background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
1/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA















Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
Document : V6.04.173



SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM




Résumé

Ce test a pour but de valider deux aspects du calcul élémentaire dans le cadre de X-FEM [R7.02.12] :
· l'intégration d'une grandeur discontinue grâce à un sous-découpage de l'élément,
· l'enrichissement des fonctions de forme par la fonction Heaviside.

Ce test met en jeu un barreau parallélépipédique fissuré sur toute sa section, soumis à un déplacement
imposé, ce qui a pour conséquence l'ouverture totale de la fissure et la séparation des deux parties de la
structure.

L'influence du maillage et des conditions aux limites est aussi étudiée.
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
2/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La structure est un parallélépipède droit à basse carré et sain. Les dimensions du barreau
(voir [Figure 1.1-a]) sont : LX = 5, LY = 5 et LZ = 25. Il ne comporte aucune fissure.
La fissure sera introduite par des fonctions de niveaux (level sets) directement dans le fichier
commande à l'aide de l'opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. La fissure est présente au milieu de
la structure par le biais de sa représentation par 2 level sets LSN et LST (voir [Figure 1.1-b]) dont les
équations sont les suivantes :
2
/
:
fissure)
de
plan
le
(pour
LSN
LZ
Z
-
éq
1.1-1
10
:
fissure)
de
fond
le
(pour
LST
-
X
éq
1.1-2
Ainsi, le fond de fissure est situé à z = LZ/2 et à x = 10. Il est donc situé en dehors de la structure, ce
qui permet d'avoir la structure totalement coupée en deux.
Géométrie du barreau et positionnement de la fissure
1.2
Propriétés du matériau
Module d'Young : E= 205000 MPa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
1.3
Conditions aux limites et chargements
Les noeuds de la face inférieure du barreau sont encastrés et un déplacement est imposé sur ceux de
la face supérieure. On souhaite montrer ici la possibilité de séparer un élément fini en deux avec
X-FEM.
Figure 1.1-a
Figure 1.1-b
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
3/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
2
Modélisation A : un seul élément fini
2.1
Caractéristiques du maillage
La structure est modélisée par un seul élément fini de type HEXA8. La fissure est donc présente au
sein de cet élément par le biais des level sets.
2.2
Conditions aux limites
Vu que les noeuds près de la fissure, c'est-à-dire ici les 8 noeuds du maillage sont enrichis par des
ddls supplémentaires, les conditions aux limites s'écrivent un peu différemment. Cela est relatif à
l'enrichissement des fonctions de formes classiques [R7.02.12] par la fonction Heaviside H(x).
Imposer un déplacement nul sur les noeuds de la face inférieure revient à écrire une relation linéaire
entre les ddls. Pour chaque noeud, on impose DCX ­ H1X = 0 (idem suivant y et z) où DCX est le ddl
classique et H1X le ddl enrichi.
Pour les noeuds de la face supérieure, on impose un déplacement suivant z valant 10
-6
et nul suivant
les deux autres directions, c'est-à-dire DCX + H1X = 0, DCY + H1Y = 0 et DCZ + H1Z = 10
-6
.
2.3 Résolution
analytique
La solution d'un tel problème est bien sûr évidente. On voit bien que mécaniquement parlant, les deux
parties de la structure vont se détacher : la partie inférieure aura un déplacement nul et la partie
supérieure aura un mouvement d'ensemble égal au déplacement imposé (voir [Figure 2.3-b]).
Dans notre cas, il ne se passe rien suivant x et y, et d'après les symétries du problème, on peut
l'étudier seulement sur une arête verticale (par exemple celle joignant les noeuds notés N1 et N2).
Il y a quatre conditions à satisfaire :
· déplacement du noeud N1 nul
· déplacement du point milieu inférieur A
-
nul
· déplacement du noeud N2 égal au déplacement imposé, noté uz
· déplacement du point milieu supérieur A
+
égal à uz
D'après la formulation, ces quatre conditions s'écrivent respectivement :
(
)
(
)




=
+
+
+
=
+
=
-
+
-
=
-
uz
z
h
dcz
z
h
dcz
uz
z
h
dcz
z
h
dcz
z
h
dcz
z
h
dcz
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
0
1
1
2
1
0
1








=














-
-
-
=








-
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
0
0
1
1
1
2
2
1
1
uz
uz
uz
uz
uz
uz
z
h
dcz
z
h
dcz
La solution analytique est alors la suivante : tous les ddls suivant x et y sont nuls et tous les ddls
suivant z valent uz/2.
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
4/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
États initial et final de la structure

2.4 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FISS_XFEM
MODI_MODELE_XFEM

Figure 2.3-a
Figure 2.3-b
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
5/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
3
Résultats de la modélisation A
3.1 Valeurs
testées
On teste les valeurs du déplacement après convergence des itérations de l'opérateur
STAT_NON_LINE. On vérifie que l'on retrouve bien les valeurs déterminés au [§2.3].
Identification Référence
Aster %
différence
DCX pour tous les noeuds
0.00
0.00
0.00
DCY pour tous les noeuds
0.00
0.00
0.00
DCZ pour tous les noeuds
0.5E-6
0.5E-6
0.00
H1X pour tous les noeuds
0.00
0.00
0.00
H1Y pour tous les noeuds
0.00
0.00
0.00
H1Z pour tous les noeuds
0.5E-6
0.5E-6
0.00
Pour tester tous les noeuds en une seule fois, on test le MIN et le MAX de la colonne.

