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Titre :
SSNS501 - Grands déplacements d'un panneau cylindrique
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P. MASSIN, F. LEBOUVIER
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Fascicule V6.05 : Statique non-linéaire des coques et des plaques
Document : V6.05.501



SSNS501 - Grands déplacements d'un panneau
cylindrique simplement supporté




Résumé :


Ce test représente un calcul de stabilité d'un panneau cylindrique simplement supporté soumis à un effort
concentré en son centre. Le comportement du panneau change complètement et montre nettement des points
de retour en charge et en déplacement « snap-through/snap-back ». Dans ce cas un pilotage en déplacement
diverge et un pilotage en longueur d'arc doit être choisi.

Il permet de valider la modélisation éléments finis COQUE_3D avec les mailles TRIA7 et QUAD9 dans le
domaine quasi-statique non-linéaire géométrique en présence de fortes instabilités.

Les déplacements et la charge critique sont comparés à une solution de référence numérique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
R
h
P
y,v
z, w
x,u
L = 0.254 m
R = 2.54 m
h = 0.00635 m
= 0.1 rd
D
A
2L
C
B
x
y
z
E
F
G

1.2
Propriétés du matériau
Les propriétés du matériau constituant la plaque sont :
E
= 3. 10275 x 10
9
Pa
Module d'Young
= 0.3
Coefficient de poisson

1.3
Conditions aux limites et chargements
- C.L. panneau simplement supporté sur les côtés CE et GF (déplacements nuls, rotations libres)
- On cherche les états successifs d'équilibre sous une charge P imposée au point A.

1.4 Conditions
initiales
Sans objet
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
La solution de référence a été obtenue avec un élément fini de coque DKT24 (maillage 4x6) à
4 noeuds avec 6 degrés de liberté par noeud en Formulation Lagrangienne Totale. Cette solution est
décrite en détails dans [bib2].
2.2
Résultats de référence
W
A
(x10
­3
m)
Charge P
(KN)
Charge
P/Pmax
W
A
(x10
­3
m)
Charge P
(KN)
Charge
P/Pmax
W
A
(x10
­3
m)
Charge P
(KN)
Charge
P/Pmax
0.0 0.000
0.0000
­16.4 0.480 0.8000 ­14.0 ­0.295 ­0.4916
­1.7 0.150
0.2500
­16.7 0.415 0.6916 ­14.3 ­0.345 ­0.5750
­3.5 0.265
0.4416
­16.9 0.350 0.5833 ­15.0 ­0.370 ­0.6166
­4.9 0.345
0.5750
­17.0 0.290 0.4833 ­16.1 ­0.380 ­0.6333
­6.8 0.410
0.6833
­17.1 0.225 0.3750 ­17.3 ­0.375 ­0.6250
­8.4 0.475
0.7916
­17.1 0.150 0.2500 ­18.7 ­0.350 ­0.5833
­9.8 0.520
0.8666
­17.0 0.090 0.1500 ­20.3 ­0.305 ­0.5083
­11.1 0.555 0.9250
­16.8 0.020 0.0333 ­21.8 ­0.230 ­0.3833
­12.2 0.580 0.9666
­16.4 ­0.035 ­0.0583 ­23.5 ­0.120 ­0.2000
­13.1 0.595 0.9916
­16.0 ­0.085 ­0.1416 ­25.2 0.025 0.0416
­14.0 0.600 1.0000
­15.3 ­0.130 ­0.2166 ­26.8 0.210 0.3500
­14.9 0.585 0.9750
­14.8 ­0.155 ­0.2583 ­28.5 0.445 0.7416
­15.5 0.565 0.9416
­14.2 ­0.195
­0.3250
­16.1 0.525 0.8750
­14.0 ­0.240
­0.4000
Déplacement |W
A
| (mm)
Charge |P| (KN)
Point limite 1
Point limite 2
Point limite 3
Point limite 4
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
2.3
Incertitudes sur la solution
< 2% solution numérique
2.4 Références
bibliographiques
[1]
HAMMADI Fodil : Formulation et évaluation d'éléments finis à continuité C° de la géométrie
pour l'analyse linéaire et non-linéaire des coques.
[2]
JAAMEI S., : Etude de différentes formulations lagrangiennes pour l'analyse non linéaire de
plaques et coques minces élasto-plastique en grands déplacements et grandes rotations,
Thèse de doctorat, Université de Technologie de Compiègne 1986.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
A
C
B
D
6
6
Modélisation COQUE_3D (TRIA7)
Conditions aux limites :
- Côté CD : u = v = w = 0
Conditions de symétrie :
- Côté AB :
u =
y
=
z
=
0
- Côté AD : v =
x
=
z
=
0
On modélise un quart de la plaque.
Les états successifs d'équilibre sont
obtenus grâce à une méthode de
pilotage par longueur d'arc.
Dans ce cas,
ETA_PILOTAGE
=
p
p
max
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 241
Nombre de mailles et type : 72 TRIA7
3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION='COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS=0.833
COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA FORCE_NODALE FZ
STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'

