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6.0
Titre :
HPLA310 - Biblio_49 Fissure radiale externe dans un barreau circulaire
Date :
22/11/02
Auteur(s) :
S. GRANET, I. CORMEAU, E. LECLERE
Clé
:
V7.01.310-A
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Manuel de Validation
Fascicule V7.01 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire
HT-66/02/001/A
Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA, CS SI













Manuel de Validation
Fascicule V7.01 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des structures
axisymétriques
Document V7.01.310



HPLA310 - Biblio_49 Fissure radiale externe dans
un barreau circulaire soumis à un choc thermique




Résumé :

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.

Il s'agit d'un test statique de base en axisymétrique sous chargement thermique instationnaire. Le
comportement de la structure est thermoélastique linéaire isotrope.

Il comprend une seule modélisation axisymétrique.

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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
a
R
z
r
O
A
B
C
D
H
Fissure annulaire externe dans un barreau cylindrique semi-infini
On prendra a/R = 0,5 et H/R 5.
a = 1 m,
R = 2 m,
H = 10 m.

1.2
Propriétés du matériau
Le matériau est thermoélastique linéaire isotrope.
Module d'Young
E = 2E11 Pa
Coefficient de Poisson
= 0,3
Coefficient de dilatation linéaire
= 1E-5 C°­1
Conductivité thermique
= 50 W/m.C°
Diffusivité thermique
=
/
Cp
=
0,5 m2/s
Coefficient d'échange thermique
h = 250 W/m2C°
On choisira h tel que Bi = hR/
= 10.
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1.3
Conditions aux limites et chargement
Conditions aux limites mécaniques
UX = Ur = 0 sur l'axe de révolution r = 0
UY = Uz = 0 sur le ligament 0 r a
Force axiale résultante nulle au bord supérieur ; on traduira cette condition à la limite par un ensemble
de (n-1) relations linéaires UY(1) = UY(2) = ... = UY(n) entre les déplacements longitudinaux des n
noeuds du bord supérieur (dilatation axiale libre, conservation de la planéité de la section transversale
du barreau).
Conditions de contact unilatéral sur la lèvre de la fissure afin de gérer la fermeture de celle-ci.
Conditions aux limites thermiques
Flux thermique nul sur l'axe de révolution AB (par symétrie)
Flux thermique nul sur le ligament OA (par symétrie) et sur la fissure AC.
Flux de convection
(
)
T
r
h T
T
ext
=
-
au bord r = R,
T
ext
désignant la température du milieu extérieur.
Chargement thermique
La température du milieu extérieur subit un échelon instantané Text = T0*H(t) où H(t) est la fonction
échelon-unité de Heaviside. Compte tenu des conditions aux limites la température ne varie pas en
fonction de z. On prendra T0 = 100 °C afin d'obtenir la fermeture de la lèvre, au voisinage de la peau
de la pièce, au début du choc thermique.

1.4 Conditions
initiales
Conditions initiales mécaniques
Déplacements, déformations et contraintes nuls en tous points.
Conditions initiales thermiques
Température initiale nulle en tout point.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Champ de température :
calcul analytique exact.
Calcul thermomécanique : champ de contraintes thermoélastique dans le barreau non fissuré donné
par une expression analytique exacte
déplacement des lèvres de la fissure calculé à partir de fonctions
d'influence déterminées numériquement par éléments finis
facteur d'intensité des contraintes calculé à partir des tensions de surface
libérées le long de la fissure, en utilisant des fonctions poids du solide
illimité pour une répartition de pression sur les lèvres constante par
intervalle le long du rayon.

2.2
Résultats de référence
Nombre de Fourier:
Fo
t
R
=
2
(temps adimensionnel)
Nombre de Biot :
Bi
hR
=
(coefficient d'échange sans dimension)
Expression de la température en fonction de r et de t :
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
T
T
BiJ
r R
Bi J
Fo
BiJ
J
n
n
n
n
n
n
n
n
=
-
+
·
-








=
=
0
0
2
2
0
1
2
0
1
1 2
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
/
exp
les valeurs propres
µ
n sont les solutions de l'équation ci-dessus dans laquelle J0 et J1 sont les
fonctions de Bessel de première espèce d'ordre 0 et 1.
Les tableaux ci-dessous résument les valeurs des températures (°C) pour trois rayons particuliers et
pour trois nombres de Fourier :
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F0 = 0,001
Réf. (10000 termes)
Aster %
écart
r = 0
3,9968E-12
2,06844E-18
-
r = 1
2,2204E-13
8,94917E-12
-
r = 2
2,79689E+1
2,80013E+1
0,116
F0 = 0,4
Réf. (900 termes)
Aster %
écart
r = 0
1,6230E-1
1,78593E-1
10,04
r = 1
6,2391E+0
6,2555E+0
0,262
r = 2
7,7365E+1
7,73319E+1
­0,044
F0 = 1
Réf. (900 termes)
Aster %
écart
r = 0
9,8644E+1
9,8637E+1
0,006
r = 1
9,9018E+1
9,9013E+1
­0,005
r = 2
9,9835E+1
9,9834E+1
­0,001
Expression de la contrainte axiale dans le barreau non fissuré en fonction de r et de t :
(
)
µ
µ
µ
µ
µ
µ
zz
ET
Bi
n
Bi
J
n
n Fo
n
J
n
r
R
Bi
n
J
n
=
-
+








