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SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné
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SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous
chargement bi-axial alterné




Résumé :

On présente ici un test ayant une référence analytique [bib1]. La géométrie traitée ici est un cube sans défaut
avec lequel on réalise un calcul mécanique élastique linéaire suivi du calcul du plan de cisaillement critique en
chaque point de Gauss et en chaque noeud.

Chacune des quatre modélisations teste un critère :
·
modélisation A : critère MATAKE ;
·
modélisation B : critère DANG_VAN_MODI_AC ;
·
modélisation C : critère DOMM_MAXI ;
·
modélisation D : critère DANG_VAN_MODI_AV,
·
modélisation E : critère FATEMI_SOCIE.

Les deux premiers critères sont dits « à plan de cisaillement critique », ils sont adaptés aux chargements
périodiques. Les deux derniers critères peuvent être qualifiés de critères « à plan de dommage critique », ils
peuvent être utilisés lorsque le chargement est non périodique.
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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
Le cube a 10 mm de côté.
1.2
Propriétés de matériaux
Module d'Young : E = 200000 MPa
Coefficient de Poisson :
= 0.3
Contrainte ultime :
0
.
850
=
u
MPa
Courbe de Wöhler (traction-compression alternée contrôlée en contrainte) :
Demi amplitude de contrainte
(MPa)
138.0 152.0 165.0 180.0 200.0 250.0 295.0
Nombre de cycles
1.0E+6 0.5E+
6
0.2E+
6
0.1E+
6
0.05E+
6
0.02E+
6
12.0E+
4
Demi amplitude de contrainte
(MPa)
305.0 340.0 430.0 540.0 690.0 930.0 1210.0
Nombre de cycles
10.0E+
4
5.0E+
3
2.0E+
3
1.0E+
3
5.0E+2 2.0E+2 1.0E+2
Demi amplitude de contrainte
(MPa)
1590.0 2210.0 2900.0
Nombre de cycles
50.0
20.0
10.0
Tableau 1.2-1 : Courbe de Wöhler
P1
P2
P4
P3
P8
P6
P5
P7
Face 1
(dessus)
Face 4
(côté droit)
Face 2
(dessous)
Face 3
(côté gauche)
Face 6
(devant)
Face 5
(derrière)
X
Y
Z
a
a = 10 mm
P1
P2
P4
P3
P8
P6
P5
P7
P1
P2
P4
P3
P8
P6
P5
P7
Face 1
(dessus)
Face 4
(côté droit)
Face 2
(dessous)
Face 3
(côté gauche)
Face 6
(devant)
Face 5
(derrière)
X
Y
Z
X
Y
Z
a
a = 10 mm
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1.3
Conditions aux limites et chargements
·
Les déplacements selon l'axe X de la face 3 sont bloqués (DX=0.0).
·
Les déplacements selon l'axe Y de la face 2 sont bloqués (DY=0.0).
·
Les déplacements du point P3 sont bloqués selon l'axe Z (DZ=0.0).
·
Nous appliquons un chargement bi-axial alterné (traction-compression) selon les axes X et Y.
Fx(t) représente les efforts alternés appliqués sur la face 4 selon l'axe X et Fy(t) représente les
efforts alternés appliqués sur la face 1 selon l'axe Y.
Chargement pour les modélisations A et B :
Chargement pour les modélisations C et D :
1.4 Conditions
initiales
Sans objet pour une analyse statique.
Fx(t)
t
Fy(t)
100N
200N
0
-100N
-200N
1s
2s
Fx(t)
t
Fy(t)
100N
200N
0
-100N
-200N
Fx(t)
t
Fy(t)
100N
200N
0
-100N
-200N
1s
2s
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Dans le cas d'un chargement bi-axial alterné où les contraintes appliquées sont tels que :
y
x
=
,
avec
1
>
et
0
<
, on montre [bib1] que la demi amplitude de cisaillement maximal
(
)
4
2
y
x
+
=
, où
2
x
et
2
y
représentent les demi amplitudes de contraintes
appliquées selon les axes
x
et
y
. De plus, il y a deux plans critiques dans lesquels le cisaillement
est maximal :

