V6.02.501-A
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Fascicule V6.02 : Statique non linéaire des structures linéiques
HI-75/01/010/A
15 Synthèse des résultats
Sur la figure ci-dessous, nous présentons l'évolution du déplacement normal au centre de la plaque en
fonction du paramètre de pilotage.
déplacement (m)
P
A
R
A
M
ETR
E ETA
EDF
Electricité
de France
Departement Mecanique et Modeles Numeriques
Eta en fonction du déplacement
agraf 12/04/2001 (c) EDF/DER 1992-1999
Modélisation A
Modélisation B
Modélisation C
Modélisation D
Modélisation E
Modélisation F
COMPARAISON DES SOLUTIONS
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16x10-2
On observe que :
·
les modélisations comportant des quadrangles donnent de meilleurs résultats, par rapport
aux mailles triangles.
Les calculs ont été arrêtés lorsque la valeur du paramètre ETA_PILOTAGE s'est stabilisée, ou
lorsque le calcul n'était plus possible. Compte tenu des maillages utilisés, les résultats obtenus sont
satisfaisants. Les erreurs observées sont pour les modélisations :
·
COQUE_C_PLAN : 6.9% (
A ),
·
DKT :11.4% pour la maille TRIA3 (
B) et 9.9% pour la maille QUAD4 ( C),
·
COQUE_3D : 16% pour la maille TRIA7 (
D) et 10.8% pour la maille QUAD9 ( E),
·
POUT_D_T :11% (
F).
Mais on constate qu'avec un maillage plus fin aux extrémités et au centre de la plaque, lieu ou la
plastification apparaît, il est possible de minimiser l'erreur par rapport à la solution de référence.