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SSNV186 LBB condition et contact frottant avec X-FEM
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Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
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SSNV186 LBB condition et contact frottant avec
X-FEM
Résumé
Ce test a pour but de valider la prise en compte du contact (par la méthode continue [bib1]) sur les lèvres de la
fissure dans le cadre de la méthode X-FEM [bib2], lorsque la LBB condition [bib3] [bib4] n'est pas respectée.
Ce test met en jeu un bloc parallélépipédique en compression. L'interface le traversant est représentée par une
level set. L'interface est droite, nonpenchée et traverse complètement les éléments.
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1
Problème de référence
Des oscillations des pressions de contact peuvent apparaître dans certains cas, notamment pour des
structures où l'interface coupe des pentaèdres, sous un chargement non-uniforme.
Cela est dû au non-respect de la LBB condition [bib3] [bib4]. Ce phénomène d'oscillations est
comparable à celui rencontré en incompressibilité [bib5]. Physiquement, dans le cas du contact, cela
revient à vouloir imposer le contact en trop de points de l'interface (surcontrainte), rendant le système
hyperstatique. Pour le relâcher, il faut restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange, comme
cela est fait dans [bib6] pour les conditions de Dirichlet avec X-FEM. L'algorithme proposé par Moës
[bib6] pour réduire les oscillations est adapté au cas 3D (algorithme version 1). Cet algorithme a fait
l'objet d'une amélioration pour le rendre plus physique et plus efficace (algorithme version 2). Une
comparaison des deux versions est effectuée.
Notons qu'avec un maillage d'hexaèdres, il n'y a pas d'oscillations.
1.1 Géométrie
La structure est un parallélépipède droit à base carrée et sain. Les dimensions du bloc sont : LX = 5 m,
LY = 20 m et LZ = 20 m. Il ne comporte aucune fissure [Figure 1.1-a].
L'interface est introduite par des fonctions de niveaux (level sets) directement dans le fichier de
commandes à l'aide de l'opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L'interface est présente au sein de
la structure par le biais de sa représentation par les level sets. La level set normale (LSN) permet de
définir une interface plane non-penchée qui traverse complètement les éléments, par l'équation
suivante :
Z-17.5
LSN
=
éq
1.1-1
Figure 1.1-a : Géométrie et positionnement de l'interface
1.2
Propriétés du matériau
Module d'Young : E= 1000 Pa.
Coefficient de Poisson :
= 0.
Un module d'Young plus élevé entraîne un très mauvais conditionnement de la matrice de rigidité, qui
se traduit par un pivot nul lors de la factorisation. Pour palier ce problème, une mise à l'échelle des
pressions de contact est en cours d'implémentation.
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1.3
Conditions aux limites et chargements
La face inférieure est encastrée.
La face supérieure est soumise à une pression parabolique ayant pour expression :
6
(Y-10)²
100-
Pa
2
10
E
pression
=
éq
1.3-1
Les déplacements suivant les axes x et y sont bloqués pour les noeuds de la surface supérieure.
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2
Modélisation A : hexaèdres
Dans cette modélisation, le maillage considéré ne comporte que des hexaèdres. Cette modélisation
sert de référence pour les autres, car ce cas ne présente pas d'oscillations des pressions de contact.
En effet, dans le cas des hexaèdres coupés par une interface parallèlement aux faces, le nombre de
pressions de contact (une par arête coupée) est compatible avec la discrétisation du champ de
déplacement [bib1] [bib2]. La LBB condition est alors respectée et il n'y a pas d'oscillations des
pressions de contact.
2.1
Caractéristiques du maillage
Le problème est invariant suivant l'axe Ox. Afin de limiter le temps de calcul, le maillage considéré ici
ne comporte qu'un seul élément suivant cet axe. La structure est alors modélisée par un maillage
régulier composé de 1x20x20 HEXA8 voir [Figure 2.1-a].