3.2 Commentaires
On remarque que les valeurs des ddls Heaviside en z ne sont pas nulles car il y a discontinuité du
champ de déplacement suivant cette direction à l'interface.
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
6/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
4
Modélisation B : Plusieurs éléments finis
4.1
Caractéristiques du maillage
On discrétise la structure en 5 éléments finis HEXA8
Les noeuds de part et d'autre de la fissure sont des noeuds enrichis, donc les
trois mailles centrales possédant de tels noeuds sont elles aussi enrichies.
Seules les deux mailles extrêmes sont des mailles classiques n'ayant que des
noeuds classiques.
On pourra donc imposer des conditions aux limites sur les mailles extrêmes
de la manière habituelle.

4.2
Conditions aux limites
Les conditions aux limites appliquées représente le même phénomène
physique que pour la modélisation A. On encastre les noeuds de la face
inférieure et on impose un déplacement des noeuds de la face
supérieure :
Face inférieure (Noeuds N1, N6, N11, N16) : DX = 0, DY = 0 et DZ = 0
Face supérieure (Noeuds N21, N22, N23, N24) :DX = 0, DY = 0 et DZ = uz.
Ceci constitue le 1er cas de chargement.
En fait, on prend la liberté de déplacer la partie supérieure de la structure suivant les trois directions,
on choisira donc comme 2
ème
cas de chargement :
Face inférieure (Noeuds N1, N6, N11, N16) : DX = 0, DY = 0 et DZ = 0
Face supérieure : DX = ux, DY = uy et DZ = uz
ux = 10
-6
uy = 2. 10
-6
uz = 3. 10
-6
4.3 Résolution
analytique
La solution d'un tel problème est bien sûr encore évidente. De manière analogue au [§2.3], on peut
montrer que la solution est la suivante :
Noeuds de la face inférieure (étage n°0) :
DX = 0, DY = 0 et DZ = 0.
Noeuds de l'étage n°1 :
DX = 0, DY = 0 et DZ = 0.
Noeuds des étages n°2 et 3 :
DCX = ux/2, DCY = uy/2, DCZ = uz/2,
H1X = ux/2, H1Y = uy/2 et H1Z = uz/2.
Noeuds de l'étage n°4 :
DX = ux, DY = uy et DZ = uz.
Noeuds de la face supérieure (étage n°5) :
DX = ux, DY = uy et DZ = uz.

4.4 Fonctionnalités
testées
Commandes
DEFI_FISS_XFEM
MODI_MODELE_XFEM
AFFE_CHAR_MECA LIAISON_XFEM
Figure 4.1-a : Maillage
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
7/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
5
Résultats de la modélisation B
5.1 Valeurs
testées
On teste les valeurs du déplacement après convergence des itérations de l'opérateur
STAT_NON_LINE. On vérifie que l'on retrouve bien les valeurs déterminés au [§4.3] pour les 2 cas de
chargements. On obtient le tableau suivant pour le 2
ème
cas de chargement.
Identification Référence
Aster %
différence
DX en N1 (étage n°0)
0.00
0.00
0.00
DY en N1 (étage n°0)
0.00
0.00
0.00
DZ en N1 (étage n°0)
0.00
0.00
0.00
DX en N2 (étage n°1)
0.00
0.00
0.00
DY en N2 (étage n°1)
0.00
0.00
0.00
DZ en N2 (étage n°1)
0.00
0.00
0.00
DCX en N3 (étage n°2)
0.5E-6
0.5E-6
0.00
DCY en N3 (étage n°2)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
DCZ en N3 (étage n°2)
1.5E-6
1.5E-6
0.00
H1X en N3 (étage n°2)
0.5E-6
0.5E-6
0.00
H1Y en N3 (étage n°2)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
H1Z en N3 (étage n°2)
1.5E-6
1.5E-6
0.00
DCX en N4 (étage n°3)
0.5E-6
0.5E-6
0.00
DCY en N4 (étage n°3)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
DCZ en N4 (étage n°3)
1.5E-6
1.5E-6
0.00
H1X en N4 (étage n°3)
0.5E-6
0.5E-6
0.00
H1Y en N4 (étage n°3)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
H1Z en N4 (étage n°3)
1.5E-6
1.5E-6
0.00
DX en N5 (étage n°4)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
DY en N5 (étage n°4)
2.0E-6
2.0E-6
0.00
DZ en N5 (étage n°4)
3.0E-6
3.0E-6
0.00
DX en N21 (étage n°5)
1.0E-6
1.0E-6
0.00
DY en N21 (étage n°5)
2.0E-6
2.0E-6
0.00
DZ en N21 (étage n°5)
3.0E-6
3.0E-6
0.00
On ne teste à chaque fois qu'un seul noeud de chaque étage.
5.2 Commentaires
On remarque que les valeurs des ddls Heaviside en x, y et z ne sont pas nulles car il y a discontinuité
du champ de déplacement suivant ces trois directions à l'interface.

