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Titre :
HPLA311 - Murakami 11.39. Fissure circulaire au centre d'une sphère
Date :
05/11/02
Auteur(s) :
S. GRANET, I. CORMEAU, E. LECLERE
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Fascicule V7.01 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire
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Organisme(s) :
EDF-R&D/AMA, CS SI













Manuel de Validation
Fascicule V7.01 : Thermo-mécanique stationnaire linéaire des structures
axisymétriques
Document V7.01.311



HPLA311 - Murakami 11.39. Fissure circulaire au
centre d'une sphère soumise à une température
uniforme sur les lèvres




Résumé :

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.

Il s'agit d'un test statique de base en axisymétrique sous chargement thermique stationnaire calculé par
éléments finis sur le même maillage d'un domaine limité.

Le comportement est thermoélastique linéaire isotrope.

Il comprend deux modélisations axisymétriques pour lesquelles on fait varier le rapport a/b, a étant le rayon de
la fissure interne circulaire dans le plan horizontal xoy et b rayon de la sphère.

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1
Problème de référence
1.1 Géométrie
a : rayon de la fissure interne circulaire dans le plan horizontal xoy
b : rayon de la sphère
les rayons doivent vérifier la condition a/b < 0,5, avec b = 2,5E-3

1.2
Propriétés du matériau
module d'Young
E = 2 1011 Pa
coefficient de Poisson
v = 0,3
coefficient de dilatation linéaire
= 1,2 10-5 °C-1

1.3
Conditions aux limites et chargements
UX = ur = 0 sur l'axe de révolution X = r = 0
UY = uz = 0 dans le plan horizontal Y = z = 0, en dehors des lèvres a r b
Les lèvres sont supposées être libres de contraintes (pas de fermeture partielle de la fissure).
Température nulle à la surface de la sphère.
Température de référence nulle (température à laquelle les déformations thermiques sont considérées
nulles).
Température uniforme et négative T =
-
Tf sur les lèvres de la fissure, fond de fissure compris. Le
problème thermique stationnaire (de type Dirichlet) doit être résolu préalablement par éléments finis
sur le même maillage que celui destiné au calcul mécanique. Tf = 100 °C
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2
Solution de référence
2.1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Calcul analytique par transformée de Hankel.

2.2
Résultats de référence
(
)
= <
= - · ·
= -
-
+
-
-
+
+
a
b
K
E T
a F
F
I
f
I
I
0 5
1
1 0 6366
0 4053
2 0163
0 6773
3 8523
4 1687
3 2741
2
3
4
5
6
7
,
,
,
,
,
,
,
,

2.3
Incertitude sur la solution
Mal définie, exacte si
= 0

2.4 Références
bibliographiques
[1]
Y. MURAKAMI : Stress Intensity Factors Handbook, case 11.39, pages 1089-1090. The
Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.
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3 Modélisation
A
3.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage complet
Zoom de la pointe de fissure
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3.1.1 Définition des rayons des couronnes
Pour ces différents cas, nous définissons (tableau ci-dessous) les valeurs des rayons supérieurs et
inférieurs, à préciser dans la commande
CALC_THETA
:
1ère couronne
2ième couronne
3ième couronne
4iéme couronne
cas a
rinf
1.E-6
2.5E-5
5.E-5
7.5E-5
rsup 2.5E-5
5.E-5
7.5E-5
1.E-4
cas b
rinf
2.5E-5
2.75E-5 3.E-5 3.25E-5
rsup 2.75E-5
3.E-5
3.25E-5
3.5E-5
3.2
Caractéristiques du maillage
1756 noeuds et 569 éléments dont 529 QUA8 et 40 TRI6

3.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
THERMIQUE
AXIS
TOUT
AFFE_CHAR_THER
TEMP_IMPO
AFFE_MODELE
MECANIQUE
AXIS
TOUT
AFFE_CHAR_MECA
TEMP_CALCULEE
CALC_THETA
THETA_2D
CALC_G_THETA
OPTION
CALC_G
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4
Résultats de la modélisation A
4.1 Valeurs
testées

Identification Référence
Aster %
différence
G, couronne n°1 (J.m
2
)
1,0231E+2 9,7012E+1*
-
5,17
G, couronne n°2 (J.m
2
)
1,0231E+2 1,0051E+2*
-
1,75
G, couronne n°3(J.m
2
)
1,0231E+2 1,0055E+2*
-
1,71
G, couronne n°4 (J.m
2
)
1,0231E+2 1,0055E+2*
-
1,71

4.2 Remarques
·
Pour calculer le G
ref
, on utilise les formules d'IRWIN en déformations planes :
(
)
Gref
E
K
K
I
II
= -
+
1
2
2
2
, KII = 0
·
Pour les faibles valeurs du rapport a/b, la solution doit se rapprocher asymptotiquement de la
solution de référence calculée pour
= 0, soit FI = 1, qui est alors exacte (voir MURAKAMI 11.23,
page 1069).
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5 Modélisation
B
5.1
Caractéristiques de la modélisation
Maillage complet
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Zoom
Zoom de la pointe de fissure
5.2
Caractéristiques du maillage
2095 noeuds et 680 éléments dont 640 QUA8 et 40 TRI6
5.3 Fonctionnalités
testées
Commandes
AFFE_MODELE
THERMIQUE
AXIS
TOUT
AFFE_CHAR_THER
TEMP_IMPO
AFFE_MODELE
MECANIQUE
AXIS
TOUT
AFFE_CHAR_MECA
TEMP_CALCULEE
CALC_THETA
THETA_2D
CALC_G_THETA
OPTION
CALC_G
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6
Résultats de la modélisation B
6.1 Valeurs
testées
Identification Référence
Aster %
différence
G, couronne n°1 (J.m
2
)
1,0505E-4* 1,0387E-4
-
1,129
G, couronne n°2 (J.m
2
)
1,0505E-4* 1,0388E-4
-
1,112
G, couronne n°3 (J.m
2
)
1,0505E-4* 1,0388E-4
-
1,111
G, couronne n°4 (J.m
2
)
1,0505E-4* 1,0387
-
1,116
*
Dans le cas de calculs axisymétriques, pour obtenir le taux de restitution global, rapport de la
variation d'energie à la variation de surface de la fissure, il faut diviser le taux de restitution
obtenu par radian avec ASTER par R
fissure
(Cf. Documentation de référence [R7.02.01]-page18).

6.2 Remarques
·
Pour calculer le G
ref
, on utilise les formules d'IRWIN en déformations planes :
(
)
Gref
E
K
K
I
II
= -
+
1
2
2
2
, KII = 0
·
Pour les faibles valeurs du rapport a/b, la solution doit se rapprocher asymptotiquement de la
solution de référence calculée pour
= 0, soit FI = 1, qui est alors exacte (voir MURAKAMI 11.23,
page 1069).
·
Comme on l'attend, l'erreur relative sur G est le double de celle sur K.
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7
Synthèse des résultats
·
Le calcul de K et G en axisymétrique en présence d'un chargement thermique stationnaire, donne
de bons résultats puisque l'ecart maximum pour G est de 1,75% (hors première couronne) pour
= 0,4.
·
Nous vérifions que les résultats de K et G pour
=0,01 sont meilleurs que pour
= 0,4.