Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
1/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
Organisme(s) :
EDF/IMA/MNN
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
Document V6.04.122
SSNV122 - Rotation et traction suiveuse
hyper-élastique d'un barreau
Résumé :
Ce test de mécanique quasi-statique consiste à faire tourner de 90° un barreau parallélépipédique et à le
soumettre à une traction importante au moyen de forces suiveuses. On valide ainsi la cinématique des grandes
déformations hyper-élastiques (commande
STAT_NON_LINE
[U4.32.01], mot-clé
COMP_ELAS
), et donc en
particulier les grandes rotations, pour une relation de comportement élastique linéaire, ainsi que la prise en
compte de forces suiveuses (commande
STAT_NON_LINE
[U4.32.01] mot clé
TYPE_CHARGE:'SUIV'
).
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA8, modélisation A).
Les résultats obtenus par le
Code_Aster
ne diffèrent pas de la solution théorique.
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
2/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
1
Problème de référence
1.1 Géométrie
1
2
3
4
1 000 (mm)
1 000 (mm)
y
x
1.2
Propriétés de matériaux
Comportement hyper-élastique de SAINT VENANT - KIRCHHOFF :
(
)(
) ( )
S
E 1
E
=
+
-
+ +
=
E
E
E
1
1 2
1
200 000
0 3
tr
.
MPa
= .
1.3
Conditions aux limites et chargements
Le chargement est appliqué en deux temps : tout d'abord, une rotation d'ensemble de la structure,
suivie par une traction exercée par des forces suiveuses.
1
2
3
4
1'
2'
4'
Rotation d'ensemble (0 < t < 1 s)
2'
4'
1'
3
Traction (1 s < t < 2 s)
T
=
p
N
N
: normale
extérieure à la
face [2, 4].
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
3/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Il s'agit d'un problème plan. On peut chercher la solution sous la forme d'une rotation rigide suivie d'une
dilatation d'un facteur
a
dans une direction et
b
dans l'autre :
( )
X
Y
Z
Y
X
Z
b
Y
a X
Z
u
X
bY
AX
Y
-
-
=
-
-
-
rotation
traction
soit
0
Le gradient de la transformation et la déformation de Green-Lagrange sont alors :
F
E
=
-
=
=
-
=
-
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
2
2
b
a
e
e
e
a
e
b
x
y
x
y
où
La relation de comportement conduit à un tenseur de contraintes lagrangiennes diagonal (avec
µ
et
les coefficients de Lamé) :
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
S
e
e
S
e
e
E
E
S
e
e
xx
x
y
yy
x
y
zz
x
y
=
+
+
=
+
+
= + -
=
+
=
+
µ
µ
µ
2
2
1
1 2
2 1
où
On en déduit le tenseur des contraintes de Cauchy, lui aussi diagonal :
x
y
y
x
z
z
b
a S
a
b S
a b S
=
=
=
1
Enfin les conditions aux limites s'écrivent :
(
)
(
)
x
y
p
=
= -
0
bord libre
traction
On peut en outre calculer les efforts exercés sur les faces :
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[
]
1, 3
3, 4
1, 2, 3, 4
sur le côté inférieur de la face
sur le côté supérieur de la face
1, 3
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
F
F
F
y
y
o
x
z
z
o
z
o
b S
a b S
a b S
=
=
=
-
-
0
où
[ ]
S
o
représentent les surfaces initiales des faces.
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
4/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
2.2
Résultats de référence
On adopte comme résultats de référence les déplacements, les déformations de Grenn-Lagrange, les
contraintes de Cauchy et les forces exercées sur les faces [1, 3], [3, 4] et [1, 2, 3, 4] en fin de
chargement (t = 2 s).
On cherche
p
tel que la dilatation
a
=
1,1
==>
p
= 26610.3 MPa.
La dilatation
b
et les déplacements sont alors :
b
e
e
x
y
=
=
= -
0.9539
0.105
0.045
Les contraintes de Cauchy vallent :
x
y
z
=
=
=
0
26610.3 MPa
6597.6 MPa
Enfin, les forces exercées sont :
[ ]
(
)
F
F
F
x
y
o
z
S
N
N
=
= -
= -
0
25384
6.9228 10
côté inférieur
9
1 3
,
2.3
Incertitude sur la solution
Solution analytique.
