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EDF-R&D/AMA















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Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
Document : V3.04.303



SSLV303 - Cylindre encastré sous poids propre et
pression


Résumé :

Le but du test est de valider une charge de gravité ainsi qu'une pression, à partir d'une analyse 2D avec
décomposition en série de Fourier de la charge.

Deux modélisations sont adoptées pour cette analyse ; elles diffèrent de par le mot-clé utilisé pour définir la
gravité :
·
modélisation A : pour valider le mot-clé
PESANTEUR
,
·
modélisation B : pour valider le mot-clé
FORCE_INTERNE
.

La gravité est calculée en mode 1, et la pression appliquée est donnée en mode 1.

Les deux cas de charge sont combinés et comparés avec un calcul numérique en modélisation 3D (modèle C).

Une quatrième modélisation (D) est construite dans le but de valider le mot-clé
FORCE_INTERNE
défini à partir
d'une fonction.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie

Longueur
: L
= 0.240 m
Rayon
: R
= 0.006 m

1.2
Propriétés de matériaux
E = 2.1 x 10
11
N/m
2
= 0.3
= 7800 kg/m
3

1.3
Conditions aux limites et chargements
·
Sections AB, CD encastrées
·
Gravité selon r
: g = 9.81 m/s
2
·
Pression donnée par : p = p
o
cos
, p
o
= 10 000 N/m
2

1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour l'analyse statique.
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Pour le cas de charge de gravité seul :
La valeur du champ de déplacement radial, en fonction de z, est donné par :




+
-
=
2
2
3
4
2
2
12
z
L
Lz
Z
EI
q
ur
Le déplacement maximum, dans la section médiane, vaut :
( )
cylindre
du
propre
poids
:
,
384
3
P
EI
PL
ur
E
=
Pour le cas de charge de pression, on effectue une comparaison avec les résultats de la
modélisation C.
2.2
Résultats de référence
·
Déplacement dans la section médiane,
( )
E
ur
= 0.3566 x 10
­6
m
·
Contraintes d'encastrement au point B :
zz
= ­0.2496 x 10
6
Pa

2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique pour la gravité.

2.4 Référence
bibliographique
[1]
S. TIMOSHENKO : Résistance des matériaux, 1ère partie. Librairie Polytechnique
Ch. Béranger, Paris, 1947
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation A
AXIS_FOURIER, maille T6



Découpage :
80 éléments suivant la longueur
2 éléments suivant le rayon
Chargements :
C1 :
gravité verticale (champ Ug) (g
2
)
C2 :
pression (champ Up) p
o
= 10 000 N/m
2
Composantes des déplacements : u
r
(radial), u
z
(axial), u
(circonférentiel)
Noms des noeuds :
A = N1
B = N2
C = N3
D = N4
E = N249
F = N87

3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 805
Nombre de mailles et types : 320 TRIA6
r
B
A
E
F
C
D
z
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3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
PESANTEUR
GROUP_NO
CALC_CHAM_ELEM OPTION
MODE_FOURIER
'SIGM_ELNO_DEPL'
AFFE_CHAR_MECA_F PRES_REP
GROUP_MA
COMB_CHAM_NO
COMB_CHAM_ELEM
COMB_FOURIER
COMB_FOURIER
MACRO_ELAS_MULT CHAR_MECA_GLOBAL
CAS_CHARGE
MODE_FOURIER
TYPE_MODE
CHAR_MECA
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Valeurs fournies pour
= 0.

Localisation Type
de
valeur
Référence
Aster
% différence
Champ Ug
(pour
= 0.)
Point E, F
u
r
(m)
u
(m)
3.566 x 10
­7
0.
3.541 x 10
­7
3.94 10
­14
­0.701
Point B
zz
(Pa)
­2.496 x 10
5
­2.598 x 10
5
+
4.09
Champ Up
(pour
= 0.)
Point E
u
r
(m)
­7.82 x 10
­6
­7.71 x 10
­6
­1.4
Point F
­7.82 x 10
­6
­7.70 x 10
­6
­1.5
Point B
rr
(Pa)
zz
(Pa)
(Pa)
1.63 x 10
6
5.51 x 10
6
1.65 x 10
6
1.41 x 10
6
5.65 x 10
6
1.89 x 10
6
­13.4
2.7
14.7
Champ Up + Ug
(pour
= 0.)
Point E
u
r
(m)
­7.46 x 10
­6
­7.358 x 10
­6
­1.3
Point F
u
r
(m)
­7.44 x 10
­6
­7.348 x 10
­6
­1.2
Point B
rr
(Pa)
zz
(Pa)
(Pa)
1.56 x 10
6
5.25 x 10
6
1.57 x 10
6
1.34 x 10
6
5.398 x 10
6
1.80 x 10
6
­13.7
2.8
15.0

4.2 Remarques
·
Les valeurs de référence pour la pression (champ Up) sont obtenues dans la modélisation C, à
partir d'un maillage 3D.
·
Pour la pesanteur, il convient de souligner que l'ordre des composantes dans
PESANTEUR
est : r,
,
z (alors que dans
FORCE_INTERNE
l'ordre est r, z,
).

