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Code_Aster
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Version
8.1
Titre :
SSNA104 - Cylindre creux soumis à une pression, viscoélasticité linéaire
Date :
02/11/05
Auteur(s) :
Ph. De BONNIERES, S. LECLERCQ, L. SALMONA
Clé
:
V6.01.104-B
Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
HT-66/05/005/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA, EDF-R&D/MMC, CS SI














Manuel de Validation
Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
Document : V6.01.104



SSNA104 - Cylindre creux soumis à une pression,
viscoélasticité linéaire



Résumé :

Ce cas-test permet de valider les lois de LEMAITRE et LEMA_SEUIL implantée dans le Code_Aster dans le cas
de comportement viscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Dimensions du cylindre :
R
0
1 m
R
1
2 m
Figure 1.1-a : Coupe du cylindre creux et chargement
1.2
Propriétés des matériaux
Module d'Young : E= 1 MPa
Coefficient de Poisson :
=0.3
Loi de LEMAITRE :
n
m
K
T
g




=
1
1
)
,
,
(
avec
1
,
0
1
,
1
1
=
=
=
n
m
K
Loi LEMA_SEUIL :
(
)
1
,
2
3
3
2
,
,
g
avec
=
=




=
A
A
T
sur tout le maillage
10
10
-
=
S
Etant donné la valeur des différents paramètres matériaux, les deux lois sont absolument identiques et
peuvent donc être comparés à la même solution analytique.
1.3
Conditions aux limites et chargement
Conditions aux limites :
Le cylindre est bloqué en DY sur les côtés [AB] et [CD].

Chargement :
Le cylindre est soumis à une pression interne sur [DA] P
0
=1.E-3 MPa
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2
Solutions de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
L'ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].
Dans le cas d'un matériau isotrope viscoélastique linéaire, on peut décrire le comportement au cours
du temps à l'aide de deux fonctions
)
(t
I
et
)
(t
K
de telle sorte que les déformations et les contraintes
peuvent s'écrire :
(
)
(
)
3
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
I
d
t
Tr
d
K
d
t
d
K
I
t
-
+
=
3
I
désigne la matrice identité de rang 3
et * le produit de convolution :
-
=
t
d
g
t
f
t
g
f
0
)
(
)
(
)
)(
*
(
On trouve
kt
E
t
K
kt
E
t
I
2
1
)
(
,
1
)
(
+
=
+
=
On impose la pression P
0
à l'instant t=0, la pression interne vaut
0
P
)
(
)
(
t
H
t
p
=


-
<
-
=
0
1
0
0
)
(
t
si
t
si
t
H
avec dans ce cas
0
=
On utilise la transformée de Laplace Carson
-
+
=
=
0
)
(
))
(
(
)
(
dt
e
t
f
n
t
f
L
n
f
nt
D'où
0
P
=
+
p
La solution du problème élastique équivalent est :


















+




-
=
+
+
Z
r
r
r
r
0
0
0
1
0
0
0
1
2
2
1
2
2
1
2
0
2
1
2
0
0
r
r
r
P
-
=
On détermine
+
Z
par la condition sur
+
Z
donnée par les conditions aux limites :
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
=
+
-
+
=
=
K
I
K
K
I
Z
Z
Z
Z
2
)
2
(
)
(
0
D'où
(
)




+
-
+
=
+
Ek
p
p
Z
1
2
1
.
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On trouve par la transformée de Laplace inverse
(
)
(
)
Eht
Z
e
t
-
-
-
=
2
1
1
)
(
, de même en
appliquant la transformée de Laplace inverse sur
r
et
, on trouve
(
)
(
)














-
-




+




-
=
-
+
Eht
e
r
r
r
r
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
2
1
2
2
1
On en déduit :
(
)
(
)














-
-




-
-




-
-
=
-
-
-
Ekt
Ekt
Ekt
V
e
k
r
r
e
k
r
r
e
k
2
1
0
0
0
3
2
1
2
3
0
0
0
3
2
1
2
3
2
2
1
2
2
1
&
et en intégrant avec
0
)
0
(
=
V
;
(
)
(
)














-
-
-




-
-




-
-
=
-
-
-
Ekt
Ekt
Ekt
V
e
E
t
r
r
k
e
E
t
r
r
k
e
E
1
2
1
0
0
0
3
2
1
2
3
0
0
0
3
2
1
2
3
2
2
1
2
2
1
.
On en déduit le déplacement radial
(
)
(
)
(
)




+


-
-
-
+
+
=
-
t
r
r
k
e
r
r
E
r
t
r
w
Ekt
2
2
1
2
2
1
2
3
2
1
3
2
2
1
1
1
)
,
(
2.2
Résultats de référence
Déplacement DX sur le noeud B et les contraintes SIXX, SIYY et SIZZ en B
2.3
Incertitude sur la solution
0% : solution analytique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Ph. De BONNIERES : Deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en
viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le problème est modélisé en axisymétrie.

3.2
Caractéristiques du maillage
1000 mailles QUAD4

3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU LEMAITRE
STAT_NON_LINE COMP_INCR
LEMAITRE


4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster Ecart
%
DX(B) 0.9
2.14498
E­3
2.14493496E­03
0.002 %
SIXX(B)
0.9
0.0
­4.8168 E­6
­4.8168 E­6
SIYY(B)
0.9
2.7912 E­4
2.759 E­4
1.5 %
SIZZ(B) 0.9 6.66
E­4
6.635 E­4
0.5 %

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Fascicule V6.01 : Statique non linéaire en axisymétrique
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Le problème est modélisé en axisymétrie

5.2
Caractéristiques du maillage
1000 mailles QUAD4

5.3
Fonctionnalités testées
Commandes
DEFI_MATERIAU LEMA_SEUIL
STAT_NON_LINE COMP_INCR
LEMA_SEUIL


6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Instants Référence
Aster Ecart
%
DX(B) 0.9
2.14498
E­3
2.14493496E­03
0.002 %
SIXX(B)
0.9
0.0
­4.81687 E­6
­4.8168 E­6
SIYY(B)
0.9
2.7912 E­4
2.759 E­4
1.5 %
SIZZ(B) 0.9 6.66
E­4
6.635 E­4
0.5 %


7
Synthèse des résultats
Les résultats calculés par le Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais
dépendent très fortement du raffinement du maillage.