2.4 Références
bibliographiques
[1]
Eric LORENTZ "Une relation de comportement hyperélastique non linéaire" Note interne
EDF/DER HI-74/95/011/0
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
5/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
Page laissée intentionnellement blanche.
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
6/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Modélisation volumique :
1 maille HEXA 8
1 maille QUAD4
1
2
3
4
1 000 (mm)
x
y
z
5
6
7
8
·
phase de rotation rigide 0
t
1 s
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
3,7
1,5
2,6
4,8
=
=
DX
DY
DZ
DX
t
DY
t
DZ
DZ
DZ
0
0
0
1000
2
1000 1
2
0
0
0
=
= -
= -
-
=
=
=
sin
cos
·
phase de traction : 1s
t
2s
-
conditions aux limites (
TYPE_CHARGE: 'DIDI'
)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
3,7
1,5
2,6
4,8
=
=
DX
DY
DZ
DY
DZ
DZ
DZ
0
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
-
chargement : pression (négative) sur la face [2, 4, 8, 6]
(
PRES_REP
) : maille [2, 4, 8, 6] (QUAD4) :
PRES
= 26610.3 (t1).
3.2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds : 8
Nombre de mailles : 2
1 HEXA8
1 QUAD4
3.3 Fonctionnalités
testées
Commande
Clés
STAT_NON_LINE
COMP_ELAS
EXCIT
EXCIT
DEFORMATION : 'GREEN'
TYPE_CHARGE : 'DIDI'
TYPE_CHARGE : 'SUIV'
[U4.32.01]
CALC_NO
OPTION : 'FORC_NODA'
GEOMETRIE : 'DEFORMEE'
[U4.61.03]
CALC_ELEM
OPTION : 'EPSG_ELNO_DEPL'
[U4.61.02]
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
7/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées
Les valeurs sont testées en fin de chargement (t = 2s)
Identification
Référence
Aster
% différence
Déplacement DX (NO2)
1953.94
1953.92
0
Déplacement DY (NO2)
100.
100.
0
Contraintes SIXX (PG1)
0
8. 10
10
Contraintes SIYY (PG1)
26610.3
26610.3
0
Contraintes SIZZ (PG1)
6597.6
6597.6
0
Contraintes SIXY (PG1)
0
10
26
Contraintes SIXZ (PG1)
0
10
11
Contraintes SIYZ (PG1)
0
10
10
Déformation EPXX (PG1)
0.105
0.105
0
Déformation EPYY (PG1)
0.045
0.045
0
Déformation EPZZ (PG1)
0
10
16
Déformation EPXY (PG1)
0
10
14
Déformation EPXZ (PG1)
0
10
14
Déformation EPYZ (PG1)
0
10
16
Réaction nodale DX (NO3)
0
10
3
Réaction nodale DY (NO3)
6.3462 10
9
6.3461 10
9
0.001
Réaction nodale DZ (NO3)
1.7307 10
9
1.7307 10
9
0.004
4.2 Remarques
Calcul de la force nodale :
La force appliquée
F
sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par :
1/4
1/4
1/4
1/4
F
noeud
=
1
4
F
4.3 Paramètres
d'exécution
Version : 3.05.32
Machine : CRAY C90
Encombrement mémoire :
8 MW
Temps CPU User :
33.59 secondes
Code_Aster
®
Version
3
Titre :
SSNV122 Rotation et traction suiveuse hyper-élastique d'un barreau
Date :
23/07/99
Auteur(s) :
E. LORENTZ
Clé :
V6.04.122-A
Page :
8/8
Manuel de Validation
Fascicule V6.04 : Statique non linéaire des structures volumiques
HI-75/96/044 - Ind A
5
Synthèse des résultats
Il apparaît à l'issue de ce test que la solution numérique coïncide remarquablement avec la solution
analytique. On remarquera cependant que la forte non linéarité due aux grandes rotations nécessite
une discrétisation en temps relativement fine, sans être pénalisante sur la précision puisque,
contrairement à une relation de comportement incrémentale, les erreurs ne se cumulent pas d'un pas
de temps sur l'autre.