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8.1
Titre :
SSNA116 - Essai triaxial avec le modèle de Hoek-Brown modifié
Date :
15/02/06
Auteur(s) :
C. CHAVANT, V. GERVAIS
Clé :
V6.01.116-A
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Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
HT-62/06/005/A
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Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document : V6.01.116



SSNA116 - Essai triaxial avec le modèle de Hoek-
Brown modifié en axisymétrique



Résumé

Ce test permet de valider la loi de comportement élasto-plastique de Hoek-Brown modifiée en mécanique des
roches. Il s'agit d'un essai triaxial pour lequel les calculs sont effectués uniquement sur la partie solide du sol en
mécanique pure.
Deux niveaux de confinement sont appliqués : 5 MPa et 12 MPa. Les paramètres
end
,
rup
et
res
sont pris
égaux (ce qui revient à une déformation plastique volumique constante) : on peut dans ce cas calculer une
solution analytique au problème et ainsi comparer les résultats obtenus avec Code_Aster à cette solution de
référence.
Pour des raisons de symétrie, on ne s'intéresse qu'au huitième d'un échantillon soumis à un essai triaxial. La
modélisation est axisymétrique.

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SSNA116 - Essai triaxial avec le modèle de Hoek-Brown modifié
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Table des matières
1
Problème de référence ..........................................................................................................................3
1.1
Géométrie ........................................................................................................................................3
1.2
Propriétés du matériau ....................................................................................................................3
1.3
Conditions initiales, aux limites et chargement................................................................................4
2
Solution de référence.............................................................................................................................4
2.1
Calcul de la solution de référence ...................................................................................................4
2.2
Résultats de référence.....................................................................................................................5
3
Modélisation A .......................................................................................................................................6
3.1
Caractéristiques de la modélisation.................................................................................................6
3.2
Caractéristiques du maillage ...........................................................................................................6
3.3
Fonctionnalités testées ....................................................................................................................6
4
Résultats de la modélisation A ..............................................................................................................7
4.1
Valeurs testées ................................................................................................................................7
5
Modélisation B .......................................................................................................................................8
5.1
Caractéristiques de la modélisation.................................................................................................8
5.2
Caractéristiques du maillage ...........................................................................................................8
5.3
Fonctionnalités testées ....................................................................................................................8
6
Résultats de la modélisation B ..............................................................................................................9
6.1
Valeurs testées ................................................................................................................................9
7
Synthèse des résultats.........................................................................................................................10
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
On considère ici un cube de dimension 1m
× 1m × 1m.



















Coordonnées des points (en m) :
A B C
D
x 0 1 0.5
1
y 0 0 0.5
1
z 0 0 0.5
1

1.2
Propriétés du matériau
Paramètres de la loi de comportement élastique :
E
= 4500 MPa
= 0.3
Paramètres de la loi de Hoek-Brown modifiée :
rup
= 0.005
res
= 0.017
end
c
S
)
(
2
= 225 MPa
2
rup
c
S
)
(
2
= 482.5675 MPa
2
end
c
m
)
(
= 13.5 MPa
rup
c
m
)
(
= 83.75 MPa
= 3 MPa
end
= 15°
rup
= 15°
res
= 15°
= 3.3
z
y
x
A
B
D
·
·
·
·
C
1 m
1 m
1 m
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1.3 Conditions
initiales,
aux limites et chargement
Le test se décompose en deux phases :
1) Dans un premier temps, on amène l'échantillon à un état homogène
0
0
0
zz
yy
xx
=
=
. Pour
cela, la pression de confinement correspondante est imposée sur les faces avant (
1
=
z
),
latérale droite (
1
=
x
) et supérieure (
1
=
y
), tandis que les déplacements sont pris nuls sur
les faces arrière (
0
0
=
=
z
z
u
), latérale gauche (
0
0
=
=
x
x
u
) et inférieure (
0
0
=
=
y
y
u
).
2) Une fois l'état homogène obtenu, les déplacements sont maintenus bloqués sur les faces
arrière, latérale gauche et inférieure et la pression de confinement est toujours imposée sur
les faces avant et latérale droite. Un déplacement est imposé sur la face supérieure (
)
(t
u
y
)
de façon à obtenir une déformation
yy
égale à ­25% à partir du début de la deuxième phase,
par incréments de déformation constants
4
5
.
2
-
-
=
E
yy
.


2
Solution de référence
2.1
Calcul de la solution de référence
On se place ici dans le cas d'un essai triaxial pour lequel les contraintes de confinement sont
appliquées dans les directions x et z et pour lequel la direction de déformation imposée est la direction
y. On suppose de plus que le paramètre
est indépendant du paramètre d'écrouissage
,
c'est-à-dire
res
rup
end
=
=
: il est alors possible de calculer une solution analytique au problème.
Le critère de plasticité et d'écoulement s'écrivent :
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
1
3
3
)
1
(
2
1
2
)
2
1
(
1
1
)
1
(
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
1
3
3
3
2
1
3
+
=
=
+
+
=
+
=
=
+
-
=
-
=
=




