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Code_Aster
®
Version
6.0
Titre :
SSNA106 - Cylindre creux soumis à un comportement thermoviscoélastique
Date :
19/08/02
Auteur(s) :
Ph. De BONNIERES, D. NUNEZ
Clé
:
V6.01.106-A
Page :
1/6
Manuel de Validation
Fascicule V6.02 : Statique non linéaire en axisymétrique
HT-66/02/001/A
Organisme(s) :
EDF/AMA, CS SI














Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document V6.01.106



SSNA106 - Cylindre creux soumis
à un comportement thermoviscoélastique



Résumé :

Ce cas-test permet de valider la loi de LEMAITRE implantée dans le Code_Aster dans le cas de comportement
thermoviscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
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Titre :
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Date :
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie



















R
0
1 m
R
1
2 m

1.2
Propriétés des matériaux
Module d'Young : E= 1 MPa
Coefficient de Poisson :
=0.3
Coefficient de dilatation :
=0.7
Loi de LEMAITRE :
n
m
K
T
g




=
1
1
)
,
,
(
avec
1
,
0
1
,
1
1
=
=
=
n
m
K
1.3
Conditions aux limites et chargement
Conditions aux limites :
Le cylindre est bloqué en DY sur les côtés [AB] et [CD].

Chargement :
Le cylindre est soumis à un champ de température
2
)
,
(
tr
t
r
T
=
R
0
R
1
A
B
C
D
T(r,t)
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
L'ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].
Dans le cas d'un matériau isotrope viscoélastique linéaire, on peut décrire le comportement au cours
du temps à l'aide de deux fonctions
)
(t
I
et
)
(t
K
de telle sorte que les déformations et les contraintes
peuvent s'écrire :
(
)
(
)
3
3
)
,
(
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
I
I
t
r
T
d
t
Tr
d
K
d
t
d
K
I
t
+
-
+
=
3
I
désigne la matrice identité de rang 3
et * le produit de convolution :
-
=
t
d
g
t
f
t
g
f
0
)
(
)
(
)
)(
*
(
Le problème thermoélastique équivalent, en passant par le transformée de Laplace est :
(
)
( )






=
=
-
=
=
+
-
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r
z
r
r
r
r
r
dr
d
p
r
Tr
K
K
I
0
1
'
)
(
)
(
2
3
3
I
I
En éliminant le signe « + » :
(
)
(
)
(
)
(
)






+
+
+
-
+
=






+
+
+
-
+
=
+
+
+
-
+
=
-
+
p
r
K
K
I
p
r
K
K
I
r
p
r
K
K
I
r
z
r
r
z
r
z
r
z
r
r
2
2
2
)
(
)
(
0
)
(
0
1
'
soit,
(
) (
)
(
) (
) (
)






+
+
+
+
-
+
=






+
+
+
-
+
-
+
=
=
-
+
p
r
I
K
I
I
K
K
I
K
I
p
r
I
K
K
I
K
I
r
pI
r
I
K
r
r
r
r
r
z
r
r
2
2
2
)
(
)
(
)
(
0
)
(
1
'
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(
) (
) (
)
r
r
K
I
p
r
I
K
I
I
K
K
I
K
I
r
K
I
)
(
)
(
)
(
2
+
=




+
+
+
+
-
+
+
+
D'après l'équation d'équilibre, on a
r
r
r
+
=
'
, on obtient :
(
) (
) (
)
0
'
2
)
'
)(
(
'
)
(
2
=




+
+
+
+
-
+
+
+
+
p
r
I
K
I
r
I
K
K
I
r
K
I
r
K
I
r
r
r
r
r
,
(
)
0
)
(
'
2
2
=


-
+
+
K
I
p
r
r
r
r
,
)
(
'
2
2
I
K
p
r
A
r
r
r
-
+
=
+
ce qui en intégrant par rapport à r donne :
)
(
4
2
2
2
I
K
p
r
r
B
A
r
-
+
+
=
,
les conditions aux limites
0
)
(
)
(
1
0
=
=
r
r
r
r
donnent :
)
(
4
)
(
)
(
2
2
1
2
0
2
1
2
0
I
K
p
r
r
B
r
r
I
K
p
A
-
=
+
-
-
=
On a donc en reprenant les notations initiales :
(
)






-
+
-
=
+
-
+
-
=
-
-
+
-
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
)
2
(
)
(
)
3
(
)
(
4
)
(
)
(
4
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
r
r
r
I
K
K
I
p
r
r
r
r
r
r
K
I
p
r
r
r
r
r
r
K
I
p
z
r
Soit, en prenant la transformée inverse,
(
)
















-
+
+
-
+
-




+
-
+
-




-
-
+
-
=
-
-
-
-
)
1
(
2
)
1
(
0
0
0
3
)
1
(
2
0
0
0
)
1
(
2
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
2
1
2
0
Ekt
bt
bt
bt
e
r
r
r
r
r
r
e
k
r
r
r
r
r
r
e
k
r
r
r
r
r
r
e
k
On en déduit
V
et w :
(
)
(
)
(
)






+
-
+


+
-
-
+


-
+
-
-
=
-
-
2
2
2
1
2
0
2
1
2
0
2
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
4
3
4
)
(
1
1
2
1
)
,
(
r
r
r
r
Ekt
r
r
e
r
r
r
r
r
e
r
Ek
t
r
w
Ekt
bt
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2.2
Résultats de référence
Déplacement DX sur le noeud B

2.3
Incertitude sur la solution
0% : solution analytique

2.4 Références
bibliographiques
[1]
Ph. De BONNIERES, deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en
viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le problème est modélisé en axisymétrie

3.2
Caractéristiques du maillage
120 mailles QUAD4

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU
LEMAITRE
STAT_NON_LINE
COMP_INCR
LEMAITRE


4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster
Ecart %
DX(B) 0.24
1.110
1.1106
0.05%


5
Synthèse des résultats
Les résultats calculés par le Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais dépendent
très fortement du raffinement du maillage.