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SSNL502 - Poutre en flambement
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16/05/03
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J.M. PROIX, P. MASSIN, F. LEBOUVIER
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Fascicule V6.02 : Statique non-linéaire des structures linéiques
Document : V6.02.502



SSNL502 - Poutre en flambement




Résumé :

Ce test représente un calcul de stabilité d'une poutre console soumise à un effort de compression à une
extrémité. Il permet de valider les modélisations éléments finis
COQUE_3D
avec les mailles TRIA7 et QUAD9 et
la modélisation
POU_D_T_GD
avec les mailles SEG2 dans le domaine quasi-statique non-linéaire en grands
déplacements et en grandes rotations en présence d'instabilité (Flambement d'Euler)

Les déplacements et les moments obtenus sont comparés à une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
b
L
P
A
B
D
C
Longueur :
L = 0.5 m
Largeur :
b = 0.075 m
Epaisseur :
h = 0.0045 m
Moment d'inertie I
y
= 5.7 10
-10
m
4
(bh
3
/12)
x, u
y, v
z, w
h
y
z
x

1.2
Propriétés du matériau
Les propriétés du matériau constituant la plaque sont :
E
= 2. 10
11
Pa
Module d'Young
= 0.3
Coefficient de poisson

1.3
Conditions aux limites et chargements
- C.L. : Côté AD encastré
- On cherche les états successifs d'équilibre sous le chargement imposé sur le côté BC :
p t
p t
cr
( )
=
avec
t pseudo_temps
p
cr
charge critique d'Euler
La charge appliquée correspond à la charge critique d'Euler
P
EI
L
N
cr
=
=
2
2
4
1124 21
.
1.4 Conditions
initiales
Sans objet
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution du problème dit de l' ''élastique'' est présentée en [bib1] en faisant l'hypothèse de non
extension de l'axe moyen. La solution analytique est obtenue en considérant des intégrales
elliptiques.

2.2
Résultats de référence
Les résultats de référence retenus pour les vérifications sont indiqués en caractères gras dans le
tableau ci-dessous. Les déplacements sont définis dans le repère de définition de la géométrie [§1.1].
P/P
cr
u
B
/L w
B
/L
°
M
A
L/EI
Charge
P
(N)
u
B
(m)
w
B
(m)
M
A
(N.M)
1,015 0,220 0,030 20°
0,56 1141.07
0.1100
0.0150
127.58
1,063 0,422 0,119 40°
1,09 1195.03
0.2110
0.0595
248.32
1,152 0,593 0,259 60°
1,67 1295.09
0.2965
0.1295
380.45
1,293 0,719 0,440 80°
2,28 1453.60
0.3595
0.2200
519.41
1,518 0,792 0,651 100°
2,96 1706.55
0.3960
0.3255
674.33
1,884 0,803 0,877 120°
3,73 2118.01
0.4015
0.4385
849.74
2,541 0,750 1,107 140°
4,70 2856.62
0.3750
0.5535
1070.72
4,029 0,625 1,340 160°
6,20 4529.44
0.3125
0.6700
1412.44
9,116 0,421 1,577 176°
9,44 10248.29
0.2105
0.7885
2150.55
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Déplacement (m)
P/Pcr
W
U
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
Moment fléchissant (N.m)
P/Pcr
Moment
2.3
Incertitudes sur la solution
Solution analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE : Théorie de la stabilité élastique, deuxième édition, DUNOD
1966.
[2]
J.L. BATOZ : Grands déplacements et grandes rotations de poutres minces élastiques,
Département de génie mécanique Université de Technologie de Compiègne 1981.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation

y, v
z, w
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
2
10
x,u
A
D
C
B
0.03
Conditions aux limites :
- Coté AD :
u = v = w =
x
=
y
=
z
=
0
z
x
y


3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 145
Nombre de mailles et type : 40 TRIA7

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_ARETE
FX , FZ
STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'