-
-
-
-
-
-
p
p
p
p
d
b
c
c
b
m
S
On considère une situation de chargement croissante pour laquelle les équations précédentes peuvent
s'écrire de façon non incrémentale :
1
3
,
)
1
(
2
1
2
,
1
1
2
3
1
+
=
+
+
=
=
+
-
=
p
p
p
p
Les relations d'élasticité donnent :
)
(
)
(
1
)
(
2
)
(
1
0
1
1
0
3
3
3
3
0
3
3
0
1
1
1
1
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
E
E
E
E
p
p
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c'est-à-dire :
)
(
)
(
1
)
1
(
2
1
2
)
(
2
)
(
1
1
1
0
1
1
0
3
3
3
0
3
3
0
1
1
1
-
-
-
-
=
+
+
-
-
-
-
=
+
-
-
E
E
E
E
avec
0
3
et
0
1
les valeurs de
1
et
3
au début du chargement. Il reste donc à calculer
1
en
fonction de
en utilisant le critère de plasticité pour obtenir
3
1
et
,
.
1
er
cas :
rup
En notant
2
1
2
)
(
A
A
S
c
+
=
et
2
1
)
(
B
B
m
c
+
=
1
A
,
2
A
,
1
B
et
2
B
sont donnés dans la
documentation de référence de la loi de comportement,
est solution du polynôme de degré 2 :
0
1
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
2
2
3
2
1
2
2
=
-
-
+


-
+




+
-
-




+
-
E
B
A
E
B
A
,
[
]
.
,
0
rup
intervalle
l'
dans
avec
2
ème
cas :
res
rup
En reprenant les notations de la documentation de référence de la loi de Hoek-Brown modifiée pour a,
d, c et
d
b
-
3
,
est solution du polynôme de degré 2 :
[
]
res
rup
d
b
rup
c
rup
c
d
b
d
b
E
c
E
m
S
E
d
E
a
,
0
1
)
(
)
(
1
1
1
1
3
3
3
2
1
3
3
2
3
3
intervalle
l'
dans
avec
=




-
+
-
+
+








-
+




+
-
-
+




-
-
-
-

3
ème
cas :
res
Dans ce cas,
1
est constant :




-
-
-
-
=
-d
b
res
res
c
res
c
b
m
S
3
3
3
2
3
1
1
)
(
)
(
et
1
0
1
1
-
-
=
E
.

2.2
Résultats de référence
Contraintes
)
(
3
xx
,
)
(
1
yy
et
)
(
3
zz
au point D.
Déplacements
)
(
3
xx
et
)
(
1
yy
au point D.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D axisymétrique












Découpage : 1m en hauteur, 1m en largeur
Chargement de la phase 1 :
MPa
5
-
0
0
0
=
=
=
zz
yy
xx
(pression de confinement)
Conditions aux limites :
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
z
z
y
y
x
x
u
u
u

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4 et 4 SEG2

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU HOEK_BROWN
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
`HOEK_BROWN'
z
y
x
D
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Localisation Numéro
d'ordre
Contrainte
(MPa)
Code_Aster
Solution de
référence
Ecart relatif
Point D
12
xx
-5 -5
0
70
xx
-5 -5
0
12
zz
-5 -5
0
70
zz
-5 -5
0
12
yy
-18.50 -18.50 0
16
yy
-22.5676 -22.5675778 0
32
yy
-30.8798 -30.8797526 0
41
yy
-34.9342 -34.9342281 0
42
yy
-32.9137 -32.9136722 0
46
yy
-26.8215 -26.8215156 0
52
yy
-22.7560 -22.7560224 0
70
yy
-20.7512 -20.721512 0

Localisation Numéro
d'ordre
Déformation
Code_Aster
Solution de
référence
Ecart relatif
Point D
12
xx
0.9 E-3
0.9 E-3
0
16
xx
1.24644 E-3
1.24644 E-3
0
32
xx
3.48682 E-3
3.48682 E-3
0
41
xx
4.81373 E-3
4.81373 E-3
0
42
xx
5.22653 E-3
5.22653 E-3
0
46
xx
6.66403 E-3
6.66403 E-3
0
52
xx
8.27551 E-3
8.27551 E-3
0
70
xx
12.0186 E-3
12.01865 E-3
0
12
yy
-0.003 -0.003 0
70
yy
-0.0175 -0.0175 0
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 2D axisymétrique












Découpage : 1m en hauteur, 1m en largeur
Chargement de la phase 1 :
MPa
12
-
0
0
0
=
=
=
zz
yy
xx
(pression de confinement)
Conditions aux limites :
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
z
z
y
y
x
x
u
u
u

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 4
Nombre de mailles et types : 1 QUAD4 et 4 SEG2

5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_MATERIAU HOEK_BROWN
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
`HOEK_BROWN'
z
y
x
D
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Localisation Numéro
d'ordre
Contrainte
(MPa)
Code_Aster
Solution de
référence
Ecart relatif
Point D
16
xx
-12 -12 0
80
xx
-12 -12 0
16
zz
-12 -12 0
80
zz
-12 -12 0
16
yy
-30 -30 0
20
yy
-33.4287 -33.4287301 0
36
yy
-43.5095 -43.5095082 0
49
yy
-50.4230 -50.4230084 0
52
yy
-48.4776 -48.4775526 0
56
yy
-46.4936 -46.4935733 0
60
yy
-45.0479 -45.0479008 0
70
yy
-43.1175 -43.1174944 0
80
yy
-42.8023 -42.8023313 0

Localisation Numéro
d'ordre
Déformation
Code_Aster
Solution de
référence
Ecart relatif
Point D
16
xx
1.2 E-3
1.2 E-3
0
20
xx
1.61504 E-3
1.61504 E-3
0
36
xx
3.66549 E-3
3.66549 E-3
0
49
xx
5.46863 E-3
5.46863 E-3
0
52
xx
6.265 E-3
6.265 E-3
0
56
xx
7.26131 E-3
7.26131 E-3
0
60
xx
8.19982 E-3
8.19982 E-3
0
70
xx
10.3653 E-3
10.36527 E-3
0
80
xx
12.3573 E-3
12.35726E-3
0
16
yy
-0.004 -0.004
0
80
yy
-0.02 -0.02 0
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7
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus permettent de valider le modèle de Hoek-Brown modifié intégré dans Code_Aster
dans le cas particulier d'une déformation plastique volumique constante.