-




=




-
















2
0
1
2
2
0
2
1
0
2
2 0
exp
Le tableau ci-dessous résume les valeurs des contraintes
zz (Pa) pour r = a (fond de fissure) et pour
trois nombres de Fourier :
Réf. (900 termes)
Aster %
écart
F0 = 0,001
4,584029E+6
4,58508E+6
0,017
F0 = 0,4
6,397099E+7
6,38746E+7
­0,151
F0 = 1
8,200300E+5
8,23974E+5
0,481
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Facteur d'intensité des contraintes (adimensionnel) en fonction du nombre de Fourier


2.3
Incertitude sur la solution
Inférieure à 5 %.

2.4 Références
bibliographiques
[1]
J.M. ZHOU, T. TAKASE et Y. IMAI : Opening and closing behavior of an external circular
crack due to axisymmetrical heating. Engng.Fract.Mechs., 47, n°4, 559-568, 1994.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Le calcul thermique instationnaire précède le calcul mécanique. Les deux calculs se font à l'aide du
même maillage pour éviter les phénomènes de lissage.


Maillage complet
























Zoom sur la pointe de fissure
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3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage est constitué de 8651 noeuds et 2772 éléments, dont 2732 éléments QUA8 et 40 éléments
TRI6.
La densité radiale du maillage est déterminée par essais successifs de façon à réduire à 1% l'écart
entre la solution théorique et la solution numérique, tant du point de vue thermique que
thermomécanique, dans le cas du barreau non fissuré.
La hauteur du demi-modèle est fixée arbitrairement à 5 fois le rayon R. On suppose a priori que l'effet
de la limitation de taille du maillage dans la direction Z sur le facteur d'intensité des contraintes est
inférieur à 1%.
Un bloc indéformable, situé sous la lèvre, a été maillé afin de gérer le contact sans frottement induit
par la fermeture de la lèvre.

3.3
Fonctionnalités testées
Commandes
AFFE_MODELE MECANIQUE AXIS TOUT
AFFE_CHAR_MECA TEMP_CALCULEE
AFFE_CHAR_MECA CONTACT
NORMALE MAIT_ESCL
MECA_STATIQUE
CALC_THETA THETA_2D
CALC_G_THETA OPTION
CALC_G
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
G (Fo = 0,001) (J.m
2
)
2,3E+2 2,9449E+2*
30
KI (Fo = 0,001) (Pa.m
0,5
)
7,0E+6 8,0438E6**
14
G (Fo = 0,04) (J.m
2
)
1,0E+4 1,25016E+4*
19
KI (Fo = 0,04) (Pa.m
0,5
)
4,8E+7 5,24175E7**
9
G (Fo = 1) (J.m
2
)
1,0 1,2104864* 15
KI (Fo = 1) (Pa.m
0,5
)
4,8E+5 5,1579E+5**
7
*
Dans le cas de calculs axisymétriques, pour obtenir le taux de restitution global, il faut diviser le
taux de restitution obtenu avec ASTER par R
fissure
= a (Cf. Documentation de référence
[R7.02.01]-page18).
** Valeurs obtenues avec la formule d'IRWIN en déformations planes, en supposant que K
II
= 0, et
en prenant le G calculé par ASTER, qui ne permet pas le calcul automatique de KI en
axisymétrique.

4.2 Remarques
Pour calculer le G
ref
, on utilise les formules d'IRWIN en déformations planes :
(
)
Gref
E
K
K
I
II
= -
+
1
2
2
2
, KII = 0
L'écart maximum relevé est de 30% sur G (Fo = 1), de 14 % sur KI (Fo = 1).
L'écart relatif maximum sur la température en fond de fissure, par rapport à la solution analytique
(sommée sur 900 termes), est inférieur a 1%.
L'écart relatif maximum sur
zz dans le barreau avant fissuration, par rapport à la solution analytique
sommée sur 900 termes, à l'emplacement du fond de fissure ultérieur, est inférieur à 0,5 %.
Avec ASTER, en mode axisymétrique, le champ de contrainte obtenu est de la forme suivante :
SIXX
SIYY
SIZZ
SIXY
et les contraintes associées sont :
SIRR SIZZ SITT SIRZ
Pour calculer les valeurs de référence, nous utilisons la courbe en Log/Log (page 5). La précision à la
lecture des valeurs n'étant pas très bonne, nous pouvons estimer que les résultats sur le taux de
restitution d'énergie G ne sont pas trop éloignés de la référence.
Il est à noter que le taux de restitution d'énergie G est invariable sur les couronnes de calcul.
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5
Synthèse des résultats
En ce qui concerne le barreau non fissuré, les résultats Aster en température et en contrainte sont très
proches de la référence (moins de 1 % maximum pour la température et moins de 0,5 % maximum
pour les contraintes). En revanche, pour le taux de restitution d'énergie, les résultats Aster sont
éloignés de la référence puisque nous relevons un écart maximum de 30% pour FO = 0,001, avec une
précision annoncée de 5% sur la solution de référence.