4.3
Contenu du fichier résultats
Déplacements, contraintes.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation B
AXIS_FOURIER, mailles T6



Découpage :
80 éléments suivant la longueur
2 éléments suivant le rayon
Chargements :
C1 : gravité verticale (champ Ug) sous forme de densité volumique de forces
g
= 76 518 Pa
C2 : pression (champ Up)
Composantes des déplacements : u
r
(radial), u
z
(axial), u
(circonférentiel)
Noms des noeuds :
A = N1
B = N2
C = N3
D = N4
E = N249
F = N87

5.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 805
Nombre de mailles et types : 320 TRIA6
r
B
A
E
F
C
D
z
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5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
FORCE_INTERNE
GROUP_NO
CALC_CHAM_ELEM OPTION
MODE_FOURIER
'SIGM_ELNO_DEPL'
AFFE_CHAR_MECA_F PRES_REP
GROUP_MA
COMB_CHAM_NO
COMB_CHAM_ELEM
COMB_FOURIER
COMB_FOURIER
MACRO_ELAS_MULT CHAR_MECA_GLOBAL
CAS_CHARGE
MODE_FOURIER
TYPE_MODE
CHAR_MECA
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées

Localisation Type
de
valeur
Référence
Aster
% différence
Champ Ug
(pour
= 0.)
Point E, F
u
r
(m)
u
(m)
3.566 x 10
­7
0.
3.541 x 10
­7
0.
­0.70
Point B
zz
(Pa)
­2.496 x 10
5
­2.60 x 10
5
+
4.1
Champ Up
(pour
= 0.)
Point E
u
r
(m)
­7.82 x 10
­6
­7.71 x 10
­6
­1.4
Point F
­7.82 x 10
­6
­7.70 x 10
­6
­1.5
Point B
rr
(Pa)
zz
(Pa)
(Pa)
1.63 x 10
6
5.51 x 10
6
1.65 x 10
6
1.41 x 10
6
5.65 x 10
6
1.89 x 10
6
­13.4
2.7
14.7
Champ Up + Ug
(pour
= 0.)
Point E
u
r
(m)
­7.46 x 10
­6
­7.358 x 10
­6
­1.3
Point F
u
r
(m)
­7.46 x 10
­6
­7.348 x 10
­6
­1.5
Point B
rr
(Pa)
zz
(Pa)
(Pa)
1.56 x 10
6
5.25 x 10
6
1.57 x 10
6
1.34 x 10
6
5.398 x 10
6
1.80 x 10
6
­13.7
2.8
15.0

6.2 Remarques
·
Les valeurs de référence pour la pression (champ Up) sont obtenues dans la modélisation C, à
partir d'un maillage 3D.
·
Les résultats obtenus sont rigoureusement identiques à ceux de la modélisation A avec
PESANTEUR
.

6.3
Contenu du fichier résultats
Déplacements, contraintes.
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7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation C
3D, Mailles H20 et P15




Position des points : A, B dans la section z = 0
E, F dans la section médiane z = L/2
Découpage :
20 éléments suivant la longueur
2 éléments suivant le rayon, 8 éléments suivant la circonférence.
Le chargement étant symétrique, la moitié seulement du cylindre est modélisée.
x, u
B, F
A, E
x
y
B
F
z
y, v
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Conditions aux limites :
·
section extrémités encastrées (u = v = w = 0)
·
conditions de symétrie dans le plan xz : v = 0
1)
Pression sur la circonférence (champ Up)
La surface du cylindre est divisée en 8 rangées d'éléments selon la circonférence (1 rangée
d'éléments représente un secteur de
/8 radians.
La pression étant en "Cos
", elle est supposée uniforme sur chaque rangée. Pour tout point de
la surface d'angle
, (compris entre
1
et
2
,
1
= (n ­ 1)
8
,
2
= n
8
, 1 n 8, la valeur de la
pression affectée à la rangée d'éléments contenant ce point est prise égale à :
2
0
p
(cos
1
+ cos
2
).
2)
Gravité verticale suivant x (champ Ug)
Noms des noeuds :
A = N845
B = N965
E = N865
F = N995

7.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 1285
Nombre de mailles et types : 160 HEXA20, 80 PENTA15

7.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
FORCE_INTERNE
PESANTEUR
GROUP_NO
GROUP_MA
AFFE_CHAR_MECA_F PRES_REP
GROUP_MA
CALC_CHAM_ELEM OPTION
SIGM_ELNO_DEPL
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8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées

