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®
Version
5.0
Titre :
SSNP109 Câble de précontrainte excentré dans une poutre droite en béton
Date :
21/02/02
Auteur(s) :
C. CHAVANT, M. LAINET
Clé
:
V6.03.109-A
Page :
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Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique linéaire des systèmes plans
HT-66/02/001/A
Organisme(s) :
EDF/AMA, CS SI
Manuel de Validation
Fascicule V6.03 : Statique non linéaire des systèmes plans
Document : V6.03.109
SSNP109 - Câble de précontrainte excentré
dans une poutre droite en béton
Résumé
On considère une poutre droite en béton, de section rectangulaire, traversée sur sa longueur par un câble de
précontrainte en acier. Le câble est droit, parallèle à la fibre moyenne de la poutre, et passe à mi-hauteur de la
section de la poutre, en étant excentré par rapport au plan moyen. La section gauche de la poutre et l'extrémité
gauche du câble sont fixes. Le câble est mis en traction à son extrémité droite, afin de précontraindre la poutre
en flexion-compression. Les pertes de tension le long du câble sont négligées.
Le but de ce cas-test est de valider la méthode de calcul de l'état d'équilibre d'une structure de béton
précontrainte par comparaison à une solution de référence analytique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La poutre en béton est droite, de section rectangulaire.
Ses dimensions sont : L
× h × p = 10 m × 0,4 m × 0,2 m (y= h/2).
Le câble traverse la poutre parallèle à la fibre moyenne de la poutre, à mi-hauteur. Son excentricité par
rapport au plan moyen est e = 0,05 m (z= e).
L'aire de la section droite du câble vaut S
a
= 1,5.10
4
m
2
.
A
y
z
L
h
p
x
p
z
L
x
e
F
0
1.2
Propriétés des matériaux
Matériau béton constituant la poutre : Module d'Young E
b
= 3.10
10
Pa
Matériau acier constituant le câble :
Module d'Young E
a
= 2,1.10
11
Pa
Le coefficient de Poisson est pris égal à 0 pour les deux matériaux. On annule donc les effets de
Poisson dans les directions y et z. Les déplacements n'ont de composantes que dans le plan (x, z).
Les pertes de tension dans le câble étant négligées, les divers paramètres servant à leur estimation
sont fixés à 0.
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le point A situé en bas du bord gauche de la poutre, de coordonnées (0 ; h/2 ; 0), est bloqué en
translation suivant les trois directions et en rotation autour de l'axe y.
Le blocage du DDL de rotation
DRY
implique une pente nulle de la déformée de la fibre moyenne en
x = 0.
L'extrémité gauche du câble, de coordonnées (0 ; 0 ; e), est bloquée en translation suivant les trois
directions.
On applique à l'extrémité droite du câble, de coordonnées (L ; 0 ; e), un effort normal de traction
(F
0
; 0 ; 0) où F
0
= 2.10
5
N.
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2
Solution de référence
La solution analytique de référence est déterminée par la théorie des poutres.
On considère une poutre encastrée-libre. Les caractéristiques géométriques sont celles définies en
paragraphe [§2.1]. Le câble précontraint applique à l'extrémité libre un effort normal de compression
(-F ; 0 ; 0) et un moment fléchissant (0 ; eF ; 0).
La solution de ce problème est la suivante :
Tenseur des contraintes :
=
xx
0
0
0
0
0
0
0
0
avec
xx
F
hp
ez
p
= -
+
1 12
2
Déplacements :
(
)
(
)
(
)
u x y z
F
E hp
ez
p
x
v x y z
F
E hp
ez
p
y h
w x y z
F
E hp
z
e
p
x
y
h
z
b
b
b
b
b
b
, ,
, ,
, ,
= -
+
=
+
+
=
+
-
-
-
1 12
1 12
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
avec les conditions aux limites :
u v
w
x
y
h
z
y
= = =
=
=
= -
=
0
0
0
2
0
en
,
,
Lorsque les effets de Poisson sont négligés (
b
= 0
), la solution en déplacements se simplifie
comme suit :
(
)
(
)
(
)
u x y z
F
E hp
ez
p
x
v x y z
w x y z
F
E hp
ex
p
b
b
, ,
, ,
, ,
= -
+
=
=
×
1 12
0
6
2
2
2
Les valeurs numériques de référence sont calculées à l'aide des expressions analytiques ci-dessus,
en utilisant pour F la valeur à l'équilibre d'ensemble de l'effort normal dans le câble :
F
F
E hp
E hp E S
e
p
b
b
a a
= -
+
+
0
2
2
1 12
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La figure ci-dessous donne une représentation simplifiée du maillage de la poutre.
NB002001
NC002001
NB001001
NB002021
NC002021
NB001021
La poutre en béton est représentée par 20 éléments de type
DKT
, supportés par autant de mailles
quadrangles à 4 noeuds.
