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5.0
Titre :
SDND101 Lâcher d'un système masse ressort avec choc
Date :
30/08/01
Auteur(s) :
Fe WAECKEL
,
G. JACQUART
Clé
:
V5.01.101-B
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Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
HT-62/01/012/A
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EDF/RNE/AMV















Manuel de Validation
Fascicule V5.01 : Dynamique non linéaire des systèmes discrets
Document V5.01.101



SDND101 - Lâcher d'un système masse ressort
avec choc




Résumé

Ce problème correspond à une analyse transitoire par recombinaison modale d'un système discret non linéaire
à un degré de liberté. La non-linéarité consiste en un contact avec choc sur un plan rigide. La masse est lancée
avec une vitesse initiale non nulle contre l'obstacle. Le jeu initial entre le point matériel et l'obstacle est nul. Ce
problème permet de tester le post-traitement des forces d'impact : vitesse de choc, durée de choc ...
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
k
m
Uo
Kchoc
.

1.2
Propriétés des matériaux
Le système est constitué d'une masse m et d'un ressort de raideur k. La butée de choc a une raideur
égale à Kchoc.
Masse
m = 100 kg
Raideur
k = 10
4
N/m
Rigidité normale de choc
Kchoc = 10
6
N/m

1.3 Conditions
initiales
Le système est initialement en position au repos (
U
0
= 0) et possède une vitesse initiale
&
U
0
> 0. On
choisira pour l'application une vitesse initiale
&
U
0
= 1 m/s.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Pendant la phase d'impact, le système est solution de l'équation différentielle :
m u k u K u
u
u
U
c
.&&
.
&
& .
+
+
=
=
=
+
0
0
0
0
0
avec
et
x
+
désigne la valeur positive de
x
.
La solution analytique de ce problème est :
( )
u U
t
c
c
= & sin
0
c
c
k
K
m
=
+
.
La vitesse s'annule pour
t
u
c
&=
=
0
2