Modélisation
COQUE_3D
(TRIA7)
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.0150
DX
1.04532 0.1100
0.1025 0.230
DZ
1.04532 ­0.0150 ­0.0154 2.498
ETA_PILOTAGE
1.04532 1.015
1.0380 2.271
­0.0595
DX
1.09778 0.2110
0.2081 ­1.340
DZ
1.09778 ­0.0595 ­0.0580 ­2.572
ETA_PILOTAGE
1.09778 1.063
1.098 3.274
­0.22
DX
1.20824 0.3595
0.3579 ­0.451
DZ
1.20824 ­0.22
­0.22 ­0.010
ETA_PILOTAGE
1.20824 1.293
1.39
7.483
­0.3255
DX
1.26646 0.396
0.3937 ­0.581
DZ
1.26646 ­0.3255 ­0.3298
1.32
ETA_PILOTAGE
1.26646 1.518
1.688 11.182
­0.5535
DX
1.38521 0.375
0.3668 ­2.186
DZ
1.38521 ­0.5535
­0.554
0.094
ETA_PILOTAGE
1.38521 2.541
3.038 19.562
­0.67
DX
1.46121 0.3125
0.2971 ­4.924
DZ
1.46121 ­0.67 ­0.6711 0.166
ETA_PILOTAGE
1.46121 4.029
5.28 31.053

4.2 Remarques
La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :
·
Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
·
Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement
DZ
(option
DDL_IMPO
dans
STAT_NON_LINE
) pour
déterminer le comportement post-flambement.
L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande
TEST_RESU
, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de
DZ
les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
et de
DX
que l'on devait obtenir pour les valeurs de
DZ
en question.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation

y, v
z, w
Modélisation COQUE_3D (QUAD9)
2
10
x,u
A
D
C
B
0.03
Conditions aux limites :
- Coté AD :
u = v = w =
x
=
y
=
z
=
0
z
x
y

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 105
Nombre de mailles et type : 20 QUAD9

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_ARETE
FX , FZ
STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'
Modélisation
COQUE_3D
(QUAD9)
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.0150
DX
1.03356 0.1100
0.1086
­1.255
DZ
1.03356 ­0.0150
­0.0149
­0.656
ETA_PILOTAGE
1.03356 1.015
1.028
1.366
­0.0595
DX
1.08921 0.2110
0.2115
0.228
DZ
1.08921 ­0.0595
­0.0599
0.689
ETA_PILOTAGE
1.08921 1.063
1.087
2.256
­0.22
DX
1.20259 0.3595
0.3618
0.653
DZ
1.20259 ­0.22
­0.226
2.932
ETA_PILOTAGE
1.20259 1.293
1.36
5.215
­0.3255
DX
1.25521 0.396
0.3944
­0.384
DZ
1.25521 ­0.3255
­0.3247
­0.231
ETA_PILOTAGE
1.25521 1.518
1.594
5.034
­0.5535
DX
1.37521 0.375
0.374
­0.099
DZ
1.37521 ­0.5535
­0.5501
­0.608
ETA_PILOTAGE
1.37521 2.541
2.6875
5.767
­0.67
DX
1.45321 0.3125
0.3088
­1.194
DZ
1.45321 ­0.67
­0.672
0.3
ETA_PILOTAGE
1.45321 4.029
4.388
8.903

6.2 Remarques
La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :
·
Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
·
Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement
DZ
(option
DDL_IMPO
dans
STAT_NON_LINE
) pour
déterminer le comportement post-flambement.
L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande
TEST_RESU
, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de
DZ
les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
et de
DX
que l'on devait obtenir pour les valeurs de
DZ
en question.
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7
Résultats graphiques des modélisations A et B

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8 Modélisation
C
8.1
Caractéristiques de la modélisation

y, v
z, w
Modélisation POU_D_T_GD (SEG2)
10
x,u
A
B
Conditions aux limites :
- Point A :
u = v = w =
x
=
y
=
z
=
0
z
x
y