Figure 2.1-a : Maillage d'hexaèdres
Ce maillage est composé d'éléments finis linéaires. Cependant, dans le cadre de la méthode continue
[bib1] avec X-FEM [bib2], il est nécessaire de passer à des éléments linéaires un peu spéciaux. Ces
éléments ont des fonctions de forme linéaires et une maille support quadratique. Sur ces éléments, les
noeuds sommet portent les inconnues du déplacement, et les noeuds milieu portent les inconnues liées
au contact. De plus, lorsque l'interface suit la bordure d'un élément, ses noeuds sommet portent aussi
les inconnues de contact.
2.2 Fonctionnalités
testées
On utilise le schéma d'intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est désactivé.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
INTEGRATION='FPG4'
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='NON'
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3
Résultats de la modélisation A
3.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (0, 10, 17.5). Cette valeur sert
de référence pour les autres modélisations.
2
9.5284410 Pa
-
= -
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4
Modélisation B : pentaèdres (sans algorithme)
4.1
Caractéristiques du maillage
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de pentaèdres.
Figure 4.1-a : Maillage de pentaèdres
4.2 Fonctionnalités
testées
On utilise le schéma d'intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange n'est pas activé.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
INTEGRATION='FPG4'
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='NON'
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5
Résultats de la modélisation B
5.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (0, 10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-0.186853
96.0
On réalise aussi un test de non-régression (par rapport à la version 8.1.20).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-0.186853
-0.186853
0.00
5.2 Commentaires
Cette modélisation montre que sans l'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de
Lagrange de pression, les valeurs des pressions de contact sont complètement fausses (voir aussi la
[Figure 12.2-a]).
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6
Modélisation C : pentaèdres (algorithme version 1)
6.1
Caractéristiques du maillage
Le maillage est identique à celui de la modélisation B.
6.2 Fonctionnalités
testées
On utilise le schéma d'intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
INTEGRATION='FPG4'
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='VERSION1'
7
Résultats de la modélisation C
7.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (0, 10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-9.5188 10
-2
0.10
7.2 Commentaires
Cette modélisation montre que l'algorithme mis en place permet de réduire de manière efficace les
oscillations. Cependant, on observe que l'algorithme version 1 a tendance à introduire des
approximations P0 par morceaux des pressions de contact sur l'interface (voir aussi la [Figure 12.2-a]
et la [Figure 12.2-b]).
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8
Modélisation D : pentaèdres (algorithme version 2)
8.1
Caractéristiques du maillage
Le maillage est identique à celui de la modélisation B.
8.2 Fonctionnalités
testées
On utilise le schéma d'intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
INTEGRATION='FPG4'
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='VERSION2'
9
Résultats de la modélisation D
9.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (0, 10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-9.5188 10
-2
0.10
9.2 Commentaires
Cette modélisation montre que l'algorithme version 2 permet de réduire de manière efficace les
oscillations. On observe que l'algorithme version 2 a tendance à introduire des approximations P1 par
morceaux des pressions de contact sur l'interface, ce qui le rend plus précis que la version1 (voir aussi
la [Figure 12.2-a] et la [Figure 12.2-b]).
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10 Modélisation E : tétraèdres (algorithme version 1)
Ce test met en jeu un maillage libre composé de tétraèdres. Afin de réduire le nombre d'éléments et
donc le temps de calcul, la longueur de la structure suivant l'axe Ox est LX = 1 m.
10.1 Caractéristiques du maillage
Le maillage considéré est un maillage libre réalisé avec GMSH. Il est constitué de 3629 TETRA4. La
[Figure 10.1-a] représente le maillage dans le plan Oyz. L'interface y est tracé, uniquement à des fins
de visualisation.
Figure 10.1-a : Maillage libre
10.2 Conditions aux limites et chargements
La face inférieure est encastrée.
La face supérieure est soumise à une pression uniforme :
6
100
Pa
10
E
pression
=
éq
10.2-1
Les déplacements suivants les axes x et y sont bloqués pour les noeuds de la surface supérieure.
