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Fascicule V7.20 : Thermo-dynamique statique non linéaire des structures axisymétriques
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Fascicule V7.20 : Thermo-mécanique statique non linéaire des structures
axisymétriques
Document V7.20.101



FORMA09 - TP de la formation thermoplasticité




Résumé :

Ce test en 2D axisymétrique quasi-statique permet d'illustrer sur un cas simple les questions relatives aux
modélisations thermo-élastoplastiques :
·
pour le calcul thermique, il met en évidence les effets de dépassement de maximum, d'instabilité du
schéma explicite et montre l'apport de la diagonalisation de la matrice de masse thermique,
·
Pour le calcul mécanique, il met en évidence les contraintes dues à l'incompatibilité des déformations
thermiques, même si le cylindre est libre, puis les aspects incrémentaux du calcul avec
STAT_NON_LINE. On montre aussi l'influence de la température de référence et de la température de
définition du coefficient de dilatation thermique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
La structure étudiée est une tranche de cylindre, modélisée en axisymétrique, (cf HPLA100)
z
r
R
e
R
i
F
B
D
A
C
r
z
J
Rayon intérieur
R
i
=
19.5 mm
Rayon extérieur
R
e
=
20.5 mm
Point F
R =
20.0 mm
Epaisseur
h =
1.0 mm
Hauteur

L =
10.0 mm
H
+
1.2
Propriétés des matériaux
Le matériau est homogène isotrope, thermoélastique linéaire. Les coefficients mécaniques sont
Le coefficient de dilatation est fonction de la température :
La température de référence vaut 0°C. Les coefficients thermiques valent :
1.3
Conditions aux limites et chargements du calcul thermique
Le cylindre est soumis sur son bord interne à un échange avec un fluide qui passe brutalement de
100°C à 0°C :
·
flux nul sur les bords AB, BC, CD
·
sur le bord AD, condition d'échange convectif, avec :
H = 100 W/mm²/°C
Text = 100°C à t = 0s, puis 0°C à t = 0.01s, et ensuite maintenue constante.
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1.4
Conditions aux limites et chargements du calcul mécanique
Conditions de symétrie
Cas non bridé : déplacement nul suivant Oy le long du côté AB.
Cas bridé : déplacement nul suivant Oy le long des côtés AB et CD.
Chargement : dilatation thermique .

2
Solution de référence
2.1 Solution
thermo-élastique
La solution de référence est numérique. Elle est obtenue avec le Code_Aster pour un maillage fin (20
éléments dans l'épaisseur). Le TP est effectué avec un maillage très grossier (3 éléments dans
l'épaisseur), il ne faut donc pas s'étonner d'obtenir des résultats assez éloignés de la solution de
référence.
En effet, le but du TP est de montrer :
·
pour le calcul thermique, les effets de dépassement de maximum, d'instabilité du schéma
explicite et l'apport de la diagonalisation de la matrice de masse thermique,
·
pour le calcul mécanique, les contraintes dues à l'incompatibilité des déformations
thermiques, même si le cylindre est libre, puis les aspects incrémentaux du calcul avec
STAT_NON_LINE.
Les valeurs testées sont :
Instant (s) Température max
(Tmax) en °C
Nombre de noeuds
atteints par Tmax
et numéros des
noeuds
Température min
(Tmin) en °C
Nombre de noeuds
0 100 63
noeuds 100 63
0,1
100
1 noeud : N26
69,5309
1 noeud : N62
4
100
1 noeud : N1
8,5 182
1 noeud : N62
10
100
1 noeud : N2
5,56755
1 noeud : N62
100
95,1712
1 noeud : N3
1,81091
1 noeud : N62
Les valeurs maximum et minimum des contraintes SIYY aux instants t=0s et t=11s
Cas non bridé
Instant (s)
Contrainte
maximale
SIYY max
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY max et
numéro des mailles
Contrainte
minimale
SIYY min
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY min et
numéro des mailles
11
364,875
1 maille : M21
­320,094
1 maille : M2