background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
8/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
6
Modélisation C : Plusieurs éléments et interface penchée
6.1
Caractéristiques du maillage et de l'interface
On considère une structure de dimensions LX = 5 m, LY = 5 m et LZ = 25 m. Cette structure est
discrétisée avec 5 éléments finis HEXA8. On s'intéresse à une interface plane de normale
1
n
1
1
-
=
passant par le point A de coordonnées (5, 5
, 5). La [Figure 6.1-a] montre un zoom du 2
ème
élément
où la trace de l'interface est représentée en rouge.
Figure 6.1-a : Maillage c et zoom
L'interface est caractérisée par la level set normale ayant pour équation cartésienne :
5
-
+
+
-
=
z
y
x
lsn
Remarque :
Le paramètre
a une influence forte sur le problème. Si vaut 0 ou 1, alors le point A coïncide
avec un noeud, et l'interface passe par ce noeud. Si
est non nul, mais petit devant 1, l'interface
va séparer l'élément en 2 partie, de volumes très différents. Dans cette situation, l'enrichissement
du noeud N9 par la fonction Heaviside devient presque inutile, et conduit à des pivots très petits
lors de la factorisation de la matrice de rigidité. Cela se traduit par une perte significative du
nombre de décimales et à un résultat faux. Pour
= 0.1 (soit un point A se situant à 10% de
l'arête), on perd déjà 8 décimales (valeur par défaut provoquant une erreur fatale) et pour
=
0.05, on perd 10 décimales. L'idée consiste donc à ne pas enrichir le noeud N9 par la fonction
Heaviside lorsque de tels cas se présentent. Un algorithme de détection a été mis en place, basé
sur le rapport de volumes pour un élément coupés en deux. Ce problème permet de tester le bon
fonctionnement de l'algorithme, lorsque le paramètre
devient petit.
Dans la suite, on prendra
= 0.02. Cette valeur conduit à la perte de 13 décimales lors de la
factorisation (avant la mise en place d'un traitement spécial).

L'algorithme sera validé si le calcul se déroule normalement, sans perte de décimales dans la
factorisation. On vérifiera aussi le déplacement solution en un noeud choisi.
N9
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
9/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
6.2
Conditions aux limites
Les conditions aux limites sont les même que celles de la modélisation B. On encastre les noeuds de
la face inférieure et on impose un déplacement de traction aux noeuds de la face supérieure :
Face inférieure (Noeuds N21, N22, N23, N24) : DX = 0, DY = 0 et DZ = 0
Face supérieure (Noeuds N13, N14, N15, N16) : DX = 0, DY = 0 et DZ = 10
-6
.

6.3 Fonctionnalités
testées
La détermination des noeuds où l'enrichissement Heaviside est surabondant est effectuée dans la
commande MODI_MODELE_XFEM [U4.44.11] et l'annulation de ces ddls est réalisée par la commande
AFFE_CHAR_MECA [U4.44.01] avec le mot-clé LIAISON_XFEM='OUI'.

Commandes
MODI_MODELE_XFEM
AFFE_CHAR_MECA LIAISON_XFEM

background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSNV173 ­ Barreau fissuré avec X-FEM
Date :
25/11/05
Auteur(s) :
S. GENIAUT, P. MASSIN
Clé
:
V6.04.173-B
Page :
10/10
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique linéaire des structures volumiques
HT-66/05/005/A
7
Résultats de la modélisation C
7.1 Valeurs
testées
Le bon déroulement du calcul permet a priori de valider le cas. De plus, on teste les valeurs du
déplacement au noeud N1 de coordonnées (0, 5, 0) ainsi que les pressions de contact (LAGS_C). On
s'assure que le déplacement du noeud N1 est correct et que les pressions de contact sont toutes
nulles (chargement de traction).
Identification Référence
Aster %
différence
MIN(LAGS_C) 0.00
0.00
0.00
MAX(LAGS_C) 0.00
0.00
0.00
DCZ en N1
5.E-7
5.E-7
0.00
H1Z en N1
5.E-7
5.E-7
0.00

Rappel :
DCZ est la composante suivant z du ddl classique
H1Z est la composante suivant z du ddl enrichi


8
Synthèses des résultats
Les objectifs de ce test sont atteints :
·
Il s'agit de valider la prise en compte de l'enrichissement par la fonction Heaviside des
fonctions de forme classiques.
·
De plus, la modélisation B a permis la validation de l'opérande LIAISON_XFEM qui permet de
supprimer les ddls enrichis en trop.