Localisation Type
de
valeur
Référence
Aster
% différence
Champ Up
Point E
u (m)
v (m)
0.
­7.82 x 10
­6
10
­21
Point F
u (m)
v (m)
0.
­7.816 x 10
­6
10
­21
Point B
xx
(Pa)
yy
(Pa)
zz
(Pa)
1.63 x 10
6
1.65 x 10
6
5.51 x 10
6
Champ Up + Ug
Point E
u (m)
v (m)
0.
­7.46 x 10
­6
10
­21
Point F
u (m)
v (m)
0.
­7.44 x 10
­6
10
­21
Point B
xx
(Pa)
yy
(Pa)
zz
(Pa)
1.56 x 10
6
1.57 x 10
6
5.25 x 10
6

8.2 Remarques
·
Il n'y a pas de valeurs de référence pour cette modélisation. Les résultats sont à comparer avec
ceux des modélisations AXIS_FOURIER (A, B, D).
·
Au point B (situé dans le plan de symétrie), on a :
rr
=
xx
,
=
yy
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9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation D
AXIS_FOURIER, mailles T6



Découpage :
80 éléments suivant la longueur
2 éléments suivant le rayon
Chargements :
C1 :
gravité verticale (champ Ug)
C2 :
pression (champ Up)
Composantes des déplacements : u
r
(radial), u
z
(axial), u
(circonférentiel)
Noms des noeuds :
A = N1
B = N2
C = N3
D = N4
E = N249
F = N87

9.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 805
Nombre de mailles et types : 320 TRIA6
r
B
A
E
F
C
D
z
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9.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE 'MECANIQUE' 'AXIS_FOURIER'
TOUT
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
GROUP_NO
AFFE_CHAR_MECA_F FORCE_INTERNE
CALC_CHAM_ELEM OPTION
MODE_FOURIER
'SIGM_ELNO_DEPL'
AFFE_CHAR_MECA_F PRES_REP
GROUP_MA
COMB_CHAM_NO
COMB_CHAM_ELEM
COMB_FOURIER
COMB_FOURIER
MACRO_ELAS_MULT CHAR_MECA_GLOBAL
CAS_CHARGE
MODE_FOURIER
TYPE_MODE
CHAR_MECA
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10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées

Localisation Type
de
valeur
Référence
Aster
% différence
Champ Ug
(pour
= 0.)
Point E, F
u
r
(m)
u
(m)
3.566 x 10
­7
0.
3.535 x 10
­7
0.
­0.84
Point B
zz
(Pa)
­2.496 x 10
5
­2.60 x 10
5
+
4.1
Champ Up
(pour
= 0.)
Point E
u
r
(m)
­7.82 x 10
­6
­7.71 x 10
­6
1.4
Point F
­7.82 x 10
­6
­7.70 x 10
­6
1.5
Point B
rr
(Pa)
zz
(Pa)
(Pa)
1.63 x 10
6
5.51 x 10
6
1.65 x 10
6
1.41 x 10
6
5.65 x 10
6
1.89 x 10
6
­13.4
2.7
14.7

10.2 Remarques
·
Les valeurs de référence pour la pression (champ Up) sont obtenues dans la modélisation C, à
partir d'un modèle 3D.
·
Les résultats obtenus sont identiques à ceux des modélisations A et B.

10.3 Contenu du fichier résultats
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11 Synthèse des résultats
Ecarts maxi (en %) entre modélisations AXIS_FOURIER et modélisation 3D, observés aux points E, F,
B (dans le plan
= 0°), sur les cas de charge combinés.

Localisation
Ecart
AXIS_FOURIER/3D
En (%)
Déplacements U :
= u en 3D
= u
r
en AXI
POINT F
1.5
Contraintes
zz
POINT B
2.8
Contraintes
xx(3D)
=
rr(AXI)
POINT B
­14.1
Contraintes
yy(3D)
=
(AXI)
POINT B
14.6

·
Les résultats entre les modélisations 3D d'une part et AXIS_FOURIER d'autre part, sont
concordants en ce qui concerne les déplacements (écart de 1.5%) et la contrainte de flexion
zz
(écart de 2.8%).
·
A l'encastrement, la relation
xx
=
yy
= 0 entraîne :
xx
=
yy
=
-
1
zz
La relation d'encastrement est bien vérifiée au point B, en modélisation 3D.
·
Par ailleurs, au point B, on a en plus :
xx
=
rr
yy
=
En modélisation AXIS_FOURIER, l'écart entre les deux contraintes est d'environ 25%.
·
Un second calcul sur le modèle AXIS_FOURIER a été réalisé avec un maillage plus fin :
4 éléments dans l'épaisseur au lieu de 2, maillage plus dense au voisinage de l'encastrement AB
(total 800 TRIA6).
L'écart observé sur les contraintes
rr
et
au point AB demeure :
rr
= 1.51 x 10
6
,
= 2.08 x 10
6
(cas de charge combiné).
La relation d'encastrement
xx
=
yy
est donc beaucoup mieux vérifiée sur le modèle 3D, avec un
maillage dans l'épaisseur pourtant grossier.