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6.3
Titre :
HSLS01 - Plaque carrée mince soumise à un gradient thermique
Date :
20/08/02
Auteur(s) :
J.M. PROIX, G. BERTRAND
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Fascicule V7.11 : Thermo-mécanique statique linéaire des plaques et coques
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EDF/AMA, CS SI















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Fascicule V7.11 : Thermo-mécanique statique linéaire des plaques et coques
Document V7.11.001



HSLS01 - Plaque carrée mince soumise à un
gradient thermique dans l'épaisseur




Résumé

Ce test a pour but de valider la dilatation thermique dans les éléments de plaque, où la température est variable
dans l'épaisseur.

Deux modélisations permettent de tester les modélisations DKT, DST, Q4G sur des mailles TRIA3 et QUAD4 et
COQUE_3D sur les mailles TRIA7 et QUAD9.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie

D
C
A
b
B
a
= 53.1301°
y
x
z
a = 1.2 m
b = 1.3 m
e = 0.01 m
e est l'épaisseur de la plaque


1.2
Propriétés des matériaux
Module d'Young : E = 2.10
11
Pa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
Coefficient de dilatation :
= 1.10
­5
°C
­1

1.3
Conditions aux limites et chargements
Les côtés AB, BC, CD et DA sont encastrés. La température est constante sur la face supérieure et
est égale à
T
s
= 100°C.
La température est constante sur la face inférieure et est égale à
T
i
= 0°C ; le gradient de température
est supposé linéaire dans l'épaisseur.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution est analytique.
D
C
B
A
M
Le chargement thermique est équivalent à un chargement défini par une répartition uniforme de
moments sur les bords tel qu'il apparaît sur la figure.
La valeur de ces moments par unité de longueur est égale à :
(
)
(
)
M
T
T
e
E e
s
i
=
-
× ×
× +
-
3
2
1
12 1
.
Soit :
(
)
(
)
M
T
T
E e
s
i
=
-
×
×
-
2
12 1
. Ceci conduit à une répartition uniforme de
M
dans la plaque
.
2.2
Résultats de référence
On a donc
M
= 2380.95238 N ; la plaque étant tournée d'un angle
= 53°.1301, on a des
composantes dont la valeur absolue est :
M
x cos
= 1428.5715 N et
M
x sin
= 1904.76184 N.
Les réactions sont définies par une distribution de moments égale à la précédente en valeur absolue
et de signe contraire.
Les mailles sont des carrés dont la longueur est égale à 0.05 m, donc les moments en chaque noeud
doivent être égaux à
M
1
=
M
x cos
x 0.05 = 71.42857 N.m
et
M
2
=
M
x sin
x 0.05 = 95.2381 N.m
soit
M
M
M
=
+
=
12
22
119.0476 N.m
2.3
Incertitude sur la solution
L'incertitude est nulle.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
TIMOSHENKO : Theory of plates and shells chapitre 2, article 14.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le modèle est constitué de :
·
936 éléments,
·
675 noeuds,
dont :
-
114 éléments Q4G,
-
84 éléments DSQ,
-
84 éléments DKQ,
-
312 éléments DST,
-
312 éléments DKT.
Les éléments sont des carrés dont la longueur est égale à 0.05 m.
Les bords AB, BC, CD et DA sont encastrés.
La plaque est soumise à un gradient de température de 100°C dans l'épaisseur. Ce gradient est
uniforme sur la plaque.

3.2 Fonctionnalités
testées
Commande
CREA_CHAMP
NOM_CMP
TEMP
TEMP_INF
TEMP_SUP
AFFE_CHAR_MECA
TEMP_CALCULEE
EPSI_INIT
MECA_STATIQUE
OPTION
SIEF_ELGA_DEPL
CALC_NO
FORC_NODA
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Rx
réaction selon
r
O x
Ry
réaction selon
r
O y
Identification Référence
Aster %
différence
N104 (sur le bord AD dans la partie maillée
en DKT)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
N260 (sur le bord AD dans la partie maillée
en DSQ)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
N270 (sur le bord AD dans la partie maillée
en Q4G)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
N8 (sur le bord AB dans la partie maillée en
DKT)
DRx = 95.2381
DRy = 71.4286
DRx = 95.2381
DRy = 71.4286
0
0
N21 (sur le bord AB dans la partie maillée
en DST)
DRx = 95.2381
DRy = 71.4286
DRx = 95.2381
DRy = 71.4286
0
0
N102 (sur le bord BC dans la partie maillée
en DST)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
N 466 (sur le bord BC dans la partie maillée
en DKQ)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
N 544 (sur le bord BC dans la partie maillée
en Q4G)
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
DRx = 71.4286
DRy = 95.2381
0
0
4.2 Remarques
Les noeuds testés sont à peu près placés comme suit :
Q4G
DSQ
DKQ
DKT
DST
N270
N260
N104
N8
N21
N102
N466
N544
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
La modélisation est COQUE_3D.
Le modèle est constitué de :
·
662 éléments,
·
2267 noeuds,
dont :
-
462 triangles à 7 noeuds,
-
200 quadrilatères à 9 noeuds.
Les bords AB, BC, CD et DA sont encastrés.
La plaque est soumise à un gradient de température de 100°C dans l'épaisseur. Ce gradient est
uniforme sur la plaque.

5.2 Fonctionnalités
testées
Commande
CREA_CHAMP
NOM_CMP
TEMP
TEMP_INF
TEMP_SUP
AFFE_CHAR_MECA
TEMP_CALCULEE
EPSI_INIT
MECA_STATIQUE
OPTION
SIEF_ELGA_DEPL
CALC_NO
FORC_NODA
STAT_NON_LINE
CALC_ELEM
OPTION EFGE_ELNO_DEPL
OPTION SIEF_ELNO_ELGA
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
On teste les moments MXX et MYY. Ces valeurs sont données dans le repère local à la plaque, choisi
parallèle aux côtés.
On a donc : MXX = MYY = M = ­2,38095 10
3
N comme le moment est uniforme dans la plaque, il suffit
de tester les valeurs maximum et minimum des moments et de vérifier qu'elles sont toutes deux
égales à M :
Identification
Référence
Aster %
diff
Efforts obtenus par
EFGE_ELNO_DEPL
:
MXX Maximum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MXX Minimum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MYY Maximum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MYY Minimum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
Efforts obtenus par
SIEF_ELNO_ELGA
:
MXX Maximum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MXX Minimum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MYY Maximum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0
MYY Minimum
­2,38095 10
3
­2,38095
10
3
0

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7
Synthèse des résultats
La parfaite adéquation des résultats avec la référence analytique montre la bonne prise en compte de
la variation de la température.