Cas bridé avec MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE avec TREF=0 (et un état initial T=0°C),
Instant (s)
Contrainte
maximale
SIYY max
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY max et
numéro des mailles
Contrainte
minimale
SIYY min
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY min et
numéro des mailles
0
­200
1 maille : M40
­200
1 maille : M1
11
­61,5003
1 maille : M1
­702,563
1 maille : M22
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Cas bridé avec MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE avec TREF=100°C (et un état initial T=100°C),
Instant (s)
Contrainte
maximale
SIYY max
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY max et
numéro des mailles
Contrainte
minimale
SIYY min
Nombre de mailles
atteintes par
SIYY min et
numéro des mailles
11
138,5
1 maille : M21
­502,563
1 maille : M2

2.2 Référence
bibliographique
Documentation de validation [V7.01.100].
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
La modélisation A correspond à l'énoncé du TP. Elle ne comporte que le premier calcul thermique
(sans diagonalisation de la masse thermique).
Le maillage comporte 3 mailles QUAD4 dans
l'épaisseur (maillage GIBI).
3.2
Caractéristiques du maillage
6 mailles
Les bords utiles pour les conditions aux limites sont définis par les groupes de mailles :
·
ECHANGE (bord gauche)
·
HAUT (bord supérieur)
·
BAS (bord inférieur)

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
=
ELAS
DEFI_MATERIAU THER
ELAS_FO
THER_LINEAIRE
MECA_STATIQUE
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Température instant Identification Référence
Aster %
diff
maximum
4 Temp
max
126.314
126.314 0