Une épaisseur p = 0,2 m leur est affectée, ainsi qu'un matériau béton pour lequel sont définis les
comportements
ELAS
(module d'Young E
b
= 3.10
10
Pa) et
BPEL_BETON
: les paramètres
caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 car on néglige les pertes de tension le long du câble de
précontrainte.
Les DDL
DX
,
DY
,
DZ
et
DRY
du noeud
NB001001
sont bloqués.
Le câble est représenté par 20 éléments
MECA_BARRE
, supportés par autant de mailles segments à 2
noeuds. Les extrémités gauche et droite sont respectivement les noeuds
NC001001
et
NC001021
.
Une aire de section droite S
a
= 1,5.10
4
m
2
est affectée aux éléments, ainsi qu'un matériau acier pour
lequel sont définis les comportements
ELAS
(module d'Young E
a
= 2,1.10
11
Pa) et
BPEL_ACIER
: les
paramètres caractéristiques de cette relation sont fixés à 0 (pertes de tension négligées), à l'exception
de la contrainte limite élastique pour laquelle la valeur de f
prg
= 1,77.10
9
Pa est choisie.
Les DDL
DX
,
DY
, et
DZ
du noeud
NC001001
sont bloqués.
La tension F
0
= 2.10
5
N est appliquée au noeud
NC001021
. Cette valeur de tension est cohérente avec
les valeurs de section et de limite élastique, pour un câble de précontrainte de type toron.
Le calcul de l'état d'équilibre de l'ensemble poutre et câble est effectué en un seul pas, le
comportement étant élastique. On réalise ensuite deux calculs complémentaires permettant de
déterminer les contraintes en peaux inférieure et supérieure (z= ±p/2) de la poutre.
3.2
Etapes de calcul et fonctionnalités testées
Les principales étapes de calcul correspondent aux fonctionnalités que l'on souhaite valider :
·
opérateur
DEFI_MATERIAU
: définition des relations de comportement
BPEL_BETON
et
BPEL_ACIER
, dans le cas particulier où les pertes de tension le long du câble de
précontrainte sont négligées (valeurs par défaut des paramètres) ;
·
opérateur
DEFI_CABLE_BP
: détermination d'un profil de tension constant le long du câble de
précontrainte, les pertes étant négligées ; calcul des coefficients des relations cinématiques
entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins» de la poutre en béton,
dans le cas d'un câble excentré ;
·
opérateur
AFFE_CHAR_MECA
: définition d'un chargement de type
RELA_CINE_BP
;
·
opérateur
STAT_NON_LINE
, option
COMP_INCR
: calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type
RELA_CINE_BP
.
On utilise enfin l'opérateur
CALC_ELEM
option
SIGM_ELNO_DEPL
afin de calculer les contraintes en
peau inférieure puis en peau supérieure de la poutre.
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4
Résultats de la modélisation A
La valeur à l'équilibre de l'effort normal dans le câble est F = 1,95509 10
5
N. Cette valeur est utilisée
pour calculer les résultats numériques de référence à l'aide des expressions analytiques explicitées en
paragraphe [§3].
4.1 Valeurs
testées
4.1.1 Déplacements des noeuds de la pièce de béton
On compare les valeurs extraites du champ
DEPL
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs théoriques de
référence correspondant au plan Z= 0.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.
Noeud
Composante Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001006 DX
2,036552.10
4
m
2,0365561834835.10
4
m
2,05.10
6
%
NB002006 DX
2,036552.10
4
m
2,0365561835042.10
4
m
2,05.10
6
%
NB001011 DX
4,073104.10
4
m
4,0731123669671.10
4
m
2,05.10
6
%
NB002011 DX
4,073104.10
4
m
4,0731123670073.10
4
m
2,05.10
6
%
NB001016 DX
6,109656.10
4
m
6,1096685504506.10
4
m
2,05.10
6
%
NB002016 DX
6,109656.10
4
m
6,1096685505104.10
4
m
2,05.10
6
%
NB001021 DX
8,146208.10
4
m
8,1462247339343.10
4
m
2,05.10
6
%
NB002021 DX
8,146208.10
4
m
8,1462247340137.10
4
m
2,05.10
6
%
NB001006 DZ
3,818535.10
3
m
3,8185428440476.10
3
m
2,05.10
6
%
NB002006 DZ
3,818535.10
3
m
3,8185428440475.10
3
m
2,05.10
6
%
NB001011 DZ
1,527414.10
2
m
1,5274171376197.10
2
m
2,05.10
6
%
NB002011 DZ
1,527414.10
2
m
1,5274171376197.10
2
m
2,05.10
6
%
NB001016 DZ
3,436682.10
2
m
3,4366885596448.10
2
m
1,91.10
6
%
NB002016 DZ
3,436682.10
2
m
3,4366885596448.10
2
m
1,91.10
6
%
NB001021 DZ
6,109656.10
2
m
6,1096695504804.10
2
m
2,05.10
6
%
NB002021 DZ
6,109656.10
2
m
6,1096695504804.10
2
m
2,05.10
6
%
4.1.2 Densité linéique d'effort normal sur le plan moyen de la pièce de béton (analyse
avec le modèle de plaque)
On compare les valeurs extraites du champ
SIEF_ELNO_ELGA
issu de
STAT_NON_LINE
aux valeurs
théoriques de référence.