.
La force de choc est alors maximale et vaut
F
K u t
K U
c
u
c
c
max
&
(
)
&
=
=
=0
0
.
Par construction, la durée du choc vaut
T
t
choc
u
=
=
2
0
&
.
Le système revient à la position u = 0 avec la vitesse -
&
U
0
.
Dans le domaine u < 0 le système a pour équation
m u k u
.&&
.
+
= 0
avec pour conditions initiales
u
1
0
=
et
&
& .
u
U
1
0
= -
Sa solution est
(
)
u
U
t
k
m
= -
=
& sin .
0
0
0
0
.
La vitesse s'annule pour :
=
=
t
u& 0
0
2
.
Par construction, le temps de vol libre vaut : Tvol =
2
0
=
t
u&
.
Le système est donc périodique avec alternativement une phase de temps de choc de durée Tchoc où
le système décrit une arche de sinus dans le domaine des u > 0 et une phase de vol libre de durée
Tvol où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des u < 0.
L'impulsion à chaque impact vaut :
I
K u t dt
K U
mU
k
K
c
T
c
c
c
choc
=
=
=
+
( )
&
&
0
0
2
0
2
2
1
.
2.2
Résultats de référence
Les résultats pris pour référence sont les valeurs des instants de force maximale, la valeur de force
maximale, la durée du temps de choc, la valeur de l'impulsion et de la vitesse d'impact ainsi que le
nombre d'impact élémentaires pour les deux premières oscillations du système.
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
G.JACQUART : Post-traitement des calculs de coeur et d'internes REP sous sollicitation
sismique - HP-61/95/074/A.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le système masse-ressort est modélisé par un élément de type POI1 au noeud NO1. Il est assujetti à
se déplacer selon l'axe x. Le noeud NO1 est positionné en O = (0. 0. 0.).
Un obstacle de type
PLAN_Z
(deux plans parallèles séparés par un jeu) est utilisé pour simuler les
éventuels chocs du système masse-ressort contre un plan rigide. On choisit de prendre l'axe Oy pour
normale au plan de choc, soit
NORM_OBST
: (0., 1., 0.). Pour ne pas être gêné par le rebond de
l'oscillateur sur le plan symétrique, on repousse celui-ci très loin (cf. [Figure. 3.1-a]). On choisit donc
de situer l'origine de l'obstacle en
ORIG_OBS : (-1. 0. 0.)
.
Zloc
Yloc
ORIG_OBS
(-1, 0, 0)
NO1
U0 (0,0,0)
x
k
m
JEU
Figure 3.1-a : Géométrie modélisée
Il reste à définir le paramètre
JEU
qui donne le demi-écartement entre les plans en contact. On
souhaite ici un jeu réel nul, d'où
JEU
: 1. Si l'on souhaite un jeu réel de j , il faut, dans le cas de figure
présenté, imposer
JEU
: 1+ j.
L'intégration temporelle est réalisée avec l'algorithme d'Euler et un pas de temps de 5.10
-4
s. Tous les
pas de calcul sont archivés. On considère que l'amortissement réduit
i
pour l'ensemble des modes
calculés est nul.
3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage est constitué d'un noeud et d'une maille de type
POI1
.
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
Clés doc V5
AFFE_MODELE `MECANIQUE'
'DIST_T'
[U4.41.01]
AFFE_CARA_ELEM DISCRET
M_T_D_N
[U4.42.01]
K_T_D_N
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
[U4.44.01]
MODE_ITER_INV OPTION
PROCHE
[U4.52.04]
AFFE_CHAM_NO GRANDEUR
`DEPL_R'
[U4.44.11]
PROJ_VECT_BASE VECT_ASSE
[U4.63.13]
PROJ_MATR_BASE MATR_ASSE
[U4.63.12]
DEFI_OBSTACLE TYPE
'PLAN_Z'
[U4.44.21]
DYNA_TRAN_MODAL ETAT_INIT
VITE_INIT_GENE
[U4.53.21]
CHOC
POST_DYNA_MODA_T RESU_GENE
[U4.84.02]
CHOC
OPTION
'IMPACT'
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Pour les deux premiers chocs, on compare aux valeurs analytiques les valeurs calculées de l'instant
où se produit l'impact, de la force maximale de choc, du temps de choc, de l'impulsion et de la vitesse
d'impact. On teste également la valeur de l'extremum absolu de la force d'impact.
Premier choc :
Temps (s)
Référence
Aster %
différence
INST 1,5630E­02
1,55000E­02
­0,832
F_MAX 9,9500E+03
9,95269E+03 0,027
T_CHOC 3,1260E­02 3,15000E­02 0,768
IMPULSION 1,9805E+02 1,98093E+02
0,022
V_IMPACT ­1.
­1,00031E+00
0,031

Deuxième choc :
Temps (s)
Référence
Aster %
différence
INST 3,6100E­01
3,61000E­01
0
F_MAX 9,9500E+03
9,95478E+03
0,048
T_CHOC 3,1260E­02
3,15000E­02
0,768
IMPULSION 1,9805E+02
1,98093E+02
0,022
V_IMPACT ­1,0000E+00
­1,00031E+00
0,031
Temps (s)
Référence
Aster %
différence
F_MAX_ABS 9,95E+03
9,95478E+03
0,048

4.2 Paramètres
d'exécution
Version : STA 5.02
Machine : SGI Origin 2000
Temps CPU user : 2,2 secondes
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5
Synthèse des résultats
On constate, sur l'ensemble des grandeurs, un très bon accord avec la solution analytique produite.
Les grandeurs les moins bien représentées sont la durée de choc et l'instant de choc (à mieux que 1%
cependant). Ce problème n'est pas lié à la précision du calcul mais au seul fait qu'un pas de temps
d'intégration de 5.10
-4
s a été choisi ce qui sur des durées aussi courtes que 0,03 s produit déjà une
imprécision temporelle de 1,66%. Pour compléter cette synthèse, on pourrait réaliser un test de
convergence en diminuant le pas de calcul.