4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster %
différence
Point limite n°1
DZ
1.03
­0.0140
­0.01322
­5.573
Eta_PILOTAGE 1.03
1.0
0.9729
­2.471
Point limite n°2
DZ
1.78
­0.0171
­0.01696
­0.847
Eta_PILOTAGE 1.78
0.375
0.250
0.07513 ­75.96
Point limite n°3
DZ
2.3
­0.0140
­0.01458
4.176
Eta_PILOTAGE 2.3
­0.400
­0.492
­0.533 19.67
Point limite n°4
DZ
2.48
­0.0161
­0.01617
0.452
Eta_PILOTAGE 2.48
­0.633
­0.6442
1.717
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4.2 Remarques
La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :
·
calcul en chargement imposé jusqu'à P = 582.N correspondant à 97% de la charge critique,
·
calcul en "déplacement imposé" : ensuite, on impose un déplacement imposé en utilisant la
technique de la longueur d'arc imposée sur toute la structure (option LONG_ARC dans
STAT_NON_LINE).
L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande TEST_RESU, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de DZ les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
que l'on devait obtenir pour les valeurs de DZ en question.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
A
C
B
D
6
6
Modélisation COQUE_3D (QUAD9)
Conditions aux limites :
- Côté CD : u = v = w = 0
Conditions de symétrie :
- Côté AB :
u =
y
=
z
=
0
- Côté AD : v =
x
=
z
=
0
5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 169
Nombre de mailles et type : 36 QUAD9
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Mot-clé
facteur
Mot-clé
AFFE_MODELE AFFE
MODELISATION='COQUE_3D'
AFFE_CARA_ELEM COQUE
EPAIS
A_CIS=0.833
COEF_RIGI_DRZ = 0.001
AFFE_CHAR_MECA FORCE_NODALE FZ
STAT_NON_LINE PILOTAGE
TYPE='LONG_ARC'


6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Instants
Référence
Aster %
différence
Point limite n°1
DZ
1.03
­0.0140
­0.01318
­5.886
Eta_PILOTAGE 1.03
1.0
0.9724
­2.760
Point limite n°2
DZ
­0.0171
­0.01702
­0.462
Eta_PILOTAGE
0.375
0.250
0.101 ­67.69
Point limite n°3
DZ
­0.0140
­0.01446
3.269
Eta_PILOTAGE
­0.400
­0.492
­0.558 25.177
Point limite n°4
DZ
­0.0161
­0.0161
­0.007
Eta_PILOTAGE
­0.633
­0.640
1.120
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6.2 Remarques
La stratégie de calcul utilisée se décompose en deux étapes :
·
calcul en chargement imposé jusqu'à P = 582.N correspondant à 97% de la charge critique,
·
calcul en déplacement imposé : ensuite, on impose un déplacement imposé en utilisant la
technique de la longueur d'arc imposée (option LONG_ARC dans STAT_NON_LINE).
L'utilisation de la technique de longueur d'arc rend difficile la définition de la valeur de référence à
introduire dans la commande TEST_RESU, puisque ces valeurs ne peuvent pas être imposées. Pour
définir les valeurs de référence, nous avons recherché les valeurs de DZ les plus proches possibles
de celles listées dans le tableau du [§2.2] et nous avons reporté les valeurs du paramètre de pilotage
que l'on devait obtenir pour les valeurs de DZ en question.

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7
Synthèse des résultats
Déplacement normal au sommet du panneau en fonction de la force
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
0
0,005
0,01
0,015
0,02
Déplacement W (m)
Charge (N)
Figure 7-a : Déplacement normal au sommet du panneau en fonction de la force appliquée.
Agrandissement autour du point limite 1
Figure 7-b : Déplacement normal au sommet du panneau en fonction de la force appliquée
normalisée par sa valeur maximale
Les résultats pour les deux charges limites 1 et 4 sont corrects. L'erreur maximum est de 2.5% pour
la maille TRIA3 et de 2.8% pour la maille QUAD9. Par contre, l'erreur sur le déplacement vertical est
plus importante. Elle est de 5.6% pour la maille TRIA7 et de 5.9% pour la maille QUAD9.
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Les résultats entre les deux charges limites 1 et 4 sont qualitativement corrects. On détecte bien les
points limites 2 et 3. Quantitativement les valeurs des déplacements pour ces points sont bonnes à
moins de 1% pour le point limite 2 et à moins de 5% pour le point limite 3. Au niveau des charges
correspondantes, la charge au point limite 2 est très fortement sous-estimée (de l'ordre de 70%) et
celle au point limite 3 fortement surestimée (de l'ordre de 20%).
Quelle que soit la maille, le comportement pré-flambement est correctement évalué. L'allure en
post-flambement permet de déterminer correctement les déplacements aux points limites 2 et 3. Les
charges obtenues sont plus éloignées de la solution de référence. A partir du point limite 4, on
retrouve un bon accord entre la référence et notre solution.
Le coefficient de correction du cisaillement transverse A_CIS a été mis à 0.833, correspondant aux
coques épaisses. La valeur (2500=10
6
xH/L) qui aurait dû être prise en compte ne permet pas
d'effectuer les calculs, du fait d'un mauvais conditionnement des matrices de rigidité.
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