8.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 11
Nombre de mailles et type : 10 SEG2

8.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE
AFFE
MODELISATION = 'POU_D_T_GD'
AFFE_CARA_ELEM POUTRE
SECTION
RECTANGLE
AFFE_CHAR_MECA
FORCE_NODALE
FX , FZ
STAT_NON_LINE
PILOTAGE
TYPE = 'LONG_ARC'

Modélisation
POU_D_T_GD
(SEG2)
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9
Résultats de la modélisation C
9.1 Valeurs
testées
DZ
Identification Instants Référence
Aster %
différence
­0.22
DX
1.18684 0.3595
0.3587 ­0.64
DZ
1.18684 ­0.22
­0.2129 ­3.2
ETA_PILOTAGE
1.18684 1.293
1.292 ­0.09
MYY
1.18684 519.41
519.1
0.06
­0.3255
DX
1.24521 0.396
0.397
0.1
DZ
1.24521 ­0.3255
­0.321
­1.4
ETA_PILOTAGE
1.24521 1.518
1.5171 ­0.06
MYY
1.24521 674.3
676.5
0.3
­0.4385
DX
1.30521 0.4015
0.4038
0.56
DZ
1.30521 ­0.4385
­0.4362 ­0.54
ETA_PILOTAGE
1.30521 1.884
1.885 0.053
MYY
1.30521 849.74
854.73
0.6
9.2 Remarques
La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :
·
Chargement imposé : on impose une charge perturbatrice de 1/1000 de la charge critique
suivant X pour faire apparaître le mode de flambement. Cette charge est appliquée pour
P/Pcr=0.98 et jusqu'à P/Pcr=1.015.
·
Déplacement imposé : au delà de 1.01, la structure est devenue très souple, on impose un
accroissement de déplacement
DZ
(option
DDL_IMPO
dans
STAT_NON_LINE
) pour
déterminer le comportement post-flambement.
·
Les résultats sont en bonne adéquation avec la solution de référence à partir de
ETA_PILOTAGE
= 1.293. Avant cette valeur, la charge perturbatrice (nécessaire pour obtenir
le flambage) dégrade la solution, et les écarts avec les solution analytique sont importants
(jusqu'à 80%). Les valeurs correspondantes font l'objet de tests de non régression. Mais cet
écart est uniquement lié à la charge perturbatrice, puisque en augmentant le chargement
vertical, on retrouve la bonne solution.
9.3
Résultats graphiques de la modélisation C
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10 Synthèse des résultats
Déplacement suivant X en fonction de la charge critique
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Déplacement DX (m)
Char
ge c
r
itique (
P
/Pc
r
)
Déplacement suivant Z en fonction de la charge critique
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
Déplacement DZ (m)
Charge critique (P/Pcr)
La charge critique est bien détectée. Les deux premiers résultats correspondant aux charges
P/P
cr
=1.015 et 1.063 sont corrects, l'erreur maximum est de 3.5% pour la maille TRIA7 et de 2.2%
pour la maille QUAD9. La maille QUAD9 donne de meilleurs résultats.
Si l'on poursuit les calculs avec les éléments de coques la maille QUAD9 continue de donner de
meilleurs résultats. Dans la zone où les déplacements en
DZ
sont les plus importants, l'erreur
commise sur la charge atteint 9% sur les quadrangles et va jusqu'à 30% sur les triangles. Les erreurs
s'accroissent dans cette région du fait des pentes des courbes. La solution poutre du code fournit de
bons résultats par rapport à la solution poutre de référence.
Le coefficient de correction du cisaillement transverse
A_CIS
a été mis à 0.833, correspondant aux
coques épaisses. La valeur (9000=10
6
xH/L) qui aurait du être prise en compte ne permet pas
d'effectuer les calculs. Elle introduit un mauvais conditionnement des matrices de rigidité en
accroissant leurs disparités.
TRIA7
QUAD9
Référence
TRIA7
QUAD9
Référence
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