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10.3 Fonctionnalités
testées
On utilise le schéma d'intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives mais le frottement n'est pas pris en
compte
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
INTEGRATION='FPG4'
CONTACT_INIT='OUI'
ALGO_LAGR='VERSION1'
11 Résultats de la modélisation E
11.1 Valeurs
testées
On teste la valeur des pressions de contact pour tous les points de l'interface. La solution analytique
est tout simplement :
zz
pression
=
= -
éq
11.1-1
Identification Référence
Aster %
différence
MAX(LAGS_C)
-0.1
0.0979 -2.08
MIN(LAGS_C)
-0.1
-0.1016 1.62
Pour tester tous les points de contact en une seule fois, on teste le MIN et le MAX de la colonne.
11.2 Commentaires
Ce test permet de valider la robustesse de l'algorithme de restriction de l'espace des multiplicateurs de
Lagrange de pression, dans un cas de maillage libre en 3D. Même sur une structure soumise à
pression constante, l'algorithme est indispensable car des oscillations des pressions de contact
peuvent apparaître (c'est le cas ici si l'algorithme n'est pas activé).
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12 Synthèses des résultats 3D
12.1 Résumé
Dans le cadre de la méthode X-FEM, on a montré que, sans traitement particulier, une structure
maillée avec des pentaèdres soumis à un chargement non-uniforme peut présenter de fortes
oscillations des pressions de contact (modélisation B), alors que la même structure maillée avec des
hexaèdres soumis au même chargement ne présente pas de telles oscillations (modélisation A servant
de référence).
On a proposé deux algorithmes permettant de réduire significativement ces oscillations. Le premier
(modélisation C) semble moins précis que le second (modélisation D).
De plus même sous chargement uniforme, des oscillations peuvent apparaître et il est indispensable
d'utiliser un algorithme de réduction de l'espace des multiplicateurs de Lagrange de pression
(modélisation E).
12.2 Courbes de comparaison
La [Figure 12.2-a] rassemble les courbes des pressions de contact le long de l'axe Oy pour les
4 premières modélisations présentées. On remarque que les oscillations pour la modélisation B sont si
fortes qu'en certains points la valeur de la pression de contact devient positive, ce qui voudrait dire
qu'il y a décollement de l'interface. Les deux algorithmes permettent une réduction visible des
oscillations, et on retrouve la courbe de référence obtenue avec le maillage d'hexaèdres.
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y
lambda
modélisation A
modélisation B
modélisation C
modélisation D
Figure 12.2-a : Comparaison des pressions de contact suivant les modélisations
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La [Figure 12.2-b] compare en détails les effets des deux algorithmes. On remarque que le premier
implique souvent des pressions de contact constantes par morceaux, alors que le second tend à
linéariser les pressions. Il est évident que de telles différences s'amenuisent en raffinant le maillage.
-0,1
-0,095
-0,09
-0,085
-0,08
-0,075
-0,07
-0,065
-0,06
-0,055
-0,05
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y
lambda
modélisation C
modélisation D
Figure 12.2-b : Comparaison des 2 algorithmes
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13 Modélisation F : quadrangles 2D
Cette modélisation est l'équivalent en 2D de la modélisation A (référence). Ce cas ne présente pas
d'oscillations des pressions de contact. Tout comme dans la modélisation A, les quadrangles sont
coupés par une interface parallèlement aux arêtes, et le nombre de pressions de contact (une par
arête coupée) est compatible avec la discrétisation du champ de déplacement [bib1] [bib2]. La LBB
condition est alors respectée et il n'y a pas d'oscillations des pressions de contact.
13.1 Caractéristiques du maillage
La structure est alors modélisée par un maillage régulier composé de 20x20 QUAD4 (Voir
Figure 13.1-a]).
Figure 13.1-a : Maillage de quadrangles
13.2 Fonctionnalités
testées
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est désactivé.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='NON'
14 Résultats de la modélisation F
14.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-9.52844 10
-2
2.41
10
-4
14.2 Commentaires
Ce cas test permet de retrouver les valeurs de référence des pressions de contacts calculées dans la
modélisation A, et de vérifier que dans le cas de quadrangles coupés parallèlement à leurs faces, ces
pressions de contacts ne présentent pas d'oscillations (voir [Figure 19.2-a]).