Remarque :
Cette modélisation ne comporte qu'un test de non régression. Elle est le point de départ du
TP, destiné à améliorer la modélisation (cf modélisation B). Sur l'évolution de la température
au milieu du cylindre en fonction du temps, et la répartition de température à t=4s. On
constate (voir courbes rouges, avec marqueur carré sur la figure suivante), que l'on dépasse
la température de 100°C, ce qui n'est pas physique. Ceci caractérise un non respect du
principe du maximum.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Cette modélisation correspond au corrigé du TP. Elle met en oeuvre tous les calculs proposés, en
commentant les résultats obtenus.
Figure 5.1-a
Figure 5.1-b
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5.1.1 Calcul
thermique
Pour améliorer les résultats de la modélisation A, donc pallier ces dépassements de la température
maximum (cf. [R3.06.07]), plusieurs solutions sont possibles :
·
on peut augmenter le pas de temps, ce qui n'est pas toujours compatible avec la bonne
appréhension de la rapidité du transitoire (comme dans le cas présent),
·
ou bien raffiner le maillage, ce qui est une bonne solution, mais coûteuse en temps calcul,
·
on peut enfin utiliser la diagonalisation des matrices de masse thermiques, c'est-à-dire ici la
modélisation AXIS_DIAG. On obtient alors les courbes marquées de cercles sur les figures
[Figure 5.1-a] et [Figure 5.1-b] ci dessus. La température reste toujours inférieure à 100°C.
C'est la solution la plus simple.
Si on cherche à utiliser un schéma explicite (THETA = 0), on voit apparaître une nette instabilité pour
de grands pas de temps (courbe avec marqueur croix sur la figure [Figure 5.1-a] ci-dessus).
En conclusion, pour le calcul thermique, il faut utiliser un THETA supérieur ou égal à 0.5, pour avoir un
schéma stable quelque soit le pas de temps. De plus il faut utiliser un pas de temps suffisamment petit
pour appréhender le transitoire, mais pas trop petit pour éviter les oscillations. Si elles apparaissent,
soit il faut raffiner le maillage, soit utiliser la modélisation AXIS_DIAG, (ou PLAN_DIAG, ou 3D_DIAG).
5.1.2 Calcul thermoélastique en dilatation libre
On effectue le calcul avec MECA_STATIQUE, utilisant pour seul chargement la dilatation thermique.
Avec les conditions aux limites du cas non bridé : déplacement nul suivant Oy le long du côté AB.
Pour le calcul mécanique, il suffira de calculer aux instants t = 0s, et t = 11s par exemple.
Les contraintes à l'instant t=0s sont nulles, car le champ de température est uniforme (T = 200°C) et
reste compatible. Par contre les déformations obtenues ne sont pas nulles puisque la température de
référence est égale à 200°C.
A t = 11s, ou tout autre instant mécanique positif, on voit apparaître des contraintes dites de
compatibilité thermiques. En effet, le champ de température n'est plus uniforme mais varie suivant r.
Ceci produit des déformations incompatibles, qui génèrent donc des contraintes, même pour un
cylindre non bridé. Cette situation se produit même pour un champ de température linéaire par rapport
au rayon. Par contre (cf exposé) un champ de température linéaire par rapport aux coordonnées
globales ne produit pas de contrainte pour une structure non bridée.
5.1.3 Calcul thermoélastique avec bridage
Le calcul avec MECA_STATIQUE du cas bridé montre l'apport du bridage sur les contraintes (SIYY en
particulier) : à l'instant t = 0s, la température de référence étant égale à 0°C, le champ uniforme de
température provoque un état de contrainte uniforme SIYY de 200MPa, et à t = 11s, l'état de
contraintes est différent du cas non bridé.
Cette modélisation est correcte, mais se limite aux comportements linéaires.
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5.1.4 Calcul thermoplastique avec bridage
On cherche à effectuer le même calcul que précédemment, mais cette fois avec
STAT_NON_LINE
,
avec
COMP_INCR=_F(RELATION='ELAS')
, pour ne pas compliquer le problème (un autre
comportement mènerait aux mêmes observations). La liste d'instants fournie à
STAT_NON_LINE
est :
t=0s, et t=11s.
Etant donné que l'on fait un calcul incrémental, l'instant 0 est considéré comme instant initial. Il n'est
donc pas calculé, et à l'instant suivant (t=11s), on calcule la solution due à l'accroissement de charge
(thermique ici) entre 0s et 11s. On constate alors que la solution obtenue (déplacements, contraintes)
est différente du calcul avec
MECA_STATIQUE
. C'est logique et cohérent avec la définition du calcul
incrémental, mais c'est un piège pour l'utilisation. A retenir : implicitement,
STAT_NON_LINE
en
incrémental suppose qu'à l'instant initial, la structure est non contrainte, non déformée. Ceci implique
que le champ de température doit être uniforme et égal à la température de référence.
Ce n'est pas le cas ici : à t=0s, TREF=0°C, et T=200°C. En ne calculant pas cette dilatation thermique,
on suppose ici que à t=0s, il n'y a aucune déformation, et aucune contrainte.
5.1.5 Calcul thermoplastique avec bridage et ajout de conditions initiales
On modifie la liste d'instants : on ajoute un instant préliminaire t=­1s par exemple. En cet instant, on
définit un champ de température uniforme, égal à la température de référence. On utilise à cette fin les
commandes
CREA_CHAMP
, puis
CREA_RESU
pour enrichir la structure de données résultats thermique
avec ce champ uniforme. On effectue ensuite le calcul mécanique, en fournissant la liste d'instants :
t=­1s, t=0s, et t=11s
On constate alors que l'instant t=0s est bien calculé, et que les contraintes sont identiques au cas
calculé avec
MECA_STATIQUE
.
5.2
Caractéristiques du maillage
Même maillage que pour la modélisation A.
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
STAT_NON_LINE COMP_INCR
RELATION
=
ELAS
DEFI_MATERIAU THER
ELAS_FO
PROJ_CHAMP
THER_LINEAIRE
MECA_STATIQUE


6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Modélisation AXIS_DIAG
Température instant Identification Référence
Aster %
diff
maximum
4 Temp
max 100 100
0
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7
Synthèse des résultats
Ce test est relatif à la formation thermoplasticité. Il montre l'utilité du choix de la modélisation DIAG
(matrice de masse thermique diagonalisée) pour les calculs thermiques, et illustre en
thermomécanique incrémentale (commande STAT_NON_LINE) comment prendre en compte
correctement l'état initial.