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7.2
Titre :
WTNP106 - Chauffage d'un milieu poreux désaturé avec air dissous
Date :
13/10/04
Auteur(s) :
S. GRANET, C. CHAVANT
Clé
:
V7.32.106-A
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Fascicule V7.32 : Thermo-hydro-mécanique en milieu poreux non saturé
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Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA















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Fascicule V7.32 : Thermo-hydro-mécanique en milieu poreux non saturé
Document : V7.32.106



WTNP106 - Chauffage d'un milieu poreux désaturé
avec air dissous




Résumé :

On chauffe un milieu poreux dont les pores sont remplis d'un mélange d'eau (liquide et vapeur) et d'air (sec et
dissous dans l'eau). La saturation initiale en liquide est de 50%, le chargement est un flux thermique uniforme
sur les bords du domaine. La modélisation faite par un seul élément correspond à la modélisation d'un
problème homogène en espace.

La solution de référence est une solution analytique approchée.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
h=
1
m
1m
x
y
z
B
A
C
D
E
F

Coordonnées des points (m) :
A -0,5 -0,5
C
0,5 0,5
B
0,5 -0,5
D -0,5 0,5
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1.2
Propriétés du matériau
On ne donne ici que les propriétés dont la solution dépend, sachant que le fichier de commandes
contient d'autres données de matériau (modules d'élasticité, conductivité thermique ...) qui finalement
ne jouent aucun rôle dans la solution du problème traité.

Eau liquide
Masse volumique (kg.m
-3
)
Chaleur à pression constante (J.K
-1
)
coefficient de dilatation thermique du liquide (K
-1
)
Viscosité dynamique de l'eau liquide (Pa.s)
Perméabilité relative à l'eau
10
3
4180
0.
0.001
( )
1
=
S
kr
w
Vapeur
Chaleur massique (J.K
-1
)
Enthalpie initiale (chaleur latente de vaporisation)
J/Kg
Masse molaire(kg.mol
-1
)
1900
2,5E6.
0,018
Gaz
Chaleur massique (J.K
-1
)
Masse molaire (kg.mol
-1
)
Perméabilité relative au gaz
Viscosité du gaz (kg.m
-1
.s
-1
)
1900
0,018
( )
1
=
S
kr
gz
1,8
E
-5
Air dissous
Chaleur massique (J.K
-1
)
Constante de Henry (Pa.m
3
.mol
-1
)
1900
50000
Squelette
Capacité calorifique à contrainte constante (J.K
-1
) 1050
Etat initial
Porosité
Température (K)
Pression de gaz (Pa)
Pression de vapeur (Pa)
Saturation initiale en liquide (Pa)
0,3
300
1E5
3700
0,5
Constantes
Constante des gaz parfaits
8,315
Coefficients
homogénéisés
Masse volumique homogénéisée (kg.m
-3
)
Isotherme de sorption
2200
( )
(
)
0
0
12
10
5
.
0
c
vp
c
c
P
P
P
P
S
-
-
-
=
-
Avec
3700
0
=
vp
P
0
0
=
c
P
1.3
Conditions aux limites et chargements
Sur tous les bords :
Flux thermique
6
10
.
=
n
q
ext
Flux hydraulique nul
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul
2.1.1 Calcul de la pression de vapeur à partir de la température
Nous supposons la courbe de saturation linéaire. Elle s'écrit donc :
c
P
S
S
S
+
=
0
éq
2.1.1-1
L'équation [éq 2.2.3.3-2] du document de référence [R7.01.11] donne alors :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c
as
as
as
as
ad
ad
ad
ad
c
vp
vp
vp
vp
c
w
w
P
S
S
m
P
S
S
m
P
S
S
m
P
S
m
-
-
-
=
+
-
=
-
-
-
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
éq
2.1.1-2
On écrit que la masse totale d'eau et la masse totale d'air sont conservée (car il n'y a pas de flux
d'eau ni de gaz au bord) et on obtient :
=
+
0
vp
w
m
m
(
)
(
)
(
)
0
1
0
0
=
-
-
+
-
S
P
S
vp
vp
c
vp
w
éq
2.1.1-3
=
+
0
as
ad
m
m
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
0
0
0
0
=
-
+
-
-
+
-
S
S
P
S
ad
ad
as
as
c
as
ad
éq 2.1.1-4
[R7.01.11] [éq 4.1.4-1] donne par ailleurs :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
+




-
+
-
-
-
+
-
-
=




+
T
T
m
w
m
vp
ol
vp
gz
vp
H
w
ol
vp
c
c
w
ol
vp
vp
vp
H
w
ol
vp
gz
gz
H
w
ol
vp
vp
vp
T
dT
h
h
R
M
T
T
p
p
K
R
M
p
p
RT
M
p
p
K
M
p
p
K
RT
M
p
p
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ln
)
1
1
(
ln
éq
2.1.1-5
Le couplage des équations [éq 2.1.1-3], [éq 2.1.1-4] et [éq 2.1.1-5], auquel il faut ajouter l'équation des
gaz parfaits pour la vapeur, l'air sec et l'air dissous ainsi que la loi de henry est un système fortement
non linéaire que nous résoudrons en petites perturbations, ce qui permet de le linéariser.
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Tous calculs faits, on obtient :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)






