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15 Modélisation G : triangles (algorithme version 1)
15.1 Caractéristiques du maillage
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de triangles. Le test est l'équivalent en
2D de la modélisation B (Voir [Figure 15.1-a]).
Figure 15.1-a : Maillage de triangles
15.2 Fonctionnalités
testées
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='VERSION1'
16 Résultats de la modélisation G
16.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-9.59082 10
-2
0.655
16.2 Commentaires
Cette modélisation montre que l'algorithme mis en place permet de réduire efficacement les
oscillations. (voir [Figure 19.2-a]).
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17 Modélisation H : triangles (algorithme version 2)
17.1 Caractéristiques du maillage
Le maillage est identique à celui de la modélisation G.
17.2 Fonctionnalités
testées
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1
ère
itération de contraintes actives.
L'algorithme visant à restreindre l'espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2.
Commandes
DEFI_FISS_XFEM CONTACT
CONTACT_INIT='OUI'
FROTTEMENT='COULOMB'
ALGO_LAGR='VERSION2'
18 Résultats de la modélisation H
18.1 Valeurs
testées
On teste la valeur de la pression de contact au point P de coordonnées (10, 17.5).
Identification Référence
Aster %
différence
Point P
-9.52844 10
-2
-9.59082 10
-2
0.655
18.2 Commentaires
Cette modélisation montre qu'en 2D, l'algorithme version 2 a un comportement très proche de celui de
la version 1. En effet, mis à part les premières pressions de contacts mesurées sur la gauche du
maillage, les valeurs observés sont identiques, et les courbes obtenues avec les deux algorithmes se
recouvrent presque intégralement. (voir [Figure 19.2-a]).
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19 Synthèses des résultats 2D
19.1 Résumé
On a, dans un premier temps, vérifié que le comportement de la structure de référence (modélisation
A) pouvait être retrouvé en 2D (modélisation F). Après avoir observé le phénomène d'oscillations en
2D, semblable à celui obtenu dans la modélisation B, on a testé sur des cas en 2D les deux
algorithmes qui permettent de réduire ces oscillations en 3D.
Les deux algorithmes testés dans les modélisations G et H donnent, en 2 dimensions, des résultats
très proches, et permettent de réduire conséquemment les oscillations introduites par le maillage.
19.2 Courbes de comparaison
La [Figure 19.2-a] représente les courbes des pressions de contact le long de l'axe Ox pour les
3 modélisations en 2D présentées. On remarque que les courbes représentatives des deux
algorithmes se recouvrent presque intégralement. Les deux algorithmes sont donc à peu près aussi
efficients l'un que l'autre en 2D. Il permettent néanmoins de réduire efficacement les oscillations.
Figure 19.2-a : Comparaison des pressions de contact suivant les modélisations 2D
Il est à noter qu'un raffinement de maillage augmente évidemment la précision des résultats obtenus.
Code_Aster
®
Version
8.3
Titre :
SSNV186 LBB condition et contact frottant avec X-FEM
Date :
04/05/06
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.186-A
Page :
18/18
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HT-62/06/005/A
20 Bibliographie
[1]
Massin P., Ben Dhia H., ZarrougG M. : Éléments de contacts dérivés d'une formulation
hybride continue, Manuel de référence du Code_Aster, [R5.03.52]
[2]
Massin P., Geniaut S. : Méthode X-FEM, Manuel de référence du Code_Aster, [R7.02.12]
[3]
Babuska I. : The finite element method with lagrangian multipliers, Numerische Math 20,
179-192, 1973
[4]
Barbosa H., Hugues T. : Finite element method with lagrange multipliers on the boundary.
Circumventing the Babuska-Brezzi condition, Comp. Meth. Applied Mech Engrg. 85 (1),
109-128, 1991
[5]
Chapelle D., Bathe K. J. : The Inf-sup test, Computers & Structures 47 (4/5), 537-545, 1993
[6]
Moës N., Béchet E., Tourbier M. : Imposing essential boundary conditions in the X-FEM, Int.
J. Numer. Meth. Engng, 2005, submitted.