2.2
Résultats de référence pour les modélisations A et B
Voir les références [bib2] et [R7.04.01].
Demi amplitude de cisaillement maximal :
2
x
(MPa)
2
y
(MPa)
2
(MPa)
100 200 150
Remarque :
La demi amplitude de cisaillement maximal est identique pour les deux plans critiques.
Vecteurs normaux aux deux plans critiques :
1
n
2
n
Composante
x
2
1
-
2
1
Composante
y
2
1
2
1
Composante
z
0
0
Contraintes maximales normales sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
MPa
N
50
)
(
1
max
=
n
et
MPa
N
50
)
(
2
max
=
n
.
X
Y
Z
Les deux plans de cisaillement maximal
n
1
n
2
X
Y
Z
X
Y
Z
Les deux plans de cisaillement maximal
n
1
n
1
n
2
n
2
n
2
n
1
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Pression hydrostatique maximale, indépendante vis à vis des plans de normales
1
n
et
2
n
:
MPa
P
33333
,
33
=
.
Contraintes moyennes normales sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
MPa
N
m
0
)
(
1
=
n
et
MPa
N
m
0
)
(
2
=
n
.
Déformations maximales normales sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
4
1
max
10
75
,
1
)
(
-
=
n
et
4
2
max
10
75
,
1
)
(
-
=
n
Déformations moyennes normales sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
0
)
(
1
=
n
m
et
0
)
(
2
=
n
m
.
Critère de MATAKE
2
,
1
,
)
(
2
)
(
max
=
+
i
b
N
a
i
i
n
n
1
=
a
et
2
=
b
.
Contraintes équivalentes au sens de MATAKE sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
2
,
1
,
)
(
2
)
(
)
(
max
=


+
=
i
t
f
N
a
i
i
i
eq
n
n
n
f
et
t
représentent, respectivement, la limite d'endurance en flexion alternée et la limite
d'endurance en torsion alternée. Ici
t
f
est égal à
5
,
1
. Par conséquent nous avons :
MPa
eq
300
)
(
1
=
n
et
MPa
eq
300
)
(
2
=
n
.
Nombres de cycles à la rupture sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
A partir de la courbe de Wöhler, cf. [Tableau 1.2-1], et des contraintes équivalentes au sens de
MATAKE, nous obtenons :
10946
)
(
)
(
2
1
=
=
n
n
cr
cr
Nb
Nb
cycles.
Endommagement sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
5
2
1
10
13565
9
)
(
)
(
-
,
ENDO
ENDO
=
=
n
n
.
Critère de Dang Van adapté aux chargements périodiques :
DANG_VAN_MODI_AC
2
,
1
,
2
)
(
=
+
i
b
P
a
i
n
1
=
a
et
2
=
b
.
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Contraintes équivalentes au sens de DANG VAN sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
2
,
1
,
2
)
(
)
(
=


+
=
i
t
c
P
a
i
i
eq
n
n
c
et
t
représentent, respectivement, la limite d'endurance en cisaillement alterné et la limite
d'endurance en traction-compression alternée. Ici
t
c
est égal à
5
,
1
. Par conséquent nous avons :
MPa
eq
275
)
(
1
=
n
et
MPa
eq
275
)
(
2
=
n
.
Nombres de cycles à la rupture sur les plans des normales
1
n
et
2
n
A partir de la courbe de Wöhler, cf. [Tableau 1.2-1], et des contraintes équivalentes au sens de DANG
VAN, nous obtenons :
14903
)
(
)
(
2
1
=
=
n
n
cr
cr
Nb
Nb
cycles.
Endommagement sur les plans des normales
1
n
et
2
n
:
5
2
1
10
709959
,
6
)
(
)
(
-
ENDO
ENDO
=
=
n
n
.

2.3
Résultats de référence pour les modélisations C et D
Voir les références [bib2] et [R7.04.01].
Demi amplitude de contrainte :
2
x
(MPa)
2
y
(MPa)
100 200
Critère de MATAKE adapté aux chargements non périodiques : DOMM_MAXI
Pour ce critère il n'y a pas de résultats analytiques.
Critère de Dang Van adapté aux chargements non périodiques :
DANG_VAN_MODI_AV
Pour ce critère il n'y a pas de résultats analytiques.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation 3D : 125 éléments de volume quadratiques :HEXA8.
Maillage du cube fait avec GIBI 2000
Figure du maillage du cube
Teste du critère MATAKE.