=




-
+
-
+
+




-
=




-
-
-
-
+








-
+
+




-
-
+
-
-
-
=




-
-
-
-
+








-
-
+
-
-




-
+
-
0
1
1
0
1
.
1
.
1
.
0
1
.
1
.
1
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
T
h
h
R
M
R
T
K
P
M
P
RT
M
P
P
T
S
RT
P
M
K
RP
S
RT
S
K
S
M
K
RT
S
P
P
S
S
P
T
S
RT
P
M
K
RP
S
K
RT
S
P
P
S
RT
M
S
S
P
m
w
m
vp
ol
vp
H
as
w
ol
vp
w
w
ol
vp
vp
vp
as
ol
vp
H
as
as
ad
H
ol
vp
H
as
ad
as
w
as
ad
as
ad
vp
vp
ol
vp
H
as
vp
w
H
vp
w
as
w
vp
w
ol
vp
vp
w
vp
éq 2.1.1-6
2.1.2 Calcul de la température
L'équation [éq 3.2.4.3-1] du document de référence [R7.01.11] donne :
T
C
p
T
Q
gz
m
gz
+
-
=
0
3
éq
2.1.2-1
(puisque les autres coefficients de dilatation sont nuls).
L'équation [éq 3.2.4.3-2] donne :
(
)
T
S
lq
m
gz
3
1
-
=
éq
2.1.2-2
On obtient donc :
(
)(
)
T
C
p
p
S
Q
as
vp
lq
+
+
-
-
=
0
1
éq
2.1.2-3
Dans ce problème,
Q
n'est rien d'autre que la chaleur apportée par unité de volume.
En appelant
Vol
le volume total de la pièce et
Surf
sa surface latérale et
t
le temps d'application
des flux :
n
q .
ext
Vol
Surf
t
Q
=
éq
2.1.2-4
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2.1.3 Système à résoudre
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )








=








×




















-
-
-
-
-
+
-
-




-
+
+




-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-




-
+
-
0
.
0
0
1
0
1
0
)
1
(
1
1
.
1
.
1
.
)
1
.(
.
1
1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
n
q
ext
as
w
vp
lq
lq
m
w
m
vp
ol
vp
H
w
as
ol
vp
w
ol
vp
vp
H
ol
vp
H
as
ad
as
ol
vp
H
as
as
ad
as
ad
as
ad
H
vp
w
H
as
vp
w
ol
vp
vp
vp
w
ol
vp
vp
w
Vol
Surf
t
P
T
P
P
S
C
S
T
h
h
R
M
R
T
K
P
M
RT
M
P
RT
S
K
S
M
K
RT
S
S
RT
P
M
K
RP
S
S
S
K
RT
S
K
RP
S
RT
M
p
S
S
RT
M
S
S
éq
2.1.2-5
0
S
S
0
T
0
vp
p
0
vp
h
0
vp
(calculé)
lq
5,00E-01 -1,00E-12 3,00E+02 3,70E+03 2,50E+06 2,67E-02 1,00E+03
0
r
0
s
(calculé)
s
C
p
lq
C
l
p
vp
C
0
C
(calculé)
2,20E+03 3,00E-01 2,93E+03 1,05E+03 4,18E+03 1,90E+03 2,78E+06
n
q
.
ext
t
Surf
Vol
1,00E+06
10
400
1,00E+04
On obtient les résultats suivants :
Après résolution de ce système, on obtient :








-
=








7
.
45
144
.
0
99500
4
.
29
as
w
vp
P
T
P
P
Ce qui donne en terme de résultat Aster (incrément) :
PRE1 PRE2
DT PVP
(V3)
9.95
E
4 7.5E1 1.44E-1 2.94E1

2.2 Incertitudes
Les incertitudes sont assez grandes parce-que la solution analytique est une solution approchée du
fait de la linéarisation des équations.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation A
Modélisation en déformations planes. Un élément Q8.
Discrétisation en temps : un seul pas de temps : 10
s.

3.2 Fonctionnalités
testées
Commande Option
AFFE_MODELE
D_PLAN_THH2D
DEFI_MATERIAU
THM_LIQU
THM_GAZ
THM_VAPE_GAZ
THM_AIR_DISS
THM_DIFFU
THM_INIT
ELAS
AFFE_CHAR_MECA FLUX_THM_REP
FLUN_HYDR1
STAT_NON_LINE COMP_INCR RELATION
KIT_THH
RELATION_KIT
ELAS
LIQU_AD_GAZ_VAPE
HYDR_UTIL

3.3 Valeurs
testées

Noeud Champ Composante Instant
(s)
Référence
(analytique)
Aster Différence
(%)
NO1
DEPL
TEMP 10
s
0.1440 0.1439
0.08%
NO1
DEPL
PRE1
10 s
9.95 10
4
9.95
10
4
0.02%
NO1
DEPL
PRE2
10 s
75
73.3
2.21%
NO1
VARI_ELNO_ELGA
V3
10 s
29.4
29.5
0.2%

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4
Synthèse des résultats
La solution ASTER est en très bon accord avec la solution analytique hormis pour la pression de gaz.
Les faibles différences sont dues à la linéarisation.