La composante sur laquelle portent les tests est
N
XX
(
N
XX
= s
xx
p
).
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.
Noeud
Maille
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001001 QD001001
4,887725.10
5
N/m
4,8877348399136.10
5
N/m
2,01.10
6
%
NB002001 QD001001
4,887725.10
5
N/m
4,8877348399728.10
5
N/m
2,01.10
6
%
NB001011 QD001011
4,887725.10
5
N/m
4,8877348402090.10
5
N/m
2,01.10
6
%
NB002011 QD001011
4,887725.10
5
N/m
4,8877348402511.10
5
N/m
2,01.10
6
%
NB001021 QD001020
4,887725.10
5
N/m
4,8877348403607.10
5
N/m
2,01.10
6
%
NB002021 QD001020
4,887725.10
5
N/m
4,8877348404039.10
5
N/m
2,01.10
6
%
4.1.3 Contrainte normale sur la peau inférieure (z = -0.1 m) de la pièce de béton
On compare les valeurs extraites du champ
SIGM_ELNO_DEPL
issu de
CALC_ELEM
aux valeurs
théoriques de référence.
La composante sur laquelle portent les tests est
SIXX
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.
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Noeud
Maille
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001001 QD001001
1,221931.10
6
Pa
1,2219337100849.10
6
Pa
2,22.10
6
%
NB002001 QD001001
1,221931.10
6
Pa
1,2219337101082.10
6
Pa
2,22.10
6
%
NB001011 QD001011
1,221931.10
6
Pa
1,2219337101212.10
6
Pa
2,22.10
6
%
NB002011 QD001011
1,221931.10
6
Pa
1,2219337100924.10
6
Pa
2,22.10
6
%
NB001021 QD001020
1,221931.10
6
Pa
1,2219337100302.10
6
Pa
2,22.10
6
%
NB002021 QD001020
1,221931.10
6
Pa
1,2219337101559.10
6
Pa
2,22.10
6
%
4.1.4 Contrainte normale sur la peau supérieure (z= 0.1 m) de la pièce de béton
On compare les valeurs extraites du champ
SIGM_ELNO_DEPL
issu de
CALC_ELEM
aux valeurs
théoriques de référence.
La composante sur laquelle portent les tests est
SIXX
.
La tolérance d'écart relatif par rapport à la référence vaut 0,1 %.
Noeud
Maille
Valeur de référence
Valeur calculée
Ecart relatif
NB001001 QD001001
6,109656.10
6
Pa
6,1096685504454.10
6
Pa
2,05.10
6
%
NB002001 QD001001
6,109656.10
6
Pa
6,1096685505156.10
6
Pa
2,05.10
6
%
NB001011 QD001011
6,109656.10
6
Pa
6,1096685504816.10
6
Pa
2,05.10
6
%
NB002011 QD001011
6,109656.10
6
Pa
6,1096685504999.10
6
Pa
2,05.10
6
%
NB001021 QD001020
6,109656.10
6
Pa
6,1096685503914.10
6
Pa
2,05.10
6
%
NB002021 QD001020
6,109656.10
6
Pa
6,1096685505642.10
6
Pa
2,05.10
6
%
4.2 Remarques
Les valeurs calculées correspondent effectivement à celles théoriquement attendues. On obtient bien
un état de flexion-compression pour la poutre en béton.
5
Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont validés par comparaison à une solution analytique de référence avec une
très bonne précision.
Les fonctionnalités particulières testées sont les suivantes :
·
opérateur
DEFI_MATERIAU
: définition des paramètres caractéristiques des matériaux acier
et béton permettant le calcul de la tension le long du câble de précontrainte, suivant les règles
du BPEL ;
·
opérateur
DEFI_CABLE_BP
: calcul de la tension le long du câble et des coefficients des
relations cinématiques entre les DDL des noeuds du câble et les DDL des noeuds «voisins»
de la poutre en béton ;
·
opérateur
AFFE_CHAR_MECA
: définition d'un chargement de type
RELA_CINE_BP
;
·
opérateur
STAT_NON_LINE
, option
COMP_INCR
: calcul de l'état d'équilibre en tenant compte
du chargement de type
RELA_CINE_BP
.