3.2
Caractéristiques du maillage
Le maillage du cube a été obtenu à partir de la version 2000 du mailleur GIBI.
Nombre de noeuds : 216
Nombre de mailles : 465
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3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes Options
LIRE_MAILLAGE
DEFI_GROUP CREA_GROUP_NO
CREA_GROUP_MA
DEFI_FONCTION NOM_PARA
INTERPOL
'SIGM'
'LOG'
DEFI_FONCTION NOM_PARA
'INST'
DEFI_MATERIAU ELAS
FATIGUE
CISA_PLAN_CRIT
DEFI_LIST_REEL
AFFE_MODELE 'MECANIQUE'
'3D'
AFFE_MATERIAU TOUT
AFFE_CHAR_MECA DDL_IMPO
FACE_IMPO
FORCE_FACE
GROUP_NO
GROUP_MA
GROUP_MA
STAT_NON_LINE
MECA_STATIQUE
CALC_FATIGUE TYPE_CALCUL
OPTION
TYPE_CHARGE
RESULTAT
CHAM_MATER
GROUP_MA
GROUP_NO
MAILLAGE
CRITERE
METHODE
'FATIGUE_MULTI'
'DOMA_ELGA'
'DOMA_NOEUD'
'PERIODIQUE'
SOL
MAT
'FACE1', 'FACE2', 'FACE3'
'FACE4', 'FACE5', 'FACE6'
'FACE4', 'FACE5', 'FACE6'
CUBE
'MATAKE'
'CERCLE_EXACT'

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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
xx
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
,,
2
)
(
1
n
1.500000E+02
1.500000E+02
0.0
,,
composante
x
de
1
n
­7.071068E­01 ­7.071068E­01
0.0
,,
composante
y
de
1
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
z
de
1
n
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
)
(
1
max
n
N
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
)
(
1
n
m
N
0.0 4.235754E­14
0.0
,,
)
(
1
max
n
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
)
(
1
n
m
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
)
(
1
n
eq
3.000000E+02 3.000000E+02
0.0
,,
)
(
1
n
cr
Nb
1.094600E+04 1.094600E+04
0.0
,,
)
(
1
n
ENDO
9.135647E­05 9.135647E­05
0.0
,,
2
)
(
2
n
1.500000E+02 1.500000E+02 0.0
,,
composante
x
de
2
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
y
de
2
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
z
de
2
n
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
)
(
2
max
n
N
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
)
(
2
n
m
N
0.0 4.235754E­14
0.0
,,
)
(
2
max
n
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
)
(
2
n
m
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
)
(
2
n
eq
3.000000E+02 3.000000E+02
0.0
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 7
)
(
2
n
cr
Nb
1.094600E+04 1.094600E+04
0.0
,,
)
(
2
n
ENDO
9.135647E­05 9.135647E­05
0.0
Les écarts étant inférieurs à 1.0E-08 nous avons mis zéro dans le tableau ci-dessus.
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Hormis le critère de fatigue testé, la modélisation B est identique à la modélisation A.
Teste du critère DANG_VAN_MODI_AC.

5.2
Caractéristiques du maillage
Identique à la modélisation A.

5.3 Fonctionnalités
testées
Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A. seul l'option CRITERE de la
commande CALC_FATIGUE est différent :
Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
'DANG_VAN_MODI_AC'
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
xx
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
,,
)
(
1
n
1.500000E+02
1.500000E+02
0.0
,,
composante
x
de
1
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
y
de
1
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
z
de
1
n
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
)
(
1
max
n
N
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
)
(
1
n
m
N
0.0 4.235754E­14
0.0
,,
)
(
1
max
n
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
)
(
1
n
m
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
)
(
1
n
eq
2.750000E+02 2.750000E+02
0.0
,,
)
(
1
n
cr
Nb
1.490300E+04 1.490300E+04
0.0
,,
)
(
1
n
ENDO
6.709959E­05 6.709959E­05
0.0
,,
)
(
2
n
1.500000E+02 1.500000E+02 0.0
,,
composante
x
de
2
n
­7.071068E­01 ­7.071068E­01
0.0
,,
composante
y
de
2
n
7.071068E­01 7.071068E­01
0.0
,,
composante
z
de
2
n
0.0 6.123234E­17
0.0
,,
)
(
2
max
n
N
5.000000E+01 5.000000E+01
0.0
,,
)
(
2
n
m
N
0.0 4.235754E­14
0.0
,,
)
(
2
max
n
1.750000E­04 1.750000E­04
0.0
,,
)
(
2
n
m
0.0 1.564995E­19
0.0
,,
)
(
2
n
eq
2.750000E+02 2.750000E+02
0.0
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 7
)
(
2
n
cr
Nb
1.490300E+04 1.490300E+04
0.0
,,
)
(
2
n
ENDO
6.709959E­05 6.709959E­05
0.0
Les écarts étant inférieurs à 1.0E-08 nous avons mis zéro dans le tableau ci-dessus.
background image
Code_Aster
®
Version
8.2
Titre :
SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné
Date :
02/11/05
Auteur(s) :
J. ANGLES
Clé
:
V3.04.135-B
Page :
12/14
Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
HT-66/05/005/A
7 Modélisation
C
7.1
Caractéristiques de la modélisation
Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation C est identique à la
modélisation A.
Teste du critère DOMM_MAXI.

7.2
Caractéristiques du maillage
Identique à la modélisation A.

7.3 Fonctionnalités
testées
Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE n'est plus utilisée et PROJECTION est ajoutée :
Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
POJECTION
'DOMM_MAXI'
'UN_AXE'
'DEUX_AXES'


8
Résultats de la modélisation C
8.1 Valeurs
testées
Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
xx
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
,,
composante
x
de
1
n
__ ­3.746066E­01
3.907311E­01
__
,,
composante
y
de
1
n
__ 9.271839E­01
9.205049E­01
__
,,
composante
z
de
1
n
__ 6.123234E­17
__
,,
)
(
1
n
ENDO
__ 7.049845E­05
__
Dans le tableau ci-dessus, les composantes
x
et
y
de
1
n
ont deux valeurs parce qu'il existe deux
vecteurs qui correspondent à la même valeur d'endommagement
)
(
1
n
ENDO
.
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Code_Aster
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Version
8.2
Titre :
SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné
Date :
02/11/05
Auteur(s) :
J. ANGLES
Clé
:
V3.04.135-B
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Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
HT-66/05/005/A
9 Modélisation
D
9.1
Caractéristiques de la modélisation
Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation D est identique à la
modélisation A.
Teste du critère DANG_VAN_MODI_AV.

9.2
Caractéristiques du maillage
Identique à la modélisation A.

9.3 Fonctionnalités
testées
Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE n'est plus utilisée et PROJECTION est ajoutée :
Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
POJECTION
'DANG_VAN_MODI_AV'
'UN_AXE'
'DEUX_AXES'


10 Résultats de la modélisation D
10.1 Valeurs
testées
Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
xx
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
,,
composante
x
de
1
n
__ 7.071068E­01
__
,,
composante
y
de
1
n
__ 7.071068E­01
__
,,
composante
z
de
1
n
__ 6.123234E­17
__
,,
)
(
1
n
ENDO
__ 1.341992E­04
__
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Code_Aster
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Version
8.2
Titre :
SSLV135 ­ Endommagement par fatigue sous chargement bi-axial alterné
Date :
02/11/05
Auteur(s) :
J. ANGLES
Clé
:
V3.04.135-B
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Manuel de Validation
Fascicule V3.04 : Statique linéaire des systèmes volumiques
HT-66/05/005/A
11 Modélisation
E
11.1 Caractéristiques de la modélisation
Hormis le critère de fatigue testé et le chargement, cf. [§ 1.3], la modélisation E est identique à la
modélisation A.
Teste du critère FATEMI_SOCIE.
11.2 Caractéristiques du maillage
Identique à la modélisation A.
11.3 Fonctionnalités
testées
Les fonctionnalités testées sont identiques à la modélisation A hormis les options suivantes : CRITERE
est modifiée, METHODE et MECA_STATIQUE ne sont plus utilisées et PROJECTION est ajoutée :
Commandes Options
CALC_FATIGUE CRITERE
POJECTION
'FATEMI_SOCIE'
'UN_AXE'
'DEUX_AXES'


12 Résultats de la modélisation E
12.1 Valeurs
testées
Identification
Type de valeur
Référence
Aster Écart
(%)
Noeuds :N1 ;N206 ;
Maille : M60,
Point de Gauss : 3
xx
(Instant : 3)
­1.00000E+02
­1.00000E+02
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
2.00000E+02
2.00000E+02
0.0
,,
xx
(Instant : 3)
-8.00000E-04
-8.00000E-04
0.0
,,
yy
(Instant : 3)
1.15000E-03
1.15000E-03
0.0
,,
zz
(Instant : 3)
-1.50000E-04
-1.50000E-04
0.0
,,
composante
x
de
1
n
__ ±4.383711E­01
__
,,
composante
y
de
1
n
__ 8.987940E­01
__
,,
composante
z
de
1
n
__ 6.123234E­17
__
,,
)
(
1
n
ENDO
__ 1.682346E­01
__


13 Synthèse des résultats
Les résultats obtenus sont en parfait accord avec la solution de référence pour les modélisations A
et B. Les modélisation C, D et E n'ont pas de solutions de référence associées aux critères.